/
Text
ЭКОВОМИRО-
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИ
ОТЕКА
В. В. ПОДИНОВСI{J;IЙ, В. д. ноrИfI
ПАРЕТО
ОПТИМАЛЬНЫЕ
РЕШЕНИЯ
мноrОRРИТЕРИАJIЬНЫХ
ЗАДАЧ
r191
lФJ
МОСНВА «НАУНА»
rЛАВНАЯ РЕДА:КЦИЯ
ФИ3ИI\О
МАТЕМАТИЧЕСRОй ЛИТЕРАТУРЫ
1982
22.18
П 44
УДК 519.6
Парето оптимальные решения Мllоrокритериальных задач. П о-
Д и н о в с к и й В. В., Н о r и н В. Д. М.: Наука. rлавная редакция
физико математической литературы, 1982. 256 с.
Моноrрафия посвящена оптимумам (по) Парето, иrрающим
важную роль при анализе мноrокритериальных задач принятия
решений. В ней разбирается содержательный смысл, теоретиче-
ское и практическое значения понятия оптимальноrо по Парето
(эффективноrо) решения, подробно рассматриваются различноrо
рода условия оптимальности, исследуются структура и свойства
множест13а Парето, излаrается теория двойственности мноrокрите-
риальных задач. Нратко обсуждаются вопросы построения мно-
жества Парето и проверки оптимальности решений.
Rниrа рассчитана на широкий Kpyr читателей ........маТематиков,
специалистов по экономичеСI{ОЙ кибернетике, автоматизации управ-
ления и проектирования, а такл{е студентов и аспирантов соответ-
ствующих специальностей.
рис. 35. Библ. 291 назв,
п 1502000000 067 63 82
053(02) 8 .
@
Издательство «Науиа}) i
rлавнал реданция
Физино математичесной
итератуvы) 1982
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . .
Основные обозначения
.
5
7
.
r л а в а 1. Основные понятия и определения 9
1.1. Общие сведения о мноrо:критериальных зада чах
оптимизации . . . . . . . . . .. 9
1.2. Отношения предпочтения, фун:кции ценности и BЫ
б а 1 5
ор . . . . . . . . . . . . .
1.3. Независимость критериев по предпочтеНИIО. MHoro
критериальные задачи ма:ксимизации . . . . 24
1.4. Эффективные и слабо эффе:ктивпые оцеНIОI и pe
шения . . . .. .. 29
1.5. Теоретическое и практическое зна чен:ия понятия
эффективноrо решения . . . . . . . . 38
1.6. Собственно и подлинно эффективные решения. 49
1.7. Эффективные последовательности оценок и реше
ний . . . . . . . 57
1.8. Эквивалентные векторные критерии 60
r л а в а 2. У словин оптимальности 65
2.1. Общие условия оптимальности . . . . . . 66
Э 2.2. Условия оптимальности для ВОfНУТЫХ И линеЙных
задач 97
2.3. Условия оптимальности для двух:критериальных
задач . . . . . . 117
2.4. Условия оптимальности для дифференцируемых
функций . . . . . . . . 124
2.5. Условия оптимальности BToporo порядка. 128
Э 2.6. Условия оптимальности для неrладких задач 131
Э 2.7. Свойства эффективных последова тельност й 136
r л а в а 3. Структура и свойства множе'ства эффективных
решений . 141
3.1. Тополоrические свойства множеств эффективных
оценок и решений . . . . . . . . . 141
3.2. Условия существования эффективных решений . 155
3.3. Структура множества эффективных решений в ли--
нейных задачах . . . 162
1*
оrЛАВЛЕНИЕ
. 3.4. Оценка числа эффективных точек в ДIIснретныХ
задачах . . . . . . . . . . . . 170
3.q. О построении множества эффективных решений и
про верке эффективности выделенноrо решения 182
r л а в а 4. ДвойствеIIные мпоrокритеРИ8JIЬпые задачи 189
! 4.1. Седловые пары, максимины и :М:ИНИ!rIаксы BeKTOp
. иых функций . . . . . . . . 190
! 4.2. Общая конструкция двойственных задач 198
4.3. Воrнутый случай 202
4.4. Линейный случай 212
По'слесловие . . . . . . . . . 233
Дополнительные библиоrрафические ссылки 234
Литература . . , . .. 236
Предметный указатель . 252
ПРЕДИСЛОВИЕ
Почти ВСЯRая сложная праRтичеСI\ая задача привятия
решения (и индивидуальноrо, и тем более rрупповоrо)
является мноrокритериальной. В связи с этим особое 8на..
чение в настоящее время .приобретает бурно развиваю..
щаяся теория принятия решений при наличии мноrих
нритериев.
ОДНИМ из основных, фундаментальных понятий этой
теории является. понятие оптимальноrо по Парето, ИЛII
эффентивноrо решения. Оно представляет собой обобще..
ние понятия ТОЧRИ маRси:мума числовой фУНRЦИИ на слу..
чай неСНОЛЬRИХ ФУНRЦИЙ: решение Парето",оптимально,
если значение любоrо из критериев можно улучшить
лишь за счет ухудшения значений остальны.х Rритерпев.
Наи:менование УRазапноrо понятия связано с имене1tI
итальянсноrо экономиста 11 социолоrа В. Парето (1848
1923), ноторыIй одним: из первых начал ero использовать
при :матем:атичеСRИХ исследованиях процесса рьmочноrо
I!!
OOj\IeHa товаров.
Свойствам и методам ОТЫСRания Парето",оптимальвых
решений посвящена достаточно обширная журнальная
литература, насчитывающая уже неСRОЛЬRО сотен наиме..
нований. Эти вопросы затраrиваются также во Аlноrих ра..
ботах по т.еории иrр,. математической экономике, теории
u у
статистичеСRИХ решении, исследованию операции, теории
оптимальноrо управления и по друrи:м научным дисцип...
линам, в которых изучаются различные мноrОRритериаль..
ные модели принят ия рациональных решений. ОднаRО си..
стематичеСRое и достаточно полное изложение совремев..
Horo состояния теории оптимумов Парето возможно лишь
в рамках книrи, специально посвященной этому вопросу.
l'аная книrа и предлаrаетсн вниманию читателей. В вей
наряду с известными приведены и новые результаты, по...
лученные автора){и.
в
tIPЕДИСЛО1Jиm
От:меТИl\r, что всюду n I\ниrе используется Rлассиче...
ское понятие числовой фУНI\ЦИИ: она не должна прини-
мать бесконечные значения (+00 или ":"""00) *). Такое orpa..
ничение, несколько сузив Kpyr рассмотреll ЫХ задач, по..
. зволило В целом ряде случаев существенно упростить
изложение &f8териаЛ8. Указанное обстоятельство авторы
считают немаловаЖПЫl\f, ПОСI\ОЛЬКУ целыо I\ниrи являеТСfI
систематизаI ИЯ COBpel\feHHOro состояния теории Парето..
ОПТИl\fальвых решений **). Этим же соображением про..
диктовано и еще одно оrраничение в Rпиrе рассматри"
ваются мноrокритериальпые задачи в ОСIIОВНО:М лишь в
Rонечномерпом евклидовом пространстве Еn. Рассчитывая
на широкий Kpyr читателей, как l\lатемаТИI(ОВ, так и не..'
математиков, авторы по ВОЗl\10ЖНОСТИ стремились приво...
дить в соотвеrСТВУIОЩИХ l\leCTaX необходи:мые определения
II фанты, не встречающиеся в распространенных курсах
по теории оптимизации.
В Rниrе формулы, TeOpel\IbI, примеры и Т. д. нумеруют..
ся в пределах Rаждоrо параrрафа. При ссылках на мате...
,риалы из друrих параrрафов той же rлавы используется
двойная нумерация, а ссылки на друrие rлавы сопровож"
даются тройной нумерацией. Рисунки нумеруются по
rлаваl\I.
1IеСl\IОТРЯ на внушительные размеры, списон литерату..
ры, приведенпый в конце !iпиrи, не может считаться ие..
черпывающим. Тем не менее iI\елающие более подробно
ознакомиться с вопросами, за тронутыми в Rниrе лишь
вскользь, CMorYT извлечь из пеrо полезную ИНфОРl\lацию.
rлава 1 кпиrи (нроме п. 6 из i 1.4), 2.1 (пп. 5, 6),
i 2.7, i 3.4 (п. 1)i i 3.5 и i 4.1 написаны В. В. Подинов..
ским; i 2.2 (ип. 4 6, 8), i 2 3 (п. 3), 2.4........ 2.6, Э 3.2,
Э 3.3, 3.4 (п. 2), 4.3 и i 4.4....... В. д. Ноrиным; осталь..
ной материал написан авторами совместно.
Авторы признательны В. В. Федорову, взявшему на
себя. труд. по рецензированию нпиrи.
*) Это нужно учитывать при разборе Hel\OTopblX ФОРМУЛИРО4
вок и доказательств, особенно при наличии ССЫЛОR на моноrрафию
Р. РокафеЛJlара r93] , в которой ФУНКЦИИ MorYT принимать беС 4
нонечпые значения.
**) Первой мопоrрафией, посвященной систематическому И3 4
ложепию теории оптимумов Парето, явпласъ llзданвая в 1971 r.
книrа В. В. Подиповскоrо [77].
ОСНОВНЫЕ ОБО3НА Ч-ЕНИЯ
.....
{х Е А Iл (х)} ..... СОВОRУПНОСТЪ элементов х множества А, для
ноторых выполнено л (х)
>ZJ ...... пустое множество
I А I ...... число элементов копечноrо множества А
А Х В ..... дека ртово ПРОlIзведение множеств А и В
h: А --+- В ...... отображение h множества А во множество В
Е ...... множество вещественных чисел
Еn t [ q] целая часть числа q
Ет ...... евклидава т MepHoe пространство
О(т) == (О, О, .. ., О) ...... нулевой вектор пространства Ет
Для векторов У, z из Ет:
т
<У, z) == у iZi скалярное произведение У и z
i==l
11 У 11 == 1/ ( У, У) ....... норма у
У Z ++ Yi Zi, i == 1, 2, ..., т
У ;::: z -+-+ У Z, но у =1= z
У > Z ++ Yi > Zi, i == 1, 2, . .., т .
у > : ++ У == z или Yi > Zi ХОТЯ бы при одном i == 1,2,...
. .., т
E == {У Е Ет 1 У > О(т>} ...... положительный ортант простран
ства Ет
E == {У Е Ет I у ?: О(т)]...... неотрицательный ортант простран-
ства Ет
Для МПОiI\ества А Ет:
А ....... заМЫRание множества А
int А ..... внутренность множества А
Fr А ..... rраница множества А
I'i А --- относительная внутренность выпуклоro мно}кества А
conv А ....... выпуклая оболочка множества А
conv А ..... замыкание выпуклой оболочки А
А о ...... поляра выпуклоrо конуса А
0+ (А) ...... рецессивный НОНУС ВЫПУRлоrо множества А
т (А; у*) ...... касательный конус ко множеству А ,в точке у*
Мах А (Min А) ....... множество максимальных (минимальных)
элементов А-{ножества А, упорядоченноrо отношением
Для множеств А, В s;; Ет:
А + в == {у Е Ет I у == а + Ь, а Е А, Ь Е В}
А ..... В == {1I е Ет у == а --- Ь, а е А, Ь е В}
8
ОСНОВНЫЕ ОБО3IIА ЧЕНИЛ
х ....... :множество (допустимых) решений
11, /2, .. ., f т ...... критерии (целевые ФУНI{ЦИИ)
i1f == {1, 2, ..., т} множество номеров притериев
f ==. (/1, /2, · . ., / т) векторный критерий
g == (К1, К2, .. " gh) вектор функция оrраничений (задана на
множестве D Еn)
1 (х о ) === {j Е {1, 2, ..., k} I g j (х О ) == О} llнол{ество номеров
аптивных оrраничений в х о
Y i ...... шпала критерия fl
ух == Уl Х У2 Х ... х у т
у множество (векторных) оценок
у == f(XJ == {у Е Ет 1 у == f(x),' х Е Х} . МНОil{ество ДОСТИil\И..
1tIbIX (векторных) оценок
у * == у ........ Е т > == U {z е вт I у > z}
== уЕ:У
%;1' !::}' " J....... отношеНIIЯ в Х, индуцированные с по
мощью f отношениями , > , >, === соот'ветственно (Х' fX" при
/(х') /(х/) И т. д.) .
Р(У) == l\fax У (Р! (Х» ....... множество эффективных, оптималь...
пых по Па рето оценок (РСIпений)
8 (У) (8 f (Х» Мllол ество слабо эф(реКТИВПLIХ, оптимальных
по С ейтеру оцен п (решений)
G (У) (G j (Х) )......... МПОiI\ество собственно эффективных, ОПТII--
МRЛЬНЫХ по Дil\ОФФРИОНУ оценок (решений)
В (у) (В ! (Х» ....... множество подлинно эффективных, оптимаJIЬ"
ных по Борвейну оценок (решений)
М == { Е Е'; 1Lj 1 }
==l
1 == { Е Е '; . tj ::= 1 }
t==l
. конец доказательства
rЛАВА t
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
s 1.1.. Общие сведеНИJl
. о миоrоI(ритериаJlьвыx задачах оптимизации
t.Rонцепция принятия (выработки) ре еНИЯ.Б каче
стве первичвоrо элемента деятельности рассматривает
решение как сознательный выбор одной из ряда альтер...
натив, называемых, в заВИСИ110СТИ от их KOHKpeTHoro co
держания, стратеrиями, плана1lИ, вариаптамци т. П..
Этот выбор производит лицо, принимающее решение ]{
стре:м:ящееся к достижению определенных целей. В роли
TaKoro лица выступают отдельные люди или rруппы лю...
дей, обладаlощие права11И выбора решения и несущие
ответственноеть за ero последствия..
ПРИАlенение математических методов при принят ии
решений предполаrаетпостроение подходящей математи..
ческой модели, формаЛИЗ0ванно представляющей про...
блемную ситуацию, Т. е. ситуацию выбора решения. Для
задач принятия решений (задач оптимизации) в условиях
определенности, коrда случайные инеопределенные фак"
торы отсутствуют, :компонентами такой 110дели являются
:множество Х .всех (альтернативных) решепий, из которых
II н,адлежит произвести выбор одноrо наилучmеrо, илп
опти.маДЬНО20 решенuя, и описание предпочтений лица,
Привимающеrо решение. Для Toro чтобы была обеспече...
на возможность (свобода) выбора, :множество Х должно
содержать не менее двух реmений.
2. В м,иоеО'J),рuтерuа.яъ1tой задаче оnтимиаации сравве...
ние рещений по предпочтительности осуществляется не
непосредственно, а при помощи заданных на Хчисло
вых функций lit I'J" ..., 1т, нааывае;мых ритериЯJtU
(а таRже показателями качества или эффективности, при...
териальными функциями, целевыми функциями и Т. П.).
Предполаrается, что т 2: при .т == 1 задача ОПТИ}fиза...
ции: является 08nопритерuалъиой. .
Для каil-\доrо :критерия fi на числовой прямой Е уна...
зывается под:множество Y i , из KOToporo он принимает
10
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
rrл, ('
свои значения. Практически :множество Y i (которое, до-
пуская вольность речи, часто называют шкалой *). крите..
рия /i) определяется в соответствии с содержатеЛЬНЫl\{
смыслом этоrо критерия. Напри:мер, если за едо:м:о из-
вестно, что критерий ft положителен или неотрицателен
(характеризует массу, стормость и Т. п.),. то :можно при-
нять У ! == (О, +00) или У ! == [О, +(0). Если значения /2
оrраничены снизу и сверху некоторыми естественными
rраницами а и Ь, то У2 == [а, Ь] (так, если /2........... израсхо-
дованная доля запаса ресурсов, то У2 == [О, 1]). Если зна..
чениями /з l\IorYT служить лишь нуль и натуральные чис..
ла (скажем, если fз определяется в результате подсчета
количества некоторых объеI\ТОВ), то УЗ == {О, 1, 2, .. J. Ес-
ли на значения j" нет нинаких смысловых оrраничепий,
то У" == ( OO, +00) == Е и т. п.
Rритерии /i, называемые частпы,мии (а таRже лональ.
НЫl\IИ), образуют вепторпый прuтерий / == (/1, /2' ..., /т).
Считается, что каждое решение х полностью хараI(теризу..
етсн соответствующей (вепторuой) оцеипой, Т. е. вентором:
/(х). ПОЭТОl\ry выбор оптималъноrо решения из MHoiRecTB8
всех реmений Х сводится к выбору оптимальной оцении
из lIножества ДОСТИЖИl\IЫХ оценок
}? == f (Х) == {у Е Е т I у== f (х), хе:Х}})
rде Ет ......... т :MepHoe числовое пространство, называемое
критериаЛЬПЫl\f. При необходимости это пространство бу'"'
дет считаться евклидовым, Т. е. снабженным метрикой
у у' 11 == (у .....--' у' I У у')1/2 == [ i (У! y )2 ]1/2.
В реальных задачах :мпожество У часто построить
весьма СЛОiRНО, а то И невозможно. Поэтому в рассмот"
рение вводится неноторое более широкое множество
...... '
у s; Ет, BeKTOpal\f из ROToporo ?tIOiRHO придать содержа..
......
тельный Сl\IЫСЛ. Чаще Bcero это множество У У всех
(достижимых, т. е. из У, и rипотетичеСRИХ) оценок явля..
ется ltIноrомерпым параллелепипеДОl\f ух == У ! Х У2 Х . . .
*) в математичеСRОЙ теорииизмерепий попятив ШRалы пвпо..
средствеппо связывается с понятием допустимоrо преобразования
критерия (см. п. 2).
1.1]
СВЕДЕНИЯ О мноrОНРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
11
-"
. . . х у т. .. Иноrда У получается из ух при по.:м:ощи тех
или иных оrраничений, направленных на удаление лишен..
ных смы'сла или же завеДОl\lО' недостиi!-\имыx векторов.
-"
Введение в рассмотрение м:вожества У дает. ряд пре..
имуществ. Например, возникает возможность исследова..
ч u
ния не однои, а сразу целоrо сем:еиства задач, для каш..
ДОЙ из которых множество достижим:ых оценок входит
-"
в У. В частности, становится ВОЗl\IОЖНЫl\l изучать харак"
тер зависи:мости оптималъноrо решения от тех или иных
napal\IeTpOB задачи.
Далее решения всеrда будут обозначаться буквой х,
часто снабжаемой различны:ми индексами, а соответству"
lощие им оценки....... буквой у с теми же индексами, на..
пример: у == /(х), у* == f(x*) и т. п. Если данная вектор"
ная оценка уО является достижимой и ей соответствует не..
сколько решений, то под х о будет пониматься (если нет
специальных oroBopoK) произвольное из этих решений
(т. е. любое решение, удовлетворяющее равенству j(XO) :=z
== уО).
3. В задачах принятия индивидуальных решений кри"
терии служат для выражения «интенсивности» суще..
ственных свойств (призпаков) решений. Напри:мер, при
сравнении некоторых изделий MorYT использоваться та..
кие критерии, как масса, стоимость, дата выпуска, виеш..
,ний (товарный) вид и т. п. В задачах припятия rруппо..
вых решений критерий характеризует «качество» (или
предпочтительность) решений с точки зрения индивида i,
входящеrо в rруппу {1, 2, ..., т}. Например, если реше..
ний конечное число и индивид i все их проранжировал
. (упорядочил по предпочтительности), то можно принять'
/i(X') == 1 для наиболее предпочтительноrо решения х',
/i(X 1/ ) == 2 ....... для следующеrо по предпочтительности ре..
1/
шенил Х ,и т. д.
ПО своему характеру критерии делятся на Rоличе..
ственные и качественные. rрубо rоворя, критерийявля--
ется количестве НЫМt коrда ero значения имеет смысл
сравнивать, указывая, насколько или во СКОЛЬRО раз
одно значение больше друrоrо, и качественным, ' коrда та..
кие сравнения бессмысленны. Примером количественноrо
критерия fi является масса. Если фИRснровапа единица
,иамерения массы, ТО м.ожно rОБОрИТЬ о том, ВО сколько раз
12
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. 1
(или же на СRОЛЬНО) одно изделие тяжелее друrdrо: ОТНО"
тение весов изделий не изменяется после перехода к дру"
. rой единице измерения, Т. е. .после преобразования fl в kfi,
rде k > о. Понятно, что всяное друrое преобразование (не
являющееся умножением на положительное число) может
привести н изменению исходноrо соотношения зна..
чений h. .
в разобранном примере ДОПУСТИ fЫj\IИ преобразования",
:м:и критерия !i являются все положительные линейные
преобразования, 1I тольно они. В общем случае ФУIIRЦИIО
<р называют допустимым преобразование:м: критерия !i,
если функция q;(fi) вновь оказывается нритерие f, ИЗАlе
. ряющим (задающим) то же свойство. При замене !i на
, ,
fi == ер (!i) множество Y 1 изменяется на Y i === ер (Y i ).
Таним образом, с наждым нритерием связывают }IHO..
жест во допустимых преобразований Ф и rоворят, что этот
критерий имеет шкалу типа Ф, или что ИЗl\fерение произ...
водится в шкале типа Ф. Обычно множество Фестествен...
но вводится вместе с заданием критерия, но иноrда опре..
деление типа шкалы оказывается самостоятельной, до..
ста точно сложной задачей.
В вышеприведенном примере Ф == Фа == {fPlep(z) == kz,
k > О}. Шкала TaKoro типа называется шкалой отноше
пий, так нак сохраняются отношенlЩ величин: kz t /kz 2 ==
== zt/ Z2 == С (С....... const).
РаспространеННЫ1\-! является II случай измерения в
шкале типа ФИ == {fP I fP(z) ::::; kz + l, k > О}. Здесь допу-
стимыми преобразованиями являются умножение на поло...
жительное число k и добавление 'произвольноrо числа l.
Такая шкала .называется шпалой uuтерва.лов. Это назва..
ние объясняется свойством сохранения отношений интер...
валов:
:1 ..... z2 (kz 1 + l) ...... (kz 2 + [)
z3 z4 == (kz 3 + 1) (kz 4 + 1) == С (С const).
Примером нритерия, имеющеrо шналу интервалов, слу...
жит «дата выусRаa издели »: для измерения времени
ве бходимо финсировать масштаб и начало отсчета.
Шкала является тем более совершенной, чем уже
множество Ф допустимых преобразований. Критерии,
им,еющие шкалу, не менее совершенную, чем интервалъ
вая, называются о.лuчесrвеnnъ жи. В большинстве слу..
1.1]
СВЕДЕНИЯ О мноrОНРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
13
I
чаев количественные критерии соответствуют объеRТИВ-
IIЫ:М: измерениям объективных, «(ф зических») свойств.
Однако весьма широко распространены и критерии с м,е-
нее совершенными шкалами, чем шкала интервалов.
Наимен,ее совершенной шкалой I\ритериев, встречаю-
щейся в задачах оптимизации, является порядковая; шка-
ла, для которой множество допустимых преобразований
Ф П состоит из всех монотонно возрастающих функций:
Ф П == {<pIZ1 > Z2 <p(Z1) > cp(Z2)}. :Критерии, имеющие по-
рядковую шкалу, называются качествеuuъ .мu. Значения
качественноrо критерия име,ет смысл сравнивать только
по отношениям «больше», «меньше» и «равно» они со--
храняются при монотонных преобразованиях. Но выяс-
нять, во сколько раз или на сколько одно значение боль-
ше дрyrоrо, бессмысленно. Критерий с порядковой
шкалой естественным образом возникает в тех случаях,
коrда решения ранжируются, т. е. располаrаются по воз-
растанию или убыванию' интенсивности neRoToporo свой-
ства, а затем им приписываются числа таКИ!\'I образо}!,
чтобы большей интенсивности соответствовало большее
(или, наоборот, меньшее) число. Обычно такие ран;киро-
вания по'лучаются при субъеI\ТИВНЫХ «измерениях», на-
пример отражают ?tlнение индивида i о предпочтительно--
сти решений.
Весьма часто субъективные измерения выполняются
II в балльных шкалах. Например, эксперты MorYT оцени-
вать в баллах внешний вид изделия. Критерии с балльны--
ми шкалами занимают «промежуточное» положение мел{-
ду количественными и Rачественныии критериями.
Утверждение о з ачениях критериев с заданными ти
пами шкал называется осмысл.енным, или адекватным, ес-
ли ero истинность не из:меняется после применения
к критерия:м: любых допустимых преобразований, опреде
ляемыx типами шнал. Поэтому для анализа и решения
практической }Iноrокритериальной задачи опти:мизаЦИII
следует ПрИl\Iенять только те определения и понятия, ме..
тоды и процедуры, :которые ПРИllОДЯТ к получению адек..
ватных :рыводов и реRомендаций.
Наuри.мер, широко известным является метод реmения
мноrо:критериальных задач, основанный на «свертывании»
BeKTopHoro Rритерия f в ОДНУ функцию обобщенный
(или аrреrированный) нритериЙ l?(jl, /2, ..., 1т). flетрудно
14
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. 1
убедиться в том, что этот метод не приrоден для ре...
шения вадач с качественными критериями. Возьмем наи
более распространенный обобщенный Rритерий линей...
т
пую «свертку» p == f.!ili,. l'де J,tl пеRоторы,е поло...
i=:l
жительные числа, характеризующие относительную вая{
ность критериев (Rоэффициенты важности). Пусть, напри
мер, т::а2, J,tl::::: 112 === 1, f(x') =:z (2,8), /(х") == (1,27).
Т F " I
оrда Е уназывает, что х лучше, чем х, так нан
2 + 8 < 1 + 27. Однако если к первому критерию приме
нить допустимое преобразование Q)1 (z) :::::1 Z , а ко второму
CPa(Z) === zl/3 (т. е. 11 заменить' Ha/ , а t 2........ на f /3), то вывод
окажется противоположным, ибо 32 + 2 > 1 + 3.
Для более подробноrо ознакомления с вопросами из
мерений в шкалах различных типов можно обратиться R
книrе [56]. CTporoe и полное изложение м:атематической
теории И3l\tlерений име,ется в моноrрафиях [75, 89].
4. Как уже указывалось, выделение оптимальноrо pe
шения из множества Х должно быть произведено на осно",
ве предпочтений лица, принимающеrо решение. Эти пред
почтения должны быть описаны формализованно при по..
:мощи Rритериев 11, /2, ..., lm. в теории принятия реше..
ний разработаны специальные общие способы описания
предпочтений.. Для удобства читателя в следующем пара..
rрафе приводятся все используемые в дальнейшем сведе...
ния, Rасаlощиеся описания предпочтений и определения
оптимальных решений. Более подробно эти вопросы ос..
вещены, наПрИ \Iер, в книrах [56, 103].
5,_ В последующих rлавах основное внимание будет
уделено конечномерным мноrокритериальным задачам,
т. е. задачам, в КОТО1>ЫХ Х ........... подмножество пространства
Еn. В таких задачах множество Х обычно выделяется из
HeKOToporo бол.ее ШИрОRоrо множества D s;;: Еn при помо..
щи специальных оrраничений, которые чаще Bcero пред..
ставляются в виде неравенств:
Х == {х е Dlg 1 (x) О, ..., gk(X) О}, (1)
rде gi, j == 1, 2, ..., k, числовые функции, определенные
на D и составляющие вектор",функцию оrраничений
g == (g1, g2, ..., gk). При этом считается, что и /1, /2, '"
· · ., lm также определены на D..
1.2] ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНRЦИИ ЦЕННОСТИ {5
в роли множества D обычно выступает либо все про
странство Еn, либо некоторое ero специфичеСRое подмно
жество, например неотрицательный ортант E , образуе..
:мый всеми в.еRторами снеотрицательными номпонентами:
E == {Х Е Е п I Xl :::: О." ... J Х п ;;::: 01. п раRтичесни мноЖе
с тв о D выделяется из Еn при помощи самых простых и
очевидных оrраничений на переменные Xi. Так, если Xi
ротребное ноличество ресурса i ro типа, то Xi О и мож",
но принять D === E .
а:=
6. В зависимости от струнтуры множества Х (или же
D) и свойств функций f( (а также gJ) для удобства иссле
дования выделяют различные классы :м:ноrокритериаль
ных задач. Тан, если множество Х (D) содержит конечное
число элементов,. то задача называется конечной, а если
X(D) исчислимо, т. е. нонечно или же счетно, то дис..
претпой. В частности, если у наждоrо вентора Х из Х (D)
все номпоненты Xi целые числа, то задача называется
целочисленной. А если векторы, образующие Х (D), буле...
вы (Т. е. состоят из нулей и единиц), то и сама задача
называется булевой.
Если Х' (или D) выпунло, а все /1. (и gj) воrнутые
функции, то задача называется воепутой. В частности, ec
ли Х ..........полиэдралъное множество (т. е. «вырезано» из Еn
конечной системой линейных неравенств и равенств),
а все fi линейны, то мноrокритериальная задача является
лunейnой.
В специа/льный нласс выделяются танже задачи, в но..
торых все функции /i (и gj) дифференцируемы (иноrда
требуется непрерывная дифференцируеIVfОСТЬ). При эт О 1\-1
обычно предполаrается, что множество D ......... отнрытое (на...
пример, в ero роли выступает само пространство Еn или
положительный ортант E == int E == {Х Е Е n I Xi> 01 i==
&:::1l .
== 1, 2, ..., n}) или же что Х s= intD.
1.2. Отношения предпочтения,
функции ценности и выбора
1. Достаточно общим и хорошо разработанным являет
сл способ описания предпочтений на «ЯЗЫRе» бинарных
отношений. Вообще бинарные отношения MorYT быть
16
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
rrЛ.l
использованы и практически применяются для описания
не только предпочтений, но и попарных с.вявей caMoro
различноrо харантера )Iежду объектами произвольнои
природы.
Как извеC'rТНО, бunарпъz..м ОТ1l0шением р на' (или во)
lIножестве А называется ПОД IНОil\ество tIножества А 2 ==
== А ХА, т. е. совокупность упорядоченных пар (а, Ь),
rде а, Ь ЕЕ А. Если (а, Ь) е р, то rоворят, что а и Ь на..
ХОДЯТСЯ в отношении р, и этот факт записывают TaI{: арЬ.
Можно вводить в рассмотрение и l apHыe отношения
как подмножества MHoiReCTBa Аn. Однако мы будем иметь
дело только с бинарными отношениями, и поэтому для
кратности прилаrательное «бинарное» часто будем опу..
.скать.
R бинарным отношения)! как ко множествам ПрИ?rlе-
НИ?rIЫ все теоретико множественныe операции, в том чис-
ле операции пересечения П, объединения U, образования
разности \ и друrие. Для отношений вводятся и специфи-
ческие операции. Таи, ПОД Р"'. понимается отношение, об...
ратное н р, которое определяется следующим образо:и:
p ! == {(а, Ь).е А2! <Ь, а) Ер},
Т. е. пара (а, Ь) внлючается в p 1 тоrда и тольно тоrдз,
,{отда пара (Ь, а) входит в р.
Пусть В с А. Отношение Рв {(а, Ь) е pIa, ь е В} на..
зывается сужеlluем Р на В.
Отношение Р называется рефдепсивnь1,М, если (а, а)Е
Ер для всякоrо а е А, и иррефдепсивnьш, если (а, а)
Ф р, т. е. ара не верно ни для одноrо а е А.
Отношение р называется си.м.м eTpu':l ны,м" если из
(а, Ь)е fJ следует (Ь, а)е р, а с UJtM е трич1tЬ1,М, если (а, Ь)Е
Ер влечет (Ь,а) Ф р, и аптuсимметрuчньw, если из
(а, Ь) Е Р И (Ь, а) Е р вытекает а == Ь. Асимметричное
отношение явлнется, очевидно, и иррефлексивным.
Отношение р называется трап8ити8пь.",м" если из арЬ
и Ьре следует аре. .
Эле?trенты а и Ь из А называются сравн,ШtЬUtu по р,
ссли справедливо арЬ или Ьра, и несравнимыми по р в
противно:м случае (коrда неверно ни арЬ, ни Ьра). Отно-
шение р называется nОЛllъt..1rt (или свЯ8Jtъ мJ,. если любые
а, Ь Е А сравнимы (в том числе при а == Ь). Отношение,
1.2] ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФVН:НЦИИ ЦЕПНОСТI1 17
не являющееся полным, называется 'частич1tыltt (или не..
связным) .
Например, отношение «<не меньше» )ва MHOjl\eCTBe
действительных' чисел рефлексивно, аптисим метрично,
трапзитивно и полно,. а отношение > «<больше») прреф
Jlексивпо, асим:метрично, трапзитивно, ВО не является
полным (тап нан а> а неверно).
Рефлексивное, симметричное ir транзитивное отноше..
ние называется эпвивалеuтuостъю. Примеромэпвивалент-- ,
НОСТИСЛУiКИТ отношение равенства == векторов из Е т . Эк..
вивалентности иrрают большую роль в математике. Это
объясняется тем, что они тесно связаны с разбиениями
мноя\еств. Совопупность. {A j } пепустых подмножеств IHO"
jпества А называется ero разбиеНlIе I, если они попарно
не пересеRаIОТСЯ (A J n А! == rZJ при j +- l) и в совокупности
состаВЛЯIОТ все А (т. е. U A j ==А). Ca 111 А ; называются
j
пласса.ми разбиения,. .
Если р ЭRвивалептность, то она порождает разбие..
ние А слеДУЮЩИ I образо:м: а 11 Ь относятся н одно:му
I\.лассу (называемому -плассом э-пвuвалеuтuостu) в том и
только том случае, если (а, Ь) Е р. Обратно, если дано
разбиение {A j } MHOiKecTBa А,то отношение р; определяе..
?\IOe тап: (а, Ь) е р тотда и только тоrда, коrда ,а 11 Ь от..
носятся н ОДНО11У И TO}IY же :классу разбиения, окаэыва..
ется эпви аленТностью.
Иррефлепсивное транзитивное (а пото:му и acn rMeT"
ричное) отношение называется crpOZUM (частиЧ1lъtМ) по..
рядпОJ-t, а. рефлеRсивное и транзитивное отношение....... (час..
ТUЧUЪ Jt) пвааиnорядпом (или преДПОРЯДRОМ). АНТИСИ I'"
1\tетричный 1{ВRЗИПОРЯДОR называется (часrич1lы,1t)) ,ПО"
ряд 1iOJt:
Расс rотрим отношения , 2: > и >, определяе:мые
па Ет слеДУЮЩИ I образо:м:
а Ь -но- а, Ь" i == 1, 2, . .., п ;
." а > Ь ++ а . Ь и а:#= Ь (т. е. справедливы т нера...
венств а, b i , приче IХОТЯ бы одно из Них....... CTporoe);
а > Ь ++ ai > b i , i == 1, 2, . . ., т;
а > Ь -но- а == Ь или ai> Ь, хотя бы для одпоrо i Е
e{ 1, 2, ..., т}.
Леrпо видеть, что отношение является частичным
4 =:z
порядком, .2: и >....... строrие частичные порядки, а >
2 в. В. ПОДИНОВСl\ИЙ, В. д. Horul1
18
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. 1
рефлексивно (но не явлнется ни симметричным, ни тран-.
зитивным) .
ВааИ fОСВЯ3Ь этих четырех отношений и отношения ра..
BeH TBa представлена схемой на рис. 1. Соrласно этой
схеме, например, из а> Ь следует, что верно таI же а >
Ь, a Ь и а >= Ь, та1\ что> с: > с: с: > . 3;1метим
еще, что есть объединение >
II ==. Полезно иметь в виду Ta K '
же, что а > Ь верно тоrда и толь..
1\0 тоrда, коrда Ь > а неверно.
. В дальнейшем / используется
Р 1 следующее утвеРiндение [67].
НС. .
Л е м м а 1. а >' Ь тоеда и толь..
по тоеда, -поеда (11, а) (J..t,b) для llепОТОРО20 вептора Il
из Jrt1l0жества
м == { !-t Е Е т 1111> О, ' , " !-tт> О, !-ti == 1 } . (1)
t==l
Для доказательства леммы предположим: вначале, что
а > Ь. Если а . Ь, то (J..t, а) == (Il, Ь) при любом J.t Е М.
Пусть. aj > b j . Определим: число
t == тax{p, q} О,
rде p== laiJ, q== lbif.
i*j i+j
Если t===O, то <J.t, а> > (J..t, Ь) при всяном J..tEM. Ес..
ли t > о, то пусть
а; b j
r == 2t > о.
Иl\Iее r
aj...... Ь ; == 2tr :> r(p + q), .
откуда .
а j ........ r р Ь j + r q "
а; + r ai > bj + r b if
i9"-j i*j
так. что <11, а) :> <J,t, Ь) при J..tj == 1/[ 1 + r(т ...... 1)], и Ili ==
==.r/[ 1 + r(т ....... 1)] при остальных i:F j.
Пусть теперь а > Ь неверно, так что спраВ,едливо
Ь > а. Но тоrда, очевидно, <Jl, Ь) > <Jl, а) для любоrо
I-t. е М. 11
. 1.2] ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУННЦИИ ЦЕННОСТИ 19
Пусть 'ф функция, отображающая А во множе..
сТВО и, на НОТОРОМ задано отношение б. Это отношение
индуцирует на А отношение р следующим образом:
(а, Ь) Е Р ('1'(а), 'Ф(Ь» Е б. Нетрудно проверить,
что если б рефленсивно (иррефЛ RСИВНО, симметрично, I
транзитивно), то таким ,не будет и р. Следователь..
но, если б ЭRвивалентность (квазипорядок, строrий
ПОРЯДОR), то и р будет отношением TaKoro же типа.
2. Для описания предпочтений ШИРОКО используются
слеДУIощие бинарные отношения, вводимые на множе..
стве А сравниваемых объеRТОВ (в мноrоRритер:иальныx
задачах таними множествами, каи УRазывалось в ... 1.1,
являются множество решений Х и множество всех оце..
.
нон у).
Отпошеиие (строеоео) пре8почrеиия Р: аРЬ означа..
ет, что объект а (cTporo) предпочтительнее, че I Ь.
Отиошеиие безразличия 1: alb означает, что объеRТЫ
а и Ь одинаRОВЫ по предпочтительности (если выбор or..
раничить. дву:мя этими объентами, то безразлично, какой
из них взять) *).
Отпошеllие пестроеоео предпочтеиия R: aRb означает,
что объент а не l\feHee предпочтителен, чеl\I Ь, т. е. имеет
IecTo аРЬ или же alb; форм:ально R есть объедине.ние
р и 1: R == Р U 1.
Отноmе ия предпочтения всеrда должны обладать сле..
дующими свойства:ми: Р асимметрично (и иррефлеRСИВ"
по); 1 рефлеRСИВНО и симметрично, R рефленсивно; Р и 1
не пересекаются (не м:ожет быть одновременно аРЬ и
alb). Полезно иметь в виду, что Р и 1 восстанавливаются
· по R: .
alb, коrда одновременно aRb и bRa, т. е. 1 == R n R l;
аРЬ, Rоrда aRb верно, но bRa неверно: Р == R\R 1 ==
== R\l. .
ТаRИМ обраЗОl\I, 1 есть «сим:метричная часть», ар........
«асимметричная часть» R.
В общем случае отношения R, Р и 1 нет.ранзитиввы.
Если же R оказывается транзитивны r, то транзит'Ивными
будут. Р и 1; в этом случае R квазипорядок, Р СТРО"
*) Введение обозначений р и 1 связано с анrлийскими словами
латинскоrо происхождения prefereпce (предпочтение) и iпdiffereп
се (безразличие).
2*
20
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. 1
rий ПОРЯДОR, 1......... эквивалентность, причем Р транзитив..
НО по 1: из аРЬ и Ь!с, а также из а/Ь и ЬРс следу-
ет аРс.
3. IIycTL В А задано отношение HeC1;'pOroro предпоч..
тения R <.порождающее, как указывалось выше, отноше..
ния Р :и ]), и пусть В......... подмножество А. Объект (эле
мент) а* е В называется наuлучшu.м, (оптимальным) по R
(в В), &сли он не менее предпочтителен, чем: любой дpy
rой из В, т. е. если a*Ra справедливо для любоrо а Е В.
Наилучший объект единствен с точностью до эквивалент...
ности 1, .т. е. если ь* ....... также наилучший в В, то a*Ib*.
Если необходимо произвести выбор'одноrо объекта из В,
ТО можно взять любой из наилучших объектов (если они
в В есть). Если R ...... порядок, то наилучший объект един..
ствен.
R сожалению, если отношение R н,е является связным:
Rвазипорядком, то наилучших элементов может не OKa
заться даже в l\онечном множестве В. Например, если
В == {а, Ь, с} и R == {(а, а), (Ь, Ь), (С, с), (Ь, с)}, то В.В
иаилучшеrо эле:мента нет (а и Ь не сравнимы по Л). По...
это:му приходится использовать более слабое понл.тие мак...
си:м:альноrо объекта. Для дальнейшеrо это определение
удобно ввести применительно !{ общему случаю: не пред--
полаrая, что объект входит в В.
Объект а О е А называется m,a-псuм,альnьz,М, по Р отНоси..
теА.ЬНО В, если в В не существует объекта а, CTporo бо
лее предпочтительноrо, чем: а О , Т. е. если аРа О не имеет
места ни при каком а е В *). Если объект а О принацлежит
В, то ero называют максимаЛЬНЫ?1 по Р в В. В разобран...
НОМ только что примере маRсимальными (в В) являются
объекты а и .Ь. Леrко проверить, что наилучший в. В
объект является! и :маRсllм альныI.. Обратное утверждение,
разуме тся, неверно.
Обозначим 1rlножество }Iа:КСИ1rlальных по Р объеI\ТОВ из
В через МахД. Это множество внутренне устойчиво в том
смыIле,' что если а, Ь е МахрВ, то не м:ож.ет быть ни аРЬ,
ни ЬРа. Это :множ.ество иазывается Bnelune устойчивым
*) Используются также наименования «неподчииевныйt,
«недоминируемый» и др. Если объект (элемент) а е В де ЯlJIЯ"
ется максимальным (Т. е. существует Ь Е В такой, что ЬРа), ТО
оп ИQзываетсл подчивенвыII (объекту Ь) или доминируемым
(объектом Ь).
g 1.2] ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И. ФУНI\ЦИИ ЦЕННОСТИ 21
[62], если для ВСЯRоrо объеI\та а ЕВ, который не являет--
ел }IаRсимальным, найдется более предпочтительный мак..
СИ Iальный объект, т. е. будетаОРа для некоторото аОе
Е Махр В. Внешне (и, разумеется, внутренне) устойчивое
lножество Махр В называется ядром отношения р в В
[ 244] * ) .
110lIяти.е устойчивости. и:меет большое значение. Дей--
ствительно, если множество Махр В внешне устойчиво,
то опти:мальный (т. е. тот, который будет считаться на--
илучшим после более полноrо ВЫЯВJIения предпочтений
ЛlIца, принимающеrо решение) объект должен. быть вы..
бран ИЗ этоrо множества. Если iI е Махр В внешне устой--
ЧИВЬЕ\I не является, то для утверждения о том, что выбор
следует оrраничить ра fкаl\lИ этоrо MHoiIieCTBa, вообще ro..
БОрЯ, пет оснований. Несложно проверить, что если R........
:квазипорядок, а множество В Rовечно, то множество
Махр В непусто И, более. Toro, внешне устойчиво; при этом
Махр В можно построить путем «ПРЯ}Iоrо перебора», срав--
пивая каждый объеRТ из В с остаЛЬНЫJfИ и выбирая все
:ма:ксимальные. Таким образом, если R ........ квазипорядок, то
м:ножество Махр В м:ожет не быть внешне устойчивым
(в частно"сти, быть пусты}!) лишь при бесконечном .В.
Различноrо рода условия непустоты и внешней устойчи--
вости множества .максимальных эле}lентов приводятся в
работах [9, 49, 117, 201,. 236].
При:м: е ч а н и е 1. Выше рассматривалась задача вы--
бора ОДНоrо оптимальноrо объеRта. Однако существуют
задачи, в ноторых требуется выбрать не один наилучший,
а несколько лучших объектов, или упорядочить все объ--
е:кты по предпочтительности и т. п. Для таких задач по
нятия ма:ксиltlальноrо объекта и ядра теряют свое зна
чение. Например, если требуется выбрать r лучших объ
ектоn ((конкурсная» задача), то уже нельзя утверждать,
что все они должны быть llа:КСИ}lальными по Р. Простей.. .
mий прим:ер: В === {а, Ь, с}, р == {(а, с)}. Здесь Iaxp В ==
::::::: {а, Ь}. .Однако если требуе.тся .выбрать два лучших объ..
eI\Ta, то отбрасывать с нельзя: если принимающий реше--
ние дополнительно сообщит, что с предпочтительнее, чем
*) в теории иrр внутренне и внешне УСТОЙЧ1Шое ПОДЫIIОiке-
СТБО Вааывается решением Неймана Iорrепmтерва (НМ реше..
ниеМ}J а ядром принято навывать множество максимальных &ле..
ментов.
22
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rЛ. 1
Ь, то искомыми окажутся объекты а и с. Для задач, в ко..
торых необходимо отобрать установленное число r луч..
тих объектов, целесооб f азно применять понятие r...макси"
Iальноrо по Р объента 82]. .
При м е ч а н и е 2. Часто. используются также поня",
тия наихудшеrо и минимальноrо объентов. Объект а. Е В
называетсннаихудшим в В, если длялюбоrо а е В вер..
но aRa.. Объект ао Е А называется мини.мальнь .м по Р
относительно В, если ни для одноrо а Е В не выполняет..
ся аоРа. Множество :минимальных по Р объектов из В
обозначим через Minp В. \
4. Числовая фуннция , определенная на А., называет...
ся воарастающей (llеубь вающей) по Р, если аРЬ влечет
(a) > 'i'(b) (соотв-етственно ф(а) :?; 'Ф(Ь)} дЛЯ любых
а, Ь Е А.В дальнейшем будет использовано следующее
утверждение (см., например, [30, 77]).
Л е м м а 2. Пусть В s: А и а О Е В доставляет nеуБЬt--
вающей по Р на В фуп ции 'ф наибольшее па В апаче..
иие. Для тоео чт06ьz объепт а О бьzл .мапсuмальпьzм по Р,
достаточно вь полнения одноео ив следующих ус.ловий:
фвоарастает по Р па В;
а О единсrвеппая точпа мапсижу.ма 'Ф на В..
Д о н а з а т е л ь с т в о. Действительно, предположи r,
что а О не является l\lакси:мальным по Р, так что в В най...
дется друrой объент а таной, что аРа О . Но тоrда должно
быть 'Ф(а) 'Ф<а О ), причем это неравенство cTporoe, если
Ф возрастает по Р.Но cTporoe неравенство противоречит
тому, что а О ....... точна максимума 'Ф, а HecTporoe един..
ственности этой точки максимума. .
Подмножество В s: А назовем aaMпHYTbZM сверху по
R (по Р) относительно А, если для любых а Е А и Ь Е В
из aRb (аРЬ) следует а Е В. В дальнейшем оказываются
полезными следующие леrко проверяе fые утверждения.
Л е м м а 3. Еслu подмножества 8 } s= А, j Е J, aa.м пy..
Tb сверху по R (по Р) относительпо А, то тапи,м, же
свойством об.ладает u В == n BJ.
}eJ
Л е 1\1 м а 4. Если Ф не убьzвает по Р па А, то для лю-
6020 чис.ла t подмножество В == {а е AI ф(а) t} аампиу...
то сверху по Р относительно А. .
л е м м а 5. Пусть В s;; А .ва.мппуто сверху по Ротно...
ситедьно А. Тоеда об7Jепт а Е В .мапсимадеn по Р отпоси...
1.2] ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ П фуннции ЦЕННОСТИ 23
теЛЬ1tо В тоеда и rоль1\,О тоеда, 1\,оеда оп .ма1\,сu.малеn по Р
ОТ1tосuтельnо А.
rоворят, что полный квазипорядок R на А представ--
ляет числовая функция '1', если aR Ь верно тоrда и толь..
1\0 тоrда, коrда 1I'(a) 'Ф(Ь). Функцию '1', представляющую
отношение HecTpororo предпочтения, называют ФУU1\,цuей
цеииости, а также функцией полезности *). Это назва...
иие сохранилось с Toro времени, коrда ОIПибочно счита..
ЛИ, что каждому объекту присуща некоторая объектив..
ная ценность (полезность), которую и отражают предпоч...
тения людей. С современной ТОЧRИ зрения функция цен...
пости является лишь «техничесни удобным» средством:
описания предпочтений: субъенту приписывается таRая
числовая функцnя, которая как бы максимизируется ero
действиями. Понятн , что функция ценности является ка..
чествеННЫ1-1 нритерием: оца определена с точностью до
произвольноrо возрастающеrо преобразования. Условия
существования функции ценности приведены в [56, 99].
Здесь ОТ1\Iетим лишь тот факт, что функция ценности су..
Iцествует для любоrо полноrо квазипоряд:ка, 1\оrда MHO"
жество А исчислимо, т. е. конечно или с.четно.
Если на множестве А определена функция ценности
'1', предсrавляющая отношение HeCTpororo предпочтения R,
то дЛЯ любоrо В s;; А, очевидно,
l\f.axpB == { Ь Е В I 'р (Ь) == тах Ф (а) } ,]
аЕВ
причем все максимальные по Р объекты из В являются
наилучшими.
5. Характерной особенностью «я3ыа») бинарных отно",
mепий является допущение о том, что результат сопо...
ставления по предпочтению двух объектов не зависит от
состава Bcero 1\-lножества выбора А. Однако ,в целом ряде
случаев таRая заВИСИ1\'IОСТЬ имеет место, И'. для ее учета
приходится обращаться к более боrаТОl\IУ «языку» описа..
Ния предпочтений, основанному на использовании ФУНI{'"
Ций выбора.
*) Чаще ФУНRцией полезности называют таRУЮфУПRЦИЮ, ма-
тематическое ожидание RОТОроЙ представляет отношение HecTporo..
ro предпочтения во множестве вероятностпых распредеJIений, рас-
сматриваемых на А,
24
OCHOBН1JE понятия п ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. i
Пусть Q( ....... фиксированная совокупность непустых ПОД"
MHoilroCTB :множества А. ФУllпцuей выбора (на ) назы..
вается отображение С, сопоставляюще.е всякому мвоже
СТВУ В е. Ш подмножество С(В) s;; В. . В том частном слу..
чае, коrда задано отношение CTpororo пре'дпочтения Р,
функцию выбора м:ожно определить равенством С(В) ==
с:МахрВ, В S;: . Вопрос о введении бинарноrо отноше..
пия предпочтения по заданной функции выбора оказыва..
-ется значительно более тонким [56, 221]. Аппарат функ...
ций выбора является основой интенсивно развивающейся
в настоящее вре:ия общей теории выбора [1J.
* 1.3. Независимость критерllев по предпочтению.
МноrовритерИ8J1ьиые задачи И&RСВl\IИзации
1. В мноrОRри ериальной задаче Rаждое решение х Е Х
полностью характеризуется своей оценкой у == f(x), и ПО"
этому выбор оптимальноrо решения. сводится к выбору.
ОПТИ1Ц1ЛЬНОЙ оценки из MHOjI\eCTBa У всех достижимых
оценок. В связи с этим описание предпочтений принима..
ющеrо решение первоначально осуществляется во :мпоже..
........ .
стве всех оценок У. TaRoe описание праRтически обычно
производится при ПОlIОЩИ бинарных отношений предпоч..
тения или ФУИRЦИИ ценности. .
При полном отсутствии информации (проме перечпя
притериев /1' /2, ..., fm) о предпочтениях принимающеrр
........
решение во 11ножестве У можно ввести лишь. отношение
безразличия, являющееся отпоmение:мравевства (==) oцe
нок KaI{ векторов из Е1n (при этом отношение necTpororo
предпочтения совпадает с ==, а отношение CTpororo пред..
поч,тения оказывается пустым:). Отношение безразличия
=== индуцирует отпошепие безразличия J во множестве
решений: х""'" jX', Rоrда j(x) == f(x'), Т. е. решения, имею..
щие p BHыe.. оцеНRИ, одинаковы по предп чтительности.
Отношение f является эквивалентностью и разбивает
IHO"l\eCTBO Х па :классы, состоящие из одинаковых по
предпочтительностиреrпений. .
Таким образом, если задача является нетривиальной,
Т. е. если .множество У включает более одной оценки, то
выбор оптимальноrо решения без информации о предпоч...
тениях Принимающеrо решени.е невоз:м:ожен.
1.3] мноrОI\РИТЕРИ ТIЬНЫЕ ЗАДАЧИ МАНСИl\IИЗ.iЩИИ 25
2. В одноRритериальныx задачах (при т === 1). полная
пн(рорм:ация подобноrо рода обычно состоит пуказании
направления предпочтительноrо изменения оценок на
.......
:множестве У == У, ЯВЛЯlоще)IСЯ ПОД lножеством числовой
ПРЯ}10Й. Это объясняется Te l, что вбольш:инстве при..
I{ладных задач в Rачестве I\ритерия выбираются TaI\lIe
ФУНИЦИИ, дЛЯ которых либо большее 8начение всеrда
предпочтительнее меньшеrо, либо, наоборот, меньшеезна..
чение предпочтительнее большеrо.
В epBOM случае критерий часто и tеет С)IЫСЛ прибы..
ли, дохода и т. П., выражает степень достижения по..
ставленцой цели (наприм:ер, процент выполнения плано...
Boro задания) или л-\е отражает «технические» характери...
СТИRИ, которые желательно увеличивать (скажем, удоб....
ство работы оператора, ноторое оценивается ЭRспертами
в баллах).
Во BTOpO I случае критерий им,еет смысл' lIздержен,
расхода ресурсов и т. п. или же описывает «техничеСRие»
характеристики, которые желательно ?tfИНИ}Iиаировать
(например, заrРЯ8нение ОRружаlощейсреды).
ПОСRОЛЬRУ второй случай леrRО сводится к. перво:му,
например, заменой /1 на /1, то в обоих случаях однокри",
териальная задача может быть сформулирована в виде
задачи МRRсимизации, Т. е. задачи, в RОТОрОЙ ббльшие
значения критерия предпочтительнее меныIих.. В задаче
IаRси:мизации критерия 11 отношениестроrоrо предпоч...
.......
тенил на У является обычным: отношением «больше» (»
мен\ду числами. ТаRИ 1 образом, критерий /1 в задаче
маКСИ}Iизации иrрает роль фУПRЦИИ I eHBocTI : любые. два
у
r .А ) У*
I . I .
\.. J У,
9
Рис. 2.
I
решения х, х ОRааываIОТСЛ сраВНИ1\fЫ III по предпочти'"
тельности, II лучшим 113 них является то, дЛЯ KOToporo
значение' критерия больше. Следовательно, оптимальной
оценкой у* является наибольшая в У (СМ. рис. 2), а оп..
r.rималъвыIM является любое решение х* еЕ Х, максимиац...
26
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[ТЛ. 1
рУIощее /1 на Х:
/1 (х*) == таХ!1 (х) == у*.
ХЕХ
Если такое решение не существует, то вводится D pac
смотрение мансимизирующая последовательность реше
ний {х.Т} 5 Х, удовлетворяющая равенству
lim /1 (х*Т) == sup /1 (х).
r-+oo хе Х
Если нритерий оrраничен на У сверху, то для любоrо
> о (т. е. для любой заданной точности) найдется та..
ное число N, что при любом r > N будет справедливо не..
равенство
8UP 11 (х) ---- /1 (х*Т) <:: 6.
хеХ
Заметим, что в ПРИRладных задачах нединамическоrо
.характера неоrраниченность критерия сверху или снизу
обычно является признаном наличия ошибки' в построен..
ной математичесной модели проблем:ноЙ ситуации (на..
пример, не учтена оrраниченность ресурсов).
Леrно видеть, что определение ОПТИj\lалъноrо решения
аденватно для нритерия /1, :имеIощеrо Bcero лишь поря д..
новую шналу. Определение м:ансим:изирующей последов а..
тельности аденватно, I\оrда допустимы непрерывные 10HO"
тонные преобразования этоrо нритерия.
Не следует думать, что всяная однонритериальная за...
дача леrно представляется в виде задачи маR имизации
путе I задания единоrо направления возрастания предпоч..
тений. Иноrда для 3Toro требуется более полная информа..
ция о предпочтениях. Для иллюстрации разберем: следу.ю..
щий пример [94J. Пусть /1....... вре lЯ исполнения заI{аза,
Налраd//ение dозрастОНUIl НапраВление dо.зроетонuп
nреtJЛIJ'ImеНlIJl ,. '.-: лpeDЛОl/mеНUJl
t*
Рис. 3.
...
у,
причем для нлиента нежелательво как исполнение с за..
поздание:м: относительно установленноrо срона t*, тан и
досрочное исполнение. В этом: случае на шкале У 1 Иl\Iе..
ЮТСЛ два направления возрастания предпочтений (рис. 3),
1.3] мноrонритЕриАлыIыE ЗАДАЧИ МАl\СИМИЗАЦИИ 27
и необходима дополнительная информация для сопостав.
ленИя отклонений /1 t* разных знаков. В частности,
если установлено, что отклонения, различаlощиеся лишь
8паI\ами, одинаковы по предпочтительности, то исходную
задачу можно свести к задаче минимиаации HOBoro RрИ
терия 1/1 t* 1.
3. В мноrокритериальных задачах сравниваются по
предпочтительности векторные оценки, Т. е. значения BeK
TopIIoro критерия / == (/1' 12, . . ., 1т). Естественно, что наи..
более просто сопоставлять по предпочтительности те век...
торные оценки, которые отличаются друr от друrа лишь
одной КО}Iпонентой. Поэтому информация о предпочти..
тельности изменения значения одноrо частноrо критерия
при фиксированных значениях всех остальных критери..
ев является наиболее доступной и достоверной, и именно
ее целесообразно получать в первую очередь и использо..
вать для анализа задачи.
В общем случае значения критерия 11 IorYT по разно..
му соотноситься по предпочтительности в зависимости от
тото, какие значения фиксированы у всех остальных кри..
териев. Иначе rоворя, для чисел S и t из" У, :может ока..
заться, например, что оценка (У1, ..., Yl 1, В, YZ+t, . . ., Ут)
предпочтительнее, чем (Yt, .. ., YI 1' t, Yl+l, ..., Ут), одна..
( ' , , ' ) :
1\0 Уl,...., YI....l,' S'J Yl+l, · · . , Ут менее предпочтительна по
( , , , , )
сравнению с Уl,... " YI.....l, t,,; YI +1,' · · ., Ут · И тоrда сна..
зать, какое из значений /, B или t....... предпочтительнее,
не указывая значений остальных критериев, невозможно.
Критерий /1' для KOToporo имеет :место указанное по..
ЛОiI{ение, называется 8aBUCUJtb t по предпочтению от ос..
тальных. Например, если /1 и /2 длина и ширина HO I"
Наты, а Iз выотапотолка,' то с точки зрения жильца
Iз зависит по предпочтению от {/1' /2}. Еще пример: каж..
дый из критериев /1 (температура воздуха) и /2 (ero .влаж..
ность) зависят по предпочтеНИ10 один от друrоrо (имеет..
сл в виду Itомфортность для человека).
Однако rораздо чаще встречаются такие нритерии, для
ноторых :можно упорядочить по предпочтению все их зна..
чения без рассмотрения значений остальных критериев.
Примерами являются Уil\е упоминавшиеся критерии' до...
xo a, издерiкек и т. п. Такие !{ритерии называются не..
зависимыми по предпочтению от остальных [181]. Более
2В
ОСНОВНЫЕ понятия Й ОnРЕДЕnЕНия
rtn. i
rочно, :критерий fl неаавuсuж по предпочтению от осталь...
вых т 1 критериев, если ДJIЯ любых четырех оцеНОI{
вида.
(Уl' · · ';' yl.....l' s, Yl+l,- · · ..' Ут), (У 1, · · ,. " yl.....l' t, Yl+l, · · ..' Ут),;
( ' , , ' ) ( ' , , )
Уl, · · ..' YI l, S." Yl+l, · · ., Уm, Уl,' · ..' Yl......l' t, YZ+l, · · ., Уm
113 соотношения
( у f , . . ., у l 1 , S, у 1 + 1 , ... , у т )R ( У 1 , ."" , У 1 1 , t, У 1 + t , ..., Ут)
всеrда с.ледует
( ' , , ' ) ( ' , , ' )
у 1 t · · · J У 1.....} , S, у 1 + 1, · · ., у 1п R у 1, · · ., у 1 1, t, У l + 1, · · ..7 У 1п ·
Если иритерий /1 независим по предпочтению от СОБО",
RУПНОСТИ остальных, то на Ь:IНОiкестве У , можно ввестп
отношение I1eCTpOroro предпочтения R l , полаrая sRl t,
Rоrда
(У1, ."., YI 1, S, Yl+1, ..", Yт)R(Yi, ".", YI 1, t, Yl+t, ..., Ут)
для невоторых 'двух (а значит, и любых двух) оценок та..
'"
noro вида. Кроме Toro, и на множестве У можно ввести
отношение HecTpororo предпочтения R(lH полаrая yR(l>Y',
, ,
Rоrда Yi == Yi для всех i =t= l и ylRlYl. .
Задачи, в воторых все :критерии незаВИСИ,АIЫ по пред...
почтению, т. е. :кал-\дый I\ритериЙ независим: по предпоч
1ению ОТ совокупности всех остальных, а отношением пе
CTpororo предпочтения на множестве значений наждоrо
нритерия является отношение «<не Аlенъmе»), назы
ваются .миоаопритериаАьными аадачаJrtu ма-пси.миаации.
В та:ких задачах по I\аждому :критерию желательно Иl\Iеть
возможно большее значение, или, :как rоворят, :каждыЙ
Rритерий jI\елательно максимизировать. Если ,"не в задаче
каждЫЙ :критерий желательно мини:м:изировать, то она Ha
дывается мноаопритериаАьпой задачей жuиu,м,uаацuu.
В дальнейшем, за исключением особо оrовариваемыx
случаев, будут рассматриват ся МIIоrОRрит!ериальные за
дачи lаRСИМlIзации.
При м: е ч а н и е. В ряде работ критерием называется показа
телъ, независимый по предпочтению от оовокупности .всех осталь
Hыx покаsателей, а ПОД мноrОRритериалъными понимаются задачи,
в которых все показа тели незаВИСlIМЫ по предпочтению.
1,4) эффЕI{тивныIE 1t СЛАБО ЭФФЕI{тивnыg РЕШЕНИЯ 29
* 1.4. Эффективные IIСJIабо эффективные оценки
и решения
1. В мвоrокритериальной задаче максимиаации И3
двух BeRTopHыx оцеНОR, отличающихся лишь одной I<OM"
понентой, . предпочтительнее та, у которой такая К0М:ПО-
неита больше. А что можно сказать о векторных оценнах
I
у И У , для которых выполняютс неравенства '
, .
Yi Yi" t==1,2,..."т? (1)
Разб рем вначале случай мноrокритериальной задачи
ПРИНЯТ ия индивидуальноrо реmения. Допусти)!, что пред
lIочте.ния принимающеrо решение описываются отношени",
.......
ем neCTpororo предпочтения R на У, приче)1 JIзвестно,
что оно не .ТОЛЬRО рефлексивно, но и транзитивно (Т. е.
является квазипорядком). Считая, что р.. У . Х У2 Х . . .
. . . х у т, }10ЖНО записать' следующие соотношения для
венторных оценок, последовательно используя отношение
для их компонент:
(Уl, У2; · · ., Ym)R (У;, У2; · · · , Ут),'
( , ) R ( ' , ) \
У 1, .У 2' · · · , у т . У 1 t У 2; Уз, · · · , у т ,;
................ .
( ' I ) ( " ' )
Уl,. · · '.1 Yт 1.! Ут R Уl.. У2,. · · · J Ут ·
На основании этих соотношений 11 транзитивност'и R при-
ХОДИl\! R занлючению, что верно yRy', Т. е. векторная
оценка у не 1feHee предпочтительна, чем у'.
Если утверждат.ь, что R транзитивно, нельзя, или если
-"
у Не представляется прямым произведение).! У ! Х Уа Х...
. . . х у т, ТО формальным путем прийти ксФормулиро",
ванному утверждению yRy', вообще rоворя, нельзя. Од-
нако в любом случае оно представляется настолько' ec .
тественным, что во всех моделях принятия индивидуаль-
ных решений ВВОДИТСЯ как аксиома. Принятие этой ак-
сиомы, называемой часто (сильной) аксиомой Парето,
"
означает введение во ).Iножестве оценок У отношения
HeCTpororo предпочтения, совпадающеrо с (чаСТИЧНЫ)I) по..
рЯДКОМ е: для в екторов IIЗ Ет*).
*) Точнее, .с ero сужением на У: Однако ради простоты за...
писи здесь и в далъ.нейmем сужения отношений , :: п друrих
обозначаются так же, нан и сами эти отношения.
30
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл, 1
Отношению HeCTpororo предпочтения ;;:о; соответствует
отношение безразличия == и отношение cTpororo предпоч..
тения ?:' (у '>: у' означает, нак указано в 9 1.2, что спра.;.
ведливы неравенства (1), причем хотя бы одно ИЗ них яв..
ляется строrим).
2. Разберем теперь случай м:ноrОRритериалъной задачи
принятия rрупповоrо решения, 'котда fi является функци"
ей ценности индивида i *), входящеrо в rруппу {1, 2, ...
..., т}, так что !i(X) !t(X') означает, что решение хне.
хуже, че:м х' с точки зрения i. В такой задаче отношение
.......
предпочтения на множестве оценок У должно отражать
«rрупповое Ъfнепие», аrреrирующее индивидуальные. Если
у == у', т. е. j(x) == !(х'), то вывод о равенстве х и х' по
предпочтительности может быть сделан и для rруппы в
целом. Остается рассмотреть вопрос: если в ,(1) хОТя бы
одно неравевство cTporoe, то следует ли считать, что ре..
тение х предпочтительнее, чем х'?
Пожалуй, положительный ответ на последний вопрос
можно дать не во всех реальных ситуациях. Действи..
тельно, если cTporoe неравенство в (1) Bcero одно, то это
означает, что х предпочтительнее, чем х' лишь для одноrо
члена rруппы, а для всех остальных оба решения равно..
ценны. Но в некоторых ситуациях может ока за ться, что
«одното rолоса» слишком }Iало, и тоrда rруппа в целом не
обязательно должна считать х предпочтительнее, чем х'.
По видимому, В разных ситуациях итоr сравнения оце...
вок у И у' может зависеть от Toro, сколько строrих не..
равенств выполняется В' (1). Однако самым слабым явля"
ется допу,щение, состоящее в том, что у для всей rруппы
предпочтительнее у', если в (1) все неравенства строrие.
Это допущение, принимаемое почти во всех известных lVIO"
делях r:рупповых решений (и называемое (слабой) аксио..
.......
мои Парето), вводит на У отношение cTpororo предпочте..
ния, совпадающее с отношением > для BeRTopoB из Ет
........
(точнее, с ето сужением на У): у> у' верно тоrда и толь..
,
.НО тотда, котда Yi > Yi для всех i == 1, 2, ..., т. ТаI{ИМ
образом, в зависимости от специфики задачи отношение
cTpororo предпочтения Р может вводиться по разному, од...
*) Возможен и более общий случай, Rоrда члены rруппы
«имеют» по неСRОЛЬКО критериев.
1.4] ЭФФЕНТИВНЫЕ И СЛАБО ЭФФЕRТIIВНЫЕ РЕШЕНИЯ 31
нако оно о.бязательно будет включать отношение >. Раз--
личными MO:rYT быть также отношения HecTpororo пред...
почтения и безразличия. Вопросы задания всех этих от--
ношений достаточно сложны и являются предметом ис...
следования теории rрупповых решений [53, 56, 96.
109, 221].
3. Итак, для мноrокритериальных задач максимизации
.........
на множестве У BBeдe ы отношение HecTpororo предпоч...
тения > , два отношения стро", !h
roro предпочтения ? и > и от..
ношение безразличия ==. В со...
ответствии с общим определе...
нием ( 1.2) оценка у* Е У на..
зывается наилучшей по
(в У), если для любой оценки {} !/,
у Е У справедливо у* у. Так Р 4
, ИС. .
как отношение является
(частичным) порядком, то может существовать толы{о
одна такая точка у* (рис. 4)*).
4. Если в практической мноrокритериальной задаче
существует наибольшая' по достижимая оценка у*, то
именно ее и' следует считать оптимальной. К сожалению,
такой случай реализуется исключительно редко: как пра...
вило, оценка у* не существует **). Это связано с тем, что
. ,
порядок не является полным. НаПРИ I,ер, если Yi > Yi,
НО Yj < Yj, то У и У' по не сравни ы. Поэто:му, в зави...
симости от существа задачи, приходится использовать
оценки, маl{си:мальные по > или по > (см. 1.2).
Оценка у О Е У назыВается максимальной по > (по »
относительно У, если не существует оценки у Е У такой,
что у > у О (У > уО). Для этих оценок обычно используют..
ея специальные названия. Оценка, максимальная по > ,
называется эффепти8nОЙ ***), а также оптимальnой по Па...
рето, П арето оптимальnой, оптимумом Парето. Множество
.........
*) На этом и последующих рисуннах множество У не изобра-
,нено (мол{но считать, что у..... все пространство Е2).
**). у словил существования наибольшей по > ТОЧКИ СМ. В
статье [1221 и уназанной там литературе.
***) Терl\IИНЫ «эффективныЙ)} и «f эффектцвпы)}} (см. ниже)
введены Т! Rупмапсом (184].
32
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
rrЛ.l
всех таких оценон из У, обозначаемое далее через Р( У),
называется эффептивиьzм, или жuо:нсесr80М, Парето.
Оценка, :максимальная по >, Ilазывается сJtабо эффеlt..
ти8иой, а также САабо оnтuжа.ltъ1tОй по Парето, сJtаБЬJЛ
оnтимумом Парето, оnтuмальной. по. С.лейтеру *). Мно-
жество всех таких. оценок из У буде}{ обозначать через.
S(Y) и называть слабо эффеJi.тивпьш.
Поскольку у > у' влечет у > у', то всякая эффептивнал
относительно у векторная оценка и ела.бо эффективна,
так что Р(У) 5 S(Y). Действительно, если уО не является
слабо эффективной, то дЛЯ некоторой у е у будет выпол"
няться У > уО, а поэтому. и у > уО, таи что уО не :может
быть эффективной. .
При т:::l 2 Р( У) является, образно rоворя, северо..
восточной rраницей :множества У (без тех ее частей, ко..
торые параллельны одной из координатных осей или ле..
жат в достаточно KPY ЫX и rлубоких провалах), а SCY)
может дополнительно включать в себя вертикальные и ro..
ризонтальные участки rраНIIЦЫ, прилеrающиек Р( Y) 4
11 / y't и
2
с
!/, -
1{
Рис. 5.
Та:{{, на рис. 5 }Iвожество Р( У) (эффективная rраница У)
образовано КрИВЫ flI Ьс, de (без точек d и е) и hp, а S( У)
состоит из двух частей....... abcde (включая е) и hpq. В ЭТО I
леrI{О убедиться, если заметить, что точки, лучшие, че'м:
*) Термин «маI\спмальный. в смысле Слеiiтера» введен
л. rурвич:еъ! [30],
1.4] ЭФФЕRТИВНЫЕ И СЛАБО ЭФФЕНТI1ВНЫЕ РЕШЕНИЯ 33
у, в С Iысле > , заполняют прямой уrол, стороны KOToporo
параллельны осям координат, а .вершиноЙ служит точка у
(ca la у исключается); а точки, лучшие, чем: у, в с:мысле
>, составляют внутренность этоrо же уrла.
5. Отношения >- , > и >, определенные на MHOi-иестве
оцеIlОН, ПОрОiI\дают аналоrичные по сrvlЫСЛУ отношения
:=/' ! и 1 во :множестве решений. Например, х t:/x' ++
,.....
+-+ f (х) ::::> f (х'). Отношение ! является (частичным) ква...
зипорядком, а ! и >---1 строrИl\'IИ (частичными) по...
рЯДRами. IIаПО?tIНИl\I, что отношение безразличия f, по...
pOi-RдеНlIое отноmеIIие 1 равенства ==, является ЭRвива...
лентпостью (см. 1.3).
Решению, наибольшеl\IУ по f" соответствует наи...
большая по оцевнз из У. Следовательно, наибольшее
по ! решение обращает в м:аНСИМУ I на Х каждый из
нритериев /1, If' ..., lm. Такие решения, как уже отм:еча..
лось, безусловно rrIorYT считаться ОПТИl\Iальными, однако
.прантически они почти никоrда не существуют.
Решению, l\lаI\СИl\lальному по ! (по j)" соответ",
ствует l\Iаксимальная по ====- (по » оценка в У. Обычно
ДЛя этих' решений иСпользуются наИl\Iенования, аналоrич...
ные назваНИЯl\I соответствующих оценок. В далънейше:м:
будут использоваться терl\IИНЫ «эффективное» и «слабо
эффективное», а TaI\iI\e «ОПТИl\Iальпое по Паре'То» и «слабо
оптимальное по Парето решения» (за:метим, что иноrда
тание решения называIОТ f эффеI{ТИВНЫ:МИ и слабо f эф...
фентивными соответственно).
Итак, решение хо Е Х эффептивNО, если не существу..
АТ решения х Е Х TaKoro, что х t: j х О , т. е. для KOToporo
f(x) > f(xO). Решение хО Е Х слабо эффептивпо, если не
существует решения х Е Х TaKoro, что Х >fXO, т. е. f(x) >
> f(xO). lVIножество эффективных решений будет обозна...
чаться через Pf(X), а слабо эффективных через Sj(X).
Разу:меется, Pj(X) s; Sf(X). Отметим, что задача постро'"
ения множества Pf(X) названа в [41, 187] задачей век...
торной максимизации.
При м е ч а н и е 1. В соответствии с общими сообра...
Жениями, изложенными в примечании 1 к 9 1.2, ПОIIЯ'"
Тие эффективноrо решения теряет свое значение, коrда
требуется выбрать неснолько лучших решений.
3 в. В. Подиновений, В. д. Ноrип
:34
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rЛ.l
6. Соrласно. определеНИIО внешней устойчивости, дан..
ному в 1.2, множество эффективных оцено!{ Р( У) (сла..
бо эффективныIx оценок S(y» называется вnешnе устой..
чивыl,' если для любоrо у Е У\Р( У) (соответственно для
у Е y\s( У) . найдется таная оценка уО Е р( У) (соответ..
ственно уО Е S( У»), что уО -.::> у (соответственно уО >у).
ЕстеСТl1енно, можно rоворить и о впешнв устойчивом мно",
жестве эффективных (слабо эффективных) решений как
о множестве решений, которо:му соответствует внешне ус..
тойчивое множество. эффективных (слабо эффективных)
оценок.
В дальнейшем удобнее использовать несколько иное
определение внешней устойчивости множества эффектив..
ных оценок: мnожество Р( У) в1tешпе устоЙчиво, если дЛJt
люБО20 у Е У найдется уО Е р( У) тапой, что уО у. " Леr..
ко ВИДеть, что данное определение эквивалентно выше..
приведенному ).
Действительно, пусть Р( У) внешне устойчиво в смыс..
ле первоrо из расс:мотренных определений. Возьмеl\I про...
извольную оценку у Е У. Если у Е р(у), то верно уО у
для уО == у. Если же уФ р(у), то существует такая оцен"
на уО Е р( У), что уО ? у, таи что верно и уО :2: у. Пусть
теперь, наоборот, р( У) внеПIне устойчиво в смысле вто"
poro определения. Выберем цроизвольную оценку у Е
Е у\р( У). ДJIЯ нее найдется оценка уО Е Ре У) такая, что
уО у. Но так как у не эффентивна, а уО эффективна, то
yO -.::> у. .
Соrласно сделаННО}IУ в 1.2 замечанию о существо..
вании ядра кваэипорядка на конечном множестве, можно
утверждать, что если :множество У состоит из конечноrо
числа оценок, то MHOjK CTBa эффективных и слабо эффек"
тивных оценок и решений являются внешне устойчивыми.
Если же У бескопечно, то указанные }Iнол{ества "M:orYT не
быть внешне устойчивыми. Однако при обычных для оп...
тимизаЦИОllНЫХ задач преДПОЛОiкениях (Х компант,
а все fi полунепрерывны сверху) эти множества ОI{аэыпа..
ются внешне устойчивьil\fИ (Cl\:!. 3.2).
При м е р 1. Пусть У единичный нвадрат, из I{O"
Toporo «ВЫI\олота» правая верхняя вершина (рис. 6). Для
*} Следовательно, внешняя устойчивость множества Р (У) оз..
начает, что частично упорядоченное (отношением » множеСТВQ
у коп1Нfнально с Р(У) (см. [50], Т. 1, с. 33).
1,4] ЭФФЕ1\ТИВНЫЕ И СЛАВО ЭФФЕRТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ 85
этоrо У Iножество Р( У), очевидно, пусто, а S( У) образу..
ется верхней и правой" сторонаl\'IИ нвадрата (без точ:ки
(1, 1)). l\fножество S(Y) внешне устойчиво: каждой точ"
ке у Е У, у которой Yt, У2 < 1, можно поставить в соот"
( Yl + 1 )
ветствие, напри:м:ер, точку уО == 2 .1 1 , причем уО>у.
В связи с изложенным представляет интерес вопрос
о том, I\оrда внешняя устойчивость уО
мно}нества Р( У) равносильна аналоrич--.
ному свойству множества S(Y)? Ot'BeT I /
на этот вопрос содержится в .слеДУIО-- 1/
ще!\1 утверждении. .у
т е о р е м а 1. Если М1l0жество
Р( У) в1lеШ1lе устойчиво, ТО внешне ус...
тойчивЫ t является и S ( У). В ТОМ СЛ у... О I !h
чае, пozaa M1tO:JlCeCTeo R(y) === {у' Е YI Рис. 6.
I у' > у} BaM7'itHYTO и оераl.tичено при
.любо t у Е S( У), ив 81lешней устойчивости S(y) следует
вllешняя устоiJчивость Р( У).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Р( У) внешне устойчиво.
В03Ь lеl\'I произвольную оценку у Е Y\S ( У). ДЛЯ нее су..
п оетвует у' Е S(Y) такая, что у' > у. Для у', в СБОЮ оче..
редь, существует эффективцая оценка у" такая, что
у" ;;::: у'. Следовательно, у" > у. А тан нак Р(У) s; S(y),
то у" Е S(Y).
ДЛЯ доказательства второй части теорем:ы та:кже воаь..
Mel\1 произвольную оценку у* Е У. Если у* Е Р( У), то
У О > у* при уО == у*. Если у*Ф S( У), то для некоторой
оцепни уО Е S( У) В,ерно уО >- у*.. Поэтому ос'rается
рассмотреть случай, Rоrда у* Ф Р(У), но у* Е S(Y).
Б аrодаря компаkтности множества R(y*) функция
т
. Yi Достиrает на нем ма:ксиifума в некоторой точке
t===l
о .
у. п реДПОЛОiI{ИВ прОТИВIIое, леrRО убедиться в том, что
уО е Р( У) (этот вывод npH Io следус.т из лемм: 2.4 2.6,
таи кап MIIOJI eCTBo R(y*) заЬf1\ПУТО сверху по > ОТIIОСИ...
Тельпо У). Кроме Toro, в силу определения R(y) справед--
ЛИЩ) уО у*. 18 .
7. Пусть R......... ПрОИЗDОЛL!IЫЙ Rвазипорядо:к на 1\Iно,не..
Стпе Х. Векторный Н'рIIтерий f, определенный на Х, пред"
ставллет Кваз.ИllОрЯДОК R, если отношение ;;; f совпадает
3*
36
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. i
с R. При наких условиях существует векторный крите-
рий, предстаВЛЯIОЩИЙ произвольный квазипорядок? Ка-
нова мини:мальная разм:ерность TaKoro критерия? Как ero
построить? Исследование этих вопросов имеет не только
теоретичесное, но и праI\тическое значение. Напри:мер,
указание представляющеrо критерия может оказаться
экономным способом задания квазипорядка. Однано пере..
численные вопросы не имеlОТ прямоrо отношения к теме
книrи, и ПОЭТОl\IУ мы их разбирать не будем. Заинтере-
сованный читатель может обратиться к соответствующей
литературе [60, 74, 123, 170, 190].
8. Один из способов задания отношений предпочтения
в мноrокритериальных задачах состоит в следующем: в
пространстве Ет выделяется неRОТОРЫЙ конус Q (конус
дОJvtuнuрованuя) , и полаrается, что yRDy', коrда y Y'EQ.
Понятно, что при Q == E получается отношение ,
а при Q == E:; отношение >. Следовательно, MHoro-
критериальная задача lаксимизации является частным
случаеl\l задачи ОПТИ Iизации по конусу [30, 246].
РаСС 10ТрИМ случай, коrда НОНУС Q является полиэд-.
ральным (мноrоrранным): Q == {у Е EmlBy Ои)}, rде
В ........... это числовая матрица размерности l Х т. Для TaKoro
конуса включение у у' Е Q равносильно тому, что
В(у у') O(l), т. е. Ву Ву'. Следовательно, исходная
задача с векторным критерием: f, в которой предпочтения
задаются при помощи полиэдральноrо конуса, после введе-
ния HOBoro BeRTopHoro критерия fB == (tf ., f: t · · .:, tf) == В/
оказывается «обычной» мноrокритериалъной задачей мак-
симизации [150, 247].
9. Определение (слабо) эффективноrо решения являет..
ся «статическим» в том с:мысле, что основывается на по-
парном сравнении решений и не связывается с вопросом
о том, возможно ли «плавно» перейти от одноrо решения
к друrому, более предпочти ельному, инфинитезимально
«<с положительной коростью») увеличивая каждый кри-
терий. А возможность осуществления TaKoro перехода в
некоторых моделях представляет большой интерес. При-
мером является модель чистоrо обмена, в которой каж-
дый потребитель участвует в обмене, стремясь составить
себе набор товаров наибольшей полезности, т. е. фор..
lалыlo маКСИl\fизировать СБОЮ функцию ценности. Та..
1.4} вффЕнrивны1E й СЛАБО ЗФФЕнтйвныIt Р пtЕItиft 37
I\oro рода модели рассматривали еще в XIX в. Ф. Эдж..
БОрТ И В. Парето. Эффективным.в l\10деЛИ обмена являет...
ся состояние (распределение товаров MeJКДY потребителя...
:м:и), ноторое не мол- ет быть улучшено путем перерас...
пределения . товаров ни для одноrо из учаСТНИRОВ без
«ущем:ления интересов» некоторых .друrих участников.
Следовательно, оптимальность по Парето отражает идеIО
ЭRономическоrо равновесия: если состояние не является
эффеRТИВНЫМ, то будет происходить торrовля, которая
приведет 1{ эффективному состоянию.
Если процесс об:мена рассматривать как последова...
тельность l\lелни сделок, выrодных всем участникам, то
ф.орм:ализованно ero MOJКHO описать rлаДRОЙ кривой, при
двил{ении вдоль которой все критерии инфинитезимально
увеличиваются. Тоrда MOJКHO выделить состояния, из КО...
торых не выходит ни одной rладкой кривой TaKoro типа.
Такие состояния были названы С. Смейлом критическими
ТОЧRами Парето. Ясно, что мнол{ество таких точек (кри...
тическое MHOJКeCTBO Парето) включает все MHOJКeCTBO сда...
бо аффеRТИВНЫХ точек, но в общем случае шире посл,ед...
Hero (из за .«локальноrо характера» определения крити...
чеСRОЙ ТОЧRИ Парето). Тан, на рис. 5 в критическое мно",
жество Парето, помимо всех слабо эффективных, будут
входить решения, оценки которых лежат на участке rpa...
ницы, ш.
Определение критичеСRОЙ точки Парето является обоб...
щением стационарной (RритичеСRОЙ) ТОЧRИ rлаДRОЙ фУНI\'"
ции (т. е. точки, в которой ее rрадиент обращается в нуль).
Подробное . рассмотрение описанноrо «динамичеСRоrо»
подхода к определению опти:мальности по Парето выходит
за раl\IКИ данной книrи; заинтересованно:м:у читателю сле...
дует обратиться н работам С. Смейла [95, 223].
10. МИОJКества эффективных и слабо эффективных
оценок были выделены из У на основе некоторых прос...
тых характерных свойств отношений предпочтения.
Однано . эти мнол\ества целесообразно рассматривать и
в более общей ситуации, коrда предполаrается лишь, что
предпочтения описываются фУНRЦИ Й выбора С, опреде...
ленной на достаточно «боrатом» наборе W ПОДl\lножеств
.........
MHoiRecTBa У (разумеется, У Е W).
в рассматриваемом случае мноrокритериальная задача
максимизации определяется. следующим: условием: если
38
осповнЫ nонятйя и ОПРЕДЕЛЕНИЯ
(fЛ. i
" , "1
оценки у', у" Е Z, Z Е W, тановы, что у; > Yj и У! == Yi
для всех т 1 остальных i Е М, то у' C(Z).
АI\сиома Парето в сильном (слабом) варианте форму..
лируется следующим образом: если для оценни у' Е Z,
Z Е W, во МНОiиестве Z найдется оценка у" такая, что
" ,
Yi' > Yi при всех i Е М, приче:м хотя бы одно неравен"
" , .
ство cTporoe (У! > У! при всех i'E М), то у' C(Z).
Эта аксиома, И3 которой вытекает, что С(У) s: Р(У)
(соответственно С( У) S( У», часто используется при
описании предпочтений функциями выбора [53, 96]!.
1.5. Теоретическое 11 практичеСI(ое значения
понятия зффективноrо решен'ия*)
1. Понятие эффентивноrо решения является прямым
обобщением понятия точки макси:мума числовой функции
на случай нескольких фуннций. Как правило, в приклад"
ных мноrокритериальных задачах множество таких реше..
ний оказывается непустым и, более Toro, внешне устой..
чивым (см.. 1.4), и поэтому оптимальныle решения долж..
ны выбираться именно ср.еди эффективных. Однако если
в . однокритериальной задаче в качестве оптимальноrо
:м:ожно брать любое решение, максимизирующее критерий
(так как все они ЭI{вивалеНТIIЫ), то в мноrокритериальной
задаче обычно множество эффективных решений оказы..
вается весьма боrатым неэкви'валентными (и содержатель..
но существенно разными) решениями, и для осмысленноrо
выбора опти:мальноrо р шения необходимо ПРИБлечь бо..
лее полную информацию о предпочтениях. И тем не ме..
нее ПОБятие эффективноrо решения по целому ряду при..
чин иrрает важнейшую роль в теории мноrокритериалъ..
ной оптимизации и практике ее использования.
2. Хотя эффективное решение обычно далеI{О не един..
ственно, но все таI{И мноЖество эффективных решений
значительно у}ке, чем исходное :множество всех. решений.
Так, на рис. 5 множество эффеI{тивныIx оценок является
лить частью rраницы множества всех достижимых оце..
*) в дальнейшем ради нраТI{ОСТИ термин «эффективное реше..
ние» будет таКiие испольаоваться и внеформальном контенсте как
обобщающий для эффентивных и слабо эффеI\ТИВНЫХ (а впоследст"
вии и ДЛЯ собственно и подлинно эффективных) решений.
1,5]
ЗНАЧЕНИЕ понятия ЭФФЕнтивноrо РЕШЕНИЯ
39
НОН. ПОЭТОl\rу и:остроение множества эффентивных реше..
НИЙ (или их оценок) является одним из первых этапов
БОЛЬПIоrо числа процедур (особенно интерактивных, т. е.
человеКО Iашинных) и методов мноrокритериальной опти
l\fизации (см., например, [47, 73, 88]). А некоторые ин..
терактивные методы предусматривают последовательное
перемещение от одноrо эффентивноrо. решения к друrому,
более предпочтительному.
3. В случаях наличия лиПI двух или трех критериев
l\ПIОiнеСТВQ эффективных оценон MOiHHO изобразить rрафи..
чески. Поэтому при анализе двух..., а иноrда и трехнри"
териальных задач нередко удобнее Bcero выбирать опти",
:мальное решение непосредственно на основе рассмотрения
rрафика эффективных оценок (см-., в частности, [33, 133,
135]). Указанный подход лежит, например, в основе мето..
да «стоимость эффентивность» [8].
Один из вариантов этоrо метода, широко примепяемо..
ro для решения задач выбора лучшеrо иа неснольких
нонкурирующих образцов системы, в общих чертах СОСТО"
ит в следующем. .
а) "'Каждый образец х оценивается по двум нритериям:
стоимости создания (цроизводства) С и эффективности
выполнения поставлен Э. .J
пых перед системой за... .
дач э. Значения этих
критериев рассчитыва..
IОТСЯ по специально раз
рабатываемым методи
нам.
б) Строится rрафИR
оценок, cooTBeTCTBYIO
щих BCel\1 рассма тривае...
б ' о
мым: ,о разц м систе IЫ,
а из "Hero выделяются
те образцы, из которых
и должен быть выбран один оптимальный образец.
П ри:мер TaKoro rрафина приведен на рис. 7. Поскольну
Rритерий С желательно м ип:им:изировать, а критерий Э
максимизировать, то, например, образец 4 предпочти..
тельнее образца 2 (последниЙ и:меет меньшую эффектив
Ность и В '1'0 же вреl\fЯ ббльшую стоимость). Таним
образом, из щ ст:и представленных образцов лишь три
4
.
1
.
о
6
'о.
2
'0
s
с
Рис. 7.
40
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[I'Л.l
(первый, третий и четвертый) MorYT претендовать на роль
лучmеrо. В разбираемом методе эти образцы называют
недоминируеМЫl\IИ (общий термин «эффективныЙ» неудо...
бен из за аналоrичноrо названия критерия Э).
в) ОI{ончательныЙ выбор опти:м:альноrо образца произ...
водится эвристически (на основании опыта, интуиции, не...
фор}lализуемыI соображениЙ) лицом, приним:ающим ре...
тение, в результате анализа построенноrо rрафика, кото...
рый наrлядно показывает, какоЙ ценой (увеличением
стоимости) достиrается приращение эффективности при
переходе от одноrо недоминируемоrо образца к друrому.
Обобщением: paccMoTpeHHoro метода является :м:етод
«стоимость эффективность время», в котором наряду
с двумя перечисленными ранее вводится еще критериЙ
т время, необходимое для орrанизации выпуска Toro
или иноrо образца системы. В это:м: случае rрафик век...
торных оценок оказывается пространственным и изобра--
жается в наиболее наrлядноЙ плоскоЙ проекции или же
представляется несколькими плоскими сечениями. Об
щий подход к выбору оптимальноrо образца остается
прежним.
4. Сужение l\lножества выбора до ?vIножества эффен...
тивных решениЙ (или HeI\oToporo ero подмножества) важ..
но не только само по себе, но еще и потому, что на бо
лее узком подм:ножестве :MorYT выполняться различноrо
рода упрощающие дальнеЙшиЙ анализ допущения о пред
почтениях (например, о виде функции ценности), которы,е
заведомо несправедливы для' множества всех решений.
Кроме Toro, эффективные решения MorYT обладать инте
ресными И практически важными свойствами, не прису
щими остальным решениям. Это обстоятельство хорошо
известно и давно используется в матеl\lатической экономи
ке и теории иrр. lVIHoro примеров TaKoro рода можно наЙ
ти, например, в работах [28, 33, 41, 51, 63]. Здесь JRe мы
оrраничимся рассмотрением одноrо сравнительно просто...
ro, но содержателъноrо при:мера, связанноrо с линейной
моделью производства.
Пусть имеется потраслей, эанятых производство:м: n
предметов потребления (продуктов). Каждая отрасль MO
жет производить только один продукт, но при помощи
нескольких производственных (технолоrических) про...
цессов. Обозначим через A j множество производствепных
1.5]
ЗНАЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЭФФЕнтивноrо Р:mШЕНИЯ
41
процессов, доступных i й отрасли; :M:HOiI\eCTBa Л i считают..
ся !{онечными.
Если принять uбщее Rоличество трудовых ресурсов
( «труда)}) за единицу, то интенсивность работы i й отрас..
ли можно охараRтеризовать веJIИЧИНОЙ Ui > о, УRазываю..
щей долю и:меющихся трудовых ресурсов, Rоторая исполь..
зуется в этой отрасли. ЯСНО, что при полном использова-
n
пии трудовых ресурсов Ui == 1. Вектор U == (и 1 , и2,...
i==l
..., и n ), Rомпоненты ROToporo неотрицательны и в CYM Ie
равны единице, называется осуществимым.
Л' .
П ·
усть aij !{оличество ] ro продунта, производимое
i й 'отраслью, Rоrда OH фУНRЦIIонирует с единичНЫМ
уровнем интенсивности (Ui == 1) и применяеТСЯПРОИ(jВОД"
ственвый процеес Лi Е Л t . Предполаrается, что a j -< о,
Л' л'
если i =1= j, но ан'" > о. Отрицательные ai] :м:ожно интерпре..
тировать нан Rоличество материалов (ПРОДУRТОВ), расхо..
дуемых в производстве. Поэтому УRазанное предположе..
Лi
ние о знанах aij и означает, что :каждая отрасль l\:10meT
использовать все материалы, в то время нак производит
она ТОЛЬRО один продунт.
Лi ( Лi Лi Лi )
Вектор ai === ail, ai2, . . ., ain принято называть вен..
тор процессом i й отрасли. Каi-НДОМУ производственному
процессу Лi соответствует свой веRтор процесс.
Если для Rаждой отрасли выбран производственный
процесс, т. е. если фИRсирован набор л == (Л1, Л 2 , ..., Л n ),
то чистый выпуск продун:та j всей систе:м:ой будет равен
n Л'
Cj == Uiai]. КвадраТНУIО матрицу, СТРОI{ам:и RОТОрОЙ яв
i==l
Л'
ляются веRтор пр.uцессы ai "', i == 1, 2, ..., n, будем обозна
чать через АЛ. Тоrда j я Rомпонента вентора с == иА л ПрРД"
ставляет чистый ВЫПУСR ПРОДУRта j для Фцксированноrо
набора л и осуществимоrо вентора и.
11усть d множество м:атриц А Л, каждая из которых
соответствует определеННО1.IУ набору л == (Л1, Л2, ..., л n ),
В нотором лi Е A i . Вектор (венторная оценка) с:::::: (C t ,
С 2 , .'.1 С,,) называ.ется Р f;lл:изуемы:м: (или достижимым),
42
()CIIOBHhIE nОlIЯТЙЯ й ОttР:ЕДЕJ1ЕНйf.t
rrJ1. i
если с == иА). для некоторой матрицы А). и осуществимоr6
вектора и.
Особый интерес представляют реализуемые векторы
с, компоненты KO OpЫX положительны. В caMO деле, если
существует реализуемый вентор С, причем C j > О, то это
означает, что можно таи орrанизовать производство всех
продуктов (т. е. назначит:ь.."такие Лi и Ui), что каждая
отрасль будет производить продукта больше, чем ero тре..
буется для потребления все IИ остальными отраСJIЯМИ
системы, так что все продукты будут производиться В
избытке и их можно. будет ИСпользовать вне системы.
Расс:м:отрим rеометрическую интерпретацию разобран...
л'
ной модели. I\аждый вектор процесс ai можно предста
вить в виде точки пространства Еn. Матрице А), соответст..
ву"ет n таких точек ,(по одной для каждой отрасли),
Вектор
'" ( Л!. '- "'i ) "'1
С == иА ос:: 2 Ui a ill ' , '1 2 Ujain ==.: Uia.
i l i l i l
является, очевидно, точкой выпуклой оБОЛОЧRИ п вектор..
процессов a i, и наоборот I каждая точка выпуклой обо
лочки этих вектор процессов будет реализуемым векто'"
ром с. . Таким образо:м, множество реализуемых векторов
С является 'объединением выпуклых оболочек векторов
"'1 "'2 Л N А '" ( u
а 1 , а 2 , · · ., а п образующих маТРИЦ I' Е d каждоя
такой матрице соответствует определенная выпуклая
оболочка.) .
Для иллюстрации рассмотрим простейший пример с
условными числовы:ми данными.
.Пример 1. Пусть'
n === 2; А 1 . {1, 2}; Л 2 == {1, 2, 3};
a :::::: (2,- 1); ai == (3/2, 2);
a == ( 11 1/2); a == ( 2, 3); а; == (....... 4" 4).
( Лl )
л а 1
Здесь каждой матрице А. == а;2 соответствует выпук-
лая болочна, являющался отреЗКОМ: 1 с еДИНЯIОП ИМ ТОЧI\И
1.5]
ЗНАЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЭФФЕRтивноrо РЕШЕНИЯ
43
'" '
аl 1 и а 2 2 . Все таRие ВЫПУRлые оБОЛОЧRИ (отрезки) изобра--
жены на' рис. 8.
Задача наилучшеrо использования производственных
и трудовых ресурсов ПРИl\'lенительно Н, нашей модели за..
:ключается в тоы1, чтобы обеспечить по во можности наи.
больший выпуск всех п продуктов, производимых отрас--
ЛЯl\'lИ. План х == {л, и}, rде л набор производственных
...4
4 4
",
а2
I
Рис. 8.
процессов (Лi Е Л i ), и осуществимый вектор, характери--
зуется здесь bek-торНЫl\l критерием С (Х) == (С 1 (х), . . ., Сп (Х) ),
rде С; чистый выпусн j ro продукта.
В сооrветствии с 9 1.4 план х* называет я эффект:ив"
вым, если не существует осуществимоrо вектора и и
ыатрицы А\ ДЛЯ :которых Cj(X) >: Cj(X*), причем по край..
ней мере одно из этих неравенств cTporoe. Вектор
С(Х*), соответствующий эффеI{ТИВНОМУ плаву х*, также
называется эффективныtl..
Структура эффективных векторов с положительными
компонентами характеризуется слеДУЮЩИl\'I утвержде-
цием,
44
ОСНОВНЬШ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. 1
Если существует реализуемый вектор с полож:итель
НЫl\IИ компонентами, то все эффективные венторы с поло-
жительными компонентами лежат в выпуклой оболочне
,
л. л'
вентор процессов ai ,составляющих Ьfатрицу А . E.s4, и
наждая точна этой выпунлой оболочки, лежащая в поло...
жите!lЬНОМ ортанте, является эффентивным вектором.
Доназательство можно найти в нвиrе [41].
Таним образом, оназывается, что если и rеется допус"
ТИl\IЫЙ план, обеспечивающий выпусн наЖдоrо продукта
- с избытном, ТО для каждой отрасли имеется определенный
производственный процесс (входящий в набор 'Л'), позво...
ляющиЙ получить все эффентивные венторы с положи...
тельными компонентами лишь за счет перераспределения
ТРУДОВЫХ ресурсов. Иными словами, любой эффективный
план, обеспечивающий вьшуск каждоrо продукта с избыт-
ном, либо имеет вид {'Л', и}, rде u некоторый осущест",
ви:м:ый вентор, либо эквивалентен плану указанноrо вида.
Сформулированное утверждение составляет содержание
известной в :математичесной экономике теоре rы CaMY
эльсона о замещении. Подчерннем, что этот результат
получается лишь на основании анализа свойств множест-
ва эффентивных планов, без решения вопроса о выБОjJе
KOHKpeTHoro «оптимальноrо» плана.
В приведенном выше числовом примере 'Л' == (1, 2) и
любой эффентивный план, обеспечивающий выпусн наж...
доrо продукта с избытном, является парой {'Л', и}, rде
u == (и1, и.2), 1/2 и1 < 3/4, и2:::::1 1 и 1 . Из рис. 2 :можно
также усмотреть, что сформулированное утверждение о
структуре множества эффентивных венторов с положи...
тельны rи компонентами справедливо в силу независи-
!\{ости выбора производственноrо процесса 'Л i Е A i для
наждой i й отрасли.
..5. Большинство Iетодов :МIIоrонритериальной оптими",
зации предусматривает выделение оптимальноrо решения
непосредственно из множества всех решений. В связи с
ЭТИl\I полезно проанализировать методы, чтобы выяснить,
всеrда ли они приводят К получению эффективноrо реше-
ния, и если нет, то специально предусмотреть возмож",
ность улучшения выделяе:моrо решения до эффективноrо.
Для иллюстрации разберем следующий при:мер.
В [106] был изложен ориrинальный метод мноrонритери",
1.51
ЗНА ЧЕНИЕ ПОНЯТИЛ ЭФФЕнтивноrо РЕШЕНИЯ
45
аЛЬБОЙ оптимизации для линейных задач, форм:алъно
состоящий в следующем: вначале находятся ТОЧI{И мак-
СИМУ lа Xi Е Х каждоrо критерия fi в отдельности, а за...
тем ОПТИ1vlалъное р шение х О получается как такая выпук",
лая комбинация . точек Xi (Т. е. как точка вида х(л) ==
т т
:: ЛiХi, rДе Лi > 0_, t == 1, 2., . . . _,; т, л'i == 1), для ко...
i::::l . i==l -
торой максимальное из пормированных отклонений эна...
u .
чениИ критериев 11 от соответствующих максимумов Yi ==
с::= f i (xi) минимально, т. е.
у7 ii (х о ) .. У{ fi (х(Л»)
шах I * 1 == Шlпmах I
{еМ Yi Л ieAf 1 У;
.i
rде М == {1, 2, . .., т}.
Уназанное определение оптималъноrо решения имеет
существенные недостаТRИ. Во...первых, если некоторый
нритерий II IeeT несколько точек максимума на Х, то не
!It *... !It !h *-.. !/2
11 ,* !/2 *
//*
I
I
I
I
I
I
I
I
r
I
I
,
у
о
у' 1/,
Рис. 9.
ясно, накую из них следует использовать: каждой х' бу..
дет соответствовать «свое» решение х О . Во"вторых, полу--
ченное указанным путем оптимальное решение, как пра
вило, не будет не только эффективным, но и слабо эффек'"
1'ИВНЫ I. Все это хорошо видно на рис. 9.
В ста тье [217], а затем и: в целом ряде друrих рабо'с
разобранное определение было усовеРIПенствовано: опти--
мальным предложено сч.итать решение XO*I .9пределяе 10е
46
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rЛ. {
ив условия
У: ....... / i (:СО.) . У: ...... / i (Х)
шах == тlпщах
ieAI ly:1 xEXieM ly71
В 2.1 будет показано, что решение ХО* всеrда слабо-
эффективно, а если оно единственно (с точностью дО ЭКВИ 04
валентности j), то и эффективно. JlerKo проверить так...
же, что если х О не является слабо эффективным, то
ХО* > jXO. Это положение иллюстрирует тот же рис. 9.
6. Понятие эффективноrо решения позволяет не толь..
ко усовершенствовать некоторые методы мноrокрите..
u
риальнои оптимизации, но и лучше понять их сущность,
а тем самым и уточнить области их практическоr-о при...
пожения.
Для примера разберем ШИрОI\О известный метод мно--
u
rокритериальнои оптимизации......... метод rлавноrо крите...
рия. Этот :м:етод состоит В TO I, что цсходная мноrокрите..
риальная задача сводится к задаче оптимизации по OДHO
му нритерию !l' который объявляеrся rлаВНЫ I, или основ..
ным, при условии, что значения всех остальных
(второстепенных) критериев должны быть не :м:еньше
некоторых установленных величин ( «требуемых уров..
ней)}, «noporoBblx значений)}. и т. п.) t i , т. е. к задаче
!l(X) ---+- тах
х Е Х; !i"(x) t i , i == 1, 2, ..., т; i =t= l.
Оптимальным считается всякое решение хО этой задачи.
Заметим, что такое решение всеrда является слабо эффек",
тивным, а если оно единственно (с точностью до эквива..
лентности j), то и эффективным (см. 2.1). Для лучшеrо
уяснения существа этоrо метода воспользуе 10Я следую..
щим простым свойством эффективных решений, которое
леrко установить рассуждение1tI «от противноrо)} (см. тео..
рему (2.1.5):
Если решение хО эффективно, то o o является единст..
'венным (с точностью до ЭI,вивалентности f) решениеI\I
задачи (1) при JIюбом фиксированном 1 Е М И t i == fi(XO),
i == 1, 2, . .., т; i ==1= l.
СфОР:МУJIироваНIIое утверждение, иллюстрируемое
рис. 1 О (для т == 2, 1 == 1), сразу позволяет сделать сле..
ДУIОЩИЙ I)ЫВОД: выбор люБОI'О эффективноrо :решения O
(1)
1.5]
31IА tп нИ1] tt01-I$IТИЯ ЭФФЕнтивноrо рвт:gнил
47
формально ЭRвив лентен назначению в задаче (1) t i ==
:::::= fi (х О ) для всех i, приче:м в Rачестве rлавноrо можно
выбрать любой Rритерий. Это означает, что предвари...
тельный выбор одноrо из нритерие:и в качестве rлавноrо
еще НИRаR не уменьшает У2
свободы выбора оптималь..
Horo решения, так что на...
звание «rлавный Rрите"
риЙ» весьма условно. Сле
довательно, вопрос о BЫ У
боре rлаВIIоrо притерия
следует решать тан, чтобы !Jt
облеrчить назначение Be
ЛИЧИН для оrраничений
на остальпые критерии. Рис. 10.
Практически обычно
указывают серию «наборов» {t i } пороrовых значений, и
для каiндоrо «набора» решают задачу (1) (если t'l слиш..
ком велики, то оrраничения в (1) IorYT оназаться несов"
местными). Далее на основании анализа полученной се..
рии значений производят окончнтельное назначение
величин , чем и определяется выбор оптимальноrо
решения.
Процедура назначения серии пороrовых величин отра..
ничениЙ и расчета соответствующих значений нритериев
фактичесни производится с целью получения представле..
нил о наиболее важной облаети множества (слабо) эффек
тивных оценок при помощи ряда отдельных точеR. А за..
тем полученная информация обеспечивает эвристичеСRИЙ
выбор оптимальноrо решения. Следовательно, метод
rлавноrо критерия стоит праRтически ПРИIVIенять лишь в
тех случаях, ноrда имеются соображения о при мерных
значениях величин t'l (или довольно узких пределах для
этих величин), позволяющие оrраничиться рассмотре..
ние:м: сравнительно небольшой части всето !vIHOiKeCTBa
(слабо) эффеRТИВНЫХ решений.
СФОРIVIулированное свойство эффективных реmениЙ
дает В03!\IОЖНОСТЬ аналоrИЧНЫ!\I образом исследовать и
преДЛОiнеНIIЫЙ Е. С. Вентцель метод последовательных
уступок (см. [85]).
7. Выше было показано, что понятие эффеRТИВНОСТИ
(оптимальности по Парето) иrрает фунда!\lентальную роль
48
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И опРЕДЕЛЕНИ
rrл. t
для :м:ноrо:критериальных задач припяти я индивидуаль..
Horo решения. Это попятие является весьма важным и
для задач, представим:ых в форме мноrо:критериальных,
в том числе задач принятия индивидуальноrо реПIения в
условиях риска и неопределенпости (при конечном мно-
жестве ВО31\IОiНПЫХ состояний «природы» ). Для иrровых
задач (особенно для кооперативных иrр, rрупповыx реше..,
ний и арбитраiI\НЫХ схем) велика роль taRi-I\е и понятил
слабоЙ эффективности: в большинстве аI\сиоматических
систе l, введенных для определения понятия оптимальноru
реmения, треqуется, чтобьi это решение было слабо опти-
мальным по flapeTo (или же слабая оптимальность по
Парето, т. е. слабая эф(реI\ТИВНОСТЬ, является следствием
друrих аксио:м). Мы не будем иллюстрировать указанные
ПОЛОiкения и отсылаем заинтересоваННОl'О читателя к соот"
веТСТВУЮI1 ей литературе L 16, 53, 56, 96]. Подчеркнем
лишь тот факт, что понятие слабой эффе:ктивности :мон-\ет
оказаться полезны:м и для задач припятия ипдивидуаль...
Horo решения.
Действительно, в сложных практических задачах фор..
мирование набора Rритериев является достаточно труд-,
ной пробле:мой. Поэто:му один из подходов :к построению
BeKTopHoro Rритерия состоит в том, чтоБыI вначале соста..
вить по воз:можности наиболее полный перечень прите...
риев, и лишь потом (возможно, впроцессе анализа и ре...
шения задачи) исн.лючить из раССl\tl0трения «лишние» (не-
существенные) Rритерии. В связи с этим возни:кает во...
Х 2 А прос: в паком отношении на...
ходятся множество решениЙ,
эффективных по полному набо...
ру критериев, и, lнол\ество ре...
шений, эффептивных по остав...
шемуся набору.. Оказывается, что
они MorYT находиться. в общем
положении. Это подтверждает
О С х, следующий простой пример.
Рис. 11. При м е р 2. Пусть MHOil-\е"
ство Х ЭТО плоский пяти..
уrольник (рис. 11) , а полныЙ
набор критериев состоит из !1(Х) == Х1' !2(Х) == Х2. ДЛЯ
этоrо набора MHoiKecTBo эффеRТ:ИВНЫХ решений отрезок
АВ. Если же отбросить второй критерий, то IHoiHecTBO
1,6] СОБств нttо Й ПОДЛИННО 9ФФЕНти:вньtЕ РВШЕниft 49
эффентивпыx реIпений по /1........ это отрезон вс. Интерес
по отметить, что если из Х «вынолоть» точну в, то :MHO
н\ества решений, эффективных соответственно по (/1, /2)
И по /1, такя е «лишатся» этой точки, но останутся внеш
не устойчивыми и не будут пересекаться.
'В то же время, как петрудно проверить, всяпое реше
'Ние, слабо эффептuвное по сопращеn1l0.му набору прите
риев, является слабо эффептuвнь .м и по пОЛ1l0.му набору.
А ПОСI{ОЛЬКУ всякое эqJфективпое решение и слабо эффек",
ТИВIJО, то приходи м К таному выводу: после построения
наиболее широкоrо набора нритериев, который в дальней
lпеlVl может подверrнуться СОI{раlцеНИIО, следует выделять
И Iенно множество слабо эффеКТIIВНЫХ решений, так как
если некоторые притерии будут отброшены, то выделен
ное множество будет содержа1Ь все исходные решения,
эффективные по ОI{ончательно ПрИНЯТОl\IУ набору крите
риев.
8. Все ВЫJпеИЗЛОiRенное показывает, что попятие эф
фективноrо решения действительно оказывается фунда
ментальным для теории и праКТИRИ мноrокритериальной
ОПТИ IИЗадии. Остается еПJ;е заметить, что эффективные
решения обладают рядом ориrинальных (не присущих
ТОЧRа I маI\симума числовой функции:) свойств, и поэто
ыIy представляют интерес и с чисто l\Iатематической точки
зрения.
s 1.6. Собственно и подлинно эффеКТИВIIые решения
1. Исследования поназывают, что среди эффективных
l\IorYT встретиться оценки (решения), оказывающиесяв
определенном: СIнысле аном:альными.
При м е р 1. У =:;; {у Е Е21 У1 < (Y2)2}. Эффективные
оценки образуют часть параболы Уl == (Y2)\ лежащую
во втором нвадранте (рис. 12). 1-\ эффективным: относится
и оценка уО == (О, О). Разности координат эффективных
оценон у и уО ОRазываIОТСЯ равными величинам Y2 :::=
-== У2 y == У2> О И !1УI == Уl y == (!1У2)2 < о. Следо
вательно, если перейти из точки уО В достаточно близкую
R ней эффективную точку у, то будет получен выиrрыш
nepBoro порядка малости по второму критерию за счет
проиrрыша BToporo ПОрЯДКа малости по первому крите
4 в. В. ПОДИНОВСRИЙ. в. д. IIоrин
50
ОСПОnНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. f
рию. Если :критерий 11 не считать несравненно-
более ваЖНЫl\I, чем 12, то, по видимому, естественно cor-
ласиться на не:которое увеличение h, допустив на поря
ДОК меньше потери по /1. ТаКИl\1 образом, оцен:ка у О явля .
. u ... .
етея аномальнои: она неустоичива в указанном смысле,
и поэтому соотвеТСТВУlощее ей
решение не l\IOiI\eT,. вообще ro
воря, претендовать на ОПТИ
hfальное.
Рассмотренный пример пока
JY2 эывает, что иноrда и:меет смысл
специально выделять эффек"
уО тивные оцении (И решения),
!It которые лишены подобных не..
желательных свойств. Первое
определение TaKoro рода эф
фективных решений, назван..
ных собственно эффе:ктивными
(proper efficieпt-), было даНО
х. Куном и А. Та:к:кером [1-87].
Однако оно было сформулиро"
вано для дифферепцируемоrо случая ;и связано со спе
циальными УСЛОВИЯМИ реrулярности, ПОЗВОЛIIВШИhfИ по..
лучить необходимые условия оптимальности.' Для общеrо
случая определение собственной эфсрективности было
предложено А. Джоффрионом [161].
Эффективная оценка у О называется собствеll1-l,О эффеп
7'и8UОЙ, или оптимаЛЬ1l0Й по Джоффриоuу, если сущест
вует такое ПОЛОiRительное число 8, что для любых i Е l}!,
У Е У, для которых выполняется неравенство
у2
у
Рис. 12.
о
У! > Yi,:
И HeKoToporo j Е М TaKoro, что
о
Yj<Yj,;
(1)
(2)
выполняется неравенство
(Yi y )/(yY Yj) <: о.
(3)
Заметим, что пос:кольку уО эффеI\тивна, то если суще...
ствует оценка у, для которой ПрИ HeHOT pOM i выполня"
етея неравенство (1) 1 то ОQязательно:найдется номер j, -
1,6] СОБСТВЕННО И ПОДЛИННО ЭФФЕRТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ 51
ДЛЯ KOToporo будет справедливо неравенство (2). Поэтому
смысл приведенноrо определения заключается в требова
нии существования числа 8, для KOToporo при указанных
условиях выполняется (3).
Решения, которым: соответствуют собственно эффек",
тивные оценки, также называются собственно эффеI\Т:ИВ
ными, или оптимальными по ДжоФФриону. Мнол ество
всех таких решений (оценок) буде}I обозначать через
Gj(X) (G(Y». Так, в примере 1 множество G(Y) это
верхняя ветвь параболы Уl == (Y2)2.. (без вершины уО).
II р и }! е р 2. Наилучшая по оценка уО Е У являет...
ся собственно эффективной, так как уО y для всех у Е У
инеравенство (1) не выполняется. Следовательно, реше
ние, обращающее в максимум одноврем:енно I\аiI\ДЫЙ из
критериев It, /2, ..., 1т собственно эффективно. В част...
НQСТИ, в однокритериальных задачах Лlобое оптимальное
решение И собственно эффективно.
При м е р 3. Если множество У конечно, то ВСЯI{ая
эффективная оценка является и собственно эффеI{ТIIВНОЙ.
Действительно, в случае конечноrо У множество Р( У)
внешне устойчиво (9 1.4). Следовательно, если эффектив...
ная оцеlJ ка уО единственна, то она является наилучшей
по ;;::: , и потому собственно эффентивной (пример 2). Если
же Р( У) содерjl{ИТ более одной оценки, то искомое .поло...
j-кительное число 8 :можно задать равен.ством:
{ О \
y. y.
е == шах t У Е У,.
у. У .
J 1 .
(, j Е M. t
i =1= j;
Yi > Y ! У; < У1).
Итак, если У конечно {а для этоrо достаточно конеч
насти множества Х), то понятия эффеI{ТИВНОСТИ и собст'"
венной эффективности равносильны.
Эффективная оценна, не являющаяся собственно эф...
фективной, называется uесобствеuuо эффек,тuвиой. Ан а...
лоrичная терминолоrия вводится и для решений.
В соответствии с определением, если уО несобствепно
эффективна, то это означает следующее: для любоrо
сколь уrодно большоrо 8 > О найдутся такие i Е Af,
у Е У, удовлетворяющuе (1), что для ВСЯRоrо j, для I\OTO-
4*
52
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. 1
poro выполняется (2), будет справедливо неравенство
(Yi y )/(yJ Yj) > 8. (4)
ВОЗЬ}Iем бесконечно возрастаIОЩУЮ последователь--
ность положительных чисел {ВТ}: lim ВТ == + со. Если у О
T OO
несобственно эффективна, то I{аждо:му r::::z 1, 2, .,. можно
поставить в соответствие номер i(r), для KOToporo при не--
котором: У Е У справедливо неравенство (1) . Так как
множество };! конечно, то в последовательности {i(r)} по
крайней мере один номер i повторяется бесконечное чис-
ло раа. Пусть этому номеру соответствует последователь--
ность индексов {rl}. Таким образом, для любоrо члена
бесконечно возрастающей последовательности {8rl} су--
ществует таная оценка У Е У, у которой Yi > Y И при
любом j, удовлетворяющем (2), выполняется неравенст-
во (4) с 8 === e Tl .
Изложенное означает, что переходом от несобственно
эффективноrо решения к некоторому друrом:у мол{но
обеспечить приращение по крайней Iepe по одному част--
ному критерию за счет потерь более высокоrо порядка
м:алости по всем тем критериям, значения которых умень--
шатся. Иными словами, несобственно эффективные реше-
ния в указанном: С}Iысле аномальны (неустойчивы) .
При м е ч а н и е 1. Как уже указывалось, понятия
собственно эффективных оцеНОR и решений не имеет
смысла вводить в тех случаях, коrда одни критерии не--
сравненно важнее друrих. Задачи, в которых критерии
упорядочены по важности (и перенумерованы) так, что
каждый предыдущий несравненно важнее, че1\1 все пос--
ледующие, называются лексиноrрафическими задачами
оптимизации, так :как в таких задачах отношение нестро-
roro предпочтения является леI\сикоrрафическим поряд--
ном lex. Этот ПОрЯДОI{ задается следующи:м образом:
у lex y ', коrда выполнено одно из условий:
,
1) Yl>Yl;
, ,
2) Уl == Уl, У2> У2;
.................. .
,
т) Yi == Yi,
1п + 1) у == у'.
i == 11 2", · · '.t т 1,1
,
Ут > y ;
1,6] СОБСТВЕННО И ПОДЛИННО ЭФtI>ЕНТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ 53
Отношение lex, ЯВЛЯlощееся . полным, упорядочивает
оцеНIЛ:! подобно тому, как располаrаются слова в словаре,
и этим: объясняется происхождение прилаrательноrо
«лексикоrраФическиЙ». Из определения видно, что в лек
сикоrрафической задаче следует добиваться сколь уrодно
малоrо l1риращения более важноrо критерия за счет сколь
уrоДНО больших потерь по всем остальны:м,' менее важ..
нЫМ критериям. Именно ПОЭТОl\fУ леКСИRоrрафически
оптимальная (наилучшая по lex) оценка н_е обязана
быть собственно- эффективной, хотя, как леrко убедиться,
она обязательно является эффективной. Так, в примере 1
(рис. 12) оценка уО лексикоrрафически оптимальна и эф...
mеI\тивна, но несобственно.
А
ЛексикоrрафичеСRие задачи ОПТИl\lизации обстоятельно
расс:м:атриваются в [85].
2. В 9 4 было указано, что задача мноrокритериальной
опти:мизации является специальным случаем задачи опти"
мизации относительно конуса. Однако понятие собствен...
ной эффеl\ТИВНОСТИ (по Джоффриону) существенно
использует «координатный» характер отношения :2:: и ПО...
этому на более общий случай оптимизации относительно
конуса прямо не переносится. В связи с ЭТИl\-1 БорвеЙНОl\-1
[124] было предложено общее определение собственной
эффективности, которое мы СфОРlVlулируеl\-I здесь примени
тельно к мноrокритериальной задаче оптимизации.
Для этоrо понадобится понятие касательноrо конуса.
Касательпь м, попусом, Т(А, уО) ко MHoiKecTBY А с=. Ет в
точке уО Е А называется м:ножество всех векторов из Ет,
!{оторые являются предельными точкам:и вида w ==
=== lirд t r (уТ уО)} rде {t r } последовательность неотрица
r oo
тельных чисел, а {ут} последовательность точек из А,
сходящаяся к уО.
На рис. 13 представлены касательные конусы ко мно'"
Жеству А с: Е2 В трех ero rраничных точках. Заметим, что
Для внутренней точки MHOiKeCTBa А касательным: кону"
сом является все пространство Ет. Касательный конус
т (А, уО) представляет один из видов аППРОКСИl\lации :мно...
Жества А в точке уО. НеТРУДIIО проверить, что касатель",
Вый конус действительро является конусом с вершиной :в
начале координат? и ПРИТО}f зам:кнутым,
54
ОСНОВНЫЕ понятия и ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. t
Теперь :м:ожно сформулировать определение собствен..
ной эффективности по Борвейну, которую будем называть
подлинной эффективностью (при этом полаrае:м: У == Ет).
Оценна уО е у называется nодлu1t1tо эффептuвной,
или оптимальной по Bopeeu1ty, если она эффективна и
т (У *1 уО) n Еr;. === {O(m)}1J (5)
rде
у * == у ЕТ:; == {z Е Е т (z == у е, у Е У, е Е E l. (6)
==
Решения, оцеНRИ которых подлинно эффективны, так-
же называIОТСЯ пOBJtU1tUO эффептuв1tъ .мu. Множество всех
у'
!/2
8,
Рис. 13.
таких решений (оценок) будем обозначать через
BfCX) и (в(у». Соrласно определению подлинной эффек"
тивности ВСУ) s=P(Y) и l!j(X) PI(X).
При 1 е р 4. Для ПрИ lера 1 У * == у u {у Е Е21 Уl :::;
<: О, У2 <::: О}. Здесь каждая эффективная оцеПI{а, Rpo te
уО, подлинно эффеRтивна С так что В( У) с Р( У».
т е о р е I а 1. Собственно эффе1'i,тuв1tая оцеn1i,а явдя..
ется u подлunпо эффептuв1tой.
До!{азательство. Пусть yOeG(Y), но уОФВ(У),
т. е. существует вентор а Е Т (У *, уО), все компоненты
KOToporo неотрицательны :и по крайней l\lepe одна, ска...
жем: al, положи'rелъна.
1.6] СОБСТВЕННО й iIОДJ1ЙННО ЭФФЕ:t\т:ИВttЬ!Е РЕШЕНI1Я 55
Пусть tr(yr b r уО) --+ а, rде ь Т Е ЕТ; , t r о, уТ .........ь'
--+ уО, уТ Е У. Поскольку множество M конечно, то, при
необходимости перейдя к подпоследовательности, можно
считать, что множество
М == {i Е М 1 y < yf}
постоянно для всех r (оно непусто, так как уО Е Р(У).
:Кро:ме Toro, так как а! > О, то без оrраничения общности
все числа t r можно считать положительны:м:и. Возьмем
произвольное 8 > о. Тоrда для достаточно большоrо числа
N при любом r N будут справедливы неравенства
y У? > az/2 t r1
yI У? :?:. aZ2/etT' i == 11 21 · · '1 т; i =t= l.
Поэтому для каждоrо t е М
О < y ........ уТ ;a;az/28t r .
Следовательно, для каждоrо r N и любоrо i Е М
Yl УУ > 2a z 8t, == е ,
Y У! === 2a z t r Jj
f'
а это противоречит уО е G( У). .
Теорема 1 показывает, что G(Y) B(Y) и Gj{X) s=
s;: В f (Х). в примере 1 несобственно эффективная оценка
уО не является и ПОДЛИНllО эффективной, так что
С( У) == В( У). Однако возможно 1I cTporoe ВI{лючение
С(У)сВ(У).
Пример 5. У=={УЕЕ 2 IУ2==1IУl, Yt>O}. Эдесь каЖ
дая оценка эффективна и, очевидно, подлинно эффектив
на (так что У == Р( У) == В( У»), но не является собственно
эффеI{ТИВНОЙ (G (У) == 0). Действительно, для У и
yt == (t, 1/t), rде t > Уl, получае:м:
t
lim у 1 У: == + 00.
t-+oo У У ""
2 2
Следует отметить, что переход И3 произволъпой ТОЧRИ
у В достаточно БЛИ3КУIО точку У + y дает уменьшение и
увеличение критериев одинаКОБоrо порядка малости.
58
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. t
Этот ПРИl\fер подводит R выводу О том, что понятие
собственной эффективности излишне «жесткое»: опо «вы...
браRовывает» и. таRие эффеRтивные решения, которые
вполне MorYT «претендовать» на оптимальные. Поэтому
определение Борвейна представляет и самостоятельный
интерес для М I10rОRритериаль"
ных задач оптимизации.
3. Выше были введены по...
IIЯТИЯ эффеRТИВНОСТИ неСI{ОЛЬ'"
RИХ типов и установлена опре..
деленная взаИl\-IОСВЯЗЬ между
ними, схем:атически представ...,
ленная на рис. 14. Этой схеме
соответствуют следующие вклю"
чения для множеств оценок и
решений, эффеRТИВНЫХ в раз..
личных смыслах:
СоосmdеllllOЯ Jf/lфl'/(тиdllость
(onтl1110llbllocтb по IlJКOI{JI/lPI10/l!/)
!
Лоi}ЛШIНОJl JrprpeJ(тиdllocтb
(ощт1lfОА6Ность по б(Jр flН!I)
:Jf/Jf/JfxтиdIlOCтb
(олтиtюАhн()сть lЮ Лорепю)
Слodоu .JfIJr/;eKтll /IOC/ll1J
(C//o5ug (JлтUf1u.льность 110 Ларето,
-олтl1ffU/lblIость по C.IIlijтOfJ!/)
Рис. 14.
а(У) с:: В(У) s; Р(У) S(Y),
(7)
Gj(X) Bf(X) Pf(X) Sf(X).
Примеры, приведенные в этом: и предыдущих параrрафах,
ПОRазывают, что наждоеиз этих в!{лючений, вообще rOBo-
ря, CTporoe.
В связи с этим БОЛЫllОЙ интерес представляет вопрос
о том, при RаRИХ условиях (в каких случаях) понятия
эффеI{ТИВНОСТИ различноrо типа оказываI{)ТСЯ ЭI{вивалент"
ными, а множества соответствующих оценок и решений
раВНЫ IИ. Это объясняется тем, что анализ условий совпа...
дения решений, эффеRТИВНЫХ в различных смыслах,
позволяет оценить степень взаимной близости понятий
эффеRТИВНОСТИ разных типов, а таRже дает ВОЗмол{ность
прямоrо переIlоса Toro или ИНОI'О результата, полученноrо
для эффеI{ТИВНЫХ реlпений одноrо типа, на друrой.
В примере 3 было ПОRазано, что для задач с конечным
l\fножество:м ДОПУСТИ IЫХ решений понятия эффеRТИВНОСТИ
и собственной эффеRТИВНОСТИ, а значит, и подлинной эф...
феRТИВНОСТИ совпадаIОТ. В дальнейших rлавах исследова-
ние поставленноrо вопроса будет продолжено. Здесь мы
докаiкем: лишь одно утверждение, ноторое понадобится в
СЛедующеЙ rJIaBe (C I., например, [4, 77J).
1.7]
ЭФФЕНТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
57
т е о р е м а 2. Если Jrt1-l0жество Х вЬLпупло, а вептор'"
фуиnцuя 1 строе о nвааивоенута *), то
8 j (X) == Pj(X), 8(У) == Р(У).
д о 1\ а з а т е л ь с т в о. Учитывая ВRлючения (7),
остается проверить, что 8 j (X) 5 Pj(X). Предположи-:м, что
х о Е 81 (Х), но хО Ф Р! (Х), Т. е. существует х' Е Х TaRoe,
что верно f(x') > f(xO). В силу строrой Rвазивоrнутости
f для точки х == (х' + хО) /2 Е Х должно выполняться
f(x»f(xO), что противоречит слабой эффеRТИВНОСТИ хО. 11
э 1.7. Эффективные последовательности оценок
u
и реmении
1. RaR известно, далеко не у ВСЯRОЙ ОДНОRритериалъ-
ной задачи существуют оптимальные решения. MHoro та...
RИХ примеров можно найти в теории оптимальноrо управ..
ления (Cl\f., например, [52]). Поэтому естественно ожи...
дать, что встречак)тся и :мноrонритериальные задачи,
в ноторых Ьfножество слабо эффен.тивных решений не
является внешне устойчивым, а '1'0 и вовсе пусто.
При :м: е р 1. Пусть упраВJlяеrvIЫЙ процесс описывает...
ея системой оБЫRновенных дифференциальных уравнений
Z1 (t) == sin 2ЛХ 1 (t), Z1 (О) == О,
Z2(t) == cos 2ЛХ1 (t), Z2(O) == О,
zз(t) == sin 2ЛХ2(t), zз(О) == О,
.
Z4(t) == соs2лх 2 (t), Z4(0) === О,
;5 (t) == 1 Z (t) z (t), Z5 (О) == О,:
;6 (t) == 1 ; (t) ;: (t)t Z6 (О) == O ,;
rде Х 1 (t) и X2(t) выбираемые независимо друr от друrа
управления 1\усочно непрерывные фуннции, определен...
ные на отреЗ1\е [О, 1]. Критерии 11 и 12 определяются
*) Определение cTp6ro J{ваэивоrнутой функции приведено
в 3 2.2.
58
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
rrл 1
слеДУЮIЦИМ обраЗОl\I:
11 == е%5(1) cos [3л (Z6 (1) +)]t
12 == е%5(1) sin [3л (Z6 (1) )].
Выяспим вначале, каRие значения zs(1) и z6(1) мотут
быть Достиrнуты. IIосколы\y при люБОl\I управлении
Хl (t) обе Rоординаты Zl (t) и Z2(t) не MorYT одновреl\Iенно
тождественно равняться нулю, то Z5( 1) < 1. Однано мож'"
но получить значение Z5( 1), СI\ОЛЬ уrодно близкое к 1.
Действительно, пусть Хl (t) == kt, rде k > о. Найдем соот-
ветствующие значения Zt(t), i == 1, 2, 5:
1 1
Zl (t) == 2nk (1 cos 2лk t ), Z2 (t) == 2nk sin 2лk t })
Z1)(t) == [ 1 2 ] t + 8 sin2пkt.
2лk 4лk
Следовательно,
zs(1) == 1 1/(2л 2 k 2 ),
и при неоrраниченном росте k это значение стремится к
единице.
Минимальное значение Z5 (t) можно получить при лю...
БО 1 постоянно:м управлении Х! (t) == а, и это значение
равно 2/3. Любое значение между 2/3 и 1 1\10ЖIIО достичь,
надлежаЩИ}f образом КО lбинируя на [О, 1] рассмотрен..
ные управления.
Аналоrичные рассуждения показываIОТ, что Iножест"
вом возможных значений Z6 ( 1) является интервал [2/3, 1).
посколы\y Х! (t) И X2(t) выбираIОТСЯ незаВИСИl\IО друr от
друrа, то множество достижимости по координатаl\I Z5, Z8
при t == 1 есть незамкнутый квадрат D, изобраiI\енный на
рис. 15.
Поэтому множество У возможных значений венторно-
ro критерия (/1' /2) оказывается незамкнутой фиrурой,
представлепной на рис. 16. В ЭТО 1 можно убедиться, если
ввести комплеRСНУlО пере:менпую Zs + iZ6 и рассм:отреть
функцию
ti + i/2 == е Ю ,
1 71
ЭФФЕ1\rrИВн:Ь1Е ПОСJ1ЕДОВА Т J1ЫIОС1'И
59
rде w == Z5 + i3n (Z6 ...... 2/3) , Rоторая задает Rонформное
отображение D на У.
Рис. 16 наrЛЯДflО показывает, что Iножество эффек",
тивных оценок Р( У) (и слабо эффеI\ТИВПЫХ оценок S (У»
здесь является пустым.
2. Для однокритериальных задач, в которых оптималь...
ное решение nе существует, приходится использовать по
2. nятие максимизирующей последо..
I ..... ....---......... _ вательности (см. 1.3). Это поня",
д тие оказывается полеЗНЫ I и в тех
;):! ..... ... ... .... --- .... .... I f2
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I Zs
{)
Рис. 15.
о
Рис. 16.
f!
случаях, Rоrда оптимальное решение существует, тап
!{ак позволяет анализировать итеративные методы опти",
мизации, широко применяемые для решения приклад'"
ных задач.
Естественно, что попятие максимизирующей последо...
вательности целеоообразно обобщить и на мноrокрите..
риальные задачи. Это можно сделать при помощи понятия
8 эффеRТИВНОЙ оценки, rде 8 Е ЕТ; [77, 78].
ОцеНRа уО Е У называется 8-.мапсuмаЛЬ1tОЙ (по :::::-
относительно У), или 8 эффеJli,тuвnой, если не существует
оцении у е у такой, что у > уО + 8. ОтмеТИ I, что 8 Эф'"
фективной при Лlобом 8 Е E является произвольная
==
эффективпая оценна.
Последовательность оценок {yk} У пззывается эф...
фептuвnой, если либо lim y === + 00 для I{аждоrо i Е Д;1,
k oo
лпбо для любоrо ненулевоrо вентора Е Е Е"; существует
такое число N, что для БСflI\оrо k > N оц ен ка y1t будет
8 эффеКТИВIIОЙ. Напри:мер, последовательность, состоящая
из эффективных оценок, эффеl\тивна. Поэтому эффеl\ТИВ
Нан последовательность MO/I\eT не быть сходящейея.
60
основныI ПОgЯ ЙЯ й ОПРЁДЕпЕНИЯ
(rJ1, {
3. Соответствующие определения сразу вводятся и для
решений: решение х о Е Х называется в эффектив1iЫМ,.
если ero оценка уО является в эффектив1iОЙ;
последовательность решений {Xk} s;; Х называется эф...
фективной, если соответствуюшая ей последовательность
оцено:к {yk} эффективна.
Свойства эффективных последовательностей оценои и
решений подробно разбираются в Э 2.7.
* 1.8. Эквивалентные векторные критерии
1. При изучении ряда вопросов мноrОRритериальной
оптимизации И, в частности, при выделении MHOi-RеСТВ (ела..
бо) эффективных решений используется по существу не
сам ве:кторный :критерий f, а порождаемые им отношения
'предпочтения ::'/' 1 и отношение безразличия '" J ВО
множестве решений х. Поэтому, например, если для не...
СRОЛЬ:КИХ венторных :критериев /1, f2, ... соответствующие
отношения :=/1, :::/2, . .. (или же 11, 12, · . · ) совпадают,
то для ОТЫСRания эффе:ктивных (слабо эффективных)
решений можно использовать тот из притериев, RОТОРЫЙ
наиболее удобен в вычислительном отношении. В обыч..
ных, одно:критериальных задачах оптимизации таRОЙ под....
ход используется тИрОRО и плодотворно.
Эти соображения у:казываIОТ на целесообразность вве...
дения следующеrо определения, в :котором череа > ("; f)
.......
обозначается отношение в У (соответственно в Х), ЯВЛЯJО'"
щееся объединением> и == (соответственно ! и ,....,j)*).
Векторные критерии 11 == (Л! 1 , ' , '.' 1 1) И 12 == (л
/;, . . '.' 1 2)' определенные на Х, называются эквивалепт
ны:ми по (по ;::'), если порождаемые ими в Хотношения
,....
/l и f2 (;::.'i И -; /2) совпадают, т. е. если для любых х,
х' Е Х верно f1(x) fl(X') (соответственно fl(X) > fl(X')
*) Новые обозначения введены здесь для упрощения записи,
f"08aJ
И отношения > и ! не обязательно интерпретировать нак отно"
шения HeCTpororo предпочтения, например, в задачах rРУIIповоrо
выбора (СМ. З 1.4).
11.8]
вRвивАлЕнтныE ВЕНТОРНЫЕ НРИТЕРи1t
61
тоrда и ТОЛЬRО тоrда, Rоrда /2 (х) ;z: /2 (х') (соответственно
/2 (х) > /2 (х' ) ) .
Из этоrо определения следует, что эпвивалентные по
(по ) притерии порождают в Х одни и те же отно"
шения cTpororo предпочтения t.f (>--- f) и безразличия "'"' f.
Поэтому, в ч,астности, им соответствует одно и то
же множество эффептивных (слабо эффеПТИВIIЫХ) ре..
шений.
Предположим, что Rритерий /' получен из i переста..
новкой частных притериев. Очевидно, / и /' эквивалентны
и по )---, И, по . Следовательно, множества Pj(X) и Sj(X)
инвариантны относительно перенумерации частных при..
териев. Подчерннем, что речь идет об инвариантности
этих множеств именно в целом: выбираемое по непоторы'м
соображениям эффептивное или слабо эффептивное ре--
шение тапим свойством, вообще rоворя, не обладает (на--
пример, лепсипоrрафичеСRИ оптимальное решение всеrда
эффективно, однапо после перенумерации притериев, оста..
ваясь эффептивным, оно может не быть леПСИRоrрафиче..
ски оптимальным). Заметим, что надлежащим образом
сформулированные свойства независимости или же зави..
с:имости выбора решений от нумерации нритер:иев леil\а1
в основе аRсиоматичеспой теории важности критериев
[82, 96].
Приведем неСRОЛЬКО известных простых ytbepiI-\дений
(C I., например, [77]), ПОЗБОЛЯIОЩИХ в ряде случаев ре..
тать вопрос об эпвивалентности векторных нр:итериев,
а также строить повые нритерии, эпви:валентные данному.
Л е м м а 1. Если притерии /1 и /2 э-пвивалеnТnЬL по ::
.....
или >---,'- ТО эпвива.леllТnЬL в TOJt же СJtЬLс.ле и -притерии
f' == и , f , .. ., f , ",) и f" == и , f , · · " f , 'IJ), еде 'IJ
проиавольпая числовая фуппция, определеn1-UlЯ па Х.
Л е:м м а 2. Пусть возрастаЮlцая па У; числовая
фуп7':tция; тоада притер ии f == (/1, /2, ..., /т) и /' == (/1, /2', ....
. . ., /; i, (/j), /;+1, ..., / т) эпвивалеnтnы по и по .
л е м м а 3. Если СР(У1, У2, ..., Ут) niYбывающ,ая по
> (возрастающая по » 'па У числовая фУТ--lпция, то при..
терuи / == (/1, /2, ..., 1т) u f' == (/1, ..., /т,' СР(/l, ..., /т))
аквuвадеnТnЬL по ;; (по ).
62
OCHOBHtIE понятия И ОПРЕДЕЛЕIIИЯ
(rл. 1
в справедливости этих лемм леrко убедиться, исходя
непосредственно из определений отношений ! и j. До-
кажем, например, лем:му 3.
Пусть f(x) /(x'). Если ер неубываЮIцая по > ФУПR
ция, то при этом ep(j(x» ep(f(x'», так что j'(x) j'(x').
Если же j(x) > f(x') и ер возрастает по >, то ep(f(x» >
> cp(f(x'», и поэтому также j'(x) > j'(x'). Пусть теперь
f'(x) f'(x'). Тоrда f(x) :?:. f(x'). А если j'(x»/'(x'), то
/(х) > /(х'). .
Лемма 1 показывает, что если была установлена экви
валентность критериев /1 1I /2, а затем оказалось, что мно"
rокритериальпая модель ПрИllЯТИЯ реmений пеадекватна
реальной проблемной ситуации и необходимо добавить
еIце один или неСRОЛЬRО частных критерпев, ноторые так..
же желательно маI{симизировать, то «расширенпые» BeI\"
TopHbIe критерии вновь окажутся эквивалентными.
Лемма 2 rоворит о TOl\I, что отношения ! и f не И3
меняются при произвольных MOHOTOIIHI:JIX преобразованиях
частных критериев. ПраI\тичеСRИ это означает, что ОТНО'"
шения ft t,f и 'i--- f (а потому и IHoiHeCTna Pj(X) и 8 j (X»
:можно вводить в любых мноl'онритериалыIхx задачах
максимизации как с количествеНllЫ IИ, тан и с качествен..
ными критериям:и (т. е. ДОПУСТИl\I0, чтобы шкалы qастных:
критериев были Bcero лишь порядновыми).
Монотонные преобразования lrl0iKHO использовать и для
приведения частных критериев к БОJIее удобному виду,
облеrчающему анализ задачи и построение l\lножеств
FJ(X), SJ(X)' Например, I{ритерпй fi (х) ==ех р [ i / Xi)2]
не является воrпутым на Еn, 'но ero lt'10iI\HO заlrlенитъ на
n
Боrнутую функцию....... (Xj)2lTaH как функция ln t возра
.1==1
стает на (О, +00». Критерий !i(X) == 1 (x)l, rде диф.
ференцируемая функция, терпит «пзлом» при (x) == О,
но вместо Hero М:ОiНПО использовать rлаДI<УIО ФУПКЦИIО
62(x) (ибо .......t 2 возрастает па ( OO, О]).
Отметим еще, что Лlобой критерпй fi IОЖIIО замеПIIТЬ
на kfi+l (rде k>O), a/ i (а>1), b f1 (О<Ь<1) или па
fi (е ...... печеТIIое положительное число). Если критерий
1,8]
ЭRВИВАЛЕнтнъm ВЕНТОРНЫЕ RРИТЕРИИ
63
fi положителен на Х, то Bl\feCTO Hero можно взять f (a>
> О), 1/fi или log f1( > 1), а неотрицательный критерий
fi можно преобразовать в f ( > О). Указанные преобра..
зования плодотворно применяются к критериям в обыч..
ных экстремальных задачах.
Для практичеСI\оrо использования леммы 3 (и друrих
утверждении, в которых rоворится о неубывающих и воз...
растающих по или > ФУНI{ЦИЯХ *» полезной оказы..
вается
Л е м м а 4. Если Фуппция ер(У1, У2, ..., Ут) определепа
lla Z I Z1 Х . . . Х Zm Ет и является пеуБЬtвающей по
па;нсдой переме1l1l0й Yi (возрастающей по паждой пере.меп..
1l0Й Yi; пеуБЬL8аl0щей по паждой и возрастающей хотя бьt
по одпой пере.мепflОЙ Yi) при любь'tх фипсироваппь'tх зпа
чепиях осталъ1tых nepeMen1tb'tx У; Е Zj, ТО опа является
пеуБЬtвающей по > и > (возрастающей по ; возраста
10Ufeu по ».
Действительно, если У у' и ер не убывает по каiI\ДОЙ
переменной Yi, то
ер (у) '> ер (y , У2' · · ., Yт) '> ep(y , У;, · · ., Ут» · · · > ер (у')"
откуда ср(у) cp(y'). Если У > у', а ер возрастает по KajI "
дой перемеПIIОll Yi, то в цепочке перавенств для ер хотя
бы один раз встретится >, и в итоrе будет ер(у) > ер(у').
НаI{онец, если у > у', а ер не убывает по I\аiI\ДОЙ перемен..
u u u
пои Yi И возрастает хотя оы по одпои Yt, то В этои цепоч..
ке опять хотя бы один раз встретится >, и по тому
ер(у) > ср(у'). .
Например, лемма 4 показывает, что функция ер (у)==
т
== LiYi, rде все J.tt О, но хотя бы одпо J.ti > О (и, в част...
i==l
ности, фУНI\ЦИЯ <р(у) == уз), является неубываlощей по >
и возрастающей по > на Ет. Следовательно, учитывая
ле пну 3, при построении l\Iножеств Pj(X) и 8 j (X) можно
из нескольких повторяющихся частных I\ритериев оста...
вить лишь один, и можно отбросить частныЙ критериЙ,
ЯВЛЯЮЩИЙСЯ линейной комбинацией с положительными
*) Так как у > у' влечет у > у', ТО функция, неубывающая
(возрастаlощая) по >, является веубынаlощей (возрастаlощей)
и по >,
64
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[rл. t
КОЭффIIциента IИ всех или несколы\хx остаJIыIхx крите..
риев.
При м е ч а н и е. Интересным является вопрос о TO f,
В какой мере достаточные условия, указанные в ле Il\lе 4,
являются и необходимыми. Леrко видеть, что если ср(у) .......
неубывающая по > функция на Z == Z. Х ... Х Zm, то она
не убывает и по каiI\ДОЙ переменной. Обладает ли аиаJlО"
rИЧН IМ своЙством ФУНI\ЦПЯ <р, nозрастаrощая по >?
Рассмотрим простой ПрИ Iер: т == 2, Z. == Z2 == {О, 1}.
<р(0, О) === О, ср(О, 1) == <р(1, О) == ......1' ср(1,1) == 1. Здесь Ф
возрастает по > на {О, '1} Х {О, 1}, тем не менее по каrИ-
ДОЙ переменноЙ не является даiке неубываIощей.
Справедливо, однако, утверll\дение (см. [77]): фУНI\ЦIIЯ
tp, непрерывная и возрастающая по > на OTRpbITOM l\IHO'"
жестве Z === Z1 Х . . . Х Zm s;; Ет, является неубывающей по
каiКДОЙ переl\lеНIIОЙ.
Для доказательства ДОПУСТИlvl, что утверждение веnер..
, " Z ' " , "
но, так что найдутся такие у , у е , ЧТОУi>Уj, Yi == Ур
i ::::: 1, 2, ..., т; i =1= j, однако 8 == <р(У") ...... ср(у'» о. Возь..
мем такое достаточно l\lалое б > о, чтобы у б == (y + б" . . .
..., у +б)ЕZ и <p(y6) <p(yt)<B. 'rоrда
ср(у6) ср(у") <
<: I ср(у6) <р(у') I + ср(у') ...... ср(у 11) < в е == о.
Следовательно, ср(у6) < ср(у"), хотя уб> у", а это ПРОТIIВО--
речит предположению о том, что ер возрастает по >. .
2. Леrко убедиться в том, что определение эффектив--
ной последовательности адекватно при возрастающих не..
прерывных преобразованиях критериев. Это объясняется
,
тем, что в указанном определении по существу IIСПОЛЬЗУ"
ется тополоrичеСI{ое понятпе окрестности точки в крите..
риальном пространстве.
3. Определения собственно и подлинно эффективных
реmений связаны с конфиrурацией множества допустимых
оценок. Поэтому эти определения, как нетрудно проне...
рить, адекватны при аффинных положительных преобра..
З0ваниях критериев (при умнол\ении на положительное
число и прибавлении константы). Следовательно, понятил
собственно и подлинно эффективных реmений имеет смысл
использовать лишь н тех задачах, в которых все критерии
являются количественными,
rЛАВА 2
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
в этой rлnnе в заПIlСIl IОСТIJ от CBoiicTB 1\рптерпев и
структуры l\ПIОil\ества ДОПУСТIlМЫХ решений ФОР IУЛИРУ-
IОТСЯ раЗЛИЧНОI о рода пеоGХОДlJ lЫС и достаточные условии
Toro, чтобы данное реlпепие или данная оцепна были 8
том ПЛИ ИIIО!\I смысле ОПТП IаЛЬНI)l III (эФФеКТIIВНЫМП).
I\aH и в обычных 3l\стре lалыIхx задачах, знанпе условиЙ
ОLIТПJ\13ЛЬНОСТИ позволяет разрабатывать Iетоды отысна...
IПIЯ ЭффСI\ТПВНЫХ реlпеппЙ и способы проверI\И ЭффеR....
ТllВНОСТП выделеННОJ О рСПlеНIIЯ. I\poJ\fe Toro, эти УСЛОВIIЯ
позволяют rлубiI\е попнть ПРПРОДУ II взаПl\110СВЯЗЪ различ--
IIoro тппа эф(реНТИВlIЫХ реlпений, а так/не IIсследовать
СТРУI\ТУРУ и свойства hIHOil\eCTB эффективных решении
II оценон.
УЧIIтывая взаПl\IОСВЯ3Ь раЗЛIIЧНЫХ попятпi1 эффеНТIIВ"
ПОСТН, схеJиатпчески представлеНПУIО па рис. 1.14, следует
lI IeTIэ в виду, ЧТО условия, ЯВЛЯЮlцпеся достаточными длн
эФсIJеI{ТИВIIОСТII в пеI\ОТОрОМ унаааПIIОl\I С lысле, оназыва...
IОТСЯ доста точпыI\Iии II для эфq)СI\ТИВIIОСТП В более тиро....
]\O l Сl\fысле. 11 наоборот, УСЛОВIIЯ, ЯВЛЯIОlциеся необходп--
[ЫМП дЛЯ эффеl\ТlIВIIОСТН в установленном с:м:ысле, ОRазы.
ваются IIеоБХО-ДII IЬПvlI1 для эфq)еRТIIВIIОСТП в более Y3HO [
смысле. IIапрпмер, условно, достаточное Д:IЯ собственной
эфq)еRТIIВIIОСТII, будет достаТОЧНЫl\l для всех трех друrпх
ТIIПОВ эффеНТIIВНОСТII, вил ючая с.:rаБУIО. Л условие, пеоб
ХОДIIМОС для слабоЙ э(рqJеНТIIВIIОСТП, будет пеобходпмым и
; ЛЯ всех остаЛЫIЫХ трех ТIIПОВ эфсреRТIIВIIОСТП, в том ЧIIС--
.J
Jle п для сооствеПIlОII.
В пеРВОl\l naparpaqJe rлавы устапаВJIпваIОТСЯ УСЛОВIIП
оптп IалыIстпп для оБJ1 еrо случая, т. е. без I аI их либо
оrраПIIЧIIтельпых преДПО,ЧОiI\еппii о CTPYI Type l\lHOil\eCTBa
J\ОПУСТИ}IЫХ решенпii II своЙствах BeRTopIloro I\рптерил.
В послеДУIОЩНХ пяти параrраq)ах раСС lаТРIIваются l\IIIO
rонрптериальпые задачи разлпчныIx J\лаССОБ (воrнутые,
.iIIнейпые и Т. д.), 11 для них ПрlIВОДЯТСЯ более содерл\а
h
i.> В. В. ПОДИIlОВСI\иit, В, д. lIоrиц
66
VСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
(rл 2
тельные услоnия ОПТИ!tlаJILНUСТII. Ilрп ДОI,азательстве этих
условий оптимальности широко ИСПОJIЬ3УIОТСЛ Teope lЫ об
альтернативе ДJIЯ систем JIинейных и воrпутых Hepa
венств. Последний, седь:мой, параrраф посвящен оБСУiкде--
нию свойств эффективных последовательностей.
Поскольку в этоп и всех последующих rлавах прово--
дятсл чисто анаЛIlтическое исследование мноrОI\ритерlI
алъныx задач, форм:альпал постановка и содержательныЙ
смьtсл которых были подробно разобраны в rлаве 1, то
далее тироно используется II общематематическая тер..
:минолоrия: решения 11 их оценки часто называются точ"
камЙ соответствующих МНО/Беств (x и У), притерии !,........
фУНКЦИЯМll И т. Р,
* 2.1. Общие УСЛ1)ВИII ОПТIIмальности
Здесь устанаВЛП'ваЮТСR УСЛОВIIЛ оптималЫlОСТИ без ка..
ких--либо существенных предположений -относительно
структуры 1.IHOiKecTBa допустимых решений Х и свойств
заданной на He 1 вектор Функции f;;:: (/1, /2, .. ., 1т). Мно"
rие иа этих условий оптимальности являются переформу..
лиройками или «почти переформулировкамп» введенных
1J rлаве 1 раз.личных определений эффективности. Для
простоты и наrллдности изложения вначале рассматрива..
ются условия эффективности применительно к оценкам,
а затем показывается, что полученные результаты леrко
trереносятся и па реmения.
1. Начнем с рассмотрения свойств слабо эффеI\ТИВНЫХ
оценок.
т е о р е м а 1 (I'еРl\lейер). Предполо"сuм, что уО Е У и
все y > о. Оценпа уО слабо эффептuвuа тоеда и то.лЪ1i,о
тоеда, 1tоzда существует вептор J.1 Е 1\'1 тапой, что
· о ·
111Н1 tiYi == шах 11l1n tiYi.
iel\l уЕУ 1El'\l
(1)
Для слабо эффе1'iтuвпой оцеnпи, уО е У JJtо,ж1tо припять
J.1 == J.1 0 , еде ....0 Е ]\'1 вептор с о,мnоnеnта.ми
f!1 == л: t i == 1, 21 .. '1 т; Л О == 1 /i " (2)
у i / h ==1 У k
2 1)
ОЕПХИЕ Условия ОПТИМАЛЬНОСТИ
67
II тоеда
max min fYi == 'Л О
IIЕУ {е l\tl
НаПОМПИ f, что 1 это множество вепторов из Ет с
пОЛОi-I\ительпыми компонентами, в СУ}lме равными единице.
Д о 1\ а з а т е л ь с т в о. Из равенства (1) следует, что
ДЛЯ JIlобоrо у Е У существует помер i е М такой, что
y > Yi. Поэтому условия (1) достаточно для слабой эффеR
тивности уО. Докал-tем необходимость. Для этоrо возьме I
Bel\TOp ,..,0 е М С Rомпопента IИ, определяе:мыми формула..
ми (2). Из уО е S( У) следует, что для каjRдоrо у Е У cy
Iцествует j е М, при I\OTOpOM выполняется неравенство
yj > Yi 1 а апачит, и неравенство 1y1 > 11 !lj. Поэтому
о о '1 0 · О О > · о
jYj == 1\/ == mln !liYi == mlD iYi. .
ieM ieAl
rеО?\lеТрIIчеСRИ соверmенпо очевидно, что уО е S( У)
тоrда и тольно тоrда, I\оrда во внутрепность ортапта E ,
::=2
транслированноrо (СДВIJIJутоrо) в ТОЧI\У уО, не попадает
I Рис. 1.
ни одна ТОЧRа из У (Cl.f. рис. 1). ПОСI\ОЛЬRУ rиперповерх...
ность min iYi == Л "при А 1== О Й I пdложитепь'пых J,ti пред..
ie.!1 \ } I '. \
ставляет собой rраницу этоrо же ортанта, траНСJIЯЦИIО
ROToporo в уО ltl0ЖНО осуществить назпачепием подх.оДЯ"
щих значений параА-Iетров fli > О и Л, то появляется воз..
МQiRIlОСТЬ сформулированный rеО lетрический факт выра...
5.
68
tC;IOBIHI uптим .\ 11ЫIОСТИ:
(l , I. 2
ЗIIТЬ В ТСрl\lинах ФУННЦIIII ]])jn tlYl. Эта ПОЗl\fОiI\НОСТЬ II
iEl\I
реа,ТIIIзовапа в Teope fe 1.
ПодеЗI1Ыl\I обобlценпе.\f теоре:мы 1 является
т е о р е 1\1 а 2. Пусть yll Е ),т, а i, i === 1, 2, .. ., т, 80.3...
расrаlощuе Фун,кциu одной nере.меnnой, прuче.;l,t 1 (y ) =
== 2 (yg) == · .. == т (y ). OZfe1iha уО слабо эффепТll8на
тоада и только тоеда, поеда
l (у7) ::=: шах miп 1 (У 1). (3)
lIЕУ iE1H
ДОI азательство апалоrПЧIIО данному выше для теорс--
:мы 1. IIa (3) ДЛЯ JIlоБОI'О У Е У IlОJIучае I, что при HeHOTO
ром i Е А! верно ? (У?) > ? (У i), В ПОТО IУ И уу :> у i, так что
уО Е S( У). IiaouopoT, ес.тIП уО Е S( }?), ТО дЛЯ н.ал\доrо у Е У'
найдется l Е Лl Tal oii, что У? ::> Yi, ОТI уда i (y ) > i (У1)'
ПОЭТО IУ с учеТО:\l равенств l (y ) =-=: 2 (y ) == · · · === т (Y t)
:моа\по заПIIсать
l (у7) :> mil1 1 (Yi). .
ie ],1
Подбпрая (РУIII\ЦIIII Toro ИЛII ипоrо подходящсrо ВП
да, :моа,но получать соотпеТСТПУlощие I ОIIнретизаЦПII pa
вепства (3). :tlапрп:мер, еслп уО Е Е";., то, ПОЛО;'hИВ i (у i) = -=
=== flfYi, rде определяются Фор:мулоЙ (2), ПрИХОДИ 1 l
теореме 1. Если iI e принять i (Yi) == Yi уУ, то ПОЛУЧИМ
С л е Д с т в и е 1. Оцеnка уО Е У слабо эффекти8на TOJ
да II тол b"hO ТОсда, коеда
n1ax min (Yi У?) == о.
уЕ У iel\l
Непосредственно нз леммы 1.2.2 вытеI{ает слеДУlощее
утвер/I депие .
т е о р е м а 3. Е'с.лu фупкцuя ср( у) возрастает по > на
У, то Л/Qбая ее точка e/-иаКСU.Jlу.ма па }Т слабо эффен
тивна.
Прп:мерами функций, возрастаIОЩИХ ПО > на Ет, слу
,"nат min 1(Y1) и lnax 1(Y )' rде все ' возрастаIОЩН8
ieM iel\1
на Е tРУПRЦИИ (например, УПОl\1I1павшиеся ВЫIIlе i === У.
у ; t == J!1 У i пр п t I > О). Воз ра с т аЮIЦ е ii по> II а Е ,n,
является фУНI\ЦПЯ ср(у) === YJ, [де j про1l3волыIll фIII СII
:2 1 j
ОБЩИЕ tCJIOHIIH ОПТИ l..\:IЫIОСТlI
6а
ропа п lIЫЙ номе р из М. П о теореме 3 все ТОЧКII M:aHCII IYl\la
на у УRазапных срункцпп слабо эффен:тивны. ОТ IеТИl\f
еп е, что фУПI\ЦПll miIl tl (y У1) и тах f.ti (у: Yi).1 rде
iE 1\1 i Е 1\1
у* Е Ет, t1 > О, ЯВJIЯIОТСЯ убываЮЩИМII по > на Ет,
.ll поэтому точки их Iинимума на У слабо эффентивны.
Используя полученные выше результаты 11 строя под
l\IIIOiI\eCTBa мпо,l\ества У, за.мкнутые сверху по > ОТНОСII
тельно У (наПРИl\1СР, прп помощи лемм 1.2.3 и 1.2.4,),
можно получать IIоnые условия слабой эффеКТИВRОСТН.
П ри.ведеl\1 здесь ЛIIIIlЬ ОДПО пз общпх утверл\дениЙ подоб
поrо рода.
т е о р е 1\1 а 4. Пусть СРО возрастающая по >, а СРН
j ::::::: '1, 2, ..., p, ftеу6ываl0щие по > на У ФУН1i-ЦUll. ЕСЛ'l
оцеНКа уО Е Z, еде
Z == {у Е Ylcp/y) > t J , j == 1, 2, ..., р}, (4)
а tJ пРОllзвольные фU1iСll роваltные числа, удовлетворяет
условию
СРо (уО) == тах СРо (у),-
yEZ
(5)
то она слабо эффептuвJ-tа.
Д о R а 3 а т е л ь с т в о. I10 теоре:ме 3 точка уО слабо
эффеI\тпвпа относительно z. Соrласно леммам 1.2.3 и
1.2.4 MIIOj-I,ество Z за /IБIIУТО сверху по > относительно }Т.
JIоэто:му, нан ПОI{азывает леМl\iа 1.2.5, уо Е S( У). .
При 1\1 е р 1. Пусть j Е 1J;J, N 1J! и ТОЧI<а уО Е У
удовлетворяет перавенстваl\1 у? :> t i , i Е N. Если
о
Yj == maxYj,
yEZ
rде Z == {у Е У I У! t L для всех i Е N}, то, соrласно Teo
pe 1e 4, у О Е S( }Т). Заметим, что еслп N == е5, то Z == } .
Прпведем еще один результат, хараI\теризующпЙ c:ra...
бо эффеl\тивные точни.
Если ФУН1i-ЦllЯ ср(у) возрастает по > на J,tnOJJCeCTBe
Z' == {у Е УI у == уО или у > у О }, то оценnа уО Е}Т слабо
эффе"/1;Тllвна Tozaa и толъnо Tozaa, l';ozaa
(Р (уn) ПlНХ (Р (у).
VE.Z'
70
УСЛОDIIfI ОПТИl\1А ТIЬНОСТИ
[I'Л 2
в C8"IOM доле, если уО S( У), таи что для пенотороrо
у* Е У справедливо неравеnство у* > уО, ТО у* Е Z' И,
нроме тато, <р(у*) > <р(уО). IIоэтому уО не MOJI\eT быть ТОЧ..
кой :MaRcIIMY!\13 фУНI\ЦIIИ ер на lHOJKeCTBe Z'. Если ili8
уО Е S(y), то Z' == {уО}. .
2. П ерейдеl\1 н расс?tl0треПИIО своиств эффентиввых
оценок.
т ео р е f а 5 (ПОДИПОПСI\ПЙ).. Оцеппа уО Е У эффеn--
тuвна тоеда и тольпо тоада, Kozaa для Ka:JICD020 i е lJ;1
У? == шах Yi" (а)
IIЕ yi
еде
у! == {У Е У I у J > y t j == 1, 2, . . ., п ; j =1= i}. ( 7)
Если уО Е У эффе-птuвnа, то оиа является едuпствепllОЙ 8
у точкой, удовлетворяющей (6) при паждо.м i Е !rJ.
Д о н 8 3 8 Т е л ь с т в о. Если ДЛЯ иекотороrо i е lJl пап...
дется такая точка у Е 1Т1, ЧТО Yi > у?, то, соrлаСIlО (7),
у > уО, тан что уО Ф р(у). IIаоборот, если оценка уО не
эффеl\т:ивпа, то найдутся IIОА-lер i Е М И точка у Е }Тl
Т31\пе, что У1 > у?, и тоrда (6) не будет выполняться.
IIустъ У Е р(у). Тоrда ДЛЯ любой точив у' Е У, отлич..
НОЙ от у О , паiiдется помер i Е М, при котором y > y . По-
ЭТОМУ\ у' нельзя ПОДСТ811ПТЪ в (6) вместо уО, .
l(ля уО Е У BBeдe 1 в раСС 10треIIие MnOiТ\'eCTna
у(П == {у а у IYI == у1, j == 1, 2}..., т; j=l= i}.
ПОСJ{ОЛЬRУ У(I) s;: У., то 113 теоремы 5 вытеItает
Следствие 2. Если уО эффептuвпа, то y?==maxYi
IIЕУ (i)
для каждоео i Е J.
Т е о р е м 3 6. Оцеnnа уО Е У эффепТU8иа в TO ! u
только в TOtl11, случае, еСАи
m
тах Ei == О, (8)
(у,Е)еТ i==l
еде
т == f (у, е) Е У х E I у ...... е == уО}.
д о н а Э f} т е л ь с т в о. Если уО Е Р( У), 10 Д.тIЯ У Е У из
у уО СJlед)'ет у == У(}а И ПОЭТОl\IУ Т == {(уО, О,т))}. Наобо
:2 t 1
оtПХlI.с :еспОВIIЯ оптп :\lАЛ ЬПО ТП
71
рот, .если (8) DЫПОЛНСПО, то преДIlо.ТJОiнеПIIе уО Р( }'}
ведет к противореЧllЮ: 113 существования у Е У TaKoro,
1п
ЧТО у > уО, следует е О :=;: у уО > О{Щ) п е1 > о. .
t::;l
Из ле}{мы 1.2.2 вытекает
т е о р е м а 7. Пусть фуппцuя ср(у) не уб.,lвает по >
иа У, а уО.......... ее точка tanCUJty.Ma па У. ДЛЯ эффе тuв1tо..
сти уО достаточпо выполпения одnоео ив СJtедУl0щих
условий:
ер вов растает по > на У;
уО ...... едuuствеltuая rочпа Mal CU., tY,,1la ер па У.
В n:ижеслеДУIОЩllХ npII?,fCpaX раес:матрп:ваются некото-
рые I\oHKpeTHble типы ФУНI,Цllll, lанси:мпзаЦllЯ (пли ltlИИИ-
мнзация) .которых ведет к получеlIДIО эффективных точек.
\
т
При !\I е р 2. ФУНI\ЦИЯ <р (у) == t1Y1, rде J!i > О, ЛВЛЛ"
i==l
стся возрастающей по RаiI\доii персмеНIlОЙ Уа на числовой
IIрЯМОЙ, И потому возрастает по > на Ет (см. лемыy
1.8.4). ПОЭТО IУ любая ее точка Ь1акспмума на У эффек
'f lIвиа.
При м е р 3. Функция qJ (у} ::;= [ i !li!Л] 1/3, уде s > О ц
tl > О, является возрастающей по наiI\ДОЙ переменноН Yi
на :множестве неотр1Iцательных чисел, а потому возрастает
но > па Er; . слсдо13атслыl,, если уО........ ТОЧI\а l\IаRСИl\IУl\fа
rJ)УIIRЦИИ <р(у) на У с E , то уО Е Р (У). Эта iI\O ФУПI\ЦПЛ
ер при s < О, f.1i > О, i Е lJ-l является возрастаIоu ей по Rал .
ДОЙ пеРС111еппой Yi па ?IПОiI\естве поло}кIIтелыIхx ЧlIсел,
и поэтом:у Бозрас'rает по > па Е;:. Следовательно, если
уО ....... точ:ка максимума q> на У с Е;\ то она эффективна..
П р п м: е р 4. Пусть y > sup Yi для Dcex i Е JJJ, а фУНI{..
уеУ
ция <р{у) возр'астает ПО > Па Е;. Тоrда, l\aI\ леrI\О про..
верить, ФУНItЦIIЯ <р(у*..... у} убывает по > па У. В силу
теоремы 7 ЛIобая ее точна lvlИIlIIмума на множестве У
ффеКТllВllа. В ролп фУПI\ЦИИ !р(у*...... у), соrласпо преды"
дущему примеру, может выступать [ . !1} (Y YiY ] 1/8
1:1
72
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
rr.ТI. 2
.
при s > О и J,li> О, i Е Л/. Еслп a e Yi >sup Yi, i Е М, ТО
УЕУ
В этой ФУНКЦИII ?\IOiHCT быть И s < о.
ФУНI\ЦИЯ шах ti (у; Yi), rде у7 проп3волыIеe <-рин"
i Е . 1
спровапные qПСJIа, а Jli О, явдяется невозрастаIОIцеii по
> на Ет. Если ее точка l\IПНIIМУ Iа па У единственна, то
она эффеКТIIвна.
т
П р II М е р 5. Фуннцпл ер (У) == П У Ч прп ПОЛОiliитель.
i==l
ных Jli возрастает по I\аi-НДОЙ перемеНlIОЙ Yi на (О, +(0),
II ПОЭТОl\fУ является возрастаIощеii по > на Er;. Следова-
тельно, еслп уО точна MaI\CHl\1Yl\f3 ср(у) на У с ЕТ;, то
уО Е р(у). При у7 > sup Yi, i Е АI, Фупнцпя ер (у* У) ==
уеУ
т
=== n (у7 Yi)'tt i убывает по > па }Т; ПОЭТОl\IУ всяная ее
i==l
точка МИПIIМУl\f3 па У эффеКТIIвна.
Отметим, что утверif\деПIIЯ, сформулированные в при...
Iepax 2 5 KaJ\ следствия из теоремы 7, МОЛ\IIО прямо
проверить рассуждением «от протпвноrо». Так, еСJIИ для
неl\ОТОрых У, У' Е У, У с Е";. справеДЛIIВО У > у', то, Ha
пример, при s > О .и Jli > О, i E М,
[ т ] 1/' [ тп ] l/S
i liY1 > i /li (у;)8
п, стало быть, у' не MoaieT являться точ!\ой l\lаI{СИl\IУl\I3
функции qJ (у) == [i /liy1 J1 1 8 на У.
Аналоrом теореlVlЫ 4 ДЛЯ эqJq>еRТИВИЫХ оценок ЯВ
ляется
Теорема 8. Пусть cpj, j===O, 1, ..., р (р > 1), ne...
убывающие по > на У фУНti.ции. Если точti.а уО Е Z, еде
Z определеnо С02ласnо (4), удовлетворяет условию (5), то
для ее эффективности [}остаТОЧJ-lО выполнения одп020 иа
следующих условий:
срп возрастает по > на z;
уО едu1tствеnная точка J'laпCll,MY.lla ер\) На Z.
s 2.1 J
ОБЩПЕ условия опти:\tс\лыIстии
73
Доказательство этой теоре iЫ апалоrпчно доказатель...
СТВУ теоремы 4 с той лишь рС!зницей, что здесь вместо
теоремы 3 следует сослаться на теоре:му 7.
При м е р 6. Если в примере 1 уО единственная
точка, удовлетворяющая всем указанным Ta I ус.ЛОВИН I,
то она эффективна. ОТСIода, в частности, следует спvа.
ведливость утверждения о задаче (1.5.1), сформулирован-
Horo в п. 6 из 1.5.
Следствие 3. Пусть уОе У, ZO=={yE Yly y(I},
а фунпция <р воарастает по > lta zo. OlJefl1ia уО эффе тuв..
на тоеда и тольпо тоеда, oeдa
q' (уО) == тах ер (у).
'JEZ O
Достаточность следствия вытенnет II3 теореl\IЫ 8. Дл fI
проверки неоБХОДII IОСТИ НУЖIIО лпшь за lетить, [11'0 n рl1
уО Е РС У) оказывается, что ZO == {уО}.
П р п м е р 7. Пусть Jli > О, i Е М. ОцеПI\а у() Е У эс])..
с])еI\ТIIвпа тоrда п тодьно тоrдз, I\оrда
т т
,..., () ,.,
tlYi === тах tiYi.
i==l YEZ O i==]
т е о р е y а 9. П редпОЛОJlси.i1,t, что уn Е}7 II yr > О,
i == 1, 2, ..., т. Oцeп a у О аффе тuвJtа тоада и то.ль1'iО тоа..
да, поеда существует вептор Jl Е 1\1 Ta oй, что у О есть
7n
ТОЧI' а w1taYiCu.Jty.lta Фунпцuu Yi ча .MHO:JJCeCTee
i==l
Z == { У Е }!' I min tiYi > шах min !l iY; } *).
ie 1\-1 11' ЕУ ie 1\1
*) Ilначе rоворя, уО есть точка леисикоrрафичеС1\оrо 1\Iа1\СИ IУ
ма па У ВСКТОР ФУНJ{ЦИИ ( ' in /!i Y i . у i ) . Заметим, (IТО B le
El\-1 i==l
т
СТО У i В этой теореме МО;КНО взять любуrо ФУНКЦИIО ер (у), В03-
i==1
paCTaIOE YIO по > на У (и даже ЛИIПЬ на S (У)). Идея введения
т
второЙ ФУНIiЦIIИ У i для выделения эффеI\ТИВНЫХ точек впер...
i===l
nЫ БЫ"lа использована А. ДjКОффрIIОНО 1 r1601 при доназате.1ьстве
'Твера-\дения, обобщением KOToporo является rеоре.иа 10.
74
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rл.
д о к а з а т е л L с Т n О. Пусть уО эффентnвна. Так нан
y/J е S(y), то по Teope fe 1 при Ili ==IlY, определлеI\П)IХ ра..
венством (2), фУПRЦИЯ nlin fliYi достиrаот в точне уО наи
ie 1\1
большеrо на У значеНIJЯ, paBHoro 1..0. Поэтому
'"
Z == { У Е У I min ": Yi :> ,А ==
i Е \l У i J
== {у Е }Т I У i :> У?, i == 1, 2, . . ., т} == zo.
Следовательно, кап уназапо в примере 7, уО есть точна
т
l\fанспмума фУПI\ЦИИ Yi па zo == z.
i==l
Пусть, паоборот, прп HeHOTopO I Е М оценна уО яв
т .
ляется точкой маI\СП IУ Iа фУНI\ЦИП Yi на Z. Приняв
i l
t11
<Ро (у) == Yi, ffl (у) == mil1 tiYi, t 1 == шах min lliY l на ос..
i===l iE1\l 1}' еУ ie1\l
НОБании Teope IЫ 8 (при р == 1) моа\IIО утверiндать, что
уОеР(У). .
При 1tf е ч а II и е. Аналоrи теоре?tIЫ 9 IOil\HO получать
при ПОМОЩИ теоремы 2. Например, учитывая следстппе 1
11 теорему 8, . IOjRHO утперждатъ, что уО Е У эффентив...
на тоrда 11 толы{о тоrда, I{оrда сущестnует пентор ZO Е Е'т,
т
ПрИ I\OTOpO 1 уО есть точна маl\СИ lума qJУНRЦIIИ Yi (илп
i==1
любой друrой ФУПI\!lIIИ, возрастающей по > па S( У»
на множестве
{ У Е У I min (Yi ...... zf) == шах min (Zi ....... Z ) } .
ieM zeY ie1\-I
Если фУНКЦIlЯ <р......... неубывающая по > на У, ТО точна
ее максимума на J7 MOiHeT не быть эффективной (пример:
постоянная на У ФУНI\ЦИЯ). Одпано верно следующее
утве Рil\дение:
т е о р е :м а 10. Если ,)t1tожество У uепусто, 8aJrtпl-tуrо и
оераnuчеnо, а q>....... nеу6ывающая по > на У u полуnепре
*
рь вnая сверху фуuпция, то .lJt1-l0жество У q> ее rоче jf,aK...
CUJIY. ta па У coBepJICUT по праЙflей Jrtepe одuу эффептив"
НУЮ rочпу.
.1]
ОБЩИЕ }"с.лОDИП оrrТИlН.\ЛЬ:НОСТII
7'5
Эа IеТИ I, что еСЛII в УСЛОllПЯХ этой теоремы ер возрастаеr
по > на У, то У: s;; s (У) (СМ. теорему 3).
Д о 1\ а з а т е л ь с т в о. Ка1\ IIзвестно из анализа, 1\fHO-
* .
а,ество }Т <Р.' для KOToporo l\-IОiI\НО записать равенство
.
УФ == { У Е У 1 ер (у) ::> шах ер (Y) } t
. 71ЕУ
т
непусrо, замкнуто и оrраничено. Фуннция Yi Dозрастает
i==l
* .
по 2::. на У <р. Существует точна ее маI\СИ IУ lа па У ф, KO
таран, по теореме 8, эффеКТIIвна. .
Тан нан при ПрОИ3ВОJIЬНОМ:- фИl\СIIроваННQМ j Е АI ФУIIН'
цИЯ ср(у) == Уз непрерывна на Еtn и является неубываIощеЙ
по > , '}'о 1IЗ теоре:мы 10 ВLIтеиает следующий известный
рсзультат (C I., например, [77]):
С л е Д с т в и е 4. Если У пепустС!, аа.мппуто и o panи4
чепо, ТО
У} n Р (У) * .(О,. j 1, 2, . . ., 111"
дe у; == r у*е::У.1 у; == шах Y.i ] ' тап что для .!tюбоео J Е J!
l II Y
Inax Yj == шах Yj == шах Yj.
уеУ УЕ:Р(У) yeS(Y)
СправеД;JИВО TaJOI\e Tal OC оuщее УТllСРil,ДОНllС:
т е о р е м а '11. l "Тслu JrlUО:JlCество Р( У) вnеzuuе устойчu
СО, а фуп цuя ер является uеубываl0lцей по > па У, ТО
Бl1р <р (у) == sup ер (у).
IIЕР(У) УЕУ
Д О 1\ а 3 а т е л ь с т в о. В случае У == fO равенство оче..
индио. Разбере l сл чай, I\оrда У =1= {О. При этом Р( У) +
::f=: eJ, тан что
БНр ер (у) <:: Бllр (() (у).
РЕР(У) уеУ
Остается ДОКdзаrь справедливость обратпоrо неравенства.
IIусть {yk} У маI\си мизирующая последовательность:
lim <р (yh) == sup <р (у).
k ;) IIЕУ
в силу внешней устойчивости fvIHoiJ\eCTBa Р( У) дЛЯ ная\-
доrо. y . найдется zll Е Р( У) таI\ОЙ,' что Zh б yk. Отсюда
76
"с:rОВИFf ОПТИ},I \."11.НОСТИ
[r !. 2
ер (Z1t) :2: ep(yk), T[tTi что ер (yh) 811 Р <р (у). Поэтом:у 11
у = Р(У)
Sllp ер (у) SПр ер (у). .
1}Е:У уЕ Р(У)
ОтмеТИ I еще ОДIIО свойстпо ::)(I)(I>еI ТlInНЫХ оценон [85]:
Если выполнены условия Teope.Jlb 2 и уО Е Р(У), ТО
уО единственная точ -ка lа} Сll.;1-lУJlа фуп-кцuZl min i (Yi)
i Е 1\:1
па У.
J ейстnIIтелыI,, пусть У Е }'" II У =1= уО. В силу уО Е Р( У)
дЛЯ иеRотороrо i Е jJ1 будет уУ > Yi, ОТRуда, учитыва.н
1 (y ) == 2 (Y ) == · · · == 7П (Y l), получаем min i (у?) >
i Е 1\--1
> min i (Yi). .
iel\l
П р п I е р 8. Есдп уО Е Р( У), ТО функция n1in (Yi y )
iEl\J
па следствпя 1 достпrаот CBoero наибольшеI'О значения
на У в единственноii ТОЧI\е уО. АналоrIIЧНО, если уО Е Р( У)
и уО > О(1п), то !\!акси:нуr.{а на У Фуннция nlin f!?Yi, rде f!
ie 1\1
назначены соrласно (2), достиrаеr в единственной точ'"
Е8 уО.
В 1.2 было введено бинарное отношение :> :у' :> у"
" > ' П
верно тоrда и толь:ко тоrда, Rоrда неверно У у. ри
ПQМ:ОЩИ этоrо отноmенпя: определенпе эффективной оцен",
Б!I можно перефразировать следующим: обраЗОl\I: оценна
уО Е У эффективна в TO I И таЛЬЕО том случае, если ДЛЯ
любой оценки у Е У выполняется соотношение уО > у.
IIспольаул тrer.Il\IY 1.2.1, отсюда получаем: таl\УЮ фор
!УЛИРОВRУ (см:. [70]): оцеНI\а уО Е У эффективна тоrда и
тольно тоrда, Боrда для нее найдется веRТОР функция
J.t(y) со значеНИ:Я IИ: П3 /I, И такая, что неравенство
<I (Y), у О > :> <fl(Y), у> справедливо для наждоrо у Е У.
Если на ВИД веhтор (I)УНI\ЦИII J.t(y) наложить опреде..
..тrеиное ДОПО"IJНIIтельное оrранпченпе, то из последнеrо
определеНIIЯ IIолучаСl\I слеДУlощее достаточное условие
эффентивности.
Л е м: I а 1. Если СУlцесrвует конечный набор eeJti,TO..
ров { t\ t2, ..., tP} с IvI, обладаЮlЦUЙ те.м/ свойством, что
для каждоео у Е У найдется свой 1l0 Hep i Е {1, 2, ..., р},
: 1
ОЕIЦИЕ /с.Т"iОЕИЯ ОПТИ: IАПЬНОСТИ
77
при fiOTOpOJlt выполняется 1lераве1lство
< н i У () > < Н, i У >
, , 1"
(9)
ТО Olfellt a уО эффе1iтивllа.
3. В обlце 1 случае условпе ле f Iы1 1 не является необ..
ХОДИМЫ l УСJIовие:м эqJфеI\ТIIВIJОСТИ. '"[ан, в при rере 1.6.1
(C I. рис. 1.12) для э(рфеRТПВIIоii оценки уО не существу
СТ, очеВИДlIО, IICI\O Ioro I\опечноrо набора венторов IJ. i (за
меТIIМ, что уО песоБСТВСПIIО э(IJфеl\тивпа). Однако, если
ОJ раIIПЧIIТЪСЯ рассмотренпе:\! собственно эфqJеКТIIВНЫХ оце...
HOI" то это условпе будет нан достаТОЧПЫ f, таи и необхо
ДП fЫМ:.
т е о р е [a 12 (flоrип). Ol!ellKa уО Е У собствеllНО
эффептивnа в r08l1t и rольпо TOJlt случае, если cyuIecreyer
пабор веr;,торов IJ.\ 1J.2, .. ., IJ.P Е Ivl, р < т, обладающий reJt
cBoucreoJlt, что для а;лсдой оцеnr;,и у Е У nайдется Но.иер
i Е {1, 2, ..., р}, при noropOJt вь полnяется иераве1lство (9).
Д о 1\ а 3 а т е л ь с т в о. Jle У Iаляя общностп, ПОЛОiНI1М
у" === О(т). ОтмеТIП\1 слеДУЮЩНll факт, непосредственно вы-
1 еН8ЮЩПЙ П3 определеНIIЯ собственно эффеI ТIIВIIоiJ oцeH
ЕП. Внлючение уО Е G (у) П!\Iест IeCTO в том п ТОЛЫiО TO !
с.:туча9, ес.:rrи существует ЧИСЛО N > О Talioe, что д:rя каi-Б..
доrо i Е JJ/ систем:а неравенств
У! > О,
Yt+NYj>O, j=== 1,2, ..., 1п;
(10)
. .
J ..,. ,
не !! !eeT решения на !\IНОiБ€стве У.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Соrласно леМfvlе 1 оценка О(т)
ффеRтивна. ДОRаjf\е f включение Орn) Е G( } ). Пус t-,
f т t 1
;.У == m ах) j, k Е ftf, i == 1, 2, · · · , P J > о. ( 11 )
t tk
Если О(т) Ф G(Y), то ДЛЯ aToro числа N существует ин..
декс k Е JJ/ II точна у' Е У таRие, ЧТО
,
Yk > О,
, ,
у h i,r у j > О, j == 1, 2, . . ., 71't; j =1= k.
( 12)
. ,
Обозначи:\! 1110 == {j Е А! I у j < О}. в СIIЛУ О(т) ЕЕ р( }Т),
78
условия ОПТИМАЛЬНОСТИ
(rл 2
выполняется Мо =I= . Из (12) следует
, '
тУп + N У} > о.
jeM u
( 13)
с друrой стороны, по условию Teope?\iЬY, для 10Чl\П у'
существует вектор J.ti Е М такой, что <J.1i, у') :::;: о. Отсюда
i' i'
пYп + f.tjY j о.
je Аl \)
II, учитывал (11), получае1t1 неравевство
, '
тун + N Yj s о,.
jE I о
которое противореЧIIТ (13).
11 е о б х о Д и м: о с т IJ. Пусть уО Е С( У), Т. е. сущест"
вует таное N > О, что ДЛЯ любоrо i Е М систе lа пера-
венств (10) HeCOB leCTna на У. Возьмем ПРОИЗВОЛЬПУIО
оценну у Е У. ДЛЯ Rаждоrо i Е М выполняется либо у. :=:;;
о, либо Yi + NYJ О при ненотором j Е M\{i}. Просум:-
ltfировав по i Е М все подобпоrо рода неравепства, по...
ЛУЧИМ
т
N 71. <.. О
.......... t
i==l
rде N i > О ДЛЯ Лlобоrо i Е М. Отсюда следует неравенстпо
(9) при уО === О(т) И
tt== i === ( ;1 J {2 t" ",1 {т ) .
N. N. N.
i ЕМ 1 iekI' iEA-l '1
I Очевидно, 1-11 е М. ТаI\И !.. образо r, ДЛЯ l\аiRдоrо у Е У
существует BeI\Top fA,f == Jli, при I\ОТОрОМ имеет место не..
равенство (9). Приче:м, блаrодаря конечности l\lножества
пндексов М число такпх венторов, обладающих пеобхо..
ди?tfЫМИ свойствами, новечно. То есть существует Rовеч-
вый набор BeRTopoB { f1 1, ,12, ..., p}c:M с тем свойством,
I ЧТО для наждоrо у е у найдется i е {1, 2, .. ., р}, при 1\0.
TOPO { имеет место (9) (с J.t! == Il' ).
УRажем набор не более, чеl\f из т neRTopoB, обладаю...
.щих пеоБХОДИ IЫМИ свойствами. Пусть 8 == min { f1j I i ЕМ!)
2 1}
ОБЩИЕ УСЛОВlIЯ ОПТИl\lАJ!ЬНОСТII
79
i == 1, 2, ..., р}. РаСС IОТРИМ: векторы следующеrо вида:
t == { В, 1 == 1, 2,. .., т; f=l=i;
) 1 (т 1)е, j == i; t == 1, 2" "1 т. (14)
Очевидно, J.t1 Е М ДЛЯ любоrо i Е М. Докая ем ПRлючепие
{J.1\ , · . ., Il P } CONV {J.LI, J.L2, . . ., J.Lm}.
Для этоrо ВО:Jьмеl\f произвольпый вентор J..tl «CTaporo» Ha
1 .
бора. Если е == 1/ т, то, очевидно, lli == 1/ т, == 1, 2, . · '1 т.
В этом случае ДЛЯ Л1 == Л2 :::: . . . == Л т == 1/ т им:еем
т
"", i 1
ЛiJ.1 J === Ч,
i l
j 1, 2, . . ., 1n,
(15)
т. е. Econv{ tl, t2, ..., tm}. Если е<1/т, то бере}1
ii в
Лi == 1 ' i == 1, 2, . . ., 112,
тв
1n
rде /ч == 1. Для ЭТИХ /н равенства (15) TaRiKe И fеIОТ
i==l
:место. ВI- лючепие ДОБаЗ3IIО.
ПреДПОЛОiJ\II:\I, что «новыЙ» набор векторов (14) не
обладает неоБХОДIIМЫ ПI свойстваМII, т. е. наЙдется оценНа
у Е У таI\ая, что
< t J , у) > О, j === 1, 2, ... , т. ( 16)
Для пропзвольноrо l Е {1, 2, . . ., р} при неноторых Лj О,
/ m
j === 1, 2, .. ., т, }.,,; == 1, имеет место представление (15).
j==l
rТОЭТО IУ из (16) получае:м неравенства
т
Лj < !), у) == < l, у) > О,
j==1
1 == 1, 2, . .., р,;
Rоторые означают, что и «старый» набор векторов танже
не обладает необходимыми свойствами. Это противоречит
получеНIIО:МУ ранее. .
При:м е ч а II и е 1. Если множество У состоит ИЗ RO
нечноrо числа лемептов, то условие доказанной теоре...
l\fЫ является необходимым и достаТОЧНЫ?t-I для Toro,
чтобы уО Е Р( 1''). Это вытекает И3 Toro, что в слvчае RO'"
80
'Ус:.rовия ОПТИl'1А..1:LlIОСТIl
ttЛ.2
печпоrо fHOjHeCTBa У П Iеет l\IeCTO равенство G (у) ===
Р( У) (C:\f. прпмер 1.6.3).
При м е ч а н II е 2. Аналпз доказательства TeOpel\Il>I
12 ПОRазывает, что при неОQХОДlIl\fОСТII в фОРМУЛИрОВI е
этой теоре:мы веI{ТОры ti l\IOiI,HO считать веI\торами вида
(14) и р == 1n.
Непосредственно из теореI\IЫ 12 (часть «достато'r..
пость») при р == 1 вытенает
С л е Д с т в и е 5 (Дi-I,ОФФРИОII). Если все J.tt > О, ТО
т
/l10бая точпа лtапСU.11у.ма. фуппцuи iYi на ltl1l0;)/cecree У
i==l
является со6ствепliО э.ффептuвной.
ОбобJцение:м этоrо результата является
TeOpe!\Ia 13. Пусть фуппция ер при Лl0бых у', у" Е
Е У удовлетворяет условUlО
т
ер (у') ер (у") :> Лi (у', у") (у: Y )l (17)
i==l
прuчеJ1-t для фуппцuй Лi(У', у"), определепliЫХ на У Х У,
справедливь неравепства
Ьi 'Лi(У', y"» ai>O,
i == 1, 2, ..., пl,
(18)
еде ai, b i (i Е Аl) пепоторые числа. Каждая точпа J/GJi...
сu.му.:ма фуппцuи ер на У является собственно эффе rllв..
ной оце1lк,ой.
Д о к а 3 а т е л ь с т n о. Если у' > у", то, соrласно (17)
и (18), <:р(у') > ер(у"). Следовательно, ер возрастает по >
на У. ПОЭТО}IУ, если уО Е У ....... точна :маRСИМУl\lа ер па У,
то уО Е Р ( У) ( теорема 7). ПокаiI еl\I, что уО собственно
ь
эффективна, прпчеl\I !\IOiI\HO взять 8 == (т ....... 1) , rде Ь ==:
а
== шах b i , а == min ai (раССl\lзтриваетсл случай п 2).
iE1\:I i Е1\l
ПреДПОЛОiI-\П:М, наПрОТIlВ, что уО несобственно эффеRТIIВ
на, так что найдутся такие i Е М, У е У, удовлеТВОРЯIО"
Iцие (1.6.1), что для ВСЛI\оrо j Е М, для I-\отороrо спра
ведлпво (1.6.2), выIо.лннетсяя неравенство
(Yi у?)/(у) y.i) > о.
Следовательно, ДЛЯ Лlобоrо j Е !tf, j * i) верно Yi y >
s .11
ОПЩИЕ условия ОПТИl\I \.1ЬНОСТll
81
> о (yJ у j). А TnI кан всеrда
e$;;(т 1) i(Y'Y:) t
Лi (у, у )
то
т 1 Iч (у, уО) (У! Y ) > Лj (у, уО) (у1 yJ.
п росум:мировав последние т 1 неравенств, соответ-
ствующих ра3IIЫ 1 j =1= i, после неслоа ных преобразова..
нии получим
т
/ч (у, уО) (Yi yr) > Oj
i==l
в силу (17) ОТСlода следует ер(у) > ер(уО), а это противорс
чит условию, ЧТО уО ТОЧI{а маI\СИl\IУ!\fа ер на У. .
При м е р 9. Пусть в ух == У . Х У 2 Х " . . Х у т все у,
пнтервалы (конечные или бесконечные). rlредположим,
что фУН1\ЦИЯ ер определена II непрерывна па ух и для
!\аiI,доrо i Е М имеет на
УП> == Уl Х ... х Yi l Х int Y i Х }Ti+l Х ... х )Т т
непрерывную частную ПрОIl3ВОДПУЮ а: (у) , удовлетворяю
Yi
щую УСЛОВИIО
b i :> дср(у)/ aYi ai > о.
По известной из анаЛIIза q)ор:муле конечных прпра
lцений при у' =F У 11
'"' дер (zi) ( r " )
<р (у') <р (у") == ау! У! Yi .
rде суммирование ведется по те:м i, для
. Х
И Z 1 Е Уи). ТаНIIМ образом, ФУПI\ЦПЯ
УСЛОВИIО (17), rде
, д ер (z i) У , L z/'
') ( " А. при ''''';
wi У , у') == и у i
ai при у' == у",
, "
!{оторых Yi =1= Yi"
ер удовлетворяет
i == 1, 2_, . . ., т.
Следовательно, все ее ТОЧI II :маI\СП IУ:\Iа на У с: }"Х BXO
дят В С( У)"
6 Е. В. По;.з;;IНОВСJ-\ИЙ, В. д. Ноrин
82
Условия ОПТИМАЛЬНОСТИ
(rЛ.2
т
В частности, если },.х == II(ci, d i )., rде +00 > d i > Ci> 0-,
i:::::l
ТОЧRа маRсимума фУНRЦИИ ер (у) ==
l Е М, то любая
( т ) 1/ s
=== tiyi ,rде s =1= О и J.1i > О, собственно эффективна.
i==l
I po:Me Toro, еСЛII у* > (d 1 , ..., d т ), то любая точна мини..
r т ] lh
мума на У фУНКЦИИ q> (у* у):::= i4 !1i (y уда яв
ляется собственно эффентивной [158].
Заметим, что требование (18) в теореме 13 и анало..
rичпое требование в примере 9 существенны.
При м ер 10. Пусть ух==[о, 1]2, У == {у Е E;I
yi + y s 1}. ТОЧI\И у* === (О, 1) и уО == (1,0) эффеI\ТИВНЫ О
ЯВЛЯIОТСЯ несобственно эффеRТИВП ЫМИ. Н етрудно прове'..
рпть, что ФУНRЦИЯ <р (у) == 2 У1 V 1 y непрерывна на
ух, имеет непрерывную частную ПрОII3ВОДНУЮ д: (у) 2 Y1 х
У1
Х ln 2 на Уа> == (О, 1) х [О, 1], непрерывную частную
ПрОlI3ВQДНУЮ д: (у) У2 (1 y ) 1/2 на y( ) == [О, 1] х (О, 1)
У2
И достпrает на У наибольшеrо значения, paBHoro 1, в двух
точн:ах несобственно эффеRТИВНЫХ ТОЧI\ах у* и уО. 'fa..
I oe ПОЛОЛiение объясняется тем, что частная производная
дср(у)/дУ2 не удовлетворяет соответствующим HepaBeHCT
ьа:м, тан как
1 . и2 О 1 . У2 +
1т == J 1т == 00.
"2--+-+0 V 1 У; 1I2 1 o V 1 y
'Учитывая ПРИ Iечание 2, а так}не тот фант, что уО Е
Е S( У) тоrда и ТОЛЬRО тоrда, I\оrда для любоrо у Е У
существует HO Iep i Е М таI\ОЙ, что уУ > Yi (этот факт
вытекает иа определения слабой эффеI\ТИВНОСТИ), из тео..
ремы 12 получаем следующиЙ результат.
Т е о р е м а 14. Для тоео чтобы оч еппа уО Е У БЬ'lла
собствеnnо эффептивnой, ltеобходимо и достаТОЧ1l0, чтобы
существовало в > О, при потором точпа уО слабо эффеп..
тивnа по вептор фуnпции «J.11, у), ( t2, у), ..., (J.1 т , у»
(еде вепто pb'l ti Е 1\/{ u tеют вид (14») относительно J-t1to...
жества У.
2. t 1
ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
83
Им:ея в раСПОРЯiнении условия слабой эq)q)еI{'!ИВНОСТИ,
при по'мощи теоремы 14 можно JIerRO получить условия
собственной эффеRТИВНОСТИ. Это сообраiI епие будет ис..
пользоваться в последующих параrрафах при выводе ус..
ловий собственной эффективности для различных RJIaCCOB
l\Iноrокритериальных задач. Первым результатом TaRoro
использования теоремы 14 (и теоремы 1) является
С л е Д с т в и е 6. Пусть уО > О(па). В';/tючеnuе уО Е G( У)
и.меет .место ТО2да u ТОЛЪ'КО ТО2да, 'Коеда существует е > О
таnое, ЧТО равенство (в ';OTOpO",Jt J.Li u.лtеет вид (14»
min Лi <11\ уО) == тах min Лi < til у) (19)
{е М иЕУ ie 1.1
6Ыllол1tяется при lle OTopO"lt л == (Лt, Лz, ..., Л т ) Е 1\1.
Теорема 14 позволяет TaHiKe переформулироватъ опре...
деление собственно эФq)е1\ТИВIIОЙ оценки так, что оно
становится rеомеТрИЧССI\II паrлядпы:м. Введем для этоrо
llолпэдральпый нонус
Л. == (z Е Ет I < Jl t, z) О, i == 1, 2, ..., т}.
Здесь nеRТОры Jlf И Iеют вид (14) и О < е :::;; 11т (если е ==:
с::: 11т, то 111 == ",,! ==... == J..tm), TaI что Jll Е М. Нетрудно
проверить, что при у1tfепьшеНIIИ 8 конус Л е «сужается»,
т. е. если 11т >8 > 8, то Лё:::> t\.e (более Toro, int Лё:=J
=> [Л 6 \{О(1n)}J). В самом деле, пусть f веRТОры вида
(14), 8 c ........ таI{же векторы внда (14), rде вместо 8 фиrу..
рирует 8. Возьмем проll3волыIIоo ТОЧRУ z Е Л! И ДОl а...
;I\eM, что z Е Л.. Включепие Z Е Ав означает, что z удов",
летворяет системе линейных нераDепств
(J..tf, z> О, i == 1, 2, . . ., т.
ЕСЛII 8 == 11т, то, СУ IМllРУЛ выписанные неравенства n
У IНОiI\ая результат па 11т, получим
т
1 .
т Zj == (,..,'11 z) >- О"
;'==1
i == 1,2" .. .,' т,,;
ЧТО означает z Е Л ё . Если е < 11т, то введем BeRTo-
ры л {, Л 2, ..., л т, I{O InOHeIITbI I\ОТОРЫХ ПОЛОiI\птельпы
6*
q4
VС lОВИff ОПТ:И:\I -\.:IЬНОСТИ
[r.:'1 z
и опреде.1:ЯIОТСЯ слеДУIОIЦII I обраЗО I:
i
')")
e e
1 lп е '
j=== 1.2,
о . о , пl;
j =)= [,
Z . 1 ') ln
,.....,. о . , .
1 (пz 1) е е.
1 lnЬ
j == i,
Леrно l1роnеритъ справеддпвость равенств
тп
L "\., '1 1 ;
t === 1\. JIl ,
J===1
i === 1, 2, . . . , п .
ПОдТО IУ, Y1IHOiI-\ая неравепство <I-f/, z) ;':::: о на ПОЛОiF\И
тельное число л II СУ:МJVIПРУЯ по j == 1, 2, .. о, т, получим
1п
/\, < IJ/, z> == < L i, z> :::> о.
.1 ::::; 1
Это неравенство верно Д:IП Лlобоrо i == 1, 2, .. ., ln. Следо
вателыl,, z Е i\ёо
В TO ! с'учпс, I-оrJld ;Е [..\€\{O(",)}] и 1/т > Ё>е,
по RраПН€ll fepe oд o НЗ п€равенс тв < \ z) О, i ==
=== 1, 2, . о., n1." будет строrпи и Уl\азанн:ое выше CY \! In
рование будет ПрИ:ВОДIIТЬ R СТрОI П I неравенствам:
......t
<11 , z) > О,
i== 1,2, ...,111"
которые означают, что z Е int .t.\Eo 11
ОТ:Н€ТИ1\! танфе еще опно СВОЙС1ЕО введеНFоrо Бонуса
-'\е: В преде:Iе при в О БОНУС l\() БУiJ:ет предстаВdЯТЬ
собой неоrрицат€льный Ор1аПf E (C I. рпс. 2).
Т е о р е t а 13. OцeH a yf) Е Y co6CTвen1l0 эффет-;тивна
в rо ч и только TOJt случае, ссли существует g > О, при
liOTO po.Jt
[у уn] n \e == {О(111)}.
(20)
д о к а а а т е л ь с т в о. Не оrраНIIчипая общности, бу
де 1 считать, что уО == О(т)о Пусть О(т) Е С( у) о Соrласно
Teope fe 14 существует с > О, прп HOTOpO I CIICTC la He
равенств
<Jl', у> > о,
== 1, 2, .. о, пl,
(21)
5 2 1]
ОБЩИЕ ус.:товиq ОПТИ'I L\ ТIЪНОСТП
Р5
rде Lt 1 вида (14), не И Iеет реJпениii на :MHoa eCTBe У, Т. е..
у n int 1\8 == 0. Тоrда ДЛЯ С' < 8 будет выполнено равен--
стnо (20) (при е === е' > О).
Обратпо, пусть выполнено (20). Тоrда с:исте:ма He
рпnепств (21) песовместна на JT, OTI yдa соrласпо теорем:е
14 ныIркаетT арп) Е С(У). .
rеО lетрпчеСf\ая ПIIтерlJреТ(lЦПЯ теоремы 15 в случае
7п == 2 прпведепа на
рис. 2.
В равенстве (20) ха..
])01110 npOCl\13TpIIBaeTCH
связь ПОНЯТПЙ эФсI)ек"
тпвности и собстnенноii:
JtI)(IJCRTIIBHOCTII: в пре..
деле при е --+ О это ра--
венство будет опреде
.тrять эФФеRТИВНУIО
оцеНI\У уО.
При 1\1 е ч а n и е 3.
n rаботе [58] (СМ. тан"
rHe [96]) было введено
понятпе !\1 реrулярно" Рис. 2.
СIИ. Последняя TeOpel\lfl
по:казывает, что это
понятие равносильно понятию собственной эффеRТПВ
НОСТН.
П р и: !\I е ч а н II е 4. Еlце 01!НУ перефОР!\!УЛПРОЕRУ соб
сrвенпо эффеRТllвноrо решения, Rоторая отличается ОТ
прпведенной в Teope Ie 15, IOff\HO найти в [112].
С ПОhIОЩЬЮ теоремы 15 IOiRHO установить, прп :каRИХ
УСЛОВИЯХ IHOjI\eCTBa ПОДЛИННО эффеRТI!ВНЫХ и собствен
РО эффентивных оценон совпадают.
т е о ре 1\1 а 16. П редпОЛОЖU.7 I {, что .мnожество У aa,, x
нуто и суи{сствует ве-птор t Е J\T, для 1tOTOpOeo справедлu
во не равеnство
(J.t, у) < const для всех у Е У.
ТО2да G( У) === В( У).
Д о н а 3 а т е л ь с т в о. ВI\люченпе G( у) В( У) было
доназано в теореме 1.6.1. Донажем обратное включение.
Пусть уО Е В( У). Не оrраничивая общности, ПОЛОiRИ I
У О == О
(т).
86
УС:IОВИR ОПТИМ.\ЛЬНОСТИ
[r.п 2
Предположим, что оценна О(т) не является собствен..
по эффективной (замети?tI, что в силу О(т) е В(У> эта
оценка эффективна). В ЭТО I случае соrласно теореме 15
найдутся последовательности чисел {E,J и точек {y1t} та 4
ние, что ЕА. +0 и
yh Е [У n AekJ yk =1= О(т)8
(22)
IIачпная с HeI oToporo но:мера k (ero всеrда IO;RHO
считать раВПЫ 1 единице), стапет спрапедливым равен.
ство
т
J..t == Лt!-t i при некоторых Л > О,
1==1
i == 1, 2, 8 . . , ln,
rде J.tf вида (14) с е == 81 И 81> 8,. для всех k == 2, 3, 8..
Отсюда следует, что система линейных неравенств Ау >
> O(m+t) (rде А......... :матрица размера (т + 1) Х т, стронаI\IИ
которой ЯВЛЯIОТСН вснторы fJ,1, f.l\ ..., f.l11\ f.l) не имеет
решения (это леrl\О проперить раССУjпдение 1 «ОТ против..
Horo»). Следовательно (см. теорему 8.4 из [93J), :МНО"
,нество
А е1 n {у I < , у) < const} == Al
I\О Iпактно. ПОЭТОIИУ последовательность {yk} оrраНIIчена
n ее можно считать сходящейся: liln yk == у*. Блаlодаря
за?tII\НУТОСТИ MHOiI\eCTBa У имее:м у* Е У.
Вспоминая определение ROHyca A e / t , условие yk Е .L\eh
lIОЖПО записать подробно:
(1 (пl 1)Eh)Y + fkY + ... + EпY > O,
8kY + (1 (lп 1) Bh) y + 8 . . t-- ellY > О,
................... .
(23)
f,llY + ekY + . . . + (1 (пL 1) E, ) y n > о.
Так как последовательность {yk} оrраIIIIчена, ТО оrранп"
ченныIии являются и все послсдовательности {y } '; l'
t == 1, 2, ..., т. ПОЭТОl\IУ, переходя в неравепствах (23)
1\ пределу при k ---+- 00, получим у* О(т).
ITepaBeHcTRo у* > О(т) противоречит Вl\лючеНИIО О(т) е
Е 1){ У), nO To IY пусть у* == О(т). Возь:мем последователь--
1]
ОБЩИЕ условии ОПТИl\1.АЛЬНОСТИ
87
nость
r..... h == 1 k 1 1 2 (24)
\.U " yk 11 у, ' , ,...
в силу (22) llу'Ч/,> О ДЛЯ любоrо k, и поэтому определе..
вне последовательности {U)h} норрентно. LIлепы этой по..
следовательности принадлеn\зт еДIIНИЧНОМУ заМI\НУТО:МУ
u
Iпару, следовательно, ее IOjI\HO считать сходящеися:
]im (t)R == 00. COrJIaCHO определеПИIО насательноrо нонуса,
h oo
прпведенноrо в 1.6, (u Е Т (У Ет.; , O(тi). Поделив все
неравепства системы (23) на lIy 1I II приняв во вни:мание
оценки I у: / yh 111 < 1, i == 1, 2, ..., т; k === 1, 2, ..., при...
дем и неравенству О) > О(т). Это вместе с paBelIcTBo 1
110011 == 1 влечет (J} > О(т), ЧТО ПРОТIIворечит lIачальному
предполол\ению О(т) Е В( У). .
Следствие 7. Если y........пO.Mпa T, ТО G(Y)==B(Y).
4. Выше был установлеп целый ряд СВОЙСТВ эффек rIIB40
HfiIX оценок. 11 ри этом R струнтуре MHOiI\eCTBa У не
преДЪЯDЛЯЛОСЬ каI\их...либо существенных требований (иро...
:ме :заМRПУТОСТИ и оrраниченностп в теореме 10 и за IRlIУ--
') ости в теореме 16), а на уО иноrда полаrалось условие
припадлеi!\атъ ПОЛОi!{ительпому ортапту или H e быть
еДIIпстnенпой точной маRсиму:ма на У для cooTBeTcTByIO
Il ей фувнцпи. Поэтому все полученные условия эффеl\ТИВ--
пости оценон леrl\О перефОР Iулировать в cooTBeTcTBYIO
lцпе условия эффективности реmений.
IIапример, теорема 1 принимает вид: если f (xO) > О,
i == 1, 2, . . ., т, то решение х о е Х слабо эффеRТИВНО тоrда
n ТОЛЬRО тоrда, ноrда существует вентор t Е М, при
котором
min 1f1 (х о ) == тах min 1f1 (х).
tEl\f хеХ 1Е1Н
'Условие единственности ТОЧRИ маRСИ IУ Iа фУПI\ЦИlI
f:P(y) па МПОjкестве У обеспечивается, паПрII lер, единст
венностъю точки маКСIIМУ}lа q:;(j(x» на Х. П раI{ТlIчеСI\И
последнее условпе rараптируется чаrце Bcero в тех слу--
чаях, коrда Х выпукло, q:;(f(x)) cTporo Rвазивоrнута
(в частности, cTporo воrиута) па Х: RaI{ известно, CTporo
Rвазивоrнутая фУНRЦИЛ l\IOiReT достиrать l\Н1КСП\Iума лИIIIЬ
в еДIIнственноп ТОЧl\е (СМ. 2).
:'.1]
ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ОПТИl\lАZ1ЬНОСТП
89
ОПТИ!\lаЛЫlоrо реlпеПIIН при наЛИЧJIИ BeJ\TopIIoro Rрптерил
j == (/t, /2, ..., 1т) фор:маJIhllО f\10iБПО свести R задаче опти
мизации по одпому нритерию min ifi, В :котором napal\leTp
iЕ1И
t == (J.tI, Jl2, ..., 11т) является неопреде.леПНЫl\I. А для
решения последней задачи MOiHHO использовать, папри..
tep, принцип максимина. УназаНIIое положение было
ссIJорм:улировано 11 ПIИрОНО использовано ю. Б. rермейе
pO f при построении ориrинальпой методолоrии исследо--
вапия операциЙ [19, 21].
Следуя работе В. В. Подиновскоrо [80], разбереr.I под
rобнее этот подход н мноrоI\ритериалыI II задачам для
с учая, :коrда никакой дополнительной информации для
выбора оптиrvrальноrо решения во МНО}Бестве Pf(X) нет.
Пусть все нритерии /i ПОЛОil\ительны на Х. Тоrда,
соrласно теореме 1 и примеру 8, выбор единствеНIIоrо
(с точностью до эквивалентности /) решения из f\IHO....
il\ecTBa Pj(X) равносилен указаНИIО вектора J.t пз rvIHo
iI,eCTBa
IO == {f-t Е Е;: I f-ti == 1/fi (х), i == 1.,2, . . .,' т; х Е Pj(X)},
(25)
I\ОТОрЫЙ следует использовать при lаI СIIМlIзаЦИII на Х
(IJУПRЦИII
'ф (.х, ) == min ifi (х).
iEl\1
(26)
1\ задаче оптимизации с нритерием 'Ф(Х, Jl), в ROTOpO:\tI
значение параметра Jl Е ]\;1° считается неизвеСТIIЫ1\I, фор
1\lальпо МОiI\ПО применить тот или иной припцип припя....
тин решений в условиях пеопределеПНОСТII. КритическиЙ
обзор основных таних припципов И Iеется в RIIиrе [53].
Т е о р е 1\1 а 17. Пусть Х 1lепJjСТОЙ О.Лlпапт, а все fi
положитеЛЫ-lЫ и nепрерывnы па х. Тоада, соалаСl-l0 пpUH
ципам Jta cи.;ttи1ta (В альда), .лtunuмапс1tоао СО:JIсале1tuя
(Сэвuд:JlCа) и пeccи tU3Jta oпTи.i'l,[U3.Ata <ry рвича), оптU.лtаль
пое по рuтерuю (26) решеnuе х* удовлетворяет условuю
/1 (х*) li (х)
mifl == mnx mil1 ( 27 )
* * ,
iEIH f i ХЕ.Х iE1H f i
еде
*
fi ::= шах fi (х),
X X
iEM.
90
}'СJIОВИЛ ОПТИl\IАЛЬНОСТП
[rл 2
д о к а 3 а т е Jl ь с т в о. Заметим вначале, что в усло"
ВIIЯХ теоремы мнол\ество У непусто, замкнуто и оrрапu..
чено, а функция min У; непрерывна и не убывает по >-
1ЕМ fi
на У. Поэтому, соrласно теореме 10, во MHOiHeCTBe точек
мансимума этой фУНI\ЦИИ на У имеются эффективные
оценки, и оптимальными следует считать решения, имею-
щие эти оценки. Кро:ме Toro, по следствию 4 справедливы
равенства
t: == т.ах /1 (х) == шах /1 (х).
хеХ XEPj(X)
Соrласно ПрИllЦИНУ маl\симина ОПТИ Iальны:м счита-
ется решецие, максимизцрующее ФУНКЦИЮ inf 'Ф (х, t).
J,1E,MO
ДЛЯ ПрОИ3ВОЛЬНОI О (рпНсировапноrо х Е Х MOiI\HO запи-
сать
(28)
inf min [1l111(X)] == min [ 11 (х) inf l1 ] == min It (Х) ( ')
&.teMo 1ЕМ 1ЕМ J,1EMo '1ЕМ шах t. и .
UEPfX)
(29)
llоэтому, в силу (28), ОПТИ lальное решение х* удовлет-
воряет (27).
Принцип минимаксноrо сожаления реКО lендует в ка-
честве ОПТИ Iальноrо припнтъ решение, МИНI1миэирующее
на Х фУНI\ЦIIIО
S II Р [ m ах Ф (и, fl) tp (х, !l)]. (30)
J,1EMO иЕХ
Соrласно теореме 1 для любоrо фПJ{спроnаIlIlоrо J.t Е 10
шах '1' (и, Jl) == 1. (31)
иЕ:Х
с учетом (31) и (29) для ltlинимума
лучаем
mln вир [1
;хЕХ J.lE1VlO
функции (зо) по
.... ф (х, t) 1 Пl j n t 1 ....... iп f 'Р (х, t)] =:::
аЕХ J,1e:MU
· [ 1 · 11 (х) J 1 · 11 (х)
П11П ........ mln .. == Jпа Х Шl n .
ХЕХ 1E1H I EX 1Еl\l f
ТаI\ИМ обраЗО1\-I, ОUТИl\Iальпое решение х* удовлетворяет
равенству (27).
:! 1]
ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
91
в соответствии с ПрИНЦИПО!1 пеССИМII3j\fа ОПТИ:МlIзма
оптим:альным считается решение, маl{симизирующее на
Х функцию
л inf '" (х J t) + (1 ----- л) su р 'ф (х, t), (32)
E]\IO EM\)
rде 'л пеl\оторое фИl\сированное число из [О, 1].
1
Если х е Р/Ю, то ф(х, /!) == 1 при !!I== f t (х) ' iElIf.
1lаоборот, если 'Ф(х', Jl") === 1 при неl\ОТОРЫХ х' Е Х,
t" Е 1\1° t то !,(х') :;;::: !.(Х" ), i Е Jtf, rде х" эффеI тивное
решение, соответствующее ,..," (см. (25». Поэтому j(x')==
== j(x"), так что х' Е Р/(Х). Наконец, если допустить,
что 'Ф(Х', J..L 11 ) > 1 при некоторых х' Е Х, Jl" Е 1\1°, то
'lоrда AOJIiRHO быть f{x') > f(x") для эффективноrо реше.
11 n Т
IJIIЯ Х , соответствующеrо Jl , что lIеВ03 10ЖНО. аким
образом, функция 'Ф(х, Jl) достиrает па М О cBoero :макси'"
MY la тоrда и только тоrда, коrда х Е Pj{X).
ПОСRОЛЪКУ из j(x') j(x") следует 'Ф(Х', fl) ;::: 'Р(х" , Jl)
прп Лlобом J.t е Е;', то и
inf 'Ч' (х', t) :> inf 'Ф (х", t).
JlEMO f.A.eMO
J'poMe Toro, соrласпо теореме 3.2.4 MBO HeCTBO FJ(X)
внешне УСТОЙ1fИ:ВО (СМ. i 1.4), т. е. для наiндоrо х" е Х
найдется такой х' Е Р/(Х>, что j(x') j(x"). С учеТО f
ncero ИЗЛОiI\енноrо !.IО'НПО утверя\дать, что ФУПКЦIIIО (32) I
МОiI\ПО ltfаксимизировать не па Х, а па Р,(Х). 110 если
:r Е Pf(X), ТО С учетом (29) эту ФУНКЦИIО AfOiI\HO предста
впть в виде
л n1in (/1 (х)! f:) +( 1 л).
1еМ
Следовательно, и здесь оптимальное решепие х* удоn...
JIеТRоряет (27). .
Нан ун\е УRазывалось в 1.5, СЧИ ать оптимаЛЬПЬ1'1
решение, обращающее в l.laKCIIMY 1 па Х фУПI\ЦИЮ
. \ 11 (х)
h(x) == mln ,;
'L еАl /f
(33)
было преДЛО)J\ено в статье [217], а зате1\1 и в цеЛО f ряде
друrих работ. Обоснование при этом сводилось R тому,
Что функция (33) безразмерна и позволяет «равномерно»
}2
tС:IОВИН ОПТИ IАJIЫIОСТИ:
[r &1'1. 2
*
по всем крптерИЯl\f /i n риБJII1ЗИТЬСЯ к их маисимум ам / i ·
Теорема 17 разъясняет С fЫСЛ функции (33) с иной ТОЧRП
зрения и тем самым отнрывает новые ВОЗМОil\ПОСТИ ее
прантическоrо использования (ПрИl\fОР С:М. в [80]).
ЕСЛII решение, доставляющее фУПI\ЦИИ h(x) наиболь...
Пlее на Х значение h *, не еДИIIствеНlIО, то по мноа-\естне
X всех таних решений MorYT быть и нсuффеl\ти.ВlIые
решенпя. Разумеется, COfJlaCHO теореме 9, MOiHHO найти
*
эффективное решенпе пз X h , маhСИМИЗИрУЯ На Х фунн",
7п
ЦИЮ fi (х) прп УСЛОВIIII h(x) == h*. ОДIIано, УЧIIтывая
i==l
возможность пееДIIнствепности ТОЧI\И l\IаНСИl\IуМа h(x) на
Х, целесообраЗllО уточпить само определение ОПТllмаль",
Horo решения. Действительно, М3I\СИМIlзация h(x) 0зна 40
чает выделенпе решениЙ, для которых П31Пvlепьшее НЗ
значений т фуннциЙ /1 (х)! f ЯВJlлется паиБОJIЬШИМ. ПО...
ЭТОl\IУ далее И!\-lеет С IЫСЛ м:аl\симизировать на МПОfI\естве
всех таI\ИХ решениii второе наИ!\-10пьшее из значений ука...
запных фуннцпи, затеl\f на ПОДl\IIIожестве выделенных прп
ЭТО I решений l\IаRСIlмизпровать третье наименьшее 3Н(\40
чение и т. д. до т ro папменьшеrо (т. е. фаI\тичеСНll
па:ибольшеrо) из значениЙ. Решения, получающпеся R
результате последовательноЙ T\-lаНСИ IизаЦIIП УПОрЯДОЧGlI
ных по возрастаНIIЮ значений т срункцпii, названы в
[79] СИ fl\lетр:ично леКСlIкоrрафичеСRII ОlIтимаЛЬПЫМII,
нратко sL опти:малыl fII.. Все SL оптимальные реше
ния, разумеется, эффентивны. Задачи отыскания таНIIХ
решений подробно рассм:отрены в [79, 85].
Взаимосвязь мноrокритериальпых задач II ОДНОRрП
териальных с неопределеПНЫ:МII пара"метрами моа\но
установить и в друrих фОрl\lах, используя теорему 2.
. Тан, соrлаСIIО слеДСТВИIО 1 пз пее II ПрНl\Iеру 8 выбор
единственпоrо (с точностыо до эквивалентности I"'V f) pe
шения из MHOiKecTBa Pj(X) равносилен уназанию вентора
z Е Р( У), который следует IIСПОЛЬЗ0ва т ь при l\1аI\СIIl\'1IIЗа
ЦИИ па Х qJУПRЦПlI
min fi (х) Z i].
iEAl
(34)
1\ задаче оптпмизаЦИII с Rритерие 1 (34), в нотором:
значенпе парам:етра z Е Р( У) СЧIlтается неIIзпеСТIIЫ I, Ta:h--
" .) 1j
.....
ОБЩИЕ 'CJI0BIlH оllт!IлI.\:lыlстпп
93
iI e фОр lально MOiHHO ПРI1:мепить ТОТ IIJПI ППОlI ПрИIIЦИП
принятия решенпй в УСЛОВIIЯХ неОIIределенности.
т е о р е м а 18. Пусть Х непустой по.мпак.т и все fi
1leпpepb вHb . Тоеда, соелаСflО прuнципа., t JJtancu.JtUHa, :Acи
HUJ1,anCHoeo сожаленuя и пессu.миз.ма опТUJltи3rJ'tа опти.маль
llое по (34) решенuе х* Е Pj(X) удовлетворяет условU70
тах [t7 li (х*)] === min тах [/7 li (х)]. (35)
iE 1\11 хЕ Х iЕ1.1
Доказательство этой Teope lЫ проводитсл аналоrИЧIIО
доназательству теоре:мы 17. В частности,
111ах inf min [/i (х) zJ == тах mll1 [/i (.1') / ] ==
J.'EX ZEP(Y) iEl\l ХЕ.Х iEl\1
== Inil1 Inax[/7 fi (х)].
хЕ Х iЕ1.1.
11 рактичесии определение ОIIТИ lальноrо реmеНIIЯ, за
даваемоrо условием (35), мо,кно использовать лишь в ТО:\I
случае, I{оrда все нритерии fi одпородпы, т. е. имеIОТ еди
ПУIО шиалу. В общем ,не случае вводят каRие либо nop
Iпрующие :множители. Часто IIIIIII IJ:IЗПРУIОТ па Х ФУIII
ЦIIIО (коrда все /7 > о)
*
fi f i (х)
rnax
fz * '
iЕ1.I
(Э() )
и:rи
*
f i /1 (х)
тах * ,
iЕ1.1 f . / .
'1 1.:(0
(37)
тде в роли fi* выступают, например, числа min t i (х).
ХЕ,Х
Леrко видеть, что решение х* Е Х обращает в :маI\СИ
rYM ФУНI{ЦИЮ (36) тоrда. и толы{o тоrда, J\оrда она
удовлетворяет равенству (27), IIосколы\y
*
fi /i (х) ( /i (.1') ) . /i (х)
ax .* == !l1ах 1 .* === 1 l:n1n * .
'tEl\l J i 'lEJI J i 'lEl\I f i
с учетом ВО3МОII НОСТИ пееДIIIIствепности ТОЧНII макси
:мума фУНИЦИИ (37) на х TaKjI e целесообразно ИСJ\ать
SL оптимальные решеппл ДЛЯ задаЧII l\lIlНИl\ПlзаЦllJI
94
условия ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rл 2
с венторным нритерIlем
( . '" "' )
f1......./1(x) f2 ,f2(T) fт fт(X)
* ' * , ...,. .
j 1 ........ f 1. f 2 ....... f 2 * f т ....... 1т *
6. Теоремы 1 и 2 позволяют TaRil\e дать теореТИI\О-
пrровую иптерпретаЦИIО слабо эфq)ектиnным и эффеl\ТПn"
НЫ f оценкам и решениям.
НаПО IНИМ:, что беСl\оаЛИЦПОIIIIОЙ иrрой двух лиц на..
зывается систем а вида r == <8., 82'1 <))t, <р2), rде 81 и 82.......
l\fножества стратеrий, а <)). и <))2..... фун:кции выиrрыша
(числовые функции, определенные па мпол естве си туа...
ЦIIЙ 81 Х 82) первоrо и BToporo иrрОRОВ соответственно.
В та:кой иrре :каждый иrрок j пеЗ3ВИСIlМО от Apyroro вы--
бирает свою стратеrИIО Sj Е 8 j . После Toro KaI{ в резуль..
тате выборов образуется ситуация (8., S2) первый иrроН
получает выиrрыш q>1(SI, В2)' а второй соответственно
<P2(St, В2).
Важнейшим принципом оптимальпости в бескоали-
циониых иrрах являе7СЯ стреl\fленnе иrрОRОВ R ситуаЦИIl
равновесия (СМ. [53]): СIIтуация (S 1 s ) называется рав",
новесnой, если
<))1 (s , S ) > CPl (S1, s ) для всех 81 Е 81'
<Р2 (s , s ) > С{)2 (s , 82) для всех 82 Е S 2.
Если оба этп перавепсrва прп Лlобых ' 1 =1= s , $2 =1= s яв-
ляются CTpOrIll\III, ТО (s , s )....... СИ ту ация CTpororo paBIIO
БеСIlЛ.
Ситуации раВlIовесия (s , s;) и (s , s;) назыаJотсяя
ЭI\вивалентн ми, если <р] (s , s;) == <р) (8 , в;), j==1, 2. Си..
туация равновесия (s '1 8;) называется пеДОМИIlируемой
(оптимальной по Парето), если не существует ситуации
(81' 82) таRОЙ, что справедливы два перавенства J(Sl' 82»
:2: <P.t (s; t s;), j == 1, 2, по ирапне мере ОДНО из которых
CTporoe.
Теорема 19. ЕС.llиУсЕ";, то в uере r==(y, У,
«1'1, <))2), еде
( ) · Y'i ( ) . Zi
(-Рl У Z == тln . СР2 у, Z == mln ,
tE 11 z1 'teJ\rl У1
(38)
2 1}
ОБЩИЕ CLiJOBIIH ОПТИl\IАЛЪНОСТII
95
:"t1l0JlCeCTBO ситуаций равновесия есть {(уО, уО) 1 уО Е S( У)},
а Jl1JlO:JlCecreo ситуаций строеоео равповесия {(уО, yQ) I уО Е
Е Р( У)}, причеJt все ситуации равиовесuя э вива.fL,епТ1tЬ'"
и l-tеаомuнuруеJtЬ .
Теорема 20. В иере r== <У, У, ер1, СР2), еде
'Pl (у, z) == min (У1 Z1), <r2 (у, z) == mill (z't У1)' (39)
1Е 1\-1 1. Е lИ
JtllожеСТ80 ситуаций равll0весuя еС7 ь {(уО, уО) I уО Е S( У)},
а Jt1tOJ/ceCTBo ситуаций строеоео равН,овесuя {(уО, уО) I уО Е
Е Р( У)}, причем есе ситуации равиовесия эквивaJtеиТ1tЫ,
и иeaoMuиupye.Jlb .
3а}fе'ТИМ, что утверждение из teopeA-IЫ 19 о структуре
СIIтуаций равновесия родственно тео.реме 2 1'13 [4].
ДQказательства теорем 19 и 20 проnодлтся налоrич
НО, только в первом случае используется теорема 1, а во
второ и ........ следствие 1. ДОRаI-Rе f, наПрIП\Iер, Teope IY 20.
Пусть (уО, ZO) ситуация равновесия:
ер! (уО" ZO) ер1 (у, ZO) дЛЯ всех у Е У, (40)
CP2(Y , ZO) (Р2(УО, z) для всех z Е У. (41)
11з (40), соrласно Teoper.Ie 3, вытекает, что уО Е S( У).
Если iI-\е в (40) при люБО I У =1-= уО lIеравенство стротое, то,
нак показывает TeOpel\fa 7, уО Е Р{ У). Допустим, что ZO =р-
=/;= уО. В силу (40) ZO > уО невозмол\но (ибо CPt(ZO, ZO) == О),
laI\ что Z <y для HeHoroporo i ЕМ. Тоrда СР2(УО' ZO) <
< о == С{)2(УО' уО), что противоречит (41). ПОЭТОl\fУ ZO == уО.
Пусть теперь, наоборот, уО Е S( У). РаССl\10ТРИМ CIItya--
ЦIIIО (уО, уО). По следствию 1 выполняртся (40). ECJlII
при этом уО Е Р( У), то, соrласно пр:и:меру 8, для Лlобоrо
у =1= уО неравенство (40) будет строrпм. Возьмем произ
вольную точку z Е У, ОТЛИЧНУIО от уО. В силу уО е s(y)
найдется номер i Е М, дЛЯ HOToporo Z1 <:: y . ПОЭТОl\IУ
(Р2(УО, z) :S;; о === ЧJ2(УО, уО). следователыl,, выполняется 11
(41). Если же уО Е р(у), ТО Zi < У1 для пенотороrо i s М,
II тоrда <l'2(УО' z) < 0== СР2(УО, уО).
JIтап, МНОiИество ситуаций равновесия и:меет вид
{(уО, уО) I уО Е s(y)}, а СlIтуаЦIIЙ cTpororo равновеСllЯ ........
{(уО, yO)lyO Е Р(У)}. 110сI{олы\y CPt(Y, у) == 'Р2(У, у) == о при
люБО I У Е У, то все ситуации равновесия эквивалентны.
Допусти:м, что неI\оторая СlIтуация равновесия (уО, уО)
96
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
(rЛ.2
ДОМИIIируе Iа: существует СПТУD.ЦIIН (у, z) TarHHI, что, па-
п рИ lер,
<Р1(У, z) > СР1(УО, уО) == О, (fJz(Y, z) :> cr2(УО, уО) == о.
J Io пз nepBoro перавепства следует Yi > Zl, 3 П3 nToporo
Zi :> у, для всех i Е М. Полученное противоречие ПОI(8ВЫ..
nает, что всяная ситуация равновесия неДОl\1JIIПIl руема. .
Расс:мотрим теперь пrру двух лиц с фиксированной
последовательностью ходов r 1 === «SI, 82, CPf, ер2}), OT JlПЧflIО..
ЩУIОСЯ от разбиравшейся беСl\оалицпонноп иrРI)J r Te\f,
что в ней первый IIrpoI\, не Пl\Iея информацни о ВI)Iборо
BToporo иrрОRа, первым ПрПНИl\rает реПlение о выборе 81 е
Е 81 И сообщает стратеrию SI втором:у иrРОI{У [22]. CJle...
довательно, ход BToporo пrрОRа состоит в выборе страте-
rии S2 Е 82 из MHoiHecTBa B(SI) точеR маI\СИl\Iума на 82
ero фУНRЦИИ выиrрыша <р2:
В (Sl) == {S2 Е 821 СР2 (81, S2) == тах С{)2 (Sl, и)}. (42)
иЕВ 2
Предполаrается, что при люБОl\f SI Е 81 1\1НОiI\еСТБО В.(81)
непусто. Это условие выполнено., ноrда 82 компант,
а CP2(SI, S2) непрерывна па 82 при каа ДОl\{ SI Е 81.
Поскольку выбор BToporo пrрОБа пеРВОl\fУ неизвестеп,
то rарантированныЙ выпrрьпu nepBoro пrрОR3, обеспечи--
В<Jемый стратеrиеii SI, вычисляется по формуле
(Р 1 (s 1) == i п f ер 1 (. 1, 82)' ( 43)
S' 2 Е IJ ( s 1 )
1-'.' ..
3 наИООЛЬШIIII rарантпроваННЫlf пыиrРЫIII рапеп
*
ЧJl == SH Р еР1 (s 1).
SlES 1
ОПТИ IальноiI для nepBoro IIrpoI a является стратеrия 8 ,
удовлетворяющая равенству <r l (8 ) == ЧJ , т. е. обеспечива
,-
Iощая ему полученпе паиоольп[сrо rарантпроваппоrо BЫ
пrрыша.
т е о р е I а 21. П усть У lleпycTo, за.МJ\НУТО u озра1tu
че1-l0. Т оеда. в и2 ре 1\ === «}Т, у, ер1, Cf2», еде функции ер. и
<р2 оnреде.лЯl-DТСЯ фОРJltула.ми (39), JllflOJlCeCTeO оптиJltа.льнь х
стратееий первоео иеропа есть Р(У).
т е о р е м а 22. ПУСТЬ У пепустое, aO.1fKllYToe II 02"
раUllчеН1-tое пODJllHQJKeCr80 Er;:. Тоеда в иере 1'1 == «У, У,
(44)
2,2]
воrПУТЫЕ И ЛИНЕйНЫЕ ЗАДАЧИ
97
ер!, СР2»' еде ер! u СР2 определяются фо р.мула.лtu (38), M1tO"
шсество оптu.маль1tЫХ стратееuй первоео uеропа есть Р(У).
Доказательства обеих этих Teope l, первая из ноторых
принадлежит д. А. Молодцову [58], проводятся анало..
rIIЧПЫМ образом. Донажем, например, теорему 22. Вве..
де!v! обозначение С{) 2 (у) == шах С{)2 (у, z). Тап как при любом
zEY
финсировапном у Е Еm функция СР2(У, z) непрерывна на
Ет, то ер: определена корректно, а множество В(у) (см.
(42)) не пусто, замкнуто и оrраПIlчено.
Поскольку ЧJ2(У, у) == 1, то С{) 2(У) > 1 для любоrо у Е
Е У. Пусть z Е В(у). Тоrда для ВСЯRоrо i Е М верно
Z/Yi 1, откуда Yi/Zi <: 1. Следовательно, С{)1 (у, z) -< 1.
II0ЭТО IУ
С{); == sпр min С{)! (у, z) :::; 1.
..... уЕУ ХЕВ(У)
Возьмем уО Е Р(у). Тоrда, соrласпо теореме 1 и при...
1epy 8, ер2 (УО) == 1 и В(уО) == {уО}. О.тсюда вытекает, что
*
ср} == 1, Следовательно, Лlобая эффеI\тивная точка уО Е У
является оптимальной стратеrией nepBoro иrрОRа.
Пусть теперь у О оптимальная стратеrия первоrо
иrрока, т. е.
min С{)! (уО, z) == 1.
ZEB(yO)
Допустим, ЧТО ер2 (УО) > 1, Т. е. СР2(УО, ZO) > 1 при пеI\ОТО"
ром ZO из В(уО). Тоrда y /z > 1 при ВСЯКО I i Е М, 01'--
Нуда С{)! (уО, zO) < 1, и получается против о речие с (45).
Поэтому С{) 2(УО) == 1 и В(уО) == {z е:= Ylz уО}. Предполо"
jI\ИМ, что В В(уО) найдется ТОЧI\а Z, отличная ОТ уО. Тоrда
Zj > y ари ненотором j Е М, отн:уда С{)1(УО' z) < 1. А это
противоречит (45). Следовательно, В(уО) === {уО}. Это озна...
чает, что уО эффективна. 11
(45)
э 2.2. Условия оптимальности для воrнутых
u
И линеиных задач
В это}! параrрафе раабираIОТСЯ: у-словия оптим льно",
v
сти для важнеИШIIХ нлассов мноrокритериальных задач
воrнутых и линейных. Но вначале (п. 1) ПРИБОДЛТСЛ не..
7 :в. в, ПОДИ:НОВСI\ИЙ. В, д. Ноrин
98
VСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
обходи:мые для дальнейшеrо изложения RраТRие сведения
о воrнутых фУНRЦИЯХ, их обобщениях, а также об исполь..
зуемых ниже теоремах об альтернативе для систем ли..
нейных и воrпутых неравенств.
1. Мпожество D Еn называется въ nупЛЬ Jrt, если оно
вместе с любым:и двумя точками содержит и соединяю..
щий их отрезок, Т. е. если (лх + (1 ..... л,)х') Е D при лю..
бых z, х' Е D и л е [О, 1]. .
Пусть числовая функция h определена па ВЫПУRЛОМ
множестве D Еn. Эту функцию называют вО8путой,
если для любоrо л Е [О, 1] и любых х, х' Е D выполнл"
ется неравенство
h(лх + (1 "Jx') > лh(х) + (1..... л)h(х').
В том случае, коrда для любоrо л е (О, 1) и любых х, х' е
е D, Х:Р х', имеет место cTporoe иеравенство
h(лх + (1...... л)х') > лh(х) + (1..... ')Jh(x'),
фУНRЦИЮ h называют СТрО20 вО2путой.
Подробное иаЛОiнение всевоз'можных свойств воrнутых
ФУНRЦИЙ можно найти в моноrрафии [93]. Отметим лишь
следующее хараRтеристичеСRое свойство воrнутой диф..
ференцируемой функции: дифференцируемая ФУНRЦИЯ h
BorНYTa тоrда и ТОЛЬRО тоrда, I\оrда для люБыIx Х, х' Е D
выполняется неравенство
h(x') ...... h(x) (Vh(x), х' ...... х>.
Через Vh(x) здесь обозначен rрадиент ФУНRЦИИ h, вы-
ЧИСJIеНIIЫЙ в ТОЧRе х.
Дифференцируемую на D функцию h называют ШJев..
оовО21lУТОЙ, если для ЛIобых х, х' Е D неравенство
(Vh(x), х'...... х) О влечет h{x') :S: h(x). Каждая воrнутая
дифферепцируемал функция является псевдовоrпутой, НО
не паоборот.
Если для ЛIобоrо л е [О, 1] и произвольных х, х' Е D
справедливо перавенство
h(л:х + (1...... л)х') min {h(x); h(x')},
то фУНI\ЦИIО h' пазыаIотT квавивО8nУТОU. Rваэивоrнутая
функция h обладает тем свойством, что для любоrо числа
а множество {х е D I h(x) ;z:: а.> всеrда ВI>IПУНЛО. I-Ia рис. 3
привсдены иллюстрации понятий ВОI'НУТОЙ (а), псевдо-
2. )
DotHyTыE и ЛИIiЕЙНЫ ЗАДА чn
99
Dоrпутой (6) и квазивоrпутой (в) функций ОДНОЙ пере
rvlенпой.
Rоrда для любоrо л е (О, 1) 11 всех х, х' Е D, х -1= х',
Пhlеет место CTporoe неравепство
h(лх + (1 ..... лJх') > min {h(x); k(x')}, (1)
ФУПRЦИЮ h называют ст роео ва8ивоеJ-tУТОЙ. CTporo Bor
путая ФУIIКЦИЯ CTpOI'O квазивоrнута, а псевдовоrпутая
Л(I)
а)
. .о
о :с
Рис. з.
фуннция RваЗИБоrнута, но не наоборот. Если CTporo квази"
воrнутая фУНRЦИЯ дос.тпrает CBoero макс.имальноrо эва...
чепия на МПОiнестве D, то в единственной точке.
Фупкцию h называIОТ СUЛЬ1tо пвааивоепутой, если для
ЛIобых л Е (О, 1); х, х' Е D таI{ИХ, что h(x) =/:: h(x'), им е...
ет место CTporoe неравенство (1). Каждая псевдовоrну"
тая ФУНRЦИЯ является сильно квазивоrиутой. Если h
полунепрерывпа сверху и сильно квазивоrнута, то она
Rвазивоrнута. Сильно квазивоrнутая функция обладает
тем СВОЙСТВО!\f, что всякий ее лональиый макси:м:ум лиля'"
ется rлобальным.
Rоrда функция h BornYTa, псевдовоrнута и Т. П., то
ca},IY ФУНКЦИIО h называют I выпуклой, псевдовыпуклой
n т. п.
В том случае, если все компоненты некоторой вектор..
q)УНRЦИИ ЛВЛЯIОТСЯ воrпутыи,' псевдовоrнуты:ми и Т. п.
7*
100
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rл. 2
функциями, эту вентор функцию будем называть воrпу
u u
тои, псевдовоrнутои и Т. п.
Некоторые свойства псевдовоrнутых и Rвазивоrнутых
функций pacc?t!oTpeHы в Rниrе [37]. Подробное изложе-
ние свойств всех приведенных обобщений воrнутой ФУНR'.
цИИ можно найти в [197].
Важпую роль при изучепии экстремальных задач иr-
рают таи называемые теоремы об альтернативе ДЛЯ си..
стем линейных и воrнутых неравенств. Насчитывается
вемалое число подобноrо рода теорем. Приведем форму-
лировки некоторых из них.
Пусть А и В......... числовые матрицы размера т Х n и
k Х n соответственно. Будем считать, что матрица А со...
держит по крайней l\-Iepe один непулевой элемент.
т е о р е м а (Моцкип). ИJtеет место OaUl-t u тольпо одuп
ив следующuх двух случаев:
1) CUCTe.Ata одnородllЫХ .лunейnых nеравенств
Ах > О(т), Вх O(1 )
U.;tteeT реше1-luе х Е Еn;
2) система oaпOPOaftblX лиnейnыlx уравnенuй
у1А + у2В ;:: О(n)
(2)
имеет решение у1 > О(т), у2 О(я).
Т е о р е м а (Танкер). Имеет место одип u тольпо один,
из следующих двух случаев:
1) си стема OaltO родных лunей1-lЫХ 1-l е llаееrtстВ
Ах О(т), Вх О(А)
имеет реше1-luе х Е Еn;
2) CUCTeJta одИ0родных лunейnых уравиеnий (2) иже..
ет решенuе у1 > О(т), у2 O(1 ).
Т е о р е м а (Фан........ rЛIIRсберr rоффман). Пусть /Jf,no"
жество D s; Еn выпу1i,ЛО и т .JJtерnая вептор фуnпцuя h
вое1lута иа этом мnожестве. Тое{)а имеет место одиn и
rолъ1i,О одип из следующuх двух случаев:
1) CUCTe.; ta Boenyrbz,x 1lеравепств h(x) > О(т) U.7vteeT ре:.
шенuе х Е D;
2) существует тапой вептор у ? О{т), что <!I, h(x)
аО для всех xED.
2.2]
nOrHYTblE n ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДА ttи
101
При м е ч а н и е 1. RaR леrRО видеть, в этих Teope
Iax вссrда можно считать, что сумма компонент ненуле
вых векторов у1 и у равна единице.
ДОI\азательства первых двух теорем можно найти в
[197], третьей в [93, 197].
2. Выпуклость множества У позволяет сформулиро"
вать более простые и содеРiнательные условия оптималь..
НQСТИ, чем условия, приведенные в предыдущем napar..
рафе. Из рис. 4 видно, что для любой слабо эффективной
Y E;
.
J
I
I /
\ ",."-
'.............
//,
Рис. 4.
оценки уО можно подобрать таRОЙ ненулевой вектор
Е ЕТ; , ари котором ФУНRЦИЯ <f.l, у) достиrает максиму"
ма Ha Y в ТОЧRе уО. Точна у' ПОI\азывает, что даже для
эффективной оценки некоторые компоненты Jli вектора
f.l MorYT равняться нулю. А точка у" указывает на то,
что вектор Jl не обязательно должен определяться единст
венным образом.
Попробуем распространить сформулированное утверл
дение на случай невыпуклоrо множества У. АнаЛII3
рис. 4 показывает, что в приведенных рассуiI деIIИЯХ ис
Пользовалась по существу выпунлость не caMoro множест
Ва У, а «выпуклость» ero «сеперо восточной» rран:ицы.
Действительно, если, папример, от множества У «ОТРС"
зать» часть по штрих пунктирной линии или, наоборот,
«добавить» часть, оrраничеННУIО штриховой линией (или
,не сделать il то, и друrое), то и для получепноrо MHO
,нества высказанные сообраiкения о свойствах точек уО,
102
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
(1\11. 2
, , Э б
у , у сохранят свою силу. то о ъясняется тем, что
существенную роль здесь иrрает лишь выпуклость ыо"
жества У * == у Е :;' , полученноrо из У добавлепие f к
каждой ето точке ортанта Е "; (на рис. 4 rраница мно"
,нества У * отмечена RОРОТНОЙ ШТРИХОВRОЙ). Таким об-
разом, если оценка уО слабо эффективна для MHOiI\eCTBa
У, то, как леrко видеть, она будет слабо эффентивной и
для У *, а значит, пользуясь сформулированным выше
утвеРiндением применительно к выпуRЛОМУ мнол,еству
у *, можно указать таRОЙ веl\ТОР J.t O(т), при котором
функция <1-1, у) достиrает максим ума на У * (а стало
быть, и на У) в точке уО.
В воrнутых Мllоrокритериальных задачах (т. е. котда
Х выпукло, а f BorHYTa) мнол,ество У, вообще rоворя, не--
выпукло, однако выпуклым ОRазывается множество У *
(см. ниже леМ1\IУ 2). Поэтом:у для каждоrо слабо эффек--
тивноrо решения х о существует вектор 1-1 ?' О(т) такой,
что (11, f (х о ) == max(ll, t (х). Очевидно, всеrда можно
хеХ
считать, что cYl\IMa КО:МIIонент вектора 1-1 равна единице.
При м е ч а н и е 2. Указанное необходимое условие
слабой эффективности решений прямо вытеI{ает из одно-
ro общеrо результата, полученноrо л. rурвичем для за..
дачи оптимизации по выпуклому нонусу ([30] *), теоре-
ма 5.3.1). Позднее для эффективных решений оно было
дано с. :Карлиным [41], хотя в нелвном виде (в терминах
теории статистических решений) встречается еще у
А. Вальда [235, 11] **). л. Заде [249] указал на разобран-
ное ВЫlпе необходимое условие эффективности оценок
для выпуклоrо мпо}нества У YiHe после с. Карлина. Спра--
ведливость этоrо условия для невыпуклоrо У в случае
выпуклости fножества У * вытекает из результатов п. Ю
[246]. ДiК. Лип [192] установил это условие для более
чаСТIIоrо случая так называемой р направленной выпук-
лости M HoiRecTBa У (при рЕ E ).
*) Эта работа, нан указано в предисловии к кпиrе К. ДЖ. Эр...
роу, л. rурвича и Х. Удзавы «Исследования по линейному и не"
линейному проrраммированию», выполнена в 1952 1954 rодах.
**) Б СППСI{е литературы УI{азаны русские переводы [41, 11].
В ориrинале (на анrлиЙском языке) первый том моноrрафии
С. Карлина вышел в 1959 rоду, а книrа А. Вальда в 1950 rоду.
2.2]
воrНУТЫЕ и ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
103
3. Перейдем к CTpOrOMY излол ению.
Л е м м а 1. 1) Пусть уО Е У. Oцeп a уО слабо эффе --
тuвиа для миожества У тоада и толь о \ тоада, oaдa оиа
слабо эффе тивиа для :лt1l0жества У *;
2) s (У) == У n Fr (У *), аде через Fr (У *) оБО8наче-
па араиица множества У *;
3) р (У) == Р (У *);
4) G (У) == G (У *);
5) в (У) == В (У *).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Если уО Е У является слабо
эффективной оценкой для У *, то, очевидно, она слабо
эффеI\тивна и дЛЯ У, TaI{ 1\ак У с У *. Для доказательства
обратноrо утверlI дения преДПОЛОiКИМ противное: уО Е
Е s( У) и существует таI\ая точна z Е У *, что z> уО.
Соrласно равенству У * == У Е т;. это означает, что для
неноторых у Е У и е Е Е"; верно у е > уО. Но тоrда у >
> уО, что противоречит уОе S(Y).
2) Пусть уО Е S(Y). Если уО Ф Fr (У *), то найдется
z Е У *, для KOToporo z > уО. Но так как z Е У *, то z::::
== у е для неl\ОТОРЫХ у Е У и е Е Er;. Поэтому у > уО,
:с::2
что противоречит уО Е S(Y).
Наоборот, пусть уО Е У n Fr (У *). Если уО f/= S(Y),. то
существует элемент у Е У такой, что у > уО, а это' про--
ТIIворечит условию уО Е Fr (У *).
3) Пусть yOEiP(Y). Предположим, что уОфР(У*),
тан что найдется z Е У *, 'для KOToporo z > уО. Тоrда
у ...... е > уО при некоторых у е у и е Е Е:;' , что противоре...
чит уО Е Р(У). Следовательно, Р (У) Р(У *).
Пусть теперь уО ЕР (У.) и уО Ф.Р (У). Отсюда в силу
у У * следует уО Ф У. :{Iоэтому уО == У е для некото--
рых у Е У и е > О(т), что противоречит уО Е Р (У *). Зна--
чит, р (У *) f;; Р (У).
В справедливости равенства 4) леrко убедиться, вос-
пользовавшись теоремой 1.15.
Для доказательства равенства 5) достаточно заметить,
Что n определении подлинной эффентивности участвует
II IeHno множество у * (СМ. (1.6.5». 11 .
В общем случае равенство S (У) == S (У.) не И!\lеет места.
Пр'имер 1. Пусть Y=={yeE 2 IY2<O}U{(0,0)}. Tor--
да У. == у u {у Е Е21 YJ < О, У3 == О}. Очевидно, ТОЧ!,(l
104
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
уО === ( 1, О) ВХОДИТ В S(y *). Однано уО Ф У, и поэтому
уОфS(У).
1нол ество У будем называть эффептuвuо вь пуl),лыli}t,,
если выпукло :MHOi-I\еСТВО У * *). Леrно видеть, что если У
выпукло, то оно и эффективно выпукло!......но не наоборот.
ВведеrvI в рассмотрение замыкание М мнол ества 1\1:
М == { t Е E l!ti == 1}.' (3)
Т е о р е м а 1(10). Пусть У эффептuвuо выпупло. Оцеп...
па уО Е У слабо эффе птu вllа тоеда и тольпо таеда, -поеда
существует вептор Jl Е 1\1:, при nоторо.м
<Jl, уО) <Jl, у) для всех у Е У. (4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из теоре...
мы 1.3 (эту часть доказательства леrко проверить и опи...
раясь непосредственно на определение слабо эффективной
оценки). Пусть уО Е s(y). Блаrодаря эффективной выпук",
лости У И лемме 1, множество У можно считать выпук",
лым. Таким образом, система неравенств Yi уУ > Ot
i == 1, 2, ..., т, neCOBl\IeCTHa па выпуклом l\IHOiHecTBe У.
По TeOpel\fe Фана Iликсберrа rоффrvlана существует
такой вектор Jl Е 1\1:, что <Jl, у уО) -< О для всех
у Е У. 11
Введеl\I множества
У> === U {уО Е У I < , уО) === шах < , Y)}j) (5)
=== J.tE M уЕУ
У> === U {уО Е У I < , уО) == шах < , у) },; (6)
EM уЕУ
rде М определяется выраiI-\ением (1.2.1). Соrласно теоре...
ме 1.3 и примеру 1.2 всеrда справедливы включения
y> P(Y)s;;s(y), Y > S(Y),
причеrvI рис. 4 показывает, что все они в общем случае
ЯВЛЯIОТСЯ СТрОfИМИ. Если Iнол ество У эффективно вы...
пукло, то по TeOpel\Ie 1 У > === S ( У), однако включения
Y> c::: P(Y) Y> (7)
*) 1ножество У называется Q выпу}{лым (Q Ет), если :вы
ПУI\ЛО множество У + Q [246]. Следовательно, эффективно выпук
лое это Er; выпуклое множество.
t;;;r
.2I
130rИУТЫЕ и ЛИIIЕЙНЫЕ ЗАДА ЧЙ
105
lHorYT оставаться строrими (рис. 4). Более rлубокая взаи...
мосвязь MHOi!\eCTB ИЗ (7) будет раснрыта в третьей rлаве.
НИiкеслодующая лемма позволит результаты, сформу...
лпровапные выше для оценон, перенести на решения во...
rиутых МIIоrо:критериальных задач.
Л е м: l\1 а 2. Если Х выпупло, а f воеnута, то :лtnожест",
во у является эффепТU61l0 6lдпуплы.м.
Доказательство. Пусть у' <:: f(x 1 ) И у" <: f(x 2 ).
IIадо показать, что для ЛIоБОI О Л Е (0,1) точна уО == лу' +
+ (1 л) у' I принадлеiIiИТ l\IIIOiReCTBY У *. В силу BorHY'"
тости f имеем
у'" == f('Лх 1 + (1 л)х 2 ) > лу' + (1 л)у" == уО.
Следовательно, l\10iI\ПО записать уО == у'" е, rде уЛ Е У"
е Е Er;:. .
Из теоремы 1 и последней леМl\'lЫ вытеI{ает
Т е о р е м а 2 (rурвич). ПУСТЬ Х выпупло, а f 80енута.
Для слабой эффептuвnости. точпu х О Е Х llео бходuмо и дo
стаТОЧ1l0, чтобы существовал eel'iTOp J.t Е М, при KOTOpO.i1t
U.меет JteCTO равеnство
< , f (х О ) == шах <111 f (х).
ХЕХ
(8)
При м е ч а II и е 3. Теорема 2 была получепа как след..
ствие теоремы 1. В свою очередь теорема 1 является
следствием леммы 2 и теоремы 2, если в последней в Ha
честве Х взять У, а вместо f........... линейную вентор фУIIНЦИIО
(У1, У2, ..., Ут). Таним образом, уназанные теоремы энви...
валентны.
110 аналоrИII с (5) и (6) можно ввести MHOiI\eCTBa
х> == U {х О Е Х I < ., f (х о » == шах < " f (х»}" (9)
== E M ХЕХ
Х> == U {х о Е Х 1<111 f (х о » == шах <111 f (Х»}1 (10)
EM ХЕХ
для ноторых всеrда верны внлючения
Х> s.; Pj(X) Sj(X), Х> с Sj(X).
TeOpel\la 2 показывает, что в ВОI НУТЫХ мноrонритериаль...
{о6
VСДОВИЯ оnтимлпъnости
(rЛ.2
пых задачах имеет место равенство
X == 8/ (X)J)
(11)
хотя, кан следует из вышеизложенноrо, включения,
Х> Р! (Х) s;; Х>
а::а
(12)
MorYT быть строrими. Итак, каждая слабо эффективная
точка является решением воrнут-ой задачи максимиза...
ции функции <1-1, /(х» при некотором J1 Е М; инаобо...
рот, каа,дое решение такой задачи есть слабо эффектив..
ная точка.
Из teopeI\-IЫ 2 вытекает следующее утверждение. .
Пусть Х вЬLпу ло, j воепута, У с: E . Тоеда решеnuе
х о слабо эффеn.тuвuо в том и толъ-по ТОА" случае, есди
т J1 т IJ.
П ti i (х О ) r=: шах П ti i (х).
iz=l «еЖ i==l
Действительно, соrласно лемме 1.8.2, х О Е 8 j (X) тоrда
и только тоrда, коrда хо слабо эффективно по. вектор...
функции j' == (ln j1, ln j2, ..., 1n jm). Но j', как несложно
проверить, BorHYTa, и для нее равенство (8) равносильно
вышеуказанному. .
Теорему 2 можно несколько усилить в случае т > n +
+ 1, если воспользоваться следующим результатом, имеIО"
щим и определенный самостоятельный интерес.
Л е м м а 3. Предположим, что ве тор фуu цuя j "ва..
вивоеиута па вЪLnУ ЛОМ мuожестве Х. Точ а хо е Х ела..
бо эффе тив1iа по 1 отuосuтелъnо Х тоеда и 'тольпо тоеда,
oeдa она слабо эффективпа по nе оторой не более чем
(n + 1) Mepnoй ве тор фуuкции, составлеnuой ив -помпа..
nеит ве1Zтор фуu циu f. ,
д о к а з а т е л ь с т в о. Если точка х О слабо эффективна
по некоторой вектор функции, образованной из ком:понент
11, 12, ..., 1т, то, очевидно, эта точка будет слабо эффек"
тивной и по вектор функции 1. Докажем необходимость.
Предположим противное: хо слабо эффективна по f, по по
каждой вектор функции, образованной из n + 1 КО IПО"
невт /, она не является слабо эффективной. Положим
X i == {х Е XI/i(X) > !i(XO)}, i == 1, 2, ..., т.
g 2.2]
воrНУТЫЕ и ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
107
Блаrодаря I\вазивоrнутости: /, псе fHOjI\ecTBa Х! ЯВЛЯIОТСЯ
выпуклыми. Так кан точка х о не является слабо эффек"
тивной по :каждой веКТОР ФУIIНЦИИ, образованной из n + 1
Rомпонент 1, то пересечение любых n + 1 множеств I:З се..
мейства Х 1 , Х 2 , ..., Х т непусто. В этом: случае соrласно
т
теореме Хелли (см. [93]) n Х i =1= 0. Это означает суще--
i==l .
ствовапие х Е Х, дЛЯ I\OTOpOro f(x) > l(xO), что противоре..
чит предположению о слабой эффективности х О по вен..
тор функции f. .
Из теоремы 2 и леммы 3 вытекает
С л е Д с т в и е 1. Пусть .JIt1tожество Х выпу ло, вe TOp'"
фУll ция 1 == (/1, 12, ..., 1т) (Jo2UYTa иа Х и т> n + 1.
Точ а хо Е Х слабо эффеп тив uа тоеда и тольпо тоеда, пое--
да существует ве-птор Jl Е М, У OTOp020 ие более чем n +
+ 1 положительuая -помnоиеита и такой, что справедливо
равеиство (8).
Так кан cTporo воrнутая функция является и cTporo ква...
зивоrнутоii, то из теорем 1.6.2 и 2, а также примера 1.2
вытеRает
'С л е Д с т в и е 2. Пусть Х выпу ло, а 1 строео вОZ1tута.
Для эффе тив1tости точки х О Е Х u ео бходиJrtо и достаточ--
по, чтобьz существовал ве-птор Jl Е 1\1, при OTOpOM спра--
ведливо равеиство (8).
4. Перейдем :к рассмотрению свойств собственно эф..
фективных оцено:к и решений.
т е о р е м а 3. Пусть мuожество У эффе тивuо выпу ло.
Оце1t а уО Е У собствеuuо эффе тивuа тоеда и толь о тое"
да, поеда существует вe TOp Jl Е М, при -потором и.меет
JJteCTo (4).
Д о к а з а т е л ь с т в о. ДостаТОЧIIОСТЬ следует из след..
ствил 1.5. Проверим необходимость. Соrласно леl\Iме 1
и теореме 1.14 из собственной эффективности точку уО
Е У вытекает, что эта точка является слабо эффективной
относительно множества У * по пектор функции ( < 1.11,
у), <1.12, у»), ..., <Jl m , у», rде векторы Jli Е М имеют вид
(1.14). Следовательно, по теореме 2 существует вектор
Е: М такой, что для всех у Е У *
т
--- i
i < t .' уО у) ?::.. О.
tc:
108
УСЛОВИЯ ОПТИl\'1АЛЬНОСТИ
[rЛ.2
т ..... .
Отсюда, учитывая вид (1.14) векторов Jj,f и условие t
i==l
== 1,,- после несложпых прэобразований получаем
т
[ i (1 lnB) + Е] (у? ........ Yi) :> О для всех У Е. У *.
i=-=l
Введем вентор Jl с компонентами fli == Jli{ 1 тЕ) + е, i ==
== 1, 2, ..., т. Остается ПОI\азать, что f.1 Е М. Так как
Jl i Е М, то е > О и 1 (т 488008 1)8 > о. 110ЭТОМ У Jli> е( 1
J!i) о, i === 1, 2, ..., т. Кроме Toro,
т т
,., ,,
f1i == тЕ + i (1 ....... тв) == 1. .
i l i==l
Соrласно теореме 1.12 в общем случае Rаждая собст"
венно эффеI\т:ивная оценка уО характеризуется набором из
lп векторов Jli Е 11 таким, что для любоrо У Е У найдется
вентор из этоrо набора, обеспечивающий выполнение не..
равенства (1.9) Дока аlIная теорема rоворит о том, что
при эффеI{ТИВIIОЙ ВЫПУI\ЛОСТII У в:место Bcero TaKoro набо..
ра можно указать один вектор f.1 Е М. Поэтому G(Y) == У>.
3ам:етим, что па рис. 4 точка у' несобственно эффективна.
При м е ч а н и е 4. Теорема 3 устанавливает харанте..
истическое свойство собственно эффеRТИВНЫХ точек эф...
фективно выпуклоrо MHOi-RеСтва У при пом:ощи функции
ср(у) == < Jl, у), rде Jl Е М. В работе [158] сходный резуль...
тат при некоторых дополнительных условиях на мно"
жество оцеНОI{ У получен для фУНRЦИИ ср(у) ==,
[ т J U2
:::::: . ((Ui Yi)/ i)2 rде Ui> Sup Yi,_ i=== 1., 2, . . ., т.
t==l уЕУ
Опираясь на лемму 2, из теоремы 3 сразу получае:м
следующее утверждение, хараRтериаующее собственно эф...
фективные решения в воrнутых мноrОRритериальных за..
дачах.
Т е о р е м а 4 (ДiRОФФРИОН). ПУСТЬ Х въ пу ло, а f вое...
иута. Для собствеnnой эффе тивll0сти точ и х о Е Х nеоб...
ходи.мо и достаТОЧ1l0, чтобь7, существоваn, вe TO р Jl е ]YI,
при nотором и.меет .место равеиство (8).
Таким образом, ДЛЯ воrнутых :м:ноrОRритериальных за...
дач справедливо равенство
G,(X) === Х>.
(13)
2,2]
DоrПУТЫЕ и ЛИНЕйНЫЕ ЗАДАЧИ
{О9
При м е ч а n и е 5. Теорема 4 была получена K8R след...
ствие Teope IЫ 3. На самом деле, теоремы 3 и 4 (так же,
как теоремы 1 и 2) являются эквивалентными.
5. Расс:мотрим подлиппо эффективные оцеНRИ и реше...
ния. В предыдуще 1 параrрафе (Cl\l. теорему 1.16) равен...
ство множеств ПОДЛИННО и собствеНIIО эффективных точек
было установлено при определенных предположениях,
среди RОТОрЫХ было условие замкнутости множества У.
НаН понааывает НIIжеслеДУlощая теорема" в случае эф...
феI{ТИВНО выпуклоrо (и не обязательно ааМRиутоrо) Ура...
венство УRазапных множеств всеrда Иl\Iеет место.
т е о р е м а 5. Если М1tож'ество У эффе тив1tо вь пу-пло,
7'0 В( У) == G( У).
Д о R а 3 а т е л ь с т в о. Учитывая теорему 1.6.1, остает",
ся ДОRааать ВRлючение В(У) с: G(Y). Пусть уО Е в(у). Не
умаляя общности, ПОЛОЖИl\{ уО == О(т).
TaR же, RaR и в ДОRазательстве теоре fЫ 1.16, предпо...
лаrая противоположпое, ПОЛУЧИl\I существование последо...
вательпостей {Eh}, {yk} таI\ИХ, что Ek +0 и имеет место
(1.22), (1.23). ВО3МОil\ПЫ два случая: последовательность
точек {yk} может ОRаааться оrраничепной либо неоrрани
ченной. РаССl\I0ТрИl\f отдельно эти два случая.
1) Пусть sup 11 yh 11 < const. ПОСRОЛЬRУ ИЗ оrраниченной
h
последовательности всеrда MOiRIIO выделить сходящуюся
подпоследовательность, то будем считать сходящейся саму
последовательность: lim yk == у*. Из (1.23) следует у* >-
k...:; 00
О(т). Если у* == О(т), то TaR же, KaR и в ДОRазательстве
теоремы 1.15, определим последовательность (1.24) и при...
дем к противореЧИIО. Пусть у* O(т). Рассмотрим после..
довательпость
1t h h 1 k
о) ::х ky 1 rде у :=!: k у i k 1, 2, · · ·
--k
В силу выпуклости у * имеем у Е У *. Таким образом,
lim rok Y*E т (У *, О(т»). Это вместе снеравенством
у* :::: О(т) противоречит предположению О(т) е ве У).
2) Пусть sup 11 yk 11 == + 00. Можно считать, что Ilу'ЧI ::> 1,
k
k == 1, 2,... Введем последовательность
"""h "'k "'h 1 h.
(j) == ky I rде у == k 11 yk 11 У t k == 11 21 .. ·
110
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
Блаrодаря выпуклости множества У * здесь также имеем
k
У Е У *, k== 1" 2, . .. Последовательность {ffik}, кан после-
довательность точек на единичной заМI\НУТОЙ сфере, мот-
. h
но считать сходящейся: lim ro == ro Е Т (У *, О(т»)' Ис--
пользуя систеl\IУ неравенств (1.23), петрудно прийти к
неравенству О(т), которое Bl\IeCTe с";" == 1 противоре...
ЧJlТ предположен,ИЮ О(т) еВ(У).1I
Таким образом, в случае эффективной выпуклости У
понятия подлинной и собственной эффективности равно...
сильны. Соrласно лемме 2 этот вывод справедлив, в част-
ности, для воrнутых l\lпоrокритериальных задач: если Х
ВЫПУI\ЛО и 1 воrпута, то Bj(X) == Gj(X) [124]. Следователь...
но, теоремы 3 и 4 устанавливают таиже характеристиче...
ское свойство подлпнно эqJфеRТИВНЫХ оцеНОI\ и решений.
6. Пусть воrнутые векторные функции / == (/1' 12' ...
. .., 1т), g == (gt, g2, ..., g,J определены на выпуклом МНО--
жестве D s Еn. В это?\{ пункте для задачи с допустимым
множеством (1.1.1) будут получены неоБХОДИ?\Iые и до-
статочные условия оптимальности в терминах седловых
точек скалярной функции Лаrранжа
.!l'(Jl, х, л) == <Jl, j(x» + <л, g(x».
Эта фУНКЦИЯ считается заданной для таких пар векторов
(х, л), что'х Е D, л Е E ; т мерный вектор Jl здесь яв",
=:::.
ляется napaMeTpOl\I.
Напомни:м, что пара (х о , 'А О ) называется седловой точ
кой фУНКЦИИ Лаrранжа 2(Jl, ., .), если неравенства
.р ( t, Х, '}.}) ::;; еР ( J.t, х О, Л О) еР ( Jl, х О, л,). ( 14)
имеют место для всех х Е D, л Е E .
Т е о р е м а 6 (Кун Танкер rурвич ....... Джоффри..
он). Пусть ве1itтор фуnкциu j, g eoenyrbL на выпупло.м .мnо..
жест.ве D и выполnяется условие рееулярnости Слейтера:
CYUfecTByeT та ая точ а х Е D, что g(x) > O(k). Для слабой
эффек,ти'вnости (собствеnnой эффептивnости) точки х О Е
Е Х nеобход tо и достаточно, чтобь существовали веп..
k
тор J.t Е М (J.t Е lVI) и вектор Л О Е Е> тапuе, ЧТ() пара
::::::::
(х О , 'А О ) является седлоеой точпой ФУn1';ции Лаераnжа.
Д о н а 3 а т е л ь с т в о. Вначале докажем условия сда...
бой эффективности. .
2.2)
tзоrН'УТЫЕ :и ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
1ff
Достаточность. Если пара (хО, лО) есть седловая
точна, то из правоrо неравенства (14) при "л == O(k) имеем
<J...o, к(х о » <:: о. Но Л О G': O(k) И g(XO) O(k)' поэтому
<'Л О , g(xO» == о. (15)
Следовательно, левое неравеПСТБО (14) влечет
<J..t, f(x» + (').0, к(х» <:: ( , f(xO» для всех х Е D.
Отсюда следует
(J.t, f(x» :5: (J.1, f(xO» для всех хеХ.
Так как J.1 > О(т), то хО Е S(X).
н е о б х о д и м о с т ь. Из слабой эффективности х О вы..
текает несовместность на D следующей системы BorHY"
ТЫХ epaBeHCTB:
f(x) f(xO) > 0(",.,
к(х) О(А).
По теореме Фана rЛИI{сберrа rоффмана об альтер..
нативе сущеСТВУIОТ неотрицателыIеe числа 111'- 1121 · · · -1l:tm.r;
т k
л , Л " . . .1 лZ, i + лJ == 1} такие, что
i==1 З=: 1
(J.1, f(x) f(xO» + (л О, g(x» :5: О для всех х Е п. (16)
Отсюда следует левое неравенство (14). Далее, если в (16)
положить х == хО, то получим ('Л О, g(XO» <:: о. Но (л,
g(XO» O дЛЯ любоrОЛЕ Е " ПОЭТОl\lУ (л о, g(XO» S
$ (л, к(х о » t Т. е. правое н ер авенство ( 14) TalOKe вы..
полняется.
Для TOrO чтобы доказать включение J.1 Е lVI, достаточно
убедиться, что J.1 > О(т), поскольку В этом случае неравен"
т
ства (14) всеrда мо}кно поделить на ti. Действительно,
i==l
если бы было t == О(т), то ИЗ (16) при х == х следовало бы
неравенство (лО, к(х» <:: О, противоречащее условию ре..
h
rулярности и равенству л == 1. Условия слабой эф..
а ==1
ФеRтивносtи доказаны.
112
СЛОБИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
Условия собственной эффентивности получаIОТСЯ из ДО'"
назанных условий слабой эффеНТИВlIОСТИ при по:мощи тео...
ремы 1.13 (аналоrично тому, нан это было сделано в ДО"
назательстве теоремы 3). Эти условия будут отличаться
от условий слабой эффентивности лишь тем, что в них
вентор J.t, участвующий в фупнции Ла rр аНiI\а, будет
удовлетворять ВI{лючению J.t Е l\f, а не J.t Е Мо .
7. Рассмотри:м линеЙНУIО м ноrонритериальную задачу.
Пусть линейная вентор фуннция f имеет вид
j(x)::z:s: «ct, х), (с 2 , х), ..., (с т , х»,
а множество Х полиэдрально, То ео задано нонечной сис..
темой линейных неравенств
Х == {х Е Еnl <a j , х) :::;; b j , j == 1, 2, ..., k}, (17).
rде aiEEn, bjEE, j===1, 2,..., k.
В линейной мноrонритериалыIйй задаче MHOjI\eCTBO
оценон У не тольно выпунло, но TaHiKe и полиэдрально.
Рис. 5 наводит на мысль о том,
!4 что здесь для наждой эффектив...
ной оцепни уО MOiHHO подобрать
вентор J.t Е М такой, чтобы точ[\а
уО была ТОЧКОЙ мансимума на У
фУНКЦИИ < J.t, у>. Следова тельно,
вспомнив теорему 3, MOiKHO пред"
ПОЛОJI\ИТЬ, что множества Р( У) и
С( У) (а тан/не Р j(X) и Gj(X)) в
линейных задачах совпадают. ЭТО
РПС. 5. предположение действительно она...
зывается верным.
Вначале докажем слеДУIОЩУЮ теорему, приведенную
в [208] для эффективных решениЙ.
т е о р е I а 7. Для тоео чтобы в лuнейпой задаче точпа
х о Е Х была эффептивной (слабо эффептивnой), необходu..
JJtO *), чтобы для HeпOTopb X вепторов J.t Е М (f.t Е М) и
k
л Е Е > выполнялись равенства
1n k
llici == Лjа j (18)
i==l j==l
*) Как показывает ДОRазательство леммы 4, условия теоремы 7
ЯВДЯIОТСЯ П достаточными.
2.2)
воrНУТЫЕ 11 ЛИНЕйНЫЕ ЗАДАЧИ
113
и
k
Лj (bj (а,1 1 х О ») === о.
9===1
Д О R а 3 а т е л ь с т в о. Через ](хО) обозначи:м MHOjHeCT
во индексов аI\ТIIВНЫХ оrраничений, Т. е. j Е J(XO) тоrда
и толы\о тоrда, ноrда <aj, хО) === b j .
ЭсрфеI\ТИDНОСТЬ ХО влечет несовместность следующей
системы линейных неравенств:
(с\ х) > о", i == 1, 21 . . . " т,; (20)
(a j , х) > О для всех j Е J (х О ).
(19)
Действительно, если х решение системы (20), то для
достаточно hlалоrо 8 > О 11 точки х' == хо + 8Х буде:м Иhlеть
< i ' ) :> < i О ) · 1 2
с , х с, х , , ,. .., т,
<a i , х') <: <a j , хО) == Ь ; дЛЯ всех j Е J(XO),
<a j , х') < Ь ; дЛЯ всех остальных j,
что противоречит эффентивности х о .
Из несовместности перавенств (20) по теореме TaI
нера об альтернативе следует существование венторов fl. Е
Е M.t л Е E таI{ИХ, что выполняется равенство
т
f.!i C i ==
i===l
л за j ,
jEJ (х о )
(21)
ноторое, очеВИДIIО, энвивалентно равенствам ( 18), ( 1 g).
Если iI\e хО слабо эффентивна, ТО несовместной будет
система
<с\ х) > о, i == 1, 2, ..., т,
<aj, х) О для всех j Е ](хО),
И ПРИ lеIIеlIие теоремы 1fОЦНИНёi приведет н равенству (21)
........... k
с II Е М И Л Е Е > . .
Л е м м а 4. В линейной задаче ТОЧ1'i,а хО эффе1'i,тив на
тоеда и ТОЛЬ1'i,О тоеда, 1'i,oeaa существует ee1'iTOp ! Е J\tl, длл
пото роео выполняется
т т
( i О ) ,., < i )
fl.i С, Х == шах ti С 1 Х .
i==l хЕ Х i ==1
8 Б. В. ПОДИНОВСl\ИЙ, В. д. Ноrин
(22)
114
VСЛОйИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
(rл 2
Для ДОl\азательства Rеобходимости возьмем произволь..
ное х Е х. УМНОi!{ая равенство (21) скаллрпо на х хО,
получим
т
fli (с\ Х хО) %:: Лj (a j 1 х хО). (23)
i:cl' jEJ(:x,O)
Но <a J , х О ) == Ь) дЛЯ j Е l(xO) и <a i , х) <: Ь), поэтому
правая часть равенства (23) неположительна для любоrо.
х Е х. IIеполож:птельность левоЙ части (23) влечет (22).
Достаточность им:еет место в силу J.t > О(т) (СМ. пример
1.2). .
При 11 е ч а н и е 6. Лемма 4 для линейных задач спе.
циальноrо вида впервые была получена Т. Купмансом
[ 184]; затем А. Чарнс и У. Купер [130] ДОRазали ее при
помощи теоремы двойственности линейноrо проrраммиро"
вания на основе теоремы 1.6. Аналоrичным путем п. Бод
[121] показал ее справедливость для общеrо случая.
IIозднее она была установлена в [149, .172]. В [77] она
получена при помощи теоремы двойственности линейноrо
проrраммирования на основе теоремы 1.5.
Соrласно доказанной л-е:мме, в линейной задаче всеrда
:выполняются равенства Р( У) == У> и Pj(X) == Х>.
Сравнивая лемму 4 с теоремой 4, получае I
С л е Д с т в и е 3. В .лu1tейнои аадаче справедлuвы ра..
веft.ства
Р(У) == G(Y), Pf(X) == Gj(X).
8. Равенства из последнеrо следствия получены для ли..
ней ной мноrокритериалъной задачи, т. е. в предположении
линейности всех функций fi и аффинности *) всех функ..
ций g" участвующих в определении :MHOJI\eCTBa Х (1.1.1).
Здесь мы ПОкаi-I\ем, что указанные равенства справедли..
вы и для определенноrо класса нелинейных функций,
а именно для полиэдральных воrнутых ФУПI{ЦИЙ.
Напомним (см. [93]), что полuэдраЛЬ1tой вОZllУТОЙ на..
Бывают числовую ФУНI{ЦИЮ h: Еn .....-+ Е вида
h (х) ==. min (c j , х) + (XJ)"
.7 E {l,2,...,s}
*) Числовая функция h аффuппа, если она одновременно во..
rnYTa и выпукла на Еn. Аффинная функция представляет собой
сумму линейной функции и пеRотороrо числа, Т. е. h (х) ,== (с, z) +
+ Ь. rде с Е Еn. Ь ЕЕ,
22]
ВQrПУТЫЕ и ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
115
rде с' Е Еn, (Х} е Е для всех 1. ПОНЯТНО, ЧТО всякая аффин"
пая (в частности, линейпая) функция является полиэд
ра.лъной воrпутой, НО не наоборот. Полиэдральпая BorHY"
тая функция BorHYT8 на Еn. В соответствии с этим будем
считать, что критерии имеют вид
fi(X)== i i (с; (i), х) + aj), i == 1, 2, . . · , тjJ
rде M i == {1, 2, ..., Si} и с ; (i) Е Е n , a Е Е ля всех i и j.
Л е 1.1 ! 8 5. Если M1lOJ/cecr60 Х полиэдраль1tо, все ФУН/'i,
цuи /1 являются полиэдраЛЬ1tЫJl,tи вОЭllУТЬ Jtu и Р( У) =1= О,
то Jtltожество У * полиэдраль1tо.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть В это матрица, nepBYIO
строку I\ОТОрОЙ состаВЛЛIОТ КО Iпоненты HeKoToporo векто...
ра из с 1 (1)" с 2 (1)( ...tt C S1 (1), BTOPYJO строку I\омпоненты
8
пекотороrо вектора из с 1 (2), с 2 (2), .. ., с I (2), и Т. д.; пос...
леДНIОЮ строну компоненты HeKoToporo вентора из
с 1 (т), с 2 (т), с . ., c т (т).. Пусть Ь это соответствую...
щий матрице В BeI\Top, первой ко:мпонентой ноторо'"
1 1 1 ...
ro служит одно из чисел С'Х 1 , а 2 , . . ., а .:; ,второи одно ИЗ
1
чисел ai, a , о . . it а;. и Т. д.; последней компонентой од...
т т т Т
ПО из чисел а 1, а2 , . . ., CGQm' ан что, например, матрице,
у I{ОТОРОЙ первая cTpoI\a есть вентор с l ( 1), вторая CTpOI\a
BeRTOp c t (2) и Т. Д., последняя страна вектор с l (т), со...
Ь 1 2 т О
ответствует вектор с компонентам:и (Х.1, C!,l, . · · , CG 1 . че...
видно, число таких Аlатрпц равно числу соответствующих
векторов и является конечным:. ИСКЛIОЧИМ из введенноrо
набора матриц II векторов «лишние», т. е. такие, для ко...
торых не существует х Е Х, при котором имеет место ра...
вепство !(х) == Вх + Ь. ОставшиЙся набор матриц обозна...
ЧIIМ: через B t , В 2 , ..., ВТ, а соответствующие им векто...
ры через bt, Ь 2 , ..., Ь'.
Введем в раСС 10трение :м:ножества
Х J == {х Е Х I j (х) == В' х + Ь'}, j == 1, 2, ..., r,
и условимся i ю компоненту вектора В'х + Ь з обозначать
Через (В{, х) + Ь{, i == 1, 2.., . . . , т. Из определения мно'"
iI\eCTBa Х, следует, что если х Е X J , ТО Х Е Х И, I\роме то...
ro, х удовлетворяет следующей конечной системе линеiiных
8*
116
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛьности
[fЛ. 2
неравенств:
(Bi, х) + bI <:: (c k (i), х) + (17)
k === 1, 2, . . ..' Si, i == 1, 2, . . ., т.
Обратно, если х Е Х удовлетворяет этой системе ЛlIнейных
неравепств, то
(в{,- х) + bI == min (c k (i)t х) + al),; l == 11 21 . . ., т,;
пЕМ i ·
Т. е. BJ x + Ь; == j(x). Поэтому с учетом полиэдраЛЬПОСТII Х
получаем, что RаЖдое Х } представляет собой МПОiНССТВО
решений некоторой Rопечной систе:мы линейных пера..
венств, т. е. полиэдрально,.
Проверим равенство
,.
X==UXj.
а==1
Пусть х Е Х. В силу определения Iатриц 8 t , 82, ..., в,.
и соответствующих им вепторов Ь 1 , Ь 2 , ..., Ь Т найдутся BJ
и Ь ; таRие, что Bi x + b J == f(x). Следовательно, Х С:; U X j .
j
Обратное включение выполняется по определению мно..
жеств X i . ТаRИМ образом, можно записать
у == f (Х) == f ( .U X j ) == .U f (X j ).
з==1 .1==1
Для любоrо х Е Х } справедливо равенство j(x) == BJ x +
+ b j . Это означает, что на множестве Х } полиэдральпая во...
rнутая (ПОRом:понентно) веRтор фУНRЦИЯ f совпадает с не...
которым аффинным отображением (т. е. с суммой некото"
poro линейноrо отображения и постоянноrо вептора). От-
сюда блаrодаря полиэдральности X j следует (см. теорему
19.3 -из [93]), что j(X j ) полиэдральное множество, j =-
== 1, 2, ..., r. Следовательно, У это объединение Rопеч...
Horo числа полиэдральных множеств (в частности, явлн"
ется аампнутым). С caMoro начала мы предполаrали, что
Р( У) ::1= 0, поэтому из замкнутости У соrласно лемме 1,
ноторая доказана в 3.1, следует замкнутость MHOrKeCTna
у *. Опираясь па выпунлость Х И :воrнутость функций /i,
леrко установить (см. лемму 2.2), что У *, проме Toro,
IIвляется выпуклым множеством.
2.3]
ДВУХНРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
117
Для MIIOiI\eCTBa У * f\IОЖНО записатр представления
r r
У. == у E == P J{Xj) E == У Jf{Xj) }
Заметим, что блаrодвря полиэдральности f(X j ) все МIIО.
,нества f (Х j) ....... Е"; 1 j == 11 2.,_ · . · '- r 1) полиэдралъны (см.
следствие 19.3.2 из [93]).
Далее, поскольку}" * выпуклое за:мквутое MHOiKecT"
ПО, то
У. == co v У... == ёOllV Uj 1 [1 (X j ) E ]}.
Справа здесь стоит. заМЫRnпие выпуклой оБОЛОЧI\И I\опеч..
Horo числа полиадральных IHOiI\eCTB. Оно само является
полиэдральпым MHOiI\eCTBo?tf (см. теорему 19.6 из [93]).
Следовательно, У * полиэдралыIеe ПIожество. 11
т е о р е 1\1 в 8. Пусть допустu.мое .Jlltожество Х UJteer
вид (1.1.1), D == Еn и все фУ1t7'itции /i, gj являются nолиэд..
ральuь .ми eoeпYTbLMU. l'оеда Р( У) == G( У) (а аnачит,
Pj(X) == Gj(X».
Д о R а з а т е л ь с т в о. Блаrодаря TOl\IY, что gj поли--
эдралъные воrнутые ФУНI(ЦИИ, множество Х полиэдрально.
Если Р( У) == {2), то равенство Р( У) == С( У) выполняет--
оя. Поэтому пусть Р( У) =1= eJ. в этом случае, соrласно
лемме 5, полиэдралъным является MHoiRecTBo У *. Поэто--
МУ В силу следствия 3 справедливо равенство Р (У *) ==
=== G (У *). Отсюда, учитывая лемму 1, получаем: р(у) ==
== ССУ). [1
Заметим, что отличные от приведепных выше условия
па функции /t и gj, обеспечивающие совпадение эффеR
'l'ивных и собственно эффективных точен, MOjHHO найти
в [68].
9 2.3. Условия оптимальности
для двухкритериальных задач
1. В данном параrрафе рассматриваются условия оп
тимальности по Парето для задач с веКТОРВЫ?\1 :критерием:
f == (/1, /2). При ФОРМУЛИРОВRе ЭТИХ условий ИСIIОЛЪЗУЮТ
ся сведения о наибольших и наименьших значениях ИРII
териев на множестве эффентивных ретений.
118
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
(I'п. 2
ПреДПОЛОiНИМ, что Pf(X) =F 0. Тоrда
sup /! (х) <: sup t i (х), i == 1" 2. ,( 1)
tzEPf.X) хЕХ
Если же множество Pj(X) еще и внешне устойчиво, то
соrласно следствию 1.4 это HeCTporoe неравенство обраща..
ется в равенство.
Л е м м а 1. Если уО Е Р(У) и y == тах Yl' то yg :::;
уЕ Р( У)
r=: min У2.
. IIЕР(У)
Д О К а з а т е л ь с т в о. ДОПУСТИIvI, что y > inf У2.
уЕР(У)
Тоrда найдется у* Е Р( У) тапой, что y > у;. в силу эф
фективности у* должно быть
о *
У2 < У1, а это противоречит
условию лем:мы. .
Заметим, что на случай
т > 2 лем ма 1 не обобщается
(см. рис. 6, rде У == Р( У)
шестиуrОЛЬНИR, вписанный в
В треуrОЛLНIII{ АВС).
//2 2. Обратимся крассмот..
реНIIЮ двухнритериальной за..
дачи, в I\ОТОрОЙ вектор Функ"
PIIC. 6. ЦИЯ 1 == (/1' /2) задана на не..
пустом мно,нестве Х 5 Еn.
Введс:м следующие обозначения:
bi == вир /i (х), i == 1" 2;
ХЕХ
.
Х 1 == {х е= Х 111 (х) == Ь 1 };
а == { SllP {/2 (х) I х е= Х;}, если Х; =F eJ "
2 inf {/2 (х) I х е= Х} в противном случае.
у СЛОВИ IСЯ считать, что [а2, Ь 2 ] означает соответствую
щий отрезок в случае Rонечных а2 и Ь 2 , а в случае, если
одно из них (или оба) есть бесконечность, то COOTBeTCT
ВУIОЩИЙ луч (или BCIO числовую прямую). Например, ec
ли а2::::: 00, то [а2, Ь 2 ] есть ( OO, Ь 2 ].
Если Pj(X) =1= 0, то соrласно (1) 12(Х) <: Ь 2 дЛЯ любоrо
х Е Р/(Х). ЕСfEИ х; =1= 01 . то блаrодаря лемме 1 f (x) аа
.31
ДВУХКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
119
.
ДЛЯ всех х ее Р f (Х). Если х 1 == ef,. то для каждоrо х е
Е Pf(X) также имеем 12(Х) iE: а2. Таким образом, 12(Х) Е3
е [а2' Ь 2 ] при х Е Р,(Х).
ДЛЯ а е [aJt Ь а ] введем в рассмотрение задачу: найти
тах {/t(x)lx e Х, f2(x) a}. (2)
Если х о е Pj(X), то соrласно теореме 1.5 х О ........... единст"
венное (с точностью до эквивалентности /) решение м..
дачи (2). при ct cr;:: f2(XO), причем , как выяснено выше, а Е
Е [а2, Ь 2 ]. Наоборот, если х О ........ единственное (с точностыo
до эквивалентности /) решение !k
задачи (2), то из теоремы 1.8 (при 12
<Po(j(x»==J.(x), <Pt(j(x»== Мх), tt==r @ . / ((.т'/
== а) следует эффективность х О . йfi, _ '
Всеэто означает, чтохОеР/Х) W _ I
тоrда и только тоrда, коrда точ" :
ка же является единственным: ffxtJ;
(о точностью 'до эквивалентности у
,) решением скалярной задачи
(2) при а Q [а2, b z ] (см. рис. 7).. !It
При м е ч а н и е 1. Леrко по...
П'ЯТЬ, что наименьший интервал
изменения параметра а, при кото.. Рис. 7.
ром остается справедливым сфор..
мулировавное выше взаимнооднозпачное соответствие
между эффективным:и точками и решениями задачи (2),
есть [az, Б ], rде
at::::::l iпf /'J(X)$; Ь 2 == BUP /2 (х).
-- ХЕР/Ж) ХЕРfЖ)
Но дело в том, что в общем случае ВЫЧИСЛИТЬ эти величи...
вы практически сложно. Поэтому вместо них берутся
друrие rраницы «<с запасом)}), как, например, а2 и Ь 2 , оп...
*
ре деленные ранее. 3ам:етим таИjl{е, ЧТО в случае Х 1 === }25
И Ь 1 < + 00 в качестве НИ}l\неп rраницы иптервала изме...
нения а можно брать, например, sup{Y2IyE Y , Yt==b 1 },
что является более точным, чем а2 (последнее видно на
рис. 7, если из множества У, изображенноrо на нем, ие...
I\ЛЮЧИТЬ все точки, первая координата которых есть Ь 1 ).
В 2.1 было от:м:ечепо, что требуемое условие един..
ственностп выполняется, если Х выпукло, f (/t, /2) ква...
8ивоrпута, причем 11 CTporo Rва3ИБоrнута. Друrие, спеЦlI"
120
Условия ОnТИМАЛЬНОСТй
(tЛ.2
Физичесние для двухRритериалыIrоo случая достаточные
условия единственности уназывает
т е о р е :м а 1. Для тоео чтобы fia;J/caoe решепие задачи
(2) при а Е [а 2 , Ь 2 ] было едипствеппым с точпостью до эп...
вивалептпости "'1 (а зпачит, и эффе тивпы;м), достаточпо
выполпепия одпоео из следУl0щих условий:
1) Х выпупло, 11 сиЛЫ-lО пвазивоепута, а /2 воепута;
2) :лtпожество У * == у Е ; вь пуп.ло;
3) Х === Еn и Фуппция /1 т апо ва, что па:Jlсдь й ее лопаль-
llЫЙ .мапси.МУМ является елобальпЫJt, а 12 полупепрерыв-
па спизу па Еn.
3ам:етим, что воrнутая фУНI\ЦИЯ СIIЛЬНО Rвазивоrнута
(см. 9 2.2), поэтому условие 1) выполнепо, если Х ВЫПУli'"
ло, а f BorHYTa (в DTOM случае УДОВJlетворяется и усло...
вие 2»).
д о R а з а т е л ь с т в о. ДОПУСТИ I, что решение х О зада...
чи (2) не является единственным с точностью до энвива...
лентности '" f, т. е. найдется х' Е Х, дЛЯ I\OTOpOro
/1 (х') === /1 (х О ), 12(Х') > 12(ХО). (3)
Если /1 (х') === Ь 1 , ТО В силу определения числа а2 при...
ходим R противоречию:
а2 :> 12(Х') > /2(ХО) :> а :> а 2 .
Пусть !1(Х') < Ь 1 . Рассматривая последовательно пред...
поло/кения теореl\'IЫ, придем I\ противоречиям:
1) Из неравенства /l(Х') < Ь 1 следует существование
таной ТОЧRИ х* Е Х, что
11(Х*) > 11(Х'). (4)
Для любоrо л Е (О, 1) блаrодаря воrнутост:и 12 и выпунло",
сти Х имее:м
/2 ('лх' + (1 Л) х *) :> Л/ 2 (х') + (1 Л) 12 (х* ) .
в силу неравенства из (3) при Ло, достаточно близном
R единице, получаем
Ло/2(Х') > f2(XO) (1 Ло)f2(Х*).
Поэтому
/2(Л О Х' + (1 ло)х*) > /2(ХО) (Х.
А блаrодаря сильной Rвазивоrнутости /1 имеем
11 (ЛоХ' + (1 ...... ЛО)Х*), > 11 (х О ),
2.3]
ДВУХRРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
121
Два последних неравепства противоречат тому, что х О .......
решение задачи (2).
2) Здесь таи/не И Iеет l\leCTO перавепство (4) l1рИ неко"
тором х* Е х. Возьм:ем Л Е (О, 1) II
У (л) == л/ (х') + (1 ....... л) f (х*) Е У *.
Вследствие (3) II (4) прп Л1, достаточно близком: к едини
це, будет выполняться неравенство j(XO) < У(Л1). Но у (л 1 ) Е
Е У *, поэтому существует х Е х, при котором У(Л1) <:
< 1(х). Следовательно, 1(хО) < f(x), что противоречит TO
му, что хо реlпение задачи (2).
3) В ЭТОl\I случае, поскольку хо решение задачи (2)
и 12(ХО) ::> а, из (3) следует, что х' точка максимума
функции 11 на ОТКрЫТОl\! множестве {х Е Еn 112(Х) > а}.
Значит, х' точка ЛОRальноrо максимума 11. В COOTBeTCT
впп с предполо/нением 3), х' является точкоЙ rлобальноrо
IаКСИМУl\Iа, т. е. /1 (х') == Ь 1 . Это противоречит начаЛЬНО IУ
допущению 11(Х') < Ь 1 . .
3. Разобранные выше условия оптимальности пред
ставляют интерес не только в рамках мноrокритериаль
пой оптимизации. ИХ :M:Oi-ННО использовать и при реше
пип одпокритериальных задач специальноrо вида.
Для ИЛЛIострации этоrо ПОJIОII{ения рассмотрим следую
щую задачу макс:имизации числовой фУНRЦИИ: найти
тах h [/1 (х), /2 (х))"
ХЕХ
(5)
rде <!1(Х), f2(X)) == f(x) двумерная вектор фУНRЦИЯ,
определенная на l\!ножестве Х s Еn, а h[., .] число
вая функция двух переl\1енных, являющаяся неубываIО
IцеЙ на своей области задания f(X) по каждой пере..
l\Iенной.
Соrласно TeOpel\tIe 1.10, если Хнепусто и компактно,
а ФУНRЦИИ 11, 12, } непрерывны на своих м:ножествах
задания, то среди решениЙ задачи (5) им:еется по краЙ
ней мере одна эффективная точка по вектор функции
1 относительно множества х. Следовательно, можно за..
писать равенство
тах ' [! (х)] == тах h (у). (6)
XE Y уЕ Р(У)
ПРОДIIОЛОrRИ:М, что /1, 12 И Х удовлетворяют одпому
П3 трех преДПОЛОiI\ениЙ теорем:ы 1. В этом случае I{aiI\
122
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
дое реIпение задачи (2) является единственным с точ..
востью до эквивалентности I'"OJ J.
ДЛЯ а Е (а2, Ь 2 ] введем множество
Х*(.а) == {х* Е Xlx* решение задачи (2)}.
Пусть х* (.а) произвольная функция, определенная на
множестве [а 2 , Ь 2 ] и: обладающая свойством
х*(.а) Е Х*(а) для любоrо а 8 [а2, Ь 2 ]. (7)
При сделанных преДПОЛОiI ениях, если х l и х 2 два
различных решения задачи (2) при одном и том H e а, то
f(x l ) == f(x 2 ). Поэтому для произвольной функции х*(а),
удовлетворяющей (7), верно равенство
{j[X*(a)] la Е [а 2 , Ь 2 ]} == {j[x*(a)] la Е [а2, Ь 2 ]}.
Соrласно раССУiндениям предыдущеrо пункта множество,
стоящее в это:м равенстве слева, совпадает с Р( У). сле....
довательно,
Р( У) === {у Е УI у == j[x*(a)] при HeI{OTOpOM а, Е [а2, b 2 J}.
в ЭТОМ случае равенство (6) можно переписать так:
шах h [/ (х)] == шах h [/ (х* (а))].
хЕХ аЕ:[ а 2 ,Ь 2 ]
(8)
и так, имеет место следующее утверждение. Если х........
пепустой КОl\iпакт, функции /1' /2, h непрерывпы и выпол 40l
вяется одно из трех пре,дПОЛОjкепий теоре:мы 1, то дЛЯ
любой функции х*(а), удовлетворяющей (7), справедливо
равенство (8).
На основании равенства (8) l\fОiНП.О преДЛОiI\ИТЬ сле-
дующий путь решения исходпой задачи (5):
а) решив параметрическую заД(1(IУ (2), найти Функ--
ЦИЮ х*(а) для всех а Е [а2, Ь 2 ];
б) максимизировать ФУНКЦИJО h[j(x*(a)] одной пере...
мепной на промежутке [02, Ь 2 ]; если ао....... точка макси..
IYMa, то х*(а о ) решенио задачи (5).
В тех случаях I\оrда аналитичеСI\Иll вид функций /.' /а
,-tI
сравнительно прост, реализаЦIIЯ П3ЛОiI\енпоrо спосооа ре--
шеНИlI задачи (5) МQжет ОI\азаТЪСll не(!ЛQiI\НQЙ,
2,3)
ДЙУХRРИТЕРИАпЬПЫЕ ЗАДАЧй
123
При м е р 1. Пусть требуется решить задачу (5), в ко..
торой
v ......
h == f 1 · f 2,:
11 (Х) == .... Х. ..... Х2 + Ха + 11,
12(Х) == Х. + 2Ха + 5х.,
а множество Х задано оrраничениями
Х. + Ха + 2Xi == 3,
Х2 + 2Ха + Xi == 7,
Хl, ..., Х4 о.
Здесь !1(Х), 12(Х) > О для всех х Е Х, позтом:у функция
Y
h [Уl, У2] == Уl У2 cTporo возрастает по каiRДОЙ переменноii
на Е;.
Во первых, находим, что решение х ! :=: (о, 1, 3, О) мак..
симизирует функцию f на множестве х. Так как
тах {!2(Х) Ix е Х, !1(Х) == !1tX t )} == 6, то полаrаем а2 == 6. Да..
лее, маКСИМИ8ИРУЯ /2 на Х, находим решение х2 ==(0, 11/2,
о, 3/2). Следовательно, Ь 2 == 15/2 п задача (2) при а. Е
Е [6, 15/2] принимает следующий вид: максимизировать
11 при условиях
Х. + Хз + 2х" == 3,
Х2 + 2хз + X == 7,
Х 1 + 2х з + 5Х 4 :::> а,
Xt, ..., Х4 о.
Решая эту задачу линейноrо параметрическоrо проrрам--
мирования, находим
х*(а) == (о, За 17, 15..... 2а, а 6).
в соответствии с этим
h [/ (х* (а))] == (43 ........... 5а) },/ а .
Эта функция на промежутке . [6, 15/2] достпrает макси--
MY fa при а. == 6. Следовательно, (о, 1,3, о) ........ решение ис..
ходной задачи, и ax h ::;::: 13V&
124
Условия ОПТИМАЛЬНОСТИ
(rЛ.2
При м е ч а п и е 2. Подобным образом задачу (5) мож..
Но решать, беря за ОСНОВУ не (2), а задачу отыскания
m а х [ ! f 1 (х) + (1 ) f 2 (х)].
хеХ
Принципиальная ВОЗ IОjННОСТЬ TaKoro подхода заложена
в теореме 2.4. РеализаЦIIЮ этой ВОЗМОi-I\НОСТИ заинтересо...
ванный читатель мо/иет найти в работе [160].
э 2.4. Условии оптимальности
ДЛЯ дифференцируемых ФУIII:ЦIIЙ
Условия оптимаЛЬПОСТII, которые здесь формулируют-
ся, фактичеСRИ являются дальнеЙПIИl\1 обобщением: клас..
сической теоремы Ферма: производная в ТОЧRе экстре...
Ъ1ума обращается в нуль.
Для вывода неоБХОДИl\IЫХ условий используется в ос...
ноnном ТОЛЬRО своЙство диффереНЦIIруе:мости функций,
причем ПОСКОЛЬRУ эти условия носят ЛОRальный xapaI\Tep,
то дифференцируемость требуется лишь в расс:матривае...
мой точке. Для тот'о чтобы достаточные условия опти",
м:альности сфор:мулировать в наиболее общей форме, при...
Блек.аются понятия псевдо", и Rвазивоrнутой функций
(СМ. 2.2).
В ЭТО I параrрафе векторные фУНRЦИИ / == (/1, /2, ...'
. .., /т) и g == (g1, g2, ..., g,) будем считать заданными на
мнол естnе D s;; Еn. При этом ДОПУСТIПvl0е мнол-\ество Х
будет представлять собой MlIOiRecTBo решений систеl\IЫ
нсраиенств (1.1.1).
1. Введем множество J(XO) nOl\lepOB активных оrрани",
чений:
j Е J(XO) тоrда и толы\о тоrда, Ноrда gj(XO) == о.
Будем считать, что хО Е intD. Необходимое условие
опти:мальности фОРl\Iулируется в следующей теореме, rде
V /i(XO) означает rрадиент фУНRЦИИ !i, вычисленный в
ТОЧRе хО.
т е о р е I а 1 (Да Нанха Полак Джоффрион).
Пусть векторпы,е фупкциu f, g дифферепцируеJrtЫ (пOROJt...
попептпо) в точке хо Е Х и вь полнено условие ревуляр'"
пости: существует тапая точпа х Е Еn, что для любово
j Е J(XO) справедливо nеравеиство (Vgj(XO), х) > о. Для
тоео чтобы точка хо БЬLла слабо эффептивllОЙ (собствеllllО
g 2.4]
ЗАДАЧИ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ФVННЦИЯМИ
25
эффептивuой), иеобходи.мо, чтобь сущестsовали вепто Р
. k
J.t Е М (}.1 Е М) и вектор л Е Е> такие, ЧТО
т
lli V f i (Х О ) + Лj V g j (Х О ) == О(n), ( 1 )
i==l iEJ(X()
Д О Н а з'"а т е л ь с т в о. Вначале ДОRажем условие сла...
бой эффективности. Пусть ХО Е Sj(X). Тоrда система ли...
пейных неравенств
(V/i(XO), Х) > О, i == 1, 2, ..., т, (2)
(\7 gj(XO), Х) > О для всех j Е ](x(J) (3)
несовместна. Действительно, если это не TaR, то для точ",
НИ Х, удовлетворяющей этой системе, 10ЖНО УI\азать е >
> о такое, что хО + ЕХ Е D и
!i(XO + ех) ....... /i(XO) == 8(\7/ i (XO), Х) + о(е) > О,
i == 1, 2, ..., т,
gj(XO + ех) == 8(\7 gj(XO), Х) + о(е) > О для всех j Е ](х()),
gj(XO + ех) == gj(XO) + 0(8) > О для всех j Ф ](хО).
Здесь первое неравенство будет иметь место в силу диф
ференцируемости 1'1 инеравенства (2); второе БJlаrода
ря дифференцируемости gj инеравенству (3); третье
} следствие непреРЫВНОСТII gj и неравенства g/XO) > о при
j Ф ](хО). Выписанные три неравенства противоречат сла
бой эффеRТИВНОСТII хО. Следовательно, CIICTe?\ta перавенств
(2) (3) несовместна. В этом случае по Teope fe l\IОЦRина
об альтернативе ( 2.2) существуют векторы J.l, л вида
( t, л) О(т+п) И тание, что им еет :место равенство (1).
ПровеРИ 1 включение Jl Е М. Если }.1 == О(т), то Л >
2: О(п) И из (1) следует равенство
Лj (V gj (х О ), ;) == O'J
jeJ(xO)
противоречащее неравенству 'А > O(k) И УСЛОВIIЮ реrуляр...
Ности. Поэто:му !l > О(т), а значит, MOiI\IIO считать, что
т
fli == 1. Условие слабоЙ эффеl\ТIIВIIОСТИ ДОI\азано.
i==l
Теперь пусть х О Е Gj(X). Соrласно TOOpel\Ie 1.14 ТОЧI\а
хо является слабо эфq)еНТИВIIОЙ: по венто Р фУНJ\ЦИИ
«Il\f(x),<J.-t\f(х), ..., <J.-tт,f(x»), rде венторы J.liEM
126
vсловия ОПТИМАЛЪRОСТй
(rJl. 2
имеют вид (1.14), относительно Х. ПрИ fеняя R точие ж о
доказанное необходимое условие мабой эффективности,
... k
получаем существование векторов J.t е М и л Е Е> таких,
что
.i; !1 N [ 1: !1;/т (Х О ) ] + 'AjV gj (х О ) == О(n).
t==l Т==1 jEJ( O)
Отсюда, учитывая вид (1.14) Be TopOB J.tf и условие
т
l1 i == 11 после иеСЛО,RIIЫХ преобрааований получим
i==l
т
[ 'i (1 тв) +8] Vfi (х О ) + ЛjV g} (х о ) == о(n).
i==l jEJ(X O )
Вводя вектор J.t с l\омпонентами J.t( == i( 1 ....... те) + 8, i ==
1, 2, . .., т, приходим н равенству (1). JleI'1{O проверитъ,
что fl Е М.. .
Из ДОI\азательства теоре IЫ видно, что D случае, коrда
условие реrулярпости не предполаrается выполненным,
необходимое условие слабой эффективности будет иметь
прежи'ий вид ( 1), однако относительно векторов J.t и л
будет известно только то, что (fl, л) > О(т+А) (так что мо..,
жет быть fl === О(т».
2. Исследуем вопрос о том, коrда выполнение равен-
ства ( 1) влечет слабую эффективность, эффективность,
и собственную эффеI\ТИВНОСТЬ решения ХО.
т е о р е м а 2. IIредположuм, что М1l0жество D выпyп
до, ве'fi,тор фуппция f 'псевдововпута, а вепТОр фУН'fi,ция
g попомпонеnтп0 диффере1lцируе.ма, и для паждоzо j Е
Е J(XO) ФУn'fi,цuя gj "вааивоепута. Тоеда иа равенства (1)
а вепторо.м, J.t Е 1\1 с.ледует слабая эффептивnость хО.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, напротив, что
найдется такая точка х 1 Е Х, что
j(x t ).> j(XO). (4)
Для ЛIобоrо j Е J(XO) выполняется неравенство (V gj(XO),
х 1 ......... ХО) о. в самом деле, если это не тан:, ТО блаrодаря
неравепству (V gj(XO), х 1 ........ хО) < О при некотором j Е J(XO)
дЛЯ всех достаточно !\;Iалых е > О будем иметь
gj(XO + е(х 1 ....... хО) == e(V gj(XO), х1 ....... ХО) + о(е) < о.
с друrой стороны, поскольку х 1 Е Х, то gj(x 1 2 о == gj(XO),
2 ]
ЗАДАЧИ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ФYIIRЦИЛМИ
f27
а так как функция gj Rвазивоrнута, то для любоrо 8 Е
Е (О, 1) справедливо противоположное неравенство
g/XO + е(х1 хО» == gj«1..... е)хО + ех1) gj(XO) == о.
в силу докаэапноrо из (1) следует неравенство
т
! <Vfi (хО)" х 1 х О ) < о.
(==1
Поскольку f.1 > О(т), то из этоrо перавепства вытекает
существование TaKoro номера t, что <V/i(XO), х1 ХО) -< О.
ОТСlода, испольауя псевдовоrнутость функции !i, получа
см перавепство /i{X1) -< /i(XO), противоречащее (4). .
Соrласпо теореме 1.6.2 в случае выпуклоrо ?\-IНОiнестnа
Х и cTporo квазивоrнутой веRТОР ФУНКЦИИ / слабо эф..
cJ.'1ективпая точка всеrда является эффективной. Поэтому
ссли R предположениям теоремы 2 добавить строrую ква...
3IIBorHYTocT t и выпуклость множества х, то равенство
(1) при J.t Е М будет rарантировать эффективность ХО.
Перейдем к собственно эффективным решениям и рас...
С IОТрИМ следующий
Пример 1. n==1, т==2, ft(x)==x, f2(х)==е Ж, х==
::::::: ( 00, + (0). Здесь обе ФУНRЦИИ псевдовоrнуты. Для эф..
ФеI{ТИВНОЙ точ!\и хо == О равенство (1) выполняется при
fl1 === J.t2 == 1/2:
J.t1 V /1(XO) + J.t2 V /2(XO) == 1/2 · 1 + 1/2 · ( 1) === о.
Однако она не является собственно эффективной, так как
при Xk == k, k == 1, 2..., имеем
/1 (xk) /1 (х о )
f 2 (х о ) f 2 (хп)
k
.......-+ + 00.
1 e k k....oo
ПрИ!\Iер показывнет, что в предположении псевдовоr..
нутости необходи:мое условие собственной эффективно--
СТИ теоремы 1 при J.l Е М не будет достаточным. ПОЭТО IУ
от функции f ну/нпо потребовать большее, чем псевдо"
Воrнутость.
т е о р е м а З. П редположu.м, что ве"'тор фу1tпция f
п01iOJlпOпenT1l0 дuффере1tцuруема в точпе х о Е Х и вое..
'н,ута, а ве1irОр фу1tпцuя g n01iOJitпonenrno дuфферепцuру..
eJta и для дюбоео j Е J(XO) квавuвоепljта. Тоеда ebzпoJtne..
128
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rл. 21
llue равеnства (1) при Il Е 1\1 обеспечивает собствеnnую;
эффе-птивnость х О .
Д о к а з а т е л ь с т в о. РаССМОТРИ1\I сналярную ФУПИЦИI()
F(x) === (Il, j(x). Условие (1) мол\но пере писать так:
V F (х о ) + лjV gj (х о ) == О(n)8
jEJ(XO)
Блаrодаря воrнутости f фУНI\ЦИЯ F таRже воrпута, а впа.
чит, псевдовоrнута. Поэтому по Teope Ie 2 при т == 1 ПО.,.
лучаН1\I, что фУННЦИЯ F достиrает cBoero маI{симаЛЬНОl О,
значения на м:ножестве Х JJ ТОЧI е х? В этом случае cor-
ласно следствию 1.5 точна х О собственно эфrрентивпа. 11
При 1\1 е ч а н и е. Впервые условие опти:мальпости ти..
па (1) встречается еще у х. Куна и А. 1 aHKcpa [1871.-
Оно было получено применительно к попятию собствен
ной эффентивпости, введепноrо ими и ИСIIОЛЬЗУIОIцеrо
свойство дифференцируемости f и g. Достаточное усло..
вие Куна и Танкера требовало воrнутости f и g.
Условия оптимальности, не предполаrающие выполне--
ния УСЛОВИЙ реrулярности, получены в [110].
2.5. Условия оптимальности BToporo ПОрЯДRа
Рассмотрение этоrо парarрафа оrраничивается задачей
мноrОRритериалъной оптимизации без оrраничений, т. е.
считается, что Х === D === Еn. ВеRТОР функция ! предполаrа..
ется , пономпонентно дважды дифференцируем:ой в рас..
сматриваемой точне хо Е Еn. Через V2fi(XO) обозначается
rессиан функции !i, вычисленный в точке ХО:
a 2 / i (х о )
V 2 fi (х о ) == aXkaXj " k, j == 1, 2, . . ., п.
В формулировках необходимых и достаточных условий
оптимальности будет участвовать множество
К(хО) == {z Е Enl (Vji(XO), z) О, i == 1, 2, ..., т}.
Очевидно, К(ХО) выпуклый замкнутый конус с' верши..
ной в начале КQординат.
1. :flеоБХОДIIмые условия BToporo порядка слабой эф..
фентивности в мноrонритериальной задаче без оrраниче..
ПИЙ Iiредставлены в следую.щей теореме.
2.5]
УСЛОВИЯ BToporo ПОРЯДНА
{29
т е о р е ! а 1. ДЛЯ ТО20 чтобьz решение х О бьzло слабо
эффе тивнь_zм' по ве ТОр фУlt11,ции f относительно Еn, ие..
06xoaUJ!O выполнеllие следующих соотношений:
т
't1i V fi (х О ) == О(n) для He oтopoeo 't1 Е M JJ
i==l
min zV 2 fi (XO)z <:: О
ieM
для, всех Z Е К (х О ).
(1)
(2)
д о R а 3 а т е л ъ с т в о. Равенство (1) следует из тео..
pe IЫ 4.1. Для доназательства неравенства (2) возьмем
произволыIйй вектор z Е К(х О ). Если для Hero неравен"
ство (2) не выполняется, то
ZV 2 / i CX O )z > О для всех i Е М.
Так RaR Z Е K(x Q ), то длялюбоrо (J) Е(О, 1) справеДJПIВО
. 2
ro (Vfi (х О )1 z) + zV 2 fi (хО) Z > О для всех -i Е А/.
Положим х' == х о + roz, ro Е (О, 1). Тоrда для достаточно
Iалоrо ПОЛОil\ительноrо (J) будет выполнено
fi (х') fi (х О ) == (Vfi (х О )! х' х О ) + + (х' х О ) Х
Х V 2 f i (Х О ) (х' ....... хО) + о i ((U 2) > О дл я всех i Е 111,.
rде величина Oi((J)2) такова, что Oi(ffi2)/(J)2 --+ О при ffi --+ о.
}]олученные неравенства противоречат слабой эффеКТIIВ'"
ности решения х О . .
2. Решение х о Е Х называется ЛО11,аЛЫ-lО эФФе тив1-lЫ,М"
если существует TaKa онрестность В(х О ) ТОЧRИ х О , что х О
эффеRТИВНО по j относительно множества Х n В(х О ).
Решение х о Е Х называется [223] CTpOZO эффептuвны..ч
По' j относительно Х, если из соотношен'ий j(x) j(XO),
х Е Х, следует равенство х == х О .
'"Т е о р е м а 2. П усть для непото роео II Е М вь пОЛfl:l
ется (1). Если К(х О ) == {О(n)} или
minzV 2 fi(XO)Z<O для всех zEK(x(J)"-{О(n)},- (3)
iE.l\1 о
еде 1;fo == {i e:Mllli > О}, то х О является локальнь .м СТрО20
аффе тuвllЫМ решенuеJJ1t по j ОТ1l0сuтеЛЬ1l0 Еn.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. ПреДПОЛОЛiИМ, напротив, что ,х О
Не является ЛОRальпым CTporo эффективным решением.
9 в. В. ПодиновениЙ, В. д, HorlIB
130
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
Тоrда существует такая последовательность точек {ж ' } с:
С Еn, х' +- х О , l == 1, 2, .. ., что
t (xl) :> / (х О ), lim х' == х О . (4)
1.... 00
Рассмотрим последовательность
l...... х 1 ...... х О
Z 11 %1 %0 Р 1 ::::: 11 21 · · ·
IIз этой последовательности всеrда можно выделить СХО 40
ДЯЩУIОСЯ подпоследовательпостъ. Поэтому будем СЧIIтать,
что сходится са.ма эта последовательность;
lim zl == ZOl 11 ZO \, == 1.
l oo
Обозначим ю, == IIх' ..... хОIl. Тоrда ю,'" О п х' == Ж О + Фlzl.
В СIIЛУ дифферепцируемости
/t<Xl) ::Z !i(XO) + IOl<V f.{xO) t Z'} + о.{Юt) ДЛЯ всех i еМ.
ОТСlода блаrодаря (4) для достатс,чно большоrо N. сле..
дует
< V!t(XO), ZI) > О, l == N 1 , N. + 1, ..., для всех i Е lJf,
Т. е. Zl е К(х О ), t === N s , N t + 1,... СJIедовательно, ZO Е К(х О ).
Равенство [(х о ) == {О(.) противоречит тому, что ZO Е
Е [(х о ) R ПzОl1 == 1. Пусть К(хО) =1= {О(П)} И имеет место (3).
Для Лlобоrо i е Мо и I\8iндоrо z е К(х О ) справедливо ра..
nепство <V/t(XO), z> == о. Действи ельно, если <Vf,(XO), z') >
1п
>0 при пекоторы1x iebJo,z'eK(xO), то ti<Vfi(XO),
i== 1
z') > О, что противоречит (1). Поэтому имеет место пред-
стаВJlение
(02
fi (xl) == '! (Х О ) + + zZV 2 / t (х о ) Zl + Oi (юТ)
ДЛЯ всех i е Мо, l == N" N, + 1, ... ОТСlода блаrодаря (4)
ДЛЯ достаточноrо БОЛЫIJоrо N 2 имсе!t
z 1\7 2 f l ( 0 )z l О . l N Л , + 1
, I W . ::::: а, ., 2 I ...
s 2 81
ttвrЛАДНИЕ ЗАД4. ЧIt
1Зt
Следовательно
ZO V 2/t{XO)zO О ДЛЯ всех i Е А/о,
что противоречит условию (3). 11
Выше были получены условия оптимальности BToporo
порядна для :мноrокритериальных задач без оrраничеНJ.IЙ.
Для задач С оrраничениями условия оптимальности BTO
poro порядка П fеются в [26, 223] . Условия оптимальности
более ВЫСОБИХ ПОрЯДRОВ приведены в [238].
2.6. У СЛОВИВ ОПТlfмальности дли неrЛЗДI:ИХ задач
в работе [163] приведепы УСЛОВИЯ эффеRТИВНОСТII длн
IпоrОI\р!lтериалъных задач, в которых ФУНКЦИИ t 1, /2, ...
_ .., 1т, gt, g2, .. -, gh обладают воrнутыми пропзводными
по направлениям:.. В дапном параrрафе ФОРМУЛПРУIОТСЯ
неСНОЛ:ЬRО более общие УСЛОВИЯ ОПТИ lаЛЬНОСТIl: для (I)УlIl\
ЦПЙ, удовлеТDОрЯЮIЦИХ локальному УСЛОВИIО ЛИПШIIца.
rассматриваются зф(реI,тивные и слабо эффективные pe
шения.
1. Приведе?\-I здесь краТI\ие сведения о фУНI ЦПЯХ,
удовлеТВОРЯЮIЦIIХ локально [у УСJIОВИЮ Липmица, и об
обобщепных rрадиентзх этих фуннций. Доназательства
(I)ОРl\fулируе fЫХ IIIIjI\e утвеРiкденпй fOjI\IIO пайти В [29,
102, 132].
Пусть h числовая фУПJ\ЦИЯ со зпачепилм:и в ( OO,
+ (0), заданная на Еn. rоворят, что она удовлетп()ряет
./lо аЛЬ1l0.J1У условИl{) ЛипUl ица, если для кал-\доrо оrрани--
ченноrо fllO/ReCTBa r с Еn существует константа L Е
Е [О, +00) таI ал, что
I h(x) h(x') I <: Lllx x'll
для ЛIобых точен х, х' Е r.
Очевидно, фУНI\ЦИЯ, удовлеТВОРЯIощая локаЛЬНО IУ
условию Лппmица, является непрерывной.
Rведепный класс функций достаточпо широк: он охва...
тывает воrпутые и выпунлые, Rусочно rладкие и I\ваЗII
дпq)ференцируемые [90] функции. АлrебраичеСl\ая cYl\I la
и произведение функций, удовлетворяющих локалыlr.fуy
условию Липшица, TaKiHe принадлежит этому классу.
<1)ункцил, удовлеТВОРЯЮII ая ЛОJ\альпому условию Лип...
Iппца, обладает тем важным СВОЙСТВОМ, что ее rрадпевт
9.
132
СЛОВИЯ ОПТИМАЛЬИОСТn
[rл, 2
v h(x) существует почти ВСIОДУ на Еn, Т. е. за ИСКЛIочепи--
ем точек IНОi-l\еСтва fepbI нуль.
0606щеJ-lUЬt.lt epaaиeUTO.ftt фУНI\ЦИИ h, удовлеТВОРЯIО
щей ЛОRальпому УСЛОВИIО Липшпца, в точне х называется
о
[132] вектор V h(x), принадлеiкащий ВЫПУI\ЛОЙ оболо'п\е
пределов всевозмол,ных последовательностей rрадиеНТОll
Vh(x 1 ), rде {Xl} последовательность точек, сходлщихсн
к ТОЧRе х, в ноторых существуют rрадиенты. MHoiKecTBO
всех обобщенных rрадиептов функции h в точке х обозна--
чают через aJl(X). Это MHOil\eCTBO представляет собой не--
пустой ВЫПУI\ЛЫЙ I\омпакт.
l\lежду обобщеННЫ 1 и обычным rрадиента IИ сущест--
пует простая связь: MHOi-RеСТВО ah(x) содерл ит единствен--
о
пыЙ вектор V Il(X) тоrда и ТОЛЬRО Tor a, Rоrда в точке х
СУlцествует rрадиепт V h(x), !{оторый непрерывен относи--
тельно MIIOjHeCTBa точек, rде оп определен, причем Иhlеет
- о
IecTo равенство V ' (x) == V h(x).
Если h(x) == h 1 (x) + h 2 (x) и функции h 1 , }l2 удовлетво--
РЯIОТ локальному УСЛОВИIО Липшица, то справедливо
ВКЛlочение
ah(x) ah 1 (x) + ah 2 (x).
Для задачи маI\симизации *) обо6zцеuuая проuзвод
пая ФУllкции h в точке х по nаправлеllllЮ е, обозпачае..
!\Iая через hO(x; е), определяется по формуле
h O ( ) 1 . · h (х + v + ае) Jt (х + v)
х; е == 1т m1n .
б +о lI(a,v)II < (} а
0>0
3а lеТИ I, что фУНI\ЦПЯ, удовлетворяющая локаЛЬНОIvIУ
условию Лппшица, 10п eT не :И lеть обычной производной
по направлеНIIЮ
h ' ( ) 1 . lt(x + а е ) h ( x)
Х'; е == 1т .
a +o а
II:MeeT место следующее важное равенство:
о о
hO(x; e)==min{(Vh(x), e>IVh(x)eah(x)}. (2)
Блаrодаря ТОМУ, что поточечная нижняя rрань линей--
иых ФУНRЦИЙ является воrнутоЙ: функцией [93], из этоrо
(1)
*) Для задачп минимизаЦIIИ обобщенная производная опреде
ляется формудоii (1), в которой операция min заменена на опера..
ЦIIЮ шах.
s 2.6]
lIЕrЛАДНИЕ ЗАДАЧI!
133
равенства, в частности, следует, что lt()(x; .).......... воrнутал
на Еn ФУНI ЦIIЯ.
2. До конца пар-лrраq)а будем считать, что компоненты
ВСI\ТОрПЫХ функций 1, g опредеJJСПЫ на Еn и удовлеТВОРЯIОТ
ЛОI\аJ(ЬНОМУ УСЛОВИIО ЛИlIшица, а допустимое МПОIl\ССТВО Х
пмеет ВИД (1.1.1). Так iJ1\e, кан и ранее, через J(XO) обоз-
начаетсн MIIOiI\CCTBO ипдексов аI{ТИВIIЫХ оrрапичений в
точке Х О .
В слеДУIощей теореме ФОР}lулируется пеобходимое ус..
ловие слабой эффективности.
т е о р е м а 1. Если х О ..... слабо эффек.ТUВltое решение,
ТО существуют вепторы J.l и 'л такие, что (J.1, л) > O(m+k)'
о
и обобщенные ерадиеи7'Ы, v f (xO) Е aji(XO), i == 1, 2, ..., т,
о
и V gj(XO) Е ag/XO) при всех j Е J(XO), для nоторых сnра--
ведливо равенство
т о о
l1iV /i (х О ) + 'Aj'v gj (х О ) == О(n).
i==l jEJ(x п )
о
вeпTOpь V g/XO), j Е J(XO), лunейllО uезави..
вептор Jl будет удовлетворять впЛlочеllllЮ
(3)
Если при ЭТОJt
CUaI tbl, то в (3)
Е 1.
Д о 1\ а 3 а т е л ь с т в о. Пусть х О Е Sj(X). Сначала ДOl\a
;т\e I существование венторов Jl и л, (11, 'Л) >: O(m+k), для
I ОТОрЫХ верпо
т
flif? (х о ; е) + 'AjgJ (х О ; е) <: О при всех е. (4)
i===l .7EJ(X O )
Если, напротив, для иеl\отороrо направлеНIJЯ е' и любых
уназанных векторов J.1 и 'л выполняется обратное нера..
венство, то
f r (х о ; е') > О, t == 1, 2, . . ., т "
gJ (х о ; е') > 0,- для всех j Е J (х о ).
Отсюда в соответствии с определением обобщенной про
нзводноЙ по направлеНIIIО для достаточно малоrо а> О
будет выполнено
!i(X O + ае') > !i(XO), i == 1, 2, ..., т,
gj(XO + ае') > gj(XO) == О для всех j Е J(XO).
А в СllЛУ непре-рывности функциЙ gj ДЛЯ j Ф J(XO) спра
134
vслоnия ОПТИМАЛЬНОСТn
[rЛ.2
ведливо g;(XO + ое') > О при мало:м (1 > о. Получеrrные не-
равенства противоречат начальному преДПОЛОiI,еНИIО х о е
е S,(X). ТаRИl\f обраЗОА{-t перапенство (4) ДОRазапо.
11з этоrо перапеIIства блаrодаря (2) получаем
т о . .. . о
f.ti min (V/ i (XO)l е) + Лj min (Vgj(XO)1 е) ::.= 0
i==1 бfi(Ж О ) ;EJ(XO) дgj(ЖО)
(5)
для всех е.
МПОiнество
т ==" { LiBfi (х о ) + лjдg j (ХО) }
i::::l jeJ(x O )"
непусто, выпукло (СМ. i 3 в 193]) и за},IRНУТО. Для Toro
чтобы установить справедливость (3), достаточно прове"
ритъ ВRЛlочение О(П) е Т. Пусть 0(1а) Ф Т. Тоrда по теореме
отделимости найдутся вектор ё =F 0(8) И Ч IСЛО е > О такие,
о . о
что для любыхVf,(хО)едfi(Х О ), i==1, 2, .." т, и Vg/XO) е
е ag;(XO), j е J(XO), выполняется
т
f.ti (V 11. (XO)t ё) +. Лj (V gj {хО}, е) > В.
i==} iEJ(X O )
Это неравеПСТБО противоречит (5), n равенство {3) дока-
зано.
о
Если векторы V с,(хО), j е J(XO), линейно незаnПСIIМЫ,
то в (3), очевидно, J.t G О(т)8 Rpo le Toro. всеrда ИО/НПО
считать, что сумма RомпонепТ вектора J.t равна
единице. 11 ....
Коrда все функции 11, gj непрорывно дифферепциру-
см:ы, обобlцеНIIЫЙ rрадиепт единстпен п совпадает с обыч-
ным rрадивнтом, ПОЭТОl\fУ необходимое условие (3) стано..
вится 81tвпвалентным полученному рапее веоБХОДИ IО:МУ
УСЛОВПIО (4.1). .
3.IIерейдем к И3ЛОiRСПИЮ достаточных условий опти"
'мальпости. Фупкцию h, определеВПУIО на Е1I и удовлет",
НОРЛЮIЦУЮ локальному УСЛОВПIО Липшица, будем пазы-
ваifЬ обобщ-е1t1l0 nсевдовоенуrQЙt если ДЛЯ любых х, х'
нераввпство hO(x; %' ...... х) О влечет h(x'):i! h(x). Это оп.
ределепие - естественным образом соrласуется С опреде
лениеы lIсеnДОВОfПУТОЙ функции из 2 2.
6 2.6]
.
ВЕrЛА-ДRИЕ ЗАДАЧИ
.135
т е о р е:м: а 2. Предположим, что фупхцuи 11, 12, ..., lm
обобщеиио nсевдовоеиуты, а ФУН1i,lfuи g 1, К2, ..., g1& пвааи..
eoaUYTbZ. Тоеда равеиство (3) при f.t еМ, л е E и
о ., . z:=;
gj (х О ; е) == gj(X O ; е) при всех е и j Е J(XO) влечет х О е
Е Sj(X).
Д о к а з а т е л ъ с т в о. Предположим противное:
l(х 1 ) > j(XO), :1;1 е х. (6)
11з (3) следует
т о о
! <V fi (хО)1 х 1 ...... х О ) + Лj (V g) (XO)t х 1 ---- хО) == О.
i==l . ieJ(x O )'
Отсюда, используя свойство операции nlin, получаем
т о о
i min <V fi(xO)l Xl ....... х О ) + Лj min <V gj (XO)J)
i:=l бfi(Х О ) JeJ(xO) дg j(xO)
.7;1 ...... хо > О.
Следовательно, в силу (2), имее 1
т
ifr (х о ; х 1 х О ) + Лjgj (х о ; х 1 . хО) ::: о. (7)
i:;=! jeJ(:rO)
I
Для любоrо j Е J(XO) справедливо неравевство gj (х о ;
Xl ........ хО) ::: о. в самом деле, если для пеRотороrо j Е 1 (х О )
1Il\leeT lt-lеСТО противоположное неравенство, то при всех
достаТОЧIIО малых а Е. (О, 1) будем И iеть
gj(XO + о(х. ......Х О » < о.
с друrой стороны, ПОСКОЛЫ{У g;{x 1 ) gj(XO) и gjквазивоr..
нута, ТО выполняется противоположное неравепство:
gj(X O + о(х1 ...... х О » :2= gJ(XO) == Q.
в соответствии с доказаПНЬiМ из (7) следует сущест.. '
нававив . помера i е М, при котором f? (х о ; х 1 ........ х О ) <:::: О.
Блаrодаря обобщенной псеВДОВОI'ВУТОСТИ отсюда выIекаетT
неравеНСТБО fi(x l ) <: !i(XO), которое противоречит вачаль..
ПО fУ преДПОЛОiкепию (6). 11 .
11з этой теореrvIЫ 'и теоремы 1.6.2 вытекает
С л е Д с т в и е 1. Если в условиях Teope.мb 2 допол..
пuтелы-tо предположить сrроеую 1:вавивоеnутость фупкчuи
/? ТО реИ1, еllи с х о б!jдеr эффептuqltQ М. .
136
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
i 2.7. Свойства эффективных последовательностей
1. Вначале разберем некоторые свойства 8 эффектив"
ных точек.
Л е M м а 1. Если уО Е У эффе тивnая оцепка, яв..
ляющаяся эффе тивnой и для аамыпаnия У, и существу...
ют вe TOp Jl Е М и число сх Ta иe, что <Jl, у) < сх для всех
у Е У, то для любоео nеnу.левоео в Е E nайдется тапое
положительnое число б, что вСЯJti,ая то ч а у Е У из б оп..
рестuости точ и уО будет 8 эффе11,тивnой.
Д о R а 3 а т е л ь с т в о. ПреДПОЛОЖИ f, что лемма HeBep
на, II пусть {б k } сходящаяся к нулю последовательность
положительных чисел. Тоrда найдется такой ненулевой
вектор 8 Е Е т.;:. , что для I\аждоrо k == 1, 2, ... в бk окрест
ности точки у О отыщется точка yh Е У, Rоторая не будет
8 эффективной, и для пекотороrо Zh Е У будут выполнять...
сл неравеIIства
k h 1
Zi :> !li + Bi i == , 2с, . . .} т.
(1)
ПОСКОЛЬRУ последовательность {yh} сходится R y , то
она оrраНIIчепа, й: потому существует такое число t, что
для всех k == 1, 2, . . . верны неравепства у f > t., i == 1, 2, . . .
. .., т. РаССМ:ОТрИ 1 МПОiнество yt:::z: {у I у Е У, Yi б t, i == 1,
2, ..., т}. Блаrодаря существованию вектора Jl Е М И чис..
ла CG из условий леммы за:мынание этоrо MHOiI-\еСТВ8 Yt
RО lпаит. 110ЭТОМУ из последовательности {Zh} s: y t МОЛ\IIО
выбрать подпоследовательность, сходящуюсл к неRОТОРОЙ
точке z' Е y t. Соrласно (1) z' ::> уО. 110 это противоречит
эффеИТИВПОСТII уО для у , таи как y t 5 У . .
СлеДУlощие примеры IIОI\азываIОТ, что каiндое из усло
вий леммы 1 существенно.
При м е р 1. Пусть У единичный квадрат, из HOTO
poro ИСКЛIочена вся верхняя rраница, кроме точки уО ==
== (0,1) (рис. 8). Эта точна эффективна (относитеJIЬНО
У), но не является эффективной относительно У == [О, 1] х
Х[О, 1]. Поэтому, например, любая точка (О, р), О р 1,
не (1, О) эффеКТИВRа.
При м е р 2. Для IHOjl\eCTBa У, изобраiнепноrо на
рис. 9, точ:ка уО:::= (О, 1) эффеRтивна, однако любая точна
(О, r), 2/3 < r < 1, не является (1 t О) эффеКТIIВНОЙ. В ЭТО I
2.7] СВОйСТВА ЭФФЕ1-tТtIВНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 131
примере не существует вектора Il и числа а таких, чтобы
перавенство <11, у) -< а выполнялосъ для всех у Е У.
Л е 1 м а 2. Если уО Е У ........ собственно эффептuвnая ТОЧ
ка, то для произвОЛЫlО20 uену.левоео Е Е E существует
число б > О таnое, что любая точка у Е У из б О}l,рест"
ности ТОЧ1iи уО будет е эффепТUt3на.
* уО
' ,
/ . ' > / .
-'i' :Z i?;.// I/'h
/'.а %: '1 / / /h
О 1 !JI
Рис. 8.
....
!l2 ::: f e y,
()
...
!/;
Рис. 9.
д о к а э а т е л Ь с т в о. ДОПУСТlI I, что ле:м:!\rа неверна.
Тоrда существуют ненулевой вентор Е Е Е";:. и последова
тельность {yk} s;: У, сходящаяся к уО 11 сост оя щая из точен,
не ЯВЛЯЮЩIIХСЯ е эффективными. Пусть е , ПОЛОЖllтель
ная компонента 8 11 е проиэвольное ПОЛОiI\ительное
чпсло. ПОЛОiI ИМ б == 8 т /(8 + 1), и возьмем число t такое,
что lI y t уО/1 < б.
Так как yt не является е эффект:ивной, то начдется
точна у Е У таная, что у > yt + 8. ПОЭТО IУ Ут :> у; + ё т ,
откуда
о ( t О ) О
Yr у, > У, 'Y, + е т ::::> ......... u + €T == 1 + е е т .
Следовательно, для всякоrо j T3Koro, что У; < yJ.t IОj-КНО
заПIIсать
е
у r ...... у > 1 + е Br e
о Br ........ j
У} У}
1+8
т. е. точка уО несобственно эф(рективна. Противоречие. .
При м е р 3. Точна уО === (О, 1) является несобственно
::нрфеRТИВНОЙ для мно,иества У, pacc foTpeHHыx в примерах
1 u: 2.
138
VСЛОВИЯ ОnТИМАпъпо тй
(r'n.2
2. Обратимся теперь R рассмотрению свойств эффек"
1'ивныx последовательностей.
т е о р е м а 1. Пусть уО Е У эффептивная точпа и
{yh} У ........ сходящаяся п ней последовательность. Для эф..
фе тuвности этой последовательности достаточно выпол..
пения одНО20 ив следУЮlцих условий:
, 1) уО собственно эффептuвна:
2) уО аффептивна для У, и существую1' вептор J! е М
и число а. Ta иe, что (1-1, у> а для всех у е У.
Эта теорема....... ПрЯ Iое следствие лемм 1 и 2.
ПрИ?tlеры 1 п 2 покаэывают, что если У неЭ81.IКПУТО
или не существует соответствующих 1-1 и а, то последо..
вательность, сходящаяся к эффективной точке, может не
быть эффективной. 3a IKHYTOCTЬ У и существование ука...
занных 1-1 и а ИСRлючает такую возможность, однако Не
rаравтирует за мкнутости множества Р( У). А при не..
8а IКНУТОСТlI Р( У) последовательность эффективных то-
чен, ЯDляющаяся, раЗУ!\lеется, эффективной последова..
тельностью, !\IOiI\eT сходиться R пеэффеRТIIВНОЙ точке.
Далее буде 1 предполаrать, ЧТО множество У оrрани"
чено. Пусть фуннция (J' не убывает по > на У , а после..
довательвость {yk} У является для нее маКСИ IИЭИРУЮ-
щей: .
lim <р (yk) == sup <р (у).
A oo lIеУ
т е о р e)1 а 2. Пусть <р Heпpepъ вн,a на У. Для ТО20
чтобы .маnСШlU8ирующая по ледоваrеЛЬ1tость {yk} 6ъ ла
эффепrи8НОЙ, достаточно выполнения одноео из условий:
1) <р возрастает по на У;
2) fP достиеает nаибольшеео па У апачеnия в единст-
веН1l0а точпе у* Е У .
Д о н а з а т е л ь с т в о. Допустим, Что {yk} неаффеRТИВ"
на, так что существуют ненулевой вектор е Е Е";.. после-
=:.
дователъностъ {yk r } {yk} И последовательность {zkr) у
(СМ. ДОI\азательство леммы 1) таRие, что
zh r > yRr + В, r == 1, 2, . . . t
Iim yhr == уО Е У ; lim Zk r == ZO Е У.
r QO r QO
Следова тельно,
ZO уО
(2)
2.7] СВОйСТВА ЭФФЕНТИВfllilХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ f39
и, «роме Toro,
<р (уО) == sup ер (у).
иеУ
(3)
Поскольну Q) не убывает по па У, то в силу (2)
cp(ZO) ;::: ср(уО). Если точка максимума <р на У единствен..
на, то последнее неравенство с учетом (3) невозможно.
Ес.тIИ же q> возрастает по :2: на У , 1'0 из (2) вытекает
<p(ZO) > <р(уО), что противоречит (3). 11
Заметим, что если <р возрастает по :::> не на У, а лишь
па У, то максимизирующая последовательность может но
быть эффе:КТIIВlIОЙ.
При l.f е р 4. Пусть У с: Е1. ........ пезаl\lКПУТЫЙ единичнып
квадрат [О, 1] Х [О, 1). Функция
ч' (у) :;: (1 + У2) [ 1 ехр ( :: )]
непрерывна a У и возрастает по > . Последовательность
{yh}, rде у":::::: (О, 1......1/k), является максимизирующей для
ер, по не эq>фективна, ибо zlt;?:. у" + 8, rде 8::::. (1/2, О), z" ==
=== ( 1, 1 ..... 1/ k). ФУННЦИIО <р МОil\НО прододжиl'Ь по вепре...
РЫВIIОСТП на У (и притом единствеННЫ f обраЗО1.1), .поло..
il-\ИВ CP(X t , 1) == 2 при любом Х! е [О, 1]. Однако получен...
пал ФУНI\ЦИЯ не ЯDJlяется возрастающей по > па У.
I1 р и м е р 5. Если (j) непрерывна на У, НО является
лишь пеубывающей по :> , то мансимизирующая ее пос..
ледовательность не обязана быть эффеI{l'ИННОЙ. ПУ,СТЬ
т
Ф (У1 х) == rp (у) + х Yi,;
i==l
а {xh}....... сходящаяся н ПУЛIО последовательность ПОЛОiНП
теJIЫIЫХ чисел, и для !iаil{доrо k определена точна y1t Е У
тннал, что
. вир Ф (У1 ХН) ....... Ф (ykl x h ) < (X h )2.
lIЕУ
(4)
IIеТРУДIIО проверить, что последовательность {yh} лвля"
отея максп:мизирующей для ер. Более Toro, эта последова-
тельность эффективна. ДеЙствительно, допустим, что {ylt}
Не эффективна. Тоrда существует пенулевой BeRTOp
т
ё Е Е-;; и ДЛЯ любоrо N > О TaI\OrO, что x N < Bi 1 найдет-
i==l
140
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
[rЛ.2
ел помер k>N, при 1\0TOpO 1 y1l не является е эффеI\ТИВПОЙ.
Последнее означает, что в У есть точка z'" такая,. что
Zk :> уА + 8. Так как ер(у) не убывает по аа У, ТО можно
записать
Ф (Zk 1 х п ) Ф (yh1 x k ) == ер (Zh) ер (у') +
т т
+ Xh (z ...... у1) > xk 8i > (Xh)2,
i l i l
что противореЧIIТ (4).
3. Разобранные свойства эq)фективных последователь..
настей оценок позволяют леrко устанавливать и соответ"
СТВУIощие свойства последовательностей реmений. Напри..
Iep, если существуют J-t Е М И а такие, что (J-t, j(x» < ct
для Лlобоrо х Е Х, а ер непрерывна и возрастает по :> па
У, то последовательность, макси tизирующая ФУНI\ЦПIО
СР(!l, /2, ..., 1т) па Х, эффеI\тивна. Если iие ер лишь не
убывает по >- па У (СRажем, как m in Yi), то эФФеl\ТИllНУIО
ieM
l\rаКСИМИ3ИРУЮЩУIО последовательность IОЖНО ПОСТрОIIТЬ,
точно или приближенно (в соответствии с (4) )lаI\СИ IИ"
т
зируя фУННЦИIО 'Ф == ер (! 1, f 2' · · ., f nt) + xk f i на Х для
i==1
I{аждоrо хА, k == 1, 2, ...
в заключение отметим , что И3ЛОiнение данпоrо параr..
рафа основано на работе В. В. Подпповскоrо [78].
rЛАВА 3
СТРУКТУРА 11 СВОЙСТВА l\IIIОЖЕСТВА
ЭФФЕRТIIВНЫХ РЕШЕНИ11
в этой rлаве формулируются УСЛОВIIЯ существова..
пия эффеI\ТИВlIЫХ точен, достаточные условия замкнуто..
сти, дуrообразной связности и стяrиваемости В себе мно"
iI\eCTBa эффективных точеI\, устанавливается тесная связь
fеlI ДУ lvIножествами эффентивных и собственно эффеR
ТИВIIЫХ точеI , приводятся оценки числа эфсрективных pe
шений в ДИСRретных задачах. В последнем параrраq)е дан
нратний обзор м:етодов построения МПОiнества эффентив
пых решеппЙ и способов проверни эффеКТIIВНОСТИ выде"
леППОI'О решения.
Знание струнтуры II своЙств MHoiHeCTBa эффеНТIIВНЫХ
точен «В цело1tf». для различных нлассов IIJОIОНР.1IтеРIIаль"
ПЫХ задач позволяет rлубже попять специфину ЭТIIХ за..
дач, их существенные отличия от задач с ОДПИl\I Rрите
рпем, а 'IaRiI\e способствует разраБОТt\е чпсленных Ie"
тодов отыскания Bcero MHOiI\eCTBa ЭФСРОНТИВIIЫХ точек.
Отм:етим, что большинство результатов данной rлавы
были получены совсем недавно: в течение последпеrо де..
сятилетия.
s 3.1. ТополоrичеСI,ие свойства 1\IHOil,eCTB
эффективных оцеНОI{ 11 решений
В пачале параrраq)а исследуется вопрос о том, I\оrда
Iножества эффентивных и слабо эффентивных точен ян..
ляются замкнутыми. Далее ФОРМУЛИРУIОТСЯ уеловия, при
ЕОТОРЫХ М:ИОiRество собственно эффективных точеR плот..
но во МНОiпестве эффеRТИВПЫХ точек. В заI(лючепие раз..
бираются достаточные условия 1'oro, чтобы мнол{ество
эффентивных точен было дуrообразно связным, стяrива..
емым в себе, ретракто:м.
1. Понятно, что замкнутость MIIOiI\eCTB3 эффеI\ТИВНЫХ
(в ТО1\1 ПЛИ ином С Iысле) решений существеJIIIЬ I образом
142 СТРУНТУРА МНОЖЕСТ1ЗА ЭФфЕНТИ:ВНЫ:Л РЕШЕНИЙ [rл.3
должна быть связана с замннутостыо ca Ioro множества
Х и непрерывностью j. Для слабо эффективных решений
эта связь, нан известно ([23]), оказывается достаточно
простой.
т е о р е м а 1. Если М1tожество Х аам1\.НУТО, а ве,.тор"
ФУU11,ция f nепрерывпа, то 8 J (X) aa.м пYTO.
Д о к а З а т е л ь с т в о. Допустим, что множество
SJ{X) не замкнуто, так что существует последователь..
ность {x lt ) 6 Sj(X), сходящаяся J\ точнв х о е X\Sj(X). Сле..
довательно, найдется точка х. е Х такая, что j(x*) > f(xO).
Тоrда блаrодаря непрерывности f для достаточно боль..
шоrо номера k окаiкется, что f(x*) > f{x k ), а это ПРОТIIВО.
речит слабой эффективности x k . 11
Если в этой теореме в качестве Х взять У, а вместо
f ........ вектор функцию (у 1, У2, ..., Ут), то получим условия
замкнутости множества S(y).
С л е Д с т в и е 1. Если М1tожество оцеnоп У aa.1t1\.Hyro,
7'0 J-t1-tОJlсество слабо эффептuвllЫХ оцепо" S( У) также
8a.; 1'i.п УТО.
Если воспользоваться теоремой 1.6.2, в которой сфор..
мулированы достаточные условия совпадения множеств
Pf(X) и SJ(X), то из теоремы 1 IIОЛУЧИ!v.I следующий ре..
вультат.
т е о р е м а 2. Пусть .мпожество Х вьtпу11,ЛО и aa.At11,пy"
то, а ве-птор Фуп.,.цuя f 1leпpepb впa и СТрО20 пвааивоену"
та. Тоеда мnожество эффеr;,тuвпых решений Pj(X) ва.лtК"
путо.
Требование строrой квазивоrнутости f в этой теореме
существенно: если оно не выполнено, то даже в случае
т == 2 множество PJ(X) может оказаться незаМННУТЫ I.
При м е р 1. Пусть Х == [О, 1], а функции 11, 12 имеIОТ
rрафики, представлснные на рис. 1. Обе функции КВRЗИ"
воrиуты, НО лишь 11 CTporo I\ваЗlIвоrнута. Здесь незамк"
путое множество Pj(X) является объединением двух не..
псресепающихся интервалов [О, x t ) И [х 2 , 1].
Обратимся R вопросу о замкнутости МНОiI\ества эффеJ{.
тивных оцепок. Как показывает нижеследующий ПрИ Iер,
1tlпожество Р{ У) MOil{eT оказаться неза1\fl\ИУТЫМ даiне еСЛII
Pj(X) замкнуто и выполнены все предподожения тео-
ремы 2.
При м ер 2. fIУС1Ъ Х == [О, + (0), а rра(рИI\И фУП!\ЦИЙ
/1 И 12 изображены на рис. 2. Здесь f == (/1, /2) cTporo ква..
! 3.11
тоnолоrпqЕСRИЕ СБQЙС1ВА
{43
8ивоrнута, Р,(Х) == Х ....... замкнуто, однако Р( У) == У, оче
видно, везамкнуто.
Если же R условиям теоремы 2 добавить условие orpa...
IIиченности Х, то MHOiK CTBO Р,(Х) будет RО}lпаКТВЫ 1 и
1 {
..............._..... .............
f;(X)
I
I
I
I
I
I (J :t
IJ ./'1 I :с
Рис. 1. Рис. 2.
блаrодаря непрерывности t множество Р( У) также будет
компактны}!. ТаКИ f образом, имеет место
С л е Д с т в и е 2. При условии, что Х выпу-плый
nOJ;tпanT, а f непрерывна и строео Nвазuвоенута, AtJ-tоже
ство Р( У) является NOMnanTO.Jt.
Для двухкритерпалъных задач, т. е. в случае т == 2,
удается получить следующие достаточно общие условия
заМ:RНУТОСТИ fножества Р( у').
Т е о р е м а 3. Если множество У s= Е2 ва-мпнуто и эф
фептuвно выпупло, ТО аампнуто и множество р(у) *).
д о к а з а т е л ь с т в о. П реДПОЛОЖИj\I, что последова
тельность {y1t} s; Р( У) сходится к точке уО е У, которая
не является эффективной. Тоrда ДЛЯ пекоторой ТОЧИJ1
у* е у будут выполняться неравепства у; >- y , у; > y
причем по :крайней Мере одно из них...... CTporoe. Для оп
ределевности приме}l, что
у; > Y 1 (1)
у; > y . (2)
Тоrда ДЛЯ достаточно болъmоrо номера k справедливо
у; > yf. А так как y1t е р(у), то у; <У:. Поэтому соrлас
но (2)
k О
У2 > Y'J,.
(3)
*) о замкнутости Р (У) для выуклоrоo эаМRвутоrо множеСТDа
у s.;; Е2 упоминается в работе [104].
{44 СТРУНТУРА l\lНОЖЕСТВА эффЕнтивныx РЕШЕНИй. [rл. з
Для любоrо 1 е [О, 1/2]
у (1') == + уО + (+ 1') у* + ,,?уп Е У * == у E .
Отсюда с учето:м С 1) получаем
(О 1 о 1 * 6
Уl ) === т Yl + т Yl > Y18
Следовательно, для достаточно малоrо "f Е (О, 1/2) бунет
выполnяться Уl (1\() > y . Хроме Toro, в силу (2) и ( )
верно У2 (1\() > y . Поэто:му для достаточно большоrо k
оказывается, что уС"!) > yk. ПОСRОЛЬRУ Y("f) Е У * , то су-
ществует точка у Е У, дЛЯ RОТОрОЙ верно у У(1). ТаКИ 1
образом, у > у,\ а это противоречит эффе:ктивности у1&. .
То, что в доказанноЙ теореме условие пt === 2 является
существеННЫ1vI, показывает следующий ПрИ1vIер.
П р п м е р 3. Пусть У с: Е 3 ....... круrовой :конус, OCIIO
вание м ROToporo служит единпчный Rpyr в ПЛОСRОСТИ
У 1 ОУ2, а вершиной..........
точна А === (О, 1, 1) (СА!.
рис. 3). Для рассматрп",
Bael\IOrO IHOiKeCTBa У
все точки дуrи DC В
(кроме точ:ки В) эффек-
тивны. Чтобы убедиться
в ЭТОl\'I, достаточно за Iе"
тить, что для любой
внутреннеЙ точки этой
дуrи существует опор
ная R множеству У
плос:костъ, :которая пер-
пендикулярна пе:кото-
рому ве:ктору с положитеЛЬНЫl\fИ компонентами (это вле...
чет даже собственную эффе:ктивность). Точка D эффек-
тивна, так ка:к является единственной точкой из У, име-
ющей наибольшую :координату У! === 1. Однако точка В не
эфq)ективна, таи :как А === (О, 1, 1) > (О, 1, О) == В.
flодобно то:му как в TeOpel\Ie 3 были получены усло
вия замкнутости .Р( У), можно доказать слеДУlощпе yc
ловин за:МКНУТОСТII Р f (Х) дЛЯ двухкритериальных зада fI.
........
Рис. 3.
3.1)
тополоrйqЕС«ИЕ СВОйСТВА
145
т е о р е м а 4. Если множество Х выпуnло и эаМn1lУ
ТО, а вептор фу1tпция f == (/1, /2) воепута и пeпpepbLBHa
на Х, ТО .А<tножество Pj(X) BaJКnHYTO.
ЗамеТlIМ, что в отличие от требования строrоЙ ква..
зивоrнутости f теоремы 2, здесь предполаrается BorHY"
тость f, т. е. Teope la 4 определенны1 образом дополняет
теорему 2 в случае т == 2.
2. Следующая теорема устанавливает тесную вэаимо"
связь м:ножества эффективных и множества собственно
эффективных оценок. д. А. Молодцовым [58] она была
получена при более оrраничительных предположениях.
т е о р е I а 5. П редположuм, что Jtпожество У заМ1;..
llУТD и существуют веnтор f.1 Е '! и число а Ta ue, ЧТО
< t, у> < а для всех у Е У. (4)
Тоеда G(Y) плотно в Р(У), Т. е.
G(Y) 5: Р(У) 5: а(У). (5)
Д о к а а а т е л ь с т в о. ПОСRОЛЪКУ включение G( У) !:i
Р( У) Иl\Iеет место всеrда, ста тся убедиться в справед
ЛИВОСТII включеНIIЯ Р( У) с= G (}'). Это в!{лючение, очевид
но, выполняется, если Р(У) == 0. Пусть уО Е Р(У). Не
уменьшая общности, буде 1 считать, что уО > 0(1)1). Дока--
iHeM существование последовательности собственно эф
ФеI{ТИВНЫХ точен, сходящихся R уО.
BBeдe 1 фУНRЦИU
F (У) == ( 1 т 1 ) Yi + . У1 t
]=F-1.
i == 1, 2, ..., т; k == т, т + 1, ..",
и рассмотри r эа:МRнутые множества
Qk == У n {у Е Е т I FZ (у ...... уО) > О, i::: 1., 21 · · .1 т},
k == т 1 т + 1, " · ..
Понятно, что
Qm ;;;2 Qm+l ;;;2 Qm+2 ;;;2 . . .
Блаrодаря условию (4) найдетоя такой номер kO, ЧТО все
MHOiKeCTBa Q1H k kO, }{омпантны.
Функции
min л F1 (у), k == kO, kO + 1, · · · f
ieM
10 В. В, ПОДИНОВСI-\lli1. в. Л. Ноrпн
146 CTPVHTYtJA МНОЖЕСТВА ЭФФЕ1\ТlIВных РЕтЕнйй [t'J1. з
rдв
л: == p yO) !. FJ yO) > 01
непрерывны на Ет по у. ПОЭТО1wIУ дЛЯ каiIiдоrо k == k0 2 kO +,
+ 1, ,.. найдется такая точка yh Е Qk' что
minл F (yh) :> miпл F (у) (6)
ieM ieM
t == 1 t 21 · · ., т i
для 'всякоrо у Е Qk, В том числе и для у(). Если же у 6
Е Y\Qh, то для HeKoToporo i справедли о неравенство
F7 (уО) > F (у). Поэтому и
min л p (уО) > min л F (у).
ieM iEM
Следовательно, неравенство (6) имеет место ДЛЯ всех
у Е У. Это, соrлзспо следствию 2.1.6, влечет yh Е G( JT).
Так как при любом k k O верно Qk s;; QkO' то {y/i} f;;
Qko, k == kO. t kO + 1, · · .. Но Qk o ..... компакт, и поэтому
пз последовательности {уЯ} можно выделить jJодпоследова
тельность, сходящуюся к некоторой точне у* е У. Cor..
ласно определению l\Iножеств Qя число k можно выбрать
так, чтобы произвольная точка из Q}& (в том числе и уА)
была приближена к множеству уО + Ет.; с пюбой наперед
==
заданной точпостью. Следовательно, у* Е уО + Er.;. А так
-
как уО Е Р( У), то у* == уО. 11
Для ВЫПУRлоrо множества У теоре:ма 5 справедлива
без условия (4).
Т е о р е м а 6. Ес.ли JtJtожество У 8a t flYTO и выnу-,;ло,
то справед.лU8Ы в-п.лючепuя (5).
Д о R а а а т е л ь с т в о. Условие (4) в ДОRазательстве
теоремы 5 испольаовалосъ пить для УСТ!lновления orpa...
lIиченности множеств Qk' начиная с HeRoToporo k. Если
же у выпукло, то ВЫIIУRЛЫ И Qл, k == т, т + 1, .... Коrда
ХОТЯ бы одно иа множеств Qm, Qтt t, ... оказывается or-
раниченным, то доказательство проходит далее, как в
теореме 5. Остается выяснить, возможен ли случай, коrда
все Q}& неоrраничены. В таком случае для К8ждоrо k
".
можно указать точку уЯ е Qk, принадлежащую сфере едя",
нпчноrо раДИ)7са с цептро:м в ТОЧRе уО, Блаrодаря ком..
! 3.1]
тополоrИЧЕСНИЕ СВОЙСТВА
147
'"
пактности сферы из последовательности {yk} можно вы..
брать подпоследовательность, сходящуюсн к точке у* Е
Е У. Но тоrда у* Е уО + ЕТ; и y*::I= уО, что противоречит
эффективности уО. Следова те льно, если У выпукло, то все
:множества Qk неоrрани" 1
чеННЫМII быть не MorYT. IJ !J2
Требование выпуклости 01
У в последней теореме
является существенным;
об это:м свидетельствует
Пример 4. Пусть У
имеет вид неоrраничеПllоft
1\ ривой, изобраiкенной па
рис. 4. Оно замкнуто и
эффективно ВЫПУl ЛО, но не ВЫПУRЛО. Здесь точна О
эффективна, однако собственно эффективных точен не
существует, так что Р(У) 5 а(У) не выполняется.
Непосредственно из теорем 5 и 6 вытекает
С л е Д с т в и е 3.. Пусть мnожество У аа.мпuуто. Если
8l?zподН,яется хотя бьt одпо из условий:
1) существУ'0Т веJ\.ТОр Jl. Е I и число а, для OTOpb X
UeI'JteeT .место (4);
2) У вьtпупло *);
ТО Р( У) =F 0 тоеда и только тоеда, коеда G( У) =;1:= 0.
Для выпуклоrо ltlHOiIieCTBa У справедливы включепия
(2.2.7). Теорема 6 позволяет установить более rлубокую
взаимосвязь множеств Р( У) и У >, таи KaR соrласно тео..
реме 2.2.3 G( У) == У >.
т е о р е м а 7 (эрроу......... БаранRиП......... Блекуэлл). Если
,;чпожество У выпупдо и аам1(НУТО, ТО сnраведливьz вплю...
чеnuя
..........
YJ
Рис. 4.
у > Р(У) s: У>.
(7)
Перепое полученных результатов па BorHYTble ыо'"
rокритериаJlъные задачи позволяет осуществить следую...
щее утвеРiкдение.
Л е м lvI а 1. Пусть мuожество Х еыпупло, еек,тор"
фУn1'i,ция f eozuyra и nenpepbZ81la па ЭТО t J.t'Ножестве и
у аампnуто. Если Pj(X) -+- 50, ТО },tnoJlCeCTeo У * вам-кltуто.
*) Справедливость следствия с условием 2 доказана в [71].
10*
148 СТРУНТУРА l'vIIIOiRECTBA ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИЙ [rл. 3
д о 1\ а 3 а т е л ь с т в о. Возъ:мс:м произвольную сходя-
щуюся последовательность {yh} из У *:
yh --+ у, yh <: jCx k ), хА Е Х, k == 1, 2, ... (8)
Без оrравичения общности мон,по считать, что у == Oип .
Для доказательства справедливости леМ!vIЫ преДПОЛОiRИМ
противное: О(т) Ф. у *. В03 IОЖНЫ два случая: последова..
тельность {f(x h )} оrраничепа, либо не оrраничена.
Если sup IIj{x h )1J <: а для а Е [О, + (0), то из последо..
k
патеЛЬНОСТlI {f(x1t)} MOiHHO выделить СХОДЯЩУIОСЯ поднос..
ледовательность {f{x l )}, внеравенстве yl <: j(x l ) переЙти
:к пределу при l --+- 00 И блаrодаря замкнутости У полу..
ЧIIТЬ О(т) <: lim j(x l ) == у* Е У. Тап нан у* Е У, то найдет..
ел таRая точка х* Е Х, ЧТО у* == j{x*). ТаRИМ образом,
О(т) j(x*), а это противоречит преДПОЛОiнеНИIО 0tnt) Ф
Ф У*.
Пусть последовательность {j(x h )} ие оrраничена.
В этом случае в силу (8) ТОЧI{И j(x k ) при неоrраничеНIIО:М
увеличении k сноль уrОДIIО БЛИЗI{О приБЛИ/I\аются н неот"
рицатеЛЬНОl\IУ ортанту Er;. . При необходимости переЙдл
[\ последовательности, IOiI\HO считать, что последоnатеJlЬ'"
IIОСТЬ {IIj(xk)lI} cTporo возрастаlощая и
Би р f 1 (xh) == + 00" f 1 (хр. + 1) > f 1 (xk), k == 11 2", . . .
k
j 2 (Xh) ---+ ......... 0,-
sup fi (xk) > 0t
R. '
(9)
i == 3" 4, . . ., т.
По УСЛОВИIО леМ IЫ Р j (Х) =1= 0, и поэтому наiiдется
х() Е Pj(X). IIачиная с neHoToporo HOl\lepa, последователь--
ность {II/{x h ) j(xO)H} ДОЛiкна стать cTporo возрастающеЙ
II положительной. 11е Уl\Iеньшая общности, будем СЧIlтаТf...,
что этот номер первый. B03Ll\leM 0<8 < Ilj{x 1 ) j(xO)II.
В силу непрерывности f для наjl\доrо k MOiHHO YI\aaaTb
такое ЛЯ Е (О, 1), что
l/f(Лk хh + (1..... Лk)Х О ) .... f(xO)11 == 8.
(10)
Блаrодаря BornYTocTII f имеем
Zh == 'Лkf(х h ) + (1 ---- ля) j(XO) <: f(Лkхll + (1 Лk)Х О ) == ш'\ (11)
6 3,1]
тополоrИЧЕСRИЕ СВОЙСТВА
14CJ
ОТСIода и из (10) следует
z s f i (Х О ) + в, i == 1, 2, . . ., т. ( 12)
С друrой стороны, в силу (9) начиная с пеI\отороrо k бу..
дут выполняться неравенства !,(x h ) ....... 8, i == 1, 2, ..., ln.
110эrому получае!\I
z > ---- еЛh + (1 Лk) fi (х О ),. i == 1,2, ... т. (13)
IIеравеПСТВ8 (12) и (13) уназывают на оrраниченность
IJОСJJедоватеЛЬJIОСТИ {zh}, И ПОЭТОIvIУ ее можно считать схо..
длщейсл. Последовательность {w k } в СlIЛУ Toro, что и 1\1 е..
ет место равенство (10) таиже будем считать сходя...
щепся.
ДОRаже f, ЧТО Лh ---+- О. ДЛЯ последоnателыIстии {z }
б.лаrодаря (12) и (13) MOiI\HO написать lz 1 <::: с, rде с о.
I J спользу я определение z (11), ОТСIода получаем
с + , f 1 (х о ) I
Л k .
== , f 1 (xk) /1 (xO)I"
ОТI<уда, соrласпо первой стропе пз (9) следует 'Alt --+ о.
'I'аI\ИМ обраЗО I, из (13) вытекает пераnенство lim Zh :>
:> f(xO). Поэтому блаrодаря (11) и (10) получаем Ш О ==
== НПl w h f(xO) и Ш О =1= j(XO). Причем вслеlIствие заМI\НУ
тост и У верно ш О Е У, Т. е. СУlцествует таI\ал ТОЧI\3 х' еХ,
что f{x') == ШО > t(XO). Это противоречит эффеКТИВIIО
СТИ хО. 11
Если в этой лемме вместо Х взять У, а в I\f\честве
f....... линейную вектор фуннцию (Уl, Yz, ..., Ут), то полу
чим слеДУЮIцее утверil дение.
С л е Д с т в и е 4. Если у....... выпуплое ааJtп1-lутое .lIt1-lry
J1CeCTBO и Ре У) =1= fZJ, то .;tt1l0жество У * aaJlnllYTo.
Следует отltlетить, что следствпе 4 в случае, Rоrда У
зпмнпуто и лишь эффеI\ТИВIlО ВЫПУI{ЛО, ОI\азываетсл He
верНЫ f (см. ПРИ Iер 4).
В следующей TeOpel\le утвеРiI",деНIIЯ теорем 6 и 7 IIС
реносятся на воrнутые МIIоrОI\ритериальные задачи.
т е о р е м а 8. Пусть Х выпу1'iЛО, вепТОр фУ1-l1'iция f
вОЭllута u 1lепрерывnа па Х, а У заJ1уtll.lJТО. Tozaa cпpa
ведлuвы в .!lюче1-lllЯ (5) и (7).
Д о R а 3 а т е л ь с т во. СоrлаСIlО леl\ll\Iам 2.2.2 и 1,
У * ........ ВЫПУI\лое за:МI{пуrое IlIOiI\eCTnO. П рИ!\lепяя 1\ эrо.МУ
150 СТРУНТУРА rvIНОЖЕСТВА ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИй [rл. з
MHOil\eCTBY теорему 6, получим
G (У.) s Р (У *) s G (У *)1'
отнуда с учетом леммы 2.2.1 вытекают требуеl4ые вклю"
чения (5). Если iKe к MHoiRecTBY У * применитъ' тео..
рему 7 и воспользоваться леrко проверяемым равенством
(У .» == У >1 то получим включения (7). 11
Заметим, что условие за:мкнутости У теоре:мы 8 за..
ведомо выполняется, если .х Rомпакт, а f непрерывна
на х.
Перейдем от оценок R решениям. В условиях теорем
6 п 8 праnое из включений
Gj(X) Р,(Х) 5 G,(X i (14)
10жет оказаться не справедливым.
При м е р 5. Пусть Х с: Е 3 ........ круrовой конус, основа--
вием KOToporo СЛУiКИТ единичный Rpyr в плосности х 1 Ох 2 ,
а вершиной........ точка А == (О, 1, 1). Это МЦОiI,ество MOiKHO
считать нзображеННЫ!v1 на рис. 3, если заменить на не:м
Yt, У2, УЗ соответственно на X t , Х'2,. хз. Для f(x) == (X t , Х 2 )
мнол еством: Gj(X), очевидно, будет дуrа Оl\рУiI\НОСТИ
DCB (без концевых точек D и В), а мно)кество Р/(Х)
будет состоять из той же дуrи (ВRЛ lочая ТОЧRИ D и В)
и отреЗI\а АВ. Следовательно, здесь Gj(X) не поирываст
Bcero множества PJ(X).
Условия справедливости ВRлючеппй (14) формулиру.
ются в следующем утверждении.
С JI е Д с т в и е 5. Если х........ вь пух;ль й x;O_"Jtпa T, а f
вОЭllута и непрерывна па Х, приче.лt хотя бьt одnа KOJt..
пОllента fi строео 80eltyra, ТО справед.лuвЬt впдючеnия (14).
Д о к а з а т е л ь с т в о. ВОЗЬ lем произвольное решение
х О Е Pj(X). Соrласно Teopelvle 8 существует такая ПОСJlе-
довательность {x h }, что j(x h ) -+ j(XO) И х" е G ,(Х) дЛЯ ЛIО"
боrо k == 1, 2, ... Поскольну Х Fомпактно, эту последо..
nательность МОiИНО СЧIIтать сходлщейся: lim xh == х* Е х.
k ..-.+ 00
Очевидно, f(x*) == f(xO). Если х* =/:; хО, то блаrодаря BOr..
нутости и строrой воrвутости для л Е (О, 1) имееы1
f('Лх* + (1 ..... лJх О ) > лf(х*) + (1 ..... ')J f(xO) == f(xO).
Это неравенство противоречит УСЛОВИIО х О Е Р,(Х). Сле..
ДОDательпо х* ;;:;; х О , 11
9 3,11
rопопоrИЧЕС И СВОЙСТВА
151
3. Напомним, ЧТО множество Z s;; Ет называется (СМ.
[50] ):
8уеообраэно свЯ81tЪZМ, если любые две ero точки мол("
НО соединить дуrой *), цеЛИКО I лежащей в z;
стяzuвае.мыlM 8 себе, если существует точна z* Е Z .п
непрерывное отображение h: Z Х [О, 1] --+- Z такие, что
h(z, О) == Z, h(z, 1) == z* для любоrо z е z.
Если м:ножество стяrивае 10 в себе, то ОВО является
дyrообразно СВЯЗНЫМ.
РаССМОТрИ?\-I свойства HenYCToro множества Р( У),
предполаrая, что У замкнуто и выпукло. Поскольку Bcer..
да Р( У) == Р( у *) (ле IJ\lа 2.2.1), а при сделанных пред'"
положениях У * замкнуто (следствие 4), то далее в Teo
ремах 9.......11, принадлежащих Б. Пелеrу [207], будем
сqитать, что У == У *.
Т е о р е м а 9. Множество Р(У) стяеuваемо в себе.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Поскольну Р( У) =F ro, То в силу
теор(:\ IЫ 7 существует вентор fl Е 1\1 и число а такие,
что для всех у е У выполняется неравенство (4). Пусть
w ==: min J,1i. Введем на Ет вектор фуннцию
ieM ·
т
1 .
F (у) == у + w [а ....... <Jl., у)] е{,;
i==l
rде е 1 ........ i й орт (е: == 11 е} == О при j =F i). Эта функция
непрерывпа по у.
Для у е у опредеЛИ I :МlIожество
R(y) == {: е Ylz ==== у}.
Для R8ii\доrо j е М и всякоro z е R(y) справедливы не..
равенства
Fj(У) Уj+--Ь- [ iZi iYi ] >
==1 t==l
е;; Zj + ( 1 ) (Zj Yj) +. i (Zi Yi) :> Zj.
i+j
Таким образо {, веКТОр фУНI\ЦИЯ F обладает тем СВОЙ
СТВОМ, ЧТО
F(y) z для любоrо zeR(y). (15)
*) Дуrой вазыаетсяя rомеоморфиый образ отреЗRа [О, 1].
152 СТРУНТУРА МНОЖЕСТВА ЗФФЕ1\ТИВНЫХ РЕШЕНИй rrл. з
Определим фуп:кцию т: У --+ Р( У) ИЗ условия
11 r (у) ..... F (у) 11 == min 11 z F (у) 11.
zER(y)
В силу справедливости (4) множество R(y)........ выпуклый
l\омпакт. Функция IIz Fi(y)11 cTporo выпукла по z, п по..
это:му достиrает на R(y) lv!ИНИ1vIума в единственной точке
,(у). Кроме Toro, ,Су) еР(У) (СМ. пример 2.1.4). Поэто-
му функция r определена корректно. .
Ранее было принято У == У *. ПОЭТО?IУ В У существу..
ют ТОЧКИ а, Ь такие, что Ь > а. Определим на Р( У) Х
Х [О, 1] вектор функцию:
h(p, t) ==r(1 t)p+ta).
Очевидно, что h(p, О) == р, h(p, 1) == r(a) Е Р( У) дЛЯ лю..
боrо рЕ Р(У). Остается по:казать непрерывность функции
h. Пусть t == lim t A , р === lim р\ rде р, pt, р2, ........... точки
из Р(У), а t, t 1 , t 2 , ........... числа из [0,1].
Если t == О, то
lim [( 1 t k ) pk + tha] == р,_
k .... QQ
а блаrодаря тому, что r(y) е R(y),
h(p'\ t , ,) :;::: (1 t я ) pk + t"a. (16)
Последовательность {h(pk, t k )} оrраничена, и ПОЭТОl\lУ В
силу (16) и реР(У) имеем limh(pkJ. t k ) == р.
k OQ
Если t > О, то
'у ;; (1 t) Р + tb > (1 ...... t) Р + ta ==
== lim[(1 tk)pk + tka] == у. (17)
k --+ 00
По:кажеl\I, что веI\ТОР функция r непрерывна в ТОЧRе у ==
с;: (1 t) Р + ta. Для этоrо преДПОЛОj-I\ИМ, напротив, что
у == lim yk! lim r (уН) == z =1= r (у). (18)
k oo h oo
Тоrда
IIr(y) Р(у)1I < IIz F(y)lI. (19)
Существует последовательность {zl?}, Zk Е R(yh), k:::::
=:;:: 1, 2, . . . такая, что
lim Zk == r (у),
k --+ OQ
(20)
3.1]
тополоrИЧЕСНИЕ СВОйСТВА
153
Действительно, пусть
z (-t) == Т''У + (1 ..... 1:) r ( у) > у, 1" Е (О, 1),
rде 1 вектор из (17). Найдется натуральное число
k( 1:) такое, что z( 1:) Е R(yk) для любоrо k > k( т). IIo
lim z (т) == r (у).
'{ O
Поэтому найдутся такие точки Zk Е R(yJt), что Иl\lееr Ie..
сто (20).
Из (18) (20) следует существование TaHoro HO lepa
k, что
IIzk F(yk)II < IIr(y1t) P(yk)II.
Но это противоречит определению вектор функцпи r.
И так, r непрерывна в точне (1 t) р + ta. Непрерыв"
ность h в (р, t) следует из непрерывности r в (1 t) Р +
+ ta. .
С л е Д с т в и е 6. },! 1l0жество Р( У) дуеообраЗ1l0 свЯЗ1l0.
Следствие 7. Если Р(У) =1=50, то S(y) дуеообраЗ1l0
свЯЗ1l0.
Д о 1\ а 3 а т е л ь с т в о. B03bl\'ieM произвольные точии
yt, у2 Е S(}7). Множество Р(У) дуrообразно связно, по
это:му точии r(y1), r(y2), rде r функция, введенная при
доказательстве теоремы 9, можно соединить дуrой L с::
с:: Р( У). Отрезок L 1 , соединяющий точки у1 И r(yl), BXO
дИТ В S ( У). Аналоrичным СВОЙСТВОl\1 обладает отрезок L 2 ,
соеДИНЯЮJЦИЙ у2 и r(y2). ТаRИМ образом, дуrа L 1 U L U L 2
леiI ИТ в S( У) и соединяет у! и у2. .
М,ножество Z s Ет называется peTpa TO,M JHO}KeCTBa
vV ЕЩ, Z s;; W, если найдется непрерывное отобраiнение
Ф : W Z, называемое ретракцпеЙ, таиое, что 'i'(z) === z
для Лlобоrо z Е Z [50].
Т е о р е м а 10. Если JJt1l0жество Р( У) ааЛtпllУТО, ТО
0110 является peTpa TOM JJtпожества У.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Определп:м расстояние Mea дy
у Е У и Р(У) по формуле
а(Уl Р(У)) == inf IIY zll.
ZEP(Y) ,
Введем на У функцию
t ( ) == о(у, Р(У)) ( 21 )
у 1+d(y,P{Y)).
Оqевидно, О < t(y) < 1, и эТа <I)ун! ция непрерывна по у.
Кроме Toro, у Е Р( У) тоrда II ТОЛЬКО тоrда, коrда t(y) == О,
154 СТРУЕТУРА МНОЖЕСТВА эффЕнтиБныIx РЕШЕНИй [rл.З
Используя обозначения И3 доказательства предыду"
щей теоремы, определим на У функцию
ф(у) == r(l t(y))y + t(y)a).
Для нее ф(у)еР(У) прп УЕУ И ф(у)==у при уеР(У).
Аналоrпчно ТОМ:У, нан было сделано в доказательстве тео--
pe lbl 9, используя непрерывность t(y) I lvlОЖНО установить
непрерывность 'Р. ТаКИ 1 обра30 1, 11'....... ретракци:я У на
Р( У). 11
Т е о р е I а 11. Если lUОЖеСТ80 Р(У) компакт, ТО
ОnО является peTpa/'i;TOJrt иe/'i;OTOpOZO nомпаnТ1l0ео выпуп-
лоао пoaJttUO ceCTea У.
Д о 1\ а з а т е л ъ с т в о. Выберем точку а е Ет, для ко-
торой существует точна у Е Р(У) такая, что у > а. Пусть
У1 == conv {ре У), а}.
Очевидно, У 1 ....... выпуклый номпакт и Р( Y t ) == Р( У). IIусть
q Е Ет удовлетворяет неравеНС1ВУ q у для всех у Е Y t .
На У . опредеЛИ 1 фУНКЦIIЮ r l :
rt(y) Е R 1 (y) == {z е Y 1 l z у}
ИЗ условия
I1 r 1 (у) ...... q 11 == min 11 z q 11.
ZER 1 (1I)
KpOl\le Toro, пусть t(y)........ функция (21). Функция
(у) == r 1 ( (1 ...... t (у) ) у + t (у) а)
представляет собой ретраI\ЦИЮ MHOiHeCTBa У. на р( 11. 11
При помощи леМ IЫ -1 теоремы 9 11 МОЯ\НО распро...
странить па случай BornYTblX мноrокритерпальнъu задач.
IIаПРИftlер, лемма 1 II теореыI\ 9 ПРИВОДЯТ к следующе IУ
утверждеНИIО.
rr е о р е м а 12. Пусть JttJ-tожество Х вьtпупло, вeKTOp
фу1t/'i;ЦUЯ j вО8J1,ута u 1lепрерывиа на ue.ht, .лtuожество У
aQ,М/'i;UYTO и Р( У) ;j= ;О. Тоеда tJl,ожество Р( У) СТЯ8uваеJrtо
в себе.
Из этой теоремы, в частности, с.педует, что если Х
выпуклый номпакт, а f BorHYTa II непрерывна на Х, то
IНОЖестВО эффективных оценок Р( У) стяrивае:мо в себе.
В этом пупкте разбираЛIIСЬ свойства мноа\ества эф..
феI\ТИDНЫХ точек. ИСRЛIочение составляет слеДствие 7,
в котором даны достаТQчные условия дуrообразноii СDЛ3-
I 3.2] Условия СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭФФЕНТИВlIЫХ РЕШЕНИй 155
ности мноа\ества S( У). Более подробно с тополоrпчеСRИ"
ми свойствами МПОiиества слабо эффективных точен мол
по озпаНО fllТЬСЯ, обратившись к статье В. В. l\lорозо..
па [59J.
3.2. У СЛОВlfЯ существования
эффективных реmений
Леrко попять, что если существует (в ТОМ или 11 НО:\l
смысле) эффеI\ТИDное реmение, то существует (в ТОМ псе
С lысле) эффективная оценка. И наоборот, из существо--
вания эф<рективной оцении всеrда следует существоваНIIе
э(рфентивноrо реше пия. Аналоrично, MHOil\eCTBO эффен"
ТИВПЫХ решений BHelIIHe устойчиво (см. 1.4) тоrда n
толы\о тоrда, Rоrда внешне устойчивым является МНО--
,нество эффективных оцено'К. Поэтому при изучеНПlI во...
просов существования нет надобности ПрПIIциппальпо
различать результаты, относящиеся к оценнам, и резуль...
таты, относящиеся к решениям.
1. Общие условия существования эффентивных точен
содеРiRатся в следующе11. утверждении.
т е о р е м а 1 *). Пусть Y::I= 0. Достаточ1tьtМ условuе.«
сущеСТ80ваиuя эффе-КТU8llblХ точеп u внеШllей устойчи--
вости Мll0жества Р( У) является oJtпaпr1tOCTb Jt1tожества
R(y) == {: е Ylz у} для люБО20 У Е У. Если, "'pO te ТО20,
у выnу1r,ЛО ll, 8ампllУТО, ТО упазаll.1tое условие является
необходUJlЫJt ус.ловuеЛt суzцествоваllUЯ.
НаПОМIIИI\I, что из внешнеii устойчивости МПОiRества
Р( У) следует внешняя устойчивость множества S( У)
(теорема 1..4.1).
Д 'о R а з а т е л ь с т в О. Д о с т а т о ч н о С т ь. B03L:MCl\t
ПРОИ3ВОЛЬТIУIО точку у* е у п вектор J.t е М. Через уО
обознаЧИ I ТОЧI\У 1.lаКСИ lума линейной ФУНRЦИИ < t, у>
па ltIHOiI\eCTDe R(y*) (вследствие RО lпаКТНОС1'И R(y*) та..
кая точка найдется). В силу теоремы 2.1.8 точка уО Э(Р
фектпвпа Сп этом таI\jие леrко убеДИТI>СЯ, преДПОЛОiI ИН
противное). А тан I\aI\ уО Е R(y*), то уО у*, т. е. МНО.
,нестnо Р( У) впеmпе устойчиво.
11 е о б х о Д и м о с т Ь. Пусть уО Е Р( У). ПреДПОЛОjI\ИМ
папротив, что для неиотороrо у* Е У MHQjf\eCTBO R(y*) не
*) Эта и следуrощая теорема являются частпыми случаями
теорем, ДОRазаппых Р. Хартли [168, 169],
{56 СТРУНТУРА l\IHOjRECTBA ЭФФЕНТИБНЫХ Р ШЕНИй [rл. 3
является I\о:мпаКТОl\{. посRолы\y У эаМI\НУТО, ТО R(y*)
ДОJОКIIО быть неОI'раничеННЫtff. ОТСIода следует, что 60"
лее ШПрОRое множество Н * === у * n (у* + Е ';: ) таиже He
оrрапичеIIО. l\;IИОiиество В* выпукло И, в силу следствия
1.4, за:мкнуто. Ero пеоrрапиченнос'fЬ влечеr существова..
вне рецессивноrо направления (направления удаления в
бесконечность), т. е. найдется ненулевой вектор z Е Е"';.
таl\ОЙ, что у + лz Е У * для всех у Е У * и л е: О (C ?\f.
3 в [93J). При у == уО И Л > О ОТСIода следует, что
ylJ Ф Р (У *). Но это противоречит начальному УСЛОВИIО
у() Е Р( У), так как соrласно леМI\!В 2.2.1 Р (У *) ;:::: р (У). .
Условие существования э(рфективных точек в этоii
теореме не является достаточным для СУlцествовапия соо..
стnенно эффеJ\ТИВНЫХ точек.
[1 р И?I е р 1.. Пусть т == 2, У == {у Е:: Е21 У2 == e Y]}.
Здесь В(у) == {у} ........ I\омпактное MIIOiI\eCTBO для ЛIобоrо
.lJ Е У. Тем пе l\lеиее собственно эффективных точеI\ по
существует.
I\poMe Toro, пример MHoiRecTBa У, изобраiI\еНIIоrо на
рис. 4, ПОRазывает, что при заМКПУТОl\-I и эффеRТIIВНО вы...
пукло:м У из Р( У) =1= f?J не обязательно следует Rомпант" .
пасть R(y) для I\аiндоrо у Е У. ТаНИl\iI образом, требование
ВЫПУНЛОСТИ У в теореме 1 нельзя замеНIIТЬ на требова..
IIие эффективной ВЫl1УНЛОСТИ.
Условие за!\IКНУТОСТИ !vlHOiI\eCTBa R(y) при иаiI\ДО 1
у Е У проверять ДОВОЛЫIО трудпо. Если iI\e в условиях
теоремы 1 дополнительно потребовать заМI\НУТОСТЬ У, то
I\.10iHHO получить более простые условия существоваНIIЯ.
т е о р е 1 а 2. Пусть М1-tожество У 1lепусто и aaJrtKпYTO.
Д остаточuы.;U условие.А-t существовапия всех видов эффеу;,...
тивllЫХ точеп u 8uешuей устойчивости t1l0Жества Р( У)
является существовапие вептора Il Е М U числа CG Ta иx,
ЧТО справедливо uеравенство (1.4). Если к ТО:МУ же У
выпукло, то упаааuuое условие является llеобходUJlЫМ дOllЯ
существования эффективuых точек.
Д о R а 3 а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч п о с т ь. Возьмем
произвольную ТОЧНУ у Е У. IIетрудно убедиться в TO f,
что замкнутость У и выполнение перавенства (1.4) для
Il > О(т) влечет RО1vIпактность множества R(y), определен..
Horo в теореме 1. Соrласно этой теореме М:ПОJI\ество Р( y )
непусто и внешне УСТОЙЧIIВО. В силу следствия 1.3 113
3.2] Условия СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭФФЕI\ТИВНЫХ РЕШЕНИЙ 157
Р( У) =1= eJ следует С( У) =F eJ, ПОЭТО IУ все виды эффектив..
ных точен существуют.
Н е о б х о д и 1"1 О С Т ь. В предполо}пениях теоремы име..
ет место прапое ИЗ ВI{JIIОЧОПИЙ (.1.7) (теорема 1.7). Сле..
доnательно, если Р( У) =1= eJ, то найдутся вентор J.1 Е ivI и
точка УОЕ У таl{I1е, что <11, y) <11, уО) ==а для всех
у Е У. .
ПрИl\lер 1\1HO}I{eCTBa У == {у Е Е21 у", <:: О} поназывает, что
в теореме 2 условие существования соотвеТСТВУlОЩИХ Jt
и а не будет неоБХОДИМЫl\l условием существования сла...
бо эффеI\ТИВНЫХ точен.
Вопрос существования слабо эффентивных точек ока..
зывается тесно связанным с наличие:м rраничных точек
l\lножества У *.
Т е о р е 1\1 а 3. Н е рав е1lство S (}'') =1= eJ и.меет JteCTO ТОВ'"
да U толь о тоада, поада Jt1tожество }" * и.меет хотя бы
одllУ ераllUЧllУЮ точпу, т. е. Fr (У *) =1= eJ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. НеоБХОДI1МОСТЬ сразу следует
в силу равенства
s (У) == У n Fr (У *)
из леммы 2.2.1. Для доназательства достаточности возь"
1\1eM уО Е. Fr (У *). По определеНИIО MHO HeCTBa У * для
пекотороrо у Е У справедливо у :> уО. Если ДОПУСТИТЬ,
что YnFI (Y*)== , TO(TaKKaI{ YEY*)YEilltY*.
Отсюда следует неравенство У' > у прп HeKoTopOj\I
у' Е У *. В итоrе получаем у' > уО, а это противоречит
ВI\лючению уО Е Fr (У *). ..
Следует от:метить, что в условиях теоре IЫ 3 MHOjI\e...
ство S( У) не обязательно внешне устойчиво.
При }! е р 2. Для MHOjl{eCTBa У == 0(2) U {у Е Е21 У2 < О}
1Iпожество SCy) непусто (0(2) Е S(y)), но пе является
внешне УСТОЙЧIIВЫ !.
2. В 'Теоремах 1 3 были сформулированы условия
существования в термпнах MIIOiHecTBa оценок У. Неред...
пО npIl исследовании :мноrокритериальных задач более
удобными оназываются условия, выраженные в терми
пах множества решениЙ Х и векторноЙ Фуннции j.
Одним: из наиболее общих подоБНОl'О рода достаточ",
пых условий существования всех видов эффективных
точен является условие компактности Х и полунепрерыв
насти сверху КО Iпонент веRтор фУНI ЦIlИ f.
158 CTPY1{TVPA InOiI{ECTBA эффЕt\тйвныIx РЕШЕНИЙ trл. з
т е о р е I а 4 (ПОДППОВСRИЙ) *). Если х........ пепустой
KO,;1,tпa T, а f пОЛУllепрерывnая сверху (по о.лtпонеllТUО)
lia Х ве ТОр фУl-tпчuя, ТО все виды эффептuвuых точеп
существуют, причем .множество Pf(X) внешне устойчиво.
Д о R а 8 а Т е л ь с 'Х в о. Возьмем произвольпую точку
а;* Е Х) зафиксируем некоторый вектор Il е М и paCCi\IOT'"
рим полунепрерывную сверху скаЛЯРНУIО фУНI ЦИIО
< Jl, f(x». Она до тпrает (C I. [42]) CBoero наибодьшеi"О
значения па 1\0АfпаН'те {х Е XI/(x) f(x*)}. Точка faI{CII'"
IYMa х О , :как леrко убедиться, рассуждая «от ПРОТIIВНО"
ro», принадлежит множеству Pf(X) l\p01\Ie Toro, f(xO) >
f(x*), т. е. PJ(X) ........ внешне устойчивое :множество.
J\1аI\СИМИ3ИРУЯ УRазанную q>уннцию < t, f(x» на KO I'"
пакте Х, получим точку х, I\оторая соrласно слеДСТВИIО
2.1.5 собственно эффеRтивна. 11
Теорема 4 представляет собой :мпоrОRритерпальный
аналоr известной из анализа :rеоремы ВеЙерштрасса.
Обобщение теоремы 4 IОЖНО получить при ПО fОЩIJ ПО..
пятия Е "; ..полунепрерывной фУНI\ЦПИ [136].
Пр II 1\1 е ч а н и е. УтверiI\дения о внешней устойчиво..
сти из теоре:м 1, 2 и 4 являются по существу следствия
IИ одпоrо I1З Фунда Iентальных полол\еппй теории MHO
теств, называемоrо леммой Цорна, а TaRiI\e Teope MOЙ
I\ypaToBcRoro ........ Цорна (см. [42, 50]): сслп всякая цепь
частично упорядочеПIlоrо множества обладает верхнеп
rраныо, . то кал-\дып пе м:аКСИАlальиый элемент этоrо 1\tIHO'"
жества подчинен HeKOTopO IY маRСИ IаЛЬПО!\fУ элементу.
J(ействительно, ДОПУСТИ:М, паПрИl\lер, что выполнеНltI
достаточные условия из теоре1\tIЫ 1: У =t= {2J и при Лlобо [
у Е У "IHOiKeCTBO R(y) == {z Е YI z :> у} RОl\fП3КТНО. fIусть
Q ....... произвольная цепь И3 }1', .Т. е. любые две точни 113
Q сравнимы по . Проверим, что для Q существует верх..
пяя rрапь, Т. е. точна уО Е У такан, что уО Z для вся
I oro z е Q. Возъмем произвольную точку ZO Е Q и рас...
СМОТрИ 1 СОВОRУПНОСТЬ 80 множеств R(z) для всех z Е Q
'IаRИХ, что z zO. Поскольку ПО всяком Rопечном наборе
точек {zt, Z2, ..., Zn} ИЗ цеПII Q II1\tIеется наибольшая, то
n '
пересечен:ие n R (Zi) непусто, тап ЧТQ систе:ма "fножеств
i==l
-) Существование эффективных реmений в предположении,
что Х неп}УСТОЙ Rомпакт и / непрерывна, ДОI\азаво в [12].
I 8.2] УСЛОВИЯ СVЩЕСТВОВАНИЯ эффЕRтивных РЕШЕНИЙ 159
80 центрированная. Следовательно, в силу компактно..
СТИ R(zO) пересечение всех мнон,еств R(z) И3 8° пепусто
([42J, 2.6, Teope Ia 1). Леrко понять, что ВСЯRая точна
па этоrо пересечения верхняя rрань Q. Следовательно,
соrласпо ле I lе Цорна Р( У) внешне устойчиво.
Для воrпутыx l\Iпоrонритериальпыx задач с пеоrранп"
чеННЫ 1 множеством Х представляет интерес слеДУIОЩПЙ
l\ритерий существования.
т е о р е м а 5. ПредпОЛОЖUJt, что Jt'fl.ожество Х nеп'УСТО
u выпуJ\,ЛО, ве тор фу1tпцuя f вО8нута и .множество У
8a tt llYTO. Для существования эффектuвl-lЫХ и собствеU1l0
эффективных точеJ1, и вllеШ1lей устойчивости .лt1tожества
Pj(X) пеобходUJtО и достаТОЧ1l0, чтобь 1tашлисъ ве1\.ТОр
р Е I и число сх., для 7ftOTOpblX верно 1-lеравепсТ8о (1.4),
еде y==j(x).
Д о к а з а т е л ь С т в о. Достаточность обеспечивается
теоре {ой 2. Если же Р,(Х) =1= о, то соrласно лемме 1.1
выпунлое MHOiI\eCTBO У * заМI\НУТО В этом случае след-
ствие 1.3 rараптирует выполнение перавенства G (У .) =1=
=1= eJ. Но G (У .) == G (JT) (Cl\l. леМl\fУ 2.2.1), а вначит п
G J (Х) =1= f2J. ОТСlода в силу теоремы 2.2.4 вытенает су.
lцествоваппе требуе fЫХ Jl и сх. .
Из этой теоремы очевидным образом вытенает слепу-
lощее обобщение следствия 1.3 (С условием 2» [711:
в предположсниях теоремы 5 Fj(X) =1= 0 тоrда и только
тоrда, коrда Gj(X) =F fZJ.
Если J.t Е М, то пусть М о == {i Е 11-/1 f.li > О}, а /0 озна-
чает веI\ТОР фУНRЦИIО, образованную из тех Rомпопепт I't
для которых i е Мо-
Следствие 1. Пусть ве ТОр фу1t цuя f вО81lута на
lIепусто.м, выпупЛОАt множестве Х. Н еобходШtЬZ.м, условu-
eJ1-t существоваllUЯ слабо эффе тив1-lЫХ решений яв.ltяетс q,
elJlпO.ltlleUue nepaeeltCTea (1.4) для пe OTopoeo J.t Е М . Ее..
ди, про.ме ТО20, f (X) 8aAtKnyro, ТО У1';ааапnое условие
двляется достаТОЧl-l,.ЫМ.
Д о к а 3 а т е л ь С l' В о. НеоБХОДIIМОСТЬ следует из тео..
ре IЫ 2.2.2. Докажем достаточность. Из (1.4) Иl\Iеем
<11°, !о(Х» ct для всех х е Х,
rде t? === l1i > О для Rаждоrо i Е Мо. МПОiRество /О(Х) ПО
УСЛОnИIО заМI\НУТО. СОI"'лаСIIО Toope fe 5 э(рфентиnпые ТОЧ-
J{U по веКТОр фУIIКЦИИ fQ отпосптеЛЬiIО Х с 'ществуют,
160 CTPYRTYPA МНОЖЕСТВА эффЕнтиБныx РЕШЕНИЙ [rл. з
Нетрудно понять, что кал\дая таl\ая точка слабо эффек"
тивна по вектор функции j. 11
НижеслеДУIОЩИЙ ПрИl\lер показывает, что условие
замкнутости MHoiHecTBa !О(Х) в следствии 1 существенно.
При м ер 3. Пусть т == n == 2, Х == {х е Е 2 1Х 2 =s; 1/xt,
Х! > О}, f(x) == (x t , х 2 ). Существует Bel\TOp J..t == (О, 1), для
I\OTOpOro справедливо неравепство (1.4):
<1-1, f(x» === Х 2 ::; 1/Х 1 < О для всех х Е х.
Однако слабо эффективных точек не существует, так как
множество f2(X) == {х Е Elx < О} незаМI\НУТО.
3. Пусть веRТОР ФУlIКЦИН f линейна:
f (х) == « с t, х), < с 2 t х), ..., < с т, х», ( 1)
rде с ! =1= О(n), i== 1,2, ..., т.
Через Х Л обозначим проеI\ЦПЮ выпуклоrо за:мкнутоrо
MHoiRecTBa Х на аффинную оболочку *) L MHO/I\eCTBa
{О(n), Ct, с 2 , ..., с т }. Для любоrо х Е Х имеет )IeCTO пред"
ставлеНие х == х' + х 11 t rде х' Е Х n, х" Е L.l. (LJ.......... орто..
rональное дополнение L). Поскольку t(x" ) == О(т) для
ВСЯRоrо х 11 Е L.l.., то f (х) === f(x'). Следовательно, У ==
== f(X) == f(Х л ). Точки Z, дЛЯ ноторых f(z) == О(т), леi!\ат
в множестве L.L, имеющеl\f с L, в иотором находится Х п ,
единственную оБЩУIО точ:ку О(n). В этих условиях тооре..
l\Ia 9.1 из [93] rарантирует замкнутость ы1ол\естnаa f(X n ) t
если Х п замкнуто. Таким обраЗОl\I, коrда Х п замнпуто,
то заl\fБНУТЫМ является и мноа{ество У. Блаl'одаря этому
фа:кту из теоремы 5 получаеl\1 слеДУlощее утверiI\денпе.
С л е Д с т в и е 2. Пусть Х непуетое выпуклое за.м1;
путое множество, вектор фУl-tпция f липеuна и )l1l0:Jlce...
ство Х Л aaJtKnYTO. Собствеn1l0 эффектив/-lые и эффектив...
1lые точки существУ'0Т в TO.}t и ТОЛЬКО TOJJt случае, еели
найдутся вектор Il Е М и число ct тапие, Чl'О выполnяеr
ея (1.4), rде у == f(x).
в том что требование заl\IКНУТОСТИ Х Л в следствии 2
является существенны:м, убеждает следующий
При м: е р 4. Множество Х с Е З представляет собой
неоrраниченный круrовой конус с вершиной в начале
Rоординат, касающийся ПЛОСI\ОСТИ х2Охз ПО ОСИ Охз
*) 1vlипимальное аффинное множество, содеРiJ,ащее данное мно...
жеСТRО Z Ет, называется аффинной оБОЛОЧI{ОЙ МПQiнества Z
(СМ. [93]).
I 3.2] УСЛОВIIЯ СУЩЕСТВОВ.\НИП ЭФФЕНТПВПЫХ РЕШЕНИЙ 161
(СМ. рис. 5). Для линейной nектор фуннцип f(x) ';::: (х 1 , xz)
леrRО убедиться в справедливости равенств
у == Х Я == 0(2) U {х е Е21х. < О}.
Эффективными здесь ЯВЛЯIОТСЛ все ТОЧИВ вида 3:{ == Х2 =:а
== О, х. о. Однако не существует f.t е l\tl и сх, для но--
торых выполняется (1.4) (за}lетим, что отсюда, в част...
пости, следует Gj(X) == 0).
4. Рассмотрим ЛIIнейпую задачу, в которой f имеет
вид (1) 1I
Х == {х е Еn J <a J , х) < b j , j == 1, 2, ..., k},
rде а' Е Еn. Ь , е Е, j == 1, 2, ..., k. В линейной задаче,
нан указывает следствие 2.2.3, Pt(X) == Gf(X). Поэтому
условия существования соб...
ствеппо эффективных TOtleK ..7:з
будут I1 fетъ таI\ОЙ же ВИД,
нан и условия существова-
ния эффективных точен.
В IIИiнеследующем y'r-.
Dерil\дении формулируется
простой I\ритерий существо-
вания эффентивных (а, зна-
чит, и собственно эффеRТИВ $,
ных) и слабо эффективных
точен. Этот н.ритерий для эф..
фе:КТИВIIЫХ точеI( впервые Рис. 5.
был получен д. rейлом,
х. Куно:м и А. Т aKHepOlt{ [154], а позднее с. Н. Чер..
ни:ковым [101].
Т е о р е I а 6. В лuпейnой задаче эффепТU8uые (с.л"або
эффептuвllь е) ТОЧ1J,U существу/от Tozaa и только тоеда,
02дa nайдутся тапие вe-К10pь Jl Е М (J..t Е м) и А, Е E J.
ЧТО
т h
Pi ci == j\'ja'. (2)
i==-l ;==1
Д о }\ а а а т е л ь с т в о. Д о с т а т с ч н о с т ь. Д lIЯ: лю..
БОI О Х Е Х из (2) получае!tl
11} h h
t1 (c i ,.. х) == Лj (a J , х) AjbJ :=t: сх. (3)
i==l ;==1 ' 1
В линейной задаче мно}нестnо У полиэдрально, а значит,
11 в. в. Подиновсний, В. д. Ноrии
162 СТРУНТУРА l\'1HOjRr:CTBA :J<I>фЕнтивIIыx РЕШЕНИй [rл 3
за:мкнуто. Поэтому послсднее неравепство соrласRO тео-
реме 5 (следствию 1) влечет существование эффектив...
ных (слабо эффеКТIIВНЫХ) точек.
Н е о б х о д и м о с т ь. Если существует эффективная
(слабо эффективная) точна, то блаrодаря теореме 2.2.7
...... k
равенство (2) при J-t Е 11 (J-t Е М) И Л, Е Е> выполня",
..
етсл. 11
Подчерннем:, что теорема 6 получена в преДПОЛОiI е..
нии Х -+ fZJ. Критерий существования эффективных точен
в линейной задаче, rде заранее не предполаrается пали...
чие допустll?rIыx решениЙ, будет сформулирован в 4.4
(и. 2).
Если в линейной задаче множество Х задано оrрани",
чениями
<a j , х) <:: b j , j == 1, 2, . . ., k; ж О(n)'
ТО, как леrко проверить, необходимое и достаточное ус...
ловие (2) принимает вид неравенства
т 11
tici :::; Лjа i .
i==l j==l
Если же Х является решением системы
<a j , х> == b j , j == 1, 2, ..., k; х :2: О(n),
то условие существования будет И lеть тот же вид ие..
равенства, однако на BeI\Top л, не будет налаrаться ни...
:каких оrраничений (т. е. л, Е ЕЛ).
В заключение заметим, что из (2) для всякоrо х Е Х
следует неравенство (3). По тому в линейных задачах
соrласно теореме 5 непустое множество PJ(X) (а таи/не
и 8/(Х» всеrда внеmне'устойчиво [71].
* 3.3. Структура множеств эффективных реmений
u
В JIинеlIНЫ задачах
Учитывая тот факт, что в линейных задачах мвоже..
СТВО оценон У всеrда полиэдрально (см. теорв:му 19.3
из [93]) t а значит выпукло и замкнуто, результаты, по
лученпые в 3.1 ДЛЯ воrнутых задач, IОjНПО без труда
переформулироватъ применительно к линейной задаче.
8 3.3]
ЛИНЕйНЫЕ ЗАДАЧИ
{63
в даННО 1 параrрафе l\fbl раСС IОТрИАI таI\ие свойства мно-
жеств эффективных реIJlений, ноторые IIмеют место толь-
:КО для линейных задач 11 OTptliI\aIOT специфпку послед-
пих.
lfa ПрОТЯiI\ении параrрафа предполаrается, что линеЙ-
ная вектор фУПI\ЦИЯ f И Iеет ВИД f(x) == «с., х>, <c z , х), ...
..., <с т , х», rде c i =t= О(n)' i == 1, 2, ..., т.
1. Вначале установим одно полезное свойство МНОiпе..
стnа эффентивных решений, ноторое справедливо блаrо-
даря пицейности j.
т е о р е м а 1. Еслu существуеr ве-птор t е М (J.t е М),
для nотороео выполняется равенство
т
ici :=:; О(n);)
i==l
(1)
то Gj(X)::::: Х (8 j (X) == Х). В противном случав эффеп-
TUBHb'lAlU (слабо эффе-пТUВllЫJtu) решенuями Jtlozyr я.в...
ляться лишь еранuчные точпu множества х.
Сформулированное утверждение для эффективных ре-
шений было докаэапо С. Н. ЧеРНИI\ОВЫМ [101], а позднее
11 в [115, 126].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем ПРОИ3ВОЛЪНУIО точку
х о е Х. 11з равенства (1) вытекает неравепство
т т
f.ti (Ci.t :СО) :> f.tf <Ci X)jJ
i l i l
справедливое для всех х е х. Поэтому, соrласпо следст"
ВПЮ 2.1.5 (TeOpe1tle 2.1.3), если J.teM (J.L== M) , то zO......
собственно эффективная (слабо эффеитивная) точка.
Докажем BTOpYIO часть теоремы. Предположим, на..
против, что Х О Е int Х является эффективной (слабо эф..
фективной) '!ОЧI\ОЙ. ОчеВIIДНО, найдется такое 8 > О, ЧТО
Х в == {х Е 11 Х,; х11 8, j == 11 21 . . ';1, п} с: Х.
Леrко попять, что х о е Pj(X.) (соответственно х о е S/(X,J),
причем ЪfПОiJ,естnо Х. ПОJIиэдральпо. На оспованпи тео-
ремы 2.2.7 ы1i!\поo утверН\Д8ТЬ, что в линейной задаче
с веl\ТОр фУНКЦlIей «с\ х), <C Z . х), ..., <с т , Х» и fHO-
жеСТВО l Х. для точки х о существуrот венторы Jl Е 1\1
11'
164 СТРУН ТУРА МНОЖЕСТВА ЭФФЕRТИВНЫХ РЕШЕНИЙ [rл. з
........ 1) n
(J.t &: М) и л Е Е> тание, что
а::а
m n 2n
iCi == лj...... Лj,
i==1 ;==1 ;==п+ 1
n n
Лj(е+х1 х )+ Лj(е х1+х )==О.
' l i n+1
Из BToporo равенства блаrодаря е > О следует л 1::::: О(2n).
ПОЗТОl\lУ первое равенство принимает вид (1). Получен...
вое противоречие rоворпт о то}!, что эффеНТlIвные (слабо
эффеRтивные) реmения l\IorYT быть лишь rраничныии
точками. .
Итак, в случае ЛlIнейной веRТОР фуннции f неаави"
СИl\IО от строения допустимоrо AIHoiI ecTBa Х эффектив
вые, собственно эффеRтпвные 11 слабо эффентивные ре...
шения MorYT либо составлять все MHOH eCTBO Х, либо
располаrатъся лишь на rраницв этоrо MHOiReCTBa.
2. До конца параrрафа считается, что
Ха: {xeEnl<a j , х) b jt j1l:: 1,2, ..., k}.
В линейных задачах Pj(X) 1IZIr Gj(X) (см. следствие 2.2.3);
ПОЭТО!.IУ в фОрl\lулировнах приводимых ниже утверiнде..
:ний участвуют лишь эффеI{тивные точки.
Отличительной особенностью линейных иноrонрите.
риалъных задач является то, что для этих задач множе..
ст:ва Pj(X) и Sj(X) всеrда моа\но представить :в виде HO
нечноrо объединения решений сналярных задач линей
ното проrраМ lирования вида <Jl, f(x» --+ тах.
Введем множество
V == {v Е Е n I v ::::::; i ici для иеRотороrо ! Е :м}.
т е о р е 11 а 2 (Эрроу Баранкиа Бленуэлл). Cy
ществgет тапой онеЧ1-tый набор ee1iTOp08 и\ и 2 , ..., v r Е3
е У, ЧТО
,
Pf(X) == U X(v i ).
i==1
(2)
еде
Х (v i ) == {х о е Х J (z."i 1 х О )== шах (vi.t х)}.
_x
3.3]
ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
:165
r
ДоназзтеЛLСТВО. ВНЛIочепие P/(X) U X(v f )
i==1
очевидно (СМ. пример 2.1.2). Докал\ем обратное_ Поли--
эдральное множество Х представим в виде выпуклой обо-
лочки Rопечноrо числа точек и направлений (см. [93]):
Х == f Х I х == (J)i xi + (OjX j для некоторых
\ i==l j==l + 1
(Oi > О, i ==: 1, 2, .. " Nj i (Oj == 1}. (3)
Подмножество и MHoiI\eCTBa точен {x t , xZ, .. _, Xl} на-
зовем подходящим, если найдется v Е V такое, что U s=
5: X(lJ). В силу Itонечности l число подходящих r.IHOiHeCTB
Rонечно. Обозначим их через U t , и 2 , .. _, U r , а соответ"
t 2 r
СТВУIощие Пl\1 v ....... через v , v , ..., v .
Возьмем ПРОИЗВОЛЬНУIО ТОЧI\У Х О Е Р,(Х). Существует
тапой вектор v е V, что х о е x(v) (Cl\f. леl\Il\IУ 2.2.4). С дру"
rой стороны, в силу (3) ВЫПОЛIIяетсл
l N
Х О == (J)iXi + ffijX'
i==l ;==l+1
1
Юi > OJ == 11 21 · · '1 N; 2: (t)i == 1. И по..
. .
1==1
(4)
при неноторых
1
СКОЛЬПУ Юi хi Е Х.! ТО
i:::l
(V 1 х6) > <v, i (OiXi),
а значит,
< и, . (OjX j ) > О.
.7=--11""1
1 N
А тап RaR ffii Xf + 2(t)jxj Е Х то
. ,
t:.;;;l 3==-=/+1
(V j Х О ) > (Р,! х О ) + < v, ..f (OJ X ; ) .
.1==l+l #
ПОЭТОhfУ
< .' О
и, , (J)jXJ ; == .
Js;:l+l
(5)
186 ОТРУНТУРА :МНОЖЕСТВА ЭФФЕl\'rИВНЫХ РЕШЕНИЙ [r:I з
Пусть и.......... 1нол{ество тех Xf, для RОТОрЫХ соответ",
ствующие ОО( в представлении (4) полоj-l\ительны, и М о .........
множество соотвеТСТВУЮЩIIХ индеI{СОВ i. Справедливо
В,1\лючение и s; Х(и). В самом деле, если это не тан И,
вапри:мер, <и, х 8 ) < шах (и, X)t то используя (5) получаем
ХЕХ
1
<V J х О )< (01 та Х <V j х) == тах <U j Х)l
i==l хЕХ ХЕХ
ЧТО ПРОТlIворечит условию х о Е Х(и).
Следовательно, множество и подходящее. Пусть для
определенности и == и 1 ) v == v\ Тоrда из равенства
<vl1xi)==max<vllx) для всех ie/Jt/ o ,
хеХ
учитывая (4) и (5)J получим
<v 1 . 7 х О ) :=J: шах (и\ Х),
хеХ
Т. е. х о е X(v t ). .
Анализ доназательства Teope:Mы 2 показывает, что по..
добвоrо рода утверждение будет справедливо и для :мно"
жества слабо эффеRтивныx точен; при ЭТО I роль IHO"
Н\ества l' будет выполнять за IЫRаНlIе
V == { и Е Е n I v == . t1C! для neRoToporo Е м } .
1.==1
Т е о р е м а з. Cyzlfecreyer тапой набор веХТОрО8
r
v l , v', ..., v T Е V , что Sf (Х) === U Х (v i ).
i:o=l
Поскольку }.IHO}l\ecTDo реmений Х(и 1 ) обычной задачи
линейноrо проrраммирования представляет собой lIel\o"
торую rрань MHOiI\eCTBa Х, то соrласно ДОI{азанному мно"
жества Pj(X) и 8 j (X) являются объединением неноторых
rравей I\IHOiRecTBa х. Возможен и случай, коrда все IHO""
жество Х выступает в роли подобной rрани.
3. Здесь мы буде f дополнительно преДПолаrать, ЧТО
полиэдралъвое МНОiиество Х содержит пе крайней Iepe
одну вершину (I\раЙНЮIО ТОЧI\У)*).
*) Множество Х заведомо будет содер7!{ЗТЬ вершину, если, Ha
пример, ,\омпоненты допустимых векторов еще п иеотрицательвы,
т. е. Х О(n) (см. [105]).
3 3]
ЛИНЕйНЪIЕ ЗАДАЧИ
{57
JlаПОl\fНII I, что точка х о Е Х называется вершиной :мно"
жества Х, если И3 соотношений
х о rz::: лх' + (1 AJ х " ; х', х" Е Х; л (5 (О, 1)
I " о
следует х &a:::I Х а::: Х .
При сделанном предположении о существовании вер..
шины множества Х, если Pf(X) =1= 0, то существует по
нрайней мере одна эффективная вершина, т. е. эффек",
тивная точка, являющаяся вершиной. Действительно, если
х о Е Pf(X), то соrласно лемме 2.2.4 точна х о является
решение:м задачи линейноrо проrра fмирования
т
J.ti <c i ", х) шах для пекотороrо Е 1\1.
(==1 х
Как известно из курса линейноrо проrраМ Iированил
(теорема 3.2 из [105]), среди решений этой задачи и 1.1 е...
ется хотя бы одно опорное решение, т. е. вершина. В си..
лу J.t > О(т) эта вершина будет эффективной.
Введем множество V* векторов v из Е", удовлетво"
ряющих следующим двум УСЛОВИЯl\I:
1) v-==лv', rде и'Е V и л О;
2) задача линейноrо проrраммированияmах <и, х) И!\lе..
х
ет решение (это решение эффективно!).
Нетрудно понять, что v* выпуклый НОНУС.
Обозначим вершины пол:иэдраЛЬВОI'О множества Х че..
рез х\ х 2 , . . ., x N , N 1, и введем множества
v* (j) == {и Е Е n I < и.1 Х 1) == та х < и, х>}, j == 1, 2, . . . J N.
ХЕХ
IIепосредственной проверкой леrко установить, что паж...
дое иа введенных MHoiKecTB представляет собой вып)"клый
замкнутый нонус *).
Л е м м а 1. Пусть v* =/::: 0. Тоеда
N
v* С U V* (j).
J==1
д о к а 3 а т е л ъ с т в о. во3ы\е1.1r ПРОII3ВОЛЪНЫЙ вентор
v Е V*. Среди решений задачи линейноrо проrра:Ъ-Iмирова..
*) Более Toro, I аiRдое пз этих l\lHO}l{eCTB является полиэдраль
ВЫ1\{ RОИУСОМ.
168 СТРУНТУРА MHOj-I{ЕСТВА ЭФФЕRТIIВНЫХ J1ЕШЕIIИЙ [rл. з
нил тах (v", х) И lеется вершина IHOiI\eCTBa х. ОбознаЧИ 1
хех
ее через . ТаRИ?\f образом, (v, x j ) == шах (v, х), и ПО..
хЕХ
это rу v е V*(j) при некотором j 6 {1, 2, ..., N}. .
rоворят, что две вершины х{ и х ] множества Х ЯВ'"
ляются САIежны:ми (соединены ребром), если для любой
внутренней точни хотрезка [x i , ], соединяющеrо даII
пые вершины, иа соотношений
z == лх' + (1 л) х " ; х', х" Е Х; л Е (О, 1)
, " [ i . ]
следует х ,х Е х, х з .
Множество (ПОДМНОiнество) вершин MHoil"ecTBa Хна..
8ывается ре6ерио свЯ81lЫ t в том случае, если оно состоит
лишь ИЗ одной вершины, либо если для любой пары вер...
шин х\ x j этоrо MHOiI\eCTBa (ПОД?t-IНОiI\ества) найдется та..
i . i il
ная Rонечная последовательность вершин х 1, х 2, . . .,Х Е
Е {хl, х 2 , . . ., x N }, ЧТО xil == xi, Xil == х ) и любые две
соседние вершины этой последовательности являются
смеiI\НЫМИ.
Л е м м а 2. Справедлuвь утверждеuuя:
1) мuожество вершuп полuэдральuоео Х реберuо свяа..
по;
2) noa.MJlOJlCeCTBO всех eepzuuu, доставЛЯ10ЩUХ JtaKcи",
ty и лuuейuой ФУUБцuи иа Х, реберuо связuо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Если Х содержит Bcero одну
вершину, утвеРiI\дение справедливо. Пусть х\ х} про..
извольная пара вершин множества Х. Из курса линейно..
ro проrраммирования известно (см. [105]), что для вер...
шины х; ДОЛiI\НЫ выполняться равенства
(a ip , x j > === bip' Р == 1,2, ,.., п; {i 1 , i 2 , ..., i n } S;;
{1, 2, ..., k},
причем веl{ТОры а i f , ai , . . " а i n линейно независимы.
n n
Пусть а:=: а 1р , Ь == b ip . ЯСНО, что неравенство (а,
p l Р::::хl
ж):;!о выполняется для ВСЯRоrо х е! Х, причем <а, xi) == о.
Кроме Toro, если х' Е Х и: <а, х') == Ь, то х' == х; (в против..
ион случае наРУllIается условие линейной независимости
i (... . )
векторов а 1, а 2, . , .) а 1n . Все это означает, что линей...
пая функция (а, х) достиrает CBoero макспмальноrо зна-
чения на Х n единственной точке x j . ,-
. 3,3]
ЛИНЕйНЫЕ ЗАДАЧИ
{69
Теперь, если вершину Xi принять за начальное опор-
ное решение в задаче линейноrо проrраМ lировавия
шах (а, х), то применение симплеI\С lетода даст ИСRО1f[УJО
хЕХ
последовательность CJ\IeiI-\НЫХ вершин, в которой первы:м
элемеНТО l является х\ а последним x J .
2) 1 1 1пожество Х' всех точен, достаВЛЯIОЩИХ маКСИМУ11
данной линейноЙ (РУННЦIIII, является, как известно, поли..
эдральным IHOjI\eCTBOM. Соrласно доназанно:му пункту 1),
множество всех вершин из Х' реберно связно. Леrl\О по-
нять, что першина в мно}нестве Х' будет вершиной и в
множестве Х и, RpO [e Toro, любые две смел ные верши-
ны в Х' С IеJI\IIЫ и в Х. 11
Т е о р е :м а 4. Если Pj(X) * Qf, то Jtllожество эффе -
тивны,х вершu1t реберnо свЯЗ1l0.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. В начале данноrо пункта было
ПОI азано, что ИЗ перавенства Р f( Х) :::/== 0 следует сущест-
вование з(рqJеI{ТПВНЫХ вершин. Если им:еется лишь одна
эффеI\ТIJ ная вершина, то утв рл\деНIIе справедливо.
Пусть Xi И x j две ПРОIIзвольные эффентивные вер-
ШIIНЫ и JIJ\f COOTBeTcTBYIOT J\IHOiI\eCTBa V* (i) и V*(j). Со..
rласно лсм [е 2.2.4 f/* n fl*(i) =f:= {о II 11* n I'*(j) + 0. Возь-
le 1 и 1 Е 7* n V*(i) JJ и 2 Е V* n V*(j) 11 pacc IOTplIM отре...
ЗОК [и\ v 2 J, соеДIIНЯIОIЦПЙ ТОЧНII и ! 11 и 2 . IIОСRОЛЬRУ v*
ВЫПУRЛЫЙ нонус, ТО [v t , и 2 ] s; V*. Соrласно лемме 1
N
[v 1 , v 2 ] с: U l'* (j), прпчеl\I наn,дое V*(j) есть выпуклый
j===l
заМRнутыii нонус. ТаI\И 1 образо r, отрез ОБ [и" v 2 ] по:кры..
вается конеЧНЫ f ЧIlСЛО [ отрезнов T i , Ti' . . . t Ti z ' rде
1 2
{i 1 , i 2 , · · ., i 1 } с {1, 2, . . . , N} и l is == [vt, и 2 ] n у* (t,), 8
IC: 1, 2, ..", [. Блаrодаря за IКНУТОСТИ V*(t,) отрезки T i ,
аам:ннуты. А так нан они покрывают весь отрезон [и\ и 2 ],
то :мо;нно считать, что
и 1 Е Т.
l'
v 2 Е Til'
т is n llis+l =F ef,
s== 1,2, ...'1.......1.
Пусть v is Е Tis n T is + 1 , S == 1, 2, . . ., l ....... 1. Множество
верПIIIН, являющихся реmеНИЯ IИ :каждой из 'задач
max<v is , х), s == 1,2, ..., 1 1, представляет собой под-
X
IHOjReCTnO пз Pj(X) и, RpO?\fe Toro, соrласво лемме 2 ре-
бf 1)110 связно. IJолее Toro, ЯСIlО, что объединение по s =:
{70 CTP rl\T}tPA 1HOjHECТB.A эффЕнтIiвныx РЕШЕНИй [rл. 3
-=1, 2, ..., 1 1 всех подобноrо рода вершин Т8н}не ребер..
но связНо. Но Xi точка максимума функции (v ii , х),
а w......... точка мансиму:ма ФУНIiЦИИ <Vil l; х) на Х. Следо--
ватеJIЪПО, вершины Xi, входят В уназанное объедине...
вие, и поэтому ИХ l\fОЖНО соединить последовательностью
ребер, каждое из которых соединяет пару эффентивных
вершин. 11
Анализ приведенных рассуаiдений поназыает,' что по..
добным: обраЗО}I ?t-iОi-I\НО установить реберную связность
множества слабо эффективных вершин. ДJIЯ этоrо вместо
MHOjKeCTB V и '. следует использовать их за:мыкаиия V
и V ., а Bj\IeCTo леl\Iмы 2.2.4 Teope IY 2.2.2.
. 3.4. Оценка числа эффективных точек
в дисRретIIыx задачах
Rоrда MHoa eCTBO У с Ет новечно (состоит из N эле..
ментов), то множество эффентивныx точек Р( У) всеrда
непусто И, более Toro, внеПIне устойчиво. Хотя .в каждой
J{оннретной задаче все эффективные точки М:Оil НО пере...
числитъ, несомненный интерес представляет вопрос о
получении «априорной» оценки числа таких точек. По...
добноrо рода оценки MorYT оназатьсл полезны\-Iии при
анализе трудоеl\-lКОСТИ различных алrоритмов построения
множества эффентивных решений, а TaHп e процедур BЫ
деления наиболее приемлемоrо реmения среди всех эф...
фективвых.
Количество эффективных точек I Р( У) I в заВИСИ 10СТИ
от конфиrурации множества У, очевидно, может изме
няться в пределах от 1 дО N. Поэтому в общем случае
N точная верхняя, а 1 точная нижняя оцеНRИ чис
ла IP(Y)I (а также и IS(Y)I). Однако, если I\аким либо
образом учитывать особенности нонфиrурации МНОiиест":
ва У, то уназанную верхнюю оценку :MOiI\HO уточнить.
Наиболее просто это сделать в TO M случае, ноrда MHO
жество Y значений i ro l{ритерия (9 1.1) нонечно при
каждом i =-= 1, 2, ..., т. Пос:колъну числа IP(Y) I и IS(Y) I
инвариантны относительно монотонных преобразований
критериев ( 1.8), то удобно полаrать, что каждое MHO
if\eCTBO У, состоит из целых чисел, так что множество
.........
оценок }1' == У1 Х У2 х. . .х у т это множество точен т...
мерпо о rиперпараллелепипеда с цеЛОЧIIслеННЫ IП коор'"
I 3.4]
ОЦЕННА ЧИСЛА ЭФФЕНТИВНЫХ ТОЧЕR
{71
динатами. Точпая верхняя оцеНI а числа I Р( У) I для YI a...
заппоrо случая была получена В. Б. Алексеевым [2],
Т. М. ВиноrраДСI\ОЙ и М. r. rафтом [ 15] t а таиже
М. Н. АльберТЬЯПО 1 [3]. Их результаты изложены в пер"
вом пункте параrрафа. Во ВТОРО}I пункте получена ТQЧ'"
пая ерхпяя оценка числа I S (У) I слабо эффеl\ТИВНЫХ
точен.
Друrой подход к оцеПI\е количества эффеRТИВНЫХ TO
чек........ вероятностпый и состоит в ТОМ, что точки у Е У
рассматриваются как пезаВIIспмые случайные векторы.
Тоrда IP(Y)I и IS(Y)I ОRазываются случайными величи...
нами, и IOjl\IIO ИСl\ать их распределения и числовые
характеРПСТИI\И :математичеСl\ое ожидание, дисперсию
и т. Д. В преДПОJIОiRепии, что Rоординаты случайных
точен у Е 'У ......... пезависимыIe непрерывные одинаково рас...
пределенные веЛИ:ЧIIНЫ, этот подход реализовали О. Вари...
дорф ........... Нилсон И М. Собль [5] , Б. А. Березовский и
С. И. Травкин [7J, Т. М. ВиноrраДСI\ал [14], Х. I\элпайн
и А. rоулдинr [128] *). Их результаты, касающиеСII ,{a
те}IатичеСI\оrо Oj-l\идаНIIЯ 'Р( У) 1, приведены в третьеltI
пункте параrраq)а.
"'"
1. Будем рассматривать случай, коrда у........ m мерная
целочисленная rиперпараллелепипедная решетка:
........
у == У1 Х У 2 х. . .х у т, (1) .
rде У, а:: {О, 1, ..., li}, li натуральное число, t == 1, 2, ...
. . ., т. .
........
Каждое МПОiI\ество У У содержит IP( У) I эффеRТlIВ"
ных ТочеН. Обозпачим через w наибольшее 113 всех чи...
сел 1 Р( У) I для всевозможпых У 6 У. Число w называет-
........
сл шириной множества У, частично упорядоченноrо от-
ношением . Это число и есть искомая точная верхняя
оцеНRа количества I Р( У) I эффективных точек для У У.
Очевидно, что при ОТЫСl\апии w мол{но оrраничитъся
рассмотрением только тех множеств У g У. :которые co
стоят иа несравнимых по точеR, Т. 8. для I\ОТОрЫХ
У -= Р( У). ТаRие MHOil\eCTBa наэываются ве8аВИСИЫЫ fll.
*) Случаю, 1\оrда ТОЧНП у Е У получаIОТСJl . рез)'льтате Beaa
ВИСИМЫХ реалиааций нормально распределенноrо случайноrо BeK
тора. посвящен ряд работ, указанных в [5], а таиже статьи [38,
39, 4"8] .
172 CTPYHT TpA МНОЖЕСТВА ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИЙ [rл. 3
IIезаDИС:И Iое IПОiI\ество, содерiI\ащее [О точен, называет-
ся максиl\tlалыIIмM незавIIсиl\tlы1M IHOil\eCTBoM.
Числовую функцию 1'}, определенную на У, назовем
......
u б ' " У , "
весовои, если для ЛIО ых У t У е из у Е:а У следует
1] (у') 1) (у 11 ) 1. Последовательность точек у\ уа, . 11 .
......
. .., у' из У называется цепыо, если уl :< у2 <: . . . <::: ys.
Число s называется длиной цепи, а точка у....... маI\СИ
мальвой в цепи. Отдельная точна является цепью дли-
ны 1. 1) цeHTpOM цепи у\ у'1., ..., уз будем называть чис-
ло 11 *, определяемое таи:
1 11 (yt+l)
........ 1
!I Т [n (yt) + n (yt+1)]
при s == 2t + 1,
при . s == 2&.
Цепь назовем 1) центрированной, если 1)* == о.
......
Мнол{ество У допускает симметричное покрытие це-
пями при весовой фУНI\ЦИИ 11, если ero МОjI\ПО разбить
на цепи Tal\t что:
1) цепи попарно не пересекаютсл и в объединении
'" .
дают У;
2) если у., у\ ..., у!....... произвольная цепь из разбие-
ния, то 1)(yj+l) == f)(yj) + 1, j == 1,2, ..., s 1;
З) все цепи ll цеlIтрированы.
........
Л е м: м а 1. Пусть У доnуспает СUМJtетриЧ1l0е nOh,pbl
тие IцепЯ tи при весовой ФУU1i,ции 1'). Тоеда М1tожество
"'"
W::::: {у Е УI 1/2 11(У) < 1/2}
(2)
является .ма1i,си tаль1tЫJt lleaaeUCUMbZJt ЖUОJlсество.;U.
Д о 1\ а з а т е л ъ с т в о. Пусть q........... число цепей в сим-
меТРИЧlIО:М ПОRрЫТИИ. Так l\aR любое независимое мно"
........
iI eCTBO У с У И Iеет на RаiI\ДОЙ цепи не более одной
точки, то w q. с друrой стороны, в силу условия 2 из
определения симметричноrо покрытия ЛIобые две точки
иа W несравнимы по :2: , И поэтому zv ;::: I WI. Следов а..
тельно, I WI :ii w S q.
11з определения СИ I IеТрIIчноrо ПОНрЫТИЯ ВИДНО, что
l\аЖД8Я цепь содерЖИТрОВIIО оДНУ ТQЧI\У из W, так что
I Wl =- q. Поэтому w == I WI. 11
f 3.4]
ОЦЕННА ЧИСЛА Э(I>ФЕI ТИВНЫХ ТОЧЕН
t7З
........
л е ?\! I а 2. М 1l0жество У допускает сиМ.;ltетриЧ1-l0е
nокры,иеe цепями при
т
!) (у) == 'Y)i (Yi),
i==l
(3)
eд
'Y)/Yi) === li/2 + Yi, i === 1, 2, ..., т. (4)
Доказательство ПрОnОДIIТСЯ индукцией по размерпо..
.......
сти т. При т == 1 АIПО I\ество У == У. ПОRрывается ОДНОЙ
цепыо О, 1, ..., 11' прпче?t[ УСЛОВIIЯ 2 11 3 из определения
си [метричноrо ПОНРЫТIIЯ, очевпдно, выполняются.
ДОПУСТII I, что утвеРiКДСIlие о ВО3 IОi-RИОСТП СИl\lмет"
........
рИЧIIоrо ПОI\рЫТИЯ У при (3) верно ДЛЯ пеRотороrо т::=8
== k ...... 1 i6; 1, и покаn\ем:, что оно верно и для т == k.
Введем обозначения:
.,
у 1 Х У 2 Х . · . х }7' j :::=; }? Н) , 11 i == 11 1, j == k 1, k.
i==l
Для I\аiI доrо j Е У 1t l\IIJОiпество yPt 1] Х {j} это со...
· а (z k l J , ) 1 (у
ВОI УПlIОСТЬ всех п р вида у , , rде У == {, У2, ...
. .., YIt t) Е YLIt 1). ПОЭТОl\IУ СIJ l\1еТрIIЧIlое ПОI рытие цепя...
l\IИ MIIOiI\eCTB8 y[/t l], существующее по преДПОЛОfI,ению
при 'r} I, индуцирует ПОНрЫТIIе и IIIolI\ecTB8 y[lC l] Х {j}
цеПЯl\III, обладаJОlцее, очеВIIДIIО, CBoiicTB3MII 1 И 2 сим..
l\IеТрИЧIIоrо ПОI\рЫТIIЯ. Однано I еПII ппдуцированноrо по..
крытия не являются 'У)1t цеlIТрlIроваНIIЫ IИ: для них
n h . == n(h l). + 'rJh (j) == о + !)h (j) == !)п (j). (5)
РаССl\IОТрИМ )IHOil\eCTBa }?[1J 1] Х {О}, Y[ 1] Х {1}, ...
. .", y[Jt l] Х {lл}. 1'81\ :как покрытие цепями МИОiI{еСIВ
ya 1) Х {j} построено по одному и TO IY же ПРИИЦIIПУ,
ТО RаiRДОЙ цепи из Лlобоrо AIHOiI\eCTBa }r[Jt I] Х {j} СООТ"
ветствует некоторая цепь во веяном AIHOil\eCTBe y[Jt 1] Х
Х {r}, r+ j. Это условно изображено па рис. 6, а).
Удлиним Rаil\ДУЮ цепь И3 Y[ l] Х {О} на l/t, добавив
R ией мансималъные точки всех соответствующих ей це..
пей из y[Jt t] Х {1}, ..., Y[ 1] Х {lл}, одновре lенпо упора..
Чl1вая все цепи в перечислевиых МНОrнестпах на 1
(рис. 6, 6)). Далее УДЛИНИМ R8iRДУЮ укороченную цень
ИЗ 1"r,, 1] Х {1} на 1 h 1, добавляя 1\ вей :маl\СИ lаЛLИЫ'
174 СТРУНТУРА IНОЖЕСТВА ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИЙ [rл. з
точки соотвеТСТВУIОЩИХ УI\орочеппых цепей из J7[1t...t] Х
Х {2}, ..., y[1t--I] Х {l1t} , одновременно укорачпвая цепи в
этих множествах еще на 1 (рис. 6, е». Аналоrично бу...
дем действовать и дальше, переходя от множества
y[Jt--I] Х {j} R y[Jt--I] Х {j + 1} I пока не реализуется одна IIЗ
двух ВО3 IОjI\постей:
r r.................. ...... 1
: . · · . : у -1} Х [ l.k } : . .. I
I I L I . I
.... J L... ,J
. . .
r '"
, . · · · I r {}
1 I У . х 1
J ............ I
..... J
r ,
l ' · · · I "к; ,,,
I I у.. .. х lOl
I .......... I
..... J
о)
. . .
r т
l ' .. I
J I
I · I
L. J
r ,
I I
I I
J I
.... --- ..... ......
б)
Рис. 6.
r '
I .............. I
I I
I I
L J
. . .
r -
I
r
r ..... ...... ..... ......
I I
I I
I I
, .... J
d)
а) последняя УRорочепная цепь длины 1 оказалась в
очередном MHoiKecTBe Y[1t--I] Х {t}, t < lk, И она удлинена
па llt...... t (таких цепей MOiReT быть песколы{о);
б) последняя укороченная цепь осталась во мноа-\е-
стве у[л...t] Х {l,J (таких цепей может быть неСRОЛЬRО).
В ито е получим HeI\oTopoe разбиение множества y[1t]
на цепи. Остается ПОI\азать, что это разбиение........ си {мет'"
ричное покрытие У[Я] цепями при Т)".
· Условия 1 И 2 определения симметрпчноrо ПОRрЫТИЯ,
очевидно, выполняются. Проверим: условие 3. Понятно,
что при отбрасывании максимальной ТОЧRИ из цепи ие...
ходноrо ПОRРЫТИЯ y[lt] ее Т}k..цептр уменьшается на 1/2,
а при добавлении ....... увеличивается па 1/2. Предположим
вначале, что реаЛИЗ0валась ВО3МОjI\НОСТЬ а). В процесее
перестройки ПОl\рЫТИЯ при раССl\lотрении каiRдоrо оче...
редноrо множества }'"CI&....1] Х {j}, j;;! t, всякая оставmаясл
в нем укороченная цепь уменьшилась Bcero на j (j раа
по 1), а затем удлинилась па l"..... j. Так кап до пере..
стройни соr-Л8СНО (4) и (5) чk цептр этой цепи был равен
-r-l,,/2 + j, ТО после пере стройки ч"..центр полученпой ИЗ
3 4]
ОЦЕННА ЧИСЛА ЭФФ:СНТIIВНЫх. 'rОЧЕlt
f 75
нее цепи равен
'k 1 lh J
....... Т + J 2 + 2 === о.
ТаRИМ обраЗО:\I, псяная цепь нокрытия является ч7l цент",
рированноЙ.
Предположим, нанонец, что реализовалась возмож-
ность б). Точно так же, как 11 в предыдущем: случае,
проверяется, что всякая цепь, полученная из цепей уно'"
,неств Y[h...t] Х {j}, j < llt, является llА центрированной.
Остается раСС fотреть унорочеппые цепи из y[1 t] Х {l,J.
:Каil дая такая цепь была получена из неноторой исход..
ноЙ цепи, 11k цептр I\ОТОрОЙ соrласно (5) и (4) был равен
lh/2, укораЧIIваНIIе1\1 lh раз на 1. Следовательно, ее t}k
центр равен 111./2 lk/2 == о, Т. е. она центрирована. 11
Соrласно лемме 1 Iножество (2) является ма:КСИ1-Iаль..
HЫ 1 незаВИСИ1!ЫМ МНОiиеством. Для весовой функции (3)
условие ......1/2 < 11 (у) < 1/2 равносильно условию
Yl + У2 + ... + Ут =: Ent [ {- li]. (6)
тде через Ent [zJ обозначена целая часть числа z. Это
означает, что искuмое число zv == 1 WI равно числу
N т (ll, l2' ..., lт) ЦСJIочисленпых решений уравнения (6)
при оrраничеПIIЯХ
О <:: у i ::;: li, t == 1, 2, ..., т. ( 7)
Итак, доказана
""
т е о р е f а 1. Для проuввОЛЬ1l020 MnO:J/ceCT8a У s;; )'
справедлива точная oцeH a
IP( У) I N m(li' 12, ..., lm).
(8)
tl IIсло N m (l1' 12, ..., lт) соrласпо (6) и (7) на языке
RО Iб:инаторпоrо анализа МОil\НО интерпретировать как
число способов раЗМЕ'щения п == Ent [ i lJ одинако
'"
вых предметов по т различным ячеикам, причем емкость
t й ячеЙRИ равна ll- Следовательно, это число равно коэф
фПЦIIенту при t n В разлол,еНIIII ПрОllЗDодяп,еп функцпи
i 76 струнтур А МНОЖЕСТВА Э(DФЕНТIIВНЫХ РЕШЕНИй [r.Л з
вида [91]:
m
Fm(t; 11,12' ..., lт)==П(l t+ ... + t 1i ). (О)
i==l
Для вычисления числа N m (lt, la, ..., lm) в [15] при..
ведена ДОВОЛЬНО СЛОi-I\ная формула. Там 'кв указано, что
в случае 11==lz==...==lm==l число Nт(l)-Nm(l, ..., 1)
Ьfожет быть найдено подсчеТО 1 ноэq)фициента при е'\
rде п == Ent [lI2], в разлоа,еНIIИ ПрОlIзводящей фУНКЦllII
ССМ. (9)]
F 1ti (t; l) == (1 + t + . . . + t l ) т
или выIисленоo по фОР lуле ([91], с. 126):
т
Nm(l) === ( 1)T C nc l+A U+l)"'l ==
r o
у
, ( 1) ' С Т C n Tи +1)
== т m+и....T(l +0---1,
Т:::--О
(10)
тде i' == Ent r l 1 ]. В частности, если 1:" 1, т. е. если
у булев т Аlерный куб, то п == Ent [ ] и формула
(10) указывает хорошо известное выражение для шири..
вы T8Roro :куба
Nm(1)::: .
в ЭТО){ леrко убедиться, если учесть, что N m ( 1) ноэф"
фициент при t n В разложении производящей ФУНI{ЦИU
]1',» ( t; 1) =- (1 + t) т.
2. Перейде}I к рассмотрению слабо эффентиввых то...
........
чек. Будем по прежне:иу считать, что У........ т"мервая це...
почисленная решетка (1).
........
т е о р е }I а 2. Для пРОUЗ80/Lьftоео tножества У s.;:: У
справеддива точная оценпа
n1 11n
I s (У) 1 П (l1 + 1) ---- П li.
i-=l i-l
(11 )
3 4)
ОЦЕНI{А ЧИСЛА ЭФ<I)ЕI{ТИВlIЫХ ТОЧЕН
177
д о к а 3 а т е л ь с т в о. Введе1\1 венторное
" "
jТ\ение 't : У --+- У по СJIедующему правилу:
ct (у 1, !l2, ..., Ут) == (Уl + min (li ........ Yt),
iel\J
У2 + min (li ...... У1), · · ., Ут + min (li ...... Yi)).
iEM ielYl
отобра..
Если для иенотороrо i Е PrJ выполнено у, == lt, то
m ill (li Yt) == о 11 't (Уl, У2' · · ., У1n) === (Yl' У2' · · ., Ут). Да..
iE.'l
лее, из определения отобрал ения 't следует, что дЛЯ ЛIО"
боrо У У IHOjHeCTBO 't (У) == U 't (у) состоит из точек,
иЕУ
по нрайней Afepe одна Rоордината RОТОрЫХ принимает
СБое наибольшее значение (Уз == lj ДЛЯ ненотороуо j Е jf).
IIОЭТО IУ все точки MHOiI\eCTBa '['( У) несравнимы меiНДУ
собой по отношению >. KpO le Toro, если двум раЭЛИ'I"
HЫ I точ:ка1\{ У\ уЗ Е У соответствует одна :и та iI\e точна
пз 1'( У), то либо У" > yj, либо уЗ > yi. Следовательно, для
ПРОIIЗllольноrо MHOil\eCTBa У У:
.......
IS(Y)I IT(Y)I <: 1't(Y)1 =: Т.
......
Понятно, что Т это число тех точен из У, у ното..
рых по крайнеЙ мере одна координата ПрИНИ Iает СБое
"
наибольшее значение. Найде 1 эТо число. Решетка У СО...
тn
держит П (li + 1) точек. А число точен, ни одна из НО..
i==l
ординат которых не принимает CBoero наибольшеrо ава..
т т т
чения, есть П li. Поэтому Т == П (li + 1) ....... П 1;. 11
i l i l i l
Ес.ТIИ 1, == 1, t == 1, 2, . . ., т, то (11) ПрИНИ1\fает ВИД
I S ( ( У) I (l + 1) т 1т.
Отсюда в частном случав 1 === 1 (т. е. KorJ\a :координаты
точен у являются булевыми) получае I
IS(Y)I:;; 2т 11Ra IУI 1.
Эта оценка очевидна: в булевом т IepHoM rиперкубе не
является слабо эффективной ЛИIJIЬ одна ТОЧБа, все 1\OOp
ДИНЯТЫ которой нули.
12 в. В. ПО;J. но.вскпй, В А HurnB
178 CTP}rHtr rp А IНОЖЕсtrв.\ ЭФФЕНТIIВНЫХ РЕШЕНИй (rл, з
3. Расс:мотри:м следующую вероятностную ?t!одель re-
верпровавия Rонечпоrо l1HoiRecTBa У с: Ет 1 содержащеrо
N точек. Пусть fj случайный вентор, KO InOHeHTbl кото....
poro У1, У2, ..., Ут независи:мые случайные веЛИЧИНJd,
и F( ........ фУНRЦИИ распределения Yi. Точки Yt, у2, ..., yN,
п.олученные в результате реализаций вектора у (т. е. ив....
ляющиеся выБОрI ОЙ N авачениII этоrо вектора), и обра
ЗУIОТ множество У. Следовательно, числа IP(Y)I и IS(Y)I
эффеRТИВНЫХ и слабо эффективных точек этоrо :множест-
ва оказываются случайны:ми величинами. Наша цель сос...
тоит в исследовании и'получении формул для матеМати....
ческих ожиданий этих случайных величин.
Будем предполаrать, что все функции распределения
F i непрерывны. Тоrда вероятность Toro, что две одноимен-
ные координаты произвольных точен yj 11 y1f. совпадут
(т. е. при неноторых j =F k и i OI\aiI-tется справедливы:м
. h ) ·
равенство уl == Yi равна нулю. Отсюда следует, что числа
эффеI{ТИВНЫХ и слабо эффективных точек мнол ества У
равны почти наверное, так что Е [ I р ("}Т) 1] == Е [ I S (Y)I].
Поэтому в дальнеЙше:м будем: вести речь лишь о случаЙ--
ноЙ веЛ11чине IР( У) 1.
I\pOMe Toro, из непрерывности фУНI\I иiI F i следует,
что достаточно оrрани:читься расс:мотрениеl\1 случая, коrда
. М 1 2 N
при каЖДОl\l l Е ко:мпоненты Yi, Yi, .. ., Yi 1tIOi-RНО CTpO
ro ранжировать, т. е. записать равенства
j i 32 j N ( 12)
Yi > Yi > · · · > Yi , .
rде <1 t, /2, ..", j н) ....... неноторая перестаНОВRа :MHOj-кества
{1, 2, ..., N}. Следовательно, каждой ТОЧI\е УЗ 1\IОЖНО по--
ставить в соответствие ранrовый вектор "', rде r{ ---- paHr
:компоненты yl в (12), т. е. номер занимаемоrо ею Mec
та, отсчитываемый справа. Например, если при N == 3 II
i == 2 неравенства (12) и?\!еют вид y > Y > У:, то r: == 3,
1. == 2, r == 1.
Ifетрудно понять, что для выделения Р(У), а значит
11 для подсчета числа IP(Y)I, достаточно знания не самих
точек уl, а лишь paHroBbIX векторов ,-J. Поскольку точки
i"
Y являются реализациями одной и той же случайной
величины, то из соображений симметрии ясно, что вероят-
ность полученпя Лlобой перестаНОВ!(1I </1' /2, ..., !н), СООТ"
3.4]
ОЦЕННА ЧИСЛА ЭФФЕИТИВНЫХ ТОЧЕН
179
ветствующей перавепства:м (12) при ПрОИ3ВОЛLПО 1 Ф'ИК-
спроваННОl\1 i Е М, одна и та же и равна j l ' Отсюда
сразу следует, что вероятность события rI == /t для этоrо
i, rде k...... произвольное заданное число из {1 t 2, ..., N} 1
равна ; . Все это означает, что распределение случайной
пеличипы I Р( У) I не зависит от I\ОПRретноrо вида распре.
делений случайных величин Yi (т. е. вида функций F ) 11
опредедяетсл лишь числами т 11 N. Поэтому ДЛЯ матема-
'IичеС1\оrо ОiI,идания числа эффеитпвных точеи Е [ I Р (У) 1]
можно ввести обозпачепие EN (т).
т е о р е 1\! а 3. Справедливо СООТllОИlепие
N
EN (т) == :. Е/, (т 1), EN (1) == 1. (13)
k==l
д о h а з а т е л ь с т в о [128]. Та!\ I\аи вероятность вы...
полнения равенств уу === у7, p=f=k, для точеI\ из У равна ну..
б 1 'z, N
ЛIО, то удем полаrа ТЪ, что I\оордипа ты у i, У i, · . · , у i попар..
по различны (i == 1, 2, ..., т).
ПОСНОЛЬRУ число эффентивпых точен не ?tIеняется от
перспумерации точен множества У, то :l\IOrRIIO СЧIIтать,
что
1 > 2 > > N
Ут Ут · · · Ут'
. (1<1)
ПоаТО IУ при т == 1, очевидно, EN(т) == 1.
РаССl\IОТрИМ случай т > 1. ОбозпаЧII I через p(N, т)
nероятность Toro, что науrад выбранная ТОЧI\а из У эф-
qJеI\тивна. Как уже отм:ечалось, вероятность науrад вы--
бранной точки И3 У быть k й в (14) (т. е. yh) рапна 1/ N.
В .. Z j ( j j 1 )
ведем в раССl\fотрепие neI\ торы === у 1, У2, · · ., у т.....l ,
j == 1, 2, . . ., N. В силу ( 14) y > у tn при j == k + 1, . . ., N
и у;n > y при j == 1, ..., k...... 1. Следовательно, y1t эффен",
тивна в том и толы{о TO I случае, если вентор Zk ЭффБК"
тивеп во Iножестве {z\ z2, ..., Zk} с: Eт t. А вероятность
последпеrо события есть р (i , т ..... 1). Следоnательпо, ве-
роятность Toro, что точка П3 У, выбранпая пауrад, бу..
дет k й и эффеI\ТИВНОЙ, равна p(k, т.... 1)/ N. ПОЭТО IУ
12*
180 СТРУНТ}ТР А l\IHOiI ECTBA ЭФ(Dl'.:I\ТИВНЫХ РЕШЕНИй [fЛ, 3
по формуле полной вероятности
N
р (N, т) == р (k, т 1).
к==l
(15)
'У'чтя, ЧТО EN (т) == Np (N, т) II ЕА(т..... 1) == kp(k, т
1), k == 1, 2, . . ., N, иа (15) сразу получаем (13). 11
При ПОl\fОЩИ (13) для неболъmих N и т можно леrI{О
подсчитать среднее число эффеI{ТIIВПЫХ реmений.
Rоrда N веЛИRО, ВЫЧIIслепие средпеrо значения усло}н.
вяется. Для т == 2 из (13) получаем слеДУIОЩУЮ аСИ IПТО
тичесную фОрl\IУЛУ:
N
E N (2) == '" lnN + С,
п==1
rде С == 0,5772... ....... ПОСТОЯПIiая Эiiлера.
ТаRИМ обраЗОl\r, среднее чпсло эффективных точек в
случае т == 2 растет I al\ патуралыIйй лоrарифм числа N.
Если т == 3, то пеСЛОjI\НО проверить справеДЛIlВОСТЬ
следующей асимптотичеСI{ОЙ оцении:
EN (3) '" In 2 N
при N OO '
Вообще, для фПI\СlIроваПIIоrо т прп N --+ 00 Ill\Ieer lvlec..
то формула (C I. [5, 7]):
EN (т) '" (1п 1)! Innt lN,
Rоторая свидетельствует о ТО:М, что среднее число эФФен-
тивных точен растет I al{ (т 1) я степень натуральноrо
лоrарифма числа N ДОПУСТИl\lЫХ решений. Эту ФОР fУЛУ
можно использовать для приближенной оценни числа эф..
феRТИВНЫХ точен, если N достаточно веЛИI\О.
т е о р е 1\1 а 4. Справедлива точnая формула
N 1 1t
Е ( т ) N "\; ( ....... 1 ) 1i С N .....1
N ...... o (k + 1)т.
(16)
3.4]
ОЦЕНКА ЧИСЛА ЭФФЕНТИВНЫХ ТОЧЕН
181
д о R а а т е л ъ с т в о о Ренуррептпое соотношение
(13) l\10iRnO l1ереписать слеДУIОЩИМ обраЭО I:
1 ·
EN (т) == N EN (т ....... 1) + EN l (т).
ДОИ8iI\ем:, что (16) fIвляетея реmение 1 этоrо разностноrо
)травнепил. Действительно,
N l 1t
1 h CN 1
EN(т 1)+EN""l(т)== /.( 1 ) +
N h (k + 1)т l
N....2 N l h
+( N 1 ) { 1 ) h CN.....2 ( 1 ) h CN t +
....... ...... (k + 1)т == h (k + 1)т l
N....2 h+l N....2 h h+l
1 k С N l ....... 1 h С J\t 1 + с N l
+ o ( ) (k + 1)т l k ( ) (k + 1)m 1 +
CN.....1 N 2 c h
N....l lV ! N ( 1 ) k . N l +
+ ( 1) Nm l k (k+ 1)'"
CN....t N l c h
+ N ( ....... 1 ) N.....l N l == N ( 1 ) '! N l == Е (т ) .
N т (k + 1 )711 N
I{po le Toro, ,
N.....l h N l'
N ( .......1 ) k CN l == ( 1 ) hCh+l === 1
k+ 1 N ,)
k O k o
т. е. начальное условие в (13) выполнено. .
Пусть N фИliсировано и т -+ 00. Из (16) вытекает ра...
веНСТБQ
N l '
Е ( т ) == N ( 1 ) h CN 1
N + f::1 (k + 1)'" ·
rI редел выражения ПОД 3HaI\Oj\1 СУ I 1Ы при т --+ СХ) равен
нуд[о. Следовательно,
E N (lп) N,
т. е. при достаточно большой раз1tIерности т (больmо1tI
182 СТРУНТУРА МНОЖЕСТВА эффЕRтивныIx РЕШЕНИй Lrл. 3
числе 1\ритерlIев) среднее число эффективных точеR не..
8начительпо отличается от общеrо фиксированноrо числа
N допустимых точек.
тж3
т с 2
О 20 "О 80 8{) N
Рпс. 7.
JJ а рис. 7, взятом: из [7], приведепы :кривые зависимо..
степ величины EN(т) от N и т для N == 10, 20,..., 80
11 т == 2, З, . . ., 10.
* 3.5. О nOCTpoeH1I11 множества
эффективных реmеНIIЙ
и проверке эффективности выделенноrо решения
П робле Iа отыскания всех эффентивных решений (oц ..
вок) представляет не только теоретпческий, 110 и большоЙ
практический интерес. Это объясняется тем, что построе--
ние Bcero :множества эффективных реmении или же не-
I{OTOpOro достаточно широноrо ero подм:ножества, как уже
указывалось в t 1.5, является ОДlIИМ из первых этапов в
цеЛО 1 ряде процедур опти:малъпоrо выбора при 11HOfllX.
критериях. В настоящее вре IЯ разработано уже достаточ"
НО большое число разлпчных методов выделения Iноже.
е 3.5] ПОСТРОЕНИЕ l\IНОЖЕСТВА ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИй 183
ства эффективных решений *). Подробное изложение этих
методов выходит за ра:МRИ данной Rниrи. Поэтому мы
оrраничимся лишь очень RpaTI\lll\I обсужде'ние:и проблемы
II УI азанием: работ, в ноторых lIзлаrаются соответствую...
Iцне :методы и алrоритмы.
1. Подавляющее большинство l\fетодов построения
lножества эффеliТИВНЫХ решеНИlI основано на тех или
lllIЫХ условиях ОПТlI lальности. Чаще Bcero используются
необходп:мые условия, состоящие в TO f, что если точка
х о эффективна (в том или :ином смысле) то она является
реlпением задачи максимизации или МlIнимизации (B03
МОiПНО, при некоторь!х дополнительных оrраничениях)
ЧIIСЛОВОЙ функции специальноrо ВIIда при надлежащи !
()бразом назначенных величинах пара Iетров, входящих
в эту фУНI\ЦИIО И (или) оrраничения. Следовательно, aaдa
ча выделения всех эффективных решений сводится к
соотвеТСТВУIощей скалярной параl\fетрической задаче :Ma
те:\fатичеСRоrо проrраАf lироваlIИЯ. 'fаную заl\Iену задачи
с векторным I\ритериеы пара Iетрически м се:меЙСТВО 1
обычных экстремальных задач часто называют скаляри
зацией (исходной задачи). Если используе Iые условия
ОПТИj\Iальности ЯВЛЯIОТСЯ и достаТОЧНЬП\IИ, то l\IHOiI,eCTBo
v v
решении параметрическои задачи является ИСI ОМЫl\1 l\IHO-
j-I\еСТВОМ эффективных реmений. В противном случае по
строенное путе 1 СI{аляризации }.{ножество :может содер--
жать «лиmни.е» точки, которые следует выявить и OT
С е ять.
Например, в обще}I случае (если все fi положительны)
:\[ножество слабо эффективных решений 8 t (X) соrласно
Teope le 2.2.1 совпадает с :множество:\! решениЙ пара Iет-
рической задачи l\IаI\СII lизаЦИ1l па Х функции
min ifi (х)
ie1\l
прп J.t Е 1\1. УН8занный способ сналяризации разбирается,
например, в работах [19,21,77, 125,156].
l\tIножество слабо эффеКТIIВНЫХ реmений, кан показы
в[нот теорема 2.1.5 и пример 2.1.1, мол\но выделить, решая
*) Однако сразу следует отметить, что современный арсенал
таних методов пока еще далеко не обеспечивает праИТJIчеСRИХ aa
Просов. ИСI{лючение составляют, пожалуй, лишь rруппы методов,
разработанных для ДВУХl\р1fтериальпых и линеЙных MHOrOKpJJTe
РIIаЛLВЫХ задач.
184 CTP}TH1'}tP А .1\tlHOiHECTBA ЭФФЕНrrИВIIЫХ РЕШЕIПlй [rл. з
параметричесную зада чу 1tlаRсимизации па Х ФУПI{ЦИИ
fl при УСЛОВИII li(x) t i , i == 1, 2, ..., т; i =1= l, для t i Е Y f '
i ЕЕ М. ТаRОЙ ПОДХОД анализпруется в работах [31 33, 76,
77, 133, 135, 162, 166, 191, 193.......196' 206, 227J. 3ам еТИ1\r,
что если Х выпукло, а f J\вазивоrнута, то обе раСС110трен",
ные пара:м:етричеСIiие задачи ЯВЛЯIОТСЯ !{ваЗIlвоrНУТЫМlI.
При построеНИ1I Pj(X) в последней задаче удобнее брать
ту фУНI\ЦИIО Il, nоторая достиrает м:аI{СИМУ1\Iа в единствен..
ной точие (C I. теорему 2.1.8), паПрII fер, CTporo I\вази-
BOfHYTYIO ф'УПНЦПЮ (раЗУ lеется, если таI{овая среди функ..
l ИЙ li И1\lеется).
СI{аЛЯРIlзацпя IпоrонрIIтерJIалыIхx задач при ПО 10IЦИ
[ т 1 1/8 .
фующпй вида tJ l (!tifi)' 1 rде s > 1, !t Е М, разбира-
ется в статьях [17, 55, 158].
Для воrнутых l\IноrОI\рIlтериальных задач соrлаСIIО
Teope le 2.2.2 Sj(X) совпадает со 1\IHOiHeCTBOj\1 решениii па...
ра lетричеСI\оii задаЧII BorHYToro проrраМj\ПlроваНIIЯ, состоя...
т.
Iцей в }IаНСИ ПIзации на Х фУПНЦИII tifi (х) прп t Е 11 .
i--==l
Если за IеНIIТЬ 1\{ на Jrl, 10 TaHII I путе I будет выделено
:MHOi-кеСТВО собственно э(рq)еRтивныIx реlпеН!lii (теоре..
:ма 2.2.4). "YJ-\азанпыЙ подход берет свое llача.ТIО со с.та..
тей [155, 159].
п р 11 I е ч [1 n и е . СI{алярпзацпеi1 называют TaJ{iI\e
«свертывание» neKTopHoro Rрптерия f == (/1, 12, ..., 1т) в
одну ЧJIСЛОВУЮ ФУНI\ЦIIIО F( t, j) (II Iенуе IУЮ обобп ен'"
ныI,, аrреrпроваПНЪП I ИЛlI rлобальны { RpIITepIIe I), сво-
дящее исходную 1\Iноrокритериальную задачу н ОДНО1\рИ"
териальноЙ. 13 F ПОЛОil\ительные ЧIIсла Li, обраЗУIощпе
вентор Jl, ха paI-\терИЗУIОТ относительную ваiННОСТЬ крите..
риев li и называIОТСЯ их I\оэффициента:ми ваiRНОСТИ, или
относитеЛЬНЫ ПI весаl\fИ. Если допустить существование
обобщенноrо критерия для раССl\lатриваеl\Iоil задачи, то
BCTaloT вопросы: нан установить вид фуннции F И нан
найти величины :коэффициентов Jli. lIa праI тине вид F
часто назначается без каI{IIх либо серьезных обосноваНIIИ
[96]. Следует, однако, подче рннуть, что I\оннретизация
вида обобщенноrо нрптерия часто CYiRaeT l\IHOiI\eCTBO вы-
бора, т. е далено не для ВСЯI\оrо эффеНТIIвпоrо решения
:MorYT СУII ествовать T3I,IIe Jli, при которых оно l\lа1,СIll\1I13И"
рует F.
3,5] ПОСТРОЕНИЕ l\IHOtHECTB-А ЭФ<I)ЕНТИВНЫХ РЕШЕНИй 185
Для ПрИ Iера раССl\IОТрИl\I наиболее широко распрост-
раненный обобщенный нритерий....... «линейную свертку»
т
f.1i! i. Если исходная l\IIlоrонритерпальная задача ---- во..
t ::;: 1
rнутая, то соrласно теоре1\lе 2.2.4 Лlобая собственно эффек-
тивная (т. е. по TeOpel\le 3.1.8 «почти любая>) эффектив..
ная) оценка 1\10iI\eT еще быть выделена I{aI\ опти:мальная.
В ПрОТИВНО1\-1 случае 1\IIIOjReCTBO выбора l\IOiI\eT сильно
сонра титься, а то и вовсе ОI\аза ться ПУСТЫ1\I.
Это положение ИЛЛIострирует слеДУIОЩИЙ ПрИ fер:
п == 1, т == 2, Х == Е, 1. (х) == х, !2(Х) == е Ж. Здесь
Pj (Х) == Е, т. е наiRдое решение является эффективны:м.
Однако I\акие полол ительные «веса» f.ll и f.l2 ни взять,
задача максимизаЦIIII функции J.!lX + f.l2e x решений
lIметь не будет, TaI\ как эта фУНI ЦИЯ не оrраничена
сверху на Е. Если а\е в начестве Х взять, наПрИ Iер, отре--
ЗОI\ [а, Ь], то маRсимизация УRазапной ФУНI{ЦИИ на ЭТОАI
отреЗRе при произвольных фИI\сированных ПОЛОiкитель..
ных f.l1 И 112 будет приводить либо 1\ х == а, либо к х == Ь,
хотя каiI\дая точка отрезка [а, Ь] эффеRтивна.
TaI\oe положение объясняется тем, что в обще I слу-
чае Rаждая эффеитивная ТОЧI\а х о хараI\теризуется СВОИ I
собственным набором ya e не постоянных а q)УНI\циональ--
ных Rоэффициентов tl(X), t2(X), ..., f.lт(X), при I\ОТОрЫХ
имеет место неравенство
m 7п
i (х) /i (Х О ) i (х) !i (х) для всех Х Е Х
i l i l
(C I. перефор:мулировку эффеКТИВllОСТИ в п. 2 из Э 2.1).
J1 дЛЯ невоrнутых задач COBceM не обязательно, чтобы эти
функциональные I{оэффициенты были I\онстанта:ми J.!1,
J.!2, · · ., f.lm.
Для линейных задач разобрапная скаляризация при
J.t Е: М позволяет, нан УI{азывает лемма 2.2.4, построить
в точности ?\Iножество Pj(X) [36, 155, 77, 149, 186]. Одна...
КО практически обычно удобнее использовать специаль...
вые ?tlетоды, являющиеся ПрЯМ:Ы 1 обобщеНIIе I известноrо
СIIj\lплекс...?tlетода линейноrо проrраммирования [105] на
МноrокритериальныЙ случай. Метода:м и алrоритма}! та...
}\oro рода посвящена YiHe довольно обширная литература
[34,'36, 121. 142........145. 1471 151, 152, 174. 208. 210, 250,
{вв СТРУНТУРА IHOiRECTBA ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИЙ [rл. 3
252, 253]. Способ построения )Iножества Р! (Х), основан..
вый на решении систе 1 линейных нераnенств, определя..
e Iыx «полным» наБОРО1.1 I\онечноrо числа эффективных
точек (т. е. содержаЩИ 1 точку из каждой rиперrрани Х,
входящей в Р! (Х», разбирается в статье [139]. Для двух...
RритериалыIхx линейных задач удобный способ последо...
вательных приближений описан в [134J.
ДЛЯ отдельных важны классов линейных 1.IhorOI- рИ'"
териальных задач разработаны специальные методы,
представляющие собой развитие методов реmения COOT
ветствующих задач линейноrо проrраммирования. НаПРII
l\fep, методы построения множества эффективных планов
перевозок в транспортных Iноrокритериальных задачах
изложены в [108, 165, 177, 225].
Вопросы решения :мноrокритер:иальныx задач квадра...
тичноrо проrраммирования разбираются в статьях t209,
219], а rеО!Iетрическоrо в [205, 213].
Методы и алrОРПТ?fЫ решения дискретных (точнее,
!{онечных) l\fно;rокритериальных аадач, основанные на
идеях «просеивания» решений, предложены в. работах
[18, 13, 212]. Алrорит:м, использующий специальную про...
цедуру построения последовательности решений, описан
в [44]. Вопросы выделения эффективных решений при
помощи параметрической задачи IаI{сим:изации ФУНКЦИIl
т
f.tifi раССfvIотрены в статье [127]. Iетоды решения мно...
i==l
rокритериальныx задач с булевыми пере Iенны\Iии изла...
rаются в работах [119, 120, 138, 215]. Статья [40] посвя-
щена полимаТРИЧIIОЙ задаче КОММИВОЯjRера, а [180] 11
[239] задачам составления расписаний. В [188] пр иве...
дены некоторые оцеНI\И сложности задачи выделения 1аи...
си:мальвых точек из конечноrо множества.
Вопросы анализа чувствительности эффентивных ре...
шений к И3 Iенению параметров задачи рассматриваются
в работах [152, 167, 185, 203]. Методы реrуляризации
].lножества эффективных решений ИЗЛОil\епы в [35, 58] и
[96, rл. 8].
Методы приближенноrо построения (аППРОl\СИ!lации)
l!ножества эффективных оценок с оценкой точности в
l(ВУХI\ритериалъвых задачах разработаны в [87, 211].
АППРОRСИ1.Iация }Iножества эффективных точек, состоя-
щая в приближенном представлении М НОil\ества Х СЛОiК"
д.51 ПОСТРОЕНИЕ :МНОЖЕСТВА ЭФФЕНТИВНЫХ РЕШЕНИй 187
НОЙ структуры конечным числом специальным образом
paBHo},lepHO распределяемых точен и последующим выде..
леНIIе l из них неДОl\IИllируем:ых, рассматривается в [97J.
2. Необходимость проверни эффективности решения.
:может вызываться различными причинами. Наприм:ер,
таRая проверна необходима, если решение выделено про..
цедурой, относительно RОТОрОЙ неизвестно, приводит ли
она R получению ЛИIJlЪ эффективных решений или может
выделять и не эффеRтив ые. Проверна эффективности ре-
шений MOiKeT ОСУЩЕСТВЛЯТЬСЯ и при СI\аляризации, осно-
ванной на неоБХОДИ1.IЫХ, но не достаточных условиях эф..
фентивности.
Нередко ВОЗНИI<ает необходимость проверии эффектив
ности решения, которое уже было выбрано (назначено)
по RаRИ I либо соображениям: илп даже ранее использо..
валось. При ЭТО I целыо проверI\И является выяснение
ПРИНЦlIпиальной воз:можпости улучшения рассматривае-
мото решения 11, если такая ВО31.10iI\НОСТЬ имеется, полу..
чеНIIЯ эффеRТIIвноrо решения, более предпочтителъноrо,
че I исходное.
Для проверни эффеНТИRНОСТll решения IОЖНО исполь...
эоватъ подходящие условия оптп:мальности, изложенные
ВО второй rлаве. I\aR обычно, если длц проверни исполь-
8УIОТСЯ необходимые условия и ОRазывается, что рассмат"
рнваемое решение им удовлетворяет, то rарантировать ero
эффективность нельзя. Однано если эти условия не вы-
ПОЛНЯЮТСЯ, то решение не эффентивно. Если для провер...
ки используются достаточные УСЛОВlIЯ, то решение, УДОВ-
летворяющее 1I 1, эффеI\ТllВНО. Если же таJ\ие условия не
ВЫПОЛНЯIОТСЯ, то вопрос об эффентивности решения оста-
ется ОТНРЫТЫ}.I. IIанонец, если ПРИ lеняются необходи:мые
11 достаточные условия, то проверяемое решение эффек-
тивно в том: и толы(о TO I случае, I{оrда оно эти}.! УСЛОВIIЯl\I
удовлетворяет.
Среди всех условий rлавы 11 специально ОТ IеТИ I
лишь УСЛОВИЯ, СФОР}Iулировапные в примере 2.1.7. Эти
условия эффективности являются необходимыми и доста..
точвыми. Следовательно, проверяеlIое решение х о 8ффек
ТllВНО тоrда и только тоrда, коrда оно макси:мизирует
функцию
т
/i (х)
(==1
(1)
188 СТР}ТНТУl'А !\IПОП ЕСТПА ЭФФЕНТИВПЫХ РЕШЕIIIIl1 [rл. з
на 1\-Iпожестве
{х Е XI/i(x) fi(XO) 1 i == 1, 2, . .., т}. (2)
ВеСЬАIа ценно то, что в случае, Rоrда решение же не эф--
фективпо, маКСИ?\Iизация фУНКЦIlИ (1) на MBOiHeCTne (2)
ПРИВОДИТ :к получению э( феI\ТIIввоrо реmения х*, KOTO
рое более предпочтительно, чем х О , Т. е. f{x*) :2:./(xO) (Cl\I
[77, 241]). Подчеркнем, что если исходпая мпоrокритери..
альпая задача ВОfпуr8 (линейна), то задача маКСИl\lиза-
ции (1) на !\{вол\естве (2) ОRазывается вадачей' BOfnYToro
(сответствепно линейпоrо) проrраммпропания.
rJIАВЛ 4
ДВОЙСТВЕННЫЕ
мноrОКРIIТЕРИАЛЬНJ..IЕ ЗАДА ЧII
Вопросы двойственности для ?Iноrокритериальных за...
дач значительно сложнее аналоrичныx вопросов для за-
дач с ОДНИ}I Rритериеltl. Дело в том:, что ПОIlятие ДВОЙСТ--
венности в мноrокритериальной оптимизации OCHOBa o па
соотношении lаl{симальныx и Аfиниl\lалъныx эле lентов в
частично упорядоченных ltlHO}I\eCTBaX, в отличие от двоп...
ственности в обычной теории опти:мизации [24J, rде двоЙ",
ственность связана с совпадением :мансимальныx и IИНlI'"
мальных элеl\lентов линейно упорядоченных }IIIожеств на
вещественной ПРЯl\rl0Й. Этот переход от линейно упорядо--
чепныx множеств на прямой R MHOjl{eCTBal\1 в еПКЛИДОВО 'I
пространстве при изучении двойственности оназыаетсяя
нетривиальныи. rрубо rоворя, в скалярном случае для
получения совпадения решений ПРЯj\10Й и двойственной
задач достаточно убедиться в отсутствии «разрыва» )lerK...
ду множества}lИ образов решений прямой и двойственноii
задач. Если TaRoro «разрыва» нет, то УI\азанные множе...
ства образов «СRлеиваются» в точне, которая дает одно-
вре иенно решение пря:мой и двойственной задач. В IHO--
rонритериальном случае этоrо «СRлеивания» ПрЯ lоrо 11
двойственноrо }lножеств недостаточно; двойственная КОН-
струнция должна быть такой, чтобы пря:мое и двойствен...
ное MHOiI\eCTBa «Сl\леивалисъ» в точности свои:ми lfноже-
ства IИ lIаксимальныx и минимальных эле:ментов.
Имеющиеся публикации, посвященные двойственности
в 1Iноrонритериальной опти:мизации, условно ?IОЖНО pafi..
бить на две rруппы. В первой rруппе работ [67 t 154, 173,
175, 176, 185, 214, 218, 232] двойственность так или инu'"
че связана с определенноrо типа ФУПRЦИЯj\IlI Лаrранжа.
Во второй rруппе работ [164, 234, 254]. двойственность
изучается с ИСПОЛЬЗ0ванпеll аппарата сопряженных функ...
Ций и и:меЮlциеся здесь результаты представляют собой
дальнеЙшее обобщение теории двойственности Фенхеля.
Не касаясь работ BToporo направления, в данной rлаве
190 двоnr;ТВЕIIНЫЕ мноrОНРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл. 4
на основе результатов авторов [67, 84] предлаrается
такая I\ОНСТРУКЦИЯ двойствепности, n ра IНИ I\ОТОрОЙ в
ТОЙ или иной степени унладываются подходы первой
rруппь работ.
В первом параrрафе этой rлавы рассматриваются
общетеоретические вопросы о седлопых точнах, }IаКСИ111I
пах и минимаксах векторных фуннций. Во втором napar...
рафе вводится общая RОПСТрУКЦИЯ двойственных MHoro-
нритерпальных задач. Третий и четвертый параrрафы по-
священы вопросам двойственности соответственно для
воrиутых и линейных мноrокритериальвых задач.
t 4.1. СеДJlовые пары, максимины и МИНИМ8RСЫ
векторных функций
RлассичеСI\ая теория двойственности в :математиче..
CKO I проrраl\lырованиии широко использует понятия ceд
ловой пары, максимина и }Iинимакса числовой ФУНRЦИИ.
В этом параrрафе аналоrичные понятия, необходимые для
развития теории двойственности Аfноrокритериальной
оптимизации, вводятся для векторных функций.
1. Пусть веRторная функция к(х, у) == (К.(х, у),
К 2 (х, у), ..., Кт(х, у» определена на декартовом ИрОIIЗ"
ведении Х Х у (здесь и далее в этом параrрафе непустые
:множества Х и У MorYT иметь произвольную природу ).
Вектор (Х О , уО) е Х Х у будеl\[ называть:
сильной седЛО80Й парой, если
К(х, уО) К(х О , уО) s К(х О , у) ДЛЯ всех х е Х, у Е У;
L( '1)
СUЛЬ1tо слабой седловой парой, если
К(х, yO < К(х О , уО) < [((ха, у) ДЛЯ всех х Е Х, У е 1";
(2)
сла60 СUЛЬ1tой седловой парой, если
К(х. yO) K(xO, уО) <:::. К(х О , 11) ДЛЯ всех хеХ. уЕУ;
.(3)
слабой седловой парой, если
К(х, уО) < К(х О , уО) < [( ха. у) для вс,ех х е Х, у е У.
(4)
s 4.1]
СЕДЛОВЫЕ ПАРЫ, l\IАНСИМИНЫ И МИНИl\I.АНСЫ
191
Соrласно определению отношений > и ::> ( 1.2) вы..
IIолнение соотношения К (х, уО) < К (хО, уО) при всех
Х Е! Х означает, что соотношение К(х О , уО) ==== К(х, уО) не
выполняется ни при паНО 1 х Е х. Аналоrично выполне
пие СООТНОЦ1ения К(х О , уО) < К(хО, у) при всех у Е У
означает, что соотношение К(х О , уО) К(хО, у) не выпол"
няется ни при паком у Е У.
Понятно, что всякая сильная седловая пара является
седловой в СМЫСJIе (2) (4), а всякая полусилъная (силь
но слабая' ИЛИ слабо сильная) седловая пара является
также и слабой. Сильная седловая пара....... это обычная
седловая точна одновреl\Iенно всех компонент BeKTOp
функции К: (1) справедливо тоrда и только тоrда, Rоrда
при Rаждом i == 1, 2, ..., т ВЫПОЛНЯIОТСЯ неравепства
Ki(x, уО) <: Ki(xO, уО) =::; [(i(XO, у) для всех Х Е Х, У Е У.
В связи С этим ясно, что существуют сильные седловые
пары довольно реДI{О.
Введем в раССl\iотрение следующие четыре l\fножества:
Ql:= U n {qe:Eтlq < [((x,y)},;
хеХ уЕУ
Q2 == U n {q Е Е т I q > [( (х,- у)},;
уЕУ ХЕХ
Н 1 U n {h Е Е'1п I h <: к (х, у)} t
ХЕХ lIЕУ
Н2== U n {h,EE т lh > K(x.2Y)}.
уЕУ ХЕХ
Эти множества имеют естественную :интерпретацию в
теоретико иrровых тер Iинах, если К 0значает векторную
функцию выиrрыmа, а Х и У ---- множества стратеrиЙ
первоrо и BToporo иrроков соответственно (первый иrрок
стре ится «маRсимизироватъ» ФУНКЦИIО выиrрыmа) .
В этом случае QI это множество выиrрышей, ноторые
:может себе rарантироватъ первый иrрок (короче, ero ra
рантировавные выиrрыши), а Н 1 ....... множество выиrрыmей,
ноторые он )10жет не позволить ухудшить ВТОРОМ:У иrро-
ну («защищаемые» выиrрыши). Аналоrичный С!\IЫСЛ
Иl\lеют l.lножества Q2 и Н2 дЛЯ BToporo иrрока.
Непосредственно lIа определений введенных Iпожеств
леrI\О получить включения Qt 5 1/1, Q2 5 112, которые TaI\
u u
iI\e имеют ясвыи теореТИl\о иrровои смысл.
{92 ДВОЙСТВЕННЫЕ l\IноrОНРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл. I
т е о р е I а 1. Справедливы СООТ1l0luеllllЯ
qt :::; q2 для всех ql Е Q\ q2 Е Q2; (5)
q <. /l для всех q е Qt, h Е H'I.; (6)
h < q для всех l Е Н\ q Е Q2. (7):
д о н а 3 а т е л ь с т в о. Из определений l.{пожеств QI
и Q2 Иl\fеем
qt Е QI ++ qt -< К(х О , у) для HeHoToporo х о Е Х.
И любоrо у ЕЕ У; (8)
q2 Е Q2 ++ К (х, уО) < q2 для HeIiOToporo уО Е У
и Лlобоrо х Е Х. (9)
Отсюда ql К(х О , уО) < q".
Для доказательства (6)' предположим противное:
q ?- h и q ЕЕ Qt, h Е Н 2 . Это означает, что при некоторых
х О Е Х, yU Е У справеДЛIIВО
I(xO, у) > q > h > [(х, уn)
для всех х Е Х, У Е У. При х == хО, у == уО отсюда BblTeI{aeT
противоречие: К(х О , уО) =F К(х О , уО).
Соотношение (7) доназывается аналоrично. .
TeOpel\fa 1 поназывает, что апа.ltоео,м, ,м,апси,м,ипа (ми-
пи.мапса) является пара :множеств QI и Н1 (соответствен...
но Q2 и Н2), а неравенству (т === 1)
шах min [( (x.t у) < min тах К (Х 1 у)
хеХ lIеУ IIЕУ ХЕХ
соответствуют свойства этих l\Iножеств (5)........ (7).
2. Простейшие прим:еры показыают,' что пары (х', у')'
п (х", у 11), седловые в смысле (2), (3) или (4), :MorYT быть
несравнимыми (т. е. не верно ни К(х', у') K(x", у"),
ни [(х', у') ::;; К(х", у 11» п.ли до [ивировать одна над
друrой (наПРИ)Iер, [(х', у') ;;:::'К(х" t у" )е А пары
(х', у") и (х", у') MorYT не быть сеДЛОВЫl\IИ. Однако,
соrласно НИil\еСJlедующему утверЖдеНИIО существование
сильной седловой пары наI\ладыаетT .существенные orpa...
ничения на СТРУНТУРУ множеств полусилъных седло..
БЫК пар.
I1усть W... (соответственно fVSUJ, JVw" WWW)........ МПОjJ ест"
ВО сильных (соответственно остальных трех типов) сед...
4.1]
СЕДЛОВЫЕ ПАРЫ, мАнсиминыI И миниl\IАксы
193
ловых пар, а W W и W 8 (Ii':W) ....... IHOjReCTBa пар типов
(2) и (3) (типа (4», ноторые не являются спльными (по..
лусильныи)) .
т е о р е м а 2. Если W S8 =1= f2J, то имеют место пред..
ставлеuия
W S8 == Х 8 Х YS.f wgw == х в х yw, fV 8 == X W Х уа
r (поеда wgw == ro или W a == eJ, то yw == f2J или ХШ == fO).
При атом все сильН,ые и полуси.!tЬ1-lь е седловь е napbZ ап..
вuвален,тuьz *), а 1i,аждая слабая седловая пара либо эnвu..
валеuтиа СUЛЬ1tой, лuбо necpaeпU ta с 1-leu.
Д о н а 8 а т е л ь с т в О. ПУСТЬ (xt, уl) И (х 2 , у2)........ две
сильные седловые пары. Тоrда, соrласно (1)
K(xt, у2) [(х., yt) К(х 2 , yt) К(х 2 , у2) K(xt, у2),
так что все пары (xt, yt), <Xf, у2), (х 2 , у1), (х 2 , у2) ЭRвива..
левтпы. Кроме Toro, для (х\ у2) имеем
к(х., у) к(х., у1) == K(xt, у2),
К(х, у2} -< [(х 2 , у2) == J(xt, у2)
ДЛЯ любых х Е Х, У е У, и поэтому (xt, у2)........ сильная
седловая пара. Аналоrичвый вывод получается и для
(х 2 , yt). Следовательно, W'" == х' х У'.
Пусть (х З , уЗ) W W . Тоrда для произвольной сильной
седловой пары (х', у") соrласво (1) ........(2) Иl\tIеем
[(х 8 , уЗ) К(х З , уа) <::: К(х', уа) -< К(х", уЗ).
А так нан к(х з , уЗ) [(хЗ, уЗ) не имеет 1\IeCTa, то
к(х а , уЗ) == [(х З , yfJ) == К(х З , уВ) == К(х3, уЗ),
таи что пары (х З , уЗ) и (хз, у8) ЭRвивалевтвы, а для
(х З , уВ) верно
К(х З , у) [((х З , уЗ) == К(Х З , у8) == [((ха, у8) К(х, у')
при любых х Е Х, У е У. Отсюда сразу следует (х З , уа) е
Е W S8 .
*) Пары (х', у') и (х", у") ЭRвnвалевтвы, коrда [{ (х', у') .,
с:: К (х", у").
13 В. В. ПОДИНОВСRПЙ, В. д. Ноrив
194 ДВОЙСТВЕННЫЕ мн:оrОRРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ (rл. t
Для (х' l уЗ) при любых х е Х, у е у имее!.1 лишь
К(х', у) К(х', у'} == К(х', уЗ) > К{х, уЗ},
причем если для неноторото х' пары (х', у') и (ж 3 , у3) бы...
ли несравнимы (а такой лемепт х' по условию найдется),
то и (х', уЗ) и (х', уЗ) очевидно, также несравнимы. По..
этому (х а ,- уз) Е W W. '
Предположим, что и (х',,_ у4) Е wgw. Соrласно (1), (2)
К(х З , y ) К(х 3 , уЗ) == К(х', y } К(х\ yll} К(х" y ).
А так вак в соответствии с (2) К(х 3 , y ) <: К(х" у'), то
пары (х 3 , у6.), (х З , уЗ) И (х6., у") эквивалентны. Поэтому
для JIюбых х Е Х, У е у можно записать
К(х З , у) к(хз, уЗ) == К(х 3 , y ) ;:; К(х, y ),
причем если пары (х", y ) и (х" y ) были несравнимы
(такой элемент х" по условию существует), то и (х" t у')
И (х З , у') таиже несравнимы. Поэтому (х В ", у4) EWg w . Ана...
лоrично проверяется (х 4 " уЗ) Е w w. Следовательно, W W::::::
== X'xyw. Равенство W S == XWx У' получается из дока...
W 8W u
занноrо равенства для о заменои х на у, а у на х.
. ww
Наконец, если (х б , у5) Е W o .1: то предположение
К(х\ у5) :::::'К(х', у') приводит соrласво (1) к К(х\ у5) ,
К(х\ уа), а предположение К(х а , уа);;;: К(х 5 , у5)........ R
К(х', у5) К(х\ у5). Любое из этих неравенств противо--
речит (4). .
3. Взаимосвязь между значениями вектор-функции К
на ссдловых парах и множествами QI, Q2, Н 1 И Н2 уста--
навливает
т е о р е м а 3. Справедливо включение
K(WWW) s: НI n Н2 (10)
и равенства
K(W S8 ) == QI n Q2, K(W 8W } == QI n Н 2 , K(WW') == Н. n Q2,
(11)
причем
а) 8сяпий элемент z" Е К( W S8 ) является наибольшим
во .множе тве Ql, мак.сuжальным во множестве Нl, паи..
меньшим в Q2 и MиnимaдьиЬ M (J Н2;
4.11
СЕДЛО ВЫЕ ПАРЫ, МАt\сttмйны И М:ИПИМАt\сьt
{95
б) всяпий элемент Z8tD Е К( WStD) является жапсим,адь..
пыж в Q1 u .мu1tШtа.лЬ1tь ж в Н2; .
в) всяпuй 8демепт ztD' Е К( W tD8 ) яв-ляется Mипи.мaдьnь .м
в Q2 и мапси.маль1tЬ Jrt в Ht.
а:меТИ)I, что утверждения а) ...... в) теоремы почти цe
ликом вытекают из результатов работы [92].
д о к а 3 а т е л ь с т в о. Опираясь непосредственно на
определения (1) (4), можно леrко установить включения
K(WtDW) r;;;;Ht n Н2, K(W 88 ) r.= Qt n Q2,
K(WStD) s: QI n Н 2 , K(Ww,) Q2 n Н 1 .
Например, если ZStD == К(х', уШ), то соrласно первому
неравенству (2) ZSW s К(х', у) для всех у е У, и поэтому
ZStD е Q1. Аналоrич:по, из BToporo соотвоmе ия (2) следует
zSW ::> К(х, y1D) для всех х е Х, что влечет z'tD е Н2.
Докажем требуемые обратные включения. Пусть
q* е Qt n QZ. При у == уО И Х == х о из (8).......(9) для qO
== К(х О , уО) получаем qO q* :;;::: qO, так что qO -= q*. Поэто..
l\fY из (8), (9) сразу следует, что (х О , уО) сильная- седло..
вая пара. Таким образом, K(WS8) :2 QI n Q3.
Далее, ...для q* е Qt ,n Q2, qt е Qt, q2 е Q3, п ! Е! Н1,
h 2 е Н2 по теореме 1 имеем q* qt, q*:;! q1., q*:;; h t ,
q* < h 2 . Поэтому элемент q* является наибольшим в мно..
жестве Qt, наи еньmим в Q2, :максимальным в Н1 И мини"
мальным в Н2. Утверждение а) доказано.
Теперь пусть z* е Q1 n н'. Для У ICS уО И Х Z=I х о ИЗ (8) и
h Е Н 3 ++ h 5К(Х, уО), при нек,ОТОрОМ уО е; у
и каждом ж & Х
получаем К(х О , уО) е;: z*::> К(х О , уО), так что К(ж', уО) ==а
=== z*. Поэтому (х О , уО) в W'U8. Таким образом, K{W'II);2
:2 Q1 n Н2, И, учитывая полученное ранее обратное ВЮlЮ"
чеilие. приходим: и равенству K(W'1I)... Qi n на. Далее,
для s* Ei Q1 n Hi, q 61 Q1, h SI НI 6оrласно теореме 1 имеем
z* 5 q и z* h. 'Утверждение б) доказано.
Для СJIабо сипьвой сеД1IОВОЙ пары доказательство ава..
лоrично приведеuиому ВЫШ . 11 .
ОбоэваtIИМ через MaxQt (MinH2) множество иакси--
малъных (мивиl.1альны1)) по:::=: элементов ывожест:ва
13:ta
198 ДВОЙСТВЕННЫЕ 1\1IIоrоI\рIIтЕриАлъныIE ЗАДАЧИ [rл. 6
Qt (Н2). ПОСКОЛЬRУ
Мах QI n MinH 2 QI n Н2,
а по утверждению б) из теоремы 3
K(Wsw) s; Мах QI n Min 112,
то с учетом (11) l\IОЖПО записать
K(Wsw)==MaxQ l nMinH 2 . (12)
Аналоrичные равенства справедливы TaI\jl\e для [( JVws)
иК(W8S).
Рассмотри:м неСRОЛЫ\О примеров, иллюстрирующих до-
казанные теорем:ы. Во всех этих примерах Х == у == {1, 2},
а значения веRТОР ФУНRЦIlИ К(х, у) == (К I (Х, у), К 2 (х, у»
задаются матрпцей, причем Х ---- BOl\Iep ее строки, у ........ по...
мер столбца.
?а
#$"w
Hf
WШ!;"
J' IV
/12
:1
2
/
к,
Рис. 1.
При м е р 1. Пусть веI\ТОР фувкция задана с ПОМОЩЫО
11атрицы
(3,0) (0,1)/1.
(2, О) (1, О)
в этом случае имеется три седловых пары: СIIльно слабая
(2, 2), слабо сильная (1, 1) и слабая (1, 2). Поэтому
(3 . О) == К( 1, 1)....... единственная ТОЧI\а пересечения ?fHO"
. ,.t]
СЕДЛОВЫЕ ПАРЫ, мАt{сnl\fиItы1 11 l\fИПИМАt\СЫ
{97
жеств Q2 11 l/t, а (1, О) == [«2, 2).... единственная точна
пересечепия множеств QI и 82 (СМ. рис. 1). Заметим, что
здесь (2, О) е Н. n Н2, TaI, что в'Ключевие (10) ОRазывает"
ея строrим.
При м е р 2. ФУВI\ЦИЯ К, заданная с по1tIОЩЬЮ laT.
рицы
11 (2, 2) (2, 3) 11
(1t1) (3tO) '
К 2
2
,
lI1\feeT две сеJ'{ловые пары: силь..
пую (1, 1) и слаБУIО (2, 2). Мно-
iHeCTBa QI и Q2 имеIОТ единствен"
пую общую ТОЧRУ (2, 2) == К( 1, 1)
(СМ. рис. 2).
При м е р 3. Функция К, за-
данная матрицеЙ
(О, 2) (1, О)
(О, 1) (2, О) "
1
'"
о
.1
2
'Al -
Рис. 2.
lI fCeT две седловые пары: ('1, 1) и (2, 2), и обе....... сл'або-
сильные. lпожества Q2 и Н' пересеI\аются в двух ТОЧRах:
<О, 2) == К(1, 1) и (2, О) == К(2, 2>, а пересечение иво"
iI\еств QI и Н2 пусто (рис. 3).
А2!
2 /7' ,: .
,'1
j
1
:3:-'>7
11 1
/J
/12
о
/, / /'7/
2 /(/
I
/12
// / J
... O I
t
4/ / ,. '; ,
f/! /
I
2 /(,
Рис. 3.
Дальнейшее развитие ИЗЛОiRенноrо материала в теоре..
ТПI\о иrровых терминах lfIОЖНО найти в работе В. В. По--
ДИНQВСRоrо [84] t на основе l\ОТОРОЙ и написав данный па..
раrраф.
{98 ДБОЙСТВЕНItЫЕ мпоrО1\РИТЕРИАЛЬВЫЕ ЗАnАЧИ [rл.
* 4.2. ОБЩaJI КОНСТРУКЦИJl двойс'rвеввых задач
В этом параrрафе ВВОДИТСЯ векторная функция Лаr..
ранта и ПОRазывается, что задача отыскания эффеRТИВВЫХ
решений в исходной мноrокритериальвой задаче тесно
связана с задачей ОТЫСI\ания седловых пар функции Лаr--
равжа. Формулируется пара двойственных задач, которые
3aRJIючаются D нахождении }Iаксимальных элементов
прямоrо МНОjиества и миви:мальных элементов двойствен..
Horo мнол\ества соответственно. У станаВJIивается, что
множество решений, являющихся одновременно решения..
ми прямой и двойственной задач, представляет собой пв...
ресечение прямоrо и двойственноrо множеств и совпадает
с множеством значений функции Лаrранжа на СОВОRУП
ности ее седловых пар. .
{. . Пусть, как и в предыдущих rлавах, вектор функции
f -= (/., 1", ..., /т) и g == (с., Кз, ..., g,J заданы П м:ноже-
ствв D s:; ЕП, а
Х == {xeDJg(x) O(A)}. (1)
Введе}1 ве торпую фуи чию Лаеранжа
L(x, л) == </1 (х) + <Л, g(x», f2(X) + <л, g(x) >, . . .
. . ., /т(Х) + (Л, кСх») (2)
и рассмотрим свойства различноrо типа седловых пар
этой функции на множестве D х .
*=
т е о р е м а 1. Для фуuпцuи Лаzрапжа (2) понятия
CUAbItOи и слабо сильuой, а тапже СUJl,ыtо слабой U ела--
БQЙ седJЮ8ьtх пар на D х E э вuваJl,еuтuь :
:::Ir
w" == W 1D ', W S1Q =:& W 1ltl . (3)
ЕС.ttи (Х О , л О ) ........ седловая пара L любоео типа, то
с(х о ) О(А)! (1.-0, к(х о ) > == О, (4)
тап что х о е х. При этож если (х О , л О ) е W 1D1D , ТО Х О ........ эф..
фе"тuвнов решение (Т. е. х О е Pf(X», а если (х О , л О ) 6 Wt"
1'0 х О rочпа JКa"cи.мy.мa на Х паждой ив фуuпцuй /1,
/1, · · ., /па е
Д О R а 3 а т е л ь с т в о. Для седловой пары (х О 1 л О ) е
k .
Е D х Е> проиаволъноrо типа всеrда выполняется
а::::
L(хО.tлО) L(хО л) для всех 'ЛеЕ . (5)
-
I 4.2)
ОБЩАЯ КОНСТРYRЦИЯ ДВОйСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
199
Отсюда учитывал (2) получае}1 (4) п в силу (1) х о е х.
Далее, если верно (4), то, очевидно, верно и
L (х О , л О ) L (xo J л) для всех л Е E . (6)
Наконец, при выполнении (6) справедливо и (5). Следова..
тельно, для седловой пары (х о , ')..,0) произвольноrо типа
условия (4), (5) и (6) эквивалентны. Отсюда следуют, в
чаСТRОСТИ, равенства (З). ДЛЯ (х О , ",О) е W tD18 выполвено
L(xO, АО) > L(x, ",О) дЛЯ всех х l).
Соrласно (4) ОТСlода следует, что l(хО) :;: f(x) ДЛЯ: всех
х е Х, Т. е. х о эффеI\тивпое решение.
Наконец, если (хО, 'А О ) Е W S \ то
L(xO, АО) L(x, А О ) дЛЯ всех х е D,
откуда в силу (4) 1,(хО) li (х) для наждоrо i е М и всех
х е х. . .
TeOpel\fa 1 ПОRазывает, что слабые седловые пары
функции L прямым обраЗО}1 связаны с вффеRТИВНЫМИ
решениями ИСХОДНОЙ мвоrонритериалъвой задачи. В даль..
нейшем будем рассматривать лишь слабые седловые па..
ры L и, ради краткости, будем просто называть их сед..
ЛОВI,Iми парам:и, 8 множество всех таRИХ пар будем обо..
значать через w.
2. Введем множества Q == Qt И Н === Н2 ( 4.1), НОТО"
рые будем называть прямым и двойственным соответст"
венно:
Q == U Q (х),;
хЕп
Q(x)== n {qЕЕтfq L(Х.tЛ)}J
k
лЕЕ>
==
Н ( л) === n {h Е Е 111 I h > L (х! л)}.
хЕп
н == u н (л),-
'AEE k
>
-
Нетрудво проверить, что если х Е D\X, то Q(x) == О,
поэтому
Q == U Q (х) == U {q Е Е 1Н \ q === f (х)} =: у *, (7)
хеХ ХЕХ
rде, нан и ранее, У. == у Er;.
.
200 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОНРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл.
, Заметим таl\же, что соrласно ле lме 1.2.1 множество
в('л) можно представить и в тапом виде:
Н (л) == n U {h I < , h) > .2? ( , х.'- Л)}," (8)
XED J1EM
rде [е ---- скалярная фУНI\ЦИЯ Лаrранжа:
!l(j.t, х, л) == <!1, L(x, л».
Множество маRсималъных (минимальных) по :> эле..
ментов множества Q (множества Н) будем обозначать че..
реа Мах Q (Min Н). Теорема 1.3 и раре.нство (1.12) пока...
зыают,' что l\Iвожество значений функции Лаrранжа L
на м:ножестве седловыx пар W тесно связано с мнол-\е..
ствами Мах Q 11 fin 1f.
т е о р е 1 а 2. Справедлuвъ равеиства
Мах Q n MinH == Q n н == L(W). (9)
Соrласно этой теореме, если Мах Q 5; Min Н*), то
Мах Q == Q n н == L( W) ;
если Мах Q:i:2 :t\1in Н, то
Iin /1 ' Q n // == L(W);
наконец, если Iax Q === l\Iin Н, то
Мах Q == l\lin Н == Q n н == L (tV I
(-10)
3. Блаrодаря (7) и ле!\н.rе 2.2.1 И Iеют eCTO paBeH
с'Тва
l\IaxQ:c=l\Iax U Q(x)==MaxY.==P(Y).t (11)
хеХ
rде, RaI{ и раньше, Р( У) ....... MHoiReCTBo эффеI{ТИВПЫХ оце..
НОК исходной мноrокритериальной задачи.
Итак, следующие две задачи являются зквива..
леНТНЫ!\IИ:
Пр я I а я 3 а Д а ч а 1. Ilайти l\Iножество Мах Q.
Пр я м а я з а Д а ч а 2. Найти м:ножество р(у).
*) Заметим, что в скалярном случае СТрОfие ВRЛlоченил
Мах Q с: Min Н (Мах Q Min Н) смысла не и rеIОТ, так нак при
7n == 1 неравенство шах Q n min Н fO влечет равенство шах Q ==
;:::11 min Н.
4.2]
ОБЩАЯ :t{ОНСТРVI{ЦИЯ ДВОйСТВЕННЫх. ЗАДАЧ
201
Если ввести обозначение
Inf L (х,. л) == (inf Ll (Х 1 л), . . ., inf L m (X t л)}J1
'" .).. А
то, нак леr:ко за:метить, 1fножество Q(x) ?tIОЖНО предста..
вить в следующем виде:
Q (х) == {q Е Е т I q < Inf L (Х 1 л)}.
a.eE k
>
II:C
В соответствии с этим пря:мая задача будет заключаться
в нахождении IНОj-I\еСтва
Мах Inf L (Х 1 л) == l\lax {z Е Е т I z == Inf L (Х 1 л) . при
XED 1eE )..eE
II::IW са
пек?тором х ЕЕ D}t (12)
rде Ет == Ё х Е х. . .Х Е и Е расширенная числовая
ПрНl.lая, полученная из Е добавлением СИ}IВОЛОВ ....00 И
+ 00. Эта фОРМУЛИрОВRа прямой задачи эквивалентна при..
веденным выеe (поскольиу по определению J.Iаксималь.
ных э ементов они обязаны принадлежатъ Ет). .
ПРЯl\lОЙ задаче сопостаВИl\l следующую ДВОЙСТ!lенную
задачу.
Д в о й с т в е II н а я з а Д а ч а. Найти множество Min Н.
. Построенная КОНСТРУRЦИЯ двойственных мноrокрите..
риальных задач была предложена в работе В. д. Ноrина
[67] ; там же было установлено равенство l\fax Q n
n Min Н == Q n Н.
в скаЛЯРНО}I случае (т == 1) прнмаа задача 1 при..
обретает обычный вид (C1\I. (12»: найти
шах iIlf L (х, л).
хЕп :EE
===
А так RaR при этом МНОil\ество н('л) предс'rавимо в виде
Н (л) == {h Е Е I h > sup L (Х 1 л)}t
" XED.
то двойствеННУIО задачу l\fОЖНО сфОР1\fулироватъ следую
щим образом: найти
min sup L (Х 1 л).
1EEk хЕп
>
=-
При изучении двойственных мноrокритери;альных за-
дач так' же, нак и для двой твенных скалярных задач,
202 ДВойСТВЕННЫЕ МlIоrо:t\РИТЕРllАЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ (rл. ,
u
принципиально BajRHblM является случаи коrда ИJ;lеет
место равенство Мах Q == Min Н, т. е. коrда наждое реше..
u u u
вие прямои задачи является решением двопствепнои за-
дачи, и наоборот. При этом соrласво (10) и (11) наждое
из множеств Мах Q, Min If, Q n н и L(W) совпадает со
множеством эффеКТJiВНЫХ оценок Р( У) исходной MHoro..
нритериальной задачи. Формулированию условий, npJ!
ноторых указанное равенство выполняется, и посвящены
следующие два параrрафа.
* 4.3. Воrпутый случай
Здесь формулируются условия, при I{OTOPblX имеет ме-
сто равенство ltlНОЛiест,В решений прямой и двойственной
задач в предположении, что исходная МRоrОКРlIтериаль"
ная задача....... воrнутая. Кроме Toro, при дополнительно?!
предположении дифференцируем:оети максимизируемой
вентор--функции и веI\ТОр фУНRЦИИ оrраничений приво..
дятся . специальная фОр?lулпровна двойственной задачи.
Изложение :М8терпала основано на работе В. д. Но-
rина [67].
1. БудеАI рассматривать мноrокритериальную задачу,
в RОТОрОЙ множество D s: Еn выпукло, а beHTOP--фУНRЦИИ
t и g BorHyTы и непрерывны на. D. TorAa множество ДО"
пустимых решений Х вида (2.1) также вьmунло (и'обя-
зательно за IКПУТО, если за?IКНУТО D). Соrласно (2.7) Q ==
== у * и в силу леммы 2.2.2 множество Q ВЫПУRЛО. По
лемме 2.2.1 мнежество собственно аффективных точек
множества Q совпадает с G(Y). ,
Л е м м а 1. Предположим, ЧТО вь полн,ен,о условuе ре..
zудярности Сдейтера: существует тапая точпа х е D, ЧТО
g (х) > 0(1). Е сди qO....... собствеltн,о аффективная точпа, ТО
qO е Н.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть qO == l(xO) при нено"
тором х о е G,(X). Соrласно теореме 2.2.6 существует таной
. k
вектор 'А О Е Е>, что пара (х О , Л,О) образует седловую точку
==
скалярной функции (J.t, х, л) при некотором J.t е М, Т. е.
(J.1, х, 'Л О ) < Il' (J.t, х О , 'J.}) s !t'(J.t, х О , л)
. А
ДЛЯ всех х Е D, л Е Е>. Иа npaBoro неравенства при л ==
CII
-= O( ) И в(:с о ) S:O(1 ) следует равенство <л О , ,(х О )} == о.
! 4.3]
воrНУ1Ый СЛУЧАй
203
в таком случае левое неравепство принимает вид
<,.." l(xO» .2' (f.1, х, л О) дЛЯ всех '% е D. (1)
Соrласно представлению (2.8) и:мее:м l(xO) == qO е В('АО) S;
s; Н. . #
Т е о р е м а 1. Пусть вы,олпеноo УСАО8ие рееУАярности
САейтера. ПредпОАОЖиж, что справедливо хотя бы одно
ив условий:
. 1) паждая точка qO Е Мах Q явАяется собственnо sф..
фе-птивной (Т. е. выпоJtnяется равенство Р(У) == О(У»;
2) функция 1 строео 80еnута;
3) жuoжества D, У аа.жппуты и Min Н 6 Н.
Тое{}а Мах Q s; Min Н.
Д о к а з а т е л ъ с т в о. Пусть qO Е Мах Q. Блаrодаря
(2.t1) qO == 1(з:°) при не котором х о Е Pj(X). Поскольку;
l(xO) е Q, то при l(xO) е Н, соrласно теореме 2.2 8лемент
l<хО) будет привадлел{ат.ь ыножеству Min Н. Поэтому для
доказательства теоремы достаточно установить включе..
ние 1 (хо) Е Н.
1) Если l(xO) Е G(Y), то соrласно лемме 1 1(з:°) е 1/.
2) ИЗ ХО Е Р! (Х) по теореме 2.2.6 следует существо..
........ k
вание векторов f.10 Е М И Л О Е Е> таких, что пара (хО,лО)
является седловой ТОЧI(ОЙ СRал яр ной функции' !l(,..,o, 3:, лJ.
Поэтому
!l'(p,0, х О , ЛО.) !t'(J.t 0 , х, лО) для всех х е D.
Следовательно, функция 2 (J.t 0 , ., лО) д стиrает макси му",
ма на ыножестве D в точке х О . А тах ax эта' фушщия
cTporo .BorHYTa (вследствие строrой воrнутости 1), то х О ........
единственная точна :маКСИЫУlrIа. Поэтому, учитывая ра-
венство <л о , g(з: О » == О, получае}1
<,..,0, 1(з:0» > <11°, /(х» + <'Л О , с(х»
для всех х е D, х '=1= х().
Здесь J.1.0 е М. НО для каждоro х е D, х =1= хО, всеrда мож"
но подобрать вектор J.L е М (которЫЙ, разумеется, будет
вависеть от точки х) так, чтобы написанное выше СТРО'"
roe неравеаство выполнялось после замены J.t 0 на J.t. Та..
ким образом, для каЛ\доrо х е: D (для х -= x(t можно ввять
любой вектор из М, TaR R8R (Л О , g(XO» EII О) существует
такой J..t е М, что оказывается справедливым иеравенство
(1). Поэтому f(xO) Е Н ("л О).
204 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОRРИТЕРИАЛЫIЫЕ ЗАДАЧИ [rл.,
3) Блаrодаря TeOpeltle 3.1.8 оценка f(xO) является пре..
делом последовательности собственно эффективных оце..
вон: f (х о ) == lim f (xl)t rде х' Е Gj(X), l == 1, 2, ... в п. 1)
l oo
дапноrо доказательства было установл ено, ч то j(x ' ) е Min 11
для любоrо l. Используя условие Min 11 s: Н, получаем
f(xO) е Н. 11
I{aK ПОI\азывает нижеследующий прим:ер, какие-то до.
полнительные предположения типа условий 1)..... 3) тео..
ремы 1 вводить необходимо.
При м е р 1. Рассмотрим ДВУХ1\ритериальную BorHY
тую задачу, в которой n == т == 2, k == 1, D == Е2 И
ft(x) == Х1, f2(X) === Х2, g1(X) == ......(х1)2 --- Х 2 8
Выпуклое :множество Х составляют ТОЧИИ плосности Е2,
распопоженные на параболе %2 == ....(xt)2, И точки, леj-ка-
щие виже этой параболы. Точка хО == 0(2) эффективна, TaI\
что f(xO) е Мах Q. Докажем, что f(xO) Н.
а) Если л === О, то для х ! == (1, 1) справедливо
L(x t , О) == (1, 1) > <О, О) == f (хО),
Т. е. f(x 8 ) Н(О).
б) ЕСJIИ О < 'л < 1, то берем х 2 == (1...... Л, 1.... л) и по..
пучаеu
L(x", л) == « 1..... А 3 ), (1..... л,З» > (О, О) :=;: f(xO)
для любоrо л Е (О, 1). Следовательно, f(x(J) Н(Л) при
О < л < 1.
в) Если л, 1, то для х з == (О, ......1) имее 1
L(х З , л) == (Л, л --- 1) > (О, О) == f(xO),
Т. е. f(xO) в(л) для л 1. 11
В этом примере ни одно из УСЛОВИЙ 1) ........ 3) не выпол..
няется: эффективная оценка f(xO} не является собствен-
но вффективной; функция f линейна, а значит, не ЯВ
плетея cTporo воrнутой. Далее, соrласно теореме 3.1.8
f (х о ) == lim f (Xl) И Xl Е G J (Х). По лемме 1 f(x ' ) е Q n н,
ж оо
а значит f{x ' ) е Min Н, l == 1, 2,... Но, пак пока-
заво выше f(xO) В. Следовательно, условие 3) теоре..
МЫ 1 таRже не выполнено.
t 4.3]
воrнутый СЛУЧАй
205
2. Для дальнейmеrо изучепия двойственности понадо..
бятся дополпительные понятия и фа:кты выпу:клоrо апа..
лиза. В данном пун:кте }IЫ приведем эти дополнительные
сведения, опираясь на [ 93] .
Пусть Z s:; Еn ....... непустое выпу:клое множество. rOBO--
рят, что Z удаляется в бес:конечность по направлению t
или что t есть рецесси8ное направлеиие дЛЯ Z, если Z
содеР}I\ИТ все лучи с направлением t (rде t =F О(n), начи..
нающиеся в любой точ:ке из Z. Друrими словаlIИ, Z уда..
ляется в бес:конечность по направлению t, t +О(n), если
z + лt е Z для любых л О, z Е z. Множество всех ве:кто"
ров, удовлетворяющих последнему соотношению, с при..
соединенным R нему началом :координат называется ре..
цессивным :конусом множества Z и обозначается O+(Z).
Множество O+(Z) является выпуклым конусом и сов па..
дает с множеством тех векторов t, для которых выполня"
ется Z + t s:; Z.
Если Z зам:кнуто, то ero рецессивный конус за:м:кнут.
Известно, что непустое выпу:клое заМliнутое множество
оrраничено тоrда и толь:ко тоrда, :коrда ero рецессивный
конус совпадает с началом :координат.
Если ZT, 'у е: r,........ произвольное сеl\Iейство выпуклых
заl\IКНУТЫХ множеств, пересечение которых непусто, то
справедливо равенство
0+ ( n Z.,) === n 0+ (Z,,).
"er "er
Поляра ,выпу:клоrо I\онуса С определяется слеДУIО"
щим образом:
СО == {zl <z, у) <: О для всех у Е С}.
о о
Если С 1 s;;;; С 2 И C t , С 2 ........ выпу:клые :конусы, то C 1 2C 2 .
Ка:к известно, для выпу:клоrо aaMRHYToro конуса С спра..
ведливо равенство (СО)О == С.
л е }1 :м: а 2. Пусть Z....... llепустое вь пуп.лое ааМ1I,путое
JtножеСТ80. Если J1 Е ri (O+(Z»O, то .ltunейl1ая ФУ1{пция
< J,t, · > достиеает .ма симужа на .множестве z.
Д о к а з а т е л ь с т в (). Из условия J.t Е ri (0+ (Z) ) о со..
rласно следствию 11.6.2 [93], вытекает неравенство
(у, 11) < тах <ll, z) == О (2)
%Е( o+(Z») о
для любоrо у TaRoro, что линейная функция <у, .} не
206 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrО1\РИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл. t
является тождественно равной постоянной на множестве
(O+(Z»O.
Обозначим через R максимальное подпространство,
содержащееся в конусе O+(Z).
ДЛЯ у е O+(Z)\R функция <у, .) не является тожде..
стввнно равной постоянной на (O+(Z»O (заметим, что бла-
rодарл О(n) е (O+(Z»O этой постоянной может быть лишь
нуль). В самом деле, если
<у, z) ::: О для всех z Е3 (O+(Z»O,
то при каждом вещественном а также <ау, z) =={). Та..
ким образом, вся прямая, проходящая через начало КООр"
ДИН8Т И точну у, принадлежит мнол еству «O+(Z»O)O ==-
a:z O+(Z), т. е. у е R. Но это противоречит включению
у е O+(Z)\R.
В соответствии с этим из (2) следует
<у, J.t) < О для всех у е O+(Z)\R, (31
что означает CTporoe убывание линейной функции <J1t.)
вдоль любоrо направления из O+(Z)\R.
Рассмотрим множество Z' C::I Z n R..L, rде RJ. ----- opToro..
вальное дополнение R. Поскольку для любоrо : е Z спра..
веДJIИВО R + z Z, ТО z' n (R + z) == {z'}, rде z'........ некото"
рая точка множества Z'. Далее, очевидно, что у == z .....
....... z' e . Таким образом, для любоrо z ЕЕ Z существует
такой z 6! z', что z == z' + у, у Е R. Следовательно,
<J.t, z) == <f1, :') + <J.t, у).
Но <J.t, у) == о. Действительно, так как J.t е (O+(Z)O И
у 6! O+(Z), то <J.1, у>:э о. А блаrодаря тому, что y е Е,
имеет место неравенство <J.t, у> о.
Таким обравом, верхняя rранъ линейной функции
<J.t, .) на множестве Z дости:rается тоrда и только тоrда,
коrда ова достиrаеrся на z'.
Рецессивный конус ыножества Z' eCT O+(Z')..
8: O+(Z) n RJ.. Далее, [O+(Z) n R..L]\O(n) O+(Z)\R. Поэто...
МУ ив (3) следует, что линейная функция <J.t, .) вдоль
любоrо направления иа O+(Z') cTporo убывает. В соответ-
ствии с теоре}10Й 27.3 из [93] эта функция достиrает :ма..
Rоимуиа ва множестве Z', а значит и Ва множестве Z.II
3. Важное свойство прямоrо и двойственноrо мво"
жеств устанавл1tвает Gледующая
3 '31
воrпvтый СЛУЧАй
207
т е о р е м а 2. Предположи},(" что вь nолпе1tо условие
рееулярnостu Слейтера и мпожество Q ва.мnnуто. Тоеда
Q u н == Ет. (4)
Д о н а з а Т е л ь с т в о. Пусть h E.t: Q. ДОRашем, что h а
еН.
ТОЧRУ h мошно сильво отделить от ВЫПУRлоrо замк"
путоrо множества Q, т. е. существует таной певулевой
вентор J.1 е Ет, что
<1-1, h) > а для HeRoToporo Е Е,
(5)
<J1" q) < а ДЛЯ всех q е Q.
ПО определению множества Q из BToporo перавенства (5)
т
следует J.1;;::: О(т). Очевидно, можно считать, что J.ti == 1 t
i==l
.......
т. е. J.1 Е М. Более Toro,
J.1 Е (O+(Q»O n м ,
(6)
rде (O+(Q»O поляра рецессиввоrо нонуса множества Q.
Действительnо, если J.1 (O+(Q»O, Т. е. <1-1, z> > О для не..
ROToporo z Е O+(Q), ТО соrласно определению рецессивно-
ro Rопуса для q' е Q ВRлючение q' + лz е Q справедливо
при каждом л> о. Величину <J.1, q' + лz> за счет выбора
л можно сделать СI\ОЛЬ уrодпо большой, а это весовме..
стимо со вторым перавепством (5).
Если ri (O+(Q»O ==fO, то O+(Q}==Em, а значит Q==E"'.
НО, в соответствии с предположением, h е Ет и h _ Q.
Поэтому пусть J.L 0 е ri (O+(Q»o. Посколъну ........ E s;; 0+ (Q).t
то ( )O == E ;2 (0+ (Q)O, Следовательно, JL O Е Е'; ,
А тан нан Е';. и ri (0+ (Q))O суть конусы, ТО можно счи..
с=:а
тать, что
р,0 е ri (O+(Q»O n М.
(7)
Рассмотрим вектор
JL fI1 == CI) J.1 о + (1 .... (О) J.1 при 6) е (О, 1).
в силу (6), (7) и теоремы 6.1 из [93] выполняется J.1 ф е
208 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОRРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл 4
Е ri (O+(Q»)O n 1\[ Далее, очевидно, что
<IJ.(I), h) == OO<IJ.°, h) + (1.... 00)<11, h),
<J.1(a), q) == 00(1-1°, q) + (1..... oo)<J.t, q).
Блаrодаря (7) линейная q)ункция <!t 0 , .) оrраничена свер.
ху на множестве Q (см. лемму 2). А в силу (5) выпол"
вяется
< t, ll) > sup < fl,q).
qEQ
Поэтому положительное 00 мон\но выбрать паСТОЛЬRО ма-
ЛЫМ, чтобы имело место неравенство
<!t6), h) > <1-1(1), q) для всех q Е Q. (8)
Соrласно лемме 2 функция <1-1(1),.) достиrает CBoero
наибольmеrо знач,евия на Q. Пусть q(l)....... точка :максиму",
ма, т. е.
<1J.6), q6) ==== <Jl6), q) для всех q е. Q. (9)
Так нак q6) Е Q, то q(Jj :::;;; f(xO) при пекотором х о е. Х, и по-
этому <Jl(l), q())) S <JJ.(I), f(xO». 110 f(xO) е. Q, а значит из (9)
следует <Jl(a}, q6) <,..,(1), j(XO). Следовательно, <J.t(l), q(i) ==
== <JJ.(I), f(xO» и
<JJ.6), f(xO» <1-10>' f(x» для всех х е х.
Таним образом, воrвутая скалярная ФУНRЦИЯ <JJ. t f(x»
достиrает максимума на множестве Х в точке хО. Отсю'"
да в соответствии с теоре:мой 2.2.6 (при т == 1) вытекает
существование TaKoro векторал Е E , что
с;а
<JJ.6>, f(xO) <JJ.(I), f(x» + <Л, с(х» для всех ж е D.
Поэтому, учитывая неравенство (8), получаем
<JJ.<o, h) > (1-16), f(x» + (Л, g(x» для всех х Е D.
.......
Здесь JJ.6) Е М. Но так как это неравенство cTporoe, то для
каждоrо фИI- сированноrо х Е D можно подобрать такой
вектор Jl Е М (зависящий от х), что <1-1, h) > 2(1-1, х, л).
Соrласно представлению (2.8) это влечет h е. в(л).,.
Итак, о взаимном расположении прямоrо и двойствен
Horo множеств 1tIОЖНО сказать следующее: они заполняют
все пространство Ет (TeOpe1tIa 2) II MorYT иметь общими
g 4.3]
воrнvтый СЛУЧАЙ
209
ЛИШЬ свои rрапичвые 8ле?fенты (это вытеRает из теоре-
l\lbl 1.1).
т е о р е м а 3. Пусть выполнено условuе ре2улярnости
Слейrера u м,1l0жество Q аажпнуто. Тоеда Min Н s; Мах Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о. IIустъ hO Е :rvlin 1/. Поскольку
h O ..... :Мllпимальный. элемент, то hO int Н. Тоrда блаrода..
ря равенству (4) и заМRНУТОСТ:И Q И}fее}{ h O Е Q. ТаI\ИМ
образом, hO е Q n н, а значит в силу теоремы 2.2 hO е
Е l\fax Q. 11
4. Дополнительно предположив, что вектор фУНКЦИlI
j, g покомпонентно дифференцируеj\{Ы на D S;; Еn, введем:
в раСС1!отрение множество
Н 1 == U U U {hЕЕтl< lh» ;t'(fllХ'Л)}i
АХ"
rде объединение берется по Bcej\[ л Е E , х Е D 11 Jl е
Е М, для RОТОрЫХ выполняется равенство......
V !l(J.t, х, л) == О(n). (10)
Если h е Н. то, используя хараRтеристичеСRое свой..
ство воrвутой и дифферевцируе:моii фУНRЦИИ 2'(Jl,., JJ,
а TaRil\e равенство (10), получим
< t, h) .2' ( J.1, х, л) s: .2' ( J.1, х', л) +
(V !l'(J.t, х, "J, х..... х') 6 .2'{J.1, х', л)
ДЛЯ любоrо х' ED, (11)
что соrласно представлению (2.8) влечет h е Н(л). Сле
довательно, всеrда справедливо включение
Н 1 5: Н. (12)
Л е м м а 3. Для любых q е Q и 11, Е Н 1 (h: <fl, h)
,2'(J.t, Xt л) для непоторых L Е М, х Е п, л Е E ) 8b
полияется иеравеnство (J.t, q> (J.1., h>.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Поскольку q е Q, то q j(XO)
для HeRoToporo :1;0 е х. Для h е Нl, используя свойство
воrнутой и дифференцируемой ФУНRЦИИ (Jlt ., л), полу..
Чае 1 (11), откуда при х' == хо е Х следует
<J.t, h) .2?(11, хО, л) (J.1, f(xO» (11, q). 11
С л е Д с т в и е 1. Если qO е Q n Ht, то qO........ собствен..
по эффе-пТU8ная точ-па Q и qO Е l\fin Hte
14 В. В ПОДИНОВС1\ИЙ, В. д. Ноrив
210 ДВОйСТВЕННЫЕ МltоrОНРИТЕРИАлыtъtЕ ЗАДАЧИ [rл.
д о к а з а т е JI ь с Т в о. Поскольку qO е Н {, то для не..
ноторых fJ,°eM, xOeD и лОЕ Е верно <flO, qO) !2'(fJ,0,
хО, "'О). Соrласно лемме 3 <J,10, q > <flo, qO) для любоrо
q е Q. Следоват-ельно, qO....... собственно зффеI\тивпая точ"
Ra множества Q. .
Если же qO v= Min 1ft, т. е. для пекотороrо h'e Н 1 вер..
по h :5::qO, то <J,10, h)' < <fJ,0, qO), тде h е H 1 ,qO е Q, а это
противоречит утверждению леммы 3. 11
Т е о р е м а 4. П редпо.яожu,м" что выполнено условие
реву.яярnостu Слейтера, ,М,1tожество Q aQ,.МKН,YTO и Н 1 =1= 0.
Тоеда
Q u Н 1 == ЕМ. (13)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что h Ф Q и ДО"
RRжем включение h Е Ht.
Так же, как и в ДОI\азательстве теоремы 2, точку h
можно сильно отделить от множества Q, т. е. найдется
вектор fl Е М такой, что выполняется (5) и (6). Посколь..
ну Н. =1= {о (Т. е. найдется h* е Il t ), то соrласно лемме 3
при некотором fJ,* Е М верно <fl*t q):a <fJ,*, h*> для всех
q Е Q. Леrко понять, что
fl* е (Q+(Q»O n М.
в силу Q =1= Ет справедливо неравенство ri (Q+(Q))O +
=1=0, поэтому пусть fJ, eri(Q+(Q»o. Аналоrично тому, нан
в доказательстве теоремы 2 для flO было установлено
ВRлючение (7), в данном случае можно доказать, что
; Е ri (Q+(Q»O n М.
Для вектора fJ,0 == л,l + (1...,... л)t-t* при фиксированном л е
Е (О, 1) соrласно TeOpe}Ie 6.1 из [93], верно
fJ,0 е ri (Q+(Q»O n М.
Теперь рассмотрим вентор fl CD == о) fl о + (1 ..... т) J.t при
(i) е (О, 1), для KOToporo справедливо
fJ,tD е ri (Q+(Q»O n М.
Апалоrично тому, КаК в доказательстве теоремы 2, мож"
но показать, что выполнено (8) и воrпутая скалярная
функция <fJ,Ф, f(x» достиrает максимума на мн.ожестве
Х в точке хО,
Если х точка, для которой ВЫПО.1Iняется условие ре-
ryляриости Слейтера, ТО дЛЯ каЖдоrо 1 е J(XO) в силу ВО-
I .3)
воrlIYТЫй CJIУЧАй
211
rнутости и дифференцируемости gj имеем
(V gj(XO), ж.... жО) iF: gJ(f) ..... gj{XO) > О,
что означает выполнение условия реryлярности ив усло-
вий теоремы 2.4.1.
Применяя эту теорему при т =:= 1 к точке максимума
х о функции < J-t., '(Х», для HeRoToporo л е E получаем
-
v ж.2' (J..t., х О , л) == О(П)! (14)
<Л, к(хо» == О. (15)
Кроме Toro, в силу (8) и (15) имеем
<J.1., h) > <Jj,., f (Х{}) == (J.1., х О , Л,).
Это вместе с (14) влечет h е HI_"
При 11 е ч а н и е 1. В теореме 4 условие реrулярно'"
сти нужно было 'Для Toro, чтобы из равенства <,..., (а) 1 f (х о ) > ==
тах <,...,6>;1 f (х) с помощью теоремы 2.4.1 получить
cteX
(14) и (15). В линейном случае, Т. е. коrда D =- Еп, 1'......
линейные, а gj....... аффинные функции, равенства (14) и
(15) можно получить, используя теорему 2.2.7 (при т а:а:
== 1), в коtорой условие реryлярности отсутствует. Кроме
Toro, в линейной задаче множество Q полиэДрально, так
как представляет собой раЗRОСТЬ двух поJiиэдральных
множеств (СМ. представление (2.7), теорему 19.3 и след-
ствие 19.3.2 ив [93]). Если оно полиэдрально, значит вам..
КНУТО. Сn:едовательно, в линейной задаче равенство (13)
справедливо лишь в предположении Q + 0 и Н. + 0.
Ранее было установлено включение H i s; Н. Следова-
тельно, int H i 5 int Н. Если же h е int Н, то блаrодаря те..
ореме 1.1 h Q. Отсюда в силу (13) следует h а НI И, бо--
лее Toro, так как Q замкнуто, то h е int H i . Таким обра--
вом, если выполнено условие реrулярности Слейтвра и
81+О' то
int НI -= int Н.
СледУет отметить, что здесь (а также в ФОРМУJIИРОВ"
1:\8 теОРQИЫ 4) условие H i + f2J существенно, Об этом ro..
u
ворит следующии
При м е р 2. т ... 2, n == k "'" 1, I1 (х) х, (а(Х)'" о,
gt(x) а= х. Эдесь Q == {q Е E 2 1q2 О} и Н 7=а {h Е!! Е lhj > О},
14-
212 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОНРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ (rл.4.
а равенство (10) имеет вид 111 + Лi == о. Но чисел J.t1 > О и
ЛI ii;: О, которые удовлетворяли бы последпем] равенству,
не существует. Поэтому Н 1 == 121, так что Q u 91 =F Е2 И
int Н! -1= int Н.
Соотношение меiI\ДУ собственно эффеRтивныии ТОЧ-
Rами J.{ножества Q (те}! саl\IЫl\I, и ТОЧRа}IИ м:ножества
G (У» и точка?\fIl }!ноя\ества Min Н 1 устанавливает
т е о р е I а 5. П усть вь пОЛllеuо условие рееулярuости
Gлейтера и MHO:JlCeCTBo Q 8aJКпиYTO. ТО2да:
1) паждая собственuо эффе-,;,тивная точпа J,t1l0жества
Q принадлежит множеству Iin Н 1 ;
2) паждая точпа .мпожества Min Н 1 является собствен-
по эффептивной для Jttножества Q.
Д о к а з а т е л ъ с т в о. 1) Пусть q....... собстrепно эффе..
!{тивная ТОЧRа MHOiReCTBa Q. Тоrда q == j(x) для некото"
poro х е Gj(X). В доказательстве теоремы 4 было устано-
влено, что из выполнения условия реrулярности Слейте-
ра следует выполнение условия реrулярности теоремы
2.4.1. В соответствии с этой теоре:мой для точки х спра-
ведливо (10) при некоторых lt Е 1, л Е E и равенство
<Л, g (х» == о. Блаrодаря последнеl\IУ рав ен ству можно
написать <J,t, q> == 2'(J.t, х, л). Следовательно, q Е Н 1 . Со-
rласио следствию 1 отсюда вытеI{ает q Е Min l1t.
2) Пусть h е Min Ht. ЯСlIО, что h 95 int 111. Поэтому В
силу (13) и замкнутости Q получаем h Е Q [) Н" что со..
rласно следствию 1 влечет собственную эффективность
ТОЧRИ h для множества Q.II
Выпишем вид двойственной задачи l\lin Н 1 D скаляр..
ном случае: минимизироnать СRалярную фУНRЦИЮ Лаr..
ранжа L (х, л) по х Е D и л Е E , связанным равенством
:1:
V xL(x, л) == О(n).
Отметим, что полученные в данном ПУНRте резулъта..
ты в идейном отношении близки к результатам работы
п. Шёифельда [218].
t 4.4. Лllнейный случай
В этом парarрафе рассматриваются линейные MHoro-
критериалъные задачи и покаэывается, что равенство
множеств реmений прямой и двойственной задач ВЫПОJl-
няется при более широких предположениях, чем в воrпу-
том случае.
4.4]
ЛИНЕйНЫй СЛУЧАй
213
Поскольку в линеЙНО 1 случае соrласно следствию
2.2.3 Р(У) -= о(у), то, учитывая теорему 3.5, двойственное
MHOiReCTBO Н MOiRHO за?tlепить па «почти совпадаlощее»
с ним МПОi!\ество Hf' введенное в предыдуще}I параrрафе.
Это приводит К формулировке двойственной задачи
Min [11' принадлеiI\ащеЙ rейлу Нуну ---- Таккеру [ 154].
Результаты, полученные для исходной двойственной за-
дачи Min Н, используются для установления двойствен..
Horo соответствия меiRДУ прямой задачей Мах Q и двой"
ственной задачей Min 111.
В свою очередь, для линейной задачи с оrраничения"
IИ в форме 'равенств, Iножество 1ft такл\е можно заме-
нить па «почти совпадающее» с ним: множество Н'/, , что
ведет 1\ двойственной задаче Min Н 2 . Результаты, относя..
щиеся !{ этоЙ двойственной задаче, кан следствие Быте-
l\aloT из резудьтатов, полученных для задачи Min H i .
Наконец, оказывается возможным в множестве Hz выде-
лить такое подмножество На, что Min Нз == Min Н 2 . Двой..
ственная задача Min На была введена r. Изерманом [173,
175]. Двойственные соотношения, относящиеся R задаче
Min На, непосредственно вытеRают из результатов, полу-
ченных для задачи Min 92.
Кроме этоrо, в параrрафе рассмотрено двойственное
соответствие между линейными параметрическими зада...
чами, введенное Дж. Rорнблютом [185]. Это соответствие,
u
в частности, дает возможность получить критерии су-
ществования эффективных решений в линейной задаче
без предположения о существовании допустимых решений
(т. е. без предположения Х rf= 0).
1. Будеl\I рассматривать линейную мноrОl\ритериаль-
ную задачу, в RОТОрОЙ
f(x) == Сх, к(х) == ь Ax, D == E f
CII
rде С и А ........ числовые матрицы размера т Х n и k Х п
соответственно, а Ь........ k мерный вектор. В соответствии с
u
rим: прямая задача принимает следующии вид.
П р я м а я 8 а Д а ч а А (линейный случай). Найти
?\IHQjl\eCTBO Мах Q, rде
Q =z U {q Е Е'11 I q с Х } t ( 1 )
eX
X=={XEEiJAx b}. (2)
214 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОRРИТЕРИАЛЬПЫЕ ЗАДАЧИ [rл. I
Исходя из общей RОНСТРУRЦИИ двойственности вто"
poro параrрафа, двойственная линейная задача формули..
руется следующим образом.
Двойственная задача А (линейный случай).
Найти мноа,ество Min Н, rде
/'
Н == U n th Е Е т I h :> Сх + (Л 1 Ь ...... Ах) 1(т)1
11. n
lеЕ> хеЕ>
==" -
1 (т) == (1, 1, . . '.' 1) Е Е т .
Множество Н ДОПУСRает таиже представление
(СМ. (2.8»
Н == U n U {h I (11, h) :::: f-tСХ + (Л. t Ь Ах)}.
'1 E lI. Е n J1E М
I\oЕ > ЖЕ >
==- ..
Наряду с прямой задачей А приведем формулировку
линейной задачи с оrраничениями в форме равенств.
П р я м а я 8 а Д а ч а В. Найти множество Мах Q, rдз
Q имеет вид (1) и
X=={xE IAx==b}. (3)
Для Toro чтобы сформулировать двойственную задачу
В введем 2k",мерную линейную фУВRЦИЮ с(х) == lj ...... Ах,
rде ь >= ( :), А == ( ).Оч:евидно, множество (3) COB
падает с множеством {х Е I g (х) > O(2k>}. Выписывая
u
применительно к этому множеству двоиственную задачу
А, получим
Н == U n {h I h 5 Сх + ( .t g(x) 1(т)}'
... 2k n
EE>XEE>
-=r са
А обозначая == (л' t Л /1 ), rде л', Л" Е E , придем R ра-.
8:::
вевству
Н =- U n {h I h:> Сх + (л' ...... "л"1 Ь...... Ах) 1(т)}.
А' tл."еЕ XEE
са са
РаВ!lОСТЬ л,...... л" есть некоrорый вектор ив Е А . Обратно,
lIюбои вентор иа Е" можно представить в виде разности
I ,. )
nИПЕйпЫй СЛУЧАЙ
215
двух пеотрицатеJIЬВЫХ векторов. Поэтому справедливо
равенство
Н == U n {h I h 5= Сх + (Л 1 Ь ....... Ах) 1(1) )}. (4)
1ЕЕ п xeE
..
в соответствии с этим получае 1 слеДУЮЩУIО двойствен..
ную задачу для прямой задачи В.
Д в о й с т в е в в а 11 з а Д а ч а В. Найти множество
Min Н, rдв Н Иl\lеет вид (4).
Для определенности в этом пункте мы будем рассмат"
ривать пару задач типа А. Ре8ульта ы, полученные ДЛR
этоrо типа задач, можно леrко перевести па задачи
типа В.
Л е м м 8 1. В Аипейnои аадаче для па"сдО20 qO е Мах Q
существуют тапие 8eпTOpь I.t ЕЕ М 1 Л Е E , что
..
лА ,...С, (5)
<J.t, qO) === <л, Ь)'. (6)
Д о R 8 3 8 Т е JI ь С Т В о. Поскольку qO е Мах Q, то qO =-
==Сх О при neltOTopOM хо Е Pt(X). Применяя R точке ж'
теорему 2.2.7, получим существование таRИХ векторов
11 Е М) Л е E п 'А' Е Е';, что
tI:I. ===
J1C == лА ..... л',
<Л, ь ... Ах О ) + <л', х О ) == о.
Из первоrо равенства вытекает неравепство (5). А учи-
тывая оба этих равенства, приходи м к (6):
<J,t, qO} == JLCz8.. ,...Сж' + <А, Ь...... Ах О ) + <А', хО) lIfI <А, Ь).II
В соответствии с леммой 1 если qO е Мах Q, то су-
ществуют f.t Е М) л Е E такие, что
=а
<f.t qO) =: f.tCx + (л, ь ...... Ах) ДЛЯ всех х Е Е"!:..
-
Это влечет qO е Н(А) s= Н. Поэтому qO е Q n н, а значит
соrласно (2.9) qO е Min Н. Следовательно, в линейной за...
даче из неравеПСТВ8 Мах Q =1= {2J всеrда следует Min Н + 171
п Мах Q siii Min Н. Заметим, что в приведенных рассужде...
ниях выполнение условия реrулярности Слейтера ие по...
требовалось.
216 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОНРIIТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [t'Jt. 4
Линейный образ полиэдральноrо мно}нества является
ПОЛIIэдральныи множеством (см. теорему 19.3 из [93]);
сумма двух полиэдральных множеств также полиэдраль--
вое м:ножество (СМ. следствие 19.3.2 из [93]). Поэта..
МУ из представлеНIIЯ (2.7) заключаем, что MHOJReCTBO
Q полиэдрально, а значит замкнуто. I{poMe Toro,
в линеЙНО 1 случае в доказательстве теоремы 3.2 ?fIОil\ИО
использовать теорему 2.2.7, в которой отсутствует предпо..
ложепие о выполнении условия реrулярности. Это озна..
чает, что теоремы 3.2 И 3.3, доказанные для BorHYToro
случая, в линейно { случае верны без условия разм:ерно"
СТИ Слейтера ( требуется лишь Q + QJ) 11 имеет место
включение Min Н s;;: Мах Q, если Min Н *' fZJ.
Суммируем полученное в следующей теореме.
т е о р е м а 1. В .лиuейпО.;и случае справеддивы еле..
дующие утверждения:
1) ес.лu Q =F fZJ, то Q u н == Ет;
2) если Мах Q =F f?J, то Min II =1= fZJ и Мах Q s;;: l\1in 11;
3) если Q :1= fZJ и l\fin Н =F 50, то Мах Q =i= fZJ и Min // s:
s: Мах Q.
Rоrда условие Q =1= f(J не выполнено, то утверiI\деНllе
1) теоремы 1 мо}нет оказаться неверны:м. Об ЭТО I свп"
детелъствует
При м е р 1. Пусть n == 2, т == 2, k == 2, С == ( ),
A==( ), ь == с= ). Здесь Q == {о (так как Х · 0)
и фУНRЦИЯ Лаrравл,а имеет вид
( # Xl Л 1 Л 2 '''lX 1 + Л j Х 1 + Л 1 Х 2 ')"2:1"2 )
L (х, J",) == '1 'l '} .....L '1 + '1 '1 ·
Х 2 /'''1 1\2 "lX 1 I 1\.2 Х l I'.l X 2 I'.2 Х 2
ПОЛОii\ИМ Х1 == Х2 == W о. Тоrда
( Ш ....... л ....... л )
L (Ш 1 л) == L«w, ш), л)== w л: л: ·
Возьмем произвольнып вектор q Е Е 2 . Из вида функции
L(w, л) следует, что для любых Л1, Л2 :2: О найдется число
w О, дЛЯ 1\OTOpOro L(w, л) q. Это указывает на то,
ЧТО НИ один вектор из Е 2 не принадлежит mhoj-Rеству Н,
Т. е. Н==0, а значит QUH=I=El..
I 4.4]
ЛИНЕйный СЛУЧАЙ
217
п р 11 I е р 1 2. Для линейной задачи из примера 3.2
Q =1= {о и Н + 0, однако Мах Q == Min Н == 0, Т. е. из вы-
полнения неравенств Q {о и H::I= 0 не обязательно еле...
дует Мах Q -=1= 0 или Mjn Н ::/= (о.
11з теоремы 1 и теоремы 2.2 очевидным образом вы-
текает
С л е Д с Т в и е 1. Если Q =1= >О, то С.ltедующuе утвер'"
ждепия эпвива.ltепrпь ..
1) Мах Q =1= 0 или Iin Н '* 0;
2) Мах Q + 0, l\{in Н + 0 и l\lax Q == Iin /1 == Q n Н.
2. Рассмотрим следующую линейную параметрическую
r
задачу *) при BeKTopHO I параметре t Е Е; t i === 1:
.'
i==l
найти множество Мах Q(t), rде
Q(t) == {ч == CXIXE E , Ax < Вt}
11 В ....... числовая ?vlатрица раз:мера k Х r.
Зафиксируем ДОПУСТIIМЫЙ вентор...пара:метр t. СфОр IУ"
лированная задача имеет решение тоrда и то.лько тоrда,
Rоrда существует по Rрайпей мере одна собствепно эф...
фективная точка по веКТОр (РУIIRЦIIП Сх относительно со...
ответеТВУIощеrо IIIOJI eCTBa оrраничеНИII. Это И fеет IecTO
в '!'ом и ТОЛЬRО том случае (СМ. теоре:му 2.2.4), если для
HeRoToporo J.t Е М имеет решение СRаллрпая задача
тах {/-I.Сх I Х Е , Ах < Bt}.
Cor ласно теореме двойственности СI\аЛlIрноrо липеi.i:поrо
проrраммирования [105] эта задача имеет решение 'fоrда
:и ТОЛЬRО тоrда, ноrда ИJ\Iеет решение двойственная
задача
min {лВt I л Е E , лА > tC}.
В силу t > O,r), rreope lbl 2.2.4 и равенства Gj(X) == PJ(X)
в линеЙНО I случае последняя задача имеет решение в TO I
И только В том случае, если им:еет решенпе следующая
мноrонритериальная задача (fl Е М):
найти МIIоя,ество tJin Н (fl), rде
Н (/-1.) == {h == ЛВ I л Е E , лА > /-I.c}.
*) Вводимая эдесь двойственная RОНСТРУНЦПЯ параметрпче-
СКlI JIивейныx задач принадлежит Дж. Корнблюту [185].
218 ДВОйСТВЕННЫЕ мвоrоRpитЕриАJIьвыE ЗАДАЧИ (fЛ.'
Итак, задача Мах Q(t) разрешима при ввкотором е>
r
> 0(1)1 t i == 1J в ТОМ и только том случае, если при веко-
i==l
тором J1 е М разрешима задача Min 11<,..,). в соответствии
с этим задача Min H(JJ.) является двойственной (в см:ы-
u
сле существования реmении по отношению к исходвои
задаче Мах Q(t) )*). Заметим, что исходная (прямая) вада..
ча содержит т критериев и k оrрапичепий, а двойствен.
вая ---- r критериев и n оrравичевий.
В ИЗЛО1Кенпой RОНСТРУКЦИИ двойственности СУIЦествеп
ным является то, что здесь заранее ие предполаrается
выполненным условие Q(t) =1= 0. Это позволяет ПрОDОДИТЬ
исследование существования исходной пара метрической
задачи с помощью соответствующей двойственной задачи,
заранее не зная, совместна система оrраничений Ах Bt,
r
z 0(71)' t> 0(,), t i ==1, или пет. Так, например, при
i==1
r == 1 вектор параметр t исчезает и исходная параметри-
ческая задача превращается в прямую задачу А. Соответ-
ствующая двойственная задача будет иметь вид <р, е I)
min {<л, Ь) I л Е E , лА > f1C}. (7)
В соответствии с этим можно сформулировать следую"
щий критерий существования эффективных реmепий в пП 4
нейной задаче А.
Т е о р е м а 2. Прямая вадача А имеет решенuе (Т. е.
Мах Q + 121 или Р/(Х) +- ) тоеда и тольпо тоеда, l'i,oeaa
при nепото ром f..t е М имеет решенuе скалярная а а...
дача (7).
Еще раз заметим, что в условиях теоремы 2 ие пред'"
полаrается выполненным условие Q =1: 121 (Х + 0).
Нетрудно понять, что для прямой задачи В (с оrрани-
чепиями в фо рме равенств) задача (7) будет иметь
*) Пусть t' и fJ.' ........ векторы соответствующей размерности с по-
ложительными Rоипонентами, сумма ROTOpblX есть единица. Обра..
щаем внимание на то, что неравевство Мах Q (t') =1= (о не обяза..
те ль но влечет Min Н (J.t') + (о, и наоборот, из Min Н (р,') + 0 не
всеrда следует Мах Q(t') + (2J. Кроме Toro, если Мах Q(t') ==0,
то ие обязательно Min Н (Jt) == f2J для всех (допустииы)) 11. А так...
же, если Min н (JA.') == 121, то из 8Toro, вообще rово'рЯ, ив следует
Мах Q (t) =:1 0 для всех (допустимых) t. В работе Дж. Корнблюта
[185] в этом отношении имеются некоторые вето1JВ;ОСТИ, которые
справедливо О'fи чены в f243).
8 4)
lIИНЕЙНЫй СЛУЧАй
219
такой же вид е той лишь развйцей, что на вектор л не
будет наложено никаких оrраничений (т. е. д Е E It ).
3. В п. 1 была сформулирована двойственная задача,
в I(ОТОРОЙ участвовало МНОll ество Н. Если вместо Н ИС 1
пользовать введенное в предыдущем парarрафе множество
НI, которое «почти совпадает» с В, ТО получим двой.
ственную задачу, имеющую определенные преимущества
перед задачей Min H.
Выпишем йонкретный вид иножества Н I в случае,
I\оrда исходной является прямая задача А. ДЛЯ этоrо по-
ложим D == Еn и введем функцию к(х) == ..... Ах, rде
ь :=: ( (nJJ А == ( n) И Е" единичная матрица n Х n.
Очевидно, допустимое множество Х вида (2) совпадает о
{х е Enlg(x) ;;:: О(1&+n)}. Поэтому соrласно определению мно"
жества Н 1 (п. 4 в 3) получаем
Н 1 =:% U U U {lll<1-11h)
eE +n ХЕЕn ....еМ
-
ё;: Cx + (л, ь ........ Ах) + (л', х)},
h n'"
rде л Е E>t 'Л, Е Е> и л == (л, л'). А условие (3.10), СВЯ"
== ==-....
зывающее переменные Л, х и J,t, в данном случце при-
нимает вид
J1C ...... 'ЛА + л' -= О(п),
что равносильно веравенству (5): лА J,tc. Ясно, что
используя последнее равенство, можно записать
Н 1 == U U {111( th> (ЛlЬ>}. (8)
1ЕЕп ....еМ
>
-
Итак, для прямой задачи А двойственное множество
Н 1 имеет вид (8), rAe векторы л и J.L удовлетворяют ие-
равенству (5).
В i 3 было установлено включение Н 1 bi Н. Выясним,
при каких УCJIОВИНХ в линейном случае имеет место обрат-
ное включение. Если h е Н и h е Q, то, в соответствии
с теоремой 2.2 h е Мах Q. Отсюда по лемме 1 получаем
h е Н 1. Если же h е Н и h Е1= Q, то соrласпо примечанию
3.1 также имеем h е Н{ (при условии, что Q =#:= 0, Н! -1= 0).
220 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrО!\РИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл. 4
Таким образом, справедлива
Л е м м а 2. Верны сдедующuе утверждеuuя:
1) Н 1 6: Н;
2) если Q =t= f(J и Н 1 ::1= 0, ТО Н 1 == Н.
Заметим, что условие Н! =l=fO В утверждепии 2) этой
леммы является существенным (см. пример 3.2).
Введем в рассмотрение новую двойственuую задачу,
которая впервые была сформулирована д. rейлом, х. I\у...
НОМ И А. TaKRepoM [154].
Двойствепная задача А 1 . Найти Minl/1.
Л е )1 :м: а 3. Сnраведлuвь следУЮUfuе уrвеР3lсдеuuя,
1) ес.лu Min Н 1 + 0, то Мах Q ::/= fO;
2) ес.лu Q =t= f(J и Н I =1= fO, то Мах Q =l=rtJ.
Доказательство. 1) Пусть hOeMinH 1 , Т. е.
(J.t 0 , hO) ('А О , Ь) и лОА ;;: f.t°C при некоторых 11° Е j\J1, "л О Е
EE . Поскольку hO ....... минимальный эле Iент, "ЕО (J,t'\ hO) ==
k
== (')/, Ь). Поэтому если для иекотороrо л Е Е >, удовлетво-
рЯlощеrо неравенству лА е: J.t°C, справедл ив о <Л, Ь)
< <лО, Ь), то hO не является минимаЛЬНЫl\1 элементом. Это
означает, что для J..t == J.t 0 задача (7) разрешима. Отсюда
в соответствии с теорем:ой 2 следует Мах Q + (lj.
2) Если Н 1 =F fO, то для некоторых f.t Е М, Л Е E сира...
ведливо неравенство (5). Значит, так как Q =F fO , то со-
rласно теореме 3.2.6 иl\tIеем Мах Q =1= fO. 11
Соотношение между прямой задачеЙ А 11 двойствеп
ной задачей А 1 описывает
Т е о р е м а 3. Следующие утверждеНllЯ э-пвuвалептuыl:
1) Q+ 0, Н 1 =1= $О;
2) Мах Q ::/= 0;
3) Min Н. 0;
4) Мах Q == !\1in 1ft == Q n Н 1 =1= fO.
(Если Q =1= 0 11 Н 1 =1= 0, то Н! == Н (леМ lа 2),)
Д о R а з а т е л ь с т в о. Следовапие 4) -+ 3) очевидно.
Блаrодаря утвеРiндению 1) леммы 3, имеет место 3) -+ 2).
Если Мах Q =F fO, то в силу теоремы 2 задача (7) имеет
допустимое реmение. Следовательно, 91 + 0, и поэтому
2) --+ 1). Докажем следование 1) -+ 4). Соrласно утвержде"
нию 2) леммы 3 из неравенств Q::;I:= f2f, Н. + !о вытекает
Мах Q =1= rzJ, а в силу леммы 2 Н I == Н. В этих условиях,
применяя следствие 1, получаем Мах Q == Min Н I ==
Q n Н 1 . 11
.4)
ЛИНЕйНЫЙ СЛУЧАй
221
Выше в примере 2 было показано, что из существова-
ния допустимых решений в прямой задаче А и в двоЙ-
ственной задаче А, вообще rоворя, не следует существова-
ние оптимальных решений в этих задачах (Т. е. из Q + flJ
и Н:#= fZJ не следует неравенство Мах Q + fO или Min В +
=1= 0). В этом смысле двойственная задача А I обладает
u
тем преимуществом, что из наличия допустимых реmении
в прямой задаче А и в двойственной задаче А I BcerAa сле-
дует Мах Q == Min /1 s ::р flJ.
РаССМОТРИl\l ПрIlмер, ИЛЛЮСТРИРУIОЩИЙ результаты тео...
ремы 3.
При )1 е р 3. Пусть в линейной задаче А n == 6, т == 4,
k==3и
( 10 OO 1
с== О 1 О О О
О О 1 О О
О О 1 1 1
( 1 О О 1 О 2 )
А== о 1 О 2 О 2
,
О О 1 2 5 О
)
о '
о
Ь == О).
Здесь прямая задача будет IIметь следующий вид:....... пай..
ти множество максимальпых векторов среди всех векто..
ров q == (q1' q2, qs, q,.), удовлетворяющих условиям
q 1 Х1 ...... Х5,
q2 Х2 ...... Ха,
qз ......хз,
ql,. :S: Ха + х, + Х5,
ХI ...... Х, ..... 2Ха 5,
Х2 + 2х(. + 2Х в 3,
Ха + 2х(. + 5Х 5 <: 5,
Хl, Х 2 , . . ., Ха о.
(9)
в этой задаче 10 переменных и 7 оrраничепий в форме
неравенств (не считая неравеllСТВ Xl > О).
Двойственная задача А 1 принимает вид: пайти )IIIO"
жество минимальных векторов среди всех векторов 1 ==
222 ДВОЙСТВЕННЫЕ МI10rО1<РIfТЕРИАЛЬПЫЕ ЗАДАЧИ [rл."
-= (h i , h", h 8 , h,), удовлетворяющих условиям
J.11 h 1 + 112 h 2 + l1a h a + Il.h, е: 5л. + ЗЛа + 5лs,
Л1 J.1t, Л2 s: 1l1, Лs iS; ...... Jls + fJ..,
A1 + 2Л2 + 2лs ii: J-t., (10)
Блs ..... J-t1 + Il.,
..... 2лs + 21..2 ...... 112,
J.Lt + 112 + f..ta + 11. == 1,
J.Lt, 112, Il:s, Il' > о; At, Л2, Ла о.
в этой задаче 11 перемевных h t , .,., h" J-tt, ., .,Jl" Лt, ,..
· · ., Да. Но так как перемевпые J-tt, J,12, J-tSt J-t. связаны ра..
41
вепствои J..Li == 1, то везависимых переменных 10.
i-l
Нетрудно проверить, что значения
J.Li - J.ta =- J.1.-== Jl. == 1/4, А! == Л2 == 1/4, ЛЗ == О
удовлетворяют всем условиям (10), не считая nepBoro
иеравенства, Следовательно, Ht:l= 0. А так RaK Q::/= flJ,
то corп:acHo теореме З Мах Q == Min Н. == Q n H i .
Таким образом, множество эффеI{ТИВНЫХ оценок ИСХОД411
вой задачи в точности совпадает с MHoiKecTBoM векторов
q, удовлетворяющих одновременно неравенствам (9) и
соотношениям (10), rде в первом перавенстве вместо h.
стоит ql, i 11:1 1, 2, .." 4.
Рассмотрим решение хо == (5, 3, 5, о, о, О), qO ==
- (5, 3, ....5' 5). Оно является допустимым в прямой зада..
118, т. е, qO Еа Q. Кроме Toro, видно, 'Что для упомянутых
выше значений J.L1, .,., J-t" л'1, л'2' Аа выполняется и пер...
вое иеравенство в (10):
t 1 1 1 1 1
,.5 + "8...... 4,5 + 4,5 5'4 + 3'4'
Следовательно, qO Е5 Q n 9.. ПОЭТО1fУ рассмотренное реше...
ние является эффективным.
Пусть х -= 0(8)' q - 0(.), Это решение является допу..
сти:мым в прямой вадаче, но для Hero первое неравенство
в (10) может иметь место пишь при Лt 8:1 л'а &::8 Ла a::II О.
ТоrД8, например, второе неравенство в (10) примет вид
О fii: J.1., чеrо быть вв должно, Следовательно, 9. == O(i> Н.,
т. е, оцанка q не является эффективной.
g 4.4]
.лИНЕйНЫй CJIУЧАtt
223
4. В этом пункте будем рассматривать прямую задачу
В (т. е. задачу с оrраничениями в форме равенств). На...
помним ее формулировку: найти множество Мах Q, rде Q
вида (1), 8 Х определяется равенством (3).
Двойственная задача 81 в этом случае заКЛlочается в
нахождении мнол,ества Min Н t при
Нl ==: U U {h Е Е т I <11, h) > <Л, Ь)},
А J.L
rде объединение берется по всем векторам л е Е" и
).t е М, дЛЯ которых выполняется неравенство д,А f,1C.
Если для иекотороrо j == 1, 2, . . ., k выполняется b j < О,
то умножением j ro равенства в системе Ах == Ь на ......1'
,
придем к системе с bj == ...... b j > о. Поэтому, не У lеньmая
общности, далее будем считать, что Ь О(А)е
Введем множество
Н 2 == u u {h Е Е т I h > UЬ},
и
rде и........ числовая матрица размера т Х k и объединение
берется по всем и и J.t е М, дЛЯ которых выполняется пе..
равенство ).tUA ).tC. Покажем, что при незначительпых
предположениях введенное множество Н 2 совпадает с Н.е
Если h е 1/2, то по определению множества Н 2 имеем
h s= иь, f,1UA C
(11)
для некоторой матрицы и и HeKoToporo вектора J.L е М.
Положим ).tU ==== 'А Е Е1&. Тоrда
<J.L, h) е: <л, Ь), лА ".,С,
(12)
Т. е. h е Н I . Включение Н 2 6: Н. доказано.
Пусть h е Ht, Т. е. имеет место (12). Покажем, что
найдется матрица и, для которой справедливо (11). Сна..
чала рассмотрим случай, коrда (f.t, h) == (Л, Ь).
Вектор л BcerAa 4 МОil,НО представить в виде
. ,
Лi == ЛО + б i , i == 1, 2, . . ., k; б. === О,
rде ба, б з , .., 6 ........ некоторые числа. П редположим ЧТО
224 ДВОЙСТВЕННЫЕ мноrОНРИТЕР АЛЫIЫЕ ЗАДА ЧII [rл. 4
k
b j =1= О II введем 'ttIаrрицу
;==1
............
и 1 и 1 + 2 · .. и 1 + B k
и === и 2 и 2 + 62 · .. и 2 + б k
и т и т + 62 ... и т + БА
rде
h
k. ...... б .ь.
1 3]
;==2
k
b j
6==1
IIетРУДНО убедиться в TO!\-I, что ППП этой матрицы ира.
веиство h == UЬ выполняется. Остается проперить спра.
ведливость равенства л == tU. Действительно, для К8ждоrо
j == 1, 2, . . 8' k Иl\fееl\f
и .
t
i == 1 t 2, .. . t 1n.
т 11
т ,., It .l . ....... б Ь.
t 1 1}
Лi ::= I IЧUi + ()j::= i-=l k i'=2
(==1 Ь
,j
;==1
k в
ЛiЬi --- бjЬj
......... i 1 j==2
--r. бj ==
1!
b j
j==1
+ б J == Л О + бj.
в соответствии с ДОRазанным для данной матрицы и в
случае <J.t, h) == <л., Ь) из (12) следует (11), т. е. I1t Н 2 .
Теперь пусть <J,t, h) > <л, Ь). В силу JA. > О(т) суще..
ствует такой вектор h' е Ет, что <J,t, h') == <Л, Ь> и h' < h.
Соrласно ДОRаэанному выше h' е Н 2 8 Поэтому и h е 112.
Сформулируем полученные результаты в следующей
лемме.
Л е м м а 4. СправедЛllвь утверждения:
1) Н 2 S; Ht;
2) если Ь О(н), ТО Н 2 == Ht.
Как показывает нижеследующий прпмер условие
Ь O(JJ) В JIe}IMe 4 является существенным.
II.()
ЛИНЕйНЫй СЛУЧАй
2
При м е р 4. n == 2, т == 2, k == 1 и
С == (: :). А == (1 О), Ь == О.
в силу Ь == О иыIемM Н 2 == Е; так как, например, для J..t ==
==(1/2. 1/2) и и == (:) .выпо;няется равенство JLUA .... JLC.
Однако Н 1 =1=Е;. В само:м деле, например, (1, ......1)еН 1 ,
так как для f.tl == J12 == 1/2, л == 1 справедливо
( +)( :) 1.0. 1.(1 O) ( f)(: :).
Таким образом, прямой задаче В можно сопоставить
слеДУЮЩУIО двойственную задачу.
Д в о й с т в е в н а я з а Д а ч а В 2 . Найти l\fвожество
Iin 11 2 е
Связь меiRДУ прямой задачей В и двойственной зада..
чей В 2 устанавливает слеДУlощая теорема, которая следу"
ет непосредственно из теоремы 3 и леМl.fЫ 4.
т е о р е м а 4. Пусть Ь > O(k). СледУl0щuе утвержде-
ния эпвuвалеftТllЬ :
1) Q+{lJ, Н 2 ,*{О;
2) l\Iax Q:/= ;
3) Min Н 2 + 0;
4) Iax Q == Min Н 2 === Q n Н 2 ;:/= f?J.
ДОК8жеI\-1 вtПО1.fоrательное ytbepiI- дение.
Л е м м а 5. Следующие два условия Э1i,8uвалентньt:
1) f..1U А flC дJtЯ 1lепото роео fl Е f;
2) иАШ 5 Сш для всех ШЕ E .
Д о R а з а т е л ь с т в о. Услов ие 2) означает неСОБме..
стность системы линейных неравенств
(С ....... и А) w О(т),
W О(n).
По теореме Танкера об алътернаТИDе (S 2.2) это имеет
..,
l\leCTO тоrда и только тоrда, I\оrда существует такои век...
тор J.1 Е 1\1, что при IICI\OTOpOM Z БОрНО
JlC J!U А + z == О(n)' Z > О(n).
Последнее ЭRвивалентно условию 1).11
{5 в. Б. Подиновений, В. Д НоrИD
226 дБоnствЕнныIE мноrоRритЕриАльныIE ЗАДАЧИ [rл 4
в соответствии с этой леммой мнол,еСТ1JО Н 2 допуска..
ет представление
Н 2 == {Iъ > UЬ I и АШ5 Сш ДЛЛ всех w Е E }.
Оназывается, м пожество lинимальныx элементов :мно"
jfieCTBa Н 2 совпадает с множеством lивимальныx элемен..
тов следующеrо MllOrReCTBa:
Нз == U{hE E m l h ==Ub},
и
rде объединение берется по всем и таRИМ, что иАш :>
5 СШ дЛЯ всех w Е E , Т. е. имеет место равенство
z8
1\1in Н 2 -= Min Нз. (13)
Провери:м это равенство. Соrласно лем:м е 5 l\IНОiI е--
СТБО НЗ IOfl\HO представить n виде
Н з === U U {h Е Ет I h == и ь } , ( 14)
и J.t
rде объединенпе берется по Bce?vl U II t Е М, дЛЯ KOTOPltIX
выполняется неравенство J.tUA J.tC. Если h Е Min 112, то
В силу минимальности элемента h Иl\fее?vl
h == ИЬ, tUA > JlC
для пекоrорой Iатрицы и и HeRoToporo вектора t Е I.
Следовательно, h Е 11 з . Но Il з Н 2 , И поэто:му h Е rvIin 1/з.
Если h Е Min 1/з, то h Е 1/2. Пусть, наПрИ Iер, суще-
ствует таной элемент h' Е /[2, что h' <5': h. Тоrда
U'b < h' < h
для такой матрицы и', что J.tU' А J.1C при HeHOTopO 1
J.t е М. и'Ь Е Нз, а значит элемент h не является мини...
мальным эле:ментом мпоЛ\сства Нз. Равенство (13) дока--
зано.
Введем следующую двойственную задачу, Э1\виналент...
ную двойственной задаче В 2 0 Эту двойственную задачу
ввел r. Изерман [173, 175, 176].
Д в о й с т в е н н а я з а Д а ч а В з . Найти IHOjI\eCTBO
Min Нз.
т е о р е м а 5. ПредпОЛОЖUJt, что Ь 2: O(k)o Следующие
утверждения эпвuвалеНТНьt:
u &.4]
ЛИНЕйНЫй СЛУЧАй
227
1) Q::f= , H!::f= ;
2) fax Q =1= f2J;
3 ) 1\1 i n J 1 з =1= fZJ ;
4) 1ax Q == Min Нз === Q n 118 =1= eJ_
Д о к а а а т е л ь с т в о. ЛеrRО понять, что Нз =F f(J Tor...
да и только тоrда, коrда 1/ J :Р fO. Поэтому утверждепие
1) данной теоремы равносильно утверждению 1) Teope
1tlЫ 4. CorпacHo раnенству (13) утверждения 3) даНIIОН
теоремы и теоремы 4 TaKiI\e равносильны. Остается прове..
ри:ть эквивалентность утnерiRдений 4). Если имеет l\leCTO
4) теоремы 4, то в силу (13) Мах Q == Iin l/ з и Q n Н 2
s:: Q n /lз. Но так как Н8 112, ТО Q n //з Q n 112. Поэто...
ltlY Q n На == Q n Нз. Обратно, если имеет hleCTO 4) данноН
теоремы, то справедливо Мах Q =1: f2J, отиуда, COfJI8CIIO
теореме 4 следует утверждеНIlе 4) теоремы 4..
Рассмотрим следующий иллюстративный пример.
При м е р 5. Пусть в лпнейной задаче В маТРИЦJ.,J
С, А и вектор Ь такие iI\e, как в ПрИ lере 3. Выпишем пря...
MYIO задачу: найти MIIOiI\eCTBO маl\симальных векторов'
среди всех BCI{TOPOB q == (Qt, q2, qз, Q(1), удовлеТБОрlIЮЩIIХ
условиям
q 1 s; Х1 ..... Х5,
q2 Х2 ..... Хо,
qз S ....хз,
q. :5: ХЗ + х. + Х5,
Х. ..... Х, ..... 2Х6 == 5,
:(2 + 2х. + 2Х6 == 3,
хз + 2х, + 5Х5 == 5,
X t , Х 2 , ..., %0 о.
ДllOйственпая задача П З с множеством Нз вида (14)
формулируется СJJеДУЮЩIl!\f образом: найти МПОiке..
ство МИПИl\Iальпых векторов среди всех векторов }l, ==
== (h t , h'J" hs, h,.), удовлеТВОрЛIОIЦИХ УСЛОВИЯl\I
h 1 == Бив + 3и 1 2 + 5u 1 з,
h 2 ::с:: 5 и 2! + 3и 2 2 + 5ll 2з ,
h з == 5u з ! + 3U З 2 + 5u s з,
h. == 5ив + 3и 2 + 5u.з,
228 ДВОЙСТВЕННЫЕ мноrонритЕриАльныE ЗАДАЧИ [rл 4
J!l Zl 11 + J!2 U 21 + JlЗ U Зl + J! иH J..tl,
f,tt U 12 + J!2 U 22 + I1З U З2 + Jl U 2 J..12,
Jlt U 1 З + 112 U 2З + }lзUзз + Jll.U З ....... Jlз + J.1"
Jl1 (...... ин + 2ZL12 + 2u 1з ) + 112( a21 + 2 и 22 + 2и23) +
+ Jl3 ( и31 + 2 U З2 + 2Zl зз ) + t. ( ин + 2и'2 + 2ul.3) Jl ,
5 Jll и13 + 5 Jl2 U ZЗ + 5 J.tзUзз + 5 J,1 и з :;::: ..... Jll + J!.,
J!1{..... 2u 11 + 2l 12) + Jl2( 2u21 + 2 и 22) + Jlз( 2Uзt + 2UЗ2) +
+ J.1 ( ....... 2и,. + 2и.2) Jl2,
J,11 + Jl2 + з + Jl. == 1,
J.11, Jl2, Jlз, J,1. > о.
Нетрудно проверIIТЬ, что значения
111 == Jl2 == Jlз == Jl. == 1/4, и&) == 1,
i == 1, 2, 3, 4; j == 1, 2, 3,
u u
удовлетворяют всем УСЛОВIIЯ f в двоиствеппои задаче.
Поэтому Нз =1= f?J, а, значит, l\fax Q == Min Нз == Q n Нз.
Рассмотрим ДОПУСТИ lое для прямой задачи решенпе
х о == (5, 3, о, О, 1, О), qO == (4, 3, О, 1). Для Toro чтобы
представить вентор qO В виде qO ::::11 UЬ, мо,кно взять
( 1 ..... 1/3 О )
О 1 О
и === о о о ·
о f/3 О
Нетрудно проверить, что для этих зпачепий коэф(рициен"
тов матрицы и и для J..t1 == Jl2 == Jlз == J.l. == 1/4 все условия
в двойственной задаче выполнены. Следовательно, х о
эффективное решение, а qO ero эффективная оцеПRа ис..
ходпой пря:мой задачи.
Матрица И, которая участвует в формулировках ДВОЙ"
ственных задач В 2 и В з , допускает простую интерпрета..
цию в терминах мноrокритериальноrо симплекс--метода.
Однако, прежде че- I дать эту интерпретацию, наПОМНИl\1
некоторые понятия, связанные с обычным симплеRС..
методо:ttf.
f 44)
ЛИНЕйНЫЙ СЛУЧАЙ
229
Пусть система оrраничепий скалярной задачи линей
Horo проrраммирования
(с, х) та""
Ах == Ь, х Е Е;',
такова, ЧТО rang А == k (Т. е. «лишние» уравнения УiI\е
исклюqены) и Ь 0(1). ПреДПОЛОiI\ИМ, что х о пекоторое
допустимое базисное решение системы линейных ypaBHe
пий Ах == Ь. Без потери общности можно считать, что
первые 1 (l s k) компонент вектора х о полоil-\ительны'
а остальные раппы нулю. Соrласно определению базис
Horo решения первые l вектор столбцов матрицы А ли..
вейно веааВIIСИМЫ. ПОСКОЛЬRУ rang А == k, то найдутся
такие k.....1 веRтор столбцов матрицы А, которые вместе
с l первыми образуют линейно независимую систему.
rvl0jI<HO считать, что такую линейно независимую систему
составляют первые k вектор столбцов. Обозначим матрицу,
!{оторую ОНИ составляют, через Ав, а оставшуюся «часть»
матрицы А ...... через Ан. Введем TaKjRe обозначения
% в -== (Xt, %2, ..., Xk)' Х N;r:= (Xh+t, ..., Х n ).
В этих обозначениях систему линейных уравнений Ах ==
== ь можно записать в виде
Авхв+ ANx N ? ь.
Умножая даивое равенство слева на матрицу А в t (заме
ТИМ, что в силу rang А IJ == k такая матрица существует),
получим систему линейных уравнений
ХВ + A B 1 A N xN == А в 1 Ь, (15)
равпосильную исходной.
Теперь преобразуем целеВУIО фУНl\ЦИЮ <С, х) таи,
чтобы в вее ие входили базисные перемепиые Хl, Х2,
. .., ХА. ДЛЯ ЭТоrо равенство (15) скаЛЯРНQ УМНQЖИ!\I на
вектор Св == (Ct, С2, .. ., C1t) и найдеы1
< с в, Х п) == ....... (с в, Ав 1 А..,\ Х N > + (с в, А в 1 Ь >.
Далее, обозначая СН == (CIt+t, ..., сп) n учиrывая вайдеlt..
Ное, можно записать
(с, х) ;;; (св, Хв) + (CN, хн) ;; (rN...... c B AB l A N7 ХН>+
+ с в А в 1 Ь.
230 ДВОйСТВЕННЫЕ мноrОl\РИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [rл. 4
ИСХОДЯ из получепноrо представления целевой функцин,
леrко прийти к следующему выводу: если выполняется
перавепство
CN с в А в 1 AN -< O(n.....k), (16)
то переход от х о R новому допустимому базисному реше
нию не приведет к увеличеНИIО значения целевой Фунъ:
ции <с, х О ), т. е. решение х о будет оптимаЛЫIЫ I. Следо
вательно, неравенство (16) представляет собой условие
оптимальности допустимоrо баЗИСIIоrо решения x G . ЛеrI О
понять, что (16) можно записать в следующем эквива
лентпом виде:
<CBABIA c,x» O для всех XEE . (17)
==
Посмотрим теперь, какой вид примет условие 6пти
мальности (эффективности) (17) в задаче с пре/Rней си
стемой оrраничений, но с векторной целевой фУНI цией
Сх. По аналоrии с вышеприведеНПЬПvI через Св обознаЧИ l
матрицу из вектор столбцов матрицы С, отвеч.ающих ба
зисныM переменны,' а через C N матрицу из BeKTOp
столбцов, отвечающих небазисным переменным. Исполь..
зуя равенство (15), находим
Свхв == ........ CвAB 1 A N xN + С в А в 1 ь,
и поэтому можно записать
Сх =: Свхв + CNXN == (C N ....... C B AB 1 A N ) XN + С в Ав 1 ь.
Отсюда, так же :кан и в случае одной целевой фУНRЦИИ,
приходим к выводу, что базисное решение х О будет эф..
фективным, если
(C N CBAB1 4N) XN О(т) для всех XN Е E k.
=-'
ЭТо эквивалентно следующему УСЛОВИЮf
(с вА в 1 А ....... с) w >- О(т) для всех w Е E .
1::3
Последнее, соrласно ле:мме 5, равносильно СУlцествова"
нию TaRoro вектора t Е 11, что
CBABl А llC.
Полученное неравенство есть Ilе что иное, как условие
I '.4]
J1ИНЕЙВЫй СЛУЧАЙ
2Зl
nлп :маrрицы U О == С в А я 1 быть ДОПУСТlIМОЙ В двойствен-
ной задаче В 2 (и в двойственной задаче В з ). Таким обра-
зом, если матрица ив является допустимой в двойствен-
IIОЙ задаче 82 (двойственной задаче Ба), то допустимое
базисное решение х О будет эффеI\ТИВНЫМ по ВОКТОР-ФУНI{"
ЦИИ Сж относительно рассматриваемоrо МПОII{ества orpa-
ничений. Потребность в проверI\е допустимости ltlатрицы
и о ВОЗIIИRsет на первоп фазе работы мноrО1\ритериаль-
поrо симплеRс",метода, Rоrда отыснивается допустимое
базисное решение, являющееся эффентивпым (Т. е. на..
чалыIеe эффеRтивное базисное решение). 3а fетим, что
Rонкретная реализация подобпой проверI{И может быть
осуществлена раЗЛИЧНЫЬfИ способами.
5. Как указыпалось ранее, двойственная задача А 1
была введена д. rейлом, х. J\УНОЬf И А. Таккером в [154].
( ледует, однако, заметить, что в этой работе рассматрп-
вались линейные задачи более общеrо вида, чем Мах Q
и Min 1/1, и Teope la 3 из п. 3....... это лишь частпый случай
результатов авторов работы [154].
Приведем здесь ФОРМУЛИРОВI\И линейных задач, изуче
пию которых посвящена работа [154]. Для этоrо уело-
ви:мся писать S > 8° для матриц ОДИIIаковоrо размера
т Х r, если все элеf\.lенты IатрIIЦЫ s...... 80 пеотрицатель-
IIЫ 1I хотя бы ОДIlН ПОЛОiКИТСЛЫIЫЙ. Будем rоворить
(C1.I. (154]), что l.fатрIIца 80 является .ма сиjtальиоЙ (.МU-
uu.мальной> в ненотором фИRсироваНIIОМ множестве faT"
риц размера т Х " если 80 принадлежит этому мно/не...
СТВУ и В нем не существует такой матрицы S, что S SO
(S < 8°). IIетРУДНО видеть, что последнее определение
естествеПIJЫМ образо!tl соrласуетсл с общим определением
:маКСIlмальноrо (минимальноrо) элемента, данноrо в 1.2.
Пусть А. В, С....... l.Iатрицы соответствующих размеРОD
k Х n, k Х r, т Х n, а S и z....... ltf8ТрИЦЫ размера т Х r.
11 р я м а я 8 а Д а ч а At. Найти максимальные матри",
цы множества
s== lJ U{SISt < Cx},
« t
rде объединение берется по всем х Е Е ,?, t Е Е;,
r
"\'
t i == 1, удовлетворяющим неравепству Ах Bt.
i==l
2З2 ДВОйСТВЕННЫЕ !\!ноrоRритЕриАльныE ЗАДАЧИ [rл,
д в о й с т в е н в а я 8 а Д а ч а AJI. Найти 1\lИl1ималь..
ные матрицы множества
Z == U U {Z I J1Z лВ},
J.L
rде объединение берется по всем л Е E , J1 е I, УДОВ"
==
летворяющим неравенству лА J.Lc.
Леrко видеть, что при r == 1 вектор--параметр t исче..
зает, матрицы S, Z, в становятся векторами соответству"
ющих размеров и первая задача с точностью до обоз на..
чеиий совпадает с прямой задачей А (СМ. п. 1), а вто-
рая........ с двойственной задачей А 1.
Если в теореме 3 из п. 3 Q заменить на В, Н......... па Z
и операции Мах (Min) понимать нак операции над 1lат"
рицами в смысле, определенном выше, то эта теорема
укажет соотпоmение )Iежду сформулированными задача..
IИ, установленное 11 в [154].
В заRлюченпе отметим, что между В8дачами At, AJ1 n
парой параметричеСRИХ зада'I из п. 2 имеется тесная
связь. Эта связь рассматривалась, например, в работах
[176, 214].
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Современная теория парето оптп fальныx решений па..
чала формироваться в начале 50 x rодов, хотя некоторые
ее результаты, часто в неявном виде, были получены
эltачительно раньше в друrих разделах математики [226].
Особенно ивтенсивно ова развивалась в последнее деся"
тилетие.
В книrе изложение этой теории было оrраиичепо в
основном наиболее разработаННЫ?t1 к настоящему времени
случаем статической одпоуровневоП модели прпнятия ре..
mений ПрИ Rонечном числе критериев в условиях опре..
деленности. С состоянием теории rноrокритериальноii
оптим:изаЦИИ процеССQБ можно ознакомиться по обзору
[98]. Оптимальные по Парето иерархические системы ана..
лпзируются в статьях [47, 270, 275]. Парето оптимаЛL"
ные решения при рпсне инеопределенности рассматрп"
ваются в работах [10, 45, 81, 83, 260, 265]. Задачи с бес...
конечным числом критериев исследуются в [61, 255, 256].
Оптимальные по Парето решения в :моделях, описыа..
емых на языке нечеткпх множеств, иаучаются, напри..
мер, в статьях [258, 291].
Ряд работ, выполненных в самое последнее вре:мя,
указан в списке литературы, добавленном при корректуре.
Авторы надеются, что эта KHlIra будет способствовать
дальнейшему развитию теории и разработке эффектив-
ных lwlетоДОВ принятия решений при }Iвоrих критериях.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
БИБлиоrр АФЦЧЕСКIIЕ ССЫЛКЦ
Ниже перечисляются литературные источники ряда теорем,
лемм, слеДСТВИЙ и примеров, не указанные в бпблиоrрафически
комментариях, примечаниях и ссылках, прпведепных в ОСНОВНОМ
тексте книrи.
Теоремы
1.6.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.5
2.1.8
2.1.7
2.1.9
2.1.10
2.1.11
2.1.12
2.2.1
2.2.2
2.2.4
2.2.6
2.3.1
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.5.1
2.5.2
3.1.2, 4
3.1.7
3.2.4
3.2.5
3.3.2
3.3.4
3.4.1
Дж. Борвейп [1241
ю. Б. rермейер [19, 21]; М. I\ойима [182]; В. Бау..
мап [125]
В. В. ПОДИПОВСI\ИЙ [85]
Л. rурвпч [30]
В. В. Подпновский [76, 77, 85]; Л. Бенсусав, jl\. Л. Лп.
ОНС, Р. Темам [6]; А. Пейн, Э. Полак [206]; Дж. Лив
[191, 195]; r. Рухв [2161
А. tlapBc, У. Rупер [130]; А. С. RрасвеПR:\р [48]
Л. rурвич [30]; В. В. Подпвовский [77]; 11. 1\1аРУШЧdК,
1. Рэдулеску [199]
Ю. В. rермейер [20, 22]
А. Джоффрион [160], В. В. Подпновскпй [77]
В. В. ПОДИНОВСRИЙ [77]
В. д. Ноrип [70]
П. Ю [246]
Л. rурвпч [30]; С. Карлин [41 J
А. Джоффрион [161]
Х. Кун, А. Таккер [187]; С. RарJ1ИП [41]; А. Джоффрп.
он [161]
У. Джархарт [157]
Н. Да Канха, Э. Полак [137]; А. Джоффрпон [161]
В. д. Ноrин [65]
А. Джоффриоп [161]
и. х. Ван [237]; В. В. rОрОХОВИR [26]
С. Смейл [222, 223]; n. х. Ван [237]; В. В. ropoxo-
ВИК [26]
В. В. Подиновский [77]
Н. Эрроу, Е. Баранкип, д. Блекуэлл [104]
В. В. Подиновский [77]
В. д. HorllH [69, 71]
К. Эрроу, Е. Барапкип, д. БлеRУЭЛЛ [104]
П. Ю, М. Зелени [248]
В. Б. АлеRсеев [2]; Т. f. Виноrрадская, I. r. rафт
[15]; !. Н. Альбертъян [3]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ БИБлиоrРАФИЧЕСНИЕ ССЫЛНИ 235
3.4.3 Б. А. БереЗОВСRИЙ, С. 11. Травкин [7]; Т. rvl. Виноrрад
ская [14]; Х. Rэлпайн, А. rоулдинr [128]
3.4.4 О. Барпдорф Нилсон, ?\{. Собль [5]; Б. А. Березоnский,
С. И. Травкин [7]
4.4.2 Дж. Rорнблют [185]
4.4.3 д. rейл, Х. Нун, А. Таккер [154]
4.4.5 r. Изерман [175]
Леммы
1.2.1
2.1.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1
3.1.1
3.3.1, 2
3.4.1, 2
4.4.3
Следствия
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.5
2.2.1
2.2.2
2.2.3
3.1.2
3.1.4
3.1.5
3.1.6
3.1.7
3.2.1, 2
Примеры
1.7.1
3.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.7
2.1.11
3.1.3
3.2.4
В. д. Ноrип [67]
В. Д. Ноrии [70]
П. Ю [246]
В. д. Ноr!lИ [66]
В. В. Подииовекий [77]
В. д. Ноrии [71]
П. Ю, М. Зелени [248]
В. Б. Алексеев [2]
д. rейл, Х. Нун, А. Таккер [154]
В. В. ПОДИПОВСRИЙ [85]
Л. С. fуткии [31.......33]; Дж. ЛИН [191, 193, 194]
Р. Соулепд [224]
А. Джоффрион [161]
В. д. Ноrип [66]
Х. Йокш [178]
В. В. Подиновекий [77]; r. Изермав [172]
В. В. Подиповский [77]
Б. Пелеr [207]
И. Да Нанха, Э. ПолаI\ [137]
Б. Пелеr [207]
В. В. fорозов [59]
В. д. Ноrин [71]
Дж. Лоузер, Р. Волъц r 189]
Т. Купманс [184]; Х. Кун, А. Танкер [187]; А. Джоф
фри он [1601
If. Маруmчак, М. Рэдулеску [199]; В. В. ПОДИНОВСRПЙ
[79]; В. В. Мериурьев, f. А. l\Jfолдавский [55]
r. Фандель [148]; С. Хуапr [171]; П. Ю [245]
В. В. ПОДИПОВСНИЙ [77]; Л. ПаСI уаль, А. Бен ИзраЭJIЬ
[205]; Р. Рэйд, В. Вемури [213]
В. В. ПОДIIНОВСКИЙ [77, 79]; А. Беп Израэль, А. Бен
Таль, А. ЧарFIС [110]; Р. };эндел ТI, д. Ли [241]
В. В. ПОДИНОВСRИЙ [77]
К. Эрроу, Е. Бараннин, д. БлеRУЭЛЛ [104]
Х. Вепсов [111]; В. д. Ноrин [71]
ЛИТЕРАТУРА
{. Айз р р м а в ы. А., 1\f а л и m е в с t\ И Й А. В. IIeKoTOrIJIe ас-
пекты общей теории выбора .лучших вариантов. (ПреприВТ)......
М.: Ин т проблем управления, 1980.
. А JI е R с е е в В. Б. Использование tимиетрии при иахо,кдевии
ширины частично упорядочеввоrо МНожества...... Диснретвыi
анализ, 1974, пыI.. 26, с. 20......35.
3. А л ъ б е р т ь я в М. К. О комбинаторных характеристиках пе
сравнимости в задачах припятия реmевий. ИЗВ. АН СССР,
сер. Техн. Rибернетика, 1974, .N2 6, с. 3.....12.
4. Б а р а н Ц е в А. В. Правило множитеJlей для векторвой 88да-
чи оптиМизации......... В кв.: Матем. анализ и ero приложепия.......
POcTOB Ba ДOBy; lIзд во Ростовск. YH Ta, 1975, Т. 7, с. 184 1 !)о.
5. Б а р н Д о р Ф н и л с о н о., с о б JI Ь М. О расп ределеп IJ U
числа элементов миоrомерной выборки, привадлежащих за-
данному СЛОЮ. Теория вероятностей и ее примевения, 1966,
вып. 2, С. 283 305.
6. Б е в с у с а п А., Л и о н с ж....л., т е и 8 М Р. Iетоды декомп
виции, децептрализации, координации и их приложеНия.......
В кн.: Методы вычислительной матеМатики........ Новосибирск:
Науна, 1975, с. 144 27 4.
7. Б е р е 3 о В с н ий Б. А., Т Р а в к и н с. и. Диспетчеризация
очередей заявок D вычислительных сисТеМах....... Автоматика и
телемеханика, 1975, М 10, с. 165 t71.
8. Б е m е 11 е в с. д. Метод «затраты --- эффективность,> (обзор)......
Экономика и ){атем. методы, 1970, т. 6, вып. 5, с. 719 732.
9. Б о и Д а р е в а. О. Н. Сходимость пространств с отношением п
теоретико иrровые следсТВия...... ЖВМ и htlФ, 1979, .м 3,
с. 84.......92.
10. Б у Р m т е й в Ф. В., К {) .р е JI о D Э. с. Мноrокритериальные
задачи прииятия решении при неопределепности и рПСRе.
Б кн.: Теоретическая кибернетика. Тбилиси: Мецниереба, 1980,
с. 143 148.
11. В а л ъ Д А. Статистические решающие фуНКции........ В ки.: По--
зицпонвые иrры. 1\1.: Наука, 1967, с.. ЗОО 522.
12. В и л к а с э. й. Существовапие аффективно равповесвых
точек в задаче веRТОрНОЙ опТиМизации........ Литовский матем.
сб., 1968, т. 8, 1, с. 41 44.
13. В и n о r р а Д с н а я Т. f: I'IСПОЛLзоnапие СВОЙСТВ Ч8СТИЧНО
упорядоченных множеств 8 мноrОRритериальных задачах при--
вятил реmений. В КН.: Проблемы принятил решений. Ьf.;
lIB T проблем управления, 1974, ВЫП. 52 с. 56 60.
J1ИТЕРАТУРА.
237
14. В и в о r р а Д с R а я Т. f. Среднее зпаченпе числа пеподчп..
венных решений n мноrокритериальных задачах........llзВ. AII
СССР, сер. Техп. RиберпеТИI\а, 1976, см 2, с. 36 38.
15. В и н о r р а Д с к а я Т. 1., r а Ф т 1. r. Точная верхняя оцеп..
ка числа пеподчппеПRЫХ реmений в 14ноrОRритерпальных за-
дачах........ Автоматика и телемеханика, 1974, .м 9, с. 111 118.
16. В о р о б ь е в 11. Н. Современное состояние теории иrр........ УМН,
1970, т. 25, выи. 2 (152), с. 81 140.
17. r а м и Д о Б Р. r., Фар б е р I. ш. О принятии решения в за..
дачах мвоrОRрптериальной опТимизации........ ИЗБ. АН Азерб. ССР,
сер. Физ,,,техн. и матем. наук, 1978, Н2 3, с. 11.......16.
18. r а Ф т 1\1. r., о з е р н о й В. I. Выделение множества иепод..
чиненных решений и их оцрпок В задачах припятия решениЙ
при векторном Rритерии........ АвтомаТИI{а и телемеханика, 1973,
М 11, с. 85.......94.
19. r е р м е й ерЮ. Б. 1\1 етодолоrические п 14а тематические ос..
новы исследования операций и теории иrр........ М.: ВЦ Mry,
1967.
20. r е р и е й ерЮ. Б. 1Irровые припципы в исследовании си..
сТеМ....... В нн.: 1f етоды управления большими системами. 11 р..
кутск: Ifзд во СЭИ:, 1970, с. 4 24.
21. r е р м е й ерЮ. В. Введепие в теорию исследовапия опера..
ций. I.: IlaYI\a, 1971.
22. r е р м е й е р 10. В. IIrpbl с вепротIlвополоiliныпn иптереса-
Ми........ !\I.: Наука, 1976.
23. r е р м е й е р 10. В., rvI о роз о в В. В., С У х а р е в А. r., Ф е..
Д о р о Б В. В. Задачи по исследованию операций. М.: Ifзд..
во 1\1 ry, 1979.
24. r о л ь ш т е й п Е. r. Теорил двойственности в математиче..
СКОМ проrраммированип и ее прпложения. 1\1.: Физматrиз,
1971.
25. r о р о х о в и к В. В. К проблеме векторной опТиМизации........ ИЗВ.
АН СССР, сер. Техн. нибернетика, 1972, М 6, с. 63 70.
26. r о р о х о в и J\ В. В. У словил слабой эффективности в ковеч-
номерных задачах векторной оптпмизацип. Минск: Ив Т :иа-
тем. АН ВССР, 1976. Препринт.
27. r о р о х о в и к В. Б., R и р и л л о в а Ф. М. О скалярпзацпп
задач венторпой опТиМизации........ Докл. АН ВССР, 1975, Т. 19,
М 7, с. 588 591.
28. r рап б е р r А. r. Математические модели социалистической
экОНОМиI{и........ rvI.: Экономика, 1978.
29. r у п а л А. М. Стохастпческие методы решения веrлаДRИХ
ЭI(стремальных задач........ I{иев: Наукова думка, 1979.
30. r у р в п Ц Л. Проrраммпрование в линейных тополоrпческих
просТрапствах....... В НН.: Эрроу К. Дж., rурвиц Л., Удзава Х.
I-Iсследовалпя по JIIlаеUИО1\IУ и нелинейному проrрам:миро а
ВllЮ. М.: IIЛ, 1962, с. 65 155.
31. r у Т J( П н Л. С. о синтезе систем по безусловному Rритерию
предпочтепия........ Изв. AII СССР, сер. Техн. кибернетика, 1972,
М 3, с. 190 197,
32. r у т R И Н Л. с. о примевении метода крайних точек при СИJI"
тезе по векторному Rритерию. 1, II Изв. AII СССР., сар. Техн.
l ибернетика, 1973, .м 4, с. 178 183, 1\'2 5. с. 138......144.
238
ЛИТЕРАТУРА
33. r у т 1\ И Н л. С. Оптимизация радио:)лектроппых устройств
по СОВОI\УПНОСТII показателей качеСТ8а. М.: СОВ. радпо, 1975.
34. Д ЪJ м к о В 1\1. П. 1\1 етод решения общей мноrокритериальной
задачи лпнсЙноrо проrраММироВания....... В КН.: Проблемы уп..
равления и оптимизации. Минск, 1976, с. 147 157.
35. Е р е м и н и. и. lVlетод штрафных функций 8 задачах век..
торной ОПТимlIзации....... В ки.: Труды ин та математики и ме-
ханики, УНЦ AII СССР. Свердловск, 1973, вып. 5, с. 63......73.
36. Е реш к о Ф. И., 3 л о б и н А. с. Олтимпзаппя линейной
формы на эффективном множестВе....... В кн.: Численные ме-
тоды нелинейноrо проrра:ммирования. Тезисы докладов 11 Все-
союзн. семинара. Харьков: Изд. Харьковск. YH Ta, 1976. с. 167
170.
37. 3 а п r в п л Jl У. И. I-Iелинейвое проrрам:мироваНlIе. М.: Сов.
радио, 1973.
38. И в а н и п В. М. Асимптотическая оценна ма тема тическоrо
ожидания числа элементов множества ПареТо....... Кибернетика,
1975, М 1, с. 97 101.
39. И в а н и н В. 1\1. Об одной оценке математическоrо ожидания
ЧIIС.ТIа элементов множества Парето...... Rибернстика, 1975, 1\2 3,
с. 145 146.
40. К а з а к о в а 1\1. Ф. Нахождение оптимумов Па рето в поли..
матрпчной задаче I{оммиволжера. В кн.: :rvIaTeM. методы ре-
шения Э1\ОНОМ. задач. 1\1.; IIaYKa, 1974, еМ 5, с. 55 61.
41. К а р л и н С. МатемаТlIчеСI{ие методы в теории иrр, проrрам
мировании и эКоНомике....... М.: Мир, 1964.
42. R о л м о r о р о в . Н., Ф о м и н с. В. Элементы теории функ..
ций и функциональноrо анализа. 1\1.: Наука, 1976.
43. К о м л и к В. 11., I\ у р и JI е в к о в В. и. О CTPYI\Type множест-
ва неулучшаемых реmений. Изв. АН БССР, сер. Фиа. мате\{.
наук, 1976, Х2 4, с. 132......133.
44. R о м л и к В. 11., К У р и л е н к о в В. И., Р о м а m к n н а Н. В.
Об одном алrоритме- построения МПОiIiества неУЛУЧlпасмы х
плаIIОВ. Автоматпзир. системы план. расчетов в республ.
план. opraHax, 1977, вып. 9, с. 18 21.
45. R о р н и е н к о :и. А. о нескалярных минпмаксных задачах.......
В I\П.: IIсследование операций и авалит. проектир. в тех виl.ке.
Нааань: Изд во Rаз. авиац. ин"та, 1979, с. 3 8.
46. 1\ Р а с н е н к е р . С. У словил оптимальности по Парето.......
В }{н.: Сб. трудов Воропежскоrо YH Ta по ПРИКJI. вопросам. Во..
ронеж, 1972, вып. 3, с. 73 77.
47. Rраснощеl\ОВ п. С., Морозов В. В., Федоров В. В.
Последовательное аrреrирование в задачах впутревнеrо про
сктироваНIIЛ технических сисТем....... Изв. АН СССР, сер. Техн.
кибернетика, 1979, М 5, с. 5 12.
48. R у к с а А. 11., Шор Н. 3. О методе оценки количества ус..
лоnно оптимальных траекторий дпскретноrо сепарабельноrо
проrраимироваНJlЛ. l\lIбернетика, 1972, .N2 6, с. 37......44.
49. Н У л а к о в с к а я Т. Классические припципы оптимальности
для бесконечных I,ооперативных иrр......... В кн.: COBpeMeHHLIe
направления теорИИ иrр. Вильнюс: l\Iокслас, 1976, с. 94 108.
50. Н у р а т о в с R ий к. Тополоrия. I\I.: Iир, т. {, 2, 1966, 1969.
ЛИТЕРАТУРА
289
51. Л а н к а с т е р К. f\fатематическая ЭКОlIОМIIка. I.: Сов. ра-
дпо, 1972.
52. Л II э. В., !\I а р к у с л. Основы теории оптимальноrо управ..
леНIIЯ. М.: Наука, 1972.
53. Л ъ ю с Р. Д., Рай Ф а Х. Иrры и реmения. f.: ИЛ, 1961.
54. Л я IП К О 11. 11., R и r е л ь В. Р. О некоторых свойствах эффек"
ТИВВЫХ планов мноrокритериальной 8адаqи. В КН.: Вычис..
лит. матем. в совр. научно техн. nporpecce. Напев, 1974, с. 407.......
418.
55. 1\'1 е р к у р ь е в В. В., А! о л Д а в с к и ii 1. А. Семейство свер"
ток Bel\TOpHOI'O критерия для нахождения точек множества
Парето. Автоматика и телемеханика, 1979, М 1, с. 110 121.
56. 1 и Р к и н Б. е. Проблема rрупповоrо выбора. М.: НаУl{а,
1974.
57. М и р к 11 П В. r., п о л и Щ у к Л. И. Использование карт па..
ретовой rраlllIЦЫ в человеко маmинных процедурах решения
мноrокритериальных задач....... В RH.: Тезисы докл. 111 Всесо..
юз. конф. по исслед. операций. rоръкиii, 1978, с 211 212.
58. I\1 о л о Д Ц о в д. А. Реrуляризация множества точек Парето.
ЖВМ и IФ, 1978, N2 3, с. 597 602.
59. М о роз о в В. В. О свойствах множества педоминируемых
BeKTopOB. Вестник lrY, сер. Вычисл. матем. и кпберн., 1977,
М 4, с. 47 51.
60. I о роз о в В. В., Ф е Д о р о в В. В. О формировании BeKTOp
Horo критерия по бинарному отношению предпочтеНIIЯ. ЖВ 1
и IФ, 1980, .м 3, с. 630 639.
61. Н а у м о в r. Е. II раВIIЛО множителей для векторной задаЧiI
оптимизации с бесконечным множеством критериеВ......... ИЗВ. AII
СССР, сер. Техн. кибернетика, 1978, .N2 2, с. 36 38.
62. Ф о н Н е й м а н Дж., l'vl о Р r е н ш т е р н О. Теория пrр и
экономическое поведение. М.: Наука, 1970.
63. Н и к а й Д о Х. Выпуклые структуры и математическая эко"
НОМllка. 1\1.: Мир, 1972.
64. Н о r и н В. Д. О существовании э(IJtрективныx и собственно
эффективных точек для линейной вектор функцип. I.:
BI1HIITII, 1975. Деп. рукопись.
65. Н о r и н В. д. R задаче мноrоцелевоrо проrрамМпроваНпя.......
1\'1.: ВIIIIИТII, 1975. Деп. рукопись.
66. Н о r IJ н В. Д. Неноторые вопросы мноrОКРlIтериальной опти-
мизации с-истем. В КН.: Проблемы СIlстемотехники. 1\Iатери
алы 111 Всесоюзн. симпозиума. Л., 1976, ч. 2, с. 187 190.
67. 11 о r и н В. д. Двойственность в мноrоцелевом проrраымиро
вании. ЖВ1\f п МФ, 1977, .N2 1, с. 254 258.
68. Н о r и н В. Д. Взаимосвязь различных видов реmений задачи
мноrоцелевоrо проrраммирования. Вестник лrу, сер. Матем.,
механ., астроном.. 1977, М 19, С. 143 144.
69. Н о r и н В. д. Iiритерии сущ ствования решений в конеч..
номерной задаче мноrоцелевой ОПТllМlIзации. В кв.: Тезисы
ДОКЛ. 111 Всесоюзн. конф. по исследованию операций. rоръ..
кий, 1978, С. 214 215.
70. Н о r и н В. Д. Об условиях оптимальности в мноrоцелевой оп..
тимизации. В КН.: Численные методы нелинейноrо проrрам-
ырования.. Харьков, 1979, с. 1З9 140.
240
ЛИТЕРАТУРА
71. Н о r и и В. Д. Критерии существовавия реmепий в КОJ,1ечпо-
:r.rерной задаче мноrоцелевой оптпмпзаЦИIl. Вестник лrу, сер.
Мате:м:., механ., астроном., 1980, М 7, с. 27 32.
72. О з е р в о й В. I., Б у я н о в Б. В., В а с ь к п н а Л. I. Алrо-
рптм выделения множества пеподчиненных реmевий в мво-
rокритериалъвых задачах........ В КН.: Проблемы принятпя ре...
mенИй. !I.: ИН Т ПIIOблем управления, 1974, вып. 5, с. 61.....67.
73. О а е р пой В. М., r а Ф т 1\1. r. l\Iетодолоrия реmения ди-
скретных ииоrокритериальвых задач....... В КВ.: lиоrокриТери-
&лъные задачи принятия реmений. 1.: Машиностроение, 1978,
с. 14 47.
74. О р е О. Теория rрафов........ r.: Науна, 1968.
75. О р л о в А. И. У стойчпвостъ В соцпально копомичеСI\ИХ ио-
делях. J\f.: ЭRономпка, 1978.
78. П о Д и н о в с к и й В. В. Примененпе процедуры максимиза-
ции OCHOBHoro локальноrо критерия для решения задач теОрИll
векторной оптпМизации......... Управляемые системы, 1970, вып. 6,
с. 17 22.
77. П о Д п н о в с к и й В. В. j\1етоды мвоrокритериальвой оптпии-
эацип. Вып. 1. ЭффеR1'ивные планы....... I\l., 1971.
78. П о Д и н О в С к и й В. В. Эффективпые последовательности 11
их свойства. В КИ.: IaTeM. методы в СОЦиальн. НауКах........
Вильнюс, 1972, ВЫП. 2, с. 75 88.
79. П о Д и в о в с н и й В. В. Iв()rокрит-ериальные задачи с ОДНО"
родными равпоценнымп КриТерияМи........ ЖВ1\.1 и lФ, 1975, М 2,
с. 330 344.
80. n о Д и в о в с R И Й В. В. О решении 1dноrокритериалъноп зада...
чи как задачи оптимпвации по одному критерию в условиях
пеопределенности........ Автоматика и вычисл. техника, 1976, М 3,
с. 45.......49.
81. П о Д и н о в с к и й В. В. Эффективпые планы в МRоrОRрите'"
риальных задачах принятия: решений в условиях веопреде..
левности. В кн.: I\f одели процессов прииятия решений. Вла..
дивосток, 1978, с. 102......113.
82. П о Д и n о в с к и й В. В. Об относительной важности крqтери"
ев в :мноrонритерпальныx задачах прииятия реmений. В :КВ.:
1flпоrокритериальв.ые задачи принят ия решений. j\1.: ?vIашино"
строение, .1978, с. 48 92.
83. П о Д и н о в с к ий В. В. Привцип rарантированпоrо результа-
та для частичных отношений предпочтения........ ЖВ i и l\IФ,
1979, М 6, с. 1436 1450.
84. П о Д п н о в с j{ и й В. В. Общие автаrоипстические иrры.......
ЖВ l и IФ, 1981, М 5, с. 1140 1153.
85. П о Д и н о в с R И Й В. В., r а в р и л о в В. М. Оптимизация по
последовательно применяемым: Критериям....... М.: СОВ. радио,
1975.
86. П о л и Щ у к Л. И. Об одном семействе диалоrовых проце..
дур припятия ивоrокритериальвых реmеНий......... В кн.: Систе-
мы и методы обработки данных. Новосибирск: ВЦ СО АН
СССР, 1978, с. 76 86.
87. П о л и Щ у к Л. 1'1. RусочВо линейная аППРОRсимация парето..
вой rравицы выпуклых двухкритериаJIЬНЫХ задач...... В кн.:
пnТЕРАТУРА
241
Модели и методы исследования ЗRОВОМ. систем. Новосибирск:
HaYI\a, 1979, с. 108 116.
88. П о с n е л о в r. С., 11 Р и к о в В. А. Проrраммно целевое пла-
нирование и упраВлеНие....... М.: Сов. радио, 1976.
89. П Ф а в Ц а r л ь 1f. Теория измеревий. f.: Мир, 1976.
90. П m е в и q н ы й В. fl. НеоБХОДПYblе условпя эксТреМуМа......
1.: Наука, 1969.
91. Р и о р Д а s Дж. Введение в комбинаторпый ава пз.""" М.: ИЛ,
1963.
92. Р о 8 е в В. В. Ситуации равновесия в прах с упорядоченны-
ми ИСХОДами.--- В КВ.: Современные направления в теории иrр.
Вильнюс: Мокслас, 1976, с. 115 118.
93. Р о к а Ф е л л а р Р. Выпwклыii анализ. 1\1.: Iир, 1973.
94. Р у а Б. 1\ общей методолоrии вырзБОТКII п прпнятия реше..
ппй......... В кн.: Статистические модели и мноrОКрl1терпальв:ые
задачп припятия решений. М.: Статистика, 1979, с. 123 167.
95. С м е й л с. rлобаJIЬВЫП анализ и экономика. 1. Оптимум Па..
рето и обобщение теории lvpca....... Y IH, 1972, т. 27, вып. 3
(165), с. 177 187.
96. Современвое состояние теории исслеДОВания операций/Под
ред. Моисеева Н. Н......... r.: Наука, 1979.
97. С т а т н и к о в Р. Б. Решение мвоrокрптерtIаJIЬНЫХ задач п.ро"
ектировапия машин на основе исследования пространства па..
раМеТроВ....... В КП.: l\lвоrокритериальные задачи принятпя ре..
шепий. Ь1.: IаШIIпостроеlIие, 1978, с. 148 155.
98. Т ы в 11 В С К И Й 11. Т., Ж У к о в с к и й В. И. Дифферевцпаль..
ные иrры с вевулевой суммой (кооперативный варпант)........
В кн.: Ит,оrи науки и техники, сер. faTeM. авализ. ь.I.:
ВИНI1ТИ, 1979, т. 17, с. 3 112..
99. ф и m б е р н П. Теория полезности для привятия решений........
f.: Наука, 1978.
100. Х о м е в ю к В. В., Ч е м е р и с I. Б. Об улyчmаеМQСТИ в мно"
rокритериаJIЬНЫХ задачах...... В кн.: Прикладные методы тео..
рии оптимизации. Владивосток, 1977, с. 28.......33.
101. Ч е р в и к о в С. Н. Линейные HepaBeHCTBa. f.: Наука, 1968.
102. Шор Н. 3. l\Iетоды ыинимиаации недифференцируемых фУRR"
ций и их приложеВия........ Rиев: Наукова думка, 1979.
103. Ш рей Д ерЮ. А. Равенство, сходство, порядоК......... М.: Н ау..
ка, 1971.
104. Э р р о у К. Дж., Б а р а в к и I:l Е. В., Б JI е к у э л л д. Дo
пустимые точки выпуклых множеств. В кн.: Iатричные иr..
ры. М.: Физматrиз, 1961, с. 274.......280.
105. Ю Д и в Д. В., r о л ь m т е й в Е. r. Лицейное проrраммиро-.
ВаНие....... f.: Наука, 1969.
106. Ю т т л е р Х. Линейная модель с несколькими целевыыи
функцияМи........ ЭRОRомика и матем. методы, 1967, т. UI, вып. З,
с. 397........406.
107. А с h i 11 е s А., Е 1 s t е r K. H., N е h s е R. Bibliographie
zur Vectoroptimierung (Theorie und Anwendungen)........ Math.
Operationsforsch. Statist., ser. OptimizatioD, 1979, В. 10, М 2,
S. 277......321.
108. А n е j а У. Р., N а i r К. Р. К.. Bicriteria transportation рrцЬ
lem. Manag. Sci., 1979. v. 25, М 1, р. 73 78.
16 В. в. ПОДИНОВСКИЙ, В. д. Ноrиа
242
ЛИТЕР А ТУР А
109. А r r о w К. J. Social choice and individual values. 2. ed.......
N ew У ork: \\1 Неу, 1963.
110. В е n - 1 s r а е 1 А., В е n. Т а 1 А., С 11 а r n е s А. Necessary
and sufficient conditions for а Pareto орНтит in convex pro..
grаmmiпg......... Econometrica, 1977, v. 45, еМ 4, р. 811 820.
111. В е D s О n Н. Р. Exi tence о! efJiciellt solutions for vector
maximization problems. JOT А, 1978, v. 26, М 4, р. 569.......580.
112. В е n s о n Н. Р. Ап improved definition о! proper efficiency
for vector maximization with respect t cones........ J. lath. Anal.
and Appl., 1.979, v. 71, М 1, р. 232 241.
113. В е n s о n Н. Р. Vector maximization \\ Hb two objective {ипс-
t,ions......... JOT А, 1979, v. 28, 2 2, р. 253.......257.
114. В е n s о n Н. Р., lvI о r i n Т. L. ТЬе yector maximization proh-
lem: proper efficiency and stability........ SIA l J. Appl. Iath., 1977,
v. 32, еМ 1, р. 64......72.
115. В е n v е n i s t е 1\1. Testing for complete efficiency in а vector
maximization problem.......1t'Iath. program., 1977, v. 12, р. 285
288.
116. В е r g s t r е s s е r К., С h а r n е s А., У u Р. L. Generali.
zation of domination structures and nondominated solutions in
multicriteria decision making........ JOTA, 1976, v. 18, М 1, р. 3 13.
117. В е t g s t. r о m Т. С. Maximal elements of асусНс relations оп
compact sets....... J. Есоп. Theory, 1975, v. 10, .м 3, р. 403 404.
118. В 11 а t i а D., G u р t а В. Efficiency in certain nonJinear frac"
tional vector maxin1ization problems. Indian х. Pure Appl.
l\lath., 1980, v. 11, .м 5, р. 669 672.
119. n i t r а n G. Н. Linear muItipJe objective programs with ze..
ro one variables. Math. Program., 1977, v. 13, .м 2, р. 121 1З9.
120. В i t r а n G. Н. Theory and algorithms for linear multiple оЬ..
jective programs with zero one \ ariable8. l\fatll. Program., 1979,
v. 17, М 3, р. 362 390.
121. В о d Р. Linearis рrоgrаmоz8.з tobb, еgуidеjбlеg adott cel-
fi!.ggveny szerint........ l\fagyar tudom. akad. matem. kutat6 intez.
kozl., 1964, М 4, р. 541 558.
122. В о d Р. Оп closed sets having а Ieast e)ement. Optimization
and Oper. Res. Berlin etc.: Springer vTerlag, 1976, р. 23 З4.
123. В о g а r t К. Р. Maximal dimensional partially' ordered set.........
J)iscrete l\fath., 1975, v. 5, М 1, р. 21 31.
124. В о r w е i n J. Proper efficient {)oints for maximization \\'ith
respect to сопеэ. SIAl\tl J. Control and Optimiz., 1977, v. 15,
N2 1, р. 57 63.
125. В о \V m а n v. 1. Оп t11e relationship of the Tchcbysheff norm
and the efficient frontier of multiple criteria objectives. Lec-
tures Notes in Econ. and fath. Syst., 1976, v. 130, р. 76 86.
126. В r а g а r d L., V а n g е 1 d е r е х. Points effieaces еn pro-
grammatfon а objectifs muItiples....... ВиН. Soc. Royale Sci. Liege,
1977, .м 1 2, р. 27 41.
127. В r u с k е r Р. Discrete parameter optimization problem and
essentiaI efficient points. z. Operat. Res., 1972, В. 16, М 5,
S. 189-----197.
128. С а 1 р i n е Н. С., G о 1 d i n g А. Some properties of Pareto..
optimal choices in decision problems........ OMEGA, 1976, v. 4, М 2,
р. 141:......147.
ЛИТЕР А ТУР А
243
129. С е n s о r У. Pareto optima1ity in muItiobjective problems........
Appl. Math. and ОрНт., 1978. v. 4, J\l2 1, р. 41 59.
130. С h а r n е s А., С о о ре r W. \V. 1\fanagement modeIs and
industrial appJications о! linear programming........ New York:'
Wiley, 1961, v. 1.
131. С h u К. - С h. Оп the noninferior set for the systems \унь vec
tor valued objective function. IEEE Trans. Automat. Control,
1970, v. АС........ 15, еМ 5, р. 591 593.
132. С 1 а r k е F. Н. Generalized gradients and applications. Trans.
Amer. Math. Soc., 1975, v. 205, р. 247 262.
133. С о h о n J. L. 1\1 ultioьjective programming and planning........
New York etc.: Academic Press, 1978.
134. С о h о n J. L., С h u r с h R. L., S h е е r D. Р. Generating
mu1tiobjective trade offs: an aJgoritIlffi for bicriterion prob
lems. Water Resources Неэ., 1979, v. 15, М 5, р. 100-1 1010.
135. С о h о n J. L., :rvl а r k s D. Н. l'rIuIti Ьjective screoning modelg
and water resources investment. \Vater Resources Res., 1973,
v. 9, еМ 4, р. 826 836.
136. С о r 1 е у Н. \У. An existence result for maximizations Witll
respect to cones. JOT А, 1980, v. 31, .м 2, р. 277 281.
137. D а С u n h а N, О., Р о 1 а k Е. Constrained minimization
under vector valued criteria in finite dimensional spaces.
J. Math. Anal. and Appl., 1967, v. 19, М 1, р. 103 124.
138. D а t h е Н. М. Zur L6sung des Zuordnungsproblems ьei zwei
Zielgr613en........ Z. Oper. Res., 1978, В. 22, S. 105.......118.
139. D а u е r J. Р. An equivalence result for solutions of multi
objective linear programs. Computers and Oper. Res., 1980,
v. 7, .м 1, р. 33 39.
140. D i n k е 1 Ь а с h \V. SensitiviHitanalysen und parametrische
Programmierung. Berlin etc.: Springer Verlag, 1969.
{41. D i n k е 1 Ь а с h W. Vber einen LOsungansatz zum Vektorma
ximumproblem. In: UnterDehmensforschung Hcute. Berlin:
Springer Verlag, 1971, s. 1 13. .
142. Е с k е r J. G., Н е g n е r N. S. Оп computing ап initial e fi
cient extreme point. J. OpI. Res. Soc., 1978, v. 29, .N2 10,
р. 1005 1007.
143. Е с k е r J. G., Н е g n е r N. S., К о u а d а 1. Е. Generating
а11 щахimаl efficient faces for n1u1tiple objectiye linear pro
grams. 10Т А, 1980, v. 30, .1't2 3, р. 353 381.
144. Е с k е r J. G., К о u а d а 1. А. Finding efficient points for H
near multiple objective programs. !vlath. Program., 1n75, v. 8,
, М 3, р. 375 377.
145. Е с k е r J. G., К о u а d а 1. А. Finding аН erficient extremc
points for multiple objective linear programs. Math. Pro
gram., 1978, v. 14, М 2, р. 249 261.
146. Е 1 s t е r K. H., N е h s е Н. Necessary and sufficient condi
tions for the order completeness о! partially ordercd yector spa
сеэ. Math. Nachr., 1978, В. 81, S. 301 311.
147. Е v а n s J. Р., S t е u е r Н. Е. А revised simplex method fOl'
liDear multiple objectiye programs. Math. Program., 1973, v. 5,
еМ 1, р. 54 72.
148. F а n d е 1 G. Optimal Entscheidung bei mehi.racl1er Zielset
zung. Berlin etc.: SpriDger Verlag, 1972.
16*
244
ЛИТЕРАТУРА
149. F о с k е J. VektormaximumplobIem und parametrische ОрН..
mierung.----- !\Iath. Oper. und Statist., 1973, В. 4, М 5, S. 365
369.
150. F r е h е 1 J. Problemes mu1ticriteres: theorie de lа domination
de Уи et efficacite de Pareto.----- Merta, 1974, v. 13, М 1,
р. 47 57.
151. G а 1 Т. А general method for determining the set of а11 efIi..
cient solutions to а linear vectormaximum problem...... Europ. J.
Oper. Нез., 1977, v. 1, еМ 5, р. 307......322.
152. G а 1 Т., L е Ь е r 1 i n g Н. Relaxation analysis in multi....... cri..
teria linear programming: ап introduction........ In.: Adv. Oper.
Неа...... Amsterdam, 1977, р. 177.......180.
153. G а 1 Т., L е Ь е r 1 i n g Н. RedundaDt objective. functions in
linear vector mахimпm problems and their determination........
Europ. J. Oper. Веа., 1977, v. 1, р. 176 184.
154. G а 1 е D., К u h n 11. \V., Т u с k е r А. W. Linear program...
ming and the tlleory of game........ In: Activity analysis of pro..
duction and allocation........ New York: \Viley, 1951, р. 317.......3 9.
155. G а s s S., S а а t у Т. The computational algorithm for the
parametric objective function....... Naval Res. Logistics Quart.,
1955, У. 2, М 1 2, р. 39.......45.
156. G а w r у с h - Z u k о w s k i А. К о t о w s k i ]., U t а s i е..
w i с z J. Polyoptimierungsprobleme mit nicht konvexen Ziel..
mengen ........ Wiss. Z. Techn. Univers. Dresden, 1980, ."N2 2,
s. 427 429.
157. G е а r h а r t 'V. В. Оп the cllaracterization of Pareto optimal
solution in bicriteria optimization. JOTA, 1979, v. 27, .м 2,
р. 301 307.
158. G е а r h а r t W. В. Compromise solutions апд есзtimаtiоп of
the noninferior set. JOT А, 1979, v.' 28, g 1, р. 29 47.
159. G е о f f r i о n А. 1\1. StrictIy concave parametric programming,
1, II. Мап. Sci., 1966, v. 13, р. 244........253, 359 370.
160. G е о f f r i о n А. М. Solving bicriterion mathematical pro..
grams. Oper. Res., 1967, v. 15, М 1, р. 39 54.
161. G е о f f r i о n А. М. Proper efficienc.y and the theory of vec..
tor maximization. 1. Iath. Anal. and AppI., 1968, v. 22, .N2 3,
р. 618 630.
162. G i е s у D. Р. Calculation of Pareto optimal solutions to ти1-
tiple....... objective probIem.s using threshold of acceptability con
straints. IEEE Trans. Automat. Contr., 1978, v. АС......... 23,
р. 1114.......1115.
163. G о f f i n ж. L., Н а u r i е А. Pareto optimality with nondjf..
ferential>le cost functions....... I.ectures Notes in Econ. and l'flatll.
Syst., 1976, v. 130, {J. 232.......246.
164. G r о s с. Generallzation of Fenchel's duality theorem for con-
vex vector optimization......... Europ. J. Oper. Нез., 1979, v. 2, р. 368.......
376.
165. G u р t а Н. Time--cost transportation problem. Ekon. matem.
obzor, 1977, с. 3, s. 431 44З.
166. Н а i m е s У. Integrated system identification and optimiza..
tion. In: Control and dinamic systems: advances in theory
and applications........ New York: Academic Press, 1973, v. 9,
р. 435......518.
J!ИТЕР А ТУР А
245
167. JI а n n 8 n Е. [.1. U8ing duality theory for ideDtification of pri..
та! efficient point aod for sensitivity analysis in multiple
objective linear programming...... J. Opl. Res. Вос., 1978, v. 29,
М 7, р. 64З 649.
168. Н а r t 1 е у R. Aspeets 01 partial decisionmaking..... kernels of
quasi..... ordered sets. Econometrica, 1976, v. 44, .N2 3, р. 605.......608.
{69. Н а r t I е у R. Оп cone...... efficiency, cone convexity 8nd
cone--compactness...... SIAM 1. Appl. Math., 1978 v. 34, Н 2,
р. 211 222.
170. Н i r а g u t i Т. Оп the dimpnsioD of orders........ Sci. Нер. Kana-
zawa Univ., 1955, v 4, М 4, р. 1......20.
171. Н u а n g S. с. Note ОП the mean 8quare strategy for vec..
tor..valued objective functioDs. 10Т А, 1972, v. 9, 1\1 5, р. 364.......
366.
172. 1 е r m 8 n n Н. Proper efficlency and the Iinear vector ша-
ximum probJem........ Oper. Res., 1974, v. 22, 1-; f, р. 189.......191.
173. 1 8 е r m а n n Н. Existence and duality in multiple objective
linear programming.--- Lectures Notes in Econ. and Math. Syst.,
1976, v. 130, р. 64......75.
174. 1 s е r m а n n Н. The enumeration о! the set of а11 efficient
solutions for а linear multiple objective program........ Oper. Нез.
Q uart., 1977, v. 28, .м зн, р. 711......725.
175. 1 е r m а n D Н. Оп some relations between а dual раи of мп}..
tiple objective linear programs....... Z. Oper. Res., {978, В. 22, М 1,
S. 33......41.
176. 1 s е r m а n n Н. DuaIity fn multiple objective Iinear program..
ming........ Lectures Notes Econ. and Math. Syst., 1978, v. 155,
р. 274......285.
177. I s е r m 8 n n Н. ТЬе enumeration о' аН efficient 80lutions
for а Hnear mulLiple....... objective transportation problem........ Na-
val Res. Logistic'3 Quart., 1979, v. 26, М 1, р. 123......140.
f 78. 1 о k 8 С h Н. с. Сопstrаiпt-з, objectives, efficient solutions and
suboptimization iD m8thematical programming........ Z. fiir die
gesamte Staatswissenschaft, 1966, В. 122, М 1, s. 5......13.
179. К а 18 i Е., S h m е i d 1 е r Р. Оп admissible set occuring in
various bargaining sitпаtiоns. 1. Econ. Theory, 1977, У. 14,
М 2, р. 402......411. .
180. К а о Е. Р. с. А muItiple objective decision theoretic appro
асЬ to one...... machine scheduling problems......... Comput. and Oper.
Re4J., 1980, У. 7, J'i 4, р. 251 259.
181. К в е n е у R. L., R а i f f а Н. Decisions with multiple objec
tives: preferences and val ue tradeoffs....... New У ork: \Viley, 1976.
182. К о j i m а f. Vector maxim ит probIemg. Keio Engin. Ве...
ports, 1971, v. 24, М 4, р 47......64.
183. К о j i m а I. Duality between objects and constraints in vec-
tor орНтит problems. J. Oper. Res. Вос. lapan, i972, v. 15,
р. 5З 62.
184. К о о р m а n' Т. с. Anal 'sis of {>foduction as ап efficient com
binatlon of 8ctivities. In: Activlty analysis of production and
аll(ЮаtiО(l. New York; \Viley, 1951. р. 33......97.
246
ЛИТЕРАТУРА
f85. К о r n Ь 1 u t h J. S. 11. Duality, indiffercnce and sensitivity
ana)y is in mи1tiple objective lincar programming. Oper. Res.
Quart., 1974, v. 25, р. 599 614.
f86. К о r n Ь ] u t h J. s. 11. Accounting in mи1tiple objective linear
programming. Accoиnting Rev., 1974, v. XLIX (2), р. 284.......
295.
187. К u h n Н. W., Т u с k е r А. \V. Non1inear programming. In:
Proc. Second Berkley Symp. оп Math. Stat. and Probab........
Berkeley: Univ. California Press, 1951, р. 481 492.
188. К и 11 g Н. Т., L u с с i о F., Р r е р а r а t а F. Р. Оп finding
the mалirпа of set of vectors. J. A"soc. Comput. 1\fach., 1975,
v. 22, М 4, р. 469 476.
189. L а \V s е r J. J., V о 1 z R. А. А nonzero sum differential game
wHh curious solution properties. IEEE Trans. Automat. Contr.,
1972, v. АС 17, р. 717 718.
190. L е с 1 е r с В. Arbres et dimensions des ordres........ Discrete
l\tlath., 1976, v. 14, М 1, р. 69 76.
191. L i n J. G. Three methods for detel'mining Pareto optimal so
lutions о! mпltiрlе objective problems. In: Directions in
large....... scale systems. New У ork London: Plenum Press,
1976, р. 117 138.
192. L i n J. G. 1\laximal veetors and mu1ti objective optimizati
on. JOT А, 1976, v. 18, М 1, р. 41 68.
193. L i n J. G. Proper equa lity constrail1ts and maximization of
index vectors. JOT А, 1976, v. 20, М 2, р. 215 244.
194. L i n J. G. i\Il11tiple objecti\'e pI'obIems: Pareto...... орtiп]( ]
solutions Ьу method of proper equality constraint'3. IEEE
Trans. АutОПlэt. Contr., 1976, v. АС 21, р. 641 650.
193. L i n J. G. Proper inequality constraints and maximization оС
index veetors. JOT А, 1977, v. 21, М 4, р. 505 521.
196. I.J i n J. G. Multip]e objecti\!e optirnizaHon Ьу а multirlier
nlethod of proper еqпаlitу const[.aints. IEEE Trans. AиLomat.
Contr., 1979, v. АС 24, .м 4, р. 567 573.
197. l\tl-a n g а s а r i а n О. IJ. Nonlinear programming. New
у ork London: :rvlcGraw Hill, 1969.
1С8. langasarian O.IJ., Sutherland \V. Н. S. SoIlltion
of the liпеаr inverse vector optimization probleln Ьу а siIlgle
linear progl>am. lath. Pl'ogrdln., 1978, v. 15, р. 232 23j.
199. 1\1 а r u с i а с 1., R а d u 1 е s с u I. Sur l'onsemble des points
effeeients d'un probleme de la programmation mathematique........
Ann. Sti. Univ. Iasi, 1972, sec. 1А, v. 18, N2 1, р. 209 226.
200. 1\1 а s u d А. S. 11., Н w а n g С. L. l\Iultiple objective deci'5ion
making m thods and applications. Berlin etc: Springer .....
Verlag, 1979.
201. М u k h е r j i А. The existence of cl10ice functions........ Econon1et..
rica, 1977, v. 45, М 4, р. 889 894.
202. N а с с а с h е Р. COIlnectedness of the set of nondominated out.
comcs in nlulticriteria optimization. JOT А, 1978, v. 25, р. 459
467.
203. N а с с а с h е Р. Stability in multicriteria optimization. J.
Math. Anal. and Appl., v. 68, М 2, р. 441 453.
204. Р а r е t о У. Manuel d'economie politique....... Paris: Giard, 1909.
1IИТЕРАТVPА
247
205. Р а s с u а 1 L. D., n е n 1 s r а е 1 А. Vector....... valued criteria
in geometric рrоgrаШnling. Oper. Res., 1971, v. 19, М 1,
р. 98 104.
206. Р а у n е А. N., Р о 1 а k Е., С о 11 i n s D. С., 1'.1 е i s е 1 \v. Б.
An aJgorithm for bicriteria optimization based оп the sensitivity
functions. IEEE Trans. Automat. Contr., 1975, У. АС........ 20, .м 5,
р. 546 548.
207. Ре 1 е g В. Topological properties of the efficient point 8et......
Proc. Amer. fvlath. Soc., 1972. v. 35, р. 531......536.
208. Р h i 1 i Р J. Algorithms for the vector maximization proh..
lет....... Matll. Program., 1972, v. 2, -м 2, р. 207........229.
209. Р h i 1 i р J. An a)gorithtn {о! cOnlbined quadratic and m111ti..
objective programmiDg. In: Lectures Notes in Есоп. and Math.
Syst......... Berlin etc.: Springer...... Ver)ag, 1976, v. 130, р. 35 52.
210. Р h i 1 i р J. Vector maximization at а generate vertex. 1\lath.
Pl.ogram., 1977, v. 13, М 3, р. 357 359.
211. Polak Е. Оп the approxin]ation of olutions to the m111tiple
criteria decision making problems......... In: Lectures Notes in Econ.
and Iath. Syst. Bcrlin etc.. Springer........ Verlag, v. 123, р. 271.......
282.
212. Р о 1 а k Е., Р а у n е А. N. Оп multicriteria optimization......... In
book: Directions in large....... scale systems......... N е\У У ork Lon.
don: Plenum Press, 1976, р. 77 94.
213. R е i d Н. \V., V е m u r i У. Оп the noninferior index approach
to large scale m t1lti criteria systems. J. Franklin Inst.
1971, v. 291, .N2 4, р. 241 254.
214. R о d d е r \У. А generalized saddlepoint theory. Its аррНса-
tion to duality theory for linear vector optimum problems.........
Europ. J. Oper. Res., 1977, v. 1, р. 55 59.
215. R u d е а n u S. Programmation bivalente а plusieur fonctions
economiques. RIRO, 1969, N2 Y 2, р. 13 30.
216. R u h е G. Not\vendige und hinreichende Bedingungen fur Vek.
toroptimaliHit. \Vissen. Z. Techn. Hoshschule Leipzig, 1978,
М 6, S. 379 384.
217. S а s k а J. Linearni multiprogramovani. Ekon. matem. obzor,
1968, С. 3, в. 357 37З.
218. S с h оп f е 1 d Р. Some duality theorems for the non linear
vector maximum problem......... Unternehmensforschung, 1970, В. 14,
2 1, S. 51 63.
219. S с о Ь е у Р., к а Ь е D. G. Vector quadratic programming
problems and ineqllality constrained least squares estimation........
J. Industr. Math. Soc., 1978, v. 28, М 1, р. 37 50.
220. S е i f о r d L., У u Р. L. Potential solution of linear sys--
telUS: the mu1ti criteria mu1tiple constraint levels program.........
J. l\fath. AnaI. and Appl., 1979, У. 69, М 2, р. 283 303.
221. S е n А. К. Collective choice and social \velfare. San Fran..
cisco: Holden Day, 1970.
222. S m а 1 е S. Optimizing several fl1nctions. In: Manifolds.
Tokyo: Univ. о! Tokyo Press, 1973, р. 69 75.
223. S m а 1 е S. Global analY'3is and economics, V. Pareto theory
with constraints....... J. Math. Econ., 1974, У. 1, р. 213 221.
248
J1ИТЕРАТУРА
224. S о 1 а n d R. I. rulticriteria optimization: а general charac.
terization of efficient solutions. Decision Sci., 1979, v. 10,
М 1, р. 26 38.
225. S r i n i v а s а n V., Т h о m р s о n G. 1..1. AIgorithms for mini..
mizing total cost, bottleneck time and bottleneck shipment in
transportation problems........ Na\?al Re'J. Logistics Quart., 1976,
v. 23, р. 567 595.
226. S t а d 1 е r \У. А survey of multicriteria optimization or the
vector maximum РI'оЫет, part 1: 1776 1960...... JOT А, 1979,
v. 29, .м 1, р. 1......52.
227. Т а Ь а k D. Computer bascd experimentation \yith multicriteria
optimizatioll problems....... IEEE ТIЗПS. 8)7st., ыn,' Cybern., 1979,
v. Sl\IC 9, М 10, р. 676........679.
228. Т а k а о U. Tlle continцity of а critical points set with аррН..
cations to SOlne decision problem9........ SIA I 1. Appl. fath., 1971,
v. 21, М 1, р. 145......154.
229. Т а m u r а К. А method for constructing the polar сапе о! а
polyhedral cone, with applications to linear multicriteria deci-
sion problems....... JOTA, 1976, v. 19, М 4, р. 547.......564.
230. Т а m u r а К., 1\1 i u r а s. Оп linear vector maximization
problems........ J. Oper. Нез. Soc. Japan, 1977, У. 20, М 3, р. 139.........
149.
231. Т а m u r а К., М i u r а s. Necessary and sufficient condition'3
for local and global nondominated solutions in decision ртоЬ-
lems with multi...... objectives....... JOT А, 1979, v. 28, М 4, р. 501......
523.
232. Т а n i n о Т., S а w а r а g i У. Duality theory in multiobjcc..
tive programming......... JOT А, 1979, v. 27, М 4, р. 509......529.
233. Т а n i n о Т., S а w а r а g i У. Stability of nondominated so
lutions in mu1ticriteria diсisiоп mаkiлg...... JOT А, 1980, v. за,
.м 2, р. 229..........253.
234. Т а n i n о Т., S а w а r а g i У. Conjugate тарз and duality in
multiobjective optimization...... JOT А, 1980, У. 31, 4, р. 473......
499. '
235. \У а 1 d А. Contributions to the theory of statistical estimation
and testing hypothesis........ Annals j\Iath. Statist., 1939, v. 10,
р. 299......326.
236. W а 1 k е r М. Оп the existence of maximal elements...... J. Econ.
Theory, 1977, v. 16, р. 470......474.
237. \V а n У....Н. Оп local pareto optima....... J. Math. Econ., 1975, v. 2,
р. 35.....42.
238. \V а n Y. H. Оп the algebraic criteria for local Pareto optima.....
In: Dinamical systen1s........ N е\У У ork: Academic Press, 1977,
р. 503......505.
239. V а n W а s s е n h о v е L. N., G е 1 d е r s L. F. Sol\Ting а
bicriterion schedllling problem. Europ. 1. Oper. Res., 1980,
v. 4, М 1, р. 42 48.
240. \V е n d е 11 R. Е., Н u r t е r А. Р., L о \У е Т. J. Efficient
points in Iocation problem. AIIE Trans., 1977, У. 9, М 3,
р. 238.....246.
241. W е n d е 11 Н. Е., L е е D. N. Efficiency iI1 m u1tiple objectiye
optimization рrоыршs......... l\lath. Program., 1977, v. 12, М 3,
р. 406 414.
ЛИТЕР .А ТУР А
249
242. \У h i t е D. 1. KerneIs of preference structures....... Economctrica,
1977, v. 45, N2 1, р. 91.......99.
243. \V h i t е D. J. Duality and vector optima for polyhedra1 sets.
J. Opl. Нез. Soc., 1979, v. 30, М 1, р. 81.......84.
244. \V h i t е D. J. Optimality and efficiency. 1, 1 1....... Europ. J.
Oper. Res., 1980, v. 4, У . 346 355, v. 6, 426 427.
245. У u Р. L. А class о solutions for group decision problems.......
Man. Sci., t 973, v. 19, М 8, р. 936......946.
246. У u Р. L. Cone convexity, cone extreme points, and nondomi-
nated solutions in decision problems with multiobjectives.
JOT А, 1974, v. 14, М 3, р. 319 377.
247. У u Р. L., Z е 1 е пуМ. ТЬе techniques of linear multiobjec..
tive programming........ RAIRO, 1974, У. 8, М V........ 3, р. 51......71.
248. У u Р. L., Z е 1 е пуМ. The 5et of аН non1lominated solutions
in linear cases and а multicriteria simplex method........ J. Math.
Anal. and Appl., 1975, У. 49, еМ 2, р. 4 468.
249. Z а d е h L. А. Optimality and nonscalar valued performance
criteria........... IEEE Trans. Automat. Contr., 1963, v. АС....... 8,
р. 59.......60.
250. Z е 1 е пуМ. Linear multiobjective programming....... New York ........
Berlin: Springer....... Verlag, 1974.
251. Z е 1 е n у 1. MCDM bibliography...... 1975....... Lectures Notes in
Econ. and l\fath. Syst....... Berlin etc.: Springer........ Verlag, 1976,
v. 123, р. 291.......321.
252. Z е 1 е пуМ. М ulticriteria simplex method: а FORTRAN rou
tine........ Lectures Notes in Econ. and Math. Syst.: Berlin etc.:
Springer..... Verlag, 1976, v. 123, р. 323.......345.
253. Z i о n t s 5., W а 11 е n i u s J. Identifyina- efficient vectors:
воте theory and computational result........ Oper. Нез., 1980, У. 28"
М 3 (11), р. 785.......793.
254. Z о w е 1. Fenchelsche Dualitatsaussagen in endlichdimensio-
nalen hajbgeordneten Vektorraumen........ ZAMM, 1973, В. 53,
В. 230.......232.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
255. А л е к с е й ч n R М. 11., 11 а у м о в r. Е. о существовании
эффективных точек в задаче беСI{онечномерпой векторной оп
Тиl\fизацип........ Автоматика и телемехаВIIRа, 1981, N2 5, с. 135
140.
256. А л е к с е й ч и к М. И., Н а У м о в r. Е. СвоЙства и устойчи-
вость оптимальных альтернатив в бесковечномерном критери
альном простраНсТВе........ В КН.: 1 Всесоюзн. совещ. по статист.
и дискр. анализу, вечисл. информ., ЭRСП. оценкам и дискр.
ОП ТИМ. (тезисы ДОКJI.). ь-I....... Алма Ата, 1981, с. 304 305.
257. Б е р е 8 о В С К И Й Б. А., Б о Р з е Н к о В. И., R е м п н е р л. !vl.
Бинарные отноmеппя в мноrокритериальвой оптиМизации........
?\1.: JlaYKa, 1981.
258. В а ч в а Д з е Р. r., I е т р е в е л и Д. r. Парето оптимальНые
решения с нечеТКПМII целями 11 оrраНиченилМи........ Сообщ. АН
fpya. CCP J 1979) .м 3, с. 565 567,
250
ЛИТЕРАТУРА
259. r JJ и В к n н 11. А. Об одновременном ПОИСl{е экстреМУМОD не.
СI{ОЛЬRИХ фуНкций....... В I\B.: fаТематические методы виссде"
довании операций........ rvI.: Mry, 1981, с. 46.......54.
260. r у р 11 П л. r. о попятии точек равновесия И точек Парето в
задачах со случайными факторами. 11\В1\1 1I МФ, 1981, .м 6,
с. 1411 1422.
261. Д е 1\1 ъ Я н о в В. Ф., В а с и л ь е в л. В. IIедифферепцируе-
мая оптимизация. М.: Наука, 1981.
262. Д у б о в ю. А. У стоfIчивость оптимальных по Парето вектор..
ных оценок и e paBHOMepHыe реmения. Автоматика и теле-
механина, 1981, М 6, с. 139 146.
263. Е м е л и ч е в В. А., R о м JI И Н В. и. 1\Iетод построения после.
дова тельности планов для реmения задач дискретной оптимп..
зации........ М.: Науна, 1981.
264. Е Р о m о в с. А. О представлении бинарноrо отношения век..
торным критерием. В I\П.: 1 Всесоюзи. совещ. по статист. и
дискр. анализу, нечисл. инqюрм., эксп. оценкам и дискр. оптим.
(тезисы докл.). М....... Алма Ата, 1981, с. 316.......317.
265. Ж у к о в и н В. Е. Модели и процедуры привятия решений........
Тбилиси: Мецниереба, 1981.
266. К и пиР. Л., Рай ( a х. П рипятие решений при МНОfПХ
I\ритериях: преДПОЧТСПIIЛ и заМещения........ М.: Радио и связь,
1981 (русский перевод I{пиrи [181]).
267. К Р ю ч 1\ О В ю. В., п о Д и н о в с к и й В. В. Взаимные заД(l-
чи оптимизации систем........ В НН.: Моделирование сложных си..
CTeM. Риrа: 3инатне, 1973, вып. 2, с. 86 87.
268. 1\1 о л Д а в с к 11 Й 1\1. А. О выделении множества недоминирус"
мых решений в непрерывных задачах венторной оптимпза 4
ции. Автоматика, 1981, .N2 5, с. 48........55.
269. 1\'1 о л Д а в с R И Й М. А. О равномерности параметризации мно-
жества Парето....... В кн.: Проблемы и методы принятия реше..
ний в орrаиизационных системах управления (тезисы докла..
дов). l\f. 3веНИfОрОД, 1981, с. 72........73.
270. 1\1 о Р о 3 О В В. В., Ф е Д о р о в В. В. О линейных задачах в
проектировании систем. Вестник IvIry, сер. Вычисл. матем.
и Rиберп., 1981, см 2, с. 35........39.
271. Н о r и 11 В. Д. Связь задачи выбора оптимальных реmений с
задачей мноrоцелевой оптимизации. В I{Н.: Сложные систе-
мы упраВJIения. Киев: fIH T киберн. АН УССР, 1977, с. 22.....
31.
272. Н о r и н В. Д., П о Д Il Н О В С К И Й В. В. ДвоЙственные MHoro..
критериальные задачи......... В кн.: Проблемы и :методы принятия
реmений в орrанизаЦIIОННЫХ системах управления (тезисы до..
кладов). 1\f. 3вениrород, 1981, с. 78 79.
273. П о л и Щ у к Л. И. Двойственные оценки в l\Iноrокритериаль.
ных задачах II теорема взаимности. В ки.: 1eTOДЫ апаЛИ.:Jа
и взаимодей.ствия в экономических сисТемах......... Н:овосиБИРСI{:
Наука, 1980, с. 60 78.
274. П о л и Щ у к л. И. Карты пареТОБОЙ rраницы, порожденпые -
расслоениями пространства RритериеВ......... В кн.: MeToJ(bI ана-
лиза и взаимодействия в экономических сисТемах'....... Новоси-
бирск: Наука, 1980, с. 78 100.
ЛИТЕРАТУРА
251
275. Поп о в 11. М. АППрОI\симация MIIOiKeCTBa полуэффективных
точек при деКОМllОЗИЦИИ задач проеI{тировапия. Вестник
Mry, сер. Вычисл. матем. и киберн., 1DS1, М 1, с. 44 48.
276. Рап о пор т Л. Б. Об одном методе реmения минимаксных
задач и поиска эффективных точек с помоп ыо штрафных
фУНКЦИЙ. В КН.: Модели и методы формирования и мпоrо
критериальноrо выбора предпочтительных ва риантов систем.
Сб. трудов, вып. 1. 1\1.: ВНИIIСII, 1981, с. 91 97.
277. С о б о л ь И. 1\1., С т а т н и 1\ О В Р. Б. Выбор оптимальпых па
раметров в задачах со МIIоrими критеринмп. 1\1.: IIаУБа, 1981.
278. Т Р а в 1\ и Н С. И., r л у щ е н R о А. С. I{ласси(рикаЦIiН элемеll
тов случайпой выборки при последовательпом выделенип па-
реТОВСRИХ MHOjI\eCTB. В КИ.: l\Iодели и методы формирования
и мноrокритериальноrо выбора предпочтительных вариантов
систем. Сб. трудов, вып. 1. М.: ВНИlIСИ, 1981, с. 48 64.
279. Шеф ерЕ. А. 11рименение метода ветвей и rрапиц для по...
строения множества Парето в дискретной задаче векторной
ОПТИМИзации. 1.: ВИНИТИ, 1981. Деп. рукопись.
280. В е n s о n Н. Р. Finding ап initial efficient extreme point for а
linear multiplc objcctive pI.ogram. 1. Opl. Res. Soc., 1981, v. 32,
р. 495 498.
281. В r а g а r d L., V а n g е 1 d е r е 1. Adjonction ou suppression
d'objectifs en programn1ation а objectifs lineaires multiples.
Canad. tvlatll. BuH., 1980, У. 23, .м 2, р. 143 153.
282. В r u m е 11 е Sh. Duality for multiple objective convex prog
rams. l\'1athematics Ops. Res., 1981, v. 6, М 2, р. 159 172.
283. В u r k а r d R. Е., К е i d i n g 11., Р r u z а n Р. М. А relation
ship bet,veen optimality and efficiency in mlllticriteria O 1
programming problems. Comput. Ops. Res., 1981, У. 8, см 4,
р. 241 247.
284. С о r 1 е у Н. w. А ne,v scalar equivalence for Pareto optimiza
tion. IEEE Trans. Automat. Control, 1980, У. AC 25, М 4,
р. 829 830.
285. С о r 1 е у 11. \V. А fixed point interpretation of Pareto optimi
zation. IEEE Trans. А utomat. Control, 1981, У. AC 26, .м 3,
р. 766 767.
286. G а 1 Т., L е Ь е r 1 i n g 11 Relaxation analysis in linear vector...
valued maximization. Europ. 1. Opl. Res., 1981, v. 8, .N2 3,
р. 274 282.
287. К о r n Ь 1 u t l} J. S. Н., S t е u е r R. Е. Multiple objective li
near fl'actional programming. Management sci., 1981, У. 27,
1\12 9, р. 1024 1039.
288. V i 11 а r r е а 1 Б., К а r \v а n М. Н. М ulticriteria integer prog
ramming: а (llybrid) dinamic programming recur8ive appro
ach......... 1\1atll. program., 1981, У. 21, р. 204 223.
289. W i е r z Ь i с k i А. Р. А methodological guide to multiobjective
optimization. In: Lect. N otes Contr. and Inform. Sci., 1980, У. 22,
р. 99 123.
290. \V h i t е D. J. Rational 801 ution axioms and efficient sets.
Europ. 1. Opl. Res., 1981, v. 8, М 1, р. 66 75.
291. Z i m m е r m а n Н. 1. Fuzzy programming and linear program
ming with several objective functions........ Fuzzy sets and systems,
1978, У, 1, р. 45 55.
Аксиома Па ре то 29, 30
Вектор функция оrравиченип
14
rрадиент функции 98
...... ...... обобщенный 132
Допустимое преоб разова пне 12
Задача векторной ыаксимиза-
ции 33
Иrра бескоалиционная 94
....... с фиксированной после..
довательностью ХОДОВ 96
КваЗППОРПДОR (частичный) 17
Класс эквивалентности 17
I\онус доминирования 36
....... паса тельный 53
....... рецессивный 205
I\ритерии неЗ8висимые по
предпочтению 28
эквивалентные 60
Критерий 9
аrреrированный 13
...... BeI{TO рныЙ 10
..... rлавный 46
....... начественный 11, 13
---- количественный 11, 12
...... везависимый по предпочте.
пию 28
...... обобщенный 13
...... частный 10
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
l'1li
Лемма Цорпа 158
поrокритериальная вадача
иаксимизации 28
...... --- Jrfивимизации 28
.... .... оптимизации 9
...... ...... ....... булева 15
..... ..... ....... во r н ут ан 15
...... ...... ..... двойственная 201, 214,
215, 220, 225, 226
..... ........ ........ ДИ с к р е т н а я 15
...... ...... ....... ко в е ч н а я 15
..... ...... ...... ЛИ Н е й н ан 15
...... .... .... прямая 200, 213, 214
...... ...... ...... целочислевная 15
Множество внешне УСТОЙЧИ80е
20, 34
...... внутренне устойчивое 20
....... выпуклое 98
....... ...... по lIап равлеUIIЮ 102
....... достижимых (веI\ТОрПЫХ)
оценок 10
...... дуrообразно связпое 151
...... аамкнутое сверху 22
...... исчисли мое 15 .
....... коuфиналъное 34
номеров активных оrраниqе-
ний 113, 124
...... оцеНОIt 10
...... Парето 32
...... полиэдральвое 112
...... реберно связное 168
....... реmений 9
...... слабо эффективное 32
...... стяrиваемое в себе 151
....... эффективпо выпуклое 104
---- эффективное 32
Объект (элемент) максималь-
ный 20
минимальный 22
\
ПРЕДМЕТНЫЙ УНАЗАТЕЛЬ
Объект наилучший 20
....... наихудший 22
ОПТИМУ1.1 Парето 31
..... слабый 32
Ортант положительный 15
Отношение (бинарное) 16
антисимметричное 16
........ асимметричное 16
........ безразличия 19
....... иррефлексивное 16
........ несвязное 17
..... HecTpororo предпочтения 19
........ обратное 16
........ полное 16
предпочтения 19
........ рефлексивное 16
........ связи ое 16
........ симметричное 16
........ ....... crpororo предпочтения
19
........ ....... транзитивное 17
........ ....... эквивалентности 17
Оценка (вектоеная) 10
........ лексикоrрафически опти
малъная 53
....... несобственно эффективная
51
........ оптимальная по Борвейну
54
....... ...... по Джоффриову 50
....... ....... по IIa рето 31
....... ....... по Слейте ру 32
........ Парето--оптимальная 31
........ подлинно эффективная 54
....... слабо оптимальная по Па..
рето 32
собственно эффективная 50
........ эффективная 3f 32
....... Е эффективвая 59
Поляра 205
Порядок (частичный) 17
....... лексикоrрафический 52
........ строrий 17
IIоследовательностъ максимизи..
рующая 26
....... эффективная 59
ПреДПОрЯДQК 17
Производная функции обоб..
щенная 132
..-or ...... по напраВ"lению 132
253
Разбиение 17
Ретракт 153
Рецессивное направление 156,
205
Решение 9
....... локально эффективное 129
...... Неймана....... Ь10рrенmтерна
21
....... оптимальное 9
....... ....... по Борвейну 54
........ ....... по Джоффриону 51
....... по Па рето 33
....... по Слейтеру 33
....... Парет<н>птимальное 33
...... подлинно эффективное 54
....... симметрично лексикоrрафп
чески оптимальное 92
....... слабо эффективное 33
........ f эффеКТlIвное 33
собственно эффективное 51
CTporo эффективное 129
......... эффективное 33
f эффективпое 33
...... е эффективное 60
Седловая точка (пара) 110, 190
Ситуация равновесия 94
....... cTpororo равновесия 94
Скаляризация 183, 184
СУiI\енпе (бина pHoro) отноше..
ния 16
Теорема (об альтернативе) Моц..
кипа 100
....... Таккера 100
........ Фана...... rликсберrа ...... rоф
фмана 100
Тип шкалы 12
у словив Липmица лоналъное
131 -
........ реrулярности 124
........ Слейтера 110
Функция аффинная 114
воrнутая 98
возрастающая 22
....... выбора 24
..... выиrрыша 94
..... выпуклая 99
....... квазивоrпутая 98
254
ПРЕДМЕТНЫЙ УНА3А ТЕЛЬ
Функция критериальная 9
Лаrранжа векторная 198
........ скалярная 11 О
.......... неубывающал 22
полезности 23
полиэдральнал воrпутая 114
псевдовоrнутал 98
.......... обобщенно 134
псевдовыпуклая 99
сильно квазивоrнутая 99
.......... CTporo воrнутая 98
.......... .......... квазивоrнутая 99
Функция целевая 9
ценности 23
Ширина частично упорядочеtt...
Horo MHOih'"'eCTBa 171
Шнала балльная 13
интервалов 12
....... критерия 10
отношений 12
порядковая 13
Ядро (бинарноrо) отвоmенин 21
В./fл uеJt(и/ ВлаёJu.мuроеuч По uноеекuй
ВJtадu.м'UрД.мuтрuевич Ноеи'Н-
ПАРЕТО ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
].V!ноrОНРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
(Серил: «Энономино математичесиая библиотеRа )
Редаитоl' Е. Ю. Х одан
Техничесний редантор Л. В. Лu ачева,
Норренторы С. Н. :Лfакарова, А. Л. lfnaToea
ИВ М.12032
Сдано в набор 14.08.81. Подписано }( печати 03.05.82. T 06889. Формат
81Х 1081/32. Бумаrа тип. J\JV 2. Обынновен:ная rapHIITypa. Бысоная печать.
УСЛОВН. печ. л. 13,44. Уч. изд. л. 13,6. Тираж 7000 ЭИ3! 3аназ М 707! Це-
на 1 р. 50 н.
Издательство «Науиа»
rлавная реданция физино математичесиой литературы
117071, Москва, Б 71, Ленинсиий проспеит, 15
4 я типоrрафия: издательства «Науиа»
630077, Новосибирси, 77, Станиславсноrо, 25