Varakin_L_E_-_Sistemy_svyazi_s_shumopodobnymi

Tags: электротехника общая радиотехника

Similar

Системы связи с шумоподобными сигналами

Радиосистемы передачи информации

Системы спутниковой связи. Основы структурно-параметрической теории и эффективность

Системы цифровой радиосвязи

Text

ЛЕ. Варакин

СИСТЕМЫ
СВЯЗИ
С ШУМОПОДОБНЫМИ
СИГНАЛАМИ

Москва
«Радио и связь»

1985
ББК 32.841
В18

УДК 621.39:621.391.82

Варакин Л. Е.

В18 Системы связи с шумоподобными сигналами. — М.:
Радио и связь, 1985. — 384 с., ил.

В пер.: 1 р. 6б к. 10000 экз.

Рассматриваются общие характеристики систем связи с шумоподобными
сигналами, передача и прием дискретных и непрерывных сообщений. Изла-
гаются вопросы применения корректирующих кодов, помехоустойчивости при-
ема при различных мощных помехах, формирования и обработки таких сиг-
налов, последние достижения в теории и практике систем связи с шумоподоб-
ными сигналами.

Для инженерно-технических работников, занимающихся проектированием
систем передачи информации.

2402020000-075 ББК 32.841

В 42—85

046(01)—85 6Ф1

РЕЦЕНЗЕНТ докт. техн, наук А. А. СИКАРЕВ

Редакция литературы по радиотехнике

Леонид Егорович Варакин

СИСТЕМЫ СВЯЗИ С ЩУМОПОДОБНЫМИ СИГНАЛАМИ

Заведующий редакцией В. Я. Стерлигов
Редактор Л. И. Венгренюк

Художественный редактор Т. В. Б у сарова
Переплет художника Л. Г. Бакушевой
Технический редактор 3. Н. Ратникова
Корректор Т. В. Дземидович

ИБ № 1087

Сдано в набор 26.10.84 Подписано в печать 28.01.85 Т-03039

Формат 60Х90’Лб Бумага типогр. .№ 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 24,0 Усл. кр.-отт. 24,0 Уч.-изд. л. 25,67

Тираж 10 000 экз. Изд. № 19131 Зак. № 111 Цена 1 р. 60 к.

Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693

Московская типография № 5 В ГО «Союзучетиздат»
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40
Предисловие

Системы связи с шумоподобными сигналами (ШПС) известны
четверть века. За это время их преимущества стали очевидными,
а их многие недостатки устранены. В настоящее время системы
связи с ШПС получают все более широкое распространение. Про-
цесс расширения областей использования систем связи с ШПС
необратим и в ближайшем будущем внимание к ним будет уси-
ливаться.

Основу теории систем связи с ШПС заложили работы
В. А. Котельникова [1] и К. Шеннона (2], а основы кодового раз-
деления — работа Д. В. Агеева [3]. По теории и технике систем
связи с ШПС написано много книг, статей, обзоров, сведения о
которых до 1981 г. можно найти в книгах [4—9].

Системы связи с ШПС занимают особое место среди различ-
ных систем связи, что объясняется их свойствами. Во-первых, они
обладают высокой помехозащищенностью при действии мощных
помех. Во-вторых, обеспечивают кодовую адресацию большого
числа абонентов и их кодовое разделение при работе в общей по-
лосе частот. В-третьих, они обеспечивают совместимость приема
информации с высокой достоверностью и измерения параметров
движения объекта с высокими точностями и разрешающими спо-
собностями. Все эти свойства систем связи с ШПС были извест-
ны давно, но, поскольку мощности помех были относительно не-
высоки, а элементная база не позволяла реализовать устройства
формирования и обработки в приемлемых габаритах, то долгое
время системы связи с ШПС широкого развития не получали. К
настоящему моменту положение резко изменилось. Мощность по-
мехи на входе приемника может на несколько порядков превы-
шать мощность полезного сигнала. Для обеспечения высокой поме-
хозащищенности при подобных помехах необходимо использовать
ШПС со сверхбольшими базами (десятки-сотни тысяч), ансамбли
(системы) сигналов должны состоять из десятков — сотен миллио-
нов ШПС со сверхбольшими базами. Следует отметить, что ос-
новы теории ШПС со сверхбольшими базами сформировались
только в последнее время. В свою очередь реализация устройств
формирования и обработки таких сигналов становится возможной
в ближайшем будущем благодаря бурному развитию сверхболь-
ших интегральных схем (СБИС), специализированных микропро-
цессоров (СМП), приборов с поверхностными акустическими вол-
нами (ПАВ), приборов с зарядовой связью (ПЗС). Все эти при-
чины и вызвали новый период расцвета систем связи с ШПС, в
результате которого через некоторое время появятся такие систе-
мы второго поколения.

Помимо применения в условиях воздействия мощных помех,
системы связи с ШПС начинают успешно конкурировать с широко
распространенными системами связи с частотной модуляцией и
частотным разделением каналов, применяемых для связи с под-
вижными объектами. Создание малогабаритных устройств форми-
рования и обработки ШПС с базами 102...103 позволит широко
внедрить ШПС в системы связи и управления .подвижными объек-
тами в крупных городах.

По этим причинам к системам связи с ШПС привлечено серь-
ёзное внимание 'большого круга научно-технических работников,
разработчиков помехозащищенных систем связи, о чем свидетель-
ствует рост публикаций в периодической печати по системам свя-
зи с ШПС и по смежным вопросам. По системам связи с ШПС
ранее было издано несколько хороших книг, однако уже в настоя-
щее время они не могут служить основой для изучения проблем
перспективных систем связи с ШПС и решения теоретических и
практических задач. Необходимо отметить также, что большинст-
во изданных ранее книг написаны авторами на основе проведен-
ной ими большой научно-исследовательской работы. Поэтому не-
которые из книг содержат как общие интересные результаты, так
и результаты частные, не имеющие принципиального значения.

Именно по этой причине и возникла идея составить книгу
по системам связи с ШПС, которая должна содержать только
принципиальные вопросы теории и техники помехозащищенных
систем связи с ШПС. Из многочисленных теоретических резуль-
татов приведены только фундаментальные результаты, причем до-
казательства опущены, так как их можно найти в опубликован-
ных книгах и статьях. При изложении технических вопросов при-
ведены только те технические решения, которые основаны на
перспективной элементной базе. В системных вопросах уделено
внимание только основным характеристикам систем связи с ШПС.

Книга написана как по результатам многочисленных работ,
опубликованных исследователями в различных странах, так и на
основе работ автора и является логическим продолжением его книг
по ШПС [4, 5].

Все замечания и предложения по книге следует направлять по
.адресу: 101000 Москва, Почтамт, а/я 693, издательство «Радио и
(СВЯЗЬ».
РАЗДЕЛ I.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ШУМОПОДОБНЫХ
СИГНАЛАХ

1. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ШУМОПОДОБНЫХ СИГНАЛОВ
В СИСТЕМАХ СВЯЗИ

1.1. Определение шумоподобных сигналов
и широкополосных систем связи

Шумоподобными сигналами (ШПС) называют такие сигналы,
у которых произведение ширины спектра F на длительность Т
много больше единицы. Это произведение называется базой сиг-
нала и обозначается В, т. е.

B = FT. (1.1)

У ШПС B^>il. Шумоподобные сигналы иногда называют слож-
ными в отличие от простых сигналов с В=1, Поскольку у сигна-
лов с ограниченной длительностью спектр имеет неограниченную
протяженность, то для определения ширины спектра используют
различные методы и приемы. Для реальных ШПС, состоящих из
конечного числа элементов, всегда можно однозначно определить
и F, и В.

В системах связи с ШПС ширина спектра ШПС F всегда мно-
го больше ширины спектра передаваемого сообщения. В цифро-
вых системах связи, передающих информацию в виде двоичных
символов, длительность ШПС и скорость передачи информации 5?
связаны соотношением Т = 1/&. Поэтому база ШПС

B=F№ (1.2)

Характеризует расширение спектра ШПС относительно спектра
сообщения. В аналоговых системах связи, у которых верхняя час-
тота сообщения равна W и частота отсчета равна 2W,

B = F/2W. (1.3)

И если В^>1, то F^>& и F^>2W. Именно поэтому системы свя-
зи с ШПС в зарубежной литературе получили название системы
связи с расширенным (или распределенным) спектром, а в оте-
чественной литературе — широкополосные системы связи. В даль-
нейшем термин «широкополосные системы связи (ШСС)» будет
относиться только к системам связи с ШПС.

Шумоподобные сигналы получили применение в широкополос-
ных системах связи, так как: обеспечивают высокую помехозащи-
щенность систем связи; позволяют организовать одновременную
работу многих абонентов в общей полосе частот при асинхронно —
адресном принципе работы системы связи, основанном на кодо-
вом разделении абонентов; позволяют успешно бороться с много-
лучевым распространением радиоволн путем разделения лучей;
обеспечивают совместимость передачи информации с измерением
параметров движения объекта в системах подвижной связи; обес-
печивают электромагнитную совместимость (ЭМС) ШСС с узко-
полосными системами радиосвязи и радиовещания, системами те-
левизионного вещания, обеспечивают лучшее использование спе-
ктра частот на ограниченной территории по сравнению с узкопо-
лосными системами связи.

1.2. Помехозащищенность

Это способность системы связи противостоять ^воздействию
мощных помех. Помехозащищенность включает в себя скрытность
системы связи и ее помехоустойчивость, так как для создания
мощных помех надо сначала обнаружить систему связи и изме-
рить основные параметры её сигналов, а затем организовать мощ-
ную, наиболее сильнодействующую помеху. Чем выше скрытность
и помехоустойчивость, тем выше помехозащищенность системы
связи.

1.3. Помехоустойчивость ШСС

Она определяется широко известным соотношением, связываю-
щим отношение сигнал^помеха на выходе приемника (на выходе
согласованного фильтра или коррелятора) q2 с отношением сиг-
нал-помеха на входе приемника р2:

q2 = 2Bp2, (1.4J

где р2=Рс/Рп (Рс, Рп — мощности ШПС и помехи), q2=2E!Nn,
Е — энергия ШПС, Nn — спектральная плотность мощности по-
мехи в полосе ШПС. Соответственно E=PZT, a Nn=Pa/F, В —
база ШПС (1.2), (1.3). Отношение сигнал-помеха на выходе q2
определяет рабочие характеристики приема ШПС, а отношение
сигнал-помеха на входе р2 — энергетику сигнала и помехи. Вели-
чина q2 может быть получена согласно требованиям к системе
(10...30 дБ) даже если р2<;1. Для этого достаточно выбрать ШПС
с необходимой базой В, удовлетворяющей (1.4). Как видно из со-
отношения (1.4), прием ШПС согласованным фильтром или кор-
релятором сопровождается усилением сигнала (или подавлением
помехи) в 2В раз. Именно поэтому величину

^шпс = 72/Р2 (!•$)

называют коэффициентом усиления ШПС при обработке или прос-
то усилением обработки. Из (1.4), (1.5) следует, что усиление об-
работки Кпнтс =2В. В ШСС прием информации характеризуется
отношением сигнал-помеха Л2=<72/2, т. е.

Л2 = В р2.

(1.6)

Рис. 1.1. Зависимость усиления обработки
и базы ШПС от отношения сигнал-помеха
на выходе приемника

На рис. 1.1 представлены зависимости усиления обработки и базы
ШПС В от отношения сигнал-помеха на входе р2 дБ при значе-
ниях q2 (сплошные линии) и № (штриховые линии), равных 10,
20 и 30 дБ, построенные согласно (1.4), (1.6). Например, если
необходимо иметь /г2 = 20 дБ,
а на входе приемника р2 =
=—40 дБ, то требуемая ба-
за должна быть равна 60 дБ,
т. е. В= 106.

Соотношения (1.4), (1.6)
являются фундаментальны-
ми в теории систем связи с
ШПС. Они получены для по-
мехи в виде белого шума с
равномерной спектральной
плотностью мощности в пре-
делах полосы частот, шири-
на которой равна ширине
спектра ШПС. Вместе с тем

эти соотношения справедли-
вы для широкого круга по-
мех (узкополосных, импуль-
сных, структурных), что и

определяет их фундаментальное значение. В общем случае, усиле-
ние обработки ШПС для произвольных помех

^шпе ~ 2 В,

(1.7)

где степень приближения зависит как от вида помех, так и от

базы ШПС. В табл. 1.1 приведены значения усиления обработки
для некоторых зарубежных систем связи л6

навигации.

В табл. 1.1 введены обозначения: ФМ —
фазоманипулированный сигнал, ЧМ — ча-
стотноманипулированный сигнал. Приве-
денные в таблице параметры соответствуют

Таблица 1.1. Параметры систем связи с ШПС

Система связи Тип ШПС Ширина спектра, МГц Усиление обработ- ки, дБ Ссылки
РАКЕ ФМ 0,01 22 10
CHEROKEE ФМ 1 16 10
RACEP ЧМ 4 — 10
MAGNAVOX ФМ 1 25 10
GPS ФМ 25 47 11

100

-40 ~20 0 20/)\д6

Рис. 1.2. Помехоустой-
чивость систем связи с

ШПС: ЧМ и АМ
в основном системам связи шестидесятых годов (первые четыре
строки) и только в пятой строке приведены параметры современ-
ной системы GPS (Global Position System) — многоспутниковой
радионавигационной системы [11].

На рис. 1.2 приведены графики помехоустойчивости систем
связи с ШПС, с частотной модуляцией (ЧМ) и с амплитудной мо-
дуляцией (АМ). Для сравнения ЧМ и ШПС взяты одинаковые
полосы частот, что соответствует В =100. Помехоустойчивость сис-
темы связи с ШПС рассчитана согласно (1.4), причем положено,
что информация передается с помощью широтно — импульсной мо-
дуляции (ШИМ). Известно, ЧМ обладает высокой помехоустой-
чивостью и обеспечивает высокое качество воспроизведения инфор-
мации при условии, что отношение сигнал-помеха на входе выше
порогового значения р2пор= 10...15 дБ. При уменьшении р2 ниже
порогового значения помехоустойчивость системы связи с ЧМ рез-
ко падает (см. рис. 1.2). Система с АМ и эквивалентной базой В =
= 1 работает лишь при р2>0 дБ, зависимость q2 от р2 линейная.
Система связи с ШПС обеспечивает надежный прием информации
и при р2<0 дБ. Например, если положить <72=10 дБ, то система
связи будет работать при отношении сигнал-помеха на входе
—13 дБ, т. е. р2=0,05. Таким образом, одним из основных назна-
чений систем связи с ШПС является обеспечение надежного
приема информации при воздействии мощных помех, когда отно-
шение сигнал-помеха на входе приемника р2 может быть много
меньше единицы.

Необходимо еще раз отметить, что приведенные соотношения
строго справедливы для помехи в виде гауссовского случайного
процесса с равномерной спектральной плотностью мощности («бе-
лый» шум). Совместное воздействие комплекса помех будет рас-
смотрено более подробно в гл. 10. Вопросу фильтрации комплекса
помех посвящено большое число работ.

1.4. Скрытность системы связи

Это способность противостоять обнаружению и измерению па-
раметров. Скрытность — понятие очень емкое, так как включает
в себя большое множество особенностей обнаружения ШПС и из-
мерения их параметров. Поскольку обнаружение ШПС и измере-
ние параметров возможны при различной первоначальной осве-
домленности (априорной неопределенности) о системе связи, то
можно указать только основные соотношения, характеризующие
скрытность. Когда известно, что в данном диапазоне частот мо-
жет работать система связи, но параметры ее неизвестны, то в
этом случае можно говорить об энергетической скрытности систе-
мы связи, так как ее обнаружение возможно с помощью анализа
спектра (энергетическое обнаружение). Характеристика обнару-
жения (вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала) пол-
ностью определяется отношением сигнал-помеха на входе приемни-
ка-анализатора р2=Рс/Рп, где помеха представляет собой собст-
венный шум приемника Рп=кТ0(Ыш—1)F, a k — постоянная
Больцмана, То — температура окружающей среды, ЛГШ — коэф-
фициент шума приемника. Время обнаружения ШПС при усло-
вии р2< 1 приближенно определяется соотношением ТОбн«
«|F-1(p2)_22<74 или

To6H«aF, (.1.8)

где размерная постоянная a=2[q2kTo(Nm—1)/Рс]2 зависит как от
шумовых свойств приемника, (Мощности сигнала на входе, так и
от требуемого отношения сигнал-помеха на выходе q2. Таким об-
разом, чем шире ширина спектра ШПС, тем больше время обна-
ружения, тем выше энергетическая скрытность системы связи.

Если ШПС системы связи воспроизводятся приемником-анали-
затором уверенно, то время анализа приближенно определяется
соотношением, аналогичным по виду соотношению (1.8), но а =
=bT[kTo(Nm—1)/PC], b — постоянная величина. Чем шире спектр
ШПС, тем больше база, тем больше время анализа, тем выше па-
раметрическая скрытность системы связи.

Таким образом, чем шире спектр ШПС и чем больше его ба-
за, тем выше как энергетическая, так и параметрическая скрыт-
ность. Для борьбы с радиоразведкой в помехозащищенных сис-
темах связи применяют также смену ШПС. Частота смены ШПС,
их выбор из некоторого ансамбля (системы сигналов) определя-
ется многими требованиями к системе связи и не может быть од-
нозначно определен. Однако полагают, что число сигналов в сис-
теме (или объем системы сигналов) должно быть много больше
базы ШПС. Можно предположить, что для помехозащищенных
систем связи объем системы сигналов L определяется степенным
законом:

L~Bm, (1.9)

где ш — некоторое число, по крайней мере удовлетворяющее ус-
ловию пг^2, хотя для работы может использоваться гораздо
меньшее число ШПС.

Следовательно, использование ШПС повышает помехоустойчи-
вость и скрытность системы связи, т. е. её помехозащищенность.
Как следует из материалов зарубежной печати, ШПС используют
в спутниковых системах связи, в авиационных системах связи, в
радиорелейных линиях, в спутниковых навигационных системах.
По-видимому, применение ШПС в помехозащищенных системах
связи будет расширяться.

1.5. Кодовое разделение абонентов

Помехозащищенные системы связи являются специальными, а
не коммерческими. Поэтому на раннем этапе развития систем свя-
зи с ШПС полагали, что ШПС не найдут широкого применения
в коммерческих системах связи. Однако с развитием асинхронных
адресных систем связи внедрение ШПС в системы массовой радио-
связи стало возможным. Основу для этого представляет кодовое
разделение абонентов за счет ШПС, отличающихся по форме.

При больших базах можно построить большое число различных
ШПС. Например, пусть ШПС представляет собой фазоманипули-
рованный сигнал, состоящий из радиоимпульсов, фазы которых О
или л, а число их равно В. Можно построить множество сигналов
(так называемый полный код), число сигналов в котором равно
2В, а сигналы между собой отличаются хотя бы в одном импуль-
се. Если положить В = 100, то 'имеем 2100~1030 различных сигна-
лов. Из такого большого множества можно отобрать систему сиг-
налов так, чтобы каждому абоненту в системе связи выделить
свои собственные сигналы. При этом все абоненты могут работать
в общей полосе частот, а разделение их возможно за счет разли-
чия ШПС по форме. Такое разделение абонентов называется ко-
довым. При этом ШПС является по сути дела адресом абонента и
в этом случае принципиально нет необходи-
мости в принудительной временной синхро-
низации абонентов. Поэтому подобные си-
стемы связи получили название асинхрон-
ных адресных систем связи (ААСС). Они
основаны на применении ШПС и кодовом
разделении абонентов.

В ААСС все абоненты работают в об-
щей полосе частот. Поэтому при передаче
информации ШПС различных абонентов
перекрываются по времени и по частоте и
создают взаимные помехи. Однако при ис-
пользовании ШПС с большими базами воз-
можно свести уровень взаимных помех до

Рис. 1.3. Помехоустой- требуемого, чТобы обеспечить необходимое
чивость ААСС качество приема информации. Если предпо-
ложить, что на входе одного из приемников
системы связи действует I мешающих ШПС с одинаковыми мощ-
ностями, то отношение сигнал-помеха на выходе приемника

/i2=B/Z. (1.10)

Таким образом, увеличивая базу ШПС, всегда можно добиться
требуемого качества приема информации.

На рис. 1.3 представлены зависимости базы ШПС от числа
активных абонентов, построенные согласно (1.10). Графики
рис. 1.3 позволяют определить помехоустойчивость ААСС.

1.6. Эффективность ААСС

Как следует из (1.10), повышение помехоустойчивости ААСС
при заданном числе активных абонентов возможно только за счет
увеличения базы ШПС. При заданной скорости передачи инфор-
мации увеличение базы приводит к пропорциональному расшире-
нию спектра ШПС в соответствии с определением (1.2). Возни-

ю
кает вопрос об эффективности использования радиоспектра в сис-
темах связи с ШПС.

В системах связи эффективность использования радиоспектра
характеризуется удельной плотностью активных абонентов у,
равной числу активных абонентов, приходящихся на 1 МГц поло-
сы частот, т. е.

у = //Г, (1.11)

где I — число активных абонентов, одновременно работающих в
полосе частот шириной F. Заменяя I в (1.11) согласно (1.10), име-
ем

у=Т1№. (1.12)

Часто удельная плотность активных абонентов называется просто
эффективностью системы связи. Из (1.12) следует, что эффектив-
ность ААСС тем меньше, чем больше требуемое отношение сиг-
нал-помеха на выходе приемника. Таким образом, ААСС более
перспективны в тех случаях, когда не требуется высокое качество
передачи информации, что характерно для систем массовой радио-
связи. Для примера, в радиотелефонной системе подвижной связи
с частотным разделением каналов максимальная эффективность
Утах=250 аб/МГц, так как минимальная ширина каждого канала
равна 4 кГц и в 1 МГц можно разместить 250 частотных каналов,
т' е. активных абонентов. Однако, для повышения помехоустойчи-
вости используется частотная модуляция (ЧМ) и соседние частот-
ные каналы разнесены на 25 кГц. При этом в 1 МГц можно раз-
местить 40 частотных каналов, т. е. учм=40 аб/МГц. Ранние сис-
темы связи с ШПС («RADA», «КАСЕР»идр.) имели низкую эффек-
тивность, у них ушпс~7..-9 аб/МГц. Из (1.12) следует, что высо-
кую эффективность систем связи с ШПС непосредственно получить
трудно. Например, если положить Т=1/4 кГц=250 мс, а /г2='1О,
то ушпс=25 аб/МГц, т. е. ниже эффективности систем связи с
ЧМ.

В последние годы предложен иной принцип построения радио-
телефонных систем подвижной связи. Вся обслуживаемая терри-
тория разбивается на большое число зон в виде сот. В каждой зо-
не радиосвязь ведется на частотах, специально выделенных этой
зоне. За счет территориального разнесения зон с одинаковыми час-
тотными каналами возможно многократное использование одних
и тех же частотных каналов. Такие системы связи получили назва-
ние сотовых систем подвижной связи (ССПС). Прием сигналов в
таких системах принципиально сопровождается взаимными поме-
хами так же, как и в ААСС. Поэтому применение ШПС в ССПС
перспективно, поскольку позволяет успешно бороться с взаимными
помехами. Эффективность ССПС

Тсспс 3,63 (R0/D)2/FK, (1.13)

где Ro — радиус зоны обслуживания, D — защитный интервал,
/к — ширина частотного канала. Если положить Ro=3O км, Dm
«4,4 км, радиус зоны /?=0,85 км, a FK=50 кГц, то Тесле «
,«3333 аб/МГц, т. е. гораздо выше эффективности обычных сис-
тем подвижной связи. Если ширину частотного канала увеличить
до 100...200 кГц, то эффективность ССПС станет равной 1666 и
833 аб/МГц соответственно, что все равно будет гораздо больше
эффективности систем с ЧМ. Но при этом возможно применение
ШПС с относительно небольшими базами (25...250), что в свою
очередь позволит использовать простую аппаратуру формирова-
ния и обработки ШПС с невысокой стабильностью частоты. В
свою очередь применение ШПС позволит успешно решить проб-
лему адресации большого числа абонентов. Сотовые системы под-
вижной связи с ШПС позволят обеспечить связью 60... 240 тыс под-
вижных абонентов в крупных городах. Кроме того, в таких систе-
мах можно совместить передачу телефонных сообщений с опреде-
лением местоположения подвижных объектов и их охрану.

1.7. Борьба с многолучевостью

Применение ШПС в системах связи позволяет бороться с мно-
голучевостью распространения радиоволн. Многолучевость возни-
кает в том случае, если радиоволны приходят в точку приема, от-
разившись от различных препятствий на пути распространения
(слои ионосферы, здания, холмы и т. п.). Из-за различия в длине
пути эти радиоволны приходят с различным запаздыванием. В
результате, если сигналы, пришедшие по разным путям, перекры-
ваются во времени, то между ними возникает интерференция, ко-

Рис. 1.4. Шумоподобный сигнал (а), автокорреляционная функция (б) и разде-
ление лучей (в)
торая в свою очередь вызывает глубокие замирания результирую-
щего сигнала. Обычно для компенсации замираний предусматри-
вают увеличение мощности сигнала на 20 дБ. Иначе обстоит дело
при использовании ШПС, поскольку при обработке ШПС согла-
сованным фильтром происходит сжатие ШПС по времени, что ил-
люстрируется рис. 1.4. На рис. 1.4,а изображен ШПС с частотной
модуляцией длительностью Т. На рис. 1.4,5 изображено напряже-
ние на выходе согласованного фильтра — отклик фильтра на
ШПС. Этот отклик называется автокорреляционной функцией
(АКФ) ШПС. Хотя АКФ имеет длительность 2Т, то в ней можно
выделить две резко отличающиеся структуры. В центре АКФ рез-
кий выброс в виде узкого импульса, называемого центральным
пиком. Его амплитуда равна V, а длительность

т0 « 1/F. (1.14)

Чем шире спектр ШПС, тем короче центральный пик. Вторую об-
ласть составляют боковые пики с максимальным значением t»max-
Шумоподобные сигналы с большими базами обладают свойства-
ми, которые записываются двумя соотношениями:

Т/т0 « В, У/оШах « V«~B, (1.15), (1.16)

где а — некоторая постоянная, в общем случае зависящая от ба-
зы В.

Соотношение (1.15) определяет сжатие ШПС — отношение
длительности ШПС Т к длительности центрального пика. Сжа-
тие ШПС равно, примерно, базе. Поэтому при Т=const увеличе-
ние F приводит к уменьшению длительности центрального пика То
и к увеличению сжатия.

Соотношение (1.16) характеризует подавление боковых пиков.
Оно равно отношению амплитуды центрального пика V к ампли-
туде максимального бокового пика отах. Чем больше база, тем
больше подавление боковых пиков. И в пределе АКФ ШПС с
ростом базы стремится к узкому дельта-импульсу. Такую АКФ
имеет широкополосный шум, что и послужило причиной назва-
ния — «шумоподобные сигналы».

На рис. 1.4,в изображен отклик согласованного фильтра на не-
сколько ШПС, пришедших по различным путям. Если задержка
между лучами больше длительности центрального пика то, то»
лучи разделяются и центральные пики различных лучей можно
разделить один от другого, а затем и объединить, устранив задерж-
ку между ними. Такой принцип борьбы с многолучевостью был ис-
пользован в одной из первых систем связи с ШПС «RAKE». Таким
образом, условие А£>то обеспечивает разделение лучей. Поскольку
то и F связаны соотношением (1.14), то условие разделения лучей
записывается следующим образом:

ГД/>1. (1.17)

Например, если при распространении радиоволн существуют два
луча — прямой и отраженный от некоторого объекта, то задерж-
ка &tf&l2d2IRc, где с — скорость света, R — расстояние между пе-
редатчиком и приемником, d — расстояние между отражающим
объектом и прямым лучом. В этом случае необходимо использо-
вать ШПС с шириной спектра

F>/$c/2d2. (1.18)

Чем больше d, тем меньше F. Может оказаться, что при малых d
могут потребоваться ШПС с очень широкими спектрами, что не
всегда можно реализовать на практике.

1.8. Измерение координат подвижных объектов

Применение ШПС позволяет совместить системы передачи ин-
формации и системы траекторных измерений. При измерении па-
раметров движения объекта наибольший .интерес представляют
расстояние между приемником и передатчиком и их относитель-
ная скорость. Расстояние измеряется по задержке во времени, а
скорость — по доплеровскому смещению частоты. Точность изме-
рения и разрешающая способность по задержке определяются от-
ношением сигнал-помеха q2 (1.4) и шириной спектра сигнала и
характеризуются ошибкой

ot « MqF. (1.19)

Чем больше q и F, тем меньше ошибка в измерении задержки,
тем выше точность измерения и разрешающая способность по рас-
стоянию. Точность измерения доплеровского смещения частоты оп-
ределяется отношением сигнал-помеха q2 (1.4) и длительностью
сигнала и характеризуется ошибкой

Gfftfl/qT. (1.20)

Чем больше q и Т, тем меньше ошибка в измерении доплеровско-
го сдвига частоты, тем выше точность измерения и разрешающая
способность по скорости. Из (1.19), (1.20) следует, что при сов-
местном измерении расстояния и скорости необходимо использо-
вать ШПС, так как только для ШПС можно независимо изменять
и ширину спектра F и длительность Т. В системах связи длитель-
ность Т обычно определяется скоростью передачи информации.
Поэтому повышения точности измерения расстояния можно дос-
тигнуть расширением спектра F, т. е. используя ШПС.

1.9. Электромагнитная совместимость

Шумоподобные сигналы обеспечивают хорошую электромагнит-
ную совместимость ШСС (ЭМС) с узкополосными системами ра-
диосвязи и вещания. На рис. 1.5 изображены спектры ШСС с
ШПС с шириной спектра F и узкополосной системы связи с ши-
риной спектра сигнала Гу. Соответственно для ШПС спектральная
плотность мощности ЛАШпс=-Ршпс/Л для узкополосного сигнала
Ny = Py/Fy. Помехоустойчивость системы связи с ШПС определяет-
14
ся фундаментальным соотношением (1.4), в котором р2=Ршпс/Ру.
Усиление обработки равно 2В. Если узкополосная система связи
постоянно занимает определенный интервал, то можно её спектр
полностью подавить, используя режекторный фильтр, настроенный
на частоту узкополосной системы связи. Таким образом, воздей-
ствие узкополосной системы связи на широкополосную незначи-
тельно. В свою очередь, широкополосная система связи также сла-
бо влияет на узкополосную систему связи. Мощность ШПС, про-
ходящего на выход приемника, N inncFv=PwncFy/F. Поэтому от-
ношение сигнал-помеха на выходе узкополосного приемника будет
определяться соотношением (1.4), в котором р2=Ру/Ршпс, а В =*
= FftFy. Поэтому чем больше отношение F/Fy, тем лучше фильтра-
ция ШПС в узкополосной системе связи. Следовательно, чем
больше база ШПС, тем выше ЭМС широкополосной и узкополос-
ной систем связи.

Рис. 1.5. Спектры широкополосной и
узкополосной систем связи

Рис. 1.6. Спектры телевизионного сиг-
нала и ШПС

Системы связи с ШПС можно совмещать и с радиотелевизион-
ными системами. На рис. 1.6 изображен спектр телевизионного
сигнала Утв. Программы телевидения в одной территориальной зо-
не передаются по нескольким каналам с большими защитными
частотными интервалами. Обычно в этих частотных защитных ин-
тервалах не допускается работа каких-либо радиотехнических сис-
тем, чтобы не создавать помех телевизионным передачам. Однако
можно в этих частотных интервалах разместить системы связи с
ШПС так, как это показано на рис. 1.6. Спектр ШПС расположен
вблизи спектра телевизионного сигнала, там где спектральная
плотность последнего резко уменьшается. При этом взаимные по-
мехи и той, и другой системе будут малыми. Следует отметить,
что если вместо ШПС использовать сигналы с частотной модуля-
цией, то уровень взаимных помех возрастает, так как сигналы сис-
темы связи и телевидения относятся к одинаковому классу и де-
модулируются частотным детектором.

Таким образом, системы связи с ШПС обладают хорошей
ЭМС с системами радиосвязи, вещания и телевидения. Ранее бы-
ло упомянуто, что ШПС обеспечивают высокую эффективность ис-
пользования радиоспектра в ССПС. Если рассматривать действие
систем связи в некотором замкнутом пространстве, то оказывает-
ся, что наилучшую ЭМС при ограниченном диапазоне частот обес-
печивают ШПС, хотя сами по собе они требуют более широкой
полосы, чем традиционные узкополосные системы. В то же время
общая полоса частот при использовании ШПС будет меньше.

Из рассмотрения основных свойств ШПС следует, что приме-
нение ШПС в системах связи позволяет обеспечивать высокую по-
мехоустойчивость относительно мощных помех, скрытность, адрес-
ность, работоспособность в общей полосе частот, борьбу с много-
лучевостью, высокие точности измерений и разрешающие способ-
ности, хорошую ЭМС со многими радиотехническими системами.
Эти преимущества получаются за счет применения ШПС с боль-
шими базами, что приводит к резкому усложнению устройств фор-
мирования .и обработки, увеличению их массы, объема, потребляе-
мой мощности. В большинстве случаев переход к ШПС с больши-
ми базами требует резкого расширения полосы частот, что при-
водит к определенным трудностям в создании широкополосной
элементной базы. Однако эти трудности преодолимы. И поэтому
ШПС находят уже сейчас применение в различных системах свя-
зи, а в будущем получат еще более широкое применение, особен-
но в системах массовой радиосвязи.

1.10. Основные структурные схемы ШСС

Широкополосные системы связи с ШПС в зависимости от наз-
начения, тактико-технических характеристик, базы ШПС, элемент-
ной базы могут быть построены по различным схемам, перечис-
лить которые в .настоящее время невозможно из-за многочислен-
ных вариантов. Для качественного представления о том, из каких
основных устройств состоят ШСС, на рис. 1.7, 1.9, 1.11, 1.12 при-
ведены структурные схемы некоторых систем связи.

На рис. 1.7 представлены структурные схемы передатчика и
приемника цифровой системы связи с фазоманипулированным

Рис. 1.7. Структурные схемы передатчика и приемника цифровой системы связи
с фазоманипулированным ШПС

(ФМ) сигналом, предназначенные для передачи дискретных со-
общений. В передатчике (рис. 1.7,а) от источника информации ИИ
последовательность двоичных единиц 1 и 0 со скоростью

(рис. 1.8,а) поступает на вход фазового модулятора ФМ. На вто-
рой вход ФМ поступает фазоманипулированный сигнал (рис. 1.8,6)
от генератора ФМ сигнала ГФМ. Фазоманипулированный сигнал
имеет длительность Т и представляет собой последовательность
видеоимпульсов 1 и 0 длительностью xo = T/N, где N — число им-
пульсов. На рис. 1.8,6 Af=13. Обычно считают, что база ФМ сиг-
нала примерно равна числу импульсов, т. е. В mN. Ширина спек-

Рис. 1.8. Модуляция ци-
фровой информации ФМ
ШПС

тра ФМ сигнала Fta 1/то- Работой ГФМ управляет синхронизатор
С, который формирует необходимые сигналы управления и часто-
ты. Последовательность ШПС в виде ФМ сигналов, переносящая
информационные символы (рис. 1.8,в), поступает в модулятор Мод,
в котором осуществляется балансная модуляция колебания с не-
сущей частотой ФМ сигналом. Колебание с несущей частотой соз-
дается генератором низкой частоты ГНЧ. Усилитель мощности
УМ усиливает фазоманипулированный сигнал, а затем через ан-
тенну сигнал излучается в пространство. В приемнике (рис. 1.7,6)
сигнал проходит через смеситель См, переносится с помощью ге-
теродина Г на промежуточную частоту, усиливается в усилителе
промежуточной частоты УПЧ и обрабатывается согласованным
фильтром СФ. Сигнал с выхода СФ поступает на синхронизатор
С и решающее устройство РУ. Синхронизатор осуществляет поиск
ФМ сигнала по частоте и по времени, накапливает сигнал для уве-
личения надежности синхронизации, управляет режимом работы
решающего устройства. Для поиска ФМ сигнала по частоте синх-
ронизатор перестраивает гетеродин. После окончания поиска и
вхождения в синхронизм на выходе решающего устройства появ-
ляется информационная последовательность в виде двоичных сим-
волов, которая передается получателю информации ПИ. Прием-
ник, изображенный на рис. 1.7,6, является наиболее простым.
Вместе с тем необходимо отметить, что согласованный фильтр и
синхронизатор, содержащий блоки поиска и синхронизации, явля-
ются при больших базах ШПС сложными устройствами. Кроме
того, для поиска ШПС и поддержания синхронизма приемник ох-
вачен петлей обратной связи. Реальный приемник ШПС может
содержать несколько блоков поиска и слежения, в том числе блок
поиска ШПС по времени и временной синхронизации, блок фазо-
вой автоподстройки частоты ФАПЧ, которые охвачены собствен-
ными и взаимными обратными связями.

На рис. 1.9 представлены структурные схемы передатчика и
приемника радиотелефонной системы связи с ФМ ШПС. В пере-
датчике (рис. 1.9,а) телефонное сообщение (рис. 1.10,а) от источ-
ника информации ИИ поступает на вход широтно-импульсного мо-
дулятора ШИМ, с выхода которого ШИМ сигнал (рис. 1.10,6) по-
дается на вход фазового модулятора ФМ. На второй вход ФМ
подается ФМ ШПС (рис. 1.10,в), формируемый ГФМ. Фазомани-

Рис. 1.9. Структурные
мы

схемы передатчика и приемника радиотелефонной
связи с фазоманипулированным ШПС

систе-

пулированый сигнал с выхода фазового модулятора (рис. 1.10,г),
содержащий информацию, поступает на вход модулятора М, в ко-
тором осуществляется балансная модуляция колебания с несущей
частотой от ГНЧ. Затем усиленный по (мощности в усилителе мощ-
ности УМ ФМ сигнал через антенну излучается в пространство.
Работой широтно-импульс-

0
а)

0
5)

0
в)

о
г)

ного модулятора и гене-
ратора ФМ сигнала управ-
ляет синхронизатор С, ко-
торый вырабатывает необ-
ходимые частоты и управ-
ляющие сигналы. В при-
емнике (рис. 1.9,6) приня-
тый сигнал в смесителе См
с помощью гетеродина Г пе-
реносится на промежуточ-
ную частоту и после УПЧ

Рис. 1.10. Модуляция ФМ ШПС непрерыв- поступает1 на коррелятор
ным сообщением при помощи ШИМ Кор. Коррелятор, как и со-
гласованный фильтр, произ-
водит оптимальную обработку принятого сигнала. Хотя они отли-
чаются по принципу работы, но обеспечивают одинаковую поме-
хоустойчивость приема. Коррелятор состоит из перемножителя и
интегратора. На второй вход коррелятора подается опорный сиг-
нал в виде ФМ ШПС (рис. 1.10,в). Напряжение на выходе кор-
релятора содержит телефонное сообщение в виде ШИМ сигнала,
который подается на вход демодулятора Дем, с выхода которого
принятое телефонное сообщение передается получателю информа-
ции ПИ. Работой приемника в целом и его отдельными блоками
(Г, ГФМ, Кор, Дем) управляет синхронизатор С, который сначала
осуществляет поиск ФМ ШПС по времени и частоте, а затем под-
держивает синхронизм. Все, что было ранее отмечено относитель-
но синхронизатора приемника, изображенного на рис. 1.7,6, пол-
ностью относится как к синхронизатору данного приемника, так и
приемников, изображенных на рис. 1.11,6 1.12,6.

На рис. 1.11 представлены структурные схемы передатчика и
приемника цифровой системы связи с частотно-манипулированным

Рис. 1.11. Структурные схемы передатчика и приемника цифровой системы свя-
зи с частотноманипулированным ШПС

(ЧМ) ШПС (иногда такой ШПС называют сигналом с прыгаю-
щей частотой). Отличие передатчика и приемника, изображенных
на рис. 1.11, от передатчика и приемника на рис. 1.7 сводится к
следующему. В передатчике (рис. 1.11,а) в модуляторе Мод1 про-
изводится модуляция ЧМ ШПС дискретным сообщением. ЧМ
ШПС представляет собой сигнал, состоящий из М импульсов, не-
сущие частоты которых принимают одно из возможных значений
от fo до fo+ (М—1)/Т с интервалом между соседними значениями
Af—lfT. Всего используется М частот и ни одна из них не при-
меняется дважды в одном ШПС. База такого сигнала ВяМ2. ЧМ
ШПС формируется с помощью частотного манипулятора (ЧМ), у
которого на один вход через шину (широкая стрелка) подаются
М частот от генератора сетки частот ГСЧ. На другой вход пода-
ется кодовая последовательность от генератора кодовой последо-
вательности ЧМ ШПС (ГЧМ), определяющая порядок изменения
частот в ЧМ ШПС. В модуляторе Мод2 производится перенос ЧМ
ШПС на несущую частоту. Работой ГСЧ, ГЧМ, ГНЧ управляет
синхронизатор С. В приемнике (рис. 1.11,6) ЧМ ШПС на проме-
жуточной частоте поступает на смеситель (См2), в котором про-
изводится перенос всех частот сигнала на вторую промежуточную
частоту с помощью опорного ЧМ ШПС, поступающего от частот-
ного манипулятора ЧМ. Назначение ГСЧ и ГЧМ такое же, как и
в передатчике»(рис. 1.11,а). С выхода УПЧ2 сигнал длительностью
Т, не имеющий частотной манипуляции, поступает на СФ, а затем
на РУ и С. Последний производит поиск ЧМ ШПС по времени и
частоте, затем поддерживает синхронизм и управляет работой Г,
ГСЧ, ГЧМ и РУ.

На рис. 1.12 представлены структурные схемы передатчика и
приемника цифровой системы связи с фазо-частотноманипулиро-
ванным (ФМ—ЧМ) ШПС. Такой сигнал является составным. При

Рис. 1.42. Структурные схемы передатчика и приемника цифровой системы свя-
зи с фазо-частотноманипулированными ШПС и корректирующими кодами

отмеченной двойной манипуляции он состоит из N импульсов, груп-
пы которых передаются на М частотах. База такого ШПС равна,
примерно Поскольку ФМ—ЧМ ШПС является объеди-

нением ФМ и ЧМ сигналов, то и схема передатчика (рис. 1.12,а),
и схема приемника (рис. 1.12,6) являются в свою очередь объеди-
нением передатчиков (рис. 1.7,а и 1.11,а) и приемников (рис. 1.7,6
и 1.11,6). Для дополнительного повышения помехоустойчивости ис-
пользуются корректирующие коды, которые формируются в пере-
датчике (рис. 1.12,а) с помощью кодера (К) и декодируются в
приемнике (рис. 1.12,6) с помощью декодера (Д). В приемнике
оптимальную фильтрацию осуществляет коррелятор (Кор). Наз-
начение остальных блоков такое же, как и в предыдущих схемах.

Представленные схемы не исчерпывают всего многообразия
схем широкополосных систем связи с ШПС. Вместе с тем они
позволяют выделить основные узлы таких систем. К таким узлам
относятся генераторы формирования ШПС (или автоматы форми-
рования ШПС с их сменой), генераторы сетки частот, согласован-
20
ные фильтры, корреляторы, блоки поиска ШПС и синхронизации
по времени и по частоте. Из представленного материала следует,,
что разработчик широкополосной системы связи должен уметь
выбрать тип ШПС и его базу, метод обработки, определить время
поиска и синхронизации, найти помехоустойчивость приемника.
ШПС при действии различного рода помех, выбрать элементную
базу и разработать на ней необходимые генераторы ШПС, согла-
сованные фильтры и корреляторы, блоки поиска и синхронизации.
Кроме этого, разработчик должен уметь проектировать остальные
узлы передатчика и приемника, знать, как проходит ШПС через
узлы передатчика и приемника и какие потери при этом имеют
место. На все вопросы, которые возникают в процессе проектиро-
вания ШСС, нельзя в большинстве случаев дать однозначные от-
веты. Поэтому проектирование ШСС в настоящее время является
инженерным искусством, которое основывается на глубоком зна-
нии теории и техники ШПС и на интуиции разработчика. Но тем.
не менее, по всем вопросам проектирования систем связи с ШПС
в настоящее время имеются основные (и во многих случаях фун-
даментальные) результаты. Они и приведены в дальнейших раз-
делах данного справочника.

2. ШУМОПОДОБНЫЕ СИГНАЛЫ

2.1. Сигналы и спектры

Сигналом называется изменяющаяся физическая величина, ото-
бражающая сообщение. Сигнал и, являющийся функцией времени
t, записывается в виде u=u(t).

Множество сигналов определяемое единым правилом по-
строения, называется системой сигналов. Таким образом, система
сигналов определена, если известно правило построения сигналов.
Номер сигнала указан в виде индекса /. Если число сигналов &
системе L, то можно пронумеровать сигналы натуральными числами
от 1 до L и обозначить /=1, L. Число L называется объемом сис-
темы сигналов.

В дальнейшем рассматриваются сигналы, которые можно пред-
ставить в следующем виде:

и (0 = А (/) cos [®01 + 0 (0- (2.1 >

где A(f) — огибающая, ©о — несущая частота, 0(/) — медленно-
меняющаяся часть фазы сигнала.

Представлению (2.1) соответствует радиочастотный сигнал.
Так как рассматриваются реальные сигналы (которые можно
сформировать и обработать), то все функции времени и парамет-
ры правой части (2.1) известны.

Когда сигнал задан в общем виде u(t) и правая часть (2.1)
не известна, то необходимо воспользоваться преобразованием
Гильберта и найти сопряженный сигнал u(t). В этом случае оги-
бающая А (/) = У и2(0+й2(0, фаза 0(/) =W+0l(O =arctgX
х(й(0/«(01.

Если функция 01(0 непрерывная и имеет непрерывную первую
производную, то мгновенная частота сигнала ®(0 по определению
равна первой производной фазы 0(/), т. е. ©(/) =<оо+О'(О-

Преобразование Гильберта:

и (f\ — — 7 и (*) л * /а 1 7 и л

“ w —— J —dx, и (t) — — — I ----; dx.

П Joo X — t ' ' n _Joo X — t

Рис. 2.1. Фазоманипулиро
ванный сигнал

На рис. 2.1,а показан фазоманипули-
рованный сигнал (ФМ), состоящий из че-
тырех радиоимпульсов с одинаковой не-
сущей частотой, но с различными началь-
ными фазами. На рис. 2.1,6 и в представ-
лены его огибающая A (t) и фаза 0(/).
Огибающая постоянна на интервале дли-
тельностью Т, а фаза равна двум значе-
ниям: 0 или л.

Если несущая частота сигнала шо = О,
то такой сигнал является видеочастот-
ным. На рис. 2.1,г изображен видеоча-
стотный сигнал U (/) — последователь-
ность положительных и отрицательных
прямоугольных импульсов, полученный
из ФМ сигнала рис. 2.1,а при условии,
что (Оо = 0. Так как знаки импульсов ви-

деочастотного сигнала определяются начальными фазами импуль-

сов радиочастотного сигнала, то по аналогии с радиочастотным сиг-
налом видеочастотный также называется фазоманипулированным

сигналом.

Спектр сигнала u(t) определяется преобразованием Фурье

g(d))= J и (/) e~i(B* dt.
--------ОО

(2.2)

Спектр является функцией угловой частоты ©=2nf, где f —
линейная частота. (В дальнейшем <о и f называются просто час-
тотой.) Бесконечные пределы интегрирования соответствуют об-
щему случаю. При определении спектра финитного сигнала (с ко-
нечной длительностью) необходимо учитывать его расположение
на оси времени t. Спектр может быть представлен в виде §(©) =
= |#(<в) |exp(i<p(<o)], где |g(©)| — амплитудный, a <p(w) — фазо-
вый спектр сигнала u(t).

Сигнал находится по спектру с помощью обратного преобра-
зования Фурье

(/)= — f g (со) ei<fl/ da>.
Ширина спектра. Спектр финитных сигналов имеет бесконеч-
ную протяженность, поэтому единого определения ширины спектра
не существует. В зависимости от целей исследования ширину
спектра-сигнала находят по-разному. В дальнейшем ширина спек-
тра определяется так, чтобы правильно отображать суть решае-
мой задачи. Такой подход оправдан тем, что для сигналов, вхо-
дящих в одну систему, любое достаточно разумное определение
ширины спектра будет правильно отображать спектральные свой-
ства каждого сигнала и системы сигналов в целом. Ширина спект-
ра сигнала обозначается F.

Комплексная огибающая сигнала и её спектр. Радиосигнал.
(2.1) содержит быстроменяющийся множитель в виде косинусои-
ды, в аргумент которой входит несущая частота ©о=2л/о- Соот-
ветственно спектр (2.2) этого сигнала состоит из двух частотных.
полос, сосредоточенных около частот ©о и —©о. При теоретических
исследованиях целесообразно для упрощения промежуточных ма-
тематических операций «освободить» сигнал и его спектр от несу-
щей частоты ©о- Это можно осуществить при введении комплекс-
ной огибающей сигнала.

Комплексная огибающая радиосигнала (2.1) определяется как.

tf(0 = |[/(0l exp [i 0(0], (2.3)

где модуль |С7(0|=Л(/) является огибающей сигнала «(/). Пе-
реход от комплексной огибающей к сигналу осуществляется с по-
мощью следующей формулы:

и (0 = Re U (0 exp [i ©0 /], (2.4)

где Re — действительная часть.

На рис. 2.1,г была изображена комплексная огибающая ФМ
сигнала рис. 2.1,а. Она представляет собой последовательность
прямоугольных 1видео.импульсов и является действительной функ-
цией времени. Это Обусловлено тем, что начальные фазы импуль-
сов ФМ сигнала принимают одно из двух значений: 0 или л. В-
общем случае комплексная огибающая содержит и действитель-
ную, и мнимую составляющие, но всегда является видеосигналом,,
чем и объясняется переход к ней от радиосигнала.

Спектр комплексной огибающей

G(©)= J U (f) е~^ dt. (2.5)

--ОО

Комплексная огибающая сигнала находится согласно обрат-
ному преобразованию Фурье

U (0 = — J G (©) eifi>/d ю. (2.6)

Спектр комплексной огибающей можно представить в виде
(?(©) = | G(©) |ехр[1Ф (©)], где |G(©)| — амплитудный, а Ф(©) —
фазовый спектры.
Спектр сигнала gfa) и спектр его комплексной огибающей
G(<o) связаны соотношением g(©) =O,5G(<o—©o)+0,5G*((o+©o),
где * — знак комплексной сопряженности.

Так как комплексная огибающая U\(t) —видеосигнал, то спектр
G(©) расположен в области видеочастот.

На рис. 2.2 изображен спектр G(w) комплексной огибающей
U (?) произвольного сигнала (рис. 2.2,а — амплитудный спектр
| G (©) |, рис. 2.2,6 — фазовый спектр Ф(©)) и спектр g(<a) сигна-
ла u(t) (рис. 2.2,в — амплитудный спектр, рис. 2.2,г — фазовый
спектр).

База сигнала произведение ширины спектра на длитель-
ность сигнала, т. е. B = FT. Сигналы с базой В=1 называются
простыми, а с базой В>1 — шумоподобными или сложными.
Особое значение имеют шумоподобные сигналы, у которых база
В>1.

Энергия сигнала и частотно-временная плоскость. По опреде-
лению, энергия сигнала

Е= J u*(t)dt = j |g(©)|2d© . (2.7)

—ОО 2 П —ОО

Для сигналов, у которых |6'(/) |таХ<^«о, энергия сигнала вы-
ражается через модули комплексной огибающей и её спектра сле-
дующим образом:

7 |Г/(/)12Л=-^- 7 |G(©)|2d© . (2.8)

2 J 4 л J

" —по х *v ЛЛ

Рис. 2.2. Спектр комплексной огибаю
щей сигнала и спектр сигнала

Обычно большая часть энер-
гии сигнала сосредоточена в
некоторой полосе частот. Пусть
F— ширина такой полосы ча-
стот, внутри которой сосредо-
точена большая часть задан-
ной энергии, а вне этой поло-
сы— меньшая, которой можно
пренебречь. Определенная та-
ким образом ширина полосы
частот F считается шириной
спектра сигнала. В этом случае
энергия сигнала сосредоточена
в частотно-временном прямо-
угольнике со сторонами Т по
оси времени t и F по оси частот
f. Для передачи сигнала с до-
пустимой точностью необходи-
мо иметь канал с полосой ча-
стот шириной F и время пере-
дачи Т.
На рис. 2.3 приведен пример распределения энергии сигнала
на частотно-временной плоскости (f, /). Спектр сигнала сосредо-
точен около несущей частоты fo и располагается от fo—iF[2 до
fo+Ff2. Рисунок имеет качественный характер, поскольку для фи-
нитных сигналов энергия распределена в полосе |f|<

<оо. Поскольку комплексная огибающая является видеосигна-
лом, то частотно-временной прямоугольник, на котором распре-
делена основная часть энергии сигнала, будет расположен так,
как это показано на рис. 2.4. Частотно-временной прямоугольник
рис. 2.4 получается из базисного прямоугольника рис. 2.3 при сме-

Рис. 2.3. Частотно-временная
плоскость на радиочастоте

щении последнего вниз по часто-
те на fo, чему и соответствует пе-
реход от радиосигнала с несущей
частотой fo к его комплексной
огибающей.

Рис. 2.4. Частотно-временная
плоскость на видеочастоте

2.2. Основы оптимальной обработки сигналов

Если на входе приемника действует сигнал x(if), равный сумме
полезного сигнала u(t) и помехи n(t) или только помехе, то
оптимальный приемник в случае сигнала с полностью известными
параметрами (Вычисляет так называемый корреляционный интег-
рал, а затем сравнивает его .величину с порогом Zq. Если помеха
является гауссовским случайным процессом, спектральная плот-
ность которого равномерна (белый шум), то корреляционный ин-
теграл имеет вид

z = j х (0 и (t) dt. (2.9)

Значение корреляционного интеграла (2.9) находится с по-
мощью коррелятора (рис. 2.5) или согласованного фильтра
(рис. 2.6). Основными элементами коррелятора, как следует из
выражения (2.9), являются перемножитель, генератор сигнала и
интегратор. На перемножитель поступают входной сигнал x(t) и
сигнал «(/) от генератора сигнала. Произведение интег-

рируется с момента прихода (f=0) и до момента окончания об-
наруживаемого сигнала (t=T). Отметим, что коррелятор является
устройством с переменными параметрами, так как режим его ра-
боты зависит от изменения u(t) во времени. Поскольку операции

умножения и интегрирования линейны, то коррелятор является
.линейным устройством. Имея в виду, что он отфильтровывает сиг-
нал от помех и является линейным устройством с переменными
параметрами, его иногда называют активным фильтром в отличие
•от пассивных фильтров, параметры которых постоянны во време-
ни.

Согласованный фильтр является пассивным фильтром. Напря-
жение на выходе согласованного фильтра в момент окончания
-сигнала (t=T) с точностью до постоянного множителя а равно
напряжению на выходе коррелятора

U(T)=az. (2.10)

Импульсная характеристика согласованного фильтра

h(f)=au(T—t), (2.11)

которая по форме является зеркально отображенным сигналом с
.запаздыванием Т.

Общим между коррелятором и согласованным фильтром яв-
ляется равенство (с точностью до постоянной) выходных напря-
жений в момент времени t=T. Это и определяет их взаимную эк-
вивалентность с точки зрения обнаружения сигнала. Различие
заключается в следующем. Коррелятор является устройством с пе-
ременными во времени параметрами, а согласованный фильтр —
устройством с постоянными параметрами. Следствием этого яв-
ляется то, что> согласованный фильтр инвариантен относительно
задержки сигнала и его начальной фазы (насколько эти величины
изменятся в сигнале на входе фильтра, настолько они изменятся
и в сигнале на выходе), а коррелятор не инвариантен.

Если сигнал имеет несколько неизмеряемых или измеряемых
случайных параметров, то структура оптимального приемника из-
меняется, но его основная часть остается прежней, так как всег-
да должен быть согласованный фильтр или коррелятор. Напри-
мер, при случайной начальной фазе сигнала в приемнике с сог-
-ласованным фильтром за фильтром должен следовать детектор
26
для выделения огибающей. В приемнике корреляционного типа
должны быть второй (квадратурный) канал и схема выделения
огибающей. Поэтому в оптимальном приемнике всегда есть сог-
ласованный фильтр или коррелятор.

Коэффициент передачи согласованного фильтра с импульсной
характеристикой (2.Ы)

к (со) = a g (со) exp (—i©T), (2.12)

где g (<©) — спектр сигнала, * — знак комплексной сопряженнос-
ти. Из (2.12) следует выражение для амплитудно-частотной ха-
рактеристики .(АЧХ)

|к(©)1 = a|g(©)| <(2.13)

и для фазо-частотной характеристики (ФЧХ) согласованного
фильтра

ф(®) =—<р(©) — аТ. (2.14)

Из (2.13) следует, что АЧХ согласованного фильтра тем боль-
ше, чем больше спектральная плотность сигнала. На рис. 2.7,а

Рис. 2.7. Амплитудно-
частотная и фазо-частот-
ная характеристики со-
гласованного фильтра

изображены амплитудный спектр сигнала a|g’(<o)|, спектральная
плотность помехи No и АЧХ фильтра |к(©)|, построенная в со-
ответствии с (2.13).

Фазовый спектр сигнала <р(ю) и ФЧХ фильтра ф(©), описы-
ваемые уравнением (2.14), показаны на рис. 2.7,6. Штриховой ли-
нией изображены составляющие правой части уравнения (2.14).
ФЧХ фильтра компенсирует фазовый спектр сигнала, в результа-
те чего на выходе фильтра в какой-то момент времени все частот-
ные составляющие отклика оказываются в фазе и, складываясь,
дают максимум отклика.

Исключительная роль согласованного фильтра (или корреля-
тора) в оптимальном приемнике объясняется тем, что он макси-
мизирует отношение сигнал-помеха на своем выходе. Это отноше-
ние при действии на входе фильтра белого шума со спектральной
плотностью No и сигнала с энергией Е не зависит от формы сиг-
нала

q0 = V2EiN0. (2.15)

При этом максимальное значение сигнала на выходе фильтра
равно аЕ, а среднеквадратическое значение помехи — а V EN0/2.
Результаты, приведенные в данном параграфе, строго справед-
ливы для помехи в виде гауссовского случайного процесса с рав-
номерной спектральной плотностью мощности («белый» шум).
Вместе с тем коррелятор или согласованный фильтр (или их на-
бор, или модификация) всегда входят в оптимальный приемник.

2.3. Корреляционные функции сигналов

Оптимальный прием сигналов осуществляется с помощью сог-
ласованных фильтров или корреляторов. Нормированный отклик
согласованного фильтра, определяемого с помощью интеграла
свертки,

гл(т) = 4 f ® • (2.16)’

где Uj(t) — сигнал на входе фильтра, согласованного с сигналом
uk(t). Энергии сигналов с номерами / и k равны Е, а т — сдвиг
сигнала «ДО относительно отклика «ДО. При j—k и т=0 из
(2.16), отбрасывая индексы, имеем

r(0) = rmax=±- f u*(i)dt=l, (2.17)

что и определяет нормированность отклика согласованного фильт-
ра.

Выражение в правой части (2.16) определяет интегральную
взаимосвязь между сигналами «ДО и uk(t) при некотором сдвиге
%. Если т — переменная величина, то г»Дт) — функционал, за-
висящий как от функций «ДО и «ДО, так и от сдвига т. Именно
поэтому г»Дт) называется корреляционной функцией (КФ) сиг-
налов «ДО и Uk(t). В зависимости от того, согласован или не
согласован сигнал с фильтром, имеется ли дополнительное допле-
ровское смещение несущей частоты сигнала, корреляционные функ-
ции имеют различные представления.

Взаимная функция неопределенности (ВФН) двух сигналов с
номерами / и k, по определению, выражается через комплексные
огибающие сигналов и через их спектры следующим образом:

— ОО

= — f (со—Q)Gft(®)e’“’d®, (2.18)

4п Е
— ОО

где т — сдвиг по времени между сигналами, О — доплеровский
сдвиг частоты. С точностью до малых более высокого порядка
нормированный отклик согласованного фильтра связан с ВФН
(2.18) соотношением

rJk (т, Q) =Re Rik (т, Q) exp (i ®0 т). (2.19)
Взаимокорреляционная функция (ВКФ) является сечением

ВФН при £2=0. Полагая £2=0, из (2.18) получаем

*лЮ = Л У Ut(i)Uk(t-r)dt =
^—00

= J Gj (со) Gh (о) elfi)T d о. (2.20)

Функция неопределенности (ФН). Бели фильтр согласован с
сигналом, т. е. j—k, то из (2.18), опуская индекс /, получаем оп-
ределение ФН

R (т, Q) = — f U (0 U (t—т) eiQ' dt =

2 & —оо

= ^— 7 G (а—Й)д((й) е’<“‘ da. <(2.21)'

4л

Автокорреляционная функция (АКФ) — сечение ФН при £2=0.
Полагая £2 = 0, из (2.21) находим

7? (т) = — 7 U(t)U (t—T)dt= — 7 |G (<o)|2 e*®* da.

25-Joo 4n£_JM

(2.22)

Из равенства (2.22) видно, что АКФ является преобразованием
'Фурье энергетического спектра комплексной огибающей сигнала.
Согласно обратному преобразованию Фурье энергетический спектр

|G(co)|2 = 2E J R (т) e-iwT d т . (2.23)

-ОО

Рассмотрим пример, иллюстрирующий свойства автокорреля-
ционной функции. На рис. 2.8,а, б изображены простой сигнал в ви-
де прямоугольного импульса и его автокорреляционная функция.
Максимум /?(т) приходится на момент окончания сигнала t=T.
Это объясняется тем, что 7?(т) является нормированным напряже-
нием на выходе фильтра, согласованного с входным сигналом,
максимум которого совпадает с моментом окончания сигнала, т.е.
при т=Т максимум 2?(0) = 1 в соответствии с (2.17).

Для автокорреляционной функции в виде треугольного импуль-
са, изображенной на рис. 2.8,6, энергетический спектр (квадрат
модуля амплитудного спектра) в соответствии с (2.23) описывает-
ся функцией

|G (<о) |2 = (sin а 7"/2)2/(© 772)2. (2.24)

На рис. 2.9,а изображен фазоманипулированный шумоподоб-
ный сигнал (ФМ ШПС) длительностью Т, а на рис. 2.9,6 — его
АКФ. Элементарный импульс имеет длительность xo=T/N, где
К — число импульсов. Для ФМ ШПС, изображенного на рис. 2.9,а
ЛГ=15. Автокорреляционная функция ФМ ШПС (рис. 2.9,6) состо-
ит из центрального пика с амплитудой 1, размещенного на интер-
вале (—то, то), и боковых пиков, распределенных на интервалах
(—Г, —то) и (то, Т). Амплитуды боковых пиков принимают раз-
личные значения, но у сигналов с «хорошими» корреляционными
свойствами они малы, т. е. существенно меньше амплитуды цент-
рального пика, равной 1. Существуют различные оценки боковых

Рис. 2.8. Прямоугольный импульс и
его автокорреляционная функция

Рис. 2.9. Фазоманипулированный шумо-
подобный сигнал и его автокорреляци-
онная функция

пиков как АКФ, так и ВКФ, ВФН, ФН. Но все они описываются
одинаковым по форме соотношением. Для ФМ ШПС оценка боко-
вых пиков имеет вид

R=a/VN~, (2.25)

где а — некоторая величина, зависящая от вида оценки, класса
сигнала и, в общем случае, от N. Для произвольных ШПС с ба-
зой В оценка боковых пиков

/? = р/КВ, (2.26)

где р, как и а в (2.25), — некоторая постоянная величина. Соот-
ношения (2.25), (2.26) определяют одну и ту же зависимость оце-
нок величины боковых пиков от базы ШПС, поскольку N у ФМ
ШПС пропорционально базе В. Чем больше база, тем меньше
боковые пики. В пределе, когда В->оо, АКФ имеет вид треуголь-
ного импульса, изображенного на рис. 2.10. Боковые пики на
рис. 2.10 не изображены, поскольку при В->оо они стремятся к
нулю в соответствии с (2.25), (2.26). Длительность центрального
пика АКФ также стремится к нулю, поскольку tq—T/N, с ростам
базы В (числа импульсов Af) То->0. АКФ, изображенная на
рис. 2.10, называется идеальной, так как она не имеет боковых
пиков. Именно такую АКФ имеют длительные реализации шума,
что и объясняет название «шумоподобные» сигналы.
Частотная корреляционная функция (ЧК.Ф) — сечение ФН при
т=0. Полагая т=0, из (2.21) получаем

Я(й)=_к 7 \и (/)|2е1я/ dl = — 7 G(®—Й)С(®) dco.

2£ Л, 4п£-о»

(2.27)

Из первого равенства (2.27) следует, что ЧКФ является преоб-
разованием Фурье .квадрата огибающей сигнала.

Она не зависит от фазовой структуры сигнала, а определяется
только квадратом модуля его огибающей. Например, для простого
сигнала (рис. 2.8,а) и для ФМ ШПС (рис. 2.9,а) квадрат огибаю-
щей равен 1 (рис. 2.11,а). Поэтому ЧКФ сигналов, изображенных
на рис. 2.8,а .и 2.9,а, одинакова я записывается в виде

R (Й) = (sin ЙТ/2)/(Й 772). (2.28)

Она изображена на рис. 2.11,6. Нули следуют с интервалом 2л/Т.

Максимум и симметрия корреляционных функций. В целом
функции (2.16), (2.18). (2.22), (2.27) называются как было от-

мечено ранее, корреляционными функциями (КФ). Известно, что
максимум КФ имеет место лишь при j=k и т=
=0, £2 = 0, т. е. только в центре ФН (или АКФ

Т и ЧКФ). Максимум

,,ZZ| ₽Д0,0)=/?fe(0,0) = 1, (2.29)

I что аналогично (2.17), а

\Rjk (т» < 1, £2)1т#о 1.

Рис. 2.11. Квадрат огибающей ФМ
сигнала и его ЧКФ

Рис. 2 >10. Идеальная АКФ

Свойство симметрии КФ заключается в том, что

Rjk (—т, —Й) = Rjk (т, Й) eiflT (2.30)

Из (2.30) следует, что

(—т. —Й)| = |₽л (т, й)|, (—т, —Й)| = (т, Й)|,

(2.31)

(—Т) = Rj (*). ЯД—й) = Я; ($)• (2.32)
Объем и среднеквадратические значения ВФН и ФН. Известно,
что объем, заключенный между поверхностью, описываемой квад-
ратом модуля ВФН, и плоскостью неопределенности (или просто
объем ВФН), равен единице, т. е.

f j 1ЯЛ(т, Q)|2drdQ=l (2.33)

и не зависит от формы и номеров сигналов. Полагая ]=k и отбра-
сывая индексы, имеем результат: объем ФН также не зависит от
формы сигнала и равен единице, т. е.

ff |/?(T,Q)|adTdQ=l. (2.34)

Формулы (2.33), (2.34) позволяют найти эффективные значе-
ния ВФН и ФН. Обозначим эти значения через 7?,йэф и И3ф. По-
лагая, что ВФН и ФН приближенно распределены на прямоуголь-
нике со сторонами 2Т и 4л/7, согласно (2.33), (2.34) можем за-
писать, что /?%йэф4777’=7?2Эф4/'7’=1. Отсюда находим

^8ф = /?Л8ф=/?/вф = 1/2/РТ=1/2^В: (2.35)

Из (2.35) видно, что чем больше база сигнала, тем меньше эффек-
тивные значения. Формулы (2.33) — (2.35) имеют большое прин-
ципиальное значение. Оценка эффективного значения (2.35) сов-
падает по форме с (2.26), но имеет определенный коэффициент,
равный 1/2. Как будет ясно из последующего материала, оценка
(2.35) дает нижнюю границу, т. е. наименьшее эффективное зна-
чение, поскольку получена при условии равномерного распреде-
ления ВФН и ФН на частотно-временной плоскости. На самом деле
для реальных сигналов распределение этих функций неравномер-
но. И поэтому в действительности эффективные значения ВФН и
ФН будут больше, чем определяемые в соответствии с (2.35).

Интегральные равенства. Для нахождения оценок КФ широко
используют интегральные равенства, связывающие между собой
КФ различных сигналов. Одним из общих интегральных равенств
является следующее:

J Rmi (Ti ^i) Rjk (Ti> Qi) е~,эт> d тх = j Rhl (т, г) Rjm (т, z) х

X e~iQ>T d т. (2.36)

(В дальнейшем индекс 1 будет опущен).

Из формулы (2.36) можно найти частные интегральные равен-
ства. Рассмотрим их.

а. Положим j=k=l, z=0. Имеем равенство Бакулева

J |#(т, Q)l2dr = f |/?(T)|2e~iOtdT . (2.37)

— ОО —ОО
Средняя мощность модуля ФН в сечении Q=const является пре-
образованием Фурье от квадрата АКФ.

б. Положим j=tn, k = l, z—О. Имеем равенство Сталдера—
Кана

J (т, Q)|2 dr= f 7?;.(T)₽ft(T)e-iOtdT.

—ОО —ОО

в. Положим j=m, k=l, z=Q1 = 0. Имеем

j |/?А(т)|Мт= j Rj(x)Rh (T)dr. (2.38)

—oo —oo

Из (2.38) следует, что среднее значение квадрата модуля ВКФ
сигналов с номерами j и k равно среднему значению произведе-
ния их АКФ. Обозначим квадраты эффективных значений ВКФ
черев

<6 1 _„ 1 „

— ОО —ОО

(2.39)
где Т — длительность сигнала, a q=j или q = k. Используя нера-
венство Буняковского-Шварца, из (2.38) получаем

R2jk эф эФ эф- (2.40)

Из (2.40) следует, что для уменьшения эффективного значения
ВКФ необходимо уменьшать эффективные значения АКФ.

Использование приведенных интегральных равенств для оцен-
ки КФ будет проиллюстрировано в дальнейшем.

2.4. Основные типы ШПС

Известно большое число различных ШПС, свойства которых
нашли отражение во многих книгах и журнальных статьях. Обще-
принятой терминологии пока не существует. Тем не менее, ШПС
можно разбить на частотно-модулированные (ЧМ) сигналы; мно-
гочастотные (МЧ) сигналы; фазоманипулированные (ФМ) сигна-
лы (сигналы с кодовой фазовой модуляцией — КФМ сигналы);
дискретные частотные (ДЧ) сигналы (сигналы с кодовой частот-
ной модуляцией — КЧМ сигналы, частотноманипулированные
(ЧМ) сигналы); дискретные составные частотные (ДСЧ) (состав-
ные сигналы с кодовой частотной модуляцией — СКЧМ сигналы).

В скобках указаны и другие названия. Иногда ФМ сигналы
называют просто ШПС, ДЧ сигналы — сигналы с «прыгающей ча-
стотой».

Частотно:модулированные (ЧМ) сигналы являются непрерыв-
ными сигналами, частота которых меняется по заданному закону.
На рис. 2.12,а изображен ЧМ сигнал, частота которого меняется
по V-образному закону от fo—F/2 до f0-)-F/2, где /о — центральная
(несущая) частота сигнала, F — ширина спектра, в свою очередь
равная девиации частоты F=Afa. Длительность сигнала равна Т.
На рис. 2.12,6 представлена частотно-временная (f, t) —плоскость,
на которой штриховкой приближенно изображено распределение
2—ш 33
энергии ЧМ сигнала по частоте и по времени. База ЧМ сигнала
по определению (1.1)

B = FT=bfRT. (2.41)

Частотно-модулированные сигналы нашли широкое применение
в радиолокационных системах, поскольку для конкретного ЧМ сиг-
нала можно создать согласованный фильтр на приборах с поверх-
ностными акустическими волнами (ПАВ). В системах связи не-
обходимо иметь множество сигналов. При этом необходимость бы-
строй смены сигналов и переключения аппаратуры формирования
и обработки приводят к тому, что закон изменения частоты ста-
новится дискретным. При этом от ЧМ сигналов переходят к ДЧ
сигналам.

Рис. 2.12. Частотнб-модулированный
сигнал- и частотно-временная плоскость

Рис. 2.13. МногочаСтотный сигнал и
частотно-временная плоскость

Многочастотные (МЧ) сигналы (рис. 2.13,а) являются суммой
ДГ гармоник «1(0 ... амплитуды и фазы которых определя-
ются в соответствии с законами формирования сигналов. На ча-
стотно-временной плоскости (рис. 2.13,6) штриховкой выделено
распределение энергии одного элемента (гармоники) МЧ сигнала
на частоте fk- Все элементы (все гармоники) полностью перекры-
вают выделенный квадрат со сторонами F и Т. База сигнала В
равна площади квадрата. Ширина спектра элемента F^\fT. По-
этому база МЧ сигнала

B = FT = F/F0 = N, (2.42)

т. е. совпадает с числом гармоник. МЧ сигналы являются непре-
рывными и для их формирования и обработки трудно приспосо-
бить методы цифровой техники. Кроме этого недостатка, они об-
ладают также и следующими: а) у них плохой пик-фактор (см.
рис. 2.13,а); б) для получения большой базы В необходимо иметь
большое число частотных каналов N. Поэтому МЧ сигналы в даль-
нейшем не рассматриваются.

Фазоманипулированные (ФМ) сигналы представляют последо-
вательность радиоимпульсов, фазы которых изменяются по задан-
ному закону. Обычно фаза принимает два значения (0 или л).
При этом радиочастотному ФМ сигналу соответствует видео- ФМ
сигнал (рис. 2.14,а), состоящий из положительных и отрицатель-
ных импульсов. Если число импульсов N, то длительность одного
импульса равна xo=T/N, а ширина его спектра равна приближен-
но ширине спектра сигнала Fo= l/x0=N/T. На частотно-времен-
ной плоскости (рис. 2.14,6) штриховкой выделено распределение
энергии одного элемента (импульса) ФМ сигнала. Все элементы
перекрывают выделенный квадрат со сторонами F и Т. База ФМ
сигнала

B=FT=Tlx9=N, (2.43)

т. е. равна числу импульсов в сигнале.

Рис. 2.14. Фазоманипулированный
сигнал (сигнал с кодовой фазовой
модуляцией) и частотно-временная
плоскость

Рис. 2.15. Дискретный частотный сиг-
нал (сигнал с кодовой частотной мо-
дуляцией) и частотно-временная
плоскость
Возможность применения ФМ сигналов в качестве ШПС с ба-
зами В = 104 ...106 ограничена в основном аппаратурой обработки.
При использовании согласованных фильтров в виде приборов на
ПАВ возможен оптимальный прием ФМ сигналов с максимальны-
ми базами Втах=1000 ... 2000. ФМ сигналы, обрабатываемые та-
кими фильтрами, имеют широкие спектры (порядка 10 ... 20 МГц)
и относительно короткие длительности (50 ... 100 мкс). Обработка
ФМ сигналов с помощью видеочастотных линий задержки при пе-
реносе спектра сигналов в область видеочастот позволяет полу-
чать базы В = 100 при 1 МГц, Тж 100 мкс.

Весьма перспективными являются согласованные фильтры на
приборах с зарядовой связью (ПЗС). Согласно опубликованным
данным с помощью согласованных фильтров ПЗС можно обраба-
тывать ФМ сигналы с базами 102 ... 103 при длительностях сиг-
налов 10“4 ... 10-1 с. Цифровой коррелятор на ПЗС способен об-
рабатывать сигналы до базы 4-104.

Следует отметить, что ФМ сигналы с большими базами целе-
сообразно обрабатывать с помощью корреляторов (на БИС или
на ПЗС). При этом В = 4-104 представляется предельной. Но при
использовании корреляторов необходимо в первую очередь решить
вопрос об ускоренном вхождении в синхронизм.

Так как ФМ сигналы позволяют широко использовать цифро-
вые методы и технику формирования и обработки и можно реали-
зовать такие сигналы с относительно большими базами, то поэто-
му ФМ сигналы являются одним из перспективных видов ШПС.

Дискретные частотные (ДЧ) сигналы представляют последова-
тельность радиоимпульсов (рис. 2.15,а), несущие частоты кото-
рых изменяются по заданному закону. Пусть число импульсов в
ДЧ сигнале равно М, длительность импульса равна То = Т/М, его
ширина спектра /7о=,1/То=М/Т. Над каждым импульсом (рис.
2.15,а) указана его несущая частота. На частотно-временной пло-
скости (рис. 2.15,6) штриховкой выделены квадр-аты, в которых
распределена энергия импульсов ДЧ сигнала. Как видно из
рис. 2.15,6, энергия ДЧ сигнала распределена неравномерно на ча-
стотно-временной плоскости.

База ДЧ сигналов

В = FT - MF0 • MTq = М2 Fq То - Л42, (2.44)

поскольку база импульса F0T0= 1. Из (2.44) следует основное до-
стоинство ДЧ сигналов для получения необходимой базы В чи-
сло каналов В, т. е. значительно меньше, чем для МЧ сиг-
налов. Именно это обстоятельство и обусловило внимание к таким
сигналам и их применение в системах связи. Вместе с тем для
больших баз В=104 ... 106 использовать только ДЧ сигналы неце-
лесообразно, так как число частотных каналов Af= 102 ... 103, что
представляется чрезмерно большим.

Дискретные составные частотные (ДСЧ) сигналы являются ДЧ
сигналами, у которых каждый импульс заменен шумоподобным
сигналом. На рис. 2.16,а изображен видеочастотный ФМ сигнал,
отдельные части которого передаются на различных несущих ча-
стотах. Номера частот указаны над ФМ сигналом. На рис. 2.16,6
изображена частотно-временная плоскость, на которой штрихов-
кой выделено распределение энергии ДСЧ сигнала. Рис. 2.16,6 по
структуре не отличается от рис. 2.15,6, но для рис. 2.16,6 пло-

Рис. 2.16. Дискретный составной час-
тотный сигнал с фазовой манипуля-
цией ДСЧ-ФМ (составной сигнал с
кодовой частотной модуляцией и
фазовой манипуляцией СКЧФ-ФМ) и
частотно-временная плоскость

Рис. 2.17. Частотно-временная плоскость
дискретного составного сигнала с час-
тотной манипуляцией ДСЧ-ЧМ (состав-
ной сигнал с кодовой частотной модуля-
цией и частотной манипуляцией
КЧМ-ЧМ)

щадь FqTo = No — равна числу импульсов ФМ сигнала в одном ча-
стотном элементе ДСЧ сигнала. База ДСЧ сигнала

В = FT = M2F0 То = 2V0 М2. (2.45)

Число импульсов полного ФМ сигнала

N = N0M. (2.46)

Изображенный на рис. 2.16 ДСЧ сигнал содержит в качестве
элементов ФМ сигналы. Поэтому такой сигнал сокращенно будем
называть ДСЧ—ФМ сигнал. В качестве элементов ДСЧ сигнала
можно взять ДЧ сигналы. Распределение энергии такого сигнала
на частотно-временной плоскости изображено на рис. 2.17. Если
база элемента ДЧ сигнала

"Fq —AIq

то база всего сигнала

в = м2 м2.

(2.47)

(2.48)
Такой сигнал можно сокращенно обозначать ДСЧ—ЧМ. Число ча-
стотных каналов в ДСЧ—ЧМ сигнале равно М0М. Если ДЧ сиг-
нал (см. рис. 2.15) и ДСЧ—ЧМ сигнал имеют равные базы, то они
имеют и одинаковое число частотных каналов. Поэтому особых
преимуществ ДСЧ—ЧМ сигнал перед ДЧ сигналом не имеет. Но
принципы построения ДСЧ—ЧМ сигнала могут оказаться полез-
ными при построении больших систем ДЧ сигналов.

Таким образом, наиболее перспективными ШПС для систем
связи являются ФМ, ДЧ, ДСЧ—ФМ сигналы.

3. ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

3.1. Общие свойства

Фазоманипулированные (ФМ) сигналы представляют собой по-
следовательность радиоимпульсов, начальные фазы которых изме-
няются по заданному закону. На рис. 2.1,а приведен в качестве
примера ФМ сигнал. В большинстве случаев ФМ сигнал состоит
из радиоимпульсов с двумя значениями начальных фаз: Ойл.
Комплексная огибающая таких ФМ сигналов представляет собой
последовательность положительных и отрицательных видеоимпуль-
сов (см. рис. 2.9,а, 2.14,а). Поскольку между ФМ сигналом и его
комплексной огибающей — последовательностью видеоимпульсов —
существует однозначное соответствие, то обычно и комплексные
огибающие (рис. 2.1,г, 2.9а 2.14,а) также называют ФМ сигна-
лами. Если сигнал многофазный (МФ), то комплексная огибаю-
щая состоит из действительной и мнимой частей. Поэтому графи-
ческое изображение ее более сложное, чем у ФМ сигналов с двумя
значениями начальных фаз. Случай МФ сигналов будет рассмот-
рен особо.

На рис. 3.1 приведен ФМ сигнал, состоящий из N = 64 прямо-
угольных импульсов. Практически всегда форма импульсов оди-

Рис. 3.1. Фазоманипулированный сигнал с N=64

Рис. 3.2. Прямоугольный
импульс

накова и в большинстве случаев она является прямоугольной. Та-
кое предположение о прямоугольности импульсов, образующих
ФМ сигнал, справедливо для теоретических исследований. Однако
при формировании ФМ сигналов и их передаче по каналам связи
с ограниченной полосой пропускания импульсы искажаются и ФМ
сигнал перестает быть таким идеальным, как это представлено на
рисунке. Вопрос об искажениях ШПС, в том числе и ФМ сигна-
лов, будет рассмотрен в дальнейшем. Поэтому в настоящей главе
предполагается, что импульсы, образующие ФМ сигнал, прямо-
угольны.

Прямоугольный импульс ио(?) (рис. 3.2) с единичной ампли-
тудой и длительностью то записывается как

и0 (0 = 1 при О t С т0. (3.1)

Такой импульс в дальнейшем называется единичным прямоуголь-
ным импульсом. Он тождественно равен нулю вне отрезка [0, то].
Пусть амплитуда n-го импульса в видео-ФМ сигнале ап равна +1
или — 1, что соответствует начальным фазам 0 или л в радио- ФМ
сигнале. При таком определении ФМ сигнал (точнее комплексная
огибающая радио- ФМ сигнала) записывается следующим обра-
зом:

U(t)=% апи0Ц-(п-1)т0]. (3.2)

П=1

ФМ сигнал (3.2) состоит из N прямоугольных импульсов
причем n-й импульс имеет амплитуду ап и запаздывает относи-
тельно начала координат на время (п—1)то, равное суммарной
длительности всех предыдущих импульсов. Длительность ФМ сиг-
нала

Т = Ут0. (3.3)

Кодовые последовательности. Последовательность символов
(амплитуд импульсов)

A=(a1a2...an...aN) (3.4)

называется кодовой последовательностью. Например, для ФМ сиг-
нала, изображенного на рис. 3.1, кодовая последовательность име-
ет вид

Д = (111111 —1 — 1 —1 — 1 —1 — 11 —1 — 1 —1 — 111— 1 — 1—

— 11 — 11 — 1 — 11111 — 1

1 — 1 — 1 — 1111 — 1 — 11 — 1 — 11 — 111 — 1111 — 111 — 1 —

— 111 — 11 — 11 — 1).

Кодовая последовательность иногда обозначается как {ап}я1. В
цифровой технике используют символы 0 и 1. Таблица 3.1 харак-
теризует соответствие между начальными фазами радио-ФМ сиг-
нала 6п, амплитудами импульсов ап (символов кодовой последо-
вательности (3.4) и символами кодовых последовательностей ап в
цифровой технике.

Спектры ФМ сигналов. Спектральные свойства ФМ сигнала оп-
ределяются спектром импульса «о(0 и кодовой последовательно-
стью А. Обозначим спектр импульса uo(t) как So (со). По опреде-
лению (2.5)

So (со) = J’ и0 (0 е-‘“< dt. (3.5)

Для прямоугольного импульса, изображенного на рис. 3.2,

So (о) = т0 sinfry> exp (- i сот0/2). (3.6)

<от0/2

Спектр So (со) состоит из трех сомножителей. Первый, равный то,
есть площадь импульса 1-то. Второй множитель sin(coro/2)/(coTo/2)

Таблица 3.1. Соответствие между фазами
и символами

Начальная фаза Символ кодовой последователь- ности ап Символ кодовой последователь- ности °п
0 1 0
п — 1 1

Рис. 3.3. Амплитудный и фазовый спектры
произвольного ФМ сигнала

в виде функции отсчета sinx/x характеризует распределение спект-
ра ,по частоте. (График функции отсчета, в других координатах,
приведен на рис. 2.11,6). Третий множитель ехр(—icoto/2) являет-
ся следствием смещения центра импульса' «о(О относительно на-
чала координат на половину длительности импульса то/2.

Спектр ФМ сигнала (точнее, спектр комплексной огибающей
ФМ сигнала) в соответствии с (2.5) имеет следующий вид:

G(<o)=S0 (<о) 2 ап exp [ —i (п— 1)®т0]. (3.7)

П=1

Сумма в правой части (3.7) является спектром кодовой после-
довательности А и обозначается как Я(<в). Поэтому спектр ФМ
сигнала можно представить в виде произведения, т. е.

G (со) = So (<в)/7 (<в), (3.8)

где So (й))—спектр импульса (3.5) или (3.6),

н (со) = j] ап exp [ — i (п— 1) сото] (3.9)

П=1

— спектр кодовой последовательности.

Представление спектра ФМ сигнала в виде произведения (3.8)
удобно тем, что можно сначала отдельно найти спектры Soi(ko) и
Ufa), а затем, перемножив их, найти спектр ФМ сигнала. Для
ФМ сигналов символы ап являются действительными^ величинами.
Поэтому амплитудный спектр кодовой последовательности | Н (со) |
является четной функцией частоты, а фазовый спектр ф(со) —не-
четной функцией, причем

/N N

2 ап C0S (rt~К) “То >
п=\ К=1

(3.10)

/ N \ I , N \

tgip(co)= ап sin (п—1)(oto|/IV ап cos (п—1)а>т0 ) .
\п=1 // \п=1 /

(3.11)

На рис. 3.3,а изображен |//(со) | —четная функция частоты от-
носительно ® = 0 для произвольного сигнала. Штриховой линией
представлен амплитудный спектр |So(<o)| прямоугольного им-
пульса. На рис. 3.3,6 изображен фазовый спектр -ф(<со)—нечетная
функция частоты относительно со = 0. Необходимо отметить, что
амплитудные спектры кодовых последовательностей |Я(ш)| ре-
альных ФМ сигналов отличаются от изображенного на рис. 3.3,а
наличием значительных флюктуаций. Средняя частота флюктуа-
ций амплитудного спектра ®ф^2л/Т, что объясняется наличием
косинусоидального множителя в правой части (3.10). При ©=0
значение амплитудного спектра согласно (3.10)

|Я(0)|=>] ап, (3.12)

п—1

т. е. равно среднему значению амплитуд импульсов. Среднее зна-
чение квадрата модуля амплитудного спектра

1 л/т0 W

^гЛ|й(ш)|М“=й< (3J3)

Поскольку ап = ±1, то из (3.13) следует, что

1 «Ло

—±— J \Н (ffl)N<»= N. (3.14)

(2 я/т0) _„/То

Поэтому флюктуации амплитудного спектра |Я(<в)| кодовой
последовательности реальных ФМ сигналов происходят около
среднего значения ]/~ЛГ. Флюктуаций амплитудного спектра не бу-
дет у тех сигналов, которые обладают идеальной АКФ без боко-
вых пиков (рис. 2.10). Амплитудный спектр таких сигналов

|Я(й))|ид = УМ (3.15)

Поэтому чем меньше уровень флюктуаций спектра ФМ сиг-
нала, тем меньше уровень боковых пиков АКФ.

Корреляционные функции ФМ сигналов. ВФН двух ФМ сиг-
налов с номерами / и k в соответствии с (2.18) записывается сле-
дующим образом:
। N N *

7?;ft(T,Q)=— 2 s aJnahmRoix—(n—m) т0, Й] x
N n=l m—l

X exp[* (n — 1) йт0]. (3.16)

В (3.16) ajn, dkm — символы кодовых последовательностей
Aj и Ak, причем * — знак комплексной сопряженности — введен
для того, чтобы (3.16) была справедлива и для многофазных сиг-
налов. Для ФМ сигналов с двумя значениями фазы ahm=ahm.
Функция 7?о(т, й) — ФН единичного импульса. Она определяется
согласно (2.21). Если единичный импульс является прямоуголь-
ным (3.1), то

Ro й)=(1 —|т|/т0)

sin 0,5 йт0 (1 — |т|/т0)
0,5 Qt0 (1— |т|/т0)

X exp [i 0,5 й (т0 + т)] при |т| т0,

(3.17)

где т — задержка, й — доплеровский сдвиг частоты.

При т=р.то ВФН .ЯдДр.то, й) зависит только от слагаемых с
данным р, так как соседние слагаемые в (3.16) с р±1 на линии
т=рто равны нулю. Поэтому

Rik (рт0, й) = § а;„ай,п_цехр [i (п— 1) Йт0], (3.18)

/у 4—‘

п=п1

причем пределы суммирования определяются следующими равен-
ствами:

ni= И + 1 , п2 = R

«1 = 1, ni=N— |р|

при р > 0;
при р< 0.

(3.19)

Число слагаемых в (3.18) равно N—|р| при любом р. Корре-
ляционная функция (3.18) определяет сечения ВФН вдоль линии
т = рто при изменении р от —(N—1) до (М—1). При p = ±W
ВКФ Rjk{±Nxo, й)=0. Если р = 0, то ВКФ

Rik (£2) = f «/n ahn exp [i (n-1) Йт0]. (3.20)

При й = 0 ВКФ согласно (3.16), (3.17)

7?у&(г)=_гт 2 S ain ak.n—ti Ro P'To) » (3.21)

N |i=—(TV—1) n=nt

где пределы суммирования определены согласно (3.19).

При выводе (3.21) двойная сумма в (3.16) была разбита на
внутреннюю с ц = const и на внешнюю с изменением ц от —(N—1)
до (Af+l). Ro(r—цто) — АКФ единичного прямоугольного им-
пульса, определяемая согласно (3.17) при Q = 0. При т = рто ВКФ
ФМ сигналов определяется соотношением

/?Л(Н)=(1/ЛО S (З-22)
а при j—k АКФ —

N .

₽(р)=(1/Л0 2. anan_^ (3.23)

п=ц+1

поскольку 7? (—p) =iR (p.).

ВКФ и АКФ полностью определяются своими отсчетными зна-
чениями Rjk(p) и /?(ц). Эти значения, отложенные по оси време-
ни т через интервалы то, образуют так называемую решетчатую
функцию. По известной решетчатой функции можно построить
ВКФ или АКФ, если около каждого значения .или /?(|л)

построить АКФ единичного импульса с амплитудой, раиной
или/?(ц).

На рис. 3.4,а изображена комплексная огибающая (в данном
случае действительная функция времени) ФМ сигнала с единич-
ным прямоугольным импульсом для 1V=5, на рис. 3.4,6 — решет-
чатая функция ФМ сигнала, на рис. 3.4,в — решетчатая АКФ.
Тонкими линиями на рис. 3.4,в показана АКФ ФМ сигнала. Для
прямоугольных единичных импульсов единичный отклик Ro(x)
имеет вид тругольного импульса, поэтому для построения автокор-
реляционной функции ФМ сигнала достаточно соединить между
собой соседние значения /?(р).

Все предыдущие определения ВКФ и АКФ (3.16) ... (3.23)
справедливы для апериодического режима работы передающего
устройства, т. е. в том случае, когда излучается и принимается
один сигнал. На рис. 3.5,а представлены временные диаграммы
для апериодического режима в виде модулей огибающих сигнала
I Uj{t) | и импульсной характеристики фильтра |14(0 I- Сдвиг
между ними т является аргументом ВКФ Rjk(x). Кроме аперио-

Рис. 3.4. Фазоманипулиро-
ванный сигнал и АКФ

чика

дического, возможен также периодический режим, когда сигнал
излучается периодически с периодом, равным длительности сигна-
ла Т (рис. 3.5,6). При периодическом режиме ВКФ

N .

ЯЛ(Р) = (1/А0 S aJnak,n^, (3.24)

П=1

а АКФ —

n •

/?(И) = (1/Л/) J апап^. (3.25)

П=1

В (3.24), (3.25) число слагаемых в суммах равно N, т. е. чис-
лу символов в кодовых последовательностях.

Интегральное равенство. Между корреляционными функциями
и спектрами кодовых последовательностей существует .взаимосвязь,
вытекающая из определений (2.18), (3.7), (3.8), (3.9), используя
которые, можно показать, что имеет место интегральное равенство

R,k Но. Q) = "f Н} (<o-Q) Hk (<о) e^.d<o. (3.26)

Интегральное равенство (3.26) широко используется при на-
хождении оценок АКФ и ВКФ.

Если j = k и й = 0, то из (3.26) получаем определение АКФ

1 яЛо

R (ц) = —!---- г |Я (со)12 (3.27)

2лЛГ/т0 _J/to

При р=1 из (3.27) имеем (3.14).

Перейдем к рассмотрению наиболее распространенных ФМ
сигналов.

3.2. Сигналы Баркера

Кодовая последовательность сигнала Баркера состоит из сим-
волов ап = ±1 и характеризуется АКФ вида

1 для р = 0

О для р = 21 + 1,

1 П 1

— для р = 21,

(3.28)

где /=0, 1, ..., (ЛГ-1)/2.

Знак в последней строке (3.28) зависит от величины N.

В табл. 3.2 приведены известные кодовые последовательности
Баркера1. В последнем столбце таблицы приведен уровень боковых
пиков автокорреляционной функции (1).

1 Для некоторых N существует две последовательности. Например, для
JV=3 имеем (1, -1, 1), {1, 1, —1}, для У=4-{1, 1, 1, —1}, {1, 1, —1, 1}.
Таблица 3.2. Кодовые последовательности Баркера и АКФ

ап при л R2l
1 2 3 4 5 6 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 13
3 1 1 —1 -1/3
4 1 1 —1 1 +1/4
5 1 1 1 —1 1 1/5
7 1 1 1 —1 —1 1 —1 — — — —. —. —1/7
11 1 1 1 —1 —1 —1 1 —1 —1 1 —1 — — -1/11
13 1 1 1 1 1 —1 —1 1 1 —1 1 — 1 1 1/13

Комплексные огибающие сигнала Баркера для N='5 и его АКФ
изображены на рис. 3.4, а АКФ сигнала Баркера для 1V=7, 11,
13 — на рис. 3.6 [12].

Кодовые последовательности, обладающие свойством (3.28),
для ЛГ>13 не найдены.

Рис. 3.6. АКФ сигналов Баркера с
N=7, 11, 13

Рис. 3.7. Амплитудный и фазовый
спектры кодовых последовательнос-
тей Баркера с W=.ll и 13

Спектр кодовой последовательности. Амплитудный спектр
I Н(х) | кодовой последовательности может быть найден непосред-
ственно из выражения (3.10). Энергетический спектр кодовой пос-
ледовательности Баркера при /?(р,) = 1/У описывается выражением

W-H 1-4- + -t-iilAn, (3.29)

а при 7?(р) =—1/А7

|Я(х)Р = А( (3.30)

\ W W sin х /

где x=i(oto. На рис. 3.7,а изображены зависимости |/7(х)
рассчитанные по формулам (3.29), (3.30) для AZ=11; 13. Из ри-
сунка видно, что амплитудные спектры при х = 0, я имеют или
провал, или пик. Фазовые спектры для сигналов Баркера были
рассчитаны численно и изображены на рис. 3.7,6 для тех же N,
что и амплитудные спектры.

На рис. 3.8 изображены амплитудные спектры сигналов Барке-
ра с #=11 и 13, построенные согласно формуле (3.8), т. е. при
перемножении спектра одиночного импульса (3.6) на спектр ко-
довой последовательности (3.29) или (3.30) [12].

Тело неопределенности. На рис. .3.9 и 3.10 изображены
|/?(т, £2) | для A/=ll; 13, построенные в соответствии с формулой
(2.23) при

£2 = — для Z = 0, ± 1,..., ±AZ. (3.31)

та N

Дискретные значения |^(т, £2) |, полученные для Z=const и
p,=v.ar, соединены прямыми линиями. Как видно из рис. 3.9, 3.10,
основной пик тела неопределенности окружен довольно большими
боковыми пиками. Вдоль оси £2 боковые пики не изображены, так
как при выбранном смещении частоты (3.31) сечения |/?(т, £2) |

\G(U>)\/<Vg

Рис. 3.8. Амплитудные спектры
сигналов Баркера с У=11 и N —
= 13

проходят через нули сечения
7? (£2) = sin (£27/2)/(£27/2) (2.28).

Для AZ= 11 максимальное значе-
ние бокового пика равно 0,53
(ц±3, Z=±l), для W=13 макси-
мальное значение бокового пи-
ка — 0,378 (ц = ±2, Z=±l). На-
личие относительно больших бо-
ковых пиков на плоскости (т, £2)
представляется естественным,
так как сигналы Баркера (см.
табл. 3.2) похожи на сигнал с ли-
нейной частотной модуляцией
(ЛЧМ сигнал): чем больше вре-

Рис. 3.9. Тело неопределенности сиг-
нала Баркера с А=11
мя (аргумент сигнала), тем чаще происходит смена знаков импуль-
сов. Однако боковые пики сигналов Баркера меньше, чем в случае
ЛЧМ сигнала. Объясняется это свойством фазоманипулированных
сигналов: если есть один боковой пик определенной величины, то
таких пиков на плоскости (т, £2) должно быть по крайней мере че-
тыре вследствие симметрии тела неопределенности относительно
осей т и Q.

Формирование и обработка сигналов Баркера. Формирование
сигналов Баркера может осуществляться несколькими способами,
так же, как и произвольного ФМ сигнала. Общие методы форми-
рования и обработки ФМ сигналов будут подробно рассмотрены в
гл. 21, 22. Поскольку сигналы Баркера были первыми ШПС, при-
чем с наилучшими АКФ, рассмотрим кратко один из возможных
способов формирования и обработки сигналов Баркера.

На рис. З.Г1 изображен генератор сигнала Баркера с У=7.
Генератор синхроимпульсов (ГСП) формирует узкие прямоуголь-
ные синхроимпульсы (рис. 3.12,а), период следования которых ра-

Рис. 3.11. Генератор сигнала Баркера с
N=7

Рис. 3.12. Временные диаграммы про-
цесса формирования сигнала Баркера
с N=7

вен длительности сигнала Баркера Т=7то, а то — длительность
одиночного (единичного) прямоугольного импульса. Генератор син-
хроимпульсов запускает генератор одиночных импульсов (ГОЙ),
который -в свою очередь формирует одиночные прямоугольные им-
пульсы длительностью т0 и периодом Т (рис 3.12,6). Одиночные
прямоугольные импульсы поступают на вход многоотводной ли-
нии задержки (МЛЗ), которая имеет N—1=6 секций с отводами
через интервалы времени, равные то. Число отводов, включая на-
чало линии, равно 7. Так как кодовая последовательность Баркера
с N = 7 имеет вид 1 1 1 —1 —1 1 —1, то импульсы с первого,
второго, третьего и шестого отводов (счет ведется от начала ли-
нии) поступают на вход сумматора ( + ) непосредственно, а им-
пульсы с четвертого, пятого и седьмого отводов поступают на вход
сумматора через инверторы (ИН), которые превращают положи-
тельные одиночные импульсы в отрицательные, т. е. осуществляют
изменение фазы на л. Поэтому инверторы называются также фазо-
вращателями. На выходе сумматора имеет место видеосигнал Бар-
кера (рис. 3.12,в), который затем поступает на один вход баланс-
ного модулятора (БМ), на другой вход которого подается радио-
частотное колебание (рис. 3.12,г) на несущей частоте, формиру-
емое генератором несущей частоты (ГНЧ). Балансный модулятор
осуществляет фазовую манипуляцию радиочастотного колебания
ГНЧ в соответствии с кодовой последовательностью Баркера: ви-
деоимпульсу с амплитудой 1 соответствует радиоимпульс с фазой
О, а видеоимпульсу с амплитудой —1 — радиоимпульс с фазой л.
Таким образом, на выходе балансного модулятора имеет место ра-
диочастотный сигнал Баркера (рис. 3.12,д), Следует отметить, что
в генераторе сигнала Баркера многоотводная линия задержки
(рис. 3.11) является видеочастотной.

Оптимальная обработка сигналов Баркера так же, как и дру-
гих ШПС, производится либо с помощью согласованных фильт-
ров, либо с помощью корреляторов. Возможно несколько спосо-
бов построения согласованных фильтров и корреляторов, отличаю-
щихся друг от друга в техническом выполнении, но обеспечиваю-
щих одно и то же максимальное отношение сигнал-помеха на вы-
ходе. На рис. 3.13 приведена схема согласованного фильтра для

Рис. 3.13. Согласован-
ный фильтр сигнала
Баркера с N=7

сигнала Баркера с N=7. С выхода усилителя промежуточной час-
тоты приемника (на схеме рис. 3.13 приемник не показан) сигнал
поступает на согласованный фильтр одиночного импульса
(СФОИ), который производит оптимальную обработку (фильтра-
цию) одиночного прямоугольного радиоимпульса с центральной
частотой, равной промежуточной частоте приемника. На выходе
СФОИ радиоимпульс имеет треугольную огибающую (см. рис. 2.8).
Треугольные радиоимпульсы с длительностью по основанию 2то
поступают на МЛЗ, которая имеет 6 секций и 7 отводов (включая
начало линии). Отводы следуют через то. Так как импульсная ха-
рактеристика согласованного фильтра совпадает с зеркально отра-
женным сигналом, то кодовую импульсную характеристику фильт-
ра для сигнала Баркера с N=7 следует устанавливать в соответ-
ствии с последовательностью —11 —1 —1111. Поэтому радио-
импульсы со второго, пятого, шестого и седьмого отводов МЛЗ
поступают в сумматор ( + ) непосредственно, а радиоимпульсы с
первого, третьего и четвертого отводов — через инверторы (ИН),
которые меняют фазу на л. На выходе сумматора имеет место
АКФ сигнала Баркера, огибающая которой приведена рис. 3.6.

Необходимо отметить, что при оптимальной обработке радио-
частотного сигнала Баркера все элементы схемы рис. 3.13 являются
радиочастотными, т. е. СФОИ, МЛЗ, ИН и сумматор должны ра-
ботать на промежуточной частоте и иметь необходимую полосу
пропускания, которая определяется шириной спектра сигнала Бар-
кера.

Если сигналы Баркера используются в электросвязи, т. е. их
передача осуществляется по широкополосному кабелю, то в схеме
генератора, изображенной на рис. 3.11, нет необходимости в ГНЧ
и БМ, а все элементы схемы согласованного фильтра (рис. 3.13)
являются видеочастотными, в том числе и МЛЗ.

3.3. ^-последовательности. Основные свойства

Среди фазоманипулированных сигналов особое место занимают
сигналы, кодовые последовательности которых являются последо-
вательностями максимальной длины или М-последовательностя-
ми. Такие последовательности обладают следующими основными
свойствами:

1. ^-последовательность является периодической с периодом,
состоящим из N импульсов (символов).

2. Боковые пики периодической автокоррелящионной функции
сигналов, образованных ^-последовательностью, равны —1/АГ.

3. M-последовательность в общем случае состоит из нескольких
видов импульсов (например, импульсы могут отличаться началь-
ными фазами, несущими частотами и т. д.). Импульсы различного
вида встречаются в периоде примерно одинаковое число раз, т. е.
все импульсы распределяются в периоде равновероятно. Вследст-
вие этого ^-последовательности называют часто псевдослучайны-
ми.

4. Формируются Af-последовательности с помощью линейных
переключательных схем на основе сдвигающих регистров. При
этом, если применяется регистр с k разрядами и в Af-последова-
тельности используются р различных видов импульсов (отличаю-
щихся, например фазами), то

N=pk— 1. (3.32)

Число разрядов регистра k = \og(N +1)/logр. Следовательно, зна-
читательное увеличение числа импульсов N в периоде Af-последова-
вательности вызывает незначительное увеличение числа разрядов
регистра, так как зависимость k от W является логарифмической.

5. Автокорреляционная функция усеченной М-последователь-
ности, под которой понимается непериодическая последователь-
ность длиной в период N, имеет величину боковых пиков, близ-
кую к 1/ГIV. Поэтому с ростом N величина боковых пиков умень-
шается.

Благодаря перечисленным свойствам М-последовательности
широко применяют в радиотехнических системах. Для пояснения
этих свойств рассмотрим пример.

Допустим, что сдвигающий регистр (рис. 3.14) состоит из трех
триггерных ячеек Т/, Т2, ТЗ, которые выполняют роль дискрет-
ных элементов задержек, и сумматора. На триггеры поступают
сдвигающие импульсы, которые на рис. 3.13 не показаны. Они
следуют с тактовой частотой 1/то- Каждый тактовый импульс вы-
зывает изменение состояния (напряжения на выходе) всех триг-
геров. При этом напряжение на выходе каждого триггера (сим-
вол) становится равным напряжению (символу) на его входе для
предыдущего такта. Символы могут принимать два значения, ко-
торые условно обозначим 0 и 1. При суммировании любых ком-
бинаций- входных символов на выходе сумматора получаются
только символы 0 и 1. Правило суммирования символов в двоич-
ной системе счисления (с двумя возможными значениями симво-
лов) по модулю 2 (mod2) определяется табл. 3.3.

Таблица 3.3. Суммирование

по mod 2
ф 0 1
0 0 1
1 1 1 1 1 0

Рис. 3.14. Генератор Al-после-
довательности с N=7

Выясним, в каких состояниях может находиться схема, пред-
ставленная на рис. 3.14. Предположим, что в исходном состоянии
символ на одном из выходов триггеров отличается от нуля, нап-
ример символ на выходе триггера Т1 имеет значение 1, а на
выходе Т2 и ТЗ — значение 0. Тогда исходное состояние сдвигаю-
щего регистра характеризуется комбинацией выходных символов
100. На входе Т1 символ равен 0, так как согласно с табл. 3.3 сим-
вол на выходе сумматора равен 0Ф0 = 0. С поступлением на вход
схемы очередного сдвигающего импульса символы со входов триг-
геров «переходят» на их выходы. Новое установившееся состояние
регистра описывается комбинацией выходных символов 010. На
входе Т1 появляется 1, так как в соответствии с табл. 3.3 выход-
ной символ сумматора равен 1Ф0=1. Аналогично определяются
все состояния регистра, приведенные в табл. 3.4.

Из рассмотрения табл. 3.4 видно, что состояния регистра (сим-
волы на выходе Tl, Т2, ТЗ) различны для тактов 1—7, а для по-
следующих тактов они повторяются. Так как число разрядов ре-
гистра k=3, а основание системы счисления (число используемых
символов) р=2, то число возможных различных состояний регист-
ра pft=23=i8.

В табл. 3.4 отсутствует нулевая комбинация 000, так как её
наличие согласно табл. 3.3 приводит к обращению в нуль всех
символов во всех остальных комбинациях. Поэтому в табл. 3.4
приведены только возможные для нормальной работы схемы
(рис. 3.14) состояния регистра, число которых 23—1 = 7. После
Таблица 3.4. Состояния регистра

семи тактов состояния регистра повторяются. Если символы не-
прерывно считывать со входа Т1, то получим периодическую после-
довательность

...01 1 1 00 10 1 1 1 00101 1 10... (3.33)

с периодом, равным N=l. Отметим, что символы можно считы-
вать с выхода любого триггера. В этом случае получаются после-
довательности, сдвинутые во времени (табл. 3.4).

Подчеркнем, что период последовательности (3.33) является
максимально возможным для данного числа разрядов (триггеров)
схемы рис. 3.14 ,и выбранного основания системы счисления. Это
следует из того, что в регистре последовательно сменяются все
возможные состояния, кроме нулевого. Период N=7 для последо-
вательности (3.33) совпадает со значением, определяемым форму-
лой (3.32), при k = 3 и р = 2.

Необходимо отметить, что при заданных k и р период после-
довательностей вида (3.33) определяется схемой включения от-
водов сдвигающего регистра (выходов триггеров) в цепь обрат-
ной связи. Он может быть получен и меньше максимально воз-
можного. Выбор соединений отводов сдвигающего регистра в це-
пи обратной связи для получения максимального периода после-
довательности при заданном числе разрядов регистра и основания
системы счисления к настоящему моменту полностью определен
и решается с помощью таблиц неприводимых многочленов.

При рассмотрении работы схемы рис. 3.14 было сделано допу-
щение, что исходное состояние регистра характеризуется комби-
нацией 100. Из табл. 3.4 видно, что в качестве исходного • можно
взять любое состояние регистра. Это вызовет лишь сдвиг последо-
вательности (3.33) во времени.

Число единиц и нулей в периоде последовательности (3.33) со-
ответственно Ц1=4, р,о=3, причем gi + po=!V. Отметим, что отличие
между pi и цо на единицу в последовательностях вида (3.33) име-
ет общий характер. В общем случае при р = 2 число единиц в по-
следовательности равно 2ft-t, а число нулей 2k~l—1.

Сумма двух ^-последовательностей, сдвинутых друг относи-
тельно друга, является ^-последовательностью. В этом можно
убедиться, суммируя согласно правилам табл. 3.3 последователь-
ность (3.33) и, например, ^^последовательность с выхода ТЗ на
рис. 3.14, т. е.

...01 1100101 1100101 1 100101 1 10...

...00101 1 1001 01 1 1 00101 1 100 101... (3.34)

... 01011100101110010111001011...

Это является следствием того, что сдвинутые М-последова-
тельности можно получить' с помощью одной и той же схемы.

Фазоманипулированный сигнал с помощью Л4-.последователь-
ностей формируется следующим образом. Каждому символу пос-

та б л и ц а 3.5. Умножение символов

X 1 1 -1
1 1 ! 1 1
-1 1 ! -1 I 1

ледовательности ставится в соот-
ветствие радиоимпульс со своей
начальной фазой. В двоичной си-
стеме счисления (р = 2) это соот-
ветствие можно определить как

0 <=> ei0 = 1

1 <=> е1я = — 1,

где двойная стрелка означает со-
ответствие.

В соответствии с (3.35) табл. 3.3 сложения символов 0 и 1
превращается в таблицу умножения символов 1 и —1 (табл. 3.5).

АКФ периодического ФМ сигнала определяется согласно (3.25),
где ап = ±1. Обозначая символы АГ-последовательности (3.33) че-
рез Ьп и сравнивая табл. 3.3 и 3.5, замечаем, что

«n-м ьп Ф &п-ц (mod 2).

(3.36)

Если р.=/=/У для любого 1=0, 1, ..., то сумма двух Л4-последо-
вательностей является тоже ^-последовательностью. Но в ней чис-
ло единиц в периоде на единицу больше числа нулей. Поэтому
сумма по всем Ьп Ф^п-ц при п=1, ..., N будет равна единице, а в
выражении для АКФ (3.25) сумма будет равна согласно (3.35)
—'1/N. При ц, = /У для любого 1=0, 1, ... временной сдвиг между
двумя ^-последовательностями равен нулю. При этом из (3.25)
получаем, что /?(р) = 1.

Объединяя полученные результаты, получаем

*(И) =

— 1/N,

если р =/= IN,
если p = lN,

(3.37)

где 1=0, 1, ...

На рис. 3.15,а изображена ^-последовательность с W=15, на
рис. 3.15,6 — периодическая АКФ, дискретные значения которой
построены согласно (3.37), на рис. 3.15,в — апериодическая АКФ.

Рассмотренный пример подтвердил основные особенности М-
последовательности.

Прежде чем рассматривать формирование М-последовательнос-
52
тей, обратимся к принципам формирования произвольных последо-
вательностей с помощью цифровых автоматов.

Цифровые автоматы формирования кодовых последовательнос-
тей с заданным периодом. С помощью цифровых автоматов мож-
но сформировать кодовую последовательность с заранее заданным

Рис. 3.45. ^-последовательность с М=1’5 (а), периодическая АКФ (б), аперио-
дическая АКФ (в)

периодом N*. Цифровой автомат [13], предназначенный для фор-
мирования двоичной кодовой последовательности (рис. 3.16), сос-
тоит из сдвигающего регистра с k элементами задержки (на
рис. 3.16 триггера Т1... Тб), дешифратора (ДШ) заданной кодовой
комбинации из двоичных символов, сумматора ф до mod2 и триг-
гера Т для дополнительной задержки на один такт. На рис. 3.16

Рис. 3.16. Цифро-
вой автомат фор-
мирования двоич-
ной последова-
тельности с пери-

одом ДГ* = 51
не показан генератор тактовых импульсов, которые поступают на
все триггеры и в соответствии с тактовой частотой продвигают
информацию со входа каждого триггера на его выход. Дешифра-
тор опознает заданную кодовую комбинацию, и после опознания
формирует двоичную единицу, поступающую на вход сумматора
по mod2. На два других входа сумматора по mod2 поступают
двоичные символы с выходов двух триггеров сдвигающего регист-
ра. Период последовательности определяется числом триггеров в
сдвигающем регистре, видом кодовой комбинации, которую опоз-
нает дешифратор, и номерами триггеров, с выходов которых сим-
волы поступают на вход сумматора по mod2. Цифровой автомат
рис. 3.16 формирует последовательность с периодом N*=15 при
заданной кодовой комбинации 001111. Период кодовой последо-
вательности и число триггеров в сдвигающем регистре k связаны
неравенством

2fe-i < 2й. (3.36)

В табл. 3.6 [13] приведены параметры цифрового автомата, фор-
мирующего кодовые последовательности с заданным периодом, в
том числе период N*, номера отводов сдвигающего регистра, за-
данная кодовая комбинация. Для ^-последовательностей нет не-
обходимости в дешифраторе (см. рис. 3.14), поэтому в столбце
«Кодовая последовательность» для ^-последовательностей кодо-
вые комбинации не указаны. В табл. 3.6 приведены параметры
цифровых автоматов для Л/*^131. В работе [13] приведены пара-
метры Л/* 2047.

Цифровой автомат формирования ^-последовательностей. Об-
щая схема цифрового автомата, формирующего М-последователь-
ность, приведена на рис. 3.17. Его основу составляет сдвигающий

Рис. 3.17. Цифровой автомат
формирования М-последова-
тельности

регистр с триггерами Tl, Т2, ..., Ть, которые осуществляют задерж-
ку входного символа на один такт длительностью то. Допустим,
что используются р различных символов: 0, 1,2, ..., р—1, которые
образуют конечное множество символов S=S(0, 1, ..., р—1). Сим-
волы на выходах триггеров при /-м такте обозначены через xi,j,
х2, j, ..., xktj, причем Xi,j^S. Символ на входе первого триггера
обозначен Xoj. Символ на выходе /-го триггера на (/+1)-м такте
xi,j+i=xi-i,j, так как с каждым тактом символ со входа «пере-
ходит» на выход. Символы с выходов триггеров поступают на ум-
ножители, С ВЫХОДОВ КОТОРЫХ СНИМаЮТ СИМВОЛЫ CiXi.j, с2х2, j, ....
CkXk, j. Множители Ci^S. Поэтому, если операция умножения
в множителе производится по модулю p(modp), то символы
Таблица 3.6. Параметры цифровых автоматов, формирующих
последовательности с заданным периодом_______________________

Период Д’* Номера отво- дов регистра Кодовая комбинация Период N* Номера отво- дов регистра Кодовая комбинация
4 3,2 111 58 6,5 000001
5 3,2 001 59 6,5 101101
6 3,2 101 60 6,5 100111
7 3,2 61 6,5 010110
8 4,3 1100 62 6,5 111101
9 4,3 1000 63 6,5
10 4,3 1001 64 7,6 001Ш1
11 4,3 0111 65 7,3 1000010
12 4,3 0001 66 7,6 0111001
13 4,3 оно 67 7,6 0100000
14 4,3 1101 68 7,6 1111000
15 4,3 69 7,6 юоопо
16 5,3 10100 70 7,6 10011Ю
17 5,3 00011 71 7,3 0001100
18 5,3 оош 72 7,3 1000001
19 5,3 ною 73 7,6 1111111
20 5,3 11001 74 7,6 0011001
21 5,3 оюп 75 7,6 0110100
22 5,3 11111 76 7,3 0011011
23 5,3 10011 77 7,6 0010101
24 5,3 01101 78 7,6 оооюоо
25 5,3 00100 79 7,6 1000001
26 5,3 01010 80 7,3 0110111
27 5,3 01100 81 7,3 0101111
28 5.3 10000 82 7,6 ошооо
29 5.3 10111 83 7,6 1101000
30 5.3 11100 84 7,3 0111111
31 5,3 85 7,6 0000110
32 6,5 011100 86 7,6 0101111
33 6,5 100101 87 7,6 1010110
34 6,5 010000 88 7,6 0100111
35 6,5 101111 89 7,6 пооюо
36 6.5 011101 90 7,6 1110110
37 6,5 111010 91 7,6 1100010
38 6,5 101011 92 7,6 ооююо
39 6,5 111111 93 7,6 оюшо
40 6,5 1 юон 94 7,6 0111110
41 6,5 010001 95 7,6 1000100
42 6,5 011110 96 7,6 0000011
43 6,5 001000 97 7,6 1001000
44 6,5 100001 98 7,3 юною
45 6,5 101001 99 7,6 0111111
46 6,5 001010 100 7,6 0001110
47 6,5 001110 101 7,6 0101000
48 6,5 110110 102 7,6 1110001
49 6,5 0001 ю ЮЗ 7,6 ооюооо
50 6,5 111000 104 7,6 юоюю
51 6,5 001111 Ю5 7,6 110110'1
52 6,5 011010 106 7,6 01Ю01О
53 6,5 100000 Ю7 7,6 111001!
54 6,5 110010 108 7,6 1101001
55 6,5 010100 109 7,6 ЮНОН
56 6,5 110100 ПО 7,6 1011110
57 6,5 000111 111 7,6 0100001
Окончание табл. 3.6

Период N* Номера отво- дов регистра Кодовая комбинация Период JV* Номера отво- дов регистра Кодовая комбинация
112 7,6 0100101 122 7,6 0110110
113 7,6 0001111 123 7,6 1110100
114 7,6 1101100 124 7,6 0010001
115 7,6 1000000 125 7,6 0101001
116 7,6 1011100 126 7,6 1111101
117 7,6 0001010 127 7,6
118 7,6 1100110 128 9,5 101101111
119 7,6 1011001 129 9,5 000000011
120 7,6 0000111 130 9,5 000000110
121 7,6 0000001 131 9,5 110110111

CiXij^S. Смысл умножения по модулю становится понятным при
рассмотрении сравнения двух чисел по третьему числу (модулю).
Два целых числа а и b называются сравнимыми по модулю р,
если при делении обоих чисел на р их остатки равны. Сравнение
двух чисел обозначается как

a==b(modp). (3.39)

Остаток от деления любого числа .на р всегда меньше р и лежит
в пределах от 0 до р—1. Например, если р=5, то 12s2(mod5),
так как остатки от деления обоих чисел равны двум. Сравнение
(3.39) означает, что разность а—b делится на р без остатка, что
иногда записывается а—&ssO(modp). Сравнимость двух чисел по
модулю р позволяет записать их в следующем виде: a = qip+r,
b = qzp + r, где q\, q% — любые целые числа; г — остаток,
^р—1. В приведенном ранее примере 12 = 2X5+2; 2=0х5+2.
Таким образом, сравнение по модулю р означает перевод произ-
вольного целого числа в конечное множество S, состоящее из р
элементов.

Умножение двух чисел по модулю р производится следующим
образом. Два числа перемножаются обычным образом, а их про-
изведение переводится в конечное множество S с помощью срав-
нения по модулю р. Умножение двух чисел по модулю р записы-
вается как ab=d=n(mod р), при О^г^р—1. Например, если
а = 2, Ь = 4, то d=8 и для р = 5 8s3 (mod 5), т. е. число 8, которо-
го нет в множестве S, переводится в число 3. Правило умножения
двух чисел по модулю 5 определяется табл. 3.7.

Отметим, что каждая строка и столбец таблицы состоят из
всех возможных символов множества S и не содержат, за исклю-
чением нулевого столбца и строки, одинаковых символов. Это
является следствием того, что в качестве модуля р взято простое
число 5. Если р — составное число, то при умножении в одной
строке или столбце могут оказаться одинаковые числа, т. е. опе-
рация умножения не будет однозначной. Для сохранения одноз-
начности в качестве модуля берут простые числа.
Таблица 3.7. Умножение по mod 5

0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Таблица 3.8. Сложение по mod 5

Ф 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

Отметим, что умножение любого числа на нуль означает, что
символ на выходе умножителя всегда равен нулю. Это эквивален-
тно разрыву цеп,и между выходом триггера и сумматором. Следо-
вательно, умножитель может быть опущен. Например, при р=2
(символы 0 и 1) множитель ci может принимать значение или О,
или 1, т. е. выходы триггеров или подсоединены к сумматорам,
или нет. После умножения суммирование производится также по
модулю р. Сумма двух целых чисел переводится с помощью срав-
нения в конечное множество S, т. е. a+b=d==r (mod р) для

—1. Для примера в табл. 3.8 приведено правило сложе-
ния по модулю 5. Следовательно, в результате операций умноже-
ния и сложения получаются только элементы множества S.

Возвращаясь к работе сдвигающего регистра (см. рис. 3.17),
можно записать, что символ на входе Т1 в /-м такте равен

X0,j ~С1 Xl,j + C2 X2.j + — +CZ XZ./+ - +Cfe-1 + Xk,j-

(3.40)

Выражение (3.40) является линейным рекуррентным урав-
нением. Оно позволяет по известным k символам на выходах
триггеров найти символ Xoj, который в последующем такте перей-
дет на выход Т1.

Для j+1 такта состояние регистра характеризуется перемен-
ными, которые можно записать как

*1,7+1 —^1 Xl,j + C2 X2.j + — +cz xl,} + — +Cfe—1 Xk-l.j + Ck Xk,J

X2, j+1 = X1. j

X3, j+1 = X2. j

*z+i.j+i = xi,i

xk, j+i

xk-i.j

(3.41)
Анализ работы цифрового автомата формирования Л4-после-
довательности на основе рекуррентного уравнения (3.40) показы-
вает, что работа этого автомата полностью определяется характе-
ристическим многочленом

f (х) = а0 хк + аг xk~l +... + ак-! х + ак, (3.42)

коэффициенты которого связаны с множителями а, ..., ск следую-
щим соотношением:

сп =(-!)*+* ап. (3.43)

Отрицательные значения сп (3.43) можно свести с помощью
сравнения по modp к положительному числу множества S.

Для двоичных .^-последовательностей, состоящих из символов
О и 1 (р = 2), множители сп и коэффициенты ап согласно (3.43)
равны, т. е. сп=ап, причем ао=Со=1.

Таким образом, для определения структуры цифрового авто-
мата [необходимо знать характеристический многочлен степени k.
Из теории ^последовательностей известно, что характеристичёс-
кий многочлен f(x) степени k, во-первых, должен быть неприводи-
мым, т. е. его нельзя представить в виде произведения многочле-
нов меньших степеней, а во-вторых, он должен быть первообраз-
ным (примитивным) относительно двучлена xN—'1, т. е. характе-
ристический многочлен f(x) (3.43) должен делить xN—1 без ос-
татка. Поэтому характеристический многочлен является первооб-
разным корнем уравнения xN—1. Если характеристический много-
член является первообразным, то он является и неприводимым.

Таким образом, чтобы при заданных N, k и р определить
структуру регистра для формирования ^-последовательности с
периодом N=ph—1, необходимо в качестве характеристического
многочлена взять первообразный многочлен степени k.

Поскольку двоичные ^-последовательности играли и играют
особо важную роль в радиотехнических системах, то их свойства
были изучены достаточно глубоко, в том числе и характеристи-
ческие многочлены. Известны таблицы (см., например, [14]), в
которых приведены неприводимые многочлены до степени & = 34.
В табл. 3.9 приведены в двоичной форме коэффициенты харак-
теристических многочленов ап [15] для 6 = 3... 11, т. е. N=7...
... 2047, совпадающие с множителями сп в схеме цифрового авто-
мата (рис. 3.17), т. е. ап = сп. Характеристическому многочлену
f(x) (3.42) в табл. 3.9 соответствует последовательность
aoai«2 — «п ... ак, представленных в виде 1 или 0. В каждом столб-
це указана степень многочлена k и его коэффициенты. В табл. 3.9
приведены только те характеристические многочлены, которые по-
рождают ^-последовательности. Соответственно период Л4-после-
довательности N=2h—1. Знание коэффициентов ап позволяет од-
нозначно построить цифровой автомат формирования Л4-последо-
вательностей. Если ап = сп = 1, то выход n-го триггера подключен
к сумматору по mod 2, если ап = сп=0, то выход n-го триггера к
сумматору по mod 2 не подключен.
Таблица 3.9. Характеристические многочлены,
порождающие ЛГ-последовательности

*=3 101001101 1111001011 11101000111
101011111 1111001101 11101001101
1011 101100011 1111010101 11101010101
1101 101100101 1111100011 11101010110
101101001 1111101001 11101100011
ЮШ0001 1111111011 11101111101
k=4 110000111 110001101 11110001101 11110010011

10011 k= 10
110101001 11110110001
11001 111000011 111001111 111100111 111110101 10000001001 11111011011 11111110011 11111111001
Ь5 10000011011 10000100111
100101 10000101101 10001100101 *=11

*=9
101001 10001101111
100000000101
101111 10010000001
1000010001 1000011011 1000100001 1000101101
110111 111011 111101 10010001011 10011000101 10011010111 10011100111 100000010111 100000101011 100000101101 100001000111

*=6 1000110011 10011110011 100001100011
1001011001 10011111111 100001110001
1000011 1001011111 10100001101 100001111011
1010111 1001101001 10100011001 100010001101
1011011 1001101111 10100100011 100010010101
1VI1VI1 1100001 1001110111 10100110001 100010011111
А 1 V V VV 1 1100111 1001111101 10100111101 100010101001
1 1 V V All 1101101 1010000111 10101000011 100010110001
1110011 1010010101 10101010111 100011001111
1010100011 10101101011 100011010001
1010100101 10110000101 100011100001
k = 7 1010101111 1010110111 10110001111 10110010111 100011100111 100011101011

10000011 10001001 10001111 10010001 10011101 10100111 10101011 10Ш001 10111111 11000001 11001011 11010011 11010101 11100101 июни 11110001 11110111 11111101 1010111101 1011001111 1011010001 1011011011 10Ш10101 10ИШ001 1100010011 1100010101 1100011111 1100100011 1100110001 1100111011 1101001111 1101011011 1101100091 1101101011 1101101101 1101110011 1101111111 10110100001 10111000111 10111100101 10111110111 10111111011 11000010011 11000010101 11000100101 11000110111 11001000011 11001001111 11001011011 11001111001 11001111111 11010001001 11010110101 11011000001 11011010011 11011011111 100011110101 looiooooiioi 100100010011 100100100101 100100101001 100100111011 100100111101 100101000101 100101010001 100101011011 100101110011 100101110101 100101111111 100110000011 100110001111 100110101011 100110101101 100110111001 100111000111

k=8 1110000101 11011111101 100111011001
1110001111 11100010111 100111100101
100011101 1110110101 11100011101 100111110111
100101011 1110111001 11100100001 101000000001
100101101 1111000111 11100111001 101000000111
Окончание табл. 3.9

6=11 101101111101 101110000111 101110001011 101110010011 101110010101 101110101111 101110110111 101110111101 101111001001 101111011011 101111011101 101111100111 101111101101 110000001011 110000001101 110000011001 110000011111 110001010111 110001100001 110001101011 110001110011 110010000101 110010001001 110010010111 110010011011 110010011101 110010110011 110010111111 110011000111 110011001101 110011010011 110011010101 110011100011 110011101001 110011110111 110100000011 110100001111 110100011101 110100100111 110100101101 110101000001 110101000111 110101010101 110101011001 110101100011 110101101111 110101110001 110110010011 110110011111 110110101001 110110111101 110111001001 110111010111 110111011011 110111100001 110111100111 110111110101 111000000101 111000011101 111000100001 111000100111 111000101011 111000110011 111000111001 111001000111 111001001011 111001010101 111001011111 111001110001 111001111011 111001111101 111010000001 111010010011 111010011111 111010100011 111010111011 111011001111 111011011101 111011110011 111011111001 111100001011 111100011001 111100110001 111100110111 111101011101 111101101011 111101101101 111101110101 111110000011 111110010001 111110010111 111110011011 111110100111 111110101101 111110110101 111111001101 111111010011 111111100101 111111101001
101000010011 101000010101 101000101001 101001001001 101001100001 101001101101 101001111001 101001111111 101010000101 101010010001 101010011101 101010100111 101010101011 101010110011 101010110101 101011010101 101011011111 101011101001 101011101111 101011110001 101011111011 101100000011 101100001001 101100010001 101100110011 101100111111 101101000001 101101001011 101101011001 101101011111 101101100101 101101101111

В табл. 3.9 приведены значения £ + 1 коэффициента ап, п=
e0( k. Коэффициент во=1 всегда по определению. Для определе-
ния структуры цифрового автомата, изображенного на рис. 3.17,
необходимо учитывать коэффициенты ап, n=l,k.

Для примера на рис. 3.18 изображена схема цифрового авто-
мата формирования ^-последовательности с fe=10 и М=210—1 =
= 1023. В качестве характеристического многочлена взят много-
член с коэффициентами 10000001001 (первый в столбце с 6=10
табл. 3.9). В соответствии с коэффициентами многочлена на сум-

Рис. 3.18. Цифровой

автомат формирования ^-последовательности с
#=1023

периодом
Таблица 3.10. Число ^-последовательностей

k Q при р k Q при р
2 3 5 7 и 2 1 3 I 1 5 1 7 | и
1 1 1 2 2 4 10 60 2640
2 1 2 4 8 16 11 176 — — —
3 2 4 20 48 176 12 144 — — —
4 2 8 48 160 960 13 630 — — —
5 6 22 304 1120 14 156 — —. — —
6 6 48 720 — — 15 1800 — — — —
7 18 150 — — — 16 2048 — —. — —
8 16 320 — — — 17 7710 — — —.
9 48 1008 — — — 18 7776 — —
19 27594 — — — —

матор по mod 2 поступают символы с выходов 7-го и 10-го триг-
геров.

Число М-последовательностей Q определяется следующим вы-
ражением:

Q =<p (jV)/k, (3.44)

где <р(М) — функция Эйлера (число чисел в ряду 1, 2,...N—1 вза-
имно простых с числом N), N=ph—1, k — число разрядов в сдви-
гающем регистре. Если N — простое число, то q>(N)=N—1. Зна-
чения Q для различных р ,и k приведены в табл. 3.10 [4, 15].

В табл. 3.11 приведены все периоды Л4-последовательностей
для 6 = 3... 34 в виде разложения «а простые множители [14],
из которой следует, что не все периоды ^-последовательностей
являются простыми числами. Это и объясняет нелинейный харак-
тер числа Q от k.

Длительность М-последовательности T=.Nro, где N=pk—1 со-
гласно (3.32), то — длительность одиночного импульса (символа).
Для двоичных ^-последовательностей N=2k—1. Если тактовая

Таблица 3.11. Разложение N=2h—1 на простые множители

2»—1=7 2*—1=3x5 2е—1=31 2е—1=3x3 X 7 213-1=7x31X151 21в—1=3x5x17x257 2i’—l = 131071 218—1=3x3x3x7X19X73 227—2 =7 x 73 x 262657 228— 1=ЗХ5Х29Х43Х 113 X 127 229— 1 =233 X1103 X 2089 230—1=ЗХЗХ7Х11Х31Х Х151Х331
2’—1 = 127 21 *—1=524287 г3*—1=2147483647
2е—1=3X5X17 220—1=3x5x5x11x31X41 232—1 =3 X 5 X17 Х257 X 65537
2»—1=7x73 221—1 = 7x7x127x337 233—1 =7 х23 Х 89 X 599479
210—1=3X11X31 222—1=3x23x89x683 234-1=3x43691x131071
211— 1=23X89 212—1=3х3х5х Х7Х13 213—1=8191 21*—1=3X43X127 223—1=47x178481 224_ 1 =3x3x5 Х7Х13Х Х17Х241 226—1=31 X 601 X1801 226—1=3x2731 Х8191
Таблица 3.12. Периоды ^-последовательностей различной длины
с тактовой частотой следования 1 МГц

Регистр длины k Длина последовательности Длительность периода поел едова тел ьнюсти
7 127 1,27-10-4 с
8 255 2,55-10—4 с
9 511 5,1Ы0-4 с
10 1 023 1,023-10~3 с
11 2 047 2,047-10—3 с
12 4 095 4,095-10—3 с
13 8 191 8.19Ы0-3 с
17 131 071 1,ЗЫ0—1 с
19 524 287 5,24.10—1 с
23 8 388 607 8,388 с
27 134 217 727 13,421 с
31 2 147 483 647 35,8 мин
43 879 609 302 207 101,7 дня
61 2 305 843 009 213 693 951 7,3«104 лет
89 618 970 019 642 690 137 449 562 111 1,95*1О9 лет

частота в сдвигающем регистре /т=1/то, то T=(2k—1)Цт.
В табл. 3.12 приведены длительности периода ЛГ-последователь-
ности для ^=7... 89 с тактовой частотой fT=l МГц [7].

Характеристики апериодических корреляционных функций.
Периодическая АКФ Af-последовательностей имеет характерный
вид, представленный на рис. 3.15. Боковые пики ПАКФ равны
—1/N. Поскольку Af-последовательности достаточно просто фор-
мируются и обладают такими малыми боковыми пиками в пе-
риодическом режиме, то они с самого открытия до настоящего
времени находятся под пристальным вниманием разработчиков
радиотехнических систем. Одним из главных направлений иссле-
дований является изучение свойств ^-последовательностей в апе-
риодическом режиме, что характерно для передачи информации
в системах связи. К настоящему времени накоплены сведения по
корреляционным свойствам Af-последовательностей в апериоди-
ческом режиме—как по АКФ, так и по ВКФ. Имеются много-
численные данные по конкретным АКФ и ВКФ А1-последователь-
ностей различной длины, а также обобщенные характеристики
корреляционных функций. На рис. 3.19 изображен пример АКФ
.^-последовательности с У=127 [16]. Из рис. 3.19 видно, что бо-
ковые пики АКФ в апериодическом режиме существенно больше
боковых пиков ПАКФ. Приведем лишь основные характеристики
КФ Л4-последовательностей.

Таблица 3.13. Характеристики корреляционных функций
Af-последовательностей и случайных последовательностей

Корреляционные функции | 1 т|Д| VN а|Я! ^max’HV
АКФ ^-последовательностей 0,4 0,32 0,26 0,7...1,25
ВКФ М-последовательносгей 0,73 0,54 0,48 1,4...5
КФ случайных последователь- ностей 0,7 0,56 0,43 2,1...3,5

В табл. 3.13 [16] приведены основные характеристики корре-
ляционных функций (АКФ и ВКФ) Af-последовательностей и слу-
чайных последовательностей. Последние приведены для сравне-
ния их свойств со свойствами Al-последовательностей. В качестве
характеристик взяты следующие:
среднеквадратическое значение боковых пиков Ri, определяемое
через дисперсию

. N— 1

4 = ^ У, (3.«)

среднее значение модулей боковых пиков
1 N-\

т1«|-Л 2 <3-«)

среднеквадратичное значение модулей боковых пиков, определяе-
мое через дисперсию

. (3-47>

а также значение максимального бокового пика jRmax. В табл. 3.13
все характеристики приведены в ненормированном виде, т. е. ум-
ножены на В результате цифры, приведенные в табл^З.13,
характеризуют превышение ан, tn |R|, <Т|В| , Rmax уровня К N. От-
метим, что среднее значение баковых пиков тл=0. Во второй
строке табл. 3.13 приведены характеристики АКФ, а в третьей
строке — характеристики ВКФ ^-последовательностей [16]. Из
сравнения цифровых данных второй и третьей строк следует, что
ВКФ ^-последовательностей имеет большие боковые пики по
сравнению с боковыми пиками АКФ. В четвертой строке приве-
дены характеристики КФ (АКФ и ВКФ) случайных последова-
тельностей, относительно которых было предположено, что их КФ
распределены по нормальному закону

да (Я) = j/ W_e-"«2 (3.48)

с дисперсией д2д=1/2М. Соответственно /Пр| =0,56/УХ а О|«| =
== J/"(1—2л)/2М=0,43/]/ Л\ Как видно из сравнения третьей и чет-
вертой строк табл. 3.13, характеристики ВКФ ЛЬпоследователь-
ностей близки к статистическим характеристикам случайных по-
следовательностей, что и является обоснованием названия «псев-
дослучайные последовательности» для ^-последовательностей и
им подобных. На рис. 3.20,а [16] приведен пример ВКФ двух
^-последовательностей длиной М=127. Вместе с тем, некоторые
пары Af-последователыностей имеют периодические ВКФ, отлича-
ющиеся от случайных, так как такие ВКФ имеют всего три уров-
ня (рис. 3.20,6):

#! = — 1/N с числом (Af—1)/2.

= ]/2/.iV—1/N с числом (7V+ 1 +]/2 Af)/4,
/?3 = —]/2/77—1/А^с числом (N+ 1— ]/2"м)/4.

(3.49)

Рис. 3.20. ВКФ и ПВКФ ^-последовательностей
^-последовательности, имеющие трехуровневые ПВКФ, назы-
ваются также последовательностями Голда [5, 16, 17]. Более по-
дробно они будут рассмотрены в параграфе, посвященном систе-
мам сигналов. Отметим, что последовательности Голда имеют
ПВКФ, максимальные значения которых близки к V 2/N. Вместе
с тем, надо подчеркнуть, что последовательности Голда состав-
ляют только часть ^-последовательностей, т. е. их число мало.

Функция неопределенности. Можно показать, что исходя из
ограниченности объема тела неопределенности произвольного сиг-
нала (2.34), среднеквадратичное значение ФН равно 1/М На
рис. 3.21 приведена ФН Af-последовательности с W=15. Макси-

Рис. 3.21. Функция не-
определенности Л1-после-
довательности

мальный боковой пик равен 0,33. При М=15 статистическая оцен-
ка 1/"КУ=0,26, т. е. реальные боковые пики превышают в 1,38 ра-
за статистическую оценку. Как показывают многочисленные рас-
четы, для различных M-последовательностей уровень максималь-
ных пиков может превышать значение 1/КN в 5... 6 раз.

3.4. Последовательности Лежандра и Якоби.
Минимаксные последовательности

Периодические АКФ ряда кодовых последовательностей обла-
дают интересными свойствами, что проиллюстрируем на приме-
ре ненормированной ПАКФ, которую определим согласно (3.25)
в виде:

У(ц)=7?(ц)#= апап-ц.

(3.50)

Бели обозначить максимальное значение ПАКФ (3.50) через
V(p,)max, то известны возможные оценки максимального значе-
ния:

У(ц) тах^

0 для N=0 (mod 4),
1 для У= 1 (mod 4),
2 для N=2 (mod 4),

(3.51)

—1 для А^^З (mod 4).
В (3.51) сравнения осуществляются по модулю 4 (mod 4). Кодо-
вые последовательности, у которых ПАКФ -имеет точное значение
V(|x)max =—1, часто называются минимаксными. К минимаксным
последовательностям относятся и ^-последовательности. В табл.
3.14 приведены известные минимаксные последовательности.

Таблица 3.14. Минимаксные
последовательности

Вид последовательности 'Период | | Примечания
М-последователь- ности tf = 2ft—:1 k — целое число N — простое число
Последовательно- сти Лежандра АГ=4/ + 3 1 —- целое число N — простое число
Последовательно- АГ=4/2 + 27 t — целое
сти Холла число
Последовательно- сти Якоби iV=/(/ + 2) /, t + 2 — простые числа

Таблица 3.15. Виды
последовательностей

Вид N Вид N Вид N Вид
3 м 35 J 79 L 143 J
7 м 43 L 83 L 151 L
11 L 47 L 103 L 163 L
15 М 59 L 107 L 167 L
19 L 63 М 127 M,L 179 L
23 L 67 L 131 L 191 L
31 M,L 71 L 139 L 199 L

Следует отметить, что если данному периоду jV соответствуют
различные по виду последовательности, то эти последовательно-
сти могут совпадать. Последовательности Холла с W=4/2 + 27 =
= 4(/2 + 6)+3 совпадают с последовательностями Лежандра при
/.= /2_|_б. Последовательности Якоби в общем случае характери-
зуются периодом + где значение I может быть равно 2; 4; 6,
но только при 1=2 эти последовательности минимаксные
(Vmax=—1). Последовательности Якоби с периодом N=t(t+2)
называются также дважды простыми последовательностями.

Как видно из табл. 3.14, различным N могут соответствовать
различные последовательности. В табл. 3.15 указаны виды по-
следовательностей для N, изменяющегося от 3 до 200. Через L
обозначены последовательности Лежандра, через J — последова-
тельности Якоби, М соответствует 7И-,последовательности.

Последовательности Лежандра. Если ( — | есть символ Ле-
\ N )

жандра (символ п по отношению к N), то символы последова-
тельности Лежандра определяются как

Г 1 при п=0 (modАГ),

а = I / п ' (3.52)

П при п^О (modAf).

Отметим, что в теории чисел символы Лежандра вводятся при
рассмотрении уравнений второй степени:

х2=п (mod N), (3.53)
причем общий наибольший делитель (n, W) = l. Решить уравне-
ние (3.52) означает найти такое х, при котором (3.52) превра-
щается в тождество. Сравнение (3.52) имеет решения не при
любых значениях п. Значения п, при которых уравнение (3.52)
имеет решения, называются квадратичными вычетами, а значе-
ния п, при которых (3.52) не имеет решений, называются квад-
ратичными невычетами. Символ Лежандра определяется как

/ п \ __ | 1, если п— (квадратичный вычет, (3 54)

\N / I—1, если п — квадратичный невычет.

Он определен для всех п, не делящихся без остатка на N, при-
чем N — простое число, большее двух. Если символ Лежандра
найден, то становится известным, имеет ли решение уравнение
(3.52) при данном п. Из (3.52) следует, что если число п пред-
ставляет собой квадрат какого-то числа по модулю N, то он яв-
ляется квадратичным вычетом. Например, для уравнения х2=
=s 17 (mod 19) имеем решение 62 = 36= 17 (mod 19), т. е. число
17 — квадратичный вычет. Основные свойства символов Лежанд-
ра сводятся к следующим выражениям:

N—1 №-1

f—А=1; (—^ =(— 1) 2 ; (—^=(— 1) 8 ;

\ N } \ N ) ‘ \ N )

п-1 . fe-1

—^=(—1) 2 2 (— \ если л, k—простые нечетные числа

k J \ п )

(ni/N) = (n/N), если щ = п (mod N).

Отметим, что при zi=0(modjV) символ Лежандра не определен.

На рис. 3.22 изображен сигнал Лежандра, построенный со-
гласно последовательности Лежандра для W=19:

1 1 —1 —1 1 1 1 1 ^1 1 —1 1 —1 —1 —1 —1 1 1 —1.

Последовательности Лежандра, как и М-последовательности,
являются линейными рекуррентными и описываются линейным

“7

Рис. 3.22. Сигнал Лежандра

рекуррентным уравнением вида п = Ь+(п—1), где b — целое чис-
ло. Значение каждого символа последовательности ап получается
тт ( п \

путем преобразования п в символ Лежандра I если он опре-
делен. Последовательности Лежандра, как и 2И-последов<ательно-
сти, являются минимаксными.
Последовательность Якоби. Если символ Якоби

(3.55)

где общий наибольший делитель (n,p,k) = l, а р, q—простые
числа, то последовательность Якоби для p>q определяется как

( —| при n^O(modp), 0(mod q),
\pq /

Лп —

1 при n=0(modp<y),

1 при nssO(modp), n^O(mod^),
—1 при n^O.(modp), nsOi(modp).

(3.56)

Раньше было оговорено, что под последовательностями Якоби
будут подразумеваться такие, у которых p=q+2, период равен N,
а п изменяется от 0 до N—1. Так как символ Якоби определяет-
ся произведением символов Лежандра, то вычисление его произ-
водится согласно правилам определения символов Лежандра.

Например, при р = 7, q=5 период W=35, а символы последо-
вательности Якоби за период чередуются следующим образом:
11—111—1—11—11—11111—111—1—1—11
—1 —1 —1 —1 —1111 —1 —1 —11 —1. Легко убедиться, что
найденная последовательность Якоби является минимаксной. Со-
ответствующий сигнал изображен на рис. 3.23.

u(t)

Рис. 3.23. Сигнал Якоби

Последовательности Лежандра и Якоби, а также родственные
им исследованы подробно, но они менее распространены по срав-
нению с ^-последовательностями.

3.5. Нелинейные последовательности

Период ^-последовательности N=ph—1, где k — число разря-
дов регистра, р — число различных используемых символов. На-
помним, что среди всевозможных кодовых комбинаций символов
в регистре комбинация из k нулей (ООО... 0) является запрещен-
ной. Если в регистре по каким-либо причинам такая комбинация
возникнет, то колебания в регистре сорвутся и регистр устано-
вится в нулевое состояние.

Используя дополнительные логические операции, можно так
построить схему регистра, что кодовая комбинация символов из
k нулей перестает быть запрещенной. В этом случае период по-
следовательности

N—pk, (3.57)
а получаемая в регистре последовательность символов описыва-
ется нелинейным рекуррентным уравнением. Подобные последо-
вательности называются нелинейными.

Рассмотрим пример. На рис. 3.24 представлена схема регист-
ра (р=2), отличающаяся от схемы, приведенной на рис. 3.14,
следующим. Во-первых, каждый триггер на рис. 3.24 схематично
разделен вертикальной линией на две половины. С выхода одной
половины снимается прямой символ х, с выхода другого — его
инверсия х. Прямой и инверсный символы удовлетворяют усло-
вию

кроме последнего. На

Рис. 3.24. Регистр с не-
линейной обратной свя-
зью

x+xs= 1 (mod2). (3.58)

Если инверсный символ х=1, то это означает, что прямой сим-
вол х=0. Во-вторых, на схему совпадения И поступают инверс-
ные символы со всех триггеров (Tl, Т2),
выходе схемы И символ 1 появится только
тогда, когда инверсные символы триггеров
Tl, Т2 принимают значение 1. При любых
других комбинациях инверсных символов
триггеров Tl, Т2 на выходе схемы И будет
символ 0. В-третьих, в схеме включен до-
полнительный сумматор по mod 2, на входы
которого поступают символы со схемы И и
сумма символов цепи обратной связи реги-
стра. Так как цепь обратной связи замкну-
та, то в схеме возможны колебания. Можно
показать, что в триггере будут иметь место все кодовые комбина-
ции длиною k символов, в том числе и комбинация ООО.

Введение в схему регистра нелинейного элемента в .виде схе-
мы И приводит только к появлению одной дополнительной ком-
бинации символов ООО. Нелинейная последовательность символов
может быть получена при считывании символов со входа или
выхода любого триггера регистра. Например, считывая символы
со входа триггера Т1, получим периодическую последователь-
ность

... 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 ... (3.59)

Необходимо отметить, что в нелинейных последовательностях ви-
да (3.59) число символов 1 и 0 за период .равно друг другу.

В отличие от ^-последовательностей сумма двух сдвинутых
нелинейных последовательностей не является циклически сдвину-
той относительно исходно нелинейной последовательностью. Дей-
ствительно, если просуммировать последовательность (3.59) с по-
следовательностью, сдвинутой относительно нее, например, на три
такта, то получим

01110001011100010111

00101110001011100010

01011111010111110101
Малый уровень боковых пиков (—1/N) периодической АКФ
^-последовательностей является следствием того, что сумма двух
Af-последовательностей также Af-последовательность. Так как не-
линейные последовательности этим свойством не обладают, то
можно предположить, что уровень боковых ликов их АКФ будет
больше уровня боковых пиков АКФ Af-последовательностей.

Нелинейное рекуррентное уравнение. Когда число различных
используемых сим,волов р является простым, то одной из воз-
можных схем регистра формирования нелинейной последователь-
ности будет схема, приведенная на рис. 3.25. Она построена на

Рис. 3.25. Автомат формирования нелинейных последовательностей

том же принципе, что и схемы на рис. 3.17, 3.24. Схема И явля-
ется схемой совпадения k—1 единиц; т. е. на выходе схемы И
символ 1 проявляется тогда, когда на всех ее входах единицы.
При этом

Xi,j=Xt,)-sr 1 (modp). (3.60)

Схема И на работу регистра не влияет, за тем лишь исклю-
чением, что между кодовыми комбинациями ООО... 01 и 100... 00
она создает комбинацию символов из k нулей (000... 00). Поэтому
выбор характеристического многочлена (определение коэффици-
ентов Ci,..., Ск) для определения структуры регистра, приведен-
ного на рис. 3.25, следует делать так же, как и для Af-последо-
вательности.

Прямой символ на выходе Z-ro триггера на /4-1 такте
Xi, так как с каждым тактом символ со входа перехо-

дит на выход. Символ на входе первого триггера в /-м такте

k k— г

= S Cl п (3.61)

/=1 /=1

где
k—\ _ ri ~ 1

П I1 при =
/=1 10прихм=^1

— операция символического умножения, выполняемая схемой И.
Используя (3.60), нелинейное рекуррентное уравнение (3.61)
можно записать как

k k—-1

*<м= s cixi-s+ п О-
Z=1 Z=1

(3.62)

Нелинейность уравнений (3.61), (3.62) приводит к тому, что
непосредственный анализ состояний регистра сопряжен с боль-
шими математическими трудностями. Иногда анализ состояний
регистра не требуется, поскольку выбор структуры регистра
(рис. 3.25) можно производить на основе теории ^последова-
тельностей.

Известна формула для числа нелинейных последовательностей,
возможных при данном k-.

£ = 22*-1-*. (3.63)

Например, если 6=13, то число возможных нелинейных после-
довательностей равно 24083, в то время как число ЛГ-последоца-
тельностей— 630. Такое большое различие по числу последова-
тельностей объясняется тем, что введение нелинейных логических
операций значительно расширяет

возможности при проектировании
формирующих схем.

АКФ. На рис. 3.26,а изображе-
на АКФ нелинейной последова-
тельности для # = 32. На этом ри-
сунке для области т^О изобра-
жена периодическая АКФ, для об-
ласти т^О — непериодическая.
На рис. 3.26,6 изображены АКФ
периодической нелинейной по-
следовательности с периодом
#=32: 11111010001001
01011000001110011 0.
Как видно из рисунков, боко-
вые пики периодических АКФ
нелинейных последовательностей
значительно отличаются от
— 1/N. Для сравнения на рис.
3.26,6 представлена АКФ М-по-
следовательности, период которой

Я/Уд

Рис. 3.26. АКФ нелинейной (а) и М-
последовательности (о)

#=31 имеет вид 11111010001001010110000

1110 0 110. Несмотря на разницу в периоде в один символ 0,
автокорреляционные свойства нелинейных периодических последо-
вательностей, с точки зрения уровня боковых пиков значительно
хуже, чем ^-последовательностей. Это является следствием того,
что сумма двух нелинейных последовательностей не является
циклически сдвинутой нелинейной последовательностью.

Вместе с тем, необходимо отметить, что до настоящего вре-
меня не опубликованы регулярные алгоритмы формирования не-
линейных последовательностей с числом последовательностей, оп-
ределяемых формулой (3.63). Известны лишь частные алгоритмы,
которые е помощью схем на сдвигающих регистрах (рис. 3.25)
позволяют формировать нелинейные последовательности W=2ft—4,
объемом A=25ft [18].

3.6. Дополнительные последовательности

Последовательности {ап} и {ап} называются дополнительными
[19], если

(3.64)

(3.65)

(3.66)'

где
। N । N

N n=g+l N n=5+l

Например, последовательности
111—1 1 1—1 1
111—1 —1 —1 1 —1

являются дополнительными. Значения их автокорреляционных
функций приведены в табл. 3.16.

Таблица 3.16. АКФ дополнительных последовательностей

И 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 —1 0 3 0 1 0 1 0
8 1 0 -3 0 —1 0 —1 0
16 0 0 0 0 0 0 0 0

Отметим, что в дальнейшем рассматриваются последователь-
ности, у которых ап=1; —'1. При заданном N можно построить
несколько различных пар дополнительных последовательностей,
комбинируя положения символов.

У дополнительных последовательностей число символов долж-
но быть одинаковым и равно N. При этом число N является чет-
ным и .равно сумме квадратов двух целых чисел

ЛГ =*(#-?-#+ (р-#, (3.67)

где р, q— целые числа, равные числу —1 в первой и второй до-
полнительных последовательностях. Формула (3.67) означает, что
число символов N может быть только суммой квадратов двух це-
лых чисел, включая нуль. Например, при Af^lOO имеется ряд чи-
сел 2, 4, 8, 10, 16, 18, 20, 26, 32, 36, 40, 50, 52, 58, 64, 68, 72,
74, 80, 82, 90, 98, 100, из которых можно найти N для дополни-
тельных последовательностей.

Необходимо отметить, что условие (3.67) является необходи-
мым, но не достаточным. Например, доказано, что не существует
дополнительных последовательностей с У =18.

Композиции дополнительных последовательностей. Если име-
ется пара дополнительных последовательностей {ап} и {ап} дли-
ны N, то их композициями будем называть дополнительные по-
следовательности длины 2N, образованные по определенным пра-
вилам из исходных последовательностей. Известны два правила
образования композиций: правила чередования и присоединения.

Правило чередования означает следующее. Если заданы две
последовательности: {an}~ai,..., ап,..., аи и {an}=ai,..., ап,...,
aN) то последовательность {ап : ап} =ai, ai, аг,,ап, ап,... ,ан,
aN, в которой символы одной исходной последовательности чере-
дуются с символами другой, называется составленной по правилу
чередования.

Можно доказать, что последовательности

^1» а^..., ап, ап,..., Ддг, Цдг,

==д^, а1(..., ...-, aN, Цдг,

(3.68)

являются дополнительными. Используя правило чередования k
раз, получим пару дополнительных последовательностей длины

Nh = 2kN.

(3.69)

Правило присоединения означает следующее. Если заданы две
последовательности {an}=ai,..., ап,..., ап и {ап} =51,..., ап,...,
aN, то последовательность {an|an}=Oi,..., ап,..., Ядг, «i, ..., ап,...,
в которой за символами одной исходной последовательности
следуют символы другой, ‘называется составленной по правилу
присоединения.

Можно доказать, что последовательности

)яп| ^*1’ *** * ^пг *• > а^, m , ап,..., Ojv,

{an| — ап} =alt m, ап,..., aN, —alf , —ап,... ,—aN (3.70)

являются дополнительными. Повторяя последовательно k раз пра-
вило присоединения (3.70), получаем последовательность длины
2kN (3.69).

Частным случаем (3.69) является число 2k. В качестве исход-
ной последовательности при k — Q берется один символ 1, при
Этом {ап} = {ап} = \. При k=l согласно (3.70) имеем
{а»} = 1, 1.

{aj = l> -I-

При k—2

{ап} = 1, 1, 1, -1,
Ы = 1, 1,-1, 1

И т. д.

Корреляционные свойства дополнительных последовательно-
стей при N=2h. Рассмотрим два сигнала с комплексными огиба-
ющими f/ДО и Uiit) длительностью Т и энергией Е. Образуем
композиции, аналогичные (3.70):

W) = £Л (0 + и. (/), Ut (1)=^ (t)-U2 (0. (3.71)

Функции неопределенности (ФН) сигналов (3.71) в соответствии
с (2.21)

Rj (т, й) = Rx (т, й) -г /?2 (т, й) exp (i й Т) ± R12 (т + Т, й) ±

± R21 (т—Т, Й) exp (i Й Т), ' (3.72)

где /=3 или 4, знак « + » соответствует /=3, знак «—» соответст-
вует /=4; ФН /?1(т, й), Т?2(т, й) определяются согласно (2.21), а
ВФН Т?12(т, й), /?21(т, й) —согласно (2.18);

Ra (т, Й) + Rt (т, Й) = 2 [7?! (т, Й) + R2 (т, Й) exp (i Й Т)]. (3.73)

Как видно, ВФН Rn и Rn не вошли в (3.73). Это приводит
к следующему. Поскольку длительности сигналов Ui(t) и U^(t)
равны Т, то их ФН [i/?i(t, Й) и ^(т, й)] отличны от нуля только
в пределах полосы (—Т^тСТ, —оо<;й<:оо). В то же время
сигналы (3.71) имеют длительность 2Т, и их ФН (3.73) отличны
от нуля в пределах полосы (—27'^т^27’, —оо<?й<.оо). Следова-
тельно, суммирование корреляционных функций(т, й) и/?4(т, й)
приводит к полному подавлению боковых пиков в полосах (—2Т

—Т, —оо<й<оо) и (7’^т^2Т, —оо<й<°о). Это
свойство сигналов (3.71) имеет общий характер.

Действительно, используя последовательно правило присоеди-
нения (3.71), получим сигналы длительностью 2й+17' вида

t/2ft+3 (0 = f/2ft+1 (0 + t/2ft+2 (t—2k 7),

(0 = U2k+1 (t)~U2k+2 (t—2k T). (3.74)

При k—0 получаем исходные сигналы (3.71). Можно показать,
что модуль суммы ФН сигналов (3.74)

I tf2ft+3 (т, Й) + Я2И_4 (т, й)| ~2*+2

7?1(т, й) П созйтг^-1
v=0

(3.75)

Следовательно, при произвольном k тело неопределенности
(3.75) суммы двух ФН совпадает в основном с корреляционной
функцией R(x, Q) исходного сигнала, но с изменением масштаба
оси частот Q в соответствии с длительностью сигналов (3.74). Ес-
ли тело неопределенности исходного сигнала имеет центральный
пик и малые боковые пики, то и тело неопределенности (3.75) бу-
дет иметь центральный пик не шире исходного и малые боковые
пики.

Спектральные свойства дополнительных последовательностей
при N=2k. Если спектр комплексной огибающей Ui(t)

GT (<о) = fa (i) е-1®' di, (3.76)

то спектры комплексных огибающих (3.71) при условии Ui(t) =
= U2(t) равны, т. е.

G3 (со) = Gx (®) [ 1 + ехр( — icoT)! =2G1((o)cos^-exp[ — i(o7’/2],

(3.77)

G4 (co) =Gx (<o) [ 1 — exp (— i <o 71)] == 2 G4 (<o) sin exp [i (co T/2 + л/2)].

(3.78)

Модули выражений (3.77) и (3.78) отличаются гармоническими
множителями. Следовательно, нули этих спектров будут чередо-
ваться. При этом, конечно, не учитываются нули исходного спек-
тра Gi(<»). Причем имеет место соотношение

IG3 (<») 12 + IG4 (®) |2 = 4 | Gi (®) |2, (3.79)

т. е. спектры как бы дополняют друг друга. С увеличением номе-
ров сигналов характер спектров становится более сложным, но и
свойство «дополнительности» (3.79) сохраняется. Если 02&+1((о) и
G2ft+2(tt>)—спектры комплексных огибающих U2k+i(t) и U2k+2(f)
аналогично (3.76), то

I G2k+3 (®) 12 + IG2A+4 (со)12 = 2 [ | G2ft+1 (со) |2 4- |G2ft+2 (©)12]. (3.80)

Соотношение (3.80) аналогично (3.79).

3.7. Последовательности максимальной вероятности1

ПМВ обладают статистическими характеристиками корреляци-
онных функций, близкими к характеристикам М-последовательно-
стей, число их может быть большим и для них можно предложить
регулярное правило формирования. Сначала обратимся к свойст-
вам случайных последовательностей.

Статистические свойства случайных последовательностей. Из-
вестно, что с ростом числа символов N в последовательности дис-
персия боковых пиков АКФ уменьшается как 1/2N, а максималь-
ные пики при заданной вероятности уменьшаются как (InJV)/N.

1 Данный параграф написан по материалам совместной работы с Г. Г. Мо-

исеевой [20].
В результате с ростом N АКФ случайной последовательности стре-
мится к идеальной в виде дельта-функции.

Известно также, что сигналы, у которых АКФ обладают ма-
лыми боковыми пиками, содержат оптимальное число блоков

/Ио = (/У+1)/2. (3.81)

Блок — последовательность символов одного знака. Формула
(3.81) справедлива для нечетных N. Для четных N M0=NI2 или
Afo=/V/24-l. Доказано, что (3.81) является средним значением чи-
сла блоков в последовательности из N символов. Так как распре-
деление числа блоков описывается биномиальным законом, то
(3.81) является также и наиболее вероятным значением числа бло-
ков. Блоки могут быть единичными (состоят из одного символа),
двойными (состоят из двух символов) и т. д. Обозначим число
блоков одинаковой длины k через Ль, причем длина блока равна
числу символов в нем. Например, Ai — число единичных блоков.
Для последовательности длины N, состоящей из М блоков, имеют
место два равенства:

fcmax fcmax .

N = £ k\k, М= J (3.82), (3.83)

где йщах — длина максимального блока.

Считая Атах постоянной величиной, усредняя обе части равенст-
ва (3.83), обозначая среднее значение Ль через Ль, получаем
*тах—

Мо= 3 Лк. (3.84)

k=l

Среднее значение числа блоков длиной k может быть найдено сле-
дующим образом. Положим, что положительные и отрицательные
символы последовательности равновероятны. При этом вероятность
появления блока длиной k (т. е. состоящего из k символов) равна

Ph = 1/2< (3.85)

Если последовательность имеет Мо блоков, то

Ак = МоРк = Мо2-к. (3.86)

К этому же результату можно прийти, учитывая взаимосвязь меж-
ду числом символов в последовательности и числом блоков. При
наличии /Ио блоков в последовательности имеется М»—1 перемена
знака. Вероятность перемены знака равна отношению (Afo—1)
к (N—1). Вероятность сохранения знака равна (N—M0)/(N—1).
Вероятность получения блока длиной k будет равна вероятности со-
хранения знака на (k—1) позиции, а затем перемены знака, т. е.

pk = (N-M0)k-1 (Мо- 1)". (3.87)

Подставляя (3.81) в (3.87), получаем (3.85). Здесь следует от-
метить одну математическую особенность полученных результатов.
Если подставить (3.86) в (3.87), точное равенство имеет место
лишь при &тах-><», т. е. необходимо учитывать блоки любой дли-
ны, хотя вероятность появления больших блоков уменьшается с их
величиной согласно (3.85). Выбор значения йтах для последова-
тельностей конечной длины будет рассмотрен в дальнейшем.

В табл. 3.17 приведены значения вероятностей появления бло-
ков различной длины в случайных двоичных последовательностях,
полученных из десятичных случайных последовательностей. Были
взяты выборки из 800 символов.

Таблица 3.17. Вероятности появления блоков длины k

Длина блока k Вероятно- сти для случайных последова- тельностей (I группа) Вероятно- сти для случайных последова- тельностей (II груп- па) Вероятно- сти, рас- считанные по форму- ле (3.75) Длина блока k Вероятно- сти для случайных последова- тельностей (I группа) Вероятно- сти для случайных последова- тельностей (II груп- па) Вероятно- сти, рас- считанные по форму- ле (3.75)
1 0,487 0,504 0,5 7 0,010 0,0076 0,0078
2 0,268 0,237 0,25 8 0,000 0,0076 0,0039
3 0,133 0,121 0,125 9 0,0005 0,000 0,002
4 0,0525 0,0705 0,0625 10 0,000 0,000 0,001
5 0,0276 0,0352 0,0312 11 0,0025 0,000 0,0005
6 0,015 0,0176 0,0156

Как следует из данных табл. 3.17, эмпирические значения ве-
роятностей, полученные для последовательностей конечной длины,
близки к теоретическим значениям (3.85).

Таким образом, в типичной или «средней» случайной последо-
вательности число символов должно удовлетворять равенству
(3.82), общее число блоков — равенству (3.81), а число блоков
длины k — равенству (3.86). Число таких последовательностей оп-
ределяется полиномиальным законом

/ ftmax_

L(Af0, Л) =2И0! / fl Aft!’ (3.88)

/ к=

где аргумент характеризует блоковую структуру последовательно-
сти. Например, при У=16, Af0 = 8, Ai=4, Л.2=2, Л4=0 и Лз=Лб=1
имеем L(Mo, Л) =840. При этом число последовательностей, удов-
летворяющих (3.85), составляет, примерно, 1/80 часть от общего
числа последовательностей длины N= 16(216«6,4-104).

Для типичной последовательности, удовлетворяющей равенст-
вам (3.81) — (3.83), можно постулировать следующее утверждение:
статистические характеристики их АКФ и ВКФ будут лучше, чем
статистические характеристики полного кода, поскольку типичные
последовательности являются наиболее вероятным представите-
лем случайной последовательности с хорошими корреляционными
свойствами. Именно на этом постулате и основаны последователь-
ности максимальной вероятности.
Свойства последовательностей максимальной вероятности. ПМВ
формируются из блоков, длины которых k, и число Ль выбираются
из условия
—

6= £]& |Ah—Aft| = min, (3.89)

Л=1

где k0 — длина блока, для которого Л&=1 и из (3.86) ^0 = log2Afo.
Минимальные значения 6 для М=М0 равны 0 и 1.

Таким образом, единичные блоки должны составлять пример-
но половину от общего числа блоков, двойные — четвертую часть,
тройные—восьмую часть и т. д. При этом блоки чередуются в
порядке уменьшения их вероятностей. На первом шаге из Мо бло-
ков выбирается один из наиболее вероятных блоков, т. е. единич-
ный блок, начальная вероятность которого согласно i(3.85) равна
0,5. После этого остается (Мо—1) блоков и вероятности появления
оставшихся блоков изменяются. Для единичных блоков она ста-
нет меньше и будет

(Af0/2> —1 ~ 1 1 \

Pl 1 = ------- ----I 1----I ,

Мо— 1 2 \ Мо /

а для других блоков возрастет и станет

(Al0/2fe)

Мо— 1

(3.91)

В (3.90), (3.91) второй индекс означает номер шага формирования
последовательности.

На втором шаге выбирается единичный блок, если pn>p2i,
или двойной блок, если p2i>pn- Эта процедура повторяется на
каждом шаге, при котором выбирается блок с максимальной ве-
роятностью из оставшихся.

Таким образом, на /4-1 шаге выбирается блок длиной k, для
которого вероятность pkj максимальна. Если блоки различной дли-
ны обладают одинаковыми вероятностями, то порядок выбора
этих блоков не имеет значения. Следует отметить, что при форми-
ровании последовательности символы каждого последующего бло-
ка имеют противоположную полярность по сравнению с символа-
ми предыдущего блока.

Для полного определения ПМВ необходимо найти значение
kmon. Поскольку ПМВ, кроме равенств (3.81), (3.89), должны
удовлетворять равенству (3.82), то длина максимального блока
должна дополнять сумму S АЛ* до значения N. Например, если
k=1

Af=16, Мо = 8, то Л1 = 4, Л2=2, Лз=1, при этом блока длиной k=4
быть не может, а должен быть блок длиною k = 5, т. е. Л4=0, As=
= 1. Следовательно,
k.

km^ = N-^kAk. (3.92)

Й=1
Число ПМВ определяется числом вариантов чередования блоков
разной длины при совпадении их вероятностей и числом таких сов-
падений. Так, при совпадении вероятностей Q различных блоков
количество вариантов их чередования равно Q!. Следовательно,
общее число последовательностей L можно определить по фор-
муле

£ = Q1!Q2!Q3!..„ (3.93)

где Qi — число различных длин блоков, Q2 — число различных
длин блоков k таких, для которых Ль ^2, Q3 — число различных
длин блоков k таких, для которых Ьь^З и т. д.

Для случая Af=Afo и 6=0 или 6 = 1 (6=1 для Afo=N/2+l)
формула (3.93) может быть представлена в виде

log, Л}„-1

L=(log8M0+l)l П [log^o-mj!]2"1-1, (3.94)

т=\

где М определяется согласно (3.81).

По этой формуле при 6=0 и 6 = 1 для Л=16 имеем 96 последо-
вательностей, для ЛГ=32ч-5760 последовательностей, для У=64
приблизительно 3,3-106 последовательностей. Таким образом, с ро-
стом N количество ПМВ быстро растет. Кроме того, для каждой
последовательности можно построить обратную и инверсную по-
следовательности, а также использовать их циклические переста-
новки.

В табл. 3.18 приведены 48 последовательностей максимальной
вероятности в виде записи длин блоков для У=16, М0=8 и 6=0.

Таблица 3.18. Последовательности максимальной вероятности
с 7V=16, Л10 = 8, 6=0

11211235 112135,12 11122315 11212315 11121235 11123512
11211253 11213521 11122351 11212351 11121253 11123521
11211325 11215123 11122513 11212513 11121325 11125123
11211352 11215132 11122531 11212531 11121352 11125132
11211532 11215213 11123125 11213125 11121523 11125213
11211523 11215231 11123152 11213152 11121532 11125231
11212135 11215312 11123215 11213215 11122135 11125312
11212153 11215321 11123251 11213251 11122153 11125321

Для ПМВ табл. 3.18 были рассчитаны АКФ и определены стати-
стические характеристики модулей боковых пиков. В табл. 3.19
приведены статистические характеристики ПМВ. В этой же таб-
лице приведены характеристики ^-последовательностей и случай-
ных последовательностей. В табл. 3.19 приведены границы модуля
максимального бокового пика l^maxlJ/^, среднее N и

среднеквадратичное О|д| значения.

Как следует из табл. 3.19, ПМВ обладают статистическими ха-
рактеристиками, близкими к характеристикам наилучших после-
довательностей, а именно ^-последовательностей. В то же время
Таблица 3.19. Статистические характеристики АКФ ПМВ

Тип последовательности Статистические характеристики
Яшах V" 1П|Л| VN «|Я|
Последовательности максимальной веро- ятности 0,75...2,0 0,35 0,33
М-последовательности 0,7...1,25 0,32 0,4
Сегменты М-последовательностей 1,45...4,1 0,52 0,9
Случайные последовательности 2,1...3,5 0,56 0,43

число их существенно больше числа ЛГ-последовательностей. Про-
цедура формирования ПМВ достаточно просто алгоритмизирует-
ся, что позволяет получить регулярные правила формирования.

3.8. Многофазные сигналы. Сигналы Фрэнка

Символы сигналов Фрэнка ап, п=Л, N [21] определяются следующим об-
разом:

= (3.95)

где

£ = exp (i 2 л p/Af), (3.96)

М — простое . число, р — число, взаимно простое с М, а произведения vp опре-
деляются квадратной матрицей порядка М:

В= llvp.ll = 0 0 0. 0 12. 0 2 4 0 .. М— 1 .. 2(Af—1) (3.97)
0 (М— 1) 2(Af— 1) . • (М—1)2

Каждый элемент матрицы В есть vp, v, р=0, 1, ..., М—«1, v —номер строки, р—
номер столбца. Общее число элементов матрицы и символов в сигнале N=M2.
Номера элементов по индексу-л исчисляются, начиная с левого верхнего (п=1),
по строкам, выписывая строку за строкой. Номер символа

n = vM + |i+l. (3.98)

Последовательность символов в сигнале в записи по правилу присоедине-
ния выглядит следующим образом

{ V”11 &1Д1 62g-11(м~° U}> Ц=0,1.......... м— 1. (3.99)

Фазы символов сигнала Фрэнка в соответствии с (3.95), (3.96), (3.97)

0vgS(2np/Al)v|x. (3.100)
Например, при Af=3 и p=il

000 001 002 010 0Ц 012 020 021 ®22

0 0 0 0 2л/3 4л/3 0 4л/3 8л/3.

Периодическая АКФ сигналов Фрэнка имеет нулевые боковые пики, т. е.

(1 при т кратном Л4,
0 при т не кратном М.

(3.101)

Для апериодических АКФ максимальный боковой пик обычно не превосхо-
дит l/]/Tv== 1/Л4, т. е.

Rmax^l/j/TV. (3.102)

Расчеты показывают, что для реальных сигналов максимальные боковые пи-
ки меньше, чем оценка (3.102). В табл. 3.20, составленной по результатам [21],
приведены известные уровни максимальных боковых пиков.

Как видно из нижней строчки табл. 3.20 оценка (3.102) для #>9 примерно
в 3 раза больше реальной. Поэтому для расчета приближенно можно полагать
^max 1/3VW.

Таблица 3.20. Оценки максимальных боковых пиков сигналов Фрэнка

4 9 16 25 36 49 64
м 2 3 4 5 6 7 8
Rxnax. 0,25 0,11 0,088 0,064 0,055 0,046 0,041
1/УлГ 0,5 0,33 0,25 0,2 0,167 0,143 1 °’125
l/VjV/Ятах 2 3 2,8 3,1 3,2 3,1 3,05

Тело неопределенности непериодического многофазного сигнала, определя-
емого последовательностью (3.99), близко к телу неопределенности сигнала с
линейной частотной модуляцией, что определяется квазиквадратным изменением
фаз символов сигналов Фрэнка.

Многофазные сигналы класса р [22]. Фазы символов многофазных сигналов
р определяются следующим соотношением:

0уц = — (п/М) (М—2v— 1) (v М + р).

(3.103)

Для Л4=3

000 001 002 010 0Ц 012 020 021 022

0 —2л/3 — 4л/3 0 0 0 2л/3 2л/3 4л/3.

Апериодические АКФ многофазных сигналов р имеют малые боковые пики.
Для многофазного сигнала с Л!=9, т. е. #=81, максимальные пики АКФ рав-
ны, примерно, —28 дБ, что на 9 дБ меньше уровня 1/1/#.

Многофазные сигналы—аналоги ЧМ сигналам. Многофазные сигналы мож-
но построить по аналогии с частотно-модулированными (ЧМ) сигналами. ЧМ
сигнал приближенно можно представить в виде последовательности радиоим-
пульсов с мгновенной частотой, линейно изменяющейся в течение импульса.

На рис. 3.27 изображена зависимость фазы 0 от t ЧМ сигнала, длительность
которого равна Т. Согласно рисунку сигнал разбит на # импульсов длительно-
стью т0=Т/#. Принята следующая нумерация импульсов: 0, 1, ..., # —1.

Рис. 3.28. АКФ КЧМ сигнала
(сплошная линия) и МФ сигнала
(штриховая линия)

Заменим непрерывную функцию 0(/) линейно-ломанной, значения которой
совпадают с 6(t) в точках, кратных То. Обозначим

0п=О(лто) при n=0, 1, ..., #—1. (3.104)

В качестве начальных фаз многофазного сигнала целесообразно брать сред-
ние значения фаз соседних отсчетов, т. е.

0фп = (0п + 0п+1)/2. (3.105)

Если в качестве аналога взять сигнал с линейной частотной модуляцией
(ЛЧМ), то начальные фазы многофазного сигнала согласно (3.405)

6фп=-^-(л24-п). (3.106)

где п — номера импульсов, п=0, #—,1. Модуль АКФ многофазного сигнала
(3.106)

1Я(Н)1 =

1 sin яр (1 — р/#)

sin яр/#

(3.107)

Если в качестве аналога взять сигнал с квадратичной частотной модуляци-
ей (КЧМ), то начальные фазы многофазного сигнала

_я# / 2n \ 3

°фн з \ — 1 )

(3.108)
На рис. 3.28 приведены графики модулей АКФ при Af=24 для КЧМ сиг-
нала (сплошная линия) и для многофазного сигнала (штриховая). Как видно
из рисунка, отличие между ними незначительное.

3.9. Амплитудно-фазоманипулированвые сигналы

Уменьшения боковых пиков можно добиться, вводя дополнительную ампли-
тудную манипуляцию. Свойства амплитудно-фазоманипулированных (АФМ)
сигналов и их АКФ целесообразно определять через спектр кодовой последова-
тельности (3.9). АКФ произвольного ФМ сигнала определяется через спектр
кодовой последовательности Н(х) следующим образом:

1 л

RW='^N flWI2e'WJCdx> (3109)

где х=(йт0, а

лг

H(x) = ^]ane-iin-i}x. (3.110)

/2=1

Положим согласно (3.15) |Я(х)|="1/^- Подставляя (3.15) в (3.109), получаем
fl ц = 0,

*W={0 (3.111)

т. е. АКФ состоит из одного основного пика и не имеет боковых пиков. Та-
кая АКФ является идеальной с точки зрения подавления боковых пиков.

Выясним, какие сигналы характеризуются АКФ (3.111). Для полного оп-
ределения сигнала кроме модуля амплитудного спектра (3.15) необходимо знать
(или определить) и фазовый спектр кодовой последовательности ф(х). Из
формулы (3.110) с помощью преобразования Фурье получаем

1 " я i/лГ л

ап = -~~ \H(x)e'nxdx^*— e1,t’(x)+inxdx. (3.112)

2я-я 2л -я

Если экспонента exp[iip(x)] может быть разложена на конечное число гар-
моник с периодами, кратными 2л, то согласно (3.112) существует конечное
число символов ап=/=0. Это означает, что боковые пики АКФ сигнала отлич-
ны от нуля, или, по крайней мере, всегда /^-1=алЯ1=/=0, так как ai#=0 и
ау=0. Поэтому АКФ может быть только у сигналов, состоящих из бесконечно
большого числа импульсов. Следовательно, реализовать АКФ (3.111) нельзя.
Однако из теории рядов Фурье известно, что амплитуды гармоник при доста-
точно больших п начинают уменьшаться и асимптотически стремятся к нулю.
Поэтому символы ап (3.112), соответствующие краям сигнала, оказываются
малыми и начиная с некоторых n(n<Ni, n>N2) их можно отбросить. Но при
этом из-за конечного числа импульсов в сигнале нарушается свойство (3.111),
т. е. боковые пики не являются тождественно равными нулю. Выбирая ампли-
туду отброшенных импульсов, можно регулировать уровень боковых пиков
АКФ: чем меньше по амплитуде краевые импульсы в сигнале, тем меньше бо-
ковые пики. Это означает, что для большего подавления боковых пиков необ-
ходимо увеличивать длительность сигнала.

Рассмотрим, как преобразуются формулы (3.109), (3.112) при бесконечном
числе импульсов в сигнале. Предположим, что сигнал состоит из бесконечного
числа импульсов с амплитудами ап. Обозначим

*= 3 |вп!’ (3.113)

П=—ОО

и допустим, что N — конечно (это соответствует конечной энергии сигнала).
Тогда выражение (3.109) запишется в виде

1 00 *

Я (н) — Ту 3 °п •
t—— оо

При |А=0 значение основного пика Спектр кодовой последователь-
ности

Я(х)= 3 anexp( — inx), (3.114}

П=—ОО

а АКФ /?(ц) и символы ап определяются через спектр кодовой последователь-
ности (3.114) в соответствии с (3.109), (3.112). При бесконечном числе им-
пульсов величину N (3.113) можно условно определить как «число» импульсов
в АФМ сигнале.

Сигнал, которому соответствует идеальная АКФ (3.111), состоит из беско-
нечного числа импульсов. Отсчет номеров импульсов будем вести от середи-
ны сигнала, где п=0. Реальный сигнал всегда состоит из конечного числа им-
пульсов N, которое для простоты расчетов будем считать нечетным. Обозна-
чим Afi ==0,5 (N—1). Тогда величины ±ЛГ1 представляют номера крайних им-
пульсов в сигнале.

Известно, что при отбрасывании краевых импульсов с |n| >NX в АФМ сиг-
нале максимальные боковые пики АКФ удовлетворяют следующей оценке:

Ятах<ка/Л (3.115)

где к=аШъх1а— пик-фактор АФМ сигнала, аШах — значение модуля максималь-
ного по величине символа, а — среднее значение модулей символов сигнала,
<х=|ает +i|/a—отношение модуля первого отброшенного символа с номером
Af+l к среднему значению а, / — номер производной функции ехр[гф(х)], тер-
пящей разрыв непрерывности.

Согласно выражению (3.115) для уменьшения боковых пиков следует, во-
первых, уменьшать пик-фактор сигнала к, т. е. делать сигнал более постоянным
по амплитуде (равномерным). Отметим, что минимальное значение отношения
к равно единице. Во-вторых, уменьшать а — относительную амплитуду первого
отброшенного импульса на краях сигнала, т. е. использовать более мелкую
структуру на краях сигнала. При такой структуре сигнала увеличивается его
длительность (соответственно и сложность согласованного фильтра) без суще-
ственного увеличения его энергии, что является недостатком. В-третьих, следу-
ei увеличивать номер I производной функции ехррф(х)], терпящей разрыв.

АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром. Исследования показали,
что указанным условиям наилучшим образом удовлетворяет сигнал с квадра-
тичным фазовым спектром

,Ь/Н—/ —(1>о/2я)(х2 —ЯХ) /о|1йх

I (£>0/2л) (х2 + ях) —я<х<0,
где Do — постоянная.
Во-первых, при таком выборе устраняются разрывы функций ф(х) н ф'(х)-
Так как устранить разрыв ф"(х) нельзя, то значения |ап| на краях сигнала»
уменьшаются не быстрее, чем 1/п3. Во-вторых, фазовый спектр, соответствую-
щий (3.116), обладает симметрией относительно точек х=±л/2. При это№
а_п=(—1)пап, т. е. вычисление сигнала упрощается. Огибающая такого сигна-
ла изменяется по косинусоидальному закону, т. е. пик-фактор равен, примерно,
Т/2? Символы такого АФМ сигнала определяются следующим выражением:

On = V-Щ- {[С (*»)—с (Zi) ] cos [-f- +

+ [S(2,)—S^lsinT-g- <Л + О.5ВоР Ъ (3.117)

L J '

где Zi=(n—O,5Do)/1/A>, z2= (n+O,5Do)/V"^o, C(z), S (2) — интегралы Френе-
ля. Асимптотически можно показать, что основная часть сигнала изменяется сле-
дующим образом:

(3.118),
L 4 J

Уровень АКФ такого сигнала определяется оценкой

«max = a/V2’=a(lnol/V^o)/V2> (3-119)

где а зависит от амплитуды первого отброшенного символа, 'а По= (ДО—Do4-
+ 1)/2— число импульсов, оставшихся на краях сигнала. Функция а-1 =
= |по|/Т/^о — обратная функция к а. Параметры, входящие в (3.117)— (3.119),
связаны уравнением

Г»о = 1 4.2 [ а”1 (У2 /?тах)]2—

— 2а-1 (У2 Ятах)У W +1 +1 а”1 (У2 7?тах)]2. (3.120J

Рассмотрим пример расчета сигнала. Пусть 7V=21, /?тах=6-10~2. Для
Т/27?тах=0,085 имеем а-1 = |по|/Т/^о=О,8. Подставляя ДО=21 и а-1=0,8 в*
(3.120), получаем Dq— 15,68. Округляем полученный результат до ближайшего

Рис. 3.29. АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром и его АКФ

четного числа: £>о=1б. Для такого Do по формуле (3.117) был рассчитан сиг-
нал, который изображен на рис. 3.29,а. На рис. 3.29,6 представлена АКФ рассчи-
танного сигнала. Максимальный боковой пик автокорреляционной функции ра-
вен 3-Ю~2, т. е. меньше заданного. Непосредственный расчет показывает, что*
по сравнению с энергией сигнала, имеющего равномерную огибающую при ог-
раниченной пиковой мощности и 7V=21, энергия сигнала с квадратичным фазо-
вым спектром в 2,3 раза меньше, т. е. пик-фактор сигнала равен 1,52, что не-
сколько превышает пик-фактор косинусоиды, равный “j/ 2. Недостатком таких
сигналов является неравномерность их огибающей.

АФМ сигналы с трехимпульсной АКФ [23]. Если сигнал состоит из конеч-
ного числа импульсов, то его АКФ имеет по крайней мере два боковых пика,
расположенных на ее краях, поскольку эти пики определяются произведением
первого и последнего импульсов и ничем не компенсируются. Известно решение
задачи синтеза АФМ сигнала, АКФ которого имеет только эти два неизбежных
боковых пика. Решение этой задачи основано на использовании оператора за-
держки и свойств многочленов.

Пусть сигнал состоит из #4-1 импульсов и определяется кодовой последо-
вательностью

{лп} = а0> <4,..., an,..., aN. (3.121)

Формально можно ввести оператор задержки £>, который задерживает импульс
на время т0, равное задержке между соседними импульсами. Например, если
взять импульс «о (/), то D[uo(O] =«о(^—то)- В таком случае, кодовую последо-
вательность (3.121) можно записать в виде многочлена

Л(Р)=^а0 + а1О4- ...+anDnH-------+ aNDN, (3.122)

каждое слагаемое которого действует на своем временном интервале. Представ-
ление последовательности (3.121) в виде многочлена (3.122) позволяет рассма-
тривать D как независимую переменную и использовать для решения задач син-
теза сигналов свойства многочленов.

Импульсная характеристика согласованного фильтра описывается много-
членом

Л-1 (D) = aN + aN_t D + .. + ап DN~n +...+a„DN. (3.123)

Для того, чтобы определить АКФ, необходимо ввести многочлен

В (D) = Л-1 (D) Dn. (3.124)

Можно показать, что имеет место соотношение

A(D)B(D) = (N+1) У (3.125)

где АКФ

! аа _____

#(|0 = » | S аПап-Ц ПРИ Р=°« N’

2V 1 1 п=ц

а #(—ц)=/?(ц).

Идеальной является такая автокорреляционная функция, для которой
/?(р)=0 при всех р, кроме р=0 (основной пик) и p±N (два крайних боковых
лика). Обозначая

Е=2 |an|2, (3.126)

п=0
получаем произведение многочленов

A (D) В (£>) = а9 aN D~N + Е -f- a N а„ DN, (3.127}

соответствующее идеальной АКФ.

Известно интересное представление (3.127) в виде произведения двух мно-
гочленов, которые в принятых обозначениях записываются как

А (£>) В (D) = — (DN — pN) (1 —D~n p~N) (3-128)

ИЛИ

A (D) В (£>) = (Dn + pN) (1 + D~n p~N). (3.129)

Перемножая правые части (3.128) или (3.1129), можно убедиться в их сов-
падении с правой частью (3.127), если положить, что |аоал-| = 1, a E=p;v4-p~‘v.
Синтез сигнала сводится к определению корней di многочленов DN—pN и
l—D-^p-^ или DN+pN и 1

di=p exp(i2nZ/W) и dz=p~1 exp (—i2itZ/7V), Z=l, N.

Корни di и di являются комплексно-сопряженными. Графически их можно ото-
бразить на комплексной плоскости (рис. 3.30, 7V=13). Корни di расположены
на окружности радиуса р, а номер Z определяет угловое положение корня, по-
скольку окружность делится на N одинаковых секторов.

Рис. 3.30. Корни много-
членов задержки, iV=3

Рис. 3.31. Случайное
распределение корней

В свою очередь корни di расположены на окружности радиуса р-1. Из всех
2N корней половина принадлежит многочлену A(D) (черные точки на рис. 3.30).
Часть из них расположена на внешней окружности, часть — на внутренней.
Каждый сопряженный корень расположен на другой окружности и принадле-
жит многочлену B(D) (светлые точки на рис. 3.30).

Синтез сигнала сводится к нахождению радиуса р и распределению всех
2W корней между многочленами A(D) и B(D). Как р, так и 2N определяют
временную структуру сигнала. Например, если р=1, то корни полиномов A(D)
и B(D) совпадают, так как располагаются на одной окружности. Поэтому
A(D)—DN—1, т. е. сигнал будет состоять из двух импульсов, расположенных
на его краях. При очень большом р вся энергия сигнала сосредоточивается в
одном импульсе.

В настоящее время аналитический метод определения р и распределения
корней еще не найден. С помощью ЭВМ было промоделировано случайное рас-
пределение корней на окружности. На рис. 3.31 приведено распределение кор-
«ей одного из многочленов при У=100. На рис. 3.32,а представлен сигнал, ко-
торому соответствует полученное распределение корней (рис. 3.31), а на рис.
.3.32,6 — его АКФ. Подавление боковых пиков на краях АКФ равно 25,64.

Переход от АФМ к ФМ сигналам. Если произвести двоичное квантование
«о уровню АФМ сигнала (3.117), т. е. получить а№-Ь1 или —1, то АКФ по-
лученного ФМ сигнала будет обладать большими, но все же достаточно малыми
«боковыми пиками.

uftL

Рис. 3.32 АФМ сигнал с трехимпуль-
сной АКФ

1JJ -

Рис. 3.33. АФМ сигнал (а), ФМ
сигнал (б), АКФ ФМ сигнала (а)

На рис. 3.33,а изображен АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром
при N—37, рассчитанный по формулам (3.117). Максимальный боковой пик его
АКФ равен 1,5%. На рис. 3.33 представлен соответствующий ему ФМ сигнал,
полученный согласно двоичному квантованию, АКФ которого приведена на
рис. 3.33,в. Максимальный боковой пик такой АКФ равен 5/37=0,135, что не-
сколько меньше il/‘j//V=l/]/r37. Таким образом, при переходе от АФМ сигнала
к ФМ боковые пики АКФ увеличились примерно на порядок, но все же оста-
лись малыми.

Можно показать, что среднеквадратическое значение боковых пиков АКФ
этаких ФМ сигналов при оптимальном выборе их параметров

aR = 2V2/«)/W = 0,913/1/лГ« 1/1/лГ. (3.130)

Оценка (3.130) показывает, что подобные ФМ сигналы можно отнести к
оптимальным (или минимаксным) ФМ сигналам.

3.10. Минимаксные ФМ сигналы

Такие ФМ сигналы, у которых максимальные боковые пики
АКФ минимальны, были получены некоторыми исследователями
[24... 30]. В табл. 3.21 [30] приведены краткие сведения о мини-
максных ФМ сигналах, полученных как на основе символов Ле-
Таблица 3.21. Характеристики минимаксных ФМ сигналов

N V I] N V 11 N V И N V И
4 1 24 78 6 30 239 12 30 509 17 30
5 1 24 79 6 30 241 12 30 511 19 28
6 2 26,29 82 7 30 251 И 30 513 21 28
7 1 24 83 6 30 253 13 28 521 17 30
8 2 26,29 85 7 30 255 13 28 523 18 30
9 2 26,29 88 7 30 257 12 30 541 19 30
10 2 26,29 89 6 30 259 13 28 547 18 30
11 1 24 91 8 28 261 15 28 557 18 30
12 2 26,29 93 8 28 263 12 30 563 18 30
13 1 24 95 8 28 269 12 30 569 19 за
14 2 26,29 96 7 30 271 12 30 571 17 30
15 2 26,29 97 7 30 277 12 30 577 17 за
16 2 26,29 99 7 30 281 13 30 587 19 за
17 2 26,29 100 7 30 283 12 30 593 19 30
18 2 26,29 101 6 30 293 13 30 599 19 за
19 2 26,29 102 8 30 299 17 28 601 20 за
20 2 26,29 103 8 30 301 16 28 607 19 за
21 2 26,29 106 8 30 303 15 28 613 19 30
22 3 26,29 107 7 30 305 16 28 617 20 за
23 3 26,29 108 8 30 307 13 30 619 19 за
24 3 26,29 109 8 30 311 13 30 631 18 за
25 2 26,29 111 9 28 313 13 30 641 20 за
26 3 26,29 112 8 30 317 12 30 643 19 за
27 3 26,29 ИЗ 7. 30 331 14 30 647 21 30
28 2 26 115 7 28 337 14 30 653 20 30
29 3 26 117 И 28 347 14 30 659 19 30
30 3 26 119 10 28 349 13 30 661 20 30
31 3 26 121 11 28 353 15 30 673 21 30
32 3 26 123 10 28 359 14 30 677 20 30
33 3 26 125 7 28 367 14 30 683 20 30
34 3 26 126 9 30 373 14 30 691 21 30
36 4 30 127 7 30 379 14 30 701 21 30
37 4 30 130 9 30 383 15 30 709 20 30
40 4 30 131 8 30 389 15 30 719 21 30
41 4 25 136 9 30 397 16 30 727 22 30
42 5 30 137 9 30 401 15 30 733 22 30
43 4 30 139 8 30 409 15 30 739 22 30
45 4 30 149 9 30 419 15 30 743 21 30
46 5 30 151 8 30 421 15 30 751 21 30
47 4 30 157 8 30 431 15 30 757 21 30
52 4 30 163 9 30 433 17 30 761 22 30
53 5 30 167 8 30 439 16 30 769 21 30
55 5 30 173 9 30 443 15 30 773 22 30
58 5 30 179 9 30 449 16 30 787 23 30
59 5 30 181 10 30 457 16 30 797 23 30
60 5 30 191 9 30 461 16 30 809 23 30
61 5 30 193 10 30 463 16 30 811 22 30
63 6 28 197 10 30 467 15 30 821 22 30
66 6 30 199 10 30 479 17 30 823 22 30
67 5 30 211 10 30 487 15 30 827 22 30
70 6 30 223 10 30 491 16 30 829 20 30
71 5 30 227 10 30 499 17 30 839 21 30
72 6 30 229 11 30 503 18 30 853 22 30
73 6 30 233 11 30 505 21 30 857 23 30
N V 11 N V [] . V [] V []
859 22 30 919 22 30 983 26 30 4013 57 30
863 23 30 929 27 30 991 25 30 4019 56 30
377 23 30 937 25 30 997 26 30 4021 60 30
881 23 30 941 25 30 1009 25 30 4027 65 30
883 24 30 947 24 30 1023 29 28 4049 66 30
887 24 30 953 25 30 3989 57 30 4051 70 30
901 26 30 967 25 30 4001 68 30 4057 71 30
907 24 30 971 24 30 4003 64 30
911 23 30 977 26 30 4007 55 30

жандра и родственных им, так и с помощью различных методов
синтеза. В [30] обобщены результаты ряда работ. В столбце N
указана длина соответствующего сигнала, в столбце V — макси-
мальный ненормированный боковой пик АКФ, и в столбце [ ] —
номер работы, где приведены подробные данные по данному ФМ
сигналу. Боковой пик V=RmaxN. Соответственно Rmax=V/N.

Рис. 3.34. Зависимость максимальных пиков АКФ — минимальных ФМ сигна-
лов от длины последовательности

На рис. 3.34 [30] представлена зависимость максимальных бо-
ковых пиков АКФ минимаксных сигналов от длины последователь-
ности N, построенная в соответствии с табл. 3.21. Как следует из
рис. 3.34, максимальные пики минимаксных сигналов меньше
0,9 V N.

В табл. 3.22 приведены некоторые минимаксные ФМ сигналы
и близкие к ним, полученные методом синтеза [28, 31].

3.11. Оценки апериодических АКФ

Одной из первых интегральных оценок АКФ является оценка
полученная из ограниченности объема тела неопределенности
(2.34) на плоскости время — частота. Полагая объем тела неоп-
Таблица 3.22. Минимаксные ФМ сигналы
N V Последова гельность
16 2 0000111010100100
17 2 11100000010100110
19 3 1101101110111000111
23 3 11010010001000100000111
31 о 10100101111100001100110 6 1110 1111
43 А 10100010111000000100100 4 10001110011101001010
47 111111110000111100011 4 00110011oiiaiioiooioi 0 10 10
53 00111111000000110000111 5 00111011011011011011100 10 10 10 1
61 1 100001000101 10000101 100 5 110001111111010110000011 1011010111001
97 1101111110111001110111 110101100010010101011011 7 011100000101100001011100 011010111010001010011111 0 0 10
125 00011111111111000100011 110000011111000111000111 7 00011101110011001100110 ‘ 110011011011011011011010 110101101011010100101010 10 10 110
251 1001110111 1. 1111011000000 000001111111000001111111 100000111110001111000001 10000111001111000111000 .о 1100111000110011000 010011000100110010001100 110110011011001111101101 101101101101101101101001 011010010100101001010010 101101010101101011101001 01010101010101010
V Последовательность

0 0 1 0 0 0 110 0 1 010100 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 10 10 10 1 0 1
0 1 0 0 1 000101 0 110 10 1 0 1
0 1 1 0 1 0 10 10 0 10 10 11 0 1 0
1 0 1 0 1 101001 010000 1 0 1
1 0 1 0 1 Г 0 1 0 1 0 010010 1 0 0
1 0 1 1 0 100100 10 110 1 0 1 1
0 1 0 0 1 001001 0 110 11 0 1 1
0 1 1 1 1 101001 101001 1 0 1
1 0 1 1 0 0 10 110 110010 0 1 0
0 1 1 0 1 10 0 10 0 110 110 0 1 1
0 1 1 0 0 110010 0 110 0 1 1 0 0

513 21 1 0 0 11000100110011 0 0 1
1 0 0 11001100011001 1 0 0
1 0 0 001 10001000010 0 1 1
1 0 0 11100111001110 0 0 1
1 0 0 01100011100011 1 0 1
0 1 1 10001110000111 0 0 1
1 1 1 00001111000111 1 0 0
0 1 1 11100001110101 0 1 1
1 1 1 00000111110000 0 1 1
1 1 1 00000011111110 0 0 0
0 0 0 11110111000000 0 0 1
1 1 1 11111110000000 1 0 0
0 0 0 1 0 1 00111111111111 1111111111 1 1 1

ределенности равным единице, можно показать, что среднеквадра-
тическое значение функции неопределенности (ФН)

аФН=0,5//лГ (3.131J

Это значение в ]/2 раз меньше среднеквадратического значе-
ния АКФ случайных сигналов

аАКф= 1/V2N. (3.132)

Как показывают многочисленные расчеты, среднеквадратиче-
ское значение АКФ многих ФМ. сигналов близко к (3.132) и лишь
путем оптимизации с помощью ЭВМ можно несколько снизить
этот уровень (см. табл. 3.13, 3.18, 3.21, 3.22).

Известна [32, 33] нижняя оценка среднеквадратического зна-
чения АКФ, полученная на основе статистических методов:

^кфпйп = I/J/2/iW «O,2//7V, (3.133)

где парамер 12,32. Оценка (3.133) дает среднеквадратическое
значение АКФ в 3,5 раза меньше (3.132) для случайных сигналов.
Такое значение у реальных ФМ сигналов не было получено. Ис-
ключением могут быть многофазные сигналы.

Несмотря на то, что практически для каждого значения N в
92
пределах 11 ... 1009 известны минимаксные последовательности
[24—31], у которых максимальные боковые пики минимальны, тем
не менее проблема построения таких последовательностей окон-
чательно не решена. Известные минимаксные сигналы имеют мак-
симальные боковые пики порядка (0,6... 0,9)/]^#, что близко к
среднеквадратическому значению для случайных сигналов (3.132).
Если положить, что максимальные пики АКФ случайных сигналов
не превышают утроенного среднеквадратического значения, то у
минимаксных сигналов боковые пики в 2,1 ... 3,5 раза меньше, чем
у случайных.

4. СИСТЕМЫ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

4.1. Многоканальные системы связи
с кодовым разделением абонентов и системы сигналов

Многоканальные автономные системы (МАС) связи служат
для обеспечения обмена информацией между абонентами, когда
по некоторым причинам нельзя применять централизованное объ-
единение абонентов. Такими причинами могут быть размещения
абонентов на большой территории, случайность размещения або-
нентов, большие скорости движения абонентов, необходимость
обеспечения большей надежности и живучести по сравнению с
многоканальными централизованными системами (МЦС) и т. д.

В этих случаях МАС может быть только асинхронной по вре-
мени, так как осуществить синхронизацию в перечисленных случа-
ях практически невозможно. По этой причине в МАС нашли при-
менение частотное уплотнение и разделение (ЧР) и кодовое уплот-
нение и разделение (КР).

При ЧР каждому абоненту отводится свой частотный интервал
(абонентская полоса частот) в пределах общей полосы частот. В
этом случае передатчики и приемники пары абонентов, ведущих
обмен информацией, должны быть настроены на частоты выделен-
ных интервалов. Поскольку другие абоненты в этих частотных ин-
тервалах не работают, то прием информации осуществляется без
взаимных помех. Максимальное число активных абонентов в си-
стеме равно общему числу абонентов и определяется как отноше-
ние ширины общей полосы частот Fh. к ширине абонентской полосы
Fa, т. е.

Lqp = Fk/F а.

Если все абоненты работают одновременно, а ширина абонент-
ской полосы Fa равна ширине спектра передаваемого сообщения
Fc, то отведенная полоса частот используется полностью. При этом
число абонентов на единицу полосы максимально и равно 1/FC.

При ЧР реальная ширина абонентской полосы Fa2>Fc. Кроме
того, при малой активности абонентов число активных абонентов
1а намного меньше максимального числа активных абонентов в си-
стеме /а max, т. е. при этом общая полоса частот используется пло-
хо.

С увеличением числа абонентов возникают серьезные трудно-
сти распределения полосы частот между ними. Следует заметить,
что с некоторых пор число абонентских полос в большинстве диа-
пазонов частот много меньше числа возможных абонентов. Для
увеличения числа абонентов в системе связи целесодбразно пере-
ходить к кодовому разделению.

Кодовое разделение основано на том, что каждому абоненту
выделяется свой (абонентский) алфавит сигналов (или кодовых
последовательностей), с помощью которого он передает информа-
цию, Разделение возможно потому, что сигналы различных або-
нентов существенно отличаются по форме. При таком способе раз-
деления передаваемая информация снабжается адресом, роль ко-
торого играют выделенные сигналы. Наличие адресов позволяет
реализовать асинхронный режим совместной работы многих або-
нентов. По этой причине МАС с КР получили название асинхрон-
ных адресных систем связи (ААСС).

Началом исследований по кодовому уплотнению и разделению
можно с полным основанием считать работу Д. В. Агеева [3],
опубликованную в 1935 г. В этой работе даны основы теории ли-
нейного разделения, осуществляемого при использовании линей-
но-независимых сигналов. При линейном разделении нет взаим-
ных (междуканальных) помех. При кодовом разделении в ААСС
имеют место взаимные помехи, которые являются следствием од-
новременной работы абонентов в общей полосе частот. Однако при
кодовом разделении можно так выбрать параметры сигналов, что
уровень взаимных помех будет сколь угодно малым, т. е. обеспе-
чить заданную помехоустойчивость.

Как отмечалось ранее, ААСС основаны на использовании ко-
дового уплотнения и разделения абонентов (КР). При этом тре-
буемое для ААСС число сигналов равно произведению числа або-
нентов на число сигналов в алфавите (полагаем, что все абонен-
ты используют алфавиты одинакового объема). Минимальное чи-
сло сигналов равно числу абонентов. Если число абонентов в ААСС
велико, то выбор сигналов является главным вопросом при раз-
работке ААСС.

Именно поэтому в настоящее время чрезвычайно актуальной
остается проблема построения систем ШПС. Системой сигналов
называется множество сигналов, определяемых единым правилом
построения (алгоритмом). Если число сигналов в системе равно
L, то L называется объемом системы сигналов. Принято срав-
нивать объем системы сигналов L с базой ШПС В. Различают ма-
лые системы сигналов с нормальные (ортогональные

или квазиортогональные) системы сигналов z LxB, большие си-
стемы сигналов с

Большинство известных систем сигналов являются малыми
или нормальными. Для современных систем связи необходимо
94
иметь системы ШПС, объем которых экспоненциально зависит от
базы, т. е.

£=сехруВ, (4.1)

где с, у — некоторые постоянные. Если такой закон реализовать
нельзя (таких систем в настоящее время нет), то необходимо ре-
ализовать большие системы, объем которых растет по степенно-
му закону, т. е.

L = cBn, (4.2)

где с, п — постоянные, причем п> 1.

Сигналы, входящие в систему, должны обеспечивать минималь-
но возможный уровень взаимных помех, который в основном оп-
ределяется допустимым уровнем максимальных пиков взаимокор-
реляционных функций

= (4.3)

где а — пик-фактор ВКФ, в общем случае зависящий от В. Чем
меньше а, тем лучше корреляционные свойства.

В настоящее время еще не существует алгоритмов построения
больших систем ФМ сигналов, у которых пик-фактор КФ достигал
бы значений нескольких единиц. Например, если В=104, то мо-
жет оказаться необходимой система с £=108... 1012 и а«2...5.

Но такие системы пока что неизвестны, хотя факт их существо-
вания не отрицается. Именно поэтому в настоящее время суще-
ствует следующая нерешенная проблема — разработка алгорит-
мов построения больших систем ФМ ШПС с хорошими корреля-
ционными свойствами. Алгоритмы построения систем ФМ сигна-
лов должны быть детерминированными, поскольку сигналы долж-
ны быть известными в точке приема.

4.2. Полный код

Известны пределы любой большой системы ШПС — так назы-
ваемые полные коды. Полный код — это система сигналов, состо-
ящая из всех сигналов данного класса при заданном алфавите
символов и числе символов в сигнале. Алфавит символов — число
различных символов, из которых состоит сигнал. Полный код
нельзя увеличить, он включает в себя все возможные сигналы.

Поскольку любая система ШПС является подмножеством сво-
его полного кода, то она должна обладать некоторыми общими
свойствами полного кода. Причем чем больше система, тем ближе
она по своим свойствам к полному коду. Именно поэтому иссле-
дование свойств полных кодов имеет принципиальное значение для
изучения корреляционных свойств больших систем ШПС.

Полный код ФМ сигналов содержит

L=pN (4.4)
кодовых последовательностей, N — длина кодовой последователь-
ности, р — объем алфавита символов.

Полный код является группой (в алгебраическом смысле) и об-
ладает свойством ортогональности. Упорядочим последовательно-
сти полного кода. Подставим в соответствие каждой кодовой по-
следовательности Aj= (aji,..., Оф) число /, записанное в р-ичном
счислении, причем /=0, L—1, а объем полного кода L=pN.

Представим полный код в виде матрицы при:

^01 • • • Оь—1.1

#02 #12 • • • #>2 • • • 1,2

#0п #1п • • • #/п • • • 1. п

(4.5)

Oon Qin . . . O/n . . . Ol—i.n

Каждая кодовая последовательность является столбцом мат-
рицы npN. Всего столбцов L, а строк N. Каждый столбец получа-
ется из предыдущего вписыванием снизу 1, а первый столбец
(аоь ao2...aoN)=O 0...0 — состоит из N нулей. Например, при р = 3
N=\, 2, 3 имеем следующие матрицы:

л? = |0 1 2|,

«2 =

0001112221
0 1 2 0 1 2 0 1 2Г

(4.6)

00000 0000111111

л’= 00011 1222000111
О

1 1222222222

222000111222

01201 2012012012012012012012

В соответствии с правилом построения и примерами (4.6) мат-
рицу лРк+1 можно представить в символическом виде следующим
образом:

р = V * ... Р.

"+‘ npN npN ... npN

(4.7)

Здесь верхняя строка содержит столько символов 0,1 и р—1,
сколько содержится столбцов в матрице npN. Из приведенных при-
меров (4.6) и символической записи (4.7) видно, что каждая стро-
ка матрицы содержит целое число периодов. Число периодов
n-й строки равно pn-1, n—l,N. Длина периода равна Qn=pw-n+1.

Рассмотрим суммы вида

S (n, k) = 2 а)п ®а)к, (4.8)

/=о

где ® — знак операции в группе. Ортогональность полного кода
заключается в том, что имеет место равенство:

0 при п Ф k,
L при n = k.

(4.9)

1
Из периодичности строк матрицы kpn (4.5) следует, что

S (Л) = &jn ~ 0 •

/=0

Среднее значение произведения любого числа несовпадающих
строк матрицы (4.5)

L—1

S(n, k...., u)= J аУпфаАф...фа>ц = 0.

/=о

ВКФ ФМ сигналов с номерами j и k согласно (3.22) определяется
следующим образом:

N *

RM=(MN) J a3nak,n^. (4.10)

п=ц+1

В полном коде групповыми свойствами обладают и ВКФ (4.10)'
при j,k=O, L—1, поскольку а3па*ь, п-ц=От является элементом
алфавита, где т является одним из значений 0, р—1 и некоторой
функцией от /, k, п, ц, т. е. т=<р(/, k, п, р,). Подставляя ат в
(4.10) и отбрасывая индексы /, k, п, р, получаем

R = (l/N)^am. (4.11);

В (4.11) суммирование производится по всем т, число слага-
емых равно п, причем Q^n^N. Последовательность Ат={ат},
состоящая из п символов, является одной из последовательностей
полного кода объема pN. Поэтому сумма

(4.12)
т

является одной из возможных сумм полного кода. Сумма W (4.12)
называется весом кодовой последовательности. Число всех весов
W равно pN, но число разных весов будет гораздо меньше. По-
скольку вес (4.12) и значение КФ (4.11) связаны соотношением

R= W/N, (4.13)

то знание распределения весов полного кода позволяет опреде-
лить статистические характеристики КФ. Максимальное число раз-
личных весов равно С^х+р-ъ где Стп — биномиальный коэффи-
циент.

Определим n-й начальный момент периодической КФ (ПКФ)
Rik'

1 L-lL-l Pv+N-l „

“-ix 2 S VM, (4.14)

i=0 k=0 Ц=Ц„

где L=pN — объем полного кода; суммы по / и k с множителями
1/L означают усреднение периодических КФ по всем последова-
тельностям полного кода, а сумма по р с множителем 1/N означа-
ет усреднение по сдвигам.

4—ш
Заменяя в (4.14) КФ на вес согласно формуле (4.13), получаем

™п

(4.15)

Доказано, что среднее значение ПКФ mi=0, а дисперсия

ff2= 1/N. (4.16)

Для апериодических КФ среднее значение mi=0, а дисперсия

o2 = l/2W. (4.17)

Полный код с основанием манипуляции р=2 называется пол-
ным двоичным кодом. Хотя он является частным случаем полного
произвольного кода с р>2, полный двоичный код имеет большое
значение по следующим причинам. Во-первых, многие применя-
емые системы сигналов являются двоичными — они позволяют ши-
роко использовать цифровую технику для формирования и обра-
ботки. Во-вторых, для полного двоичного кода получены некото-
рые дополнительные результаты, которые для р>2 в настоящее
время не известны.

Положим, что двоичный алфавит является мультипликативной
двоичной группой, т. е. состоит из символов 1 и —1. Поэтому сим-
волы Ojn кодовых последовательностей равны 1 или —1. Периоди-
ческая КФ содержит постоянное число слагаемых в своей сумме.
Пусть оно равно N. Произведение при любых /, k, п, р,

равно или 1, или —1. Вес кодовой последовательности (4.12) в та-
ком случае равен разности между суммой 1 и суммой —1. Пусть
число 1 в сумме (4.12) равно Q, а число —1 равно N—Q, так как
всего слагаемых в (4.12) N. В результате вес

W=2Q—N,

(4.18)

причем Q = 0, N. Если Q = 0, то W=—N, если Q=N, то W=N.
Шаг изменения веса равен 2. В соответствии с (4.13) КФ, если она
содержит N слагаемых, выражается следующим образом:

R~W/N**(2Q—N)/N. (4.191

Число кодовых последовательностей, имеющих данный вес, т. е.
заданное число 1, находится как число сочетаний из N элементов
по Q и равно CQN- Из (4.18)

rQ r0,b(N+W)

Общее число кодовых последовательностей равно 2N. Вероятность
появления кодовой последовательности с данным весом, т. е. с
заданным значением КФ,

р(1Г) = С0/(Л/+Ю2-<

(4.20)

Распределение (4.20) является биномиальным. Следует учиты-
вать только, что вес изменяется с шагом, равным 2. Так как КФ и
вес связаны соотношением (4.19), то распределение (4.20) одно-
значно определяет распределение КФ.
Так как дисперсия ПКФ равна 1/N, то биномиальное распре-
деление можно аппроксимировать нормальным

w (R) = ]/Ту/2лехр (—NR2/2). (4.21)

Соответственно для апериодических КФ приближенно можно
пользоваться нормальным распределением с дисперсией (4.17).

На рис. 4.1,а вертикальными линиями показано распределение
вероятностей p(W) для апериодических КФ. На рис. 4.1,6 верти-
кальными линиями представлено распределение весов в более
крупном масштабе. Кривые рис. 4.1,а и б изображают нормальный
закон распределения

w(W) = ' e~w,'N,

' ' Ул#

(4.22)

с дисперсией q2w—NI2. Такая дисперсия веса кодовой последова

тельности соответствует
дисперсии апериодической
КФ (4.17). Из рис. 4.1
видно, что наибольшие от-
клонения распределения ве-
роятностей р(1Г) от нор-
мального закона имеют ме-
сто в центре и на краях.
Хотя такими отклонениями
в некоторых случаях пре-
небрегать нельзя, но в боль-
шинстве случаев можно счи-
тать распределение весов

Рис. 4.1. Распределение апериодических
КФ полного двоичного кода

нормальным с плотностью вероятности (4.22). Переходя от весов
к значениям КФ, получаем

w (R) = V N/n exp(—NR*).

(4.23)

. Точное выражение распределения апериодических ВКФ полно-
го кода приведено в работе [34]:

(0,5/У2 л N exp (—R2/N) +

N—I ______

+ 5] (1/У2лпехр(—R2[n)
п=1

(4.24)

Так как среднее значение mi=0, то четвертый начальный момент
полного кода

М4= (2№—2N2 + A0/22V8.

Поскольку дисперсия равна 1/27V, то коэффициент эксцесса

у = М4/СГ4—3 = 1 — 4/N + 2/№. (4.25)

Предельное значение у=1 при АГ->оо. Таким образом, предель-
ное значение коэффициента эксцесса полного кода больше нуля.
4* 99
Положительное значение коэффициента эксцесса свидетельствует
о том, что функция распределения должна быть «обострена» в
области малых значений относительно нормального закона (дол-
жна быть больше при малых 7?) и иметь большие значения на кра-
ях (при /?-»-±1). Из рис. 4.1 видно, что характер распределения
вероятностей p(W) соответствует положительному значению коэф-
фициента эксцесса у. Таким образом, можно считать, что харак-
тер распределения вероятностей при различных N будет близок
к представленному на рис. 4.L

Среднее значение КФ полного кода равно нулю, а дисперсия
o2=l/2N. Расчеты, проведенные для различных систем сигналов,
показали, что их дисперсии близки к дисперсии полного кода. В
табл. 4.1 приведены данные для систем ФМ сигналов двух под-
классов, которые будут более подробно рассмотрены в дальней-
шем: системы Уолша (У) и производной системы (П). Число по-
следовательностей равно числу символов N и указано в первом
столбце табл. 4.1. Например, для системы У—16 #=16. и т. д.
Производная система для определенного N была получена из си-
стемы Уолша путем посимвольного перемножения каждой после-
довательности на производящую нелинейную последовательность
с тем же N.

Во втором столбце табл. 4.1 приведено предельное среднеквад-
ратическое значение о= l/]/2#, а в третьем — среднеквадратиче-
ское значение реальных систем. Сравнивая результаты второго и
третьего столбцов, видим, что они близки.

Если ввести переменную x=log2#, т. е. N=2X, то

у=>1 — 22~х + 21~2х. (4.26)

Зависимость (4.26) приведена на рис. 4.2. Точками снизу вверх
отмечены значения у для #=2, 3, 4, рассчитанные непосредствен-
но. Звездочками слева направо отмечены значения у для произ-
водных систем П-16, П-32, П-64, приведенные в четвертом столб-

Таблица 4.1. Характеристики систем ФМ
сигналов

Тип системы сигналов Предельное среднеквадра- тическое зна- чение Среднеквадра- тическое зна- чение систе- мы сигналов Коэффици- ент эксцес- са системы сигналов и Л а
У-16 0,177 0,173 6,33 15
П-16 0,177 0,171 0,35 9
У-32 0,125 0,128 4,5 31
П-32 0,125 0,123 0,64 17
У-64 0,0885 0,0885 20 63
П-64 0,0885 0,088 0,64 25

Рис. 4.2. Коэффициент эксцесса
це табл. 4.1. Как видно из рис. 4.2, коэффициент эксцесса произ-
водных систем близок к у (4.25), но все меньше, что является, не-
сомненно, достоинством таких систем сигналов по сравнению с си-
стемами Уолша, у которых 1.

4.3. Системы Уолша

Среди систем ФМ сигналов многие образованы на базе систем
Уолша.

Системам Уолша и их применению посвящено большое число
работ (см., например, [5]). Существуют различные и адекватные
определения систем Уолша. Для исследования систем Уолша с
точки зрения их корреляционных свойств целесообразно исполь-
зовать матрицы Адамара, которые определяются следующим сим-
волическим равенством:

Н2Ы —

HN HN

Hn -Hn

(4.27J.

где HN — матрица Адамара порядка N (число строк равно числу
столбцов Af), a H2N— матрица Адамара порядка 2N. Полагая
Я1 = 1, из (4.27) получаем следующие матрицы порядка 2, 4, 8:

(4.28), (4.29)

1 1 1 1 1 1 1 1
1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1
1 1 — 1 — 1 1 1 — 1 — 1
я8= 1 1 — 1 1 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 (4.30)
1 — 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1
1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 1
1 — 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1

Используя (4.27), можно найти матрицы Адамара для любого
N—2m, где т — целое число. Матрицы Адамара известны не толь-
ко порядка W=2m, но и других значений N. В основном известны
матрицы Адамара порядка кратного 4. В табл. 4.2 [14] приведены
йатрицы Адамара для Af<103 и кратных 4.

Матрицы Адамара удовлетворяют уравнению

HnHtn = NI, (4.31)

где HTN — транспонированная матрица Адамара; 1 — единичная
матрица. В (4.31) используется обычное произведение матриц.

Матрица порядка 2N может быть получена путем применения
прямого (или внешнего) произведения матриц. Если Hn и Нм —
йатрицы Адамара порядков N и М, то прямое произведение
Таблица 4.2. Параметры матриц Адамара

т = 4 = 22
т = 8 = 2?
т —12 = 114-1
/0=16 = 2*
т = 20=194-1
т = 24= 2 (111)
т = 28=3?4-1
т = 32 = 2?

т = 36 = 2(174- 1)
т= 40 = 2 (194-1)
т = 44= 434-1
т = 48 = 22’(11 4-1)
т = 52 = 2(524-1)
т= 56 = 2(3? 4-1)
т== 60 = 59 4-1
т = 64 = 2«

т = 68 = 67 4-1

т= 72 = 22 (17 4-1)
т = 76 = 2 (37-J-1)
т = 80 = 22 (19 4-1)
т = 84 = 83-|-1
т = 88 = 2 (43 4-1)
т = 92
т=96 = 23(11 4- 1)
т= 100 = 2(72-1-1)
т= 104 = 22(52 4-1)
т= 108 = 107 4-1
т= 112 = 22(3? 4-1)
т = 116
т — 120 = 2 (59 4-1)
т = 124 = 2(61 4-1)
т= 128 = 2’
т= 132= 131 4-1
т = 136 =22 (33 4-1)

т = 140 = 139 4-1
т= 144= 2» (17 4-1)
т= 148 = 2 (73 4-D
т= 152 =22(374-1)
т= 156

от = 160 = 2» (19 4-D
т = 164 = 163 4- 1
т= 168 = 2 (834-1)
т= 172

т = 176 = 22'(434-1)
т=180=2(89 4-1)
т=184

т=188

т = 192 =2? (11 4-1)
т = 196 = 2 (97 4-1)
т = 200 = 22 (72-|-1)

НыфНм —

Лц Нм Н м

ha Н т

ha Нм

... hif/Нм
... IiznHm

(4.32)

ЬщНм ЬтНм • •• IinnHm

где hjh — элементы матрицы Ня. В (4.32) каждый элемент умно-
жается на все элементы матрицы Нм по правилу умножения мат-
рицы на скаляр. Порядок матрицы Hn®Hm равен произведению
NM. Из (4.32) следует, что матрица

H2N = H2®HN. (4.33J

Формула (4.33) соответствует символическому равенству (4.27)'.

В качестве кодовых последовательностей системы Уолша мож-
но брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число кодовых
последовательностей равно порядку матрицы N. Следовательно,
объем системы Уолша равен N. Обозначать системы Уолша будем
следующим образом: например, У-8, где цифра равна объему.

Обозначим /-ю кодовую последовательность Уолша как
а ее л-й символ через Wj(n). Уравнение (4.31) определяет ортого-
нальность кодовых последовательностей Уолша, т. е. выполняет-
ся равенство

(4.34)

Для символов последовательностей Уолша используется сле-
дующее мультипликативно-двоичное представление:
S

S ai(m} [^r]

Wj(n)=(— l)m=0 , (4.35)

где

S = log2A/—1, (4.36)

[x]—целая часть x, a,(m)—двоичное представление номера по-
следовательности /. В формуле (4.35) /=0, N—1, n=0, N—1. Рас-
смотрим пример. Пусть N=8 для матрицы Адамара (4.30). В
табл. 4.3 приведены формулы для определения показателя степени
W,(n) при /=const и сами последовательности.

Таблица 4.3. Мультипликативно-двоичное представление
последовательностей Уолша

т Показатель степени п
J 0 1 2 0 ! 1 2 1 з .1 4 1 б 1 6 1 7
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 п 1 —1 1 —1 1 —1 1 —1
2 0 1 0 [п/2] 1 1 —1 —1 1 1 —1 —1
3 1 1 0 п-Нп/2] 1 —1 —1 1 1 —1 —1 1
4 0 0 1 [п/4] 1 1 1 1 —1 — 1 —1 —1
5 1 0 1 »+ [«/<1 1 1—1 i 1 —1 —1 1 1 1 —1 1
6 0 1 1 [п/2] + [п/4] 1 1 —1 —1 —1 —1 1 1
7 1 1 1 п + [п/2] + [п/4] 1 —1 — 1 1 —1 1 1 —1

В первом столбце табл. 4.3 приведены номера последователь-
ностей / в десятичном счислении, а в трех последующих столбцах —
в двоичном счислении. Номера двоичных символов т расположе-
ны в порядке возрастания разрядов слева направо так же, как и
в сумме показателя степени в (4.35). В пятом столбце приведены
формулы для нахождения показателя степени, который равен сум-
ме слагаемых вида [п/2т].

Напомним определение целой части [х]: если х=^4-г, где q —
Целое число, O^r^l, то [х]=<7. Число слагаемых в сумме равно
юз
числу единиц в двоичном представлении числа /. Для /=0 вся
сумма равна 0, для /=1 сумма равна первому слагаемому [п/2°] =
= [п]=п, для /=2 сумма равна второму слагаемому [л/2’] = [п/2]
и т. д. Вычисляя показатель степени для каждого п и возводя —1
в получаемую степень, получаем все символы НТДп), которые при-
ведены в последующих столбцах табл. 4.3. Сравнивая полученные
кодовые последовательности (строки табл. 4.3, состоящие из 1 и
—1) с кодовыми последовательностями матрицы (4.30), замечаем,
что они идентичны.

Система Уолша является группой. Доказательство следует из
представления (4.35).Произведение

S г п 1

^(п)^(л)=(-П'п==0 • (4.37)

Сумма aj(m)+ak(tn)=ai(m), где {а^т)} — некоторая последо-
вательность, принадлежащая тому же полному коду с N=const,
что и последовательности {аДт)} и {аДт)}. Следовательно, про-
изведение Wj(n)Wk(n) = Wi(n) является последовательностью Уол-

ша. Для примера в табл. 4.4 при-
ведена таблица умножения для
системы Уолша У-8.

В табл. 4.4 j и k — номера по-
следовательностей Уолша, упоря-
доченных в соответствии с табл.
4.3. Произведение двух последо-
вательностей Уолша дает новую
последовательность Уолша. На-
пример, если /=6, k = 5, то в ре-
зультате умножения получается
последовательность с номером 3.
Из табл. 4.4 следует, что ней-
тральным элементом является по-
следовательность с номером /=0,

Таблица 4.4. Групповые свойства
системы Уолша

J Последовательность Уолша при k
0 1 1 1 2 3 4 1 5 6 1 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 3 2 5 4 7 6
2 2 3 0 1 6 7 4 5
3 3 2 1 0 7 6 5 4
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 4 7 6 1 0 3 2
6 6 7 4 5 2 3 0 1
7 7 6 5 4 3 2 1 0

Рис. 4.3. Система Уолша
состоящая из одних единиц, а обратными элементами являются
сами элементы.

Так как система Уолша является подклассом полного двоич-
ного кода объемом L=2-v и в то же время она является группой,
то она есть подгруппа полного кода. В результате полный двоич-
ный код может быть разложен по системе Уолша. Например, пусть
N=4. Полный код имеет объем 24=16. Пронумеруем все после-
довательности полного кода номерами от 0 до 15. Последователь-
ности Уолша имеют номера 0, 3, 5, 6. Одно из возможных разло-
жений полного кода имеет следующий вид:

0 3 5 6

12 4 7

15 12 10 9

14 13 11 8.

(4.38)

В (4.38) верхняя строка представляет собой систему Уолша,
а остальные строки — смежные классы. В соответствии с класси-
фикацией систем сигналов каждая строка — подкласс полного ко-
да. Выбор образующих определяет свойства подкласса. Число сме-
жных классов, включая систему Уолша, равно 2N/N. Так как N=2,
где п — целое число, то число смежных классов равно 2N~n.

На рис. 4.3 приведены кодовые последовательности У-8, упоря-
доченные по числу блоков р, а р,= 1,№ На рис. 4.3 справа указа-
ны число блоков ц и номер последовательности / в соответствии с
табл. 4.3. Для системы Уолша характерно то, что число блоков в
оследовательностях изменяется от 1 до N. Поэтому система Уол-
ша должна обладать плохими корреляционными свойствами, так
как у большинства последовательностей число блоков далеко от
оптимального. Это подтверждается тем, что большинство АКФ и
ВКФ последовательностей Уолша имеют большие боковые пики
(см., например, табл. 4.1).

Известно, что спектры сигналов Уолша сдвинуты относительно
друг друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положе-
нием максимума спектральной плотности мощности, так и эффек-
тивной шириной спектра. Чем больше число блоков ц, тем больше
сдвиг спектра. Если обратиться к спектру кодовой последователь-
ности (3.9), то можно показать, что спектр кодовой последователь-
ности с |л= 1 имеет максимум при ®=0, а спектр кодовой после-
довательности с ц=У имеет максимум при <в=л/то. Оба макси-
мума равны № Соответственно максимум спектральной плотности
мощности равен №. У остальных последовательностей максимумы
спектров лежат между значениями <в=0 и ®=л/то. При исследо-
вании спектральных свойств системы Уолша целесообразно ис-
пользовать двоичное (или диадное) упорядочение кодовых после-
довательностей. Это показано в табл. 4.5.

В первом столбце табл. 4.5 дан номер последовательности в
десятичной системе счисления, а в трех последующих — в двоич-
ной системе. Кодовые последовательности {£>&(«)} содержат ;млад-
Н1йй разряд справа, а число символов в них равно 1о£г№ В пятом.
Таблица 4.5. Диадное представление системы Уолша

столбце указано число блоков ц, а в шестом — номер /— строки
матрицы Адамара, приведенной в табл. 4.3. Используя последова-
тельности {bh(n)}, можно представить спектр кодовой последо-
вательности Hk(x) в следующем виде:

(х) == П 11 + (-1 )bft(n> exp (- i 2" х)], (4.39)

и=0

где S определено (4.36). Подставляя {bh(n)} в (4.39), можно най-
ти спектры кодовых последовательностей Уолша.

Сигналы Уолша рис. 4.3 имеют много общего с тригонометри-
ческими функциями. Особенно это видно при сравнении положе-
ний нулей спектров сигналов Уолша и нулей спектров тригономе-
трических функций. Общность между ними подчеркивалась неод-
нократно. В отличие от тригонометрических функций, сигналы
Уолша позволяют широко и просто использовать цифровую тех-
нику при формировании и обработке, что делает их перспектив-
ными. Как было отмечено корреляционные свойства систем Уолша
нельзя признать удовлетворительными. Но на базе систем Уолша
можно строить производные системы сигналов, которые обладают
хорошими корреляционными свойствами. Производные системы
будут рассмотрены в дальнейшем.

4.4. Коды Велти. Четверичные коды

Они известны двух видов: D-коды и £-коды.

D-коды. Их построение основано на использовании правила присоединения
(см. § 3.6). Обозначим i-ю последовательность <£)нкода порядка k как

(4.40)

Здесь длина последовательности N и ее порядок k связаны соотношением
W=2ft; номер символа изменяется в пределах л=1, 2, ..., JV; а номер последо-
вательности 1=0, 1, ..., #—1.

Число последовательностей, по определению, равно числу символов в по-
следовательности, т. е. N=2*. Введем последовательность { дополнитель-
ную для {d\}. Тогда правило образования D-кода с помощью правила присое-
динения (3.70) записывается как

при i = 0, 1......... 2*-’ —1, (4.41)
или как

{d?}={d^-ll'2zZW при ‘‘ = 2А-1...., 2ft—1.

(4.42)

Последовательности {dki}t называются парными (а как будет видно из
дальнейшего, они являются дополнительными), если |/—Например,
если k—2f i=l, то /=3.

Использование правил (4.41), (4.42) проиллюстрируем на примерах. В ка-
честве исходных возьмем дополнительные последовательности для £ = 1. Пола-
гая {d°o} = l, согласно (4.41), (4.42) имеем

= 1,1 1

(4.43)
= 1, —-1J

Отметим, что последовательности (4.43) являются дополнительными и пар-
ными, т. е. можно записать, что {510} = {t/1i} и {51i} = {d10}.

Введем обозначение символов а=1, р =—1. Для этих символов правило
умножения определяется табл. 4.6.

Используя указанные обозначения, из (4.43) получаем

dg) = а, а, |

d}} = a, р. J

Пусть 6=2. Согласно (4.41), (4.42) находим, что

{ rfo) = {4 (Зо} = { do pl}=a- <*• a- Р:

{dfj = {d;|3‘}={d;|4} = a, Р, а, а:

{*2} = И|-“о}==и|-4} = «. «• ₽> а:

{ ~ { ^11 rfi1}=={rfl| ^о} = а В. Р. Р-

При построении последних равенств в (4.45) знак минус

епределялся согласно табл. 4.6: —a=pa = p и —p=pf = a, т. е. операция ум-
ножения символов а, р на —1 эквивалентна умножению на р.

Аналогично, при £=3

{ do} — { pg} — { dg | = a, a, a, P, a, a, P, a:

{di} = {dl Pi} = {414} = a- P- a- a- a- P- P- P;

{ d^} ~ { d2 Pl} == { dl Ho} = a> P> a> a> a’ a> P>

{^}= { d3 рз} = {d31 di} = “• P- P- P- «. p. a-

(4.46)

{4} = {4|— d5} = {do|—d2}=a- a. P. P. P, a. P;

{4}={4| — —йз} = а> P- a- a> P> a, a;

(4}={4}-^}={^|-^}^а> a P. a, p P, P, a:

{'4}={4|-2з2} = {4|-^=а' P- P- P- a- P- P-

(4.44),

(4-45)

перед d\ и d'o
Таблица 4.6. Правило умножения D-кода Для других значений k метод по- строения D-кода аналогичен рассмотрен-
X а ₽ ному в примерах. Из рассмотрения кодов (4.44) ... ... (4.46) следует, что парные последова- тельности являются дополнительными. Например, при Л=2 последовательности {d%} и {d2z} являются парными. Но {Л}={^о IdM, a {d4}= {d4o |-ЛЬ т. е. они соответствуют правилу присое-
а 1 —1
р —1 1
динения (3.70). Следовательно, они яв- ляются дополнительными. Из рассмот- ренных примеров видно также, что 2* по-

следовательностей D-кода можно представить в виде 2Ь~4 пар дополнительных
последовательностей. Обозначив через {dk} и {dk} произвольную пару дополни-
тельных последовательностей, согласно правилу присоединения при опускании ин-
декса i правило образования D-кода можно записать как:

(4.47)

{d*l d*},
d*l — dk

{d*l dk],
{3*1—d*}.

Если произвести операцию (4.47) для всех пар дополнительных последова-
тельностей порядка k, то получим те же последовательности порядка &4-1, что
и при использовании правил (3.72), (3.73). Однако чередование последователь-
ностей (по номеру i) будет несколько иным, чем при использовании правил
(4.41), (4.42). Поскольку каждая пара порождает четыре новые последователь-
ности, то общее число последовательностей равно 2*+l.

Последовательности, образующие D-код, взаимно-ортогональны. Условие
ортогональности двух последовательностей записывается в виде

*2k _________

2 dknt{dkn>J=O для f, / = 0, 2*-1. (4.48)

П=1

Правило построения D-кода (4.47) во многом похоже на правило построе-
ния систем Уолша (4.27) на основе матриц Адамара. Оно позволяет построить
систему сигналов из 2/V последовательностей длины 2N, т. е. объем системы ра-
вен длине последовательности. В состав такой системы входят W пар дополни-
тельных последовательностей. Предложены и другие методы построения D-ко-
дов [36], в том числе и с использованием многофазных сигналов в качестве ис-
ходных [37].

Корреляционные свойства D-кода. Рассмотрим D-код порядка &+1, каждая
последовательность которого представляет комбинацию двух дополнительных
последовательностей кода порядка Л, т. е. имеет место одна из комбинаций
(4.47).

Можно показать, что АКФ любой последовательности D-кода при четных
-сдвигах равна нулю, т. е.

Я(н)=»0 при ц=2/, 2... (4.49)
При нечетных р, значение i/?(|i) <1/2, так как при |x<iV оно определяется
суммой, число слагаемых которой равно ц. Если все слагаемые входят в сум-
му с одинаковым знаком, то #(p,)=p,/2W при 0<p<Af.

При максимальное значение #(р,)=1(2ЛГ—ц)/2#. Следовательно, мак-
симально возможное значение бокового пика АКФ дополнительной после-
довательности равно 0,5, при этом Расчеты показывают, что это значение
практически не достигается.

Значения АКФ при нечетных р, определяются произведениями символов
вида номера которых подчиняются следующему условию: если п —

четное (нечетное) число, то (п—р,) — нечетное (четное). Это означает, что
при нечетном р, всегда представляет произведение четного символа на
нечетный. Если для нечетного р, выполняется равенство

dnd„-u = 0, (4.50)

то /?(р.) — 0 и для нечетных р,. Отметим, что условие (4.50) является основным
в определении четверичных или Е-кодов [35].

Относительно взаимокорреляционных свойств пар дополнительных последо-
вательностей можно утверждать, что они будут лучше, чем у случайных после-
довательностей. Обратимся к равенству Сталдера-Кана (2.40), которое для ФМ
сигналов имеет следующий вид:

7V-1 дг-1

S' */*(н)= s ^(н)^(р). (4.51)

Ц=-(АГ-1) ц=-(ЛГ-1)

Поскольку для дополнительных последовательностей имеет место равенство
(3.64), то произведения АКФ в правой части (4.51) равны 1 при р=0 и
—/?2Др.) при р,¥=0, так как /?j(p) =— #л(р) при р,У=0. Подставляя эти соот-
ношения в (4.51), получаем

N—l N—1

S = 2 rf(p). (4.52)

ц=-(лг-1) ц=1

Так как второе слагаемое в правой части (4.52) всегда больше нуля, то поэто-
му сумма квадратов значений ВКФ всегда принимает минимальное значение
только для дополнительных последовательностей. Если положить, что среднеквадра-
тическое значение АКФ равно 1/У2М и учесть соотношение (4.49), то средне-
квадратическое значение ВКФ дополнительных последовательностей

«вкфо=1/2У^ (4.53)

т. е. в У 2 раз меньше, чем у случайных последовательностей.

Е-код. Если определен D-код, то Е-код определяется через него следующим
образом: символ последовательности {е\} связывается с символом dKn,i
последовательности {dht} соотношением

dhn,i1 если п — нечетное число,

?kn i== у, если п — четное число, dftn,i = a, (4.54>

6, если п — четное число, dknti — ^.
Правила умножения символов а, Р, у, 6 приведены в табл» 4.7. Напри-
мер, для последовательности {^Зо} = а, а, а, р, а, а, р, а, согласно (4.54)
{е30} = а, у, а, б, а, у» Р» Y- АКФ каждой последовательности Е-кода при т=рто

Я(ц) = 0 для ц=1, 2, 3..........2*. (4.55)

При четном р соотношение (4.55) обусловлено свойствами АКФ D-кода
(4.49), поскольку произведения вида определяются элементами оф

и уб в тех квадрантах табл. 4.7, в которых эти элементы отличны от нуля. При
нечетном р эти произведения равны нулю аналогично (4.50), так как они оп-
ределяются элементами квадрантов, равными нулю. Отметим, что ВКФ пары
дополнительных последовательностей Е-кода равна нулю при всех значениях
р, удовлетворяющих условию —2ft^p^2k.

Таблица 4.7. Правило Таблица 4.8. Правило умножения

умножения Е-кода Е-кода (неортогональность)

X ОС 0 V б X а 0 V б
а 1 —1 0 0 а 1 —1 8 —8
1* 1 1 0 0 р —1 1 —8 8
0 0 1 —1 Y V —V 1 —1
а 0 0 —1 1 б —V V —1 1

В некоторых случаях при перемножении четных и нечетных символов Е-ко-
да получить полную ортогональность нельзя. Тогда правило умножения будет
отлично от идеального, приведенного в табл. 4.7. Неидеальное правило умно-
ножения приведено в табл. 4.8.

Оценка для /?(р) [35] в этом случае определяется как

Я(Р)^

у (vET^ + eHT-1) при 1*=1. 3... . 2к ! —1,
/V \ J

1 Г 1 р—1 \ , (ль_1 р + Щ

тН 2 )+Ч2 V)]

при р = 2k~1 + L • • •» 2* — 1.

(4.56)

Необходимо отметить, что последовательности D-кода и Е-кода получили, в
цервую очередь, применение в радиолокации. Но в настоящее время их исполь-
зуют и в системах связи [38]. Они могут найти также применение и в качест-
ве исходных систем при построении производных систем сигналов.

4.5. Производные системы сигналов

Производным сигналом называется сигнал, который получается в резуль-
тате перемножения двух сигналов. В случае ФМ сигналов перемножение долж-
но осуществляется поэлементно или, как чаще называют, посимвольно. Систе-
ма, составленная из производных сигналов, называется производной. Среди
производных систем особое значение имеют системы, построенные следующим
образом. В качестве основы используется некоторая система сигналов, корреля-
ционные свойства которой не вполне удовлетворяют требованиям к КФ, но ко-
торая обладает определенными преимуществами с точки зрения простоты фор-
мирования и обработки. Такая система называется исходной. Затем выбирается
сигнал, который обладает определенными свойствами. Такой сигнал называется
производящим. Умножая производящий сигнал на каждый сигнал исходной
системы, получаем производную систему. Производящий сигнал следует выби-
рать так, чтобы производная система была действительно лучше исходной, т. е.
чтобы она обладала хорошими корреляционными свойствами. Комплексная оги-
бающая производного сигнала (0 равна произведению комплексных огиба-
ющих исходных сигналов Um(t) и производящего сигнала V (/), т, е,

=£/TO(/)V(l(0. (4.571

Если индексы в (4.57) изменяются в пределах m=l, М, т=\, Н, то объ-
ем производной системы сигналов

L = MH- (4.58)

Если M=H=N — базе ФМ сигнала, то объем L=N2, т. е. полученная система
сигналов будет относиться к большим системам. При построении произвольных
систем необходимо знать их корреляционные свойства. Положим, что энергии
исходных, производящих и производных сигналов равны, что всегда имеет мес-
то для ФМ сигналов одинаковой длительности. Для таких сигналов известны
интегральные соотношения (см., например, [5]):

для ВКФ (Т) = (Т/2л) jRmn (т, — Я) R^ (т, Я) d Я;

для АКФ Q(t) = (T/2n) f Rv(r, —Я)/?г(т, Q)dQ,

(4.59)

(4.60)

где Qt*vmn(r) — ВКФ,
Rmn(r, Я) -ВФН,
^v(t, Я)-ВФН,

Q(t) —АКФ производных сигналов:
Ruin, Q) — ФН исходных сигналов;
/?г(т, Q) — ФН производных сигналов.

Интегрирование производится по частоте Доплера, т. е. корреляционные свой-
ства производных сигналов зависят от свойств исходных и производящих сиг-
налов на частотно-временной плоскости. Из (4.59), (4.60) можно найти следу-
ющие оценки

для ВКФ: Qnvmn(T)^(T/2n) j/j|/?m»(r, -Я)|2dQ||/?gv (т, Я|2<ГЯ;

(4.61)

для АКФ: Q(t)<(T/2n) 1/j |/?Р(т, —Я)|МЯ j |7?у(т, Я)|2</Я.
г Ф Ф

(4.62)

Оценки (4.61), (4.62) во многом зависят от соотношения ширины ВКФ ис-
ходных и производящих сигналов вдоль оси доплеровских частот, т. е. от зна-
чения ширины интервала интегрирования Ф. Широкополосный производящий
сигнал соответствует получению производной системы сигналов из системы
Уолша, а узкополосный производящий сигнал — системе, состоящей -из сегмен-
тов М -последовательности.

Широкополосный производящий сигнал. Пусть исходные и производящие
сигналы имеют одинаковую длительность Т и различные по ширине спектры.
Обозначим ширину спектра исходных сигналов через Fu, а производящих сиг-
налов— через Гу, причем положим, что F?>Fu. Пусть все сигналы имеют
прямоугольные огибающие, a |V|=1.

Допустим, что ВФН исходных и производящих сигналов равномерно рас-
пределены на плоскости (т, Q). Тогда согласно (2.35) среднеквадратические
значения ВФН

Ц«тп = = 1/2Г^. (463)

Так как Fv>Fu, то ширина ВФН исходных сигналов по оси Q меньше ши-
рины ВФН производящих сигналов и поэтому Ф=4лГс;. Заменяя в (4.61)
|/?тп(т, —х) | и |/?и (т, х)| их среднеквадратическими значениями, полу-
чаем

(4.64)

Из неравенства (4.64) следует, что значения ВКФ производных сигналов
при произвольном аргументе т меньше или равны О.Б']/ Fu/Fv. Это означает,
что и максимальные пики ВКФ будут меньше этого значения. Следовательно,
для уменьшения максимальных пиков ВКФ необходимо увеличивать ширину
спектра производящего сигнала. Такой результат является следствием предпо-
ложения о равномерном распределении боковых пиков ВФН производящих сиг-
налов на плоскости (т, Q) в пределах полосы частот ±FV. Из (4.64) следует,
что метод перемножения сигналов приводит к уменьшению боковых пиков ВКФ
производных сигналов, если только база производящих сигналов FVT больше
базы исходных сигналов настолько, 4to"J/FyT>FvT.

Уменьшение максимальных пиков ВКФ. Соотношения (4.59)...(4.62) позво-
ляют обосновать метод уменьшения максимальных пиков ВКФ. Допустим, что
ВФН исходных сигналов занимают полосу Ф, ширина которой по оси частот
мала. Так, например, если исходные сигналы близки к простым (FuT^l), то
Ф«4л/7\

Можно допустить, что вне этой полосы ВФН исходных сигналов стремятся
к нулю. В этом случае из неравенства (4.61), (4.62) следует, что необходимо как
можно сильнее уменьшать значения ФН производящего сигнала в той полосе,
где сосредоточены ВФН исходных сигналов. Если в соответствии с (4.64) для
получения QhvwZ<^1 имеет место неравенство

F„ » Fy , (4.65)

то полоса частот ширины Ф=4лГ1; будет узкой по сравнению с шириной ФН
производящего сигнала по оси частот. Причем эта полоса Ф является централь-
ной временной полосой. Поскольку в узкой центральной временной полосе бо-
ковые пики близки к боковым пикам вдоль оси времени т при П=0, то в каче-
стве производящего сигнала следует выбирать такой, у которого АКФ имеет ми-
нимальные боковые пики. Естественно, что при этом должно выполняться ус-
ловие (4.65).
Таким образом, чтобы правые части неравенств (4.61), (4.62) были умень-
шены, необходимыми и достаточными условиями являются выполнение нера-
венства (4.65) и малость боковых пиков АКФ производящих сигналов. Левые
части неравенств (4.61), (4.62) представляют мгновенные значения ВКФ и АКФ
при различных т, причем эти неравенства дают верхнюю оценку указанных
функций. Изменяя т, можно пройти все боковые пики, в том числе и макси-
мальные. Поэтому (4.61), (4.62) включают оценки и максимальных боковых пи-
ков. Следовательно, уменьшение правых частей неравенств (4.61), (4.62) при-
ведет к уменьшению максимальных боковых пиков ВКФ.

Выбор производящих сигналов. Из предыдущего материала следует, что вы-
бор производящих сигналов определяется рядом факторов, в том числе и исходной
системой. Если сигналы исходной системы широкополосные, то производящий
сигнал может быть широкополосным и иметь малые уровни боковых пиков
ФН, близкие к среднеквадратическому значению (4.63). Если же сигналы ис-
ходной системы узкополосные, то достаточно выполнения неравенства (4.65) и
требования малости боковых пиков АКФ.

Возьмем в качестве исходной систему Уолша. В этом случае производящие
сигналы должны быть широкополосными (4.65) и иметь хорошие АКФ. Кроме
того, производящий сигнал должен иметь столько же элементов, что и исход-
ные сигналы, т. е. число элементов W=2ft, где k — целое число. Этим условиям
в целом удовлетворяют нелинейные последовательности. Поскольку основным
является требование малости боковых пиков АКФ, то в классе нелинейных по-
следовательностей были отобраны наилучшие сигналы с числом элементов
N=16, 32, 64. Эти сигналы показаны на рис. 4.4. На рис. 4.4 указаны также

Рис. 4.4. Производящие ФМ сигналы

значения числа блоков р для каждого производящего сигнала. Они близки к
оптимальному значению Цо= (АГ+1)/2. Это и является необходимым условием
получения хорошей АКФ с малыми боковыми пиками.

Свойства производной системы. Объем производной системы равен объему
системы Уолша ¥. С помощью ЭВМ были рассчитаны все КФ большого чис-
ла производных сигналов. Оказалось, что системы, производящие сигналы кото-
рых изображены на рис. 4.4, являются типичными. Статистические характери-
стики таких производных систем (П) были приведены в табл. 4.1, причем там
же для сравнения даны характеристики систем Уолша (У).

Из табл. 4.1 следует, что среднеквадратические значения КФ обеих систем
близки к значению 1Д/2#, а коэффициенты эксцесса различаются значительно.
Для производных систем коэффициент эксцесса гораздо меньше коэффициента
эксцесса систем Уолша. Оценим увеличение вероятности ошибки из-за наличия
коэффициента эксцесса. Увеличение вероятности ошибки приближенно пропор-
ционально множителю а=1+у/24п3о4. Полагая о2=1/2#, а число «="[/#, по-
лучаем а—1+y^N/G. При N =64 для системы Уолша а«27, а для производ-
ной системы а «2. Следовательно, вероятность ошибки при использовании си-
стемы Уолша будет на порядок выше, чем в случае производной системы.

Большое значение коэффициента эксцесса систем Уолша объясняется на-
личием больших боковых пиков КФ. Для таких систем ненормированное зна-
чение максимального пика Vmai=^—1, а нормированное /?тах=1—1/#. Зна-
чения Утах приведены в пятом столбце табл. 4.1. Отметим, что для производ-
ных систем максимальный пик близок к утроенному среднеквадратическому
значению. Имеем

Ут.^ЗУЖ /?mai«3/V2A?. (4.66)

Для #=16 Vmax«9, для N=32 Утах~ 12, а для #=64 Утах = 17. Данные
пятого столбца табл. 4.1 близки к этим значениям.

Из данного пункта следует, что производные системы обладают лучшими
корреляционными свойствами, чем системы Уолша.

4.6. Сегментные системы

Сегментными называются системы, образованные из сегментов (отрезков)
^-последовательностей. Сегментная система является производной, так как
выделение сегмента из ^-последовательности эквивалентно применению узкопо-
лосного производящего сигнала — простого сигнала с прямоугольной огибаю-
щей, длительность которого равна длительности сегмента. Одной из первых
работ, в которой указывалось применение сегментных систем, была [39]. М-по-
следовательность с числом символов #=217—1 = 131071 разбивалась на непере-
крывающиеся сегменты с длиной Nq=63 символам. Было получено 2080 сегмен-
тов, из которых с помощью ЭВМ было отобрано £=1000 сегментов, ВКФ кото-
рых не превышали 0,25.

Методика определения чисел #, #о, £о и их взаимосвязь с ВКФ приведе-
на в [5]. Обозначим комплексную огибающую исходного сигнала U(t), а оги-
бающую производящего сигнала У(/). Допустим, что

U (0=1 при 0</<Т; У (0=1 при 0</<Тв, (4.67), (4.68)

а вне указанных отрезков U(t)=G и У(0=0. Кроме того, допустим, что дли-
тельность производящего сигнала То меньше длительности исходного сигнала Г,
т. е. Т0<Т. Назовем р-м сегментом производный сигнал вида

$р(0 = г/(/ + 0>)У(0, (4.69)

причем Sp(t) расположен на отрезке [0, То] и вырезается из исходного, сиг-
нала на отрезке [/р, /Р + То]. Последовательность сегментов {S?}, р=1, А, об-
разует систему сигналов.
ВФН сегментов Sp(t) и Sq(t) записывается в следующем виде

1 ОО

Qpg (т, Й) = — f Sp (t) *S, (t—т) exp (i Й t) dt, (4.70)

О -““OO

где Es — энергия сегментов. Обозначая ФН исходного и производящего сигна-
ла, получаем

^1/(Ь О) = -Л- T)exp(iQ0<tt, (4.71)

—ОО

1 °° ♦

Rv (т, й) = — f V (t) V (t—т) exp (i Й t) dt, (4.72)

a Eu, Ey — энергии этих сигналов. Из формулы (4.70), используя (4.71), (4.72),
получаем ВКФ:

Ср3(т)=р J Rv (т + ^р —/д, Q) exp (— iQ/p)fy(T, —Q)dQ, (4.73)

—oo
где p2=EuEv/3iEs.

Отметим особенности полученного выражения. Значение ВКФ при задан-
ном т определяется интегралом от произведения частотных сечений ФН исход-
ного и производящего сигналов (Ru и Rv), а также экспоненты ехр(—ifi/₽).
Из-за того, что разным сегментам соответствуют различные сдвиги tp, ВКФ за-
висит как от значения tp в показателе экспоненты, так и от разности tp—tq в
ФН Ru. Поскольку для p^q разность tp—tq^=Q, положения центров ФН, где
iRu = l и /?у = 1, не совпадают. Более того, так как /?у=0 лишь при т^То, то
если tp—tq>T0, центр ФН Ru не попадает в полосу, занимаемую ФН Rv. Это
означает, что в подынтегральном выражении (4.73) Ru не достигает своего
максимального значения, равного единице. Сегменты с tp—tq^Tq будут неперек-
рывающимися. Причем, если tP—tq>T9i то сегменты называются разнесенными, а
с tP—tq = Tq — примыкающими. Если tp— tq<TQt то сегменты будут перекрыва-
ющимися.

Из (4.73) получаем

Стах Р J I ^)||^у('г> —Q)|rfQ, (4.74)

—об

т. е. определенное таким образом максимальное значение ВКФ зависит толь-
ко от разности tp—tq. Следовательно, максимальные значения ВКФ сегментов
с tp—tq=c.onsi зависят лищь от одной полосы ФН Ru-

Корреляционные свойства неперекрывающихся сегментов. Анализ корреля-
ционных свойств сегментов, выделяемых из ЛГ-последовательности, показывает,
что для них справедлива оценка

Qp<i№*RuN/N9> (4.75)

где Ru —максимальное эффективное значение боковых пиков М-последователь-
ности. Полагая Ru=lf\/ 2N, из (4.75) имеем

Qpq (т) ~ УлГ/У2Х = а УОУ0, <4-76>

где а=1/У2. Отметим, что при выводе (4.76) нигде не была оговорена дли-
115
тельность сегмента Tq—NqIq. Следовательно, оценка (4.76) приближенно спра-
ведлива как для длинных сегментов (Wo>1/Af/2), так и для коротких
(JVo<VW2). При коротких сегментах оценка (4.76) становится более точной.
Однако при этом Qpq(r) меньше величины, которая в свою очередь больше
единицы. Так как Qpgmax(x)<l, то полученный результат свидетельствует о
том, что среди коротких сегментов обязательно будут такие, у которых уро-
вень ВКФ будет соизмерим с единицей. При N0>l/N/2 значения ВКФ меньше
единицы. Поэтому при таком выборе длины сегмента можно быть уверенным,
что ВКФ будут малыми. Для уменьшения значений ВКФ необходимо так вы-
бирать ^-последовательность, чтобы ее АКФ имела малые боковые пики.

Для примыкающих сегментов tp—tq — Tq. Число таких сегментов (т. е. чис-
ло сигналов в системе)

L = N/NQ. (4.77)

Обычно из условий применения системы сигналов задается либо максималь-
ное значение, либо эффективное значение ВКФ сигналов (либо то и другое
вместе). Поэтому, полагая, что Qpg(x)^Q=const, из (4.76) и (4.77) имеем

JV0=a|/iv7Q; L — QYVla. (4.78), (4.79)

Например, если N= 131071, Q=0,25, а= 1/1/2, то N»<= 1020, а 1=127. Если же
<3=0,4, то АГо=255О, 1=51.

Корреляционные свойства перекрывающихся сегментов. Для перекрываю-
щихся сегментов разность задержек /д = Тв—нД7\ где ДГ=ДМго>О. В этом
случае приближенная оценка ВКФ

СИ(*МВД (4.80)

Допустимое перекрытие сегментов определяется согласно (4.73) при Qe=s
= Q. В этом случае

= ^al/лГ. (4.81)

Если заданы Q=Q0 и N, то длительность сегментов определяется формулой
(4.78) , а число сегментов

L = N/(Nt—AJV) = QT/iv7a(l— Q), (4.82)

т. е. по сравнению с (4.79) увеличилось в (1—Q)"1 раз. Например, если #==
= 131071, то при Q=0,25, a=l/"|/2 число сегментов £=17Ю, а при Q=0,l оно
равно L—57. Следовательно, перекрытие сегментов увеличивает их число при
том же значении ВКФ.

Оценка максимальных боковых пиков. Для получения более точной оценки
максимальных боковых пиков ВКФ сегментов было использовано циклическое
свойство ^-последовательностей, заключающееся в том, что сумма по mod 2
двух одинаковых ^-последовательностей, сдвинутых относительно друг друга,
является той же ^-последовательностью, но имеющей иной сдвиг во времени.
Из этого свойства следует, что сумма двух сегментов А4-последовательиости
является сегментом той же ^-последовательности, но с произвольным сдвигом.
Была найдена верхняя оценка максимальных боковых пиков ВКФ сегментов
А4-последовательностей

Qmax<1.261/jV/N.. (4.83)
Эта оценка примерно в 1,77 раза превышает приближенную оценку (4.76),
т. е. в этом случае коэффициент <х=1,26. Следует отметить, что верхняя оцен-
ка (4.83) встречается очень редко. Для большинства рассмотренных Л4-последо-
вательностей

(4.84J
что в Д/ 2 раз превышает оценку (4,76). При этом коэффициент а=1. Расчет
длины сегментов, их перекрытия и числа сегментов при использовании оценок
(4.83), (4.84) следует вести по формулам (4.78), (4.81), (4.82) с учетом зна-
чения коэффициента а.

Примеры расчета длинных сегментов. Приведем характеристики двух систем-
сигналов, являющихся сегментами Af-последовательностей с числом символов
#=255 (характеристический многочлен х8+х5+х34-х-Н) и #=511 (характери-
стический многочлен х9+х4+1). Предварительно были определены все веса про-
извольных сегментов, в результате чего уточнены коэффициенты а. Оказалось,
что для М-последовательности с #=255 коэффициент а«0,81, а для #=511
а «1,06. Для заданных Q (при #=255, Q=0,4 см. табл. 4.9, а при #=511, Q=
=0,3 см. табл. 4.10) и уточненных коэффициентах а были вычислены длина сег-
ментов #0, их перекрытие Д# и число сегментов L. Эти величи-
ны приведены в табл. 4.9, 4.10 на. первых строках. Затем в соответст-
вии с полученными #© и Д# исходные ЛГ-последовательности разби-
вались на сегменты, причем с произвольным началом первого сегмента.

С помощью ЭВМ были найдены ВКФ сегментов. Оказалось, что значения
ВКФ не превосходят заданного значения Q.

На строках 2, 3, 4 табл. 4.9, 4.10 приведены значения #♦, Д#, L для а,
соответствующих приведенным ранее оценкам: а=0,71 = 1/^2 соответствует
оценке (4.76), а=*1 — оценке (4.84), а=1,26 — верхней оценке (4.83). Как вид-
но из табл. 4.9, 4.10, расчетные значения #©, Д#, L первых строк лежат между
значениями, соответствующими а = 0,71 и а=1,26. Таким образом, расчет ха-
рактеристик сегментов по формулам (4.78), (4.81), (4.82) при а=0,71 и а=
= 1,26 укажет границы, в пределах которых будут лежать характеристики сег-
ментов. Поскольку <х=1 близко к среднеарифметическому значению указанных
а, то расчет характеристик при а=1 даст результаты, близкие к реальным.

Таблица 4.9. Характеристики сегментов Таблица 4.10. Характеристики сегментов
а N. AN L а N* AL L
0,81 33 11 12 1,06 80 24 9
0,71 28 11 15 0,71 54 16 14
1,00 40 16 И 1,00 76 23 10
1,26 51 20 8 1,26 96 29 8

4.7. Циклические системы

Допустим, что имеются две кодовые последовательности {X(v)} и {B(v)J,
где v — номер элемента. Положим, что v = 0, #—1 и символы этих последова-
тельностей, X(v), B(v) принадлежат мультипликативной комплексно-сопряжен -
ной ручной группе. Если р>2, то будем называть сигнал многофазным. Ко-
довым последовательностям {A(v)}, {B(v)} можно поставить в однозначное
соответствие кодовые последовательности {a(v)}, {6(v)}, символы которых
a(v) и Ь(у) принадлежат аддитивным р-ичным группам. При р=2 символами
последовательностей {A(v)}» {B(v)} являются 1 и —1, а символами последо-
вательностей {a(v)}, {b(v)}—0 и 1 Образование КФ сводится к перемноже-
нию символов A(v) и B(v), где * — знак комплексной сопряженности с по-
следующим суммированием. При переходе к символам a(v), b(y) КФ опреде-
ляется через разности этих символов по modp.

Для построения циклической системы ФМ сигналов надо выбрать кодовые
последовательности {a(v)}, {6(v)}, обладающие следующим циклическим свой-
ством: разность по mod р кодовой последовательности {a(v)} и ее циклической
перестановки {a(v+p)} является другой циклической перестановкой {a(v+X)}
исходной кодовой последовательности, т. е.

{a(v)} — {av + |O = {a(v + X)}r (4.85]

где Х^О и Хч^ц (modp). Циклические перестановки получаются так: исходная
кодовая последовательность {a(v)}, где v=0, N—lf продолжается периодиче-
ски, т. е. записывается в виде бесконечной последовательности ... a(N—2),
a(N— 1), а(0), а(1) ... a(v), ..., а(р), ..., a(N—2),-а(М-н1), а(0), а(1) ...

Исходная последовательность {a(v)} начинается с символа а(0) и закан-
чивается символом a(N—-1). Циклическая перестановка {a(v+p)} начинается
с символа п(р) при v=0 и заканчивается символом а(р+#—1) при v==W—1.

Аналогично (4.85) определяется циклическое свойство последовательности
{b(v)}, а именно:

{b (v)} — {b (v + Н)> = {* (v + X)}. (4.86)

Равенства (4.85), (4.86) выполняются для М-последовательностей в соот-
ветствии с аддитивно-циклическим свойством и для последовательностей, по-
строенных по правилу

a (v) вг av (mod р), (4.8.7)

где a — первообразный корень уравнения xN—1=8,

p = ]V-j-l (4.88)

и является простым числом, v=0, N—,1. Для последовательностей вида (4.87)

a (v) —a (v + р) = av (1 —ац), (4.89)

р = ТГлГ=Ъ

Так как a — первообразный корень, то l = a® = ax и поэтому а^1 при р=
= 1, N—1. Следовательно, l-an^a\ где Х^р, и из (4.89) имеем

a (v)—a (v + р) = a vaA = av+A = a (v -f- X), (4.90)

что и определяет равенство (4.85). Пусть последовательности {a(v)} и {&(v)}
обладают циклическим свойством (4.85), (4.86). Циклическая система [17] со-
стоит из последовательностей {c>(v)}, где /=0, N—1, символы которых опре-
деляются равенством

Q (v) = a (v)—b (v + /), (4.91)
v=0, N—1. Каждая последовательность циклической системы равна разност»
между последовательностью {a(v)} и циклической перестановкой {6(v+/)} т. е<

{c/(v)} = {a(v)} — {b(v + /)}. (4.92}

Можно доказать, что последовательности системы (4.92) являются симп-
лексными. Отметим, что циклические системы являются производными, так как.
система последовательностей {b(y+j)} является исходной, а последователь-
ность {a (v)} — производящей.

Корреляционные функции циклических систем. Поскольку символы Cj по-
следовательностей {cj(v)} относятся к мультипликативной группе, то взаимо»
корреляционная функция (ВКФ) определяется следующим образом:

RikW = — exp|i—(Q(v + %)—(4.93>

Используя свойства образующих последовательностей {a(v)}, {6(v)J (4.85) >
(4.86) и определение (4.91), запишем

^(v + X) — ck (v) = a(v + X)—b(v + j + l)—a(v) + b(v + k)^

=a(v, X)— b, (v, X, /, £)modp, (4.94>

где a(v, X), 6(v, X, /, k) —некоторые циклические перестановки образующих по-
следовательностей.

Обозначим периодическую ВКФ образующих последовательностей (4.94)

1 N~l f 2л л

= ехр i —(e(v + M—(4.95}
™ v=o I ® '

а периодическую ВФН

1 ( 2л / ov\

Р) = -^“ У,ехр{1 — [a(v + %) — 5(v)]jexp^i —— j, (4.96>

где p определяет дискретные значения доплеровской частоты.

Известна оценка ВКФ сигналов циклической системы [5]:

Яшах (А) Стах |Q (X)| + max |Q (X, р)| 6, (4.97>

Л Л, р

где

e = lnJV— 1п(2Г^] + 1У (4.98>

О \ L. □ □ j

Для построения системы минимаксных сигналов (у которых максимальные
пики минимальны) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих
сигналов имели малые боковые пики. В общем случае регулярного метода по-
строения таких сигналов нет.

Для двоичных ^-последовательностей (р=2) известен метод Голда [17,
40], позволяющий выбирать пары образующих ^-последовательностей. Этот
метод основан на выборе последовательностей в соответствии со свойствами
многочленов. Каждой Л1-последовательности длины N=2n—1, где п — некото-
рое целое число, соответствует свой неприводимый многочлен степени п. Не-
приводимым называется такой многочлен, который не может быть представ-
лен в виде произведения многочленов с меньшими степенями. Каждому корню»
многочлена степени п может быть поставлен в соответствие элемент поля
Галуа GF(2n) (кодовая последовательность полного кода длины п, за исклю-
чением элемента, состоящего из одних нулей). Всего ненулевых элементов име-
ется 2П—1. Корень а, все степени которого а0, а1, а2, а2Л“1=ао дают раз-
личные элементы поля, называется первообразным или примитивным. Неприво-
димый многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент
поля, называется примитивным. В соответствии с методом Голда образующим
ЛГ-последовательностям должны соответствовать примитивные многочлены, кор-
нями которых являются для первой и i(a2Z+1)”v для второй последователь-
ностей, где I — любое целое число, взаимно-простое с п. Выбираются такие
последовательности достаточно просто с помощью таблиц неприводимых мно-
гочленов [14]. Если ^-последовательности выбраны по методу Голда, то их
периодические ВКФ являются трехуровневыми, т. е. принимают только три
значения [17, 40]:

|Qi=—1/JV,

QW = (Q»=1/27]V— UN, (4.99)

(<?,= — V'2/N' — l/N.

Вероятности появления этих значений следующие:

P1=l/2— 1/2АГ, Р2= 1/4+1/4JV —l/V&V, Р,= 1/4+ 1/4N + l/V&V.

(4.100)

Периодические ВКФ циклической системы могут принимать только значе-
ния (4.99), причем вероятности (4.100) соответствуют случаю усреднения по
всем ВКФ всех циклических перестановок. Дисперсия периодических ВКФ по
определению (1+4/^/ЛГ« 1/N. Отметим, что максимальные боковые пики для
полного кода можно оценить по формуле 3/~]/N, в то время как (4.99) дает
значения 2/УЛГ«1,41/]/Л\ в два раза меньше.

Таким образом, оценка первого слагаемого в (4.97) дается максимальным
значением (4.99), равным 2IN+XIN. Максимум модуля периодической ВФН

max|Q(X, р)< (23/2л-1 W“1/2+ №')1/2 «0.94ЛГ-1/4. (4.101)

Я, р

Подставляя в (4.97) оценки (4.99), (4.101), находим оценку максимальных
пиков ВКФ циклической системы:

flmax W < VW + 1/W+ 0,94 6/V4V. (4.102)

Пример расчета. Для трех значений W=31, 127, 514 найдены оценки мак-
симальных боковых пиков ВКФ циклических систем. Результаты расчета при-
ведены в табл. 4.11.

Таблица 4.11. Характеристики циклических систем

N max Q (Л) max Q (Л, р) ^шах U) 3/ V2N
31 0,29 0,39 0,935 0,37
127 0,134 0,28 0,74 0,18
511 0,059 0,20 0,61 0,09
Как видно из табл. 4.11, оценки /?тах(Х) достигают больших значений и
существенно превышают утроенное среднеквадратическое значение 3/~|/2N. Это
объясняется тем, что данные оценки пропорциональны 1/jZ#. На самом деле
максимальные пики будут меньше. Были рассчитаны все АКФ и ВКФ цикличес-
кой системы для W=31. Образующие ^-последовательности строились на ос-
нове примитивных многочленов fa(x) =х5+х3+1 и }ь(х) =х5+х4+х3+х+1. Мно-
гочлену fa(x) соответствует последовательность {a(v)} с начальными условиями
—11 —11 1, многочлену }ъ(х)—последовательность {6(v)}. Нормированное
значение максимальных боковых пиков удовлетворяет неравенству
Ятах(^) <0,42, что близко к значению 3/]Л2М=0,37 табл. 4.11.

Последовательности Касами. Образование циклических последовательностей
при аддитивных символах согласно (4.91) можно записать символически, вводя
задержку D(j). При этом правило образования циклической системы (4.91)
можно представить следующим образом:

{Cj (v)} = {A (v)}® {D (/) В (v)}, (4Л03)

где символ ® означает посимвольное умножение последовательностей {A(v)}
и {£)(/) B(v)}, а произведение D(j)B(y) является символом B(v), сдвинутым
на j тактов, /=0, W—1. Число всех последовательностей равно W+2, так как
имеется всего N сдвигов плюс две исходные последовательности.

Касами i[41] предложена система ФМ сигналов, которая получается по-
символьным перемножением Мчпоследовательности {A(v)} с периодом N=2n—1
и ^-последовательности {B(v)} с периодом Ni=2nl2—1, причем используются
циклические сдвиги {D(j)B(y)}. Поэтому система Касами получается анало-
гично (4.103), но /=0,2п/2. В результате число последовательностей

L = 2"/2 = VjV+l. (4.104)

Поэтому систему Касами с объемом (4.104) называют малой. Максимальные
пики ВКФ малой системы Касами удовлетворяют соотношению

I) « 1/УлГ. (4.105)

Большая система Касами [41] получается при посимвольном перемноже-
нии двух ^-последовательностей с периодами N—2n—1, образующих цикличе-
скую систему (4.103), на М-последовательность с периодом ATi=2n/2—1, причем
п —четно. Таким образом, символически алгоритм формирования большой си-
стемы Касами записывается следующим образом:

{Kij (v)} = {A (v)}®{D (j) В (v)}®{D (0 С (v)}, (4.106)

где {A(v)}, {B(v)} — ^-последовательности периода N; {С(v)}—Л1-последо-
вательность периода Nt; D(j), D(i) — символы сдвига, /=0, N—l, i=0, TV—1.
При п-2 mod 4 объем системы равен 2п/2(2п + 1), а при n=0mod4 он равен
2п/2(2п + 1)—1. При больших п объем большой системы Касами

L « 23n/2 « N3/2 , (4.107)

т. е. в Д/ N раз больше объема нормальной системы. Корреляционные свойства
большой системы Касами удовлетворяют оценке (4.105). В табл. 4Л2 приведе-
Таблица 4.12. Циклические системы последовательностей

Полином Число по- следова- тельностей Значения, принимаемые корреляционными функциями Примечание
31 3551 33 7 —1 —9 Последовательности
Голда
2373 33 11 7 3—1 —5 —9 Взаимно-обратные
М-последовательности
«3 14551 65 15 —1 —17 Последовательности
Голда
14343 65 15 11 7 3 -1 -5 -9 —13 Взаимно-обратные
^-последовательности
12471 64 15 7 —1 —9 —17 После дова те л ь ности,
двойственные кодам БЧХ
1527 8 7 -1 -9 Малое множество после-
довательностей Касами
133605 520 15 7 —1 —9 —17 Большое множество по-
следовательностей Каса-
15 11 7 3 —1 —5 —9 —13 ми
65 10762 63 —
127 41567 129 15 —1 —17 Последовательности
Голда
255 231441 257 31 15 -1 -17 ^-последовательности
264455 257" 31 15 11 7 3-1 —5 —9 —13 —17 —29 Взаимно-обратные
М-последовательности
326161 256 31 15 —1 —17 —33 Поел е дова тел ь ности
типа Голда
267543 256 31 15 —1 —17 —33 Последовател ьности,
двойственные кодам БЧХ
11367 16 15 —1 —17 Малое множество после-
довательностей Касами
6031603 4111 31 15 —1 —17 —33 Большое множество
послед ова тел ь ностей
Касами

ны данные [41] по системам ФМ сигналов, являющихся последовательностями
Голда, Касами и родственных им.

В первом столбце указана длина последовательностей, во втором — образую-
щий полином, представленный в восьмиричной записи, в третьем — число после-
довательностей, в четвертом — значения периодических ВКФ, в пятом — наз-
вания систем и последовательностей.

Таким образом, циклические системы Голда и Касами позволяют строить
нормальные и большие системы ФМ сигналов.

4.8. Системы многофазных сигналов

Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз
равно р, а фазы принимают значения

0; (v) — (2л г/р) aj(y). (4.108)

Числа г и р — взаимно-простые; v — номер элемента, v=0, N—l', сим-
вол /-й кодовой последовательности {aj (v)}.

ВКФ сигналов j и k по определению записывается следующим образом:

1 Л^-Л-1

ЯЛ(Х)= — 2 eXp{i[0/(v+D—0fc(v)]}. (4.109)

" v^o
(4.110)

(4.Ш}

(4.112)

(4.113)

Подставляя (4.108) в определение (4.109), находим

ЯлМ = -77 S ехР i—~1а/(*+*) — aft(v)]}-
” V=0 VP '

Модуль максимального пика

#max = (V#) /щах»
где

^тах = тах"|/л (1)1.
/, kt Л
а

7V—Я—1

/*W“ 3 ехр{Ц0/(»+Л)—0л(Х)]}.

V=0

Максимальный боковой пик будет минимальным, если максимальное значение
7т ах минимально, т. е.

max |7д(1)| =min. (4.114)

Исследования показали [5], что для уменьшения /max необходимо иметь
исходные сигналы, у которых периодические АКФ имеют положительные боко-
вые пики. Оценка ВКФ при #^>1

*тах< (1/УЮ (1 +6). (4.115>

где б определяется соотношением (4.98).

Пример системы. Неравенству (4.115) удовлетворяет система кодовых по*
следовательностей {flj(v)}, символы которой определяются из сравнения второй
степени:

а/ (v) ss / v2-f- Ci v + с0 (m°d #)»

(4.116)

где /=!, #—1—номер последовательности; ci, co — целые числа v=0, #—1; N —

простое число. Например, при #=11 , С1=Со=О
0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1
0 2 8 7 10 6 6 Ю 7 8 2
0 3 1 5 4 9 9 4 5 1 3
0 4 5 3 9 1 1 9 3 5 4
0 5 9 1 3 4 4 3 1 9 б /4 11
0 6 2 10 8 7 7 8 10 2 6 (4.U7)
0 7 6 8 2 10 10 2 8 6 7
0 8 10 6 7 2 2 7 6 10 8
0 9 3 4 1 5 5 14 3 9
0 10 7 2 6 8 8 6 2 7 10

Каждая строка (4.117) является кодовой последовательностью {«j(v)}. Для
систем (4.116) при p=N периодическая АКФ каждой последовательности имеет
нулевые боковые пики. Следовательно, для систем (4.116), (4.117) справедлива
оценка (4.115).

Большие системы многофазных сигналов. Приведем методы построения си-
стем многофазных сигналов, объем которых £:>#[5]. Положим в (4.108)
p=N, т. е.

л ч 2 л г
где г и N — взаимно-простые числа. Определим символы a,(v) кодовых последо-
вательностей через сравнение /г-й степени:

ai (?)s 3 cJs ?s + ci? + ct> (mod N) • (4.119)

s=2

где cj,=O, #—1 не равны нулю одновременно; Cq— произвольные целые чис-
ла: v=0, N—1; n<N\ N — простое число; /— номер сигнала. Символы а$(у)
лежат в классе наименьших неотрицательных вычетов по модулю числа N. Лю-
бые две последовательности, определяемые уравнением (4.119), отличаются друг
от друга хотя бы одним из коэффициентов Cj8. причем все с,8 не равны нулю
одновременно. Поэтому максимальный объем системы

1. (4.120)

Свойства систем сигналов зависят от тех ограничений, которые могут быть
яредъявлены к коэффициентам Cj8. Окончательные результаты приведены в
табл. 4.13.

На первой строке табл. 4.13 приведены данные системы (4.116) объема
N—1, а во второй и третьей строках приведены данные систем большого объ-
ема или больших систем. Как следует из оценок ВКФ табл. 4.13, увеличение
объема системы приводит к ухудшению корреляционных свойств.

Таблица 4.13. Системы многофазных сигналов

Коэффициент Объем системы Оценки ВКФ
n = 2; Cj2= 1, N—1 W-l 1+6 Vn
«>3; cjn=l, N—1; cj, n-i = 0 остальные cJS = 0, N—1 (W—1)ДГп-з . n_L+L V®
n>4 — четное: (0, N—1 при четных s Cjs~ 1 A (0 при нечетных s №>/2_l у#

4.9. Большие производно-циклические системы

Они основаны на посимвольном перемножении производящей последова-
тельности {V} на последовательность Уолша {W\} и на циклическую последо-
вательность Голда {Gn}, т. е. /-я последовательность определяется следующим
образом:

{Aj} = • (4.121)

Поскольку £=1, N, /г=1, N, то /=1, №, т. е. объем такой системы

L = (4.122)
Если вместо системы Голда использовать большую систему Касами (4.106),
то

{Aj} = {V}®{Wk}®{Kn}. (4.123)

Так как п=1, №/2, то объем системы (4.123)

L = N5/2. (4.124)

Однако характеристики ВКФ систем (4.121), (4.123) пока что не известны.

4.10. Линейно-производные системы ФМ сигналов 1

Максимальный объем циклических систем ФМ сигналов равен N3/2 для
больших систем Касами. В работе [42] предложен новый класс больших систем
ФМ сигналов — линейно-производных систем. Рассмотрим линейную систему ФМ
сигналов, которая согласно [42] может иметь объем

L==2ft, fe = oTV, (4.125)

где k — выбирается согласно требованиям конкретно решаемой задачи, N — ба-
за ФМ сигнала (длина последовательности). Линейная система Н формируется
путем перебора всех L -различных сочетаний произведений k базисных кодовых
последовательностей {Hi}, r=l, k, элементы которых принимают значения 1 и
—1. В случае представления базисных кодовых последовательностей элементами
двоичного поля они должны быть линейно-независимыми, а линейная система
будет содержать все L их линейных комбинаций. Например, при необходимости
построить систему объемом £~106 ее можно задать £=20 базисными кодо-
выми последовательностями.

Введем теперь понятие линейно-производной системы на основе рассмот-
ренной линейной системы Н. С этой целью выберем из полного кода ФМ сиг-
налов с базой N произвольную кодовую последовательность {А}, удовлетворя-
ющую условию {а}ё=Н, которую назовем производящей кодовой последователь-
ностью. Далее умножим посимвольно каждый сигнал линейной системы Н на
производящий сигнал {А}, тем самым получив новую совокупность ФМ сигна-
лов, которую назовем линейно-производной системой ФМ сигналов. Операцию
формирования линейно-производной системы А с производящим сигналом {а}
из линейной системы Н будем условно записывать в виде символического про-
изведения

{А}«{а} {Я,}. (4.126)

Установим некоторые свойства введенных систем ФМ сигналов. Прежде
всего из определения Н и А следует что А является смежным классом разло-
жения .мультипликативной группы полного кода по подгруппе Н. Кроме того,
объем системы А равен объему системы Н. Из теории групп известно, что число
различных смежных классов, И следовательно, линейно-производных систем
для заданной линейной системы Н объемом, определяемым формулой (4Л25),
составляет

M = 2N~k, (4.127)

1 Параграф 4.10 написан на основе совместной работы с Ю. К. Сальни-
ковым [42].
причем в это число входит также и система Я, которую можно рассматривать
как линейно-производную систему с производящей кодовой последовательностью
из всех единиц. Задание всех М систем сигналов можно осуществить, исполь-
зуя выбор производящих сигналов таким образом, чтобы они составляли под-
группу полного кода. Пусть G — такая подгруппа. Тогда ее можно задать
матрицей

G =

gii • • • •

&N—k, , • • *8N—k,N

(4.128)

являющейся порождающей матрицей подгруппы производящих сигналов.

Аналогично тому, как это имеет место для (порождающей матрицы линей-
ной системы Н, в (4.128) строки матрицы — базисные кодовые последователь-
ности подгруппы G. Поскольку линейная система Н также задается базисными
кодовыми последовательностями, для определения всех М линейно-производных
систем ФМ сигналов объемом £=2* достаточно задать N базисных кодовых
последовательностей. Причем k из них определяют линейную систему, N—k —
подгруппу производящих сигналов.

Корреляционные свойства линейно-производной системы А лучше исходной
линейной системы, что доказано путем определения р-го момента КФ, усреднен-
ного по всей системе [42]. Если тР(А)—р-й момент КФ системы А, тр(Я) —
то же для системы Я, то имеет место неравенство

тр (А) < тр (Я).

(4.129)

Неравенство (4.129) является доказательством того, что при построении про-
изводных систем ФМ сигналов возможно улучшение корреляционных свойств,
причем не только в статистическом смысле, но и по максимальным пикам, как
это следует из результатов, полученных в [43]. Экспериментальное доказатель-
ство неравенства (4.129) получено путем машинного расчета КФ линейно-про-
изводных систем на основе подгруппы Уолша.

4.11. Объем больших систем ФМ сигналов

Первой работой, в которой было приведено доказательство су-
ществования больших систем ФМ сигналов, является работа [44].
В ней приведена нижняя граница объема больших систем, удов-
летворяющих условию, при котором КФ сигналов, образующих си-
стему, не превышают заданного уровня. С помощью границы Чер-
нова в [44] найдено, что среднее значение объема большой сис-
темы удовлетворяет неравенству

L > -^7 К1 + *o),+* (1 ~ W

(4.130)

где Ro — допустимый уровень (максимум модуля) КФ. При
неравенство (4.130) преобразуется в следующее:

(4.131)

которое свидетельствует об экспоненциальном росте объема боль-
шой системы ФМ сигналов. Работа [44] имеет принципиальное
значение для теории ФМ сигналов. Вместе с тем, необходимо от-
метить, что оценка биномиального распределения КФ с помощью
границы Чернова дает хорошие результаты только при больших
значениях КФ. В случае малых допустимых значений КФ кор-
ректнее использовать аппроксимацию биномиального закона ря-
дом Эджворта:

R‘

“^т/к/Л'+тгЧт)]- <4132>

где дисперсия о2 = 1/2Я, коэффициент эксцесса у=1 при Я^1;
Я4 — полином Эрмита. При этом среднее значение объема боль-
шой системы [45, 46]

<4133>

Из формулы (4.129) также следует экспоненциальный рост объ-
ема большой системы с ростом длины последовательностей N,
что совпадает с результатом работы [44] в соответствии с форму-
лой (4.131). Вместе с тем, при увеличении N уменьшается и дис-
персия КФ. Поэтому возникает вопрос, как правильно задавать
совместно допустимый уровень 7?о и длину последовательности N.
Исследование этого вопроса, приведенное в [45], показало, что
КФ обладают «пороговым свойством»: при Ro<.Rno$ КФ произ-
вольного сигнала превышает порог с вероятностью, близкой к 1,
при Ло>Лпор это событие происходит с малой вероятностью. По-
роговое значение

/?пор«]/1п(аЯ)/Я, (4.134)

где 1,6. Если положить, что допустимый уровень

Я0=У^ЯПОР, (4.135)

то среднее значение объема большой системы [45]

L>C(a)

[In(atf)]3/2 ’

(4.136)

где c(a) =3n1/2a~a2~2a3/2. Из (4.136) следует, что среднее значение
объема больших систем с допустимыми корреляционными свойст-
вами растет по степенному закону, который существенно отлича-
ется от экспоненциального закона. Введение «относительной еди-
ницы» измерения уровня КФ в виде /?пор (4.134) позволило кор-
ректно определить объем большой системы сигналов. Например,
если необходимо построить систему сигналов с объемом, равным
базе, т. е. длине последовательности N, то надо положить а=2.
При этом допустимый уровень КФ должен в 2]/^In (aN) превы-
шать среднеквадратическое значение, равное 1/]/2Л\ Если необ-
ходимо построить системы с LxN2, то множитель а=3 и т. д.
Таким образом, более реальная задача, которую возможно ре-
шить,— построение системы сигналов с объемом, который опре-
деляется степенным законом

L=ANa~',

(4.137)

где А — некоторая постоянная, зависящая от У и а.

4.12. Оценки апериодических ВКФ

Оценки ВКФ необходимы как для определения взаимного вли-
яния абонентов в системах связи, так и для оценки объема боль-
ших систем. Кроме того, оценки ВКФ служат для определения
полезности тех или иных алгоритмов построения систем сигналов.

Исторически первой оценкой КФ была оценка, полученная из
условия ограниченности объема тела неопределенности. Посколь-
ку в дальнейшем была доказана ограниченность объема взаимной
функции неопределенности (ВФН) (см., например, [5]), то из ус-
ловия ограниченности объема получается следующая оценка сред-
неквадратического значения ВФН при усреднении по времени и
по частоте [5]:

<*вфн«1/2ГЛГ- (4.138)

Эта оценка в ]/~2 раз меньше, чем оценка ВКФ ов для случай-
ных последовательностей. При выводе (4.138) было положено, что
база ФМ сигнала равна N. Среднеквадратическая оценка аперио-
дическихВКФ для случайных последовательностей пВКф = 1/]/’ 2М—
одна из наиболее характерных для ФМ сигналов, поскольку мно-
гие иные оценки пропорциональны ей.

Оценка (4.138) по сути является интегральной, поскольку про-
изводится усреднение по времени и по частоте. Можно найти не-
сколько оценок КФ на основе других интегральных равенств, спра-
ведливых для корреляционных функций. Одним из наиболее рас-
пространственных является интегральное равенство Сталдера — Ка-
на [5]:

N—l N-1

₽%(«)== у, ^(п)^(п)- (4.139):

n=—(N—l) n=—(N—l)

Левая часть равенства равна сумме произведений квадратов
значений ВКФ, а правая — сумме произведений значений АКФ.
Обозначим среднеквадратическое значение ВКФ через Овкф- Из
(4.139) получаем

(4.140)

Равенство (4.140) соответствует тому, что АКФ — симметричная
функция и 7?Д0) =7?fe(0) = 1. Из этого равенства можно получить
128
ряд оценок. Сначала допустим для простоты, что -=/?fe(n) =0
при лУ=0. В этом случае

авКф= 1/Г2ЛГЛ « 1//2ЛГ,

(4.141)

что совпадает с оценкой среднеквадратического значения ВКФ слу-
чайных последовательностей. Преобразуем равенство (4.140), ис-
пользуя неравенство Коши — Буняковского,

n-i rw-i „

3 Ь(П)1Ып) < 2 */(«)

1/2 Г N—1 П1/2

S **(«)
_л=1

(4.142)

Применяя неравенство (4.142) к (4.140), получаем две оценки:
сверху

1 ( Г*'-1 •> I*/2 Г*-1 9 I*/21

>+ S я?(") : <4-143):

1 I L«=I J l_n=l J J

снизу

1 ( Г*-1 9

(4.144)

Найдем статистические характеристики .величины о2вкф (4.140).
Поскольку можно полагать, что АКФ в правой части (4.140) рас-
пределены по биномиальному закону с нулевым средним значе-
нием и дисперсией 0,5Af, то среднее значение

<т|КФ= 1/22V—1 « 1/2AZ,

(4.145)

а дисперсия

М2 {о2кф} = 2(У-1)/3(2JV-1)№ « 1/3№. (4.146)

Отношение

(4.147);

убывает с ростом N. Поэтому при среднее значение (4.145)
достаточно точно характеризует величину <т2вкф- Оценка (4.145)
совпадает с дисперсией КФ случайных последовательностей. По-
скольку отклонение о2вкф от среднего значения (4.145) с ростом
N уменьшается, то в неравенствах (4.143), (4.144) приближенно
квадраты значений АКФ можно заменить их дисперсиями 1/2ЛГ.
В результате из неравенства (4.143) получаем, что

*ВКФтах~ 1/КЯ (4.148)

а из (4.144)

авКФтт*1//2ЛГ, (4.149)

Следует отметить, что минимально возможное значение моду-
ля пика КФ равно или 1/N или 0. Наличие в знаменателе правой
части (4.149) величины ]/~2 свидетельствует об «усреднении» пиков
с амплитудами, равными 1/N и 0. Минимально возможное значе-
5—111 129
ние ВКФ (4.149) может иметь место только для дополнительных
последовательностей, у которых J?,(n)=—/?л(п) для п#=0.

Необходимо подчеркнуть, что интегральные оценки дают пред-
ставление только о среднеквадратическом уровне ВКФ и не поз-
воляют судить о максим1альных пиках. Проблеме минимизации
максимальных пиков КФ, в том числе и синтезу ФМ сигналов с
минимальными пиками, посвящено большое число работ. Много-
численные исследования лучших из известных систем ФМ сигна-
лов показали, что верхняя и нижняя экспериментальные оценки
распределены в интервале от

ЯвКФ шах min «До 7?вкфmax max ~ 5,1//АГ.

Для оценки максимальных пиков можно использовать вероят-
ность превышения пиком ВКФ допустимого уровня. Если положить
вероятность превышения Р = 1/4АГ, то приближенно можно полу-
чить следующую вероятностную оценку максимальных пиков КФ:

Яшах *V21n(aN)/N, (4.160)

где а«1,6. Как видно из (4.150), максимальные_пики растут от-
носительно среднеквадратического значения 1/К 2#как2К In(aV)’
с ростом N.

Оценки максимальных пиков можно получить с помощью ме-
тода моментов, развитого в работе [43]. Он заключается в сле-
дующем. Допустим, ВКФ имеет Q пиков со значением 1?шах и
2N—1—Q пиков со значением Rn, причем 7?n<C/?max. Момент КФ
р-го порядка, по определению,

< Г 2W-Q-1

т₽=-~-г 3 RP

2N~1 L «=1

(4.151)

С ростом p второе слагаемое в правой части (4.151) становится
Существенно меньше, чем первое. Поэтому при М;>1 из (4.151)

^?шах/m^27V/Q.

(4.152)

Если можно найти значение момента nip каким-либо косвен-
ным образом, то в соответствии с (4.152) можно найти и оценку
максимальных пиков. В работе [43] показано, что оценки КФ
определяются следующими выражениями:

сверху

вахтах «К( 1 + (4.153)

снизу

^max mln 1^2/N.

(4.154)

Следует отметить, что оценки (4.153), (4.154) получены на
основе второго и четвертого момента. Если будут найдены момен-
ты более высокого порядка, то они позволят получить более точ-
ные оценки. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что в настоя-
щее время не решена основная задача в теории опенок КФ: не
создан метод нахождения оценок максимальных пиков для кон-
кретной системы сигналов по структурным свойствам сигналов.

5. СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ

5.1. Корреляционные функции ДЧ сигналов
и число совпадений

Наибольшее распространение на практике получили дискрет-
ные частотные (ДЧ) сигналы, обладающие только одним частот-
ным элементом во временной полосе. Примеры таких сигналов

приведены на рис. 2.15,6 и 5.1.
Подобные ДЧ сигналы называют-
ся сигналами первого порядка
[5]. Поскольку только такие сиг-
налы и будут рассматриваться, то
в дальнейшем их порядок указы-
ваться не будет. Обзор работ по
ДЧ сигналам до 1978 г. и их свой-
ства можно найти в [4, 5]. Поэто-
му в данном параграфе будут
приведены только основные свой-
ства ДЧ сигналов [5] и алгорит-
мы построения систем таких сиг-
налов. Положим, что ДЧ сигнал
состоит из М элементов, а все
элементы имеют одинаковую фор-
му Ф(0- Пусть номера элемен-
тов v изменяются от 0 до М—1,
Ojfv) — комплексная амплитуда

7 ' ' ' ' ' 1 1 т ?

0 12345678 S. 10

Рис. 5.1. Частотно-временная матрица
v-ro элемента, а положение v-ro

элемента по частоте определяется сдвигом, равным yj(v)A®, где
Уз (у) — символ частотной кодовой последовательности (ЧКП)
{Vj(v)}, причем yj(v) при изменении v=0, М—1 меняется в таких
же пределах от 0 до М—1, но в определенном порядке.

С учетом сделанных предположений комплексная огибающая
ДЧ сигнала

М-1

^(0= 2 a,(v)<D(f—vA 7)exp(i Y;(v) А®/) (5.1)

v==0

причем здесь и в дальнейшем используется условие

A со A f st) (mod 2 л), (5.2)’

где Д®=2лА/— ширина спектра элемента, Д£— его длительность.
Смещение соседних элементов по частоте равно А®, а по време-
ни — А/. Как видно из (5.1), изменение аргумента у элемента
Ф(0 происходит линейно в соответствии с изменением v, а сме-
5* 131
щение ло частоте — в соответствии с изменением у, (v). Например,
для ДЧ сигнала, показанного штриховкой на частотно-временной
плоскости (см. рис. 5.1), ЧКП {y3(v)} =085210741963.

Известна [5] частотно-временная дуальность ДЧ сигналов. Ис-
пользование её позволяет расширять применение тех или иных по-
лученных результатов. Чтобы воспользоваться этим, преобразуем
комплексную огибающую ДЧ сигнала, используя временную ко-
довую последовательность (ВКП) {vj(y)}, к следующему виду:

М-1

^/(0 = 2 (?)$[*—Мт) дЛexp(iyA<0/). (5.3)

V=0

В формуле (5.3) линейно меняется смещение по частоте в со-
ответствии с изменением у=0, N—1, а изменение аргумента у эле-
мента Ф(0 происходит в соответствии с изменением ВКП
{v,(y)}, символы которой изменяются в тех же пределах от 0 до
М—1, но в определенном порядке. Например, для ДЧ сигнала,
изображенного на рис. 5.1, ВКП {vj (у)} =073106295184.

Формулы (5.1), (5.3) и определяют частотно-временную дуаль-
ность ДЧ сигналов: в (5.1) отсчет производится по времени (по
номерам дискретов v), а в (5.3) — по частоте (по сдвигу часто-
ты, пропорциональному у).

Используя определение ФН /?ф (т, £2) элемента Ф(/) и условие
(5.2), можно получить ВФН сигналов (5.1), (5.3). Полагая £2 = 0
и учитывая предположения, сделанные при определении комплек-
сных огибающих (5.1), (5.3), находим, что ВКФ ДЧ сигнала с
ЧКП (5.1)

. М-\ М-l ,

СО = — 2 2 а} (v) ak (p) Яф {(т+(p—v) A t,

M v=0 д=0

ly/(vj—yft(p)]A®}, (5.4)

а ВКФ ДЧ сигнала с ВКП (5.3)

1 M— 1 M-l .

2 (Т-ЙМ-

M v=0 g=0

(5.5)

Рассмотрим ВКФ (5.4), (5.5) в дискретных точках, полагая

т = ХД/. (5.6)

Подставляя (5.6) в (5.4), (5.5), получаем:

/?л(Х)=4-2 2'а^)<Ш)ЯФ{(Х+р-^Ж [y/(v)—уй(р)] Д®};

V=° Ц=° (5.7)

. М-1 м-1 . ~ ,

/?Л(Х)= V 2 М7)М£)Яф{[Ь+*И9-^(у)]ДЛ (у-5)А®}-

М у=0 £=0

(5.8)
Анализ ВКФ (5.7), (5.8) существенно упрощается, если исполь-
зовать условия ортогональности элементов, которые сводятся к то-
му, что различные элементы не перекрываются во времени, а их
спектры не перекрываются по частоте. Отметим, что такие усло-
вия не могут выполняться одновременно, так как спектр функции,
ограниченной по длительности, имеет неограниченную ширину. Но
для простоты анализа.будем считать, что условия ортогональнос-
ти имеют место. Поэтому положим, что в дискретных точках час-
тотно-временной плоскости для ФН элемента ф'(() выполняются
условия ортогональности, а именно:

ЯфОзД/, <7Д<о) = Р прир=0, 9 = 0, (59)

(0 при остальных значениях р и q.

Используя условия ортогональности (5.9) и полагая |a/(v) | =
= |од(р,) | = 1, из (5.7), (5.8) получаем оценку модуля ВКФ в дис-
кретных точках

|ЯЛ(Х)|<т/М, (5.10)

где т — число решений следующих систем уравнений:

X + p-v = 0 Ж»©-*Д?)=0) (5.11); (5.12)

V/ (v)—у/(|*) = 0 I V—$ = 0 J

Система (5.11) соответствует ВКФ (5.7), а система (5.12) —
ВКФ (5.8). В этих системах X изменяется от —М до М, a v, р, у,
£=0, М—1. Используя одно из уравнений систем (5.11), (5.12)
можно свести эти системы к уравнениям:

y/(v)-yft(v-X) = 0; vH?)-vk(?)-X=0. (5.13), (5.14)

Число решений целочисленных уравнений (5.13), (5.14) меньше
числа решений соответствующих сравнений по модулю М:

у,- (v)—ук (v—X) а 0 (mod Л4); v«(y)—vft (у)—IsO (mod М).

(5.15), (5.16)

Сравнения (5.15), (5.16) являются частными случаями срав-
нения

ay(v)—aft(v—р.)—Ы 0 (mod Л4), (5.17)

где v=0, М—1, Х=0, М—1, ц=—М, М.

Если сравнение (5.17) имеет th решений, то оценка (5.10) пре-
образуется к следующей

ВД)1<тЖ (5.18)

причем th^tn. Если th = O, то формально |/?^(Х) | =0, но это бу-
дет в том случае, если всюду выполняется условие ортогональнос-
ти (5.9). Но так как строгой ортогональности во всех дискретных
точках добиваться нельзя, то при th=O |/?jb(X) | ^.1/М.

Поскольку последовательности {а,} и {ай} состоят из символов,
принадлежащих к одному алфавиту (0, 1, ..., М—1), то при из-
менении номеров v, |х, Л рано или поздно возможно совпадение
133
кодовых последовательностей, т. е. возможно решение совпадения
(5.17). Бели при данных v, ц, X, /, k имеет место одно решение
(одно совпадение), т. е. zft=l, то |/?#(А) | =1/Л1. Увеличение чис-
ла решений, во-первых, увеличивает максимальный уровень ВКФ
согласно (5.18), во-вторых, ухудшает использование отведенной
полосы частот для сигнала (5.1) с ЧКП, так как спектры некото-
рых элементов будут совпадать (ухудшает использование отведен-
ного времени и пик-фактор сигнала (5.3) с ВКП, так как будут
совпадать некоторые элементы); в-третьих, увеличивает число сиг-
налов в системе. Именно третье следствие позволяет строить боль-
шие системы сигналов, но при условии /п>1. Назовем ДЧ сиг-
налы, обеспечивающие одно совпадение /п=1, оптимальными.

5.2. Распределение числа совпадении
в корреляционных функциях ДЧ сигналов

Число совпадений элементов т в ДЧ сигналах согласно (5.10) определяет
ВКФ таких сигналов в дискретных точках. Сначала рассмотрим случай, когда
два ДЧ сигнала (полезный и мещающий) полностью перекрываются по вре-
мени. При этом число совпадений т может изменяться от 0 до М. Полное пе-
рекрытие двух сигналов возможно, когда между полезным и мешающим сигна-
лом нет временного сдвига или когда каждый из сигналов излучается непре-
рывно (периодически). При этом на выходе согласованного фильтра будем
иметь периодическую ВКФ. Перейдем к распределению числа совпадений.

Число ДЧ сигналов без совпадений элементов по частоте

£=Л11 (5.19)

Соответственно число пар сигналов равно (2И!)2 Из них 2И! пар сигналов со-
стоят из тождественно одинаковых сигналов и имеют М совпадений, а из ос-
тавшихся (ЛЛ)2—Ml пар сигналов половина не различима, так как каждой
паре с номерами I и j соответствует пара с номерами j и /, т. е. из (2И!)2
можно исследовать не более [(Л4!)2—Л1!]/2 пар сигналов.

Доказано [5], что относительное число пар перестановок с т совпадениями
или вероятность т совпадений

Рл («) = Ml DMt JIMI)* = DMt m/Ml (5.20)

Число DM,m называется субфакториалом, так как доказано, что оно имеет
много свойств, аналогичных свойствам факториалов.

Субфакториал

Таблица 5.1. Субфакториал

м 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dm 0 1 2 9 44 265 1854 14333 133496 1334961
Его значения приведены в табл. 5.1.

Для субфакториала известны рекуррентные соотношения:

(5.22), (5.23)

которые позволяют найти любое DM и DM,m. Формулы (5.20) — (5.23) поз-
воляют найти вероятность т совпадений.

При больших М выражение в квадратных скобках (5.21) стремится к е"1,
что позволяет аппроксимировать распределение вероятностей (5.20) законом
Пуассона со средним значением, равным единице [5]:

PM(m)~l/em!. (5J4)

Из (5.24) следует, что при Л1>1 вероятность PM(w) практически не зависит
от М. Наиболее вероятны случаи, когда т=0 (совпадений нет) и m^i (одно
совпадение). Их вероятности примерно равны е*1»0,368. В табл. 5.2 приве-
дены значения вероятностей Рм(т) для 2И=5 и 2И=9, рассчитанные по точной
формуле (5.20).

Таблица 5.2. Распределение числа совпадений

т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Р5(т) 0,366 0,375 0,167 0,083 0 0,0083
Ро(т) 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 540-4 ю-* 0 3-10—®

Сравнение данных табл. 5.2 с законом (5.24) позволяет использовать этот
закон для приближенных расчетов. Распределение Ръ(т) при Л1=5 (табл. 5.2)
незначительно отличается от распределения (5.24), а распределение Рд(т) при
Af=9 практически не отличается от (5.24). Поскольку наиболее вероятными со-
гласно (5.24) являются или /п=0, или т=1, то модуль ВКФ (5.10) наиболее
вероятно будет равен или 0 или l/Af. Среднее значение числа совпадений, рас-
пределенного по закону Пуассона (5.24), равно 1. Поэтому среднее значение
модуля ВКФ (5.10)

шх {| /?№ (X) |} = 1 /М. (5.25)

Вероятность появления т=0 или т—\ равна 0,736, вероятность появления
т^2 равна 0,92, а вероятность появления т<4 равна 0,981. Отметим, что
эти вероятности согласно (5.24) не зависят от М. И поэтому при 2И^>1 уровни
ВКФ (5.10) должны быть малыми.

Если полезный и мешающий сигналы перекрываются частично, то в этом
случае на выходе согласованного фильтра будет иметь место апериодическая
ВКФ. На рис. 5.2 изображено совместное расположение двух частично пере-
крывающихся ДЧ сигналов первого порядка: сигнал А (левая штриховка) опе-
режает сигнал В (правая штриховка) на два элемента. Перекрытие сигналов
возможно только в прямоугольнике АВ, выделенном толстой линией. При пе-
рекрытии сигналов А и В, изображенном на рис. 5.2, имеет место одно совпаде-
ние (квадрат с совпадающими штриховками). Допустим, что временной сдвиг,
кратен длительности элемента AJ, т. е. т=лД£, где п — целое число, удовлетво-
ряющее условию |п|=0, Af, где ЛГ —число элементов в ДЧ сигнале. При л=0

Ml Г ^м—п
^,о,л= nl I 1- м

имеем случай периодической ВКФ, при
|тг|=Л4 сигналы не перекрываются. Так
как п полностью характеризует времен-
ной сдвиг, то в дальнейшем будем опери-
ровать только с п.

Доказано [5], что вероятность т сов-
падений при временном сдвиге п

Рм,п(^=^Ом>т>п1М1. (526)

где неполный субфакториал [5]

LM-n

М(М—1)

(5.27)

При п=0 правая часть формулы (5.27) совпадает с определением субфак-
ториала (5.21).

Для неполного субфакториала справедливо соотношение

, т.п — п ^Af—т. 0. п> (5.28)

где Рм-т,о,п определяется согласно (5.27).

Если сдвиг п небольшой (n^0,6Af), то вероятность совпадений (5.26)

РМ.П(т)«

Cm
М—п

СМ

1 Гт

I____сА1-п

ml е ~ cj}

(5.29)

где Рм(т) определяется согласно (5.24). Более точное приближение для
бюльших п обеспечивает следующая формула для вероятности совпадений:

М " m ) Рд| (ОТ)-

М — т /

^Af. п (т)

Ст
м

(1 +

(5.30)

Но формула (5.30) будет справедлива лишь при т<М.

5.3. Алгоритмы построения оптимальных
и квазиоптимальных систем ДЧ сигналов

Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальных систем ДЧ сигна-
лов приведены в [б]. Они были получены на основе теории чисел. В табл. 5.3
приведены алгоритмы построения последовательностей {af(v)}, удовлетворяю-
щих сравнению (5.17). В табл. 5.3 приведены правила образования последова-
тельностей {«j(v)}; ограничения, налагаемые на определенные коэффициенты;
объем системы и оценка ВКФ.

В первой строке табл. 5.3 число а — первообразный корень по модулю про-
стого числа Af+l. Все остальные правила основаны на степенных сравнениях
Таблица 5.3*. Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальных
систем ДЧ сигналов

Правила образования последовательностей Коэффициенты Объем системы Мак- симум ВКФ
<zj(v) sscoaJ+v(mod М) Co=4, 2И; /, v=0, M—l м IJM
aj (v) /v 4- Со (mod Al) v, co=O, 7И—1; /=1, M— 1 Al—4 им
a;(v)s/v24-civ4- 4-co (mod AI) v, ci, co=O, Al—1; /='1, M—1 (М—1)М 2/М
aj (v) ss jvr+co (mod M) (r, Al—1) = 1; j=il, Al—1 v, co=O, M—1 А4—1 1/М
r <Xj(v) = S CjsV« + s-1 4-co (mod M) r>2; Cjr —1, Al—1; Co = O, M—>1; Cjs=5^O одновременно Мг—11 г/М
r^-2; Cjr=l, A1-—4; Cj, r-i=0; Co=0, M—1; остальные cJS = 0, M—1 (М— 1)Х Х-Мг~2 г/М
r>)3 — нечетное; v, co=O, M—4; _ 0, M—1 при нечетных s; Cjs— ' \0 при четных s. М(г+1)/2_ —1 rJM

по модулю простого числа М. В четвертой строке числа г и М—1 взаимно-прос-
тые, т. ё. (г, М—1) = 1.

Первая строка табл. 5.3 дает алгоритм построения оптимальной системы с
максимальным объемом L, равным числу элементов в сигнале М, а вторая и
четвертая строки дают алгоритмы, при которых L=M—il.

Остальные строки табл. 5.3 дают алгоритмы построения систем, близких к
оптимальным, но большего объема.

Обратимся к примерам. Сначала рассмотрим систему сигналов, построен-
ную согласно правилу первой строки. Положим М + 1=7, т. е. А1=6, а со=1.
Символы кодовых последовательностей определяются сравнением aj(v)=a*+v.
В качестве первообразного корня по модулю 7 возьмем а=3. После вычисле-
ний получаем следующую систему последовательностей:

1 3 2 6 4

3 2 6 4 5

2 6 4 5 1

6 4 5 1 3

4 5 13 2

5 13 2 6

В системе (5.31) кодовыми последовательностями являются строки, кото-
рые представляют циклические перестановки. В соответствии со значениями

6
4.

(5.31)
цифр необходимо располагать элементу по времени, т. е. строки (5.31} явля-
ются временными кодовыми последовательностями. Сигналы, построенные в
соответствии с кодовыми последовательностями (5.-31), приведены на рис. 5.3.
Номер сигнала соответствует номеру строки. По горизонтали отсчитывается
время, по вертикали — частота. Если положить 1 = 1’1, т. е. Л1=10, и в

Рис. 5.3. Оптимальная
система ДЧ сигналов
(ВКП)

качестве первообразного корня по модулю

11 положить а=2, то имеем следу-

ющую систему:

1 2 4 8 5 10 9 7 3 6
2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
4 8 5 10 9 7 3 6 1 2
8 5 10 9 7 3 6 1 2 4
5 10 9 7 3 6 1 2 4 8 /К
10 9 7 3 6 1 2 4 8 5
9 7 3 6 1 2 4 8 5 10
7 3 6 1 2 4 8 5 10 9
3 6 1 2 4 8 5 10 9 7
6 1 2 4 8 5 10 9 7 3

Рассмотрим системы, построенные согласно правилу второй строки табл. 5.3.
Положим Л4=7, со=О- После вычислений имеем систему кодовых последователь-
ностей

0 1 2 3 4 5 6

0 2 4 6 1 3 5

0 3 6 2 5 1 4

0 4 1 5 2 6 3

0 5 3 1 6 4 2

0 6 5 4 3 2 1

(5.33)

В отличие от последовательностей (5.31), (5.32), кодовые последовательно-
сти (5.33) могут быть использованы и в качестве временных, и в качестве час-
тотных. Сигналы, построенные в соответствии с кодовыми последовательностя-

Рис. 5.4. Оптимальная
система ДЧ сигналов

ми (5.33), изображены на

стему:

рис. 5.4. При 2И=11, Со=О, имеем следующую си*

0123456789 10
02468 10 13579
0369147 10 258
048 1 5926 10 37
05 10 4938271 6
061728394 10 5
073 10 6295184
0852 10 741 963

097531 10 8642
0 10 98765432 1.

(5.34)
Рассмотрим системы, построенные согласно правилу четвертой строки табл.

5.3. Положим М—7, со=О, г=5. После вычислений имеем систему:

0 1 4 5 2 3 6 (5.35)
0 2 1 3 4 6 5
0 3 5 1 6 2 4 0 4 2 6 1 5 3
0 5 6 4 3 1 2
0 6 3 2 5 4 1.
Соответствующая система сигналов приведена на рис. 5.5. При М= 11, Со=О,
г=3, получим следующую систему кодовых последовательностей: 01 85947263 10 025 10 78341 69 032451 10 6798 04 10 93568217 05731 92 10 846 (5.36)
0648 10 291375 071286539 10 4 08976 10 15423 096 14387 10 52 0 10 36274958 1.
Как видно из табл. 5.3, объем оптимальных систем ДЧ совпадением) удовлетворяет следующему соотношению сигналов (с одним

(5.37)

fM при четном М,

—1 при нечетном М.

Равенства (5.37) являются фундаментальными для систем ДЧ сигналов
(47]. Взаимное расположение элементов ДЧ сигнала определяется задержками

Рис. 5.5. Оптимальная
система ДЧ сигналов

7 2 5 4 5* £

«х друг относительно друга, т. е. интервалами между ними. Число возможных
различных интервалов (положительных и отрицательных) между парой произ-
вольных элементов равно 2(Л4—1). Возьмем два произвольных ДЧ сигнала. В
каждом из них выберем две произвольные пары элементов на совпадающих
частотах (на одинаковых частотных строках). Если интервал между парой эле-
ментов у одного сигнала не равен интервалу между парой элементов второго
•сигнала, то при взаимном сдвиге по времени эти пары дадут не более одного
совпадения. Два совпадения возможны только тогда, когда интервал между
выделенными элементами одного сигнала равен интервалу между элементами
Второго сигнала. Таким образом, чтобы две частотные строки двух сигналов
давали не более одного совпадения, интервалы между элементами сигналов не-
обходимо выбирать различными.

Так как число различных интервалов между парой элементов равно
2(Л4—>1), то можно образовать 2(М—1) пар частотных строк, дающих при
любом временном сдвиге не более одного совпадения. Допустим, что ДЧ сигнал
имеет четное М. Такой сигнал состоит из М/2 пар частотных строк. Рассмотрим
•сначала процесс образования пар для положительных интервалов, число кото-
рых равно М—1. Поэтому первую пару частотных строк (произвольных в об-
щем случае в сигнале) можно выбрать М— 1 способом. При этом будет ис-
пользован и максимальный интервал, равный М—1. Так как в рассматриваемых
ДЧ сигналах элементы не могут занимать одинаковые временные интервалы,
то для последующих пар частотных строк нельзя использовать интервал, рав-
ный М—1. Поэтому на вторую пару частотных строк приходится М—2 раз-
личных интервала, причем максимальный равен М—2. Точно так же на тре-
тью пару частотных строк приходится М—3 различных интервала, на &-к>
пару — М — k интервалов. Так как в сигнале всего М/2 пар, то на последнюю
пару приходится М—М/2=М/2 различных интервалов. Из М/2 интервалов мож-
но образовать только М/2 частотных строк, которые дадут не более одного сов-
падения. Учитывая отрицательные интервалы, получаем, что максимальное чи-
сло оптимальных сигналов, которое можно объединить в систему, при чет-
ном М равно М, При нечетном М таким же методом можно показать, что чис-
ло оптимальных сигналов в системе будет равно М—1. Таким образом, объ-
ем оптимальной системы определяется соотношением (5.37).

Из приведенного доказательства следует, что свойства оптимальной систе-
мы ДЧ сигналов зависят от интервалов между элементами сигналов. Если од-
новременно произвести перестановку частотных строк с одинаковыми номера**
ми всех ЧВМ, то интервалы между элементами сигналов не изменятся. Сле-
довательно, такие перестановки частотных строк дают новые системы ДЧ сиг-
налов. На рис. 5.6,6 «приведены ЧВМ новой оптимальной системы ДЧ сигналов,

Рис. 5.6. Перестановка строк ЧВМ ДЧ сигналов

полученной из системы с ЧВМ рис. 5.6,а путем перестановки первой строки
(нижней) всех матриц на рис. 5.6,а на третье место, а шестой строки — на чет-
вертое место. Кодовые последовательности новой системы имеют вид

3 2 1 5 6 4

2 6 3 1 4 5

6 4 2 3 5 1

4 5 6 2 13

5 1 4 6 3 2

1 3 5 4 2 6.

Сравнивая (5.38) с (5.31), замечаем, что перестановка строк ЧВМ рис. 5.6,а
(или 5.3) соответствует перестановкам столбцов в (5.31): первый и шестой
столбцы (5.31) перемещены на третье и четвертое места.

С комбинаторной точки зрения образование новых оптимальных систем ДЧ
сигналов сводится к перестановкам из М элементов, поскольку осуществля-
ются перестановки М частотных строк. Поэтому с учетом всех перестановок
число Q различных оптимальных систем ДЧ сигналов будет не меньше, чем

Qmin = MI (5.39)
Обратимся теперь к квазиоптимальным системам, которые имеют больший
уровень ВКФ, но обладают и большим объемом. Сначала рассмотрим систему,
правило построения которой приведено в третьей строке табл. 5.3. Положим,
что 2И=7, Со=О, a Ci и / меняются в пределах: Ci = l, М—1, /=1, М—1. Число
сигналов в системе равно (Л1—1)Л4=42. Эти сигналы имеют частотные элемен-
ты, совпадающие по времени, что в свою очередь приводит к появлению про-
белов в сигнале по времени и к ухудшению его пик-фактора. Максимум ВКФ
таких сигналов равен 2/7.

Рассмотрим систему сигналов, построенную согласно правилу шестой Стро-
ки табл. 5.3. Положим, что M=7, r=3, Со=О, cj3=C3—1, a cjj=Ci изменяется
от 0 до 6. Число таких сигналов равно (2И—<1)2ИГ“2 = 42, а максимум ВКФ
равен 3/7. Сигналы этой системы имеют еще большее число совпадений эле-
ментов по времени, чем предыдущие сигналы, и еще большее число пробе-
лов по времени. Поэтому система сигналов, получеИ-ная с помощью это-
го правила, уступает по своим свойствам системе сигналов, построенной но
правилу третьей строки.

Исследования [48] показали, что объединением всех возможных оптималь-
ных систем, построенных по любому из приведенных алгоритмов при различ-
ных значениях одного из параметров (а, г или с0), в одну общую систему мож-
но получить систему ДЧ сигналов существенно большего объема с ограничен-
ным уровнем пиков ВКФ. Максимальное значение пиков ВКФ и объем полу-
ченной системы зависят от выбора алгоритма и изменяемого параметра. Такие
системы называются композиционными [48].

Очевидно, максимальный объем композиционной системы определяется чис-
лом всех различных оптимальных систем, которые можно построить по дан-
ному алгоритму путем изменения выбранного параметра.

Взяв в качестве исходного алгоритм первой строки табл. 5.3, изменению
может быть подвержен только параметр а, так как изменение с0 ведет лишь к
перенумерации сигналов в системе. Число оптимальных систем, которые можно
построить по данному алгоритму, сравнительно невелико (а следовательно, и
объем композиционной системы) и равно числу первообразных корней по
простому модулю Af+'l, не превосходящих по величине М, так как при а>М
полученные оптимальные системы повторяют уже найденные. Так, при М=6
таких систем две, при Л4=10 — четыре и т. д.

Аналогично, при использовании второго алгоритма (четвертой строки табл.
5.3) и изменении параметра г различные оптимальные системы получаются при
г^М—1, а следовательно, максимальный объем композиционной системы так-
же относительно невелик и равен (Af—1)Хф(А4—1), где ф(М—1) — функция
Эйлера. В обоих случаях уровни ВКФ для сигналов больших баз (В>132=169),
образующих систему максимального объема, могут оказаться хотя и ограни-
ченными, но недопустимо большими (порядка 50% от главного пика АКФ).
Однако за счет сокращения числа объединяемых оптимальных систем, т. е. за
счет уменьшения объема композиционной системы, можно получить заданный
уровень пиков ВКФ. Ввиду указанных недостатков приведенных композицион-
ных систем, следует отдавать предпочтение другому алгоритму построения ком-
позиционной системы, подробно рассматриваемому ниже.
5.4. Болыпке квазиопткмальные композиционные
системы ДЧ сигналов1

Наилучшими свойствами с точки зрения получения максимальных объемов и
хороших корреляционных свойств обладают композиционные системы, получен-
ные путем объединения оптимальных систем, построенных по алгоритму (чет-
вертой строки табл. 5.3) при г^1 по ЧКП при различных значениях парамет-
ра ^о=О, Af—1.

Изменение параметра Со в сторону увеличения означает циклический сдвиг
ЧВМ сигнала вверх. Число совпадений элементов ЧВМ двух сигналов при вре-
менном сдвиге XAZ определяется числом решений сравнений типа (5.15), кото-
рое сводится к сравнению r-й степени:

j vr == k (V—Х)г + q (mod М), (5.40)

где q=cQfl—Coj; j, &=1, Af—1.

Данное сравнение можно представить в виде f (v) ^O(modAf), где f(v) —
многочлен r-й степени относительно неизвестного v, коэффициенты которого не
кратны М. В соответствии с теорией чисел сравнение такого типа не может
иметь более г решений (но может иметь меньшее число решений), а значит,
всегда можно построить композиционную систему сигналов с заданными кор-
реляционными свойствами, выбрав за основу второй алгоритм с допустимым
значением параметра гДОп.

Гдоп ^max Af, (5.41)

где /?тах — максимально допустимое значение ВКФ.

Например, если г=3, то после объединения получим квазиоптимальную си-
стему ДЧ сигналов с максимальным значением ВКФ, не превышающим 3/А4.
Объем композиционных систем этого вида наибольший и составляет

{A4(Af—1) при нечетном Mt

М* при четном М, (5,42)

что следует из объемов оптимальных подсистем и их числа, определяемого воз-
можными значениями со=О, Af—1.

Следует подчеркнуть, что данная процедура синтеза композиционных си-
стем неприменима для линейных оптимальных подсистем (г=1).

Хотя объем нелинейных композиционных систем при незначительном ухуд-
шении корреляционных свойств существенно больше объема оптимальных си-
стем, следует отметить, что, как показало исследование полного кода ДЧ сиг-
налов малой базы методом прямого перебора, он не является предельно дости-
жимым для заданного уровня ВКФ. Например, для А1=5 объем композицион-
ной системы сигналов с #max=3/Af равен 20 сигналам, тогда как объемы не-
которых систем, найденные из полного кода, составляют 48—51 сигнал.

По предложенным правилам были построены конкретные композиционные
системы для разных баз сигналов. Расчеты нашли свое отражение в табл. 5.4,
в первом столбце которой записан алгоритм формирования оптимальной под-
системы, во втором — изменяемый при переходе от одной подсистемы к дру-

1 Параграф 5.4 написан на основе совместной работы с О. В. Матве-
евой [48].
Таблица 5.4. Алгоритмы построения композиционных систем ДЧ сигналов

Ng№ п/п Алгоритм Измеряемый па- раметр и преде- лы изменения м ^тах ^тах
1 Уз (v) = со j+v (mod Al) l<a<M 6 12 2/6
а — первообразный корень, 10 40 3/10
М+1 —простое число а^М\ со=const 12 48 6/12
2 Уз (v) = j (v)r+Co (mod Al) 0<r<M 7 12 3/7
M — простое число, (r, Af—41) = 1 И 40 3/11
/, v=0, M— 1; Co=const 13 48 7/13
17 128 5/17
3 yj (v) == jvr+co (mod M) Со=О, М— 1
r^;l; r=const
r=5 7 42 3/7
r=3 11 110 3/11
r=:5 13 156 3/13
r=3 17 272 3/17
r=5 17 272 4/17
r=5 29 912 5/29
r=3 29 912 3/29

гой параметр, в третьем — число элементов в сигналах системы, в двух послед-
них — максимальные объемы композиционных систем и максимальные пики ВКФ.

Приведенная таблица подтверждает указанные 1выше преимущества по-
следнего способа построения нелинейных композиционных систем, позволяю-
щего получать квазиоптимальные системы наибольшего объема. Как и сле-
довало ожидать, в этом случае максимальные уровни пиков ВКФ не превыша-
ют значения г/М.

Для примера рассмотрим большую квазиоптимальную композиционную си-
стему с максимальным числом совпадений ЧВМ сигналов равным трем, постро-
енную на основе третьего алгоритма табл. 5.4 при значении параметра г=3
для сигналов с базой Af2=412=il21.

Данная композиционная система представляет собой объединение один-
надцати оптимальных подсистем, построенных по алгоритму при различных
значениях параметра со=О, 10, причем каждая подсистема содержит 10 сигна-
лов, а полный объем такой композиционной системы составит ПО сигналов.

Таблица 5.5. Распределение числа совпадений

т Вероятность числа совпадений при IX |
0 1 1 2 3 4 5 6 1 7 1 8 1 9 1 10
0 0,1 0,44 0,47 0,51 0,56 0,59 0,63 0,69 0,75 0,82 0,9
1 0,9 0,31 0,31 0,29 0,25 0,28 0,29 0,25 0,22 0,17 0,1
2 0 0,15 0,15 0,16 0,18 0,12 0,07 0,06 0,03 0,01 0
3 0 0,1 0,07 0,04 0,01 0,01 0,01 0 0 0 0
Был проведен расчет числа совпадений элементов ЧВМ всех пар сигналов
данной системы с учетом взаимных сдвигов во времени. В табл. 5.5 приведены
данные расчета вероятности числа совпадений т при фиксированных вре-
менных сдвигах | % |. Аналогичный характер носит распределение вероятности чис-
ла совпадений для любой композиционной системы, построенной на основе третье-
го алгоритма табл. 5.4 изменением параметра со-

5.5. Объем больших систем ДЧ сигналов

В работе [44] был определен объем больших систем фазома-
нилулированных сигналов. Используя основы метода, предложен-
ного в [44] и рассмотренного в [45], можно найти объем больших
систем ДЧ сигналов. Корреляционные функции ДЧ сигналов при
дискретных временных сдвигах Л, где % — целое число, —(М—
——1, определяются числом совпадений частотных эле-
ментов на частотно-временной плоскости. Если число совпадений
равно т, то модуль корреляционной функции (КФ) R—m/M.

Среди систем ДЧ сигналов особое место занимают оптималь-
ные системы, у которых число совпадений между различными па-
рами сигналов при произвольных временных сдвигах равно 0 или 1.
Объем таких оптимальных систем не превышает числа частотных
элементов Л1; т. е. существенно меньше базы ДЧ сигналов. Вмес-
те с тем в ряде технических задач необходимо иметь большие
системы ДЧ сигналов, объем которых L^>M2. Поиски таких сис-
тем ведутся в настоящее время, но детерминированные алгорит-
мы построения еще неизвестны. Представляет интерес объем боль-
шой системы ДЧ сигналов с заданным числом совпадений [49].

Метод построения системы ДЧ сигналов с заданным числом
совпадений аналогичен методу построения систем фазоманипули-
рованных сигналов, описанному в [44]. Полный код ДЧ сигналов
содержит £Пк=М! сигналов. Выберем случайным образом L<.LnK
ДЧ сигналов. Рассчитаем все КФ этих сигналов. Выберем неко-
торое допустимое число совпадений п, причем Если чис-

ло совпадений авто- и взаимокорреляционной функции (АКФ и
ВКФ) превышает допустимое число совпадений п, то сигналы с
такими АКФ и ВКФ удаляются из первоначальной системы. Та-
ким образом, при помощи подобной операции можно получить не-
которую систему объемом Lq<ZL, причем Lo — случайная величи-
на. Если ее среднее значение не равно нулю, то такая система
должна существовать. Обозначая через Р вероятность того, что
число совпадений превышает допустимое, можно показать, как это
сделано в [44, 45], что среднее значение объема искомой системы
ДЧ сигналов равно

£0>0,25Р“1. (5.43)

Следует отметить, что неравенство (5.43) справедливо при
предположении статистической независимости КФ ДЧ сигналов,
входящих в первоначальную систему. В общем случае это не име-
ет места. Но при построении большой системы ДЧ сигналов необ-
ходимым условием является малый уровень КФ построенной сис-
темы сигналов, т. е. малое число совпадений т^М. При таком
условии можно пренебречь статистической зависимостью КФ, что
и позволяет использовать неравенство (5.43) для оценки среднего
значения объема системы ДЧ сигналов при заданном числе сов-
падений.

Вероятность появления т совпадений при заданных числе час-
тотных элементов М и дискретном временном сдвиге % определя-
ется следующим выражением в соответствии с (5.26)

р„(т, |М)= W-I4I1 ""у'Ч-р»------------(М-г-И)1------,

Ml ml ’ р.1 (Л1—т— |Х|— ц)1

(5.44)
где число совпадений т удовлетворяет неравенству О^т^М—
— |Л|, а модуль дискретк-ого временного сдвига |%|=0, М—1.
Формула (5.44) соответствует апериодическим КФ.

Положим, что дискретные временные сдвиги равновероятны, а
- где 2М—1 — число

вероятность их появления равна 1/(2Л4—1),
дискретных временных сдвигав. Безусловная
ния т совпадений в апериодической КФ

вероятность появле-

р«-<т)=^Ь

М-1

Рм(т, ОН 2 Рм(т,
k=0

1*1) .

(5.45)

Вероятность того, что число совпадений т не превысит п,

Pn = Р {т < п) = % Рм (т). (5.46)

/п=0

Соответственно вероятность превышения

Р = 1-Рп. (5.47)

Приближенная аналитическая оценка вероятности

n 1 е“1 Fi Мп+1ем I

рп » 1 (п+1)! MMl L1 («4-1)1 -Г (5-48)

При М~^>п второе слагаемое в квадратных скобках выражения
(5.48) много меньше единицы, поэтому

е—1 ем

(5.49)

При Л4^>п>1 третье слагаемое много меньше второго, что
можно показать, используя формулу Стирлинга для факториала
Af!. Подставляя (5.49) в (5.47), получаем

La > 025 (п 4-1)! ММ\ [ММ\е-1 + (п 4- 1)! е51]-1 • (5.50)

В квадратных скобках неравенства (5.50) первое слагаемое
всегда много больше второго при Л4»п>1. Пренебрегая вторым
слагаемым, получаем

Го> 025е(п4- 1)!. (5.51)

Как следует из (5.51), объем больших систем ДЧ сигналов
растет как (п+1)! и практически не зависит от М. Это следует
из предположения о том, что М^>п, а также из того, что вероят-
ность Рм(т) очень слабо зависит от М, поскольку при Л!>1
Рм(т)«(е/n!)-1. Относительный объем системы ДЧ сигналов
Lo!M\fn (n+l)!/Af! и при М^п системы ДЧ сигналов с малым
числом совпадений составляют небольшую долю от полного кода.

5.6. Дискретные составные частотные сигналы

В таких сигналах каждый элемент в свою очередь является
сложным .сигналом; т. е. может представлять набор более простых
элементов. Различные составные сигналы известны давно (см.,
например, [5]). Иногда их называют каскадными кодами. Сос-
тавные сигналы являются производными сигналами, так как по-
лучаются в результате модуляции одного сложного сигнала дру-
гим, т. е. по сути дела перемножаются два сигнала: исходный и
производящий. Общие свойства таких сигналов справедливы не-
зависимо от выбора исходных и производящих сигналов.

Обычно составные сигналы применяются для упрощения аппа-
ратуры формирования и обработки при больших базах производ-
ных сигналов (В>102—104). Рассмотрим два приема дискретных
составных частотных (ДСЧ) сигналов.

Принцип построения ДСЧ сигнала с частотной манипуляцией
поясняется рис. 2.17. Исходный ДЧ сигнал с числом элементов
М=7. В качестве производящего сигнала взята последовательность
из семи ДЧ сигналов первого порядка также с М=7. После ма-
нипуляции по частоте исходного сигнала производящим сигналом
получим составной (производный) сигнал, изображенный на
рис. 2.17. Он состоит из Af2=49 элементов.

В общем случае исходный сигнал может содержать Afi эле-
ментов, а одиночный ДЧ сигнал производящего — Af2 элементов.
В этом случае составной сигнал будет содержать AfiAf2 элемен-
тов. Если в качестве всех ДЧ сигналов, входящих и в исходный
сигнал, и в производящий, взять сигналы, принадлежащие опти-
мальным ДЧ системам, то максимум ВКФ не будет превышать
значения 2/Af]Af2. Это обусловлено тем, что при произвольном вре-
менном сдвиге могут частично перекрываться два элемента ис-
ходного сигнала (рис. 2.17), каждый из которых дает не более
одного совпадения. Объем системы таких сигналов мал и равен
объему ДЧ системы производящего сигнала.

Принцип построения ДСЧ сигнала с фазовой манипуляцией
иллюстрируется рис. 2.16. Исходный ДЧ сигнал первого порядка
имеет М—7. В качестве производящего сигнала (рис. 2.16) взят
дискретный ФМ сигнал. Он представляет последовательность семи
ФМ сигналов, каждый из которых состоит из N=5 символов и
является в свою очередь производным сигналом. Производящий
сигнал (рис. 2.16) является последовательностью семи производ-
ных сигналов. Составной сигнал получается после перемножения
исходного и производящего сигнала.
РАЗДЕЛ П.

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ШИРОКОПОЛОСНЫХ
СИСТЕМ связи

6. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ СВЯЗИ

6.1. Шумоподобные сигналы
и широкополосные системы связи

Как было отмечено ранее, шумоподобными сигналами являют-
ся такие, у которых база B = FT^>\.

Широкополосными системами связи являются такие, которые
используют ШПС в качестве переносчиков информатик и у кото-
рых ширина спектра ШПС много больше ширины спектра пере-
даваемого сообщения. Широкополосные системы связи (ШСС) ха-
рактеризуются высокой помехоустойчивостью ,(см. гл. 1) при дей-
ствии помех с ограниченной мощностью. Помехоустойчивость оп-
ределяется отношением сигнал-помеха ft2 на входе решающего ус-
тройства приемника, которое при воздействии флюктуационной
помехи равно h2=E/Nn, где Е — энергия сигнала, N„ — спект-
ральная плотность мощности помехи в виде «белого» шума. От-
ношение сигнал-помеха h2 в общем виде не зависит от свойств
сигнала, в том числе и от его ширины спектра. Но при воздейст-
вии флюктуационной помехи с ограниченной мощностью Рп и дей-
ствующей в полосе частот сигнала шириной F её спектральная
плотность Nn=Pn/F, откуда следует, что чем шире спектр сигнала
(ШПС), тем меньше спектральная плотность помехи, тем выше
будет отношение сигнал-помеха h2 и тем выше будет помехоустой-
чивость ШСС. В свою очередь энергия сигнала Е=РСТ. Подстав-
ляя приведенные соотношения и обозначая отношение мощности
сигнала к мощности помехи на входе приемника через р2=Рс/Рп,
получаем h2=p2B (1.6). Если отношение мощностей на входе при-
емника р2С1, то выбором базы ШПС, при котором В3>1 и
р2В^> 1, всегда можно получить /г23>1, что и обеспечит высокую
помехоустойчивость ШСС при действии мощных помех с Рп^>Рс.

6.2. Основы передачи сообщений в системах связи

Системы связи служат для передачи сообщений от одного або-
нента к другому. Сообщения могут быть дискретными и непрерыв-
ными. Дискретные сообщения представляют собой последователь-
ности символов, причем число различных символов конечно. При-
147
мерами дискретных сообщений могут служить телеграфные сооб-
щения, телекодовые и т. д. Источники информации, которые соз-
дают дискретные сообщения, называются дискретными. Непрерыв-
ные сообщения представляют собой непрерывные функции време-
ни. Источники информации, которые создают непрерывные сооб-
щения, называются непрерывными. Примерами непрерывных со-
общений могут служить речь, музыка, значения некоторого пара-
метра, изменяющегося во времени, и т. д.

Системы связи, предназначенные для передачи дискретных со-
общений, называются дискретными или цифровыми, а системы
связи, предназначенные для передачи непрерывных сообщений,—
непрерывными или аналоговыми.

Каналы, по которым передаются дискретные сообщения, на-
зываются дискретными, а каналы, по которым передаются непре-
рывные сообщения — непрерывными. Передача непрерывных со-
общений возможна и в дискретном виде. Для этого необходимо
непрерывные сообщения источника непрерывной информации прев-
ратить в дискретные и по каналу будут передаваться дискретные
сообщения, т. е. канал будет дискретным.

Замена непрерывных сообщений дискретными всегда произво-
дится с заданной точностью. Для этого .следует разложить непре-
рывное сообщение в ряд по ортогональным функциям, т. е. пред-
ставить

5(0= J 5п<рп(0, (6.1)

П—--ОО

где S„ — коэффициент разложения, <pn (I) — ортогональные функ-
ции, образующие систему ортогональных функций. Две функции
(или два сигнала) называются ортогональными, если они удов-
летворяют соотношению

00 10

J<Pn(0<Pm(0^= {
—ОО 1^71

при п#=/и,
при и =т.

(6.2)

Здесь Еп — энергия функции (сигнала) <рп(0- Определение
(6.2) справедливо для любых систем ортогональных функций; как
ограниченных по времени (финитных), так и имеющих бесконеч-
ную протяженность. Коэффициенты разложения находятся соглас-
но равенству

Sn = 4- j5(0<Pn(0^. (6.3)

£n —00

Если системна ортогональных функций состоит из комплексных
функций <jpn (0, то разложение записывается, как и при веществен-
ных функциях, в виде (6.1), а условие ортогональности и коэффи-
циенты разложения определяются так:

«О » (0

f<Pn(O<Pn.(O<*/= 1

-со К-Cl

при п=^т,
при п = т.

(6.4)
Sn = -i~ ]s(t)yn(t)dt. (6.5)

£n —00

Сравнивая (6.3), (6.5) с определением корреляционных функ-
ций, можно видеть, что коэффициенты разложения Sn являются
коэффициентами корреляции между сообщением £(/) и функция-
ми фп(0-

Ряд (6.1) в общем случае содержит бесконечное число членов.
Задаваясь требуемой точностью, всегда можно оставить конечное
число членов разложения, отбросив те, которые мало влияют на
(6.1). При этом получаем

«2

(6.6)
n=nl

В (6.6) число членов ряда равно п2—«1 + 1. Будем считать, что
оно конечно. Величина среднеквадратической ошибки

е= 1/ lira $ [Stf-S^dt (6.7)

Г Т—оо Z1

определяется отброшенными членами разложения (6.1). Выбором
П1 и п2 можно обеспечить, чтобы 8<83ад, где взад — заданное зна-
чение среднеквадратической ошибки.

Представление (6.6) означает, что сообщение S(t) с заданной
степенью точности полностью определяется конечным набором ко-
эффициентов разложения Sn. Затем необходимо заменить конеч-
ный набор коэффициентов разложения Sn конечным набором сим-
волов — для передачи по дискретному каналу.

Выбор системы ортогональных функций и метода перевода ко-
эффициентов разложения в символы определяется свойствами со-
общения и требуемой точностью его воспроизведения. Например,
если спектр сообщения ограничен по ширине Fc, то целесообразно
с практической точки зрения представлять его в виде ряда Ко-
тельникова, в котором

/Л sin 2а Fc(t—nht)

Фп W = —o -P -----7-—

2л Fc(t—n Д f)

a AZ=0,5Fc. Функцию <pn(0 называют функцией отсчетов. При
этом сообщение S (/) заменяется последовательностью отсчетов Sn,
которые следуют друг за другом с интервалом А/. Производя
квантование отсчетов по амплитуде, получаем конечное число раз-
личных значений Sn. При квантовании по амплитуде возникает
ошибка квантования, которая тем меньше, чем больше уровней
квантования. Исходя из требуемой точности воспроизведения со-
общения можно найти необходимое число уровней квантования.
После квантования получаем, что сообщение определяется конеч-
ным набором квантованных отсчетов. Заменяя тот или иной кван-
тованный отсчет своим символом, получаем возможность переда-
вать непрерывное сообщение в виде дискретного. Именно такой
метод дискретизации и квантования и составляет основу импульс-
но-кодовой модуляции ИКМ.

При иных свойствах сообщения может оказаться более целесо-
образным с практической точки зрения другое разложение по ор-
тогональным функциям. Например, если разбить сообщение на от-
резки длительностью Т, то на каждом отрезке сообщение Si(Z)
можно представить в виде ряда Фурье, в котором

<рп (/) =ехр [i (2 л п ЦТ)}. (6.9)

Экспонента (6.9)' является периодической функцией с перио-
дом Т. Кроме упомянутых, известно большое число других систем
ортогональных функций, многие из которых нашли применение в
системах связи.

Следует отметить, что системы ортогональных функций широко
используют в математике для решения различных задач. Ортого-
нальные функции, используемые для передачи сообщений, будем
называть ортогональными сигналами. Соответственно совокупнос-
ти таких сигналов являются системами ортогональных сигналов.
Применение систем ортогональных сигналов для представления
непрерывных сообщений в виде рядов является одним из примеров
применения систем сигналов в системах связи. Из (6.2), (6.4) сле-
дует, что сигналы таких систем должны удовлетворять единствен-
ному условию ортогональности.

6.3. Многоканальные системы связи

Необходимость обмена информацией между многими абонен-
тами привела к построению многоканальных систем связи. Каж-
дая многоканальная система связи работает в своем диапазоне
частот, который определяется ее назначением. Абоненты, входя-
щие в многоканальную систему связи, работают в общей полосе
частот, в .пределах которой каждому из них предоставляется канал
для передачи информации.

Образование многоканальной системы связи из многих абонен-
тов может быть осуществлено двумя методами объединения або-
нентов. Один из них называется централизованным объединени-
ем, а другой автономным. При централизованном объединении об-
мен информацией между двумя абонентами производится через
центральные станции (ЦС на рис. 6.1,а и б). При передаче инфор-
мации на большие расстояния от абонентов одной эоны она сна-
чала объединяется в собственной центральной станции (ЦС1 и
ЦС2 на рис. 6.1,а), затем посылается по линии в ЦС другой зоны,
после чего разделяется по абонентам этой зоны. На рис. 6.1,а
стрелками показан путь прохождения информации между абонен-
тами А13- и A2k. Назовем подобные многоканальные системы связи
многоканальными централизованными линейными системами
(МЦЛС). К МЦЛС относятся радиорелейные линии связи, ка-
бельные линии связи, а также радиотелеметричегакие системы и
др.
Централизованное объединение абонентов может быть исполь-
зовано и для обмена информацией между абонентами внутри од-
ной зоны (рис. 6.1,6). При этом требуется одна ЦС. Стрелками
на рис. 6.16,6 изображен путь прохождения информации между
абонентами Aj и А^. Из рис. 6.1,6 видно, что передача информа-
ции осуществляется по радиусам-векторам, выходящим и входящим

Рис. 6.1. Многоканальные системы связи

в центральную станцию. По этой причине подобные многоканаль-
ные системы можно назвать многоканальными централизованными
радиальными системами (МЦРС). Примерами МЦРС являются
системы КВ и УКВ радиосвязи, городские телефонные сети, сис-
темы управления воздушным движением, системы командного ра-
диоуправления и др.

В тех случаях, когда не будет отмечаться линейность или ра-
диальность, многоканальные системы связи с централизованным
уплотнением будем называть многоканальными централизован-
ными системами (МЦС).

Другим методом объединения абонентов является автономный,,
при котором абоненты обмениваются информацией непосредствен-
но друг с другом (рис. 6.1,в). При этом нет необходимости в цент-
ральной станции. Подобные системы связи называют многоканаль-
ными автономными системами (МАС). Примерами МАС являют-
ся системы низовой радиосвязи (войсковой, сельской), системы
командного радиоуправления и др.

Многоканальная централизованная система позволяет устанав-
ливать более эффективный обмен информацией между многими
абонентами, лучше использовать отведенные полосы частот и вре-
мя. Однако наличие ЦС делает МЦС более уязвимыми по cpaiB-
нению с МАС, так как выход из строя ЦС приводит к выходу из
строя всей МЦС. Наличие ЦС во многих случаях усложняет сис-
тему передачи информации (СПИ) .в целом и увеличивает ее стои-
мость. Кроме того, в некоторых .случаях в соответствии с тактико-
техническими требованиями применение ЦС просто невозможно.

Следует отметить, что в некоторых случаях многоканальные
системы связи могут быть построены как с централизованным
объединением абонентов, так и с автономным. В таких случаях
метод объединения должен осуществляться с учетом тактико-тех-
нических и экономических требований. Кроме того, возможно сов-
местное применение и централизованного, и автономного объеди-
нения.

6.4. Методы уплотнения и разделения
каналов и абонентов

В зависимости от назначения, каждой СПИ выделяется неко-
торый диапазон частот, который в дальнейшем называется об-
щей полосой частот (общей для всех абонентов). Использование
общей полосы частот абонентами определяется методами уплот-
нения (размещение спектров сигналов всех абонентов в общей
полосе) и разделения (выделение сигналов абонента). Поскольку
тот или иной метод уплотнения однозначно определяет метод раз-
деления (обратное также справедливо), то в дальнейшем будем
классифицировать методы уплотнения и разделения по методам
разделения.

Возможны три метода разделения информации различных або-
нентов, передаваемой по выделенным для них каналам. Метод
частотного разделения (ЧР) заключается в том, что каждому або-
ненту отводится своя абонентская полоса частот (частотный ка-
нал) в пределах общей полосы частот системы. При этом або-
нентские полосы частот не перекрываются, но сигналы абонентов
перекрываются во времени. Метод временного разделения (ВР)
заключается в том, что каждый абонент работает в свой абонент-
ский интервал времени (временной канал), в течение которого
другие абоненты информацию не передают. Спектры абонентов за-
нимают всю общую полосу частот и полностью перекрываются.
Метод кодового разделения (КР) заключается в том, что разде-
ление осуществляется по форме сигналов, которые использует тот
или иной абонент, причем абоненты работают в общей полосе
частот в одно время.

Первым нашло применение частотное разделение, так как оно
было известно раньше других методов и достаточно просто реа-
лизовалось практически. Развитие импульсных методов модуля-
ции привело к появлению временного разделения. Основы разде-
ления информации по форме сигналов (основы линейной селек-
ции или кодового разделения) были развиты Д. В. Агеевым в
1935 г. [3].

Иное положение имеет место в случае СПИ с кодовым разде-
лением. Поскольку кодовое разделение основано на различии сиг-
налов, то построение таких СПИ и их характеристики определя-
ются выбором сигналов и их свойствами. Обычно число абонентов
достаточно велико, поэтому выбор сигналов для СПИ с КР сво-
дится к определению систем сигналов с заданными свойствами.
Развитие СПИ с КР и привело к исследованиям в области теории
систем сигналов, основные результаты которой будут изложены в
дальнейшем.

Системы связи с КР являются адресными системами, так как
сигналы абонента выполняют роль его адреса. Адресные системы
связи можно разделить на два класса — синхронные адресные
системы (САС) и асинхронные адресные системы (ААС). Первые
используются в основном при централизованном объединении або-
нентов, вторые — при автономном. В САС передача информации
осуществляется таким образом, что переносчики информации удов-
летворяют условию ортогональности (6.2), т. е. если /- и k-й або-
ненты используют сигналы Uj(t) и Uk(t) со спектрами gj(a)) и
gk((o), то при /=/=Л .имеют место равенства

]u}(t)uk(t)dt=O, Jgj((o)gh^)da> = 0. (6.10), (6.11)

—ОО —oo

Отметим, что условия ортогональности (6.10), (6.11) являют-
ся частными случаями линейной независимости сигналов. Если
соблюдается равенство (6.10), то выполняется и (6.11). Если сиг-
налы линейно-независимы, то они разделяются без взаимных по-
мех. На практике обычно используют ортогональные сигналы.

Поскольку при временных смещениях ортогональность наруша-
ется, то для обеспечения ортогональности необходимо иметь синх-
ронизацию по времени. Таким образом, в САС передача информа-
ции различными абонентами осуществляется ортогональными сиг-
налами при условии временной синхронизации между ними. Нали-
чие синхронизации приводит к тому, что в САС взаимные помехи
не возникают.

Следует отметить, что в системах связи с ЧР взаимные помехи
принципиально существуют всегда, так как сигналы с конечной
длительностью имеют бесконечно протяженные спектры, а разде-
лительные фильтры пропускают с конечным ослаблением все час-
тоты. По этим двум причинам часть энергии сигнала произвольно-
го канала в системах связи с ЧР попадает в любой канал, созда-
вая взаимную помеху. Выбором сигналов (уменьшением «внепо-
лосных» излучений) и фильтров (повышением ослабления вне по-
лосы пропускания), размещением каналов по частоте можно
уменьшить взаимные помехи до допустимого малого уровня. При
этом можно считать, что приближенно условие ортогональности
(6.11) выполняется.

В ААС равенства (6.10), (6.11) не имеют места, поэтому в та-
ких системах существуют взаимные помехи между абонентами,
которые иногда называются «шумами неортогональности» или
системными помехами. Из-за взаимных помех число одновремен-
но работающих абонентов в ААС при той же помехоустойчивости
будет меньше, чем в синхронных. Но при построении ААС нет не-
обходимости в обеспечении синхронизации абонентов по времени
и по частоте. В этом существенное преимущество ААС перед син-
хронными системами, особенно в тех случаях, когда невозможно
обеспечить временную синхронизацию абонентов, разбросанных
на большой территории, по этой причине ААС и получили разви-
тие.

В САС и ААС для обеспечения работы большого числа або-
нентов необходимо иметь, по крайней мере, такое же число раз-
личных сигналов. Поскольку сигналы нельзя выбирать произволь-
но, необходимо использовать системы сигналов с определенными
свойствами. Решение вопросов выбора систем сигналов во многом
определяется назначением системы связи и ее характеристиками.
Основными характеристиками системы связи являются помехоус-
тойчивость и эффективность. Под помехоустойчивостью системы
связи подразумевают ее способность противостоять помехам, а род
эффективностью — использование общей полосы частот, времени
и мощности передатчика.

Поскольку любые системы связи состоят из каналов (в пре-
дельном случае из одного), то сначала необходимо рассмотреть
помехоустойчивость одного канала, т. е. одноканальной системы
связи, предназначенной для передачи дискретных или непрерыв-
ных сообщений.

7. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА
ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

7.1. Дискретная система связи

На рис. 7.1 представлена структурная схема дискретной систе-
мы связи. Источник информации (ИИ) создает дискретную ин-
формацию в виде последовательности символов Sv . Положим,
что число символов конечно, т. е. v=0, п—1. Совокупность симво-
лов Sv, v=0, п—1 называется алфавитом источника, ап — объе-
мом этого алфавита. Если п=2, то алфавит является двоичным, а
если п>2 — то многозначным или п-ичным. Соответственно при
п=2 символы называются двоичными, а при п>2 — п-ичными.

Кодер (кодирующее устройство К) преобразует п-ичный ал-
фавит источника в m-ичный алфавит, т. е. заменяет символы Sv
символами sM. Совокупность символов Эц , где р=0, т—1, назы-

Рис. '7.1. Структурная схема дискретной системы связи
вается алфавитом кодера, а tn — объемом этого алфавита. Если
т=2, то символы и алфавит являются двоичными, а если
т>2, то m-ичными. Отметим, что в общем случае т^п и, воз-
можно, т>п или /п<п. Если т=п, то Sv=$u. При этом необ-
ходимость <в кодере отпадает.

Модулятор (М) каждый символ однозначно преобразует в
сигнал Иц, т. е. осуществляет процесс модуляции. Передатчик
(ПЕР) усиливает сигнал по мощности и направляет сигнал Иц
в канал. Совокупность сигналов р=0, т—1, как было отмече-
но ранее, называется алфавитом сигналов. Соответственно число
т является также и объемом алфавита сигналов.

В канале (КАН) на сигнал действует помеха n(t). Предполо-
жим, что она является флюктуационной аддитивной помехой в ви-
де гауссовского случайного стационарного процесса с нулевым
средним и с равномерной спектральной плотностью мощности No.
Такая помеха называется также белым шумом.

На входе приемника (ПР) действует сумма сигнала и помехи
x(t) (t) +n(t). Приемник усиливает принятый сигнал x(t),
переносит его в область промежуточных или видеочастот. Демо-
дулятор (ДМ) анализирует x(t) и принимает решение о том, ка-
кой сигнал был передан и в соответствии с принятым решением
выдает символ Зц. Если то осуществлен правильный

прием, если =/=sM , то при принятии решения была совершена
ошибка из-за помехи на входе приемника. Декодер (декодирую-
щее устройство ДК) преобразует символы в символы sv , ко-
торые затем поступают на вход получателя информации (ПИ).
Отметим, что если /п=п, то необходимость в декодере отпадает.

Из описания системы связи, структурная схема которой при-
ведена на рис. 7.1, следует, что основные различия между всевоз-
можными системами связи с точки зрения передачи и приема ин-
формации определяются объемом алфавита источника п и сигна-
лов т. В зависимости от значения т системы связи можно разде-
лить на двоичные системы связи (т=2) и m-ичные системы связи
(т>2).

7.2. Скорость передачи информации

Положим, что она равна W бит. Длительность двоичного сим-
вола Т2 в двоичной системе связи и скорость передачи информа-
ции связаны соотношением

1/Та. (7.1)

Положим, что в /п-ичной системе связи, в которой используют-
ся т символов, объем алфавита

т— 2k , (7.2)

где k — целое положительное число. Допустим, что символы на
выходе источника информации равновероятны. Согласно общим
положениям теории информации каждый /пчичный символ лерено-
сит /г=log? т двоичных единиц, т. е. /n-ичный символ эквивален-
тен кодовой последовательности .из k двоичных символов. Так как
длительность двоичного символа T2=1/IF, то длительность /п-ич-
ного символа

Tm=kT2 = k/W=>log2rn/W. (7.3)

Соответственно длительности двоичных и /пличных сигналов
будут Т2 и Тт.

7.3. Помехоустойчивость двоичных систем связи

Помехоустойчивость дискретных систем связи характеризуется
вероятностью ошибки Рош. Она зависит от применяемых сигналов
и метода приема. Сначала предположим, что осуществляется при-
ем полностью известных сигналов. Это означает, что все парамет-
ры сигнала известны в точке приема, т. е. известны его форма,
амплитуда, частота, задержка во времени и начальная фаза. Ког-
да известна начальная фаза, то прием называется когерентным.
Неизвестным является только то, какой сигнал находится на ин-
тервале наблюдения. Определение номера сигнала является за-
дачей приемника. Оптимальный приемник минимизирует вероят-
ность ошибки.

Если известны все параметры сигналов, за исключением на-
чальной фазы, то прием называется некогерентным.

Рассмотрим сначала когерентный прием. В двоичных ОПИ
для передачи информации используются два сигнала: Uo(t) и
«1(0- Вероятность ошибки при когерентном приеме (распознава-
ние двух сигналов)

Poni=l-F(^), (7.4)

где интеграл вероятности

1 х

F(x)=-y= \e~^2dz, (7.5)

1/2Я_£

а аргумент

Я=У[(Е0 + £1)Ж](1-%), (7.6)

Ео, Ei — энергии сигналов «о(О> ui(0 соответственно, а

О 7*2

K = —±—^u0(f)u1(t)dt. (7.7)

Яо + ^1 о

Коэффициент К с точностью до постоянной совпадает с коэф-
фициентом корреляции сигнала Uo(t), U\(t). В зависимости от
значения коэффициента корреляции между сигналами X может
принимать различные значения и согласно (7.4), (7.6) вероят-
ность ошибки будет различна.

Рассмотрим случаи, наиболее интересные с практической точки
зрения.
1. В случае равенства энергий сигналов, максимум Н будет
при минимуме %, которая в точности равна коэффициенту кор-
реляции с минимумом —1 при противоположных сигналах:
Uo(t)=—Обозначая энергию двоичного сигнала через Е2=
=E0=Ei, из (7.6), (7.7) получаем H=~\f2E2fNo. 2. Передача дво-
ичной информации противоположными сигналами обеспечивается
фазовой манипуляцией (начальная фаза принимает два значения,
разность между которыми равна л). Поэтому такой метод передачи
получил название фазовой манипуляции (ФМ). Иногда он назы-
вается методом фазовой телеграфии. 3. Если сигналы ортогональны,
а энергии их равны, то из (7.7) имеем 1=0, а из (7.6) получаем
Н=У E2/No. Метод передачи двоичной информации с помощью
ортогональных сигналов назовем ортогональной манипуляцией
(ОМ). Часто этот метод называется частотной телеграфией, когда
ортогональность сигналов обеспечивается сдвигом их несущих час-
тот. Но это частный случай ортогональности сигналов. 4. Если один
из сигналов тождественно равен нулю, например, И1(/)=0, то из
(7.6), (7.7) получаем Х=0, H=VE2/2Nо. Этот случай называется
амплитудной манипуляцией (АМ) или «пассивной паузой».

Объединяя три результата для ФМ, ОМ и АМ при когерент-
ном приеме, запишем вероятность ошибки (7.4) в следующем
виде:

Р0Ш=1-Г(аМ. (7.8)

где а — коэффициент вида манипуляции (а=)^2 при ФМ, а=1
при ОМ, а=1/]/2 при AM); h2— отношение сигнал-шум, прихо-
дящееся на одну двоичную единицу информации

Л| = Е2/#о> (7.9)

Е2— энергия двоичного сигнала. При ФМ и ОМ энергию двоич-
ного сигнала можно заменить через среднюю мощность сигнала
Рс следующим образом: Е2=РСТ2 или согласно (7.1) E=PJW.
Заменяя Е2 в (7.9), в соответствии с приведенными равенствами
имеем

А|=РСВД=РС<ЛГО. (7.10)

На рис. 7.2 представлены графики зависимости вероятности
ошибки Рош от отношения сигнал-шум h2. Кривая ФМ соответст-
вует фазовой манипуляции, кривая ОМК — ортогональной манипу-
ляции при когерентном и ОМНК при некогерентном приеме, кри-
вая АМ—амплитудной манипуляции. Наилучшей помехоустойчи-
востью обладает двоичная система связи с фазовой манипуляцией,
так как при одном и том же значении отношения сигнал-шум h2
вероятность ошибки будет меньше, чем в других случаях. Вместе
с тем, ФМ требует системы фазовой синхронизации. В двоичных
системах связи очень часто вместо ФМ используют относитель-
ную фазовую манипуляцию (ОФМ), которая называется также
относительной фазовой телеграфией. Суть ОФМ сводится к тому,
что начальная фаза последующего двоичного сигнала сравнива-
ется с начальной фазой предыдущего. При этом допускается, что
нестабильности фазы малы и за время между двумя символами
начальная фаза практически не изменяется. Таким образом обес-
печивается квазикогерентный прием. Вероятность ошибки при
ОФМ

Рош офм = 2 Рош фм О Рош фм) 2 (1 /*’()/г2 Лз))» (7.11)

т. е. всего в 2 раза больше вероятности ошибки при ФМ.

Рис. 7.2. Вероятности ошибки
в двоичной системе связи

РУ

Рис. 7.3. Оптимальные при-
емники при когерентном
приеме

Наихудшей помехоустойчивостью обладает амплитудная ма-
нипуляция, а ортогональная манипуляция занимает среднее по-
ложение между ФМ и АМ. Это определяется коэффициентом вида
манипуляции а в формуле (7.8). При сравнении ОМ и АМ сле-
дует иметь в виду, что кривые рис. 7.2 построены для h2 согласно
(7.9), т. е. Л22 пропорционально энергии двоичного сигнала. Когда
определяющей является средняя мощность сигнала Рс, энергия
двоичного сигнала Е2 при АМ может быть увеличена вдвое по
сравнению с ОМ при той же средней мощности Рс. Поэтому, хотя
при АМ а в 1^2 меньше, чем при ОМ^ но учитывая увеличение
энергии вдвое (h2 увеличивается в ]^2), получаем, что помехо-
устойчивость АМ и ОМ при когерентном приеме будет одинако-
вой. Вероятность ошибки в этом случае представляется кривой
ОМк на рис. 7.2.

На рис. 7.3 представлены структурные схемы оптимальных ко-
герентных приемников двоичных систем связи с применением со-
гласованных фильтров. Напомним (см. § 2.1), что импульсная ха-
рактеристика Л (0 фильтра, согласованного с сигналом u(t), опре-
деляется соотношением h(t)=au[T—t), где а — постоянная, Т —
длительность сигнала u(t). Если g(a) спектр сигнала u(t), то
коэффициент передачи согласованного фильтра fe(to) =
=ag*(<a)erie,T. Отношение сигнал-шум на выходе согласованного
фильтра максимально в момент окончания сигнала и составляет
q2=V2/e2=2E/No, где V — максимальное значение сигнальной со-
ставляющей на выходе согласованного фильтра, которое и имеет
место в момент окончания сигнала при t=T; о2 — мощность шу-
ма на выходе фильтра; Е — энергия сигнала на входе фильтра;
No — спектральная плотность мощности шума.

При фазовой манипуляции структурная схема оптимального
приемника (рис. 7.3,а) состоит из согласованного фильтра (СФ)
и решающего устройства (РУ), которое принимает решение о том,
какой сигнал был послан. Решение принимается в момент окон-
чания сигнала, который фиксируется синхронизатором (на рис. 7.3
это условно показано вертикальной стрелкой). По принципу дей-
ствия РУ при ФМ является пороговым, причем значение порога
равно нулю. При ортогональной манипуляции оптимальный при-
емник (рис. 7.3,6) состоит из двух согласованных с сигналами
Uo(t) и И1(/) фильтров СФ1 и СФ2 соответственно. Решающее
устройство принимает решение по максимальному значению на-
пряжения на выходе обоих каналов.

Оптимальный приемник при АМ совпадает по схеме с опти-
мальным приемником для ФМ (рис. 7.3,а), но порог в РУ должен
быть V/2.

Оптимальные приемники можно построить с использованием
корреляторов. При этом каждый согласованный фильтр на струк-
турных схемах рис. 7.3 заменяется соответствующим коррелято-
ром (рис. 2.5), который состоит из перемножителя, интегратора
и (Генератора опорного сигнала. Опорный сигнал с номером ц пол-
ностью совпадает и по форме, и по всем параметрам с сигналом
«и(0- Напряжение на выходе коррелятора z= Jx(t)u(t)dt, где
о

x(t) —напряжение на его входе, м(0 —опорный сигнал.

Коррелятор и (согласованный фильтр эквивалентны с точки
зрения приема информации и обеспечивают одинаковую помехо-
устойчивость.

На рис. 7.4 приведена (схема оптимального приемника ОФМ.
Она отличается от схемы рис. 2.5 тем, что после интегратора
сигнал направляется во второй перемножитель непосредственно

Рис. 7.4. Оптимальный приемник ОФМ

Рис. 7.5. Оптимальный приемник
при некогерентном прием’е
и через линию задержки на время Т2, равное длительности дво-
ичного символа. Во втором перемножителе и осуществляется срав-
нение начальных фаз предыдущего и последующего символов.

При медленных релеевских замираниях, когда при многолуче-
вом распространении радиоволн разность между задержками край-
них лучей Ат С 1/F, a F — ширина ШПС, вероятность ошибки при
когерентном приеме двух противоположных сигналов (ФМ)

Рош « 1/4 h2w, (7.12)

а при ортогональных сигналах (ОМ)

Рош «1/2/^, (7.13)

где Л2о2 — среднее значение отношения сигнал-ипум Л2, усреднен-
ное по всем лучам, причем Л22=А2о2(н2/|*2о), а р2 — коэффициент
передачи луча, ц2о — его среднее значение.

При некогерентном приеме начальная фаза неизвестна и яв-
ляется случайной величиной. Наибольшая помехоустойчивость
имеет место при передаче двоичной информации ортогональными
сигналами. Вероятность ошибки при некогерентном приеме двух
ортогональных сигналов

Рот= 0,5ехр(—0,5й|), (7.14)

где Лг определено формулами (7.9), (7.10). Зависимость вероят-
ности ошибки (7.14) от отношения сигнал-шум была представле-
на на рис. 7.2 кривой ОМНК. Из сравнения ОМК и ОМНК на
рис. 7.2 видно, что помехоустойчивость при когерентном и неко-
герентном приеме двух ортогональных сигналов отличается незна-
чительно. Потери в отношении сигнал-шум при некогерентном
приеме относительно когерентного при РОш=10-3 составляют
«1,2 дБ и уменьшаются с ростом h2.

Структурная схема оптимального некогерентного приемника
приведена на рис. 7.5. Он состоит из двух каналов, в каждом из
которых есть согласованный фильтр и детектор огибающей (Д).
Решающее устройство принимает решение по максимальному зна-
чению огибающей на выходах каналов в момент окончания сиг-
нала.

При оптимальном некогерентном приеме ОФМ вероятность
ошибки

Рош = 0,5ехр(-^), (7.15):

При медленных релеевских замираниях и оптимальном неко-
герентном приеме ОФМ вероятность ошибки (при AfCl/F)

^1/2^+!), (7.16):

а при приеме двух ортогональных сигналов

Рош «1/2^. (7.17)

Необходимо отметить, что многолучевость резко снижает по-
мехоустойчивость систем связи. Для этого достаточно сравнить
160
(7.14) и (7.17): в постоянном канале вероятность ошибки опре-
деляется экспонентой от отношения сигнал-шум, а в многолуче-
вом —самим отношением.

7.4. Помехоустойчивость m-ичных систем связи

При передаче информации алфавитом сигналов, объем кото-
рого т>2, и когерентном приеме наибольшую помехоустойчи-
вость обеспечивают симплексные (или равноудаленные, или
трансортогональные) сигналы. Такие сигналы обладают интерес-
ным свойством. Если произвольный сигнал трактовать как точку
в m-мерном пространстве, то симплексные сигналы соответствуют
вершинам m-мерной геометрической фигуры — симплекса. Верши-
ны максимально и одинаково удалены друг от друга, т. е. сим-
плексные сигналы максимально отличаются друг от друга, что
является причиной максимальной помехоустойчивости. Из-за мак-
симального отличия по форме коэффициент корреляции таких сиг-
налов

^л=4- 1“А0«л(0^ (7.18)

С МЧ

—ОО

не зависит от номеров / и k и равен

— l/(m—1). (7.19)

При коэффициент корреляции /? мало отличается от нуля
и поэтому ортогональные сигналы, у которых /? = 0, обеспечивают
почти такую же помехоустойчивость, что и симплексные сигна-
лы. Если все коэффициенты корреляции равны между собой, т. е.
R,k=R, то доказано следующее равенство для вероятности ошиб-
ки с равными коэффициентами корреляции

Poux(hm, R) = Рош(hmV\=R, 0) , (7.20)

где отношение сигнал-шум, приходящееся на один m-ичный сигнал,

^=Рс7’т/^о. (7-21)

Тт — длительность т-ичного сигнала, Рош(йщ, R) — вероятность
ошибки при отношении сигнал-шум hm и коэффициенте корреля-
ции R, a POui(hmV 1—Я, 0) —вероятность ошибки при ортогональ-
ных сигналах. Выражение (7.20) показывает, что помехоустойчи-
вость при равнокоррелированных сигналах будет такой же, как
и при ортогональных, но с измененным отношением сигнал-шум,
равным hmf/.i—R- Для симплексных сигналов (7.19) равенство
(7.20) приобретает вид

Рош(hm, — l/(m—1))= Рош(йтУ т/(т~ 1), 0). (7.22)

При /п^»1 множитель т['(т—1)«1 и ортогональные сигналы
обеспечивают такую же помехоустойчивость, что и симплексные.
6—Ш 161
При когерентном приеме т ортогональных сигналов вероят-
ность ошибки определяется отношением:

Рош = 1---±= f е-<*/2 [F(t + V2 hrn)]"1-1 dt, (7.23)

где F(x) —интеграл вероятности (7.6).

При некогерентном приеме т ортогональных сигналов

00 -(/'+2Л2)/2

Рош = 1-ре /о(К2Лга0(1-е-^2)т-1а^ (7.24)

где /о(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого по-
рядка.

Интегралы в (7.23), (7.24) ,в элементарных функциях не вы-
ражаются, но они достаточно подробно табулированы. Отметим,
что при больших т различие между когерентным и некогерент-
ным приемом незначительно.

При отношении сигнал-шум hm^>i известны приближенные
формулы:

для когерентного приема из (7.23)

Рош «И-1)[1-F(hm)]-, (7.25)

для некогерентного приема из (7.24)

Рош ~1(м- 1)/2]ехр (-й2т/2). (7.26)

При т=2 из (7.23), (7.24) получаем точные равенства (7.8)
(а=1) и (7.14).

На рис. 7.6 представлены кривые вероятности ошибки при ко-
герентном и некогерентном приемах ортогональных сигналов для
т—2 (двоичные. СПИ) и /и=64,1024. Для когерентного приема
кривые изображены сплошными линиями, а для некогерентного —
штриховыми. Кроме того, для сравнения на рис. 7.6 представлена
кривая вероятности ошибки при приеме двух противоположных
сигналов (кривая ФМ, т=2). Кривые рис. 7.6 отображают зави-
симости вероятности ошибки от отношения сигнал-шум h2 (7.10),
приходящиеся на одну двоичную единицу информации. Поскольку
в формулах (7.23), (7.24) используется отношение сигнал-шум
hm (7.21), то согласно (7.3) можно заменить hm на h2 по фор-
муле

hm =h2V~k = h2V log2 т. (7.27)

Соотношение (7.27) позволяет рассчитать вероятности ошибки
при любом т как функции h2. Отметим, что выбор h2 в качестве
аргумента при сравнении вероятностей ошибок с различным т
является наиболее обоснованным, так как h2 содержит основные
энергетические и информационные характеристики системы свя-
зи: мощность сигнала на входе приемника Рс, которая пропор-
циональна мощности передатчика; спектральную плотность мощ-
ности шума No и скорость передачи информации W.
Из рис. 7.6 видно, что с увеличением объема алфавита т по-
мехоустойчивость m-ичной системы связи растет, так как при
/z2=const вероятность ошибки уменьшается. Поскольку ш-ичные
системы связи обеспечивают большую помехоустойчивость при
ft2=const, то они дают возможность передавать информацию с
заданной помехоустойчивостью (Рош=const) и при меньшем зна-
чении отношения сигнал-шум Лг. Из рис. 7.6 следует, что при

Рош=const требуемое значение
h2 тем меньше, чем больше т.
Таким образом, m-ичные систе-
мы связи обеспечивают выиг-
рыш в отношении сигнал-шум
по сравнению с двоичными си-
стемами связи. При постоянных
значениях No и W выигрыш в
отношении сигнал-шум h2 эк-
вивалентен согласно (7.10) выиг-
рышу в мощности сигнала Рс.
Будем называть его выигрышем
по мощности.

Таким образом, m-ичные си-
стемы связи являются более по-
мехоустойчивыми, чем двоичные,
а при заданной вероятности
ошибки обеспечивают выигрыш
по мощности, поэтому применение
в системах связи алфавитов с
объемом т>2 имеет практиче-
ское значение.

Рис. 7.6. Вероятности ошибки в т-
ичной системе связи

Преимущество m-ичных СПИ перед двоичными известно дав-
но. Оно полностью согласуется с общими положениями теории
информации. Отметим, что приведенный результат (рис. 7.6) по
сути подтверждает основную теорему Шеннона [2] о пропускной
способности канала. Однако в настоящее время известно лишь
несколько примеров систем связи с алфавитами, объем которых
/п>2. Многочисленные исследования в теории кодирования не
привели пока к реальной возможности создания СПИ с очень
большими алфавитами. Это во многом объясняется наличием по-
рогового эффекта в m-ичных системах связи.

7.5. Сравнение двоичных и m-ичных систем связи

При сравнении двоичных и яг-ичных систем связи необходимо иметь в
виду, что объем алфавита источника п и объем алфавита сигналов т могут быть
не равны между собой. Поэтому в зависимости от соотношения между ними
применяют различные методы декодирования символов в символы Sv. С
этой точки зрения двоичные системы связи можно разделить на два класса:
двоичные системы связи без декодирования или просто двоичные системы свя-
зи (яг=я=2); двоичные системы связи с я-ичным декодированием (т=2, я>2)..
6* 163
К первому классу относятся системы связи, в которых двоичные символы
источника информации взаимно независимы и используются получателем ин-
формации независимо друг от друга. Примером -двоичной си-
стемы связи может служить командная радиолиния управления, в
которой каждый двоичный символ поступает по своему адресу. Ко вто-
рому классу относятся системы связи, у которых последовательность двоич-
ных символов на выходе приемника преобразуется в n-ичные символы. Приме-
ром двоичной системы связи с л-ичным декодированием может служить двоич-
ная система связи, в которой непрерывная информация передается с помощью
двоичной импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), называемой некодированной
икм.

В двоичной системе связи с л-ичным декодированием при заданной скорости
передачи информации W длительность двоичных сигналов удовлетворяет ра-
венству (7.1). Если один л-ичный символ заменяет собой k двоичных единиц, то
согласно (7.2) n=2k. Будем полагать, что в дальнейшем равенство т=п име-
ет место. Такие системы связи будем называть двоичными системами связи с
лг-ичным декодированием.

Аналогично, лг-ичные системы связи можно разделить на два класса:
лг-ичные системы связи без декодирования или просто лг-ичные системы связи
(лг—л>2); лг-ичные системы связи с двоичным декодированием (лг>2, л=2).

К первому классу относятся системы связи, у которых получатель инфор-
мации непосредственно использует лг-ичные символы. Например, при переда-
че непрерывной информации путем дискретизации по времени и квантовании
по уровню каждый лг-ичный символ может быть непосредственно преобразован
в квантованный отсчет. Такой метод передачи информации называется лг-ич-
ной или кодированной ИКМ. Ко второму классу относятся системы связи, в
которых каждый лг-ичный символ преобразуется в последовательность из k
двоичных символов. Примером лг-ичной системы связи с двоичным декодиро-
ванием может служить командная радиолиния управления, в которой для повы-
шения помехоустойчивости применяется укрупненный алфавит сигналов, или
система связи, в которой передача информации осуществляется с помощью
двоичной ИКМ.

Сравнение двоичных и лг-ичных систем связи всех классов следует произ-
водить с учетом получателя информации. С этой точки зрения двоичные систе-
мы связи без декодирования и лг-ичные системы связи с двоичным декодирова-
нием эквивалентны, так как в обоих случаях на входе получателя информация
представлена в виде двоичных символов. При сравнении таких систем связи
необходимо сравнивать вероятности ошибки, приходящиеся на один двоичный
символ. Точно так же для получателя информации двоичные системы связи
с лг-ичным декодированием и лг-ичные системы связи без декодирования эк-
вивалентны, так как в обоих случаях на входе получателя информация пред-
ставлена в виде лг-ичных символов. В таких системах связи необходимо срав-
нивать вероятности ошибки, приходящиеся на один лг-ичный символ.

Общий метод сравнения двоичных и лг-ичных систем связи заключается в
том, чтобы найти выигрыш по мощности в лг-ичной системе связи при равных
вероятностях ошибок.

Сначала произведем сравнение двоичной системы связи без декодирова-
ния с лг-ичной системой связи с двоичным декодированием. В лг-ичной системе
связи с двоичным декодированием источник информации создает информацию
в виде двоичных символов со скоростью W. Кодер последовательно разбивает
двоичные символы на кодовые последовательности из k двоичных символов.
Согласно (7.2) число различных кодовых последовательностей /п=2\ Затем
кодер каждую кодовую последовательность преобразует в m-ичный символ,
который передается соответствующим сигналом. Назовем кодовую последова-
тельность, соответствующую переданному сигналу, исходной. В приемнике вос-
станавливается /n-ичный символ, который затем преобразуется в кодовую по-
следовательность из k двоичных символов. Эту кодовую последовательность
назовем восстановленной.

В случае правильного приема переданный и принятый m-ичные символы
совпадают, что приводит к совпадению исходной и восстановленной кодовых
последовательностей во всех символах. Если произошла ошибка в приеме
/п-ичного символа с вероятностью Рошш, то переданный и принятый символы
не совпадут. (Индекс т подчеркивает, что вероятность ошибки относится к
m-ичному символу). Из-за симметричности канала на выходе приемника мо-
жет появиться равновероятно любой из т—1 остальных /n-ичных символов, ко-
торые назовем ошибочными. В результате восстановленная кодовая комбинация
равновероятно может быть любой из т—1=2Й—1 ошибочных кодовых комби-
наций. При этом исходная и восстановленная кодовые комбинации отличаются
друг от друга, причем отличие сводится к тому, что часть символов или все
символы в этих кодовых последовательностях при позиционном сравнении (по
номерам) будут различны. Но некоторые символы могут совпадать, даже если
произошла ошибка. Этот факт необходимо учитывать при расчете вероятности
ошибки, приходящейся на один двоичный символ. Эта вероятность равна

Рош 2 = 0,5 m (m—1)—1 Рошт. (7.28)

Обозначим ошибку при приеме двоичного символа в двоичной системе
связи через РОш2- Приравнивая вероятности ошибки в двоичном символе двоич-
ной системы связи без декодирования и /n-ичной системы связи с двоичным де-
кодированием Рош2=Р'ош2 и подставляя в (7.28), имеем

Рош 2 = /и (/п—1) IPomm- (7.29)

Таким образом, если имеет место равенство (7.29), то двоичная система
связи без декодирования и /n-ичная система связи с двоичным декодированием
эквивалентны с точки зрения равенства вероятностей ошибки в одном двоичном
символе. Вероятности РОшг и РОш т определяются или формулой (7.23), или
(7.24) при т=2 и т=£2.

Сравнение m-ичных систем связи без декодирования и двоичных систем
связи с /n-ичным декодированием основано на вычислении вероятности ошибки,
приходящейся на один m-ичный символ. Пусть РОшг — вероятность ошибки при
приеме двоичного символа в двоичной системе связи с /n-ичным декодировани-
ем. Вероятность правильного приема одного двоичного символа равна 1—РОш2,
а вероятность правильного приема k двоичных символов равна (1—Рошг)*, так
как она равна вероятности того, что все k символов приняты правильно. По-
этому вероятность ошибки при приеме k двоичных символов (одного /п-ичного
символа)

Рош роша)*- (7.30)
Вероятность ошибки при приеме m-ичного символа в /п-ичной системе свя-
зи обозначим, как и раньше, через РОш т. Приравнивая вероятности ошибок
приема k двоичных единиц двоичной и m-ичной системы связи Р'ош ш=Рош т
и подставляя в (7.30), получаем

1 — (1—Рош 2/Рошт* (7.31)

Таким образом, если имеет место равенство (7.31), то двоичная система
связи с ги-ичным декодированием и m-ичная система связи без декодирования
эквивалентны с точки зрения равенства вероятностей ошибки при приеме од-
ного /и-ичного символа (k двоичных единиц). Если Рош2<С1, то из (7.31) на-
ходим

Рош 2 ~ k Рош т • (7•$$)

Формула (7.32) определяет эквивалентную вероятность ошибки, приходя-
щуюся на одну двоичную единицу информации в m-ичной системе связи. Мож-
но заметить, что вероятности ошибки, приходящиеся на одну двоичную едини-
цу, рассчитанные по формулам (7.29), (7.31), (7.32), будут различны. Это
различие определяется следующим. При расчете вероятности ошибки в /и-ичной
системе связи с двоичным декодированием было показано, что ошибка в
m-ичном символе приводит лишь к ошибке в части двоичных символов. При
пересчете вероятности ошибки в m-ичной системе связи без декодирования к
вероятности ошибки, приходящейся на один двоичный символ, было положено,
что ошибка в m-ичном символе приводит к ошибке во всех двбичных сим-
волах.

На рис. 7.7. представлены кривые вероятностей ошибок РОш2, Лш т, Р'ошъ
Р'ош т, построенные по формулам (7.14), (7.24), (7.28), (7.30). Аргументом,

как и ранее, является отношение сигнал-шум (7.10), приходящееся на один дво-
ичный символ. Из рисунка следует, что ги>2 имеют неравенства

Р/ош2<^Рош т <Рош2> Рош2<^Р/ош тп, Рош тп^Р'ош т-

Из неравенств видно, что наилучшуга
помехоустойчивость обеспечивает т-ич-
ная система связи с двоичным декоди-
рованием. Особенно это заметно в обла-
сти малых отношений сигнал-шум hz.
Рисунок 7.7 показывает, что m-ичные си-
стемы связи обеспечивают большую по-
мехоустойчивость по сравнению с двоич-
ными системами связи независимо от
метода декодирования.

Приведенные в данном параграфе
формулы по расчету помехоустойчивости
(вероятностей ошибок) были получены
для «белого» шума с равномерной спек-
тральной плотностью, мощности. Эти фор-
мулы справедливы и для шума, дей-

Рис. 7.7. Сравнение вероятностей
ошибок в двоичных и m-ичных си-
стемах связи
ствующего только в полосе частот полезного сигнала. Поэтому, заменяя отноше-
ние сигнал-шум h22 (или h2m, или h2Q) на отношение сигнал-помеха h2 (1.6),
получим формулы для расчета помехоустойчивости ШСС с ШПС при действии
шумовой помехи с ограниченной мощностью.

8. СОВМЕСТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ШПС
И КОРРЕКТИРУЮЩИХ КОДОВ1

8.1. Параметры ШСС с ШПС и корректирующими кодами

Как было отмечено в гл. 6 и 7, помехоустойчивость систем
связи, в том числе и ШСС, определяется отношением сигнал-по-
меха на выходе согласованного фильтра (коррелятора). При ог-
раниченной мощности помехи

Л^=РаВ, (8.1)

где р2=Рс/Рп—отношение мощности сигнала к мощности поме-
хи на входе приемника; B=FT — база ШПС; F — ширина спект-
ра ШПС; Т — его длительность; индекс пг означает объем алфа-
вита.

Выбором базы ШПС можно получить значение Л2ГО, при ко-
тором достигается заданная помехоустойчивость. Это особенно
важно, когда отношение сигнал-помеха на .входе приемника мало:
Рс/Рп<:1. Однако при высоких скоростях передачи информации
длительность ШПС мала, и для достижения заданной помехо-
устойчивости требуется широкая полоса частот, трудно реализуе-
мая. Известно [14, 50], что применение корректирующего коди-
рования позволяет повысить помехоустойчивость системы связи,
поэтому используя корректирующие коды, можно обеспечить за-
данную помехоустойчивость при меньших отношениях сигнал-по-
меха по сравнению с системой связи без кодирования. При этом
согласно (8.1) информацию .можно передавать в более узкой по-
лосе частот. В настоящее время известно большое число различ-
ных кодов [14, 50]. Одними из наиболее перспективных с точки
зрения практического использования являются блоковые коды
[51]. Среди этих кодов отметим разделимые коды с достижимым
максимальным расстоянием. К ним относятся некоторые коды
Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ) и коды Рида — Соломо-
на (PC). При одинаковых длине кода и максимальном числе ис-
правляемых ошибок эти коды обладают максимальными скоро-
стями [14, 50] по сравнению с другими. Оптимальные коды на-
ходим в классе разделимых кодов. Как известно, высокой поме-
хоустойчивостью обладают m-ичные системы связи с ШПС. По-
этому целесообразно находить оптимальные коды применительно

1 Материалы данной главы основаны на совместной работе с Ю. К. Саль-
никовым [52].
к этим системам. Основные результаты исследований совместно-
го применения ШПС и корректирующих кодов приведены в [52] *.

Схема системы связи представлена на рис. 7.1: информация
от источника ИИ поступает на вход кодера К в ваде последо-
вательности v-ичных символов, где эти символы сначала группи-
руются по блокам длиной k0. Каждый блок представляет собой
/п-ичный символ; где

m=vfc«. (8.2)

Затем m-ичные символы группируются по блокам длиной k (рис.
8.1,а), кодируются и на выходе кодера формируется последова-
тельность т-нчных символов длиной п (рис. 8.1,6), являющаяся
кодовой последовательностью. Ее символы принимают значения
из поля GF(vfto). Далее в модуляторе М каждый символ кодовой
последовательности модулируется ортогональными ШПС (рис.
8.1,в) и передается по каналу связи, где действует аддитивная
помеха с равномерной спектральной плотностью мощности в по-
лосе частот приемника. Число различных ШПС (объем алфави-
та) равно т.

Рис. 8.2. Зависимость вероятности
ошибки от параметров кодов

Рис. 8.1. Кодирование и ШПС

Демодулятор представляет собой оптимальный приемник в
смысле максимального правдоподобия, принимающий решение по
каждому т-ичному ШПС отдельно. С выхода ДМ .последователь-
ность т-ичных символов поступает на декодер (ДК), где прини-
мается решение о каждом блоке m-ичных символов длиной п.
В результате декодирования на выходе ДК формируется инфор-
мационная последовательность длиной k, поступающая получате-
лю информации (ПИ).
Помехоустойчивость приведенной системы связи задается в ви-
де эквивалент,ной вероятности ошибки на v-ичный информацион-
ный символ Pv. Любой корректирующий код кроме длины ко-
довой последовательности п и числа информационных символов k
характеризуется скоростью C=kln. Для разделимых кодов С при
заданном п однозначно определяет его корректирующие свойства.

Используя введенные параметры кода, можно найти длитель-
ность ШПС. Пусть v-ичные символы поступают на вход кодера
со скоростью Wv. Если все символы равновероятны, а скорость
передачи информации W задана в двоичных единицах, то имеет
место равенство

№=№vlog2v.

Поскольку длительность /п-ичного сигнала на входе кодера
kQ/Wv (рис. 8.1,а), а длительность кодовой последовательности
kok!Wy (рис. 8.1,6), то длительность /п-ичного символа на его вы-
ходе или длительность ШПС на выходе модулятора (рис. 8.1,в)

T = ^log2v. (8.3)

8.2. Вероятность ошибки

Вероятность ошибки при некогерентном приеме ШПС опреде-
ляется формулой (7.30)

„ 1 —/>2 /2

Рош^^е т . (8.4)

где т определяется согласно (8.2), h2m — по (8.1). Подставляя
(8.3) в (8.1), находим

^ = Р2 V'^oClog2v. (8.5)

В системе связи используется код с параметрами n, k, г, т. е.
(n, k, г)-код. Если ошибки в канале возникают независимо, ко-
довая последовательность будет декодирована неправильно при
появлении любых r+1 и более независимых ошибок. Вероятность
ошибки декодирования [14, 50]

Р= £ СР‘Ш(1-Рош)п“1',

где Cin=n!/i!(n—i)l; Рош определяется согласно (8.4). С другой
стороны, информационная последовательность длиной k принята
правильно только тогда, когда безошибочно приняты все kok
v-ичных символов. Это означает, что 1—Рош=(1—Ру)к°к, откуда
при Pv < 1

Pv«— У С'Р‘Ш(1— Рощ)"-1’- (8-6)

i^r+\
Зависимости ₽2=PV от Й2 для случая, когда информация пред-
ставлена в двоичном виде v=2, рассчитанные по (8.4), (8.6),
приведены на рис. 8.2. Для каждого из четырех значений т=
= (8, 16, 32, 64) зависимости Рг от Лг рассчитаны для двух РС-
кодов. Эти коды имеют соответственно параметры: (7,5,1), (7,3,2),
(15,11,2), (15,7,4), (31,25,3), (31,27,2), (63,53,5), (63,49,7). Кроме
того, на этом же рисунке приведены зависимости для т-ичных
систем связи без кодирования, рассчитанные по формулам (7.26),
(7.29):

ь2

— е 2 '
4

(8.7)

Из рис. 8.2 видно, что различные коды одной и той же длины
дают разные вероятности ошибок: например, системы связи с ко-
дами (31,25,3) и (15,11,2) обладают более высокой помехоустой-
чивостью, чем системы связи с кодами (31,27,2) и (15,7,4). От-
сюда следует, что среди кодов одинаковой длины существуют оп-
тимальные коды.

8.3. Выбор оптимального кода

Как отмечалось, критерием оптимальности кода является ми-
нимум требуемой полосы частот. Поэтому целесообразно ввести
параметр

n2 F

V=-2“V1Og2V’ '(8-8)

который при заданном р2 полностью определяет полосу частот F.
Оптимальные коды, минимизирующие у, можно найти, подставив
(8.5), (8.8) в (8.4):

(8.9)

Для выбора оптимального кода необходимо найти зависимость у
от его параметров. Для этого необходимо найти зависимость Рош
от Pv посредством (8.6), а затем выразить у через Рош, исходя
из соотношения (8.9).

Точного аналитического выражения для обратной функции
Poni(Pv) До настоящего времени не найдено. Можно показать,
что

Pv<—ц-^Р^ш-
kak

Правая часть неравенства (8.10)—монотонно
функция от Рош. Для значений Рош таких, что

Pom<(*o*Pv)r+1

(8.10)

возрастающая

(8.Н)
эквивалентная .вероятность ошибки на v-ичный информационный
символ не превышает заданной Pv.

Прологарифмировав обе части равенства (8.9), получим

<8Л2>
Kq G *ОШ

Выражения (8.11) и (8.12) в явном виде показывают взаимосвязь
между у и параметрами кода при фиксированных числе ШПС и
вероятности Pv. Параметры k, г, к, р, для разделимых кодов
однозначно выражаются через скорость кода С, следовательно,
(8.12) можно рассматривать как функцию скорости кода. Оче-
видно, с возрастанием С корректирующие свойства кода ухудша-
ются и Рош убывают. При этом второй сомножитель в правой ча-
сти (8.12) логарифмически возрастает с ростом С, а первый со-
множитель равенства с ростом С убывает по закону гиперболы.
Отсюда можно предположить, что при низких скоростях кодов у
принимает большие значения и оптимальными будут высокоско-
ростные коды. В общем случае зависимость у от С имеет слож-
ный характер.

8.4. Оптимальные коды Рида — Соломона

Из (8.8) для у следует, что выбор v не является принципиаль-
ным в рассматриваемой постановке задачи, поэтому полагаем
v=2. В этом случае символы кодовой последовательности при-
нимают значения из поля GF(2ft»). По определению, длина РС-
кода над полем GF(2ft«) [14, 50]

л = 2*«—l=m—1 (8.13)

и выбор объема алфавита ШПС однозначно задает длину кода.
Подставляя (8.13) в (8.12), получаем

Вычислив значения РОш, при которых эквивалентная вероят-
ность ошибки на двоичный информационный символ не превыша-
ет значения Р2=Г0-4, по точной формуле (8.6); подставив его в
(8.14), находим зависимости у от С для всех PC-кодов длиной
п = 1, 15, 31 и некоторых Р-С-кодов длиной /г=63. Значения у
при Р = 10-4 рассчитанных кодов представлены в табл. 8.1 и на
рис. 8.3. Из кривых на рисунке видно, что для всех п существует
оптимальный код, позволяющий реализовать минимальную поло-
су частот приемника при заданных скорости передачи информа-
ции W и отношении р2 на его входе. Оптимальные коды являют-
ся высокоскоростными. При скоростях кодов С^0,5 зависимость
у от С слабо выражена, поэтому можно воспользоваться любым
кодом, если увеличение у, которое в этом случае незначительно,
не играет существенной роли. При низкоскоростных кодах С<0,5
параметр у резко возрастает, поскольку возрастает избыточность-
кода.
Таблица 8Л. Параметры корректирующих кодов и ШПС

(п, k, г)—код н о X а о Ион Укор.код Коя шЛ Укор.код Укор.код.опт I (/г, А, г)—код н о X о Ут код Укор.код I Укор.код | Укор.код.опт 1
3 (7.5,1) 2,837 3,301 0,859 1 (31,11,10) 2,596 1,150 1,680
(7,3,2) 3,702 1,121 1,305 (31,9,11) 3,089 1,368 1,999
(7,1,3) 9,910 3,002 3,493 (31,7,12) 3,853 1,597 2,494
4 (15,13,1) 2,002 2,649 0,756 1,013 (31,5,13) (31,3,14) : 5,248 8,702 2,324 3,854 3,397 5,632
(15,11,2) (15,9,3) 1,976 2,138 0,746 0,807 1 1,082 (31,1,15) 25,979 11,505 16,815
(15,7,4) (15,5,5) (15,3,6) (15,1,7) 2,504 3,253 5,128 14,929 0,945 1,228 1,936 5,636 1,267 1,646 2,595 7,555 6 (63,61,1) (63,59,2) (63,57,3) (63,55,4) 1,516 1,410 1,363 1,338 1,997 0,759 0,706 0,683 0,670 1,139 1,059 1,024 1,005
5 (31,29,1) 1,676 2,258 0,742 1,085 (63,53,5) 1,331 0,666 1
(31,27,2) 1,568 0,694 1,015 (63,51,6) 1,335 0,669 1,003
(31,25,3) 1,545 0,684 1 (63,49,7) 1,349 0,676 1,014
(31,23,4) 1,563 0,692 1,012 (63,47,8) 1,371 0,687 1,030
(31,21,5) 1,616 0,716 1,046 (63,45,9) 1,394 0,698 1,047
<31,19,6) 1,719 0,761 1,113 (63,43,10) 1,428 0,715 1,073
(31,17,7) 1,849 0,819 1,197 (63,31,16) 1,789 0,856 1,344
(31,15,8) 2,027 0,898 1,312 (63,15,24) 3,385 1,695 2,543
(31,13,9) 2,262 1,002 1,464 (63,1,31) 48,522 24,297 36,455

Чтобы показать, что применение .корректирующего кодирова-
ния дает выигрыш в полосе частот, сравним рассматриваемую
систему связи с аналогичной системой без кодирования. В слу-
чае системы связи без кодирования каждый т-пчный символ не-
посредственно модулируется ортогональным ШПС и передается
по каналу связи. Из (8.7)

Рис. 8.3. Зависимость эффек-
тивности корректирующих ко-
дов от скорости

Рис. 8.4. Зависимость эффек-
тивности корректирующих ко-
дов от числа ШПС
Значения у—уткоа, рассчитанные по (8.15) для Р2=10-4, так-
же даны в таблице. Зависимость у от k0 (числа ШПС) представ-
лена на рис. 8.4, кривой 2; кривая 1 —зависимость, в которой
применены оптимальные коды (7, 5, 1), (15, 11, 2), (31, 25, 3),
(63, 53, 5). Как видим, применение оптимальных кодов позво-
ляет получить существенный выигрыш в полосе частот по срав-
нению с аналогичной системой без кодирования. Данные табл. 8.1
показывают, что не всякий код уменьшает полосу частот. Ис-
пользование кодов с низкими скоростями передачи требует рас-
ширения полосы частот и поэтому нецелесообразно в системах
связи с ШПС. Вместе с тем необходимо отметить существование
оптимальных кодов минимизирующих полосу частот и обеспечи-
вающих выигрыш в полосе частот по сравнению с m-ичным ко-
дированием.

9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА
НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

9.1. Основные методы передачи и приема
непрерывных сообщений с помощью ШПС

Передача и прием непрерывных сообщений (например, теле-
фонных) с помощью шумоподобных сигналов возможны путем
применения дискретных или аналоговых методов модуляции.
При дискретных методах модуляции непрерывное сообщение дис-
кретизируется по времени, затем превращается или в последо-
вательность импульсов с амплитудно-импульсной модуляцией
(АИМ), или в последовательность импульсов с широтно-импульс-
ной модуляцией (ШИМ), или в импульсную кадово-модулирован-
ную, последовательность (ИКМ). Далее импульсы соответствую-
щих последовательностей с помощью модуляторов превращаются
в ШПС. Поэтому возможны АИМ—ШПС, ШИМ-41ШС, ИКМ—
ШПС, а также и другие методы модуляции. В случае АИМ—
ШПС из-за амплитудной модуляции плохо используется мощ-
ность передатчика, поэтому такой метод модуляции обычно не
применяют. При ИКМ—'ШПС необходимо расширять полосу ча-
стот, что вызывает дополнительные ошибки квантования. Поэто-
му из упомянутых методов модуляции при ШИМ—ШПС полно-
стью используется мощность передатчика, не возникают ошибки
квантования, нет необходимости в дополнительном расширении
спектра, что и создает определенные преимущества ШИМ—ШПС
перед другими дискретными методами модуляции непрерывных
сообщений.

Вместе с тем ИКМ—ШПС позволяет более полно использо-
вать цифровую технику при формировании и обработке ШПС.

При передаче непрерывных сообщений с помощью аналоговых
методов модуляции в основном используется только частотная
173
модуляция (ЧМ), поскольку она обеспечивает выигрыш в поме-
хоустойчивости при отношениях сигнал-помеха на входе больше
порогового значения. Преобразовав непрерывное сообщение в
ЧМ колебание, можно затем произвести дополнительную моду-
ляцию с помощью ШПС, в результате чего получается колебание
ЧМ—ШПС.

Оба вида модуляции (и ШИМ—ШПС, и ЧМ—ШПС) извест-
ны давно (см. например, [6, 7, 53]). Точные соотношения, опре-
деляющие помехоустойчивость приема непрерывных сообщений для
этих видов модуляции приведены в работе [54].

9.2. Помехоустойчивость приема ШИМ—ШПС

На рис. 9.1 изображены структурные схемы передатчика и
приемника ШИМ,—ШПС. В передатчике (рис. 9.1,а) непрерывное
сообщение от источника информации (ИИ) поступает на широтно-
импульсный модулятор (ШИМ), который управляется генерато-

Рис. 9.1. Структурные схемы передатчика и приемника ШИМ—ШПС

ром тактовой частоты (ГТЧ). ШИМ колебание подается на ба-
лансный модулятор (БМ), который выполняет функции перемно-
жителя. На второй вход балансного модулятора подается ШПС
в виде фаэоманипулированного сигнала (ФМ) от генератора шу-
моподобных сигналов (ГШПС). В мощных каскадах передатчика
(ПЕР) производится перенос ШИМ—ШПС на несущую частоту
и усиление по мощности, а затем сигнал излучается в простран-
ство. Сигнал, поступающий на вход приемника (ПР) (рис. 9.1,6),
усиливается в первых каскадах ПР и переносится на видеоча-
стоту, а затем поступает на вход БМ, который выполняет функ-
ции пёремножмтеля. На второй вход балансного модулятора по-
ступает ШПС от ГШПС. Затем ШИМ колебание (без ШПС) по-
дается на широтно-импульсный демодулятор (ДМ), с выхода ко-
торого сообщение направляется получателю информации (ПИ).
Широтно-импульсный демодулятор состоит из интегратора (вре-
мя .интегрирования равно длительности ШПС Т), преобразователя
ШИМ—АИМ и фильтра нижних частот (ФНЧ).

Положим, что длительность ШПС равна интервалу отсчета
согласно теореме Котельникова 7=1/2W, где W — верхняя часто-
та сообщения. Если ширина спектра ШПС равна F, то база ШПС

B=FT=F/2W. (9.1)
Обозначим через v(t) ШИМ сигнал:

1 при O^t<Z — + Л f,
о(0= 2

— 1 при

(9.2)

где At=aS(tk) —отклонение центра ШИМ сигнала при модуля-
ции, S(th) —k-й отсчет сообщения в дискретный момент времени
tk, а—коэффициент пропорциональности. Отметим, что AtmiX=
— Т/2. При тональном сообщении в виде гармонической функции
S(t) =cosQt, причем Qmax=2nIF.

Обозначим через ш(0 ФМ ШПС, для которого справедливо

1«(0| = 1. (9.3)

Сигнал на выходе балансного модулятора передатчика (рис.
9.1, а) имеет вид u(t)v(t). На входе приемника полезный сигнал
равен Ucu(t)v(t)cos40ot, где Uc — амплитуда сигнала на входе,
©о — его несущая частота. Мощность сигнала на входе приемника
Pc = t/2c/2. Относительно помехи предположим, что она является
гауссовским случайным процессом с нулевым средним и мощ-
ностью Рп в полосе пропускания приемника, равной ширине спек-
тра ШПС F. Если помеха обладает равномерной спектральной
плотностью, то спектральная плотность мощности помехи N„=
=Pn/F.

Предположим, что в приемнике осуществляется синхронный
прием с точностью до начальной фазы, т. е. в состав первых кас-
кадов приемника (ПР) входит система фазовой автоподстройки
частоты (ФАПЧ). При этом на входе балансного модулятора
приемника будем иметь колебание x(t) = У Pcil(t)v(t) +n(t), а
на его выходе x(t)u)(t—т) = ~\/~PcU(t)u(t—r)v(t) +rt(t)u(t—т). За-
держка т определяет сдвиг во времени между ШПС на входе при-
емника и опорным ШПС от генератора ГШПС. Для устранения
задержки т приемник должен содержать систему поиска и син-
хронизации ШПС по времени. В режиме синхронизма т=0 и по-
этому колебание на выходе балансного модулятора имеет вид
y(t) = У Pcv(t) поскольку u2(/) = l согласно (9.3). Пос-

ле интегрирования в широтно-импульсном демодуляторе отсчет
сигнальной составляющей

vc = vc(th) = УК jv(t)dt=2y~PcAt, (9.4)

что соответствует определению (9.2). При тональной модуляции
мощность отсчета сигнальной составляющей

Усэф=Рет (9.5)

Шумовая составляющая на выходе интегратора

z= jn(t)u(t)dt. (9.6)

о
Поскольку n(t) —гауссовский случайный процесс с нулевым сред-
ним и мощностью Рп, то среднее значение mi{z}=0, а мощ-
ность

а2 = Ма{г} = РпТ/2Л (9.7)

Так как широтно-импульсный демодулятор является линей-
ным устройством (с точки зрения передаваемого сообщения), то
отношение сигнал-помеха на выходе широтно-импульсного демо-
дулятора

<9-8>

Подставляя в (9.8) значения (9.5), (9.7), получаем

(9.9)

где р2=Рс/Рп — отношение сигнал-помеха на входе.

В системах связи целесообразно .использовать в качестве па-
раметра коэффициент расширения спектра, т. е.

B9 = F/W, (9.10)

причем В = О,5Во. Подставляя (9.10) в (9.9), находим отношение
сигнал-помеха на входе широтно-импульсного демодулятора

C,M = O>5P2So- (9.11)

Сравнение (9.9), (9.11) с известными формулами для отноше-
ния сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра q2=2p2B
показывает, что отношение сигнал-помеха <72Шим в 2 раза меньше
отношения сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра q2
и совпадает с отношением сигнал-помеха при некогерентном при-
еме двух ортогональных сигналов (1.6), (7.9).

9.3. Помехоустойчивость приема ЧМ—ШПС

На рис. 9.2 изображены структурные схемы передатчика и при-
емника ЧМ—ШПС. В передатчике (рис. 9.2,а) непрерывное со-
общение от источника информации (ИИ) поступает на частотный
модулйтор (ЧМ), на второй вход которого поступает немодулиро-
ванное колебание от генератора опорной частоты (ГОЧ). Затем
ЧМ сигнал поступает на вход БМ, который выполняет функции
перемножителя. На второй вход БМ поступает ФМ сигнал от
ГШПС. В мощных каскадах ПЕР производится усиление ЧМ—

Рис. 9.2. Структурные схемы передатчика и приемника ЧМ—ШПС
ШПС, перенос его на несущую частоту, после чего он излучается
в пространство.

В первых каскадах ПР (рис. 9.2,6) производится усиление
принятого сигнала и перенос его на промежуточную частоту. За-
тем ЧМ—ШПС поступает на вход БМ, на второй вход которого
подается ШПС от ГШПС. Балансный модулятор выполняет функ-
ции перемножителя. При синхронизации ГШПС с принятым ШПС
в балансном модуляторе производится демодуляция ШПС и на
стандартный частотный детектор (СЧД) поступает ЧМ сигнал,
освобожденный от ШПС. Стандартный частотный детектор состо-
ит из усилителя промежуточной частоты (УПЧ), амплитудного
ограничителя с полосовым фильтром, частотного дискриминатора,
ФНЧ. Полоса пропускания УПЧ должна равняться ширине спект-
ра ЧМ сигнала. Граничная частота ФНЧ равна верхней частоте
сообщения W. Характеристики всех каскадов приемника предпо-
лагаются идеальными. Демодулмрованное сообщение с выхода
СЧД направляется получателю информации.

На выходе частотного модулятора ЧМ сигнала

[I
aot + ^.a^S(t)dt
о

(9.12)

где <во — опарная частота, Д<о — девиация частоты, S(t) —сообще-
ние. При тональной модуляции, т. е. при S(/)=cosQ/, ЧМ сигнал
согласно (9.12)

v(t) =cos((o0/ + msinQZ), (9.13)

где индекс модуляции т=Ды/£2. В дальнейшем при определении
индекса модуляции положено £2 = ЙШах.

На выходе балансного модулятора передатчика ЧМ — ШПС
имеет вид v(t)u(t), где u(t) —ШПС, удовлетворяющий условию
(9.3). Обозначим ширину спектра ЧМ сигнала через Гчм. Она
приближенно равна Гчм ^2тДа>/2п — тЛ<1)/л. Обозначим ширину
спектра ШПС через Гшпс. Определим приближенно ширину
спектра ЧМ—ШПС. Пусть G4M (®) —спектр ЧМ сигнала, а
$шпс(“) —спектр ШПС, причем

G4M И = р (t) dt, Gulnc (ш) = (0 е~1ш< dt,

о о

где Т — длительность ШПС. Спектр произведения двух сигналов
равен свертке спектров G4M(<b), Сшпс(<в), т. е.

GqM-ninc (w) = -J- |Очм(л:)Сшпс((о—x)dx. (9.14)

-оо

Предположим, что амплитудные спектры ЧМ и ШПС близки
к прямоугольным, что обычно имеет место на практике для ШПС
с большими базами и ЧМ с относительно -большими индексами
модуляции. При таком предположении ширина спектра ЧМ—
ШПС в соответствии со свойствами интеграла свертки (9.14)
F ^^шпс+^чм- (9.15)

Сигнал на .выходе балансного модулятора приемника будет
иметь вид Ucib(t)u(t—r)v(t) +n(f)u(t—т), где Uc — амплитуда
сигнала, т— сдвиг между ШПС на входе приемника и опорным
ШПС, n(t) —помеха. Для устранения задержки т приемник дол-
жен содержать систему поиска и синхронизации ШПС по време-
ни. В режиме синхронизма т=0 и колебание на входе СЧД имеет
вид y(t) = Ucv(t) +n(t)u(t), поскольку ы2(/) = 1 согласно (9.3).

Поскольку прием ЧМ сигналов сопровождается пороговым эф-
фектом, то предположим, что отношение сигнал-помеха на входе
СЧД больше порогового значения, которое для простоты поло-
жим равным 10 дБ, или равно ему. При подаче на вход СЧД
колебания y(t) мощность сигнальной составляющей на выходе
СЧД РС ВЫХ —I(Дш)2/2. Найдем мощность помехи на выходе СЧД
при воздействии на его входе помеховой составляющей £(/) =
Как и в случае приема ШИМ—ШПС, предположим,
что n(t) —нормальный случайный процесс с нулевым средним
и с мощностью Рп в полосе пропускания первых каскадов прием-
ника, ширина которой равна ширине спектра ЧМ—ШПС (9.15).
Случайный процесс |(Q также является нормальным с нулевым
средним и с дисперсией (мощностью) М2{£(/)} =РП. Однако зна-
ние мощности помехи на входе СЧД еще не достаточно. Необ-
ходимо знать ее спектр для того, чтобы определить спектраль-
ную плотность мощности в полосе ЧМ сигнала на входе частот-
ного дискриминатора. Допустим, что n(t) —узкополосный про-
цесс относительно опорной (промежуточной) частоты ©о с сим-
метричным равномерным спектром. Пусть спектральная плотность
мощности помехи N„=P„/F. В этом случае корреляционная функ-
ция случайного процесса на выходе перемножителя (баланс-
ного модулятора)

Въ(х) = Рп si-~Fx BJt)cos©0t,
пгт

где

"Р" (91в)

( 0 при |т| >т0

— корреляционная функция ФМ — ШПС с большой базой, а то —
длительность элементарного импульса ФМ—ШПС. Корреляцион-
ная функция (9.16) является идеализированной, поскольку в ней
не учтены боковые пики.

Энергетический спектр случайного процесса §(/) на выходе пе-
ремножителя [55]:

|б5 (со) 12 = 2 Рп7 sin"f т В„ (т) cos (со—©о) т d т +

0J Л ГТ

+ 2Pnf Ви(т)cos(© + ©0)тdт, (9.17)

0 Л л* Т
причем первое слагаемое в (9.17) определяет спектр в окрестно-
сти частоты со = (1)о, а второе — в окрестности частоты со = —<оо-
В дальнейшем интерес представляет спектральная плотность в
окрестности частоты <в0 >в полосе 2Дсо. Поскольку

можно приближенно допустить, что спектральная плотность мощ-
ности в этой полосе постоянна и совпадает со значением
| Gg (too) |2. Подставляя в (9.17) корреляционную функцию (9.16)
и (о = ©о, находим, что

I<?6(®o)i2=-v Г— Si(nfe)-A-L-^fe l,
г L л я як -1

где интегральный синус Si(x)= J sin z/'zdz, a k=Fxo-

При л^>1, что обычно имеет место на практике, Si(jt£)~
~ (л/2) — (cosnk)((nk). Поэтому

и для приближенных расчетов можно положить, что | Gg (<оо) |2=
= PnIF. Используя этот результат, можно найти мощность помехи
на выходе СЧД Р„Вых= (2л)2Рп^/ЗРсР.

Учитывая, что Рсвых— (2лД/)2/2, находим, что отношение сиг-
нал-помеха на выходе СДЧ

^чм-шпс = $ Р2 Вчм т3, (9.18)

где р2 =Рс/Рп — отношение сигнал-помеха на входе приемника,

Вчм = ^чм (9.19)

— коэффициент расширения спектра, т — индекс модуляции

(9.20)

Как следует из (9.18), использование ЧМ с индексом модуля-
ции т приводит к выигрышу в помехоустойчивости, пропорцио-
нальному кубу индекса модуляции т3, что является естественным
для ЧМ [56]. Вместе с тем отличие от известных формул состав-
ляет наличие в (9.18) множителя р2Вчм, который представляет
собой отношение сигнал-помеха на входе частотного дискримина-
тора. Поэтому выигрыш в помехоустойчивости при приеме ЧМ—
ШПС начнется с таких отношений сигнал-помеха на входе р2,
при которых отношение сигнал-помеха

Чм = Р2 вчм > Л2ор (9.21)

Положим /i2nop=10, т. е. /12пордб = 10 дБ.

Для сравнения помехоустойчивости приема ЧМ — ШПС с по-
мехоустойчивостью приема другими методами, целесообразно вы-
разить отношение сигнал-помеха (9.18) через коэффициент расши-
рения спектра Bo = FjW. Используя (9.10), из (9.18) находим

^м-шпс = 1>5Работ2. (9.22)
При этом, если Bo = const, т. е. и F=const, то выигрыш в помехо-
устойчивости растет как т2.

Определим пороговое отношение сигнал-помеха. Из (9.10),
(9.19), (9.20) находим, что Вч1Л=Во/2т. Подставляя это выраже-
ние в (9.21) и полагая в правой части равенство, получаем

Pnop=ftnop2m/Bo- (9.23)

Если й2пор=Ю дБ, то

Рп2ор = 20т/В0. (9.24)

Таким образом, чем больше индекс модуляции т, тем больше
согласно (9.18), (9.22) помехоустойчивость приема, но тем выше
пороговое отношение сигнал-помеха на входе р2Пор согласно (9.23),
(9.24).

9.4. Сравнение помехоустойчивости ШИМ—11ШС и ЧМ—ШПС

На рис. 9.3 изображены графики помехоустойчивости — зависи-
мости отношения сигнал-помеха q2, дБ на выходе приемников
ШИМ — ШПС и ЧМ — ШПС от отношения сигнал-помеха р2, дБ
на входе, построенные в соответствии с (9.11) и (9.22) (для Во =
= 105 — сплошные линии, для Во = 1О4 — штриховые, для Во = 1О3 —

Рис. 9.3. Зависимости отношения сигнал-помеха на выходе приемников ШИМ—
ШПС и ЧМ—ШПС от отношения сигнал-помеха на входе
штрих-пунктирные, для Во=1О2— треугольно-штриховые; для
ШЙМ — ШПС — прямые наклонные линии, для ЧМ — ШПС —
вертикально-наклонные линии). Как следует из сравнения (9.11),
(9.22), выигрыш ЧМ — ШПС перед ШИМ — ШПС равен 3m2.
При т=4 он равен 17 дБ, при т = 10 он равен 25 дБ. Этот выиг-
рыш имеет место при р2^р2ПоР (9.24). При р2—р2пор отношение
^2чм-шпспор=30/п3, при /п = 4 оно равно 33 дБ, а при т=10 равна
45 дБ.

Таким образом, применение ЧМ — ШПС позволяет получить-
существенный выигрыш по сравнению с ШИМ — ШПС при оди-
наковой ширине спектра результирующего сигнала. Вместе с тем,
прием ЧМ—ШПС сопровождается пороговым эффектом.

9.5. Помехоустойчивость ИКМ—ШПС

Основы передачи и приема символов ИКМ были рассмотрены
в гл. 7 при обсуждении помехоустойчивости /n-ичных систем свя-
зи. Но при этом не были рассмотрены ошибки квантования, кото-
рые сопровождают процесс преобразования непрерывного сооб-
щения в ИКМ. Как известно [57], передача телефонных сообще-
ний с помощью ИКМ сопрвождается ошибками квантования и
ошибками решения. Ошибки квантования вызваны квантованием
телефонного сообщения на т уровней, а ошибки решения опреде-
ляются возможностью ошибочного приема кодовой комбинации с
вероятностью Рош из-за воздействия помех. Отношение сигнал-шум
по мощности на выходе демодулятора ИКМ [57]

q2=(m-2 + 2POJa)~l. (9.25)

Первое слагаемое в знаменателе правой части (9.25) представ-
ляет собой шумы квантования, а второе — шумы решения, норми-
рованные относительно полезного сигнала на выходе демодулято-
ра. Если 2Рош<^Щ-2, то максимальное значение отношения сиг-
нал-шум равно q2max — m2. Однако для этого необходимо, чтобы по-
мехи на входе демодулятора были малыми. При конечном (или
заданном) отношении сигнал-шум на входе демодулятора сущест-
вует оптимальное соотношение между шумами квантования и шу-
мами решения, что определяет оптимальное число уровней кванто-
вания. Это следует из того, что вероятность ошибки Рош ЗЗВИСИТ
от числа уровней квантования. Поэтому знаменатель правой ча-
сти (9.25) зависит от т двояким образом: чем больше число уров-
ней квантования, тем меньше шумы квантования, но тем больше1
шумы решения. Поэтому при заданном числе уровней квантования*
и существует оптимальное отношение сигнал-шум на входе демо-
дулятора.

Обозначим через W верхнюю частоту спектра телефонного со-
общения. Соответственно интервал между отсчетами Т=1/21^.
В ги-ичной ИКМ каждый отсчет передается одним из т возмож-
ных ортогональных сигналов длительностью Т. Будем предпола-
тать, что осуществляется некогерентный прием т ортогональных
•сигналов. При демодуляции принимается решение о том, какой
сигнал был принят, и на этом основании восстанавливается от-
счетное значение телефонного сообщения. Вероятность ошибки
при некогерентном приеме т ортогональных сигналов (7.26)

Рош т ~ и—1)/2 ехр (—Л2/2), (9.26)

где отношение сигнал-шум на входе демодулятора

Л2 =РС T/Nn, (9.27)

Рс — мощность сигнала и Na— спектральная плотность мощности
шума на входе демодулятора.

В двоичной ИК1М каждый отсчет телефонного сообщения пере-
дается с помощью кодовой комбинации из k двоичных символов,
причем число квантованных уровней т и k связаны соотношением

т = 2к. (9.28)

Длительность двоичного символа

Tt = T/k, (9.29)

вероятность ошибки при некогерентном приеме двоичных символов
(7.18)

Рош 8 = 0,5 ехр (—Л2/2 k), (9.30)

а вероятность ошибки при приеме кодовой комбинации из k двоич-
ных символов

РОШ k ~ 1 (1 Рош а)* Рош 2’ (9.31)

причем приближенное равенство справедливо при РОш2<;1, что
должно иметь место на практике в реальных линиях связи.

Для /п-ичной ИКМ, подставляя (9.26) в (9.25), и полагая, что
ш»1, получаем

<72 [т~2 + т ехр (—/i2/2)]_ 1. (9.32)

Дифференцируя правую часть (9.32) и приравнивая нулю пер-
вую производную, получаем уравнение m3=2exp(/i2/2), решение
которого определяет соотношение между оптимальными значения-
ми /Иопт и Л2опт. Решая уравнение относительно Л2, находим Л20пт
при заданном т:

Л2пт « 2 In (m’/2). (9.33)

Соответственно при заданном Л2

/попт « (2 ехр h2/2)^. (9.34)

Подставляя (9.33) в (9.32), получаем оптимальное значение (ус-
ловный максимум) отношения сигнал-шум на выходе демодуля-
тора

?опт « т2/3- (9 35)
В свою очередь, при подстановке (9.34) в (9.32) получаем

Ст « 41 /з. 3-1 ехр (Л2/3) = 0,53 (ехр Л2/3); (9.36>

правые части (9.35) и (9.36) равны.

Сравнивая (9.35) с (9.25), замечаем, что <72ОПТ наступает при
Рошт=1М2. Из (9.35) следует, что <?20пт меньше в 3 раза (на
5 дБ) <72тах, существующего при 2РОгат<С/И-2, что возможно лишь
при й2^>21п(/п3/2). Однако существенное увеличение Л2 приводит
к ужесточению требований к каналу связи, что не является целе-
сообразным. Сравним оптимальное значение <?2Опт (9.36) с нижней"
границей отношения сигнал-шум ^2нижн«3-1ехр(й2/3), приведен-
ной в [57]. Из сравнения следует, что д20Пт больше <72Нижн в 1,6 ра-
за, т. е. на 2,1 дБ. В табл. 9.1 приведены оптимальные значения
?%пт дБ и h2опт дб , рассчитанные согласно (9.33), (9.35). Как сле-
дует из таблицы, й2оптдб изменяется в пределах 11,8... 16 дБ при
широком диапазоне изменения т от 16 до 1024. Это объясняется
логарифмической зависимостью /г2 опт от т.

Для двоичной ИКМ, используя (9.30), (9.31) и заменяя k=
= log2m, получаем

q2 « [m-2 + 2(log2 tn) exp (—h2/2 log2 m)]-1, (9.37)"

где отношение сигнал-шум на входе демодулятора определяется"
согласно (9.27). Дифференцируя правую часть (9.37) и приравни-
вая первую производную нулю, находим уравнение 2(1п2)ехр(Л2/'
/21og2m) = т2 (l-|-ft2/21og2m), решением которого является оптималь-
ное значение Л20Пт. Логарифмируя обе части полученного уравне-
ния и полагая, что ft2/21og2m>ln(l+/i2/21og2/n)>ln(21n2), на-
ходим приближенное значение h2опт при заданном tn*

h2m « 4 In 2 (log2 tri)2 = 2,75 k2. (9.38)

Соответственно при заданном h2

/Попт « 2<A’/4 Ш 2)1/2 (9.39)

Подставляя (9.38) в (9.37), получаем оптимальное значение-
(условный максимум) отношения сигнал-шум на выходе демоду-
лятора

?опт w2/(log2 m+ 0- (9.40)

В свою очередь, при подстановке (9.39) в (9.37) получаем

<?2ПТ » 2 ехР (ft2 1п 2)1/2/(Л2 In 2)1/2- (9.41)

Как и ранее, правые части (9.40) и (9.41) равны. В табл. 9.2
приведены оптимальные значения Л2Опт,дб и ?20Пт,дб, рассчитан-
ные согласно (9.38), (9.40).

Как видно из табл. 9.1, 9.2, требуемое Л2Опт,дб при двоичной
ИКМ больше Л2опт, д б при m-ичной ИКМ на 6... 8 дБ. Это объяс-
няется тем, что при m-ичной ИКМ осуществляется прием ортого-
нального сигнала в целом, а при двоичной ИКМ — поэлементный
Т а б к и ц a 9.1. Параметры
m-ичной ИКМ

k m 92опт,дБ ^2опт,дБ
4 16 19,2 11,8
5 32 25,2 12,8
6 64 31,2 13,7
7 128 37,2 14,4
8 256 43,2 15,0
9 512 49,2 15,5
10 1024 55,2 16,0

Таблица 9.2. Параметры
двоичной ИКМ

k m 92опт,дБ ^2опт,дБ
4 16 17 16,4
5 32 22,3 18,4
6 64 27,5 19,8
7 128 33 21,4
8 256 39,5 22,4
9 512 44 23,4
10 1024 49,6 24,4

прием, причем длительность элемента (символа) согласно (9.29) в
k раз меньше ортогонального сигнала.

При воздействии на систему связи с ИКМ — ШПС шумовых по-
мех с ограниченной мощностью необходимо заменить отношение
сигнал-шум Л2 (9.27) на отношение сигнал-помеха Л2П (1.6).

10. ФИЛЬТРАЦИЯ МОЩНЫХ ПОМЕХ

10.1. Мощные помехи и принципы борьбы с ними

При передаче информации на большие расстояния в некоторых
случаях мощность преднамеренной помехи на входе приемника в
его полосе пропускания может значительно превышать (на
20... 50 дБ) мощность сигнала. Борьба с такими мощными поме-
хами в системах связи всегда была и остается серьезной техниче-
ской задачей. Решение этой задачи имеет большое значение еще и
потому, что число различных радиоэлектронных средств возраста-
ет, а диапазоны частот остаются теми же.

Для борьбы с мощными преднамеренными помехами можно ис-
пользовать шумоподобные или сложные сигналы и согласованные
фильтры или корреляторы [58]. Этот метод успешно применяется
в различных радиотехнических системах, в том числе и в системах
связи.

Помехоустойчивость приемника дискретной информации с сог-
ласованным фильтром (или коррелятором) полностью определяет-
ся отношением сигнал-помеха на выходе фильтра

(10.1)

где Е — энергия сигнала; Nn — спектральная плотность мощности
помехи на входе приемника. Если средняя мощность помехи Рп
ограничена и помеха действует в полосе частот сигнала, то Nn=
= P„/F. Поскольку энергия сигнала Е=РСТ, то

^=2р2В, (10.2)
где отношение мощностей сигнала и помехи на входе приемника

Р2 = Рс/Ра- (10.3)

Отношение сигнал-помеха q2n (1.4), (10.2) и отношение сигнал-
помеха h2 (1.6), определяющее помехоустойчивость приема, свя-
заны соотношением q2n = 2h2.

Соотношение (10.2) является основополагающим в технике
борьбы с мощными помехами [58]. Оно показывает, что при до-
статочно большой базе можно получить отношение сигнал-помеха
?2п достаточным для надежного приема, даже если мощность сиг-
нала на входе приемника много меньше мощности помехи, т. е.
если р2<С1. Действительно, пусть, например, р2дБ =—40 дБ, а тре-
буется иметь на выходе <72дб =13 дБ. В этом случае необходимо
применять ШПС с базой Вдб =50 дБ или В=105. Как показывают
энергетические расчеты, в современных системах связи с ШПС
В = 104... 106.

С другой стороны, помехоустойчивость оптимального приемника
при действии помех с ограниченной спектральной плотностью мо-
щности не зависит от формы сигнала и его базы, а определяется
только его энергией согласно (10.1). Помехи, у которых Рп^>Рс,
т. е. р2< 1, называются мощными.

Таким образом, соотношение (10.2) указывает метод борьбы
с мощными преднамеренными помехами: использование ШПС с
большими базами. Этот метод известен давно [58], и он непосред-
ственно следует из теоремы Шеннона [2] о пропускной способно-
сти канала связи с шумами. Эта теорема гласит, что можно най-
ти такие коды, что пропускная способность канала связи

C = F log, (1 +р2), (10.4)

где F — ширина спектра сигналов, равная ширине полосы кана-
ла, р2 — отношение сигнал-помеха по мощности на входе приемни-
ка (10.3). Если действует мощная помеха, т. е. р2С1, то С=
=Ер2/1п2. Соответственно

р2В/С = 1п2. (10.5)

Согласно теореме Шеннона, если имеют место соотношения
(10.4), (10.5), то можно вести передачу информации по такому
каналу со сколь угодно малой вероятностью ошибки. В свою оче-
редь, если в (10.2) заменить Т на 1/1Г, где W— скорость передачи
информации (длительность двоичной единицы), то

q2 = 2p2F/W. (10.6)

Сравнивая (10.6) с (10.5), можно заметить, что если положить
C=W, т. е. вести передачу информации со скоростью, равной про-
пускной способности канала, то значение отношения сигнал-по-
меха q2n пор = 2 In 2 является пороговым для такой системы связи:
если д2п>?2ппор, то ошибка будет сколь угодно малой, если д2п<
<<72ппор, то ошибка резко возрастет в соответствии с теоремой
Шеннона.
Таким образом, соотношение (10.2) и целесообразность приме-
нения ШПС для борьбы с мощными помехами вытекают из теоре-
мы Шеннона. Впервые формула (10.2) была получена для шумо-
вых помех с ограниченной средней мощностью, но она справедлива
и для других помех, в том числе для узкополосных, импульсных и
-структурных (помехи, имеющие ту же структуру, что и полезный
-сигнал) [4, 59]. К структурным помехам относят помехи внутри-
системные, ретрансляционные, имитационные.

В последнее время борьба с преднамеренными помехами в си-
стемах связи ведется в более широком плане: необходимо обес-
печить работоспособность системы связи при одновременном дей-
ствии комплекса помех, например, собственного шума приемника,
мощной шумовой, импульсной и внутрисистемной структурной по-
мех и т. п.

В большей части известных работ рассматривается совместное
воздействие шумовой и узкополосных помех. В этом случае в со-
став оптимального приемника должны входить режекторные филь-
тры, подавляющие узкополосные помехи, что является естествен-
ным. Если просуммировать спектральные плотности узкополосной
и шумовой помехи, то оптимальный прием сводится к приему сиг-
нала на фоне коррелированной помехи (помехи с неравномерной
спектральной плотностью мощности). Эта задача была решена
В. А. Котельниковым в 1947 г. [1]. Он показал, что оптимальный
приемник должен содержать «обеляющий» фильтр, коэффициент
передачи которого тем меньше, чем больше спектральная плот-
ность помехи. По сути дела «обеляющий» фильтр положен в осно-
ву всех оптимальных методов приема сигнала на фоне шумовых и
узкополосных помех при известных параметрах помех и всех адап-
тивных методов приема, когда параметры узкополосных помех не-
известны.

Борьбе с импульсными помехами также посвящено много ра-
бот, но в большинстве случаев используют схему ШОУ (широкая
полоса — ограничитель — узкая полоса), предположенную А. Н. Щу-
киным в 1946 г [60]. Схема ШОУ непосредственно или в модифи-
цированном виде входит в приемники, которые принимают сигна-
лы на фоне шумовых и импульсных помех. Ограничитель подавля-
ет импульсные помехи, но уменьшает отношение сигнал-шумовая
помеха. Совместное использование режекторных (полосовых) филь-
тров и схем ШОУ составляет основу некоторых эмпирических ме-
тодов борьбы с узкополосными, импульсными, шумовыми и струк-
турными помехами [61, 62] и др.

Наряду с эмпирическими методами приема существуют общие
методы синтеза адаптивных приемников [63, 64] и др. Характери-
стики адаптивного приемника должны слабо зависеть от парамет-
ров функций распределения помех. Однако существующие мето-
ды синтеза адаптивных приемников пока еще не дали окончатель-
ного ответа на вопрос, как построить приемник для систем связи
с ШПС и какими характеристиками он будет обладать, хотя об-
щая структура таких приемников известна [65], а именно: это
186
многоканальный приемник, в котором анализатор измеряет уров-
ни помех в каналах и изменяет их коэффициент передачи. В рабо-
те [66] исследован квазиоптимальный адаптивный приемник для
ШПС в виде фазоманипулированного сигнала, который либо под-
ключает канал к выходу, либо отключает его. В системах связ»
оптимальные и квазиоптимальные адаптивные приемники уже дав-
но используют при разнесенном приеме [65 и др.]. Однако разне-
сенный прием осуществляется при малом числе каналов, а совре-
менные приемники ШПС характеризуются большим числом кана-
лов, что обусловливает ряд их особенностей. Поэтому исследова-
ние помехоустойчивости систем связи с ШПС является актуальной
задачей, что подтверждается выходом в свет в нашей стране кни-
ги [65] и выпуском за рубежом специальных номеров журнала
[67, 68].

Таким образом, для борьбы с мощными помехами следует ис-
пользовать ШПС с большими базами, а прием осуществлять с по-
мощью приемников — линейных с согласованными фильтрами, не-
линейных и адаптивных [4, 5, 69].

По своим частотно-временным свойствам помехи с ограничен-
ной мощностью можно резделить на сосредоточенные, узкополос-
ные, импульсные и структурные.

Сосредоточенными помехами называются такие, у которых ши-
рина спектра Fn совпадает с шириной спектра сигнала (сигналов)'
F, т. е. Fn=F и помеха полностью перекрывает спектр сигнала.
Узкополосными помехами являются те, у которых Fy<g.F. Им-
пульсные помехи определяются по длительности ТИ<С7. Структур-
ными помехами называются та-
кие, структура которых подобна
структуре используемых сигна-
лов, т. е. помехи состоят из тех
же элементов, что и сигналы, но
отличаются параметрами манипу- г
ляции. К структурным помехам
относятся все взаимные или си-
стемные помехи, а из организо-
ванных — имитационные и ре-
транслированные.

Для исследования воздействия
комплекса помех на полезный
сигнал рассмотрим распределение

энергии сигнала и помех на час- Рис. 10.1. Частотно-временная плос-
тотно-временной плоскости (рис. кость

10.1) , где выделен базисный пря-
моугольник, площадь которого равна базе полезного сигнала В.
Несущая частота сигнала обозначена как fo. Базисный прямоу-
гольник разбит на частотно-временные элементы (ЧВЭ) с помо-
щью М частотных (горизонтальных) и М временных (вертикаль-
ных) полос. Длительность и ширина спектра ЧВЭ равны
ТЭ=Т/М и F9=FIM соответственно. Штриховкой выделены те ЧВЭ,
в которых энергия произвольной структурной помехи распределе-
на в виде ДЧ сигнала. Толстой горизонтальной линией изображе-
но распределение энергии узкополосной помехи с шириной спектра
Fy, а вертикальной — распределение энергии импульсной помехи
с длительностью Тя.

Воздействие мощных помех существенно зависит от их мощно-
сти. Если спектральная плотность мощности помехи описывается
функцией №(<&), то средняя мощность помехи

Рп= 0- ] N(<»)*<»= J N(f)df. (10.7)

2" о о

Если интеграл в (10.7) сходится (имеет смысл), то мощность
помехи равна некоторой конечной величине. Помехи такого рода
будем называть помехами с ограниченной (постоянной) мощно-
стью. При этом Pn=const. Некторые виды мощных организован-
ных помех нельзя отнести к помехам с ограниченной мощностью,
поскольку у таких помех спектральная плотность мощности по-
стоянна в пределах полосы частот, которая намного шире шири-
ны спектра сигнала. Будем называть их помехами с ограниченной

Рис. 10.2. Распределение энергии ШПС на частотно-временной плоскости
спектральной плотностью. К ним относится заградительная шумо-
вая помеха. Помехоустойчивость приема информации при воздей-
ствии помех с ограниченной спектральной плотностью мощности
не зависит от формы сигналов и полностью определяется отноше-
нием сигнал-помеха (10.1). Для повышения помехоустойчивости
необходимо применять /п-ичные алфавиты.

Распределение энергии полезного сигнала в базисном прямо-
угольнике зависит от типа сигнала. На рис. 10.2 показано распре-
деление ' энергии для четырех наиболее распространенных типов
ШПС: а — для фазоманипулированного (ФМ) сигнала, состояще-
го из N радиоимпульсов длительностью To=T/N (энергия каждого
импульса распределена в вертикальной полосе шириной F и дли-
тельностью То, фазы импульсов (0 или л) указаны над базисным
прямоугольником); б — для дискретного частотного (ДЧ) сигна-
ла, состоящего из L радиоимпульсов, каждый из которых распре-
делен на прямоугольнике со сторонами То и То; в —для дискрет-
ного составного частотного сигнала с частотной манипуляцией
(ДСЧ — ЧМ), состоящего из L радиоимпульсов, которые сгруппи-
рованы в К ЧВЭ длительностью Т'э и шириной спектра F'3\ г — для
дискретного составного частотного сигнала с фазовой манипуляци-
ей (ДСЧ — ФМ), который состоит из К ЧВЭ длительностью Тэ'
и шириной спектра F3', а каждый ЧВЭ содержит S радиоимпуль-
сов. Энергия отдельного радиоимпульса сосредоточена в верти-
кальной полосе со сторонами То и F3. В табл. 10.1 приведены срав-
нительные данные рассмотренных сигналов.

Таблица 10.1. Параметры ШПС

Тип сигнала Число элемен- тарных радиоим- пульсов Число ЧВЭ (дли- на внешнего ко- да) Число импульсов в ЧВЭ (длина внутреннего ко- да) База сигнала
ФМ У — — N
ДЧ L L — L2
дсч-чм L к L/K / \2 £2 = ^2 — \ Л /
ДСЧ-ФМ KS к S K2S

Помехоустойчивость приема ШПС при действии мощных помех
во многом зависит от помехоустойчивости приема отдельного эле-
мента ШПС. Поэтому приведем основные сведения по приему эле-
мента сигнала.
10.2. Оптимальный прием элемента сигнала

Обратимся к рис. 10.1. Он характеризует распределение энер-
гии сигнала и помех на частотно-временной плоскости. Для дан-
ного случая сигнал и помехи совпадают только в одном элементе,
т. е. та или иная мощная помеха поражает один элемент сигнала.
В общем случае число пораженных элементов случайно. Если оно
мало, то этот факт можно использовать для уменьшения воздей-
ствия помехи на сигнал в целом, т. е. реализовать различие меж-
ду частотно-временными структурами сигнала и помех.

Чтобы выяснить особенности приема ШПС с учетом структур-
ных свойств, предварительно необходимо рассмотреть прием эле-
мента сигнала при воздействии различных помех. Оптимальный
прием элемента при воздействии гауссовского случайного процес-
са осуществляется либо с помощью согласованного фильтра, либо
с помощью коррелятора. Так как оба эти устройства эквивалент-
ны с точки зрения помехоустойчивости, то будем рассматривать
прием с помощью согласованного фильтра.

При приеме информации производится отсчет напряжения на
выходе согласованного фильтра в момент окончания сигнала (в
момент принятия решения). При рассмотрении приема элемента
также будем интересоваться напряжением в момент окончания
элемента.

Максимум сигнальной составляющей на выходе согласованно-
го фильтра в общем случае будет в момент окончания сигнала:

V=VEH, (10.8)

где Е — энергия сигнала,

Н= — J |Jfe(®)|2d® = 2 J \k df (10.9)

я о о

— постоянная фильтра.

В формуле (10.9) k((d)—коэффициент передачи согласованно-
го фильтра, а постоянная а=У ЩЕ.

Для элемента максимум сигнальной составляющей на выходе
согласованного с ним фильтра (элементного согласованного филь-
тра) согласно (10.8)

v0=VEjr0, (10.10)

где Ео — энергия элемента; Но — постоянная фильтра, определяе-
мая в соответствии с (10.9).

Для пояснения постоянной фильтра Но (или Н) рассмотрим
следующий пример. Предположим, что элемент обладает равно-
мерным амплитудным спектром шириной Fo в пределах полосы
частот. В этом случае элементный согласованный фильтр будет
иметь постоянный в этой полосе модуль коэффициента передачи
/Со- В соответствии с формулой (10.9) получаем Ho=2Ko2Fo. Если
амплитудный спектр элемента (сигнала) и модуль коэффициента
передачи отличаются от равномерных, то при заданном макси-
мальном усилении фильтра, равном Ко, постоянная фильтра про-
порциональна^ полосе частот шириной Fo. Из (10.10) находим, что
Vo = KoVr 2EoFo, т. е. максимум сигнальной составляющей на вы-
ходе элементного согласованного фильтра пропорционален коэф-
фициенту усиления фильтра. Аналогичное соотношение можно най-
ти и для V (10.8).

Сосредоточенная шумовая помеха. Предположим, что шумовая
помеха является гауссовским случайным процессом с равномер-
ной спектральной плотностью мощности Na в пределах полосы ча-
стот шириной Fo. Так как P„=N„F0, то спектральная плотность
мощности помехи N„=P„/Fo. Для помех с ограниченной средней
мощностью Pn=const увеличение ширины спектра приводит к
уменьшению спектральной плотности мощности Nn. Это является
основной причиной повышения помехоустойчивости при действии ор-
ганизованных помех с ограниченной плотностью и при действии
взаимных помех.

Мощность помехи на выходе произвольного фильтра по опре-
делению

Л:вых= J (10.11)

Подставляя в (10.11) N(f)=N„ и используя (10.9), получаем

Рпвых = ^пЯ0/2. (10.12)

Отношение сигнал-шумовая помеха по мощности на выходе эле-
ментного согласованного фильтра (элементное отношение сигнал-
шумовая помеха)

<7^=^О/Рп.вых.ш = 2 £0/^п. (10.13)

Заменяя энергию сигнала согласно формуле Ео=РсТо, a Nn =
=PnF0, находим, что

<7о2ш=2р2В0( (10.14)

где

B0 = F0T0 (10.15)

— база элемента. Если вместо Во в (10.14) подставим базу сигна-
ла В, то получим отношение сигнал-помеха для полного сигнала.
Чем больше база элемента (сигнала), тем больше отношение сиг-
нал-помеха, т. е. сильнее подавляется помеха с ограниченной мощ-
ностью.

Узкополосная помеха. Пусть узкополосная помеха на входе яв-
ляется гармоническимколебанием, а ее мощность РП. Эффектив-
ное значение будет V Рл, а амплитуда У 2РЛ. После прохождения
через согласованный фильтр с коэффициентом усиления Ко ампли-
туда помехи станет Vy=AoK2Pn. Соответственно мощность поме-
191
хи на выходе будет РПвыху=Ко2Рп. При этом элементное отноше-
ние сигнал-узкополосная помеха

<72оу=—=2р2В0. (10.16)

Рп вых у

Таким образом, и при действии узкополосной помехи имеем вы-
игрыш в отношении сигнал-помеха в Во раз.

Импульсная помеха. На входе действует импульсная помеха в
виде радиоимпульса с амплитудой UH и длительностью ти. Мощ-
ность в импульсе или импульсная мощность Ри = ^и2/2, а средняя
мощность источника помехи Рп=РиТи/7’п, где Т„ — период повторе-
ния импульсов. Максимальное напряжение на выходе согласован-
ного фильтра в момент отсчета при действии импульсной помехи
с Ти'СТ’о раано Уи=аОяуг2Рс, где а=]/" Но/Е, Gk=U„t„I2 — спек-
тральная плотность импульсной помехи. После простых преобра-
зований получаем, что мощность помехи на выходе Рп — Яо21^и2ти2=
= 2РиЯоТи2.

В этом случае элементное отношение сигнал-импульсная поме-
ха 92ои=У2и/Рп выхи= (2Рс/Ри) (То/ти)2. Если положить, что ти«
«1/F, то

(10.17)
“п

т. е. выигрыш в отношении сигнал-помеха пропорционален Во2. Од-
нако этот результат получен для импульсной мощности Рн. По-
скольку средняя мощность Рп = РиТи/7’п, то qo»2= (2РС/РП)Х
X(Ро/тиТп). Если период повторения Тп=То, Fo~1/th, то

^и = ^-СТ =2Раво- (10.18)

гп ти

Таким образом, выигрыш в отношении сигнал-помеха пропорцио-
нален базе Во.

Сравнение действия помех. Будем считать, что средняя мощ-
ность источника помехи ограничена. Это означает, что средняя
мощность помехи на входе приемника также не может превышать
некоторого предельного значения. Поэтому при сравнении дейст-
вия трех рассмотренных помех положим, что в формулах (10.14),
(10.16), (10.18) средняя мощность помехи Рп=const. Из отмечен-
ных формул следует, что при р2=const выигрыш в отношении сиг-
нал-помеха, равный отношению q2olp2, пропорционален базе эле-
мента Во (в общем случае пропорционален базе сигнала В). Та-
ким образом, при заданной средней мощности подавление различ-
ных помех за счет увеличения базы примерно одинаково и про-
порционально базе.

Если р2СВ, то необходимо увеличивать энергию сигнала, т. е.
составлять сигнал из большого числа элементов и осуществлять на-
копление элементов.
В тех случаях, когда узкополосная или импульсная помеха
воздействует на весь сигнал, в формулах (10.16), (10.18) надо за-
менить базу элемента Во на базу ШПС В.

10.3. Накопление элементов

Предположим, что сигнал состоит из М элементов. Если дей-
ствуют помехи, отличающиеся от гауссовского случайного стаци-
онарного процесса с равномерной спектральной плотностью мощ-
ности («белый» шум), то различные элементы сигнала могут быть
поражены помехами по-разному: одни элементы могут быть пора-
жены сильнее, другие слабее. Поэтому элементные отношения сиг-
нал-помеха для различных элементов будут различными. При этом
возникает вопрос, как оптимальным образом принимать сигнал
при действии подобной нестационарной и коррелированной поме-
хи. Чтобы упростить решение задачи, предположим, во-первых, что
элементы сигнала не перекрываются или по частоте (многочастот-
ные сигналы), или по времени (фазоманипулированные сигналы),
или и по частоте, и по времени (дискретные частотные сигналы).
Это означает, что элементы взаимно-ортогональны. Неперекрыва-
ющиеся элементы можно оптимальным образом обрабатывать с
помощью элементных согласованных фильтров. Сигнальные сос-
тавляющие на выходе элементных согласованных фильтров из-за
ортогональности элементов также будут ортогональны. Во-вторых,
предположим, что составляющие на выходах элементных согласо-
ванных фильтров статистически независимы. Такое предположе-
ние будет иметь место, если помехи являются гауссовскими слу-
чайными процессами из-за ортогональности элементов. В случае
воздействия иных помех их возможной коррелированностью мож-
но пренебречь.

При сделанных предположениях прием каждого элемента ха-
рактеризуется своим элементным отношением сигнал-помеха. Под-
робно вопрос об обработке элемента рассматривался в предыду-
щем параграфе. После обработки элементов по отдельности необ-
ходимо определить, как производить суммирование (накопление)
напряжений с выходов элементных согласованных фильтров. Пред-
положим, что осуществляется прием с полностью известными па-
раметрами. При этом прием элементов и накопление будут коге-
рентными. Считая накопление когере!нтным, остается выяснить, с
какими весовыми коэффициентами необходимо суммировать на-
пряжения с выходов элементных согласованных фильтров. Сна-
чала рассмотрим случай линейного накопления, когда эти напря-
жения суммируются непосредственно без весовых коэффициентов.

Линейное накопление. Обозначим через zn напряжение на вы-
ходе элементного согласованного фильтра с номером п в момент
окончания элемента. Оно равно сумме сигнальной составляющей
Vn и помеховой составляющей gn, т. е. zn=Vn+£n. Положим, что
среднее значение помехи mi{gn}=0, а ёе дисперсия М2{£п}=сгп2.
При этом среднее значение величины mi {z} = Vn, а ее дисперсия
M2{zn}«=<j2n.
Элементное отношение сигнал-помеха

= (Ю.19)

При линейном накоплении на выходе накопителя в момент
окончания сигнала

2=S zn=V+l, (10.20)

n=l

где
м м

V = S (10.21), (10.22)

П-1 П=4

Среднее значение (10.20) mi{z} = V, а дисперсия
м

Ма{*}=2 (Ю.23)

Л=1

Равенство (10.23) справедливо при статистической независимо-
сти случайных величин £п, что было предположено ранее. Обычно
это имеет место на практике в большинстве случаев. Отношение
сигнал-помеха на выходе линейного когерентного накопителя рав-
но

/ М \2 I М

S Vn) / U < (10-24)

\п=1 / / п=1

Проиллюстрируем формулу (10.24) на простом примере. Поло-
жим, что все сигнальные составляющие равны Vo, а дисперсии
помехи принимают два значения <т2о и o2i, причем будем считать,
что О12^>а02. Предположим, в т элементах действует помеха с дис-
персией Oi2, а в оставшихся М—т — помеха с дисперсией Сто2. Со-
ответственно элементные отношения сигнал-помеха (10.19) рав-
ны <?о2= Vo2/cto2 и ^i2= Vi2/oi2. Так как ^12<С^о2, то обозначим

<ак (10.25)

Подставляя введенные значения в (10.24) и преобразуя, по-
лучаем

Жаж=f 1 + W 1)!’1 • (Ю-26)

На рис. 10.3 кривыми 1, 2 представлены зависимости (10.26).
Кривая 1 соответствует значениям ?о2 = 1, <7i2=0,1, т. е. отношение
<7о2/<712 = 1О, а кривая — значениям <7о2 = 1, <7i2=0,01, т. е. отноше-
ние <7о2/^12 = ЮО. Из рассмотрения этих кривых следует, что с по-
явлением элементов, на которые воздействует мощная помеха,
суммарное отношение сигнал-помеха резко падает. С увеличением
т/М суммарное отношение сигнал-помеха стремится к своему пре-
дельному значению; ^2=Л1^12, а кривые 1, 2 на рис. 10.3 — к зна-
чению q^/qo2- При т=0 отношение <72/<72тах=1.
Формула (10.26) получена при условии, что суммарная диспер-
сия (мощность) более сильной помехи увеличивается пропорци-
онально т, o2max=/n<Ti2, где <Ti2=const. Положим теперь, что
постоянной является суммарная дисперсия <T2imax мощной поме-
хи, т. е. положим о21 max=const. При этом дисперсия, приходящая-
ся на один элемент, равна

°!=Чпах/'« (Ю-27)

и уменьшается с ростом т. Обозначая

(10.28)

из (10.26) получаем

?а/^х = 11 + (т/М) (</2/92mIn tn—1)1->. (10.29)

Формула (10.29) справедлива при т=1, М, так как
при т->0 дисперсия (10.27) a2i->oo. При т=0 отношение
92/^2тах=1, по определению. Положим ^21 т!п= 10-2, <7о2=1, а
Л4=10. Отношение ^o2/<72min=lO2. При этих данных кривая 3 на
рис. 10.3 представляет зависимость (10.29). Как видно из рисунка»

распределение помехи по элементам
не имеет особого значения, так как от-
ношение сигнал-помеха (10.29) остает-
ся практически постоянным и малым,
а кривая 3 — по сути дела прямая
линия.

Кривые 1, 2, 3 были рассчитаны
для случая, когда мощная помеха име-
ла превышение по мощности в 10—
20 дБ, т. е. такую помеху нельзя при-
знать чрезмерно мощной. Но даже в
этом случае наличие мощной помехи
вызывает резкое уменьшение суммар-
ного отношения сигнал-помеха. Если
мощная помеха станет более сильной,
то возрастет ее влияние на уменьшение
суммарного отношения сигнал-помеха.

Рис. 10.3. Зависимость отноше-
ния сигнал-помеха от числа
пораженных элементов ШПС

Резкое уменьшение суммарного отношения сигнал-помеха на
начальном участке кривых 1, 2 (рис. 10.3) обусловлено появлени-
ем пораженных элементов, которые в общую сумму (10.20) вно-
сят основную долю шумов с большой мощностью. Естественно, что

если отказаться от линейного накопления и суммировать напря-
жения с выходов элементных фильтров с весовыми коэффициен-

тами, то можно уменьшить влияние поражённых элементов на сум-
марное отношение сигнал-помеха. Очевидно, что чем меньше эле-

ментное отношение сигнал-помеха, тем с меньшим весом оно дол-
жно входить в общую сумму. Это случай оптимального линейно-
го накопления. Подобная задача решена в теории разнесенного

приема.
Оптимальное линейное накопление. При когерентном весовом
накоплении
м

2 =2 Фп2п = Уф + &р, (10.30)

Л=1

где фп — весовые коэффициенты, а
м м

<PnVn, £ф=2 ФЛ- (10.31), (10.32)

л=1 л=1

Среднее значение mjz} = Уф, а дисперсия
м

М2{г]=о2=2 ф2ц2 . (Ю.ЗЗ)

Л=1

Величина

^ = ^ф/<>ф (10.34)

является отношением сигнал-помеха на выходе когерентного весо-
вого сумматора. Подставляя (10.31) и (10.33) в (10.34), полу-
чаем

/ М \2 / М

«= S ф»к.) / 3 ФХ-

\л—1 / / л=1

(10.35)

В соответствии с отмеченным ранее, необходимо определить
веса фп, которые максимизируют отношение сигнал-помеха q2
(10.35). Эта задача имеет следующее решение:

(Pn = yn/°n. (Ю.36)

Таким образом, чтобы получить максимум числителя в (10.35),
необходимо выбирать весовые коэффициенты пропорционально
сигнальной составляющей и обратно пропорционально дисперсии
(мощности) помеховой составляющей на выходе элементного со-
гласованного фильтра.

Максимизация числителя в (10.35) влечет за собой максими-
зацию отношения сигнал-помеха. Полагая, что условие максими-
зации (10.36) выполняется, окончательно получаем

л=1

(10.37)

В этом случае отношение сигнал-помеха равно сумме элемент-
ных отношений сигнал-помеха. Поясним равенство (10.37) тем же
простым примером, что и при линейном накоплении. Допустим, что
в m элементах из М элементное отношение сигнал-помеха равно
?i2, а в М-m элементах q2o и (piCqJ. Подставляя значения q02,
qi2 в (10.37) и преобразуя полученное выражение, находим:

q*/q2aах = 1 -(m/M) (1 -q2/q2). (10.38)

где 92тах=М9о2. Зависимость (10.38) изображена на рис. 10.3 пря-
мой 4 для отношения <7o2/9i2 = 1O. При m—M q2lqi2max=qi2lqo\ т. е.
q2=Mqi2. С уменьшением отношения qflqo2 отношение (10.38) стре-
мится к следующему пределу:

№х = 1-т/М. (10.39)

График зависимости (10.39) изображен на рис. 10.3 прямой 5.
ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ ПОСТОЯННОЙ Суммарную МОЩНОСТЬ ПОМеХИ O2i max, то

<72/<72 ах =1 —(т/М) (1 —<7?min mfq2) (10.40)

Зависимость (10.40) для значений <7o2/<72i min= 100, М = 10 пред-
ставлена кривой 6 на рис. 10.3 (между прямыми 4 и 5).

10.4. Фильтрация сосредоточенных помех

В § 10.2 было рассмотрено воздействие шумовой помехи, дей-
ствующей на произвольный элемент сигнала. Обратимся к воздей-
ствию сосредоточенной шумовой помехи, полностью перекрываю-
щей спектр всего сигнала.

Сосредоточенная помеха с равномерным спектром. Предполо-
жим, что сосредоточенная шумовая помеха является гауссовским
стационарным случайным процессом с равномерной спектральной
плотностью мощности Nn в пределах полосы частот сигнала шири-
ной F. Если мощность помехи Р„, то ее спектральная плотность
мощности Nn=Pn/F, а отношение сигнал-помеха на выходе согла-
сованного фильтра аналогично (10.2), (10.14) будет <72п = 2р2В.
Как при одном элементе, так и в случае сигнала в целом, чем боль-
ше база, тем больше отношение сигнал-помеха q2 на выходе по
сравнению с отношением сигнал-помеха р2=Рс/Рп на входе. Поэ-
тому с ростом базы сигнала подавление сосредоточенной помехи
увеличивается.

Сосредоточенная помеха одинаковым образом действует на все
элементы сигнала. Если они обладают равными энергиями, то эле-
ментные отношения сигнал-помеха q2a (10.19) равны между собой.
В результате оптимальным накоплением будет линейное, поскольку
весовые коэффициенты (10.36) также равны между собой. И в
этом случае набор каналов сводится к одному фильтру, согласо-
ванному с сигналом.

Отношение сигнал-помеха q2n (10.2) пропорционально отноше-
нию сигнал-помеха р2 на входе приемника. Кратко поясним, чем
определяется отношение р2. Мощность сигнала Рс на входе прием-
ника определяется мощностью передатчика Рпер создающего по-
лезную информацию, КНД антенн передатчика £>ПеР и приемника
Опр, расстоянием до передатчика г, условиями распространения ра-
диоволн. В свою очередь мощность помехи Рп на входе приемника
определяется мощностью передатчика Рпер, создающего помеху,
КНД его антенны Опер.п, КНД антенны приемника в направлении
передатчика помехи ОПрп, расстоянием до него гп и условиями рас-
пространения радиоволн. Полагая, что условия распространения
радиоволн одинаковы, имеем
Рс Рпер -Рдер -Рдр / гп \v

р ~~ р D г> I г I • (lu.vij

*п ^пердь'дерпь'прд \ ' /

где v зависит от среды, в которой распространяются радиоволны.
Для свободного пространства v=2. При использовании УКВ сле-
дует полагать, что v=4. Из (10.41) видно, что отношение Рс/Рп
включает в себя основные технические и пространственные харак-
теристики системы передатчик — приемник—передатчик помехи.
Величины правой части (10.41) определяют стоимость и во мно-
гом эффективность системы связи и системы разрушения информа-
ции. Таким образом, отношение Рс/Рп имеет большое практическое
значение при разработке радиотехнических систем. В зависимости
от отношений параметров, входящих в правую часть (10.41), и,
особенно, от Гп/г отношение Рс/Рп может быть различным, в том чис-
ле много меньшим единицы. Если Гп/г изменяется, то и PdPa изме-
няется, но более резко. Расчеты показывают, что отношение Рс/Рп
может достигать значений (10... 120) дБ. Из формулы (10.2) сле-
дует, что если даже PJPn= р2то величина q2, которая опреде-
ляет помехоустойчивость приема информации (<72=2Л2), может
быть сделана существенно больше единицы. Следовательно, уве-
личивая базу используемых сигналов В, можно достигнуть заданно-
го значения q2.

Совместное воздействие помех и шума. Используя ШПС с
большими базами, можно «извлекать» сигналы из-под помехи, во
много раз превосходящей сигнал по мощности. Предел увеличения
этой способ|ности определяют собственные шумы приемника, у ко-
торых спектральная плотность мощности постоянна и равна Л/о и
практически не изменяется с изменением полосы пропускания.

Известно, что при воздействии сосредоточенной помехи с мощ-
ностью Рп и собственного шума приемника со спектральной плот-
ностью No, отношение сигнал-помеха на выходе

(10 42)

где q2=2E/No — отношение сигнал-шум; Pm=N0F— мощность соб-
ственного шума, попадающего в полосу пропускания шириной F.
Если РШ»РП, то q2mn~q2, а если Рш<СРп, то с собственным шумом
приемника можно не считаться. При этом ц2Шп (10.42) совпадают
с<72п (10.2).

Из приведенных результатов следует, что помехоустойчивость
при воздействии сосредоточенных помех определяется р2 = Рс/Рп и
базой используемых сигналов. Отметим, что полученный результат
справедлив при двух условиях — сосредоточенная помеха является
гауссовским случайным процессом и обладает равномерной спек-
тральной плотностью. Во многих случаях эти условия не выполня-
ются, например, при действии мощной структурной помехи. В этих
случаях помехоустойчивость в значительной мере определяется по-
добием и различием структур сигнала и помехи, т. е. тем, как по-
давляются отдельные элементы сигнала помехой.
Сосредоточенная помеха с неравномерным спектром. Допустим,
что помеха является стационарным случайным процессом с нера-
вномерной спектральной плотностью мощности АГ (ко). В этом слу-
чае коэффициент передачи согласованного фильтра определяется
следующим выражением (см., например, [4, 5]):

(10.43)
N (со)

где с — постоянная; g(<o) — спектр сигнала. Отношение сигнал-
помеха при этом определяется выражением

о — — f s v ' d®. (10.44)

При определении влияния изменения формы спектров в форму-
ле (10.44) на отношение сигнал-помеха при условии, что фильтр
всегда согласован с сигналом, обычно полагают постоянными энер-
гию сигнала

— f lg(®)l2d® (10.45)

я о

и мощность помехи на входе фильтра (10.7).

При изменении спектров сигнала и помехи могут быть два слу-
чая. В первом случае задается спектр помехи N(<a), а спектр сиг-
нала выбирается так, чтобы получить максимальное значение q2,
которое обозначим <72тах. Во втором случае задается спектр сиг-
нала, а спектр помехи выбирается так, чтобы на выходе фильтра
получить минимальное значение <72min- В обоих случаях с измене-
нием спектров фильтр перестраивается так, чтобы быть согласо-
ванным в соответствии с формулой (10.43).

Изменение спектра сигнала. Поскольку |g(®) |2^0 и ?/(®)^0,
то из формулы (10.44) получаем неравенство

9 00 9 Л7

-J— f |g(®)l2d® = . (10.46)

ло '’min

Здесь Nm\n— наименьшее минимальное значение спектральной
плотности помехи, поскольку в общем случае минимумов N (ко)
может быть несколько. Чтобы q2 достигло значения <72тах =
= 2Е/Ут1п, необходимо сосредоточить спектр сигнала в той обла-
сти частот, где ЛГ(®) =Afmin или близко к этому значению, что вле-
чет за собой сужение спектра сигнала.

Если ширина спектра помехи Fn—Wn/2n и мощность помехи
(10.7) койечна, то средняя спектральная плотность помехи

ЛГср==2лРп/Гп. (10.47)

Для помехи с равномерным спектром всегда выполняется ра-
венство ЛГт1п=ЛГср=ЛГо. Если в этом случае помеха перекрывает
сигнал по спектру (ширина спектра сигнала F^Fn), то максималь-
ное значение отношения сигнал-помеха q2max=2E/N0.
Для помехи с неравномерным спектром всегда справедливо не-
равенство Nmln<.Ncp=No.

Таким образом, любая неравномерность спектра помехи дает
принципиальную возможность увеличить отношение сигнал-помеха
в случае подстройки спектра сигнала под помеху.

Изменение спектра помехи. Помеха подстраивается под сигнал,
а фильтр — под сигнал и помеху согласно (10.43). Помеха выбира-
ется так, чтобы получалось минимальное значение отношения сиг-
нал-помеха, т. е. ^2=92min. Это вариационная задача на условный
экстремум. Действительно, изменяя N (®), надо минимизировать
интеграл (10.44) при условии, что мощность помехи (10.7) Рп =
=const. Такая задача относится к изопериметрическим. Ее реше-
нием является спектральная плотность

(10.48)

Поскольку % постоянная величина, спектральная плотность по-
мехи должна совпадать по форме с амплитудным спектром сиг-
нала. Соответственно

(10.49)

При этом обязательным условием является существование интегра-
ла от правой части равенства (10.49). Отметим, что для реальных
сигналов данное условие всегда выполняется. Решение (10.48) со-
ответствует минимуму интеграла (10.44):

I'M
* п I о

(10.50)

Предположим, что сигнал и помеха сосредоточены в некото-
рой области частот 3, ширина которой TF=2nF. При этом энергия
сигнала и мощность помехи определяются выражениями (10.45),
(10.7), в которых пределы интегрирования определяются областью
S. Согласно неравенству Буняковского — Шварца из формулы
(10.50) следует, что

<72in< — — f d® — Г |g(®)|2dco ==—==— . (10.51)

Vm,n^Pn я j я 2 ’ nPa Pa

Равенство в (10.51) выполняется только при |g(®) | =const. В
этом случае 1У(ф) =ЛГ0=Рп/В=const и максимальное значение
q2min=2E/N0. Таким образом, если помеха подстраивается под сиг-
нал, то максимум отношения сигнал-помеха будет тогда, когда
спектр сигнала равномерный.

Выразим q2 через отношение мощностей сигнала и помехи. По-
скольку средняя мощность сигнала на входе фильтра PZ=EIT, то
максимальное значение <72min=2p2B. Отсюда следует, что отноше-
ние сигнал-помеха на выходе фильтра возрастает по сравнению с
отношением сигнал-помеха на его входе в 2В раз.
Помеха в виде суммы белого шума и узкополосных помех. Ска-
занное ранее относилось к случаям, когда либо сигнал подстраи-
вался под помеху, либо помеха — под сигнал. На практике пред-
ставляет интерес оценка отношения сигнал-помеха для случая,
когда помеха равна сумме белого шума со спектральной плотно-
стью No и узкополосных помех. Будем считать, что спектры узкопо-
лосных помех не перекрывают друг друга. Пусть k-я узкополос-
ная помеха сосредоточена в полосе частот 2nFk, а ее спектральная
плотность постоянна в этой полосе частот и равна Nk. Обозначим
область частот, где действует белый шум и k-я узкополосная по-
меха, через Зь, а где только белый шум — через So.

При таких предположениях из формулы (10.44) получаем

9*=“ f lg(®)l9d®+3 -тЛпГГ J IS(®)l2de>- (Ю.52)
"AT# з0 * я(ЛГ* + ^) sh

Суммирование производится по всем k. Имеем

’"Ifi1-? (10.53)

Допустим, что Nk^No. Тогда

£*)- (10S4)

Из выражения (10.54) следует, что отношение сигнал-помеха
зависит от отношения части энергии сигнала, приходящейся на
все частотные участки, где действуют узкополосные помехи, к пол-
ной энергии сигнала. Обозначая суммарную энергию всех узкопо-
лосных помех через

Ек, (10.55)

выражение (10.54) записывается в следующем виде:

(10-56)

Таким образом, чем больше энергия сигнала Е по сравнению
с суммарной энергией помех ЕП, тем больше отношение сигнал-по-
меха.

Оценим влияние на величину q множителя NJ (Nk+No) в фор-
муле (10.53). Пусть спектральные плотности всех узкополосных
помех одинаковы и равны Nto. Полагая Nko>No, из (10.53) при-
ближенно получаем, что

<?2 « — ( 1 —. (10.57)

40 No \ Е ^NboE ) ' '

Третье слагаемое в (10.57), отсутствующее в (10.56), обусловлено
учетом множителя Nk/(Nk-\-N0) в формуле (10.53). Чем больше
отношение Nm/N0, тем меньше влияние этого слагаемого и, следо-
вательно, множителя Л^Д-УйХУо) в (10.53). Это объясняется тем,
что с ростом Nm/No коэффициент передачи фильтра на тех часто-
тах, где есть узокополосная помеха, в (No+Nkoj/NoXtNwINo раз
меньше по сравнению с коэффициентом передачи на тех частотах,
где помех нет. Чем больше Nm(No, тем меньше влияние тех частот-
ных участков, где есть узкополосные помехи. К такому оптималь-
ному методу приема будет близок неоптимальный, который сейчас
и рассмотрим.

Допустим, что фильтр согласован с сигналом, принимаемым на
фоне белого шума, а узкополосные помехи вырезаются полностью
режекторными фильтрами.

Отношение сигнал-помеха на выходе фильтра

lg(p)\*da. (10.58)

Окончательно имеем

’’=£г(,-?т)- <10к»

Сравнивая (10.53) и (10.59), замечаем, что разница между ни-
ми определяется множителем #&/(#&+Wo) в формуле (10.53). С
ростом отношения Nk/No эта разница уменьшается.

Произвольная помеха. Допустим, что фильтр согласован с сиг-
налом в предположении, что помехой является белый шум, а в
действительности помеха обладает неравномерным спектром N(a).
В этом случае отношение сигнал-помеха

(?2 = £2 /_L j |g(®)|2 jV(®)d®V‘ . (10.60)

\2 n о /

Допустим, что спектр сигнала постоянный в полосе частот
Спектральная плотность сигнала записывается в следую-
щем виде:

G20 = aE/W = E/2F. (10.61)

Подставляя (10.61) в (10.60) и учитывая (10.7), находим

q2 = 2EF/Pa. (10.62)

Если Е и РП — постоянные величины, то отношение сигнал-по-
меха увеличивается с ростом F независимо от вида помехи. Для
помехи с постоянным спектром No в полосе сигнала мощность
Pn—NoF. Тогда (10.62) превращается в известное выражение
q2=2EINo.

Отношение сигнал-помеха (10.60) примет наименьшее значе-
ние <72min тогда, когда интеграл примет максимальное.

Минимум имеет место при условии

Ig (<о)|а =6 N (со). (10.63)

Условие (10.63) означает, что спектральная плотность наиболее
мешающей помехи совпадает по форме с энергетическим спектром
сигнала. Окончательно имеем

/72/1 оо \—1

^in = ^ - J . (10.64)

гп \ я о /

Если допустить, что спектр сигнала равномерный в полосе ча-
стот F, то (10.64) сведется к q2min=2E/NQ.

Оценим, к каким потерям в отношении сигнал-помеха приво-
дит неравномерность спектра сигнала. Предположим, что спектр
сигнала сосредоточен в полосе частот от 0 до Г, а энергетический
спектр сигнала

Ig- (®)|2 =G2 + х2 cos (/ ®/F). (10.65)

Здесь I — целое цисло, а и — характеристика неравномерности.
Подставляя (10.65) в (10.64), получаем

о 2EF I , . х4 \-1

• (10-66)

Второй множитель в формуле (10.66) определяет потери g2min,
обусловленные неравномерностью спектра сигнала. Если x2=Go2
(наихудший случай), то потери отношения сигнал-помеха составят
1,78 дБ. Отметим, что величина потерь не зависит от формы спект-
ра сигнала, так как в формулу (10.66) не входит величина /, оп-
ределяющая характер изменения спектра (10.65). Это связано с
принятой аппроксимацией спектра сигнала (10.65).

Необходимо отметить, что если сигнал или помеха в согласо-
ванном фильтре подстраиваются друг под друга, то наиболее часто
встречающимся на практике является случай, когда сигнал и по-
меха обладают равномерными спектрами в одной и той же полосе
частот.

С точки зрения постановщика помехи необходимо так подстраи-
вать помеху, чтобы имело место равенство ЛГ(<в) =a|g(<o| (10.48),
где а — постоянная размерная величина. Это равенство определяет
характер оптимального воздействия помехи: сильнее подавлять те
спектральные составляющие сигнала, которые переносят большую
часть энергии сигнала. Если помеха имеет резкий пик в своем
спектре, то согласно (10.43) усиление согласованного фильтра в
области частот пика резко снижается и в этой области частот сог-
ласованный фильтр становится режекторным и исключает эту
мощную часть помехи. Здесь имеется полная аналогия между оп-
тимальным накоплением с весовыми коэффициентами (10.36) и
согласованным фильтром (10.43). Весовой коэффициент (усиление
фильтра) пропорционален сигнальной составляющей (по напряже-
нию) и обратно пропорционален мощности помехи.

В свою очередь любой «провал» в спектре помехи позволяет
согласно (10.43) увеличить усиление согласованного фильтра и тем
самым повысить отношение сигнал-помеха (10.44). Поэтому систе-
ма постановщик помехи — приемник находится в динамическом
203
равновесии только тогда, когда спектр сигнала и спектр помехи
равномерны. При этом ни одна из сторон не получает дополни-
тельного выигрыша в повышении (понижении) помехоустойчиво-
сти из-за неравномерности спектра. Точно такой же результат сле-
дует, из рассмотрения кривых рис. 10.3, которые сходятся в точке
т=М, т. е. когда помеха действует на все элементы. Особенно
показательно сравнение прямых 3 и 4. Прямая 3 характеризует
снижение помехоустойчивости, если помеха воздействует на т
элементов, а в приемнике не принято специальных мер по защите
от мощных помех и накопление в приемнике линейное. Если при-
няты меры по защите от мощных помех в виде оптимального на-
копления (прямая 4), то это обеспечивает существенный выигрыш
в помехоустойчивости. И только в точке т=М этого выигрыша
нет. При этом выигрыш в помехоустойчивости согласно (10.2) мож-
но обеспечить только за счет увеличения базы сигнала.

Если помеха не является стационарной, то сначала целесооб-
разно рассматривать ее воздействие на элементы сигнала, а за-
тем учитывать результаты накопления.

10.5. Реальная база и помехоустойчивость ШСС1

При выводе основной формулы (10.2) <?2п=2р2В обычно полага-
ют, что ширина спектра помехи равна ширине спектра сигнала F.
Следует отметить, что соотношение (10.2) справедливо при некото-

рых непринципиальных предположениях и для ряда других пред-

намеренных помех.

Если на входе приемника Рс/Рп<С,1, то используя ШПС с ба-
зой В^>1, можно получить отношение сигнала к помехе ^2П^>1 и
тем самым обеспечить надежную связь. В этом и состоит выигрыш
в применении ШПС в системах

Рис. 10.4. Спектр ФМ сигнала

связи при действии преднамерен-
ных помех. Однако определение
реальной помехоустойчивости и
выигрыша в помехоустойчивости
согласно (10.2) затруднено тем,
что при расчете по (10.2) возни-
кают недоразумения в определе-
нии ширины спектра сигнала.
Для примера рассмотрим рис.
10.4, на котором приближенно
изображен спектр в виде функции

g (7) =[sin я (7—70) т0]/[я (/—/0) т0]

фазоманипулированного (ФМ) сигнала на несущей частоте 7о, где
то — длительность одиночного импульса, а число импульсов N—
— Т/го.

* Материал данного параграфа написан на основе совместной работы с
В. Н. Талызиным [70].
На рис. 10.4 приведены два определения ширины спектра.

Видно, что при формальном вычислении при F=F2 база будет
больше, чем при F=Fi. Соответственно и помехоустойчивость сог-
ласно (10.2) при F=F2 будет больше. Но постановщику предна-
меренной помехи нет необходимости использовать помеху с равно-
мерной спектральной плотностью мощности при неравномерном
спектре сигнала, так как при этом ее эффективность падает [4].
С точки зрения постановщика помехи целесообразно использовать
помеху со спектральной плотностью мощности (10.48) Л^®)^
=a|g(<o)|, где |g(a>) | —модуль спектральной плотности сигнала,
а — размерный коэффициент пропорциональности, определяемый
из условия ограниченности средней мощности помехи Рп=const,
размерность [а] = [Вт/В].

Если помеха выбирается под заданный сигнал согласно (10.48),
то отношение сигнала к помехе 9$мин будет минимальным [4]. В
соответствии с (10.2) имеем

?min = 2 Р2 ВЮ1П. (10.67)

где Bmin — коэффициент, определяющий минимальный или реаль-
ный выигрыш в помехоустойчивости при использовании ШПС. Со-
ответственно Bmin будем называть реальной базой ШПС. Отноше-
ния <72min= (Рс/Рп) вых min И Рс/Рп= (Рс/Рп) вх МОЖНО ИЗМврИТЬ ИЛИ
рассчитать. По результатам измерений или расчетов можно вы?
числить и реальную базу

В (Рс/?п)вь!х min __ ^min (10.68)

mI“ 2(РС/РП)ВХ 2(РС/РП)ВХ

которая определяет минимально допустимый выигрыш в помехо-
устойчивости. Отношение

6 = Bmin/B (10.69)

определяет потери, которые могут возникнуть в реальной системе
связи относительно идеальной системы с помехоустойчивостью
(10.2) и базой B=FT.

В работе [70] определена реальная база (10.68) и потери
(10.69) для типовых ШПС, применяемых в современных системах
связи.

Модель канала связи с ограниченной полосой частот. На рис.
10.5 представлена структурная схема упрощенного канала связи.
На модулятор поступают колебания от генератора шумоподобного
сигнала ГШПС и от генератора несущей ГН. На выходе модуля-

Рис. 10.5. Модель канала связи
тора стоит полосовой фильтр с полосой пропускания F, равной ши-
рине спектра сигнала. Далее ШПС с ограниченным по ширине
спектром усиливается по мощности в передатчике Пер, проходит
через канал Кан и поступает на вход приемника Пр вместе с по-
мехой, создаваемой генератором помех ГП.

Ширина спектра помехи равна ширине спектра сигнала F. Сум-
ма сигнала и помехи проходит приемник и полосовой фильтр с
полосой пропускания F и поступает на вход согласованного филь-
тра СФ, а затем на решающее устройство РУ.

Необходимость выделения полосовых фильтров на схеме обус-
ловлена тем, что <72min, а следовательно, реальная база и потери,
как будет показано в дальнейшем, зависят от величины полосы.

Ограничение ширины спектра сигнала приведет к появлению
межсимвольной интерференции, однако для системы связи с ШПС
влияние ее на вероятность ошибки будет незначительным и им
можно пренебречь. Вместе с тем, изменение ширины спектра сиг-
нала приведет к изменению абсолютного уровня спектральной
плотности сигнала, что необходимо учитывать при определении
<72min. Допустим, что средняя мощность передатчика неизменна вне
зависимости от того, какой сигнал излучается, т. е. не зависит от
того, какова ширина спектра сигнала. Следовательно, мощность
сигнала 'на входе приемника также не зависит от ширины спектра
сигнала. Поскольку информационные символы в системе связи с
ШПС следуют с периодом Т, энергия каждого ШПС будет Е=РСТ
и не будет зависеть от ширины спектра сигнала.

В дальнейшем используем комплексную огибающую сигнала и
ее спектр G(co), который связан со спектром сигнала соотношени-
ем [4] (см. также гл. 2).

g (со) — — G (со—<оо) при 0. (10.70)

Переход от спектра сигнала g(a>) к спектру комплексной оги-
бающей G(co) эквивалентен переносу Начала координат на рис. 10.4
в точку f=fo=<oo/2jt.

При ограничении ширины спектра сигнала полосой F (рис. 10.4)
минимальное отношение сигнал-помеха [70]

(10.71)

где коэффициент &=Е!Ер— отношение полной энергии сигнала
к энергии в полосе F. Из определения (10.67) с помощью (10.71)
находим реальную базу ШПС

„2 I nF

v J |G(®)|d<o
Гс L я °

(10.72)

Соответственно из (10.69) определяем потери. В [70] приведены
значения реальной базы типовых ШПС.

Идеальный фазоманипулированный сигнал. Под идеальным
фазоманипулированным сигналом (ИФМ) будем подразумевать
206
такой, автокорреляционная функция (АКФ) которого не имеет
боковых пиков. На рис. 10.6 изображена АКФ ИФМ сигнала, опи-
сываемая выражением

^0.) = П —|т|/т при |т|<т0,

(О при |т|>т0,

причем то — длительность одиночного импульса, Т — длительность
сигнала, а число импульсов М=Т/то.

ИФМ сигналов не существует, но для исследований модель та-
кого сигнала полезна тем, что с ростом базы реальные ФМ сигна-
лы приближаются к ИФМ, так как максимальные боковые пики
АКФ уменьшаются как Вmax — v~v/n, где v — постоянная, слабо»
зависящая от N.

Спектр комплексной огибающей ИФМ сигнала

|G(®)| I Sin (°?/2) I • (10.73)

I ©То/2 |

Соответственно реальная база ИФМ сигнала

Bmjn = 4AZa2

sinx
х

(10.74)

поскольку база B = 2kN, 'k— целое число для принятых обозначе-
ний. Интеграл в (10.74) выражается через суммы и разности ин-
тегральных синусов с аргументами пл, где п—0, k- п, k — целые

числа.

На рис. 10.7 представлены зависимости BjN=2k и Bmin/A’ как
функции относительной ширины спектра k—Fxo!2, причем Bmia/N
рассчитана согласно (10.74). Из рис. 10.7 следует, что реальная
база Bmin с ростом ширины спектра растет медленнее, чем база В*
Следовательно, реальный выигрыш в помехоустойчивости будет
меньше, чем определяемый в соответствии с (10.2). На рис. 10.8

линия ИФМ изображает зави-
симость потерь b (в дБ) как
функцию относительной ширины
спектра. Как видно из рисун-
ка, с ростом F потери уве-

~Т -та о та т г

Рис. 10.6. Корреляционная функция
идеального ФМ сигнала

Рис. 10.7. Реальная база ИФМ
ШПС
личиваются, что свидетельствует о плохом использовании спектра
ФМ сигналами.

Исследование поведения потерь 6 при больших k показало [70],
что асимптотически

<10'75’

где С«0,58 — постоянная Эйлера — Маскерони, [2/k]—целая
часть числа 'k/2. Из (10.75) следует, что lim 6=0, т. е. с ростом
k~>OQ

Л потери непрерывно растут.

Рис. 10.8. Потери при при-
еме ШПС

Рис. 10.9. Спектры ДЧ сигналов

Сигнал Баркера. В качестве примера ФМ сигналов были опре-
делены потери для сигнала Баркера с числом импульсов И.

Зависимость потерь 6 на рис. 10.8 изображена кривой Б. Потери
для сигнала Баркера больше, чем для ИФМ, так как спектр Бар-
кера более «неравномерен», чем спектр ИФМ, поскольку имеет
провалы при значениях ®=ял/яо, где я=0, 1, 2 ...

М-последовательность. В качестве другого примера ФМ сигна-
ла были определены потери для М-последовательности с числом
импульсов #=15.

{ап}= 1 1 1 1 —1 1 —1 1 1 —1 —1 1 —1 —1 —1.

Зависимость потерь 6 на рис. 10.8 изображена кривой М. По-
тери для М-последовательности даже больше, чем у сигнала Бар-
кера, так как «неравномерность» спектра еще более значительна.

Дискретные частотные сигналы (ДЧ) представляют собой по-
следовательность радиоимпульсов, излучаемых на различных ча-
стотах в соответствии с выбранной кодовой последовательностью.
Каждый радиоимпульс занимает определенное место по времени и
по частоте в соответствии с выбранной кодовой последовательностью.
Пусть число радиоимпульсов равно М, длительность радиоимпуль-
са Тй=Т1М и расстройка по частоте Fo. Модуль спектра комплекс-
ной огибающей радиоимпульса описывается функцией

|G (<о)| =V2PC Т I sin Г»/2 I

I (и—Ди™) Т0/2 I
где Аю™ — расстройка между несущей частотой сигнала ©о=2л/о
и несущей частотой радиоимпульса ©т, т. е. Д©т=®т—©о, причем
т = 1,М.

Взаимное расположение спектров радиоимпульсов может быть
двояким, что отображено на рис. 10.9. В первом случае (рис. 10.9,а)
расстройка по частоте между соседними спектрами Fo = l/To, во
втором случае (рис. 10.9,6) Fo = 2/To. На рис. 10.9 изображены
спектры комплексных огибающих радиоимпульсов без учета ин-
терференции между ними. Если учитывать интерференцию между
соседними спектрами, обусловленную различными фазовыми сдви-
гами между частотными составляющими спектров, то для перво-
го случая на рис. 10.9,а в середине между соседними спектрами
суммарная спектральная плотность может изменяться от 0 до
4 У 2РсТ/п [4], т. е. максимум в середине может в 4/л=1,27 раз
превышать максимальное значение спектра. Следовательно, сум-
марная спектральная плотность при Fo = l/To будет неравномер-
на. Но из сравнения рис. 10.9,а и б видно, что неравномерность
спектра во втором случае, когда Fo=2/To, будет значительно боль-
ше, чем в первом. Поэтому рассмотрим только второй случай и
определим потери для Fo.

Ширину спектра ДЧ сигнала определим так, как это показано
на рис. 10.9. Для первого случая F= (М+1)/То, а для второго
F=2M/T0.

При таком определении ширины спектра не учитываются бо-
ковые лепестки крайних спектров. Энергия, заключенная в этих
лепестках, очень мала и ею можно пренебречь. Потери для ДЧ
сигналов и расстройки Fo=2JTo [70]

F Т [л J

где Si (л) = 1,85.

Заменяя F=2M/To и Т=Мто, получаем для ДЧ сигналов 6 =
=0,694 или Ь=—1,58 дБ. При сравнении полученного результата
с потерями для ФМ сигналов видно, что ДЧ сигналы характери-
зуются меньшими потерями, так как для ФМ сигналов необходимо
иметь /5=24-4. Если же использовать ДЧ сигналы с расстройкой
F0=1/То между спектрами, то при этом потери будут еще мень-
ше. Следовательно, ДЧ сигналы лучше используют отведенную
полосу частот и обладают меньшими потерями, чем ФМ сигналы.

Влияние потерь на параметры систем связи. В системах связи
с ШПС потери можно компенсировать либо за счет дальнейшего
расширения полосы частот F, либо за счет снижения скорости пе-
редачи информации W. Допустим, что осуществляется некогерен-
тный прием у, ортогональных ШПС с заданной вероятностью ошиб-
ки на одну двоичную единицу информации РОш2. Можно пока-
зать, что относительная ширина спектра в такой системе связи

— = — [ 1 — 1п <4 р°ш 1 21п 2 .

w p26 L by J
Наличие потерь Ь эквивалентно уменьшению мощности сигнала
Рс и может быть компенсировано увеличением ширины полосы ча-
стот до величины Fib или уменьшением скорости передачи инфор-
мации до величины Wb.

Из результатов приведенных исследований следует, что из-за
неравномерности спектров ШПС потери могут достигать значе-
ний 1,5,..., 6 дБ. Такие потери нельзя считать допустимыми, так
как они обусловлены неудачным выбором сигналов. Поэтому вы-
бор ШПС для систем связи должен предусматривать оптимиза-
цию по спектру таких сигналов, так как чем меньше неравномер-
ность спектра, тем меньше потери.

11. АДАПТИВНЫЙ ПРИЕМ ШПС

11.1. Основы адаптивного приема ШПС

При адаптивном приеме ШПС необходимо анализировать сов-
местное распределение помехи и сигнала на частотно-временной
плоскости (см. рис. 10.1, 10.2) и в зависимости от конкретного ра-
спределения в соответствии с (10.43) изменять коэффициент пере-
дачи согласованного фильтра. Реализация адаптивного приемни-
ка, в состав которого входит согласованный фильтр с переменным
коэффициентом передачи, наиболее проста в том случае, когда
такой фильтр является многоканальным, причем в каждом канале
все частотно-зависимые элементы остаются постоянными, а изме-

няется только коэффициент усиления.

Каноническая схема адаптивного приемника приведена на
рис. 11.1 [5, 64, 65, 69]. Он состоит из М каналов, в каждом из
которых есть элементный согласованный фильтр (СФ), линия за-
держки и усилитель (Ус) с переменным коэффициентом усиления.
Согласованные фильтры СФ1, ..., СФм определены для ЧВЭ сигна-
ла, а линии задержки компенсируют время задержки ЧВЭ, т. е. в

момент окончания сигнала (t =
=Т) пики автокорреляцион-
ных функций (АКФ) элемен-
тов совпадают и осуществляет-
ся когерентное накопление.
Анализатор каналов (АК) в
момент окончания сигналов
производит анализ отсчетов
напряжений на выходах СФ и

Рис. 11.1. Адаптивный приемник по принятому алгоритму уста-
навливает коэффициенты уси-
ления, т. е. веса, с которыми напряжения на выходах фильтров вхо-
дят в общую сумму.

Помехоустойчивость адаптивного приемника при действии по-
мех, энергия которых каким-то образом сосредоточена в отдель-
ных ЧВЭ базисного прямоугольника (см. рис. 10.1), зависит от
числа совпадений ЧВЭ сигнала и помехи и от отношения сигнал-
помеха на выходе СФ (элементное отношение сигнал-помеха).
Для определения числа совпадений необходимо проанализировать
те ЧВЭ, в которых сосредоточена энергия сигнала. В табл. 11.1
приведены число А анализируемых ЧВЭ для рассматриваемых ти-
пов сигналов, а также базы элементных согласованных фильтров
(см. также табл. 10.1).

Для ДСЧ-ЧМ и ДСЧ-ФМ сигналов предполагалось К=М. Чис-
ло анализируемых ЧВЭ определялось путем наложения рис. 10.1 на
рис. 10,2,а... г. Как видно из табл. 11.1, наименьшее число анали-
зируемых ЧВЭ требуется для сигналов ДСЧ-ЧМ и ДСЧ-ФМ.

Таблица 11.1. Число
анализируемых ЧВЭ

Тип сигнала Число анали- зируемых ЧВЭ А База элемент- ного согласо- ванного филь- тра
Ф-М М2 W/M2
дч
ДСЧ-ЧМ м L2/M
ДСЧ-ФМ м S

Таблица 11.2. Число совпадений

Тип сигнала Число совпадений Относительное число совпа- дений Среднее число совпадений Среднее значе- ние относитель- ного числа сов- падений
Узкополосная (импульсная) помеха Структурная помеха
ФМ М 1/М — —
дч М 1/М 1 1/М
ДСЧ-ЧМ 1 ИМ 1 1/М
ДСЧ-ФМ 1 цм 1 мм

В табл. 11.2 приведены значения числа совпадений узкополос-
ной (или импульсной) и структурной помех со всеми рассматри-
ваемыми сигналами. При определении числа совпадений предпо-
лагалось, что действует только одна помеха, причем структурная
помеха принадлежит к рассматриваемому классу сигналов. Кор-
реляционные свойства ФМ сигнала определяются взаимокорреля-
циоцной функцией (ВКФ), а не числом совпадений. Известно,_что
среднеквадратическое значение ВКФ ФМ сигнала равно 1/У #=
= 1/М, которое совпадает со средним значением относительного
числа совпадений для ДЧ, ДСЧ-ЧМ, ДСЧ-ФМ сигналов.

Как следует из табл. 11.2, рассматриваемые ШПС обладают
одинаковыми характеристиками с точки зрения числа совпадений
ЧВЭ сигнала и помехи, т. е. не имеют принципиальных преиму-
ществ относительно друг друга. Однако ДСЧ-ЧМ и ДСЧ-ФМ сиг-
налы позволяют иметь меньшее число каналов в адаптивном при-
емнике. Поэтому в дальнейшем выводятся формулы для ДСЧ-ЧМ,
ДСЧ-ФМ сигналов. Однако полученные результаты будут справед-
ливы для любых ШПС, поскольку окончательные формулы зави-
сят от относительного числа «пораженных» ЧВЭ.
Отметим, что метод, основанный на определении числа «пора-
женных» ЧВЭ и элементных отношений сигнал-помеха, справедлив
для помех, не коррелированных с ШПС.

11.2. Элементное отношение сигнал-помеха

На выходе произвольного элементного согласованного фильтра
определим это отношение следующим образом. Допустим, что при-
ем сигнала всегда осуществляется на фоне собственного шума при-
емника, который представляет собой нормальный случайный про-
цесс с равномерной спектральной плотностью мощности No. Пусть
число ЧВЭ равно М, энергия ЧВЭ Ео=РсТ!М. Элементное отноше-
ние сигнал-шум на выходе элементного согласованного фильтра
при воздействии только шума

q2==2E0/N0. (11.1)

Предположим, что преднамеренная помеха совпадает с пг ЧВЭ
и независимо от числа пораженных элементов мощность помехи
Рп =const. В этом случае мощность помехи, приходящаяся на один
элемент, равна РпЛп, а суммарная мощность помехи и шума —
где Pm=NoF — мощность шума в полосе пропускания
адаптивного приемника. Обозначим базу ШПС

B=FT = B0M*. (11.2)

базу ЧВЭ
B0=*F9T9, (11.3)

отношение сигнал-помеха
^ = 2р2В, (11.4)

отношение мощностей сигнала и помехи

Р2п = Рс/Р„ (11.5)

отношение сигнал-шум

(11.6)

отношение мощностей сигнала и шума
Р1,=Рс/Рш- (П.7)

Отметим, что <?2тах— максимальное отношение сигнал-шум,
равное отношению сигнал-шум на выходе когерентного накопи-
теля— сумматора («+» на рис. 11.1) при воздействии собствен-
ного шума. С учетом введенных обозначений элементное отноше-
ние сигнал-помеха при воздействии помехи и шума

„ „2 \—I

МЧтах /

<1т = Я

2 __

ПЛР

(П-8)

1 +
Формула (11.8) справедлива для шумовых, узкополосных и
импульсных помех: для шумовых помех — при равномерной — спек-
тральной плотности помехи в пределах полосы частотного элемен-
та; для узкополосных — при постоянном в пределах полосы частот
Fo модуле коэффициента передачи элементного согласованного
фильтра; для импульсных — при TKw\.jF.

11.3. Согласованный фильтр и линейное накопление

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициенты передачи уси-
лителей на рис. 11.1 постоянны, т. е. фильтр рис. 11.1—согласо-
ванный; помехой поражены т ЧВЭ, т. е. в т каналах отношение
сигнал-помеха равно q2m (11.8), а в (М—т) каналах — <?о2 (11.1)'.
При этом отношение сигнал-помеха

(_, _2\ — 1

1-^ + ^°] • (П-9)

Заменяя в (11.9) qo2 и q2m согласно (11.1), (11.8), получаем
^«+£z); <и1°)

где </п2 (Н.4)—отношение сигнал-помеха при условии, что шума
нети помеха поражает все М элементов. На рис. 11.2 прямая 1 — за-
висимость <7с2/?2тах от mjM, построенная в соответствии с (11.10). Так

как q2c не зависит от т, прямая I
параллельна оси абсцисс. Из (11.10)
следуют два основных вывода. 1. От-
ношение сигнал-помеха на выходе
согласованного фильтра рис. 11.2 не
зависит от числа пораженных эле-
ментов. Это является следствием
ограничения общей мощности поме-
хи Рп и равномерного ее распреде-
ления на т пораженных элементов.
2. Отношение q2a всегда меньше на-
именьшего из отношений: <72тах или
<72п. Если «72тах><72п, то q2a&q2n-
При этом, как следует из (11.4), от-
ношение сигнал-помеха определяет-
ся только базой сигнала.

Рис. 11.2. Помехоустойчивость ли-
нейного, адаптивного и нелиней-
ного приемника

11.4. Адаптивный прием и оптимальное накопление

В адаптивном фильтре (см. рис. 11.1) напряжения с выходов
элементных согласованных фильтров суммируются в когерентном
накопителе с определенным весом. Веса устанавливаются в уси-
лителях с переменным кэоффициентом усиления. При когерентном!
весовом накоплении на выходе сумматора максимум отношения
сигнал-помеха имеет место при весовых коэффициентах

Фп=^„/РПп» (11.11)
где Vn — сигнальная составляющая, а Рпп — мощность шума на
выходе n-го канала. Из (11.11) следует, что чем больше мощность
помехи, тем меньше весовой коэффициент. Напомним, что таким
свойством обладают «обеляющие» фильтры. При выборе <рп сог-
ласно (11.11) отношение сигнал-помеха на выходе адаптивного
фильтра максимально и равно (10.37)

С (11.12)

Л=1

где qn2— отношение сигнал-помеха на выходе n-го канала. Поло-
жим, что в т каналах отношение сигнал-помеха равно qm2, а в
(М—т) элементах — qj. Тогда

=(M-m)<72 + /n^m (11.13)

Заменяя q02 и q2m согласно (11.1), (11.8), из (11.13) получаем
<•«2 / \—1

]• (11.14)

При 7ПСЛ19А2«921пах(1—т/М) И мало отличается ОТ ?2тах.
Именно в этом и заключается смысл адаптивного приема: доля
ЧВЭ, пораженных мощной помехой, в общем отношении сигнал-
помеха мала и при т<^М с ними можно не считаться. При т=Л1,
когда поражены все элементы, отношение сигнал-помеха q2A (П-14)
достигает своего минимального значения qk2=q2c, т. е. адаптивный
фильтр всегда обеспечивает лучшую помехоустойчивость по сравне-
нию с согласованным. Кривая 2 на рис. 11.2 изображает зависи-
мость ^А2/^2тах, построенную в соответствии с (11.14). При т/Л4«С1
кривая 2 совпадает с прямой 3, описываемой как 1—т/М. С умень-
шением т/М кривая 2 стремится к прямой 3.

11.5. Нелинейный фильтр

В работе [62] описан приемник с нелинейным фильтром, кото-
рый отличается от представленного на рис. 11.1 тем, что в каж-
дом канале сначала стоит полосовой фильтр, затем ограничитель,
после которого следуют элементный согласованный фильтр и ли-
ния задержки. В [62] проанализирована помехоустойчивость при-
емника с таким нелинейным фильтром при когерентном и некоге-
рентном приеме. В принятых обозначениях отношение сигнал-по-
меха на выходе нелинейного фильтра

На рис. 11.2 кривая 4 характеризует зависимость <7н2/<72тах от
т/М. Множитель л/4 вызывает потери в 1 дБ. Отношение <7н2/<72тах
резко уменьшается с увеличением mfM, поскольку <?н2 зависит от
т/М как (1—т/М)2. В то же время в оптимальном адаптивном
фильтре отношение сигнал-помеха уменьшается приблизительно
как 1—mIM. Объясняется это тем, что в адаптивном фильтре от-
ношение сигнал-помеха определяется формулой (11.12) —чем"
меньше элементное отношение сигнал-помеха, тем меньше оно вли-
яет на общее отношение сигнал-помеха, т. е. по сути дела, в адап-
тивном фильтре устраняются пораженные элементы. В нелиней-
ном фильтре пораженные элементы всегда остаются и вносят в
напряжение на выходе помеху, равную по мощности ЧВЭ полез-
ного сигнала. Так как пораженные элементы при мощной помехе
являются помехами, наличие их в общей сумме всегда приводит к
ухудшению помехоустойчивости нелинейного фильтра по сравнению
с адаптивными. Как видно из рис. 11.2 при /п/Л1> 0,6 нелинейный
фильтр будет значительно уступать и согласованному фильтру.

11.6. Оптимальный адаптивный приемник1

Для работы адаптивного приемника необходимо, чтобы анали-
затор каналов устанавливал весовые коэффициенты в соответст-
вии с (11.11). В анализатор каналов поступает выборка Zi, Zi,...
..., Zm, по которой необходимо найти оценки амплитуды сигнала Ot
мощности шума и мощности помехи плюс шум. Нахождение таких
оценок является задачей самообучения фильтра [63—65]. Отметим,
что точность оценок тем выше, чем больше число ЧВЭ в сигнале,
так как с ростом М увеличивается объем вцборки, а это повыша-
ет точность оценок [71, 72]. В свою очередь, повышение точности
оценок приведет к приближению реальной помехоустойчивости
адаптивного фильтра к потенциальной, определяемой формулой
(11.14).

Адаптивный прием согласно (11.11) требует раздельного изме-
рения сигнальной и помеховой составляющих, что реализуется
весьма сложно. Использование квазиоптимальных адаптивных при-
емников существенно упрощает реализацию, но в принципе при по-
строении таких приемников заранее предполагается существова-
ние определенных потерь, связанных с неоптимальностью опреде-
ления весовых коэффициентов. Поэтому задача построения адап-
тивного приемника ШПС, осуществляющего адаптацию с опти-
мальными весовыми коэффициентами без предварительного разде-
ления суммы сигнала и помехи на входе приемного устройства, ак-
туальна. Ее решение приведено в [71].

На рис. 11.3 изображена структурная схема адаптивного при-
емника ШПС. Сумма сигнала и помехи одновременно поступает
на входы информационных и измерительных каналов. Информаци-
онный канал состоит из согласованного фильтра СФП (n=l, М)
и усилителя УСП, коэффициент усиления которого пропорционален-
весовому коэффициенту (11.11), вычисляемому измерительным ка-
налом (ИК). Напряжение с выходов информационных каналов ко-
герентно накапливается в сумматоре. Каждый n-й измерительный

1 Параграфы 11.6, 11.7 написаны на основе совместных работ с В. Н. Та-
лизным [71, 72].
канал (рис. 11.4) состоит из полосового фильтра (ПФП), выделя-
ющего полосу частот, соответствующую данному каналу, и квадра-
тичного детектора (КДп), на входе которого формируется квадрат
огибающей процесса на входе. Напряжение с выхода КД поступа-
ет на измерители выборочного среднего значения т*щ и выбороч-
ной дисперсии М*2п квадрата огибающей. Звездочка означает, что

Рис. 11.4. Измерительный канал

Рис. 11.3. Оптимальный адаптивный
приемник

данные величины определяются по выборке случайного процесса
на выходе полосового фильтра измерительного канала. По вычис-
ленным m*in и М*2П блок формирования весового коэффициента
БФВКп определяет величину <р*п и подает ее на Усп.

Допустим, что спектр сигнала сосредоточен около несущей ча-
стоты fo, занимает полосу частот шириной F и состоит из М полос,
каждая из которых выделяется своим ПФ в измерительном канале.
Положим, что АЧХ ПФ имеет прямоугольную форму (рис. 11.5).
Полоса пропускания ПФ F0=F/M. Допустим, что на приемник воз-
действуют широкополосная шумовая помеха, спектр которой пе-
рекрывает спектр сигнала F, и узкополосная с шириной спектра
Fn.yf^Fo. Максимальное число узкополосных шумовых помех рав-
но М. Обе помехи полагаем стационарными гауссовыми случайны-
ми процессами с нулевым средним. Поскольку ширина спектра
сигнала Fто помеха на
выходе ПФ с полосой Fq^F^.
sgjfo является узкополосным
гауссовским процессом с нуле-
вым средним. Мощность поме-
хи на выходе ПФ равна сумме
мощности части широкополос-
ной помехи, прошедшей через
него, и узкополосной помехи.
Если спектральная плотность

Рис. 11.5. Спектры помех широкополосной помехи равна
Л/'п.ш, а узкополосной — Na.y п,
то мощность помехи в n-м измерительном канале на выходе ПФ
Рпп= (Мьш+Мт.уn)F0, а общая мощность помехи на входе при-

емника

Рп = S Рпп-

П=1
Определение оптимальных весовых коэффициентов производит-
ся на основе анализа суммы сигнала и помехи в каждом приемном
канале. Как отмечалось, на выходе квадратичного детектора фор-
мируется квадрат огибающей суммы сигнала с мощностью Рсп и
помехи с мощностью Рап. Обозначим отсчет квадрата огибающей
через S2ni, где индекс п — номер канала; n=l,M; I — номер отсче-
та; L — число независимых отсчетов.

Моменты распределения выражаются следующим образом [73]:
среднее значение

mln=m1{S2j=2PIIn( 1+^2- V, (11.16)

дисперсия

( !+-£=) . (11.17)

\ “пп /

Из соотношений (11.16), (11.17) можно найти мощности сигна-
ла и помехи на входе n-го канала;

Pon=Kmi„-M2n; Рпп = 0,5 (/nln—Vmin—М2п). (11.18)

Подставляя (11.11) в (11.18), находим

Фп ор/ = 2 M2n/(mln—КШ1„—М2п). (11.19)

В процессе приема точные значения min и М2п неизвестны, по-
этому необходимо найти их оценки по выборке S2ni, n=l, М, 1=
= 1, L в соответствии с известными выражениями [55]:
выборочное среднее

1 £

выборочная дисперсия

1 L

ч-вд - т g (и.21)

Соответственно

фп = 2)^ mln—M2„/(m’n—И mln—М’2„ ). (11.22)

Величины <р*п являются случайными и статистически независи-
мыми. Значения <р*п будут отличаться от оптимального весового
коэффициента, рассчитанного по (11.9), т. е. ф*п=фп+Дфп, где
Дфп — отклонение ф*п от оптимального значения фп. При этом пола-
гаем, что Дфп — случайная величина, распределенная по нормально-
му закону с нулевым средним. Такое допущение справедливо при
L^l, что всегда имеет место на практике и соответствует малым
ошибкам при измерении величин (11.20), (11.21).

Очевидно, что всякое отклонение от оптимального значения ве-
сового коэффициента ухудшает помехоустойчивость приемника. При
равномерном распределении помехи между всеми М каналами
среднее значение отношения сигнал-помеха на выходе адаптивного
приемника [71]

ПИ {<72} « 9о (1-0.5 РП/£Л42 Рсп), (11.23)

где qo2— отношение сигнал-помеха на выходе оптимального адап-
тивного приемника (11.12) с идеальными весовыми коэффициен-
тами (11.11).

Уточним тип ШПС. Для дискретного составного частотного сиг-
нала с фазовой манипуляцией (ДСЧ — ФМ) база B=M2L,aPcn=
=РС. Подставляя эти соотношения в (11.23), находим

mi ОТ « q20 (1 -0,5 Ра!ВРс). (11.24)

При действии шумовой помехи с равномерной спектральной плот-
ностью отношение сигнал-помеха q2o=2PcB!Pn, поэтому

Ш1ОТ «92о(1-1/<72о). (11.25)

т. е. потери определяются слагаемым 1/<72о= (Рп/Рс)2В и чем боль-
ше база ШПС и отношение сигнал-помеха Рс/Рп, тем меньше по-
тери. Для надежного приема информации отношение РС2В/РП
должно быть много больше единицы, что означает малость потерь
из-за неточного определения весовых коэффициентов. Для много-
частотного ШПС Pcn=Pc/M, L=l, М=В и в результате получа-
ем формулу (11.24). Таким образом, потери в оптимальном адап-
тивном приемнике при равномерной помехе не зависят от типа
ШПС, а определяются только его базой и отношением сигнал-по-
меха на входе приемника.

В случае, когда суммарная мощность помехи Рп неравномер-
но распределена между каналами, часть каналов «поражена»
мощной узкополосной помехой, а остальные каналы относительно
«свободны» — в них действует только широкополосная помеха.
Обозначим мощность помехи в «пораженном» канале РПт, а мощ-
ность помехи в «свободном» канале Рп.шп- В «пораженных» кана-
лах также действует широкополосная помеха Рп.ш, поэтому Рп.у=
= Рп.шп4-Рп.ут, где Рп.уш — мощность узкополосной помехи, при-
ходящейся на данный канал. Полные мощности узкополосной и ши-
рокополосной помех:

Рц.у 7 Рп.у т> РП.Ш Рп.ш п»

где т — число «пораженных» каналов. При этом полагаем, что
Рп.ш=Рпт/Л, где Д»1—коэффициент пропорциональности.

В этом случае среднее значение отношения сигнал-помеха на
выходе оптимального адаптивного приемника [71]

mi {<72} ( 1— — + —[ 1---------( 1+ —'П .

Рп.ш \ М АМ И 2Рс1лА Ш

(11.26)

При т=0 и Д = 1 выражение (11.26) сводится к (11.23), полу-
ченному для случая равномерного распределения помехи между
каналами. Как следует из анализа (11.26), для достижения хоро-
шего качества приема необходимо Pam12PcL^l, т. е. чтобы эле-
ментное отношение сигнал-помеха

Яо ~ 2 Р с ЦРа т 1 >

что справедливо и для случая равномерного распределения помехи
между каналами. Поскольку отношение сигнал-помеха на выходе
при надежной передаче информации должно быть примерно 10... 20,
а элементное отношение сигнал-помеха больше единицы, то необхо-
димо иметь 10... 15 каналов. Из (11.26) также следует, что при рав-
номерном и неравномерном распределении помехи между каналами
потери в оптимальном адаптивном приемнике не зависят от типа
ШПС, а определяются только его базой и отношением сигнал-по-
меха на входе приемного устройства.

11.7. Квазиоптимальньхй адаптивный приемник

Структурная схема квазиоптимального адаптивного многоканаль-
ного приемника ШПС [72] изображена на рис. 11.6. Обозначим
мощность сигнала на входе приемного устройства Рс, а мощность

Рис. 11.6. Квазиоптимальный адаптивный приемник

помехи Рп. Сумма сигнала и помехи одновременно поступает на
входы информационных и измерительных каналов, число тех и дру-
гих равно М, а номера каналов n=l,Af. Информационные каналы
состоят из согласованных фильтров (СФ1,..., СФМ) и пороговых
устройств (ПУ), пороговые уровни в которых устанавливаются с
помощью автоматического регулятора порога (АРП) на основе
оценки суммарной мощности сигнала и помехи в измерительном
канале. Каждому информационному каналу соответствует свой из-
мерительный, который с помощью ПФ выделяет сумму сигнала и
помехи в соответствующей полосе частот. Затем эта сумма посту-
пает на квадратичный детектор (КД), на выходе которого форми-
руется квадрат огибающей процесса на входе S2ni, где п — номер
канала; 1=1, L — номер отсчета, a L — число независимых отсче-
тов. В некогерентном накопителе (НК1....НКм) формируется па-
раметр — средняя мощность суммы сигнала и помехи (в дальней-
шем суммарная мощность):

(П-27)
ь 1=1

Суммарные мощности Рп, n==l, М, являются теми весовыми
коэффициентами, на основании которых АРП регулирует коэффи-
циенты передачи информационных каналов, т. е. отношение напря-
жения на выходе канала к напряжению на его входе. Как было
отмечено ранее, в оптимальном адаптивном приемнике весовой ко-
эффициент и коэффициент передачи канала пропорциональны от-
ношению амплитуды сигнала к мощности помехи в канале (11.11).
В квазиоптимальном адаптивном приемнике весовые коэффициен-
ты могут вводиться различными способами. Наиболее простым яв-
ляется использование ключевого режима работы устройства с ре-
гулируемым коэффициентом передачи: в зависимости от уровня
средней мощности сигнал с выхода согласованного фильтра либо
проходит на вход когерентного накопителя (КН), либо нет. По
сути дела устройство с регулируемым коэффициентом передачи
на рис. 11.6 в этом случае превращается в пороговое устройство
(ПУ), а весовые коэффициенты — в пороговые уровни.

Квазиоптимальный адаптивный приемник с пороговым устрой-
ством, предназначенный для приема фазоманипуляторных сигна-
лов, рассмотрен в работе [66]. Там же приведены некоторые ре-
зультаты по помехоустойчивости, не позволяющие в общем виде
судить ни о выборе весовых коэффициентов, которые сведены к
двум значениям пороговых уровней, ни о зависимости помехоус-
тойчивости от этих коэффициентов.

Таким образом, адаптация заключается в изменении пороговых
уровней в зависимости от меняющихся параметров входного воз-
действия. При этом квазиоптимальный приемник формирует два
значения весового коэффициента в соответствии со следующим ал-
горитмом:

Фо при Рп -^по’ ц । 28)

О при Рп > Рп0,

где фо — некоторый коэффициент передачи канала; Рп — средняя
мощность суммы сигнала и помехи на выходе измерительного ка-
нала; Р„о — пороговый уровень.

При оценке помехоустойчивости описываемой схемы могут воз-
никнуть требующие анализа ситуации: во-первых, когда мощность
помехи равномерно распределена между каналами; во-вторых,
когда мощность помехи в части каналов существенно отлична от
мощности помехи в остальных каналах приема.

Приведем соотношения для измерительного канала. Положим,
что мощность помехи в канале постоянна. Как было установлено
ранее, на выходе КД получаются квадраты отсчетов огибающей
суммы сигнала и помехи, моменты распределения которых опре-
220

Фп =
деляются соотношениями [73], имеющими в принятых обозначе-
ниях следующий вид:

среднее значение квадрата огибающей суммы сигнала и поме-
хи (11.16)

ms2 =2Рпп(1 + Рс/2Рпп); (Н.29)

дисперсия квадрата огибающей суммы сигнала и помехи (11.17)

а2.2 =4Р2„(1 + РС/РПП), (11.30)

После накопления в КН среднее значение квадрата огибающей
суммы сигнала и помехи не изменится, т. е.

= 2 Рп n (14~Рс/2 Рп п), (1131)

дисперсия уменьшится в L раз:

4 р2 / р \

°рп=~Г\ 1+р ’ (н-32)

п L \ Рип !

Перейдем к соотношениям, характеризующим информацион-
ный канал. Запишем сумму сигнальной и помеховой составляющих
на выходе КН:
м м

Z = фп + 2 <Pnin, (11.33)

л==1 А=1

где V — сигнальная составляющая во всех каналах; £п — поме-
ховая составляющая в л-м канале; фп— весовые коэффициенты,
используемые для адаптивной установки порога. Полагаем, что
помеха на входе является гауссовским случайным процессом с ну-
левым средним, следовательно, |п— гауссовская случайная вели-
чина с нулевым средним значением. Поэтому в каждом канале на
выходе согласованного фильтра шум также является гауссовским
случайным процессом с нулевым средним значением. Среднее зна-
чение случайной величины Zo [55]:

= тФп1 (11.34)

п=1 П’

где тФп =mi{<pn}, a mi{£n}=0 согласно приведенным ранее пред-
положениям.

Дисперсия случайной величины Z [55]
м м

(1L35>
л=1 Л=1

Поскольку помеха в каждом канале на входе согласованного
фильтра является гауссовским случайным процессом, на выходе со-
гласованного фильтра помеха также остается гауссовским случай-
ным процессом. Сумма помеховых составляющих на выходе коге-
рентного накопителя по этой причине также является нормаль-
ным случайным процессом, поэтому случайная величина Z распре»
делена по нормальному закону, т. е.

_ 1 f (Z—

w(Z) = exp ~ ~2^~ • (1L36>

Предположим, что в рассматриваемой системе связи передает-
ся двоичная информация с помощью противоположных сигналов
(фазовая телеграфия). В этом случае вероятность ошибки

Рош= j tt»(Z)dZ. (11.37)

—ОО

Подставляя (11.36) в (11.37), окончательно получим выраже-
ние вероятности ошибки

— / т7 \

Pom = F ~ (-qz) = 1-F (<7г),

\ С2/

где F(x)—интеграл вероятности (7.5), qz2— отношение сигнал-
помеха на выходе когерентного накопителя. В дальнейшем будет
рассматриваться только отношение сигнал-помеха, так как им пол-
ностью определяется вероятность ошибки.

Заменяя mz и oz согласно формулам (11.34), (11.35), получим
общее выражение для отношения сигнал-помеха на выходе КН
[72]

(11.38)

м м
п=1 п л=1 п п

При равномерном распределении мощности помехи между ка-
налами Pnn—PnIM, vjifi Рп—мощность помехи на входе приемника,
М — число каналов приема. В этом случае выражение (11.38)
преобразуется к виду

где qo2 — отношение сигнал-помеха на выходе КН идеального ада-
птивного приемника с оптимальными значениями весовых коэф-
фициентов (без потерь). Таким образом, потери, возникающие в
рассматриваемом приемнике, будут определяться отношением
qz2lqo2.

Можно показать, что o2q>n/ni%„ = 1/р(фо)—1, где р(фо) =
= Р((Рп0—mpn)/<jpn) — вероятность того, что мощность суммы сиг-
нала и помехи на входе приемника не превышает Рпо-

Обозначим отношение сигнал-помеха в n-м измерительном ка-
нале , а относительный пороговый уровень Яп=

=P'no/<Jpn, тогда

Анализ [72] показал, что практический интерес представляет
случай, когда Hn>hn, т. е. Pno>vapn- Это справедливо для рав-
номерного распределения помехи между каналами, когда сигналы
по всем каналам пропускаются с одинаковым весовым коэффици-
ентом, т. е. в этом случае необходимости в адаптации нет.

Выражение для потерь в отношении сигнал-помеха примет вид
г \ / чп—i

<?i = 1 + (^+1 1 ) • (П.40)

L \м / \F(Hn—hn) / J

Очевидно, что при Hn^hn выражение (11.40) можно прибли-
женно записать так:

= 1/{1 + (qyM) + 1) F [-(Hn-hn)]}.

Из анализа выражения (11.40) следует, что для уменьшения
потерь и улучшения качества приема желательно, чтобы пороговый
уровень был много больше отношенйя сигнал-помеха в канале, т. е.
Hn^hn, так как при этом F[—(Нп—Лп)]-»-0.

Другим способом уменьшения потерь является увеличение чис-
ла каналов приема в системе, при этом отношение <72o/Af уменьша-
ется, что приводит к улучшению работы приемника.

Таким образом, для обеспечения нормальной работы системы
нужно устанавливать пороговый уровень 7/n^»/in.

Регулировка порогового уровня должна производиться на осно-
вании анализа величин Рп, п=\,М на выходе КН.

Предварительно предположим, что Hn = bhn, где &>1— неко-
торый положительный коэффициент, тогда Нп—hn=(b—l)hn и,
следовательно, можно записать

Hn—hn=(b—l)mpn/<jpn

Таким образом, для предварительной регулировки порога необ-
ходимо знать Шрп, тогда абсолютный пороговый уровень опреде-
лится как Рпо=трпЬ, но, так как шР|1 неизвестно, необходимо най-
ти оценку m*рп по Pni, 1=1, L:

1 L

При равномерном распределении помехи между каналами для
обеспечения хорошего приема достаточно устанавливать порог Рпо
одинаковым во всех каналах и в & раз больше выборочного средне-
го значения (Ь принимается с учетом конкретных особенностей сис-
темы). Как показывают расчеты, необходимо иметь

b > m„ In 7И2.

Рассмотрим ситуацию, когда часть каналов в системе «пораже-
223
ходе приемного устройства как

на» мощной помехой, а остальные каналы относительно «свобод-
ны» — в них действует только шум. Допустим, что мощность поме-
хи в «пораженных» каналах в А раз превышает мощность помехи
в «свободных» каналах, т. е. выполняется соотношение РПт=
= Рп,м-тА, где Рпт — мощность помехи в «пораженных» каналах;
Рп, м-т — мощность помехи в «свободных» каналах; А — коэффи-
циент пропорциональности. При этом полагаем, что суммарная
мощность помехи постоянна. Выражение для отношения сигнал-
помеха на выходе КН в этом случае приведено в [72].

На рис. 11.7 приведены потери в отношении сигнал-помеха
<72z/<72o для неравномерного распределения помех по каналам, рас-
считанным с помощью ЭВМ [72]. На рис. 11.7 изображено семейст-
во зависимостей нормированного отношения сигнал-помеха на вы-
функция положения порогового
уровня Нп при различном числе
каналов в системе и т/А1 = 0,1;
А = 102. Из приведенных кривых
следует, что при неравномерном
распределении помехи между ка-
налами существует явно выражен-
ный оптимальный пороговый уро-
вень, который зависит от числа
каналов в системе. Точность уста-
новки порогового уровня в основ-
ном определяет качество работы
системы. При отклонении от оп-
тимума потери быстро растут, что
приводит к полному нарушению
правильного функционирования.
Установка порогового уровня в
системе осуществляется с помо-
щью АРП на основе анализа вход-
ного воздействия в каждом канале.

Алгоритм работы автоматического регулятора порога заключа-
ется в следующем. С выхода канальных накопителей на вход АРП
поступают некоторые случайные реализации

Рщ 1 (0» Рп1 2 (О» •I5 » РnlM (0>
из которых в каждом канале формируется выборка:

Р11» Р12» — , PlLi

Pzi> Р22» — » P%L>

Рм1>Рм2,—, Pml-

По полученной выборке формируются значения выборочного
среднего:

m:-r£ р»...з р«-

ь ^=1 L /=1 L /=1
В результате этой операции формируется массив значений выбо-
рочных средних, из которых выбираются минимальное и макси-
мальное значения выборочного среднего. Обозначим их соответст-
венно гл** и т*$. Разброс между этими значениями определяет в
каждом конкретном случае некоторый интервал дискретизации
[ш*а, zn*i], внутри которого располагается оптимальный пороговый
уровень. Для точного определения порога интервал [fn%, tn*i]
подвергается последовательной дискретизации на п частей: Д=
= (m*i—m*h)ln, где п — некоторое натуральное число, определяе-
мое требуемой точностью установки порога.

Далее, для каждого положения порога на интервале дискрети-
зации вычисляют отношение сигнал-помеха на выходе приемного
устройства и из полученных значений выбирают максимальное зна-
чение и соответствующее ему значение порогового уровня.

Рассмотренная система квазиоптимального адаптивного прием-
ника ШПС выгодно отличается от существующих тем, что при срав-
нительной простоте реализации позволяет обеспечить лучшее ка-
чество приема. При этом потери, возникающие в таком приемнике
по сравнению с оптимальным, не превышают 0,7... 1,3 дБ для раз-
личного числа каналов.

12. ОГРАНИЧИТЕЛЬ В ТРАКТЕ ОБРАБОТКИ ШПС

12.1. Идеальный полосовой ограничитель

Применение ограничителей в тракте обработки сигналов целесо-
образно как с точки зрения подавления помех — аддитивных (им-
пульсных) и мультипликативных (замирания, многолучевость), так
и с точки зрения уменьшения динамического диапазона сигналов.
Поэтому ограничители широко используют в трактах обработки
ШПС. Наиболее часто используют полосовой ограничитель
(рис. 12.1,а). С выхода первого полосового фильтра (ПФ1), шири-
на полосы пропускания которого равна ширине спектра ШПС, сиг-
нал и шум поступают на ограничитель (Огр) и после ограничения
на второй полосовой фильтр (ПФ2), который так же, как и ПФ1,
настроен на несущую частоту ШПС и имеет такую же полосу про-
пускания. Второй полосовой фильтр необходим для того, чтобы не
пропустить на выход приемника комбинационные составляющие на
гармониках несущей частоты ШПС.

При фильтровой обработке ШПС вместо ПФ2 необходимо по-
ставить согласованный фильтр (СФ), который на рис. 12.1,6 осу-
ществляет оптимальный фазовый прием, так как ограничитель уст-
раняет изменения амплитуды. Если осуществляется корреляцион-
ная обработка ШПС, то за ПФ2 необходимо поставить перемножи-
тель («х» на рис. 12.1,в), на другой вход которого надо направить
ШПС от ГШПС. С выхода перемножителя сигнал поступает на
узкополосный фильтр ПФЗ, который выполняет роль интегратора.
8—111 225
Обычно в качестве ограничителя используется идеальный (или
жесткий) ограничитель, характеристика которого представлена на
рис. 12.2. На практике произвольный ограничитель становится иде-
альным, если амплитуда напряжения на его входе много больше
уровня ограничения мОгр. Совместное соединение идеального огра-

Рис. 12.1. Схемы приемников с ограни-
чителями

0 “в*

---------------1

Рис. 12.2. Характеристика иде-
ального (жесткого) ограничи-
теля

ничителя (с характеристикой, представленной на рис. 12.2) и по-
лосового фильтра (ПФ2 на рис. 12.1) называется идеальным поло-
совым ограничителем (ИПО). Допустим, что сигнал на входе ИПО
является ШПС, а шум представляет собой гауссовский случайный
процесс.

Обозначим через

Рв2х=(Лз/Лв)вх (12.1)

отношение сигнал-шум на входе ИПО, а через

Рвых = (^>сД>ш)вых (12.2)

отношение сигнал-шум на выходе ИПО, где Рс — мощность сигна-
ла, а Рш — мощность шума в полосе частот, занимаемых сигналом.

Известно [74], что при малых отношениях сигнал-шум на входе
(р2ВХ^С 1 )

р2 JL р2 « 0,79 р2 (12.3)

т. е. потери составляют л/4 (1 дБ), а при больших отношениях сиг-
нал-шум на входе (р2Вх^>1)

р2 «2р2 (12.4)

Увеличение отношения сигнал-шум в 2 раза (3 дБ) при р2вх^>1
обусловлено подавлением шумовой составляющей, синфазной со
входным сигналом.

На рис. 12.3 приведена зависимость отношения р2вых/р2вх от р2вх,
построенная в соответствии со следующей формулой >[75]:

Рвых _ ________Я [4 ( РВХ/2) +/1 ( Рвх/2)]___ (12 5)

Рвх 4 ехр ( Р2Х)—л [Z. (Гр2х/2) + /1 ( Рвх/2)]2 Рвх ’
где /о, Л — модифицированные функции Бесселя нулевого и перво-
го порядков. Из (12.5) при р2вх<С1 получаем (12.3), а при р2Вх^>
> 1-(12.4).

Прием ШПС на фоне мощных помех характеризуется отношени-
ем сигнал-помеха р2Вх<С1. Поэтому в таком случае отношение сиг-
нал-помеха на выходе ИПО снижается в л/4 раз, т. е. на 1 дБ в со-

Рис. 12.3. Изменение отношения
сигнал-помеха на выходе от отно-
шения сигнал-помеха на входе для
идеального ограничителя

ответствии с (12.3). Доказано [63, 76], что приемник ШПС (см.
рис. 12.1,6) является оптимальным фазовым обнаружителем, при-
чем характеристики обнаружения (или приема информации) опре-
деляются теми же соотношениями, что и для оптимального прием-
ника, но отношение сигнал-помеха необходимо уменьшить в л/4
раз. Например, допустим, что осуществляется прием двоичной ин-
формации с помощью двух противоположных сигналов. Вероят-
ность ошибки в этом случае определяется формулой (7.8)

Рош =1-Г (1/2Л), (12.6)

где F(x)—интеграл вероятности (7.5), а отношение сигнал-поме-
ха h2=Pc/WNa, W— скорость передачи информации, ЛГП— спект-
ральная плотность мощности помехи.

При наличии в тракте обработки ШПС ИПО формула (12.6)
для вероятности ошибки останется той же, но вместо h2 надо ис-
пользовать

Липо=—(12.7)
ипо 4 4 WNa v >

Точно так же пересчитывается отношение сигнал-помеха при
других случаях приема дискретной информации.

В работах |[77, 78] дан упрощенный анализ воздействия ШПС
и шума на ИПО, который приводит к известным результатам
(12,3), (12.4), (12.5), но по сравнению с более ранними результа-
тами в [77, 78] рассматриваются широкополосные системы, в ко-
торых отношение сигнал-помеха всегда меньше единицы. Именно
для таких систем в [78] дополнительно к известным результатам
приведены следующие. Для сигнала и шума с равномерными (по-
стоянными) спектральными плотностями показано, что если шири-
на спектра сигнала много больше ширины спектра шума, то выход-
ное отношение сигнал-шум уменьшается на 1 дБ. Если же шири-
на спектра шума много больше ширины спектра сигнала, то потери
в отношении сигнал-шум составляют 0,6 дБ. При этом наименьшее
8* 227
подавление помех имеет место, когда полоса сигнала и шума оди-
наковы, хотя с практической точки зрения изменение подавления
незначительное.

В работе '[79] приведены результаты экспериментальных иссле-
дований прохождения ШПС, шума и помех через ИПО. На рис.
12.4,а приведены зависимости вероятности ошибки от отношения
сигнал-шум на входе р2вх для ШПС с базой В=120 и разным
уровнем ограничения. Рассчитанная вероятность ошибки Рош, ког-
да ограничителя нет, представлена на рис. 12.4 кривой 1. Экспе-
риментально полученная Рош без ограничения представлена кривой

Рис. 12.4. Зависимость вероятности ошибки при приеме ШПС

2. Экспериментальные результаты показывают ухудшение Рош (эк-
вивалентно уменьшению отношения сигнал-шум на выходе согла-
сованного фильтра приблизительно на 0,8 дБ). Это ухудшение вы-
звано потерями из-за рассогласования аппаратуры и ошибками из-
мерения. Кривые 3 и 4 получены для Рош при ограничении смеси
сигнала и шума для уровней ограничения соответственно —20 и
—35 дБ относительно среднеквадратичного значения шума. На
рис. 12.4,6 приведены аналогичные кривые 1, 2, 3 и 4, но для ФМ
сигнала с базой В=13 (сигнал Баркера). Экспериментально полу-
ченные результаты показывают незначительное уменьшение веро-
ятности ошибки при ограничении для различных сложных сигналов.

Как следует из рис. 12.4, имеет место хорошее совпадение тео-
ретических результатов (12.3), (12.7) с экспериментальным, по-
скольку для обоих случаев р2Вх<;1.

При применении ИПО надо решить ряд задач, связанных с
влиянием его на прием ШПС в присутствии помех и шумов. К ним
относится влияние эффекта ограничения при воздействии на вход
приемника сигнала и флюктуационного шума, двух сигналов (по-
лезного и мешающего) и шума, системы сигналов равной интенсив-
ности или нескольких сигналов, имеющих большую мощность. При
работе систем связи с ШПС большое значение приобретает слу-
чай, когда на вход приемника воздействуют два частично перекры-
вающихся сигнала и шум.

Влияние эффекта ограничения для случаев, описанных выше,
228
рассмотрено в ряде работ [59, 63, 74—81]. В большинстве случаев
при оценке этого влияния используется критерий отношения сиг-
нал-шум (или сигнал-помеха), т. е. изменение этого отношения в
результате ограничения (12.5). В большинстве случаев знания от-
ношения сигнал-помеха достаточно. Однако в ряде случаев необ-
ходимо знать уточненные вероятностные характеристики (вероят-
ности обнаружения, вероятности ошибки) не только при малом или
большом отношении сигнал-шум на входе. Теоретическое исследо-
вание эффекта ограничения весьма сложно даже для простейших
случаев. Поэтому в дальнейшем будут изложены известные теоре-
тические результаты и дано их сравнение с экспериментальными
[79].

12.2. Воздействие на ИПО двух сигналов и шума

Прохождение двух сигналов (полезного и мешающего) и нор-
мального шума через ограничитель исследовано в работах [77, 78.
80]. В работе [77] оценивается влияние эффекта ограничения на
отношение сигнал-шум при воздействии на его вход двух синусои-
дальных сигналов и узкополосного нормального шума. На рис. 12.5
и 12.6 приведены некоторые зависимости, взятые из [77]. На рис.
12.5 кривые характеризуют изменение отношения сигнал-шум на
выходе от отношения сигнал-шум на входе для различных значе-
ний отношения мощностей, подаваемых на вход сигналов (Р^1
Р С1) вх, причем p2i вх — Pci вх/Рщ вх« На рис. 12.6 кривые характери-
зуют подавление одного сигнала другим в зависимости от отношен
ния сигнал-шум на входе для одного из сигналов.

Рис. 12.5. Отношение сигнал-помеха при
воздействии на ИПО двух сигналов и
шума

/71-----1_____I_____I_____1____1- . . . 1

~20 -10 0 10 20

Рис. 12.6. Зависимость отноше-
ния мощностей сигналов от отно-
шения сигнал-шум на входе ИПО

Из приведенных зависимостей следует, что когда оба сигнала
значительно слабее маскирующего шума, отношение сигнал-шум на
выходе ИПО для обоих сигналов уменьшается в 4/л раза (1 дБ).
Если мощность одного сигнала значительно больше мощности дру-
гого и больше мощности шума, отношение сигнал-шум для менее
интенсивного сигнала уменьшается на 3 дБ. Таким образом, когда
сигналы на входе системы маскируются шумами, имеет место сла-
бое подавление одного сигнала другим. Это справедливо, если вход-
ное отношение сигнал-шум для сигнала большей мощности не пре-
восходит 10 дБ. Максимальное подавление слабого сигнала силь-
ным происходит при больших отношениях сигнал-шум для обоих
сигналов и составляет 6 дБ.

В работе *[78] рассмотрен случай прохождения через ограничи-
тель синусоидального сигнала или ШПС и произвольной помехи.
При рассмотрении предполагалось, что мощность помехи на входе
ограничителя много больше мощности сигнала. Показано, что по-
давление увеличивается при уменьшении флюктуаций амплитуды
помехи и достигает максимального значения 6 дБ для помехи с
постоянной амплитудой.

На рис. 12.7 приведена зависимость отношения сигнал-помеха
на выходе ИПО р2ВЫх к отношению сигнал-помеха на выходе без
ограничения р2ВЫхо от отношения сигнал-шум на входе р2вх при
различном отношении мощностей сигнала и помехи (Рс/Рп)вх, в ка-
честве которых взяты Ф'М ШПС [81].

Рис. 12.7. Отношение сигнал-помеха
при воздействии на ИПО двух ШПС
и шума

Рис. 12.8. Зависимость вероятности
ошибки от отношения сигнал-помеха

Результаты экспериментального исследования влияния ограни-
чителя на вероятность ошибки, когда на его вход действует ШПС
и гармоническая помеха в присутствии нормального шума или без
него, приведены в [79]. При этом предполагается, что гармониче-
ская помеха действует в полосе сигнала, имеет постоянную ампли-
туду Un и случайную фазу, равномерно распределенную на отрезке
[—л, л].

В этих предположениях при когерентном приеме ШПС без ог-
раничителя вероятность ошибки ([59]

Рош « — arccos (Uc/Un) Ув . (12.8)

Л
Отношение (UC/UU)BX &ля ШПС, как правило, меньше единицы.
Поэтому в подобных случаях всегда происходит подавление сигна-
ла в ограничителе. Если обозначить подавление сигнала по мощно-
сти у, то с учетом того, что фазовая структура сигнала не нару-
шается ограничителем, вероятность ошибки при ограничении полу-
чается

Рош « -L arccos -Ь (I/c/l/n)BI VB . (12.9)

л Уу

При (Uc/Ua)2<Z 10 подавление составляет 6 дБ и коэффициент
у=4.

Результаты экспериментальных исследований влияния эффекта
ограничения на вероятность ошибки для рассматриваемого случая
приведены на рис. 12.8 [79].

На рис. 12.8 приведена вероятность ошибки Рош в зависимости
от входного отношения мощностей сигнала и гармонической поме-
хи (Рс/Рп)вх. Кривые 1, 2, 3, 4 характеризуют влияние ограничите-
ля на Рош при прохождении через него сигнала и гармонической
помехи. Расчетные вероятности ошибок для случая, когда ограни-
чителя нет, представлены кривой 1, а экспериментально получен-
ные результаты — кривой 2. Отличие расчетных и эксперименталь-
ных результатов вызвано ошибками измерения и рассогласования-
ми в аппаратуре. Кривыми 3 и 4 представлены расчетные и экспе-
риментально полученные вероятности ошибок, когда включен ог-
раничитель (уровень ограничения —20 дБ относительно гармони-
ческой помехи).

Кривые 5 и 6 характеризуют экспериментально полученные ве-
роятности ошибок, когда на вход приемника действуют сигнал,
гармоническая помеха и нормальный шум (дисперсия шума Рш =
= 17 Рс). Кривая 5 получена для случая, когда ограничителя нет, а
кривая 6 — когда ограничитель включен. Так как мощность шума
гораздо больше мощности сигнала и помехи, то подавление сигна-
ла в ограничителе незначительное и вероятности ошибок, пред-
ставленные на кривых 5 и 6, не должны заметно различаться меж-
ду собой.

12.3. Нелинейное кодовое уплотнение и разделение абонентов
в синхронных адресных системах связи

Совместное применение жесткого ограничения группового сигна-
ла и линейного кодового уплотнения и разделения абонентов (не-
линейного КР) было предложено в работе [82]. В дальнейшем
нелинейное КР исследовалось [5], но в основном рассматривалась
помехоустойчивость относительно взаимных помех (так называемые
шумы нелинейного преобразования). В работе {5] был произведен
учет собственных шумов приемника. Полученные результаты по-
зволяют достаточно просто и наглядно сравнить нелинейное КР с
линейным КР или ЧР.

На рис. 12.9 представлена структурная схема синхронной адрес-
231
ной системы с нелинейным КР, где показаны элементы, относящие-
ся к одному /-му каналу. Информация от источника в виде двоич-
ных единиц Sj= ± 1 поступает на модулятор. На второй вход моду-
лятора поступает опорный сигнал. В качестве опорного сигнала
можно взять видеочастотный дискретный фазоманипулированный

Рис. 12.9. Синхронная адресная система связи с жестким ограничением группо-
вого сигнала

сигнал. Он описывается кодовой последовательностью Aj= (ад,... >
..., ..., cbjN), состоящей из N символов а;п= ± 1. С выхода пере-

множителя снимается кодовая последовательность Vj= (ил,...,
... , Vjn, ... , VjN), СИМВОЛЫ которой Vjn — SjUjn- Очевидно, ЧТО Vjn =
= ± 1.

На выходе устройства уплотнения (УУ) имеем групповой сиг-
нал Угр, равный сумме канальных сигналов. Предполагаем, что все
сигналы синхронны (это обеспечивается синхронизатором С1). По-
этому элементы группового сигнала имеют ту же длительность, что
и элементы канальных сигналов. Амплитуда элементов группового
сигнала

Za *а

= Vjn 4" V ^mn = &jn + 2 $т
т—\ т=1

rr&j

Слагаемое vjn = Sjajn выделено потому, что при передаче символа
Sj знак этого слагаемого имеет значение для определения самого
символа Sj, в то время как сумму можно считать случайной вели-
чиной.

В ограничителе производится предельное или жесткое ограни-
чение группового сигнала. Амплитуда элемента на выходе ограни-
чителя определяется согласно известному правилу (см. рис. 12.2)

х = ( 1 при оп>0,

п ( — 1 при оп<0.

Кодовая последовательность Х= (хь ..., хп,..., х^). На входе
канала (Кан)—сигнал x(t), состоящий из прямоугольных им-
пульсов длительностью Т/N и с амплитудами хп, на выходе кана-
ла— колебание y(t)= V Pcx(t) +n(t). (Рс — мощность сигнала на
входе приемника, n(t) — гауссовский стационарный случайный про-
цесс с нулевым средним и с равномерной спектральной плотностью
мощности No).

В качестве оптимального демодулятора взят коррелятор, со-
стоящий из перемножителя (X), интегратора (И) и решающего
устройства (РУ). Ритмом работы коррелятора управляет синхрони-
затор С2. На структурной схеме рис. 12.9 показан только /-й демо-
дулятор.

На один из входов перемножителя поступает колебание y(t), на
другой — опорный дискретный фазоманипулированный сигнал с ко-
довой последовательностью Aj= (ац,..., а}п,..., ajN). Положим,
что опорные сигналы и соответственно кодовые последовательности
синхронны. Допустим, что передача двоичных символов осуществ-
ляется противоположными сигналами. При этом решающее уст-
ройство является пороговым с нулевым порогом.

Положим, что априорные вероятности появления символов Sj=
= ± 1 равны 0,5. Напряжение на выходе интегратора

*/ = f y(t)A}(t)dt, (12.10)

где Л3 (/)—опорный сигнал с кодовой последовательностью Aj.
Заменяя у(t) на ]/Pcx(0 +n(t) и обозначая

j x(i) А} (t) dt, h—j n(t)A}(t)dt, (12.11), (12.12)
о о

получаем

z}=*d + h. (12.13)

Величина z, является случайной, так как и d и h — случайны.
Первая — из-за жесткого ограничения группового сигнала, вто-
рая — из-за действия шума. Можно показать, что среднее значение
и дисперсия величины d, определяемой ограничением группового
сигнала, равны:

mx {d} = УР~С Т ]/2/л(/а-1), (12.14)

Ма {d} =РС Г [1-2/л (/а- 1)]/М « Ро Т2/М. (12.15)

Из (12.14), (12.15) видно, что среднее значение случайной вели-
чины d уменьшается как 1/ V /а—1, а среднеквадратическое зна-
чение— как 1/ V~N. Их отношение

mj {d}/ VMjfi = V2N/H (/а—1) (12.16)

тем больше, чем больше N/(la—1)=В/(1а—1), т. е. чем больше от-
ношение базы сигнала к числу мешающих абонентов.

Было положено, что случайная величина d является гауссов-
ской, поэтому она полностью характеризуется своими средним зна-
чением и дисперсией. Перейдем к определению статистических ха-
рактеристик и функции распределения случайной величины h. Так
как по предположению n(t)— случайный гауссовский процесс с
нулевым средним и с равномерной спектральной плотностью мощ-
ности No, то h — гауссовская случайная величина, а ее среднее зна-
чение и дисперсия соответственно:

т1{А}=0, М2{А) = 0,5^Т. (12.17)

Так как Zj является суммой двух гауссовских случайных вели-
чин d и h, то она сама есть гауссовская случайная величина. Ее
среднее значение согласно (12.14), (12.17)

а = тх fa} = ni! (d) + {h} = УК Т ]/2/л (/а—1), (12.18)

а дисперсия согласно (12.15), (12.17)

о2 «M2{z;) = M2{d) + M2{/i}=PoTW4 0,5K7’- (12-19)

Вероятность ошибки

Рош =F (-У2 Ан). (12.20)

где отношение сигнал-помеха на входе решающего устройства при
нелинейном КР

А2 =а2/2о2 =---——

н л(/а—1)

h20

2h20 + N

(12.21)

A2o=PcT/JVo — отношение сигнал-шум на входе приемника, а РСТ —
энергия группового сигнала на его входе. Напомним, что N — число
элементов в сигнале, и можно полагать, что N=B — базе сигнала.

При lV;>2A2o из (12.21) получаем

А2Н « 2 А2/л (4-О.
а при 2h2o^N

h2H^2N/n(l&—l).

(12.22)

(12.23)

Формулы (12.22), (12.23) позволяют найти отношение сигнал-
помеха в САС при жестком ограничении группового сигнала. Отме-
тим, что потери из-за жесткого ограничения равны 2/л, т. е. при-
мерно 2 дБ.

13. ФИЛЬТРАЦИЯ ВЗАИМНЫХ И СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ

13.1. Взаимные и структурные помехи

В широкополосных системах связи с шумоподобными сигналами
возможно воздействие различного рода помех, в том числе шумо-
вых, импульсных, узкополосных, которые были подробно рассмот-
рены в гл. 10. Наряду с такими помехами в ШСС могут действо-
вать также взаимные (или системные) и структурные (ретрансли-
рованные или имитационные) помехи, которые представляют собой
ШПС такого же типа, что и используемые в ШСС.

Взаимные (или системные) помехи имеют место в ШСС типа
асинхронных адресных систем связи (ААС), когда все абоненты ра-
ботают в общей полосе частот и используют один и тот же тип
ШПС, например, фазоманипулированные, дискретные частотные
или дискретные составные сигналы. В таких системах связи разде-
ление абонентов производится на основе различия форм ШПС, ис-
пользуемых различными абонентами. Такое разделение абонентов
называется кодовым разделением (КР) [5]. В ШСС типа ААС од-
новременно действует большое число абонентов, поэтому взаимная
помеха, равная сумме ШПС от отдельных абонентов, по своим ста-
тистическим характеристикам близка к нормальному случайному
процессу, т. е. к шуму в полосе частот, занимаемых ШПС.

Структурная помеха представляет собой один мощный ШПС,
воздействующий на ШСС. Структурная помеха возникает тогда,
когда передатчик мешающего абонента расположен гораздо ближе
передатчика полезного абонента либо когда передатчик мешаю-
щего абонента обладает гораздо большей мощностью по сравнению
с передатчиком полезного абонента. В последнем случае речь идет
о преднамеренной (или организованной) помехе, назначение кото-
рой — подавление ШСС. В обоих случаях структурная помеха ли-
бо повторяет форму полезного ШПС, но отличается мощностью, за-
держкой и рядом других параметров, либо принадлежит к тому
же типу, что и полезный ШПС. В первом случае она называется
ретранслированной, во втором — имитационной. Структурная по-
меха по своим статистическим свойствам далека от гауссовского
случайного процесса. Анализ ее воздействия необходимо проводить
с использованием структурных свойств полезного сигнала и помехи
и с учетом распределения их энергии на частотно-временной плос-
кости.

Сначала рассмотрим фильтрацию взаимных помех, а затем
структурных.

13.2. Основы кодового разделения абонентов в ААС

Как отмечалось ранее, ААС основаны на использовании кодо-
вого уплотнения и разделения абонентов. При этом требуемое для
ААС число сигналов равно произведению числа абонентов на чис-
ло сигналов в алфавите (полагаем, что все абоненты используют
алфавиты одинакового объема). Минимальное число сигналов рав-
но числу абонентов. Если число абонентов в ААС велико, то выбор
сигналов является главным вопросом при разработке ААС.

Обозначим через Lk число абонентов в ААС, а число активных
абонентов, ведущих передачу информации в рассматриваемый мо-
мент времени, через /а. На вход приемника одного из абонентов,
принимающих информацию, поступают сигналы от / = /а—1 мешаю-
щих абонентов, создающих взаимные помехи, и полезный сигнал от
активного абонента, который передает информацию данному або-
ненту. Если /^>1, то 1~1а.

Рассмотрим влияние взаимной помехи на помехоустойчивость
передачи полезной информации. Сначала используем энергетиче-
235
ское определение взаимной помехи, которое позволяет наглядно
выяснить основные особенности приема информации на фоне вза-
имной помехи [5]. Пусть ширина общей полосы частот равна F.
Допустим, что ширина спектра всех сигналов в ААС равна ширине
общей полосы частот. Предположим, что все активные абоненты
создают на входе выделенного /-го приемника сигналы одинаковой
мощности Рс. В этом случае мощность полезного сигнала Рс, а
мощность взаимной помехи 1РС. Допустим, что спектральная плот-
ность мощности взаимной помехи постоянна в пределах общей по-
лосы частот

Nn = lPjF. (13.1)

Предположим также, что число слагаемых во взаимной помехе
/»1. Поэтому можно допустить, что взаимная помеха по своим
статистическим свойствам приближается к нормальному случайно-
му процессу. Таким образом, сделанные предположения позволяют
считать в первом приближении взаимную помеху гауссовским слу-
чайным процессом с равномерной спектральной плотностью мощ-
ности (13.1).

При передаче и приеме дискретной информации помехоустойчи-
вость когерентного и некогерентного приема полностью определя-
ется отношением сигнал-шум, приходящимся на одну двоичную
единицу (7.10). Заменяя в формуле (7.10) JV0 на Nn (13.1) и опус-
кая индекс 2, получаем

h2 = BH, (13.2)

где B=‘FT=FfW — база ШПС, приходящаяся на одну двоичную
единицу. Из (13.2) следует, что для обеспечения надежной переда-
чи информации (Л2^>1) необходимо, чтобы база В была много
больше числа мешающих абонентов В, т. е. чтобы отношение ЦВ <£
С1. При передаче информации с заданной помехоустойчивостью
при h2=const формула (13.2) позволяет найти требуемое отноше-
ние l/В. Из (13.2) следует, что при заданном числе активных або-
нентов /а = /+1 увеличение отношения сигнал-взаимная помеха
возможно только за счет увеличения базы В. Чем больше требуе-
мая помехоустойчивость, тем больше должна быть база В. Это
объясняется тем, что с увеличением базы (с увеличением ширины
спектра сигналов при постоянной скорости передачи информации
W) уменьшается спектральная плотность помехи Na (13.1). Прин-
ципиально увеличение базы В позволяет получить сколь угодно
высокую помехоустойчивость приема информации в ААС.

При когерентном приеме, как было отмечено ранее, различают
три возможные метода передачи двоичных символов: противопо-
ложными сигналами (фазовая манипуляция — ФМ), ортогональ-
ными сигналами (ортогональная манипуляция — ОМ) и пассивной
паузой (амплитудная манипуляция АМ). Вероятность ошибки при
когерентном приеме двоичной информации для ФМ и ОМ соответ-
ственно:

Р0ш = /7(-)/2”в7/). Pom = F(-]/B7z). (13.3), (13.4)
При АМ коэффициент а в (7.9) равен 1/2, но при этом Na в 2 раза
меньше, так как число суммируемых сигналов в среднем равно Z/2,
поскольку половина сигналов не передается. Помехоустойчивость
ОМ и АМ одинаковы и определяются формулой (13.4). Отметим,
что при ОМ система сигналов в ААС должна иметь объем 2L, а
при АМ — L. Однако при АМ необходимо устанавливать порого-
вый уровень, не равный нулю. Флюктуации порогового уровня мо-
гут существенно снизить помехоустойчивость АМ.

При некогёрентном приеме двух ортогональных сигналов веро-
ятность ошибки

Рош = 0,5 ехр ( —В/2 Z). (13.5)

Если информация передается т-ичными символами, то основ-
ные соотношения (13.1), (13.2) не изменяются. При этом база ш-
ичных символов B = FTm. Отношение сигнал-помеха h2, отнесенное
к т двоичным единицам, следует рассчитывать по формуле (13.2).
Используя полученное значение h, вероятность ошибки можно рас-
считывать по известным формулам (см. гл. 7).

Из соотношения (13.2) следует, что увеличением базы В всегда
можно добиться требуемого отношения сигнал-взаимная помеха.
Однако при этом не учитывается собственный шум приемника.

Рассмотрим влияние шума на снижение помехоустойчивости.
Допустим, что, кроме взаимной помехи со спектральной плотностью
Na (13.1), действует шум, являющийся нормальным стационарным
случайным процессом с равномерной спектральной плотностью No.
В этом случае результирующая спектральная плотность равна Na +
+No, а отношение сигнал-помеха

h2 = PcT(Pcl/F+N0)~i. (13.6)

Преобразуя полученное соотношение и обозначая отношение
сигнал-шум h2o=PcT/No = PclWN, из (13.6) получаем

h2=(l/B+l/h2)~l (13.7)

Предельное значение № при В-^оо равно h2o, т. е. предельное
значение помехоустойчивости ААС определяется шумом.

Из соотношения (13.7) можно найти допустимое число мешаю-
щих абонентов при заданной помехоустойчивости (задано требуе-
мое значение h) и для определенного уровня шума (известно зна-
чение /io). Преобразуя (13.7), находим, что

Zi2Z/B = l — h2/h2 (13.8)

Зависимость (13.8) представлена на рис. 13.1. Если шума нет
(Мг->-0, /г20->оо), то lh2IB= \ и относительное число мешающих або-
нентов Z/B=l//i2, что совпадает с результатом, получаемым из фор-
мулы (13.2). При увеличении шума и h2=const допустимое число
мешающих абонентов уменьшается, а при h=ho оно равно нулю,
т. е. заданная помехоустойчивость может быть реализована, если
нет взаимных помех.

Из рассмотрения основ кодового разделения абонентов следует,
что помехоустойчивость ААС относительно взаимных помех пол-
ностью определяется отношением базы сигналов к числу активных
абонентов (13.2). Увеличивая базу сигналов, можно всегда полу-
чить требуемую помехоустойчивость или приблизиться к предель-
ной. Однако при постоянной скорости

Рис. 13.1. Зависимость числа
активных абонентов в ААС от
отношения сигнал-помеха

передачи информации увеличение ба-
зы сигналов означает расширение их
спектров, что приводит к увеличению
общей полосы частот ААС. При этом
возникает вопрос, насколько эффектив-
но используется общая полоса частот
в ААС.

Эффективность использования об-
щей полосы частот в ААС будем ха-
рактеризовать коэффициентом исполь-
зования частот ц и числом активных
абонентов на единицу полосы частот
v. Используя определение базы сигна-
лов, получаем p,Kp = Za/B. Так как Za =
= /+1, а при /а^>1 имеем /а~/, то в
соответствии с формулой (13.2)

р,кр = 1/Л2 = Z/B.

(13.9)

Из полученного соотношения следует, что эффективность ис-
пользования общей полосы частот тем выше, чем меньше требуе-
мое отношение сигнал-взаимная помеха А2. Поскольку отношение
сигнал-взаимная помеха (13.2) уменьшается с ростом числа ме-
шающих абонентов, то чем больше число активных абонентов, тем
лучше используется общая полоса частот. Величина h определяет
вероятность ошибки. Чем она больше, тем меньше вероятность
ошибки. Таким образом, ААС целесообразно применять в тех слу-
чаях, когда не требуется высокая надежность (или высокое каче-
ство) передачи информации, а число абонентов должно быть боль-
шим.

Число активных абонентов на единицу полосы частот v =
= Zamax/F, где Za max — максимальное число активных абонентов,
имеющих возможность одновременно передавать информацию. За-
давая качество передаваемой информации, т. е. задавая отношение
сигнал-взаимная помеха А2, полагая согласно (13.2) l=B/h2 и вы-
ражая базу сигналов В через отношение F/Fc (1.1), получаем

^Кр=^тах/г-2, (13.10)

где vmax=l/Fc. Так же, как и в случае соотношения (13.9), чем
меньше требований предъявляется к качеству передаваемой ин-
формации (чем меньше /г2), тем больше будет число активных або-
нентов на единицу полосы.

При анализе кодового разделения [см. (13.2)] относительно
применяемых ШПС было сделано лишь одно предположение, что
ширина спектра ШПС должна быть равна ширине общей полосы
частот. Поскольку выполнить это условие можно достаточно прос-
то, то может создаться впечатление, что в ААС с кодовым разде-
лением применимы любые системы сигналов. Однако детальное ис-
следование вопроса выбора систем сигналов показывает, что раз-
личные системы сигналов обеспечивают различную помехоустойчи-
вость. В то же время в формулу (13.2), кроме ширины спектра, не
входят иные свойства систем сигналов. Такое различие между ре-
зультатом (13.2) и влиянием свойств систем сигналов на помехо-
устойчивость объясняется двумя основными допущениями, которые
были сделаны при выводе формулы (13.2): во-первых, предпола-
галось, что взаимная помеха нормализуется, и во-вторых, что ее
спектральная плотность в общей полосе частот равномерна. Одна-
ко и то, и другое предположение могут не выполняться, что в зна-
чительной мере определяется свойствами используемой системы
сигналов. Влияние свойств систем сигналов на помехоустойчивость
ААС с кодовым разделением приведено в работе [5].

Рассмотрим работу приемника k-ro абонента. Если Lh — число
абонентов в ААС, то k=\,Lk, Поскольку выделение информации
происходит на выходе приемника, определим характеристики сиг-
нала и взаимной помехи на выходе. Допустим, что информация пе-
редается двумя противоположными сигналами и осуществляется
когерентный прием. Оптимальный приемник &-го абонента состоит
из согласованного фильтра и решающего устройства. На входе при-
емника действует сумма полезного сигнала (последовательность
сложных сигналов, манипулированных последовательностью инфор-
мационных символов) и взаимной помехи, которая в свою очередь
является суммой мешающих сигналов. Нормированное напряжение
на выходе согласованного фильтра будет равно сумме автокорре-
ляционных функций (АКФ) от полезных сигналов и взаимокорре-
ляционных функций (ВКФ) от мешающих сигналов.

По определению АКФ k-ro сигнала

**(*)= Л I

2 Е J
----ОО

а ВКФ /-го и k-ro сигналов с равными энергиями

= A I U^DUAt-^dt.
£ —ОО

Решающее устройство принимает решения в момент окончании
полезных сигналов, т. е. полагаем, как и ранее, что в приемнике
есть синхронизатор, который обеспечивает синхронный отсчет ин-
формации.

Если на входе фильтра действует только полезный сигнал, то
значение напряжения на его выходе в момент принятия решения
(момент отсчета) равно ±1, поскольку оно равно максимальному
значению АКФ с учетом знака передаваемого информационного
символа. При действии /-го мешающего сигнала значение ВКФ в
момент отсчета равно 7?^(т), где т — произвольное значение аргу-
мента, IrKT. При непрерывной передаче информационных симво-
лов /-м абонентом в момент отсчета напряжение

М/ Яд (T-O) + S; Rik (r-tj-T), (13.11)

где gj, i,'j— ±1 — случайные величины, определяемые знаками ин-
формационных символов; tj — случайный сдвиг во времени начала
работы /-го абонента. Таким образом, величина Vjk случайна из-за
случайности информационных символов и случайного сдвига во
времени начала работы /-го абонента. __

Пронумеруем номера мешающих абонентов так, чтобы /=1,I.
Взаимная помеха в момент отсчета есть сумма напряжений вида
(13.11):

V = У Vih= 3 II/ R/k + RJh (т-^-Т)], (13.12)

7=1 7=1

причем Vkc соответствует одному из возможных сочетаний мешаю-
щих абонентов, число которых определяется биномиальным коэф-
фициентом ClLh.

Обозначим через Rjk произвольное значение Rjk(x—tj), т. е.
Rjh^Rjh(x—tj). Так как tj — случайная величина, то и Rjk— слу-
чайная величина. Аналогично R'jk^Rjk (т—tj—Т). Поскольку
Rjk(x—tj) и Rjk(x—tj—Т) имеют одни и те же значения, что и
Rjk(x), но только в различные моменты времени, то Rjk^Rjk(x) и
R'jk^Rjk(x). С учетом принятых обозначений получаем:

У = (IjR^R^), (13.13)

7=i

Величина V — случайная, так как, во-первых, она сумма слу-
чайных величин Vjk и, во-вторых, сумма случайного числа слагае-
мых по различным сочетаниям. Таким образом, случайная величи-
на V, взаимная помеха в момент отсчета, представляет собой функ-
цию следующих случайных величин: 1) числа мешающих абонен-
тов Z; 2) номеров мешающих абонентов (различных сочетаний
ClLk); 3) информационных символов 4) момента начала работы
абонента tj.

Для расчета помехоустойчивости ШСС при воздействии вза-
имных помех необходимо знать плотность вероятности случайной
величины V (13.13). При этом необходимо учесть все случайные
факторы, о которых было упомянуто. В [5] приведена методика
определения плотности вероятности взаимной помехи V. Приведем
лишь основные результаты.

Обозначим нормированное значение взаимной помехи

Z = V/(sVn, (13.14)

где

°‘=тИ* <Ш5>

1 /=1
— дисперсия (мощность) взаимной помехи, равная среднеарифме-
тическому значению дисперсий взаимной помехи от всех мешаю-
щих абонентов,

1 т

»?.=«, {«я}ф {
" * 7*

(13.16)

— дисперсия ВКФ [5], а число n=2Z равно числу перекрывающих-
ся ВКФ. Плотность вероятности взаимной помехи Z записывается
в виде ряда Эджворта [5]

(13.17)

где Ht(x)—многочлен Эрмита четвертого порядка, коэффициент
эксцесса

а коэффициент эксцесса определяется следующей общей фор-
мулой [55]:

Т/»=(МХ)-3. (13.19)

Из (13.18) следует, что у является средневзвешенным значени-
ем коэффициента эксцесса для данного сочетания абонентов, при-
чем слагаемое в квадратных скобках определяет смещение.

Плотность вероятности (13.17) целесообразно использовать для
нахождения вероятности ошибки при когерентном приеме. При не-
когерентном приеме (например, двух ортогональных сигналов) не-
обходимо учитывать также асимметрию распределения ВКФ, а за-
тем определить плотность вероятности модуля взаимной помехи
р= ]/ Z2+Y2f где У — квадратурная составляющая взаимной поме-
хи. С учетом изложенного плотность вероятности модуля взаимной
помехи [5]

w (р) « р е-Р'/2 [ 1 + Jp В4 (р)+ Вв (р)1 , (13.20)

где

(13.21)
n /=1

— средневзвешенное значение коэффициента эксцесса, согласно
[55]

а = М3/<т3, (13.22)

многочлены В«(р) = (3/4)р4—6р2+6 и В6(р) = (5/8)р6—(45/4)р4 +
+45р2—30.

Формулы (13.17), (13.20) достаточны для расчета помехоустой-
чивости при действии взаимных помех.
13.3. Фильтрация взаимных помех

Вероятность ошибки при когерентном приеме двух противопо-
ложных сигналов в соответствии с плотностью вероятности (13.17)
[5]

Рош « Г (-<7) f 1 + 57- <?4-3 Я2)] . (13.23)

24 n J

где отношение сигнал-взаимная помеха

<72 = 1/п<т2, (13.24)

п=2/, а2 — дисперсия взаимной помехи, F(x)—интеграл вероят-
ности (7:5).

Если коэффициент эксцесса у системы сигналов равен нулю,
т. е. у=0, то вероятность ошибки согласно (13.23) РОш=В(—q) и
она должна совпадать с вероятностью ошибки (13.3), т. е. должно
иметь место равенство 2В/1= l/2/о2. Таким образом, из сравнения
результатов фильтрации взаимных помех с помощью энергетиче-
ского и корреляционного методов следует, что дисперсия ВКФ
ШПС а2=1/4В, где база B=FT, F — ширина спектра ШПС, Т —
длительность ШПС. Следует напомнить, что дисперсия системы
сигналов о2 определена как среднеарифметическое значение (13.15)
дисперсий ВКФ отдельных пар ШПС (13.16). Если предположить,
что различия дисперсий ВКФ отдельных пар ШПС незначительны,
то и дисперсия ВКФ o2jk = o2= 1/4В. Вместе с тем в гл. 4, посвя-
щенной системам ФМ сигналов, отмечалось, что дисперсия ВКФ
ФМ ШПС равна 1/2N, где N — число импульсов в ФМ сигнале.
Здесь нет противоречий, поскольку в гл. 4 дисперсия ВКФ ФМ сиг-
налов определялась в дискретных точках, а в данном параграфе
ВКФ определяется на интервале (—Т, Т) согласно (13.16). Поэто-
му при расчете взаимных помех в ШСС с ФМ ШПС необходимо
полагать В= 2/N.

Обращаясь снова к вероятности ошибки (13.23), замечаем, что
при коэффициенте эксцесса у>0 вероятность ошибки увеличива-
ется. Напомним, что у=0 соответствует одномерной плотности ве-
роятности гауссовского случайного процесса. Поэтому система сиг-
налов с коэффициентом у>0 по своим статистическим характерис-
тикам отличается от реализации гауссовского случайного процес-
са. С ростом числа активных абонентов I взаимная помеха норма-
лизуется (второе слагаемое в квадратных скобках в (13.23) стре-
мится к нулю) и (13.23) не отличается от (13.3).

Таким образом, в ШСС с КР необходимо использовать такие
системы, у которых коэффициент эксцесса наименьший. В [5] при-
ведено сравнение двух систем ФМ сигналов с В = 64 и дана оцен-
ка влияния их корреляционных свойств на помехоустойчивость
ШСС.

Первая система (У) основана на кодовых последовательностях
Уолша, которые являются строками матрицы Адамара. Вторая
система (П) является производной системой сигналов, кодовые по-
следовательности которой получались при помощи посимвольного
242
Рис. 13.2. Зависимость
вероятности ошибки в
ААС

цесса) обеспечивает

умножения кодовых последовательностей Уолша на производящую
кодовую последовательность. Последняя была выбрана из условия
малости боковых пиков АКФ. Были подсчитаны все ВКФ обеих
систем (в дискретных точках) и определены дисперсии и коэффи-
циенты эксцесса. Для системы У: а2=7,8-10“3, у=20. Для системы
П: a2=7j. ю—3, у=0,64. Разница между дисперсиями очень мала,
а коэффициенты эксцесса сильно отличаются. Это объясняется тем,
что ВКФ системы У имеют боковые пики гораздо больше, чем
ВКФ системы П. Была рассчитана средняя
вероятность ошибки. Для расчета исполь-
зовалась формула (13.23).

На рис. 13.2 приведены полученные за-
висимости Рош от h для обеих систем.
Сплошной линией показана зависимость
1—F(q), соответствующая нормализации
взаимной помехи. Из рисунка видно, что си-
стема П (с меньшим коэффициентом экс-
меньшую вероятность

ошибки, чем система У. Если вероятность
ошибки Рош=Ю-5, проигрыш в отношении
сигнал-взаимная помеха относительно 1 —
—F(q) для системы У составлял 1,7 дБ, а
для системы П 0,172 дБ. Из сравнения сле-
дует, что реальные системы сигналов дают
вероятность ошибки больше, чем в случае

нормализации взаимной помехи. Увеличение вероятности ошибки
(или проигрыш в отношении сигнал-помеха) существенно зависит
от выбора системы сигналов. Следовательно, выбор систем сигна-
лов для ААС имеет практическое значение.

Вероятность ошибки при некогерентном приеме двух ортого-
нальных сигналов [73]:

Рош = f dZx J w (Zp Z2) d Z2, (13.25)

где Zi, Z2— огибающие согласованного и несогласованного каналов
оптимального приемника. (Когда передается один из ортогональ-
ных сигналов, то один из каналов оптимального приемника являет-
ся согласованным с ним, а другой — несогласованным.) Двумерная
плотность вероятности &y2(Zb Z2) равна произведению одномерных,
так как Z\ и Z2 статистически независимы, поскольку сигналы и
фильтры ортогональны. Одномерная плотность вероятности в не-
согласованном канале определяется выражением (13.20); в согла-
сованном канале плотность вероятности также определяется по
(13.20), но с введением среднего значения, равного нормирован-
ному значению сигнала. Вероятность ошибки зависит от вероят-
ности превышения огибающей в несогласованном канале уровня
Z2. Как следует из (13.20), вероятность превышения величиной р
некоторого уровня определяется в значительной мере коэффициен-
том эксцесса у и квадратом коэффициента асимметрии а2. По-
скольку при существенных значениях р многочлены (13.22) поло-
жительны, то второе и третье слагаемые в квадратных скобках
(13.20) будут увеличивать вероятность превышения величиной р
заданного уровня. Это приведет к увеличению вероятности ошиб-
ки. Усредняя последовательно вероятность ошибки по всем сочета-
ниям и по всем абонентам, можно показать, что в первом прибли-
жении средняя вероятность ошибки определяется квадратом коэф-
фициента асимметрии системы а2 и коэффициентом эксцесса у. При
этом правило выбора системы сигналов формулируется следующим
образом: при прочих равных условиях необходимо выбирать систе-
му сигналов с наименьшим квадратом коэффициента асимметрии
системы, или с наименьшим коэффициентом эксцесса системы, или
с наименьшими обоими коэффициентами.

Таким образом, в ШСС типа ААС целесообразно использовать
такие системы ШПС, корреляционные свойства которых близки к
свойствам гауссовского случайного процесса с нулевыми коэффи-
циентами эксцесса и асимметрии. Для реальной системы ШПС ко-
эффициенты эксцесса и асимметрии необходимо вычислять по
формулам (13.18), (13.19), (13.21), (13.22). Начальные моменты
ВКФ определяются по формуле [5]

1 т

mv}k = mv {Rjk} « — j R?k (t) dr, (13.26)

Л 1 _T

а центральные моменты Mvjk— по известным соотношениям [55]
для начальных моментов Усредняя по всем ВКФ, можно най-
ти соответствующие значения центральных моментов М3 и Мь вхо-
дящие в формулы (13.19), (13.22).

13.4. Оптимизация ААС с КР

Расчет помехоустойчивости ААС с КР возможен по известным
формулам (13.3), (13.4) или им подобным при отношении сигнал-
взаимная помеха, определяемом согласно (13.2). Но в (13.2) чис-
ло мешающих абонентов / случайно, так как число одновременно
работающих абонентов в ААС может изменяться во времени. По-
этому необходимо иметь убежденность, что использование (13.2)
закономерно.

В работах [83, 84] доказано, что для расчета помехоустойчи-
вости ААС с КР достаточно использовать отношение сигнал-взаим-
ная помеха (13.2), используя среднее значение числа активных
(мешающих) абонентов А, т. е. рассчитывать отношение сигнал-
взаимная помеха по формуле

/i2 = B/A. (13.27)

где A=nii{Z}поскольку /а = /+1 и при /^>1 1а~1. Доказа-
тельство справедливости применения (13.27) в ААС с КР позволи-
ло также решить проблему оптимизации ААС с точки зрения вы-
бора ШПС. Приведем только основные результаты отмеченных
работ [83, 84].
Число активных абонентов I случайное. Этот факт определяет-
ся активностью абонентов, под которой понимаем вероятность то-
го, что абонент работает в данный момент времени. Обозначим эту*
вероятность (активность абонента) через р. Пусть общее число або-
нентов в ААС равно L. В таком случае распределение числа актив-
ных абонентов описывается биномиальным законом .[73]

Pz = cl Pz (1—P)L-1 . (13.28>

где ClL — биномиальный коэффициент. Среднее значение к и дис-
персия ц2 числа активных абонентов определяются следующим»
соотношениями:

Х = рГ, ц2 = р(1—р)£. (13.29)

Активность абонента р может быть определена как предел р =
= Ит((7’пер/Тая), где Tas — время анализа; Гпер— суммарное
время передачи информации за время анализа, при усреднении по>
ансамблю абонентов. Если активность абонента в данной ААС из-
вестна, то она определяет соотношение между длительностью ин-
формационной единицы, равной длительности сигнала Т, и макси-
мальным интервалом Гтах, приходящимся на одну информацион-
ную единицу с учетом пауз, т. е.

Р = 7’/Тюах. (13.30).

Соотношение (13.30) получается следующим образом. Допустим,,
что за время анализа Ган было передано N информационных еди-
ниц, т. е. Гпер=./УГ. На каждую информационную единицу в сред-
нем приходится интервал Гтах=Г/М. Если активными являются;
все абоненты, то активность р=1 и длительность сигнала Г дости-
гает максимального значения, равного Гтах.

Поскольку число активных абонентов случайно, то можно ввес-
ти его коэффициент нестабильности

б = рД, (13.31)

который в соответствии с (13.29)

6 = ]/(1-р)/р£ « 1/Кр£=1/рХ (13.32)

Приближенное равенство справедливо при p<§Sl, что обычна
имеет место на практике. Для уменьшения нестабильности числа
активных абонентов необходимо увеличивать среднее число %=pL.
Этот вывод, как будет показано в дальнейшем, имеет фундамен-
тальное значение для ААС. Сначала рассмотрим более простой
случай, а именно: изменение отношения сигнал-взаимная помеха
в ААС.

Поскольку число активных абонентов случайно, то и отношение
сигнал-взаимная помеха на выходе приемника

h2(t) = Bll (13.33)

будет случайной величиной (более точно, дискретным, марковским
процессом). Введем коэффициент нестабильности отношения сиг-
нал-помеха

6Л=оЛ/Л2, (13.34)

где й2, Oh — среднее и среднеквадратическое значения случайной
величины h2(l).

Следует отметить, что хотя закон распределения числа актив-
ных абонентов известен (13.28), но моменты й2(/) в замкнутом ви-
де найти не удалось вследствие того, что / в формуле (13.33) вхо-
дит в знаменатель. Поэтому было предположено, что закон рас-
пределения I имеет ярко выраженный максимум, а это действи-
тельно имеет место для биномиального закона при Х^>1. Поэтому,
используя асимптотический метод Лапласа, можно показать [83],
что

Г2 В ( 1 , 1 \ _ В <> В2 ( а 1 \ _ В2

h2 ж — 1 Ч---) ~ , о? « — 1--------| .

к \ К ) X h V \ Z ) X3

(13.35), (13.36)

Последние приближения в (13.35), (13.36) сделаны потому, что
%3>1, по предположению. Подставляя (13.35), (13.36) в (13.34),
получаем, что бл«1/]/~Х~б, т. е. нестабильность отношения сиг-
нал-помеха совпадает с нестабильностью числа активных абонен-
тов в ААС. Таким образом, для уменьшения коэффициента неста-
бильности отношения сигнал-помеха необходимо увеличивать сред-
нее число активных абонентов X=pL. В свою очередь, это требова-
ние означает, что при постоянном общем числе абонентов в ААС
целесообразно увеличивать их активность р для стабилизации от-
ношения сигнал-помеха. Увеличение активности абонента р воз-
можно только за счет увеличения длительности используемых сиг-
налов Т до максимально возможного значения Ттах согласно
(13.30). Поэтому в ААС целесообразнее использовать сигналы с
максимально возможной длительностью, хотя из известной до на-
стоящего времени формулы (13.27) это не следует, так как в ней
не учитывается изменение числа активных абонентов во времени.

Сделанные выводы имеют качественный характер, поскольку
было проанализировано только изменение отношения сигнал-поме-
ха. В работе ,[84] дано доказательство этого принципиального ре-
зультата и при определении помехоустойчивости ААС. Показано,
что вероятность ошибки при приеме противоположных сигналов

Рош ~ F (—/2/1) + (2 я)-‘/2 2-4 S2 (2 /I2)3/2 ехр (—/г2). (13.37)
где h2 определено согласно (13.27). Первое слагаемое F(—Ц2/1)
представляет собой вероятность ошибки без учета случайности чис-
ла активных абонентов, т. е. когда расчет ААС производится при
замене случайного числа абонентов I его средним значением. По-
следнее слагаемое вызывает увеличение ошибки. Оно пропорцио-
нально квадрату нестабильности числа активных абонентов. Чем
меньше коэффициент нестабильности, тем меньше вероятность
ошибки. В соответствии с (13.32) б2=1Д, т. е. для уменьшения ве-
246
роятности ошибки необходимо увеличивать среднее число актив-
ных абонентов. Этот вывод совпадает с выводом, полученным пос-

ле рассмотрения нестабильности отношения сигнал-помеха.

На рис. 13.3 изображена зависимость вероятности ошибки Рош
от отношения сигнал-помеха h при различных значениях среднего»

числа активных абонентов A,«l/S2. Из ри-
сунка видно, что при А,= 100 влияние слу-
чайности числа активных абонентов незна-
чительно. Однако при малом числе актив-
ных абонентов вероятность ошибки увели-
чивается. Например, при А,= 1 увеличение
вероятности ошибки значительно, особенно
при больших отношениях сигнал-помеха (на
два порядка). В этом случае необходимо
для получения прежней вероятности ошиб-
ки увеличивать отношение сигнал-помеха
примерно на 0,5 дБ, это эквивалентно умень-
шению числа абонентов на 12%, что крайне
нежелательно, если учитывать необходи-
мость повышения эффективности использо-

Рис. 13.3. Влияние не-
стабильности отношения
сигнал-помеха на веро-
ятность ошибки

вания спектра радиочастот.

Как следует из приведенного материала, для повышения эффек-
тивности ААС необходимо увеличивать среднее число активных
абонентов %. Из формул (13.29), (13.30) следует, что

К — Р L — ТЛ/Тщах-

(13.38)

Вместе с тем от X зависит и h2 (13.27). Подставляя (13.38) в
(13.27) и учитывая, что B = FT, получаем

h2 = FT^^JL = BMax/L. (13.39)

Из (13.39) следует, что отношение сигнал-помеха в конечном
счете определяется только максимальной базой Втах = ВТтах И об-
ЩИМ числом абонентов L и не зависит от длительности сигнала.
Поскольку с увеличением длительности сигнала Т до максималь-
но возможного значения Ттах увеличивается к и уменьшается веро-
ятность ошибки, то отсюда следует, что в ААС необходимо исполь-
зовать сигналы максимально возможной длительности.

В ряде ранних и в некоторых современных работах для ис-
пользования в ААС рекомендуются различные импульсные сигна-
лы. Как следует из материалов данной работы, подобные рекомен-
дации нельзя считать корректными. Наилучшими являются сигна-
лы максимальной длительности.

13.5. Фильтрация мощных ФМ структурных помех

При действии преднамеренных структурных помех мощность
Рп помехового ШПС может быть во много раз больше мощности
Рс полезного ШПС. Мощность сигнальной составляющей на выхо-
де согласованного фильтра в момент принятия решения (отсчета)
пропорциональна Рс, а мощность мешающей составляющей равна
PnR2jk (т), где /?3&(т) — ВКФ полезного k-ro сигнала и /-го мешаю-
щего. Величина т определяется смещением ВКФ относительно мо-
мента отсчета. Отношение сигнал-помеха на выходе

<72(т) = р2Я2А(г), (13.40)

где

Р2=Рс/^п (13.41)

— отношение мощностей сигнала и помехи на входе приемника.
Отношение сигнал-помеха (13.40) зависит от т. Наименьшее отно-
шение сигнал-помеха

(13-42)

где Ятах=п1ах|7?3ь(т) | — максимальное значение |Rjk(т) |. Очевид-
но, что всегда необходимо уменьшать максимальные боковые пи-
пи. Отсюда следует правило выбора сигналов, образующих систе-
му: при прочих равных условиях необходимо выбирать сигналы, у
которых максимальные пики ВКФ минимальны.

Если максимальные пики ВКФ уменьшены до среднеквадрати-
ческого уровня Gjh=o, то среднее отношение сигнал-помеха q2=
=р2о2. Если дисперсия ВКФ сигнала и помехи <т2=1/2В, то сред-
нее значение отношения сигнал-помеха

72 = 2 р2В,

(13.43)

что совпадает с отношением сигнал-помеха при воздействии шумо-
вой помехи (1.4).

Однако наличие больших пиков ВКФ сигнала и помехи может

привести к существенному снижению эквивалентного отношения
сигнал-помеха в соответствии с (13.43). В работе [85] подробно
исследовано воздействие мощной структурной помехи в виде ФМ.

Рис. 13.4. Зависимость отноше-
ния сигнал-помеха от коэффи-
циента эксцесса и базы ШПС

ШПС на систему связи ФМ ШПС
в режиме поиска ШПС и в режиме
приема информации. Приведем ос-
новные результаты [85].

На рис. 13.41 приведены зависи-
мости нормированного отношения р2,
необходимого для достижения либо
заданных характеристик обнаруже-
ния в режиме поиска ШПС (вероят-
ность ложной тревоги Рл.т=10-3 и
вероятность пропуска Рпр=10-3),
либо заданной вероятности ошибок
(Рош=Ю-3) в режиме приема ин-
формации s[85]. Эти зависимости
приведены как функции коэффици-
ента эксцесса у, характеризующего

1 Последующий материал данного параграфа написан на основе совместной
.работы с А. В. Власовым [85].
отклонение плотности вероятности ВКФ от нормального закона-
Чем больше у, тем больше вероятность появления больших пиков-
ВКФ. При небольших у плотность вероятности ВКФ можно при-
ближенно представить рядом Эджворта [см., например, (13.17)]-
Для реальных ШПС, используемых в качестве помех, коэффициент
у может быть большим и в этом случае приближение рядом Эдж-
ворта не является достаточным. Поэтому для корректного решения
задачи в [85] было использовано распределение Пирсона.

Из рис. 13.4 видно, что в режиме поиска ШПС необходимое зна-
чение отношения р2 значительно выше, чем в режиме приема ин-
формации. Так, при В=127, у=1, для обеспечения работы системы
поиска необходимо иметь отношение р2 на 8 дБ больше, чем в ре-
жиме передачи информации. Это объясняется тем, что в режиме
передачи информации решение принимается на основе анализа од-
ного отсчета. В режиме поиска принятие решения происходит на
основе анализа одного отсчета. В режиме поиска принятие реше-
ния происходит на основе анализа всех интервалов неопределен-
ности, число которых равно базе ШПС В, причем для достижения
заданных характеристик обнаружителя необходимо, чтобы вероят-
ность ошибочного решения в одном интервале неопределенности
была мала. Это достигается увеличением отношения р2.

В работе [85] рассмотрены два способа выбора структурной
помехи. Во-первых, структурная помеха может представлять ФМ —
сигнал со случайным чередованием нулей и единиц. В этом случае
структурную помеху можно рассматривать как ФМ сигнал, про-
извольно выбранный из полного кода. Поэтому распределение пи-
ков ВКФ организованной таким образом структурной помехи и
ШПС системы связи будет иметь дисперсию ВКФ о2= 1/В и коэф-
фициент эксцесса 1. С другой стороны, структурная помеха мо-
жет иметь вид, близкий одному из сигналов системы. Это соответ-
ствует, например, организованной ретранслированной помехе. В
этом случае мешающее действие структурной помехи существенно
зависит от статистических характеристик системы используемой
ШПС, в частности, от коэффициента эксцесса у распределения пи-
ков ВКФ.

Пусть система поиска работает с сигналом мощности Рс и
обеспечивает при этом Рл.т=10~3, РПо=10-3. Будем считать систему
связи вышедшей из рабочего состояния, если она имеет характерис-
тики хуже заданных, и определим отношение р2, необходимое для
того, чтобы система находилась в рабочем состоянии. Из рис. 13.4
следует, что в первом случае (случайная структурная помеха) для
этого требуется, чтобы отношение р2 превышало —1 дБ при В =127
и —9 дБ при В= 1023. Отсюда следует, что при заданной мощности
помехи с увеличением базы используемого в системе ШПС эффек-
тивность помехи падает. Это объясняется уменьшением дисперсии
распределения пиков ВКФ с ростом базы.

Во втором случае (помеха принадлежит к используемой систе-
ме ШПС) мешающее воздействие структурной помехи существен-
но зависит от коэффициента эксцесса у распределения пиков ВКФ
системы сигналов. Так при использовании сигналов с большим ко-
эффициентом эксцесса система находится в рабочем состоянии, ес-
ли только отношение р2 превышает 1 дБ (В =1023), т. е. на 10 дБ
больше по сравнению с воздействием случайного ШПС.

Таким образом, ретранслированная ФМ помеха, принадлежа-
щая к системе используемых ШПС и обладающая большими пи-
ками ВКФ, может привести к большему подавлению системы свя-
зи по сравнению с воздействием шумовой помехи или случайной
структурной помехи. Дополнительные потери могут составлять
10 дБ. Для устранения эффекта дополнительного подавления необ-
ходимо в системе связи использовать ШПС с малыми пиками
ВКФ.

13.6. Фильтрация мощных ДЧ структурных помех

Как было отмечено в гл. 10, борьба с мощными помехами дол-
жна вестись с учетом знания распределения энергии сигнала и по-
мехи на частотно-временной плоскости. Для сигналов и помех в
виде дискретных частотных (ДЧ) ШПС это особенно наглядно,
поскольку такие ШПС имеют ярко выраженное распределение
энергии в М из М2 квадратов ча-
стотно-временной плоскости (см.
рис. 10.1).

При передаче информации в
системе связи каждый полезный
сигнал принимается на фоне ме-
шающих сигналов, имеющих та-
кую же структуру. На рис. 13.5
полезный ДЧ сигнал на интервале

° т f О, Г показан прямоугольником,

Рис. 13.5. Частотно-временная плос- выполненным «жирными» линия-
кость с ДЧ сигналом и ДЧ помехой ми. Он «перекрывается» на частот-
но-временной плоскости двумя
соседними ДЧ сигналами от одного мешающего абонента. Штри-
ховка у мешающих сигналов повернута на л/2 относительно штри-
ховки полезного сигнала. Сдвиг между мешающими сигналами от-
носительно полезного равен Д/. Хотя мешающие сигналы пол-
ностью «перекрывают» полезный сигнал по времени, из-за разли-
чия в кодовых последовательностях на частотно-временной плос-
кости перекрываются только два элемента с двойной штриховкой
на рис. 13.5. Именно эти элементы и будут определять снижение
помехоустойчивости. Такое перекрытие полезного сигнала соседни-
ми сигналами от мешающего абонента является аналогом перио-
дической взаимокорреляционной функции (ВКФ) этих сигналов.
Будем называть подобное перекрытие периодическим режимом. В
работе [86] определены статистические характеристики числа сов-
падений сигналов и помех в виде ДЧ ШПС. Приведем основные
результаты работы [86].

Предположим, что структурная ДЧ помеха, так же, как и сиг-
нал, содержит М элементов. Допустим, что каждый элемент может
250
равновероятно занимать одно из М положений в столбце частотно-
временной плоскости (см. рис. 10.1). Вероятность совпадения эле-
мента помехи с элементом сигнала при этом предположении равна
1/Л4, а вероятность несовпадения 1—1/М. Допустим теперь, что на
ДЧ сигнал действуют X помех. Вероятность несовпадения всех эле-
ментов от % помех с элементом сигнала в одном из столбцов будет
равна (1—1/Л1)х. Соответственно вероятность совпадения будет
равна 1—(1—1/Л1)\ Вероятность и совпадений в столбцах опреде-
ляется биномиальным законом и записывается следующим обра-
зом:

Рмд (И) [1 — (1 — 1/44)*]” (1 — 1/44)*^-”) (13.44}

Среднее значение и дисперсия числа совпадений по определе-
нию [55]

йА = М [1— (1 — 1/МУ],о2п = М {1— (1 — 1/М)*](1— 1/Лф.

(13.45), (13.46)

Если к<^.М, а ЛО 1, то биномиальный закон (13.44) стремится
к пуассоновскому. По мере увеличения к закон (13.44) стремится к
нормальному закону при условии, что ЛО1. В общем случае при
ЛО 1 из формул (13.45), (13.46) находим

= —ехр (—Л./Л4)], (13.47)

« М [1—ехр (—%/Л4)1 ехр (—к/М). (13.48)

Если Х<СЛ1, то из (13.47), (13.48) имеем о2п~Х и биноми-
альный закон (13.44) стремится к пуассоновскому, т. е.

Рм,л(и)=Л”е-*/и! (13.49)

Если Л=1, то Рм,1 (я) =e~1/nl и наиболее вероятными будут слу-
чаи, когда или нет ни одного совпадения (п = 0), или одно совпа-
дение (п=1).

При Х->44 биномиальный закон распределения стремится к
нормальному со средним значением пК=М(\—е-1) =0,6344 и с
дисперсией о2п~0,25 44. При %»44 среднее значение пК стремит-
ся к Л1, а дисперсия о2п->0, т. е. нормальный закон стремится к
дельта-функции с пК = М. При этом вероятность полного совпаде-
ния всех элементов сигнала стремится к единице, что является ес-
тественным.

Рассмотрим помеху в виде оптимальных ДЧ сигналов, которы-
ми являются сигналы, имеющие попарно не более одного совпа-
дения (п=0 или п=1) при любых временных смещениях друг от-
носительно друга. При этом на каждый ДЧ сигнал накладывается
только один мешающий, что соответствует апериодическому режи-
му работы.

При передаче информации в радиотехнической системе ДЧ сиг-
налами каждый из них перекрывается последовательностями ме-
шающих ДЧ сигналов. При полном перекрытии оптимальных ДЧ
сигналов число совпадений п может принимать уже три значения:
О, 1 или 2. Число совпадений п=2 появляется тогда, когда полез-
ный ДЧ сигнал имеет по одному совпадению с частями обоих со-
седних ДЧ сигналов, которые перекрывают полезный. Для сигна-
лов, представленных на рис. 13.5 при дискретных временных сдви-
гах, числа совпадений составляют последовательность 0, 1, 2, О,
2, 1.

Закон распределения числа совпадений оптимальных ДЧ сиг-
налов неизвестен ни для апериодического режима работы (и=0
или 1), ни для периодического (n=0, 1 или 2). Однако для перио-
дического режима задачу можно упростить следующим образом.
Обозначим через vo, vi, V2 число совпадений с п=0, п=1 и п=2.
Для сигналов рис. 13.5 vo=2, vi=2, v2=2. Можно показать, что для
любых оптимальных ДЧ сигналов при периодическом режиме име-
ют место следующие два уравнения: vo+vi+v2=Af, Vi+2v2=Af. Из
этих уравнений следует, что всегда V2=vo. Если определить вероят-
ность появления tij совпадений как отношение Vj/M, то среднее
значение числа совпадений равно единице, что следует из равенст-
ва V2=vo. Исходя из этого факта, допустим, что в случае мешаю-
щих сигналов в виде оптимальных ДЧ сигналов при любом времен-
ном сдвиге всегда будет только одно совпадение.

Используя такое допущение, перейдем к рассмотрению воздей-
ствия А помех в виде оптимальных ДЧ сигналов, каждая из ко-
торых дает одно совпадение с полезным сигналом. Суммарное чис-
ло совпадений при может быть равно или А, или А—1, или
А—2,..., или 1. Число совпадений п=А имеет место тогда, когда
сигналы помех поражают различные элементы, а п=1, когда все
помехи поражают один и тот же элемент.

Исследования привели к следующему рекуррентному виду за-
кона распределения вероятностей Рмд(и) совпадений при А по-
мехах:

Рм.л(п)=(п/Л1)Рм.л-1(п) + (1-п/А1 (13.50)

причем Рм,1(1) = 1 по определению (при А=1 всегда имеем одно
совпадение), Рм,х(1) — а

Рм.л(Х)=(1-Х/Л4 + 1/Л1)Рл1,л-1(Х-1). (13.51)

Если АСЛ4, то можно показать, что Рм.х(А) ~ехр[—А(А—1)/2Л4],
Рм,х(А—1)~[А(А—1)/27И]ехр'[—(А—1) (А—2)/2Л4]. При малых А
наиболее вероятное значение числа совпадений равно А, т. е. эле-
менты, пораженные различными помехами, не совпадают. С увели-
чением А наиболее вероятное число совпадений становится меньше
А.

Среднее значение числа совпадений по определению равно

= 2 прм,л(п)- (13.52)

П=1

Подставив в (13.52) рекуррентное определение Рм.х(«) (13.50),
преобразуя его, получаем
Пк = ^’(п+1— п/М)Рм.л-1(п). (13.53)

п=Я

Л-1

Поскольку «л-i = 2 «Рл1,л-1 (п), то из (13.53) получаем рекур-
П=1

рентную формулу nx=nx_i(l—l/Af)Ч~ 1, причем «1 = 1. Вычисляя
последовательно значения nh, k=\t X, можно найти, что

п^ — М (1 — 1/Л4) [1—(1 — 1/Л1)Л-1]+ 1. (13.54)

В пределе из (13.54) имеем

лЛ==М[1 — (1 — 1/М)ехр(—(%— 1)/Л4]. (13.55)

При 1 и %^>1, пренебрегая единицей по сравнению с этими ве-
личинами, из (13.55) получаем экспоненциальный закон (13.45).
Следовательно, среднее число совпадений не зависит от выбора
сигналов и совпадает со средним числом при случайных ДЧ сиг-
налах. Дисперсия числа совпадений для оптимальных ДЧ сиг-
налов не была найдена. Но есть основания считать, что ее закон
изменения близок к изменению дисперсии (13.46). Во всяком слу-
чае с ростом % дисперсия числа совпадений должна стремиться к
нулю, так как вероятность поражения всех М элементов в свою
очередь стремится к единице.

14. ОБНАРУЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ШПС

В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

14.1. Методы обнаружения и анализа ШПС
в условиях априорной неопределенности

В последнее время за рубежом уделяется большое внимание
обнаружению ШПС в условиях априорной неопределенности [87—
90], когда ряд параметров ШПС (в том числе и закон модуляции
или манипуляции) априорно неизвестен. При этом обнаружение
ШПС может сочетаться с анализом (определением или измерени-
ем) неизвестных параметров ШПС. Обнаружение ШПС необходи-
мо в тех случаях, когда надо установить факт работы широкопо-
лосной системы связи (ШСС) с ШПС, а обнаружение и анализ
ШПС необходимы в тех случаях, когда надо либо извлечь переда-
ваемую в ШСС информацию, либо создать наиболее эффективную
помеху для подавления ШСС [87, 89].

Методы обнаружения и анализа ШПС во многом зависят от сте-
пени априорной неопределенности, которая имеет место в реальной
задаче. Например, если неизвестны все параметры ШПС, в том чис-
ле диапазон частот, то поисковый приемник [91] должен произво-
дить поиск и обнаружение ШПС в широком диапазоне частот. В
этом случае поисковый приемник представляет собой энергетиче-
ский обнаружитель или радиометр. Если известна ширина спектра
ШПС, но неизвестна несущая частот, то можно применить либо од-
ноканальный приемник с перестройкой частоты (последовательный
анализ), либо многоканальный приемник (параллельный анализ)
{91], причем ширина полосы канала (радиометра) должна быть
равна ширине спектра ШПС. Если же известно, что в ШСС воз-
можно применение нескольких ШПС с известной формой, то поис-
ковый приемник будет многоканальным, а в каждом канале дол-
жен стоять согласованный фильтр для конкретного ШПС. Таким
образом, методы обнаружения и анализа ШПС и их схемная реа-
лизация во многом зависят от априорной информации о ШСС.
Вместе с тем основой для сравнения возможных методов обнару-
жения ШПС является энергетический обнаружитель или радио-
метр [91, 92]. Поэтому сначала будет рассмотрен именно такой об-
наружитель, а затем и другие [87 ... 90].

14.2. Энергетический обнаружитель ШПС

Допустим, что априори известны диапазон частот, несущая час-
тота и ширина спектра ШПС. Неизвестным является сам факт ра-
боты ШСС, а также неизвестны остальные параметры ШПС, в том
числе и его форма. Положим, что мощность ШПС в точке приема
Рс, а его спектральная плотность мощности

NC = PJF. (14.1)

Схема энергетического обнаружителя или радиометра приведе-
на на рис. 14.1 [63, 93]. Полосовой фильтр (ПФ) имеет ширину
полосы пропускания, равную ширине спектра ШПС. В качестве по-
лосового фильтра обычно используется УПЧ. (Отметим, что на
рис. 14.1 не показаны входная цепь, преобразователь частоты и
гетеродин, входящие в реальный радиометр. Для выяснения осо-
бенностей обнаружения ШПС они не имеют принципиального зна-
чения.) За ПФ следует квадратичный детектор (КД), напряжение
с выхода которого поступает на интегратор (И). В качестве ин-
тегратора используют фильтр нижних частот (ФНЧ). Напряжение

Рис. 14.1. Структурная схема энергети-
ческого обнаружителя (радиометра)

Рис. 14.2. Рабочие характеристики энер-
гетического обнаружителя
с выхода интегратора поступает на вход порогового устройства
(ПУ), где оно сравнивается с заранее установленным порогом. На
выходе ПУ имеет место решение: есть ли ШПС или его нет. По-
стоянная времени интегратора (или постоянная времени ФНЧ)
равна времени анализа Та. С интервалом Та производится приня-
тие решения.

Прием ШПС производится на фоне собственных шумов радио-
метра, которые характеризуются спектральной плотностью мощ-
ности

N0=kT0(D—\), (14.2)

тде k= 1,38-10~13 Вт-с/гр — постоянная Больцмана, 7о=293°К—
комнатная температура в градусах Кельвина, D — коэффициент
шума приемника.

Энергетический обнаружитель формирует величину [63, 93]

(14-3)

У 0J

где x(t) —колебание на выходе полосового фильтра, и сравнивает
величину £2 с некоторой константой [63]

У2 = 2 (1 + N0/Nc) In [с (1 + tfc/M,)w/2l • (14.4)

В (14.4) с—пороговое значение, определяемое критерием приема
ШПС, а

W=2FTa (14.5)

— число отсчетов процесса x(t) за время анализа Та. Формула
(14.5) соответствует теореме отсчетов Котельникова. По сути де-
ла, энергетический обнаружитель производит обнаружение шумо-
вого сигнала или ШПС со спектральной плотностью мощности Nc
(14.1) на фоне собственных шумов со спектральной плотностью
мощности No (14.2).

Обнаружение ШПС при таких априорных условиях характери-
зуется [63] вероятностью ложных тревог и вероятностью пропуска
сигнала:

т> _ , Г ((У/2; у2/2)

N у2 No
2’2' Ус + Уо

(14.6)

(14-7)

где Г(х), Г(х, у) —гамма-функция и неполная гамма-функция со-
ответственно. При малом отношении сигнал-шум на входе (AfcC
<^.No), что обычно имеет место на практике, для уверенного обна-
ружения необходимо иметь большую выборку (У3>1), т. е. боль-
шое время анализа. При этом формулы (14.6), (14.7) заменяются
асимптотическими [63]:

Рл.т~ 1- F[(V-/jV)/2], (14.8)
Рпр « F [(yVN0/(Ne + N0)-V7r) VI], (14.9)

где F(x) —интервал вероятности (7.5).

На рис. 14.2 приведены рабочие характеристики энергетическо-
го обнаружителя (зависимость правильного обнаружения ШПС
1—РПр от вероятности ложных тревог Рлт), которые определяются
параметром обнаружения

d2=—(14.10)
2 I No ) ' '

Параметр d2 является отношением сигнал-шум на выходе энерге-
тического обнаружителя. Как следует из рисунка, чем больше d2,
тем больше вероятность правильного обнаружения ШПС 1—РПр
при заданной вероятности ложных тревог Рл.т.

В случае критерия максимального правдоподобия порог с=1
[63], вероятности (14.8), (14.9) становятся равными друг другу и
представляют собой вероятность ошибки

Pom«l-F(d/2). (14.11)

Чем больше d, тем меньше вероятность ошибки.

Для определения необходимого времени анализа ШПС поло-
жим, что параметр d задан. Заменим в (14.11) число отсчетов N
согласно (14.5) и спектральную плотность мощности ШПС Nc со-
гласно (14.1). В результате находим время анализа обнаружения
ШПС при заданных характеристиках обнаружения

T&=Fd2(Po/N0)-2. (14.12)

Значение времени анализа (14.12) приведено также в работах
[87, 88, 90]. Из (14.12) следует, что время анализа увеличивается
с ростом ширины спектра ШПС, т. е. чем больше ширина спектра
ШПС F, тем больше время анализа. Это объясняется тем, что с
ростом ширины спектра ШПС уменьшается его спектральная плот-
ность Nc в соответствии с (14.1). Хотя с ростом F растет число
отсчетов (14.5), уменьшение спектральной плотности Nc изменяется
согласно квадратичной зависимости (14.10). Из (14.12) следует
также, что время анализа Та увеличивается при увеличении требуе-
мого отношения сигнал-шум на выходе d2 и при уменьшении отно-
шения сигнал-шум на входе Pc/N0, причем отношение Pc/N0 входит
в степени «—2», что еще более увеличивает время анализа Та.
Вместе с тем отметим, что основным результатом, вытекающим из
(14.12), является пропорциональное увеличение времени анализа
(обнаружения) ШПС при увеличении ширины его спектра F. Та-
ким образом, увеличение ширины спектра ШПС приводит к увели-
чению его энергетической скрытности. Перейдем к рассмотрению
более сложных случаев обнаружения ШПС.

14.3. Оптимальный обнаружитель m-ичной ШСС с ШПС

В работе [90] решена задача обнаружения m-ичной ШСС с
ШПС. На рис. 14.3 представлена схема оптимального многоканаль-
ного некогерентного обнаружителя [90] в предположении, что в
ШСС используется tn ШПС для передачи информации и что фор-
ма ШПС известна в точке приема. Кроме того, схема рис. 14.3 со-
ответствует малому отношению сигнал-шум на входе. При отмечен-
ных предположениях оптимальный обнаружитель содержит т ка-
налов по числу ШПС, в каждом из которых стоит согласованный

фильтр (СФ1... СФщ), предназначенный для приема i-ro ШПС, 1=
= 1,т. За согласованными следуют детекторы огибающих (D), а
затем блоки нелинейные (/о) с характеристиками иВых=/о(«вх), где
/о — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. На-
пряжения с выходов всех каналов суммируются в сумматоре ( + ),
а затем сумма поступает на блок нелинейности с логарифмической
характеристикой иВых=1п(мВх). Затем напряжение поступает на
гребенчатый фильтр (ГФ), настроенный на частоту повторения
ШПС, равную 1/Т, где Т — длительность ШПС. После гребенчато-
го фильтра следует блок нелинейности с экспоненциальной харак-
теристикой иВых = ехр(цВх), затем ФНЧ, память которого равна
длительности ШПС Т.

Основной результат работы {90] заключается в следующем.
Характеристика обнаружения d2o (отношение сигнал-шум на выхо-
де) оптимального обнаружителя, представленного на рис. 14.3, вы-
ражается через характеристику обнаружения d2a (14.10) энергети-
ческого обнаружителя и через параметры ШПС следующим обра-
зом:

d^c^B/m, (14.13)

где база ШПС B = FT, а пг — число ШПС, используемых для пе-
редачи информации.

Из (14.13) следует, что чем больше база ЩПС В, тем больше
отношение сигнал-шум на выходе оптимального обнаружителя по
сравнению с энергетическим обнаружителем. По сути дела опти-
мальный обнаружитель использует наиболее полную информацию
о ШПС — знание их формы. Эта априорная информация заложена
в импульсных характеристиках согласованных фильтров схемы,
представленной на рис. 14.3. В свою очередь, увеличение объема
алфавита m приводит к повышению скрытности ШСС, так как
снижает отношение сигнал-шум d20 (14.12).

Используя определение отношения сигнал-шум на выходе энер-
гетического обнаружителя (14.10), отношение сигнал-шум на выхо-
де оптимального обнаружителя (14.1) и базы ШПС, находим вре-
9—111 257
мя анализа (обнаружителя) ШПС оптимальным обнаружителем:

Тл = m T~l dl (РМ~2 (14.14)

Как следует из (14.14), время анализа Га не зависит от ширины
спектра ШПС, поскольку она в неявном виде входит в импульсные
характеристики согласованных фильтров, т. е. учитывается в про-
цессе анализа. Следует отметить, что время анализа увеличивает-
ся при увеличении объема алфавита m и при уменьшении длитель-
ности ШПС. Если первый фактор определяется влиянием m на
d2s (14.13), то второй фактор — увеличение Та при уменьшении Т—
определяется памятью гребенчатого фильтра и фильтра нижних
частот, которая равна длительности ШПС Т. Поэтому уменьшение
Т приводит к уменьшению объема накапливаемой выборки, что
приводит к увеличению времени анализа (обнаружения) ШПС.

14.4. Квазиоптимальньш многоканальный обнаружитель ШПС

В работе [88] приведена схема многоканального обнаружителя ШПС, за-
нимающего промежуточное положение между энергетическим обнаружителем
(рис. 14.1) и оптимальным обнаружителем (рис. 44.3). Обнаружитель, приве-
денный в [88], назовем квазиоптимальным, так как хотя он и не содержит ин-
формацию о форме ШПС, но учитывает распределение энергии ШПС на час-
тотно-временной плоскости.

На рис. 14.4 представлено распределение энергии для наиболее характерных
случаев обнаружения ШПС. На рис. 1'4.4,а представлено распределение энер-
гии фазоманипулированного (ФМ) сигнала. Он полностью занимает весь интер-
вал Т и полосу частот F. Соответственно его база B=FT равна максимально
возможному значению. На рис. 14.4,6 пред-
ставлено распределение последовательности
ФМ сигналов, причем моменты их появления
случайны. База ФМ сигналов в этом слу-
чае Bo=FTo, причем поскольку 7о<С7\ то
и Во<сВ. Пусть число ФМ сигналов за
время Т равно 6, тогда этому
Сигналу подобного вида соответствует вре-
мя —- импульсная модуляция (ВИМ), в ко-
торой в качестве модулируемого импульса
используется ФМ* сигнал. Поэтому ШПС,
представленный на рис. 14.4,6, можно на-
звать ВИМ—ФМ.

Рис. 14.4. Распределение энергии ШПС на
частотно-временной плоскости

На рис. 14.4,в представлен дискретный составной частотный (ДСЧ) сигнал
с базой элемента Bq=FqTo, Число частотных полос M=F/F0. На рис. 14.4г пред-
ставлен ДСЧ сигнал со случайной модуляцией по времени и по частоте. База
элемента Bq—FqTq. Сигнал подобного вида представляет собой комбинацию
ВИМ с частотно-импульсной модуляцией т. е. такой ШПС можно назвать
ВИМ—ЧИМ—ФМ.

На рис. 14.5 приведена схема квазиоптимальнрго обнаружителя ШПС [88],
который состоит из М каналов. Число каналов определяется структурой ШПС.
Каждый канал состоит из полосового фильтра (ПФ) с полосой пропускания
Fq—FIM^ детектора огибающей (Д) и порогового устройства (ПУ, i=±=l, М).
С выходов ПУ напряжение в виде 1 или 0 поступает в сумматор ( + ), а затем
на цифровой детектор со «скользящим окном» (ЦДСО). За ЦДСО следует ПУ,
на выходе которого образуется решение.

Рис. 14.5. Структурная
схема квазиоптимальио-
го обнаружителя ШПС

Приемник, изображенный на рис. 14.5, может работать в двух режимах.
Во-первых, в режиме регистрации превышения порога в любом из М каналов
(импульсный режим). При этом ШПС считается обнаруженным, если на выходе
сумматора имеется хотя бы один импульс, а ЦДСО просто фиксирует превы-
шение порога. Во-вторых, может использоваться ЦДСО по следующему принципу:
в ЦДСО производится подсчет числа импульсов за время некоторого интервала;
если это число на данном интервале (длительности «окна») равно k, а на пре-
дыдущем интервале k—1, то происходит превышение порога в ПУ, и выдается
решение «ШПС есть». Поэтому ЦДСО должен подсчитать число импульсов на
определенном интервале на выходе сумматора и сравнить его с числом на пре-
дыдущем интервале. Поэтому ЦДСО содержит счетчик, цифровую линию за-
держки, компаратор. Назовем такой режим накопительным, так как ЦДСО
по сути дела осуществляет накопление импульсов за интервал «окна».

Опуская математические выкладки, приведем основные результаты работы
[88]. На рис. 14.6 приведены зависимости требуемого отношения сигнал-помеха
£/7Vo от базы элемента Bo=iF0To для ДСЧ—ФМ сигнала (рис. 14.4,в) [88].
Энергия £ равна сумме энергий всех ШПС, число которых & = 103, т. е. £=
=£сА a Eq—PcTq. Вероятность правильного обнаружения РПр = 0,5: частота
ложных тревог Ул.т = £-10“п. Сплошная линия с k — 1 соответствует импуль-
сному режиму обнаружения, сплошная линия с оптимальным значением &opt —
накопительному режиму. Штриховая линия соответствует энергетическому об-
наружению. Из рис. 14.6 следует, что с ростом базы элемента Во требуемое
значение отношения сигнал-шум растет, так как при постоянной длительности
элемента с ростом Во растет £0, а это приводит к необходимости увеличения
времени обнаружения (или энергии сигнала) в соответствии с (14.11). Кроме
того, использование накопительного режима с ЦДСО (кривая с fcOpt) дает
выигрыш в 3,3 дБ. Следует отметить также, что с ростом базы элемента Во
простой энергетический обнаружитель может быть более эффективным (штри-
ховая прямая), чем квазиоптимальный обнаружитель (схема на рис. 14.5).

На рис. 14.7 [88] приведены зависимости требуемого отношения сигнал-шум
при обнаружении ШПС вида ВИМ—ФМ (рис. 14.4,6) в зависимости от интер-
вала Т. Сплошные линии с k=l соответствуют импульсному режиму квазиоп-
тимального обнаружителя, сплошные линии с £Опт — накопительному режиму
квазиоптимального обнаружителя, а штриховые линии—энергетическому обнару-
жению. Ширина спектра Г=10 МГц, To=l/F=O,l мкс, вероятность правильного
обнаружения РПр=,0,5, частота ложных тревог Кл.т=1’0“4 1/с. Число импульсов
Ь = 102, 103, '104. Из рисунка следует, что при энергетическом обнаружении и

Рис. 14.6. Характеристики обнаружения ДСЧ—-ФМ сигналов &=103 импульсов
(В=РТ=107)

Рис. 14.7. Характеристики обнаружения ВИМ—ФМ сигнала

при накопительном режиме квазиоптимального обнаружения требуемое отно-
шение сигнал-шум растет с ростом Т. Это объясняется тем, что графики
рис. 14.7 построены при Tq—const Поэтому увеличение Т приводит к относи-
тельному уменьшению Т/То, что и вызывает необходимость увеличения отно-
шения сигнал-шум. Постоянство характеристик при импульсном режиме (^=1)
объясняется, по-видимому, независимостью принятия решения в пороговом уст-
ройстве ПУ (при ВИМ—ФМ сигнале М='1) от длительности элемента То, так
как в канале нет последетекторного накопления.

На рис. 14.8 [88] приведены зависимости выигрыша G в использовании
накопительного режима с ЦДСО в квазиоптимальном обнаружителе при об-
наружении ДСЧ—ФМ сигнала для различного числа фильтров N~F/F0 и баз
элемента Во. Выигрыш построен как функция числа элементов b на интервале
обнаружения Т. Чем больше число импульсов, тем больше выигрыш, но он
уменьшается с увеличением числа фильтров.

На рис. 14.9 [88] приведены рекомендации по выбору режима обнаруже-
ния. На рис. 14.9 приведены три кривые при следующих общих данных: веро-
ятности правильного обнаружения РПр=0,5, частоте ложных тревог Ул.т®®
=Р-10-11. Кривая с Во=1 соответствует следующим ШПС видов: ДЧ, ВИМ,
ВИМ—ЧИМ. Кривые с Во =10 и 102 соответствуют следующим ШПС: ДСЧ—
ФМ, ВИМ—ФМ, ВИМ—ЧИМ—ФМ. По оси абсцисс отложено число импульсов
Ь, по оси ординат база В. Правый нижний заштрихованный угол соответствует
нереальным Ь, так как должно выполняться условие ЬВо^В, Если для данной
ШСС точка с координатами (Ь, В) попадает выше кривых, то для обнаружения
ШСС целесообразно использовать квазиоптимальный обнаружитель (схема при-
ведена на рис. 14.5). Если же точка (Ь, В) лежит ниже кривых, то для обнару-
жения ШСС целесообразнее использовать энергетический приемник (схема при-
ведена на рис. 14.1).

Рис. 14.8. Зависимости от выигрыша при обнаружении ШПС

Рис. 14.9. Области применения квазиоптимального и энергетического обнару-
жителя

14.5. Анализ параметров Af-последовательностей1

Наряду с обнаружением ШПС часто возникает задача определения их
параметров, в частности определение параметров ^-последовательностей [7].
Это объясняется тем, что в настоящее время во многих системах связи с шу-
моподобными сигналами в качестве носителя информации используются фазо-
манипулированные сигналы (ФМ), модулированные усеченными М-последова-
тельностями [7]. Основной характеристикой ^-последовательностей является
степень примитивных многочленов п. Если величина п известна, то длина сиг-
нала (его база) определяется выражением В=2п—1 и для обнаружения мож-
но применить методы, используемые при обнаружении сигналов с точно из-
вестными параметрами. Однако представляет интерес исследование методов
•обнаружения и анализа таких сигналов при априорной неопределенности отно-
сительно степени примитивного многочлена принимаемого сигнала.

В работе [94] рассмотрен метод обнаружения псевдослучайных ФМ сигналов,
позволяющий различать случайную последовательность и ^-последовательность
и определять степень примитивного многочлена п Af-последовательности. При-
ведем основные результаты [94]. Пусть на вход приемника поступает ФМ сиг-
нал с несущей частотой f0 и тактовой частотой /т. Допустим, что при помощи

1 Данный параграф написан на основе совместной работы с А. В. Власо-
вым [94],
панорамного приемника или какого-либо другого приемника автоматизированно-
го типа эти параметры измерены и известны в точке приема [91]. В этом слу-
чае принятый сигнал после переноса в область видеочастот превращается в
видеочастотную двоичную кодовую последовательность, которая и поступает на
вход исследуемого обнаружителя. Таким образом, будем считать, что на входе
обнаружителя может быть или двоичная псевдослучайная последовательность
(ПСП) в виде М-последовательности, искаженная с вероятностью ошибки в од-
ном двоичном символе р, или случайная последовательность (СП).

Обозначим через простую гипотезу о том, что принятая последователь-
ность носит случайный характер, альтернативной гипотезой для которой явля-
ется сложная гипотеза состоящая в том, что принята ПСП, образованная
примитивным многочленом степени п. Обнаружитель принимает либо решение
Vo о том, что справедлива гипотеза Но, либо решение Vi, означающее принятие
гипотезы Яь причем решение vi принимается совместно с оценкой параметра it
принятого сигнала.

При решении подобной задачи необходимо задаться свойствами сигнала, на
основе которых будет производиться обнаружение, и построить оптимальный с
точки зрения выбранного критерия обнаружитель при заданной совокупности
свойств сигнала.

Рассмотрим блоковую структуру исследуемых сигналов. Будем называть
нулевым блоком последовательность нулевых символов, а единичным блоком —*
последовательность единичных символов. На рис. 114.10 сплошной линией пока-
зано распределение вероятности появления нулевого блока в СП, штриховой
линией — аналогичное распределение для неискаженной ПСП, образованной
примитивным многочленом степени п. Вероятность появления нулевого блока
длины i в случайной последовательности

Pt = l/2i+1 (14.15)

и совпадает при t^n—2 с вероятностью появления блока такой же длины в
ПСП. При i>n—2 распределения вероятностей появления блоков опреде-
ленной длины в СП и ПСП будут существенно различаться.

При построении структуры обнаружителя будем использовать то, что для
любой ПСП, образованной примитивным многочленом степени п, вероятность
появления нулевого блока длины i—n равна нулю, а вероятность появления
нулевого блока длины i—n—4 в 2 раза больше, чем в случайной последова-
тельности.

Пусть за время наблюдения Т принято #с.ч двоичных символов. Среднее
число блоков равно M=Nc,4f2.

Предположим, что ие[пь п^, где П\— минимально возможная степень;
п2 — максимально возможная степень примитивного многочлена. Сформируем
в конце интервала наблюдения вектор

Л=(Лп2-1, ...» Ai, Л<+1.. Лп,),

где Ai — число принятых за интервал наблюдения нулевых блоков длины
и построим обнаружитель, принимающий решение на основе анализа компонен-
тов вектора Л.

Будем характеризовать два соседних компонента вектора Л кодовой груп-
пой {Ai, Ai+i}. Тогда произвольный элемент кодовой группы соответствует
элементу £, если принята СП или ПСП с д>/+1; элементу т), если принята
ПСП с n=i+1, и элементу £, если принята ПСП с n<i+L Из рис. 14.10 вид-
но, что два соседних компонента At, At+i вектора Л могут характеризоваться
одной из кодовых групп $1={ть £}, s2={g, £}, s3=={g, и s4={g, Т)}-

Обнаружитель принимает решение уь если существует такое i*e[ni—1,
л2—1], для которого два соседних компонента Л<» Л<+1 вектора Л соответству-
ют кодовой группе sb причем величина 1*4-1 считается в этом случае степенью
примитивного многочлена, характеризующей класс используемых сигналов
(n=Z*+l). В противном случае принимается решение уо.

Таким образом, исследуемый обнаружитель должен оптимальным образом
отличать кодовую группу Sj от кодовых групп S2, S3 и s4.

Рассмотрим произвольную составляющую Л< вектора Л и запишем выраже-
ние для условных распределений №[Л$/£], №[А$/т)] и №[Лг/£].

Распределение U^[Af/g] —распределение числа нулевых блоков длины i в
-СП при условии, что принято ЛГС.Ч двоичных символов. Распределение
№[Ai/g] — биномиальное, однако, предполагая интервал наблюдения доста-
точно большим и используя теорему Муавра — Лапласа, запишем его нормаль-
ную аппроксимацию

= A (Af рь Afp/qf),

(14.16)

где a2) = (l/V2jla)exP

_(*—Н)а~|
2 о2 J

, величина р» определяется выражени-

ем (14.15), a qi = l—pi. Распределение №[Лг/£] числа нулевых блоков длины
i>n—1 при приеме ПСП существенно зависит от вероятности ошибки в одном
двоичном символе р. Примерный вид распределения для различных значений р
показан на рис. 14.11 (кривые /, 2). При р = 0 в любой принятой ПСП нет
нулевых блоков длины 1>п—1 (рис. 14.11) и распределение 1Г[Лг/у имеет
«б-образный характер IF[Ai/£] =6(Л<). При этом считается, что вероятность об-
разования блока такой длины на стыке двух сигналов чрезвычайно мала.

С увеличением вероятности ошибки р распределение №[Л</£| расплывается.
Это связано с тем, что блоки такой длины могут быть образованы из блоков
меньшей длины за счет ошибочных символов, содержащихся в принятой по-
следовательности. Рассматривая реализацию ПСП при заданной символьной ве-
роятности ошибки р и перечисляя всевозможные варианты образования нулевых
блоков длины i, получим выражение для вероятности появления нулевого блока
длины i>n— 1 в ПСП, аналогичное выражению (14.15) для СП

Р4«р«/2‘-‘. (14.17)

Заметим, что при р->0,5 вероятность р<->р< и распределение приближается
к распределению таких блоков в СП, т. е. к распределению IF[Ai/g]. Отсюда
следует, что нормальная аппроксимация распределения Ж[Л«/&| имеет вид

~ W [ Af/£] = N (Mfr, М Ь 4i) (14.18>

где qi = l— pj.

Аналогичные рассуждения можно привести и для распределения №[Л</т)]„
т. е. распределения нулевых блоков длины i—n—1 в ПСП при вероятности
ошибки в одном двоичном символе р.

Нормальная аппроксимация распределения имеет вид IF[Ai/T)] =A(Afpi,
Alpiqi], где рг= (р2 4-q2)/2г*; q=l— р; q^==l— р<. При'р=0 распределение
F.[A</t)] также имеет 6-образный характер lF[Ai/r)] =6(Лг—М/2{), а при
р-Н),5 совпадает с распределением 1Г[Лг/£] нулевых блоков в СП. Примерный
вид распределения №[Лг/т)] представлен на рис. 14.11 (кривые 3).

Перейдем к рассмотрению структуры обнаружителя, оптимальным образом
отличающего кодовую группу Si от кодовых групп $2, $з и $4- Зададимся про-
извольным значением i и запишем отношение правдоподобия [73] для кодовых
групп Si и s2:

1 е -_1_п AH-1/S11

IT [Aj, At-_|_|/s2]

В случае, если Л;, Ai+i — число нулевых блоков длины i и /4-1, в СП, то
так как длина нулевого блока не зависит от длины предшествующих нулевых
блоков, случайные величины Л», At+i независимы. Если Af, Ai+i — число нулевых
блоков соответствующей длины в искаженной ПСП, то, считая преобразование
блока длины i в блок длины г‘+1 или блока длины z’+1 в блок длины i малове-
роятным, приходим к независимости компонентов Ai, Лг+1 вектора Л.

Тогда

Г[Лг/п1Г{Аж/е]

12 (t’,+ падг[л.+1/£]

(14.19)

В качестве критерия оптимальности используем критерий Неймана — Пирсона,
согласно которому величину Zi2(t, t+1) надо сравнить с некоторым порогом,
т. е. i+V$hi'l+l. (14.20V

Пользуясь независимостью составляющих Л<, Ai+i учитывая выражение
(14.19), представим решающее правило (14.20) в виде системы двух незави-
симых решающих правил:

^(Aj/til < в W4AH-1/E] н

WHAi/fc] * . Г[Лж/£] " ‘+Р

(14.21), (14.22)

где величины hBi, hHi+i выбираются из требований к статистическим характе-
ристикам обнаружителя.

В [94] доказано, что решающие правила (14.21), (14.22) полностью опре-
деляют структуру исследуемого обнаружителя, а алгоритм обнаружения сво-
дится к формированию на основе входной двоичной последовательности вектора
Л и последовательному анализу пар компонентов Л<» Лг+! вектора по решаю-
щим правилам (14.21), (14.22) для всех te[«i—il, «2—1]. Если существует та-
кое /*, для которого будут одновременно выполнены оба неравенства, обнару-
житель принимает решение, что принята ПСП, образованная примитивным мно-
гочленом степени n = i* + \. В противном случае принятая последовательность
считается случайной. Отметим, что предлагаемый алгоритм обнаружения псев-
дослучайных последовательностей легко реализуем на ЭВМ.

В [94] показано, что для обнаружения М-последовательности с неизвест-
ным п необходимо принять

WC4=2n‘Q
импульсов, где

(14.23)

(14.24)

где с2 — некоторые константы, определяемые заданными вероятностями лож-
ных тревог Рд.т и правильного обнаружения рПр [94], а р — вероятность ошиб-
ки при приеме одного импульса. Обратимся к случаю, когда анализируемая
двоичная последовательность получена в. ре-
зультате посимвольного приема входного ФМ
сигнала, и на конкретном примере рассмотрим
числовые характеристики предлагаемого мето-
да обнаружения. Предположим, что «1 = 2.

/12 = 15. На рис. 14.12 представлена зависимость
числа сигналов Q, которые необходимо принять
для достижения требуемых статистических ха-
рактеристик обнаружителя, от базы ФМ сиг-
налов, испльзуемых в системе при различных
•отношениях сигнал-шум h2=EINo. Так, при
базе сигнала В=127 и отношении сигнал-шум
Л2==1100 для достижения Рлт=10”3, РПр=0,99
необходимо принять 38 сигналов, а при h2=50
необходимо принять 55 сигналов. При боль-
ших значениях В зависимость числа сигналов
проксимировать выражением Q= (л/4/i2) (ci-H

при увеличении базы сигнала или при уменьшении отношения сигнал-шум слу-
чайная и псевдослучайная последовательности становятся неразличимыми.

Из приведенных выше результатов видно, что для снижения вероятности
обнаружения сигнала в условиях априорной неопределенности необходимо уве-
личивать его базу, что равносильно увеличению степени примитивного много-
члена, соответствующего сигналу. Кроме того, снижение вероятности обнару-
жения может быть достигнуто за счет усложнения алгоритма формирования
используемых сигналов, в частности путем использования нелинейных законов
формирования модулирующей последовательности.

Заметим, что аналогичный обнаружитель может быть построен и на основе
анализа распределения единичных блоков в принятой последовательности. Объ-
единение двух указанных методов позволяет улучшить статистические характе-
ристики обнаружителя.

Рис. 4.12. Характеристики об-
наружения

Q от величины базы можно ап-
2)2В, из которого следует, что
РАЗДЕЛ Ш.

ПОИСК И СИНХРОНИЗАЦИЯ ШПС

15. ОСОБЕННОСТИ ПОИСКА И СИНХРОНИЗАЦИИ ШПС

15.1. Прием информации и неопределенность по времени
и по частоте в широкополосных системах связи

Назначение любой системы связи, в том числе и широкополос-
ной, заключается в приеме (выделении) передаваемой информа-
ции. Прием ШПС, несущих информацию, в ШСС осуществляется
и на фоне помех, т. е. для приема информации необходимо выде-
лять ШПС из помех. Прием ШПС, как, впрочем, и любых других
сигналов, осуществляется с помощью оптимальных приемников,
минимизирующих вероятность ошибки. Структура оптимального
приемника зависит от вида передаваемой информации (фазовая
или частотная манипуляция и т. п.) и от степени «известности» сиг-
нала в точке приема (когерентный или некогерентный прием и
т. п.). Но в любом случае в состав оптимального приемника входит
согласованный фильтр или коррелятор и решающее устройство.
Согласованный фильтр или коррелятор служат для оптимального
приема ШПС, а решающее устройство определяет символ переда-
ваемой информации.

Рассмотрим для примера случай передачи и приема двоичной
информации с помощью противоположных сигналов (фазовая ма-
нипуляция— ФМ). Оптимальный приемник (рис. 15.1) состоит из со-

Рис. 15.1. Схема оптимального приемника
при неизвестной задержке сигнала

гласованного фильтра (СФ), решающего устройства (РУ), а также
синхронизатора (С), назначение которого будет объяснено в даль-
нейшем. Согласованный фильтр согласован с ШПС, который пере-
носит информацию. Если используется ШПС u(t), то импульсная
характеристика согласованного фильтра

h(t)=au(t—Т), (15.1)

где а — некоторая постоянная, Т — длительность ШПС. Для пере-
дачи «1» информации используется сигнал «(/), для передачи «О»
информации используется обратный (противоположный) сигнал —
u(t). Напряжение на выходе согласованного фильтра представляет
собой автокорреляционную функцию (АКФ) ШПС, с которым
фильтр согласован. Максимум АКФ на выходе согласованного
фильтра

1>Сф=аЕ, (15.2)

где Е — энергия ШПС, а максимум имеет место в момент оконча-
ния ШПС. Решающее устройство должно в момент окончания сиг-
нала принять решение: какой сигнал был передан u(t) или —
т. е. выдать решение, какой информационный символ (1 или 0),
был передан. Но для того, чтобы принять решение в момент окон-
чания сигнала, надо знать (или предварительно измерить) момент
прихода сигнала и момент его окончания. В теории оптимального
приема при определении структурных схем оптимальных приемни-
ков сначала полагают, что все параметры принимаемого сигнала,
в том числе и его запаздывание по времени, в точке приема извест-
ны. В этом случае оптимальный приемник для приема ФМ действи-
тельно содержит только согласованный фильтр и решающее уст-
ройство. Но в реальных условиях в начале сеанса связи время за-
паздывания сигнала неизвестно. Его надо измерить и ввести в том
или ином виде в решающее устройство.

На рис. 15.2 приведены временные диаграммы, поясняющие
процесс принятия решения при приеме ФМ сигналов. На рис.
15.2,а представлено напряжение на выходе согласованного фильт-

Рис. 15.2. Диаграммы, поясняющие процесс принятия решения (выделения ин-
формации)

ра иСф. Оно представляет последовательность АКФ сигнала «(/).
Для простоты изображены идеальные АКФ в виде треугольных им-
пульсов с длительностью основания 2то. Поскольку длительность
ШПС равна Т, то АКФ следуют с интервалом, равным Т. Таким
образом, база ШПС равна В = Т/х0- На рис. 15.2,а изображена пе-
редаваемая информационная последовательность 1 1 0 1 0, в со-
ответствии с которой АКФ принимают либо положительное, либо
отрицательное значение. Первая АКФ запаздывает относительно
начала координат на время ta. Поэтому решающее устройство дол-
жно принимать решение в моменты времени ta, T+ta, 2T+ta и т. д.
Если момент времени ta неизвестен в месте приема, а именно так и
обстоит дело в реальных системах связи, то оптимальный прием-
ник должен помимо согласованного фильтра и коррелятора содер-
жать также синхронизатор (С на рис. 15.1), который измеряет вре:
мя задержки ta и определяет моменты времени ta, T+ta, 2Г+/3-и
т. д., в которые и принимаются решения. На рис. 15.2,6 изображе-
на последовательность синхроимпульсов ис, которые с выхода син-
хронизатора подаются на решающее устройство. Длительность им-
пульсов ис должна быть много меньше длительности пика АКФ, а
середина этих импульсов должна приходиться на максимум АКФ,
что и позволяет принять решение о переданном информационном
символе в момент окончания ШПС.

Таким образом, оптимальный приемник при неизвестной за-
держке ШПС в точке приема должен выполнять две функции:
1) измерение времени задержки ta ШПС в начале приема информа-
ции (этот процесс называется также поиском ШПС по времени);
2) создание меток времени, соответствующих окончанию ШПС, и
обеспечение совпадения (синхронности) меток с центром АКФ
на выходе согласованного фильтра (этот процесс называется син-
хронизацией ШПС).

Согласованный фильтр, как и все пассивные фильтры, является
устройством, инвариантным к задержке ШПС: задержка АКФ рав-
на задержке ШПС и при любой задержке ШПС на выходе согла-
сованного фильтра всегда будет АКФ от ШПС на входе. Тем не
менее, для приема информации необходим синхронизатор, обеспе-
чивающий поиск ШПС (точнее, поиск центрального пика АКФ) и
последующую синхронизацию моментов окончания ШПС (макси-
мумов АКФ) с (угсчетными моментами.

Коррелятор является эквивалентом согласованного фильтра при
приеме сигнала с известной задержкой с точки зрения помехоус-
тойчивости приема: и коррелятор, и согласованный фильтр обеспе-
чивают одинаковую помехоустойчивость. Но коррелятор не явля-
ется устройством, инвариантным к задержке ШПС. Напряжение
на выходе коррелятора

Т-Но

»кор=а J u(t—t3)u(t~ta)dt, (15.3)

где ta — время задержки ШПС на входе приемника, /0 — время
задержки опорного ШПС в генераторе относительно начала коор-
динат, а — постоянная, см. (15.1). Лишь при t0=ta напряжение на
выходе коррелятора

°кор=а^ (15.4)

совпадает с максимумом, который имеет место на выходе согласо-
ванного фильтра (15.2). Но, если t0^ta, то УКОр«=0 (оно совпадает
с соответствующим значением бокового типа АКФ), т. е. на выхо-
де коррелятора максимума уже не будет. Поэтому и в коррелято-
ре при неизвестном времени задержки необходимо производить его
измерение.

На рис. 15.3 представлена схема оптимального приемника для
приема двух противоположных сигналов (ФМ), выполненного на
основе коррелятора. Он состоит из перемножителя (X), интеграто-
ра ( S )> генератора ШПС (ГШПС), решающего устройства (РУ)
и синхронизатора (С). Перемножитель, интегратор и генератор

Рис. 15.3. Схема оптимального кор-
реляционного приемника с синхро-
низатором

представляют собой коррелятор, решающее устройство принимает
решение об информационном символе, а синхронизатор обеспечива-
ет поиск ШПС (измерение времени задержки /3) и последующую
синхронизацию. Напряжение на вход синхронизатора поступает с
интегратора. Если измеренное время задержки не совпадает с ис-
тинным (напряжение на выходе интегратора не превышает зара-
нее установленный порог), то синхронизатор изменяет время за-
держки ШПС в генераторе ШПС. Кроме того, синхронизатор дол-
жен обеспечить включение и выключение интегратора (момент t0
и Г-Но), а также подачу отсчетных импульсов на решающее уст-
ройство. Если длительность ШПС Т, а длительность центрального
пика АКФ %о=Т1В, то всего имеется

В = Т/т0 (15.5)

интервалов неопределенности по задержке. Поэтому в процессе по-
иска ШПС синхронизатор должен обеспечить перестройку задерж-
ки ШПС в генераторе от нуля до Т—то с интервалом то. Как толь-
ко задержка ШПС на входе совпадет с задержкой ШПС в генера-
торе, напряжение на выходе интегратора превысит установленный
порог и синхронизатор останавливает процесс поиска ШПС и пере-
ходит к осуществлению процесса синхронизации отсчетных момен-
тов с моментами окончания ШПС, а решающее устройство начина-
ет принимать решения о символах передаваемой информации.

Таким образом, и в оптимальном приемнике с согласованным
фильтром (см. рис. 15.1), и в оптимальном корреляционном при-
емнике (см. рис. 15.3) при неизвестной задержке ШПС необходим
синхронизатор, который сначала осуществляет поиск ШПС, а затем
синхронизацию. Основное отличие синхронизаторов обоих приемни-
ков заключается в том, что синхронизатор корреляционного прием-
ника должен изменять задержку ШПС в ГШПС, а процесс поиска
ШПС в корреляционном приемнике осуществляется путем просмот-
ра всех интервалов неопределенности. Поэтому время поиска ШПС
в корреляционном приемнике может в В раз согласно (15.5) пре-
вышать время поиска ШПС в оптимальном приемнике с согласо-
ванным фильтром. При больших базах ШПС подобное увеличение
времени поиска ШПС может быть чрезмерным, и поэтому необхо-
димо применять методы более быстрого поиска ШПС. В то же
время согласованные фильтры на большие базы являются очень
сложными устройствами и их реализация затруднительна. Поэто-
му для их обеспечения быстрого поиска ШПС и относительной
простоты оптимальных приемников на практике используются ком-
бинированные методы приема, основанные на совместном примене-
нии и согласованных фильтров (на малые базы), корреляторов.

Необходимо отметить, что синхронизаторы в оптимальных при-
емниках (рис. 15.1, 15.3), измеряющие время задержки ШПС, а за-
тем осуществляющие синхронизацию, во многом подобны устрой-
ствам автоматического сопровождения по дальности (АСД), при-
меняемым в радиолокационных станциях. В ШСС подобные устрой-
ства называются схемами слежения за задержкой (ССЗ) или схе-
мами автоматической подстройки времени (АПВ). Поэтому для
анализа и синтеза оптимальных измерителей можно использовать
методы, широко развитые в радиолокации. Эти вопросы подробно
будут рассмотрены в дальнейшем.

В точке приема может быть неизвестна и частота принимаемо-
го сигнала. Неопределенность по частоте вызывается или неста-
бильностями частоты задающих генераторов передатчика и прием-
ника, или доплеровским смещением частоты из-за движения при-
емника относительно передатчика, или и тем и другим. На рис.
15.4 приведена частотно-временная плоскость, на которой штрихов-
кой отмечены части плоскости с распределенной энергией ШПС.

Несущая частота ШПС равна fo, его длительность Т, а ширина
спектра F. Неизвестная задержка первого ШПС равна t3. Если не-
сущая частота ШПС точно равнялась бы значению fo, то энергия
всех ШПС распределялась бы в полосе между значениями частот
от fo—F/2 до fo+F/2. Однако из-за доплеровского смещения часто-
ты (а также из-за других возможных причин) несущие частоты
ШПС могут отличаться друг от друга, что и отражено на рис. 15.4,
на котором несущая частота первого ШПС равна fo+fa, где fA—
доплеровское смещение частоты. При этом ШПС могут занимать
полосу от fmin=fo—F/2—FJ2 до fmax=fo+/7/2 + FA/2, где Рд —ши-
рина частотного интервала, соответствующего доплеровскому сме-
щению частоты.

Таким образом, при неизвестной задержке и неизвестной часто-
те синтезатор оптимального приемника должен осуществить поиск
ШПС по времени и по частоте, а затем обеспечить синхронизацию
по этим параметрам, которые могут изменяться во времени. Отме-
тим, что поиск и синхронизация по частоте обеспечиваются уст-
ройствами автоматической подстройки частоты (АПЧ), в основе
которых лежит фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ). Поэто-
му синхронизатор при неизвестных времени задержки и частоте
ШПС должен содержать комбинации ССЗ и ФАПЧ.

Поиск и синхронизация ШПС является серьезной проблемой
теории и техники ШСС, поскольку быстрый поиск и устойчивая
синхронизация обеспечивают надежный прием информации. Поэто-
му решению проблемы поиска и синхронизации ШПС уделяли
серьезное внимание многие исследователи (см., например, книги
[5—8, 13, 15, 16, 95—99] и библиографию, приведенную в этих
книгах, а также журналы [67, 68]). Несмотря на принципиальную
ясность вопросов измерения и синхронизации (см. упомянутые кни-
ги, а также основополагающие труды по оптимальным измерите-
лям [1, 56, 57, 73, 75, 93, 100—102], до сих пор многие
вопросы поиска и синхронизации ШПС остаются открытыми. В
первую очередь, не решена окончательно задача построения опти-
мального синхронизатора с максимальным быстродействием при
минимальных потреблениях мощности, массе и габаритов, обеспе-
чивающего поиск и синхронизацию ШПС с большими и очень боль-
шими базами (В>103... 105). В этом направлении известен ряд
методов, но считать решенной эту задачу нельзя.

Как следует из приведенных рассуждений, синхронизатор дол-
жен обеспечивать поиск ШПС, а затем его синхронизацию. Оба
эти процесса происходят при воздействии шумов или помех (пред-
намеренных или системных). Поэтому и процесс поиска, и процесс
синхронизации сопровождаются ошибками. Следовательно, необ-
ходимо так выбирать параметры синхронизатора, чтобы минимизи-
ровать ошибки измерения. Прежде всего необходимо выяснить,
от чего зависят ошибки измерения. Ответ на этот вопрос дает ста-
тистическая теория приема сигналов и измерения их параметров,
основы которой были заложены академиком В. А. Котельнико-
вым [1].

15.2. Потенциальные точности измерения
времени задержки и частоты

Как следует из теории оптимального приема [1, 63, 73, 75, 93],
измерение параметров ШПС (времени задержки, частоты) произ-
водится одновременно с его обнаружением, т. е. производится об-
наружение и измерение параметров. При наличии помех задача об-
наружения сигнала и измерения его параметров является статис-
тической. В большинстве случаев для получения оценки парамет-
ров используется метод максимального правдоподобия (или метод
обратных вероятностей). Известно, что при большом отношении
сигнал-помеха в точке приема многие оптимальные методы оценки
параметров сводятся к методу максимального правдоподобия. Со-
гласно методу максимального правдоподобия вычисляется отноше-
ние правдоподобия или, что эквивалентно, апостериорная вероят-
ность того, что в принятом приемником колебании случайные па-
раметры имеют вполне определенные значения. Если наряду с из-
меряемыми случайными параметрами (запаздывание t3, частота
f) сигнал содержит паразитные, т. е. не подлежащие измерению,
случайные параметры (например, случайная начальная фаза), то
по этим паразитным параметрам необходимо произвести усредне-
ние. Известно, что если помеха представляет гауссовский случай-
ный процесс с равномерной спектральной плотностью Nq, то апос-
териорная вероятность того, что в принятом колебании x(t) полез-
ные параметры равны t3 и f, определяется выражением

w[t3, fix(01 = МоГ2Л1- (15.6)

L /Vo J

Здесь ki — постоянная величина; /о — модифицированная функция
Бесселя нулевого порядка; Z(t3, f)—огибающая напряжения на
выходе согласованного фильтра.

Измеряемые параметры t3 и f содержат постоянные составляю-
щие, т. е. их можно представить в виде: /3=/3о+т, f=fo+fn, где (по-
стоянные составляющие параметров /Зо и f0, а т и /д=й/2л — откло-
нения от постоянных составляющих. Поскольку постоянные со-
ставляющие на оценку параметра не влияют, то в общем случае
можно записать:

w[x, Q|x(/)]=Mo12Z(t, Q)/No]. (15.7)

Далее Z(r, Q) представляется в виде суммы сигнальной (от-
клик) и шумовой составляющих и находятся ошибки, к которым
приводит действие помехи. Но поскольку помеха вызывает ошибку
при измерении параметров, можно предположить, что на вход со-
гласованного фильтра поступает сигнал со случайными парам.етра-
ми, отличными от тех, для которых фильтр согласован. Такой под-
ход справедлив, если отношение сигнал-помеха в точке измерения
намного превышает единицу, т. е. при точных измерениях. Предпо-
ложив, что фильтр согласован с сигналом, имеющим параметры т=
= 0, Q = 0, получим, что для входного сигнала с параметрами т=/=0,
Q¥=0 огибающая напряжения на выходе согласованного фильтра
равна £|7?(т, Q) |, а выражение (15.7) записывается как

о>[т, Й|х(01=МоГ-^-|Я(т, Q)ll, (15.8)

L. /V q

где т, Q — случайные параметры с нулевыми средними значения-
ми, функция неопределенности (ФН) ШПС определяется извест-
ным выражением
R(x, Q)= — r)eiatdt, (15.9)

2^ ——oo

E — энергия ШПС, U(t)—его комплексная огибающая.

Предположим, что 2E/NO'^>1. Тогда функцию Бесселя можно
приближенно представить в виде экспоненты:

о>[т, £2 |х(01 =£2ехр |7?(т, £2)| J, (15.10)

где — постоянная величина.

В дальнейшем исследование апостериорной вероятности (15.10)
проводится с учетом свойств модуля комплексной огибающей | R (т,
£2)| — модуля ФН.

Модуль ФН | R (т, £2)| определяет разрешающие способности и
точности измерения времени задержки и частоты. С точки зрения
измерения времени и частоты интерес представляет центральная
часть ФН — основной пик. Его размеры то оси времени т и оси
частот Доплера £2 и определяют разрешающие способности и точ-
ности измерений времени и частоты.

Оптимальным методом измерения параметра является такой,
при котором отсчет параметра производится по максимуму напря-
жения на выходе детектора. При наличии помех положение макси-
мума становится случайным. Так как параметр измеряется на вы-
ходе согласованного фильтра, где уровень помехи много меньше от-
клика, то смещение максимума не превосходит размеров основно-
го пика. Но и в этом случае при измерении параметров вследствие
действия помех возникают ошибки, которые приводят к неопреде-
ленности отсчета точного значения параметра. Ошибки зависят от
размеров основного пика, т. е. от вида его поверхности | R (т, £2) |.
Именно поэтому поверхность |/?(т, £2) | и получила название по-
верхности неопределенности.

Если боковые пики поверхности неопределенности намного
меньше основного, то они на процесс измерения непосредственно
не влияют. Если боковые пики соизмеримы с основным, то при на-
личии помех нельзя с большой достоверностью выделить основной
пик. В этом случае возникает так называемая неоднозначность от-
счета. Из сказанного ясно, что наибольшее значение для измерения
параметров имеет основной пик. Это справедливо, если боковые
пики относительно малы.

Для наглядности принято изображать ФН в виде топографиче-
ских диаграмм в изометрических проекциях. На рис. 15.5,а изо-
бражена ФН простого сигнала (база В=1), /[4], причем ось час-
тот f=£2/2ji. Овалом с густой штриховкой внутри представлена
область высокой корреляции (центральный пик), в которой произ-
водится измерение, а вне этой линии — область слабой корреля-
ции (редкая штриховка). Незаштрихованная часть (т>Т, т<—Т)
соответствует |£|=0.

Из рис. 15.5,а видно, что для простого сигнала — прямоуголь-
ного радиоимпульса — границы области сильной корреляции опре-
деляются по оси времени длительностью импульса Т, а по оси час-
тот — величиной 1/Т. Следовательно, чем больше длительность им-
пульса, тем больше размер области сильной корреляции по оси
времени, но тем меньше ее размер по оси частот Q, и наоборот.
Таким образом, для прямоугольного радиоимпульса разрешающие
способности по времени и частоте зависят друг от друга. При этом
с увеличением одной из них другая уменьшается. Отметим, что
такая взаимосвязь характерна для всех простых сигналов.

е)

Рис. 15.5. Функции неопределенности простого сигнала (В=1) и ШПС (В2>1)

Если используются ШПС, то можно повысить разрешающую
способность по времени благодаря сжатию их во времени. Дейст-
вительно, ширина основного пика АКФ ШПС по оси времени рав-
на приблизительно 1/F. При постоянной длительности сигнала Т,
расширяя F, можно получить малую длительность центрального
пика по оси времени. В то же время ширина центрального пика по
оси частот определяется длительностью сигнала и равна 1/Т. По-
этому, увеличивая базу ШПС B = FT, можно получить центральный
пик малых размеров. Топографическая диаграмма для этого слу-
чая приведена на рис. 15.5,6. Чтобы исключить неоднозначность от-
счета, желательно иметь нулевые боковые пики в квадрате со сто-
ронами 2Т, 2F. Вне этого квадрата боковые пики равны нулю, по-
скольку полная длительность отклика не может превышать 2Т, а
смещение спектра сигнала по частоте на ±F приводит к тому, что
спектр сигнала не попадает в полосу пропускания приемника.

Однако получить тело неопределенности с нулевыми боковыми
лепестками невозможно, так как существует ограничение, которое
не позволяет произвольно менять форму тела неопределенности.
Это ограничение получило название принципа неопределенности.
Суть его заключается в том, что объем, заключенный между по-
верхностью |7?(т, й)|2 и плоскостью (т, Q), не зависит от формы
сигнала и равен единице (2.34). Таким образом, объем тела не-
определенности является постоянным. Поэтому при одновременном
измерении времени и частоты необходимо стремиться к такой фор-
ме тела неопределенности, при которой все боковые пики равны
и равномерно распределены в квадрате (2Т, 2F), так как в этом
случае они минимальны по амплитуде. Тело неопределенности та-
кой формы изображено на рис. 15.6. Узкий основной пик стоит на
основании высотой 7?0- При равномерном распределении боковых
пиков /?0=1/2]ЛВ. Для ШПС с базой Во>1 с боковыми пиками
можно не считаться. Поэтому в задачах обнаружения ШПС и из-
мерения их параметров учитывают только область сильной корре-
ляции— центральный пик |7?(т, Й) |.

Рис. 15.6. Тело неопределенности ШПС

Возвращаясь к апостериорной вероятности (15.10), следует от-
метить, что при малой помехе ошибки измерений малы и всегда
меньше размеров центрального пика тела неопределенности. По-
этому, рассматривая только область сильной корреляции, поверх-
ность неопределенности в окрестности точки максимума (т=0, й =
=0) приближенно можно представить параболоидом вида

|Я(Т, й)| «1+2_^т2 + /?^тЙ4-1-^Й2, (15.11)

где R"xx , R"xq, , R"aa— вторые частные производные |2?(т, Й) |
[4], определяемые в точке т=0, Й = 0.

Формула (15.11) представляет ряд Тейлора, в котором слагае-
мые третьего и более высокого порядка малости отброшены. В об-
щем случае в формулу (15.11) может входить линейный член, за-
висящий от т. Это будет уточнено в дальнейшем. Подставляя
(15.11) в (15.10), получаем

да(т, Й|х(0] = А2ехр(-^)ехрГ4- + 2/?^тЙ + R^Й2)1.

(15.12)

Сравнивая выражение (15.12) с двумерным нормальным зако-
ном распределения [55], имеющим вид

о>(Х1, х2)=---------Г/т=^Г ехР

2 л а2 V1 —f2
v2 1

*1________гхг х2

2(1— г2) о2! (1— Га)СТ1СТ2

2(1—г2)<т2

(15.13)
получаем, что апостериорная вероятность (15.12) является дву-
мерным нормальным законом распределения случайных величин т
и Q. Введя обозначение отношения сигнал-помеха на выходе со-
гласованного фильтра

q2 = 2E/N0, (15.14)

дисперсии, второй центральный смешанный момент и коэффициент
корреляции случайных величин т и Q запишем в следующем виде:

=---------т2------, (15.15), (15.16)

<72#Q2(1— г2)

Г2 _______RfO

<?2^(1-г2) ’ - Vr“qr^

(15.17), (15.18)

Отметим, что при определении а2тС было использовано соотно-
шение о2ха = гохаа.

Отметим общие особенности соотношений (15.15) — (15.17). Из
них следует, что чем больше отношение сигнал-помеха q2, тем
меньше дисперсии оценок. Дисперсии оценок зависят от формы те-
ла неопределенности, так как в (15.15) — (15.17) входят частные
производные выражения (15.11). При заданных R"xx и R"qq дис-
персии оценок являются минимальными, если г2=0. При этом рав-
на нулю вторая смешанная производная R" ха и смешанная дис-
персия <т2Тй- Поэтому оценки тий оказываются независимыми. В
[4] показано, что вторая смешанная производная R"xa =0 для
сигналов с симметричной частотной модуляцией и для ФМ сигна-
лов. Положим R"xa =0. Если воспользоваться спектральным опре-
делением ФН

#(T,Q)=_1_ 7 G (<o)G*(<o—й) eion d<o, (15.19)

4 п Е - ОО

то можно показать, что

С = Т (®)|2 (15.20)

4 л Е

Правая часть с точностью до постоянного множителя определя-
ет квадрат эффективной ширины спектра сигнала. Переходя к ли-
нейным частотам, можно записать, что

= (15-21)

где ГЭф — эффективная ширина спектра, определяемая следующим
соотношением

Г2ф=12 J f2\G(f)\2df I ] \G(f)\2df. (15.22)

—oo / —oo

Для ШПС с равномерным спектром |G(f)| = Go, сосредоточен-
ным в полосе частот шириной F из (15.22) получаем FQ$ = F, т. е.
определение (15.22) дает такое значение ГЭф, которое соответству-
ет ШПС с равномерным спектром в этой полосе частот.

Аналогично, используя определение ФН через комплексную оги-
бающую (15.9), можно найти, что

^=-71ф/12’ (!5.23)

где эффективная длительность ШПС определяется соотношением,
аналогичным (15.22):

Т2ф = 12 J t2\U(t)\2dtl J \U(t)\2dt. (15.24}

—ОО / —ОО

Для ШПС с прямоугольной огибающей | U (/) | = UQ и длитель-
ностью Т эффективная длительность ТЭф = Т.

Используя приведенные соотношения (15.21), (15.23), полагая'
=0 и обращаясь к линейной частоте f=Q/2ji из формул

(15.15), (15.16) находим дисперсию оценки времени задержки

o2 = a2/q2F^ (15.25)

и дисперсию оценки частоты

о*-а2/<72Тэ2ф> (15.26)

где величина с^р^З/л. Таким образом, для повышения точности
измерения обоих параметров необходимо повышать отношение сиг-
нал-помеха q2. Кроме того, для повышения точности измерения
времени задержки надо увеличивать ширину спектра сигнала F^
~Л)ф, а для повышения точности измерения частоты надо увеличи-
вать длительность сигнала T^T9$. Очевидно, что одновременное
увеличение и Г, и F возможно только для ШПС, база которых В =
= РТ^РдфТЭф. Чем больше база ШПС, тем большая точность изме-
рения времени задержки и частоты. Вместе с тем, необходимо пом-
нить, что для точных измерений, во-первых, надо иметь высокое-
отношение сигнал/помеха на выходе измерителя ^2^>1 и, во-вторых,
система поиска ШПС должна «вывести» измеритель в область
сильной корреляции — в центральный пик ФН. Если отношение
сигнал-помеха ?2<С1, то измерения бессмысленно проводить, можно
заняться просто гаданием о значении параметра. Поэтому синхро-
низатор должен обеспечить высокое отношение сигнал-помеха на
выходе измерителя. Если же измеритель не попадает в область
сильной корреляции, то он производит измерения по шумам и от
таких измерений тоже можно отказаться. Эти факторы полностью
определяют и структуру синхронизатора, и его характеристики.
Рассмотрим сначала вопрос о выборе необходимого отношения сиг-
нал-помеха в ШСС на выходе измерителя.

15.3. Отношение сигнал-помеха на выходе измерителя в ШСС

Если время задержки сигнала и его несущая частота медлен-
но изменяются при передаче информации, то один из методов прие-
ма заключается в том, что в состав обычного оптимального при-
емника вводят измеритель времени задержки (рис. 15.7) и измери-
тель частоты, которые измеряют соответствующие параметры и
вводят их в оптимальный приемник. Такой метод приема называ-
ется квазиоптимальным [73]. Измерители осуществляют синхрони-
зацию по времени и частоте между принятым и опорным сигнала-
ми и являются синхронизаторами. Процесс синхронизации, как бы-
ло отмечено ранее, сопровождается ошибками. Будем рассматри-
вать только случайные ошибки, которые возникают из-за действия
шума, причем будем полагать эти ошибки малыми. Ошибки при
измерении времени прихода сигнала и его частоты приводят к

рассинхронизации по этим параметрам и в конечном счете снижа-
ют помехоустойчивость приема информации. Исследованию поме-
хоустойчивости квазиоптимальных приемников посвящено значи-
тельное число работ, однако в большинстве из них рассматривают-

ся различные случаи квазиопти-
мального когерентного приема. На
практике часто используется квази•
оптимальный некогерентный прием.
При этом необходимо оценить сни-
жение помехоустойчивости при сов-
местной рассинхронизации по вре-
мени и частоте для произвольных
сигналов, найти условия, при кото-
рых ошибки по времени и частоте

Рис. 15.7. Оптимальный измери- можно рассматривать независимо
тель друг от друга, определить влияние

формы сигнала на помехоустойчи-
вость квазиоптимального приемника. Решение сформулированных
задач для случая квазиоптимального некогерёнтного метода при-
ема двоичной информации при совместной рассинхронизации по
времени и частоте дано в [5].

Допустим, что информация передается двумя равновероятными
ортогональными сигналами. Пусть Е — энергия сигналов. Предпо-
ложим, как и ранее, что шум является случайным гауссовским
стационарным процессом с нулевым средним и с равномерной спек-
тральной плотностью мощности Nq. Оптимальный приемник при
известном времени задержки сигнала и известной несущей часто-
те состоит из двух каналов, каждый из которых представляет собой
последовательное соединение согласованного фильтра (СФ1 или

Рис. 15.8. Квазиоптимальный приемник
СФ2) и детектора огибающей Д (рис. 15.8). Решающее устройство-
(РУ) выбирает максимальное значение на выходе детекторов оги-
бающих. Каждый фильтр согласован со своим сигналом. Синхро-
низатор (С) осуществляет поиск ШПС, а затем и синхронизацию
по времени и по частоте. Оценка по частоте вводится в подстраи-
ваемый генератор (ПГ), напряжение с которого поступает в пре-
образователь частоты (ПЧ). Напряжение на промежуточной час-
тоте, учитывающее оценку по частоте f, усиливается в УПЧ и по*
ступает на входы согласованных фильтров. Оценка по задержке
т вводится в решающее устройство и фиксирует моменты принятия
решения. Так как сигналы ортогональны, то ортогональны и фильт-
ры. Поэтому шумовые составляющие на выходах фильтров в сов-
падающие моменты времени некоррелированы. Поскольку шум на
входе и на выходе фильтров является гауссовским случайным про-
цессом, то шумовые составляющие на выходах фильтров в совпа-
дающие моменты времени независимы. В результате огибающие
на выходах детекторов также будут статистически независимы в
совпадающие моменты времени.

При рассинхронизации по времени (ошибка равна т) и по час-
тоте (ошибка равна Й = 2л/) в момент принятия решения, который
определяется синхронизатором, огибающая на выходе согласован-
ного канала определяется огибающей функцией неопределенности
(ФН) передаваемого сигнала |R(т, й) | (15.9), а огибающая на
выходе несогласованного канала — огибающей взаимной функцией
неопределенности (ВФН) р(т, й)=/?^(т, й). Независимо от зна-
чений т, й шумовые составляющие на выходах фильтров остаются
некоррелированными в совпадающие моменты времени. Следова-
тельно, огибающие в момент принятия решения будут также ста-
тистически независимыми, как и при т=й = 0. Поэтому плотность-
вероятности огибающих на выходах детекторов описывается зако-
нами Релея — Райса, у которых сигнальные составляющие равны-
|/?(т, й) | и |р(т, й)|. Отметим, что R (0, 0) = 1, а у, (0, 0)=0..
Обозначим отношение сигнал-шум в информационном канале

Л2 = Е/АГ0. (15.27)

Можно показать, что вероятность ошибки при рассинхронизации
равна [5]

Рош (*. $) = ехр [-h2 (R2 + р2) f г2 ехр (0,5 z2)/0/ (]<2 h R z) х
о

X j t ехр (0,5 t2) Io (1^2 h p t) dtdz, (15.28)

где /?=|/?(т, й)|, р=|р(т, й)|. При т=й = 0, 2? = 1, р=0, вероят-
ность ошибки определяется известной формулой Рош=РОш(0, 0) =
0,5 ехр (—0,5/t2). Предположим, что синхронизатор (измеритель) яв-
ляется оптимальным, т. е. обеспечивает минимальные в средне-
квадратическом смысле ошибки при совместном измерении време-
ни и частоты. При достаточно большом отношении сигнал-шум на
выходе измерителя (15.14)

72=2£ИЗмМ> (15.29)

где £Изм — эквивалентная энергия сигнала в измерительном кана-
ле, совместная плотность вероятности ошибок т, й при некогерент-
ном приеме приближенно определяется выражением (15.10). Ин-
тегрировать в (15.10) надо в пределах центрального пика ФН, так
как при предположении q2^> 1 ошибки малы. В [5] показано, что
если ВФН имеет малые боковые пики в окрестности центра (т=0,
Й = 0), то ее влиянием на вероятность ошибки можно пренебречь.
Такому условию удовлетворяют сигналы, у которых боковые пи-
ки около центра плоскости неопределенности меньше 1/]^ В, где
В — база сигнала. Полагая р,=0, из (15.28) находим, что вероят-
ность ошибки

Рот (т, й) =0,5 ехр (—0,5 /12|R (т, й)|2). (15.30)

Средняя вероятность ошибки при усреднении по т и О

Рош ср = И Рош (Т, Й) (т, Й) d т d £2, (15.31)

где ®2(т, й) —совместная плотность вероятности ошибок т и й,
определяемая согласно (15.10), т. е. а>2(т, й)=ге»[т, й|лр(О]. Ин-
тегрирование следует производить по области определения цент-
рального пика ФН.

Относительно центрального пика ФН предположим, что он сим-
метричен относительно осей т, й. Это имеет место, как было отме-
чено ранее, для ФМ сигналов и ЧМ сигналов с четным законом
изменения частоты. При этом ошибки т и й статистически незави-
симы, а модуль центрального пика ФН может быть записан в виде
|/?(т, Й)| = 1— (|t|/t0)v—(|Й|/Й/)А, (15.32)

где |т|^то; |й| ^йо. Представление (15.32) является частным
случаем (15.11), поскольку положено R"xq =0. Из (15.32) для
сигналов с прямоугольной огибающей Х=2. Для ФМ сигналов
v=l, для ЧМ сигналов v=2. При таком представлении централь-
ного пика ФН интегрировать в (15.31) необходимо в пределах
(—то, то), (—Йо, Йо). Совместная плотность вероятности ошибок т
и й, при условии, что они малы, определяется формулой (15.10).

Интегрируя и нормируя, получаем [5], что средняя вероятность
ошибки

Рош ср « 0,5 ехр (—0,5 /I2) (1 —Л2/<72)-(т+Л)М =

= Р0Ш (1 —Л2/<72)-<*+а>М. (15.33)

Из (15.33) следует, что средняя вероятность ошибки не зависит
от ширины центрального пика ФН по времени и частоте, так как
в это выражение то и Йо не входят. Таким образом, средняя веро-
ятность ошибки при оптимальном измерении времени задержки и
и доплеровской частоты не зависит от базы используемых сигна-
280
лов. Поскольку форма центрального пика ФН (15.32) зависит от
показателей v и %, то и средняя вероятность ошибки зависит от
формы центрального пика, но зависимость эта слабая, так как от-
ношение /i2/(?2^0,5. При этом из (15.33)

Рош ср » Рош О + l(v + MMl (W)}. (15.34)

Например, для ФМ сигнала v=l, Х=2, a (v + X)/vX=3/2. Для ЧМ
сигнала v = X=2, a (v + X)/v%=l. Обычно h2<^q2. Поэтому различие
в форме центрального пика сказывается слабо. Следовательно,
средняя вероятность ошибки практически не зависит от формы сиг-
нала и его базы, а определяется только отношениями сигнал-шумг
на выходах информационного и измерительного каналов. Поэтому
для повышения помехоустойчивости некогерентного квазиоптималь-
ного приема необходимо увеличивать отношение сигнал-шум на вы-
ходе обоих каналов. Чтобы ошибки при синхронизации сказыва-
лись слабо, необходимо иметь ^2^>Л2.

Таким образом, на первый взгляд, имеет место парадокс. С од-
ной стороны из формул (15.25), (15.26) следует, что с ростом ба-
зы ШПС точности измерений растут, так как дисперсии ошибок
уменьшаются с ростом ширины спектра и длительности ШПС. С
другой стороны, из (15.34) следует, что вероятность ошибки при
приеме информации не зависит от ширины спектра и длительности
ШПС. Парадокса в этих фактах нет, так как, действительно, с рос-
том базы точности измерений растут, но величина ошибок, отнесен-
ная к ширине центрального пика, остается неизменной, поскольку
из (15.25), (15.26) ОтЛэф = о/ТЭф~ От/то~оо/^о~а/<7, где Я — отно-
шение сигнал-помеха на выходе измерителя. Поэтому важно, что-
бы синхронизатор определил параметры ШПС (время задержки
и частоту) с точностью до центрального пика ШПС, т. е. синхрони-
зация должна осуществляться при малых расстройках по времени
и по частоте внутри центрального пика ФН. Таким образом, хотя
вероятность ошибки (15.34) в явном виде не зависит от свойств
ШПС, но для ее обеспечения необходимо, чтобы система поиска
ШПС определила параметры ШПС с точностью до размеров цент-
рального пика ФН, а затем система синхронизации должна обес-
печивать синхронизацию с минимальными ошибками (15.25),
(15.26) внутри центрального пика ФН. При этом необходимо, что-
бы отношение сигнал-помеха на выходе измерительного канала q2
было существенно больше отношения сигнал-помеха на выходе ин-
формационного канала.

15.4. Пространство параметров и многоканальный измеритель

Как следует из предыдущего материала, для нормальной рабо-
ты ШСС необходимо сначала осуществить поиск ШПС по неизвест-
ным параметрам (времени задержки и частоте), а затем обеспе-
чить синхронизацию. После завершения этих процессов ШСС яв-
ляется работоспособной. Поиск должен закончиться обнаружением
ШПС и измерением его параметров — времени задержки и часто-
ты, причем точность измерений должна быть такова, чтобы ошиб-
ки не выводили значения параметров из области центрального пи-
ка ФН. Это означает, что два соседних значения параметра можно
считать неразличимыми, если разность между ними меньше шири-
ны центрального пика ФН. Поэтому при обнаружении ШПС и из-
мерении его параметров в процессе поиска ШПС можно считать,
что параметр изменяется дискретно, т. е. принимает ряд дискрет-
ных значений. Например, пусть время задержки т изменяется от О
до Т — длительности ШПС. Если обозначить через Ат—ширину
интервала неопределенности, внутри которого значения неразличи-
мы с точки зрения измерений, то число значений параметра т рав-
но

тпв = 7/Ат, (15.35)

где индекс «в» означает параметр «время задержки». Шаг дискрет-
ности Ат называется интервалом неопределенности или интервалом
распознавания. Аналогично, если интервал изменения частоты ра-
вен Гд, а интервал неопределенности по частоте равен АД то число
дискретных значений частоты

m^FjJbf, (15.36)

где индекс «ч» означает параметр «частота».

Интервалы неопределенности Ат и Af определяются в соответ-
ствии с теоремой Котельникова шириной спектра ШПС и его дли-
тельностью, которые в свою очередь определяют ширину централь-
ного пика ФН. Если ширина спектра ШПС равна F, то интервал
неопределенности по времени в соответствии с теоремой Котельни-
кова

Ат «1/2 7. (15.37)

Аналогично, если длительность ШПС равна Т, то интервал не-
определенности по частоте в соответствии с теоремой Котельни-
кова

А/«1/2 7. (15.38)

Таким образом, при неизвестных времени задержки и частоте
имеется m параметров; согласно (15.35) — (15.38)

m = mB /пч = 4 BFn Т, (15.39)

где B = FT — база ШПС. Первый множитель в правой части (15.39)
В — представляет собой число интервалов неопределенности по
времени, а второй — 7Д7 — число интервалов неопределенности по
частоте.

На рис. 15.9 изображена частотно-временная плоскость, на ко-
торой область неопределенности параметров — времени задержки
1 и частоты f ограничена прямоугольником со сторонами в виде
«толстых» линий. Пределы изменения равны 0—Т и 0—7Д соответ-
ственно. Область неопределенности параметров разделена на интер-
валы неопределенности по времени и по частоте с шагом Ат (15.37)
и А/ (15.38) соответственно, в результате чего область неопреде-
ленности параметров разделена сеткой на ячейки в виде прямо-
угольников со сторонами Ат и Af. Общее число ячеек равно т
(15.39). Площадь каждой ячейки приближенно равна площади
центрального пика ФН, т. е. в каждой ячейке можно расположить-
только один центральный пик ФН. Таким образом, сетка на рис.
15.9 определяет границы между распознаваемыми значениями па-
раметров, а сами распознаваемые параметры соответствуют цент-
рам интервалов неопределенности (см. значения тп и fh на рис..
15.9).

Параметры принимаемого ШПС могут принимать любые зна-
чения из тв и тч. Для примера, на рисунке выделена ячейка, пол-
ностью заштрихованная, соответствующая принимаемому ШПС.
Поэтому синхронизатор в процессе поиска должен найти эту ячей-
ку, в которой расположен центральный пик ФН принимаемого-
ШПС и более точно определить центр ячейки с неизвестными пара-
метрами т, и fj, i—\,mB, тч.

Покажем, что задача обнаружения ШПС и измерения его па-
раметров при дискретном изменении параметров сводится к зада-
че распознавания т ортогональных сигналов, где т определяется
согласно (15.39). Действительно, каждой паре параметров тп и fh
можно поставить в соответствие свой сигнал «(/; тп, М, где п=
= 1,тв, £=1,тч. Поскольку два соседних значения параметра, на-
пример, тп и Tn+i разделены интервалом неопределенности Ат, то
можно считать, что ФН таких сигналов имеют несовпадающие
центральные пики. В свою очередь, это позволяет утверждать, что
взаимная функция неопределенности подобных сигналов принима-
ет малые значения (порядка 1/У~В) и при В^>1 этими значения-
ми можно пренебречь. Такое заключение позволяет полагать сиг-
налы с различными значениями параметров ортогональными, т. е.

( Е при n = l, k = p

Т | 0 при пУ=/,

f u(t', тп, fh )u(t; xt, fp)dt = { прибор,
0 I или и n I

l и k^p.

(15.40)

Интегральное равенство (15.40) утверждает, что корреляцион-
ный интеграл от сигналов с различными номерами измеряемых па-
раметров равен нулю, т. е. такие сигналы ортогональны. Таким
образом, задача обнаружения ШПС и измерения его параметров
может быть сведена к задаче распознавания т ортогональных сиг-
налов, решение которой хорошо известно [1, 57, 59 и др.].

На рис. 15.10 представлена схема оптимального многоканально-
го измерителя, который состоит из т каналов, а т — число пар не-
известных параметров (15.39). Каждый канал состоит из согласо-
ванного фильтра (СФ1... СФщ) для сигнала «(/; тп, fh) с опреде-
ленными значениями пары параметров, детектора огибающей (ДУ
и порогового устройства (ПУ). С выходов всех каналов напряже-
ния поступают на решающее устройство (РУ), которое принимает
решение: сигнал обнаружен с параметрами, которые соответству-
ют каналу с максимальным выходным напряжением. Такой опти-
мальный многоканальный измеритель работает в соответствии с
критерием максимального правдоподобия. Основные соотношения
для характеристик обнаружения и измерения можно найти в [5].

Если сигнала на входе не было, порог хотя бы в одном из ка-
налов превышен, то возникает ложная тревога. Вероятность лож-
ной тревоги [5]

Рл.т = 1— (1 — Рл.т0)т, (15.41)

где Рл.то — вероятность ложной тревоги в одном канале. Если
Рл.то»*<1, то

Рл.т qi (15.42)

т. е. вероятность ложной тревоги в целом в т раз больше вероят-
ности ложной тревоги в канале. Вероятность ложной тревоги в ка-
нале при некогерентном приеме

Рл.т о = Г Z ехр (—z2/2) dz = ехр (—62 <?2/2), (15.43)

Ьч

где b = Vo/V — относительный порог, Уо — абсолютный порог, V —
максимум сигнальной составляющей на выходе согласованного
фильтра, q2 — отношение сигнал-помеха на выходе согласованного
фильтра (15.14). При фиксированной вероятности ложной тревоги,
т. е. при Рл.т=const

^ = ]/21п(/п/РЛ1). (15.44)

Из (15.44) следует, что требуемое отношение сигнал-помеха растет
как In т.
Вероятность правильного обнаружения-измерения [5]

Рправ

р- /о И)

1—ехр

dz.

(15.45)

Множитель в квадратных скобках

<p(z)=[l—ехр (—z2/2)]m-1 (15.46)

является весовой функцией и ее можно аппроксимировать единич-
ным скачком. Момент скачка zo = V 21n(m—1).

Для того, чтобы вероятность правильного обнаружения-измере-
ния была близка к единице, необходимо иметь такое отношение
сигнал-помеха q2, чтобы обобщенное рэлеевское распределение ле-
жало правее скачка, т. е. чтобы имело место неравенство q>zo. С
другой стороны, порог bq должен быть меньше q, т. е. qZ>bq. По-
скольку bq (15.44) всегда больше Zo, то вероятность правильного
обнаружения Рправ-*-1 при условии

q2 > 2 In (т/РЛт). (15.47)

Из (15.47) следует, что требуемое отношение сигнал-помеха рас-
тет как 1пт, т. е. с увеличением точности измерений необходимо
увеличивать отношение сигнал-помеха.

Формулы (15.44), (15.45) позволяют рассчитать характеристи-
ки оптимального многоканального измерителя, схема которого при-
ведена на рис. 15.10. Кроме характеристик обнаружения-измерения
процесс поиска и синхронизации характеризуется также и време-
нем синхронизации, в течение которого синхронизатор обеспечивает
поиск ШПС и вхождение в синхронизм.

Время синхронизации Тс равно сумме времени поиска ШПС
Тп и времени вхождения в синхронизм Тв, т. е.

ТС = ТВ + ТВ. (15.48)

Оптимальный многоканальный измеритель обеспечивает только
поиск ШПС, причем время поиска минимально. Действительно, из-
меритель, схема которого представлена на рис. 15.10, производит
одновременный поиск во всех возможных ячейках области неоп-
ределенности параметров (рис. 15.9). Поэтому, если время анали-
за одной ячейки равно Та, то время поиска ШПС многоканальным
измерителем

Гп.мк = Л- (15.49)

Найдем приближенно время поиска. Из (15.34) следует, что
для хорошей синхронизации необходимо иметь отношение сигнал-
помеха на выходе измерительного канала q2 существенно больше
отношения сигнал-помеха на выходе информационного канала Л2.
Допустим, что осуществляется некогерентный прием двух ортого-
нальных сигналов и вероятность ошибки РОш=10~5. При этом тре-
буется Л2=21 или 13 дБ. Допустим, что (?2=10/i2, т. е. (?2=210 или
23 дБ. Отношение сигнал-помеха h2^PcTIN^ a q2=2PcTlsai&IN^ где
Т — длительность ШПС, a TH3m=Q7’ — длительность сигнала, обра-
батываемого одним каналом измерителя, причем Q — число ШПС,
укладывающихся в Тизм. Так как Tax№=Tq2/2h2, то для приведенных
чисел Q = 5. Таким образом, длительность сигнала, обрабатывае-
мого в канале измерителя, должна быть в 5 раз больше длитель-
ности ШПС, т. е. канал измерителя должен обрабатывать или на-
копить Q=5 ШПС. Поэтому измерительный канал должен (рис.
15.11,а) содержать согласованный фильтр (СФ), когерентный на-
копитель (КН) и детектор огибающей (Д). При когерентном на-
коплении отношение сигнал-помеха на выходе накопителя

I15-5»)

т. е. в Q раз превышает отношение сигнал-помеха q2Bz на входе на-
копителя. Поскольку когерентные накопители-устройства сложные,
особенно при накоплении ШПС с очень большими базами, то воз-
можно осуществлять некогерентное накопление. При некогерент-
ном накоплении (рис. 15.11,6) за согласованным фильтром (СФ)
следует детектор огибающей (Д), а затем некогерентный накопи-
тель (НН). Если отношение сигнал-помеха на входе накопителя
92вх^>1, то потери при некогерентном накоплении малы и отноше-
ние сигнал-помеха на выходе накопителя определяется согласно
(15.50).

Рис. 15.11. Канал измерителя

Рис. 15.12. Аналоговые нако-
пители
а — е многоотводной линией
задержки, б—рециркулятор

Накопители [12] могут быть аналоговыми и цифровыми. На
рис. 15.12 приведены схемы двух наиболее распространенных ана-
логовых накопителей. Накопитель с многоотводной линией задерж-
ки (МЛЗ) (рис. 15.12,а) производит суммирование Q сигналов в
сумматоре ( + ), каждый из которых задержан относительно сосед-
него на длительность сигнала Т. Для этого задержка между отво-
дами равна Т. Накопитель в виде рециркулятора (рис. 15.12,6)
осуществляет накопление (суммирование) сигналов в сумматоре
( + ), поступающие как со входа, так и с выхода через линию за-
держки (ЛЗ) со временем задержки, равным длительности сигна-
ла Т. Усилитель (<) необходим для компенсации потерь в ЛЗ и
для установления такого усиления в кольце обратной связи, чтобы
не возникало генерации. Число накапливаемых импульсов в ре-
циркуляторе

Q « (1-JQ-*. (15.51)

где Ко — коэффициент усиления рециркулятора в разомкнутом со-
стоянии. Чем ближе Ко к 1, тем больше Q. Но при Ко, близком к
1, возникает генерация. Поэтому число Q не превышает 10—20.

Оптимальный многоканальный измеритель (см. рис. 15.10) обес-
печивает минимальное время поиска ШПС, равное времени анали-
за одной ячейки (15.49); с учетом накопления

Tn = 7\==QT, (15.52)

где Q — число накапливаемых ШПС, Т — длительность ШПС. Но
многоканальный измеритель является очень сложным устройством.

Сложность радиоэлектронной аппаратуры — понятие весьма ем-
кое и зависящее как от многих параметров, так и от используемой
технологии. Вместе с тем, в устройствах обработки ШПС есть один
параметр, который может служить основой для сравнения различ-
ных устройств обработки. Этим параметром является эквивалент-
ная память устройства обработки, а сложность любого радиоэлект-
ронного устройства будет пропорциональна его памяти. Если взять
согласованный фильтр, то его память равна базе, т. е. количеству
информации, которое можно хранить в нем. Память отдельного ка-
нала измерителя при когерентной обработке составит B(Q+1),
поскольку память отдельной ячейки когерентного накопителя на
многоотводной линии задержки (рис. 15.11,а) равна базе ШПС.
Число каналов в измерителе равно /п, поэтому эквивалентная па-
мять измерителя

BH3M«/nB(Q+l). (15.53)

Так как m определяется согласно (15.39), то

Визм ~m4B2(Q+l), (15.54)

где /пч — число интервалов неопределенности по частоте.

Рассмотрим пример. Пусть F=10 МГц, 7,= 1 мс, Вд=100 кГц.
При таких данных В=104, m4=102, т=106 и Визм»6-1010, т. е.
Визм—Ю4 Мбайт. Если учесть, что такую огромную память надо
создать на устройствах, пропускающих полосу частот 10 МГц, то
станет очевидным, что создание подобных измерителей представля-
ет серьезную техническую задачу.

Необходимо отметить, что такой многоканальный измеритель
используется только в начале сеанса связи, когда необходимо най-
ти ШПС и войти в синхронизм, а затем можно использовать наи-
более простой оптимальный корреляционный приемник. Поэтому
всегда, когда это возможно, необходимо использовать наиболее
простой измеритель. Наиболее простым измерителем является од-
ноканальный следящий измеритель.
15.5. Одноканальныи следящий измеритель

Одноканальный измеритель работает следующим образом. Сна-
чала анализируется одна ячейка в области неопределенности пара-
метров (рис. 15.9). Если ШПС с параметрами этой ячейки не об-
наружен, то программное устройство переводит схему поиска в дру-
гую ячейку, в простейшем случае в соседнюю. Таким образом про-
исходит последовательный анализ ячеек неопределенности до тех
пор, пока ШПС не будет обнаружен в какой-либо ячейке. Если ис-
пользуется дискретная модель изменения параметров, то и про-
граммное устройство перестраивает схему поиска дискретно. Но
можно осуществить и непрерывную перестройку схемы поиска
ШПС, поскольку реально параметр может принимать любые зна-
чения внутри интервала неопределенности.

Обычно измеряемые параметры ШПС — время задержки и час-
тота — изменяются во времени из-за движения передающей или
приемной станции, нестабильностей частот и т. п. Поэтому изме-
ритель должен не только измерить (найти) параметры, но и осу-
ществлять слежение за параметрами, т. е. осуществлять синхрони-
зацию. Именно поэтому такие измерители называются следящими.
Одноканальные следящие измерители являются по сути дела сис-
темами автоматического регулирования (САР), теория которых
разработана достаточно глубоко. Следящие измерители для по-
иска и синхронизации ШПС безусловно имеют свои особенности,
которые кратко будут рассмотрены в дальнейшем, но основные по-
ложения теории САР применимы и для таких измерителей. При-
ведем основные положения теории одноканальных следящих изме-
рителей [102].

Положим, что измеряемый параметр, например р, изменяется во
времени, т. е. р, = р,(/). Поскольку прием ШПС сопровождается по-
мехами, то процесс р(0 содержит как полезную сигнальную со-
ставляющую рс(0» так и помеховую составляющую рп(0, т- е-
р(0 = Цс(0 +цп(0- Задача измерителя процесса p,(f) заключается
в создании оценки ц*(/), которая минимально, в соответствии с
принятым критерием, отличается от действительного закона изме-
нения рс(0- Поэтому измеритель является сглаживающим фильт-
ром для р(0- Структура измерителя должна быть такой, чтобы
обеспечить максимальное подавление (фильтрацию) помеховой со-
ставляющей рп(0-

Параметры ШПС, которые необходимо измерить и за измене-
нием которых необходимо следить, нелинейно входят в ШПС. На-
пример, сигнал на входе приемника может иметь вид

u(t\ /3, co) = f7(Z— /3) cos [со (/—/3) + 0 (^—/3) + Ф], (15.55)

где U (t) — амплитудная огибающая сигнала, со — несущая частота,
Q(t) —закон изменения угловой модуляции, ф— случайная началь-
ная фаза, t3 — задержка по времени. Параметры t и со нелинейно
входят в принимаемый сигнал (15.55). Поэтому измерители про-
цессов t3(t) и со(0 являются нелинейными фильтрами.
Строгое решение задач нелинейной фильтрации хорошо извест-
но [103, 104]. При больших отношениях сигнал-помеха используют
гауссово приближение, которое заключается в том, что полагают
измеряемый процесс гауссовым. Именно такое приближение сдела-
но при переходе от апостериорной плотности (15.7) к (15.12). Пе-
реход к гауссовым процессам позволяет линеаризировать задачу
оценки процесса и воспользоваться теорией оптимальной линейной
фильтрации. Линеаризация заключается в том, что из входного
сигнала формируется линейная функция малых отклонений теку-
щего значения параметра &=р,—ро относительного некоторого опор-
ного значения, близкого к истинному значению go. Для параметров
ШПС малые отклонения параметров определяются как

т = /8—Z, Q = ®—<о0, (15.56), (15.57)

относительно которых и определялись ошибки (15.25), (15.26)

Устройство, которое сравнивает мгновенные значения у. и go, на-
зывается дискриминатором (различителен). Опорное значение цо
вводится заранее. Оно известно и вводится системой поиска. Обыч-
но характеристика дискриминатора в определенных пределах ли-
нейна. Выходной сигнал дискриминатора является линейной функ-
цией малых отклонений £. Если измеряемый параметр не выходит
за пределы линейного участка характеристики дискриминатора,
то и на выходе дискриминатора можно поставить оптимальный ли-
нейный фильтр, который будет сглаживать помеховую составляю-
щую и выдавать оценку J-*. Необходимо отметить, что оценка |*
запаздывает на некоторое время относительно £ из-за задержки в
фильтре.

На рис. 15.13 приведена схема линейного оптимального измери-
теля. Он состоит из дискриминатора (ДК), оптимального фильтра
(ОФ) и сумматора ( + ). На один вход дискриминатора поступает
сигнал u(t, у,), на другой вход — опорное значение параметра у.о.
На выходе дискриминатора имеем разность | = у,—ц0. На рис. 15.14

Рис. 15.13. Линейный оптимальный из-
меритель

Рис. 15.14. Характеристика дис-
криминатора

изображена характеристика дискриминатора. Для слежения за из-
менением параметра обычно используется центральная линейная
часть характеристики. Оптимальный фильтр выдает сглаженную
оценку |*. Обычно фильтр строится на основе критерия минимиза-
ции среднеквадратической ошибки между измеряемым параметром
и его истинным значением. На выходе измерителя формируется
10—111 289
значение параметра р'=ро+£*, которое в соответствии с критери-
ем минимума среднеквадратической ошибки минимально в среднем
отклоняется от истинного значения. Значение параметра р' может
быть введено в необходимые узлы синхронизатора.

Опорное значение параметра ро вводится в измеритель из схе-
мы поиска. В процессе измерений значение параметра р на входе
дискриминатора может и выйти из пределов характеристики ди-

скриминатора, что приводит к срыву измерения параметра, т. е. к
срыву синхронизации. Поскольку изменения параметров обычно
медленные, то можно не только производить фильтрацию, но и осу-
ществлять экстраполяцию (предсказание) параметра и использо-
вать такое значение параметра в качестве опорного. При этом уст-
раняется опасность срыва синхронизации. Для экстраполяции в ка-
честве фильтра на рис. 15.13 используют экстраполирующий фильтр
или экстраполятор. Чем точнее предсказывает экстраполятор ожи-
даемое значение процесса, тем меньше рассогласование между
опорным и входным процессами. Таким образом, оптимальный од-
ноканальный измеритель должен содержать дискриминатор и экст-

раполятор.

Для обеспечения работоспособности измерителя необходимо на
временной дискриминатор подать опорное значение ро. Начальное
значение этого параметра обеспечивается схемой поиска.

На рис. 15.15 представлена схема следящего измерителя. Он со-
стоит из дискриминатора (ДК), экстраполятора (ЭП), генератора
(Г), схемы поиска (СП). Последняя в свою очередь состоит из
схемы захвата (СЗ) и программного устройства (ПУ). Схема за-
хвата представляет собой коррелятор, за которым следует порого-
вое устройство, а за пороговым

Рис. 15.15. Следящий измеритель

устройством — реле захвата.
На коррелятор поступают два
ШПС: со входа u(t, р) со зна-
чением параметра рис выхо-
да генератора u(t, р0) со зна-
чением параметра ро. Если
разность между параметрами
больше ширины центрального
пика ФН, то на выходе корре-
лятора сигнальной составляю-
щей не будет. Соответственно
не будет превышен порог и ре-
ле захвата не сработает. Гене-
ратор (Г) создает сигналы

u(t, ро) со всеми значениями ро внутри интервала неопределенно-
сти. Изменение параметра р0 в сигнале u(t, ро) осуществляется
значением параметра £*, снимаемым с выхода экстраполятора.

Следящий измеритель работает в двух основных режимах: в ре-

жиме поиска и в режиме слежения.

В режиме поиска программное устройство через экстраполятор
перестраивает по определенной программе значение £*, что вызы-
Вает формирование генератором сигнала u(t, р,о) с соответствую*
щим значением параметра цо- Например, программное устройство
может обеспечить изменение параметра ро в заданных пределах
(от 0 до р.тах) с требуемой скоростью. Когда в процессе поиска
опорное значение параметра Цо окажется близким к истинному
значению ц (разность между ними меньше ширины центрального
пика ФН по этому параметру), то напряжение на выходе корреля-
тора схемы захвата превысит порог, реле захвата сработает и по-
иск прекратится. При этом начальное рассогласование ц—цо п0‘
падает в линейную часть характеристики дискриминатора, кото-
рый вырабатывает сигнал рассогласования. Следящее кольцо (ди-
скриминатор, экстрацолятор, генератор) замыкается и измеритель
переходит в режим слежения.

При ложных захватах от помехи или при пропадании сигнала,
реле захвата спустя некоторое время размыкается и схема поиска
вновь начинает поиск до обнаружения сигнала.

В режиме слежения сначала обрабатывается начальное рассо-
гласование между ц и цо, что является переходным процессом. По
окончании переходного процесса в установившемся режиме слеже-
ния рассогласования в дискриминаторе в среднем равны нулю и
экстраполятор вырабатывает оценку ц*(/) = цо(О-

Таким образом, одноканальный следящий измеритель (рис.
15.15) осуществляет и поиск сигнала, и слежение за его парамет-
ром- Измеряемыми параметрами ШПС являются время задержки
т и частота й. Измеритель для двух параметров должен содер-
жать два измерителя, аналогичных следящему измерителю, пред-
ставленному на рис. 15.15.

Одноканальный измеритель (рис. 15.15) является наиболее
простым, так как его память намного меньше базы ШПС. Напри-
мер, если в качестве ШПС используется ^-последовательность,,
то память генератора равна Br=log2 В, где В — база ШПС, что не-
сравненно меньше памяти многоканального измерителя (15.54).
Однако время поиска ШПС одноканальным измерителем значи-
тельно больше времени поиска многоканальным измерителем. Ес-
ли положить, что число различимых значений параметров равно-
т (15.39), а время анализа одной ячейки составляет Та, то макси-
мальное время поиска одноканальным измерителем составит

Тп..к=тТ&, (15.58)

что в т раз больше времени поиска (15.49) многоканальным обна-
ружителем. Среднее время поиска

Тп.0К = тТа/2. (15,59)

Следует отметить, что и (15.49), и (15.58) не учитывают появ-
ления ложных тревог и пропусков сигнала. Эти вопросы будут рас-
смотрены в дальнейшем.

Таким образом, два обнаружителя — многоканальный и одно-
канальный дают два значения времени поиска — минимальное и
максимальное соответственно. Поскольку одноканальный обнару*
10* 291
житель наиболее простой, то существует проблема создания мало-
канальных обнаружителей на базе одноканальных, которые были
бы относительно простыми и в то же время обеспечивали доста-
точное быстродействие. При этом возможны различные процедуры
поиска ШПС [96—98, 105]. Поиск в оптимальном многоканальном
измерителе производится одновременно во всех каналах. Такой по-
иск называется параллельным. В отличие от него поиск, осуществ-
ляемый одноканальным измерителем, называется последователь-
ным поиском. Иногда его называют также последовательным ша-
говым поиском. Если такой поиск заключается в последователь-
ном переходе к анализу соседней ячейки, то его называют иногда
«слепым» или поиском по методу перебора. Многоэтапный поиск
заключается в следующем. Сначала на первом этапе относительно
быстро просматривают все ячейки и отбирают те, в которых веро-
ятность нахождения наибольшая. На втором этапе более детально
просматривают отобранные ячейки и т. д. Такой поиск можно осу-
ществлять в несколько этапов. Полихотомйческий поиск заключает-
ся в том, что область параметров делят на X частей и для каждой
определяют вероятность нахождения ШПС. Затем выбирают часть
с максимальной вероятностью и снова делят ее на % частей и т. д.
Простейший случай Х=2, что соответствует дихотомическому поис-
ку. Возможны также специальные процедуры, основанные на ал-
гебраических свойствах кодовых последовательностей, и т. п. Более
подробно эти процедуры и методы поиска будут рассмотрены в
дальнейшем.

16. КОГЕРЕНТНАЯ ОБРАБОТКА ШПС
И НЕКОГЕРЕНТНОЕ НАКОПЛЕНИЕ

16.1. Основы квазиоптимальной обработки ШПС

Поиск ШПС во многом определяется их структурными свойст-
вами. При больших базах ШПС обеспечить полную когерентную
обработку всего сигнала весьма затруднительно. Поэтому часто
используют комбинированную обработку — часть сигнала обраба-
тывается когерентно, а затем производится некогерентное накоп-
ление [12, 16, 65]. Точно такое же положение при поиске — ШПС
когерентно обрабатывается согласованным фильтром, а затем
производится некогерентное накопление. Такая обработка ШПС
называется квазиоптимальной, а соответствующие приемники —
квазиоптимальными.

На рис. 16.1 представлена схема квазиоптимального приемни-
ка с когерентной обработкой ШПС и некогерентным накоплением,
который предназначен для приема двоичной информации, переда-
ваемой с помощью ортогональных сигналов. Приемник содержит
два канала, в каждом из которых имеются согласованный фильтр
(СФ), детектор огибающей (Д), некогерентный накопитель (НН).
Напряжения с выхода каналов подаются на вычитающее устрой-
ство (—), а затем на пороговое устройство (ПУ) с нулевым поро-
гом. Комбинация из вычитающего и порогового устройств реали-
зует выбор максимального значения из напряжений на выходах
каналов. Положим, что длительность ШПС, обрабатываемого ко-
герентно, равна Т, число накапливаемых ШПС равно Q. Поэтому
длительность ШПС, обрабатываемого согласованным фильтром и
накопителем, равна QT.

Рис. 16.2. Квазиоптимальный прием-
ник, адекватный приемнику рис. 16.1

Рис. 16.1. Квазиоптимальный при-
емник с когерентной обработкой
ШПС и иекогерентным накоплением

При когерентной обработке ШПС длительностью QT отноше-
ние сигнал-помеха на выходе приемника

qt=2PeQT/Na = q2Q, (16.1)

ql = 2P0T/NB (16.2)

—отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра.
Формула (16.1) подчеркивает характерную особенность когерент-
ной обработки, в том числе и когерентного накопления: отноше-
ние сигнал-помеха q2 на выходе согласованного фильтра (или ко-
герентного накопителя) линейно растет с увеличением длитель-
ности ШПС или числа накапливаемых ШПС.

При некогерентном накоплении отношение сигнал-помеха на
выходе некогерентного накопителя будет меньше значения (16.1),
т. е. при некогерентном накоплении имеют место потери в отно-
шении сигнал-помеха. Поэтому можно записать, что отношение
сигнал-помеха на выходе некогерентного накопителя

?2=<Ш2’ (16.3),

где коэффициент т)2^1 определяет потери в отношении сигнал-
помеха.

Алгоритм работы квазиоптимального приемника с некогерент-
ным накоплением определяется следующим неравенством:

2 1п/о(^1-)>21п/о(-^-\ (16.4)

feXi \ Уп / \ NU )

где h{x) — модифицированная функция Бесселя нулевого поряд-
ка; Уль k=\, Q — значение огибающей k-ro ШПС на выходе со-
гласованного фильтра в момент окончания этого ШПС для симво-
ла 1; Vm, k=l, Q — значение огибающей k-ro ШПС на выходе со-
гласованного фильтра в момент окончания этого ШПС для сим-
вола 0. Если имеет место неравенство (16.4), то принимается ре-
шение, что был послан символ 1, если имеет место обратное не-
равенство, то принимается решение, что был послан символ 0.

В соответствии с неравенством (16.4) детектор огибающей в
схеме квазиоптимального приемника (рис. 16.1) должен иметь ха-
рактеристику вида 1п/0(х).

В зависимости от отношения сигнал-помеха на выходе согласо-
ванного фильтра qo детектор с характеристикой InZo(-v) может
быть либо квадратичным, либо линейным, так как

. . . . (v%2' /1ЙКЧ

1п/0(х) = 4 (16.5)

. х, х^>1, (<70>1).

Поэтому неравенство (16.4) преобразуется в следующее:
при квадратичном детекторе

Q , Q ,
Дгк

(16.6)

при линейном детекторе

Q Q

k=l Л=1

(16-7)

Так. как операции вычитания и суммирования линейны, то их
можно поменять местами. Поэтому квазиоптимальный приемник
с некогерентным накоплением может быть построен по схеме, изо-
браженной на рис. 16.2. В этом случае необходим только один не-
когерентный накопитель.

16.2.. Помехоустойчивость квазиоптимального приемника

При большом отношении сигнал-помеха на выходе согласован-
ного фильтра <72^>1 потерь за счет некогерентного накопления
практически нет [12], т. е. t)2«1 и для расчета помехоустойчиво-
сти квазиоптимального приемника можно использовать отноше-
ние сигнал-помеха q2, рассчитанное по формуле (16.1). При этом
вероятность ошибки в квазиоптимальном приемнике (рис. 16.1,
16.2) определяется известным соотношением:

Рош= 0,5ехр(—/i2/2),

где

/i2=<72/2=Pc7Wn.

(16.8)

(16.9)

При малом отношении сигнал-помеха на выходе согласованно-
го фильтра <72o<S Г потери могут быть значительны, т. е. т]2<^1.
Для обеспечения надежного приема информации потери необхо-
димо компенсировать увеличением числа Q накапливаемых ШПС.
Рассмотрим случай малых q20 более подробно.
В соответствии с (16.6) при малых <?2о детекторы в квазиоп-
тимальном приемнике на рис. 16.2 являются квадратичными и
на выходе накопителя формируется величина

r=f,(Hi-v2M). (16.10)

fe=l

которая является суммой разности квадратов огибающих У2« и
У2ьо на выходах согласованных фильтров СФ1 и СФо. При приеме
информации один из каналов содержит сигнальную и шумовую
составляющие, а другой — только шумовую составляющую. Слу-
чайная величина У распределена по закону %2 с Q степенями сво-
боды. При <72о4С1 число Q>1. Поэтому можно считать, что при
больших Q случайная величина У распределена по нормальному
закону, характеристиками которого являются среднее значение и
дисперсия. Полагая величины У2м и У\о статистически независи-
мыми, находим среднее значение

У= mx (У) =Q [mt (V?) - тх (У§)], (16.11)

Оу = М2 (У) = Q [М2 (У?) + М2 (У§) ], (16.12)

где mi(V2i), гИ1(У2о) —средние значения квадрата огибающей на
выходе согласованных фильтров СФ1 и СФ0, a М2(У21) и
М2(У2о) —дисперсии тех же огибающих. Положим, что Vt со-
держит сигнал и помеху, Уо — только помеху. В этом случае [73]

mx (У2) = 2о2(1 4-а2/2о2), (16.13)

M2(V?)=4a*(l+-4Y (16.14)

т1(,/о) = 2о2, М2(Уо)=4о4, (16.15), (16.16)

где а и а2 — сигнальная составляющая и дисперсия помехи на
выходе согласованного фильтра.

Соответственно из (16.11), (16.12) имеем

Y=Qaa, Оу= Q 4ol(2-j-a2/o2), (16.17), (16.18)

причем

<7§ = а2/<т2 (16.19)

является отношением сигнал-помеха на выходе согласованного
фильтра.

Распределение случайной величины У, в соответствии с ранее
сделанными предположениями, является нормальным

а»(К) = —г---ехр [ — (У—У)2/2оу]. (16.20)

Вероятность ошибки
о

Рош= jw(Y)dY=F(-hB), (16.21)
где F(x)—интеграл вероятности

(7.5),

меха

Л2 = —

Н «2
Су

4(2 + ^о) ’

а отношение сигнал-по-

(16.22)

Для того, чтобы найти потери при некогерентном накоплении,
обратимся к когерентному приему двух ортогональных сигналов
длительностью QT. Вероятность ошибки

Р0ш=^(-М. где ft2K=Q/i2o = Q<72o/2, (16.23), (16.24)

поскольку Л2о = ^2о/2. Сравнивая (16.23) и (16.24), замечаем, что
коэффициент потерь

2 Ло
тт -------------=------------.

2(1+ Лц) 2(2+<?о)

(16.25)

При й2о<С 1

(16.26)

Коэффициенты потерь (16.25), (16.26) хорошо известны в теории
некогерентного накопления.

На рис. 16.3 изображена зависимость потерь т]2 в отношении
сигнал-помеха при некогерентном накоплении от элементного от-
ношения сигнал-помеха й2о, постро-

Рис. 16.3. Зависимость потерь в
отношении сигнал-помеха при ие-
когерентном накоплении от Л20

енная по формуле (16.25). Левее
значения й2о=—10 дБ зависимость
т]2, дБ, линейная, что следует из
формулы (16.26). С ростом й2о,
Итт12 = 0,5, т. е. т]2 стремится к зна-
чению —3 дБ (на рис. 16.3 штрихо-
вая линия).

Так как при й20^>1 потерь нет,
то график коэффициента потерь в
области от —10 дБ до 20 дБ (см.
рис. 16.3) построен приближенно.

Поскольку расчет помехоустой-
чивости ШСС ведется по отношению
сигнал-помеха Л2о = ?2о/2, то при
/г2 о С 1 из формул (16.22), (16.26)

получаем, что отношение сигнал-помеха на выходе некогерентного
накопителя при большом числе накапливаемых ШПС

Ah=Q/ioT)2«Q/io/2.

Отсюда число накапливаемых ШПС.

Q=2/lM

(16.27)

(16.28)

Формула (16.28) позволяет по заданной помехоустойчивости
ШСС, определяемой отношением сигнал-помеха й2н на выходе
некогерентного накопителя, и по заданному отношению сигнал-
помеха й2о на выходе согласованного фильтра определить требуе-
мое число накапливаемых ШПС.
17. ПОИСК И СИНХРОНИЗАЦИЯ шпс по вр:

17.1. Автоматическая подстройка времени

В реальных условиях при приеме информации в начале сеанса
связи несущая частота сигнала и его время задержки в точке при-
ема неизвестны. Поэтому необходимо провести поиск и синхрони-
зацию ШПС по частоте и по времени. На рис. 17.1 приведена схе-
ма приемника, предназначенного для приема двоичной информа-
ции. Он состоит из стандартной части (ПР), включающей преоб-
разователь частоты, усилитель промежуточной частоты, гетеро-
дин. Эта часть приемника не рассматривается, так как она не
влияет на поиск и синхронизацию ШПС. Кроме того, приемник
включает схемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и
автоподстройки времени (АПВ) первый перемножитель (х') и
информационный коррелятор (ИК). Последний состоит из вто-
рого перемножителя ( X ), интегратора ($), решающего устрой-
ства (РУ), генератора ШПС (ГШПС) и генератора синхроим-
пульсов (ГСИ).

Фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ) осуществляет по-
иск и синхронизацию по частоте. На выходе ФАПЧ имеется вос-
становленное значение несущей частоты сигнала в диапазоне про-
межуточных частот. Поэтому на выходе первого перемножите-
ля ШПС переведен в область видеочастот. Таким образом, ФАПЧ
обеспечивает синхронный прием информации при условии точной
синхронизации по времени, которую в свою очередь осуществля-
ет АПВ. После поиска ШПС по времени (измерение задержки
ШПС) АПВ обеспечивает синхронизацию ГШПС и ГСИ по вре-
мени, что необходимо для выделения информации. ШПС с ГШПС
поступают на вход второго перемножителя, на выходе которого
модуляция по ШПС отсутствует. Короткие синхроимпульсы от
ГСИ с частотой fT=l/T, где Т — длительность ШПС, управляют
работой интегратора и решающего устройства.

Совместно ФАПЧ и АПВ представляют собой синхронизатор
(С). И ФАПЧ, и АПВ являются одноканальными следящими из-
мерителями (рис. 15.16). Предположим, что ФАПЧ обеспечивает
достаточную точность восстановления несущей. Поэтому допус-
тим, что неизвестным является только время задержки ШПС.
Поиску и синхронизации ШПС по времени посвящено много ра-
бот, см., например, [5—8, 13, 15, 16, 67, 68, 96—99, 102, 105, 106].
На основе этих работ в гл. 15 были приведены основные свойства
следящих измерителей. Поскольку в данном параграфе рассмат-
ривается поиск и синхронизация ШПС по времени, то приведем
основные схемы и параметры следящих измерителей времени, .ко-
торыми и являются АПВ.

На рис. 17.2 представлена схема когерентной АПВ, предназна-
ченной для поиска и синхронизации фазоманипулированных (ФМ)
сигналов [7, 8, 15, 98], более точно для поиска и синхронизации
M-последовательностей или близких к ним псевдослучайным
последовательностям (ПСП). На схеме рис. 17.2 не показаны эле-
менты схемы поиска и схемы захвата, изображенные на рис. 15.16.
Для' данного материала они не являются принципиальными. Схе-
ма АПВ, представленная на рис. 17.2, является когерентной, так
как для нормальной работы такой схемы необходимо восстанав-
ливать частоту с точностью до начальной фазы. Так как схема
предназначена для ПСП, то регистр сдвига (РС) из п каскадов
является генератором ПСП длиной N = 2n—1 и длительностью
T=Ni:0, то — длительность одного импульса ПСП. Сигнал с выхо-
да второго перемножителя приёмника, схема которого изобра-
жена на рис. 17.1, поступает на вход АПВ — на два перемножителя
(см. рис. 17.2). На другие входы перемножителя подаются ПСП с
п- и (п—1)-го каскада регистра сдвига. Поэтому ПСП имеют
сдвиг, t равный то. Напряжения с выходов перемножителей
поступают на сумматор (4-), который по сути дела выполняет
функции вычитающего устройства, так как на один вход сумма-
тора напряжение поступает с плюсом, а на другой — с минусом.
С выхода сумматора напряжение поступает на усилитель с коэф-
фициентом усиления К, затем на фильтр (Ф), затем на управ-
ляющий элемент- (УЭ), а затем на управляемый генератор (УГ).
Цепочка УЭ и УГ преобразует сигнал ошибки (напряжение) в
фазу тактовых импульсов, снимаемых с выхода УГ. Тактовые им-
пульсы с частотой 1/то поступают на регистр сдвига.

Два перемножителя, сумматор и регистр сдвига образуют дис-
криминатор, точнее, временной дискриминатор. На рис. 17.3 пред-
ставлены характеристики дискриминаторов. На рис. 17.3,а и б
изображены центральные пики идеальных АКФ ПСП (к ним близг
ки АКФ ^-последовательностей), снимаемых с (п— 1)-го кас-
када регистра сдвига (рис. 17.3а) и с n-го каскада. Между ними
сдвиг по времени, равный т0. На рис. 17.3,в изображена характе-
ристика дискриминатора (рис. 17.2). Ее линейная часть имеет ши-
рину то в интервале (— то/2, то/2). Если ПСП на входе АПВ сов-
падает с ПСП от п-г 1 каскада регистра сдвига, то на выходе
сумматора напряжение равно —1. Если ПСП на входе АПВ сов-
падает р-ЛСП от п каскада регистра сдвига, то напряжение на
выходе сумматора равно 1 В промежуточном случае оно равно 6.
Отклонение напряжения на выходе сумматора является сигналом
ошибки, который усиливается затем усилителем, проходит через
фильтр (экстраполятор на рис. 15.15) и через УЭ и УГ изменяет
моменты появления (фазы) тактовых импульсов, определяющих
ритм работы регистра сдвига.

2т0

«)

•c

1SL
Z

4=^

Рис. 17.4. Пропорционально-интегрирую-
щий фильтр

-7

Рис. 17.3. Характеристики диск-
риминаторов

Дискриминатор может иметь
большую ширину линейной части
характеристики, если на перемно-
жители подавать ПСП, снимае-
мые с n-го и (и—2) -го каскада ре-
гистра сдвига. При этом ПСП
сдвинуты на 2то. Такая характе-
ристика изображена на рис. 17.3,г.
Ширина линейной части равна
2то. АПВ с характеристикой дис-
криминатора, изображенной на
рис. 17.3,в, обозначают АПВ1, а
с характеристикой, изображенной
на рис. 17.3,г — АПВ2 (АПВ1
обладает большей помехоустой-
чивостью [8], АПВ2 позволяет
быстрее произвести поиск ШПС}.
Цепочка УЭиУГ (иногда йазы-

бается генератором, управляемым напряжением — ГУНУ йа: рис.
f7?2: под воздействием напряжения сигнала ошибки с выхода
фильтра изменяет частоту следования тактовых импульсов сот —
= 2rt/fo. Временное положение-тактовых импульсов является йх
фазой. Частота <в и фаза <р связаны известными соотношениями

о (t) = , q> (0 = U (t) dt.

at о

f!7.1)

Частота тактовых импульсов <от(О =Koe(t), коэффи-
циент передачи усилителя, фильтра и ГУНа, в(/) —сигнал ошиб-
ки на выходе фильтра. Поэтому

Ф(/)=Хв/е(/)Л, (17.2)

т. е. ГУН является интегратором.

Коэффициент передачи фильтра (экстраполятора) определяет-
ся из условий минимизации среднеквадратического значения сиг-
нала ошибки. Он во многом определяется характером изменения
сигнала ошибки во времени. Оптимизация фильтра — серьезная
математическая задача, решаемая на основе теории марковских
процессов [73, 75, 103, 104, 106]. Не рассматривая всего многооб-
разия фильтров и проблем их выбора, отметим, что наиболее час-
то используется пропорционально интегрирующий фильтр (рис.
17.4). Его передаточная функция

А(р)=(1+рТ2)/(1 + рТ1), (17.3)

где р — оператор Лапласа, постоянные времени

Л =(Я1 + #2) С, T2=R2C. (17.4)

Отношение постоянных времени т = Т21Тх.

Числитель в (17.3) характеризует предсказывающие (экстра-
полирующие) свойства фильтра, так как передаточная функция
1+рГ2 является передаточной функцией форсирующего звена.
Выражение 1/(1+р7'1) является передаточной функцией интегри-
рующего звена. Особенность пропорционально-интегрирующего
фильтра заключается также в следующем. На высоких частотах
напряжение на выходе фильтра пропорционально напряжению на
входе, а в области нижних частот оно зависит от интеграла на-
пряжения на входе фильтра. В дальнейшем будет использоваться
параметр

Еш=/2/Т2, (17.5)

который определяет полосу пропускания фильтра и практически
является шумовой полосой [8] следящей системы, которой явля-
ется АПВ.

В схеме АПВ измерение времени задержки сопровождается
тремя видами шумов. Во-первых, шумами фильтрации, возника-
ющими в схеме, (собственные шумы АПВ) при фильтрации сиг-
нала ошибки. Они характеризуются дисперсией о2ф и зависят от
спектральных свойств сигнала на входе АПВ. Во-вторых, шума-
ми, возникающими из-за воздействия флуктуационных помех на
входе АПВ. Они характеризуются дисперсией о2п и определяются
свойствами помехи (шума) на входе АПВ и свойствами сигна-
лов и приемного тракта. В-третьих, нелинейными искажениями,
которыми пренебрежем.

Дисперсия шума фильтрации составляющей для АПВ [8]
о^т2(Гшт0/2), (17.6)
а дисперсия шумовой или помеховой составляющей

«т2(ГшЛ/0/Рс), (17.7)

где то — длительность импульса ПСП, Рс — мощность сигнала на
входе приемника No — спектральная плотность мощности поме-
хи на входе приемника. Как следует из формул (17.6), (17.7),
действие шумов уменьшается с уменьшением Гш — ширины поло-
сы пропускания фильтра (17.5), т. е. чем более узкополосным ста-
новится фильтр, тем меньше дисперсии шумовых составляющих
(17.6), (17.7). Пороговое отношение сигнал-помеха Pc/N0 можно
найти из (17.7), полагая для АПВ2 что утроенное среднеквад-
ратическое значение не выходит за пределы линейной части ди-
скриминатора, т. е. если огш~0,3то. При этом пороговое отноше-
ние сигнал-помеха

(ЗД)пор«ЮГш, (17.8)

т. е. чем меньше Fm, тем меньше пороговое отношение сигнал-
помеха.

При изменении времени задержки в установившемся режиме
возможны динамические ошибки. В АПВ с пропорционально-ин-
тегрирующим фильтром динамическая ошибка возможна только
в случае, если время задержки изменяется с ускорением. При
этом динамическая ошибка [8]

Дт«т/(2Гш)а, (17.9)

где x = d2x(t)tdt2. Из (17.9) следует, что динамическая ошибка
тем меньше, чем больше Fm, т. е. чем больше полоса пропускания
фильтра. В этом отношении увеличение Гш повышает быстродей-
ствие АПВ, но ухудшает помехоустойчивость.

В самом начале процесса синхронизации, когда заканчивает-
ся поиск, разность т между начальным временем задержки t и
истинным значением to не выходит за пределы характеристики
дискриминатора, т. е. |т| = |/—/о| <то для АПВ2. Значение т в
начальный момент является воздействием на АПВ, которая начи-
нает обрабатывать это воздействие. Через некоторое время в те-
чение переходного процесса АПВ отработает это воздействие и в
установившемся режиме разность т=0. Длительность переходного
режима [8]

Tmv^(5...i0)/Fm, (17.10)

т. е. чем больше полоса фильтра, тем быстрее заканчивается пе-
реходной процесс.

Исследование переходных процессов с помощью методов фазо-
вой плоскости показало, что скорость перестройки времени задерж-
ки [8, 15] не должна превышать, примерно,

т = d x/dt ж 2 Fw т0, (17.11)

т. е. чем меньше Fw, тем меньше скорость перестройки времени за-
держки. Например, если необходимо иметь скорость перестройки
t:—%oIT=1/N, где N — число импульсов в ПСП, то /?Ш=1/2Т, т. е.
полоса фильтра обратно пропорциональна удвоенной длительнос-
ти ПСП.

В тех случаях, когда ФАПЧ не может обеспечить подстройку
частоты с точностью до начальной фазы, используется некогерент-
ная АПВ (рис. 17.5) [8, 98, 99, 101, 107]. Она состоит из двухка-
нального коррелятора огибающей (КО), собственно АПВ (Ф, УЭ,
УГ, PC) и выделителя информации (ВИ). Коррелятор огибающей

Рис. 17.5. Схема некогерентной' АПВ

по сути дела является дискриминатором. На его вход с полосового
фильтра (ПФ1) поступает сйгнал и помеха. Допустим, что сигнал,
переносит двоичную информацию в виде фазовой манипуляции
(ФМ). Коррелятор огибающей состоит из двух каналов, в каждом
<3 которых расположены: перемножитель (X), полосовой фильтр
4ДФ2 или.ПфЗ) и квадратичный детектор (Д). Полосовые филь-
тры ПФ2 и ПФЗ необходимы для фильтрации удвоенной частоты.
Две ПСП е отводов п- и (n-l) -ro каскадов регистра сдвига (PC)
через..церемножители (X), на вторые входы которых поступает
опорное колебание cos(<oiH-t|>) со вспомогательно» частотой; ®ь
поступают на входы перемножителей корреляционных каналов (с
колосовыми фильтрами ПФ2 и ПФЗ). В режиме слежения при
отсутствии шумов задержка ЦСП на входе коррелятора огибающей
равна та/2 относительно ПСП, снимаемой с- (п~-1)-го каскада
резистора сдвига, и опережает на то/2 ПСП, снимаемую с п-го
каскада регистра сдвига. При этом сигнал ошибки на выходе
фильтра (Ф) равен нулю и цепочка управляющий элемент (УЭ) —
управляемый генератор (УГ) поддерживает постоянной фазу
тактовых импульсов, снимаемых с УГ. Цепочка УЭ—УГ называ-
ется также ГУНом. Для того, чтобы выделить информацию, не-
обходимо перемножить входное колебание с ПСП, которое сов-
падает по фазе с ПСП на входе. Для этого ПСП с (п—1)-го кас-
када регистра сдвига задерживается на пол-такта, т. е. на то/2 и
подается на перемножитель в каскаде ВИ, на второй вход кото-
рого поступает колебание со вспомогательной частотой <01. С вы-
хода ПФ4 снимается колебание, манипулированное только инфор-
мационной последовательностью. В этом колебании ПСП нет. С
выхода ПФ4 напряжение должно поступать на оптимальный де-
модулятор сообщения (оптимальный приемник для приема двоич-
ной информации).

17.2. Сравнение непрерывного и дискретного
поиска ШПС по времени

В гл. 15, 16 и в § 17.1 приведено достаточно много различных
формул, определяющих поиск и синхронизацию ШПС по време-
ни. Эти формулы получены для различных, на первый взгляд,
условий. Поэтому необходимо дать сравнение этих условий и оп-
ределить основные факторы, определяющие поиск и синхрониза-
цию ШПС по времени.

Дисперсии о2т ошибки измерения времени многоканальным
оптимальным измерителем определяется формулой (15.25). Эта
формула выражает потенциальную помехоустойчивость, при этом
дисперсия (15.25) минимальна для заданного отношения сигнал-
шум q2. Многоканальный измеритель является дискретным изме-
рителем, так как весь диапазон изменения времени разделяется на
конечное число интервалов неопределенности, равное числу ка-
налов.

Схема АПВ реализует непрерывный поиск. Точность измерения
времени в АПВ характеризуется двумя составляющими с диспер-
сией шума фильтрации <т2ф (17.6) и с дисперсией шумовой состав-
ляющей о2ш (17.7). Прежде всего отметим, что <т2ф<^д2ш, посколь-
ку отношение Рсто/2Мо<С1. Это действительно имеет место в ре^
альных ШСС, так как должно быть PcT/2No>l, а отношение
T/to = N'^>l. Поэтому в дальнейшем шумы фильтрации не рас-
сматриваются. Для сравнения дисперсий (15.25) и (17.7) необхо-
димо сначала выразить Г2Эф в (15.25) через реальный параметр
ФМ — ШПС длительность одиночного импульса то. АКФ ФМШПС
не имеет второй производной /?"„. Для приближенного ре-
шения задачи заменим центральный пик АКФ ФМ ЩПС
параболой: ₽(т) = 1—(т/то)2 при |т|^то: При этом R"XI=
——2/т2о. Подставляя это значение Р"хх в (15.’21) , находим /Чф =
= 6/лт2Ь. Заменяя в (15.25) £2Эф, согласно найденному соотноше-
нию, а2=3/я8 и q2=2EtJNb, где £н — энергия накапливаемых ШПС,
Afa — спектральная плотность шума, получаем

<%х*=^4Ея. (17.12)

В (17.12) Ея — энергия ШПС, обрабатываемого когерентно. По-
ложим, что длительность ШПС равна Т, а число накапливаемых
ШПС равно Q. Поэтому из (17.12)

^2 = AT0/4P0QT. (17.13)

Сравнивая (17.7) с (17.13), находим, что схема АПВ обеспечи-
вает потенциальную помехоустойчивость, если ее шумовая поло-
са

Ли=1/4(ЭТ. (17.14)

Из (17.14) следует, что шумовая полоса обратно пропорци-
ональна длительности ШПС, обрабатываемого когерентно. По-
скольку шумовая полоса связана с параметрами ФНЧ (17.5), то,
Зная заданную помехоустойчивость измерителя (17.13), можно
однозначно найти параметры фильтра АПВ.

Число накапливаемых ШПС Q можно найти из следующих со-
ображений. Вероятность ошибки при приеме дискретной инфор-
мации при рассинхронизации определяется формулой (15.34). По-
ложим, что вероятность ошибки при приеме ФМ ШПС увеличива-
ется на 15% из-за рассинхронизации, т. е. Рош сВ~ 1,15Р0Ш- При
этом отношение сигнал-помеха на выходе измерительного канала
(накопителя) q2a и отношение сигнал-помеха на выходе информа-
ционного канала h2 соотносятся следующим образом:

z?2 « 10 ft2. (17.15)

Так как h2=PcT/N0, a q2H = 2PcTQINQ, то при когерентном на-
коплении в соответствии с (17.15) число накапливаемых ШПС

Q«5. (17.16)

Из (17.14) находим, что шумовая полоса АПВ должна быть
равна

1/207. (17.17)

Время поиска ШПС в АПВ ограничивается скоростью перес-
тройки (17.11). В формуле (17.11) первая производная т=27што
является безразмерной величиной. За длительность ШПС, равную
Т, интервал времени, проходимый схемой поиска, равен Дт=т7’=
—27шт07. Соответственно время поиска

7п = 7(7/Дт) = 7/т = 7/2Гшт0. (17.18)

Рисунок 17.6 иллюстрирует определение времени анализа 7а
одной ячейки неопределенности длительностью Дт в схеме АПВ.
Так как согласно (17.18) Та=Т1х, то tga=r и 7а=Дт/т. Таким
образом, чем больше скорость перестройки, тем меньше время
анализа одной ячейки и тем меньше время поиска ШПС. Вместе
с тем, необходимо помнить, что скорость перестройки огранйчена
согласно (17.11). Если в (17.18) подставить значение Гш соглас-
но (17.14), то

Тп= 2Q7'2/t0. (17.195

Так как число импульсов в ФМ ШПС N=Tfa, то

Ta = 2QNT, (17.20)

т. е. время поиска пропорционально числу накапливаемых ШПС,
базе (или числу импульсов) и длительности ШПС. В ряде слу-
чаев интерес представляет относительное время поиска Zn = T„]T.
Из (17.20) имеем

Zn=2QA\ (17.21)

Если число накапливаемых ШПС Q=5 согласно (17.16), то

Гд-ЮЛ/Т, Zn=\QN. (17.22)

Обратимся теперь к дискретному поиску, при котором время
задержки опорного ШПС изменяется дискретно. Ранее было до-
пущено, что число параметров по времени задержки согласно
(15.35) и (15.37) Т/Дт«2ГТ, где Дт=1/2Л Эти соотношения сви-

детельствуют, что шаг пе-
рестройки схемы поиска Дт =
=т«/2. Если число симво-
лов в ФМ ШПС N = Г/то,
то общее число шагов пе-

Рис. 17.6. Время анализа ячейки не-
определенности

рестройки 77Дт=2М Если взять число накапливаемых импульсов
равным Q, то время поиска Ta=2QTN, т. е. совпадает со време-
нем поиска схемой АПВ (17.20). При Q = 5 имеем соотношения
(17.22). Таким образом, доказано, что схемы поиска с непрерыв-
ным и дискретным изменением задержки опорного ШПС обла-
дают одинаковыми характеристиками поиска. При этом необхо-
димо иметь в виду основное соотношение (17.14), связывающее
шумовую полосу АПВ с длительностью ШПС, обрабатываемо-
го когерентно, и равной QT, где Q — число накапливаемых ШПС
в когерентном накопителе.

При сравнении не были учтены переходной процесс в АПВ
(17.10), ложные срабатывания АПВ (ложные тревоги) и пропуск
ШПС. Если допустить для простоты, что ложных тревог и пропу-
сков ШПС нет, то ко времени поиска (17.18) — (17.22) надо доба-
вить время переходного процесса ТПер (17.10), которое и является
временем вхождения в синхронизм 7'в( 15.48). Положим, что ТЯер==
= 10/Fm. Согласно (17.14) T„ep=40QT. Суммируя время поиска
(17.20) и длительность переходного процесса Tnef, находим время
синхронизации
Тс = Тп + Тпер=2Q7W (1 + 20/У) = Гп (1 + 2О/Л7). (17.23)

Если 7V^>20, то со временем переходного процесса можно не
считаться. При этом время синхронизма практически совпадает
со временем поиска ШПС. Такой вывод справедлив при условии,
что вероятности ложных тревог и пропуска ШПС малы. При уве-
личении вероятности ложных тревог схема АПВ будет останав-
ливаться на каждом ложном выбросе и задерживаться до оконча-
ния переходного процесса В этом случае учет длительности пере-
ходного процесса необходим. Вероятности ложных тревог
и пропуска ШПС будут малыми только в том случае, если на вы-
ходе измерительного канала (или на выходе схемы АПВ) отно-
шение сигнал-помеха будет существенно больше единицы.

17.3. Алгоритмы поиска ШПС по времени задержки

Непрерывный поиск ШПС по времени задержки, осуществля-
емый схемой АПВ, реализует так называемый последовательный
поиск, когда интервал неопределенности последовательно просма-
тривается схемой поиска до обнаружения ШПС и вхождения в
синхронизм. Если осуществляется дискретный поиск ШПС по
времени задержки, то последовательно просматриваются все ячей-
ки неопределенности с шагом Дт«1/2Л Такой поиск называется
последовательным шаговым поиском. Последовательный поиск (в
том числе и шаговый) называется иногда слепым поиском. Как
следует из материалов данного раздела, основными характеристи-
ками процесса поиска ШПС является вероятность правильного об-
наружения ШПС с оценкой его параметров и время поиска. При
оптимизации процедуры поиска возможны два критерия: 1. крите-
рий минимума среднего времени поиска при заданной вероятно-
сти обнаружения; 2. критерий максимума вероятности обнаруже-
ния при заданном времени поиска.

Как было отмечено ранее, наряду с последовательным поис-
ком может осуществляться и параллельный поиск. Последователь-
ный поиск осуществляется схемой АПВ, параллельный поиск —
многоканальным измерителем, в котором число каналов равно
числу ячеек неопределенности. Время поиска максимально при
последовательном поиске и минимально при параллельном по-
иске, но многоканальный измеритель значительно сложнее схемы
АПВ. Следует отметить, что многоканальный измеритель в ШСС
необходим только в процессе поиска ШПС и вхождения в синхро-
низм. Во время приема информации при измеренных (и уже из-
вестных) параметрах ШПС надо иметь только коррелятор. На
рис. 17.7 изображена упрощенная схема квазиоптимального при-
ёмника ШСС. Синхронизатор (С) осуществляет поиск ШПС и
синхронизацию генератора ШПС (ГШПС). Информация выде-
ляется с помощью коррелятора (К) и решающего устройства
(РУ) Обычно задача разработчика-ШСС заключается в том, что-
бы обеспечить минимальное время поиска ШПС при минималь-
ной сложности синхронизатора, причем полагают вероятностные
характеристики обнаружения и измерения заданными. Такая за-
дача до настоящего времени не имеет окончательного решения.
Известно большое число различных вариантов построения син-
хронизаторов и процедур поиска [6, 7, 8, 13, 15, 16, 96—99, 105].
Кроме последовательного (одноканального) и параллельного (мно-
гоканального) поиска на практике используются параллельно-по-
следовательный, многоэтапный, полихотомический поиск ШПС

по времени. Кроме того, известны алгоритмы поиска с учетом ал-
гебраических свойств ФМ ШПС и беспо-
йсковый алгоритм [105]. Кратко рас-
смотрим отмеченные алгоритмы с учетом
вероятностных характеристик обнаруже-
ния ШПС.

Последовательный поиск. Положим,
что имеется пг ячеек неопределенности, а
центральный пик АКФ ШПС расположен

в последней ячейке. Процесс поиска ос- „ „

Рис. 17.7. Квазиоптималь-

«ганавливается каждый раз, когда возни- ный приемник ШСС
кает ложная тревога, а завершается пра-
вильным обнаружением ШПС. Обозначим через Тц— среднюю

длительность цикла поиска до ложной тревоги, а через иц — сред-
нее число циклов до завершения поиска. В этом случае среднее зна-
чение времени поиска [97]

Тп = Тппц. (17.24)

Более точно формула (17.24) определяет среднее значение макси-
мального времени поиска, так как было предположено, что по-
лезный сигнал содержится в последней ячейке неопределеннос-
ти. Известно [97], что среднее значение времени поиска (17.24)

7'п = Тл----------------------, (17.25)

^тоП-РпвО-Рл.тоГ-1]

где Та — время анализа одной ячейки, Рл.то — вероятность лож-
ной тревоги ячейке (15.43)* где нет полезного сигнала, Рпр- —
вероятность пропуска полезного сигнала [формулы (15.45) при
/пя=*1] При этом процедура поиска может закончиться правиль?
ным обнаружением с вероятностью

Р обн---

(1-Рпр) 0-Рл.т.оГ-1

1-Рпр(1-Рл.т0)т~1

(17.26)

или ложной тревогой с вероятностью

Р - ^О-Рл.тоГ"1

причем Рл.т= 1—Роби-

Допустим» что отношение сигнал-помеха на выходе

(17.27)

измери-

ло?
тельного канала достаточно высоко, так что можно положить
Рпр-^-0, Рл.то->0. При этом из формул (17.26), (17.27) имеем
А>бв — 1, Рл.т = 0, а из (17.25) Т„=тТа. Полагая m = 2N и Ta=QT,
где N — число символов в ФМ ШПС, Q — число накапливаемых
ШПС, получаем Tn=2QNTt что совпадает с временем поиска АПВ
и одноканального измерителя, найденного ранее (17.20) без уче-
та характеристик обнаружения. Если Рл.то->-1, то Тп=Тй, но веро-
ятность правильного обнаружения Л>бн = 0, т. е. поиск закончится
ложной тревогой. Если Рл.то->О, а РПр->1, то Тп-*оо из-за пропус-
ка ШПС. Поэтому при заданных вероятностных характеристиках
обнаружения РОбн и Рл.т можно найти среднее значение времени
поиска. При конечных вероятностях Рл.ю и Рпр среднее значение
времени поиска Тп будет всегда больше значения, определяемого
согласно (17.20).

При последовательном поиске с использованием последова-
тельного анализа Вальда время анализа Та не фиксируется, а оп-
ределяется достижением сигнала на выходе накопителя опреде-
ленного порога. При таком методе поиска вероятности обнаруже-
ния и ложной тревоги определяются выражениями (17.26)’,
(17.27). Среднее значение времени поиска определяется соотно-
шением [97]

ти=г.,

1-(1-Рл.т<>Е)0-Рл.т,),,,~1

Рл.то!1-Рпр (1-РЛ.то)"’~,1 ’

(17.28)

где Тао — время анализа в ячейке, где сигнала нет, | = Га|/7ао,
Tai — время анализа в ячейке, где есть сигнал. Если то
(15.28) переходит в (17.25).

Последовательно-параллельный поиск. При этом синхронизатор
содержит I каналов, каждый из которых является одноканальным
измерителем. Сначала синхронизатор анализирует I ячеек неоп-
ределенности. Если сигнал не обнаружен, то синхронизатор пере-
страивается на I следующих ячеек. Эта процедура продолжается
до тех пор, пока не произойдет обнаружение сигнала или посто-
янно будет фиксироваться ложная тревога. Число каналов в общем
случае IsgZ/^m. При /=1 имеем последовательный поиск, при
l=m — параллельный поиск. При последовательно-параллельном
поиске обычно отношение m/l является целым числом. Среднее
время поиска ШПС при последовательно-параллельном поис-
ке [97]

Та=Та-------------1 ° Рд^-°-)------------. (17.29)

|l_p__PjiTo)/j[l_pnp(l_pj]To)n*-,J

При малых вероятностях ошибок (Pnp'Cl, тРл т«<1) из (15.29)

Та m/l = 2QNT/1, (17.30)

т. е. среднее значение времени поиска уменьшается в I раз. Чем
больше каналов, тем меньше время поиска. При /=1 (последова-
тельный поиск) время поиска Tn=mTt, при l—m (параллельный
поиск) Тп=Та. Если вероятности ошибок конечны, то при 1=1
формула (17.30) переходит в (17.25), а при l=m (параллельный
поиск)

тп « Та [ 1 -Рпр (1 —Рл.т о)'"-’ 1-’. (17.31 >

При использовании последовательного анализа Вальда име-
ем [97]:

Т =Т 1~(1~Р-"то)ОТ~<(1~^(1~(1~Р^то),)1 (1732>

а0' [1-О-рл.тоИ [1-рпр(1-рл.тв)'”-11 ’

где Таог — среднее время анализа в группе из I ячеек, где сиг-
нала нет: ^ = Тап/Тао/; Тац — среднее время анализа в группе из
I ячеек, среди которых сигнал есть. При /=1 формула (17.32) пе-
реходит в формулу (17.28). При l=m и £=1 формула (17.32) пе-
реходит в формулу (17.31) при условии, что Та — среднее значе-
ние времени анализа.

Анализ времени поиска при последовательном, последователь-
но-параллельном и паоаллельном поиске показал, что при доста-
точно высоком отношении сигнал-помеха на выходе измеритель-
ного канала в первом приближении можно не учитывать вероят-
ности ошибок и для оценки времени поиска целесообразно исполь-
зовать простые формулы (17.20) и (17.30).

Многоэтапный поиск. При многоэтапном поиске процесс поис-
ка разбивают на несколько этапов. Результаты, полученные на
предыдущем этапе, используют при анализе на последующем эта-
пе. На первом этапе отмечают те ячейки, в которых произошло
превышение порога, на втором этапе — анализируют только те, в
которых ранее был превышен порог и т. д. При многоэтапном по-
иске возможно уменьшение времени поиска по следующим причи-
нам: во-первых, из-за уменьшения числа ячеек поиска на первом
этапе при увеличении размера ячейки неопределенности; во-вто-
рых, из-за уменьшения времени анализа ячейки при увеличении
вероятности ложной тревоги на первых этапах: в-третьих, анали-
зом на последующих этапах ограниченного числа ячеек, в которых
наблюдалось превышение порога на первых этапах. При ц-этап-
ном поиске вероятность правильного обнаружения [97]

Ровн=П(1-Рпр*) (17.33)

г=Г

и вероятность ложной тревоги

РЛТ=ПРЛТ/. (17.34)

<—I

где РпрРл.т i — вероятности пропуска ШПС и вероятность лож-
ной тревоги на i-м этапе. Для наиболее часто используемого дву-
этапного поиска (ц=2) среднее значение времени поиска [97]:
rr l-(l-P«.T.iP»;T2)'”+CP«.Ti{l--*

л п — 1 al Г ~-------------------------

РЛ.Т1 *\t2 {1 -~[1 --(1-Рпр 1)Х-*-

-"-(t ~РЛ.Т1 Рл.тзГ-1 Н ~рл.т 2 (1 -Рпр 1)]} (1735)

-х(1-рПР2)](1-рЛтХрЛт2)'”-1}

где Рл.т1, РЛ.Т2, Pnpi, Рпрг — вероятности ложной тревоги и пропу-
ска сигнала на первом и втором этапах; Tai — среднее значение
времени анализа на первом этапе; t,= Ta2/Tar, Таг — среднее зна-
чение времени анализа на втором этапе. При этом вероятность
правильного обнаружения ШПС на втором (окончательном) эта-
пе определяется формулой [97]

робн==__(1-РПР1)(1-РПР2)(1-Рл.т1РЛ.Т2)ОТ-1 (173б)

1_[1_(1_рпр1)(1_рпр2)Ц1_Рлт1Рлт2)т-1-

Среднее значение времени поиска (17.35) зависит от многих
параметров. Можно оптимальным образом выбрать параметры
первого и второго этапов, что позволяет, примерно, в 2 раза
уменьшить время поиска по сравнению с одноэтапным последо-
вательным поиском [97]. Увеличение числа этапов уменьшает
время поиска, но уже при ц = 4 и 5 уменьшение времени поиска
становится медленным и дальнейшее увеличение числа этапов
нецелесообразно [97].

Полихотомический поиск. Разновидностью многоэтапного . по-
иска является полихотомический поиск [96, 105]. При таком по-
иске область неопределенности делится на р частей и с помощью
специального синхронизатора определяется, в какой части нахо-
дится ячейка с полезным сигналом. Затем часть области неопреде-
ленности, в которой содержится полезный сигнал, делится . на
р,; частей й снова определяется часть, в которой содержится по-
лезный сигнал и тГ д. Эта процедура продолжается до тех ..пор,
пока не будет определена единственная ячейка, в которой содер-
жится полезный сигнал. Простейшим случаем полихотомичёского
поиска является дихотомический поиск с р = 2ъ при котором об-
ласть неопределенности делится сначала.на,две части, затем ^так-
же’на две частц и т. д. Для реализации полйхотомии необходимо
найти операцию деления' области неопределенности на р частей

Рис. 17.8. Дихотомический: обнару-
житель

й’ определить структуру обнаружителя. В[96, 105] приведена схе-
ма обнаружителя, работающего по принципу дихотомии (р = 2)
для поиска Ф.Мг ШПС с W=^2n<Ha рис. 17.8 приведена схема ди-
хотомического^ обнаружителя. Коррелятор. (:К) последовательно вы-
-чйСляет; п интегралов входного сигналам тестовыми сигналами; они*
маемых с генератора тестовых сигналов (ГТС). Смена тестовых
сигналов производится командным устройством (КУ) после окон-
чания интегрирования и принятия решения решающим устройст-
вом (РУ). Если полезный сигнал содержится в анализируемой
части, то сигнал на выходе коррелятора максимален ртах, если
полезного сигнала нет, то на выходе коррелятора сигнал будет
обладать некоторым фоновым (взаимокорреляционным) значение
ем р(т). Задача обнаружения сводится к распознаванию макси*
мального значения на некотором фоне. Параметр

л = Р<щах(I. (17.371

/ р + 1 у/2
\1И%Л )

( (и —niog JV

где i=l, п, Х=рг(т)/ргтах, называется контрастностью ШПС. Для
полихотомии найдено значение контрастности [105]:

при р, нечетном,

1/2
при р, четном.

Соответственно при р, = 2 имеем

Л < (2/log2 A)1/2 =(2/n)1/2 . (17.39)-

Известно [105], что полихотомический поиск имеет определен-
ные преимущества перед последовательным поиском: время по-
иска уменьшается в АЛ2/(р— l)loguAf раз. Для дихотомии име-
ем выигрыш 2А/п2. Вместе с тем, полихотомический поиск возмо-
жен только для специальных ШПС, построенных на основе функ-
ций Радемахера и Уолша [96, 105]. Поэтому полихотомические
методы применимы в настоящее время только для очень ограни-
ченного класса ШПС.

Беспоисковая синхронизация. Так называют такой способ вхо-
ждения в синхронизм, при котором в состав синхронизатора на
рис. 17.7 входит согласованный фильтр на весь ШПС или согла-
сованный фильтр на некоторый сегмент ШПС с последующим на-
коплением (чаще всего с некогерентным накоплением). При
этом v синхронизатор не содержит генератора опорного
ШПС с перестраиваемым временем задержки. Посколь-
ку согласованный фильтр для ШПС с большой базой является
очень сложным устройством и, кроме того, он необходим только
в процессе поиска и вхождения в синхронизм, то обычно в син-
хронизаторе (рис. 17.7) используется согласованный фильтр, рас-
считанный на обработку сегмента ШПС. Этот метод более де-
тально будет рассмотрен в следующем параграфе.

17.4. Поиск ШПС с некогерентным накоплением

Синхронизатор состоит из согласованного фильтра для сег-
мента ШПС, детектора огибающей, некогёрёнтйого накопителя и
порогового устройства (см. рис. 16.2). Положим, что база ШПС
B=FT, а база сегмента B9=FTq, тд& To—длительность сегмен-
та. Отношение

Л4=В/Вв=Т/Т0 (17.40)

определяет часть ШПС, обрабатываемую когерентно с помощью
согласованного фильтра. Число М является числом сегментов в
ШПС. Пусть отношение сигнал-помеха на входе решающего уст-
ройства информационного канала

Л2=Рс77#п = р2В, (17.41)

где отношение сигнал-помеха на входе приемника р2=Рс/Ри, а
Рс и Рп — мощности сигнала и помехи на входе. Отношение сиг-
нал-помеха на выходе согласованного фильтра (сегментного)

й2 «Рс Т0/^п == Рс T/Na М = h*/M, (17.42)

т. е. в М раз меньше, чем на выходе информационного канала.
Отношение сигнал-помеха q2H на выходе некогерентного накопите-
ля синхронизатора при большом М определяется в соответствии
с (16.28):

q^2h^Q^, (17.43)

где QH — число накапливаемых сегментов в некогерентном нако-
пителе (точнее, число накапливаемых АКФ сегментов ШПС).

Чтобы увеличение ошибки из-за рассинхронизации было не-
значительным, надо в соответствии с (15.34) иметь

<72=10й2. (17.44)

Подставляя (17.42), (17.43), в (17.44), находим требуемое
число накапливаемых сегментов:

Сн=10Л42/й2. (17.45)

Из (17.45) следует, что число накапливаемых сегментов тем боль-
ше, чем больше Af, т. е. чем меньше база сегмента. Кроме того,
число накапливаемых сегментов уменьшается с ростом отношения
сигнал-помеха й2: чем оно больше, тем больше при заданном Af отно-
шение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра Л2» в со-
ответствии с (17.42), тем меньше потери при некогерентном на-
коплении.

Заменяя в (17.45) М. согласно (17.40), имеем

QH = 10В2/й2В2. (17.46)

Время поиска (более точно, время обнаружения) ШПС

TnH=QB7’. (17.47)

Соответственно относительное время поиска ШПС при некоге-
;рентном накоплении

Сравним полученный результат со временем поиска ШПС при
последовательном поиске. Согласно (17.21) Zna^2QKB> где —
число ШПС, накапливаемых когерентно, В — база ШПС. Отно-
шение

T=ZnD/ZDH (17.49)

показывает выигрыш поиска с некогерентным накоплением по-
сравнению с последовательным поиском: чем больше у, тем боль-
ше выигрыш. Подставляя приведенные значения 2ПН (17.48) и
получаем

T = QKh2B2/5B. (17.50>

Ранее было доказано, что при когерентном накоплении доста-
точно иметь QK = 5. Поэтому

у=Ь?ВЦВ. (17.51$

Поиск ШПС с некогерентным накоплением не имеет выигрыша
по времени поиска по сравнению с последовательным поиском, ес-
ли у^1. Полагая у=1, находим граничное значение базы сегмента

В0.гр-(№)1/2. (17.52)

Например, если В = 2-104, &2=20, то Вогр»32. На рис. 17.9 приве-
дена зависимость выигрыша удБ = 10 1g у от базы сегмента Во
(прямая ФМ). Естественно, чем больше Во, тем больше выигрыш.

С уменьшением числа сегментов М, т. е. с увеличением базы
сегмента Во, отношение сигнал-помеха на выходе согласованного
фильтра Л2о (17.42) увеличивается и потери на некогерентное на-
копление уменьшаются. Постепенно с уменьшением М отношение
сигнал-помеха h20 станет больше единицы и потерь не будет. Гра-
ничным значением числа сегментов является MQ = h2. При M<MQ
Л2о>1. Поэтому при M>MQ можно полагать, что при накоплении
потерь нет. Следовательно, отношение сигнал-помеха на выходе
накопителя в соответствии с (16.1)

q2n=Q^l=2Q*Ah^2Q^h2/M, (17.53)

где Q*K — число накапливаемых сегментов. Полагая, что и в этом
случае должно выполняться условие (17.44), находим число на-
капливаемых сегментов

Q*K = 5M. (17.54)

При М=1 (согласованный фильтр обрабатывает весь ШПС)
<Э*к=5, что совпадает с (17.16). Значение Q*K=ZnH. Подставляя
его в (17.49) и учитывая, что Znn=2QKB, и полагая QK=5, нахо-
дим выигрыш во времени поиска ШПС алгоритма с некогерент-
ным накоплением (точнее, квазикогерентным накоплением, так-
же Л2>1) по сравнению с последовательным поиском

у=2В/М. (17.55)

Отметим, что формула (17.55) справедлива при M<Zh2. Соот-
ветственно формула (17.51) справедлива при M>h2. Максималь-
ное значение ушах = 2В при М=1. Если В=2-104, то утахдБ=
=46 дБ.

Как было отмечено ранее, при одном и том же числе сегментов
согласно (17.45) поиск различных ШПС при некогерентном на-
коплении сопровождается одинаковым временем поиска. Однако
для реальных ШСС ограничивающим фактором является база
ШПС В. Полагая базу ШПС B=const, уточним влияние струк-
туры ШПС на выигрыш по времени поиска. Для ФМ ШПС база
ШПС B=N, база сегмента Bo=No, где N, No — число импульсов в
ШПС и в сегменте. Поэтому согласно (17.51).

Тфм=й2МЖ (17.56)

Именно эта зависимость отображена прямой ФМ на рис. 17.9,
причем положено /г2 = 20, У=В = 2-104, N0=B0.

У дискретных частотных (ДЧ) сигналов база В=Л42, где Л1 —
число частотных каналов. При этом формула (17.45) справедлива
и выигрыш для ДЧ ШПС

ТДч=/г2. (17.57)

В свою очередь М = В0 и при В=2-104 М=141. Значение вы-
игрыша удчдБ = 13 дБ отмечено точкой на линии ФМ (см.
рис. 17.9).

У дискретных составных частотных сигналов с фазовой мани-
пуляцией (ДСЧ—ФМ ШПС) база B=NqM2, где No— база ФМ
ШПС в одном частотном канале, М — число частотных каналов.
При этом из (17.45) имеем QH=iOB/h2No. Поэтому выигрыш для
ДСЧ—ФМ ШПС

Тдсч-фм — h2N0. (17.58)

При Л/о=32, й2=20 выигрыш равен 28 дБ.
Однако этот выигрыш справедлив лишь для Полагая

й2 = 20, В = 2-104, находим, что при М = 20 длина сегмента No=
=Во=В/М2о=5О. Поэтому при У0>50 выигрыш необходимо рас-
считывать по формуле (17.55), которая для ДСЧ—ФМ ШПС при-
нимает вид

Тдсч-фм = 2]^BN0. (17.59)

Эта зависимость справедлива при Л/о>5О. На основании
(17.58), (17.59) построена кривая выигрыша, изображенная на
рис. 17.9 линией ДСЧ—ФМ. Больший выигрыш ДСЧ—ФМ по срав-
нению с ФМ объясняется тем, что при ограниченной базе ШПС
(при B = const=2-104) и одном и том же значении Во = В число
сегментов в ДСЧ—ФМ ШПС в B/No раз меньше, чем в ФМ
ШПС. Поэтому потери на некогерентное накопление при поиске
ДСЧ—ФМ ШПС меньше, чем при поиске ФМ ШПС, что и обус-
ловливает меньшее время поиска ДСЧ—ФМ ШПС. Следует так-
же отметить, что при одном и том же No согласованный фильтр
для сегмента ДСЧ—ФМ ШПС будет проще, чем согласованный
фильтр для ФМ ШПС, так как полоса пропускания фильтра для
ДСЧ—ФМ ШПС в М раз меньше полосы пропускания фильтра
для ФМ ШПС.

Наиболее простым является согласованный фильтр для сег-
мента ДЧ сигнала — в качестве его можно использовать полосо-
вой фильтр с оптимально выбранной шириной полосы пропуска-
ния.

Поскольку наибольший выигрыш по времени поиска при огра-
ниченной базе ШПС обеспечивают ДСЧ—ФМ ШПС, то их целе-
сообразно использовать в ШСС.

18. ПОИСК И СИНХРОНИЗАЦИЯ ШПС
ПО ВРЕМЕНИ И ПО ЧАСТОТЕ

18.1. Оптимальный квазикогерентный приемник
с поиском ШПС по времени и по частоте

Особенности поиска и синхронизации ШПС по времени и по
частоте были подробно рассмотрены в гл. 15. На рис. 17.1 приве-
дена упрощенная схема корреляционного приемника. Поиск ШПС
и синхронизацию по времени обеспечивает схема автоматической
подстройки времени (АПВ), а по частоте — схема фазовой авто-
подстройки частоты (ФАПЧ).

На рис. 18.1 представлена структурная схема оптимального
квазикогерентного приемника с поиском ШПС по времени и по
частоте [8, 15, 98, 99]. Он состоит из ФАПЧ, АПВ, двух перемно-
жителей (X), фазовращателя (л/2) и линии задержки (то/2).
Данный приемник является оптимальным, поскольку обеспечи-
вает оптимальные оценки времени задержки и частоты. Посколь-
ку частота и фаза сигнала на входе флюктуируют, то оценки не
остаются постоянными. Поэтому приемник, схема которого пред-
ставлена на рис. 18.1, является квазикогерентным.

Схема ФАПЧ педставляет собой замкнутый контур, состоя-
щий из фазового детектора (ФД), усилителя (>ф), фильтра
(Фф), управляющего элемента (УЭф), управляемого генератора

Рис. 18.1. Квазикогерентиый корреляционный приемник с поиском и синхрони-
зацией но времени я но частоте

(УГф). Индекс «ф» означает подстройку по фазе. С выхода управ-
ляемого генератора снимается гармоническое колебание, частота
которого совпадает с несущей частотой ШПС на входе приемни-
ка. Фаза колебания с выхода УТф опережает фазу ШПС на вхо-
де приемника на л/2. Гармоническое колебание с выхода УГф,
ироходя через фазовращатель (зт/2), поступает на вход второго
иеремножителя (X), с выхода которого снимается видеочастот-
ное колебание.

Схема АПВ, представленная на рис. 18.1, полностью совпада-
ет со схемой АПВ, изображенной на рис. 17.2. Схема АПВ пред-
ставляет собой замкнутый контур, состоящий из регистра сдвига
(PC), двух перемножителей (X), сумматора ( + ), усилителя
О,), фильтра (Фт), управляющего элемента (УЭХ), управля-
емого генератора (УГТ). Индекс «т» означает подстройку по вре-
мени. С выхода УГ, снимаются тактовые импульсы, фаза кото-
рых изменяется во времени в соответствии с управляющим на-
пряжением на выходе УЭ. Псевдослучайная последовательность
(ПСП), снимаемая с (п—1)-го каскада регистра сдвига, опережа-
ет на то/2 ПСП, содержащуюся в ШПС на входе приемника. По-
этому с выхода линии задержки (то/2) снимается ПСП, совпадаю-
щая с ПСП в ШПС. Она передается на первый перемножитель
(X), с выхода которого снимается колебание, не содержащее
ПСП. Опорная ПСП, снимаемая с выхода линии задержки (то/2),
далее поступает в информационный коррелятор.

Таким образом, АПВ и ФАПЧ связаны перекрестными связя-
ми: АПВ снимает модуляцию по ПСП и позволяет ФАПЧ рабо-
тать с более узкими спектрами; ФАПЧ, в свою очередь, постав-
ляет в АПВ квазикогерентное колебание, что позволяет АПВ ра-
ботать с видеочастотными сигналами.

Приемник, схема которого представлена на рис. 18.1, является
базовым. На его основе разработано много приемников, осущест-
вляющих прием информации при слежении за временем задерж-
ки и за частотой [8, 15, 95, 97, 98, 101, 103, 104], поскольку отли-
чия в таких приемниках определяются видом передаваемой ин-
формации (ФТ, ЧТ, АТ), типом ШПС (ФМ, ДЧ, ДСЧ—ФМ), ха-
рактером изменения времени задержки и частоты во времени,
вричем существуют когерентные и некогерентные приемники для
всех этих условий. Этим и объясняется большое многообразие
различных следящих приемников. Кроме того, следует учесть, что
и слежение по частоте может быть сделано на основе ФАПЧ
[8, 100] или на основе схемы Костаса [8]. Это еще более увеличи-
вает многообразие схем следящих приемников.

Поиск ШПС по времени и по частоте в приемнике, представ-
ленном на рис. 18.1, осуществляется аналогично тому, как это
производилось в следящем приемнике с АПВ, но уже с учетом
необходимости поиска и по частоте.

В начале сеанса связи задержка ШПС по времени и его не-
сущая частота неизвестны и поиск может осуществляться сле-
дующим образом. Пусть частота управляемого генератора УГФ
принимает минимальное значение. При этом значении частоты
схема АПВ осуществляет поиск и синхронизацию по времени.
Если сигнал на данной частоте не обнаружен, то УГФ должен соз-
дать частоту следующего частотного интервала, а затем схема
АПВ снова должна осуществлять поиск и синхронизацию ШПС
но времени и т. д. Возможны и другие процедуры поиска. Напри-
мер, схема АПВ перестраивается дискретно, а схема ФАПЧ не-
нрерывно. Это не имеет принципиального значения. Важно то,
что схемы АПВ и ФАПЧ должны пройти весь диапазон измене-
ния времени задержки ШПС и изменения его частоты.

18.2. Время поиска ШПС при когерентной обработке

Ранее была показана идентичность следящего измерителя
(АПВ) и дискретного измерителя. Поэтому для простоты рассу-
ждений примем дискретные модели изменения времени задержки
и частоты. Время синхронизации (15.48) равно сумме времени
поиска и времени вхождения в синхронизм, Но вхождение в син-
хронизм возможно только при обнаружении ШПС. Поскольку
обычно число ячеек неопределенности (15.39) велико, а ШПС со-,
держится только в одной, то временем вхождения в синхронизм
при приближенном рассмотрении вопроса можно пренебречь. Точ-
но так же в первом приближении можно пренебречь и ложными
выбросами. При таких предположениях время синхронизации рав-.
но приближенно времени поиска, которое в свою очередь равно

Тп = /иТа, (18.1)

где т — число ячеек неопределенности, Та — время анализа одной
ячейки. Время анализа одной ячейки

Ta=QT, (18.2)

a Q — число накапливаемых ШПС, связанное с шумовой полосой
Fm схемы АПВ соотношением (17.14).. Схема АПВ эквивалентна
когерентному накопителю. Поэтому, как и ранее, будем полагать,
что Q«5 (17.16).

Число интервалов неопределенности по задержке согласна
(15.35)

тв=Т/Дт, (18.3)

а интервал

Ат« 1/2F, (18.4)

где F — ширина спектра.

Число интервалов неопределенности по частоте определяется
длительностью когерентного обрабатываемого ШПС, которая
равна QT. Поэтому число интервалов неопределенности по час-
тоте равно

m^FJbf, (18.5)

а интервал

Af=l/2QT, (18.6)

где Fa— ширина доплеровского изменения частоты. Так как чис-
ло ячеек неопределенности в соответствии с (15.39) т=тйтч, то.
подставляя в это выражение (18.3) — (18.5), имеем

m=4QBaB, (18.7>

где

ВД=ГДТ, B = FT. (18.8)

Соответственно из (18.1), (18.2), (18.7) находим относитель-
ное время поиска

Zn =7^/7= 4ф2ВдВ. (18.9)

При Q=5 получаем

Zn=100B„S. (18.10)
Например, если Г=1 мс, Ffl=10 кГц, В=2-104, то Zn = 2-107,
а абсолютное время поиска Гп=2-104 с «5,55 ч. Данный при-
мер показывает, что необходимо уменьшать диапазон доплеров-
ских частот, а также использовать схемы ускоренного поиска
ШПС. Одна из таких схем будет рассмотрена в следующем пара-
графе.

18.3. Время поиска ШПС при некогерентном накоплении

Оно определено в работе [108]. В качестве примера рассмот-
рим ДСЧ—ФМ сигнал, который, как было показано ранее, при
прочих равных условиях обеспечивает меньшее время поиска.

На рис. 18.2 изображена частотно-временная плоскость (f, /),
на которой условно показано распределение энергии ДСЧ—ФМ
сигнала. Ширина спектра ДСЧ—ФМ сигнала равна F, его дли-
тельность Т, смещение его несущей частоты f'o относительно опор-
ной частоты fo равно df=f'o—fo. Смещение первого сигнала во

Рис. 18.2. Частотно-временная плоскость с ДСЧ—ФМ сигналом

времени относительно начала координат равно АЛ База ДСЧ-
ФМ сигнала равна B=FT. Допустим, что ДСЧ—ФМ сигнал со-
стоит из М элементов, смещенных друг относительно друга как
по времени, так и по частоте. Элементы ДСЧ—ФМ сигнала явля-
ются ФМ сигналами. На рис. 18.2 они заштрихованы. ФМ сигна-
лы имеют длительность Tq = T!M и ширину спектра Fo = F/M, т. е.
база одного ФМ сигнала (элемента) равна Bq = FqTq=:B/M2. На
рис. 18.2 ширина диапазона изменения несущей частоты обозна-
чена через На рис 18.2 FjF>F, но это условие не является
обязательным.

Задача системы поиска ШПС в общем случае сводится, во-
первых, к измерению смещения несущей частоты б/, и во-вторых,
к измерению временного запаздывания Д£ или At+kT, где k —
целое число. Измеренное значение смещения несущей частоты
используется затем для подстройки частоты, а измеренное значе-
ние временного запаздывания — для синхронизации по времени.

Процесс поиска ШПС по времени и по частоте можно пред-
ставить следующим образом. Допустим, что приемник настроен
на некоторую частоту и известно, что ШПС имеется на выходе
приемника с неизвестной частотой. Согласованный фильтр (СФ)
на рис. 18.3 осуществляет обработку ШПС, а накопитель (Н),
расположенный после детектора (Д) осуществляет некогерентное
накопление. Если несущая частота ШПС не совпадает с частотой

Рис. 18.3. Приемник с некогерентным накопителем

Рис. 18.4. Приемник с некогерентным накопителем для приема ДСЧ—ФМ сиг-
нала

настройки приемника, то на выходе когерентного накопителя по-
роговый уровень не будет превышен с вероятностью, близкой к
единице. Поэтому по истечении заданного времени приемник не-
обходимо перестроить на другую частоту и снова осуществить
обработку и накопление ШПС. Этот процесс необходимо продол-
жать до тех пор, пока ШПС не будет обнаружен. При этом бу-
дут измерены его несущая частота и временная задержка. По*
добный метод поиска ШПС требует определения интервала пере-
стройки частоты приемника, который зависит от ширины цент-
рального пика функции неопределенности ШПС по частоте, об-
ратно пропорциональной длительности когерентно обрабатывае-
мого ШПС или его части. Если когерентно обрабатывается весь
ШПС (схема рис. 18.3), то интервал перестройки частоты следу-
ет взять равным \12Т. Соответственно число частотных каналов

m4=2F„T. (18.11)

В отличие от схемы рис. 18.3, осуществляющей полную когерен-
тную обработку ШПС и некогерентное накопление, схема, изо-
браженная на рис. 18.4, осуществляет частичную когерентную
обработку каждого ДСЧ—ФМ сигнала с помощью элементного
согласованного фильтра (СФт), т=1, Л4. На рис. 18.4 изображен
один из М каналов, состоящий из полосового (ПФт) и согласо-
ванного (СФт) фильтров, детектора (Д), линии задержки (тт).
Напряжения с выходов всех каналов суммируются, а затем по-
ступают на некогерентный накопитель (Н). Отличие схемы рис.
18.4. от рис. 18.3 сводится к тому, что изготовить М согласован-
ных фильтров с базой В0 = В/Л42 проще, чем один согласованный
фильтр с базой В. Вместе с тем отношение сигнал-помеха на вы-
ходе согласованного фильтра СФ на рис. 18.3 в М раз больше, чем
на выходе элементного согласованного фильтра на рис. 18.4. По-
этому некогерентное накопление в схеме рис. 18.4 будет осуществ-
литься со значительными потерями по сравнению с накоплением
в схеме рис. 18.3. С другой стороны, в схеме рис. 18.4 когерентно
обрабатывается только элемент ДСЧ—ФМ сигнала, длительность
которого То- Поэтому интервал перестройки приемника по часто-
те равен 1/2 То и число частотных каналов

/тгч = 2ТдТ0=2ТдТ/М. (18.12)

т. е. в М раз меньше, чем при полной когерентной обработке ДСЧ —
ФМ сигнала. Таким образом, в схеме с частичной когерентной об-
работкой ШПС время поиска, с одной стороны, должно увеличи-
ваться из-за потерь при некогерентном накоплении, а с другой, —
должно уменьшаться из-за уменьшения числа частотных каналов.
Именно поэтому и возникает вопрос об определении параметров
схемы с частичной когерентной обработкой ШПС, причем интерес
представляет только определение числа элементов сигнала (или
каналов приемника) М, поскольку величина базы ШПС В обычно
задана из общих технических требований к ШСС.

В общем случае максимальное время поиска равно произведе-
нию времени анализа в одном частотном канале Та на число час-
тотных каналов тч, т. е.

7n=/n4Ta=/n,Q7’, (18.13)

где Q — число накапливаемых ШПС. Относительное время поис-
ка (максимальное значение)

Zn=r„/T=m4Q. (18.14)

Следует заметить, что схема с частичной когерентной обра-
боткой ШПС (рис. 18.4) имеет много различных модификаций.
Она существенно проще схемы с полной когерентной обработкой
(рис. 18.3). Именно поэтому исследование характеристик схемы
с частичной когерентной обработкой имеет большое практичес-
кое значение. Ошибки в измерении частоты и времени запаздыва-
ния в процессе поиска, а затем в процессе приема приводят к
увеличению вероятности ошибки.

Сигналы на входе некогерентных накопителей в схемах рис.
18.3 и рис. 18.4 имеют различную форму (имеется в виду цент-
ральный пик функции неопределенности), но это не сказывается
на средней вероятности ошибки. Согласно (15.34), средняя веро-
ятность ошибки в случае рассматриваемых ШПС определяется
одной и той же формулой, а именно

Рош ср « Рош (1 + ЗЛ2/2<?2), (18.15)

где h2 = PcTINn — отношение сигнал-помеха на выходе информа-
ционного канала согласованного фильтра (см. рис. 18.3) или на
выходе сумматора (см. рис. 18.4), а <?2И— отношение сигнал-поме-
ха на выходе накопителя, Рош — вероятность ошибки при точных
значениях частоты и времени. Для того, чтобы вероятность ошиб-
ки была мала, достаточно иметь ^2Н=ЮЛ2 (17.15).

11—Ш 521
Таким образом, если отношение сигнал-помеха на выходе на-
кМителя существенно больше отношения сигнал-помеха на выходе
информационного канала, то средняя вероятность ошибки практи-
чески не зависит от ошибки измерения частоты и времени и не за-
висит также от формы центрального пика функции неопределен-
ности рассматриваемых сигналов и от схем их обработки.

Отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра
(рис. 18.3) при приеме двух ортогональных сигналов

h2 = ~B, h*=p*B, (18.16)

Рп

где р2=Рс1РП— отношение сигнал-помеха на входе. Отношение
сигнал-помеха на выходе элементного согласованного фильтра
(рис. 18.4)

й2 = й2/М, (18.17)

т. е. в М раз меньше, чем отношение сигнал-помеха на выходе
фильтра при полной когерентной обработке ШПС.

Для приема информации с малой вероятностью ошибки (РОш<
<10~4) необходимо иметь отношение сигнал-помеха на выходе со-
гласованного фильтра (см. рис. 18.3) й2^>1. Обычно й2«20. По-
этому дальнейшее некогерентное накопление в схеме, изображен-
ной на рис. 18.3, осуществляется практически без потерь. В ре-
зультате отношение сигнал-помеха на выходе накопителя после
приема Q ШПС

£=2Qh*. (18.18)

Подставляя (18.11) и (18.18) в (18.14), находим относитель-
ное время поиска при полной когерентной обработке

Z^F/Tq^. (18.19)

В правой части (18.19) все параметры являются заданными.
Поэтому Zhk может служить основой для сравнения последующих
результатов.

Определим время поиска при частичной когерентной обработ-
ке ШПС и некогерентном накоплении. Сначала рассмотрим слу-
чай, когда число элементов в ДСЧ—ФМ сигнале мало, т. е.
М<10. В этом случае отношение сигнал-помеха й2о на выходе
элементного фильтра больше единицы и потери на некогерент-
ность при накоплении малы, и поэтому для отношения сигнал-по-
меха на выходе накопителя приближенно можно считать справед-
ливым равенством (18.18). Подставляя (18.12), (18.18) в (18.14),
получаем относительное время поиска при частичной когерентно-
сти и малом М в следующем виде:

2ЧК = Fr Tq^/Mh* = Zm/M. (18.20)

Из сравнения (18.19), (18.20) замечаем, что переход к час-
тичной когерентной обработке привел к улучшению характеристи-
ки системы поиска, поскольку время поиска в М раз меньше. Это
объясняется тем, что число частотных каналов уменьшилось в
М раз, а потери из-за некогерентности накопления малы, так как
мало М, При 10 потерями на некогерентность накопления
пренебрегать нельзя. Отношение сигнал-помеха на выходе нако-
пителя согласно (17.43) с учетом потерь в этом случае

(I8.21)

Поэтому при большом М согласно (18.17) Л2о^1 и потери

Л2о/2<^1. Из (18.21), после преобразований находим требуемое
число накапливаемых ШПС:

Q=92/M/i40 = A4^/M. (18.22)

Подставляя (18.12), (18.22) в (18.14) и используя (18.19), полу-
чаем относительное время поиска при частичной когерентности и
большом М в следующем виде:

Zm=2FnT<&h'=2Zm/h*.

(18.23)

Как видно из (18.23), и при большом М частичная когерент-
ная обработка имеет преимущество перед полной когерентной об-
работкой, так как время поиска меньше в 2/h2 раз. Например,
если Л2 = 20, то выигрыш во времени поиска составляет 10 раз.
Вместе с тем из (18.23) следует, что при большом М правая
часть (18.23) от М не зависит. Это произошло потому, что с рос-
том М уменьшается число частотных каналов согласно (18.12), но
растут потери и число накапливаемых импульсов согласно
(18.22).

Рис. 18.5. Выигрыш по времени по-
иска при частично когерентной обра-
ботке ДСЧ—ФМ—ШПС с некоге-
рентным накоплением

На рис. 18.5 приведена зависимость относительного времени
поиска ШПС Z4K/ZnK от числа элементов М, объединяющая ре-
зультаты (18.20), (18.23). График имеет качественный характер
и соответствует значению Я2=20. При 1^Л1<10 время поиска
уменьшается по гиперболе (18.20), при Л4>10 время поиска от
М не зависит согласно (18.23).

19. СИНХРОНИЗАЦИЯ СТАРТСТОПНЫХ
ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИСТЕМ связи

19.1. Стартстопные асинхронные адресные ШСС

Необходимость передачи информации на борт летательных аппаратов с
одновременным измерением их координат привела к развитию стартстопных асин-
хронных адресных систем передачи информации (ССААС). В таких системах
11* 323
для разделения абонентов и для передачи информации используются шумопо-
добные сигналы (ШПС) Примером подобных систем служит система ДМЕ
[109], в которой ШПС используются в качестве адресного синхросигнала, ад-
ресных командных и информационных сигналов. Система ДМЕ позволяет осу-
ществлять управление сотней летательных аппаратов, поэтому количество пере-
даваемой информации значительно, что приводит к увеличению базы ШПС.
Аналогичная задача решается в работе [11].

Базу ШПС можно увеличивать расширением спектра сигнала или увеличе-
нием длительности. Однако спектр сигнала ограничен возможностями устройств
формирования и обработки, а его длительность — скоростью передачи информа-
ции. В ССААС ограничены и ширина спектра, определяемая допустимой шири-
ной полосы пропускания радиоканала, и длительность сигнала, так как на пе-
редачу информации (синхросигнала, командных и информационных сигналов)
каждому абоненту отводится определенное время. При наличии таких ограни-
чений является актуальной задача оптимизации параметров ССААС, которая
сводится к оптимальному выбору длительности синхросигнала, командных и
информационных сигналов при заданном количестве передаваемой информации.
Действительно, при увеличении длительности синхросигнала увеличивается веро-
ятность правильного вхождения в синхронизм, но уменьшается вероятность пра-
вильного приема информации из-за уменьшения длительности командных н
информационных сигналов. Таким образом, в такой задаче существуют опти-
мальные значения длительностей синхросигналов, командных и информационных
сигналов. Определение их приведено в работе [111].

Структура сообщения, передаваемого произвольному абоненту, приведена
на рис. 19.1. Сообщение состоит из синхросигнала длительностью Ts, за кото-
рым следуют командные и информационные сигналы. Последние состоят из т

командные и информа-

Синхросигнал ционные сигналы

Рис. 19.1. Структура сигнала в старт
стопной ШСС

символов одинаковой длительности Tm — Tiln. Каждый символ является ортого-
нальным /п-ичным символом и принадлежит к алфавиту объемом т. Общий
объем информации, передаваемой в течение сообщения,

1 — п log2m = n k дв. ед., (19.1)

где 6=Hog2m— количество информации в одном символе. При оптимизации па-
раметров будем полагать, что 7=const. Если ширина спектра ШПС, перенося-
щих инхросигнал, командные и информационные сигналы, одинакова и равна F,
то база синхросигнала Bs^FTs, а база командных и информационных сигна-
лов Bm=FTm.

Система работает следующим образом. На выходе согласованного с синхро-
сигналом фильтра (СФ) установлено решающее устройство, имеющее порог Vo.
Если максимальную амплитуду напряжения на выходе СФ обозначить через
tq относительный порог 6=Vo/VTO.

При превышении напряжением с выхода СФ порога включается устройство
распознавания и обработки п командных и информационных символов, пред-
назначенных для данного адреса.

Так как длительность центрального пика автокорреляционной функции
(АКФ) синхросигнала конечна, то можно принять дискретную модель измене-
ния задержки. Число дискретных значений задержки определяется отношением
интервала наблюдения Тн к половине ширины центрального пика АКФ, равно-
го 1/F(F—ширина спектра сигнала) и будет равна M=2THF.

Пусть решающее устройство производит обнаружение синхросигнала с из-
мерением неизвестной задержки. В этом случае вероятность правильного об-
наружения синхросигнала согласно (15.45)

2*+<7$ / z* \Л1—1

РправЗ= Тге 2 Zo(z<7s)V—е 2) dz. (19.2)

В этом выражении отношение сигнал-помеха
=2Р с Т5/Уп,

(19.3)

где Рс — мощность сигнала, Уп — спектральная плотность мощности нормаль-
ной флюктуационной помехи. Если помеха сосредоточенная, то JVnePn/P, где
Рп — мощность помехи.

Вероятность ложной тревоги можно определить из выражения (15.41):

Рл.т=1-(1-Рл.тоЛ

(19.4)

где РЛто — вероятность ложной тревоги при произвольном дискретном значении
задержки. Причем согласно (15.43):

_ г» Ь* «j

Рлто= Jze 2<fe = e ~ (19.5)

Наконец, вероятность правильного распознавания п информационных орто-
гональных сигналов алфавита т при некогерентном приеме

Рправ п —

оо 2>+9"1 f

f ze 2 /0(?mz)\l—e ) dz

-я

(19.6)

При этом отношение сигнал-помеха

^, = 2PcT,ft/Nn> (19.7)

где Tz — Tmlk — длительность эквивалентного двоичного сигнала.

19.2. Вероятность ошибки

Вероятность правильного приема информации можно найти из выражения:

Рправ = Рправ $• Рправ п» (19.8)

где Рправ s и Рправ п определяются из (19.2) и (19.6).

Обозначим плотность вероятности

_ х*+у*

»(*. У) = *е 2 7,(х. у),
а весовую функцию

Ф(Х, L) = [1—ехр (—x2/2)]L—1,

где для интеграла (19.2) y—qst x—zt L=M\ x=bqs, L=M для равенства (19.4);
y=qm, x—z, L—m для интеграла (19.6); /о — модифицированная функция Бес-
селя первого рода нулевого порядка.

С учетом таких обозначений (19.2), (19.4) и (19.6) будут иметь вид соот-
ветственно:

ОО

Рправ$= Jw(z. fc)<p(z. Л4)&, Рлт«1 — 4>(bqs, М),
bqS

(19.9), (19.10)

(19.11)

Рправ п —

ОО

Функция ш(х, у) есть плотность вероятности, распределенная по закону Ре-
лея— Рейса. Чем больше у, тем ближе w(x, у) к нормальному закону. Макси-
мум w(x, у) в этом случае имеет место при х* = г/.

По своей форме весовая функция <р(х, L) близка к единичному скачку. С
ростом L «скачок» смещается в сторону больших х, а его крутизна в цент-
ральной части растет. Крутизна весовой функции максимальна при х0==
=l/21n(L—1), что следует из уравнения <р"(х» ^)=0. При изменении отноше-
ния сигнал-помеха х плотность вероятности w(x, у) перемещается по оси г.
Если х*^>х0, то при этом весовая функция <р(х, L) в окрестности х—х* слабо
зависит от х. Для (19.2) это условие означает:

9s»V21n(Al—1)/Ь.

(19.12)

Тогда вероятность правильного обнаружения синхросигнала

Рправ5 = Jw(2’ ?в)*Р(г> Al)dz«<p(9si М)Х
bqS

/ 2\Л<—1

“ ( “—I

X Jw(z, <js) dz « <p(?s, M) — ’ 1—e 2/ (19.13)

bqS

Здесь имеется в виду, что интеграл от w(x, q8) примерно равен единице.
Строго говоря, вычисление Рправ s должно производиться при фиксированном
значении Рл.т (19.4).

При увеличении М для сохранения постоянного значения необходимо уве-
личивать относительный порог 6, что приводит к изменению Рправ s. Однако
если значения qs удовлетворяют условию (19.12), то изменением Рправ s можно
пренебречь и считать эту величину постоянной. Этот случай и рассматривается
в дальнейшем.

Для выражения (19.6) условие х*>х0 означает:

Ят» V2 In (т—1).

(19.14)

Тогда вероятность правильного распознавания информационных сигналов
> In

w(z, <7m)<p(z, m)dz\

Рправ п —

<P<P(<7m. m)°jw(z, qm)dz at
0

/ «mV

«фЛ(<7т» /п) = \1—e 2 ' (19.15)

Подставляя (19.13) и (19.15) в (19.8), получим:

PnpaB«[l^xp(-<72s/2)]"-4(l-exp(-<72m/2)]^’n-1).

При достаточно больших qs и qm можно получить

-9$/2

Рправ1 —(Al-l)e -n(m—1)ехр(—?2т/2).

Тогда вероятность ошибки

Рош = 1 —Рправ «(ЛГ — 1) ехр (—9|/ 2) + л (т— 1) ехр ( —^/2 ). (19.16)

Перейдем к минимизации (19.16).

19.3. Минимизация вероятности ошибки
при заданном количестве информации

Оптимальное соотношение между длительностями синхросигнала, командных
и информационных сигналов находится при ограничивающем условии:

TS + Г» nk = T — const. (19.17)

Обозначим относительную длительность синхросигнала через 6(0^6^ 1).
Тогда

TS = 8T. (19.18)

Подставляя (19.‘18) в (19.17) и решая относительно Т2, получаем:

Т, = (Т—Ts)/nk. (19.19)

Из (19.3) и (19.7), используя (19.18) и (19.19), находим qzs и qzm:

<73=6^, <72т=('1-б)<72/л, (19.20), (19.21)

где q*=2PcTINv — отношение сигнал-помеха, соответствующее сигналу в целом.

Подставляя найденное из (19.1) значение m=2I/n, q2s и q2m согласно
(19.20) и (19.21) в (19.26), получим выражение Рот при заданном количестве
передаваемой информации /:

(/ \

2 — 1 I ехр

(19.22)

Обозначив а=ехр(—<?2/2), из (19.22) найдем

/ / \ 1-6

Рош~(М— 1)аб + л \2П — 1/а " . (19.23)

Определим оптимальное значение 6, при котором имеет место минимум
Рош. Для этого, приравняв производную dPom/dd нулю и решив относительно 6,
получаем оптимальное значение относительной длительности синхросигнала:

1—6 q2 \
п ‘ 2 )'
п 2

б°Р‘ ~п+1‘ ?2 П

[М — 1 1 1

2z/n—1 +п+Г

(19.24)

На основании (19.22) и (19.24) итерационным методом были рассчитаны
зависимости 60Pt и требуемого значения q от /, М и п при фиксированном зна-
чении Рош = Ю"4. Эти зависимости представлены на рис; 19.2, 19.3*. Как видно
из рис. 19.2, 6opt с ростом I уменьшается, a q необходимо увеличивать для под-
держания постоянной величины Рош==Ю“4, причем в пределах от 1 до 32
дв. ед. изменение q незначительно. Из рис. 19.3 следует, что 60Pt уменьшается
с ростом n, a q необходимо так же увеличивать, как и в случае рис. 19.22.

Как показывают расчеты [111], отклонение относительной длительности син-

Рис. 19.2. Зависимость 60Pt и q от I при фиксированных Л1, п и РОш=Ю“4

Рис. 19.3. Зависимость 60Pt и q от п при фиксированных М, I и РОш = 10"4

хросигнала от оптимальной величины приводит к
существенным энергетическим потерям.

На рис. 19.4 представлены зависимости Рош
(19.22) и Рл.т (19.4) и (19.5) от q при d = 60pt и
различных л, I. Как видно из рисунка, энер-
гетические потери в случае п=1 при увеличении
количества передаваемой информации невелики.
Это можно объяснить тем, что при фиксированном
значении п=1 ухудшение помехоустойчивости,
связанное с увеличением количества информации,
компенсируется уменьшением вероятности ошибки
при увеличении алфавита сигналов /л, имеющим

Рис. 19.4. Зависимость РОш и Рлт от q, 1 и п
при 2И=2048

место в этом случае. Если же количество информации увеличивать при неизмен-
ном алфавите сигналов, например при k—2t то можно наблюдать существенные
энергетические потери. Значительные энергетические потери имеют место также
при увеличении п (уменьшении т) и фиксированном значении количества пере-
даваемой информации I.

Графики рассчитаны Е. А. Рябовым.
РАЗДЕЛ IV.

ФОРМИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ШПС

20. ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ ШПС

20.1. Основные требования к ШИС
и устройствам формирования и обработки

Характеристики широкополосных систем связи определяются, с
одной стороны, тактико-техническими требованиями (скорость пе-
редачи информации, помехоустойчивость, дальность действия и
т. п.), а с другой,— применяемыми ШПС. Характеристики ШПС
во многом обусловливают характеристики ШСС. Основными ха-
рактеристиками ШПС являются: объем системы ШПС и база
ШПС; структурные свойства ШПС (вид элементов и их распо-
ложение на частотно-временной плоскости); корреляционные
свойства ШПС (ВКФ и АКФ, их характеристики); возможность
быстрой смены ШПС; простота устройств формирования и обра-
ботки, малые габариты и масса.

База ШПС определяется требованиями к помехоустойчивости
ШСС при воздействии шумовых и структурных помех. Чем больше
база, тем выше помехоустойчивость. Объем системы ШПС зависит
как от числа абонентов в ШСС, так и от необходимости обеспече-
ния защиты от несанкционированного доступа к информации. Чем
больше объем системы ШПС, тем больше может быть абонентов в
ШСС, тем выше ее защита от несанкционированного доступа при
условии быстрой смены ШПС по программе. Структурные и кор-
реляционные свойства ШПС взаимосвязаны. Основное требование
к ним — при хороших корреляционных свойствах необходимо обес-
печивать относительно простые методы формирования и обработки.

В соответствии с такими требованиями к ШПС к устройствам
формирования и обработки предъявляют следующие основные тре-
бования: относительная простота формирования и обработки ШПС
с базами 103... 106; быстрая перестройка передающего и приемного
оборудования на любой сигнал из используемой системы сигналов
объемом 103... 10’°; малые потери при формировании и обработке
ШПС, так как из-за потери необходимо еще более увеличивать ба-
зу ШПС и расширять полосу частот.

В ШПС могут применяться фазоманипулированные сигналы,
дискретные частотные сигналы, дискретные составные частотные
сигналы с фазовой манипуляцией. Возможность применения тех
или иных ШПС обусловливается требуемой базой ШПС, объемом
системы ШПС, методами и устройствами обработки, назначением
ШСС, массой и габаритами, отводимыми для устройств формиро-
вания и обработки. Несмотря на множество требований, иногда
взаимно противоречивых, конструктор ШСС должен выбрать един-
ственно возможный тип ШПС и наилучшие (для конкретной ШСС)
методы и устройства формирования и обработки. Заранее невоз-
можно высказать рекомендации по выбору ШПС и методов их фор-
мирования и обработки, так же как и невозможно в настоящее
время в ограниченных объемах привести все известные методы и
устройства формирования и обработки ШПС. Поэтому среди раз-
личных методов и устройств формирования и обработки, которые
нашли отражение в книгах, обзорах (см., например, [5—9, 12, 13,
15, 16, 59, 61, 73, 95, 98, 99, 112—137]), а также в многочисленных
статьях, в дальнейшем будут рассмотрены только те, которые по-
зволяют осуществлять быструю смену ШПС и являются относи-
тельно простыми.

Применение ШПС усложняет аппаратуру формирования и обра-
ботки. Чем больше база ШПС, тем сложнее изготовить такую ап-
паратуру. Однако такие сигналы, как было показано ранее, имеют
неоспоримые преимущества перед простыми. Поэтому несмотря на
возрастающую аппаратурную сложность, они находят применение
в современных ШСС и будут применяться в системах будущего.
Следовательно, проблема разработки простых методов формирова-
ния и обработки систем сложных сигналов весьма актуальна. Ее
решение зависит как от нахождения таких методов, так и от ши-
рокого применения цифровых и аналоговых интегральных микро-
схем. Достижения микроэлектроники, развитие цифровых методов
обработки сигналов, опыт проектирования ШСС со сложными сиг-
налами и с применением интегральных микросхем позволяют ут-
верждать, что эта проблема разрешима.

20.2. Пассивные и активные фильтры
для оптимального приема ШПС

Известно, что оптимальный приемник при воздействии на его
вход суммы x(t) =u(t) +n(t) известного сигнала u(t) и нормально-
го белого шума n(t) должен вычислять значение корреляционного
интеграла. Это значение вычисляется коррелятором или согласо-
ванным фильтром. Импульсная характеристика согласованного
фильтра (2.11) h(t) =kou(T—t), где k0 — постоянная величина, Т —
длительность ШПС, совпадает с зеркально отраженным сигналом.
Если ШПС и (0 имеет спектр §(&), то коэффициент передачи со-
*

гласованного фильтра (2.12) £(со) =&og(©)exp(—koT), где * —
знак комплексной сопряженности. Коэффициент передачи <k(со) яв-
ляется комплексно-сопряженным к спектру ШПС. Согласованный
фильтр (см. рис. 2.6) является фильтром с постоянными парамет-
рами в том смысле, что его параметры во времени не изменяются.
(Старение элементов фильтра со временем в теории и технике оп-
тимального приема не рассматривается.) Такие фильтры называ-
ются также пассивными фильтрами.

Напряжение на выходе согласованного фильтра с импульсной
характеристикой h(t) в соответствии с интегралом свертки в мо-
мент t*

v (/*) = kQ рс(/) и (t—t* + T) dt. (20.1)

Интеграл (20.1) является корреляционным и в отсутствие шу-
ма v(t*) совпадает по форме с автокорреляционной функцией
(АКФ) ШПС. В момент окончания ШПС при t* — T

v0=v(T) = kjx(t)u(t) dt. (20.2)

Коррелятор (рис. 2.5) состоит из перемножителя (X), генера-
тора опорного ЩПС (Г) и интегратора ( $ ). На выходе перемно-
жителя напряжение равно произведению kox(t)u(t), где ko — по-
стоянная. На выходе коррелятора (на выходе интегратора) в мо-
мент окончания ШПС напряжение

»о = ^о \x(t)u(t)dt. (20.3)

Таким образом и согласованный фильтр, и коррелятор в мо-
мент окончания ШПС имеют на своих выходах одно и то же на-
пряжение, причем в этот момент отношение сигнал-шум на выходе
обоих устройств максимально. Это обусловливает их эквивалент-
ность с точки зрения оптимального приема ШПС.

В отличие от согласованного фильтра параметры коррелятора
изменяются во времени, так как режим работы перемножителя оп-
ределяется опорным ШПС u(t), а режим работы интегратора — на-
чалом (в момент t=0) и окончанием (в момент t=T) интегрирова-
ния. Поэтому коррелятор является фильтром с переменными па-1
раметрами. Такие фильтры называются также активными фильтра-
ми.

Согласованный фильтр или коррелятор является устройством
фильтрации (выделения) сигнала из шумов и помех. Для выделе-
ния информации необходимо в момент окончания сигнала прини-
мать решение, какой информационный символ был послан. Для
этого напряжение с выхода согласованного фильтра (или с выхо-
да коррелятора) подается на решающее устройство, которое с час-
тотой, равной скорости передачи информации, производит отсчет
в моменты окончания сигналов и принимает решения. Поэтому в
системе связи при любом оптимальном фильтре (согласованном
фильтре или корреляторе) необходимо иметь информацию о за-
держке ШПС. Измерение задержки и ввод ее значения в опти-
мальный фильтр осуществляется синхронизатором. В подвижных
системах связи необходимо иметь также информацию о доплеров-
ском сдвиге частоты, что также обеспечивается синхронизатором.
Кроме того, в процессе приема задержка и частота ШПС могут
флюктуировать. Поэтому необходимо обеспечивать слежение за
этими параметрами в процессе приема. Приемник, в котором про-
изводится измерение параметров ШПС и использование измерен-

ных значений при выделении информации, называется квазиопти-

Рис. 20.1. Квазиоптималь-
ный приемник

мальным. На рис. 20.1 приведена схема
квазиоптимального приемника. Он состо-
ит из оптимального фильтра (ОФ), син-
хронизатора (С) и решающего устройст-
ва (РУ): в качестве ОФ используется ли-
бо согласованный фильтр, либо корреля-
тор (или набор согласованных фильтров
или набор корреляторов); С измеряет па-
раметры ШПС (время задержки т, доп-
леровскую частоту Q) и вводит измерен-
ные параметры (т*, Q*) в оптимальный

фильтр и в решающее устройство; РУ выдает решение о том, какой
информационный символ был передан.

Общие принципы измерения времени задержки и частоты были
приведены в третьем разделе. При измерении времени задержки в
ШСС имеют место следующие особенности. Во-первых, при переда-
че информации сигналы следуют непрерывно друг за другом в те-
чение длительного интервала времени. В результате при измерении

времени задержки по последовательности сигналов, переносящих
информацию в СПИ, необходимо учитывать влияние боковых пи-
ков АКФ и ВКФ на характеристики измерения времени задержки.
Во-вторых, при передаче информации на вход приемника поступает
случайная последовательность сигналов, образующих алфавит ис-
точника. Так как сигналы, переносящие информацию, следуют не-

прерывно друг за другом с периодом, равным длительности сигна-
лов Т, то сумма откликов всех согласованных фильтров будет со-
держать центральные пики АКФ всех сигналов, следующих с тем
же периодом Т. Поэтому для измерения времени задержки необхо-
димо объединять (суммировать) отклики всех согласованных
фильтров. При этом в промежутках между центральными пиками
соседних АКФ будут суммироваться боковые пики АКФ и ВКФ на
выходах всех согласованных фильтров, что увеличивает время из-
мерения задержки.

При корреляционном методе приема квазиоптимальный прием-
ник должен иметь устройство поиска сигналов по времени задерж-
ки. В соответствии с принятым алгоритмом приемник перестраива-
ет генераторы опорных сигналов, чтобы задержка опорных сигна-
лов совпала с задержкой принимаемых сигналов. Необходимость в
блоке поиска определяется неинвариантностью корреляторов от-
носительно времени задержки.

Отметим, что, используя основные положения теории измерения
параметров сигналов и теории передачи сообщений, можно соста-
вить схемы квазиоптимальных приемников как когерентного, так и
некогерентного методов приема сигналов. Однако при этом остает-
ся неясным, насколько оптимален в целом весь квазиоптимальный
приемник. Это особенно важно знать при совместном измерении не-
скольких параметров по принятому сообщению, например, задерж-
ки и доплеровского сдвига по частоте. Для решения поставленно-
го вопроса необходимо использовать методы статистической радио-
техники с учетом характера изменения передаваемых сообщений и
измеряемых параметров. Поскольку измеряемые параметры входят
нелинейно в принятые сигналы, то теория приема сигналов в этих
условиях получила название теории нелинейной фильтрации. Имен-
но эта теория позволяет определить структуру квазиоптимального
приемника при измерении нескольких случайных параметров, ха-
рактер изменения которых определяется некоторыми стохастиче-
скими дифференциальными уравнениями. Наибольшее значение она
имеет при определении структуры квазиоптимального приемника
для приема сигналов с неизвестным временем задержки и неизвест-
ным доплеровским сдвигом по частоте. При этом квазиоптималь-
ный приемник (см. рис. 20.1) содержит синхронизатор, который
обеспечивает поиск ШПС и измерение его параметров. Теория не-
линейной фильтрации и методы синтеза кваэиоптимальных прием-
ников ШСС изложены в ряде книг (см., например, [73, 75, 103,
104] и др.).

Независимо от сложности в любом случае квазиоптимальный
приемник содержит согласованный фильтр или коррелятор, или их
комбинации. И согласованный фильтр, и коррелятор в соответст-
вии с (20.1), (20.3) являются линейными устройствами. По этой
причине согласованные фильтры иногда называют линейными со-
гласованными фильтрами, чтобы отличить их от дискретных согла-
сованных фильтров, которые также будут рассмотрены в дальней-
шем.

20.3. Основы формирования ШПС

Формирователи ШПС с большими базами (В^>1), где база
(1.1), являются активными устройствами, т. е. генераторами ШПС.
На рис. 20.2 изображена в общем виде схема формирователя оди-
ночного ШПС. Он состоит из генератора тактовых импульсов
(ГТИ) и генератора ШПС (ГШПС), ГТИ запускает ГШПС так-
товыми импульсами с частотой fT=l/T. Основная проблема, воз-
никающая при создании генераторов ШПС — максимальное умень-
шение памяти, которое необходимо для формирования ШПС. Мак-
симальная память равна базе ШПС.

Некоторые ШПС, основанные на рекуррентных методах фор-
мирования (например, ^-последовательности и подобные им псев-

гти

ГШПС

Выход

u(t)

j—----1 выход Ui(t)

АФШПС-----у_

Рис. 20.2. Формирователь
ШПС

Рис. 20.3. Автомат-формирова-
тель ШПС
дослучайные последовательности), позволяют формировать ШПС
с помощью устройств, память которых Br=log2B. Например, при
В =1024 достаточно иметь регистр сдвига с числом разрядов (па-
мятью) Вг=Ю. К сожалению, в настоящее время известно малое
число последовательностей, которые позволяют иметь формирова-
тели с памятью, близкой к значению Вг, и обладают хорошими кор-
реляционными свойствами.

Еще более остро эта проблема — создание формирователей с
малой памятью — стоит при разработке многоадресных ШСС со
сменой ШПС. Для таких ШСС необходимо иметь автоматы-форми-
рователи ШПС (рис. 20.3), которые в общем случае состоят из но-
меронабирателя (Н) и собственно автомата-формирователя ШПС
(АФШПС). Например, если объем системы сигналов L = B2, то
максимальная память. АФШПС составит Ва=В3. Например, если
В=104, а каждый элемент памяти потребляет 1 мкВт, то общее
потребление автомата составит 1 МВт, что, безусловно, недопусти-
мо. Проблема создания систем ШПС, позволяющих иметь автома-
ты, экономичные и по памяти, и по потреблению энергии, до на-
стоящего времени не решена.

20.4. Критерии качества формирования и обработки ШПС

Надежность приема информации в ШСС определяется как ка-
чеством работы информационного канала (согласованный фильтр
или коррелятор), так и качеством работы измерительного канала
(синхронизатор). Качество работы информационного канала опре-
деляется отношением сигнал-помеха на входе решающего устрой-
ства

h* = PcT/Nn, (20.4)

где Рс — мощность ШПС, Na — спектральная плотность помехи.

Качество работы синхронизатора характеризуется вероятностью
правильного обнаружения — измерения ШПС Рправ при заданной
вероятности ложных тревог Рл.т.

Формирование и обработка ШПС не являются идеальными
процессами. При формировании сигнал на выходе формирователя
u(t) может отличаться от заданного Ио(О> точно так же и импульс-
ная характеристика согласованного фильтра h(t) может отличаться
от требуемой h0(t). Эти отличия вызываются рассогласованиями
параметров формирователя и согласованного фильтра (корреля-
тора), поскольку это напряжение включает в себя и сигнал (пара-
метры формирователя), и импульсную характеристику согласован-
ного фильтра.

Если на входе согласованного фильтра действует сигнал, с ко-
торым фильтр согласован, то нормированное напряжение на выхо-
де фильтра является функцией неопределенности (ФН) сигнала
(2.21):
/?(t,Q)=-V 7t70(/)t70(/-T)eiGM/ =

ZE Д

—00

= — ?G0(«>)G0(®—Q)e'“M®. (20.5)

В (20.5) E — энергия ШПС, U0(t) и Go(o)) — комплексная оги-
бающая ШПС и ее спектр, т— время задержки, Q — доплеровский
сдвиг частоты. Время задержки т отсчитывается от момента окон-
чания ШПС, т. е. при t* = T в (20.1) т=0 в (20.5). Если й = 0,'то
АКФ ШПС

₽(т)=-!- J|G(o))|2ei<OTd«>. (20.6)

В подынтегральных выражениях интегралов (20.5), (20.6) Пер-
вый множитель является сигналом, т. е. определяется формирова-
телем, а второй — импульсной характеристикой, т. е. определяется
согласованным фильтром. В идеальном случае, когда рассогласова-
ний нет, при т=0, й=0 максимальное значение ФН и АКФ 7?тах=
=J?(0) =i/?(0, 0) = 1. Центральный пик ФН имеет ширину по оси
времени \x~\.!F и по оси частот Дй»2л/Т. Боковые пики ФН и
АКФ при |т| >Дт и |й| >Дй имеют случайный характер. Их среД-
неквадратическое значение близко к величине он= 1/]/ 2В и с рос-
том базы ШПС асимптотически уменьшается.

При рассогласованиях между сигналом и импульсной характе-
ристикой фильтра происходят следующие явления:

— уменьшается амплитуда центрального пика. Вместо макси-
мального значения /?тах=1 при рассогласованиях амплитуда цент-
рального пика Это приведет к уменьшению отноше-

ния сигнал-помеха из-за уменьшения сигнальной составляющей на
выходе фильтра (шумовая составляющая практически не изменит-
ся);

— увеличивается ширина центрального пика, что приводит к не-
которому уменьшению точности измерения времени задержки и
частоты. Этот факт имеет особое значение в радиолокации, но по-
скольку расширение не является значительным, то в ШСС с этим
явлением можно не считаться;

— увеличивается уровень боковых пиков, в результате снижает-
ся вероятность правильного обнаружения.

Таким образом, очевидными критериями, определяющими ка-
чество формирования и обработки ШПС в ШСС, являются мини-
мальное уменьшение центрального пика и минимальное увеличение
боковых пиков.

Отношение сигнал-помеха при рассогласованиях может быть
представлено в следующем виде:

Й2=Л27?2(|), (20.7)

где Л20 (20.4) — отношение сигнал-помеха в идеальном случае,
/?2(В)—квадрат амплитуды центрального пика ФН (АКФ) при
наличии рассогласований £, которые могут иметь различную физи-
ческую природу. Отметим, что в общем случае £ может быть на-
бором нескольких рассогласований £2, — )» т. е. в этом случае
будет функцией многих переменных. Обычно рассогласования
£2,... независимы друг от друга. Поэтому их можно рассматривать
самостоятельно. Если рассогласований нет, то £=0 и Р(0) = 1. При
наличии рассогласований в реальных фильтрах Я2(£)<1. Поэтому
Л2<Л20. Так как в ШСС отношение сигнал-помеха определяет ве-
роятность ошибки, то при заданной вероятности ошибки задано и
значение h2. Поэтому для обеспечения требуемой помехоустойчи-
вости при наличии рассогласований (Р2(£)<1) необходимо уве-
личивать отношение Л2о, т. е. в соответствии с (20.4) увеличивать
мощность передатчика. Конкретное значение Р2(£) зависит от ха-
рактера и пределов изменения случайной величины £.

Увеличение боковых пиков приводит к уменьшению вероятности
правильного обнаружения — измерения ШПС. Боковые пики иде-
альной ФН (АКФ) с ростом базы ШПС В асимптотически умень-
шаются. Из-за рассогласований боковые пики не могут быть умень-
шены ниже некоторого значения (так называемые «технические
боковые пики»). Это значение составляет 2—5%. а иногда (в наи-
худших случаях) может достигать и 10—15%. Вероятность пра-
вильного обнаружения-измерения ШПС сложным образом зависит
от боковых пиков [5] и определяется конкретным распределением
боковых пиков данного ШПС. Эта вероятность достигает своего
максимального значения, если боковые пики однородны, т. е. име-
ют одинаковые амплитуды. В этом случае вероятность правильно-
го обнаружения-измерения записывается следующим образом [5]:

Рправ ~ Рправ о (1 -0,5 Ш Я₽2), (20.8)

где Рправ о — вероятность правильного обнаружения-измерения без боковых пиков, т — число независимых отсчетов на интервале из- мерения, — уровень боковых пиков, Н — функция отношения сигнал-помеха q2 на выходе из- Тз блица 20.1. Максимальная база мерителя, равная, примерно, ШПС ПР" Рассогласованиях ' 4>р ‘ ’ 2/ ’
<72 10 20 40 больше q2t тем меньше Н, тем меньше влияние боковых пи-
^тах 3-102 104 6-Ю7 КОВ на вероятность Рправ. Но с ростом базы растет число отс- четов т = 2В. Поэтому для
ШПС с большими базами

влияние технических боковых пиков на вероятность правильного
обнаружения измерения может оказаться существенной. При ра-
венстве нулю скобки в правой части (20.8) вероятность РПрав=0.
При этом максимальная база ШПС

Втах«(^)-‘.

(20.9)

В табл. 20.1 приведены значения максимальной базы ШПС, при
превышении которой прием становится невозможным. Уровень бо-
ковых пиков положен Лд = 10%.

Как следует из табл. 20.1, необходимо стремиться уменьшать
боковые пики, возникающие из-за рассогласований, так как иначе
необходимо увеличивать отношение сигнал-помеха q2 на выходе из-
мерителя.

20.5. Оценка общих рассогласований

Рассогласования в формирователе и оптимальном фильтре (со-
гласованном фильтре или корреляторе), а также в трактах пере-
датчика и приемника могут иметь различный характер в зависимо-
сти от типа ШПС, методов формирования и обработки, от построе-
ния устройств формирования и обработки, от используемой эле-
ментной базы и т. п. Из них можно выделить общие рассогласова-
ния, которые присущи почти любым вариантам ШСС с ШПС:
нестабильность несущих частот; изменение масштаба времени (не-
стабильности тактовых частот, времени задержки в линиях за-
держки); паразитная модуляция; частотные искажения; нелиней-
ные искажения.

Относительно нелинейных искажений известно 1[115], что они
малы. Поэтому в дальнейшем они не рассматриваются.

Нестабильность несущих частот. Если несущая частота пере-
датчика изменилась на Д®ь а частота опорного генератора при-
емника на Дй>2> то совместная нестабильность частоты

Д® = Д®1 -f- Д®2- (20.10)

При таких нестабильностях отклонение частоты Део будет ска-
зываться на АКФ ШПС (20.6) так же, как и доплеровский сдвиг
частоты на ФН, т. е. вместо /?(т) на выходе согласованного фильт-
ра будет функция /?(т, Дю). Амплитуда центрального пика опреде-
лена при т=0, т. е. из (20.5) при U(t)= const находим

R = R (Дю) = sin (Д® Т/2)/(Д® Т/2). (20.11)

Полагая допустимые потери в 1 дБ, находим, что R = 0,89, а

Д/Т=0,26, (20.12)

где Д/=Д®/2л. Вводя несущую частоту fo и базу ШПС В, из (20.12)
можно найти допустимую нестабильность частот

6 f = Д f/f0 = 0,26 (В f0/B)-' . (20.13)

Например, если В = 2-104, fo=l ГГц, f=20 МГц, то 6f=
=2,6-10-7. При этом максимальные нестабильности передатчика и
приемника должны быть вдвое меньше согласно (20.10)

6/1т.х=5/2тах=0,13(В^В)-« . (20.14)

Поскольку нестабильности Д®1 и Д®2 — случайны, то оценим их
допустимые значения, исходя из их статистических характеристик.
Положим, что Д®ь Д®2 — независимые случайные величины с ну-
левыми средними значениями и с равными дисперсиями о2Дш =
= (2л)2а2д/. Для решения этой задачи целесообразно (20.11) пред-
ставить в виде

/?= 1—(Асо)2Т2/4л2. (20.15)

После статистических преобразований и полагая, что среднее зна-
чение /? = 0,89 (потери 1 дБ), находим допустимое значение

Од fT = 0,23. (20.16)

Естественно, при этом допустимые нестабильности частоты мо-
гут быть больше в 1,8 раза, чем при расчете по максимальным от-
клонениям (20.14).

Из-за нестабильности частоты боковые пики АКФ также изме-
няются, так как при этом вместо АКФ имеем ФН /?(т, Асо).
Уровень боковых пиков определяется уровнем ФН при Q = A<o.

Изменение масштаба времени. При этом вместо сигнала t/o(O
может быть сигнал

(20.17)

где k — масштабный множитель. Если £>1, то сигнал U\(t) сжат,
т. е. его длительность T\ = Tlk. Спектр сигнала U\(t) равен

Gi(o)=(l/£)G(aVfc). (20.18)

При k>\ спектр Gi(со) расширяется. Масштабный множитель
k мало отличается от единицы. Положим £=1 + а, аС1. В этом
случае изменением амплитуды спектра можно пренебречь и при-
ближенно записать

Gx((o) »G (со—а<о). (20.19)

Из сравнения (20.19) со спектром ШПС, входящим в определе-
ние ФН (20.5), следует, что слагаемое соо влияет на АКФ так же,
как доплеровский сдвиг частоты Q на ФН. Поэтому сио будет вли-
ять на амплитуду центрального пика и на уровень боковых пиков,
так же, как и нестабильность Асо согласно (20.11). Вместе с тем
имеется определенное отличие — в множителе асо частота со явля-
ется переменной интегрирования. Если положить ft)=ft)max = 2n/?
равной ширине спектра ШПС, то обеспечим нахождение макси-
мально допустимого отклонения. При этом можно воспользоваться
оценкой (20.12) с заменой Af на а/7. В результате получаем при
снижении отношения сигнал-помеха на 1 дБ из-за наличия мас-
штабных рассогласований допустимое значение

а = 0,26/В. (20.20)

Выясним, как определяется а при тех или иных рассогласова-
ниях. Сначала рассмотрим изменение масштаба из-за различной
скорости распространения волн в линии задержки, входящей в со-
гласованный фильтр. Пусть время задержки в линии определяется
уравнением t3=TllkL, где I — текущее значение элемента задержки,
L — длина линии задержки. При k=l t3(L) = T. При k>l t3(L) =
= T\ = Tlk<.T. Обозначим ДГ=Т—Т\, т. е. ТХ = Т(\—&Т/Т). Поэто-
му а=ДГ/Г. Следовательно, допустимое отклонение

Д77Т = 0,26/В. (20.21)

Например, для ФМ сигнала B = Tfxo, то — длительность оди-
ночного импульса. Из (20.21) следует, что допустимое отклонение
масштаба должно привести к уменьшению длительности сигнала
на величину ДТ«то/4.

Определим допустимую нестабильность тактовой частоты на
примере ФМ ШПС с B=N, где У—число импульсов. Генератор
тактовой частоты должен создавать тактовые импульсы с частотой
fTo — l/xo=N/T. Допустим, что на самом деле тактовая частота fT =
=/то+Д/т- При такой тактовой частоте длительность ШПС будет
равна 7’1 = 77(1 + Д/тТо)5:«Г(1—Д/Тто). Отклонение длительности
ШПС ДГ=Д/тТо7’ или Д7’/Т=Д/Т'Го. Соответственно из (20.21) нахо-
дим Д/тТо=О,26/У. Вводя тактовую частоту /то=1/то получаем до-
пустимую нестабильность тактовой частоты

6/7. = Д/г//го = О,26/^ (20.22)

Например, при У=2-104 из (20.22) находим 6/т = 1,3-10-5, т. е.
стабильность генератора тактовых импульсов должна быть высо-
кой. Чем больше база ШПС, тем выше стабильность тактовой час-
тоты.

Паразитные модуляции. К ним относятся дополнительная па-
разитная амплитудная и фазовая модуляции. Они полностью учи-
тываются, если в определение ФН (20.5) вместо сигнала t/o(O
ввести сигнал

Ur (0 = А (0 U (0 ехр (1 х (01 • (20.23)

Здесь A(t)—паразитная амплитудная модуляция, %(/)—па-
разитная фазовая модуляция. Тогда

/?Лх(т, Й)=— 7 A(t)U(t)U(t—г) ei£2'е‘х«) dt (20.24)

2 Е Л>

Индексы А, % соответствуют амплитудным и фазовым паразит-
ным модуляциям. Чтобы определить влияние паразитных модуля-
ций, необходимо вместо обозначений Л(0 и %(/) подставить наи-
более часто встречающиеся законы модуляции. В этом отношении
целесообразным следует признать тригонометрическую аппрокси-
мацию i[ 136]:

Л(0=Ц-асоз(/Пу/+<Ро) , (20.25)

X(0=Z>sin/^t (20.26)

причем ad и &^2л. Случай а=& = 0 соответствует работе без
искажений. Представление паразитных модуляций в виде (20.25)
и (20.26) хорошо тем, что в таком виде можно аппроксимировать
большинство искажений, так как выбор величин а, т, <р0, ft, I по-
зволяет получать различные функции времени и в то же время по-
зволяет легко анализировать влияние паразитных модуляций. От-
метим, что т и I не обязательно целые числа. Используя запись
косинуса в виде формулы Эйлера и выражение для бесселевых
функций,
, 2л , 2л .

ib sin I - t ini - t

e T = § Jn(b)e T • (20:27)

n=—OO

где Jn(b) —функция Бесселя n-го порядка, при малых а и b из
формулы (20.24) получаем

7?лх (т, □) = /0 (Ь)Д (т, Й) + —е”₽. R (т, Й + m 2-^ +

+ а-^- е-1(р« R (т, Й—т — +Л(&)/? (т,Й-Н——

—Ji (6) R (т, Й—/у?) . (20.28)

Для в ряду (20.27) надо учитывать только бесселевы
функции Jo, Ji и J-i=—Ji, потому что они наибольшие.

На рис. 20.4 изображены функции /о и J|. Они необходимы для
оценки допустимых паразитных модуляций, определяемых по фор-

R(r,l 2я/Т)

Рис. 20.5. Составляющие
функции неопределенности
муле (20.28). При малых b справедливы следующие приближения:

Jo (6) « 1 —b*/4, (6) « b/2. (20.29)

Поясним структуру суммы (20.28). Возьмем й = const, например,.
й = 0. (Все рассуждения справедливы и для других Й#=0.) Первое
слагаемое совпадает по форме с неискаженной корреляционной
функцией, но остальные будут отличаться, так как они определены
для других значений частоты Доплера, а именно £1±т2л/Т и й±
±12л/Т.

Следовательно, сумма (20.28) зависит не только от формы не-
искаженной корреляционной функции для й = const, но и соседних
по частоте корреляционных функций. Следовательно, она зависит
от корреляционных свойств сигнала на плоскости время — часто-
та, т. е. от формы тела неопределенности. Поэтому для различных
сигналов одна и та же паразитная модуляция может оказывать
различное влияние.

На рис. 20.5 представлены корреляционные функции (сечения
тела неопределенности) для различных частот Доплера, соответст-
вующие слагаемым суммы (20.28), в случае произвольного сигна-
ла. Чтобы найти сумму (20.28), надо каждую корреляционную
функцию умножить на свой коэффициент, Jo или а результаты
сложить. Оценку уменьшения амплитуды центрального пика и уве-
личения боковых пиков можно найти, если в (20.28) положить
|/?(т, Q±j2n/T) |, (j=m или j=l), т. е. максимальному значению.
Тогда

А /?м < 1 - Jo (b) + a Jo (5) + 2 Л (5), (20.30)

А/?б<а Jo(5) + 2 Л(Ь). (20.31)

Например, если а=5%, 5 = 0,5, то Д/?м=0,57 и Л/?б=0,54, т. е.
ШСС система полностью выйдет из строя. Отметим, что 5»0,5 не
является большой величиной, так как она соответствует максималь-
ному размеру паразитной фазовой модуляции поряДка одного ра-
диана, в то время как набег фазы в течение всего сложного сиг-
нала во много раз больше — порядка Вл.

Подчеркнем, что формулы (20.29) и (20.30) не учитывают фор-
мы корреляционных функций. Поэтому они обеспечивают грубые
оценки и годны для ориентировочных расчетов. Для более точных
оценок надо учитывать значения 7?(т, Й±т2л/Т) и R(x, й±/2л/Т).

Частотно-фазовые искажения. Они возникают из-за неравно-
мерности амплитудно-частотной характеристики тракта и нелиней-
ности его фазовой характеристики. Их можно учесть, если вместо
спектра сигнала Go(<o—й) ввести

G (со) = \Н (со)|Go (со—Й) ехр [i 8 (со)], (20.32)

где |/7(со) | учитывает неравномерность амплитудной, а е(«о) —не-
линейность фазовой характеристики. Тогда

RHe (т, й) = ( |77 (co)|G (со—Й)О (со) ei<0T+ie<“> dco.

4 л Е -L

(20.33)
Аналогично предыдущему используем тригонометрическую ап-
проксимацию

|Я(®)| = l+ccosp — <о, 8 (со) = d sin q — со, (20.34), (20.35)

где W=2nF. Как и раньше, находим

Кне (т, Q) = Jo (d) R (т, Q) + R (т + р , й) +

+ R + Л (d)

-J^R^-q^.a}. (20.36)

Полученная сумма состоит из слагаемых, совпадающих по фор-
ме и сдвинутых друг относительно друга во времени, в то время
как в формуле (20.28) слагаемые сдвинуты по частоте. Причем от-
носительно центрального пика (первое слагаемое) остальные сла-
гаемые симметрично сдвинуты вправо и влево попарно.

Рис. 20.6. Влияние частотно-фазовых искажений на АКФ

На рис. 20.6 изображены все слагаемые суммы (20.36). Для
простоты К(т, Q) взята для й=0 в виде треугольного импульса.
Грубые оценки уменьшения амплитуды выброса и увеличения бо-
ковых пиков равны:

Д RM < 0,5 J0(d)(l + c),

A Кд < 0,5 Jo (d) + ^(d).

(20.37)

(20.38)

Полученные формулы оценки временных и частотных искаже-
ний позволяют определить влияние рассогласований как в самих
фильтрах, так и в передатчике и приемнике и найти допуски на
отклонения параметров от номинальных.

Однако, кроме рассогласований, рассмотренных в данном пара-
графе, каждому фильтру присущи свои специфические рассогласо-
вания.

Влияние мощных каскадов передающего устройства на иска-
жения АКФ. Преобладающим источником временных искажений в-
мощных каскадах [136] являются флюктуации тока электронного
луча, которые приводят к амплитудным и фазовым искажениям.
Например, эквивалентная паразитная фазовая модуляция с ампли-
тудой 19, Г приводит к увеличению боковых пиков на 10%.

Для малых изменений напряжения (или тока) луча фазовая
чувствительность Д<р приблизительно постоянна. Величины, которые
дают представление о фазовой чувствительности, принято измерять
в градусах на 1% изменения напряжения. Для триодов это 1, для
клистронов — 10, для ЛБВ — 20. Например, если для клистрона
допустить изменение боковых пиков на 1% (—40 дБ), то требуе-
мая нестабильность питающих напряжений не должна быть боль-
ше 10-3.

Для амплитудных искажений порядка —40 дБ необходимо, что-
бы спад мощного импульса не превышал 4 %.

Кроме временных, в мощных каскадах возможны и частотные
искажения. Отмечается, что в пятирезонаторном клистроне нерав-
номерность амплитудно-частотной характеристики равна примерно1
1 дБ, а нелинейность фазовой — 4° [136].

Влияние усилителей промежуточной частоты на искажения
АКФ. Обычно многокаскадные УПЧ вносят частотные искажения
из-за неравномерности амплитудно-частотной характеристики и не-
линейности фазовой характеристики. В табл. 20.2 приведены дан-
ные [136] об увеличении боковых пиков при прохождении сигнала
через шестикаскадные УПЧ.

Таблица 20.2. Увеличение боковых пиков

Тип фильтра Шесть одно- контурных фильтров Три двухкон- турных филь- тра Два трехкон- турных филь- тра
Чебышевский с 10% пульсациями 0,16 0,2 0,28
Чебышевский с 5% пульсациями 0,07 0,17 0,1»
Чебышевский с 1% пульсациями 0,1 0,5 0,08
С максим, плоской АЧХ 0,6 0,21 0,2
С максимально-плоской характеристикой задержки 0,6 0,12 0,04

Как видно из таблицы, боковые лепестки меньше 4% для рас-
смотренных фильтров не могут быть получены. Дело в том, что
эти фильтры обладают взаимосвязью между амплитудно-частотной
и фазовой характеристиками. Улучшение одной из них приводит
к искажениям другой.
21. ЛИНЕЙНЫЕ СОГЛАСОВАННЫЕ ФИЛЬТРЫ

21.1. Методы линейной обработки ШПС

Линейные согласованные фильтры (ЛСФ) являются пассивны-
ми фильтрами, их параметры не изменяются во времени. Структу-
ра пассивных фильтров определяется элементами сигнала (им-
пульсной характеристикой фильтра). Пассивные методы обработ-
ки можно разделить на три основные вида: частотный, временной,
частотно-временной.

При частотном методе произвольный сигнал представляется в
виде последовательности частотных элементов (элементарных
-функций, смещенных по частоте). В общем случае вид этих эле-
ментов и их расположение по частоте определяются -преобразова-
нием Фурье исходного сигнала. В частном случае формирования
сигнала из частотных элементов он является частотным. Согласо-
ванные фильтры, построенные в соответствии с частотным методом,
являются многоканальными фильтрами (МКФ), каждый канал ко-
торых выделяет соответствующую полосу частот сигнала и произ-
водит необходимую оптимальную обработку этой части сигнала.

При временном методе сигнал представляется в виде последо-
вательности элементов во времени, например, в виде прямоуголь-
ных импульсов или в виде функций отсчета. Последние соответству-
ют разложению сигнала в ряд Котельникова. Поэтому согласован-
ный фильтр, соответствующий временному представлению сигнала,
строится на основе многоотводной линии задержки (МЛЗ). Час-
тотно-временной метод обработки сложных сигналов основан на
представлении сигналов в виде элементов, разнесенных как во вре-
мени, так и по частоте. Он объединяет, как это следует из назва-
ния, частотный и временной методы. Согласованный фильтр со-
держит ряд частотных каналов и многоотводную линию задержки
(или набор линий). Частотный метод целесообразно -применять для
обработки частотных сигналов, временной — для обработки ФМ
сигналов, частотно-временной — для обработки дискретных частот-
ных сигналов.

21.2. Частотно-временной метод обработки
дискретных частотных сигналов

ДЧ сигналы были подробно рассмотрены в гл. 4. Комплексная
огибающая ДЧ сигнала определяется соотношением [5]

М-1

U (0 = j ™ То) ехр [i ат Дю (t—т То)1, (21.1)

т—0

где ат — комплексная амплитуда элементарного сигнала или оди-
ночного импульса, UQ(t)—огибающая или форма элементарного
сигнала, То— длительность элементарного сигнала, До = 2лГо, а
Fq—ширина спектра элементарного сигнала; ат — частотная кодо-
вая последовательность. В общем случае амплитуда От=
= |am|exp(i0m), где |ат|—амплитуда, а вт — начальная фаза
тп-го элементарного сигнала. В простейшем случае ат=1, 0т=О.
Огибающая элементарного сигнала С7<>(/), отлична от нуля при
0^/^То. В простейшем случае U0(t) = Uo при Дли-

тельность ДЧ сигнала Т=МТо. Ширина спектра элементарного
сигнала Fo равна также частотной расстройке между соседними
каналами. Ширина спектра ДЧ сигнала F=MF0, а Fo—1/To. Поэ-
тому база ДЧ сигнала B=FT—Л12. Частотная кодовая последова-
тельность (ЧКП) От представляет собой последовательность чи-
сел от 0 до Л4—1, устанавливаемых в соответствии с алгоритмом
формирования ДЧ сигнала.

Спектр ДЧ сигнала имеет вид

М-1

G(co)= 2 amrS (®—am A®) ехр (—i та То), (21.2)

т—0

где

S (®) = j’ UQ (/) ехр (— i a t) dt (21.3)

— спектр элементарного сигнала.

Коэффициент передачи согласованного фильтра определяется
соотношением (2.12)

м—1 ,

k (а) = k0 Iaml ехр (— i 0m) S (со—am Aco) x
m=0

X exp [ — i co (T—mT0)]. (21.4)

Как следует из (21.4), согласованный фильтр должен состоять
из М каналов, выходы которых суммируются. Каждый канал —
прототип каждого элемента сигнала. Имеются некоторые разли-
чия, которые определяются формулой (2.12). Во-первых, комплек-
сная амплитуда каждого канала (21.4) комплексно сопряжена по
сравнению с комплексной амплитудой ат элемента в сигнале. По
этой причине канал должен содержать усилитель с коэффициентом
усиления |am| и фазовращатель, который создает сдвиг фаз, рав-
ный —0щ или 2л—0m. Во-вторых, АЧХ каждого канала определя-
ется комплексно-сопряженным спектром элементарного сигнала
*

о (со), смещенного по частоте на ту же величину атД(о, что и соот-
ветствующий элемент сигнала. Обычно элементарные сигналы име-
*

ют симметричную форму. В этом случае S(®)=S(w) и АЧХ каж-
дого канала согласованного фильтра будет совпадать со спектром
элементарного сигнала. В-третьих, если задержка каждого элемен-
та в ДЧ сигнале составляет тТо, то в согласованном фильтре за-
держка соответствующего элемента согласно (21.4) равна Т—тТо.
Следовательно, первые элементы сигнала задерживаются в согла-
сованном фильтре больше, чем последние, что полностью соответ-
ствует общим свойствам согласованных фильтров.
На рис. 21.1 (Представлена структурная схема линейного согла-
сованного фильтра, предназначенного для обработки ДЧ сигнала
первого порядка. Сигнал с выхода предыдущих каскадов прием-
ника (с усилителя промежуточной частоты) поступает на МЛЗ.
Число отводов линии, включая начало, равно числу элементов М.
Общая задержка в линии (М—1)Т0=Т—То. Если ширина спектра
сигнала F, то полоса пропускания МЛЗ должна быть не меньше
F. Напряжение с каждого отвода поступает в канал, который со-
стоит из полосового фильтра с АЧХ |S(®—am A ®) | и с частотным
смещением <ХщД®, усилителя с коэффициентом усиления |от| и фа-
зовращателя ф, обеспечивающего сдвиг фаз —или 2л—0т. Чис-
ло каналов равно М. Выходы всех каналов поступают в сумматор.
Структурная схема рис. 21.1 полностью соответствует коэффициен-
ту передачи (21.4).

Эквивалентная память МЛЗ равна Вклз = (Т—T0)F=B(l—
—1/М). Если учесть, что в схеме рис. 21.1 имеется М полосовых
фильтров, эквивалентная память которых равна 1, то общая па-
мять согласованного фильтра ВСФ =В. При Л)3>1 Вмлз ~В. При
этом следует учесть, что МЛЗ должна быть радиочастотной, т. е.
на некоторой промежуточной частоте /о без больших искажений
пропускать спектр ШПС шириной F. Именно поэтому МЛЗ в ли-
нейных согласованных фильтрах являются и наиболее ответствен-
ным, и наиболее трудноисполнимым устройством. И чем больше
база ШПС, тем сложнее выполнить МЛЗ. Более подробно МЛЗ
для ЛСФ будут рассмотрены в дальнейшем.

Рис. 21.1. Структурная схема со-
гласованного фильтра для ДЧ сиг-
нала

Рис. 21.2. Структурная схема согласо-
ванного фильтра для ДСЧ—ФМ сиг-
нала

Согласованный фильтр для обработки ДСЧ — ФМ сигнала
(рис. 21.2) во многом совпадает с фильтром для ДЧ сигнала (рис.
21.1). Отличие заключается в том, что в каждом канале должен
стоять элементный согласованный фильтр СФ™, m = 0, М—1, кото-
рый предназначен для обработки элементного ФМ сигнала с базой
Во=N0, a No — число импульсов в элементном ФМ сигнале. База
ДСЧ — ФМ сигнала B=N0M2. Такой же будет и эквивалентная
память согласованного фильтра ВСФ ^N0M2. Канальные линии за-
держки имеют полосы пропускания, равные полосам пропускания
Fo полосовых фильтров. Поскольку структура ДСЧ — ФМ сигнала
является достаточно сложной, то дополнительная фазовая манипу-
ляция амплитуд ат не применяется, т. е. 0т=О. Поэтому на рис.
21.2 фазовращателей нет.

21.3. Многоканальные согласованные фильтры
при частотном методе обработки многочастотных сигналов

Комплексная огибающая многочастотного (МЧ) сигнала опре-
деляется соотношением [5]

N—1

U (t) = Uo (0 j] ап ехр (i п Део t), (21.5}

п=0

где U0(t) — огибающая элементного сигнала, ап= |а«|ехр(i0n)—
комплексная амплитуда, \ап | — ее модуль, а 0П— фаза; Дш = 2лГо>
а Го — ширина спектра элементного сигнала. Обычно

Uo (0 = Uo при О (21.6 >

и нулю при других значениях времени t. Произведение ГоТ=1.
Сумма в (21.5) является суммой гармоник, манипулированных по
амплитуде множителем | ап | и по фазе множителем exp(i0n). В
большинстве случаев |ап| = 1. МЧ сигналы дуальны по отноше-
нию к ФМ сигналам. При этом все известные способы кодирования
ФМ сигналов переносятся на МЧ сигналы с той разницей, что в
ФМ сигналах импульсы манипулируются по времени, а в МЧ сиг-
налах— манипулируются частотные гармоники [5].

Спектр многочастотного сигнала

N— 1

G (®) = j ап S (®—п Д®)- (21.7)

п==0

Коэффициент передачи согласованного фильтра в соответствии
с (2.12)

N—1 .

k (<a>)—k0 |ап| ехр (—i0n)I S (<o—n Дю) exp (—i ю T).

n=Q

(21.8>

Структурная схема многоканального согласованного фильтра
приведена на рис. 21.3. Обозначения те же, что и на рис. 21.1. По-
лоса 'пропускания каждого фильтра примерно равна F/N, a N —
число элементов в сигнале и число каналов в фильтре. Задержка,
равная Т, в множителе ехр(—itoT) в данном случае принципиаль-
ного значения не имеет, так как она всегда обеспечивается реаль-
ными полосовыми фильтрами.

Многоканальные согласованные фильтры можно применять для
обработки не только частотных сигналов, у которых частотная
347
структура выражена явно. Как известно, из теории рядов Фурье,
любой сигнал, удовлетворяющий некоторым общим условиям,
обычно имеющим место в радиотехнике, можно приближенно пред-
ставить конечной суммой гармоник. Для радиочастотного сигнала

Капал Л/-/

следует суммировать только те
гармоники, которые проходят
через линейную часть приемни-
ка (смеситель, УПЧ). Согла-
сованный фильтр при таком
представлении сигнала будет мно-
гоканальным.

При построении многоканаль-
ных согласованных фильтров
большое значение имеет АЧХ по-
лосовых фильтров, которая в
свою очередь определяется спек-

Рис. 21.3. Структурная схема много- тром элемента S(co). Во многих
канального согласованного фильтра случаях элементы являются про-

стыми сигналами. Например, если

элемент является прямоугольным радиоимпульсом, то в соответст-
вии с (21.6) спектр

S (со) = ^Tsin /(со Т/2) ехр ( — i соТ/2). (21.9)

Согласно (21.9) АЧХ полосового фильтра должна быть вида
| sin (со7'/2)/(со7'/2) |. По этому поводу следует заметить, что такая
АЧХ не реализуется с помощью цепей с постоянными параметра-
•ми. Поэтому возникает вопрос о замене подобной АЧХ более прос-
то реализуемой. Одним из наиболее простых фильтров, удовлетво-
ряющих этому условию, можно считать фильтр с несколькими оди-
ночными контурами с одной и той же резонансной частотой при
слабой связи между ними. Частотная характеристика такого фильт-
ра приближается к гауссовой. В этом случае необходимо решить,
как следует выбирать полосу такого фильтра. ВФН элементов
(/о (О /?а[т, (п—m)A(d] будут перекрываться при спектре элемента
в виде (21.9). Эти ВФН зависят от модуля разности номеров \п—
—т\. Можно показать, что если Дсо=2л/Т, то

|Я0 [т, (п—т) AcoJI = sint" («—m) (1 —|т|/Т) I (21 до)

я (п—т) I

Из формулы (21.10) следует, что с ростом |п—т | ВФН эле-
ментов уменьшается обратно пропорционально этой разности. На-
чиная с |п—лг|^3 влияние ВФН (21.10) на АКФ частотного сиг-
нала становится милым и практически их можно не учитывать.

Если элемент является гауссовым радиоимпульсом, т. е.

17г(0=РоТехр(-лГр2), (21.11)

то его спектр

Sr (<о) = Т ехр (—n((o2/U72 j ]

(21.12)
где W^0=2nF0 характеризует ширину спектра элемента (и полосу
пропускания полосового фильтра) на уровне ехр(—л/4) «0,46. В
этом случае ВФН элементов

/?0 [т, (п—т) Асо] = ехр { —-у [f2 т2 + (П~Х']} • (21.13)

Как и в случае прямоугольного элемента, вес функций Ro с
ростом |п—т\ падает, причем при больших |п—т| более резко,
что определяется вторым слагаемым в экспоненте формулы (21.13).
Изменение Ro зависит от величины Fo. Ее приближенный выбор
может быть сделан следующим образом. Чтобы АКФ сигнала с
гауссовой срезающей функцией не отличалась намного от АКФ сиг-
нала с прямоугольной срезающей функцией, надо обеспечить, во-
первых, примерно равное изменение Ro от |га—zn| в обоих случаях
и, во-вторых, приблизительно одинаковую форму /?о(т) для одних
и тех же п—т. Строгое определение оптимального значения Fo
достаточно сложно. Однако оказывается, что оба условия имеют
место с точностью, достаточной для практических целей, если

Fo «(1,2—1,5) Д/ = (1,2—1,5)/Т. (21.14)

Если Fo в формулах (21.11), (21.12) выбирается в соответствии с
(21.14), то АКФ сигнала с гауссовой срезающей функцией будет
мало отличаться от исходной, причем уровень боковых лепестков
может стать даже меньше. Что касается сигнала, то он будет
иметь уже не прямоугольную форму, а гауссову. При этом равно-
мерность огибающей сигнала будет несколько хуже, чем в случае
прямоугольной формы.

21.4. Согласованные фильтры с многоотводными
линиями задержки при временном методе обработки
фазоманипулированных сигналов

Комплексная огибающая ФМ сигнала определяется соотношени-
ем [5]

N-1

anU0(t-nr0), (21.15)

п=0

где to=TIN — длительность одиночного импульса,

ап = \ап| ехр (i 0n), Uo (t)=U0 при 0 < t < т0 (21.16)

и равна нулю при других значениях времени t. Обычно 0П = О или
л. Сигналы с такими значениями фаз называются бинарными ФМ
сигналами или просто ФМ сигналами. Если 0W= (2л/р)а(п), где
р>2, а(п)—кодовая последовательность из чисел 0,р—1, то та-
кие сигналы называются многофазными (МФ).

Спектр комплексной огибающей ФМ сигнала (21.15) имеет
вид:

N-1

G (<о) = S (со) J] ап ехр (—in<oro). (21.17)
Коэффициент передачи согласованного фильтра в соответствии
с (2.Г2)
, N—1

k (<a)=k0S(a>) J lanl ехр (—i Gn) ехр I —i о (Т—(21.18)
л=0

Структурная схема соответствующего согласованного фильтра
приведена на рис. 21.4. Обозначения те же, что и на рис. 21.1. В
данном случае имеется только один полосовой фильтр с частотной

характеристикой S(cd), который может быть расположен как на

входе согласованного фильтра (как
это показано на рис. 21.4), так и
на его выходе. Число отводов МЛЗГ
включая начало, равно общая за-
держка равна (JV—1)то = Г—то. По-
лоса пропускания МЛЗ должна
быть равна ширине спектра сигна-
ла F. Центральная частота МЛЗ
должна совпадать с несущей часто-
той сигнала на входе фильтра. Уси-
лители и фазовращатели должны
обеспечивать необходимое усиление

и сдвиг фаз в полосе частот, равной
Рис. 21.4. Структурная схема со- ШИрИНе спектра сигнала F, и не вно-
гласованного Jj^Tpa для сить заметных амплитудно-частот-
ных и фазо-частотных искажений.

Фазоманипулированные сигналы можно обрабатывать и с по-
мощью видеочастотных линий задержки. Для этого необходимо пе-
ренести спектр ФМ сигнала в область видеочастот. При когерент-
ной обработке сигнала на нулевой несущей частоте радиочастотный
фильтр заменяется видеочастотным согласно структурной схеме
рис. 21.5,а, а при некогерентной обработке — согласно структурной

схеме рис. 21.5,6 [12]. Эти структурные схемы содержат умножи-
тели, генераторы гармонических колебаний с частотой, равной час-
тоте сигнала, согласованные фильтры (СФ), квадраторы (Кв) и
сумматор. Генераторы опорных сигналов при когерентном приеме
создают гармоническое колебание cos где соо — несущая часто-
та сигнала на входе радиочастотного фильтра; при некогерент-
ном — два квадратурных гармонических колебания cos aot и sin <BOt
Согласованные фильтры выполняются по структурной схеме рис.
21.4. Они являются в данном случае видеочастотными.

21.5. Комбинированные методы обработки

Согласованные фильтры на многоотводных линиях задержки
(СФМ) и многоканальные фильтры (МКФ) хорошо сочетаются
друг с другом и позволяют обрабатывать ШПС с большими база-
ми при больших длительностях и спектрах большой ширины. Объ-
единение СФМ и МКФ и является комбинированным методом об-
работки ШПС. Этот метод позволяет сочетать широкую полосу час-
тот, присущую частотному методу (МКФ), относительно большую
длительность, присущую временному методу (СФМ), и простоту
изготовления, настройки и эксплуатации обоих методов.

При построении комбинированных схем обработки, соответству-
ющих таким методам, главную роль играет соотношение полос
пропускания МКФ и СФМ. Когда полосы равны, существенного
увеличения базы получить нельзя, но из-за уменьшения числа от-
водов у МЛЗ базу все-таки можно увеличить. Такой случай назо-
вем случаем равнополосных фильтров. Большой интерес представ-
ляет случай, когда полоса МКФ много больше полосы СФМ, т. е.
случай разнополосных фильтров. Отметим, что будем рассматри-
вать прием квазидетерминированного сигнала (со случайной на-
чальной фазой). В настоящее время известно большое число ком-
бинированных схем. Остановимся на двух из них.

Структурная схема оптимального приемника с равнополосными
фильтрами приведена на рис. 21.6. С выхода МКФ напряжение по-
ступает на два квадратурных канала, состоящих из перемножите-
ля, СФМ и квадратора (Кв). Напряжения с квадраторов поступа-
ют на сумматор. Представленная схема является накопителем для

Рис. 21.6. Комбиниро-
ванный фильтр, с МКФ и
СФМ

квазидетерминированного сигнала [12]. Принцип работы такой
схемы известен (см. рис. 21.5), поэтому останавливаться на нем
не будем. База обрабатываемого сигнала равна произведению ба-
зы частотного сигнала, обрабатываемого МКФ, на базу дискретно-
го сигнала, обрабатываемого СФМ. В целом сигнал является дис-
кретным составным сигналом.

На рис. 21.7 представлена структурная схема квазиоптимально-
го приемника с разнопочосными фильтрами. Пусть ГМкф> Few —
полосы пропускания МКФ и СФМ. Если число каналов равно N,
то

^МКФ ^сфм^- (21.19)

Каждый канал приемника рис. 21.7 совпадает с приемником рис.

21.6, начиная от МКФ. Вся полоса частот, занимаемая сигналом,

Рис. 21.7. Многоканальный комбинированный фильтр

(оп—<01 + (п—1)Асо, Aco = 2nF/Af. (21.20)

Напряжения с такими частотами формируются генератором сетки
частот, который на схеме не показан. Хотя общая база сигнала
равна Л^ВСФМ , сжатие сигнала определяется только базой МЛЗ
(т. е. величиной ВСФМ ), так как в каждом канале выделяется оги-
бающая и устраняется фазовая структура.

Рассмотренные в данном параграфе методы нашли широкое
применение на практике. На их основе найдено большое число
различных конкретных схем обработки ШПС.

21.6. Многоотводные линии задержки

Основные характеристики. От того, с каким качеством выпол-
нена МЛЗ, от ее полосы пропускания и времени задержки прак-
тически полностью зависит реализация согласованного фильтра в
целом, поскольку все остальные элементы фильтра не являются
столь трудоемкими и сложными.

Идеальная линия задержки имеет плоскую АЧХ |&(<о) | = 1 в
бесконечной полосе частот и линейную ФЧХ ф(<о)=—ш/3, которые
изображены на рис. 21.8,а и б соответственно сплошными линиями.
Производная ФЧХ

d ср (coj/d со = —13 (21.21)
и определяет время задержки /3. Сигнал, спектр которого изобра-
жен на рис. 21.8,а штрих-пунктиром, пройдет без искажений и за-
держится на время /3. У реальных линий и АЧХ, и ФЧХ отличают-
ся от идеальных. Реальные АЧХ и ФЧХ (пример реализации) изо-
бражены на рис. 21.8 штриховой линией. Если спектр сигнала про-
ходит через неискаженную часть АЧХ и ФЧХ, то он и не получает
искажения. Если же искажения АЧХ и ФЧХ имеют место на тех
же частотах, то, естественно, сигнал искажается.

МЛЗ очень часто создаются из одинаковых звеньев, соединен-
ных последовательно. Коэффициент передачи МЛЗ, состоящей из
п звеньев, записывается следующим образом:

&млз (<°) = («) = I kQ (со) |п ехр [i п <р0 (со) ]. (21.22)

Из (21.22) следует, что АЧХ звеньев перемножаются, а ФЧХ —
складываются. На тех частотах, где АЧХ | kQ(со) | < 1, возведение
в степень п приводит к резкому уменьшению полосы пропускания
МЛЗ. В тех случаях, когда ФЧХ отдельного звена имеет нелиней-
ную составляющую e(o>), например, <ро(со) =—й)о/з+в((о), то ФЧХ
МЛЗ будет содержать нелинейную составляющую пе(со), что при-
ведет к сильным искажениям АКФ ШПС.

Первые МЛЗ выполняли на электрических линиях задержки с
сосредоточенными параметрами, но такие линии имели небольшую
полосу пропускания и малые длительности ШПС. Электромагнит-
ные линии задержки (отрезки высокочастотного кабеля) обеспе-
чивали широкую полосу частот, но малую длительность ШПС. За-
тем были разработаны ультразвуковые магнитострикционные ли-
нии задержки. Их полоса была небольшой, но они позволяли по-
лучать большие длительности ШПС. Самое большее распростра-
нение получили МЛЗ, использующие поверхностные акустические
волны (ПАВ). Они позволяют получать широкие полосы, но дли-
тельности ШПС пока что небольшие. Рассмотрим подробнее эти
типы линий задержки.

Многоотводные электрические линии задержки. Схема МЭЛЗ
приведена на рис. 21.9. Она представляет собою набор звеньев,
12—111 353
состоящих из индуктивностей L, и конденсаторов С. МЭЛЗ явля-
ется видеочастотной линией задержки. Отводы пронумерованы от
Ю до N—1. Задержка на одно звено типа т

т30»1,ЗуТС. (21.23)

При этом частота среза <ос=2/т3о- Если задержка небольшая, то
достаточно выбрать, чтобы ширина спектра F^coc/4n, т. е. меньше
частоты среза в 2 раза. На практике МЭЛЗ собирается из стан-
дартных безотводных линий задержки, каждая из которых обычно
состоит из шести звеньев. Для составления МЭЛЗ необходимо,
чтобы звено обладало как можно более равномерной амплитудной
характеристикой в полосе частот,
соответствующей спектру импуль-
са, и как можно более линейной
фазовой характеристикой.

На рис. 21.10 изображены ам-
плитудные характеристики двух
стандартных звеньев — линии за-
держки Э—1 (то = О,5 мкс, харак-
теристическое сопротивление W=
= 500 Ом) и линии задержки
ЛЗТ—2,0—1200 (то=2 мкс, W=
= 1200 Ом). Линия Э—1 облада-
ет равномерной амплитудной ха-
рактеристикой в большей поло-
се. Поэтому она пригодна для
создания многоотводных линий с
большим числом отводов.

Максимальная задержка (максимальное число звеньев) зави-
сит от скорости уменьшения амплитудной характеристики звена
k0(f) в начале координат. Поскольку звенья соединяются последо-
вательно, то амплитудная характеристика всей многоотводной ли-
нии согласно (21.22) может быть записана в виде

klf)=kn0(f). (21.24)

Здесь L—число звеньев, причем п= (N—1)1, /=то/т3, а т3 — за-
держка безотводной линии. Если k'=k'(f) при f=0, то можно за-
писать, что в области, близкой к f=0, ko(f)

k0(f) = l-k'f.

Поскольку спад ko(f) должен быть малым, то k'f^.1. Поэтому
из (21.24) получаем

6(f) «1 — Lk'f. (21.25)

Определяя граничную частоту /г многоотводной линии из усло-
вия равенства нулю выражения (21.25), находим

/г « 1/Lk'. (21.26)

Например, для линии Э—1 коэффициент &'»0,01 1/МГц. На
рис. 21.10 идеализированная характеристика ko(f) для Э—1 изо-
бражена штриховой линией. (Пульсации вблизи нуля существенно-
го значения не имеют, их положение и величина зависят от выбран-
ного экземпляра, в то время как k' одинаково.) Если взять N=
= 160 шт. (время задержки 80 мкс), то fr«0,63 МГц, что с доста-
точной для практики точностью совпадает с экспериментальными
данными (рис. 21.10).

Из формулы (21.26) можно определить примерную максималь-
ную границу для базы в случае использования МЭЛЗ со стандарт-
ными звеньями. Если положить F^fr, то

B = FT wN iJLk’ = N 1) k' = Vfe'. (21.27)

Для звена типа Э—1 получаем В «50. Следовательно, такой
тип линий задержки не позволяет получить очень больших значе-
ний баз. Можно полагать, что В=504-150 является максимальной,
причем верхний предел требует коррекции амплитудной характе-
ристики.

Достоинствами МЭЛЗ являются простота изготовления, малое
потребление энергии, малые потери сигнала. Недостатки МЭЛЗ —
малые базы ШПС, относительно большие габариты.

Многоотводные электромагнитные линии задержки. В качестве
таких линий используют отрезки кабеля (рис. 21.11). Поскольку

Рис. 21.11. Многоотводная электромагнитная линия задержки

скорость распространения волны по кабелю не очень сильно отли-
чается от скорости распространения в свободном пространстве, то
получить большие задержки при разумных габаритах фильтра
нельзя. Например, в [121, 138] описан согласованный фильтр, в
котором используется кабель длиной 195 м. Он обеспечивает пол-
ную задержку 1 мкс и имеет 20 отводов. (Общее сжатие равно
100, что обеспечивается дополнительной обработкой сигнала на вы-
ходе отвода полосовым фильтром). Отводы сделаны с помощью
коаксиальных ответвителей. В работе [138] приведена фотография
многоотводной линии задержки, собранной из свернутого миниа-
тюрного экранированного кабеля. Отводы осуществляются с по-
мощью коаксиальных катушек связи за счет утечки поля через
оплетку экрана. Число отводов равно 40.

Многоотводные линии задержки с поверхностными акустически-
ми волнами. МЛЗ ПАВ являются ультразвуковыми линиями за-
держки и получили широкое распространение в связи с развитием
интегральной технологии. Широкое использование ультразвуковых
линий задержки (УЛЗ), в том числе и МЛЗ ПАВ, объясняется тем,
что скорость ультразвуковой волны в звукопроводе много меньше
скорости света. Это и позволяет при малых габаритах УЛЗ полу-
12* 355
чить относительно большую задержку сигнала по времени по срав-
нению с задержкой в кабеле. Скорость распространения ультразву-
ковых волн зависит от материала звукопровода и типа волны. В
основном для создания линий задержки используется звукопровод
в виде твердого тела, причем материал подбирается в зависимости
от назначения линии. В твердом теле могут распространяться сле-
дующие волны [139]: продольные, поперечные (сдвиговые), изгиб-
ные, волны растяжения, поверхностные (релеевские) и крутиль-
ные. Название соответствует типу колебания, которое совершает
частица твердого тела. В табл. 21.1 приведены значения скоростей
продольных, поперечных и поверхностных волн для некоторых ме-
таллов, а также постоянные, которыми они характеризуются [139].

Таблица 21.1. Скорость распространения ультразвука

Материал i Плотность р, г/см3 Модуль Юнга Е, кг/мм2 Коэффициент о Пуассона Скорость про- дольной волны в неогр. среде V, м/с Скорость про- дольной волны в стержне м/с Скорость по- перечной волны V2, м/с Скорость по- верхностной волны V2, м/с Волновое со- противление pV, г/см2с
Алюминий 2,7 7100 0,34 6260 5080 3080 2860 169
Вольфрам 19,1 36200 0,35 5460 4310 2620 2440 1042
Медь 8,9 12500 0,35 4700 3710 2260 2110 418
Никель 8,8 20540 0,31 5630 4785 2960 2760 495
Кварц 2,6 7630 0,17 5570 5370 3515 3200 145
Стекло 3,6 5850 0,22 4260 4000 2560 2350 154

Наибольшая скорость распространения — скорость продольной
волны в неограниченной среде, наименьшая — скорость поверх-
ностной волны.

Например, если взять алюминиевый стержень, то для получения
задержки в 1 мс необходимо, чтобы его длина была равна 5,08 м
(продольная волна) или 2,86 м (поверхностная волна). При этом
длина волны, определяемая по формуле

l = v/f, (21.28)

равна 5,08 см (»=Vi) и 2,86 см (ц=Уз) соответственно, если час-
тота /=100 кГц.

Принципиально для создания МЛЗ можно использовать любой
из перечисленных типов волн, если возбудить именно этот тип вол-
ны и между началом и концом линии обеспечить съем колебаний
через интервалы, кратные длительности импульсов.

Следует подчеркнуть, что возбуждение ультразвуковых колеба-
ний производится радиочастотными колебаниями, причем часто-
ты колебаний, естественно, равны, а длины волн отличаются из-за
различия скоростей распространения.

Возбуждение ультразвуковых волн осуществляется с помощью
преобразователей электрических колебаний в механические с дан-
ным типом волны. Прием задержанных импульсов производится
при помощи обратных преобразователей механических колебаний
в электрические. Для создания ультразвуковых линий задержки ис-
пользуются два типа преобразователей (прямых и обратных): пье-
зоэлектрические и магнитострикционные. Первые основаны на
пьезоэлектрическом эффекте, который заключается в растяжении
или сжатии определенного кристалла (кварца, турмалина и др.)
под действием электрического поля. Второй основан на магнито-
стрикционном эффекте — изменении размеров ферромагнитного
материала под действием магнитного поля. Оба эти эффекта об-
ратимы. Пьезоэлектрические преобразователи позволяют возбуж-
дать продольные, поперечные, поверхностные и крутильные вол-
ны, а магнитострикционные — продольные.

Хотя принципиально и можно создать МЛЗ на любом типе
волны, но наиболее просто осуществить большое число отводов
можно только при использовании поверхностных акустических
волн (ПАВ). Именно МЛЗ ПАВ получили наибольшее распро-

Рис. 21.13. Согласованный фильтр
на МЛЗ ПАВ для сигнала Баркера
с АГ='5

Рис. 21.12. Встречно-штыревой пре-
образователь для возбуждения ПАВ

странение в настоящее время
и считаются одним из перспек-
тивных устройств для обработ-
ки ШПС [124, 130, 131].

Возбуждение ПАВ в зву-
копроводе производится с по-
мощью встречно-штыревых
преобразователей (ВШП)
[124, 130, 131]. Схематическое
изображение ВШП приведено
на рис. 21.12 (а — вид сбоку на
звукопровод, б—вид сверху).
Наиболее простой ВШП пред-
ставляет собой совокупность параллельно расположенных
металлических электродов, размещенных на поверхности звуко-
провода, в качестве которого используется твердый пьезоэлект-
рик. Электроды имеют периодическую структуру. Они разделены
на две группы, а к общим элементам групп присоединяются вход-
ные (выходные клеммы). При подаче на входы электрического по-
ля в звукопроводе возникает электрическое поле, которое за счет
пьезоэлектрического эффекта создает механические напряжения,
приводящие к появлению ультразвуковых волн. На каждом элект-
роде электрическое поле меняет знак. Поэтому на частотах, для
которых длина периода решетки к равна нечетному числу длин
волн, ПАВ излучаются в обоих направлениях по поверхности зву-
копровода. Прием ПАВ, а также и съем ПАВ с промежуточных
отводов осуществляется с помощью аналогичных ВШП. Например,
на рис. 21.13 схематично изображен согласованный фильтр на
МЛЗ ПАВ, предназначенный для обработки инверсного сигнала
Баркера с М=5. Фазирование обеспечивается кодированным при-
соединением ВШП отводов к выходным шинам с помощью про-
волочных соединений.

ВШП возбуждает не только ПАВ, но и объемные волны [130].
Формирование объемных волн приводит к дополнительным по-
терям, к изменению характера излучения ПАВ, к искажениям сиг-
нала. Отраженные сигналы, искажающие полезный сигнал, возни-
кают из-за отражений объемных волн от нижнего края звукопро-
вода (подложки), а также из-за отражений ПАВ и объемных волн
от торцов звукопровода. Для борьбы с отражениями используют
поглотители.

Как было отмечено, в качестве звукопроводов в МЛЗ ПАВ ис-
пользуются твердые пьезоэлектрики, параметры которых приведе-
ны в табл. 21.2. Чем больше относительная полоса пропускания,
т. е. чем больше база ШПС, тем больше потери при возбуждении
и приеме ПАВ. На рис. 21.14 представлены кривые потерь для
звукопроводов из различных материалов [Г24, 130, 131]. Наимень-
шие потери у ниобата лития, что согласуется с табл. 21.2.

Таблица 21.2. Параметры
пьезоэлектриков [130]

Материал Скорость ПАВ, см/с Относи- тельная полоса пропуска’ НИЯ, %
Кварц 3159 5,4
Кварц (НС) 3209 —
Кварц (ST) 3157 4,5
Ниобат лития 3488 24
Такталат лития 3230 10
Германат висмута 1620 10...15

Рис. 21.14. Зависимость между полосой
и затуханием ПАВ
Таблица 21.3. Параметры линейных согласованных фильтров
на МЛЗ ПАВ для ФМ ШПС [124]

Параметр Фильтр I Фильтр II Фильтр III Фильтр IV Фильтр V
Центральная частота, МГц 2,5 20 60 40 60
Длительность задержки Т, мкс 50 10,4 12,5 1 102
Длительность одиночного им- пульса То, мкс 1,6 0,8 0,05 0,2 0,1 1023
Число импульсов W (база ШПС) Материал звукопровода 31 13 255 5
Кварц Кварц Кварц YX Ниобат лития Кварц ST
Затухание, дБ 90 50 30 20 50
Технические боковые пики, дБ 14 29 22 30 30
Энергетические потери, дБ 1 3 2 2 3
Динамический диапазон, дБ 30 30 60 80 110

В табл. 21.3 приведены параметры пяти линейных согласован-
ных фильтров на МЛЗ ПАВ [124], разработанные для обработки
ФМ ШПС.

Особое внимание привлекает пятый фильтр, позволяющий об-
рабатывать ФМ ШПС с базой N= 1023 при ширине спектра
— 10 МГц и длительности Т~ 102 мкс. Недостатком является до-
вольно большое затухание (50 дБ), для компенсации которого не-
обходимо использовать широкополосные усилители.

Из табл. 21.3 следует, что максимальное время задержки МЛЗ
ПАВ составляет 100 мкс. Это является серьезным ограничением
для применения согласованных фильтров на МЛЗ ПАВ. Ограниче-
нием дальнейшего увеличения времени задержки является длина
звукопровода-пьезоэлектрика. Например, чтобы получить задерж-
ку, равную 1 мс, необходимо иметь сплошную кварцевую пластину
длиною, примерно, 3 м. В настоящее время такие пластины не по-
лучены. Для построения безотводных ЛЗ ПАВ используют слож-
ные звукопроводы с удлиненным ходом волны {130, 131], но ис-
пользование их в качестве многоотводных весьма проблематично.
Для того, чтобы увеличить длительность ШПС, используют кас-
кадное соединение МЛЗ ПАВ [130, 131], но при этом необходимо
компенсировать большое затухание, что приводит к значительным
габаритам согласованных фильтров.

Необходимо отметить, что при взаимодействии двух поверхност-
ных волн в линии задержки возникают нелинейные явления, кото-
рые позволяют получить произведение этих сигналов [131]. Так как
линия задержки на ПАВ обладает памятью, то в этом случае мож-
но получить не только произведение двух сигналов, но и интеграл
от них. Устройства такого типа на ПАВ получили название кон-
вольверов [131]. В конвольвере входной сигнал подается на ВШП,
расположенный на одном конце линии задержки, а опорный сиг-
нал — на ВШП, расположенный на другом конце линии задерж-
ки. С промежуточных отводов снимается напряжение, пропорцио-
нальное значениям корреляционных интегралов, при различных
временных сдвигах между входным сигналом и опорным. На базе
конвольверов на ПАВ строятся многоканальные корреляторы.

Многоотводные магнитострикционные линии задержки. Такие
линии задержки также являются ультразвуковыми. Магнитострик-
ционный преобразователь (рис. 21.15) состоит из катушки 2 и маг-
нита 3. Магнит, создавая напряженность магнитного поля Но, вы-
водит рабочую точку на линейный участок характеристики (рис.

} Рис.

5. Магнитострикционный
преобразователь

21.16) —кривой магнитострикции (Н— напряженность магнитно-
го поля, AZ// — относительное изменение длины ферромагнетика
из-за магнитострикции). Импульс тока, протекая по катушке 2,
создает переменное магнитное поле, которое сжимает или расширя-
ет ферромагнитный стержень 1. Возникшая продольная волна рас-
пространяется по стержню. Для того, чтобы импульс мало иска-
жался, необходимо иметь ДЯ<Яо. Приемный преобразователь та-
кой же. Он основан на обратном магнитострикционном эффекте.

На рис. 21.17 приведены кривые магнитострикции для некото-
рых металлов и сплавов [139, 140]. Кривая 1 соответствует нике-
лю Ni, кривая 2 — железу Fe, кривые 3—5 — железоникелевым
сплавам: 3 —Fe 94%, Ni 6%; 4 — Fe 71%, Ni 29%; 5 — Fe 24%,
Ni 76%. В основном для линий задержки используется никель, так
как он обладает лучшими механическими характеристиками.

Рис. 21.16. Характеристика
магнитострикционного преоб-
разователя

Рис. 21.17. Кривые магнитост-
рикции
Максимальная рабочая частота МЛЗ определяется преобразо-
вателем (точнее, длиной участка звукопровода, который охватыва-
ется магнитным полем катушки). Длина катушки должна быть
меньше Х/2 (21.28), чтобы не было компенсации наводимой ЭДС в
различных частях катушки. Например, если f=l МГц, %=5 мм, то
длина катушки должна быть меньше 2,5 мм. При такой малой
длине катушки коэффициент передачи преобразователя будет мал.
При обычных преобразователях максимальная рабочая частота
равна примерно 100—500 кГц. Приведем данные типичного пре-
образователя [141]. Катушки как входного (передающего), так и
выходного (приемного) тока имеют длину 2 мм, внутренний диа-
метр 1,5 мм. Диаметр провода входной катушки 0,5 мм, у выход-
ной— 0,3 мм. Число витков у входной катушки 500, у выход-
ной— 1300. Можно уменьшить участок звукопровода, охватывае-
мого катушкой, если применить специальный преобразователь
[142], у которого максимальная рабочая частота достигает 3 МГц.

При конструировании МЛЗ необходимо обращать особое вни-
мание на уничтожение ложных импульсов, отраженных от концов
звукопровода. Для этого можно использовать либо поглощение па-
дающей волны на концах звукопровода с помощью поглотителей,
либо производить компенсацию. На практике в большинстве случа-
ев используют оба метода сразу. В качестве поглотителей исполь-
зуют пористую резину, полихлорвинил и другие материалы.

Пример использования магнитострикционной линии задержки
(со 100 отводами) для обработки сложного сигнала приведен в ра-
боте [143].

Рассмотрев типы и характеристики многоотводных линий за-
держки, перейдем к вопросу о рассогласованиях и фильтрах с та-
кими линиями.

21.7. Влияние рассогласований
на работу согласованных фильтров с МЛЗ

Кроме общих рассогласований, рассмотренных в § 20.5, в фильтрах с мно-
гоотводными линиями задержки всегда имеются рассогласования, вызванные прин-
ципом построения фильтров. Как показали исследования [144, 145], рассогла-
сования, вносимые кодерами, можно разделить на амплитудные и фазовые, соот-
ветственно операциям, которые осуществляет кодер. Амплитудные рассогласо-
вания определяются отличием амплитуды n-го импульса ani от номинального
значения ап. Пусть \ап—ап i—ап. Величина Аап случайная, так как вызыва-
ется случайными разбросами при настройке фильтров. Если дисперсия случайной
величины &ап!ап есть о2а, а среднее значение равно нулю, то среднее значение
отношения сигнал-помеха [144] уменьшится в 1—<т2а/2 раз, а среднее значение
боковых пиков не изменится.

Так как п2а<С1, то влиянием амплитудных рассогласований можно прене-
бречь. Причем среднеквадратические значения отношения сигнал-помеха и
боковых лепестков (уа = Т/2/ЛГ, т. е. с ростом N уменьшаются.
Фазовые рассогласования — это отличие фазы n-го импульса Oni от но-
минального значения 0Л. Пусть А0=0пг~0». Интерес представляет случай*
когда Д0п — случайная величина. Ее среднее значение равно нулю, а дисперсия
о20. Тогда отношение сигнал-помеха [144] уменьшается в 1—о20раз. Напри-
мер, если о0 =0,175 (10°), то 4—о20 =0,97. Таким образом, малые фа-
зовые рассогласования оказывают малое влияние. С ростом о0 влияние их
будет усиливаться. Среднеквадратическое значение отношения сигнал-помеха
равно o0"J/2/W, т. е. с ростом N уменьшается.

Детерминированное изменение 0П не представляет интереса, так как при
этом ДОп=const и суммирование импульсов не изменится.

Рассогласования, вносимые линией задержки, в основном, приводят к сме-
щению импульсов друг относительно друга из-за того, что задержка л-го им-
пульса tni может отличаться от номинальной tn = (n—1)т0. Назовем эти рассо-
гласования тактовыми, подразумевая под тактом момент возникновения л-го
импульса в случае, когда рассогласований нет. Тактовые рассогласования мо-
гут быть случайными (разбросы при сборке и регулировке), так и детермини-
рованными (сдвиг такта при изменении температуры или других факторов, ко-
торые изменяют задержку линии в одну сторону). Влияние тактовых рассогла-
сований зависит от типа отводов линии задержки (регулируемый или постоян-
ный), а также от того, какой сигнал обрабатывается — радиочастотный или
видеочастотный.

В табл. 21.4 приведены расчетные формулы для определения относительно-
го уменьшения отношения сигнал-помеха (в случае разбросов его среднего зна-
чения) и среднеквадратическое значение изменения боковых лепестков. В табл.
21.4 приняты следующие обозначения; <оо — центральная частота, (jt—средне-
квадратическое значение ошибки, с которой устанавливается положение отвода
в случае линии с регулируемыми отводами, или среднеквадратическое значение
задержки между двумя отводами в случае линии с постоянными отводами;

Таблица 21.4. Рассогласование в МЛЗ

Рассогласо- вание Сигнал Отвод Относительное уменьше- ние отношения сигнал- помеха Среднеквадратическое значение изменения бо- кового пика
Разбросы такта Радиоча- стотный Регул. 1—(<00СГ()2
Пост. 1—(«оС*)2
Видеоча- стотный Регул. 1-^
Пост. 1 N "2 !— 2 Wt <1/лВД
Сдвиг такта Радиоча- стотный Регул. № 1-^-(<ооАт)*
Видеоча- стотный Пост. № „ 1—го(Дт)2 16 (Дх)2
г"0 —вторая производная корреляционной функции одиночного импульса, кото-
рая определяется из ее представления в виде параболы

1—'о 1^/2. (21.29)

Отметим, что если используются прямоугольные импульсы, то такая форма
записи не справедлива. Однако на практике длительность фронтов импульса
конечна. При этом формула (21.29) обеспечивает малую ошибку. Если допус-
тить, что длительность фронта порядка (0,14-0,15) То, то г"о= (104-20)/т2о.

Отметим основные черты приведенных результатов. Во-первых, в случае
радиочастотного сигнала все соотношения зависят от произведения <o2o(J2t =
= (2n)2o2t/r20, То=2л/(0о, в то время как в случае видеочастотного сигнала —
от r"oo2t«20o2t/T20 (для сдвига такта вместо (Jt стоит Дт). Так как то^>То, то*
очевидно, что требования к радиочастотной линии задержки более жесткие, чем
к видеочастотной. Поэтому изменение боковых лепестков для радиочастотного
сигнала не рассматривалось ввиду их малого значения, так как уменьшение от-
ношения сигнал-помеха играет в этом случае основную роль. Во-вторых, при
разбросах такта для линии с постоянными отводами уменьшение отношения сиг-
нал-помеха зависит от числа отводов (импульсов) N, так как в этом случае про-
исходит накопление тактовых рассогласований в звеньях. В-третьих, наиболее
сильно сказывается сдвиг такта, так как он приводит к смещению всех импуль-
сов сигнала в одну сторону относительно импульсной характеристики. Полагая
г"=19/т2о, Nr"(Дт)2/24=0,21 (потери равны 1 дБ) и учитывая, что ДтЛГ=ДТ,
получаем оценку (20.29). Таким образом сдвиг такта (изменение масштаба вре-
мени) является наиболее сильным рассогласованием в многоотводных линиях за-
держки.

21.8. Сравнение линейных согласованных фильтров

В табл. 21.5 представлены оценки основных параметров согласованных
фильтров с различными типами МЛЗ, полученные путем сравнения и сопостав-
ления параметров, приведенных в работах [16, 115, 119, 121, 124, 130, 131].

Необходимо отметить, что параметры, приведенные в табл. 21.5, во-пер-
вых, являются довольно грубыми оценками и, во-вторых, они не могут отра-
зить данных о новых МЛЗ, которые появятся в ближайшем будущем. Это оп-
ределяется тем, что в настоящее время проблема создания линейных согласо-
ванных фильтров с многоотводными линиями задержки, обрабатывающими
ШПС с большими базами, длительностями, полосами частот, обладающих ма-
лым потреблением энергии и малыми габаритами, стоит также остро, как и
десять лет назад.

Таблица 21.5. Параметры линейных согласованных фильтров
с многоотводными линиями задержки

Тип МЛЗ Диапазон рабочих частот, МГц Время за- держки, мкс Полоса пропуска- ния, МГц База шпс Затуха- ние, дБ
Электромагнитные (кабели за- 20. ..100 5. ...2 5.. .30 25 ...60 10.. .40
держки) Электрические (МЭЛЗ) 0,1. ..10 100. ...50 0,5.. .2 50 ...100 3.. .5
МЛЗ ПАВ 10. ..103 100. ...500 5.. .200 100. ...103 30.. .60
Магнитострикционные 0,1. ..5 10». ...100 0,1.. .1 100 60.. .80
22. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СОГЛАСОВАННЫЕ
ФИЛЬТРЫ

22.1. Дискретный согласованный фильтр

Дискретный согласованный фильтр (ДСФ) является дискрет-
ным устройством обработки непрерывных (аналоговых) сигналов.
Принцип действия и основные работы по ДСф приведены в [5].

Принцип действия ДСФ основан на
квантовании непрерывного колебания
(рис. 22.1) по времени и по амплитуде.

Структурная схема ДСФ приведе-
на на рис. 22.2. Непрерывное радио-
частотное колебание с выхода линей-
ной части приемника с помощью пе-
ремножителя переводится в область
видеочастот, проходит через фильтр
нижних частот и поступает на первое
решающее устройство (I РУ). Напря-
жение на входе I РУ имеет вид, изо-
браженный на рис. 22.1,а. Первое ре-
шающее устройство состоит из дву-
стороннего ограничителя и каскада
совпадения «1». В I РУ производится
(дискретизация) сигнала по времени и
по амплитуде на два уровня: 1 и
0. Напряжение на выходе I РУ

изображено на рис. 22.1,в. Как следует из принципа работы I РУ,
оно принимает решение о знаке непрерывного колебания в момент
отсчета. Регистр сдвига (PC) выполнен на D-триггерах и являет-
ся дискретной линией задержки. При некогерентном приеме на
каждый сигнал должно приходиться два квадратурных канала,
выполненных по структурной схеме рис. 22.2, но с двумя опорны-
ми колебаниями cos aot и sin atot.

Свойства ДСФ имеют много общего со свойствами обычного
линейного согласованного фильтра (ЛСФ). Что же касается осо-
бых свойств, одно из них заключается в том, что напряжение на
выходе ДСФ не является АКФ сигнала, которая имеет место на
выходе ЛСФ. На рис. 22.3 представлена ненормированная АКФ

Рис. 22.2. Дискретный согласованный фильтр
364
сигнала Баркера с числом символов
7V=11 (тонкая линия) и напряжение
на выходе ДСФ (толстая линия). На-
пряжение на выходе ДСФ отличается
от напряжения на выходе ЛСФ не
только своей дискретной структурой,
но и формой: уровень боковых пиков
иной и имеется значительная постоян-
ная составляющая (штриховая линия).
Это объясняется тем, что основным
элементом ДСФ является регистр
сдвига. Допустим, что осуществляется
когерентный прием дискретного фазо-
манипулированного сигнала с числом
символов N—B и энергией Е.

Вероятность ошибки [5]

РОШД «1-F/4£M7Vo)>

Рис. 22.3 Напряжение на вы-
ходе ДСФ

(22.1)

где F(x) —интеграл вероятности (7.5).

Если прием сигнала производится линейным согласованным
фильтром, вероятность ошибки

РОшл = 1-^(/2ад). (22.2)

Сравнение выражений (22.1) и (22.2) показывает, что увели-
чение вероятности ошибки Рош д в ДСФ эквивалентно максималь-
ным потерям в отношении сигнал-шум в л/2 раз, т. е. на 2 дБ.

Вероятность ошибки при некогерентном приеме с помощью ДСФ
и В->оо

РОшд ~0,5ехр(—E/nN0), (22.3)

т. е. потери также равны п/2.

Исследование помехоустойчивости ДСФ при воздействии гармо-
нической помехи показывает, что она значительно ухудшается по
сравнению с помехоустойчивостью линейного согласованного
фильтра.

Помехоустойчивость ДСФ , построенного согласно структурной
схеме рис. 22.2, зависит от времени прихода сигнала, так как не-
обходима синхронизация по тактовой частоте, с которой размеще-
ны импульсы в сигнале.

При неидеальной тактовой синхронизации отношение сигнал-
шум [123]

/,2 (22.4)

Д~ к т0 Г

где т — временное отклонение тактовой синхронизации, то — дли-
тельность импульса ФМ сигнала.

Для того, чтобы ДСФ был инвариантен относительно време-
ни прихода сигнала, можно построить квазиоптимальный ДСФ
по схеме рис. 22.2, расширяя полосу фильтра нижних частот до
д/=2/то и удваивая тактовую частоту генератора тактовых им-
пульсов и число ячеек в регистре сдвига.

В работе [146] показано, что в среднем квазиоптимальный
ДСФ проигрывает оптимальному в отношении сигнал-шум 1 дБ.
Максимальные потери в квазиоптимальном ДСФ [146] равны
4,5 дБ.

22.2. Дискретно-аналоговый согласованный фильтр

Принцип действия дискретно-аналогового согласованного
фильтра (ДАСФ) [134, 147, 148] поясняется рис. 22.4. Непрерыв-
ное колебание x(t) (тонкая линия) квантуется по времени и каж-
дое выборочное значение запоминается на интервале квантова-
ния. Тем самым непрерывное колебание заменяется дискретно-
аналоговым (толстые линии на рис. 22.4). Для обработки такого
колебания необходимо иметь в первую очередь дискретно-анало-
говую линию задержки (ДАЛЗ). В ячейках памяти в течение ин-
тервала квантования должны храниться выборочные значения, ко-
торые были записаны в начале этого интервала. В следующий
такт каждое выборочное значение должно быть переписано в но-

вый согласованный фильтр

Кл — ключ, П — ячейка памяти

На рис. 22.5 приведена структурная схема ДАСФ. Назначение
Ал — перенос информации с предыдущей ячейки памяти на после-
дующую. Ритмом работы ДАСФ управляет генератор тактовых им-
пульсов (Г). Импульсный модулятор преобразует непрерывное ко-
лебание в дискретно-аналоговое в соответствии с рис. 22.4. С выхо-
да каждого отвода ДАЛЗ (с выходов П) напряжения поступают
на усилители и фазовращатели, а затем суммируются. Отметим
только, что помехоустойчивость ДАСФ практически такая же, как
и помехоустойчивость линейных согласованных фильтров.
22.3. Приборы с зарядовой связью

Принцип действия ПЗС рассмотрен в ряде книг и в многочис-
ленных статьях. Данный параграф написан по материалам книг
[125, 132—134, 149, 150].

Принцип действия ПЗС основан на переносе заряда от одного
конденсатора к другому, а конденсаторы выполнены в интеграль-
ном исполнении. ПЗС представляет собой последовательность
МОП-конденсаторов (рис. 22.6), образованных на одной подлож-
ке. МОП-конденсатор состоит из трех элементов: металл — оки-
сел — полупроводник. На верхней части кремниевой полупровод-
никовой подложки (n-типа) расположен слой окисла, на котором
укреплены металлические пластины (1, 2... тп). К последним
подводятся управляющие напряжения, обеспечивающие перенос-
заряда от одного МОП-конденсатора к другому. Ввод и вывод
обеспечиваются специальными электродами на краях ПЗС (об-
ласти р+).

Рис. 22.6. Структура прибора с за-
рядовой связью

Рис. 22.7. Процесс переноса заряда в
трехфазном ПЗС

Процесс переноса заряда в ПЗС представлен на рис. 22.7. Не-
обходимо отметить, что процесс переноса заряда можег произ-
водиться в несколько тактов. Это приводит к тому, что в ПЗС
МОП-конденсаторы, работающие синхронно (в одном такте), при-
соединены к одной шине (фазе). Рис. 22.7 иллюстрирует процесс
переноса заряда в трехфазном ПЗС. Электроды объединены в
группы. Слева от шин указано напряжение, действующее на ши-
нах. В начальный такт (рис. 22.7,а) .на электродах 1, 4, 7... дей-
ствует отрицательное (относительно подложки) напряжение —
а на остальных электродах —Uit причем U2>1- Под электрода-
ми 1, 4, 7... присутствуют заряды (изображены знаками 4- +)•

0,1 0,2 0,3

Рис. 22.8. Амплитудно-
частотная характеристи-
ка ПЗС

Во втором такте (рис. 22.7,6) к электродам 2, 5, 8... прикладыва-
ется напряжение —£/з(^з>^г). Под действием —U3 заряды пе-
ремещаются в области электродов 2, 5, 8... На третьем такте
(рис. 22.7,в) на электроды 2, 5, 8... подается напряжение —U2 и
под этими электродами начинается этап хранения заряда. Следо-
вательно, тактированное изменение управ-
ляющих напряжений позволяет переме-
щать заряды вдоль ПЗС.

Минимальная тактовая частота ПЗС со-
ставляет десятки герц, а максимальная так-
товая частота трехфазных ПЗС — порядка
10 МГц. Естественно, с улучшением техно-
логии диапазон изменения тактовых частот
будет расширен. Минимальная тактовая ча-
стота в значительной степени определяется
изменением температуры окружающей
среды.

В настоящее время существует много
модификаций ПЗС. Особое внимание заслу-
живают ПЗС с углубленным каналом пере-
носа. В них заряды перемещаются внутри
канала с некоторым объемом. Замена по-

верхностного переноса заряда объемным позволяет существенно
увеличить максимальные тактовые частоты до значений 100 МГц.

Процесс переноса заряда сопровождается потерями е, которые
определяются следующим образом

8 = (Qft-Qft+i)/Qft, (22.5)

где Qk — заряд i-ro МОП-конденсатора на £-м такте, Qk+i — за-
ряд t+1-го МОП-конденсатора на (&+1)-м такте. Величина е ха-
рактеризует потери при переносе заряда в следующий конденса-
тор. Потери е в общем виде приводят к зависимости АЧХ ПЗС
от частоты. Нормированная АЧХ ПЗС описывается следующим
выражением [125, 134, 149]:

&пзс (f) = ехр {—n е [ 1—cos (2л (22.6) •

где [т — тактовая частота, f—текущее значение частоты сигна-
ла, n=tnN — число МОП-конденсаторов, т — число тактов (фаз),
N — число разрядов. На рис. 22.8 изображена нормированная
АЧХ ПЗС. Чем больше произведение пе, тем больше результи-
рующие потери и тем меньше полоса пропускания ПЗС, которая
определяется следующим соотношением:

F=0,5fTexp(—ne)/0(2ne), (22.7)

где /0 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
При пе>1 ширина полосы пропускания F~/т/4(лпе)1/2. Для со-
временных ПЗС е~10-3... 10-4. Если положить пе=0,1, то при е=
= 10~4 число разрядов АГяаЗЗО. Следовательно, даже малые поте-
ри приводят к тому, что число разрядов дискретно-аналоговой ли-
нии задержки (ДАЛЗ) на ПЗС ограничено. Сужение полосы про-
пускания ПЗС аналогично сужению полосы пропускания МЭЛЗ,
но ПЗС позволяет обрабатывать ШПС с большими базами.

В настоящее время известно большое число различных моди-
фикаций ДАСФ на ПЗС, но в целом схема, приведенная на
рис. 22.5, остается базовой. Пока что максимальная база ФМ
ШПС обрабатываемого ДАСФ на ПЗС достигает значения У=
= 512 при тактовой частоте 10 МГц, потерях е=1,6*10-4 и мощ-
ности потребления 2,1 Вт [151].

22.4. Программируемые согласованные фильтры

Развитие цифровой техники, приборов на ПАВ и ПЗС привело
к интенсивной разработке программируемых согласованных
фильтров (ПСФ), предназначенных для обработки ШПС с боль-
шими базами в условиях быстрой смены сигналов [114, 125, 130,
132—135, 149, 151—154]. Принцип действия ПСФ заключается в
том, что каждый отсчет входного сигнала в соответствии с корре-
ляционным интегралом умножается на опорный сигнал, храня-
щийся в опорном регистре. В свою очередь опорный сигнал мо-
жет быть быстро сменен в опорном регистре путем стирания
прежнего и записи нового сигнала по команде.

В оптимальном приемнике ПСФ может быть включен вместо
ДСФ (рис. 22.2) или вместо ДАСФ (рис. 22.5). На рис. 22.9 изо-

бражен ПСФ. Основными устройствами ПСФ являются два ре-
гистра— две дискретные линии задержки. Сдвиговая (или сиг-
нальная) линия задержки (СДЛЗ) служит для создания сдвину-
тых на такт копий входного сигнала, которые поступают на пе-
ремножители. На вторые входы перемножителей поступают по-
стоянные напряжения, равные отсчетным значениям опорного сиг-
нала, от опорной дискретной линии задержки (ОДЛЗ). Напряже-
ния на выходах ОДЛЗ постоянны й изменяются лишь при смене
опорного колебания. Последовательность напряжений на выходах
ОДЛЗ устанавливается в соответствии с кодовой последователь-
ностью ФМ ШПС по команде, которая обеспечивает передачу
требуемой кодовой последовательности от постоянного запомина-
ющего устройства (ПЗУ), в котором хранятся все ШПС, исполь-
зуемые в системе связи. По сути дела ОДЛЗ является оператив-
ным запоминающим устройством (ОЗУ). Умножение копий вход-
ного сигнала, изменяющихся во времени, на постоянные значения
опорного сигнала, эквивалентно умножению входного сигнала на
импульсную характеристику согласованного фильтра. Сумматор
производит операцию суммирования, что эквивалентно интегриро-
ванию в корреляционном интеграле. Для работы ПСФ в области
видеочастот необходимо перенести спектр с помощью преобразова-
теля частоты (перемножитель на входе), отфильтровать его и за-
тем произвести дискретизацию и квантование входного сигнала
(I РУ)так же, как это осуществляется в ДСФ (рис. 22.2). Перенос
сигналов на видеочастоту необходим в том случае, когда СДЛЗ и
ОДЛЗ выполняются на элементах цифровой техники или на ПЗС.
Если ДЛЗ выполняется на ПАВ, то перенос сигнала необходимо
осуществлять в область рабочих частот ПАВ.

Параметры ПСФ полностью определяются параметрами ДЛЗ.

Параметры ДЛЗ на ПАВ и ПЗС были рассмотрены ранее, а
ДЛЗ на элементах цифровой техники будут рассматриваться в сле-
дующем параграфе.

22.5. Цифровые согласованные фильтры

Дискретный согласованный фильтр (ДСФ) обеспечивает прием
информации с относительно малыми потерями информации— по-
рядка 2... 4 дБ. Квантование входного сигнала в ДСФ производит-
ся на два уровня, что обеспечивает простоту ДСФ и надежность
его работы. Вместе с тем, у конструкторов ШСС всегда существу-
ет требование — уменьшить потери. Для уменьшения потерь необ-
ходимо увеличивать число уровней квантования. В этом случае
каждый отсчет входного сигнала представляется в цифровом ви-
де — в виде кодовой последовательности. При этом дискретный со-
гласованный фильтр превращается в цифровой согласованный
фильтр (ЦСФ) [12, 119, 126, 128, 135, 155, 156].

Допустим, что входной сигнал квантуется на п уровней, причем
п=2т. При этом число разрядов в кодовой последовательности
равно т. Если ФМ ШПС состоит из N импульсов, то общая па-
мять ЦСФ равна mN. На рис. 22.10 приведена упрощенная схема
ЦСФ. Входной сигнал после переноса в область видеочастот по-
ступает на вход дискретизатора (Д), который превращает непре-

Рис. 22.10. Цифровой согласованный фильтр
370
рывный сигнал в дискретный, т. е. на выходе дискретизатора су-
ществует последовательность отсчетов, следующих с интервалом
отсчета. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует
каждый аналоговый отсчет в кодовую последовательность (КП) из
т символов и направляет символы поразрядно в соответствующие
ДСФ. Число ДСФ равно числу разрядов т. ДСФ0... ДСФт-1 оп-
тимально обрабатывают последовательность разрядов и передают
их в цифроаналоговый преобразователь (ЦАП), который из по-
следовательности оптимально обработанных разрядов преобразует
дискретный сигнал в аналоговый. Если число уровней квантования
велико, то сигнал на выходе ЦАП должен иметь форму АКФ на
выходе линейного согласованного фильтра. Известно несколько
модификаций ЦСФ, но основным отличием ЦСФ от ДСФ являет-
ся наличие т ДЛЗ с общей памятью mN. Наличие АЦП и ЦАП
также отличает ЦСФ от ДСФ, но при больших базах ШПС, т. е.
при N^>\, основным является наличие т ДЛЗ.

Таблица 22.1. Основные характеристики БИС

Тип БИС Произведение мощность X X задержка, пДж Типовая за- держка, нс Число компонен- тов в вен- тиле Плотность упаковки, вентиль/мм2 Типовое напряже- ние пита- ния, В
ТТЛ 30...50 6...30 (10) 12 10...20 +5,0
ТТЛ — Шоттки 10...60 2...10 (5) 12 20...40 +5,0
ЭСЛ 15...80 0,7...2 (2) 8 15...20 —5,2
И2Л 0,2...2 7...50 (20) 3...4 75...150 4-1.0
МОП-р 50...500 30...200 (ЮО) 3 75...150 —20
МОП-л 5...50 4...25 (15) 3 100...200 4-5
К/МОП на монолит- ной подложке 2...40 10...35 (20) 4 40...90 4-Ю
К/МОП на сапфиро- вой подложке 0,5...30 4...20 (Ю) 4 100...200 4-ю
К/МОП на сапфире (1985—1990 гг.) 0,1...0,2 0,2...0,4 (0,3) 3...4 200...500 4-2
БИС на арсениде галлия (1985—1990 гг.) 0,01...0,1 0,05...0,1 (0,07) 2 300...1000 4-1.2
С ростом базы ШПС N и увеличением числа разрядов т прихо-
дится учитывать как конечное быстродействие ЦСФ, так и потреб-
ляемую им мощность. В табл. 22.1 приведены данные современных
и будущих больших интегральных схем (БИС), которые позволяют
в первом приближении оценить быстродействие и потребление
энергии ЦСФ, выполненных по той или иной технологии [157—
161].

В табл. 22.1 в первом столбце указаны тип БИС и технология
их изготовления, причем два последних типа БИС являются пер-
спективными и ожидается, что они выйдут из стадии разработки
в 1985—1990 гг. [158]. Во втором столбце приведено произведение
потребляемой мощности на время задержки в пДж-Вт-с-10-12. Чем
меньше это произведение, тем лучше, так как чем меньше потреб-
ляемая мощность одним вентилем, тем меньше потребляемая мощ-
ность ЦСФ, а чем меньше задержка, тем больше быстродействие.
В третьем столбце приведена типовая задержка в нс (в скобках
приведены значения для технологии с окисной изоляцией). Число
интегральных компонент в двухвходовом вентиле приведено в чет-
вертом столбце, а плотность упаковки — в пятом. Типовое напря-
жение питания дано в шестом столбце.

Зная структуру ЦСФ, можно найти его параметры при созда-
нии с помощью той или иной элементной базы. Например, ЦСФ
для ФМ ШПС с базой М=512, длительностью 7= 102,4 мкс и чис-
лом уровней квантования п=4 при изготовлении с помощью БИС
И2Л будет потреблять около 6 Вт и состоять из 15 кристаллов.

Следует отметить, что ЦСФ (как и ДСФ), построенные на сов-
ременных БИС, потребляют значительную энергию при больших
базах ШПС. Внедрение БИС на сапфире и на арсениде галлия
(табл. 22.1) приведет к тому, что ЦСФ и ДСФ ближайшего буду-
щего будут быстродействующими при малом потреблении энергии.
В то же время БИС и СБИС обладают рядом преимуществ перед
ПАВ и ПЗС (лучшая технологичность, большая надежность, луч-
шая стабильность параметров и малые потери).

23. ПЕРСПЕКТИВЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ
ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ УСТРОЙСТВ ОБРАБОТКИ ШПС

Помехозащищенные широкополосные системы связи должны
работать с ШПС, обладающими большими базами 104... 105
[5—11]. Для уменьшения возможности несанкционированного до-
ступа к передаваемой информации необходимо обеспечивать в
ШСС также смену ШПС по заданной программе. Все это приводит
к тому, что устройства формирования и, особенно, обработки явля-
ются сложными. В настоящее время наиболее перспективными уст-
ройствами формирования и обработки ШПС являются приборы на
поверхностных акустических волнах, приборы с зарядовой связью
и цифровые интегральные микросхемы (ИС), причем среди послед-
ных перспективны специализированные большие и сверхбольшие
(БИС и СБИС). Применение тех или иных приборов зависит от
множества причин, в том числе от требуемых харрактеристик ШСС
(скорости передачи информации, ширины спектра и базы ШПС и
т. п.), от назначения ШСС (наземная, подвижная, бортовая и
т. п.), от уровня развития технологии тех или иных приборов и
т. д.

В настоящее время существуют определенные мнения о приме-
нимости тех или иных приборов для устройств формирования и об-
работки ШПС. Например, в работе [162] приведены границы при-
менимости различных приборов для создания согласованных
фильтров, конвольверов и корреляторов, представленные в табл.
23.1. На рис. 23.1 изображены характеристики приборов на ПАВ
[130, 131, 163, 164], на рис. 23.2 — характеристики ПЗС и прибо-
ров на ПАВ [132, 133, 165, 166], на рис. 23.3 — характеристики
ИС [158].

Таблица 23.1. Сравнение возможностей приборов на ПАВ, ПЗС,
цифровых согласованных фильтров и активных корреляторов
при обработке ФМ сигналов

Технические характери- стики устройств обра- ботки Согласо- ванный фильтр с фиксиро- ванными коэффици- ентами Програм- мируемый согласо- ванный фильтр Конволь- вер Цифровой согласо- ванный фильтр ПЗС Активный корреля- тор
Максимальная центр, частота, МГц 500 250 50 Обработ- ка на ви- деочасто- те Обработ- ка на ви- деочасто- те >1000
Длина последователь- ности, мкс 50 50 40 Произвольная
Полоса, МГц 50 20 100 10 10 500
База 512 256 2000 1000 1000 100000
Динамический диапа- зон при сжатии, дБ 60 50 55 70 60 80
Уровень паразитных откликов, дБ —40 —35 —40 —50 —40 —80
Вносимые потери, дБ 40 45 50 — — 6
Мощность, потребляе- мая устройством, Вт/аналоговый бит 10-3—10-2 10-1—1 IO-5 — — ю—4 —
Следует отметить, что данные, представленные в табл. 23.1 и
на рис. 23.1, 23.2, 23.3, характеризуют приборы 1973—1979 гг. За
истекшее время все эти приборы непрерывно совершенствуются,
их характеристики улучшаются, а также появляются новые прибо-
ры с новой технологией — СБИС на арсениде галлия, на материа-
ле с цилиндрическими магнитными доменами (ЦМД) и др. [167—
177]. Поэтому предсказать, какими будут устройства формирования
и обработки ШПС в 1990—2000 гг. в настоящее время чрезвычай-
но затруднительно.

Рис. 23.2. Характеристики ПЗС и
приборов на ПАВ

Длительность ШПС Т, мне

Рассеиваемая мощность, Вт/вентиль

Рис. 23.3. Характеристики ИМС
Список литературы

1. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Гос*
энергоиздат, 1956.— 150 с.

2. Шеннон К. Математическая теория связи. — В кн.: К. Шеннон. Работ»
по теории информации и кибернетике: 1Пер. с англ./Под ред. Р. Л. Добру*
шина, О. Б. Лупанова. — М.: ИЛ, 1963, с. 243—332.

3. Агеев Д. В. Основы теории линейной селекции. — Научно-технический сбор*
ник ЛЭИС, 1935, № 10.

4. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. — М.: Сов. радио, 1970. — 375 с.

5. Варакин Л. Е. Теория систем сигналов. —М.: Сов. радио, 1978. — 304 с.

6. Статистическая теория связи и ее практические приложения/Под ред»
Б. Р. Левина. — М.: Связь, 1979. — 288 с.

7. Диксон Р. К. Широкополосные системы: Пер. с англ./Под ред. В. И. Жу*
равлева. — М.: Связь, 1979. — 302 с.

8. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь: Пер. с англ./Под ред. В. В. Мар-
кова.— М.: Связь, 1969. — 592 с.

9. Поляков П. Ф. Широкополосные аналоговые системы связи со сложным»
сигналами. — М.: Радио и связь, 1981.— 152 с.

10. Spread Spectrum Modulation Techniques. Report 651. (Study Programme
18B/1), CCIR, 1978, p. 4—14.

11. Мищенко И. H., Волынкин А. И., Волосов П. С., Григорьев М. И. Гло-
бальная навигационная система NAVSTAR. — Зарубежная радиоэлектрони*
ка, 1980, № 8, с. 52—83.

12. Лезин К). С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов.—
М.: Сов. радио, 1969. — 448 с.

13. Цифровые методы в космической связи/Под ред. С. Голомба: Пер. с англ/
Под ред. В. И. Шляпоберского. — М.: Связь, 1969. — 272 с.

14. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки: Пер. с англ./Под
ред. Р. Л. Добрушина, С. И. Самойленко. — М.: Мир, 1976. — 594 с.

15. Теория и применение псевдослучайных сигналов/А. И. Алексеев и др.—
М.: Наука, 1969. — 368 с.

16. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации/В. Б. Пестря-
ков, В. П. Афанасьев, В. Л. Гурвич и др.; Под ред. В. Б. Пестрякова.—
М.: Сов. радио, 1973. — 424 с.

17. Gold R. Optimal Binary Sequences for Spread Spectrum Multiplexing.—
IEEE Trans., Inf. Th., 1967, v. IT-13, N 4, p. 619—621.

18. Hemmati F. A Large Class of Nonlinear Shift Register Sequences. — IEEE
Trans., Inf. Th., 1982, v. IT-28, N 2, p. 355—359.

19. Golay M. J. E. Complementary Series. — IRE Trans., Inf. Th., 1961, v. IT-7,.
N 2, p. 82—87.

20. Варакин Л. E., Моисеева Г. Г. Последовательности максимальной вероят-
ности.— Труды учебных институтов связи, 1976, № 80, с. 49—56.

21. Фрэнк. Многофазные коды с хорошими непериодическими корреляционны*
ми свойствами. — Зарубежная радиоэлектроника, 1963, № 12, с. 39—44.

22. Lewis В. L., Kretschmer F. F. A New Class of Polyphase Pulse Compression
Codes and Techniques. — IEEE Trans. Aerospace Electr. Syst., 1981, v. AES-17,.
N 3, p. 364—372.

23. Haff men D. A. The Generation of Impulse — Equivalent Pulse Trains. — IRE
Trans. Inf. Th., 1962, v. IT-8, N 5, p. 10—16.

24. Barker R. H. Group Synchronizing of Binary Digital System. In the book:
Communication Theory, ed. by W. Jackson. — London, 1953, p. 273—287.

25. Boehmer A. Binary Pulse Compression Codes. — IEEE Trans. Inf. Th., 1967,
v. IT-13, N 2, p. 156—167.

26. Turyn R. Sequences with Small Correlation. In the book: Error Correcting
Codes, ed. by H. B. Mann. — N. — Y.: John Wiley and Sons, 1968, p. 195—
228.

27. Варакин Л. E. Синтез фазоманипулированных сигналов. — Радиотехника »
электроника, 1969, т. 14, № 5, с. 796—806.

28. Вакман Д. Е., Седлецкий Р. М., Шапиро И. 3. Синтез квантованных фа*
зоманипулированных сигналов с хорошими корреляционными свойствами.—
Радиотехника и электроника, 1970, т. 15, № 4, с. 718—727.

29. Пелехатый М. И. О некоторых блок-конструкциях, порождающих последо-
вательности с хорошими автокорреляционными свойствами. — Радиотехника
и электроника, 4970, т. 15, № 7, с. 4428—1439.

30. Пелехатый М. И., Голубев Е. А. Автокорреляционные свойства некоторых
типов двоичных последовательностей. — Проблемы передачи информации,
1972, т. 8, № 1, с. 92—99.

31. Вакман Д. Е., Седлецкий Р. М. Вопросы синтеза радиолокационных сиг-
налов.— Сов. радио, 1973. — 312 с.

32. Goley М. J. Е. Sieves for Low Autocorrelation Binary Sequences. — IEEE
Trans. Inf. Th., 1977, v. IT-23, N 1, p. 43—51.

33. Golay M. J. E. The Merit Factor of Long Low Autocorrelation Binary Sequ-
ences.—IEEE Trans. Inf. Th., 1982, v. IT-28, N 3, p. 543—549.

34. Глобус И. А. О функции распределения ВКФ полного кода. — Радиотех-
ника, 1977, т. 32, № 3, с. 80—82.

35. Велти. Четверичные коды для импульсного радиолокатора. — Зарубежная
радиоэлектроника, 1961, № 4.

36. Tseng С. — С., Liu С. L. Complementary Sets of Sequences. — IEEE Trans.
Inf. Th. 1972, v. IT-18, N 5, p. 644—651.

37. Frank R. L. Polyphase Complementary Codes. — IEEE Trans. Inf. Th., 1980,
v. IT-26, N 6, p. 641—647.

38. Wilson R., Richter J. Generation and Performance of Quadraphase Welti Co-
des for Radar and Synchronization of Coherent and Differentially Coherent
PSK. —IEEE Trans. Comm., 1979, v. COM-27, N 9, p. 1296—1301.

39. Кор, Кручфилд, Мерчиз. Импульсная УКВ станция, использующая шумо-
подобные сигналы. — Зарубежная радиоэлектроника, 1966, № 4, с. 20—31.

40. Gold R. Maximal Recursive Sequences with 3-valued Recursive Cross-correla-
tion Functions. — IEEE Trans. Inf. Th., 1968, v. IT-14, N 1, p. 154—156.

41. Сарвате Д. В., Персли M. Б. Взаимно-корреляционные свойства псевдо-
случайных и родственных последовательностей. — ТИИЭР, 1980, т. 68, № 5,
с. 59—90.

42. Сальников Ю. К., Варакин Л. Е. Моменты распределения корреляционных
функций линейных систем фазоманипулированных сигналов. — Радиотехника
и электроника, 1981, т. 16, № 2, с. 334—338.

43. Варакин Л. Е., Сальников Ю. К. Оценки максимальных пиков корреляцион-
ных функций фазоманипулированных сигналов. — Труды учебных институ-
тов связи. Приемо-передающая техника и антенны, 1978, с. 67—72.

44. Schneider К. S., Orr R. S. Aperiodic Correlation Constraints on Large Binary
Sequences Sets. — IEEE Trans. Inf. Th., 1975, v. IT-21, N 1, p. 79—84.

45. Варакин Л. E. Объем больших систем фазоманипулированных сигналов.—
Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, № 4, с. 735—741.

46. Варакин Л. Е. Статистическая теория фазоманипулированных сигналов/В
кн.: Statistische Nachrichtentheorie und ihre Anwendunger. Vortrage, gehal-
ten auf dem 2. Internationalen Seminar — SNT80 — in Schnett (Thiiringenu,
DDR April 12. — 16., 1980. — Akademie — Verlag. Berlin, 1981, S. 125—135.

47. Варакин JI. E. Нижняя граница числа оптимальных систем дискретных
частотных сигналов. — Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, № 8,
с. 1692—1695.

48. Варакин Л. Е., Матвеева О. В. Нелинейные композиционные системы дис-
кретных частотных сигналов. — Труды учебных институтов связи. Приемо-
передающая техника и антенны, 1978, с. 61—67.

49. Варакин Л. Е. Объем больших систем дискретных частотных сигналов.—
Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, № 5, с. 963—966.

50. Касами Т., Токура Н., Ивадари Е., Инагави Я. Теория кодирования: Пер.
с япон./Под ред. Б. С. Цыбакова, С. И. Гельфанда. — М.: Мир, 1978.—
576 с.

ЗЕ Блох Э. Л., Зяблов В. В. Линейные каскадные коды. — М.: Наука, 1982.—
229 с.

52. Варакин Л. Е., Сальников Ю. К. Оптимизация системы связи с шумопо-
добными сигналами и корректирующими кодами. — Радиотехника, 1980,
т. 35, № 5, с. 17—22.

53. Блэсбалг. Сравнение псевдошумовых и обычных методов модуляции в
спутниковых системах связи с многократным доступом. — Зарубежная ра-
диоэлектроника, 1967, № 12, с. 28—54.

54. Варакин Л. Е. Помехоустойчивость ШИМ—ШПС и ЧМ—ШПС. — Радио-
техника, 1983, № 5, с. 9—14.

55. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Сов.
радио. Книга первая, 1966. — 550 с.

56. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 2. Теория нели-
нейной модуляции: Пер. с англ./Под ред. В. Т. Горяйнова. — М.: Сов. ра-
дио, 1975. —344 с.

57. Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи: Пер. с англ./Под ред.
Б. Р. Левина. — М.: Сов. радио, 1970.— 392 с.

58. Турин. Согласованные фильтры. — Зарубежная радиоэлектроника, 1961,
№ 3, с. 30—63.

59. Теплое Н. Л. Помехоустойчивость систем передачи дискретной информа-
ции.— М.: Связь, 1964. — 360 с.

60. Щукин А. Н. Об одном методе борьбы с импульсными помехами. — Изв.
АН СССР, серия Физическая, Г946, т. 10, № 1, с. 49—56.

61. Бенджамин. Последние достижения в технике генерирования и обработки
радиолокационных сигналов. — Зарубежная радиоэлектроника, 1965, № 7,
с. 22—48.

62. Власов В. Н. Помехоустойчивость нелинейного приемника многочастотных
сигналов. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1975, т. 18, № 4,
с. 87—91.

63. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Сов.
радио. Книга вторая, 1968; книга третья, 1976. — 503 с.

64. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной
неопределенности адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио,
1977.-43'2 с.

65. Сикарев А. А., Фалько А. И. Оптимальный прием дискретных сообще-
ний.— М.: Связь, 1978. — 328 с.

66. Campbell М. R., Hoff L. Е., Ziemer R. Е. A Large Time — Bandwidth Pro-
duct Signaling Technique for Nonwhite Noise Channels. — IEEE Trans. Comm.,
1976, v. COM-24, N 10, p. 1100—1115.

67. IEEE Trans, on Communication, 1977, v. COM-25, N 8, 125 p.

68. IEEE Trans, on Communication, 1982, v. COM-30, N 5, pt. 1, — 256 p.

69. Варакин Л. E. Помехоустойчивость систем связи с шумоподобными сиг-
налами.— Электросвязь, 1979, № 1, с. 42—47.

70. Варакин Л. Е., Талызин В. Н. Реальная база и помехоустойчивость сис-
тем связи с шумоподобными сигналами. — Электросвязь, 1978, № 5,
с. 56—61.

71. Варакин Л. Е., Талызин В. Н. Адаптивный приемник шумоподобных сиг-
налов с оптимальными весовыми коэффициентами. — Радиотехника, 1980,
т. 35, «Nb 9, с. 3—<8.

72. Варакин Л. Е., Талызин В. Н. Помехоустойчивость квазиоптимального
адаптивного приемника шумоподобных сигналов. — Электросвязь, 1980,
№ 4, с. 56—59.

73. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966.—
678 с.

74. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шу-
мов. — М.: ИЛ, 1960. — 468 с.

75. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 19812.—
624 с.

76. Черняк Ю. Б. О линейных свойствах системы широкополосный ограничи-
тель-фильтр.— Радиотехника и электроника, 1962, т. 7, № 7, с. 1073—
1076.

77. Джоунс Д. Идеальное ограничение процесса, состоящего из двух синусо-
идальных сигналов и случайного шума. — Сб. статей: Некоторые проблемы
обнаружения сигнала, маскируемого флюктуационной помехой. М.: Сов.
радио, 1965, с. 237—263.

78. Кэн. Отношение сигнал/помеха в полосовых ограничителях. — Зарубежная
радиоэлектроника, 1961, № 8, с. 37—45.

79. Варакин Л. Е., Власов В. Н., Волков Л. Н., Пышкин И. М. Эксперимен-
тальное исследование прохождения сложных сигналов и шумов через огра-
ничитель.— Труды II Научно-технической конференции: Проблемы опти-
мальной фильтрации. — М., 1968, т. 1, с. 57—74.

80. Bogotch S. Е., Cook С. Е. Effects of limiting on the detectability of partially
time coincident pulse compression signals. — IEEE Trans. Mil. electronic. 1965,
v. MIL-9, N 1, p. 17—24.

81. Baer H. P. Interference effects of hard limiting in PN Spread — Spectrum Sys-
tems, IEEE Trans. Com., 1982, v. COM-30, N 5, p. 1010—1017.

82. Титсворт. Применение булевой функции для построения многоканальной
телеметрической системы. — Зарубежная радиоэлектроника, 1964, № 8,
с. 33—39.

83. Varakin L. Е. Optimization of Coded Channel Division Telecommunication
Systems. — 3-rd World Telecommunication Forum, Geneva, 1979, p. 2471—
2473.

84. Варакин Л. E. Основы статистической теории асинхронных адресных сис-
тем передачи информации. — Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981,
т. 24, № 4, с. 21—25.

85. Варакин Л. Е., Власов А. В. Анализ воздействия мощной структурной
помехи на радиотехническую систему с шумоподобными сигналами. — Ра-
диотехника и электроника, 1983, т. 28, № 6, с. 1094—1101.

86. Варакин Л. Е. Совпадения структурных помех в радиотехнических систе-
мах с дискретными частотными сигналами. — Радиотехника и электроника,
1976, с. 21, № 11, с. 2424—2425.

87. Ristenbatt М. Р., Daws J. L. Performance Criteria for Spread Spectrum Com-
muications. IEEE Trans. Com., 1977, v. COM-25, N 8, p. 756—763.

88. Dillard R. A. Detectability of Spread — Spectrum Signals. IEEE Trans. AES,
1979, v. AES-15, N 4, p. 526^537.

89. Bridge W. M. IFF System Concept Based on Time Synchronization. — IEEE
Trans. Comm., 1980, v. COM-28, N 9, p. 1630—1637.

90. Krasner M. A. The Critical Band Coder — Digital Encoding of Speech Sig-
nals Based on the Perceptual Requirements of the Auditory System. Rec.
IEEE Int. Conf. Acoust. Speech Signal Process. ICASSP, 1980, v. 2, p. 327—
331.

91. Мартынов В. А., Селихов Ю. И. Панорамные приемники и анализаторы
спектра/Под ред. Г. Д. Заварина. — М.: Сов. радио, 1980. — 352 с.

92. Справочник по радиолокации/Под ред. М. Сколника: Пер. с англ./Под ред.
К. Н. Трофимова, т. 4. — М.: Сов. радио, 1978.—376 с.

93. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: Пер. с англ./Под
ред. В. И. Тихонова, В. Т. Горяйнова.—М.: Сов. радио, 1972, т. 1 —
744 с.; 1977, т. 3. — 664 с.

94. Варакин Л. Е., Власов А. В. Обнаружение и анализ псевдослучайных фа-
зоманипулированных сигналов в условиях априорной неопределенности.—
Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981, т. 24, № 3, с. 56—62.

95. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.:
Сов. радио, 1971. — 416 с.

96. Стиффлер Дж. Дж. Теория синхронной связи: Пер. с англ. Б. С. Цыбако-
ва/Под ред. Э. М. Габидулина. — М.: Связь, 1975. — 488 с.

97. Поиск, обнаружение и измерение параметров сигналов в радионавигацион-
ных системах/Ипатов В. П., Казаринов Ю. М., Коломенский Ю. А. и др.:
Под ред. Ю. М. Казаринова. — М.: Сов. радио, 1975. — 296 с.

98. Чердынцев В. А. Проектирование радиотехнических систем со сложными
сигналами. — Минск: Вышэйшая школа, 1979.— 192 с.

99. Чердынцев В. А. Статистическая теория совмещенных радиотехнических
систем. — Минск: Вышэйшая школа, 1980, — 206 с.

100. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки час-
тоты.— М.: Связь, 1972. — 448 с.
101. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ./
Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова. — М.: Сов. радио, 1978.—
600 с.

102. Теоретические основы радиолокации/А. А. Коростелев, Н. Ф. Клюев,
Ю. А. Мельник и др.: Под ред. В. Е. Дулевича. — М.: Сов. радио, 1978.—
608 с.

103. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерент-
ный прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975. — 704 с.

104. Ярлыков М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в
радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1980. — 360 с.

105. Лосев В. В. Методы синхронизации по задержке (обзор). — Изв. вузов
СССР. Радиоэлектроника, 1979, т. 22, № 1, с. 3—13.

106. Системы фазовой синхронизации/Акимов В. Н., Белюстина Л. Н., Белых
В. Н. и др.: Под ред. В. В. Шахгильдяна, Л. Н. Белюстиной. — М.: Ра-
дио и связь, 1982. — 288 с.

107. Simon М. К. Noncoherent Pseudonoise Code Tracking Performance of Spread
Spectrum Receivers. — IEEE Trans. Com., 1977, v. COM-25, N 3, p. 327—345.

108. Варакин Л. E. Поиск шумоподобных сигналов по времени и частоте в
системах связи. — Электросвязь, 1981, № 3, с. 44—45.

109. Marple М. J., Land W. Н., Lavin R. D. Extended Area Range Instrumenta-
tion System Utilizing DME Links. — IEEE Trans. Aerospace and Elec. Syst.,
1967, v. AES-12, N 5, p. 590—598.

110. Rappaport S. S., Schilling D. L. A. Two-level Coarse Code Acquisition Scheme
for Spread Spectrum Radio. — IEEE Trans. Com., 1980, v. COM-28, N 9,
p. 1734—1742.

111. Варакин Л. E., Рябов E. А. Оптимизация стартстопной адресной системы
передачи информации с шумоподобными сигналами. — Труды учебных ин-
ститутов связи. Теория передачи информации по каналам связи, 1979,
с. 3—11.

112. Вудворт Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применением
в радиолокации: Пер. с англ./Под ред. Г. С. Горелика. — М.: Сов. радио.
1955. —125 с.

113. Фалькович С. Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне флюктуа-
ционных помех. — М.: Сов. радио, 1961.—>312 с.

114. Аллен, Уэстерфильд. Цифровые корреляторы со сжатием во времени и
согласованные фильтры для активной гидролокации. — Зарубежная радио-
электроника, 1964, № 2, с. 32—62.

115. Варакин Л. Е. Формирование и обработка сложных сигналов в радиоло-
кационных и радиосвязных системах. — М.: ВЗЭИС, 1967. — 76 с.

116. Бенджамин Р. Анализ радио- и гидролокационных сигналов: Пер. с англ./
Под ред. И. Е. Овсиевича.— М.: Воениздат, 1969. — 253 с.

117. Современная радиолокация. Анализ, расчет и проектирование систем: Пер.
с англ./Под ред. Ю. Б. Кобзарева. — М.: Сов. радио, 1969. — 704 с.

118. Семенов А. М., Сикарев А. А. Широкополосная радиосвязь. — М.: Воен-
издат, 1970. — 278 с.

119. Слока В. К. Вопросы обработки радиолокационных сигналов; — М.: Сов.
радио, 1970. — 256 с.

120. Золотарев И. Д. Нестационарные процессы в системе сжатия радиоим-
пульсных сигналов. — Воронеж, изд. ВГУ, 1970. — 96 с.

121. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и применение:
Пер. с англ./Под ред. В. С. Кельзона. — М.: Сов. радио, 1971. — 567 с.

122. Винокуров В. И., Ваккер Р. А. Вопросы обработки сложных сигналов в
корреляционных системах.—М.: Сов. радио, 1972. — 216 с.

123. Многостанционный доступ в спутниковых системах связи/М. Д. Венедик-
тов, С. А. Даниэлян, В. В. Марков, Г. С. Эйдус. — М.: Связь, 1973.—97 с.

124. Каринский С. С. Устройства обработки сигналов на ультразвуковых по-
верхностных волнах. — М.: Связь, 1975. — 176 с.

125. Секен К., Томсет М. Приборы с переносом заряда: Пер. с англ./Под ред.
В. В. Поспелова, Р. А. Суриса. — М.: Мир, 1978. — 327 с.

126. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигна-
лов: Пер. с англ./Под ред. Ю. Н. Александрова. — М.: Мир, 1978. — 848 с.
127. Лезин Ю. С., Пахомов Ю. И., Кротов Д. И. Техника обработки сигналов
в радиотехнических системах. — Горький, изд. ГПИ, 1979. — 95 с.

12В. Применение цифровой обработки сигналов/Под ред. Э. Оппенгейма: Пер. с
англ./ Под ред. А. М. Рязанцева. — М.: Мир, 1980. — 552 с.

129. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолока-
ционной информации на фоне помех. — М.: Радио и связь, 1981. — 416 с.

130. Фильтры на поверхностных акустических волнах: Расчет, технология и при-
менение. Под ред. Г. Мэттьюза. Пер. с англ./Под ред. В. Б. Акпамбето-
ва. — М.: Радио и связь, 1981. — 472 с.

131. Поверхностные акустические волны: Под ред. А. Олинер. Пер. с англ./
Под ред. И. С. Реза. — М.: Мир, 1981. — 390 с.

132. Приборы с зарядовой связью: Под ред. М. Хоувза и Д. Моргана/Пер. с
англ. — М.: Энергоиздат, 1981. — 376 с.

133. Приборы с зарядовой связью: Под ред. Д. Ф. Барба. Пер. с англ./Под ред.
Р. А. Суриса. — М.: Мир, 1982. — 240 с.

134. Цикин И. А. Дискретно-аналоговая обработка сигналов. — М.: Радио и
связь, 1982. —161 с.

135. Сикарев А. А., Лебедев О. Н. Микроэлектронные устройства формирова-
ния и обработки сложных сигналов. — М.: Радио и связь, 1983. — 216 с.

136. Ди Франко, Рубин. Анализ искажений при. обработке радиолокационного
сигнала. — Зарубежная радиоэлектроника, 1963, № 9, с. 35—60.

137. Обработка сигналов в многоканальных РЛС/А. П. Лукошкин, С. С. Ка-
ринский, А. А. Шаталов и др.; Под ред. А. П. Лукошкина. — М.: Радио
и связь, 1983. — 328 с.

138. Мюллер, Гудвин. Широкополосный приемник со сжатием импульсов для
разведки в сантимеровом диапазоне волн. — Зарубежная радиоэлектрони-
ка, 1963, № 6, с. 29—44.

Г39. Бергман Л. Ультразвук. — М.: ИЛ, 1956. — 726 с.

140. Займовский А. С., Чудновская Л. А. Магнитные материалы. — М.: ГЭИ,
1957. —224 с.

141. Cohn G. I. et al. Magnetostrictive Delay Line for Video Signals. — IRE
Trans. Comp. Part, 1958, v. CP-5, N 1, p. 53—59.

142. Глебович Г. В. О полосе пропускания магнитострикционной линии задерж-
ки.— Радиотехника, 1959, т. 14, № 2, с. 74—75.

143. Lerner R. М. A Metched Filter Detection System for Complicated Doppler
Shifted Signals. —IRE Trans. Inf. Th., 1960, v. IT-6, N 3, p. 373—385.

144. Варакин Л. E. Определение допусков на параметры согласованного фильт-
ра.— Труды учебных институтов связи, 1964, вып. 20, с. 150—158.

145. Варакин Л. Е. Увеличение боковых лепестков на выходе согласованного
фильтра при рассогласованиях. — Труды учебных институтов связи, 1965,
вып. 27, с. 107—114.

146. Власов В. Н., Волков Л. Н., Варакин Л. Е. Анализ помехоустойчивости
дискретного согласованного фильтра. — Труды учебных институтов связи,
1968, вып. 41, с. 53—62.

147. Цикин И. А. Дискретно-аналоговые методы оптимальной обработки сигна-
лов.— Радиотехника, 1969, т. 24, № 2, с. 1—8.

148. Цикин И. А. Дискретно-аналоговые согласованные фильтры. — Изв. вузов
СССР. Радиоэлектроника, 1970, т. 13, № 2, с. 205—211.

149. Носов Ю. Р., Шилин В. А. Полупроводниковые приборы с зарядовой
связью. — М.: Сов. радио, 1976.— 142 с.

150. Пресс Ф. П. Формирователи видеосигнала на приборах с зарядовой
связью. — М.: Радио и связь, 1983. — 136 с.

151. Grieco D. М. The Application of Charge — Coupled Devices to Spread — Spect-
rum Systems. — IEEE Trans Com., 1980, v. COM-28, N 9, p. 1693—1705.

152. Груздев А. В., Усов В. С. Линии задержки цифровых сигналов на поверх-
ностных акустических волнах и их применение. — Зарубежная радиоэлек-
троника, 1980, № 4, с. 97—107.

153. Караваев Ю. А., Смирнов Н. И., Судовцев В. А. Программируемые транс-
версальные фильтры на ПАВ и ПЗС для согласованной фильтрации. —
Зарубежная радиоэлектроника, 1980, № 11, с. 29—42.
154. Смирнов Н. И., Караваев Ю. А., Стручков А. А. Устройства согласован-
ной фильтрации для цифровых систем связи. — Электросвязь, 1981, № 8,
с. 12—16.

155. Гольденберг Л. М., Левчук Ю. П., Поляк М. Н. Цифровые фильтры.—
М.: Связь, 1974.— 160 с.

156. Турин. Введение в теорию цифровых согласованных фильтров. — ТИИЭР,
1976, т. 64, № 7, с. 85—109.

157. Микромощные интегральные схемы/Валиев К. А., Дягилев В. Н., Лебедев
В. И., Лубашевский А. В. —М.: Сов. радио, 1975. — 256 с.

158. Кейнис Р. Современное состояние и перспективы развития технологий
БИС: Обзор. — Электроника, 1979, т. 52, № 19, с. 23—34.

159. Аналоговые и цифровые интегральные схемы/С. В. Якубовский, Н. А. Бар-
канов, Б. П. Кудряшов и др.: Под ред. С. В. Якубовского. — М.: Сов. ра-
дио, 1979. — 336 .с.,

160. Нестеров П. В.-Сверхбольшие интегральные схемы: проблемы создания и
ожидаемые результаты. — Зарубежная радиоэлектроника, 1980, № 12,
с. 3—32.

161. Полупроводниковые запоминающие устройства и их применение/В. П. Анд-
реев, В. В. Баранов* Н. В. Бакин и др.: Под ред. А. Ю. Гордонова. — М.:
Радио и связь, 1981. — 344 с.

162. Grant Р. М. Addendum: Recent Signal Processing Developments Applicable to
Spread Spectrum Systems. — Int. Spec. Seminar on The Impact of New
Technologies in Signal Processing, Aviemore, 1976, p. 151—154.

163. Bell D. T., Holmes J. J. D., Ridings R. V. Application of Acoustic Surface —
Wave Technology to Spread Spectrum Communications. — IEEE Trans, on
Sonics and Ultrasonics* 1973, v. SU-20, N 2, p. 181—189.

164. Холланд, Клейнборн. Устройства на поверхностных акустических волнах.—
ТИИЭР, 1974, т. 62, № 5, с. 45—83.

165. Burt D. J. Performance Limitations of Charge Coupled Devices. — Int. Conf.
Technology and Applications of Charge Coupled Devices, Edinburg, 1974,
p. 84—91.

166. Roberts J. B. G., Darby B. J., Eames R. Traitement du signal par composants
acaustiques et dispositifs a transfer! de charges (Signal Processing with CCD
and SAW Devices). — Collog. Int. radar, Paris, 1978, p. 263—278.

167. Коршак Б. А., Лямов В. E., Солодов И. Ю., Еленский В. Г. Нелинейные
акустические устройства обработки сигнальной информации. — Зарубежная
радиоэлектроника, 1981, № 1, с. 58—77.

168. Корнел А. Акустооптика: Обзор основных принципов. — ТИИЭР, 1981, т. 69,
№ 1, с. 55—62.

169. Никитов В. А. Перспективы развития и применения ЗУ на ЦМД.— Зару-
бежная радиоэлектроника, 1981, № 2, с. 79—94.

170. Речицкий В. И. Современные тенденции развития акустоэлектронных ра-
диокомпонентов.— Зарубежная радиоэлектроника, 1981, № 8, с. 60—76.

171. Сверхскоростные интегральные схемы на GaAs/Лонг С. И., Уэлч Б. М.,
Цукка Р. и др. — ТИИЭР, 1982, т. 70, № 1, с. 44—58.

172. Долбня Е. В., Соболь Н. В., Кочемасов В. Н. Спектральная и кепстраль-
ная обработка радиосигналов с применением устройств на поверхностных
акустических волнах. — Зарубежная радиоэлектроника, 1982, № 4, с. 3—32.

173. Речицкий В. И. Основные направления конструирования акустоэлектронных
устройств в Японии. — Зарубежная радиоэлектроника, 1982, № 5, с. 61—77.

174. Никитов В. А. Перспективы применения и особенности эксплуатации ЗУ
на ЦМД. — Зарубежная радиоэлектроника, 1982, № 12, с. 69—74.

175. Паринов Е. П. Элементная база устройств памяти на ЦМД с использова-
нием пермаллоевых управляющих покрытий. — Зарубежная радиоэлектро-
ника, 1983, № 3, с. 68—82.

176. Электронная промышленность США/С. С. Рылеева, Т. Н. Леандрова,
И. А. Трушина и др. — Зарубежная электронная техника, 1983, № 4.—
147 с.

177. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование: Пер. с англ./
Под ред. С. А. Попырко. — М.: Радио и связь, 1983. — 320 с.
Содержание

Предисловие

Раздел I. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ШУМОПОДОБНЫХ СИГНАЛАХ
1. Основы применения шумоподобных сигналов в системах связи

1.1. Определение шумоподобных сигналов и широкополосных систем
связи......................................................

1.2. Помехозащищенность....................................

1.3. Помехоустойчивость ШСС................................

1.4. Скрытность системы связи..............................

1.5. Кодовое разделение абонентов .........................

1.6. Эффективность ААСС....................................

1.7. Борьба с многолучевостью .............

1.8. Измерение координат подвижных объектов................

1.9. Электромагнитная совместимость........................

1.10. Основные структурные схемы ШСС . ................

2. Шумоподобные сигналы . .

2.1. Сигналы и спектры......................................

2.2. Основы оптимальной обработки сигналов..................

2.3. Корреляционные функции сигналов........................

2.4. Основные типы ШПС......................................

3. Фазоманипулированные сигналы................................

3.1. Общие свойства........................................

3.2. Сигналы Баркера.......................................

3.3. ^-последовательности. Основные свойства...............

3.4. Последовательности Лежандра и Якоби. Минимаксные последо
вательности ...............................................

3.5. Нелинейные последовательности.........................

3.6. Дополнительные последовательности.....................

3.7. Последовательности максимальной вероятности ....

3.8. Многофазные сигналы. Сигналы Фрэнка...................

3.9. Амплитудно-фазоманипулированные сигналы...............

3.10. Минимаксные ФМ сигналы................................

3.11. Оценки апериодических АКФ.............................

4. Системы фазоманипулированных сигналов.......................

4.1. Многоканальные системы связи с кодовым разделением абонен
тов и системы сигналов.....................................

6
6

4.2. Полный код.............................................95

4.3. Системы Уолша.........................................101

4.4. Коды Велти. Четверичные коды...............................106

4.5. Производные системы сигналов................................ПО

4.6. Сегментные системы.........................................114

4.7. Циклические системы.........................................117

4.8. Системы многофазных сигналов................................122

4.9. Большие производно-циклические системы......................124

4.10. Линейно-производные системы ФМ сигналов....................125

4.11. Объем больших систем ФМ сигналов...........................126

4.12. Оценки апериодических ВКФ..................................128

5. Системы дискретных частотных сигналов............................131

5.1. Корреляционные функции ДЧ сигналов и число совпадений . 131

5.2. Распределение числа совпадений в корреляционных функциях ДЧ
сигналов ....................................................... 134

5.3. Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальных систем
ДЧ сигналов ......................................................136

5.4. Большие квазиоптимальные композиционные системы ДЧ сигналов 142

5.5. Объем больших систем ДЧ сигналов ...........................144

5.6. Дискретные составные частотные сигналы......................146

Раздел II. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ
6. Основные сведения о системах связи.........................147

6.1. Шумоподобные сигналы и широкополосные системы связи 147
6.2. Основы передачи сообщений в системах связи................

6.3. Многоканальные системы связи..............................

6.4. Методы уплотнения и разделения каналов и абонентов

7. Помехоустойчивость приема дискретных сообщений.................

7.1. Дискретная система связи..................................

7.2. Скорость передачи информации..............................

7.3. Помехоустойчивость двоичных систем связи..................

7.4. Помехоустойчивость /и-ичных систем связи..................

7.5. Сравнение двоичных и m-ичных систем связи.................

8. Совместное применение ШПС и корректирующих кодов...............

8.1. Параметры ШСС с ШПС и корректирующими кодами

8.2. Вероятность ошибки........................................

8.3. Выбор оптимального кода...................................

8.4. Оптимальные коды Рида — Соломона..........................

9. Помехоустойчивость приема непрерывных сообщений................

9.1. Основные методы передачи и приема непрерывных сообщений с
помощью ШПС....................................................

9.2. Помехоустойчивость приема ШИМ — ШПС.......................

9.3. Помехоустойчивость приема ЧМ—ШПС..........................

9.4. Сравнение помехоустойчивости ШИМ—ШПС и ЧМ—ШПС

9.5. Помехоустойчивость ИКМ—ШПС................................

10. Фильтрация мощных помех........................................

10.1. Мощные помехи и принципы борьбы с ними...................

10.2. Оптимальный прием элемента сигнала.......................

10.3. Накопление элементов.....................................

10.4. Фильтрация сосредоточенных помех.........................

10.5. Реальная база и помехоустойчивость ШСС...................

11. Адаптивный прием ШПС 7.........................................

11.1. Основы адаптивного приема ШПС............................

11.2. Элементное отношение сигнал-помеха.......................

11.3. Согласованный фильтр и линейное накопление...............

11.4. Адаптивный прием и оптимальное накопление................

11.5. Нелинейный фильтр........................................

11.6. Оптимальный адаптивный приемник..........................

11.7. Квазиоптимальный адаптивный приемник.....................

12. Ограничитель в тракте обработки ШПС............................

12.1. Идеальный полосовой ограничитель.........................

12.2. Воздействие на ИПО двух сигналов и шума..................

12.3. Нелинейное кодовое уплотнение и разделение абонентов в синх-
ронных адресных системах связи..................................

13. Фильтрация взаимных и структурных помех........................

13.1. Взаимные и структурные помехи............................

13.2. Основы кодового разделения абонентов в ААС...............

13.3. Фильтрация взаимных помех................................

13.4. Оптимизация ААС с КР.....................................

13.5. Фильтрация мощных ФМ структурных помех...................

13.6. Фильтрация мощных ДЧ структурных помех...................

14. Обнаружение и анализ ШПС в условиях априорной неопределенности

14.1. Методы обнаружения и анализа ШПС в условиях априорной
неопределенности ...............................................

14.2. Энергетический обнаружитель ШПС..........................

14.3. Оптимальный обнаружитель /п-ичной ШСС с ШПС ...

14.4. Квазиоптимальный многоканальный обнаружитель ШПС

14.5. Анализ параметров ^-последовательностей..................

147
150
152

154
154

155
L56
161
163
167
167
169
170
171
173

180

181

184

190

193

197

204

210

212

213

214

215

219

225

229

231

234

235

242

244

247

250

253

254

256

258

261

Раздел III. ПОИСК И СИНХРОНИЗАЦИЯ ШПС

15. Особенности поиска и синхронизации ШПС.........................266

15.1. Прием информации и неопределенность по времени и по частоте
в широкополосных системах связи................................266
15.2. Потенциальные точности измерения времени задержки и частоты 271

15.3. Отношение сигнал-помеха на выходе измерителя в ШСС . . 277

15.4. Пространство параметров и многоканальный измеритель . . . 281

15.5. Одноканальный следящий измеритель . 288

16. Когерентная обработка ШПС и некогерентное накопление........292

16.1. Основы квазиоптимальной обработки ШПС...................292

16.2. Помехоустойчивость квазиоптимального приемника .... 294

17. Поиск и синхронизация ШПС по времени.............................297

17.1. Автоматическая подстройка времени..........................297

17.2. Сравнение непрерывного и дискретного поиска ШПС по времени 303

17.3. Алгоритмы поиска ШПС по времени задержки...................306

17.4. Поиск ШПС с некогерентным накоплением . . . . 311

18. Поиск и синхронизация ШПС по времени и по частоте .... 31<5

18.1. Оптимальный квазикогерентный приемник с поиском ШПС по вре-
мени и по частоте...............................................31i5

18.2. Время поиска ШПС при когерентной обработке................317

18.3. Время поиска ШПС при некогерентном накоплении . . . . 319

19. Синхронизация стартстопных широкополосных систем связи 323

19.1. Стартстопные асинхронные адресные ШСС......................323

19.2. Вероятность ошибки......................................325

19.3. Минимизация вероятности ошибки при заданном количестве ин-
формации ....................................................... 327

Раздел IV. ФОРМИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ШПС

20. Основы формирования и обработки ШПС..............................329

20.1. Основные требования к ШПС и устройствам формирования и об-
работки .........................................................329

20.2. Пассивные и активные фильтры для оптимального приема ШПС 330

20.3. Основы формирования ШПС....................................333

20.4. Критерии качества формирования и обработки ШПС . . 334

20.5. Оценка общих рассогласований...............................337

21. Линейные согласованные фильтры...................................344

21.1. Методы линейной обработки ШПС..............................344

21.2. Частотно-временной метод обработки дискретных частотных
сигналов........................................................ 344

21.3. Многоканальные согласованные фильтры при частотном методе
обработки многочастотных сигналов................................347

21.4. Согласованные фильтры с многоотводными линиями задержки
при временном методе обработки фазоманипулированных сигналов 349

21.5. Комбинированные методы обработки...........................351

21.6. Многоотводные линии задержки...............................352

21.7. Влияние рассогласований на работу согласованных фильтров
с МЛЗ............................................................361

21.8. Сравнение линейных согласованных фильтров..................363

22. Дискретные и цифровые согласованные фильтры......................364

22.1. Дискретный согласованный фильтр............................364

22.2. Дискретно-аналоговый согласованный фильтр..................366

22.3. Приборы с зарядовой связью.................................367

. 22.4. Программируемые согласованные фильтры.....................369

22.5. Цифровые согласованные фильтры.............................370

23. Перспективы совершенствования элементной базы устройств обработ-
ки ШПС..............................................................372

Список литературы....................................................375