Теорема Безу

Урок
42

На этом уроке мы отработаем навык деления многочленов от
одной переменной столбиком или с помощью схемы Горнера;
разберём теорему Безу; решим самостоятельную работу.
ЗАДАНИЕ 1. Дано: Р(х) = 3x3 + 4x2 − 31х + 4.

Найти: Р(0), Р(1), Р(–4), Р(2).

ЗАДАНИЕ 2. Р(х) = 3x3 + 4x2 – 31х + 4. Выполните деление

столбиком или по схеме Горнера:
1) Разделите Р(х) на х;
2) Разделите Р(х) на х – 1;
3) Разделите Р(х) на х + 4; 4) Разделите Р(х) на х – 2;

Заметим, что Р(0) = 4 и остаток от деления Р(х) на
х – 0 равен 4;
Р(1) = −20 и остаток от деления Р(х) на х – 1 равен −20;
Р(–4) = 0 и остаток от деления Р(х) на х + 4 равен 0;
Р(2) = −18 и остаток от деления Р(х) на х – 2 равен 18.
Этот факт отметил французский математик Этьен Безу,
доказавший теорему, которую мы разберём на этом уроке.

Теорема Безу
Остаток при делении многочлена Р(х) на х — а равен значению многочлена при х = а, т. е. r = P(a).
Р(х) = (х – а) · q(x) + r,
P(a) = (a – а) · q(а) + r, P(a) = 0 · q(а) + r, P(a) = r, ч. т. д.
Если P(a) = 0, то а — корень уравнения Р(х) = 0.
Также а называют корнем многочлена.
Доказательство:

Этьен Безу родился в Немуре 31 марта 1730 года, умер
27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал
математику в училище гардемаринов, а с 1768 года — в королевском артиллерийском
корпусе. Основные работы
Этьена Безу относятся к высшей алгебре: они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. Во Франции и за её границами вплоть до 1848 года
был очень популярен шеститомный «Курс математики
», который Безу писал пять
лет — 1764-го по 1769 год.

ПРИМЕР 1. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления 3x3 – 2x2 + х + 2 на многочлен x − 5.

r = P(a), а = 5,
r = P(5) = 3 · 53 – 2 · 52 + 5 + 2 = 3 · 125 – 50 + 7 = 332
Решение.

Ответ: 332

Теорема Безу

А лг ебра 10 • У Р О К 4 2 • У ЧЕБНЫЕ М АТЕРИ А ЛЫ

1

Теорема 2: Остаток при делении многочлена Р(х) на bх + а равен значению многочлена при
х=

, то есть r = P

( ).

Р(х) = (bх + а) · q(x) + r,

Доказательство:

а) · q(x) + r, P(a) = 0 · q(x) + r, P(a) = r, ч. т. д.

ПРИМЕР 2. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления многочлена 3x3 – 2x2 + х + 2

на многочлен 10x – 5.
Решение.

, а

3 · 0, 53 – 2 · 0, 52 + 0,5 + 2 = 3 ⋅ 0,125 – 0,5 + 0,5 + 2 = 2,375.

Задачи и упражнения

ЗАДАНИЕ 3. Дано: Р(х) = 2x3 – 2x2 – 13х + 3.

Найти: Р(–1), Р(1), Р(–3), Р(3). Чему равен корень многочлена?

ЗАДАНИЕ 4. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления Р(х) = x4 – 5x2 + 2х – 3 на мно-

гочлен x + 1, х – 2, х + 2, х + 3.

ЗАДАНИЕ 5. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления Р(х) = 4x3 – 6x2 + 2х + 1 на мно-

гочлен 2x + 1, 4х – 2, 3х + 6, 2х – 3

Контрольные вопросы и задания
1. Заполните пропуски в схеме Горнера для многочлена 3-й степени.

a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1 x + b0) · (x – ...) + ...

с

a3

a2

a1

a0

b2 = …

b1 = …

b0 =…

r=…

2. Найдите ошибки при делении столбиком.

3. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления 2x2 + х + 1 на многочлен x – 3.
4. Чему равен остаток от деления Р(х) на х + а?

Теорема Безу

А лг ебра 10 • У Р О К 4 2 • У ЧЕБНЫЕ М АТЕРИ А ЛЫ

2

Задания для самостоятельного решения
ЗАДАНИЕ 6. Дано: Р(х) = 2x3 – 3x2 – 4х + 5.

Найти: Р(–1), Р(1), Р(–2), Р(2). Чему равен корень многочлена?

ЗАДАНИЕ 7. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления Р(х) = x3 + 6x2 + 2х – 12 на мно-

гочлен x + 1, х – 2, х + 2, х + 3.

ЗАДАНИЕ 8. Используя теорему Безу, найдите остаток от деления Р(х) = 2x3 – 4x2 + 3х – 5 на мно-

гочлен 2x + 6, 5х – 2, 3х – 6.

ЗАДАНИЕ 9. При каком значении m при делении многочлена x4 – 2x3 + mх + 7 на x – m полу-

чается остаток 7?

Теорема Безу

А лг ебра 10 • У Р О К 4 2 • У ЧЕБНЫЕ М АТЕРИ А ЛЫ

3