Высшая математика
Я. С. Бугров С. М. Никольский
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Рекомендовано Министерством общего
и профессионального образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений
Ростов-на-Дону
♦Феникс» 1997
ББК 22.143
Б 90
В серию учебников по высшей математике авторов Я. С. Бугрова, С. М. Никольского вошли книги:
1.	Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного;
2.	Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии;
3.	Дифференциальное и интегральное исчисление;
4.	Сборник задач по высшей математике.
Данная серия получила высокое признание в нашей стране и за рубежом, была удостоена Государственной премии в 1987 году. Все книги серии переведены на английский, французский, испанский и португальский языки.
За короткий срок эти книги выдержали три издания и сегодня пользуются огромным спросом и популярностью у студентов вузов России.
Рецензент
кафедра высшей математики Московского инженерно-физического института (заведующий кафедрой -профессор А. И. Прилепко) академик Б. А. Ильин, член корреспондент РАН С. И. Похожаев
Бугров Я. С., Никольский С. М.
Б 90 Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учебник для вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - Ростов-на-Дону, «Феникс», 1997. - 288 с.
Книга вместе с тремя другими учебниками тех же авторов - «Дифференциальное и интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» и «Сборник задач по высшей математике» - соответствует программе по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов. В ней содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, элементы векторной алгебры. Рассматриваются также основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы, линейное программирование. В книгу включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
ISBN 5-222-00222-5	ББК 22.143
© Бугров Я. С., Никольский С. М., 1997 © Оформление, изд-во «Феникс», 1997
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к третьему изданию.....................4
Предисловие к первому изданию......................6
§ 1.	Определители второго порядка.................7
§ 2.	Определители третьего и n-го порядка.........8
§ 3.	Матрицы.....................................22
§ 4.	Система линейных уравнений. Теория Кроне-кера-Капел ли....................................25
§ 5.	Трехмерное пространство. Векторы. Декартова система координат................................48
§ 6.	n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение.....................................59
§ 7.	Отрезок. Деление отрезка в данном отношении.67
§ 8.	Прямая линия................................69
§ 9.	Уравнение плоскости.........................80
§ 10.	Прямая в пространстве......................89
§11.	Ориентация прямоугольных систем координат....93
§12.	Векторное произведение.....................96
§ 13.	Смешанное (векторно-скалярное) произведение....104
§ 14.	Линейно независимая система векторов......105
§ 15.	Линейные операторы........................114
§ 16.	Базисы в Rn...............................122
§17.	Ортогональные базисы в В..................128
§18.	Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений...............................138
§19.	Преобразование прямоугольных координат в плоскости.....................................141
§ 20.	Линейные подпространства в Rn.............145
§21.	Теоремы фредгольмова типа.................152
§ 22.	Самосопряженный оператор. Квадратичная форма....161
§ 23.	Квадратичная форма в двухмерном пространстве.... 173
§ 24.	Кривая второго порядка....................178
§25.	Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве....................................196
§26.	Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве.........................217
§ 27.	Плоскость в Rn............................223
§ 28.	Линейное программирование.................241
Предметный указатель............................282
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Второе и третье издания отличаются от первого рядом изменений и дополнений, которые вызваны замечаниями и пожеланиями отдельных лиц, организаций и рецензентов.
При изложении аналитической геометрии в двумерной плоскости и в трехмерном пространстве мы заменили обозначения хр х2, х3 на традиционные х, у, г. Мы продолжаем придавать большое значение уравнениям прямой и плоскости в нормальном виде. Обобщение этих понятий на n-мерный случай создает по аналогии нужную геометрическую интуицию в n-мерном пространстве.
Мы теперь рассматриваем комплексные матрицы наряду с действительными. Однако доказательство, как правило, излагаем отдельно в действительном и комплексном случаях, чтобы комплексный случай при необходимости можно было опустить. В связи с этим пришлось изменить обозначения транспонированной и сопряженной матриц.
Элементарные преобразования (см. § 4) теперь получили обоснование. Ранее этот вопрос был изложен только на примерах. Впрочем, мы думаем, что этого было бы достаточно.
Некоторые параграфы подразделены на пункты, снабженные названиями.
Произведены некоторые дополнения по теории матриц и операторов.
Во втором издании добавлены § 27, 28, посвященные плоскости в n-мерном пространстве и различным задачам.
В третьем издании § 28 заменен. Основная цель, которую мы ставили перед собой при написании § 28, заключается в ознакомлении с элементами теории линейного программирования в минимальном объеме и методами решения простейших задач, в частности с симплекс-мето-дом. При изложении материала мы использовали учебное
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
5
пособие А. С. Солодовникова «Введение в линейную алгебру и линейное программирование».
Выражаем благодарность секции технических вузов научно-методического совета по математике при Минвузе СССР под руководством профессора Л. Д. Кудрявцева и кафедре высшей математики № 2 Ленинградского политехнического института за обсуждение наших учебников и ценные замечания и предложения^ которые, несомненно, способствовали улучшению их содержания.
Мы также выражаем благодарность Ю. И. Волкову, М. Ш. Коссу, Я. М. Тобольцеву и ряду других читателей за ценные конструктивные предложения, которые мы старались учесть при работе над вторым изданием.
В 1984 г. комплекс наших учебников по высшей математике удостоен премии МВ и ССО СССР и ЦИК профсоюзов работников просвещения, высшей школы и научных учреждений, в 1986 г. - диплома почета ВДНХ СССР, а в 1987 г. - Государственной премии СССР.
Авторы выражают благодарность профессору А. И. При-лепко и руководимой им кафедре высшей математики Московского инженерно-физического института за тщательное рассмотрение комплекса учебников и ценные замечания.
Данный комплекс находит широкое применение в технических вузах страны. В настоящее время он переведен на английский, французский, испанский и португальс сий языки.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Данная книга является первой частью нашего учебника «Высшая математика». Здесь излагаются основные вопросы теории определителей, элементы теории матриц, теория систем линейных уравнений, векторная алгебра. Рассмотрены также основные разделы линейной алгебры: линейные операторы, ортогональные преобразования, самосопряженные операторы, квадратичная форма и приведение ее к каноническому виду.
Включены элементы аналитической геометрии: прямая линия, плоскость, прямая в пространстве, кривые и поверхности второго порядка.
Рассуждения, как правило, ведутся с полными доказательствами. Однако изложение ведется так, что доказательства в общем n-мерном случае могут быть опущены, но останется не только формулировка утверждения, но и детальное разъяснение того, как в соответствующем случае обстоит дело в двух- и трехмерных случаях.
Канонические виды кривых и поверхностей второго порядка изложены в этой книге весьма кратко, так как предполагается, что они дополнительно будут изучаться в виде задач методами математического анализа. Квадратичная форма изучается методами математического анализа или, если угодно, функционального анализа.
Хотя мы и называем эту книгу первой в нашей серии, на самом деле материал этой и второй книги (посвященной дифференциальному и интегральному исчислению) тесно переплетается. Хорошо известно, в какой последовательности следует излагать материал, содержащийся в этих книгах.
В книге изложены все вопросы, предусмотренные программами для высших технических учебных заведений (объемом 400-500 часов).
§ 1.	Определители второго порядка
Пусть заданы числа др д2, bv b2 (действительные или комплексные). Они определяют число afi2 - a2bv которое называется определителем или детерминантом второго порядка и записывается следующим образом:
а1 ^2
&1 Ъ2
= а.Ьп — апЪ, 12	2 1
(1)
Числа др д2, bv b2 называются элементами определителя (детерминанта). В определителе (1) различают первую строку Др д2 и вторую строку bv b2, первый столбец Др Ьг и второй столбец а2, Ь2.
Легко проверяются следующие свойства определителя.
Величина определителя:
а)	не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами:
Д1 Д2
&1 Ь2
а1 ^1
д2 Ь2
б)	меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы):
Д1 Д2
&1 Ь2
^2
«2
«1
Д1 Д2
Ь2
а2 а1
&2 Ь±
8
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
в)	умножается на число k (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k, например:
ka^	ах br
^2 ^2
т. е. общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя;
г)	равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю, например:
О О
Jj -ОЬ,- 06,-0;
д)	равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны, например:
“1
«2
- аха2 ~ аха2 = 0.
В дальнейшем вводятся определители третьего и вообще n-го порядка. Для них свойства а), б), в), г), д) сохраняются.
§ 2.	Определители третьего и n-го порядка
2.1. Определители третьего порядка. Число
aiia22a33 + а12а23а31 + а13а21а32
“ а13а22а31^а11а23а32~ а12а21а33’ П)
записываемое в форме
	Oil	“12	#13
д =	“21	“22	023
	“31	“32	033
(2)
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
9
где ам - числа (действительные или комплексные), называется определителем или детерминантом третьего порядка.
В определителе (2) различают первую, вторую и третью строки, так же как первый, второй и третий столбцы. Число ам называется элементом определителя; при этом первый индекс k указывает номер строки, а второй индекс I - номер столбца, к которому принадлежит данный элемент. Будем также говорить, что элемент akl находится на пересечении k-й строки и Z-ro столбца. Элементы определителя ап, .а22, а33 образуют главную диагональ определителя, а элементы а13, а22, а31 - побочную. Можно также говорить, что диагональ, на которой расположены элементы ап, а22, Дзз называется главной диагональю определителя (2).
Структура выражения (1) довольно проста. Это есть число, вычисляемое по элементам аы по следующему наглядному правилу (Саррюса): составим таблицу (Саррюса), полученную из элементов определителя (2), если приписать к ним первый и второй столбцы определителя (рис. 1). Мы видим, что надо взять всевозможные произведения элементов, зачеркнутых прямыми; при этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, надо взять со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали, надо взять со знаком минус.
Рис. 1
10§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
Каждое произведение с указанным знаком называется членом определителя (2). Среди входящих в произведения элементов имеются представители от каждой строки и от каждого столбца. Эти элементы можно в каждом члене расположить в порядке возрастания первого индекса, т. е. номеров строк, к которым они принадлежат. Это и сделано в сумме (1). Что же касается номеров столбцов, к которым принадлежат эти элементы, то их расположения даются ниже:
1 2 2 3 3 1
3 2 1 3 2 1
Это всевозможные перестановки из чисел 1, 2, 3. Перестановку
1, 2, 3	(5)
из чисел 1, 2, 3 назовем основной.
Говорят, что в перестановке произведена транспозиция двух определенных ее элементов, если эти элементы заменены местами. После транспозиции перестановка переходит в другую перестановку. В этой последней можно сделать в свою очередь транспозицию, в результате получится третья перестановка (но не исключено, что и первая).
Например, перестановка
3, 2, 1	(6)
получена транспозицией первого и третьего элементов перестановки (5), а перестановка
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
11
2, 3, 1	(7)
транспозицией первого и второго элементов перестановки (6).
Важно отметить, что, если некоторая перестановка получена из основной посредством N транспозиций и если эта же перестановка получена из основной каким-либо другим путем посредством транспозиций, то оба числа дг и Nx одновременно либо четные, либо нечетные. Перестановка чисел 1, 2, 3 называется четной (нечетной), если она получается из основной перестановки при помощи четного (нечетного) числа транспозиций.
Пусть дана перестановка j = (jv j2, /3), где Д, j2, j3 это числа 1, 2, 3, взятые в некотором порядке. Число транспозиций, с помощью которых можно получить эту перестановку из основной перестановки, обозначим через t(j). Тогда перестановка j является четной (нечетной), если t(j) - четное (нечетное) число.
Перестановки (3) - четные, а (4) - нечетные.
После сказанного можно дать другое эквивалентное определение определителя 3-го порядка.
Определителем или детерминантом 3-го порядка (2) называется число А, равное сумме
A’ZHI'SVw,	(8)
j
произведений вида	, где j = (ц, j2, j3) -
всевозможные различные перестановки основной перестановки 1, 2, 3.
Это определение обобщается на определители или детерминанты n-го порядка (п = 1, 2, 3,...).
2.2. Определители n-го порядка. Определителем или детерминантом п-го порядка называется число, записываемое в виде
12
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
Оц ... а^п
а21 * * • а2п
(9)
ип^ ... апп
и вычисляемое по данным числам a k (действительным или комплексным) - элементам определителя - по следующему закону: А есть сумма
Д-	,
j
распространенная на всевозможные различные перестановки / = (jv ..., jn) из чисел 1, 2, ..., и. Число t(j) равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки 1, 2, п к перестановке j = (д,
/л). Произведение alf ...ап^ называется членом определителя.
Определители п-го порядка удовлетворяют свойствам а), б), в), г), д), перечисленным в предыдущем параграфе.
Доказательство, а) После замены у определителя соответствующих строк столбцами теперь уже номера строк будут обозначаться вторыми индексами. Например, для определителя третьего порядка (2) будем иметь
Оц а21 азх 012 а22 а32 ^13 а23 °33
Д11Д22Д33 + Л21Д32а13 + ^31^21^23
а31а22а13	а11а32а23	а21а12а33
В общем случае общий член нового определителя запишется
(-1)‘О)а/11аУ22...а/яП.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
13
Упорядочим множители произведения ajli^j22---ajnn по первому индексу, т. е. мы переходим от перестановки j = = (/, ул) к основной перестановке 1, 2, ..., п. При этом мы должны совершить t(j) транспозиций. Тогда основная перестановка вторых индексов перейдет в некоторую перестановку i = (ip in) и число t(i) будет той же четности, что и число t(J). Таким образом,
Нетрудно видеть, что разным перестановкам /р ..., jn соответствуют разные перестановки iv ..., in. Но тогда
= £(-1)<(Чц-"а»/п = д-j	i
б)	Поменяем местами, например, первую и третью строки определителя третьего порядка (2). Тогда получим определитель, который обозначим через Д', он будет равен
	«31	«32	«зз	
Д' =	«21	«22	«23	-	a3ha2j2alj3
	«и	«12	«13	j
alha2ha3h ~~ X	=-Д>
так как перестановка j = (jp у2, у3) отличается от перестановки / = (у3, у2, Д) = Qy, j2\ j3l) одной транспозицией.
Будем говорить, что число k умножается на строку (столбец) определителя, если на самом деле k умножается на все элементы строки (столбца).
в)	Умножение на число k какой-либо строки (столбца) определителя сводится к умножению всех его членов на k, потому что каждый член содержит один элемент указанной строки (столбца). Но тогда величина суммы членов умножится на k.
14§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
г)	Определитель, у которого элементы какого-либо столбца или строки равны нулю, равен нулю, потому что все его члены, очевидно, равны нулю.
д)	Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца. Это следует из свойства б) (Д' = -Д, Д' = Д, откуда Д = 0).
Вычеркнем из определителя (9) n-го порядка i-ю строку и k-й столбец. Оставшееся выражение порождает определитель (п - 1)-го порядка Мл, называемый минором элемента aik. Величина же
АЛ =
называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента aik.
Свойство е) Сумма произведений элементов a.k некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя-.
0 = 1.(10)
Л=1
A=£a/ftAtt (А = 1,	п),	(10')
i=l
Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем
a3i^3i + аззАз2 + азз^зз
	«12	а13		Оц	“13		«11	«12
а31	а22	а23	Д32	а21	а23	+ азз	а21	а22
^31^12^23	^13^22^	^32^13^21	^11^23^
+ азз(Л11Д23 Д12Д21)
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
15
Сумму (10) называют разложением определителя по элементам i-й строки, а сумму (1 О') - разложением определителя по элементам k-го столбца.
Пример 1. Если в определителе А (см. (9)) а21 « а31 = = ... = ал1 = 0, то Д =	т. е. вычисление этого
определителя сводится к вычислению одного его адъюнкта, т. е. определителя (л - 1)-го порядка.
Пример 2. Если все элементы Д, стоящие ниже (выше) главной диагонали Д, равны нулю (akl = 0, если k > I (k < Z)), то Д = апа22 ... апп. Это следует из предыдущего примера.
Свойство ж) Сумма произведений элементов aik некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты элементов другой строки (столбца) равна нулю9.
п
2>«^ = 0	(И)
*=i	*=i
(i*B i, j = 1,	п).
В самом деле, зафиксируем наше внимание на первой сумме. Эта сумма не зависит от элементов /-й строки. Заменим в нашем определителе элементы /-й строки на соответствующие элементы f-й строки. От этого рассматриваемая сумма не изменится. Между тем теперь ее можно рассматривать как разложение нового определителя по элементам /-й строки, но тогда она равна величине нового определителя. Но последний равен нулю на основании свойства д), потому что он имеет одинаковые строки - i-ю и ;-ю.
16
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И л-го ПОРЯДКА
Свойство з) Пусть даны два определителя п-го порядка \ и Д2, у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю Д п-го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из сумм соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей Д, и Д2. Например,
В самом деле, разлагая данные определители по элементам п-го столбца, получим
Л	Л	И,
Л1 + А2 = Ха*«А*" + А*п = 2(а*п + Ь^п = А-
Л=1	*=1
Свойство и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k. Например:
^11 ••• а1,л-1 ain + ^аи)
Oji ...
пл1 ... а,П'П_1 О'пп. + Аюл1)
дл1 ... апп
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
17
Я11 Ol.n-l а11
+ k...............
= l«J + * • 0 = |а J,
^nl • • •	^nl
в силу свойств з), в), д).
Надлежащее применение этого свойства приводит вычисление данного определителя к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример 3.
14 5		14 5		14	5	
2 3 1	=	0 -5 -9	=	0 -5 -9	=
8 11		8 11		0-31 -39	
-5-9
-31 -39
5
31
9
39
= 5-39 - 9-31 = -84.
Пример 4.
2 11
13 2 =
1 4 'б
0 10
-5 3 -1
-7 4 2
-5 -1 _	5 1
-7 2 ~ -7 2
Пример 5. Определитель
А
1	ах	...	1
1	а2	af	...
1	ап	а2	...	а""1
п
18§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
порожденный числами ар а2, ап называется степенным или определителем Вандермонда
Этот определитель равен нулю, если какие-либо два числа ау и ak равны между собой. Если все а} различны, то
Д» = (“» - “1К1 " «1) ’ («2 “ а1)‘
•(ап - а2)(ап^ - а2) ... (а3 - а2)-
•Ч -	- а„_2)-
•<ап - ап-1)-
(12)
В самом деле, при п = 2
^2
1 аг
1 а2
а2 - ар
т. е. формула (12) верна. Допустим, что формула (12) верна при п = k - 1, и докажем, что она верна при п = k. Будем использовать свойства и), в) определителя. Умножим Аг-1-й столбец в определителе на ах и вычтем из &-го, k-2-й столбец умножим также на аг и вычтем из &-1-го и т. д.; тогда получим
10	0	...	0
1 Л2 02(02 -0!) ... а^-2(а2-О1)
1	••• ак~2(ак-а1)
= (ак - в,Хвм - а.) ... (а2 - aj
1 02 ... О2 2
1 О$ ... Л3
1 ok ... а*-2
1 A. T. Вандермонд (1735-1796) - французский математик.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА
19
Последний определитель есть также определитель Вандермонда порядка (k -1), порожденный числами а2, ak, поэтому, по предположению, имеем
А* =	- Ma*-i - а1) - («2 - «1) •
•(а* " а2)(а*-1 ~ а2) ... (а3 - а2)-
*	а*-г) ’
«*-.)•
Таким образом, в силу метода математической индукции формула (12) верна при любом п > 2.
Свойство к) Пусть
=	^2 =
Произведение двух определителей п-го порядка с элементами bkl, akl есть в свою очередь определитель п-го порядка с элементами
Ykl = ^kj ац>
/=i
т. е.
М2 =
п
bkjaji
= A.
Таким образом, элемент yw, принадлежащий к /г-й строке и Z-му столбцу определителя А, равен, как говорят, произведению k-й строки определителя Аг на 1-й столбец определителя А2. На самом деле это есть сумма произведений элементов &-й строки определителя Ах на соответствующие элементы Z-ro столбца определителя А2.
20
§2- ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
Так как в определителях Дг и Д2 можно менять строки со столбцами, то, очевидно, элементы yw произведения Д можно строить также, беря произведение &-й строки Aj на l-ю строку Д2 или произведение Л-го столбца Д, на Z-й столбец Д2 или &-го столбца на l-ю строку.
Доказательство. Убедимся в справедливости свойства на примере определителей второго порядка:
А,
&11
&21
&12
^22
^2
аи
а21
а12
а22
Y11
Y21
Y12
Y22
Д =
где
Yn =
^12a21’

Y12 ^llfl12
^12fl22’
Y21
^2iail
^22^21’
Y22 ^2iai2
^22a22’
В силу свойств з), в), д)
д =
&21#11
^11 #12 + ^L2°22 ^21 #12 + &22а22
^12 #21
^22 #21
Ьца12 + Ь12а22 ^21a12 + ^22^22
а11а12
^11
^21
&21
aiia22
&11
^21
^12 t>22
ai2fl21
^12
t>22
&11
^21
+ Д21Д22
a!2a21
^12
&22
^12
^22
#11012-0 4-
aiia22
&11
&21
^12 t>22
^11
&21
^12
^22
а21Д22*0 fllia22^1
а12а21А]
+
А1(ЯцЯ22 а12Д21)	^1^2*
В общем случае определителей n-го порядка можно записать:
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И n-го ПОРЯДКА
21
д =
n	n	n
«1S1 \1	. alS1 bs\2 ’ * *	bs\n
SX=1	«1=1	«1=1
n	n	n
a2s2 bs22 • • • a2s2 bs2n
s2=l
«2=1
n
sn =1
n	n
ansn \,2 * • • a"sn bsnn sn=l
—1
ъ.
n
^als1a2s2-“ansJ
s1=ls2=l sn=l
bs2l
bsi 2	• • • bSyn
bs2 2 • • • bs2n
^s„2 ••• bSnn
п п
®2«2 • • ‘ ^nsn (
S=(S1,S2..s„)
При вычислении отдельных элементов Д мы вправе выбирать
п
любой индекс суммирования s (ykl = aks bgl), но для даль-
S=1
нейшего удобно для первой строки Д взять в качестве такого индекс для второй -s2 и т. д. Второе равенство имеет место на основании
свойств з) и в); при этом кратная сумма
п п
п
распространяется на всевозможные перестанов-
Si=ls2 =1
КИ (sp s2.....
sn), где 1 < sf < п. Однако если в какой-либо
22
§3. МАТРИЦЫ
системе (sp s2, sn) две компоненты sl и s. равны между
собой (st = s,, i * /), то определитель Ь , » 0. Поэтому на
1	I
самом деле в кратной сумме можно оставить только члены, соответствующие разным перестановкам (зр sn) и натуральных чисел (1,	п). При этом, очевидно, окажется, что оп-
ределитель
Ы = (-1)'<”ДГ
§ 3. Матрицы
Таблица чисел at/ (действительных или комплексных) вида
	а11 ••• а1л		Г«И ••• «1п '	
А =	• • • ^тп	—	< ^ml • • • ^тп	= IlaJI = «М> (1)
состоящая из т строк и и столбцов, называется матрицей, Числа ai; называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. При т = п она называется квадратной матрицей п-го порядка.
Если задана вторая матрица В = ||pj| с элементами pi;, тоже состоящая из т строк и п столбцов, то она считается равной матрице А тогда и только тогда, когда соответствующие элементы обеих матриц равны (аху = р1у). В этом случае пишут А = В, Матриа ||aj| не есть число - это таблица. Однако для квадратной матрицы можно рассматривать число |aj - определитель, порожденный этой матрицей.
Пусть k - натуральное число, не превышающее т и п (k < т, п). Зачеркнем в таблице (1) какие-либо k столбцов и k строк. Элементы а/в, находящиеся на перееечечии
§3. МАТРИЦЫ
23
зачеркнутых столбцов и строк, образуют квадратную матрицу, которая порождает определитель k-ro порядка. Полученный определитель называется определителем k-го порядка, порожденным матрицей А.
Рангом матрицы А называется наибольшее натуральное число k, яля которого существует не равный нулю определитель k-ro порядка, порождаемый матрицей А (см. § 4).
Если в матрице А сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу
	«и ...	«mi	
А' -	“ш •••	• ^тп	,	(2)
называемую транспонированной кА матрицей.
Если в матрице А ее элементы аы заменить на им комплексно сопряженные, то получим матрицу
называемую комплексно сопряженной с А матрицей. Далее матрица
«11 ••• «П1
А' = (А)' =
= А*
называется сопряженной с А матрицей.
Если А - действительная матрица, т. е. имеющая действительные элементы (a kl = aw), то, очевидно,
А = А,
А' = А*.
24
§3. МАТРИЦЫ
Матрицы одного и того же размера, т. е. состоящие из одинакового числа строк и столбцов, можно складывать. Суммой двух таких матриц А = |aj| и В = ||pj| называется матрица С = ||yj|, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: у = а; + ру. Символически этот факт будем записывать так:
А + В = С.
Легко видеть, что
А + В = В + А,
(А + В) + С = А + (В + С).
Произведением числа X на матрицу А (или произведением матрицы А на число X) будем называть матрицу, элементы которой равны произведению числа X на соответствующие элементы матрицы А. Таким образом, ХА = АХ.
Пример. Пусть
Г1 °
<2 3	1) ’
2	О Г
<2	1	1>
Найти матрицу ХА + цВ.
На основании определения суммы матриц и умножения матрицы на число имеем
Г1 О 21А	Г2|1 О |1А
М = 1^21 31 1)'	= Н ’
1А + |1В =
г1 + 2ц
Ч21 + 2ц
О 31 + ц
21 + ц>
1 + Н>
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
25
§ 4.	Система линейных уравнений.
Теория Кронекера—Капелли1
4.1.	Система из п линейных уравнений с п неизвестными. Будем называть произвольную систему из п чисел (хр ..., хл) п-мерным вектором и обозначать его также одной (жирной) буквой х:
Х = («1......ХпУ
Числа х} (действительные или комплексные) называют компонентами вектора х. Вектор
О = (0,	0)
называется нулевым вектором.
Зададим систему из п линейных уравнений с п неизвестными
«1Л + ... + а1пхп=ух,
aniXi+ ... + аппхп=уп.
(1)
Числа akl (действительные или комплексные), называемые коэффициентами системы (1), заданы. Будем еще говорить, что система (1) определяется матрицей
Оц ... а1п
А = ||aj =
(2)
nni ... апп
ее коэффициентов.
Нас будет интересовать вопрос о разрешимости системы (1) для каждого вектора (системы чисел)
У = (!/р .... У,)-
1 Л. Кронекер (1823-1891) - немецкий математик, А. Капелли (1855-1910) - итальянский математик.
26§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система чисел (вектор)
X - (хр хп) называется решением системы уравнений (1), если числа х. удовлетворяют этим уравнениям.
4.2.	Формулы Крамера.
Теорема 1. Если определитель системы (1) не равен нулю*.
А = laJ * °’
то система (1) имеет единственное решение для любого вектора у, вычисляемое по формулам (Крамера1)
х. = Д'/Д ’ (j = 1, ..., и),	(3)
где Д' - определитель, получаемый из определителя Д, если в нем заменить числа j-го столбца соответственно на числа у19 ..., уп:
а11 ••• alJ-l У1 а1,/+1 ••• а1п
Д' =
(4)
ani ... unj_i уп Unj+i • • • ипп
Таким образом,
1 п xi =	У. О = 1............п),	(3')
S=1
где As. есть адъюнкт элемента asj в определителе Д.
Доказательство. Пусть (хр ..., хл) есть решение системы (1). Чтобы найти неизвестное число хр умножим первое уравнение системы (1) на адъюнкт А1Р второе - на Д21, ..., и-е - на Ал1 и сложим все уравнения системы. Тогда, учитывая, что
1 Г. Крамер (1704-1752) - швейцарский математик.
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
27
п	п
= Х1А
л=1	Л=1
и
п	л
Хал/хА1= = V0 = ° О’* !)> л=1	л=1
получаем ххА = А1, где
п	У1 а12 ••• а1п
А* =	= ................•
S=1	Уп ап2 • • • апп
Следовательно, так как по условию А #= 0, то хг = АуА.
В общем случае при произвольном j умножаем первое уравнение системы (1) наА1;, второе - на А2у, п-е - на Апр складываем эти уравнения и получаем на основании свойств определителей е), ж) равенство
п	п
х^аыАч = Л=1	/?=1
т. е.
хА = А',
где
п
а11 •••	У\ а1,у+1 ••• а1п
ап1 • • • antj-l Уп ^П,у+1 • • • &пп
Отсюда в силу того, что А 0, следует равенство (3).
Мы доказали, что если (хр ..., хп) есть решение системы (1), то числа определяются формулами (3х).
28
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обратно, совокупность чисел х} = Ду/А (у = 1, ..., и) является решением системы (1). В самом деле, подставляя х (у « 1, ..., п) в левую часть Л-го уравнения (k = 1, ..., п) системы (1), на основании свойств е), ж) определителя, имеет
Т -1X-., ±у.А, -7=1	7=1	з=1
= т IX А = тМ = у„-s=l ;=1	а
Таким образом, числа (3х) действительно являются решением системы (1).
4.3.	Однородная система. Система уравнений вида
<*1Л + ••• +а1пхп=^
anix1+ ... +аппхп = 0
(5)
называется однородной. Она является частным случаем системы (1) при ух = ... = уп = 0. Ясно, что нулевой вектор
х. = 0, . . . , х = 0 1	7	г п
удовлетворяет однородной системе (5). Но может случиться, что однородная система (5) удовлетворяется не нулевым вектором х = (хр ..., хл), т. е. вектором, имеющим хотя бы одну компоненту xt 0. Его называют нетривиальным решением однородной системы (5), а нулевой вектор поэтому называют тривиальным решением однородной системы (5).
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
29
Теорема 2. Если определитель А однородной системы (5) не равен нулю (А #= 0), то эта система имеет только тривиальное решение.
В самом деле, в силу свойства г) все определители А7 = = 0 (см. (4)), поэтому в силу равенств (3) х. = 0 (j‘ = 1,	и).
Теорема 3. Если система уравнений (5) имеет нетривиальное решение, то ее определитель А необходимо равен нулю (А = 0).
В самом деле, если бы А 0, то по теореме 2 система (5) имела .бы только одно тривиальное решение.
Выше мы исследовали линейную систему (1) в случае, когда ее определитель А 0. В этом случае было показано (теорема 1), что система (1) имеет для любой правой части у = (г/р ..., г/л) единственное решение, вычисляемое по формулам (3).
4.4.	Правило решения системы линейных уравнений. Теперь мы переходим к исследованию системы (1) в случае, когда ее определитель А = 0. Будем предполагать, что хотя бы один элемент матрицы А (см. (2)) не равен нулю и обозначим ранг А через k (k = = ранг А). Таким образом, 1 < k < п.
Нашей целью будет доказать следующие правила (явным образом они сформулированы и доказаны Кронеке-ром и Капелли).
Если мы хотим решить систему (1), для которой известно, что ранг матрицы А ее коэффициентов равен k, то мы должны узнать ранг расширенной матрицы
«11 • • • У1
В =
лл1 ... апп уп
полученной присоединением к А столбца
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
У1
Уч
Уп
' У1 ' Уч
<Уп,
1)	Если ранг В больше ранга А (ранг В > ранг А = k), то система (1) вовсе не имеет решений. Она противоречива - не существует вектора х = (хр хл), удовлетворяющего одновременно всем уравнениям (1).
2)	Если ранг В равен рангу А (ранг В = ранг А = k), то система (1) имеет решения. Чтобы найти их, мы должны выбрать из системы (1) какие-нибудь k уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг k, и решить эти k уравнений. Решений у этой системы из k уравнений будет бесконечно много, но их можно записать в обозримом виде.
При этом любое решение взятых нами k уравнений автоматически является решением остальных и - k уравнений системы (1).
Правила 1) и 2) исчерпывают возможные ситуации, потому что ранг В не может быть меньшим k.
Ведь матрица А по условию порождает не равный нулю определитель k-ro порядка, который порождается также и матрицей В.
4.5.	Примеры приложения правил.
Пример 1. Система
х + у = 1, х — у = 2
имеет определитель
А =
1
1
1
-1
= -2*0
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
31
и потому имеет единственное вычислить по
формулам
х = Д7Д,
где
д1 =
2 -1
= -з
т. е.
-3
-2
решение, которое
у = Д2/Д
Д2 =
1
У= -2
1.
2 ’
можно
1 1
3
2
1
1
1
2
1
Пример 2. Система
х + у = 1, х + у = 2
(6)
имеет определитель, равный нулю. Матрица
1
1
1
1
А =
имеет ранг А = 1. А матрица
В =
1	1	1|
1	1	2II
имеет ранг В = 2. Так как ранг В > ранг А, то система (6) не имеет решений. Это видно, впрочем, и без нашей теории: одно и то же число не может равняться и 1 и 2.
Пример 3. Система
2х + 2у = 2, Зх + Зу — 3
(7)
имеем определитель А = 0. Матрица
32
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
-1: :1
имеет ранг А = 1. Расширенная матрица
2 2 2II В= 3 3 3 I
тоже имеет ранг В = 1. Так как ранг А = ранг В = 1, то берем одно уравнение
2х + 2z/ = 2.	(8)
Коэффициент при у не равен нулю, поэтому это уравнение можно решить относительно у:
Формула (9) дает все решения уравнения (8). Мы можем задать любое значение х (-©© < х < ©°) и вычислить значение у по формуле (9). Получим систему (вектор) (х, у), удовлетворяющую уравнению (8). Множество всех систем (х, 1 - х), где х g (-©о, ©©), образует множество всех решений уравнения (8). Эти решения автоматически являются решениями и второго уравнения системы (7), потому что ранг А = ранг В. В данном случае этот результат очевиден без применения теории о рангах матриц. Коэффициенты уравнений (7) вместе с их правыми частями соответственно пропорциональны, поэтому ясно, что всякое решение одного из этих уравнений является также решением другого.
Пример 4. Система
х + у + 2 = 1, 2х + у + 2и = 1,
х + у + Зи = 2
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
33
имеет определитель
1 1
1 2
1 3
= -2*0
и поэтому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам
Д1
1 1
1 2
1 3
1
2 ’
д
Пример 5. Система
X + у + 2 = 1, х + у + 2z = 1, 
х +у+ 3z = 2
имеет определитель
	1	1	1	
А =	1	1	2	= 0.
	1	1	3	
34
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрица
111
112
113
имеет ранг А = 2, так как Д = 0, но имеется определитель второго порядка, порожденный матрицей А, не равный нулю. Например,
1
1
= 1*0.
Матрица
111
12 1
13 2
имеет ранг В = 3, так как определитель, порожденный
этой матрицей,
1	1	1	
1	2	1	= 1*0.
1	3	2	
Так как ранг В > ранг А, то
система не имеет решения.
Пример 6. Система
X + у + 2 = 1, х + у + 2и = 1, ► 2х + 2у +4и = 2
(Ю)
имеет определитель
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
35
А =
1
1
2
1
1
2
1
2
4
= 0.
Легко подсчитать, что матрицы
А =
1
1
2
1
1
2
1
2
4
В =
1
1
2
1
1
2
1
2
4
1
1
2
имеют равные ранги, причем ранг А = ранг В = 2. Выберем из системы (10) два уравнения так, чтобы ранг матрицы А' из коэффициентов этих уравнений был равен 2. В данном случае можно взять первое и второе уравнения или первое и третье. Итак, рассмотрим систему
X + у + 2 = 1, х + у + 2г = 1.
(И)
Перенесем в правые части этих уравнений одно из неизвестных так, чтобы коэффициенты при оставшихся неизвестных образовывали матрицу А", у которой ранг А" = 2. В данном случае можно перенести или х или у.
Итак, неоднородная система
X + 2 = 1 - у, х + 2z = 1 - у
(12)
имеет определитель
Д"
1
1
1
2
= 1*0,
поэтому она имеет единственное решение при любой правой части:
36
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1
Д
1-У
1-У
1
2
= 1 - У,
1
А
1 1-у
1	1-J/
= 0.
Таким образом, тройки чисел (1 - у, у, 0) при всяком у е (—°°, оо) дают все решения системы (12) и автоматически решения третьего уравнения системы (10) (это уравнение получается из второго умножением на 2).
4.6.	Обоснование правил.
Теорема 4. Если система (1) совместна, т. е. имеет хотя бы одно решение х, то необходимо ранг В = ранг А.
Теорема 4 дает обоснование правилу 1) (стр. 29), по которому, если ранг В > ранг А, то не выполняется необходимое условие совместности (непротиворечивости) системы (1).
Доказательство теоремы 4. Пусть система (1) имеет решение и ранг А — k. Нам надо доказать, что ранг В = k. Так как по условию ранг А = k, то существует не равный нулю определитель Af-го порядка, порождаемый матрицей А, следовательно и матрицей В. Поэтому ранг В > k. Остается доказать, что всякий определитель (k + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю. Если такой определитель состоит только из элементов aijt то он заведомо равен нулю, потому что он порождается также и матрицей А, которая по условию имеет ранг k. Таким образом, нужно доказать, что любой определитель (k + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В и содержащей в себе столбец из чисел у., равен нулю. Не нарушая общности, можно считать, что это определитель
а11	••• aik У1
ak+l,l ••• ak+i,k Uk+\
К этому можно свести любой случай, перенумеровывая соответствующим образом уравнения и неизвестные ху. По условию система (1) совместна, т. е. существует вектор х = (хр ..., хл), удовлетворяющий уравнениям этой системы. Но тогда х, в
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 37
частности, удовлетворяет первым k + 1 уравнениям заново перенумерованной системы. Следовательно,
вц*1 + ... + а1кхк +А-! = О,
а*+1,1*1 + • • • + о.к+1кхк + Хл+1 - О,
(13)
где
*•1	= О1,*+1**+1 + • • • + ®1л*п - У1 ’	»
^Л+1 = ak+l,k+lxk+l + • • • + ak+l,nxn — Ук+1	(14)
Составим систему с неизвестными zv z2, ..., z>+1:
<hizi + ... +a1AzA + M*+1=0,
ak+i,izi + • • • + ak+i,kzk + ^k+i2k+i ~ 0.
(15)
На основании (13) и (14) эта система удовлетворяется числами ..., хл, 1, среди которых во всяком случае одно не равно нулю. Но тогда определитель однородной системы (15) равен нулю (см. теорему 3), т. е.
ап ••• <hk	+
0 =
аЛ+1,1 • • • ak+l,k ak+l,k+lxk+l + • • • + ak+lnxn ~ Ук+1
п	Оц	’ • • alk		Оц	... alk	У1
м				—				
s=/e+l	аЛ+1,1	••• ak+ltk ak+l,s		ak+l,l	••• ak+itk	Vk+1
38
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
а11	•••	У1
(16)
ак+1,1 ••• ak+l,k У к+1
потому что определители ((k + 1)-го порядка!), входящие в
сумму , равны нулю - ведь ранг матрицы А равен k. s
Мы доказали, что любой определитель (k + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к обоснованию правила 2) (стр. 29). Так как ранг матрицы А равен k (ранг А = k), то система (1) содержит k уравнений, матрица коэффициентов которых порождает не равный нулю определитель Af-го порядка. Перенумеровывая заново уравнения и неизвестные, можно достигнуть того, что первые k уравнений системы (1)
ВД + ••• + а1Л = Ур
awxi+ ... + aknxn=yk
(V)
будут иметь определитель
а11 ••• aik
G =
* 0.
aki ••• akk
Перенумерованную систему (1') перепишем еще так:
anxx + ... + alkxk — У\ — abk+1xk+1 - ... - alnxn,
aklxl + • • • + akkXk ~ Ук~ ak,k+lXk+l “ • • • “ ^knXn-
(17)
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 39
В силу того, что определитель 0*0, любой системе чисел х ...» хп соответствует единственная система чисел хр ..., хА, которые, очевидно, можно записать следующим образом:
1 1 к
=	= У, (Уз ~ as,k+lxk+l~' •
а а —
1 v	' 7
—	= X, (ys “ as,k=lXk+l~~’ ’ •~asnxn)2^sfe’
а а , 3=1
где А* - адъюнкты элементов аы в определителе а. Следовательно, все решения системы (17) записаны по формуле (18). Числам х>+1, ...» хп можно придавать любые значения, а числа хр ..., хк будут вычисляться по формулам (18). Отсюда мы видим, что система (17) имеет бесконечное множество решений.
Мы хотим обосновать, что, если ранг А = ранг В = k, то любое найденное нами решение х первых k уравнений системы (1) автоматически является решением остальных уравнений этой системы. Для определенности докажем, что оно является решением (k + 1)-го уравнения. Итак, рассмотрим первые (k + 1) уравнений системы (1), которые мы запишем в виде (13). Надо доказать, что всякое решение х первых k уравнений (13) автоматически является решением (k + 1)-го уравнения в (13). Пусть х есть вектор, удовлетворяющий первым k уравнениям в (13). Составим уравнения (15) относительно неизвестных zv ..., зл+1, где числа Хр ..., Хл+1 вычисляются по формулам (14) через компоненты х>+1, ..., хп векторах. Определитель системы (15) равен нулю. Это видно из равенств (16), которые надо читать справа налево. По условию определитель справа равен нулю. Но тогда система (15) имеет нетривиальное решение z19 z2, ..., зл+1. Здесь число * 0, потому что, если допустить, что система (15) имеет решение вида
•••, zk> 0, то числа zv ..., zk должны обратиться в нули, потому что определитель а * 0. Но тогда zx « ... = zk « гА+1 « = 0 и система ..., гл+1 была бы тривиальной. Вследствие
40§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ однородности системы (15) не только числа zv ..., удовлетворяют этой системе, но и числа (zk^ * 0)
г'1 = ......... z\ - 1
обладают тем же свойством. Но тогда числа z'p	удов-
летворяют системе первых k уравнений (13), имеющей определитель о * 0. Мы уже знаем, что эта последняя система имеет решения хр ..., хк и в силу единственности
2'1 = Х1...z'* = х„-
Обращаясь к последнему уравнению (15), мы видим, что оно удовлетворяется числами (хр ..., хк, 1), т. е. числа (хр ..., хк) удовлетворяют (k + 1)-му уравнению системы (13), и в силу (14) рассматриваемый нами вектор х = (хр ...» хк, хл+р ..., хл) удовлетворяет (k + 1)-му уравнению системы (1). Этим утверждение 2) доказано.
4.7. Метод решения системы путем исключения неизвестных. Можно рекомендовать следующий метод решения систем линейных уравнений, который является методом исключения неизвестных (или методом Гаусса1). Пусть дана система
«1Л + ••• +<hn*n = V
anlxi+ ... +а„„х„=&„.
(1")
Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1") на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу В', соответствующим образом преобразованную из матрицы В (В => В'). Преобразование заключается в том, что некоторая строка матрицы В видоизменяется прибавлением к ней другой строки, умноженной на соответствующее число.
1 К. Ф. Гаусс (1777-1855) - немецкий математик.
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
41
Подобным образом, если умножить 1сакое-либо из уравнений системы на число k Ф 0, оставив остальные уравнения прежними, то получим новую систему, очевидно, эквивалентную исходной. Новая система будет иметь свою матрицу В', соответствующим образом преобразованную из матрицы В (В => В'). На этот раз преобразование заключается в том, что строка, соответствующая указанному уравнению, умножается на k.
Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1"), получив, таким образом, формально новую, Но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование В => В' сводится к перестановке местами двух строк матрицы В.
Указанные три преобразования В => В' называют элементарными преобразованиями матрицы.
Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу В'. Всегда можно, применяя подходящим образом элементарные операций над системой уравнений или, что все равное над матрицей В, добиться либо решения заданной системы (1"), либо прийти к явно противоречивой системе. Так как последняя эквивалентна системе (1"), то это докажет противоречивость системы (1").
Ниже приводятся примеры примененйя этого метода.
Операция В => В' обозначает, что В' получается из В посредством одной или нескольких элементарных преобразований.
Пример 7. Решить систему
+ 2х2 + Зх3 + 4х4 = 5, х2 + 2х3 + Зх4 = 1, Х1 + $хз + 4х4 = 2, xr+ х2 + 5х3 + 6х4 = 1.
Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти хр х2, хз» Х4* Здесь было бы много повторяющихся вычислений.
42
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Составим матрицу В:
'1	2	3	4	5'
0	12	3	1
В = 1	0	3	4	2’
J	1	5	6	1,
где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу
1	2	3	4	54
0	12	3	1
Bi —
0	-2	0	0	-3.
J)	-1	2	2	-4,
В матрице В[ элементы третьей строки, являющиеся коэффициентами при неизвестных, кроме одного, равны нулю. Переместим эту строку на место второй строки. Тогда элемент, не равный нулю, окажется на главной диагонали:
1 2 3 4 5Л 0 -2 0 0 -3 0 12 3 1 k0 -1 2 2 -4,
Вторую строку можно еще умножить на (-1), чтобы запись была проще:
В,
1 о о о
2 3 4 5^
2 0 0 3
12 3 1
-12 2 -4>
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
43
Дальнейшие преобразования матриц очевидны:
В3
10 3
0 2 0
0 0 2
,0 0 0
4 2 1
0 3
3 -1/2
-1 -2 ,
1	0	3	4	2	'
0	2	0	0	3
0	0	2	3	-1/2
,0	0	0	1	2	>
=> В4
=	1 0 3 0 -6 0 2 0 0 3 0020 -13/2 ,0 0 0 1 2	,	«5 О)
1	0	0	0	15/4л
0	2	0	0	3
0 0 2 0 -13/2
,0	0	0	1	2	,
Отсюда х4 = 2, х3 = -13/4, х2 = 3/2, хг = 15/4. Чтобы не допустить ошибки, рекомендуется осуществить проверку, подставив полученные значения в исходные уравнения системы.
Рассмотрим с этой точки зрения пример 5:
		*1 + х2 + Х3=1					
		хг + х2 + 2х3 = 1			►		
		хг + х2 + Зх3 = 2		1			
	1 1 1 Г		1 1 1 1л			1 1 1 1'	
В =	112 1	=>в1 =	0 0 10		=>в2 =	0 0 10	
	3 2,		,0 0 2 1;			о о о	
44
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:
Х1 + х2 + х3 = 1, О • Xj + 0 • х2 +	«з=0,
О • хг + 0 • х2 + 0 • х3 = 1,
В последней строке свободный член равен единице, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, поэтому система несовместна.
Наконец, в примере 6
1
1
1
2
0
1
1
1
0
О
1
В =
2
2
О
4
2
О
2
О
=> В2
fl
1
1
1
1
1
1
1
1
О
О
1
О
О
10 1
О
1
О
з 10
4
О
о
о
о
О 1 ОТ
Отсюда
х3 = О
т. е. система имеет бесконечное
'2
множество решении:
х.
1»
х2 1
х3 = О

где - любое число (-©© < Xj < «*).
4.8. Нахождение ранга матрицы. Если нас интересует только вопрос о ранге матрицы В, то указанные выше элементарные операции В => В' распространим не только на строки, но и на столбцы матрицы. При этом, если в процессе этих преобразований в матрице появляются строка или столбец, целиком состоящие из нулей, то их надо удалить из матрицы, т. е. рассматривать далее матрицу меньшего размера.
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
45
Следующие примеры иллюстрируют этот метод.
Пример 8. Найти ранг матрицы
1 2 3 4 5 6 7' в= 0101011
12 12 12 1’
,0 0 0 0 0 4 5,
Ясно, что ранг матрицы В не больше 4. В данном случае an = 1 Ф 0. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей строке, получаем
1 2 3 4 5 6 7" 0 10 10 11 0 0 -2 -2 -4 -4 -6 ,0 0 0 0 0 4 5,
Теперь, умножая первый столбец на соответствующие числа и прибавляя его к остальным столбцам, получим матрицу
1о о о о о о" 0 10 10 11 0 0-2-2 -4 -4 -6 ,0 0 0 0 0 4 5,
Второй столбец уже состоит из нулей, кроме элемента а22 = 1 0. Умножая второй столбец на (-1) и прибавляя его к 4, 6, 7 столбцам, получим
1о	о	о	о	о	о"
0	1	0	0	0	0	о
0	0-2-2 -4	-4 -6
,0	0	0	0	0	4	5,
46
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
"10 0	о о о о 	>			Г1	0 0 0 0'
0 10	0 0 0 0			0	10 0 0
0 0-2	0 0 0 0			0	0-200
ч0 0 С	>0 0 4 5,			<0	0 0 4 5,
	О о о г-1 		0^			"о" о о гН <	
	0 10 0	0			0 10 0
>Вв =	0 0-20	0	^в7 =		0 0-20
	ч0 0 0 4	0,			ч0 0 0 4,
Определитель четвертого порядка матрицы В7 не равен нулю, следовательно, ранг В = ранг В7 = 4.
Пример 9. Найти ранг матрицы
(12 11^
В =
0 111 => Bt
J 1 о oj
Л1 о о оЛ
0 111
,0 -1 -1 -1J
3
1ооо) „	(1 о о о) „ fi
=> в. =	=> в, =
0 1 1 1J 5 1^0 1 о oj 6 ^0 1)
т. е. ранг матрицы В равен двум.
Рассуждения в примерах 8 и 9 основаны на следующем общем утверждении: при элементарном преобразовании В => В'ранг матрицы сохраняется, т. е. выполняет
ся равенство
ранг В = ранг В'.
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 47
Это утверждение очевидно, если элементарное преобразование сводится к замене местами строк или столбцов матрицы или к выкидыванию из матрицы ее строки или столбца, состоящих из нулей.
Остается еще один случай, который мы выразим в виде теоремы.
Теорема 5. Пусть матрица В подвергнута преобразованию В => В', заключающемуся в том, что к некоторой ее строке (столбцу) прибавляется другая какая-либо строка (столбец), умноженная на число С.
Тогда ранги матриц В и В'равны.
Доказательство. Будем доказывать эту теорему для строк (для столбцов рассуждения аналогичны).
Пусть k есть номер строки матрицы В = (bkl), умножаемой на число С и прибавляемой к другой строке В, которую будем считать имеющей номер I (таким образом, l-я строка матрицы В' состоит из элементов Cbkj 4- blj9 j = = 1, ..., и). Пусть
ранг В = г, ранг В' = /.
Достаточно показать, что / < г, потому что по аналогии доказывается также, что г < /, откуда г s /.
Если г = 0, то все элементы матрицы В равны нулю и, следовательно, равны нулю все элементы матрицы В', откуда г = / = 0.
Пусть теперь г > 0. Тогда существует матрица А порядка г, порождаемая матрицей В, с неравным нулю определителем (|А| ф 0), а все матрицы А, порождаемые В, порядка, большего г, имеют определители, равные нулю. При преобразовании В => В' матрица А преобразуется в некоторую матрицу А' (А => А'). Пусть матрица А имеет порядок, больший г.
Если l-я строка матрицы В не участвует в образовании А, то, очевидно, А = А' и 0 = |А| = [А'|.
48$5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
Если в образовании А участвуют обе строки В с номерами Ли!, тоО = 0| = |A1. Ведь чтобы получить определитель j/T}, надо к некоторой строке определителя |Д| прибавить определенную другую его строку, умноженную на число С, от чего величина определителя не меняется.
Наконец, пусть в образовании матрицы А участвует Z-я строка, но не участвует k-я строка. Очевидно (см. свойство з) определителя),
U1 = И + С|Л|,	(19)
где Л - матрица порядка, большего г, получаемая из А заменой элементов l-й строки на соответствующие элементы k-й строки матрицы В. Но такая замена не меняет ранг В и так как |А| = 0, то |Л| = О.
Из (19) получаем |А'| = 0 + С*0 = 0.
Мы пересмотрели все случаи, когда матрица А' имеет порядок, больший чем г, и всякий раз оказывалось, что |А1 = 0. Это показывает, что
/ = ранг В' < г, что и требовалось доказать.
§ 5.	Трехмерное пространство. Векторы.
Декартова система координат1
5.1.	Понятие вектора. В этом параграфе мы будем рассматривать реальное пространство. Понятие вектора в реальном пространстве читателю известно из элементарной геометрии.
Вектором (в реальном пространстве) называется направ-ленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной
1 Отметим, что в данной книге сначала излагается скалярное произведение векторов, затем аналитическая геометрия прямой и плоскости и после этого в §§ 11-13 излагаются понятия векторного и смешанного произведений векторов. При желании эти параграфы могут быть изложены непосредственно после § 6.
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
49
точкой В, который можно передвигать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных
отрезка АВ и А1В1, имеющие равные длины (|АВ| = I^Bj) и одно и то же направление, определяют один и тот же
вектор а, и в этом смысле пишут а = АВ = ArBt (рис. 2).
Длиной | АВ | = |а| вектора АВ = а называется число (неотрицательное), равное длине отрезка АВ, соединяюще-
—>
го точки А и В. Будем также писать | АВ| = |АВ|.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если точки А и В совпадают, то
АВ = АА = 0 считают тоже вектором - нулевым вектором. Его длина д
равна нулю (]0| = 0), а направление	s'
для него не имеет смысла.
В геометрии рассматривают сложе-ние и вычитание векторов и умноже- рис ние их на действительные числа. По определению произведение аа = аа вектора а на число а или числа а на вектор а есть вектор, длина которого равна |аа| == |а| • |а|, а направление совпадает с а, если а > 0, или противоположно а, если а < 0. При а = 0 длина |аа| равна нулю и вектор аа превращается в нулевой вектор (точку), не имеющий направления.
Вектор е называется единичным, если его длина равна 1, т. е. |е| = 1. Если Ь = ае и е - единичный вектор, то |&| = = |а|, потому что
|Ь| = |а| • |е| = |а| • 1 = |а|.
50§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
По определению векторы а, Ъ, с, ..., взятые в конечном числе, складываются по правилу замыкания цепочки этих
векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается.
На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.
5.2.	Проекция вектора. Проекцией точки А на прямую L (рис. 6) называется точка А', в которой пересекают
Рис. 6
ся прямая L с плоскостью, перпендикулярной к L, проходящей через точку А.
Зададим направленную прямую L (рис. 7) и вектор а =
= АВ . Проекцией вектора а = АВ на направленную пря-
—>
мую L называется вектор А В , где А', В' - соответственно проекции точек А, В на L (см. рис. 7).
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
51
Проекцию вектора а на направленную прямую L будем —»
обозначать символом npLa .
—>
При данной направленной прямой L проекции А'В' —>
любых векторов АВ на L лежат в L и направлены, как
L, либо - в противоположную сторону.
—>
Впрочем, если вектор АВ нулевой или перпендикулярен к L, то его проекция на L есть, очевидно, нулевой вектор, не имеющий направления.
Наряду с проекцией вектора а на направленную прямую L, которая представляет собой вектор, введем еще новое понятие - числовую проекцию вектора а на направленную прямую L. Это есть число, обозначаемое нами символом пр£а (без стрелки) и определяемое следующим образом.
Числовой проекцией вектора а = АВ на направленную прямую L называется произведение длины вектора а == —>
= АВ на косинус угла со между вектором а и направлением L:
npLa = |a|cos(a, L) = |a|cos co (0 < co < л).
Отметим следующие случаи: если а = 0 или если со =
л	Л	Л	л
—, то npLa = 0; если а^0и0<(0<	, то числовая
А	и
проекция положительна (npLa > 0) и равна, очевидно, длине вектора А'В': npLa = | АВ |cos со = | А'В'Ь при этом —>
сам вектор А'В' направлен так же, как L; если же а Ф 0
л
со < л, то числовая проекция отрицательна (пр£а
< 0) и равна, очевидно, длине вектора А'В', взятой со
знаком минус:
52
§5. ТРЕХМЕРНОЕПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
npLa = IabIcoso) = -| A'В' I = —>
при этом сам вектор А'В' направлен в сторону, противоположную L.
Справедливо очевидное равенство, выражающее связь между проекцией вектора а на направление L и его числовой проекцией на L:
—> прьа = епр£а.
Здесь е - единичный вектор, направленный, как L.
Если векторы а и Ъ лежат на направленной прямой L, то их можно записать в виде
а = осе, Ъ = ре,
где е - единичный вектор, направленный так же, как Z, а а и р - числа. Эти числа могут быть положительными, отрицательными или нулем.
Справедливы очевидные равенства
ае ± Ре = (а ± Р)е,	(1)
показывающие, что сложение и вычитание указанных векторов сводится к сложению или вычитанию соответствующих чисел а, р.
5.3.	Свойства проекций векторов. Числовые проекции векторов а, Ъ на данное направление L обладают следующими свойствами:
пр£а + пр£Ь = пр£(а + 5),	(2)
пр£(аа) = апр£а.	(3)
Свойство (2) усматривается на рис. 8:
npLa + npL6 = А'В' + В'С' = А'С' = npLc = npL(a+6).
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
53
.Рис. 8
Но тогда
enpLa + епр£Ь = епр£(а + &),
откуда следует (2) (см. (1)).
Так как а = (а - Ь) + b (см. рис. 5), то прь(а - Ь) + пр;Ь = пр;а, и, следовательно,
пр£а - пр£Ь = пр£(а - Ъ).	(2')
Докажем (3). Считая, что угол между вектором а и направлением L равен to, имеем
при а > 0:
пр£(аа) = |aa|cos со = a|a|cos со = апр£а;
при а < 0:
npL(aa) = |aa|cos (л - со) = -а|а|соз(л - со) = = a|a|cos со = апр£а.
Ведь при а < 0 вектор аа направлен в сторону, противоположную направлению а, и если а образует с L угол со, то аа образует с L угол л - со.
При а = 0 левая и правая части (3) обращаются в нуль.
54§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
5.4.	Скалярное произведение векторов. Назовем скалярным произведением двух векторов аиЪ число (а, 5), равное произведению длин этих векторов, помноженному на косинус угла со между ними:
ab = (a, b) = |a||5|cos(a, Ъ) = |a||b|cos со. (4)
Очевидно, можно еще сказать, что скалярное произведение векторов а и Ъ есть произведение длины вектора |Ь| на числовую проекцию вектора а на направление Ь или произведение длины |а| на числовую проекцию Ъ на на-правление а-.
аЪ = (а, Ъ) = |а|праЬ = |&|пр6а.
Скалярное произведение обладает свойствами:
(а, Ъ) = (5, а),	(5)
(а, Ъ 4- с) = (а, Ь) 4- (а, с),	(6)
(а, аб) = а(а, Ь).	(7)
Равенство (5) непосредственно вытекает из определения скалярного произведения.
Равенство (6) доказывается так:
(а, Ь + с) = |а|про(6 + с) = |а|про6 + |а|прос =
= (а, Ъ) 4- (а, с).
Равенство (7) доказывается следующим образом:
(а, аб) = |а|пра(а6) = |а|схпраЬ = а(а, 5).
Из (6) и (7), учитывая, (5), следует
(а 4- Ъ, с) = (а, с) 4- (5, с),	(6')
(аа, Ь) = а(а, Ь).	(7')
Пример (из физики). Если тело под действием силы а передвинулось прямолинейно вдоль вектора 6, то работа W, выполненная силой а, как известно из физики, равна
gS^TPEXMEPHOEIIPOCTPAHCTBO. ВЕКТОРЫ
55
произведению величины силы |а| на путь |Ь| и еще на косинус угла между векторами а и Ь:
W = |а| |b|cos(a, 5).
Но тогда
W = (а, 6),
т. е. указанная работа равна скалярному произведению векторов а и Ъ.
5.5.	Прямоугольная система координат. Теперь
мы переходам к аналитическому описанию векторов и точек пространства - при помощи чисел. Введем в пространстве прямоугольную систему координат х, у, z, т. е.
три взаимно перпендикулярные направленные прямые, проходящие через некоторую точку О, называемые осями ко
ординат х, у, z (рис. 9). Предполагается, что для данной
системы координат выбран единичный отрезок, при помощи которого измеряются все прочие отрезки. Точка О называется начал ом координат.
Зададим произвольную точку А трехмерного
пространства. Направлен-
—>
ный отрезок ОА называ-	Рис. 9
ется радиус-вектором точки А. Радиус-вектор в свою очередь определяет вектор а (а = ОА), который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Числовые проекции радиус-вектора а на оси х, у, z обозначим соответственно х, у, z. Это координаты точки А; при этом координата х называется абсциссой, координата у -ординатой и координата z - аппликатой точки А.
56§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
Между точками А пространства и их радиус-векторами —>
ОА или, что все равно, тройками чисел (х>	г), являю-
—> щимися координатами точки А или проекциями ОА на оси, имеется взаимно однозначное соответствие. В силу сказанного не будет путаницы, если мы будем называть тройку чисел (х, у, z) точкой А, имеющей эти числа своими координатами или радиус-вектором а, имеющим эти числа своими проекциями.
Мы будем писать а « (х, у> г) и говорить, что а или (х, у, z) есть вектор, равный радиус-вектору точки А, имеющему координаты х, у, z. Но, конечно, можно считать, что вектор а равен какому-либо другому направленному отрезку CD, равному ОА (CD = QA), т. е. имеющему то же направление и ту же длину, что и ОА. В этом случае проекции а на оси координат часто обозначают символами ах, ау, аг и пишут а = (ах, ау9 а2).
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а = (хр yv zj и Ь = = (х2, г/2, г2) равны тогда и только тогда, если выполняются одновременно равенства: хх = х2, ух = г/2, zv = z2. Справедливы равенства
(х, у, z) ± (*', у', г') = (х ± х', у ± У', z ± г')>	(8)
а(х, у9 z) = (ах, ау> аг).	(9)
Равенство (8) следует из того, что проекция суммы или разности векторов (на ось х или у или г) равна сумме или разности проекций слагаемых.
Равенство же (9) следует из того, что проекция вектора аа (на ось х или у или z) равна произведению а на проекцию а.
Обозначим через i, j, k единичные (имеющие длину, равную 1) векторы, имеющие соответственно то же на
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ 57
правление, что и оси х, ух z. Векторы i, j, k называют ортами осей х, у, z. Произвольный вектор (х, г/, z) может быть записан в виде
(х, у, z) === xi 4- yj 4- zk.	(10)
В самом деле,
i = (1, 0, 0), J = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Поэтому в силу (8) и (9)
xi 4- yj 4- zk = х(1, 0, 0) 4- ИО, 1, 0) 4- з(0, 0, 1) =
= (х, 0, 0) 4- (0, у, 0) 4- (0, 0, z) = (х; у, z).
Отметим равенства, имеющие место для скалярных произведений ортов осей
Н = jj = kk = 1, ij = ik = jk = 0.
Пусть теперь a = (x, у, z) и Ь = (x', y\ z'). Тогда
ab = (a, b) = xx' 4- yy' 4- zz'.	(11)
В самом деле, на основании (6), (7), (6')> (7')
ab = (xi 4- yj 4- zk)(x'i 4- y'j 4- z'k) =
= xx'ii 4- xy'ij 4- xz'ik 4- yx'ji 4- yy'jj 4- yz'jk 4-
4- zx'ki 4- zy'kj 4- zz'kk В частности, положив в этой формуле Ъ |а|2 = аа = х2 4- у2 4- и2, откуда длина вектора а равна |а| = +у}х2 4- у2 4- z2 . Отсюда расстояние между точками а = = (х, у, z) и b = (х', i/» *0 равно (рис. 10)	= хх' 4- уу' 4- zz'. = а, получим, что В 0	а Рис. 10
[AB| = |b - a| = + -J(x' - r)2 + (y' - y)2 + (z' - z)2 .
58§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
Для дальнейшего будет важно подвести итог сказанному. Для этого введем несколько иное наименование координат. Именно, введем в пространстве прямоугольную систему координат хр х2, х3. В силу этого каждая точка пространства представлена тройкой чисел
X = (хр х2, х3).
Эту точку мы обозначили жирной буквой х и назвали также вектором х с компонентами хр х2, х3.
Мы доказали, что сложение и вычитание векторов и умножение их на числа выражаются на языке троек (хр х2, х3) следующим образом:
(Х1,Х2,Хз) + (х{,Х2,Хз) =
= (хг ± x'lf х2±х2,х3± х'), ►	(12)
а(х19х2,х3) = (ах19ах2,ах3).\
Скалярное произведение векторов х = (хр х2, х3) и х' = = (х'р х'2, х'3) выражается через координаты векторов х и х' по формуле
хх' = (х, х') = х.х'. 4- х„х' + х,х'	(13)
Длина вектора х = (хр х2, х3) есть неотрицательное число, равное
М = 7*1 + *2 + Х3 .	(14)
Наконец, расстояние между точками х = (хр х2, х3) и х' = (х'р х'29 х'3) равно
I* - *1 =	- х1)2 + <х2 - *г)2 + (хз - *з)2 •	<15>
Реальное пространство, геометрию которого мы здесь изучали, называется трехмерным пространством, потому что его точки естественным образом представляются тройками действительных чисел. Мы будем его обозначать через R3.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
59
Произвольную плоскость естественно обозначить через В2. В R2 можно задать прямоугольную систему координат хр х2, с помощью которой любую точку R2 или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (хр х2). Операции сложения и вычитания и умножения на число для векторов, принадлежащих к плоскости, очевидно, подчиняются выведенным нами условиям (12), где в скобках надо только всюду выбросить третьи компоненты. Скалярное произведение векторов, принадлежащих к нашей плоскости, тоже выражается формулой (13), где в правой части надо выбросить третий член. То же самое относится и к формулам (14) и (15).
Обобщением пространств R2 и R3 является пространство Rn, где п - произвольное натуральное число.
Пространство Rn при п > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.
ЗАДАЧИ
1.	Найти длину векторов (1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 2, 3).
2.	Найти угол между векторами (1, 0, 1), (1, 2, 3).
3.	Дан единичный куб (с длиной ребра, равной 1). Найти угол между выходящими из его вершины: а) главной диагональю и диагональю грани; б) между двумя диагоналями двух граней.
§ 6. n-мерное евклидово пространство.
Скалярное произведение
6.1. n-мерное пространство. Множество всевозможных систем (хр ..., хл) действительных (комплексных) чисел называется п-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через Rn. Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса:
X - (хр х„)
60
§6.СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
и называть точкой или вектором Rn (пространства Rn). Числа хр хп называют координатами точки (вектора) х или еще компонентами вектора х.
Две точки х = (*!......... Хп),	х' = (х'р х'и)
считаются равными, если их соответствующие координаты равны xj = х’>	=	’ п^
В других случаях х и х' различны (х & х').
Системы (векторы) х = (хр хл), у = (yv ..., ул) можно складывать, вычитать и умножать на числа а, р, ... -действительные, если Rn есть действительное пространство, и комплексные, ели Rn - комплексное пространство1.
По определению суммой векторов х и у называется вектор
* + У = <*1 + УР + У2> •••’ хп + У„)>	(!)
а разностью - вектор
X - у = (х, - У,... хп - уп).	(2)
Произведением же числа а на вектор х или вектора х на число а называется вектор
ах = ха = (ахр ..., ахл).
Наконец, вектор -х определяется равенством -х = (- 1)х = (-хр —х2, ...» -хл).
Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю: 0 = (0, ..., 0).
Очевидно, выполняются свойства:
1)	X 4- у = у + X,
2)	(х 4- у) 4- z = х 4- (у 4- z),
1 О комплексных числах см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 5.3.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
61
3)	х - у = х + (-1)у,
4)	ах + ау = а(х + у),
5)	осх + рх = (а + р)х,
6)	а(рх) = (ар)х,
7)	1-х = х,
8)	х + (-х) = О, где а, р - числа, а х, у g Rn.
Пространство Rn называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) - 8), см. ниже замечание 1.
Число (неотрицательное)
Ы - JX4	(3)
I k=l
называется длиной или нормой вектора х = (хр хл) в действительном пространстве Rn.
Расстояние между точками х = (хр хп) и у = = (г/р г/л) действительного пространства Rn определяется по формуле
|х - у\ = ^Xk ~	•	(4)
!*=1
6.2.	Скалярное произведение в действительном пространстве Rn. Скалярным произведением двух векторов х = (хр ..., хп) и у = (yv уп) в действительном пространстве Rn (числа xt, yt действительные) называется число
п
(х, у) =	•	(5)
1=1
Скалярное произведение в действите и ном пространстве R* обладает свойствами:
62
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
а)	(х, х) > 0; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда х = 0 = (0,	0),
б)	(X, у) = (у, х),
в)	(ах + Ру, г) = а(х, 2) + р(у, г).
В самом деле,
п
(х, х) =	> 0,
/=1
и равенство может быть лишь, если хх = ... = хп = 0. Далее,
п	п
(х, У) =	= 51 ^ixi = (у, х)
7=1	7=1
и п
(ах + ру, г) = X (аху + Ру;)г; =
п	п
= аХх// + рХ^2; = а(х, г) + р(у, г). j=i	/=1
6.3.	Скалярное произведение в комплексном пространстве Rn. Скалярным произведением двух векторов х == (хр ..., х„) и у = (г/р ..., ул) в комплексном пространстве Rn называется число
п
(X, у)= ХХЛ ,	(5')
/=1
где уj есть комплексное число, сопряженное к числу у (по определению, если г = а + Pi, где аир действительные, то z = а - pi).
Скалярное произведение в комплексном пространстве обладает свойствами:
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
63
а') (х, х) > 0; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда х « О « (0, ...» 0),
б') (Х,у) - (у, х),
в') (ах + ру, г) = а(х, z) + р(у, г).
В самом деле,
п	п
(*. *> =	= XixJ2 - °’
1=1	1=1
и равенство может быть, лишь если хх = ... = хп = 0. Далее,
Здесь мы воспользовались свойствами операции сопряжения
z 4- zr = z + и zzr = z • zx. Наконец,
п
(ах + ру, z) = (ах, +^yJ)z/ = 1=1
= a£x,z, + P^y,z, = а(*’ 2) +	2>-
1=1	1=1
В комплексном пространстве Rn длина вектора х определяется при помощи равенства
ы= JSi*/ = ,Ехл ’	<3)
»i=i	У 1=1
а расстояние между точками х = (хр ..., х„) и у = (ур ..., уп)
I* - »1 = JXlx/ -yj2	<4')
|/=1
Легко видеть, что при действительных х}, выражения (3)
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
и (4) являются частными случаями выражений (3'), (4').
Пространство Rn (действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (5) (соответственно (5')), называется евклидовым п мерным пространством.
6.4.	Неравенства Буняковского. Для скалярного произведения в действительном и комплексном пространстве справедливо неравенство (Буняковского1)
|(х, у)| <	•	(6)
Докажем его только в действительном случае. В самом деле, для любого действительного числа X
О < (х 4- Ху, х 4- Ху) =
= (х, х) 4- Х(у, х) 4- Х(х, у) 4- Х2(у, у) =
= (х, х) + 2(х, у)Х 4- (у, у)Х2 = а 4- 2&Х 4- сХ2,
где а = (х, х), Ъ = (х, у), с = (у, у). Мы видим, что квадратный многочлен
а 4- 2&Х 4- сХ2 > 0	(—°° < X < °°)
неотрицателен для любого действительного X. Поэтому весь его график лежит выше оси X, а это может быть, только если дискриминант многочлена отрицателен или равен нулю, т. е. если Ь2 - ас < 0 или Ъ2 < ас, и мы получили неравенство Буняковского (6).
На языке компонент векторов, х и у неравенство (6) можно записать так:
(7)
1 В. Я. Буняковский (1804-1889) - русский математик.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
65
Таким образом, каковы бы ни были действительные числа z/;, выполняется неравенство (7).
В силу (3) неравенство Буняковского можно написать так:
|(х, у)| < Н|у|.
Но тогда существует и притом единственное число X, удовлетворяющее неравенствам —1 < X < 1, для которого имеет место точное равенство
(х, у) = ХЫЫ-
Отметим, что на [0, я] функция cos t имеет однозначную строго убывающую обратную функцию, с областью значений на [-1, 1]. Поэтому для каждого X (-1 < X < 1) существует единственный угол со (0 < со < л) такой, что X = = cos со. Таким образом, мы доказали равенство
(х, у) = Mlylcos со.	(8)
Число со называется углом между п-мерными векторами х и у, хотя на самом деле при и > 3 векторы х и у являются вовсе не реальными отрезками, а математическими абстракциями.
Векторы х и у называются ортогональными, если скалярное их произведение равно нулю
(х, у) = ^x,yf = 0.
/=1
Из (8) следует, что для того, чтобы ненулевые векторы х и у были ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы угол между ними со = л/2.
6.5.	Неравенство Минковского. Отметим важное неравенство (Минковского1)
’	I* + у| W + |у|,	(9)
1 Г. Минковский (1864-1909) - немецкий математик.
66
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
или на языке компонент
(Ю)
Его можно доказать так:
I* + у|2 = (х + у, х + у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у).
Используя неравенство Буняковского (6), имеем
I* + у|2 < (х, х) + 27(x,x)V(y.y) + (У> у) =
= (7(x,x) +7(У’У))2 > откуда следует (9). Из (9) следует неравенство
IW - lyll I* - у|,	(11)
потому что
М = |х - у + у| < |х - у| + |у|, lyl = 1у “ х + х| < |х - 1/| + |х|.
Задача. Найти угол между векторами (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1).
Замечание 1. Произвольное множество Е9 состоящее из элементов х, у, z9 ... любой природы, называется линейным пространством, если существует закон, в силу которого для любых двух элементов х9 у е Е определены элементы х+уеЕих— у е Е, называемые соответственно суммой, разностью х и у9 и для любого действительного или комплексного числа а и элемента х е Е определен элемент ах = ха е Е9 называемый произведением а на х или х на а, так что выполняются перечисленные выше в этом параграфе свойства 1) - 8), где -х = = (~1)х, и 0 = Ox, Vx g Е.
Rn можно рассматривать как пример линейного пространства, но существуют и другие интересные примеры. Например, совокупность С непрерывных на отрезке [а, Ь] функций /, <р, у, ..., если считать, что f + ф, f - ф, а/ определены соответственно как /(х) 4- ф(х), /(х) - ф(х), а/(х), есть линейное пространство.
§7. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 67
Линейное пространство с умножением его элементов на действительные (комплексные) числа называется действительным (комплексным) линейным пространством.
Замечание 2. Если в каком-либо линейном пространстве Е каждым двум его элементам х, у приведено в соответствие число (х, у), удовлетворяющее сформулированным выше свойствам а), б), в) в действительном случае и а'), б'), вх) в комплексном случае, то говорят, что в Е введено скалярное произведение.
Выше было дано определение n-мерного евклидова пространства - это пространство Rn, в котором определено скалярное произведение по формулам соответственно (5) или (5х).
§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении
Зададим произвольные точки х, у g Rn и введем множество точек (векторов):
z = Хх + цу (X, ц > О, X + ц = 1),	(1)
определяемых неотрицательными числами X, ц, сумма которых равна 1. Имеем
z = (1 - ц)х + |iy = X + ц(у - х) (0 < и < 1)	(2)
ИЛИ
z = у + Х(х - у) (0 < X < 1).	(2х)
Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки z заполняют отрезок, соединяющий х и у. Ведь радиус-вектор z есть сумма вектора х и вектора ц(у - х), коллинеарного с у — х (рис. 11). Таким образом,.множество точек (1) представляет собой отрезок
Рис. 11
68
§7. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
[х, у] в Я3, соединяющий точки х и у. При ц = 0 z = х, при р = 1 z = у9 для любого p>O(O<p<l)z есть произвольная точка [*» у]-
По определению отрезком [х, у], соединяющим точки х, у е Rn, называется множество всех точек z вида (1). Справедлива
Теорема 1. Точка
z = Хх + ру (X, р > О, А + р = 1)
делит отрезок [х, у], соединяющий точки х, у е Rn на отрезки с длинами, находящимися в отношении р : X.
Доказательство. Из (2) следует, что z — х = р(у — х), и потому расстояние между точками х и z равно
|z - х| = ц|у - х|.	(3)
Далее, из (2Z) z — у = А(х — у), и потому расстояние между точками z и у равно
|z - у| = Х|х - у|.	(4)
Из (3) и (4) следует
|z - х| : \z - у| = ц : X,
что и требовалось доказать.
Задача. Требуется найти на отрезке [х, у], соединяющем точки х, у g Rn, точку z, делящую этот отрезок в отношении р : q (р > 0, q > 0).
Решение. Возьмем числа
А = —?—	р = —£— (п > 0, q > 0, р + q > 0).
Р + ? Р + 2
Они удовлетворяют свойствам X, р > 0, А + р = 1, р/А = = p/q. Поэтому на основании теоремы 1 искомая точка
л ,	<1х + ру
Z = Ах + цу =	~ " •	(5)
§8. ПРЯМАЯ ЛИНЪЯ
69
Ее координаты z « (z19 ..., zn) выражаются через координаты х = (хр хп), у = (г/р 1/п) при помощи равенств
В частности, середина отрезка получается при р = q = 1, т. е. X = ц = 1/2.
Отметим, что, как доказывается в механике, точка г, определяемая равенством (5) или (5х), есть центр тяжести системы точек х и у, в которых сконцентрированы массы соответственно q и р.
Отметим, что в R3 множество точек
z = кх + |xj/, X + ц = 1,
где X и ц любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки х и у. Это видно из равенства (2х).
В пространстве же Rn (п > 3) это множество называют прямой по определению.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек xk = (х±, х%, х$) соответственно с массамиpk (k = 1, ..., М). Применяя формулы (5х) для точек х1, х2, найдем центр тяжести zx точек х1 и х2. Затем находим центр тяжести z2, точек zx и х3 соответственно с массами рг + р2 и р3. Продолжая этот процесс на (М - 1)-м шаге, получаем
1	м
_м-1 _	1 V* „ „k	л
’	~ п + +р	(1 = 1. 2, 3).
Pl-к . .т
§ 8. Прямая линия
Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной
70
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Рис. 12 прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую L, не параллельную оси у (рис. 12).
Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой L имеет вид
у = kx + Z,	(1)
где k = tga и a - угол, образованный прямой L с положительным направлением оси х, а I ~ ордината точки пересечения L с осью у (I = ОВ).
Когда говорят, что уравнение (1) есть уравнение прямой L, этим хотят выразить, что L есть геометрическое место точек, координаты которых (х, у) удовлетворяют уравнению (1). Справедливость этого утверждения легко усмотреть из рис. 12. Точка А есть произвольная (текущая) точка прямой L, имеющая координаты (х, у) ВС = х, АС = у - I и
k == tga =	(Г)
откуда следует (1). Обратно, равенство (1) эквивалентно равенству (1'), а последнее выражает, очевидно, тот факт, что точка (х, у) лежит на прямой L. На рис. 12 угол a острый. В случае тупого угла а можно провести подобные рассуждения.
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
71
Зададим уравнение
Ах 4- By + С = О,
(2)
где А, В, С - заданные числа и к тому же А и В одновременно не равны нулю.
Если В * 0, то уравнение (2) можно записать в следу
ющем виде:
А С у--вх~ в
(2')
или, полагая
в виде (1). Так как уравнения (2) и (2х) эквивалентны -любая точка (х, у), удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому, - то равенство (2) при В Ф 0 есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси х под углом а, тангенс которого равен -А/В (tga = -A/В), и пересекающей ось у в точке, имеющей ординату -С/В (I = -С/В). При В = О уравнение (2) принимает вид
Ах + С = О (А * О!), или х = а (а = -С/А).
Это тоже уравнение прямой^ но только параллельной оси у. Именно, это есть геометрическое место точек (х, у), абсциссы х которых равны одному и тому же числу а. На рис. 13 изобра- рис. 13 жена такая прямая при а > 0.
Из сказанного следует, что уравнение (2), где А, В, С -заданные числа и при этом А и В одновременно не равны нулю, есть уравнение некоторой прямой. При В 0 эта
72
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
прямая не параллельна оси у. В частности, при А = 0 она параллельна оси х (у = -С/В). В случае же, если В = О, то она параллельна оси у. Отметим, что ось х имеет, очевидно, уравнение у =« 0, а ось у имеет уравнение х ® 0.
Уравнение (2) называется уравнением прямой в общем виде. Любая прямая, как угодно расположенная по отношению к системе координат, может быть описана уравнением вида (2) при подходящих постоянных числах А, В, С. Подчеркнем, что числа А и В в уравнении (2) прямой одновременно не равны нулю. Отметим, что число k в уравнении (1) называют угловым коэффициентом прямой.
Решим несколько важных задач.
Задача 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным числу k, проходящей через задан-ную точку (х0, у0).
Решение. Прямая с угловым коэффициентом k имеет вид
у = kx + Z,	(3)
где I может быть любым числом. Так как точка (х0, у^ должна находиться на данной прямой, то должно выполняться равенство
У0 = kX0 + 1-	(4)
Вычитая (4) из (3), получим искомое уравнение
У - Уо= Щх - х0)	(5)
прямой, проходящей через точку (х0, yQ) с угловым коэффициентом k.
Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные две точки (хр у^ и (х2, i/2). Предполагается, что эти точки разные.
Решение. Пусть хг * х2. Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси у и потому может быть записана в виде
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
73
у - уг = k(x - xt),	(6)
где k - некоторое число. Уравнение (6) уже выражает, что прямая проходит через точку (хр у^). Чтобы она проходила также через точку (х2, i/2), надо чтобы выполнялось равенство
У2 " Ух = k(x2 - хг).	(7)
Деля (6) на (7) (т. е. деля левую часть (6) на левую часть (7), а правую часть (6) на правую часть (7)), получим
^ = -^_	(8)
У2-У1	*2“*1	' ’
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки (хр ух) и (х2, у2).
Замечание 1. Могло случиться, что у2 - ух = 0, тогда формально мы получили бы равенство
У-У1 = *-*i о х2 - хг •
Несмотря на бессмысленность этого равенства, так пишут - считают удобным. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство
или
У = Уг	(9)
Случай = х2 = с приводит к решению х = с.
Задача 3. Найти угол со между прямыми
у = kvx 4- /р у = k2x « 12.
Решение. Имеем kr = tgap k2 = tga2, где ap a2 -соответственно углы, образованные данными прямыми с
74
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Рис. 14
положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)
.	..	. tga^-tgaz	,1ПЧ
- «" -	- l + tgaltga2 ~	'	<10)
и мы получили формулу угла между прямыми.
Случай 1 + kxk2 = 0 или
V*2 = -1	(11)
выражает условие перпендикулярности прямых. Условие параллельности прямых (tgco = 0), запишется так
= k2.	(12)
Зададим уравнение прямой в общем виде:
Ах + By + С = 0.	(2)
При А;* О, С * О уравнение (2) можно записать в форме
X у	(	~~ С >	~
- + f=l а = ~Л_’& = -В~ •	<13)
а о	\ А в )
Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось х (прямую у = 0) в точке (а, 0) и ось у в точке (0, Ъ).
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
75
Если прямая, удовлетворяющая уравнению (2), проходит через точку (х°, у°), то
Ах° + By* + С = 0.	(14)
Вычитая (14) из (2), получим
А(х - х°) + В(у - у0) = 0.	(15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой, проходящей через точку (х°, у0).
Если ввести в рассмотрение векторы N = (А, В), р = = (х, у), р° = (х°, у0), то левую часть(15) можно рассматривать как скалярное произведение вектора N на вектор р - р°. Поэтому уравнение (15) в векторной форме имеет вид
Мр - Р°) = 0.	(15')
Вектор р - р° принадлежит прямой L (рис. 15). Таким образом, из (15х) видно, что вектор N = (А, В) ортогонален
Рис. 15
Рис. 16
(перпендикулярен) данной прямой, и тем самым мы выяснили геометрический смысл коэффициентов А и В.
Рассмотрим две прямые
Агх + В1У + С. = 0	(ВД	(16)
А2х + В2у + С2 = 0	(В2).	(17)
76
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Так как векторы Nr = (Ах, Вг) и N2 = (А2, В2) перпендикулярны к прямым (16) и (17) соответственно, то угол ф между прямыми (16) и (17) равен углу между векторами и N2 (рис. 16). Угол ф можно вычислить по формуле
ф= (^1^2) =	А1А2+В1В2
(18)
Замечание 2. Если ф - угол между прямыми, то л - ф также является углом между этими прямыми. Число (18) может быть положительным и отрицательным. Одно из них соответствует углу ф, а другое - углу л - ф.
Из (18) получаем условие перпендикулярности и L2
л
(<р = — , cos Ф = 0):
АА + ВА = 0.	(19)
Если прямые L1 и L2 параллельны, то векторы Nr и N2 коллинеарны и Nr = XN2, где X - некоторое действитель-
ное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством
Рис. 17
А = А
А2 -®2
(20)
Пусть дана произвольная прямая L в прямоугольной системе координат (рис. 17), не
проходящая через начало ко-
ординат, и пусть а - вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой L с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую L (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).
§8:ПРЯМАЯЛИНИЯ
77
Пусть р есть длина а (р = |а|), v = (cos a, cos Р) есть единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и а. Здесь а, Р - углы между а (или v) и соответственно положительным направлением оси х и оси у, cos 2а + cos 2р = 1 (cos р = sin а). Обозначим через р = (х, у) радиус-вектор произвольной (текущей) точки прямой L. Проекция вектора р на единичный вектор V, очевидно, равна р, т. е. скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки р прямой L на вектор v равно р:
(р, v) = |v|npvp = р.	(21)
Итак, мы получили векторное уравнение L, потому что, и обратно, если радиус-вектор точки удовлетворяет уравнению (21), то точка лежит на L (точка, не лежащая на L, имеет проекцию на V, отличную от р).
Если прямая L проходит через начало координат, то ее уравнение можно записать тоже в виде (21), где V - единичный перпендикулярный к ней вектор и р = 0.
В координатной форме уравнение (21) имеет вид
xcos а + ycos р = р	(р > 0)	(21х)
или
xcos а + i/sin а « р	(р > 0).	(21")
Уравнение (21х) (или (21")) называется уравнением прямой в нормальном виде.
Если прямая L задана общим уравнением
Ах + By + С = 0,
то его можно привести к нормальному виду, умножив на число
М = ±1/7а2+В2 ,	(22)
где надо выбрать знак, противоположный знаку С (р = = -МС > 0). Число М называется нормирующим множителем. Так как
78
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
(МА)2 + (МВ)2 = 1, то существует и притом единственный угол а, удовлетворяющий неравенствам 0 < а < 2л, для которого
МА = cos а, МВ = sin а.	(23)
В результате мы получаем уравнение (21), где р = -МС > > 0. Отметим еще раз, что число р равно расстоянию от начала координат до прямой.
Задача 4. Найти расстояние d от точки до прямой L, определяемой уравнением
Ах + By + С = 0.	(24)
Решение. Пусть
(Р, V) - р = 0	(25)
есть нормальное уравнение прямой (24). Таким образом, если С Ф 0, то р (р > 0) есть длина вектора ОР, опущенного из начала координат О на L (перпендикулярно к L), а v - единичный вектор, направленный как ОР (р = | ОР |, V = ОР /р (рис. 18)). Пусть р = (х, у) есть радиус-вектор произвольной точки L. Тогда, очевидно, чтобы найти расстояние от точки Q0, имеющей радиус-вектор р° = (х°, i/°) до L, надо спроектировать вектор р — р° на направление вектора v и взять абсолютную величину проекции: d = |npv(p - р°)| = |(р - р°, v)| =
= 1(Р> V) - (р°, v)| = |р - (р°, v)| = |(р°, V) - р|. Мы получили формулу
d - |(р°, V) - р|.	(26)
Таким образом, чтобы получить расстояние d, надо привести уравнение (24) к нормальному виду, перенести р
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
79
в левую часть, подставить в левую часть вместо х, у соответствующие координаты х°, if точки Q0 и взять абсолютную величину полученного выражения.
На языке коэффициентов А, В, С равенство (26) выглядит так:
d = |Ах° + Ву° + C|/Va2+B2 .	(26х)
При С = 0 формула (26), а следовательно и (26х), остается тоже верной. В этом случае р = О, v - один из двух единичных векторов, перпендикулярных к L (рис. 19). Теперь
d = |npv(p - р°)| = |(р - р°, v)| = |(р, v) - (р°, v)| = |(р°, v)| или
d = |Ах° + Ву°\/^А2+В2 ,
т. е. формула (26х) верна при С = 0.
Замечание 3. Из рис. 18 видно, что: а) если начало О и точка Q0 находятся по одну сторону от L, то угол между V и р — р° острый и d = р - (р°, v); б) если же О и Q0 находятся по разные стороны от £, то угол между р — р° и V тупой и d - (р°, v) - р.
80
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Задача 5. Найти расстояние от точки (1, 1) до прямой
2х+ Тб У - Тб = 0.
§ 9.	Уравнение плоскости
9.1.	Уравнение плоскости в нормальном виде. В пространстве где введена прямоугольная система координат х, у9 z9 зададим вектор а, выпущенный из начала О. Через конец а проведем плоскость П перпендикулярно к а (рис. 20). Произвольную (текущую) точку плоскости П обозначим через Q = (х, у9 z). Буква р обозначает радиус-вектор точки Q.
Пусть р = |а[ - длина вектора а и
v = (cos a, cos р, cos у)
единичный вектор, направленный в ту же сторону, что
Рис. 20
и а. Здесь а, £, у - углы, образуемые вектором v соответственно с положительными направлениями осей х, у, z. Проекция любой точки Q е П на вектор v есть, очевидно, величина постоянная, равная р:
(р, v) = р (р > 0). (1)
Уравнение (1) имеет смысл и при р = 0. В этом случае
плоскость П проходит через начало координат О (а = 0) и v - единичный вектор, выпущенный из О перпендикулярно к П, неважно в каком
направлении, т. е. вектор v определяется с точностью до знака. Уравнение (1) есть уравнение плоскости П в векторной форме. В координатах оно записывается так:
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
81
xcos а + ycos Р + 2cos у = р (р > 0)	(1')
и называется уравнением плоскости в нормальном виде.
9.2.	Уравнение плоскости в общем виде. Если уравнение (1') умножить на какое-либо не равное нулю число, то получим эквивалентное ему уравнение в виде
Ах + By + Cz + D == 0,	(2)
определяющее ту же плоскость. Здесь числа А, В, С не равны нулю одновременно. Уравнение (2), где числа А, В, С не все равны нулю, называется уравнением плоскости в общем виде.
Произвольное уравнение вида (2), где числа А, В, С одновременно не равны нулю, можно привести к нормальному виду, умножив его на число
М = ±1/ Va2 + B2+C2 ,
где знак берется противоположным знаку числа D. Тогда число р = -MD будет неотрицательным, а уравнение (2) преобразуется в следующее, ему эквивалентное,
МАх + МВу + MCz = р (р > 0).	(3)
Здесь
(МА)2 + (МВ)2 + (МС)2 = 1.
Это показывает, что вектор
V = (МА, МВ, МС) единичный (|v| = 1). Его проекции на оси координат равны
МА = cos а, МВ = cos р, МС = cos у, где а, р, у - углы, образованные вектором v соответственно с положительными направлениями осей х, у, z. В силу введенных обозначений уравнение (3) имеет вид
82
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
xcos а + ycos Р + zcos у = р (р > 0),	(3')
т. е. мы получили уравнение плоскости (2) в нормальном виде.
Если задано уравнение плоскости в общем виде (2) и надо узнать ее расположение относительно системы координат, то достаточно уравнение (2) привести к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель М.
Из самого же уравнения (2) без каких-либо вычислений можно заключить только следующие два факта: 1) если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, а если D Ф 0, то она не проходит через начало координат; 2) вектор Af = (А, В, С) перпендикулярен плоскости, ведь он коллинеарен единичному вектору v = = (МА, МВ, МС) = MN, перпендикулярному к данной плоскости.
Уравнение
в Ах + By + D = 0	(4)
есть частный случай уравнения (2). В плоскости (х, у) уравнение (4) определяет прямую, а в пространстве (х, у, z) оно есть уравнение плоскости П, перпендикулярной к координатной плоскости (х, у) и проходящей через эту прямую. Какова бы ни была точка (х, у, г), принадлежащая к плоскости П, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (4) независимо от того, какую она имеет третью координату z. Уравнение
Ах + D == 0 (А * 0)	(5)
есть частный случай уравнения (4). Его можно записать еще в виде
х = С (С = -D/A).	(5')
Уравнение (5') в пространстве (х, у, z) есть геометрическое место точек (х, у, z), имеющих первую координату, равную числу С. Координаты же у, z могут быть любы
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
83
ми. Ясно, что (5') определяет плоскость, параллельную координатной плоскости (у, z) (или перпендикулярную оси х).
9.3.	Уравнение плоскости в отрезках. Если числа А, В, С, D не равны нулю, то уравнение (2) можно
записать так:
X у Z
1, (в) а b с
где а = -D/А, Ь = -D/B, с = -D/C.
Уравнение (6) называется уравнением плоскости в отрезках. Эта плоскость (рис. 21) пересекает ось х в точке (а, 0, 0), ось у -в точке (0, Ь, 0), ось z - в точке (0, 0, с). По уравнению (6) легко
представить себе расположение плоскости относительно
Рис. 21
системы координат.
9.4.	Уравнение плоскости, проходящей через точку. Если точка (х°, z/°, z°) лежит на плоскости (2), то ее координаты удовлетворяют уравнению (2):
Ах° + By* 4- Cz° 4- D = 0.	(7)
Вычитая (7) из (2), получим
А(х - х°) 4- В(у - у°) 4- C(z - z°) = 0.	(8)
Уравнение (8) называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х°, у°, z°). В векторной форме уравнение (8) имеет вид
Мр - р°) = 0,	(8Z)
где N, р, р° - векторы, определяемые равенствами
N = (А, В, С), р = (х, у, z), р° = (х°, у°, 2°).
84
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Здесь N - вектор, перпендикулярный к плоскости (2), р - радиус-вектор текущей ее точки, р° - радиус-вектор заданной ее точки. Так как вектор р - р°, приложенный к точке (х°, у0, 2°), принадлежит плоскости (2), то равенство (8) говорит о том, что вектор N ортогонален плоскости (2), что мы установили ранее из других соображений.
9.5.	Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Даны три точки
(хр г/р zj, (х2, у2, z2),	(3, у3, z3),
не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку (хр yv zt), то ее уравнение имеет вид
А(х - х,) + В(у - у J + C(z - Zj) = 0,	(9)
где А, В, С одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), то должны выполняться условия
А(х2 ~ *i) + В(у2 - i/j) + C(z2 - zx) = 0,1
А(х3 - Х0 + В(г/з - г/0 + C(z3 - Z0 = o.J	(10)
Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных и, v, w:
(x-xju +(у~У1)и + (z-zx)w = 0, (х2 - хг)и + (у2 - yjv + (z2 - zjw = 0, > (х3 - хх)и + (Уз - yjv + (г3 - zjw = 0,
(И)
Здесь (х, у9 z) есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (9). В силу (9) и (10) системе (11) удовлетворяет нетривиальный вектор N = (А, В, С), поэтому определитель этой системы равен нулю
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
85
X - хг х2 “Хх	У-У1 У 2 -У1	$ ы 1	1 Л1	= 0.	(12)
х3-хх	Уз-У1	2з - zx		
Мы получили уравнение вида (9), т. е. уравнение плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки (хр г/р zj, (х2, г/2, z2), (х3, у3, z3), что вытекает из свойств определителя. Наша задача решена.
Уравнение (12) можно еще написать и в следующем виде:
X	У	2	1		
xi	У1	21	1	= 0.	(13)
х2	У2	г2	1		
х3	Уз	z3	1		
Если из первой, третьей и четвертой строк определителя в (13) вычесть вторую строку, то он не изменится. Разлагая результат по элементам четвертого столбца, получим уравнение (12).
9.6.	Угол между двумя плоскостями. Зададим две плоскости
Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0,	(14)
А'х 4- В'у + C'z + D' = 0.
Мы знаем, что векторы N = (А, В, С) и N' (Д', В', С') перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол (р между N и N' равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение
NN' = pV||AT|cos ф,
86
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
поэтому
NN'	АА' + ВВ' + СС'
COS ф I »rl I >т/|	/	/	•	. (15)
I ли I лг I	7а2 + В2 +С2 J(A')2 + (В')2 + (С')2
Достаточно считать, что 0 < ф < л.
Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла фх и ф2. Их сумма равна л (фх + ф2 = л), а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (cos фг = -cos ф2). Если заменить в первом уравнении (14) числа А, В, С соответственно на числа -А, -В, -С, то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол ф в (15) заменится на л - ф.
Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда cos ф я 0, т. е.
NN' я АА' + ВВ' + СС' = 0	(16)
Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы N и N' коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности
АВС
А' В' С' '
(17)
Если дополнительно к этому выполняются расширен
ные условия пропорциональности
АВС А'~ В'~ С'
D
D' ’
(18)
то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т. е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость.
Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями в знаменателях. Но тогда, если, например, В' = 0, то надо считать, что и В = 0. Или если 2У = 0, то В = 0.
§9. УРАВНЕНИЕПЛОСКОСТИ
87
Пример 1. Уравнения
2х 4- 4у + 1 = О, х + 2у 4- 5 = О определяют пару параллельных плоскостей, а уравнения
2х 4- 4г/ 4- 2 = О, х 4- 2у 4- 1 = О
- пару совпадающих плоскостей.
9.7.	Расстояние от точки до плоскости. Требуется найти расстояние от точки (х0, yQ, z0) = Q0 до плоскости П, определяемой уравнением
Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0.
Для этого приведем уравнение П к нормальному виду:
(р, V) = р (р> 0).
Здесь р = (х, у, z) - радиус-вектор текущей точки Q плос-кости П, р - длина перпендикуляра а к П, выпущенного из нулевой точки, и V - единичный вектор, направленный как а. Из рис. 22 видно, что разность р - р° радиус-вектора произвольной точки Q = (х, у, z) плоскости П и
Рис. 22
88§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
радиус-вектора точки Q° = (х0, у0, zQ) есть такой вектор, что абсолютная величина его проекции на v равна искомому расстоянию d от Q0 = (х0, £/0, г0) до П:
d = |(р - р°, v)|, но
(р - р°, V) = (р, V) - (р°, v) = р - (р°, V).
Следовательно, d = |(р°, V) - Я
Мы видим, что, для того чтобы вычислить расстояние d от точки Q0 до плоскости* П, надо записать уравнение плоскости П в нормальном виде, перенести р в левую часть и подставить в последнюю (х0, у0, z0) вместо (х, у, z).
Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число d.
На языке параметров плоскости, очевидно,
d = |Ах0 4- Ву0 4- Cz0 + D\/ 4А2 + В2 + С2 .
Легко видеть, что если точка Q0 и начало координат находятся по разные стороны от плоскости П (как на рис. 22), то вектор р — р° образует с V тупой угол, и поэтому
d = -(р - р°, V) = (р°, V) - р > 0.
Если же точка Q0 и начало координат находятся по одну сторону от П, то указанный угол острый, и тогда
d = (р - р°, V) = р - (р°, V) > 0.
Следовательно, в первом случае (р°, V) > р, а во втором (р°, V) < р.
Пример 2. Расстояние d от точки (1, 1, 1) до плоскости П
х 4- 2у 4- z = 3 равно
я 		x + 2y + z-3	= 1
а —	41 + 4 + 1	X=l,y=l,Z=l	4б
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
89
В данном случае точка (1, 1, 1) и начало координат находятся по разные стороны от плоскости П, так как М > 0 и
[х + 2у + 2 - 3]^.,	2_1 - 1 > 0.
ЗАДАЧИ
1.	Привести уравнения плоскостей
х - у + z = 2, 2х - у + д/20 z = 10
к нормальному виду.
2.	Найти угол между плоскостями
х+у+гж1и	у = 0;
х-у+з=2и х + у + z = 3.
3.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
4.	Написать уравнение шаровой поверхности с центром в начале координат, касающейся плоскости 2х - бу 4- 7z = 2.
§ 10. Прямая в пространстве
10.1. Уравнение прямой в каноническом виде. Рассмотрим в пространстве произвольную прямую L. Отметим на ней точку (х0, г/0, z0), определяющую радиус, вектор
Р° == (*о’ Уо> 2о> и лежащий на	Ч
ней вектор а = (ар а2, а3) Ф 0, приложенный к точке Q0 = (х0,	/ д?
г/0, 20) (рис. 23). Произвольную	/
текущую точку прямой L обозна-	»
чим через Q = (х, г/, z) и ее ради-	\ х
ус-вектор через р = (х, 1/, z). Век-тор р — р° можно записать в виде р — р° = ta, где t - некоторое число (скаляр). Если действительная переменная t пробегает интервал (-©о, «>), то конец вектора р = р° + ta пробегает всю прямую L, Поэтому говорят, что равенство
р - р° = ta
(—©о < t < ©о)
(1)
90
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
есть уравнение прямой, проходящей через точку Q0 = (х0, yQ, z0) и направленной в сторону вектора а.
На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:
х — х0 = tav
y-y0=ta2,-	(Г)
Z Zq —	*
Исключая из них параметр t, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)
= У-Уо = z-z0
«1	02	«3	’	(1 )
где числа ар я2, я3 одновременно не равны нулю. Уравнения (1") называются уравнениями прямой в каноническом виде.
Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел ар я2, а3 равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.
Пример 1. Уравнения
= У~2 = 2~3
10	2	(
определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).
Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:
у - 2 = 0-(х - 1),	2(х - 1) = z - 3,
т. е.
у = 2, z = 2х 4- 1.	(2')
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
91
Таким образом, рассматриваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2').
Пример 2. Уравнения прямой
х-1 _ у -2 _ z-2 1" 0 ~ 0
эквивалентны следующим:
у - 2 = 0,	2-3 = 0.
10.2. Расположение двух плоскостей. Пусть заданы уравнения двух плоскостей
Ах + By + Cz + D = 0,	(3)
А'х + В'у + C'z + D' = 0.	(4)
Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (А : В : С = А' : В? : С"), то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии А : В : С : D = А' : В' : С' : D') (см. § 9, (17) и (18)). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей
А В
А' В'
А С
А' С'
В С
В' С'
не равен нулю. Для определенности будем считать, что первый
А В
А' В'
* 0.
(5)
Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно х и у, и мы получим
х - az + ц, у = 02 + V,
(6)
92
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
где а, р, ц, v - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим:
х-11 _ у-|у 2	7
а	р	1 '
Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку (ц, V, 0) и имеет направление вектора (а, р, 1). Числа а, р или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.
Пример 3. Прямая, определяемая уравнениями х = 0, у = 0, есть, очевидно, координатная ось г. К этому результату можно прийти и формально. Имеем
X = 0*2, у = 0*2, откуда
£ = у_ = £ 0	0	1’
т. е. мы получили уравнения прямой, проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении вектора (0, 0, 1). Ясно, что эта прямая есть ось z.
Пример 4. Найти угол между прямыми
х - *i _ у-Уг _ z-z1
а Ь, с ’	(8)
X - Х9	У - у9	z- z9
= = (9) а2 02 с2
Векторы = (ар 6р cj, г2 == (а2, Ь2, с2) лежат на наших прямых и, как мы условились, они приложены соответственно к точкам (Хр Ур £), (х2, у2, z2). Поэтому угол (р
§11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 93
между этими векторами и будет углом между прямыми (8) И (9):
&1&2 + &1&2 "* С1<-2
COS<P= к1|г2|
ЗАДАЧИ
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1, 0) перпендикулярно к плоскости 2х 4- z - 4у - 7.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -1, 2) и перпендикулярной к прямой, определяемой уравнениями 2х + Зу = 1, Зх - z = 1.
§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат
11.1. Двумерная система координат. На рис. 24 и 25 изображены системы координат х, у. Они различны - про них говорят, что они ориентированы противоположно. В случае рис. 24 поворотом оси х вокруг точки О
на угол л/2 можно совместить направление осей х и г/, лишь если этот поворот совершить против часовой стрелки. В случае же рис. 25 этой цели можно достичь, лишь поворачивая ось х по часовой стрелке. Невозможно систему координат, изображенную на рис. 24, передвигая ее в рассматриваемой плоскости (!) как твердое тело, совме-
94 §11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ стить с системой, изображенной на рис. 25, так, чтобы направления соответствующих осей совпали.
На рис. 24, так же как на рис. 25, изображена пара неколлинеарных, выходящих из некоторой точки А векторов а и Ь. Передвигая эту пару как твердое тело в плоскости, достигнем того, чтобы точка А совпала с началом координат О. Поставим себе задачу путем вращения каждого из векторов а и Ь вокруг точки О достигнуть того, чтобы вектор а принял направление оси х, а вектор b оказался лежащим на оси у. При этом мы требуем, чтобы во время этого процесса векторы а и Ь все время находились в рассматриваемой плоскости и чтобы угол между ними не был равен 0 и тс. Очевидно, всегда можно достигнуть этой цели. Вначале мы вращаем систему векторов а и b как твердое тело около точки О до совпадения вектора а с положительным направлением оси х. Так как векторы а и Ь не коллинеарны, то вектор b окажется в верхней или нижней полуплоскости. Затем вектор b поворачиваем на необходимый угол, чтобы он оказался на оси у, при этом не разрешается, чтобы вектор b попадал на ось х. Поэтому может случиться, что направление вектора Ъ совпадает с направлением оси у (это возможно, когда вектор Ь был в верхней полуплоскости) или же вектор Ь окажется направленным в сторону отрицательного направ-
Рис. 26
§11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 95 ления оси у (см. рис. 26, где показана динамика процесса). В первом случае мы будем говорить, что пара векторов (а, Ь) ориентирована как система координат х, у, а. во втором, что пара (а, Ь) ориентирована противоположно ориентации х, у (как это случилось на рис. 26).
11.2. Трехмерная система координат. Прямоугольные системы координат х, у, z в пространстве, изображенные на рис. 27 и 28, тоже различны. Рассматривая систему координат рис. 27 как твердое тело, можно после соответствующего его передвижения совместить оси х и у обеих систем координат. Но положительное направление оси z первой системы не совпадает с положительным направлением оси z второй системы. Мы говорим, что систе-
мы рис. 27 и 28 ориентированы противоположно. Система рис. 27 называется левой системой координат, а система рис. 28 - правой системой координат. Если винт с правой (левой) нарезкой ввинчивать по направлению оси z, поворачивая его по стрелке рис. 28 (рис. 27), то он будет двигаться поступательно в этом направлении. Можно также распознавать систему координат по следующему правилу. Если смотреть из какой-либо точки положительной полуоси Oz на положительную полуось Оу, то положительная полуось Ох может быть направлена влево или
96
§12. ВЕКТОРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕ
вправо. В первом случае система координат называется левой (рис. 27), а во втором - правой (рис. 28).
Векторы а, Ь, с называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или же находятся в параллельных плоскостях.
Возьмем систему некомпланарных векторов а, Ъ, с, приложенных к некоторой точке А, Будем вращать в плоскости векторов а и Ь вектор Ь вокруг точки А до тех пор, пока Ь не окажется перпендикулярным а. Во время движения будем следить, чтобы угол между а и b все время не равнялся нулю и л. После этого будем вращать вектор с около А с целью придать ему направление, перпендикулярное векторам а, Ь. При этом будем следить за тем, чтобы вектор с ни на один момент не совпал с плоскостью векторов а и Ь. В результате векторы а, Ь, с окажутся перпендикулярными. Теперь перенесем эту тройку как твердое тело в точку О и будем ее вращать вокруг точки О с целью, чтобы векторы а и Ь получили соответственно направления осей х, у. Может оказаться два случая: 1) вектор с будет направлен как положительная ось 2, 2) он будет направлен в противоположную сторону. В первом случае будем говорить, что система векторов а, Ь, с ориентирована как система координат х, у, г, а во втором - она ориентирована противоположным образом (см. соответственно рис. 27 и 28).
§ 12. Векторное произведение
12.1. Два определения векторного произведения. Зададим в некоторой прямоугольной системе координат трехмерного действительного пространства векторы
а = <ах> аЛ Ь = Ъу' Ю
и назовем векторным произведением аиЬ вектор
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
97
с = а х Ъ = [а х Ь] =
= (аД - afiv)i + (агЪх - axbjj + (аД - аД)Л =
»	7 к
= а* ау а* .	(1)
6Х by Ьг
В качестве последнего члена этой цепи написан ♦обобщенный определитель», первая строка которого состоит из векторов i, J, k (ортов системы координат). Во втором члене показано, как этот обобщенный определитель понимать (определитель третьего порядка мы разлагаем по элементам первой строки так, как если бы i, /, к были числами).
Очевидно, что [а х (-&)] = -[а х Ь].
Векторное произведение векторов а и Ъ можно также определить следующим образом:
1) если а и Ь коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору;
2) если а и Ь не коллинеарны, то вектор с направлен перпендикулярно к а и Ь и притом так, что система (а, Ь, с) ориентирована так же, как данная система координат. Длина же вектора с равна
|с| = |а| |&|sin со (0 < со < л).	(2)
где со есть угол между а и &, т. е. длина с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь (рис. 29).
Докажем эквивалентность сформулированных двух определений.
Если вектор с = 0, то из (1) следует, что компоненты векторов а и Ъ пропорциональны
аж : ау  аг = \ '• Ъу : Ьг,
98
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Рис. 29
т. е. а и 6 коллинеарны, но тогда векторное произведение и по второму определению равно нулевому вектору. Обратно, если а и Ъ коллинеарны, то по второму определению а х Ь = 0. Так как компоненты векторов а и Ь при этом пропорциональны, то, согласно первому определению, с = 0.
Пусть теперь а и Ъ - неколлинеарные векторы и с - их векторное произведение согласно (1). Очевидно, что
(с, а) = (ауЬг - afiy)ax + (агЬх - ахЬг)ау + (ахЬу - аЪх)аг = 0 и аналогично
(с, Ь) = 0.
Итак, вектор с перпендикулярен к а и Ь.
Докажем, что система векторов (а, Ь, с) ориентирована так же, как система координат х, у, z. Будем непрерывно вращать векторы а и Ь вокруг точки О, каждый раз вычисляя по ним вектор с, но так, чтобы все время а и Ь были неколлинеарными. Но тогда вектор с все время будет ненулевым (с Ф 0) и система (а, Ь, с) все время будет некомпланарной. Совершим такие повороты, чтобы векторы а и Ъ получили направления соответственно осей хи у, т. е. чтобы они имели вид а = (|а|, 0, 0), b = (0, |Ь|, 0). Этого всегда можно достигнуть, потому что в данном случае плоскость векторов а, b может вращаться в пространстве. Но тогда вектор с, вычисленный по формуле (1), имеет
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
99
вид с s (0, 0, |а| |Ь|). Мы видим, что векторы (а, Ь, с) в последний момент нашего процесса ориентированы так же, как оси (х, у, z). Но тогда, согласно определению ориентации (см. § 11) и исходная система а, Ь, с ориентирована так же, как система координат х, у, г.
Итак, векторное произведение с = а х Ь, определенное по формуле (1), есть вектор, перпендикулярный к векторам а и Ь и система векторов (а, Ь, с) ориентирована так же, как рассматриваемая система координат х, у, z.
Нам еще надо доказать формулу (2). Пусть векторы а и b образуют с осями координат углы, соответственно равные ос, р, у и а', р', /. Так как
ах = |a|cos а,	ау = |a|cos р,	аг = |a|cos у,
bx = |b|cos а',	by = |b|cos р',	Ьг = |b|cos У,
то
И2 = {ауЪг - агЬу)2 + (агЬх - abj2 + (axby - abx)2 = = |a|2|b|2[(cos р cos У - cos у cos р')2 +
+(cos у cos а' - cos a cos У)2 +(cos a cos р' - cos pcos а')2]= = |a|2|b|2[(cos2a + cos2p + cos2y) x x (cos2a' + cos2p' + cos2/) -
- (cos a cos a' + cos p cos p' + cos у cos У)2] =
== H2|b|2[l • 1 “ cos2co] = |a|2|b|2sin 2co,
где co - угол между векторами а и Ь (cos со = cos a cos а' + + cos р cos р' + cos у cos /).
Итак, мы доказали (2).
Таким образом, мы полностью доказали, что из определения векторного произведения по формуле (1) следует второе его определение.
Обратно, если вектор подчиняется второму определению, тогда он единственный, потому что может быть только один вектор, перпендикулярный к а и Ъ, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на
100§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
а, Ь, и притом такой, что система (а, Ь, с) ориентирована так же, как система х, у, 2. Но тогда это есть вектор с, определенный по формуле (1), потому что последний, как мы убедились, обладает указанными свойствами.
Отметим еще раз, что условие а х Ь = 0 есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов а и Ь.
12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка. Рассмотрим теперь специально два ненулевых плоских вектора
а = (ах, а} , Ь = (Ьх, bg)	(3)
в некоторой прямоугольной системе координат х, у (рис. 30, 31). Будем считать, что рассматриваемая плоскость находится в пространстве и добавим к осям х, у
перпендикулярную к ним ось г. Векторы а, Ь будут теперь иметь координаты
а = («Х> а(,> °)’	6 =	Ьу' °)-
Векторное произведение их равно
с = а х Ь =
ах ау
(4)
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 101
где k - орт оси z. По определению векторного произведения система (а, 6, с) ориентирована, как система координат х, у, z. Поэтому, очевидно, если определитель
«х
ьх
аУ ЪУ
> о,
то система векторов (а, Ъ) должна быть ориентирована, как оси координат (х, у). Если же определитель
ах %
Ьх Ьу
< о,
то система (а, Ь) ориентирована противоположно ориентации х, у. На рис. 30 изображена первая ситуация расположения векторов (а, Ь), а на рис. 31 - вторая. Мы знаем также, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ъ, равна (см. (4))
S = |с| =
ах ау ъх ьу
т. е. абсолютной величине определителя
А =
ах ау
Ьх Ьу
:5)
Итак, мы доказали, что: 1) абсолютная величина определителя (5) равна площади параллелограмма, построенного на векторах а = (ах, ау) и Ь = (Ьх, Ьу); 2) знак определителя (5) зависит от расположения этих векторов относительно прямоугольной системы координат х, у. Знаку + соответствует система (а, Ь), ориентированная, как х, у, а знаку - соответствует система (а, Ь), ориентированная противоположным образом.
102
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
12.3. Свойства векторного произведения. Справедливы свойства
а х Ь = -[6 х а],	(6)
а х (осЬ) = а[а х Ь],	(7)
а х (Ь + с) = [а х Ь] + [а х с],	(8)
где а, Ь, с - произвольные векторы, а - скаляр.
Если векторные произведения, входящие в равенства (6), (7), (8), выразить по формуле (1) через компоненты векторов
а = (ах, ау, ах), Ъ = (Ьх, Ъу, Ьх), с = (сх,. су, сг). то легко получить эти равенства.
Формулы (6) и (7) легко следуют также из геометрических соображений. Пусть а и Ь - неколлинеарные векторы. Если в векторном произведении заменить местами а и Ь, то площадь параллелограмма, построенного на а и Ь, и перпендикуляр к а и Ь не изменятся. Изменится лишь направление с = а х Ь на противоположное, что влечет изменение ориентации (а, Ь, а х Ь).
Умножение на положительное число а вектора Ь увеличивает лишь в а раз площадь параллелограмма, построенного на а и Ъ, а направление векторного произведения останется прежним. Если же а < 0, то
а х (осЬ) = а х (—|ос|Ь) = |а|[а х (-6)] =
= -|а|[а х Ь] = а[а х Ь].
Заметим еще, что из (6) и (7) следует также, что
(оса) х Ъ « -[& х (оса)] = -а[Ь х а] = а[а х Ь].
Пример 1. Определить угол А треугольника АВС с вершинами А = (1, 2, 3), В = (2, 2, 2), С = (1, 2, 4).
Обозначим искомый угол через со. Таким образом, со
—» это угол между векторами АВ и АС. Из второго определения векторного произведения имеем
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
103
|АВхАС| sin со = —~,
|АВ||АС|
где АВ = (1, 0, -1), АС = (0, 0, 1), |АВ | =^2 , |АС I = 1,
АВ х АС =
i
1
О
j *
О -1
О 1
Отсюда
1 sin со = —}=, V2
я со = —
4
Зя со = —.
4
Так как ВС = (-1, 0, 2) и |ВС |2 = 5 > |АС |2 + |АВ |2 =
= 1 1 2 = 3, то необходимо взять со = Зя/4.
Замечание. Если в треугольнике АВС угол А прямой, то | ВС |2 s ВС2 = АС2 + АВ2; если А - тупой угол, то ВС2 > > АС2 + АВ2; если А - острый угол, то ВС2 < АС2 + АВ2.
Пример 2 (из механики). Пусть заданы две точки А и
В. К точке В приложена сила,
определенная вектором F. Пусть а = АВ . Моментом силы F относительно точки А называется векторное произведение вектора а на вектор F:
Ь = а х F
(см. рис. 32, AD = ВС ).
104
§13. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Вектор Ь (момент силы F) перпендикулярен к векторам а и F и имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и F. Направление же вектора Ь зависит от той прямоугольной системы координат, которая задана в этом вопросе.
На рис. 32 взята левая система координат. Направление Ъ взято так, чтобы векторы a, F, Ь тоже образовали левую систему.
§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение
Векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов а, 6, с (в трехмерном действительном пространстве) называется скаляр, равный скалярному произведению вектора а х Ь на вектор с:
(а х Ь)с = (ауЬг - агЪу)сх + (ахЬх - ахЬг)су +
+	“ “вЪх)сх =
ах “у
Ьх Ъу Ъ2
Сх Су Cz
(1)
В силу определения скалярного произведения
(а х 6)с = |а х Ь|првхьс = (|а| |b|sin rojnp^c.
Поэтому можно еще, очевидно, сказать, что смешанное произведение (а х Ь)с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с со знаком + или - в зависимости от того, будет ли система векторов а, Ь, с ориентирована как система координат х, у, z или противоположным образом. Отметим, что Inp^el равна высоте параллелепипеда.
Имеют место равенства
(а х Ь)с = (с х а)Ъ = (Ь х с)а,	(2)
которые легко следуют из свойств определителя (1).
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
105
Если векторы а, 5, с лежат в одной плоскости, то
(а х Ь)с = 0,
так как а х Ъ перпендикулярен вектору с. Обратно, если (ах Ъ)с = 0, то вектор с перпендикулярен вектору а х Ь и, следовательно, лежит в плоскости векторов а и Ь или в плоскости, параллельной этой плоскости.
Таким образом, условие
(а х Ъ)с = 0
есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов а, Ь, с.
Пример 1. Найти условие принадлежности четырех точек к одной плоскости.
Пусть даны четыре точки Af = (xj9 у}9 2}) (j’ = 1, 2, 3, 4). Если эти точки лежат в одной плоскости, то векторы А]А2 , АЛз > AXA4 также лежат в этой плоскости, и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
^1^2 *^1^3 |^1^4 =
V	7
Х2-Х1
Х4-Хх
^2“^1
Уз-У1
У4-У1
22~21
23 - 2г
24 ~ 21
== 0.
Это и есть условие принадлежности четырех точек одной плоскости (ср. § 9, (12)).
§ 14. Линейно независимая система векторов
Зададим в Rn (действительном или комплексном) систему из k векторов
«’ = (в.р а,2.	«.»)	(< “ 1.. *)•	(!)
По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства
А^а1 + Х2а2 4- ... -к \а* = 0,	(2)
106	§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
где Х2, ..., Хд - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что
Хр — Х2 ~ ... = Хд = 0.
Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют числа Хр Х2, ..., Xfc, одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что Хл Ф 0, то из (2) следует, что
ak = ща1 + ... +	(3)
где
^1	Х^
^==“Х~’	=	’
Таким образом, если система из k векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.
Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.
Один вектор а1 тоже образует систему - линейно независимую, если а1 Ф 0, и зависимую, если а1 = 0.
Если система векторов а1, ..., а* линейно независима, то любая часть этой системы а1, ..., аа (s < k) тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел Хр ..., Хя, для которой выполнялось бы
Х^1 4- ... 4- Хяая = 0, k-s раз но тогда для системы Хр ..., Хя, 0, ..., 0 , которая тоже нетривиальна, имело бы место
Х^1 4- ... + Хяая 4- 0-ав+1 4- ... 4- 0-а* = 0.
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 107
Из сказанного следует, что если система векторов а1, а8 линейно зависима, то любая пополненная система
а1, . . . , a8, as+1,
ак
обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.
Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):
«11 «12 ••• а1п
А =
akl ak2 ••• akn
Теорема 1. Если ранг А = k, т. е. ранг А равен числу векторов, то система (1) линейно независима.
Если же ранг А < k, то система (1) линейно зависима.
Пример 1. Два вектора а1 == (ап, а12), а2 = (а21, а22) в действительном пространстве R2 образуют линейно независимую систему, если определитель
«11 «12
021 «22
потому что векторное уравнение
Xjtt1 + Х2а2 « 0
эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент
«1Л1 + ^21^2
012^*1 + 022^*2 = 0*.
(5)
Но если А Ф 0, то система (5) имеет единственное тривиальное решение
\ = Х2 = °-
(6)
108
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
вольный вектор и а,
Если же Д = 0, то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система (Хр Х2), т. е. при Д « 0 система векторов а1, а2 линейно зависима.
Очевидно, сказать, что в действительном пространстве R2 векторы а1 и а2 коллинеарны или линейно зависимы - это все равно. Но тогда сказать, что векторы а1 и а2 не коллинеарны или линейно независимы - это тоже все равно.
Пример 2. Система векторов а1, а2, ..., ак (k > 3) в действительном пространстве R2 всегда линейно зависима. Геометрически это ясно из рис. 33: если с - произ-Ь - неколлинеарные векторы, то
всегда можно указать такие числа X, ц, что
с = Ха + цЬ.
Это показывает, что система а, 6, с линейно зависима. Если же а и Ъ - коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы а, 6, с.
По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов а1, а2, мы должны записать матрицу из их координат
Оц Я12 а21 а22
В данном случае k = 2.
а)	Если ранг А = 1 < 2 = k9 то теорема утверждает, что векторы а1, а2 линейно зависимы.
б)	Если же ранг А = 2 — k, то векторы а1, а2 линейно независимы.
Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) Д = 0 и б) Д 0.
Тот факт, что три произвольных вектора а1, а2, а3 в R2 линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь
ранг А < 2 < 3 = k.
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 109 Пример 3. В трехмерном действительном пространстве R3 два вектора
аУ = (ап, а12, а13), а2 = (а21, а22, а23) линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
В самом деле, пусть а1, а2 коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же а1 и а2 коллинеарны и не нулевые, то
а1 = Ха2,
где X - некоторое число. Последнее означает, что а1, а2 линейно зависимы.
Обратно, если а1, а2 линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например
а2 = ра1, т. е. векторы коллинеарны.
Если в этом случае рассмотреть матрицу
«11 0^2 Я13
А = л	,
«21 «22 «23 II
то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтому
ранг А = 1 < 2 = k,
т. е. наше утверждение согласуется с теоремой 1.
Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в В3:
а1	= (ап>	«12>	а1з)>
а2	= <а2Р	«22’	«23*’
а3	=	«32’	азз) •
Пусть
°11	«12	«13
®21	«22	«23
«31	032	«33
110	§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
Векторному уравнению
+ Х2а2 + Х3а3 = 0	(7)
эквивалентна система из трех уравнений
«11Л1 + «21^*2 *" «31^3	0’
«12^1 *" «22^*2 + «31^3 ”	*
«13^1 + #23^ 2 + «33^3 =
(Г)
Если Д Ф 0, то система (7') имеет единственное тривиальное решение \ = Х2 = X3 = 0. Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов а1, а2, а3 линейно независима.
Если Д = 0, то система (7')> следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (Хр Х2, Х3). Но тогда система векторов (а1, а2, а3) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:
1) Пусть ранг А = 1, где
А =
«11 0^2 «13
#21 а22 а23
«31 «32 «33
Тогда по крайней мере одна из строк А, пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу
А' =
«11 «12 «13
«21 «22 «23
(8)
Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю
«11 «12
«21 «22
«11 «13
«21 «23
«12 «13
«22 «23
= 0.
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 111
Но тогда, очевидно, компоненты векторов а1 и а2 пропорциональны
g21 _ g22 _ g23 =
°11	а12	013
т. е.
g21 “ gUX’ g22 “ g12^’	g23 “ g13^
ИЛИ
а2 = Ха1.
Аналогично, учитывая, что в матрице
а11 а12 а13
а31 а32 а33
тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что
а3 = ца1,
где ц - некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы а1, а2, а3 коллинеарны.
2) Пусть теперь ранг А = 2. Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы А, имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица А' (см. (8)). На основании примера 3 векторы а1 и а2 линейно независимы. Но система а1, а2, а3 зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел (Хр Х2, Х3)
Xja1 + X2a2 + X3a3 = 0.	(9)
Здесь Х3 * 0, потому что иначе Ххах + Х2а2 = О, и в силу независимости системы а1, а2 было бы Хх = Х2 = 0. Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно а3:
X*	Х2
а3 = ^а1 + р2а2,	= --1-, ц2 =
А3	А3
112	§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
Таким образом, если А = 0, а ранг А' = 2 (см. (8)), то векторы а1 и а2 неколлинеарны, а вектор а3 принадлежит к плоскости этих векторов.
Приведенные рассуждения не противоречат теореме 1. В самом деле, если А Ф 0, то ранг А = 3 = k и по теореме 1 система векторов а1, а2, а3 линейно независима. Если же А = 0, то ранг А < 3 и система векторов а1, а2, а3 линейно зависима.
Доказательство теоремы 1. Векторное равенство (2) эквивалентно следующим п уравнениям для компонент векторов:
^1^11	^2^21 + • • • + ^kakl ~ О’
^1^12 + ^2а22 + • • • + ^kak2 = О,
Х1а1„ + 12а2п +... +	= 0.
(2')
Пусть ранг А = k. Тогда, очевидно, k < п. Существует не равный нулю определитель /г-го порядка, порождаемый матрицей А. Не ограничивая общности, можно считать, что это определитель из коэффициентов первых k уравнений системы (2'):
^1аи + • • • + ^kaki - 0»
^1а1л + • • • + ^kakk ~ 0>
(Ю)
Оц ... аА1
* 0.
••• akk
Так как однородная система (10) имеет определитель, отличный от нуля, то она имеет только тривиальное решение:
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
113
А^ — Xg — ... — А»л — О,
и система векторов (1) линейно независима. Утверждение теоремы в этом случае доказано.
Пусть теперь ранг А = s < k. Перенумеруем переменные А; и коэффициенты atj системы (2') так, чтобы
Oil	 asl	* 0
als	• • • ass	
Тогда систему первых з уравнений можно записать так:
а1 А1 + • • • +	“ “as+l,As+l ~	~ akl^k>
als^l + • • • + ass^s---as+lts^s+l ~	“ aks^k'
Если положить Ae+1 = ... = Хк — 1, то данную систему можно решить относительно Ар ..., As. В результате получим нетривиальное решение
..., Ал	(И)
первых s уравнений (2'). Теперь мы можем присоединить к этим з уравнениям любые другие k - s уравнений (2'), и полученная система все равно будет иметь найденную нетривиальную систему в качестве решения. Чтобы объяснить это утверждение, запишем формально систему (2') следующим образом:
+ ... +	+ 1л+1 • 0 + ... +	• 0 = О,
+ • • • + ^kakn + ^*+1 ’0 + • • • +	• 0 = 0.
Матрица из коэффициентов полученных уравнений все равно имеет ранг з, так же как и расширенная (справа нулями!) матрица. Первые s уравнений системы (2') удовлетворяются найденными числами Ар ..., Ал (см. (11)) и произвольными числами \....Ал. На основании утверждения 2) § 4 (правила
114
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
решения систем) числа	Хл удовлетворяют и остальным
уравнениям системы (2')> т. е. числа	(не все равные
нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2')«
Таким образом, векторы а1, ...» а* линейно зависимы, и теорема доказана и в этом случае.
§ 15. Линейные операторы
Зададим произвольную квадратную матрицу
Оц ... О1п
А = Ы =
(1)
ап1 • • • апп
Матрицу А можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору х = (хр ..., хл) е Rn вектор у = (i/p ..., z/n) е Rn, компоненты которого вычисляются по формулам
Ух = а11х1 + ...+а1лхп/
Уп =	+
(2)
или, короче,
п
yt = lLaijxj <i =	’ га)‘ <2')
7=1
Говорят, что i-я координата вектора у записывается с помощью i-й строки А. Этот оператор коротко будем записывать так:
У = Ах (х, у е Rn).	(2")
Замечание 1. Если аы и далее Ьм - комплексные числа, то Rn надо считать комплексным пространством. Если же ам, Ьы - действительные числа, то Rn может быть и действительным и комплексным пространством.
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
115
В случае одномерного пространства Rr векторы х и у суть числа, и оператор (2") превращается в функцию
У =
Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию
А(ах + рх') = осАх + рАх' для любых векторов х, х' е Rn и чисел а, р. В самом деле,
+р*;) =	+ ₽^£а17х; (i = 1,	п).
7=1	7=1	7=1
Если матрицы А = ||aj| и В = ||&J| равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы аы = Ьы, то они определяют тождественно равные операторы:
Ах = Вх, V х е Rn.	(3)
Обратно, из равенства (3) вытекает, что
ам =	I =	•••> п)>
т. е. равенство матриц А и В (А = В). В этом легко убедиться, если положить в (3)
X = X1 = (0, ..., О, 1, 0,	0),
где 1 стоит на Z-м месте (Z = 1, ..., и).
Таким образом, различным матрицам А соответствуют различные операторы - если две матрицы Ах и А2 отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор х, для которого
Ахх * А2х.
Пусть, кроме А, задан еще другой оператор В, определяемый квадратной матрицей n-го порядка
В = IIMI.
116
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Каждому х е Rn соответствует при помощи оператора А вектор у е Rn, которому при помощи оператора В соответствует вектор z с компонентами, вычисляемыми по формулам
п
zk = ^bkly, (k = 1,	n).
1=1
В результате получим сложный линейный оператор
z = ВАх (х е Rn),	(4)
где
п	п	П
•?* = X	bkiVi =	X	X	ачХ1
1=1	1=1	J=1
с матрицей ||yj|, называемой произведением матриц В и А и обозначаемой так:
BA = hj|,	(5)
где
п
Y*, =	(А, /= 1, .... га), (6)
1=1
т. е. чтобы получить элемент у матрицы ВА (принадлежащий к ее k-й строке и у-му столбцу), надо элементы k-й строки матрицы В умножить на соответствующие элементы /-того столбца матрицы А и результат сложить.
Определитель матрицы ВА равен произведению определителей матриц В и А:
|ВА| = |В| |А|.	(7)
Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).
Пусть матрица оператора А (см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
117
А = laj Ф 0.
В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение у = Ах имеет единственное решение х е Rn при любом заданном у е Rn. При этом формулы, по которым находится х для заданного у е Rn, имеют вид
X =	0‘ =	<8)
5=1
Здесь
bja = Д./А (з, j = 1, ..., n) (9)
(см. § 4, (3')), где Asi - алгебраическое дополнение элемента аа. в определителе А.
Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа b.a являются элементами матрицы
В = IIMI, обладающей следующими замечательными свойствами:
ВАх = х	Vx е Rn,	(10)
АВу = у X/у е Rn.	(И)
В самом деле, произвольный вектор х е Rn переходит посредством оператора А в некоторый вектор у, который переходит посредством оператора В обратно в х. С другой стороны, каждому у е Rn соответствует при помощи оператора В (см. (8)) некоторый х и притом такой, что Ах = у.
В равенстве (11) можно, очевидно, вместо у поставить другую букву, поэтому мы получили тождества
ВАх = АВх = х, Vx.
Оператор х = Ex ( Vx е Rn) называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид
118
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1	о ... О
О 1 ... О
О 0 ... 1
и называется единичной. Мы доказали, что
АВ = BA = Е.
Оператор В, обладающий этим свойством, называется обратным к оператору А и обозначается через А1. Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице А и обозначается тоже через А-1. Элементы матрицы А"1 находятся по элементам матрицы А с помощью формул (9).
Мы доказали, что если определитель |А| квадратной матрицы А не равен нулю, то она имеет обратную матрицу А'1. Для А"1, таким образом, выполняются свойства
А~1А = АА’1 = Е.
Если определитель матрицы А равен нулю (|А| = 0), то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение у = Ах имеет решение не для всякого у. Между тем свойство ААЛу = у, если оно выполняется, утверждает, что каждому у е Rn соответствует (при помощи оператора А-1) такой х, что он есть решение уравнения у = Ах.
Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы В и А, лишь бы число столбцов матрицы В совпадало с числом строк матрицы А. Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если
	со (М		rl Р		г4 3"
в =	0 10	, А =	0 1	, то ВА =	0 1
	л-— о о		11 °J		Ц oj
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
119
Произведение АВ в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы А два столбца, а у матрицы В три строки.
Для квадратных матриц А и В произведения АВ и ВА имеют смысл, но далеко не всегда АВ равно ВА. Например, если
(О 11	11 1 I
АВ= to 1J’ ВА= [о о/
т. е. АВ Ф ВА.
Легко проверить, что (АВ)С = А(ВС).
Если А - линейный оператор, то запись Ах можно рассматривать как произведение матрицы А на одностолбцовую матрицу
Пусть заданы линейные операторы А и В. Суммой их называется оператор А 4- В, определяемый равенством
(А + В)х = Ах + Вх V х е Rn.
Очевидно, матрица оператора А + В совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов А и В.
Легко проверить, что
А(В + С) = АВ + АС.
Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице
'1 2 (Г
0 11
11 1 oj
120§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Матрица А определяет линейный оператор у = Ах, приводящий в соответствие каждому вектору х = (хр х2, х3) вектор у = (i/p у2, у3) при помощи равенств
= Xj + 2х2,
Уз Х2 + *^3’
Уз = xi + 2х2,
Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных Хр х2, х3. Определитель этой системы не равен нулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных yv у2; у3. В результате получим равенства
xi =	+ 2^з’
Х2= У1~ Уз> хз = “У1 + Уз + Уг определяющие оператор х = А~1у, обратный к оператору А. Матрица этого оператора
Это и есть матрица, обратная к матрице А.
Элементы матрицы А'1 можно получить путем вычислений по формулам (9).
Обозначим элементы обратной матрицы А"1 через bja. Имеем А = 1, b. = Aai, ja	8J
Ai	1 1 1 0	= -1, А, = -	0 1 1 0	= 1, Аз =	0 1 1 1	- -1.
	2	0		1 0		1 2	
11	1	0	Аг	1 0	= о.Аз = -	1 1	= 1,
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
121
Al
2 О
2
1
1
О
1 О
О
2, Аг
1
Таким образом,
&п = Ап = -1, ^21 ~ Аг ~
&з1 — А13 — —1,
Итак,
^22
^32
= Ai = О,
~ Аг ~
= Аз =
&1з — А31 — 2, ^гз ~ Аг ~ ~~
^зз ~ Аз =
О
Пример 2. Вычислить произведение матриц ВА, где
Вычисление можно произвести по формулам (5), (6), но можно рассуждать и следующим образом.
Матрица А определяет оператор у = Ах, приводящий в соответствие векторам х = (хр х2, х3) векторы у = (г/р у2, у3) при помощи равенств
У1 =
У2 = Х2 + 2Х3>
У3 = Х1 + Х2 + Х3‘
Матрица же В определяет оператор z = By, приводящий в соответствие векторам у = (г/р у2, у3) векторы z = = (zp z2, z3) при помощи равенств
zi = 2^’ z2 = Зу2 + 2у3, 23 = 2yt + у2- у3.
122
§16. БАЗИСЫ В Rn
Но тогда рператор z = ВАх
определяется равенствами
zr = 2(хг + х2)	= 2хг + 2х3,
z9 = 3(х, + 2х) + 2(х. + х9 + х„)	= 2х. + 5х, + 8х„,
4	4	О	X	4	О'	14	0
Z3 = 2(х, + х2) + (х2 + 2х3) - (Xj + Х2 + Х3) = X] + Зх3.
Следовательно, произведение ВА матриц В и А есть матрица
ВА =
Г2
2
1
О 2У
5 8
0 3>
§ 16. Базисы в jRn
В пространстве Rn (действительном или комплексном) введем п векторов:
i1 = (1, 0,
i2 = (0,1, 0,0),
(1)
in = (О, 0, О, 1),
называемых ортами осей пространства Rn.
Осью xk пространства Rn называется множество точек вида (0, О, хА, 0,	0), где xk стоит на &-м месте и
пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор ik называется ортом оси xk.
Если а = (хр ..., хл) есть произвольный вектор (действительный в действительном Rn или комплексный в комплексном 7?л), то его можно, очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим образом:
а = Xji1 + x2i2 + ... + xnin.	(2)
§16. БАЗИСЫ В Rn
123
Так как из равенства а = (хр хп) = 0 следует, что Xj = ... = хп = 0, то система (f1, ..., in) линейно независима.
Зададим произвольную систему из п линейно независимых векторов
а1 = (ап, а1п),
ап = (ап1, апп).
(3)
Как мы знаем (см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель
ап ••• а1п
Д =
* 0.
(4)
^nl • • • ^пп
Если же Д = 0, то система (3) линейно зависима.
Согласно теореме 1 § 14 любые п + 1 векторов в пространстве Rn линейно зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает п. Поэтому, если а = (хр ..., хл) - произвольный вектор и система векторов (3) линейно независима (Д Ф 0), то система векторов а1, ..., ал, а линейно зависима, т. е. существуют числа Хр ..., Хл, Хл+р одновременно не равные нулю, такие, что
Х.а1 + ... + X а" + X ..а = 0, 1	п	п+1	’
где Хл+1 Ф 0 (иначе система (3) была бы линейно зависимой). Отсюда
а =	(5)
k=l
, -\k
где xk = ---- (k = 1, ..., п). Выразим сумму (5) через
Хл+1
орты ik (см. (2)):
124
§16. БАЗИСЫ В Яд
а =
С другой стороны, по (2)
п
а~
1=1
В силу линейной независимости системы i1, in коэффициенты при одинаковых векторах il должны быть равны
п
X, - ^aklx'k (I = 1, га). (6)
Л=1
Таким образом, если компоненты xt вектора а по системе i1, ..., in известны, то компоненты х'Л этого вектора по системе а1, ап находятся из (6) и притом единственным образом, так как определитель системы (6) есть Д Ф 0.
Мы доказали, что, какова бы ни была линейно независимая система векторов а1, ..., а", любой вектор а е Rn можно разложить по этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где х\, ..., х'л - некоторые числа, определяемые из (6) и притом единственным образом.
В этом смысле систему векторов а1, ..., ап называют базисом в Rn, желая этим сказать, что любой вектор а е Rn можно представить в виде линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы доказали, что произвольная линейно независимая система из п векторов в Rn есть базис в Rn.
Линейно независимая система из т векторов
а1 = (ап, ..., а. , а.	..., а1п),
' II7 7 1m7 1,т+17	7 1л'7
ат — (а а , а	а
' ml9 9 тт9 т,т+19	9 тп*9
§16. БАЗИСЫ В Rn
125
где т < п, не есть базис в Rn. В самом деле, ранг матрицы компонент этих векторов равен т. Будем считать, что первые т столбцов этой матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к ней внизу строку
am+1 = (0, ..., О, 1, 0, ..., 0),
где 1 стоит на (т + 1)-м месте. Расширенная матрица имеет ранг т + 1, и, следовательно, система векторов а1, ..., ат, динейно независима. Но тогда вектор am+i не Может быть линейной комбинацией из векторов системы а1, ..., ат9 и эта система не есть базис в Rn.
Обозначим через
Л11 а12 ••• а1п
^п! &п2 • * * ^пп.
матрицу векторов (а1, ..., ал).
Переход от базиса (i1, ..., in) к базису (а1, ..., ал) осуществляется при помощи матрицы А:
п
**“	(*»1. .... «).	(7)
S=1
т. е. вектор а* выражается через векторы ia с помощью k-n строки матрицы А. Обратный переход от (а1, ..., ал) к (i1, ..., in) происходит при помощи обратной матрицы А'1 (см. § 15, (9))
п
(s = l.... п),	(8)
1=1
элементы которой вычисляются по формулам bal = —— , где Ala - адъюнкт элемента а1з в определителе А (обратим
126
§16. БАЗИСЫ В Rn
внимание, что элемент Ьа1, принадлежащий s-й строке и 1-му столбцу, выражается через адъюнкт А1а элемента ala, принадлежащего l-й строке и s-му столбцу). Отметим еще, что
л	п
a - Xх' = Xх® »’ “
Z=1	s=l
откуда
x'i=^bsi*s	(9)
S=1
т. e. переход от координат (хр ..., хп) к (х'р ..., х'л) происходит при помощи матрицы (см. § 3)
(А-*)' = (А')’1.
Из (9) видно, что x'z выражается через хр ..., хп с помощью l-го столбца матрицы А'1 или l-й строки матрицы (А-1)', транспонированной к А-1.
Далее по формуле (6)
*,= 2^х'	(3 = 1, п)
Z=1
видно, что переход от (х'р ..., х'л) к (хр ..., хл) совершается при помощи матрицы А' транспонированной к А, т. е. ха выражается через х'р ..., х'л с помощью s-й строки матрицы А' или s-ro столбца матрицы А.
Замечание. В § 15 было установлено, что произвольная
квадратная матрица
а11 ••• а1п
А
(10)
< &П1	• • • ^ПП у
определяет линейный оператор у = Ах (xg Rn, у е Вл), задаваемый по формулам
§16. БАЗИСЫ В
127
п
(k - 1,	n).	(И)
7=1
Но имеет место и обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор у = Ах (xg Rn, у е Лл), он определяется некоторой матрицей (10) так. что вектор у = Ах вычисляется по вектору х по формулам (11).
В самом деле, пусть задан произвольный линейный оператор у = Ах (х е Rn, у е Rn). Обозначим образы ортов ? при его помощи следующим образом:
п
-A(i’) = (%, a2s, = ^aksi* (s = 1..................... п).
Л=1
Тогда в силу линейности А любой вектор
п
X = xj1 + ... + Xnin -	Is
S=1
отображается при помощи А в вектор у, определяемый равенствами
У = Ах
п
= ^xsA(i°) =
S=1
П	п	п ( п
S=1	£=1	k= 1 \8=1	>
откуда следует, что k-я компонента у определяется по формуле (11). Таким образом, оператор А порождает матрицу (10), у которой в столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи оператора А.
Пример 1. Найти матрицу линейного оператора (преобразования) А, заключающегося в повороте векторов плоскости R2, выходящих из начала, на угол а (0 < а < л/2) против часовой стрелки.
128
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В R,
Рис. 34
Возьмем за базис векторы il = == (1, 0), i2 = (0, 1). Тогда, очевидно, что (рис. 34)
A(il) = (cos a, sin а),
A(i2) = (-sin а, cos а).
Поэтому матрица нашего оператора имеет вид
/cos а jsina
-sin а
cos а
§ 17. Ортогональные базисы в R*
Говорят, что два ненулевых вектора х, у е. Rn, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число X такое, что х = Ху.
Произвольный ненулевой вектор х е Rn можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор
1 . .
У = х	=
имеющий то же направление, что и вектор х.
Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.
Два вектора х и у в пространстве Rn называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0.
Здесь Rn может быть действительным или комплексным. В случае комплексного Rn скалярное произведение определяется, как в § 6, (5х).
Система векторов
х1, ... xv е Rn	(1)
называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
129
1, k = I
(х*, xl) — 5W = k* I I = 1’ •••’ v)’
т. e. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонор-мированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть
Хххх + Х2х2 + ... + \xv = О,
где Хр ..., Ху - числа. Умножив это равенство скалярно на х*, получим, очевидно,
Хя(х*, Xе) = Хя = 0 (s = 1, ..., v).
Но тогда ортонормированная система из и векторов в Rn есть базис и, следовательно, каждый вектор а е Rn можно представить в виде линейной комбинации
п
а = хк.	(2)
Л=1
Умножая это равенство скалярно на х*, получим
(а, хв) = Хя (з = 1, ..., п)
и, следовательно,
п
а =	(а, х*)х*, V а е Rn.
Л=1
Число (а, х*) (|х*| = 1!) называется проекцией вектора а на направление вектора х*.
В реальном действительном пространстве R3 величина (а, х*) есть обычная числовая проекция вектора а на направление вектора х*.
130
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
Теорема 1. Ортонормированную систему векторов
х1, х2, ..., xv (v < п)
можно пополнить до ортонормированного базиса в Rn. Иначе говоря, можно указать векторы xv+1, ..., Xя такие, что система
х1, ..., xv, xv+1, ..., хл	(3)
будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в Rn.
Доказательство. Так к$.к v < п, то в Rn существует вектор а, не зависящий линейно от х1, ..., xv. Но тогда
v а = У, ( а, х‘)х‘ + у, k=i
где у 0. Вектор у ортогонален ко всем векторам х1, xv. В самом деле,
(у, Xе) = (а -	(а, х*)х*, хя) =
Л=1
= (а, хв) - (а, хв) = 0 (4)
(s = l,
Пронормировав у, получим вектор
*v+1=iiiy (l*v+1'= 1К и система
X1, xv, xv+1
будет ортонормирована. Если v + 1 = п, то мы получили базис в Rn. Если нет, то этот процесс продолжаем. На (п - v)-m этапе получим базис (3) в Rn.
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Дя________131
Система ортов осей в Rn
il = (1, 0, 0...О, 0),
i2 = (0, 1, О...О, 0),
i" = (0, 0, 0, О, 1)
может служить примером ортонормированного базиса в Rn. Произвольный вектор а = (хр ..., хв) е Rn разлагается по ортам следующим образом:
а = Xji1 + ... + x„i" =	(5)
k=l
где xk s (a, ik) (k = 1, n) - проекция вектора а на направление орта ik.
Пусть задана некоторая определенная ортонормирован-ная система из п векторов
Я1 = («11...«1л)»
«” = («п1.«nJ-.
ИЛИ
а* = ^aksi‘ (k = 1, .... n).	(7)
S=1
Переход от векторов (i1, in) к (а1,	а”) здесь осуществ-
ляется при помощи матрицы
«11	••• «1л
л =
а„1 ... а,
(8)
т. е. вектор а* выражается через i1, ..., in с помощью fe-й строки матрицы Л.
132
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
В дальнейшем мы считаем пространство Rn и матрицу А действительными (см. далее замечание 1).
Матрица А ортогональна, т. е. обладает следующим свойством:
Х«*.«,= 5Ы (k,l = 1,	п).	(9)
3=1
В самом деле, так как в данном случае система а1, ап ортонормирована, то
f п	п
5Ы = (а*, д') =	=
<3=1	Г=1	>
= У У aks *r) = XXа а= X а*« а<.- (10) 3=1 r=l	S=1 г=1	3=1
Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов а1, ..., ал, определенных по формулам (7).
Это показывает, что формулы (7), где ||aj| - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в Rn.
Помножим вектор il на вектор ak скалярно:
(£', а*) = аы.	(И)
Отсюда п	п
il= £(*', а*)а* =	(12)
*=1	Л=1
Таким образом, переход от базиса (а1, ..., ап) к базису (i1, ..., in) осуществляется при помощи матрицы А', транспонированной к А. Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
133
доказали, что ортогональная матрица А обладает следующим замечательным свойством (в действительном Rn):
А1 « А'.	(13)
Из (12) следует
п
Ъа*а''Ъ
п п	п
- аГ) = £а»*а*- <14> s=l r=l	8=1
Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.
Переход от (хр ..., хл) к (х'р ..., х'л) совершается при
п помощи матрицы, так как (считая, что а = а1 = z=i
п
=	i’) (см. (И))
S=1
л	п
а1')='£аих, .
8=1	S=1
(15)
Переход же от (х\, ..., х'л) к (хр ..., хп) совершается при помощи (см. (13)) матрицы А' транспонированной к А, т. е.
п
* = •
1=1
134
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы А (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: I |А| | = | |aj | = 1.
Это следует из того, что
Здесь мы считаем, что элемент yki произведения определителей равен сумме произведений элементов /?-й строки на соответствующие элементы i-й строки (см. § 2, свойство к)).
Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса i1, ..., in равен 1:
1 0 0 ... О
О 1 0 ... О
О 0 0 ... 1
Если ортогональный базис а1, ..., ап имеет определитель |А| = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис i1, ..., in. Если же |А| = -1, то -противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в§11ив§12.
Замечание 1. В комплексном пространстве Rn матрица (8), где akl комплексные, называется ортогональной, если
п
= 5Ы (k, I = 1, ...» п).	(9')
S=1
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕБАЗИСЫ В В,
135
Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном Rn порождает ортогональную матрицу А (см. (8)). В самом деле, в комплексном Rn скалярное произведение векторов х, у подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))
(ж, у) = (у» *). (а* + Ру» *) = “(*> 2) + Р(у» 2)»
где а, р - комплексные числа. Поэтому
(х, ay + pz) = (ay,+ pz,x) = (ay, х) + (pz, х) =
= а(у, х) + р(г, х) ~ а (х, у) + р (х, z).
Но тогда для ортонормированной системы векторов а1, ..., ал имеет место
п П	п п
“XX a^lr <**» = XX a^ir 5.r =
S=1 r=l	S—1 r=l
= X«— (lo/)
S=1
т. e. матрица А ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность А влечет ортонормированность векторов а1, ..., ап, определенных по формулам (7).
Помножим вектор i! на ak скалярно (см. (7)):
(il, ak) =
f	п	А	п
=	а^8 (^> i8) = ^ki •
V	s=l	J	s=1
Отсюда
136
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
п	-П.
V = ]£(?, а*)а* = Хаиа*- (12') л=1	л=1
Таким образом, переход от базиса (а1, ал) к базису (i1, in) осуществляется при помощи матрицы
а11 ••• ап1
А* = ........
= А'.
#1л ••• &пп
Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица А обладает следующим свойством (в комплексном Rn):
А’1 = А*, (А')’1 = (А')* = (А") = А. (16)
Из (12') следует
п п	п
Следовательно, равенства л _________________
8И = Xa«*aw (*, I = 1, п) 3=1
(так же, как (9х)) могут служить определением ортогональной матрицы А.
На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
137
А: ($», .... <") -» (а1, ..., а") (см. (7));
А*: (а1, ...» а") (il, ...» i”) (см. (12'));
А': (х\........х'„)	-> (хр .... х„) (см. (6) § 16);
А: (Хр ..., х„) -> (х'р ...» х'в) (см. (16)), где (хр ..., хп) и (х'р х'п) - координаты произвольного вектора в комплексном пространстве Rn относительно базиса (i1, in) и ортонормированного базиса (а1, ал).
Наконец, равенство | |А| | = 1 в комплексном случае доказывается так:
1 0 0 ... О
О 1 о ... О
|a|2 = W l«d=
= 1.
о о о ... 1
Ортогональные матрицы называют еще унитарными.
138
§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА
§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений
Замечание. В трехмерном действительном пространстве пусть заданы две прямоугольные системы координат хр х2, х3 и yv у29 у3 с системами ортов соответственно (i1, i2, i3) и (у1, у2, у3). Пусть
з /‘=^«*(* = 1,2,3)	(1)
5=1
(ср. (7) и (13) § 17. Тогда матрица (действительная!)
А = ||aj|
ортогональна и (ср. (13) § 17)
з
yt -	0=1,2, 3).	(2)
S=1
Одна и та же точка (вектор) пространства имеет в первой системе (координат) координаты (компоненты) (Хр х2, х3), а во второй - координаты (yv у2, у3). При этом формулы преобразования координат (перехода (хр х2, х3) к (г/р у2, у3)) в точности такие же, как формулы преобразования системы ортов (i1, i2, i3) в систему ортов (у1, у2, у3). В обоих случаях применяется одна и та же ортогональная матрица (см. (13) и (7) § 17)
А = ||aj|.
В первом случае матрица А применяется к системе чисел (Хр х2, х3), чтобы получить систему чисел (yv у2, у3), а во втором та же матрица А применяется к ортам (i1, i2, i3), чтобы получить орты (у1, у2, у3).
Дадим общее определение вектора, принятое в тензорном исчислении.
§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА 139
Вектором в трехмерном пространстве называется вещь, выражаемая в каждой прямоугольной системе координат некоторой тройкой чисел, которые преобразуются так же (при помощи той же матрицы), как тройки ортов соответствующих систем координат.
Подобная терминология употребляется и в случае п-мерных пространств.
Пусть а и Ь - векторы трехмерного пространства (действительного!), определяемые в системах координат с ортами (й, i2, i3) и (у1, у2, у3) следующим образом
а = аХ1 Р + аХ2 р + аХз р = ayi р + ау2 р + ауз р,
ъ = \ р + ьХз р + ьхз /з = ьУ1 р + ьУ2 р + ьУз р.
Имеет место равенство
з	з
ЛЬ = ^^х. = ^Уг » S=1	Г=1
показывающее, что скалярное произведение инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат.
В самом деле, так как системы векторов (й, й, й) и (у1, j2, у3) ортонормированы, то они преобразуются по формулам (1), где ||aj| - некоторая ортогональная матрица. Компоненты вектора а (ах1, ах2, ах3) преобразуются в компоненты (ау1, ау2, ау3) при помощи той же матрицы (см.(2)). Поэтому

з { з	з
=	^rs^xs * ^ГУ^Ху ~
r-1 \S=1	V=1	7
3 3 ) 3
=	jLarsarv =
s=l v=l	\r=l 7	3=1
(3)
Мы доказали инвариантность скалярного произведения ab вычислительным путем. Впрочем, из другого, геометрического определения скалярного произведения векторов (направленных отрезков), в силу которого ab = |Ь|*прьа, непосредственно видно, что это число есть инвариант - ведь это
140§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА определение не связано ни с какой системой координат.
Что касается векторного произведения а х Ь, то оно инвариантно относительно прямоугольных систем координат с одинаковой ориентацией. В системах, имеющих орты (i1, i2, i3) и (71, 72» 73), векторные произведения выражаются следующим образом:
	i1	i2	i3
[a x Ь] л 2 .3	a*i	a-2	а*з
i	,i		Ьх2	Ь*з
	j1	j2	i3
[a x Ь] л 2 .3 “	axi	ax2	ax3
] j j	b	b	b
	UXl	X2	X3
В силу формул (1) и (2)			
[а х Ь] д 2 з / >/ »/
3	3	3
У, а1а1’ У, а2«*’ У «3»^ 3=1	3=1	3=1
3	3	3
£а1зах, Xa2sax, Х<»8А, S=1	3=1	s=l
33	3
als^x8 a2s^xa S=1	3=1	3=1
«XI ax2 «X3
bxi bx2 bx3
“11	«12	«13		i1	i2	i3	
a21	«22	«23	= ±	°X!	ax2	aX3	=
«31	«32	«33		Ь*1		^XS	
= +[а X 6] J ,2 .3 ,
§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 141
где надо поставить знак + или - в зависимости от того, будет ли определитель |aj равен +1 или -1, что все равно, меняет или нет рассматриваемое преобразование координат ориентацию.
При перемножении определителей мы в данном случае пользовались следующим правилом: элемент матрицы произведения ||уй| определяется как произведение i-й строки первого определителя на Л-ю строку второго (см. § 2, свойство к)).
Итак, мы доказали вычислительным путем, что векторное произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат, не изменяющих их ориентацию.
Преобразования (3), (4) интересны тем, что они обобщаются на случай, когда роль вектора а играет важный в математичес
ком анализе символический вектор V =»
' э э э
’ Эх2 ’ Эх3
§ 19.	Преобразование прямоугольных координат в плоскости
Рассмотрим плоскость R2, где задана прямоугольная система координат хр х2. Пусть
Р = (1, 0), i2 == (0, 1)
- орты осей хр х2. Орты Р, i2 образуют ортонормирован-ный базис в R2.
Произвольный единичный (нормальный) вектор Ь1 может быть записан следующим образом:
Ь1 « (cos a, sin a) (0 < a < 2л).
Единичный ортогональный (перпендикулярный) к Ь1 вектор, который мы обозначим через Ь2, может соответ-
л	л
ствовать только либо углу a + —, либо a - —. Так как
ы	Л
142	§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
[ Я |	[ Я ]
cos 1а+2” I = -sina, sinla + ^*l = cos а.
[ я ]	[ я ]
cos I а ” "2 I = sin a, sin I а “ I = -cos а.
то всевозможные ортонормированные системы Ь1, Ъ2 в R2 определяются либо равенствами (рис. 35)
Ь1 = i1 cos a + i2 sin a,
«2	.1 .	.2
b = -1 sm a +1 cos a
(0 < a < 2я),
(1')
соответствующими вращению осей около начала на угол а и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)
Ь1 = i1 cos a + i2 sin a, _ 2	.1	.9
b = r sin a -1 cos a,
(1")
соответствующими вращению осей около начала на угол а и изменению ориентации.
Оба преобразования объединяются в следующей формуле:
Рис. 35
Рис. 36
§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 143
где матрица преобразования
«и а12
®21	«22
(2)
ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).
Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором а.
Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что
il = осцЬ1 +а21Ь2,
i2 = ос^Ь1 — ос22Ь2,
(3)
и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей
Цац а21 II И а12 а22 I ’
сопряженной к А.
Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) а. Пусть он имеет в старой и новой системе координаты (хр х2) и (х'р х'2). Тогда
а = х^1 4- x2i2 = х'уЪ1 4- х'2Ь2.	(4)
В силу формул (3) и (4)
х\Ь1 4- х'Ь2 == хХа^Ь1 4- а21Ь2) 4- xJa^b1 4- а22Ь2) =
— (ССрХ^ 4- OC^XgJb1	+ ^22^2^2*
Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах Ь1, Ь2, получим
х{ =а11х1 4-а12х2,
^2 = а21^1 + а22^2\
(5)
144	§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
В силу же формул (1) и (4)
х,Р 4- x2i2 = х'Да^1 + o^2i2) 4- x'2(a21f 4- a22i2) =
—	4" a21x 2)i1 4- (a12x । 4- a22x 2)i2,
откуда, приравнивая компоненты при i1 и i2, получим формулы, обратные к (5):
Xi =ацх{4- а21х2,|	(
х2 = а12х{ 4-a22x£.J
Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей х'1, д/2 в точку О', имеющую координаты хг = xf, х2 = х2 > то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:
*i=*i° +anx{+а21Х2, х2=х2 + al2x{ + a^.j
Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат (Хр х2) в прямоугольные координаты (х'1, х'2) с переносом начала системы (xv х2) в точку О' = (xf, х2) выражается формулами (7), где матрица
|all а21 I а12	а22 I
ортогональная.
Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид
х, = хГ + Xi cosa - х2 sma,
0	, .	,	(П
*2 = х2 4- х{ sin a 4- х2 cosa
и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В R,
145
Х1 = Х1 + Х1 cos а + х2 sin а’ х2 = х2 + xi sin а - х£ cos а
(П
(матрицы коэффициентов при х^ и х'2 в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (!"))•
§ 20. Линейные подпространства в Rn
Множество L в Rn (L с Rn) называется линейным подпространством пространства Rn или, короче, подпространством в Rn, если из того, что два каких-либо вектора х и у принадлежат к L (х, у е L), автоматически следует, что вектор ах 4- Ру тоже принадлежит к L (ах 4- Ру е L), где а, Р - числа. Подпространство L называется т-мер-ным, если в нем имеется линейно независимая система а1, ..., ат, состоящая из т векторов, и нет системы, состоящей из т 4- 1 линейно независимых векторов.
Таким образом, если а - произвольный вектор в L (ае L), то система а1, ..., ада, а линейно зависима, т. е. существует нетривиальная система чисел Хр ..., Хт, Хда+1 такая, что
Х.а1 4- ... 4- X ат 4- X +1а — 0.	(1)
Здесь Хт+1 #= 0, иначе было бы
Х.а1 4- ... 4- X ат = 0, 1	т
и вследствие линейной независимости системы а1, ..., аот было бы Xj = ... = Xw = 0, и вся система Хр ..., Хш, Хот+1 была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно а:
а =	+ ... + цта- (ц, = -\/хт+1)’	(2)
т. е. представить в виде линейной комбинации из векторов а1, ..., ат. С другой стороны, линейная комбинация
146§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn
вида (2) принадлежит к L, потому что L - подпространство. В этом смысле говорят, что система а1, ат есть базис в L. Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов Ь1, ..., Ь*1, принадлежащих к L, есть базис в L.
Если разложить векторы Ь1 по векторам а1, ..., ат, то получим
т
W=^bk3a> (* = 1, .... т).
3=1
По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для Rn (где теперь надо заменить is и ak соответственно на as, ЬА), можно получить, что система Ь1, ..., Ът линейно независима тогда и только тогда, когда определитель #= 0, и что любая независимая система, состоящая из I < т векторов, уже не может быть базисом в L.
Пространство Rn можно рассматривать как подпространство Вй, имеющее п измерений.
Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (а0 4- р0 = 0). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы - из равенства АО = 0, где X - число, не обязательно следует, что X есть нуль.
Если вектор х° #= 0, то множество векторов вида Ах°, где X - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор х°.
Пусть L есть линейное подпространство в Rn. Будем говорить, что вектор v е Rn ортогонален к L, если он ортогонален к любому вектору и е L. Обозначим через L' множество всех векторов, ортогональных к L. L' есть подпространство. В самом деле, пусть и, v' g I/, т. е.
(и, и) = 0, Vtt е L;
(и', и) = 0, Vu е L.
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn
147
Тогда для любых чисел а, Р
(аи + ри', и) = а(и, и) + р(и', и) = 0, Vu е L,
т. е. аи + Ри' е L'.
По определению подпространство L' с Rn называется ортогональным к данному подпространству L с Rn, если L' есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к L.
Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства L a Rn и ему ортогонального подпространства L' cz Rn. В частности, из нее следует, что если L' ортогонально к L, то и, обратно, L ортогонально к L'.
Теорема1. Пусть L есть линейное подпространство, отличное от Rn и нулевого подпространства. Тогда:
а)	существует целое число т, удовлетворяющее неравенствам
1 < т < п,	(3)
и ортонормированный базис
а1, ат	(4)
в L; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в Rn:
а1, ..., аот, ат+1, ..., ал,	(5)
то линейное подпространство L' с базисом
аот+1, ап	(6)
обладает следующими свойствами:
б)	L' есть подпространство, ортогональное к L;
в)	L есть подпространство, ортогональное к L';
г)	любой вектор а е Rn можно представить в виде суммы
148
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn
а = и i v, где и е Lf v е L' и при этом единственным образом.
Доказательство. По условию L отлично от нулевого подпространства, следовательно, в L существует вектор х, отличный от 0. Нормируя х, получим нормальный вектор
Обозначим через а2 любой, принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 (|а2| = 1, (а2, а1) = 0), если такой существует. Далее, обозначим через а3 принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 и а2 (|а3| = 1, (а3, а1) = (а3, а2) = 0), если такой существует. Этот процесс закончится на некотором тп-м этапе, где т удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонорми-рованная система векторов (4), принадлежащих к L, но уже не будет в L единичного вектора, ортогонального к векторам а1, ..., ат. В самом деле, т > 1, потому что заведомо а1 е L. С другой стороны, т не может быть равным п. В противном случае векторы а1, ..., а* принадлежали бы к L и вместе с ними принадлежали бы к под-
п пространству L все линейные комбинации а*, и тогда *=1
получилось бы, что L совпадает с Rn, но L отлично от Rn. Полученная ортонормированная система а1, ..., ат есть базис в L. В самом деле, вместе с векторами а1, ..., ат
т принадлежат к L и все их линейные комбинации ак. л=1
Но больше в L других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор а е L не есть такая
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn 149
линейная комбинация, то а можно было бы записать в виде суммы
а =	+ У’	(7)
*=1
где у * 0. Так как векторы а и а* принадлежат к подпространству L, то пришлось бы заключить, что вектор
т
У = а -	(а, а*)а*
k=i
тоже принадлежит к L. Но вектор у ортогонален ко всем a* (s « 1, ..., т) (см. § 17, (4)). Пронормированный вектор ь = 4|jf	(8)
\У\
тоже принадлежал бы к L и был бы ортогональным ко всем ак (k = 1, ..., т). Но это невозможно в силу максимального свойства числа т. Этим доказано утверждение а) теоремы.
Дополнение ортонормированной системы (4) до орто-нормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через L' подпространство всех
п
линейных комбинаций v = а* из векторов системы Л-7П+1
(6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору и е L, который представляется в виде суммы
т
и = ак. С другой стороны, если а е Rn есть произ-*=1
вольный вектор, ортогональный ко всем векторам и е L, в частности к а1, ..., аот, то его разложение по базису (5) имеет вид
150
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn
а = У,( а, а*)а* « а, а*)а*, ^=1	Л=т+1
т. е. а g L'. Мы доказали утверждение б) теоремы.
т
Далее, любой вектор и = а* е L ортогонален ко л?=1 п
всем векторам v = |ife a* е L' и, если известно, что •k-m+l
п
какой-либо вектор а = У*, (a, ak)ah ортогонален ко всем
Л=1
т
векторам из L', в частности к аот+1, ..., ай, то а = У*Да, а*)а*,
*=1
т. е. а е L. Мы доказали утверждение в).
Наконец, если а е Rn - произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы
п
а = У, (a, ak)ak = и 4- и, k=i
где
п
и = у,(а, а*)а* е L, v = У,(а, ак)ак е L'.
£=1	Л=т+1
Этим теорема 1 доказана полностью.
Теорема2. Пусть L есть подпространство т измерений в Rn. Тогда подпространство L'a Rn, ортогональное к L, имеет п - т измерений и при этом L есть в свою очередь подпространство, ортогональное к L'.
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn 151
Доказательство. Если L отлично от Rn и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.
Пусть L есть нулевое подпространство. Так как любой вектор а е Rn ортогонален к 0, то L' = Rn и измерение Rn равно п ~ 0 = п. Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам а е Rn = L'. Других векторов, ортогональных ко всем векторам Rn, нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что L ортогонально к L'.
Если L = Rn, то рассуждаем подобным образом.
Следствие 1. Пусть задана система векторов
х1, ..., хт9	(9)
и пусть L' есть подпространство векторов v, каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:
(и, xk) = 0 (k = 1, ..., т).
Пусть, далее, дан вектор а, ортогональный ко всем указанным векторам v, т. е. ортогональный к подпространству L'. Тогда а есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)
т а= X*-***-Л=1
Доказательство. Рассмотрим подпространство L, состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор и е L есть некоторая линейная комбинация
т и = Xх* **• Л=1
В этом случае будем также говорить, что подпространство L натянуто на векторы системы (9).
152
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
Так как всякий вектор v е V ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору и g L. Это показывает, что подпространство L' ортогонально к подпространству L. Но тогда по теореме 2 и L ортогонально к L', т. е. L состоит из всех векторов и, ортогональных к L'. По условию а есть один из таких векторов и, следовательно, а есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).
§ 21. Теоремы фредгольмова типа
В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.
Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фредгольму1.
Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) А:
У = Лх (х е Я„),
(1)
приводящий в соответствие каждому вектору х g Rn вектор у g Rn при помощи равенств
п
yt =	(i = 1. ...» «)•	(2)
в=1
Здесь
011 012 •••
А = ||aj| =
(3)
^п2 • • * ^лл
1 Э. И. Фредгольм (1867-1927) - шведский математик.
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА 153
- заданная квадратная матрица. Оператору А соответствует сопряженный ему оператор
у = А*х (х е Я„),	(1‘)
определяемый сопряженной к (3) матрицей
а21 ••• ап1
А* = у • j........... .	(3*)
^1л ®2л * • • ^пп
При помощи компонент векторов х, у он записывается в виде
п
У) =	и = 1,	п),	(2*)
1=1
т. е. компонента выражается через координаты вектора х с помощью /-й строки матрицы А* или j-го столбца матрицы А.
Справедливо равенство
(Ах, z) = (х, A*z) Vx, z g Rn,	(4)
верное для всех х, z g Rn. В самом деле, для действительных Rn и аи
п	п ( п
(Ах, г) =^ytzf =Х X i=l	i=l V«=l
^is^i ^8	(^, А 2?).
>
В комплексном случае
п п
=	=(x,A‘z).
S=1 j=l
154§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора В выполняется равенство
(Ах, z) = (х, Bz), \/х, z е Rn,	(5)
то необходимо В = А*. Действительно, (В = ||&й||), для действительных ай, Rn
п п (Ах, z) =
1=1 3=1
(X, Bz) = У У Ьч 2Iх, = У У bsi x,z,-з=1 1=1	1=1 S=1
Из (5) следует, что
п п	п п
У У ais х.г1 = У У bs. xszt Vx,ze Rn, (6) 1=1 з=1	1=1 s=l
откуда au =	(/, s = 1,	n), в чем можно убедиться,
если положить в (6) х = (0, ...,0, 1, 0, ..., 0) и z = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где у х единица стоит на s-м месте, а у z на i-м месте. В комплексном случае
п п
(Ах, z) = XX ’
/=1 3=1
(X, Вз)= ХХ^Ъ‘!г1 =	=
3=1	/=1	3=1	/=1
- . J=1 3=1
откуда а;< = Ь3] или b3/ = a/s.
§21 ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
155
Таким образом, сопряженный оператор А* к линейному оператору А можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).
Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор у g Rn, и мы ищем х е /?л, для которого выполняется равенство (1) или (1*).
Соответствующие однородные уравнения имеют вид
Ах = О	(10)
ИЛИ
= 0	(» “ 1» •••> «)	(2о)
S=1
и	А* 2 = 0	(10*)
или
^ai)zi= 0	0 = 1. .... «)•	(20‘)
/=1
Обозначим через L образ пространства Rn при помощи оператора А:
£=А(ЯЛ)
- и через L' подпространство всех векторов z, удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).
Мы назвали L' подпространством, потому что вместе с z, z' к нему принадлежат также az + pz', где а и р -числа:
A*(az + pz') = aA*z + flA*z' = 0.
L есть тоже подпространство, потому что, если у, у g L, то существуют векторы х, х е Rn такие, что у = Ах, у' = = Ах', и, следовательно,
ay + ру' = аАх + рАх' = А(ах + рх'), т. е. ay + ру' е L.
156
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).
Лемма 1. Подпространства L и L' взаимно ортогональны, т. е. L' есть множество всех векторов г, каждый из которых ортогонален к L, a L в свою очередь есть множество всех векторов у, каждый из которых ортогонален к L'. Если L имеет k измерений, то L' имеет n-k измерений.
Доказательство. Обратимся к равенству
(Ах, z) = (х, А*2),	(7)
верному для всех х, 2 g Rn. Пусть 2 есть вектор, ортогональный к L, тогда для него левая часть‘(7) равна нулю для всех х е Яп, но тогда и правая часть равна нулю для всех х е Вп, в частности для х « A*z:
(A*z, A*z) = 0.
Следовательно, A*z = 0. Мы доказали, что если вектор 2 ортогонален к L, то он удовлетворяет уравнению A*z = 0 (т. е. 2 е £')•
Обратно, пусть вектор 2 удовлетворяет уравнению A*z = 0. Для такого 2 правая часть (7) равна нулю при любых х, но тогда и левая равна нулю, т. е. 2 ортогонален ко всем векторам вида Ах, т. е. ко всем векторам у g L. Другими словами, 2 ортогонален к L.
Мы доказали, что L' есть множество всех векторов z, ортогональных к подпространству L. Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно, L есть множество всех векторов у, ортогональных к L', и сумма измерений L и L' равна л. Лемма доказана.
Справедлива теорема.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение
У = Ах	(!')
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА 157
имело решение для данного вектора у g Rn, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогональным ко всем векторам z, удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению
A'z = 0.	(10Э
Решение х уравнения (1), если оно существует, можно записать в виде суммы
X = х0 + U,
где х0 - какое-либо частное решение уравнения (1), а и -произвольное решение однородного уравнения
Аи = 0.	(10)
Любая указанная сумма есть решение (1')«
Доказательство. В силу леммы 1, если L = A(Rn), a L' есть множество всех z, удовлетворяющих уравнению A*z = 0, то L и L' суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для у существует решение уравнения (1), то у е L и необходимо все z е L' ортогональны к у. Если же вектор у ортогонален ко всем z е L', то у g L, т. е. существует х, для которого у = Ах.
Пусть теперь для вектора у существует решение уравнения (!'). Обозначим его через х°:
у = Ах°.
Тогда, очевидно, сумма х° 4- и, где Аи = 0, есть тоже решение уравнения (1Э:
А(х° + и) == Ах° + Аи = у + 0 = у.
Обратно, если х есть произвольное решение уравнения (1'), а х° - определенное частное решение, то
у = Ах, у = Ах°,
и, следовательно,
158
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
О = Ах - Ах° = А(х - х°) = Аи,
где и = х - х°, т. е. х = х° + и, где и удовлетворяет уравнению Аи = 0.
Замечание. Поясним на примере действительного пространства R2 связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капел-ли. Пусть вектор у = (yv у2) ортогонален ко всем решениям системы
Оц2! + a21z2 — 0, «1221 + «22^2 = О’.
(8)
Покажем, что тогда ранги матрицы А и расширенной матрицы
а11 а12 У\
«21 «22 У2
равны между собой. Если ранг А = 2, то, очевидно, ранг В = 2. Пусть ранг А = 1. Всегда ранг В > ранг А = 1. Поэтому нам необходимо доказать, что
«11 У1
«21 У2
= о, д2
«12 У1
«22 У2
= 0.
В самом деле, так как у ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то уг2г + y2z2 - 0. Поэтому, считая, что zr 0,
^1“«11^2	«21^1 “ «11^2	«21 -	~ («1121	«212г) ~ 0’
*1
l/2Z2	У2
^2=«12^2 “ «22^1 = «12^2 + «22 ~	= ~ («12Z1 + «22^2^ =
21	21
Отсюда следует, что ранг В = ранг А = 1.
Обратно, пусть вектор у = (у19 у2) таков, что ранг В = =ранг А, тогда (1) имеет некоторое решение (хр х2). Дока-
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА 159
жем, что у ортогонален к решениям z = (z19 z2) системы (8). В самом деле, + ^2^2 =	+ (а21^1 + a22X2^Z2 ~~
= (a11z1 + a21z2)x! + (а12гг + a22z2)x2 = O-Xj + 0 *х2 = 0.
Теорема2. Однородные уравнения
Ах = 0	(10)
и А*х = 0	(10‘)
имеют одинаковое число линейно независимых решений, В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение 0, т, е, имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.
Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.
Доказательство. Матрицы А и А* имеют один и тот же ранг, который обозначим через k. Они имеют также один и тот же определитель Д.
Если k = п, то Д Ф 0 и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых у g Rn.
Пусть теперь 1 < k < п. После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель
а11	...	* 0.
akl	••• akk	
Первые k уравнений (1°) теперь запишем в виде
160
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
<Члх\ +... + Oxkxk = -а1Л+1хл+1 -... - а1пхп,
(9)
aklxl +•••+ akkxk “ ~аМ+1ХЛ+1 aknxn-
Ниже приводится таблица п - k векторов
х1 = (xj,..., xj, 1, 0,..., 0), х2 = (xf,..., х*, 0, 1, 0 ..., 0),
(Ю)
xn~k = (х?л ..., xj*"\ о, ..., 0,1).
Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9)
хл+х 1’ хл+2 0, хл О
и решаем ее относительно хр ..., хЛ. Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через xj, xj. Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)
хл+1 0, хЛ+2 1, хЛ+3 0, ..., хп О
и находим числа xf, ..., х2 и т. д. Векторы (10) обладают следующими свойствами.
1)	Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов ц = п - k.
2)	Каждый вектор системы (10) есть решение (любых!) уравнений (20) или Ах = 0.
3)	Всевозможные решения уравнения Ах = 0 имеют вид
Х.Х1 + ... + X 4хЛ-* 1
где Хр ..., Хп_л - произвольные числа.
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
161
Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение (10) имеет п - k линейно независимых решений.
Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг А = =ранг А*, доказываем, что уравнение А*х = 0 тоже имеет п - k линейно независимых решений. Теорема доказана.
Теорема 3. Если одно из однородных уравнений (10) или (10*) имеет k линейно независимых решений, то и другое имеет k линейно независимых решений; образы же L = A(Rn) и L* = А*(1?п) пространства Rn, получаемые при помощи операторов А и А*, суть подпространства п - k измерений.
Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений (10) и (10*) есть теорема 2, а второе -есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства L равно п - k, где k - измерение подпространства L' векторов z, удовлетворяющих уравнению A*z = 0. Аналогично измерение L* равно п - k, где k - количество измерений подпространства векторов и, удовлетворяющих уравнению Аи = 0.
§ 22.	Самосопряженный оператор. Квадратичная форма
Линейный оператор
У*=	(* = 1, .... п) (1)
/=1 или, коротко,
у = Ах (х е Rn, у е Rn)	(2)
называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному (А = А*), т. е. если
162
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Ах = А*х Уж е Лл,	(3)
иначе говоря, если матрица А симметрическая:
ам = aik (k* I в •••> л)	(4)
(см. (3) и (3*) § 21). Мы считаем аы и Rn действительными (см. ниже замечание 1).
Для самосопряженного оператора имеет место характерное равенство
(х, Az) = (Ах, z) Чх, z е Rn
(см. § 21, (4)). Очевидно,
(х, Ах) = ^xk^akixi = akixkxi (аы = att). (4') Л=1	Z=1	fc=U=l
Выражение справа в (4') называется квадратичной формой n-го порядка. Это непрерывная функция от вектора х или, что все равно, от переменных xv ..., хп.
Будем рассматривать эту функцию на множестве S значений х, имеющих единичную норму (|х| « 1). Множество S есть сфера в Rn радиуса 1 с центром в точке 0. S -ограниченное множество. Кроме того, оно замкнуто х): если точки последовательности {xv} (v = 1, 2, ...) принадлежат к S (т. е. |xv| = 1, V = 1, 2,...) и эта последовательность стремится к некоторой точке х° е Rn (xv -» х°, v -» «>), то неминуемо х° е S, т. е. |х°| = 1, потому что |1 -|х°|| = ||xv| - |х°|| < |xv - х°| -» 0, откуда |х°| = 1.
Найдем максимум квадратичной формы (4') на сфере S. Так как форма (4') есть непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве, то максимум ее на S достигается для некоторого единичного вектора х1 (lx1! = 1). Обозначим этот максимум через
Xj = (Ах1, х1) > (Ах, х) Vx : |х| = 1.	(5)
Введем подпространство L, ортогональное к вектору х1, т. е. множество всех векторов v, каждый из которых
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР___________163
ортогонален к х1. В L' возьмем произвольный единичный вектор v° (И = 1)- Вектор
cos а • х1 + sin а • и0
зависит от а и имеет единичную норму |cos а • х1 + sin а • и°| =
= (cos а • х1 + sin а • и0, cos а • х1 + sin а • и0)1/2 =
= (cos2a + sin2a)1/2 = 1.
При а = 0 этот вектор обращается в х1. Но тогда функция
y(a) = (A(cos а • х1 + sin а • v°), cos а • х1 + sin а • и0) достигает своего максимума в точке a = 0 (\|/(0) = (Ах1, х1)) и в силу необходимого условия экстремума
х/(0) = 0.
Вычислим эту производную. Имеем
y(a) = cosMAx1, х1) + sin2oc(Ax1, и0) + sin2a(Av°, v°).
Следовательно,
\/(а) = -sin2a(Ax1, х1) + 2cos2a(Ax1, v°) + sin2a(Av°, v°) и
\|Г(0) = 2(Ax\ v°) = 0.
Мы получили, что вектор Ах1 ортогонален ко всем единичным векторам v° е L', следовательно, и к любым векторам v е I/. Но тогда Ах1 отличается от х1 лишь множителем (см. следствие 1 в конце § 20), т. е.
Ах1 = Хх1,
где 1 - некоторое число.
Из первого соотношения (равенства) в (5), учитывая, что lx1! = 1, следует
См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 8.12.
164
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
\ = (Хх1, X1) = X.
Таким образом, мы доказали, что максимум квадратичной формы (4') на единичной сфере |х| = 1 достигается в некоторой точке х1,
max (Ах, х) = (Ах1, х1) = Хг
|х|=1
При этом
Ах1 = XjX1, lx1! = 1.
Мы видим, что нетривиальный (не равный нулю) вектор х1 отображается при помощи оператора А в вектор XjX1, ему коллинеарный.
Такой вектор называется собственным вектором оператора А, а число Xj - принадлежащим этому вектору собственным значением.
Будем теперь рассматривать оператор А на подпространстве R1, определяемом как множество векторов х (е Rn), ортогональных к вектору х1 (выше мы его обозначали через L'). R1 есть (и - 1)-мерное подпространство - в нем имеются ортонормированные базисы, состоящие из п - 1 векторов. Цель наша заключается в подыскании одного такого базиса, как мы увидим, естественно связанного с оператором А.
Важно подчеркнуть, что образ A(Rl) подпространства R1 при помощи оператора А принадлежит к R1, потому что, если (х, х1) = 0, то
(Ах, х1) = (х, Ах1) = (х, XjX1) = ХДх, х1) = О,
т. е. Ах е Я1.
Самосопряженность оператора А на Я1 тривиальным образом сохраняется, потому что равенство
(Ах, у) = (х, Ау),
верное для всех х, у е Rn, верно также для всех х, у е R1.
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
165
Итак, мы теперь рассматриваем самосопряженный линейный оператор А на линейном подпространстве R1 измерения п - 1. К нему можно применить приведенные выше рассуждения и обнаружить в R1 существование единичного вектора х2 такого, что
max (Ах, х) = (Ах2,х2) = X < X..
1-1=1	|х2|=1	2	1
(х,х1)=О	(х2,х»)=0
Дело в том, что единичная сфера S1 в R1 определяется, очевидно, как множество единичных векторов х, ортогональных к х1. При этом
Ах2 = Х2х2.
Мы нашли второй собственный вектор оператора А -вектор х2 и принадлежащее к нему собственное значение Х2, очевидно, не превышающее Хх (при уменьшении области рассмотрения максимум может только уменьшиться). При этом (х1, х2) = 0.
Подобным образом можно ввести подпространство R2, измерения п - 2, ортогональное к векторам х1 и х2, показать, что оператор А отображает В? в R? и определить третий единичный вектор х3, ортогональный к х1 и к х2 такой, что для него имеет место
max (Ах, х) = (Ах3, х3) = Х3 (х,х1)=0,(х,х2)=0
И
Ах3 = Х3х3 (Х3 < Х2 < Xj).
Продолжив этот процесс по индукции до n-го вектора хл, мы получим ортонормированную систему векторов
х1, х2, ..., хп	(6)
и систему действительных чисел
166
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Хр Х2, Хл,	(7)
обладающих свойствами
Ахк = Хлхл (k = 1,и), X* - Хл-1 > ... > Xv
Мы получили полную систему собственных векторов оператора А и принадлежащих им собственных значений. Так как ортонормированная система (6) принадлежит к Rn и состоит из п векторов, то она есть базис в Вл (см. § 17). Поэтому произвольный вектор х е Rn можно разложить по этой системе:
п
X = ^(х, хк)хк.
Тогда наш самосопряженный оператор А может быть записан следующим образом:
= у, ( X, х^уАх? = У Ч (х, х*)х*. (10)
*=1	Л=1
Мы доказали теорему.
Теорема 1. Самосопряженному оператору А в пространстве Rn соответствует ортогональная система векторов х1,..., хп (базис Rn) и система действительных чисел Хр ..., Хл такие, что Ах для любого х е Rn представляется в виде суммы (10).
Квадратичная форма (4') соответственно записывается следующим образом:
(х, Ах) =
f п	п
У (х,х*)х*, У ХДх, Xs )х*
<Л=1	s=l	>
п
= УЧ(х, Х«)2. (4")
S=1
На практике часто мы исходим из некоторой квадратичной формы
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
167
п п
с4')
Л=1 1=1
Чтобы применить к ней полученные результаты, можно определить в связи с ней линейный оператор
У = Лх, определяемый равенствами у, = jt Vе/ (i =	л)-
/=1
В силу условия akl = это самосопряженный оператор, и к нему применима теорема 1. На языке квадратичной формы теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.
Теорема 2. Пусть задана квадратичная форма (4') в п-мерной системе координат xv ..., хп пространства Rn
с ортами i1, ..., in
*=i
. Существует прямоуголь-
ная система координат	с ортами х1, ..., хл,
образующими ортогональный базис
к *=1	7
и сис-
тема действительных чисел АрАл такие, что квадратичная форма (4') в этой системе есть сумма квадратов координат вектора х, помноженных соответственно на числа
п п	п
~ •
fe=l 1=1	S=1
(4'")
168
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Переход от левой части (4"') к правой можно осуществить, если известны разложения векторов х1, хп по ортам Р, in. Пусть
* =
3=1
(см. § 17, (7), где надо заменить aj8, ак соответственно на P;g, х7). Так как i1, ..., in и х1, хл - ортонормированные базисы в 7?л, то матрица
л - ИМ ортогональная. Мы считаем, что она известна. Один и тот же вектор X можно разложить по двум базисам:
П	П
X -	.
з=1	/=1
Но тогда
п	п п	п ( п	А
- Ё ЁМ/ ‘‘
/=1	/=1	S=1	S=1V=1 J
и в силу линейной независимости системы i1, ..., in получим
х, “	(«=	•••’ »)•	(И)
/=1
Таким образом, переход от координат ..., к координатам хр ..., хл осуществляется посредством матрицы Д', транспонированной к А (т. е. с помощью строк матрицы Д' или столбцов матрицы А).
Если подставить выражения (11) для х8 в левую часть (4"')> то должны получить правую. Запишем это равенство:
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
169
п п	п	п	п п п	( п	л
X X	X М/ У = У У У, ₽А У a*z₽u =
k=l z=l	/=1	1=1	/=1 i=l Л=1	м=1	>
п	п п
- 1>.а - EEmw.
$=1	/ = 1 4=1
где Зу, =
О, у * i, j .	- символ Кронекера.
Если приравнять коэффициенты при одинаковых то получим равенства
п ( п
У Pzfe У амРц
*=i	U=1 J
= 5Д
О. 7=1,	п),
которые можно трактовать следующим образом (см. § 15, (6)). Для матрицы
А = Н°J («« = аи) самосопряженного оператора А существует ортогональная матрица
л = «у
такая, что
(12)
где Я - некоторая диагональная матрица
0 0...0
О Хх 0...0
Я =
(13)
О О
- действительные числа), называемая канонической.
170
§22.САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Отметим, что для ортогональной действительной матрицы Л
Л’1 = Л'.
Так как определители ортогональных матриц |Л| = = |Л-1| = ±1, то из (12) следует
ПХ/ = |Я| = |Л| - |А| • |Л-Ч = |А|.	(14)
/=1
Мы доказали, в частности, следующую теорему.
Теорема 3. Если определитель |А| самосопряженной матрицы А не равен нулю (|А| 0), то все ее собственные числа Хр ..., Хл не равны нулю (Х; Ф 0, j = 1, ..., п).
Из теоремы 2 следует, что
1)	Если Xj > ... > Хл > 0, то квадратичная форма положительная для любых векторов Е, Ф 0, а следовательно, и любых векторов х Ф 0. В этом случае она называется строго положительной.
2)	Если 0 > Xj > Х2 > ... > Хл, то форма отрицательная для любых Ф 0, следовательно, и любых х * 0. В этом случае она называется строго отрицательной.
3)	Если Xj > ... > Хл и Хл = 0, то форма неотрицательная. Существует направление, (ось ^л), вдоль которого она равна нулю. Это положительная форма, но не строго.
4)	Если Xj = 0 > Xj > ... > Хл, то форма отрицательная не строго.
5)	Если Xj > 0, а Хл < 0, то форма неопределенна. Если исключить нулевую точку, то вдоль оси она положительная, вдоль же оси £л - отрицательная.
Оказывается, что по виду матрицы ||А||, по знаку некоторых порождаемых ею определителей можно узнать, будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или среди них есть как положительные, так и
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
171
отрицательные. В этом заключается теорема Сильвестра1.
Составим ряд главных миноров квадратичной формы (Ах, х):
Оц ... а1п
Д1 = ап,
Оц
<*21
°12
а22
ап1 • • • апп

Согласно теореме Сильвестра, которую мы не доказываем, имеют место следующие утверждения:
1.	Если Дх >0, Д2 > 0, ..., Дл > 0, то форма строго положительна (случай 1)).
2.	Если Дх < 0, Д2 > 0, Д3 < 0, ..., (-1)ЛДЛ > 0, то форма строго отрицательная (случай 2)).
3.	Если Дх > 0, Д2 > 0, ..., Дл > 0 или
Дх < 0, Д2 > 0, ..., (-1)лДл > 0
и имеется у, при котором Ду. = 0, то форма заведомо не строго определенна.
4.	Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределенна.
Замечание 1. Если Rn - комплексное пространство, a akl = alk - по-прежнему действительные числа, то рассуждения, приведенные выше, мало отличаются. Формула (4') теперь записывается так:
(х, Ах) =	.
Л=1	1=1	k=ll=l
Число (х, Ах) остается действительным, потому что
(х,Ах) =	=
A=1Z=1	k=ll=l	k=ll=l
1 Дж. Дж. Сильвестр (1814-1897) - английский математик.
172
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
= (х, Ах).
Это показывает, что приведенные выше факты (формулы (4')-(10)) остаются неизменными, в частности числа Хр ...Див случае комплексного Rn действительны. Теорема 1 полностью сохраняется для комплексного Rn. Формула (4") теперь имеет вид
п
(ж, Ах) = У, xs |(х, х»)12, 3=1
т. е. теперь уже квадраты чисел (х, Xs) надо заменить на квадраты их модулей. Формула (4"') теперь уже выглядит следующим образом:
A=1Z=1	S=1
а в остальном теорема 2 остается в силе.
Замечание 2. Отметим, что действительность собственных значений самосопряженного линейного оператора А и Rn (действительном или комплексном) можно доказать следующим образом. Пусть X - собственное значение оператора А и х° (|х°| = 1) - принадлежащий к нему собственный вектор. Так как Аг° = Хх°, то
X = Х(х°, х°) = (Хх°, х°) = (Ах°, х°) = (х°, Лх°) =
= (х°, Хх°) = Х(х°, х°) = X.
Ортогональность собственных векторов оператора, при надлежащих разным собственным значениям, тоже можно доказать непосредственно.
В самом деле,
Ах1 = XjX1, Ах2 = Х2х2
(М = 1, и = 1,1, *12), тогда
_________§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА________________173
ХДх1, х2) = (А^х1, X2) = (Ах1, х2) = (х1, Ах2) =
= (X1, Х2х2) = X2(xx, X2) = Х2(хх, X2).
Так как * Х2, то (х1, х2) = 0.
§ 23.	Квадратичная форма в двухмерном пространстве
При п = 2 квадратичная форма имеет вид
«И^2 + «12^1^2 + «21^2^1 + а22'Х'2 ~
—	+ ^«12*^1*^2 + ^22^2 ’	(1)
так как а12 в а21 (мы считаем ам действительными).
Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора (^р ^2) в некотором базисе (х1, х2), надо (см. §22) найти базисные орты х1, х2 - собственные векторы самосопряженного оператора А, порожденного симметрической матрицей
А =
«ы
«21
«12
«22
Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора А, отличный от метода § 22.
Итак, если Хо - собственное число оператора А и х° = =( х<°>, х20) )* 0 - соответствующий ему собственный вектор, то
Ах° = Хох°.
Перепишем это уравнение в координатной форме:
174
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
(0ц — Xo)xi°) +	ai2x2°) —
+ (а22 “ ^о)Х2°) = О’,
(2)
или в операторной форме:
(А - Х0Е)х° = 0,	(2')
где Е - тождественный оператор.
Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение х°, что может быть, если определитель системы (2) или (2х) равен нулю:
Яц - Хо а12
°12
а22 “ ^0
= |А - VI = 0.
Итак, собственное число Хо является корнем уравнения
|А - V = 0,	(3)
которое называется характеристическим уравнением оператора А (или квадратичной формы (Ах, х)).
Верно и обратное утверждение. Если Хо является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы
(А - Х^х = 0	(4)
будет собственным вектором самосопряженного оператора А. Следовательно, собственные числа оператора А находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):
(Яц — Х)(я22 “ X) — 0^2 =
X2 — (яп + Я22)Х + #n#22 "" ^12 = О* Решая это уравнение, получаем
Х1 — ~ Яц + Я22 + -^4я^2 + (#11 “ 022 )2 ’ ZU L — Лц + а22 —	~	•
(5)
Х2
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
175
Отсюда видно, что Хх > Х2, при этом Хх « Х2 в случае ai2 = ап = а22- Будем для определенности считать, что а„ > а^ (иначе меняем хл на х9 и х9 на хЛ. Тогда
- ац(^1 “ аи =	+ (аи “ а2г)2 ~ <ап ”	— 0)*
Из (5) следует, что собственные значения оператора А (самосопряженного) - действительные числа.
Теперь по известным собственным числам Хх и Х2 найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как |А - ХхЕ| = 0, то
ранг (А - \Е) < 1.
Если Xj = Xg, то в этом случае матрица А - XjJE состоит из одних нулей (Хх = Х2 = аи = а22, а12 = 0), т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (а12 = а21 = 0). Системе (4) удовлетворяет любой вектор х = (хр х2). Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат х1 = = i = (1, 0), х2 = j = (0, 1). Любая другая система (х1, х2) ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.
Теперь, если Хх > Х2, то либо а12	0, либо а12 = 0,
аи * а22- Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть а12 Ф 0. Тогда
ранг (А - ХхЕ) = 1.
Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):
(^11 “ Х^Х* 4" ^12*^2 ~
Отсюда имеем (а12 * 0)
х2 — [(—Лр + Х1)/а12]х1.
176
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
Вектор
[	"" Дц
4 = Хр —--------— Хг
к	а12
является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор
х1 = (х™ ,
\2
11+1 I
V Д12	)
— (kg — Oq)
А V t Л *1 ~ Ди ]
1 +1
к Д12 J
Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства
~ у! + (^11 —	*" (^11 — Д22)2 ’
\ 2
= __ ^4а*2 + ”°22^2 
Г(6)
В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +.
Совершенно аналогично по собственному числу Х2 найдем собстаенныя вектор х2. Оказывается, что
Составим теперь матрицу оператора (ортогонального преобразования) Л, переводящего орты (i, j) в орты (х* 1, х2):
Л =
U1) _(1)
Х1 х2
xf>
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
177
(в строках стоят координаты образов базисных ортов i и j при помощи Л, т. е. х1 = xj1* i + х<1>/, х2 = - х<Х) i + х}0 /)• Тогда координаты вектора (хх, х2) в системе (i, /) связаны с координатами (£t, £2) этого вектора в системе (х1, х2) с помощью столбцов матрицы Л:
хх =
Х2 = Х2Ч^1 + Х1Ц^2-
Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим
#11 Х1 + 2а12ХхХ2 + #22 Х2 =	^1 + ^2^2*	С®)
Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы.
Если числа и 12 одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу, если и Х2 разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел или 12 равно нулю, то параболическому типу.
Из (5) видно, что XjA-g = апа22 - а%2 • Поэтому тип формы
(1) можно определить по знаку выражения апаа - af2 • Квадратичная форма будет эллиптической, гиперболической или параболической, если выражение #ц#22 - af2 соответственно больше, меньше или равно нулю.
Пример 1. Привести к каноническому виду форму xf - 7з ххх2 + 2 х*.
V3 Л m
=	-, а„ = 2. Так как
2	22
В данном случае аи = 1, а12
178
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
9	3	5
аиа22 “	2 = 2- —= — >0, то форма будет эллиптичес-
кой. Найдем собственные векторы и их собственные значения по
формулам (5), (6):

1.
2 ’
Jo х2 2 ’ Х
1 V3
2’	2
У! х = 5 2 ’ Л1 2 ’
Далее,
.2 =
л/3 1.
2’2 ’	“
JI 2 ’
В системе (х1, х2) наша квадратичная форма имеет вид
А₽2	1 f2
2 S1 + 2 S2 •
Так как х!1’ = — = cos f- — |, х*1’ = —J- = sin \ - — |,
1	2 I 3J 2	2 I 3
то преобразование с помощью матрицы
„(1) _х(1)
m ml =	’ х"’ x* =	’ х"’»
Х2 Х1 И
означает поворот системы xv х2 на угол а = л/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).
§ 24. Кривая второго порядка
24.1.Общее уравнение кривой второго порядка. В плоскости, в некоторой прямоугольной системе координат х, у, пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 179
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0,	(1)
где А, В, С, D, Е, F - заданные действительные числа. При этом числа А, В, С одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек (х, у) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение
х2 + у2 = -1
может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.
24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):
1)	Уравнение эллипса
х2 у2
-Г + ^=1(а,6>0) а b
с полуосями длины а и Ъ. В частности, при а — Ъ уравнение окружности
х2 + у2 = а2
с центром в начале координат и радиусом а.
2)	Уравнение гиперболы
2	2
х у =1 (а > Ь > 0) а2 Ь2
с полуосями а и Ъ.
3)	Уравнение параболы
у2 = 2рх (р > 0).
180§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
4)	Уравнение пары пересекающихся прямых
а2х2 - Ь2у2 = 0 (0 < а, Ь).
5)	Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
х2 _ а2 = о (д > 0).
6)	Уравнение, определяющее точку, х2 4- у2 = 0.
Остановимся вкратце на перечисленных кривых. Эллипс
X2 у2
T +	(а > Ь > 0).	(2)
а о
При а = Ъ эллипс (2) обращается в окружность радиуса а с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии а.
Пусть а > Ь. Положим с =	. Отметим на оси х
точки Fv F2, имеющие абсциссы х = -с и х = с. Это фокусы эллипса. Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов Fv F2 есть величина постоянная, равная 2а.
В самом деле (рис. 37),
= J(x + c)2 + y2 , MF2 = J(x-c)2 + y2 ,
%a = il(x + c)2 +y2 + 7(x “ c)2 + У2 > откуда
2a - -J(x + c)2 +y2 = J(x - c)2 + y2 и
4a2 + (x + c)2 + y2 - 4a-J(x + c)2 +y2 = (x - c)2 + y2,
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
181
4а2 + 4сх = 4а^(х + с)2 + у2 ,
а2 + 2а2сх + с2х2 = а2[х2 + 2сх + с2 + у2],
—Ь2х2 = —а2Ь2 + а2у2,
а2Ь2 = Ь2х2 + а2у2,
откуда следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка (х, у) удовлетворяет уравнению (2), то сумма ее расстояний до Fx и F2 равна 2а.
Если в уравнении (2) заменить х на -х, то оно не изменится - это показывает, что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси у. Аналогично эллипс (2) симметричен относительно оси х, потому что его уравнение не изменяется при замене у на -у. Но тогда достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е. для х, у > 0. Часть эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением
У = — Va2 - X2 (0 < х < а). а
Из этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки (0, Ъ) и (а, 0). При этом его ордината у при непрерывном возрастании х на отрезке [0, а] непрерывно убывает.
Эллипс - ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса а с центром в начале координат (для координат любой точки эллипса (х, у) имеет место неравенство
(2	2 Л
а2 + ^2 I = а2.
Из рис. 37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх
182
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рис. 37
кривая. В любой ее точке можно провести касательную1. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного определения высказанных выше понятий - непрерывность, выпуклость и т. д.
Уравнение эллипса можно записать еще в параметрической форме
х = a cos 0,1
К • J (-оо < 0 < оо).	(3)
у = b sm 0, J
В самом деле
2	2
X и
= cos20 + sin20 = 1, а2 Ъ2
т. е. точка (х, у), определяемая равенствами (3) при любом 0 принадлежит эллипсу (2). Если 0 непрерывно пробегает полуинтервал [0, 2л), то точка (х, у) описывает полный эллипс. При дальнейшем возрастании 0 движение периодически повторяется.
Выясним смысл параметра 0 и попутно укажем способ построения эллипса (рис. 38). Проведем две концентрических
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», §4.2.
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
183
окружности радиусов Ъ и а (Ь < а) с центром в точке О. Затем проведем радиус-вектор под углом 0 к оси х и обозначим его точки пересечения с окружностями радиуса Ъ и а соответственно Т и N. Из точки N проведем прямую, параллельную оси у, а из точки Т - прямую, параллельную оси х. Точка пересечения этих прямых М принадлежит эллипсу. В самом деле, пусть х - абсцисса точки М, а у - ордината этой точки. Тогда (см. рис. 38)
х = ON • cos 0 = a cos 0,
у = TR = ОТ* sin 0 « Ь sin 0,
т. е. точка М действительно находится на эллипсе (3) и параметр 0 есть угол между осью х и лучом ON. Отметим, что 0 не является полярным углом <р, который образует радиус-
b
вектор ОМ с осью х (tg (р = — tg 0). Например, если (р = л/4, а
а « V3 , Ь = 1, то 0 = л/3; если (р = 0, то 0 = 0; если (р = л/2, то 0 = л/2.
184
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Гипербола
_2	1*2
а	b
(О < а, Ъ).
(4)
Положим с = ^а2 + ^2 и отметим на оси х точки Fx и F2 - фокусы гиперболы (4), имеющие абсциссы х = -с и х *= с (рис. 39).
Гипербола (4) может быть определена также как геометрическое место точек А = (х, у), разность расстояний которых до фокусов Fx и F2 есть величина постоянная, равная 2а.
Имеем (см. рис. 39)
~ af* =	+с)2 + У2 ”	“ с)2 +.у2 = 2а’
7(х + с)2 +/ = у!(х - с)2 + у2 + 2а,
4сх - 4а2 = 4а^(х - с)2 + у2 ,
Ь2х2 — а2у2 = а2Ь2, откуда следует уравнение (4).
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
185
Мы получили правую ветвь гиперболы (см. рис. 39). Чтобы получить левую ветвь, надо исходить из равенства
AF2 - AF\ = 2а.
Рассуждениями, проведенными в обратном порядке, можно заключить, отправляясь от уравнения (4), что точки (х, у) ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному выше геометрическому месту.
По виду уравнения (4) заключаем, что гипербола (4) симметрична относительно оси х и оси у. Часть гиперболы (4), находящаяся в первой четверти, имеет уравнение
У = -Vx2-a2 (а < X < оо).	(5)
а
Мы видим, что наша гипербола проходит через точку (а, 0) и при возрастании х на полуинтервале [а, «>) ордината у возрастает и стремится к бесконечности. Точки В = =(-а, 0) и С = (а, 0), в которых гипербола пересекает ось х, называются вершинами гиперболы.
На рис. 39 нарисованы две прямые:
Ъ
У = ±~х.
а
Это асимптоты нашей гиперболы.
Пусть на полуинтервале [а, ©о) (или (-©©, а]) задана кривая у = /(х). Говорят, что прямая у = тх + п есть асимптота этой кривой при х +©° (х —» ~°°), если
lim [/(х) - тх - п] = 0
X—>+*»
(соответственно lim [/(х) - тх - п\ =» 0).
X—
Рассмотрим кусок нашей гиперболы, определяемый
Ь равенством (5), и сравним его с прямой у = — х. Предел а
186
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Ьх Ь Г2 2 lim-------ух-сг
£->+*» а а
Ъ а2
lim-----=== = о.
e^ax + Vx2-a2
Это показывает, что прямая у = — х есть асимптота рассматриваемого куска гиперболы при х —> +©о. Но тогда b
говорят, что прямая у = — х есть асимптота (всей!) гипер-а
болы при х -» +оо. В силу симметрии нашей гиперболы относительно осей, так же как симметрии пары прямых b
ц = +—х относительно осей, можно сказать, что обе эти у а
прямые являются асимптотами нашей гиперболы и притом как при х +оо, так и при х —>
Правая ветвь гиперболы (4) может быть записана в параметрическом виде
х = a chu = — (еи + е “), у = bshu = -?г(еи -е”и),
(-©О < и < оо).
(6)
В самом деле, так как
ch2u - sh2u = 1,	(7)
то из уравнений (6) получим
2	2
X и ------_ = с^2и _ sh2 u = 1в
а b
Верхняя половина правой ветви гиперболы соответствует изменению и е [0, оо), а нижняя - изменению и е (-оо, 0].
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 187
Выясним, как параметр и связан с параметром 0 в параметрическом уравнении эллипса, и попутно укажем способ построения гиперболы с помощью циркуля и линейки. Так как наш способ построения гиперболы будет основан на способе построения эллипса, то мы изложим эти два способа построения совместно (рис. 40). Ограничимся построением частей эллипса (2) и гиперболы (6), находящихся в первой четверти. Проведем две концентрические окружности радиуса а и Ъ с центром в начале координат. Проведем луч, выходящий из начала координат под углом 0О к оси х. Пусть 7\ и - точки пересечения этого луча с указанными окружностями (О7\ = &, = а). Проводя из точек Т\ и Nx прямые, параллельные осям х и у соответственно, получим точку их пересечения Мэ = (х0, у0), принадлежащую эллипсу (2). Затем проводим луч ОМЭ. Пусть N2 - точка пересечения этого луча с окружностью радиуса а; Р - точка пересечения этого луча с прямой, параллельной оси у и проходящей через точку эллипса А=(а, 0). Уравнение луча ОР можно записать:
Отсюда следует, что ордината точки Р равна Yn = --------.
*0
Далее соединим точку Вг = (х0, 0) с точкой N2 и из точки А
Рис. 40
188
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
проведем прямую, параллельную BYN2, которая пересечет луч ОР в точке Q.
Из подобия треугольников OAQ и OBYN2 получим, что OQ = а2/х0. Радиусом OQ на оси х отмечаем точку В2=(а2/х0, 0).
Теперь из точек В2 и Р проводим прямые, параллельные осям у и х соответственно. Точка пересечения этих прямых Мг= (Хо, Уо), где Хо = а2/х0 принадлежит гиперболе (4).
В самом деле, так как точка (х0, у0) лежит на эллипсе (2), то
а2 Ь2 а2Хд Xgb2 *о I 1,2 J хо °2
т. е. точка Мт принадлежит гиперболе (4).
Отметим, что точка В2 = (а2/х0, 0) является точкой пересечения касательной к эллипсу в точке М9 с осью х (см. сноску на стр. 139).
Таким образом, каждой точке (х, у) эллипса (2) соответствует вполне определенная точка (X, У) гиперболы (4) и обратно.
Теперь, если эллипс (2) задан параметрически, то
х = a cos 0, у = Ь sin 0.
Поэтому
а2 а
X = — =-------, У =
X COS0
Отсюда, учитывая (6), получаем
аг/
— = dtg0.
1
ch и = ----- , sh и = tg 0.
cosG
Имеют место также следующие формулы:
0
11 2
1 - cos 0
1 + cos 0
chu -1
chu + 1
и
-‘Sji
1	1 + sin 0
= ------ + tg 0 = ---------- =
cos 0	cos 0
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
189
t. e.
0	. О?
cos — + sin —
2	2J
. 20 m —
2
20	• .
cos —sin 2
0	.	0
cos — + sm —
2	2
0	.	0
cos----sm —
2	2
. (n 0 sm — + —
U 2
(71	0
cos — + —
\4 2
Парабола
, (it 0 ] и = In tg —I— .
l4 2
y2 = 2px (p > 0).
(8)
= tg
Отметим на оси x точку F с абсциссой х = р/2, называемую фокусом параболы (8), и проведем прямую х = -р/2, называемую директрисой параболы (8) (рис. 41).
Парабола (8) может быть еще определена как геометрическое место точек А = (х, г/), равноудаленных от фокуса и директрисы. В самом деле (см. рис. 41)
z	\2
I Р 1 ЛГ2 = x-f + у2,
Рис. 41
190
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
АВ2 =
\2
Р_ ] 2 )
следовательно,
\2	z \2
Р I	(	р ]
—	+ »2 = х + —
2) у I 2
-рх + у2 = рх,
т. е.
у2 = 2рх.
Обратно, из этого уравнения следует, что точки, ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному геометрическому месту точек.
Из уравнения (8) видно, что парабола (8) симметрична относительно оси х. Ее верхняя половина имеет уравнение
у = ^2рх (0 < х < оо),	(9)
из которого видно, что когда х пробегает полуинтервал [0, ©о) возрастая, ордината у возрастает от 0 до ©о.
Укажем простой способ построения параболы (9) с помощью линейки и прямого угла или с помощью циркуля и линейки. Проведем прямую х = -2р (рис. 42). Возьмем на этой прямой произвольную точку К = (~2р, у), у > 0. Соединим эту точку с началом координат и проведем прямую, проходящую через начало координат, перпендикулярную к прямой ОК. проводим прямую через точку К параллельно оси х. Последние две прямые пересекаются в точке М = (х, z/), которая принадлежит параболе (9), так как ОА = у есть среднее геометрическое чисел 2р и х (у = ^2рх ).
Парабола (8) не имеет асимптот1.
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 4.20.
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
191
Пара пересекающихся прямых
а2х2 - Ь2у2 = (ах - Ьу)(ах 4- by) = 0 (0 < а, Ь). (10)
Если какая-либо точка (х, у) удовлетворяет уравнению (10), то она удовлетворяет одному из уравнений
= (10.)
ах + by = 0 J
или обоим. Обратно, если точка (х, у) удовлетворяет одному из уравнений (10'), то она удовлетворяет и уравнению (10). В этом смысле говорят, что (10) есть уравнение пары прямых.
24.3.	Классификация кривых второго порядка
Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).
Более детально:
при АС - В2 > 0 кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;
при АС - В2 < 0 кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));
192§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
при АС - В2 = 0 кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).
Мы позволяем себе говорить «кривая» даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.
Итак, пусть задано уравнение
Ах2 4- 2Вху 4- Су2 4- 2Dx 4- 2Еу 4- F = 0,	(1)
где коэффициенты А, В, С одновременно не равны нулю. Не нарушая общности, можно считать, что А > О, А > С, В > 0. К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:
х = Т|,1 х =
У = £ J У = п .
и умножения левой и правой частей (1) на -1.
Если В = 0, А > С > 0, то (1) можно записать в виде
(	D]2	(	Е]2	Е2	D2
А * + Т +C I/ + -	+ F- — - — = 0. (11)
<	AJ	V	CJ	С	А
Параллельный перенос
D	Е
преобразует уравнение (11) следующим образом:
F2	Л2
А? + Ст]2 =	+ — - F.	(11')
С	А
Е2	D2
Если число — + ----- - F > 0, то уравнение (11')
Cz	А.
собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями а, &, где
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
193
/А, Ь2 =
Е2 D2 ---1--- С А
-F
/
/С.
Отметим, что в данном случае АС - В2 = АС > 0.
Если же правая часть уравнения (11х) равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).
При отрицательной правой части уравнение (11') дает мнимую кривую.
Если число С = 0, А > 0, то (1) можно записать в виде
( ' D}2	D2
А х + —	+ 2Еу + F - — = 0.
Пусть число Е Ф 0, тогда параллельный перенос
_	D	F	D2
с = х + —, Т| = у +---------
ъ	А9 1 у 2Е 2АЕ
преобразует уравнение (12) в уравнение
А$2 + 2Ец = 0,
которое (после замены, если нужно, Т| на -Т|) представляет собой уравнение параболы (случай 3)).
(12)
(12')
Если Е = 0, то в зависимости от знака числа---В,
•	А
мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь АС - В2 = 0.
Далее, если число С < 0, А > 0, то уравнение (1) можно записать:
I Я] [ Е]	Е2 D2
-|С|(^Иj +г+и- —-0, (13)
анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае АС - В2 = АС < 0.
194§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Случай А = О, С < 0 сводится к уравнению типа (12).
Итак, при В = 0 уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)-6).
Пусть теперь В > О, А > С. Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование
У = У& + Х1Ч\>' где
11 А-С ____ I-1--г-—.-  .  . - х1~у2 2у/4В2 + (А — С)2 ’
J1 А-С
2 2^4В2 +(А-О2 ’ которое приводит квадратичную форму Ах2 + 2Вху + Су2 к каноническому виду.
Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):
\^2 + \>П2 + D(x£ - J/Jl) +	+ Х,Т|) + F = 0, (15)
где
|ГА + С + м L
J4B2 + (А - С)2
12 = |Га + С - ^4В2+(А-С)2 A L
(Xj > Х2, XjX2 = АС - В2). Перепишем уравнение (15) в виде Х^2 + Х2Т|2 + (x.D + У1Е% + (х.Е - У1П)ч\ + F = 0. (15') , Уравнение (15') является частным случаем уравнения (1) при В = 0, которое мы уже исследовали.
Таким образом, мы можем сказать, что если:
§24. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 195
1)	АС - В2 = W > 0, то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу;
2)	АС - В2 = W < 0, то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу;
3)	АС - В2 =	= 0, то уравнение (1) изображает
параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую, В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.
Пример 1. Выяснить характер кривой
2х2 4- 7з хг/ + z/2 + 2х + 2 7з г/ + F == О,
где F - произвольное действительное число.
л/з
В данном случае А=2 > С = 1, В = - > О, АС - В2 =
2
5
= ~ > 0, т. е. уравнение принадлежит эллиптическому
типу. Легко подсчитать (см. пример в § 23), что
7з 1	5	1
xi 2 > Ух - 2 ’	- 2 ’	~ 2 •
Поэтому с помощью ортогонального преобразования
х = |(7зЧ - п),
у =	+ Тзп)
наше уравнение запишется
196
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
|п2 + (л/з - п) + >/з(^ + л/з т|) + F = О
ИЛИ
z	\ 2
5 С 2 гт 1	1	16
- ^ + -7з + -(Я + 2)’ = — - F.
& \	)	А	О
Осуществим еще параллельный перенос
“ = 5+1^. v = т] + 2,
тогда будем иметь
2
1 ,	16
4- —и2 = — — F.
2	5
(16)
16
Если — - F > 0, то (16) будет уравнением эллипса с 5
полуосями а, &, где
а2 = 2(16 - 5F)/25, b2 = 2(16 - 5F)/6.
16	16
Если —----F = 0, то (16) дает точку. Если — - F < О,
о	о
то (16) представляет мнимую кривую.
§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве
Уравнение зз	з
"У*, аы xkxi + At + В = О, (1) k=l z=i	i=l
где аы = ал, Ap В - заданные постоянные числа, а х = (хр х2, х3) - переменная точка в R3, определяет, вообще гово
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА 197
ря. некоторое множество точек в R*, называемое поверхностью второго порядка. Если уравнение (1) не удовлетворяется ни одной действительной точкой х = (хр х2, х3), то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. Нас эти случаи не будут интересовать. В некоторых случаях уравнение (1) может определять пару различных или совпадающих плоскостей или одну-единственную точку. Но и такие множества мы будем называть поверхностями.
Перечислим важнейшие частные случаи уравнения (1): 1) Эллипсоид
х2 у2 г2
-2-	+ Т2- + ^-=1 (а, 6, с, > 0). а о с
2) Однополостный гиперболоид
2	2	2
X и 2 7VV1 с>«)-
3)	Двуполостным гиперболоид
2	2	2
X у 2
-^—^—-^-=1 (а, 6, с > 0).
4)	Эллиптический параболоид
2	2
х у
5)	Гиперболический параболоид
2	2
X у
(р,д>0).
6)	Конус второго порядка
х2 у2 22
— + 72--— =0 (а, 6,с>0).
а b с
7)	Точка
х2 + у2 4- г2 = 0.
198
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
8)	Цилиндры второго порядка: цилиндр эллиптический
х2 У2
—+зт=1 («> ь>о), а Ь
цилиндр гиперболический х2 у2 -2—^=1 («. Ь>0), а о
цилиндр параболический
У2 = 2рх (р > 0), пара пересекающихся плоскостей
а2х2 - Ь2у2 = 0 (а, Ъ > 0),
пара параллельных или совпадающих плоскостей х2 - а2 = 0 (а > 0),
z2 = 0, прямая
х2 + у2 = 0.
При рассмотрении частных случаев уравнения (1) мы считали, что х = хр у = х2, z = х3.
Можно доказать, что для каждого частного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из перечисленных выше восьми видов. Это следует из общей теории § 22. Само преобразование уравнения (1) производится так же, как в § 24. Нахождение собственных значений Хр Х2, Х3 сводится к решению кубического уравнения.
Укажем еще один путь нахождения собственных чисел и собственных векторов, который мы по сути дела уже рассмотрели в § 23 в двумерном случае. Собственные значения Хр Х2, Х3 самосопряженного оператора А и принад
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА 199
лежащие им нормированные векторы х1, х2, х3 (|х'| « 1, Axj == Хх', j = 1, 2, 3) можно находить следующим образом (обоснование см. ниже). Вводим определитель (ahl = alk):
Р(Х) = |А - ХЕ| =
а11 ”	°12	**13
а21	°22 ~	а23
а31	а32	а33 ~
где Е - единичная матрица. Находим корни Хр Х2, Х3 уравнения
|А - ХЕ| = 0,	(2)
которое называется характеристическим уравнением оператора ADQ^ = 0, у = 1, 2, 3). Это и есть собственные числа оператора А. Они действительные, причем они могут быть разными, но могут и совпадать - быть кратными. Таким образом,
Р(Х) = (\ - Х)(Х2 - Х)(Х3 - X).
Затем для корня Хх ищем нетривиальное решение х = s (хр х2, х3)	однородной	системы	уравнений:
(ЛЦ “	^*1)^1 +	#12^2 +	<*13*3 =	О’
+ (а22 "" ^1)х2 +	а23Х3 =	0’ ”	(3)
+	а32Х2 + (^33 “ ^1)х3 =	О
или соответствующего уравнения для оператора А -
(А - \Е)х = 0,	(3')
где Е - единичная матрица и векторы х = (хр х2, х3), О = (0, 0, 0).
Если Xj - простой корень (т. е. в данном случае Xj отлично от Х2 и от Хд), то ранг матрицы системы (3) необходимо будет равен двум (ранг (А - \Е) = 2), и мы получим единственный, с точностью до знака, вектор х1 = ,х$р,х^), удовлетворяющий системе (3), т. е.
200§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(А -	~ О
или
Ах1 = Х^1.
Если Xj - корень второй кратности (Xj = Х2 Х3), то система (3) необходимо имеет ранг, равный единице (ранг (А - Хх2?) = 1), и будет иметь два ортонормированных решения х1 и х2 ([ж1! = |ж2| =1, (ж1, х2) = 0), которые являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению Хр
AxJ = Хж' (у = 1, 2, Хх = Х2).
Наконец, если Хх - корень третьей кратности (Xj = Х2 == = Х3), то система (3) необходимо имеет ранг, равный нулю (ранг (А - Хз) = 0), и будет иметь три ортонормированных решения ж1, ж2, ж3:
Ах1 = Хж' (у = 1, 2, 3, Хх == Х2 = Х3).
Любые три ортонормированных вектора в 7?3 могут быть взяты в качестве собственных векторов ж1, ж2, ж3, принадлежащих собственным числам Хх = Х2 = Х3.
Обоснуем сказанное. Мы знаем, что в R3 существует система ортонормированных векторов ж1, ж2, ж3 и действительные числа Х1? Х2, Х3 такие, что
AxJ = Х.ж' (J = 1, 2, 3).
При этом можно указать ортогональную матрицу А такую, что (см. § 22)
ААЛ1 =
0	0
Х2 о
0 Х3
Отсюда для переменного числа X имеет место тожде
ство
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
201
Л(А - Х£)Л-! =
Xi - X 0	0
0	Л<2 — X о
О О Х3 - X
(4)
(А(А - ХЕ)Л“1=ЛАА“1-ЛХЕЛ"1=ААА_1-ХЛЛ_1=ЛАЛ-1 - ХЕ).
Определитель матрицы А - ХЕ мы обозначили выше через Z>(X). Он, как это видно из (4), равен определителю матрицы, стоящей в правой части (4), так как
. (Xj - Х)(Х2 - Х)(Х3 - X) = |Л(А - ХЕ)Л-1| = .
= |Л||А - ХЕЦЛ-Ч = |А - ХЕ| = D(k).
Таким образом,
Е(Х) = (Хх - Х)(Х2 - Х)(Х3 - X).
Мы получили, что корни многочлена Z)(X) совпадают с собственными значениями Хр Х2, Х3 оператора А. Они, таким образом, действительны.
Пусть Хх - простой корень и, следовательно, Хх Х2 и X* Ф Х2. Тогда матрица справа в (4) при X = X* имеет ранг, равный двум (ранг Л(А - Х1Е)Л~1 = 2), но тогда ранг (А -- Х*Е) = 2. Ведь решения однородной системы (3) и системы
0 •	+ 0 • 22 + 0 • 23	= 0,
0 •	4- (Х3 — к])22 4- 0 • 2%	= 0,	►
0 •	2г	4- 0 • 22 4- (Х3 - XX)Z3	= 0,
(5)
соответствующей матрице (4), преобразуются друг в друга при помощи ортогональной матрицы (системы (3) и (5) эквивалентны). Система же (5) имеет только одно (с точностью до знака) нормированное решение (±1, 0, 0). Но это возможно, лишь если ранг (А - Х2Е) « 2.
Можно дать и такое объяснение этого факта. Если предположить, что все определители второго порядка, порожденные матрицей А - ХхЕ, равны нулю, то тогда и
202
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
все определители второго порядка, порожденные матрицей Л(А - Х1Е)Л"1, также будут равны нулю, так как эти определители являются линейными комбинациями определителей второго порядка из матрицы А - \Е. Но этого не может быть, ибо определитель, порожденный матрицей Л(А -Х^Л"1,
о
Х3 — Хх
Х2 — Хх о
* 0.
Если теперь \ = Х2 Ф Х3, то, рассуждая аналогично, получим, что ранг (А - \Е) = 1, и тогда существует в точности два ортонормированных решения х1, х2 системы (3), соответствующих \ = Х2.
Наконец, при X* = Х2 = Х3 будет ранг (А - \Е) = 0, т. е. все элементы матрицы А - \Е равны нулю. В этом случае любой вектор х = (хр х2, х3) является решением системы (3). Это приводит к тому, что любые три вектора х1, х2, х3, образующие ортонормированную систему, будут собственными векторами, принадлежащими собственному значению Хх = Х2 = Х3.
Заметим, что в этой ситуации квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (а1?	а13 = а23 = 0, ап =
~а22 ~ а33 ~	.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Х1 + Х2 +	+ 2хЛ + 2х2хз-
Здесь ап = а22 = а12 = а13 = а23 = 1, а33 = 0. Составим характеристическое уравнение:
1-Х	1	1
1 1-Х 1
1	1-Х
= 0
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
203
или
-X(i - X)2 + 2 - 2(1 - X) + X = 0, -Х(1 - X)2 + ЗХ = 0.
Легко видеть, что X = О является корнем этого уравнения. Найдем два других корня:
з - а - V = о, (1 - V = з, 1 - х = ± 7з, х = 1 ±7з .
Таким образом,
хх = i + 7з, Х2 = 0, Х3 = 1 -7з,
т. е. мы получили случай:. X* > Х2 > Х3.
Найдем собственный вектор х1. Для этого составим
систему (3):
- д/3хх + х2 + х3 = 0, хг - у[3х2 + х3 = 0, ► *1 + х2 - (1 + 7з)х3 = 0.
Любые два уравнения этой системы линейно независимы. Решая систему из двух первых уравнений, получаем
1 + 7з 1 + Тз
2 хз’ Х2 2	Х,>
Таким образом, вектор
У1
(1 + л/з 1 + 7з
------ Хо, ---------Хо, Хо О О’ о о’о
является решением системы и, нормируя его, получим собственный вектор
.	(	I—	।—	\
у1 1 + V3 1 + Уз 1
х ~ ly1! (^з+Тз ’ г-Уз+Тз ’ л/з + Тз, Найдем х2 (Х2 = 0):
204
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Хг + Х2 + Х3 = 0, Х1 + х2 +	*3 = 0, ►
Xj + х2 + 0 • х3 = 0.
Решая систему из двух последних уравнений (так как определитель из коэффициентов при х2 и х3 не равен нулю), получим х2 = -хр х3 = 0.
Вектор у2 = (Хр -xv 0) является решением системы, а вектор
- собственный единичный вектор. Легко видеть, что он ортогонален х1 (скалярное произведение этих векторов равно нулю). Наконец, при Х3 = 1 - д/з находим, что
Г	г~ \
1__________1________1 + V3
<А/б + 2>/з ’7б + 27з ' ^6 + 2у1з,
- третий собственный вектор.
Ортогональная матрица перехода от координат вектора х = (Хр х2, х3) в системе (i, j, k) к координатам вектора х = (£р ^2, £3) в системе (х1, х2, х3) имеет вид (см. § 17, (15))
Л =
у(1) ~(1)
Х1 х2
~(2) у(2)
Xi х2
у(3) у(3)
Х1 х2
~(1)
Х3
~(2) х3
~(3)
Х3
^2 = ^41 + х22>^2 + *2%>
*3 = X^i + Х^2 +
(6)
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
205
Данное преобразование сохраняет ориентацию (так как |д| = 1 > 0), т. е. система (х1, х2, х3) ориентирована так же, как исходная система (i, /, k).
Подставляя в нашу квадратичную форму вместо xv их значения по формулам (6), получим ее канонический вид
(1 + Тзц? + (1 - 7з)^.
Остановимся теперь лишь на более подробном изучении уравнений и описываемых ими поверхностей, указанных выше восьми типов.
Эллипсоид
X	и	2
—+ V2- + -T = 1 («. Ь, с, > 0).	(7)
а	Ь	с
При а = b = с эллипсоид (7) обращается в сферу радиуса а с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии а.
Величины а, Ь, с называются полуосями эллипсоида.
Если в уравнении (7) заменить (одновременно или порознь) х на -х, у на -у, z на -z, то оно не изменится, -это показывает, что эллипсоид (7) есть поверхность, симметричная относительно координатных плоскостей х = 0, у = 0, г = 0 и начала координат. Поэтому достаточно изучить уравнение (7) в первом октанте (системы координат), т. е. для х > 0, у > 0, 2 > 0. Часть эллипсоида, находящаяся в первом октанте, определяется явным уравнением, например
1 х2 У2 А Л X2 У2 =	, х>°, У>°,
f а о	а о
Для определенности будем считать, что а > Ь > с. Эллипсоид есть ограниченная поверхность. Он находится внутри шара радиуса а с центром в начале координат: для координат любой точки эллипсоида (х, у, г) имеет место неравенство
206
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
х2 4- у2 4- z2 < а2
х2 у2 z2 ---4- — 4--- a2z b2 с2
= а2 • 1 = а2.
Чтобы составить более точное представление об эллипсоиде, произведем сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, пересекая эллипсоид плоскостями z = й(-с < h < с), получим в сечении эллипсы
с полуосями
Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении эллипсоида плоскостью z = 0. Аналогичная картина будет при сечении плоскостями х = h (-а < h< а), у — h (-b < h < b).
Эллипсоид (7) имеет вид, изображенный на рис. 43.
Точки (±а, 0, 0), (0, ±й, 0), (0, 0, ±с) лежат на эллипсоиде (7) и называются его вершинами.
Если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид (7) будет эллипсоидом вращения, т. е. получа
Рис. 43
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
207
ется от вращения эллипса относительно соответствующей оси координат.
Однополостный гиперболоид
X	У	Z
— + ТГ-~ =1	(a, fe, с > 0).	(8)
а	b	с
По виду уравнения (8) заключаем, что однополостный гиперболоид является поверхностью, симметричной относительно координатных плоскостей и начала координат. Числа а, Ь, с называются полуосями однополостного гиперболоида. Точки (±а, 0, 0), (0, ±&, 0), лежащие на поверхности (8), называются вершинами однополостного гиперболоида.
Пересечем поверхность (8) плоскостью z = Л, тогда в сечении получим эллипс
2	2
£. £_
2 А2 а b
с полуосями
L Л2 ь к Л2
V с2 V с2
Рис. 44
208§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
При изменении h от -«> до +<*> этот эллипс описывает поверхность (8).
Если теперь пересечь поверхность (8) плоскостью х = h (или у = Л), то получим в сечении гиперболу
у2	h?	=
b2 с2 1 а2 1а2 с2 Ь2)-
При h = ±а первая гипербола распадается на две пря-Ъ мые у = ±— г. с
Если |й[ < а, то действительной осью симметрии соответствующей гиперболы является прямая, параллельная оси Оу, а. при |Л| > а - прямая, параллельная оси Oz.
Действительной осью симметрии гиперболы мы называем ту из осей симметрии, которую гипербола пересекает.
Если а = Ъ, то поверхность (8) в сечении плоскостями z = h будет иметь окружности радиуса a^l + th2/с2) • Поверхность (8) в этом случае образуется от вращения 2	2
X 2
гиперболы —«----= 1 около оси Oz. Общий вид однопо-
а с
лостного гиперболоида изображен на рис. 44.
Двуполостный гиперболоид
X	и	2
— -Т2--2=1	(а, 6,0 0).	(9)
а	о	с
Так как уравнение (9) содержит только квадраты переменных, то данная поверхность симметрична относительно плоскостей х = О, у = О, 2 = 0 и начала координат.
Уравнение (9) запишем еще в виде
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
209
О')
Отсюда ясно, что, пересекая поверхность (9') плоскостью х = h (|й| > а), получим в сечении эллипс
с полуосями
&7(Л2/«2)-1 , c^{h2/а2) -1 .
При \h\ < а число (й2/а2) - 1 < 0, и поэтому нет точек пересечения поверхности (9') и плоскости х = й.
При сечении поверхности (9) плоскостями z = h (у = й) получим гиперболы
Точки (±а, 0, 0) лежат на поверхности (9) и называются вершинами двуполостного гиперболоида. Поверхность (9) изображена на рис. 45.
Рис. 45
210
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Эллиптический параболоид
2	2
— Р ч
= 2z
(р, q> о).
(Ю)
Так как в (10) присутствуют квадраты переменных х и у, то данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей х = 0, у = 0. Далее, так как мы считаем р, q > 0, то поверхность (10) расположена в полупространстве z > 0.
Пересекая поверхность (10) плоскостями z = h (h > 0), в сечении будем, получать эллипсы
2	2
р q
= 2Л
с полуосями
^2ph , yj2qh .
При изменении h от нуля до °° данные эллипсы описывают нашу поверхность (10).
Пересекая поверхность (10) плоскостями х = h (или у = й), мы получим в сечении параболы
У2 - 2g
Л2>
2 2Р.
со смещенной вершиной в точке z =
= 2р
h2
2р
ТгИ z = —
2g •
При р = q поверхность (10) будет поверхностью вращения, получающейся от вращения параболы х2 = 2pz около оси Oz. В этом случае поверхность (10) называют параболоидом вращения.
Точка (0, 0, 0) лежит на поверхности (10) и называется вершиной эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид изображен на рис. 46.
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
211
Гиперболический параболоид х2 у2
(p9q>0).	(И)
По виду уравнения (11) заключаем, что данная поверхность симметрична относительно плоскостей х = 0, у = 0. Пересекая поверхность (11) плоскостями z = h, мы будем получать в сечении гиперболы
причем при h > 0 действительная ось симметрии гиперболы будет параллельной оси Ох, а при h < 0 - оси Оу. При h = 0 в сечении будут две пересекающиеся прямые.
При сечении поверхности (11) плоскостями х = h или у = h получим параболы, направленные ветвями вниз или вверх:
„2	А2	-2	J»2
у	h	х	п
- — = 2z - —, — = 2и + —.
Q	Р	Р	Q
Поверхность (11) изображена на рис. 47.
Рис. 46
Рис. 47
212§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Конус второго порядка
X2 у2 Z2
—+ Т2-— = 0	(а, &, с>0).	(12)
а Ъ с
Ясно, что данная поверхность симметрична относитель-
но плоскостей х = О, у = 0, г = Ои начала координат.
При сечении поверхности (12) плоскостями z = h будем получать эллипсы
2	2	1.2
х	у _ h
а	о с
с полуосями а|Л|/с и Ь|Л|/с.
Если же пересекать поверхность (12) плоскостями х = h
или у = Л, то в сечении получим гиперболы
Z2 у2 _h2
с2 Ъ2 a2	U2 а2 Ь2/
Если теперь пересекать (12) плоскостями у = hx, то в сечении получим пару пересекающихся прямых
z = ±сх д/(1/«2) + (Л2/Ь2)
Вид конуса изображен на рис. 48.
Рис. 48
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
213
Точка
х2 + у2 + z2 = 0.	(13)
Уравнению (13) удовлетворяет только она точка х = у = = 2 = 0.
Цилиндры второго порядка
а)	Эллиптический цилиндр
х2 у2
Т + ^-=1	(а, 6 > 0).	(14)
а о
Уравнение (14) не содержит переменной z. На плоскости хОу уравнение (14) определяет эллипс с полуосями а и Ъ. Если точка (х, у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х, у, z) лежит на поверхности (14). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Oz и пересекающей эллипс
в плоскости хОу.
Эллипс (14) называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения указанной движущейся прямой - образующими.
Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической. Поверхность (14) изображена на рис. 49.
Рис. 49
214
§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
б)	Гиперболический и параболический цилиндры
х2 у2
-7-^=1	(а, &>0),	(15)
а о
у2 = 2рх	(р > 0).	(16)
В данном случае направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими -прямые параллельные оси Oz и проходящие через гиперболу или параболу в плоскости хОу. Поверхности (15) и (16) изображены на рис. 50 и 51.
в)	Параллельные и пересекающиеся плоскости. Прямая.
а2х2 - Ъ2у2 = 0	(а, Ъ > 0),	(17)
х2 - а2 = 0 (а > 0),	(18)
z2 = 0,	(19)
х2 + у2 = 0.	(20)
Для поверхности (17) направляющими являются прямые линии
а у - ±-х.
Поэтому поверхность (17) есть пара пересекающихся плоскостей. В уравнении поверхностей (18) и (19) отсутствуют по две4 координаты. Уравнение (18) в плоскости хОу есть пара прямых х = ±а.
Рис. 50
Рис. 51
_______§25. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА_____215
Если мы будем брать х = ±а и любые у и z, то точки (±а, у, 2) будут удовлетворять уравнению (18), поэтому поверхность (18) есть пара параллельных плоскостей.
Уравнение (19) описывает плоскость хОу, так как этому уравнению удовлетворяют любые точки вида (х, у, 0), все множество которых и составляет плоскость хОу.
Можно также рассматривать 2 = 0 как направляющую в какой-либо из плоскостей xOz или yOz, а образующими являются прямые, параллельные оси Оу или оси Ох и проходящие через прямую 2 = 0.
Уравнению (20) удовлетворяет любая точка с х = у = 0 и любым 2. Поэтому (20) изображает прямую, а именно, ось Oz.
Линейчатые поверхности
Некоторые поверхности второго порядка образованы движением прямой. Такими являются все цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Однако имеются и другие поверхности, которые также образуются движением прямой.
Поверхность, образованная движением прямой, называется линейчатой, а целиком лежащие на ней прямые -прямолинейными образующими.
К линейчатым поверхностям относятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
Уравнение однополостного гиперболоида (8) можно записать в виде
х2 22	у2
~аГ~ё = 1 “ V или, разлагая левую и правую части на множители, получаем
Составим систему уравнений первой степени:
(21)
(22)
где k - произвольный параметр.
216
§25. ПОВЕРХНОСТЬВТОРОГО ПОРЯДКА
При определенном значении этого параметра k мы получим прямую линию, а при изменении k - семейство прямых. Если мы перемножим уравнения (22) почленно, то получим уравнение (21) нашей поверхности. Поэтому любая точка (х, г/, г), удовлетворяющая системе (22), находится на поверхности (21). Следовательно, каждая из прямых семейства (22) целиком лежит на поверхности однополостного гиперболоида.
Совершенно аналогично система
(23)
где I - параметр, также определяет семейство прямых, отличное от семейства (22), принадлежащее поверхности (21).
Через каждую точку гиперболоида (21) проходит по одной прямой каждого семейства, вообще при различных значениях параметров k и I (рис. 52). Например, через
точку (
Ь, с) поверхности (21) проходит прямая
(22) при k = (2 +д/б )/(2 +^2 ) и прямая (23) при I = (2 + + Тб)/(2-Т2).
Рис. 52
§26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 217
Отметим, что однополостные гиперболоиды нашли применение в практике строительства. Сооружение различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида сочетает в себе прочность конструкции с простотой ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит нашему соотечественнику инженеру В. Г. Шухову (1853-1939). По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в г. Москве, она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.
Легко убедиться, что два семейства прямых
(24)
(25)
образуют поверхность гиперболического параболоида (11).
Прямые, соответствующие семействам (24) и (25), лежат на этой поверхности и, обратно, любая точка этой поверхности есть пересечение некоторой прямой семейства (24) с некоторой прямой семейства (25).
§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве
з з	з
Xkxt + 2Уд xt + В = 0,	(1)
*=i i=i	i=i
где akl = alk, А19 В - постоянные числа - коэффициенты уравнения.
В § 25 было перечислено восемь видов 1)-8) (частных случаев) уравнения (1) и была отмечена возможность доказательства того, что для каждого данного уравнения
218 §26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из указанных видов.
Ниже дается доказательство этого утверждения.
Мы начинаем с того, что рассматриваем квадратичную форму, фигурирующую в левой части уравнения (1).
На основании теоремы 2 § 22 эту форму можно привести при помощи соответствующего ортогонального преобразования
з
*, =	(i = 1, 2, 3)	(2)
$=1
к следующему виду: з з 21 21 akl XkXt = Xj х{2 + Х2 х*2 + Х3 х'32 , /г=1 1=1
где Хр Х2, Х3 - определенные действительные числа.
Подчеркнем, что равенства (2) определяют преобразование исходной прямоугольной системы координат х19 х2, х3 к некоторой другой прямоугольной системе х[, х2 , х3. Точка, имеющая координаты (хр х2, х3) в исходной системе, в новой системе имеет координаты (х^,х2 , Х3), получаемые посредством обращения операции (2).
В новой прямоугольной системе наша поверхность имеет, очевидно, уравнение
з
W + W + W++ В = о, (3) k=l
где A'k - некоторые постоянные числа.
Рассмотрим сначала случай, когда все три числа Хр Х2, Х3 отличны от нуля (Xf Ф 0, i = 1, 2, 3).
В этом случае перенесем систему координат х{, х2 , х3 так, чтобы ее начальная точка перешла в точку (ар а2, а3); тогда получим вторую прямоугольную систему координат где
х- = at + (i = 1, 2, 3).
§26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 219
В ней уравнение нашей поверхности имеет вид
+ Х2(а2 + у* + Х3(а3 +	+
+ 2£a;(**+Q + B = 0
Л=1
или
+ М! + +AMi + в1 = о, Z=1
где - некоторая константа. Если положить
а< = -^	(/ = 1’2»3),
то это уравнение упростится:
М? +	=-Bv	(4)
Предположим, что числа Хр Х2, Х3 одинакового знака.
Если при этом = 0, то уравнению (4) удовлетворяет единственная точка, именно нулевая точка (О, 0, 0) (см. 7) §25).
Если Вх Ф 0 и имеет знак чисел Хр Х2, то, очевидно, нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (4). В этом случае поверхность (1) мнимая.
Если же Вх Ф 0 и имеет знак, противоположный знаку чисел Х2, Х3, то уравнение (4) можно записать в виде
t2 t2 t2
Ъ1 . Ь2 . ЪЗ	= 1
Xi Х2 Х3 или, полагая
о	-^1	» ч	•®2 о
а2 =	62 = -т2-, с2 -
Xi	Х2	Х3
в виде
(5)
t2 t2 t2
^- + |т + |г =1	(a, fe, с > 0).
Таким образом, поверхность (1) есть эллипсоид (см. 1) §25).
Пусть теперь два из чисел Хр Х2, Х3 имеют один знак, а третье - противоположный им знак.
220	§26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Если при этом Вх = 0, то можно считать в уравнении (4), что > 0, Х2 > 0, к3 < 0, умножая (4), если это нужно, на -1 и переставляя, если это нужно, местами . Тогда, положив
111
’ ^2 ~ ^2 ’ ^3 “ ” ^2	(а> Ъ, С > 0),
получим уравнение конуса (см. 6) § 25)
Ai.+£L^ =0
а2 Ь2 с2
При Ф 0 воспользуемся снова формулой (5). Выделим два существенно различных случая:
Е2 Е» Е|
-у + --2" = 1 (рднополостный гиперболоид 2) § 25),
а2 Ъ2 с2
= 1 (двуполостный гиперболоид 3) § 25).
К этим двум случаям сводятся и остальные случаи путем соответствующей замены координат
Пусть теперь А = s 0. Тогда по крайней мере одно из чисел Хр Х2, Х3 равно нулю. Будем считать, что Х3 = 0, поменяв, если нужно, местами £f.
Итак, пусть Х3 = 0. Выделим сначала случай, когда
Аз = 0. Тогда уравнение (3) имеет вид
+ ^гх22 + 2( AJ А2 х2) + В = 0,
где числа Х2,	, А2 , В могут быть любыми.
В плоскости (х{, х2 ) это есть общее уравнение кривой второго порядка. В пространстве (х[, х2 , х'3) ему соответствует уравнение цилиндрической поверхности (см. 8) § 25), проходящей через плоскую кривую второго порядка с образующей, параллельной оси х3 (см. 8) § 25).
Далее мы будем всегда считать, что А3 Ф 0 и Х3 = 0, и тогда уравнение (3) имеет вид
(\ Х{2 + 2 а; х{) + (l2xf + 2А2 х2 ) + А'3 х'3 + В = 0. (3')
§26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 221
Существенно различными случаями являются следующие: а) Х2 > 0; б) Хх > 0, Х2 < 0; в) Хх > 0; Х2 = 0. Другие случаи сводятся к ним заменой координат или умножением на -1.
Рассматриваем случай а) Хр к2 > 0. Вынесем за скобки множители Хх и Х2 и дополним выражения в этих скобках до полных квадратов. Тогда получим, учитывая, что Хр Х2, A3 отличны от нуля,
+ а)2 + Х2(х’2 + Р)2 + 2А3(х'3 + у) = 0, где а, р, у - соответствующие числа. Полагая
5 = х{ + а, Т] = х'2 + р, £ = х'3 + у,
получим
ХЛ2 + ^П2 = ~2А^
ИЛИ
F2 п2
2?- т
Xi Х2
Если - A3 >0, то уравнение (6) имеет вид
V л2
—+ — = 2£ (эллиптический параболоид 4) § 25) (7) (P,q> 0).
Если же - A3 < 0, то заменяя £ на мы снова получим уравнение вида (7), т. е. эллиптический параболоид.
Рассмотрим теперь случай б) Хх > 0, Х2 < 0 (A3	0).
Воспользуемся уравнением (6). Если A3 < 0, то это уравнение записывается в виде
Л 2	„2
ъ Л
-------= 2^ (гиперболический параболоид см. 5) § 25) (8)
<p,q> 0).
222	§26. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Если же А3 > 0, то после замены местами и Т| снова получим уравнение вида (8), т. е. гиперболический параболоид.
Переходим теперь к случаю в) Xj >0, Х2= 0 (А3* 0). Тогда уравнение (3') сводится к следующему:
(Xj Xj2 + 2 А} ) + 2(^2 х2 + А3 х') + В = 0.
Вынося за первые скобки дополняя выражение в этих скобках до полного квадрата (учитывая, что
А3 * 0), получим
\( х{ + а)2 + 2 А2 х2 + 2 А3 (х3 + Р) = 0, где ос, р - некоторые числа. После замены
= х{ + а, Г| = х’2 , С = х'з + ₽ это уравнение превратится в следующее:
Х^2 + 2(А'П + АК) = 0.	(9)
Рассмотрим в плоскости (т|, Q вектор (О = (А2 , А3). Запишем его в виде
(А2, А3) « p(cos a, sin а),
где р > 0 - длина (0, a (cos a, sin а) - единичный вектор, направленный в сторону (0. Другой вектор (sin a, -cos а) тоже единичный и перпендикулярен к первому.
Введем в плоскости (т|, £) ортогональное преобразование
и = т| cos а + £sin а, v = т| sin а - £cos а.
Этим прямоугольная система координат Т|, £ заменяется на прямоугольную систему координат и, и, а прямоугольная система координат Т|, заменяется на прямоугольную систему координат и, v. В результате уравнение (9), которое может быть записано так:
+ 2р(т| cos ос + £ sin ос) = 0, принимает следующий вид:
Х^2 + 2ри = 0,
или меняя и на -и,
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
223
¥ = 2ри(р = р/Х1 > 0), или наконец, меняя местами £ и и, '• и2 = 2р£, (р > 0),
т. е. мы получили уравнение параболического цилиндра (в прямоугольных координатах (!;, и, о)).
Мы рассмотрели все случаи, могущие иметь место для уравнения (1), и в каждом из них нашли прямоугольную систему координат, в которой уравнение (1) имеет один из видов 1)-8) § 25. Утверждение доказано.
§ 27.	Плоскость в R л
27.1.	Общие рассмотрения. В§6 мы условились называть точкой или вектором n-мерного пространства Rn систему чисел (хн ..., хп) и обозначать буквой х:
х = (*1...х>
Числа xj назывались координатами точки (вектора) или компонентами вектора х.
В § 7 мы определили отрезок [х°, у0], соединяющий точки
=	ХОп), yO-trf, У°п)>
как множество точек х е Rn, которые можно представить с помощью равенства
х = Хх° + цу° (X > 0, ц > 0, X + (1 = 1).
Точки х°, yQ называются концами отрезка [х°, у0]. Будем называть х° начальной точкой отрезка [х°, у0], а у0 - его конечной точкой. Тогда можно считать, что [х°, у0] есть направленный отрезок с начальной точкой х° и конечной точкой у°.
Как в случае трехмерного пространства, направленный отрезок [х°, у0] будем считать равным вектору
=	- х?,..., у* ~ х°п).
Если к векторам х°, у° прибавить произвольный вектор
224§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
а = (ар ап),
то получим векторы
х' = х° + а, у' = yQ + а,
для которых, очевидно,
у' - х' = у0 - х°.
Это показывает, что точки х' = х° + а, у' « yQ + а, каков бы ни был вектор а, определяют один и тот же вектор, равный yQ - х°.
Направленный отрезок [0, х], начало которого есть нулевая точка 0, а конец - точка х, называют радиус-вектором точки х.
Итак,
X - (хр хп)
есть точка Rn, х также есть радиус-вектор точки х, т. е. направленный отрезок [0, х] и, наконец, х может обозначать вектор, определяемый любым отрезком [х°, у0], для которого yQ - х° = х.
Пример 1. Направленные отрезки [х1, у1], [х2, у2], где
х1 == (0, 0, ..., 0), у1 = (1, 1, ..., 1),
х2 = (3, 3, ..., 3), у2 = (4, 4, ..., 4)
равны одному и тому же вектору а = (1, 1, ..., 1).
27.2.	Плоскость в Rn. Зададим п действительных чисел Ар ..., Ал, одновременно не равных нулю, т. е. таких, что выполняется неравенство
> 0.
/=1
Зададим также действительное число В.
По определению геометрическое место точек х = (хр ..., хл), удовлетворяющих уравнению
+ В = 0,	(1)
/=1
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
225
называется плоскостью, а уравнение (1) называется уравнением этой плоскости.
Будем еще говорить: плоскость (1) вместо того, чтобы говорить: плоскость, определяемая уравнением (1).
При п = 3 плоскость (1) есть реальная плоскость.
Если умножить уравнение (1) на произвольное число М Ф 0, то получим уравнение
у А'1х1 + В' = 0 ( а; = MAf а = 1, ..., п), В' = МВ), (1')
эквивалентное уравнению (1).
Таким образом, уравнения (1) и (1') определяют одно и то же геометрическое место точек. Учтем еще, что
£(а;)2 =^Хау2 >о.
/=1 /=1
Но тогда уравнения (1) и (Г) суть уравнения одной и той же плоскости.
Систему чисел Av ..., Ап удобно мыслить как вектор
А-(А. -Мп).
Этот вектор заведомо ненулевой, потому что его длина положительна:
Jn £л2 >0. /=1
Как мы отмечали выше, буквы х = (хр ..., хп) обозначают не только точки пространства Rn, но и радиус-векторы точек х. Но тогда левую часть уравнения (1) можно записать как скалярное произведение векторов А и х:
AiXl + ... + Апхп = ^А/Х/ = (А, х),
/=1
а само уравнение (1) записать в виде
(А, х) + В - 0.
Эквивалентное же ему уравнение (1') запишется в виде
(А', х) + В' = 0,	(2')
где А' = МА, М*0, S'= МВ.
8 Бугров Я С
226
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
Таким образом, А' есть вектор, коллинеарный вектору А, т. е. А’ получается из вектора А умножением его на число М Ф 0. Число В' тоже получается из числа В умножением последнего на это же число М.
27.3.	У равнение плоскости в нормальном виде. Среди векторов А' особый интерес представляет единичный вектор, т. е. вектор, имеющий длину 1.
Чтобы получить его, множитель М надо подобрать так,
п чтобы оказалось, что |А'| = 1 (|А'|2 = М2^ А? ).
/=1
Отсюда ясно, что
Будем число М всегда выбирать так, чтобы при В Ф 0 число р = -МВ было положительным. Если В = 0, то за число М можно брать любое из двух возможных его значений.
При таком выборе числа М вектор А' = МА будет единичным, и мы его обозначим через v = (vp ..., vn), т. е.
"	п
\ = МА. (j = 1, .... п), 2Л =	= к
7=1	/=1
В силу введенных обозначений уравнение (2х) запишется:
п
lbvixi -р>
/=1
(3)
где
п =1, р > 0.	(4)
/=1
Уравнение (3), где числа v;. и р удовлетворяют условиям (4), называется уравнением плоскости в Rn в нормальном виде.
Уравнение (1), где Av ..., Ап, В - произвольные числа, но числа Ар ..., Ап одновременно не равны нулю, называется уравнением плоскости в Rn в общем виде.
§27. ПЛОСКОСТЬВ Rn
227
Мы доказали, что любое уравнение плоскости в общем виде может быть приведено к нормальному виду умножением на определенное выше число М. Число М называется нормирующим множителем.
Очевидно и обратное, если умножить уравнение плоскости (3) в нормальном виде на произвольное не равное нулю число, то получим ему эквивалентное уравнение вида (1), где числа А. одновременно не равны нулю.
27.4.	Уравнение плоскости в векторной форме.
Уравнение (3) можно еще записать, очевидно, в виде
(v, X) - Р.	(3')
Введем в рассмотрение вектор
а = pv = (pvp ..., pvn) = рМА.
При р > 0 он направлен в сторону единичного вектора v и имеет длину, равную р: |а| = |pv| = p|v| = р.
Если р = 0, то а = 0.
Помножим равенство (3') на р > 0 и учтем, что
Р2 = (pv, pv);
тогда получим
(pv, х) = (pv, pv), или
(а, х) = (а, а).
Учитывая свойства скалярного произведения, последнее равенство можно записать в виде
(а, х - а) = 0.	(5)
Обратными рассуждениями из (5) можно снова получить (3'). Это показывает, что равенство (5) эквивалентно уравнению плоскости (1), т. е. уравнение (5) можно считать уравнением рассматриваемой нами плоскости (1). Говорят еще, что уравнение (5) есть уравнение плоскости (1) в векторной форме при В Ф 0 (т. е. р > 0).
Таким образом, плоскость (1) - это геометрическое место точек х, которые удовлетворяют уравнению (5).
228
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
Пусть теперь р = 0 или, что все равно, В == 0. Тогда уравнение (3') имеет вид
(V, х) = 0.
(5')
Уравнение (5') и есть уравнение плоскости (1) в векторной форме при В = 0. Оно выражает, что множество всех точек плоскости (1) состоит из всех точек х е Rn, удовлет-
воряющих (5'), где V = МА (М = ±1/ j у А? ) - любой из / IM
двух возможных единичных векторов.
27.5.	Геометрическая интерпретация уравнений. Условимся говорить, что вектор с ортогонален к отрезку [х°, у0], если он ортогонален к вектору у0 - х°, т. е. если
(с, у° - х°) = 0.
Будем также говорить, что вектор с ортогонален к плоскости L, если он ортогонален к любому отрезку, принадлежащему L.
Покажем, что если точки х1 и х2 принадлежат плоскости (5), то и отрезок [х1, х2] принадлежит этой плоскости. В самом деле, по условию
(а, х1 - а) = 0, (а, х2 - а) = 0.
Далее, произвольная точка х отрезка [х1, х2] может быть записана в виде
х = Хх1 + цх2 (X > 0, ц > 0, X + ц = 1),
поэтому
(а, х - а) = (а, Хх1 + цх2 - а) =
=(а, Хх1 + |ix2 - (X + ц)а) = (а, Х(хх - а) + ц(х2 - а)) = = (а, Х(хх - а)) + (а, ц(х2 - а)) =
= Х(а, х1 - а) + ц(а, х2 - а) = X • 0 + ц • 0 = 0.
Таким образом, х принадлежит плоскости (5), а следовательно, и весь отрезок [х1, х2] принадлежит этой плоскости.
§27, ПЛОСКОСТЬ В Rn
229
Из уравнения (5) видно, что точка а принадлежит к этой плоскости: (а, а - а) = (а, 0) = 0.
В силу вышесказанного плоскость (1) можно определить как геометрическое место точек х е Rn таких, что разность х - а, где х - радиус-вектор точки х, ортогональна к вектору а.
Покажем еще, что вектор
А = (Д, ортогонален к плоскости (5).
В самом деле, в силу равенства а = рМА (р > 0) вектор А коллинеарен вектору а и, следовательно, он ортогонален к любому вектору х - а, принадлежащему плоскости (5), т. е. ортогонален к плоскости (5) или, что все равно, к плоскости (1).
Итак, числа Ап в уравнении плоскости (1) имеют геометрический смысл - вектор А = (Ар ..., Ал), составленный из коэффициентов при этого уравнения, ортогонален к плоскости (1).
Если р = 0 или, что все равно, В = 0, то рассматриваем уравнение (5'), эквивалентное уравнению (1). Уравнение (5') выражает, что множество всех точек х плоскости (1) состоит из точек х, радиус-векторы которых ортогональны к вектору v = МА.
В этом случае вектор А = (Ар ..., Ал), коллинеарный вектору V, снова ортогонален к плоскости (1).
27.6.	Уравнение плоскости, проходящей через п точек
Теорема. Пусть задано п точек х1 = (xj ,	х*),
Хп = (х",	х"),
определяющих матрицу
Q -
Х1 - Х1 х2 - х|
х2-хх
•^п •Л'п
х" - xj
xj -Х2
(6)
хп — х^
Лп лп
230
§27. ПЛОСКОСТЬ В
Тогда если ранг Q равен п - 1 (ранг Q = п - 1), то через указанные п точек можно провести плоскость и притом единственную.
Если же ранг матрицы Q меньше чем п - 1 (ранг Q < <п - 1), то через указанные п точек можно провести бесконечное множество плоскостей.
Доказательство. Пусть ранг Q = п - 1.
Уравнение искомой плоскости запишем в виде
п
+ В = 0.	(7)
Так как эта плоскость должна проходить через точку х1, то должно удовлетворяться равенство
п
+ В = 0.	(8)
/=1
Вычитая равенство (8) из равенства (7), получим уравнение п
-xj) = 0,	(9)
/=1
справедливое для всех точек х искомой плоскости.
Так как точки х2, ... хп должны принадлежать искомой плоскости, то их координаты должны удовлетворять уравнению (9), т. е. должны выполняться равенства
= 0,
/=1
............................... (Ю)
- *)) = о. /=1
Итак, числа должны быть решениями однородной системы, состоящей из равенства (9) и равенств (10), где х = (хр ..., хл) - произвольная точка искомой плоскости. Но числа должны быть одновременно не равны нулю. Поэтому определитель однородной системы должен равняться нулю:
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
231
Xi-xJ	x2-xj	...	xn-x\
„2	„1	„2 _ 1	2 _ 1
X1 Xj	x2 X2	...	xn xn
X1 xx	x2 X2	...	Xn xn
(11)
для всех точек x = (xt, ..., xn) искомой плоскости.
Уравнение (11) и есть уравнение искомой плоскости. Если определитель левой части этого уравнения разложить по элементам первой строки, то получим уравнение вида (9) с коэффициентами равными определителям (п - 1)-го порядка, порождаемым матрицей Q с соответствующим знаком. По условию среди этих определителей есть хотя бы один, не равный нулю.
Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь ранг матрицы Q меньше п - 1 (ранг Q < < п - 1). Тогда, рассуждая, как прежде, мы придем к тому, что любая точка х плоскости, проходящей через заданные п точек, должна удовлетворять системе, состоящей из уравнения (9) и уравнений (10) при некоторых постоянных ..., Ал.
Так как ранг Q < п - 2, то система (10) имеет бесконечное число решений Ар ..., Ал. При этом по крайней мере два из чисел Ау, пусть Аг и А2, могут быть любыми независимыми друг от друга числами - им можно придавать любые числовые значения.
Если подставить найденные числа Ар ..., Ап в уравнение (9), то различным не пропорциональным между собой парам Ар А2 будут соответствовать заведомо разные плоскости, проходящие через заданные п точек.
Второе утверждение теоремы доказано.
Уравнение (11) можно записать в форме
хг	х2	...	х„	1 Х11	х!	...	х\	1 xf	хп2	...	х"	1	= 0.
232
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
27.7.	Условия ортогональности и параллельности плоскостей. Угол между двумя плоскостями в R п
п
(12) 7=1
п
£а;х; + в' = о	(13)
7=1
определяется по аналогии с трехмерным случаем. А именно, углом между плоскостями (12), (13) называется угол ф между векторами А = (Ар ..., Ал) и А' — (А{, ..., А'), которые, как мы выяснили, перпендикулярны к плоскостям (12) и (13) соответственно.
На основании формулы (8) § 6 имеем
п
Плоскости (12) и (13) перпендикулярны тогда и только тогда, когда cos ф = 0 , т. е.
п
^А,А’ - 0.	(14)
7=1
Две плоскости (12), (13) параллельны тогда и только тогда, когда перпендикулярные к ним векторы А и А' коллинеарны (А = ХА')> т. е. когда
27.8.	Уравнение плоскости, проходящей через точку. Если точка (х°, хл) = Q0 лежит на плоскости
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
233
^AjXj+B = Q,	(16)
/=1 то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости
2АЛ°+В = 0.	(17)
/=1
Вычитая (17) из (16), получаем
£а,(х,-х70) = 0.	(18)
/=1
Уравнение (18) называется уравнением плоскости, проходящей через точку Q° = (х®,	х„)-
В векторной форме уравнение можно записать так:
А(р - р°) « 0,	(189
где
А ~ (Ар Ал), р « (Хр хл), Р° = (х1°. .... х«).
Здесь, как мы знаем, вектор А перпендикулярен плоскости (16), р - радиус-вектор текущей ее точки, р° - радиус-вектор заданной ее точки Q0.
27.9.	Прямая в пространстве Rn. Уравнения прямой в пространстве Rn можно вывести по аналогии с трехмерным пространством R3 (см. § 10).
Прямой L в Rn, проходящей через точку Q0 = (х*, ...,
хл) и направленной в сторону вектора а = (ар ..., ал) (|а| >0), называется геометрическое место точек Q = (хр ..., хл) е Rn, удовлетворяющих уравнениям
хг - xf = talf
(19)
= tan,
где t - действительная переменная, пробегающая интер
234
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
вал (~°°, «>). Удобно считать, что вектор а приложен к точке Q0.
Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой L.
Если ввести в рассмотрение радиус-векторы точек Q и Q0 прямой L:
р = (хр ха), р° = (х°, .... х°), то уравнения (19) запишутся:
р - р° = ta,	(19')
т. е. вектор р — р° коллинеарен вектору а.
Если действительная переменная (скаляр) t пробегает интервал (-«>, «>), то конец радиус-вектора
р = р° + ta
пробегает всю прямую L.
Уравнение (19') называется уравнением прямой в векторной форме.
Исходя из (19'), мы видим, что вектор а лежит на прямой L, потому что его начало Q° имеет радиус-вектор р°, а конец - р° +а. Оба эти вектора удовлетворяют уравнению (19') соответственно при t = 0 и t = 1 (см. § 7).
Если исключить параметр t из уравнений (19), то мы получим систему из (п - 1) уравнений:
х. - х? х2 - х2	х_ - х!?
—----L = —-----~ = ... = —----(19")
«1	«2	«п
Уравнения (19") называются уравнениями прямой L в канонической форме или каноническом виде.
Пусть заданы прямые
х1~Уг _	_ хп~Уп .. .
\	- ъп •
Углом между прямыми Lx и L2 называется угол <р между векторами
а = (ар а„), Ь = (&р ...» &„),
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
235
которые, как мы показали, лежат на соответствующих прямых Lx и L2, Они приложены соответственно к точкам (X?,...,	У°п).
Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Q0 = (х®, •••, хл) и перпендикулярно прямой, определяемой уравнениями
Х1~У1 _ Х2-У2 _	_ хп -Уп .„п.
Ъ2 - Ьп •	(20)
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку Q0, имеет вид (см. (18))
^А/х.-х») = 0.	(21)
7=1
Искомая плоскость должна быть ортогональной прямой (20), т. е. ортогональной вектору b = (др ..., дл).
С другой стороны, вектор А = (Ар ... , Ап) ортогонален плоскости (21). Поэтому векторы А и Ь коллинеарны: А = ХЬ. Следовательно, уравнение искомой плоскости запишется:
Х&уЦ-х?) = 0. 7=1
27.10.	Расположение (п - 1) плоскостей. Пусть заданы уравнения (п - 1) плоскостей
A}xt + ... + А>„ + В1 = 0,	(22J
А^х, + ... + А"~1х„ + В"*1 = 0.	(22^)
Если коэффициенты первого уравнения пропорциональны коэффициентам второго (А*: А% '• • •• • А* =	А?'- • ••
: Ад), то плоскости параллельны (см. 27.7).
Если указанная пропорциональность имеет место и для коэффициентов других уравнений, то все плоскости будут
236§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn параллельны между собой. В этом случае все определители (п - 1)-го порядка, порожденные матрицей ||а*|| коэффициентов А* уравнений (221)-(22n J, равны нулю.
Если хотя бы один из определителей (п - 1)-го порядка матрицы ||а*|| не равен нулю, то плоскости (221)~(22л_1) пересекаются по прямой. В самом деле, пусть для определенности
А£	А|	...	Ад-1
А2	А2	...	Л2-1
* 0.
(23)
АГ1 аг1... а-1
Тогда уравнения (221)-(22д_1) можно решить относительно хр ..., хп-1 и мы получаем
Xi =а1х„+ц1,
(24)
хп-1 &>п-1хп + Нп-1’
где ар ..., ап_р ..., Цп_1 - некоторые числа.
Уравнения (24) эквивалентны следующим уравнениям:
ъ =  «...  т- (25)
Мы видим, что при условии (23) уравнения (п - 1) плоскостей (221)-(22п_1) определяют прямую (25). Она проходит через точку (цр	0) и имеет направление
вектора (ар ал_р 1).
Пример 2. Найти угол между прямыми хг - 1 х2 - 2 х3 - 3 х4 - 4
1	2	“	3	“	4 ’
х4 — 4 _ х2 -3 _ х3 - 2 _ х4 -1
2
1
3
4
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
237
Решение. Векторы а == (1, 2, 3,4), b = (4, 3, 2, 1) лежат на наших прямых, расположенных в четырехмерном пространстве Rv Поэтому угол ф между этими векторами и будет углом между прямыми:
14 + 2-3 + 3 2 + 4-1	2
С0£3ф= 712 +22 + 32 +42V42 +32 + 22 + 12 = 3 ’
2
27.11.	Расстояние от точки до плоскости. Пусть задана плоскость П, определяемая общим уравнением
п	п
YAixi + В = О (|Л|2 = X > 0)>	(26)
>1	>=1
или векторным уравнением
(А, р) + В = 0,	(27)
или же нормальным уравнением
(Р, V) = р (р> 0),	(28)
где А = (Ар ..., Ап), р - радиус-вектор текущей точки _ А В Q = (Хр ..., хл) плоскости П, v = +	, Р =	•
Зададим некоторую точку Q0 = (х®,	хл). Радиус-
вектор точки Q0 обозначим через р°.
Расстоянием от точки Q0 до плоскости П называется длиной d отрезка, опущенного из нее на П.
Покажем, что d = |(р - р°, v)|,	(29)
т. е. расстояние d до П равно абсолютной величине проекции вектора р — р° на направление единичного вектора _ А , V = + |^ (ортогонального к П).
На рисунках 53 а и 53 б изображена плоскость П и точка Qo. На рис. 53 а точки О и Qo находятся по разные
238
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
стороны от П (П пересекает OQ0). А на рис. 53 б — по одну сторону от П (П не пересекает OQ0).
Через точку Qo проведена плоскость По, параллельная П. Из точки О проведена прямая, перпендикулярная к П (и По), пересекающая П и По соответственно в точках В и Во. На ней отмечен единичный вектор V, идущий от точки О по направлению к П.
Обратимся к рис. 53 а. Векторы р0 - р образуют острый угол. Проекция р0 - р на направление V есть положительное число, равное длине отрезка |ВВ0|, которая в свою очередь равна расстоянию от Qo до П:
|ВВ0| = d = (V, р0 - р).
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
239
На рис. 53 б v образует острый угол с р0 - р и на этот раз расстояние от QO до П равно
|BBj = d = (v, р - р0).
Оба полученные равенства объединяются равенством (29) или, что все равно, равенством:
d = l(v, р0) - р|.
Таким образом, для того чтобы вычислить расстояние d от точки Q0 до плоскости П, надо записать уравнение плоскости П в нормальном виде (28), перенести р в левую часть и подставить в последнюю (х®, ..., х„) вместо (хр ..., хл). Абсолютная величин^ полученного выражения и есть искомое число d.
На языке параметров плоскости, очевидно,
d =
Пример 3. Найти расстояние d от точки
пространства Rn до плоскости
х. 4- т/2 х9 + т/з х« + ... + д/п х„ + 1 = 0. 1	w	А	О	Д
Решение. Согласно сказанному выше

2(п -I-1) п
27.12. Различные задачи.
Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей (1-3):
1.	1х. 4- 2х9 4- ... 4- пхя = -1.
1	Z	л
240
§27. ПЛОСКОСТЬ В Rn
п
Ответ: --у-.====^-.— д/п(п + l)(2n +1)
2.	x+//+z+£ = 0.
у xi
3-	“tV/o+i)- к
6
п(п + l)(2n +1)
п I Ti	।-----
X I /I 4" 1	|П + 1
Ответ: Z^n/(j + 1)xj =	.
4.	Найти угол ф между плоскостями в Я4: (8 + 759 )Xj + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0, 4Xj + Зх2 + 2х3 + (8 + -УбЭ )х4 = 1.
л
Ответ: ф = — . о
5.	Найти угол ф между плоскостями в R2n:
2п	2п .j
= о, Х?х =1.
/=1	/=11 7
Я
Ответ: ф = ~ (плоскости ортогональны).
6.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки пространства R*.
Q. = (1, 0,	0),
Q2 = (0, 1,0, ...,0),
Qn = (0, ..., 0, 1).
Ответ: хх 4- х2 + ... + хп = 1.
7.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1, 2, ..., п) перпендикулярно плоскости:
пхг + (п - 1)х2 + ... 4- 2xn_j 4- хл = 4.
Хл -1	х2 - 2
Ответ: ----- = ----— =
п	п -1
1
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 241
8.	Написать уравнение плоскости в Rit проходящей через точки
Q, = (1, 0, 0, 0), Q2 = (1, 1, 0, 0),
Q3 = (1, 1, 1, 0), Q4 = (1, 1, 1, 1).
Ответ: хг = 1 (1 • хг + 0 • х2 + 0 • х3 + 0 • х4 = 1).
§ 28.	Линейное программирование
28.1.	Введение. Линейное программирование - это раздел математики, изучающий методы нахождения максимальных или минимальных значений линейной однородной формы - линейной функции
п
f{xv ...» х„) =	(1)
/г=1
в некоторой области G n-мерного пространства Rn = {-©о < < хг < ©о, i = 1, ..., п}, где сь - постоянные числа, не все равные нулю.
Ясно, что если G =« Rn, то линейная функция (1) не имеет наибольшего и наименьшего значений: sup/ = +©©, inf/ = -©о.
Однако если мы будем рассматривать ограниченную замкнутую область G, то линейная функция / (непрерывная на Ял, а следовательно, и на G) достигает своих максимальных и минимальных значений на G. Так как
Э/	____
Эх, = с< (/ = 1, п = 1, п)
и ct одновременно не равны нулю, то линейная функция / не имеет стационарных точек. Поэтому наибольшее и наименьшее значения эта функция достигает только на границе 3G.
Так как max/ = -min(-/), то в дальнейшем мы будем говорить только о минимуме линейной функции / на G.
28.2.	Транспортная задача. Характерной задачей, приводящей к указанной выше проблеме (нахождения минимума или максимума линейной функции), явля-
242
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
стоя транспортная задача. Требуется наиболее экономно, в смысле транспортных затрат, перевезти потребителям заказанную ими на данных предприятиях продукцию. Характер продукции в данном случае не имеет значения. Важно, что речь идет об однотипной продукции.
Итак, пусть имеются предприятия (производители) Bv ..., В8, выпустившие продукцию в количестве соответственно bv ..., b8 тонн. Эту продукцию надо доставить потребителям Ар ..., At в количествах av ..., at тонн соответственно, т. е. ар - количество продукции, заказанное потребителем Ар.
Таким образом, надо считать, что
g=l р=1 т. е. вся произведенная продукция распределена между предприятиями. Стоимость перевозки тонны продукции от Bq к Ар обозначим через с . Пусть количество продукции, доставленной из Bq в Ар, будет х^. Тогда стоимость перевозки продукции будет
s t
S=	х .
q=lp=l
Требуется так составить план перевозок, чтобы сумма транспортных расходов S была минимальной.
Таким образом, мы пришли к следующей математической задаче.
Дана линейная функция
s t
S =	.
J—d ЧР ЯР д=1 р=1
Требуется найти ее минимум при ограничениях
(2)
р=1
3
51ХЯР “ ар
.0=1
(q = 1, s),
(Р = М),
(3)
т. е. сумма продукции, полученной потребителями Ар ..., At от производителя Bq, равна продукции bq9 выработан
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
243
ной этим предприятием, а сумма продукции, полученной потребителем?^ от всех производителей Вр ..., Вв, равна потребности ар этого потребителя.
По характеру задачи также ясно, что xqp > 0.
Таким образом, среди неотрицательных решений {х^} системы (3) необходимо выбрать такое, при котором S достигает наименьшего значения (минимизируется).
28.3.	Общая задача линейного программирования. В общем случае задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: даны система линейных уравнений
п
+ ь - О о = 1, .... т =	)	(4)
Л=1
(где можно считать, что > 0, изменяя, если нужно, знак в соответствующем уравнении (4)) и линейная функция
п
f= Хсл.	(1)
Л=1
Требуется среди неотрицательных решений системы (4) х = (хр ..., хл), х; > 0, найти такое решение, для которого линейная функция f принимает наименьшее значение.
Уравнения (4) обычно называют ограничениями данной задачи. Конечно, требование, чтобы х; > 0 (j = 1, п), тоже является ограничением, но оно присутствует во всех задачах подобного типа и его не принято называть ограничением. Любое неотрицательное решение системы (4) будем называть допустимым, а решение, реализующее минимум, - оптимальным.
Отметим, что уравнения системы (4) с геометрической точки зрения представляют плоскости в Rn. Чтобы задача о минимуме f была содержательной, необходимо, чтобы число т ограничений типа равенств было меньше п.
Например, при п = 2 наличие двух ограничений означает, что неотрицательное решение системы должно быть точкой (х0, у0) пересечения прямых, представляющих уравнения системы. Тогда задача о нахождении min/ сводится к вычислению f в этой точке. Если прямые параллельны, то задача теряет смысл. Если ограничений больше двух,
244§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
то система или несовместна, или же все прямые принадлежат одному пучку:
А(х - х0) + В(у - у0) = 0.
В этом случае минимум f также равен /(х0, у0).
В ряде практических задач (например, в задаче о диете) ограничения носят вид неравенств
п
Ь + ^e4aJkxk >0 (j = 1, тп , xk > 0, k = 1, п). (5) л=1
Однако от одного типа ограничений легко перейти к другому. В самом деле, если ограничения носят характер неравенств (5), то вводим новые добавочные неизвестные хл+1, ..., хл+т с помощью уравнений
= b> + X a]kxk И = m )•
Л=1
Тогда неравенства (5) равносильны условию хл+/ > 0 (/ = 1, m ), xk > 0 (k = 1, п), и мы пришли к ограничениям типа равенств (4), хотя и с большим числом переменных.
Обратно, пусть имеют место ограничения типа равенств (4). Тогда, решая эту систему (например, методом исключения неизвестных), мы после некоторого числа шагов или убедимся, что система несовместна, или же разрешим систему (4) относительно некоторых неизвестных:
хх =	+ ... + 04>л#л + Рр
....................................... (6)
хг =	+ ... + аг„х„ + Рг>
Здесь г - ранг матрицы коэффициентов системы (4).
Подставляя эти выражения хр ..., хг в функцию /, получаем
/ = С0 + <+1ХгН + ••• + с'пХп-
После этого исходная задача может быть сформулирована следующим образом. Даны система
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
245
а1,гИХг+1 + ••• + а1,пХп + Р1 - О, ....................................... (7)
W*1 + - + <*r,„Xn + Рг О
г линейных неравенств с п - г неизвестными х^, ... хп и линейная функция
/ = со + <+1*гН + - + спхп-	(8)
Требуется среди всех неотрицательных решений системы (7) найти такое, которое минимизирует /.
Эта задача эквивалентна исходной. В самом деле, если мы нашли решение задачи (7), (8) х°+1,	х°, то, находя
по формулам (6) неотрицательные значения х®, ..., х®, мы получим систему чисел
о оо	о
Х1’ Хг’ Хг+1’ Хп’
которая служит решением задачи (1), (4).
Таким образом, задачу линейного программирования можно ставить с ограничениями типа неравенств. Из такой постановки видно, что область G, в которой мы ищем минимум /, представляет собой «многогранник» в неотрицательном угле Rn (т. е. когда хк > 0, k = 1, и), а ее граница 3G состоит из «плоских граней», находящихся в плоскостях пространства Rn:
п
+ &, - 0.	(9)
*=1
Множество G a Rn называется выпуклым, если Ух, у g G ах + ру g G, а + р = 1, а, р > 0.
Из системы неравенств (7) ясно, что «многогранник» G выпуклый и G находится по одну сторону от любой из своих граней.
Слово «многогранник» мы пишем в кавычках, так как могут быть случаи, когда этот «многогранник» будет неограниченной частью неотрицательного угла Rn.
Например, при п = 2 и при тех ограничениях типа неравенств «многоугольник» G может быть неограниченным в первой четверти R2. На рис. 54 G - заштрихованная часть.
246
^гв^ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Рис. 54
В дальнейшем кавычки у слова «многогранник» мы будем опускать.
При нахождении минимума линейной функции f на замкнутой области G = Gn мы последовательно будем переходить на плоские грани Gn меньшей размерности. Отметим, что граница Э<тл n-мерного многогранника состоит из нескольких (п - 1)-мерных многогранников. Если Gn ~ ограниченный замкнутый многогранник, то линейная функция f достигает минимума в некоторой точке границы Эбл. При рассмотрении линейной функции f на этом новом многограннике меньшего числа измерений она снова будет линейной функцией, но от меньшего числа переменных и, следовательно, будет достигать минимума на границе ЭСЛ_Р которая состоит из (п - 2)-мерных многогранников. Продолжая этот процесс, мы придем к случаю, когда линейная функция рассматривается на одномерной грани (ребре бл), границей которой являются точки (вершины многогранника Gn).
Таким образом ясно, что если Gn - ограниченный замкнутый многогранник, то линейная функция достигает минимума в некоторой вершине Gn.
Если минимальное значение достигается в двух вершинах, конусах ребра, соединяющего эти точки, то в этой ситуации существует бесконечное множество точек, в которых линейная функция достигает минимума.
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
247
п
Замечание 1. Если функция f = ckxk + В, где В k=i
- постоянное число, то мы исследуем сначала линейную форму ф = f - В, и если min ф = ф0, то min f = ф0 + В.
Из приведенных соображений вытекает следующий геометрический метод решения поставленной задачи о минимуме линейной формы f.
Рассмотрим плоскости уровня функции /:
п
С = ^ckxk (~°° < с < оо).	(10)
/г=1
Уравнение (10) при различных С в пространстве Rn изображает семейство параллельных плоскостей (см. § 27). Будем непрерывно и монотонно изменять С от -оо до +©о. Тогда плоскость (10) будет передвигаться в Rn в направлении вектора (ср ..., ел), который, как мы знаем, перпендикулярен плоскости (10). Очевидно, что если сп > 0, то плоскость (10) поднимается вверх относительно оси хп при изменении С от -©о до +<*>; если же сп < 0, то плоскость (10) опускается вниз относительно оси хл. При сп = 0 плоскость (10) движется вправо или влево относительно оси хп_х в зависимости от знака числа сп_х (сп_х * 0). Если сп > 0 и при всех С < С*, где С* - некоторое действительное число, плоскость (10) пересекает область G, то inf/ = —ОО.
Если же этого нет, то при некотором С = Со плоскость (10), двигаясь в направлении вектора (ср ..., сл), впервые встретит замкнутую область G в некоторой точке (х® , ..., хл). Тогда в этой точке встречи функция / и достигает минимума.
На рис. 54 при п = 2 прямая уровня при возрастании С поднимается и при С = Со впервые встречает замкнутый многоугольник G в точке (х°, х°)- Значит, min/= /(х®, х°)-
Если грань многогранника G, проходящая через точку первой встречи G с плоскостью уровня, параллельна плоскости (10), то линейная функция / достигает минимума в любой точке этой грани.
Этот геометрический метод решения поставленной задачи эффективен лишь при п = 2, т. е. когда плоскости
248
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(10) - прямые и G - многоугольник, ограниченный или нет. При п = 3 взаимное расположение плоскостей и многоугольника G трудноуловимо, а при п = 4 мы просто не можем прибегнуть к наглядным графическим изображениям.
Пример 1. Найти минимум функции /(х, у)=3 - х -у (х > 0, у > 0) при ограничениях (рис. 55)
G ==
х - у +1 > 0, < 2у + х - 2 > 0, 4- у -2х > 0
Ясно, что область G есть треугольник с вершинами в точках М = (2, 0), N = (1, 2), Р = (0, 1). Прямая уровня функции /:
3 - х - у = С,
при возрастании С от -©о до +«> опускается относительно оси у (коэффициент при у отрицателен); ее первая точка встречи с G есть вершина 2V. Значение функции f в этой точке равно нулю (С = Со = 0). Итак, решение задачи есть х = 1, у - 2, f = 0.
В данном случае можно было бы просто вычислить значение f в точках М, N, Р и взять наименьшее: f(M) = = /(2, 0) = 1, f(N) = /(1, 2) = 0, /(Р) = /(0, 1) = 2, т. е. min f = f(N) = 0.
Рис. 55
Рис. 56
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
249
Пример 2. Найти минимум функции f = 3 - х + 2у при тех же ограничениях, что и в примере 1.
В данном случае прямая уровня функции
3 - х + 2у = С
при возрастании С от -©© до поднимается (рис. 56) вверх относительно оси у (с2 = 2 > 0) и ее первая точка встречи с областью G есть вершина М = (2, 0). Значение функции f в этой точке равно 1 (С = Со = 1). Здесь тоже проще всего взять наименьшее среди чисел f(M) = 1, /(2V) = 6,/(P) = 5.
Пример 3. Найти минимум функции f = -х при ограничениях
х + у - 3 > 0, х - у +1 > 0, -x + i/ + l>0, 2х + у > 0
Ясно, что последнее ограничение несущественно, оно перекрывается условием х > 0, у > 0.
Область G неограничена и представляет собой полосу (рис. 57) между прямыми х-у + 1 = 0, -х+у+1 = 0 и правее прямой х + у - 3 = 0, которая пересекает эти прямые в точках N = (1, 2), М = (2, 1).
При X —> +оо функция /(X, у) = -X —> -оо, (х, у) g G. Поэтому линейная функция f не имеет наименьшего значения (inf / = -<*>).
Рис. 57
Рис. 58
250
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В данном примере прямая уровня -х = С при возрастании С от -о® до +©о движется влево (Cj == -1 < 0) и при всяком С < -1 пересекает G, значит, inf/ = -©о.
П р и м е р 4. Найти минимум функции f=4-x + y-2z при ограничениях
G= Д<^+^+а<21
[ аг а2 J
где яр а2, а3 - положительные числа.
Ясно, что область G (рис. 58) есть часть пространства R3, находящаяся в первом октанте (х > 0, у > 0, г > 0) между плоскостями
X	у	2	X	у	2
---1---1-= 1,------1---1---= 1.
Я^	^2	«3	2а^	2я3	2я3
В данном случае многогранник G имеет шесть известных вершин
(Яр 0, 0), (2яр 0, 0), (0, я2, 0), (0, 2я2, 0),
(0, 0, я3), (0, 0, 2я3).
Поэтому, вычисляя функцию f в этих точках, легко находим ее минимум и максимум:
min/ = min{4 - av 4 - 2яр 4 + я2, 4 + 2я2, 4 - 2я3, G
[4- 2яр я. > 2яо, 4 - 4яЗ = min{4 - 2яп 4 - 4я3} = <
3	1	|4-4яз, Я! < 2я3;
max/ = 4 + 2я9. g	2
28.4. Векторно-матричная форма задачи линейного программирования. Задачу линейного программирования можно сформулировать также в векторно-матричной форме. Пусть с = (ср ..., сл), х = (хр ..., хл), 0 = (0, ..., 0) - векторы пространства Ял; Ь = (др ..., dw) - вектор из пространства
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
251
а11 а12 ••• а1п
°21 а22 ••• а2п
&т1 ^т2 * * * ^тп
- матрица размера п х т, составленная из коэффициентов системы ограничений (4). Линейная функция /(х) =
п
= ckxk = сх есть скалярное произведение векторов си х. k=i
Поэтому общую задачу линейного программирования можно записать в следующем виде: требуется минимизировать скалярное произведение сх при условии х > 0 и Ах + 6 = 0.
Примем столбцы матрицы А за векторы из Rm:
= (а1Р а12’ •••’	•••’ Pfi = (а1п’ а2п9 •••’ атпУ
Тогда легко получаем, что
Ах = (а11х1 + ... + а1пхп, ..., ат1хх + ... + атпхп) =
= (апх„ а21хр ..., ат1Х1) + ... + (а1пхп, ..., атпхп) =
= Р.х. + Р2х9 + ... + Рпхп.
Поэтому систему ограничений можно записать в виде
Р;х; = -6.
Если ранг А = ти, то среди векторов Рр ..., Рд имеется т линейно независимых, которые можно принять за базис в пространстве Rm (см. § 16). Следовательно, любой вектор (-6) е Rm может быть разложен по элементам этого базиса. Нам необходимо выбрать такой базис, чтобы вектор (-6) разлагался по векторам этого базиса с неотрицательными коэффициентами хр х2, ..., хп.
Различных тп-мерных базисов (ти < п) из векторов Рр ..., Рп конечное число. Среди них могут быть базисы, по элементам которых вектор (-6) разлагается с неотрицательными коэффициентами. Тогда минимум скалярного произведения (линейной функции) достигается на конеч
252§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ном множестве точек х = (хр хп) е Rn, где х - коэффициенты разложения вектора (-6) по элементам некоторых базисов.
Если базисов указанного типа нет (вектор (-6) не разлагается по элементам базисов с неотрицательными коэффициентами), то задача линейного программирования не имеет решения (неразрешима).
Таким образом, задача состоит в том, как найти базис
)
так, чтобы
т
-ъ =	, xk, > о,
7=1
и
т
min/ = min ex = ck, xk, . x7>0	y=i
28.5. Симплекс-метод. Реальные задачи линейного программирования содержат, как правило, большое число ограничений и неизвестных. Поэтому естественно, что решение таких задач связано с большим объемом вычислений. Это затруднение преодолевается с помощью быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ). Для каждой задачи разрабатываются алгоритм и программа, и затем ЭВМ в короткий срок дает решение поставленной задачи.
Существуют и другие общие методы, позволяющие найти решение любой задачи линейного программирования в обозримое число шагов.
Таким является симплекс-метод. Опишем идею этого метода.
Пусть надо найти минимум линейной функции
п
/(X) = с'о + Yc'ixi	UD
/=1
среди значений х} > 0 (/ = 1, ..., п), удовлетворяющих равенствам
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
253
п
^а*.х; + b'k = 0 (k = 1, т; т < п).	(4)
/=1
Неотрицательные решения системы (4) ху > 0 (у = 1, п) мы условимся называть допустимыми, а точку х = = (хр хл) - допустимой точкой. Покажем, как эту задачу можно решить, применяя симплекс-метод.
Пусть ранг матрицы А' = (a'j) равен г < т (г - ранг А'). Будем считать, что система (4) разрешима относительно Хр ..., хг:
п
xk = bk- IX (*-Г7),	(12)
/=г+1
и числа bk неотрицательны (bk > 0, k = 1, г).
В этом случае говорят, что переменные хр ..., хг образуют базис - базис В = {хр ..., хг}. Остальные переменные называются свободными или небазисными. Следует обратить внимание, что здесь понятие базиса не совпадает с понятием базиса из § 16.
Вопрос о возможности перехода от системы (4) к системе (12) будет рассмотрен ниже в п. 28.8.
Системы (4) и (12) равносильны, поэтому допустимая точка х системы (4) есть допустимая точка системы (12), и обратно.
Очевидно, точка Ъ =(bv ..., br, 0, ..., 0) допустимая, ее называют базисным решением, отвечающим базису В. Будем писать f(b) = fB. В силу равенств (12) функцию f можно записать в виде линейной функции от переменных
(j = г + 1, ..., п):
п
Ycixi-	(13)
j=r+l
г
Очевидно, что fB = с0 = с'о + S ci^i .
/=1
Первый этап симплекс-метода связан с рассмотрением функции /, определяемой равенством (13), и системы ограничений в виде равенств (12).
254§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Рассмотрим четыре возможных случая I, II, Ш+, Шо.
Случай I. Пусть с < 0 для всех / = г + 1, п. Тогда минимум /, определяемой равенством (13), относительно всех х. > 0, j = 1, ..., и, будет равен с0:
min f(x) = с0. х, го,
Этот минимум остается тем же для допустимых хр ..., хп. Этим задача на минимум решена.
Случай II. Пусть для некоторого /0 с7о > 0 и все коэффициенты я&7о матрицы А = (akj) неположительны: akj0 < о (А = 1,	г).
Тогда при любом xjfj > 0 (г + 1 < /0 < п) точка х° = (хр .... хг, 0, .... О, xjo , 0,	0).	(14)
где xk(k= 1, ..., г) вычисляются по формулам (12), будет допустимой, и если ее подставить в /, то получим f = = Со - cjoxjo -> -оо при xjo -> +оо. Поэтому
inf f(x) = -co, Xj >0
и нашу задачу о минимуме можно считать решенной.
Случай III. Пусть для некоторого /0 коэффициент Cj функции f положительный (Су0 > 0) и имеются положительные коэффициенты ak]Q в у0-м столбце матрицы А\ akjo >0 (k е е),	(15)
где е - множество индексов k, для которых выполняется неравенство (15).
Пусть
Ьи
min-*- = —2----8 > 0 (1 < k. < г, kn е е). (16)
Чо Ч/о
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
255
Элемент аЛо7о называют разрешающим элементом.
Рассмотрим отдельно случаи 8 > 0 и 8 = 0, которые будем обозначать через Ш+ и Шо соответственно.
Случай Ш+. Точка (14) для значений х/о , удовлетворяющих неравенствам 0 < X; < 8 (8 > 0), допустимая. В самом деле, в силу (12) при k е непосредственно видно, что
= akjoxje>O (akJo<Q), а при k е е в силу соотношений (15), (16) имеем хь= ьк~ akjoxjo bк - akja 6 = bk	bb
= bk- akj0 min— >bk- akj -±- = bk - bk = 0.
*ee <4	akj0
Если x/o непрерывно возрастает от 0 до 8, то все xk > 0 (k = 1, ..., г), a xkQ = bkQ - ak()jQXjQ к тому же непрерывно убывает от до 0. При дальнейшем возрастании х/о переменная xko становится отрицательной и точка (14) перестает быть допустимой.
Функция
f(x°) = С о -
при возрастании х/о от 0 до 8 убывает от f(b) = с0 до f(bl) = Со - с)оЬ , где
Ъ1 = (&! " <hie 3, .... br - arjo 5, 0,	0, 5, 0,	0) (17)
и 8 стоит на /0-м месте.
Таким образом,
Со = f(b) > К») = с0 - с7о5.
Отметим, что координата х^ (kQ е е) в (17) равна нулю:
256
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
•*4“ akQj0^ ~ ^kQ ak0J0 - 0.
Mo
Так как л^о7о > 0, то kQ-e уравнение системы (12) можно решить относительно xJq ;
Ъь	xk	i
x	± t, !	<18)
Мо	Мо /=Г+1,
Мы выразили Xj0 через х^ и остальные переменные xj (j * Jo’ )г + !)• Можно выразить через эти переменные также любую переменную xk (k Ф k0, 1 < k < г), если подставить выражение (18) вместо х/о в равенства (12), соответствующие любым k * k0.
Итак, в случае Ш+ удается решить систему (12) относительно переменных
xko_19 xJq, х^+1, ..., хг.	(19)
Условно запишем соответствующую систему равенств так:
(fe = l, .... г),	(20)
/=г+1
хотя на самом деле в этих равенствах только переменные xt (i * k0, j0) остались прежними, а остальные переменные х^ и х/о поменялись местами.
Покажем, что свободные члены
bl > о (k = 1, .... г).	(21)
В самом деле, если fee е, то (а*7о > 0)
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
257
Если же k е е (akj0 - 0), то
blk - Ь„ - ^4= Ь. +	= Ь„ + |ал?о|5 > 0
%о	а*о/о
и неравенства (21) доказаны.
Итак, переменные хр ...4 хг в системе (20) образуют базис - базис Вх (см. также (19)).
Для базисного решения Ь1 = (fej, ...,	0, ..., 0)
fB1 - /(Ь1) - Со - с>, S < со = /(*) = fB (<7. > °)-
Базис отличен от базиса В, и для него можно начать второй этап рассуждений (случай I, II, III).
Таким образом, случай Ш+ рассмотрен.
Случай Шо. Пусть cJq > 0, а*7о > 0 для k е е, 5 = 0.
В этом случае bkQ = 0 (см. (16)) и равенство с номером kQ в (12) имеет вид
п
х*ь= “ Il •	(22)
/=г+1
Если в равенстве (22) все коэффициенты 0*o,r+i, ..., cikon положительные, то система (12) имеет единственное допустимое решение х = 0, j = г + 1, ..., п; хк = Ък > 0 (й = 1,	г). Значение функции f на этом базисном реше-
нии будет: f ₽ с0. Задача на минимум функции f в этом случае решена.
Допустим, что в (22) имеются коэффициенты а*о7 < 0 для некоторого значения j (j Ф у0). Тогда, как и в случае Ш+, переходим к новому базису Вх (вводим в базис переменную х7о и выводим из него , аЛо7о - разрешающий элемент). Отметим, что в этом случае значение /в= 1вх (Ч = о).
258§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Итак, рассматривая базис В, мы либо решим нашу задачу на минимум, либо придем к новому базису Вг (В^В). К базису Вг снова применяем наш метод - это приведет к решению задачи либо к новому базису В2 (В2^ВХ). Продолжая этот процесс, получим цепочку базисов
BQ, Blt В2, ... (Во = В).	(23)
Если для некоторого s будет иметь место случай I или II, то цепочка на этом s оборвется и задача будет решена. Иначе от базиса В8 переходим к базису B8+i.
Однако может случиться цикл. Он заключается в том, что хотя каждый последующий базис цепочки и отличается от предыдущего, но для некоторых s и I (I > 1) будет происходить совпадение базисов: В8 = В8+1.
Разберемся, что здесь происходит. Для базиса Вв+/_1 произошел случай Шо, т. е. оказалось, что существует /0 (r+ 1 < ;0 < п) и такое k0 (1 < kQ < г), что
<7о > 0’	> О» Ч = 0 (5 = 0),	(24)
и это привело к базису В8 (Вя+1 = В8).
Но пара чисел (kQ, у0), вообще говоря, неединственна, и какая-то другая пара (k'o, /0), для которой выполняются свойства (24), может привести к базису, отличному от базиса В8. Это на самом деле и имеет место, как учит теория (см. ниже теорему 1 и замечания к ней).
Таким образом, если для некоторых s и I случится цикл, то его можно устранить. В этом случае для базиса Вв+Ь1 надо перебрать всевозможные пары (£0, /0), обладающие свойствами (24). Каждая такая пара приводит к некоторому базису. Среди них есть отличный от базисов Во, Вр ..., B8+l_v
28.6.	Устранение цикла. На практике циклы бывают очень редко. Все же объясним, как их можно «разорвать» (устранить).
Отметим теорему, доказательство которой будет намечено в п. 28.7.
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
259
Теорема 1. От любого базиса В существует путь, ведущий к решению задачи на минимум, т. е. существует цепочка базисов, получаемых симплекс-методом, приводящая к минимуму (или к -оо).
Итак, пусть имеем цикл
в„ В^,	В,+1 (Вг+1 = Вг).
Тогда, очевидно,
/в, = /в,+1= — = /в,+| •
Пусть s0 - наименьшее неотрицательное целое число, для которого
^bsq ~ \>+1 — ••• — ^в8()+1
, So<s, BSo = BSo+z).
Очевидно, для базисов
&sq > BSo+i, Bsq+i	(25)
имеет место случай Шо. Переход от любого из этих базисов Bs (s0 < s < s0 + Z) к последующему совершается посредством разрешающего элемента 0*o7o . Но базису В8 может соответствовать и другой разрешающий элемент, который переводит В8 в базис B's+1, отличный от В8+1 (В'+1 * В8+1).
Может случиться, что для любого s (s = s0, ..., s0 + I) базис B'+1 содержится в цепочке (25). Тогда все базисы (25) решают задачу на минимум, т. е. = /в^., = ... = = ^bsq+i = min/. Ведь по теореме 1 существует путь, ведущий от BSq к минимуму. Но в данном случае все пути от BSq ведут к базисам цепочки (25).
Однако может случиться, что для некоторого s разрешающий элемент базиса В8 переводит В8 в базис В'+1, не входящий в цепочку (25). Тогда мы получим новую цепочку
Bso, BSo+1,..., В„ B's+1	(26)
260
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
с новым последним базисом В'+1, который подлежит исследованию симплекс-методом.
Но указанных значений s может оказаться и много. Одна из цепочек может и не привести к нужному результату. Необходимо произвести перебор всех цепочек. Отметим, что сам перебор цепочек становится громоздким.
Если произошел цикл, то можно порекомендовать специальный метод выбора разрешающего элемента. Этот метод связан с дополнительными вычислениями, но зато последовательное его применение необходимо приводит к решению задачи без зацикливания (без образования циклов).
28.7.	Выбор разрешающего элемента. Симп-лекс-таблицы. Условимся вектор Q = (g0, q19 ..., qn) называть положительным (отрицательным) и писать Q > 0= = (0, ..., 0) (Q < 0), если его первая не равная нулю компонента положительная (отрицательная).
Будем говорить, что вектор Q меньше вектора D = (d0, ..., dn) или вектор D больше вектора Q, и писать Q < D или D > Q, если D - Q = (d0 - д0, .... dn - qj > 0.
Замечание 2. Целесообразность приведенных определений >, < для векторов Q можно подтвердить следующими соображениями.
Каждому вектору Q = (д0, ..., дл) поставим в соответствие многочлен от переменной t вида Q(t) = q0 + qrt + ... + gntn, который является непрерывной функцией и Q(0) = g0. Если qQ > 0, то найдется окрестность нуля такая, что для всех t из этой окрестности Q(t) > 0. Если же 9о=- =	= 0 и > °’ то
Q(t) = f*+1[g4+i + М + - + 9Z’*+1].
Многочлен в квадратных скобках больше нуля (qk+l > 0) в некоторой окрестности нуля. Далее tk+1 > 0 для t > 0. Значит, Q(t) > 0 для всех 0 < t < 0, где 0 - некоторое положительное число.
Таким образом, если вектор Q > 0, то соответствующий многочлен Q(t) > 0 для 0 < t < 0 при некотором 0 > 0.
Вернемся теперь к системе ограничений (12), которую мы запишем в форме
Таблица 1
Базис	xi •	•• х*о	... хг	Хг+1	xio	... хп	Свободные члены	Дополнительная матрица	
Х1	1 ..	.. 0	... 0	а1,н-1	aUo	- а1„	Ь1	с/ц	... dlr
х*о	0 ..	.. 1	... 0	akQ,r+l	a*oA>	••• akQll	Ь*о ‘	d*oi •	••• dkor
Хг	0 ..	.. 0	... 1	ar.rtl	“по	- ат	Ьг	dfl .	- dr,r
форма f	0 ..	.. 0	... 0	СН-1	cio	... с„	со	di	... dr
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
262
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
1, i = j, 0, i * j
матрица ||dj|
то базис В по-
п
х„ +	= Ьк (Ь„ > 0, k = 1, .... г), (12)
7=г+1
а линейную функцию (13) запишем в виде
п
f+ £СЛ = с0.	(13)
/=г+1
Здесь базис В = {хр хг}.
Оформим систему равенств (12) и (13) в виде таблицы 1 (матрицы).
Табл. 1 называется симплекс-таблицей. В табл. 1 мы приписали некоторую добавочную матрицу ||dj| размера г х г и добавочную строку (dv d). Введем в рассмотрение векторы
D = (с0> dv .... d,), D„ = (b„, d„v ...» dkr), A = 1, 2, .... r.
Базис В называется положительным, если все векторы Dk (k = 1, ..., г) положительные (Dk > 0). Например, если
единичная йц =
V
ложительный, потому что для любого k = 1, ..., г либо bk > 0, либо первый отличный от нуля элемент Л-й строки матрицы ||dj| равен 1 > 0.
Будем считать, что числа dtj подобраны так, что базис В положительный и матрица ||dj| невырожденная (т. е. определитель, порожденный матрицей, отличен от нуля). Вектор D выбираем произвольно. Можно считать, что В = (с0, 0, ..., 0).
В дальнейшем при переходе от базиса В к другому базису В' записи систем ограничений (12) и линейной функции (13) будут изменяться, этому соответствует изменение табл. 1 с помощью некоторых элементарных преобразований (см. § 4.7), которые мы распространяем и на добавочную матрицу ||dj| и добавочную строку (dv ..., dr). В результате векторы Dkn D будут соответственно изменяться.
Напомним, что в случае Шо существует /0 (г + 1 <у0< л) такое, что cJq > 0, и akoJo > 0, k е е, где е - непустое множество и, кроме того, Ък = 0 хотя бы для одного k е е.
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
263
Индексов у0, для которых имеет место П1о, может быть несколько. Не имеет значения, какой из них надо взять. Но, если мы остановились на некотором у0, то индекс kQ предлагается выбрать следующим образом:
1 1
--	= min-—Dk.	(26) а*о/о---------------------------*€е а*/о
Элемент ^ао7о разрешающий. В табл. 1 мы его поместили в рамку.
Минимум в (26) достигается для одного kQ9 потому что если бы нашлось kx е е9 для которого
1 1
~-----P*i = —
а^170	%/0
то в матрице ||dj| были бы две пропорциональные строки и она была бы вырожденной.
ЗамечаниеЗ. Так как мы рассматриваем случай Шо, то среди k е е имеются такие, для которых bk = 0, поэтому
1
min-----Dk
kEe akjQ
min-----Dk
be-o akio
т. e. индекс kQ находится среди таких k e e9 для которых
В п. 28.5 мы брали в качестве k0 одно из значений k е е9 для которых bk = 0. Но таких значений может быть несколько. В данном способе среди них выбирается одно такое определенное значение, обращающее в минимум
Мы уже знаем, что в данном случае Шо базис В = {х19 ..., хг} можно заменить на другой базис В' = {xv ..., хл0-1 ,
xjq ’ x*o+i ’ •••’ хгЬ которому соответствует система ограничений, эквивалентная системе (12):
264
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
*1 + <г+1*г+1 + • • • + </0 -1Х/о -1 +	Х*0 +
+ </о+1х>о+1 + •• • + а1пхп = Ьр
xjo + aJo.r+ixr+l + ••• +аЛ).Л>-1хЛ>-1 + а/о-*ох*о +
+ а/'о./о+1х/о+1 + • • • + а/ол = b'io ’ (27)
Хг + <г+1*г+1 + • • • +	+ аг.*0Х*0 +
+ ^rjQ+lxjo+l + • • • + ^rnXn = ^г»
b'k > о (Л = 1, fe0- 1, 7о, Ло+ 1,	г),
и линейная функция
/+ с'г+1Хг+1 + ... +	+ CkQXkQ + CjQ+lXj0+l +
+ ••• + C'nXn = co-	(28)
Системе равенств (27)—(28) соответствует таблица 2.
Табл. 2 получается из табл. 1 следующим образом.
Делим Л0-ю строку табл. 1 на разрешающий элемент afeo7o (*0).
Этим kQ-e уравнение системы (12) остается равносильным прежнему. Добиваемся теперь, чтобы в /0-м столбце на остальных местах (k Ф kQ) были нули. Для этого из k-й строки вычитаем измененную Л0-ю строку, умноженную на число сьщ • (Эту процедуру мы распространяем и на строки добавочной матрицы, в результате числа dkj переходят в числа d'kj).
Этот прием соответствует замене k-ro уравнения разностью между ним и видоизмененным &0-м уравнением, умноженным на число а*7о , что приводит к системе (27), равносильной системе (12).
Посмотрим, как видоизменяются векторы Dk. Так как базис В положительный и рассматривается случай Шо, то
= 0 и
Таблица 2
Базис	xi ...		... Хг	Хг+1	Х/о	••• Хп	Свободные члены	Дополнительная матрица
*1	1 ...		... 0	а1,г+1 —	0	- а1,п		... d{r
xio	0 ...	• а/о*о	... 0	а )0,г+1 —	1	••• ah<n	bio	••• dior
...	......	...			...	...	... ...	...	••• 	
Хг	0 ...		... 1	^г,г+1 •••	0	••• аг,п	Ь'г	dr,l ••• d'r.r
форма/	0 ...	• с*о	... 0	cr+i	0	... с'п	^0	d{ ... d'r
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	265
266
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
^>*о = (О,	.... ^г)>0,
поэтому
ч =
а*ол>
О, —
< а*о/о
dk0r а*0Л) ,
> 0;
для k * k0, k е е (akJo > 0)
а*/о п D'k = D„ - — Dk. kQjQ
в силу правила выбора k0 е е и его единственности (см.
(26)); для k * kQ9 k е е (аА/0 < 0), очевидно,
D'k = Dh - -^-D. > 0. к к а^}0 *°
Чтобы получить последнюю строку табл. 2, надо из последней строки табл. 1 вычесть видоизмененную &0-ю строку, умноженную на cjQ . Вектор D = (е0, d19 ..., dr) переходит в вектор
D' = D- -^-D^. koto
Так как C70 > °-	> 0, то
D' - D = -^-D^ %/О
Новые коэффициенты линейной функции f имеют вид с' _____________— с с' = с - g*ez с
*° аь С,° ’ С> С> а С,° U*070	akQ]Q
(J = г + 1, jQ - 1, 70 + 1,	и).
Таким образом, мы пришли к положительному базису В7.
Чтобы табл. 2 была полностью аналогичной табл. 1, рекомендуем в табл. 2 переставить местами столбцы, от-
вечающие переменным xjQ и xkQ .
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
267
Если для базиса В' снова будет иметь место случай Шо, то к нему можно опять применить описанный прием, который приводит к новому базису В", отличному не только от В', но и от В, потому что
D" < D' < D.
Замечание! Если в процессе применения симплекс-метода мы пришли к циклу (см. (25)), то можно взять один из базисов цикла, например В = BSq+i , и последовательно применять к нему описанный выше способ однозначного получения нового базиса на основании правила (26) выбора разрешающего элемента. Этим гарантируется получение каждый раз базиса, отличного от всех предшествующих. Так как количество возможных базисов конечно, то мы для некоторого базиса цепи обязательно придем к случаям I, II или Ш+. В последнем случае возникает базис В', для которого fB > /#. Базисы, возникшие после В\ отличаются от базиса В и всех ему предшествующих базисов. Они могут создавать циклы, но состоящие из новых базисов, отличных от В и ему предшествующих.
Итак, вычисления по симплекс-методу производятся следующим образом:
исследуются уравнения (12) с базисом В и функция /; если будут иметь место случаи I или II, то задача на минимум f решена;
если будет случай Ш+, то переходим к новому базису на основании (16), составляя таблицы 1 и 2 без добавочной матрицы ||dj|;
если же будет случай Шо, то можно продолжать наш процесс в надежде, что не случится цикла. Практика показывает, что циклы бывают очень редко;
все же, если случится цикл, то придется, отправляясь, как правило, от базиса Bs , двигаться дальше, применив добавочную матрицу ||aj|; рассуждения станут более сложными, но они имеют то преимущество, что на каждом их этапе s будут получаться все новые и новые базисы, отличные от всех предыдущих базисов;
для базиса BSq мы выбираем матрицу ||dj| и вектор В = (С0’ dv ..., d) произвольно, как было указано выше;
дальнейшие базисы, следуя методу, получаются определенным образом, а вместе с ними определенным образом преобразуются матрицы ||dj| и вектор D;
268§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ'
через конечное число шагов мы выясним, что inf/ = = -«>, или же найдем конечный минимум f.
Проследим симплекс-метод на конкретном примере.
Пример 5. Найти минимум линейной функции
3	1
f “ 0 - (-*! - 150х2 + — х3 - 6х4)
при ограничениях
х5 = 0-1 ^хг-90х2-^-х3 + 3x4 I OU	J
*6 =°-|7х1-60*2-^*з+9л:Д <4	ZD	J
Х7 = 1
-х3.
Решение. Здесь базис В = {х5, х6, х7}, и ограничения, и функция f записаны в форме (12)—(13). В данном случае
— > 0 и в первом столбце матрицы ограничений 4
имеются положительные элементы а51 = ношения 65/а51 = 0, Ь6/а61 = 0. Поэтому
1
2	61
1
—. От-4
minb./a.. = 8 = 0
Лее
и этот минимум достигается на двух элементах k = 5, k = 6.
Таким образом, мы имеем случай Шо (/0 = 1)- Чтобы избежать образования цикла, используем описанный выше способ однозначного выбора разрешающего элемента (см. (26)). Для этой цели составим таблицу 1*.
Здесь = (0, 1, 0, 0), D2 = (0, 0, 1, 0) и 2DX > 4D2.
Поэтому разрешающим элементом будет ав1 = -у > стоящий 4
на пересечении строки для х6 и столбца для хг Эту строку и столбец мы выделяем стрелками, а разрешающий элемент обводим рамкой. Преобразуем эту таблицу в таблицу 2*.
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
269
Таблица Г
Базис	^5 ^6 ^7 Х1		Х2	хз	Х4	Свобод- Добавоч-	
						ные члены	ная матрица
х_	10 0	£	-90		3	0	10 0
5 xR	0 10	2 £	-60	~ 50	4	0	0 10
6 х7	0 0 1	4 0	0	25 1	0	1	0 0 1
форма/	0 0 0	3 4	-150	1 50	-6	0	0 0 0
Разделим строку для хв на аб1 =
1
—, т. е. умножим 4
строку для х6 на 4 и перенесем ее в табл. 2*.
Затем умножим вторую строку (видоизмененную) на
1
Не.	л
51	2
и вычтем из первой строки. Далее умножим вто-
3 рую строку на Cj = - и вычтем из последней строки.
Строку для х7 переносим в табл. 2* без изменений (а71 = 0).
Кроме того, мы переставим местами столбцы для х6 и хр тогда табл. 2* будет иметь вид:
I	Таблица 2*
Базис	ХЪ Х1 Х7 Х6	Х2	хз	Х4	Свободные члены	Добавочная матрица
Х5	10 0-2	|~зо]	3 50	-15	0	1-2 0
Х1	0 1-0 4-	-240	_4 5 1	36	0	0 4 0
Х7	0 0 10	0		0	1	0 0 1
форма f	0 0 0-3	30	7 50	-33	0	0-3 0
270
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Таким образом, базис Вх = {х5, xv х7}. В табл. 2* коэффициент с2 = 30 > 0 (штрих мы опускаем) и в столбце для х2 имеется один элемент а52 « 30 > 0, который и будет разрешающим элементом (в табл. 2* мы поместили его в рамку). Проводя преобразование табл. 2*, как и выше, мы перейдем к базису В2 = {х2, хр х7}, т. е. из базиса Вг мы выводим переменную х5 и вводим переменную х2.
Таблица 3* будет иметь следующий вид (после перестановки столбцов для х2 и х5):
Таблица 3*
Базис	х2	Х1	Х7	Х6		хз	Х4	Свободные члены	Добавочная матрица
Х2	1	0	0	1 15	1 30	1 500	1 2	0	_1	1 30	15 °
Х1 Х7	0 0	1 0	0 1	-12 0	8 0	8 25 1	-84 0	0 1	8 -12 0 0	0 1
1>орма f	0	0	0	-1	-1	2 25	-18	0	-1	-1 0
В последней строке табл. 3* имеется только один поло-2
жительный коэффициент с3 = — > 0. В столбце для х3 Ли
все элементы также положительны. В данной таблице
Л= (0> io ’ "П ’0)’°2 = (0’8’ ~12’0)’1)3 = (1, °’ °’
25
Сравнивая векторы 500Dp	находим, что мини-
мальным будет вектор бОО/^ и, следовательно, разрешаю-
щим элементом будет а9~ = 777- > 0. Минимум (16) равен 500
нулю, т. е. мы опять имеем случай Шо. Преобразуя табл. 3*, получим таблицу 4*.
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
271
Таблица 4*
Базис	х3 X? Xq х5 х2 х4	Свободные чле	Добавочная матрица
хз *1 х7	100 50 10 0 —т		 500 -250 О	3 4	8 0 1 0 --	- -160 -4 3	3 100	50 0 0 1-7	— -500 250 3	3	0 0 1	50	100 „ 3	3 S -1 0 3	3 50 100 3 з 1
форма f	5	7 ° ° °	-	-- -40	2 3	3	0	О Ю I со Ь- I со 1
Таблица 5*
Базис	Х3 Х1 Х6 Х7 Х5 Х2 Х4	Свободные члены	Добавочная матрица
хз Х1 Х6	1 0 0 1	0	0 0 0 1 0 i	2 -180 6 25	1 1 25 3 100	0 0 1 2 0 I -blbo
форма /		20	1Н 1° 1 о со | сч 1
272
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
5
Здесь базис В3 = {х3, хр х7}, с6 = - > 0 и в столбце для о
х6 имеется только один положительный элемент а76 = 100
= —— > 0, который и будет разрешающим элементом. О
3
Минимум (16) равен > 0, т. е. мы имеем случай 1П+.
Преобразуя табл. 4*, получим таблицу 5*.
В последней строке табл. 5* все коэффициенты с. (j = 7,
5, 2, 4) отрицательные, следовательно, min/ « “7^7 (слу-ли
чай I).
Базис В4 = {х3,	х6}. Из табл. 5* видно, что базисное
1	3
решение имеет вид х3 = 1, х, = —, х6 - —, х. = х5 =
= х2 = х4 = °.
Замечание 5. Если бы мы не следовали правилу однозначного выбора разрешающего элемента, то могли бы получить цикл, выбирая базисы в следующей последовательности:
В = {<^5>	х7} —> В^= {^р хб, х7} —> В2 “
= {Хр Х2, Х7} —> Вд = {^з> %2’ ^7} ~“
= {х3, х4, х7} В5 = {х5, х4, х7} -4 В6 =
{^"5’ ^"6’ %?} В’
Замечание 6. Отметим, что на каждом этапе, начиная с первого, можно было бы изменять нумерацию переменных, приводя систему ограничений и функцию / к виду (12), (13).
28.8. Условия существования базиса. Поясним, как можно привести систему ограничений (4)
п
^akjxj = bk (k = 1> •••>	(4)
>1 к системе вида (12)
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
273
(₽* > О, Л = 1, ...» г),	(12)
/=г+1
т. е. выясним, когда переменные xv ..., хг образуют базис. Как нам известно, система (4) разрешима (совместна) тогда и только тогда, когда ранг матрицы
а11 ••• а1п
k	• ^тп )
равен рангу расширенной матрицы
aii ••• а1п
В =
< &ml • • * ^тп ;
Пусть г = ранг А = ранг В. Тогда можно указать г таких уравнений системы (4), что всякое решение системы, состоящей из этих г уравнений, есть решение системы (4). Будем считать, что для данной системы (4) г = т и, кроме того, т < п, потому что при т = п существует только одна точка n-мерного пространства, являющаяся решением системы (4).
Кроме того, всегда можно добиться путем перенумерации переменных того, чтобы
а11
Д =
* 0.
* * * ^тт
Теорема 2. Для того чтобы неизвестные хр ..., хт из системы (4) образовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы
>0 Xfk = Мп,
где Д* - определитель, получающийся из определителя Д заменой k-го столбца столбцом свободных членов системы (4).
274
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Доказательство. Пусть — > 0, k « 1, т. При-Д
меняя правило Крамера (см. § 4.2), имеем (k == 1, ..., т)
<41 •••	-а1,лн-Лп+1 “ ••• ~alnxn)al,k+X
^?tl • • •	^m,m+1^7n+l ••• ^nn**n)^n»A+l •••
Учитывая свойства определителей, получаем равенства вида (12)
Д V хА = — -	(* = 1> — ”i),
;=m+l
где число ак. равно определителю, который получается из определителя Д заменой /?-го столбца соответственно на /-й столбец матрицы А (у = т + 1, ..., п), деленному на Д. Например,
£ Д
#l,zn+l #12 •••
#/п2 ••• ^m,ni
Обратно, пусть система хр ..., хт есть базис, т. е. выполняются соотношения (12). Для матрицы равенств (12)
А*
д. = 1, д* = р4, — = pt>°.
Допустимыми элементарными преобразованиями эта матрица переходит в матрицу равенств (4). При этом оп-
ределители Д* и Д * переходят в определители Д и Д* пропорционально. Поэтому
Примерб. Найти базисные переменные в системе ограничений
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
275
5хх - 5х2 + х3 - 2х4	= 1,
- - 2хх + 2х2	- х4 + х5 = 4,
- хх + ах2	- 2х4	= 5,
где а - некоторое число.
Решение. Если а < 0, то система ограничений несовместна в области х.} > 0 (/ = 1, ..., 5). Поэтому будем считать а > 0. Выясним, при каком а элементы хр х2, х3 будут базисом. Имеем
5-5 1
Д =
2
а
0
0
= 2(1 - а) Ф 0, а Ф 1.
Далее,
Отсюда
А1 _ 2а-5
Д 1 - а
5
> 0, 1 < а < - ;
3	А
----- > 0, а > 1; — = 11 > 0. а-1--Д
Таким образом, при 1<а<— все отношения А4А/Д > 0 (k = 1, 2, 3) и {хр х2, х3} - базис.
Для того чтобы написать систему (12), нет необходимости вычислять все нужные определители. Надо просто преобразовывать матрицу В, как мы это делали в § 4.7.
Пусть а = 2. Получим базис из элементов хр х2, х3. Для этой цели будем матрицу В преобразовывать так,
276
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
чтобы в первых трех столбцах по главной диагонали стояли 1, а на остальных местах - 0.
Итак,
5-5 1-2
В= -2	2 0 -1
С1 20-2
о Г
1 4
0 5>
5 -5
=>0 0
0 1
	
1-201	5 -5
2	9 х 22 5	5	5	=>0 1
1__12	26 5 5	5 )	0 0 к
1-201
2	9 1 22
5	5	5 >
5 0
0 1
2 -14 0 27
5 5
0 0
1_12 0 26	о
5	5	5
2 _ 9	22	0
5	5	5 J	<
22
5 >
10 0-1	11
0 1	0	3
2	2
Последняя матрица определяет следующую систему уравнений:
— х4 + х5 == 1
3	1
Х2	2 *4	2 *5	3
9	5
хз " 2	+ 2Х* = 1Е
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
277
Аналогичным образом можно проверить, при каком а переменные xv х2, х5 образуют базис.
28.9. Задачи. Найти минимум функции f(x) = х4 - х5 при ограничениях:
хг + х2 - х3 + х4 - 2х5 = 1, < 2хг + х3 - 2х4 + х5 = 2,
хх - х2 - х4 + Зх5 = 3,
2хг + х2- х3 - 2х5 = 1, хг + х2 + 2х3 - 2х4	= 2,
Xi - х2 - х4 + Зх5 = 3,
3)
хг + 2х2 + Зх3 - х5 = 3, 2хг + х2 - х3 + х4 =1,
х2 + Зх3 - х4 + х5 = 2,
Xi + х2 - х4+ 2х5 = 3,
Х1
5)
Х2
+ х4 - 2х5 = 1, + 2х4 + х5 = 1,
х3-х4 + 4х5 = 4.
Приведем решение первой задачи. Итак, необходимо найти минимум линейной формы /(х) == х4 - х5 при ограничениях
хх + х2 - х3 + х4 - 2х5 = 1, - 2хх + х3 - 2х4 + х5 = 2,
Х1 “ х2 - х4 + Зх5 = 3,
Согласно рассмотренной выше теории мы должны определить свободные переменные и выделить какой-либо базис, чтобы затем применить симплекс-метод для нахождения минимума функции /.
Так как в системе ограничений три уравнения, то в каждый базис входят какие-либо три переменные из хр х2, х3, х4, х5. Всего из пяти элементов можно составить десять различных комбинаций по три элемента
278
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
,3 _ 5 4 3 А _ п(п-1)...(п-А + 1) 5	3!	’ п	А!
В принципе, мы должны проверить все тройки элементов и убедиться, какие из них являются базисами.
Выясним, будут ли элементы xt, х2, х3 образовывать базис. Определитель Д, составленный из коэффициентов при этих неизвестных в системе ограничений, имеет вид
1 1-1 2 0 1
1-10
= 4*0.
Далее,
1 -1
0 1
-1 0
= 6, д2 =
1 -1
2 1
3 0
Отношение — = -2 < 0, следовательно, согласно тео-Д
реме 2 п. 28.8 элементы хр х2, х3 не образуют базиса.
Проверим тройку хр х3, х4:
образует базиса.
Исследуем тройку хр х4, х5:
3
	11-2		1	1-2	
д =	2-2 1	= -10 * 0, Д1 =	2-2 1	= -16,
	1-13		3-13	
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
279
1
2
1
1
2
3
Д2 =
-2
1
3
= -10, А3 =
1
-2
-1
= -8.
1
2
1
1
2
3
Таким образом, в данном случае все
А* отношения — А (Л -1, 2, 3) положительны и по теореме 2 п. 28.8 элементы х4, х5 образуют базис.
Чтобы написать систему ограничений вида (12), преобразуем матрицу В системы ограничений к необходимому виду. Предварительно переставим столбцы коэффициентов при х4 и х5 соответственно на второе и третье места.
Тогда
*1 х4 х5 х2 х3 Ък
В =
1 О О
1
О О
1 -2
-2
-1
1 О -1
-1
1 О
1 -2
4 5
5
-2
1-11
-2
-2
1
-2
-2
5
5
1
-2
-2
-1
1
3
-2
О -5
О --2
1
-2
2
-2
О
О
-5
1
5 О
2
2
5
2
1
5
-2
О -5
О О
1-2 -
5
2 5
-1
£ 5
5
1
4
5>
2
1
0
0
1
3
2
3
1
2 О
1
О
О
О О
0
£
2
5
1
О
1
0
1
О
3 О
1 2
2
2
Последняя матрица определяет систему уравнений
*4
*5
12	8
5 2 5 3 5 - х3 = 1,
2	14
"Г2-3Хз = 5
(27)
280 §28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Линейная форма f через свободные переменные х2 и х3 запишется следующим образом:
f(x) = х4 - х5 = | -	2	4 5 х2 + 5 хз
2	4 или f + — х2 - - х3 = о	э	_ £ 5 ‘
Таким образом, теперь необходимо найти минимум линейной функции
„ 2	4	1
f + 5 Х2	5 Ж3 - 5
при ограничениях (27).
Здесь базис Вг = {х19 х4, х5}, ограничения и функция f записаны в форме (12), (13), и мы можем начать применение симплекс-метода.
2
В данном случае с = — > 0 и в первом столбце мат-5
рицы ограничений имеется положительный элемент
“12 = 5 > °-
Отношение „	= 8 > 0, т. е. мы имеем случай III, и
“12
а12 - разрешающий элемент.
Составим первую симплекс-таблицу:
I Таблица 6*
Базис	*1	Х4	Х5	Х2	хз	Свободные члены
				1_	2	8
*1	1	0	0	5	5	5
*4	0	1	0	0 2	-1 1	1 4
*5	0	0	1 -	’ 5	5	5
Форма f	0	0	0	2 5	4 5	£ 5
§28. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 281
Здесь разрешающий элемент а12. Преобразуем таблицу 6* в таблицу 7*. Строку для хг умножим на 5 и перенесем ее в табл. 7*. Строку для х4 перенесем в табл. 7* без изменений (так как а42 = 0).
Затем умножим первую строку на 2 и прибавим результат к последней строке. Далее умножим первую строку на 2 и вычтем из строки для формы f. Кроме того, переставим местами столбцы для хх и х2. В результате табл. 7* будет иметь следующий вид:
Таблица 7*
Базис	хг		Х5	Х1	хз	Свободные члены
^2	1	0	0	5	-2	8
Х4	0	1	0	0	-1	1
Х5	0	0	1	2	-1	4
Форма f	0	0	0	-2	0	-3
В табл. 7* коэффициенты формы f неположительны (q = -2, с3 = 0), поэтому при ограничениях (27) min f = -з Ху >0 '
и задача решена.
Замечание 7. Можно было бы исследовать все десять троек из элементов хр х2, х3, х4, х5. Затем, найдя все базисы Bj (j = 1, 2, ..., j0; j0 < 10), мы можем найти минимум / при ограничениях (27) как минимальное значение среди fBl, .... fsj0 .
предметный указатель
Абсцисса точки 55
Алгебраическое дополнение, адъюнкт 14
Аппликата точки 55 Асимптота — гиперболы 185
Базис 122
—	ортогональный 128 ’
—	подпространства 145
—	пространства 124
—	симплекс-метода 252
Вандермонда определитель 18
Вектор 25
—	нормальный 128
—	нулевой 25
—	отрицательный 260
—	положительный 260
—	собственный оператора 164
Вектора длина, норма 48
Векторное произведение 96
Векторно-скалярное произведение 104
Векторы коллинеарные 49
—	компланарные 104
Гаусса метод 40
Деление отрезка в данном отношении 55
Детерминант, определитель 7
Диагональ определителя 9
Директриса параболы 189
Длина, норма вектора 48
Евклидово п-мерное пространство 64
Зависимые системы векторов 106
Задача транспортная 241
Измерение подпространства 145
—	пространства 59
Инвариантность скалярного и векторного произведений 138
Квадратичная форма 161 ---гиперболического типа 177 ---неопределенная по знаку 170
---параболического типа 177
---строго отрицательная 170
-------положительная 170
---эллиптического типа 177
Квадратная матрица 22
Компоненты, координаты вектора 25
Коэффициенты системы уравнений 25
Крамера правило 26
Кривая второго порядка 178
Кронекера—Капелли теория 25
Линейная комбинация векторов 106
Линейно независимая система 106
Линейное программирование 241
Линейные подпространства 145
Линейный оператор 114
Линейчатые поверхности 215
Матрица 22
—	единичная 117
—	комплексно сопряженная 23
—	обратная 118
—	произведения 116
—	расширенная 29
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
283
Матрица сопряженная 23
—	транспонированная 23
Матричный способ решения системы 40
Минор 14
Момент силы 103
Направление векторов одинаковое 128
Направляющая линия 213
Начало координат 55
Неравенство Буняковского 64
—	Минковского 65
Норма, длина вектора 48
Нормирующий множитель 77
Образ пространства при помощи оператора 155
Образующие поверхности 213
Оператор единичный 117
—	линейный 115
—	обратный 118
—	самосопряженный 161
Определитель, детерминант 7
—	Вандермонда 18
—	матрицы 23
—	, порожденный матрицей 23
Определителя член 10
—	элемент 7
Ордината точки 55
Ориентация системы векторов 94 --координат 93 --левая, правая 95 Ортогональные векторы 65
Ортонормированная система векторов 128
Орты осей координат 57
Оси координат 55
Отрезок 67
Перестановка 10
Плоскость 80
Поверхность второго порядка 196
— линейчатая 215
—	цилиндрическая 214
Подпространства 145
—	линейный 145
—	ортогональные 146
—	ти-мерные 145
Правило Крамера 26
— Саррюса 9
Преобразование, не сохраняющее ориентацию 101
Преобразование ортогональное 132
— прямоугольных систем координат 143
—, сохраняющее ориентацию 101
Проекция вектора на прямую 50
—	точки 50
Произведение векторов 96
—	векторно-скалярное 104
—	матриц 116
—	матрицы на число 24
—	определителей 24
—	скалярное 54
Пространство п-мерное 59
Прямая линия 69
Прямолинейные образующие 213
Радиус-вектор 55
Разность векторов 50
Ранг матрицы 23
Расстояние между точками 57
—	от точки до плоскости 87
---------прямой 78
Решение системы уравнений 25
—	тривиальное 28
Симплекс-метод 252
— таблицы 262
Система зависимых и независимых векторов 105
— координат прямоугольная 55
— собственных векторов оператора 164
284
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— уравнений однородная 28
----совместная 36
Скалярное произведение 59
Собственный вектор оператора 164
Строка, столбец определителя 7
Сумма векторов 50
— матриц 24
— определителей 14
Существование решения системы уравнений 26
Теорема Кронекера—Капел-ли 25
— Сильвестра 171
— Фредгольма 152
Точка л-мерного пространства 59
Транспозиция элементов 10
Тривиальное решение системы 28
Угол между векторами 65
----плоскостями 85
----прямыми 74
Умножение вектора на число 49
— матриц на число 24
Уравнение гиперболического параболоида 197
— гиперболы 179
— двуполостного гиперболоида 197
— конуса 197
— однополостного гиперболоида 197
— параболы 179
— плоскости в нормальном виде 80
-------отрезках 83
----общее 80
----, проходящей через три точки 84
— прямой 69
----в нормальном виде 77
-------отрезках 74
----векторное 74
----каноническое 89
---общее 72
— —, проходящей через две точки 72
---,----точку 75
---с угловым коэффициентом 74
— характеристическое 199
— цилиндров второго порядка 198
— эллипса 179
— эллипсоида 197
Уравнение эллиптического параболоида 197
Условие коллинеарности векторов 49
— компланарности 105
— параллельности плоскостей 232
---прямых 74
— перпендикулярности плоскостей 86
---прямых 74
Фокус гиперболы 184
— параболы 189 — эллипса 180 Функция линейная 241
Характеристическое уравнение 199
Центр тяжести 69
Цикл 258
Цилиндрическая поверхность 213
Цилиндры второго порядка 198
Число собственное оператора 164
Числовая проекция вектора 51
Элемент матрицы 22
—	определителя 7
—	разрешающий 235
Элементарное преобразование матрицы 41
Эллипс 179
Эллипсоид 206
Яков Семенович Бугров, Сергеи Михайлович Никольский
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Корректоры: Н. Передистый, О. Милованова
Лицензия ЛР № 065194 от 2 июня 1997 г.
Сдано в набор 10.10.97. Подписано в печать 28.01.98.
Формат 84x108 1/32. Бумага офсетная.
Гарнитура NewtonC. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 13,5
Тираж 10000 экз. Заказ № 430
Издательство «Феникс»
344007, г. Ростов-на-Дону, пер. Соборный, 17.
Отпечатано с готовых диапозитивов в АПП «Джангар
358000, г. Элиста, ул. Ленина, 245.