/
Text
В. Н. ДАХНОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И МАГНИТНЫЕ
МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ
СКВАЖИН
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ» ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности
* Геофизические методы поисков и разведки
месторождений полезных ископаемых*
МОСКВА «НЕДРА» 1981
УДК 550.839(071.1)
Дахнов В. Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин:
Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. — М.: Недра, 1981. — 344 с.
В книге изложены теоретические основы электрических и магнитных методов
исследования скважин. В ней рассмотрены электрические и магнитные свойства
горных пород, теория методов кажущегося сопротивления, заземления, индук-
ционного, магнитной восприимчивости, диэлектрической проницаемости и по-
тенциалов собственной и вызванной поляризации.
Во второе издание (1-е изд.—1967) виесеиы изменения, учитывающие
современное состояние развития электрических и магнитных методов исследо-
вания скважин; оно дополиеио теорией метода ядериомагиитиого резонанса.
Учебник предназначен для студентов нефтяных вузов и факультетов. Он
будет полезен инжеиерио-техннческим работникам промыслово-геологической
и геофизической служб.
Табл. 7, ил. 111, список лит. —62 назв.
Рецензен ты:
д-р геол.-мииералог. наук А. С. Семенов,
канд. техи. наук Ю. И- Кудрявцев (ЛГУ)
Владимир Николаевич Дахнов
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН
Издание второе, переработанное
Редактор издательства Н. Г. Богачееа
Переплет художника Ю. Е. Фомина
Художественный редактор В. В. Шутько
технический редактор Н. С. Гришаном
Корректор М. П. Курылева
ИБ № 3679
Сдано в набор 12.08.80 Подписано в печать 18.02.81 Т—03897.
Формат 60Х90(Л« Бумага кннжно-журнальиая Гарнитура
«Литературная» Печать высокая Усл. печ. л. 2b5 Усл. кр.-отт.
112,87 тыс. Уч.-изд. л. 21,73. Тираж 5250 экз. Заказ 334/7043—3.
Цена I р. 10 к.
Издательство «Недра», 103633, Москва, К-12,
Третьяковский проезд, 1/19
Ленинградская типография Aft 6 ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
нм. Евгении Соколовой Союзполнграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
Ладй 102-80 ,в0405000°
© Издательство «Недра», 1981
ПРЕДИСЛОВИЕ
Промысловая геофизика представляет собой прикладную от*
расль наук о Земле, возникшую и совершенствующуюся на основе
широкого использования физических методов для дистанционного
(телеметрического) изучения горных пород в скважинах при по-
исках, разведке и разработке месторождений полезных ископае-
мых. Такое применение физических методов может быть успешным
только при глубоком знании соответствующих разделов теорети-
ческой физики и умении пользоваться физическими законами и их
математическими формулировками для интерпретации результатов
измерений.
Среди большого числа геофизических методов исследования
скважин методы электрометрии занимают одно из важнейших
мест.
На возможность исследования горных пород в скважинах на
основании измерения их электрических и электромагнитных ха-
рактеристик было обращено внимание в 30-х годах настоящего
столетия. Большой вклад в разработку теории и методики соот-
ветствующих исследований был сделан советскими учеными.
В 1932 г. академиком В. А. Фоком впервые.была решена задача
о распределении электрического поля в скважине. Решение этой
задачи, а также последующие работы советских ученых —
Л. М. Альпина, С. М. Аксельрода, В. Р. Бурсиана, Б. Ю. Вен-
дельштейиа, В. Н. Дахнова, А. И. Заборовского, В. Н. Кобра но-
вой, С. Г. Комарова, Ю. И. Кудрявцева, М. И. Плюснина, А. С. Се-
менова и других — явились основой для создания и развития тео-
рии и методики электрических и магнитных методов исследования
скважии. За рубежом важные результаты были получены
Г. Г. Доллем, М. Мартеном, Г. Гюйо, Л. де Витте и др.
Разнообразие электрических и магнитных методов, существен-
ное различие их в теории, а также необходимость математической
подготовки студентов для обеспечения более высокого уровня про-
фессиональной культуры молодых специалистов, предопределили
целесообразность создания специального курса «Электрические и
магнитные методы исследования скважин».
Десятилетний опыт использования первого издания учебника
по этому курсу 131 полностью подтвердил правильность уста-
иовки на изложение наиболее важных, принципиальных вопросов
теории электрических, электромагнитных и магнитных методов
исследования скважин. Поэтому при переиздании учебника зна-
чительная часть текста оставлена без существенных изменений.
Наиболее серьезной переработке подверглись те разделы учеб-
ника, в области которых за последние годы было много нового.
Это в первую очередь относится к использованию средств вычис-
лительной техники при расчете электрических полей (моделиро-
вание задач электрометрии скважин, § 18 и § 47) и разработке
теории диэлектрического и ядерно-магнитного методов исследо-
вания скважин (§ 33).
Автор нашел также возможным изъять из нового издания главу
об искажениях кажущегося и эффективного сопротивления и по-
тенциалов собственной и вызванной поляризации пород сторон-
ними электрическими полями, так как этот вопрос достаточно под-
робно освещается в общем курсе геофизических методов исследо-
вания скважин.
Глава V учебника написана научным сотрудником ВНИИЯГГ
Р. В. Рудзеня, § 47 — инженером ЦГЭ МНП СССР А. И. Абрико-
совым; с его участием дополнен § 18.
Переработка учебника ко второму изданию была выполнена
доцентом кафедры промысловой геофизики Дмитрием Александро-
вичем Кожевниковым, который иа продолжении последних лет
читает курс «Электрические и магнитные методы исследования
скважин» в Московском институте нефтехимической и газовой
промышленности им. И. М. Губкина. За этот большой труд автор
приносит Д. А. Кожевникову глубокую благодарность.
Автор весьма признателен рецензентам проф. А. С. Семенову
и доценту Ю. И. Кудрявцеву за ценные советы, позволившие внести
ряд коррективов в рукопись при окончательной подготовке ее
к изданию.
Некоторое увеличение списка дополнительной литературы об-
легчает ее использование при выполнении обязательных учебных
научно-исследовательских работ студентами (по учебному плану
УНИРС), где требуется знание первоисточников.
Все пожелания читателей по учебнику автор просит направ-
лять в адрес издательства «Недра»: 103633, Москва, Третьяков-
ский проезд, д. 1/19 или на кафедру промысловой геофизики
МИНХ и ГП им. И. М. Губкина: 117296, Москва, Ленинский про-
спект, д. 65.
Глава I
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
ГОРНЫХ ПОРОД
§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Электрические методы исследования разрезов скважин осно-
ваны на различии электрических свойств горных пород. К таким
свойствам относятся: 1) удельное электрическое сопротивление р
(или электропроводность о); 2) диэлектрическая (абсолютная)
проницаемость ва; 3) естественная электрохимическая активность
А, компонентами которой могут быть диффузионно-адсорбци-
онная Ада, фильтрационная Аф и окислительно-восстанови-
тельная Дов активность; 4) электрическая поляризуемость (вос-
приимчивость) хэ или вызванная электрохимическая актив-
ность Ав и время релаксации тв.
При исследованиях разрезов скважин методами переменного
тока высокой частоты большое значение имеют следующие ком-
плексные параметры.
1. Волновое число (размерность м"2)
k2 = <о2е'ца = 4л2/2г'ц0Ц-
Здесь f и со — соответственно частота (в Гц) и круговая ча-
стота (в рад/с) переменного тока; ца — абсолютное значение маг-
нитной проницаемости в Гн/м; ц0 — магнитная постоянная в Гн/м:
Цо = 4л- 10"7; ц — относительная магнитная проницаемость; в' —
комплексная диэлектрическая проницаемость среды:
где в0 — электрическая постоянная — диэлектрическая прони-
цаемость пустоты, в0 = 8,85416-10“12 Ф/м; ва в Ф/м, о в См, р
в Ом- м.
2. Фактор соотношения абсолютных значений токов проводи-
мости и смещения
о, е —
/пр ___ а ______ 1
/сч ~ <ое “ (оер
3. Время релаксации т неустановившегося процесса (в общем
случае)
т - еР - -5^ •
5
Из приведенных формул следует, что ft1 2, Еа>е и т (при заданной
частоте поля) определяются числовыми значениями е, р и р изучае-
мых пород; эти параметры в дальнейшем обособленно не рассматри-
ваются.
§ 2. УДЕЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Удельное электрическое сопротивле-
ние горных пород является параметром, на изучении которого
основаны способы исследования геологических разрезов скважин
методами кажущегося (эффективного) сопротивления, сопротивле-
ния заземления, регистрации тока и индукции.
Удельное электрическое сопротивление1 горных пород из-
меряется в ом-метрах2 (Ом-м):
__ /1 \
Р £ * U)
Горные породы обычно представляют собой агрегаты весьма
сложного минерального состава. Поэтому удельное сопротивле-
ние пород определяется удельным сопротивлением составляющих
минералов, их объемным содержанием и структурой.
Электропроводность минералов, входящих в состав твердой
фазы горных пород, различна как по природе, так и по величине.
При этом по характеру электропроводности минералы могут от-
носиться к группам проводников, полупроводников и диэлектри-
ков.
Проводниками являются немногие минералы, объеди-
ненные в группу самородных металлов (золото, серебро, платина,
медь и др.).
Большинство минералов, образующих скелет горных пород,
относится к классу полупроводников и диэлектриков и обладает
как электронной, так и ионной электропроводностями.
У минералов-полупроводников (сульфиды и
их аналоги, некоторые окислы и др.) электронная электропровод-
ность доминирует.
У минералов-диэлектриков, наоборот, ионная
электропроводность преобладает над электронной. Ее роль воз-
растает с увеличением температуры среды; роль электронной элек-
тропроводности увеличивается также с повышением напряжен-
ности электрического поля, с которым измеряется удельное со-
противление минерала.
Особенно значительно возрастает ионная электропроводность
у легко гидролизующихся минералов класса глин, где наряду
1 В дальнейшем тексте термин «электрическое» часто будет исключаться.
2 Удельное электрическое сопротивление в ом-метрах численно равно полному
сопротивлению в омах 1 м3 породы с сечением 1 м2, измеренному в направлении,
перпендикулярном к этому сечению. Удельное электрическое сопротивление в
1 Ом’М имеет порода, через которую при градиенте потенциала 1 В/м проходит
ток плотностью 1 А/ма.
с типичной ионной электропроводностью наблюдается молионная,
роль которой особенно велика у глинистых растворов.
Минералы, имеющие разнообразный химический состав и
структуру, являются полупроводниками различного типа: полу-
проводниками с атомными решетками и ковалентной связью (крем-
ний, германий и др.), молекулярной решеткой из сложных моле-
кул (сера, селен, мышьяк, фосфор и др.) и полупроводниками
типа окислов, сульфидов, селенидов и др. Последние имеют не-
большее распространение. В частности, в подобных полупровод-
никах типа шпинелей электропроводность возникает в цепочках
близко расположенных двух- и трехвалентных ионов.
Многие из минералов, входящих в класс полупроводников,
имеют в зависимости от направления тока различную электропро-
водность и, следовательно, являются выпрямителями перемен-
ного тока.
Ионной электропроводностью обладают водные растворы мине-
ралов (солей), насыщающие поровое пространство горных пород,
глинистые минералы, особенно в случае нахождения их в дисперс-
ном состоянии в водных растворах (молионная электропровод-
ность); в очень малой степени ею обладает большинство минералов,
атомы кристаллической решетки которых частично находятся
в диссоциированном состоянии. Если ширина запретной зоны в
в этом случае близка к 10 эВ (т. е. в случае диэлектриков), ионная
электропроводность является доминирующей.
Согласно теории электронной проводимости металлов удель-
ное электрическое сопротивление природных электронных про-
водников
где е — заряд электрона, е ~ 1,602* 10"19 Кл; п0 — объемная
плотность периферийных (валентных) электронов, обобществлен-
ных смежными атомами металла, м“3; т — масса электрона,
т = 9,1083* 10"31 кг; и0 — средняя скорость теплового движения
электрона, м/с; X — средняя длина свободного пробега элек-
трона, м.
Для электронных полупроводников, т. е. для большинства
минералов,
Р = Pis ехр
Г ДЕ
— роехр
ДЕ / /
2&То \ То i
где pls и р0 — удельное сопротивление полупроводника при t =
= 18° С и t ~ 0; k — постоянная Больцмана, k ~ 1,38- 10“23 Дж/К;
Т — абсолютная температура, К; То — абсолютная температура
нуля стоградусной шкалы, То — 273,09 К; t — температура, °C;
\Е — ширина запретного участка между энергетическими
зонами, эВ \
1 У полупроводников ДЕ < 10 эВ и обычно варьирует в пределах 0, 1—2 эВ.
7
Отличие электропроводности полупроводников и изоляторов
от электропроводности металлов обусловлено наличием у атомов
полупроводников и изоляторов запретной зоны, отделяющей вну-
треннюю зону уровней энергий, полностью заполненной элек-
тронами, от внешней зоны свободных уровней. Наличие запрет-
ной зоны требует сообщения электронам полупроводников и осо-
бенно изоляторов достаточно высокой добавочной энергии, способ-
ной перевести их из внутренней зоны во внешнюю, где электроны
получают возможность дальнейшего движения. Вероятность та-
кого перехода возрастает с увеличением приложенного напря-
жения, температуры, а также при воздействии других источни-
ков энергии (например, световой).
Удельное сопротивление проводников с ионной электропровод-
ностью (в Ом- м)
(4)
где и ск — концентрации анионов и катионов в изучаемой
(в частности, в растворе); /а и /к — их подвижности; fc и
коэффициенты электропроводности.
По величине удельного сопротивления минералы можно разде-
среде
лить на следующие классы:
а) сверхнизкого удельного сопротивле-
ния (ниже Ю"6 Ом-м) — самородные металлы — золото, пла-
тина, серебро и др. и природные твердые растворы металлов;
б) очень низког о сопротивления (10"в—
10~2 Ом-м) — борнит, графит, кобальтин, ковеллин, никелин,
пирит, пирротин, халькопирит, халькозин и др.;
в) низкого сопротивления (10"2—102 Ом- м)—
браунит, магнетит, ильменит, маркозит и др.;
^среднего сопротивления (102—10е Ом-м) —
боксит, галлуазит, гематит, железная слюдка, монтмориллонит,
серпентин, хромит и др.;
д) высокого-сопротивления (от 10е до 1010 Ом- м)
— ангидрит, киноварь, монацит, щеелит и др.
е) очень высокого сопротивления (1010—
1014Ом- м) — кальцит, кварц, полевые шпаты, сера, флюорит и др.;
ж) сверхвысокого сопротивления (свыше
1014 Ом-м) — галит, сильвин, слюды, нефть.
В приведенной классификации указана лишь наиболее вероят-
ная принадлежность минералов к тому или иному классу. Следует
отметить, что в природных условиях в зависимости от физического
состояния минерала, кристаллической структуры и примесей его
удельное сопротивление может оказаться соответствующим сосед-
нему классу. Так, например, пирит и многие другие сульфиды,
обычно являющиеся минералами очень низкого сопротивления,
в ряде случаев имеют сопротивление, превышающее 10~2 Ом-м.
Для гидрохимических осадков
и гидролизующихся алюмосили-
катов характерно резкое сни-
жение удельного сопротивления
при самом незначительном
гигроскопическом увлажнении
пород.
Удельное сопротивление ми-
нералов, как и других проводя-
щих сред, зависит от их темпе-
ратуры и частоты тока, с кото-
рым измеряется сопротивление.
Для минералов с электронной
проводимостью
Рэ, Г = Рэ, О 11 4“ а (I ““ ^о) +
+ ь (t - /о)1 21 = /, (5)
где а и b — постоянные *;
Рэо — удельное сопротивление
электронного проводника при
температуре /0; — параметр
водника (минерала);
Рис. 1. Зависимости параметров Рэ, t
и Ри, t от температуры t.
1 — для электронных проводников (метал-
лов); 2 — для электронных полупроводни-
ков; 3 — для иоииых проводников (электро-
литов)
температуры электронного про-
Рэи = 1+а(/-/о) + &(/-/о)2.
Зависимость P3tt от температуры t приведена на рис. 1.
Как следует из формулы (5), удельное сопротивление провод-
ника возрастает с увеличением температуры. При температурах
< 100 °C в связи с малостью коэффициента Ь эта зависимость
близка к линейной.
Для электронных полупроводников зависимость удельного со-
противления от температуры определяется
формулой (3). Следо-
вательно, удельное сопротивление полупроводников понижается
с повышением температуры. Это объясняется возрастанием тепло-
вой энергии электронов с повышением температуры, в связи с чем
увеличивается вероятность преодоления электроном барьера за-
претной зоны. Из формулы (3) следует, что удельное сопротивле-
ние особенно резко убывает в области высоких температур. С этим
придется встретиться при исследовании скважин весьма больших
глубин.
Для полупроводников зависимость параметра P3i от темпера-
туры (рис. 1, кривая 2) определяется соотношением
э, t = exp
(6)
1 Например, для чистой меди при 20 °C а2о = 4,Ь10 1/°С и д20 = 0,43Х
ХЮ"6 1/(°С)2; для железа а20 = 7,3-10"3 1/°С и &30 = 9,6-10"6 1/(°С)2.
9
Уменьшение удельного сопротивления с температурой также
характерно для проводников с ионной электропроводностью, для
которых
Ри, о
Ль t Ри, О»
1 + а (/ — tQ)
0
где ри,0— удельное сопротивление ионного проводника при тем-
пературе /0; а — температурный коэффициент электропроводности.
Зависимость PVbi f (f) приведена на рис. 1 (кривая 5).
Зависимость удельного сопротивления минералов от частоты
тока, с которым определяется р, оценивается параметром ча-
стоты Р f:
_ P(f)
f р (0) ’
(8)
где р (/) и р (0) — удельное сопротивление минерала при заданной
и нулевой (постоянный ток) частотах.
Параметр Р[ изучен недостаточно. Удельное сопротивление
водных растворов некоторых легкорастворимых минералов со-
гласно теории Дебая — Фалькенхагена понижается с увеличе-
нием частоты. Однако этот эффект становится заметным лишь
при очень высоких частотах:
/>-^-10*0 с"1, (9)
где z — валентность электролита; с — его концентрация в молях;
Л — эквивалентная электропроводность.
Удельное электрическое сопротивление горных пород, имею-
щих различные минеральный (химический) состав и структуру,
изменяется от тысячных долей ом-метра до многих десятков и со-
тен тысяч и даже миллионов ом-метров (рис. 2).
Электропроводность горных пород обычно смешанного харак-
тера с преобладанием ионной электропроводности в осадочных и
залегающих близ поверхности магматических породах и электрон-
ной проводимости полупроводников в плотных породах, находя-
щихся на значительных глубинах. Как следствие этого, зависи-
мости удельного сопротивления горных пород от температуры и
других факторов в общем случае будут различными. Так, напри-
мер, у осадочных достаточно влажных пород зависимость удель-
ного сопротивления от температуры подчиняется зависимости (7)
с тем различием, что в случае тонкодисперсных пород значение а
может быть несколько большим (при малом значении с) или мень-
шим (при большом значении с), чем для растворов, насыщающих
данную породу [13]. Наоборот, в магматических породах с крайне
низкой пористостью зависимость удельного сопротивления от тем-
пературы будет определяться уравнением (3) и, следовательно,
при высоких температурах удельное сопротивление будет резко
падать с возрастанием температуры.
10
Удельное электрическое сопротивление
Горная порода
Ангидрит ' -• 1 *
Аргиллит
_ Алевролит 1
базальт
Габбро
Глина
Глина карбонатная
Гнейс- 1
Гранит
Диабаз
доломит
известняк
Известняк плотный
конгломерат 1
Мергель
песок
Песчаник рыхлый
Песчаник плотный 1
и пУ$$№ики$^1$нд$н>1&
Сланец глинистый
Саль каменная
Уголь - антрацит
Уголь тощий каменный
уголь жирный каменный Уголь бурый
10'3 Ю'2 10'1 10° Ю 102 Ю3 Юц 105 Оми
Рис. 2. Удельное электрическое сопротивление некоторых горных пород
Большинство горных пород при изучении их удельного сопро-
тивления практически может быть сведено к двухкомпонентным
системам двух типов: I) порода, состоящая из породообразующих
минералов (различного состава) высокого удельного сопротивле-
ния и проводящих (рудных) включений низкого удельного со-
противления; 2) порода, состоящая из породообразующих мине-
ралов (различного состава) высокого сопротивления и жидкости
(поровых минерализованных вод) низкого сопротивления, за-
полняющих поровые пространства.
В первом случае удельное сопротивление породы
Рп ВДРпм,
(10)
ГДО Рпм — удельное сопротивление породообразующих минера-
лов высокого сопротивления; Pt — параметр температуры; /7М —
параметр проводимости, определяющийся объемным содержа-
нием kM минералов низкого сопротивления, их структурой и удель-
ным сопротивлением рм (рис. 3),
Рм)-
Во втором случае
(П)
II
Рис. 3. Зависимость параметра /7М от
объемного содержания kM проводящих
минералов в породе.
Шифр кривых — рпм/рм
Где рв — удельное сопротивле-
ние воды, насыщающей поровое
пространство породы; рвп —
удельное сопротивление по-
роды, полностью насыщенной
водой при заданной темпера-
туре /; Ри — параметр пори-
стости, определяющий зави-
симость удельного сопротив-
ления породы от ее пористости
при полном насыщении пор вла-
гой; Рн — параметр насыще-
ния, устанавливающий зави-
симость удельного сопротивле-
ния породы от степени насыще-
ния порового пространства
водами; Pt — параметр тем-
пературы; Пп — параметр по-
верхностной проводимости, обусловленной глинистыми части-
цами.
Параметр /7П определяется как отношение удельного сопро-
тивления ргл глин к удельному сопротивлению рв насыщающих
вод и зависит от объемного содержания глинистых частиц.
Функции Рп = / (ku) (рис. 4) и Рн = f (йн) (рис. 5) изучены
теоретически и экспериментально [4, 11]. В средних диапазонах
изменения коэффициентов kn пористости и степени насыщения по-
рового пространства водами
а б
Рис. 4. Осредиенные зависимости пара-
метра Рп от коэффициента kn пори-
стости (объем ной вл аж пости (о) дл я
песчаных (а) и карбонатных (б) пород.
1 — рыхлые пески; 2 — слабое цементиро-
ванные песчаники; 3 — средиесцемеитнро-
ваниые песчаники; 4— ракушияки и рых-
лые известняки; 5 — известняки и доломиты
крупнокристаллические, средней уплотнен-
ности; 6 — известняки и доломиты плотные,
тоикокристаллические
Рвп ап .
— -7^’
рнп ан
рвп ’
(12)
(13)
где рвп, рнп и рв — удельное
сопротивление полностью, ча-
стично водонасыщенной породы
и насыщающих вод; ап и ан —
постоянные коэффициенты,
варьирующие в зависимости от
характера коллектора в преде-
лах 0,4—1,6; kn и kB — коэф-
фициенты пористости и водона-
сыщения порового пространства;
т — структурный показатель,
изменяющийся от 1,3 до 2,2;
п — показатель смачиваемости,
варьирующий от 1,8 до 3,5.
12
Характер зависимости пара-
метра поверхностной проводимо-
сти Пп от определяющих его
факторов изучен недостаточно.
Параметр Пи убывает с увели-
чением объемного содержания
krJ] глинистого материала и от-
ношения удельного сопротив-
ления рв вод к удельному со-
противлению ргл глин (рис. 6).
Зависимость рп от Пп опреде-
ляет связь удельного сопро-
тивления горных пород с их
дисперсностью.
Более подробные сведения
о параметрах Рм, P]it Рн и /7П
приведены в руководствах по
петрофизике
результатов
следований
и интерпретации
геофизических
скважин [4,
ис-
Ю,
со-
Удельное
противление
ных пород зависит от частоты
тока, с которым измеряется дан-
ный параметр. Такая зависи-
мость объясняется сложностью
электрическое
минералов и гор-
процессов, возникающих в гор-
ной породе при прохождении
тока. Многочисленные наблю-
дения показывают, что при
включении тока электропро-
водность со временем умень-
шается (удельное сопротивление
увеличивается) до некоторого
установившегося значения си
(роо), что обусловливается поля-
ризацией отдельных зерен по-
роды в электрическом поле.
С увеличением частоты пита-
ющего тока установившееся
значение ото (pw) будет тем
больше отличаться от о (р),
чем больше частота тока. Ана-
литические связи между удель-
ным сопротивлением горной
породы и частотой питающего
тока до настоящего времени
Рис. 5. Зависимость параметра Рн на-
сыщения от коэффициента kn (&в, kr)
нефтенасыщения (водоиасыщения, газо-
насыщения) породы.
Песчано-глинистые породы: / — гидрофиль-
ные, 2 — слабогидрофобные, 3 — гидрофоб-
ные; 4 — карбонатные породы [по Г. Арчи]
Рис. 6. Зависимость параметра 77п от
удельного сопротивления рв (по усред-
ненным экспериментальным данным для
песчано-глинистых отложений девона
Татарии и Башкирии).
13
Таблица 1
Коэффициенты анизотропии X и отношения prt/p/
для некоторых осадочных пород
Горная порода
OnK>t
Глина слабослоистая
Глнна с прослоями песков
Песчаник слоистый
Глина сланцевая
Сланец глинистый
Каменный уголь
Антрацит
Сланец графитный и углекислый
1,02—1,05
1,05—1,15
1,10—1,59
1,10-1,59
1,41—2,25
1,73-2,55
2,00-2,55
2,00—2,75
1,04—1,10
1,10—1,32
1,20—1,65
1,20—2,50
2,00—5,00
3,00—6,50
4,00—6,50
4,00—7,50
не установлены. Известно только, что эти зависимости для
разных пород существенно различаются [15].
Особенностью большинства горных пород и особенно пород
осадочного комплекса является их электрическая анизотропия.
Это свойство пород характеризуется коэффициентом анизотропии:
(И)
где prt и р, — удельное сопротивление породы, измеренное пер-
пендикулярно к напластованию и вдоль напластования.
Для двухкомпонентной слоистой среды, состоящей из слоев
удельного сопротивления prt и прослоев удельного сопротивле-
ния ps,
(15)
где v — соотношение мощностей слоев и прослоев.
Некоторые данные о величине v приведены в табл. 1.
Вследствие анизотропии большинства горных пород их удель-
ное сопротивление является тензорной величиной. Из двух наи-
более характерных значений тензора сопротивлений наибольшее
практическое значение имеет удельное сопротивление р, по на-
пластованию.
Для измерения удельного сопротивления горных пород в ла-
боратории используют многочисленные схемы, описание которых
дано в соответствующих руководствах [11, 12, 15].
§ 3. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ проницаемость
Диэлектрическая проницаемость гор-
ных п о р о д, на изучении которой основан метод исследования
разрезов скважин того же названия, определяется свойством ато-
14
мов или молекул вещества породы поляризоваться в электриче-
ском поле.
Вещества, которые поляризуются в электрическом поле, назы-
ваются диэлектри ками. Однако каждое вещество способно
в той или иной степени проводить электрический ток и поляризо-
ваться, т. е. обладает свойствами как проводника, так и диэлек-
трика. Существует несколько различных видов поляризации, объ-
единяемых в три основные группы: 1) поляризация смещения;
2) ориентационная поляризация; 3) структурная поляризация [47 ].
В группу поляризации смещения входят такие
типы поляризации (электронная, атомная, ионная), для которых
характерно смещение электрических зарядов под действием внеш-
него поля, в результате чего нейтральный объем вещества приобре-
тает определенный дипольный момент.
Поляризация, обусловленная упругим смещением электронов
относительно ядра атома, обычно невелика; время смещения —
порядка 10"15 с. Поэтому поляризация этого типа не зависит от
частоты внешнего поля. Она наблюдается в твердых, жидких и га-
зообразных веществах.
Поляризация, обусловленная относительным смещением ионов
различного знака, проявляется в твердых телах с ионной решет-
кой. Время смещения ионов составляет 10“12—10"13 с. В некото-
рых веществах диэлектрическая проницаемость, обусловленная
поляризацией этого типа, может достигать очень больших зна-
чений (у титаната бария, например, до 300 отн. ед.).
Атомная поляризация проявляется у веществ с валентными
кристаллами, в которых атомы связаны с молекулами путем об-
менного взаимодействия валентных электронов. Смещения также
происходят быстро, а диэлектрическая проницаемость сред с по-
добной поляризуемостью достигает 15 отн. ед.
Ориентационная поляризация обусловлена
наличием в диэлектрике полярных молекул и характерна для
воды и других полярных жидкостей. Ориентационная поляриза-
ция по величине намного превосходит поляризацию смещения (для
воды, например, диэлектрическая проницаемость равна 80 отн. ед.
при 20 °C). Поскольку тепловое движение препятствует ориента-
ции молекул, поляризация этого типа зависит от температуры
(с ростом температуры ослабевает).
Структурная поляризация наблюдается в мно-
гофазных породах и связана сдвижением ионов, накапливающихся
у межфазных границ раздела. Поляризация этого типа медлен-
ная и может преобладать на частотах порядка десятков и сотен
герц.
Таким образом, в диэлектрике поляризация обусловлена одно-
временна поляризационными процессами различных типов, каж-
дый из которых характерен для определенного диапазона частот.
Это обстоятельство, определяет наличие дисперсии диэлектриче-
ской проницаемости (зависимость е от частоты внешнего поляри-
15
Рнс. 7. Схематизированная зависи-
мость диэлектрической проницаемости
е от частоты поля / при проявлении
различных видов поляризации (элек-
тронной еэ, атомной ед, дипольной ед,
структурной ес)
зующего поля). Изменение ди-
электрической проницаемости
с частотой схематически изо-
бражено на рис. 7 [47]. При
низких частотах горная по-
рода характеризуется проводи-
мостью о (удельным электри-
ческим сопротивлением р) и
диэлектрической проницае-
мостью е. Проводимость здесь
имеет чисто омический харак-
тер и обязана переносу заря-
женных частиц — ионов —
в растворах, заполняющих
поры и трещины. Диэлектри-
ческая проницаемость частично
определяется ориентационно-дипольной поляризацией (поровая
жидкость), а частично — поляризацией смещения (скелет породы).
Полярные молекулы воды успевают менять ориентацию в соот-
ветствии с изменением поля. Однако при дальнейшем повы-
шении частоты начинает проявляться инерционность процессов
в поляризации. Полярные молекулы не успевают следовать за
изменением поля. Это приводит к появлению компоненты тока,
сдвинутой на 90° по отношению к току смещения и совпадающей
с током проводимости. Иными словами, инерционность поляри-
зации порождает дополнительную проводимость. Поскольку при
этом поляризация не достигает насыщения, диэлектрическая про-
ницаемость уменьшается. С увеличением частоты диэлектрическая
проницаемость плавно уменьшается, а проводимость — возрастает.
Появление компоненты тока, совпадающей по направлению
с током проводимости и сдвинутой относительно тока смещения на
90°, можно учесть, представив диэлектрическую проницаемость
в виде комплексной величины
е' = ег-/ег, (16)
где ег — действительная часть комплексной диэлектрической про-
ницаемости; в/ — мнимая часть комплексной диэлектрической
проницаемости.
Инерционность переноса зарядов токоносителей приводит к по-
явлению фазового сдвига между приложенным полем и создавае-
мым им током, что может быть определено введением комплексной
проводимости
и' = ог — io/9 (17)
где ог — действительная часть комплексной проводимости, опре-
деляющая амплитуду тока, фаза которого совпадает с фазой при-
ложенной напряженности Е; о, — мнимая часть комплексной про-
16
водимости, определяющая амплитуду тока, смещенного по фазе
относительно фазы приложенной напряженности (запаздывание).
Аналогично для характеристики магнитных свойств среды
можно ввести комплексную магнитную проницаемость
Н == Hr I >
здесь — упругая магнитная проницаемость; — мнимая или
вязкая магнитная проницаемость,
Hi = РтА*\
где ргп — магнитная вязкость.
При изучении горных пород пр их диэлектрическим свойствам
обычно пользуются безразмерной относительной диэлектрической
проницаемостью е, которой пропорционально абсолютное значение
этого параметра:
где е0 — электрическая постоянная, е0 = 8,85416-10“12 Ф/м.
В средах, параметры которых являются комплексными, поля
будут определяться эффективными параметрами.
При наличии комплексных параметров
, *<Ъф
~ еэф -|- (о
(18)
И
01 .
<?эф =
। / \ (02Т
<Ъф Н" ^0 (^с | | (ох)2 ’
(19)
(20)
(20')
(19')
£Эф SoSoo "Т* &ОО
1____
(шт)2
где ес — статическая диэлектрическая проницаемость (<о = и);
— оптическая диэлектрическая проницаемость (<о = оо).
диэлектрическая п р о -
осительна
м о с т ь
Н И
(21)
+ = 1 + ^->
е0Е е0
поляризующего поля, В/м; — век-
_ V V _ _____ __
: — напряженность
поляризации—электрический дипольный момент единицы
, Кл/м2; пе— диэлектрическая восприимчи-
где
тор
объема диэлектрика
вость или поляризуемость единицы объема диэлектрика Ф/м.
Из формулы (21) следует, что е определяется величиной диэлек-
трической восприимчивости xt, породы.
Для большинства минералов диэлектрическая вос-
приимчивость практически не зависит от напряженности
поляризующего поля. Исключение составляют лишь сегнетоэлек-
Рис. 8. Зависимость отно'си-
тельнойдиэлектрической про-
ницаемости в, породы от коэф-
фициента kn пористости*
/ — при полном насыщении пор
водой; 2 — при иасищении пор
воздухом
трики, редко встречающиеся
роде. Для этих минералов =
в при-
1 dp
е0 dE
является величиной, резко зависящей
от напряженности поляризующего
поля.
Диэлектрическая проницаемость
горных пород зависит от их минераль-
ного состава. Диэлектрическая прони-
цаемость воды значительно выше ди-
электрической проницаемости большин-
ства твердых минералов, а диэлектри-
ческая проницаемость газов и нефти
значительно ниже. Поэтому повышение
влажности пород приводит к увеличе-
нию их диэлектрической проницаемости
(рис. 8, кривая /), а повышение пори-
стости сухих или нефтенасыщенных
пород — к уменьшению е (рис. 8, кри-
вая 2). С повышением температуры ди-
электрическая проницаемость воды и влажных пород умень-
шается, а сухих пород возрастает.
В горных породах зависимость е от частоты поляризующего
поля определяется соотношением диэлектрической проницаемости
и электропроводности минералов, составляющих породу, и их
объемным содержанием и структурой. При этом е убывает с ча-
стотой.
В табл. 2 приведены данные об относительной диэлектрическбй
проницаемости главнейших минералов и горных пород. Как видно,
диэлектрическая проницаемость большинства пород варьирует
Таблица 2
Относительная диэлектрическая проницаемость некоторых
минералов и горных пород
Минерал
Горная порода
Ангидрит
Вода при 20 °C
Вода при 100 °C
Гематит
Доломит
Кальцит
Кварц
Лимонит
Полевой шпат
Сфалерит
Нефть
5,7—6,3
80
55
25
6,8—10,5
7,5—8,7
4,3-4,7
10— 11
4,5—6,2
7,8—8,3
2,0-2,7
Базальт
Габбро
Глина
Гнейс
Гранит
Доломит
Известняк
Каменная соль
Каменный уголь
Песчаник
Сиенит
6—12
6—17
10—20
6—15
6—10,5
7—30
7,5—30
6
2,5—15
4,5—40
7,0—14
в довольно узких пределах (5—20). Диэлектрическую проницае-
мость пород измеряют на установках, данные о которых приведены
в работе [12L
§ 4. электрохимическая активность
Свойство горных пород поляризоваться под воздействием тех
или иных физико-химических факторов (за исключением прохо-
ждения электрического тока), называется естественной
электрохимической активностью горных
пород. В зависимости от физико-химической природы про-
цесса, в результате которого возникает поляризация, электрохи-
мическая активность подразделяется на следующие виды:
1) диффузионно-адсорбционную, определя-
ющую свойство горных пород изменять величину и знак потен-
циалов диффузии, возникающих при соприкосновении породы со
средой (раствором или породой) иного физико-химического состава
(иного минерального состава или дисперсности);
2) окислительно-восстановительную, ха-
рактеризующую способность горных пород поляризоваться в слу-
чае, когда окислительно-восстановительный потенциал отливается
от окислительно-восстановительного потенциала окружающей
среды;
3) фильтрационную, обусловливающую возникнове-
ние электрического поля в породе при течении вод сквозь ее поро-
вое пространство.
иффузионно-адсорбционная активность
Понятие диффузионно-адсорбционной ак-
тивности вытекает из анализа природы диффузионно-адсорб-
ционных потенциалов, возникающих в зоне соприкосновения
влажных пород с растворами различных концентраций и химиче-
ского состава или с другими влажными породами. Как известно,
при разной концентрации соприкасающихся растворов-электро-
литов ионы под действием осмотического давления диффундируют
из раствора с большей концентрацией в растворы с меньшей кон-
центрацией. При этом в наиболее простом случае бинарного элек-
тролита
разно
концентраций возникает
о т е
между растворами различных
сть диффузионных п
н ц и а л о
в:
д
Др
«Ф
/ афСф
(22)
где ав и аф — активности соприкасающихся растворов (воды и
фильтрата); св и сф — концентрации этих растворов; /ав и [аф —
коэффициенты активностей; Кл — коэффициент э. д. с. диффузии,
2,303Т
F -[- /a^ava
(23)
19
В формуле (23) R — универсальная газовая постоянная,
R = 8,313 Дж/К; Т — абсолютная температура, К; гк и za —
валентности катионов и анионов; vK и va — числа катионов и анио-
нов, образующихся при диссоциации молекулы; F — число Фара-
дея, округленно равное 9,65- 104 Кл/моль; /к и /а — подвижности
катионов и анионов.
Так как на некотором (обычно достаточно большом) диапазоне
концентраций удельные сопротивления электролитов обратно про-
порциональны их активности, то для этого диапазона
#д = Кд1ё-^, (24)
где рф и рв
удельные сопротивления растворов,
имеющих кон-
центрацию Сф и сЕ.
В частности, для наиболее часто встречающихся в природе
растворов хлористого натрия, для которого Кд = —11,6 мВ (при
t = 18 °C),
В том случае, когда диффузионные потенциалы возникают
между глинистым раствором и пластовыми водами, с чем прихо-
дится встречаться при электрометрии скважин, рв и рф будут
соответственно удельными сопротивлениями пластовых вод и филь-
трата глинистого раствора.
Разности потенциалов, наблюдаемые на границе раствор —
порода, обычно отличаются от разностей потенциалов при сво-
бодном соприкосновении растворов не только величиной, но и зна-
ком. Это объясняется адсорбцией ионов, содержащихся в поровых
водах, поверхностью твердых частиц горных пород и особенно
их коллоидными глинистыми частицами.
Адсорбция ионов поверхностью твер-
дых частиц горных пород наблюдается в следующих
j
случаях.
1. При наличии в поровых растворах ионов, общих с ионами
кристаллической решетки минералов твердой фазы породы. В этом
случае поверхность частиц приобретает знак заряда, тождествен-
ный знаку заряда адсорбционного иона, достраивающего кристал-
лическую решетку. Так, например, кальцит в растворах хлори-
стого кальция адсорбирует ионы кальция и заряжается положи-
тельно. В растворах углекислых солей поверхность кальцита бо-
лее интенсивно адсорбирует ионы углекислоты и заряжается от-
рицательно.
2. При содержании в поровых растворах ионов, образующих
с твердыми частицами породы труднорастворимые соединения,
которые отлагаются на поверхности частиц.
3. При гидролизе минералов, составляющих породу, и после-
дующей адсорбции ионов, возникающих при диссоциации продук-
20
тов гидролиза. Этот вид адсорбции по современным представле-
ниям играет основную роль в процессе образования заряда у гли-
нистых частиц.
4. При наличии в растворах ионов, химически индифферент-
ных к твердой фазе, но различающихся степенью гидратации и
величиной заряда.
В последнем случае ионы менее гидратированные и большей
валентности удерживаются ненасыщенными ионами кристалличе-
ской решетки с большей силой, чем более гидратированные и мало-
валентные ионы. Это приводит к образованию на поверхности ча-
стиц ионного слоя с зарядом, соответствующем заряду менее гид-
ратированного или более валентного иона. Так как отрицатель-
ные ионы обычно менее гидратированы, поверхность твердой фазы
при этом виде адсорбции чаще всего заряжается отрицательно.
При адсорбции ионов разность потенциалов, возникающая на
поверхности соприкосновения литологически различных пород
или пород и глинистого раствора (так называемая диффузионно
адсорбционная разность потенциалов) в пределах достаточно боль-
шого диапазона концентраций растворов удовлетворяет уравне-
нию
««. = К«. 1е - (К. +- 4.) >s •
^ф
(25)
где /САа — коэффициент диффузионно-адсорбционной э. д. с.,
равной сумме коэффициента Кд диффузионной э. д. с. и диффу-
зионно-адсорбционной активности Дда горных пород.
Таким образом, параметр Дда характеризует свойство пород
изменять величину и знак диффузионной разности потенциалов
при соприкосновении растворов различного химического состава
и разных концентраций. Диффузионно-адсорбционная актив-
ность Дда горных пород, так же как и коэффициенты Кд диффу-
зионной и Кда диффузионно-адсорбционной э. д. с., на практике
измеряется в милливольтах.
Как следует из сопоставления формул (22) и (25), величина Дда
численно равна превышению потенциалов Еда (возникающих
между раствором солей и породой) над диффузионным потенциа-
лом Ед (при свободном соприкосновении растворов с поровой
водой) при концентрациях растворов а' и а\ отнесенному к лога-
рифму отношения этих концентраций 1 (рис. 9):
(<^да ^д)а' (^да <^д)а"
1 а'
lg —
(26)
1 В области концентраций растворов, соответствующей прямолинейному
участку зависимости <^да = f Cg fl) (рис. 9). При иных концентрациях для опре-
деления Яда необходимо вводить соответствующие поправки за отклонение за-
висимости Лда = f (1g а) от линейной.
21
Рис. 9.
at
Пример вычисления коэф-
фициента Лда.
/ - #да = f.Ug ^2 -&„ = f (Ig а)
ЛА* ЛА
где (^да — & д)а' и (^да — ^д)а- — раз-
ности между диффузионно-адсорбционными
и диффузионными потенциалами при
активных концентрациях а' и а" сопри-
касающихся растворов.
Диффузионно-адсорбци-
онная активность горных
пород определяется следующими фак-
торами.
1. Химико-минеральным составом твер-
дой фазы породы. В различных горных
породах при прочих равных условиях
f
J
щффузионно-адсорбционные
разности
потенциалов различаются по величине и
знаку (рис. 10).
2. Химическим составом и концен-
трацией вод, соприкасающихся с горной
породой и насыщающих ее. С увеличением
концентраций разности потенциалов на
границе порода — раствор резко умень-
шаются. В некоторых случаях при нали-
чии в растворах многовалентных ионов
наблюдается изменение знака измеряемой
разности потенциалов.
3. Степенью дисперсности породы. При
увеличении
дисперсности
при
прочих
равных условиях повышается диффузи-
онно-адсорбционная активность. Как
-ЛИ--------------—(----
Рис, 10. Диффузионно-ад-
сорбционные потенциалы
в растворах хлористого ка-
лия в различных горных
породах.
1 — глинистый сланец
(Урал); 2 — глина подкирма-
кинской свиты (промысел
им. Орджоникидзе); 3 —
глина кил (Крым); 4 — из-
вестняк; 5 — песчаник; 6 —
антрацит; 7 — мергель; 8 —
боксит; 9 — песок кварце-
вый; 1Q — доломит; 11 —
подмосковный ожелезнеи-
ный песок; 12 — каолин
22
следствие этого диффузионно-адсорбционная активность нахо-
дится в прямой зависимости от глинистости породы (рис. 11).
4. Плотностью укладки частиц, составляющих породу. Чем
плотнее горная порода и меньше ее пористость, тем выше диффу-
зионно-адсорбционная активность Дда (рис. 12).
5. Степенью насыщения пор породы раствором. Чем в мень-
шей степени насыщена порода электролитом, тем выше ее диф-
фузионно-адсорбционная активность.
Из последних трех факторов следует, что диффузионно-адсорб-
ционная активность пород тем выше, чем больше дисперсность
породы, чем плотнее укладка ее зерен и меньше воды, содержа-
щейся в ее порах. Таким образом, диффузионно-адсорбционная
активность горной породы при одинаковой активности породообра-
зующих минералов возрастает с увеличением поверхности твердых
частиц, приходящихся на единицу объема насыщающего породу
раствора.
Согласно теоретическим положениям диффузионно-адсорб-
ционная активность песчано-глинистых пород заданного мине-
рального состава
^да, п “Т Ана. гл “ ЛглДца, гл,
«гл । «п. р
где Дда, гл, —диффузионно-адсорбционная активность глинистых
(поверхностно-активных) минералов, содержащихся в породе;
Лгл — относительная глинистость породы в ее естественном (на-
бухшем) состоянии; 6ГЛ — объемная глинистость породы в этом
состоянии и 6П, р — коэффициент реальной пористости, равный
разности между * коэффициентом 6п,о открытой пористости по-
роды в сухом состоянии и объемом воды (&гл — 1) к1Л набухания
глинистых частиц, где Ьгл — коэффициент набухания глин.
, мВ
50
(27)
Так как коэффициенты/Сда и
Кд линейно зависят от абсолют-
ной температуры Т среды, в ко-
торой возникает диффузионно-
301- А
ko
30
20
10
Рис. 11. Поле корреляции диффузион-
но-адсорбционной активности Лда
с содержанием глинистой фракции Сгл
(для обломочных пород третичных от-
ложений Северного Кавказа).
Точками указаны результаты измерений
20 £'г/?> % мае.
20
10
о
О
Рис. 12. Зависимость.диффузионно-ад-
сорбционной активности 4да от объем-
ной влажности w для полимиктовых
песчано-глинистых пород доживетского
возраста Башкирии и Татарии
(по В. Н. Кобра новой)
Точками показаны результаты измерений
23
Таблица 3
Диффузионно-адсорбционная активность Ада некоторых осадочных
горных пород (наиболее вероятные пределы изменения)
Горная порода
м
Горная порода
л
да’
мВ
Песок и слабо сцементи-
рованный песчаник, хорошо
отсорти рова иные'
Песчаник средне сцемен-
тированный, плохо отсорти-
рованный
Песчаник сильно сцемен-
тированный, плохо отсорти-
рованный
Песчаник сильно сцемен-
тированный, плохо отсорти-
рованный, с карбонатным
цементом
Алевролит хорошо отсор-
тированный
Алевролит глинистый
От —5
до +10
2—20
7-30
5-15
0—10
5—30
Глина (в том числе алеври-
тистая)
Известняк чистый (нерас-
творимый остаток до 2%)
Известняк слабо глинистый
(нерастворимый остаток 2—
10%)
Известняк глинистый (не-
растворимый остаток 10 —
30%)
Мергель
Ракушняк
Доломит глинистый
20—70
От —7
до +5
От —5
до +20
10—60
20—70
10—20
20-55
адсорбционная разность потенциалов, то и диффузионно-адсорб-
ционная активность Лда = Адд — Ад линейно связана с Т. По-
этому горные породы характеризуются значением параметра Дда, 18
при постоянной температуре 18 °C. При другой температуре t
Ада, t (Ада, Ь /) ^/^да, 18 (Ада, 18» Ад, 1g)»
где /4да,is, Ада,is, Ад, 18 и /4да,/, Ада,/, Ад,/ значения диф-
фузионно-адсорбционной активности и коэффициентов диффу-
зионно-адсорбционной и диффузионной э. д. с. при 18 °C и при
температуре t изучаемой среды; at — температурный коэффициент.
Зависимость диффузионно-адсорбционной активности от т)гл
в некоторых случаях обусловливает коррелятивную связь пара-
метра Дда с коэффициентами эффективной пористости и проницае-
мости пород, что дает возможность в этих случаях использовать
параметр Дда для определения этих коэффициентов [4, 11].
Данные о величине диффузионно-адсорбционной активности
горных пород приведены в табл. 3.
Окислительно-восстановительная активность
Окислительн о-в осстановительные
ц и а л ы наблюдаются: 1) в сульфидных рудах; 2) в
содержащих окисли металлов, находящихся в высшей
шей степени окисления по отношению к окислам
потен-
породах,
или низ-
металлов
в окружающих горных породах; 3) в ископаемых углях.
24
Окислительно-восстановительная ак-
тивность Лов равна отношению превышения окислительно-
восстановительных потенциалов <F0B (возникающих между поро-
дой и раствором хлористого калия заданной постоянной концен-
трации 0,01 или 0,1 Моль/л, содержащим окислитель) над диф-
отсутствии
а'о окислите-
фузионно-адсорбционными потенциалами <^да при
в растворе окислителя при двух концентрациях и
лей к логарифму отношения этих концентраций:
(^ов — #да)а' — (^ов — <^да)а;'
л ___ о ____________о .
a'Q
OB --
(28)
«о
В формуле (28) (#ов — и (#ов — — величины
превышений окислительно-восстановительных потенциалов над
диффузионно-адсорбционными \ измеренных при активных кон-
центрациях оо и #о окисляющих реагентов в растворе, соприка-
сающемся с породой.
Из горных пород наиболее высокой окислительно-восстанови-
тельной активностью характеризуются сульфиды, из осадочных
формаций — ископаемые угли. Однако количественно этот пара-
метр не изучен.
Фильтрационная активность
Фильтрационная активность горных пород
определяется разностью потенциалов, возникающих при филь-
трации жидкостей через породу заданного химического состава
и концентрации под давлением 105 Па.
Такой жидкостью может быть раствор хлористого натрия удель-
ного сопротивления в 1 Ом-м (эквивалентная концентрация около
0,1 моль/л) или другой менее концентрированный раствор этой
соли. При этом приближенно принимается
А =
ф РР
где С7ф — потенциал фильтрации; р — удельное сопротивление
фильтрующей жидкости; р —давление, под которым происходит
фильтрация.
При фильтрации раствора иного химического состава
At _ , (30)
ф <5<ГН> х(>р ’ v '
где6Ен>МаС| и — потенциал Гельмгольца для раствора
NaCl указанной концентрации и раствора, фильтрующегося
в скважине, при перепаде давления в 105 Па; р — удельное сопро-
тивление раствора NaCl.
(29)
1 В области концентрации окисляющих реагентов, соответствующих прямо-
линейному участку зависимости <^ов = f 0g ^о)-
25
Фильтрационная активность и потенциалы фильтрации зависят
от химического состава и коллекторских свойств горных пород.
В частности, потенциалы фильтрации* в карбонатных породах
могут иметь знак, противоположный знаку потенциалов фильтра-
ции в алюмосиликатных породах. Этот параметр, так же как и
окислительно-восстановительная активность горных пород, почти
не изучен.
Для измерения естественной электрохимической активности
пород в лаборатории применяют специальные установки, описа-
ние которых дано в работе [12].
породах,
ионов и
а я п о-
§ 5. ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД
При прохождении электрического тока в горных
кроме поляризуемости элементарных частиц — атомов,
молекул обычно наблюдается электрохимическ
ляризация, обусловленная физико-химическими процессами,
возникающими в породе под действием тока. К таким процессам
относятся электрохимическое окисление и восстановление, элек-
троосмос, объемная поляризация поверхности частиц, слагающих
породу, концентрационная поляризация растворов, насыщаю-
щих породу и соприкасающихся с ней.
Эти процессы наблюдаются:
1) между минералами с электронной проводимостью и сопри-
касающимися с ними растворами солей — пластовыми водами и
глинистым раствором (окислительно-восстановительные про-
цессы);
2) на границах между непроводящими минералами и указан-
ными растворами (объемная поляризация, электроосмос);
3) непосредственно в самих растворах, в частности в раство-
рах, заполняющих поровое пространство породы (концентрацион-
ная поляризация).
Свойство горных пород поляризоваться в связи с возникно-
вением перечисленных процессов оценивается безразмерным пара-
электрохимической
метром — । в ы званной
активностью породы
л At/вп
в “ АС/
(31)
£вп _ Р
Е е0£
(где Д(7 и £ — разность потенциалов и напряженность внешнего
(поляризующего) поля; Д£/вп и £вп — то же, поля поляризации;
Р — модуль вектора поляризации; е0 — электрическая постоян-
ная) или коэффициентом поляризуемости породы1
Хэ = р 8о?4в.
1 В принятой в настоящее время системе единиц СИ использование параме-
тра менее удобно, чем параметра Ав, в связи с чем в дальнейшем будем пользо-
ваться преимущественно параметром Лв.
26
Проведенными
исследова-
ниями установлена зависимость
потенциалов вызванной поляри-
зации, а следовательно, и вы-
званной электрохимической
активности от плотности / по-
ляризующего тока напряжен-
ности внешнего (поляризу-
ющего) поля при достаточно
высоких ее значениях (рис. 13).
Поэтому для количественной
оценки свойства горных пород
поляризоваться при прохожде-
нии электрического тока це-
лесообразно использовать ве-
личины Л в (хэ), определенные
при достаточно малых плотно-
стях /о поляризующего тока,
при которых
не зависит от / \
Так как при прохождении
поляризующего тока измеряется
разность потенциалов
At/H = At/ — At/Bn,
то для высокоактивных пород,
у которых At/Bn соизмеримо
с At/, вызванная электрохими-
ческая активность
Ав = lim пгтД^влп,-,— • (33)
в ЛС/н+М/вп ' 7
Измерения показывают, что
Л в зависит от следующих па-
раметров пород:
1. X имического состава.
В породах, содержащих мине-
ралы с электронной электро-
проводностью, вызванная элек-
трохимическая активность
Рис. 13. Зависимость вызванной элек-
трохимической активности Ав от плот-
ности поляризующего тока / (по
А. А. Веденину).
/ — известняк; 2 — глина; 3 — песчаник;
4 — сфалерит; 5 — халькопирит; 6 — антра-
цит
10 fCMN
0.6 г
Рис. 14. Поле корреляции приведен-
ного значения вызванной электрохими-
ческой активности Ав> j = Ав/рв пес-
чано-глинистых пород *с удельной по-
верхностью Зф каналов фильтрации.
/ — поданным МИНХ иГП; 2 — по данным
ВНИИГеофиэики
1 Это соответствует плотностям
тока, изменяющимся приблизительно
в пределах 0,5—20 мкА/см2.
возрастает с увеличением содержания этих минералов в единице
объема породы. При малых концентрациях минералов с электрон-
ной проводимостью Ан и хэ пропорциональны их концентра-
циям [4, 11].
2. Удельной поверхности зерен породы (в песчано-глинистых
породах). Электрохимическая активность возрастает с ее увели-
чением (рис. 14). Так как удельная поверхность увеличивается
с уменьшением диаметра зерен и между диаметром зерен и коэф-
фициентом проницаемости /гпр пород существует обратная зави-
симость, то вызванная электрохимическая активность песчано-
алевритовых пород убывает с увеличением проницаемости [11].
При очень высокой дисперсности пород и дальнейшем ее уве-
личении вызванная электрохимическая активность уменьшается и
в чистых глинах в условиях их естественного залегания прибли-
жается к нулю (см. рис. 13). Это объясняется повышенной кон-
центрацией поровых вод в пелитовых породах, резко понижаю-
щей вызванную электрохимическую активность.
3. Влажности породы. С возрастанием влажности пород их
вызванная активность убывает. Вызванная электрохимическая
активность воды равна нулю.
4. Концентрации и химического состава поровых вод. У пород
осадочного комплекса в большом диапазоне концентрации вызван-
ная электрохимическая активность пропорциональна удельному
сопротивлению поровых вод. Поэтому для сравнительного изуче-
ния вызванной электрохимической активности осадочных пород
целесообразно использовать этот параметр, приведенный к удель-
ному сопротивлению поровых вод в 1 Ом-м:
___ ____1_
В’ 1 “ Рв ” Рв
/ At/вп \
\ АС/
(34)
Установлено также, что вызванная электрохимическая актив-
ность возрастает с увеличением pH раствора и зависит от £-по-
тенциала. ^-потенциалом (или электрокинети-
чески м потенциалом) называется часть разности по-
тенциалов, возникающей на границе раздела фаз и обусловленной
наличием двойного электрического слоя, ^-потенциал соответствует
разности потенциалов в той части диффузного двойного слоя, ко-
торая может перемещаться вместе с раствором относительно твер-
дого тела.
В области отрицательных значений ^-потенциала Дп убывает
с уменьшением С- При положительном ^-потенциале зависи-
мость Дв от С более сложна и недостаточно изучена.
Вызванная электрохимическая активность некоторых осадоч-
ных пород и полезных "ископаемых приведена в табл. 4.
Вторым параметром, характеризующим поляризационные свой-
ства горных поро,
является интенсивность убывания потенциа-
лов вызванной поляризации во времени (рис. 15). Количественно
этот параметр оценивается величиной среднего времени
28
Таблица 4
Вызванная электрохимическая активность
некоторых горных пород
Горная порода
ля. I03 Ля>1. 10»
D D
Песок и песчаник крупнозернистый и грубозерни-
стый
Песок и песчаник среднезернистый
Песок и песчаник мелко- и тонкозернистый
Алевролит
Алевролит глинистый
Карбонатная порода (известняк, доломит) плотная
Карбонатная порода рыхлая
Кварцевый песок магнетитовый
Сульфидная руда обедненная
Сульфидная руда обогащенная
— 0,05—0,3
— 0,2—1,25
— 1 —6
— 2,5—12
— 0— 12
— 0,1
— 0,002—1
0,2—10 —
I0—200 —
50—600 —
релаксации тр процесса распада поля вызванной поляриза-
ции в данной среде:
__т
At/вп = А^вп (0) е тр , (35)
где Л1/Вг1 — начальное значение потенциала вызванной поляри-
зации.
В породах сложного минерального состава
i-fl _ т»
Д<4п = S Д^вп, ,• (0) е V , (36)
1 = 1
где А/7Вп,( (0) — значение потенциа-
лов вызванной поляризации на f-м
минерале в начальный момент времени;
Tp,z —время релаксации соответству-
ющего процесса (рис. 15).
Параметр тр мало изучен. Известно
лишь, что он находится в прямой за-
висимости от удельного сопротивления
породы и различен для разных пород.
Вызванную электрохимическую актив-
ность пород в лаборатории измеряют на
специальных установках, описание ко-
торых приведено в ряде работ [9, 12].
Д йы),мВ
О 50 ЮО !50Г,С
Рис. 15. Зависимости Д17вп
от времени т для различных
горных пород и железа.
/ — железо (Тр = 225 с); 2 —
доломит (Тр( 1=5 с, Тр, 2 =
= 60 с, Тр,з = 150 с); 3 — пес-
чаник (TpfI = 15 с, тр> 2 =
= 150 с)
§ 6. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
ГОРНЫХ ПОРОД
При магнитометрии скважин из до-
вольно большого числа магнитных
свойств горных пород изучают объем-
ную х (или удельную х) магнитную
29
восприимчивость, которая равна отношению резуль-
тирующего магнитного момента J (вектора намагниченности) еди-
ницы объема (или единицы массы) горных пород к напряжен-
ности Н внешнего (намагничивающего) магнитного поля:
х = Х« = -Г’ (37)
где S — плотность породы.
Магнитная восприимчивость горных пород определяется маг-
нитными восприимчивостями минералов, составляющих породу,
их объемным содержанием и структурой породы. Минералы в за-
висимости от того, является ли х величиной отрицательной или
положительной, формально могут быть разделены на диамагне-
тики и парамагнетики. К парамагнетикам, в частности,
относятся ферро-, антиферро- и ферримагнетики. Ферро- и ферри-
магнитные минералы нередко определяют магнитную восприим-
чивость горных пород.
Приуроченность минералов к тому или иному классу опреде-
ляется структурой электронных оболочек атомов, входящих в со-
став минерала, и структурой его кристаллической решетки.
Диамагнетизм присущ всем минералам. Однако диа-
магнитными (х < 0) являются только те из них, в которых не про-
является более сильный парамагнитный эффект, т. е. те минералы,
у которых векторная сумма всех магнитных моментов атомов при
отсутствии внешнего магнитного поля равна нулю1. При этих
условиях под действием внешнего магнитного поля электроны
атомных оболочек и нуклоны ядер приобретают добавочную
угловую скорость.- Прецессия орбит заряженных частиц вокруг
направления внешнего магнитного поля (прецессия Лармора) и
создает добавочный магнитный момент, пропорциональный на-
пряженности магнитного поля и направленный ему навстречу.
1 При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные свойства вещества
в основном определяются наличием собственных (спиновых) магнитных моментов
электронов
сп — УЗрв :— к з
he
4пгп
ъ 1,6-10"23 4-м2
и их орбитальных моментов
где рв — магнетон Бора (9,27-Ю"24) А-м2; h постоянная. Планка
(6,625-10”84 Дж-с); е— заряд электрона (1,602-10”19 Кл); т — его масса
(9,108—10’81 кг); v — линейная скорость вращения электрона вокруг ядра, м/с;
г — средний радиус его орбиты, м; f — частота вращения электрона.
30
Магнитная восприимчивость диамагнитных минералов
6МЛ/Ое22Г2 О г* С£ 1 А19.
X ------V2-; — - 1!0~ — 3,556. Ю12? —V- «
6тД г ’ А
да —3,556- 1(Г8-ф- « —1,6-10 86м,
/1
(38)
где No — число Авогадро, NQ = 6,024-1023 моль-1; е и m — за-
ряд (в Кл) и масса (в кг) электрона; А —атомная масса минера-
ла; 6М — плотность, кг/м3; г2 — средний квадрат проекций радиусов-
векторов орбит электронов на плоскость, перпендикулярную
к полю; z — число электронов в атоме; zlA = 45; щ — магнитная
постоянная, равная 4л-10-7 Гн/м.
У диамагнитных минералов и горных пород значение х изме-
няется от нуля до —180-Ю-6. К диамагнитным минералам от-
носятся многие самородные металлы, сера, графит, галит, каль-
цит, кварц, а также некоторые карбонаты и сульфиды, к диамаг-
нитным породам — гидрохимические осадки.
Парамагнитными минералами являются ми-
нералы, атомы которых обладают результирующим магнитным
моментом, а собственно парамагнитными — минералы (горные
породы), у которых вследствие теплового движения, препятству-
ющего параллельной ориентации магнитных моментов, при от-
сутствии внешнего магнитного поля результирующая намагничен-
ность J равна нулю. Парамагнитные минералы (горные породы),
обладающие собственной намагниченностью, выделяются в от-
дельный подкласс ферромагнитных (ферро-, антиферро- и ферри-
магнетиков).
При наложении внешнего магнитного поля магнитные моменты
атомов парамагнетиков, ориентируясь в направлении поля, со-
здают результирующую намагниченность. Согласно теории Лан-
жевена [11], магнитная восприимчивость парамагнитных тел
хп = Р2т = 6,694 (-----Ц---\ р*т. 10*0, (39)
\ 1 273,09 /
где Рм — результирующий магнитный момент атома; k — по-
стоянная Больцмана, k — 1,38-10“23 Дж/К; Т — абсолютная тем-
пература, К.
В большинстве случаев хп по крайней мере на 2—3 порядка
выше диамагнитной восприимчивости. В связи с этим парамаг-
нитный эффект обычно преобладает над диамагнитным.
Ферромагнитными минералами являются ми-
нералы, содержащие элементы с незаполненными 3d и 4f электрон-
ными оболочками. К ним относятся железо, никель, кадмий и ряд
редкоземельных элементов.
Особенность ферромагнетиков заключается в их собственной
намагниченности в пределах незначительных областей (доменов),
линейные размеры которых имеют порядок микрона. При этом
31
Таблица 5
Наиболее вероятные пределы изменения магнитной восприимчивости
некоторых минералов и горных пород
Минералы
н горные породы
Магнитная воспри-
имчивость %. 10е
Минералы
и горные породы
Магнитная
восприимчивость
%• 10е
Д и а - п а р а-
магнитные
минералы
Авгит
Ангидрит
Биотит
Галит
Графит
Доломит
Кальцит
Кварц
Ферромаг-
нитные'
минералы
Ильменит
Магнетит
Мартит
Пирротин
Титаномагнетит
Франклинит
Магматиче-
ские горные
породы
Базальт
Г аббро
Гранит
250—2000
—10 до —15
1200—3000
—15 до —10
—170 до —25
10—50
—14 до —8
—15 до 0
(0,4— 3) Ю*
(0,25—20) • 10е
(0,25—1,9). 10е
(0,25—12). 10е
(0,006—1,7). 10е
До 0,45-10е
1,610’-6-104
43—1,5106
0—6 • 104
Диабаз
Кварцевый порфи-
рит
Периодотит
Порфирит
Сиенит
Метаморфи-
ческие горные
породы
Гнейс
Кварцит
Роговик
Сланец метамор-
фический
Осадочные
горные
породы
Ангидрит и гипс
Глина
Известняк
Мер гел ь
Песчаник
Песчаник и пески
магнетитовые
1,2 • 1024-5 • 106
0—2,5 -104
5-103—10е
0—3.106
04-10*
04-2,5-104
Около 0
04-3-10*
04-6.104
(—125) -(+125)
04-2,5-103
0-н 3-103
25-н 250
Он- 1,2-103
6,3-4- Ю4
элементарные магнетики могут занимать либо параллельную (фер-
ромагнетики), либо частично параллельную (ферримагнетики),
либо антипараллельную ориентацию (антиферромагнетики). По-
результирующей намагниченностью при от-
следние не обладают
сутствии внешнего магнитного поля.
Характерной особенностью ферромагнетиков является зависи-
мость магнитной восприимчивости от напряженности магнитного
поля. Магнитная восприимчивость при напряженности Я магнит-
ного поля, близкой к нулю, сначала постоянна, затем с ростом Н
резко увеличивается и, достигнув максимума, вновь убывает.
К собственно ферромагнитным минера-
лам относятся самородное (метеорное) железо, магнитная вос-
приимчивость которого достигает тысяч единиц.
32
Ферримагнетиками является большинство минера-
лов железа (магнетит, титаномагнетит, пирротин, франклинит,
гамма-гематит и др.). Магнитная восприимчивость магнетита до-
стигает 20, у других ферримагнитных минералов не превышает 0,4.
Антиферромагнетизм наблюдается у окислов металлов Мп, Ni,
Со, V, Си, Ti и особенно у сложных окислов с кристаллической
решеткой типа шпинели (MgAl2O4), граната и др. Магнитная вос-
приимчивость антиферромагнетиков обычно не превосходит 3-10~3.
Магнитные свойства горных пород определяются их минераль-
ным составом и изменяются в широких пределах (табл. 5). Это поз-
воляет использовать данные измерения магнитной восприим-
чивости горных пород для их изучения в разрезах скважин.
В определенных структурных условиях магнитная восприимчи-
вость ожелезненных пород пропорциональна содержанию в них
магнетика [18, 20].
Магнитную восприимчивость горных пород в лаборатории опре-
деляют с помощью специальных магнитомеров, описание которых
и методика работы с ними приведены в соответствующих руковод-
ствах [12].
2 Дахнов В. Н.
Глава II
ТЕОРИЯ МЕТОДА КАЖУЩЕГОСЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
§ 7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Удельное кажущееся электрическое сопротивление (измеряемое
в методе кажущегося сопротивления) в зависимости от типа зонда
пропорционально потенциалу, разности потенциалов или напря-
женности электрического поля, созданного находящимся в сква-
жине источником тока. Потенциалу заземления пропорционально
удельное эффективное электрическое сопротивление, измеряемое
в методах сопротивления заземления Ч Эффективная электро-
проводность горных пород, регистрируемая в индукционном ме-
тоде, определяется напряженностью переменного магнитного поля
в точке расположения измерительной катушки зонда. Таким обра-
зом, определение зависимостей кажущегося и эффективного со-
противлений и эффективной электропроводности от характера’за-
легания пород различного удельного сопротивления, а также от их
величины сводится к изучению распределения электромагнитного
поля в условиях заданных неоднородностей.
Электромагнитное поле определяется системой дифференциаль-
ных уравнений, обычно называемых уравнениями Макс-
велла1 2:
rot Н = j +
3D
ди
rot Е =
(40)
ЗВ .
ди ’
div В = 0; div D = 6.
Первое уравнение Системы (40) показывает, что наличие токов
, dD
проводимости плотностью j и токов смещения приводит к воз-
(/ V
никновению вихря магнитного поля Н, второе — что изменение
магнитной индукции во времени вызывает вихрь электрического
поля Е, из третьего уравнения вытекают замкнутость линии маг-
нитного поля и, наконец, четвертое определяет связь между вели-
1 Поскольку термины «кажущееся» и «эффективное» относятся только к удель-
ному электрическому сопротивлению, в дальнейшем удельное кажущееся электри-
ческое сопротивление будем называть кажущимся сопротивлением, а удельное
эффективное электрическое сопротивление — эффективным сопротивлением.
2 Точнее, Дж. К. Максвеллу принадлежит вывод первого и второго уравне-
ний системы (39).
34
чиной вектора D электрической индукции и объемной плот-
ностью б электрических зарядов в изучаемой точке пространства
п указывает на наличие источника электрического поля Ч
Из первого уравнения системы (40) также вытекает замкну-
тость линий тока. Действительно, беря дивергенцию от левой и
правой частей этого уравнения и учитывая, что div rot равна
нулю, получим
/ ар
\ ат
(41)
Входящие в уравнения системы (40) составляющие электро-
магнитного поля j и Е, D и Е, В и Н связаны между собой сле-
дующими соотношениями:
j = оЕ; (42)
D = еаЕ = 8о8Е = 8о ( 1 + -£Це =80(Е + Рг); (43)
\ ео /
В = р.аН = IMIH = (1 + х) |Л0Н = р0 (Н + J), (44)
®а>
где р0, е0 — магнитная и электрическая постоянные;
ие — абсолютные магнитная и диэлектрическая проницаемости,
магнитная восприимчивость, удельная электропроводность и ди-
электрическая восприимчивость среды, в которой определяются
В, Н, J, Е и D; |ХИ8 — относительные значения магнитной и ди-
электрической проницаемостей 1 2 3 * *: J — намагниченность; —
вектор диэлектрической поляризации.
Соотношения (42), (43) и (44) дают возможность преобразовать
систему уравнений (40)
rot Н = оЕ + еа
ЗЕ
ди 9
rot Е =
ЗН
fa >
(45)
div Н = 0, div Е =
в систему связывающую напряженности электрической и магнит-
ной составляющих электромагнитного поля с величинами о, 8а
и ра, характеризующими электромагнитные свойства среды, в ко-
торой распространяется электромагнитное поле.
В тех случаях, когда электромагнитное поле гармоническое,
изменяющееся с частотой f и угловой частотой — 2л/, и его
составляющие х изменяются во времени по закону
х = Xe4wt,
1 Изложение теории электрических и магнитных методов исследований сква-
жин дается в международной системе единиц СИ.
3 Числовые значения относительных магнитной и диэлектрической прони-
цаемостей в системе СИ соответствуют таковым в системе СГС.
2* 35
где X — амплитуда данной составляющей, система уравнений (45)
приводится к следующему виду:
rot Н = оЕ — иоеаЕ; (46)
rot Е = гсор.аН; (47)
div Н = 0; (48)
div Е = 7" • <49)
са
В горных породах при обычно наблюдающихся значениях а
и 8а и используемых частотах / электромагнитного поля объемная
плотность 6 зарядов исчезает практически мгновенно. Поэтому
для точек среды, в которых отсутствуют источники тока, при ука-
занных выше условиях равенство (49) может быть заменено ра-
венством
div Е = 0. (50)
Для постоянного электромагнитного поля, т. е. при о = 0,
уравнения (46)—(49) преобразуются в уравнения:
rot Н = аЕ == j; (51)
rot Е = 0; (52)
div Н = 0; (53)
div Е = 0 или div j = 0. (54)
Так как согласно уравнению (52) Е является градиентом ска-
лярной функции (/-потенциала электрического поля, уравне-
ние (54) может быть записано в виде уравнения Лапласа
div Е = div grad U = Д(7 = 0. (55)
Уравнения (48) и (50) дают возможность охарактеризовать
электромагнитное поле функциями Аэ и Ам, называемыми функ-
циями вектора-потенциала1, для которых:
Е -= rot Ам; (56)
Н = rot Аэ. (57)
Функции Аэ и Ам могут быть определены из соответствующих
дифференциальных уравнений. Эти уравнения нетрудно получить
на основании следующих положений.
Исходя из условий
Е = rot Ам
и
rot Н = оЕ — коеаЕ,
1 Функции Аэ и Ам в литературе иногда называют соответственно электри-
ческим н магнитным векторами-потенциалами. Индексы, принятые нами, указы-
вают, является ли источником электромагнитного поля магнитный диполь (м)
или электрический диполь (э).
36
получим
rot [Н — (<т — i(Dea) Ам] = rot (Н + г(оеаАм) *= 0, (58)
где 8а — комплексная диэлектрическая проницаемость среды,
Из уравнения (58) следует, что вектор Н + шваАм может быть
представлен в виде градиента некоторой потенциальной функции.
Этой функцией, как можно показать, является магнитный потен-
циал UM. Действительно, полагая
Н = —йл)8аАм — grad t/M,
(59)
получаем для постоянного тока, т.
е. при о = 0, известное из
физики соотношение
Н = — grad UM =
дим
дп
Подставив равенство (56) и найденное значение Н в фор-
мулу (47), будем иметь
rot rot Ам = grad div AM — AAM = <л>2|ЛаеаАм — i<opa grad UM
или
grad (div AM + = ДАМ + w2pa8a A„. (60)
Вектор-потенциал Ам определен с точностью до градиента ска-
лярной функции, а функция UM — с точностью до постоянной.
Так как функции взаимно связаны, то определим их из условия
равенства нулю выражения, стоящего в формуле (60) под знаком
градиента, т. е.
пли
div Ам + 1<оца(/м = О
div Ам = — 1<фа(/м.
(61)
В этом случае дифференциальное уравнение, определяющее
вектор-потенциал Ам, примет следующий вид:
ДАМ + ю2иаеаАм ДАМ + й2Ам == 0, (62)
где k2 — комплексный параметр — квадрат волнового числа,
№ = со21иае'а = <о2|лаеа ( 1 + i -£-} = со2иоеоре (1 i •
Напряженность электрической составляющей поля будет за-
дана соотношением (56); для напряженности магнитной составляю-
щей поля, исходя из равенств (59) н (61), получим следующее
выражение:
н = — (ноеа А„ 4- grad UM) = —ift>ea ( А„ + -& grad div Ам) ♦ (63)
37
Аналогичные уравнения могут быть получены и для вектор-
потенциала Аэ. Проведя рассуждения, подобные предыдущим,
а также, исходя из равенств (57) и (47), будем иметь
rot Е = i(op.a rot Аэ
или
rot (Е — (о>раАэ) = О
и, следовательно,
Е = 1сораАэ — grad U3. (64)
Далее на основании уравнения (46) получим
rot rot Аэ = grad div Аэ — ААЭ = (о — tcoea) (й1>цаАэ — grad U3)
или
grad (div Аэ + (о — t<oea) U3] = <o2eapa Аэ + Д Аэ,
откуда в связи с условиями нормировки
ДАЭ + k2b3 = 0. (65)
Напряженность электрической составляющей электромагнит*
ного поля определяется соотношением
(66)
и магнитной составляющей Н, т. е. уравнением (57).
При изучении электрического поля удобно ввести единую функ-
цию, от которой зависели бы скалярный U„ и векторный Ам по-
тенциалы, а следовательно, Н и Е. Такой функцией является
вектор-потенциал
П Герца, который определим из
условия
= div П,
(67)
следовательно, исходя из уравнения (61),
Ам — /<ораП»
(68)
Подставив полученное выражение для А„ в формулу
придем к дифференциальному уравнению, определяющему
нитный вектор-потенциал Герца (уравнение Гельмгольца):
дп + Л2П = 0.
(62),
маг-
(69)
Напряженности электрической и магнитной компонент поля
будут иметь следующий вид:
Е = rot Ам = — iw|ia rot П; (70)
и из уравнения (47)
Н = —rot rot П=ДП — grad div П. (71)
В зависимости от характера неоднородности среды, в которой
изучается электромагнитное поле, и ее анизотропии вид функ-
38
Рис. 16. Схема, поясняющая граничные условия электромагнитного поля.
а — общий случай; б — поле постоянного тока
ций П, Ам, Аэ, U3, UM будет различным. При этом потенциальные
функции должны удовлетворять следующим граничным условиям:
1. В точках, бесконечно близко расположенных к источнику
поля, стремиться к выражению потенциала в однородной безгра*
ничной среде:
П, (A, U)R^= П,о (А,о и9), (72)
где R — расстояние от точки, в которой определяются потенциаль*
ные функции, до источника поля; индексом нуль обозначены зна-
чения этих функций в однородной безграничной среде.
2. В бесконечно удаленных точках обращаться в нуль:
П, (А, {/)*.>„-0. (73)
3. В точках, расположенных в непосредственной близости от
поверхности S (рис. 16), отделяющей любую область V, с пара-
метрами р,- (о,), eai, pai, k] от окружающего пространства Ve
с параметрами ре (оД еае, рае, k?e потенциальные функции должны
принимать значения, обеспечивающие равенство касательных со-
ставляющих напряженностей электрического и магнитного полей,
нормальных составляющих плотности тока и магнитной индукции.
Таким образом, в этих точках должны соблюдаться следующие
условия:
Ef, i — Ett е- (74)
Ht,= Ht, (75)
I I i _ : i g .
f ' dx ~~ in>c ' dx ’ k '
i — e ИЛИ iHn, i — pa, е» (77)
где индексами t, n, f, e соответственно обозначены значения тан-
генциальных и нормальных составляющих векторов Е и Н в точ-
ках, расположенных в областях V, и Ve бесконечно близко к по-
верхности S и разделенных этой поверхностью.
39
§ 8. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МЕТОДА КАЖУЩЕГОСЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Метод кажущегося сопротивления осно-
ван на изучении и расчленении пород по их удельному электри-
ческому сопротивлению и связанному с ним параметру — кажу-
щемуся сопротивлению, измеряемому в скважинах.
Для определения удельного или кажущегося электрического
сопротивления горных пород (в зависимости от того, является
изучаемая среда однородной или неоднородной) применяют четы-
рехэлектродную установку AMNB. Электрический ток вводят
в породы через питающие заземления А и В (рис. 17). Между
электродами Л4 и А измеряют разность потенциалов.
Электроды A, М и А или А, В и М (рис. 17), закрепленные
на заранее заданных расстояниях один от другого, называются
зондом. Зонд опускают в скважину на кабеле Ч Четвертый
электрод В (при зонде AMN) или N (при зонде ВАМ) обычно рас-
полагают близ устья скважины. Расстояния между электродами
зонда определяются задачами, для решения которых измеряют
электрическое сопротивление пород.
Кабель, на котором опускают зонд в скважину, одновременно
служит для присоединения питающих заземлений к генератору Г
и прибору mA, измеряющему ток, и электродов М и N к при-
бору mV, регистрирующему разность потенциалов АС/. Генератор
и приборы устанавливаются на поверхности земли.
Измеряемая разность потенциалов АС/ пропорциональна току /
и удельному электрическому сопротивлению р пород, в которых
расположен зонд. Это дает возможность по данным измерений АС/
и / рассчитать.
„ ьи
Рис. 17. Принципиальные схемы изме-
рения кажущегося сопротивления гор-
ных пород в скважине.
А и В — питающие заземления; М и N —
измерительные электроды; Г — генератор
тока; К — кабель; mA — прибор для изме-
рения силы тока; mV — прибор для измере-
ния разности потенциалов; Р — реостат для
регулирования силы тока
(78)
где К — коэффициент зонда.
Коэффициент зон-
да К зависит только от рас-
стояний между электродами 1 2
Л, М, А и В:
„ 4л AM AN
А =--=—
MN
(79)
1 В некоторых случаях (при спе-
циальных исследованиях) в скважину
опускают только два электрода А н Л4;
два других электрода В и N устанавли-
вают на поверхности.
2 При условии, если электроды А,
М, N, В, как это всегда бывает на прак-
тике, расположены на одной прямой
40
Коэффициент К имеет размерность длины и измеряется в м.
В связи с пропорциональностью сопротивления р разности
потенциалов АС/ кривая АС/, зарегистрированная при постоян-
ной силе тока / питания, представляет собой кривую сопротивле-
ния в масштабе KJI.
В случае однородной изотропной среды удельное электрическое
сопротивление, вычисленное по формуле (78), соответствует истин-
ному удельному сопротивлению этой среды. В неоднородных сре-
дах формула (78) определяет величину кажущегося сопротивления:
Рк = ^-^г- (80)
Кажущееся сопротивление в зависимости от удельного сопро-
тивления в геометрии изучаемых неоднородностей может быть
больше или меньше удельного электрического сопротивления
среды, в которой находятся электроды зонда, или равно ему.
Сопоставляя формулы (78) и. (80), приходим к выводу, что ка-
жущееся сопротивление неоднородной среды равно удельному
электрическому сопротивлению фиктивной однородной среды, со-
здающей при заданных расстояниях между питающими и прием-
ными электродами А, М, N и ток / питания одинаковую разность
потенциалов АС/.
В зависимости от соотношения расстояний AM и AN зонды
метода кажущегося сопротивления подразделяются на потенциал-
зонды при AM < MN и градиент-зонды при AM > MN. Потен-
циал-зонды с электродом М, удаленным в бесконечность, назы-
ваются идеальными потен циал-зон дам и.-Так как
при этом разность потенциалов АС/ между электродами М и N
равна потенциалу электрода М, то
к и л т и
Рк — к;> — 4лА у ,
(81)
где Кп — коэффициент идеального потенциал-зонда, Кп =
= 4лАМ = 4лЛ; L = AM — размер зонда.
Практически идеальным потенциал-зондом считается любой
трехэлектродный зонд, у которого при измерении по однополюс-
ной схеме (AMN) потенциал UN точки N не превышает 5% потен-
циала С/м точки М. В однородной среде таким зондом будет зонд
с расстоянием / = MN > 20АМ = 20L. В слоистой среде рас-
стояние между парными электродами должно превышать мощ-
ность пластов, составляющих эту среду, и быть тем больше 20АМ,
чем выше их сопротивление.
Градиент-зонды с бесконечно сближенными измерительными
электродами М и N называются идеальными градиент-
зонд а м и, для которых
рк=/сг 4 =4 ’ (82)
41
где Е — напряженность электрического поля в точке О, располо-
женной между измерительными электродами зонда; Кг — коэф-
II
фициент идеального градиент-зонда, Кг = 4 л ДО2 = 4пЬР; L =
= АО — размер зонда; Кг измеряется в м2.
Градиент-зонды, с которыми измеряют кажущееся сопротивле-
ние в скважинах, не идеальны, так как изготовить идеальный
градиент-зонд и определить им рк невозможно. Во-первых, нельзя
установить электроды М и N (А и В) бесконечно близко и, во-
вторых, при значительном сближении этих электродов измеряе-
мая разность потенциала AU настолько уменьшается, что точное
измерение Д£7 становится невозможным.
Практически идеальным градиент-зондом считается зонд, у ко-
торого отношение AUIMN отличается не более чем на 5% от на-
пряженности Е электрического поля в точке О. В однородной среде
это условие соблюдается при расстоянии между сближенными
электродами зонда I < 0,436 L.
В неоднородной горизонтально-слоистой среде расстояние I
не должно превышать 0,1; оно не должно, превышать также и мощ-
ность используемых пластов. Это условие справедливо также для
сред с коаксиально-цилиндрическими поверхностями раздела.
Согласно принципу взаимности, более подробно
изложенному в § 10, величина кажущегося сопротивления не из-
меняется, если, сохранив расстояния между питающими и изме-
рительными электродами, взаимно заменить их назначение, т. е.
пропускать ток через электроды и У и измерять разность по-
тенциалов между заземлителями А и В (см. рис. 17).
При электрометрии скважин используют любые из указанных
схем, т. е. в скважину опускают либо зонд, состоящий из одного
питающего заземления А (второе питающее заземление В уста-
новлено на поверхности земли) и двух измерительных электро-
дов Л4 и М (табл. 6 схемы 3, 4, 7 и 8) — однополюсный
зонд (зонд прямого питания), либо зонд, состоящий из двух
питающих заземлений А и В и одного измерительного электрода М
(второй измерительный электрод расположен на поверхности) —
двухполюсный зонд (зонд взаимного питания) (табл. 6,
схемы 5, 6, 9 и 10). Однако теорию метода сопротивления проще
излагать для однополюсных зондов. Это позволяет наиболее на-
глядно представить физическую сущность изучаемых процессов.
Принцип же взаимности дает право распространять установлен-
ные положения на применяемые в практике двухполюсные
зонды.
Измеряемое кажущееся сопротивление относится к точке О,
находящейся на середине интервала между сближенными электро-
дами — середине АМ у потенциал-зонда и середине MN (или АВ)
у градиент-зонда. Размер L зонда определяет радиус ис-
следования и конфигурацию кривых кажущегося сопротивления,
зарегистрированных в неоднородных средах.
42
43
44
В однородной среде измеряемое сопротивление ие зависит от
последовательности расположения питающих и измерительных
электродов. В неоднородных средах это положение (за исключе-
нием идеального потенциал-зонда) не соблюдается. Поэтому
в практике следует знать последовательность расположения элек-
тродов зонда по оси скважины.
Зонды, у которых парные электроды (М и N у однополюсных
пли А и В у двухполюсных) расположены ниже непарного, назы-
вают зондами с последовательным расположением электродов или
последовательными (с М и У или А и В внизу),
а также подошвенными (табл. 6, схемы 3, 5, 7 и 9); зонду,
у которых парные электроды (М и N у однополюсных или А и В
у двухполюсных зондов) расположены выше непарного А (М),
называют зондами с обращенным расположением электродов, или
обращенными (с М и М или А и В вверху), а также кро-
вельными1 2 (табл. 6, схемы 4, 6, 8 и 10).
Зонды обозначаются последовательным (сверху вниз) сочета-
нием буквенных названий электродов с указанием расстояний
между этими электродами в метрах ®.
Кроме обычных потенциал-зондов и градиент-зондов, при не-
которых исследованиях разрезов.скважин иногда применяют или
применяли специальные зонды, а именно:
а) дифференциальный зонд Заборовского,
состоящий из двух однополярных заземлений Л и Л', между кото-
рыми установлены измерительные электроды М и JV(cm. табл. 6
схемы 11);
б) экранированный микропотенциал зонд
Дахнова с измерительным электродом М, установленным
между двумя сближенными однополярными питающими заземле-
ниями Л (см. табл. 6, схема 12); такой зон
измерять потенциал вблизи заземления Л при взаимном экрани-
ровании питающего тока;
в) симметричный или с д в о
зонд, состоящий из одного питающего заземления А и двух пар
измерительных электродов MN' и NN', расположенных по обе
стороны от заземления Л (см. табл. 6, схема 13); такой зонд дает
симметричные кривые р1(, более точно отражающие характер из-
менения истинного сопротивления исследуемых пород по сравне-
нию с кривыми обычных трехэлектродных зондов;
г) четырехэлектродный градиент-з о нд,
состоящий из двух (обычно крайних) питающих заземлений А и В
и двух средних измерительных электродов М и N; электроды Л,
ает возможность
ениыи градиент-
1 Термины «кровельный» и «подошвенный» неудачны: кривые рк, измеренные
этими зондами, во многих случаях (например, при сочетаниях пластов малой мощ-
ности) не имеют конфигурации, соответствующей указанным терминам, поэтому
в настоящей работе пользоваться пмн не будем.
2 Ранее обозначались в дециметрах.
45
В, М и /V расположены симметрично относительно середины
зонда — точки О, к которой относится величина измеряемого со-
противления (см. табл. 6, схема 14); эта схема позволяет изме-
рять кажущееся сопротивление зондами большего размера, чем
трехэлектродный зонд, но требует кабеля, состоящего из четырех
жил и более;
д) дипольные зонды с электродами М и N, находя-
щимися по одну сторону от электродов А и В; зонды обладают
высокой расчленяющей способностью, но недостаточно изучены
(см. табл. 6, схема 15);
е) микрозонды, характеризующиеся небольшими раз-
мерами (обычно L < 5 см), с электродами, установленными на изо-
лирующей пластине, прижимаемой к стенке скважины специаль-
ным пружинным устройством (см. табл. 6 схема 16).
Формулы (81) и (82) позволяют установить простую физическую
связь между кажущимся и истинным сопротивлениями среды,
в которой находится зонд. Для этого представим формулу (82)
б
иде
Кг 4пА0г 4лЕ2
Знаменатель последнего равенства
в однородной и изотропной среде. Но
есть плотность тока
так как
/о
где / и — истинные значения плотности тока и сопротивле-
ния среды между электродами М и N, то
Рк = Pmn- (S3)
Из формулы (83) следует, что кажущееся сопротивление, из-
меренное градиент-зондом, пропорционально истинному сопро-
тивлению среды, в которой находятся электроды М и N. Коэффи-
циент пропорциональности равен отношению истинного значения
плотности тока в этой среде к ее величине в однородном и изо-
тропном пространстве. Он зависит от соотношений удельных
сопротивлений и размеров сред, слагающих это пространство.
Из формулы (83) также следует, что отношение
рк = / _ _Е_
(>мь io Е» ’
(84)
т. е. отношение кажущегося сопротивления, измеренного гра-
иеит-зондом, к истинному удельному сопротивлению среды,
в которой находятся измерительные электроды, равно отношениям
истинного значения плотности тока / или градиента потенциала Е
электрического поля между электродами М и N в данной неодно-
родной среде к их величинам /0 и £0 в однородной и изотропной
46
среде с сопротивлением р^, равным сопротивлению среды,
заключенной между электродами М и N.
В потенциал-зонде взаимная связь рк
с сопротивлением среды,
в которой находится электрод Af, определяется уравнением,
подобным уравнению (83). Если от электрода М в направлении,
противоположном заземлению А, пространство заполнено однород-
ной и изотропной средой, потенциал точки М
со
:== Рм°° j* oc/odz =
L
00
1 f a dz
4л рл,0° J г2 ’
L
где рмсо — сопротивление среды, простирающейся от точки М
до бесконечности; а = 3- = f (г).
Использовав теорему о среднем, напишем
^Рм~аср f dz / .
4л J г» ~ Рм*аср 4лЬ ’
затем, подставив найденное значение U в формулу (81), получим
Рк = 4nL -у- — асррм
Среднее значение (///0)ср в основном определяется величинами
соотношений ///0 в породах, расположенных от заземления М
на расстояниях, не превышающих 10L. В пределах указанного
интервала влияние /7/0 на отдельных его участках на величину
(/7/о)Ср резко уменьшается при удалении этих участков от элек-
трода М.
Если полупространство, находящееся от электрода М в на-
правлении, противоположном положению заземления А, запол-
нено средами с различными удельными сопротивлениями, кажу-
щееся сопротивление будет зависеть н.у только от характера рас-
пределения токового поля в среде, окружающей заземление А,
но и от усредненного значения сопротивления пород, слагающих
изучаемое полупространство.
В этом случае потенциал электрического поля в точке Л4
00
/ f ocp dz
4л J z2
L
47
Так как при этом ар = F (z), то, применяя, как и ранее, тео-
рему о среднем и интегрируя правую часть последнего равенства,
получаем
Ji I I \ f ? / i \
Uм = IF<ар)<;Рм“ J = 4НГ \ТР/с₽м~’
L
где индекс «ерМос» означает, что среднее значение произведения
р берется для интервала от точки М до бесконечности,
/о
Однако, как и в случае однородного полупространства, вели-
/ / \ /
чина ( р) в основном определяется значениями -4- р для
\ /о / ср М со /о
участков, расположенных близ электрода М в пределах интер-
вала, не превышающего 10-кратный размер L зонда.
Подставив значение UM из последней формулы в правую
часть равенства (81), получим
СрМ с®
(85)
Зависимость кажущегося сопротивления от потенциала элек-
трического поля в связи с включением в изучаемое пространство
неоднородностей можно установить, исходя из формулы (81).
Для однородной среды удельного сопротивления р0 формула (81)
будет иметь следующий вид:
Ро = 4лА ,
где С/о — потенциал электрического поля в точке М.
Определив из последнего равенства величину 4лА// и под-
ставив ее в правую часть формулы (81), получим
Рк = -Щ Ро (86)
ИЛИ
Рк _
Ро ~ Щ ’
т. е. отношение кажущегося сопротивления к сопротивлению
однородной среды р0, в которой находится электрод Mt пропор-
ционально отношению потенциала в исследуемой точке неодно-
родной среды к потенциалу в этой точке в случае, если бы все
исследуемое пространство было заполнено однородной и изотроп-
ной средой с сопротивлением р0.
Формулы (83) и (86) определяют физическую сущность кажу-
щегося сопротивления и позволяют объяснить особенности конфи-
гурации кривых кажущегося сопротивления в неоднородных
средах.
В методах кажущегося сопротивления и сопротивления за-
землений используют токи низких частот, при которых электри-
4g
чес кие поля практически можно рассматривать как поля постоян-
ного тока. В этих условиях для изучения электрического поля из
уравнений (42)—(55) достаточно использовать три следующих:
div j = div lo (—grad U)] = grad о grad U — о At/ = 0; (87)
E = -gradt/ = -^-; (88)
E
P ’
npo-
где п — нормаль к поверхности равного потенциала.
Из уравнения (87) вытекает непрерывность линий тока,
ходящего через элементарный объем dVy в котором отсутствуют
источники тока (представляет первый закон Кирхгофа в диффе-
ренциальной форме); уравнение (88) вытекает из уравнения (52)
и определяет связь между скалярным потенциалом U электриче-
ского поля и его напряженностью Е; последнее уравнение (42)
выражает закон Ома в дифференциальной форме
В частном случае однородной и изотропной среды =-~ =
-= const) уравнение (87) преобразуется в уравнение Лапласа (55).
Решение дифференциального уравнения (87) дает возможность
определить потенциал U как функцию координат исследуемой
точки М. При этом функция U должна удовлетворять также сле-
дующим граничным условиям.
1. Вблизи точечного источника тока А, с которым обычно
совмещается начало
должна стремиться к
и изотропной среде:
координат, потенциальная функция U
выражению потенциала t/0 в однородной
H
(89)
2. В бесконечно удаленных точках (при /? = |/х2 + у* + з2 ->
оо)
t/^oo^O. (90)
3. В точках, бесконечно близко расположенных к поверх-
ности S (ограничивающей любую область Vz удельного электри-
ческого сопротивления р- от окружающего пространства Vе
удельного сопротивления pt.) и разделенных этой поверхностью
(см. рис. 16, а), потенциальные функции U\ (в области Vz) и Uc
(в области Уе) согласно условию непрерывности потенциала
должны быть равны, т. е. в этих точках
({/.)s = (Ue)s. (91)
1 Равенство (42) справедливо в тех случаях, когда векторы Е н J совпадают
по направлению, т. е. для изотропной и частных случаев анизотропных сред
(когда Е совпадает с осями анизотропии).
49
Рис. 18. Схемы электрического поля в однородной изотропной (а) и в однородной
анизотропной (б) средах
4. В тех же точках должно соблюдаться постоянство нормаль-
ной составляющей fn плотности тока:
. (92)
\ pz дп /s дп /$ v 7
Распределение электрического поля точечного источника тока
в трехмерном проводящем пространстве изучено для следующих
частных случаев: а) однородного изотропного пространства
(рис. 18, а); б) однородного анизотропного пространства
(рис. 18, б); в) среды, состоящей из плоскопараллельных слоев
различных мощностей и электрических сопротивлений (см. рис. 23);
г) коаксиальных — бесконечно длинных цилиндрических слоев
(см. рис. 32) \
Первый и второй случаи встречаются в природных условиях
чрезвычайно редко при исследовании мощных однородных изо-
тропных или анизотропных отложений, когда их сопротивление
не отличается от сопротивления глинистого раствора, заполня-
ющего скважину, или когда диаметр скважины мало отличается
от размера зонда, возмущающим влиянием глинистого раствора
можно пренебречь.
Третий случай встречается при изучении пластов различных
мощностей и сопротивлений в заполненных газом скважинах
малого диаметра или тогда, когда рк измеряют зондами столь
большого размера, что влиянием глинистого раствора и зоны
проникновения его в пласт можно пренебречь.
1 И для некоторых других более частных случаев, с которыми в практике
промысловой геофизики почти не приходится встречаться, например для случаев
залегания в однородном изотропном пространстве однородных и изотропных шара,
бесконечно длинного цилиндра или эллипсоида вращения. В данном учебнике
эти задачи не рассматриваются.
50
Четвертый случай возможен при пересечении пласта весьма
большой мощности скважиной, заполненной глинистым раство-
ром, сопротивление которого отличается от сопротивления пород,
окружающих скважину. При этом глинистый раствор, проникая
в проницаемые породы, может образовать зону (см. рис. 33),
сопротивление которой обычно отличается от сопротивления
|линистого раствора и исследуемых пород.
Во всех остальных и более сложных случаях залегания горных
пород характер распределения электрического поля в скважине
может быть определен лишь приближенным расчетом или с по-
мощью электромоделирования. Такие работы в настоящее время
выполнены для пластов конечной мощности, конечного и беско-
нечного сопротивления, пересеченных скважиной, заполненной
средой конечного сопротивления.
§ 9. ОДНОРОДНАЯ И ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА
При решении задачи о распределении электрического поля,
созданного точечным источником тока А в однородной и изотроп-
ной безграничной среде удельного электрического сопротивле-
ния р, в элементарном изложении исходят из равенства (42),
которое в рассматриваемом случае может быть представлено
в виде
ди . /р /р
dR -№--4^- ТТЕУ’
где Е — напряженность электрического поля иа расстоянии R =
= L от источника тока; / — плотность тока, пересекающего
сферическую поверхность радиуса R = L, при этом / = HfaiL*.
Из этого равенства можно получить формулу, определяющую
потенциал электрического поля в рассматриваемой точке.
Строгое решение данной задачи может быть получено путем
интегрирования дифференциального уравнения Лапласа. С этой
целью воспользуемся сферической системой координат, начало
которой расположим в центре источника тока Д,(см. рис. 18, а).
В однородной изотропной среде вследствие сферической сим-
метрии потенциальная функция U не должна зависеть от поляр-
ного угла 0 и азимутального угла ф. В этих условиях уравнение
Лапласа будет иметь вид
(93)
Интегрируя уравнение (93) дважды по R, после первого инте-
грирования получаем
ди с С
dR ~ Е ~ R* •
(94)
где С — постоянная.
51
После второго интегрирования находим
и - - ~ 4- D.
(95)
Постоянную D определим из условия равенства потенциала U
нулю в бесконечно удаленных точках. Полагая в формуле (95)
Я = оо и U = 0, получаем D = 0.
Для определения постоянной С вычислим величину полного
тока, отдаваемого в окружающее пространство источником А.
Для этого проведем вокруг точки А сферическую поверхность
произвольного радиуса
Так как плотность тока
Е _________1_ ди _________С
р “ р OR “ р Е2
(96)
постоянна в любой точке, расположенной на поверхности сферы,
а интегральное значение потока вектора / сквозь поверхность S
равняется полной силе тока /, отдаваемого заземлением Л, то
j f . j С f ds 4лС
1 = / as —-------'утк" —-------->
J J р J R2 р
откуда
4л
Подставляя вычисленное значение С в правые части равенств
(94), Х95) и (96), приходим к формулам
'—44 <97>
<98>
/ - -Лг. т
устанавливающим характер распределения электрического поля,
созданного точечным источником тока в однородном изотропном
пространстве.
Решая равенство (97) относительно и полагая U = const,
получаем уравнение,
поверхностей,
определяющее вид эквипотенциальных
const,
или в прямоугольной системе координат с началом, расположен-
ным в точке Л, уравнение
X2 + у* + 2s = = const.
Из формулы (97) и двух последних формул следует, что в одно-
родной изотропной среде потенциал U электрического поля точеч-
52
ного источника тока А убывает обратно пропорционально рас-
стоянию /? от точки А до точки, в которой определяется U\ по-
верхности равного потенциала являются сферами с общим цен-
зом в точке А (см. рис. 18, а).
Линии электрических сил Е и линии тока образуют семейство
радиальных прямых, исходящих из точки А и нормальных к экви-
потенциальным поверхностям. Величина напряженности электри-
ческого поля и плотности тока убывает обратно пропорционально
квадрату расстояния от источника тока до точки, в которой
определяются Е и /.
Формулы (97) и (98) дают возможность рассчитать удельное
сопротивление однородной среды, если известны потенциал tZ,
разность потенциалов At/ или напряженность Е электрического
поля, сила тока /, проходящего через заземление А, и расстоя-
ния от заземления А до электродов М и N:
1) для идеального потенциал-зонда [на основании формулы
(97)1
р = 4лАМ -у- =4nL-y = ЯП-^-; (100)
2) для трехэлектродного зонда [на основании формулы (97)1
4nAMAN MJ
р =--------
MN !
AZ7
(101)
так как
au = um-un=
р/ / 1______1
4л \ дм AN
3) для идеального градиент-зонда [на основании формулы (98) ]
р = 4лЛО2 А = Кг •
(Ю2)
Потенциал электрического поля в точке М, удаленной от за-
земления А, питаемого током /, на расстояние /?, зависит только
от величины этого расстояния. С другой стороны, потенциал t/д
диполя, питаемого током / на расстоянии /?, равен напряжен-
ности поля точечного источника тока / на том же расстоянии.
Поэтому формулы, определяющие сопротивление для двухполюс-
ных зондов (АВМ), будут тождественными соответствующим
формулам (100)—(102) для однополюсных зондов (AMN):
1) для идеального потенциал-зонда
р = 4лЛЙ-у-= Кп-у-;
2) для трехэлектродного зонда
4пАМВМ MJ
АВ 1
где
53
3) для идеального градиент-зоида (дипольный зонд)
р = 4лЛО2 ,
что подтверждает справедливость принципа взаимности.
Так как в каждом конкретном случае неоднородных сред
доказательство принципа взаимности будет более сложным, целе-
сообразно показать его справедливость в общем виде.
(103)
§ 10. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ
Величина кажущегося (в случае неоднородной среды) и истин-
ного (в случае однородной среды) удельного сопротивления,
измеренного потенциал-зондом, пропорциональна отношению
U/I, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент Кц
зонда) при АМ = МА не зависит от назначения электродов зоида
(является ли заземление А питающим и электрод М измеритель-
ным или наоборот). Поэтому доказательство принципа взаимности
сводится к подтверждению справедливости равенства
_ и(АМ>
;(Д) /<М) »
где верхним индексом обозначено наименование питающего за-
земления, а нижним — измерительного электрода.
Для однородной среды равенство (103) следует из формулы
(97). Действительно, при питании зонда через заземление А
М?’ = ,
4л АМ
при питании зонда через электрод М
в .
4лМА
Но так как АМ = МА, то
_ "а
/(А) ;(Д) •
Для доказательства справедливости равенства (103) в общем
случае неоднородной изотропной среды будем исходить из следу-
ющего положения. Любая точка Р изотропного пространства,
в котором существует электрическое поле, созданное расположен-
ными в точках А и М источниками тока, может быть охарактери-
зована тремя скалярными величинами — удельным электриче-
ским сопротивлением р среды, в которой находится точка Р,
и потенциалами 17рА) и (7рМ> электрических полей источников
тока, находящихся в точках А и М. Далее воспользуемся спо-
собом доказательства принципа взаимности, изло-
Рис.
19. Схема к доказательству принципа
взаимности
123 ], и рас-
женным в работе Л. М. Альпина и С. Г. Комарова
смотрим
рункции
II
FM:
F^ = T^M>gradtz^>;
FM = 4 t4>4)-grad U(PM>.
Г
Выделим в изучаемом пространстве область Vt ограниченную
от внешнего пространства замкнутой поверхностью So и от элек-
тродов А и М замкнутыми поверхностями и SM (рис. 19).
Согласно теореме Гаусса—Остроградского
J div F dV
v
Следовательно,
J div Рл dV = J [grad (— U(PM>} grad £/₽“ + — UpM} ДUPA’ 1 dV =
v v ’ P p
(104>
5
P
U{A} ьи(рм> dV ==
V
V
U{PA>) grad U(PM} +
(Ю5)
где Д£//>л> и Д67рИ> — лапласианы
U(PM>
Взяв разность между выражениями (104)
для левой части уравнения
v Г г( А ) „
н к ц и и иР и
и (105), получим
| div Рд dV — j div F^ dV -- J grad grad l/pl> —
v v v L X p
-grad UlPA)\ grad U(PM) + -L (U(PM} &Uj>A) - U(PA> At/j>M>) dV =
' г ' P
55
= ( grad l/p4* grad t/p4)l/pM) grad—grad
J L p P /
— (— grad UlPA} grad UlPM> + U{A) grad — grad U(PM}\ +
\ p p /
+ -y (U(pM} M^>A) - U(PA> MJ(PM>)] dV=
= j [UpM) grad -L grad U(PA} - UlPA} grad -L grad U(PM} +
V
+ (U(PM) AU(pA) - U^A} A(4>M))J dV =
v v
так как в области V источники тока отсутствуют.
Для разности правых частей равенств (104) и (105)
j р \ дп дп )
j P \ dn
So
dU^
dn
R 1 (,JM <ЧЛ> Л) dU<^
y~[Up~r~Up
A
(106)
+ (£ _L (и<»> ~ уИ' dS - 0.
J Р \ dn к дп /
SM
Отнесем теперь поверхность 30 в бесконечность, а поверхно-
сти Зл и SM приблизим к электродам А и М. В этом случае инте-
грал по поверхности 30 обратится в нуль, поскольку С/рМ) и UpA}
и производные ——— и —-— в бесконечно удаленных точках
стремятся к нулю. Интегралы же по поверхностям Зл и SM будут
следующими:
W(PA}
Т Р Р
, ds = 1ДМ)
дп л
-ds = —
p
A
P
1 ди^ я n
iTTds = 0:
A
56
(£_L<>2^1ds=<) (£j
J p dn J p
SM SM
ds -= 0;
(/И1 ds - ий> ф
SM
1 Wy1*
p dn
Um'Im.
Таким образом, формула (106) преобразуется в простое ра-
венство
-U^Ia + U(m}1m = 0,
из которого находим искомое соотношение
U(A} = UM}
1м 1а ’
что и требовалось доказать.
Доказательство принципа взаимности для анизотропных сред
приведено в работе [23]. Ниже при изучении электрического
поля в различных частных случаях неоднородного пространства
справедливость принципа взаимности будет показана на отдель-
ных примерах.
§ 11. ОДНОРОДНОЕ АНИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Для изучения электрического поля, точечного источника тока
в однородном анизотропном (слоистом) безграничном простран-
стве воспользуемся прямоугольной системой координат XYZ.
Начало этой системы расположим в центре источника тока А
(см. рис. 18, б) и ось Z ориентируем по нормали к плоскостям
напластования. Обозначим через pz и рл удельные электрические
сопротивления анизотропного пространства соответственно по
напластованию и в направлении, перпендикулярном к нему.
Составляющие /\, /гу, /2 вектора плотности тока по осям коорди-
нат X, У, Z в любой точке изучаемого пространства связаны с со-
ответствующими производными потенциала следующими соотно-
шениями:
. _£^_______1 ди .
lx — Pt ~~ Pt дх ’
. _ Еу_______I дЦ .
!у Pt ' Pt ду ’
. _ Ег_______1 дЦ
!г ~~ Рп ~ Рп дг
Так как по условию задачи во всех точках изучаемого простран-
ства (за исключением начала координат) источники тока отсут-
с твуют, то в этих точках
1. . djx
div / =-дГ“
s дх
1 d2U
Рп дг2
= 0. (107)
57
Уравнение (107) можно легко преобразовать в уравнение
Лапласа. С этой целью введем новые координаты ц и £, свя-
занные с х, у и z соотношениями
I = х, т] = у, t = Хг,
где % — коэффициент анизотропии изучаемого пространства,
X = |/ рп/р/.
Такая замена эквивалентна деформации (растяжению) про-
странства в направлении оси z в X раз.
Заменив в уравнении (107) переменные х, у, z на переменные
т] и £, приведем его к уравнению Лапласа
дас/ . W , W
di)4 dt?
= о
в системе координат 5, t) и
Интегрируя последнее
уравнение,
получаем
/g’ + п2
где С — постоянная интегрирования.
Для определения постоянной С предварительно
полную
ющие /л
ычислим
еличину вектора / плотности тока. Определив составля-
Д, и вектора / по осям координат X, Y, Z:
1 ас/ _______________Сх____________
Р/ дх pt (х4 + уг + X4z4)3/2 *
1 аа _______________су____________
Р/ ду Р/ (х> + у4 + X4z4)3/2 ’
1 dU _______________Сг____________
Рп dz ~ pt _|. Vz4)3/2 *
найдем
С Их4-}-у4 4-г4
Pt (** + у2 + X4z4)3/2
(108)
(109)
(НО)
Введем сферическую систему координат R, 0,Т. Начало системы
расположим в центре источника тока А и полярную ось направим
вдоль оси Z системы XYZ.
Так как
х2 + г/2 = /?2 sin2 0, х2 = R2 cos2 0,
то в этой системе
» ____________£__________—_____________£____________ (111)
Pz/?4(sin40 + xacos0)3/2 [1 4-(Xs — I) cos2 ©]3/2
58
Опишем вокруг источника тока А сферу S с произвольным
радиусом /?. Весь ток /, эмиссируемый электродом А, пересекает
сферу, поэтому
2л Л
/ = J/ds=J J(112)
S 0 0
где if и 0 — азимутальный и полярный углы сферической си-
стемы координат.
Подставив в правую часть равенства (112) значение / из фор-
мулы (111) и введя вместо 0 новую переменную
, _ /1 +(Х2— 1) COS2 е
1 “ cos е
получим
2л я -X
j__ С .Г Г sin 0 40 dty _ 2лС г dt _________ 2лС
— J [1+ (Ьа —i)cos«e]3/2 ~ J рЛ ’
откуда
т
4л
(здесь рот — среднее удельное электрическое сопротивление анизо-
тропной среды, рт = Р„Р/), и, следовательно [см. формулу (108) J
4лЯ/1+(А,2— l)cos«0 '
(ИЗ)
Таким образом, в однородной анизотропной среде потенциал U
электрического поля убывает обратно пропорционально рас-
стоянию R от источника тока. Коэффициент пропорциональности
f(>m__________
4л +(Ха — l)cos20
для заданных значений рт и % зависит от направления, вдоль
которого изучается характер изменения потенциала.
Из формулы (113) также следует, что в однородной анизотроп-
ной среде удельного сопротивления pz (равного удельному сопро-
тивлению р однородной изотропной среды) одинаковые значения
потенциала в плоскостях напластования будут на расстояниях г,
в А. раз большем, чем в изотропной среде.
Так как при взаимной перестановке электродов А и М cos 0
и R не изменяются, отношение U/1 [см. формулу (113)] при этом
сохраняется постоянным, что подтверждает справедливость прин-
ципа взаимности для рассматриваемого случая.
59
Равнопотенциальные поверхности (U = const) удовлетворяют
уравнению
хг + У2 + — (“7р~У = cons^> (114)
т. е. представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения вокруг
оси Z (см. рис. 18, б).
Радиальная составляющая ER напряженности электрического
поля и плотность / тока в однородном анизотропном безграничном
пространстве определяются уравнениями:
Е .
R 9R 4л/?2 К1 + (X2 — 1) cos2 0 ’
(И5)
/X/x2 + t/2 + z2____________________/X____________
4л (х2 + у2 + X2z2)3/2 “ 4л/?2 (1 + (X2 — 1) cos2 0J3/2 *
(116)
Таким образом, радиальная составляющая ER напряженности
электрического поля и плотность / тока убывают обратно пропор-
ционально квадрату расстояния от источника тока с коэффициен-
тами пропорциональности
/рт
4л Г1 + (Х2—))cos2e
(для ER)
и
4л [1 +
/X____________
(X2 — 1) cos2 0]3/2
(ДЛЯ /),
зависящими от направления (угла 9), вдоль которого изучается
характер изменения ER и /.
Линии напряженности Е электрического поля ортогональны
к эквипотенциальным поверхностям и образуют в анизотропном
пространстве семейство кривых, исходящих из источника тока А
(см. рис. 18, б).
Линии тока, как это следует из равенств (109), удовлетворяют
условию
/х _ iy k_
X у г '
Следовательно, линии тока прямолинейны (см. рис. 18, б)
и не совпадают с направлением линий электрических сил, за
исключением точек, расположенных в плоскости XY и по оси Z.
В любой точке М, находящейся на расстоянии R = L от
источника тока А по оси Z' фиктивной скважины (бесконечно
малого диаметра), пересекающей слоистые (анизотропные) породы
под углом встречи 0 = -?— а (-^------0), потенциал
/р<п
____—-Z&L————. —_______ == (117)
4л/? V 1 + (X2 — 1) cos2 0 4л£ у 1 + (X2 — 1) cos2 а ' 7
60
ie a - угол между плоскостью, перпендикулярной к оси сква-
жины, и плоскостью напластования; при вертикальной скважине
угол а равен углу падения пород.
Подставив найденное значение потенциала U в правую часть
равенства (81), получим кажущееся сопротивление анизотропной
среды для идеального потенциал-зонда:
Л J V
Рк — 4лА ? —
Ptn
К1 4- (X2 — 1) cos2 а
(Н8)
Вычислив напряженность Е электрического поля в точке М,
расположенной на расстоянии R = L от источника тока,
/ __ ди_ \ ___________/рт________
V dR )r=l 4л£2 И1 + (X2 — I) cos2 а ’
и подставив полученное значение Е в правую часть равенства
(82), найдем р„ для идеального градиент-зонда:
рк = 4л£2 4 = -г Рт
г ! /1 + (X2—1) cos2a
(П9)
При конечных расстояниях между электродами М и W формула
для расчета кажущегося сопротивления анизотропной среды
будет иметь следующий вид:
_ 4nRAMRAN MJ 4я AM AN HU
9k~Ran~Ram 1 ~ AN —AM I
При расположении электродов A, M, N на одной прямой
_ 4ltRAMRAN UM~UN
faiAMAN____________/рт_________/ 1________1
AN—AM 4л/ Kl +(X2— l)cos2a V AM ~AN
__ ________pm________
1^1 + (X2— I) cos2 a
Из формул (118), (119) и (120) следует, что кажущееся
тивление однородной анизотропной безграничной среды
висит от типа и размера L зонда, с которым определялось
(120)
сопро-
не за-
кажу-
щееся сопротивление, пропорционально среднему удельному
сопротивлению этой среды и зависит от коэффициента анизо-
тропии 1 и направления (угла а), в котором измерялось рк.
В частных случаях при измерении кажущегося сопротивления
по перпендикуляру к напластованию пород (а = 0)
Рк (а=0) =Ркл = = <121)
61
Рис. 20. Зависимость отношения Рк/pm от X (а) и а (б).
Шифр кривых: а — значения а в градусах, б — значения X
бГ
Рк /Рт 4 о
при измерении кажущегося сопротивления вдоль напласто-
вания пород (а—-тг)
Р ( П X = Рк/ = Pm = VWt = Ч„ = Ч- О22)
Гкр=т)
Так как X > 1, то кажущееся сопротивление ркя, измеренное
по нормали к напластованию, меньше кажущегося сопротивле-
ния рк/, измеренного по напластованию пород. Несоответствие
между характером изменения кажущихся и истинных сопротив-
лений (для последних всегда ря > pt) при переходе от измерений
сопротивлений па напластованию к измерениям в перпендику-
лярном направлении называется парадоксом анизо-
тропии.
Парадокс анизотропии физически объясняется повышением
плотности тока по напластованию горных пород (в связи с повы-
шенным значением электропроводности вдоль этого направления)
и уменьшением плотности тока в направлении, перпендикулярном
к напластованию.
При этом, как можно убедиться,
It _ /Х/4л/?2__«j Рп ____л 2
in - lk/4nRW ~pt
и, следовательно,
“7Г == рк< = К ~П7~ = хркя’
что соответствует равенству (122). Так как X > 1, то
Рк< РкП"
На рис. 20 изображены кривые, иллюстрирующие зависимость
рк/рт ОТ а при X = const И рк/рт от X при а = const.
62
Формулы (121) и (122) Имеют существенное Практическое зна-
чение.
Во-первых, большинство осадочных горных пород анизотропно
и чаще всего (за исключением направленного бурения и бурения
скважин на крутых крыльях) пересекается скважинами под
углом 0, близким к -S- (а =0), поэтому истинное сопротивление
анизотропных пород, определенное по данным кажущихся сопро-
тивлений, близко к кажущемуся сопротивлению, измеренному
перпендикулярно к напластованию. Согласно формуле (121) оно
численно равно удельному сопротивлению пород в направлений
напластования. Как следствие этого, при изучении удельного
сопротивления образцов пород и их зависимостей от коллектор-
ских свойств и нефтенасыщения пород в лаборатории наибольшее
практическое значение имеют измерения сопротивления образцов
пород по напластованию.
Во-вторых, в достаточно однородных и анизотропных отложе-
ниях при переходе от свода структур, где скважины пересекают
отложения под прямыми углами (0 = л/2), к крыльям структур,
где скважины входят в пласт под углом 0 < л/2, будет наблюдаться
увеличейие кажущегося сопротивления. Это дает возможность
в благоприятных условиях устанавливать положение скважины
относительно свода структуры.
§ 12. СРЕДЫ С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
РАЗДЕЛА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
Формулы, определяющие электрическое поле в средах с плоско-
параллельными границами раздела, могут быть получены непо-
средственным интегрированием дифференциального уравнения
Лапласа или методом зеркальных изображений Томсона.
Первый способ более универсален. Он позволяет определять
электрическое поле во многих случаях даже при сравнительно
сложной структуре изучаемого пространства. В более простых
случаях, например, при двух однородных и изотропных полу-
пространствах 1 и 2 (рис. 21), разделенных бесконечной плоскостью,
а также при наличии двух плоскопараллельных границ, разде-
ляющих три однородные и изотропные среды, можно получить
решение задачи методом зеркальных изображений. Этот метод
дает возможность наглядно представить физическую сущность
некоторых явлений, и мы проиллюстрируем его применение в про-
стейшем случае одной границы раздела.
При одной плоской границе, разделяющей два однородных и
изотропных пространства, заполненных средами удельных сопро-
тивлений pi и р2 (см- Рис- 21), потенциал электрического поля
в каждой среде определяют, исходя из приведенных ниже по-
ложений.
63
Рис. 21.*Схемы зеркальных изображений источника тока при наличии одной
плоской поверхности раздела сред / и 2
Условия непрерывности потенциала н граничные условия
(см. § 8) будут выполнены, если предположить следующее.
1. В среде /, в которой находится источник тока, потенциал
электрического поля такой же, как в однородном безграничном
пространстве, заполненном средой с сопротивлением, равным
сопротивлению среды 1. Кроме источника в точке, являющейся
зеркальным изображением точки А относительно плоскости Р
раздела сред, находится второй, фиктивный источник тока Л'
(см. рис. 21), отдающий некоторый ток Г.
2. В среде 2, в которой источник тока А отсутствует, потен-
циал электрического поля такой, как будто все исследуемое
пространство безгранично и заполнено этой средой, но источ-
ник тока А отдает фиктивный электрический ток
Обозначив через и расстояния от источников А и А'
до точек Л1г и М2, в которых определяется потенциал электри-
ч ес ко го пол я, пол учим:
для среды 1 (в точке Мх)1
(123)
для среды 2 (точка Л12)
и^ =
fatR
(124)
Для определения фиктивных токов Г и /" воспользуемся
граничными условиями (91) и (92). С этой целью примем в форму-
1 Верхний индекс у символа U обозначает среду, в которой находится питаю-
щий заземлитель, а нижний — среду, где расположен измерительный электрод.
Эта система обозначений сохраняется и далее.
64
лах (123) и (124) R — /?'; приравняв правые части этих
жений, напишем
выра-
Далее возьмем производные по
и (124) и, разделив соответственно
и вторую — на р2,
будем
нормали от равенств
первую производную
(125)
(123)
на рх
иметь:
1 дЩ"
Pl дп
4л
4л
д R dR
dR дп
/ dR
R2 dn
d R dR
dR dn
d R' dR'
dR' dn
dR' \
r dn Г
(126)
Г dR
4nR2 dn
(127)
Так как для точек, расположенных на границе раздела, R =
dR'
— а п =----------т^~, то, приравняв правые части равенств
(126) и (127), получим
dR
Pi
дп 4л
". (128)
Решив совместно уравнения (125) и (128) относительно Г и
найдем:
1 ди^>
P1 + P2
P2 Pi \ I______
Коэффициент /?12 = г а как бы определяет часть тока,
Р1 I Рй
отраженного поверхностью раздела в среду /, а коэффициент
.1.201 _
р12 — 1 — r12 = — j1----часть тока, пропущенного этой по-
верхностью. Поэтому в дальнейшем коэффициент klz будем условно
называть коэффициентом отражения, а коэффи-
циент Pi2= 1 — «12 — коэффициентом пропуска-
ния тока границей раздела сред 1 и 2. В частности, если
р2 = оо, то k12 = 1 и Pi2 = 1 — &i2 = 0. В этом случае весь
ток отражается границей раздела (средой 2), токовое поле в среде 2
отсутствует и плотность тока в среде 1 в точках, достаточно уда-
ленных от источника тока, в 2 раза больше, чем в однородном
изотропном пространстве. При идеально проводящей среде 2
(р2 = 0) k12 = —1 и pi2 = 2. В этом случае токовые линии не
только не отражаются границей раздела, а, наоборот, полностью
втягиваются средой 2. При этом весь ток вместо того, чтобы расте-
каться от источника тока в телесном углу, равном 4л, протекает
в среду 2 и распространяется в ней в телесном углу, равном 2л,
что эквивалентно отдаче источником А фиктивного тока /* удвоен-
ной силы I.
3 Дахнов В. Н.
65
Подставив найденные значения Г и Г в формулы (123) и (124),
получим искомые значения потенциала:
в среде 1
ijW __ PiJ / 1 I ^12 \ Pi^ / 1 । Рг — Pi 1 \ .
1 4л \ R R' / 4л \ R рх -|- р2 R' / ’
в среде 2
//(О__ Рг^ /I __ к \ 1 __ 2рхрг/
2 4л ' 12' R 4л (рх + р2) R
Для дальнейших исследований введем прямоугольную систему
координат XYZ. Начало этой системы поместим в центр источ-
ника тока А (см. рис. 21) и ось Z направим перпендикулярно
к плоскости раздела сред.
Потенциал электрического поля
расстоянии L от источника тока на
жины бесконечно малого диаметра,
в точках, находящихся на
оси Z' воображаемой сква-
проведенной под углом а
к оси Z (при вертикальной скважине угол а равен углу
плоскости раздела сред), будет следующим *:
в среде 1
падения
yW ____ । I______________£12____________
1 4л L "г |Л£2 sin» а + (2zx =F L cos а)1 2
__ Р1^ Г_1___I____________^12___________ .
4л [ L “Г К/,» + 4 (z(TL) cos»az[ ’
в среде 2
I j (i) _____2рхр2/____
2 4л (рх + р2) L ’
(129)
(130)
где гх и г\ — соответственно расстояния от источника тока до
поверхности раздела сред по осям координат Z н Z'.
При расположении источника тока А в среде 2 и точки М,
в которой определяется потенциал, в средах 1 и 2 соответственно
будем иметь:
г / (2) (1 ^21) Рх^ _______^PiPg/_______»г (I).
1 4л£ 4л (рх + р2) L 2 ’
£/(2) __ Pjl 1____।_____________^21
2 — 4л L |< £2-|-4 (z' т £) cos» azj ’
(131)
(132)
1 В формуле (129) и в последующих два знака «Т» или «±» даиы для различ-
ных случаев расположения точки М, в которой определяется потенциал или на-
пряженность электрического поля, относительно источника тока А. Верхний
знак [«—» в формуле (129)] относится к случаю, когда точка М находится выше
источника тока А, а иижний знак [«+» в формуле (129)] — к случаю, когда точ-
ка М расположена ниже источника тока А. В формулах (129) и (130), как и в по-
следующих, индексы у L, указанные на рис. 21, сняты для сокращения написа-
ния.
66
Взяв производные от равенств (129), (130), (131) и (132) по L,
найдем значения напряженности электрического поля в точках,
расположенных на оси Z':
дЦ" р,/ f 1
dL 4л £2
612(Л Т 2zj COS2 а)
[L2 + 4 (zj Т L) cos4 ои;]3/2
(133)
dL
) __ (1 ^12) ________2piP2/____.
4л£2 4л (pi -|- р2) 2-2
а(/|2> (1~^1)Р1/ 2р1Рг/
dL 4л£2 4л(р!+ра)£2
= р2/
dL 4л
(134)
(135)
(136)
На рис. 22 показаны потенциальные и токовые поля близ
поверхности раздела двух сред при р2 > pi и при р2 < р2.
Близ границы раздела равнопотенциальные поверхности втя-
гиваются покрывающей средой высокого сопротивления (рис. 22, а)
и сжимаются средой низкого сопротивления (рис. 22, б). Токовые
линии, наоборот, отклоняются средой высокого сопротивления и
втягиваются средой низкого сопротивления.
В среде, в которой отсутствует источник тока, равнопотен-
циальные прверхности являются сферами с центром в точке А;
линии тока и электрических сил радиальны, что находится в со-
ответствии с формулой (124).
Для определения кажущегося сопротивления подставим зна-
чения t/(in, U^, t/|2), и Ef °, ЕР, ЕР и Ер в формулы (81)
и (82). Выразив расстояние г\ в размерах L зонда и обозначив
отношение z'JL через £, получим следующие равенства, опреде-
Рис. 22. Схема электрического поля у поверхности раздела двух сред (/ и 2).
а — ра > Pit <5 - Pi < Pit / — линии тока; 2 — линии равного потенциала
3» 67
ляющие значения рк, для потенциал-зондов и градиент-зондов
в средах 1 и 2:
для потенциал-зонда
<11 л г JA1’ Г1 . «12 ’ .
Рк, । — л J ~ [ + у j _|_4(£:Fj)cos»aJ Рр
(137)
для
Pi1.’, - Ш = (1 - М Р, = -STS- <138>
0(2> =
"к, 2
__________^21
V1 + 4 (g± 1 )cos2 gg
4лЬ6/<2)
1
градиент-зонда
£<O
p('»2 = 4nL2 4-
&12 (1 ± 2g cos2 g) |
[1 + 4 (g ±l)cosagg]3/2J
p(2)
Pl2.’, - <"i! ~T
*2, (1 ± 2g cos» a) '
+ 4 (£ ± 1) cos2 ag]3'2.
£(2) ,
p(2)2 = 4«L2 4-{H--
Pr
(139)
(140)
(141)
(142)
(143)
(144)
границе
В частном случае, когда ось Z' перпендикулярна к
раздела сред (а = 0, cos а = 1), кажущееся сопротивление будет
следующим.
1. Источник тока А и точка М находятся в среде /:
для потенциал-зонда
для градиент-зонда
(145)
(146)
2. Источник тока А и точка М находятся в среде 2:
для потенциал-зонда
6S
(147)
для градиент-зонда
(148)
Если источник тока А находится в среде /, а точка М (или
MN) — в среде 2, или наоборот, то как для потенциал-зонда,
так и для градиент-зонда
0(1) _ _ 2Р1Рг _ о(2)
р«.г pt + p2 Г
(149)
Из формул (138), (139), (142), (143) и (149) следует, что, когда
питающий и измерительные электроды зонда находятся в разных
средах, замеренное кажущееся сопротивление
Ра
„ ___ 2Р1Ра____________2Р1 „ ___ 2Ш. 1 „
Рк Р1 + Рг 1+_Р1Р1 1 + Иа. 1 Р1’
Pi
где ^2,1 = Р2/Р1 не зависит от размера и типа зонда и угла 0 =
— а, под которым зонд пересекает границу раздела сред.
Когда ось Z' параллельна границе раздела, при измерении
кажущегося сопротивления потенциал-зондом, расположенным
в среде 1,
(150)
в тех же условиях при измерениях градиент-зондом
(L2 + 4z2)3'2
(151)
Из формул (150), (151) следует, что кажущееся сопротивление
пропорционально удельному сопротивлению среды, в которой
находятся измерительные электроды зонда. Коэффициент пропор-
циональности, как это вытекает из сопоставления правых частей
приведенных выше равенств с правыми частями формул (83) и
(85), равен отношению действительного значения плотности / тока
к его величине /0 в однородной среде. Это отношение не зависит
от силы / тока источника.
Когда питающий и измерительный электроды зонда находятся
в одной среде, кажущееся сопротивление (см. формулы (137),
(140), (141), (144)—(148), а также формулы (150) и (151)] зависит
не от абсолютного значения расстояния г\ до поверхности раздела
сред (zi в формулах (150) и (151) ] и размера L зонда, а от их соот-
ношения £ = z’iIL.
На рис. 23, 24, 25 и 26 приведены кривые кажущегося сопро-
тивления, рассчитанные по приведенным выше формулам. Из этих
кривых следует, что по мере приближения потенциал-зонда и
69
a
1 10 WO Рк,Ои-М
2 5 10 20 50 100 200 500
6
1 10 100 /О^Онн
Рис. 23. Теоретические кривые кажущегося сопротивления при пересечении
потенциал-зондом (A4W -> оо) границы двух сред (/ и 2).
а _ ря <рм; б — pt > Р» Пунктиром даны кривые удельного сопротивления сред
d
0,1
1
1ЛЛ
Рис. 24. Теоретические кривые кажущегося сопротивления при пересечении
последовательным градиеит-зоидом (Л4 -> 0) границы двух сред (/ и 2).
а — pi > pi (pf = 1 Ом-м); б — pi <Pi (Р» = Ю Ом-м). Пунктиром даны кривые удель-
ного сопротивления сред
последовательного градиент-зонда к среде высокого сопротивле-
ния (рис. 23, а и 24, а) кажущееся сопротивление постепенно
возрастает.
В момент пересечения границы раздела заземлением А
п - 2Р1Рг
Рк Pi + Рг
Далее до пересечения поверхности раздела приемными элек-
тродами М (потенциал-зонд) или электродами М и N (градиент-
зонд) кажущееся сопротивление остается постоянным (равным
—^Р— ). После пересечения поверхности раздела электродом М
и при дальнейшем продвижении потенциал-зонда кажущееся
сопротивление плавно увеличивается (см. рис. 23, а) и асимптоти-
чески приближается к сопротивлению покрывающей среды. При
пересечении поверхности раздела электродами М и N последова-
тельного градиент-зонда (см. рис. 24, а) на кривой prf отмечается
71
Рис. 25. Теоретические кривые кажущегося сопротивления при пересечении
обращенным градиеит-зондом (Л/М -> 0) границы двух сред (/ и 2).
а — pi >р, (pi = 1 Ом-м): б — Pi <Р» (pi = 1 Ом-м). Пунктиром даны кривые удель-
ного сопротивления сред
скачок кажущегося сопротивления с последующим постепенным
снижением его до величины, равной истинному удельному сопро-
тивлению покрывающей среды.
Кривая рк для обращенного градиент-зонда имеет иную кон-
фигурацию (см. рис. 25). По мере приближения зонда к поверх-
ности раздела сред кажущееся сопротивление понижается. Затем
при пересечении границы раздела электродами М и N кажущееся
сопротивление увеличивается до значения, определяемого фор-
мулой (149), и до пересечения границы раздела заземлением А
остается постоянным; длина этого участка равна размеру зонда
L = АО (МО). После перехода заземления А в покрывающую
среду кажущееся сопротивление плавно возрастает и асимптоти-
чески достигает истинного сопротивления р2 этой среды. При
переходе зонда из среды высокого сопротивления в среду низкого
сопротивления кривые имеют вид, изображенный на рис. 23, б,
72
Рнс. 26, Кривые кажущегося сопротивления при пересечении градиент- и потенциал-зондами наклонной границы раздела
р2 = ЮР1= 10Рз-
а _ обращенный градиент-зонд; б — последовательный градиент-зонд; в — потеицнал-зонд; Шифр кривых — значения а =
= --------------------------------------------------в в градусах
24, б и 25, б. Характерные участки кривых рк (точки максимума,
минимума н положение площадок равных сопротивлений) дают
возможность определить местонахождение границы раздела сред.
Подробно это излагается в курсе интерпретации результатов гео-
физических исследований скважин.
Уменьшение угла 0 встречи пласта с осью Z' приводит к сгла-
живанию кривых кажущегося сопротивления, причем их сгла-
живание тем больше, чем меньше 0 или больше угол а = -5— 0
(см. рис. 26).
Применение метода зеркальных изображений в случае двух
плоских границ раздела становится неоправданно трудоемким,
а при трех границах и более — практически невозможным.
В этом случае электрическое поле целесообразно изучать на
основе решения уравнения Лапласа.
§ 13. СРЕДЫ С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
РАЗДЕЛА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Для определения потенциала электрического поля, создан-
ного точечным источником тока в среде с плоскопараллельными
границами раздела методом интегрирования дифференциального
уравнения Лапласа, воспользуемся цилиндрической системой
координат RZ4. Начало системы расположим в центре источника
тока А и ось Z направим перпендикулярно к плоскостям раздела
сред.
Потенциальные функции Ult ..., Uit ..., Un, определяющие
электрическое поле в средах 1, ..., I, ..., п, должны удовлетворять
дифференциальному уравнению Лапласа
AUt = О
и граничным условиям, указанным в § 8:
я->о —♦ £/о’> 0;
(U i)zesz{ — (U i+i)z=2i;
(152)
(153)
где Pt и pz+1 — сопротивления i-й и (i + 1)-й сред; zz — коорди-
ната поверхности их раздела; R — расстояние от источника
тока А до точки М, в которой определяется потенциал, R =
= j/f2 + Z2-
При принятой ориентации координатной системы электри-
ческое поле будет симметричным относительно оси Z и, следова-
74
тельно, потенциал этого поля не должен зависеть от азимуталь-
ного угла ф. В этих случаях дифференциальное уравнение Лап-
ласа имеет следующий вид:
&U I 'ди дЧ) _
дг2 ' г дг дг2
(154)
Для решения уравнения (154) воспользуемся методом Фурье
и будем искать частный интеграл этого уравнения в виде произ-
ведения двух функций
V = f (г) <р (г),
(155)
из которых функция f (г) зависит только от переменной г, а функ-
ция ф (г) — только от переменной г.
Продифференцировав выражение (155) дважды по г и г и под-
ставив результаты дифференцирования в формулу (154), получим
Г (О Ф (*) 4- 4- Г (г) Ф (г) + f (г) <р* (г) = 0.
Разделив последнее равенство на произведение f (г) ф (г)>
будем иметь
Г (О
Цг)
1 Г (г)
г f (г)
(156)
По условию выбора функций / (г) и ф (г) первые два слагаемых
равенства (156) не содержат переменной г, следовательно, и третье
слагаемое не должно зависеть от г. А так как ф (г), а следова-
тельно, и ф"(г) не содержат г, то очевидно, что отношение ф"(г)/ф(г)
может быть только постоянной величиной. Обозначив эту величину
через т2, приведем дифференциальное уравнение (156) к двум
обыкновенным дифференциальным уравнениям:
или
ф" (г) — т2ф (г) = 0;
(157)
Г (г) + -J- Г (г) + m2f (г) = 0.
(158)
Частными интегралами уравнения (157) являются показатель-
ные функции е~тг и е"12, а уравнения (158) — цилиндрические
функции (функции Бесселя) (/иг) и Уо (тг) нулевого порядка
первого и второго родов от действительного аргумента.
Функция Уо (mr) при = 0, т. е. во всех точках, располо-
женных на оси Z, обращается в бесконечность, что противоречит
условию конечных значений потенциала в этой области, за исклю-
75
чением точки с координатами г = 0, г = 0. Поэтому при состав-
лении общего интеграла уравнения (154) коэффициенты при
членах, содержащих функции Го (mr), должны быть равными
нулю. Таким образом, общее решение уравнения (154) будет
содержать совокупности произведений Jo (тг) е~тг и Jo (тг) етг.
Вследствие вольности выбора постоянной т наиболее полное ре-
шение уравнения (154) может быть представлено суммой следу-
ющих интегралов:
оо оо
U = j А (т) Jo (тг) е~тг dm J В (т) Jo (tnr) етг dm, (159)
о о
где А (т) и В (т) — функции параметра т.
Аналитическое выражение этих функций будет различным
для разных сред. В частных случаях функции А (т) и В (т)
могут быть постоянными величинами.
На основании формулы (159) потенциал электрического поля
в среде 1
оо оо
Ui= j Лх (т) J0(mr) dm -|- j В^т) J0 (тг) етг dm. (160)
о о
Если источник тока расположен в этой же среде, то согласно
первому граничному условию [см. формулы (89) и (97)]
с/( = -^--7=1= + и* = Uo + U{,
1 4Л _]_ г2 1 1 U 1 Х ’
(161)
где U* — потенциальная функция, удовлетворяющая уравнению
Лапласа (конечная и непрерывная во всем изучаемом простран-
стве) и обращающаяся в нуль в бесконечно удаленных точках.
При z > 0 равенства (160) и (161) будут тождественны, если
принять Лх (т) — Pil/4n и воспользоваться интегралом Вебера [2]
ОО
j Jq (mr) ?~т2 dm = . -
Тогда
oo
f J(>(mr)e-mzdm + [ B1(m) JG (mr) emz dm. (162)
о
о
Последний интеграл в виде
JQ(mr)e~m[z^dm + В1{т) J0(rnr)emz dm. (162')
о
76
справедлив для точек среды 1
с любым значением1
Во второй и следующих средах
оо оо
U. = j Ai (т) JQ (тг) е~тг dm + j Bt (т) JQ (тг) етг dm. (163)
о о
В последней среде, простирающейся в бесконечность, для
соблюдения условия Un = 0 при z — оо необходимо равенство
нулю функции Вп (т), в связи с чем
со
Un — | Ап (т) Jo (тг) е~тг dm. (164)
о
Умножив функции Bi (т), А,(т), В, (т) и Ап (т) на постоян-
ные величины 4л/рх/, 4л/р(/, 4л/рп/ и введя новые функции
Bi (т),
С, (т) = Ai М
Di = ^TB‘
Сп = WA"
приведем уравнения (162), (163) и (164) к следующему виду:
mz dm + I
0
(165)
un = -7^ J Cn (m) J9 (mr) e-mz dm.
0
1 Действительно, если исходить из условия обращения потенциала в нуль
при z — —оо, то для области z < 0 для потенциальной функции (2<0) необхо-
димо записать
ОО
U\ (г<0) ^m)(2<0) Л (mf) emZ
О
Но так как при z — О = С7р то (т)(г<0) = (m) + Вх (т),
следовательно, после подстановки найденного значения В{ (/и)(2<0) в выражение,
определяющее U] (г<оР приходим к формуле (162).
77
Для числового расчета потенциала электрического поля не-
обходимо установить явный вид функций D± (т), Ct (т), Dt (т),
Сп (т). Для этого воспользуемся граничными условиями (152)
и (153). Эти условия дают возможность получить две системы
из п — 1 уравнений каждая с 2 (п — 1) неизвестными функциями
(^0> •••» (^0» • ••» Сп (т).
Выполнив первое граничное условие
(£/,)г=г(. = (С'/+1)гг=2.
для каждой поверхности раздела, получим первую систему из
п — 1 уравнений:
оо
00
-mzi
ю
00
о
ОО
= Р2 J
-О
mZi dm + J
о
-mz,
lO
- Pi+1
Сl+i (т) J9 (тг) е~тг
"“i dm
0
1 (166)
mz‘dm ;
0
oo
Prt-l
тг
оо
тгп-1 dm
0
~mzn-i dm.
о
Выполнив второе граничное условие
/ I \ _ / I 31
\ Pi дг / V р£+1
z=z
для тех же поверхностей раздела, найдем вторую систему п — 1
уравнений:
оо оо
— ] Jo (mr) е~тгчп dm-j- j Dx (m) Jo (mr) ътгчп dm =
о о
oo oo
= —j C2(m) J0(mr)e~mz'mdm-\- j D2(m) J9(tnr)emz‘mdm;
о о
oo oo
j Ci (m) Jo (mr) e~mz‘tn dm 4- j D, (m) Jo (mr) e^m dm =
о o’
OO
_ J CM (m) Jo (mr) e~mZim dm -|-
o
00
+ f Ц+1 (m) J0(mr)em2'md/n;
о
(167)
00
j Cn_i (m) Jo (mr) e-m2«-»/n dm +
о
CO
+ f Dn_t (m) J9 (mr) етг^1т dm
о
00
= — j Cn (m) Jq (mr) dm.
о
Перенеся правые части уравнений (166) и (167) в их левую
часть и заменив сумму интегралов интегралом от суммы подынте-
гральных функций, приведем системы уравнений (166) и (167)
к следующему виду:
°°
J U—е-т21 ^i(m)emZ1lPi —
о
— [С2 (т) e~mz> -|~ D3 (m) emZi] p2} J о (mr) dm = 0;
oo
J I [C( (m) e-m2/ + Di (m) emz‘ ] pt -
0
— [G+i (m) + Dz+i (m) етг‘] pz+1] Jo (mr) dm = 0;
(168)
OO
j IC„_X (m) e~mzn-i _|_ Drt .1 (m) р„ л —
0
—ca (m) emzn-i P„ j Jo (mr) dm = 0;
79
<эо
j [_e-mz. 4- Di (m) етг> +
о
+C2 (zn) e_'nz* — D2 (m) em2*] Jo (mr) mdm = 0;
oo
J [-Сг (m) е*тг‘ + Dt (m) етг< +
о (169)
4-Ci+i (/n) e""12' — Dl+1(/n) J^(tnr)mdm = 0; I
oo I
j [ -C„_i (/n) е-тг«-1 + Dn_t (m) етгп-1 +
°
+СД (/и) e"m*n-1] Jo (mr) mdm = 0. I
Уравнения (168) и (169) удовлетворяются в любых точках
поверхностей раздела, т. е. при любых значениях г, при условии
равенства нулю выражений, стоящих под знаком интеграла в фи-
гурных [уравнения (168)] и квадратных [уравнения (169)] скоб-
ках, т. е. при условии
р1е-'»«1 pjDj (т) emZi — р2С2 (т) е-тг« — p.2D2 (т) --- 0;
Р/С, (т) emzi 4- ptD, (m) етг< - p(+1Ci+1 (m) emz‘ -
— P/+A+i (m) emz‘ = 0;
pn_A i (m) emzn-i 4. pn-iDn-j (m) emz^ —
. - p„C„ (m) e~mz^-i = 0;
—e-'”21 + Di (m) етг> 4- Сч (m) e-m2« — D2 (m) em21 = 0;
(170)
-Cf (m) emzi 4- D 'i(m) emzt + C.+1 (m) e~mz‘ - Di+lemz> = 0;
—C„_! (m) e~mzn-i D„_j (m) emZn~l + C„ (m) e~"‘Zn-1 = 0.
Решение системы уравнений (170) дает возможность определить
функции Ог (т),..., Ci (т), Dt (т), ...,Сп(т) и после подстановки
их значений в формулы (165) и интегрирования получить оконча-
тельные выражения для потенциала электрического поля в сре-
дах с плоскопараллельными границами раздела. Дальнейшее
решение задачи приведем для заданного числа границ раздела
и исследуемых ере,
80
Одна граница раздела
В частном случае двух безграничных полупространств, разде-
ленных плоской границей раздела, при расположении источника
тока А в среде 1 получим:
оо
( с2 (т) Л (mr) е~тг dm.
о
На границе при z = zt
/ 1 wt” \ / 1
\ Pi dz J Z—\ Р2
(172)
и, следовательно,
Pi J [е_'"г‘ + Di (т)em2‘] Jo(tnr)dm = р2 j С2(m) Jo(mr)e-m2‘ dm;
о 0
j [—e-m2‘ + Dj (m) em-21] Jo (mr) mdm =
0
= — j C2 (m) J0 (mr) e~mz'm dm.
0
Последние два равенства удовлетворяются при любых значе-
ниях г при условии
Pie-"12* + PxD, (т) етг' - р2С (т) e""12* =0;
—е-"12* + Dt (т) emz' + С2 (т) е~тг' = 0.
Решив систему уравнений (173) относительно (т) и С2 (т),
найдем неизвестные функции
D, (т) = е~2тг‘ = Л12е~2тг‘;
' Р2 + Р1
С2 (т) =
2Р1 _____ 1 __ ь _____п
Pi + Pi 12 “ Р12'
Подставив значения функций Di (т) и С2 (т) в формулы (171)
и (172) и воспользовавшись интегралом Вебера, получим:
со оо
j J о (mr) e~mz dm + &i3 j J о (mr) e~m (2Zl~z) dm
.0 0
81
Pl I Г 1_____________________^12______
4л [|/7a + za ~ Кг» + (2zj — z)a
(174)
4л
oo
Jo (mr) ё~тг dm =
*
0
2PiP2/________1
4 (Pi + Pa) Кra-f-za '
(175)
Обозначив, как и ранее, через L расстояние от точки А
до точки М вдоль оси Z' воображаемой скважины, через z\ —
расстояние от точки А до поверхности раздела сред вдоль той же
оси и через а — угол между осью Z и осью Z', после простейших
преобразований придем к следующим формулам, полученным
ранее в § 12:
£/<•) _ P1I 1 _|________________^12_____________
1 4л [ Z. т / £2 4 _ £) COS2 az't
f><!)______ZpiPa/______PaQ—
2 4л (pi + ра) L 4лЬ ’
&
выведенным ранее методом зеркальных изображений. Аналогич-
ным способом выводятся формулы, определяющие потенциалы
электрического поля и для случая, когда источник тока А на-
ходится во второй среде.
Две границы раздела
В случае двух плоских поверхностей, отделяющих пласт
мощностью h удельного электрического сопротивления р2 от
подстилающего и покрывающего безграничных полупространств 1
и 3 (заполненных средами удельного электрического сопротив-
ления рх и Рз), при расположении источника тока А в среде 1
потенциальные функции в каждой среде будут определяться сле-
ующими
уравнениями:
j JQ (mr)a mzdrn j Di(rn)J0(mr)emz dm I; (176)
.0 0 J
(/<1>=JpK
4л
CO CO
C2 (tn) J0 (mr) e~mz dm -f- f O2 (m) J0 (mr) emz dm ; (177)
Lo о J
oo
(7з° = -^7 f сз dm-
0
(178)
Для отыскания неизвестных функций Dx (m), C2 (/n), D2 (tri),
C3(m) воспользуемся граничными условиями (152) и (153). При-
мем вначале г = гх в формулах (176) и (177) и приравняем их
82
правые части. Затем примем z = гг + h в формулах (176) и (177)
и. приравняв их правые части, поступим аналогичным образом
с производными по z от равенств (176) и (177), (177) и.(178), пред-
варительно разделив равенство (176) на рх, равенство (177) на р2
и равенство (178) на р3. После ряда преобразований (о которых
говорилось выше) придем к системе уравнений, определяющих
искомые функции:
рА (т) - p2D2 (/и) - р2е-2тг'С2 (т) + р1е_2тг’ = 0;
Рге2т (2,+h)£>2 (т) + р2С2 (т) - рзСз (т) = 0;
Di (т) + е~2тг,С; (т) - D2 (т) - е~2тг' - 0;
-С2 (т) + £>2 (т) е-2т (г*+,,) + С3 (/п)"= 0.
(179)
Решив систему уравнений (179), получим:
Di (/и) = Л12е-2тг* + (1 - kb) k23 S (kM)n-'e~-m {nh+*'\
Л=1
Ляоо
C2 (m) = (I — M S (Ш"е“2тпЛ;
n=0
Da (m) •- (1 - *12) kw L (/г21Л23)"_1е_2т <пЛ+г,);
n=40
C3 (m) = (1 — Z>12) (I - м S (62 A-/ e-2mnft.
n=0
Подставив значения функций Dx (/n), Съ (m), Dt (m), C3 (m)
в формулы (176), (177) и (178) и изменив затем порядок интегри-
рования и суммирования, придем к суммам интегралов:
оо
/0(тг)е-т<2пЛ+2г‘±г)а/п,
о
оо
f JQ(mr)e-m (2лЛ±,> dm,
о
которые вычисляются по формуле Вебера.
При этом
ОО
jj0(/nr)e-m (2лЛ+2г*±г> dm =
о
+ (2лЛ + 2гх ± г)«
(180)
00
J Jo (/иг) dm =
о
83
Проинтегрировав почленно суммы приведенных интегралов
и подставив результаты интегрирования в формулы (176), (177)
и (178), получим:
Кг» + (2лЛ + г)2
_______(^и^зз)'1 1______
Кг« + (2пЛ + 2zr — г)2
t/p =» (1 - Ы(1 - М У /- (kM
4п v /гз + (2лл+г)«
(181)
(182)
(183)
Подобным образом могут быть получены формулы для потен-
циала электрического поля в случаях, когда источник тока на-
ходится в средах 2 и 3. Определив значения потенциалов U и
г- ди ди
напряженностей электрического поля Е — —вос*
пользовавшись затем формулами (81) и (82), придем к совокуп-
ности равенств, определяющих кажущееся сопротивление для
потенциал- и градиент-зондов при различных положениях пи-
тающего заземления и измерительных электродов относительно
границ раздела сред х.
На рис. 27, 28, 29, 30 и 31 изображены кривые кажущегося
сопротивления, рассчитанные для случая пересечения потенциал-
зондом и градиент-зондом пластов разной мощности, сопротивле-
ние которых превышает сопротивление подстилающей и покры-
вающей сред. Анализ приведенных кривых позволяет прийти
к следующим заключениям.
1. Кривые кажущегося сопротивления для потенциал-зондов
симметричны (при равных сопротивлениях pj подстилающей и р3
покрывающей сред, что часто наблюдается при исследованиях
скважин). При р2 > pj (pj) пласты мощностью h, превышающей
размер L зонда, отмечаются зоной повышенных кажущихся сопро-
тивлений с максимумом, расположенным в центре пласта.
Максимальное кажущееся сопротивление не превосходит удель-
ного электрического сопротивления р2 пласта, стремится к нему
с ростом мощности пласта и практически достигает р2 при h >>
> (10-5-20) L. Границы высокого сопротивления относятся к се-
Заинтересованный читатель найдет нх в первом издании учебника [3].
84
a
m/л
A
0
20 50
100 100 Рк/pj yp
M
N
15Op* fa
p2=f00pt
a// a; Co
A
N
max 100p.
A
n/L = 7/4
0
d
Op}- 5 Юр* /Pt
I L
A
И
TV
max Ю0pt
h/L-OJS I’
0*
N
^ffl4
O/L-0,1 4|
4W4
A
Рис. 28. Кривые кажущегося со-
противления при пересечении гра-
диент-зондом пластов разной мощ-
ности и сопротивления.
a — ps — lOOPi (pi = рз>; б — р2 =
e 9pi (pi = pj); кривые: 1 — истинного
удельного электрического сопротивле-
ния» 2 — кажущегося сопротивления,
полученные на моделях пластов
(сопротивление глинистого раствора
рр = рх = р3; диаметр скважины dt. =
= 0,05L; ~MN =
, 3 — кажу-
II
1егося сопротивления» рассчитанные
(rfc = О, MN -> 0)
Рис. 29. Кривые кажущегося сопротивления, полученные потенциал-зондом против пластов высокого сопро-
тивления (по данным С. Я. Литвинова).
а — против горизонтального пласта; б, в — против наклонных пластов высокого сопротивления; р, = р, = I Ом-м; р2 — 10 Ом*м;
шифр кривых — L/h (AMlh)
Рис. 30. Кривые кажущегося сопротивления, полученные обращенным градиент-зоидом против пластов высокого сопротив-
ления (по данным С. Я. Литвинова).
а — против горизонтального пласта;
в — против наклонных пластов высокого сопротивления; Pi = Рз = 1 Ом*м;
= 10 Ом'м; шифр кривых — Llh (AO/h)
" Х>к.0м м
и
см
Рис. 31. Кривые кажущегося сопротивления против
пластов низкого удельного сопротивления.
а — потенциал-зонд: р, = O.lpi = I Ом*м, Pi = Рз =
= 10 Ом*м, / — /ц = 5L, 2 — ht = L, 3 — ft# = 0.4L;
б — обращенный граднент-зоид, в — последовательный
градиент-зонд, р4 = 0,2pi = 1 Ом*м, рд = р» = 5 Ом*м,
/ — ftt.= 5L, 2 — = 1,25L, 3 — h9 = 0,2L.
рединам наклонных площадок кривой рк, равных по длине раз-
меру L зонда (см. рис. 27). При h <; L пласты высокого сопротив-
ления отмечаются минимумом рк, расположенным в центре пласта,
и небольшими экранными максимумами иа расстояниях L/2 от
границ пласта.
2. Кривые кажущегося сопротивления для градиент-зондов
асимметричны. При мощности пласта h > L на кривых последова-
тельного зонда максимальные значения кажущегося сопротивле-
ния наблюдаются в подошве пласта, минимальные — в кровле.
На кривых обращенного зоида максимум рк соответствует кровле
пласта и минимум — подошве. При этом максимальные значе-
ния рк превышают величину истинного сопротивления р2 пласта.
При h < L пласт отмечается небольшим максимумом (обычно
Рк, max Рг) И глубокой экранной депрессией, расположенной
под пластом (рк, mln < pj иа кривых рк последовательного гра-
диент-зонда и над пластом (рк, mln < р3) на кривых рк обращен-
ного зонда. В результате наклона пластов изменяется конфигу-
рация кривых, особенно для градиент-зондов, у которых с увели-
чением угла наклона наблюдаются уменьшение кажущегося со-
противления в точках максимума кривых и увеличение в точках
минимума (см. рис. 30).
В пластах, удельное сопротивление р2 которых ниже удельных
сопротивлений pj и р8 подстилающей и покрывающей сред, кри-
вые рк имеют конфигурацию, изображенную на рис. 31. Из
рис. 31, а следует, что кривые рк потеициал-зонда симметричны,
причем кажущееся сопротивление в точке минимума рк, распо-
ложенной в центре пласта, тем ближе к истинному сопротивле-
нию р2, чем больше отношение h/L.
Кривые рк градиент-зонда асимметричны. В точке минимума,
расположенной в кровле пласта (обращенный градиент-зонд,
рис. 31, б) или в подошве пласта (последовательный градиент-
зонд, рис. 31, в), кажущееся сопротивление меньше истинного
удельного сопротивления р2 пласта.
Недалеко от границ наблюдаются «площадки» рк протяжен-
ностью, равной размеру зонда, наклон которых тем больше, чем
меньше отношение h/L.
§ 14. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ
С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА
Для решения задачи о распределении электрического поля
точечного источника тока в пространстве, сложенном однородными
и анизотропными (слоистыми) средами с плоскопараллельными
границами раздела, воспользуемся некоторыми положениями,
приведенными в § И. При этом рассмотрим наиболее простой
и часто встречающийся случай, когда плоскости раздела сред
параллельны их слоистости.
В § 11 было показано, что электрическое поле в однородной
анизотропной среде тождественно полю в однородной изотропной
90
среде, если анизотропную среду рассматривать как изотропную
среднего удельного сопротивления рт = р„р,, где ря и р, —
удельное сопротивление анизотропной среды перпендикулярно
к слоям напластования и параллельно им, и при решении задачи
заменить прямоугольную (XYZ) или цилиндрическую RZ'V си-
стему координат системами XYZ или RZW, где координата £ =
= Хг. В этом случае потенциал электрического поля
у________1Рт _____ ______1Рт____
— 4я I/'/-» + J2 ~ 4л + X2z2 '
Для дальнейшего решения задачи воспользуемся цилиндри-
ческой системой координат RZW, начало которой расположим
в точке А, где находится источник тока, а ось Z направим перпен-
дикулярно к слоистости анизотропных сред и плоским границам
их раздела.
При таком расположении оси Z электрическое поле будет
симметричным относительно этой оси и его потенциал должен
удовлетворять уравнению Лапласа
д*и 1 ас/ , д*и
дг2 ’’*"/ дг г" dt2
(184)
во всех точках изучаемого пространства, за исключением точки А,
в которой находится источник тока. При приближении к этой
точке потенциальная функция U должна стремиться к выражению
потенциала в однородной анизотропной безграничной среде
Pnd
4л /г2 + С2
—»оо
вида
В бесконечно удаленных точках функция U./-r2^r 0 и
в точках, расположенных в непосредственной близости от границ
раздела, должна удовлетворять условиям непрерывности потен-
циала
= (им)г=г (185)
4 t
и непрерывности нормальной составляющей плотности тока
Рп, 1 дп / z=Z. \ Prt, i+1 dtl / Z=Z ’
* I" r ₽
(186)
где Z; — расстояние по оси Z от источника тока до границы,
разделяющей среды i и i + 1; i — порядковый номер среды.
Используя методику решения задачи, изложенную в § 13,
получим следующие выражения, определяющие потенциал элек-
трического поля:
в среде /, в которой находится источник тока,
[ [e-mC + Di (m) emt] Jo (mr) dm; (187)
91
в промежуточных средах при отсутствии источников тока
/ 00
-- [ [С, (m) + D, (т) emt] Jo (mr) dm; (188)
тжЛ J
о
в последней среде (при отсутствии в ней источников тока)
ОО
U„ = f С« е-т^о (mr)dm-
о
(189)
В системе координат с унифицированным значением соот-
ветствующим £ в среде 1, уравнение (187) останется без измене-
ний, а уравнения (188) и (189) будут иметь вид:
4- Di (т) *
Л (mr) dm;
Pm, nl
4я
Кп
—т ~К~
Сп(т) е ** J0(mr)dm.
Преобразование выражений, определяющих потенциальные
функции, к явному виду дадим для простого случая — одной
границы, разделяющей две однородные и анизотропные среды.
Эти среды характеризуются продольными удельными сопротив-
лениями р/,1, р/,2, поперечными — рп>1, рп>2, средними—Рвы,
Pm, 2 и коэффициентами анизотропии и А2. Допустим, что пи-
тающее заземление находится в среде / в точке А на расстоя-
нии Zi от границы раздела.
В этом случае потенциальное поле в средах 1 и 2 будет опре-
делено уравнениями (187) и (189):
ОО
+ Dx (т) emt] Jo (mr) dm;
(187')
” -т 4г- С
J С2(т)е 1 J9(mr)dm.
о
(189')
Воспользовавшись граничными условиями для £ = = Axzlt
получим систему уравнений:
Г 9- ~т £
pm, 1 + £>х (т) emt*l р^ С2 (т) е х*
%
[_ e-mt‘ 4- Di (т) emC‘ ] = — C2 (m) e ~C*
Pn, 1 ' Pn. •
92
или
(m) e2"*' - pm,
—tn
/ ^2
-т X
определяющих неизвестные функции
Dl (m) e e-2-s-,
Pm, 1 + Pm, г
ci \ 2P®. i
C: (m) = -----p----e ' ' i •
Pm, 1 + Pm, 2
Подставим Di (m) и C2 (/n) в формулы (187) и (189). Заменим t,
на "Кхг, a Ci на г, и воспользуемся интегралом Вебера. Тогда
Г7<1> Р®, 1' Г 1 , Р®> Д ~ Р®, 1 ______I________1
Р®, 1 Н- Р®, 2 1Г г2 -k 1? /2г. х 2\2 1
4л
Pm, 1/
cos2 а
Pm, 2 — Pm, i
Pm, 1 + Pm, 2
(190)
где L — расстояние между точками А и М, L = р72 + z2;
К\ — расстояние от точки А до поверхности раздела сред по оси Z',
проходящей через точки А и М (см. рис. 21, б), выраженное
в единицах L, Ь = -у- (здесь г\ = -; а — угол между
осью Z и осью Z'.
В среде 2 потенциал электрического поля
zz(l) 2/Pm, 1Рт, 2
2 4л (рт,! Н
__ 2/рт, 1Рт, 2
4л (рт, 1 + рт» г)
[kiZi + Х2 (z — 21)]2
г=,=2 • <19’)
— 1J cosz а
При расположении точки М на оси Z на расстоянии L от источ-
ника тока А получим:
jy(1) __ PG f 1 . Р^> 2~~~Pm, I 1 \ _
4л x L i + pm, a L )
Pm, 1 Pm, 2 Pm, i 1
4л L \ pmf j + рЛ( 8 231 — I
93
иУ
__ 2^Рт, 1Рт, 2 __________1________
4л (pm, 1 + pm, 2) ^1Z1 + ^2 — 21)
__ 2/pm, iPm, 2 1
4л (pm, 1 + Pm, 2) L Х2 + (Xj X2) ’
(193)
где J = zJL.
При = Х2
вид:
= X последняя формула будет иметь следующий
^y(l) 2/Pm,l Pm, 2 _____________________
2 4л (pm, 1 + pm, 2) 4л (pm, 1 + pm, 2) L
р/, а
(194)
Подставив значения потенциальных функций (190)—(194) и
их производных по L, взятых с обратным знаком, в формулы (81)
и (82), получим следующие выражения, определяющие кажущиеся
сопротивления.
1. При измерении рк потенциал-зондом:
а) в общем случае
Рк? 1 = Pm, 1
cos2 a
Pm, 2 Pm, 1________________1_______________I
Pm, i + Pm, 2 + [X2 (281 1)2 — П cos2<x J
(1) _ ^Pm,i pm, 2__________________1________________.
K ’ 2 Pm, i +Pm,, у 1 + ([%2 + aj (%] _ 12)]2 _ j} cos2 a ’
(195)
(196)
б) при r = 0 (точка M расположена иа оси Z)
111 л fl I P"1, 2~Pm. 1 1 Y
Рк, 1 — Pt, ill -j- -J— - oi—_ . I >
x Pm, i "Г Pm, 2 Z31 1 /
(1) 2pm, 1 pm, 2____1______.
^K’ 2 Pm,i Pm, 2 ^-2 + ^1 (^1 ^2)
прн Xj — X2 = X
(1)_____2pm, 1 __ 2р/, iP/, 2
Pk’ 2 “ Pm, 1 + Pm, 2 P/' 2 ~ Р/, 1 + P<, ,
(197)
(198)
(199)
При измерении рк
в общем случае
Рк?1 = Pm
градиент-зондом
Pm, 2 — Pm, 1
Pm, 1 + pm, 2
(200)
(201)
(1) 2ротд рт, 2
2
I 2
2
94
б) при г = О
Рк'?1 = р/.
Рт, 2 — Pm, i
Pm, i + Pm, 2
X2
31 (4 - 4) I2
(1) 2pm, ipm, 2
Рк, 2 = ------ '
Pm, i +• Pm,
при Xj = X2 = к
(202)
(203)
(199')
(1) 2pm, i 2р/ ip/ 2
Рк. 2 = Г-ПГТ-Р/, 2 = ——4—-
Pm, i -f- Pm, 2 Р/, 1 T Р/, 2
Анализ материалов, приведенных в настоящем параграфе,
дает возможность сделать следующие выводы.
1. В однородных анизотропных средах, разделенных плоской
границей раздела, параллельной плоскостям иапластбвания, по-
тенциал электрического поля в полупространстве, в котором на-
ходится источник тока, определяется формулой, аналогичной
формуле для однородных изотропных сред. Различие заключается
лишь в том, что вместо удельного сопротивления р1 соответству-
ющей изотропной среды следует взять среднее удельное сопро-
тивление Pm,/ анизотропной среды и координату z и расстояние zt
умножить на коэффициент анизотропии этой среды.
Коэффициенты отражения kn и пропускания р12 тока поверх-
ностью раздела анизотропных сред определяются формулами,
аналогичными формулам для изотропных сред с заменой pt иа
Pm, ь а именно:
____Рт,» — Pm,i
12 Рт, 1 + Рт, г
2рт, 2
Р21 = Т-----ГТ—
______2pm, 1
Рт, 1 + Рт, 2
2. Потенциал электрического поля в анизотропном
полупро-
странстве, в котором отсутствует питающее заземление, и кажу-
щееся сопротивление его при Xj Ха зависят от положения за-
земления А относительно границы раздела сред и от типа зонда.
В случае Хх = Х2 при любом положении электрода А относи-
тельно границы раздела сред как для потеициал-зонда, так и
для градиент-зонда
Рк, 2 — Рк,
__ 2рт, 1Рт, 2_______________1___________
Рт, 1 + Рт, г V1 -4- (X2 — 1) cos2 а
В этих же условиях (т. е. при Xi = Х2)
Рт, 2 — Рт, 1 Рп, 2 — Рп, 1 _ Р<, 2 Р/, 1 .
Рт, 1 + Рт, г Рл, 1 + Рп, г Pt, 1 + Pt, 2
2рт, 1
Рт, 1 + Рт, 2
2рп, 1
Рп, 1 + Рп, 2
2Р/, 1
pt, l + р/, 2 '
95
<3
3. При расположении электрода М на оси Z (г = 0) кажу-
щееся сопротивление среды, в которой находится питающее за-
земление, пропорционально продольному сопротивлению этой
среды. При -> 0, т. е. при L > это положение распростра-
няется и на среду, в которой питающее заземление отсутствует.
При Xj = Х2
* 2 цъ, 2
рК.2 = рК.1 = 7/>1-+р/2
определяется соотношением удельных продольных сопротивлений
анизотропных сред.
Анализ формул, определяющих кажущееся сопротивление,
показывает полную справедливость принципа взаимности и в дан-
ном конкретном случае анизотропных сред.
Кривые рк, приведенные на рис. 32 для анизотропных сред
(кривые /, 2 и 5), в сопоставлении с кривой рк для изотропных
сред, иллюстрируют характер влияния анизотропии, и в част-
ности равенства или неравенства X, и Х2, иа конфигурацию этих
кривых.
§ 15. ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОАКСИАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
РАЗДЕЛА (ОСНОВЫ ТЕОРИИ БОКОВОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ)
В практике изучения разрезов скважин теоретической задаче
распределения потенциала электрического поля в среде с бес-
конечными цилиндрическими коаксиальными поверхностями
раздела соответствует распределение потенциала электриче-
ского поля, созданного питающим заземлением А, установленным
на оси скважины. Скважина диаметром dc заполнена глинистым
раствором удельного электрического сопротивления рр и пере-
секает пласт с очень большой мощностью удельного электриче-
ского сопротивления рп. При этом между скважиной и пластом
может находиться зона проникновения фильтрата глинистого рас-
твора в пласт с внешним диаметром D и средним удельным элек-
трическим сопротивлением рзп (рис. 33).
Для решения задачи воспользуемся цилиндрической системой
координат RZW, ось 1 которой совместим с осью цилиндров (осью
скважины), а начало — с источником тока — точкой А. Для
удобства последующих расчетов введем новые переменные г =
= г/гг и z = г/гс, т. е. координаты гиг будем измерять в едини-
цах радиуса гс скважины.
Функции t/р (г, z), U3ll (г, г) и Un (г, z), определяющие потен-
циал в скважине и в окружающих ее средах, удовлетворяют
уравнению Лапласа
Д(/ = 0
в любой точке исследуемого пространства, за исключением начала
координат (точки, в которой находится питающее заземление А).
4 Дахнов В. Н. 97
Рнс. 33. Схема неодно-
родной среды с коак-
снальио-цилиндриче-
скими поверхностями
раздела
В связи с аксиальной симметрией поля
функции Up, U3ll и Un не должны зависеть
от азимутального угла ф. Поэтому в цилин-
дрической системе координат дифференци-
альное уравнение Лапласа будет иметь
следующий вид:
W . 1 dU W
дг2 г dr dzi
(204)
Эти функции удовлетворяют следующим
условиям.
1. В бесконечно удаленных точках, т. е.
при R = I/гг 4- z’ -*• оо, они обращаются
в нуль.
2. При приближении к точке А, где на-
ходится источник тока, функция Up должна
стремиться к значению потенциала £/0 точеч-
ного источника тока в однородной изотроп-
ной среде с сопротивлением рр:
. Ppz 1
'"Р./’*+**->0 4л
(205)
и при R = Кг’ + za -> 0 обращается в бесконечность вида 1/R.
Поэтому функция Up может быть представлена н в следующем
виде
Up = Uo + U'p,
(206)
где Up — конечная и непрерывная функция (удовлетворяющая
уравнению Лапласа) в любых точках среды Р (скважины) и обра-
щающаяся в нуль в бесконечно удаленных точках.
3. В точках, расположенных в непосредственной близости
от поверхности раздела сред и разделенных этой поверхностью,
искомые функции должны удовлетворять условию непрерыв-
ности потенциала:
(^р);=1 = (^3nh=I; (207)
(t/Sn)_ = (1/л) _ гзп _ - (208)
г~ г ~~ зп г зп
с с
(209)
4. В этих же точках должны соблюдаться условия постоян-
ства нормальной (радиальной) составляющей плотности тока:
f 1 д£/р\ = i диЭп \ ;
\ рр dr /f—i \ Рзп / 7=1
/ 1 д^зп \ __ / 1 дЦп \
\ Рзп дг /7=7ап крп дг
(2Ю)
98
5. Потенциальные функции не зависят от знака z вследствие
симметрии поля относительно плоскости Q, проходящей через
источник тока и перпендикулярной к оси скважины.
Для решения дифференциального уравнения (204) восполь-
зуемся, как и ранее, методом Фурье. Будем искать частный ин-
теграл уравнения (204) в виде произведения функций
=/(дф(г),
в котором функция / (г) зависит только от г, а функция <р (z) только
от z. Продифференцируем это произведение дважды — по г и по z.
Подставим полученные производные в правую часть равенства
(204) и разделим результат на U = f (?) <р (z);
тогда
+ (211)
/ (') Г - f (г) ф (г)
В связи с независимостью функций f (?) от z и <р (z) от ? отно-
ф" (г\ гл
шение / ' постоянно. Полагая
Ф(г)
Ф"(г)
ф(г)
= —т? = const,
приводим дифференциальное уравнение (211) в частных производ-
ных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:
<р" (z) + т2<р (г) = 0;
Г (г) 4-4- f (г‘) - m2f (0 = 0.
Г
Частными интегралами первого уравнения будут функции
sin mz и cos mz, второго — функции Бесселя первого и второго
родов ?о(т?) и Ко (т^) нулевого порядка от мнимого аргу-
мента [2 ].
Следовательно, частными интегралами уравнения (204) должны
быть произведения /0 (т?) sin mz, /0 (т?) cos mz, Ко (т?) sin mz,
Ko (m^) cos mz.
Так как потенциал U не зависит от знака z, то при составлении
общего интеграла уравнения (204) следует принять равными нулю
коэффициенты в линейных совокупностях, содержащих произ-
ведения /0 (т?) sin mz и Ко (т?) sin mz.
Таким образом, общее решение может быть представлено сум-
мой двух интегралов:
оо оо
U = ( А (т) /0 (mr) cosmzdm j В(т) Ko(mr)cosmzdm, (212)
о о
где A (m) и В (m) — функции параметра m\ в частном случае они
могут быть постоянными величинами.
4* 99
В скважине (в среде Р) потенциальная функция должна удо-
влетворять также условию (206). Воспользовавшись интегралом
Вебера, функцию (70 можно представить в следующем виде:
и0 =
Ppi
4лге
Рр^
2л'2гс
оо
\ Ко (mr) cos mz dm.
о
(213)
Так как функция Up конечна во всех точках среды Р, то она
не может содержать функции Ко (mr). В этом случае функция
U (р) была бы идентичной 1/0. Поэтому условие (206) и соотноше-
ния (212) и (213) будут соблюдены, если предположить
fip(m)— 2лаг
и принять
00
17р = J Лр (т) /0 (mr) cos mzdm.
о
Правильность отождествления второго интеграла в правой
части уравнения (212) с потенциалом электрического поля в одно-
родном изотропном пространстве будет также подтверждена в даль-
нейшем [см. сноску к формуле (231)1, где показано, что в одно-
родной среде функция Лр (/и) = 0 и, следовательно, £/р =
оо
= J Лр (т) /0 (mr) cos mz dm также равно нулю. Поэтому первый
о
интеграл в правой части равенства (212) характеризует изменение
потенциала электрического поля источника тока Л в связи с не-
однородностью среды, окружающей скважину. Таким образом,
в скважине — в среде Р — потенциал электрического поля
оо оо
17 р \ Ко (^) cos/nz d/n + I Лп(/п)/0(mr) cos/nzdm. (214)
о 0
В среде «ЗП» потенциальная функция
оо оо
17зп = j Л3п(/л) Ц (mr) cos mz dm + J ВзпОи) K^(mr) cos mz (215)
о о
Во внешней среде «П», в которой решения уравнения (204)
не могут иметь членов, содержащих функцию /0 (в связи
с беспредельным возрастанием этой функции при г —> 0),
00
U„ = \ В„ (т) Ко (mr) cos т z dm.
о
(216)
100
Для упрощения дальнейших вычислений умножим функции
Ар (т), Лзп (/и), Взп (т) и Вп (т) соответственно на 2л г.с,
Ро'
2л
р—, -j и введем новые функции:
Ср (т) = А р (т)-, Сзн (т) = Азп (т);
D3n М = № D- ("О = В"
Рзп' Рп'
2л2гс
рзп^
(216')
После этого равенства (214), (215) и (216) примут следующий
вид:
00
00
рп/ Р - - Р - -
— ) л»(mr)cosmzdm + I Cp(m)/0(mr)cosmzdm ; (217)
* f C v v
c Lo
о
Рэп^
2лагс
00
J C3|1 (w) fo (mr) cos mz dm +
_o
00
+ ( D3„ (m) Ko (mr) cos mz dm
о
l/n = №— \ D„ (m) Ko (mr) cos mz dm.
c о
(218)
(219)
Для определения неизвестных функций Ср (т), С3„ (т), D3n (т)
и Dn (т) воспользуемся граничными условиями (207)—(210).
Положим в (217) и (218) г = 1 и в (218) и (219) г = гзп. Затем
приравняв правые части каждой пары перечисленных уравнений,
получим:
Рр^
2л2гс
00 оо
j Ср(т) /0(w)COSтzdm + j Ко(w)cosmzdm
о о
Рзп^
2л2гс
ОО
Сзп (т) /0 (т) cos mz dm-)- \ D3„ (т) Ко (т) cos mz dm
о
или
00
j {рр [Ср (т) /о (т) + Ко (т)] -
6
— Рзп ic311 (т) Io (т) + D3II (т) Ко (m)l[ cosmzdm = 0; (220)
Рзп/_
2лагс
00
\ С311 (т) /0 (/пгзп) cos mz dm +
-О
+ j D3„ (m) Ko (mf3n) cos mz dm —
о
J Dn (m) Ko (mr3n) cos mz dm
C 0
101
или
со
( {Рзп [СЗП (т) 10 (тгзп) + £>,г. (m) Ко (mr3n)J —
V
о
— Pn^t) (w) Ко (тгзп)| cos mz dm = 0.
(221)
Равенства (210) и (221) соблюдаются при любых значениях z,
если равны нулю выражения, стоящие в фигурных скобках, т. е.
при
РрСр (т) /0 (т) + ррКо (т) - рзпС (/и) /0 ("0 - рзпО3п (т) Ко (т) = 0
(222)
И
РзпСзп (т) lo (тгзп) + p3nD3n (m) Ко (тг3п) — pnDn (m) Ко (mr3n) = 0.
(223)
Для использования граничных условий (207) и (208) предва-
рительно вычислим производные по г от потенциальных функций
(217)^-(219). Воспользовавшись известными из теории бесселевых
функций соотношениями
/о (X) — Л (х), Ко (х) = К1 (х),
в которых /о (х) и Ко (* *) — производные функции Бесселя первого
и второго родов нулевого порядка аргумента х, а Л (х) и Ki (х) —
функции Бесселя первого и второго родов первого порядка от
того же аргумента \ будем иметь:
дир рр1
& ~ 2л2г^
00
J тСр (т) l'o (mr) cos mz dm 4-
-0
со
С * * рр/
4- 1 тКо (w) cos mz dm — —ут
o 2л гс
jmCp(m) Ii(mr) cos mzdm —
J)
co
— j mKi(m) cos mz dm
о
(224)
00
дЦзп __ Рзп^
dr 2л2г2
тСзп (т) /о (mr) cos mz dm 4-
V
о
00
+ \ mD3„ (т) Ко (mr)cos mzdm
о
= ( mCw(т) Ii(т)cosmzdm —
2л rc
у .1 I 1.1 III, ,
_«
• В рассматриваемом случае ml.
W2
do
— \ mD3n (m) Kj (mr) cos mz dm
о
dUn
dr
00
/ "
mDn (m) Ao (wz) cos mz dm =
00
=------2~2 J mA (m) Ki (mr) cos mz dm.
2я r с о
(225)
(226)
Разделим равенство (224) на pp, а равенство (225) — на рзп.
Приняв в этих равенствах г = 1, согласно условию (207), получим
00 00
J тСр (т) Л (т) cos mz dm — J mKi (m) cos mz dm —
о о
00 00
j mCOT (zn) (zn) cos mzdm — J mD3n (zn) Ki (zn) cos mz dm
о о
или
oo
J m[Cp(m)Л(m)—Ki(m) — C^(m)К(m) + Dan(m)Kt(m)] x
о
X cos mz dm = 0. (227)
Далее разделим равенство (225) на рзп, а равенство (226) —
на рп. Взяв г = гза и приравняв полученные выражения согласно
условию (208), придем к уравнению
00 оо
) тСзц (т) If (тгзц) cos mz dm — 1 mD3tI (m) Ki(mran) cos mz dm =
6 о
00
= — j mDn (zn) Ki (znz*3[I) cos mz dm
о
или
00
j m IC31, (m) Ii (mr3„) — DaH (m) Kt (m~r3„) + D„ (tn) K^mr^)] x
6
X cos mz dm = 0. (228)
Равенства (227) и (228) удовлетворяются при любом значении г
к том случае, если выражения, стоящие в квадратных скобках,
равны нулю, т. е. при
Ср (т) К (m) — Ki (т) — Сзп (т) Ц (т) + D3„ (т) Кг (т) = 0; (229)
С3п (т) К (тг3„) - D3„ (т) Ki (mr3„) + DB (т) Ki (nir3n) = 0. (230)
Решение системы четырех уравнений 1(222), (223), (229) и
(230) 1 относительно четырех неизвестных функций [Ср (т), C3n(m)t
Ь,п (т) и Dn (т)] дает возможность определить эти функции.
103
Измерительные электроды зонда находятся в глинистом рас-
творе (среда «Р»). Поэтому из всех перечисленных функций прак-
тический интерес представляет отыскание функции Ср (т), входя-
щей в уравнение (217). Решив эту задачу [22], получим 1
Ср (т) =
Ui (ff»3n) Ki (т) — It (tn) Ki(m~r3n)] х
[/0 (т) Ki (/пгзп) + li (mr3n) Ко (m)] X
X К0(т) Ко(mr3n)(»t3n, р- 1)(ИП, зп- »)«^зп + ;
X li(tn) Ко (тгзп) (|ЛЗП, р — О (Цп, зп 1) т2гзп 4"
* 4~ Ко (fflf3n) К1 (тгзп) (Мл, ЗП — 1) Мзп» ртгзп 4~ ___>
/j (тгзЦ) Ко (тгзп) (рп, зп — 1) тгзп +
+ Ко (т) Kj (т) (цзп, р — 1) m ___ (т)
4- 11 (т) Ко (т) (рзп, р — 1) т + 1 ~ Ш (т) ’
(231)
Нзп, р о И |ЛП зп —
Рр
В точках, расположенных на оси Z,
следовательно, 10 (тг) = /0 (0) = 1,
Г ОО
Рр I — ~
17р=Г=о — I/ = -^аг J Ко (жг) cos mz dm -
Рп
Рзп
ДЛЯ
которых г = О и,
LO
__ Рр^
2лаГг
• Ср (m) cos mz dm
б
-4- + j Ср (т) cos mz dm . (232)
2г о J
Приняв в правой части равенства (232) г = L = — и под-
г с
ставив полученное выражение в формулу (81), определим кажу-
щееся сопротивление для потенциал-зонда:
Рк Рр
00
2L f —
— J Ср (m) cos mL dm
о
(233)
Производная, взятая пог с обратным знаком от равенства (232)
при г =-- L, дает напряженность Е электрического поля в точках
М, расположенных на оси Z на расстоянии L от источника тока:
\ __ Рр^
dz )z=L 2л2г2
2L2
тСр (т) sin mL dm . (234)
1 В случае однородной среды при р0 == рзп = рп, как это следует из формулы
(231), Ср (т) = 0 н, следовательно, Лр = 0 и
со ео
Ср (т) lo(mr) cos mzdm — J Лр (т) /0 (mr) cos mzdm — 0.
о
t/* = , Рр/
2л2гс
о
104
Подставив значение Е в формулу (82), найдем рк для градиент-
зонда:
Рк Рр
_ 00
2£2 f —
----J mCp (m) sin mL dm .
о
(235)
Для получения числовых значений рк или отношений рк/рп,
которые широко используются при интерпретации результатов
электрометрии скважин, необходимо вычислить интегралы, сто-
ящие в правых частях равенств (233) и (235). Эти интегралы
непосредственно не берут; их интегрирование сопряжено со зна-
чительными трудностями. Для выбора метода числового расчета
изучим характер подынтегральных функций Ср (/и) cos mL и
mCL (т) sin mL в интервале интегрирования от нуля до бесконеч-
пости [221.
При конечных значениях аргумента т функция Ср (т) конечна,
так как ни числитель, ни знаменатель дроби (231), определяющей
функцию Ср (/и), не обращаются в нуль или бесконечность; функ-
ции /0 ("0. Л ("г). Ко ("О, Ki (т), 11(тгзп), К0(тг3„) и Ki (тгзп)
конечны.
При /и —*• 0 функции стремятся к предельным значениям:
/о (m)->1; Л (т) - 4;
Л (^гзп)
тгзг .
Ко(т)-- (1п4+с);
\ м /
Ко (тг зп)
тгзп
Ki(m)
Ki (тг зп)
где С = 0,577215... и, следовательно,
mr3n
С» р (/7l)/n->0
X (Мзп, р — 1) (Цп, зп — 0 т2^зп —
X (Цзп, р — I) (М-п, зп — I) ^2<зп
— — >п + С) (Нэп, р- 1)^4- I
105
где D — величина, не зависящая от переменной /и;
D = 0,116(-£=- — 1") - -Р"~рзп Inгзп.
\ Рр / рР зп
Из равенства (236) следует, что при т -► 0 и р„ /рр функция
Ср (т) обращается в бесконечность вида In т, причем при рп > рр
с уменьшением т функция Ср (т) стремится к +« и при р„ <
< рр — к — оо.
Функция /пСр (т), находящаяся под знаком интеграла в вы-
ражениях (234) и (235), при т—>0 стремится к нулю.
При бесконечном увеличении аргумента тг = х [2|:
/о W - , Ii (х) - ге_ ,
/Со(х)-/£е’х-°, Ki(x)-
Учитывая, что при этом
Л ("iGuHiИ) — Ii(m)Ki(mfm) = ——у== [е'п __ ет О^эп)],
2т V Гзп
К0(т) К0(тгзп) =
2m V Гзп
Ко (тгЗП) K^mrJ = е‘2т?зп>
K0("i)Ki(m) = -^-е-2"*,
получим асилентотику числителя ЭИ (т) в формуле (231) при т—»оо:
ЭИ (т) =-----------------£==• [em (?зп-1)е-'п (1+?зп) _ е-2,п?зп] х
V ’ 2т /rsn 2m Г/=зп J
X (Ип, ЗП 0 (Рзп> р О 4“ Мзп, р (Рп, ЗП 0 2mf3 ® ,П ЗП -|_
4" "Sm” е (|1зп» р 0 т = f (Нэп, р 1) (Рп.зп — 0 х
ЛЛ_2т । Л > «v -2тг<,
X |в в J 2~ Нзп> Р (Нп»зп 1 ) е п _|_
(237)
106
Знаменатель 91 (m) в формуле
(231) при т—>0 не обращается
в нуль. Поэтому обе функции
СР (т) и тСр (т) при т —► оо
стремятся к нулю [так как про-
изведения вида (те~атт^.х, где
а — постоянная, также стремятся
к нулю}.
На рис. 34 приведены кри-
вые функции Ср (т) для рп>рр
(кривые 1, 2, и 3), Рн = рр (кри-
вая 4) и рп < Рр (кривая 5).
Подынтегральные функции
в правых частях равенств (213)—
(215) осциллируют с амплитудой,
изменяющейся • по закону изме-
нения функций Ср (т) и тСр (т)
и периодом 2л/£, зависящим от
относительного размера L зонда.
Обращение функции Ср (/и)
в бесконечность при т —>0, осцил-
ляция подынтегральных функций
(рис. 35, кривые 3 и 4) и беско-
Рис. 34. Графики функции Ср =
= / И-
1, 2, 3 - Рп > рр; 4 - Рп = р ; 5 -
Рп <рр. Шифр кривых — f£>/rfc:
Psi/Pp* Рп^Рр] I22 I
нечность предела интегрирования
определяют практическую не-
возможность вычисления интегралов, стоящих в правых частях
равенств (233)—(235), без специальных преобразований, которые
сводятся к следующему.
1. При ря =^= рр и малых значениях аргумента введем вспомога-
тельную функцию Ф (т), удовлетворяющую двум условиям:
а) сумма функций Ср (т) = Ср (т) + Ф (/и) представляет со-
бой конечную и непрерывную функцию для любых значений т
от нуля до т0, где т0 — произвольное наперед заданное положи-
тельное число ’, для которого функция Ср (т) конечна; при т >
> гщ полагают Ф (т) = 0, что дает возможность привести интег-
рал & правой части равенства (233) к сумме интегралов 1 2
со
Ср(/п) cos mLdm
о
со тй
J 1^р(,п) + Ф(m)lcosmLdm — J Ф(т)cosmLdm',
о о
1 Обычно берут т$ = 0,64 [22).
2 Так как по условию выбора функции Ф (т) оиа равна нулю при т > то
00
Ф (т) cos mL dm=0
107
a
Рис. 35. Графики функции Ср — f (т) и Ср cos mL = f (tn).
a — в области 0 < т <3; б — в области 1,8 < т < 3,5 (масштаб в 10 раз
крупнее); / — Ср = f (m); С cos tnL = f (tn); 2 — для т = 0,16, 3 — для т =
= 0,32, 4 — для т = 0,64, 5 — для т = 1,28 [22]. Штриховкой для наглядности
отмечены полупериоды, соответствующие различным значениям т
б) вычисление интеграла
со
Ф (т) cos mL dm
о
не представляет затруднений.
Функцию Ф (т) определим, воспользовавшись асимптотиче
ским значением функции Ср (т) при т ->0:
ср (т) == — (-Ей-— I'jlnm + D.
' Рр /
Примем
ф (т) = ( —-----1) In т + С
\ Рр /
108
Постоянную Сг найдем из граничного условия
Ф(/п0) = (—-------------1^) In /п0 + С] =0,
при т = m0
следовательно,
Рп
Рр
т
При таком выборе Ф (т) при т ->0 функция
CJ(/n) = -(-£--1) In m + D+(-^-l’
\ Рр / 4 Рр
Ф(/п)-
т
п —
/п0
(238)
0
2°—£2° 1п г — const
Рр 311
является конечной.
Функция Ф (т) полностью удовлетворяет и второму условию
ее выбора. Интеграл, содержащий эту функцию, легко вычис-
ляется интегрированием по частям
т0
J Ф(/п)со5 mL dm =
о
т0
— О f 1 n cos mL d т =
/ J /По
о
1S--1 _ -РП.-1
= -dmL = - si (/noL), (239)
L J mL L
o
так как значения интегрального синуса si (m^L) табулированы.
Следовательно,
Рп 1
со оо --- - 1
J Ср (т) cos mL dm ~ J Ср (m) cos mL dm-----^-=— si (/n0L). (240)
о о
2. Для исключения бесконечного предела интегрирования и
осциллирования подынтегральной функции заменим интеграл
в правой части равенства (240) суммой* интегралов с конечными
пределами ----------где k = 0, 1, 2, ..., т. е. приведем
интеграл к виду
2 (fe+1) Л
СО £ = ОО L
J Ср (m) cos mL dm = J Ср (т) cos mL dm
0 fe=0 2/гл
L
109
2л
2L k—co
2kn
2kn
cosnLdn +
0 *=0
2Лл
2L
2kn
где
Далее
] 71 р
л л=о
2Л
2Лл
(241)
з л ft=o
2&л
п — т------—
заменим переменные во втором интеграле п
в третьем интеграле п на + ri" ив четвертом интеграле п
на — п"". Опустив штрихи
получим
на —— п,
у п и заменив букву п буквой т.
2L
'l(m) cos mL dm = J
о 0
оо
k—co
2Лл
*
2
P
*
р
р
л — т
л — т
р
р
cos mLd т.
Таким образом, интегрирование периодической функции в пре-
делах изменения аргумента от нуля до бесконечности приводит
к интегрированию в пределах четверти периода от нуля до л/2£.
На рис. 36 приведено несколько преобразованных кривых зависи-
мости подынтегральной функции Ср cos mL от т для различных
значений параметра т = n!2L. Вычисление соответствующих ин-
тегралов с помощью ЭВМ не представляет сложности.
Вычисление интегралов, стоящих в правой части равенств
(234) и (235), не требует введения функции Ф (т) и сводится лишь
110
Рис. 36.
Графики
преобразованной по-
дынтегральной функции С* (т) cos mL —
k—cc
Хя—m) С05/и£,для различных значений
параметра т (шифр кривых) прн наличии
зоны проникновения фильтрата глини-
стого раствора.
Р3п = 40рр; D — 1,5dc; рп = рр [22]
О 0,25 0,50 0,75т
к преобразованию интеграла С бесконечными
рования к интегралу с пределами от нуля до
пределами интегри-
л/2£:
л
+ т I +
co 2L Л=ео
/пСр (m)sin mL dm =
О 0 fe=O
sin mLdm.
(242)
При отсутствии Зоны проникновения фильтрата глинистого
раствора решение задачи значительно упрощается. В этом случае
потенциальные функции для скважины и окружающей среды
определяются равенствами:
Рр/
2л2гс
оо
Ко (mr) cos mz dm +
L0
00
J Cp (m) I и (mr) cos mzdm
о
Рп/
2л2гс
U
П
00
J D„ (m) Ko (mr) cos mz dm.
о
Граничные условия дают возможность составить систему двух
уравнений:
РрКо (т) + Р₽Ср (т) /0 (т) — pnD„ (т) Ко (т) = 0;
—Kj (т) 4- Ср (т) (т) -|- D„ (т) (т) = О,
III
решение которых определяет искомую функцию Ср (т):
(Рп — Рр) Ка (т) Кг (т) (Рч, Р — ) Ко (т) Kt (т)
р{ГП)~, . , , , Рр ~ (Рп, р — 1) (тЖо (т)+
(Рп — Рр) 11 (т) Ко (т) + —
9 / 4г
При рп = рр Ср (т) = 0 и, следовательно, в однородной среде
U*p = 0.
В. А. Фок [40], которому принадлежит приоритет решения
задачи распределения электрического поля в средах с коаксиаль-
но-цилиндрическими поверхностями раздела, применил не-
сколько иной способ вычисления интегралов, основанный на
использовании методов теории функций комплексного перемен-
ного.
Исследуя формулы (233) и (235), легко прийти к заключению,
что отношение кажущегося сопротивления рк к удельному элек-
трическому сопротивлению рр глинистого раствора, равное ///ф
[см., например, формулу (84) ], является функцией отношений
размера зоида L к радиусу rc (L = -—} или диаметру dz(Ld =
_ \ ГС /
=-у- = -4j- скважины и отношений -£s- = рп,Р и-^2- = рЗП)Р
удельных электрических сопротивлений рп и рзц исследуемых по-
род и зоны проникновения в них фильтрата глинистого раствора
к удельному электрическому сопротивлению последнего. От этих
отношений зависит функция Ср (т).
При беспредельном уменьшении размера L зонда, а следова-
тельно, и отношения
— I
л J
о
и
_ 00
2£2 г —
—— I тс,, (т) sin mL dm —> 0.
о
Поэтому при L
или (Pk)E->q * Р|>»
\ Рр / L ->0
т. е. при уменьшении размера зоида кажущееся сопротивление,
замеренное по оси скважины, стремится к удельному электриче-
скому сопротивлению глинистого раствора. Таким образом, зави-
симости рк/рр = f (Ld) для потенциал-зонда и градиент-зонда имеют
левую асимптоту, уравнение которой рк/рр = 1 или рк = рр.
112
При беспредельном возрастании размера потенциал-зонда
[ Ср (т) coi mL dm
Л J
О £->оо
2 (fe+1) я
__ k = <x> L
2L Г ~
— / » Ср(m)cosmLdm
П k=0 2kn
Для доказательства последнего соотношения проинтегрируем его среднюю
часть по частям:
2L
k=Q
2 (Л+1) я
(т) cos ml dm =
- я ] sin (2k + 2) я
sin 2£л
При достаточно большом значении
тервала интегрирования производную
в связи с чем каждый из интегралов
L н, следовательно, малой величине ин*
de; (т)
г
дт
можно принять постоянной,
2 (fe+n я
Z
С dC*(m)
J дт
L
_ дС (т)
sin mL dm =-------
dm
2 (fr+1) Л
L
I sin mL dm =
2fefl
L
1 dCp(m)
I dm
[cos 2kn — cos 2 (k + 1) л) = o
113
и, следовательно,
2L
л
со
J с; и)
о
cos mL dm ~ О-
Поэтому при больших значениях L
_со _ т
2L f — 2L С — 2
--- | Ср (т) cos mL dm —---| Ф (т) cos mL dm — —
о--------------------------о
Рп — Рр
Рр
si (zn0L).
Но так как при L -► оо Si (mL) -► —, то при L -► оо
__ 00
2L f г* / \ т j
----- J Ср (т) cos mL dm
Л J
о
Рп Рр
Рп
и, следовательно,
Рк \ Рп —Рр\_Рп
Рр /L-»oo Р I Рр I Рр
или
(PkJE^to Рп-
(243)
Таким образом, при безграничном увеличении размера потен-
циал-зонда кажущееся сопротивление стремится к удельному
электрическому сопротивлению исследуемых пород, т. е. кривая
зависимости рк/рр = f (рп/Рр) имеет правую асимптоту, удовлет-
воряющую уравнению
рк _ Рп
Рр Рр
ИЛИ рн — рп.
Аналогично доказывается существование асимптоты рк = рц
к правой ветви кривой рк/рр — f (L) для градиент-зонда.
На рис. 37, 38, 39 приведены примеры теоретических кривых
зависимостей рк/рр = f (Ld) кривых бокового электрического зон-
дирования для потен циал-зонда и градиент-зонда при отсутствии
и наличии зоны проникновения фильтрата глинистого раствора1.
Эти кривые подтверждают сказанное выше.
В случае отсутствия зоны проникновения фильтрата глини-
стого раствора при увеличении размера зонда кажущееся сопро-
тивление постепенно переходит от значения рк = рр к рк = рп.
При этом, если величина Ld достаточно большая, кривые рк/рр =
= f (Ld) имеют четко выраженные максимум, на участке которого
рк превышает рп (при рп >рр), и минимум, на участке которого рк
становится меньше рп (при рп < рр), что объясняется характером
распределения плотности тока. При наличии зоны проникновения
фильтрата глинистого раствора кажущееся сопротивление с уве-
1 Большое число палеток теоретических кривых бокового электрического
зондирования^ полученных для разнообразных случаев пересечения скважиной
сред различных удельных сопротивлений, приведено в альбомах [21, 24].
114
W 0,2 0,3 0,50,7 f 2 3 5 7 10 20 30 L/dz
Рис. 37. Зави-
симости рк/рр =
= / (Udc) для
потеицнал-зои-
да при Рп^рр=
= const.
Палетка
БЭЗ-1-ПЗ. Шифр
кривых -Unp =
= Рг/Рр; дп~
Лп — линии гео-
метрических
мест точек р* =
” Рп! Вп“В'п -
линии геометри*
ческих мест эк-
стремальных зна-
чений рк/рр (мак-
симальных*^ для
Рп > Рр и Мини-
мальных для Рп <
< Рр)
Рнс. 38. Зави-
симости рк/рп =
= f (L/dc) для
градиент-зон-
да при рп/рр =
= const.
Палетка
БЭЗ-1-ГЗ. Шифр
кривых — ц =
- рп/рр; лг-
Лг — линии гео-
метрических
мест точек р„ =
|\
= pn; Bj—Вг —
линии геометри-
ческих мест эк-
стремальных зна-
чений Рк/Рр (мак-
симальных*^ для
Рп > рр, мини-
мальных для
рк < рр
Рис. 39. Зависимости рк/рп — / (L/dc).
Палетка БЭЗ-2-10-ПЗ. D = 2dc; р3п = Юрр = const; Шифр кривых —
рц/рр. Сплошные кривые — для градиеит-зоида, пунктирные — для по-
тей циал-зонда
личением размера зонда ^сначаластремится к р31[, а с дальнейшим
увеличением Ld — к рп.
Рассматривая теоретические кривые бокового электрического
зондирования при рр = рц и р3[1 > рр и различных значениях
Dldc, легко убедиться в том, что ординаты кривой бокового элек-
трического зондирования возрастают как с увеличением отноше-
ния D!dz, так и с увеличением отношения р3п/рр. При этом можно
подобрать такие различные значения отношений D/de и р311/рр,
при которых конфигурация кривой практически не изменится.
Эти значения D!dz и р311/рр можно установить, исходя из следующих
соображений.
Кажущееся сопротивление пропорционально плотности тока
в скважине, определяемой соотношением полного сопротивления
среды, окружающей скважину, и сопротивления скважины. Оче-
видно, что при заданных постоянных рр, рг1 и dc и изменяющихся
значениях рзп hD это соотношение в основном должно определяться
величиной, пропорциональной полному дополнительному ради-
117
альному сопротивлению промежуточного слоя \ отнесенному,
допустим, к единице его длины, к углу а при вершине в один
радиан и к удельному сопротивлению рр глинистого раствора 1 2,
т. е. величиной
Рр
Рзп Рп
drh
= Р2Р_-Рп, |П_О
Рр 2гс
__Рзп.—Рп |п О
Рр “с
(244)
С другой стороны, величины рк/рр, как это следует из формул
(233) и (235), определяются значением функции Ср (ти), причем
(в этом можно убедиться, сопоставив кривые, аналогичные кри-
вым, приведенным на рис. 35) числовые значения этой функции
при Рр = Рп и рр < Рзп > рп находятся в прямой зависимости от
ее начальной величины:
Cp(m)m-.o= PVP°lnT--
Рр “с
Убедившись в идентичности правых, частей последних двух
формул, приходим к выводу, что числовые значения рк/рр и кон-
фигурация кривой бокового электрического зондирования при
Рр < Рэп > Рп должны определяться величиной (инвариантом)
(/= P?°zzPn 1П Д .
Рр «с
Это подтверждается сопоставлением рассчитанных кривых
бокового электрического зондирования, из которого следует,
что при неглубоком проникновении фильтрата глинистого рас-
твора, когда отношение D/dc для различных значений р311 > р^
не превышает наибольших значений D!dc, конфигурация кривой
= f (Ld) в основном определяется произведением
Рп
U = Рэп-Рп 1^ ^idem,
Рр «с
(245)
называемым параметром {/-эквивалентности кривых бокового
электрического зондирования или, что то же самое, величиной
дополнительного радиального сопротивления области проникно-
вения фильтрата глинистого раствора в пределах клина, име-
ющего единичную мощность и угол при вершине в один радиан
1 При условии, если L не превышает некоторого значения Lmax, при котором
наличие зоны проникновения удельного сопротивления рЗП > рп мало сказывается
на величине рк; /-щах тем больше, чем больше неравенство рзп> Рп*
2 Так как ординаты рк/рр кривой бокового электрического зондирования оп-
ределяются не абсолютными значениями сопротивлений рЗП и рп, а нх отношениями
к сопротивлению рр.
118
и отнесенного к удельному электрическому сопротивлению рр
среды, заполняющей скважину.
Максимальные диаметры зоны проникновения, до которых
выполняется (/-эквивалентность кривых БЭЗ, приведены ниже
(для случая р„/рр = 0):
рзп/рп 8 20 35 60 100 150 200
D/dc 2 3 4 5 6 7 8
Рк _
Рр
U при
f (Ld), рассчитанные
_£ц_ = 1 и Рп = ю.
Рр
кривые
На рис. 40 приведены
для постоянных значений параметра
Сопоставив кривые бокового электрического зондирования
для потен циал-зондов и градиент-зондов, приходим к заключению,
что для потенциал-зондов кривые зависимостей pK/pu = f (Ld)
и Рк = f (М при различных отношениях рп/рр достаточно резко
различаются 1.
У градиент-зондов значительная дифференциация кривых
Рк/рр = f(Ld), рк = f (L) для различных отношений рп/рр наблю-
дается лишь при малых значениях р[ч/рп или при больших размерах
зондов L > (10—100) dc. При малых и средних размерах градиент-
зондов по мере возрастания удельного электрического сопроти-
вления пород, окружающих скважину, кривые зависимости рк/рр =
= f (Ld) стремятся сблизиться с предельной кривой зависимости
рк/рр = f(Ld), рассчитанной для пород бесконечно большого
сопротивления. Последняя имеет своей асимптотой прямую, на-
клоненную к оси абсцисс под углом v = 63d 26' (tg v = 2), пере?
секающую эту ось в точке с координатой LdyV = 0,354, что под-
тверждается следующим элементарным подсчетом.
При бесконечном сопротивлении пород, окружающих сква-
жину, ток, отдаваемый заземлением Л, протекает только по стволу
скважины, причем половина его направляется вверх, а поло-
вина — вниз от заземления Л. При достаточно больших размерах
зондов (практически при L > 0,5dc) эти токи протекают по сече-
нию скважины с постоянной плотностью
2/
и создают напряженность электрического поля
с •
1 За исключением зондов, приходящихся на область левой асимптоты кривых
(L < 0,01dc)» где кажущееся сопротивление при любых значениях рп стремится
к удельному электрическому сопротивлению рр глинистого раствора.
119
a
Ц4 и,О UfS f < <? О ' !U £U OU OU /UL/a^
Рис. 40. Палет-
ки эквивалент-
ных кривых
(БЭЗ-U).
а — БЭЗ-U-1-ПЗ,
ГЗ, = I; б -
Рр
БЭЗ-и-Ю-ПЗ,
Рп
ГЗ, — = 10-
. РР
6
значения U: сп-
лошные кривые
— для градиент-
зонда, пунктир-
ные — для по-
теициал-зоида;
Вп — Вп — линии
геометрических
мест точек макси-
мальных значе-
ний ри/рп для по-
к р
теициал-зондов;
Вг —Вр — то же,
для градиент-
зоидов (состав-
лена по данным
МНИ и ВНИИ-
Геофизики)
Подставив значение Е в формулу (82), получим
pK = 4nL24
(246)
ИЛИ
Следовательно, при достаточно больших значениях Ld зависи-
мость кажущегося сопротивления от размера зонда в логари
ми-
ческой системе координат определяется уравнением
Ig-g- = 2 lgL4 + lg8,
которому соответствует прямая с угловым коэффициентом, равным
двум, пересекающая ось абсцисс в точке с координатой =
=-----= —0,451 или Ld = 0,354, что и требовалось доказать.
На особенности зависимости рк = f (L) стремиться к рп при
беспредельном увеличении размера зонда и к рр при беспредельном
уменьшении размера зонда основан способ определения удельных
электрических сопротивлений пород, а иногда и глинистого рас-
твора, получивший название бокового электрического (или боко-
вого каротажного) зондирования (сокращенно. БЭЗ или Б КЗ).
Боковое электрическое зондирование заключается в измерении в скважине
серин кривых кажущегося сопротивления с различными (возрастающими) раз-
мерами зондов и последующем построении для каждого пласта исследуемого раз-
реза кривых зависимости рк от размера L зоида. Боковое электрическое зондиро-
вание, выполненное с помощью потенциал-зондов, называется боковым электри-
ческим потенциал-зондированием, сокращенно потенциал-зондированием (БЭПЗ),
а зондирование, выполненное с помощью градиент-зондов, — боковым электри-
ческим градиент-зоидированием, сокращенно градиент-зондированием (БЭГЗ).
Выбор типа зондирования зависит от мощности и электрического сопротивле-
ния исследуемых пластов и от задачи, для решения которой проводится зондиро-
вание.
Полученные кривые бокового электрического зондирования сопоставляют
рк £ / л/и \ рк £ / ли \
с теоретическими кривыми —— = / ( —-—} и — = f ( ] при постоянном
значении рпфр, рзпФр и Dldc. Эти кривые сгруппированы в палетки (см., на-
пример, рис. 37—40).
Сопоставление полученных (интерпретируемых) кривых бокового электриче-
ского зондирования с теоретическими дает возможность во многих случаях опре-
делить удельное электрическое сопротивление исследуемых горных пород, а
также установить наличие зоны проникновения (дать прогноз о проницаемости
породы). В некоторых благоприятных случаях это сопоставление позволяет
также определить удельное электрическое сопротивление зоны фильтрации гли-
нистого раствора и приблизительно оценить фиктивный диаметр этой зоны.
Теория электрического поля, изложенная в настоящем параграфе, выведена
для случая, когда зона проникновения фильтрата глинистого раствора образует
область постоянного удельного электрического сопротивления рзп, ограниченную
цилиндрической поверхностью диаметра D, ось которой совпадает с осью сква-
жины. В действительности же фильтрат глинистого раствора, проникая в породы
и оттесняя жидкость, насыщающую поровое пространство, постепенно смешивается
с ней и изменяет свое удельное сопротивление. Поэтому при наличии зоны проиик-
121
а
Рис. 41. Изменение удельного электри-
ческого сопротивления пород в ра-
диальном направлении от осн скважи-
ны при наличии зоны проникновения
фильтрата глинистого раствора в ис-
следуемые породы.
а — фильтрат более минерализован* чем
пластовая вода; б — фильтрат менее мине-
рализован* чем пластовая вода; в — то же*
для нефтенасыщеииого пласта; 1 — кривые
удельного сопротивления* для которых рас-
считаны теоретические кривые бокового
электрического зондирования; 2 — действи-
тельное изменение удельного сопротивления
пород в радиальном направлении
новения фильтрата глинистого раствора удельное сопротивление этой зоны из-
меняется в радиальном направлении не так, как показано кривыми 1 иа рнс. 41,
для которых рассчитано большинство трехслойных теоретических графиков боко-
вого электрического зондирования, а как показано пунктирными кривыми 2.
Диаметр зоны проникновения фильтрата глинистого раствора в этом случае
будет значительно больше диаметра D фиктивной цилиндрической однородной
зоны, создающей одинаковое изменение кажущегося сопротивления. Удельное
сопротивление рпп зоны проникновения в непосредственной близости от стеиок
скважины может быть меньше (рис. 41, а) или больше (рис. 41, б) удельного со-
противления рзп, определяемого при интерпретации бокового электрического
зондирования, что необходимо учитывать при использовании сопротивления зоны
проникновения для изучения коллекторских свойств пород. Кроме того, в случае
нефтегазонасыщенных коллекторов с высокой минерализацией капиллярных
вод фильтрат пресного глинистого раствора, смешиваясь с высокомннерализоваи-
ными капиллярными водами и оттесняя их, может образовывать между зоной про-
никновения фильтрата среднего удельного сопротивления рзп и коллектором,
не затронутым проинкновеиием фильтрата сопротивления рп, концентрическую
зону низкого удельного сопротивления рп в» для которой рзп > Рп в < Рп
(рис. 41, в).
122
Аналитическое решение задачи для реальных условий проникновения, при
которых наблюдается постепенное изменение сопротивления зоны проникновения
фильтрата глинистого раствора от рПп Д° Рп или образование зоны удельного со-
противления рп, в< pun и рп» отсутствует, н эта задача в настоящее время может
быть решена с помощью электромоделирования.
Задача о распределении электрического поля в скважине в том
случае, когда питающее заземление не находится на оси сква-
жины, решается сложнее. При этих условиях решение задачи
будет следующим [33]:
Воспользуемся, как и ранее, цилиндрической системой координат с осью Z»
совпадающей с осью скважины, и началом, расположенным в плоскости, перпенди-
кулярной к оси скважины и проходящей через источник тока А, В системе отно-
z _ г
сительиых координат г = — и г = —, где гс — радиус скважины,
Гс гс
ные функции должны удовлетворять уравнению Лапласа
1 dUj
f dr
потенциал ьг
(247)
1
ЗТ2
дг*
во всех точках изучаемого пространства, за исключением точки с координатами
z — zb = 0, г = г0 — ф = фо (фо — далее условно принимается равным нулю),
в которой находится источник тока. Они удовлетворяют также следующим усло-
виям.
1. Обращаются в бесконечность в точках, бесконечно близких к источнику.
В этих точках
/р; 1
i (r+г», z->0, 4Я
где
f(>i
4лгс
-> оо вида
(248)
А = /г2 + — 2rr0 cos ф;
А = /г2 + — 2rr0 cos ф;
и р/ — удельное сопротивление среды, в которой находится источник тока.
2. При А2 + г2 оо функции (7г- 0.
3. Функция U[ должна быть симметричной относительно горизонтальной плос-
кости г=0и вертикальной плоскости RAZ (ф = 0).
4. При пересечении границы раздела потенциал и нормальная составляющая
плотности тока должны изменяться непрерывно, следовательно,
(Ud
(249)
где Г( — радиус i-й коаксиально-цилиндрической поверхности раздела, выражен-
ный в радиусах скважины.
Воспользуемся, как обычно, методом Фурье. Найдем частное решение урав-
нения (247) в виде произведений трех функций
£/=/(ОФ(*)хОЙ.
123
an
каждая из которых зависит от одного переменного. Это позволяет привести диф-
ференциальное уравнение (247) в частных производных к трем обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям:
I" (?) + -у- Г (?) - (т2 + £) f (?) = о;
ф" (z) + (г) = 0;
х" W + «2х W = о-
(250)
(251)
(252)
311
я
Частными решениями уравнения (250) являются цилиндрические функции
rt-ro порядка от мнимого аргумента In (mr), Кп (тг), уравнения (251) — функции
cos mz, sin mz и уравнения (252) — функции cos мф, sin лф. Из перечисленных ре-
шений общий нитеграл уравнения (247) не может содержать, как об этом указы-
валось выше, функции sin mz. В силу симметрии поля относительно плоскости
RAZ (ф = 0) должны отсутствовать также решения, содержащие функцию
sin пф. Кроме того, в связи с очевидным условием U (г, z, <р) — U [г, 5, (<р + 2л))
значения параметра п могут быть только целыми числами.
При этих условиях интеграл уравнения (247) в общем случае может быть пред-
ставлен
П=оо 00
Щ = 2 соэпф J [4Х (n, т) In (mr) + Bt (n, т) Кп (m^)] cos mz dm, (253)
п=0 0
If
J
где A; (n, m) и Bi (n, m) — некоторые функции, не зависящие от координат г
И Z.
Для среды, в которой находится источник тока,
и iодН+•
где U* — функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа во всех точках излу-
чаемого пространства; (7/одн — функция, определяющая потенциал электриче-
ского поля в случае однородной среды,
п -
ui, ОДН - , 1ЛЯ
j£
функция Ui, одн обращается в бесконечность вида
расположен источник тока.
Используя интеграл Вебера
оо
2 г —
— I Ко (mA) cos mz dm = —
л oJ
в точке, в которой
и учитывая, что в случае _______________________
А ~ г2 + Tq — 2r r0 cos ф
при г < г0
П=со
Ко (mA) = Ко (mr9) (mr) + 2 /л (mr) Кп (mr) Кп (mr0) cos пф =
п=1
П = оо
= V (2 —60>п)/„(mr)Kn И'о) cos пф (255)
п=0
и при г > г0
П=оо
К9 (mA) = 2 (2 — во( п)Кп (mr) !п (mr9) cos nip, (256)
n=0
124
где 60rt — символ Кронекера (60п = 0 при п =£ 0 и 60rt = 1 при п = 0), получим
следующее решение уравнения (247) для среды, в которой расположен источник
тока
n=oo | In (тг) Кп (тг0)\г<г°
(2 — п)...................соэпф
л=0 \Kn(mf) /п(тго)1'’>Го
cos тг dm
71= оо оо (
cos/гф [С/ (п, т) In (mr) + D( (п, т) Кп (m^)] cos mz dm\, (257)
п=о 6
где функции Ci и D, связаны с функциями А/ и В/ соотношениями (216').
Когда источник тока находится в скважине, для выполнения условия возмож-
ности обращения потенциала в бесконечность только в точке с координатами
г = г0, 2= 0 и ф = фо функция Dp (п, т) должна быть равна нулю.
Используя граничные условия и принимая во виимаине равенство нулю
функции Dp (n, т), а также равенство нулю функции Сп (и, т) во внешней среде,
что требуется для выполнения условия 3, получим 2п — 2 уравнения, аналогич-
ные уравнениям (222), (223), (229) и (230), которые позволят определить 2л — 2
неизвестные функции: (Ср), С2, ...,D2, Dn(Dn), После подстановки этих
функций в формулу (257) или после соответствующего преобразования указанных
функций в функции А/ и В( и подстановки их значений в формулу (253) получим
решение поставленной задачи.
В частном случае, когда скважина радиусом гс заполнена средой удельного
сопротивления рр и окружена безграничной средой удельного сопротивления рп,
а электроды А н М зонда находятся во внутренней среде—в глинистом растворе,
л
1/р =
/Рр 1_________________2
4ЛГС । 22 Я
(2 —rt) COS пф х
С (Рп, р — 0 Кп(т) к'п (т) т
J (Рп. р - 0 zn (т) кп ("О т -г 1
о
In (m^o) In (mr)cos mz dm
(258)
где
Цп, p — Рп/Рр*
Уравнение (258) для более частного случая расположения электродов А
и М на стенке скважины вдоль одной образующей (ф = 0) на расстоянии L одни
от другого приводится к еще более простому виду:
(259)
1 В уравнении (257) в верхней строке первого интеграла правой части указано
произведение функций 1пКп Для точек, удовлетворяющих условию г < г0, в ниж-
ней строке — то же, для точек, для которых г > г0.
125
и наконец, при перенесении одного электрода (А или /И) на ось скважниы уравне-
ние (259) сперва приводится к уравнению (214), а при перенесении обоих — к урав-
нению (232).
г. ди
Подставив значения потенциала и напряженности Е =-------— электрического
дг
поля в формулы (81) н (82), получим выражения, определяющие кажущееся со-
противление для потенциал-зондов и градиент-зондов.
§ 16. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗДЕЛА
Задача распределения потенциала электрического поля в про-
стейшей однородной анизотропной среде (слоистой породе), пере-
сеченной скважиной, заполненной однородной изотропной средой
(глинистым раствором) удельного сопротивления рр, наиболее
легко решается при условии, если ось скважины перпендику-
лярна к слоистости среды (угол р встречи скважиной пластов
и пропластков составляет л/2). В этом случае замена цилиндри-
р
ческих координат RZ№ новой системой -г- дает возможность
/V
привести уравнение div / = 0 к дифференциальному уравнению
Лапласа, которое при аксиальной симметрии будет иметь в системе
р
.координат -г- ZV следующий вид:
(260)
где к — коэффициент анизотропии изучаемой среды (породы),
к = у £1 (здесь рл и р( — удельное сопротивление среды пер-
пендикулярно к напластованию и вдоль напластования); г — —-;
гс
z =— [33].
Гс
Решением дифференциального уравнения (260) являются функ-
ции:
1) в породе
2л2гс
оо
Dn(tn, к) K0(m-r-) cosmzdm;
V \ /
о
(261)
2) в глинистом растворе (1р = 1) в точках, расположенных
на оси скважины,
£/р = (/n's) + Ср (т> (mr)] cos mzdm. (262)
о
126
Функцию Ср (zn, X) определим, исходя из граничных условий,
согласно которым
п* дг
Подставив в систему уравнений (263) значения t/p,
(Wn / Л \
и —и решив ее относительно Ср (/и, л), получим
p(m, X) =
%
Цп, р^о
- К» («) К, (-£
(264)
Рп, рМ 1 (т) Ко
где
Рчь р — Pz^Pp"
Проводя рассуждения, аналогичные изложенным в § 14, не-
трудно показать, что в однородной анизотропной среде при уве-
личении размера зонда кажущееся сопротивление стремится не
к ее среднему удельному сопротивлению рт, а к удельному сопро-
тивлению pz вдоль напластования. Таким образом, удельное
сопротивление анизотропных пород, определенное способом боко-
вого электрического зондирования, является удельным сопроти-
влением pf по напластованию, что необходимо иметь в виду при
интерпретации данных зондирования. Кроме того, кривые рк
бокового электрического зондирования при pz > рр в интервале
средних размеров зондов имеют более резкий максимум, чем
кривые рц изотропной среды удельного сопротивления р„, рав-
ного pz анизотропной среды. Фактически это объясняется не-
которым повышением плотности тока в скважине в связи с мень-
шим его рассеянием в анизотропную среду, чем в изотропную.
§ 17. СРЕДА С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
И КОАКСИАЛЬНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
РАЗДЕЛА
Точного аналитического решения задачи о распределении по-
тенциала электрического поля при одновременном наличии пло-
ских и цилиндрических поверхностей раздела в настоящее время
пет. Однако для частного случая пересечения пласта бесконечно
высокого сопротивления скважиной, заполненной глинистым рас-
твором с сопротивлением рр, равным сопротивлению р, = р3
среды, окружающей пласт, легко может быть получено прибли-
женное аналитическое решение. Поскольку это решение в боль-
127
a
Рис. 42. Схемы расположения электродов (а—е) к выводу формул, определяющих
потенциал электрического поля при пересечении скважиной пласта бесконечно
высокого сопротивления
шинстве случаев удовлетворяет требованиям практики и широко
используется при анализе кривых кажущегося сопротивления,
оно приводится в нашем учебнике.
В зависимости от того, против какой среды (подстилающая
пласт, пласт или покрывающая пласт) находятся в скважине пита-
ющий и приемные электроды, методика определения электри-
ческого поля будет различной.
Питающее заземление А и измерительные электроды М. (по-
тенциал-зонд) или М и N (градиент-зонд) находятся на участке
скважины, окруженном средой, подстилающей пласт (рис. 42, а).
Для решения задачи заменим скважину в сечении скважина —
подошва пласта плоским заземлителем S диаметром dc, равным
диаметру скважины. Заземлитель S принимает из полупростран-
ства, подстилающего пласт, ток ($, равный току, уходящему через
скважину в полупространство 5, покрывающее пласт. При такой
замене потенциал электрического поля, созданного источником
128
тока А в любой точке М полупространства 1, расположенной на
расстоянии L от источника А, может быть представлен суммой
потенциала электрического поля источника тока А при
отсутствии скважины, пересекающей пласт, и потенциала </<•$)
электрического поля, созданного током is, эмиссируемым в среду 1
плоским круглым заземлителем S. Величина тока is пропорци-
ональна потенциалу источника тока А в точке р, в которой ось
скважины пересекает подошву пласта, и обратно пропорциональна
полному сопротивлению Т?5, состоящему из сопротивления Rp
зоны входа тока из подстилающей среды в скважину, сопротивле-
ния скважины, окруженной пластом, и сопротивления Rg
зоны выхода тока из скважины в покрывающую среду.
Потенциал 4/<л> вычисляется по формуле (129). Приняв в этой
формуле &12 = Рг Р* = 1^(так как р2 = оо) и а = 0, получим
Р1 -1 Рй
с№> =
(265)
Для определения потенциала £/<S) введем цилиндрическую
систему координат RZ*i. Начало системы поместим в точке р
и ось Z направим по оси скважины, ориентировав ее (положи-
тельное направление) вниз от точки р. Потенциал 1№> электри-
ческого поля должен удовлетворять следующим условиям.
1. Обладать аксиальной симметрией и во всех точках среды 1
удовлетворять уравнению Лапласа
d2Us , 1 dUs d2Us
дг» *" г дг + д&
(266)
2. Обращаться в нуль в бесконечно удаленных точках.
3. Быть постоянным по величине на поверхности заземлителя,
т. е. t/<5> = = const при £ = 0 и г <. rc = dc/2.
4. При $ = 0 и г > гс иметь составляющую напряженности
электрического поля — 0.
Частное решение дифференциального уравнения (266) будем
искать в виде произведений двух функций
= /(г)Ф(£),
из которых функция f (г) зависит только от переменной г, а фун-
кция q> (£) — только от переменной £. Так как потенциальная
функция не может обращаться в бесконечность в точках,
расположенных на оси скважины (г = 0), и в бесконечно удален-
ных точках (в частности, при t, = оо), то в общем решении уравне-
ния (266) должны отсутствовать частные интегралы, содержание
функции Vo (mr) и emt. В связи с этим общее решение будет сле-
дующим:
00
U<S} = j А (т) Jq (mv) e~mt dm.
о
(267)
5 Дахиов В. Н.
129
Для определения неизвестной функции А (т) воспользуемся
условием 3. Согласно этому условию при £ = 0 и г< гс
U(rlrc, £==о) = J A(m)JQ(mr)dm = UqS) = const. (268)
о
Равенство (268) удовлетворяется, если принять
л (т) = A и<5\ (269)
так как согласно теории интегралов, содержащих функции Бес-
селя, при г< гс {2]
j sin-^fc Jo (mr) dm = -j-.
о
Следовательно, потенциал
i/(S) = A U(os' j sto^c Jo (mr) e"4 dm (270)
о
имеет постоянное значение, равное t/J в любой точке заземления
(при £ = О.и г< гс).
При г > гс [2 J
f j0 (mr) dm = ascsin -у-. (271)
о
Таким образом, при г>гс потенциал изменяется непрерывно
и обращается в нуль в бесконечно удаленных точках.
В плоскости £ = 0 напряженность электрического поля
j Zo (mr) е‘"1 dm
О
оо
sin mrcJ0(mr)dm.
о
(272)
Но так как согласно теории интегралов, содержащих функции
Бесселя,
при г < гс [2 ]
00
| sin mrcJ^(mr) dm =
о
130
и при г > гс
то при
и при г > гс
оо
j sin mrcJ0 (mr) dm — О,
о
^S(C=O. Гс) —
(273)
(274)
т. e. соблюдается условие 4.
В точках, расположенных на оси скважины (г = 0), Jo (тг) —
= 1.
В этих точках:
U™ = = 2U^_ г. =
л J т л & £
о
2(/<S)
Л
arcsin
dc
2t/<S)rc
(275)
(276)
Для дальнейшего решения задачи определим Для этого
вычислим силу тока is, принимаемого из среды 1 плоским заземли-
телем S с полной поверхностью 1 S = nrj:
г dr df)
4'с
Рр
о о
PplS PpfS
4г с 2(1q
U(QS). (277)
Из формулы (277) получим
и^ =
и, следовательно [см. формулу (275)],
(278)
1 Знак минус перед поставлен в связи с тем, что заземление S не дает
ток в окружающее пространство, а принимает ток из него, т. е. направление тока
соответствует отрицательному заряду заземления S.
5* 131
Сила тока is приближенно равна отношению потенциала Up
электрического поля источника тока А в точке р к полному со-
противлению скважины, равному, как об этом говорилось выше,
сумме Rs сопротивления ствола скважины в зоне пласта
Лрр
nd?
= 4hpp
и сопротивлений Rp и Rq зон входа и выхода тока из пласта:
— Rq —
_ РР .
-is ~ 2dc ’
(279)
*S = **+ Ъ + Rg - + 2 = “Г (4Л + ndc)-
ndz. ndi
Но так как (при ?x = L)
TO
_ Pp^
"Rs’ ~~ 2л?!
Up =
Ppf
2л?! 9
Pp
Л^2
(4Л Ц- л</с)
(4Л + Л Jc)
и, следовательно [см. формулу (278)],
UiS> = _ arctg
2лгх (4й + adc) s 2с,
Заменив в последней формуле £ равнозначной величиной ?! — L
и просуммировав 1/<S) со значением получим
С
и = Г • + II-----------------— arctg,, dc п 1. (280)
4л L L 2гх— L zx(4ft + ndc) — L) J ' '
Подставив найденное значение U в формулу (81), определим
кажущееся сопротивление для потенциал-зонда:
* = Рр [1 + - МЯТЙЗ 2(^1) ] (281>
Для вычисления кажущегося сопротивления, измеренного гра-
диент-зондом, предварительно определим напряженность элек-
трического поля (jz = —и подставим ее в формулу (82),
после чего получим
Рн — Рр 1 —
L4 4z-2rfc 1
(2zx - L)? + 2i (4A + я</с) [4 (Z1 _ L)2 + d|] j'
(282)
132
Если zx — L dc и h > L dc, to
2 Ldp i dp
—hl r—J'x arctg ;г7----------”7T>
2i (4ft + ndc) 6 2 (Zj — L) ’
4L2d2
z1 (4Л + jidc) [4 (z1 — L)2 + d2]
малы по сравнению c
1 , L . L2
1 "* 2Zj— L И 1 (2zx— L)2
В этом случае при измерении потенциал-зондом и градиент-
зондом соответственно будем иметь:
Рк (1 + 2zx —L ) Ри Рк — J — (2гх — L)2 Рр’ (^83)
Формулы (283) тождественны формулам (145) и (146) при kiz =
= 1 (р2 = оо). Таким образом, при расположении электродов А
и М на расстоянии от пласта, намного превышающем диаметр
скважины, скважина в пласте практически не влияет на величину
кажущегося сопротивления.
Если Pi #= рр и р3 #=Рр, сопротивление зон входа и выхода
тока приближенно рассчитывается по формуле
где Рк(/.=гс) — кажущееся сопротивление, зарегистрированное
в скважине, окруженной безграничной средой удельного сопро-
тивления рвм (pi или р3), идеальным потенциал-зоидом размером
Z. гс.
В формуле (284) первое слагаемое представляет собой прибли-
женную величину сопротивления участка скважины, заключен-
ного между плоским заземлением и полусферой с радиусом гс
скважины, и второе — сопротивление полупространства от этой
полусферы до бесконечности.
Заземление А расположено в части скважины, окруженной средой, подстилаю-
щей пласт, электрод М (электроды М и N для градиент-зонда) — в части сква-
жины, пересекающей пласт (рис. 42, б).
В этом случае (при рвм = Рр) потенциал точки М равен полному падению
напряжения электрического поля, созданного током is между точкой М и оо:
U — isRM", —
2?! (4ft + ndc)
Рр^ 8 (ft + zx — L) +
4nzx 4А + ndc
(285)
133
Подставив полученное значение U в формулу (81), получим для потеициал-
зонда
Рк =
Рр-
(286)
рк —
(287)
Взяв производную по L от равенства (285) и подставив ее значение с обратным
знаком в формулу (82), найдем кажущееся сопротивление для градиент-зонда;
8L2
2i (4Л + ndc) Рр*
Формулы (286) и (287) позволяют определить рк только в точках, для которых
л
соблюдается неравенство .
Заземление А расположено в части скважины, окруженной средой, подстилаю-
щей пласт, электрод М (потенциал-зонд) или электроды М и N (градиент-
зонд) — в части скважины, находящейся над пластом.
Для данного случая потенциал U электрического поля источника тока А
в точке М равен потенциалу U^s\ созданному в этой точке током заземлителя диа-
метром dc, расположенного в кровле пласта:
у=(/<5) = -^
Лис
Рр^с
arctg
2лгх (4h + ndc) arClg2(L-
Следовательно, для потенциал-зонда
U 2Ldcpp
рк = 4лЬ -т- = ... ,—т-г arctg
г (4h + ndc)
для градиент-зоида
4г
OL
Рк — 7----- —
' 2
Л)]*
(288)
(289)
2 + d?
(290)
Формулы (288) и (289) справедливы при гг > —.
Заземление А расположено в части скважины, окруженной пластом, элек-
трод М (потенциал-зонд) или электроды М и N (градиент-зонд) — в части сква-
жины, пересекающей среду, подстилающую пласт (см. рис. 42, в).
Электрический ток, отдаваемый источником тока А, расходится в подстилаю-
щую и покрывающую среды обратно пропорционально сопротивлениям участков
скважины, расположенным ниже и выше электрода А. Потенциал U электриче-
ского поля в точке М, находящейся в подстилающей среде, равен потенциалу
созданному в этой точке плоским заземлителем диаметром dc, находящимся в по-
дошве пласта и отдающим в подстилающую среду ток
4 (Л — 2i) Рр Рр
"dc 2dc z = 8 (й - zx) + 7
4Арр Рр 4ft -]- 2
лей +
*S =
Следовательно,
и _ J/(S) _ t8 ~ + wdcl PpZ t _________de
U ~ 2ndc(4ft + «dc) Ctg2(L —
с
Л)Г
4Ь24рр
(291)
134
Откуда для пОтеициал-зонда (L > zj
, , U 2Lpp [8 (Л — Zj) + ndc] , dc
Рк — 4лL г — - t zj г . j \ arctg Л z г ч«
r / dc (4h + ndc) 2(L — zx) ’
для градиеит-зонда (L > zx)
4л£2 од __ 4L2[8(/i—гг) +ndc]
₽- ! »L [4 (L - 4,)’+ « («* + »<<c)
(292)
(293)
Все электроды (А и M — потенциал-зонд или A, M и N — градиент-зонд)
находятся в части скважины, окруженной пластом (см. рис. 42, г).
Потенциал в точке Л4 определяется величиной полного падения напряжения
тока
*Рр*< [ Рр
8г + t
4Лрр рр 4Л + ndc 2
Лб/? +
на участке от точки М до бесконечности. Так как сопротивление этого участка
Rm*> —
Л^с
8 (h — гг — L) + ndc
2nd?
Рр»
то
U = — IsRm<»
(8гх + ndc) [8^(ft — гг — L) + ndc] рр/
4ndJ? (4ft + ndc)
(294)
Следовательно, кажущееся сопротивление для потенцнал-зонда
рк —
L (8гх + ndc) [8 (А — гх — L) + ndc]
(4Л + ndc) 4
Рр*
(295)
для градиеит-зонда
_ (&2i + я^с)
** 4 (4ft + я</с) Р₽
(296)
Заземление А находится в части скважины, пересекающей среду, покрываю-
щую пласт, электрод М (потенциал-зонд) или электроды М и N (градиент-зонд) —
в части скважины, окруженной пластом (рис. 42, д).
Для данного случая при zx — ft > потенциал U в точке М определяется
произведением
U =
/dz
8 (zx — L) + ndc
2 (гг — ft) (4ft + ndc)
2nd^
Pp —
[8 (zx — L) + ndc]pp/
4л (zx — ft) (4ft + ndc)
(297)
В этом случае для потенциал-зонда
рк =
[8 (гг — L) + ndc] L
(21 —Л) (4ft + ndc) Pp’
(298)
135
для градиент-зонда
_ 8L2
рк “ (21 — Л) (4ft + ndc) Рр'
(299)
Все электроды (А и М — потенциал-зонд, А, М и N — градиент-зонд)
находятся на участке скважины, окруженном средой, покрывающей пласт
(рис. 42, е).
Потенциал в точке М
P1J 1 । 1 2d^ ,
~4п L Т + 2 (2j — ft) + Z, ~ (2j — ft) (4ft + ndc) arClg 2 (2j + Z, — ft)
откуда для потенциал-зонда
(300)
(301)
рк =
2dcL
/-----ГГ777ГП--TT arctg
(2i — Л) (4Л + ndc)
для градиент -зоида
_ , Z,4 4^с 1
* I +l2(Zi-h) + LP (z1_ft)(4ft + „dc)[4(L+2I-ft)2+d2c] Рр
(302)
Эти формулы аналогичны формулам (280), (281) и (282).
Если удельное сопротивление рр глинистого раствора не равно
удельному сопротивлению рвм среды, вмещающей пласт (сопроти-
влениям р! и р3 сред, подстилающей и покрывающей пласт), в фор-
кажущегося сопро-
Рис. 43. Кривые
тнвления для потенцнал-зонда при бес-
конечно высоком сопротивлении пла-
___ стов различной мощности.
MN -> со; L = 2dc; рр = р = ! Ом*М»
Шифр кривых — h/L
мулы, определяющие значения
is и Rmk, необходимо под-
ставить величины /?ри Rq, опре-
деляемые равенством (284).
На рис. 43 и 44 приведены
кривые кажущихся сопротив-
лений для потенциал-зонда и
градиент-зонда, рассчитанные
по приведенным выше форму-
лам. Как видно, эти кривые
сходны с кривыми рк для слу-
чая, когда скважина отсут-
ствует (см. рис. 28 и 29).
В частности, на кривых ка-
жущегося сопротивления гра-
диент-зондов наблюдаются ха-
рактерные точки максимума и
минимума рк против кровли и
подошвы пласта (обращенный
градиент-зоид) и против по-
дошвы и кровли пласта (после-
довательный градиент-зонд).
На кривых кажущегося сопро-
136
Рк, Омм Рк, 0мм
0,1 1 10 1000,1 1 10 100
Рнс. 44. Кривые кажущегося сопротивления для градиеит-зонда
(MN -> 0) при бесконечно высоком сопротивлении пласта.
РР
= = ! Ом-м; а — обращенный граднеит-зонд; б — последо-
вательный
градиент-зонд.
Шифр кривых —
тивления потенциал-зонда против мощных пластов отмечается
симметричная аномалия повышенных сопротивлений; против
пластов малой мощности она переходит в симметричную де-
прессию. Эта общность кривых кажущегося сопротивления для
пластов конечного сопротивления при отсутствии скважины и
пластов бесконечно высокого сопротивления при наличии сква-
жины дает возможность использовать решение данной задачи для
изучения пластов высокого, но не бесконечного сопротивления.
Если пласт имеет не бесконечно высокое сопротивление, наи-
более простым способом приближенного определения значений ка-
жущегося сопротивления является способ, предложенный
Е. А. Нейманом [36]. Сущность этого способа заключается в сле-
дующем.
В скважине, заполненной средой удельного сопротивления рр,
кажущееся сопротивление, измеренное градиент-зондом [см. фор-
мулу (83)]
Рк : Рр*
/О
137
В частном случае, когда скважина окружена средой бесконечно
высокого удельного сопротивления,
Рк --
где z — расстояние точки, в которой определяется кажущееся
сопротивление, от электрода А (размер идеального градиент-
зонда) .
Когда породы, окружающие скважину, имеют конечное удель-
ное сопротивление рп, кажущееся сопротивление рк (г), измеренное
градиент-зондом на расстоянии z от электрода А, равно кажу-
щемуся сопротивлению р” (г), измеренному тем же зондом при
бесконечно высоком удельном сопротивлении пород, окружа-
ющих скважину, если в последнем случае
скважина имеет фиктив-
ный диаметр
(303)
воспользовавшись
сопротивления рп,
Таким образом,
конечного удельного
можно заменить средой бесконечно высокого сопротивления,
пересеченной скважиной, имеющей переменный диаметр </с,ф,
изменяющийся с расстоянием z согласно формуле (303) (рис. 45).
График зависимости отношения В (= ( .“с = f (-4-) при
формулой (303), среду
окружающую скважину,
РпФ» == const приведен на рис. 46 х.
Когда мощность пласта конечного сопротивления рп, которое
отличается от удельного сопротивления рвм (р1( р3) вмещающих
пород, ограничена, для расчета кажущегося сопротивления могут
быть использованы следующие формулы:
1) для идеального потенциал-зонда
рк = 4пАМ-^- = 4лЬ RMx;
2) для трехэлектродного зонда
Рк = 4л
AMAN AU _ 4лЛЛ1 AN 'м р
MN I ~~ MN / MNt
где iM — доля тока, ответвляющегося в направлении электрода Л4;
RMn и — полные сопротивления участков электрической
цепи между точками, указанными в индексах.
/ 2 \ 1
1 В работе [36] рассматривается функция 6 ( -г-) = g . Замена функ-
\ «с / s
цин 6 на g выполнена с целью некоторой унификации формул расчета [формулы
(304)—(307)].
138
а
Рис. 45. Построение моде-
лей пластов конечного со-
противления [36].
а, б — пласт неограничен-
ной мощности; в, г — пласт
ограниченной мощности
При этом, если участок цепи захватывает пласт и вмещающие
породы, то в зависимости от того, находится электрод М. выше
или ниже заземления А,
RM„ #Мд 4* ^д (или И %MN ^Mg~^~^gN
(ИЛИ Rmh = R~p + R'fig),
где и Rj^ — полные сопротивления участков цепи тока от
электрода М до подошвы и до кровли пласта; Rpu Rp — сопроти-
вления участка цепи на выходе скважины в подошве и кровле
пласта; R^ и R-^ — полные сопротивления участков цепи тока
между точками, указанными в индексах.
Отношение 1мП, входящее в равенства, определяющие рк,
рассчитывается по формуле
139
Рис, 46. График функции £ = f (z/dc).
Шифр кривых — Рп/Рп
г
Рис. 47. График функции v = f (z/dc).
Шифр кривых — рп/рр
когда электрод М находится выше заземления А, или по формуле
Л? д________
, _> +я +R ’
Ар Ад р q
когда электрод М находится ниже этого заземления. В последних
двух формулах R-^ и R-^ — полные сопротивления участков цепи
между электродом А и подошвой и кровлей пласта.
Поскольку все сопротивления могут быть легко вычислены для
пласта бесконечно высокого
в начале параграфа, удобно
с 4 dz
J а
о с* Ф
4г
nd2c
сопротивления, о чем говорилось
ввести вспрмогательную функцию
z
[ Р“(г> dz
J Рио. (г) aZ'
z
V \ dc
0
где z — расстояние от заземления А до точек р, q, М, N, ограничи-
вающих участок цепи (Лр, Aq, AM, AN), сопротивление которого
определяется; индексом оо обозначены соответствующие сопро-
тивления цепи в случае, когда окружающая среда имеет беско-
нечно большое сопротивление. На рис. 47 изображены графики
функции v для различных значений рц/рр.
Введя функцию
и
заменив dCt ф произведением
получим:
(304)
140
когда электрод /V находится на большом расстоянии от пласта, и
(306)
когда оба электрода М и N находятся в пласте.
Если удельное сопротивление рвм пород, вмещающих пласт,
не равно удельному сопротивлению рр глинистого раствора, со-
противления 7?р и Rq могут быть рассчитаны на основании теории
плоского экранированного заземления.
В этом случае, учитывая, что в однородных средах удельного
сопротивления рпм, подстилающих (покрывающих) исследуемый
пласт,
Рвм
2dc
получим при неравенстве рр и рвм
RP (₽,) =
(307)
Рвм> р
Рвм
Рр
где
Если точка N находится на небольшом расстоянии z/V от кровли
(или подошвы) пласта, сопротивление Rp (Rq) необходимо умень-
шить на величину 7?/^, числовое значение которого на основании
соотношений (278) и (307) рассчитывается по формуле
при однородных средах удельного сопротивления р или по фор-
муле
R /v ©о “-*
ndc
Рвм,
Рвм, р — (Рвм, р
arctg
^ZN
при рвм Рр.
141
Таким образом, при близком расположении электрода N от
границ пласта в формулы (304) и (305) вместо Rp (Rg) следует под-
ставить разность
RP(R<j) — Rn
00
для однородной среды и
Rp (Rt) — Rm
00
х (1 —— arctg
\ я 2zm )
для среды, в которой удельные сопротивления глинистого раствора
и вмещающих пород различны.
Используя приведенные формулы, легко рассчитать рк для
любых положений зонда в пласте. При этом рк обычно рассчиты-
вают для практически наиболее интересных максимальных зна-
чений, т. е. для случаев, когда потенциал-зонд находится в сере-
дине пласта или когда парные электроды градиент-зонда располо-
жены близ кровли (обращенный зонд) либо возле подошвы (после-
довательный зонд).
§ 18. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМЕТРИИ СКВАЖИН
Электрические поля в скважине, пересекающей неоднородные
среды, теоретически изучены лишь для небольшого числа наиболее
простых случаев, о которых говорилось выше. Интерпретация
по палеткам, рассчитанным для весьма идеализированных усло-
вий, дает лишь оценочную качественную характеристику разреза.
Исследовать неоднородные по проводимости среды со сложной
геометрией классическими и аналитическими методами невоз-
можно. Поэтому были разработаны различные способы моделиро-
вания, т. е. исследования разреза скважины на некоторой вспомо-
гательной установке, способной в той или иной степени смодели-
ровать изучаемый разрез. В промысловой геофизике успешно
применяется экспериментальное изучение электрических полей
в скважине на электролитических моделях и на электроинтегра-
торе (физическое моделирование).
Электролитическую модель скважины
и пластов выполняют в виде цилиндрического бака, заполненного
электролитом, в который помещают включения из изоляционного
материала, обладающего различной пористостью. Измерительная
установка представляет собой небольшой зонд, перемещающийся
с помощью электродвигателя по оси моделируемой скважины.
Отношения мощностей пластов и размеров измерительных уста-
новок к диаметру скважины и сопротивления пластов к сопроти-
142
Рис. 48. Схема электроинте-
гратора с проволочной сеткой
ЭИ — электроинтегратор; Г —
источник постоянного тока; Р —
реостат, регулирующий силу то-
ка; П — измерительный прибор
(потенциометр); А и В — точки
подключения тока питания;
М и N — точки подключения из-
мерительного прибора
«
еЛМг
в
г~у
t
ААЛ
Wv
4
А
Л/
И
JWV*
-w»
ЭИ
VA-*
SBSwwwwwwwWWWWWW^'
Wr -WV
L?
i-
HV4
п
влению вмещающей среды у модели и моделируемой среды должны
быть одинаковы.
Такие модели позволяют решать задачи, связанные с теорией
и методикой изучения горных пород геофизическими методами;
например, изучение электрического поля в пласте с наклонными
границами раздела, изучение полей вызванной поляризации и т. д.
К недостаткам электролитических моделей можно отнести их
неуниверсальность и небольшую точность измерений.
Моделирование на электроинтеграторе
принципиально отличается от моделирования на электролитиче-
ских моделях и основано на замене всего изучаемого пространства
образованного скважиной и горными породами, плоской (обычно
проволочной) сеткой.
Методика решения задач электрометрии скважин с помощью
электроинтегратора была впервые разработана лабораторией элек-
тромоделирования Московского нефтяного института имени
акад. И. М. Губкина [261. Опыт показал, что с помощью электро-
интегратора можно быстро и точно решить большинство задач
электрометрии скважин для весьма разнообразных случаев зале-
гания пород различного удельного электрического сопротивления.
Электроинтегратор с плоской сеткой представляет собой набор
переменных (или рассчитанных заранее постоянных) сопротивле-
ний, установленных в двух взаимно перпендикулярных напра-
влениях (рис. 48). В местах пересечения рядов сопротивления
соединены и образуют узлы сетки. К узлам сетки подключаются
источник питания Г, создающий электрическое поле в моделиру-
емой области, и регистрирующей прибор /7, измеряющий разности
потенциалов этого поля. Электроинтегратор дает возможность
143
изучать распределение электрического поля в неоднородной мо-
дели, обладающей аксиальной симметрией.
Принцип моделирования задач электрометрии скважин с по-
мощью электроинтегратора с плоской сеткой основан на следу-
ющих положениях. При аксиальной симметрии изучаемой среды,
т. е. в тех случаях, когда удельное электрическое сопротивление
исследуемого неоднородного пространства не зависит от азиму-
тального угла, вектор плотности тока имеет лишь составляющие
по осям R и Z. При этих условиях, разбив изучаемое пространство
плоскостями Pz с координатами zZt перпендикулярными к оси Z,
расположенными одна от другой на расстоянии Дг = zM —zz =
= const, и коаксиальными цилиндрическими поверхностями Sz
радиусом rz на элементарные объемы Д Vz, можно заменить каждый
из полученных кольцевых объемов ДУО имеющих удельное со-
противление р, двумя сопротивлениями:
1) сопротивлением, установленным параллельно оси Z
(z) р Дг
i / о
равным сопротивлению объема Д Vz в направлении оси Z;
2) сопротивлением, установленным вдоль радиуса,
г = f ?dr — 1 f 9 dr _ р i rl+1
2л Azr 2л Дг J г 2л
равным сопротивлению объема ДУ* в радиальном направлении.
Сопротивления и 7?zr) элементарных объемов заменяют
проволочными сопротивлениями, которые рассчитывают по соот-
ветствующим формулам. Узлы этих сопротивлений размещают
в центрах моделируемых объемов.
С целью максимального приближения дискретной сетки элек-
троинтегратора к моделируемому сплошному пространству ра-
диусы моделируемых объемов и расстояния между плоскостями
в области, прилегающей к оси скважины, подбирают возможно
меньшими. Это осуществляют путем применения специальной,
более густой сетки сопротивлений, моделирующей приосевую часть
изучаемого пространства. Возможно большее увеличение модели-
руемой области на интеграторе конечных размеров достигается
увеличением приращения Дг£ каждого следующего радиуса rz+1
цилиндрической поверхности, ограничивающей моделируемые
объемы в геометрической прогрессии:
где Afj — величина приращения радиуса между первой и второй
коаксиально-цилиндрическими поверхностями; а — знаменатель
прогрессии, величину которого выбирают в пределах 1,1—1,25.
144
пласта
Рис. 50. Палет-
ки ПКМ-МНИ
для бокового
электрического
зондирования в
пластах высо-
кого сопротив-
ления и ограни-
ченной мощно-
сти.
а — палетка
ПКМ-МНИ-ГЗ-2,
h = Рр = РвМ
(шифр кривых —
₽п/рвм): 6 - па-
летка
ПКМ-МНИ-ГЗ-8,
h = 8dc’ РР = %м
(шифр кривых
Pf/Рвм)
д
)-----------L-J----- ,/KJ-----------------------------------
1 2 3*6 fO20 Л7 40 60 801001/cIg
При измерениях кажущегося сопротивления с помощью элек-
троинтегратора один из полюсов А источника тока и зажимы
измерительного прибора поочередно (путем автоматического пере-
ключающего устройства) подключают к узлам сетки, расположен-
ным вдоль оси Z моделируемой области. Расстояния между точ-
ками А, М, N измеряют в единицах расстояния между узлами
сетки. В единицах этого расстояния набирают и всю модель —
мощность пластов, радиусы скважины и зоны проникновения филь-
трата глинистого раствора.
Использование электроинтегратора для моделирования задач
электрометрии скважин дало возможность получить кривые изме-
нения кажущегося сопротивления против пластов конечной мощ-
ности и конечного сопротивления, пересеченных скважиной,
заполненной средой, сопротивление которой отличается от сопро-
тивления пласта и вмещающих его пород (рис. 49). По этим данным
построены палетки кривых бокового электрического зондирова-
ния — палетки ПКМ-МНИ (рис. 50), а также получены кривые
бокового электрического зондирования для многих других слу-
чаев [21, 24, 29]. По сравнению с электролитическими моделями
электроинтегратор с плоской сеткой имеет ряд преимуществ
и ряд недостатков. Поэтому выбор того или иного способа физи-
ческого моделирования задач электрометрии скважин опреде-
ляется характером решаемой задачи.
Преимущество электроинтегратора с плоской сеткой заклю-
чается в том, что он дает возможность осуществлять модель среды
с любым характером изменения сопротивления в радиальном и осе-
вом направлениях при условии аксиальной симметрии задачи.
Кроме того, электроинтегратор позволяет определять потенциал
электрического поля в любых точках изучаемой среды.
В настоящее время электроинтегратор широко применяется
для решения многих задач теории электрометрии скважин. К не-
достаткам электроинтегратора можно отнести сложность получе-
ния кривых кажущегося сопротивления (и других параметров)
с большим числом точек исследования в модулируемой области,
и необходимость значительных затрат времени на сборку модели.
Математическое моделирование
Появление вычислительных машин с большим числом выполняемых операций
и большой памятью (десятки тысяч операций в секунду и ячеек), а также развитие
методов вычислительной математики создали благоприятные условия для мате-
матического моделирования электрических полей, возникающих в скважине.
Этот внд моделирования характеризуется универсальностью, точностью, удоб-
ством и оперативностью получения результатов.
Математическая постановка прямых задач электрометрии скважин приводит
к краевым задачам для уравнений в частных производных эллиптического типа,
аналитическое решение которых возможно лишь в редких случаях. Поэтому в
практике расчета применяют численные методы, использование которых позво-
лило, например, решить прямую задачу бокового электрического зондирования
при наличии плоских и цилиндрических границ раздела {32].
147
Наиболее распространенным численным методом решения задач электро
метр и и скважин является метод конечных разностей, иначе называемый методом
сеток. Другие численные методы (близкие к методу сеток по основной идее дискре-
тизации пространства) уступают ему в универсальности — метод прямых) и в бы-
строте счета — метод Монте-Карло.
Любой численный метод представляет искомую функцию таблицей ее значе-
ний, а не аналитическим выражением, и указывает алгоритм вычисления этой
таблицы. В методе сеток за искомую таблицу принимают решение системы алгеб-
раических уравнений, получаемых при замене исходного дифференциального урав-
нения конечно-разностным в узлах сетки, заполняющих область определения
искомой функции.
Универсальность и гибкость численного метода позволяет устранить прин-
ципиальное в аналитических методах разделение задач на простые и сложные.
Аналитические решения используются для контроля точности сеточных решений
в простых частных случаях.
Основное уравнение, которому удовлетворяет потенциал стационарного
электрического поля, создаваемого источником тока в общем случае электрически
неоднородной среды с электропроводностью о (%, у, z) для всех точек исследуемой
области, не принадлежащих поверхности питающего электрода, имеет вид
div о grad U =
д
дх
/ х ди i д Г / ч dU 1 ,
а(х. у. г)—j +-^[о(х, у, г)—] +
, д Г / ч Я/ 1 л
+о(х, у, г)-г— =о.
дг L дг J
(308)
Прн наличии скважииы, заполненной глинистым раствором и нормально
пересекающей пласты горных пород, уравнение (308) в цилиндрической системе
координат при расположении токового электрода на оси скважины принимает
вид
(309)
где и о(г) удельные проводимости в радиальном н осевом направлениях.
Если неоднородность среды проявляется в скачкообразном изменении элек-
тропроводности или иа какнх-то границах и в постоянстве ее на участках
конечного размера, например в чередовании однородных изотропных пластов, то
на границах раздела Г условия непрерывности потенциала U и нормальной со-
ставляющей плотности тока jn при переходе из среды а в среду Р запишутся в виде:
Ua\r =
(310)
(311)
В бесконечно удаленных от токового электрода точках потенциал стремится
к нулю
U -> 0 при г, г->оо. (312)
Полный ток /, эмиссируемый из эквипотенциального электрода в окружаю-
щую среду, удовлетворяет условию
(313)
где S — поверхность электрода, окруженная средой с проводимостью а.
Если токовый электрод точечный, то уравнение (309) и условие (312) можно
объединить, записав их как одно уравнение:
1 д / dU \ д / (г) dU \ х /о.
----3“ ( f —5— ) + “5“ ( ’ Т" ) = (г) о (г — г0); (314)
г дг \ дг / 1 дг \ дг / ' v х '
148
здесь 6 (х) — дельта-функций Дирака *; г = 0; 2 — — координаты источника.
При равномерной эмиссии тока с цилиндрической поверхности токового за-
земления с размерами /3 и г3 по высоте и радиусу цилиндра уравнение (313)
примет вид:
/ = -<Тр 2л1эгэ. (315)
где Ор — электропроводность глинистого раствора.
Основные понятия теории разностных систем
Для написания разностной схемы, приближенно описывающей данное диф-
ференциальное уравнение, необходимо:
1) заменить область непрерывного изменения аргумента областью его дискрет-
ного изменения;
2) заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором
и сформулировать разностный аналог для кривых и начальных условий. Эта про-
цедура приводит к алгебраической системе уравнений и задача сводится к ее ре-
шению.
Численное решение исходного дифференциального уравнения невозможно
получить для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области
евклидова пространства. Поэтому из этой области выбирают некоторое конечное
множество точек и приближенное решение ищут на этих точках. Такое множество
точек называется сеткой.
Отдельные точки называются узлами сетки, а расстояние между со-
седними узлами — шагом сетки. Функция, определяемая в узлах сетки,
называется сеточной функцией.
Пусть требуется найти функцию и, являющуюся решением дифференциальной
краевой задачи в области G с границей Г, на которой заданы условия первого и
второго родов а.
Область G изменения аргумента х мы заменим сеткой (о^, т. е. конечным мно-
жеством точек X/, принадлежащих G.
Вместо функции и (%) непрерывного изменения аргумента х £ (?+ Г будем
рассматривать сеточные функции ид (xj. т. е. функции точек х1У являющихся уз-
1
6 (х) =
оо,
0,
если х — 0,
если х -т= 0,
причем
6 (х) dx =
2 Граничное условие первого рода
Граничное условие второго рода
dv
дп
— Р"2*
Соответствующие краевые задачи
называются краев ымизадачамн
первого и второго родов. Для уравнения Лапласа и Пуассона крае-
вая задача первого рода Ди = —/, v == называется задачей Дирихле;
а г ди
краевая задача второго рода Ди =—
Неймана, где Hi и Нг — фиксированные значения функции на
= Нг называется
задачей
границе.
149
лами сетки (о^ {хД. Узлы сетки, принадлежащие G, назовем внутренними,
принадлежащие Г — граничными. Сетки обычно характеризуются часто-
той и регулярностью, расположением узлов н ориентацией (прямоугольные,
шестиугольные и т. д.). Пусть дай дифференциальный оператор L, действующий
на функцию v — v (х). Заменяя входящие в Lu производные разностными отноше-
ниями, мы получаем разностные выражения L/iUft, являющиеся линейной комби-
нацией значений сеточной функции иц на некотором множестве узлов сетки, назы-
ваемом шаблоном. Такая приближенная замена Lv на LftVft называется ап-
проксимацией дифференциального оператора разностным оператором1.
Будем говорить, что La аппроксимирует дифференциальный оператор L
с порядком п > 0 в точке х, если
Ф (х) = LhU (х) — Lv (х) = 0(ftn); (316)
величина ф (х) называется погрешностью разностной аппрок-
симации L/tB точке х.
Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифферен-
циальное уравнение н соответствующие начальные граничные и краевые условия,
называется разностиойсхемой.
По окончании процесса дискретизации исходной краевой задачи мы приходим
к алгебраической системе уравнений, порядок которой равен числу неизвестных
значений сеточной функции. Прн этом правые части уравнений, краевые и на-
чальные условия задаются с определенной погрешностью. В процессе самого чис-
ленного решения системы также неизбежны погрешности, связанные с округле-
нием. Системы, в которых малые погрешности, допущенные при аппроксимации
исходного дифференциального уравнения, не возрастают в процессе вычислений
н не приводят к искажению решения, называются устойчивыми.
Системы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности, име-
нуются неустойчивыми и не могут быть использованы на практике.
Вопрос устойчивости, являющийся одним нз основных в теории разностных
схем, детально исследован в работах (27, 28, 37]. В частности, если решение ал-
гебраической системы существует, единственно и непрерывно завнситотграничных
условий и правой части дифференциального уравнения н эта зависимость равно-
мерна относительно шага сеткн, то говорят, что разностная схема устойчива с рав-
номерной по А оценкой (28, 37]. Если система разностных уравнений аппроксими-
рует исходную краевую задачу, т. е. и (х) удовлетворяет разностной схеме с по-
грешностью 0 (hn) (где п > 0 — порядок аппроксимации) н соответствующая ис-
ходной краевой задаче разностная схема устойчива, то говорят, что сеточное ре-
шение Vh сходится к точному решению и дифференциальной краевой задачи.
Порядок точности (скорость сходимости) схемы определяет ее порядок аппрокси-
мации [28, 37]:
IIv “ vh II = 0 (hn)-
В практике расчетов точность сеточного решения обычно оценивают путем
сравнения результатов расчета, выполненных на сетках с различным шагом
(ft и 2ft), а также путем сравнения решений с некоторыми контрольными задачами,
имеющими аналитическое решение. В связи с широким применением ЭВМ для ре-
шения практических задач становится нецелесообразным использовать разност-
ные схемы н составлять программы, предназначенные лишь для решения отдель-
ных задач частного вида. Необходимо иметь универсальные разностные схемы,
1 Существует множество способов замены производных разностными отно-
шениями . Рассмотрим пример центральной разностной аппроксимации для простей-
dv
шего дифференциального оператора Lu = — . Для этого фиксируется некоторая
точка х оси ОХ и берутся точки х—Л и х + ft, где ft > 0. Тогда разностный опе-
ратор LftVfy записывается в виде
V (х + ft) — и(х — ft)
LfyU/t --
2ft
150
вид которых не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от
выбора разностной сетки. Такие универсальные разностные схемы должны, есте-
ственно, удовлетворять требованиям сходимости и устойчивости на любой последо-
вательности сеток и для любой исходной задачи из рассматриваемого класса за-
и
дач. Такие разностные схемы называются однородными.
Метод конечных разностей физически означает переход от
непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели, поэтому составление ко-
нечно-разностного уравнения можно считать процедурой, обратной получению
дифференциального уравнения. При выводе дифференциального уравнения мате-
матической физики обычно исходят из некоторого интегрального соотношения
(уравнения баланса), выражающего закон сохранения для малого объема Прн
написании разностных уравнений можно исходить из условия, что схема выражает
на сетке соответствующий закон сохранения (тепла, массы, электричества, энер-
гии и т. д.). Разностные схемы, выражающие на сеткезакон сохранения, называю-
тся консервативными или дивергентными. Консервативность однородных схем —
необходимое условие сходимости для стационарных и нестационарных задач мате-
матической физики. Желание иметь возможно более точную и детальную таблицу
значений приводит к системам высокого порядка, для решения которых сущест-
вуют прямые и итерационные методы.
Прямые методы (метод декомпозиций, метод разделения переменных и др.),
как правило, применимы для решения узкого класса сеточных уравнений.
Итерационные методы последовательных приближений могут быть использо-
ваны для решения более общих задач в случае произвольной области, уравнений
общего вида с переменными коэффициентами; они имеют высокую скорость схо-
димости и достаточно просты при реализации в универсальных программах. Ите-
рационный метод позволяет, исходя из некоторого начального приближения и0»
последовательно находить приближенные решения искомой функции и1( и2, ..., vn,
vn+1, называемые итерациями (п — номер итерации). Процесс решения прерыва-
ется, когда последовательное приближение перестает изменяться с точностью
до некоторой малой величины.
Принципы реализации разностных схем
в задачах электрометрии скважин
При решении прямой задачи бокового электрического зондирования в сква-
жине бесконечная область определения искомой функции заменяется конечной
областью G и
функции. На
на границе области предполагается некоторое поведение искомой
бесконечности электрическое поле U -> 0 либо = 0. Сетка,
покрывающая исследуемую область, должна обеспечить достаточно высокую ап-
проксимацию как граничных условий (310)—(312), так и дифференциального
уравнения (314) при приемлемых затратах машинного времени и объема оператив-
ной памяти.
Высокая аппроксимация граничных условий может быть достигнута увели-
чением числа узлов при постоянном шаге либо введением неравномерной сетки
с возрастающим иа периферии расчетной области шагом- Увеличению внешних
размеров сетки препятствует ограничение в объеме оперативной памяти и быстро-
действии ЭВМ, поскольку решен и" должно быть получено не только с достаточ-
ной точностью, но и за практически приемлемое время на современных ЭВМ.
Представим краевую задачу (308)—(313) в виде операторного уравнения
где
Ll/ = f. г)_>ео = 0,
свободный член f = 0 для всех точек пространства (кроме источника тока).
151
Для решения дифференциальной краевой задачи (308)—(313) методом конеч-
ных разностей вводят прямоугольную сетку, образованную линиями
R — Rj (j — 1» 2, . • . , Af),
z = zt (i — 1, 2, - . /И),
(317)
которые строят так, что линии раздела неоднородностей Г совпадают с линиями
сетки. Таким образом, все пространство разбивается на клетки, и середине клетки,
образованной линиями R = Rj, R/+1 и z — zt, z = zt-+1, приписывается по-
тенциал Uij.
При этом неограниченная область заменяется ограниченной и на внешних
границах задаются условия (312).
Для написания разностной аппроксимации уравнений (308) выбирают нере-
гулярный пятиточечный шаблон,
i—L j
(318)
Л /+ 1
+ !> /
причем сетку строят таким образом, что область исследования, включающая сква-
жину н моделируемые пласты, покрывается сеткой с равномерным шагом н по
мере удаления от скважины (по оси R) и от пласта (по оси Z) шаги сетки возраста-
ют в геометрической прогрессии. Такне сеткн позволяют наиболее полно н де-
тально исследовать различные поля, возникающие в скважине, прн значительной
экономии оперативной памяти ЭВМ н времени счета.
Дифференциальный оператор LU в выражении (9) заменяют разностным опе-
ратором L/tC/, аппроксимирующим искомую функцию U на сетке (10)
+ 1™U = f„, Un~0, (318)
где и 1Д2)1/ — разностные операторы, аппроксимирующие вторые производ-
ные на выбранном нами пятиточечном шаблоне.
Порядок аппроксимации дифференциального оператора в точке (узел сетки)
определяется разложением искомой функции в ряд по формуле Тейлора.
Прн составлении алгоритма расчета прямых задач электрометрии скважин
разностные схемы обычно строят с учетом закона сохранения электричества,
а именно сумма токов для узла сетки равняется нулю 2hi = 0 для случая отсут-
ствия источников поля между соседними узлами сетки и 2 Л/ 2a^Z^i/ прн
наличии источников поля между узлами сеткн (первое и второе правила Кирх-
гофа). Такие сеткн, как указывалось выше, называются консервативными. Кон-
сервативная разностная схема уравнений (2), (7) имеет вид
Si/+l/2 (Ui, /+! — Ui, j) + Si/-l/2 (Ui, l-l — Uij) +
+ S1+I/2, j j ~ Ui, j) + Si-l/2. ) i ~ Ui. f) = fij> (319)
ГДе5.±'/,./и5<-. j^.i /2 — коэффициенты, получающиеся в результате замены диф-
ференциальных операторов в уравнениях (309) н (313) разностными, которые
имеют физический смысл проводимостей отрезков, соединяющих соседние узлы
сеткн.
Разностная схема (319) позволяет получить решения для сколь
угодно сложных моделей сред. Это объясняется тем, что каждому
распределению проводимостей соответствует своя матрица коэф-
фициентов разностной схемы, аппроксимирующих исходное диф-
ференциальное уравнение во внутренних узлах сетки. Столбец
свободных членов этой системы зависит от распределения источни-
ков поля, условий и конфигураций внешних границ (однородная
разностная схема).
152
Рнс. 51. Рельеф кажущихся сопротивлений для потенциал-зондов различного
размера, рассчитанный по конечно-разностной программе для конкретной модели
геологического разреза (по данным ЦГЭ МНП СССР).
/ " = 10: П *- Pn/PD = 10’ Рзп/Ро = 100’ D/dC e 2’ ft/dC = 16: Ш “ Рц/Ро “ 1
h/dc == 8; IV - p_/pD = 107 Шс = 8; V - рп/р_ = 25, p3f_/pD = 250, D/d = 2, fi/dc =
P = 16; VI - p_/gD =10
U J-F
Систему уравнений (318) для проведения итераций по строкам
или столбцам приводят к виду:
A^i-i — QUt + BtUM — F f;
Л; > 0; Bz > 0; Cz A? -|- Bz;
(320)
i = 1, 2, . . /V- 1(M - 1).
Систему уравнений (320) решают стандартным методом про-
гонки, идея которого заключается в том, что во время «прямого
хода» вычисляют коэффициенты
Bi + л
а во время «обратного хода» — значения потенциалов для всех
узлов сетки на строке (столбце)
Прогонку осуществляют попеременно по строкам и по столбцам
(метод переменных направлений или продольно-поперечная схема).
Идея метода переменных направлений состоит в том, что для
перехода от (приближения с номером t искомой сеточной функ-
ции) к (/(Н-D вводят промежуточное приближение t/u+1/e),
причем «полушаг» t t + делают итерациями по строкам,
а «полушаг» t + Va t + 1 — по столбцам. Такой итерационный
процесс можно рассматривать как изменение потенциала во вре-
мени (метод установление), причем при / оо, -> t/.
153
Рис. 52. Кривые эффективного сопротив-
ления для многоэлектродных зондов,
рассчитанные по конечно-разностной
программе, для конкретной модели
пласта н вмещающих пород.
/ Pj/Pp = 10’ Рзд^Рр ~ ю» = 1»
hldc = 8; U - рп/р = 10, рзц/р = 100,
£>/dc = 8, ft/dc = 16; /// - рп/р = Ю,
Рзп/Рр = Ь I>/dc = 1, h/dc = 8; зонды:
/ — девятиэлектродиый «ближнего дейст-
вия», 2 — девятиэлектродиый «дальнего
действия», 3 — семиэлектродный «ближ-
него действия», 4 — семиэлектродный «даль-
него действия» (по данным ЦГЭ Мии нефте-
прома)
Вычисление поля считается
законченным, когда
М N
S EW-uli-fo
1=1 /'=!
для заданного значения е, где
Ui*j* и — значения по-
тенциалов в узлах сетки для
итераций с номером t и t — 1.
fc, i Программы, реализующие
описанную выше разностную
схему, позволяют решать раз-
личные задачи, связанные с тео-
рией и методикой исследования
горных пород в скважине элек-
трическими методами, изучать
неоднородные среды с помощью
многоэлектродиых установок
как с точечными, так и с объем-
ными электродами, изучать
электрические поля, создава-
емые различными зондами,
применяемыми в промысловой
геофизике.
На рис. 51, 52, 53 приведены расчетные кривые против пластов
и некоторые теоретические зависимости, полученные по программе,
WPp
12 5 10 20 50 100 200 5001000 pjp?
реализующей численное реше-
ние прямой задачи электро-
метрии скважин, разработанной
в ЦГЭ МНП СССР. На рис. 51
изображены кривые кажуще-
гося сопротивления для потен-
циал-зондов различной длины
(«рельеф кажущихся сопро-
тивлений»), рассчитанные на
модели среды, состоящей из
двух пластов-коллекторов раз-
личного сопротивления, име-
ющих зону проникновения и за-
Рис. 53.
зондов,
нечной
Палетка для экранированных
построенная для пласта ко-
мощиостн (по данным ЦГЭ
Миннефтепрома).
Зонды: 1 — девятиэлектродный «ближнего
действия», // — девятиэлектродиый «дал'ьт
него действия», /// — семиэлектродиый
«дальнего действия». Шифр кривых — зна-
чения d^ в м
154
легающих в пластах неколлекторах. Рис. 51 наглядно демонстри-
рует тот факт, что кажущееся сопротивление, измеренное зондом
большого размера, соответственно ниже сопротивления рк, изме-
ренного зондом малого размера, и дифференциация разреза зна-
чительно ухудшается с увеличением размера зонда.
На рис. 52 изображены кривые эффективного сопротивления,
рассчитанные на модели среды методом сопротивления экраниро-
ванного заземления для различных зондов девяти- и семиэлектрод-
ных зондов. Из сопоставления кривых на рис. 52 следует, что,
подбирая типы зондов и способы фокусировки тока, можно полу-
чить те или иные значения эффективного сопротивления и соответ-
ственно выбрать необходимый зонд для исследования ближней
зоны или зоны проникновения (зонд «ближнего действия», кривые 1
и 3 на рис. 52), и дальней зоны или неизмененной части пласта
(зонд «дальнего действия», кривые 2 и 4 на рис. 52).
На рис. 53 приведена палетка, построенная по расчетным кри-
вым, для определения истинного удельного сопротивления для
пласта конечной мощности по его эффективным сопротивлениям,
измеренным различными зондами. Семейство кривых / на рис. 53
относится к показаниям экранированного девятиэлектродного
зонда «ближнего действия». Эффективное сопротивление, измерен-
ное этим зондом, незначительно отличается от истинных сопро-
тивлений пласта для диаметра скважины 0,2 м, но в то же время
при больших сопротивлениях пласта сильно зависит от диаметра
скважины.
Показания зондов «дальнего действия» (семейство кривых //
и ///) не зависят от диаметра скважины, но эффективные сопроти-
вления, измеренные этими зондами, значительно отличаются от
истинных сопротивлений.
Глава III
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕТОДОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ЗАЗЕМЛЕНИЙ, РЕГИСТРАЦИИ ТОКА
И СКОЛЬЗЯЩИХ КОНТАКТОВ
§ 19. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ЭФФЕКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
При исследовании разрезов скважин методами сопротивления
заземления, регистрации тока, скользящих контактов и экраниро-
ванного заземления (рис. 54) горные породы изучают по данным
измерения полного сопротивления RA заземления Л, передвига-
емого вдоль исследуемой скважины, или тока, проходящего через
это заземление. Сила / этого тока находится в обратной зависи-
мости от сопротивления заземления RA.
Использование методов сопротивления заземления и регистра-
ции тока для бескерновой геологической документации разрезов
скважин требует знания зависимости сопротивления RA заземле-
ния от удельных электрических сопротивлений и геометрии иссле-
дуемых пород, сопротивления глинистого раствора и диаметра
скважины, а также формы и размеров заземления.
Сопротивление любого заземления (электрода) в общем случае
определяется по формуле
= (321)
где U3 — потенциал заземления при отсутствии сторонних э. д. с.,
определяемый электрическими свойствами среды (окружающей
заземление), размерами и формой заземления; I —сила тока,
отдаваемого заземлением в это пространство.
Потенциал заземления
00
U3 = — [ Edn
* I
3
определяется полным падением напряженности Е электрического
поля от поверхности заземления «3» до бесконечно удаленных
точек. В последней формуле п — направление нормали к поверх-
ности равного потенциала.
В практике применения методов сопротивления заземления
и регистрации тока используют заземлители, форма которых
может изменяться от сферической до цилиндрической. В методике
скользящих контактов используют плоские заземлители с одной
изолированной поверхностью. Поэтому основным вопросом в тео-
156
рии методов сопротивления заземлений и регистрации тока (в ча-
стности, метода скользящих контактов) является изучение зависи-
мости сопротивления RA заземлений различной формы от сопро-
тивлений и размеров включений, заполняющих пространство,
в котором находится заземление. При этом главное внимание
должно быть уделено рассмотрению влияния на сопротивление
заземления неоднородных включений, идентичных встречающимся
при исследовании разрезов скважин.
В однородном безграничном пространстве (при отсутствии кон-
тактного сопротивления) сопротивление заземления пропорци-
онально удельному электрическому сопротивлению р среды, в ко-
торой находится заземление, и зависит от его размеров и формы.
В неоднородном пространстве сопротивление заземления зави-
сит не только от его размеров, формы, удельного электрического
Рис. 54. Схемы зондов, используемых в методах сопротивления заземления.
а — одно эле кт родные, сферическое заземление; б — одиоэлектродиые, цилиндрическое
заземление; а — для метода скользящих контактов; е — для метода экранирования; д —
то же, с выравненной плотностью тока экранных электродов; е — то же, с непрерывной
фокусировкой тока по схеме с тремя электродами; ж — то же, по семиэлектродиой схеме
с цилиндрическими заземлениями; з — тоже, с точечными заземлениями; м — микроэкра-
иироваииый двухэлектродный зонд; к — мнкроэкраиироваииый четырехэлектродиый зонд;
л — зоид для метода разности сопротивления заземлений; Д, Э, С — заземления питаю-
щее, экранное, сравнения; R3 — эталонное сопротивление для регистрации тока, питаю-
щего заземление Д; R — добавочные сопротивления, выравнивающие плотность тока эк-
ранных заземлений; £3 ? — общий размер (длина) семиэлектродиого экранированного
оида; Lq ? — основной размер семиэлектродиого зонда; £3 — длина цилиндрического
* ааземления
157
сопротивления среды, непосредственно прилегающей к заземле-
нию, но и от удельного сопротивления и размеров включений,
заполняющих остальную часть изучаемого неоднородного про-
странства (главным образом в области, расположенной вблизи от
заземления). В неоднородных средах сопротивление заземления
пропорционально некоторому осредненному удельному сопроти-
влению изучаемой среды, которому целесообразно присвоить
наименование эффективного удельного электрического сопроти-
вления рЭф этой среды. Под термином «э ффективное
удельное сопротивление неоднородной
сред ы» будем понимать удельное электрическое сопротивление
такой фиктивной однородной среды, в которой сопротивление RA
заземления имеет ту же величину, что и в данной неоднородной
среде.
Как видно, понятия эффективного и кажущегося сопротивле-
ний столь близки, что их можно считать разнозначными Ч Не-
сколько отличается эффективное сопротивление от кажущегося
лишь тем, что оно всегда находится в прямой зависимости от
удельных электрических сопротивлений сред, слагающих про-
странство вблизи заземления. Для кажущегося сопротивления
такая зависимость может не наблюдаться. Так, например, в пласте
малой мощностью h высокого сопротивления эффективное со-
противление будет выше эффективного сопротивления рвм вме-
щающих пород, в то время как кажущееся сопротивление, измерен-
ное в тех же условиях потенциал-зондом размером ЛМ>Я,
будет ниже удельного сопротивления рвм.
В реальных условиях, когда заземление находится в глинистом
растворе или в породах, сопротивление заземления превышает
значение, определяемое формулой (321), на величину контакт-
ного сопротивления поверхности заземления; это сопротивление
создано выделяющимися газообразными и твердыми продуктами
электролиза. Величина обратно пропорциональна внешней
поверхности S3 заземления, отдающей ток в окружающую зазе-
мление среду:
Рк = (322)
где гк — контактное сопротивление единицы поверхности за-
земления.
Величина гк варьирует от нескольких сотен до нескольких
тысяч ом-квадратных сантиметров. Значение гн зависит от мате-
риала заземления, состояния его поверхности, от плотности ча-
1 Термин «эффективное сопротивление» научно более обоснован, чем термин
«кажущееся сопротивление», поэтому было бы правильнее не пользоваться по-
следним. Однако в связи с тем, что термин «кажущееся сопротивление» глубоко
вошел в практику метода сопротивлений, в настоящей книге термин «эффективное
сопротивление» сохранен только для методов сопротивления заземления, прн опи-
сании которых термин «кажущееся сопротивление» почти ие применялся.
158
в
Рис. 55. Зависимости контактного сопротивления единицы поверхности за
землення от частоты тока f и температуры t среды.
а — зависимость = f (/); медные заземления: 1 — / = 0,07 мА/см2, 2 — / = 0,27 мА/см2,
3 — 0,54 мА/см2; свинцовые заземления: 4 — / = 0,09 мА/см2, 5 — / = 0,35 мА/см2;
рр = 1,78 Ом*м (во всех случаях); б — зависимость = f (О» f = 7,2 Гц, рр = 2,5 Ом* м:
в — зависимость = f (О при р = I Ом-м. Шифр* кривых — значения / в мА/см2
Г*
стоты и направления (для постоянного) тока, проходящего через
заземление, температуры и сопротивления окружающей среды
(рис. 55). Экспериментальные кривые, определяющие зависи-
мость активной составляющей переходного сопротивления пере-
менному току при различной частоте /, температуре i и плотности
тока /, влияние которых доминирует, показывают, что контактное
сопротивление уменьшается с увеличением плотности и частоты
тока, температуры среды, в которой находится заземление, и за-
висит от металла, из которого изготовлено заземление.
Электролитические процессы, протекающие на поверхности
заземлителя при прохождении электрического тока, создают двой-
ной электрический слой и связанную с ним контактную емкость Ск
поверхности заземления:
к '-'З^к»
(323)
159
где ск — контактная емкость единицы поверхности S3 заземления,
варьирующая от долей единицы до 10 мкФ/см2.
Исследования показали, что емкость ск уменьшается с увели-
чением плотности тока и так же, как и гк, зависит от металла,
из которого изготовлено заземление. Следует отметить, что зави-
симости гк и ск от металла, из которого изготовлено заземление,
качественно различны при разных значениях частоты и плотности
тока.
Емкость Ск и сопротивление /?к заземления включены парал-
лельно. Поэтому полное переходное сопротивление заземления
переменному току
_________Rk______ __ $3
V~ 1 -f- 1 + (ОГкСк
(324)
В реальных условиях исследования скважин полное сопроти-
вление ZA ПОЛн заземления слагается из контактного сопротивления
ZK и теоретического (расчетного) сопротивления ZA (RA) среды,
прилегающей к заземлению. Для постоянного низкочастотного
переменного тока
^Л.полн Ra “Ь Як-
Это не следует забывать при интерпретации материалов мето-
дов сопротивления заземления, регистрации тока и сопротивления
экранированного заземления.
Как будет видно из дальнейшего, теоретическое сопротивление
заземления обратно пропорционально первой степени его размера.
Контактное сопротивление заземления [активная составляющая —
формула (322) и полное значение — формула (324) 1 обратно про-
порционально поверхности заземления, определяемой второй сте-
пенью его размера. Как следствие этого, относительное влияние
контактных сопротивлений убывает с увеличением размера за-
земления.
§ 20. СОПРОТИВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ЗАЗЕМЛЕНИЯ
Для однородной среды из формулы (97) получим
Il ____
к=гз 4nr3 ’
следовательно,
г> _ V.4 _ Р__________Р_
А I 4яг3 2nd3
где г3 и d3 — радиус и диаметр заземления.
Для неоднородной сред я
(325)
рэф рэф
4лгз ~ 2л^3
160
Отсюда
рэф = 4лг3/?л = 2nd3RA. (326)
Коэффициент пропорцио-
нальности эффективного удель-
ного электрического сопротив-
ления рэф среды полному со-
противлению RA заземления А
называется коэффициен-
том заземления.
Для сферического зазем-
ления
Кз = 4лг3 = 2jid3; (327)
коэффициент заземления изме-
ряется в метрах.
Как было сказано выше, рэф
является функцией удельных
электрических сопротивлений
и размеров включений, состав-
ляющих окружающую зазем-
ление среду. Чем дальше от за-
земления расположена среда
иного сопротивления, тем
меньше ее влияние на эффек-
тивное сопротивление. Это мо-
жет быть подтверждено расче-
том эффективного сопротивле-
ния для следующего элементар-
ного слу III.
r9/r3(d9/d3)
Рис. 56. Зависимость рЭф/рр = / (гсЛз)
для сферического заземления радиу-
сом гз, помещенного в центр сфериче-
ского объема с сопротивлением рр,
радиусом г0 и окруженного безгранич-
ной средой с сопротивлением рп.
Шифр кривых — р /р_
Допустим, что сферическое заземление радиусом г3 находится
в среде удельного электрического сопротивления рр, которая
ограничена сферической поверхностью So радиусом г0 концентри-
ческой поверхности заземления. За пределами поверхности So
расположена безграничная среда удельного электрического сопро-
тивления рп. В этих условиях полное сопротивление заземления
Гз
Рп _ Ро
4лг0 4лг3
и, следовательно, эффективное сопротивление
Рэф = 4л/3/?л = Рр [ 1 + (-g- - 1)] • (328)
На рис. 56 приведена зависимость отношения эффективного
сопротивления рэф к удельному электрическому сопротивлению рр
среды, прилегающей к заземлителю, от отношения г0/г3 для раз-
личных значений рп/рр0. Из кривых, приведенных на рис. 56, сле-
дует, что на расстояниях г0, превышающих 10г3, влияние внешней
среды удельного сопротивления рп может быть значительным лишь
6
Дахнов В. Н.
161
при условии, когда ее сопротивление более чем в 10 раз превышает
удельное электрическое сопротивление р0 среды, соприкасающейся
с заземлением. Чем выше сопротивление внешней среды, тем
больше эффективное сопротивление и тем больше расстояние г0
от заземления, на котором она может быть установлена. При
рп< Рр уменьшение сопротивления рэф в зависимости от внешней
среды низкого сопротивления практически будет наблюдаться
лишь при г0 < 10г3, причем это влияние проявляется достаточно
резко, когда г0 становится меньше 2г3.
Сферически симметричные среды в практике электрометрии
скважин не встречаются. Такая среда была рассмотрена лишь для
того, чтобы показать, как влияют на рэф породы, удаленные от
заземления, в условиях, поддающихся точному расчету.
§
21. СОПРОТИВЛЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ЗАЗЕМЛЕНИЙ
Для расчета сопротивления цилиндрического заземления вве-
дем цилиндрическую систему координат RZW, начало которой
расположим в середине заземления (рис. 57, а). Допустим, что
заземление имеет длину L3 и диаметр d3 и находится в однородной
среде удельного электрического сопротивления рр.
В соответствии с законами электростатики заряженное тело
с поверхностью S создает в окружающем пространстве электри-
ческое поле, потенциал которого
qds
4леа
где R — расстояние от точки, в которой определяется (7, до эле-
мента ds поверхности заземления, несущей заряд dq = qds (q —
Рис. 57. Электрическое поле цилиндрического (а) и эллипсоидального (б) заземле-
ний.
1 — линии равного потенциала; 2 — линии тока
162
заряд единицы поверхности); еа — абсолютная диэлектрическая
проницаемость.
При удалении от заземления на расстояние R, значительно
превышающее размеры заземлителя, электрическое поле должно
стремиться к полю точечного заряда. Используя также известную
аналогию между электростатикой и распространением постоян-
ного тока, в случае R -> оо получаем
с, . Рр7 Q
4л/? 4леаЯ
Таким образом, полный заряд заземлителя
Q = рр/ба*
При дальнейшем выводе будем считать заряд q единицы поверх-
нос и S цилиндрического заземления постояннымх. Тогда элемент
ds этой поверхности будет иметь заряд
d? = <7 ds = - j-ds = Pp^a.ds-.
7 7 S nd3L3
Подставив qds в формулу, определяющую потенциал, получим
где а — угол между г и проекцией на плоскость z = 0 радиуса,
проведенного из начала координат к элементу ds поверхности
заземления.
При г > -у- слагаемыми под корнем, содержащими d3, можно
пренебречь. При этих условиях
* Такое допущение возможно, хотя в действительности по длине заземления
плотность заряда не остается постоянной и несколько возрастает к концам зазем-
ления.
6» 163
Уравнение равнопотенциальной поверхности
U = const
удовлетворяется при
Обозначив эту величину через D, получим
После освобождения от радикалов будем иметь
1)2 + z24D(D- l)2 = L^D(D-i- I)2
ИЛИ
2 u
3 (D — I)2
z2
3 / D
(330)
Таким образом, равнопотенциальные поверхности предста-
вляют собой эллипсоиды вращения вокруг оси Z,
малые и большая полуоси которых соответственно равны:
(D-\) ’
Расстояние от центра эллипсоида до его фокусов
и, следовательно, фокусы эллипсоидов находятся в точках пере-
сечения осью Z торцевых поверхностей заземления.
Эквипотенциальную поверхность, прилегающую непосред-
ственно к заземлению, при достаточно большом значении L3 по
сравнению с d3, что обычно бывает на практике, можно рассматри-
вать как поверхность эллипсоида вращения с большой полуосью,
равной Аэ/2, и малой полуосью, равной d3/2. Поверхность такого
эллипсоида будет удовлетворять уравнению
4г2 , 4z2
(331)
Для этого эллипсоида
__ С2___(D + I)2
= ~а? 4D
3
(332)
Из соотношения (332) определяем постоянную
D = 2(-^2_y_ 1 ± 1/Г2 1Г- 1 . (333)
164
Аналогичное решение задачи можно получить для эллипсо-
идального заземления с расстоянием от центра заземления до
фокусов эллипсоида f = L3/2 и малой полуосью а = d3/2 = г3
следующим путем.
Исходя из конфигурации заземления и ортогональности линий
тока к поверхности равного потенциала, воспользуемся системой
эллиптических координат ЕНТ, сетка которой (рис. 57, б) будет
представлять семейство софокусных эллипсоидов вращения
= (334)
двухполосных гиперболоидов (т] = const)
ъ2 г2 г2
- 7^ = V - ' (335)
и радиальных плоскостей ф = const, где f — расстояние от центра
эллипсоидального заземления до общих фокусов эллипсоидов
и гиперболоидов, определяемых уравнениями (334) и (335); х —
величина мнимой полуоси гиперболоида.
В этой системе координат уравнение Лапласа будет следующим:
/А/Ар dU\ , д / Hi-Hq dU \ ।
dr) \ dr, / 1
MJ =
L ап )
, д ( dU
d»|>
Л| . =0.
дф /1
(336)
Здесь
где
fe2-n2 .
K(£2 - P) (P - n2) .
рас-
как
В связи с тем, что на поверхности равного потенциала,
положенной бесконечно близко к поверхности электрода,
и на любой другой равнопотенциальной поверхности, т] и ф пере-
менны, для соблюдения постоянства потенциала на этой поверх-
ности необходимо, чтобы уравнение (336) не зависело от т] и ф.
Таким образом, поверхности равного потенциала должны удовлет-
ворять условию
д ( dU \ п wiw д
W ~ и или "Ж
откуда
S--0,
Мп
9*
5s-П2 .
2
2
165
Постоянные С, и С2 определим из следующих условий. При
удалении точки М в бесконечность U 0. Следовательно, Са =
= 0. При достаточно большом значении | по сравнению с f потен-
циал электрического поля должен убывать, как и в случае сфери-
ческого или точечного заземлений, обратно пропорционально
расстоянию до заземления, т. е.
в связи с чем
Таким образом,
U = 1 n , (337)
ОЛ/ 6 — /
но так как | эравно большой полуоси с равнопотенциального эл-
липсоида, то
Подставив в среднюю часть последнего уравнения вместо 5
его значение из равенства 1 (1334) и заменив / на V& — сР> будем
иметь
После освобождения от радикалов приходим к уравнению
равнопотенциальных эллипсоидов
Г2 Z2
----1-----Z——
а2 ' (D+ 1)2а2
4D
с тем же отношением полуосей — = -—, какое имеют эл-
липсоиды, определяемые уравнением (330).
В практике целесообразно использовать эллипсоидальные за-
земления, у которых с > а, / > а. При этих условиях для эллип-
соида, образующего поверхность заземления,
1 Решая уравнение (334) относительно целесообразно разность — р
в знаменателе первого числа уравнения заменить иа а2; при этом получим
t а
С ~ у- 2 •
г«
166
Так как в большинстве случаев
верхности заземления может быть
> 1, то расчет для по-
«з
сведен к еще более простой
формуле
которая позволяет определить D с точностью до 10% при LJd3 «
« 2,37, до 5% при -т2- « 3,16 и до 2% при -42- « 5,00.
«з U3
Таким образом, потенциал эллипсоидального заземления
ч. - - -ln (г- + •
2nd, 1/ £2-1 v '
Л V J
а его сопротивление
потенциал заземления
у*=Яг1п 2Л”
ZJl Lr3
При D = (-~У
* \ ^3 /
(338)
а его сопротивление
1п 2Гз = 0,367 1g 2L3.
ХЛЪэ Ъэ
Из последней формулы, справедливой и для цилиндрического
заземления с L3 > d3, следует, что сопротивление цилиндриче-
ского и эллипсоидального заземлений пропорционально удель-
ному сопротивлению окружающей среды и в большей степени
зависит от длины заземления, чем от его диаметра. Если цилиндри-
ческое заземление имеет относительно малое значение L3/d3,
а потенциал
^3^ 4^-,п[2£з - ! + К(2^- I)2 - 1
несколько отличается от потенциала эллипсоидального заземления
и наиболее близок к нему при длине цилиндрического заземления,
равной удвоенному значению фокусного расстояния эллипсо-
идального заземления. При этих условиях различие в потенциале
заземления и, следовательно, в сопротивлении заземления опре-
деляется различием в величинах
1п [2П - 1 + 1^(й2- О2 - 1 ] и In (l3 + 1)2,
167
резко убывающих с увеличением L3. По отношению к потенциалу
эллипсоидального заземления это расхождение не превышает 5%
при L3 > 2,6 и 1% при L3 > 4,7.
В неоднородной среде при малом значении L3 для цилиндри-
ческого заземления
Рэф
4лЬ3
1п
2L*- 1 I)2- 1
для эллипсоидального заземления
Ra =---es=in It, +/Н-1
2nd3 1/ L3 — 1
При достаточно большом значении L& что типично для цилин-
дрических и эллипсоидальных зондов, для обоих зондов
In 2£3 = 0,367 1g 2L3.
4JILз
В этом случае эффективное сопротивление, измеренное с ци-
линдрическим или эллипсоидальным заземлениями,
рэф = 2,73 -Mr- RA = K3R
lg 4L3
где К3 — коэффициент цилиндрического или эллипсоидального
заземлений;
(339)
= 2,73-+г-.
1п2£э lg2L3
При малом значении L3 в случае измерений с эллипсоидальным
заземлением
(340)
при измерении с цилиндрическим заземлением
Рэф = 5,46 —-----------------LfA ч =
* 1g 211-1+ /(212-1)2-1
(341)
При этом для эллипсоидального заземления
ля цилиндрического заземления
К3 = 5,46
_______________^3_______________
igI2(£3)2- 1 + V12 (Гз)2- I]2—1)
168
Линии тока, ортогональные к поверхностям равного потен-
циала, как указывалось выше, образуют семейство поверхностей
двуполостных гиперболоидов вращения, удовлетворяющих урав-
нению (335).
Для определения числовых значений полуосей гиперболоидов т]
и х воспользуемся следующими условиями:
1) гиперболоид пересекает эллипсоид, эквивалентный поверх-
ности заземления, в точках z = 1/2, где I — расстояние между
сопряженными поверхностями гиперболоида вдоль образующей
поверхности заземления;
2) эллипсоид и гиперболоид, удовлетворяющие уравнениям
(334) и (335), имеют общие фокусы.
Приняв в формулах (334) и (335) согласно первому
условию
z =
и исключив г, получим
согласно второму условию
в связи с чем
(342)
и, следовательно, т)2 является корнем уравнения
___________d3 /, _ /2 \ == ,
4П* L2-d*-4r)2 L2 ) ’
решение которого для частного случая будет рассмотрено ниже.
У цилиндрического и эллипсоидального заземлений при с > а
значительно большая доля поверхности по сравнению со сфери-
ческим заземлением обращена к исследуемым породам. Поэтому
эти заземления позволяют получать более близкие к рн значе-
ния и, следовательно, более эффективны для изучения разрезов
скважин, чем сферические заземления. Однако эффективность
цилиндрического и эллипсоидального заземлений также может
быть значительно повышена путем их экранировки и фокусировки
экранируемого тока (см. § 23).
§ 22. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
И СОПРОТИВЛЕНИЕ
ИСКОВОГО ЗАЗЕМЛЕНИЯ
Решение задачи о распределении электрического поля, создан-
ного заземлением в форме диска, лежит в основе теории микро-
методов экранированного заземления. В § 17 был изложен вывод
169
Рис. 58. Электрическое поле круглого
плоского заземления.
1 — линии равного потенциала; 2 — .линии
тока
формулы, определяющей сопро-
тивление диска, расположен-
ного на поверхности проводя-
щего полупространства, и уста-
новлен закон
распределения
потенциала вдоль оси, перпен-
дикулярной к заземлителю и
проходящей через его центр.
Распределение потенциала элек-
трического поля, созданного за-
земленным диском, в любой
точке окружающего простран-
ства может быть получено сле-
дующим способом.
Рассмотрим сначала вместо
диска заземление, имеющее
форму эллипсоида вращения
вокруг оси Z с полуосью
с <<С b = а. Допустим, что за-
земление находится в однород-
ной изотропной
среде удель-
ного сопротивления р. Так как
эквипотенциальные поверхности
такого заземления являются
эллипсоидами, а линии тока —
гиперболами, то для решения задачи воспользуемся эллиптиче-
ской системой координат MNV, сетка которых представлена
софокусными эллипсоидами вращения (рис. 58)
г2 , г2
I
гиперболоидами
(344)
(345)
(где f — расстояние от начала координат системы RZV до фоку-
сов) и радиальными плоскостями, положение которых в про-
странстве определяется углом между рассматриваемой пло-
скостью и плоскостью XZ.
В этой системе координат уравнение Лапласа принимает сле-
дующий вид:
MJ =____-__ —
НцНуН* \ др
dU , д НцН-ф dU
дц‘ ' dv Hv dv
WgWv ди
(346)
170
где
Точки, расположенные на равнопотенциальной поверхности,
как об этом говорилось выше, должны удовлетворять уравнению
д dU п
dtt н» дц
После подстановки
следующий вид:
Hv, Н* это уравнение будет иметь
Проинтегрировав дважды выражение, получим
arcsi п — + Са
Постоянные Сг и С2 определим из следующих условий. В беско-
нечно удаленных точках (т. е. при р. = оо) U = 0, следовательно,
постоянная С2 должна быть равна нулю. С другой стороны,, на
расстоянии R, значительно превышающем размеры заземления,
потенциал U должен убывать по закону, аналогичному закону
убывания потенциала точечного заземлителя, т. е. при
откуда
Таким образом,
= _£L
4л/
г-г arcsin — =-
4л/ ц
arcsi п
(347)
171
Дисковое заземление можно рассматривать как эллипсоидаль-
ное с размером полуосей а = b = р > г = ^р2 — /2. Для
такого заземления
f = V р.2 — с2 р. 4г = г...
&
Потенциал электрического поля диска радиусом г3 в точках,
расположенных на оси z, перпендикулярной к поверхности за-
землителя и проходящей через его центр, определяется выраже-
нием
р/
4лг3
arcsin
(348)
аналогичным формуле (275).
Уравнение равнопотенциальной поверхности найдем, исходя
из условия постоянства выражения
Z2 + Г2 + z2 4- |/ (Z2 + Г2 + Z2)2 - 4г2/2,
стоящего в знаменателе формулы (347). Обозначив эту величину
через D и освободившись от радикала, придем к уравнению равно-
потенциальных эллипсоидов в прямоугольной системе координат
2 (D - 2г|) 2
с полуосями
и расстоянием между фокусами
Поверхности тока представляют собой гиперболоиды, софокус-
ные с равнопотенциальными эллипсоидами; их уравнение будет
следующим:
4“-2-^=!, (349)
г г — г
г 'з 1г
где гг — расстояние от центра заземления до окружности, по
которой гиперболоид пересекает поверхности заземления, г,. = v.
Для поверхности заземления a (b) = р = r3 « f. Для этой
поверхности [см. формулу (347) 1
U3 = arcsin 1 = •£-
4ягг 8гэ
172
и полное сопротивление заземления
р ____ ___Р_
“ / 8г3
Если диск находится на поверхности проводящего полупро
странства,
[см. формулу
заземления
= 2flo =
(279) 1 и, следовательно, коэффициент дискового
2— = 4r3 = 2d3.
Так как размеры изоляционных пластин, на которых в прак-
тике промысловой геофизики устанавливают заземления в форме
диска, ограничены, то
р
pra ’
где величина коэффициента 0 составляет примерно 4—8; чем
больше поверхность изолирующей пластины по сравнению с по-
верхностью заземления, тем меньше 0.
В неоднородной среде
Таким образом, эффективное сопротивление дискового зазем-
ления
(>3b = $r3RA = K3Ra. (350)
Здесь К3 — коэффициент дискового заземления, установлен-
ного на изоляционной пластине ограниченных размеров, К3 =
При малых размерах заземления его коэффициент находят
опытным путем. Для этого заземление А помещают в металличе-
ский водоем большого размера и, пропустив пульсирующий
ток, измеряют силу I тока и приложенное напряжение U. Вторым
заземлением В служит корпус водоема, удаленный от заземления А
на расстояние, составляющее не менее чем 20 его диаметров.
Зная Uni, рассчитывают величину полного сопротивления R3
заземления.
Затем берут два индентцчных плоских заземления и с помощью
распорного изолирующего кольца с внутренним диаметром, рав-
ным диаметру заземления, устанавливают их на расстоянии х
одно от другого. Пропустив через заземление тот же ток /, нахо-
дят контактное сопротивление
„ 1 / U’ 4рр% \
к
173
где U' — разность потенциалов, приложенная к заземлению;
рр — удельное электрическое сопротивление глинистого раствора,
в котором находится заземление.
Определив RK, рассчитывают искомый коэффициент заземле-
ния
U-£
2х
_ р₽
3 D
^Рр
(351)
§ 23. СОПРОТИВЛЕНИЕ ЭКРАНИРОВАННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
ЗАЗЕМЛЕНИЯ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
В методе экранированного заземления определяют сопротив-
ление RA цилиндрического (см. рис. 54, г, д, е, ж) или плоского
заземления А (микрометод сопротивления экранированного за-
земления), (см. рис. 54, и, к), экранированного одним (см.
рис. 54 и, к) или двумя (см. рис. 54, г, ж) однополярными с ним
заземлениями Э. При этом сопротивление экранированного зазем-
ления и эффективное сопротивление могут быть измерены тремя
способами: 1) без непрерывной фокусировки тока экранирован-
ного заземления (см. рис. 54, г, д); 2) с непрерывной фокусиров-
кой этого тока (см. рис. 54, ж, з, к); 3) с введением поправки за
влияние скважины и ограниченные размеры изучаемых объектов
(см. рис. 54, е). Последниё два способа позволяют определять
удельное сопротивление пород со значительно большей точ-
ностью; в настоящее время преимущественно применяются
именно они. В этих способах эффективное сопротивление изме-
ряют трехэлектродным (см. рис. 54, е) и семиэлектродным (см.
рис. 54, ж, з) или четырехэлектродным (см. рис. 54, к) зон-
дами.
Теория трехэлектродного цилиндрического зонда основана
на теории экранированного цилиндрического- заземления без
непрерывной фокусировки тока для однородной среды. Поэтому
изложение теории экранированного цилиндрического заземления
начнем с рассмотрения этого случая.
При одинаковых потенциалах измерительного и экранирующих
заземлений цилиндрическое экранированное заземление (исходя
из положений, изложенных в § 21) можно заменить эллипсоидом
вращения (см. рис. 57, б) с большой осью, равной сумме L3 длин
измерительного и экранирующего заземлений, и малой осью,
равной их диаметру d3.
Поверхность эллипсоида в цилиндрической системе координат
с началом, расположенным в его центре, и осью Z, направленной
вдоль его большой оси, удовлетворяет уравнению (331).
Ток, отдаваемый измерительным заземлением, распростра-
няется в пространстве, ограниченном двумя сопряженными по-
174
верхностями S' и S" двухполостного гиперболоида, уравнение для
которого было приведено ранее (см. уравнение (335)]:
Так как у экранированного зонда ось 2т| гиперболоида меньше
дины I измерительного заземления и,
следовательно, значи-
тельно меньше общей длины L3 экранированного и экранирующих
заземлений, а также меньше диаметра d3 зоида, то (см. формулу
(342) ]
(352)
Решая уравнение (343) относительно ц2 и учитывая при этом,
что в экранированных зондах I L3, получим
Г)2
/,2
(353)
Подставив найденные значения т|
и х2 в уравнение (335),
приведем его к явному виду
Экранированное заземление обычно устанавливают посредине
между двумя экранирующими заземлениями одинаковой длины.
На этом участке при L3^> I эквипотенциальные поверхности,
ограниченные поверхностями тока S' и S", с достаточным прибли-
жением можно считать цилиндрическими х. Таким образом, за-
дача определения сопротивления экранированного заземления
сводится к отысканию радиального сопротивления цилиндриче-
ской области, ограниченной сверху и снизу поверхностями S'
и S" двухполостного гиперболоида. При пересечении двумя беско-
нечно близкими цилиндрическими поверхностями с общей осью,
совпадающей с осью заземления, и радиусами, соответственно
dr dr tf
равными г = -т— и г -|—т-, поверхностей гиперболоида S' и S"
выделится цилиндрический объем высотой 2х, средним радиусом г
и толщиной dr. Радиальное электрическое сопротивление этого
объема
2лг2г
р dr
4лгг *
1 Возможность замены части поверхности эллипсоида, заключенного между
поверхностями гиперболоидов, цилиндром будет подтверждена ниже иа примере
расчета экранированного эллипсоидального заземления, электрическое поле ко-
торого эквивалентно полю цилиндрического заземления длиной L3 > d3.
175
где р — сопротивление среды, заключенной между цилиндриче-
скими поверхностями: z — расстояние от плоскости 00 симме-
трии до поверхности гиперболоида.
Так как [см. уравнение (335) J
00 00
2
Подставив значения т] их из равенства (352) в (353), получим
(354)
или
где
Формула (354) справедлива и для эллипсоидального заземле-
ния, для которого она может быть получена следующим образом.
Сопротивление экранированной части заземления
Ra =
Уз
1а ’
где U3 — потенциал заземления; IА — ток, отдаваемый экранированной частью
заземления,
/А ~ j j ds — — j En ds-
S3
176
Но так как 1см. формулу (337)]
Уз = ж|п
и при
и далее
1 dU
In
pf
1п
з з
3 =
и
pf
4л К(£2 - П2) (Г — /2)
= к-'» Ч' - п
то
7) 2Л
0 0 4л V (£* - п2) (V - Р) f ' ' f
И
А "
_______In j
2nd3 |/ Ь3 — I
/Т)
р
4лт)
В связи с тем, что z ~ и при z = //2, где I — длина экранированной части
электрода,
Т| = -=-
А —
Р^з
<72
72
что и требовалось доказать [см. формулу (354)1.
177
В неоднородной среде
Ra =-------In (Е, + /К - 1
(355)
Эффективное сопротивление, измеренное экранированным зон-
дом,
Ra — K»Ra>
(356)
здесь К3 — коэффициент экранированного заземления;
отношен ие
(357)
— безразмерная величина.
При значениях Z < £3 и L3 > 2,5 коэффициент К3 зависит
только от отношения L3/d3 (рис. 59).
При малых значениях L3/d3 теоретическая кривая К3/1 =
= / (L3) располагается выше экспериментальной, что объясняется
изолированностью торцевых поверхностей зонда. Вследствие этого
токовые линии сжимаются вблизи измерительного заземления
в большей степени, чем при эллипсоидальной поверхности зонда,
для которой выведена формула (357), что приводит к возраста-
нию Ra и, следовательно, к уменьшению К3. Различие в сопро-
тивлениях действительного и
К -
Рис. 59. График функции—р- = f (L3)
для экраиироваииого зонда.
Кривые; 1 — теоретическая; 2 — экспери-
ментальная
эллипсоидального зондов тем
меньше, чем больше отноше-
ние Ljd3.
Коэффициент зонда, опре-
деленный по эксперименталь-
ному графику Kjr = f (LJd^
является более точным по
сравнению
найденным
формуле (357), особенно
малых размеров зонда -
<2,5.
по
178
При измерении сопротивления экранированного заземления
по потенциальной схеме
/
и = iara = / * ra - I-J- ra =»
Ъ ^3 Ьз Лэ
где 1 и 1А — сила полного тока, питающего экранированный
зонд, и части его, проходящей через экранированный электрод Л.
В этих условиях
и I
I ~ L3
____I Рэф ____ Рэф
Ьз Кэ Кэ, п
— коэффициент экранированного заземления
рении его сопротивления по потенциальной схеме;
(358)
при изме-
(359)
§ 24. СОПРОТИВЛЕНИЕ ЭКРАНИРОВАННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
(И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО) ЗАЗЕМЛЕНИЯ В СКВАЖИНЕ,
ОКРУЖЕННОЙ СРЕДОЙ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ МОЩНОСТИ
Если среда, окружающая экранный зонд, в радиальном .на-
правлении неоднородна и незначительно отличается по удельному
сопротивлению от глинистого раствора, то при достаточно большой
длине зонда ~~ > 1 (тем большей, чем выше различие в указан-
ных сопротивлениях) и большой мощности изучаемой среды линии
тока от экранированного заземления имеют конфигурацию,
близкую к их конфигурации в однородной среде. В этом случае,
проинтегрировав элементарные приращения сопротивления от
поверхности заземления до бесконечности, получим
где dc — диаметр скважины; рп и рр — удельное сопротивление
пород (пласта) и глинистого раствора; величина Л определяется
формулой (353).
Следовательно [см. формулу (356) ],
179
где
(360)
При наличии зоны фильтрации глинистого раствора с удельным
сопротивлением рзп = р (г), в общем случае изменяющимся
в
радиальном направлении
Рэф —
4лт)
Рр
1п
(361)
Формулы (360) и (361), как было сказано выше, определяют
эффективное сопротивление достаточно точно лишь в том случае,
когда длина экранирующих заземлений достаточно велика, при-
чем тем больше, чем значительнее отличаются рп и рзп от рр и
чем больше диаметр скважины dc. При малой длине экраниру-
ющих заземлений при рп рр и р311 рр ток от зонда стремится
растекаться не в породы, а в скважину. В связи с этим область
истечения тока из электрода А увеличивается и его сопротивле-
ние Ял уменьшается. Таким образом, исходные условия, для
которых выведены формулы (360) и (361), нарушаются, что иллю-
180
Рис. 60. Зависимости Рэф/Рр OTdc/d3 («) и рЭф/рр от рп/рр (б) для экранированного
цилиндрического заземления в случае пластов иеограничеииой мощности прн
£3/d3 = 5.
Шифр кривых — Рп/Рр (а) и djd3 (б). Непрерывные кривые рассчитаны по формуле (360),
пунктирные получены иа электроинтеграторе
стрируется рис. 60. На этом рисунке приведены зависимости
Рэф/рр = f (dcld^ для различных значений р и Ljd3 — 5,
рассчитанные по формуле (360) и определенные экспериментально.
Значительное уменьшение эффективных сопротивлений, полу-
ченных экспериментально, по сравнению со значениями рэф,
рассчитанными по формуле (360) для > 1, объясняется возра-
«з
стающим ответвлением экранирующего тока в глинистый раствор,
о чем говорилось выше.
Для максимального исключения влияния электрической не-
однородности пород на характер распространения тока от экра-
нированного заземления используют специальные схемы измере-
ний. В этих схемах вводят поправку за влияние скважины й огра-
ниченные размеры изучаемого объекта (трехэлектродный зонд)
либо осуществляют автоматическую фокусировку тока заземле-
ния А (семиэлектродный или фокусированный зонд).
Поправка за влияние скважины и ограниченные размеры изу-
чаемого объекта в трехэлектродном зонде заключается в приве-
дении тока iAt проходящего через центральное (экранированное)
заземление Л, к его значению IА в том случае, если бы зонд на-
ходился в однородной среде йли если бы поверхности, разделя-
ющие неоднородности, были эллипсоидами, софокусными с по-
181
Рис. 61. Зависимости отношения рэф/Pp от рпфр для экранированного зонда с фо-
кусировкой тока.
^эф, ф — м’ — 0,065 м; рэп = рр. Шифр кривых — dc в см
верхностью заземления. В последнем случае эффективное сопро-
тивление определяется формулами (360) и (361), причем
1А I *
—7- = — — const,
/ L3
где / — суммарная сила тока, питающего заземления А и
В дальнейшем сопротивление заземления RA и эффективное
сопротивление рэф будем рассчитывать по формулам
п С3 L3 1А Ra .
Ra
э. П ; ,Т
(362)
_ _Ra ♦______is
Рэф — _ * Рэф — Л з, п
Яд
где U3 — потенциал экранированного заземления; iAHA — отно-
шение тока, проходящего через заземление А в данной неодно-
родной среде, к току, проходящему через это заземление в одно-
родной среде (при 1 = const); — коэффициент экранирован-
ного заземления при измерении RA по потенциальной схеме [см.
формулу (359) ]; и р^ — сопротивление заземления А и эффек-
тивное сопротивление, рассчитанные без введения указанной
поправки.
182
При интерпретации данных исследования скважин используют
палетки, рассчитанные по формулам (360) и (361), или определен-
ные экспериментально на электроинтеграторе. Получаемые при
этом результаты будут тем точнее, чем больше LJd3, h/L3 и меньше
различие удельных сопротивлений пород и глинистого раствора,
причем точность определения р:ф получается несравненно более
высокой, чем это показано на рис. 60. На рис. 61 приведены за-
висимости от (—) для различных диаметров скважины
Рр \ Рр /
при отсутствии зоны проникновения фильтрата глинистого рас-
твора сопротивления pJn, отличающегося от рр и рП.
§ 25. СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО ЭКРАНИРОВАННОГО
ЗАЗЕМЛЕНИЯ
Для определения сопротивления экранированного заземления в форме диска
введем цилиндрическую систему координат (г, ?, ф), начало которой расположим
в центре заземления, а ось Z системы направим перпендикулярно к его плоскости.
Обозначим через г радиус заземления и через г. радиус его экранированной
3
части.
В практике геофизических исследований скважины, как об этом говорилось
в § 22, дисковое экранированное заземление устанавливают иа изолирующей пла-
стине. Если поверхность этой пластины намного превышает поверхность заземле-
ния, то для определения силы тока /д, эмиссируемого экранированной частью А
плоского заземления, можно воспользоваться формулой (277).
В том случае, когда заземление расположено в плоскости раздела двух сред,
из которых одна имеет бесконечно высокое удельное сопротивление, а вторая
(однородная и изотропная) — удельное сопротивление р, сила тока
(363)
откуда
(364)
Если размеры изолирующей пластины ограничены, то в последней формуле
вместо цифры 4 следует подставить коэффициент 0, изменяющийся от 4 до 8 в за-
висимости от соотношеиня размеров поверхностей пластины и заземления.
Таким образом, коэффициент дискового экранированного заземления
(365)
Так как значения полной силы тока, отдаваемого экранированным заземле-
нием,
U U$r3
Rs р
(366)
то
(367)
183
Это соотношение, справедливость которого аналитически доказывается для
предельных значений (5, может быть использовано для приведения силы тока /д
экранированного заземления к его значению в случае, когда изучаемое полупро-
странство однородно и изотропно илн состоит из однородных и изотропных сред,
разделенных поверхностями, конфокальными поверхности заземления, условно
принимаемой за эллипсоид вращения с большой полуосью р и фокусным расстоя-
нием Д равным г3.
В этом случае, если размеры изолирующей поверхности значительно превос-
ходят размеры заземления н осей поверхностей раздела сред, потенциалы в каж-
дой среде удельного сопротивления р/ определяются выражением (см. § 22)
U[ = arcsiи — +
2л/ р 1
причем в последней n-й среде Сп ~ 0. Постоянные С, находятся из граничных
условий
• (368)
Так, например, при трех средах удельных сопротивлений рь р2 и р3, неогра-
ниченных размерах плоскости, иа которой установлено заземление, и / = г3:
и* = arcs5n + С*'
^=2^
arcsin + С,
р
л Фз . -О
С/3 ~ — arcsin
2пг3 р
откуда согласно (368)
2^- (Рз - Рз) a resin —;
С, = -к— (р2 — рх) arcsin — + (ря — р2) arcsin —,
z лг з Pj р»
где pt и р2— большие полуоси конфокальных поверхностей раздела.
Следовательно,
2лг3
Pi arcsin — + (р2 — рО arcsin — + (Рз — р2) arcsin —
Р Pi Ра J
На поверхности заземления, полагая р = р3 = г3, получим
1 + ~ ( ——— arcsin — + ——^-arcsin . (369)
4r3 L 1 л \ pi Pi Pi Р2 / J
Таким образом, в рассматриваемом случае сопротивление экранированного
заземления
(370)
при
< 0,5 и, следовательно, — < 0,5 с точностью до 5%
Pi Р2
Р2 Р1 Г 3 Рз — Р2
Pl Pl Р1
(371)
184
Полное сопротивление заземления Ra'b неоднородной среде связано с ее
эффективным сопротивлением соотношением, аналогичным (365):
Р>Ф
(372)
=------
4лг3
2
Поэтому, решая равенства (370) и (372) или (371) и (372) относительно рэф,
можно получить зависимости рэф от удельного сопротивления и размеров сред,
слагающих неоднородное пространство.
Наиболее интересным является изучение зависимости рэф от р2> р3 и расстоя-
ния с от заземления до поверхности раздела сред вдоль оси Z. Заменив в форму-
лах (370) и (371) р па Vс2 + f2 ж |/с2 + г2 , а также воспользовавшись зависи-
мостью (372), получим формулу, определяющую величину рэф:
Рэф — Pl I 1
arcsin
arcsin
2
2
Рз-
где н с2 — расстояние по оси Z от поверхности заземления до второй и третьей
сред с удельными сопротивлениями р2 и
При — >- 2,6 с точностью до 5%
Рэф = Pl { 1
В случае одной границы раздела последние две формулы принимают вид:
рэф — Pi 1
arcsin
л
2
Рэф — Р1
Рз
Р1
При измерениях рэф с помощью контактного экранированного заземления
в форме диска эффективное сопротивление рассчитывается по формуле
= ргз Ц- -4г- = Кэ ,
Рэф — Кэ
где / и /д — полная сила тока и ее доля, проходящая через все заземление и его
экранированную часть в однородной среде; /д — действительное значение тока /д
в данной неоднородной среде, измеряемое на эталонном сопротивлении, включен-
ном между электродами А и Э,
На рис. 62 показан характер зависимости -^4-=/^-^-) (рис. 62, а) при
Pi \ Pi /
различных значениях — и L) (рис. 62, б) при различных значе-
f з Pi \ гз /
ниях — и р = 4. Как видно, отношение пропорционально отношению—,
Pi Pi Pi
j? рэф
что позволяет в благоприятных условиях эффективно использовать измерения —=
для определения р2 при малом значении Cj/r3 или р! прн большом значении cjr3.
185
Рис. 62. Зависимости отношения Рэф/pj от р2/р! (а) и с^Гз (б).
Шифр кривых — с /г (а) и р /р (б)
х о а х
§
26» ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЕМИЭЛЕКТРОДНОГО
ФОКУСИРОВАННОГО ЗОНДА
Семиэлектродный и четырехэлектродный (скользящий) фоку-
сированные зонды состоят из двух и Э2 (см. рис. 54, ж. з) или
одного Э (рис. 54, к) экранирующих заземлений, среднего экрани-
рованного заземления А и четырех Мх, М2 и Aflt N2 (попарно
замкнутых между собой, рис. 54, ж, з) или двух М и N (рис. 54, к)
контрольных электродов. При истечении тока из заземления А
по радиусу к оси зонда (оси скважины) разность потенциалов
между электродами М и N равна нулю. При нерадиальнрм исте-
чении тока между электродами М и N возникает разность потен-
циалов. Эта разность потенциалов (в зависимости от ее знака)
указывает на необходимость увеличения или уменьшения плот-
ности экранирующего тока для обеспечения радиальности исте-
чения тока из заземления А. Регулировка экранирующего тока
осуществляется автоматически с помощью специального устрой-
ства.
Так как электроды А и Э вследствие их малых размеров могут
считаться точечными, то в том случае, когда изучаемая среда
однородна, условие равенства потенциалов
контрольных электродов М н N позволяет получить соотношение
между токами /3/2 и 1А
}а ,о АМ1А^(Э2М1Э^1-Э1М1Э1^) ’
(373)
При этом соотношении
откуда
4л
Ум _Ум
1а “Лэ’’ 1А ’
(374)
(375)
=- -н * д -По
АМЪ
где КЭ)7 — коэффициент фокусированного семиэлектродного
зонда, определяемый по формуле
4л
=4л
__________AMj______________
_______£ «ЭрЭд_____________
ДА^ (^ЛГ, 3^ — 3^
187
— 4л
AMi
Э2Ь/г
ANt (AM! + AN])
4nAMj AN! (AMj + AN])
AN] (AM] + AN]) + (^ф-) — an]
\. w X
4n4Mt ANi (^Mj + AN])
ТТГ ~Г\Г I ( 3132V
AMi ANV + I —j
V £ у
(376)
Если изучаемая среда неоднородна, то при наличии симметрии
в распределении удельного сопротивления относительно плоско-
сти, проходящей через заземление А и перпендикулярной к зонду,
UM = UN = UAM + пи (С/м1 + С/л/)>
где U*m \ Um ’* и (Ум’* — потенциалы1 В точке М, созданные
источниками электрического поля, соответственно находящимися
в точках Д, иЭ2 и эмиссирующими токи силой 1Л и /д/2; т)и —
отношение экранного тока к току, проходящему через электрод А
в данной неоднородной среде;
_ (рк, Avj AMj ~ Рк, AM, ^^1) ^2^1
Рк, ^2^1 *^1^1 ^2^1 "I" Рк, Э2лл ^2^1 "I" .
+ Рк, 3iNt *^1^1 *^2^1 ^2^ l + Рк, ЭгЛ^ *^1^1 *^2^1
здесь Рк Рк,ЛЛ^’ Рк.^М/ Рк.ЛЛ// Рк, 3tAV Рк, э2л\ ка“
жущиеся сопротивления, измеренные потенциал-зондами раз-
мерами ДМх, ДУЬ ЭХМЪ 3iNu Э2МЪ
В тех случаях, когда расстояние между электродами М и N
семиэлектродного зонда стремится к нулю, Рк дд?Рк д^й,
Рк.эм] "^Рк.эл, Рк, зТм? Рк,ДМ1 ->ДУр 51Л^1 —>Э]М1
и $2Nl 32MV
При этих условиях, обозначив = Э2Д = и АО =
== ДМ через L3t7 и LOt7, получим
1 Значения этих потенциалов в зависимости от характера неоднородности оп-
ределяются соответствующими формулами, приведенными в § 12—16.
188
где — напряженность электрического поля,
созданная заземлениями Д, Эг и Э2 в точке О;
Рк, АМг (^э, 7 ~ 7)2 (^э, 7 + Lo 7)2
[Рк, ЭМ? (^э, 7 + Ч 7)2 “
“Рк, Э^л(^э, 7“ LOt ?)21
_ ’ Г Р/1Л1,
Рэ* 4л L L0, 7
Рк. AMi
________ЛЛГ________
Рк, Рк.эТм?
(Ж)2 (W2
На рис. 63 приведены зависимости Рэф/рр от ри/рр для пласта
удельного сопротивления рп и неограниченной мощности, пересе-
ченного скважиной, заполненной глинистым раствором удельного
Аф /ри
0,20,3 0,50,71 2 3 5 7 10 2030 5070100 200300рп/рр
Рис. 63. Зависимости отношения рэф/рр от Рг/Рр для двухслойной среды.
= 10’ 3J9JMN — 20. Шифр кривых — параметр фокусировки зонда q
189
Ab /Рр
Рис. 64. Зависимости отношения рэф/рр
от рп/рр Для семиэлектродного экрани-
рованного зонда при неограниченной
мощности пласта.
При наличии зоны проникновения филь-
трата глинистого раствора Рзп= 20р ,rfc =
= 248 мм, L3 ? = 1,25 м, q = 2,5; Шифр
кривых — D/dc
сопротивления pD для = 10,
” «с
значений параметра фокусировки
20 и для различных
МЫ
АО АО
а на рис. 64 — зависимости Рэф/рр от рп/рр и D/dc при наличии
зоны проникновения фильтрата глинистого раствора удельного
сопротивления рзп > рп и > рр [461.
Эффективное сопротивление при этих условиях рассчитывается
по формуле' (см. также § 15)
{00
-=1— + 4 J С₽cos 4-
ЬО,7 Л о
ОО
+j СР (т) cos mLOt 7 dm +
” о
ОО II
+ 4- j Ср (m) cos itiLq, 7 cos mL,, 7 dm 11; (377)
0 JJ
190
00
J mCp (tn) sin m(L$,
о
— Lo, 7) dm —
sin mLot 7 dm
j mCp (т) sin т (Ьэ,, + Lq, 7)dm
о
j m Cp (m)slnm Lq, 7 dm
0
(378)
Л —о 1 — —
—----4£0 7 I mCp (т) cos mL^t 7 sin mLot 7 dm
*ю *
0
Вторым параметром, представляющим интерес при проведении
замеров эффективного сопротивления семиэлектродным фокуси-
рованным зондом, является отношение тока, проходящего через
0,1
0,1 0^ 0,5 1 2 5 10 20 00 100 250 5001000 2500 5000pn/p9
л
0
Рнс. 65. Зависимости параметра J от параметра {/-эквивалентности (а) и от
Рп/Рр (б)-
Шифр кривых — Рд/Рр
191
a
в
Рис. 66. Кривые эффективного сопротивления против пластов высокого сопротив-
ления разной мощности.
о - Рп = ,0°Рр- Рвм = Рр> 6 - 0п = 100Рр- Рвм = 10рр: в - 0ц = 10°Ор- р! = Юрр.
Оз = Ор
экранирующие электроды в неоднородной среде, к его значению
в однородной среде:
j__ 1э< н — Лд. = (Рк- ~ Рк, ам, х
/э>° По рк, этй; V^’i VS +
X AM^AN'l(32Ml32Nl— SjAfjSjN,)
Рк, Э^Г, Э1М1 9iNi *Л+Рк, 3JV] 9lMt Ml Ml+Рк, Э^Г, ЭУМХ Э2М1 9lNl
при MN •-> О
7 . Рк, Д0р202-М)
Рк, Э?О^2^ — Рк, э^д^Р*
4Рк, Lo ,^,^0.7
----------77----Г7 42 X----------77-----J--йГ • (379)
Рк (*», ,-Ч 7) (Ls> 7 + L°- 7> “ Рк (Ч, 7+tO, 7) (£э- 7 “ L°- ?)
На рис. 65, б приведены зависимости J = f (рп/рр) для q = 1,5
и q = 0,5 при AO/dc = 2 для рзп = рп и на рис. 65, а кривые
J = f ((/) при рп/рр = const (шифр кривых) для q = 1,5, q =
= 0,5 и -4^- = 2.
de
Как видно, интенсивная зависимость J от рп/рр наблюдается
либо при малых значениях q, либо прн очень высоких отношениях
Рп^Рй-
Характер кривых рэф при пересечении пласта ограниченной
мощности экранированным зондом проще всего может быть уста-
новлен с помощью электроинтегратора. На рис. 66 приведены
кривые Рэф = / (г), полученные этим способом во ВНИИГеофи-
зике [461.
Когда распределение сопротивлений не симметрично отно-
сительно плоскости, проходящей через заземление А, и перпен-
дикулярной к оси зонда, потенциалы электродов Мх и М2,
и N2 не равны и отличаются от потенциала для симметричного
распределения сопротивлений на величину дополнительного по-
тенциала, в общем случае разную для каждого электрода.
§ 27. METOJ
РАЗНОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЙ ЗАЗЕМЛЕНИЙ
В методе разности сопротивлений заземлений в скважину опу-
скают шаровой зонд; он состоит из измерительного заземления А,
образующего шаровой пояс, и двух соединенных между собой
заземлений Сь С2 сравнения (см. рис. 54, л). Заземления С рас-
положены по обе стороны от измерительного заземления А и их
суммарная поверхность равна поверхности заземления А 1451.
При питании заземлений Л и С током силой i, равной половине
общего тока I, в питающей жиле кабеля между заземлениями А
и С возникает разность потенциалов
7 Дахиов В. Н. 193
а
Рис. 67. Зависимости отношения‘Дрэф/pp от tf3/dc при 6 >> dc для зонда разности
сопротивления заземлений.
8
о 0,2 0,6 0Jd3/cfc
а — палетка РСЗ-1, зонд расположен на осн скважины; б — палетка РСЗ-2, зонд нахо-
дится у стенки скважины. Шифр кривых — Ра/рр
ДС/ = UА — Uс = -g- /?л,п--Rc,n =
= ~2 1Я» + Ra, к — (Rc + Rc, к)] = (Ra — Rc) = —>
где RA a и RCt n — полные сопротивления заземлений Л и С;
Ra и Rc — сопротивления тех же заземлений без контактных
сопротивлений RAtK и RC)K, близких одно другому вследствие
небольших различий в плотностях токов, проходящих через
заземления Л и С; Д7? — разность сопротивлений RA и Rc.
Заземления сравнения С расположены со стороны ствола
скважины и их сопротивление Rc в малой степени зависит от со-
противления пород, окружающих скважину. Заземление Л обра-
щено к изучаемым породам и его сопротивление RA в основном
определяется их удельным электрическим сопротивлением. Сле-
довательно, разность сопротивлений Д7? = RA — Rc будет за-
висеть главным образом от сопротивления изучаемых отложений;
Д/? будет возрастать на участках скважины, сложенных породами
высокого сопротивления.
Так как поверхности заземлений Л и С равны, то
„(Л) о<4> о<9 О<С)
р ___ рэф_____Рэф и р ______ Рэф _ Рэф
КА— ~ Кя ” Кс— Л4з Кз ’
194
где и р!ф> — эффективные сопротивления сред, расположенных
со стороны заземлений А и С; d3 и К3 — диаметр и коэффициент
шарового зонда, К3 = itd3.
В породах относительно небольшого сопротивления
Р1ф‘» Рр,
= 2 = — = "2КГ Дрэф’
где
Дрэф Рэф Рр== К3 Д/?.
На рис. 67 изображена серия кривых, определяющих зависи-
мость Дрэф/рр = f (d3/dc) при рП/рр = const.
Эти кривые получены экспериментально на электроинтеграторе
для случая, когда h dc. Как видно, смещение зонда с оси сква-
жины вызывает изменение величины Дрэф.
Разность эффективных сопротивлений Дрэф в основном зависит
от удельного электрического сопротивления пород, непосред-
ственно прилегающих к стенке скважины. Поэтому при наличии
зоны проникновения фильтрата глинистого раствора Др^
определяется преимущественно сопротивлением рзп этой зоны.*
§28. МЕТОДЫ РЕГИСТРАЦИИ ТОКА И СКОЛЬЗЯЩИХ КОНТАКТОВ
В основе теории метода регистрации тока
лежит теория метода сопротивления заземления. Сила тока
в линии
I Е
А +
где — сумма всех сопротивлений цепи Л В, за исключением
сопротивления заземления Л.
Сопротивление пропорционально эффективному сопротив-
лению /?Эф среды, окружающей заземление:
Р — Рэф
С увеличением на Д/?л при Д/?л < SR + сила тока
в цепи АВ уменьшится на
(380)
Таким образом, при пересечении заземлением А пород разного
удельного электрического сопротивления сила тока будет изме-
няться пропорционально Дрэф. Сила тока будет возрастать на
участках разреза скважины, сложенных породами пониженного
сопротивления, и уменьшаться против пород повышенного сопро-
тивления. Прн сферическом заземлении радиусом r3 (f(3 == 4лгэ)
7* 195
ы = -
1
4лг3
При цилиндрическом заземлении радиусом г3, длиной L г3
1п —
= 4л77 - ^~2ГДрэ*’
I Я + Рэф “4^
В методе скользящих контактов заземле-
ние А обычно выполняют в виде щетки, изолированной от глини-
стого раствора и соприкасающейся со стенкой скважины.
Если изолирующая пластина, на которой установлено заземле-
ние, имеет достаточно большие размеры по сравнению с его раз-
мерами, сопротивление заземления приближенно можно рассма-
тривать как сопротивление плоского заземления радиусом г3;
величина этого сопротивления
Рэф
4г3
Рэф
В связи с малым радиусом заземления А его сопротивление
значительно. Поэтому в методе скользящих контактов при отно-
сительно небольшом изменении сопротивления пород наблюдается
значительное изменение силы тока
обычно намного большее, чем в методе регистрации тока. При этом
для обеспечения пропорциональности между Д/ и Дрэф необ-
ходимо, чтобы £ Я + .
Если породы, окружающие скважину, имеют высокое эффек-
тивное сопротивление, то при малом значении R по сравнению
с при изменении /?л на Д/?д
откуда
Ra _ Ra + = 1а /д
Ra Ra I а Л4 + д/л’
_______। а ,ч Лдрэф Рэф
рэф — Рэф -+ Дрэф — /л _|_ д/л — J + ЫАЦА •
(381)
Из формулы (381) следует, что, зная силу тока / на участке
скважины с известным сопротивлением рэф и изменение Д/ силы
тока при переходе заземления в другую породу с эффективным
сопротивлением рэф, можно приближенно рассчитать величину
последнего \
1чПри использовании формулы (381) следует помнить, что при положитель-
ном значении Дрэф величина Д/ будет отрицательной, и наоборот.
Глава IV
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
И МАГНИТНЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ
РАЗРЕЗОВ СКВАЖИН
Электромагнитные методы исследования разрезов скважин
известны в двух модификациях: индукционный метод, исполь-
зуемый для изучения горных пород по их электропроводности а,
и метод магнитной восприимчивости, применяе-
мый для изучения пород по их магнитной [восприимчивости х.
Принципиальные схемы измерений этими методами изобра-
жены на рис. 68.
Наибольшее распространение получил индукционный метод.
Его преимущество перед обычным методом сопротивлений заклю-
чается в возможности применения его для изучения разрезов
сухих скважин и скважин, заполненных слабо проводящим
глинистым раствором, приготовленным на нефтяной основе. В этих
условиях, наиболее благоприятных для индукционного метода
исследования скважин, методы кажущегося и эффективного сопро-
тивления малопригодны, так как не обеспечивают достаточно
стабильного гальванического контакта питающего заземления
и измерительных электродов с окружающей средой. Другое
преимущество индукционного метода — особенность распростра-
нения токов, индуцированных в горных породах. Эти токи, про-
текая в слоях, перпендикулярных к оси скважин, в большинстве
случаев не пересекают границ пластов. Это облегчает определение
истинного удельного сопротивления пластов и позволяет более
точно устанавливать их мощности и положение границ (особенно
пластов низкого удельного сопротивления).
Зонд для индукционного исследования сква-
жин состоит из нескольких катушек, две из которых (питающая
и приемная) называются основными или главными.
Другие катушки являются фокусирующими и компенсационными.
Назначение ф О/К усирующих катушек — создать
в измерительной цепи э. д. с., обратные по знаку э. д. с., вызван-
ным токами, циркулирующими в скважине, в зоне проникновения
фильтрата глинистого раствора и в породах, вмещающих исследуе-
мый пласт, и тем самым повысить точность определения удельной
электропроводности изучаемых пород. Фокусирующие катушки
включены последовательно с основными, но их витки наложены
в направлении, противоположном направлению наложения вит-
ков основных катушек.
197
ГПК
Компенсационные
Рис. 68. Принципиальные схемы измере-
ния индукционным методом (а) и методом
магнитной восприимчивости (б)
ГК, /7К, ФГ, ФП и. К — генераторная, при-
емная, фокусирующая генераторная, фоку-
сирующая приемная и компенсационная ка-
тушки; ГПК — генераторно-приемная ка-
тушка; М — мост; Эг — электронный генера-
тор; У — усилитель; ФЧВ — фазочувствитель-
ный выпрямитель; АВ — анодный выпрями-
тель
катушки служат для исклю-
чения э. д. с., непосредственно индуцируемых магнитным полем
генераторных катушек в витках приемных.
Суммарное напряжение, возникающее на выходных клеммах
приемных катушек, усиливается в скважинном приборе, выпрям-
ляется фазочувствительным выпрямителем и далее подается иа
поверхность, где регистрируется измерительным прибором.
Составляющие (активная и реактивная) э.
индуциро-
ванных в приемных катушках магнитными полями генераторных
катушек, складываются алгебраически. Поэтому, при изложении
основ теории электромагнитных методов исследования скважин
рассмотрим лишь основы теории наиболее элементарного зонда,
состоящего из одной генераторной и одной приемной катушек.
Зная характер зависимости измеряемой э. д. с. от соотношений
между размером £и индукционного зонда и размерами изучаемых
сред (диаметрами скважины и зоны проникновения фильтрата
глинистого раствора, мощностями пластов), можно подобрать
наиболее оптимальное число фокусирующих катушек и расстоя-
ний между ними.
Теория индукционного метода и метода магнитной восприим-
чивости является общей; она основана на законах распростране-
ния электромагнитного поля в средах, однородных и неоднород-
ных по их электрическим и магнитным свойствам [47—52 L
Из магнитных методов исследования разрезов скважин в на-
стоящей главе рассматриваются лишь основы теории метода
естественного земного магнитного поля,
198
§ 29. ОДНОРОДНАЯ И ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА
При изложении теории электромагнитных методов как в настоя-
щем, так и в последующих параграфах этой главы будем исходить
из следующих положений.
1. Зоид состоит из двух катушек: генераторной ГК в приемной
ПК. Катушки установлены на общей оси на расстоянии L„ между
их центрами. Это расстояние в дальнейшем будем называть раз-
мером индукционного зонда. В частном случае (зонд магнитной
восприимчивости) генераторная и приемная катушки зонда могут
быть пространственно совмещены одна с другой.
2. Генераторная катушка высотой /г имеет пт витков радиу-
сом гг с площадью каждого витка sr = яг?.
3. Генераторная катушка питается гармонически изменя-
ющимся током с амплитудой /а, мгновенное значение которого '
где а — угловая частота, ю = 2л/ (f — частота тока); /ср — сред-
нее значение тока; т — время.
4. Приемная катушка зонда высотой 1п состоит из пи витков
радиусом гп с площадью каждого витка sn = лг„.
Изложение теории метода для однородной и изотропной среды
удельной электропроводностью о, магнитной проницаемостью ра
и диэлектрической проницаемостью 8а начнем с наиболее простого
случая, когда расстояние L„ между центрами катушек значительно
превышает их размеры (/г, гг, гп), что позволяет считать ка-
тушки точечными.
Электромагнитное поле, созданное генераторной катушкой,
тождественно полю переменного магнитного диполя с магнитным
моментом
М = Мае-‘'ат = nrsr/ae_/aT, (382)
где Ма — амплитудное значение магнитного момента, Ма = Sr/a
(здесь Sr — суммарная площадь витков генераторной катушки,
Sr = 5гЛг); /а — амплитудное значение тока, питающего катушку.
Ось магнитного диполя совпадает с осью генераторной катушки.
Переменный магнитный диполь создает в окружающем про-
странстве электромагнитное поле. Для определения составля-
ющих Е и Н этого поля воспользуемся системой уравнений Макс-
велла. При этом за исходное примем уравнение (56), согласно
которому напряженность электрического поля является ротором
вектор-потенциальной функции Ам или связанной с ней функ-
ции 1 По [см. формулу (69) ]. В этом случае [см. формулы (63),
(70) и (71)]
Е = —i(oua rot По
1 Индекс со» у П указывает однородную (зотропиую среду.
199
и тогда
Н = — (Л2ПО + grad div По) = —rot rot По,
где k2 — квадрат волнового числа среды, окружающей зонд;
<08а
= « е ра;
здесь е' — комплексная диэлектрическая проницаемость;
В связи со сферической симметрией задачи воспользуемся
сферической системой координат Полярную ось Z системы
(воображаемую ось скважины) совместим с осью зонда (осью
генераторной и приемной катушек и осью магнитного диполя,
эквивалентного генераторной катушке).
В данной системе вектор-потенциал По будет направлен па-
раллельно оси Z и, следовательно, будет характеризоваться
одной составляющей /7г>0. В связи с этим дифференциальное
уравнение, определяющее вектор-потенциал Пг< 0, будет иметь
следующий вид 1
-jr ТИТ (к‘ 7л) + - °- <мз>
Введя новую переменную В = По%, приведем уравнение (383)
к легко интегрируемому виду
Л2Й
+ k2B = 0. (384)
ок* ' ’
Частными интегралами последнего уравнения являются функ-
ции eikR и Q~ikR. Таким образом, общий интеграл уравнения (383)
будет следующим:
где Сг и С2 — постоянные.
В связи с тем, что вектор-потенциал По в бесконечно удален-
ных точках должен обращаться в нуль, а волновое число k имеет
положительную мнимую часть, постоянную С2 следует принять
равной нулю. Тогда
П0 = (\±ъ-. (385)
/\
1 В уравнении (383) и в дальнейшем индекс z у П для сокращения написа-
ния опущен.
200
В связи с независимостью вектор-потенциала от азимутального
угла Т и параллельностью его оси Z:
div Л. —(с, -g— С,е«« cos е; (386)
rot По = - Sin 0. (387)
Для определения постоянной воспользуемся формулой,
определяющей магнитный потенциал:
UM = div По = Ci e‘kR ~-^-cos 0.
В точках, расположенных на полярной оси (0 — 0),
e‘*R (ikR -1)
Я2
Из теории магнитного поля известно также, что потенциал
постоянного магнитного диполя
U
м 4 л/?2
Приравнивая правые части последних двух равенств при <о =
= 0 и учитывая, что при этом k = 0 и, следовательно,
e‘fcR _ j, получаем
М
4л
Таким образом, вектор-потенциал
ле а
По = -
° 4л а R
(388)
Электромагнитное поле при этом будет иметь только азиму-
тальную компоненту напряженности электрической составляющей
поля
Еф = Е = rot Лм = —йора rot /7о =
= 4 Ha^s. /ае-‘“т e‘ftR-V—L sin 0 (389)
и осевую компоненту Нг напряженности магнитной составляющей
поля. В точках, расположенных на полярной оси на расстоянии
R = z = LH от генераторной катушки [см. формулы (71) и (386)1,
MrSr/ae~f(0T etfeL>1 (1 — ikLii)
2л /3
(390)
201
Равенство (390) в случае постоянного тока (<л = 0, k = 0)
преобразуется в известную из физики формулу
о.
2л£3и
2L3 ’
определяющую напряженность магнитного поля иа оси цилиндри-
ческой катушки с полным сечением п,зг, питаемой током /а на
расстоянии L„ от ее центра.
В магнитном поле напряженностью Hz в приемной катушке
будет индуктироваться э. д. с.
л__ п _________ио _______ Z<Of*anrSr«asn т a-iax е —*^и) /опп
”п dt ~ "nSn dr---------2л----'ае 73 >
ьи
(где Ф—магнитный поток; В — вектор магнитной индукции),
среднее значение которой 1
СР -73-(1 - ikLJ <392)
При дальнейшем анализе формулы (392) учтем, что волновое
число — комплексная величина
£ср —• ^М-аР^г^г^п^п^
k = а 4- Ы,
Ь = 8а'.1а
При достаточно большом значении о <веа, с чем обычно
приходится встречаться при исследовании разрезов скважин
электромагнитными методами,
а = b = j/" = р л/ора.
Коэффициенты а и b имеют размерность м-1.
1 Формула (392) может быть получена н путем интегрирования значения £<р
по контуру катушки. В этом случае (при /? « 1и)
2Я
dl = g Ца^г^г^п^п/ае
о
etfeA?(l— ikR)r^da
Я5
.. , -'(ОТ iKL (1 — ikLn)
= </ga«rSrnnsn/ae е и -------------т—
ьи
и, следовательно, еср определяется формулой (392).
202
Подставив в формулы (390), (391) и (392) комплексное зна-
чение k, получим:
/ 0*®*^) /1 • г а /г у
JJ __ пг$г^а р-йдт е_______( 1 — <QLh 4~ ^и) _
2л с /3 “
И
_ -Ц(ОТ-а£и+гр) -ыи
2 е____________ *______
(393)
3
и
• j ч‘£(от [ia b) Lt
2л
И
i (fi>T-e£„+t) е~Ь1-я.
(394)
И
е°'а‘Ь) £и
#ср ” »3 ОН”
z—---------------------- е*
= ipafri, MnVcp /(1 + bL„)2 + (aLH)2--------------------3-------
(395)
ф = arctg
flL«
Из формул (393) и (394) следует, что вещественная часть а
волнового числа определяет сдвиг фазы напряженности магнит-
ного поля и результирующей э. д. с. относительно тока, пита-
ющего генераторную катушку, в зависимости от электромагнит-
ных свойств среды и частоты поля. В связи с этим величина а
называется также коэффициентом фазы.
Сомножитель b мнимой части волнового числа, входящий
в экспоненту в правой части формул (393), (394) и (395), характе-
ризует интенсивность затухания электромагнитного поля в за-
висимости от f, ца, о и еа и называется коэффициентом
затухания.
Рассматривая мгновенные значения напряженностей Н ма-
гнитного поля и э. д. с. в приемной катушке (а следовательно,
и мгновенного значения напряженности Е электрического поля),
изменяющихся периодически [формулы (393) и (394) J, можно
установить такие приращения Д£ и Дт, при которых фаза состав-
ляющих электромагнитного поля остается постоянной. Это будет
выполнено при условии соблюдения следующего равенства:
<от — aL„ -|- ф = <от + <0 Дт — aL„ — a &L„ -f- ф,
т. е. при
откуда
(оДт — аДЛ„ = 0,
И 7
ALH _ __ 2л/ __ 2л
Дт а а аТ ’
где Т — период изменения поля.
203
Так как отношение Д£и/Дт представляет собой фазовую ско-
рость v и так как произведение vT является .длиной волны %,
длина волны электромагнитного поля в среде с заданным значе-
нием а определяется формулой
А = — = 2л6,
а ’
где величина 6 = 1/а — называется толщиной с к и н -
слоя.
В табл. 7 приведены значения фактора F„t е = (соотно-
шения плотностей токов проводимости и смещения), коэффициен-
тов а, Ь, длины волны Л для различных пород и частот f электро-
магнитного поля и произведений aL„ и ЬЬЯ для L, = 1 м. Как
следует из табл. 7, а и в представляют собой в большинстве слу
чаев малые величины.
Воспользовавшись преобразованием Эйлера
е‘в£и = cos а£и i aL„,
приведем среднюю часть формулы (395) к следующему виду:
^ср
M<jMrsrnnsu^cpe “ .. . .... , . , г . .
------------------I» К* + &ЬИ)cos aLn + aLH sin а£и] -|-
+ [aLH cos aLH — (1 + bL^sinaL^]}.
(396)
Таким образом, э. д. с. гср, индуцированная в измерительной
катушке зонда, является суммой двух составляющих:
1) активной, находящейся в противофазе с током в генератор-
ной катушке,
^ср,а
--------3—------[(1 + £>LH)sinaLH — aL^cosaL^]:
2) реактивной
^ср, р
И г/1 I tr \ I I Т Т 1
-----------з— ------[(1 + bL„) cos аьи + аьи sin aLJ,
опережающей ток в генераторной катушке на л/2.
Среднее значение э. д. с., непосредственно индуцированной
в приемной катушке магнитным полем генераторной катушки
(прямой сигнал) при 6 = 0,
• о си *Ма/яг5гяп5п^ср /ол-7\
£р,п — — о , (397)
204
rt d
CM
CM
ст ст eo
e ч а н и e. Втаблице верхняя н иижияя строки указывают на диапазоны изменения параметров для каждой горной породы
Г CM
205
Рнс. 69. Графики функций f (aLu),
Ф (aLH) и 0 (aLH)
поэтому
^ср> а ” ^р, пе и Ю 4" ^и) X
X sin aLn — aL„ cos aLH; (398)
^cp, P = И l( 1 "Ь ^„) X
X cos aLH + aLK sin aLJ; (399)
при a = b, т. e. в случаях,
обычно наблюдаемых в прак-
тике геофизических методов
исследования скважин, в усло-
виях, когда о <08а,
^ср, а ” №pt rfi и [О + X
X sin aLa — aLK cos aLa]; (398')
^cp, p ” ^P> И 1(1 4" ^и) X
XcosaLH + аЛи sin а£и]. (399')
На рис. 69 изображены графики функций
еср, а*
еР» П
= f (аЬи),
еср, Р
еР, П
— Ф (иДи),
ер, доп
= <р (aL„) —
1 = 0 (aL„),
рассчитанные по последним формулам. Они показывают характер
зависимости активной и реактивной слагающих э. д. с. от пара-
метра определяемого волновыми свойствами среды, окружа-
ющей зонд, и размерами зонда.
Как следует из формул (398') и
f (aLH), <р (аЬи) и 0 (аЬ„) являются
функциями. При этом максимумы и
(399') и рис. 69, функции
периодически затухающими
минимумы функции f (аЬ„)
наблюдаются при значениях aLH = (k + л, где k = 0, 1,
2, 3, а максимумы и минимумы функций ф (aL„) и 0 (а£и) — при
значениях aL„ = kn.
В тех случаях, когда произведения al„ и bL„ не превышают
нескольких десятых долей единицы, разлагая L" в ряд
и ограничиваясь в произведении e<-ta~b}L« (1 + bL„ — iaL„)
членами, содержащими £и до четвертой степени, получим:
®ср; а -~ ^р, п
at> (а4 — />2)
2
206
8
В этих условиях при а = b
£ср. а == &р. п
ср, р — &р, п
Анализ приведенных выше формул для малого параметра dL„
дает возможность прийти к следующим выводам.
1. Активная составляющая э. д. с. в приемной катушке сла-
гается из основного сигнала, среднее значение которого
лц2/2лг«,лп5п/ а
Ко I ----------г-----—
(400)
пропорционально квадрату магнитной проницаемости среды, окру-
жающей зонд, ее электропроводности и дополнительного сигнала,
3 тг
величина которого в долях основного равна —yaL„. Дополни-
тельным сигналом можно пренебречь при aL„ 0,075. Дополни-
тельный сигнал, объединяющий второй и последующие члены
разложения ряда, возникает в связи с взаимным влиянием токов
(явлением скин-эффекта), индуцированных в среде, окружающей
зонд.
1 Если прн разложении в ряд произведения е и О + ~ iaLK)
не ограничиваться числом членов разложения, то при а= b формулы, опреде-
ляющие еСр, а н есР( р, будут следующими:
П =00
еср, а ер, п
/1=1
п
q2/i- I
2_______ 4n-2г 4n-2
(4л — 2)!
X (4л—3) —
If? ? a L -4_-_a3 L 3
4л~1и^ 16л2—1 и
П = со
е = е
ср, р р, п
71=1
o2ft-l
п _________ 4n-l j 4ft-1
(4л— 1)! °
4п — 1 , и
~ыаЬ -
2г 2
ьи
207
Рнс. 70. Зависимости ак-
тивной еа и реактивной ер
компонент э. д. с. от о1и,
рассчитанные по
н приближенным
лам.
точным
ор му-
лк
Графики функций, рассчи-
танные по точным фор-
мулам (398') и (399'):
1 - f (aL»>- 2 - ч> (aLH);
графики функций, рассчи-
танные по приближенным
формулам: 3 — а2£^, 4 —
a*LH - <^и- 5 — 1 —
- а®£*, 6 - 1 -
2. Реактивная составляющая э. д. с. слагается из прямого
сигнала, определяемого формулой (397), и дополнительной состав-
ляющей, величина которой в долях прямого сигнала
р< доп
При aLu < 0,066 доля ер>доп равна —т-а8£,и-
На рис. 70 показано сопоставление графиков функций f (aLu)
и <р (aL„), рассчитанных по точным формулам (398') и (399'), с гра-
фиками функций a2L-H---------г а8Ьн, 1 — aaL^ и 1 —а’Ьи +
рассчитанных по приближенным формулам
дл я qLи
< 0,8. Для активной составляющей влиянием скин-эффекта
можно пренебречь при aLH с 0,1. В этих условиях для рас-
чета еа с достаточной для практики степенью точности может
быть использована формула (400) Долля ([49] см. также
§ 33). При aLH < 0,2 реактивная составляющая может быть
/ 2 \
определена по упрощенной формуле ер = ePf п( 1-При
аЬ„ < 0,6 активная и реактивная составляющие с достаточной
для практики степенью точности удовлетворяют приближенным
формулам.
Токи, индуцированные в среде, окружающей зонд, имеют
только азимутальную составляющую; их мгновенная плотность
С • 1 П •£ „7 imr elkR (1 — ikR) sin 9 .
/Ф = rot n0 = ifopanrsr/ae-tWT-------—J;
ее среднее значение
/ф» ср
— ifo[ianrsrI ср
e<fejR(l -ikR)r
2R3
(401)
208
Среднее значение э. д. с., индуцированной в витке радиусом г
только переменным магнитным полем генераторной катушки,
еп = /соФ = /2л©ра j H^rdr = /4л2/ра J ( 3 C0S^—!
о о
3z2 _ 1
/?6 R3
»л/раЛг$г /с р
Я8
где М — магнитный момент тока, питающего генераторную ка-
тушку.
Плотность тока в этом витке
еп i/crfWW'/cp
J<p, п — — & 2пг — 2R3 — >
(402)
здесь Яг, ср — среднее значение напряженности вертикальной
составляющей магнитного поля на площади витка;
г> с₽ 2лК» ’
а — действительная составляющая волнового числа.
Ток плотностью jv,a сдвинут относительно тока, питающего
генераторную катушку, на л/2.
Подставив значение /ф, п в формулу (401), получим
/Ф,ср = /<₽,пеад(1-^).
Воспользовавшись преобразованием Эйлера, найдем, что вектор
плотности тока имеет составляющую, совпадающую с вектором
плотности тока, непосредственно индуцированного в витке магнит-
ным полем генераторной катушки,
/а = /ф, nQ~bR К1 -Г bR) COS aR + aR sin
и составляющую
/р = Ч'ф,пе-6Л[(1 -J- bR) sin aR — aR cos aR),
опережающую /Ф>|1 на л/2.
Формулы (403) и (404) устанавливают характер
плотности тока в зависимости от расстояния элемента среды,
в котором изучается плотность тока, от генераторной катушки,
электромагнитных свойств среды и частоты поля, определяемых
параметром aR.
Как видно, зависимость /а//Ф>п и /р//ф,п от aR аналогична
полученным ранее зависимостям ер/еР)П, eJeVta от аЬя. Вели-
чина /р, с которой связано возникновение активной составляю-
щей э. д. с. в приемной катушке, уменьшается с возрастанием R,
причем тем интенсивнее, чем больше /, о и р, что является след-
ствием скин-эффекта.
(403)
(404)
изменения
209
Так как р,а = р0 (1 + х) [где р,0 —магнитная постоянная»
х — магнитная восприимчивость], то прямой сигнал может быть
представлен суммой двух следующих величин:
/ ср
^р, п» в “* ?з
(405)
И
— прямого сигнала в воздухе и
^Х|ЛоМГ5ГЛП^п/Ср /лг\С\
tep, х --------73------ (406)
Ln
— приращения прямого сигнала, созданного магнитной воспри-
имчивостью среды, окружающей зонд.
В тех случаях, когда
хх 2 /,3,3
хНо “д” ® 7<иЦа,
т. е. когда можно пренебречь влиянием дополнительного сигнала,
разность
Д^р,Х = £р, п £р,п. в
пропорциональна магнитной восприимчивости среды, окружа-
ющей зонд.
Магнитная проницаемость изучаемых пород в большинстве
случаев, за исключением железорудных тел высокой намагничен-
ности, близка к Цо- Поэтому зонд для электромагнитных исследова-
ний скважин дает возможность получить два сигнала. Один из
сигналов £а, о пропорционален электропроводности вмещающей
среды (сигнал используется в индукционном методе исследования
скважин), второй ДгР)М пропорционален магнитной восприимчи-
вости этой среды (сигнал исполь'зуется в методе магнитной вос-
приимчивости)'
При исследовании разрезов скважин, не вскрывших железо-
рудных тел, ц! близко к Цо- В этих условиях
«^«rWn'cp
«а, 0 =---j-----
(407)
где коэффициент индукционного зонда определяется только
параметрами зонда:
nu^2nrsrnnsn/cp
и г
(408)
Формула (408) может быть использована и при изучении неодно
родных сред. В этом случае
Я(*2/2Пг$гПп5п/ср к -
£а,0 — 1 ®эф — ''нН ^эф’
(409)
где о9ф — эффективная электропроводность,
т. е. электропроводность такой неоднородной среды, в которой
210
при заданных параметрах зонда (пг, sr, пв, s„, Lcp, Lu, f) вели-
чина ea равна значению в однородной среде с удельной электро-
проводностью О = СТэф.
В том случае, когда размеры пг, /,., пп, Ln генераторной и прием-
ной катушек соизмеримы или превышают размер L„ зонда *,
решение задачи несколько усложняется [501.
Для решения -задачи в данных условиях заменим генератор-
ную катушку, однородно намагниченную (по закону М =
цилиндром равного объема (диаметр dr = 2гг и высота Z,).
Значение вектор-потенциала По в точке Р с координатами г
и г (в цилиндрической системе координат RzW, начало которой
совмещено с центром генераторной катушки) в этих условиях
определяется интегралом следующего вида:
2 Г2Я
У' (• ЛкА „ С С С
= -F-J АгdV = - Д’J JJ Аг^*^
V г /г о о
- ~
где tj, £, а — координаты элементарного объема dV цилиндра
с магнитным моментом CJV; V — объем генераторной катушки;
А — расстояние от точки с координатами г и z до элементарного
объема;
А = j/(z — £)1 2 + г]2 г2 — 2гт) cos а.
Для вычисления кратного интеграла в правой части послед-
него равенства воспользуемся известным из теории функции
Бесселя соотношением
г _ JkA
Ко (аи) cos mz dm = -н—т—
J £
о
где
и = ]/ т2 + fe2; а = V я2 + г2 — 2гт] cos а.
Но так как
У . (2 — п) Кп (ufj) In (иг) cos па da
(аи) =
П=оо
V (2 — 60) „) Кп (иг) /п (Htj) cos па da
при Г < Т],
при г я»
1 Например, в зонде метода магнитной восприимчивости, когда х изучается
по данным измерения индуктивности прйемной катушки, пространственно сов-
мещенной с генераторной катушкой.
211
где 60, л — символ Кронекера (60> „ = 1, если п — 0; 60, „ = 0,
если п =/= 0), то
00 оо
j / , (2 — 60j „) Кп (мц) 1п (иг) cos па cos (г — £) т dm
0 п=0
JkA
С
при Г < 7],
А
00 00
(2 — 60> rt) Кп (иг) In (uv^ cos па cos (z — Qm dm
о п=0
при Г Т).
В дальнейшем для сокращения изложения остановимся только
на решении для г > т]. В этом случае
2 Гг 00 2л п=«>
л»=-2^тг/ае-'“т ПИ 2(2-6°’n)/<n(ur)х
/г 0 0 0 п=0
X In (utj) dtj cos т (z — £) dm cos па da.
Учитывая, что
2л
J cos ла da =
о
О
2л
при п #= О,
при п = О,
после интегрирования по а получим только один член суммы,
соответствующий п = 0. Таким образом,
/г О О
Т
__ пГ
0 ” Л/т
Ко (иг) /0 (utj) cos т (z — £) t] dt] dm d£.
Для интегрирования no rj учтем известное из теории функции
Бесселя соотношение
dx = xnIn(x).
Полагая х — их\ и п = 1, будем иметь
2г.
оо 2
/70 = -/ae-'“Vr [ [ KQ (иг) cos т (z - £) dm d£.
nip J J
о /г
212
Наконец, интегрируя по £, получим
00
по == - I Ко (иг)
Л *Г 1 W
О
sin т
-------— cos mz dm =
т
00
P Zr
r I , , sinm-r-
= —i Ko(ur) 1 “Гг)-------------------cos mzdm.
V 1 0 v 7 и tn
о
(4Ю)
Э. д. с. в приемной катушке
x cos m (z — £) dm dt, — i 16nMa x
<r
Ki /ае-^т
П
sin tn -тг- sin tn -4L
cosmzdm. (411)
m2
о
Формулы (410) и (411) при значениях ra, гг, la, lt, стремящихся
к нулю, преобразуются в формулы (388) и (389). Действительнр,
при этих условиях
sin tn
sin m
и Л (urr)
urr
Тогда в соответствии
2 00
Па—>-----Iae~i<jyz f KQ(ur)cosmzdm = —
^vv J
0
с формулой
(410)
eikR
4л R~
□
213
а в соответствии с формулой (411)
== /2/)лапг5гппгп/ае"‘от J Kt (urn) и cos mz dm =
о
00
Э f
= —2f|j,anrsrnnrn/ae*tOT -& I Ko (urn) cos mz dm =
о
ihiafirsrfiIp„iafi-i<‘n -—"(13 ikLa}
Lu
R>r
среднее значение
ср —
e‘fcL” (1 - ikL„)
L3
При пг = n„ = n, rr = r„ = г и lT = ln = l, что принято
в зондах некоторых конструкций, формула (411) преобразуется
в формулу
(иг) 11 (иг)
sin2 tn -у
-----=— cos mz dm
m2
в более частном случае, когда генераторная и приемная катушки
и в оолее частном случае, когда генераторная и приемная катушки
пространственно совмещены одна с другой (зонд х), она имеет
вид
00
р I
2 i sln2m-^-
е = i 16л/ра () /ае-‘«»т 1 Ki(ur)Ii(ur)—dm.
\ V / 1
о
Возникновение этой э. д. с. можно рассматривать как следствие
наличия у генераторной катушки индуктивности
00
(» /
е / nr\2\ sm*m-y
L = «<о/ае_,а>т = 8На \“Г ) 1 (ыг) Zi (ыг) ^2—dm-
О
Если за Lq принять индуктивность генераторной катушки
в воздухе
оо
Р • 2 1
f'o = Зро (-7-) | К1 (mr) R (тг) —dm’
\ 4 / 1 (•€
о
214
то часть индуктивности катушки, созданная магнитными свой
ствами вмещающей среды,
00
Р 2 1
ALx = 8 ( 4г ) Ио* I Ki (иг) (иг) —-j— dm.
\ * / 1 I* *
о
Последнее равенство справедливо в том случае, если разность
оо
(* , , I
, I sin2 * * *m-y
ДЬдоп = 8р0 (4г)' 1 [К1(мг)/1(мг) — Ki(mr)Ii(mr)\—-5—dm
о
намного меньше ALX.
Таким образом, измерение индуктивности катушек в усло-
виях, когда и незначительно отличается от т, позволяет опреде-
лить магнитную восприимчивость среды, в которой находится
электромагнитный зонд (в данном случае зоид метода магнитной
восприимчивости).
Попутно укажем на возможность определения х по отноше-
нию [50], что позволяет исключить при расчете магнитный
момент генераторной катушки. Это необходимо для зонда метода
магнитной восприимчивости, у которого с целью повышения
чувствительности генераторная катушка снабжена ферромагнит-
н ым сер деч н и ком.
§ 30. НЕОДНОРОДНАЯ СРЕДА С КОАКСИАЛЬНО-
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА
При решении задачи, о распространении электромагнитного
поля в неоднородной среде с коаксиально-цилиндрическими гра-
ницами раздела 1 будем исходить из следующих условий.
1. Генераторная и приемная катушки зонда расположены
на расстоянии одна от другой на оси неограниченного цилиндра
(скважины) диаметром dc (радиусом гс).
2. Цилиндр (скважина) заполнен однородной изотропной сре-
ной с параметрами ор, еа,р = еоер, На, р —НоНр! квадрат вол-
нового числа этой среды
= (0 ^О^рНоНр == ®а, рРа, р ^а, рНа, р( 1 И- £ “77-) •
1 В практике этому случаю соответствует распределение электромагнитного
поля в скважине, пересекшей породы, электромагнитные свойства которых от-
личаются от электромагнитных свойств среды, заполняющей скважину, и мощность
значительно превосходит область, в пределах которой изучается электромагнит-
ное поле (размер электромагнитного зонда)»
215
3. Цилиндр (скважина) окружен неограниченной однородной
изотропной средой (породой) с параметрами <тп, еа, п = еоеп
и ра,п = РоРа! квадрат волнового числа данной среды
® ®O^nPoPn — ® ®а, nPa, п — ® ®а
qn
(Оба, и
4. Между внутренним цилиндром (скважиной) и окружа-
ющей средой (породой) допускается наличие промежуточной
среды —зоны проникновения фильтрата глинистого раствора
с цилиндрической внешней границей диаметром D и радиусом гзп.
Эта среда характеризуется параметрами озп, еа,зп = еоезп,
На, зп ~ НоНзп И
fe3n — (0 еоСзпРоНзп — яа
зпНа, зп — ^а, зпНа эц
q3n
®®а, зп
в общем случае отличающимися от <тр, <т„, ер, en, рр, рп, fep и k„.
5. Генераторная катушка питается гармонически измени*
ющимся током, мгновенное значение которого i = /ае~‘"х.
При решении задачи воспользуемся цилиндрической системой
координат Начало системы совместим с центром генератор-
ной катушки, а-ось Z — с осью коаксиальных поверхностей раз-
дела сред (осью скважины).
При решении задачи (как и в случае однородной и изотропной
среды, см. § 29) будем исходить из отыскания вектор-потен-
циала П, с которым напряженности электрической и магнитной
компонент поля связаны указанными ранее соотношениями:
Е = —t<o|xa rot П = ttt»pa -tjJ- ;
Н = — (Л2П + grad div П).
В связи с аксиальной симметрией задачи вектор-потенциал П
не будет зависеть от азимутального угла V; он будет параллель-
ным оси Z и, следовательно, определяться только одной состав-
ляющей Пг = П.
В этом случае дифференциальное уравнение, определяющее
вектор-потенциал П,
Д/7 = k2n = О
в цилиндрической системе координат примет следующий вид:
id
г дг
д*п
дг*
+ #77 = 0.
(412)
В каждой из сред функция П должна удовлетворять следу-
ющим условиям.
1. Вблизи источника поля (генераторной катушки) на рас-
стоянии R = ^г2 + г2 <£ гс функция П должна стремиться к вы-
216
ражению вектор-потенциала в однородной изотропной безгра-
ничной среде, т. е. при R = I г2 + г2 -> О
П — rk=Ct -_____= — / e‘iOT - р
"° С! R 4п /ае R ,
где пг, sr, /а, со, т, &р, R — известные нам величины.
Постоянная Сх определяется параметрами генераторной ка-
тушки, ее размерами, частотой и силой /а тока, питающего ка.-
тушку.
2. В бесконечно удаленных точках функции /7р, Пзи и /7П
в глинистом растворе, зоне его проникновения в породу и в по-
роде должны стремиться к нулю.
3. Электромагнитное поле должно быть симметричным отно-
сительно плоскости г 0, перпендикулярной к оси скважины
и проходящей через середину генераторной катушки. Следова-
тельно, в любой из сред
П (г) = П (—г).
4. На поверхностях раздела должны соблюдаться условия
непрерывностей тангенциальных составляющих напряженно-
стей Е и Н компонент электромагнитного поля. Так как напря-
женность электрического поля характеризуется' единственной
компонентой
£ф = -йора rot П =
дП
дг ’
условие непрерывности тангенциальной составляющей напря-
женности электрического поля сводится к условию
На, i
дЩ
dr
dr
(413)
где через i обозначена нумерация областей, разделенных поверх-
ностью радиусом rt.
Тангенциальная составляющая напряженности магнитного
поля
Н = — (k2П + grad div П) = — ^fe2/7 4
д*П
dz*
д2П _ J_ дП_
dz2 ~ r dr Г dr
(414)
поэтому условие непрерывности тангенциальной составляющей Н
сводится к условию
JLrЁИк = д г
dr dr r=r- dr dr
(415)
При дальнейшем решении задачи допустим, что размеры гене-
раторной и приемной катушек значительно меньше размера L„
217
Зонда, т. ё. генераторную и приемную катушки мы можем рас-
сматривать как точечные.
Поскольку П является функцией только координат г и z,
примем
п = / (Г) ф (Z),
где, как и ранее, функция f (г) зависит только от г, а функция
<р (г) — только от г.
Продифференцируем последнее равенство дважды по г и по z;
затем, подставив результаты дифференцирования в формулу (412)
и разделив на П, получим
Г (г) , 1 Г (г) , ф*(г)
/(О Г f(r) * <p(z)
(416)
Последнее уравнение распадается на два обыкновенных диф-
ференциальных уравнения:
__ ff I /_Л л
ф" (г) + /п2<р (г) = 0;
Г (0 + у Г (0 - И2 - Л2) = 0.
Частными интегралами первого уравнения являются функции
sin mz и cos mz, второго уравнения — функции Бесселя первого
и второго родов нулевого порядка от мнимого аргумента /0(«г)
и Ко (иг), где и = |//n2 — k2.
В связи с симметрией поля относительно плоскости г = О
общее решение уравнения (416) будет состоять только из членов,
содержащих произведения /0 (иг) cos mz н Ко (иг) cos mz. Учиты-
вая данное обстоятельство, а также поведение функции П близ
источника электромагнитного поля и в бесконечности, общее
решение дифференциального уравнения (416) можно представить
интегральными выражениями следующего вида:
1) в скважине
cJkR
С
Пр = Сг —F А р (т) /о (МрГ) cos mz dm; (417)
2) в зоне проникновения фильтрата глинистого раствора
Пзп = J IЛэп (т) /0 (мзпг) + Взп (т) Ко(изпг)] cos mzdm; (418)
о
3) в породе
П„ = I В„ (т) Ко (u„r) cos mz dm,
о
(419)
где
R = j/r2 4- z2;
up = ]Лт2 — k2; Msn = ]/~m2 — fe2n; un = jAm2 — k2n.
218
Функции Лр (m), Лэп (m), Взп (т) и Ви (т) следует определять,
исходя из граничных условий (413) и (415). Далее рассмотрим
решение данной задачи для одной границы раздела, т. е. при отсут-
ствии зоны проникновения фильтрата глинистого раствора.
При наличии одной цилиндрической границы раздела значения
вектор-потенциал в глинистом растворе и в породе будут заданы
двумя следующими интегральными выражениями:
р
о
2Ci
09
J I Ко (и/) + С (т) 10 (ИрГ)] cos mz dm;
о
(420)
2С f
п = —— D (т) Ко («„г) cos тг dm,
Л д
о
где
Ф) = Лр (m); D (т) = -Д- В„ (т).
Воспользовавшись граничным условием (413), получим
л
([ Ко (МрГс) + С (т) Го (иргс)] «р cos mz dm =
О
со
_ f p Uncos mz dm;
Л J
0
учитывая, что Г9 (x) = Ц (x) и К'о (х) — —Ki (х), будем иметь
со
] (РрНр[С(/п) /1(иргс) — К1(ирГс)] 4- iinuaD(m) Ki(«nrc)) cosmzdm — 0.
о
Последнее равенство справедливо при любых значениях г,
если
Нр«рЛ (ИрГс) С (/«) 4“ P'n^nKi (и.,Гс) D (/и) —— PpUp/Cj (ИрГс) = 0. (421)
На основании граничного условия (415) получим
со
J (IКо (иргс) 4- С (т) I'o (ИрГс)] ир 4-
о
4“ 1^о (мргс) 4- С (т) /о (иРгс)] «рГс) cos mz dm =
D (m) [Ko (uj-c) un 4- ИпГсКо («nrc)lcos dm.
219
Но так как
/’M = ._M + /oW и /<" (Х) = 2LW + к0 (х),
Л X
последнее равенство может быть приведено к выражению
ОО
J ИЛ (Мр/'с) + и/сЛ (Vc) — Л (Ир/'с)] «рС (т) —
О
I Ki (Wj/c) Н- К1 (^п^"с) + ^r/сЛо (wn/"c)] (^) +
+ Ир (ИрГ;) + Ki (и/с) + «/с^о («ргс) I cos mz dm =
= J 1«р/"сЛ (и/с) С (от) — и2пгсК0 (uarc) D (от) +
О
4- иргсКо(ИрГс)] cosmzdm = 0.
Это равенство выполняется при любых значениях г, если
выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, т. е.
“р/'сЛ («рГс) С (т) — и^сКо (uurc)D (т) + u2prcKt («рГс) = 0. (422)
Так
как при исследовании разрезов скважин зон
находится
в глинистом растворе, практический интерес представляет
определение функции С (от). Решая уравнения (421) и (422)
сительно С (т), находим
лишь
отно-
С (от) =
HnWp^Co <"ргс) К1 <Vc) — Hp“n/<0 ("пгс) Ki (UpTc)
|1р**П^ 1 (Иргс) /С® (“пгс) 4“ |*Пир/о (ир^с) (Ир^с)
(423)
где Цр и рп — относительное значение магнитной проницаемости
в глинистом растворе и в породе.
В этом случае, когда скважина заполнена воздухом (цр = 1,
Стр = 0 и ир № т),
С (т) =
цптКо (тгс) Ку (иигс) — ипК0 (иагс) Ку (тг<.)
«„/, (тгс) Ко (ип/с) + pnm/0 (mrc) Ку (и„гс)
и, наконец, при очень высоком удельном сопротивлении пород
когда ип » от,
г> /™\ хпКо (mrc) К1 (тге)
_________________________________ _ хпУПГсКо (тгс) Кг (т;с)
— /1 (тгс) Ко (тге) + цп/0 (тгс) (mrc) — 1 + хптгс/0 (тгс)Кх(тгс) ’
т. е. в этих условиях функция С (от) при малых значениях хп и отгс
пропорциональна магнитной восприимчивости пород, окружа-
ющих скважину.
Таким образом, в общем случае в скважине значение вектор-
нотенциала 77р будет следующим:
elkR 9 f I
-5—|------С (от) /0 (нрг) cos mzdm I. (424)
к л б I
220
Подставив найденное значение /7Р в формулу (414) и перейдя
к пределу г -> 0 и /? Lu, получим значение напряженности
магнитного поля в точке р, находящейся на оси скважины на рас-
стоянии £и от генераторной катушки:
nrSr/ae '“r
е‘*£|< (1 - (Л£и)
2л
ОО
о
UpC (т) cos тг dm
Магнитное поле будет индуцировать в приемной катушке
э. д. с. мгновенного значения
ЛФ dB
в ==---J- = --ЛП5П “3- =
dx п 11 dx
е‘*£" (, (ALh)
и
о
среднее значение
ср —
ср
ikL
И(1-Ш,и) , 1
13 Л
I UpC (т) cos mz dm .
О
и
(425)
В последней формуле в подынтегральном выражении, опреде-
ляющем долю э. д. с., которая создана электромагнитными свой-
ствами окружающей скважину среды, только функция С (т)
зависит от этих свойств. Поэтому зависимости э. д. с. еср от ма-
гнитной восприимчивости хп и электропроводности оп пород,
окружающих скважину, определяются зависимостью от
этих
свойств функции С (/л).
Можно показать, что в области относительно невысоких ча-
стот, обычно используемых при электромагнитных исследованиях
скважин, когда отсутствует заметное влияние токов смещени'я,
т. е. когда & шр,а,рар и функция С (т) на
большом диапазоне изменения аргумента т линейно связана
с хп и оп.
Действительно, в этих условиях вследствие малых значений k?
и k2 по сравнению с т2 и единицей
С (т) ж
1 + (тгс) +
X
Ар \
2^Г I (mrc) Ki (тгс)
221
(хп — хр) тгсК0 (тгс) (тгс)
[Хр/, (тгс) Ко (mrc) + Хп/О (mrc) Ki ("*гс) ] тгс
0.5(<о (<ТпРа, п — «рНа, р) гсК0 (тгс) Кг (тгс)
т {1 + [хр/х (mrc) Ко (mrc) + хп/0 (тгс) (тгс)] тгс}
= D(xa — хр) — iaG (апра, u — орца, р) «О (хп — хр) — iaG (ou — рр),
(426)
тгсК0 (тгс) (тгс)
[хр/г (лггс) Ко (лггс) + хпЛ> (тгс) Ki (тгс)] тгс ’
0,5ра, arcKo (mrc) Ki (тге)
m {1 + [xp/i (mrc) Ko (mrc) + xn/0 (mrc) Ki (wc)] mrc]'
Последнее приближение в формуле (426) возможно потому,
что в большинстве случаев, за исключением исследования магнит-
ных руд и некоторых изверженных пород, относительная магнит-
ная проницаемость незначительно превышает единицу, в то время
как различие между* оп и сгр обычно велико.
Из формулы (426) также следует, что доля э. д. с., созданная
окружающей скважину средой, является суммой двух состав-
ляющих: пропорциональной магнитной восприимчивости (точнее,
разности*хп и Хр) и пропорциональной удельной электропровод-
ности (точнее, разности оп — ор). При этом вторая составляющая
сдвинута на л/2 относительно первой.
Доказательство установленного выше положения для более
широкого диапазона изменения т при хр = 0 и ор = 0 приведено
в работе (50 ]. Заметим, что вследствие наличия в подынтегральном
выражении (425) сомножителя ир, значительно убывающего при
малых величинах kp при т—>0, интегрирование в облаасти
малых значений т не вызывает существенного изменения указан-
ного выше доказательства.
При пг -> 0, достаточно малой величине k„ и kp « 0
/ i_ mrc , и , / Лпгс , /Л 1
ftn'c ka
с . z
т2С (ш) =
mrc
—— tn
т2Нп
. тгс
ЯП---о~
тгс
1пЛ^
kl 4
Нп
т. е. к величине, не зависящей от хп и оп.
Методика расчета функции С (т) в общем случае изложена
в работе (50].
На рис. 71, 72, 73 приведены зависимости отношения эффек-
тивной электропроводности Оэф к удельной электропроводности ор
глинистого раствора от отношения размера Ли зонда к диаметру dc
скважины для различных отношений удельной электропровод-
ности оп пород к ор. На рис. 71 изображена палетка, составлен-
Рис. 71. Зависимости отношения Оэф/ор от L^ldc при on/ap = const (шифр
кривых) и Ипоп Ьи -> 0.
1 — двухкатушечный зонд; 2 — трехкатушечиый зонд (две генераторные и одна
приемная катушкн с отношением
ПГ
__1 « 0,9k зона проникновения
ЛГ,
ильтрата
глинистого раствора отсутствует
<?3ф /^Р
Рис. 72. Зависимости отношения аэф/ор от Ljdc при on/op = const (шифр
кривых) и азп = -Q- ап-
О
1 — D/d„ = 2; 2 — Did. = 4, 3 — D/d„ = 8, 4 — D/d„ = 16
63ф /й
0,002 -------------------------
0,001 ———LU———LU———LU———L_L
0,01 орг 0,000,06 op о,г o,o opopi г 0 6 ею го oo
Рис. 73. Зависимости отношения Оэф/^р от LjdQ прн ар/оп = const (шифр кри-
вых) и Рзп^Рр =й Ор/озп= 32.
1 - D/dc = 2; 2 - Djd. = 4; 3 - D/d. = 8; 4 - D/d. = 16
V I, c V
8 Дахнов В. H
ная для случая, когда проникновение фильтрата глинистого
раствора отсутствует. На рис. 72 и 73 приведены палетки кривых
для случая, когда фильтрат глинистого раствора, проникая на
различную глубину, определяемую диаметром D, создает зону
с электропроводностью азп = 4- (рис. 72) и азц = ар
О 1 Ох "
(рис. 73).
Из указанных палеток следует, что индукционный зонд наи-
более четко реагирует на изменение сопротивлений сред, харак-
теризующихся низким удельным сопротивлением. Для изучения
пород высокого сопротивления необходимо использовать зонды
очень большого размера, что сопряжено со значительными труд-
ностями.
Трехкатушечный зонд (рис. 71) имеет преимущества перед
двухкатушечным. Однако более целесообразно использовать
зонды с дополнительными (фокусирующими) как приемными, так
и генераторными катушками, улучшающими осевую характе-
ристику зонда. Это особенно важно при изучении пластов неболь-
шой мощности [51 ].
Если размеры гг, гп, /г и /п генераторной и приемной катушек
соизмеримы с расстоянием La между их центрами, методика ре-
шения задачи аналогична ее решению для однородной и изотроп-
ной среды (см. § 39).
Выполнив интегрирование вектор-потенциала по объему V
генераторной катушки, получим:
f . mlf
[Ко (иуГ) + С (т) /0 (и/) 1 —cos mz dm =
о
00
1/ае-<<ог I [К. (ИрГ) 4-C (m)(Ирг)1-ф
** *r I
о
mlr
sin
(----------cos mz dm\
tn
= p 77 (V) Л1 = i 16л/Иа, p lae-‘™ x
I sin m sin tn
X 1 [K1 («рГп) — c(tn) liiUpfn)] IifUpfJ---------------^5-------—cos mzdm.
о
(427)
226
В том случае, когда питающая и приемная катушки про-
странственно совмещены одна с другой и, следовательно, пп =
= пг = п, гп = гг = г, 1Г = /п — I И Z = О,
е = Л6л/ра, р (-у)2 /ае-'®т х
(“i/) - С (т) Л (ирг)] 4 («рг)
sin2 tn —
dm.
tn2
(428)
о
Этой э. j
тушки
соответствует индуктивность
генераторной ка-
йо/ае-шт
— 8ра,р
пг
| I/Cl (ЫрГ) - C (m) /, (Upf)J li (Upf)
sin2 tn —
dm.
т2
о
Так как в большинстве случаев (за редким исключением спе-
циальных исследований) среда, заполняющая скважину (глини-
стый раствор, вода, воздух), имеет магнитную восприимчивость,
близкую к нулю, изменение индуктивности генераторной катушки,
созданное вмещающей средой, определяется величиной
00
р /
I sin2 tn —
Ar е — еодн ( пг\2 \ \ fit \ 2 , /лоо\
ДЬ ; ~ — 8цо ( / ) I Оу) dm. (429)
ico/ae \ * / j w
о
При этом
00
I
i sin2 tn
L — AL = £0Ди = 8р0 () I Ki (mr) (mr)——dm. (430)
0
Таким образом,
00
I sm2m —
I C(m)7|(upr)---—----dm
ДЬ = Ьоди ±--------------------------(431)
Г sinam-^-
1 Kx (mr) 4 (mr)---—— dm
1 *
0
8*
227
Как и в случае приемной катушки весьма малого размера, при
катушках конечных размеров и, в частности, пространственно
совмещенных одна с другой, доля э. д. с., обусловленная разли-
чием электромагнитных свойств пород и глинистого раствора,
представлена двумя составляющими: одной — пропорциональ-
ной хп — хр и второй — сдвинутой на л/2, пропорциональной
стп
Таким образом, как в однородной, так и в неоднородной сре-
дах э. д. с., возникающая в приемной катушке, включает две
составляющие: одну — пропорциональную магнитной восприим-
чивости х среды и вторую — пропорциональную электропровод-
ности а этой среды. Неоднородные среды будут характеризоваться
некоторыми эффективными значениями параметров и х9ф,
связь е с которыми определяется при эталонировке прибора:
Т^и^эф’ ~~ ТС^Х^ф.
Коэффициенты Кн и К* определяются конструкцией изме-
рительного прибора — числом, взаимным расположением и раз-
мерами генераторной и приемных катушекх.
§ 31. НЕОДНОРОДНАЯ СРЕДА С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА
Когда исследуемое пространство сложено серией однородных
и изотропных сред с плоскопараллельными границами раздела,
каждая из которых характеризуется своими электромагнитными
свойствами О/, еа, ра, t и квадратом волнового числа
^? = ы2ра> fea> i
®ea, i 7 ’
решение задачи будет следующим.
Введем цилиндрическую систему координат, начало которой
совместим с центром генераторной катушки. Ось Z направим
перпендикулярно к границам раздела сред. Размеры генератор-
ной и приемной катушек будем считать предельно малыми по
сравнению с расстоянием L„ между ними и мощностями Л,- сред.
В каждой среде магнитный вектор-потенциал Герца должен
удовлетворять дифференциальному уравнению Гельмгольца
П будет представлен единственной состав-
В цилиндрической системе координат урав-
1
Вектор-потенциал
ляющей Пг по оси Z.
нение примет ви,
д2ГЦ . _1_ д/7; . д»П1
дг2 г дг ' дг2
(432)
1 В используемых в настоящее время индукционных зондах, как было ска-
зано выше, с целью более четкого выделения границ пород с различной электро-
проводностью и уменьшения влияния на результаты электропроводности глини-
стого раствора устанавливается несколько генераторных или приемных катушек.
Решение уравнения (432) дает возможность определить иско-
мые значения функций П„ а следовательно, и рассчитать компо-
ненты Е и Н электромагнитного поля по формулам (70) и (71).
При этом функции 77,-, определенные уравнением (432), должны
удовлетворять следующим граничным условиям.
1. В среде, в которой находится источник электромагнитного
поля (генераторная катушка),
ikR
где R — расстояние от центра генераторной катушки до точки,
в которой определяется Пп R = j/r2 + z2; пг и $г — число витков
и площадь каждого витка генераторной катушки; /ае'10П —
мгновенное значение силы тока, питающего генераторную ка-
тушку; (/а— его амплитуда), /70 — значение вектор-потенциала
Герца в однородном изотропном безграничном пространстве
с электромагнитными свойствами среды, в которой находится
генераторная катушка.
2. В бесконечно удаленных точках
/7с — 0. (433)
3. На границах раздела сред на основании равенства каса-
тельных составляющих напряженностей электрического и магнит-
ного поля необходимо соблюдение следующих условий для век-
тор-потенциала П (составляющей П2):
—(Ц/+1/7;+1)г=г/;
/ дП/ \ / дП(+ч \
\ dz /z—z^ \ dz* / z=Z|
(434)
(435)
Решение уравнения (432), как обычно будем искать в виде
произведения
— f (г) Ф (г)
(436)
вух функций, из которых функция f (г) зависит только от г
и ф (г) — только от г.
Приняв
ф"(г)
<р(г)
приведем дифференциальное уравнение (432) к двум обыкновен
ным дифференциальным уравнениям:
Г (Г) + 4- Г (Г) + т2/ (г) = 0;
(437)
I д2 __ 2
"р Kg — /П >
Частными интегралами уравнения (437) являются функции
Бесселя Jo (тг) и Уо (тг), частными интегралами уравнения
(438) — показательные функции е-''”2-*/ * и е^"*2-*2*. В свя-
22»
зи с обращением функции Уо (тг) в бесконечность при г = О
общее решение уравнения (432) может содержать только частные
7 / \ ~ —А? 2
решения, представленные произведениями Ja (mr) е * 1
1/т2_Ь2 2
и J0(/nr)er 1 , и иметь следующий вид:
/7( = j Л, (т) Jo (mr) е" _f_ dm -f-
о
ОО
+ j Bi (m) Jo (mr) ~k(Z dm,
о
(439)
где Ai (пг) и (m) — некоторые функции параметра пг, опре-
деляемые из граничных условий (388), (434) и (435).
В среде, в которой находится источник электромагнитного
поля, при R = |/г2 + z2 О
/7» , я->о—*77о = Ci
JkR
Воспользовавшись последним отношением и известным инте-
гралом Зоммерфельда
00
С ,^= J. (mr) е- ‘1 dm - ,
о
получим для 4Ьг следующее выражение:
Ai, г (m) = —
nrsr т
4я i/^Z2 И-
У т ~ *,.г
(440)
где Q соответствует постоянной интегрирования Cj в уравнении,
определяющем вектор-потенциал в однородной среде (см. § 29):
Q - — /ае-‘“\
4л а
Таким образом, в среде, в которой находится источник электро-
магнитного поля,
оо
nir = Q С ” ~ Jo (mr) e'V т^г dm +
Ь г Х I т Л 9 , •> 0\/ »
1 j/ T
о
00
+ С B(,r(m) J9(mr) е^ т ~к‘г dm.
S'
(441)
230
В уравнении (441) второй интеграл определяет составляющую
вектор-потенциала, обусловленную неоднородностью изучаемого
пространства.
Дальнейшее решение задачи проведем для наиболее часто встре-
чающегося случая — пласта ограниченной мощности h с параме-
трами о2, еа>2, ра, 2, k\, подстилаемого и покрываемого средами
бесконечных мощностей, имеющих соответственно параметры о1(
8а, 1, Иа,1, k\ И О8, еа,3, |Ла,3, k}. ОбОЗНЭЧИВ Uj. = ]/ m2 — k2,
и3 — У т* — kz, и3 = У т* — kf и предположив, что источник
электромагнитного поля находится в первой среде, получим выра-
жения для функции вектор-потенциала Герца в первой, второй
(пласте) и третьей средах:
Jo (mr) e~UlZ dm + (m) Jo (mr) e“iZ dm ;
о
(442)
UtZ
(443)
LO
о
П3 = Q I C3 (m) Jo (tnr) e~“«z dm,
(444)
где функции C (m) и D (m) связаны с указанными ранее функциями
А (т) и В (т) линейными соотношениями А (т) = QC (т), В (т) =
== Q D (т).
Воспользовавшись граничными условиями (434) и (435) и вы-
полнив известные нам преобразования (см., например, § 13), при-
дем к следующей системе четырех уравнений, содержащих неиз-
вестные функции Di (т), С2 (m), D3 (т) и С3 (т):
те”в,г‘
Hi—г—
— P2C2 (m) e~u>z> — ii-iDi (m) e“*Zi
ц2С2 (rri) e-“‘z> + p2D2 (zn) e“«Z2 - ц3С3 (т) е~и>г> = 0;
— me-“*z> + 4- u2C2 (m) e-“«z‘ — u2D2(m)eu>z- = 0;
—u3C3(m)e-u‘zi + u2D3(m)eu‘z> 4- и3С3(т)е~и>г> = 0, (445)
где zx и г2 = zx 4- h. — координаты границ раздела сре
Решив систему уравнений (445), найдем искомые
Dt (m), С2 (m), D2 (m) и C3 (m):
m (KS3e-2u‘h - tf„) e'-u'z< .
функции
Dj (m) —
2me<u‘-Ul)z'
“г+“i7Г-) (1 - KltK3se-2"«A)
231
Dz (tri) =
2тКа^-2и‘не- <U‘+Ut) г'
k + «14r)(,-*i^e’2“’h) '
X Hi /
С3 (tri) =
4m|i2
Из
e- Z1
( “а + “i ( «2 + “s -*7-) (1 — KiaK32e'2“‘h)
X Hi ' X Hs /
u2 —
Из
Hi
Дальнейшее решение задачи сводится к вычислению напряжен-
ности магнитного поля в точке расположения приемной катушки.
В том случае, когда эта катушка установлена на оси Z на расстоя-
нии £и от генераторной катушки.
и, следовательно,
ля каждой из трех сред будем иметь:
dm =
-2u,z, /.. __ \ U-JL. .
е 11 * — К12) е 1 " rfm
(1 - Ki2K32e-2u«h)
(446)
4- Dz (т) k^uiL« +
dm =
(447)
232
00
(448)
где Н'г0 — напряженность магнитного поля в однородной безгра-
ничной среде с волновым числом kv
Определив вертикальную составляющую напряженности маг-
нитного поля, при знании параметров генераторной и приемной
катушек легко рассчитать значения э. д. с., генерируемых в прием-
ной катушке, и величины эффективных электропроводностей оЭф.
На рис. 74 изображены графики зависимости отношения
— удельная электропроводность пла-
пересечении индукционным зондом
_2"_ = 4 и -2s- = 16. На
^вм <?вм
\ ГТ / \ ГТ /’ ** П “ вм
\ °вм / X аП /
ста и вмещающих пород при
пластов различной мощности h для
рис. 75, 76 и 77 изображены за-
висимости оптимального значения
отношения аэф' °—т
(в центре пла-
-г— для различ-
(шифр кривых)
ста) от отношения
ных величин
Рвм
и разных значений произведения
аи£и, гдеап — вещественная часть
волнового числа kn породы. Кри-
вые, приведенные на этих рисун-
ках, показывают, что в случае
залегания тонких пластов h < £и
высокого сопротивления >
Рвм
> 1 (низкой электропроводности)
оптимальная эффективная элек-
тропроводность мало отличается
от истинной электропроводности
вмещающих пород (в особен-
ности при малых значениях
0 2 4 6 6^Эф/^8м
Mill I
Рис. 74. Зависимости отношения
^эф/^вм °т z при различных зна-
чениях оп/овм (шифр кривых)
233
a,.Lu (> Л] и только при >3-И0 (в зависимости от a„L„)
\ Oj] / / _ Ьи
приближается к ап. Наоборот, в случае залегания пластов низ-
кого удельного сопротивления < 1 (высокой электропровод-
Рвм Л h
ности) уже при малы?; отношениях , и особенно при -ц- > 1,
оэф отличается от оп не более чем на 20—30%.
Рис. 75. Зависимости
отношения аЭф, опг^ап
0,02.
от h/Ln при
Ши
р кривых —
Рд^ВМ
п
234
Это свидетельствует об основ-
ных преимуществах индукцион-
ного метода для изучения пород
(особенно малой мощности) низ-
кого удельного сопротивления.
Совмести ый а н ал из графи-
ков, приведенных на рис.
75—77, подтверждает сказан-
ное выше о незначительном
влиянии скин-эффекта при ма-
лых значениях параметра aLn
и в условиях слоистой среды.
Однако при достаточно большом
значении этого параметра (рис.
77) влияние скин-эффекта стано-
вится весьма ощутимым, в ре-
зультате чего несколько улуч-
шается характеристика зонда
при исследовании тонких пла-
стов высокого сопротивления.
Таким образом, повышение
частоты (до известных пределов)
и уменьшение размера зонда по-
зволяют более четко выделять
породы различной электропро-
водности в условиях, . Когда
электропроводностью среды,
заполняющей скважину, можно
пренебречь.
На рис. 78 приведены кривые
относительного значения эффек-
тивной магнитной восприим-
чивости хэ- — Хэф — f
н
н
эф
х<£> — магнитная восприимчи-
вость при неограниченной мощ-
ности пласта. Кривые получены
экспериментально для различ-
ных отношений Л//, где/—длина
чувствительного элемента (при-
емно-генераторной катушки)
при l/dc = 1,72. Эти кривые на-
ходятся в полном соответствии
с теоретическими данными, они
устанавливают характер измене-
ния хЭф по оси скважины, пере-
секшей пласт с другим значением
магнитной восприимчивости.
^эф*опт/^п
100
80
SO *200
40 '
30
20
500
100
10
8
0,1
0,08
0,00
0.2
Рис. 76. Зависимости отношения
аэф, опт/^п от hlLn при ап^и=0Л
Шифр кривых — рп/рвм
^(Мпт/^П
0,2 0,3 0,40,50/50,7 1 h/Ln
Рис. 77. Зависимости отношения
Оэф, ощ/Оц от h/Ln при — 0,5.
Шифр кривых — Рп/рвм
235
Рис. 78. Зависимости относитель-
ного значения эффективной маг-
нитной восприимчивости Хэф ОТ Z
(по Ю. И. Кудрявцеву и
В. А. Мейеру).
Шифр кривых — h/l
§ 32. НЕОДНОРОДНАЯ СРЕДА С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА
При малых величинах произведения а£„, не превышающих
первые десятые доли единицы, э. д. с., генерируемые в приемной
катушке зонда, практически сводятся к основным составляющим —
активной и реактивной. При применяемых размерах зондов (0,5—
1,5 м) указанное положение справедливо для большинства пород,
если генераторная катушка питается током частоты порядка 103 Гц.
Это вытекает нз сопоставления значений параметра а (а следова-
тельно, и произведения dL„ в случае L„ = 1 м), приведенных
в табл .8. Из этой таблицы следует, что только при очень высокой
частоте тока нли низкой электропроводности (глины, водоносные
пески) произведение aL„ превышает указанные ранее.предельные
значения aL„, выше которых скин-эффекта значительно влияет
на характер распространения электромагнитного поля. Это об-
стоятельство позволило в 1949 г. французскому инженеру Г. Доллю
разработать приближенную теорию индукционного метода иссле-
дования скважин и, в частности, ввести понятие о пространствен-
ном (геометрическом) факторе [48]. Введение пространственного
фактора позволяет значительно облегчить расчет зависимостей
(приближенных при большом значении aLu и достаточно точных
при малом значении aL„) эффективной электропроводности от
удельных электропроводностей (удельных сопротивлений) изучае-
мых сред, их размеров и положения относительно индукционного
зонда и более наглядно представить физическую сущность изучае-
мого процесса.
Приближенная теория дает возможность относительно просто
решить прямую задачу индукционного метода при одновременном
наличии как плоских, так и цилиндрических границ раздела, что
при использовании точной аналитической теории практически не-
возможно.
236
прибли-
положе-
Рассмотрим
женную теорию, исходя
из следующих
ний. На оси скважины на
расстоянии одна от
другой установлены гене-
раторная ГК и приемная
ПК катушки (рис. 79). Ге-
нераторная катушка с об-
щей площадью витков пг$г
питается гармонически из-
меняющимся током, мгно-
венное значение которого
i = /ae~rWT.
Катушка создает в ок-
ружающем пространстве
магнитное поле. На рас-
стоянии /?г от центра ка-
тушки напряженность
этого поля
nrsr7ae lWT
2л/?3
Рис. 79. Схема к выводу формулы'для э. д. с.
индукции в приемной катушке индукцион-
ного зоида.
ПК — приемная катушка; ГК — генераторная
катушка; Т — элементарный виток сечеиия ds;
Г — генератор; У — усилитель
Введем
цилиндриче-
скую систему координат
RZW, начало которой рас-
положим в точке О, нахо-
ящеися посередине между
генераторной и приемной
катушками, ось Z совместим с осью скважины. В этой системе
координат
nrsri
2л
Разобьем все исследуемое пространство на элементарные то-
роиды Т квадратного сечения ds = dr dz. Такой тороид произво-
дительного радиуса г будем называть элементарным
витком.
Магнитное поле Я, изменяясь во времени, индуцирует в эле-
ментарном витке .эд. с.:
d<b
dx
dHz, ср
dx
i^iafr2ntsr/ae 10)т
= —Jir®pa
237
где ра — магнитная проницаемость среды, в которой расположен
элементарный виток я; HZt ср — среднее значение вертикальной
составляющей напряженности магнитного поля на площади этого
витка.
Под действием э. д. с. в элементарном витке возникает ток ин-
дукции
di =------
2 яг/о ds
Фа/гпг5г^ае l<aXGds
Г . . / Lu . \213/2 ’
(449)
где а — удельная электропроводность среды, в которой находится
элементарный виток.
Ток dJ создает в окружающем пространстве магнитное поле.
В точке пространства, где находится приемная катушка, напря-
женность этого поля
, тг яг2 dl
dH„ , =-----г
п’2 2л/?*
iИа/^3Яг5г/ае * OTo ds
- 4- z
213/2 >
где /?п — расстояние от элементарного витка до приемной ка-
тушки;
Изменяясь во времени, магнитное поле генерирует в приемной
катушке э. д. с.;
. d<& dB
den — nn — nnsn —
ц2я/2Г3Яг51Лп5п/ае-'“’Та*
21 3/2 >
где яп — число витков приемной катушки; $п — площадь каждого
витка этой катушки; Ф — магнитный поток, созданный токами,
индуцированными в среде, окружающей зонд; В — магнитная
индукция.
Среднее значение Индуцированной э.
p2nf2Arsrnnsn/cp<rds
^п = —
213/2
213/2 ds,
(450)
где Ки — коэффициент зонда; Вв — пространственный (геометри-
ческий) фактор элементарного витка *.
1 Одновременно в приемной катушке генерируется э. д. с. непосредственно
полем генераторной катушки, среднее значение которой
афо
^р, о — —Яп = Яп-^пРа
dH ФаЯг5гЯп8п^ ср
dx ~ /3
ьи
и Л2
и
238
Коэффициент Ки зонда определяется его конструкцией (числом
витков генераторной п.г и приемной пп катушек, размерами пло-
щадей $г и $п каждого витка и силой питающего тока /):
Ьи
Пространственный фактор Вп зависит от расположения эле-
ментарного витка по отношению к зонду и от размера LK зонда:
(451)
Введение множителя L„/2 дает возможность свести интеграл
J В„ ds к безразмерной величине, равной единице.
s
Выразив г, z, dr и dz в единицах размера зонда и обозначив
rlL„ через ц, z!LK через £, dr/L„ через dtj и dz!La через d%, будем
иметь
Bnds —
Следовательно, в случае однородной и изотропной среды
с удельной электропроводностью о в приемной катушке зонда
будет индуцироваться э. д. с.1
е = /(иа 1 В ds =
(452)
Интеграл
п
I)2
I)8 dr\
213/2 г
213/2
О
Ниже расчет приводится для немагнитных сред, т. е. принимается ц = 1.
при ] £ | < подстановкой
приводится
к следующему виду:
л, Ш
du
(«* + 2g)3/2
4
где
и ~ _ 2 .
К«2 + 2g I 1 + 2g ’
~-Е
_j±+L_
и V«« + 2g
4
(l+2g) (I -2g) ‘
Таким образом, при |г| < (| £| <
X \ X /
со
(453)
При |z| >
подстановки и =
£| > —\ путем аналогичных вычислений и
Формулы (453) и- (454) определяют осевой пространственный
фактор — пространственный фактор слоя единичной мощности
240
бесконечного простирания. В однородной и изотропной немагнит-
ной среде
е
Кн
(455)
Формула (455) полностью соответствует выведенной ранее фор-
муле (400) для немагнитной среды (р = 1).
Если изучаемая среда состоит из серии пластов, координаты
кровли которых обозначены через zlt выражение (455) получает
следующий вид:
Вп d£ +
(456)
где
оо
Jb}„ = j f впdi]d£.
В этом случае эффективная электропроводность
(457)
241
Если пласт мощностью h и электропроводностью о2 пересечен
скважиной радиусом гс, заполненной средой электропровод-
ностью ор, отличающейся от электропроводности и о3 подсти-
лающих и покрывающих пород, то при наличии зоны проникно-
вения фильтрата глинистого раствора в пласт радиусом гзп и
удельной электропроводностью азп эффективная электропровод-
ность определяется формулой
п
— оо Т|
^ЗП
К
оо Л
зп
п
Чзп
Л3
ZK
и = ----координаты подошвы ги и кровли zK
п — -5ЭЧ- •
Чзп j >
где £п = -7s
пласта, выраженные в размерах зонда; т]с =
т|э = -г2- (здесь г3 — радиус зонда).
Ьи
При изучении влияния проводимости удаленных слоев на
э. д. с. е и эффективную электропроводность выражение для
пространственного фактора витка Вп удобно привести к несколько
иному виду. С этой целью рассмотрим синус угла у, заключенного
между радиусами RT и 7?и, проведенными к элементарному витку
из питающей и приемной катушек:
sin у = sin a cos р + cos а sin 0,
где а и р — углы между радиусом витка и радиусами /?г и Ra.
Подставив в последнюю формулу значения sin a, sin р, cos а
И COS Р, получим
sin у == х"'
RrR
п
Сопоставив последнюю формулу с формулой (451), придем к за-
ключению, что
Вп = - (459)
Из формулы (459) следует, что для элементарного витка вели-
чина Вп определяется углом у, заключенным между радиусами
7?г и Rn (см. рис. 79). Таким образом, элементарные витки создают
одинаковую э. д. с. в приемной катушке при разных значениях
угла у. Следовательно, элементарные витки с одинаковым значе-
нием Вп должны располагаться на окружностях, проходящих
через центры питающей и приемной катушек, как это показано на
рис. 80, а. При этом одинаковый пространственный фактор может
242
Рис. 80. Характеристика пространства, окружающего зоид, по пространствен-
ному фактору Вп.
а — местоположения витков с одинаковым пространственным фактором Вп (sln*60° =
= sins120° = 0,65); б — элементарные витки с различными пространственными факто-
рами (sin*90° = I; sln*60° = sin3!20° = 0,65); е — области с одинаковым интегральным
значением пространственного фактора, равным 0,1
иметь элементарные витки, расположенные на различных расстоя-
ниях от оси прибора (рнс. 80, б). На рис. 80, в выделены области,
в пределах которых интегральное значение Вп составляет 0,1
полной величины пространственного фактора для безграничного
однородного пространства [48 ].
Для изучения характера изменения эффективной электропро-
водности при пересечении зондом пласта удельной электропровод-
ностью, отличающейся от электропроводности вмещающей среды,
разобьем исследуемое пространство на бесконечно тонкие слои
мощностью d£. Если пренебречь влиянием на оЭф проводимости
глинистого раствора, заполняющего скважину, то для каждого
из этих слоев осевой пространственный фактор будет равен -i- при
| £ | < 4" И 8р" ПрИ I £ I > “Г 1СМ* Ф°РМУЛЫ (453) и (454) 1-
Таким образом, при заданной электропроводности о, бесконечно
тонкого слоя, расположенного между генераторной Г и приемной
П катушками, влияние этого слоя на величину будет постоян-
ным и ие зависящим от координаты £ — расстояния от слоя до
плоскости, перпендикулярной к оси скважины и проходящей
через центр зонда; при расположении бесконечно тонкого слоя за
пределами катушек его влияние убывает обратно пропорцио-
нально квадрату £ (рис. 81).
Доля сигнала,'создаваемого каждым слоем мощностью =
= £2 — Si и удаленного от центра зонда на расстояние пропор-
Рис. 81. Зависимость осевого прост-
ранственного фактора от ? = z/LH
циональна площади, огран и-
ченной кривой (£)
между точками £ги На рис. 81
выделены зоны с одинаковым
интегральным значением осе-
вого пространственного фак-
тора, равным 0,1 воднородной
среде. В этом случае 80% сиг-
нала создается пластом мощ-
ностью ЗАИ (от £ — —1,5 до
С = +1,5).
Для дальнейшего расчета
рассмотрим случай пересечения
зондом горизонтального пласта
эффективной электропровод-
ностью о2, подстилаемого сре-
дой удельной электропровод-
ностью Ох и покрываемого сре-
дой удельной электропровод-
ностью о3. Обозначим через h
мощность пласта, через zr —
расстояние от подошвы пласта
до середины зонда (точка О)
244
и через х и £ — мощность h и расстояние гь выраженные в раз-
мерах зонда LH. Учитывая далее выражения для
получим следующие выражения для <r34j>:
1) при гг > ( Ci
_ Oj Ч~ g2 I ffl — g2 f I .
2 "* 2 э1 "г" 8(X-Hi) ’
3)„p„
a _____ a | 1 / a2 G1 t a2 \ if П
<7эф - < 0),
/Т — iT I 1 / a2 — <4 , a3 —“ Q2 \ if
<7эф = *3 + -g-
Если
мощность пласта Л < L„,
<*Эф
Q<2 — Оз
На рис. 82 приведены кривые, иллюстрирующие зависимость
Ч, = /(£).
Из этих кривых следует, что при изучении пластов электро-
проводностью аи авм влияние подстилающей и покрывающей
сред, пропорциональное площадям Sx и S3, ограниченным кривой
= f (£) в пределах этих сред, невелико [за исключением пла-
стов малой мощности (h < Ли)1. На рис. 83 изображена палетка
зависимостей отношения оптимального значения эффективной
электропроводности (в центре пласта) к его истинной эле^тропро-
245
Рис. 82. Зависимости = f (?).
а — для различных положений индукционного
зонда (на рисунке показан жирными линиями)
относительно пласта с электропроводностью
а2 = 5^ = 5о3 (h = 4И
ной мощности (л — £и, h = 2£н и Л = 5£и j
с удельной электропроводностью ot = 5<Ji =
= 5(js прн расположении зонда в середине пла-
ста
); б — для пластов раз-
водности от% = / (-г-\ Как
X Ьи /
видно, кривые, показанные
на рис. 83, подобны кри-
вым, полученным точным
методом расчета при малой
величине параметра aLH (см.
рис. 75 и 76). Это относится
к пластам низкого сопротив-
ления. При больших значе-
ниях aL„, т. е. при исполь-
зовании токов высокой ча-
стоты и зондов большого
размера в условиях электро-
водных сред, точность при-
ближенного метода является
недостаточной.
На рис. 84, а изобра-_
жены кривые р^ = как
функции глубины, регистри-
руемые в случае пересечения
скважиной пластов разного
сопротивления двухкатушеч-
ным зондом и зондом с фо-
кусирующими катушками
[48]. Установка фокусиру-
ющих катушек дает возмож-
ность получить кривые эф-
фективного сопротивления,
оптимальные значения кото-
рого практически достигают
истинных величин рп во
всех случаях, когда мощность пласта превышает пять диамет-
ров скважины (см. рис. 84, б).
Сложнее вычислить эффективную электропроводность при
изменении электропроводности пород в радиальном направлении,
т. ,е. при наличии зоны проникновения фильтрата глинистого рас-
твора (при Рф ав). Для пластов достаточно большой мощности
(практически для пластов мощностью h > 5LH) эту задачу можно
решать как задачу изучения электропроводности в среде, состоя-
щей из коаксиально-цилиндрических слоев бесконечной протя-
женности. В этом случае при расположении зонда по оси коакси-
альных цилиндров
”с
с>ф = ар J -Мп +
”3
Лап ос
J (r) dri + <\, J
Чс Чзп
246
где <Jp и ап — удельная электропроводность глинистого раствора
и пород, не измененных проникновением фильтрата раствора;
аг — электропроводность зоны проникновения фильтрата раствора,
в общем случае изменяющаяся по радиусу г; т)3, т)с и т)зп — ра-
диусы индукционного зонда, скважины и зоны проникновения
фильтрата глинистого раствора, выраженные в размерах La зонда;
— радиальный пространственный фактор — пространственный
фактор — бесконечного цилиндрического слоя единичной мощ-
ности:
—- 00
Для вычисления введем новые переменные и = 2r/Ln = 2ц
и v = 2z/L„ = 2g, тогда
^эф.опт/^п
00
Jg = 2u3J
о
__________________dv___________________
(«« + (1 - 02]3/2 (u2 + (1 + Р)*13/2
Рис. 83. Зависимости отношения Оэф опт/оп от %.
Шифр кривых — рп/рпм *
U 0М
247
Рис. 84. Кривые эффективного сопротивления рэф при пересечении индукцион-
ным зондом пластов разного удельного сопротивления и разной мощности.
а — для двухкатушечного зонда; б — для зонда с фокусирующими катушками; удельное
сопротивление среды: / — 0,048 Ом-м, 2 — 1 Ом-м, 3 — 21 Ом-м, 4 — оо. Шифр кривых —
Интеграл J (51
dv
о
dv
,/9 . [(1 4-6'2)Е(£)-2£'*К(£)1;
(о» 4-аа)3/2 ({,а + 52)3/2 aWk* и v v
о
где
a
v 1 ' ' ' ' r a u-f-1
k' = J/ П^Т2 = -5^4-;
и + I
К (k) й Е (k) — полные эллиптические интегралы первого и
второго родов от модуля k.
Таким образом,
” 8u*(«a+l) 1? ' '' ' y—/
Приведя эллиптические интегралы К (k) и Е (k) к новому мо-
дулю kx = j избавимся от |/i в модуле интеграла. При
этом согласно теории эллиптических интегралов [5]:
К (*) = (1 + М К (йх); Е (k) = (1 + k') Е (kJ - k'K (Л).
Вновь введенные эллиптические интегралы К (М и Е (fej
от мнимого модуля Ни с помощью преобразований
К (ч) - 77-" . к к Л Л
Е 1+’’е (7=9
приводим к интегралам от вещественного модуля. При этом (q —
= 1/u)
и, следовательно,
249
Рис. 85. Зависимость радиального пространственного
и от г/£и (б)
фактора JH от 2г/£н (а)
л
Подставив полученные значения интегралов К (k) и Е (k)
в формулу (460), будем иметь
J “ 4 1!)>'-’ [К <ЯП “> - Е (S1" ">] ’
где
sin а = -7 1 ,
Гц-и»
и, следовательно,
А = [ К (sin а) - -^±1 Е (sin а)1 = Jj2. (461)
-t- 1/
L J
Здесь
(и1-l-i}3/2 К (sin a) a E(sina)
I £4 —-p 1 J L •*
250
Заменяя при интегрировании по tj эту переменную переменной
2/
и = 21] = , получаем
Ьи
^ЗП О»
аЭф = Ор J A«,1l + J (r) drl + °ч =
^зп
На рис. 85, а приведен график зависимости функции от
2г/LH. Относительное влияние любого цилиндрического слоя тол-
м a 2Дг к£н
щинои = —, находящегося иа расстоянии г = от оси
Ьи 2,
скважины, равно отношению площади, ограниченной кривой в ин-
тервале Д«, ко всей площади. Так, например, относительная
доля сигнала, обусловленного зоной проникновения фильтрата
глинистого раствора, равна отношению площади 8ЗП в пределах
изменения Дг от гс до гзп к общей площади 5 = Sp + 8ЗП + Su
(от г = 0 и до г = оо). На рис. 85, б вертикальными штриховыми
линиями отделены зоны, в пределах которых интегральное значе-
ние Ju (Js) составляет 10% его суммарной величины. Как видно,
при однородной среде 80% сигнала поступит из цилиндра радиу-
сом г = 3L№.
В том случае, когда среда неоднородна, влияние каждого
слоя увеличивается или уменьшается пропорционально его элек-
тропроводности. Это дает возможность рассчитать зависимости
эффективной электропроводности от истинных значений электро-
проводности и размеров отдельных областей, слагающих изучае-
мое пространство с коаксиальными границами раздела.
§ 33. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
ПРОВОДИМОСТИ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
ГОРНЫХ ПОРОД
Волновой метод определения диэлектрической
проницаемости
В волновом диэлектрическом методе (ВДМ) используется
трехкатушечный зонд, состоящий из двух сближенных парных
(приемных или генераторных) катушек и одной относительно
удаленной непарной катушки.
Расстояние от непарной катушки до удаленной парной обозна-
чим через Rlt до ближайшей парной катушки — через R
Из выражений (403), (404) следует, что амплитуда
I /1 = e~bR И( 1 + bR)z + (aRf,
(462)
25|
фаза
(463)
В ВДМ основным измеряемым параметром является величина
Дф [47]:
Дф = а № — RJ — arctg (j + bR^ bRf+ atR^ ' (464)
При частотах порядка десятка мегагерц и длине короткого
двухкатушечного зонда более 0,4—0,5 м второе слагаемое в (464)
пренебрежимо мало и
Дф = a (/?i — Rz) = a AR = со Д R.
Таким образом, разность фаз определяется диэлектрической
проницаемостью пород. При 0,2 < сое/о < 1,1 величина Дф за-
висит не только от е, но и от а.
Выражение для Дф, справедливое в случае бесконечной одно-
родной среды, остается справедливым для двухслойной среды
(скважина и пласт неограниченной мощности), поскольку при изме-
рении относительных характеристик поля (трехкатушечный зонд)
влияние скважины исключается. Поэтому значения Дф при на-
личии скважины при разных величинах е и а пород и глинистого
раствора совпадают со значениями Дф в однородной среде со свой-
ствами пород.
Разработан вариант ВДМ с регистрацией двух относительных
характеристик высокочастотного поля, совместная обработка
которых позволяет определить в благоприятных условиях оба
неизвестных параметра — е и о. В качестве таких характеристик
можно использовать величину Дф и отношение 1/д/м, |, или Дф
и I (/«1—//?«)//«. I- Последняя величина, подобно Дф, обладает
хорошей вертикальной характеристикой и не зависит от удельного
сопротивления глинистого раствора.
Волновой метод определения проводимости
При частотах 1—3 МГц токи смещения, а следовательно, и
нэлектрическая проницаемость пород практически не влияют на
I
результаты измерений (сое/о < 0,2) разности фаз и отношения ам-
плитуд трехкатушечным зондом.
Уменьшение рабочей частоты по сравнению с волновым ди
электрическим методом позволяет заметно увеличить длину волны.
При длине зонда, равной нескольким метрам, разность фаз как
в однородной среде, так и при наличии скважины будет опреде-
ляться выражением (464). С учетом равенства а = b = р оно при-
мет вид
Дф — р ДЯ - arctg j + р (/?1 + + 20»/^ • (464')
252
Для определения проводимости пород наряду с разностью
фаз можно измерять отношение | (jRt — /я,)//я, |, которое свободно
от влияния скважины, а при соответствующем выборе длины
зонда — и от зоны проникновения фильтрата.
Диэлектрический индуктивный метод (ДИМ)
Диэлектрическую проницаемость и проводимость пород можно
определять, измеряя в скважине не только относительные харак-
теристики поля, но и амплитуду вторичного поля |ftZ1 —ftz>| на
частотах, равных десяткам мегагерц.
Недостаток ДИМ — влияние на результаты скважины при
низком и высоком удельном сопротивлении глинистого раствора.
В первом случае на результатах измерений сказывается избыточ-
ная по сравнению с вмещающими породами проводимость сква-
жины, во втором — ее избыточная диэлектрическая проницаемость.
В модификации ДИМ, основанной на измерении двух характе-
ристик высокочастотного поля, измеряют амплитуды вторичного
поля на двух частотах. Поскольку изменение частоты вызывает
изменение соотношения между токами смещения и токами прово-
димости, то, проводя измерения на двух частотах с фокусирующим
трех катушечным зондом, можно раздельно определять е и р. Так
как уравнения типа (462), определяющие амплитуду вторичного
поля, являются трансцендентными, е и р находят с помощью спе-
циальных номограмм.
§ 34. МЕТОД ЕСТЕСТВЕННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В трех простейших случаях, когда влиянием глинистого рас-
твора, заполняющего скважину, можно пренебречь (диаметр
скважины бесконечно мал), основы теории метода естественного
земного магнитного поля элементарно просты.
Допустим, что скважина бесконечно малого диаметра пересе-
кает по перпендикуляру плоскую границу Q раздела двух сред
1 и 2 с магнитными проницаемостями ра>1 и р.а>2 и магнитными
воспринмчивостями xt и х2. Воспользуемся цилиндрической си-
стемой координат, начало которой расположим в точке пересе-
чения плоскости Q осью скважины; ось Z совместим с осью сква-
жины. На границе раздела сред должно соблюдаться условие
постоянства нормальной составляющей вектора магнитной индук-
ции, т. е. для двух бесконечно близких точек, расположенных
в средах 1 и 2 и разделенных плоскостью Q (г = 0), должно удов-
летворяться следующее равенство:
I Bzf 1 |z=0 := I Дг, 2 1г=0
ИЛИ
\Нг, I (1 4-5*1) |г=0 = I Hz, 2 (1
где Яг>1 и Яг,2— составляющие напряженности земного ма-
гнитного поля по оси Z.
253
Таким образом, при пересечении границы раздела сред осевая
составляющая напряженности земного магнитного поля изме-
нится иа величину
АНг = Нг, 2 — Н2, ! = 2 — и1^г> 11 = (Ц, г — Ц, 1) ~
Здесь /г>1 и /г>2 — интенсивность намагничивания сред 1 и 2.
Изменение ДЯг нормальной составляющей напряженности
магнитного поля равно и обратно по -знаку изменений) Д/г нор-
мальной составляющей вектора интенсивности намагничивания.
Но так как
Нг,е
+-Я,х
z* е
Н 2^2
Д/Л =
(465)
(467)
где Нг> i — нормальная составляющая напряженности внешнего
намагничивающего поля (земного магнитного поля) в немагнитной
среде, a N — коэффициент размагничивания данной среды, то
ха___
-Ях2 1 + Ни
Коэффициент размагничивания изменяется от нуля до еди-
ницы; х для большинства пород не превышает 0,1; для осадочных
пород х — 0,01. Поэтому с достаточной для практики степенью
точности можно принять
ДЯг = — Нг, е (х2 - Xi) = — Нг, е Дх, (466)
где Дх определяет величину, на которую магнитная восприимчи-
вость среды 2 превышает магнитную восприимчивость среды 1.
Из формулы (466) следует, что при переходе из среды с пони-
женной магнитной восприимчивостью в среду с повышенной маг-
нитной восприимчивостью напряженность магнитного поля умень-
шается.
Формула (466) дает возможность рассчитать
Л% “ Нг.
и найти х2 = Xi + Дх, если Xj известно; Нг, е определяется вели-
чиной напряженности земного магнитного поля в точке поверх-
ности, где расположена скважина.
Когда диаметр dc скважины не бесконечно мал и скважина пере-
секает по нормали к границам раздела однородно намагниченньТй
пласт мощностью h, магнитная восприимчивость которого иа Дх
отличается от магнитной восприимчивости вмещающей среды,
задача сводится к определению потенциала индуцированного на-
магничивания в точках, находящихся на оси скважины (52 ].
Для решения задачи возьмем цилиндрическую систему коорди-
нат. Начало системы совместим с точкой пересечения оси сква-
жины плоскостью, проходящей через середину пласта и пар ал-
254
лельной его кровле Q и подошве Р. Ось Z направим по оси сква-
жины и начальную плоскость отсчета азимутального угла ф сов-
местим с вертикальной плоскостью XZ, в которой находится век-
тор интенсивности намагничивания.
Допустим, что интенсивность намагничивания Jn элементар-
ного объема dV пласта отличается на Д«/ от интенсивности намагни-
чивания JBM вмещающей среды, причем Jn и JBM находятся в одной
плоскости.
Элементарный объем dV создает в точке М с координатой z, на-
ходящейся на оси скважины,’дополнительный магнитный потен-
циал
jtt cos RJ Д/д cos х/? + &JZ cos zR
aU 4л/?2 4л(г2Фг2)
A cos xR + Д/г cos ZR
4л (г2 + г2)
где Jx — составляющая вектора интенсивности
в плоскости = 0.
При этом Jx и Jz будут постоянными,
намагничивания
cos xR —
&Jxr cos ip -|- AJzz
4л (z2 + za)3/2
cos zR =
и, следовательно,
dU =
Интегрируя последнее равенство по азимутальному углу
получаем
ОО 2Л
ПЫХГ cos t + &J2Z
(r. + “
= 0,5 АЛ,
rz dz dr
(r«4-z«)3/2 ’
где rc — радиус скважины.
Для интегрирования по г примем г2 + z2 = /2; тогда
z dz dt
/2
. ft
г+7
= 0,5 А/г J
V h
Z 2
г dz
255
а
Рис. 86. Изменение вертикальной составляющей Д/7г напряженности земного
магнитного поля по оси скважины, пересекшей пласт с повышенной магнитной
восприимчивостью.
а — пласты (отмечены различной штриховкой) неограниченного простирания (шифр кри-
вых — = ЛМС); б — пласт мощностью h — 1(МС с раэным аначеннем внешнего диа-
метра D намагниченной зоны (шифр кривых D& =
Напряженность индуцированного магнитного поля по оси 2
скважины
Г 2^ + hd
. Уфа + + 1
2zd — hd
V (2zd - hd)* + I
— 0,5 Д/г
= —0,5 (zd, hd).
(468)
где
Функция F (zd, hd), стоящая в формуле (468), определяет кон-
фигурацию кривой ДЯг в зависимости от положения на оси сква-
жины точки М, в которой измеряется ДЯг. На рис. 86 приведены
кривые изменения ДЯг = 0,5 &J2F (hdzd) в зависимости от поло-
жения г точки исследования относительно пласта.
256
Из формулы (468) и рис. 86 следует, что кривые Д//2 = / (г)
в однородно намагниченном пласте симметричны относительно
средней точки пласта, к которой относится оптимальное значение
Д//2 (минимальное при положительном значении Дх).
Функция F (zdl hd) имеет аналитическое выражение, анало-
гичное функции, определяющей конфигурацию кривой потен-
циалов t/cn собственной поляризации [см. формулу (467), § 39].
Эта аналогия физически объясняется тем, что распределение ин-
дуцированного магнитного поля в скважине диаметром dc тождест-
венно распределению в скважине с таким же диаметром электри-
ческого поля, созданного пластом, кровля и подошва которого
имеют заряд разного знака постоянной плотности. Напряженность
£2 =----этого поля будет равна потенциалу t/cn двойных
электрических слоев, соответственно расположенных в кровле и
подошве пласта (см. § 39), что и приводит к одинаковому виду
формул, определяющих Д/7г F (г) и ^сп = Р (z). Раз-
личнее знаке объясняется тем, что силовые линии магнитного поля,
созданного индуцированным намагничиванием пласта, имеют
в скважине направление, противоположное линиям естествен-
ного магнитного поля.
В связи с тем, что метод потенциалов собственной поляриза-
ции в практике исследования скважин применяется значительно
больше, чем метод естественного магнитного поля Земли, функцию
F.(zd, hd) удобно проанализировать при описании теории поля по-
тенциалов собственной поляризации (см. § 39). В настоящем пара-
графе воспользуемся приведенными в § 39 выводами, которые поз-
воляют установить следующее.
1. Максимальное значение приращения напряженности Д//2
магнитного поля наблюдается в середине пласта, при этом
(АЯД™ = ~~AJ —= -VK А7г = - vK АхЯг, (469)
И hd + 1
где — поправочный множитель за ограниченную мощность
пласта;
vK ==--—----.
Для пласта неограниченного простирания зависимость vK от
hd определяется кривой модуля «оо», приведенной на рис. 87.
При hd > 4 практически равно единице (отличается от единицы
менее чем на 3%).
2. На границе пласта
(470)
9 Дахнов В. н.
257
Шифр кривых — D
Рис. 87. Зависимости параметрами от h^.
= Did*. Пунктирная кривая соединяет максимальные значения V
при hd > 3
I (ДЯ2)гр | « 0,5 I (ДЯг)ГОах |,
т. е. условие, позволяющее определить положение границы пласта
по кривой ДН2 = f (г).
3. Площадь Зм, ограниченная кривой ДЯ2,
SH = Д JJi
и, следовательно, мощность пласта
h__
п~~ ыг ~ &иНг ’
(471)
Для пласта сложного строения
где 2ft — сумма прослоев с магнитной восприимчивостью хп, от-
личающейся от хвм вмещающих пород.
Поскольку среднее значение Нг в районе скважины известно,
формула (469) дает возможность определить искомую величину
Дх = —
дяг
VxWz
(472)
258
Если обозначить внешний диаметр зоны намагниченности пла-
ста через D (например, при проникновении магнитного глинистого
раствора в пласт), то
ДН = —0,5ДЛ
2zd + hd
V (2zd + hd)» + 1
2zd — hd
V (2zd - ArfP + 1
%Zd 4* hd 1 2zd hd
V ?zd + M2 + Dd V (2*d - hd)2 + Dd
(473)
где Dd — диаметр зоны проникновения, выраженный в диаметрах
скважины, Dd = D/dc.
В этом случае значение ДЯг в центре пласта
Гй'+о3) ’«ДА-
На рис. 86, б приведены кривые ДЯг == f (z) при hd = 10 и
изменяющемся Dd и на рис. 87 — серия кривых vx = f (hd) для
различных значений Dd.
Как видно из рис. 86, уменьшение внешнего диаметра D приво-
дит к появлению на кривых близ границ пласта локальных мини-
мумов (в пласте) и максимумов во внешней среде. Ограниченность
внешнего диаметра D зоны намагниченности пласта обусловли-
вает существенное изменение характера зависимости vx = f (hd).
В этом случае оптимальное значение ДЯг с увеличением hd сперва
возрастает, достигая максимума при
затем уменьшается. Кривая максимальных значений vx>majt =
= f (hd), при котором значение Д//г оптимально, нанесена на
рис. 87 пунктиром.
Метод естественного магнитного поля пока не получил широ-
кого применения из-за трудности создания прецизионных датчиков
для измерения ДЯг в скважине.
9*
Глава V
ЯДЕРНО-МАГНИТНЫЙ МЕТОД
ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН
Ядерно-магнитный метод (ЯММ) исследо-
вания скважин основан на измерении электрического
сигнала, наводимого в приемной катушке изменяющейся во вре-
мени ядерной намагниченностью протонов воды или нефти. Вклад
в величину регистрируемого сигнала дает не вся жидкость, а лишь
та, которая заполняет крупные поры, и не очень вязкая. Если
пористость открытая, то, как правило, только эта жидкость спо-
собна к перемещению под действием перепада давления. Поэтому
ЯММ является прямым методом индикации свободной жидкости
в пласте и используется для определения эффективной пористости
пласта.
§ 35. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЯДЕРНО-МАГНИТНОГО МЕТОДА
Многие атомные ядра обладают собственным моментом коли-
чества движения (спином) и связанным с ним магнитным момен-
том. Векторы магнитного ц и механического J моментов параллель-
ны и связаны соотношением
ц = yj = уЙ1,
(474)
где у — коэффициент, называемый гиромагнитным отношением;
Й — приведенная постоянная Планка, й — й/2л; I — безраз-
мерный вектор механического момента ядра (максимальную
проекцию вектора I на любое выделенное направление называют
спиновым числом или просто спином ядра. В за-
висимости от типа ядра это число может быть целым, полуцелым
или нулем).
В постоянном магнитном поле Но ядерные моменты в резуль-
тате взаимодействия друг с другом и с окружающей средой при-
обретают преимущественную ориентацию в направлении Но. Этот
процесс, называемый спин-решеточной релакса-
цией, ведет к возникновению макроскопической ядерной на-
магниченности вещества. Если все ядерные спины вещества нахо-
дятся в статистически одинаковых условиях и подвергаются стати-
стически одинаковому воздействию со стороны своего окружения,
260
то закон нарастания ядерной намагниченности М в поле Нф опре-
деляется уравнением
dM М — Мо
dt ~ Т,
(475)
где Мо — равновесное значение ядерной намагниченности в поле
Яо; 7\— время спин-решеточной релаксации.
Решение этого уравнения имеет вид
М (0 = [М (0) - Мо] е_//г« + Мп;
(476)
здесь М (0) — ядерная намагниченность в момент времени t,
равный нулю.
Равновесное значение ядерной намагниченности определяется выражением
= N У^^т+ ° Но = ^Но,
Off 1
(477)
где N — число ядерных моментов в единице объема вещества; k — постоянная
Больцмана; Т— абсолютная температура; — статическая ядерная восприим-
чивость.
Так как ядерные магнитные моменты имеют очень малую величину (10“3—
10-4 магнетонов Бора)» то очень мала и ядерная восприимчивость. Как правило,
она в 10е—108 раз меньше электронной парамагнитной восприимчивости.
Для обнаружения эффектов, связанных с ядерным магнетиз-
мом, необходимы весьма чувствительные методы. Во всех этих
методах (и в частности в ЯММ) используется резонансный контур,
настроенный на частоту движения ядерных моментов в постоянном
магнитном поле. Благодаря такому движению в контуре наводится
электрический сигнал, величина которого пропорциональна ядер-
ной намагниченности исследуемого вещества.
Уравнение движения свободного ядерного момента ц в магнитном поле Н (I)
получим, приравняв скорость изменения механического момента J приложенному
к нему моменту сил цХН:
di
= PXH;
(478)
здесь цХ Н — векторное произведение.
Исключив из этого уравнения J, с учетом того, что ц = yJ, получим
= и X ?н. (479)
Так как ядерная намагниченность М представляет собой векторную сумму
магнитных моментов ц, содержащихся в единице объема вещества, уравнение дви-
жения вектора М в случае системы слабо взаимодействующих спинов описывается
таким же уравнением
ам
dt
= М X уН.
(480)
Векторное уравнение (480) эквивалентно системе трех скалярных уравнений:
= —Мх(02 4- Мг<йх;
(480х)
= Мх(йу —
St
Му
dt
dMt
dt
где ых = yHXt ыу = уНу\ (oz = уЯ2.
Систему линейных дифференциальных уравнений (480х) можно решить обыч-
ными способами, но решение облегчается, если перейти к вращающейся системе
координат. Из курса векторного анализа известно, что производная dth/dt
любого зависящего от времени вектора М (0, вычисленная в неподвижной системе
координат, и его производная 6М/6/, вычисленная в системе координат, вращаю-
щейся с угловой скоростью Q, связаны соотношением
- 6М ХОУМ
“ЗГ=“5Г + ОхМ-
(481)
С учетом этого равенства уравнение (480) приведем к виду
6М
dt
= МХ (уН4-О).
(482)
Если ввести в рассмотрение эффективное магнитное поле Нэф, определяемое
равенством
Нэф = Н + -у- , (483)
то вместо уравнения (482) получим
6М
6/
= М X ?Нэф.
(484)
Найдем решение уравнения (480) в случае движения вектора М в постоянном
магнитном поле Но, направленном вдоль оси Z. Положим
q — —уН0 — <»0‘ (485)
При таком выборе Q эффективное поле Нэф — 0. Поэтому вектор М неподви-
жен во вращающейся системе координат; значит относительно лабораторной си-
стемы координат он вращается с угловой скоростью <в0. Следовательно,
Л4Л — Л4 sin 0 cos (<о0/ + <р);
Му = —М sin 0 sin (ш0/ + ф);
Mz — М cos 0,
(486)
где 0 — угол между векторами М и Но; ф — угол, который в момент времени
t = 0 образует проекция вектора М на плоскость ху с осью X.
В постоянном магнитном поле Но вектор М (без учета относи-
тельно медленно протекающих релаксационных явлений) прецес-
сирует вокруг направления этого поля с угловой скоростью
ЮО = —уН0, (487)
называемой ларморовской час
Так как угол в между векторами М и
проекция Мх вектора М на направление
тотой прецессии.
Но остается постоянным,
поля Но не изменяется во
262
времени (Мг = М cos 6) и вклад в величину сигнала может давать
юлько перпендикулярная Но составляющая ядерной намагничен-
ности М±, которая вращается вокруг направления поля Нос угло-
вой частотой <оо. Из сказанного следует, что
= М sin 0. (488)
В постоянном и однородном магнитном поле Но М±(() умень-
шается в е раз за время Тъ называемое временем спин-сп и-
повой (поперечной) релаксации. Величина Т2
определяется взаимодействием ядерных спинов между собой и
с окружающей средой.
Если магнитные моменты находятся в неоднородном магнит-
ном поле Н = Но + ДН, то они прецессируют с различными
частотами <в — у (Но + Д/7) — jo0 + Да», и4 поперечная состав-
ляющая ядерной намагниченности М± исчезает со скоростью, про-
порциональной величине неоднородности Д/7. Поэтому наблюде-
ние сигнала ядерной индукции в сильно неоднородном магнитном
поле становится невозможным.
В скважинных условиях практически нельзя создать в пдасте
однородное магнитное поле Но с помощью каких-либо магнитов
или катушек с током. В качестве такого поля (поля прецессии)
используют небольшое по величине, но очень однородное магнит-
ное поле Земли Н9. Частота прецессии ядерных магнитных мо-
ментов для различных атомных ядер в поле Нэ определяется ве-
личиной у и изменяется в широких пределах. Самая большая ве-
личина у у ядер водорода (у/2л = 4257 Гц гс-1). Частота прецес-
сии v — ядер водорода в поле Н3 равна приблизительно
2000 Гц. Величина сигнала е, наведенного в приемной катушке
прецессирующими моментами ц, пропорциональна Мо>0, т. е.
ХоТ-
(/ _±_ j)
Так какхо — -----тое« №ff (/4-1). С этой точки зрения наиболее
подходящими объектами при исследовании пластов являются ядра водорода (у
лих самое большое значение у и они имеют достаточно высокую концентрацию).
Имеется и другая, более важная причина, по которой ЯММ применяют только для
ядер водорода. Поперечная составляющая М± ядерной намагниченности, создан-
ной ядерными моментами, входящими в состав твердого (или очень вязкого)
вещества, исчезает на столь короткий промежуток времени, в течение которого
невозможно зарегистрировать сигнал свободной прецессии. Быстрое разрушение
х в твердых телах объясняется тем, что ядерные моменты находятся в сильно
неоднородном магнитном поле Н
Н = Н3 + ДН, (489)
*
где ДН — поле, созданное ядерными моментами, магнитными моментами атомов
н другими источниками магнитных полей.
Если принять, что ДН обусловлено только ядерными моментами, то по по-
рядку величины
здесь г — расстояние между двумя соседними моментами.
Д/7~ Д_;
(490)
263
Пусть r~ 2-10-8 см, ц = 10~23 (IO-3 магнетона Бора). Тогда ЛЯ ~ 1 Гс.
Это очень большая неоднородность, и М х разрушается в таком поле за время T2f
равное приблизительно 10"4 с. Разрушение Мхв очень вязких жидкостях (на-
пример, битумах) объясняется приблизительно так же, как и разрушение в твер*
дых телах. Так как «мертвое» время тм аппаратуры ЯММ равно 20—30 мс, то ре-
гистрировать сигналы, наводимые ядерными моментами, входящими в состав твер-
дых тел или очень вязких жидкостей, в настоящее время не представляется воз-
можным.
В жидкостях механизм разрушения (релаксации поперечной составляю-
щей ядер ной намагниченности) имеет совершенно другой характер. В результате
быстрого, хаотического движения молекул жидкости магнитные поля ядериых н
атомных моментов усредняются и в первом приближении исчезают полностью.
Поэтому время разрушения для чистых жидкостей по порядку величины равно
1 с. Так, например, время поперечной релаксации Т* воды без примеси парамаг-
нитных ионов составляет приблизительно 3 с при комнатной температуре и растет
вместе с ростом температуры, достигая при 100 °C И с. Время поперечной релак-
сации Т2 нефти зависит от состава нефти, ее вязкости и температуры. Оно всегда
меньше времени релаксации воды и в зависимости от перечисленных факторов из-
меняется предположительно от 25 мс до 3 с.
Взаимодействие жидкости со стенками пор, распространенное
в результате диффузии на все молекулы жидкости, обусловливает
значительное уменьшение времен релаксации и Т%. Поэтому
время релаксации Т2 жидкости в мелких порах, которые обычно
заполнены остаточной водой, меньше «мертвого» времени тм аппа-
ратуры, и эта жидкость не дает вклада в величину регистрируемого
сигнала. Глинистый раствор также не дает вклада в величину сиг-
нала, так как он представляет собой дисперсный раствор с весьма
большой суммарной поверхностью глинистых частиц, и взаимодей-
ствие молекул воды с глинистыми частицами вызывает уменьшение
Т2 до значений, меньших тм.
Таким образом, наличие сигнала ЯММ против исследуемого
пласта свидетельствует о том, что в пласте имеется свободная
жидкость. Величина этого сигнала пропорциональна числу ядер
водорода, содержащихся в свободной жидкости.
§ 36. ТЕОРИЯ ЗОНДА ЯДЕРНО-МАГНИТНОГО МЕТОДА
Рассмотрим произвольный замкнутый контур, расположенный
в среде, намагниченность которой М (х, у, г, t) считается задан-
ной функцией координат и времени. Изменяющиеся со временем
магнитные моменты М (х, у, z, t) AV создают переменное магнит-
ное поле, вследствие чего может возникнуть переменный магнит-
ный поток через контур. Величина потока зависит как от намагни-
ченности М (х, у, г, /), так и от геометрической формы контура и
его расположения в пространстве. Найдем величину этого потока.
Магнитный диполь ДМ = М (х, у, г, t) AV эквивалентен не-
которому элементарному плоскому контуру S (/), по которому
протекает ток i:
ДМ (0 = iS (/).
(491)
264
Ток i, протекающий по контуру S (0, создает магнитный поток
через основной контур
ДФ (0 = N (t) i, (492)
где N (/) — коэффициент взаимной индукции двух контуров.
Так как элементарный контур S (0 может изменять свою ориен-
тацию в пространстве, то N зависит от времени.
Предположим, что по основному контуру протекает ток /.
Тогда магнитный поток Ф5 (0 через элементарный контур равен
Ф, (0 = BS (0, (493)
где В = В (х, у, г) — вектор магнитной индукции, созданной
током /.
С другой стороны,
Ф5 (0 = (0 I.
(494)
Из равенств (491)—(494) находим
дф (0 = BLW. i =
В ДМ (П
(495)
Полный поток Ф(0 через основной контур получится после
интегрирования (495) по всему пространству V:
®W=J
V
В (х, у, z) М (х, «у г, О
-
dV.
Выражение (496) можно переписать так:
Ф (0 = J b (X, у, z) М (х, у, Z, 0 dV,
v
(496)
(496')
где b (х, у, z) — вектор магнитной индукции, возникающей при
протекании по контуру единичного тока.
Для немагнитных сред этот вектор полностью определяется
геометрической формой контура и его расположением в простран-
стве.
Переменный магнитный поток Ф (0 создает в контуре электро-
движущую силу
е(0 = —-^- = —-^-fb(x, у, z)M(x, у, z, t)dV. (497)
V
Формула (497) выведена без учета поглощающих свойств среды. Если завися-
щие от времени составляющие намагниченности М (х, у, z, t) изменяются по гар-
моническому закону, то вместо формулы (497) следует написать более общее вы-
ражение, учитывающее поглощающие свойства среды:
е (t) = —
В (х, у, z, t) М (х, у, гУ t)
/(О
dV\
(498)
здесь ток I (f) предполагается изменяющимся с той же частотой, что и М.
265
Так как во всех точках объема интегрирования можно считать, что индукция В
имеет ту же фазу, что и ток I, то
в (х, у. z) М (х,*#, z~t) dV>
(499)
где b (х, у, г) — в этом случае амплитудное значение магнитной индукции, создан-
ной переменным током, амплитуда которого равна единице, а частота — частоте
изменения М (t).
В случае ЯММ под намагниченностью М (х, у, ?, /) следует
понимать ядерную протонную намагниченность. Так как эта на-
магниченность осциллирует с относительно низкой частотой по-
рядка 2000 Гц, то поглощающими свойствами среды можно пре-
небречь и пользоваться при вычислении величины сигнала фор-
мулой (497).
Из формулы (497) следует, что, медленное изменение М (/),
обусловленное релаксацией продольной н поперечной составляющих намагничен-
ности, влечет за собой такое же медленное изменение амплитуды сигнала. Поэтому
влияние релаксационных процессов и а окончательное выражение для э. д. с.
может быть учтено после вычисления э. д. с. в предположении отсутствия этих
процессов. При этих условиях движение вектора М описывается уравнением
dM
dt
= М X Т(Н3 + НК),
(500)
где Нк (/) — зависящее от времени поле^катушек, используемое для создания ядер-
ной намагниченности пласта н для управления ею.
После выключения поля Нк (0 в приемной катушке наводятся э. д. с.
Разложим векторы М н b на составляющие, перпендикулярные к полю
Земли н параллельные ему:
М — м х -j- м и *,
b = b j. + ь и.
(501)
Вклад е величину сигнала дает только зависящая от времени часть b±Mj_(0
скалярного произведения ЬМ. Поэтому приемная катушка должна иметь такую
геометрическую форму и такое расположение в скважине, чтобы создаваемое ею
поле составляло с полем Земли угол, близкий к прямому. С этой точки зрения един-
ственно приемлемой конструкцией приемной катушкн является вытянутая вдоль
осн скважины многовнтковая рамка. На конструкцию поляризующих катушек
(т. е. катушек, которые’создают намагниченность М) таких жестких ограничений
не накладывается. Поляризующее устройство является оптимальным, если соз-
данное им поле имеет при фиксированной мощности тока максимальную величину
и проникает на наибольшее расстояние в глубь пласта. Направление поля поляри-
зации Нп не очень существенно, так как имеются способы повернуть вектор М
в направлении, близком к желаемому.
В аппаратуре ЯММ приемная катушка является одновременно
и поляризующей. По этой катушке пропускают постоянный ток,
который создает в пласте магнитное поле Нп, перпендикулярное
к оси скважины. Магнитное поле стараются сделать по возмож-
ности большим; обычно у стенок скважины оно на 2 порядка пре-
восходит поле Земли. После того как ядерная намагниченность
М (д у, г, 0 в этом поле достигает равновесного значения, поле
Нп медленно (но за время, гораздо меньшее Тг воды в порах сре
266
i
них размеров) уменьшают до
величины, всего лишь в не-
сколько раз превосходящей поле
Н3. Затем оставшееся поле Ност
быстро выключают за время,
малое по сравнению с (уНд)"1.
Вектор намагниченности М (х,
у, zy /) не успевает следовать
за результирующим полем
Нэ + Ност (х, у, г, t) ( и начи-
нает прецессировать вокруг
поля Нэ, благодаря чему в при-
емной катушке наводится э.
Рис. 88. Схема к выводу формул, опре-
делглощих величину наведенной э. д. с.
Af , Мг — проекции вектора М (х, у,
г» О на осн X, У, Z
Преобразуем вы ражение (497)
к виду, удобному для вычисления
сигнала. С этой целью выберем систему
координат х, уу г так, чтобы вектор Н3
находился в плоскости VZ, а ось г
совпадала с осью скважины. Пусть
начало этой системы координат нахо-
дится на осн скважины и пусть угол между вектором Н3 и осью z равен 0. Рас-
смотрим также систему координат х', у', z', повернутую на угол 0 относи-
тельно оси х. Эти системы координат изображены на рнс. 88.
Пусть составляющие вектора М после выключения Нп равны Мх (0),’ Му (0),
М2 (0). В движении вектора М участвуют только перпендикулярные к Н3 ком-
поненты, т. е. компоненты Мх, и М^. Эти компоненты вращаются вокруг направ-
ления поля Н3 с частотой — —уН3, поэтому
М(t) = Мх, (0) cos (of + М.., (0) sin со/;
А А у
(502)
Му, (0 = —Мх, (Qi) sin tot 4- Му, (0) cos tot,
где
Mx, (Qi) = Mr (0); Mu, (0) = Ми (0) cos 0 — М, (0) sin 0. (503)
Проектируя Мх, (t) и Му, (0 на осн х, у, z, найдем зависящую от времени часть
скалярного произведения (М-b), которую обозначим (М*Ь),:
(Mb)/ = [А4Х (0) cos (dt + Му (0) cos 0 sin со/ — Mz (0) sin 0 sin cof] bx -f-
+ I—Mx (0) cos 0 sin (dt -f- My (0) cos2 0 cos (dt — M2 (0) sin 0 cos 0 cos (dt J by +
+ [Mx (0) sin 0 sin (dt — My (0) sin 0 cos 0 cos (dt + M2 (0) sin2 0 cos (o/J bz. (504)
Для определения наведенной э. д. с. (504) нужно подставить в (497). Таким
образом, можно вычислить сигнал для любой катушки. Если функция поляриза-
ции н приема выполняет одна катушка, выражение (504) можно значительно упро-
стить, считая выключение быстрым.
В этом случае
М (0) ХоНп; В = jiHn,
(505)
т. е. ядерная намагниченность М после выключения поля остается в момент вре-
мени t параллельной вектору b = В//. Поэтому в выражении (504) остаются толь-
ко следующие члены:
(Mb)/ — Мх (0) bx cos (dt + Му (0) by cos2 0 cos (dt +
+ Мг (0) b2 sin2 0 cos (dt — Mz (0) by sin 20 cos о>Л
(506)
267
Подставляя (506) в (497), полуЧиМ
... <в
в (/) — —
J Хо [НКВХ + НуВу cos2 0
V
+ HZBZ sin2 0 — HzBy sin 20] sin (di dV,
(507)
где Hx, Hy, Hz — компоненты магнитного поля Нп (х, г/, г) катушки, созданного
током /.
Если в качестве приемно-поляризующей катушки исполь-
зуется длинная рамка, то полем коротких сторон можно прене-
бречь; тогда
* (0 = -?- J Хо {Нх, ДВХ, д + Ну, дВу, д cos2 0] sin at dV-, (508)
v
здесь НХ)А и Ну,д — компоненты поля, созданного длинными сто-
ронами рамки; 6 — угол между Но и осью скважины. Можно
показать, что
2я 2Я
J Н*. д(р, ф. г) d<p = j Н2у. д(р, <p, z)d<f. (508')
о о
С учетом этого равенства выражение (508) преобразуем к сле-
дующему виду:
<0 в у ? (в)] Хо (Р» 2) (Р> Ф» г)sin dP d<P (509)
V
f (0) = 1 _ о,5 sin2 0,
где p, <p, z — цилиндрические координаты.
Формула (509) записана в системе СГСМ, наиболее удобной для
расположение
И
Рнс. 89. Центральное
проводов длинной рамкн в скважине.
2а — ширина рамки; ft—диаметр скважины;
р, Ф — полярные координаты точки х, у*, Z —
токи, текущие в положительном и отрица-
тельном направлениях относительно осн Z
вычисления е (t).
Пусть в пласте у0 (р, г) =
= const. Тогда, учитывая из-
вестное равенство магнитных
энергий (8л)"1 J Я2 dV = L/2/2,
получим следующее выражений
для величины ЭДС, наведенной
из пласта:
е = (0),
где т] — доля энергии магнит-
ного поля в объеме УпЛ
j H*dVnn | JH*dV;
^пл / *
L — коэффициент самоиндукции.
Применим полученные фор-
мулы для вычисления амцлц-
268
туды э.
и
с., наведенной в очень длинной рамке. Поле такой рамки
равно приблизительно полю двух проводов с противоположно на-
правленными токами. Пусть расстояние между проводами равно
2а, а сами они находятся в плоскости XOY. Расположение прово-
дов в скважине показано на рис. 89.
При таком расположении проводов магнитное поле опреде-
ляется выражениями (система СГСМ):
Н = —41а Р2 sin __________________•
х р4 + а* — 2а2р2 cos 2<р ’
Н -Ma P2cos2<p —а2 _.
л ^ р4 + а4 — 2а2р2 cos 2<р ’
__ /г2 [ тт2 __ ________16/2а2________
х у р4 + а4 — 2а2р2 cos 2<р
(5Ю)
Подставив № в (509) и проинтегрировав по <р от нуля до 2л, по-
лучим
z+Z р
е = 1 блт2// (0) J ( 2р#^
2 Ь
dpdz.
Если Хо не зависит от р, то это выражение после интегрирова-
ния по р (от b до р) примет вид
2+1
е (р) = 8 л со//(0) [lng + g - In J %o(z)dz. (511)
z
Устремив p к бесконечности, получим э. д. с., наведенную всем
пластом в интервале от г до г +I:
е = 8лы11?(&){%0 (z))z In
Ь2 + a2 .
*2 — a2 ’
2+1
(Xo(z))/=4"J Xo(z)dz.
z
(512)
Если рамка состоит из У витков, то для определения наведен-
ной э. д. с. нужно выражение (512) умножить на № (при условии,
что поперечное сечение рамки представляет собой два круга, рас-
стояние между центрами которых равно 2d). При отношении а/b <
< 1/2 выражение (512) после разложения в ряд логарифма с хоро-
шей точностью может быть представлено в виде
е = 16гао///(0) (хо (z))z - J.
(513)
Из формул для е следует, что глубина исследования пласта
ЯММ невелика: п процентов сигнала наводится из зоны, все точки
269
которой отстоят от центра скважины на расстоянии, не превы-
шающем р„:
___________________________10»
Рл К100 — п '
(514)
В частности 90% сигнала приходит из зоны
рм = |/Ж (514')
Если центр длинной рамки находится на расстоянии с от осн скважины, а
плоскость рамки составляет угол а с осью х, величина э. д. с., вычисленная по
формуле.(509), определяется выражением
,, \ л н / / w f 1 + а2 — с2)2 + 4а2с2 sin2 а е
е (Ь, с) = 4л<о7/ (Хо (г)), / (0) in _ аа - 4а*с* cos» а ’ (5,5)
Учитывая конечную длину b рамки, получим более точное значение величины
сигнала:
л (Ь — с) '
(516)
Из этой формулы следует, что глубина исследования рамки конечной длины
зависит от I и несколько меньше глубины исследования бесконечно длинной рамки.
§ 37. РЕЛАКСАЦИЯ ЯДЕРНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ ЖИДКОСТИ
В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
В ЯММ измеряют изменяющуюся во времени ядериую намаг-
ниченность протонов М (/). Амплитуда сигнала пропорциональна
намагниченности М(о, которая таким образом несет в себе всю
информацию (доступную методу) о физических свойствах пласта.
Зависимость ядерной намагниченности жидкости М (х, у, г, t) от времени
находится нз уравнения Торри:
= МХ?Н - i -к^ 4- D ДМ,
Of Т 2 I 2 / 1
(517)
ас
где i, j, к — единичные векторы, направленные вдоль осей X, У, Z; D — коэф-
фициент. самоднффузнн жидкости; = ХоЯо — равновесное значение ядерной
намагниченности в постоянном поле Яо; Т2 — спин-спиновое (поперечное) время
релаксации; — спнн-решеточное (продольное) время релаксации; Д — диф-
ференциальный оператор Лапласа.
Первый член в правой части этого уравнения описывает движение вектора
М (х, у, z, I) в магнитном поле Н (х, у, z, /)• В результатетакого движения изме-
if
j *1
няется только поперечная составляющая М х — |/ М2 + М2 ядерной намагни-
ченности. Два следующих члена описывают распад поперечной составляющей М х
ядерной намагниченности чистой жидкости, имеющей неограниченный объем н
находящейся в однородном магнитном поле (Л4 _[_(/)— Л4±(0)е Четвертый
член уравнения описывает стремление намагниченности к равновесному значе-
нию Мо = %0Я0 в поле Но, направленном вдоль осн Z. Член DAM характеризует
вклад диффузии спинов в скорость изменения намагниченности. В пористой среде,
заполненной жидкостью, учет диффузии необходим, так как скорость релаксации
свободной жидкости на 3 порядка меньше скорости релаксации жидкости, адсор-
бированной стенками пор, и обмен молекулами между этими двумя объемами
сильно влияет на скорость релаксации всей жидкости.
270
Рис. 90. Схематическое изображение
поры
Уравнение (517) равносильно двум уравнениям:
ЭМ. М,
-ЭГ - <« х тнц - +с
дМг Мг — Мя
(518)
(519)
+ D ьм2.
Краевая задача для М (х, у, zt i) будет полностью поставлена, если к этим
уравнениям сформулировать начальные н граничные условия.
Из выражения (519) следует, что временная зависимость Мг (/) в постоянном
магнитном поле Но полностью определяется физическими свойствами заполняю*
щей поровое пространство жидкости и ее взаимодействием со стенками пор. На
зависимость М±(/), кроме того, влияет еще величина н характер неоднородностей
магнитного поля прецессии. Поэтому при измерении Mz (/) получают больше све-
дений о физических свойствах пласта, чем при измерении Л4±(/).
Спин-решеточную релаксацию ядерной намагниченности жид-
кости в отдельно взятой поре можно приближенно описать с по-
мощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть Л\ и число молекул жидкости в адсорбированном слое и
их суммарный магнитный момент, а и ть те же величины для сво-
бодной жидкости. Схематическое изображение поры приведено на
рис. 90. При отсутствий обмена между молекулами адсорбирован-
ной несвободной жидкости изменение магнитного момента mz опре-
деляете я выр ажен ием
Дт£ =— (mz — mz0) Xz Д/, (i = 0, 1), (520)
где — равновесный магнитный момент; lz = 1/T1Z — скорость
спин-решеточной релаксации.
Если т — среднее время жизни молекулы в адсорбированном
слое, то поток молекул из этого слоя уносит оттуда в единицу вре-
мени NJx молекул; столько же молекул приходит туда из объема
свободной жидкости. Следовательно, на смену уходящему из адсор-
бированного слоя магнитному моменту mjT из объема свободной
жидкости приходит магнитный момент, равный Этот вы-
/У0 .
вод сделан в предположении, что ядерная намагниченность сво-
бодной жидкости из-за относительно быстрого обмена между моле-
кулами этой жидкости почти не зависит от координат.
Таким образом, используя принцип детального равновесия,
приходим к системе уравнений:
=-(/no_/noo)Av--^-^
W-v I / V 0
dmx m0
dt т
- ("h - m10) K-
Сделаем замену
Qi = - mt\ Qt (0) = mzo;
тогда
_____ __Q I \ 1__1 ^1 \ I Л) 1 .
dt ~____\° + т No ) +V1 x ’
d<2i
dt
Nl
No
Решив эту систему при условии, что N9 ЛГЬ получим
Q(/) = Q(0)e-4
где Q (0 = (0 + Qo (0, а 1 определяется выражением
(521)
(522)
(523)
(524)
(525)
Итак, суммарный ядерный магнитный момент жидкости, заклю*
ченной в поре, стремится к равновесному значению по экспоненте,
показатель которой определяется выражением (525). Учитывая,
что Nj пропорционально поверхности поры Snop, а Л\ + Уо — ее
объему VIIOp, получим
^пор
’ пор
(526)
завися-
пор.
здесь k — постоянный коэффициент; Р — коэффициент,
щий от характера взаимодействия жидкости со стенками
Теоретические исследования и экспериментальные данные показывают, что
коэффициент Р зависит от температуры, от характера смачиваемости поверхности
поры заполняющей ее жидкостью, от величины магнитного поля релаксации, от
степени развитости системы микропор и от других факторов. Так как скорость ре-
лаксации адсорбированной жидкости уменьшается при увеличении поля релак-
сации (53], то величина А также уменьшается с ростом поля.
Из формулы (526) следует, что скорость спин-решеточной ре-
лаксации X линейно зависит от отношения поверхности поры к ее
объему. Измерения на образцах горных пород и в скважине [551,
показали, что второй член этой формулы вносит основной вклад
в величину А.. Это означает, что данные измерений по спин-реше-
точной релаксации жидкости, заполняющей пористую среду,
тесно связаны с размерами пор , а точнее, с характером
272
распределения пор по размерам. Так как проницаемость пласта и
количество подвижной жидкости в пласте определяются в основном
функцией распределения по размерам пор, то становится ясным
исключительно важное значение релаксационных измерений и
формулы (526), необходимой для их интерпретации.
Исследование механизма релаксации ядерной намагниченности в пористой
среде приводит к следующему выражению, описывающему процесс намагничива-
ния пластовой жидкости:
00 оо
Mz (t) = Mz<) j фх (X) (1 — е-^) dX = 1 — j <Pi (X) e-^ dl ;
о
(527)
о
здесь M2 (t) — продольная функция релаксации; М20 = <рх (X) — норми-
рованная к единице плотность функции распределения по скоростям спни-ре-
шеточной релаксации X1.
Следовательно, функцию
Мго М2 (/)
ОО
j Ф1 (X) dk
о
можно рассматривать как преобразованную по Лапласу функцию <рх (X). Поэ-
тому путем выполнения обратного преобразования Лапласа можно по известной
из эксперимента функции M20—М2 (/) найти функцию <рх (X). Для решения этой
задачи релаксационную кривую М2$—М2 (Z) необходимо измерить с высокой
точностью во многих (порядка 100) точках Z/, что представляет собой трудную
экспериментальную задачу. Поэтому на практике, ограничиваясь меньшим числом
измерений, релаксационную кривую разлагают на сумму небольшого числа (обычно
не более трех) экспонент. Используя это разложение, можно определить количе-
ство подвижной жидкости, оцени ть проницаемость коллектора и высказать пред-
положение о характере насыщения (нефть или вода) коллектора.
В однородном магнитном поле Н3,
которое возможно только
при отсутствии магнитных частичек в исследуемом веществе, ско-
рость поперечной релаксации в отдельно взятой поре определяется
выражением (526)'с другим (большим) значением коэффициента 0.
Поэтому скорость поперечной релаксации жидкости, заключенной
в поровом пространстве, всегда больше скорости продольной ре-
лаксации.
Закон изменения функции поперечной релаксации Мх (/)
в однородном магнитном поле Н3 имеет следующий вид:
00
Мхрел(0 - Мх(0) J <р2 (X) е-“ dX,
о
(528)
где ср? (X) — нормированная к единице плотность функции рас-
пределения по поперечным скоростям релаксации X.
Неоднородность магнитного поля Н3 в объеме поры вызывает
увеличение скорости поперечной релаксации и усложнение ха-
рактера ее зависимости от размеров поры 6. Амплитуда сигнала
1 Если пористая среда заполнена одной жидкостью, то эта функция близка
к плотности функции распределения по размерам пор.
273
свободной прецессии е(/), наведенная магнитными моментами, за-
полняющей пористый образец жидкости, принимает вид
е (0 = S ап^п‘ cos (529)
п
— скорость поперечной релаксации в n-й поре; ип
.откло-
нение средней частоты в n-й поре от среднего значения резонансной
частоты; ап — вклад n-й поры в величину сигнала.
В этом выражении суммирование ведется по всем порам.
Если случайная величина ип не зависит (или почти не зависит) от размера
поры, то эту формулу можно представить так:
е (0 « е (0)
dp
СО I
j / (и) cos ut du , (530)
-0 J
где / (и) — нормированная к единице плотность функции распределения магнит-
ных моментов по угловым частотам и = ?ДЯ3. Предполагая [ 1 ] > что / (и) имеет
специальный вид (распределение Лоренца)
получим
е (/) = е (0) е ' 2 j <р (р) е dp.
о
(531)
(532)
Представим е (/) в виде суммы трех слагаемых:
е(/)=е(0)е ^?2
<р(р)е
1/7*2
d|i +
1/^11 <Ю
j ф (н)е-м,/ + J Ф (Н) е-*1'
1/Г2
(533)
Первое слагаемое дает вклад в величину сигнала от жидкости, заполняющей
самые крупные поры, поперечное время релаксации в которых больше Т%. Сигнал,
наведенный жидкостью нз этих пор, можно приближенно записать в виде
ei (0 « ei (0) е , (534)
где
1/7-2
(0) = е (0) j <р (р) dp- (535)
о
Второе слагаемое, соответствующее порам средних размеров, дает вклад в на-
чальную величину сигнала, равный
1/тм
М0) = *(0) J <р (р) dp. (536)
1/7*2
274
Сигнал е2 (0, наведенный жидкостью из этой группы пор, Затухает быстрее,
чем ех (0, н даже приближенно не представляет собой экспоненты. Третье слагае-
мое соответствует самым мелким порам, поперечное время релаксации в которых
меньше мертвого времени аппаратуры тм. Сигнал от жидкости, заполняющей эти
поры, не регистрируется аппаратурой ЯММ. В этих порах собирается вся остаточ-
ная вода; возможно также, что наиболее крупные из этих пор (Т2 » тм) содержат
некоторое количество жидкости, способной к перемещению (свободной жидкости).
Опыт показывает 154], что большие и средние поры заполняет жидкость, спо-
собная к перемещению под действием перепада давления. Поэтому вклад в ве-
личину регистрируемого сигнала дает только свободная жидкость; прн этом
ерег (О
~ex(0)e ' 1 2+ е2 (0) е ' 2
j <р (|*) е“dp,
1/Т2__________
7тм
J Ф(р)4р
|/Т$
" J ^ср(Г) dt' 9
~ ^рег(0) в
(537)
где рСр (0 — средняя скорость поперечной релаксации в момент времени t.
Скважинные измерения и интерпретация данных должны проводиться так,
чтобы как можно точнее определить величину ех (0) + (0), которая пропорцио-
нальна количеству свободной жидкости в единице объема коллектора. Для точ-
ного решения этой задачи необходимо измерить ерег (0 при многих (хотя бы по-
рядка десяти) значениях времени £ Такне измерения технически трудно осуще-
ствить, поэтому на практике измеряют ерег (0 для двух или трех значений вре-
мени t и полагают, что
врег (0 « ерег (0) е—z/r*. (538)
При таком допущении погрешность определения е, (0) + с, (0) будет тем мень-
ше, чем меньше отношение е, (0)/е, (0).
§ 38. СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ЯММ
С ПЕТРОФИЗИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ КОЛЛЕКТОРОВ
Из формулы (529) или (533) следует, что вклад в величину сиг-
нала (с учетом мертвого времени аппаратуры) дает жидкость, ко-
торая находится в крупных и средних порах. В работе [55] уста-
новлено, что жидкость, заполняющая поры, в которых Т1 >
1\ крвт, является свободной жидкостью в смысле ее способности
к гидродинамическому перемещению под действием перепада
давления В ЯММ такая жидкость называется свободным флюи-
дом, а отношение числа ядер водорода, содержащихся в свободном
флюиде горной породы, к числу ядер водорода в воде, занимающей
тот же объем, что и порода, называется индексом свободного
флюида (ИСФ). Определение ИСФ — основная задача ЯММ.
1 Значение Т1Крит зависит от геометрии порового пространства и физических
свойств горных пород, слагающих месторождение. Для водоиасыщениых образ-
цов терригенных коллекторов Лкрит» 12 мс [54].
275
Рис. 91. Блок-схема аппаратуры ЯММ.
/ — катушка зонда; 2,4 — усилители; 3 —
коммутатор; 5 — блок управления коммута-
тором; б — блок задержек и интегрирова-
ния; 7, 8 — источники питания; 9 — реги-
стратор; 10 — трехжильиый кабель
Блок-схем-a аппаратуры,
используемой в ЯММ, изобра-
жена на рис. 91. Катушка /,
представляющая собой много-
витковую рамку длиной около
1 м, попеременно служит для
поляризации пласта и приема
сигнала. Управление работой
катушки осуществляется ком-
мутатором <?. Наведенный сиг-
нал измеряют циклами через
равные промежутки времени.
В начале цикла через катушку
в течение промежутка времени
Zn, достаточного чтобы создать
в пласте протонную намагни-
ченность, близкую к равновес-
ной, пропускают постоянный
ток /п силой в 2—3 А. По исте-
чении этого времени ток /п вы-
ключают: сначала медленно до
значения /ост < /п (//ост > /7Э),
а затем быстро за время, малое
по сравнению с (у/73)-1. В мо-
мент окончательного выключе-
ния тока вектор М (х, у, г, t)
почти сохраняет свое направление в пространстве и затем начинает
прецессировать вокруг поля Н3, благодаря чему в катушке наво-
дится сигнал свободной прецессии. Во избежание влияния силь-
ных переходных процессов катушка 1 присоединяется к скважин-
ному усилителю 2 только через промежуток времени тм, равный
20—30 мс. Усиленный сигнал по кабелю подается на поверхность
земли, где он еще раз дополнительно усиливается и детектируется.
Для измерения величины продетектированного сигнала служит интегратор
55], с помощью которого определяются величины Uf и
21и
(539)
2
где А (0 — амплитуда сигнала свободной прецессии; <о0 — резонансная частота;
е (0 — случайная функция, являющаяся суммой помехи н собственных шумов
аппаратуры ЯММ; /н — время интегрирования, равное 10—20 мс; U (0 — не-
искаженная помехой н шумами [е (0 = 0] величина U* (0. Случайная величина
276
6 [Л (/), /, /и! характеризует погрешность определения U (/). Она уменьшается
при увеличении амплитуды сигнала А (0. Из выражений (539) следует, что ве-
личина 6 может быть как положительной, так н отрицательной, если А (0
е (0. Если же A (t) < е (0, то погрешность 6 становится положительной и
в этом случае U* (t) всегда больше U (0.
Описанный цикл измерения величии Uf и U% повторяют через промежуток
времени /ц, равный нескольким секундам. Скважинный снаряд во время измерений
поднимают с постоянной скоростью v вверх по стволу скважины, поэтому сигнал
измеряют в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии, равном
Д/ = v/ц. (540)
Запись значений U* и и%, измеренных в зависимости от глубины зонда, пред-
ставляет собой геофизическую диаграмму. Если на некоторой глубине z получены
значения U* н U*, заметно превышающие средний уровень помех и шумов, то это
однозначно свидетельствует о наличии коллектора. В случае очень мелкопористых,
сильно заглннизированных или же сильно магнитных коллекторов постоянная
разрушения поперечной намагниченности может быть меньше тм, и тогда коллектор
не будет обнаружен. Для возможности обнаружения таких коллекторов нужно
или уменьшить мертвое время аппаратуры тм, или использовать метод спинового
эха [55]. Мертвое время отечественной аппаратуры равно приблизительно 20—
30 мс, что позволяет обнаружить почти все коллекторы на нефтяных место-
рождениях Татарин и Азербайджана.
При обработке диаграмм ЯММ рекомендуется по измеренным значе-
ниям U* н U% найти величины и t/2, наиболее близкие к истинным, для чего
нз U *(/) вычитают среднее значение случайной величины 6 [U* (0):
их = и\ - 6ср (и;) ; U2 = U2 - 6ср (U2). (541)
После этого величины 17х и нужно привести к нормальным условиям, т. е.
тем условиям, при которых проводилась эталоннровка аппаратуры ЯМК. Для
этого иг и U2 умножают на поправочный коэффициент Лпоп (6, с’> а» Т, 7',
/п), который является функцией диаметра скважины 26, расстояния с между осью
скважнииого снаряда и осью скважины, скорости v движения снаряда, темпера-
туры Т пласта и температуры Т катушки, угла наклона скважины а, времени
поляризации <п. В результате получим
= Кпоп^р ^2н = Кпоп^/г*
(54 Г)
Если временная зависимость 8 (/), а значит и А (0 описывается выражением
(538), то по значениям UiH н (У2Н- можно приближенно вычислить Ан (0), а затем
ИСФ, который прямо пропорционален Ан (0). В результате таких вычислений
получим
и u _ и J2/T2.
С'ОН — <-'1Не >
где
(542)
in — In t/2H
(543)
Обычно предполагают, что для пласта неограниченной мощности величина
Ан (0) пропорциональна ИСФ. На самом деле это не совсем так. Величина ИСФ,
вычисленная в этом предположении, имеет заниженное значение по двум причи-
нам. Во-первых, вся жидкость, находящаяся в порах, для которых Т1Крит<
7Х < тм, относится к свободной жидкости, но вклада в величину регистрируе-
мого сигнала брег (0 почти не дает из-за слишком большого мертвого времени ап-
паратуры. Во-вторых, ерег (0 неточно изменяется по экспоненте [см. выражение
277
(537)1. Из выраження_(537) следует, что использование формулы (542) для опре-
деления Ан (0) всегда’приводит к заниженному значению начальной амплитуды
сигнала, так как средняя скорость поперечной релаксации р-ср (/) убывает с ро-
стом t
В случае нефтеносного пласта основной интерес представляет
не количество подвижной жидкости как таковой, а количество
нефти, заполняющей поровое пространство коллектора. Так как
глубина исследования ЯММ мала, то сигнал наводится из промы-
той зоны, в которой взаимодействие фильтрата глинистого рас-
твора со стенками пор в значительной мере ослаблено из-за нали-
чия молекулярной пленки, состоящей из адсорбированных моле-
кул нефти. Вследствие этого времена продольной и поперечной ре-
лаксации фильтрата глинистого раствора, заполнившего те поры,
в которых раньше находилась нефть, имеют значительно большую
величину и слабее зависят от размеров пор по сравнению с време-
нами релаксации воды в порах таких же размеров водоносного
пласта. Поэтому можно считать, что фильтрат глинистого раствора,
заполнивший нефтеносные поры, дает сигнал, изменяющийся со
временем почти точно по экспоненте, так как время разрушения
/И 1(f) в системе таких пор определяется в основном не релакса-
ционными процессами, а величиной неоднородностей магнитного
поля Земли.
Из изложенных данных следует, что амплитуда наведенного в датчике сиг-
нала е (/) может быть представлена в виде
е (0 = еф, и (0) + еи, ост (0) +
* 00
/л\ f *
+ ев (0) е J <рв (ц)
о
(544)
где вф, н (0)» ^н, ост (0). ев (0) — начальные значения сигналов, наведенных филь-
тратом нз нефтеносных пор, остаточной нефтью и жидкостью из водоносных пор;
функция <рв (р) описывает распределение скоростей поперечной релаксации жид-
кости в водоносных порах нефтяного пласта при отсутствии магнитных неодно-
родностей; — время затухания сигнала, наведенного остаточной нефтью;
(545)
здесь Т2Н> ост — время поперечной релаксации остаточной нефти в однородном
магнитном поле; оно уменьшается прн увеличении вязкости остаточной нефти.
Известно, что погребенная в нефтеносном пласте вода заполняет самые мелкие
поры. Так как в таких порах скорость поперечной релаксации ц велика, то тре-
тий член в выражении (574) уменьшается гораздо быстрее первого н для времени
/> тм дает незначительный вклад в величину сигнала, что дает право написать
приблизительное равенство
е(О««ф.я(0)е
ен. ост№)е ! if > Тм)-
Ид формулы (546) следует, что в рассматриваемом нами приближении сигнал
е (0 представляет собой сумму двух экспонент. Величина вф( н(0) пропорциональна
количеству той нефти, которая может быть извлечена из пласта прн ее вытеснении
водой; напротив, величина ен> ост (0) пропорциональна количеству нензвлекае-
278
мой нефти. Если остаточная нефть настолько вязкая, что Т2и ост
членом для времен i > Т2н можно пренебречь н тогда
е (t) н (0) е / 2, (t > ^2н’ ^2н
Т*, то вторым
(546')
В этом случае значение 4Н (0), вычисленное по формуле (542), пропорциональ-
но количеству нефти, которая может быть извлечена из пласта. Так как прн вы-
теснении нефти водой в пласте остаются наиболее тяжелые, а потому н наиболее
вязкие фракции нефти, для которых Т2н мало, есть основания полагать, что рас-
смотренный случай является самым типичным и в то же время самым благоприят-
ным для обработки данных измерений.
Все приведенные выше рассуждения справедливы для частного, но очень важ-
ного случая, когда отклонение и от среднего значения резонансной частоты рас-
пределено по закону Лоренца. Если это не так н / (и) существенно отличается от
вида (531), то наведенный сигнал становится иеэкспоненциальным; мало того,
его нельзя представить даже в виде суммы нескольких экспонент. Поэтому фор-
мула (542) становится непригодной для вычисления ИСФ, так как вычисленное
значение в зависимости от характера магнитных неоднородностей может быть как
заниженным, так и завышенным. В такой неблагоприятной обстановке для оп-
ределения ИСФ необходимо использовать метод спин-эхо'. Кроме того, для про-
верки экспоненциальностн сигнала всегда желательно измерять величины U* (/)
для трех или даже четырех моментов времени /х< /а< /3< /4.
ЯММ обладает хорошей расчленяющей способностью, так как
сигнал наводится в основном только из тех точек пласта, против
которых расположена катушка.
Если центр катушки расположен иа глубине г, то доля проинтегрированного
н приведенного к нормальным условиям сигнала 1/1И (iq, z)di\ — UH (iq, z, /х) diq,
наведенного из интервала глубин от iq до iq + diq, определяется выражением
14н(»ь 2)dr)=<?0l« —2) dr)>
(547)
где Ф(£) — функция, характеризующая относительную чувствительность зонда
к приему сигнала нз интервалов глубин, отстоящих на расстоянии 5=1] — г
от его центра.
Вид этой функции почти полностью определяется геометрическими пара-
метрами катушки; он слабо зависит от диаметра скважины, расположения катушки
относительно осн скважины н характера выключения поляризующего поля. За-
висимость Ф от 5 может быть получена теоретически. Для этого нужно рассчитать
магнитное поле катушек, решить уравнение движения вектора М в поле Земли
н поде катушек [см. уравнение (480)] н воспользоваться формулами (497) и (504).
Такне расчеты проводятся, как правило, на вычислительной машине. Функция
Ф (?) может быть найдена также по экспериментальным данным, для чего на по-
верхности земли нужно сделать модель скважины, в которой «пласт» на 100%
заполнен водой. Вычисления показывают, чтоФ (£)— четная функция, принима-
ющая максимальное значение прн £ — 0. Примерный вид этой функции пока-
зан на рнс. 92»
Рис. 92. График функции Ф(£)
279
Величина q (т], /г) равна интегралу по времени от модуля усредненной по
2Л со
объему j J pdpdtpdt] величины поперечной составляющей ядерной намагничен-
о ь
ности М±(р, ф, т], t) cos (00/:
Л
н 2л СО
J8
, t], t) cos dp ] dt
0 b
2 Л со
dt] =
о
и
л
(548)
Интегрируя выражение (547) по t), получим
Уш (г) = j <?i (П) Ф (П — г) dr\.
(549)
Аналогично этому можно написать
гн (г) = J <? (П> G) Ф (П — г) dy; q (t), /2) = <?2 (ц).
(550)
Так как Ф (£) быстро убывает до нуля при | £ | > //2 (/ — длина катушки)
то выражение (549) можно приближенно представить в виде
4/н О
(551)
2
где V — некоторый параметр, больший нуля.
Уже при /' = 0 приближенное равенство (551) будет почти точным; прн
Г — 1/2 это равенство можно считать точным.
Из формулы (551) следует, что для однородного коллектора мощностью h
протяженность аномалии сигнала равна приблизительно h + I. Вследствие чет-
ности функции Ф (£) границы однородного пласта-коллектор а при h > I опреде-
ляются на половине высоты линии нарастания и половине высоты линии спада
сигнала. Если протяженность аномалии сигнала меньше 2/, то мощность пласта h
меньше / и для определения границ пласта нужно отступить от концов аномалии
иа отрезки, равные 1/2.
Формулу (551) следует рассматривать как интегральное уравнение относи-
тельно неизвестной функции q (г, /). В отличне от функции U (г, 0, представляю-
щей собой усредненную по z характеристику пласта, q (г, 0 определяет параметры
пласта как функции г. В уравнение (551) вместо неизвестной функции UH (z, 0
л
280
нужно подставить функцию (7Н (г, /), полученную в результате обработки ди-
аграмм ЯММ. Тогда
(%> 0 —
<7(П>
(552)
Уравнение (552) позволяет по измеренным вдоль ствола скважины величи-
нам U* (г) н U* (г) найтн значения qr (г) и q2 (г). Точность полученного решения
будет тем выше, чем ближе друг к другу расположены точки г, для которых из-
меряются U* (г) и U2 (г). Используя формулу (542), по величинам qt (г) и q2 (г)
можно определить М ± (г, 0) н.Т2 (г), а так как ИСФ пласта в точке z пропорцио-
нален Мх (г, 0), то н ИСФ. В настоящее время прн решении интегральных
уравнений типа (552) широко используют метод регуляризации, предложенный
н развитый академиком А. Н. Тихоновым.
С помощью ЯММ можно решать такие задачи, как оценка про-
ницаемости коллектора и выделение нефтеносных пластов. Для
этой цели необходимо измерить продольную релаксационную
функцию Мг (/).
При измерении М2 (/) скважинный прибор останавливают против исследуе-
мого пласта и проводят серию измерений сигналов свободной прецессии в зависи-
мости от времени поляризации. Так как зависимость 2Иг от /п определяется выра-
жением
ЛМ<п)=Л10 J (1-е W")
о
1, сил (X) dX,
W
I
то амплитуда сигнала свободной прецессии сразу после выключения Яост
(553)
где снл(М — плотность функции распределения по спин-решеточным скоростям
релаксации X в сильном поле Яп.
Так как скорость продольной релаксации зависит от величины поля, то иногда
бывает полезно измерить Л42 (/) в слабом поле, например в поле ЯОст- Для этого
поле /7П (после того, как намагниченность достигнет равновесного значения)
уменьшают до Яост, а поле Яост выключают через различные промежутки вре-
мени t Наведенный сигнал определяется выражением
е(/)«^
(X) еч/
dX.
(554)
Выражения (553) и (554) можно рассматривать как интегральные уравнения
относительно функций ф1( СНЛ(Х) и Ф1, сл(^)- Так как X == Х04- 06-1, то от функ-
ции ф (X) легко перейти к функции распределения по размерам пор.
Данные спин-решеточных релаксационные измеренйй позво-
ляют оценить коэффициент проницаемости пласта &пр. По формуле
Козени 1541
(555)
281
где kntl — пористость, соответствующая размеру nop С — по-
стоянная.
Для пористой среды, заполненной одной жидкостью и состоя-
V п
щей из пор одного размера о = , коэффициент km опреде-
•^пор р
ляется выражением
- с g(0)
ПР— 1 (X, —Хо)2 ’
(556)
где Ci — коэффициент, зависящий от характера взаимодействия
жидкости со стенками пор.
Формула (556) получена при совместном рассмотрении выра-
жения (555) [п ~ 1 ] и формулы (526). В общем случае
МО)
- X,)’ ’
(557)
где et (0) — вклад в величину сигнала от пор размером 6Z; et (0) и
Xz находят по релаксационной кривой.
Спин-решеточные релаксационные кривые используют также
для выделения нефтеносных пластов. Так как зона исследования
при ЯММ мала, то можно считать, что в этой зоне первоначальная
жидкость почти полностью замещена фильтратом глинистого рас-
твора. Предположим, что длительное пребывание нефти в поровом
пространстве пласта существенно изменило молекул яр но-адсорб-
ционные характеристики поверхности пор: на стенках пор образо-
валась молекулярная пленка из адсорбированных молекул нефти.
По этой причине взаимодействие молекул воды (фильтрата гли-
нистого раствора) со стенками пор нефтяного пласта экранируется
адсорбированными молекулами нефти, и в формуле для скорости
спин-решеточиой релаксации
X = Хо + рб’1 (558)
постоянная ри в нефтяном пласте меньше постоянной 0В в водонос-
ном пласте рн < рв.
Введем обозначения
(0 = епр (0 еМ.
- (559)
J епр (О dt
___ о_________
“ «пр(0) ’
где епр (0 — спин-решеточная (продольная) релаксационная
функция, характеризующая взаимодействие фильтрата глини-
стого раствора с порой,
СО
^пр (0 =“ J Ф1 (М е w
о
282
Величина т имеет смысл среднего времени релаксации, обус-
ловленного взаимодействием жидкости со стенками пор. Так
как
°0 __ L /
е5р(/) = епр(0) J f (6) е 6 d6, <560)
О
где f (б) — нормированная к единице плотность функции распреде-
ления по размерам пор, то
00
J С (0 л
о__________
*н(0)
J ев (I) di
о
МО)
(561)
В
Пусть Ря и Рв мало изменяются для коллекторов одного типа.
Тогда, усредняя (561) по всему месторождению, получим
(562)
Положим
размеры пор
нефтеносных
6срн = 6срв, т. е. средние (по месторождению)
водоносных пластов равны средним размерам пор
пластов. Тогда
(563)
В связи с этим, если для некоторого месторождения отношение
₽„/₽„ значительно отличается от единицы, то выполнение нера-
венства
т > Ь- тв (564)
Рн
указывает на то, что этот пласт имеет большую вероятность ока-
заться нефтеносным. Если, кроме того, по данным электрометрии
пласт имеет высокое сопротивление, то эта вероятность становится
почти достоверностью.
ЯММ помогает также выделять битуминозные пласты. Из-за
большой вязкости битумов сигнал от них не может быть зарегист-
рирован. Поэтому, если по данным нейтронных методов пласт ха-
рактеризуется высоким водородсодержанием, по данным электро-
метрии — высоким сопротивлением, а по результатам ЯММ —
нулевыми показаниями, то этот пласт, скорее всего, является би-
туминозным.
Ядерный магнитный метод высоко эффективен при определении
количества свободной жидкости в пласте. В ряде случаев по
ан
283
ним ЯММ можно различать нефтеносный пласт от водоносного и
определять нефтенасыщенность пласта. Использование этого ме-
тода позволяет также дать наиболее достоверную (по сравнению
с другими методами) оценку проницаемости коллекторов. ЯММ
в комплексе с нейтронными и электрическими методами исследо-
вания скважин позволяет надежно выделять битуминозные пласты.
Основным недостатком ЯММ является невозможность его при-
менения в скважине с обсадной колонной, в присутствии которой
магнитное поле Земли становится столь неоднородным, что сигнал
свободной прецессии практически мгновенно затухает. Примене-
ние ЯММ затруднено в скважинах, пробуренных на нефтяной
основе. В этом случае возникают сильные помехи, связанные с сиг-
налом от нефти из глинистого раствора. Сигнал свободной пре-
цессии не может быть зарегистрирован от сильно магнитных кол-
лекторов, но в этом случае можно
ЯММ — метод спинового эха.
использовать
модификацию
Глава VI
ТЕОРИЯ ПОЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
СОБСТВЕННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД
Потенциалы Ucn собственной поляризации горных пород
возникают в результате следующих физико-химических процес-
сов: 1) диффузии солей из пластовых вод в глинистый раствор или
из глинистого раствора в пласт и адсорбции их ионов поверхностью
частиц, составляющих породу; 2) фильтрации пластовых вод или
фильтрата глинистого раствора; 3) окислительно-восстановитель-
ных реакций, протекающих преимущественно на поверхностях со-
прикосновения горных пород с окружающей их средой (другими
породами или глинистым раствором).
В зависимости от того, какой из перечисленных процессов
вызывает поляризацию породы, потенциалы собственной поляри-
зации подразделяются на диффузионно-адсорбционные, течения,
или фильтрации, и окислительно-восстановительные.
На измеряемые разности потенциалов t/Cn собственной поля-
ризации пород накладываются разности потенциалов, созданные:
а) поляризацией электродов и ее изменением при движении элек-
тродов; б) процессами осаждения твердых частиц в глинистом рас-
творе; в) гальванокоррозией грузов; г) естественными и инду-
стриальными блуждающими электрическими токами постоянного
направления нестационарного режима. Эти разности потенциалов
в той или иной степени искажают диаграммы t/сп и затрудняют
их интерпретацию; их влияние должно быть сведено к мини-
муму.
Диффузионно-адсорбционные, окислительно-восстановительные
потенциалы и потенциалы течения определяются электрохи-
мической активностью изучаемых горных пород (см. § 4). Поэтому
данные измерения потенциалов собственной поляризации исполь-
зуют для выделения и изучения пород, отличающихся электрохи-
мической активностью от окружающей среды (вмещающих пород
и глинистого раствора).
Диффузионно-адсорбционные потенциалы обычно преобладают
над окислительно-восстановительными и потенциалами течения
(особенно в насыщенных минерализованными водами осадочных
породах, вскрытых скважинами, заполненными пресным глини-
стым раствором). В связи с этим вопросу изучения диффузионно-ад-
сорбционных потенциалов и диффузионно-адсорбционной активно-
285
сти пород уделялось больше внимания, в связи с чем это свойство
пород и определяемые им потенциалы изучены в настоящее время
наиболее полно.
§39. ИЗМЕНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ СОБСТВЕННОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИИ ПОРОД ПО ОСИ СКВАЖИНЫ
В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Для изучения горных пород в скважинах по данным измере-
ния потенциалов, созданных диффузионно-адсорбционными, окис-
лительно-восстановительными и фильтрационными процессами,
необходимо знать, как распространяются электрические поля,
обусловленные этими процессами, в окружающем пространстве и
особенно в скважине, где находится измерительный электрод М.
Так как второй электрод W устанавливается на. поверхности и его
потенциал в процессе регистрации кривых Ucn остается достаточно
постоянным, кривую разностей потенциалов между электродами
М и N можно рассматривать как кривую изменения потенциала
электрода М.
Пласт, на поверхности которого протекают диффузионные и
окислительно-восстановительные процессы и в поровом простран-
стве которого наблюдается фильтрация вод (при наличии глини-
стой корки иа границе скважина — пласт *), может быть заменен
системой следующих двойных электрических слоев (рис. 93): пло-
скими слоями S2>1 и SJ(J бесконечного простирания, расположен-
ными в подошве и кровле пласта, цилиндрическими слоями So>1,
So,4, S0,s, находящимися соответственно на поверхностях сечения
скважиной среды, подстилающей пласт, пласта и среды, покрыва-
ющей пласт [57 J.
1 На глинистой корке происходит почти полное падение потенциала течения.
Рис. 93. Схема к выводу формул, определяющих величину потенциала собствен-
ной поляризации пород в скважине.
а — система двойных электрических слоев при пересечении скважиной пласта конечной
мощности; б — то же, с обозначениями в системе координат
286
Потенциал в точке М равен алгебраической сумме потенциалов
электрических полей, созданных каждым из перечисленных двой-
ных слоев в отдельности:
^СП — ^2, 1 4" ^2, 3 4" ^0, 1 4“ Uo, 2 4“ 3»
где индексы 2,1; 2,3; 0,1; 0,2 и 0,3 указывают, каким двойным элек-
трическим слоем создан потенциал.
Из теории поля известно, что в однородном безграничном про-
странстве потенциал двойного электрического слоя
4л
(565)
где <о — телесный угол видимости слоя из точки, в которой опре-
деляется потенциал; S — разность потенциалов между обкладками
двойного слоя.
Величина этой разности потенциала зависит от характера и
интенсивности физических и химических процессов, протекающих
на изучаемой поверхности раздела сред. Так, например, в тех слу-
чаях, когда двойной электрический слой создан диффузионными и
адсорбционными процессами, определяется формулой (22) и (25).
Для дальнейшего решения задачи введем цилиндрическую си-
стему координат PZT; начало ее совместим с точкой О (см. рис. 93),
в которой ось скважины пересекает плоскость, проходящую через
середину пласта, а ось г направим вдоль оси скважины. Обозначим
через Л, dc и z мощность пласта, диаметр скважины и расстояние от
точки М до начала координат, через #2,1, #2,3. #0,1. #0,2, й’о.з—
разности потенциалов между обкладками слоев *, расположенных
в подошве (#2.1), кровле (#2,3) пласта и на поверхностях сква-
жина— подстилающие породы (#o,i), скважина — пласт (#*0,2),
скважина — покрывающие породы (#о.з) и через
(О2, 1 2л ^р, ^2, 3 — ^Л
(о0,1 — 4л — (ор,
<•>0, 2 — ®р —
<*>0, 3 =
— телесные углы видимости этих слоев из точки М. В последних
формулах через и обозначены телесные углы видимости из
точки М сечений скважиной подошвы (плоскости Q) и кровли (пло-
скости Р) пласта (см. рис. 93).
1 Порядок цифр у индексов показывает обкладку слоя (первая цифра), по-
тенциал которой измеряется относительно другой обкладки (вторая цифра).
Следовательно, для любого слоя &k,i~ —&i,k-
287
Подставив значения телесных углов видимости в формулу (565)
и просуммировав потенциалы, созданные каждым слоем в отдель-
ности, получим 1
^сп
2л—(Op & ( 2л — ( 4л — (Op t
4л 2, 1 + 4д 2, 3 + 4л 0, 1 +
При расположении точки Л4 на оси скважины:
(ор — 2л (1 — cos рр) = 2л
(dq — 2л (1 — cos р?) = 2 л
где рр и р7 — углы между осью скважины и образующими кону-
сов, вершины которых расположены в точке Л4. а основаниями
являются сечения,скважиной подошвы и кровли пласта:
рр = arccos
= arccos
2z — h
/ (2г — Л)2 + d? ’
р^ = arccos
= arccos
2z
V (2z + Л)2 + de '
Подставив значения <op и со^в формулу (565') и выполнив соот-
ветствующие преобразования, будем иметь
(566)
В практике часто встречаются случаи, когда пласт (например,
песчаник или известняк) залегает в толще однородных пород (на-
пример, глин), в которых минерализация поровых вод вблизи
1 При выводе формулы (565') заряд обкладки слоя, обращенного к области
с меньшим значением г нли |г| считается положительным. В случае изменения
знака этого слоя, как например, показано на рис. 93, б для 2, в окончательную
формулу необходимо подставить #0, а с противоположным знаком (в данном случае
отрицательным).
288
кровли и подошвы пласта практически одинакова. В этих случаях
и, следовательно,
t/Cn =
2z — h
гч2 । j2
2zrf + hd
V (2zd + hdy+d
Выразив для удобства числовых расчетов координату z точки
наблюдения и мощность h пласта в диаметрах скважины и обозна-
z Л г.
чив соответственно -т- через zd и -з- через hd, получим
«С Ug
г г Г ^%d + hd
иСП = Т7=:========------
2гj — hd
К(2zd - м2 +1 .
= F (zd, hd)
0i2
0*2
(567)
где F (zd, hd) — функция, определяющая характер изменения
потенциала 1/Сп по оси скважины (см. § 34);
р \______ ^d Ч~ hd ______ ^d hd __________
(dt nd) - r____ • K____
__ z + ____________z — hrf
“ К(Т+адчГ1 K(«-M8+t’
В формуле (567) z = 2zd — координата точки M, выраженная
в радиусе скважины (z= —).
\ гс /
В точках, удаленных от границ пласта,
F (2rf, = -7=- — — — 2г* ~hd =. — 0.
d ]/\2zd + hdy + 1 К &zd - hdy + 1
Последнее соотношение практически соблюдается даже при от-
носительно небольших значениях этого расстояния ~
Так, например, в случае неограниченной мощности пласта (hd ->оо)
при zd-J^- = 2 F М - 0,0312, при zd-----^- = 3
F (г<ь М = 0,0149 и при zd—Ц- = 5 F (zd, hd) = 0,005. При
меньших значениях hd величина F (zd, hd) будет еще меньше. На-
пример, при hd = 1 и перечисленных величинах zd--значе-
ния функции F (zd, hd) будут соответственно равны 0,0208; 0,0062
и 0,00150. Следовательно, при расположении точки М (ут границы
пласта на расстоянии z'd = zd-> 2,5 F (zd, hd) может быть
принята равной нулю и потенциал
О, г
VjlO Дахнов В. Н.
289
При пересечении пласта электродом /И его потенциал по отно-
шению к потенциалу удаленных точек изменяется согласно урав-
нению
ДС/сп = U сп
Ucn. 2d^=-
______~4~
V (2zrf + hdy + 1
2zrf —
V (2г d - hdy
= -F(zd, hd)***-*** = — _L f(zrf, M&s>
(568)
где $s — алгебраическая сумма скачков диффузионно-адсорб-
ционных потенциалов на границах исследуемого пласта, вмещаю-
щих пород и скважины.
Сумма называется статическим потенциалом
пласта и вмещающих его пород.
Кривые, удовлетворяющие уравнению (568), симметричны от-
носительно начала координат (середины пласта, рис. 94) и имеют
а
Рис. 94. Теоретические кривые Л1/сп/^$пР°*
тив пластов разной мощности.
^0,3’ v ^0,1
= 0\. Шифр кри-
^вм
0>
5#0,3 (®1,2 - °’ ®
ВЫХ —
экстремальные значения
(минимум или максимум
в зависимости от знака
суммы #о, i — ^0,2 — г)
в точке, в которой
F' <zd, М —
= 2[_________1___________
I [(2zd + hd)* + 1J3/2
___________!________1 =. о.
[(2z</-M2+1]3/2 J
Последнее равенство
удовлетворяется при2^ = 0,
т. е. при расположении
электрода М в середине
пласта. В этой точке экс-
тремальное значение ам-
плитуды изменения потен-
циала
Л//<Э“С)_______„ у
дс/сп - Кл& + 1
X ($*0,1 — #0. 2 — <^2,1)-
(569)
При увеличении hd ве.
личина hdltyrhd -|- 1 = vcn
стремится к единице (рис.
95) и в случае однородной
среды (кривая модуля
290
р„/рр = 1) при /irf > 4 отличается от единицы меньше чем на 3%.
Поэтому в однородной среде при hd > 4 с точностью, достаточной
для практики, можно принять
Д^спс) = — (^о. 1 —' #о. 2 — $*2,1)-(570)
Площадь Srf, ограниченная кривой, заданной уравнением
(568),
2z<f + hd
K(2zrf + Ma+1
2zd — hg
V (2zd - hdy
— M
1
&zd - hd)*
= lush'd-
^->0°
Последнее уравнение дает возможность определить мощность
пласта по площади S = Sddc аномалии и известному значению
статического потенциала &s:
Это же уравнение (в силу аддитивности полей, созданных
каждым пластом в отдельности) позволяет рассчитать суммарную
мощность пропластков с разными диффузионно-адсорбцион-
ными свойствами. Предполагается, что пачка пластов общей мощ-
ностью h отмечается на диаграмме t/cn значением At/cn аномалии
с площадью S':
Две последние фор-
мулы дают возможность
определить статический
потенциал &s при
At/cn < &s (тонкие
пласты) в тех случаях,
когда известна мощ-
ность пласта или сум-
марная мощность про-
пластков (например, по
данным микроисследо-
ваний скважин). Значе-
ние &s необходимо для
0,1 0,2 0гЦЩ50,7 1 2 3 Ь 5 7 10 20 30W50
Рис. 95. Зависимости ven“ / (М при
РпФр — const (шифр кривых)
291
определения диффузионно-адсорбционной активности
литологии исследуемых пород (см. § 39).
На границах пласта — в подошве и кровле (zd =
At/gA = - hd
и затем
О, 2
(571)
Сопоставив формулы (569) и (571), получим
AUgnc) (/ j |/ftj + 0,25
Из последнего соотношения следует, что при hd
Д1/(экс) ~ °’5’
аиСП
е.
Таким образом, кровля и подошва пласта мощностью h > 4dc,
электрически однородного с окружающей средой, отмечаются
на диаграмме Л(/сп точками, в которых приращение потенциала
равно половине его наибольшего приращения Д(/сп,экс-
Производная по z от формулы (568) дает значение напряжен-
ности электрического поля собственной поляризации:
1 Г^Ор ч
р______dUcn __
сп дг 4л
(^ 3
dz
2» 1 VO>1TVQ.2 2. 3
I(2z4-Ma+ 1]3/2
1 — г — &
1(2г</ + hd)* + 1 J3'2 J
___ ___ *0,3 — *0. 2 — *2* 3 )
~ М 1 (2zd - М» + 1 ]3/2 [(2zrf + ftrf)2 + 1J3/2 J ’
Из формулы (572) следует, что при > 3:
в подошве пласта (zd =
51/сп = Eafiz = т— (г?011 - о,2 — $*2, i);
(572)
(573)
в кровле пласта
бЦщ = fcn&z =
6z
(#0,3 “ #0, 2 — #2, з)>
(574)
где 6(/сп — приращение потенциала собственной поляризации на
участке 1 6z.
1 Формулы (573) и (574) могут быть использованы при условии, если 6z<
< 0,2dc.
292
Рис. 96. Изменение градиента потенциала собственной поляризации Е^п пород
для пластов различной мощности.
а — изменение градиента диффузионно-адсорбционных потенциалов; б — то же, для по-
тенциалов течения. Шифр кривых h/d„
Формулы (573) и (574) дают возможность по величине экстре-
мальных значений приращений потенциала вычислить суммы
что необходимо знать в тех случаях, когда c?o,i ¥=<^о,з и ^2,1 #=^2, з-
Экстремальные значения функции (572) наблюдаются при зна-
чениях zd, тем более близких к —-у-, чем больше мощность
пласта, и практически совпадают с положением границ пласта
при hd > 3 (рис. 96, а).
Ю Дахнов В. Н. 293
О, 3
Ecn = —grad Ucn — — (-------—
((2«rf - h& + 1 ]3/2 J v
= F (zd, hd) (#0> t 2
(575)
Ucn
этих условиях характер изменения градиента потенциала
по оси скважины определяется функцией
l(2?rf + M4+l]3/2
Рис. 97. Изменение потенциалов соб-
ственной поляризации по оси сква-
жины, пересекшей двойной электри-
ческий слой (однородная среда).
Электрод М расположен: 1 — иа стейке
скважины. 2 — на осн скважины
294
В том случае, когда электрод М передвигается по стенке
скважины, телесный угол видимости сечения плоской горизон-
тальной границы вертикальной скважиной определяется формулой
G) — Л —
где zd — расстояние от точки М до границы раздела сред, выра-
женное в диаметрах скважины; К — полный эллиптический инте-
грал первого рода Особенностью распределения потенциала
в этом случае (см. рис. 97, сплошная кривая) является наличие
скачка потенциала, равного $72 при пересечении электродом гра-
ницы раздела сред.
Если на поверхности сечения проницаемого пласта скважиной
глинистая корочка отсутствует, фильтрация вод создает электри
1 Вывод последней
(юрмулы следующий:
JI
Vdl - Г2
г
где
10*
295
Рис. 98. Схема к выводу формул, оп-
ределяющих потенциал фильтрации иа
оси скважины
Рис. 99. Изменение потенциалов филь-
трации U$ при пересечении пластов
разной мощности (глинистая корка
отсутствует).
Шифр кривых — h/dQ
ческое поле простого электрического слоя, расположенного на
поверхности сечения пласта скважиной.
В однородном и изотропном пространстве потенциал простого
слоя
где <г — плотность зарядов на поверхности простого слоя, о =
= <^а; — величина э. д. с. фильтрации; 8а — диэлектриче-
ская проницаемость; R — расстояние от точки, в которой опреде-
ляется l/ф до элементарной поверхности ds слоя; S — полная
поверхность слоя.
Для точек, находящихся иа оси скважины, последнее равен-
ство может быть приведено к следующему виду (рис. 98):
{in [2zd + hd 4- v (2zd 4- hd)2 + 1 ] -
- In [2zd -hd + V(2zd - hdy~ 4- 1 ]) =
= fArsh (2г</ + M - Arsh (2z<* -ML
(576)
296
где t — расстояние по оси Z от точки М до элементарной поверх-
ности 2лгс dt-
Напряженность электрического поля U* в точках, располо-
женных на оси скважины:
На рис. 96, б и 99 изображены кривые зависимости напряжен-
ности и потенциала электрического поля течения, рассчитанные
по формулам (576) и (577).
Из приведенных кривых следует, что потенциал поля течения
достигает экстремальных значений в центре пласта. На границах
пласта тем меньше отличается от половины l/ф кс>, чем больше
мощность пласта. Кривые напряженности поля течения имеют
экстремальные значения в точках, расположенных тем ближе
к границам пласта, чем больше его мощность. Практически экстре-
мальные значения находятся против кровли и подошвы пласта
при hd > 4.
Из сопоставления кривых, изображенных на рис. 94 и 99,
следует, что оба семейства кривых имеют аналогичную конфигу-
рацию. Учитывая это обстоятельство, а также то, что потенциалы
течения по сравнению с диффузионно-адсорбционными потен-
циалами обычно невелики и иа поверхности сечения проницаемого
пласта скважиной имеется глинистая корка, при которой поле
потенциалов течения с достаточным приближением можно рассма-
тривать как поле двойного электрического слоя, расчет потенциа-
лов течения в большинстве случаев можно выполнять, исходя из
предположения, что они созданы не простым, а двойным электри-
ческим слоем. В этом случае при расчете потенциалов в форму-
лах (566), (568), (570) и (572) необходимо <^012 заменить суммой
§ 40. ИЗМЕНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ СОБСТВЕННОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИИ ПОРОД ПО ОСИ СКВАЖИНЫ
В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Задачу распределения потенциалов собственной поляризации
по оси скважины, заполненной средой удельного электрического
сопротивления рр и окруженной безграничным однородным и изо-
тропным пространством удельного сопротивления рп, рассмотрим
297
Рис. 100. Схема к выводу формулы,
определяющей потенциал двойного
электрического слоя в случае, когда
Рп ¥=Рр
для совокупности двойных
электрических слоев с разно-
стями потенциалов на их об-
кладках <8*о, 1, <Г0,2 и Й*!, 2, рас-
положенных на поверхностях
раздела скважина — подстила-
ющая среда, скважина — по-
крывающая среда и на границе
этих сред (рис. 100) *.
Потенциальные функции
в скважине и в окружающих
средах 1 и 2 определим выра-
жениями
где U0, Ut и U2 — потенциалы
электрического поля в случае,
если все изучаемое ,простран-
ство электрически однородно
(Рр = Рп); t/p и Un — потенци-
альные функции, учитывающие
влияние электрической неодно-
родности; эти функции должны
удовлетворять уравнению Лап-
ласа (быть конечными и непрерывными во всем изучаемом про-
странстве) и обращаться в нуль в бесконечно удаленных точках.
Функции Uo, Ux и Ua имеют следующий вид (см. § 36):
, 2л — ©
°. 2 Н---4^ ® 1.« —
/ 7 - gp t ® ср I ““ (О
= — “ЙГ ^о>1 + ^0,2 + —4л 01,2 =
_ W /SP ЯР ЯР \ | _ ^Ь2 W 5Р t ^1» 2 .
®о,1— -2_4ji ------
j (0 л 2 л ““ (0 __ (0 j, 2
--45Г 0 « ’ — 4JT ® о, 2--4Й- ® ь 2 - 4?г °S--------- ’
012 Ц- #1>2 — суммарный статический потен-
циал; © — телесный угол видимости сечения скважинной границы
раздела сре,
и 2.
1 Впервые данная задача была решена проф. В, Р, Бурсиаиом [58].
298
В дальнейшем для решения задачи воспользуемся системой
цилиндрических координат RZ4, в которой координаты гиг
выражены в радиусах rv скважины. Начало системы совместим
с точкой пересечения скважиной следа плоскости, в которой рас-
положен двойной слой, а ось Z направим по оси скважины.
Преобразуем уравнения (565), (565'), определяющие потен-
циал электрического поля собственной поляризации в однород-
ной среде, в интегральные зависимости, являющиеся решением
дифференциального уравнения Лапласа.
Зависимость потенциала в каждой точке среды от ее местопо-
ложения определяется величиной телесного угла © видимости
сечения скважиной плоскости раздела сред. Поэтому аналитиче-
ское выражение угла а» должно являться решением дифференци-
ального уравнения Лапласа
— 0
(579)
для всего пространства, за исключением точек, находящихся на
поверхности двойного электрического слоя.
В рассматриваемом случае задача осесимметрична; частными
интегралами уравнения (579) ч являются произведения функций
/0 (тг) и Ко (тг) на sin тг и cos mz. Так как при изменении знака
z (z = const) решения должны быть различными (вследствие из-
менения знака потенциала Ult а), общий интеграл уравнения (579)
не может содержать функций cos тг. Поэтому частными интегра-
лами уравнения (579) будут произведения Jo (mr) sin mz и
Ко (mr) sin mz.
Учитывая, что при г = 0, г < гс © = 2л и при г > гс © = 0,
общее решение уравнения можем представить интегральными
выражениями:
00
©,<г — 2л — I А (т) /0 (mr) sin mz dm;
С V
о
(580)
(581)
<ог>г = В (т) Ко (mr) sin mz dm.
С V
о
Неизвестные функции А (т) н В (т) определим при следующих
условиях.
1. При г = 0:
со = 2л (1 — cos Р) - 2л [1-т===-\,
где р — угол между осью и образующей конуса, основанием
которого является сечение скважиной плоскости раздела сред.
Таким образом,
= 2л
о
299
Этому условию удовлетворяет функция
А (т) = 4КХ (т),
так как
ОО
J Ki (т)sln т? dm =
о
Это равенство может быть получено из интеграла Вебера
ОО
Г - Л 1
I Ко (mr) cos mz dm = -5- -7 - -
J 2 у f 2 J_ £2
О п
путем последовательного дифференцирования его по г, интегри-
рования по г с последующей подстановкой г = 1.
При г = гс. В этом случае телесные углы видимости си, опре-
деляемые уравнениями (580) и (581), должны быть равными, т. е.
должно соблюдаться равенство
оо оо
2л — 4 j Kj. (т) 70 (т) sin mz dm = J В (m) К» (m) sin mz dm,
о 0
удовлетворяющееся при
В (m) — 47x (m).
Действительно, подставив В (m) в равенство
40
j [В (т) Ко (т) + Кх (/п) 70 (tfi)J sin mz dm = 2л (582)
о
и воспользовавшись известным из теории цилиндрических функ-
ций соотношением
4 (х) (х) + Кх (х) 70 (X) = V ’
получим ожидаемое решение:
4 ( [/х(т) К©(т) + Кх (т) /о (т)] sin mzdm —4 j s'n = 2л.
о о
Следовательно,
<о = 2л — 4 1 Кх (т) 70 (mr) sin mz dm (583)
о
при г < 1 и
ОО
со = 4 ( 7Х (т) К© (mr) sin mzdm
о
при г > 1.
300
(584)
Таким образом, в случае однородного изотропного простран-
ства выражения для потенциала электрического поля в средах
О, 1 и 2 будут иметь вид:
оо
Uo = f Кг (т) /0 (mf) sin mz dm + <У°'1 + g°'2; (585)
0
oo
Ub 2 = — [ A (m) Ko ('”'’)sin т? ± • (586)
Jv J
0
Легко убедиться в том, что полученные выражения полностью
удовлетворяют условиям на поверхностях раздела:
(1/о—U i)r=rl — &Q, 1', (Uq — U^)r=l — «’о. 2> U1 — Ui = &l,?.
Так как функции Up и U’ также являются решением диффе-
ренциального уравнения Лапласа, то по аналогии с изложенным
выше примем для них следующие интегральные выражения:
Up = j С (т) /0 (mr) sin mz dm;
о
(587)
ОО
U^ — J D (т) Ко (mr) sin mz dm.
о
(588)
Эти функции должны быть непрерывными в каждой из своих
областей и стремиться к нулю при г -► оо и г -к».
Неизвестные функции С (т) и D (т) определим из граничных
условий равенства потенциалов и равенства радиальных
ляющих плотности тока на стенке скважины.
В связи с тем, что функции Uo и при г = гс равны,
граничное условие
состав-
первое
(^р)г=1 --(1Л1,1 )г=1
может быть заменено условием
(и*р)ы = (U*)^.
(589)
Второе граничное условие
1 ЭЦрХ /1 диа\
Рр д/ / f=l \ Рп дГ / f=1
в связи с соотношениями (578) приводится к виду
<1 / \______1 / \ _/J_________1 \ / at/j \
рп \ дг / рр \ dr / r=i ~~ \ рп рр / \ дг / ?=г’
(590)
301
так как при г = 1 согласно равенствам (585) и (586)
_ dU0
дг ~ дг ’
Подставив (585), (586), (587) и (588) в равенства (589) и (590)
и выполнив соответствующие преобразования, получим условия,
при которых соблюдаются равенства (589) и (590):
С (т) /0 (т) — D (т) Ко (т.) = 0;
— С (т) 4 (т) 4- — D (т) (т) +
гр Ни
РрРп «
Решив последние два уравнения относительно С (т), будем
иметь
С(т)
' lj (m) , /0(m) Kj (m)’ __
Рр
РпК» И)
*£ 2»Z£L/, (т) к, (т)
Л РрРп V
или
c (m) [pp/0 (m) Ki (m) + pu/C0 (m) 4 (m)J =
= — ~ (Рп - pp) Ko (m) li (m) Ki (m),
откуда
С (т) =
. х Ко Ь <т)
л в рр/0 (т) (m) + рпК0 (т) (т)
(рц.р— 1)тК0(т)/1(т)Кг(т)
л 1 +(рп, р— 1) /х(т) ’
Нп, р---Рц/Рр"
Таким образом,
(Pn. p — 1) mK« (m) /j (m) Kt (m)
1 + (Pn, p — 1) mKo (m) (m)
X /о (mr) sin mz dm
о, г
f (m) ^0 (W') sin
J 1 + (pn.'p— l)mK0(m) /i(m)
о
0. 2
(591)
302
На оси скважины
р
Кг (т) sin mz dm
О, 2
(592)
о
Дальнейшее вычисление инте-
грала (592) может быть выпол-
нено путем преобразования его
в интеграл с конечным верхним
пределом и последующим при-
менением численных методов и
ЭВМ,
На рис. 101 приведены за-
висимости Д(/Сп/^5 =f (?) для
различных значений рц/рр и h/dc
и на рис. 95 — зависимости
поправочного множителя vcn =
= f (-2S-, ~т- Y с помощью кото-
\ Рр “с /
рого величина аномалии потен-
циалов собственной Поляризации
Д1/сп может быть приведена к ее
значению Д1/сп в пласте неограни-
ченной мощности:
Д(/г,
0,8 0,6 0,6 0,1 9
Изменение потенциалов
Д^сп
Рис. 101.
собственной поляризации
против пластов разной мощности
(1; 2; 4; 10; 20 dc)-
* Рп- Шифр кривых —
вч р
Рц^рр
bUcn .
vcn
Наличие зоны проникновения
фильтрата глинистого раствора
повышающего сопротивления Ra,
будет сказываться так же, как
и увеличение удельного электри-
ческого сопротивления ри, т. е.
при наличии зоны проникновения
фильтрата глинистого раствора
увеличивающей сопротивление
пласта, будет уменьшаться ампли-
туда аномалии Д1/сп- При этом
в связи с удалением двойного
электрического слоя от оси сква-
жины на границе соприкоснове-
ния фильтрата глинистого рас-
твора с пластовыми водами телес-
О
303
ные углы видимости этого слоя из точек, расположенных по оси
скважины, будут возрастать, а следовательно, будет увеличи-
ваться протяженность аномалии Д1/сп и возрастать влияние
мощности пласта.
§ 41. ПОТЕНЦИАЛЫ СОБСТВЕННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
ПРИ НАКЛОННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗДЕЛА
При наклонном залегании пластов потенциал поля двойного
электрического слоя по оси скважины рассчитывают по формуле
(565'), причем в данном случае <лр и будут телесными углами
видимости эллиптических сечений кровли и подошвы пласта
скважиной из точки М, в которой определяется потенциал двой-
ного электрического слоя.
При расположении точки М на оси скважины телесные углы
видимости эллиптических сечений <»рЭ) и ы*э) (рис. 102) равны
углам видимости оснований круговых конусов, вершины которых
находятся в точке М и оси образуют с осью скважины углы
м ___Pip + Ргр
ШР — 9
Pip — Р?₽
и
„ _ Pw ~ Pw
— о
где Pip, р2р, Pi7, р2<7 — углы между осью скважины и образу-
ющими конусов, проведенными из их вершин к точкам пересече-
ния больших полуосей эллиптических сечений с поверхностью
скважины.
Z
Рнс. 102. Схема к выводу
формулы, определяющей
потенциалы собственной
поляризации пород при
наклонном залегании гра-
ниц их раздела
304
Для расчета телесных углов <йРэЭ и
определяют плоские углы Рр,э и р^э при вершине
выше конусов:
предварительно
указанных
?2Р
» э —
Ер, э — 2 ’
затем по известным формулам:
®р, э = (1 COS Рр, э),
(о^, э 2 л (1 — cos Рр, э)
находятся о)р, э и <в7, э и по формуле (565')
значение (/сп.
Решение задачи рассмотрим на примере
циала i/cn, созданного двойным электрическим слоем, располо-
женным на одной из границ пласта, допустим, в его подошве.
Для этого сначала приведем формулу (593) к следующему виду:
(593)
(594)
вычисляют искомое
определения потен-
э
= ) = 2л/ 1 —
2 / I
2 Pip "Ь fra?
(595)
Для вычисления tg Р1Р определяем
£
frf Q AC rc . ter R - && —— rc
ёР1₽ MC z —rctga’ ёР2₽ MD z + rctga’
где rc — радиус скважины; z — расстояние от точки М до точки Р
пересечения осью скважины подошвы пласта; a — угол между
плоскостью, перпендикулярной к оси скважины, и плоскостью
двойного электрического слоя (в данном случае подошвой пласта);
при вертикальной скважине угол а равен углу падения пласта.
По полученным значениям tg р1р и tg р2р вычислим
2 Л +rt2
а затем
22
_______22
" 22 —(1-
4zrf
z
z
И Z = —
tg (Р1Р + ?2р)
z2 — sec2 а
22
2£_____V , K(z2-
- sec2 a / "г
305
II
a
Si
Рис. 103. Изменение потенциала собственной поляризации Д(/сп при пересече-
нии наклонно залегающих двойных электрических слоев.
о — один слой; б — два слоя (диффузионно-адсорбционные активности пласта н вмещаю*
(нх пород различны); / — а = 0; 2 — а = 30®; 3 — а = 45°; 4 — а “= 75°; 5 — а = 90®
Подставив найденное значение tg в формулу (595),
&
получим:
tg*
Pip + Pap
V (z* — sec* a)* + 4z* + 2* — sec* a
22
(597)
2
Таким образом, при пересечении скважиной наклонно зале-
гающего двойного электрического слоя, расположенного
в по-
дошве пласта, в любой точке М, находящейся на оси скважины,
будет наблюдаться электрическое поле, потенциал которого
(598)
На рис. 103 показано изменение Ucn, рассчитанное по фор-
муле (598) при различных значениях угла а (от нуля и до 90°)
наклона плоскости двойного электрического слоя по отношению
к плоскости горизонта.
На рис. 103, а следует, что при a > 30° на диаграммах изме-
нения Ucn появляется ступень, средняя точка которой распо-
лагается на уровне пересечения осью скважины следа плоскости
двойного электрического слоя. Эта особенность кривых может
быть использована для приближенной оценки угла падения пород
306
при записи диаграмм 1/Сп в достаточно крупном масштабе глу-
бин х.
При совокупности двойных электрических слоев, расположен-
ных в подошве и кровле пласта, а также на стенках скважины,
изменение потенциала по оси скважины при 1 = 3 и #0,1=
= #0,3 удовлетворяет равенству
где
, (599)
К [(г -|- Л)2 — sec2 а]2 + 4 (г + Л)2 + (z + Л)2 — sec2 а„
2(г + Л) ’
(600)
h
rc cos а
V(z2 — sec2 а)2 + 4г2 -4- г2 — sec2 а
2z
На рис. 103, б изображены кривые изменения потенциала по
оси сквджины, пересекшей наклонно залегающий пласт. При
больших углах падения в середине пласта наблюдается уменьше-
ние аномалии Д(/Сп (рис. 103, б, кривая 4).
Сопоставляя формулу (596) с аналогичным выражением для
телесного угла видимости при горизонтальной плоскости раздела
(начало координат находится в точке, в которой ось скважины Z
пересекает след плоскости), приходим к следующему выводу.
С большей точностью эта задача может быть решена по данным кривых гра-
диента t/cn.
Рнс. 104. Зависимости z (а =£ 0) от £ [г (а = 0) j при а = const (шифр кривых)
307
Потенциал поля двойного наклонно залегающего слоя равен
потенциалу, созданному горизонтальным слоем, при условии ра*
венства z и £, т. е. в точке, координаты которой являются реше-
нием уравнения (597). Приведенные на рис. 104 зависимости
= f (z) jz (a = 0) = f lz (a =/= 0) 1} при a = const дают воз-
можность графически перестроить любую кривую 1?сп — f (?)
при ,a = 0 для каждой из границ пласта в кривую Ucn = f (z) при
a =£ 0; суммированием этих кривых можно получить кривую Ucn
для пласта в целом. Таким образом, изменение угла а приводит
к соответствующему растяжению кривой по оси Z.
§ 42. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗМЕРЯЕМЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
СОБСТВЕННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ И ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ
АКТИВНОСТЬЮ ГОРНЫХ ПОРОД
В тех наиболее часто встречающихся случаях, когда изменение
потенциалов собственной поляризации создано различной диф-
фузионно-адсорбционной активностью изучаемого пласта и вме-
щающих литологически однородных пород, в пласте наблюдается
аномалия потенциалов собственной поляризации, амплитуда ко-
торой
Д£/спаХ) = S = —Vcn (^р, »м — #р. п — ^п. вм) «
vcn ( ^да, вм-р^вм 1g п
\ Рв, I
Кда,п-р^п-р 1g р*
Кда, вм-гЛвм-п
1 g ТГ2- — —vcn ("4Да, ВМ
Рвм
д« вм-р/ Мвм-р
Х lg Рв^вм (Лда’ " + Ка* п-₽' &п-р lg pt
(-^да, вм
Д, вм-n/ ^вм-п
Рв
Рв, вм -
Кд, П-р^Ц-р | рф Кд, ВМ-П^вМ-П |g рв
Кд, вм-р^вм-р Рв Кд, вм-р^вм-р Рв, вм
(601)
да, вм — диффузионно-адсорбционная
активность
пласта и вмещающих пород; Кд, ВМ_Р, Кд,п_р, Кд, вм_п — коэф-
фициенты диффузионной э. д. с. на границах соприкосновения
фильтрата глинистого раствора с водами, насыщающими вме-
щающие породы, пласт, и контактах пласта и вмещающих пород,
насыщенных водами разного состава (концентрации); Кда,вм_р,
Да, п>
308
Яда, п-р»
Яда, вм-п — коэффициенты диффузионно-адсорбционной
— А
да, вм-р ^да, вм
д,вм-р» * 'да, п-р ^‘Да, п
J ‘'д, п-р» ' да, вм-п 2‘да,вм 2‘да, ц г лхд,вм-п»
&вм-р» ^п-р» ^вм-п — коэффициенты приведения зависимостей
между Д(/Сп И lg рв, 1g Рф и IgpB,BM к линейному виду; рф,
Рв» Рв, вм — удельные сопротивления фильтрата глинистого рас-
твора и вод, насыщающих пласт и вмещающие породы; л?сп —
коэффициент, учитывающий влияние ограниченной мощности
пластай различий в удельных сопротивлениях пласта, вмещающих
породи глинистого раствора на величину амплитуды аномалии
вм-р»
д, вм-u’ что часто
наблюдается
v„___ft— Рц Рвм \ •
Vcn“'Uc’ Рр’ 77?’
значение этого коэффициента находится по кривым, приведенным
на рис. 95.
При Кд, вм-р Хд,и_р
в условиях скважины,
Д1/спаХ> = —Vcn ( К да, вм-р^вм-р 1g 77^-
\ Рвм, м
Яда, n-pf’n-plg “ Яда, вм-п^вм-п 1g
Рв Рв, вм /
«-’СП [вАм.р (1g lg £
f рф _ ^BM-n Рв \ _ |
* Рв ^п-р Рв, вм /
^П-Р 1^ РФ ^вм-п 1,
I л'д, вм-р^вм-р \ *Б т ~Z "Г 7Т ч
' Рв, вм ^ВМ-р Рв 1УВМ-Р
и при
да, п^п-р
вм-р ~ ^п-р —
да. п-р) 1g =
= -vcn ь (Дда> вм - Дда, п) lg = -WKcn lg , (602)
Рв Рв
где Ксп — коэффициент потенциалов собственной поляризации,
равной разности диффузионно-адсорбционных активностей вме-
пласта;
Рв, вм Рв
— —Vcn& (Кда, вм-р
равной разности
щающих пород и
‘'ClI — “ ‘да, вм ‘ ‘да, п*
когда диффузионно-адсорбционная активность
В том случае,
пласта равна нулю (например, чистые неглинистые пески) и вме-
1 В формуле (601), как и в последующих формулах этого параграфа, значе-
ния коэффициентов Кд и Кда активностей 4да берутся для температуры изучае-
мой среды (скважины и окружающей ее породы).
309
щающие породы имеют предельно высокую диффузионно-адсорб-
ционную активность, коэффициент Ксп в различных растворах
при температуре 18 °C имеет следующие значения: 69,4 мВ—для
NaCl, 48,5 мВ — для СаС12, 51,4 мВ — для MgCL, 60 мВ — для
NaHCO3, 93 мВ — для NaOH.
В пластовых водах сложного химического состава величина
Ксп тем ближе к одной из указанных цифр, чем больше соответ-
ствующей соли содержится в пластовой воде. Приближенно можно
брать средневзвешенное значение Ксп. исходя из данных Ксп
для каждой солевой компоненты и ее процентного содержания
в воде, за исключением случая, когда фильтрат глинистого рас-
твора содержит реагенты, отсутствующие в пластовых водах
(например, едкий натр, силикат натрия и др.). В этих условиях
значение КСп должно быть установлено опытным путем.
Формула (602) с учетом поправок за температуру и приведен-
ная к линейному виду зависимость Д(7спх) могут быть
использованы для определения удельного сопротивления и, сле-
довательно, минерализации поровых вод (при известном значении
Ксп). а также для изучения литологии исследуемых пород (при
известных величинах рф, рв и Лда,вм или Лда,п).
В частном случае, если, например, известна диффузионно-
адсорбционная активность Ала, вм вмещающих пород, диффу-
зионно-адсорбционная активность пласта
д.Итах)
я аиСП
(603)
да, П ~
I 2 ‘Да, вм'
Ven* 1g
Рв
Задача определения диффузионно-адсорбционной активности
горных пород значительно облегчается, когда имеются диаграммы
потенциалов собственной поляризации, зарегистрированные
с двумя растворами разных концентраций сф и сф растворенных
солей, не намного отличающихся от концентрации солей, раство-
ренных в пластовых водах. В этом случае при пересечении пла-
стов, отличающихся по диффузионно-адсорбционной активности
от вмещающих пород, при b = 1 на кривых Осп будут наблюдаться
аномалии1.
1. При глинистом растворе, фильтрат которого имеет удельное
сопротивление рф,
(Д^п*х)' =
РФ
Рв, вм
1Г
Да, ц_
Рв ‘'да, вм-п
1 Случай b = 1 рассматривается условно с целью сокращения формул. Ему
соответствует изучение разрезов скважнн, пластовые воды которых имеют относи-,
тельно низкую минерализацию.
310
'’СП (4да, вм
Д, вм-р) 1g п (4да, 11
Рв, вм
д, п-р) 1g 7^
Рв
(^да,вм ^да, п
Рв
Рв вм J
2. При глинистом растворе с удельным сопротивлением филь-
трата Рф
= —vcn
(^да, вм
д,вм-п
Рф
Рв, вм
да, n-plg-j^
+ Кд, вм-р) 1g
Рв, вм
да* вм-п
дя> п
д.п-pllg р*
(Ада, вм Дца, п 4" Кд, вм_п) 1g - *
г В р В™ *
При условии Кд, в„_р = Кд,п-р (которое соблюдается в боль-
шинстве случаев) разность амплитуд аномалий Д(/сп. зарегистри-
рованных с глинистыми растворами разной минерализации,
Да, п) lg
Рф
t^cn — (Д^спаХ)) — (Д^спаХ)) = —Vcn (Яда, вм
pl рф
« —vcn Ида, вм — Дда> п) lg -s- = —vcnKcn 1g
гф Нф
не зависит от ^Гшвм и от удельных сопротивлений вод, насыща-
ющих вмещающие породых. Это дает возможность вычислить
разность
Де* вм
Яда, п ^да, вм ^да» п — Ясп
(д^ах0^(Мтпх)Г
— Л *
1 Рф
'’сп g Рф
при различной минерализации (но при одинаковом химическом
составе) поровых вод, насыщающих пласт и окружающие породы.
Зная разность коэффициентов Кда,вм— Кда,п диффузионно-
адсорбционной э. д. с. или разность диффузионно-адсорбционных
активностей Лда>вм— Лда,п, можно рассчитать одну из этих
величин, если известна другая.
Так, например,
(^пах)Г“(д^тп
да* вм
рф
рф
да, п*
(604)
1 Независимость бС/спот^п вм* обусловливает повышение точности после-
дующего расчета, так как связь вм, с рв и рв, вм может быть весьма сложной.
311
Для крупнозернистых песков и галечников Лца>п « 0. В этих
условиях
да» вм
I рф
Vcn g РФ
(605)
По значению вычисленной активности, если известны диффу-
зионно-адсорбционные активности пород, слагающих разрез ис-
следуемой скважины (или в комплексе с другими физическими па-
раметрами), определяют, какие породы пройдены скважиной.
Следует отметить, что отсутствие линейности в зависимости
Д1/Сп = f (1g —т- |, наблюдающееся при достаточно высоких
\ рф /
значениях св и разностях св — сф (где сф — концентрация солей
в фильтрате1 глинистого раствора), приводит к уменьшению
амплитуд аномалий Д(/сп (b < 1). Если это обстоятельство не
будет учтено, то величины Лда, рассчитанные по формулам (603)—
(605), будут меньше действительных.
Определение диффузионно-адсорбционной активности и изуче-
ние литологии пород, слагающих разрез исследуемой скважины,
по диаграммам (/сп облегчаются при переходе от относительных
измерений потенциалов собственной поляризации и диффузионно-
адсорбционной активности к абсолютным измерениям. Для этого
необходимо на диаграмме Ucn установить положение «нулевой
линии» потенциалов или «нулевой линии» активности Ада, что
приближенно может быть выполнено следующими способами.
«Нулевая линия» потенциалов Ucn
Для определения положения «нулевой линии» потенциалов Ucn в разрезе
скважины выделяют опорные пласты, которые должны характеризоваться:
1) достаточно большой мощностью пласта (h > 10dc);
2) удельным сопротивлением пласта, близким к удельным сопротивлениям
глинистого раствора и вмещающих пород;
3) отсутствием иных потенциалов, кроме диффузноино-адсорбциоиных;
4) известным значением коэффициента /<да, Ои диффузионно-адсорбционной
э. д. с. опорного пласта.
Выделив опорные пласты, наносят на диаграмму t/сп «нулевую линию»,
проходящую (в масштабе записи кривой Ucn) на расстоянии
Д^сп, о =
«да, oti^c 1g
Рф
Рв
1 Если мощность опорного пласта невелика или его удельное сопротивление
отличается от Удельных сопротивлений вмещающих пород и глинистого раствора,
«нулевую линию» диффузионно-адсорбционных потенциалов проводят на рас-
стоянии
_ AC/сп, о
vcn
ОТ t/сп, on*
312
от значения <7сп оп в опорном пласте (в опорных пластах). В последней форму-
ле Кда оп — коэффициент диффузионно-адсорбционной э. д. с. в опорном пласте 1.
В’этом случае оптимальное отклонение кривой Ucn от «нулевой линии»
против изучаемого объекта
Д^ЬпТ> = vCn^a* >g Т4-» (606)
Рв
где Кда — коэффициент диффузионно-адсорбционной э. д. с. породы, залегаю-
щей иа участке, для которого определяется отклонение.
Формула (606) дает возможность вычислить Кда = 4да + Кд для каждого
пласта, если известны рф и рв. Если сопротивление пластовых вод иа участке
скважины, прилегающем к опорным пластам или залегающем между ними, со-
храняется достаточно постоянным, то для этого участка на диаграмме С/сп может
быть дай второй масштаб — масштаб коэффициента Кда, который рассчитывают,
исходя из* соотношения
К
ДЬ'сп
vcnIg-^-
(607)
«Нулевая линия» диффузионно-адсорбционной активности
Для определения положения «нулевой линци» диффузионно-адсорбциоииой
активности, как и при определении положения «нулевой линии» потенциалов соб-
ственной поляризации, выделяют опорные пласты. Опорные пласты должны удов-
летворять указанным выше условиям; кроме того, для них должны быть известны
значения диффузнонио-адсорбцноиной активности 4Д8| опт н коэффициенты диф-
фузионной э. д. с. опорных пластов, равные коэффициентам диффузионной
э. д. с. вмещающих пород.
Выделив опорные пласты, проводят иа диаграмме потенциалов собственной
поляризации «нулевую линию» диффузионно-адсорбционной активности на рас-
стоянии
Д^СП,да — ^да, оп^ 1g 7—
Рв
от значения Д£/сп, оп в опорных пластах х. Далее от опорной линии наносят на
диаграмму С/сп второй масштаб — масштаб диффузионно-адсорбционной актив-
ности, рассчитанный по формуле
А
Да
ДС^сп
big р*_
Рв
(608)
Этот масштаб распространяют на участок кривой 6/сп, в пределах которого рв
постоянно.
При переходе в отложения с иной минерализацией поровых вод положение
«нулевых линий» потенциалов собственной поляризации (коэффициента диффу-
зионно-адсорбционных э. д. с.) и диффузионно-адсорбцнониой активности изме-
няется.
1 Если мощность опорного пласта невелика и его удельное сопротивление от-
личается от удельных сопротивлений вмещающих пород и глинистого раствора,
«нулевую линию» диффузионно-адсорбциоииой активности проводят и а рас-
стоянии
Д^СП, да
&иСП, да = —Г-- от ^СП, оп-
хп
11 Дахнов В. Н.
313
Если нет уверенности в том, что минерализация пбровых вод достаточно по-
стоянна и в породах отсутствуют иные потенциалы, кроме диффузио и но-адсорб-
ционных, кривую Ucn в масштабе диффузнонио-адсорбциоиной активности сле-
дует рассматривать как кривую эффективной величины Ада, Эф этого параметра.
Ее значение будет тем ближе к истинному значению Ада, чем ближе отношение-Р —
рр рц
к единице и меньше потенциалы, созданные фильтрацией вод и окислительно-
восстановительными процессами.
Вместо «нулевых линий» потенциалов собственной поляризации и диффузи-
оиио-адсорбциоииой активности иногда пользуются «условными нулевыми ли-
ниями». Эти линии проводят по точкам, в которых значения Uqr максимальны
(рф> Рв) — «нулевая линия глин» или минимальны (рф> рв) — «нулевая ли-
ния песков» (в песчано-глинистом разрезе) и «нулевая линия чистых карбонатов»
(в карбонатном разрезе).
Отклонение кривой Ucn от «нулевой линии» глии (при рв = рв, вм)
А^СП, О-гл = (^да. гл ^да) vcn^c
“ - Ида, гл ~ Лда) vClA ’
гВ
где /СД8( гл, Кда, Ада> гл, Ада — коэффициенты диффузио и но-адсорбционных
э. д. с. и диффузионно-адсорбционная активность глии и пласта, для которого
отклонение кривой Ucn равно AUcn, о-гл‘> vcn и Ьс — известные величины.
Отклонение от «нулевой линии» песков или от «нулевой линии» чистых кар-
бонатов
ДУСП, 0.П - Ида - «да. п) U ~
~ Ида “ Лд«, и) We ’
где КД8( п и Ада, п — значения коэффициента диффузионно-адсорбционной э. д. с.
и диффузионно-адсорбционной активности в песчаных или карбонатных пластах,
по которым проведена «нулевая линия песков» илн «нулевая линия чистых карбо-
натов». При Ада, ц = 0 с «нулевой линией песков» совпадает «нулевая линия»
диффузионно-адсорбционной активности. В этом случае
Д^СП, 0-п = Лдаг’сп6с « •
Зная положение «условной нулевой линии» и располагая значениями АДЭ| гл
или Ада п, а также величиной отношения -^4., можно определить Ада в пласте,
Рв
залегающем иа любом участке разреза, для которого имеется «нулевая линия»,
если потенциалы собственной поляризации созданы только диффузионно-адсорб-
ционными процессами.
Определение окислительно-восстановительной и фильтрационной активностей
до настоящего времени представляет собой задачу, в большинстве случаев нере-
шенную, в связи с чем в настоящей работе не рассматривается.
§ 43. СТОРОННИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
К измеряемым в скважине потенциалам собственной поляри-
зации горных пород добавляется ряд сторонних потенциалов.
К ним относятся: электродные потенциалы, потенциалы трения,
оседания, гальванокоррозии, теллурических и блуждающих токов.
Электродные потенциалы &э. Они возникают на границе
металл электрода — раствор, в котором находятся электроды,
314
в связи с переходом металла электрода из атомарного состояния
в ионное и обратно и химического взаимодействия металла а анио-
нами раствора.
В общем случае электродный потенциал
мулой
определяется фор-
RT ,
х-f-In аь
где <Г0 — стандартный потенциал данного
= —тг 1п К (здесь К — константа равновесия
электрода, =
окислительно-вос-
становительной реакции, протекающей в цепи электрода); R —
универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная температура;
F — число Фарадея; az — активность иона в растворе; z — его
валентность; знаки «+» и «—» указывают на то, являются ли
в образовании электродного потенциала активными катионы
(знак «+») или анионы (знак «—»).
Наблюдения над электродными потенциалами показывают,
что потенциал между металлом электрода н раствором его соли
наиболее устойчив. Если при этом металл находится в насыщенном
растворе, содержащем избыток соли металла, то между парой
таких электродов, называемых неполяризующимися, наблюдается
незначительная и притом весьма устойчивая разность потенциа-
лов. Поэтому для измерения потенциалов собственной поляриза-
ции пород в скважинах рекомендуется использовать преимуще-
ственно неполяризующиеся электроды. Использование поляри-
зующихся электродов в практике электрометрии скважин методом
потенциалов собственной поляризации нежелательно, так как из-
менение их электродного потенциала может вызвать на диаграммах
[/сп аномалии, соизмеримые с аномалиями, созданными окру-
жающими скважину породами, а иногда и более интенсивные.
Потенциал электрода пропорционален абсолютной темпера-
туре окружающей среды. В скважинах температура возрастает
с глубиной. Поэтому потенциал электрода М, находящегося
в скважине, а следовательно, и разность Д1/э электродных по-
тенциалов между электродом М и электродом N, установленным
на поверхности, изменяется по мере передвижения электрода
в скважине.
В том случае, когда химический состав растворов, в которых
находятся электроды М и N, сохраняется постоянным и потен-
циал электрода определяется главным образом концентрацией
анионов в растворе 1:
ам
аы
1 Концентрация анионов в растворе, по-видимому, играет определяющую роль
при электрических исследованиях скважин.
315
где а — активность аниона, участвующего в процессе образова-
ния электродного потенциала; индексы М и N указывают, к ка-
кому из электродов (к электроду М или N) относится символ.
Полагая для упрощения вывода активности ионов в растворах,
в которых находятся электроды Л1 и Af, одинаковыми (ам = aN =
= а), получим
Д(/э = (Г м - TN} In 4 •
Заменив в последней формуле Тм и TN равными их значе-
ниями То + tM и То + tN, где То = 273,09 К, a tM и tN — тем-
пература в точках М и N (в °C), будем иметь
= (/м - М J- In 4 •
Но так как
tM=tN+Hr
(П — глубина положения электрода М;
градиента теплового поля в скважине до
Г — среднее значение
этой глубины), то
Д(/э = In 4 = Агн> (609)
Формула (609) показывает, что абсолютное значение изменения
величины Д1/э возрастает (при А > 0) или убывает (при А <0)
пропорционально глубине Н, на которую опущен электрод М,
и средней величине Г градиента теплового поля в скважине до
этой глубины.
Электродные потенциалы искажают измерения потенциалов
собственной поляризации. Поэтому при записи кривых 1/сп
разность электродных потенциалов должна быть по возможности
скомпенсирована. Однако при геофизических исследованиях сква-
жин электродную поляризацию широко используют и в практиче-
ских целях — при поисках минеральных ассоциаций с электрон-
ной проводимостью. Эту задачу решают методами электродных
потенциалов и гальванических пар, основы теории которых изло-
жены ниже (см. § 45 и 46).
Потенциалы трения. При движении электродов их потен-
циалы увеличиваются или уменьшаются в зависимости от металла,
из которого изготовлен электрод. Эти изменения, получившие
название потенциалов трения, численно располагаются в ряд,
обратный ряду нормальных электродных потенциалов; они резко
уменьшаются у неполяризующихся электродов.
Изменение потенциала электрода М в связи с его движением
остается достаточно постоянным и практически не сказывается на
конфигурации кривой J7cn-
При
остановке
зонда
потенциал
316
свинцового электрода М, а следовательно, и разность потенциа-
лов между электродами М и N мгновенно повышается. Это отме-
чается на диаграммах (/сп и позволяет осуществить контроль
за правильностью полярности соединений и движением электрода,
в частности точно отметить момент начала подъема зонда, при
котором кривая (7СП смещается в сторону отрицательных зна-
чений потенциала.
Потенциалы оседания. Потенциалы оседания (седиментации)
возникают в скважине при осаждении на забой твердых частиц
породы из глинистого раствора. Если глинистый раствор приго-
товлен на воде, содержащей соли одновалентных и двухвалентных
металлов, как это обычно бывает на практике, частицы пород
заряжены отрицательно. В этих условиях при оседании твердых
частиц на забой будет наблюдаться уменьшение потенциала
электрода М.
Однако отклонения диаграмм t/cn, обусловленные потенциа-
лами оседания, отмечаются редко. Заметные отклонения кри-
вых L/cn могут быть лишь в скважинах, бурение которых ведется
с промывкой недостаточно хорошо приготовленным глинистым
раствором (на участках скважины, расположенных вблизи забоя,
где процесс оседания твердых частиц наиболее интенсивен).
Потенциалы гальванокоррозии. Потенциалы гальванокоррозии
наблюдаются в том случае, когда применяемые грузы или корпус
зонда изготовлены из разных металлов. Такие грузы или зонды,
находясь в глинистом растворе, в связи с разными значениями
электродных потенциалов у металлов, из которых они изготовлены,
представляют один или несколько короткозамкнутых гальвани-
ческих элементов. Внутренней цепью этих элементов является
глинистый раствор, внешней — металл груза или корпуса зонда.
Потенциал электрического поля токов гальванокоррозии груза
в среде, окружающей груз, идентичен потенциалу поля постоян-
ного тока, созданного разнополярными заземлениями' (разно-
металлическими деталями груза), и, следовательно, зависит от
удельных электрических сопротивлений этой среды. При наличии
гальванокоррозии кривая £/сП прямо или зеркально повторяет
кривую кажущегося сопротивления последовательного градиент-
зонда. Аномалии на кривой UCn, созданные полем гальванокор-
розии в породах разного сопротивления, смещаются от точки за-
писи кривой кажущегося сопротивления на расстояние (в масштабе
записи), равное расстоянию от электрода М до средней точки между
разнометаллическими деталями груза, создающими поле гальва-
нокоррозии, и резко уменьшаются с увеличением этого расстоя-
ния. Эта особенность дает возможность установить наличие по-
грешностей в измерениях 1/сп, созданных потенциалами гальва-
нокоррозии.
Потенциалы теллурических и блуждающих токов. Теллуриче-
ские — земные электрические токи естественного происхождения,
изменяющиеся во времени и в пространстве — возникают вслед-
317
ствие ряда процессов, наблюдающихся в Земле и в окружающей
ее атмосфере. К таким процессам, в частности, относятся:
1) изменение ионизации верхних слоев стратосферы под дей-
ствием ультрафиолетового и корпускулярного излучений солнца;
неоднородно ионизированные слои стратосферы, увлекаемые вы-
сотными ветрами, создают переменные электромагнитные поля,
индуцирующие в проводящих слоях литосферы переменные во
времени и в пространстве теллурические токи;
2) перенос зарядов осадками и конвекционными токами воз-
духа в атмосфере;
3) электрохимические (в частности, фильтрационные) и термо-
электрические процессы, протекающие непосредственно в земной
коре.
В районах расположения энергетических установок постоян-
ного тока с заземленным фидером наблюдаются также изменя-
ющиеся во времени блуждающие индустриальные токи постоянной
полярности. При достаточной мощности электрических установок
эти токи могут распространяться на довольно значительные рас-
стояния (до 10 км и более) от местоположения заземления (напри-
мер, рельсового пути электрической железной дороги) токонесу-
щих линий.
Теллурические и блуждающие индустриальные токи, протекая
в горных породах, создают разности потенциалов Д[/т, пропор-
циональные средней плотности земных токов в данный момент
времени, среднему электрическому сопротивлению р пород, за-
легающих между точками М и N, где измеряются разности по-
тенциалов Д[/т, и расстоянию I между этими точками.
Электрические потенциалы теллурических и блуждающих то-
ков в случае большой их интенсивности регистрируются при
измерении потенциалов собственной поляризации пород, в ре-
зультате чего искажаются кривые £/сп.
Искажающее влияние блуждающих индустриальных и теллу-
рических токов в наибольшей степени сказывается во время иссле-
дования глубоких скважин, расположенных в районах, сложен-
ных породами высокого сопротивления (известняками, ангидри-
тами, доломитами, солью и др.), в которых даже при слабых
теллурических токах могут наблюдаться значительные разности
потенциалов, созданные этими токами. Повышенные разности
потенциалов теллурических токов наблюдаются также в районах,
прилегающих к арктическому поясу, что объясняется повышен-
ной плотностью этих токов в полярных областях.
Разности потенциалов земных токов наиболее значительны на
тех участках земной коры, где в осадочной толще пород понижен-
ного сопротивления, в которой распространяются земные токи,
вытесняемые с больших глубин, залегают породы высокого сопро-
тивления, например рифовые известняковые массивы и соляные
купола. Эти образования, в свою очередь, вытесняют токи в верх-
ние слои земной коры и создают на крыльях структур большие
318
разности потенциалов, нередко исключающие возможность изме-
рения (/сп с необходимой точностью без специальных способов
измерений.
§ 44. МЕТОД СЕЛЕКТИРОВАННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
СОБСТВЕННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В методе селектированных потенциалов собственной поляризации, разрабо-
танной фирмой Шлумберже [60J, искусственно создаются условия, уменьшающие
влияние мощности пласта и сопротивления вмещающих пород иа величину ано-
малии ДС/сп- Это обеспечивает возможность выделения по кривым селектиро-
ванных потенциалов коллекторов малой мощности, залегающих в породах высо-
кого сопротивления.
При исследовании данным методом в скважину опускают зоид, состоящий из
пяти электродов — двух питающих А' и А*, измерительного Af и электродов срав-
нения С' и С*. Электрод М закрепляют посредине зоида, заземления А' и А* —
по краям и электроды сравнения С' и С* — вблизи заземлений А' и А* (рис. 105).
Второе заземление В питающей цепи и второй измерительный электрод N устанав-
ливают иа поверхности.
Когда зоид находится против мощного однородного пласта (например, пласта
глии) и ток в цепи А'А*—В отсутствует, потенциал точки М и среднее значение
потенциалов точек С' и С* равны и, следовательно, разность потенциалов
,гл. (ис + ^С«)<ГЛ>
<45л) ——
(Uс> + ис~)(гл)
Равенство потенциалов ' и --------.—-—-—— определяют с помощью из-
&
мерительного прибора /, предварительно отключив цепь прибора 2. Потенциал
шс, + 1/с.)(гл)
----------------в глинах измеряют по отношению к потенциалу
электрода Af,
установленного на поверхности. При измерении этой разности потенциалов
отключают прибор /, включают прибор 2 и измеряют
с' Н"
ди
гл
-Uh-
2
Когда зонд входит в мощный пласт, представленный породой с меньшим зна-
чением диффузионно-адсорбционной активности относительно глин (например,
песчаной или карбонатной породой), по мере приближения зонда к центру пласта
Рис. 105. Схема измерения селектированных потен
циалов собственной поляризации пород.
/ и 2 — приборы для измерения разности потенциалов;
3 — источник постоянного тока; 4 — миллиамперметр;
5 — реостат регулирования силы питающего тока; 6 —
ключ; 7 — переключатель
319
потенциалы и Uc„ точек С' и С# становятся все более отрицательными. Од-
иако потенциалы этих точек с помощью заземлений А' и А" можно увеличить до
их значений в глинах. С этой целью через заземления А' и А" от источника тока 3
пропускают ток постоянного направления. Силу тока измеряют и контролируют
миллиамперметром 4. Увеличивая силу тока реостатом 5, доводят среднее значе-
ние потенциала
2
точек С' и С" до его значения
в гли-
нах, что устанавливают по прибору 2 (при отключенном приборе /) и по ранее из-
вестному значению разности потенциалов в глинах.
Если порода (рис. 106, а) с пониженной диффузионно-адсорбционной актив-
ностью имеет большое удельное электрическое сопротивление (например, пред-
ставлена плотными известняком или песчаником, в толще которого ниже зоида
залегает пласт П2 более пористой породы пониженного сопротивления), то раз-
U £ г UQ"
ность потенциалов Um--------й-----будет по-прежиему равна нулю. Это объяс-
няется тем, что ток от электродов А' н А* будет протекать в основном по скважине
в пласт П2 повышенной пористости и пониженного сопротивления и создавать
в точке М потенциал, равный полусумме потенциалов в точках С' и С#.
Когда зонд будет пересекать проводящий пласт П2, распределение тока из-
менится так, как это показано иа рис. 106. При этом между электродами М
и С' (С ) возникает разность селектированных потенциалов Д1/£п^ (потенциал
UM электрода М будет ниже потенциала электрода С' и потенциала Uc„
электрода С").
Для определения разности потенциалов Д(/мс(^^спЛ)) обозначим через
н сопротивления ствола скважины между электродами С' (или С#) и М и ра-
диальное сопротивление пласта Пх, через #п, хИ^гл — разности (скачки) потен-
циалов иа границе скважина — исследуемый пласт Пх и скважина — мощный
глинистый пласт1, через Un и Д(/э— потенциал электрода N и разность элек-
тродных потенциалов электродов С и W, чёрез (i5) — силу тока, отдаваемого
в пласт заземления А' и А”.
Разность потенциалов между электродами С и N в мощном глинистом пласте
Wtf = *гл - UN + ДУэ
и в центре исследуемого пласта
ДУ = vrri# , — UN + ДУ,
П> X С41 П> X /М Э
при условии его залегания в мощной толще пород с диффузионно-адсорбцион-
ной активностью, практически равной нулю.
Включив ток в цепь электродов А' и А” и доведя разность потенциалов Д(7П, х
до разности потенциалов в мощном глинистом пласте, получим
Д0л ’ = «1 (ф + яп) + vcn*„. X-UN + Д</э.
\ м /
Исключив из последних двух равенств сумму vcn^nj х — UN + Д(/э, вычис
лим силу тока:
ду<~>—дуп>х
ГЛ *СП п* X
1 Разности потенциалов иа границах между пластами вследствие обычной их
малости при дальнейшем расчете не учитываются.
а б
Рис. 106. Схемы распределения токов и кривые селектированных потенциалов соб-
ственной поляризации пород (по Г. Г. Доллю).
а — схема распределения токов при расположении зонда в непроницаемой породе высо-
кого сопротивления; б — то же, при расположении зонда в проницаемом пласте низкого
сопротивления; в — эквивалентная схема сопротивлений; г — кривые селектированной
разности потенциалов собственной поляризации пород; 1 — кривая потенциалов собст-
венной поляризации пород; кривые селектированной разности потенциалов собственной
поляризации: 2 — нулевое значение в песчаных проницаемых породах, 3 — нулевое зна-
чение в глинах; Г>, Г4, Г6, Гц — породы высокой диффуэиоино-адсорбциоиной активности
(глины); И\, Иг, И», И9, И9, И19 — породы высокого сопротивления (известняки);
П2, П8, Пт, П9 — породы низкой диффузионно-адсорбционной активности и малого со-
противления (пески, песчаники)
Таким образом, разность потенциалов между электродами М и С', так назы-
ваемая селектированная разность потенциалов по отношению к глинам,
Д1/<$ = (Д^пеЛ))(ГЛ) = (Wn. Х - М •
При равенстве потенциалов электродов С потенциалу собственной поляри-
зации в мощном чистом песчаном коллекторе между электродами С и /V бу-
дет наблюдаться разность потенциалов
д1/<~) = ггп-(/л/ + дуэ.
321
Потенциал электродов С в исследуемом пласте Пх может быть доведен до по-
тенциала этих электродов в мощном чистом песчаном коллекторе путем включе-
ния тока t2 в цепь электродов А' и А". В этом случае
(*!> + /?п) +vCn*n,x-^ +
S>n-v
Исключив из формул, определяющих &Un х и сумму vcn^’n, х ~
—Un A- ЛУэ и вычислив ток
ДУ< “> _ ду
/2-------!L-------
| г>
“п
п
найдем селектированную разность потенциалов по отношению к чистому п сча-
иому коллектору:
ДУ^ « (ДУ >)<"> = (vcn^n, х - -
Наличие двух кривых(Д{7^|л^угл^ и записанных сдвумязиаче-
+ Ц^)(гл)
ийями потенциала Uc, в мощных глинах -------------— и в мощных песках
(Uc, +(/е)(п)
-------—------, дает возможность определить диффузиоино-адсорбциоиную раз-
ность потенциалов в пластах песков или глин малой мощности, залегающих среди
плотных пород большой мощности высокого сопротивления.
Исключив дробь р- из равенств, определяющих (Д^спл))(гл) и
Кр+2Кп ' z
(Д^СПЛ0<П)’ н Решив их относительно х, получим:
П, X
1 (Д^л>)(п^гл^-(Д(/^Л))<-^П
Vcn (Д^Л>)П-(ДС/^)<ГЛ>
1
vcn
^гл (<^п — ^гл)
(Д^пл))(гл)
(д^Йл))(п)-(Д^пл
В тех случаях, когда ж О,
= *гл (Д</<сел))<п)
vcn (Д£/£пл>)<п> - (Д£/£пл>)(гл> ’
Метод селектированных потенциалов собственной поляризации пород дает
возможность более четко выделять тонкие пропластки песков и глии, залегающих
среди малоактивных пород высокого сопротивления, и точнее оценивать их диф-
фузиоиио-адсорбциоиную активность, а следовательно, и литологию.
Пример кривых, иллюстрирующих характер изменения селектированных
потенциалов собственной поляризации в пропластках песков и глии, залегающих
в толще пород высокого сопротивления, приведен на рис. 106, г.
§ 45. МЕТОД ЭЛЕКТРОДНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Сущность метода электродных потенциалов заключается в вы-
явлении в разрезах скважин горных пород, обладающих электрон-
ной электропроводностью, по данным измерения электродных
322
потенциалов. Эти потенциалы возникают на поверхности сопри-
косновения породы с окружающей ее средой.
Для измерения электродных потенциалов используют специ-
альный зонд, состоящий из электрода М, скользящего по стенке
скважины, и электрода N — раздвоенного центрального электрода
сравнения. Центральный электрод изготовляют из металла, элек-
тродный потенциал которого как можно больше отличается от
электродного потенциала- изучаемой породы.
Таккак горные породы, обладающие электронной электро-
проводностью (большинство сульфидов, графит и антрацит),
характеризуются электроположительными или близкими к ним
электродными потенциалами, то для получения максимальных
значений измеряемой разности потенциалов Д1/э электрод сравне-
ния изготовляют из металла с наиболее отрицательным значением
нормального электродного потенциала. Из таких металлов (ма-
гний, бериллий, алюминий, цинк, железо) наиболее удобен цинк.
Электродный потенциал цинка относительно мало зависит от
ионного состава растворов и быстро устанавливается во времени.
Кроме того, цинк не пассивируется в растворах щелочей и кислот
и иа его поверхности не образуются защитные плёнки, изменя-
ющие величину электродного потенциала.
Сульфидные минералы по возрастанию их электродных потен-
циалов находятся примерно в следующем ряду: электрониопро-
водящий сфалерит, галенит, арсенопирит, пирротин, халькопирит,
пирит, марнезит. Поэтому при благоприятных условиях в неко-
торых случаях по данным измерения электродных потенциалов
можно давать прогноз о встрече того или иного сульфида, напри-
мер галенита или пирита, разность потенциалов между которыми
достигает 300 мВ.
Теория метода электродных потенциалов основана на следу-
ющих положениях [5].
1. Амплитудное значение измеряемой разности электродных
потенциалов определяется величиной и знаком электродного по-
тенциала породы и, как следствие этого, в первую очередь зависит
от химического состава изучаемых пород (руд, включений ми-
нералов).
Разность электродных потенциалов возникает только при со-
прикосновении скользящего электрода с породой, обладающей
электронной электропроводностью. Момент соприкосновения элек-
трода с рудным телом характеризуется скачкообразным измене-
нием Д(/Эп (рис. 107). Далее потенциал либо сохраняется по-
стоянным (графит, антрацит), либо уменьшается. Уменьшение
потенциала (участок кривой Ьс, рис. 107, б) возникает вследствие
катодной поляризации рудного тела. Чем меньше рудное тело
и чем выше плотность тока и ниже сопротивление вмещающих
пород, тем значительнее изменение Д(/Эп во времени (по пути
передвижения электрода). Катодная поляризация характерна
ля сульфидов и отсутствует в графите. Эта особенность в неко-
323
Торых случаях может быть
использована для более точной
интерпретации диаграмм Д(/Эп.
После пересечения верхней
границы рудного тела наблю-
дается сначала скачкообразный
спадразности потенциалов Д(/Эп
(участок кривой cd), а затем
плавное уменьшение этой раз-
ности, асимптотически при-
ближающийся к ее величине
во вмещающих породах (уча-
сток кривой de). Возникнове-
ние данного участка кривой
рассмотрено ниже.
2. Совокупность щеточного
электрода, изготовляемого из
того же металла (обычно цинка),
что и электрод сравнения,
с рудным
телом представляет
собой сложный короткозамкну-
тый биметаллический электрод.
Потенциал этого электрода
пропорционален отношению
поверхности Зк катода(рудное
тело) к поверхности Su анода
(щеточный электрод) и в пер-
вом приближении может быть
определен по формуле
Рис. 107. Кривые потенциалов элек-
тродной поляризации U3n по данным
лабораторных измерений).
а — против прослоев пирита разной мощ-
ности в кварцево-сернцитовых сланцах;
б — против пирита; в — против графита;
г д — в случае электрически связанной (г)
и несвязанной (<?) вкрапленности сульфи-
дов; / — пирит; 2 — кварцево-серицитовые
сланцы; 3 — графит; 4 — нерудные про-
слои
где UK и Ua — электродный
потенциал катода и анода.
Если Sa < SK, то иэп «
при SK За i/эп *
и, следовательно, электродная
разность потенциалов Д</эп ->0.
Таким образом, амплитуда аномалии электродных потенциалов
зависит от объема рудного тела и резко уменьшается в зонах
вкрапленников, где отдельные рудные включения имеют малую
поверхность.
Асимптотический спад кривой за пределами образца (участок
кривой de) вызывается двумя причинами: во-первых, анодной поля-
ризацией скользящего электрода, постепенно исчезающей со вре-
324
менем, и, во-вторых, полем гальванической пары (см. § 46).
Поле гальванической пары является пространственным и реги-
стрируется в среде, вмещающей рудное тело.
§ 46. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ ГАЛЬВАНИЧЕСКИХ ПАР
В методе потенциалов гальванических пар горные породы
исследуют по данным изучения электрического поля, возника-
ющего при нанесении на породу с электронной проводимостью
(рудное тело) тонкого слоя металла, электродный потенциал
которого должен как можно больше отличаться от электродного
потенциала рудного тела (рис, 108) [51.
Слой металла наносят специальным штрих-электродом, изго-
товленным из металла, твердость которого более чем в 2 раза
меньше твердости рудного тела [5]. Чем мягче штрих-электрод,
тем толще будет нанесенная полоска металла и тем большее
время будут наблюдаться поля гальванических пар и выше будут
их измеряемые значения.
Штрих-электроды изготовляют из электроотрицательных ме-
таллов, обычно из цинка или мягкой стали. Использование для
штрих-электродов углеродистых сталей, которые подвергаются
специальной термической обработке, обеспечивающей требуемый
диапазон изменения их твердости, позволяет значительно повы-
сить эффективность метода, гальванических пар. В частности,
применение электродов с различной степенью твердости дает воз-
можность по данным измерений отличить галенит от халькопирита
И пирита.
Поле потенциалов галь-
ванических пар является
полем двойного электриче-
ского слоя и, следовательно,
характер erq изменения по
оси скважины определяется
функцией
формулу (567) 1, поскольку
угол видимости
слоя из точки, находящейся
на оси скважины,
3, АЧ>
<0 = j j siij р dp бЬ|> =
01 0
= Дф (cos р2 — cos PJ =
= Р (Zd, hd)^ =
= P(zd, hd) = const,
где Дф = const — азимуталь-
ный угол, величина которого
а
О 500 о 500 О 300 0200
[см.
двойного
б
500 1000 0 500 УзтУпгп.нВ
Рис, 108. Кривые потенциалов (/эп элек-
тродной поляризации и потенциалов (/Пгп
поля гальванических пар.
а, б — пирнт; в — галеинт; / — кривые Иэп;
кривые Ипгп, зарегистрированные после на-
несения черты: 2 — через 1 мнн, 3 — через
3 мин, 4 — через 5 мин; 5 — через 7 мнн
определяется отношением ширины а полоски штриха, нанесенного
штрих-электродом, к радиусу скважины (а = гсДф); Pi и 0а —
углы между осью скважины и прямыми, проведенными из точки
наблюдения к нижней в верхней^границам поляризующейся
полоски металла, нанесенного штрих-электродом на изучаемую
породу.
В отличие от метода потенциалов собственной поляризации,
в котором сумма скачков потенциала &s является достаточно
постоянной величиной во времени, скачок #гп потенциала гальва-
нических пор быстро изменяется во времени. В связи с этим
разность потенциалов гальванических пар Д(/гц = #гпДфГ (zd,
hd) также не остается постоянной. Разность At/rn быстро убывает
с увеличением промежутка времени, прошедшей? с момента
нанесения штриха до измерения потенциала (/гп.
Поскольку конфигурация кривой Д1/Гп определяется видом
функции F (zd, hd), конфигурация кривых Д£/гп, связь между
фиктивной и истинной’мощностями рудного тела, а следовательно,
и методика интерпретации диаграмм потенциалов гальванических
пар будут такими же, как в методе потенциалов собственной по-
ляризации.
§ 47. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ СОБСТВЕННОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИИ В СКВАЖИНЕ
Теоретическое исследование физических полей, в частности
поля потенциалов собственной поляризации в неоднородных
средах, относится к числу наиболее сложных задач. Аналитиче-
ские решения задачи о распределении потенциалов собственной
поляризации в скважине имеются только для однородной по со-
противлению среды и для пласта, удельное сопротивление кото-
рого равно удельному сопротивлению вмещающих пород. Есте-
ственно, что эти два частных случая являются слишком грубой
идеализацией условий, встречающихся при исследовании скважин
методом потенциалов собственной поляризации.
Для изучения поля потенциалов собственной поляризации
в неоднородных средах применяют различные методы моделиро-
вания на физических моделях, таких, как электролитические
модели скважин, электроинтеграторы (см. § 18), а также на мате-
матических моделях с использованием ЭВМ.
При моделировании полей собственной поляризации на элек-
троинтеграторе э. д. с. потенциалов собственной поляризации
создают включением напряжения в разрывы сетки электроин-
тегратора. Источником напряжения могут служить сухие эле-
менты, внутреннее сопротивление которых не превышает 5 Ом.
Это сопротивление составляет доли процента сопротивления ячеек
сетки, в которые включают элементы, и им можно пренебречь.
С помощью электроинтегратора были получены палетки, учи-
тывающие Влияние конечных размеров пластов различного сопро-
326
тивления, а также влияние зоны проникновения на амплитуду
Д(/Сп против пласта (61 ].
Как указывалось в § 18, моделирование на электроинтегра-
торе характеризуется недостаточной точностью исследования и
низкой оперативностью получения результатов.
С внедрением ЭВМ для интеграции данных промысловой гео-
физики возникла необходимость в более точном знании распреде-
ления поля t/cn в скважине, в нахождении точных количественных
зависимостей амплитуды Д(/сП от сопротивления пласта, сопро-
тивления зоны проникновения, вмещающих пород и других пара-
метров. Математическое моделирование на ЭВМ отличается уни-
версальностью, точностью, удобством и оперативностью получе-
ния результатов.
При расчете полей собственной поляризации на ЭВМ приме-
няют численные методы. Метод сеток — наиболее универсаль-
ный численный метод, характеризующийся быстротой и простотой
счета.
Задача расчета распределения поля потенциалов собственной
поляризации U = U (R, Z) в цилиндрической системе коорди-
нат сводится к решению уравнения
(6Ю)
где <т(Л), о(г) — удельные проводимости среды в радиальном и
осевом направлениях.
Для оси скважины уравнение (610) запишем в виде 1
(611)
граничные условия:
непрерывны на границах раздела
«/а 1г - i/р 1г ^г. (612)
где #г — э. д. с. потенциала собственной поляризации, возни-
кающая на границах раздела двух сред с номерами аир.
В бесконечно удаленных точках
dU п dU
dr —U’ дг ~
(613)
Для решения дифференциальной краевой задачи (610)—(614)
методом конечных разностей вводят прямоугольную сетку, строят
консервативную однородную разностную схему (см. § 18), позво-
1 Вследствие радиальной симметрии функции U производная по радиусу dU/dr
при г = 0 обращается в нуль и в уравнении (610) появляется неопределенность
0/0, которая легко раскрывается по правилу Лопиталя.
327
ляющую получить решение прямой задачи распределения поля
потенциалов b неоднородных по сопротивлению средах с произ-
вольным количеством плоскопараллельных и коаксиально-ци-
линдрических границ раздела.
Математическое моделирование полей потенциалов собствен-
ной поляризации для реальных условий залегания коллекторов
нефти и газа позволяет решить широкий круг задач, связанных
с теорией и методикой интерпретации результатов измерений дан-
ным методом. Так, например, разработаны способы количествен-
ной оценки и учета влияния неравномерности проникновения
фильтрата глинистого раствора в пласт, влияние глинистой корки
иаметра скважины в каверне на кривую Ucn против -пласта-
и
коллектора.
Глава VII
ТЕОРИЯ ПОЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД
Прохождение электрического тока в горных породах обычно
сопровождается поляризацией пород, созданной окислительно-
восстановительными, в частности электродными процессами, элек-
троосмосом, объемной поляризацией пород и концентрационной
поляризацией растворов, насыщающих породы и соприкаса-
ющихся с ними. Возникающие при этом потенциалы электриче-
ского поля вызванной поляризации зависят от физических и хими-
ческих свойств породы (ее литологической характеристики) и
химического состава насыщающих ее растворов.
Свойство пород поляризоваться количественно оценивается
величиной вызванной электрохимической активности Ав горной
породы (см. § 5, а также [11, 12]) или ее коэффициентом поля-
ризуемости х = е0Ав, где 80 — электрическая постоянная. Ука-
занные параметры определяются химическим составом породы,
степенью ее дисперсности и химическим составом соприкаса-
ющихся с ней вод. Это дает возможность использовать данные
измерения потенциалов вызванной поляризации для выделения
и изучения пород, вызванная электрохимическая активность
которых отличается от вызванной активности окружающей среды.
§ 48. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛОВ
ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Изучение электрического поля потенциалов вызванной поля-
ризации горных пород начнем с наиболее простого случая, когда
скважина диаметром dc пересекает однородную и изотропную
безграничную среду, вызванная электрохимическая активность
которой АВ(П отличается от активности Ав>р среды, заполняющей
скважину. Величину последней примем равной нулю, что близко
к действительности, так как глинистый раствор имеет малую
вызванную электрохимическую активность.
Для решения задачи введем сферическую систему координат
(рис. 109). Начало системы расположим в точке А, в кото-
рой находится источник поляризирующего тока, и полярную
329
б
Рис. 109. Схема к выводу формул, определяющих потенциал электрического поля
вызванной поляризации пород иа оси скважины.
а — пласт неограниченной мощности; б — пласт органнченной мощности
ось направим вдоль оси скважины. Обозначим через L и RM
расстояния от точки М, в которой определяется потенциал вы-
званной поляризации, до точки Л и до элементарного объема dV
пласта с координатами R, © и Т [59].
При включении тока элементарный объем dU пласта поляризу-
ется с моментом
dp
= PdV = —хэ, пр/ dV = —х
pl dV «Ив.пР/Л'
э»п 4яР« 4я₽»
где Р — вектор поляризации — дипольный момент единицы
объема породы; х9(П и р — электрическая восприимчивость и
удельное электрическое сопротивление породы; j — плотность
тока, проходящего через элементарный объем dV-, / — сила тока,
отдаваемого заземлением А; е0 — электрическая постоянная 1.
Поляризованный объем dV породы создает в точке М электри-
ческое поле, потенциал которого
all - dP cas РР Лв> *7 dV C0S RRm
Um ~ C RRm 16я
Но так как
= Я2 * * -|- L2 - 2RL cos 0,
cos RRM =
2RRM
ft — L cos 6
Rm
dV = /?2 sin 0 dR dQ t/ф,
1 В дальнейшем изложении знак минус в правой части формул опускаем,
так как после выключения тока поляризованный объем породы во внешнем про-
странстве создает электрическое поле, потенциал которого в точке М будет выше
потенциала & любой другой, более удаленной точке.
330
то
, __ ^в, пр/ (R — £ cos 0) R2 sin 0 dR df) dip _
вп — 16л2/?2 (R2 _|_ £2 _ ^RL cos 0)3/2 —
_ Лв, nP^ (R — L cos 0) sin 0 dR d0 dip
~ 16л2 (R2. _|_ £2 _ 2R£ COS 0)3/2
Потенциал вызванной поляризации в точке М, созданный
всем объемом поляризованной породы,
л t 2л Л 00
^вп = J
О
о
8л J
0
sin в
f (fl - £ c°s 0) sin 0 dR d&
J (Rt + L2— 2/?Lcos0)3/2
rc_
sin 0
Введя вместо R новую переменную
приведем интеграл по R к следующему вычисляемому
00 оо
виду:
Г (R — Lcos 0) dR _
» (R2 + L* — 2RL cos 0)3/2
c
du __
u2 “
sin 0
после чего получим
Лв.пР^ f
= 8лгс J
о
sin20 d0
^4 p ггО / —
F(L), (614)
где L — размер зонда для измерения потенциалов
поляризации, выраженный в радиусах скважины,
F (L) —функция от L, приведенная на рис. ПО:
вызванной
sin 2 0 d0__________
Т2 sin2 0 — Е sin 20
о
Из графика F (L) следует, что для всех размеров зонда L <
< 0,5гс значения F (L) мало отличаются от значений этой функции
при L = 0, т. е. для зонда с совмещенным питающим А и измери-
тельным М электродами.
331
Для этого зонда (L = 0)
Рис. 110. График зави-
симости функции
2 — .у.
— г (L) от величины
L = L/rz для различ-
ных отношений ftj ==
~ h/dc (шифр кривых).
Точками показаны зна-
2 —
чения — F (L), полу-
л
чениые экспериментально
at
и, следовательно, для зондов с L -»• 0
е
_ _ дО/ л пР^
----(615)
Расчет поля потенциалов вызванной поляризации при пере-
сечении скважиной пласта ограниченной мощности приведем
для случая, когда пласт, вмещающие породы и глинистый раствор,
заполняющий скважину, имеют одинаковые удельные электриче-
ские сопротивления (рц = рвм = рр) и вызванная электрохими-
ческая активность ЛВ(П пласта намного превосходит вызванные
электрохимические активности Лв>вм и Лв, р вмещающих пород
и глинистого раствора; значения последних условно принимаем
равными нулю.
Допустим, расстояние L между измерительным электродом
и питающим заземлением столь мало, что электрод М и заземле-
ние Л можно считать расположенными в одной точке. Это усло-
вие соблюдается, если L < 0,5гс, что обычно выполняется при из-
мерениях потенциалов вызванной поляризации четырехэлектрод-
ным специальным зондом АМАВ.
Для решения задачи воспользуемся цилиндрической системой
координат RZW (см. рис. 109, б), начало которой расположим
в точке Л и ось Z совместим с осью скважины. Обозначим через
?1 и R расстояние от источника тока до подошвы пласта и до эле-
ментарного объема dV пласта с координатами гиг.
При включении тока / элементарный объем dV = г dr dz dty
пласта поляризуется с моментом
. . ,,, Хн.пр/^ е0Ав пр/г dr dzdty
dp = Хэ. пр/ dv ТТ55 = л—ТТЛ 5ч-------
г э, пг/ 4л/?2 4л (г2 4- г2)
и создает в точке М потенциал
... PdV _ Лв, nplrdrdzdy
aU ~~ е04л/?2 — 16л2 (г2 + г2)2 *
332
a
S
Рис. 111. Теоретические кривые потенциалов вызванной поляризации для пласта
ограниченной мощности с вызванной электрохимической активностью Лв п
(для вмещающих пород Лв п=0) [а]; зависимости УвпаХ>/^впаХ^=«>) =
= /(М [6, кривая 1) н ^Я/(7впаХ) = /(М 1б> кривая. 2]
Уъп/ fynl*= сю)
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Потенциал вызванной поляризации в точке М, созданный всем
объемом поляризованного пласта,
л 2Л Zi+h ОО Zi+Л ОО
Гт ^в, пР' г « г г г dr ^в,пр/ г j г г dr
i'en — 16n2 j dtp j az j j dz j ^2 z2^2 —
0 Z1 fc *> r<-
16л rc
Если обозначим
получим
___ ^B, Пр/
вп 8ntZc
[arctg 2 (zrf + hd) — arctg 2zd].
(616)
На рис. Ill изображены кривые изменения потенциала вызван-
ной поляризации, рассчитанные по формуле (616) для пластов
различной мощности.
В центре пласта при zd = —
^max) =(arctg+ arctg/ij = ^4^— arctg/ij. (617)
333
В пласте бесконечно большой мощности
fz(max) Я ЛВ( др/ Ав> пр/
1/вп(А=<») = -2-------------= 8dc
1см. формулу (615)).
Из сопоставления формул (615) и (617) следует, что отношение
Ав, nPl
//(max) ——
увп - -<твапхГ- ' = arctg hd= — arctg hd (618)
ВП (Л=оо) 5
8dc
возрастаете увеличением мощности пласта (рис. 111, б, кривая /}.
Практически С/впах) в пласте конечной мощности не отличается
от значения потенциала ^впахл=<») при hd > 12, т. е. при значи-
тельно больших величинах, чем в методе потенциалов собственной
поляризации пород.
На границе пласта z, = О
^вп= arctg2ft4-
Отношение
(Дп = 0,5 ar-ff* (619)
DI1 ’ arctg hd х '
при h 0 стремится к единице и при ha -> оо — к 0,5. Практи-
//<г)
чески (Дп = 0,5t/^nax) при hd > 5. Зависимость ™х) = f (hd)
приведена на рис. 111, б (кривая 2).
49. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Решение задачи значительно осложняется, если удельное
сопротивление рп пласта отличается от удельных сопротивлений рр
глинистого раствора и рвм пород, подстилающих и покрывающих
пласт. Даже в наиболее простом случае, когда пласт имеет бес-
конечно большую мощность, выражение для плотности тока
в среде, окружающей скважину, оказывается столь сложным, что
численные расчеты могут быть выполнены только с использова-
нием современных ЭВМ. Использование В. М. Добрыниным элек-
троинтегратора [591 позволило получить приближенное решение
задачи следующим путем. На сетке интегратора моделируется
пласт бесконечно большой мощности, удельного сопротивления
Рп = Рп.рРр, пересеченный скважиной диаметром dc, заполнен-
ной глинистым раствором удельного сопротивления рр. Далее
на модели вдоль направлений, проведенных под различными
углами 0 к оси скважины, определяется зависимость изменения
334
потенциала U от расстояния до источника тока mA. По данным
этих измерений эмпирически устанавливается вид функции:
U = F (R, 0).
Далее вычисляются плотность поляризующего тока
: _ _ 1 dF 0) _________1 гг / п
1 ~ ’ Рп Ж ~ Рп 9)’
момент поляризации элементарного объема
dp = PdV = хэ, прп/ dV = е0Лв, прп/ dV
и потенциал электрического поля вызванной поляризации в точке
М, совпадающей с
точкой А,
^вп J ес4л/?2 ~
V
я 2Л 2
Л,п г г
2л J J
F' (R, б) R2 sin 6 dR _
R*
о о
sin 0
ОО
j F'(/?, 0)sin0dRd0.
°
sin 0
В. М. Добрынин установил, что в достаточно широких пределах
изменение угла 0^-5- < 0 функция U = F (R, 0) весьма
слабо зависит от 0 и может быть представлена эмпирической
формулой
4л
(620)
где коэффициент b < 1 является функцией рп „ =
’1 Рр
Числовые значения коэффициента возрастают с увеличением
отношения pnj
В связи со значительным удалением области, расположенной
в пределах полярного угла 0 от нуля до л/6, от измерительного
электрода М неточность определения функции U в этой области
мало сказывается на интегральном значении потенциала вызванной
поляризации. Поэтому для всего поляризованного пространства
можно принять
= F(R)
и, вычислив
Ьг
\ dU _ 1
Ра dR ~ 4я
Ьг
_------е
. I R-brc^
“4л Я3
Ьг
335
рассчитать момент поляризации элементарного объема:
, Ьг Ьг
dp = PdV = ^^-^=^-^-^ dV = dpn>0£^e~~^ ,
где dp„,0 — момент поляризации элементарного объема в том
случае, если бы изучаемое пространство было однородным и за-
полненным средой удельного электрического сопротивления рп;
, _ рРп^ dV _____ ео^в, пРп^ dV
аРи, о = 4^7>5 = 4^2 •
Согласно принципу взаимности поляризованный элемент объ-
ема dV создает в точке М (Л) элементарный потенциал
2Ьгс
ап dP dP лв, nPnz (Я—Z>rc)2e ~ .v
^вп = —— = —16^2------------ре--------“V
М, совпадающей с заземлением А,
поля вызванной поляризации
2Ьгс
(R — brc)2e # R2 sin 0 dR d& dip
е04л₽а dpUt 0
и, следовательно, в точке
потенциал электрического
2Л Л оо
Г Г -^в, ПрП^ I 1 |
^ВП = —16л ~ J J J
0 0
R*
sin 0
^в, пРп^
8л
о
00
(7? — !”с)ге
?brc
R sin 0 dR d&
R*
sin 0
Полученный интеграл выражается через табулированные спе-
циальные функции [3,6].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработанные трудами советских и зарубежных учёных
основы теории электрических и магнитных методов исследования
разрезов скважин обеспечили возможность эффективного исполь-
зования этих методов для решения большого числа задач, возни-
кающих при поисках и разведке полезных ископаемых.
Однако, несмотря на достигнутые успехи в данной области,
еще имеется много теоретических задач, требующих дальнейшего
решения; к ним в первую очередь относятся следующие:
1. Исследования в области теории электрометрии скважин
по кажущемуся (или эффективному) сопротивлению в разрезах,
представленных пластами малых мощностей и разных сопротивле-
ний и, в частности, при их частом чередовании.
2. Развитие теории многоэлектродных зондов с фокусировкой
тока.
336
3. Дальнейшая разработка теории индукционного метода ис-
следования разрезов скважин, в частности методики частотных
исследований, изучение влияния наклонных границ раз-
дела.
4. Дальнейшие исследования в области теории магнитометрии
скважин, обеспечивающие изучение слабомагнитных пород с не-
обходимой степенью точности.
5. Разработка теории методов потенциалов собственной поля-
ризации в пластах ограниченной мощности и разного сопротивле-
ния, теоретических основ методики выделения составляющих
потенциалов диффузионно-адсорбционного, фильтрационного и
окислительного происхождения из суммарно регистрируемой раз-
ности потенциалов.
6. Продолжение работ по созданию теории метода потенциа-
лов вызванной поляризации в условиях пластов ограниченной
мощности и разного удельного сопротивления.
7. Разработка теоретических основ методики определения вы-
званной электрохимической активности горных пород по данным
измерения (/вп в скважинах.
8. Теоретические исследования в области создания методов
выделения потенциалов вызванной поляризации, обусловленных
различными физико-химическими процессами.
9. Разработка теории методов исследования разрезов сква-
жин, основанных на свойствах горных пород и минералов как
полу проводи и ков.
Решение всех перечисленных задач должно включать не только
создание наиболее точных аналитических теорий, но и методик
широкого использования для этой цели современной электронно-
вычислительной техники.
Дальнейшая разработка теории существующих электрических
магнитных методов исследования скважин, усовершенствование
методик комплексной интерпретации данных промысловой геофи-
зики и создание новых геоэлектрических способов исследования
недр обеспечат более эффективное использование электрометрии
и магнитометрии при бескерновом изучении разрезов скважин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Бурсиан В. Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электро-
разведке. Л., Недра, 1972.
2. Градштейн, И, С., Рыжик И. М, Таблицы интегралов, сумм рядов и
произведений. Физматгиз, 1971.
3. Дахнов В. Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин.
М., Недра» 1967.
4. Дахнов В, Н. Геофизические методы определения коллекторских свойств
и иефтегазоиасыщения горных пород. М., Недра, 1975.
5. Мейер В. А. Каротаж скважин при разведке полиметаллических место-
рождений. Изд-во ЛГУ, 1960.
6. Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовица и И. Сти-
гаи. М., Наука, 1979.
Дополнительная литература
К г л а в е I
7. Вендельштейн Б. Ю. Исследование разрезов нефтяных и газовых сква-
жин методом собственных потенциалов. М., Недра, 1966.
8. Дахнов В, Н. О зависимости диффузионно-адсорбционной активности
песчано-глинистых пород от их глинистости и пористости. — Труды МИНХиГП,
вып. 67. М., Недра, 1966, с. 67—72.
9. Добрынин В. М., Латышова М. Г., Лепарская Н. Д. Исследование сква-
жин методом потенциалов вызванной поляризации. ГОСИНТИ, 1958.
10. Добрынин В. М. Физические свойства нефтегазоносных коллекторов в глу-
боких скважинах. М., Недра, 1965.
11. Кобранова В. Н. Физические свойства горных пород (петрофизика).
Гостоптехиздат, 1962.
12. Кобранова В. И, Определение петрофизических характеристик по образ-
цам. М., Недра, 1965.
13. Козел Й. Зависимости удельных сопротивлений осадочных горных по-
род от температуры. Труды МИНХиГП, вып. 56. М., Недра, 1966, с. 23—29.
14. Краев А. 77. Основы геоэлектрики. М., Недра, 1965.
15. Пархоменко 3. Я. Электрические свойства горных пород. М., Наука, 1965.
16. Семенов А. С, Влияние структуры иа удельное сопротивление агрегатов.—
В кн.: Геофизика, вып. 12. М., Госгеолиздат, 1948, с. 43—61.
17. Семенов А. С. Удельное сопротивление минералов, обладающих высокой
электропроводностью. — В ки.: Геофизика, вып. 13. М., Госгеолиздат, 1948,
с. 72—85.
18. Трухин В. И. Введение в магнетизм горных пород. М.» Изд-во МГУ,
1973.
19. Шапиро Д. А. Физико-химические явления в горных породах и их ис-
пользование в нефтепромысловой геофизике. М., Недра, 1977.
20. Шолпо Л. Е. Использование магнетизма горных пород для решения гео-
логических задач. Л., Недра, 1977.
338
К главе II
21. Альбом теоретических кривых электрического каротажа скважии. М.,
Недра, 1964.
22. Альпин Л. М. К теории электрического каротажа буровых скважин. М.,
ОНТИ, 1938.
23. Альпин Л. М, Комаров С. Г. Принцип взаимности. — В ки.: Приклад-
ная геофизика, вып. 4. М., Гостоптехиздат, 1948, с. 78—83.
24. Альпин Л. М. Палетки бокового каротажного зондирования. Гостоптех-
издат, 1958.
25. Башлыкин И. И. Микроэлектрические методы исследования скважии.
М., Недра, 1966.
26. Белаш, П. ЛГ, Дахнов В. Н., Нейман Е. А. Электромоделироваиие задач
промысловой геофизики. — Нефтяное хозяйство, 1953, № 7, с. 50—56.
27. Вазов, Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. М., ГИЛ, 1963.
28. Годунов А. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., Наука, 1973.
29. Дахнов В. Н., Нейман Е. А. Палетки ПКМ—МНИ. М., Гостоптехиздат,
1953.
30. Заборовский А. И. Переменные электромагнитные поля в электроразведке.
М., Изд-во МГУ, 1960.
•31. Иванов В. И., Комаров В. А. Решение задачи электрометрии в неоднород-
ной среде с учетом зоны проникновения. — Тр. БашНИПИ, вып. 30, 1972,
с. 154—165.
32. Колосов А. Л. Решение задачи электрометрии скважии иа ЭВМ. Киев,
Наукова думка, 1977.
33. Кулинкович 4. Е. Решение задачи теории электрического каротажа
в случае смещения источников поля с оси скважины. — В кн.: Прикладная гео-
физика, вып. 32. М., Гостоптехиздат, 1962, с. 122—132.
34. Нейман Е. А. Конструкция моделей пластов заданного удельного элек-
трического сопротивления для моделирования задач электрометрии скважин. —
Труды МНИ, вып. 15. М., Гостоптехиздат, 1955, с. 147—152.
35. Нейман Е. А. Изучение зависимости между характером распределения
удельного сопротивления в зоне проникновения с формой кривых бокового элек-
трического зондирования. — Труды МНИ, вып. 15. М., Гостоптехиздат, 1955,
с. 125—143.
36. Нейман Е. А. Палетки для трехэлектродных потеициал-зоидов и пластов
ограниченной мощности.—Труды МИНХиГП, вып. 41. М., Гостоптехиздат,
1963, с. 128—159.
37. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971.
38. Смирнов А. А. Введение в теорию электромагнитного поля. М., Недра,
1975.
39. Томи И. Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976.
40. Фок В. А. Теория каротажа. М., Гостехтеоретиздат, 1933.
41. Чаадаев Е. В., Зверев Г. Н. Решение прямой задачи электрического каро-
тажа для осесимметричного случая при наличии плоских и цилиндрических гра-
ниц раздела. — В кн.: Геофизические исследования в нефтяных скважинах, ис-
пытания пластов и отбор керна, вып. 2. М., Недра, 1972, с. 3—12.
К главе III
42. Дахнов В. Н., Нейман Е. А. Основы теории электрометрии скважии ме-
тодами сопротивления заземлений. — ТрудьГМНИ, вып. 15. М., Гостоптехиздат.
1955, с. 46—79.
43. Долль Г. Г. Микробоковой метод исследования скважии. — В ки.:
Вопросы промысловой геофизики. М., Гостоптехиздат, 1957, с. 218—243,
44. Ильинский В. М. Боковой каротаж. М., Недра, 1966.
45. Нейман Е. А. Метод шарового зоида (метод разности сопротивлений за-
земления). — Труды МНИ, вып. 15. М., Гостоптехиздат, 1955, с. 92—120.
46. Чукинв. Т. Боковой каротаж. — В ки.: Прикладная геофизика, вып. 21.
М., Гостоптехиздат, 1958, с. 134—173.
339
К главе IV
47. Даев Д. С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования
скважин. М., Недра, 1974.
48. Долль Г. Г. Теория индукционного метода исследования разрезов сква-
жин и его применение в скважинах, пробуренных с глинистым раствором на нефти.
Перевод с английского. — В кн.: Вопросы промысловой геофизики. М., Гостоп-
техиздат, 1957, с. 252—275.
49. Зверев Г. Н., Кусов В. Л., БаталинВ. А, Магнитный диполь в трехслой-
ных проводящих средах. — Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, № 9, 1965,
с. 63—72.
50. Кудрявцев Ю, И. Индукционные методы измерения магнитной восприим-
чивости горных пород и руд в естественных условиях. Л., Недра, 1978.
51. Плюснин М. И. Индукционный каротаж. М., Недра, 1968.
52. Шавыкин С. И. Определение магнитной восприимчивости горных пород
по измерениям напряженности магнитного поля в скважинах. — Труды МНИ,
вып. 15. М., Гостоптехиздат, 1955, с. 282—290.
К главе V
53. Абрагам Л. Ядериый магнетизм. М., Изд. иностр, лит-ры, 1963.
54. Шейдеггер Л. Е. физика течения жидкостей через пористые среды. М.,
Гостехнздат, 1960.
55. Ядерные магнитные методы исследования скважии/С. М. Аксельрод,
В. И. Даневнч, В. М. Запорожец и др. М., Недра, 1976.
56. Timur A. Pulsed NMR studies of porosity, movable fluid and permeabi-
ity of sandstones. — Journal of Petrol. Technol., v. 21, No. 6, 1969.
К главам VI и Vll
57. Альпин Л, /И., Шейнман С. М.Некоторые расчеты по спонтанной поляри-
зации. — Бюлл. иефт. геофиз., вып. 3. М., ОНТИ, 1936, с. 44—64.
58. Бурсиан В. Р. К вопросу о распределении потенциала вдоль оси сква-
жины при наличии диффузионных (контактных) э. д. с. — Бюлл. иефт. геофиз.,
вып. 3. М., ОНТИ, 1936, с. 65—81.
59. Добрынин В. AL Элементы теории поля потенциалов вызванной поляри-
зации в скважинах. — Труды МНИ, вып. 22. М., Гостоптехиздат, 1958, с. 120—
142.
60. Долль Г. Г. Метод селектированных СП.—В кн.: Вопросы промысловой
геофизики. М., Гостоптехиздат, 1957, с. 67—83.
61. Журавлев В. П.у Васильева Г. П. Моделирование каротажа ПС пластов
конечной мощности. — В ки.: Прикладная геофизика, вып. 60. М., Недра, 1970,
с. 200—213.
62. Шапиро Д. А. Физико-химические явления в горных породах и их исполь-
зование в нефтепромысловой геофизике. М., Недра, 1977.
ПРЕДМЕТН ЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Активность вызванная электрохимическая
26, 329
— диффузионно-адсорбционная 19, 22, 308
— естественная электрохимическая 19
— окислительно-восстановительная 19, 24
— фильтрационная 19, 25
Амплитуда аномалии потенциалов соб-
ственной поляризации 290, 303, 308
Анизотропия электрическая 14, 57—63,
90—97
— поляризуемости 26
— пропускания тока 65, 95
— отражения тока 65, 95
Бесселя
299
JL
уикцнн
75, 99,
102,
130,
Боковое электрическое зондирование
218,
121
Вебера интеграл 76, 81, 100, 300
Вектор потенциал 36—38, 216, 217, 228
Взаимности принцип 42
Волновое число 5, 200, 215, 216
Время релаксации 5, 28
Гельмгольца уравнение 228
Градиент-зонд 41, 42, 53, 61, 68, 69, 94,
95, 105, 136
Граничные условия 39, 49, 78, 91, 98,
1 1 1, 217, 229, 301
Диамагнетизм, диамагнитные минералы
30, 31
Диэлектрики 15
Диэлектрическая проницаемость 5, 14—18,
35, 252
Заземление дисковое 169 — 173
— сферическое 160—162
— цилиндрическое 162 —169
— цилиндрическое экранированное 174 —
182
Зеркальных изображений метод 63
Зоммерфельда интеграл 230
Зонд индукционный 197, 198
— семнэлектродный экранированный 157,
187 — 193
— трехэлектродиый экранированный 157,
174 — 182
— четырехэлектродный экранированный
157
Лапласа уравнение 36, 74, 91, 97, 98,
126, 165, 299
Магнитная восприимчивость 5, 35, 253
Магнитная постоянная 5, 35
— проницаемость 5, 35, 253
Максвелла уравнения 34, 199
Метод гальванических пар 325, 326
— естественного магнитного поля 253—259
— кажущихся сопротивлений 40—142
— разности сопротивлений 193—195
— потенциалов вызванной поляризации
319-336
— волновой диэлектрический 251 — 252
— потенциалов собственной поляризации
285-314
— регнстарции тока 195—196
— селектированных потенциалов собствен-
ной поляризации 319—321
— скользящих контактов 196
— сопротивления заземления 156—185
— электродных потенциалов 322 — 324
— ядерно-магнитный 260—284
Макрозоиды 46
Моделирование математическое 147—155,
327
— электрическое 142 — 147, 326
Напряженность поля собственной поляри-
зации 292 — 294
Комплексная диэлектрическая прони-
цаемость 37, 200
Коэффициент анизотропии 14, 58, 92
— диффузионной э. д. с. 19, 308
— диффузионно-адсорбционной э. д. с. 21,
308, 309
— заземления 161, 168, 173, 179, 183
— затухания 203
— зонда 40
Парадокс анизотропии 62
Парамагнетизм, парамагнитные мине-
ралы 31
Параметр поверхностной проводимости
12, 13
— пористости 12
— насыщения 12
— температуры 12
Параметр (/-эквивалентности 118
Поле двойного электрического слоя 286—
303
Поляризуемость горных пород 26
Потенциал-зонд 41, 53, 61, 68, 69, 94, 136
Потенциал вызванной поляризации 329—
336
— гальваиокоррозни 317
— диффузионный 19
— днффузионно-Вдсорбцноиный 21, 265
— собственной поляризации статический
290
341
— оседания 317
— течения (фильтрации) 296, 297
— трения 316
— электродный 314, 315, 316
Принцип взаимности 54—57
Простраиствейный фактор 238—251
Размер зонда 42
Сопротивление заземления 156, 160
— контактное 158
Фактор соотношения токов проводимости
и смещения 5
Ферримагнетики 33
Ферромагнетики, ферромагнитные мине-
ралы 31, 32
Фурье метод 75, 99, 123
Эквипотенциальная (равнопотенцнальная)
поверхность 53, 60, 164
Электрическая восприимчивость 330
Электрическая постоянная 5, 35
Электрическое удельное сопротивление 6—
14
— удельное кажущееся сопротивление
41 — 138
— удельное эффективное сопротивление
158-190
Электропроводность ионная 8, 10
— электронная 6, 7
— эффективная 210, 233,_241, 246
Электрохимическая активность 19
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................ 3
Глава I. Электрические и магнитные свойства горных пород. ... 5
§ 1. Общие сведения ................................................. 5
§ 2. Удельное электрическое сопротивление ........................... 6
§ 3. Диэлектрическая проницаемость................................... 14
§ 4. Электрохимическая активность .................................. 19
§ 5. Поляризуемость горных пород.................................... 26
§ 6. Магнитные свойства горных пород................................ 29
Глава II. Теория метода кажущегося сопротивления..................... 34
§ 7. Основные уравнения электромагнитного поля...................... 34
§ 8. Общие сведения и физические основы метода кажущегося сопро-
тивления ............................................................ 40
§ 9. Однородная и изотропная среда.................................. 51
§ 10. Принцип взаимности ............................................ 54
§11. Однородное анизотропное пространство........................... 57
§ 12. Среды с плоскопараллельными поверхностями раздела. Решение
задачи методом зеркальных изображений ............................... 63
§ 13. Среды с плоскопараллельными поверхностями раздела. Решение
задачи методом интегрирования дифференциального уравнения
Лапласа ............................................................. 74
§ 14. Анизотропные среды с плоскопараллельными границами раздела 90
§ 15. Изотропные среды с бесконечными цилиндрическими коаксиаль-
ными поверхностями раздела (основы теории бокового электриче-
ского зондирования) ................................................. 97
§ 16. Анизотропные среды с бесконечными цилиндрическими поверхно-
стями раздела ...................................................... 126
§ 17. Среда с плоскопараллельными и коаксиально-цилиндрическими
поверхностями раздела............................................... 427
§ 18. Моделирование задач электрометрии скважин................ . 142
Глава III. Основы теории методов сопротивления заземлений, реги-
страции тока и скользящих контактов................................. 156
§ 19. Общие сведения. Эффективное сопротивление.................... 156
§ 20. Сопротивление сферического заземления ....................... 160
§ 21. Сопротивление цилиндрического и эллипсоидального заземлений 162
§ 22. Электрическое поле и сопротивление дискового заземления .... 169
§ 23. Сопротивление экранированного цилиндрического заземления в од-
нородной среде..................................................... 174
§ 24. Сопротивление экранированного цилиндрического (и эллипсоидаль-
ного) заземления в скважине, окруженной средой бесконечно боль-
шой мощности ...................................................... 179
§ 25. Сопротивление плоского экранированного заземления . ’........ 183
§ 26. Основы теории семиэлектродиого фокусированного зоида........ 187
§ 27. Метод разности сопротивлений заземлений . -.................. |93
§ 28. Методы регистрации тока и скользящих контактов............... 196
343
Глава IV. Основы теории электромагнитных и магнитных методов
исследования разрезов скважин.................... 197
§ 29. Однородная и изотропная среда........................... 199
§ 30. Неоднородная среда с коаксиально-цилиндрическими границами
раздела ....................................................... 215
§ 31. Неоднородная среда с плоскопараллельными границами раздела 228
§ 32. Неоднородная среда с плоскопараллельными и цилиндрическими
границами раздела .................................................. 236
§ 33. Высокочастотные методы измерения проводимости и диэлектриче-
ской проницаемости горных пород..................................... 251
§ 34. Метод естественного магнитного поля........................... 253
Глава V. Ядерно-магиитный метод исследования скважин.............. 260
§ 35. Физические основы ядерио-магиитиого метода.................... 260
§ 36. Теория зонда ядерио-магиитиого метода......................... 264
§ 37. Релаксация ядерной намагниченности жидкости в пористых средах 270
§ 38. Связь параметров сигнала ЯММ с петрофизическими характеристи-
ками коллекторов.................................................... 275
Глава VI. Теория поля потенциалов собственной поляризации гор-
ных пород ............................................. 230
§ 39. Изменение потенциалов собственной поляризации пород по осн
скважины в однородной среде......................................... 286
§ 40. Изменение потенциалов собственной поляризации пород по оси
скважины в неоднородной среде....................................... 297
§ 41. Потенциалы собственной поляризации при наклонных поверхностях
раздела ............................................................ 304
§ 42. Связь между измеряемыми потенциалами собственной поляризации
и электрохимической активностью горных пород........................ 308
§ 43. Сторонние потенциалы . . . ................................... 314
§ 44. Метод селектированных потенциалов собственной поляризации . . 319
§ 45. Метод электродных потенциалов .............................. 322
§ 46. Метод потенциалов гальванических пар.......................... 325
§ 47. Моделирование полей собственной поляризации в скважине .... 326
Глава VII. Теория поля потенциалов вызванной поляризации горных
пород .............................................................. 329
§ 48. Электрическое поле потенциалов вызванной поляризации в одно-
родной изотропной среде ............................................ 329
§ 49. Электрическое поле вызванной поляризации в неоднородной среде 334
Заключение ......................................................... 336
Список литературы................................................... 338
Предметный указатель ............................................... 341