/
Author: Меркулов В.И. Канащенков А.И.
Tags: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника радиолокация радиотехника авиация радиоуправление
ISBN: 5-93108-035-X
Year: 2003
Similar
Text
Том 1
Принципы построения /
систем радиоуправления^
Основы синтеза и анализа
АВИАЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
РАДИОУПРАВЛЕНИЯ
Авиационные системы
радиоуправления
В 3-х томах
Под редакцией
А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова
Том 1
Принципы построения систем радиоуправления.
Основы синтеза и анализа
Том 2
Радиоэлектронные системы самонаведения
Том 3
Системы командного радиоуправления.
Автономные и комбинированные системы наведения
Том 1
Принципы построения
систем радиоуправления.
Основы синтеза и анализа
Москва,‘Тадвотаомка”, 2003
УДК 629.7.058.53
П75
ББК 32.95
Серия “Авиационные системы радиоуправления”
Редакционная коллегия:
главный редактор - д.т.н., проф. А. И. Канащенков
зам. главного редактора - к.т.н., проф. В. И. Меркулов
члены редколлегии: д.т.н., проф. В. Н. Антипов; д.т.н., проф. А. И. Перов;
д.т.н., проф. И. С. Рыжак; д.т.н., проф. В. Н. Саблин; с.н.с., к.т.н. О. Ф. Самарин;
д.т.н., проф. Б. Г. Татарский
Меркулов В. И., Дрогалин В. В., Канащенков А. И., Лепин В. Н.,
Самарин О. Ф., Соловьев А. А.
П 75 Авиационные системы радиоуправления. Т. 1. Принципы построения
систем радиоуправления. Основы синтеза и анализа / Под ред. А. И. Кана-
щенкова и В. И. Меркулова. - М.: “Радиотехника”, 2003. - 192 с.: ил.
ISBN 5-93108-035-х
В книге изложены общие закономерности функционирования авиационных сис-
тем радиоуправления и современные алгоритмы их синтеза и анализа, основанные
на представлении процессов и систем в многомерном пространстве состояний.
Для инженеров и научных работников, связанных с проектированием и эксплуа-
тацией систем радиолокации и радиоуправления. Может быть полезна препода-
вателям, аспирантам и студентам радиотехнических факультетов вузов.
УДК 629.7.058.53
П 75
ББК 32. 95
ISBN 5-93108-035-х
© Авторы, 2003
© Радиотехника, оформление, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................... 6
Введение ..................................................... 8
Глава 1. Общие сведения об авиационных РЭСУ ................. 15
1.1. Классификация авиационных РЭСУ ................... 15
1.1.1. Неавтономные РЭСУ............................ 16
1.1.2. Автономные РЭСУ ............................. 17
1.1.3. Комбинированные РЭСУ......................... 18
1.2. Этапы функционирования РЭСУ....................... 20
1.3. Режимы управления летательными аппаратами ........ 24
1.4. Эффективность РЭСУ................................ 28
1.4.1. Критерии и показатели эффективности РЭСУ .... 28
1.4.2. Интегральные квадратичные функционалы
качества ............................................ 31
1.4.3. Эффективность РЭСУ на этапе дальнего
наведения ........................................... 33
1.4.4. Эффективность РЭСУ на этапе ближнего
наведения ........................................... 36
1.4.5. Эффективность РЭСУ на этапе наведения ракет . 38
1.4.6. Эффективность РЭСУ на этапе бомбометания... 41
Глава 2. Общие сведения о современных методах
синтеза и анализа РЭСУ....................................... 44
2.1. Методы синтеза РЭСУ в пространстве состояний.... 44
2.1.1. Постановка задачи синтеза оптимального
управления .......................................... 50
2.1.2. Необходимые условия синтеза РЭСУ............. 55
2.1.3. Условия упрощения синтеза РЭСУ .............. 59
2.2. Методы анализа РЭСУ в пространстве состояний.... 60
Глава 3. Синтез оптимальных РЭСУ ............................ 65
3.1. Метод динамического программирования ............. 65
3.2. Алгоритмы управления, оптимальные в постановке
Лётова-Калмана......................................... 68
3.3. Алгоритмы управления, оптимальные по локальному
критерию .............................................. 72
3.4. Учёт измеряемых возмущений при локальной оптимизации
дискретных систем ................................... 74
3.5. Оптимизация коэффициентов штрафов функционала
качества ............................................ 76
3.5.1. Оптимизация коэффициентов штрафов
функционала качества для аналоговых систем ...... 76
3.5.2. Оптимизация коэффициентов штрафов
функционала качества для дискретных систем ...... 79
3.6. Алгоритмы линейного оценивания ................. 82
3.6.1. Алгоритмы оптимальной линейной фильтрации . 82
3.6.2. Алгоритм оптимальной экстраполяции......... 85
3.6.3. Алгоритмы идентификации параметров систем
и процессов ..................................... 90
3.7. Алгоритмы адаптивной фильтрации ................ 92
3.7.1. Алгоритм совместной фильтрации и параметрической
идентификации ................................... 93
3.7.2. Алгоритм адаптивной фильтрации с коррекцией
коэффициента усиления невязки ................... 97
3.7.3. Алгоритм адаптивной фильтрации с оптимальной
коррекцией прогноза.............................. 99
3.8. Адаптивная аналого-дискретная фильтрация....... 101
3.9. Обобщённые структурные схемы оптимальной РЭСУ . 103
Глава 4. Устойчивость РЭСУ................................ 107
4.1. Устойчивость многомерных динамических систем... 107
4.2. Устойчивость и расходимость оптимальных фильтров .... 110
4.3. Предотвращение расходимости оптимальных фильтров .. 117
4.4. Устойчивость оптимальных контуров управления... 122
Глава 5. Точность РЭСУ ................................... 126
5.1. Классификация ошибок управления и показатели
точности ........................................... 126
5.2. Причины появления ошибок управления и промахов. 129
5.2.1. Влияние метода наведения и динамических
свойств объекта управления и цели на точность
наведения ...................................... 129
5.2.2. Влияние ошибок измерителей на точность
управления ..................................... 134
5.2.3. Влияние обтекателей антенн на точность
радиолокационных измерителей и устойчивость
систем наведения................................. 136
5.2.4. Влияние угловых шумов на точность РЭСУ .... 139
5.3. Влияние бортовых вычислителей на точность
функционирования РЭСУ................................ 143
5.3.1. Виды ошибок, возникающих в бортовой
вычислительной системе при решении задач РЭСУ . 143
5.3.2. Представление чисел в арифметических
устройствах и регистрах процессоров................ 146
5.3.3. Ошибки реализации численных алгоритмов .... 148
5.3.4. Ошибки, обусловленные квантованием по времени
и запаздыванием ................................. 153
5.3.5. Требуемые показатели вычислителей ......... 155
5.4. Потенциальная точность оптимальной РЭСУ......... 158
5.5. Методика приближенного анализа РЭСУ на точность.. 161
5.5.1. Методика расчёта динамических ошибок РЭСУ . 162
5.5.2. Методика расчёта флуктуационных ошибок РЭСУ. 164
Глава 6. Чувствительность РЭСУ............................. 167
6.1. Общие сведения о чувствительности РЭСУ.......... 167
6.2. Интегральная чувствительность контура управления,
оптимального по локальному критерию ................ 171
6.3. Чувствительность информационных контуров РЭСУ.... 181
Литература ................................................ 187
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уважаемый читатель! Вашему вниманию предлагается том 1
трехтомной монографии «Авиационные системы радиоуправления»,
являющийся вторым переработанным и дополненным изданием книги с
аналогичным названием (1997 и 1998).
За годы, прошедшие после выпуска первого издания были обоб-
щены и подготовлены к изданию новые материалы, часть из которых
была написана по просьбе читателей.
В томе 1 “Принципы построения систем радиоуправления. Осно-
вы синтеза и анализа” излагаются общие сведения о радиоэлектронных
системах управления летательными аппаратами, как разновидности
сложных, многомерных информационно-управляющих систем, постро-
енных по иерархическому принципу. На основе математического аппа-
рата статистической теории оптимального управления (СТОУ) рассмат-
ривается современная теория синтеза и анализа оптимальных и квазиоп-
тимальных алгоритмов обработки информации при представлении про-
цессов и систем в многомерном пространстве состояний. Алгоритмы
этой теории позволяют синтезировать законы управления летательными
аппаратами и алгоритмы обработки информации, совместно наилучшие
по критерию «точность-экономичность» с учетом реальных ограниче-
ний на быстродействие исполнительных органов и сигналы управления.
По сравнению с предыдущим изданием добавлены материалы по теории
синтеза дискретных систем, алгоритмам адаптивной и аналого-дискретной
фильтрации, нашедшие применение в практике разработки авиационных
систем радиоуправления. Кроме того переработан материал, в котором рас-
сматривается влияние бортовых вычислителей на точность функциониро-
вания радиоэлектронных систем управления в целом.
Необходимо отметить, что из огромного числа известных алго-
ритмов СТОУ в книге рассматриваются только те, которые будут ис-
пользованы в монографии при синтезе и анализе систем радиоуправ-
ления различного назначения и их составных частей.
Том 2 “Радиоэлектронные системы самонаведения” посвящен
особенностям построения, функционирования, а также синтеза и анали-
за радиоэлектронных систем самонаведения, рассматриваются совре-
менные и перспективные методы самонаведения самолетов и ракет, ал-
горитмы функционирования радиолокационных измерителей, обеспе-
чивающих различные методы наведения, и алгоритмы формирования
сигналов управления летательными аппаратами. При этом оптимальные и
6
квазиоптимальные алгоритмы функционирования радиоэлектронных сис-
тем самонаведения и их составных частей синтезируются и анализируются
на основе математического аппарата СТОУ, рассмотренного в первом томе.
Основное внимание уделено синтезу перспективных алгоритмов траектор-
ного управления самолетами и ракетами, а также многоконтурных радио-
локационных измерителей, позволяющих обеспечить высокие точность,
быстродействие и устойчивость сопровождения интенсивно маневрирую-
щих объектов в режимах непрерывной пеленгации и одновременного со-
провождения нескольких целей. По сравнению с первой редакцией в него
добавлен материал по синтезу оптимальных методов наведения самолетов
и ракет на наземные объекты в системах с активным и полуактивным син-
тезированием апертуры антенны и их чувствительности к точности исполь-
зуемых измерителей, принципам построения и особенностям функциони-
рования информационно-вычислительных систем авиационных противо-
корабельных ракет; включены три новых главы, где рассматриваются про-
цедуры оценивания дальности и скорости по угломерным данным при
функционировании радиолокационной системы в пассивном режиме; оп-
тимизация процедур обработки информации при определении фазовых
координат абсолютного движения воздушных целей; вопросы построения и
особенности функционирования бортовых вычислительных систем.
Том 3 “Системы командного радиоуправления. Автономные и
комбинированные системы наведения” посвящен системам командного
радиоуправления и автономным и комбинированным системам наведе-
ния. В нем значительно расширены главы, в которых рассматриваются
проблемы обеспечения маловысотного полета и комбинированные сис-
темы наведения на наземные объекты.
Книга написана на основе материалов открытой отечественной и
зарубежной литературы и исследований авторов. Используемый мате-
матический аппарат и объем знаний по радиоэлектронике, необходимый
для понимания содержания книги, не выходят за пределы программ ра-
диотехнических ВУЗов. Монография рассчитана на инженеров и науч-
ных работников, связанных с проектированием и эксплуатацией систем
радиолокации и радиоуправления. Она будет полезна аспирантам, сту-
дентам и преподавателям радиотехнических ВУЗов.
Труд по написанию книги распределился среди авторов следую-
щим образом: предисловие - А.И. Канащенков, введение, §§5.1, 5.2 и
глава 6 - В.И. Меркулов, глава 2 - В.Н. Лепин, глава 1, кроме п. 1.4.6.,
глава 4 - А.И. Канащенков и В.И. Меркулов, глава 3 и §§5.4, 5.5 -
В.И. Меркулов и В.В. Дрогалин, §5.3 - О.Ф. Самарин и А.А. Соловьев,
п. 1.4.6. - А.С. Богачев.
ВВЕДЕНИЕ
Авиационные радиоэлектронные системы управления (РЭСУ),
именуемые также системами радиоуправления, представляют собой
совокупность функционально связанных систем (подсистем) и уст-
ройств, обеспечивающих с помощью радиосредств управление самоле-
том и его оборудованием. В общем случае под управлением понимается
совокупность действий по целенаправленному изменению состояния
некоторого объекта, называемого объектом управления (ОУ) [38]. Це-
лью управления является желаемый результат, который должен быть
достигнут в процессе этой акции. Основное назначение РЭСУ самоле-
том и его оружием - поражение воздушных, наземных и морских объ-
ектов. Процесс управления самолетом и оружием, конечным результа-
том которого является поражение цели, иногда называют наведением,
а системы, реализующие этот процесс, - системами наведения.
Необходимо отметить, что для реализации управления следует
затратить определенную энергию. Энергоемкость РЭСУ является од-
ним из основных признаков, который выделяет их из других типов ра-
диоэлектронных систем (РЭС), имеющих сугубо информационную на-
правленность. В то же время от других видов систем управления
РЭСУ отличаются тем, что без использования информации, извлекае-
мой радиоэлектронными датчиками из радиосигналов, процесс управ-
ления самолетом или ракетой с требуемой точностью становится
невозможным. Другие отличительные свойства РЭСУ, выделяющие их
в специфический вид информационно-управляющих систем, будут упо-
мянуты в процессе рассмотрения их состава и особенностей функцио-
нирования.
В общем случае в состав авиационной РЭСУ входят летательный
аппарат (самолет или ракета) как объект управления, информационно-
вычислительная (ИВС) и управляющая (УС) системы (рис. В1).
Рис. В1
Совокупность параметров, характеризующих состояние РЭСУ,
называют фазовыми координатами. Необходимо отметить, что это по-
нятие включает не только координаты пространственного положения,
но и любые другие параметры, позволяющие оценить состояние систе-
мы: углы визирования цели, атаки, крена, скольжения летательного ап-
парата, линейные и угловые скорости и ускорения и т.д.. Для сокраще-
ния записей фазовые координаты абсолютного и относительного дви-
жения цели объединяют в вектор хц состояния цели. Состояние объекта
управления (самолета или ракеты) оценивается набором координат, со-
ставляющих вектор ху. Здесь подстрочный индекс «у» учитывает то об-
стоятельство, что эти фазовые координаты управляемы. Вектор хт, оп-
ределяющий цель управления, состоит из набора координат требуемой
фазовой траектории. Совокупность всех векторов хц, ху и хт образует
обобщенный вектор х = [\ц ху x^j состояния РЭСУ. Воздействие на
РЭСУ случайных возмущений учтено на ее структурной схеме вектора-
ми £у и £и, представляющими соответственно возмущения объекта
управления и шумы измерений.
Эффективность РЭСУ во многом определяется программным обес-
печением, которое представляет совокупность законов обработки инфор-
мации и управления, заложенных в ИВС - наиболее сложную и высокоор-
ганизованную часть РЭСУ. Информационно-вычислительная система, в
состав которой входят датчики информации (измерители) и вычислители,
осуществляет информационное обеспечение процесса управления. Суть
этого процесса в конечном счете сводится к преобразованию векторов со-
стояния цели хц, объекта управления ху и требуемого движения Хт в вектор
Д параметров рассогласования, непосредственно воздействующих на УС.
По своему смыслу параметры рассогласования являются функциями несо-
ответствия требуемых и аналогичных текущих значений этих координат.
В зависимости от типа РЭСУ требуемые координаты xri (i = 1, n) можно
вводить в память вычислителей ИВС перед полетом, формировать непо-
средственно в ИВС в процессе наведения либо передавать на летательный
аппарат (ЛА) извне, например с наземного или воздушного пунктов управ-
ления. В последнем случае часть аппаратуры ИВС размещается на борту
ОУ, а часть - на пункте управления.
Необходимо отметить, что формирование параметров рассогла-
сования - заключительный этап решения целого ряда других задач. К
наиболее важным из них относятся: анализ условий применения; опти-
мизация сигнала подсвета цели и метода наведения; определение соста-
ва и алгоритмов функционирования измерителей (датчиков информа-
ции); формирование оценок фазовых координат, необходимых для реа-
лизации выбранного метода наведения; идентификация (оценка) пара-
метров РЭСУ и уточнение результатов анализа условий применения.
Следует подчеркнуть, что деление на указанные задачи условно и неко-
торые из них решаются совместно в процессе всего функционирования
РЭСУ одновременно с формированием параметров рассогласования.
Например, анализ условий применения осуществляется постоянно и
сопровождает решение всех других задач. Обычно в начале анализа
осуществляются поиск, обнаружение и селекция целей, определение их
государственной принадлежности и типов, а также ракурсов целей и
относительных высот их полета. Результаты этих операций позволяют
выбрать наилучший сигнал подсвета цели (СПЦ) и наиболее оптималь-
ный по тому или иному критерию метод наведения. Под методом наве-
дения понимается закон изменения во времени требуемых фазовых ко-
ординат, который должен обеспечить выполнение целевого назначения
РЭСУ. Обоснование метода наведения и СПЦ дает возможность опре-
делить состав и алгоритмы функционирования датчиков информации.
При реализации современных методов наведения достаточно час-
то требуется знать фазовые координаты, не поддающиеся непосредст-
венному измерению (например, поперечные ускорения цели, угловые
скорости линии визирования и другие). Действенным приемом получе-
ния интересующих сведений является использование алгоритмов опти-
мальной фильтрации [62] и оптимального управления [29]. Для их реа-
лизации необходимы априорные сведения в виде моделей векторов со-
стояния хц, ху, измерителей и законов распределения действующих воз-
мущений. Обычно эти сведения используются в ИВС и УС (см. рис. В1).
В процессе полета в результате маневрирования целей, выработ-
ки топлива, изменения конфигурации и маневрирования ОУ коэффици-
енты априорных моделей могут существенно изменяться, что приведет
к снижению точности алгоритмов фильтрации и управления. В связи с
этим целесообразно использовать алгоритмы идентификации [10, 25],
позволяющие формировать оценки параметров РЭСУ по результатам
измерений тех или иных фазовых координат. С помощью этих алгорит-
мов можно также определять тип целей и виды радиопомех.
Наличие точных оценок фазовых координат и параметров РЭСУ по-
зволяет в результате дальнейшего анализа распознать наиболее опасные
цели, уточнить их тип, выделить конкретные цели в группе. Кроме того,
принимаемые сигналы непрерывно анализируются ИВС на их принадлеж-
ность цели, земле или постановщику помех. При появлении последних
анализаторы ИВС идентифицируют их тип, после чего изменяются па-
раметры СПЦ либо включаются специальные средства помехозащиты.
Следует отметить, что рассмотренный перечень задач, решаемых
ИВС, является обобщенным и в конкретных типах РЭСУ может не ре-
шаться полностью. Решение перечисленных задач позволяет формиро-
вать параметры рассогласования, обеспечивающие управление, наи-
лучшее по тому или иному критерию. Для бортовых систем управления
наиболее употребителен критерий «точность-экономичность». Продук-
тивным направлением формирования законов функционирования
РЭСУ, совместно наилучших как по точности управления, так и по ми-
нимуму энергетических затрат на управление в условиях заданных ог-
раничений на диапазоны отклонения рулей, допустимые перегрузки и
быстродействие исполнительных органов, является использование ал-
горитмов статистической теории оптимального управления.
В общем случае ИВС - комплексная иерархическая система, то
есть в ее состав входят датчики различной физической природы, объе-
диненные в совместно функционирующие группы, которые по отноше-
нию к ИВС играют роль подсистем. Однако основными источниками
информации в ИВС РЭСУ являются радиоэлектронные датчики (РЭД).
Чаще всего в качестве РЭД используются радиовысотомеры, доплеров-
ские измерители скорости и угла сноса (ДИСС), измерители дальности,
скорости сближения и угловых координат целей. При этом радиоэлек-
тронные измерители, как правило, объединяются в составе радиолока-
ционных систем (РЛС) или радиолокационных головок самонаведения
(РГС) различного назначения. Наряду с РЛС (РГС) в состав ИВС могут
входить и альтернативные им оптоэлектронные системы. Кроме того,
ИВС обязательно включает так называемые автономные датчики пара-
метров собственного движения ОУ: акселерометры, измеряющие ли-
нейные ускорения; позиционные и скоростные гироскопы, с помощью
которых измеряются углы тангажа, курса (рыскания), крена и их произ-
водные; датчики углов атаки, воздушной скорости и барометрические
высотомеры. Автономные датчики также могут объединяться в совме-
стно функционирующие группы, к которым относятся системы курсо-
вертикали (СКВ) и системы воздушных сигналов (СВС).
Комплексный характер ИВС обусловлен следующими причинами:
необходимостью получения информации о параметрах собственного
движения, которая наиболее просто и с высокой точностью обеспечива-
ется автономными датчиками; принципиальной возможностью форми-
рования оценок некоторых фазовых координат (например, угловой ско-
рости линии визирования) только в процессе совместной обработки pe-
ll
зультатов измерений радиоэлектронных и автономных датчиков; целе-
сообразностью повышения точности, устойчивости и помехозащищен-
ности РЭД за счет использования сигналов коррекции, формируемых
автономными датчиками; возможностью решения задач управления (на-
ведения) несколькими способами путем использования различных ме-
тодов наведения на основе информации от датчиков различной физиче-
ской природы.
Иерархический способ построения ИВС позволяет существенно
сэкономить аппаратурные и алгоритмические затраты и повысить на-
дежность ИВС в целом.
Функционирование РЭД в составе ИВС РЭСУ обусловливает ряд
особенностей, выделяющих их среди РЭС, работающих независимо.
Являясь частью системы управления, РЭД во многом определяют эф-
фективность всей РЭСУ, в частности, такие важные показатели как
дальность действия, устойчивость и точность наведения, помехозащи-
щенность, экономичность и надежность. В связи с этим тактико-тех-
нические показатели РЭД нельзя выбирать произвольно, а следует обя-
зательно увязать с показателями других составных частей РЭСУ,
чтобы обеспечить наивысшую ее эффективность в целом.
Все датчики ИВС объединяются в единую информационную сис-
тему на основе вычислителей, в качестве которых, как правило, исполь-
зуются ЭВМ различного назначения. С помощью одного из видов ЭВМ
осуществляется обработка сигналов в составе первичных датчиков ин-
формации. Наиболее сложными из этих ЭВМ являются процессоры об-
работки радиолокационных сигналов. Второй вид вычислителей (так
называемые процессоры обработки данных) позволяет вычислять оцен-
ки параметров РЭСУ, фазовых координат, необходимых для реализации
выбранных методов наведения, и параметры рассогласования, соответ-
ствующие этим методам. Третий вид - диспетчеры, которые анализи-
руют условия применения, принимают решения и управляют режимами
работы РЭСУ и отдельных ее подсистем и устройств. Если в управле-
нии самолетом и его оружием принимает участие летчик (оператор), то
в состав ИВС входит и система индикации. На индикаторах этой систе-
мы отображается различного рода информация, необходимая летчику
(оператору) для формирования управляющих сигналов. Следует отме-
тить, что в такой ситуации летчик частично выполняет функции как
ИВС, так и управляющей системы.
Управляющая система преобразует параметры рассогласования
Aj (j = l,r) в отклонения 8pj рулевых органов. В процессе преобразова-
ний учитывается априорная информация о динамических свойствах ис-
полнительных органов и самого ОУ, максимально допустимых пределах
отклонения рулевых органов и изменения тех или иных фазовых коор-
динат и параметров РЭСУ.
Наряду с отклонениями органов управления УС, называемая в
самолетах системой автоматического управления (САУ), а в ракетах -
системой управления ракетой (СУР), с помощью специальных подсис-
тем обеспечивает автоматическое выполнение тех или иных режимов
полета, решает задачи стабилизации ЛА, повышения устойчивости, ог-
раничения по перегрузкам и т.д. При решении всех этих задач парамет-
ры САУ и СУР оптимизируются с учетом влияния ИВС и ОУ так, чтобы
обеспечить наивысшую эффективность РЭСУ в целом.
В общем случае отклонения рулей должны быть такими, чтобы ЛА
наилучшим (оптимальным по какому-либо критерию) образом обеспечивал
выполнение цели управления. Необходимо отметить, что ЛА как объект
управления также представляет собой сложную иерархическую систему,
в состав которой входят системы и устройства, занимающие подчинен-
ное положение. К ним можно отнести системы опосредованного и непо-
средственного управления подъемной и боковой силами, системы демпфи-
рования упругих колебаний, двигатель и системы его управления и обеспе-
чения топливом и т.д. Кроме того, в полете могут изменяться и конфигура-
ция ЛА, и его масса, и упругие свойства, и режимы работы двигателей. При
этом параметры самого ОУ оптимизируются с учетом обеспечения наи-
лучшей динамики полета, достижения наивысшей эффективности РЭСУ в
целом и их влияния на ИВС и УС. Например, при выборе формы самолета
F-117 учитывалась не только необходимость решения задач динамики по-
лета, но и снижения радиолокационной заметности. При расчете парамет-
ров упругих колебаний самолетов принимались во внимание как прочность
корпуса, так и влияние этих колебаний на РЭД с когерентной обработкой
радиосигналов.
Изменения параметров УС и ЛА как объекта управления в процессе
полета учитываются специальными обратными связями ОУ с ИВС и УС, а
также УС с ИВС, что позволяет улучшить показатели системы в целом.
Рассмотренные особенности построения РЭСУ позволяют сде-
лать вывод, что она является сложной многоуровневой иерархической
многомерной системой, функционирование которой основано на ис-
пользовании разнообразных физических принципов. Сложность системы
обусловлена необходимостью решения наиболее ответственных задач
различными способами. Иерархический принцип построения системы
позволяет обеспечить экономию аппаратурных и алгоритмических за-
трат. Отсюда следует необходимость системного рассмотрения РЭСУ,
основанного на едином подходе ко всем ее составным частям с учетом
их взаимного влияния друг на друга и на систему в целом. Необходи-
мость системного подхода требует знания всех сложных научно-
технических направлений, положенных в основу функционирования
ИВС, УС и ЛА. В дальнейшем вопросы, не относящиеся к радиоэлек-
тронике, будут освещаться с максимально возможными упрощениями с
тем, чтобы, не искажая принципиальной стороны, сделать их доступ-
ными для радиоспециалистов.
РЭСУ является энергоемкой системой с высоким уровнем инте-
грации и автоматизации на всех уровнях иерархической структуры. В
связи с этим ниже будет уделено достаточно большое внимание особен-
ностям функционирования комплексных (комбинированных) систем и
освоению алгоритмов оптимизации РЭСУ на основе сложных показате-
лей эффективности, учитывающих наряду с другими и требования эко-
номичности.
Специфическая особенность РЭСУ - высокая степень неопреде-
ленности условий функционирования, обусловленная сложными зако-
нами перемещения целей, большим разбросом высот, дальностей и ско-
ростей применения, большим числом разнообразных по своей природе
возмущений, включая и преднамеренные радиопомехи. Наличие такой
высокой неопределенности предопределяет необходимость изучения
чувствительности РЭСУ к условиям применения.
Несомненными достоинствами РЭСУ являются: возможность вы-
полнения своих функций в любое время года и суток, при любых метео-
условиях; большая дальность действия и высокая точность. Существен-
ный недостаток РЭСУ - низкая помехозащищенность, обусловленная
использованием радиоканалов.
В заключение отметим, что в некоторых типах самолетных РЭСУ
ИВС называют системой управления вооружением и обороной (СУВО).
Иногда для ИВС используют термин - прицельная либо обзорно-при-
цельная система (ОПС), а совокупность ИВС и САУ часто именуют
прицельно-навигационным комплексом (ПНК) или прицельно-навига-
ционной системой (ПНС).
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ АВИАЦИОННЫХ РЭСУ
1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ АВИАЦИОННЫХ РЭСУ
Классификация РЭСУ как сложных систем может быть проведе-
на по очень большому количеству признаков. Будем классифицировать
их по наиболее характерным признакам ЛА, УС и ИВС, имеющим
принципиальное значение для всей РЭСУ.
По виду летательного аппарата-носителя различают РЭСУ ис-
требителей, бомбардировщиков, ракет «воздух-воздух» («в-в») и «воз-
дух-поверхность» («в-п»), дистанционно пилотируемых летательных
аппаратов (ДПЛА) и воздушных мишеней. Из них наибольшее внима-
ние будет уделено системам радиоуправления истребителями и ракета-
ми «в-в», поскольку именно для них характерны наиболее сложные
траектории целей и ОУ и именно к их массогабаритным показателям
предъявляются наиболее жесткие требования. Следует подчеркнуть, что
в последнее время все большее распространение получают РЭСУ мно-
гофункциональных самолетов [7], которые способны выполнять и функ-
ции истребителя и штурмовика и бомбардировщика.
По степени автоматизации процесса управления (режимам рабо-
ты УС) и участия в нем летчика (оператора) различают РЭСУ с ручным,
полуавтоматическим (директорным) и автоматическим управлением.
При этом в РЭСУ пилотируемыми самолетами могут использоваться
все три режима работы.
По способам и источникам получения информации РЭСУ подраз-
деляются на неавтономные, автономные и комбинированные. К неавто-
номным относятся РЭСУ, в которых хотя бы часть информации, необ-
ходимой для формирования параметров рассогласования, извлекается из
радиосигналов, поступающих от цели или пункта управления либо од-
новременно и от цели, и от пункта управления. В автономных системах
параметры рассогласования формируются на основе информации о соб-
ственном движении, получаемой от своих датчиков без контакта с це-
лью или пунктом управления. Комбинированные РЭСУ представляют
совокупность автономных и неавтономных систем.
1.1.1. Неавтономные РЭСУ
Среди неавтономных РЭСУ выделяют системы самонаведения
(ССН), системы командного радиоуправления (СКРУ), системы управ-
ления по радиозоне (СУРЗ), именуемые также системами управления
по радиолучу, и смешанные системы. В радиоэлектронных ССН инфор-
мация о фазовых координатах относительного движения, необходимая
для формирования параметров рассогласования, извлекается из радио-
сигналов, поступающих от цели. При самонаведении самолетов и ракет
эти сигналы обрабатываются соответственно бортовой радиолокацион-
ной станцией (БРЛС) и РГС, входящими в состав ИВС РЭСУ.
В свою очередь, радиоэлектронные ССН подразделяются на ак-
тивные, полуактивные и пассивные. В активных ССН передатчик (ис-
точник СПЦ) и приемник размещаются на ОУ, в то время как в полуак-
тивных системах передатчик размещается на пункте управления (ПУ), а
приемник - на наводимом ЛА. Например, передатчик СПЦ может раз-
мещаться на истребителе, а приемник - на ракете «в-в», наводимой на
цель. В пассивных ССН источником радиосигналов являются РЭС, рас-
положенные на самой цели. В связи с этим на ОУ размещается только
приемник. Достоинством радиоэлектронных ССН является высокая
точность наведения как на подвижные, так и на неподвижные цели.
Поэтому такие системы широко применяют для наведения самолетов и
ракет как на наземные (надводные), так и на воздушные, в том числе и
высокоманевренные, цели. Общий недостаток радиоэлектронных ССН
- низкая помехозащищенность.
В СКРУ для наведения используют команды, передаваемые на
борт ОУ с ПУ специальными радиосигналами по командной радиолинии
управления (КРУ). Эти радиосигналы содержат информацию либо непо-
средственно о параметрах рассогласования, либо о требуемых значени-
ях фазовых координат, используемых при вычислении параметров рас-
согласования. Пункт управления может размещаться как на земле, так и
на самолете. При этом измерители (датчики информации) могут полно-
стью размещаться на ПУ (СКРУ первого вида) либо частично на ПУ,
частично на борту ОУ (СКРУ второго вида). Первый случай чаще ис-
пользуется для вывода истребителей в район воздушных целей, а второй
- для наведения ракет «в-п» на наземные цели, обладающие малой ра-
диолокационной и тепловой контрастностью.
В СУРЗ требуемая траектория задается радиосредствами
пункта управления. Параметры рассогласования формируются на борту
ОУ по несоответствию его текущего положения требуемым значениям.
Чаще всего требуемая траектория задается в пространстве в виде равно-
сигнальной зоны (направления). Поэтому СУРЗ иногда называют сис-
темами управления по радиолучу. В качестве примера такой системы
можно привести существующие курсоглиссадные системы посадки [1].
К смешанным неавтономным системам относятся различные
комбинации ССН: системы, обеспечивающие командное радиоуправление
на начальном участке траектории и самонаведение на конечном; системы,
использующие вначале управление по радиозоне, а затем самонаведение.
Среди смешанных ССН наиболее употребительны полуактивно-активные,
активно-пассивные, полуактивно-активно-пассивные и полуактивно-
пассивные. Использование смешанных систем позволяет в общем случае
увеличить дальность действия, помехозащищенность, точность наведения
и надежность функционирования РЭСУ в целом.
1.1.2. Автономные РЭСУ
Функционирование автономных систем наведения основано на
текущей информации только о собственном движении ЛА. В связи с
этим такие системы используются, в основном, для наведения самоле-
тов-бомбардировщиков (ракетоносцев) и ракет «в-п» на наземные не-
подвижные цели.
В зависимости от физической природы датчиков информации раз-
личают: инерциальные системы, использующие показания акселерометров,
датчиков воздушной скорости (ДВС) и гироскопов; доплеровские системы
на основе радиолокационных ДИСС; радиолокационные системы преду-
преждения столкновения с землей (обхода и облета препятствий); корреля-
ционно-экстремальные системы (КЭС) и смешанные автономные системы.
В инерциальных и доплеровских системах параметр рассогласо-
вания формируется путем сравнения программных (требуемых) и по-
стоянно вычисляемых (счисляемых) текущих координат местоположе-
ния ЛА. При известных координатах точек старта и цели счисление пу-
ти базируется на двойном интегрировании составляющих ускорений,
измеряемых акселерометрами, либо интегрировании составляющих
скорости, измеряемых ДВС или ДИСС.
В системах предупреждения столкновений с землей параметр
рассогласования вычисляется путем сравнения заданной (требуемой)
высоты полета с ее текущим значением в упрежденной точке, удален-
ной от ЛА на заданное расстояние в направлении полета. Упрежденная
высота определяется в результате измерений дальностей и угловых по-
ложений упрежденных точек (участков траекторий) при условии, что
будет сохранен режим полета, имевший место на момент измерения.
В КЭС параметры рассогласования вычисляются путем сравнения
введенной заранее эталонной и текущей, снимаемой в полете, карт распре-
деления тех или иных физических полей Земли по маршруту полета. Под
физическими полями понимаются собственные радиолокационное, тепло-
вое, радиационное и магнитное излучения Земли, жестко коррелированные
с конкретными участками земной поверхности. В качестве таких полей
также используют распределение высот рельефа по маршруту полета. По-
скольку распределения физических полей по маршруту полета - случайные
процессы, то местоположение определяется путем поиска экстремума кор-
реляционной функции эталонного, заранее снятого, и текущего, снимаемо-
го в процессе полета, распределений поля. Смешанные автономные систе-
мы представляют собой комбинации перечисленных модификаций.
Достоинствами автономных систем являются возможность реа-
лизации очень больших дальностей действия и высокая помехозащищен-
ность. Возможность реализации большой дальности действия предопреде-
лена тем, что она зависит только от запаса топлива на ЛА и не ограничива-
ется дальностью действия датчиков информации. Высокая помехозащи-
щенность обусловлена тем, что в этих системах радиосигналы либо не ис-
пользуются совсем (инерциальные системы), либо распространяются на
весьма малые расстояния (доплеровские системы и радиолокационные сис-
темы предупреждения столкновения). Недостатками автономных систем
являются: ограничение класса объектов воздействия только неподвижными
целями; низкая точность наведения (инерциальные и доплеровские систе-
мы) и очень высокие требования к надежности функционирования (радио-
локационные системы предупреждения столкновения), объему памяти и
быстродействию вычислителей (КЭС).
1.1.3. Комбинированные РЭСУ
Комбинированными называются РЭСУ, в составе которых сов-
местно функционируют как автономные, так и неавтономные ИВС. Ком-
плексирование на всех иерархических уровнях построения ИВС позволяет:
реализовать большие дальности действия, не ограничиваемые дальностью
действия радиолокационных датчиков информации; расширить диапазон
оцениваемых скоростей сближения и угловых скоростей линии визирова-
ния целей; повысить точность, помехозащищенность и надежность РЭСУ в
целом и снизить ее чувствительность к изменению условий применения.
Все эти преимущества реализуются за счет избыточности информации и
взаимной коррекции автономных и неавтономных датчиков.
Хотя число комбинаций автономных и неавтономных систем в
рамках единой РЭСУ может быть очень большим, можно выделить наи-
18
более распространенные варианты комплексирования. Они основаны на
преимущественном использовании автономных систем на начальных
этапах управления и неавтономных систем самонаведения на конечных
участках траектории наведения.
По способу взаимодействия автономных и неавтономных дат-
чиков информации различают комбинированные системы последова-
тельного, параллельного и смешанного типов. В системах первого типа
автономные и неавтономные датчики по времени функционируют по-
следовательно, например, на начальном этапе выполняется инерциаль-
ное наведение, на среднем - командное радиоуправление, на конечном -
самонаведение. В комбинированных РЭСУ второго типа автономные и
неавтономные системы работают одновременно в течение всего време-
ни наведения. В смешанных комбинированных РЭСУ автономные и
неавтономные датчики и системы комплексируются как по этапам поле-
та, так и внутри этапов. Следует подчеркнуть, что при одновременной
работе датчиков различной физической природы они могут функциони-
ровать независимо друг от друга, либо объединяться в единый ком-
плексный измеритель.
Необходимо отметить, что в литературе встречаются названия
специфических РЭСУ, которые, укладываясь в рамки приведенной
классификации, вместе с тем обладают возможностями, принципиально
выделяющими их среди других однотипных систем управления. К та-
ким системам управления можно отнести: РЭСУ летательными аппара-
тами со сниженной радиолокационной заметностью; РЭСУ сверхманев-
ренными самолетами; РЭСУ высокоточными ракетами; РЭСУ с сопро-
вождением целей в режиме обзора («на проходе»); адаптивные РЭСУ и
РЭСУ с элементами искусственного интеллекта, а также многопозици-
онные системы наведения [44, 45, 58].
Существенное снижение радиолокационной заметности, обеспе-
чиваемое специальной формой летательных аппаратов и применением
радиопоглощающих материалов, позволяет применять авиационные
ракеты с меньшей дальностью полета без захода в зоны уверенного про-
тиводействия средств ПВО. Примерами таких летательных аппаратов
являются самолеты F-l 17А и В-2, состоящие на вооружении США.
Сверхманевренными называются самолеты, в которых за счет
усиленной механизации крыла, специальных органов непосредственного
управления подъемной и боковыми силами и применения высокоэнерге-
тических двигателей реализуются существенно более сложные про-
странственные эволюции [6-8]. Использование органов непосредствен-
ного управления дает возможность ЛА практически скачкообразно из-
менять свое положение в пространстве при сохранении прежнего на-
правления продольной и поперечной осей. Кроме того, сверхманеврен-
ные самолеты могут изменять положение осей в пространстве, не меняя
направление полета [7]. Большие значения ускорений и их производных
предъявляют существенно более жесткие требования к точности и ус-
тойчивости функционирования измерителей БРЛС и РГС в режимах
сопровождения одной или нескольких целей. Способность изменять
угловое положение в пространстве без изменения направления полета
позволяет существенно сократить время, затрачиваемое самолетом на
маневрирование в область возможных пусков ракет, что значительно
расширяет тактические возможности истребителей.
Высокоточными считаются ракеты, обеспечивающие попадание в
габариты цели. Использование высокоточных систем наведения дает воз-
можность увеличить дальность полета ракет за счет большего запаса топ-
лива, так как в таких ракетах не требуются боевая часть и радиовзрыватель.
В РЭСУ с сопровождением в режиме обзора [17, 19] возможно
одновременно получать точную информацию о фазовых координатах
относительного движения нескольких целей. Это позволяет одному са-
молету при наличии ракет с активными РГС вести одновременный бой с
несколькими целями, что существенно расширяет тактические возмож-
ности истребителей. В качестве примера можно привести систему
AWG-9 самолета F-14, которая может сопровождать до 24 целей и осу-
ществлять практически одновременный пуск ракет по нескольким наи-
более опасным из них [36].
Адаптивными называются РЭСУ, способные изменять свою
структуру, режимы работы и алгоритмы функционирования в зависи-
мости от условий применения, приспосабливаясь к ним наилучшим об-
разом. Системы с элементами искусственного интеллекта отличаются
от обычных адаптивных РЭСУ способностью решать задачи, в которых
отсутствуют четко формализованные правила переработки информации,
и способностью обучаться в процессе функционирования.
Под многопозиционными РЭСУ понимается совокупность функ-
ционально связанных систем наведения нескольких пространственно
разнесенных объектов управления, радиолокационные датчики которых
образуют единую систему [44, 58].
1.2. ЭТАПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РЭСУ
Основная задача РЭСУ (поражение целей) выполняется в не-
сколько этапов, в течение которых решаются более частные тактические
задачи. В общем случае можно выделить четыре характерных этапа
функционирования РЭСУ: полет в район цели, вывод самолета в зону
применения оружия, применение оружия и выход из атаки.
Первый этап начинается с момента получения команды на вылет
и заканчивается взятием (захватом) цели на автоматическое сопровож-
дение бортовыми средствами. После этого следует второй этап - вы-
вод самолета в' область применения оружия, который заканчивается
подготовкой ракет к пуску. Третий этап начинается с момента пуска
ракет (сбрасывания бомб) и заканчивается подрывом их боевой части
(БЧ). Последний - четвертый этап (в зависимости от типа применяе-
мых ракет) начинается либо после пуска ракеты, либо после подрыва ее
боевой части. Следует отметить, что первые два этапа достаточно часто
называют дальним и ближним наведением. При поражении цели бом-
бами самолетами-бомбардировщиками в РЭСУ имеют место все четыре
этапа. Если же в качестве средств поражения используются ракеты
«в-п», то второй этап может отсутствовать.
Поскольку на каждом из первых трех этапов основную роль игра-
ют различные подсистемы ИВС с существенно разными законами обра-
ботки информации, то иногда эти этапы называют по типу используе-
мой аппаратуры. Так, если полет в район цели выполняется по коман-
дам, передаваемым с ПУ, то этот этап называют командным наведени-
ем. Второй этап (ближнее наведение) называют еще самонаведением,
так как обычно самолетом управляет ССН. При использовании в каче-
стве средств поражения ракет третий этап называют наведением ракет.
В свою очередь, в сложных РЭСУ каждый из перечисленных этапов
может реализоваться несколькими способами в зависимости от методов
наведения и обеспечивающей их аппаратуры ИВС и УС. Так, для дальнего
наведения могут использоваться команды, либо подаваемые голосом через
системы радиосвязи, либо формируемые и передаваемые специальными
СКРУ. В последнем случае речь идет о приборном дальнем наведении.
Ближнее наведение может выполняться на основе различных методов с
использованием различных подсистем ИВС: БРЛС, теплопеленгаторов
(ТП) и оптических прицелов (ОП). При этом говорят о самонаведении ра-
диолокационном, с помощью ТП или ОП. Необходимо отметить, что вы-
полнение каждого способа складывается из ряда подэтапов, также отли-
чающихся друг от друга спецификой решаемых задач, составом аппарату-
ры и алгоритмами ее работы. Процесс функционирования РЭСУ либо ее
систем и устройств, при выполнении рассмотренных способов или при ре-
шении частных задач, называется режимом работы.
В процессе дальнего наведения РЭСУ решает следующие задачи:
формирует на ПУ и передает на борт ЛА команды управления и
целеуказания летчику и бортовым системам;
управляет самолетом по курсу, высоте и скорости;
управляет зоной обзора БРЛС (ТП);
осуществляет поиск, обнаружение и опознавание целей;
выполняет захват целей на автоматическое сопровождение.
Решение всех этих задач обеспечивается соответствующими ре-
жимами работы БРЛС, ИВС, УС и ЛА.
Команды целеуказания (ЦУ) летчику предназначены для обеспече-
ния его информацией о воздушной обстановке. С помощью таких команд в
системе отображения информации (СОИ) индицируются сведения о типе
цели (групповая, одиночная, малоскоростная), ее расположении и особен-
ностях движения относительно ЛА (передняя полусфера (ППС), задняя
полусфера (ЗПС), удаление до цели 100, 60 км и т.д.). Команды управления
несут информацию о требуемых значениях курса, высоты и скорости поле-
та самолета; о необходимости выполнить определенный маневр («Горка»,
разворот вправо, разворот влево и т.д.) или включить ту или иную систему
либо режим работы (включить «Форсаж», включить БРЛС).
Команды ЦУ для оборудования определяют размеры и положение
зоны поиска целей бортовыми средствами. Так, на основании этих команд
антенна БРЛС устанавливается в направлении биссектрис углов ожидае-
мых зон поиска в горизонтальной и вертикальной плоскостях, а в системах
частотной и временной селекции сигналов устанавливаются определенные
зоны поиска сигналов по частоте (скорости) и времени запаздывания (даль-
ности). В результате удается существенно сократить время поиска и обна-
ружения целей. Необходимо отметить, что при переходе самолета из зоны
ответственности одного пункта наведения в зону ответственности другого
на борт ЛА передаются так называемые команды взаимодействия. По этим
командам самолету присваивается новый условный номер, и приемный
тракт бортовой аппаратуры СКРУ перестраивается на новую частоту.
На этапе ближнего наведения РЭСУ решает следующие задачи:
анализирует обстановку, выбирает и формирует алгоритм наи-
лучшего метода (закона) наведения;
управляет режимами работы всех датчиков информации, которые
используются в процессе реализации выбранного метода наведения;
корректирует траекторию самолета по курсу и тангажу в процес-
се наведения;
формирует команды целеуказания оружию и разрешенные зоны
его применения;
проверяет оружие (ракету) и подготавливает его к применению.
В режиме самонаведения основным датчиком информации для
РЭСУ является БРЛС. В процессе управления ее работой обеспечивается:
выбор и излучение СПЦ, позволяющего наилучшим образом решать задачи
селекции целей и формировать оценки фазовых координат, которые необ-
ходимы для реализации используемого метода наведения; выбор режима
сопровождения одной или нескольких целей и обеспечение функциониро-
вания соответствующих алгоритмов автоматического сопровождения по
направлению, дальности и скорости; формирование команд ЦУ для ракет.
В соответствии с выбранным СПЦ выделяют: режим работы БРЛС с низ-
кой частотой повторения (НЧП) импульсов; импульсно-доплеровский ре-
жим, в котором используются средняя (СЧП) и высокая (ВЧП) частоты
повторения; режим непрерывного или прерывистого излучения, который
используется для наведения ракет с полу активными РГС и для коррекции
траектории полета ракет с автономными системами наведения.
В зависимости от тактической ситуации и вида применяемых ракет
БРЛС может функционировать либо в режиме сопровождения одной цели
(СОЦ), называемом также режимом непрерывной пеленгации (РНП), либо
в режиме одновременного сопровождения нескольких целей. В РНП луч
антенны БРЛС все время направлен на одну цель, что позволяет непрерыв-
но измерять и оценивать фазовые координаты ее относительного движения
и формировать команды ЦУ ракетам по этой цели. При одновременном
сопровождении нескольких целей сохраняется обзор пространства лучом
антенны БРЛС, при котором попеременно подсвечиваются все цели в зоне
обзора. В такой ситуации фазовые координаты нескольких целей непре-
рывно оцениваются на основе экстраполяции их фазовых траекторий с
коррекцией результатов экстраполяции по итогам измерений в моменты
поступления отраженных сигналов. Это дает возможность не только управ-
лять полетом самолета, но и одновременно формировать команды ЦУ не-
скольким ракетам по нескольким различным целям. Если ракеты имеют
активные РГС, то самолет может вести бой с несколькими целями, практи-
чески одновременно запуская несколько ракет. Команды ЦУ ракетам, фор-
мируемые в ИВС самолета, нужны для настройки и подготовки всех их
подсистем к применению по вполне определенной цели. Сигналы разре-
шенных зон применения, также формируемые в ИВС, индицируются в
СОИ в виде отметок максимальной Дртах-, и минимальной Дрт1П| разрешен-
ной дальности для каждой из подготавливаемых к применению ракет. При
выполнении условия Дрт;п1<Д<Дртах;, где Д - текущая дальность, можно
осуществлять пуск ракеты по i-й цели.
На этапе применения оружия РЭСУ обеспечивает:
формирование СПЦ для ракет с полуактивными РГС и сигналов
радиокоррекции для ракет с автономными системами наведения;
формирование закона наведения (алгоритма траекторного управ-
ления) ракеты;
коррекцию траектории наведения ракеты в соответствии с вы-
бранным законом;
формирование сигналов для подготовки взрывателей к действию;
управление подрывом БЧ.
Следует отметить, что первая задача решается в ИВС самолета-
носителя, в то время как все остальные - в ИВС ракеты. При этом вто-
рая и третья задачи длятся до момента окончания управления ракетой.
Управление прекращается в следующих ситуациях: при прямом попа-
дании в цель; при срабатывании дистанционного неконтактного взрыва-
теля; при самоликвидации ракеты после пролета цели; в момент пересе-
чения границы так называемой мертвой зоны. Причины появления
мертвой зоны и ее размер зависят от типа ИВС ракеты и вида СПЦ. В
мертвой зоне рули объекта управления устанавливаются нейтрально и
дальнейшее направление движения определяется вектором его скорости
на момент прекращения управления.
Для выхода из атаки РЭСУ вычисляет минимальную безопасную
дальность выхода, соответствующую данным условиям применения;
формирует закон (алгоритм траекторного управления) выхода и
корректирует траекторию выхода в соответствии с выбранным законом.
Если самолет вооружен ракетами с активными РГС, позволяю-
щими реализовать принцип «пустил-забыл», то выйти из атаки можно
сразу после пуска ракеты. При пуске ракет с полуактивными РГС, для
наведения которых нужно осуществлять подсвет цели, маневр самоле-
та-носителя ограничен сектором обзора БРЛС и окончательный выход
из атаки возможен только после подрыва БЧ ракеты.
1.3. РЕЖИМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ
АППАРАТАМИ
В зависимости от степени участия летчика в процессе управления
самолетом на разных этапах различают ручной (неавтоматический),
директорный (полуавтоматический) и автоматический режимы.
Функциональные связи составных частей РЭСУ самолетом в этих
режимах показаны на рис. 1.1.
В ручном режиме переключатели П1-П4 находятся в положении
«Р». В такой ситуации ИВС по разности хт-хс, где хт и хс - векторы тре-
Рис. 1.1
буемых фазовых координат и состояния самолета, формирует вектор Ар
параметров рассогласования в ручном режиме. На этапе дальнего наведе-
ния вектор х.г формируется на пункте управления и передается на борт ЛА
системой КРУ. При ближнем наведении хт формируется на самолете в со-
ответствии с выбранным методом наведения на основании фазовых коор-
динат вектора хц абсолютного и относительного движения цели.
Параметры рассогласования Ар, индицируемые в СОИ, восприни-
маются летчиком, который, воздействуя на САУ, управляет самолетом так,
чтобы все составляющие Api стремились к нулю. Кроме преобразования
управляющих воздействий летчика в отклонение рулевых органов 5Р, САУ
в ручном режиме выполняет функции повышения устойчивости, улучше-
ния управляемости и ограничения по допустимым значениям перегрузок и
отклонениям рулевых органов. Необходимо отметить, что в ручном режи-
ме от летчика требуется большой опыт пилотирования, предопределяющий
его способность прогнозировать последствия управления с учетом манев-
ров цели и динамических свойств САУ и своего самолета. Существенно
меньшие требования к уровню подготовки летчика предъявляются в дирек-
торном (полуавтоматическом) режиме. В этом режиме управление самоле-
том по-прежнему осуществляется летчиком. Однако вектор Ад параметров
рассогласования, отображаемый в СОИ, формируется с учетом динамиче-
ских свойств САУ и самолета.
Функциональные связи в РЭСУ для директорного режима при-
водятся на рис. 1.1 при условии, что все переключатели находятся в по-
ложении Д. В такой ситуации вектор Ар параметров рассогласования,
сформированный по несоответствию хт и хс, через переключатель П1
поступает в САУ, где преобразуется в требуемые значения ут угла крена
и пут вертикальной перегрузки с учетом динамических свойств САУ и
самолета. Сформированные значения ут и п^, определяющие соответст-
венно требуемые законы управления самолетом в боковой и вертикаль-
ной плоскостях, через переключатель П4 поступают в ИВС, где сравни-
ваются с текущими значениями ус и пус, входящими в состав вектора
состояния хс. В результате формируется двумерный вектор д парамет-
ров рассогласования, который и индицируется в СОИ.
Необходимо отметить, что в некоторых типах РЭСУ вектор д
формируется непосредственно в САУ, а ИВС используется лишь для его
индикации. Индицируемый в СОИ вектор д воспринимается летчиком.
На рис. 1.1 этот процесс отображается условной связью через переклю-
чатель П2 в положении Д. Далее управление осуществляется так же, как
и в ручном режиме. Качественное отличие состоит в том, что для
управления самолетом, целью которого является устранение д, исполь-
зуются значения ут и п^, сформированные с учетом динамических
свойств САУ и ЛА, что требует от летчика меньшего опыта и умения.
При этом функции САУ по повышению устойчивости, управляемости и
ограничению управляющих воздействий сохраняются.
В автоматическом режиме все переключатели находятся в по-
ложении А. В такой ситуации цепи формирования вектора А парамет-
ров рассогласования до выхода ИВС остаются теми же, что и в дирек-
торном режиме. Различие состоит лишь в том, что от ИВС вектор А
параметров рассогласования через переключатель П2 поступает непо-
средственно в САУ. За летчиком сохраняются лишь функции контроля.
При этом закон формирования А обычно аналогичен закону формиро-
вания д. Обратные связи ЛА с САУ и ИВС используются для улучше-
ния динамических свойств РЭСУ в целом.
РЭСУ ракетами могут работать только в одном из трех режи-
мов: автоматическом, полуавтоматическом и неавтоматическом. В ав-
томатическом режиме ракета после пуска наводится без участия летчика
(оператора). В полуавтоматическом режиме относительные параметры
движения цели определяются оператором, а управляющие сигналы форми-
руются автоматически. В неавтоматическом режиме измерение параметров
относительного движения и формирование управляющих сигналов осуще-
ствляет оператор. Функциональные связи РЭСУ в автоматическом режиме,
реализуемом в самонаводящихся ракетах, приведены на рис. 1.2.
Рис. 1.2
В зависимости от типа ракеты вектор хт требуемых фазовых ко-
ординат либо вводится в память вычислителей ИВС перед полетом, ли-
бо формируется непосредственно в ИВС в процессе самонаведения.
Формирование хт осуществляется в соответствии с тем или иным мето-
дом наведения на основе измерения векторов хр и хц-хр фазовых коор-
динат собственного и относительного движения и оценивания состав-
ляющих вектора хц состояния цели. Начальные условия работы РЭСУ
определяются совокупностью команд целеуказаний, объединенных в
вектор хцу. Команды целеуказаний поступают в ракету из ИВС самоле-
та-носителя на этапе ее подготовки к пуску. Степень готовности ракеты
к пуску контролируется по сигналам готовности, представленным на
схеме вектором хг. Эти сигналы формируются в ИВС и СУР по мере их
настройки и подготовки к применению по вполне определенной цели.
Назначение ИВС, СУР и ракеты, а также связи между ними в процессе
функционирования те же, что и ИВС, САУ и ЛА в РЭСУ самолетами в
автоматическом режиме. В некоторых типах РЭСУ для повышения точ-
ности наведения на маневрирующие цели на ракету дополнительно по-
дают сигналы радиокоррекции, обозначенные на рис. 1.2 вектором хрк.
Полуавтоматический и неавтоматический режимы обычно ис-
пользуются в ракетах «в-п», предназначенных для поражения малораз-
мерных наземных целей. Большинство этих целей обладают малым ра-
диолокационным и тепловым контрастом на фоне земной поверхности,
что серьезно затрудняет их селекцию инструментальными методами.
Однако человек - оператор, находясь на ПУ, по совокупности различ-
ных признаков способен с высокой достоверностью выделять такие це-
ли и определять их положение относительно ПУ и наводимой ракеты.
Функциональные связи РЭСУ ракетой при использовании неав-
томатического управления приведены на рис. 1.3, где: хц, хпу и хр - соот-
ветственно векторы состояния цели, пункта управления и ракеты.
Устройство формирования сигналов траекторного управления
(УФСТУ) представляет совокупность датчиков параметров собственно-
Рис. 1.3
го движения ПУ (самолета), некоторых параметров движения ракеты, а
также вычислителей и СОИ. Летчик-оператор по экрану радиолокатора,
телевизора либо тепловизора оценивает взаимное положение ракеты и
ПУ (хПу-хр), ПУ и цели (хпу-хц) и определяет вектор параметров рас-
согласования. Воздействуя на датчик команд ДК, он формирует коман-
ды Кл, которые с помощью КРУ в виде сигнала Ку поступают на борт
ракеты, воздействуя на СУР. Летчик должен так воздействовать на ДК,
чтобы команды Кл и Ку вызывали перемещения ракеты, приводящие к
уменьшению параметров рассогласования. Такому способу управления
ракетой присущи все рассмотренные недостатки ручного управления
самолетом. Полуавтоматические системы управления отличаются от
неавтоматических только тем, что вместо датчика команд используются
специальные устройства формирования команд, которые способны вы-
полнять функциональные преобразования в Ку с учетом динамических
свойств СУР и ракеты.
1.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЭСУ
1.4.1. Критерии и показатели эффективности РЭСУ
Под эффективностью РЭСУ понимают степень ее соответст-
вия своему назначению [61]. Оценивается эффективность с помощью
показателей и критериев. При этом показатели представляют количе-
ственную оценку эффективности, а критерии - правило, по которому
определяется степень соответствия РЭСУ своему назначению. Оценка
эффективности необходима:
для обоснованной разработки тактико-технических требований
(ТТТ) к вновь создаваемым образцам РЭСУ;
для сравнения между собой различных типов РЭСУ;
для определения условий применения, в которых возможности
РЭСУ проявляются наиболее полно;
для разработки мероприятий по более рациональному использо-
ванию РЭСУ.
В процессе функционирования РЭСУ имеют место различные эта-
пы, используются различные подсистемы, устройства и режимы их работы,
выполняются различные операции. Поэтому эффективность РЭСУ может
быть оценена очень большим числом показателей по различным критери-
ям. В ходе разработки всегда стремятся создать оптимальную РЭСУ, наи-
лучшим образом соответствующую своему назначению. Однако необходи-
мо отметить, что просто оптимальных РЭСУ или РЭСУ, наилучших во всех
отношениях, в природе не существует. Любая РЭСУ оптимальна только с
28
точки зрения удовлетворения каким-либо критериям. При этом РЭСУ, наи-
лучшая по одним критериям, может быть неоптимальной по другим. В свя-
зи с этим представляет большой интерес рассмотреть критерии, позволяю-
щие оценить эффективность РЭСУ по различным правилам. Наиболее час-
то для этого используют экстремальные, ограничительные (пороговые),
фиксирующие и смешанные критерии.
Экстремальные критерии определяют правило, в соответствии с
которым наилучшей является система, обеспечивающая экстремум оп-
ределенных показателей I(: maxlj, mini,. Ограничительные или порого-
вые критерии свидетельствуют о предпочтительности тех РЭСУ либо
их режимов работы, в которых реализуются показатели 1( не хуже за-
данных Ii3: Ij>Ij3 , Ij<Ii3. Фиксирующие критерии требуют, чтобы обеспе-
чивались показатели, равные заданным значениям: Ij=Ij3. Смешанные кри-
терии представляют собой те или иные комбинации первых трех. В каче-
стве примеров экстремальных критериев можно привести критерий макси-
мума быстродействия системы, критерий минимума ошибок наведения
(промаха h): I=min h. Примером порогового критерия является правило, в
соответствии с которым ошибка наведения не должна превышать эффек-
тивного радиуса поражения ракеты. Примером третьего класса критериев
является критерий нулевого промаха (прямого попадания: h=0). В качестве
примера смешанного критерия можно привести широко используемый в
РЛС для оценки эффективности обнаружения целей критерий Неймана-
Пирсона, требующий обеспечения максимума вероятности правильного
обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги.
Среди показателей качества можно выделить три группы: ко-
нечные, частные и обобщенные. Конечные или глобальные показатели
позволяют оценить результат применения РЭСУ с учетом влияния всех
этапов и режимов работы. Чаще всего в качестве такого показателя ис-
пользуют вероятность Рпц поражения цели. Для самолетной РЭСУ:
р _ р р р fill
х пц 1 дп1бн1рп ’ V1 • '
где Рдн - вероятность дальнего наведения, Рби - вероятность ближнего
наведения при условии, что выполнен полет в район цели, Ррп - вероят-
ность поражения цели хотя бы одной из п ракет при условии, что реше-
ны задачи дальнего и ближнего наведения. При использовании (1.1) в
качестве показателя эффективности РЭСУ для ее оптимизации приме-
няется, как правило, пороговый критерий. При этом считается, что
РЭСУ соответствует своему назначению, если обеспечивается вероят-
ность Рпц не меньше заданной.
Необходимо отметить, что вычисление Рпц по (1.1) требует учета
огромного количества различных факторов, событий, условий, в том
числе и трудно учитываемого противодействия противника. В связи с
этим на практике чаще используют частные показатели, которые, ха-
рактеризуя эффективность функционирования подсистем, устройств,
либо выполнение отдельных операций, вместе с тем дают возможность
судить об эффективности РЭСУ в целом.
К наиболее употребимым частным показателям относятся
тактико-технические (ТТП). К ним относят: летно-технические пока-
затели летательных аппаратов (диапазон высот, скоростей и дальностей
применения, число и виды органов управления, диапазоны допустимых
перегрузок и другие ограничения); ТТП управляющей системы (надеж-
ность, быстродействие, набор управляющих сигналов, полоса пропус-
кания и т.д.); ТТП информационно вычислительных систем и оружия.
Тактическими показателями ИВС обычно являются: вероятности пра-
вильного обнаружения и ложной тревоги, параметры зоны обзора, точ-
ность и разрешающая способность, помехозащищенность, надежность и
т.д. Перечисленные тактические показатели ИВС обеспечиваются соот-
ветствующими техническими показателями, к которым обычно относят
параметры СПЦ, ширину диаграммы направленности и коэффициент
направленного действия антенны, чувствительность приемника и мощ-
ность передатчика, полосу пропускания и коэффициенты усиления сис-
темы обработки сигналов и т.д. К наиболее важным ТТП оружия отно-
сят размеры зон применения и поражения.
Среди частных показателей можно выделить такие, которые име-
ют смысл для всех этапов работы. Эти показатели иногда называют
всеэтапными [20], в отличие от других, которые характеризуют лишь
отдельные операции. Примерами всеэтапных показателей могут слу-
жить точность функционирования, помехозащищенность и надежность.
При оптимизации РЭСУ по частным показателям чаще всего использу-
ют экстремальные и пороговые критерии.
Следует отметить трудности сравнения различных РЭСУ по боль-
шому количеству частных показателей, так как достаточно часты ситуации,
когда для одной системы лучшей является одна группа ТТП (например,
дальность действия, сектор и время обзора, точность оценивания фазовых
координат), в то время как для другой лучшими являются другие показате-
ли (например, разрешающая способность, помехозащищенность). Кроме
того, некоторые частные показатели зависят от времени, что также затруд-
няет сравнение по ним различных РЭСУ. По этой причине достаточно час-
то используют обобщенные показатели, именуемые также свертками,
30
целевыми функциями или функционалами качества. В общем случае обоб-
щенные показатели представляют монотонные функции от линейных ком-
бинаций либо квадратичных форм частных показателей:
N
1 = П1аЛ), (1.2)
i=i
1 = ЦХа^), (1.3)
i=l
где aj - размерные весовые коэффициенты, назначаемые исходя из важ-
ности показателей Ij для РЭСУ в целом; N - число показателей. Исполь-
зование показателей (1.2) и (1.3) дает возможность получить более об-
щее представление об эффективности РЭСУ, однако достоверность это-
го представления во многом зависит от объективности назначения ко-
эффициентов а;.
1.4.2. Интегральные квадратичные
ФУНКЦИОНАЛЫ КАЧЕСТВА
Интегральные квадратичные функционалы качества являются
разновидностью обобщенных показателей эффективности (1.3), в кото-
рой вместо функции f используется определенный во времени интеграл.
Эта особенность, позволяя оценить эффективность РЭСУ за все время
функционирования, дает возможность сравнивать между собой системы
управления с переменными во времени частными показателями.
Среди всех возможных типов интегральных квадратичных функ-
ционалов наиболее распространены функционалы качества Летова-
Калмана и так называемые локальные функционалы [29]. В общем слу-
чае функционал качества Летова-Калмана определяется соотношением
I = Q[xT(tK)-xy(tK)]+
+ jtT(t)-xy(t)]'L[xT(t)-xy(t)]]dt+ ju‘(t)Ku(t)dt >.
0 0
(1-4)
Здесь хт и xy - соответственно n-мерные векторы требуемых и выходных
(управляемых) фазовых координат РЭСУ в текущий момент времени t и в
момент tK окончания управления; и - r-мерный вектор сигналов управления
(i<n); L и Q - неотрицательно определенные матрицы штрафов за текущую
точность xT(t)-Xy(t) и точность в момент окончания управления; К - поло-
жительно определенная матрица штрафов за величину сигналов управле-
ния; Му - математическое ожидание при условии, что имеются результаты
измерения хотя бы части фазовых координат хт и ху. Необходимость вы-
полнения этой операции обусловлена тем, что компоненты х^ и xyi векторов
хт и ху могут представлять случайные процессы. Если при этом не выпол-
нить операцию усреднения, то функционал (1.4) будет случайным и его
использование в качестве показателя качества потеряет смысл.
Первое слагаемое в (1.4) называется терминальным членом.
Представляя собой сумму взвешенных дисперсий ошибок управления в
момент tK, оно дает возможность учесть особые требования к точности
функционирования РЭСУ в момент окончания управления. Для многих
типов РЭСУ, например систем самонаведения, очень важной является
точность наведения на момент подрыва БЧ, в то время как точность на-
ведения в процессе полета к цели не играет решающей роли. Размеры
коэффициентов матрицы штрафов Q назначаются исходя из важно-
сти ошибки xT|(tK)—xyi(tK) в момент окончания управления.
Второе слагаемое (1.4) представляет интегральную взвешенную
квадратичную оценку точности функционирования РЭСУ за все время
управления. Вес ошибок x-^t^Xy^t), определяемый коэффициентами Ц мат-
рицы L, назначается исходя из важности этих ошибок для всего процесса
управления. Из (1.4) следует, что при прочих равных условиях РЭСУ
функционирует тем точнее, чем меньше первое и второе слагаемые.
Третье слагаемое (1.4) представляет собой взвешенную энергию,
затрачиваемую сигналами управления u(t) за все время работы. Вес
отдельных сигналов управления Uj определяется коэффициентами Kjj
матрицы К, которые также назначаются с учетом важности этих сигна-
лов для РЭСУ. Это слагаемое позволяет оценить экономичность РЭСУ.
Вполне очевидно, что чем оно меньше, тем экономичнее система.
Необходимо отметить, что коэффициенты всех матриц штрафов
должны быть размерными, чтобы каждое слагаемое в отдельности и
функционал качества в целом были безразмерными. Поскольку функ-
ционал (1.4) позволяет оценить эффективность РЭСУ за весь интервал
ее функционирования, включая и момент tK окончания управления, то
его называют терминальным. Если к точности функционирования РЭСУ
в конце управления не предъявляется особых требований, то коэффици-
енты матрицы Q полагаются нулевыми. Необходимо отметить, что
сравнение различных РЭСУ по показателям эффективности (1.4) имеет
смысл только при одинаковом времени функционирования.
Разновидности интегральных функционалов, позволяющие оце-
нить эффективность РЭСУ в любой текущий момент времени, называют
локальными. Один из наиболее простых локальных функционалов каче-
ства можно получить из (1.4) при условии tK=t, a L=0. Тогда
I = My < [xT (t)- Xy (t)]1 Q [xT (t)-Xy (t)]+ JuT (t)Ku(t)dt [.
I 0 J
(1.5)
Здесь первое слагаемое, представляющее собой сумму взвешен-
ных текущих дисперсий ошибок управления, характеризует точность
РЭСУ, а второе, определяющее взвешенную энергию, затрачиваемую на
управление, характеризует экономичность системы.
Преимуществами использования (1.4) и (1.5) в качестве показате-
лей эффективности РЭСУ является возможность получения ее инте-
гральной оценки за все время функционирования. При этом эффектив-
ность оценивается по совокупному показателю «точность-экономич-
ность», что очень важно для бортовых систем, обладающих источника-
ми ограниченной энергии.
При использовании интегральных функционалов РЭСУ чаще все-
го оптимизируется по экстремальному критерию, в соответствии с ко-
торым наилучшей считается система, обеспечивающая минимум функ-
ционалов (1.4) или (1.5). Достоинством такой оптимизации является
возможность аналитического получения закона изменения управляю-
щих сигналов, обеспечивающих минимизацию (1.4) и (1.5). Это выгодно
отличает интегральные функционалы качества от других рассмотрен-
ных показателей эффективности, аналитическая оптимизация которых
непосредственно в законе управления практически невозможна. Кроме
того, для (1.4) и (1.5) достаточно просто выбираются оптимальные зна-
чения весовых коэффициентов а^ учитывающих в (1.3) важность от-
дельных показателей. Следует отметить, что при разработке РЭСУ, оп-
тимальных по минимуму квадратичных функционалов (1.4) и (1.5), уда-
ется существенно упростить процедуру проектирования за счет воз-
можности раздельного синтеза алгоритмов функционирования инфор-
мационной и управляющей систем.
Дискретные аналоги функционалов (1.4) и (1.5) рассмотрены
в п. 2.1.1.
1.4.3. Эффективность РЭСУ
НА ЭТАПЕ ДАЛЬНЕГО НАВЕДЕНИЯ
Из (1.1) следует, что конечный показатель эффективности не мо-
жет быть больше отдельных сомножителей, характеризующих вероят-
ности выполнения основных этапов функционирования РЭСУ. В связи с
этим весьма важно выявить факторы, условия применения и ТТЛ РЭС,
позволяющие гарантировать максимально возможную вероятность вы-
полнения отдельных этапов, в том числе и дальнего наведения. Под ве-
роятностыо дальнего наведения в дальнейшем будем понимать веро-
ятность вывода самолета в область пространства, где его бортовые
средства обеспечивают обнаружение и взятие цели на автосопровож-
дение, а высота и курс летательного аппарата допускают его выход в
область пуска ракет с допустимыми перегрузками. Поскольку в совре-
менных РЭСУ вывод самолета в район цели может обеспечиваться не-
сколькими способами (см. §1.2), то
пд
р =ур р
дн 2L р 31А дну1 ’
(1.6)
где пд - число используемых способов дальнего наведения; Pp3i - веро-
ятность решения задачи i-м способом, а Рдну} - условная вероятность
дальнего наведения при выбранном способе, представляющая вероят-
ность того, что ошибки наведения по курсу и высоте не превышают за-
данных значений и цель будет взята на автосопровождение. Для реше-
ния задачи i-м способом необходимы по крайней мере три события: был
выбран именно i-й способ наведения; РЭСУ безотказно работала и при
этом самолет не был поражен противником. Если вероятности этих со-
бытий соответственно PBi, P6pi и Рнпь то
Pp3i= PBiP6piPHiii. (1-7)
В свою очередь, полагая в первом приближении процессы взятия
цели на сопровождение и наведения по курсу и высоте независимыми,
можно получить
Рдну1—Рднк! Рднв! Рась О’Ю
где РДНК1 и РДНВ| - вероятности дальнего наведения по курсу и высоте при
i-м способе с ошибками Дук по курсу и ДН по высоте, не превышающи-
ми допустимых значений ±ДуКд и ±ДНд;
N
₽aci = ZPejPacj - (1-9)
j=l
вероятность захвата цели на автосопровождения хотя бы одним из N
визирных устройств (БРЛС, ТП, ОП); PBJ - вероятность выбора j-ro
средства автосопровождения; PaCj - вероятность захвата цели j-м средст-
вом, определяемая вероятностью правильного обнаружения.
Текущие ошибки наведения самолета по курсу и высоте обуслов-
лены большим числом различных случайных воздействий. Поэтому в
соответствии с центральной предельной теоремой ошибки наведения
самолета по курсу и высоте можно считать гауссовскими процессами, а
математические ожидания их можно полагать равными нулю. Тогда
ду2
=е 2D'W dATK , (1.
ДУ
, = ?_____________!_
'--J. ^5
р .
А ДНВ1
дн, 1
f 1
-днл ^/2яОДн
дн2
е 2Е)д"бДН.
(1.11)
Анализ (1.10) и (1.11) показывает, что эти вероятности зависят от
точности управления самолетом по курсу и высоте, определяемой соот-
ветственно дисперсиями DAv и DAH ошибок наведения по этим фазовым
координатам. Кроме того, величины Рднк, и PAHui зависят от пределов ин-
тегрирования ±Аукд и которые определяются параметрами зоны
обзора устройства, захватывающего цель на автосопровождение. Необ-
ходимо отметить, что из всех применяющихся в настоящее время ви-
зирных устройств (БРЛС, ТП, ОП) наибольшая зона обзора у РЛС.
Геометрические соотношения между параметрами зоны обзора
БРЛС, влияющими на (1.10) и (1.11) при наведении самолета на воз-
душную цель, иллюстрируются рис. 1.4, где ДН - диаграмма направ-
ленности антенны, Д3 - дальность захвата, а -Дуумд...Д\|/умд - сектор об-
зора по углу места. Кроме того,
БРЛС сохраняет параметры
своей зоны обзора в любое
время суток и в любых метео-
условиях, в то время как ОП и
ТП работоспособны лишь в
условиях оптической видимо-
сти или при слабой дымке. Не-
возможность функционирова-
ния ТП и ОП в СМУ формаль-
но учитывается в (1.10) и (1.11) нулевыми значениями ±Дуед и ±ДНд.
Из (1.6)—(1.11) следует, что для повышения эффективности РЭСУ
на этапе дальнего наведения самолета для обнаружения целей целесо-
образны БРЛС. При этом эффективность наведения тем выше, чем
больше зона обзора БРЛС, определяющая пределы интегрирования в
(1.10) и (1.11), чем надежней она работает (P6pi в (1.7)) и чем большей
вероятностью Рпо правильного обнаружения она обладает (Pacj в (1.9)).
Необходимо подчеркнуть, что Рпо зависит от условий сближения с це-
лью. Для увеличения Рпо, а соответственно и Pacj, целесообразно выби-
рать траекторию наведения с принижением относительно воздушной
цели, чтобы обнаружить ее на фоне свободного пространства. При пе-
рехвате низколетящих целей на фоне Земли с использованием импульс-
но-доплеровских РЛС большие значения Рпо реализуются при наведе-
нии в ППС. Кроме того, для увеличения (1.6) необходимы высокоточ-
ные системы управления, так как при этом возрастают вероятности
(1.10) и (1.11) наведения по курсу и высоте за счет меньших значений
дисперсий ошибок наведения.
1.4.4. Эффективность РЭСУ
НА ЭТАПЕ БЛИЖНЕГО НАВЕДЕНИЯ
Эффективность РЭСУ на этапе ближнего наведения будет оцени-
ваться вероятностью Рбн ближнего наведения, входящей в состав гло-
бального показателя (1.1). Определим зависимость Рбн от условий при-
менения, ТТП РЭСУ и ее составных частей на примере истребителя, так
как при этом имеют место наиболее сложные законы движения самоле-
та, цели и наводимой на нее ракеты. Используем ту же методику анали-
за, что и в п. 1.4.3. Под вероятностью ближнего наведения будем пони-
мать вероятность вывода самолета в область пространства, пуск из
которой ракет приводит к поражению цели с вероятностью, не хуже
заданной, при условии, что перегрузки ракеты не превысят допусти-
мых значений. Поскольку ближнее наведение можно реализовать не-
сколькими способами (например, с помощью БРЛС, ТП и ОП), то
пб
Рбн - ХРрз1Рбпу1 ’
i=l
где пб - число используемых способов ближнего наведения; Pp3i - вероят-
ность решения задачи i-м способом, вычисляемая по соотношению (1.7);
Рбну1 Рбню Рбн п Рacpi “’ (1-12)
условная вероятность ближнего наведения при выбранном способе,
представляющая вероятность того, что ошибки по Д\|/к и Д\|/т наведения
истребителя по курсу и тангажу не превысят заданных значений ±Д\|/кд и
±Дутд и цель с вероятностью Раср, будет взята на автосопровождение
аппаратурой ракеты; P6HKi и P6HTi - вероятности наведения по курсу и
тангажу при i-м способе и допущении о независимости процессов
управления по курсу и тангажу. Необходимо отметить, что последний
сомножитель в (1.12) учитывается только для ракет, которые должны
захватывать цель на подвеске.
В соответствии с центральной предельной теоремой законы рас-
пределения ошибок наведения Л\|/к и Дут можно считать гауссовскими.
Тогда при нулевых математических ожиданиях этих ошибок:
= ! -Т-;—® (1.13)
-ДЧ^
ДФ2
Рбнп= J -7—=е 2D^dATT . (1.14)
-ДЧ^ д/271°ДЧ>т
Здесь и DAvt - дисперсии ошибок наведения самолета по курсу и
тангажу. Если для ближнего наведения используется БРЛС, то эти дис-
персии тем меньше, чем выше точность измерения (оценивания) РЛС
дальности до цели, скорости сближения с ней, бортовых пеленгов цели
и угловых скоростей линии визирования. В общем случае значения до-
пустимых ошибок наведения ±Д\|/кд и ±Д\|/тд определяются наиболее же-
сткими из совокупности ограничений, накладываемых на РЭСУ приме-
няемых ракет. К этим ограничениям относятся размеры зон захвата цели
на сопровождение бортовыми средствами ракеты и допустимые боко-
вые перегрузки ракеты. Необходимо отметить, что из всех видов ракет-
ных визирных систем наиболее широкой зоной захвата цели обладают
РГС, поэтому для них размеры ±Д\|/кд и ±А\|/ТД определяются первона-
чальными ошибками наведения ракеты, при которых боковые перегруз-
ки не превышают заданных значений.
Проведенный анализ соотношений (1.7) и (1.12)-(1.14) позволяет
прийти к заключению, что для увеличения Рбн целесообразно использо-
вать ракеты с РГС и повышать точность наведения истребителя, для
чего следует повышать точность измерений (оценивания) БРЛС всех
фазовых координат, информация о которых необходима в процессе на-
ведения. Если для поражения цели используются ракеты с РГС, захва-
тывающими цель на подвеске, то сохраняют свое значение все рекомен-
дации об условиях применения, сделанные в п. 1.4.3.
Эффективность ближнего наведения самолетов других типов
можно определить с помощью всех рассмотренных формул. При этом в
(1.13) и (1.14) может лишь измениться смысл и вид ошибок наведения и
их допустимые значения. Так, при бомбометании вместо Л<|/к и ±Д<Икд
учитываются ошибки боковой наводки, а вместо Д\|/т и ±Д\|/тд - соответ-
ствующие ошибки продольной наводки.
1.4.5. Эффективность РЭСУ на этапе наведения ракет
Эффективность РЭСУ на этапе наведения ракет определяется
вероятностью Ррп поражения цели хотя бы одной из п ракепг.
б)
Рис. 1.6
Ррп =1-(1-Рр)п, (1.15)
где Рр - вероятность поражения цели
одной ракетой. Как правило, система
управления ракетой является простой,
и задача наведения на цель решается
одним способом. Тогда
Рр = Рбр Рни Рру. (1.16)
Здесь Рбр - вероятность безотказной
работы всех систем ракеты; Рнп - ве-
роятность того, что ракета не будет
поражена противником; Рру - услов-
ная вероятность поражения цели од-
ной ракетой, определяемая в предпо-
ложении, что все системы ракеты ра-
ботают надежно и ракета не поража-
ется противником.
При использовании неконтакт-
ного взрывателя в первом приближе-
нии можно считать, что Рру представ-
ляет вероятность попадания ракеты
внутрь некоторой сферы с радиусом
Яэф и центром Оц, совмещенным с
центром массы цели. На рис. 1.5 это
событие отражается тем, что расстоя-
ние OpOu между ракетой, положение
центра масс которой характеризуется
точкой Ор, и целью не превышает
значения Кэф. Здесь Vu и Vp- векторы
скорости цели и ракеты. Радиус ЯЭф,
называемый эффективным радиусом
поражения, определяется мощностью
БЧ. Считается, что подрыв БЧ обеспечивает достоверное поражение
цели внутри сферы с радиусом КЭф. Для радиовзрывателя, являющегося
одним из наиболее широко применяемых видов неконтактных взрыва-
телей, специфично то обстоятельство, что он выдает команду на подрыв
БЧ, находясь на траверсе цели, когда угол между линией пути ракеты и
направлением на цель примерно равен 90° (рис. 1.6, а). При таком рас-
положении цели и ракеты имеют место наименьшее расстояние h между
ними и наименьшее значение доплеровской частоты радиосигнала, вос-
принимаемого радиовзрывателем от цели. Последнее обстоятельство и
используется как одно из условий, необходимое для подрыва БЧ. Тогда
при использовании радиовзрывателя можно считать, что вероятность
поражения цели будет равна вероятности попадания ракеты в круг с
радиусом КЭф и площадью S = , который расположен в плоскости
рассеяния. Под плоскостью рассеяния, называемой иногда картинной, в
дальнейшем будем понимать плоскость, проходящую через центр масс
цели Оц перпендикулярно вектору Vo относительной скорости ракеты,
либо перпендикулярно линии пункт управления-ракета.
Расстояние h между целью и ракетой в плоскости рассеяния на-
зывают промахом. Для удобства анализа РЭСУ промах h представляют
в виде его проекции hz и hy на оси OUZ и ОЦУ системы координат ZOLlY,
связанной с центром масс Оц цели и расположенной в плоскости рас-
сеяния. Взаимное расположение цели Оц и ракеты Ор в плоскости А А?
рассеяния иллюстрируется рис. 1.6.
Принимая во внимание замечания о составляющих промаха раке-
ты и размеры зоны поражения, можно определить условную вероят-
ность поражения цели:
Ppy=JJp(hz,hy)p(hz,hy)dhzdhy, (1.17)
S
в которой S - площадь круга с радиусом R3<|,; p(hz,hy) - двумерная плот-
ность распределения промахов, называемая законом рассеивания;
P(hz,hy) - координатный закон поражения в плоскости рассеяния, пред-
ставляющий условную вероятность поражения цели при конкретных
значениях hz и hy промахов. Координатный закон поражения учитывает
различную уязвимость цели при подрыве БЧ ракеты на различных уда-
лениях hz и hy. В соответствии с центральной предельной теоремой при
нулевых математических ожиданиях промахов hz и hy и одинаковых их
дисперсиях Dz=Dy- плотность распределения определяется гауссовским
законом:
h^+hy
p(hz.h,)=^Te (1-18)
2wy
Необходимо подчеркнуть, что (1.18) получено в предположении,
что корреляция между hz и hy отсутствует.
В первом приближении координатный закон поражения цели
можно аппроксимировать выражением [9, 28]:
h*+hj
p(hz,hy)=e 2R’"' . (1.19)
Поскольку считается, что БЧ достоверно уничтожает цель внутри
круга с радиусом Яэф, то вероятность Рру не увеличится при расширении
в (1.17) пределов интегрирования до ±«>. Тогда после подстановки (1.18)
и (1.19) в (1.17)
hz+hy h*+h*
— ОО —ОО у
1
^2tiD у
-hx —“
у 2D
_1_
2R^ 'dh
Vх -/-
у 7^
«о -h’
Iе
2D.
2R2* 'dhz.
1
Известно
_ 2 2 -7 ТС
[13], что Je х г dx = —. Следовательно, при
2 1 1
Г =-------+-----—
2Dy 2Яэ2ф
—, получим
2DyR;(1)
РРУ
*эф
1____
у/Иэф
(1-20)
z
где было учтено, что Dy=Dz. Из (1.20) следует, что Рру зависит от мощ-
ности БЧ, определяющей ЯЭф, и точности наведения ракеты, которая
обусловливает дисперсии промахов Dy и Dz. В свою очередь, дисперсии
Dy и Dz определяются точностью измерения РГС фазовых координат,
необходимых для реализации используемого метода наведения ракеты.
Обобщая, можно прийти к заключению, что для повышения эф-
фективности РЭСУ на этапе наведения ракет необходимо увеличить
число ракет, применяемых по одной цели, повышать надежность их ра-
боты и точность измерения (оценивания) фазовых координат в РГС, а
также увеличивать мощность БЧ.
Для оценки эффективности РЭСУ высокоточных ракет, пора-
жающих цель прямым попаданием, можно также использовать формулу
(1.17). При этом полагается, что P(hz, hy)=l, а пределы интегрирования
определяются сечением цели в плоскости рассеивания.
1.4.6. Эффективность РЭСУ на этапе бомбометания
Бомбометание по наземным (надводным) целям может осуществ-
ляться с горизонтального полета, с пикирования, на выводе ЛА из пики-
рования и с кабрирования [9]. К числу важнейших частных задач, ре-
шаемых авиационной РЭСУ в процессе бомбометания, относится зада-
ча прицеливания. Суть этой задачи состоит в том, чтобы придать ЛА
в пространстве относительно цели такое положение, при котором
траектория падения бомбы пройдет через центр цели. Точку, в кото-
рой происходит отделение бомбы от ЛА, принято называть точкой
сброса (точкой бросания). При серийном бомбометании точка падения
первой бомбы выносится относительно цели в сторону, противополож-
ную направлению полета, на половину длины серии /=(пбс-1)/с, где Пбс -
число бомб в серии; /с - линейный интервал серии (расстояние между
точками падения двух смежных бомб).
Для определенности
показатель эффективности
авиационной РЭСУ при ре-
шении задачи прицеливания
рассмотрим применительно к
бомбометанию с горизон-
тального полета. В этом слу-
чае прицеливание осуществ-
ляется в подвижной горизон-
тированной системе коорди-
нат (СК) OXrYrZr с началом О
в центре масс ЛА (рис. 1.7), в
которой ось OYr направлена
по местной вертикали, а оси
ОХГ и OZr располагаются в
горизонтальной плоскости.
Траектория
полета ЛА^
Рис. 1.7
При этом ось ОХГ иногда лежит в плоскости курса. Плоскость курса -
это вертикальная плоскость, проходящая через вектор воздушной ско-
рости V. На рис. 1.7: Vr - горизонтальная проекция вектора V, W - век-
тор скорости ветра, 0 - угол наклона траектории ЛА.
Требуемое и фактическое положение цели (на рис. 1.7 точки Цт и
Ц) характеризуются векторами требуемой Дт и фактической Д дально-
стей. Применительно к рассматриваемым условиям бомбометания для
решения задачи прицеливания в авиационной РЭСУ достаточно опреде-
лять только горизонтальные проекции вектора =Д-ДТ - продольный Дх
и боковой Az промахи:
Ax(t) = x(t)-xT(t), A2(t) = z(t)-zT(t), (1-21)
где xT(t), zT(t) и x(t), z(t) - требуемые и фактические координаты цели.
Параметры Дх и Az называются также параметрами сигнализации и
управления и обозначаются Дх=р и Az=q [9].
В процессе прицеливания на основе непрерывно вычисляемых в
соответствии с (1.21) параметров р и q управление самолетом осуществ-
ляется таким образом, чтобы обеспечить выполнение условий p(t)=O и
q(t)=O.
В действительности параметры р и q вычисляются с погрешно-
стями, обусловленными большим числом факторов. Результирующие
погрешности определения параметров р и q включают в себя: погреш-
ности визирных систем из состава ИВС, используемых при определении
фактических координат цели (БРЛС, ОЭС, ОП); погрешности измерите-
лей текущих параметров полета (высоты, воздушной скорости, угла ата-
ки), а также погрешности определения проекций вектора ветра на гори-
зонтальные оси СК OXrYrZr; погрешности вычисления баллистических
элементов бомбы (штилевого относа и времени падения), которые зави-
сят от погрешностей определения текущих параметров полета, а также
погрешностей определения и ввода в ИВС характеристического време-
ни бомбы.
Для любого момента времени t параметры р и q в первом приближе-
нии можно рассматривать как некоррелированные гауссовские случайные
величины с математическими ожиданиями mp(t), m^t) и дисперсиями Dp(t),
Dq(t). Для рассматриваемых условий бомбометания в качестве условного
показателя эффективности авиационной РЭСУ при решении задачи
прицеливания целесообразно принять вероятность того, что в расчет-
ный момент tc6 сброса бомбы параметры р и q, являющиеся продольным
и боковым промахами, лежат в области допустимых значений:
f*np Рд1 — РОсб) — Рд2’ Чд! — ЧОсб) — ^2}
[р-^р(кб)]2 h-^qUt»)]2
---- 1 - = j j е 2Dp(t-} 2Dq(tc6} dpdq =
2TcjDp(tc6)Dq(te6) рЛ| чЛ|
( Рд2~п1р(1сб) 1 ( РД1-mp(tc6)'
7°р^сб) , 7Dp^еб^ ,
где рД1, рд2, Яд], Яд2 - допустимые для заданных условий бомбометания
значения продольного и бокового промахов, зависящие от характери-
стик системы вооружения, типа и калибра авиабомб; Ф(>) - табулиро-
ванный интеграл.
Согласно вышеизложенному и выражению (1.22) для повышения
эффективности решения задачи прицеливания при бомбометании, пре-
жде всего, необходимо повысить точность визирных систем и измери-
телей текущих параметров полета, входящих в состав ИВС авиационной
РЭСУ.
ГЛАВА 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДАХ
СИНТЕЗА И АНАЛИЗА РЭСУ
2.1. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЭСУ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Задачей синтеза является получение алгоритмов функционирования
систем радиоуправления, наилучших (оптимальных) в том или ином смыс-
ле. В общем случае такие алгоритмы должны обеспечивать, высокую точ-
ность и устойчивость РЭСУ, а также их низкую чувствительность к изме-
нению условий функционирования при наличии информационных, вычис-
лительных и энергетических ограничений.
Информационные ограничения обусловлены: неполнотой сведений
о процессах и условиях функционирования РЭСУ, приводящей к неточно-
му их математическому описанию; невозможностью использовать доста-
точное число измерителей; неполнотой сведений о законах распределений
и статистических характеристиках возмущений. Вычислительные ограни-
чения предопределяются недостаточными быстродействием и объемом
памяти бортовых ЭВМ. Несмотря на постоянное улучшение этих показате-
лей, в обозримом будущем возможности вычислителей будут ограничивать
степень совершенства систем радиоуправления. Энергетические ограниче-
ния проявляются в двух аспектах: в затратах энергии на функционирование
РЭСУ в целом и в затратах энергии управляющих сигналов. Причем в по-
следнем случае важны ограничения как за весь интервал управления, так и
на мгновенные значения сигналов управления.
В практике разработки РЭСУ можно выделить три группы методов
синтеза: эмпирические, основанные на опыте и интуиции проектировщи-
ков; классические, оперирующие с преобразованиями Лапласа и /-преобра-
зованиями, передаточными функциями, структурными схемами и частот-
ными характеристиками [40,42], и современные, использующие описание и
моделирование систем в пространстве состояния [5, 23,43,47, 54].
Эмпирический путь практически никогда не обеспечивает полу-
чение оптимальных алгоритмов, поскольку проектировщик не распола-
гает достаточной информацией для оптимальных решений во всех ситуаци-
ях, которые могут иметь место в процессе эксплуатации систем. Для клас-
сических методов синтеза также чрезвычайно трудно получить алгоритмы,
оптимальные по сложным критериям, учитывающим противоречивые тре-
бования точности, экономичности и чувствительности, особенно для мно-
гомерных систем управления, к которым, собственно, и относятся РЭСУ.
Более приемлемыми оказываются методы пространства состояний.
Описание процессов и систем в пространстве состояний основано
на представлении их эволюций в виде элементов х множества X воз-
можных состояний. При таком представлении каждый элемент множе-
ства xg X должен однозначно и по возможности полнее характеризовать
мгновенное состояние рассматриваемой системы или процесса [49].
Процесс, протекающий во времени, отображается как движение элемента
х в пространстве X. Обычно элементы х представляют набор хь х2, ..., хп
упорядоченной совокупности действительных чисел, который удобно
отображать вектором х=[Х| х2 ... хп]г, называемым вектором состояния.
При рассмотрении эволюций процессов или систем в пространстве со-
стояний этот вектор, в общем случае, является функцией непрерывного
или дискретного времени:
x(t)=[xi(t) x2(t) ... xn(t)]r, (2.1)
x(k)=[x,(k) x2(k) ... xn(k)]r, (2.2)
где t - текущее время, a k=l,2,... - номер дискрета времени. В теории сис-
тем управления пространство состояний иногда называют фазовым, компо-
ненты Xj (i = 1, п) вектора х - фазовыми координатами, а эволюции самого
вектора х - фазовой траекторией. В пользу описания процессов и систем в
пространстве состояний свидетельствуют следующие соображения.
Фазовые траектории непрерывных (2.1) и дискретных (2.2) про-
цессов и систем представляются в виде дифференциальных и разност-
ных уравнений, в отличие от изображений по Лапласу и /-преобразова-
ний в классических методах. Это позволяет получить естественные, фи-
зически наглядные модели в форме, удобной для применения в ЭВМ.
Модели (2.1) и (2.2) дают возможность на основе векторно-
матричных представлений унифицировать описание одномерных, мно-
гомерных, линейных, стационарных, нестационарных и широкого круга
нелинейных процессов и систем. Кроме того, такие модели пригодны
для описания как замкнутых (автономных) систем и процессов, не взаи-
модействующих с другими системами и процессами, так и систем, в
которых указанные взаимодействия имеют место. В последнем случае
вводятся дополнительные множества: множество сигналов управлений
с элементами ueU (u=[ui u2 ... ur]T), множество возмущений gE
( =[£| ^2 ••• ^п]т) и множество сигналов измерений (наблюдений) zgZ
(z=[zi z2 ... zm]T). В такой ситуации элементы (2.1) и (2.2) пространства
состояний для непрерывных и дискретных процессов и систем можно
представить в виде моделей:
x(t) = f[x(t),u(t)4x(t)>t]; (2.3)
z(t)=h[x(t),^H(t),t]; (2.4)
x(k + l)=f[x(k),u(k^x(kU]; (2-5)
z(k)=h[x(k)4„(k),k], (2.6)
в которых f и h - в общем случае нелинейные вектор-функции, х и п -
векторы возмущений процессов и систем, а также шумов измерений.
Для решения задачи синтеза в пространстве состояний, как
правило, необходимо выполнить следующие процедуры:
1. Обосновать объем и конкретный вид априорной информации в
виде: исходных моделей интересующих процессов и оптимизируемых
систем; используемых первичных измерителей; законов распределения
и статистических характеристик всех видов возмущений; заданного
поля условий применения и всех ограничений, накладываемых на про-
ектируемую систему;
2. Выбрать тот или иной критерий оптимальности;
3. Сформировать алгоритмы функционирования РЭСУ, опти-
мальные по выбранному критерию с учетом всех ограничений, накла-
дываемых на систему.
Синтез РЭСУ в пространстве состояний базируется на методах фор-
мирования сигналов оптимального управления на основе математического
аппарата статистической теории оптимального управления. Оптимальное
управление возможно лишь при оптимальной обработке информации о
состоянии процессов и систем. Поэтому составной частью СТОУ является
теория оптимального оценивания (ТОО) динамических процессов. Как
правило, для оптимизации процесса управления недостаточно априорной
информации о системах (особенно нестационарных). Поэтому еще одной
важной составной частью СТОУ является аппарат теории оптимальной
идентификации (ТОЙ), который позволяет оптимально оценивать парамет-
ры, характеристики и условия функционирования РЭСУ по эксперимен-
тальным данным. Необходимо подчеркнуть, что при решении некоторых
частных задач алгоритмы ТОО и ТОЙ могут играть самостоятельную
роль без привлечения алгоритмов формирования сигналов управления.
Для получения оптимальных оценок необходимо располагать оп-
ределенным объемом априорных сведений. К этим сведениям относят-
ся: модели оцениваемого процесса и измерителей в виде систем диффе-
ренциальных, алгебраических или разностных уравнений; законы рас-
пределения и статистические характеристики возмущений оцениваемо-
го и наблюдаемого процессов и начальных значений оцениваемых фа-
зовых координат. При гауссовском законе распределений достаточно
знать лишь математические ожидания и дисперсии.
В общем случае математический аппарат теории оценивания позво-
ляет сформировать оценки, оптимальные по различным критериям: наи-
меньших квадратов, минимума среднеквадратичных ошибок (СКО), мак-
симального правдоподобия и максимальной апостериорной вероятности.
При использовании пространства состояний широко употребительны алго-
ритмы формирования оценок, оптимальных по минимуму СКО. Формиро-
вание таких оценок осуществляется на основе перечисленных выше апри-
орных сведений и результатов измерений (наблюдений) хотя бы части
оцениваемых фазовых координат. Под наблюдениями или измерениями
понимаются физические процессы (сигналы) на выходе тех или иных
средств инструментального контроля (измерителей). Для РЭСУ наиболее
важными наблюдениями являются сигналы высокой и промежуточной
частот, а также видеосигналы, снимаемые с приемников или различного
рода дискриминаторов.
В современной ТОО можно выделить несколько направлений.
При использовании аналоговых или дискретных моделей (2.3)-(2.6)
соответственно используются аналоговые или дискретные алгоритмы
оценивания. Если оцениваемые и измеряемые процессы аппроксимиру-
ются линейными уравнениями (2.3)-(2.6), то говорят о линейном оце-
нивании. Если хотя бы один из этих процессов описывается нелиней-
ными уравнениями, то имеет место нелинейное оценивание. Процедура,
когда оптимальная оценка формируется непосредственно на момент
получения измерения (2.4), (2.6), называется оптимальной фильтраци-
ей. При формировании оценок на моменты времени, опережающие
время поступления наблюдений, говорят об экстраполяции. Если оценки
формируются на моменты времени, которые отстают от времени
получения измерений, то имеет место интерполяция. Следует под-
черкнуть, что алгоритмы ТОО весьма чувствительны к отклонениям
параметров моделей и условий функционирования, использованных при
синтезе, от их действительных значений и условий. При наличии таких
несоответствий реальные показатели точности систем, синтезированных
на основе алгоритмов ТОО, могут быть существенно хуже их расчет-
ных, теоретических значений. Отмеченные недостатки также свидетель-
ствуют о целесообразности применения алгоритмов ТОЙ.
Процессы и системы можно идентифицировать по целому ряду
признаков [25, 49]: классу моделей, в терминах которого они представ-
лены; условиям существования процессов и функционирования систем;
параметрам и показателям конкретных видов систем и процессов,
включая и различного рода помехи, и т.д.. Последнее направление на-
зывается параметрической идентификацией. Для решения задач пара-
метрической идентификации необходимо кроме той информации, кото-
рая используется в ТОО, еще иметь модели эволюций в пространстве
состояний параметров и показателей идентифицируемых процессов и
систем.
Качество идентификации определяется степенью приближения
оценок параметров и показателей процессов и систем к их действитель-
ным значениям. Степень этого приближения можно оценивать по раз-
личным правилам [25]. Одним из наиболее простых и удобных показа-
телей оптимальности параметрической идентификации является мини-
мум СКО оценивания параметров и показателей процессов и систем.
Необходимо отметить, что достаточно часто оптимальная фильтрация
фазовых координат и оптимальная идентификация систем используются
совместно в рамках единого алгоритма оценивания [25]. Следует под-
черкнуть, что алгоритмы теории оптимальной фильтрации (ТОФ) и
ТОЙ не отвечают на вопрос, какой ценой достигается минимум СКО
оценивания фазовых координат и параметров систем. Следовательно,
эти алгоритмы не учитывают ограничений используемых сигналов,
которые практически всегда имеют место в реальной аппаратуре. По-
этому их целесообразно использовать самостоятельно лишь при реше-
нии чисто информационных задач, не требующих значительных затрат
энергии.
Для решения энергоемких задач управления более приспособлены
алгоритмы СТОУ, основанные на обеспечении экстремумов более
сложных, чем минимум СКО, функционалов, например, таких, как (1.4)
и (1.5). Оптимизация по таким критериям дает возможность получить
РЭСУ совместно наилучшие как по точности, так и экономичности с
учетом реальных ограничений быстродействия исполнительных орга-
нов, сигналов управления и расходуемой ими энергии. При этом можно
сформировать алгоритмы управления, более приближенные к реальным
условиям функционирования, чем алгоритмы, полученные на основе
других принципов.
Меньшая чувствительность алгоритмов СТОУ к отклонению ус-
ловий функционирования от номинальных требует меньшей доработки
синтезированных РЭСУ в процессе их ввода в серийное производство.
Кроме того, алгоритмы СТОУ позволяют еще на стадии проектирования
(на стадии разработки исходных моделей) достаточно просто учесть
свойства узлов и устройств, которые заведомо войдут в состав синтези-
руемой РЭСУ (например, привод антенны БРЛС). Эта особенность ал-
горитмов СТОУ делает их более приспособленными к современному
стандартизированному и унифицированному производству.
Для синтеза РЭСУ на основе математического аппарата СТОУ
необходимо наряду с априорной информацией, которая используется в
ТОО, учесть ограничения, накладываемые на систему, и выбрать кон-
кретный вид минимизируемого функционала качества. В практике син-
теза систем управления наиболее широко применяются различные мо-
дификации функционала Летова-Калмана (1.4), локального функциона-
ла (1.5) и функционала обобщенной работы [29]. В зависимости от спо-
собов получения законов управления различают алгоритмы, синтезиро-
ванные на основе принципа максимума Понтрягина [29] и на основе
метода динамического программирования Беллмана. Принцип макси-
мума дает возможность получить алгоритмы управления, используя
методы вариационного исчисления. Метод динамического программи-
рования позволяет синтезировать закон управления, опираясь на сфор-
мулированный Беллманом принцип оптимальности [48], вытекающий
из рациональных физических соображений. Необходимо отметить, что
при использовании одинаковых исходных моделей и функционалов
качества оба способа приводят к получению идентичных алгоритмов.
Основное внимание будем уделять алгоритмам синтеза оптималь-
ных РЭСУ, основанным на линейных моделях процессов, исполнительных
органов и измерителей. Это обусловлено меньшим объемом требуемых
математических выкладок, большей простотой и наглядностью полученных
алгоритмов, а также возможностью применения для их исследования хо-
рошо разработанных методов анализа линейных систем.
2.1.1. Постановка задачги синтеза оптимального управления
При описании общих подходов к синтезу оптимальных систем
управления в пространстве состояний было отмечено, что СТОУ ис-
пользуется при наличии ограничений на проектируемую систему. Пояс-
ним этот тезис более подробно. Обычно в пространстве состояний пола-
гается заданным описание информационного процесса вектором х и
результатов наблюдения его компонент - вектором z. При этом функ-
ция x(t) описывает фазовую траекторию, которую и необходимо восста-
новить (оценить) по результатам наблюдений вектора z. Никаких огра-
ничений на синтезируемую систему, которая оптимальным образом
будет формировать эту оценку, не накладывается. При этом часто пред-
полагается, что априорно задана некоторая часть системы, на вход ко-
торой подаются сигналы управления u(t), а на выходе этой системы
необходимо воспроизвести искомую траекторию x(t). Процесс на выхо-
де системы управления будем обозначать ху (управляемая траектория).
Структура системы управления полагается заданной и описывается в
пространстве состояний соответствующим уравнением, например ли-
нейным
Ху (t)= Fy (t)xy (t)+ ВУ (t)u(t)+ £y (t). (2.7)
Здесь: Fy - динамическая матрица состояния; By - матрица эффективно-
сти управления; u(t) - г-мерный вектор сигналов управления (г<п), по-
даваемых на вход системы управления, у - вектор дополнительных
(неконтролируемых) случайных возмущений, который обычно описы-
вают белым гауссовским шумом с нулевым математическим ожиданием
и матрицей односторонних спектральных плотностей Gy. В общем слу-
чае размерность вектора ху отлична от размерности вектора х, т.е. сис-
тема управления воспроизводит не все координаты искомой траектории
x(t), а только часть из них. В целях большей физической наглядности
будем полагать сначала, что размерности указанных векторов совпада-
ют.
Так как в теории оптимального управления принято говорить о
траекториях в пространстве состояний, то процесс x(t) часто называют
требуемой траекторией и обозначают x,(t). Поэтому здесь и далее также
будем использовать это обозначение. Тогда соответствующее уравне-
ние, описывающее требуемую траекторию в пространстве состояний,
представим в виде
xT(t)=FT(t)xT(t)+£T(t). (2.8)
где: FT - динамическая матрица состояния; £т - вектор белых гауссов-
ских шумов с нулевым математическим ожиданием и матрицей одно-
сторонних спектральных плотностей GT.
Многовариантность описания процедур задачи оптимального уп-
равления приводит к чрезвычайному разнообразию её постановок [34].
Ниже будет использована одна из самых несложных, позволяющая по-
лучить наиболее простые алгоритмы формирования управляющих сиг-
налов. Эта задача формулируется следующим образом: по результа-
там наблюдений z(t) (структуру которых мы определим позже) всех
или некоторых компонент xr(t) и xy(t) выбором вектора управлений u(t)
необходимо наилучшим (оптимальным) образом на выходе системы
управления сформировать управляемую траекторию xy(t). Возможные
критерии оптимальности описаны в п.1.4.2. Рассмотрим, например,
критерий Лётова-Калмана (1.4).
Из физических соображений понятно, что, задав ограничения на
структуру выбираемого (синтезируемого) вектора ху, мы ограничиваем
возможности выбора наилучшей системы, а, следовательно, характеристи-
ки выбранной системы будут «не лучше» (а в общем случае хуже), чем у
системы, которая выбирается (синтезируется) без ограничений. Поэтому,
задав структуру системы управления (2.7) мы заведомо идем на ухудшение
потенциальных показателей качества. Более того, если в системе управле-
ния имеют место дополнительные возмущения (шумы ^у), которые отсут-
ствовали при решении задачи оптимальной фильтрации, то это приведет к
дополнительному ухудшению потенциальной точности. Необходимо, од-
нако, подчеркнуть, что использование (2.7) даёт возможность ещё на стадии
проектирования учесть ограничения на динамические свойства исполни-
тельных органов, которые заведомо войдут в состав системы.
Обычно в качестве заданной части рассматриваются исполни-
тельные органы. Их динамические свойства (быстродействие) учитыва-
ются в (2.7) коэффициентами матриц Fy и Ву. Ограничения на управ-
ляющие сигналы накладываются в виде одного из трех условий:
Uj(t)< u4onj, (j = l,r);
M{uT(t)Ku(t)}<pH(t);
Jm{ut (t)K.u(t) jdt < Ц.
(2-9)
(2.Ю)
(2.П)
Неравенство (2.9) означает, что мгновенные значения Uj каждого
сигнала управления не должны превышать допустимого значения
Неравенство (2.10) ограничивает мощность сигналов управления с учетом
важности отдельных его составляющих Uj для системы в целом. Количест-
венно степень важности различных сигналов управления определяется
коэффициентами ку матрицы К. Условие (2.11) ограничивает «взвешен-
ную» энергию, затрачиваемую сигналами управления за все время
управления tK. Эти дополнительные ограничения приводят к ухудшению
потенциальной точности слежения за требуемой фазовой траекторией.
Вместе с тем следует отметить, что в ряде приложений реальная
точность систем, синтезированных по алгоритмам СТОУ, оказывается
лучше, чем у аналогичных систем, синтезированных по алгоритмам
оптимальной фильтрации. Обусловлено это, прежде всего тем, что уже
на стадии проектирования можно учесть реальные ограничения, кото-
рые часто имеют место в практике эксплуатации, и которые не учиты-
ваются теорией оптимальной фильтрации.
Отмеченные выше положения справедливы и для более общего
случая, когда размерность векторов хт и ху не совпадают. При этом
обобщенный показатель качества Лётова-Калмана (1.4) можно предста-
вить в виде [29]
1 — м{[лтхт(1к) АуХу(tk )]fq[atxt(tk) AyXy(tk)]+
+ j[ATxT(t)- Ayxy(t)]rb[ATxT(t)- Ayxy(t)]dt+ juTKudt , (2.12)
где матрицы Ат и Ay уравнивают размерности векторов хт и ху.
Для сокращения записей, введем обобщенный вектор х=[х.[: х^ ]т.
Тогда, с учетом (2.7), (2.8) и (1.4), можно записать
где
x(t)=F(t)x(t)+B(t)u(t)+^x(t)I
I = M хт(1кХ»,х(1к)+
*К Г 1
J|xT(t)L|x(t)+uTKu]dt >,
о
(2.13)
(2-14)
гт V»!
О2 Fy
a;qa,, -A^QAy L_ а;ьаг -а.;:ьау
-AyQA,. ATyQAy ’ '”-AjLAr ATyLAy
(2-15)
a O!-O5 - нулевые матрицы соответствующей размерности.
Для задачи линейного оптимального управления, наблюдения
полагаются линейными и описываются уравнениями
z(t)=H(t)x(t)+Ut)> (2-16)
где - белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием
и матрицей односторонних спектральных плотностей GH. При нелиней-
ных наблюдениях уравнение (2.16) представляется соотношением
z(t)=s(x,t)+^(t), (2.17)
в котором s(x, t) - нелинейная вектор-функция.
Однако при большом отношении сигнал/шум и высокой точности
измерений задачу с нелинейными наблюдениями можно привести к
эквивалентной задаче линейных наблюдений. Поэтому в дальнейшем
будем рассматривать в основном линейные наблюдения (2.16).
В общем случае задача синтеза системы оптимального управле-
ния на основе математического аппарата СТОУ формулируется сле-
дующим образом: для системы с заданной частью (2.7), предназначен-
ной для отработки процесса (2.8), при наличии измерений (2.16) или
(2.17), необходимо найти сигнал управления и, обеспечивающий мини-
мум того или иного функционала качества (например (2.14)).
Из физических соображений ясно, что для формирования сигна-
лов управления необходима информация о фазовых координатах векто-
ра состояния х (2.13). При получении информации о компонентах х,
(j = 1,2п) необходимо учесть две особенности. Первая определяется
наличием возмущений т и у, что обусловливает случайный характер
процессов хт и ху. По этой причине никакие априорные сведения о хт и
ху не позволяют точно оценить их мгновенные значения. Вторая осо-
бенность предопределена тем, что не все компоненты х, (i = l,2n ) могут
поддаваться инструментальному контролю. В модели многомерного
измерителя (2.16) это учитывается тем, что размерность вектора z не
превышает размерности вектора х (m<2n). В связи с этими особенно-
стями для получения информации о фазовых координатах Xj необходи-
мо использовать алгоритмы ТОО. Очевидно, что при формировании
сигналов управления в реальном масштабе времени оценки х процесса
х должны формироваться на основе алгоритмов оптимальной фильтра-
ции. Известно [54], что наилучшим по критерию минимума СКО при-
ближением оценки х к случайному процессу х является условное мате-
матическое ожидание
£ = m{x|z}. (2.18)
Необходимо отметить, что все существующие алгоритмы опти-
мальной фильтрации сводятся к вычислению (2.18).
Несомненно, что оценивание вектора х будет тем точнее, чем точнее
сведения о параметрах используемых процессов и систем. В моделях (2.7),
(2.8), (2.13) роль параметров играют коэффициенты матриц FT, GT, Fy, Ву,
Gy и Н, GH. Особое значение имеет точность сведений об этих параметрах
для нестационарных систем и процессов, в которых коэффициенты пере-
численных матриц являются функциями времени. Для текущего оценива-
ния параметров целесообразно использовать алгоритмы ТОЙ, которые
позволяют найти оценки, оптимальные по минимуму СКО
H = m{h|z}, F = m{f|z}, B = m{b|z}, G = m{g|z}, (2.19)
используемые в алгоритмах фильтрации и вычисления сигналов управления.
Таким образом, в процессе решения задачи синтеза оптимальной
системы управления в общем случае необходимо сформировать алго-
ритмы вычислений оптимальных сигналов управления, оптимальной
фильтрации всех фазовых координат и оптимальной идентификации
параметров всех исходных моделей. Эти выводы распространяются и на
синтез РЭСУ на основе нелинейных моделей хт, ху и z.
Для задач с дискретным временем соответствующие модели со-
стояния и наблюдений определяются уравнениями
х(к) = ф(к, к- 1)х(к-1)+ В(к- 1)и(к-1)+^ (к-1), (2.20)
х(к)=
хт(к)'
_ху(к)_
. . Ф (к,к-1)
Ф(к,к-1)=
°,
Фу(к,к-1)
В(к-1) =
Оз
Ву(к-1) ’
Мк~1) =
^т(к-1)
^у(к-1)
(2.20,а)
z(k)=H(k)x(k)+^„(k),
(2-21)
в которых: Ф(к,к-1) - переходная (фундаментальная) матрица;
Фт(к,к-1) и Фу(к,к-1) - переходные матрицы требуемого и управляемо-
го процессов, являющихся аналогами (2.8) и (2.7), соответственно; О[-
О3 - нулевые матрицы соответствующей размерности, а функционал
качества - соотношением
I = м| xT(k)Q,x(k)+ £ [хт (i )L t x(i)+ uT (i)Ku(i)] >,
L i=l
(2.22)
смысл слагаемых в котором аналогичен функционалу (1.4). В соотношени-
ях (2.20)—(2.21) смысл обозначений аналогичен принятым в (2.12)—(2.16).
2.1.2. Необходимые условия синтеза РЭСУ
В общем случае синтез оптимальных РЭСУ сводится к получению
оптимальных алгоритмов оценивания, идентификации и управления. Необ-
ходимо отметить, что эта процедура достаточно затруднительна. Кроме
того, полученные алгоритмы, как правило, настолько сложны, что без спе-
циальных трудоёмких исследований, связанных в том числе и с моделиро-
ванием полученных законов на ЭВМ, невозможно судить о работоспособ-
ности РЭСУ. В связи с этим желательны такие критерии и математический
аппарат, которые еще до получения алгоритмов оценивания, идентифика-
ции и управления позволили судить о возможности их осуществления.
Указанные критерии и математический аппарат были разработаны в про-
цессе изучения свойств динамических систем (моделей), называемых изме-
римостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью и управляемостью.
Поскольку основной целью изучения этих свойств является выяснение
принципиальной возможности синтеза алгоритмов фильтрации, идентифи-
кации и управления при выбранных моделях состояний и измерений, то
оно проводится для идеальных условий, без учета всех видов возмущений.
Несмотря на идентичность понятий измерение и наблюдение, по-
нятия измеримости и наблюдаемости имеют различный смысл. Под
измеримостью понимают возможность непосредственного инструмен-
тального контроля (наблюдения) той или иной фазовой координаты.
Синоним измеримости - непосредственная наблюдаемость. Необходи-
мо отметить, что ряд фазовых координат, используемых в РЭСУ при
формировании законов наведения, не поддаются непосредственному
измерению. К таким координатам, например, относятся угловая ско-
рость линии визирования цели и абсолютные параметры движения це-
ли. В отличие от измеримости, понятие наблюдаемости включает в себя
еще и возможность косвенного определения некоторых фазовых коор-
динат, на основе измерения других компонент состояния. В математи-
ческом плане задача наблюдаемости формулируется следующим обра-
зом. По полученному множеству измерений z, связанному функцией
z(x) с множеством состояний X с известными моделями, необходимо
определить х или подмножество xne X.
Возможность формирования оценок х процесса х на основе на-
блюдений z определяется по критерию наблюдаемости. Для линейных
нестационарных систем смысл этого критерия состоит в том, что для
формирования N оценок (2.18) всех фазовых координат (2.13) на основе
m измерений (2.16) (m<N=2n) необходимо, чтобы [35, 49]
rank [nJ Щ ... nNj] =N,
(2.23)
где rank - ранг матрицы;
По =H(t); П, =lii_1+ni_1F(t), i = 1,N-1. (2.24)
Для стационарных систем, в которых F=const, H=const, условие
(2.23), (2.24) приводится к виду
rank Нт
|ftht (гтУнт... (ft)n-iht = n.
(2-25)
Анализ (2.23)-(2.25) позволяет прийти к следующим заключени-
ям. Наблюдаемость зависит от вида детерминированных связей оцени-
ваемого процесса, определяемых в (2.13) матрицей F(t), и от набора и
вида измерителей, определяющих в (2.16) матрицу H(t). Проведенные
исследования показали [29], что в общем случае при увеличении числа
m измерителей наблюдаемость улучшается. Аналогичный критерий
можно привести и для дискретных моделей состояний и измерений. Для
этого достаточно в (2.23)-(2.25) заменить матрицу F(t) фундаменталь-
ной матрицей Ф(к,к-1) процесса (2.20) [23].
Физический смысл условий (2.23)-(2.25) состоит в том, что при
их выполнении можно на основе (2.16) и (2.13) получить N независи-
мых уравнений с N неизвестными, однозначно связывающими измере-
ния с оценками фазовых координат. В прикладном плане наряду с выяс-
нением самой возможности синтеза алгоритма фильтрации критерии
(2.23)-(2.25) позволяют определить минимально необходимый набор
измеряемых координат, при котором будет обеспечиваться оцени-
вание требуемого вектора состояния. Как правило, для получения всех
нужных оценок необходимо, чтобы в каждой группе функционально
связанных координат измерялись, как минимум, наименьшие производ-
ные вектора состояния. Например, для формирования оценок дальности
до цели, скорости сближения с ней и относительного ускорения, а также
бортового пеленга цели и скорости его изменения необходимо, по край-
ней мере, измерять дальность и угол.
Параметрическая идентифицируемость характеризует собой воз-
можность оценивания параметров математических моделей систем или
процессов по результатам измерения определенных выходных величин
в течение определенного времени. Под параметрами систем или процес-
сов (2.16), (2.13) понимаются коэффициенты матриц F, В, Н и матриц
G„ и Gx спектральных плотностей возмущений и ^х. Параметры, обо-
значаемые в дальнейшем элементами aj вектора а (j = 1, М ) по сравне-
нию с фазовыми координатами х, (i = 1 ,N) (2.13) и результатами изме-
рений Zj (i = l,m) (2.16) считаются медленно изменяющимися величи-
нами. В идеальном случае полагается а = 0 .
Математически задача идентификации формулируется следую-
щим образом. По полученному множеству измерений z, связанному
функцией z=h(x,a,t) с множествами состояний х и параметров а с из-
вестными моделями х =f(x,u,a,t) необходимо определить а . При этом
могут иметь место две ситуации. Вектор х =f(x,u,a,t) может считаться
известным, что приводит к задаче локальной параметрической иденти-
фикации. Если вектор х неизвестен, то по одним и тем же измерениям z
необходимо оценивать как обобщенный вектор а, так и вектор состояния х.
В последней ситуации имеет место задача совместного оценивания фазо-
вых координат и идентификации параметров систем или процессов.
Возможность осуществления идентификации определяется по кри-
терию идентифицируемости. Для локальной задачи оценивания параметров
а по результатам измерений z=h[x(t),a,t)] необходимо, чтобы
y- h[x(t),a, t] da
Л da dt
rank = M,
(2.26)
э амч . г м -1
у VMTThlx(t)>a>tJ
da at
где М - число оцениваемых параметров, а вектор а составляется из строк
или столбцов оцениваемых матриц. Теоретически идентифицируемость
можно рассматривать как частный случай наблюдаемости. В связи с этим
для (2.26) справедливы результаты анализа, проведенного для (2.23)-(2.25).
Возможность целенаправленного изменения всех фазовых коор-
динат с помощью заданного набора сигналов управления можно опре-
делить на основании критериев управляемости. Пока подобные крите-
рии получены лишь для линейных стационарных систем. В зависимости
от ограничений, накладываемых на систему, и вида управления (анало-
гового, релейного или импульсного) могут использоваться различные
критерии [35, 49]. Для линейных стационарных аналоговых систем-с
сигналами управления Uj (j = 1, г), не превышающими допустимых зна-
чений UaOnj, критерий управляемости можно сформулировать следую-
щим образом. Для целенаправленного изменения всех п фазовых коор-
динат xyi системы (2.7) посредством воздействия г сигналов управления
Uj необходимо, чтобы
rank By|FyBy FyBy
F'By
(2.27)
= n .
Выполнение условия (2.27) означает, что для модели (2.7) можно по-
лучить систему п независимых уравнений с п неизвестными, однозначно
связывающих сигналы управления с выходными фазовыми координатами.
О системах, для которых выполняется условие (2.27), говорят, что они
вполне управляемы. Критерий (2.27) позволяет определить минимально
возможный набор управляющих сигналов, с помощью которых можно
целенаправленно изменять все фазовые координаты системы. Для выпол-
нения (2.27) необходимо, чтобы в каждой группе функционально связан-
ных фазовых координат управлялась хотя бы самая высокая производная.
Условия полной управляемости для дискретных стационарных
линейных систем по внешнему виду совпадают с (2.27). Однако вместо
матриц Fy и Ву необходимо использовать их дискретные аналоги из
моделей в виде разностных уравнений.
Следует подчеркнуть, что в сложных системах с иерархической
структурой управляемость исследуется для каждого уровня, начиная с
низшего и заканчивая высшим.
В общем случае можно утверждать, что критерии (2.23)-(2.27)
определяют необходимые условия синтеза оптимальной РЭСУ либо ее
составных частей. При этом, в зависимости от использования в опти-
мальной системе алгоритмов оптимальной фильтрации, идентификации
и управления, необходимо выполнение соответствующих критериев.
Невыполнение хотя бы одного критерия однозначно свидетельствует о
невозможности синтеза требуемых алгоритмов функционирования РЭ-
СУ. Если же указанные критерии выполняются, то это еще не является
однозначным свидетельством возможности осуществления синтеза в
целом, поскольку на эту возможность влияют еще и другие условия.
2.1.3. Условия УПРОЩЕНИЯ СИНТЕЗА РЭСУ
В процессе проекгирования РЭСУ и ее составных частей необходи-
мо одновременно синтезировать алгоритмы оценивания фазовых координат
и параметров системы и вычисления сигналов управления. Решение этой
задачи, особенно для многомерных систем, весьма сложно. Кроме того,
достаточно сложно синтезировать вычислитель сигналов управления, назы-
ваемый регулятором, с учетом возмущений, которые сопровождают про-
цессы измерений и воздействуют на данную систему.
Условия упрощения синтеза оптимальных РЭСУ определяются
фундаментальной теоремой разделения или статистической эквивалент-
ности. Теорема гласит: для линейных моделей (2.16) и (2.13) в условиях
гауссовских возмущений и и х при оптимизации систем по квадратич-
ным функционалам качества (например, таким, как (1.4) и (1.5)) алго-
ритмы оценивания и управления можно синтезировать независимо (раз-
дельно). При этом алгоритм функционирования статистического регу-
лятора, учитывающего влияние возмущений и и х, будет аналогичен
(статистически эквивалентен) алгоритму функционирования детерминиро-
ванного регулятора, полученному для ситуации, когда х=0 и и=0, при
условии замены в последнем фазовых координат х (2.13) и параметров
системыF, В,Них оптимальными оценками х (2.18) и F, В и Н (2.19).
Требования линейности моделей, квадратичное™ функционалов и
гауссовости шумов называются условиями линейно-квадратично-
гауссовской (ЛКГ) задачи синтеза. Для такой задачи теорема разделения
(статистической эквивалентности) доказывается строго [57]. Если обоб-
щенный объект управления или измерители аппроксимируются нелиней-
ными моделями, то теорема разделения не имеет строгого доказательства.
Однако при достаточно больших отношениях энергии сигнала к спектраль-
ной плотности шума, когда в РЭСУ имеют место точные измерения, ее
также можно разделить на фильтр, формирующий оптимальные оценки
фазовых координат и параметров системы, и регулятор, вычисляющий
сигналы управления [29]. При этом текущая оптимальная оценка х опре-
деляется нелинейным фильтром. Необходимо отметить, что полученное
таким способом приближенное решение задачи раздельного синтеза фильт-
ра и регулятора тем точнее, чем выше точность оценивания [49].
Достаточно точное оценивание компонент состояния и парамет-
ров систем типично для РЭСУ. Поэтому при синтезе РЭСУ на основе
нелинейных моделей состояния и наблюдения также можно пользовать-
ся выводами теоремы разделения (статистической эквивалентности).
Необходимо отметить, что в практике проектирования РЭСУ и ее со-
ставных частей достаточно часто не требуется синтезировать алгоритмы
идентификации. В такой ситуации раздельное формирование алгорит-
мов оценивания и управления упрощается еще более.
2.2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА РЭСУ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
В широком смысле под анализом понимается процедура исследова-
ния РЭСУ в заданных условиях функционирования для определения показа-
телей ее эффективности. Эти исследования проводят аналитическими, экспе-
риментальными методами и методом имитационного моделирования. Необ-
ходимо подчеркнуть, что экспериментальные исследования РЭСУ, как пра-
вило, очень трудоемкие и дорогостоящие. Кроме того, они позволяют полу-
чить показатели эффективности постфактум уже после создания опытного
образца системы, в то время как эти сведения желательны еще на стадии ее
проектирования. В связи с этим основное внимание будем уделять аналити-
ческим методам исследования и методам имитационного моделирования.
Определение показателей эффективности необходимо для выяс-
нения их соответствия требуемым значениям и возможности их улуч-
шения. Под условиями применения понимается поле возможных значе-
ний фазовых координат (например, дальностей, скоростей и высот при-
менения), показателей состояния окружающей среды (температуры,
давления, влажности) и ограничений, накладываемых на систему (до-
пустимые перегрузки, минимальная дальность применения оружия,
чувствительность приемника и т.д.).
В узком смысле анализ РЭСУ сводится к определению показателей
устойчивости, точности, помехоустойчивости и чувствительности к изме-
нению условий применения и точности выдерживания параметров. Попут-
но определяется и поле условий применения, в котором эти показатели
удовлетворяют заданным требованиям. Кроме того, в процессе анализа
выявляются критичные по тем или иным показателям режимы работы и
предлагаются рекомендации по повышению эффективности РЭСУ и воз-
можным ее упрощениям, не приводящим к существенным ухудшениям
показателей эффективности. Основное внимание будет уделено методам
анализа РЭСУ на устойчивость, точность и чувствительность.
Большую группу методов анализа составляют классические приемы
и процедуры исследований линейных стационарных систем. К ним относят-
ся методы, основанные на использовании преобразований Лапласа и Фурье,
Z-преобразований, передаточных функций и структурных схем. Однако эти
методы трудно использовать для анализа многомерных и статистических
систем. При анализе последних широкое применение находят связанные
между собой корреляционный и спектральный методы [53, 54].
Более универсальны современные методы анализа, основанные на
представлении процессов и систем в пространстве состояний [23, 29, 32,
47, 54, 62]. Эти методы применяются при анализе многомерных и одномер-
ных, детерминированных и статистических, линейных и нелинейных, ста-
ционарных и нестационарных систем. При этом на основе одних и тех же
моделей можно использовать как аналитические методы исследований, так
и методы имитационного моделирования на ЭВМ. Наиболее полно и стро-
го современные методы анализа разработаны для линейных стационарных
систем. Среди них можно выделить различные модификации процедур и
приемов анализа систем на устойчивость, точность и чувствительность.
Исследования РЭСУ на устойчивость, выполняемые аналитическими
методами и методами имитационного моделирования, проводятся как для
систем в целом, так и для отдельных ее режимов, подсистем и устройств.
Кроме констатации самого факта устойчивости, выявляется поле условий
применения РЭСУ, подсистем и устройств, в котором они функционируют
устойчиво. Одновременно определяется допустимый диапазон изменения
параметров отдельных устройств, влияющих на устойчивость РЭСУ в целом.
В процессе анализа РЭСУ на точность в общем случае находят по-
тенциальные и реальные ошибки функционирования с привлечением, как
аналитических методов, так и имитационного моделирования. На первом
этапе анализа обычно определяют потенциальную точность систем и от-
дельных устройств. Исследование потенциальной точности проводится с
целью определения минимально возможных ошибок функционирования.
Кроме того, потенциальная точность служит одним из необходимых при-
знаков соответствия РЭСУ заданным требованиям. Если показатели потен-
циальной точности не соответствуют требованиям, то дальнейший анализ
направлен на выявление причин такого несоответствия. Для оптимальных
РЭСУ потенциальная точность обусловлена дисперсиями ошибок фильтра-
ции, которые вычисляются в процессе решения уравнений Риккати [29, 60].
При этом необходимо отметить два обстоятельства.
Дисперсии зависят от условий применения, определяющих в
(2.16) и (2.13) статистические характеристики возмущений и и х. В
связи с этим анализ на потенциальную точность необходимо проводить
для всего поля возможных значений спектральных плотностей или дис-
персий возмущений.
Решение уравнений Риккати аналитическим способом возможно
только для оптимальных фильтров малой размерности. Во всех осталь-
ных случаях значения дисперсий ошибок фильтрации получаются в
процессе численного решения уравнений Риккати на ЭВМ.
Если потенциальные ошибки соответствуют требованиям, то ис-
следуется точность фильтрации в условиях, приближенных к реальным
(в дальнейшем реальная точность). Получить показатели реальной точ-
ности аналитическими методами можно только для систем малой раз-
мерности. Поэтому основным методом исследования реальной точности
является имитационное моделирование на ЭВМ. В процессе этого модели-
рования определяются динамические и флуктуационные ошибки во всем
поле возможных условий применения, а также наличие расходимости про-
цессов оценивания. Суть расходимости состоит в том, что в реальных усло-
виях функционирования ошибки фильтрации (х- х) могут увеличиваться,
существенно превышая свои теоретические значения, определяемые в про-
цессе решения уравнений Риккати. Причины расходимости и методы борь-
бы с ней будут рассмотрены в 4.2,4.3.
Следует отметить, что синтез РЭСУ, как правило, выполняется в
рамках тех или иных допущений, которые, позволяя упростить процедуру
синтеза, на практике не всегда соблюдаются. Поэтому особое значение
приобретает имитационное моделирование для анализа РЭСУ на устойчи-
вость и точность в условиях, когда принятые допущения не соблюдаются.
Другим направлением исследований РЭСУ для выявления их
способности функционировать в условиях, отличающихся от стандарт-
ных, является использование специальных процедур определения чув-
ствительности. Под чувствительностью РЭСУ понимается ее способ-
ность изменять свои показатели эффективности при изменении усло-
вий функционирования, параметров подсистем и устройств и точно-
сти измерителей. Необходимо отметить, что понятие чувствительности
имеет двойной смысл. Для адаптивных систем, целенаправленно при-
спосабливающихся к изменениям условий функционирования, парамет-
ров подсистем и точности измерителей, высокая чувствительность явля-
ется положительным фактором. Для неадаптивных РЭСУ высокая чув-
ствительность к отмеченным изменениям обычно приводит к ухудше-
нию показателей их эффективности.
Среди методов анализа чувствительности можно выделить две
группы. К одной из них относятся методы текущего оценивания чувст-
вительности, позволяющие определить ее на любой текущий момент
времени. К другой группе относятся методы интегрального оценивания
чувствительности, которые дают возможность получить ее оценку за
все время функционирования РЭСУ.
В свою очередь, среди методов текущего оценивания чувстви-
тельности также можно выделить две группы. Первая группа основана
на определении коэффициентов чувствительности. Коэффициенты чув-
ствительности представляют собой изменения показателей эффективности
РЭСУ либо ее фазовых координат, обусловленные единичными измене-
ниями параметров, условий применения или погрешностей измерений.
Эти коэффициенты определяются в процессе анализа в многомерном
пространстве моделей состояния (2.13), наблюдений (2.16), алгоритмов
фильтрации и управления. Анализ проводится путем разложения в тот
или иной ряд исследуемых процессов как функций многих аргументов.
Роль аргументов играют интересующие изменения фазовых координат,
параметров системы и погрешности измерений. Коэффициенты членов
ряда при указанных аргументах и представляют собой коэффициенты
чувствительности. Достоинством таких методов является возможность
их применения для широкого класса нелинейных, линейных, детерми-
нированных, статистических, стационарных и нестационарных систем.
Вторая группа методов текущего оценивания чувствительности
основана на определении приращений дисперсий ошибок функциони-
рования РЭСУ за счет тех или иных несоответствий исходных моделей
и реальных условий функционирования. Эти методы наиболее хорошо
разработаны для характеристики чувствительности различных алгорит-
мов оптимального оценивания.
Все рассмотренные методы позволяют оценить чувствительность
как функцию времени. В итоге становится трудно сравнивать чувстви-
тельность различных систем, поскольку ее показатели могут меняться
во времени различным образом. Этого недостатка лишены методы ин-
тегрального оценивания чувствительности за все время функциониро-
вания РЭСУ. В их основе лежит вычисление абсолютных или относи-
тельных приращений оптимизируемых квадратичных функционалов
качества (1.4) и (1.5), которые вызываются теми или иными изменения-
ми условий функционирования и параметров системы. Кроме того,
такие методы позволяют получить совокупную оценку чувствительно-
сти при одновременном изменении всех интересующих параметров,
фазовых координат и т.д.. Необходимо отметить, что, давая более обоб-
щенную оценку чувствительности, эти методы оказываются существен-
но более сложными и без применения ЭВМ не реализуемы на практике.
Строгий анализ нелинейных и нестационарных линейных систем
на устойчивость и точность достаточно сложен и трудоемок. Обзор
таких методов приведен в [43, 48, 50, 51]. Приближенно об устойчиво-
сти и точности нелинейных систем можно судить по их линеаризован-
ным моделям. Для приближенного анализа нестационарных систем
используется метод замороженных коэффициентов, суть которого будет
рассмотрена в 4.1.
ГЛАВА 3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЭСУ
3.1. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Одним из наиболее употребительных методов оптимизации сис-
тем управления, имеющих несложную физическую интерпретацию,
является стохастическое динамическое программирование. Простота и
наглядность процедуры оптимизации обусловлены использованием
принципа оптимальности, введенного Р. Беллманом [29]. Суть этого
принципа состоит в том, что независимо от исходного состояния
оптимизируемой системы все последующие сигналы управления долж-
ны быть оптимальными по отношению к состояниям, возникающим в
результате воздействия предыдущих управлений.
Для простоты будем полагать, что используются детерминиро-
ванные модели состояния и все фазовые координаты измеряются точно.
В общем случае метод динамического программирования позволяет для
многомерного обобщенного объекта управления (ООУ)
x = f(x,u,t) (3.1)
отыскать вектор и сигналов управления, оптимальный по минимуму
интегрального квадратичного функционала качества
1= j0T[x(t}u(t}t]dt-Kl>K[x(tJu(tKVK]. (3.2)
О
Здесь Фт[ ] и Фк[ ] - обобщенные выражения подынтегральных (теку-
щих) и терминального (конечного) членов функционала качества (нап-
ример, (1.4)). В соответствии с принципом оптимальности управление
должно быть таким, чтобы функционал (3.2) был минимальным на лю-
бом интервале [x,tK], где 0<r<tK (рис. 3.1).
О т т+Д
t
Рис. 3.1
Функционал, минимизированный выбором и на произвольном
участке [T,tK], называется функцией Беллмана:
(3.3)
Существование функции S[x(t),t] Беллмана указывает на нали-
чие управления, минимизирующего функционал (3.2). Необходимо отме-
тить, что функция x(t), являющаяся решением системы (3.1) на интерва-
ле [x,tK], определяется ее начальным состоянием х(т) и управлением u(t)
при T<t<tK. Кроме того, поскольку оптимальное управление минимизи-
рует функционал качества, устраняется зависимость правой части (3.3)
от вектора управления и. В итоге предопределяется зависимость функ-
ции Беллмана только от аргументов х(т) и т. Из (3.3) следует, что при
T=tK функция Беллмана упрощается:
S[x(tK),tK]= OK[x(tK),u(tJtK]. (3.4)
Представим (3.3) в виде суммы двух слагаемых:
т+Д
min] j<I>T[x(t),u(t),t]dt+ /Фт[х(4и(Ф]сП+Фк x(tK),u(tK),tK U (3.5)
w)}
т+Д
В соответствии с принципом оптимальности управление на каж-
дом последующем участке должно быть оптимальным независимо от
состояния системы на предыдущих интервалах. Следовательно, при
оптимальном управлении функционал качества должен быть минималь-
ным и на участке [т+Д, tK]. Тогда
т+Д
^х(0,т]= min] JOT[x(tXu(t),t]dt+ min] JO>x[x(t),u(t),t]dt+«>K x(tji<t1()>t1(
[т,т+Д]
ж т+д
k+A,tJ
= min <
{u(t)}
[т,т+д]
/Фт[х(Ди(ф]а145[х(т+Д}т + Д]
(3.6)
Полагая u(t) непрерывной функцией времени, а интервал Д дос-
таточно малым, получаем
j<l>T[x(t),u(tX t]dt = Фт [x(tX u(t), t]A; (3.7)
T
S[х(т + Д), t+д] ~ S[x(t),t]+ [x(t + Д)-x(t)]’ +
Эхт(т)
=!к,11кг(1)1®^+»йН4 ,(3,8)
Эт Эхт(т) Эт
где T<t<x+A, а х(т + Л)- х(т)~ х(т)Л .
Подставив (3.7) и (3.8) в (3.6), имеем
S[x(t),t] = min <
{u(t)}
Фт [x(t), u(t), t]A+ s[x(t),t]+
[t,t+a]
+х,(т).»Ш?]д+а5Ж.т]д
Эхт(т) Эт
Поскольку функции S[x(t),t] и ЭБ[х(т),т]/Эт не зависят от пере-
менной u(t), их можно вынести за знак операции минимума. В результа-
те получим соотношение
_Э8^т^т]д== min, ф [x(t),u(t),t]A+xT(T)—д
Эт {u(t)}[ tL Эхт(т) J
[т,т+д]
Разделив обе части на Л и заменив т на текущее время t, при
Л—>0, получим уравнение для функции Беллмана:
_ д.З[*(Ф.] _ min< ф [x(t) u(t),t]+ x'(t)9S[x(t)’t]
at {u(o}[ lL axT(t)
(3-9)
В процессе решения (3.9) при граничном условии (3.4J и определя-
ется управление, минимизирующее функционал (3.2). Из (3.9) и (3.4)
следует, что решение уравнения Беллмана зависит от вида минимизи-
руемого функционала (3.2) и модели ООУ (3.1). Необходимо подчерк-
нуть, что хотя при выводе не использовались никакие ограничения на
вид модели (3.1) и подынтегральной части функционала (3.2), аналити-
ческое решение уравнения (3.9) при условии (3.4) в общем виде воз-
можно лишь для линейных моделей и квадратичных функционалов.
3.2. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНЫЕ В
ПОСТАНОВКЕ ЛЁТОВА-КАЛМАНА
Задача синтеза управления формулируется следующим образом.
Для РЭСУ, состояние которой аппроксимируется моделью (2.13) при
наличии измерений (2.16), необходимо найти вектор и сигналов управ-
ления, оптимальный по минимуму функционала качества Лётова-
Калмана (1.4). Поскольку исходные модели линейные, возмущения ^х и
гауссовские, а функционал качества квадратичный (ЛКГ задача), то
на основании выводов теоремы разделения оптимальный регулятор
можно синтезировать в детерминированной постановке независимо от
оптимального фильтра. В связи с этим на первом этапе синтеза будем
полагать, что все возмущения отсутствуют (£ х=0, £ н=0) и все фазовые
координаты к, в (2.13) измеряются точно.
Процедура отыскания сигналов управления в сформулированной
постановке основана на решении уравнения Беллмана (3.9). Сравнивая
(3.2) с (1.4), можно заключить, что
Фт [x(t), u(t), t] = xT(t)L1x(t)+uT(t)Ku(t); (3.10)
<MxO‘‘(tKK]=xT(tK)Qix(tK), (З.И)
где
L -L Q -Q
, Q1 =
-L L ' -Q Q
(3-12)
В дальнейшем для упрощения будет опущена зависимость от вре-
мени векторов и матриц, не имеющая принципиального значения при
решении уравнения Беллмана. Подставив (2.13) и (3.10), (3.11) в (3.9) и
(3.4), получим
-9S[x,t]_m-n| x + uTKu + [xтFT + uTBT; (3.13)
at {u} I 1 L J 3xT J
S[x(tK),tK]=xT(tK)Q1x(tK). (3.14)
Вынесем за знак операции минимума члены, не зависящие от и:
ds[x,t] Т¥ TTVr 3S[x,t] . [ тжл . ттатЭ5[х,(|1
—-L-^-2 = х Lx + х F J + muxuTKu 4- uTBT —LlJ L (3.15)
at 1 эхт wl dxT J
Управление и, минимизирующее (3.15), можно найти, приравняв
нулю результат дифференцирования по ит слагаемых в фигурных скоб-
ках. Выполнив дифференцирование, находим
2Ки + ВтЭ^Х’^ = 0; и =-—К-|ВТ d Sf-x,tJ . (3.16)
Эхт 2 Эхт
Подставив (3.16) в (3.15), получим
_?..?fe!]=xTLx+xTFT9skt]_lpsktl) bkibt 3skt] (з 17)
at 1 Эхт 4 эхт ) Эхт
Решение этого уравнения будем искать в классе квадратичных
форм
S[x,t]=xTP(t)x, (3.18)
для которых
^d = 2P(t)x, (3.19)
Эх
^fed = XTP(t)x, (3.20)
Э t
где P(t) и P(t) - симметричные матрицы. В (3.20) учтено, что функция
Беллмана зависит только от начальных значений х(т), а не от текущих
x(t). Подставляя (3.19) в (3.16), находим
u = -KIBTP(t)x. (3.21)
Для определения P(t) подставим (3.19) и (3.20) в (3.17). Тогда,
- х rp(t)x = XTLjX + 2xTFTP(t)x - xrP(t)BK-1BTP(t)x ;
P(t)=-Lj -FrP(t)-P(t)F + P(t)BK_1BTP(t). (3.22)
В процессе вывода (3.22) было учтено, что матрица Р - симметричная.
Граничные условия для (3.22) находятся путем сравнения (3.14) и (3.18)
при t=tK:
*ТОк )Ql*(tK )= XT(tK )P(tK )x(tK ),
откуда следует, что
P(tK)=Q,. (3.23)
Поскольку рассматривалась ЛКГ задача, то на основании теоремы
статистической эквивалентности можно утверждать, что детерминирован-
ный закон управления (3.21) будет адекватен статистическому при условии
замены в нем фазовых координат х их оптимальными оценками х , т.е.
u = -K''BTP(t)x. (3.24)
Соотношения (3.22)-(3.24) и определяют алгоритм управления
РЭСУ, оптимальный в постановке Лётова-Калмана. Анализ их позволя-
ет сделать следующие выводы.
При нестационарной модели состояния (2.13) в состав РЭСУ долж-
ны входить: оптимальный фильтр, формирующий для (3.24) оценки х
фазовых координат; оптимальный идентификатор, вычисляющий оценки
параметров F и В для (3.22) и (3.24), и оптимальный регулятор, форми-
рующий закон управления (3.24). Если исходные модели стационарные, то
в состав оптимальной РЭСУ входят лишь фильтр и регулятор.
Формируемый сигнал управления (3.24) зависит от состояния
системы (х), её способности воспринимать сигналы управления, кото-
рая определяется матрицей В, штрафов (К) за сигналы управления и
весовой матрицы Р. Чем больше штраф за управление, тем меньше сиг-
налы и и тем экономичней система, но тем менее она точна. Последнее
предопределяется тем, что малые значения и вызывают в (2.13) малые
значения х, а соответственно и малые целенаправленные изменения х.
Если система (2.13) хорошо воспринимает сигналы управления и (мат-
рица В имеет большие коэффициенты), то имеет смысл делать их боль-
шими, так как в такой ситуации будут иметь место большие значения х
и система будет быстро изменять свое состояние х. Если же коэффици-
енты матрицы В малы, то не следует использовать большие сигналы
управления, поскольку это приведет к неоправданно большим расходам
энергии при очень малом выигрыше в точности.
Коэффициенты матрицы Р совокупным образом учитывают в
(3.22) штрафы за текущую точность и экономичность, определяемые
матрицами L| и К, детерминированные связи и эффективность сигналов
управления, обусловленные матрицами F и В. Влияние детерминиро-
ванных связей проявляется в том, что изменение штрафа /щ за точность
функционирования по какой-либо координате х, приводит к изменению
точности и по другим, функционально связанным с х, координатам.
Происходящие при этом изменения матрицы Р приводят к изменению
сигналов управления, а соответственно и экономичности системы.
Спецификой использования (3.22)-(3.24) является то обстоятельст-
во, что коэффициенты матрицы (3.22) вычисляются в обратном времени от
tk к t в процессе решения уравнения Риккати, в то время как в (3.24) они
используются уже в прямом времени. Необходимо отметить, что сложность
регулятора, обусловленная в основном числом уравнений (3.22), которые
нужно решить для определения матрицы Р, существенно превышает слож-
ность самой оптимизируемой системы (2.13). Причем даже незначительное
увеличение размерности (2.13) приводит к существенно неадекватному
увеличению числа уравнений, которые нужно решать в процессе вычисле-
ния матрицы Р. Это явление, называемое «проклятием размерности» и
характерное для многих видов оптимальных систем, сдерживает примене-
ние алгоритмов оптимального управления для сложных систем высокой
размерности. Необходимо, однако, отметить, что для стационарных систем
матрицу Р, определяемую только априорными сведениями, можно вычис-
лить заранее. Соответственно, заранее могут быть вычислены для (3.24) и
коэффициенты -К-1ВТР , число которых обусловлено размерностью гхп.
Последнее обстоятельство позволяет существенно упростить процедуру
использования (3.24) на практике.
Назначение различных штрафов Lj и Qi на текущую и конечную
точность позволяет реализовать различные ошибки на разных этапах
работы РЭСУ и тем самым обеспечить требуемую точность в конце
управления при весьма малых текущих затратах энергии.
Если в (2.13) имеют место возмущения ^х, которые поддаются
измерению либо оценке, то в рамках алгоритма (3.22)-(3.24) можно их
эффективно компенсировать. Для этого необходимо расширить вектор
состояния х за счет включения в его состав моделей возмущений. Одна-
ко это приводит к существенному усложнению закона управления в
силу проявления «проклятия размерности». В [29] приводится алгоритм,
который без расширения вектора состояния позволяет для заданной
части (2.7), предназначенной для отработки процесса (2.8) при измере-
ниях (2.16) и ^у, сформировать сигнал управления
u = -K-'BTy[py(t)iy +p(t)]; (3.25)
Py(t) = -L-FyPy(t)—Py(t)Fy + Py(t)ByK-lByPy(t); (3.26)
^y(t)=-Li0T + [py(t)ByK-,BTy-FyT]py(t)-Py(t)^y; (3.27)
Py(tK) = Q; py(tK)=-Qx0T(tK), (3.28)
оптимальный по минимуму функционала (1.4) Летова-Калмана. Необ-
ходимо отметить, что при существенно меньшем числе уравнений, не-
обходимых для решения (3.25)-(3.28), этот алгоритм требует решения
более сложной краевой задачи. Отмеченное усложнение вызвано необ-
ходимостью решения в обратном времени еще и уравнения (3.27).
В дискретном времени уравнения состояния и наблюдений имеют
вид (2.20), (2.21), а критерий Лётова-Калмана описывается соотношением
(2.22). Для задач дискретного управления также справедлива теорема раз-
деления и синтез стохастической систему управления распадается на синтез
оптимального детерминированного управления и синтез системы фильтра-
ции (формирования оценок вектора состояния). Аналогично тому, как это
сделано выше, используя дискретные уравнения Беллмана [48] можно по-
лучить алгоритм оптимального дискретного управления
u(k-l)=-R(k-l)x3(k-l), (3.29)
где
R(k-l)=[K+BT(k-l)p(k)B(k-l)]'1BT(k-l)P(k)<l>(k,k-l); (3.30)
х,(к)= Ф(к,к- 1)х(к- 1)+В(к- l)i(k-1); (3.31)
х(к) - оптимальная оценка; Р(к) - матрица, удовлетворяющая уравнению
Р(к-1) = Ф(к, к- 1)р(к)ф(к, к-1)-
-Ц(к-1) [к+Вт(к-1)р(к)в(к-1)]ь1(к-1), (3.32)
с граничным условием
P(k,)=Q|. (3.33)
Для соотношений (3.29)-(3.33) имеют смысл все выводы, полу-
ченные в процессе анализа уравнений (3.22)-(3.24).
3.3. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНЫЕ
ПО ЛОКАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ
Суть решаемой задачи состоит в том, что для системы (2.13) при на-
личии измерений (2.16) необходимо найти вектор и сигналов управления,
оптимальный по минимуму локального функционала качества (1.5).
Поскольку (1.5) представляет частный случай функционала (1.4)
при L=0 и tK=t, то закон изменения и описывается общей формулой
(3.24). Обратим внимание на то, что в (1.5) каждый момент времени t
соответствует моменту tK возможного окончания управления. Тогда
матрица Р в (3.24) будет определяться граничным условием (3.23):
Р(ЦК=t =Q| (3-34)
Подставляя (2.15), (3.12) и (3.34) в (3.24), получаем
11 =-К 1BTQ1x = -K '[оз
= K-'b;q[xt-ху]. (3.35)
Аналогичным образом для дискретных систем (2.20) при наличии
наблюдений (2.21) в процессе минимизации функционала
I = xT(k)QjX(k) + uT(k)Ku(k) (3.36)
можно сформировать сигналы управления [33]
u(k -1) = -R(k- l)x(k -1); (3.37)
R(k -1) = [к + BT(k - l)QjB(k -1)]”' BT(k - 1)ФТ (k, k - 1)Q,. (3.38)
Используя (3.38) в (3.37) с учетом (2.20,а), (3.12) можно получить
u(k -1) = [к + By (k - l)QBy (к -1)]-1 Вту (к - 1)Q, х
х |фт (к, к - 1)хт (к -1) - Фу (к, к -1)£у (к -1)]. (3.39)
С учетом особенностей вычисления матриц P=Qi для (3.35) и
(3.37)—(3.39) справедливы выводы, сделанные для (3.24) и (3.29), но с
некоторыми уточнениями и дополнениями.
Оптимальная РЭСУ представляет собой систему с отрицательными
обратными связями (ООС) по всем управляемым координатам xyi (i = 1, n).
Это свидетельствует о ее высокой устойчивости и малой чувствительности
к точности выдерживания параметров и смене условий функционирования.
Сигнал управления определяется не просто состоянием системы,
а и текущей ошибкой хт -ху управления.
Отсутствие необходимости громоздких расчетов матрицы Р,
имевших место в (3.22)-(3.24) и (3.29)—(3.33), выгодно отличает (3.35) и
(3.39), делая процедуру их вычисления чрезвычайно простой и широко
применимой на практике. Однако, при утрате детерминированных свя-
зей, обусловленных учетом в (3.22) и (3.32) матриц F и Ф, законы
(3.35) и (3.39) оказываются менее адаптивными к условиям применения.
Кроме того, минимизация функционалов (1.5) и (3.36) на каждый теку-
щий момент времени предполагает худшую экономичность (3.35) и
(3.39) по сравнению с (3.24) и (3.29).
3.4. УЧЁТ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
В ряде практических задач возникает необходимость учёта в законе
управления измеряемых возмущений, действующих на синтезируемую
РЭСУ. Следует отметить, что существующие алгоритмы учёта таких воз-
мущений в законе управления дискретной системой достаточно сложны,
поскольку либо требуют расширения исходного вектора состояния путём
включения в его состав учитываемых возмущений [48], либо приводит к
усложнению решения двухточечной краевой задачи [29].
Ниже приведён закон управления линейной дискретной системой,
оптимальный по минимуму локального функционала качества, в котором
учитываются измеряемые возмущения без расширения вектора состояния.
В математическом плане задача формулируется следующим об-
разом. Для дискретной системы
ху (к) = Фу (к, к - 1)ху (к -1) + Ву(к - 1)и(к)+^уи(к -1) Чу (к-1),
(3.40)
предназначенной для отработки процесса
хт (к) = Фт (к, к - 1)хт (к -1)+(к -1), (3.41)
необходимо найти вектор и сигналов управления, оптимальный по ми-
нимуму локального функционала
I=M{[ATxT(k)-Ayxy(k)]TQ[ATxT(k)-Ayxy(k)]+uT(k-1 )Ku(k-1)}. (3.42)
В соотношениях (3.40)-(3.42): ху и хт - векторы управляемых и
требуемых координат размерности щ и п2 соответственно; Фу и Фт -
переходные матрицы состояния; Ву - матрица эффективности управле-
ния; £уп - вектор измеряемых (известных) возмущений; ^у и - век-
торы неизмеряемых гауссовских возмущений с известными матрицами
дисперсий; Ат и Ау - матрицы соответствующих размеров, уравниваю-
щие в функционале размерность векторов хт и ху; Q - неотрицательно
определённая матрица штрафов за точность приближения ху к хт; К -
положительно определённая матрица штрафов за экономичность.
В соответствии с выводами теоремы статистической эквивалент-
ности (п. 2.1.3) при линейных исходных моделях с гауссовскими шума-
74
ми и квадратичных функционалах качества статистический регулятор
эквивалентен детерминированному при условии замены в нём фазовых
координат их оптимальными оценками.
Тогда, подставив (3.40) и (3.41) в (3.42), при условии ^у=0 и
^т=0, получим:
1= {[ А.Фт(к,к-1 )х, (к-1)-Ау(Фуху(к-1 )+Byu(k-1)+ $ уи(к-1))] Qx
х[АтФт(к,к-1 )х,(к-1)-Ау(Фуху(к-1 )+Byu(k-1)+ $ у11(к-1 ))]+
+u'(k-l)Ku(k-l)}.
Опустив для простоты зависимость векторов и матриц от номера шага
дискретизации будем иметь:
1=х3г Ф'г Ау9А,Ф,х -ху Фу АуОАчФтхт-итВу Ау9А,Ф,х,-
-£у|| Ау9АгФ,х-х^ Ф' Ai[9АуФуху+Ху Фу АуОАуФуХу+
+итВу АуОАуФуху+^уИ АуОАуФуху-ху Фу AnrQAyByu+
+ Х; ф; Ay QAyByU+u1 By AjQAyByu+^ AyQAyByu-
- х; ф; a; QAy уи+ ф; a; qav $ уи+иг в; a; qay $ уи+
ч;и a; QAyC, yi,+u'Ku=1,-u* в; а; ол,ф,х, । и' в; а; оауфуху-
-х; ф; A;QAyByu+Xy Фу Ay QAyByU+u'By AjQAyByu+
+a; QAyByu+u' в; a; qay $ уи+игки, (здз)
где I! представляет сумму всех слагаемых, не содержащих и.
Найдём условие минимума (3.43), продифференцировав его по ит
и приравняв результат дифференцирования нулю:
-в; a;qa^,x,+b; А;оАуФуХу-в; a;qa^,xt+
+ В; А^ОАуФуХу+ЗВ; AyQAyByu+By A;QAy£yH+
+в;А;оАу^уи+2Ки = -2 в; ату оатфа+2 в; а; оауфуху+
+2 ByAyQAyByU +2 в; A1yQAy^y„ +2Ku=0;
[в; AyQAvByl K]u в; Ay О1А,Ф.1хт-АуФуХу-Ау^уи].
Подставляя в полученное соотношение формулу (3.41) получим
U(k-1 )=[ By AyQAyBy +К]'1 в; a;q х
х{А,.хт(к)-Ау[Фу(к,к-1)ху(к-1)+^ уи(к-1)]}. (3.44)
Полученный детерминированный закон управления (3.44) будет спра-
ведлив и для статических систем (3.40), (3.41) при условии замены в нём
фазовых координат оптимальными оценками (п. 2.1.3). Тогда
и(Л-1) =
г г -П > (3.45)
= кЛАЛ^^)-Аг[ф/А'Л-1)х/^-1) + ^(^-1)]} ,
где
Ry = [ByAyQAyBy +k]~‘b;a;Q . (3.46)
Анализ (3.45) и (3.46) позволяет сделать следующие заключения.
Сигнал управления пропорциональный ошибке
Ат £т (к)-Ау(Фу(к,к-1) £у (к-1)+ ^ уи(к-1))
с точностью до слагаемого уи совпадает с (3.39).
В полученном сигнале управления достаточно просто учитыва-
ются измеряемые возмущения. При этом не требуется расширять вектор
состояния и решать сложную двухточечную краевую задачу.
3.5. ОПТИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ШТРАФОВ
ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА
3.5.1. Оптимизация коэффициентов штрафов функционала
КАЧЕСТВА ДЛЯ АНАЛОГОВЫХ СИСТЕМ
Выбор конкретных значений коэффициентов матриц штрафов за
точность слежения и сигналы управления - одна из наиболее сложных
задач синтеза РЭСУ на основе алгоритмов СТОУ. На практике обычно
используют эмпирические способы нахождения коэффициентов штра-
фов, наиболее известный из которых основан на принципе равнопрочности
[21]. Смысл этого способа состоит в том, что произведения квадратов мак-
симально допустимых ошибок (либо дисперсий) на соответствующие ко-
эффициенты штрафов полагаются одинаковыми для всех координат. Зада-
ваясь максимально допустимыми ошибками (дисперсиями) и одним из
коэффициентов штрафов, можно предварительно оценить значения коэф-
фициентов штрафов по другим координатам. Аналогично можно вычис-
лить и коэффициенты штрафов за сигналы управления. Полученные таким
способом коэффициенты штрафов затем уточняются в процессе имитаци-
онного моделирования синтезированной РЭСУ по результатам контроля
ошибок слежения и сигналов управления.
Использование эмпирических способов, эффективность которых
во многом зависит от опыта и интуиции проектировщика, как правило,
позволяет методом проб и ошибок подобрать коэффициенты штрафов,
обеспечивающие функционирование РЭСУ с приемлемой точностью.
Однако в такой ситуации никогда нет уверенности в том, что выбрано
наилучшее сочетание коэффициентов. Сложность задачи эмпирического
выбора коэффициентов штрафов усугубляется тем, что изменение
штрафа по какой-либо фазовой координате приводит не только к изме-
нению точности других, функционально связанных с ней координат, но
и к изменению сигналов управления. В свою очередь, изменение штра-
фов за сигналы управления влияет не только на сами сигналы управле-
ния, но и на точность функционирования РЭСУ. В связи с этим весьма
актуально аналитическое отыскание коэффициентов штрафов, позво-
ляющих обеспечить устойчивое функционирование РЭСУ с максималь-
но высокой точностью при заданных ограничениях сигналов управле-
ния. Наиболее просто и наглядно эта задача решается для РЭСУ, опти-
мизированных по локальному критерию (1.5). В математическом плане
задача формулируется следующим образом.
Для РЭСУ с заданной частью (2.7), предназначенной для отра-
ботки многомерного процесса (2.8) той же размерности при наличии
наблюдений (2.16), найден закон управления (3.35), оптимальный по
минимуму локального функционала (1.5) без учета каких-либо ограни-
чений. Необходимо в (3.35) и (1.5) определить коэффициенты матриц Q
и К, обеспечивающие максимально высокую точность функционирова-
ния в установившемся режиме при заданных ограничениях Uj<UA0IIj
(j = l,r) и Tni<Tfloni (i = l,n ) на сигналы управления Uflonj и постоянные
времени Tni переходных процессов при отработке ошибок.
В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие до-
пущения: фильтры РЭСУ формируют сходящиеся оценки хт и ху ; пара
Fy и Ву в (2.7) управляема; известен вектор максимально возможных
ошибок
Дх0 =х.1.(0)-ху(0) (3.47)
одного знака, который имеется в начальный момент работы РЭСУ.
Допущение о наличии ошибок одного знака обусловлено тем, что
в такой ситуации имеют место максимально возможные сигналы управ-
ления и наиболее трудно удовлетворить ограничению Uj<Uaonj.
На основании теоремы статистической эквивалентности (разделе-
ния) можно утверждать, что для ЛКГ задачи закон управления (3.35) анало-
гичен закону, сформированному по детерминированным моделям (2.7),
(2.8), (2.16), при замене в последнем фазовых координат хт и ху их оценками
хт и ху . Поэтому в дальнейшем будем полагать в (2.7), (2.8), (2.16) ^у=0,
^т=0, ^н=0, =хг и ху =ху. Тогда на основании (2.7), (2.8) и (3.35) ошибки
функционирования Дх=хт-ху РЭСУ определяются соотношением
Дх=хт -ху =FrxT +Fyx,. -FyxT -Fyxy -ByK-lByQ(xT -xy)=
= (Fy-ByK-1ByQXx + (FT-Fy)xT, (3-48)
представляющим, в общем случае, систему неоднородных линейных
дифференциальных уравнений. Анализ (3.48) позволяет сделать сле-
дующие выводы.
Поскольку пара Fy и Ву управляема, то гарантируется устранение
ошибок функционирования от максимально возможных значений Дх0
(3.47) до установившихся Дхует, обусловленных вынужденной состав-
ляющей (FT-Fy)xr. Размеры ошибок Дхуст зависят как от самого процесса
хт, так и от степени соответствия заданной части РЭСУ требуемому
процессу. Если заданная часть (2.7) адекватно отображает требуемый
процесс (2.8) (FT =Fy), то Дхуст=0.
Характер переходных процессов (постоянные времени и величи-
ны перерегулирования) при устранении ошибок Дх определяется кор-
нями X, характеристического уравнения
detlEXj-Fy+ByK-'BjQ^O, (3.49>
где Е - единичная матрица. В свою очередь, значения Х, зависят от от-
ношения штрафов за точность слежения и сигналы управления, опреде-
ляемых в (3.49) коэффициентами матриц Q и К. Следовательно, задав-
шись постоянными времени Тдоп1 и величинами перерегулирования, на
основании (3.49) можно предъявить требования к значениям коэффици-
ентов штрафов. При этом эти коэффициенты должны быть такими, что-
бы одновременно выполнялось условие
и = k-'b;qax0 < идоп, (3.50)
где идоп=[идоп| идоп2 ... идопг]т вектор допустимых значений сигналов
управления. Смысл неравенства и<идоп состоит в том, что каждый ком-
понент Uj вектора и не превышает соответствующего компонента Uaonj
вектора идоп (j = 1,г). Если в (3.48) FT^Fy, то при необходимости можно
учесть дополнительное ограничение на коэффициенты штрафов, накла-
дываемое допустимыми установившимися ошибками. Для этого нужно
найти частное решение неоднородного уравнения (3.48), определяющее
ошибку Лхуст.
Таким образом, коэффициенты штрафов за точность функцио-
нирования и сигналы управления могут быть определены в процессе
совместного решения уравнений (3.48)-(3.50). Следует отметить, что с
достаточной для практики точностью постоянная времени (полоса пропус-
кания) РЭСУ определяется наименьшим из корней X, характеристического
полинома (3.49). Примеры использования рассмотренной методики выбора
коэффициентов штрафов для конкретных случаев оптимизации радиоэлек-
тронной следящей системы приведены в п.п. 10.6.1 и 11.5.3.
3.5.2. Оптимизация коэффициентов штрафов функционала
КАЧЕСТВА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
В математическом плане задача оптимизации коэффициентов
штрафов функционала качества для дискретных систем формулиру-
ется следующим образом. Пусть для дискретной системы
ху(к)=Фу(к,к-1 )ху(к-1 )+Ву(к-1 )u(k-1)+ ^ у(к-1), (3.51)
предназначенной для отслеживания процесса (3.41), при использовании
измерений (2.21) с учетом (3.39) найден закон управления
и(к) = и[фт(к, к - 1)хт(к -1) - Фу (к, к - l)iy (к -1)], (3.52)
R = [K + ByQBy]^ ByQ , (3.53)
оптимальный по минимуму локального функционала качества (3.36) и
не учитывающий никаких ограничений.
Необходимо в (3.36) и (3.52), (3.53) найти элементы матриц Q и
К, обеспечивающие максимально высокую точность слежения в устано-
вившемся режиме при данных ограничениях Uj<Ujmax (j = l,r) и
Tni<Tnimax (i = l,n) на управления Uj и постоянные времени Т„, переход-
ных процессов при ликвидации первоначальных ошибок слежения.
Будем считать, что фильтры РЭСС обеспечивают формирование
сходящихся оценок ху и хт, пара Ф, В - управляема и в начальный
момент времени имеются максимальные ошибки одного знака
Дхо=х1(О)-ху(О). (3.54)
Предположение об ошибках одного знака обусловлено тем, что в этом
случае будут иметь место максимальные сигналы управления и наибо-
лее трудно обеспечить ограничение Uj<Ujmax.
Основываясь на теореме статистической эквивалентности, можно
считать, что для линейно-квадратично-гауссовской задачи закон уп-
равления (3.52), (3.53) аналогичен закону, полученному по детермини-
рованным моделям (3.41), (3.51), (2.21), с заменой фазовых координат
хт, ху их оптимальными оценками х.г, ху . В связи с этим далее будем
считать, что в (3.41), (3.51), (2.21) ^т=0, ^у=0, ^и=0, хт=хт , ху=ху .
С учетом этих допущений проанализируем ошибку слежения:
Дх(к)=х1.(к)-ху(к)=Фт(к,к-1 )хг(к-1 )-Фу(к,к-1 )ху(к-1 )-
-ВуК[Фт(к,к-1 )х,(к-1 )-Фу(к,к-1 )ху(к-1 )]=
=[E-ByR] [Фт(к,к-1 )хт(к-1 )+Фу(к,к-1 )хт(к-1 )-
-Фу(к,к-1)хт(к-1)-Фу(к,к-1)ху(к-1)]=
=Ф1(к,к-1)Дх(к-1)+Ф2(к,к-1)хт(к-1), Дх(О)=Дхо, (3.55)
в которой
Ф1(к,к-1)=Фу(к,к-1)-ВуИФу(к,к-1); (3.56)
Ф2(к,к-1)=ДФ(к,к-1)-ВуКДФ(к,к-1). (3.57)
ДФ(к,к-1 )=Ф. (к,к-1 )-Фу(к,к-1); (3.58)'
Полученные соотношения (3.55)-(3.58) представляют систему
линейных неоднородных разностных уравнений, анализ которых позво-
ляет придти к следующим заключениям.
Если собственные числа z, (i = l,n) матрицы Ф[ (3.56) удовлет-
воряют условию |Zj|<l, то система устраняют ошибки слежения от своих
первоначальных значений Дх0 (3.54) до установившихся значений Дхуст,
обусловленных вынужденной составляющей, которая определяется в
(3.55) слагаемым Ф2(к,к-1)хт(к-1).
Величина ошибок Дхуст определяется как законом изменения от-
слеживаемого процесса хт, так и несоответствием (3.58) заданной части
РЭСУ ее требуемым значениям. Если заданная часть (3.51) соответст-
вует отслеживаемому процессу (3.41) (Фу=Фт), то Дхуст=0.
Качество переходных процессов при ликвидации ошибок захва-
та, характеризуемое значениями постоянных времени и величинами пе-
ререгулирования, определяется корнями z, характеристического урав-
нения [35]
Det[Ez^j]=0, (3.59)
где Е - единичная матрица. В свою очередь, значения z, определяются
соотношениями штрафов за точность и экономичность, которые обу-
словливаются учетом (3.53) и (3.56) в (3.59). Следовательно, задавшись
в (3.56), (3.59) допустимыми значениями постоянных времени Тдоп1 и
перерегулирования, можно получить обусловливающие их соотношения
штрафов Q и К. Кроме того, коэффициенты матриц Q и К должны га-
рантировать выполнение условия
и=И[Ф1(к,к-1)х|(к-1)-Фу(к,к-1)ху(к-1 )]<Umax, (3.60)
смысл которого состоит в том, что компоненты Ui (i = 1, г) вектора и не
превышают аналогичные компоненты Ujmax вектора Umax допустимых
значений сигналов управления. В ситуациях, когда в (3.51) и (3.41)
Фу*Фут, при необходимости можно учесть дополнительные ограниче-
ния на соотношения штрафов, накладываемые допустимыми ошибками
слежения в установившемся режиме. Для этого нужно найти частное
решение неоднородного уравнения (3.55), определяющего ошибку хуст.
Таким образом, значения штрафов Q и К за точность слежения и
величину сигналов управления можно найти в процессе совместного
решения и анализа соотношений (3.55) и (3.59), (3.60). В заключение
отметим ряд особенностей, которые позволяют существенно упро-
стить процедуру отыскания коэффициентов штрафов.
1. Определение коэффициентов матриц Q и К важно не само по
себе, а только как промежуточный этап, позволяющий в (3.52), (3.53)
вычислить коэффициенты передачи воздействий хт и ху, которые и реа-
лизуют максимально высокую точность слежения в установившемся
режиме при заданных ограничениях на величину сигнала управления и
качество переходных процессов при отработке ошибок захвата. В связи
с этим целесообразно вычислять в (3.52), (3.53) не абсолютные значения
коэффициентов матриц Q и К, а непосредственно коэффициенты пере-
дачи ошибок входных хт и выходных ху сигналов.
2. С достаточной для практики точностью постоянная времени
(полоса пропускания) РЭСС определяется наибольшим по модулю кор-
нем Zj характеристического многочлена (3.59).
3.6. АЛГОРИТМЫ ЛИНЕЙНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
3.6.1. Алгоритмы оптимальной линейной фильтрации
Одним из наиболее широко используемых на практике является ал-
горитм оптимальной линейной фильтрации [29], именуемой также фильт-
рацией Калмана. При наличии наблюдений (2 Л6) математический аппарат
теории оптимальной линейной фильтрации позволяет для ООУ (2.13)
сформировать оптимальную по критерию минимума суммарной дисперсии
ошибок М{(х - х)1 (х - х)} оценку (2.18), используя алгоритм:
i = Fx + Bu + Кф(г-Нх), х(о)=хо; (3.61)
Кф=2ОНтС“|; (3.62)
D = FD + DFt-2DHtG;‘HD + 0,5Gx, D(O)=Do. (3.63)
Здесь D - ковариационная матрица ошибок фильтрации, характеризую-
щая потенциальную точность оценивания; GH и Gx - соответственно
матрицы односторонних спектральных плотностей шумов измере-
ний (2.16) и возмущений ^х (2.13). Анализ (3.61)—(3.63) позволяет сде-
лать следующие выводы.
Фильтр представляет собой линейную нестационарную систему,
в которой число обратных связей определяется числом наблюдаемых
фазовых координат.
В процессе фильтрации выполняются две операции: прогнозирование
i = Fx + Bu (3.64)
оцениваемого процесса, осуществляемое по детерминированной части
модели (2.13), и коррекция Кф(г-Нх) результатов прогноза. Коррек-
тирующая поправка зависит от невязки z - Нх , называемой также об-
новляющим процессом. Невязка характеризует степень несоответствия
результатов прогноза наблюдения Нх , вычисляемого по детерминиро-
ванной части (2.16), и конкретного измерения z. Очевидно, прогноз
(3.64) не соответствует реальному состоянию оцениваемого процесса
82
(2.13) в такой же степени, в какой прогноз Нх измерения не соответст-
вует его реальному значению z. «Вес» поправки определяется перемен-
ным матричным коэффициентом усиления Кф (3.62).
Матричный коэффициент определяется точностью априорных
сведений о состоянии оцениваемого процесса (2.13) и наблюдениях (2.16).
Если модель (2.13) грубая, т.е. процесс х в значительной мере искажается
шумами ^х, а измеритель (2.16) точный, то коэффициенты матрицы Gx
велики, а коэффициенты матрицы G„ малы. Большие спектральные плотно-
сти Gx предопределяют большую величину дисперсий D (3.63), что совме-
стно с большим значением G'/ обусловливает большие коэффициенты Кф
(3.62). В результате в процессе фильтрации такая неточная экстраполяция
состояния, выполняемая по грубой модели (2.13), будет в значительной
мере корректироваться невязками z - Нх , которые формируются по точ-
ным измерениям z. Если модель состояния точная (Gxii малы, i = 1, N ), а
измеритель неточный (G„jj - велики, j = 1, ш), то Кфу малы и корректи-
рующая поправка точного прогноза будет мала. Необходимо, однако, под-
черкнуть, что даже в такой ситуации точность оценки превышает точность
измерения этих же фазовых координат.
При использовании алгоритма (3.61)—(3.63) необходимо решать сис-
тему из
N!=N+0,5N(N+l) (3.65)
дифференциальных уравнений. В (3.65) первое слагаемое характеризует
число уравнений, которые должны решаться при формировании оптималь-
ных оценок (3.61). Второе слагаемое (3.65) определяет число уравнений для
вычисления коэффициентов усиления Кр (3.62), (3.63). Как и для опти-
мального управления (3.22) и (3.24), здесь сказывается влияние «проклятия
размерности», в том, что при увеличении размерности вектора состояния
(2.13) фильтр неадекватно усложняется за счет значительного роста числа
уравнений, которые необходимо решать при вычислении D (3.63).
Для стационарных процессов (2.13) и (2.16) матрица D, вычис-
ляемая в процессе решения уравнений Риккати (3.63) на основе априор-
ных сведений, может быть сформирована заранее, что позволяет суще-
ственно упростить процедуру формирования оценок. В общем случае по
мере увеличения времени фильтрации дисперсии Е>н уменьшаются от
своих первоначальных больших значений DH(0) до существенно меньших
значений в установившимся режиме. Возможный характер эволюций
Рис. 3.2
во времени иллюстрируется на рис. 3.2
сплошными линиями. Такой характер
изменений приводит к тому, что в
ходе фильтрации уменьшается влияние
корректирующей поправки Кф( z - Нх )
на результаты экстраполяции оценивае-
мого процесса. Поскольку точность эк-
страполяции (3.64) со временем ухудша-
ется за счет накапливания ошибок интег-
рирования, то снижение влияния коррек-
тирующих поправок может привести к
ухудшению реальной точности фильтрации и ее несоответствию теоре-
тическим показателям, вычисленным по уравнению (3.63).
Начальные условия для (3.61) и (3.63) определяются с учетом
первоначальной неопределенности оцениваемых фазовых координат.
При этом можно использовать различные приемы назначения х0 и Do. В
простейшем случае \ (0) =xi0 выбирается как среднее из всех возмож-
ных ее значений:
Xi(o)=O,5(ximaX +ximin). (3.66)
Тогда при гауссовском законе распределения Xj(O) дисперсии можно
определить по формуле:
Dii(0)=(ximax-ximin)2/36. (3.67)
Остальные коэффициенты Djj(O) матрицы D(0) обычно полагаются рав-
ными нулю. Если возмущения в (2.13) и (2.16) не белые, то для них
составляются уравнения формирующих (выбеливающих) фильтров,
которые включаются в состав модели состояния (2.13). Такой прием,
основанный на расширении вектора состояния, усложняет алгоритм
(3.61)-(3.63) фильтрации из-за влияния «проклятия размерности». Ана-
логичный прием можно применить и к инерционным измерителям,
функционирование которых описывается дифференциальными уравне-
ниями. Способы, позволяющие учесть небелый характер возмущений и
инерционность измерителей без расширения вектора состояния, рас-
смотрены в [29, 47]. Алгоритмы фильтрации полей и с использованием
измерений с запаздыванием приводятся в [49].
Для дискретных процессов (2.20), при наличии наблюдений
(2.21) алгоритм оптимальной фильтрации определяется рекуррентными
уравнениями:
х(к)=хэ +Ktl,(k)[z(k)-H(k)xJ; (3.68)
хэ=ф(к,к-1)х(к-1)+В(к-1)и(к-1), х(о)=хо; (3.69)
K(1,(k) = D(k)H'(k)D;1(k)=D(k,k-l)Hl(k)x
х[н(к)0(к,к-1)Нт(к)+0н(к)]-‘; (3.70)
D(k)= [Е-Кф(к)н(к)]о(к, к-1), D(O)=Do; (3.71)
D(k, к -1)=ф(к, к - l)D(k - 1)ФТ (к, к -1)+Dx (к -1). (3.72)
В этих уравнениях D(k) и D(k,k-1) - апостериорная и априорная кова-
риационные матрицы ошибок фильтрации.
Поскольку (3.68)—(3.72) - дискретный аналог (3.61)—(3.63), то для
него справедливы все выводы, полученные при анализе аналогового алго-
ритма. Различие между ними - зависимость точности фильтрации от
интервала дискретизации AT=tk—tk_i - объясняется тем, что Дт входит в
состав некоторых коэффициентов матрицы Ф(к,к-1). В (3.70) объединены
два алгоритма вычисления коэффициентов Кф. Последний чаще использу-
ется при малых значениях коэффициентов матрицы DH, поскольку это мо-
жет вызвать трудности при численном обращении этой матрицы в ЭВМ.
3.6.2. Алгоритм оптимальной экстраполяции
Спецификой работы РЭСУ является достаточно частое пропада-
ние радиосигналов на входе приемника из-за амплитудных флуктуаций
и выхода за пределы полосы пропускания. Кроме того, потери сигналов
могут иметь место и из-за воздействия различного рода помех. В свою
очередь пропадание сигналов, помимо прекращения поступления ин-
формации в ИВС, может привести и к срыву процесса наведения. Исхо-
дя из этого, для обеспечения функционирования следящих радиоэлек-
тронных систем и потребителей их информации необходимо хотя бы в
течение некоторого времени иметь сведения о фазовых координатах,
используемых при наведении, и при отсутствии входных сигналов.
Одним из возможных путей сохранения информации, содержа-
щейся в радиосигналах, является использование алгоритмов оптималь-
ного оценивания с прогнозом (предсказанием) состояния оцениваемых
процессов. Примем во внимание то, что процессами, информация о
которых сосредоточена в радиосигналах, невозможно управлять. По-
этому задача оптимального прогноза (экстраполяции) формулируется
следующим образом. По результатам (2.16) на момент времени t| необ-
ходимо сформировать оценку х (t2) процесса
i(t)=F(t)x(t)+^x(t) (3.73)
при t2>ti, наилучшую в смысле минимума СКО оценивания. Следует
отметить, что (3.73) получено из (2.13) при условии и=0.
Учитывая (3.73), можно оценить будущее состояние оцениваемо-
го процесса, если использовать заложенные в нем связи. Используя
формулу Дюамеля [47], получаем
x(t2)= Фб2, t, )x(t!)+ j<D(t2,TMxWdb (3.74)
tl
где O(t2,T) - фундаментальная матрица (матрица импульсных характе-
ристик), связанная с невозмущенной частью (3.73) соотношением
= ф(т>т)=Е. (3.75)
St
Как и в алгоритме фильтрации (п. 3.6.1), в качестве оптимальной
оценки рассматривается условное математическое ожидание (2.18).
Поэтому, применив к (3.74) операцию условного математического ожи-
дания, найдем
х(12) = М{хО2)|2({1Р = Ф(12Л|)М{хС1)|2({|)} +
+/ф(12л)М{^(т)|2(11)}<1т.
1!
(3.76)
Так как шум £х(т) на интервале ti<t<t2 никак не связан с резуль-
татами измерений в момент времени tb то М{£х(т)
lz(tl)}=0- Тогда из
(3.76) следует
£(12) = Ф(12ЛМ)> (3-77)
где х (ti) - оценка, получаемая в соответствии с обычном алгоритмом
фильтрации (3.61)—(3.63). Закон (3.77) определяет правило оптимально-
го оценивания в режиме прогноза. Следует отметить, что алгоритм
(3.77) одинаково пригоден как для аналогового, так и дискретного вари-
антов оценивания.
В зависимости от конкретных условий функционирования РЭСУ
в задаче прогнозирования можно использовать различные соотношения
между переменными t2 и t|. В связи с этим различают три вида пред-
сказаний:
с фиксированным моментом фильтрации, при котором ti=const,
t2=var:
с фиксированным моментом окончания прогноза, при котором
t2=const, ti=var;
с постоянным упреждением, при котором tp=var; где
T=const - интервал прогноза.
Алгоритм (3.77) пригоден для всех видов прогноза. Однако про-
цедуры вычисления матрицы <J>(t2,t|) в каждом конкретном случае могут
видоизменяться. При t|=const и t2=var, требуется оценивать состояние
процесса (3.73) в течение неопределенно возрастающего времени t2-t| на
основании результатов прошлых наблюдений вплоть до фиксированного
момента t|. Примером такого прогнозирования может служить оценивание
отслеживаемых относительных фазовых координат цели после срыва сле-
жения в РЭСС в результате ^прекращающегося воздействия преднамерен-
ных помех [16]. Уравнение прогноза для такой ситуации имеет вид
x(t,t1) = O(t,t1)x(t|), t>tp (3.78)
Поскольку х (t|) определяется обычным алгоритмом фильтрации,
для реализации (3.78) необходимо лишь вычислить фундаментальную
матрицу Ф(Ц|), решив уравнение (3.75), где т заменено на tj.
При t2=const и t|=var следует оценить процесс (3.73) для фикси-
рованного будущего момента времени t2, опираясь на результаты теку-
щих наблюдений z(t) при условии t<t2. Такой вариант может возникнуть
при работе РЭСС в составе систем самонаведения [27], для которых t2
определяет время изменения режима работы либо момент окончания
наведения. Для рассматриваемого случая
i(t2,t) = <D(t2,t)i(t), t<t2. (3.79)
Так как в этой задаче переменным является второй аргумент фун-
даментальной матрицы, то для ее вычисления нужно использовать
соотношение [47]
^^ = -O(t2,t)F(t), d»(t2,t2)=E. (3.80)
dt
Уравнение (3.80) необходимо решать в обратном времени от t2 к
t, запоминая результаты решения и обращаясь к ним по мере необходи-
мости при вычислении х (t2). Если объем памяти используемого
вычислителя недостаточен для хранения указанной информации, то в
начале
можно вычислить матрицу Ф(ЬД), решив (3.80) в обратном времени, а
затем, решая (3.80) в направлении от t к t2, использовать результаты для
прогноза.
При фиксированном упреждении требуется оценить состояние
процесса (3.73) на промежуток времени Т вперед, используя для этого
результаты текущих наблюдений z(t). Примером такой ситуации служит
прогнозирование отслеживаемых в РЭСС координат при кратковремен-
ном пропадании входных сигналов в результате случайных изменений
эффективной площади отражения (ЭПО), замирания радиосигналов и
т.д. Алгоритм работы устройства оценивания в данной ситуации описы-
вается уравнением
x(t + T) = O(t + T,t)x(t). (3.81)
Поскольку здесь оба аргумента матрицы <D(t+T,t) являются пере-
менными, для ее определения необходимо воспользоваться полной про-
изводной
а[Ф(1+т, t)] _ э[o>(t+т, t)] a[o(t+т, t)]
5 = э(.+т) + ' (382)
Подставив (3.75) и (3.80) в (3.82) получим
= F(t+Т)Ф(1 +Т,О-Ф(1+Т,t>(t), Ф(м)=Е. (3.83)
dt
Использование рассмотренных алгоритмов экстраполяции для дис-
кретных процессов не представляет особых трудностей, так как для них
известны фундаментальные матрицы <D(t2,tj). Однако вычислить эти матри-
цы для аналоговых моделей (3.73) большой размерности достаточно слож-
но. Поэтому на практике для экстраполяции (3.73) или (2.13) достаточно
часто обращаются к обычному алгоритму фильтрации (3.61)-(3.63), исклю-
чая из (3.61) корректирующую поправку Кф (z - Нх).
Предсказание по алгоритмам (3.78), (3.79) и (3.81) будет тем ме-
нее точным, чем больше интенсивность шумов в сообщении (3.73) и чем
больше интервал времени t2-th на который осуществляется прогноз.
Поэтому при использовании результатов прогноза необходимо посто-
янно контролировать дисперсии ошибок предсказания, чтобы не допус-
тить выход текущей ошибки
△x(t2) = x(t2)-x(t2) (3.84)
за пределы линейного участка дискриминационной характеристики РЭСС.
Используя (3.74) и (3.77), на основании (3.84) получаем в общем
виде соотношение для ковариационной матрицы ошибок предсказания:
м] o(t2,t|)x(t|)+ Jo(t2,TXx(-c)dT-
= ф(г 2,11 )D(t, )ФТ (t2, t,)+ 0,5 j J®(t2 ,t)G x (г)8(т- Х)Фт (t2 ,T)dZdT =
tl
= Ф0 2, t J )D(t | )фT (t 2, t,)+0,5 Jo(t 2, t)G x (т)Фт (t 2, x)dT. (3.85)
ti
При выводе (3.85) было учтено, что процессы Ax(tt) и ^х(т) не-
коррелированы и математическое ожидание от их произведения равно нулю.
Из (3.85) следует, что точность прогнозирования зависит от матриц
D(tJ ошибок фильтрации, односторонней спектральной плотности Gx(t)
шумов вектора состояния (3.73) и
времени прогнозирования (t2-ti). Для
следящих измерителей допустимое
время прогнозирования должно быть
таким, чтобы текущие ошибки пред-
сказания с вероятностью 95% удовле-
творяли условию |2TD“|<|AxinMX|,
где Aximax - половина ширины ли-
нейной части дискриминационной
характеристики следящего устрой-
ства по i-й координате (рис. 3.3), Dnii - дисперсия ошибок предсказания
по этой же координате. Другие возможные подходы к решению задачи
оптимального предсказания в общем виде рассмотрены в [10].
Рассмотренные законы предсказания можно использовать и в ал-
горитмах нелинейной фильтрации. Однако область их применения ог-
раничена линейными моделями оцениваемых процессов при нелиней-
ных измерениях. Следует подчеркнуть, что используемые в такой си-
туации оценки х (tj должны формироваться в соответствии с правила-
ми нелинейной фильтрации.
3.6.3. Алгоритмы идентификации параметров
СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ
Научное направление, именуемое теорией идентификации, все
чаще применяется при синтезе РЭСУ. В настоящее время известен
очень большой набор различных методов идентификации [10, 25, 49].
Рассмотрим ее алгоритмы, используемые для оценки параметров моде-
лей систем и процессов в пространстве состояний. Наиболее простой из
них, предложенный Мейном [10], - алгоритм фильтра Калмана, в кото-
ром оценивается не вектор состояния, а вектор параметров модели. При
этом требуется, чтобы вектор управления был известным, а вектор со-
стояния был доступен измерению, либо имелись его оптимальные оцен-
ки, формируемые специальным фильтром.
Метод Мейна позволяет для процесса (системы)
хр(к) = Фр(к,к-1)хр(к-1)+$р(к-1) (3.86)
оценить вектор
а(к)= [Фр1 (к, к - 1>р2 (к,к -1 V-.Фрп <к’к - 01' (3-87)
параметров модели (3.86) при условии, что имеется измерение
z(k) = xp(k).
(3.88)
Здесь хр=[хт11т]т - расширенный вектор состояния размерностью N+r,
компоненты которого х и и определяются (2.20); Фр(к,к-1)=
=[Ф(к,к-1)В(к-1)] - расширенная переходная матрица процесса (3.86);
ФР1(к,к—1) - i-я строка матрицы Фр; ^р(к-1)=[^х (к-1) О7]г - вектор
дискретного центрированного белого шума с матрицей дисперсий
Dx = M{^p(k-l)^J(k-l)}; О7 - r-мерный нулевой вектор. Используя
(3.86) и (3.87) в (3.88), получаем
z(k) = Mp(k)a(k)+^p(k),
(3.89)
где
О
0
о
(3.90)
О 0 0 ... хр(к-1)
матрица размером (N+r)x(N+r)2.
Как правило, коэффициенты ФрН модели (3.86) представляют со-
бой функции, которые изменяются во времени существенно медленнее,
чем фазовые координаты xpi. Поэтому за время формирования наблюде-
ния (3.88) их можно считать постоянными. Кроме того, для широкого
класса моделей, используемых при синтезе РЭСУ, параметры а, (3.87)
являются константами. Поэтому вполне правомочно равенство
a(k) = a(k-l). (3.91)
Использование представлений (3.89) и (3.91) в качестве моделей
наблюдения и состояния позволяет применять для оптимального по
минимуму СКО оценивания алгоритм калмановской фильтрации. Ис-
пользуя (3.89) и (3.91) в (3.68)-(3.72), будем иметь:
a(k) = a(k-l)+Ka(k)[xp(k)-Mp(k)a(k-l)j £(о) = ао; (3.92)
Ка =Da(k-l)MTp(k)[Mp(k)Da(k-l)Mqp(k)+Dx(k-l)]’,; (3.93)
Da(k)=Da(k-l)-Da(k-l)M^(k)[Mp(k)Da(k-l)M^(k)+Dx]_|M),(k)Da(k-l),
Da(0) = Da0, (3.94)
где а0 и Da0 - начальные условия. При получении (3.94) было учтено,
что апостериорная ковариационная матрица равна априорной, посколь-
ку в модели состояния (3.91) переходная матрица является единичной, и
отсутствуют возмущения.
Кроме того, было принято во внимание то, что матрица Dx, кото-
рая характеризует шумы возмущений модели (3.86), здесь играет роль
матрицы шумов измерений и не всегда обращаема.
Поскольку алгоритм (3.92)-(3.94) представляет разновидность
общего алгоритма оптимальной линейной фильтрации, то для него
справедливы все выводы, сделанные в п. 3.6.1. В качестве особенностей
можно отметить следующие обстоятельства.
В процессе идентификации необходимо постоянно вычислять
(3.93) и (3.94), так как матрица Мр(3.90) является функцией времени.
Если фазовые координаты х не поддаются непосредственному
измерению и вместо них используются оптимальные оценки х, форми-
руемые специальным фильтром, то в (3.90) и (3.92)-(3.94) вместо х
необходимо использовать х, а вместо Dx - ковариационную матрицу
D(k), вычисляемую при решении уравнений (3.71), (3.72).
Если оптимальные оценки х отсутствуют, но имеются наблюдения
z(k) = Нр(к)хр(к)+^ри(к) (3.95)
хотя бы части фазовых координат процесса (3.86), то для оценки пара-
метров (3.87) также можно использовать общий алгоритм фильтрации
(3.68)-(3.72), преобразовав (3.95) к виду, отображающему его зависи-
мость от параметров (3.87). Для этого подставим (3.86) в (3.95). Тогда
получим
г(к)=Нр(к)[фр(к,к-1)хр(к-1)+^р(к-1)]+^ри(к)=
= Мр1(к)а(к)+^ЭКВ(к), (3.96)
где
Мр1 = Нр(к)Мр(к); (3.97)
Мр(к) определяется (3.90); ^ЭКВ(к)=Нр(к)р(к-1)+^ри(к) - эквивалент-
ный шум измерений с матрицей дисперсий
D3KB (к) = Нр (k)Dx (к)Нр (к) + D„ (к).
Необходимо отметить, что использование моделей (3.91) и (3.96)
в алгоритме фильтрации (3.68)-(3.72) несколько снижает точность
идентификации по сравнению с алгоритмом (3.92)-(3.94). Поэтому
такие алгоритмы целесообразно использовать не столько для оценки
параметров процессов и систем, сколько для констатации факта измене-
ния этих параметров, например в процедурах идентификации результа-
тов измерений при автоматическом сопровождении нескольких целей в
режиме обзора или при обнаружении маневров целей.
3.7. АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Недостатком рассмотренных выше алгоритмов оптимального
оценивания является сильная зависимость показателей их точности и
устойчивости от соответствия условий функционирования тем моделям,
которые были положены в основу синтеза. Между тем, спецификой
функционирования РЭСУ является высокая степень неопределённости
априорных сведений, обусловленная изменением параметров летатель-
ных аппаратов в процессе полёта, их маневрированием, наличием раз-
личного рода радиопомех т.д. В таких условиях рассматриваемые выше
алгоритмы оптимального линейного оценивания либо функционируют с
точностью худшей, чем это определяется дисперсиями ошибок фильт-
рации (3.63) и (3.71), либо вообще теряют устойчивость вследствие
92
возникновения расходимости процессов фильтрации. В связи с этим
весьма перспективным направлением, позволяющим уменьшить влия-
ние отмеченных недостатков, является использование алгоритмов адап-
тивной фильтрации [33, 41]. Использование адаптивных процедур по-
зволяет приспособить алгоритмы фильтрации к условиям функциони-
рования либо путём изменения (усложнения) структуры фильтров, либо
путём оценивания их параметров. К настоящему времени известно
большое количество процедур адаптации [33, 41], к наиболее употреби-
мым из них относятся: процедуры совместного оценивания фазовых
координат и параметров модели, положенной в основу синтеза [49],
многоканальная адаптивная фильтрация; скользящие алгоритмы адап-
тации, основанные на регулировке параметров систем фильтрации.
Ниже будут рассмотрены: алгоритмы адаптации, основанные на совме-
стном оценивании фазовых координат и параметров модели, исполь-
зуемой для синтеза, и алгоритмы, в которых используется автоматиче-
ская регулировка параметров фильтров. Среди них можно выделить
адаптивные фильтры, в которых на основе тех или иных алгоритмов
идентификации осуществляется оценка коэффициентов матриц Ф(к,к-1)
исходной модели состояния (3.86), которые в дальнейшем используются
в (3.68) для коррекции прогноза (3.69) и коэффициентов усиления невязки
(3.70). Этот способ, являясь наиболее точным, требует достаточно больших
вычислительных затрат. Более простыми являются способы адаптации,
основанные только на автоматической коррекции коэффициентов усиления
невязки, либо только на коррекции результатов прогноза.
3.7.1. Алгоритм совместной фильтрации
И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
В процессе синтеза нестационарных РЭСУ, параметры которых
изменяются во времени, приходится одновременно оценивать параметры
используемых моделей и фазовые координаты, формируемые на основе
этих моделей. Поскольку для параметрической идентификации и опти-
мальной фильтрации можно использовать одинаковую процедуру опти-
мального оценивания, то целесообразно сформировать единый алгоритм
для оценки и параметров моделей и фазовых координат. Такой алгоритм,
позволяя улучшить точность оценивания фазовых координат с помощью
результатов параметрической идентификации, реализует адаптивную
фильтрацию. Ниже будет рассмотрена процедура совместного оценивания
фазовых координат и параметрической идентификации на основе алгорит-
ма обобщенного (расширенного) фильтра Калмана-Бьюси [49, 54].
Пусть РЭСУ описывается в пространстве состояний уравнениями
x = f(x,a,u,t)+^x(t); (3.98)
z = h(x,a,t)+^(t), (3.99)
в которых учтена зависимость фазовых координат и результатов изме-
рений от параметров системы.
В (3.98), (3.99) обозначено: ^х и - белые шумы с
ковариационными матрицами
M{UtfcKti)}=0>5Gx8(t-tJ
M{^H(tX^(t1)}=0,5GM6(t-t1>
а - вектор параметров, аппроксимируемый уравнением
а = ^а>
(3.100)
где а - белый шум, не зависящий от £ х и £ и, с ковариационной матрицей
MfUtXKtJpO^GXt-t!);
Gx, G„ и Ga- матрицы односторонних спектральных плотностей;
5(t-t,)=
1, при t = tj
0, при t Ф tj
- символ Кронеккера.
Введем расширенный вектор состояния
хр =fp(xp,u,t) + ^p (3.101)
и соответствующий ему вектор наблюдения
z = hp(xp,t) + ^„. (3.102)
Здесь
х] ГП М
нрпогма (з1оз)
а вектор и считается непосредственно наблюдаемым без шумов. Тогда
применение для (3.101) и (3.102) процедуры обобщенного (расширенно-
го) фильтра Калмана-Бьюси [54] позволяет получить алгоритм
xp=fp(xp,u,t) + K(1)p[z-hp(xp,t)], хр(0) = хр0; (3.104)
(3.105)
DP
Ч(*Р’и’*) D +D Ч(Хр’и’О
Эхтр ] p p[ Эхтр
к фр
dhp(xp,t)
dx;
Dp(0) = Dpo, (3.106)
p p
где Gp
0
0
Ga
Используя (3.103) и представление ковариационной матрицы ошибок
Dyy D '
фильтрации в блочной форме Dp = xx xa _Dax Daa. Я - я Q II d X г- X Q ll X X Q
Dax = Dxa в (З.ЮЗ)-(З.Юб), получаем:
х = f(х,a,u,t)+ Кф [z -h(xp,a, t)], х(0) = х0; (3.107)
K(l =2(D hT+D h!)G“'; ф X XX X Xd d / И 7 a = ^)a[z-h(xp,a,t)], a(O) = ao; (3.108) (3.109)
K(1)a=2(Daxh;+DaahI)G:'; q)d x dX X dd a ' И 1 (3.110)
D — fx »хх + ^ах + ^хх^х + DxafJ — ^(Ь(^х^хх + ^а®ач ) + ^х >
АЛ X XX d dX XX X Xd d ф X X XX d dX / X 7
dxx(0) = dxx0; (3.1H)
Dxa = fxDxa + fa Daa -K(1)(hxDxa + haDaa), Dxa(0) = 0; (3.112)
Daa =-K..)a(hxDxa +haDaa del (|)d X X Xd d dd ) + Ga > Daa(0) - f^aaO’ (3.113)
где
dh(x,a,t) nY = , ha = Э h(x,a,t)
x dxT a Эат ’ (3.H4)
_ df(x,a,u,t) fa = Э f(x,a,u,t)
x “ Эхт Эат
Структурная схема алгоритма (3.107)—(3.114) совместной фильт-
рации и параметрической идентификации процессов (3.98) и (3.100) при
использовании наблюдений (3.99) приведена на рис. 3.4.,
Поскольку этот алгоритм является одной из модификаций алгорит-
мов оптимальной фильтрации в пространстве состояний, то для него спра-
ведливы все выводы, полученные при анализе линейного фильтра (п. 3.6.1).
При этом необходимо отметить следующие особенности. Из рис. 3.4 видно,
что оценки х фазовых координат формируются на основе уточненных
(оцененных) значений а параметров модели, которые в свою очередь вы-
числяются с использованием сформированных оценок х .
Алгоритм совместного оценивания и фильтрации требует для
своей реализации вычислителей с большим объемом памяти и высоким
быстродействием. С одной стороны, это обусловлено необходимостью
решать большое число уравнений («проклятие размерности»), а с дру-
гой - требованием текущих вычислений коэффициентов матриц Dxx, Dxa
и Daa в реальном масштабе, времени. Последнее вызвано тем, что ис-
пользуемые в (3.108)—(3.113) коэффициенты ha и fa (3.114) являются
функциями текущих оценок х фазовых координат.
3.7.2. Алгоритм адаптивной фильтрации
С КОРРЕКЦИЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ НЕВЯЗКИ
Один из самых простых и эффективных приёмов, обеспечиваю-
щих адаптацию фильтра (3.68)-(3.72) путем автоматической коррекции
коэффициента усиления (3.70) невязки, основан на использовании, так
называемой, S-модификации фильтра Калмана [29]. Суть этого приёма
состоит в том, что при соответствии условий функционирования моде-
лям состояния, фильтр работает по общепринятым алгоритмам (3.68)-
(3.72). Если же условия функционирования не соответствуют моделям,
используемым при синтезе фильтра, то автоматически изменяется ко-
эффициент усиления (3.70) невязки
Az(k)=z(k)-Hx3(k) (3.115)
за счет изменения матрицы априорных дисперсий (3.72) по правилу
D(k,k -1)=SO(k,k - l)D(k - 1)Фт(к,к -1)+Dx(k -1), (3.116)
в котором весовой коэффициент S вычисляется по результатам анализа
(3.115).
Принятие решения об изменении (3.70) на основе (3.116) осу-
ществляется при выполнении условия
AzT(k) Az(k) > tr{M[Az(k) AzT(k)]} =
= tr{M[H(k)(x(k) - хэ (k)) + §„ )] [H(k)(x(k) - x, (k)) + )? }=
= tr{H(k)D(k,k-l)HT(k)+D„(k)}, (3.117)
где tr - след матрицы.
При существенном изменении условий функционирования воз-
растают отклонения оценки х от действительного значения х. Тогда
прогноз наблюдений Н(к)хэ(к) в (3.68), (3.115) будет значительно отли-
чаться от результатов наблюдений z(k). Следовательно, сумма квадра-
тов невязки в левой части (3.117) будет характеризовать действитель-
ную ошибку фильтрации, в то время как правая часть определяет теоре-
тическую точность обновляющего процесса, полученную на основании
априорных сведений. Если условие (3.117) выполняется, то реальная
ошибка фильтрации превышает теоретически рассчитанную. Следова-
тельно, начиная с этого момента времени и необходимо корректировать
матрицу коэффициентов усиления (3.70) невязки.
Подставляя (3.116) в (3.117) для такой ситуации приходим к ра-
венству
tr[Az(k) AzT (k)] = tr {Н(к)|8(к)Ф(к,к -1 )D(k -1 )ФТ (к,к -1)+
+ Dx (к -1)] Нт (к) + D,, (к)} = S(k)tr {Н(к)Ф(к,к -1 )D(k -1) х
хФт (к, к -1 )НТ (к)} + tr[H(k)Dx (к -1 )НТ (к) + D„ (к)].
Отсюда следует, что
= tr[Az(k)AzT(k)-H(k)Dx (к-1)Нт(к)-Рн(к)]
} 1г[Н(к)Ф(к,к-1)1Хк-1)Фт(к,к-1)Нт(к)]
(3.118)
Использование (3.116), (3.118) в алгоритме оценивания (3.68)- (3.71) и
дает возможность осуществлять адаптацию фильтра к изменению усло-
вий функционирования. Началу адаптации, фиксируемому по превыше-
нию левой части (3.117) над правой, будет соответствовать возрастание
коэффициентов S(k). Отсюда следует увеличение коэффициентов мат-
риц D(k,k-1) (3.116) и Кф (3.70), что вызывает в (3.68) усиление коррек-
тирующего влияния невязки и приближение оценки х (к) к действи-
тельному значению х(к). Это, в свою очередь, приведет к уменьшению
невязки Az(k) и множителя S(k), ослаблению корректирующего влияния
невязки и т.д..
В отличие от стандартного алгоритма фильтрации (3.68)-(3.72), в
котором Кф(к) изменяется программно, в рассмотренном алгоритме боль-
ший вес имеют текущие измерения, поскольку коэффициенты матрицы
Кф(к) корректируются результатами каждого наблюдения. Этот алгоритм
адаптируется к условиям функционирования приближением теоретической
матрицы D к реальной за счет изменения весового множителя S(k). Указан-
ное изменение осуществляется благодаря учету матрицы Az(k)AzT(k), харак-
теризующей действительную ошибку фильтрации.
Следует отметить, что при определении S(k) по (3.118) требуется
наименьший объем вычислений по сравнению с другими модификация-
ми данного метода. Недостатком рассмотренного алгоритма является неко-
торое затягивание момента обнаружения расходимости, поскольку крите-
рий (3.117) констатирует начало расходимости лишь наиболее устойчивых
наблюдаемых координат. Проведенный анализ показывает, что больше
всего склонны к расходимости ненаблюдаемые координаты, по которым в
фильтре отсутствуют ООС. Поэтому расходимость по наблюдаемым коор-
98
динатам начинается лишь при достаточно больших отклонениях оценок
ненаблюдаемых координат от их действительных значений.
В заключение отметим, что при изменении в (3.116) веса матри-
цы D(k,k-1) из-за учета S(k) несколько ухудшается точность оценок по
сравнению с теоретической точностью, определяемой (3.72). Поэтому
фильтры, синтезированные по алгоритму (3.68)-(3.72), (3.116) и (3.118),
не являются оптимальными. Однако, несмотря на некоторое снижение
точности, они будут обеспечивать гарантированную адаптацию фильтра
под изменяющиеся условия функционирования.
3.7.3. Алгоритм адаптивной фильтрации
С ОПТИМАЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ ПРОГНОЗА
Рассматриваемый способ адаптации основан на оптимальной
коррекции в (3.68) прогноза (3.69) путём введения аддитивной управ-
ляющей поправки.
Пусть для оценивания процесса (2.20) при отсутствии управления
и наличии наблюдений (2.21) был использован алгоритм оптимальной
линейной фильтрации (3.68)-(3.72). При этом за счёт изменения усло-
вий функционирования модель (2.20), положенная в основу синтеза,
перестала соответствовать реальному состоянию оцениваемого процес-
са. В такой ситуации наблюдения z будут значительно отличаться от их
неадекватного прогноза Нхэ, что приведёт к возрастанию невязки z-Hx3,
неадекватной коррекции прогноза и т.д.. В результате будет формиро-
ваться расходящаяся оценка х р вектора состояния по правилу
£р (к)=Ф(к,к-1) хр (к-1 )+Кф(к)[г(к)-
- Н(к)Ф(к,к-1) хр (к-1 )]=Ф(к,к-1) хр (к-1)+^ р(к-1), (3.119)
где
^р(к-1)=Кф(к)[2(к)-Н(к)Ф(к,к-1)хр (к-1)] - (3.120)
измеряемые возмущения.
Для устранения процесса расходимости необходимо, не изменяя
матрицы состояния Ф(к,к-1), наилучшим образом приблизить оценку
хр к реальному состоянию х, информация о котором сосредоточена в
измерениях z, т.е. нужно минимизировать невязку (z-H х р). С этой це-
лью для дискретной системы
Хр(к)=Ф(к,к-1)хр(к-1)+ик(к)+4р(к-1), (3.121)
полученной из (3.119), необходимо отыскать вектор ик управляющих
поправок, оптимальный по минимуму функционала качества
I=M{[z-H ip ] 'Qp[z-H ip ]+ u; KpuK}, (3.122)
гдеQpHKp- соответственно матрицы штрафов за точность приближе-
ния Н хр к z и за величину управляющих поправок.
Одним из способов решения этой задачи является использование
алгоритмов СТОУ. Наиболее простым и удобным для решения этой
задачи является алгоритм (3.48).
Поставив в соответствие (3.121), (3.122) с (3.43) и (3.45) получим:
Хт-z, Ат—Е, Ху—Хр, Ay—Н, Ву—Е, ^уЦ—^р,
ФУ=Ф, Q=QP, К=КР, u=uK. (3.123)
Используя (3.123) в (3.48) получим:
uK=[H'QpH+Kp]‘lH'Qp{z(k)-H|(®(k,k-l) ip (k-1)+
+Кф(к)[г(к)-Н(к)Ф(к,к-1)хр(к-1)]}=
=lH'QpH+Kp]-,H,Qplz(k)-Hx3p(k)-HK(1)[z(k)-H(k)x3p(k)]];
uK=Rpy[(E-HK4)(k))(z-Hx3p(k))] (3.124)
Здесь:
Rpy=(H‘QpH+Kp(k)) 'H QP - (3.125)
матричный коэффициент усиления ошибки управления;
хэр(к)=Ф(к,к-1) хр (к-1) - (3.126)
прогноз состояния оцениваемого процесса, выполняемый по исходной
модели (2.20).
Анализ (3.124)—(3.126) позволяет придти к следующим заключениям.
Поправка ик, обеспечивающая наилучшее по минимуму (3.122)
приближение хр к х зависит от величины невязки z-Hx3p. При отсутст-
вии расходимости, когда z~Hx3p её влияние незначительно и фильтр
практически функционирует по типовому алгоритму калмановской фи-
льтрации. При появлении расходимости, когда z сильно отличается от
Нхэр, поправка ик существенно усиливает коррекцию прогноза, выпол-
няемую в (3.68) невязкой.
В управляющей поправке ик учитываются штраф за точность
приближения хр к х, определяемый матрицей Qp, и штраф за эконо-
мичность (Кр), а также состав измерителей (Н) и вид корректируемого
фильтра (Ф(к,к-1), Кф(к)).
В процессе получения закона (3.124)-(3.126) формирования кор-
ректирующей аддитивной поправки не накладывалось никаких ограни-
чений на матрицу Qp. Это даёт возможность использовать в качестве
коэффициентов этой матрицы различные функции невязок, что ещё
более повысит точность и устойчивость функционирования оценок при
наличии расходимости.
Полученный алгоритм является достаточно простым и не накла-
дывает никаких ограничений на возможность его реализации.
Используя (3.124)—(3.126) в (3.121) приходим к алгоритму фор-
мирования оценок по правилу:
хр (к)=хэр(к)+Кру{[Е-НКф(к)][2-Нхэр(к)|+Кф(к)1г-Нхэр(к)]}=
=хэр(к)+{Кру[Е-НКф(к)1+Кф(к)}[г-Нхэр(к)Ь (3.127)
Анализ (3.127) позволяет сделать следующие выводы.
Введение аддитивной управляющей поправки (3.124) в алгоритм
фильтрации (3.68) фактически приводит к изменению текущего веса
корректирующей невязки. Однако закон изменения невязки будет от-
личным от закона, сформированного по правилу S-модификации.
Полученный алгоритм оценивания будет оптимальным уже не по
минимуму СКО фильтрации, а по минимуму более сложного функци-
онала (3.122).
3.8. АДАПТИВНАЯ АНАЛОГО-ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Одним из основных режимов работы ИВС самолетов является ав-
томатическое сопровождение целей при сохранении обзора (п. 1.1.3). В
этом режиме необходимо непрерывно иметь оценки фазовых координат
относительного и абсолютного движения всех целей и самолёта при
достаточно редком (дискретном) поступлении сигналов, отраженных от
каждой цели. В такой ситуации текущие оценки требуемых фазовых
координат в промежутках между поступлениями отраженных сигналов
формируются на основе тех или процедур экстраполяции (прогноза) с
малым интервалом дискретизации, а накапливающиеся ошибки коррек-
тируются дискретно поступающими измерениями.
Оценивание, при котором экстраполяция осуществляется с ма-
лым шагом т, но своей точности приближаясь к аналоговому прогнозу,
а коррекция осуществляется с большим интервалом Т»т, принято
называть аналого-дискретной фильтрацией [54].
Следует отметить, что за время Т обращения к цели, которое мо-
жет достигать нескольких секунд [3] могут измениться условия сопро-
вождения, например за счет маневра цели либо самолета-носителя
БРЛС. В такой ситуации использование для прогноза упрощенных
гипотез движения приводит к появлению больших ошибок экстраполя-
ции. При достаточно редком поступлении измерений (отраженных от
конкретных целей сигналов) это может привести к расходимости про-
цесса аналого-дискретной фильтрации. В связи с этим целесообразно
использовать алгоритмы адаптивной аналого-дискретной фильтрации, в
которых, в зависимости от ситуации, автоматически изменяются пара-
метры фильтров.
В общем случае алгоритмы адаптивной аналого-дискретной
фильтрации позволяют для процессов х(к)=Ф(к,к-1)х(к-1)+ х(к-1), при наличии наблюдений (3.128)
z(k)=Qz[H(k)x(k)+§ „(к)], (3.129)
, ч 1, при к = пТ/т, п= 1,2,3...,
Qz(k)=l
[О, при к/пТ/т,
сформировать оценки
х (k)=x3(k)+K(|,a(k)Az(k), х (к)=х0; (3.130)
Az(k)=Qz[z(k-l )-Н(к)х,(к)]; (3.131)
x,(k)=Q„(k)O(k,k-l)x(k-l); (3.132)
fn(Az(k)), при к = nT/т, если используется
< коррекция результатов прогноза, Qn 0е) - < Е, при к Ф пТ/т, (3.133)
Е, если коррекция результатов
прогнозане используется,
Kt|)a(k)=Qy(k)D(k)H‘(k)D“1(k); (3.134)
fy(Az(k)), при к = пТ/т, если используется коррекция
Qy(k)=<
Е,
Е,
коэффициен тов усиления невязки,
при к Ф пТ/т,
если коррекция коэффициентов усиления
невязки не используется,
(3.135)
D(k) =
[Е - Кфа (k)Н(к)] D(k, к -1), D(0) = Do при к=пТ/т,
D(k,k-1),
при к Ф пТ/т,
(3.136)
D(k,k-1 )=Ф(к,к-1 )D(k-1 )Ф(к,к-1 )+Dx(k-1). (3.137)
В этих уравнениях: Qz - признак прихода измерений; Qn - весо-
вой множитель, используемый при коррекции прогноза, величина кото-
рого определяется по результатам анализа невязки fH(Az(k)); Qy - весо-
вой множитель, используемый при автоматической коррекции коэффи-
циента усиления невязки по результатам fy(Az(k)) ее анализа.
Отличие алгоритма от типового алгоритма Калмана заключается
в двух особенностях. Первая состоит в том, что экстраполяция состоя-
ния (3.128) и вычисление ковариационной матрицы ошибок прогноза
(3.137) выполняются с малым интервалом т, а измерение (3.129) и кор-
рекция оценок £ (3.130) - с большим интервалом Т»т. Вторая особен-
ность обусловлена возможностью использовать самые разнообразные
приемы адаптации, в том числе и упрощенные варианты, рассмотрен-
ные в 3.7.2 и 3.7.3.
3.9. ОБОБЩЁННЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
ОПТИМАЛЬНОЙ РЭСУ
В общем случае нестационарная оптимальная РЭСУ должна фун-
кционировать на основе алгоритмов фильтрации, идентификации и
управления. Функциональные связи между этими алгоритмами, исполь-
зующими результаты измерений и априорные сведения о состоянии
ООУ, показаны на рис. 3.5.
С учетом различий в моделях приведенная схема справедлива для
всех видов РЭСУ: аналоговых и дискретных, линейных и нелинейных.
На этой схеме вектор ху, входящий в состав обобщенного вектора СО-
стояния х, отображает функционирование управляемого объекта и уп-
равляющей системы РЭСУ (рис. В1), а компоненты вектора хти осталь-
ные блоки схемы соответствуют информационно-вычислительной сис-
теме. Из рис. 3.5 видно, что оцененные значения а параметров ООУ
используются как для формирования оценок х фазовых координат, так
и для вычисления сигналов управления, оптимальных по тому или ино-
му критерию. В свою очередь, оцененные значения фазовых координат
и вычисленные сигналы управления позволяют формировать оценки а
параметров РЭСУ.
Рис. 3.5
Рассмотрим более подробно информационные связи между алго-
ритмами РЭСУ для линейных стационарных ООУ, для которых спра-
ведливы представления (2.7), (2.13) при условии, что F=const, B=const и
используются измерители (2.16) с H=const. Для стационарных ООУ
законы функционирования РЭСУ упрощаются за счет исключения алго-
ритмов идентификации и возможности вычисления коэффициентов
усиления Кф невязок заранее, на основе априорных сведений о процес-
сах (2.13) и (2.16). Для определенности будем полагать, что оптималь-
ные оценки фазовых координат формируются по алгоритму (3.61), а
сигналы управления (3.35) оптимальны по минимуму локального функ-
ционала качества (1.5). Структурная схема РЭСУ, построенная на осно-
вании моделей (2.7), (2.13), измерителя (2.16) и алгоритмов фильтрации
(3.61)-(3.63) и управления (3.35), приведена на рис. 3.6.
Рис. 3.6
Анализ этой схемы позволяет прийти к следующим заключениям.
Оптимальная РЭСУ представляет собой многоконтурную систему, в ко-
торой можно выделить несколько видов контуров. Первый вид конту-
ров, образуемых в процессе формирования в (3.61) невязок z-Hx, ти-
пичен для оптимальных (квазиоптимальных) фильтровых систем. Число
ООС в таких контурах зависит от числа измеряемых фазовых коорди-
нат. Второй вид контуров образуется цепями, которые замыкаются
через заданную часть в процессе отработки xyi управляемых координат.
Третий вид реализуется в процессе вычисления ошибок управления
хг-ху, используемых при формировании оптимального сигнала управ-
ления и. Число ООС в контурах второго и третьего вида определяется
размерностью вектора ху . Четвертый вид контуров замыкается цепями,
по которым из регулятора в фильтр поступают комбинированные сиг-
налы Ви коррекции, которые учитывают все оцениваемые фазовые ко-
ординаты. Число этих сигналов зависит от размерности вектора и.
Являясь более сложными по сравнению с одноконтурными сис-
темами, многоконтурные РЭСУ обладают рядом существенных досто-
инств. К ним, прежде всего, можно отнести возможность одновремен-
ного обеспечения высокой точности и хорошей устойчивости системы в
целом, высокой надежности и помехоустойчивости и меньшей чувстви-
тельности к точности выдерживания параметров РЭСУ и изменению
условий функционирования. Первая особенность достигается за счет
распределения функций по обеспечению точности и устойчивости меж-
ду различными контурами. Обычно высокая точность обеспечивается
контурами фильтра (информационными контурами), а устойчивость -
контурами регулятора (контурами управления), в которых сигнал управ-
ления и формируется с учетом ошибок xTi -xyi (i = l,n) по всем фазо-
вым координатам. Высокая надежность и помехоустойчивость достига-
ются благодаря большой избыточности информации об одних и тех же
физических величинах в виде фазовых координат хт, ху, результатов
измерений z и оценок хт, ху . Меньшая чувствительность к точности
выдерживания параметров и изменению условий функционирования
гарантируется большим числом самых разнообразных ООС и корректи-
рующих сигналов.
ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ РЭСУ
4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Система считается устойчивой, если после выведения из положе-
ния равновесия малыми возмущениями, она самостоятельно возвра-
щается в исходное состояние. Под положением равновесия понимается
невозмущенная фазовая траектория, определяемая однородной частью в
общем случае нелинейных уравнений состояния с переменными коэф-
фициентами.
Если эволюции многомерной системы описываются линейными
векторно-матричными уравнениями (2.13), то ее устойчивость не зави-
сит от воздействий управляющих сигналов и и возмущений и опреде-
ляется решением однородного уравнения
x(t) = F(t)x(t). (4.1)
Наиболее прост анализ на устойчивость для линейных стацио-
нарных систем. Поэтому в дальнейшем элементы матриц F и В в (2.13)
и (4.1) полагаются постоянными. В общем случае решение таких систем
определяется линейной комбинацией экспонент x(t) = .
i=0
Чтобы решение (4.1) было асимптотически (при t—>оо) устойчи-
вым, необходимо и достаточно существования отрицательных вещест-
венных частей у корней уравнения [50]
det[F-XjE]=det Tn А ^21 ^12 ^22 f2n = 0. (4-2)
. fnl fn2 fnn “ _
— —
Здесь fjj (i = l,n, j = l,n)- элементы матрицы F; E - единичная
матрица; - собственные значения матрицы F, которые в общем случае
представляют комплексные числа. Раскрыв по известным правилам
определитель (4.2), можно получить характеристическое уравнение п-ой
степени относительно
A)=det[F-XiE]=f0X1’ +flX,r1 + f2^2 + -+fn-A +fn =«> (4-3)
где f0...fn формируется на основании коэффициентов матрицы F. По
уравнению (4.3) либо непосредственно вычисляют корни Х, численными
методами, либо проводят анализ, используя известные критерии устой-
чивости [40, 50].
При анализе систем небольшой размерности широко использует-
ся критерий Рауса-Гурвица. В соответствии с этим критерием из коэф-
фициентов f, уравнения (4.3) составляется матрица по определителю
’Ц f3 | f5 | f7 | 0
fo f2 | f4 | I 0
An=det 5 f> Ц Ц - ° , (4.4)
o fo f2 U 0
0 0 0 0 ... fn
которой и анализируется устойчивость. Определитель (4.4) строится по
следующему правилу. На главной диагонали сверху вниз размещаются
все коэффициенты (4.3) в порядке возрастания номера индекса, начиная
с fi. Все столбцы относительно диагональных членов заполняют вверх
коэффициентами Г, в порядке возрастания их номера, а вниз - в порядке
убывания. На местах коэффициентов с номерами i>n и i<0 проставля-
ются нули.
Для обеспечения устойчивости динамической системы (4.1) не-
обходимо и достаточно, чтобы все определители диагональных миноров
низшего порядка, очерченных в (4.4) штриховыми линиями, имели зна-
ки, одинаковые с f0. Сказанное означает, что при f0>0 должны выпол-
няться неравенства
Jfi f3
Aj = f| > 0, A2 = det
fl
fo f2J
>0, Л3 = det f0
0
f3
f2
fi
f5‘
f4
f3.
(4-5)
и T. Д.
Дискретная система управления (2.20) считается устойчивой то-
гда, когда для любого момента дискретизации корни характеристиче-
ского уравнения
det[O(k,k-l)-EZi]=0, (4.6)
где z - аргументы Z-преобразований, лежат внутри круга с единичным
радиусом.
Если исследуемые системы нестационарны, то в зависимости от
характера изменения их параметров выходные сигналы могут изменять-
ся неограниченно долго даже при постоянных входных воздействиях.
Это объясняется тем, что параметрические цепи в отличие от линейных
с постоянными параметрами обладают способностью «размножать»
спектр входных воздействий. Появление в выходных сигналах новых
гармоник, не содержащихся в спектре входных воздействий, и обуслов-
ливает неустановившийся характер выходных сигналов. Поэтому ис-
пользование признаков асимптотической устойчивости для анализа
нестационарных систем в общем случае теряет смысл. Существующие
точные методы исследования устойчивости нестационарных систем
довольно сложны [50]. Поэтому на практике пользуются приближенны-
ми методами.
Наиболее распространен метод «замороженных» коэффициентов
[50], который применяется тогда, когда время работы системы ограни-
чено, а ее изменяющиеся параметры дифференцируемые функции вре-
мени. Суть метода состоит в том, что весь временной интервал O...tK
работы системы разбивается на отдельные промежутки At, в пределах
которых параметры системы можно приближенно считать постоянны-
ми. Затем для каждого из временных интервалов At используется любой
из известных критериев устойчивости. Если условия устойчивости со-
блюдаются для всех выделенных промежутков At, то нестационарная
система управления считается устойчивой на всем рабочем интервале
O...tK. Следует подчеркнуть, что полученные при этом результаты не
вполне достоверны, поскольку сам метод замороженных коэффициен-
тов не имеет математического обоснования.
Если исследуется РЭСУ с известной динамической структурной
схемой, позволяющей определить передаточную функцию замкнутой
системы, то для анализа устойчивости также можно применять крите-
рий Рауса-Гурвица (4.5). Этот критерий применяется для характе-
ристического полинома (знаменателя) передаточной функции замкну-
той системы, который представляется в виде степенного ряда (4.3) с
заменой в нем собственных значений X, оператором дифференцирова-
ния p=d/dt, либо аргументом s преобразований Лапласа. Необходимо
подчеркнуть, что в многомерных системах такие передаточные функции
должны составляться от каждого входа к каждому выходу.
Устойчивость оптимальных РЭСУ, содержащих оптимальные фи-
льтры, идентификаторы и оптимальные регуляторы, зависит от устой-
чивости как фильтров и идентификаторов, так и регуляторов. Принимая
во внимание, что в процессе проектирования РЭСУ оптимальные фи-
льтры, идентификаторы и регуляторы достаточно часто синтезируются
независимо друг от друга, устойчивость контуров фильтрации, иденти-
фикации и управления (регулирования) будет рассматриваться раздельно.
4.2. УСТОЙЧИВОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ
ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
Линейный оптимальный фильтр представляет собой нестацио-
нарную динамическую систему с обратными связями по наблюдаемым
фазовым координатам (п. 3.6.1). В связи с этим устойчивость фильтров
Калмана можно оценивать по любому из критериев, применяемых для
линейных нестационарных систем. Для определенности в дальнейшем
будем полагать, что процессы наблюдения и состояния характеризуются
соответственно уравнениями (2.16) и (2.13), регулятор функционирует
по закону (3.35), а фильтр - по закону (3.61). Подставляя (3.35) в (3.61),
будем иметь модель контура фильтрации в виде векторно-матричного
уравнения:
i = Fx - BK'1BTQ1x + Кф (z - Нх)= F,x + K(|)z , (4.7)
в котором
Fi = F - BrtQ! - КфН - (4.8)
динамическая матрица собственной фазовой траектории, а Кфг - внеш-
нее воздействие. Подставляя (4.8) в (4.2), получаем
det[F1-XiE]=O. (4.9)
Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (4.7) необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени корни урав-
нения (4.9) имели отрицательные вещественные части. При соблюдении
условия наблюдаемости (2.23), (2.25) фильтр Калмана будет асимптоти-
чески устойчив [43, 47]. В таких условиях фильтр теоретически обеспе-
чивает получение сходящейся оценки х, для которой характерно уме-
ньшение во времени дисперсий (3.63) ошибок фильтрации от их наи-
больших первоначальных значений Dh(0) до наименьших в установившем-
ся режиме. Однако практика свидетельствует о том, что в фильтрах Калма-
на, для которых теоретически выполняется условие наблюдаемости, может
иметь место явление расходимости. Под расходимостью понимается
значительное превышение реальными дисперсиями ошибок фильтрации
того их уровня Dn, который был предсказан теоретически соотноше-
ниями (3.63). На рис. 3.2 сплошными линиями, дающими представление
о возможных изменениях дисперсий в ходе фильтрации, отображается
процесс сходимости, а пунктирными - эволюции реальных дисперсий в
процессе формирования расходящихся оценок.
Основными причинами расходимости являются: неточности исход-
ных моделей (2.13) и (2.16), используемых при синтезе фильтров; отсутст-
вие точной априорной информации о законах распределения и спектраль-
ных плотностях возмущений, сопровождающих оцениваемые процессы и
наблюдения; отсутствие точной информации об априорной статистике х (0)
и D(0) начальных условий, используемых при реализации алгоритмов оце-
нивания; ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты Кф
(3.62), (3.63) и реализуют сам процесс фильтрации.
На примере аналогового линейного оптимального фильтра про-
анализируем особенности функционирования, которые непосредствен-
но влияют на его устойчивость и могут привести к расходимости фор-
мируемых оценок. При этом будем полагать, что имеют место все пере-
численные причины, способствующие появлению расходимости. Сле-
дует отметить, что полученные при этом выводы имеют смысл и для
дискретных фильтров.
Упомянутые особенности функционирования обусловлены: на-
личием ООС только по наблюдаемым фазовым координатам; зависимо-
стью корректирующего влияния невязки z - Нх на оценку х от точно-
сти фильтрации; усилительными свойствами и точностью устройств,
формирующих наблюдаемый процесс; формой принимаемых радиосиг-
налов; размерностью фильтра и продолжительностью его работы. Пер-
вая особенность предопределяет тенденцию фильтра к расходимости,
когда число m наблюдаемых параметров меньше числа N оцениваемых
координат. Отсутствие в фильтре N-m ООС при наличии ошибок вы-
числителей может привести к неустойчивости.
Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим гипотетический
фильтр, предназначенный для оценки расстояния Д между двумя дви-
жущимися объектами, их радиальных скорости Vp и ускорения jp. При
этом будем полагать, что взаимное перемещение объектов соответству-
ет модели равноускоренного движения, т.е.
A = Vp, Vp=jp, jp=0.
(4.Ю)
Наблюдаемый процесс
Д„=ДЧд, (4.11)
где - белый шум с односторонней спектральной плотностью Сд, форми-
руется РЛС в режиме автосопровождения. Будем считать, что заданные
распределения начальных условий (4.10) соответствуют требованиям, вы-
полнение которых необходимо для корректного синтеза фильтра. Началь-
ные условия для матрицы D (3.63) задаются в общепринятом виде:
Dl !(0У0, D22(0>0, D33(0y0, D|2(0)=D21(0)=0, D13(0)=D31(0)=0,
В2з(0)=Э32(0)=0. Здесь Du, D22 и D33 - дисперсии ошибок оценивания даль-
ности, скорости и ускорения, a Dy (i/j) - взаимные дисперсии ошибок
фильтрации соответствующих координат. С учетом (4.10), (4.11) и (3.62)
все матрицы, необходимые для определения критерия наблюдаемости
(2.25) и формирования характеристического полинома (4.9), имеют вид:
0 1 o' T Du D|2 Dl3
F = 0 0 1 ; н; = 0 ; D = D2I ^22 D23 ’ (4-12)
0 0 0 0 D3| D32 D33
= [2D,,/G A 2D21/G4 2D31/Gj
где матрица D задана в общем виде. Тогда в соответствии с (2.25):
Н’д |fth;| Нн;
1 о о
0 1 о
0 0 1
(4.13)
Поскольку ранг матрицы (4.13) равен размерности оцениваемого
процесса (4.10), то этот процесс является полностью наблюдаемым, а
синтезированный на основе (4.10) и (4.11) фильтр асимптотически ус-
тойчивым. Структурная схема этого фильтра, полученная на основе
использования (4.12) в (3.61), приведена на рис. 4.1. Проверим устойчи-
вость фильтра, используя условие (4.9) с учетом того, что в (4.10) отсут-
ствует управление. Подставляя (4.12) в (4.8) и (4.9), получим
det[F1-XiE] = det
-2D11/GJl-Xi
-2D21/Ga
-2D3./G,
1 0
Л 1
0 -Xj
= 0.
Отсюда вытекает характеристическое уравнение
М + 2D, /Од +2D2|Xj /G, + 2D31 /Сд = 0. (4.14)
Рис. 4.1
Принимая во внимание начальные условия D2i(0)=0 и D3i(0)=0,
на основании (4.14) можно утверждать, что, несмотря на выполнение
условия наблюдаемости (4.13), синтезируемый фильтр может быть не-
устойчивым, если в начальные моменты времени в результате ошибок
вычислителей вместо D2i(t) >0 и D31 (t)>0 будут иметь место значения
D21(t)<0 и D31(t)<0. Изменение знака D2i и D3i в первую очередь приве-
дет к ошибкам оценивания jp и Vp. Отсутствие ООС по этим координатам
(см. рис. 4.1) может сопровождаться существенными ошибками оценивания
дальности за счет смены знака корректирующих сигналов, поступающих на
сумматоры. В результате увеличатся невязки Ди - Д, ошибки оценивания
ускорения и скорости и т.д.. Очевидно, что тенденцию фильтра к расходи-
мости можно ослабить, увеличив число наблюдаемых координат. Такой
прием, приводя к увеличению числа обратных связей, улучшает компенса-
цию погрешностей работы фильтра, в том числе и обусловленных неточно-
стью функционирования вычислителей. Необходимо подчеркнуть, что
наличие в (3.61) корректирующего сигнала Ви, предопределяемого ис-
пользованием сигнала управления и, также улучшает устойчивость и
снижает тенденцию к расходимости за счет уменьшения в (4.14) числа
коэффициентов, близких к нулю, которые наиболее критичны к точно-
сти работы вычислителя. Коррекция коэффициентов вызывается нали-
чием в (4.8) и (4.9) слагаемого BK^B^Qj .
Вторая особенность связана с тем, что в фильтре Калмана, обла-
дающем наивысшей теоретической точностью в установившемся режи-
ме (наименьшими дисперсиями ошибок фильтрации), осуществляется
наименее действенная коррекция результатов прогноза F х +Ви обнов-
ляющим процессом z-H х . Это обусловлено тем, что в установившемся
режиме коэффициенты матрицы Кф принимают свои наименьшие зна-
чения. Если во время работы фильтра ошибки прогноза F х +Ви, кото-
рые накапливаются в процессе интегрирования, начнут превышать по-
правки, вносимые невязкой, то реальные ошибки фильтрации будут
увеличиваться. Следовательно, фильтр может расходиться, несмотря на
выполнение условий (2.25) и (4.5). Рассмотренная особенность проявляется
в наибольшей мере тогда, когда в процессе синтеза не учитываются шумы
х в уравнениях состояния. Если Gx=0, то при t—коэффициенты матрицы
D (а соответственно и Кф) стремятся к нулю, и фильтр вообще перестает
реагировать на поправки обновляющего процесса. В структурном плане это
адекватно размыканию цепей ООС по наблюдаемым координатам и воз-
никновению неустойчивости. Данное утверждение может быть проиллюст-
рировано на примере уравнения (4.14) при Dn(^)=0.
Из проведенного анализа следует, что тенденция фильтра к рас-
ходимости наиболее сильна при малых значениях коэффициентов Dy
матрицы D (3.63). По времени это соответствует начальному этапу ра-
боты и функционированию в установившемся режиме. Наличие ошибок
вычислителей при достаточно малых значениях коэффициентов матри-
цы D может привести к потере ее неотрицательной определенности. В
структурном плане это соответствует замене ООС на положительные, что и
предопределяет возможность формирования расходящихся оценок. Необ-
ходимо отметить, что ошибки вычислителей особенно сильно сказываются
при достаточно больших шагах интегрирования (интервалах дискретиза-
ции), сравнимых с постоянными времени процесса оценивания (4.7).
Еще одним последствием неточностей вычислителей, которое
может привести к усилению расходимости, является нарушение сим-
метрии матрицы D в процессе вычисления ее коэффициентов.
Состав, усилительные свойства и точность устройств наблюдения
также существенно влияют на устойчивость фильтров Калмана. Не-
удачно подобранный состав измерителей (2.16), при котором не выпол-
няется условие наблюдаемости (2.25), приводит к неустойчивости и
расходимости фильтра. Для иллюстрации этого утверждения рассмот-
рим еще раз пример (4.10) синтеза фильтра при условии, что вместо
дальности доплеровским измерителем наблюдается скорость
Vp„=Vp+^v. (4.15)
Наблюдение сопровождается случайными погрешностями в
виде белого шума с односторонней спектральной плотностью Gv. В
такой ситуации модуляционная матрица принимает вид
Hv =[0 1 0]. (4.16)
Учитывая (4.10) и (4.16), найдем матрицу (2.25) наблюдаемости
"0 0 01
[0 1 0
ранг которой меньше размерности вектора состояния (4.10). Получен-
ный результат свидетельствует о том, что по наблюдению (4.15) нельзя
получить оценки всех компонент процесса (4.10).
При использовании (4.10) и (4.15) матрица коэффициентов Кф
(3.62) вырождается в вектор столбец
K(|)v = [2D12/Gv 2D22/Gv 2D32/Gv]',
а характеристический полином, вытекающий из (4.9), имеет вид
X?+2D22X:?/Gv+2D32Xi/Gv =0. (4.17)
Наличие нулевого корня в (4.17) свидетельствует об отсутствии
устойчивости синтезированного фильтра.
О влиянии усилительных свойств (Н) и точности устройств на-
блюдения (GH) на расходимость линейных оптимальных фильтров мож-
но судить непосредственно по формулам (3.61) и (3.62). Из них следует,
что увеличение коэффициентов матрицы Н и уменьшение коэффициен-
тов матрицы GH вызывают рост коэффициентов матрицы Кф, а соответ-
ственно и корректирующего влияния невязки на результаты прогноза
Fx+Bu. Усиление коррекции позволяет в большей степени компенси-
ровать неточности моделей, априорной статистики и используемых
вычислителей.
Если наблюдаемый процесс - радиосигнал up(t), то значения эле-
ментов матрицы Н будут определяться производной 3up[x(t),t]/3x(t)
[29]. Тогда при прочих равных условиях корректирующее влияние об-
новляющего процесса будет возрастать при уменьшении протяженности
сигнала по оцениваемым координатам. Кроме того, при этом повышает-
ся точность наблюдения сигнала [56]. Данное обстоятельство также
приводит к снижению склонности фильтра к расходимости. Однако
уменьшение протяженности сигнала по оцениваемому параметру при-
водит к уменьшению ширины -Aximax...Aximax линейного участка (см. рис.
3.3) дискриминационных характеристик в следящих радиоэлектронных
системах. Это обстоятельство увеличивает вероятность потери устойчи-
вости РЭСУ из-за срыва сопровождения цели вследствие выхода рабо-
чей точки за пределы линейного участка дискриминационной характе-
ристики.
Влияние размерности вектора состояния (2.13) на устойчивость и
расходимость фильтров Калмана также противоречиво. С одной сторо-
ны, увеличение размерности для повышения точности соответствия
модели (2.13) реальным условиям работы фильтра приводит к повыше-
нию устойчивости и снижению тенденции к расходимости за счёт уве-
личения точности оценивания. С другой стороны, такая модель стано-
вится более привязанной к конкретным условиям работы и более чувст-
вительной к их изменениям. Последнее особенно важно для РЭСУ, ко-
торые работают при резко изменяющихся условиях, связанных с изме-
нением помеховой обстановки, условий распространения радиоволн,
характеристик источников сообщений и тактических условий примене-
ния. Кроме того, возрастание размерности вектора состояния без соот-
ветствующего увеличения числа наблюдаемых координат усиливает
тенденцию к расходимости из-за относительного уменьшения числа
ООС. Данное обстоятельство проявляется наиболее сильно при мало-
информативных матрицах F, содержащих много нулей. Необходимо
также отметить, что при возрастании размерности уравнения состояния
синтезируемого фильтра резко повышаются ошибки вычислителей и
усиливается тенденция к расходимости.
Рассмотренная первоначальная расходимость, обусловленная ошиб-
ками формирования взаимных дисперсий, обычно проявляется лишь у
фильтров высокой размерности с малым числом наблюдаемых сигналов
при наличии большой неопределенности априорной статистики. На прак-
тике чаще приходится сталкиваться с расходимостью фильтров Калмана
116
в установившемся режиме работы, особенно при высокой размерности
модели состояния с низким уровнем формирующих возмущений ^х.
Продолжительность работы фильтра также может повлиять на
его устойчивость. Можно предположить, что с увеличением времени
работы фильтров Калмана будет возрастать тенденция к их расходимо-
сти. Правомерность такого предположения подтверждается уменьшени-
ем корректирующего влияния невязки и накоплением ошибок вычисли-
телей по мере возрастания продолжительности работы фильтров.
В заключение отметим, что все рассмотренные причины расхо-
димости имеют смысл и для нелинейных оптимальных фильтров, кото-
рые, по сравнению с линейными, обладают еще более высокой склонно-
стью к расходимости, обусловленной, в частности, их способностью к
самовозбуждению.
4.3. ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ РАСХОДИМОСТИ
ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
В общем случае для уменьшения склонности оптимальных (ква-
зиоптимальных) фильтров к расходимости необходимо повышать точ-
ность используемых моделей и вычислителей, априорной статистики
возмущений и начальных условий, увеличивать число наблюдаемых
координат и уменьшать время работы.
Особенностью РЭСУ является их функционирование при высо-
кой неопределенности априорных сведений о начальных условиях алго-
ритмов фильтрации (3.61)-(3.63) или (3.68)-(3.72), имеющих место в
момент обнаружения (первого наблюдения) сигналов. В простейшем
случае х, (0) и Пи(0) выбираются по правилам, определяемым соотно-
шениями (3.66) и (3.67). Необходимо отметить, что выбор начальных
условий по этим формулам может привести к несоответствию началь-
ных значений функционально связанных переменных. Это предопреде-
ляет наличие в фильтре дополнительных переходных процессов и уси-
ление тенденции к расходимости. Для уменьшения влияния неопреде-
ленности априорной статистики на работу фильтров можно использо-
вать в качестве начальных значений наблюдаемых координат результа-
ты первых измерений Zj(O), пересчитанных к Xj(O) на основе детермини-
рованных связей уравнений наблюдения (2.16), (2.21). В такой ситуации
значения Djj(O) для этих координат будут определяться пересчитанными
значениями дисперсий погрешностей измерений. Значения х, (0) и
Djj(O) для остальных фазовых координат можно найти путем численного
дифференцирования результатов измерений на первых тактах наблюде-
ний с учетом моделей состояния. Для уменьшения величины ошибок
численного дифференцирования можно рекомендовать алгоритмы
сглаживания, например, на основе интерполяционного многочлена Ла-
гранжа. Эти алгоритмы, приводя к некоторому усложнению фильтра и
запаздыванию начала фильтрации на время вычисления начальных ус-
ловий, позволяют улучшить сходимость оценок за счет лучшего согла-
сования начальных условий функционально связанных координат.
Действенными способами ослабления влияния ошибок вычисли-
телей на сходимость процессов оценивания являются уменьшение шага
интегрирования (интервала дискретизации в дискретных фильтрах) и
уменьшение числа уравнений (3.65), решаемых в процессе синтеза и
функционирования фильтров.
При отсутствии других ограничений шаг интегрирования (интер-
вал дискретизации) At целесообразно выбирать, исходя из условия Ко-
тельникова
At<O,5TK (4.18)
для процессов состояния с высоким уровнем шумов возмущений, либо
из правила
△t<O,5TM (4.19)
для малошумящих моделей, где тк - интервал корреляции модели со-
стояния, а Тм - период повторения максимальной гармоники, входящей
в состав спектра процесса состояния.
Необходимо отметить, что уменьшение N! (3.65) путем использо-
вания более грубых исходных моделей (2.13) и (2.20) меньшей размер-
ности может значительно ухудшить точность оценивания и усилить
тенденцию к расходимости из-за большого несоответствия выбранной
модели реальным условиям функционирования. Ухудшение точности
фильтрации, обусловленное уменьшением размерности вектора состоя-
ния, можно оценить по алгоритмам чувствительности, рассмотренным в
6.3 [47, 54].
Число решаемых уравнений можно существенно уменьшить,
применив метод декомпозиции, называемый иногда методом расщеп-
ленного фильтра, т.е. разбить исходный вектор состояния (2.13) на не-
сколько подвекторов Xj, для каждого из которых синтезируется свой
оптимальный фильтр. Такой прием, не снижая общей размерности век-
тора х, позволяет сократить число уравнений (3.63) для вычисления
матриц дисперсий Dj ошибок оценивания подвекторов Xj. Если в состав
исходного вектора состояния входят группы функционально независи-
мых координат, то осуществлять декомпозицию нетрудно. Для расщеп-
ления исходного фильтра большой размерности на несколько фильтров
меньшей размерности при функционально связанных координатах тре-
буются достаточный опыт и, в конечном счете, перебор вариантов де-
композиции методом проб и ошибок.
Как было отмечено в 4.2, состав наблюдаемых координат, определяя
в синтезируемом фильтре число ООС, характеризует его склонность к не-
устойчивости. Минимальное число наблюдаемых параметров, необходи-
мых для формирования оценок всех фазовых координат, можно определить
по критерию наблюдаемости (2.25). Число наблюдаемых координат можно
увеличить, используя нетрадиционные для алгоритмов фильтрации инер-
ционные формирователи наблюдаемых параметров и устройства наблюде-
ний с коррелированными шумами. До недавнего времени применение та-
ких устройств наблюдения ограничивалось резким возрастанием числа
уравнений (3.63) в алгоритмах оптимальной фильтрации. Увеличение объ-
ема вычислений обусловливалось необходимостью расширения вектора
состояния за счет включения в его состав дополнительных фазовых коор-
динат, учитывающих динамику «окрашенных» шумов и инерционных
наблюдений. Однако современные алгоритмы фильтрации, основанные на
переходе к новым, искусственно формируемым измерениям, позволяют
учесть инерционность измерителей и коррелированность их шумов без
расширения вектора состояния [30,47].
Еще одним способом уменьшения склонности фильтров к расхо-
димости является применение более информативных устройств наблю-
дения, матрицы Н которых содержат меньшее число нулей. К таким
устройствам, в частности, относятся датчики, позволяющие одновре-
менно наблюдать линейную комбинацию оцениваемых параметров
N
Zj = £hijxj+^ij.
i=l
Такие наблюдатели способствуют усилению корректирующего
влияния обновляющего процесса за счет более полного учета в матри-
цах D и Кф внутренних детерминированных связей, заложенных в оце-
ниваемом процессе.
Большинство методов устранения расходимости основано на раз-
личных способах адаптивной коррекции в (3.61) коэффициентов матри-
цы Кф (3.62). В общем плане эти способы можно подразделить на эври-
стические (программные), полуавтоматические и автоматические. К
эвристическим относятся приемы изменения коэффициентов матрицы
Кф без использования информации о текущем состоянии фильтра. Это
прежде всего:
ограничение снизу коэффициентов матрицы Кф на уровне Кфут!п,
при котором корректирующие сигналы невязки заведомо превышают
уровень ошибок прогноза Fx +Bu состояния системы (рис. 4.2, а);
периодическое прекращение процесса уменьшения кфу и возвра-
щение к исходным значениям кфу(0) спустя время Тв (рис. 4.2, б);
коррекция Кфу(О) за счет использования ненулевых начальных
значений Djj(O) матрицы D(0) (3.63).
Следует отметить, что первые два способа используются для уст-
ранения расходимости фильтров в установившемся режиме, связанной
со снижением корректирующего влияния обновляющего процесса. По-
следний эффективен только в начальные моменты работы фильтра.
к*.. .
ij mm
а) б)
Рис. 4.2
При отсутствии сведений о неточностях выбранной модели (2.13)
и ошибках вычислителей уровень ограничения Кфц,™п и период Тв возоб-
новления первоначального закона изменения коэффициентов Кфу зави-
сят от опыта и интуиции исследователя. Если известна информация о
погрешностях вычислителей в виде спектральных плотностей (диспер-
сий) ошибок вычислений, то матрица спектральных и взаимных спек-
тральных плотностей этих ошибок включаются в состав уравнения
(3.63) в виде дополнительного слагаемого. За счет этого увеличиваются
значения Кф^ в установившемся режиме, а соответственно, и вес коррек-
120
ции обновляющего процесса. Достаточно эффективным приемом, по-
зволяющим устранить расходимость фильтров в начальные моменты их
функционирования, является использование ненулевых начальных зна-
чений Djj(OyO взаимных дисперсий матрицы D (3.63). Конкретные зна-
чения Djj(O) выбирают, исходя из выполнения соотношений (4.5). Так, в
примере, для которого исходные модели имеют вид (4.10) и (4.11), пер-
воначальная расходимость устраняется при выполнении условий
D31(0)>0, D2i(0)>D3i(0)Ga/2D||(0), полученных путем использования
критерия Рауса-Гурвица для характеристического полинома (4.14). Сле-
дует также обратить внимание на то обстоятельство, что введение нену-
левых начальных взаимных дисперсий может быть использовано для
управления временем переходных процессов фильтра.
На практике широко распространен алгоритм получения практи-
чески нерасходящихся оценок на базе так называемой S-модификации
оптимального фильтра [29]. В дискретном варианте указанный алгоритм
отличается от общепринятого лишь выражением для матрицы (3.72),
используемой в виде (3.116), в которой весовой коэффициент SB=1... 1,4
подбирается в процессе моделирования фильтра. Наряду с изменением
коэффициентов матрицы Кф за счет изменения D(k,k-1) (3.116) для
предотвращения расходимости можно искусственно увеличивать и сам
обновляющий процесс (невязку), например задержкой на некоторое
время результатов прогноза наблюдений Н х .
Необходимо подчеркнуть, что все рассмотренные программные
способы предотвращения расходимости одновременно ухудшают точ-
ность оценивания по сравнению с теоретически расчетными значениями
матрицы D. Поэтому все эти методы целесообразно использовать лишь
тогда, когда фильтр действительно начинает расходиться. Задача полу-
чения информации о текущем состоянии процессов сходимости решает-
ся полуавтоматическими методами, которые отличает наличие крите-
рия, применяемого для констатации факта расходимости. Одним из
наиболее распространенных критериев оценки текущей расходимости
дискретных фильтров является неравенство (3.117).
Методы автоматического устранения расходимости основаны на
дополнительной оценке текущих параметров F (Ф), В, Н, Gx (Dx) и GH
(Dn) в моделях (2.13), (2.16) и (2.20), (2.21) современными методами
идентификации (адаптации) (см. 3.6.3, 3.7.1). Уточнение коэффициентов
всех матриц исходных моделей позволяет учесть их текущие изменения
в алгоритмах вычисления прогноза, коэффициентов матрицы Кф и са-
мой невязки. Это дает возможность существенно снизить тенденцию к
расходимости фильтров, обусловленную несоответствием используе-
мых моделей текущим условиям функционирования. Однако такой
подход [54], давая наивысшую точность фильтрации, требует значи-
тельного усложнения алгоритмов оценивания. Поэтому на практике для
устранения расходимости чаще используют методы, основанные на
текущем контроле сходимости с автоматическим изменением степени
коррекции матрицы Кф по результатам анализа невязки (см. 3.7.2) и
текущей коррекции прогноза (см. 3.7.3). Следует подчеркнуть, что все
эти приемы могут быть использованы для предотвращения расходимо-
сти и алгоритмов аналого-дискретной фильтрации (3.8).
4.4. УСТОЙЧИВОСТЬ
ОПТИМАЛЬНЫХ КОНТУРОВ УПРАВЛЕНИЯ
Устойчивость оптимальной РЭСУ зависит от устойчивости как ин-
формационного контура, в котором формируются оптимальные оценки, так
и контура управления, в котором формируются управляющие сигналы и
осуществляется их отработка исполнительными органами. Особенности
устойчивости информационного контура были рассмотрены в 4.2. Поэтому
основное внимание уделим вопросам устойчивости контура управления
(регулирования) в предположении, что фильтры работают устойчиво и с
высокой точностью, то есть хт =хт, ху =ху. Кроме того, допустим, что этот
контур состоит из заданной части (2.7) и регулятора, формирующего сигнал
управления (3.35), оптимальный по минимуму локального критерия (1.5).
Выбор управления (3.35) обусловлен чисто методическими соображениями
обеспечения простоты анализа. Следует подчеркнуть, что полученные в
процессе этого анализа выводы будут справедливы и для регуляторов, оп-
тимизированных по другим квадратичным функционалам качества.
В общем случае РЭСУ обладают рядом особенностей, которые
непосредственно влияют на устойчивость контуров управления. К этим
особенностям относятся:
наличие регуляторов практически на всех уровнях иерархической
структуры РЭСУ от управления летательным аппаратом и до функцио-
нирования первичных датчиков информации (например, радиоэлек-
тронных следящих угломеров и автоселекторов дальности и скорости);
ограниченные диапазоны изменения интенсивностей радиосигна-
лов и их информативных параметров, в пределах которых РЭСУ либо ее
составные части могут считаться линейными;
нестационарный (в общем случае) характер синтезированных оп-
тимальных РЭСУ;
возможность создания ООС по всем управляемым координатам.
Наличие оптимальных регуляторов на разных уровнях иерархи-
ческой структуры РЭСУ приводит к зависимости устойчивости подсис-
тем более высокого уровня от устойчивости систем более низкого уров-
ня. Например, срыв автоматического сопровождения цели по направле-
нию, обусловленный потерей устойчивости контура управления антен-
ной угломера, как правило, приводит к нарушению управления лета-
тельным аппаратом в процессе наведения. Причина этого состоит в
потере всей информации, извлекаемой ИВС РЭСУ из радиосигналов. В
структурном плане это адекватно разрыву цепей, по которым в подсис-
темы более высокого уровня поступают информация о хт и корректи-
рующие сигналы от подсистем более низкого уровня (датчиков).
Все основные алгоритмы функционирования оптимальных регуля-
торов основаны на линейных представлениях о РЭСУ. Отсюда следует, что
полученные алгоритмы управления будут оптимальными лишь при соот-
ветствии этих представлений условиям применения. Необходимо подчерк-
нуть, что радиоэлектронные датчики можно считать линейными лишь при
достаточно больших отношениях энергии сигнала к спектральной плотно-
сти шумов в определенном интервале изменений интенсивностей и инфор-
мативных параметров обрабатываемых радиосигналов.
Под информативными параметрами понимаются амплитуда, часто-
та, фаза и время запаздывания отраженных сигналов, в законе изменения
которых сосредоточена информация об измеряемых фазовых координатах.
Практика эксплуатации РЭСУ свидетельствует, что возможный
динамический диапазон интенсивностей входных сигналов существенно
превышает динамический диапазон приемных устройств, ограниченный
линейным участком их амплитуд- и
ных характеристик (рис. 4.3). Вы-
ход сигналов за пределы линейно-
го участка амплитудной характери-
стики приводит к утрате информа-
ции о хт. В свою очередь, это адек-
ватно размыканию цепей, по кото-
рым сведения о хт поступают в
регулятор и, соответственно, к по-
тере его устойчивости. Аналогич-
ные последствия имеют место и при
перегрузке приемника под действием помех, и при пропадании сигналов за
счет амплитудных шумов.
Приращения информативного параметра сверх рабочего участка
дискриминационных характеристик чувствительных элементов РЭСС
также может привести к потере ее устойчивости (срыву слежения) [18,
37]. На рис. 3.3 показан примерный вид дискриминационной
характеристики Auj=f(Axj), определяющей зависимость j-ro сигнала
управления от изменения ошибки слежения по i-й координате. Из нее
видно, что при выходе возрастающей текущей ошибки Axj за пределы
рабочего участка -Aximax...Aximax управляющие сигналы (3.35) будут не
увеличиваться, а уменьшаться. В результате вид обратной связи по ко-
ординате Xi может измениться с отрицательной на положительную, что
и обусловит потерю устойчивости РЭСС.
Нестационарный характер РЭСУ может быть обусловлен не толь-
ко наличием переменных во времени коэффициентов, но и мульти-
пликативными помехами вследствие нестабильности распространения и
отражения радиоволн. Дальнейший анализ устойчивости РЭСУ прово-
дится в предположении, что выполняются все перечисленные в 4.1 ус-
ловия применения метода замороженных коэффициентов. Подставив
(3.35) в (2.7), получим в общем виде уравнения контура управления
Ху =Fxy +ByK1B1yQ(xr -ху)+^у =F,xy +ByK1BTyQxT +4у, (4.20)
где хт и у определяют внешние воздействия, а
F, =Fy-ByK''ByQ (4.21)
обусловливает собственную фазовую траекторию (4.20).
В соответствии с условием (4.2) для обеспечения устойчивости
системы (4.20) необходимо, чтобы для любого момента времени корни
уравнения
dct[F, -Xj Е] = 0 (4.22)
имели отрицательные вещественные части.
Из (4.21) и (4.22) следует важный вывод о возможности устойчи-
вого управления (2.7) даже при неустойчивой матрице Fy. Выбрав соот-
ветствующим образом коэффициенты штрафа матрицы Q и Кв (1.5),
можно получить такие значения элементов матрицы ByK"lByQ, кото-
рые обеспечивают отрицательные вещественные части собственных
значений F| даже при расположении корней Fy в правой полуплоскости.
Следовательно, с помощью оптимального управления можно гаран-
тировать устойчивое функционирование априори неустойчивых объек-
тов. Последнее особенно актуально при синтезе контуров радиоуправ-
ления, в состав которых входят неустойчивые кинематические звенья
[27]. Большой запас устойчивости оптимальных регуляторов обуслов-
лен тем, что уже в самом принципе синтеза заложен штраф за отклоне-
ние управляемых координат ху от их требуемых значений хт независимо
от причин их возникновения. В структурном плане это проявляется в
наличии ООС по всем управляемым координатам xyi, что собственно и
обеспечивает высокую устойчивость синтезированных РЭСУ.
Кроме того, учет обратных связей по всем xyi (j = 1,п ) позволяет
реализовать устойчивое управление в существенно большем диапазоне
изменений требуемых фазовых координат, чем в системах с меньшим
числом обратных связей. Причина этого состоит в том, что при форми-
ровании сигнала управления по координате xyi по цепям остальных п-1
связей поступают сигналы коррекции, учитывающие значения ошибок
по остальным п-1 фазовым координатам.
ГЛАВА 5. ТОЧНОСТЬ РЭСУ
5.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК УПРАВЛЕНИЯ И
ПОКАЗАТЕЛИ ТОЧНОСТИ
Для оценки точности - одного из наиболее важных частных по-
казателей эффективности РЭСУ - используются мгновенные (текущие,
точечные) и интегральные показатели. В качестве мгновенных показа-
телей, характеризующих точность РЭСУ в конкретные моменты време-
ни, используются промахи и ошибки управления. Понятие промаха
было введено в 1.4.5. Допустимый промах зависит от требуемой веро-
ятности поражения цели и мощности боевой части. Так, в соответствии
с (1.20) допустимый промах ракеты определяется дисперсией
D, = Кэф(1-РрУ) (5 1)
РУ
Поскольку промах зависит от множества причин, то аналитиче-
ские выражения, позволяющие вычислить его значение, могут быть
получены лишь в процессе анализа конкретных типов РЭСУ.
Иногда для удобства анализа используют понятие текущего про-
маха. Под текущим промахом ht понимают расстояние между целью и
ОУ в плоскости рассеяния, которое имело бы место при прекращении
управления в текущий момент времени t.
Под ошибками управления (наведения) понимают вектор
Ax(t) = xT(t)-xy(t) (5.2)
разности требуемых и фактических (управляемых) фазовых координат [11,
52]. В общем случае и промахи h и ошибки управления Ax(t) являются слу-
чайными процессами. Поэтому наиболее полной характеристикой точности
РЭСУ будут их многомерные законы распределения. Следует отметить, что
ошибки управления и промахи вызваны огромным числом случайных воз-
действий. Поэтому с достаточной для практики точностью можно считать
законы распределения h и Ах гауссовскими. Поскольку определять много-
мерные законы распределения достаточно трудно, то оперировать ими в
126
качестве оценок точности неудобно. В связи с этим на практике исполь-
зуют более простые и удобные показатели точности:
вероятность того, что ошибка (промах) не выйдет за пределы до-
пустимой области;
математическое ожидание ошибки (промаха);
дисперсию ошибки управления или промаха.
Знание ошибок управления Ax(t) необходимо не только для ха-
рактеристики точности функционирования РЭСУ, но и для формирова-
ния сигналов управления, которые определяются несоответствием ху и
хт. В качестве примера можно сослаться на закон управления (3.35),
оптимальный по критерию (1.5).
Использовать текущую ошибку Ax(t) (5.2) в качестве показателя
точности неудобно по двум причинам. Во-первых, трудно сравнивать
по точности многомерные РЭСУ, если у одной из них меньшей является
ошибка Axi(t)=x, j(t)-xyi(t) (i = 1, n), а у другой - Axj(t)=xTj(t)-xyj(t)
(j = 1, n , rZg). Во-вторых, текущие ошибки управления Axj(t) являются
функциями времени. Поэтому в один момент времени tj ошибка Axj(tj)
одной системы может быть меньше, чем у другой, в то время как в мо-
мент времени j соотношение ошибок может быть иным.
Первая причина устраняется, если за оценку точности взять
взвешенную суммарную текущую ошибку управления. Наиболее часто
в качестве такого показателя используется сумма взвешенных диспер-
сий ошибок управления
Dy = M{[xT(t) - xy(t)]TQ[xT(t) - xy(t)]}, (5.3)
где коэффициенты диагональной матрицы Q определяются важно-
стью ошибок Ах; для системы в целом, а М - знак математического
ожидания.
Необходимо отметить, что показатель (5.3) по-прежнему является
функцией времени. Во избежание этого недостатка за показатель точно-
сти выбирают ошибки управления Ax(tK) на момент tK окончания управ-
ления. Ситуации, когда наступает момент времени tK, были рассмотрены
в 1.4.5. Кроме того, в качестве показателя точности РЭСУ за все время
ее функционирования можно использовать интегральную квадратичную
оценку
12 = М{ j[xT(t)-xy(t)]TL[xT(t)-xy(t)]dt} • (5.4)
О
В (5.4) L - диагональная матрица весовых коэффициентов 1», учитывающих
важность текущих ошибок Axj(t) для системы в целом. Следует подчерк-
нуть, что (5.3) и (5.4) можно использовать как независимо, так и в составе
более сложных функционалов качества, например, таких, как (1.4) и (1.5).
В общем случае в составе ошибок управления наряду со случайными
компонентами можно выделить и другие характерные составляющие. Если
при всех повторных испытаниях имеют место одни и те же ошибки, то
говорят о систематических ошибках. В зависимости от причин возникнове-
ния выделяют инструментальные, методические, субъективные и динами-
ческие ошибки управления. Инструментальные ошибки обусловлены несо-
вершенством измерителей и исполнительных органов РЭСУ, методические
- несовершенством алгоритмов функционирования ИВС. В качестве при-
мера можно привести ошибки, возникающие при наведении на маневри-
рующую цель ракеты, ИВС которой использует методы наведения, опти-
мальные для наведения на неманеврирующие объекты.
Субъективные ошибки, обусловленные индивидуальными осо-
бенностями летчика (оператора), проявляются в основном в режимах
ручного и в меньшей степени директорного управления. Для РЭСУ
характерны динамические ошибки, предопределяемые инерционностью
исполнительных устройств и самих объектов управления. Следует от-
метить, что в РЭСУ все виды ошибок существуют одновременно, по-
этому приведенная классификация ошибок условна и предназначена
лишь для упрощения анализа точности РЭСУ. Кроме того, в многокон-
турных иерархических РЭСУ все перечисленные ошибки позволяют
характеризовать точность функционирования как отдельных уровней
иерархической структуры, так и отдельных контуров, в частности ин-
формационного и контура управления.
Следует отметить, что при исследовании РЭСУ различают потен-
циальную и реальную точности. Потенциальная точность характеризу-
ется минимально возможными ошибками управления и промахами,
которые достигаются лишь теоретически. Показатели ее позволяют
судить о предельных возможностях РЭСУ. Как правило, реальные пока-
затели точности хуже потенциальных. Наиболее достоверные показате-
ли реальной точности определяют либо в процессе испытаний РЭСУ
(экспериментально), либо в процессе моделирования ее функциониро-
вания на ЭВМ во всем диапазоне возможных условий применения.
Одним из наиболее широко используемых приемов определения
дисперсий ошибок является их вычисление по формуле
Di
J J N-lk?JXTj(k) Xyj(k)l
(5-5)
где N - количество шагов в процессе испытания (моделирования) одной
реализации, a J - количество реализаций. Необходимо подчеркнуть, что
в перечне тактико-технических показателей обычно приводят реальные
показатели точности с указанием диапазона условий применения. Чаще
всего это значение динамических ошибок в установившемся режиме и
значения СКО (дисперсий) с указанием доверительного интервала веро-
ятностей.
5.2. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ
ОШИБОК УПРАВЛЕНИЯ И ПРОМАХОВ
Показатели точности управления и их зависимость от условий
применения и параметров РЭСУ можно определять лишь в процессе
анализа конкретных типов систем наведения. Тем не менее, можно вы-
делить общие причины, приводящие к появлению ошибок наведения
независимо от типа систем радиоуправления. К таким причинам можно
отнести:
несовершенство используемых методов наведения;
несоответствие динамических (маневренных) свойств ОУ и цели;
погрешности измерений и оценивания;
ошибки вычислителей;
чувствительность алгоритмов функционирования к точности вы-
держивания параметров и изменению условий функционирования.
Следует отметить, что, как правило, все перечисленные причины
действуют одновременно и могут взаимно усиливать влияние друг дру-
га на формирование ошибок управления.
5.2.1. Влияние метода наведения
И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ И ЦЕЛИ
НА ТОЧНОСТЬ НАВЕДЕНИЯ
Выбор метода наведения зависит от динамических свойств целей
и объектов управления и возможностей информационного обеспечения
этих методов. При этом, чем подвижнее управляемые объекты и цели,
тем сложнее метод наведения. Сложность метода наведения определя-
ется числом фазовых координат относительного и абсолютного движе-
ния целей и ОУ, которые необходимо оценить, чтобы сформировать
требуемую фазовую траекторию хт и необходимые для траекторного
управления параметры рассогласования. В общем случае траектория
наведения на произвольно маневрирующую цель криволинейна, по-
скольку произвольное искривление траектории цели сопровождается
определенным искривлением траектории наводимого объекта.
В практике разработки РЭСУ ограничения на состав датчиков
информации и на быстродействие и объем памяти вычислителей ИВС,
как правило, приводят к необходимости применения алгоритмов траек-
торного управления, оптимизированных на применение по неманеври-
рующим либо слабо маневрирующим целям. Наведение объектов
управления с такой ИВС на интенсивно маневрирующие цели неизбеж-
но приводит к методическим ошибкам, значения и характер изменения
которых зависят от маневренных свойств цели и ОУ.
Динамические свойства (маневренность) ЛА характеризуются
их способностью изменять свое положение в пространстве под дейст-
вием сигналов управления. Маневренные свойства летательного аппа-
рата (цели или ОУ) оцениваются’.
минимально возможным радиусом Rmjn траектории или ее макси-
мальной КРИВИЗНОЙ pmax=l/Rmin;
максимально возможными развиваемыми продольным jxmax и по-
перечными jymax, jzmax уСКОрвНИЯМИ;
инерционностью РЭСУ;
порядком производных эволюций оцениваемых в ИВС фазовых
координат (например, дальности и углов), возникающих в процессе
маневрирования ЛА.
Чем меньше Rniin и инерционность и чем больше остальные пока-
затели, тем выше маневренность цели и ОУ.
Радиус искривления траектории и максимально возможные попе-
речные ускорения ЛА без непосредственного управления подъемной
силой связаны соотношением [52]
^z,ymin /jz,углах’ (5-6)
где V - скорость цели или ОУ. Поскольку ОУ обладает конечными
значениями jz>yinax и V, то существует определенное значение Rz,ymin,
меньше которого этот ЛА реализовать не может. Поэтому, если исполь-
зуется такой метод наведения, при котором от ОУ потребуется радиус
разворота, меньший, чем это допускается соотношением (5.6), то наво-
димый объект не сможет следовать по требуемой фазовой траектории и
будет пролетать мимо цели.
Инерционность ИВС, УС и ОУ предопределяет появление в про-
цессе наведения динамических ошибок. Следует подчеркнуть, что при
этом решающим оказывается вклад наиболее инерционной подсистемы
РЭСУ - объекта управления. Динамические ошибки, в основном, обу-
словлены отставанием ОУ в отработке требуемой фазовой траектории
вследствие невозможности мгновенного изменения пространственного
положения ЛА после формирования сигнала управления. Причинами
такого отставания являются: наличие зон нечувствительности всех ви-
дов исполнительных органов РЭСУ вблизи малых значений управляю-
щих сигналов; ограниченный запас мощности управляющих и исполни-
тельных органов; опосредованное управление аэродинамическими си-
лами ЛА.
В соответствии с первой причиной исполнительные органы (на-
пример, приводы рулей ЛА) начинают изменять положение управляю-
щих устройств (рулей) только после превышения сигналами управления
определенного значения. Поскольку ОУ обладают определенной мас-
сой, то для мгновенного изменения их пространственного положения
потребовалось бы бесконечно большое усилие, чего на практике не
бывает.
Опосредованность управления аэродинамическими силами ЛА
состоит в том, что отклонения рулей не приводят к мгновенному изме-
нению подъемной или боковой аэродинамических сил, которые и изме-
няют траекторию полета. Рассмотрим это обстоятельство более подроб-
но на упрощенном примере формирования подъемной силы самолета
при традиционной аэродинамической схеме, когда рули высоты распо-
лагаются в хвостовой части ЛА.
В горизонтальном полете масса самолета G при определенном
угле атаки а уравновешивается подъёмной силой F, складывающейся из
подъемных сил крыльев FKp и руля высоты FpB (рис. 5.1, а).
При формировании команды на кабрирование руль высоты от-
клоняется вверх на угол 8рв, в результате чего его подъемная сила изме-
няет свой знак (рис. 5.1, б). В итоге общая подъемная сила F уменьша-
ется, и самолет начинает проваливаться вниз. Одновременно, за счет
пары сил FpB и FKp, он начинает разворачиваться вокруг своей оси так,
что увеличивается угол атаки. Последнее и приводит к возрастанию
подъемной силы крыла и соответственно к увеличению высоты. Эволю-
ции высоты при скачкообразном отклонении руля высоты (рис. 5.2,а)
показаны на рис. 5.2,6. Из рис. 5.2,6 видно, что фактический рост высо-
ты начинается через некоторое время t3an после отклонения рулей, а на
начальном участке маневрирования имеет место приращение высоты
ЛН, знак которого противоположен требуемому. Для тяжелых самоле-
тов t3an может достигать единиц секунд, а ЛН - десятков метров. Для
ликвидации таких не желательных последствий используют, так назы-
ваемые, органы непосредственного управления подъемной (боковой)
силой [2], функции которых выполняют интерцепторы (спойлеры), раз-
мещенные на крыле вблизи центра масс, либо передние рулевые по-
верхности при построении JIA по схеме «утка».
Эволюция высоты при использовании органов непосредственного
управления подъемной силой показана на рис. 5.2,6 штриховой линией.
Количественно инерционность РЭСУ оценивается суммарным временем
запаздывания тзап и временем регулирования tp, которые могут быть оп-
ределены по её переходным характеристикам.
На рис. 5.3 показан примерный вид переходной характеристики
РЭСУ, представляющей реакцию управляемой фазовой координаты xyj
на скачок адекватной требуемой координаты хТ1. Из рисунка видно, что
отработка требуемого значения xri фазовой координатой xyi начинается
лишь через некоторое время тзап, обусловленное наличием всех зон не-
чувствительности и спецификой управления аэродинамическими силами.
Время tp определяется как минимальное время вхождения фазовой
координаты xyi в пределы 0,95xTi<xyi< 1,05xTi. В общем случае при-
ближенно можно считать
tp=3T, (5.7)
где Т - постоянная времени системы наведения по данной координате.
Исследования [12] показали, что для устранения влияния запаздывания
ОУ на ошибки управления необходимо, чтобы его максимальные попе-
речные ускорения, по крайней мере, в два раза превосходили аналогич-
ные ускорения цели. Однако даже при таком соотношении для устране-
ния ошибок управления, обусловленных наличием тзап (см. рис. 5.3),
требуется более 2...3 с. Поэтому для системы наведения наиболее опа-
сен маневр цели за 1...2 с до встречи с ОУ.
Для того чтобы ошибки управления устранялись в процессе наве-
дения, динамические свойства РЭСУ должны соответствовать их тре-
буемым значениям, которые определяются методом наведения и дина-
мическими свойствами цели. Рассмотрим упрощенный пример наведе-
ния РЭСУ, динамические свойства которой описывается моделью
xy = Fyxy + Byu, (5.8)
на цель по требуемой траектории
xT=FTxT (5.9)
при условии, что размерности векторов хт и ху одинаковы, измерители
идеально точные, а сигнал управления (3.35)
u = K'BTyQ(xT— ху) (5.10)
оптимален по локальному критерию (1.5). В такой ситуации ошибка
управления Лх=хт-ху будет определяться решением, в общем случае,
неоднородного дифференциального уравнения
Дх = х -х =
, , (5.Н)
= FxT - Fyxy ByKByQAx + FyxT - FyxT = F.Ax + AFx,,
где
F, =Fy -ByK 'ByQ, AF = FT-Fy. (5.12)
Решение (5.11) будет складываться из общего решения
△x(t) = Axoexp{-F|t} (5.13)
однородной части Ax = FjAx и частного решения всего неоднородного
уравнения. Если динамические свойства РЭСУ соответствуют требуе-
мым значениям (Fy=FT), то ошибки (5.13) будут убывать от своих пер-
воначальных значений Дх0 до нуля со скоростью, определяемой в (5.12)
динамическими свойствами ОУ (Fy, Ву), требованиями текущей точно-
сти (Q) и экономичности (К). Если же Fy^FT, то в решении (5.11) кроме
(5.13) появляется еще и вынужденная составляющая, величина которой
зависит как от закона изменения хт, так и степени несоответствия AF
динамических свойств системы наведения ее требуемым значениям.
В общем случае закон изменения хт является произвольным. По-
этому для исключения влияния вынужденной составляющей решения
(5.11) на точность управления необходимо использовать адаптивные
РЭСУ. Для неадаптивных РЭСУ на практике всегда будет иметь место
ДЕД), что обусловливает наличие вынужденных ошибок управления.
5.2.2. Влияние ошибок измерителей на точность управления
Наличие различного рода погрешностей измерений (оценивания)
фазовых координат приводит к появлению ошибок формирования тре-
буемой фазовой траектории хт, а следовательно, и ошибок управления и
промахов даже при использовании ОУ с идеальными динамическими
свойствами. Конкретный вклад ошибок конкретных измерений в общую
ошибку формирования хт можно оценить лишь для определенной РЭСУ
с конкретным методом наведения (см. 8.5-8.10). Ниже влияние погреш-
ностей измерений (оценивания) будем иллюстрировать лишь в качест-
венном плане.
Причинами появления погрешностей измерителей в РЭСУ явля-
ются: внутренние шумы, нестабильности распространения радиоволн,
амплитудные и угловые шумы, ограниченный диапазон линейных уча-
стков дискриминационных и пеленгационных характеристик измерите-
лей дальности, скорости и углов, ограниченный динамический диапазон
систем обработки радиосигналов, ограниченный порядок астатизма
устройств формирования оценок фазовых координат.
Влияние внутренних шумов и нестабильностей распространения
радиоволн на точность радиолокационных измерений подробно рас-
смотрено в [15, 56]. Обратим внимание лишь на то обстоятельство, что
наряду с общеизвестными нестабильностями распространения радио-
волн в атмосфере, обусловленными колебаниями скорости и нарушени-
ем прямолинейности их распространения, существенны ошибки, вноси-
мые обтекателями антенн. Дополнительные преломления радиоволн в
обтекателях антенн БРЛС и РГС могут привести к достаточно большим
и трудно устраняемым погрешностям измерений углов. Трудность их
устранения определяется не только сложной зависимостью от направ-
лений прихода радиоволн, но и сугубо индивидуальным распределени-
ем этих ошибок для каждого экземпляра обтекателя.
Наличие амплитудных шумов приводит к погрешностям измере-
ний в устройствах, использующих в процессе функционирования ин-
формацию, которая заключена в амплитуде радиосигналов, например в
угломерах с коническим сканированием антенн. Кроме того, кратковре-
менные пропадания радиосигналов, обусловленные их амплитудными
флуктуациями, приводят к переходу следящих измерителей в режим
памяти (экстраполяции). Если время таких пропаданий незначительно,
то режим автоматического оценивания фазовых координат восстанав-
ливается с допустимыми погрешностями. При длительных пропаданиях
радиосигналов режим автосопровождения не восстанавливается. Тогда
точность измерения, определяемая теперь точностью экстраполяции,
существенно ухудшается с возрастанием времени работы измерителя в
режиме «память». Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда
радиосигнал на входе измерителей присутствует, но текущие ошибки
сопровождения AXj=xTi-xyi выходят за пределы -Axiinax...Axiniax линейного
участка дискриминационной характеристики измерителя (см. рис. 3.3).
К таким же последствиям может привести и перегрузка приемника,
возникающая в ситуациях, когда входной сигнал превышает динамиче-
ский диапазон системы обработки (UBX>UBXinax на рис. 4.3).
Влияние ограниченного астатизма устройств оценивания прояв-
ляется при наведении на маневрирующие цели. Если в процессе манев-
рирования цели порядок производных оцениваемых фазовых координат
(например, дальности и бортовых пеленгов целей) превышает порядок
астатизма радиоизмерителя (например, радиолокационных дальномеров
и угломеров), то будет иметь место возрастающая во времени динами-
ческая ошибка оценивания [40]. Наличие такой ошибки приводит вна-
чале к возрастанию ошибок формирования параметров рассогласования,
а после выхода ошибки Axj за пределы ширины дискриминационной
характеристики (см. рис. 3.12) либо к переходу в режим памяти с увели-
чением ошибок управления, либо вообще к срыву процесса оценивания,
а соответственно и наведения. Эта особенность и лежит в основе эффек-
тивности различного рода противоракетных, противоистребительных
маневров как одного из основных средств срыва наведения.'
Устранение отмеченного недостатка путем повышения порядка
астатизма в традиционных одноконтурных следящих радиоизмерителях
[40] невозможно, так как это приводит к потере устойчивости их функ-
ционирования. На практике используются, в основном, следящие из-
мерители с астатизмом первого или второго порядка [3, 28], для кото-
рых достаточно длительный маневр цели с переменной перегрузкой
неизбежно приводит к срыву сопровождения.
5.2.3. Влияние обтекателей антенн
НА ТОЧНОСТЬ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ НАВЕДЕНИЯ
Для предохранения антенных систем любых РЭСУ от воздейст-
вий внешней среды используют радиопрозрачные обтекатели, которые
одновременно должны удовлетворять целому ряду противоречивых
требований. К наиболее важным из них относятся:
определенные электрические характеристики, обеспечивающие
прохождение радиоволн с наименьшими поглощением, отражением и
преломлением;
соответствующая форма, предопределяющая малое лобовое со-
противление ОУ;
высокая прочность, позволяющая сохранить форму обтекателя
при аэродинамических нагрузках, вибрациях и ударах;
влагонепроницаемость и отсутствие гигроскопичности;
термостойкость.
Необходимо отметить, что все последние требования важны не
только сами по себе, но и потому, что в той или иной степени влияют на
отражение, поглощение и преломление радиоволн, вызывая тем самым
изменения некоторых ТТП радиолокационных измерителей. Поскольку
наиболее жесткие требования предъявляются к обтекателям антенн
ракетных РЭСУ, то основное внимание уделим именно им.
Отражения и преломления радиоволн в обтекателе могут привес-
ти к небольшому уменьшению дальности действия БРЛС или РГС, ко-
торое, как правило, не учитывается. В то же время преломления радио-
волн в обтекателе может столь сильно повлиять на точность измерения
(оценивания) углов и угловых скоростей, что для его ослабления в сис-
136
темах высокоточного наведения
приходится принимать специальные
меры. При этом в активных РГС
влияние обтекателя проявляется
сильнее, чем в полуактивных, так
как в первых эффект преломления
наблюдается и при излучении, и при
приеме, в то время как в последних
- только при приеме.
Поскольку преломление лу-
ча минимально при его нормаль-
ном падении на поверхность, то
наилучшей формой обтекателя
является сфера. Однако при сферической форме обтекателя лобовое
сопротивление ракеты возрастает примерно на 50% [14], что приводит к
значительному уменьшению дальности полета. Поэтому на практике
используют оживальную, обтекаемую форму, пример которой для вер-
тикальной плоскости показан на рис. 5.4. На этом рисунке ось ОаХ ха-
рактеризует положение продольной оси ракеты в стабилизированной нев-
ращающейся системе координат XoOaYo; О - угол тангажа; Оц - точка
расположения цели; (рцв и ецв - соответственно бортовой пеленг и угол
визирования цели; ОаХа - равносигнальное направление; (рав и еав - со-
ответственно углы поворота антенны относительно продольной оси
ракеты и направления ОаХо, Афоб - погрешность измерений, обуслов-
ленная преломлением радиоволны в обтекателе; А - сечение антенны в
рассматриваемой плоскости. Следует подчеркнуть, что для несфериче-
ской формы обтекателя погрешность Афоб при различных углах фцв бу-
дет разной. Зависимость погрешности Афоб от бортового пеленга цели
фцв, называемая статической пеленгационной характеристикой обтекате-
ля, в общем случае нелинейная и, что особенно важно, различна для разных
образцов даже однотипных обтекателей. Преломляющие свойства обтека-
теля оцениваются крутизной его пеленгационной характеристики
«об = д Афоб^Фцв •
В области небольших изменений фцв статическая характеристика
обтекателя может считаться линейной. Для таких участков
△Фоб = ±К0б Фцв >
(5.14)
где коб=±(0,01...0,05) [28]. Рассмотрим более подробно смысл коб.
Если угломер предназначен для оценивания угла фцв и угловой
скорости сц,=£цв линии визирования, то при наличии преломлений в
обтекателе он будет оценивать соответственно фав и соав =^ёав. На осно-
вании рис. 5.4 и соотношения (5.14) можно получить
^ав — ^цв — КобФцв “ ^цв — Коб(^цв (5.15)
Тогда Еав = ЕЦВ(1±коб) + коб^- Поскольку Коб' 1, то можно счи-
тать, что
^ав — ^цв + Коб$ ’ ^ав — ^ав — ^цв + (5.16)
Анализ (5.14)—(5.16) позволяет сделать следующие выводы.
Преломление радиоволн в обтекателе, обусловливающее появле-
ние ±коб, приводит не только к ошибке оценивания угла (5.14), но и к
скоростной ошибке
△Чб = +коб$ > (5.17)
которая изменяется синхронно с изменением угловой скорости тангажа. По
этой причине ошибку ЛО)об часто называют синхронной ошибкой обтека-
теля, а коэффициент коб - коэффициентом синхронной ошибки. Из (5.16)
следует, что при отсутствии маневра носителя (i>=const) синхронная ошиб-
ка равна нулю. Наиболее сильно она проявляется при интенсивном манев-
рировании ОУ, когда имеют место большие значения . В таких ситуациях
ошибки Ло)об могут быть достаточно велики даже при малых значениях фцв.
За счет появления ошибок Лфоб и АсоОб в контуре наведения появ-
ляются дополнительные обратные связи, характер и влияние которых
определяются как знаком и величиной коб, так и видом маневра ОУ.
Сущность этих связей поясняется структурной схемой на рис 5.5., Эта
схема получена на основании обобщенной структурной схемы РЭСУ
ракеты (см. рис. 1.2) и соотношений (5.15) и (5.16).
Для удобства координаты £цв, о)цв и О, выведены из состава
векторов хц и хр. При этом оставшиеся фазовые координаты объединены
в векторы хц1 и хР]. Из рис. 5.5 видно, что при определенном сочетании
знаков коб и О в контуре наведения образуются положительные обрат-
ные связи (ПОС), снижающие запас его устойчивости. На больших вы-
сотах, на которых из-за малой плотности воздуха ухудшается качество
демпфирования колебаний ОУ, наличие таких дополнительных ПОС
может привести к потере устойчивости и срыву процесса наведения.
Рис. 5.5
Из всего рассмотренного можно сделать вывод, что при разра-
ботке высокоточных РЭСУ должны приниматься во внимание ошибки
как Дфоб обтекателя, так и Да)об оценивания угловой скорости линии
визирования. При этом для компенсации Дфоб можно использовать спе-
циальную карту распределения этих ошибок
△Фобу =f(<PaBi,<Parj)) (i = Г/N, j = LM) (5.18)
для каждого отдельного образца обтекателя. Здесь фав) и фагз - соответ-
ственно дискретные значения углов поворота антенны в вертикальной и
горизонтальной плоскостях. Снятая карта в виде матрицы чисел Дфобц
запоминается в бортовой ЭВМ и используется в дальнейшем для ком-
пенсации результатов измерений при соответствующих углах поворота
антенны. Размеры этой матрицы, определяемые в (5.18) значениями N и
М, зависят от объема памяти вычислителя и чувствительности аппара-
туры, с помощью которой снимается распределение ДфОбу- Ошибки
ДсОобу, зависящие еще от условий применения (i3), могут быть оценены
по результатам «измерений» Дф^ на основе тех или иных моделей с
помощью известных алгоритмов фильтрации.
5.2.4. Влияние угловых шумов на точность РЭСУ
Под угловыми шумами понимают флуктуации угла прихода сигна-
лов, отраженных от цели [24], определяемого нормалью к фазовому фронту
радиоволны. Поскольку функционирование любых систем пеленгации
основано на определении нормали к фазовому фронту радиоволны, то из-
менение положения этого фронта в процессе измерения угловых координат
целей приводит к появлению дополнительных погрешностей измерений.
При радиолокационном наблюдении за реальной целью каждая
относительно небольшая часть ее облученной поверхности, содержащая
совокупность отражающих элементов, вносит свой вклад в общий от-
раженный сигнал [39]. Эти части цели, отражающие падающую на них
волну и являющиеся вторичными излучателями, обычно называют бле-
стящими точками (БТ). Число БТ и распределение их в пространстве
определяется типом цели и ракурсом, под которым она наблюдается. В
итоге сигнал, наводимый в антенне, представляет собой результат ин-
терференции сигналов, отраженных от БТ. Поскольку размеры реаль-
ных целей существенно превышают длину радиоволны, то таких точек
может быть достаточно много. При случайных изменениях положения
целей в пространстве, вызываемых турбулентностью атмосферы, неста-
бильностями сгорания топлива и особенностями траекторного управле-
ния, взаимное расположение БТ в пространстве также изменяется слу-
чайным образом. Соответственно по случайному закону изменяются и
результаты интерференции сигналов БТ, которые приводят к случайным
изменениям положения фазового фронта пеленгуемой радиоволны. В
такой ситуации нормаль к фазовому фронту характеризует направление
на так называемый кажущийся центр отражения (КЦО). Необходимо
отметить, что в зависимости от типа цели и ракурса ее облучения КЦО в
процессе своих перемещений может выходить за пределы контура пе-
ленгуемой цели. Так, для самолетов тактической авиации математиче-
ское ожидание модуля ошибок пеленгации, обусловленных угловым шу-
мом, могут превышать 0,5 угловых размеров цели, а вероятность Рвых выхо-
да КЦО за пределы контура цели характеризуется значениями Рвых<0,2.
Рассмотрим качественно влияние углового шума на точность на-
ведения РЭСУ. При этом для определенности будем полагать, что в
состав ИВС РЭСУ входит моноимпульсный угломер.
Если расстояние до цели велико, то угловой шум не приводит к
значительным ошибкам пеленгации и его влиянием на точность управ-
ления можно пренебречь. Такая ситуация характерна для РЭСУ самоле-
тов-ракетоносцев. Однако на малых расстояниях, когда угловые разме-
ры цели соизмеримы с шириной диаграммы направленности антенны,
угловой шум может вызвать значительные ошибки пеленгации. Кроме
того, даже небольшие ошибки пеленгации, обусловленные угловыми
шумами, могут сопровождаться достаточно большими случайными
ошибками оценивания угловой скорости линии визирования. Наличие
таких ошибок по углу и угловой скорости приводит к появлению соот-
ветствующих ошибок наведения. Для РЭСУ ракет, по мере их прибли-
жения к цели влияние этих
ошибок становится на-
столько большим, ЧТО при- Ор2
водит к недопустимо боль-
шим промахам. Во избежа-
ние этого управляемое на-
ведение ракет прекращают
на некотором расстоянии Дк
u
Дк2>Дк1
1_ Дк1
Opif-------
h£> ^1
Рис. 5.6
от цели. После достижения этого расстояния полет становится неуправ-
ляемым. Если на момент окончания управления имела место угловая
ошибка наведения Дсрк (рис. 5.6), то линейный промах h возрастает с
увеличением Дк. Особенно актуально уменьшение Дк для ракетных сис-
тем высокоточного наведения на интенсивно маневрирующие цели. Для
решения этой задачи необходимо снижать влияние угловых шумов на
точность измерения углов и оценивания угловых скоростей линии визи-
рования. К настоящему времени применяют различные способы борьбы
с угловыми шумами [24, 39].
Один из них основан на использовании в системах обработки сигна-
лов ограничителей снизу, поскольку при больших отклонениях КЦО от
РСН уменьшается отраженный сигнал, принимаемый по суммарному кана-
лу, вследствие снижения коэффициента направленного действия. Если это
уменьшение превышает некоторое значение, то процесс слежения за целью
по направлению прекращается и угломер переводится в режим памяти
(экстраполяции). Такой прием, позволяя избавиться от наибольших ошибок
пеленгации, обусловленных угловыми шумами, не устраняет влияния не-
больших угловых ошибок. Кроме того, он не избавляет от ошибок оцени-
вания угловой скорости линии визирования, которые могут быть весьма
значительными и при малых угловых ошибках.
Другой способ состоит в усреднении угловых шумов во времени
либо за счет использования медленной автоматической регулировки
усиления (АРУ), либо за счет применения алгоритмов калмановской
фильтрации. Такие приемы дают возможность снизить влияние угловых
шумов не более чем на 30%, поскольку при этом ослабляются лишь их
высокочастотные составляющие. Проведенные исследования показали,
что наиболее интенсивные составляющие спектра угловых шумов лежат
в полосе до 10 Гц, совпадающей с шириной спектра колебаний линии
визирования за счет траекторных нестабильностей цели. По этой при-
чине фильтрация (усреднение во времени) угловых шумов не может
значительно снизить погрешности измерений.
Эффективная фильтрация угловых шумов затруднена также тем,
что к настоящему времени отсутствуют достаточно точные математиче-
ские модели как флуктуаций линии визирования цели из-за траекторных
нестабильностей, так и эволюций угловых шумов. Последнее объясня-
ется сложной зависимостью корреляционных свойств угловых шумов
не только от типа цели, но и от ракурса ее наблюдения.
Одним из наиболее эффективных способов борьбы с угловыми
шумами является усреднение результатов пеленгации не во времени, а
по частотам. Однако для его реализации требуется одновременный или
последовательный подсвет цели на нескольких частотах. Такой прием
позволяет существенно снизить угловые ошибки только тогда, когда
несущие частоты СПЦ достаточно разнесены, поскольку только в этой
ситуации угловые шумы отраженных сигналов будут некоррелированы
между собой. Исследования показали, что в трехсантиметровом диапа-
зоне волн существенная декорреляция результатов измерений углов
имеет место при разносе частот на 20...35 МГц.
На рис. 5.7 приведены зависимости математического ожидания
(МО) m{AN} модуля погрешности измерения, обусловленной угловыми
а) б)
Рис. 5.7
Таблица 5.1
Тип цели Ai СКО,м р 1 вых
ракурс 1 2 3 1 2 3
А, ППС 5,46 2,41 1,46 0,155 0,047 0,019
А, ЗПС 6,86 1,74 0,94 0,154 0,020 0,005
В, ППС 7,22 1,93 1,06 0,081 0,011 0,005
В, ЗПС 6,77 1,14 0,33 0,06 0,004 0,0004
шумами, и вероятности Рвых выхода КЦО за габариты цели для самолета
тактической авиации от числа N частот СПЦ. Наибольшие снижения
m{|AN|} и Рвых (от 2 до 7 раз) имеют место при двух- и трехчастотной
пеленгации. Дальнейшее увеличение числа N нецелесообразно. Для
количественной иллюстрации эффективности усреднения по частотам в
табл. 5.1 приведены результаты пеленгации самолетов тактической
авиации с одним (тип А) и двумя (тип В) двигателями при наблюдениях
в ППС и ЗПС на одной, двух и трех частотах. В табл. 5.1 Ai - линейные
перемещения КЦО в одной плоскости, а Рвых - вероятность выхода КЦО
за пределы контура цели.
Поскольку угловая ошибка, обусловленная угловыми шумами,
статистически связана с амплитудой сигнала в суммарном канале моно-
импульсного пеленгатора, то наилучшим по минимуму СКО алгорит-
мом усреднения результатов измерения на нескольких частотах являет-
ся взвешенное усреднение по правилу:
(5-19)
П = 1 П=1
где
ДФп=кЕпсЕпр/Епс; (5-20)
N - число частот усреднения; Дфп, Асрп - оценка и текущее значение
ошибки, вносимой угловым шумом; Епс, Епр - амплитуды сигналов в
суммарном и разностном каналах пеленгатора.
Следует отметить, что ни один из перечисленных способов умень-
шения влияния угловых шумов в сочетании с традиционными схемами
построения угломеров не позволяет удовлетворить совокупности требова-
ний к точности, быстродействию и устойчивости сопровождения высоко-
маневренных целей. Все эти требования выполняются при использовании
алгоритмов статистической теории оптимального управления [29, 62].
5.3. ВЛИЯНИЕ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЕЙ
НА ТОЧНОСТЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РЭСУ
5.3.1. ВИДЫ ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ В БОРТОВОЙ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ РЭСУ
Большинство алгоритмов функционирования РЭСУ, начиная от
первичной обработки оцифрованных радиолокационных сигналов и
заканчивая формированием сигналов управления ЛА, реализуется про-
граммно в бортовой цифровой вычислительной системе (далее БВС).
Чтобы составить себе представление о влиянии цифровых способов
обработки информации в БВС на точность функционирования РЭСУ
рассмотрим схему последовательных преобразований (рис. '5.8) непре-
рывного сигнала x(t) аналого-цифровым преобразователем в дискрет-
ный x(tn), его преобразование в процессоре в y(tn) и последующее пре-
образование цифроаналоговым преобразователем в y(t).
x(t) x(tn)=x(nT) y(t„)=y(nT)
эо°°оо
y(tn)
Рис. 5.8
Каждое преобразование выполняется не идеально и привносит
свои ошибки. В аналого-цифровом преобразователе (АЦП), выполняю-
щем квантование по времени (с некоторым периодом) и оцифровку
аналоговой величины, возникает ошибка (шум) квантования, дисперсия
De которой имеет вид [59]
D = — 12 . 12 1+^ 7С f (~l)k 1 2 k=-oo k
k#0
1 V
2kXo k2
k#0
где q - интервал дискретности (квант), a FX(S) - характеристическая
функция измеряемой величины.
Преобразование дискретного сигнала (сигналов) (т.т. Б, В на
рис. 5.9) в цифровой вычислительной машине (ЦВМ) привносит свои
погрешности, которые являются ошибками реализации численных алго-
ритмов. Специфика применения ЦВМ заключается в дискретном харак-
тере решения на них задач, что связано как с конечной системой команд
(операторов), ограниченной разрядной сеткой ЦВМ, так и ограничен-
ными производительностью и памятью. Действительно, так как ЦВМ
выполняет только арифметические действия, то такие математические
понятия, как тригонометрические функции, дифференциальные уравне-
ния, интегралы, квадратные корни, логарифмы - все должны быть вы-
ражены через элементарные арифметические операции. То есть для
каждого случая должен быть выбран или разработан подходящий чис-
ленный метод, обеспечивающий устойчивость вычислительного про-
цесса, требуемую точность и допустимые потребляемые ресурсы (про-
изводительность и память).
В процессе численного решения некоторой задачи приходится
иметь дело с тремя основными видами ошибок: ошибками, содержащи-
мися в исходной информации, ошибками численных методов решения
задачи и ошибками, возникающими в результате необходимости пред-
ставлять число в виде конечной последовательности цифр (ошибками
округления).
Ошибки в исходной информации возникают в результате неточ-
ности измерений и дальнейшего преобразования в цифру или из-за не-
возможности представить необходимую величину конечной дробью. В
первом случае - это ошибки датчиков и ошибки преобразователей, во
втором - ошибки представления констант.
Характер влияния ошибок измерения на точность решения задачи
(точность результатов вычислений) не зависит от того, какой численный
метод применен для ее решения. Однако, численный метод может опре-
делять используемые коэффициенты (константы), погрешности которых
сказываются на результирующей погрешности вычисления и, кроме
того, сам численный метод вычисления в общем случае имеет ошибку
(ошибку ограничения), величина и характер поведения которой зависит
от числа используемых членов разложения; функций, используемых для
разложения; порядка метода (при численном решении дифференциаль-
ных уравнений) [26] и т.д. При выборе метода вычисления особое вни-
мание нужно уделять вопросам устойчивости (в том числе и частичной
неустойчивости) численного процесса.
И, наконец, поскольку ЦВМ работает с конечным количеством
значащих цифр, при вычислениях будут возникать ошибки округления.
Ошибки реализации численных алгоритмов будут рассмотрены
ниже (5.3.3.)
Дискретный характер решения задач во времени (см. рис. 5.8) и
последующее восстановление непрерывного сигнала y(t) привносит
свои ошибки. Дискретная информация (последовательность чисел в т. Б
на рис. 5.8), поступающая в ЦВМ, обрабатывается по некоторым алгорит-
мам за конечное время, определяемое временем ее решения задачи и воз-
можными прерываниями решения задачи более срочными, после обработки
которых решение приостановленной задачи может быть продолжено. В
результате в системе обработки возникают задержки (запаздывания), кото-
рые в первом приближении могут быть приняты постоянными, хотя в об-
щем случае задержка меняется от такта к такту. Запаздывание приводит к
ошибкам, а в замкнутых системах - может привести к неустойчивости.
Задача преобразования дискретного сигнала в непрерывный сво-
дится к формированию непрерывного сигнала y(t) (т. Г на рис. 5.8) в
интервалах времени между поступлениями дискретных значений по
предшествующим данным. Эта задача представляет собой задачу экст-
раполяции, закон которой может быть представлен в виде полинома S-
ой степени.
Выходную величину y(t) экстраполятора S-ro порядка на текущем
интервале между дискретными значениями можно представить уравнением
г п s
y(t) = y[n,o]= XaY[n]07 , О<0<1,
у=0
где 0 - относительное время текущего интервала, а коэффициенты 0Су[п]
изменяются от интервала к интервалу. Следует отметить, что экстрапо-
лятор привносит свои ошибки. Ошибки экстраполяции и запаздывания
будут рассмотрены п. 5.3.4.
5.3.2. Представление чисел
В АРИФМЕТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ И РЕГИСТРАХ ПРОЦЕССОРОВ
Динамический диапазон и точность вычислений цифровых вы-
числителей зависят как от разрядности чисел в используемой системе
счисления, так и от типа арифметики, примененной в процессоре.
Двум арифметическим формам записи вещественных и целых чи-
сел - обычной и показательной в процессорах соответствуют две формы
представления численных данных в двоичной системе счисления: с
фиксированной точкой (ФТ) и плавающей точкой (ПТ).
Данные целого типа (целые двоичные числа) представляются в
процессорах только в форме с ФТ. Данные вещественного типа могут
представляться в форме с фиксированной или плавающей точкой.
В системах с фиксированной точкой в этом случае используется
нормирование обрабатываемых данных таким образом, чтобы все
арифметические операции выполнялись с числами х, по абсолютному
значению меньшими единицы:
0<|х|<1. (5.21)
В этом случае число содержит m=b+l двоичных разрядов. Стар-
ший разряд служит для представления знака, остальные для представ-
ления дробной части.
Регистр, содержащий m=b+l двоичных разрядов, позволяет пред-
ставить 2Ь отличающихся по абсолютному значению чисел с шагом 2'ь и
удовлетворяющих условию (5.21) в диапазоне
0<|х|<1-2“ь. (5.22)
Если результат арифметической операции выходит за верхний
предел неравенства (5.22), происходит переполнение регистра, приво-
дящее к искажению результата. Переполнение может произойти только
при операциях сложения и вычитания. В отсутствие переполнения опе-
рация сложения выполняется точно (без ошибок).
В операциях умножения чисел, удовлетворяющих (5.21), пере-
полнение возникнуть не может, поскольку произведение чисел, мень-
ших 1, также всегда меньше 1. При умножении возникает ошибка ок-
ругления, величина которой зависит от способа округления. Обычно
ошибку округления стараются сделать симметричной и при использова-
нии b значащих разрядов максимальная абсолютная ошибка округления
удовлетворяет неравенству
Н<2-ь.
Представление числа х в форме с плавающей точкой основано на
записи числа в виде
х = (±ц.)у±у, (5.23)
где v - основание системы счисления, ц - мантисса (правильная дробь),
у - порядок (целое число).
Диапазон представления чисел в форме с ПТ существенно боль-
ше, чем в случае представления чисел с ФТ. Переполнение разрядной
сетки при выполнении операций над числами практически отсутствует.
Однако сами арифметические операции являются более сложны-
ми по сравнению с операциями над числами с ФТ, поскольку действия
выполняются как с мантиссами, так и с порядками.
Наиболее простые в реализации и быстродействующие цифровые
процессоры используют представление чисел с ФТ. На этом принципе
строится большинство спецвычислителей и ряд цифровых сигнальных
процессоров (DSP).
Представление чисел в форме с ПТ используется в цифровых сис-
темах, когда требуется большая точность реализации алгоритма и
большой динамический диапазон обрабатываемых чисел.
Результат выполнения любой арифметической операции в общем
случае требует округления. Под округлением понимается ограничение
последовательности значащих цифр записи числа тем или иным спосо-
бом. Если действительное число х запишем в виде:
х=ц-27, 0,5<|ц|<1,
то любая из четырех арифметических операций с плавающей точкой
даст в результате число «у», которое можно представить в виде двух
слагаемых
у = цу-2Y + gy-2Y-b.
Здесь Цу (сохраняемая часть) имеет b значащих цифр и лежит в диапазо-
не между 0,5 и 1, a gy (отбрасываемая часть) - между 0 и 1. Округлен-
ный результат у запишется тогда в виде соотношения [26]
|у|=
|цу|-2у, если |gy|< 0,5,
||iy|-2Y + 2Y-b, если |gy|> 0,5,
то есть максимальная абсолютная ошибка округления £ составляет
5.3.3. Ошибки реализации численных алгоритмов
Погрешность результата решения произвольной задачи на БЦВМ
включает в себя три основных составляющих, которые обусловлены
ошибками входных данных (ошибками аргументов), ошибками приб-
лиженных численных методов и инструментальными ошибками (обыч-
но ошибками округления).
Погрешности, порождаемые различными источниками, влияют друг
на друга довольно сложным образом, однако часто удается представить
ошибку результата вычисления как линейную комбинацию ее отдельных
составляющих. В ряде частных случаев это сделать довольно просто. На-
пример, погрешность выполнения на ЦВМ оператора х%у, где х и у - числа,
а % - некоторая операция, может быть представлена как линейная комбина-
ция преобразованных входных ошибок и инструментальной ошибки. Так
как при вычислении приходится оперировать с приближенными числами
х* и у*, а не с. х и у, а вместо операции % часто выполняется некоторая
псевдооперация %* (возникает инструментальная ошибка), погрешность
результата вычисления можно представить в виде разности
Заметим, что х* и у* - числа и к ним можно применять операцию %, так
что х*%у* будет вполне определенным числом.
Разность, стоящая в первой скобке правой части равенства, есть
переходящая погрешность, обусловленная входными ошибками, а во
второй скобке - зарождающаяся погрешность (инструментальная ошиб-
ка), обусловленная видом выполняемой операции.
Погрешность произвольного вычисления зависит не только от
ошибок входных данных, представления каждого числа, инструмен-
тальных ошибок, но и от порядка, в котором следуют друг за другом
операции. Следовательно, погрешность результата вычисления может
быть достаточно точно определена только при известном машинном
алгоритме, по которому выполняется данное вычисление, и архитектуре
вычислительной машины, на которой оно выполняется.
Задачи, которые должна решать ЦВМ, первоначально представ-
ляются в виде формульных зависимостей (математических алгоритмов).
Затем производится выбор численных методов решения задач, после
чего разрабатываются машинные алгоритмы (вычислительные схемы).
При выполнении этих этапов работ необходимы оценки точности реа-
лизации численных алгоритмов. Естественно, что предварительные
оценки погрешностей могут отличаться от действительных и в даль-
нейшем должны быть уточнены при окончании работ по построению
машинных алгоритмов. Однако получение таких оценок в процессе
создания машинных алгоритмов необходимо для получения достаточно
эффективных процессов вычислений, обеспечивающих решение задач с
заданной точностью при стремлении минимизировать общее количество
операций и объем памяти. Такой подход особенно важен при построе-
нии самолетных и ракетных систем управления.
Преобразование входных ошибок алгоритмов
В общем случае алгоритм функционирования системы управле-
ния самолетом представляет собой некоторую совокупность функцио-
нальных операторов, порядок выполнения которых определен. Назовем
цепочками вычислений всевозможные последовательности функцио-
нальных операторов, которые могут встретиться при выполнении чис-
ленного алгоритма. Произвольную цепочку можно представить в виде
yi=fi(xi, х2,хт);
У2=?г(У1, X), х2,...» хт); (5.24)
Уп=Гп(У1, Уп-i, Х|,хт),
где f|(xi,x2v..,xm), fn(yi,.-,yn-bX|,....,xm) - некоторые функциональные
операторы, а хь ..., хт - входные данные.
Реальные вычисления отличаются от (5.24), так как при вычисле-
нии функциональных операторов в общем случае приходится опериро-
вать с неточными значениями аргументов и выполнять псевдооперации.
В действительности рассматриваемая цепочка будет иметь вид
У1*=Л(Х1*, х2*,хт*)+8|;
У2*=Гг(У1*, X,*, х2*,хт*)+82; (5.25)
Уп*=Ш1*, Уп-1*, X)*, ..., xm*)+S„,
где 8j (i = 1,п)- ошибки, которые определяются многими факторами, в
том числе величинами Xj* и ук*, инструментальными ошибками, реаль-
ным машинным алгоритмом и т.п. Грубые предварительные оценки
ошибок вычислений могут быть получены до завершения этапа по-
строения машинного алгоритма.
Если погрешность, получаемая при вычислении произвольного
функционального оператора цепочки (5.25), можно представить в виде
суммы преобразованных операторами входных ошибок и инструмен-
тальных ошибок, то для анализа погрешности реализации численного
алгоритма достаточно получить и оценки результата трансформации
входных ошибок функциональными операторами и оценки накоплен-
ных зарождающихся ошибок.
Функции, входящие в реальные алгоритмы, являются обычно
гладкими и при малом диапазоне изменения ошибок допускают линеа-
ризацию. Если диапазон изменения ошибки достаточно мал, то ошибку
£г произвольной функции f(x) можно приближенно выразить через
ошибку ех аргумента в виде
Тогда математическое ожидание и дисперсию ошибки вычисляе-
мой функции f(x) можно выразить через математическое ожидание шех
и дисперсию Dex ошибки ех:
mef j mEx ’ Def
dx
df(x)
dx
I2
Dex.
Если вычисляется функция многих переменных f(xb xm), име-
ем выражения для математического ожидания
™ef
—
iil э Xj
mei
(5.26)
и дисперсии выходной ошибки
э f "L ™ af
Del =E 4— Dei+2XE —
i = l^dXj J Xj
(5-27)
где kjj - корреляционный момент.
В случае, когда ошибки аргументов не коррелированны, диспер-
сия ошибки функции имеет вид
m Э f _
Def ~£(-------) Dei- (5-28)
i=i д х,
В алгоритмах обработки информации и управления кроме функ-
ций часто встречаются аппроксимирующие выражения (разностные
уравнения), используемые при вычислении неопределенных интегралов,
решении дифференциальных уравнений, и соотношения, описывающие
линейные фильтры. Названные выражения близки с точки зрения пре-
образования входных ошибок.
Дисперсии преобразованных ошибок для таких выражений могут
быть получены, используя соответствующие передаточные функции.
Таким образом, численные алгоритмы преобразуют входные оши-
бки или случайные процессы, описывающие поведение входных погрешно-
стей, и практически во всех случаях могут быть получены оценки преобра-
зованной функциональным оператором (трансформированной) ошибки.
Ошибки округления
ЦВМ производит операции е величинами, представленными в
цифровой форме с фиксированной или плавающей запятой.
При реализации произвольных функциональных операторов на
ЦВМ возникают ошибки округления, в результате накопления которых
формируется ошибка оператора, обусловленная ограниченной разряд-
ной сеткой машины. Процесс возникновения и накопления ошибок
округления определяется типом вычислительного процесса и последо-
вательностью операций, посредством которой реализуется данный про-
цесс. В практике построения систем управления в алгоритмах встреча-
ются следующие основные типы вычислений: матричные вычисления,
вычисление неопределенных интегралов, решение обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, цифровая фильтрация и вычисление элемен-
тарных функций.
Анализ алгоритмов, реализующих эти вычисления, позволяет по-
лучить достаточно простые схемы накопления ошибок округления. В
тех случаях, когда функция определяется только входными данными,
имеет место суммирование ошибок округления, возникающих на соот-
ветствующих шагах вычисления, и процесс накопления ошибок округ-
ления при статистическом подходе может быть описан законом повтор-
ного логарифма [55]. Тогда, когда в алгоритме используются не только
значения входных переменных, но и значения вычисляемой функции в
предыдущие моменты времени, возникает обратная связь, при учете
которой могут быть получены достаточно простые выражения накоп-
ленной ошибки округления, так же опирающиеся на закон повторного
логарифма. Так в [46] с использованием статистического подхода полу-
чены оценки максимальных величин накопленных ошибок округления
для типичных вычислений (первый случай), выполняемых в арифметике
с фиксированной точкой вида
|е| < сЦ/о,5п1п1пп (5.29)
где п - количество умножений, £ - величина максимальной абсолютной
ошибки округления, d - коэффициент, гарантирующий выполнение
неравенства с вероятностью 1 (d=l,l... 1,5).
Для второго случая (наличие обратных связей) в [46] так же по-
лучен ряд формул. Например, для формулы вычисления неопределенно-
го интеграла вида
h4y(1V)
Уп =аоУп-1+а1Уп-2 + ь(Ь-1У1,+ЬоУ„-1+Ь1уп_1) + Е4—-—(9)
♦
получена оценка максимальной погрешности накопления ошибок округле-
ния при вычислениях с фиксированной точкой в предположении малости
величины шага интегрирования h, что позволило пренебречь ошибками
округления, возникающими при вычислении выражения в круглых скобках.
Максимальная погрешность удовлетворяет неравенству
|г| <---------л/о,5п In In n £, ,
" (l + cxj)
(5.30)
где oc0=l-ai, n - количество умножений на интервале интегрирования
(без умножения в круглых скобках); £ - максимальная абсолютная
ошибка округления; d - коэффициент, гарантирующий выполнение
неравенства с вероятностью равной единице.
Аналогичные выражения оценок максимальных накопленных
ошибок округления могут быть получены и при вычислениях в арифметике
с плавающей точкой. Отличия будут заключаться только в том, что при
вычислениях с плавающей точкой, ошибки округления могут возникать
при выполнении любой арифметической операции, а следовательно п - это
общее количество арифметических операций, выполняемых при реализа-
ции численного алгоритма, за исключением операций, которыми можно
пренебречь в силу малости сомножителей, входящих в выражения.
Следует обратить внимание на то, что в итерационных процессах
накопления ошибок округления не происходит и в этом смысле это
более эффективные процессы.
5.3.4. Ошибки, обусловленные квантованием
ПО ВРЕМЕНИ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В многоканальных цифровых системах управления решение за-
дач на ЦВМ осуществляется в некотором выбранном порядке. Обычно
измерение параметров внешней среды и ввод информации в БЦВМ
производятся соответственно порядку решения задач. Моменты измере-
ния могут быть равностоящими (равномерное или периодическое кван-
тование) и неравно отстоящими друг от друга (неравномерное ква-
нтование). Наиболее часто применяется периодический закон квантова-
ния по времени. Однако из-за сбоев, возникающих в каналах связи или
ЦВМ, периодическое квантование представляет собой идеализацию
реальных процессов дискретизации по времени. В случае сбоев для
описания процесса квантования по времени можно использовать модель
квантования с пропусками, где ключ не замыкается в произвольные
моменты tn с вероятностью Р, равной вероятности того, что задача не
будет решена в такте. Тогда задача анализа погрешности дискретизации
с последующим преобразованием дискретного сигнала в непрерывный
может быть рассмотрена в следующей постановке. Если стационарный
случайный сигнал x(t) с известным математическим ожиданиям тх и
автокорреляционной функцией Rx(t) квантуется по времени с пропус-
ками и поступает на окстраполятор, выходным сигналом которого явля-
ется y(t), то дисперсия ошибки экстраполятора нулевого порядка
De=Re(0) может быть выражена в виде [4]
1 р оо ( n +1 )Т
Rg(0) = 2[Rx(0)- —— £Р" jRx(u)du], (5.31)
1 п=0 ПТ
где Р - вероятность сбоя; Т - период дискретизации.
При Р=0 формула (5.31) совпадает с известными выражениями
дисперсий ошибок экстраполятора нулевого порядка.
Формула (5.31) дисперсии ошибки экстраполятора нулевого по-
рядка учитывает как влияние периода квантования, так и сбоев в систе-
ме на точность выходного сигнала.
Дисперсии ошибки (5.31) является монотонно возрастающей
функцией аргументов Т и Р. Типичная зависимость величины дисперсии
ошибки от ее аргументов представлена на рис. 5.9 и 5.10.
Для сигнала с конкретным видом автокорреляционной функции и
заданными величинами периода квантования и вероятности сбоя в сис-
теме на основании (5.31) можно получить величину дисперсии ошибки
выходного сигнала. Можно решить и обратную задачу - по заданной
величине дисперсии ошибки выбрать допустимые значения периода
квантования и вероятности сбоя в системе.
Реализация управляющих алгоритмов в БВС вызывает запазды-
вание формируемого сигнала. Величина запаздывания зависит от вре-
мени реализации алгоритма, метода диспетчеризации вычислений и
способа обмена информацией между БВС и внешними устройствами.
Запаздывание в системе обработки создает дополнительную состав-
ляющую ошибки управляющего сигнала. Ошибки запаздывания и экст-
раполяции являются зависимыми, поэтому их следует рассматривать
совместно.
В [46] для стационарного входного процесса x(t) с математиче-
ским ожиданием шх и автокорреляционной функцией Rx(t) в случае
использования экстраполятора нулевого порядка при квантовании с
пропусками и запаздывания при решении задачи т получена формула
дисперсии совместной ошибки
1 _ р оо (п + 1)Т + т
Re(0) = 2[Rx(0)-—-£Р" jRx(u)du]. (5.32)
А п=0 пТ+т
Если автокорреляционная функция Rx(t) монотонная, то диспер-
сия ошибки (5.32) будет монотонно возрастать при увеличении т.
Формула (5.32) учитывает влияние основных параметров систе-
мы обработки: периода решения задачи, времени с учетом запаздывания
ее полной обработки, вероятности ее выполнения.
5.3.5. Требуемые показатели вычислителей
Основными показателями (характеристиками) ВВС, которые оп-
ределяются при проектировании и в конечном итоге существенно влия-
ют на эффективность решения задач, являются производительность
(быстродействие) процессора (процессоров), объём памяти и ее быстро-
действие, длина разрядной сетки, тип используемой арифметики и ко-
личество и вид каналов передачи информации. Непосредственно на
точность решения задач в ВВС (при выбранных алгоритмах) влияют:
периоды повторения решения задач;
времена их решения;
дополнительные задержки, определяемые запаздыванием в кана-
лах передачи информации и временами выполнения программ операци-
онной системы (обработка прерываний, ввод-вывод информации и т.д.),
а также возможными «вклиниваниями» более приоритетных задач;
вероятность сбоев в каналах передачи информации и самой ВВС;
тип используемой арифметики;
длина разрядной сетки.
Изложенный выше подход и приведенные выражения оценок
ошибок и их моментов позволяет оценить некоторые требуемые показа-
тели ВВС.
Требуемое быстродействие БВС определяется необходимым ко-
личеством арифметических и логических операций для реализации ал-
горитмов и частотой их реализации.
Представив алгоритм на языке предполагаемой машины, можно
оценить количество операций, необходимое для выполнения данного
алгоритма.
Специфика РЭСУ состоит в том, что основной объем информа-
ции поступает на БВС с бортовых датчиков. Закон опроса датчиков
соответствующий интервалам повторения решения задач может быть
достаточно произвольным и определяется допустимой точностью сис-
темы, спектрами обрабатываемых сигналов и возможностями исполь-
зуемой БВС.
Часто как наиболее просто реализуемый в БВС используется син-
хронный детерминированный процесс приема, обработки и выдачи
сигналов. В этом случае при заданных спектре обрабатываемого сигна-
ла и алгоритме обработки величина дисперсии ошибки формируемого
сигнала является монотонно возрастающей функцией периода повторе-
ния Tj решения задачи, длительности запаздывания Tj в системе обра-
ботки и вероятности пропуска Pi решения задачи. Максимально допус-
тимые значения l\Tj и Р; в многоканальной системе управления ограни-
чены сверху допустимыми точностями соответствующих каналов, ми-
нимальные значения лимитируются в основном показателями исполь-
зуемой БВС. Загрузка машины р всеми m задачами с временами реше-
ния Ati, которые будем считать постоянными для i-ой задачи, опреде-
ляемая соотношением
m At-
Р = (5.зз)
i=l Ъ
не должна превышать единицы.
Величины задержек Ti не могут быть меньше соответствующих
длительностей решения задач At;. Если информация, поступающая на
обработку, некоторое время ожидает, а в процессе обработки возникают
прерывания при необходимости решения более срочных задач, задерж-
ки в системе обработки возрастают.
Вероятности пропуска Pj, определяются суммарной вероятностью
того, что задача не будет решена в такте.
Если заданы допустимые величины дисперсий ошибок, обуслов-
ленных квантованием по времени, длительности решения задач At,,
вероятности сбоев Pj и автокорреляционные функции сигналов, то мож-
но определить допустимые периоды повторения решения задач.
Синхронный детерминированный режим реализуется, если вы-
полняются соотношения
T2=Ttkb
T3=T2k2, (5.34)
Tm=Tm.ikm.|,
где kj - целые числа, а Т|<Т2< ... <Т1П.
Если длительности решения задач постоянны, то такой режим
позволяет полностью использовать производительность ЦВМ.
Допустимые периоды повторения решения задач Tj можно опре-
делить, используя формулы дисперсии ошибок восстановленного сиг-
нала (5.32) и уравнения (5.33) и (5.34). По известным автокорреляцион-
ным функциям сигналов, допустимым ошибкам, величинам задержек,
равных в первом приближении временам решения соответствующих
задач и вероятностям сбоев определяем максимально допустимые пе-
риоды повторения решения задач Tj max. При ограничениях на периоды
Ti подбираем значения соотношений периодов повторения решения
задач kj. Из уравнений (5.33) и (5.34) при выбранных значениях kj опре-
деляем минимально допустимые значения Tj mjn. С учетом возможных
прерываний, необходимых при данных значениях Tj и Atj, определяем
величины задержек по всем каналам. После чего уточняем величины
дисперсий ошибок, обусловленных квантованием по времени. Если
величины дисперсий ошибок не превышают допустимых, задача реше-
на. В том случае, когда не удается подобрать значения периодов реше-
ния задач, удовлетворяющим требованиям по точности и загрузке, но
имеет место неравенство
i = l ^imax
то можно попытаться реализовать процесс обработки информации с
переменными интервалами повторения решения задач. При этом значи-
тельно усложняется алгоритм диспетчеризации в системе обработки.
Повышение точности решения задач в БВС может быть обеспе-
чено (см. (5.32)) уменьшением периодов решения задач и уменьшением
запаздывания. И то и другое требует, в свою очередь, повышения быст-
родействия БВС. Снижение вероятностей сбоев решения задач так же
приводит к повышению точности их решения, что может быть достиг-
нуто как повышением надежности аппаратуры, так и введением вре-
менной избыточности (повторное решение задач). Последнее так же
требует повышения быстродействия БВС.
Оценка допустимой длины разрядной сетки БВС может быть по-
лучена на основании анализа точности алгоритмов с наибольшей ариф-
метической глубиной и решения обратной задачи - определения раз-
рядности из уравнений (5.29) и (5.30).
Более подробно структура БВС, особенности ее функционирова-
ния и показатели эффективности будут рассмотрены в гл. 9.
5.4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ ОПТИМАЛЬНОЙ РЭСУ
В качестве показателя точности РЭСУ удобно использовать сум-
му взвешенных дисперсий (5.3) текущих ошибок управления (5.2). При
этом сведения о точности будут наиболее достоверными тогда, когда
текущие ошибки (5.2) определяются либо в ходе натурного эксперимен-
та, либо в процессе имитационного моделирования алгоритмов функ-
ционирования РЭСУ. Однако натурные эксперименты являются очень
дорогостоящими, а имитационное моделирование РЭСУ может потре-
бовать больших вычислительных затрат. В связи с этим для проверки
тех или иных алгоритмических решений при проектировании РЭСУ в
(5.3) широко используют дисперсии, характеризующие потенциальную
точность управления.
Необходимо отметить, что потенциальная точность оптимальных
РЭСУ, в состав которых входят оптимальные регуляторы и фильтры,
определяется точностью фильтрации [29]. Однако использование для
этого матрицы (3.63) и (3.71), (3.72) дисперсий ошибок фильтрации
приводит к завышению оценок точности. Это объясняется следующими
причинами.
В указанных соотношениях приняты во внимание только собст-
венные свойства процессов состояния (2.7), (2.8) и не учтено воздейст-
вие на (2.7) управляющих сигналов, поскольку при выводе формул
(3.63) и (3.71), (3.72) полагалось, что управления известны идеально
точно. В то же время из (3.22)-(3.24) и (3.35) видно, что сигналы управ-
ления формируются с погрешностями, определяемыми точностью апри-
орных сведений о моделях (2.7),(2.8) и точностью формирования опти-
мальных оценок х.г и ху . В [29] показано, что соотношения (3.63) и
(3.71), (3.72) характеризуют потенциальную точность системы управле-
ния только при бесконечно больших сигналах управления, что не соот-
ветствует реальным условиям функционирования РЭСУ.
Приняв во внимание отмеченные обстоятельства, получим соот-
ношения для матрицы дисперсий ошибок управления аналоговой РЭСУ
с учетом влияния управляющих сигналов.
Пусть для РЭСУ, обобщенное состояние которой определяется
векторным уравнением (2.13)
х = Fx + Ви +^х,
при наличии наблюдений (2.16)
z = Hx4,5
найдены вектор оптимальных оценок (3.61)
х = Fx + Ви + Кф (z - Нх)
и вектор сигналов управления (3.35)
u = -K'*BTQ1x,
оптимальный по локальному критерию (1.5). Смысл векторов и матриц
в этих формулах ясен из соотношений (2.7), (2.8), (2.13), (2.15), (2.16) и
(3.12). Необходимо найти оценку потенциальной точности управления в
виде взвешенной суммарной дисперсии (5.3)
Dny = М{(хт-xy)TQ(xT -ху)} = M{xTQ,x} = tr{Q,M[xxT]}. (5.35)
Следует отметить, что термин дисперсия для (5.35) является ус-
ловным, так как процесс х = [х|Ху]‘ является в общем случае нецентри-
рованным.
При нахождении (5.35) примем во внимание, что х = х + Лх , где
х - вектор оптимальных оценок, а Ах - вектор ошибок оценивания.
Тогда
Duy=tr|QtM[(i + AiXi + Ai)T] } = tr{Q,[D- +dJ}- (5.36)
Здесь D - матрица ошибок фильтрации, определяемая соотношением
(3.63), D- = М{хх‘}~ корреляционная матрица вектора оптимальных
оценок. Кроме того, было учтено, что процессы х и Ах некоррелиро-
ванные [47].
Для вычисления D- найдем выражение для матрицы производных
~м(хх‘ )= м{ххт}+м{ххт}. (5.37)
Подставляя (3.35) и (2.9) в (3.63), получаем
к = Fx-BK1BrQ|X + K(|)(Hx+^„ -Нх) =
= (г - ВК 'BTQ, )i + КфНДх + Кф^и.
Используя (5.38) в (5.37), будем иметь:
M{ixT} = (f - BK-1BTQi )м{ххт} + КфМ{^ихт}, (5.39)
где учтено, что х и А х некоррелированы.
Соотношение (5.38) можно рассматривать как уравнение состоя-
ния некоторой системы, возбуждаемой белым шумом Кф£и и не корре-
лированным с ним сигналом Ах. Решение уравнения (5.38) можно
представить в виде
x(t)=<U(t, t0 )x(t0)+ J ФОлХф!;,, (x)dT + J Ф(1,т)КфНДх(т)йг > (5 -40)
l0 *0
где Ф - фундаментальная матрица (3.75) системы (2.13). Тогда
М{$ихт} = M{^H(t)xT(t0)}OT(t,t0)+ jM{^(t)^(T)}x
to
хКфФт(1,т)(1т+ jM{^(t)AiT(T)HTK^T(t,x)dT}.
to
Поскольку и не коррелирован с x0(t) и Ах , то
м{^нхт }= 0,5 jGH5(t - т)Кф(т)Фт(1,т)(1т. (5.41)
10
Принимая во внимание симметричность 8-функции, после интег-
рирования (5.41) нужно учитывать только половину площади этой
функции. Кроме того, учтем, что Ф(1Д)=Е. В результате получим
М{^нхг} = 0,25СиКф. (5.42)
Подставив (5.42) в (5.39), имеем
= (F-BK'BTQ, )D- +0,25КфСиК;. (5.43)
Аналогично находим
М{хк'} = D^F-BK'BQ,)1 +о,25КфсиКф • (5-44)
Заменим М{хх'} и М{хх' } в (5.37) на (5.43) и (5.44):
Ь- = ^-M{i2T}= (f-ВК-'ВrQj)D- +d-(f-bk-|btq,)1 +0,5K(|)GhK; •
at
(5.45)
Следует отметить, что Кф в (5.45) вычисляется по соотношениям
(3.62) и (3.63).
Формулы (5.36), (3.63), (5.43) и определяют процедуру оценива-
ния потенциальной точности управления РЭСУ. Анализ их позволяет
сделать следующие выводы.
Точность РЭСУ зависит как от точности оценивания, так и оши-
бок управления, что отображается в (5.36) наличием матриц D и D-.
Это обстоятельство подтверждает тот фактор, что невозможно управле-
ние с ошибками, меньшими, чем ошибки оценивания (измерения).
Корреляционная матрица (5.45) по своей структуре совпадает с
(3.63). Однако при вычислении (5.45) учитывается влияние регулятора,
которое определяется слагаемым BK^B^j. При этом структура матри-
цы В1 =[OjBy] (2.15) позволяет предположить, что это влияние будет
распространяться лишь на ошибки формирования вектора ху. Степень
этого влияния будет зависеть от конкретных значений штрафов на точ-
ность (Qi) и сигналы управления (К).
В заключение отметим, что полученные выводы будут справед-
ливы и для РЭСУ, оптимизированных по другим интегральным квадра-
тичным функционалам качества.
5.5. МЕТОДИКА ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИЗА РЭСУ
НА ТОЧНОСТЬ
В процессе анализа РЭСУ на точность широко используют мето-
дику приближенного расчета ошибок управления и промахов, основан-
ную на использовании передаточных функций. Достоинством такой
методики являются возможность достаточно просто получить аналити-
ческие зависимости промахов и ошибок управления от условий приме-
нения и параметров системы наведения и радиоэлектронных измерите-
лей. Это позволяет достаточно просто выработать рекомендации по
применению РЭСУ, обеспечивающие повышение ее эффективности без
дорогостоящих натурных испытаний и трудоемкого имитационного
моделирования.
Задача анализа РЭСУ на основе математического аппарата пере-
даточных функций наиболее просто решается для линейных систем с
постоянными коэффициентами. Если исследуемая система нестацио-
нарна, то используют метод замороженных коэффициентов, суть кото-
рого рассмотрена в §4.1. Процесс приближенного анализа РЭСУ на
точность обычно разбивают на два этапа: сначала исследуют динамиче-
ские ошибки функционирования, а затем - флуктуационные.
5.5.1. Методика расчёта динамических ошибок РЭСУ
Под динамическими ошибками понимают динамические состав-
ляющие промахов в плоскостях управления и ошибок управления (5.2).
Расчет динамических ошибок выполняется в несколько этапов. К
этим этапам относятся: получение исходных уравнений отдельных час-
тей РЭСУ и соответствующих им передаточных функций; формирова-
ние структурной схемы контура наведения; анализ этой схемы и ее уп-
рощение; нахождение передаточных функций по ошибкам управления
(промахам); получение моделей входных воздействий; определение
аналитического выражения для промаха (ошибки управления); анализ
полученного выражения и формулирование рекомендаций по уменьше-
нию промахов или ошибок управления.
В качестве исходных уравнений РЭСУ необходимо использовать:
кинематические уравнения, устанавливающие связь между абсолютны-
ми и относительными фазовыми координатами цели и ОУ; уравнения
ИВС, включающей в свой состав измерители и вычислитель параметров
рассогласования; соотношения, отражающие функционирование САУ
(СУР) и ЛА как объекта управления, а также уравнения промахов (оши-
бок управления). Необходимо отметить, что в общем случае все состав-
ные части контура наведения являются очень сложными и описываются
системами уравнений высокого порядка. Для радиоинженера прежде
всего представляет интерес влияние на точность системы наведения
РЭД. Поэтому модели ИВС используют по возможности более полные,
в то время как функционирование САУ (СУР) и ЛА отображается сис-
темами уравнений низкого (обычно не более второго) порядка. Знание
исходных уравнений составных частей контура наведения позволяет
получить для них адекватные передаточные функции в изображениях
по Лапласу для аналоговых систем и в области Z-преобразований для
дискретных РЭСУ [35]. В дальнейшем основное внимание будет уделено
передаточным функциям аналоговых систем.
Структурная схема контура наведения формируется на основе пе-
редаточных функций его составных частей. При этом, как правило, схемы
оказываются настолько сложными, что без их упрощения дальнейший
анализ становится весьма затруднительным. В связи с этим на основе ана-
лиза важности тех или иных частей для РЭСУ в целом и особенностей
структуры полученной схемы ее стремятся упростить. Основными приема-
ми упрощения обычно являются исключение звеньев, незначительно
влияющих на точность РЭСУ; аппроксимация сложных частей звеньями
первого или второго порядка; структурные преобразования, связанные с
переносом входных воздействий, узлов, сумматоров и отдельных звеньев в
другие участки схемы. Последний прием наиболее употребителен для по-
лучения структурной схемы с наименьшим количеством входных сигналов.
Для этого некоторые входные сигналы, воздействующие на различные
участки схемы, формально приводятся к одному входу.
На следующем этапе находят передаточные функции системы от
входного сигнала к промаху (ошибке управления). Если входных сигна-
лов и ошибок управления несколько, то определяют передаточные
функции Wjj(p) от каждого i-ro входного сигнала (i = l,n) к каждой j-й
ошибке управления (j = l,m). Полученные передаточные функции Wjj(p)
по ошибкам представляются в виде степенного ряда [28]
Wij (Р) = Со + С.р + 1с2р2 +... + ±Ckpk +.... (5.46)
J 2 к!
где
а п = А - символ дифференцирования.
dt
Затем, исходя из физического смысла, каждое из входных воз-
действий Xj также представляют в виде ряда Тейлора
xl(t)=xl(O>xl(t^4)t+^x1(t^^t2+...+^x<k)(t^4jtk +.... (5.48)
Используя (5.48) и (5.46), получают аналитическое выражение для про-
маха (j-й ошибки управления), обусловленного воздействием i-ro сигнала:
hji(t) = Coxi(t) + C1[xi(t)] + ... + lck^^ + ... . (5.49)
к dt
Как правило, число членов разложения (5.46), используемых для по-
лучения (5.49), достаточно просто определяется по виду передаточной функ-
ции Wjj(p) и числу слагаемых, которые учитываются в модели входного воз-
действия (5.48). Далее на основе принципа суперпозиции, справедливого для
линейных систем, находят результирующий промах (ошибку управления)
m
(5.50)
i=l
На основе (5.49), (5.50) и анализируется зависимость динамиче-
ской ошибки от условий применения, времени работы и параметров
РЭД и РЭСУ. При этом обычно рассматривают либо установившуюся
динамическую ошибку, либо ошибку на момент времени t=tk окончания
управления. В заключение формулируются рекомендации по улучше-
нию эффективности РЭСУ.
С учетом специфики разностных уравнений, в классе которых
моделируется дискретные системы, и особенностей Z-преобразований
рассмотренная методика имеет смысл и для дискретных РЭСУ.
5.5.2. Методика расчёта флуктуационных ошибок РЭСУ
Под флуктуационными ошибками будут пониматься флуктуа-
ционные составляющие промахов либо ошибок управления (5.2), обу-
словленные воздействием на РЭСУ различного рода случайных возму-
щений. Флуктуационные ошибки РЭСУ оценивают дисперсиями прома-
хов в плоскостях управления или суммарными взвешенными диспер-
сиями ошибок управления (5.3). При расчете этих дисперсий полагают
известными: структурную схему контура наведения; источники случай-
ных возмущений и места их конкретного воздействия на РЭСУ; законы
распределения и статистические характеристики возмущений. При этом
полезные детерминированные сигналы принимают равными нулю.
Как правило, законы распределения входных возмущений полага-
ются гауссовскими с известными математическими ожиданиями и дис-
персиями. Если в качестве возмущений рассматриваются белые шумы,
то считаются известными их односторонние спектральные плотности.
Процедура вычисления дисперсий ошибок включает в себя не-
сколько этапов: трансформацию исходной структурной схемы к виду, в
котором роль входных сигналов играют интересующие возмущения, а
выходных сигналов - интересующие ошибки; предварительный анализ
и упрощение структурной схемы; определение передаточных функций
Фц(р) от i-x возмущений к j-м ошибкам; нахождение спектральных пло-
тностей ошибок; получение аналитических выражений для дисперсий
ошибок; анализ этих выражений и формулирование рекомендаций по
улучшению точности функционирования РЭСУ.
При упрощении структурной схемы РЭСУ используют приемы,
изложенные в 5.5.1. Спектральная плотность Gjj выходных j-x ошибок,
вызываемых i-ми возмущениями, определяются как произведение вход-
ной спектральной плотности Gi(jco) на квадрат соответствующей ампли-
тудно-частотной характеристики (АЧХ) [40]:
Gij(jw) = Giaco)|oij(jco)|2, (5.51)
где co=2jif; I Ф^со)! - АЧХ, определяемая как модуль передаточной
функции Фу(р) при условии, что p=jco.
Используя (5.51), можно аналитически определить дисперсию
Dij =T_IGij(j°))dco=:7_ jGiGio^ijljcofdco. (5.52)
271 0 Z71 0
При этом учтено, что Gij и Gj представляют односторонние спек-
тральные плотности, имеющие смысл только для частот со>0. В связи с
этим интегрирование в (5.52) осуществляется в пределах от 0 до Со-
отношение (5.52) можно упростить, если воспользоваться понятием
эффективной полосы пропускания системы. Под эффективной полосой
пропускания понимается полоса частот АРЭф, через которую будет
проходить то лее количество энергии, что и в реальной системе, при
условии, что коэффициент передачи постоянен и равен максимально
возможному значению коэффициента передачи исследуемой системы
ZKKmaxi 0
(5-53)
Смысл этого понятия пояс-
няется рис. 5.11, из которого вид-
но, что АРЭф определяется из усло-
вия равенства площадей S1 и S2,
соответствующих фигурам с гори-
зонтальной и вертикальной штриховкой. Для широкого класса систем
наведения полоса (5.53) оказывается существенно меньше ширины
спектра входных возмущений со спектральными плотностями Gj(jco).
Это позволяет считать Gj(j(o) в пределах полосы пропускания постоян-
ной и равной Gio.
С учетом этой особенности после вынесения Gio за знак интеграла
(5.52) цолучим
D^GioAF^K?^, (5.54)
где AF3Cpi вычисляется по формуле (5.53).
При получении результирующей дисперсии ошибок необходимо
принять во внимание корреляционные связи входных возмущений. Если
входные возмущения некоррелированы, то результирующая дисперсия
определяется как сумма всех составляющих D,j:
(5.55)
i=l
При наличии корреляции между входными возмущениями Dj оп-
ределяется с учетом коэффициентов взаимной ковариации:
п п-1 п ------------
Dj = EDij + 22; £ (5.56)
i=l /=1 k=/+l
где D/j и Dkj - дисперсии, обусловленные воздействием /-го и k-го воз-
мущений, а г/к - нормированная функция взаимной ковариации.
Рассмотренную методику можно использовать и при анализе ди-
скретных систем с учетом специфики разностных уравнений и /-преоб-
разований.
Необходимо отметить, что сравнение полученных дисперсий
промахов с их допустимыми значениями (5.1) позволяет решить вопрос
о способности РЭСУ выполнять свои функции с требуемой эффектив-
ностью. Кроме того, анализ формул для дисперсий флуктуационных
ошибок позволяет сформулировать рекомендации по улучшению точ-
ности наведения, как за счет использования специальных тактических
приемов, так и за счет изменения параметров РЭСУ. Однако при этом
необходимо учитывать, что требования снижения флуктуационных
ошибок, как правило, противоречат требованиям уменьшения динами-
ческих ошибок. Поэтому окончательные рекомендации представляют
собой компромиссное решение между требованиями уменьшения как
флуктуационных, так и динамических ошибок.
ГЛАВА 6. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ РЭСУ
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЭСУ
Оптимальное управление динамическими системами предполага-
ет достаточно точное знание моделей управляемого (2.7) и требуемого
(2.8) процессов и совершенство выполнения всех функциональных уз-
лов синтезированных систем. Однако на практике не всегда удается
получить точную априорную информацию об управляемых и требуе-
мых фазовых координатах. Кроме того, большие вычислительные за-
траты на синтез РЭСУ предопределяют применение более простых и
менее точных приближений к реальным процессам. Использование
квазиоптимальных алгоритмов фильтрации, управления, идентифика-
ции и отклонение номиналов комплектующих изделий функциональных
узлов РЭСУ также вызывают отличие параметров синтезированных
систем от расчетных значений. Все указанные причины приводят к то-
му, что реально действующие сигналы управления в той или иной сте-
пени отличаются от расчетных (номинальных), обусловливая тем самым
несоответствие реализуемой фазовой траектории управляемого процес-
са ее номинальным значениям.
В радиоэлектронных системах указанные несовершенства усугуб-
ляются воздействием различного рода естественных и преднамеренных
помех, которые приводят к дополнительным искажениям обрабатываемых
сигналов и к изменениям параметров систем обработки. В частности, муль-
типликативные помехи по своему проявлению эквивалентны изменению
параметров систем обработки сигналов. Поэтому весьма серьезным являет-
ся вопрос чувствительности синтезированных РЭСУ к различного рода
несоответствиям параметров их фактического функционирования номи-
нальным (заданным) требованиям (понятие чувствительности и показатели,
используемые для ее оценки, рассмотрены в §2.2).
В общем случае модель синтезированной РЭСУ можно предста-
вить в виде уравнения
х = f[x(t),u(t),a(t),t], x(t0) = x0, (6.1)
где a(t) - р-мерный вектор фактических обобщенных параметров систе-
мы. Под обобщенными параметрами будем понимать все параметры и
процессы, отклонения которых от их номинальных значений приводят к
нежелательному изменению вектора состояния х.
Наиболее типичными примерами параметров оптимальных РЭСУ
являются: начальные условия функционирования; коэффициенты мат-
риц, входящих в состав моделей состояния (2.13) и измерения (2.16);
коэффициенты усиления и постоянные времени функциональных узлов;
нестабильности частот передатчиков и гетеродинов приемников; раз-
личного рода естественные и преднамеренные помехи и т.д..
Для векторного процесса (6.1) линейное приближение Ах, обу-
словленное малыми отклонениями Aaj (j = 1,р) параметров aj, можно
аппроксимировать выражением
Дх = Aai +... + у jAa j +... + урДар, (6.2)
в котором
Yj=[3x!/3aj ... Эх,/Эа^ ... ЭхрЭа^] (6.3)
- р-мерный вектор чувствительности, используемый для количествен-
ной оценки отклонений процесса (6.1) при изменениях параметров aj. В
(6.2), (6.3) и далее для упрощения записей опускается зависимость век-
торов х, и и а от времени.
В векторе (6.3) каждый компонент уц=Эх{/Эа], называемый коэф-
фициентом динамической чувствительности, характеризует скорость
изменения координаты х, при вариациях параметра aj. Дифференцируя
(6.1) по параметру aj, после изменения порядка дифференцирования,
получаем
Эу. 5f(x,u,a,t) 5f(x,u,a,t) Э f(x,u,a,t) Эи
Yj дй (6.4)
Y(to) = O,
где матрицы 3f(x,u,a,t)/3x, 3f(x,u,a,t)/3u и вектор 3f(x,u,a,t)/3a опреде-
ляются на оптимальной (номинальной) траектории при отсутствии ва-
риаций aj. Набор векторов j по всем j = 1, р позволяет получить матри-
цу чувствительности =[ (... j... р].
Можно показать [48], что для дискретной системы
х(к) = f[x(k -1), u(k -1), а(к -1), к -1 ]
(6.5)
вектор чувствительности
Yj(k) =
ЭГ[х(к-Ци(к-1),а(к-1)(к-1)]
Эа;
+
df[x(k-l),u(k-l),a,t(k-l)]
dx(k-l) J
+ af[x(k-l),u(k-l),a(k-l),(k-l)] du(k-l) (6 6)
3u(k -1) Saj ’ •*
Здесь к и к-1 обозначают соответствующие моменты дискретизации.
Зная коэффициенты чувствительности, можно определить откло-
нения фазовых координат при известных изменениях обобщенных па-
раметров системы. Аналогично можно решить и обратную задачу: оп-
ределить поле допусков изменений параметров по допустимым откло-
нениям фазовых координат.
При обосновании выбора метода оптимизации и вида формируемого
управляющего сигнала при прочих равных условиях следует отдать пред-
почтение управлению, для которого коэффициенты матриц чувствительно-
сти имеют меньшие значения. На стадии анализа точности функциониро-
вания РЭСУ можно получить примерно одинаковые ошибки управления
(5.2) при различных наборах коэффициентов штрафов функционала качест-
ва. В этом случае также предпочтительна система с меньшей чувствитель-
ностью. На основании анализа коэффициентов чувствительности можно
более целенаправленно скорректировать коэффициенты штрафов по от-
дельным коэффициентам и управляющим сигналам.
При синтезе оптимальных РЭСУ целесообразно включать в со-
став минимизируемого функционала качества дополнительные слагае-
мые, учитывающие чувствительность системы. Синтезированное по
такому критерию управление будет совместно наилучшим как по точ-
ности, так и по чувствительности РЭСУ к вариациям ее обобщенных
параметров. Пример синтеза такой системы рассмотрен в [31].
Необходимо отметить, что коэффициенты чувствительности, оп-
ределяемые уравнениями (6.4) и (6.6), в общем случае, являются функ-
циями времени. Поэтому с их помощью можно сравнивать чувстви-
тельность синтезированных систем лишь в дискретные моменты време-
ни, что затрудняет количественную оценку чувствительности на всем
интервале управления. С учетом этого желательно иметь интегральную
оценку чувствительности за все время функционирования. В качестве
такой оценки можно использовать чувствительность минимизируемого
функционала качества, объективно включающего весь набор обобщен-
ных параметров, учитываемых в (6.4) и (6.6).
Оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности минимизи-
руемого функционала правомочна, поскольку оптимальность синтези-
рованного управления адекватна минимуму функционала качества.
Поэтому вариации обобщенных параметров, приводящие к отклонени-
ям управляемого процесса от его номинальной фазовой траектории,
будут приводить и к отклонениям функционала качества от его номи-
нального значения. Достоинством рассматриваемого способа оценки
чувствительности оптимальных РЭСУ является получение уравнений
чувствительности, в явном виде отражающих ее зависимость от коэф-
фициентов штрафа. Это позволяет более аргументировано выбирать ко-
нкретные значения элементов матриц штрафов.
Следует отметить, что вариации обобщенных параметров не
только ухудшают точность функционирования РЭСУ, обусловливая тем
самым определенный информационный ущерб, но и изменяют управ-
ляющие сигналы, а соответственно и экономичность системы. В отли-
чие от других алгоритмов, оценка чувствительности РЭСУ по чувстви-
тельности оптимизируемого функционала позволяет еще на стадии
проектирования определять обобщенный информационно-энергетичес-
кий ущерб для любой совокупности интересующих параметров, в том
числе и различной физической природы.
В общем случае уравнение чувствительности функционала каче-
ства Летова-Калмана представляет собой разновидность уравнения
Беллмана [48]. Данная особенность достаточно удобна, поскольку дает
возможность получить уравнение чувствительности в процессе синтеза
оптимального управления.
Дополнительные сведения по общей теории чувствительности
динамических систем и ее приложениях к теории оптимального управ-
ления приведены в [10, 49].
Поскольку на практике оптимальные фильтры РЭСУ (информа-
ционные контуры) и ее оптимальный регулятор (контур управления)
синтезируются, как правило, раздельно (см. 2.1.3), то чувствительность
контуров управления и информационного контура будем исследовать
раздельно.
6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНОГО
ПО ЛОКАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ
Оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности минимизи-
руемого функционала качества достаточно трудоемка и может потребо-
вать значительных вычислительных затрат. В связи с этим целесообраз-
но использовать алгоритмы оценки чувствительности с наименьшим
числом, по сравнению с другими, вычислительных операций. Рассмот-
рим один из таких алгоритмов, экономичность которого основана на
том, что чувствительность РЭСУ по всем обобщенным параметрам
оценивается на основе вектора ху заданной части, а не на основе
обобщенного вектора состояния (2.13).
Пусть для РЭСУ с заданной частью (2.7)
ху = Fyxy +Byu + ^y,
найден векторный сигнал управления (3.35)
u0=K-1BTyQ(xT-xy),
минимизирующий локальный функционал качества (1.5)
I = Му [xT(t) - xy(t)]rQ[xT(t) - xy(t)] + JuT(t)Ku(t)dt >.
О
Необходимо найти уравнение чувствительности функционала (1.5), не
расширяя вектор состояния (2.7), при условии, что имеют место вариации
всех обобщенных параметров РЭСУ. Под обобщенными параметрами aj
(j = 1, р) далее будем понимать фазовые координаты xTi (i = 1, n ) требуе-
мой траектории (2.8), элементы матриц штрафов Q и К в (1.5), коэффици-
енты матриц Fy и Ву и действующие возмущения ^ув (2.7).
Следует отметить, что все принятые исходные данные удовле-
творяют условиям применения теоремы разделения (см. 2.1.3). В связи с
этим чувствительность контура управления будет рассматриваться не-
зависимо от чувствительности фильтровой части РЭСУ. Кроме того,
поскольку все не предусмотренные при синтезе РЭСУ отклонения хт и
возмущения ^у, действующие на заданную часть, рассматриваются как
вариации обобщенных параметров aj, дальнейшее исследование чувст-
вительности правомерно проводить в рамках детерминированных моде-
лей хт и ху, а в (1.5) можно опустить знак математического ожидания.
Приняв во внимание зависимость (2.7) и (1.5) от aj? рассмотрим эти
соотношения как функции р-мерного вектора а обобщенных параметров.
Если компонент aj вектора а системы (2.7), (3.35) и (1.5) отлича-
ется от номинального значения ajHa малое значение Aaj? то (1.5) полу-
чит линейное приращение
AIaj = Iaj(xy,u,aj,t)-I~ (xy,u0,aj,t) = Yj(xy,a,t)Aaj, (6.7)
где
Y j (ху, a, t) = Э1а. (ху, u, a, t)/da j|a=~ (6.8)
- динамический коэффициент чувствительности функционала, количест-
венно равный его отклонению, приходящемуся на единицу изменения aj.
Ниже для упрощения опустим обозначение а = а , указывающее
на то, что все частные производные и фазовые координаты вычисляют-
ся на номинальной траектории параметров aj.
Поскольку минимизированный функционал качества представля-
ет собой функцию Беллмана (см. §3.1), то (6.7) и (6.8) можно предста-
вить в виде:
ASaj = Saj(xy,a,t)-S~j(xy,a,t) = у;(ху,аЛ)Да;;
Yj(xy,a,t) = 3Sa.(xy,a,t)/3aj , (6.9)
где Saj и ASaj - функция Беллмана и ее приращение при возникновении
Aaj. Правомочность замены в функции Беллмана обобщенного вектора х
вектором ху основана на том, что управляющий сигнал и воздействует
только на заданную часть ху [29].
Подставив в (2.7) и (1.5) функцию Беллмана (3.9), получим урав-
нения:
asa.(xy,a,t)
at
asa (х a,t)
= uTKu + (Fyxy +Byu + ^y)T--------i—-------
(6.10)
dSa(xy,a,t)
= -2Q(xT — xy),
(6.П)
которые решаются при граничных условиях
Saj(xy,a,tK) = [xT(tK)-xy(tj}Q[xT(tK)-xy(tK)]. (6.12)
Соотношение (6.11) получено путем сравнения (3.16) и (3.35). В
связи с тем, что рассматривается случай, когда оптимальное управление
уже найдено, в правой части (6.10) опущена операция минимума, имев-
шая место в (3.9).
Для определения чувствительности найдем частную производ-
ную от (6.10) по aj
д 3Sa.(xy,a,t) _ 3uTKu + 3(Fyxy + Byu + ^y)T *
Эа j St 3aj Эа j
Изменив в (6.13) порядок дифференцирования, с учетом (6.9) получим
_ Э Yj(xy,a,t) _ ЭитКц d(Fyxy +Byu + ^y)T dSa.(xy,a,t)
9t 3aj 3aj Эху
9v(xV)a,t)
+ (Fyxy + Byu + )T r\y’T . (6.14)
oxv
Будем искать решение (6.14) в классе квадратичных форм
Yj(xy,a,t) = xyrjXy + 2xyVj +gj, (6.15)
где Г,, Vj, |ij - соответственно симметричная матрица, вектор и скаляр-
ная функция, которые подлежат определению.
Частные производные от (6.15), в общем случае, имеют вид:
Эу^(ху,а,0/Эху = 2[FjXy + Vj]; (6.16)
- 3Yj(xy,a,t)/3t = -XytjXy - 2xyVj -jij. (6.17)
Подставив (3.35), (6.11), (6.16) и (6.17) в (6.14), перейдем к соотношению
т?, п т. . Э[хт - х )TQB K-1ByQ(xT - ху)]
Э^-Цх.-ХуГрВуК-'В^^]
Xc\AT Ay/ '
daj
+ 2[XyFy+(xT-Xy)TQByK-lBy+^y][rjXy+Vj]. (6.18)
Сравнивая в правой и левой частях (6.18) слагаемые, квадратич-
ные относительно ху, после взятия производных от произведений и
приведения подобных членов, получаем:
Tj = (Ak-'bJQ + QBy ^BJ.Q + QB К-1 -^Q-
J daj y y daj y y daj daj
-Q^-Fjr: -r=Fy +QByK-,B;ri + Г:ВуК"'в;О. (6.19)
daj
Сравнение в правых и левых частях (6.18) линейных, относитель-
но ху, слагаемых и свободных членов позволяет перейти к следующим
уравнениям:
v = dFy п о гл дВу iz-ipTQ -or dK 1 RtQy -
j aaj Q T Q aaj Q aaj K ByQ T QBy aaj ByQ r
-QByK-1 |^QxT " FjVj + QByK-lByVj - rjByK-lByQxT; (6.20)
|i: = 2xX>^K-'b;Qxt + x}QBy B;Qx, + 2x;q^-
J daj y y daj y daj
-2хХ>ВуК-’в^. (6.21)
Поскольку все частные производные в (6.19)-(6.21) отыскивают-
ся на номинальной траектории при отсутствии вариаций aj, то при полу-
чении (6.20) и (6.21) были опущены слагаемые, содержащие в качестве
сомножителей возмущения у.
Граничные условия для (6.19)-(6.21) определяются на основании
(6.9) и (6.12)
v ft I - Э5а/Ху’аЛ) - dx;(tk)QxT(tK) _ 2хт,. . ЭОхЖ)
aaj aaj y(k) aaj
+ xTy(tK)^xy(tK). (6.22)
y daj y
Сопоставляя (6.22) и (6.15) при t=tK получаем:
Анализ (6.15) и (6.19)-(6.21) позволяет сделать следующие зак-
лючения. С помощью полученного алгоритма можно еще на стадии
проектирования оценить коэффициент чувствительности РЭСУ к вариа-
циям произвольного параметра а,, включая изменения требуемой траек-
тории хт и возмущения £у. При этом чувствительность может опреде-
ляться как к вариациям отдельных параметров aj, так и к любой их сово-
купности, включая параметры различной физической природы. Необхо-
димо отметить, что алгоритм достаточно экономичен в вычислительном
отношении, так как он позволяет рассчитать чувствительность без рас-
ширения вектора состояния ху. Данное обстоятельство предопределяет
существенный выигрыш AN=0,5p(3n2+4nmn+m2n+mn-n-2) в числе урав-
нений, которые необходимо решать для оценки чувствительности РЭСУ
по сравнению с традиционным способом [48], основанным на операци-
ях с обобщенным вектором состояния х* = [х|ху^у], в состав которого
входит шп - мерный вектор возмущений.
Чувствительность РЭСУ к вариациям обобщенных параметров в
значительной мере зависит от их абсолютных значений и управляемых
координат. Особенно сильно влияют на чувствительность штрафы за
точность слежения, определяемые матрицей Q, штрафы за расход энер-
гии управляющих сигналов, которые назначаются матрицей К, и матри-
ца эффективности управления Ву. Следовательно, изменяя коэффициен-
ты матриц Q, К, Ву, можно в процессе синтеза целенаправленно управ-
лять ее чувствительностью.
Особенностью полученного алгоритма оценки чувствительности
синтезированных РЭСУ к внешним возмущениям является учет в урав-
нениях (6.20) и (6.21) производных 3^y/3aj. При случайном характере
изменений процесса ^у нахождение производных 3^y/3aj может пока-
заться на первый взгляд достаточно сложной задачей. Однако внешние
возмущения не зависят от параметров РЭСУ и для них параметром aj
являются сами компоненты £,yj вектора ^у. Отсюда следует, что при не-
зависимых компонентах £,yj
Э^у/Эаj = Э^у /d^yj = const.
(6-24)
Данное обстоятельство облегчает применение полученного алгоритма
для оценки помехоустойчивости синтезируемых РЭСУ к помехам, ко-
торые могут быть учтены в модели (2.7) в виде слагаемого у.
Введение в функционал (1.5) квадратичной формы от (6.15) позволит
синтезировать законы управления, обеспечивающие, наряду с минимумом
ошибок управления при заданных ограничениях управляющих сигналов, и
минимум чувствительности РЭСУ к вариациям обобщенных параметров.
ПРИМЕР. Для иллюстрации приведенного алгоритма определим
интегральную чувствительность радиоэлектронного следящего даль-
номера с двумя интеграторами к возможным несоответствиям условий
его функционирования моделям, положенным в основу синтеза закона
управления.
Пусть в дальномере, заданная часть которого аппроксимируется
уравнениями
Ay=Vy, Vy=buv,
имеются отклонения коэффициента усиления m второго интегратора, в
результате которых управитель следящей системы соответствует модели
Ду=тУу, Vy=buv, (6.25)
где: Ду, Vy - соответственно управляемые (отслеженные) дальность и
скорость; bv - коэффициент эффективности сигнала управления uv; m^l.
Управляющий сигнал
uv =^(цот -Ду)+^(УОТ -Vy), (6.26)
Kv Kv
формируемый по закону (3.35) для модели (6.25), оптимален по мини-
муму локального функционала качества (1.5):
I = JujKvdt +
о
Дот “Ду
411
4 12 Дот “Ду
422 _ _ V0T " Vy _
(6.27)
V0T _ Vy _ _q21
Здесь: Дот, V0T - соответственно отслеживаемые дальность и скорость:
kv - коэффициент штрафа за сигнал управления; qn, qi2=Q2i и 422 ~ ко-
эффициенты штрафов за ошибки слежения по дальности и скорости.
Структурная схема исследуемого дальномера приведена на рис. 6.1.
Рис. 6.1
Необходимо определить коэффициент ут (6.15) дальномера
(6.25), (6.26) к изменению m и проанализировать его зависимость от q2i,
q27, kv и b, вариациями которых можно управлять чувствительностью.
Выбор в качестве объекта исследования вариаций m объясняется про-
стотой проверки полученных результатов непосредственно по струк-
турной схеме дальномера.
Поставив в соответствие (6.25), (6.27) и (2.7), (1.5), (6.15),
получим:
О m
О О
О
b
Ду
Ду
Дог
v0T
Fy
Q = ~4ii 412 , rm = гд ГДУ
.421 922. _ГУД rv
ВУ
Чп
(6.28)
(6.29)
х
u = uv , К = kv ;
цт - скалярная функция.
Исключив из обобщенных выражений (6.19)-(6.21) слагаемые, не
зависящие от вариаций коэффициента fi2=m матрицы Fy , приходим к
соотношениям
3FT dF
Г =—^0-0—--FT -Г F +QB К ’втг +Г В К ‘ВТО,
ж m v у m * my ' ^"у*^ "у* m * m y "у^’
dt12 Ot|2
rm(tK) = O; (6.30)
dFT
vm =-^QxT -FJvm +QByK-'BTyvm-rmByK-'B;QxT,
U T| 7
vm(tK) = O; (6.31)
|im =-2x^QByK"lByvm, jim(tK) = O, (6.32)
где граничные условия были определены по (6.23). Подставив (6.28) и
(6.29) в (6.15), (6.30)-(6.32) получим систему уравнений для оценки
чувствительности дальномера:
Ут = ДуГд + ДуУугду + Vyrv + 2ДУУД + 2Vyvv + |lm ;
= 2Я|2Ь2гдук;’ , Гд0к) = 0;
гДУ =гуд =-гд -b2(q12rv -Ч2,гду)к“1, rav(tK) = 0;
rv =-2qi2 -2гдУ + 2q22b2rvKyl, rv(tK) = O; (6.33)
=b2(q,2vv -гдл12Дот -ravq22VOT)K;', v/tK) = 0;
vv =Ч12Уот - Vv +b2(q22vv -гл12Дот -rvq22VOT)K~l, vv(tK) = 0;
Am — — 2bvv(q2^OT + q22VOT)Kv , p.m(tK) —0.
Исследование чувствительности проводилось моделированием
(6.25), (6.26) и (6.33) на ЭВМ на интервале tp=tk-tH, соответствующем
Юс работы дальномера до момента tk его выключения. При этом пола-
галось, что до наступления t„ изменение отслеживаемой дальности Дот
происходило с постоянной скоростью, т.е. ошибки слежения по дально-
сти и скорости отсутствовали. Начиная с момента tH дальность изменя-
лась либо с постоянной, либо с переменной скоростью в достаточно
широком диапазоне начальных дальностей, скоростей (V0ti...V0t3) и ус-
корений (joTl-joTj)-
На рис. 6.2 приведены зависимости коэффициентов ут от пара-
метров q?i, q22, b и kv. На основании полученных результатов можно
сделать следующие выводы. При равномерном изменении отслеживае-
мой дальности 0от=0) и отсутствии начальных ошибок слежения даль-
номер с двумя интеграторами не реагирует на вариации т. Если появля-
ется ускорение дальномер становится чувствительным к изменениям т.
При этом значение у1П зависят как от модуля, так и от знака ускорения.
Возрастание модуля ym с ростом I j0T | объясняются увеличением ошибок
слежения по скорости AV=V0T-Vy, которые с весом m преобразуются в
ошибки отслеживания дальности АД=ДОТ-ДУ. Кроме того, при увеличе-
нии ошибок AV и АД расходуется больше энергии управляющих сигна-
лов, что также приводит к увеличению ут.
Чувствительность дальномера не зависит от начальной дальности
слежения. Это объясняется тем, что в дальномере с двумя интегратора-
ми при jOT=0 (что соответствует моменту tH начала исследования) отсут-
ствуют ошибки слежения по положению. Влияние начальной скорости
на у1П обусловлено тем, что ошибки слежения АД и AV зависят от мгно-
венной скорости V0T, которая определяется не только ускорением, но и
своим начальным значением.
Из рис. 6.2 видно, что изменения q2i, 422 и b влияют на чувст-
вительность дальномера только в области своих малых значений, при
Рис. 6.2
которых имеют место большие ошибки слежения (рис. 6.2,а для
q22=lc2/M2, kv=1(B2c)-', Ь=1м/(с2В), tp=10c, VotI=0,5Vot2> Vot3=1,5Vot2,
jOTi<0,joT2=-joTiJoT3=0,ljoTi; рис. 6.2,6 - при тех же значениях всех па-
раметров, кроме q21=1 с/м2; рис. 6.2,в - для q2i=l с/м2, q22=lc2/M2,
kv=1(B2c)-1). С увеличением параметров q2b q22 и b коэффициент ут
стремится к установившемуся значению. Это объясняется тем, что при
q22>l, Ь>1 возрастание у|П, обусловленное увеличением энергетической
части u2kv функционала (6.27), компенсируется уменьшением его ин-
формационной части за счет уменьшения ошибок слежения АД и AV.
Возрастание чувствительности при повышении штрафа q2j за
дальность (начальный участок рис. 6.2,а) обусловлено уменьшением
влияния сигнала управления по скорости за счет его перераспределения
в пользу ошибки по дальности. Это приводит к появлению ошибок сле-
жения по скорости, которые с весом m преобразуются в ошибки сопро-
вождения по дальности. Одновременно при этом увеличивается и энер-
гетическая часть функционала u2kv . Снижение чувствительности при
увеличении q22 (рис. 6.2, б), определяется тем, что q22 влияет только на
коэффициент обратной связи по скорости. Уменьшение ошибок слеже-
ния AV, обусловленное увеличением q22, и определяет ослабление влия-
ния m на изменение функционала. Увеличение b при прочих равных
условиях приводит, к более эффективной коррекции ошибок как по
дальности, так и по скорости. Данное обстоятельство и предопределяет
уменьшение чувствительности при возрастании b (рис. 6.2, в). Увеличе-
ние коэффициента штрафа ку (рис. 6.2,г) приводит к уменьшению
управляющих сигналов, что обусловливает возрастание ошибок слеже-
ния как по дальности, так и по скорости, а соответственно и к увеличе-
нию чувствительности (рис. 6.2,г, для q2i=lс/м2, q22=lc2/M2, Ь=1м/(с2В).
Анализ зависимостей на рис. 6.2 показывает, что для снижения
чувствительности дальномера к вариациям m целесообразно назначать
достаточно большие
штрафы q21, q22 и обес-
печивать большие Ь.
Кроме того, целесооб-
разно назначать малые
штрафы за управление.
На рис. 6.3 приведены
зависимости ym=f(t) для
различных наборов
параметров q21, q22, b, и kv. При этом, 1 соответствует единичным значениям
указанных параметров, а 2 получен для q2i=0,lc/M2, q22=0,lc2/M2, Ь=5м/(с2В),
kv=1(B2c)'!. Однако значения q21, q22, b, и kv следует выбирать с учетом обес-
печения требуемой точности слежения при заданных ограничениях
управляющих сигналов.
Необходимо отметить, что в общем случае при прочих равных
условиях РЭСУ, синтезированные по локальному критерию, обладают
наибольшей чувствительностью к точности выдерживания параметров,
в то время как системы, оптимизированные по критерию Лётова-
Калмана, менее критичны к ней. В качестве примера на рис. 6.2 штри-
ховыми линиями показаны зависимости уП1 для аналогичного дальноме-
ра, оптимизированного по критерию Лётова-Калмана.
В заключение отметим, что использование результатов исследо-
вания чувствительности позволяет еще на стадии проектирования вы-
брать такие штрафы функционала, которые учитывают требования не
только точности управления при заданных ограничениях управляющих
сигналов, но и снижения чувствительности РЭСУ к возможным вариа-
циям ее параметров.
6.3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
ИНФОРМАЦИОННЫХ КОНТУРОВ РЭСУ
Под информационными контурами РЭСУ понимают контуры оп-
тимальных фильтров, формирующие оценки всех необходимых фазо-
вых координат. Для оценки чувствительности оптимальных фильтров
можно использовать все показатели, рассмотренные в §6.1.
Основным показателем эффективности оптимальных фильтров
является сумма взвешенных дисперсий ошибок фильтрации
Dz = M{(x-x)TQ2(x-x)} = trM{Q2(x-x)(x-x)т} = trQ2D, (6.34)
где D - матрица дисперсий ошибок фильтрации; Q2 - диагональная
матрица, коэффициенты которой характеризуют важность отдельных
ошибок Лх, = х, - Xj для РЭСУ в целом.
В связи с этим для оценки чувствительности оптимальных фильт-
ров можно использовать изменения матрицы D, а соответственно и
(6.34), при изменении обобщенных параметров. В качестве обобщенных
параметров aj обычно рассматриваются коэффициенты всех матриц
моделей состояния (2.13) и измерителей (2.16), а также спектральные
плотности (дисперсии) всех возмущений.
Необходимо отметить, что изменения AD матрицы D, обуслов-
ленные вариациями обобщенных параметров, можно вычислить либо
непосредственно, либо на основании формулы
р
AD = XY<|>jAaj. (6.35)
j=i
Здесь:
y(l,j = OD/Эаj|a_=~ - (6.36)
матричный коэффициент чувствительности матрицы D ошибок фильтрации,
вычисленный для значений параметров a t при вариациях этих параметров
Aaj = aj-aj, (6.37)
р - число обобщенных параметров.
Следует подчеркнуть, что в общем случае значения параметров aj
могут отличаться от значений ajo, соответствующих идеально точным
моделям.
Для вычисления приращения AD матрицы ошибок фильтрации и
коэффициентов чувствительности (6.36) необходимо найти матрицу DAx
ошибок фильтрации при реальных параметрах моделей (2.13) и (2.16). В
математическом плане эту задачу можно сформулировать следующим
образом.
Пусть для оценки векторного процесса
x = Fx + ^x (6.38)
вместо идеально точных моделей состояния (6.38) и измерения
z = Hx + ^H (6.39)
используются их реальные приближения
Хр = FpXp + ^хр (6.40)
И
ZP = НрХр + £ир • (6-41)
При этом в реальных моделях (6.40) и (6.41) центрированные векторы гаус-
совских возмущений хр и ир характеризуются матрицами односторонних
спектральных плотностей Gxp и Gnp, отличающимися от соответствующих
матриц Gx и Gn возмущений х и „в (6.38) и (6.39) на значения
AGx=Gx-Gxp, AG„ =G„-G„p. (6.42)
Аналогично можно найти и матрицы ошибок
AF = F-Fp, ЛН = Н-Нр (6.43)
для матриц Fp и Нр в (6.40) и (6.41). Использование для моделей (6.40) и
(6.41) алгоритма оптимальной линейной фильтрации (3.61)—(3.63) по-
зволяет получить уравнения:
Хр — FpXp + K([)p(z — НрХр), (6.44)
Кфр = 2DpHTpG;;; (6.45)
Dp = FpDp + DpFp “ 2DpHJGpDp + °’5GxP (6-46)
при начальных условиях xp(0) = xp0; Dp(0) = Dp0. При этом было уч-
тено, что в (6.44) действует естественное измерение z, точная модель
которого отображается равенством (6.39).
Следует отметить, что для фильтра (6.44)-(6.46), синтезирован-
ного для условий, определяемых моделями (6.38) и (6.39), текущая
ошибка фильтрации
△хр = х - хр (6.47)
уже не будет отвечать требованиям минимума СКО, так как имеют ме-
сто ошибки (6.42) и (6.43).
Необходимо найти матрицу
Dp = М{(х —Хр)(х-хр)т} (6.48)
реальных ошибок фильтрации, характеризующую точность оценивания
по алгоритму (6.44)-(6.46) при наличии реальных погрешностей моде-
лей (6.42) и (6.43).
Продифференцировав (6.47) с учетом (6.38), (6.39), (6.43) и (6.44)
получим:
Ахр — х — хр — Fx + — FpXp — Кфр(г — НрХр) —
= (Fp + AF)x + ^x -Fpip -Кфр[(Нр +ДН)х + ^и -Hpip] =
= (FP - КфрНр)Дхр + (AF - КфрДН)х + - К(|)Д • (6.49)
Введем составные векторы
фр^и
удовлетворяющие условию
хс = F х + L,
где
F =[РР"КФРНР ^-КфрАН
(6.51)
(6.52)
а матрица односторонних спектральных плотностей возмущений с
Сх+КфрСиКфр о
0 GX
(6.53)
Поскольку процесс (6.51) гауссовский, то выражение для его ма-
тематического ожидания и корреляционной матрицы определяется
формулами [54]:
inc =Fcmc;
Ь =F D +DgFT+0,5Gc,
Здесь
Шп Г Do
mc = р ; D = р
тх ’ с Охр
тс(0) = тс0; Dc(0) = Dc0. (6.54) (6.55)
®рх . Dxf (6.56)
mcT(0) = [M{x(0)}-M{xp(0)}, M{x(0)}]; (6.57)
mp и Dp - МО и ковариационная матрица ошибок оценивания Лхр (6.47);
шх и Dx - МО и ковариационная матрица ошибок (6.38);
Dpx = Dxp =М{[Лхр - Шдх][х - тх]‘} - взаимная ковариационная мат-
рица. Подставляя (6.52) и (6.56) в (6.54) и (6.55), получаем
mp =(Fp -КфрНр)тр + (ДР-КфрДН)тх; (6.58)
ihx=Fmx; (6.59)
Dp = (Fp - K*pHp)Dp + Dp(Fp - КфрНр)т +
+(AF- КфрДН)Охр + Dxp(AF - КфрДН)т + 0,5Gx + 0,5КфрС„1Цр;
(6.60)
Ьхр =FDxp + Dxp(Fp -КфрНр)т + Ох(ДР-КфрДН)т ; (6.61)
Dx =FDX+DXFT+0,5Gx (6.62)
для начальных условий (6.57), причем обычно полагается [54], что
Dp(O) = Dxp(O) = Dx(O) = Do.
(6.63)
Анализ (6.58)-(6.63) позволяет сделать следующие выводы.
При решении этих уравнений можно вычислить матрицу Dp ре-
альных ошибок фильтрации при наличии погрешностей в исходных
моделях (6.40) и (6.41). Представив матрицу Dp в виде суммы
Dp=D + AD, (6.64)
где D - матрица ошибок фильтрации (3.63), вычисляемая для идеальных
условий (AF=0, AH=0, AGx=0, AGn=0), a AD - матрица приращений
ошибок фильтрации, обусловленных вариациями обобщенных парамет-
ров, можно получить:
Ь+ДВ = (Ер-КфрНр)О+(Рр-КфрНр)ДО+
+D(Fp -КфрНр)т + AD(Fp -К(1)рНр)т + (AFp -КфрДН)Охр +
+Dxp(AF—КфрДН)г + Gxp + ДСХ + Кфр(Сир + ДСИ )К},р.
Отсюда следует, что матрицу приращений дисперсий ошибок фи-
льтрации, вызываемых изменениями обобщенных параметров, можно
вычислить в процессе решения уравнения Риккати
ДЬ - (Fp - КфрНр)ДВ + AD(Fp - КфрНр)т + (ДР - КфрДН)Dxp +
+Охр(ДР-КфрДН)т+0,5ДСх+0.5КфрДС11Кфр, ДО(0)=0.
Здесь AGX и AGH определяются (6.42); Dxp - соотношением (6.61), а ну-
левые начальные условия следуют из (6.63).
Если вариации обобщенных параметров отсутствуют (AF=0,
ЛН=0, AGx=0, AGH=0), то при AD(0)=0, AD(t) = 0 будет выполняться
равенство AD(t)=0 и никаких приращений ошибок фильтрации не будет.
Если в (6.65) АР=КфрАН, то это уравнение можно решить, не обраща-
ясь к (6.61). При АГ^КфрАН (6.65) необходимо решать совместно с (6.61).
Важным преимуществом (6.65) является возможность вычисле-
ния AD для любого набора и любой величины вариаций параметров.
Недостаток состоит в том, что для каждого конкретного набора вариа-
ций и параметров необходимо вычислять AD заново, а это требует су-
щественных вычислительных затрат.
Последнего недостатка лишен способ определения AD на основе
соотношений (6.35) и (6.36). При этом способе, вычислив однажды ко-
эффициенты чувствительности (6.36), можно находить AD для любых
сочетаний вариаций параметров и их приращений. Для определения у(^
возьмем от (6.60) частную производную по aj при aj = aj:
Э ЭРр = 3[(Fp - КфрНр)Рр] + d[Dp(Fp-K(1,pHp)T] + 0 5 3G,
Эа} 3t 3aj Эа j ’ 3aj
3K(1)DGhKL, 3Dd 3Dd
+ 0;5 Фр Фр=(Р -K И )—^+—-(F-K(|H) +
daj и “ и daj daj и
3(Fd -K(bDHD)
vj------w_IL'd +d,
3aj p 1
Э(^_КфрН_р)r o,5 de* 0 5K
3aj 3aj
Фр •
Поменяв порядок дифференцирования в левой части этого уравнения, с
учетом (6.36) получим
4j = (Fp -КфрНр)уфр + y4)j(Fp -КфрНр)т +1ф]; (6.66)
d(Fp КфрНр) d(Fp КфрНр)
До Р .. Р До
(6.67)
при начальных условиях
ЭРр(О)
(6.68)
Преимуществом алгоритма (6.35), (6.66)-(6.68) является то, что,
вычислив однажды матрицы чувствительности (j = 1, р), можно оце-
нивать приращения AD дисперсий ошибок фильтрации, обусловленные
изменениями обобщенных параметров при любом их наборе и любой
величине. Однако следует подчеркнуть, что с увеличением Aaj точность
вычисления AD по формуле (6.35) ухудшается.
Многочисленные примеры использования различных алгоритмов
оценивания чувствительности оптимальных фильтров приведены в [48, 54].
Для дискретных оптимальных фильтров алгоритмы чувствительности можно
получить аналогично рассмотренным аналоговым соотношениям. Подробно
вопрос чувствительности дискретных фильтров обсужден в [47], а оценива-
ние чувствительности системы управления при одновременном учете алго-
ритмов оптимального оценивания и оптимального управления - в [48].
АРУ - автоматическая ре1улировка усиления
АЦП - аналого-цифровой преобразователь
АЧХ - амплитудно-частотная характери-
стика
БВС - бортовая вычислительная система
БРЛС - бортовая радиолокационная стан-
ция (система)
БТ - блестящая точка
БЧ - боевая часть
«в-в» - «воздух-воздух»
«в-п» - «воздух-поверхность»
ВЧП - высокая частота повторения
ДВС - датчик воздушной скорости
ДИСС - доплеровский измеритель скоро-
сти и угла сноса
ДПЛА - дистанционно пилотируемый
летательный аппарат
ЗПС - задняя полусфера
ИВС - информационно-вычислительная
система
КРУ - командная радиолиния управления
КЦО - кажущийся центр отражения
КЭС - корреляционно-экстремальная
система
ЛА - летательный аппарат
ЛКГ - линейно-квадратично-гауссовская
МО - математическое ожидание
НЧП - низкая частота повторения
ОП - оптический прицел
ОПС - обзорно-прицельная система
ООС - отрицательная обратная связь
ООУ - обобщенный объект управления
ОУ - объект управления
ПНК - прицельно-навигационный комплекс
ПНС - прицельно-навигационная система
ПОС - положительная обратная связь
ППС - передняя полусфера
ПТ - плавающая точка
ПУ - пункт управления
РГС - радиолокационная головка самона-
ведения
РНП - режим непрерывной пеленгации
РЛС - радиолокационная станция (сисгема)
РЭД - радиоэлектронный датчик
РЭС - радиоэлектронная система
РЭСУ - радиоэлектронная система управ-
ления
САУ - сисгема автоматического управления
СВС - система воздушных сигналов
СК - система координат
СКВ - система курсовертикали
СКО - среднеквадратичная ошибка
СКРУ - система командного радиоуправ-
ления
СОИ - система отображения информации
СОЦ - сопровождение одной цели
СПЦ - сипит подсвета цели
ССН - система самонаведения
СТОУ - статистическая теория оптималь-
ного управления
СУВО - система управления вооружением
и обороной
СУР - система управления ракетой
СУРЗ - системы управления по радиозопс
СЧП - средняя частота повторения
ТОЙ - теория оптимальной идентификации
ТОО - теория оптимального оценивания
ТОФ - теория оптимальной фильтрации
ТП - теплопеленгатор
ТТП - тактико-технические показатели
ТТТ - тактико-технические требования
УС - управляющая система
УФСТУ - устройство формирования
сигналов траекторного управления
ФТ - фиксированная точка
ЦВМ - цифровая вычислительная машина
ЦУ - целеуказания
ЭПО-эффективная площадь отражения
Литература
1. Авиационное радиоэлектронное оборудование. /Под ред. В.А. Ефимова.
-М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1993.
2. Автоматизация управления перспективных истребителей (по материалам
открытой иностранной печати). - Обзоры ЦАГИ, 1984, №641.
3. Антипов В.Н., Исаев С.А., Лавров А.А., Меркулов В.И. Многофункциональ-
ные радиолокационные комплексы истребителей. -М.: Воениздат, 1994.
4. Артамонов Г.Т. Автокорреляционная функция выходного сигнала фильтра
со случайным квантованием по времени в условиях сбоев. - Кибернетика. -
1970, №6.
5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория
конструирования систем управления -М.: Высшая школа, 1989.
6. Бабич В.К. Сверхманевренность истребителя. - Зарубежное военное обо-
зрение, 1994, №2.
7. Бабич В.К, Баханов Л.В., Герасимов ГП. и др. Авиация ПВО России и на-
учно-технический прогресс. Боевые комплексы и системы вчера, сегодня,
завтра. /Под ред. Е.А.Федосова. -М.: Дрофа, 2001.
8. Баранов И., Ивенин И., Каневский М. и др. Сверхманевренность - средство
побеждать. - Авиапанорама, 1999, № 1.
9. Боевая авиационная техника: Авиационное вооружение. /Под ред. Д.И.
Гладкова. -М.: Воениздат, 1987.
10. ГооопД. Методы идентификации систем. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.
11. Гуткин Л.С. Проектирование радиосистем и радиоустройств. -М.: Радио и
связь, 1986.
12. Гуткин Л.С. и др. Радиоуправление реактивными снарядами. -М.: Сов.
радио, 1968.
13. Двайт Г.В. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.:
Наука, 1977.
14. Доу Р.Б. Основы теории современных снарядов. /Пер. с англ. -М.: Наука,
1964.
15. Дудник П.И., Чересов Ю.И. Авиационные радиолокационные устройства.
-М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986.
16. Защита от радиопомех. /Под ред. М.В. Максимова. -М.: Сов. радио, 1976.
17. Ильчук А.Р., Канащенков А.И., Меркулов В.И. и др. Алгоритмы автоматиче-
ского сопровождения целей в режиме обзора. - Радиотехника, 1999, №1.
18. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространст-
ве состояний. -М.: Наука, 1983.
19. Канащенков А.И., Меркулов В.И., Самарин О.Ф. Облик перспективных
бортовых радиолокационных систем. -М.: ИПРЖР, 2002.
20. Красовский А.А. Основы теории управления и системотехники. -М.: ВВИА
им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986.
21. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и программы
проектирования автоматических систем. -М.: Радио и связь, 1988.
22. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радио-
локационной информации. -М.: Радио и связь, 1986.
23. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. /Пер. с англ.
-М.: Машиностроение, 1986.
24. Леонов А.И., Фомичев К.И. Моноимпульсная радиолокация. -М.: Радио и
связь, 1984.
25. Лъюинг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. -М.: Наука,
1991.
26. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на
ФОРТРАНЕ. -М.: Мир, 1977.
27. Максимов М.В., Горгонов Г.И. Радиоэлектронные системы самонаведения.
-М.: Радио и связь, 1982.
28. Максимов М.В., Горгонов Г.И., Чернов В.С. Авиационные системы радио-
управления. -М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1984.
29. Максимов М.В., Меркулов В.И. Радиоэлектронные следящие системы. Син-
тез методами теории оптимального управления. -М.: Радио и связь, 1990.
30. Меркулов В.И. Синтез фильтров Калмана при использовании следящих
измерителей. - Радиотехника, 1985, №10.
31. Меркулов В.И. Синтез оптимальных радиоэлектроных следящих систем с
повышенной устойчивостью к аддитивным помехам. - Радиотехника и
электроника, 1990, т.35.
32. Меркулов В.И. Теоретические основы построения радиоэлектронных систем
управления самолетом и оружием. -М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского,
1994.
33. Меркулов В.И., Перов А.И., Саблин В.Н. и др. Радиолокационные измерите-
ли дальности и скорости. Т. 1. /Под ред. В.И. Саблина. -М.: Радио и связь,
1999.
34. Меркулов В.И., Харьков В.С. Оптимизация радиоэлектронных систем
управления. Методы и алгоритмы синтеза оптимального управления. Об-
зор. - Радиотехника, 1998, №9.
35. Мита Ц., Хара С., Кондо Р. Введение в цифровое управление. /Пер. с
японск. -М.: Мир, 1994.
36. Многофункциональные импульсно-доплеровские радиолокационные стан-
ции управления оружием истребителей. Обзор по материалам иностранной
печати. /Под ред. П.В. Познякова. -М.: НИЦ, 1987.
37. Обрезков Г.В., Разевиг В.Д. Методы анализа срыва слежения. -М.: Сов.
радио, 1982.
38. Основы радиоуправления. /Под ред. В.А. Вейцеля. -М.: Радио и связь, 1995.
39. Островитянов Р.В., Басалов Ф.А. Статистическая теория радиолокации
протяженных целей. -М.: Радио и связь, 1982.
40. Первачев С.В. Радиоавтоматика. -М.: Радио и связь, 1982.
41. Первачев С.В., Перов А.И. Адаптивная фильтрация сообщений. -М.: Радио
и связь, 1991.
42. Радиоавтоматика. /Под ред. В.А. Бисекерского. -М.: Высшая школа, 1985.
43. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. -М.: Наука, 1992.
44. Саблин В.Н. Разведывательно-ударные комплексы и радиолокационные
системы наблюдения земной поверхности. -М.: ИПРЖР, 2002.
45. Саблин В.Н., Викулов О.В., Меркулов В.И. Авиационные многопозиционные
радиолокационные системы многоканального наведения. Разведывательно-
ударные комплексы. - Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной
радиоэлектроники, 1998, №8.
46. Самарин О.Ф. Статистические методы анализа погрешностей управляющей
ЭВМ систем управления ЛА. Учебное пособие. -М.: МАИ, 2000.
47. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управ-
лении. /Пер. с англ. -М.: Связь, 1976.
48. Сейдж Э., Уйат 111. Ч.С. Оптимальное управление системами. /Пер. с англ.
-М.: Радио и связь, 1982.
49. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А.
Красовского. -М.: Наука, 1987.
50. Теория автоматического управления. ч.1. Теория линейных систем автома-
тического управления. /Под ред. А.А. Воронова. -М.: Высшая школа, 1977.
51. Теория автоматического управления, ч. II. Теория нелинейных и специаль-
ных систем автоматического управления. /Под ред. А.А. Воронова. -М.:
Высшая школа, 1977.
52. Типугин В.Н., Вейцелъ В.А. Радиоуправление. -М.: Сов. радио, 1962.
53. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. -М.: Ра-
дио и связь, 1986.
54. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехниче-
ских устройств и систем. -М.: Радио и связь, 1991.
55. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. -М.: Мир, 1964.
56. Финкельштейн М.И. Основы радиолокации. -М.: Радио и связь, 1983.
57. Черноусько Ф.А., Колмановский Б.Б. Оптимальное управление при случай-
ных возмущениях. -М.: Наука, 1978.
58. Черняк В.С. Многопозиционная радиолокация. -М.: Радио и связь, 1998.
59. Шенброт И.М., Гинсбург М.Я. Расчет точности систем централизованного
контроля. -М.: «Энергия», 1970.
60. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в
радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1980.
61. Ярлыков М.С., Богачев А. С., Миронов М.А. Боевое применение и эффективность
авиационных комплексов. -М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1990.
62. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных
процессов. -М.: Радио и связь, 1993.
ВНИМАНИЕ !
Вышли в свет
в серии «Авиационные системы радиоуправления»
монографии:
1. Меркулов В.И., Лепин В.Н. Ч. 1. Теоретические основы синтеза и анализа авиаци-
онных систем радиоуправления. 4.2. Радиоэлектронные системы самонаведения.
— М.: Радио и связь, 1997.
2. Меркулов В.И., Чернов В.С., Саблин В.Н. и др. Системы командного радиоуправле-
ния. 4.4. Автономные и комбинированные системы наведения /Под ред. В.Н. Мер-
кулова.— М.: Радио и связь. 1998.
3. Радиолокационные измерители дальности скорости. Том.1 /Меркулов В.И., Пе-
ров А.И., Саблин В.Н. и др. Под ред. В.Н. Саблина. —М.: Радио и связь. 1999.
4. Канащенков А.И., Меркулов В.И., Самарин О.Ф. Облик перспективных бортовых
радиолокационных систем. Возможности и ограничения. — М.: ИПРЖР, 2002.
5. Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции разви-
тия / Меркулов В.И., Чернов В.С., Дрогалин В.В. и др. Под ред. А.И. Кана-
щенкова и В.Н. Меркулова. — М.: Радиотехника, 2003.
6. Авиационные системы радиоуправления. В 3-х томах. Т. 1. Принципы построе-
ния систем радиоуправления. Основы синтеза и анализа. Изд. 2-е, доп. и пе-
рераб. /Под ред. А.И. Канащенкова и В.И. Меркулова — М.: Радиотехника, 2003.
Планируется выпустить
в серии «Авиационные системы радиоуправления»
в 2003 г. монографии:
1. Авиационные системы радиоуправления. В 3-х томах. Т. 2. Радиоэлектрон-
ные системы самонаведения. Изд. 2-е, доп. и перераб.
2. Авиационные системы радиоуправления. В 3-х томах. Т. 3. Системы команд-
ного радиоуправления. Автономные и комбинированные системы наведе-
ния . Изд. 2-е, доп. и перераб.
в 2004-2005 гг.
1. Радиолокационные системы многофункциональных самолетов. В 2-х томах.
2. Радиолокационные измерители дальности и скорости. В 2-х томах.
3. Радиолокационные угломеры. В 2-х томах.
4. Помехозащищенность авиационных систем радиоуправления. В 2-х томах.
5. Многопозиционные системы радиоуправления.
6. Автоматическое сопровождение воздушных объектов в режиме обзора.
Серия
«Авиационные системы радиоуправления»
в 3-х томах
Том 1
Принципы построения систем радиоуправления.
Основы синтеза и анализа
Под редакцией
А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова
Авторы
Владимир Иванович Меркулов
Валерий Васильевич Дрогалин
Анатолий Иванович Канащенков
Владимир Николаевич Лепин
Олег Федорович Самарин
Алексей Алексеевич Соловьев
Изд. № 88. Сдано в набор 13.04.2003.
Подписано в печать 29.06.2003. Формат 60x90 1/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать офсетная
Печ. л. 12. Тираж 1000 экз. Зак. № 2486
ЛР№ 065229 от 20.06.97.
Издательство «Радиотехника».
107031, Москва, К-31, Кузнецкий мост, д. 20/6.
Тсл./факс: 921-48-37; 925- 78-72, 925-92-41.
E-mail: iprzhr@onlinc.ru
www.webcenter.ru /~iprzhr /
Отпечатано в ООО ПФ “Полиграфист”.
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, д. 3.