CHAOS AND ORDER
IN THE CAPITAL
MARKETS
A New View of Cycles, Prices, and Market Volatility
Second edition
Edgar E. Peters
JOHN WILEY & SONS, INC
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore
Э. Петерс
И
ПОРЯДОК на РЫНКАХ КАПИТАЛА
Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка
Перевод с ашлийскою
В. И. Гусева
под редакцией
А. Н. Романова
Москва «Мир» 2000
УДК 519.86
ББК 16.22.9
П29
Э. Петерс
П29 Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. — М.: Мир. 2000.—333 с. ил.
ISBN 5-03-003356-4
Книга американского специалиста, посвященная современным проблемам нелинейной экономической динамики (экономической синергетики). Описаны и проанализированы процессы, происходящие на рынках капитала под влиянием объективных экономических условий и субъективных решений участников рынка. Рассматриваются теории эффективного, переходного и когерентного рынков. Обсуждаются проблемы прогнозирования рыночной конъюнктуры, изменчивости рынков. Предлагаются методы долгосрочного прогноза для рынков акций, облигаций, валюты. Для доказательства валидности привлечена обширная статистика. Затрагиваются теории экономических циклов, экономических кризисов, экономического хаоса. Подход к решению экономических проблем основан на систематическом применении фрактального анализа. Привлечены также прикладная нелинейная динамика, теория клеточных автоматов, нечеткая логика, нейронные сети и другие новейшие математические теории.
Для экономистов-практиков, экономистов-математиков, преподавателей, аспирантов и студентов экономических дисциплин.
ББК 16.22.9
Редакция литературы по математическим наукам
Copyright © 1996 by Edgar Е. Peters All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.
ISBN 5-03-003356-4 (рус.)	© перевод на русский язык,
ISBN 0-471-13938-6 (англ.)	оформление, «Мир», 2000
Предисловие редактора перевода
Современная экономическая теория вступила в новую фазу своего развития. Это обусловлено несколькими факторами. Во-первых, усложнением и глобализацией мировой экономики. Во-вторых, вторжением в науку математических методов нелинейной динамики. И наконец, рождением новейших компьютерных технологий, сделавших возможным исследование сложных явлений и процессов, образно говоря, на экране дисплея.
Экономическая теория на. Западе, в двадцатом веке пережившая взлет и падение, теперь набирает силы для нового подъема, чтобы справиться с той сложностью мира, которую ей требуется осмыслить и включить в свои собственные пределы.
Обо всем этом написано в книге американского математика-экономиста Эдгара Петерса. Он начинает с анализа неудач и просчетов, обусловленных господствующей в настоящее время линейной парадигмой, и движется от простого к сложному, постепенно включая в сферу своего рассмотрения новейшие математические инструменты —фрактальную геометрию, теорию хаоса, клеточные автоматы, нечеткую логику, нейронные сети и друхИе, входящие сопавными частями в новую, нелинейную парадигму.
Объект исследования автора — рынки капитала. Их непредсказуемость, неожиданные скачки цен и непонятные тренды, наконец, внезапные падения, переживаемые экономикой как тяжелые кризисы, — все это издавна занимало умы ученых-экономистов. Но несмотря на их усилия разгадка оставалась недостижимой. Выдвигались элегантные гипотезы, как, например, гипотеза эффективного рынка, выстраивались правдоподобные теории, и тем не менее сложность явления была выше понимания экономистов, воспитанных в традициях классической школы.
Э. Петерс методично и последовательно применяет в своем экономическом анализе один из самых плодотворных ма-
6
Предисловие редактора перевода
тематических методов — фрактальный анализ. Исследована огромная статистика, охватывающая несколько десятилетий активности американских и европейских рынков капитала. Полученные при этом результаты весьма убедительны, они позволяют с уверенностью сказать, что обоснованные предсказания здесь не только возможны, но и являются мощным фактором управления инвестиционным процессом.
Помимо фрактального анализа автор включает в рассмотрение экономическую динамику в аспекте качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений — так называемый детерминированный хаос. Как перспективные направления исследований рассматриваются методы самоорганизо-ванной критичности в применении к анализу коллективного поведения экономических субъектов и кризисным явлениям в экономике. В качестве инструментов прогнозирования экономических показателей кратко охарактеризованы методы нечеткой логики и нейронных сетей.
Интересен раздел, посвященный практическому использованию теории хаоса и нелинейных технологий рядом американских компаний.
Как показал опыт, для нынешней российской экономики с ее затянувшимся упадком, неразберихой и периодически сменяющими друг друга финансовыми кризисами классическая экономическая теория, построенная на равновесных моделях, оказалась бессильной. Иначе и не могло быть. Ситуация перехода от социалистического планового хозяйства к свободному рынку есть крутой поворот, который несет в себе целый конгломерат нелинейностей. В этой обстановке реформаторам требовалось не только мужрстро но и понимание вплоть до математических выводов — того, что происходит и в каком направлении следует двигаться. По всей очевидности, такое понимание пока отсутствует.
Для будущих поколений российских экономистов книга Э. Петерса может послужить отправной точкой становления отечественной экономической теории, которая в хаосе реальной экономики неизбежно должна быть нелинейной.
Остается добавить, что книга написана легко и доступно, она не перегружена математическими выкладками и, по существу, представляет собой увлекательный рассказ о новейших методах математической экономики, не лишенный полемического задора. Это своего рода повествование о приключениях в рыночных джунглях двадцатого века.
Предисловие редактора перевода	7
В заключение следует сделать несколько замечаний о подготовке русского издания книги. В ходе работы над переводом поддерживался контакт с автором с целью выяснения возникающих вопросов. Мы хотим выразить ему нашу глубокую благодарность. С согласия автора было решено дополнить русский перевод книги дополнением на тему о применении концепции ландшафтной парадигмы в экономической теории. Данная концепция, возникшая немногим больше десяти лет тому назад в математической биологии, в настоящее время проникает в экономическую теорию —в ту ее ветвь, которая известна под названием эволюционной экономики.
Для русских читателей составлен список дополнительной литературы, отражающей различные аспекты теории и практики анализа нелинейных динамических систем.
В целом, «Хаос и порядок на рынках капитала» Эдгара Петерса может стать хорошим учебным пособием для студентов, настольной книгой аспирантов и стимулом к профессиональному росту преподавателей и научных работников.
Ректор Всероссийского
заочного финансово-экономического института, заслуженный деятель науки РФ, д.э.н., профессор, вице-президент РАЕН	А. Н. Романов
Предисловие к русскому изданию
Издание этой книги на русском языке — событие для меня радостное по двум причинам.
Во-первых, она возвращает на родину методы, развитые великим русским математиком А. Н. Колмогоровым и реализованные теперь в практическом приложении. Колмогоров работал над математическими проблемами турбулентности в 40-х годах. Его исследования в этой области чистой математики заложили основу для огромной литературы по хаосу, которая появилась позже. К несчастью, политическая ситуация оставалась неблагоприятной для распространения его работ за пределами Советского Союза еще в течение двадцати лет. Но их оригинальность и важность заложенных в них идей остаются до сих пор весьма ощутимы.
Вторая причина некоторым образом связана с первой. Россия ступила на путь свободной рыночной экономики, тем самым отойдя от жестко структурированной экономической системы бывшего СССР. В то время как легко видеть непосредственные выгоды свободного рынка, существует менее очевидное его преимущество, которое теперь может быть объяснено с позиций теории хаоса. Сложные системы, подмножеством которых являются системы хаотические, способны адаптироваться к изменениям в окружающей среде в процессе своей эволюции во времени. Такие процессы отличаются долговременной устойчивостью. Однако условиями этой устойчивости является неопределенность в кратковременной перспективе. Дорога в будущее неизвестна, существует много благоприятных возможностей, но им всем сопутствует доля риска в ближайшем времени. Нам давно известно, что ценой благоприятных возможностей является неопределенность. Теперь мы знаем причину этого.
Имеющий давние традиции свободного рынка Запад уже осознал это положение вещей, хотя в академических кругах оно до сих пор не принято. Литература, посвященная анализу рынков капитала, основывается на плохо адаптирующихся ли-
Предисловие к русскому изданию
9
нейных моделях. Эти модели с их элегантными решениями не отвечают реальной жизни. Они не объясняют падений фондовых рынков или их способности к последующим оживлениям. Тем не менее они обещают возможность предсказаний и управления свободными рыночными флуктуациями. В противоположность этому теория хаоса объясняет большие падения, но прямо говорит нам, что их невозможно предсказать. Управление для таких моделей остается проблемой. Поэтому трудно принять их без того, чтобы не принять положения о том, что в экономике существуют силы, нам не подвластные. Для рынков, которые развиваются и живут именно таким образом, этот контраст между долговременной устойчивостью и кратковременной нестабильностью мы постигаем интуитивно. Со своей стороны, математическая теория хаоса и фрактальная геометрия помогают объяснить не только существование подобных условий, но и повсеместную их общность.
Я надеюсь, что эта книга, которая в немалой степени выводит свою объяснительную мощь из работ Колмогорова, поможет новой России лучше понять функционирование свободных рынков.
Я обязан д-ру Виктору Гусеву за его работу по переводу книги и за то, что она выходит в свет. Вы держите этот том в своих руках благодаря его усилиям, и я приношу ему свою глубокую благодарность.
Февраль 2000 г.	Эдгар Э. Петерс
Посвящается моим детям, Яну и Люсии, моей матери, Мичико, и памяти моего отца, Эдгара. И, наконец, Шерил, которая всегда верила в меня.
Предисловие ко второму изданию
Когда я готовил первое издание этой книги, я надеялся, что она будет интересна достаточно большому кругу читателей, тем самым стимулируя дальнейшие исследования. Реакция была даже гораздо шире, чем я мог предположить. Это не значит, что моя работа получила всеобщее распространение, тем не менее, читательская аудитория оказалась достаточно велика. Так что мои усилия были не напрасны. Принимаясь за книгу, я поставил себе целью написать концептуальное введение в теорию хаоса и фрактальную статистику для практиков, в частности, для того чтобы они могли применить его в экономической теории и финансах. Другие авторы писали на эту тему раньше и проводили исследования, но они были в большей мере экономистами. Несмотря на то, что тогда (да и сейчас) едва ли можно было всерьез говорить, что мы должны доказывать «хаотичность» рынка, финансовые экономисты на эту тему опубликовали очень мало работ. Все публикации были по преимуществу в академических журналах. Я также хотел заново ввести в исследовательский инструмент метод нормированного размаха (Д/Д-анализ).
Когда пришло время писать «Хаос и порядок на рынках капитала,/, у .меня обозначились две основных цели. Первая — написать введение в нелинейные исследования, которое было бы достаточно подробно для того, чтобы его можно было использовать на практике, но не настолько детально, чтобы оттолкнуть большинство читателей. Второй целью было распространить нелинейные концепции на теорию рынков и экономический анализ — в противоположность превалирующей в настоящее время теории. Как она была, так и продолжает ею быть, это теория эффективных рынков и рациональных инвесторов. Названные цели придали этой книге полемический характер. Ими же и объясняется изложение основ теории, известной как теория хаоса, и ее применение в данном случае для рынков и экономического анализа. Я удовлетворен тем,
Предисловие ко второму изданию	11
что многие нашли такой подход провоцирующим мысль. Многие читатели первого издания продолжили и развили мою работу, будучи аспирантами университетов или практиками. Я также испытываю удовлетворение от того, что некоторые нашли время для критики моего подхода. Я многому у них научился.
Первое издание было осуществлено в, 1990 г.; с тех пор многое изменилось. Были изучены новые концепции, внедрены различные нелинейные технологии. Ввиду того что назначение книги как общего введения в проблему остается неизменно полезным, а эмпирический материал убедительным, явилась идея дополнить ее описаниями недавних достижений. Однако я был поставлен перед выбором. Я уже написал вторую книгу -- «Фрактальный анализ рынка», которая была более методична, чем «Хаос и порядок на рынках капитала». Во «Фрактальном анализе рынка» я обсуждал более всесторонние тесты, чем те, что были доступны в 1990 г. Если бы я включил их во второе издание «Хаоса и порядка», то оно стало бы копией другой книги. В то же время я хотел затронуть новые технологии, такие, как генетические алгоритмы и нечеткая логика, и их подробное обсуждение сделало бы книгу слишком длинной, громоздкой.
Я решил что в основе своей книга должна остаться неизменной. В изложении теории хаоса и фрактального анализа отдавалось предпочтение скорее интуиции, чем математике. А раз так, содержательная сторона должна была остаться «как есть». Тем не менее, я исправил ошибки, указанные читателями. Я также решил оставить неизменным эмпирический материал. Таким образом, «Хаос и порядок» продолжает быть концептуальным введением. Однако я во многих местах расширил текст обсуждениями и ссылками на теорию сложности. Теория сложности представляет собой более широкую область нелинейных исследований. Хаос и фракталы являются разделами более общей теории.
Основные дополнения сделаны в последней части книги. В 1990 году было очень мало инвесторов-профессионалов, которые использовали нелинейные методы. С другой стороны, наблюдался прогресс нелинейных технологий. Таким образом, добавленная четвертая часть касается некоторых нелинейных технологий и их практического применения. В соответствии со структурой книги этот материал также носит понятийный характер. Ссылки приведены для читателей, склонных к бо
12
Предисловие ко второму изданию
лее подробному анализу; они содержат достаточно математики для того чтобы начать самостоятельное движение.
Наконец, бейсик-программы первого издания были адаптированы для Visual-Basic 5.0. Включена дискета с текстами этих программ, а также программа для R/S-анализа.
Эта книга по-прежнему нацелена на инвесторов-профессионалов и заинтересованных научных работников. При этом текст вполне доступен пониманию студентов. Предисловие к первому изданию подтверждает цель, поставленную перед книгой. За последние пять лет был достигнут прогресс, но предстоит еще выполнить большую работу. Часто говорят, что наиболее интересное время для какой-либо области исследований— время перемен. Теория инвестиционных финансов находится сейчас именно в таком состоянии. Как я указываю в тексте, нелинейный подход к рынкам есть просто обобщение линейного взгляда. При ослаблении ограничивающего предположения о линейности нелинейность возникает естественным образом. Если новые специалисты будут вовлечены этой книгой в область нелинейных подходов, то я буду считать свою задачу выполненной.
Конкорд, штат Массачусетс	Эдгар Э. Петерс
Май 1996 г.
БЛАГОДАРНОСТИ
В дополнение ко всем упомянутым в первом издании я хотел бы поблагодарить сотрудников PanAgora Asset Management: Петера Ратенса, Яррода Вилкокса и Пауля Самуэльсона за содействие; Джорджии Николизин и Боба Кези за то, что они выслушивали меня в процессе подготовки материала; Рика Уилка и Дэвида Лиддела за готовность заменить меня в мое долгое отсутствие в офисе.
Особая благодарность Майклу Корнингу не только за переделку программ, но также за создание страницы в World Wide Web, посвященной фрактальному анализу рынков. Его энтузиазм в распространении информации о нелинейности способствовал поддержанию моего интереса к теме. Я хотел бы также поблагодарить Кристофера Мея за информацию, которую он продолжает мне присылать.
Наконец, я хотел бы еще раз поблагодарить мою семью за ее неослабевающую поддержку и одобрение.
Предисловие
Эта книга представляет собой концептуальное введение во фракталы и теорию хаоса в их применении к инвестициям и, в меньше степени, в экономической теории в целом. Исследования на рынках капитала в последние годы обнаружили больше вопросов, чем дали ответов, все более очевидной становится необходимость новой парадигмы, нового взгляда на вещи. Существующая картина, основанная на предположении об эффективном рынке, имеет выдающуюся сорокалетнюю историю, но к настоящему времени она не намного улучшила понимание того, как рынки работают. Эта книга делает попытку продвижения от концепции эффективных рынков по направлению к более общему взгляду на силы, лежащие в основе системы рынков капитала. В этой новой парадигме парадигма существующая включена как частный случай. Из этого вытекает, что упомянутое движение является развитием в исследовании рынка капитала и, я верю, логически вытекающим следующим шагом.
Эта книга — не учебник. Она имеет целью сообщить понятия из области фракталов и теории хаоса, которые применяются в теории рынков капитала и экономической теории в целом. Я не доказываю теорем. Тому, кто интересуется полными математическими выкладками, рекомендую обратиться к библиографии, где предложено множество математических и естественно-научных источников. Эта книга адресована инвесторам-профессионалам и заинтересованным научным работникам и предполагает дать основы теории рынков капитала, элементарной статистики и вычислений. Для магистра экономики управления понимание текста не вызовет затруднений; студентам, изучающим бизнес и экономическую теорию, оно также будет полезно. Информативный стиль изложения призван стимулировать мысль и предлагать новые идеи.
Я хотел бы поблагодарить за помощь всех тех, кто в течение многих лет помогал мне советами и предоставлял инфор-
14	Предисловие
мацию: Ричарда Кроуэла, Юджина Хоукинса, Марка Зурака, Роберта Вуда-младшего, Эрика Корнголда, Дэвида Лоуренса, Берри Кокс, Уоррен Спроул, Маурисию Лэрайн, Тониса Веге, Брюса Веста, Хеесен Эмед, Джеймса Вертина, Чарлза д’Амброзио, Фрэнка Фабоцци, Брюса Кларка, Фреда Мел-цера, Кена Джонсона и Мики Джоунза. Кроме того, я хотел бы поблагодарить Джеймса Рулло, Криса Лино, Дезир Бэббит, Мими Купер и Кэтлин Уильямс из PanAgora Asset Management за их терпение и помощь при подготовке рукописи. Наконец, я хотел бы поблагодарить мою жену и детей за их непрерывную поддержку во время осуществления этого проекта.
Конкорд, штат Массачусетс	Эдгар Э. Петерс
Сентябрь 1991
НОВАЯ ПАРАДИГМА
Парадигма — это умозрительная модель, позволяющая рассматривать явления в глобальном аспекте. Последние сорок лет в теории финансов доминировала линейная парадигма. Согласно этой парадигме каждое действие вызывает пропорциональную реакцию. Однако рынки редко бывают столь упорядоченными. Весьма часто, когда вы меньше всего ожидаете этого, возникает экспоненциальная суперреакция на воздействие — это и есть сущность нелинейности, и большинство практиков осознают ее связь с реальностью. Многие ученые и аналитики согласны с тем, что рынки реагируют нелинейно. Однако при этом предполагается, что линейные ограничения не умаляют полезности построенных на их основе моделей, даже если системы имеют нелинейный характер. С линейными моделями намного легче работать — в противоположность тем, которые «загрязнены» нелинейностями. Преимущество линейной модели, состоящее в ее простоте, зачастую перевешивает опасности, потенциально кроющиеся в ее ограничениях. Однако теория хаоса и науки о сложных системах предлагают иной подход.
В этой части книги мы рассмотрим общепринятую теорию рынков капитала и исследуем как ее положительные моменты, так и ее проблемы. Это должно убедить нас в преимуществах новой парадигмы, в которой предлагается учет нелинейности и сложности рассматриваемых систем.
Глава 1
Введение: жизнь сложна
Во все времена люди пытались организовать и структурировать свою жизнь. Как еще можем мы объяснить нашу правовую систему, бюрократию и организационные структуры? Для упорядочения отсчета времени были созданы календари и часы, они организуют и координируют нашу повседневную деятельность. Мы издаем энциклопедии, словари, книги, газеты в целях систематизации знаний. Безотносительно к степени детализации законов или организационных структур мы тем не менее пытаемся понять их, будь то некое естественное явление, например, погода или некое социальное образование. Вот почему нам нужна система судопроизводства, чтобы интерпретировать законы, нужны консультанты, помогающие понять групповую динамику акционерных компаний, и нужна наука для понимания природы.
Как бы мы ни пытались привести все в идеальный порядок, — в нашем мире его нет: природа не упорядочена, не упорядочены и человеческие творения, именуемые институтами. Экономике и рынкам капитала особенно недостает упорядоченности. Рынки капитала являются нашими собственными созданиями, но мы еще не знаем, как они работают. Некоторые ИЗ наших ЛУЧШИХ мьтспитрЛрЙ ПОСВЯТИЛИ жи?ш. тому, чтобы понять, как перетекает капитал от одного инвестора к другому и почему. Чтобы сделать рынки капитала более понятными, создаются объясняющие их модели. Они по необходимости упрощают реальность. С помощью нескольких упрощающих предположений о поведении инвесторов была создана общая аналитическая модель, помогающая понять созданные нами рынки. Эти модели не отличаются хорошей работой. Они объясняют некоторые явления, но многое оставляют неясным и часто ставят больше вопросов, чем дают ответов. Экономисты обнаруживают, что их предсказания в противоположность теории имеют ограниченную эмпирическую валидность.
18
Глава 1. Введение: жизнь сложна
Например, статья в «Форбс», написанная Линденом (Linden) и озаглавленная «Скучные дни в унылой науке», цитирует Мак-Низа (McNees, 1983, 1985, 1987, 1988), который изучал экономические прогнозы и нашел, что экономисты делали серьезные ошибки в прогнозах в каждом из поворотных моментов экономического развития, начиная с 70-х годов, когда началась эта работа. Мак-Низ обнаружил также, что в этих поворотных моментах прогнозисты ошибались все вместе. Предсказания, в случае если они сделаны корректно, отражали действительность только в коротком временном интервале. Незначительное изменение только одной переменной может иметь большее влияние, чем это предусматривает теория.
Все новые очевидные примеры продолжают свидетельствовать, что рынки капитала ведут себя не так, как предсказывает теория случайных блужданий, тем не менее последняя преподносится как факт, не подлежащий сомнению. Например, на рынке акций происходит намного больше сильных скачков цен («выбросов»), чтобы их можно было объяснить как эффекты шума. Другие аномалии в существующей парадигме рынков капитала будут рассмотрены ниже, и их слишком много, чтобы их не замечать.
Сорок лет назад предполагалось, что эконометрика даст нам возможность предсказывать наше экономическое будущее и соответствующим образом к нему подготавливаться. Сегодня экономические предсказания часто являются объектом насмешек. Уоллстрит и корпоративная Америка распускают экономические департаменты, потому, как говорит Линден, ню их предсказания v. демонстрируют развлекательность и выдумку, но не очень полезны». Откуда же проистекают ошибки?
Во-первых, существует концепция равновесия. Эконометрический подход предполагает, что если не существует внешних, или экзогенных, влияний, то система находится в покое. Так экономисты определяют равновесие. Все уравновешивает друг друга. Предложение равно спросу. Возмущая систему, экзогенные факторы выводят ее из равновесия. Система реагирует на возмущение и возвращается в равновесное положение линейным образом. Система реагирует немедленно, потому что она стремится быть в равновесии и питает отвращение к несбалансированности. Она хочет быть опрятной и быть всегда на своем месте.
Глава 1. Введение: жизнь сложна
19
Однако, если мы посмотрим на экологию живого мира, — Земли например — то увидим, что природа избегает равновесия. Если особь или система хочет выжить, она должна эволюционировать, или, как утверждает И. Пригожин, «находиться далеко от равновесия». Луна находится в равновесии, но это мертвая планета.
Рыночная открытая экономика является эволюционирующей структурой. Попытки контролировать экономику, управлять ею, держать ее в равновесии обречены на провал. Недавний крах ленинского коммунизма — всего лишь один пример. Другие «утопические» общества тоже пытались создать равновесную экономику, но все они потерпели неудачу.
Равновесие подразумевает недостаток эмоциональных сил, таких как жадность и страх, которые служат причиной экономической эволюции, состоящей в приспосабливании к новым условиям. Регулировать эти человеческие страсти может быть было бы и желательно, чтобы охлаждать излишний пыл, но если их подавить совсем, то система потеряет жизненную силу, и в том числе — способность находиться в состоянии, далеком от равновесия, что необходимо для развития. Равновесие системы означает ее смерть.
«Эффективный рынок» — это такой рынок, на котором все активы справедливо оцениваются в соответствии с доступной информацией, и как покупатели, так и продавцы не склонны к авантюрам. Однако не только справедливые цены, а и множество других факторов оказываются важными для функционирования рынков. Например, биржевой брокер будет утверждать, что низко-волатильный рынок есть рынок нездоровый. Новые финансовые инструменты, лаюптие низкий процент дохода, в конце концов умирают, даже, если цены были справедливы. Недавний пример — индекс участия контрактов в индексе акций, спроектированный для того, чтобы дать индивидам или институтам возможность торговли ценными бумагами с помощью компьютерных технологий без использования фьючерсов. Это была превосходная идея, и контракты, как правило, справедливо оценивались, но тем не менее эта концепция умерла — недоставало заинтересованности участников. Объем торговли был слишком низок для поддержания Рынка. Здоровый рынок — это волатильный рынок, а справедливые цены не являются необходимым условием.
Не должны ли мы тем самым сделать вывод о том, что здоровая экономика и здоровый рынок не стремятся к равно
20	Глава 1. Введение: жизнь сложна
весию, но, напротив, далеки от него? Экономисты, которые используют теории равновесия для моделирования далеких от равновесия систем, подобны производителям сомнительных ценностей.
Второй проблемой для эконометрического взгляда на мир является время. Эконометрика игнорирует время или, в лучшем случае, рассматривает его как переменную наравне с другими переменными модели. Рынки и экономика при таком подходе не обладают памятью о прошлом или имеют очень ограниченную память. Если десять лет назад все переменные, влияющие на процентную ставку имели те же значения, что и сейчас, то и она сама должна быть такой же. Различия в предыстории игнорируются. В лучшем случае эконометрика имеет дело с короткой памятью, считается, что эффекты памяти быстро диссипируют. Идея о том, что лишь одно какое-то событие может изменить будущее, чужда эконометрике — вот в чем причина пропуска экономистами поворотных точек экономической эволюции, о чем упоминал Мак-Низ.
Рассмотрим пример. Предположим, что процентная ставка г однозначно зависит от скорости инфляции г и предложения денег S. Тогда простейшей моделью будет:
r = a*i + b*S.
В этом сверхпростейшем случае коэффициенты а и b будем считать фиксированными, тогда г зависит только от текущих уровней i и S. При этом не имеет значения, будут ли i и S одновременно возрастать, или же одно из них будет увеличиваться, а другое уменьшаться. История здесь неуместна.
Что тут не учтено, конечно, так это качественный аспект проистекающий из того обстоятельства, что люди принимают решения. На нас влияет все, что происходит вокруг. Наши ожидания будущего проистекают из опыта. Этот эффект обратной связи, эхо прошлого, влияющее на настоящее, и настоящее, влияющее на будущее, — он чаще всего игнорируется, и особенно в теории рынков капитала. В следующей главе мы рассмотрим рационального человека, каким он выступает в экономической методике. Он не подвержен ожиданиям, вытекающим из прошлого, возможно, учитывает только недавнее прошлое. Реальная же система с обратной связью включает долговременные корреляции и тренды, потому что наделена памятью о давних событиях, которые влияют на решения в настоящем.
Глава 1. Введение: жизнь сложна
21
Все эти факторы делают рынки капитала беспорядочными. Четкость, оптимальные решения здесь неприменимы. Вместо того мы предоставлены множеству возможных решений. Эти характеристики — далекие от равновесия условия и не зависящие от времени механизмы обратной связи — являются симптоматикой нелинейных динамических систем.
Когда я был аспирантом-математиком, в курсе дифференциальных уравнений мы изучали только линейные уравнения. Мы изучали их потому, что они имеют единственное решение. Они имели приложения в технике и физике. Они были аккуратны.
Нелинейные дифференциальные уравнения выглядели бесполезными ввиду того, что имели множество решений, которые казались не относящимися к реальности. Они были сложны, беспорядочны и выглядели исключениями.
Теперь мы знаем, что большинство сложных естественных систем может быть смоделировано с помощью нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Эти уравнения полезны именно по тем причинам, по которым их стремятся избегать. Жизнь не упорядоченна. Она изобилует возможностями. Поэтому необходимы модели со множеством возможных решений.
Возьмем для иллюстрации простую нелинейную систему. Предположим, есть акция ценой Pt, определим ее как мелкую акцию, продаваемую меньше чем за один доллар. Поскольку на рынок приходит достаточно много покупателей, их требования становятся причиной повышения цены на определенную долю от первоначальной стоимости, определяемую коэф-фиттирнтош п Тогда стоимость этой акции в момент времени t + 1 будет равна:
Pw=a*Pt. '	(1.1)
В этом уравнении предполагается, что существуют только покупатели. Чтобы сделать модель более реалистичной, мы должны учесть влияние продавцов. Предположим, что в то время как цена увеличивается на a* Pt, продавцы уменьшают ее на a* Pt2. Уравнение (1.1), следовательно, приобретает вид:
Pt+i = а * Pt — а * Р?
Pt+l = а * Pt * (1 - Pt).	(1.2)
22
Глава 1. Введение: жизнь сложна
Эта модель тоже не очень реалистична, однако она объясняет, по крайней мере, что происходит, если давление покупателей поднимает цены в пропорции а, а продавцы снижают их на а * Р%. При низком спросе цены снижаются до нуля и система умирает. При высоком (но не слишком высоком) спросе цены стремятся к устойчивому состоянию, или к «справедливой величине».
Предположим, покупательское давление дает рост со скоростью а = 2 и Ро = 0.3. В соответствии с итерационным уравнением (1.2) цена в конце концов устанавливается на отметке 0.50. (Я предлагаю читателю проверить это на персональном компьютере с электронной таблицей. Просто скопировать уравнение (1.2) вниз на сто ячеек, или около того. Может быть использован также калькулятор путем повторных нажатий кнопки вычисления.) Таким образом, на средних величинах цены конвергируют к постоянной величине. Однако, если скорость роста увеличить до а = 2.5, то неожиданно образуются две возможных справедливых цены, и система начинает осциллировать между ними. Почему это происходит? На этом критическом уровне покупатели и продавцы поступают на рынке не одинаково. Отставание а* Р% при этом становится больше, чем рост, обусловленный величиной а. Но если цена достигла низшего уровня, то в этом случае начинает доминировать скорость роста а, толкая цену обратно к верхней отметке. Таким образом, имеют место две справедливые цены: по одной продавцы продают, по второй покупатели покупают. На этом однако, дело не кончается.
Если скорость роста а непрерывно повышать, то возможно появление 4-х. 16-ти. 32-х справедливых пен. В итоге, при а = 3.75 имеет место бесконечное количество справедливых цен. Так как система не может установиться на какой-то справедливой цене, она флуктуирует случайным образом, хаотически. На рис. 1.1 показана бифуркационная диаграмма с критическими величинами скорости роста а, где число справедливых цен увеличивается.
Эта модель не реалистична, она предполагает, например, что давление продавцов прямо соотносится со скоростью роста покупательского спроса. Однако она показывает, как сложные результаты могут порождаться даже в простой нелинейной системе. Легко представить себе уровень сложности большой нелинейной системы, такой например, как погода
Глава 1. Введение: жизнь сложна
23
2.5	3.0	3.45 3.54 3.56	•	3.75	4 а
Рис. 1.1. Бифуркационная диаграмма: логистическое уравнение.
или активно функционирующий рынок капитала. Уравнение (1.2) — это знаменитое логистическое уравнение, хорошо изученное и описанное в литературе. В главе 10 мы исследуем его поведение более подробно.
Из приведенного выше простого примера нетрудно вывести несколько важных свойств нелинейных динамических систем. Во-первых, это системы с обратной связью. То, что происходит сегодня, зависит от того что было вчера — Pt+\ есть результат Pt. Во-вторых, существуют критические у ров
24
Глава 1. Введение: жизнь сложна
ни, где имеет место больше чем одно положение равновесия. В логистическом уравнении первый критический уровень соответствует а = 2.5. В-третьих, эта система является фракталом. Этот термин будет подробно раскрыт в части 2, но фрактальная характеристика станет ясна, если обратиться к рис. 1. При а = 3.75 мы видим «полосу устойчивости». Внутри каждой фигуры существуют фигурки поменьше, подобные большой фигуре. Если малую фигуру увеличить, то можно увидеть, что она содержит свою «полосу устойчивостей», где также содержатся подобия большой фигуры. Во все меньших и меньших масштабах могут быть найдены ее повторения. Это свойство самоподобия является характеристикой нелинейных динамических систем, симптоматикой нелинейных процессов с обратной связью. Сложность в поведении возникает только тогда, когда система находится далеко от равновесия.
И, наконец, четвертое — имеет место чувствительная зависимость от начальных условий. Если уравнение (1.2) становится предсказательной моделью, то тогда даже малейшее изменение Pt даст огромную разницу цен при t + n, даже если они были близки вначале.
Эти характеристики указывают на то, что рынки капитала являются нелинейными динамическими системами, и тогда можно ожидать следующего:
1.	Долговременных корреляций и трендов (эффектов обратной связи).
2.	Изменчивости, с критическими уровнями рынков — при определенных условиях и в определенное время.
3.	Временные ряды прибылей при уменьшаемых временных промежутках будут выглядеть одинаково и иметь подобные статистические характеристики (фрактальная структура).
4.	Уменьшения надежности предсказаний по мере того как эти предсказания будут стремиться заглядывать все дальше вперед (чувствительная зависимость от начальных условий).
В общем случае такого типа явления имеют место тогда, когда система находится далеко от равновесия. Они характерны для рынка, как мы его знаем из опыта, и они никак не подпадают под гипотезу эффективного рынка (Efficient Market Hypothesis — ЕМН), которая оказывала влияние на финансовые инвестиции, или на финансовую экономическую теорию
Сложность
25
в последние тридцать лет. Крушение ЕМН как парадигмы составляет тему следующих двух глав.
ЕМН предполагает, что инвесторы рациональны, дисциплинированы и аккуратны. Такого рода предположения о поведении инвесторов сузили математическую модель до простых линейных дифференциальных уравнений с единственным решением. Однако рынки не упорядочены и не просты. Они хаотичны и сложны.
сложность
В последние пять лет стало ясно, что теория хаоса и фракталы являются подмножеством более всеобъемлющей дисциплины— теории сложности. Теория сложности имеет дело с процессами, где много кажущихся независимыми агентов действуют связанно. Сложными могут быть динамические процессы или объекты. Мы узнаем качественные аспекты сложности, но не имеем возможности их точного измерения. Деревья, почерк, речное ложе — все это сложные объекты, которые будучи самобытными, имеют в то же время нечто общее. Их сложностью обусловлен тот факт, что, различаясь в деталях, они подобны в принципе. Это означает, что они локально случайны, но глобально детерминированны. Они — фрактальны.
Мы также наблюдаем это во множестве динамических систем, таких например, как мировая экосистема. Кауфман (Kauffman, 1993) постулировал, что спонтанная согласованность структур — более приемлемый механизм эволюции, нежели медленные перемены по теории Дарвина. Его работа была вдохновлена признанной всеми очевидностью состоящей в том, что новый вид всегда возникает во времени в результате неких взрывов природной активности. Так же и в социальных науках можно отыскать много примеров, когда рассредоточенная индивидуальная деятельность внезапно становится школой или философским направлением, подобным трансцендентализму, или школой в искусстве — например импрессионизмом. А неорганизованная чернь может стать шайкой гангстеров, действующей как один ум. Группа может совершать действия, которые трудновообразимы для одного человека.
Традиционная техника моделирования не может управить-Ся со сложностью реального мира в таких ситуациях, как упомянутые выше. Только в последнее десятилетие, с появлением
26
Глава 1. Введение: жизнь сложна
мощных компьютеров стала возможной разгадка многих природных явлений и секрета рынков капитала.
СТРУКТУРА КНИГИ
Эта книга задумана одновременно как введение в новую аналитическую технику и призыв к пересмотру методов, которыми пользовались на протяжении последних сорока лет. В частности, мы хотим изучить предположения, на основе которых мы строим модели. Часть 1 представляет собой краткий обзор истории и критику основ современной теории рынков капитала. Большинству читателей должна быть знакома основная часть этого материала, однако важно напомнить, каким образом мы пришли к существующему положению вещей и почем) развитие пошло именно таким путем. Пришло время подвергнуть сомнению некоторые из предположений, в соответствие с которыми строилась гипотеза эффективного рынка. Мы делаем это в главе 2. В главе 3 рассматривается ряд реальных фактов, противоречащих существующей теории. В главе 4 мь: перебрасываем мостик к новой парадигме, пытаясь объясните ее необходимость в преодолении существующих трудностей.
Часть 2 посвящена фрактальному анализу. Подобно всей книге в целом она в большей мере представляет собой концептуальное обсуждение. Фракталы предлагают новый, более широкий статистический анализ, нежели логическое расширение общепринятой теории рынков капитала. В главах 5 и ( мы рассматриваем основополагающие характеристики фракталов и в главе 7 описываем анализ фрактальных времен-ttt.jv рядор с помощью метопа нормированного размаха (R/S-анализа). В главе 8 исследуются методы анализа рынков капитала с использованием фрактальной техники, а в главе 9 — особенности фрактальной статистики.
В части 3 дается обзор методов анализа нелинейных динамических систем, или теории хаоса. В главах 11 и 12 дается определение хаотической системы и подход к ее анализу. Глава 13 рассматривает рынки капитала как очевидно склонные к хаосу.
Часть 4 имеет дело с разного рода приложениями теории, которые помогают справиться со сложностью реального мира Здесь намечаются пути к тому, чтобы по-новому посмотреть на старые проблемы. Некоторые из этих путей радикально отличаются от тех, что использовались раньше, это видно при
Структура книги	27
первом же беглом взгляде. Я верю, что когда эти подходы будут в достаточной мере подробно изучены, новая парадигма предстанет как обобщение ныне существующей. Она принимает во внимание нерациональных инвесторов и статистиков, которые не завязли на нормальном распределении. Существующая парадигма остается частным случаем новой, нелинейной парадигмы, но, как всякий особый случай, она не являет себя часто. Нелинейное обобщение делает понимание рынков и экономики в целом много более полным и реалистичным. Оно одновременно великолепно и страшно. Оно прекрасно, потому что мы глубже проникаем в природу рынков и лучше понимаем ее, но и пугает тем, как много предстоит сделать.
Глава 2
Случайные блуждания и эффективные рынки
В теории финансового инвестирования нет концепции, которая имела бы такую широкую проверку и так мало доверия к себе, как «эффективные рынки». Помимо всего эта концепция является краеугольным камнем количественной теории рынка капитала, и последние тридцать с лишним лет исследований были полностью ей подчинены. В действительности гипотеза эффективного рынка (ЕМН) уходит корнями в начало века. Она выполняет одну первейшую функцию: оправдать использование вероятностных расчетов в анализе рынков капитала. Но если рынки являются нелинейными динамическими системами, то тогда использование стандартного статистического анализа может привести к ошибочным результатам, особенно если в основе лежит модель случайных блужданий. Поэтому становится важным пересмотр тех предпосылок, которые стоят во главе угла нынешней теории рынков капитала.
Эффективные рынки представляются такими, где в сложившихся ценах уже учтена и обесценена вся публичная информация, отражена как общеэкономическая так и собственно ценовая история. Ценовой сдвиг, следовательно, происходит только тогда, когда появляется новая информация. Эффективный рынок не может быть игровым, не только потому, что в ценах отражает известную информацию, но и потому, что само по себе большое количество инвесторов обеспечивает справедливость этих цен. С этой точки зрения инвесторы предполагаются рациональными: они знают в совокупности, какая информация важна, какая нет. Тогда после систематизирования этой информации и оценки рисков коллективное сознание рынка находит равновесную цену. В сущности ЕМН утверждает, что рынок создается ошибками многих.
Если это предположение о надежности рынка, обусловленной большим количеством инвесторов, истинно, то тогда сегодняшнее изменение цены зависит только от сегодняшних неожиданных новостей. Вчерашние новости недолго остаются значимыми, и сегодняшние прибыли не имеют отношения
Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки 29 ко вчерашним; прибыли в этом смысле независимы. А если это так, то, следовательно, они являются случайными переменными и следуют случайному блужданию. Если накоплено достаточно большое количество ценовых изменений, то в пределе (когда число наблюдений приближается к бесконечности) их вероятностное распределение становится нормальным. Это предположение о нормальности распределения прибылей открывает дорогу к несметному количеству статистических тестов и методов моделирования, которые могут дать оптимальные решения в качестве руководства к действию.
Эта версия ЕМН, основанная на случайном блуждании, во многих отношениях ограничена. Рыночная эффективность не подразумевает с необходимостью случайное блуждание, но случайное блуждание подразумевает рыночную эффективность. Следовательно, предположение о том, что прибыли нормально распределены, непременно подразумевается эффективными рынками. Однако существует глубоко укоренившееся предположение о независимости прибылей. Большинство тестов ЕМН проверяют также версию о случайном блуждании. Кроме того, в любом варианте ЕМН утверждает, что прошлая информация не влияет на рыночную активность, так как эта информация общеизвестна. Это предположение об относительной независимости изменений рыночных цен, во-первых, дает возможность использовать теорию случайного блуждания и далее более общие мартингальные и субмар-тингальные модели. И хотя не все версии ЕМН предполагают независимость, техника, используемая для статистических испытаний, несет в себе предположение о независимости, а также о существовании конечных дисперсий. Вследствие лих особенностей версия ЕМН, основанная на случайном блуждании, считается единственной гипотезой эффективного рынка, ее неотъемлемым признаком, хотя технически это неверно.
Действительно, предположение о том, что прибыли следуют случайному блужданию, приходит на ум первым при наблюдении и статистическом анализе прибылей. Рациональные Доводы в пользу применения статистического анализа с его предположениями о независимости прибылей приходят много позже. ЕМН стала результатом накопления в этом процессе рационализации.
Любой ученый может выразить недовольство тем, что теория совершенствуется ради оправдания применяемых методов: ведь это значит ставить телегу впереди лошади — такая
30 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
наука никуда не годится. Если рыночные прибыли подчиняются нормальному распределению, то имеется возможность развивать гипотезу и следствия из нее. В теории рынков капитала предположения о нормальности распределений и конечной дисперсии, так же как и основанные на них модели развивались вопреки эмпирической очевидности, которая всегда вступала в противоречие с теорией.
В этой главе мы сделаем обзор теории рынков капитала и ее истории развития. Обсуждение по необходимости будет кратким. Наша цель —- показать, что если предположение о случайном блуждании цен на рынках капитала неверно, то тогда большая часть нынешней теории, эмпирических исследований и исследовательской методологии окажется подорванной в своей предполагаемой полезности. На смену старым методам должны прийти новые, которые не предполагают независимости, нормальности или конечных дисперсий. Эти новые методы должны включать фракталы и нелинейную динамику, которые, будучи примененными к реальным данным, демонстрируют гораздо большую результативность. Ко всему прочему нелинейная парадигма должна допустить в теорию рынков концепцию «долговременной памяти»: событие может влиять на рынки долго, возможно — бесконечное время в будущем. Нынешняя линейная парадигма допускает лишь возможность короткой памяти, в лучшем случае — в субмартингальной форме.
РАЗВИТИЕ ГИПОТЕЗЫ ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА
Оригинальная работа, использующая статистические методы для анализа прибылей, была опубликована в 1900 г. Луи Ва-шелье, который применил к акциям, облигациям, фьючерсам и опционам методы, созданные для анализа азартных игр. Статья Вашелье стала работой пионерского предвидения, намного опередившей время. В числе ее достоинств было открытие того факта, что процесс случайных блужданий (позже формализованный Винером) является броуновским движением. Эйнштейн переоткрыл эту связь десятилетием позже.
Вашелье первым предложил графическое изображение опционных выигрышей — ныне знакомую всем линию в форме угла, а также соответствующие графики для страдлов и других опционных стратегий. Однако за недостатком эмпирических данных утверждение Вашелье о том, что рыночные при
Развитие гипотезы эффективного рынка
31
были являются независимыми, идентично распределенными (IID) случайными величинами, осталось нереализованным в практическом анализе.
Диссертация Башелье была революционной, но в значительной степени она была проигнорирована и забыта. Применение статистического анализа к рынкам увяло (за исключением работ Холбрука Уоркинга и Альфреда Коулса в 30-х годах), и так продолжалось до конца 40-х годов. Зато потом прогресс был бурным. Большинство работ, которые стали основой ЕМН, были собраны Кутнером (Cootner) в его классическом томе (1964b) под названием «Случайный характер цен фондового рынка», впервые опубликованном в 1964 г. Антология Кутнера, ставшая основой для первой «золотой поры» количественного анализа, рассматривала непосредственно рыночные характеристики, но не затрагивала теории портфеля. В нее не была включена работа Марковица, Тобина и Шарпа, которая также появилась в этот период. В книге содержатся логические обоснования того, что было формализовано Фамэ как ЕМН в 60-х годах.
В течение десятилетий, с 1920-х по 1940-е годы, в рыночном анализе доминировали фундаменталисты (последователи Грэхема и Додда) и техники (или технические аналитики, последователи Маги). В 1950-е годы добавилась третья группа — количественников (или количественных аналитиков, последователей Башелье).
По своей природе количественники были ближе к фундаменталистам, чем к техникам, потому что предполагали, что инвесторы рациональны — это было нечто вроде самоподтвер-ждения. Техники же полагали, что рынком правит «животный дух» — как сказал лорд Кейнс.
Предубежденность против технического анализа отражена в статье Робертса (Roberts, 1964) в кутнеровском томе. Робертс призывает к широчайшему использованию статистического анализа, основанного на работах Кендалла (Kendall, 1964), который сказал: «... изменения в ценах на бумаги ведут себя так, как если бы они порождались рулеткой, для которой каждое выпадение статистически независимо от прошлой истории и отношения частот достаточно устойчивы во времени». Робертс далее утверждает, что «модель изменений настойчиво требует независимости», а вероятности «должны быть устойчивы во времени». Логическим обоснованием для принятия случайной модели служит следующее соображение:
32 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки если рынок был несовершенной рулеткой, то «люди должны были бы заметить это и своими действиями изменить его». Допуская это положение, Робертс однако не соглашается с ним. Его статья призывает к дальнейшим исследованиям.
Утверждение о том, что цены акций следуют случайному блужданию, было формализовано Осборном (Osborne, 1964) в его теоретической статье о броуновском движении. Осборн предложил модель, в которой изменения цен на фондовом рынке эквивалентны движению частицы в жидкости, обычно именуемому броуновским движением. Это сделано путем выдвижения ряда предположений и формальных выводов, приводящих к требуемому результату.
Первые два предположения касаются минимальных ценовых движений (| доллара) и того факта, что количество ежедневных сделок конечно и не существенно. Однако далее Осборн переходит к некоторым предположениям, принимающим во внимание инвесторское ощущение ценности. Таким образом, третье предположение гласит, что «цена и ценность связаны» и что это отношение есть первейший определитель рыночных прибылей. Предположение 4 говорит, что в случае двух ценных бумаг с различной ожидаемой прибылью логичным решением будет выбор акций с более высокой ожидаемой прибылью. «Ожидаемая прибыль» есть сумма вероятностей прибылей, слагающих суммарную прибыль. Вероятности дополняются до единицы, так что ожидаемая прибыль есть вероятностно взвешенная прибыль, или ожидаемая величина случайной переменной.
Предположение 5 утверждает, что покупатели и продавим «не расположены к торговле пока нет равенства возможностей для дохода». Другими словами, покупатель не может иметь преимущества перед продавцом и наоборот, если сделка совершена. Осборн говорит, что предположение 5 является следствием предположений 3 и 4.
Таким образом, общее равновесие цен (предположение 5) имеет место потому, что инвесторы внимательнейшим образом следят за тем, чтобы уплатить верную цену за ценность (предположение 3) и, будучи поставлены перед выбором между двумя переменными с некоторыми ожидаемыми величинами, выберут ту, что сулит большую прибыль (предположение 4); в результате продавец и покупатель всегда находят взаимовыгодную цену. Другими словами, поскольку инвесторы
Развитие гипотезы эффективного рынка
33
способны рационально сравнить цену и стоимость, они будут стоять на равновесной цене, основанной на доступной в данное время информации. Таким образом, последовательность ценовых изменений независима, так как цена уже приравнена к доступной информации.
Предположение 7 Осборна является кульминацией предположений 3-6. В действительности оно является заключением и утверждает, что так как ценовые изменения независимы (т. е. они представляют собой случайные блуждания), следует ожидать нормального распределения этих изменений с устойчивым средним значением и конечной дисперсией. Это не что иное как следствие центральной предельной теоремы теории вероятностей, или закона больших чисел. Эта теорема гласит, что выборка независимых идентично распределенных случайных переменных (IID) будет нормально распределенной, если эта выборка достаточно велика.
Несмотря на тот факт, что мы ставим под вопрос логику Осборна, не следует умалять его достижения. Осборн собрал коллекцию разных концепций, относящихся к теории случайных блужданий, которые в конечном счете оправдывают применение вероятностных расчетов. В сущности, эта группа исследователей знала, что статистический анализ предлагает огромное количество исследовательских методов и моделей. Эти инструменты, однако, ограничены лежащими в их основе предположениями. Главным было следующее: изучаемый объект должен быть независимой идентично распределенной случайной переменной. Таким образом, постулировалось, что поскольку фондовый рынок и другие рынки капитала пред-стянгтяют собой большие системы с большим числом степеней свободы (или — инвесторов), текущие цены должны отражать информацию, уже имеющуюся в распоряжении каждого. Изменения в цене должны происходить только по возникновении новой неожиданной информации.
Отцы-основатели теории рынка капитала были хорошо осведомлены об этих упрощающих предположениях и их значении. Они не пытались минимизировать влияние этих предположений на теорию, однако чувствовали их существенное влияние на полезность модели, особенно в отношении принятого допущения об инвесторском поведении. Концепция рационального инвестора стала ключевой предпосылкой для гипотезы эффективного рынка (ЕМН).
34 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
Как мы видели, Осборн уже коснулся этой концепции. Он говорил, что инвесторы оценивают акции, основываясь на их ожидаемой стоимости (или ожидаемой прибыли), которая есть вероятностно взвешенное среднее ожидаемых прибылей. Предполагалось, что инвесторы кладут в основу своих расчетов субъективно оцененные вероятности и манипулируют с ними рационально и непредубежденно.
Предположим, например, что инвестор видит три возможных экономических сценария: положительный рост, отсутствие роста и отрицательный рост. В случае положительного роста инвестор полагает, что рынок вырастет на 12%. При отсутствии роста рынок упадет на 1%. Если же экономика пойдет на спад, рынок упадет на 8%. Инвестор производит экономический анализ и решает, что сценарий роста имеет вероятность 60%, отсутствие роста —30% и спад—10%. Тогда ожидаемая прибыль будет:
0.6 * 12% + 0.3 * (-1%) + 0.1 * (-8%) = 6.1%
Таким способом принимают решения многие инвесторы. Они оценивают вероятности и возможности выигрыша по различным сценариям, но не обязательно принимают окончательное решение исходя из них.
Позже мы обсудим некоторые исследования в области принятия решений человеком, но сейчас в качестве примера возьмем лотерею. Ожидаемая прибыль лотерей типично отрицательна. Эта действительно так — иначе лотереи не приносили бы прибыль их организаторам. Но миллионы людей играют в лотерею, хотя пи одни -^рациональный инвестор» нс стал бы этого делать. Лотерейные игроки, очевидно, чувствуют, что вероятность большого выигрыша возмещает риск небольшой потери, даже если вероятности им не благоприятствуют. Это не «рациональная», но тем не менее человеческая природа.
Фамэ (Fama, 1965а) окончательно формализовал эти наблюдения в виде гипотезы эффективного рынка (ЕМН), которая утверждает, что рынок является мартингалом, или «справедливой игрой»; это означает, что информация не может быть использована для выигрыша на торговой площадке. ЕМН подобна предположению 5 Осборна. В ее чистой форме ЕМН не требует независимости во времени или принятия только IID наблюдений. Однако модель случайного блуждания исходит из этих предположений. Если прибыли случайны,
Развитие гипотезы эффективного рынка	35
то тогда рынки эффективны. Обратное утверждение, однако может не быть истинным.
Эта концепция эффективных рынков в итоге разрослась до атаки как на фундаментальный, так и на технический анализ. Теперь в фокусе оказалось положение о том, что прошлая ценовая информация не отражается на будущих ценах. Лори и Гамильтон (Lorie, Hamilton, 1973) писали в 1973 г. в своем великолепном обзоре:
«Утверждение о том, что рынок эффективен, много сильнее, чем утверждение, что последовательные изменения в ценах акций не зависят одно от другого. Последнее утверждение— легкая форма гипотезы эффективного рынка—просто говорит, что текущие цены акций полностью отражают все что скрыто в исторической последовательности цен, так что знание этой последовательности не имеет значения при формировании ожиданий касательно цен будущих. Утверждение о том, что рынок эффективен, подразумевает, что текущие цены отражают и заключают в себе не только все, что скрыто в исторической последовательности цен, но также все, что можно было узнать о компаниях, чьи акции находятся в обращении... это доказывает бесплодность усилий заработать сверхприбыль путем анализа всей публичной информации».
Эта атака на фундаментальный анализ вообще была неприемлема для сообщества инвесторов — и она разделила ЕМН на «слабую» и «сильную» формы. Сильная форма утверждала, что фундаментальный анализ был бесполезной деятельностью, потому что цены уже отразили «все, что познаваемо», или всю публичную или частную (из информированных иг-т’пнников) информацию. В качестве компромисса была выдвинута «полусильная» форма.
В соответствии с полусильной формой ЕМН цены отражают всю «публичную» информацию. Аналитики ценных бумаг, используя технику Грэхема—Додда, выводят формулу стоимости ценной бумаги, основанную на информации, которая Доступна всем инвесторам. Большое число независимых оце-иок дает в результате «справедливую» стоимость для этого агрегированного рынка. Аналитики, таким образом, становятся причиной рыночной эффективности. Фундаменталисты Формируют справедливую цену путем консенсуса.
Полусильная форма ЕМН была намного более приемлема Для сообщества инвесторов, потому что она гласила, что рынки эффективны вследствие анализа ценных бумаг, а не неза
36 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
висимо от анализа. К тому же, полусильная форма подразумевала, что изменения в ценах акций случайны, так как подвержены внешним по отношению к самому временному ряду , воздействиям. Следовательно, ценовые изменения случайны не потому, что сам рынок является «игрой в кости», но вслед- j ствие оценки изменений в положении компании, обусловлен- 1 ных микро- и макроэкономическими условиями. В середине i 1970-х годов полусильная версия ЕМН была общепринятой теорией. Говоря о ЕМН, подразумевали именно ее. В даль- , нейшем мы всегда будем иметь в виду полусильную версию ЕМН, которая утверждает, что рынки эффективны потому, . что отражают всю публичную информацию. Слабая форма эффективного рынка есть такая, где ценовые изменения независимы и могут быть случайным блужданием.
Академическое сообщество претерпело тридцатилетний парадигмальный сдвиг — от «животного духа» Кейнса до «рационального инвестора» и ЕМН. К 1970-му году академическое сообщество в целом приняло ЕМН (сообщество инвесторов сделало это несколькими годами позже) и то, что Кан (Kuhn, 1962) назвал «нормальной наукой», было взято на вооружение теорией финансов. В части 3 мы обсудим основные труды, которые призваны были доказать правдоподобие ЕМН.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ПОРТФЕЛЯ
Тем временем уже стала разрабатываться новая теория портфеля (МРТ). Марковиц (Markwitz, 1952) определил меру как . дисперсию распределения возможных прибылей риска порт- i феля. Формально дисперсия совокупности определяется еле- : дующей формулой:
00
ст2 = (2Л) i=i
где ст2—дисперсия, гм —среднее значение прибыли, ^ — наблюдаемая прибыль.
В пределе дисперсия должна измерять рассеяние возможных прибылей относительно среднего значения прибыли. Квадратный корень из дисперсии, или стандартное отклонение, измеряет вероятную величину отклонения прибыли от своего среднего значения. Если мы используем концепцию
Современная теория портфеля
37
ожидаемой прибыли Осборна, мы сможем оценить вероятность отклонения реальной прибыли от среднего. Чем шире рассеяние, тем больше будет стандартное отклонение, и тем рискованнее капитал. Само по себе использование дисперсии требует того, чтобы прибыли были нормально распределены. Однако, если фондовые прибыли следуют случайному блужданию, и случайные переменные являются независимыми идентично распределенными (IID), то тогда по утверждению центральной предельной теоремы (или закону больших чисел) распределение должно быть нормальным и дисперсия — конечной. Инвесторы, таким образом, должны располагать портфелем с наивысшей ожидаемой прибылью для определенного уровня риска. Инвесторы предполагаются не склонными к риску. Этот подход стал известен как «эффективность по среднему/дисперсии». Кривая, представленная на рис. 2.1, была названа «эффективной границей», поскольку эта замкнутая линия заключает внутри себя портфели с наивысшими уровнями ожидаемых доходов для данных уровней риска, или стандартного отклонения. Инвесторы должны предпочитать эти оптимальные портфели, основанные на модели рационального инвестора.
Эти концепции были расширены Шарпом (Sharpe, 1964), Литнером (Litner, 1965) и Моссином (Mossin, 1966) и вылились в известную модель оценки капитальных активов (САРМ) , — это название было придумано Шарпом. САРМ объединила гипотезу эффективного рынка (ЕМН) и математическую модель теории портфеля Марковица в модели инве-сторского поведения, основанной на рациональных ожиданиях В рямкях <">бщрй концепции рявновесия R ЧЯСТНОСТИ ПНЯ предполагает, что инвесторы имеют однородные ожидания, касающиеся прибыли. Следовательно, они одинаковым образом интерпретируют информацию. САРМ была выдающимся достижением трех независимых исследователей.
Ввиду того что САРМ широко обсуждалась в литературе, наше рассмотрение здесь будет ограничено в основном аспектами, которые соотносятся с предпосылкой о том, что необходима новая парадигма. САРМ начинается с предположения, что мы живем в мире, свободном от издержек на совершение сделок, комиссионных и налогов. Эти упрощающие предположения были необходимы для отделения инвесторского поведения от ограничений, накладываемых обществом. Физики часто поступают подобным образом, например предполагая
38 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
отсутствующим трение. Далее САРМ говорит, что каждый может заимствовать средства и давать взаймы на безрисковой ставке процента, которая понимается обычно как 90-дневная казначейская ставка. В итоге это предполагает, что все инвесторы стремятся к средне-дисперсной эффективности Марковица. Т е желают иметь портфель е НЯИВЫетпиМ vpOHWM ожидаемой прибыли для заданного уровня риска и в целом не любят рисковать. Риск снова определен как стандартное отклонение прибыли. Инвесторы, таким образом, рациональны в смысле Осборна и Марковица.
Основываясь на этих предположениях, САРМ продолжает делать заключения о поведении инвесторов. Во-первых, оптимальным портфелем для всех инвесторов должна быть некоторая комбинация рыночного портфеля (все рисковые активы капитализационно взвешены) и безрисковых активов. Этот тип портфеля показан на рис. 2.2. Линия рынка капитала касается эффективной границы рыночного портфеля (М), и точка ее пересечения с осью Y есть безрисковая ставка процента (г). Уровень риска можно менять путем добавления бе-
Современная теория портфеля
39
зрисковых активов, чтобы уменьшить стандартное отклонение портфеля, или путем получения кредитов по этой ставке, чтобы заемными средствами воздействовать на рыночный портфель. Портфели, которые лежат на этой прямой, называются лежащими на линии рынка капитала (CML — Capital Market Line) и они количественно преобладают над портфелями, лежащими на эффективной границе, — инвесторы предпочитают такие портфели всем другим. Добавим, что инвесторы не компенсируют убытков от нерыночного риска, поскольку оптимальные портфели лежат на CML. Эта модель также утверждает, что активы с более высоким риском должны иметь оолее высокие прибыли. Так как риск теперь отнесен к рыночному портфелю, используется линейная мера чувствительно-сти риска ценной бумаги к рыночному риску. Эта линейная мера носит название бета. Если все рисковые активы разместить в координатах «бета — ожидаемая прибыль», результатом будет прямая линия, пересекающая ось Y на безриско-
40 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
Рис. 2.3. Линия рынка ценных бумаг.
вой ставке процента и проходящая через рыночный портфель. Она называется линией рынка ценных бумаг (SML — Security Market Line). Ее график показан на рис. 2.3.
Это короткое и по необходимости неполное обсуждение САРМ призвано показать сущностную зависимость модели от стандартного отклонения как меры риска По смыслу САРМ требует эффективного рынка и нормального или логнормального распределения прибыли, поскольку дисперсия предполагается конечной. Предлагая практические количественные методы, САРМ остается стандартом для любой новой модели инвесторского поведения. Теория портфеля Марковица объяснила, почему диверсификация уменьшает риск. САРМ объяснила, каким образом должны были бы вести себя инвесторы, если они рациональны. Практики вынуждены были согласиться, что предположения, лежащие в основе САРМ, хотя и являются упрощающими существо дела, тем не менее не умаляют полезности модели. ЕМН стала широко применяться в качестве логического обоснования для использования гауссовского логнормального распределения прибыли. Борьба за
Современная теория портфеля	41
признание модели, возможно, заставила этих ранних поборников количественных методов настаивать на том, что ЕМН является истиной. Объединение ЕМН и САРМ и ее модификаций стало общеизвестно как новая теория портфеля (МРТ — Modern Portfolio Theory). Все та же борьба за признание, вероятно, стала причиной того, что обсуждение нежелательных подробностей было отодвинуто на задний план.
ЕМН подкрепила МРТ, и дисперсия, и стандартное отклонение были приняты сообществом инвесторов как истинные меры риска. Повторим снова, ранние основатели теории рынков капитала были хорошо осведомлены об этих предположениях и их ограниченности. Самуэльсон, Шарп и Фаме (среди других) опубликовали работы, модифицирующие МРТ для не нормальных распределений. Эмпирические данные 60-х годов из статьи Мандельброта (1964) свидетельствовали в пользу устойчивого распределения Парето; в этой статье он показал, что поскольку прибыли не нормально распределены, имеется необходимость для возможной ревизии ЕМН и МРТ. (Мы рассмотрим устойчивое распределение Парето в деталях в части 2, где будем знакомиться с фракталами.) Было уже накоплено много фактов, свидетельствующих о том, что прибыли не следуют нормальному распределению, в то время когда Шарп (Sharpe, 1970) и Фамэ и Миллер (Fame, Miller, 1972) опубликовали свои работы; обе книги содержат разделы, в которых говорится о необходимости модификации стандартной теории портфеля с учетом устойчивого распределения Парето.
В 1970-х годах эта дискуссия утихла, если не считать отдельных академических статей, среди которых выделяется работа Ролла (Roll. 1977) Развитие экономики финансов продолжалось на основе слабой формы ЕМН и ее предположении о том, что ценовые изменения независимы. Вдобавок, нормальное распределение с его гауссовским предположением о независимости стало общепринятым в моделировании. Применения эконометрики к рынкам капитала стали более комплексными, так как ЕМН получила широкое признание и все меньше ставилась под вопрос. Главными достижениями были модель расчета цен опционов Блэка и Шоулса (Black, Scholes, 1973) и арбитражная ценовая теория (APT — Arbitrage Pricing Theory) Росса (Ross, 1976). APT является оолее общей ценовой моделью, чем САРМ; она предполагает, что ценовые изменения происходят в результате неожиданно-г° изменения факторов и, следовательно, может манипулиро-
42 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки вать с нелинейными отношениями. Однако практически для инструментального оснащения APT была использована стандартная эконометрика (включая предположение о конечной дисперсии). APT стала альтернативной теоретической ценовой моделью, которая не зависела от квадратических функций полезности.
В последние годы теоретические модели стали появляться реже. Работы 1980-х годов были сосредоточены на эмпирических исследованиях и приложениях уже существующих моделей. Единственное теоретическое достижение, получившее широкое признание в последние годы, постулировало, что рыночная волатильность изменяется во времени. Это означает, что волатильность зависима от своих предыдущих уровней. Эта модель вела свое происхождение от авторегрессионных условных гетероскедастических (ARCH) моделей Ингла (Engle, 1982). От его оригинальной работы берут свое начало многие разновидности моделей, основанных на ARCH. Однако все они исходят из предположения о кратковременной памяти в исследуемых процессах, а также — в той или форме — о рыночной эффективности.
ВЫВОДЫ
В своем настоящем виде теория рынков капитала основывается на следующих ключевых концепциях:
1. Рациональные инвесторы.
Инвесторы желают среднедисперсной эффективности. Они оценивают потенциальную прибыль методом вероят-ностного взвешивания, который дает ожидаемые прибыли^ Риск измеряется как стандартное отклонение прибылей^ Инвесторы предпочитают активы, которые дают наивысшую ожидаемую прибыль при заданном уровне риска. Они1 2 не любят рисковать.
2. Эффективный рынок.
Цены отражают всю публичную информацию. Изменения в ценах не соотносятся между собой, разве что для очень коротких временных зависимостей, которые быстро диссипируют. Стоимость определяется консенсусом большого количества фундаментальных аналитиков.
Выводы
43
3. Случайные блуждания.
Вследствие двух названных выше концепций цены следуют случайному блужданию. Следовательно, вероятностное распределение приблизительно нормально или логнормально. Эта приблизительность означает, как минимум, что распределение прибылей имеет конечную среднюю величину и дисперсию.
Этот перечень указывает на то, что теория рынков капитала существенно зависит от нормальности распределения прибылей. Эмпирические исследования пытались доказать это гауссовское предположение, но часто доставляли противоположные результаты. Мы обсудим некоторые из этих работ в следующей главе.
На протяжении 1950-х и 1960-х годов влияние предположений о нормальности стало понятным. Отличное от нормального распределение прибыли всегда считалось хотя и нежелательным, но возможным. Однако в течение 1970-х и частично 1980-х годов ЕМН была, в целом, признанным фактом. Поскольку в 1980-х годах было выпущено большое число магистров экономики управления (MBA), возникло ощущение того, что будто бы доказана истинность ЕМН. Всеобщее признание ЕМН может проистекать также из тех усилий, которые были предприняты академиками в 1960-х и ранних 1970-х годах для признания их теорий. Здоровый скептицизм не возымел действия, как это, впрочем, случалось во все времена.
Были проигнорированы две возможности: предположить, что различные рынки и ценные бумаги связаны друг с другом и что модртпч пяттигшч ттьттого (огпос'у’ппя нпт>*залистичнл. Как мы увидим, люди не ведут себя таким образом, который предписывает им теория рациональных ожиданий. То обстоятельство, что инвесторы могут не знать, как нужно интерпретировать всю известную информацию, и реагируют на тренды, тем самым включая прошлую информацию в свою текущую Деятельность, рассматривалось как излишнее усложнение, которое должно быть отброшено, как это делается с транзакционными издержками и налогами. Однако понимание того, Как люди интерпретируют информацию, может быть более Важным, чем это считалось ранее, — даже если математика не °чень при этом строга. В частности, это касается нынешней теории рынков капитала, основанной на линейном подходе к °бщ,еству. Если следовать ему, то люди, получая информацию,
44 Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
немедленно ее используют, и ценные бумаги держатся на своих бета, которые представляют собой наклон линий регрессии < между дополнительным доходом по активу и по рыночному  портфелю. Эта линейная парадигма построена в предположении о нормальности распределений. Однако мы увидим, что . люди и природа в целом — нелинейны. В отличие от предположения о несущественности влияния налогов, предположение о ; рациональности инвесторов изменяет саму природу этой не- . линейной системы. Вот почему линейная парадигма, несмо- f тря на ее простоту и концептуальную элегантность, обладает i серьезным недостатком. В следующей главе мы протестируем • линейную парадигму и посмотрим, что же это дает.
Глава 3
Крушение линейной царадигмы
Еще до того как полностью оформилась ЕМН, обнаруживались исключения, которые ставили под сомнение предположение о нормальности. Одна из аномалий была найдена, когда Осборн (1964) вычертил функцию плотности прибылей фондового рынка и назвал их «приблизительно нормальными»: это было необычное наблюдение, так как хвосты этого распределения отличались свойством, которое статистики называют «эксцесс». Осборн заметил, что они толще чем должны были бы быть, но не придал этому значения. К тому времени как появилась классическая публикация Кутнера (1964b) стало общепринятым, что распределения ценовых изменений имеют толстые хвосты, но значение этого отклонения от нормальности еще находилось в стадии обсуждения. Статья Мандельброта (1964) в сборнике Кутнера содержала доказательства того, что прибыли могут принадлежать семейству устойчивых распределений Парето, которые характеризуются неопределенной, или бесконечной дисперсией. Кутнер оспаривал это утверждение, — оно серьезно ослабляло гауссовскую гипотезу, — и предлагал альтернативу, которая состояла в том, что сумма нормальных распределений может являть распределение с более толстыми хвостами, тем не менее оставаясь гауссовским. Такого рода дебаты продолжались почти десять лет.
Линейная парадигма в своей основе предполагает, что инвесторы линейно реагируют на информацию, т. е. используют сразу по получении, а не ожидают ее накопления в ряде последующих событий. Линейный взгляд соответствует концепции рационального инвестора, которая утверждает, что прошлая информация уже дисконтирована, найдя отражение в стоимости ценных бумаг. Таким образом, линейная парадигма подразумевает, что прибыли должны иметь приблизительно нормальное распределение и быть независимыми. Новая пара-Дигма обобщает реакцию инвестора, включая в себя возможность нелинейной реакции на информацию и, следователь-ио, влечет за собой естественное расширение существующих взглядов.
46	Глава 3. Крушение линейной парадигмы
ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ
Первое подробное изучение дневных прибылей было предпринято Фамэ (1965а), который нашел, что прибыли имеют отрицательную асимметрию: большее количество наблюдений было на левом (отрицательном) хвосте, чем на правом. Кроме того, хвосты были толще, и пик около среднего значения был выше, чем предсказывалось нормальным распределением, т. е. имел место так называемый «лептоэксцесс». Этс же отметил Шарп (Sharpe) в своем учебнике 1970 г. «Теория портфеля и рынки капитала». Когда Шарп сравнил годовые прибыли с нормальным распределением, он заметил, что «у нормального распределения вероятность сильных выбросов очень мала. Однако на практике такие экстремальные величины появляются довольно часто».
Позже Тёрнер и Вейгель (Turner, Weigel, 1990) провели более глубокое изучение волатильности, используя дневной индекс рейтинговой компании Стандард энд Пур (S & Р) с 1928 по 1990 гг. — результаты оказались похожими. В таблице 3.1 представлены эти данные. Авторы нашли, что «распределения дневной прибыли по индексам Доу-Джонса и S & Р имеют отрицательную асимметрию и большую плотность в окрестности среднего значения, а также в области очень больших и очень малых прибылей, — если сравнивать это распределение с нормальным».
На рис. 3.1а показано частотное распределение прибылей, которое иллюстрирует это явление. Г рафик представляет пя-
Таблица 3.1	НЛПЯТИТТЬНЛГТИ* п-нррмьтр ппибмии ПЛ ИНПРК-
су S&P 500, 1/28-12/89.
Десятилетия	Среднее значение	Стандартное отклонение	Асимметрия	Эксцесс
1920	0.0322	1.6460	-1.4117	18.9700
1930	-0.0232	1.9150	0.1783	3.7710
1940	0.0100	0.8898	-0.9354	10.8001
1950	0.0490	0.7050	-0.8398	7.8594
1960	0.0172	0.6251	-0.4751	9.8719
1970	0.0062	0.8652	0.2565	2.2935
1980	0.0468	1.0989	-3.7752	79.6573
За весь период	0.0170	1.1516	-0.6338	21.3122
Адаптировано из Тёрнера и Вейгеля (Turner and Weigel, 1990)
Проверка нормальности
47
Стандартное отклонение
Рис. 3.1а. Частотное распределение пятидневных прибылей по индексу S&P 500, январь 1928—декабрь 1989 гг.: нормальное распределение и действительные прибыли.
тидневную логарифмическую первую разность в ценах по данным S & Р с января 1928 по декабрь 1989 гг. Эти изменения нормированы, т. е. имеют нулевое среднее и единичное стандартное отклонение. Здесь же представлено частотное распределение гауссовских случайных чисел. Высокий пик и толстые хвосты, которые заметны в таблице 3.1, ясно видны на графике. Помимо того, значения прибыли встречаются при 4 и 5 сигма на обоих хвостах. Рис. 3.16 показывает разности ординат двух кривых на рис. 3.1а. Отрицательную асимметрию Можно увидеть при соответствующем подсчете на трех стандартных отклонениях ниже среднего значения. Вероятность событий на рынке при трех сигма примерно в два раза выше, нем для гауссовских случайных чисел.
Любое частотное распределение, которое включает октябрь 1987 г., будет иметь отрицательный скос и толстый отрицательный хвост. Однако и более ранние исследования сталкиваются с тем же явлением. В своем недавнем анализе квартальных прибылей по данным S & Р с 1946 по 1988 гг. фРидман и Лейбсон (Friedman, Laibson, 1989) указывают, что
48
Глава 3. Крушение линейной парадигмы
Рис. 3.16. Разности частот, S&P 500, пятидневные прибыли —нормальное распределение.
«22,6% однодневных падений биржевых цен 19 октября 1987 г. были уникальным явлением, но в масштабе квартального временного окна эпизод 4 квартала 1987 г. оказывался в ряду нескольких других периодов необычайно больших оживлений или крахов». Эти авторы замечают, что в дополнение к ле-птоэксцессу «большие движения чаще являются крахами, чем взлетами» и значительный лептоэксцесс «появляется вне зависимости от выбранного периода».
Эти исследования с очевидностью говорят о том, что прибыли американских рынков капитала не следуют нормальному распределению. Но если рыночные прибыли не являются нормально распределенными, то тогда множество методов статистического анализа, в частности, такие способы диагностики как коэффициенты корреляции, f-статистики, серьезно подрывают к себе доверие, поскольку могут давать ошибочные результаты. Применение случайных блужданий к рыночным ценам также становится сомнительным.
Странная волатильность	'	49
Стерж (Sterge, 1989) в дополнительном исследовании финансовых фьючерсных цен на государственные казначейские облигации, казначейские налоговые сертификаты и евродолларовые контракты также нашел лептоэксцессные распределения. Стерж заметил, что «очень большие (три или больше стандартных отклонения) изменения цен могут ожидаться в два-три раза чаще, чем предсказано нормальностью».
Бессилие линейной парадигмы и слабой формы ЕМН описать вероятности прибылей не ограничивается, следовательно, американским фондовым рынком, но распространяется также и на другие рынки. В частности, существует мало оснований для допущения «приблизительной нормальности» прибылей.
СТРАННАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ
Придя к выводу о том, что рыночные прибыли не следуют нормальному распределению, нельзя удивляться, если волатильность окажется весьма неустойчивой. Причина в том, что дисперсия устойчива и конечна только для нормального распределения, а рынки капитала, следуя постулату Мандельброта, подчиняются устойчивым распределениям Парето.
Исследования волатильности имеют тенденцию фокусироваться на устойчивости во времени. Например, при нормальном распределении дисперсия 5-дневной прибыли должна быть в пять раз больше дисперсии дневной прибыли. Другой метод, использующий стандартное отклонение вместо дисперсии, основан на умножении дневного стандартного отклонения на корень квадратный из 5. Это скейлинговое свойство нормального распределения называется правилом Т1/2, где Т~временной интервал.
Сообщество инвесторов часто «аннуализирует» риск, используя правило Г1/2. В отчетах обычно представляются годовые прибыли, но при этом волатильность оценивается по месячным прибылям. Поэтому месячное стандартное отклонение преобразуется в годовое посредством умножения его на квадратный корень из 12, — совершенно приемлемый метод в т°м случае, если распределение нормально. Однако мы видели, что прибыли не следуют нормальному распределению. то за этим скрывается?
50	Глава 3. Крушение линейной парадигмы
Исследования показывают, что стандартное отклонение не подвержено скейлингу в соответствии с правилом Т1/2. Тёрнер и Вейгель нашли, что месячная и квартальная волатильности были выше в сравнении с годовой волатильностью, чем это должно было бы быть, но дневная волатильность была ниже годовой. В главе 9 это подтверждается данными, собранными автором.
Наконец, имеется работа Шиллера (Shiller), включенная в его книгу «Волатильность фондового рынка» (1989). Его подход основывается не на рассмотрении распределений прибылей. Вместо этого Шиллер интересуется уровнем волатильности, которая должна была бы быть в рамках рационального рынка. Шиллер замечает, что волатильность на рынке рациональных инвесторов должна бы иметь в основе ожидаемые дивиденды от акций. Цены однако намного более волатильны по отношению к изменениям величин ожидаемых дивидендов, даже с учетом инфляции. Он приходит к утверждению, что существует два типа инвесторов: «шумовые трейдеры» — те, которые следуют моде и прихоти, и «штрафные трейдеры», которые инвестируют, исходя из величины ожидаемой прибыли. Шиллер чувствует, что «штрафник» — это не обязательно характеристика инвестора-профессионала. Шумовые трейдеры имеют склонность к чрезмерной реакции на новости, которые могут сулить будущие дивиденды, легкие деньги.
Исследованная Шиллером чрезмерная рыночная волатильность бросает вызов: 1) идее рациональных инвесторов, 2) концепции, утверждающей, что благодаря большому количеству инвесторов можно достичь рыночной эффективности.
И пгм-педнрр Суцтрствурт мотель Ингла (Engle. 19821 авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH). В этой модели волатильность зависит от своего же предшествующего уровня. Таким образом, высокие уровни волатильности являются следствием высокой же волатильности, в то время как низкая волатильность — следствие низкой волатильности. Это совпадает с наблюдением Мандельброта (1964) о том, что величины изменений цен (без учета знака) коррели-рованы. Статистическая наглядность, продемонстрированная Инглом и Ле Бароном (Le Baron, 1990) среди прочих фактов, говорит в пользу семейства моделей ARCH. В последние годы это привело к осознанию того, что стандартное отклонение не является стандартной мерой, во всяком случае за пределами
Выбор между риском и прибылью	51
коротких промежутков времени. ARCH также дает утолщение хвостов вероятностных распределений. Поэтому ARCH приобрела наибольшее влияние на выбор оценок и технические торговые правила. Но методы управления портфелем не претерпели на себе заметного влияния по стороны ARCH.
ВЫБОР МЕЖДУ РИСКОМ И ПРИБЫЛЬЮ
Мы рассмотрели фактические данные о распределении рыночной прибыли, и пришли к выводу, что факты не свидетельствуют в пользу предположений о случайном блуждании или гауссовском нормальном распределении. В этом разделе мы рассмотрим поведение инвесторов и подвергнем сомнению конструкцию рационального инвестора, созданную для обоснования ЕМН.
Здесь уже много раз упоминались различные исследования по поводу САРМ. Наиболее известным является тест Блэка, Дженсена и Шоулса (Black, Jensen, Scholes, 1972), который стал стандартом для тестов теории рынка капиталов. Эти авторы конструировали портфели с различными уровнями бета, чтобы разобраться в том, может ли быть подтвержден эмпирически компромисс между риском и прибылью, описываемый САРМ. В частности, они сравнили форму реализации SML (линии рынка ценных бумаг) с тем, что было предсказано теорией. SML (рис. 2.3) показывает зависимость ожидаемой прибыли от бета ценной бумаги. Поскольку, согласно САРМ, инвесторы не компенсируются в отношении нерыночного риска, все ценные бумаги должны лежать на SML. SML рггт линия, которая бсрех начало на безрисковой ставке процента и проходит через точку, соответствующую рыночному портфелю. Каждая ценная бумага лежит на этой линии в соответствии со своей бета, или чувствительностью к рыночным прибылям (см. рис. 2.3). В своем исследовании Блэк, Дженсен и Шоулс использовали реальные прибыли, а не ожидаемые — чтобы удостовериться, действительно ли реализованная SML совпадает с теорией.
Они обнаружили, что реальная SML для 35-летнего перио-с 1931 г. по 1965 г. имела положительный наклон на протя-НИИ всего периода, как это и было предсказано САРМ. Рисли ННЬ1е акЧии с высокими бета имели более высокие прибы-бь П° Сравнению с акциями более низких бета. Зависимость приблизительно линейной. Однако наклон был более по
52
Глава 3. Крушение линейной парадигмы
логим, чем предсказывала теория. Пересечение с осью г оказалось выше безрисковой ставки процента. Это означает, что по сравнению с теоретическим предсказанием акции высоких бета дают меньшую прибыль, и, напротив, акции низких бета—большую прибыль.
Кроме того, были протестированы четыре подпериода по 105 месяцев. Бета оставались примерно постоянны на протяжении всего времени, но компромисс между риском и прибылью был решительным образом неустойчив. Пересечение с осью г было отрицательным для первого подпериода и положительным для последующих трех. Наклон SML отличался крутизной для первого подпериода, оставался положительным, но более пологим —для второго, стал горизонталью в третьем подпериоде и приобрел отрицательное значение в четвертом. Направленность в последние два подпериода противоречила теории. В третьем подпериоде (июль 1948 — март 1957 гг.) прибыль была фактически одинакова вне зависимости от риска. В четвертом периоде (апрель 1957 —декабрь 1965 гг.) более высокий риск сопровождался меньшей прибылью в интервале почти девяти лет.
Блэк, Дженсен и Шоулс потом повторили кратко раннюю статью Блэка (1972), в которой традиционная модель САРМ была приспособлена для случая, когда безрисковое заимствование недоступно. Эта модификация латала теорию путем использования в качестве интерсепта значения прибыли для бумаги с нулевой бета вместо традиционной безрисковой ставки процента, ввиду того, что такая ставка была недоступна заемщикам. Теория становилась более реалистичной, поскольку мы должны всыдн занимать на ставке более высокий, чем "то делает правительство. Однако неустойчивость наклона SML так и не была объяснена.
Реальная критика модели САРМ была предпринята только Роллом (Roll, 1977) и стала предметом широкого обсуждения. Ролл показал, что эмпирические проверки САРМ зависят от того, что мы принимаем за рыночный портфель. По формальному утверждению САРМ рыночный портфель был портфелем всех рисковых активов, а не только акций. Несмотря на это тесты САРМ проводились на акциях, и в качестве рыночного портфеля был использован индекс фондовой биржи. Ролл доказывал, что прибыль на активы всегда есть линейная функция бета, если выбранный портфель является эффективным портфелем. Любое «доказательство» САРМ
Эффективны ли рынки?	53
будет всегда поддерживать САРМ, если выбранный портфель эффективен. Ролл пришел к утверждению, что мы никогда не сможем объективно протестировать САРМ,—до тех пор пока не используем истинный рыночный портфель. Все что мы подвергаем тестированию — действительно ли заменитель рыночного портфеля эффективен.
Работа Ролла не опровергает САРМ, или предположения, лежащие в основе ЕМН. Она только утверждает, что САРМ не может проверена объективно. Я упомянул эту работу затем, чтобы показать, что эта единственная сущностная критика не затрагивает основного в проблеме рыночной эффективности. Ролл критиковал методы, используемые для тестирования теории, но не саму теорию. Даже в этой дискуссионной работе вопрос о рыночной эффективности не поднимается.
ЭФФЕКТИВНЫ ЛИ РЫНКИ?
Этот краткий обзор показывает, что по поводу ЕМН возникли серьезные вопросы. В главе 2 мы видели, что ЕМН была необходима для того, чтобы оправдать предположение о случайном блуждании цен. Следовательно, модель случайного блуждания не находит себе места без ЕМН, хотя это отношение отнюдь не обратимо. Случайное блуждание было необходимо для применения статистического анализа к временным рядам ценовых изменений. Статистический анализ был необходим хотя бы только для того, чтобы теория портфеля была применима в реальности. Без нормального распределения огромное число теоретических и эмпирических работ ставится поп "Опрос Мы также видели, что традиционный компромисс между риском и прибылью не всегда имеет место.
Помимо того, имеют место многие рыночные аномалии, когда могут быть получены большие нерыночные прибыли — в противоположность «справедливой игре» полусильной ЬМН. На фондовом рынке это эффект малых фирм, низкий М Е~ эффект (price/earnings — отношение цены к прибыли) и эффеКт января. Рудд и Клэссинг (Rudd, Classing, 1982) подтверждают сверхприбыли, полученные от нерыночных факторов, на своей шестифакторной модели риска BARRA El. По этой модели, основанной на САРМ, было найдено, что четыре источника нерыночного риска (рыночная вариабельность, Низкая оценка стоимости и неуспех, незрелость и малость, фи-нсовый риск) заключают в себе возможность значительных
54
Глава 3. Крушение линейной парадигмы
нерыночных прибылей. Эти факторы прибыли, говорят Рудд и Классинг, «далеки от случайности» и доказывают, что полусильная ЕМН не отражает действительности. Такие аномалии давно наводят на мысль, что нынешняя линейная парадигма требует изменения, которое приняло бы их в расчет.
Возможно, суть вопроса относится к тому, как люди принимают решения. ЕМН сильно зависит от рациональности инвесторов. Рациональность определяется как способность устанавливать стоимость ценных бумаг на основе всей доступной информации и в соответствии с этим назначать цены. Она подразумевает также, что инвесторы не расположены к риску. Но разве рациональны люди во всей своей совокупности, в целом, если отталкиваться от этого определения рациональности? Как они реагируют, когда стоят перед лицом возможных приобретений и потерь?
Общепринятая теория гласит, что инвесторы не любят рисковать. Если они идут на большой риск, то должны быть компенсированы возможностью большой прибыли. Недавнее исследование Тверски (Tversky, 1990) говорит о том, что когда потери приемлемы, люди идут на риск: они больше похожи на азартных игроков, если эта игра не грозит обернуться большими потерями. Тверски приводит следующий пример. Предположим, инвестор имеет выбор между 1) гарантированным приобретением $ 85.000, или 2) 85% шансов приобрести $ 100.000 и 15% не приобрести ничего. Большинство предпочтут гарантированный выбор, хотя ожидаемая прибыль, как определил Осборн (см. гл. 2), одинакова в обоих случаях. Люди, как это и утверждает теория, не склонны к риску.
Тверски, далее, переворачивает ситуацию Предположим теперь, что инвестор имеет выбор между 1) гарантированной потерей $ 85.000, или 2) 85% шансов потерять $ 100.000 и 15% — не потерять ничего. И снова ожидаемая прибыль одинакова в обоих случаях, но в данной ситуации люди будут рисковать. Очевидно, что шанс уменьшить потери предпочтительнее, чем гарантированная потеря, даже если вероятность будущей потери достаточно велика. Правила игры поменялись, и теперь люди стремятся рисковать.
Теория рынков капитала предполагает также, что все инвесторы имеют одинаковый горизонт инвестиционных вкладов-Это необходимо для того, чтобы ожидаемые прибыли были сравнимы. Но хорошо известно, что это не так. Когда предлагаются возможности получения $ 5.000 сегодня или $ 5.150
Эффективны ли рынки?
55
через месяц, большинство предпочтут $ 5.000 сегодня. Однако если предложены $ 5.000 через год или $ 5.150 тринадцать месяцев спустя, большинство выберут более длинный период. Это снова не совпадает с моделью рационального инвестора.
Тверски также обращает внимание на то, как люди ведут себя в условиях неопределенности. Гипотеза рациональных ожиданий утверждает, что доверие и субъективные вероятности оценки точны и непреднамеренны. Однако люди, в общем, склонны к самоуверенным предсказаниям. Мозг, по всей вероятности, построен таким образом, что принимает решения с наибольшей определенностью по получении даже малой информации. Для других ситуаций уверенность перед лицом неопределенности — желательная характеристика. Однако сверхуверенность может стать причиной игнорирования информации, которая может быть использована другими. Следовательно, исходя из своих субъективных оценок, тако
го рода прогнозист склонен присваивать отдельным экономическим сценариям большую вероятность, чем это оправдано фактами. В частности, он может стараться не проявить собственную нерешительность. В примере из гл. 2 инвестор был на 60% уверен в экономическом росте, на 30% — в отсутствии роста, и на 10% — уверен в спаде. В реальности инвестор, который уверен в сценарии роста, предпочтет увеличить эту вероятность до 90%, а оставить 10% на вялый рост, чтобы он не выглядел слишком самоуверенным. Про спад будет ска
зано, что «он не представляется возможным в это время». Это выражение больше похоже на заявление экономического советника Белого дома по поводу того, возможен ли экономический спад.
Работа Тверски и Кахенманна вызвала к жизни субкатего-рию поведенческих финансов. Эта сфера исследований, в сущности, обозначилась с публикацией статьи ДеБонда и Тейлера (DeBondt, Thaler, 1986), озаглавленной «Сверхреактивен ли Фондовый рынок?». Более детально эта работа обсуждается в гл. 14.
Предложенное Тверски понимание того, как люди принимают решения, совпадает с моим собственным взглядом, который нуждается в эмпирическом подтверждении. Я полагаю, Что люди не признают трендов и не реагируют на них до тех ПоР, пока эти тренды хорошо не установятся. Например, они начинают экстраполировать явление, подобное росту инфляции, в течение некоторого времени его развития. Затем
56
Глава 3. Крушение линейной парадигмы
они принимают решение, которое обусловлено накопленной, но до некоторого момента игнорируемой информацией. Такое поведение коренным образом отличается от предполагаемых действий рационального инвестора, который немедленно использует новую информацию. Однако утверждение о том, что люди не признают обоснованной информации, если она не совпадает с их прогнозом, в большой мере соответствует человеческой природе, и это согласуется со взглядом Твер-ски, полагающим, что люди в своих собственных предсказаниях склонны быть слишком самоуверенными. Они не любят отказываться от своих прогнозов, если не получат достаточно информации об изменении обстановки. А если инвесторы реагируют именно таким образом, рынок не может быть эффективным, потому что вся информация еще не отразилась в ценах. Многое остается не учтенным, и реакция наступает позже.
Когда отдельные инвесторы не склонны быть столь рациональными, нет оснований для того, чтобы дело обстояло иным образом во всем их сообществе. Тот кто читал Маккея (Mackay, 1841) «Удивительные общераспространенные заблуждения и безумия толпы», имеет в подтверждение тому достаточно исторических прецедентов. Совсем недавние примеры: золотой бум 1980 г. и американский фондовый рынок 1987 г.
В ЧЕМ ПРИЧИНА ТОЛСТЫХ ХВОСТОВ?
Истинная природа лептоэксцесса (толстые хвосты и высокий пик) распределения прибылей широко дебатировалась. Теперь уже общепризнано, что это распределение — лептоэкс-цессное, и споры сосредоточены на том, представляет ли это серьезную опасность для теории случайных блужданий. Наиболее общее объяснение толстых хвостов состоит в том, что информация обычно поступает редкими порциями, а не непрерывно. Рыночная реакция на сгустки информации имеет следствием толстые хвосты. Поскольку распределение информации является лептоэксцессным, то и распределение цеповых изменений также носит признаки лептоэксцесса.
Как было отмечено выше, Мандельброт (1964) говорил о том, что прибыли на рынках капитала следуют семейству рас-пределений, которое он назвал устойчивым паретианом. Это распределение имеет высокий пик на среднем значении и толстые хвосты, во многом сходные с теми, что наблюдаются
В чем причина толстых хвостов?	57
на частотных распределениях прибылей фондового рынка (см. таблицу 3.1 и рис. 3.1). Устойчивое распределение Парето (устойчивый паретиан) характеризует тенденция к трендам и циклам, внезапным и прерывистым изменениям; оно также может быть несимметричным. Однако дисперсия этих распределений бесконечна, или неопределенна. Кутнер (1964b) и Шиллер (Shiller, 1989) признали концепцию бесконечной дисперсии неприемлемой, выдвинув требование переформулировать существующую теорию в терминах нормального распределения, чтобы не стать перед лицом возможности серьезного подрыва результатов сорокалетних исследований экономических рынков и рынков капитала. Кутнер (1964а), критикуя статью Мандельброта, утверждал, что мы не можем быть уверены в том, насколько измерения хвостов являются доказательствами того,что распределение не представляет собой простого лептоэксцессиого гауссовского распределения. Кутнер напомнил, что если Мандельброт был прав, то «почти все наши статистические инструменты атрофированы». Он чувствовал, что требуется больше оснований для того, чтобы отправить сотни работ в макулатуру. Устойчивые распределения Парето теперь могут быть названы фрактальными распределениями; мы будем подробно рассматривать их в гл. 9. Используя фрактальный анализ, мы сможем теперь отличать толстохвостые гауссовские распределения от распределений фрактальных.
Наконец, мы должны еще раз посмотреть, как люди реагируют на информацию. Мы обсудили в качестве общего объяснения толстых хвостов неравномерное поступление информации. Полученная информация, по-прежнему, осваивается и немедленно отражается в ценах. Но что если сама реакция — выдается сгустками? Если инвесторы игнорируют информацию до тех пор, пока тренды не установятся и затем откликаются, принимая в расчет всю до того накопившуюся информацию, — вот тогда и могут возникать толстые хвосты. Это означает, что люди реагируют на информацию нелинейно. Стоит только ей перешагнуть некоторый критический уровень, и начинает сказываться все ее совокупное влияние, которое до того не влекло за собой никаких последствий. За этим скрывается не что иное как влияние прошлого на настоящее и, ^ЦЦовательно, полный крах ЕМН. Ибо в ЕМН информация отклик на нее находятся в жесткой причинно-следственной
58
Глава 3. Крушение линейной парадигмы
связи, как бы в ньютоновой физике — информация получена и сразу отражена в ценах.
ОПАСНОСТЬ УПРОЩАЮЩИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ
Из нашего обсуждения можно видеть, что упрощающее предположение о рациональном инвесторе привело к целой аналитической конструкции, которая может оказаться замком, построенным на песке. Концепция рационального инвестора и гипотеза эффективного рынка были созданы для оправдания применимости вероятностных расчетов в экономической теории, основанных на главном допущении — о независимости наблюдений или прибылей. Теория рынков капитала пыталась сделать условия, сопутствующие инвестиционной деятельности, более ясными и упорядоченными, чем это есть на самом деле. Среди факторов, которые искажают эти условия и не учитываются в стандартной ЕМН, имеют место следующие:
1.	Люди не всегда питают отвращение к риску. Они часто могут стремиться рисковать, особенно если сознают, что обречены на потери, если не будут этого делать.
2.	Люди полны предубеждений в своих субъективных оценках. Они уверены в своих собственных предсказаниях гораздо более того, чем это оправдано имеющейся информацией.
3.	Люди могут не реагировать на информацию сразу по ее получении. Вместо этого они могут откликаться на нее некоторое время спустя, если она подтверждает изменение в недавнем тренде. Это нелинейная реакция - в противоположность линейности реакций рационального инвестора.
4.	Не существует очевидного подтверждения того, что люди более рациональны в совокупности, чем по одиночке. Доказательством тому социальные перевороты, преходящие увлечения и моды.
Повторим, что попытки упростить природу, приспособить ее к своим целям, — все это ведет к ошибочным заключениям.
Эконометрический анализ был желателен потому, что он мог служить для получения оптимальных решений. Однако, если рынки нелинейны, существует много возможных решений. Попытки найти единственное оптимальное решение могут оказаться бесплодными поисками.
Опасность упрощающих предположений	59
Мы должны составить себе мнение о том, насколько серьезно повлияет на современные парадигмы отказ от этих упрощающих предположений. Отцы-основатели теории рынков капитала хорошо отдавали себе отчет в существовании этих упрощений, однако не считали их влияние существенно уменьшающим ценность модели.
До Галилея всеобщим убеждением было то, что тяжелые тела падают быстрее легких — предположение, совершенно изменяющее природу взаимодействия тел.
Предположение о том, что инвесторы реагируют на информацию линейно, немедленно по ее получении, может глубоко изменить природу рынков, если в действительности эта реакция нелинейна и сдвинута по времени. Я утверждаю, что предположение о рациональности инвесторов (и, следовательно, о взаимной независимости ценовых изменений) не может далее поддерживаться в отсутствие очевидных эмпирических доказательств. Конструкция рационального инвестора неубедительна.
Глава 4
Рынки и хаос: случайность и необходимость
В главах 2 и 3 было показано, что ЕМН часто не в силах объяснить поведение рынка. Модели, основанные на ЕМН, такие, как САРМ, имеют в своей основе серьезные недостатки. Тем не менее рынки во многом следуют ЕМН. Например, изучение показало, что активные менеджеры терпят постоянные неудачи в борьбе с «рынком». Сторонники ЕМН указывают на этот факт как на доказательство эффективности рынка. Критики ЕМН, со своей стороны, говорят, что рынок является просто результатом некомпетентности инвестиционных менеджеров, в частности, их неумения обращаться с количественными оценками. Несмотря на все эмпирические исследования, лишь небольшая часть которых обсуждается в этой книге, дебаты относительно рыночной эффективности продолжаются.
Эти споры питаются из источника двойственности: хотя есть мало убедительных доказательств того, что рынки эффективны, их также мало и в отношении противоположного утверждения. Практики указывают на двойственные результаты, исходя при этом из опыта своей инвестиционной деятельности. Фундаментальный анализ часто срабатывает, но и часто оказывается бессилен. То же самое можно сказать о техническом анализе. Экономисты говорят об экономических циклах, но ни один не может быть найден аналитически. Трейдеры говорят о рыночных циклах, ио и те могут быть доказаны. Для того чтобы покончить с этой разноголосицей у критиков ЕМН нет альтернативы, которая принимала бы в расчет все эти несоответствия. Немного найдется областей, где теория и практика находились бы в таком несогласии.
Два этих лагеря разделяет враждебность. Количественни-ки говорят, что существуют доводы в доказательство несуществования рыночных циклов. Практики говорят, что коли-чественники живут в мире грез и не имеют никаких доказательств. Такой раскол между теорией и практикой был обычным состоянием физических наук на всей истории их существования. Количественники часто относятся к техническому анализу как к форме рыночной астрологии, возможно, забывая о том, что астрологи были также первыми астронома-
Могут ли сосуществовать случайность и необходимость? 61 мй и алхимики — первыми химиками. Количественникам так-я<е следует помнить, что текущие научные знания не всегда являются истиной.
В шестнадцатом столетии среди ученых было распространено мнение, что снаряд, например пушечное ядро, выпущенное в сторону врага, падает прямо вниз после того как достигнет наивысшей точки, потому что сила гравитации притягивает его по прямой, как описано Аристотелем. Практики (в данном случае военные) говорили, что эта теория бессмысленна: ядра летят по кривой. Они это знали, потому что занимались пробиванием укреплений. И это продолжалось до тех пор, пока работы Декарта в XVII веке не заставили ученых признать свою ошибку.
Количественники должны заботиться о том, чтобы их предположения не искажали их заключений, если сами эти предположения не доказаны. Что касается траектории пушечных ядер, то ведь предполагалось, что Аристотель всегда прав. Он был прав в отношении многих вещей, но в отношении снарядов он ошибался. Практики должны заботиться о том, чтобы не «мистифицировать» то, что они делают, если нет достаточного понимания. Примером мистификации может служить следующее предположение технических аналитиков: «Рынок говорит на своем собственном языке». Что это означает? Что внешняя информация бесполезна? Если так, то почему? На эти вопросы ответа не дается.
Следует открыто взглянуть на две эти платформы. Только единение теории и практики может продуцировать выигрышную технологию.
Р° временных рядах рыночных прибылей мы имеем явный разрыв между тем, что говорит разум, и тем, что подсказывает интуиция. Разум говорит, что на рынке не существует порядка, поскольку результаты, использующие аналитические методы, остаются неубедительными. Интуиция говорит нам — здесь что-то есть, но не ясно, что именно. Может быть, про-в том, чтобы вернуться к нашему определению поряд-ка- Что мы понимаем под порядком?
„РГуТ ЛИ СОСУЩЕСТВОВАТЬ СЛУЧАЙНОСТЬ И ИЕОВХОДИМОСТЬ?
н бычно мы предполагаем, что случайность и порядок взаим-
Исключают друг друга. Шум может быть помехой в сис-
62 Глава 4. Рынки и хаос: случайность и необходимость
теме, но если существует порядок, то он будет преобладать. Если телепередача искажается постоянными помехами, или «снегом», то сама она становится невидимой. Шум независим от передачи изображения. С позиции этой умственной модели изучение рынка направлено как правило на поиски вариаций некоторого периодического порядка, лежащего в основе рыночного механизма, но подверженного существенному влиянию шума. Такой подход больше известен как концепция Шиллера «шумовых трейдеров и штрафов». Технические аналитики часто делают такое же предположение, когда говорят, что двухсотдневное скользящее среднее имеет некое предсказательное значение, что скользящее среднее сглаживает шум, наложенный на имеющийся тренд. Обычно используемый в исследованиях спектральный анализ обнаруживал под наложенным шумом некоторый периодический порядок. Однако не существует исследований, которые бы уверенно поддерживали или опровергали ЕМН.
В настоящее время открыто много различных систем, в которых случайность и необходимость сосуществуют в интеграции. В частности такие системы найдены в термодинамике, где преобладают условия «далекие от равновесия». Наш ответ может состоять в следующем.
В экономической теории и теории рынков капитала мы долгое время использовали ньютоновское предположение, что система, предоставленная самой себе, стремится к равновесию. В физической теории движения равновесие связывают с телом, находящимся в покое. В приложении ньютоновской динамики к экономической теории рынков капитала мы также рассматриваем систему как находящуюся в естествеп,т^м равновесии до тех пор, пока ее не возмущают экзогенные воздействия. Так, существует естественный баланс между предложением и спросом до тех пор, пока некое воздействие не изменит того или другого, заставив систему искать нового положения равновесия. Такой подход представляет собой не что иное как расширение теории равновесия, относящейся к природным явлениям.
Природа устанавливает естественный баланс, в котором организмы конкурируют и сосуществуют в экологической системе, которая работает и остается устойчивой на протяжений всего времени — по крайней мере, насколько мы видим. Однако даже в экологии теорию «естественного баланса» сменило
Могут ли сосуществовать случайность и необходимость? 63 понимание того, что природа на самом деле находится в состоянии непрерывных флуктуаций.
Как было сказано в гл. 1, статическое равновесие не является естественным состоянием, и пришло время, когда экономическая теория и инвестиционные финансы стали перед лицом той же проблемы. В нелинейных динамических системах случайность и необходимость сосуществуют. Случай в сочетании с детерминированностью создает статистический порядок. Следовательно, порядок может быть динамическим процессом, в котором случайность и порядок объединены, а не есть периодическое явление с наложенным шумом.
Теория сложности обнаруживает, что эта комбинация локальной случайности и глобального порядка порождает процессы, которые более устойчивы по отношению к окружающим условиям. Это означает, что они могут адаптироваться к окружающим условиям, реагируя, на первый взгляд, непредсказуемым образом. Их поведение непредугадываемо, и поэтому они выигрывают в соревновании с другими видами или системами. Статические системы, реагирующие линейно, обречены па вымирание. Их приспособительные возможности исчерпываются в борьбе с более адаптированными конкурентами.
Существующая парадигма, основанная на эффективных рынках и линейных отношениях между причиной и следствием, постулирует рынок, выступающий в роли окончательного арбитра. Со своей стороны, новая парадигма трактует рынки как сложные, интерактивные и адаптивные системы. Сама их сложность предлагает богатство возможностей и интерпретаций, но только не легкие ответы.
В части 2 мы рассмотрим основы нелинейных динамических систем сначала средствами статистического анализа, используя фракталы, и затем аналитически, используя теорию хаоса. Эти два подхода, как мы увидим, тесно связаны между собой. Можно надеяться, что эти методы и представленные очевидные доказательства побудят сообщество инвесторов заглянуть за пределы теории случайных блужданий и всего с Неи связанного — и обратиться к моделям, основанным на теории сложности.
ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ
НА РЫНКАХ КАПИТАЛА
Со времени первого издания этой книги фрактальные изображения приобрели поистине повсеместное распространение. Было продано много дорогих, роскошно иллюстрированных книг с интересными, как бы неземными ландшафтами. Фракталы используются в качестве инструментов компьютерной графики, включая движущиеся изображения. Фракталами декорируют даже рубашки и галстуки. Однако фракталы — это нечто большее, чем просто прелестные картинки. Фракталы изменили наш взгляд на мир. Фрактальная геометрия позволила нам создавать сложные формы путем простых итерационных правил. Мы достигли понимания, хотя еще и не точного, что сложность окружающей нас природы тесно связана с этой новой геометрией. По этой причине многие рыночные технические аналитики ошибочно предположили, что фрактальная геометрия поможет им распознать новые закономерности в диа-гРя.ммах фондового рынка. Но действительная польза Фракталов простирается гораздо глубже.’
Фракталы оказали влияние на статистический анализ, которое в значительной мере еще не оценено. Природа не есть ряд повторяющихся закономерностей, но в противоположность тому характеризуется локальной случайностью и глобальным порядком. Каждый естественный фрактал отличен в деталях и в то же время всТ°беН Люб0МУ Другому в общей концепции. Например, е Дубовые деревья различны, и в то же время легко аются как дубы. Фракталы в реальном мире об-олн°ВЛеНЬ1 гл°бальными статистическими структурами, временно порождающими локальные случайности.
66
Для рыночного и экономического анализа это может иметь далеко идущие последствия.
В этой части мы рассмотрим фракталы. Они не только изменят ваш взгляд на рыночный и экономический анализ, но и на природу как таковую.
Глава 5
Введение во фракталы
Развитие фрактальной геометрии стало одним из самых полезных и прекрасных открытий в математике. С помощью фракталов математики создали систему, которая описывает природные формы, используя небольшое количество терминов и правил. Сложность рождается из простоты. Фракталы придают сложности структуру и красоту — хаосу. Нас интересует, каким образом фракталы возникают в нелинейной динамике. Большинство природных форм и временных рядов наилучшим образом описываются фракталами. Естественно заключить, что нелинейность и фракталы являют собой геометрию хаоса.
Взгляд на мир под углом зрения фрактальной геометрии сильно отличается от того, который предлагает нам геометрия евклидова. Евклидова геометрия, изучаемая нами в школе, есть выражение и развитие древнегреческой философии.
Античные греки ответственны за привнесение причинности в западную культуру. Наблюдая вокруг себя жизнь, полную кажущихся хаотическими случайных событий, они искали чистые формы и порядок, спрятанные под покровом повседневного шумя Они хотели свести природу' к эти?.т простым формам. Их инструментом была математика. Многое из написанного древними греками исполнено мистического родства с математикой. Во многих отношениях наша потребность найти структуру в природе есть наследие античности. Существует много параллелей между тем взглядом, который ищет чистых Ф°Рм в основе каждодневной жизни, и поисками экономистов Циклического порядка в шуме ежедневных сделок, о котором и сго'а;!аНО В ГЛ" Античные греки верили в порядок чисел Чтоб РО'а,СТво с порядком универсума. Они работали над тем, е„ 1 интегрировать числа в природу посредством системы
ЕвТВеННЬ1Х Законов-
Фаго КЛи,л' с°брал воедино отдельные законы, открытые Пиром, Аристотелем и другими, и создал из них цельную
68
Глава 5. Введение во фракталы
систему. Его базовая структура (аксиомы, теоремы и доказательства), которая легла в основу плоской геометрии, широко используется поныне. Техника и землепользование тесно связаны с этими античными законами.
Евклид свел природу к чистым и симметричным объектам: точка, одномерная линия, двумерная плоскость, трехмерное тело. Среди тел имеется ряд чисто симметричных форм, таких, как сферы, конусы, цилиндры, блоки. Ни один из этих объектов не имеет в себе отверстий и внешних неровностей. У каждого правильная гладкая форма. Для греков симметрия и сплошность были признаками совершенства. Только совершенство предполагалось в природе.
В реальности природа отвергает симметрию, так же как она не любит равновесия — эти в некотором смысле эквивалентные состояния. Природные объекты огрубленных форм не являются разновидностями чистых евклидовых структур. В результате создание компьютерных изображений гор при помощи евклидовой геометрии представляет собой устрашающую задачу, которая требует множества строк программного кода и большого количества обращений к датчику случайных чисел. С помощью же фрактальной геометрии гора может быть создана на экране дисплея посредством всего лишь нескольких повторно применяемых правил.
Бенуа Мандельброт может быть назван Евклидом фрактальной геометрии. Он собрал наблюдения математиков, которые изучали «монстров», т. е. объекты, не определимые на путях евклидовой геометрии. В итоге обобщения этих математических работ и своего собственного озарения он создал юиметрию природы, которая преуспела в описаниях асимметричности и невнятных форм. Мандельброт сказал: «горы не являются конусами, и облака —не сферы».
Наверное неспособность евклидовой геометрии описывать природные объекты лучше всего демонстрирует следующее свойство. В евклидовой геометрии чем больше мы приближаем свой взгляд к объекту, тем проще он становится. Трехмерный блок становится двумерной плоскостью, затем одно-мерной линией, до тех пор пока не станет точкой. С другой стороны, природный объект являет нам все больше и больше деталей по мере того, как мы приближаем взгляд — на всем пути, вплоть до субатомного уровня. Этим свойством облада-ют фракталы. Чем пристальнее мы их изучаем, тем больШ6 деталей можем увидеть.
Глава 5. Введение во фракталы	69
Так что же такое фрактал? Всеобъемлющего, окончатель-ноГо определения фракталов не существует. Мандельброт И 982) первоначально определил фракталы, основываясь на топологической размерности. Впоследствии он отказался от этого определения. Мы будем пользоваться следующим рабочим определением: фрактал есть некоторая самосоотнесен-ность, или самоподобие. Один из самых наглядных естественных фракталов — это дерево. Древесные ветви следуют фрактальному скейлингу. Каждое ответвление со своими собственными ветвями подобно всему дереву целиком в качественном смысле.
фрактальные формы обнаруживают пространственное самоподобие. Фрактальные временные ряды имеют статистическое самоподобие во времени. Они являются случайными фракталами и имеют больше общего с естественными объектами, чем чистые математические фракталы, которые будут нами рассмотрены в первую очередь. Мы будем изучать в основном фрактальные временные ряды, но фрактальные формы дают хорошую основу для интуитивного постижения, поскольку для них «самоподобие» имеет наглядный смысл. По аналогии с ними легче будет понять фрактальные временные ряды. Чтобы пробудить читательский интерес, лучше думать о временном ряде рыночной прибыли. На рис. 5.1
и мёся'ч' Самоподобие прибылей, S&P 500: дневные, недельные НЬ1е прибыли (можете определить — где какие?).
70
Глава 5. Введение во фракталы
показаны дневная, недельная и месячная прибыли по статистике S & Р 500 для сорока последовательных наблюдений. Можно ли определить, какой из графиков перед нами, не зная масштабов измерений по осям х и у? Таким образом, рис. 5.1 иллюстрирует самоподобие фрактального временного ряда.
ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Фрактальные формы могут порождаться многими путями. Простейший из них — задать порождающее правило и выполнить последовательность итераций. На рис. 5.2 показан пример. Мы начинаем со сплошного равностороннего треугольника (рис. 5.2а). Затем удаляем равносторонний треугольник из первоначальной фигуры — остается три меньших сплошных треугольника и пустой треугольник в середине (рис. 5.26).
(а)	(б)
Рис. 5.2. Генерация треугольника Серпинского: (а) Начало-' сплошной равносторонний треугольник, (б) Изъятие равностороннего треугольника из центра, (в) Изъятие треугольника из оставшихся треугольников, (г) После 10000 итераций — треугольник1* внутри треугольников.
Фрактальные формы
71
Далее удаляются треугольники из этих малых сплошных треугольников (рис. 5.2в). Если мы будем повторять этот процесс, то в итоге получим структуру, показанную на рис. 5.2г — треугольник, который имеет внутри себя бесконечное число уменьшенных треугольников. При увеличении какой-либо части этого треугольника можно было бы увидеть в ней еще больше уменьшенных треугольников. Таким образом, бесконечное число треугольников заключено в конечном пространстве исходного треугольника. При помощи простого правила в этом конечном пространстве создана бесконечная сложность. Этот особенный фрактал, называемый треугольником Серпинского, как мы увидим дальше, играет определенную роль в анализе временных рядов.
Теперь попытаемся применить к треугольнику Серпинского евклидову геометрию. Он не одномерный, так как не является линией. И не двумерный, как сплошной треугольник, ибо имеет в себе отверстия. Его размерность заключена между единицей и двойкой. Она равна 1.58 — это дробная, или фрактальная, размерность. Фрактальные размерности являются главными идентификационными характеристиками фракталов. Проницательную мысль Мандельброта о том, что фрактальная размерность существует естественным образом, можно сравнить с изобретением числа (0) (нуль) средневековыми восточными математиками, или с изобретением отрицательных чисел раннеиндийскими математиками. Фрактальные размерности — объективная реальность. Прежде не привлекавшие внимания, теперь они углубили и расширили дескриптивную мощь математики.
Мы склонны думать. чт° всякий плоский объект является Двумерным. С точки зрения математики это не так. Евклидова плоскость есть ровная поверхность без щелей и проломов, одобным же образом мы склонны считать, что объект, име-юЩий «глубину» — является трехмерным. И снова, в евклидовой геометрии это не так. Трехмерный объект есть чистая с..ЛОШная Форма. Математически он отличается свойством
И полной поверхности. Он не имеет в ней дыр и щелей. н ледовательно, объект, обладающий глубиной, не обязатель-преЯВЛЯеТСЯ трехмерным. Например, фиксирующий шарнир кли тавляет собой шар с углублениями; в соответствии с ев-его п В°И геометРией он не является трехмерным, поскольку оверхность не гладкая.
72	Глава 5. Введение во фракталы
Обратимся к рассмотрению временного ряда фондовых цен, который представляет собой зазубренную линию. Она не одномерна, потому что не есть прямая. Но она также и не двумерна, поскольку не заполняет плоскость. На языке размерностей она более чем линия и менее чем плоскость. Ее размерность находится между единицей и двойкой. (В главе 9 мы установим, что эта кривая статистики S & Р 500 имеет размерность 1.24)
Другой пример фрактальной формы — снежинка Кох. Подобно треугольнику Серпинского, снежинка Кох создается ад
Рис. 5.3. Генерация снежинки Кох. (а) Начало — равносторонни треугольник, (б) Добавление равностороннего треугольника на ofl ной третьей части каждой из сторон, (в) Продолжение процедур
добавления треугольников.
Случайные фракталы
73
длтивным правилом. На рис. 5.3 показана эта процедура. Она начинается с равностороннего треугольника (рис. 5.3а). На средней трети каждой из сторон строится другой равносторонний треугольник, образуя форму, показанную на рис. 5.36. При повторении шага «б» получим в результате снежинку (рис. 5.Зв). Такая снежинка, в принципе, имеет бесконечную длину, поскольку треугольники могут добавляться до бесконечности. Однако окружность, которая заключает в себе исходный треугольник, ограничивает это пространство. Мы имеем бесконечную длину внутри конечного пространства. И чем ближе мы будем рассматривать профиль этой снежинки, тем больше деталей увидим. Будут видны уменьшенные версии большой формы. Путем простого итеративного правила снова создан объект бесконечной сложности, заключенный внутри конечного пространства.
Два этих примера—треугольник Серпинского и снежинка Кох — являются симметричными фракталами. Они часто называются детерминистическими фракталами, потому что создаются с помощью детерминистических правил. Как мы установили, естественные объекты в действительности никогда не бывают симметричными. Две рассмотренные фрактальные формы, следовательно, не представляют природные формы или рынки капитала, однако они иллюстрируют некоторые важные характеристики фракталов. Они являются объектами, созданными посредством простых итерационных правил, дающих самоподобные формы с фрактальными размерностями. Более реалистичными являются случайные Фракталы.
СЛУЧАЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ
Хорошим примером случайных фракталов могут служить береговые линии. С самолета на большой высоте береговая ли-НИя выглядит гладкой нерегулярной кривой. При уменьшении ВЬ1СОты ПОлета выявляется зазубренность береговой ли-’ И’ УаконеЦ, при ближайшем рассмотрении виден каждый м Ч^ИШий выступ. Кривая цен на фондовом рынке сравни-изм ЬеРеговь1ми линиями. Эта зазубренная линия, ценовых линия^ч®’ ИЛИ пРибылей’ сначала выглядит как береговая МеР 6 еМ ближе мы рассматриваем временной ряд (напри-Детале” °льшой временной интервал на рис. 5.1), тем больше
74
Глава 5. Введение во фракталы
Случайные фракталы представляют собой комбинации порождающих правил, выбранных наугад в разных масштабах. Можно привести в качестве примера структуру легкого млекопитающих. Наше легкое имеет главный стебель, трахею, которая в свою очередь имеет два первых ответвления. Эти две ветви имеют еще больше ответвлений. Диаметры этих ответвлений уменьшаются, в среднем, в соответствии с показательным законом. Этот скейлинг является фрактальным. Однако легкое — не симметричный фрактал, подобный снежинке Кох. Каждое поколение имеет, в среднем, уменьшенный диаметр, но отдельные ветви могут варьироваться в размерах. Скейлинг каждого нового поколения не имеет какого-то характеристического масштабного коэффициента. Это — естественное «правило», которое является причиной множественного скейлинга, связанного с аддитивным процессом данной системы. Если диаметр одной части ветвящегося поколения уменьшается, то это компенсируется другой его частью. Естественная селекция работает в пользу случайного фрактального скейлинга, хотя и она также случайна. Такая комбинация случайности и детерминированности, порождая правило, или «причинность», может быть также полезной в анализе рынков капитала.
ИГРА ХАОСА
Майкл Барнсли (Michael Bransley) из фирмы Itereted Systems, Inc., разработал математический аппарат для порождения фрактальных форм, который назвал итеративными функциональными системами (Iterated Function Systems — IPS'). В одном из подмножеств IFS фракталы порождаются детерминистическим правилом, которое выполняется случайным образом. В результате появляется нечто такое, что трудно даже себе вообразить. Барнсли назвал свой алгоритм игра хаоса.
Одна из форм игры хаоса показана на рис. 5.4. Начинается игра с трех равноотстоящих точек (рис. 5.4а). Пометим точку А как (1,2), точку В как (3,4) и точку С как (5,6). Это игровая доска. Выберем теперь некоторую точку внутри треугольника АВС.
Чтобы сыграть в эту игру, бросаем игральную кость (убедитесь, что кость имеет правильную форму). Продвинемся на половину пути до точки, номер которой выпал. Например если выпало 5, пройдем половину отрезка до точки С
Игра хаоса
75
(В)
Рис. 5.4. Игра хаоса, (а) Начало — три точки на равном расстоянии друг от друга и одна случайно нанесенная точка внутри образованного ими треугольника, (б) Предположим, что вы бросили игральную кость, и выпало 5 — в этом случае вы должны продвинуться на половину расстояния до точки С(5,6). (в) Повторите процедуру (б) 10000 раз и вы получите треугольник Серпинского.
(556) и нанесем новую точку, как это показано на рис. 5.46. Роделаем так 10000 раз (используя компьютер). Примерно после 10 000 итераций придем к результату, показанному на Рис. 5.4в, который нам уже знаком, ибо это не что иное как треугольник Серпинского — несмотря на то, что точки полу-Чены совсем другим способом. И в том и в другом случаях нанесение каждой точки зависит от положения всех предыдущих точек. И в том и в другом случаях получается тре-°льник Серпинского. Как это может быть?
jpg арнсли говорит, что этот треугольник есть предел данной • н является аттрактором системы.
Ин<ЬВаИТе РасСмотРим, как осуществляется эта игра хаоса.
Рмация, выдаваемая игральной костью, случайна. Сис
76
Глава 5. Введение во фракталы
тема не знает, куда она двинется до того, как выпадет очередная цифра. Предсказать направление здесь невозможно. Но получив информацию, процесс направляется внутренним детерминистическим правилом. Результатом является целый диапазон возможностей, но количество возможностей бесконечно. Эта структура — бесконечные возможности внутри конечного диапазона — есть аттрактор, или предел, множества, задаваемого данной IFS.
Заметим, что этот аттрактор неслучаен, хотя он имеет бесконечное количество возможных решений. Каждая точка внутри треугольника появляется по-разному. Пространство внутри треугольника имеет нулевую вероятность обнаружить себя, хотя этих пространств — бесконечное количество.
Положение каждой точки зависит от того, где расположилась точка предыдущая. В действительности место каждой точки зависит от положения всех предыдущих, несмотря на то что информация, используемая при вычерчивании IFS, генерируется как случайная.
Как мы увидим в гл. 7, эта комбинация случайных событий и зависимости является характеристикой фрактальных временных рядов.
Так что же, следовательно, являет собой фрактал? Фрактал есть аттрактор (предельное множество) порождающего правила (информационного процессора). Это—некое самоподобие, в котором меньшие части соотносятся с целым. Оно имеет фрактальную размерность. Это более сложное определение, чем приведенное ранее. Однако не существует абсолютно точного определения фрактала. Возможно, когда-нибудь ОНО буДе! НаЙДсНи, Ни iaKOLO МиЖ1_1 И НС СЛуЧИТЬСЯ Ы > .ДУ того, что фрактальная геометрия есть геометрия природы. Дефиниция фрактала стоит в одном ряду с дефиницией природы.
Мы видели, что существует два типа фракталов: детерминистические и случайные. Детерминистические фракталы в большинстве случаев симметричны. Случайные фракталы не всегда включают в себя части, которые выглядят похожими на целое. Части и целое могут соотноситься качественно. Мы увидим, что фрактальные временные ряды качественно само-подобны, ибо в разных масштабах длительности они имеют одинаковые статистические характеристики. Если они проявляются как характеристики нормального распределения, значит налицо нормальное распределение. Однако фракталь
Игра хаоса
77
ный временной ряд может иметь только фрактальную размерность, в то время как размерность нормального распределения равна 2, а это меняет многие характеристики временного ряда.
Далее мы бегло рассмотрим концепцию фрактальной размерности. Она настолько важна, что достойна самостоятельной главы.
Глава б
Фрактальная размерность
Страница, которую вы читаете, представляет собой трехмерный кусок бумаги. Предположим, что она не имеет толщины, а в действительности двумерна, т. е. является куском евклидовой плоскости. Если бы вы вырвали этот двумерный лист из книги и смяли в комок, то этот объем бумаги не был бы уже двумерным, но и не был бы в точности трехмерным. Бумага была бы вся в складках, и ее размерность была бы меньше трех. Чем больше спрессовывать бумагу, тем будет ближе ее размерность к трем, т. е. к размерности сплошного тела. Только если бы исходная страница была изготовлена из пластичного материала вроде глины, она, будучи сжата в комок, могла бы спрессоваться до истинно трехмерного тела. Но бумага всегда имеет складки.
Бумажный комок имеет дробную, или «фрактальную», размерность. Она не является целочисленной. Евклидова геометрия с ее чистыми гладкими формами не может описать размерность бумажного шара. Он не может быть представлен с помощью евклидовой геометрии кроме как посредством большого количества линейных интерполяций. В терминах математического анализа поверхность такого шара не дифференцируема.
Мы склонны думать обо всех объектах, которые имеют глубину, как о «трехмерных». С точки зрения математики это неверно. Линия, прочерченная в трехмерном пространстве, имеет глубину, но эта линия остается одномерной. Истинно трехмерный объект — сплошное тело, не имеющее отверстий или трещин на своей поверхности. Вот почему представление естественных форм с помощью евклидовой геометрии является столь трудным. Большинство реальных объектов не сплопг ны в классическом, евклидовом смысле они имеют бреши и полости. Они просто располагаются в трехмерном пространстве.
Неспособность евклидовой геометрии описать большинство естественных объектов ограничивает нашу способность
4
Глава 6. Фрактальная размерность
79
понять то, как объект устроен. Для случая временных рядов классическая геометрия не может оказать существенной помощи в понимании происхождения их структуры, если только это не случайное блуждание — система настолько сложная, чТО предсказать ее поведение невозможно. В терминах статистики число степеней свободы, или факторов влияния на систему очень высоко.
фрактальная размерность, которая описывает, как объект (или временной ряд) заполняет свое пространство, является продуктом всех тех факторов влияния на систему, которые и порождают этот объект (или временной ряд).
Если камень случайным образом бомбардируется равно
мерно со всех сторон потоками воды, то по прошествии тысячелетия или двух он станет совершенно круглым. Каждая часть камня будет подвергнута равномерной эрозии. Количество потоков воды (или количество степеней свободы) может быть бесконечным.
Если количество таких потоков невелико, камень не станет гладким шаром. Если камень подвергается ударам воды только с некоторых сторон, он не станет круглым. Если будут три потока, то в камне окажутся три впадины. Если один поток будет интенсивнее других, то одна впадина будет глубже
Других.
В результате камень, подвергающийся эрозии большим количеством равной силы потоков, будет гладким, симметричным и — евклидовым. Камень со смещением в равномерности воздействий будет шероховатым и несимметричным.
Временной ряд будет только тогда случаен, когда он является следствием большого количества равновероятных событий. В терминах статистики — он имеет большое количество степеней свободы. Неслучайный временной ряд будет отражать неслучайную природу влияний. Скачки данных будут соответствовать скачкам влияющих факторов, отражая присущую им корреляцию. Иными словами, временной ряд будет Фракталом.
Обычно мы помещаем объект в пространство, большее чем фрактальная размерность этого объекта. Мы полагаем, что шарик скомканной бумаги является трехмерным, хотя он заполняет все отведенное ему трехмерное пространство, пространство, рассматриваемое как объект, называется верностью вложения, или топологической размерностью. гда объекты имеют размерность между двумя и тремя, мы
80
Глава 6. Фрактальная размерность
склонны думать о них как о трехмерных. Примерами могут служить горы и облака.
Мы думаем о береговой линии как о двумерной, в то время как в действительности ее размерность меньше. Временной ряд относится к той же категории объектов. Только случайный временной ряд, который бы сплошь покрыл плоскость, был бы истинно двумерным.
Одна из характеристик фрактальных объектов состоит в том, что они оставляют себе свою собственную размерность, будучи помещены в пространство размерности, больше чем их фрактальная размерность. Случайные распределения (белый шум) не имеют этой характеристики. Белый шум заполняет свое пространство подобно тому, как газ заполняет объем. Если определенное количество газа поместить в контейнер большего объема, газ просто растечется в большем пространстве, поскольку молекулы газа ничто не связывает между собой. С другой стороны, твердое тело имеет молекулы, сцепленные друг с другом. Аналогично этому во фрактальном временном ряде положения точек определены корреляциями, но таких корреляций не существует в случайном ряде. Во фрактале, подобном треугольнику Серпинского, каждая точка коррелирована с точкой, нанесенной до нее. Если мы увеличим размерность пространства вложения треугольника, то корреляции останутся неизменными и будут стягивать точки в группы. Размерность треугольника останется неизменной, так же как осталась бы неизменной размерность временного ряда.
В случайном временном ряде нет корреляций точек. Ничто но удерживает точки в том же соседстве, сохраняя их размерность. Вместо того они целиком заполняют отведенное им пространство.
Фрактальная размерность определяется тем, как объект или временной ряд заполняет пространство. Фрактальный объект заполняет пространство неравномерно, поскольку его части зависимы, или коррелированы. Чтобы определить фрактальную размерность, мы должны определить, каким образом объект группируется в единое целое в своем пространстве.
Существует много способов расчета размерности, но все они включают в себя подсчет объема или площади фрактальной формы и того, как она изменяется в масштабах в том случае, если этот объем или форма увеличиваются.
Глава 6. Фрактальная размерность
81
Береговые линии являются хорошим примером, особенно если провести параллель между ними и временными рядами. Мандельброт (1982) выдвинул постулат о том, что мы никогда не сможем измерить действительную длину береговой линии, поскольку измеряемая длина зависит от длины используемой для измерения линейки.
Предположим, например, что мы хотим измерить длину побережья штата Мэн. Мы начнем с самой северной точки и будем мерить, накладывая на поверхность земли линейку шестифутовой длины. Мы будем складывать шестифутовые приращения, двигаясь вниз по берегу, и придем к какому-то числу. Затем мы повторим эту процедуру, используя трехфутовую линейку. На этот раз мы сможем уловить больше деталей, так как линейка наша короче. Поскольку мы сможем учесть большее количество бухточек и фиордов, мы в итоге получим большую длину побережья. Если мы укоротим линейку еще на один фут, то получим еще больше деталей и еще большую длину. Чем короче будет становиться линейка, тем длиннее береговая линия. Получается, что длина береговой линии зависит от размеров линейки!
Ввиду того что это справедливо для всех береговых линий, длина как мера не годится для сравнения береговых линий. Вместо нее Мандельброт предложил использовать фрактальную размерность. Береговые линии представляют собой зазубренные кривые, поэтому их фрактальная размерность больше единицы (т. е. их евклидовой размерности); то, насколько она больше единицы, зависит от степени зазубренности. Чем она больше, тем ближе размерность береговой линии к Двум — размерности ппосксюти
Фрактальная размерность рассчитывается посредством измерения этого свойства зазубренности. Мы подсчитываем количество окружностей определенного диаметра, которое необходимо для покрытия береговой линии. Мы увеличиваем их диаметр и снова считаем их количество. Продолжая ЭТУ процедуру, мы найдем, что количество окружностей и их Радиус связывает показательная зависимость:
N *(2*г)п = 1,	(6.1)
—количество окружностей, г —радиус окружности, ~~ Фрактальная размерность.
82
Глава 6. Фрактальная размерность
Рис. 6.1. Вычисление фрактальной размерности.
Уравнение (6.1) может быть приведено к отношению логарифмов:
logN log(l/2* г)'
(6.2)
Можно использовать некоторую часть снежинки Кох в качестве простейшей береговой линии; средняя треть этой линии несет на себе равносторонний треугольник. Если длине этой ломаной цепочки равна единице, то тогда нам нужно четыре окружности диаметром 0.3, чтобы покрыть эту кривук (см. рис. 6.1). Фрактальная размерность кривой Кох будет равна:
D =	log (4)
log(l/0.3)
= 1.26.
Реальные береговые линии устроены аналг>гичныд< образом. Береговая линия Норвегии, например, имеет фрактальную размерность, равную 1.52, в то время как берег Британии—1.30. Это означает, что береговая линия Норвегии более изрезана, чем в Британии, и поэтому ее размерност! ближе к 2.00. Подобным же образом мы могли бы сравни вать разные акции — посредством указания их фрактальныэ размерностей. Обычно мы сравниваем риски различных цен ных бумаг посредством оценки их волатильности. Эта концеп ция была впервые широко представлена в работе Марковиц! (Markovitz, 1952); она предполагает, что чем выше волатиль ность акции, тем выше ее уровень риска. Волатильность, ил> риск, утверждался в качестве статистической меры, будуч! представленным как стандартное отклонение прибылей — ил!
Глава 6. Фрактальная размерность
83
их квадратов, т. е. дисперсий. Волатильность предлагают измерять дисперсией прибылей, не так ли?
Стандартное отклонение измеряет вероятность того, что наблюдение будет располагаться на определенном расстоянии от среднего. Чем больше это расстояние, тем больше рассеяние. Большое рассеяние означало бы, что существует высокая вероятность больших колебаний прибыли. Такая ценная бумага обладает высоким уровнем риска. Однако часто упускают из виду, что стандартное отклонение как мера рассеяния подходит только для случайных систем. Если наблюдения коррелированны (или имеют серийную корреляцию), то тогда польза стандартного отклонения как меры рассеяния в значительной степени снижается. Поскольку многочисленными исследованиями установлено (см. гл. 3), что распределение прибылей акции не следует нормальному распределению, стандартное отклонение как мера сравнения уровней риска ставится под вопрос.
Рассмотрим для примера два ряда возможных прибылей, обозначенных Si и S? в таблице 6.1. Ряд S? не нормально распределен и имеет выраженный тренд. Ряд Si не показывает тренда и имеет накопленную прибыль 1.93%, в то время как S? имеет 22.83%. Однако Si имеет стандартное отклонение 1.70, в то время как S2 имеет фактически то же самое стандартное отклонение —1.71. В этом гипотетическом примере две акции с фактическими одинаковыми волатильностя-ми имеют совершенно различные характеристики прибылей. Пуристы скажут, что оба ряда не нормально распределены, и это делает их сравнение невозможным. Это совершенно вер-
Таблица 6.1. Стандартное отклонение в сравнении с фрактальной размерностью.
Наблюдение '—-----------------------
1
2
3
4
5
6
Накопленная прибыль фТандартное отклонение ^Рактальная размерность
S1	s2
+2	+ 1
-1	+2
—2	+3
+2	+4
-1	+5
+2	+6
+1.93	+22.83
1.70	1.71
1.41	1.13
84
Глава 6. Фрактальная размерность
ная точка зрения. Поскольку прибыли акции явно не нормально распределены, использование стандартного отклонения как меры для сравнения рисков некорректно — так же как некорректно использование длины при сравнении береговых линий. Фрактальная размерность ряда Si равна 1.41, ряда $2 — 1.13. Ряд Si явно более зазубрен, чем S2, и его фрактальная размерность качественно отлична.
Две акции с одинаковой волатильностью, следовательно, могут иметь очень разные модели прибылей. Одна имеет «зыбкое» (почти случайное) поведение, вторая — персистентный тренд. Волатильность — не подходящая мера риска при сравнении этих двух ценных бумаг. Их фрактальные размерности дают нам другой взгляд на проблему, как это мы увидим в следующих главах.
ВЫВОДЫ
Фрактальная размерность показывает нам, как форма или временной ряд заполняют пространство. Способ заполнения объектом пространства определяется теми силами, которые определили его формирование. Для береговой линии такими силами выступает геологическая активность, обусловливающая ее формирование: давление ветра, вулканические явления и др. Для временного ряда прибыли акции— это микро-и макроэкономические факторы, влияющие на инвесторские ожидания. Различные акции могут по-разному реагировать на одни и те же макроэкономические новости по причине различий видов производств, балансов и перспектив. Заметим, ттто Т.тптг>д г>кру ЖНОСТРЙ ппя ОТтрРДР ПРТIИ Я фрЯКТЯПЬНОЙ ПЯЗ-мерности неудобен в практическом отношении.
Мы пока еще не исследовали влияние фрактальной размерности на вероятностные распределения. Мы видели, что фрактальные формы и временные ряды характеризуются долговременными корреляциями. Они не следуют с необходимостью случайным блужданиям. Их вероятностное распреде-ление не является нормальным распределением (хорошо известной изящной кривой), но являет собой другую форму-
В следующих главах мы изучим это влияние долговр6'* менных корреляций на временные ряды, которое порождает) фракталы. Мы увидим, что наше статистическое определе'| ние риска как стандартного отклонения прибылей нуждается в серьезной корректировке.
Глава 7
Фрактальные временные ряды — смещенные случайные блуждания
в главе 2 мы обсудили гипотезу эффективного рынка (ЕМН), которая в своей основе утверждает, что поскольку текущие цены отражают всю имеющуюся в распоряжении или открытую информацию, будущие ценовые изменения могут определяться только новой информацией. Поскольку вся предшествующая информация уже нашла отражение в ценах, рынки следуют случайному блужданию. Каждодневное движение цены не имеет отношения к событиям предыдущих дней. Гипотеза эффективного рынка косвенным образом предполагает, что инвесторы немедленно реагируют на новую информацию, и, таким образом, будущее не связано с прошлым или настоящим. Это предположение было введено для того, чтобы
применить к анализу рынка капитала центральную предельную теорему. Последняя была необходима для оправдания правомерности использования вероятностного исчисления и линейных моделей.
Правда ли, что именно так люди принимают решения? Некоторые реагируют на информацию сразу по ее получении, однако большинство людей ждут подтверждения и ничего не предпринимают до тех пор, пока тренд не станет явно установившимся. Для подтверждения действительности тренда не обходимо определенное количество подкрепленной информации, однако неравномерность ее усвоения может стать причиной смещенных случайных блужданий. Последние широко ручались Херстом в 40-х гг. и Мандельбротом в 60 70-х гг.
*)Дельброт назвал их обобщенным броуновским движени-эяда^ПеРЬ Мы МОЖем назвать их фрактальными временными
П°КАЗАТЕЛЬ ХЕРСТА
^ерст бы
,ильск дЛ ГИ’аГ,ологом5 который начал работать над проектом 1Ти Сор ПЛотины около 1907 г. и прожил в регионе Нила полет. Все это время он занимался проблемой резер-
86	Глава 7. Фрактальные временные ряды
вуарного контроля. Идеальный резервуар никогда не должен переполняться. Стратегия, которая могла бы быть положе-на в основу управления, состоит в ежегодном спуске определенного количества воды. Однако, если приток из реки будет слишком мал, уровень воды в резервуаре может стать опасно низким. Проблема заключалась в том, какой сброс выбрать чтобы резервуар никогда не переполнялся и не оставался пустым.
При создании модели было выдвинуто общее предположение о том, что неуправляемая часть системы — в данном случае приток воды от дождей — следует случайным блужданиям. Это обычное предположение, которое выдвигается в отношении больших систем со многими степенями свободы. Экология нильского бассейна не была исключением. Поистине; она содержала множество степеней свободы!
Когда Херст решил проверить это предположение, он в результате дал нам новую статистику-- показатель Херста (Н). Как мы увидим, этот показатель имеет широкое применение в анализе временных рядов благодаря своей замечательной устойчивости. Он содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды. Он может отличить случайный ряд от неслучайного, даже если случайный ряд не гауссовский (т. е. не нормально распределенный). Херст обнаружил, что большинство природных систем не следуют случайному блужданию — гауссовскому или какому-либо иному.
Херст измерял колебания уровня воды в резервуаре относительно среднего с течением времени. Можно было ожидать, что диапазон этих флуктуаций будет меняться в заг'’ги-мости от величины временного промежутка измерений. Если ряд случайный, размах будет увеличиваться пропорционально корню квадратному из времени. Это —уже упоминавшееся правило Т1/2. Для калибровки этих временных измерений Херст ввел безразмерное отношение посредством деления размаха на стандартное отклонение наблюдений. Этот способ анализа стал называться методом нормированного размаха (В/б'-анализ). Херст показал, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, температуры, осадкй> солнечные пятна следуют «смещенному случайному блужда" нию» — тренду с шумом. Сила тренда и уровень шума могу1, быть оценены тем, как изменяется нормированный размах с0
Показатель Херста
87
временем, или, другими словами, насколько величина Н превосходит 0.5.
Мы намерены распространить метод Херста изучения временных рядов природных явлений на временные ряды в экономике и на рынках капитала, чтобы выяснить, являются ли эти ряды также смещенными случайными блужданиями. Для переформулирования работы Херста применительно к обобщенным временным рядам мы должны прежде всего определить размах, который был бы сравним с колебаниями уровня в резервуаре:
t
Xt,N = ^eu-MN\	(7.1)
U=1
где Xt,N — накопленное отклонение за N периодов, еи — приток в году и, Мм — среднее еи за N периодов. Тогда размах становится разностью между максимальным и минимальным уровнями, достигнутыми в (7.1),
R = Мах(ХгЛ) - Min(Xt,y),	(7.2)
где R размах отклонения X, Мах(А”) — максимальное значение для X, Min(A’) — минимальное значения для X.
Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделил этот размах на стандартное отклонение исходных наблюдений. Этот «нормированный размах» должен увеличиваться со временем. Херст ввел следующее соотношение:
R/S = (а * N)H,	(7.3)
гДе R/S — нормированный размах, N — число наблюдений, а ~ константа, Н — показатель Херста.
В соответствии со статистической механикой показатель TJ
л должен был равняться 0.5, если ряд представляет собой случайное блуждание. Другими словами, размах накопленных отклонений должен увеличиваться пропорционально квадратному корню из времени N. Когда Херст применил свою Статистику к записи стоков Нила, он нашел Н = 0.90!- Он испытал другие реки. Значение Н было обычно больше 0.50. И
я Других природных явлений, во всех случаях Херст полу-больше чем 0.50. Что это означало?
Ни ^огДа Н отличается от 0.50, то это значит, что наблюде-не являются независимыми. Каждое наблюдение несет
88	Глава 7. Фрактальные временные ряды
память о всех предшествующих событиях. Это не кратковременная память, которую часто называют «марковской». Эту другая память—долговременная, теоретически она сохраняется навсегда. Недавние события имеют влияние большее, чеь события отдаленные, но остаточное влияние этих последние всегда ощутимо. В долговременном масштабе система, которая дает статистику Херста, есть результат длинного поток? взаимосвязанных событий. То, что случается сегодня, влияеа на будущее. То, где мы находимся теперь, определяется тем где мы были в прошлом. Время оказывается важным фактором. Подобно тому как галька увлекается текущей водой сегодняшние события устремляются в будущее. Сила этогс стремления постепенно ослабевает — до тех пор, пока все егс цели и намерения не сведутся к нулю.
Включение «стрелы времени» невозможно в стандартной эконометрике, которая предполагает ряды инвариантными пс отношению к времени. В противоположность этому мы находим, что время —- итеративный процесс, подобный игре хаос? в гл. 5. Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением:
С = 22"~} - 1,	(7.4J
где С — мера корреляции, Н — показатель Херста.
Имеются три различных классификации для показателя Херста: 1) Н = 0.5, 2) 0 < Н < 0.5, 3) 0.5 < Я < 1.0. Я, равное 0.5, указывает на случайный ряд. События случайны г некоррелированны. Правая часть уравнения (7.4) обращается в нуль. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотност! вероятности может быту, поруталыт^й кривой однако ч-т нс обязательное условие. R/S-анализ может классифицировав произвольный ряд, безотносительно к тому, какой вид распределения ему соответствует. В курсах статистики нам говорят что природа следует нормальному распределению. Открытие Херста это положение опровергает. Показатель Я, как правило, бывает больше 0.5, а вероятностные распределения н« являются нормальными.
Перед тем как изучить этот класс, стоит кратко обсудит! случай 0 < Я < 0.5. Данный диапазон соответствует анти-персистентным, или эргодическим, рядам. Такой тип систем^ часто называют «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то скорее всего в следУ’ ющем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение
Метод имитации Херста
89
то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперси-стентного поведения зависит от того, насколько Н близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе С в уравнении (7.4) к —0.5, или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив, или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. Несмотря на широкое распространение концепции возврата к среднему в экономической и финансовой литературе, до сих пор было найдено мало антиперсистентных рядов.
При 0.5 < Н < 1.0 мы имеем персистентные, или трендоустойчивые ряды. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Тренды очевидны. Трендо-устойчивость поведения, или сила персистентности, увеличивается при приближении Н к единице, или 100% корреляции, в соотношении (7.4). Чем ближе Н к 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный ряд — это обобщенное броуновское движение, или смещенные случайные блуждания. Сила этого смещения зависит от того, насколько Н больше 0.5.
Персистентные временные ряды являют собой более интересный класс, так как оказалось, что они не только в изобилии обнаруживаются в природе, — это открытие принадлежит Херсту, — но и свойственны рынкам капитала. Однако, что выступает причиной персистентности? Почему ряды обладают эффектом памяти?
МЕТОД ИМИТАЦИИ ХЕРСТА
Возможно лучшим способом понять, как возникает статистика Херста и что она означает, является собственный метод Херста имитации случайного блуждания.
Херст работал в 40-х годах, когда компьютеры были все-Го лишь теоретической возможностью и уж определенно их не было в Египте. Херст пытался имитировать случайные лУждания подбрасыванием монеты, однако счел этот про-Цесс слишком медленным и утомительным. Вместо этого он изготовил «вероятностную колоду карт». Карты в ней были помечены числами -1, +1, -3, +3, -5, +5, -7, +7. Колода имела 52 карты, и числа были распределены таким образом, приблизительно давали нормальную кривую. Перетасо-ии колоду, снимая ее и замечая открытую карту, Херст
90
Глава 7. Фрактальные временные ряды
мог имитировать случайный ряд быстрее нежели подбрасыванием монеты.
Для имитации смещенного случайного блуждания Херст во-первых, перетасовывал колоду, затем снимал ее и записывал число с открытой карты. Предположим, выпадало +3.j Карта возвращалась на место, Херст опять перетасовывал ко--лоду и делал из нее две по 26 карт в каждой. Мы назовем их А\ и Б. Поскольку перед этим была снята карта с числом +3, он перекладывал три старшие карты из колоды Б в колоду А, а из колоды А убирал три младшие карты. Кроме того, в колоду А добавлялся джокер, после чего она перетасовывалась. Колода А имела теперь смещение +3. Херст использовал колоду А как генератор случайных чисел путем снятия ее и фиксации числа на открытой карте. Когда ею оказывался джокер, снова бралась исходная колода из 52 карт (без джокера) она перемешивалась и процесс повторялся.
Херст провел шесть экспериментов, каждый из них состоял из тысячи снятий колоды. Таким способом он нашел Н — 0.714 ± 0.091, приблизительно такую же величину он получал в итоге природных наблюдений. И снова возникал вопрос: что это означает?
Смещение в эксперименте Херста создавалось снятием колоды карт. В приведенном примере при снятии колоды выпало +3. Изменение в смещении также происходит, когда при снятии колоды оказывается джокер. При этом сколько бы раз ни повторяли эксперимент, неизменно оказывается Н = 0.714. (Этот результат очень похож на игру хаоса в гл. 5, где случайно применяемое правило генерации порождает один и тот же фрактал. Снова случайность создает порядок.)
В имитаторе Херста случайное событие (первоначальное снятие колоды карт) определяет степень смещения. Другое случайное событие (появление джокера) обусловливает длину смещенного пробега. Однако два этих случайных события имеют пределы. Степень смещения ограничена экстремумами +7 и —7. Смещение в этой системе изменяется в среднем после 27 снятий колоды, потому что в смещенной колоде содержится 27 карт. Снова комбинация случайных событий создает упорядоченную структуру. Однако в противоположность игре хаоса это статистическая структура, и она требует внимательной проверки: если рынки капитала образуют статистики Херста (а это так и есть), то тогда их вероятностные распределения не являются нормальными. Если случай
Фрактальная природа показателя Н
91
ное блуждание непременимо, многие методы количественного анализа рушатся, особенно это относится к модели оценки капитальных активов (САРМ — Capital Asset Pricing Model) и концепции риска как стандартного отклонения или волатильности.
Нетрудно понять, каким образом статистика Херста может возникать в структуре рынка капитала. Смещение генерируется инвесторами, которые реагируют на текущую экономическую обстановку. Это смещение продолжается до тех пор, пока не появится новая случайная информация (экономический эквивалент джокера) и не изменит смещения по величине, направлению или в том и другом плане.
ФРАКТАЛЬНАЯ ПРИРОДА ПОКАЗАТЕЛЯ Н
Персистентный временной ряд, определенный для 0.5 < Н < 1.0 является фракталом, поскольку может быть описан как обобщенное броуновское движение. В обобщенном броуновском движении существует корреляция между событиями на временной шкале. Вследствие этого вероятность двух событий, следующих одно за другим, не 50/50. Показатель Херста Н описывает такую вероятность, при которой два происходящих последовательно события могут быть одинаковыми. Если Н = 0.6, существует, в принципе, большая вероятность того, что если предшествующее движение было положительным, то оно и останется положительным еще какое-то время. Это не истинная вероятность, это просто мера «смещения».
Поскольку точки (события) временного ряда не равновероятны (ввиду того что порожлаются случайным блужла-нием), фрактальная размерность вероятностного распределения не равна 2, ее величина лежит в диапазоне от 1 до 2- Мандельброт (1972) показал, что величина, обратная Н, есть фрактальная размерность. Случайное блуждание при Н = 0.5 должно иметь фрактальную размерность, равную 2- Если Н = 0.7, фрактальная размерность равна 1/0.7, или 1-43. Заметим, что случайное блуждание в действительности Двумерно и целиком заполняет плоскость.
На рис. 7.1 показан имитационный ряд при Н — 0.52, -72 и 0.90. Когда Н приближается к 1, ряд становится ^енее зашумленным и имеет больше последовательных на-лк>дений с одинаковым знаком. На рис. 7.2 те же дан-НЬ1е представлены в виде накопленного временного ряда.
92
Глава 7. Фрактальные временные ряды
Рис. 7.1а. Фрактальный шум: наблюдения, Н = 0.52. При возрасте нии Н все больше положительных приращений следуют за положи тельными приращениями и отрицательных — за отрицательными Корреляция в знаках приращений такого ряда увеличивается.
Рис. 7.16. Фрактальный шум: наблюдения, Н = 0.72.
Фрактальная природа показателя Н
93
Рис. 7.1в. Фрактальный шум: наблюдения, Н — 0.90.
м
20
10
10 о о
-о
'10 'is
йс. 7.2а. Фрактальный шум: накопленные наблюдения, Н — 0.50. ^Рен^ВеЛИЧеНИИ гРаФик становится более гладким и менее зазу-
ным. При этом увеличивается размах накопленных величин.
94
Глава 7. Фрактальные временные ряды
Рис. 7.26. Фрактальный шум: накопленные наблюдения, Н = 0.72
Рис. 7.2в. Фрактальный шум: накопленные наблюдения, Н = 0.90-
Фрактальная природа показателя Н	95
И снова, если Н увеличивается, накопленная кривая становится плавнее и менее зазубрена. Здесь меньше шума, и «тренды», или отклонения от среднего, более выражены. Показатель Херста Н является мерой зазубренности временного ряда. Совершенно детерминированная система должна порождать гладкую кривую. Фрактальный временной ряд как бы отделяет ряд чисто случайный от детерминированной системы, возмущенной случайными событиями.
В Приложении 3 дано краткое описание бейсик-программы для имитации ряда обобщенного броуновского движения с помощью ряда гауссовского. Этот метод помогает понять, кроме того, что представляет собой обобщенное броуновское движение. Каждое приращение во временном ряду обобщенного броуновского движения вычисляется как скользящее среднее, со степенной весовой функцией, от гауссова процесса с п независимыми случайными числами. С каждым шагом веса предшествующих N наблюдений уменьшаются; N олицетворяет собой эффект долговременной памяти системы; теоретически она бесконечна. Для целей имитации мы должны ограничить ее произвольно выбранным большим числом. В демонстрационном примере ряд из 8000 псевдослучайных чисел преобразован в 1400 смещенных случайных чисел описанным выше методом. Каждое смещенное приращение состоит из 5 случайных чисел и памяти о 200 смещенных числах. Проверка показала, что программа обладает достаточным быстродействием. Для каждого смещенного приращения (которое состоит из 5 гауссовских чисрп^ М1Л должны оценить 200 предшествующих смещенных чисел (5 * 200 = 1000 гауссовских чисел). Эффект памяти порождается включением в расчет текущего числа предшествующих чисел. Если рынок обладает подобного Рода эффектом памяти, то тогда каждая прибыль соотносится с величинами предшествующих М прибылей. В любом случае измерение Н далее ведет к описанной выше несложной, хотя и довольно громоздкой вычислительной процедуре.
96	Глава 7. Фрактальные временные ряды
ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЯ ХЕРСТА	|
Прологарифмируем соотношение (7.3):	
log(7?/5) = Н * (log(AT) + log(a)).	(7.5)
Если в двойных логарифмических координатах найти наклон R/S как функцию от АГ, то тем самым мы получим оценку Н. Эта оценка не связана с какими-либо предположениями относительно лежащего в основе распределения.
Для очень большого количества наблюдений N можно ожидать сходимости ряда к величине Н = 0.50, так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений можно ожидать, что его свойства станут неотличимы от свойств обычного броуновского движения, или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Регрессия в этом случае должна выполняться до того как Н приблизится к 0.5, так как корреляционная мера (7.4) не применима ко всем без исключения приращениям.
Важно напомнить, что корреляционная мера (7.4) не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных переменных. Последняя предполагает гауссовские или почти гауссовские свойства лежащего в основе распределения — хорошо знакомую красивую кривую. Автокорреляционная функция хорошо работает в определенных краткосрочных зависимостях, однако имеет тенденцию преуменьшать долгосрочные корреляции в негауссовских рядах. Читателям, интересующимся полным математическим объяснением того, почему автокорреляционш'хя функция не даст хороших TW-зультатов в процессах с долговременной памятью, рекомендуем обратиться к статье Мандельброта (1972).
На рис. 7.3 в двойных логарифмических координатах представлена кривая зависимости R/S от N для Н = 0.5, построенная по данным из рис. 7.1. Эти данные были получены с помощью генератора псевдослучайных чисел с гауссовским выходом и показывают Н = 0.55 ±0.1. Эта оценка немного выше, чем ожидалось, но эти псевдослучайные числа сгенерированы детерминистическим алгоритмом. Это может быть причиной смещения. Важно заметить, что Д/б'-анализ — это исключительно устойчивый метод. В его основе нет предположения о гауссовском распределении. Найденное значение Н = 0.50 не является доказательством того, что налицо гаус"
Оценка показателя Херста
97
Рис. 7.3. R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение Н = 0.5, оценка Н = 0.55.
совское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью. Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать Н — 0.5.
На рис. 7.4 показана аналогичная кривая для Н = 0.72 — значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти данные (лнп также представлены па рис. 7.1) были получены аппроксимацией обобщенного броуновского движения, более Детально описанной в Приложении 3. Такой ряд получен, как было сказано, с учетом памяти о 200 наблюдениях. В имитаторе Херста, использующем смещенную колоду из 27 карт, эффект памяти моделировался джокером. Он мог появляться, в среднем, после 27 снятий колоды, в продолжение большого количества имитаций. Имитатор Херста располагал памятью 0 27 наблюдениях. Долгосрочные корреляции после 27- наблюдений падают до нуля, и при шаге по времени 27 наблюдений Или более система начинает следовать случайным блуждани-
Таким образом, мы могли бы принять эти 27 наблюде-и как цикл, или период, системы. Данные, которые были яты для построения кривых на рис. 7.1 и 7.2, имитируют
98
Глава 7. Фрактальные временные ряды
Рис. 7.4. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Факт: ческое Н = 0.72, оценка Н = 0.73.
Рис. 7.5. /i/S'-анализ: фрактальное броуновское движение. Факти ческое Н = 0.90, оценка Н = 0.86.
Фрактальная размерность и Н	'99
естественный цикл из 200 наблюдений. Когда мы превышаем N — 200 (log(200) = 2.3), тогда 7?/5-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство R/S'-анализа позволяет нам определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях. На рис. 7.5 показана аналогичная кривая, построенная для Н — 0.90. Действительная Н в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.
ЭМПИРИЧЕСКИЙ ЗАКОН ХЕРСТА
Херст (1951) предложил также формулу для оценки величины Н по значению R/S'.
H = \0^R/S)l\0^nl2\	(7.6)
где п — количество наблюдений.
В этой формуле предполагается, что константа а из соотношения (7.5) равна 0.50. Федер (Feder, 1988) показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать Н, когда оно больше 0.70, и, наоборот, преуменьшать, если Н < 0.40, однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И Н
Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных изменений при случайном блуждании, равна 1.50. Фрактальная размерность кривой линии равна 1, а фрактальная размерность геометрической плоскости равна 2. Таким образом, Фрактальная размерность случайного блуждания лежит как бы на полпути между кривой линией и плоскостью.
Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:
D = 2 - Н.		(7.7)
Таким образом, если Н = 0.50, то D — 1.50. Обе величина характеризуют независимую случайную систему. Величи-1 < Н < 0.50 будет соответствовать фрактальной размер-Ти, более близкой к кривой линии. Это, по терминологии
100	Глава 7. Фрактальные временные ряды
Херста, персистентный временной ряд, дающий более глад? кую, менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание, как мы видели на рис. 7.26 и 7.2в. Антиперсистентная величина Н (0 < Н < 0.50) дает соответственно более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, и, следовательно, характеризует систему, более подверженную переменам. Это в точности соответствует антиперсистентному временному ряду.
НАСКОЛЬКО ОБОСНОВАНА ОЦЕНКА Н1
Даже если найдена аномальная величина Н, закономерен вопрос, обоснована ли ее оценка. Можно усомниться в том, достаточно ли было данных, или даже — работает ли вообще /?/5-анализ. Я предлагаю следующий простой тест, основанный в свою очередь на тесте, разработанном Шейнкманом и Ле Бароном (Scheinkman, Le Baron, 1989) для корреляционной размерности (которую мы рассмотрим в гл. 12).
В сущности оценка Н. которая значительно отличается от 0.50, имеет два возможных объяснения:
1. В изучаемом временном ряду имеется долговременная память. Каждое наблюдение коррелирует до некоторой степени с последующими наблюдениями.
2. Такого рода анализ сам по себе несостоятелен, и аномальная величина Н не означает, что имеет место эффект долговременной памяти.
Может оказаться, что у нас нехватает данных для обоснованного теста (при этом не существует четких критериев того. сколько данных необходимо). Тем не менее, в этом случае изучаемый ряд как ряд независимых случайных переменных либо 1) заключает в себе Н, отличное от 0.50, либо 2) представляет собой независимый процесс с толстыми хвостами, описанный еще Кутнером (Cootner, 1964а).
Мы можем проверить обоснованность наших результатов путем случайного перемешивания данных, в результате чего порядок наблюдений станет полностью отличным от исходного ряда. Ввиду того что наблюдения остаются теми же, их частотное распределение также останется неизменным. Далее вычислим показатель Херста этих перемешанных данных. Если ряд действительно является независимым, то показатель Херста не изменится, поскольку отсутствовал эффект долговременной памяти, т. е. корреляции между наблюдени-
Насколько обоснована оценка Н?
101
i.« I.» 1.4 1.3 1.2 i.i 1
0.S $ 0.3 I::
ол 0.4 0.3 0.2 0.1
О
Рис. 7.6. Тест на перемешивание для /i/S'-анализа: случайные гауссовские числа. Для неперемешанных данных Н = 0.55, для перемешанных Н = 0.58.
ями. В этом случае перемешивание данных не оказывает влияния на качественные характеристики данных.
Если имел место эффект долговременной памяти, то порядок данных весьма важен. Перемешивая данные, мы тем самым разрушаем структуру системы. Оттенка Н при этом окажется значительно ниже и будет приближаться к 0.50, даже если частотное распределение наблюдений не изменится.
Мной был выполнен тест на перемешивание для имитационных рядов, о которых рассказывалось выше. Сначала я перемешал случайный ряд, который имел значение Н = 0.50. а Рис. 7.6 в двойных логарифмических координатах предста-влены перемешанный и неперемешанный ряды. Между ни-Ми фактически нет разницы. Перемешанный ряд дал оцен-ку Н = 0.58. Перемешивание на самом деле даже увеличило Цепку Ц; это говорит о том, что эффект долговременной па-м«ти отсутствовал.
с Рис- 7.7 в двойных логарифмических координатах пред-влены неперемешанный ряд (полученный при Н = 0.90) и
102
Глава 7. Фрактальные временные ряды
Рис. 7.7. Тест на перемешивание для .R/S-анализа: фрактальное броуновское движение. Неперемешанные данные: Н = 0.86, перемешанные данные: Н =0.52.
тот же ряд- перемешанный. Исходный ряд дал результативную оценку Н — 0.87, перемешанный — Н = 0.52. Такое падение величины Н говорит о том, что при перемешивании была разрушена структура процесса. Перемешанный ряд остался но mnvflTwi рягпре леченным. но ггрогтесс перемешивания сделал данные независимыми. Это доказывает утверждение Мандельброта о том, что R/S-анализ работоспособен безотносительно к распределению временного ряда.
R/S-АНАЛИЗ ЦИКЛОВ СОЛНЕЧНЫХ ПЯТЕН
Перед тем как в следующей главе мы начнем рассматривать рынки капитала, будет полезным применить R/S-анализ к какому-либо временному ряду реальных данных из области природных систем.
Возможно, наиболее широко известной естественной системой с непериодическим циклом являются циклы солнечны* пятен. Данные о количестве солнечных пятен записывают*
А
R/S-axiajaa циклов солнечных пятен
103
ся с середины восемнадцатого века, когда Вольф завел порядок ежедневных наблюдений солнечного диска и записи количества солнечных пятен на его поверхности. Когда он умер, Цюрихская обсерватория продолжила эту практику, и делает это по сей день. По методике Вольфа совокупность нескольких близко расположенных пятен считается одним большим пятном. Таким образом, пять пятен вчера могут стать одним большим пятном сегодня. В сочетании с ошибками, присущими ручным процедурам, процесс такого подсчета ведет к определенной измерительной погрешности. К тому же количество пятен имеет в высшей степени асимметричное распределение: оно может почти приближаться к нулю (и это случалось неоднократно), но его максимум может быть сколь угодно велик. Циклы количества солнечных пятен считаются непериодическими со средней продолжительностью в 11 лет.
Солнечные пятна являют собой временной ряд, весьма подходящий для /?/S-анализа ввиду того, что мы имеем запись их длительной истории. В моей библиотеке есть старая книга Харлана Тру Стетсона (Harlan Tue Stetson) «Солнечные пятна и их эффекты», опубликованная в 1938 г. Она содержит таблицу месячных данных о солнечных пятнах с января 1749 г. по декабрь 1937 г. Мандельброт и Уоллис (Mandelbrot, Wallis, 1969в), а также Херст уже проделали аналогичную работу. Однако полезно ввести некоторые изменения в методику в соответствии с нашими предыдущими исследованиями. Прошу заметить, что я не устанавливаю какой-либо связи между циклом солнечных пятен и циклами рынков капитала или экономики в целом. Я анализирую никл солнечных пятен как таковой
На рис. 7.8 представлены месячные данные о количестве солнечных пятен как временной ряд. Заметим, что хотя эти «Циклы» видны невооруженным глазом, временной ряд носит скачкообразный характер. R/S-анализ применен к логарифму Разности количества пятен от месяца к месяцу.
На рис. 7.9 в двойной логарифмической шкале построена кРивая R/S как функция от времени. По ней можно видеть, Чт® периоды, короче 12-13 лет, имеют показатель Херста, рав-ЙЬ1Й 0.55. Факт отсутствия больших отклонений говорит о Персистентном поведении ряда. Наконец, наклон кривой рез-падает, свидетельствуя о том, что эффект долговременной Мяти диссипирует через 10-13 лет. Это приблизительно со-дает с 11-летней оценкой цикла, которая принята в науке.
104
Глава 7. Фрактальные временные ряды
Рис. 7.8. Месячные данные о количестве солнечных пятен по Уол-фу. Январь 1749 —декабрь 1937 гг.
Рис. 7.9. R/^-анализ: месячные данные Уолфа о количестве соЛ' нечных пятен. Январь 1749 —декабрь 1937 гг.
R/S-анализ циклов солнечных пятен
105
Рис. 7.10. R/S- анализ: премешанные данные о количестве солнечных пятен, 1749—1937 гг.
На рис. 7.10 показан результат теста на перемешивание месячных данных временного ряда. Показатель Херста теперь равен 0.50, и след долговременной памяти оказывается полностью затертым.
На этом примере можно видеть, что естественные системы могут обладать свойствами долговременной памяти, как это предполагается в модели обобщенного броуновского движения. Однако эта память не бесконечна — она велика, но ограничена. Этот результат подобен отношению между природными и математическими фракталами. Как мы видели, масштабная инвариантность математических фракталов без-гРанична, как при уменьшении, так и при увеличении размеров. Однако фракталы природные характеризуются остановки скейлинга на некотором фиксированном масштабе. Ответвления в легких животных, например, не становятся беско-чно малыми. Подобно этому, фрактальные временные ряды еют долгую, но конечную память. При рассмотрении рын-капитала и экономических временных рядов мы обнару-м те же характеристики. Экономические временные ряды,
106	Глава 7. Фрактальные временные ряды
как и ряды показателей на рынках капитала, демонстрируют долгую, но конечную память. Мы также увидим, что длительность циклов этой памяти изменяется от рынка к рынку и от одной ценной бумаги к другой.
ВЫВОДЫ
Из рассмотрения метода нормированного размаха — R/S-анализа — можно выделить два важных с информационной точки зрения показателя: показатель Херста Н и среднюю длину цикла. Существование длины цикла имеет важное значение для оценки инерции движения. Величина Н, отличная от 0.5, означает, что вероятностное распределение не нормально. Если 0 < Н < 1, то ряд является фракталом. Поведение фрактального временного ряда отличается от случайных блужданий. Мы рассмотрели понятия персистентности и долгосрочных корреляций, но существуют и другие отличия в его характере; мы рассмотрим их внимательно в гл. 9. Теперь же перейдем к рынкам капитала.
Глава 8
R/S-анализ рынков капитала
Применение R/S-анализа просто и непосредственно, однако требует определенного, достаточно большого количества данных и скрупулезной их обработки. В этой главе мы опишем и представим результаты применения R/S-анализа к различным рынкам капитала. Во всех случаях мы найдем фрактальные структуры и непериодические циклы — убедительное доказательство того, что рынки капитала являются нелинейными системами и что гипотеза эффективного рынка вследствие этого под большим вопросом. Представленный в этой главе анализ следует в развитие работ Петерса (1989, 1991).
МЕТОДОЛОГИЯ
При анализе рынков мы используем логарифмические прибыли, определенные следующим образом:
St = IniPt/Pt^,	(8.1)
где St — логарифмическая прибыль в момент времени £, Pt -цена в момент времени t.
Для R/S-анализа логарифмические прибыли более подходящи, чем широко используемые процентные изменения цен. Размах, используемый в A/S-анализе, есть накопленное отклонение от среднего. С другой стороны, логарифмические прибыли складываются в накопленную прибыль, чего нельзя сказать о процентных изменениях.
Сначала цены, или исходный ряд, преобразуются в логарифмические прибыли. Далее уравнения (7.1) и (7.2) применяются к различным временным периодам N. Мы начнем с Разумного приращения — ряда месячных данных, зафиксированных на протяжении 40 лет, которые преобразованы в 480 логарифмических прибылей. Если начать с шестимесячных пРиращений, можно разделить ряд на 80 независимых отрезков. Так как эти шестимесячные периоды не перекрыва-^тся, наблюдения оказываются независимыми. (Они могут и
108	Глава 8. /i/S-анализ рынков капитала
не быть таковыми, если существуют краткосрочные завися мости марковского типа, простирающиеся дольше шести ме сяцев. Эту ситуацию мы обсудим позже.) Теперь мы може} применить уравнения (7.1) и (7.2) и подсчитать размахи и каждому шестимесячному периоду. Пронормируем их соот ветствующими стандартными отклонениями, чтобы получит 80 отдельных 7?/5-наблюдений. Посредством осреднения эти наблюдений мы получим оценку R/S для N = 6 месяцам.
Продолжим подсчет для N = 7,8,9,, 240. При это! можно ожидать уменьшения устойчивости в оценке R/S, та] как уменьшается количество осредняемых наблюдений. Со вокупность расчетов для всего диапазона N дает регрессш \og[R/S) на log(2V), и, в соответствии с уравнением (7.3), на клон линии регрессии даст оценку для Н. Однако же оцени вать Н для полного диапазона N было бы неправильным вви ду того, что ряд имеет конечную память и начинает следоват случайным блужданиям. Теоретически процесс с долговр> менной памятью предполагается берущим начало из бесконеч но удаленного прошлого. Но в дальнейшем, при рассмотренш теории хаоса, мы увидим, что в любой нелинейной системе, i ее движении, всегда существует точка, где теряется память < начальных условиях. Эта точка «потери» аналогична конц; естественного периода системы. Чтобы убедиться в том, дей ствительно ли имеет место подобный переход, следует вни мательно изучить данные. Регрессия, возникающая в конц определенного диапазона данных, может свидетельствовал о процессе с долговременной памятью. Другой путь решенш этой проблемы связан с открытием фрактального скейлин га в пругих ггриропных системах. Теоретически все фракталы имеют бесконечную масштабную инвариантность, подобно треугольнику Серпинского. Однако естественные фракталы, такие, как например сосудистая система человека, не таковы-Физиологи установили, что изменения в диаметрах артерий и вен следуют фрактальному скейлингу в своих разветвлениях-Эта фрактальная система имеет предел, так как сосудистая система не становится бесконечно малой — диаметр сосудов остается конечной величиной. Аналогично этому я предполагаю, что процессы с долговременной памятью в большинстве систем не бесконечны — они имеют предел. Сколь долга эта память, зависит от структуры нелинейной динамической системы, которая порождает фрактальный временной ряд. По
Фондовый рынок
109
той причине визуальная оценка данных по двойной логариф-щческой кривой перед измерением Н очень важна.
Теперь встает вопрос в отношении данных: как много их должно быть? Федер говорит, что имитация с количеством на-людений менее 2500 может быть поставлена под вопрос, но ри этом не указывает — сколько должно быть эксперимен-альных точек для адекватной оценки. В физических науках :сследователи могут получать тысячи экспериментальных то-ек при контролируемых условиях. В экономической теории, виду того что мы ограничены относительно короткими ря-;ами, которые при том заключают в себе разнообразные вли-ния рыночной среды, мы должны быть очень внимательны своем анализе.
Я считаю, что мы имеем достаточно данных, когда есте-твенный период системы может быть легко различим. Тогда нашем распоряжении имеются различные циклы данных, рступные для анализа, и это количество должно быть до-таточным. В дополнение к этому теория хаоса утверждает, то достаточно данных десяти циклов. Если мы можем оце-ить длину цикла, то тогда соответственно использовать 10-цкловый общий курс как совокупность адекватных данных.
В этом главе мы будем в основном анализировать месяч-ые данные из различных доступных источников, начиная с 920-х годов. В следующей главе изучению будет подвергнут оказатель Херста II относительно его поведения при различ-ых приращениях прибыли — от одного до девяноста дней.
ФОНДОВЫЙ РЫНОК
Начнем с применения R/S-анализа к месячным.данным рей-инговой компании Стандард энд Пур (S&P 500) за 38-летний ериод с января 1950 по июль 1988 гг. На рис. 8.1 показана Ривая в двойной логарифмической шкале, полученная опи-анным выше методом. Процесс с долговременной памятью аблюдается приблизительно в продолжение 48 месяцев. По-Пе этой точки график начинает следовать случайным блу-(Ланиям при Н = 0.50. Прибыли, которые отстоят друг от Руга более чем на 48 месяцев, имеют в среднем малую ле-°Ст°Роннюю корреляцию. На рис. 8.2 представлены вели-йны Д, рассчитанные по регрессиям для 2V, меньших или авных 3, 3.5, 4, 4.5 и 5 годам. Пик явно наблюдается при
4 годам с Н = 0.78, и мы можем сказать, что это оценка
110
Глава 8. R/S-анализ рынков капитала
0.7	0.9	1.1	1.3 I.S 1.7	1.9	2.1	2.3
Юд(количество месяцев)
Рис. 8.1. .R/S'-анализ: месячные прибыли, S&P 500, январь 1950 — июль 1988 гг. Оценка Н = 0.78 (с разрешения Financia Analyst: Journal).
Рис. 8.2. R/S-анализ: оценка длины цикла, S&P 500, месячные при были, январь 1950 — июль 1988 гг.
Фондовый рынок
111
Таблица 8.1. fl/S'-анализ прибылей фондового рынка, ян:варь 1950 —июль 1988 гг.
Неперемешанные Перемешанные данные	данные
Константа Стандартная ошибка У (оценка) R2	-0.32471 0.01290 0.99559	-0.04544 0.02005 0.98564
Коэффициент при X (Я)	0.778	0.508
Стандартная ошибка X	0.008	0.004
показателя Херста для данных S&P 500. Столь высокая оценка Я говорит о том, что фондовый рынок является очевидным фракталом, а не следует случайным блужданиям. Он подвержен смещенным случайным блужданиям с аномальной величиной Н = 0.78. Графики на рис. 8.1 соответствуют Н — 0.78 и Н = 0.50. В таблице 8.1 представлены результаты регрессии с использованием N, меньшего или равного 48 месяцам. По регрессии при N > 48 месяцев Н = 0.52 ± 0.02; это под
тверждает, что средняя длина цикла, или период для данных S&P 500 равняется 48 месяцам.
Мы можем применить тест на перемешивание к ряду месячных прибылей. На рис. 8.3 в логарифмических координатах представлены кривые перемешанного и неперемешанного рядов. Перемешанный ряд явно отличается, давая Н = 0.51. Перемешивание разрушает структуру долговременной памяти исходного ряда и превращает его в ряд независимый. Он уже не показывает излома кривой, который хорошо виден на кпиротт тТГхОдПОГО ряда. Перемешанный ряд следует случайным блужданиям. Последовательность ценовых изменении важна с точки зрения предохранения от будущих нежелательных изменений. Изменение последовательности прибылей посредством перемешивания изменяет характер временного ряда. Эти результаты несовместимы с гипотезой эффективного рынка. Робертс (1964), как было сказано в гл. 2, опи-CajI рыночный механизм как рулетку и утверждал, что «эта РУлетка не имеет памяти». Я/б’-анализ показывает, что пред-то °Жение 0 независимости, особенно пренебрежение эффек-долговременной памяти, было и остается серьезным упу-Ме ИеМ’ Рыночные прибыли являются персистентными вре-ете^Ь1Ми Ридами с фрактальным распределением вероягно-и они следуют смещенным случайным блужданиям, как
112
Глава 8. R/S-анализ рынков капитала
Рис. 8.3. Тест на перемешивание: S&P 500, месячные прибыли, январь 1950 — июль 1988 гг. Неперемешанные данные: Н = 0.78, перемешанные данные: Н = 0.51.
Рис. 8.4а. R/S-анализ отдельных акций: месячные прибыли, яй' варь 1963 —декабрь 1989 гг. IBM: оценка Н = 0.72.
Фондовый рынок
113
Рис. 8.46. /г/З-анализ отдельных акций: месячные прибыли, январь 1963 —декабрь 1989 гг. Mobil Oil: оценка Н = 0.72.
это было описано еще Херстом. Ввиду того что такого рода система персистентна, она циклична и имеет тенденцию к средней длине цикла, равной 48 месяцам. Это именно средняя величина, поскольку система непериодична и фрактальна.
На рис. 8.4 в логарифмических координатах представлены графики для четырех репрезентативных акций: IBM, Мобил, Кока-Кола и Ниагара Мохок. Величины Н во всех случаях персистентны, но циклы имеют разную длину. В таблице 8.2
1а6лица 8.2. ^/S'-анализ отдельных акций
-	Показатель Херста (Л)	Циклы (месяцы)
S&P 500	0.78	48
IBM Xerox	0.72 0.73	18 18
Apple Computer	0.75	18
^Oca-Cola Anheuser_BuSch	0.70 0.64	42 48
Ronald’s lagara Mohawk n!Xas State Utilities	0.65	42
	0.69 0.54	72 90
-J^nsolidated Edison	0.68	90
114
Глава 8. .R/S'-анализ рынков капитала
Рис. 8.4в. R/S-анализ отдельных акций; месячные прибыли, январь 1963 —декабрь 1989 гг. Coca-Cola: оценка Н = 0.70.
Рис. 8.4г. R/S- анализ отдельных акций; месячные прибыли, яй' варь 1963 —декабрь 1989 гг. Niagara Mohawc: оценка Н = 0.69.
Фондовый рынок
115
приведены результаты jR/S-анализа для S&P 500 и некоторых отдельных акций. При беглом взгляде на эти данные легко убедиться, что акции по разным отраслям производства имеют схожие величины Н и длины циклов. Производства с высоким уровнем инноваций, которые сосредоточены на выпуске современной техники, имеют тенденцию к более высокому уровню Н и укороченным циклам. В противоположность им акции коммунальных предприятий, имеющих низкий уровень инноваций, отличаются меньшими величинами Н и очень длинными периодами. Их «джокер» появляется
реже, чем в акциях технических производств.
Эти результаты побуждают к постановке очень интересно
го вопроса относительно принятого определения риска. В соответствии с моделью оценки капитальных активов (САРМ — Capital Asset Pricing Model) акция с высоким бета, по отношению к рыночному индексу, более рискованна, чем акция с низким бета, так как волатильность, измеряемая стандартным отклонением, выше для более высоких величин бета. Эппл Компьютер с его бета 1.2 относительно S&P 500 рискованнее, чем Консолидейтид Эдисон (КонЭд) с бета, равным 0.60.
Показатель Херста Н измеряет степень зазубренности временного ряда. Чем меньше Н, тем больше шума в системе и тем более ряд подобен случайному. (Рис. 7.1 и частично рис. 7.2, где представлены накопленные графики, иллюстрирует это различие.) Эппл Компьютер имеет Н = 0.75, а Кон-Эд имеет Н = 0.68. Временной ряд КонЭд менее персистент-
ный и более зазубрен, чем временной ряд Эппл. Какие акции, спрашивается, рискованнее?
Поскольку и ю и дррис акции имею! величину Н, большую 0.5, они обе фрактальны, и применение стандартного статистического анализа становится проблематичным. Дисперсии неопределенны, или бесконечны, что делает волатильность бесполезной или попросту ошибочной оценкой риска, большая величина Н показывает меньше шума, большую персистентность и более ясные тренды, чем это свойственно °лее низким величинам. Я считаю, что большие величины Н °3начают меньший риск, потому что они соответствуют данным, содержащим меньше шума. Из этого следует, что Эппл °мпьютер менее рискован, чем КонЭд, несмотря на его бета, ы не менее, акции с высоким Н имеют вероятность резкого “Аения и в этом смысле более рискованны.
116
Глава 8. ^/S'-анализ рынков капитала
Рис. 8.5а. R/S-анализ международных индексов акций: месячные прибыли, январь 1959 —февраль 1990 гг. Индекс MSCI (Англия) : оценка Н = 0.69.
Рис. 8.56. R/S-анализ международных индексов акций: месячные прибыли, январь 1959 —февраль 1990 гг. Индекс MSCI (Япония): оценка Н = 0.68.
Фондовый рынок
117
Log(количество месяцев)
Рис. 8.5в. 7?/5-анализ международных индексов акций: месячные прибыли, январь 1959 февраль 1990 гг. Индекс MSCI (Германия): оценка Н = 0.72.
В итоге наблюдения показывают, что S&P 500 имеет большую величину Н, чем отдельные акции, представленные в таблице 8.2. Эти более высокие значения свидетельствуют, что диверсификация портфеля уменьшает риск, снижая фактор шума и увеличивая Н.
Международные рынки также проявляют статистики Херста. На рис. 8.5 в логарифмических коорпинатах построены кривые по индексам международного рынка капитала Моргана-Стенли (MSCI —Morgan Stanley Capital International) для Германии, Японии и Англии. Были взяты Данные с января 1959 по февраль 1990 гг. В таблице 8.3 Дана сводка результатов.
Таблица 8.3. R/S-анализ международных индексов акций
—	Показатель Херста (Н)	Циклы (месяцы)
SЛ р 500	0.78	48
Germany ^CI Japan MSCI U.K.	0.72 0.68 0.68	60 48 30
118	Глава 8. Я/З-анализ рынков капитала
Если мы включим сюда индекс S&P 500 как представляющий США, то увидим, что все четыре страны имеют разные величины Н и длины циклов. Англия имеет самый длинный цикл (восемь лет), Германия — шестилетний цикл, США и Япония — четырехлетние циклы. Эти длины циклов, по всей вероятности, связаны с экономическими циклами. Мы проанализируем возможность такой связи позже на примере американских рынков.
Рыночная эффективность может резко изменяться в зависимости от уровня шума в данных. Так как США имеют наивысшее значение Н, они являют собой наиболее «эффективный» рынок: он имеет меньше шума, чем другие рынки. За ним следуют рынки Германии, Англии и Японии.
РЫНОК ОБЛИГАЦИЙ
R/S'-анализ изменений доходности 30-летних казначейских облигаций также выявляет статистику Херста. Доходы облигаций изучались помесячно с января 1950 по декабрь 1989 гг. В результате получен Н = 0.68 при длине цикла в пять лет, что совпадает, как мы увидим позже, с длиной цикла амери-
0.4	0.6	0.6	1	1.2	1.4	1.6	1.6	2	2.2 Х4
1_од(количество месяцев)
Рис. 8.6. Я/З-анализ доходности 30-летних казначейских облигаций: месячные данные, январь 1950 —декабрь 1989 гг. Оценка Н
0.68.	J
Валюта
119
Рис. 8.7. R/S-анализ доходности казначейских векселей. Усредненные 3-, 6- и 12-месячные доходы, январь 1950—декабрь 1989 гг. Оценка Н — 0.65.
канского промышленного производства. Эта зависимость показана на рис. 8.6.
Такой же анализ был выполнен относительно средней доходности 3-, 6- и 12-месячных казначейских векселей, выступающих доверенностью на получение дохода по краткосрочным обязательствам. И здесь налицо статистика Херста при Н = 0.65, немного более зашумленная, чем для долгосроч-эблшаций (см. рис. 8.7). Интересно то, что здесь не проявляется длина цикла. Это может быть по двум причинам: или недостаточно данных, или, возможно, для векселей такого цикла просто не существует. Поскольку в этом смысле казначейские векселя представляют собой исключение (другие ряды имеют циклы в четыре-пять лет), здесь трудно сделать какие-либо выводы.
валюта
^/5-анализ выбранных курсов валют также показывает старику Херста. Я использовал обменные курсы американ-го Доллара, японской йены, английского фунта, немецкой
120
Глава 8. R/S-анализ рынков капитала
0.2 ----1----1—J-------1----1----1----i----1----1----1----1----1----1----1----1_
0.5	1	1.4	1.5	2.2	2.6	3	3.4
1_од(количество дней)
Рис. 8.8a. R/S-анализ обменных курсов валют. Йена —доллар, дневные данные, январь 1973 —декабрь 1989 гг. Оценка Н = 0.64.
Ьод(количество дней)
Рис. 8.86. R/S — анализ обменных курсов валют. Английские фУн' ты — доллар, дневные данные, январь 1973 — декабрь 1989 гг. Оценка Н = 0.61.
Валюта
121
1од(количество дней)
Рис. 8.8в. R/S-анализ обменных курсов валют. Немецкая марка — доллар, дневные данные, январь 1973 —декабрь 1989 гг. Оценка Н = 0.64.
марки и сингапурского доллара. Три первых обменных курса отличаются высокими уровнями персистентности. Что касается отношения американского и сингапурского долларов, то здесь мы впервые получили по-настоящему случайный ряд.
На рис. 8.8 в логарифмических координатах представлены кривые л.пя первых трех ва пют Все три обменных курса иыс ют показатель Херста около 0.60. В каждом случае валютный Рынок не следует случайным блужданиям. В таблице 8.4 дана соответствующая сводка результатов.
Таблица 8.4. R/S-анализ обменного курса американского доллара: Дневные данные, январь 1973 —декабрь 1989 гг.
валюта	Показатель Херста	Цикл
Японская йена	0.64	Неизвестен
леРманская марка	0.64	Неизвестен
Н1ЛИЙСКИЙ фунт	0.61	Неизвестен
ДоллаР	0.50	Нет
th
122	Глава 8. R/S-анализ рынков капитала
Такие результаты не станут неожиданностью для валютных трейдеров. Валютные рынки характеризуются внезапными изменениями, идущими вслед интервенциям центрального банка — попыткам правительства управлять курсом соответствующей валюты в противовес естественным рыночным силам. Валюты имеют репутацию объекта «инерционной торговли», где технический анализ имеет большую обоснованность, чем обычно. R/S'-анализ извлекает из этого рынка знание о том, что валюты имеют тренды, но уровни показателей Херста для этих валют свидетельствуют, что они не особенно персистентны в сравнении с акциями.
Этот анализ был выполнен по ежедневным данным с января 1973 по октябрь 1990 гг., т. е. почти на протяжении 18 лет. Однако естественной длины цикла изучаемые кривые не обнаружили. Сглаженность кривой на конечном отрезке могла быть следствием разбросанности данных. По-видимому, данных за 18 лет не достаточно для того, чтобы выявить длину цикла. Как мы вскоре увидим, для выявления циклов на фондовом рынке необходимы данные за 30 лет. К несчастью, до 1973 г. США придерживались золотого стандарта, поэтому обменные курсы до 1973 г. отражают условия, отличные от настоящих. Необходим дополнительный десятилетний опыт для накопления достаточного количества данных, которые позволят проанализировать валютные рынки. В конце этой главы будет показано, что увеличение количества точек не является необходимым. Их частота не повышает информативности — необходим более длительный период времени. Поэтому будем ждать.
Сингапурский доллар был приведен как пример временного ряда на рынке капитала, который не показывает статистики Херста. Обменный курс сингапурского и американского долларов является истинно случайной переменной. Это будет хорошей новостью для сингапурского правительства ввиду того, что цель управления сингапурским долларом — идти вослед доллару американскому. В результате этих сознательных усилий все флуктуации обменного курса оказываются следствиями случайных во времени действий трейдеров.
Кривая в двойных логарифмических координатах, представленная на рис. 8.9, показывает для этого ряда Н = 0.50. Сингапурский банк хорошо выполняет свою работу. Для других валют, где обменные курсы определяются свободным рынком, мы продолжаем находить персистентные величины Н-
Экономические индикаторы
123
Рис. 8.9. R/S-анализ обменного курса валют: сингапурский доллар — американский доллар, дневные данные, январь 1981 —октябрь 1990 гг. Оценка Н = 0.50.
Они свидетельствуют о том, что валютные рынки также имеют фрактальную структуру.
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИНДИКАТОРЫ
анализ показывает также высокую персистентность величин Н для Индекса промышленного производства, Ведущего экономического индекса министерства торговли, Индекса новых деловых учреждений, Индекса образования новых семей, Ведущего экономического индекса Колумбийского университета. Эти уровни Н говорят о том, что экономика следует непериодическим циклам.
На рис. 8.10 приведены результаты R/S'-анализа для трех экономических индикаторов: Промышленного производства, гговых деловых учреждений и Новых семей.
Промышленное производство имеет Н = 0.91 и длину ци-Кла около пяти лет. Эта длина немного больше, чем ожидалось. Большинство экономистов чувствуют, что средний экономический цикл —около четырех лет, он совпадает с прези-
124
Глава 8. R/S-анализ рынков капитала
Рис. 8.10а. R/S-анализ экономических индикаторов, январь 1950 — январь 1990 гг. Industrial Production: оценка Н = 0.91.
Рис. 8.106. R/S-анализ экономических индикаторов, январь 1950 январь 1990 гг. New Business Formation: оценка Н = 0.81.
Экономические индикаторы
125
Рис. 8.10в. R/S-анализ экономических индикаторов, январь 1950 — январь 1990 гг. Housing Starts: оценка Н = 0.73.
дентскими выборами. Однако двойная логарифмическая кривая на рис. 8.10а отчетливо указывает на то, что экономический «джокер» появляется в среднем каждые пять лет. Другие экономические индикаторы представлены на рис. 8.106 и 8.10ч Новые экономические учреждения имеют наибольшую величину Н, равную 0.81, Новые семьи —более типичны: 0.73. На рис. 8.11 три временных ряда вычерчены вместе, для них всех очевиден пятилетний цикл. Это наводит на мысль о том, что в таких высокоперсистентных рядах надо принимать в Расчет сезонные поправки. В то же время при перемешивали каждый из этих рядов становится чисто случайным, при Уровне Н приблизительно равном 0.50. При этом сезонные п°правки уже не оказывают влияния на их персистентность.
Два ведущих экономических индикатора, показанные на Рис. 8.12, замечательно схожи. Длины их циклов (около 4.5 Лет) меньше, чем цикл Промышленного производства. Такое соотношение подтверждает «ведущую» природу этих инди-каторов.
126
Глава 8. /i/S-анализ рынков капитала
Рис. 8.11. R/S-анализ: очевидные пятилетние экономические циклы.
1_од(количество месяцев)
Рис. 8.12. R/S-анализ ведущих экономических индикаторов, январь 1955 — январь 1999 гг. Индекс департамента коммерции и индекс ведущих индикаторов Колумбийского университета. Оценка Н = 0.83.
Выводы
127
Существование статистики Херста в экономических данных должно озаботить особенно тех экономистов, которые полагаются на методы эконометрики. Эффект долговременной памяти так или иначе обесценивает эконометрические модели и объясняет слабость экономических предсказаний. Слишком много «субъективного» искусства остается в этой дисциплине, которая старается быть аналитической.
выводы
Почему на рынках капитала возникает статистика Херста? Изменения цен имеют в своей основе ощущение инвесторами некой справедливой величины. В прошлом мы всегда имели оценку «справедливой величины» для каждой отдельной цены. Я полагаю, что инвесторы в действительности оценивают активы в некотором диапазоне цен. Этот диапазон частично определяется фундаментальной информацией, такой, как доходы, управление, новая продукция и текущая экономическая обстановка. Эта информация часто бывает полезной для определения единственной справедливой цены при помощи известных методов технического анализа. Второй компонентой ценового диапазона является то, в какой мере инвесторы ощущают готовность платить со стороны других инвесторов. Эта «чувственная компонента» также анализируется и в результате складывается некий диапазон около определенной «справедливой цены». Это соединение информации и мнений дает в результате смещение оценки капитала. Если основные показатели благоприятны, пена приближается к «справедливой величине». Если инвесторы видят, что тренд, соответствует их позитивным ожиданиям в отношении той или иной ценной бумаги, они начинают покупать по примеру других. Вчерашняя активность оказывает влияние сегодня — рынок хранит память о своем вчерашнем тренде. Смещение изменится, когда цена достигнет верхнего предела справедливой величины, «а этой точке смещение претерпит изменение.
Эта модель предполагает, что «диапазон» остается.постоянным. В действительности это не так. Новая информация °тносительно той или иной ценной бумаги или рынка в целом К1°жет изменить этот диапазон и стать причиной драматиче-Ск°го поворота в рыночной ситуации или в курсе отдельной Денной бумаги.
128
Глава 8. .R/S-анализ рынков капитала
Поскольку развитый рынок прогрессирует или приходит ] упадок в зависимости от экономических факторов, S&P 50( и доход от 30-летних казначейских облигаций имеют циклы совпадающие с циклами общеэкономическими.
Показатель Херста Н измеряет влияние информации н< временной ряд данных; Н = 0.50 подразумевает случайней блуждание и подтверждает гипотезу эффективного рынка Вчерашние события не оказывают влияния сегодня. Сегодняшние -- не влияют на будущее. События некоррелирован ны. Старые новости уже впитаны и обесценены рынком.
В противоположность этому Н, большее 0.50, подразумевает, что сегодняшние события будут иметь значение завтра Это означает, что полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя. Это не просто последовательная корреляция, когда влияние информации быстро падает. Это функция долговременной памяти, которая обуславливает информационное влияние в течение больших периодов времени и сказывается по отношению к любому временному масштабу. Все шестимесячные периоды влияют на все последующие шестимесячные периоды, все двенадцатимесячные — на все последующие двенадцатимесячные. Это влияние ослабевает со временем, однако медленнее, чем кратковременные зависимости. Длина цикла, следовательно, является мерой того, как долго длится этот период влияния — пока оно не уменьшится до неразличимой величины. В терминах статистики это — время декорреляции ряда. Для ежемесячных данных S&P 500 этот период, или длина цикла, составляет в среднем 48 месяцев. В терминах нелинейной динамики (которая рассматривается в части 3) — приблизительно через 48 месяцев теряется память о начальных условиях. Это влияние остается, однако, чувствительным.
Сорокавосьмимесячный цикл для S&P 500 является среД-ним циклом, так как ряд непериодический. Непериодические циклы характерны для нелинейных динамических систем- К тому же это статистический цикл, а не «ценовой», который мог бы представлять интерес для технического анализа. ВвИ' ду того что этот цикл не является периодическим, спектральный анализ, как правило, также не выявляет этот тип цикла-
Фрактальная природа рынков капитала противоречит гипотезе эффективного рынка и всем количественным моделя*1’ которые из нее выводятся. К ним относятся модель оценк11 капитальных активов (САРМ), арбитражная ценовая теорий
Выводы
129
(APT), ценовая модель Блека-Шоулса и другие численные модели, которые подразумевают нормальное распределение и/или конечную дисперсию.
Почему же эти модели терпят неудачу? Они упрощают реальность, предполагая случайное поведение, игнорируют влияние времени на принятие решений. Этим предположением о случайности проблема упрощается и делается «изящной» — она может быть оптимизирована в целях получения единственного решения. Используя случайное блуждание, можно получить «оптимальный портфель», «истинную величину», «справедливую цену».
Фрактальный анализ предлагает для моделирования более сложную математику, но его результаты гораздо ближе к практическому опыту. Фрактальная структура рынков капитала порождает циклы, тренды и множество возможных «справедливых цен». Она привносит качества, делающие рынки капитала интересными, в том числе зависимость от человеческих решений, и делает возможным их измерение в количественном аспекте. Фрактальная статистика указывает на беспорядочность и сложность жизни, но многое таит в себе.
Глава 9
Фрактальная статистика
В этой главе мы рассмотрим различие между фрактальным и нормальным выроятностными распределениями. В частности, обобщим математику, лежащую в их основе, и покажем, что нормальная форма является частным случаем фрактальных распределений. С точки зрения математического аппарата данная глава, возможно, не покажется интересной для всех читателей. Однако, ввиду того что фрактальные распределения приобретают большое значение в современных рынках капитала, как минимум три последних раздела и заключение главы рекомендуем внимательно изучить.
ПАРЕТО (ФРАКТАЛЬНЫЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической литературе они носят названия «Парето», или «Парето-Леви», или «устойчивые паретовские» распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (1897), касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщение хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному р&с" пределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной за' кон был найден Ципфом (G. К .Zipf, 1948) для частот исполь
Парето (фрактальные) распределения	131
зуемых слов. Ципф обнаружил, что длинные слова используются реже, чем короткие. Лотка (A. J. Lotka, 1926) приводит примеры обратно-степенных законов из области социологии, один из них — публикации научных статей в академических журналах. Чем больше статей опубликовал академик, тем более вероятна его публикация. Это происходит потому, что интенсивность публикаций подкрепляется учащимися студентами: большинство хорошо известных и старых членов академии могут быть соавторами, тем самым увеличивая свою продуктивность. Во всех перечисленных случаях утолщенные хвосты несут на себе влияние обратной связи, которая увеличивает продукцию — в каких бы единицах она ни измерялась. Эффект обратной связи усиливает событие и делает хвосты даже длиннее. Леви взял эти «толстохвостые» распределения и обобщил все вероятностные распределения таким образом, чтобы включить их в общую картину.
Перед тем как приступить к изучению фрактальных распределений, рассмотрим некоторые характеристики нормальных распределений. Большинство из нас так или иначе имели дело с нормальным распределением. Хорошо знакомая изящной формы кривая широко используется — достаточно того, что в некотором смысле все мы были проранжированы «на кривой» еще в школе. Эта кривая описывается формулой, и можно записать логарифм характеристической функции нормального распределения случайной переменной t:
(2 \ у) *	(9.1)
гДе р, — среднее, ст2 — дисперсия.
Для этого «стандартного нормального» распределения среднее равно нулю и стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии) равен единице. Поскольку нормальное Распределение применяется, когда t является независимой, идентично распределенной (IID) случайной переменной, оно применимо к броуновскому движению и случайным блужданиям.
томКаК Установлено в гл- 2, Башелье первым выдвинул идею о Ни ’ ЧТ° спекулятивные рынки следуют случайным блужда-с 1 И Могут быть смоделированы как игра случая. Гаус-ру Кая гипотеза Башелье продолжает приниматься на ве-’ несмотря на то, что очевидный эмпирический факт ука
132
Глава 9. Фрактальная статистика
зывает на аномалию отличия от случайных блужданий —об этом говорилось в гл. 3. В частности, частотное распределение прибыли постоянно проявляет большие отклонения, чем это должно было бы быть при наблюдениях в окрестности средней величины (см. рис. 3.1). Это распределение имеет более толстые хвосты и выше пик, чем у нормального распределения. Несмотря на это такое распределение часто описывается как «приблизительно нормальное».
Это «толстохвостое», островершинное распределение является характерной формой распределения Парето. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей достаточно сложной формулой:
log(/(i)) =
= i * ст * t — 7* |i|“ * (1 + i * (3 * (i/|i|) * tg (a *	. (9.2)
Эта формула имеет четыре характеристических параметра: а, /3, J, 7; здесь 6 — локальный параметр среднего, 7 — масштабирующий параметр подгонки, например разница между дневными и недельными данными, (3 измеряет асимметрию и может изменяться от —1 до +1. Когда /3 = 0, распределение симметрично. Когда /3 = +1 распределение имеет толстый хвост справа, или скошено вправо. Степень правого скоса увеличивается при приближении (3 к +1. Обратное случается при (3 < 0; а измеряет островершинность распределения, так же как и толщину хвостов; а может изменяться в диапазоне величин от 0 до 2 включительно. Только при а = 2 это распределение становится эквивалентным нормальному Полагая в (9.2) а = 2, /3 = 0, 7 = 1 и 6 = 1, получаем уравнение (9.1) — характеристическую функцию нормального распределения. Гипотеза эффективного рынка (ЕМН) предполагает, в сущности, что а всегда должно быть равно 2. Гипотеза фрактального рынка (FMH) утверждает, что а может изменяться в диапазоне от 1 до 2. В этом состоит основное различие между двумя гипотезами рынка. Однако изменение величины а драматически изменяет характеристики временных рядов.
Мы полагаем распределение Парето фрактальным, потому что оно статистически самоподобно по отношению к времени-Если распределение дневных цен имеет среднюю величину 771 и а = а, то распределение пятидневных прибылей должно иметь среднее значение 5 * т и при этом должно остаться
Парето (фрактальные) распределения	133
а = а. Будучи выполненной, масштабная временная подгонка должна оставить форму вероятностного распределения временного ряда без изменения. Такой временной ряд называется масштабно-инвариантным. Подобное описание применимо, если а = 2 и распределение является нормальным, потому что нормальное распределение есть особый случай в семействе фрактальных распределений. Однако при а, не равном 2 характеристики распределения изменяются.
Во-первых, когда 1 < а < 2, дисперсия становится неопределенной, или бесконечной. Дисперсия конечна и устойчива только при а = 2. Следовательно, дисперсия выборки является важной информацией только в том случае, если система представляет собой случайное блуждание. С другой стороны, бесконечная дисперсия возможна и, быть может, типична. Если а не равно 2, дисперсия выборки как мера рассеяния или риска практически не несет никакого смысла.
Если 0 < а < 1, то тогда также не существует устойчивого среднего. Альфа редко лежит в этом диапазоне, но несколько позже мы столкнемся с одним таким примером. Однако при 1 < а < 2 имеется устойчивая средняя величина. Нецелые альфа в этом диапазоне соответствуют смещенным броуновским движениям, которые характеризуются долговременными корреляциями и статистическим самоподобием. Эти движения являются фракталами. В дополнение к этому а есть фрактальная размерность пространства вероятностей временного ряда и
(9-3)
а = 1/Н, где Н — показатель Херста.
Заметим, что, являясь фрактальной размерностью, а отличается от фрактальной размерности D в уравнении (7.7). D есть фрактальная размерность временного следа, в то время как альфа есть фрактальная размерность пространства вероятностей. D измеряет «зазубренность» временного ряда, а — толщину хвостов в функции плотности вероятности.
Фрактальные распределения имеют две другие интерес-э<Ьж ХаРактеРистики- Мандельброт назвал первую «Иосиф-Ффектом». Как показано раньше, это название обязано тен-g нции фрактальных распределений иметь тренды и циклы. Со яблейской истории рассказывается как Иосиф истолковал г0”0<^>аРаона: семь лет изобилия последуют за семью годами
134
Глава 9. Фрактальная статистика
Вторую характеристику Мандельброт назвал «Ной-эф. фект» — по имени героя библейского предания о Всемирном потопе. В технической интерпретации это синдром бесконечной дисперсии. Такие системы склонны к внезапным дра-матическим переменам. В нормальном распределении большие изменения случаются по причине большого количества малых изменений. Изменение цен полагается непрерывным. Это предположение о непрерывности ценообразования делает страхование портфеля возможной практической стратегией денежного управления. Идея состояла в том, что, используя модель расчета цен опционов Блэка- Шоулса (или какую-то ее разновидность), инвестор мог искусственно повторять выбор, непрерывно балансируя между рисковыми активами и наличными деньгами. Этот метод правдоподобен постольку, поскольку ценообразование остается непрерывным, или по крайней мере близко к этому. Однако в случае фрактального распределения большие перемены происходят как следствия малого количества больших изменений. Большие изменения цен могут быть разрывными и внезапными. Фрактальное распределение на фондовом рынке могло бы объяснить, почему октябрьские события 1987, или 1978, или 1929 годов вообще случились. На этих рынках недостаток ликвидности стал причиной внезапного и прерывистого ценообразования, как это и предсказывает фрактальная модель. Мы воочию увидели в гл. 8, что рынки капитала имеют фрактальные распределения.
«ПОТЕРЯВШАЯСЯ» ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Мандельброт предположил, что спекулятивные рынки являют собой фракталы задолго до того, как развил свою фрактальную геометрию. Немалую часть своей жизни Манделы брот посвятил изучению давно забытых математических про* селков, при этом им было найдено множество примеров неслу* чайного скейлинга. По заключению Мандельброта, распреде-ления Парето были еще одним примером скейлинга, на это* раз в экономике, а не в природе. В начале 60-х годов Мандельброт выдвигал аргументы в пользу распределений с бесконечной дисперсией, но проиграл этот первый раунд гип°* тезе эффективного рынка (ЕМН). Последняя была изяШ1[ев и легче для понимания академическим сообществом. Рис1<’ определенный как волатильность, был более чистой конПе®
«Потерявшаяся» экономическая теория	135
цИей. Если две акции имеют различную волатильность, то та, что с большей волатильностью, является более рискованной. Модель случайного блуждания открывает двери целому набору аналитических инструментов, которые, со своей стороны, предлагают возможность «оптимальных решений», или даже всего один правильный ответ. Так как базы данных становятся более обширными, а компьютеры все более мощными, армии студентов и академиков тестируют гипотезу эффективного рынка —краеугольный камень теории рынков капитала.
В чистой математике движение продолжалось, и пришло время, когда были классифицированы распределения Парето. «Синдром бесконечной дисперсии» был менее популярен в экономической теории. Распределения Парето стали почти забыты, особенно в экономике финансов. Принять распределения Парето означало бы отбросить огромное количество ра
бот, основанных на линейных отношениях и конечных дисперсиях. Мандельброт продолжал публиковаться. Кульминацией его работы стало переоткрытие 7?/5-анализа в конце 60-х годов. Наконец, в одной из теоретических работ, не подкрепленной эмпирическими доказательствами, Мандельброт (1972) пообещал опубликовать статистические результаты, но не сделал этого. Мандельброт почти оставил экономическую теорию для более широкой работы — создания фрактальной
геометрии.
Интерес к распределениям с бесконечной дисперсией умер, потому что их смысл был в значительной степени неясен. Сторонники количественных методов продолжали придерживаться веры в гипотезу эффективного рынка, потому что не было епте обнаружен'"' достаточное количество апо.тцалий для того, чтобы стать на точку зрения необходимости изменения парадигмы. Как было сказано в гл. 3, аномалии вскоре были найдены. Главной среди них была та, что распределение приклей на фондовом рынке с очевидностью не подчинялось нормальному распределению. Оно всегда имело острый пик среднем значении и более утолщенные по сравнению с нор-альным распределением хвосты, —оно походило на класси-к°е распределение Парето. Кроме того, были найдены еще КиДх₽УГИе аномалии ЕМН — январский эффект, эффект мел-п акций, эффект низкого отношения Р/Е (price/earnings— Ст а'прибыль) и другие. Все эти стратегии были доказатель-Чени1 Т0Г0’ чт0 МОжно получить избыток прибыли без увели-я волатильности на статистически заметную величину.
136
Глава 9. Фрактальная статистика
Но пришло время, и мощные персональные компьютеры и создание больших баз данных сделали возможным R/S-анализ данных на рынках капитала. В этой главе мы про-тестируем фрактальную гипотезу рынка (FMH), которая говорит, что рынки следуют «устойчивому распределению Па. рето».
ТЕСТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
В главе 8 месячные данные были использованы для расчета показателя Херста Н, и таким образом они позволили сравнить международные и внутренние рынки капитала. С точкь зрения частоты месячные данные представляют собой наиболее подходящие экономические временные ряды. Для мно
гих международных временных рядов пригодны только месячные данные. Однако для проверки устойчивости показателя Херста Н должны использоваться независимые временные сегменты. Ввиду того что месячные данные за 40 лет не обеспечивают адекватного количества наблюдений для теста на устойчивость, мы обратимся к дневным ценам по S&P 500 со 2 января 1928 по 5 июля 1990 гг., что составляет 15504 наблюдения. Мы должны также проверить скейлинг Н для разных временных частот. Для этого теста необходимы длин
ные временные ряды с наивысшим разрешением, какое только возможно получить. Именно длинный ряд дневных данных S&P 500 позволит выполнить эту программу.
Первым шагом является Херст-анализ полного временного периода дневных данных. Если фондовый рынок следует классическому распределению Паретс» мы доттжны получить величину Н, равную приблизительно 0.78, которую мы получили для месячных данных. Результаты, представленные на рис. 9.1, показывают, что Н имеет более низкое значение (0.598), чем это предсказано фрактальной гипотезой. Длина цикла стала неожиданностью — около 1000 дней, или, груб°> четырехгодичные дневные данные для торговых дней. Этот цикл соответствует 48-месячному циклу при использовании месячных данных. Затем был проведен R/S'-анализ на шести независимых смежных приращениях в 2600 дней для провер" ки устойчивости Н на различных временных периодах и разных экономических условиях. Каждое приращение, равно® 2600 дням, соответствует примерно 10 годовым дневным А3# ным. Как видно из рис. 9.2, показатель Херста обнаруживав
Тесты на устойчивость
137
Рис. 9.1. R/S-анализ: дневные прибыли, S&P 500, 2 января 1928 — 31 декабря 1989 гг. Оценка Н = 0.60. Заметим, что длина цикла составляет 1000 торговых дней, или около четырех лет, что мы видели в месячном анализе на рис. 8.3.
1лд(количество дней)
S&P ,^’анализ: дневные прибыли в разных десятилетиях, к ло Заметим, что наклон кривых слабо изменяется от декады декаде.
138
Глава 9. Фрактальная статистика
Таблица 9.1. Устойчивость статистик.
Приращение	Приблизительные даты	Средняя прибыль	Стандартное отклонение	Н
1-2.600	1928-1939	-0.0598	0.3241	0.61
2.601-5.200	1939-1948	0.0474	0.1758	0.57
5.201-7.800	1948-1959	0.1228	0.1187	0.58
7.801-10.400	1959-1968	0.0661	0.0993	0.59
10.401-13.000	1968-1979	0.0036	0.1383	0.62
13.001-15.600	1979-1989	0.1157	0.1772	0.59
заметную устойчивость на протяжении 20-годового периода, который включает в себя совершенно разные экономические условия: три войны, Великую депрессию, социальный сдвиг 60-х годов, нефтяные шоки 70-х, искусственный бум 1980-х и обвалы фондовых рынков в 1929, 1978 и 1987 гг. Показатель Херста изменяется от 0.57 до 0.62 для каждого десятилетия. Интересно то, что четырехгодовой цикл плохо различим; это говорит о том, что десятилетние данные, даже если они ежедневны, недостаточны для полного R/S-анализа.
И все же Н, меньшее чем должно было бы быть, заставляет думать, что в дневных данных существует большее количество реверсивных значений, нежели это свойственно данным месячным. Мы исследуем это ниже. Что касается устойчивости, то показатель Херста, бесспорно, одна из самых устойчивых статистик, которая может быть рассчитана для фондового рынка. Помимо средних значений и стандартных отклонений прибылей, представленных в таблице 9.1, приведены зна-’ТСППЯ ТЮКЯЗчТТСЛСЙ ХсрСТЯ ДЛЯ КЭ.ЖДС'Г'"' ГМА!Ц6НИЯ Р 26ПО ПНРЙ. Особенно устойчивой выглядит статистика Н по сравнению со стандартными отклонениями. Интервалы этого анализа отличаются от тех, что использовались Тернером и Вайгелем (см-гл. 3). Они также состояли из приращений в 2600 дней, начиная с 2 января 1928 г., но данные Тернера и Вайгеля были рассчитаны для календарных декад.
ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛОЖЕНИЯ
Другим свойством устойчивых распределений является то-что, изменяясь в масштабах, они должны сохранять свой статистические свойства при сложении. Например, если рЯ|Я изменений дневных цен был нормально распределенным с0
Инвариантность относительно сложения
139
„	.	„о
средней величиной т и дисперсией s , то тогда изменения декадных цен должны также быть нормально распределенными со средней 10 * т и дисперсией 10 * s2.
Если же распределение дневных цен было фрактальным, то распределение декадных цен должно иметь среднюю величину, равную 10 * т, но при этом дисперсия не останется устойчивой. В то же время величина показателя Херста Н для декадных прибылей будет той же, что и для прибылей дневных.
Для проверки этой возможности я создал ряд из 80-ти однодневных логарифмических прибылей, используя данные о дневных ценах S&P 500. Это подлинные и равномерные приращения прибылей. Были также обработаны месячные данные, при этом месяц принимался равным 1/12 года, несмотря на то, что месяцы имели три различных длины в днях и другие несоответствия. Для теста были использованы приращения по торговым дням. «Дыры» от уикендов и каникул были проигнорированы, не считаясь торговыми днями. Во-первых, было проверено свойство скейлинга для средних величин и дисперсий. Результаты для средних представлены на рис. 9.3, для дисперсий — на рис. 9.4. Средние ведут себя по-
140
Глава 9. Фрактальная статистика
0.021 0.02
0.012
0.018 0.017 0.018 0.015
s 0.014
I 0.013
'g 0.012 g- 0.011 к 0.01
0.009 с 0-008 | 0.007 ® 0.008
0.005 0.004 0.003 0.002 0.001
О
О	20	40	50	80	100
Количество дней
Рис. 9.4. Устойчивость дисперсии: S&P 500, январь 1928 —декабрь 1989 гг. Прибыли от 1 до 110-дневной.
Рис. 9.5. Устойчивость Н: S&P 500, январь 1928 — декабрь 1989 гг-Прибыли от 1 до 110-дневной.
Инвариантность относительно сложения	141
чти в точности так, как предсказывает теория, дисперсии были несколько выше. Дисперсия была также несколько более хаотична, чем это должно быть. Это означает, что гауссовская гипотеза становится проблематичной.
На рис. 9.5 показаны величины показателя Херста Н, вычисленные по тем же данным. Теоретически Н должно быть одинаковым для всех смещений. Реальность, однако, снова не укладывается в теорию. Величина Н неуклонно возрастает от 0.59 для однодневных приращений до 0.78 для 30-дневных приращений. Далее она колеблется в диапазоне от 0.78 до 0.81 по всем приращениям. Это означает, что в системе имеется шум для периодов короче 20 дней. Примерно между 20 и 30 днями (или около одного месяца) шум исчезает и Н сходится к величине, примерно равной 0.78 — мере для календарных месяцев, найденной в гл. 8. Происхождение шума при величинах Н, меньших 0.78, мы попытаемся объяснить позже.
Длина цикла оказалась неожиданно однородной. Она проявляется в диапазоне от 900 до 1100 дней, т. е. составляет примерно четыре года. На рис. 9.6 это проиллюстрировано для
iq'o' 9'®’ 5-анализ: S&P 500, двадцатидневные прибыли, январь "декабрь 1989 гг. Заметим, что очевидная длина цикла со-авляет 48 двадцатидневных приращений, или 960 торговых дней.
Ина цикла составляет приблизительно 4 года, независимо от раз-РещенИя данных.
142	Глава 9. Фрактальная статистика
20-дневных прибылей. Этот четырехгодичный цикл не зависит от разрешения данных. «Джокер» появляется в среднем каждые четыре года, рассматриваем ли мы однодневные или более длинные периоды. Другими словами, дело не в том, какое количество точек мы имеем, а в том, сколько периодов охватывают эти данные. Это в корне отличается от стандартного статистического анализа, где более важно количество точек, нежели длина исследуемого временного ряда. Следовательно, дневные данные за четыре года, или 1040 наблюдений, не дадут такого замечательного результата, какой могут дать месячные данные за сорок лет, или всего 480 наблюдений.
Причина здесь в том, что дневные данные образуют только один цикл, а месячные — десять циклов. Из этого следует, что надо быть очень внимательным к стандартам, которые мы применяем в нелинейном анализе. Обычный метод привлечения большого количества данных помогает в анализе только тогда, когда исследуется IID (независимые идентично распределенные данные). Тогда время не имеет значения — в противоположность количеству наблюдений. Однако нелинейные системы имеют стрелу времени. Время не может быть повернуто вспять, и длина временного периода более важна, чем разрешение данных. Фактически увеличение разрешения часто делает анализ более затруднительным, но не повышает значимость результатов.
Итак, мы обнаружили два факта в подкрепление гипотезы фрактального рынка (ЕМН):
1. Показатель Херста Н, который является величиной, обратной по отношению к фрактальной размерности, устойчив пня пилвисиадмт тторилплв времени. Четыре песятилет-них периода дали однородные величины Н, — это впечатляющий результат, если принять во внимание то, как изменился мир за последние 60 лет.
2. Для приращений, больших или равных 30 дням, FMH дает приблизительно равные величины Н, колеблющиеся между 0.78 и 0.81.
Однако имели место и некоторые сюрпризы. При разре" шении, большем 30 дней, мы получили меньшую величину Н. Чем больше приращение, тем больше величина Н, пока мы не достигнем 30-дневного периода. Кроме того, была об-наружена конечная величина памяти (четыре года), безотнО' сительная к разрешению данных. Я хотел бы остановиться на этих двух моментах.
Инвариантность относительно сложения
143
Более низкая величина Н может наблюдаться в тех случаях, когда имеется большой случайный шум в данных или явление «возвратных значений». Из этого следует, что движение в дневных ценах акций больше подвержено возвратам, чем это свойственно им в более длинных временных периодах. Третье объяснение может состоять в том, что ценовые изменения в коротких временных периодах не независимы — как это утверждает фрактальная модель, но, напротив, содержат некоторые марковские кратковременные зависимости.
Мандельброт в 1963 г., изучая цены на хлопок, склонялся к этому третьему объяснению. Он замечал, что эти цены ведут себя не совсем так, как предсказывает теория. В частности: «... большие изменения не чередуются регулярно с периодами плавных перемен, они, похоже, склонны «промахиваться» и заходить дальше своих пределов. Подобным же образом ценовые изменения в периоды спокойствия выглядят более гладкими, чем это предсказывает фрактальный процесс».
Другими словами, большие изменения цен следуют своим законам, малые —своим. Мандельброт утверждает, что отдельные ценовые изменения не являются независимыми, как гласит его оригинальная модель, но содержат марковские кратковременные зависимости. Редкие резкие перемены, предсказанные оригинальной моделью, должны порождаться изменением периода колебаний. Периоды без резких изменений должны быть мягче. Такой процесс может дать значение Н ниже, чем процесс без марковских зависимостей, так как последние, будучи кратковременными, становятся слабее с увеличением временного приращения и при этом можно оживать 'гврчичгния и ртабилизапт?и И- Приблизительно г ченио месяца марковский процесс диссипирует, в результате чего Н становится устойчивой величиной, равной 0.78.
Эта марковская зависимость не должна смешиваться с Долговременной зависимостью, или Иосиф-эффектом. По-’•чедний сохраняется постоянно, хотя он может быть неизме-Рим после цикла, когда теряется память о начальных условиях- Зависимость Херста означает, что сегодняшние события ВсегДа продолжают влиять на будущее, и это влияние нико-ГД& не может быть устранено. Марковские зависимости бы-Ро распадаются, обращаясь в шум.
Ьторая неожиданность, состоящая в том, что четырехго-ный «цикл» независим от разрешения данных, имеет боль-значение для количественного анализа. Во-первых, это
144
Глава 9. Фрактальная статистика
означает, что долговременная зависимость может и должна измеряться с использованием месячных данных. Некоторые математические работы указывают на смещение, которое появляется при использовании малых выборок или коротких временных рядов. Однако, принимая во внимание этот подход к анализу временных рядов, мы должны помнить, что фрактальные распределения аддитивны. Каждый временной интервал имеет достаточное количество заключенных в течение него сделок. Таким образом, нам не требуется еще больше наблюдений. Что нужно —так это как можно более длинный временной ряд.
Все это имеет большое значение для исследований хаоса. Мы сможем использовать эту информацию — четырехгодичный цикл и редукцию до обычного шума в тридцатидневных интервалах — как помощь в нелинейном динамическом анализе.
В итоге эти находки подчеркивают то обстоятельство, что мы должны пересмотреть многие методы статистической диагностики, которыми пользовались в прошлом. Очень немногие из них значимы в рамках нелинейного анализа, где независимость редка и поэтому нет оснований ее ждать.
НАСКОЛЬКО УСТОЙЧИВА ВОЛАТИЛЬНОСТЬ?
Мы видели, что дисперсия не подвержена скейлингу так, как это должно было бы быть. Однако это не значит, что волатильность сама по себе неустойчива. В соответствии с гипотезой фрактального рынка дисперсия, или квадратный корень из поо. т. о стандартное отклонение. — неопределенны и следовательно, не имеется устойчивого среднего и дисперсии. Волатильность должна быть антиперсистентна.
Для проверки антиперсистентности я провел R/S-анализ волатильности. В качестве временного ряда были взяты помесячные данные — стандартные отклонения дневных прибылей—с января 1945 по июль 1990 гг., или примерно за 45 лет. На рис. 9.7 представлена кривая изменений этого ряда в двойных логарифмических координатах. Она в высшей степени антиперсистентна, при Н = 0.39. Это один из немногих антиперсистентных рядов, которые найдены в экономике-Если волатильность возрастала в последний месяц, то наиболее вероятно ее уменьшение в следующем месяце. Поскольку Н меньше 0.50, то нет и среднего значения в этом распредели
Выводы
145
Рис. 9.7. R/S-анализ дневной волатильности: S&P 500. Оценка Н = 0.39. Таким может быть только антиперсистентный временной ряд.
нии, т. е. распределение дисперсий неопределенно при отсутствующей средней величине. Как и предсказывала гипотеза фрактального рынка, дисперсия в совокупности отсутствует.
выводы
В этой главе сведены воедино элементы теории фракталов, Цо этого разрозненные. Мы нашли, что большинство рынков капитала в действительности фрактальны. Фрактальные временные ряды охарактеризованы как процессы с долговременной памятью. Они обладают циклами и трендами и являются следствием нелинейности динамических систем, или детерминированного хаоса. Информация не находит немедленного отражения в ценах, как это утверждает гипотеза эффективного Рынка, но, напротив, проявляет смещение в прибылях. Это смещение простирается вперед на неопределенное время, хотя система может терять память о начальных условиях. На американском рынке ценных бумаг сохраняется четырехгодичный цикл, в экономике он составляет пять лет. Каждый вре
146	Глава 9. Фрактальная статистика
менной интервал коррелирует со всеми интервалами, которые следуют за ним. Все шестимесячные периоды скоррелированы со всеми последующими шестимесячными периодами. Все двухгодичные периоды — со всеми последующими двухгодичными периодами. Информация смещает систему до тех пор, пока не явится экономический эквивалент «джокера», чтобы изменить это смещение. Это смещенное случайное блуждание выглядит наглядным описанием многих рынков капитала.
Фракталы описывают, но не объясняют. В части 3 мы рассмотрим теорию нелинейной динамики, объясняющую появление фрактальных структур.
I
Глава 10
Фракталы и хаос
Мы установили, что фракталы порождаются нелинейными динамическими системами, однако не обсудили, что это означает. В этой главе мы установим интуитивную связь между этими двумя концепциями, что естественным образом приведет к проблематике части 3. Речь пойдет главным образом о логистическом уравнении — математической модели, которая уже была затронута в гл. 1. Логистическое уравнение это простая одномерная модель, которая демонстрирует богатство хаотического поведения, включая переходы от порядка к хаосу в определенной последовательности. Это уравнение исследовал Мэй (Мау, 1976), а Фейгенбаум (Feigenbaum, 1983) нашел новую универсальную константу, встроенную в его систему. В дополнение ко всему изображение его возможных решений образует статистическую структуру, в которой легко увидеть фрактал. Поэтому данная глава будет касаться больше этой математической модели, нежели финансовых инвестиций и экономической теории. Как и в других разделах книги, изложение ведется на интуитивном уровне. Тех, кто заинтересован в более строгом математическом изложении, мы отсылаем к статьям Мэя и Фейгенбаума, а также к учебнику Девани (Devaney, 1989).
ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Как было показано в гл. 1, общей формой логистического Уравнения является:
xt+1 = 4 * а * xt * (1 - xt),	(ЮЛ)
гДе 0 < xt < 1, 0 < а < 1.
Логистическое уравнение представляет собой одномерную велинейную систему с обратной связью. Оно является также Разностным уравнением, в противоположность непрерывной системе, такой, как получается из дифференциальных уравне-
148	Глава 10. Фракталы и хаос
ний с частными производными. Следовательно, это дискретная система. Как разностное уравнение оно легко может быть исследовано в электронной таблице путем следующей процедуры:
1.	В ячейку А1 поместить начальное значение константы а между 0 и 1. Начать с 0.50.
2.	В ячейку В1 поместить начальное значение х = 0.1.
3.	В ячейку В2 поместить формулу:
4 * $Л$1 * Bl * (1 - В1).
Заметим, что значение а в ячейке А1 остается постоянным.
4.	Скопировать ячейку В2 вниз по крайней мере на 100 ячеек.
Посредством построения графика по данным колонки В как временного ряда мы можем изучить переход системы от устойчивости к хаосу.
ПУТЬ К ХАОСУ
Рассматривая временные ряды с а = 0.5, мы можем увидеть, что после начального всплеска система устанавливается на одной устойчивой величине (рис. 10.1). Увеличение а до 0.6 снова демонстрирует сходимость ряда, однако на величине несколько большей.
Рис. 10.1. Логистическое уравнение: сходимость x(t); а = 0.50.
Путь к хаосу
149
Рис. 10.2. Логистическое уравнение: а = 0.75, два периодических решения.
Увеличение а не дает ничего интересного до тех пор, пока мы не достигнем а = 0.75. Неожиданно система перестает устанавливаться на одной величине, а начинает осциллировать между двумя величинами (рис. 10.2). Это расщепление, переход от одного к двум потенциальным решениям называется бифуркацией
Если продолжить увеличение а, то приблизительно около 0-87 (точнее — 0.86237...) система вновь теряет устойчивость и появляются четыре возможных решения, как это показано на рис. 10.3. При дальнейшем увеличении а система будет вновь и вновь терять устойчивость. Критические величины а возникают все чаще и чаще и располагаются все ближе друг к другу. При а = 0.886 мы получаем восемь решений, при а = 0.8911 — шестнадцать, при а = 0.8922 — тридцать два, при а = 0.892405 — шестьдесят четыре решения. Это увеличение Продолжается до а = 0.90 (точное значение — 0.892486418). ЧЦесь происходит нечто удивительное.
При а = 0.90 система полностью теряет устойчивость. Чис-л° решений становится бесконечным. При взгляде на времен-
150
Глава 10. Фракталы и хаос
1
о.з -оа -ол	—I---------------1----------------1--------------1---------------г-
'	25 v	50	_	75	'°0
Количество итерации
Рис. 10.3. Логистическое уравнение: сходимость x(t); а = 0.87. Четыре периодических решения, или четыре возможных конечны величины.
Рис. 10.4. Логистическое уравнение: сходимость x(t); а = 0.90-Хаотическое поведение, или бесконечное количество возможны* величин.
Рождение и смерть
151
ной ряд на рис. 10.4 мы видим хаос. Ряд выглядит случайным, и, если подвергнуть его статистическому анализу, то он таковым и окажется. Действительно, логистическое уравнение используется как датчик случайных чисел.
Примером физической системы, которая ведет себя подобно логистическому уравнению, является громкое вещание. Если микрофон воспринимает негромкую речь, можно услышать басовитое гудение. Если же громкость речи увеличивается, то в громкоговорителе внезапно начинают сменяться два фоновых тона. При дальнейшем увеличении громкости возникает еще больше бифуркаций, и на критическом уровне неуправляемая обратная связь приводит систему к аудиохаосу.
Это простое уравнение демонстрирует очень сложное поведение. Больше того, детерминистическое уравнение дает нам пример хаоса. Рассмотрим же его более внимательно.
РОЖДЕНИЕ И СМЕРТЬ
Логистическое уравнение первоначально было использовано для моделирования популяционной динамики в экологии. В экологических популяционных системах имеют место скорость рождений и скорость умираний. Модель роста популяции будет простым нелинейным уравнением:
xt+i = a*x£.	(Ю-2)
В такой системе популяция растет бесконечно и неуправляемо со скоростью а * х. Чем больше растет популяция, тем меньше ресурсов становится для ее поддержания. В систему необходимо ввести скорость умирания. В логистическое уравнение добавляется скорость умирания в виде а * х2. Вычитая эту величину, мы получаем из (10.2) логистическое уравнение (10.1). Его решение растет как а * х, но ограничивается пленом а * х2. Если константа а увеличивается, то механизм Нелинейной обратной связи приводит к тому, что популяция может находиться более чем в одном устойчивом состоянии. Вследствие этого при достижении нижнего предела величины популяция снова начинает располагать ресурсами для роста И Достижения большего размера. Эта взаимосвязь становится более сложной при увеличении а.
152
Глава 10. Фракталы и хаос
УПОРЯДОЧЕННЫЙ БЕСПОРЯДОК
Выше мы заметили, что критические точки, где имеют место бифуркации, становятся все ближе друг к другу, по мере того как величина а растет. Фейгенбаум (1983) показал, что это случается с определенной последовательностью. Он также высказал догадку, а Лэнфорд (Lanford, 1982) доказал, что эта последовательность постоянна и универсальна для всех параболических нелинейных систем. Ее постоянство позволяет предсказывать появление следующего критического уровня а. Следовательно, мы можем классифицировать различные хаотические функции.
Фейгенбаум нашел следующую закономерность в чередовании бифуркаций:
д--~	= 4.669201609... ,
(^п+1 " Ьп)
где Ьп — значение а при n-ой бифуркации.
Величина 4.6692 называется числом Фейгенбаума и обозначается через F. Оно является новой универсальной постоянной, подобно числу 7Г или основанию натуральных логарифмов е.
ФРАКТАЛЬНАЯ ПРИРОДА ЛОГИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Формально не существует математической связи между хаотическими системами и фракталами. Тем не менее ее легко проследить пл графике возможных пепщний хаотической системы. Даже одномерная система, подобная логистическому уравнению, демонстрирует свою фрактальность.
На рис. 10.5 представлена бифуркационная диаграмма логистического уравнения. На график нанесены возможные величины х, соответствующие различным константам а. (Краткое описание бейсик-программы, выполняющей вычисления и рисование графика, дано в Приложении 1.) Из графика видно, что несмотря на хаотичность системы, имеет место определенная упорядоченность в ее возможных решениях. На нижни* уровнях а существуют единичные равновесные решения. ВиД' ны также точки бифуркаций и область хаоса между значениями а, равными 0.90 и 1.0. Но даже в хаотической области наблюдается некий порядок.
Фрактальная природа логистического уравнения
153
0.75	0.87 0.89 0.90	1-0 Я
Рис. 10.5. Логистическое уравнение: бифуркационная диаграмма; 0-75 < а < 1.00.
На рис. 10.6 показана бифуркационная диаграмма, в диапазоне а от 0.895 до 1 на графике с более высоким разрешением. На этом уровне детализации можно видеть, что хаотическая область не сплошь покрыта точками. Нечто вроде «горных хребтов» повисает вниз подобно вуалям. На них точки сгущается, в то же время их прорезают белые полосы, где, кажет-
154
Глава 10. Фракталы и хаос
0.895	го а
Рис. 10.6. Логистическое уравнение: бифуркационная диаграмма; хаотическая область; 0.895 < a < 1.000.
ся, порядок склонен вернуться в систему, и он действительно снова утверждает себя (а < 0.90).
Эти полосы интересны еще тем, что они иллюстрирую’1' фрактальную природу системы. На рис. 10.7 показана такая белая полоса с увеличением в диапазоне 0.955 < a < 0.966. В этой упорядоченной области мы видим миниатюрные версии целостной бифуркационной диаграммы. Если, в свою очередь,
Фрактальная природа логистического уравнения
155
0-955	0.965 Я
Рис. 10.7. Логистическое уравнение: бифуркационная диаграмма; полуустойчивое окно; 0.955 < a < 0.965.
Увеличить их, то в них обнаружатся еще меньшие участки, подобные целому, и так до бесконечности. Такого рода самоподобие и образует фрактал, — по определению, данному в гл. 5.
Бифуркационная диаграмма представляет множество воз-^ных решений уравнения. Все точки в хаотической области Мистически не равновероятны. Темные полосы и устойчи
156	Глава 10. Фракталы и хаос
вые в широком диапазоне решения указывают на изменчивость вероятностей при возрастании а. При каждом а в хаотической области имеется бесконечное количество решений, заключенных в конечном пространстве, как в игре хаоса. Теперь мы можем предположить, что фрактальная статистика рынков капитала, которую мы изучали в части 2, имеет причиной нелинейные динамические системы. Далее мы обратимся к их изучению.
ВЫВОДЫ
Я попытался нарисовать интуитивно улавливаемую связь между миром фракталов и областью нелинейных динамических систем. Высокоразмерные хаотические системы, которые мы будем обсуждать в части 3, имеют много общего с логистическим уравнением и они также связаны с фракталами.
нелинейная динамика
«Закон природы — хаос; порядок —лишь мечта».
Генри Адамс
Теория хаоса позволяет нам измерить динамику неопределенности и найти порядок в ее нерегулярности. Она захватывает воображение, показывая, каким сложным может быть поведение, заключенное в простых детерминистических уравнениях. Как упорядоченный процесс приводит к хаотическому результату? Хаос и порядок сосуществуют, но «мечта» Адамса, упомянутая в эпиграфе, осуществляется лишь отчасти. Несмотря на упорядоченность, хаотический процесс не может быть предсказан в долговременной перспективе. Предсказание действительно остается лишь человеческой мечтой. Теория хаоса показывает нам порядок в природе, но предупреждает о том, что мы живем рядом с неопределенностью.
В этой части мы рассмотрим нелинейные динамические системы. Мы узнаем, что они означают и как идентифицируются. Мы воочию увидим, что рынки капитала могут быть охарактеризованы как нелинейные Динамические системы во времени. Это спорный результат, но он провоцирует на размышления. Однако, если это действительно так, то теория рынков капитала становится основательной и глубокой.
8

Глава 11
Введение в нелинейные динамические системы
фракталы описывают действительность, и мы видели, что они описывают ее очень хорошо. Однако они не объясняют. В части 2 мы изучили результаты фрактальной статистики и постулировали причины отмеченных явлений. В части 3 мы будем искать ключ к разгадке истинной природы рынков капитала и того, что определяет колебания цен. Для этого мы привлечем математическую теорию нелинейных динамических систем, обычно именуемую теорией хаоса. Эти исследования насчитывают историю значительно более короткую, нежели фрактальный анализ, особенно в применении к экономической теории. Можно надеяться, что методы, представленные здесь, в сочетании с уже выполненными исследованиями приведут к созданию новых моделей рынков капитала.
Утверждение о том, что теория хаоса имеет короткую историю, не совсем верно. Теория хаоса берет свое начало от работ Анри Пуанкаре, опубликованных в конце девятнадцатого века. Экономическая теория и инвестиционный анализ лишь недавно обратили внимание на теорию хаоса. Применение этой теории приводит в определенной степени к парадоксальным результатам. В сущности, хаотические системы могут продуцировать неслучайные результаты, которые выглядят как случайные. Долговременное предсказание здесь невозможно. В результате «количественники» — приверженцы гипотезы эффективного рынка (ЕМН), и технические аналитики оказываются одинаково «правы». Теория хаоса говорит нам, что рынки не эффективны, но они и непредсказуемы.
И все-таки при ближайшем рассмотрении картина не выглядит столь унылой. Во-первых, знать правду, даже если та усложняет жизнь, лучше, чем довольствоваться удобной, н° лживой легендой. Кроме того, люди достаточно сообразительны. На протяжении всей истории мы были способны Упрощать сложные проблемы до такой степени, чтобы иметь возможность удовлетворять собственные нужды. Во всяком ('JIy’iae это относится к хаосу и рынкам капитала. Как было
160 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
сказано в гл. 1, теория хаоса утверждает, что жизнь сложна и полна возможностей. Мы не должны пасовать перед лицом сложности, и тогда хаос и сложность будут идти рука об руку.
В этой главе мы рассмотрим основы теории нелинейных динамических систем в том виде, как она применяется к системам, описываемым известными уравнениями. Это необходимо для того, чтобы ввести читателя в анализ реальных систем в гл. 12. В реальной жизни наши знания весьма ограничены. В этой главе мы рассмотрим концепции, необходимые для понимания динамических систем, в гл. 12 применим их к временным рядам, а в гл. 13 обсудим проблемы реального анализа временных рядов на рынках капитала.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изучение нелинейных динамических систем и теории сложности есть изучение турбулентности. Точнее, это изучение перехода от устойчивости к турбулентности. Такие переходы мы можем наблюдать повсюду вокруг нас. Мы видим их в струйке сигаретного дыма, которая дробится на вихри и рассеивается. Они случаются, когда мы добавляем сливки в кофе или кипятим воду для спагетти. Однако переходы такого рода — от устойчивости к турбулентному состоянию — не поддаются моделированию с помощью стандартной ньютоновской физики. Последняя может предсказать, где будет находиться Марс через триста лет, но не способна спрогнозировать погоду на послезавтра. Как это может быть?
Ньютоновская физика основана на линейных отношениях.
Это предполагает, что
— каждая причина имеет прямое следствие;
— все системы стремятся к равновесию;
— природа упорядочена.
Величайший символ ньютоновской физики — часы. Их части с высокой точностью подогнаны друг к другу с тем, чтобы в согласии вести к предсказуемому результату. Ньютоновская физика была основным достижением XVIII столетия, «Века разума», времени классицизма в искусстве, эры Моцарта я Гайдна. Симметрия и уравновешенность' определяли живопись, музыку, архитектуру и науку Века разума.
Ньютон дал нам огромное знание. Его физическая ?е0' рия и расчеты, которые он выполнил в целях ее обоснования! остаются одним из основных достижений человеческого Ума”
Определение динамических систем	161
С помощью математики мы, наконец, смогли понять, каким образом природа управляет телами и как взаимодействуют эти тела.
Это, однако, стало пределом. Ньютоновская физика могла объяснить, как взаимодействуют два тела, но неспособна предсказать взаимодействие трех тел. Этот недостаток обнаруживается, когда мы посылаем зонды к другим планетам. Когда зонд запущен, ученые устанавливают для него траекторию таким образом, чтобы она приводила его в назначенное место. Если цель —планета Марс, например, они не шлют зонд туда, где Марс находится в данный момент, но шлют туда, где он будет по предсказанию астрономов, использующих ньютоновскую физическую теорию. На этом пути зонда проводится ряд коррекций траектории. Почему? Если ньютоновская физика совершенна, то ее предсказания не нуждаются в коррекциях, разве что тех, которые обязаны вычислительным ошибкам. Но коррекции необходимы, потому что ньютоновская физика не может предсказывать абсолютно точно движение в системе, состоящей более чем из двух тел, а солнечная система как раз такова.
Проблема системы трех тел занимала ученых еще в XIX веке. В итоге Пуанкаре утверждал, что эта проблема не имеет единственного решения, поскольку системе присущи нелинейности. Пуанкаре (1908) объяснил, почему эти нелинейности так важны:
«Незначительная причина, укрывшаяся от нашего внимания, порождает значительный эффект, который мы не можем предвидеть, и тогда мы говорим, что этот эффект случаен может случиться так. что маленькая разница в пачалт. ных условиях продуцирует большое различие в конце явления. Малая ошибка на предшествующем этапе создает огромную ошибку впоследствии. Предсказание становится невозможным...»
Этот эффект называется теперь «чувствительная зависимость от начальных условий»; он стал важной характеристикой динамических систем. Динамическим системам присуща непредсказуемость в долговременной перспективе. -
Эта непредсказуемость обусловлена двумя причинами. Динамические системы являются системами с обратной связью, “ьтходные данные системы в преобразованном виде снова попадают на ее вход, и так до бесконечности. Системы с обратной связью очень похожи на сложные проценты, если не счи-
162 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
тать экспоненциального преобразования; они имеют показатель, больший единицы. Разность начальных величин возрастает по экспоненте. Мы увидим это позже на некоторых примерах.
Вторая характеристика сложных систем включает в себя концепцию критических уровней. Классический пример — «соломинка, переломившая верблюжью спину». Если на спину верблюда добавлять ношу, то в конце концов наступает момент, когда верблюд не может вынести большего веса. И тогда добавленная соломинка убивает его. Этот внезапный коллапс есть нелинейная реакция, поскольку не существует прямой связи между гибелью верблюда и этой соломинкой. Накопленный весовой эффект в итоге превосходит верблюжью выносливость (ее критический уровень) и приводит к коллапсу.
Описанная выше струйка сигаретного дыма также имеет критический уровень. В отсутствие сквозняка в комнате струя дыма от сигареты будет подниматься вверх, потом внезапно свернется в кольца и рассеется. Что случилось? Дым поднимается и ускоряется. Как только его скорость привысит критический уровень, столб дыма уже не может преодолевать плотность воздуха и рассеивается.
Динамическая система есть нелинейная система с обратной связью. Основные характеристики динамических систем включают в себя чувствительную зависимость от начальных условий, критические уровни и уже знакомые нам из части 2 фрактальные размерности. Важным моментом в понимании нелинейных динамических систем является их зрительное восприятие В исследовании хаг>ра визуальный анализ приобретает исключительное значение, — в некоторой степени это стало уже понятным при рассмотрении фракталов.
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
Визуальная оценка данных в нелинейных динамических системах важна потому, что они, как правило, не имеют единственного решения. Обычно существует множество — возможно, бесконечное количество — решений. Как и в реальной жизни, есть много возможностей. В прошлом это обстоятельство заставляло исследователей избегать рассмотрения нелинейных систем. Нынешние широкие графические возможности персональных компьютеров позволяют нам увидеть это
Фазовое пространство
163
огромное множество возможных решений. Многие хаотические системы имеют бесконечное количество решений, заключенных в ограниченной части пространства. Такого рода система тяготеет к определенной области пространства, и это множество возможных решений часто имеет фрактальную размерность. (Это самоподобие в игре хаоса Барнсли в гл. 5 осуществлено совершенно осознанно.)
Обозреть данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Если переменных две, то одну из них принимаем за х, другую за у и вычерчиваем зависимость в декартовых координатах, т. е. наносим величину одной из них относительно значения другой в один и тот же момент времени. Это называется фазовым портретом системы — он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Последний метод сложнее, но тем не менее осуществим.
Для нас важны три основных класса нелинейных систем. Каждый из них имеет свой собственный тип «аттрактора» (область решений) в фазовом пространстве.
Простейшим типом является точечный аттрактор. Пример системы с точечным аттрактором — маятник, задемпфи-рованный трением. Когда маятнику сообщается первоначальная энергия, он начинает раскачиваться, но ввиду трения амплитуда его колебаний становится все меньше и меньше, пока маятник совсем не остановится. Переменными в такой системе выступают скорость и положение. Если одну или другую из этих переменных вычертить как временной ряд, то результирующая волнистая линия будет постепенно уменьшать свою амплитуду до нуля — кривая становится прямой линией. Маятник останавливается. Это показано на рис. 11.16. Если фазовый портрет этой системы вычертить в координатах положение — скорость, то мы получим спиральную кривую, кото-Рая оканчивается в начале координат, когда маятник останавливается (см. рис. 11.1а). Если сообщить маятнику большую аачальную энергию, временной ряд и фазовый портрет системы будут обладать большей начальной амплитудой, но тем Не менее временной ряд придет к нулевому значению, а фазовый портрет — в начало координат. Можно сказать, что в этом
164 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
Рис. 11.1а. Точечный аттрактор. Фазовый портрет.
Рис. 11.16. Точечный аттрактор. Временной ряд.
Фазовое пространство
165
фазовом пространстве система «притягивается» к началу координат. Где бы ни брала свое начало система, она приходит к началу координат — своему равновесному состоянию.
Предположим, что маятник не демпфирован. Сообщим ему толчок такой силы чтобы забросить в ту же исходную точку качания. В соответствии с ньютоновской физикой в данном случае будет иметь место аттрактор маятника, не задемпфи-рованного трением или гравитацией. Временной ряд скорости или положения будет теперь синусоидой, как это показано на рис. 11.2а, а фазовый портрет — замкнутой окружностью (рис. 11.26). Радиус этой окружности будет зависеть от силы «толчка», сообщенного маятнику, но окружность останется окружностью. Этот тип аттрактора, называемый предельным циклом, характеризует регулярную периодическую систему, в том числе маятник с притоком энергии извне.
Классическая эконометрика рассматривает экономические системы как системы равновесные (с точечными аттракторами) или как периодически колеблющиеся около точки равновесия (с аттракторами типа предельный цикл). Однако эмпирически такой взгляд не подтверждается. Экономические
м
^Ис- 11.2а. Аттрактор — предельный цикл. Временной ряд.
166 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
Рис. 11.26. Аттрактор — предельный цикл. Фазовый портрет.
временные ряды характеризуются непериодическими циклами (т. е. не имеющими характеристической длины или временного масштаба). Такие непериодические циклы имеют место в нелинейных динамических системах.
Они доставляют нам последний тип аттрактора — хаотический, или «странный» аттрактор. Предположим, что мы случайным образом изменяем сообщаемую энергию, но время между толчками остается одинаковым. Влияние энергии будет теперь переменным и связано с силой предыдущего толчка, несмотря на то, что величины толчков относительно независимы. Поскольку мы сообщаем толчки энергии, случайные по своей силе, но через равные промежутки времени, положение и скорость маятника будут каждый раз отличаться. Если маятнику придать большую энергию первый раз, то во время второго толчка маятник может направляться уже вниз. Если этот второй толчок будет мал, то маятник может двигаться вверх, когда его настигнет третий толчок, который приведет к замедлению маятника. Несмотря на то, что мы продолжаем сообщать маятнику толчки энергии с регулярными интерва" лами, его фазовый портрет будет отличаться в каждом цикле-
Отображение Хенона
167
Цикл от вершины до вершины качания характеризует собой орбиту. Поскольку маятник всякий раз не может завершить цикл, его фазовый портрет будет состоять из орбит, которые никогда не будут одинаковыми и не будут периодическими. Такой фазовый портрет выглядит случайным и хаотическим, но он ограничен определенными пределами (максимальной амплитудой маятника) и всегда будет вращаться по часовой стрелке, хотя размеры орбит и время их прохождения будут разными. Это хаотический, или странный, «аттрактор». Поскольку хаотические аттракторы к тому же имеют фрактальную размерность (как мы увидим позже), Мандельброт называет их «фрактальные аттракторы» — это название лучше нежели «странные», но оно не привилось. Странный аттрактор заключает в себе все возможности. Равновесие становится областью в фазовом пространстве — ограниченной областью с бесконечным количеством решений, подобно тому как это имеет место в треугольнике Серпинского и снежинке Кох.
Такое фазовое пространство дает нам картину возможностей системы. Для систем, уравнения которых известны, сконструировать фазовое пространство несложно. Если же природа системы неизвестна, а наблюдается только некий эффект, то фазовое пространство может быть восстановлено по данным. (Мы отложим обсуждение этой возможности до гл. 12.) В следующем разделе мы рассмотрим низкоразмерные системы с известными уравнениями. Они позволят нам изучить характеристики этого типа уравнений, перед тем как обратиться к временным рядам.
ОТОБРАЖЕНИЕ ХЕНОНА
Аттрактор Хенона (Непоп, 1976) является хорошим примером Двумерного итеративного отображения. Его уравнения сами по себе просты:
xt+1 = 1 + у(-а*Х(, yt+1=b*xt. (11.1)
Когда а = +1.40 и Ъ = 0.30, мы получаем хаотическое движение. На рис. 11.3 величины х иу представлены как времен-ЙЬ1е ряды. Хаотичность движения в обоих рядах видна нево-°РУженным глазом. Фазовые портреты переменных показаны На рис. 11.4 . Эти структуры уже определенно не являются
168 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
Рис. 11.3. Аттрактор Хенона. Временные ряды по х и по у.
Рис. 11.4. Аттрактор Хенона. Фазовый портрет; а = —1.4, Ь — 0-^’
Отображение Хенона
169
случайными. Как и в игре хаоса, кажется, что точки вырисовываются случайным образом. Возникает определенный порядок, зависящий от начальной точки, но результат всегда один: аттрактор Хенона.
Данная система имеет две степени свободы: хну. Каждое значение х зависит от предшествующих значений х и у и каждое значание у соответственно от предшествующего х. Таким образом, значения всех переменных зависят от своих предшествующих значений. Временные ряды этих величин зависят от выбранных начальных условий. Однако не имеет значения, какая именно начальная величина использована (каким образом порождается временной ряд) — фазовый портрет всегда выглядит одинаково. Читатель может легко проверить это самостоятельно. С помощью электронной таблицы разностные уравнения легко исследуются как в одномерном, так и двумерном случае. Это можно проделать следующим образом:
1.	В ячейки Л1 и В1 поместить начальные величины х и у, выбранные в диапазоне значений от 0 до 1.
2.	В ячейку Л2 поместить следующее выражение:
1 + В1 - 1.4 * Л12.
3.	В ячейку В2 поместить выражение:
0.3 * Л1.
4.	Скопировать Л1 и В2 вниз на 300 строк или более (чем больше, тем лучше).
5.	Нарисовать диаграмму, используя значения в столбце Л в качрствр прррмгнпой г. а значения в столбце В как пере Менную у.
Вы получаете отображение Хенона. Измените начальные величины х и у в ячейках Л1 и В1. Выполнив те же действия, что и выше, вы заметите, как изменились все значения в столбцах, но фазовая диаграмма останется прежней. Не имеет значения, какие начальные величины (или «начальные Условия») будут выбраны —график всегда остается одинаковым. Система притягивается к этой форме, которая является ее странным аттрактором.
Создадим вторую систему Хенона в столбцах D и Е, ис-п°Льзуя начальные величины для х и у, на 0.01, отличающиеся от тех, что были в столбцах А и В. Представим величины в столбцах Л и D как линейные графики во времени.
170 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
Рис. 11.5. Аттрактор Хенона. Чувствительная зависимость от начальных условий.
На рис. 11.5 показано, как эти графики стартуют, тесно соприкасаясь друг с другом, но потом быстро расходятся. Перед нами чувствительная зависимость от начальных условий. Значения переменных х расходятся потому, что в уравнении для х значение т£ возводится в квадрат. Таким образом, начальные величины х в ячейках А1 и D1, несмотря на то, что они отличаются всего лишь на 0.01, будут расходиться при каждой итерации на 0.01 в квадрате и через обратную связь непосредственно отражаться на х и далее опосредованно, через каждые две итерации, - на у.
Если увеличить часть отображения Хенона (аттрактора то станет видно больше деталей; чем больше будет увеличение, тем больше обнаружится деталей. Это отображение, как и большинство хаотических аттракторов, является фракталом. Подсчет методом оконного скейлинга дает фрактальную размерность этого аттрактора, равную 1.26. Это больше, чем кривая и меньше, чем плоскость, — подобно временному ряДУ рыночных прибылей.
Отображение Хенона
171
Когда уравнения известны, можно выполнять численные эксперименты, как это было сделано выше со вторым столбцом чисел. Предположим, что мы хотим предсказать х на 30 итераций в будущее. Наша оценка текущих условий составляет около 0.01, поскольку на дисплее отображается только один десятичный знак. На рис. 11.5 показано, какова может быть ошибка предсказания, если оценка текущих условий немного отличается. Отклонение в точности предсказания может быть при этом весьма существенным. На рис. 11.5 начальные величины х и у составляют в действительности соответственно 0.11, 0.10, вместо 0.10, 0.10. После 30 итераций в результате этой десятипроцентной ошибки в оценке х предсказание составляет — 0.17, в то время как действительная величина равна 0.45. Небольшая ошибка в измерении текущих условий становится большой ошибкой в предсказании. (Сохраните эти данные в электронной таблице для использования в гл. 12.)
Численные эксперименты, подобные тому, что мы выполнили с уравнением Хенона, весьма поучительны. Они помогают нам почувствовать движение в нелинейных системах посредством такого эмпирического тестирования. Однако чистому математику это ничего не доказывает. Такого рода математический эксперимент не был бы им даже одобрен. Для чистого математика проблема является решенной только тогда, когда она решена для общего случая.
Многие нелинейные системы решены в классическом смысле (подобно тому как было доказано существование числа Фейгенбаума — см гл 10) но многие другие такого решения не имеют. Отображение Хенона остается «требующим доказательства». Для практиков, не требующих математического доказательства, численные эксперименты представляют собой «подручный» способ рассмотрения нелинейных систем, путь интуитивного постижения их, осознания Необходимости преодоления хаоса. Я призываю вас экспериментировать. Лабораторией хаоса становится компьютер. Изменяйте параметры и изучайте результаты. Создавайте свои собственные аттракторы. Современные компьютеры да-10т возможность видеть то, что Пуанкаре мог только вообразить.
172 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАДЕРЖКОЙ
Отображение Хенона может быть представлено как двумерная система в электронной таблице. Отображением, демон-стрирющим другой тип поведения, является так называемое логистическое уравнение с задержкой:
xt =	* (1 -X(t-2))	(11.2)
где xt — переменная, а — константа.
Логистическое уравнение с задержкой интересно тем, что демонстрирует поведение, именуемое бифуркацией Хопфа, т. е. переходом от точечного аттрактора к предельному циклу. В логистическом уравнении с задержкой текущая величина х зависит от двух предшествующих значений х, в то время как в простом логистическом уравнении она зависит только от одного предшествующего периода.
Выполним построение в электронной таблице, подобно тому, как это было сделано для аттрактора Хенона:
1.	В ячейку А1 поместить константу а. Начать с величины 1.50.
2.	В ячейки В1 и В2 поместить начальное значение х = 0.10.
3.	В ячейку ВЗ поместить следующее уравнение:
$А$1 * В2 * (1 — В1).
4.	Копировать ячейку ВЗ вниз на 300 или более строк.
5.	В ячейку С1 вставить «+В2» (величину в В2), с тем, чтобы стллбртт 67 стал столбтюм В сдвинутым на одно наблюдение. Копировать С1 вниз на то же количество строк, что содержится в столбце В.
6.	Построить график, взяв столбец В в качестве х, а столбец С в качестве у. Иметь дело с таким графиком предпочтительнее, чем с символами.
На графике вы увидите спиральную кривую с конечной точкой. Это классический точечный аттрактор. Если увеличивать константу (а) в ячейке А1, то эта спираль будет стаио-виться все шире и шире. Когда константа (а) превысит критическую величину, равную 2.58, график примет форму овала-Теперь аттрактором стал предельный цикл. Переход таког° рода называется бифуркацией Хопфа.
Показатели Ляпунова
173
УПРАВЛЯЮЩИЙ ПАРАМЕТР
Логистическое уравнение с задержкой является важным потому, что оно демонстрирует поведение нелинейной динамической системы в зависимости от управляющего параметра — константы (а). В наших компьютерных экспериментах мы задавали величину управляющего параметра постоянной, пока изучали поведение системы. В физических науках вполне возможно проведение таких управляемых экспериментов. Если управляющий параметр эквивалентен температуре, то температура поддерживается постоянной в процессе лабораторного наблюдения за поведением системы. В экономической теории и инвестиционных финансах мы не способны поддерживать постоянство управляющих параметров и проводить такого рода управляемые эксперименты. Если отношение роста к падению становится «накаленным», оно меняет ситуацию на рынке, но мы не можем экспериментировать с другими величинами отношений и при этом наблюдать измененное поведение. Мы можем только изучать исторические данные, относящиеся к периодам, когда управляющий параметр мог меняться ежемоментно. Следовательно, при изучении временных рядов данных в экономической теории и инвестиционных финансах мы должны ясно понимать, что эти данные могут заключать в себе все возможные состояния в смешении: точечные аттракторы, предельные циклы и странные аттракторы.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Мы отметили, что важной характеристикой хаотических сис-тем является «чувствительная зависимость от начальных Условий». Существуют два пути рассмотрения этой концепции. В первом случае придается особое значение трудности пРоблемы. Конструктору модели известны точные уравнения Движения, но соответствующая им точность предсказаний зависит от качества входов. И чем дальше мы продвигаемся, Тем менее точными становятся наши предсказания. Эта классическая проблема моделирования обусловлена природой нелинейных систем, склонной к росту ошибок. Такова «вперед Отрящая» интерпретация чувствительной зависимости от бальных условий.
174 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
Второй способ рассмотрения исходит из того, что сама система порождает случайности вследствие разнородности процессов, и по достижении определенной точки память о начальных условиях теряется. Это «назад смотрящая» интерпретация — когда мы зависим от местонахождения. Эволюционный процесс, однако, может быть настолько сложным ввиду усиления нелинейностей, что невозможно проследить его по шагам и «разделить системную смесь». В качестве метафоры такого рода поведения можно привести конфетный автомат. Он состоит из двух механических рычагов, которые, вращаясь в котле, перемешивают рабочую массу. Предположим что при этом на нее случайным образом падает капля краски. Эта капля будет растягиваться и образовывать складки до тех пор, пока эти борозды будут появляться в конфетной массе. Однако ввиду чувстивительной зависимости от начальных условий мы никогда не сможем вернуть смесь к начальному состоянию, так как не способны восстановить начальную каплю краски.
Таков исторический взгляд на чрезвычайную зависимость от начальных условий. Мы никогда не сможем размотать систему с достаточной точностью, чтобы найти исходную точку.
Эти два подхода могут быть объединены в единое целое. Когда мы зависим от местонахождения, точность наших предсказаний зависит от того, насколько хорошо мы понимаем, где находимся. То или иное событие может неопределенным образом влиять на будущее, при том что система способна помнить это событие только на конечном отрезке времени.
Степень зависимости системы от начальных условий может быть измерена ттосрепством чисел, называемых показателями Ляпунова; они являются мерой того, насколько быстро близкие орбиты разбегаются в фазовом пространстве. Существует по одному показателю Ляпунова для каждой размерности фазового пространства.
Положительный показатель Ляпунова измеряет растяжение фазового пространства, т. е. то, насколько быстро расходятся близлежащие точки. Отрицательный показатель Ляпунова измеряет сжатие — то, как долго система восстанавливает себя после испытанного возмущения. Вообразим себе недемпфированный маятник, расположенный на столе и совершающий регулярные качания. Удар по столу выбьет маятник из ритма. Однако, если не будет других возмущений, маятник войдет в свой ритм с новой амплитудой. В фазовом
Показатели Ляпунова
175
пространстве орбита маятника характеризуется замкнутым, или предельным, циклом. Если бы мы записали воздействие при ударе по столу, мы смогли бы увидеть расхождение орбит в широком диапазоне перед тем как устанавливается новый предельный цикл. Отрицательный показатель Ляпунова измеряет количество орбит, или время, необходимое фазовой кривой для возврата на ее аттрактор, который в данном случае есть предельный цикл.
Показатели Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы. Точечные аттракторы всегда конвергируют к фиксированной точке. Следовательно, трехмерный точечный аттрактор характеризуется тремя отрицательными показателями Ляпунова	Все три размерности сжимаются в
фиксированную точку.
Трехмерные предельные циклы имеют два отрицательных показателя и один равный нулю (0, —, —Предельные циклы
имеют две размерности, которые конвергируют одна в другую, и одну размерность, в которой не происходит изменений в относительных положениях точек. Это порождает замкнутые орбиты.
Наконец, трехмерные странные аттракторы имеют один положительный показатель, один отрицательный и один равный нулю (+, 0, —). Положительный показатель указывает на чувствительную зависимость от начальных условий, или тен
денцию при малых изменениях начальных условий сильно изменять будущее поведение. Отрицательный показатель заставляет дивергирующие точки оставаться в области аттрактора. В случае странного аттрактора равновесие определяется
тем. как далеко motvt пивергировать значения, прежде чем вернуться к умеренным пределам. Одно из возможных объяснений странного аттрактора на рынках капитала, например, состоит в том, что напряжение порождается психологическими или техническими факторами, но истинная стоимость воз-вРащает цены в разумный диапазон.
Мы измеряем показатели Ляпунова в фазовом пространстве посредством измерения того, как величина сферы изменяется во времени. Если мы начинаем двигаться в трехмерном Фазовом пространстве, то сфера, заключающая в себе близ-нсжащие точки ненамного отличающихся начальных условий, с° временем становится эллипсоидом. По прошествии доста-т°яно продолжительного времени он будет растягиваться и °бразовывать складки —так сильно, что его можно принять
176 Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы
за чью-нибудь тонкую кишку. Экспоненциальная скорость роста объема сферы является мерой показателя Ляпунова. Формальное уравнение для г-го показателя Ляпунова (L^) для г-ой размерности (pi(t)) можно записать так:
Lr = Limt-KxXl/^loga
PittyJ
(И-З)
Продольный размер этой сферы растет со скоростью 2Llt.
Площадь первых двух размерностей растет соответственно со скоростью 2^£'1+£'2^. Объем трехмерной сферы увеличивается со скоростью 2(Ь1+/,2+ь3)4 Для более высоких размерностей выражение для роста записывается аналогичным образом.
Уолф и др. (Wolf, et al., 1985) опубликовали на Фортране программу расчета всего спектра показателей Ляпунова для случая, когда известны уравнения движения. С помощью этой программы были найдены показатели Ляпунова для аттрактора Хенона: 0.42, —1.6 бит на итерацию при а = —1.4, b = 0.30.
Этот результат означает, что мы теряем 0.42 бита предсказательной мощности при каждой итерации. Следовательно, если мы измеряем текущие условия с точностью до 2 битов, то потеряем всю предсказательную мощность при движении во времени за 4.8 итерации (4.8 = 2/0.42).
Что мы понимаем под «битами информации»? Показатели Ляпунова были изначально предназначены для теории ин-фпрлтятпти Шеннона О 96.3'1 Теория информации использовалась для измерения эффективности компьютеров. Поскольку большинство компьютеров — цифровые, вводимые данные записываются и хранятся в памяти в бинарном формате (в виде нулей и единиц). Эти бинарные цифры называются битами. Именно ввиду их бинарности уравнение (11.3) использует логарифм по основанию 2, а не натуральный. Шеннон развил теорию связи для измерения неопределености получения корректного сообщения. Он использовал термодинамическую концепцию энтропии и измерял энтропию в битах. Чем больше битов информации поступает в систему, тем выше энтропия, или неопределенность системы. Я предпочитаю ис-пользовать не энтропию, а предсказательную способность" она более релевантна при анализе рынков капитала.
Показатели Ляпунова
177
«Биты точности» являются мерой нашего знания о текущих условиях. Предположим, что наибольший положительный показатель Ляпунова был 0.05 бит в день (во временных рядах мы используем «биты/день» или «биты/месяц» чаще, чем «биты/итерация» или «биты/орбита»). Это означает, что мы теряем 0.05 бит предсказательной мощности ежедневно при движении вперед. Следовательно, если мы можем измерить текущие условия с точностью до одного бита, то эта информация станет бесполезной после 1/0.05, или 20 дней. Если бы мы знали точно, какой собирается быть прибыль сегодняшнего фондового рынка, мы имели бы 0% точности предсказания прибыли через 20 дней. С другой стороны, воздействие одного бита информации диссипирует через 20 дней, и система далее не помнит его.
Известно, что наибольшие показатели Ляпунова говорят нам о том, насколько относительны наши предсказания на будущий период времени. Можно оценить надежность только такой системы, уравнения движения которой известны. Но в реальной жизни мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на уравнения движения.
В следующей главе мы применим эти идеи о конструкции и анализе фазового пространства к временным рядам.
Глава 12
Динамический анализ временных рядов
Техника, описанная в гл. 11, полезна в тех случаях, когда известны уравнения движения. Однако, на практике нам редко бывают известны все релевантные переменные системы, не говоря уже об уравнениях движения. Мы можем постулировать модели и пользоваться аналитическими методами, описанными в гл. 11, для изучения различных эффектов, но большинство данных при этом порождается используемыми уравнениями. Эти методы, применимые к известным уравнениям, не очень полезны для определения того, действительно ли реальная система хаотична, или нелинейна. Тем не менее они являются исходной точкой.
Такого рода анализ систем известных уравнений — это чисто математический эксперимент. Поскольку такие системы не содержат помех, свойственных реальной жизни, мы имеем возможность изучать обратные связи, критические уровни и бифуркации. Среди критериев науки о хаосе эти системы наиболее близки к чистым формам, которые были столь дороги древним грекам.
Эмпирический анализ никогда не бывает совершенным — он всегда содержит нечеткости. Аккуратные, упорядоченные странные аттракторы теории редко встречаются в реальной жизни. Тем не менее мы можем установить факт, что перед нами нелинейная динамическая система. Если же мы приходим к такому выводу, то можем создать модели из уравнений с целью установления закономерностей движения. Доказательство нелинейности системы — дело нелегкое, но осуществимое. Оно требует терпения и готовности к проверке различных идей, какими бы странными они ни казались.
Эмпирические исследования требуют численных экспериментов. Реальность редко согласуется с теорией.
vfill
Восстановление фазового пространства	179
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
в главе 11 фазовое пространство системы было исходным началом для всех измерений. Чтобы сконструировать истинное фазовое пространство, необходимо знать все переменные, релевантные системе. В реальной жизни мы обычно начинаем с одной известной динамической переменной.
Паккард и др. (Packard et al., 1980) обрисовали простой метод, развитый Дэвидом Рюэлем для восстановления фазового пространства по одной динамической переменной. Этот метод наполняет другие размерности посредством запаздывающих значений одной наблюдаемой переменной. Предположим, что временной ряд А из таблицы 12.1 есть исходный временной ряд. Временной ряд В есть та же реализация с отставанием на один период и временной ряд С — она же с отставанием на два периода.
Таблица 12.1. Восстановление фазового пространства со сдвигом величин.
А	в	с
10	5	14
5	14	21
14	21	2
•	•	•
•	•	•
•	•	•
Паккард дает математическое объяснение. Я это сделаю на интуитивном уровне. Нелинейные динамические системы являются внутренне зависимыми симультантными системами. Текущие величины каждой переменной есть трансформации прошлых величин. Напомним уравнения (11.1) для отображения Хенона:
Х(+1 = l + Yt-a*X?, Yt^=b*Xt
Как Х(+1, так и Y^i содержат в себе предыдущие величи-HbI X и У. Показатель степени делает систему нелинейной, а сиМультантная природа уравнений делает ее динамической.
Рассмотрим электронную таблицу, созданную в гл. 11 для аттрактора Хенона. (Если вы ее стерли — восстановите.) В
180
Глава 12. Динамический анализ временных рядов
Рис. 12.1. Аттрактор Хенона. Восстановленный фазовый портрет посредством сдвига X на одну итерацию.
столбец С поместим величины X, сдвинутые на одну итерацию (в ячейку С1 поместим величину из ячейки А2), и копируем их вниз до конца столбца А. Величины в столбцах В и С будут различны. На графике аттрактора Хенона в координатах X, Y поменяем местами столбец В со столбцом С, содержащим величины Y точечного графика. Как показано на рис. 12.1, результат этой операции есть копия отображения Хенона, повернутая на 90°. Если вам даны только величины в столбце А без указания уравнений (11.1) или того, что это именно отображение Хенона, вы все равно сможете получить аттрактор Хенона. Рюэль доказал математически, что такое восстановленное фазовое пространство имеет такую же фрактальную размерность и спектр показателей Ляпунова, как и «настоящее» фазовое пространство двух переменных. Восстановленное фазовое пространство может быть рассчитано про" сто по наблюдениям, в отсутствие уравнений движения.
Мы узнали, что аттрактор Хенона является двумерный поскольку нам были известны уравнения движения. Име8 одни только наблюдения и кроме них никакой информации’
Восстановление фазового пространства	181
мы намного более ограниченны. Как можно заранее узнать, сколько размерностей надо использовать? Это невозможно. Как можно установить подходящий временной лаг? Непонятно. Мы должны провести эксперименты, зафиксировать данные и восстановить фазовое пространство.
Прежде всего, размерность аттрактора не изменяется, так как мы помещаем его в размерность более высокую, чем его собственная. Плоскость, выстроенная в трехмерном пространстве, остается двумерным объектом. Линия, выстроенная в двумерном или трехмерном пространстве, остается одномерной. Аттрактор, если мы действительно имеем дело с нелинейной динамической системой, сохраняет свою размерность при увеличении размерности вложения сверх фрактальной размерности. Почему? Потому что его точки коррелируют и остаются сгруппированными вместе безотносительно к размерности. Применительно к действительно случайному блужданию точки не коррелируют и заполняют любое пространство вложения, поскольку они перемещаются случайным образом.
Взглянем на случайный временной ряд как на газ и на коррелированный временной ряд как на твердое тело. Газ, помещенный в замкнутое пространство, растекается до тех пор, пока не заполнит весь объем. Отдельные молекулы в газе не связаны, они свободно перемещаются в пространстве. Положения молекул в твердом теле фиксированны, или скоррели-рованны, занимаемый ими объем не изменяется. Подобным же образом случайный временной ряд заполняет размерность вложения, так как его точки не скоррелированны. Ряд с долговременными корреляциями связан в единое целое подобно тверлому телу и будет сохранять свою форму независимг» от того, в пространство какой размерности он будет помещен, поскольку размерность вложения выше размерности ряда.
Поскольку мы восстанавливаем аттрактор в пространстве Размерности более высокой, чем «истинная» размерность аттрактора, проблем с размерностью не возникает.
Подходящий временной лаг также представляет собой относительно простую проблему. Уолф и др. (Wolf et all., 1985) нащлл, что хорошая оценка может быть получена из соотношения:
т * t = Q,	(12.1)
где т — размерность вложения, t — временной лаг, Q — значение орбитального периода.
182 Глава 12. Динамический анализ временных рядов
Временной лаг есть отношение значения орбитального периода к размерности вложения, или процент орбиты внутри каждой размерности. Это отношение обеспечивает неизменность орбитального периода в высшей размерности. Например, если период составляет 48 итераций, то в двумерном пространстве было бы использовано 24 итерации с двухточечным лагом, а в трехмерном пространстве — 16 наблюдений с трехточечным лагом. В каждом случае для анализа используется одна 48-месячная орбита, при этом однажды пересекаются все размерности реконструированного пространства.
Следующий вопрос: как мы можем узнать значение орбитального периода? Методом нормированного размаха (R/S-анализ) было показано в части 2, как оценить период временного ряда в качестве величины времени, по достижении которого наблюдения становятся некоррелированы. Если значение орбитального периода не обнаруживается легко с помощью R/S'-анализа, мы не имеем, по всей вероятности, достаточно данных.
Восстановление фазового пространства становится относительно легким. Важно помнить, однако, что приведенное выше правило есть «правило большого пальца», но отнюдь не закон. В экспериментах можно попытаться изменять это правило, наблюдая что происходит. Используя восстановленное фазовое пространство, мы можем вычислить фрактальную размерность и измерить чувствительность зависимости от начальных условий.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Фрактальная размерность фазового пространства мало отличается от фрактальной размерности временного ряда. Временной ряд будет иметь размерность между 1 и 2, поскольку мы имеем дело с единственной переменной. Фазовое пространство включает в себя все переменные системы. Его размерность зависит от сложности изучаемой системы.
Как было установлено в гл. 6, фрактальная размерность дает нам важную информацию относительно изучаемой системы. Целое число, непосредственно следующее за числом фрактальной размерности, говорит о минимальном количестве переменных, необходимых для моделирования динамики системы. Оно задает нижнюю границу возможного количества степеней свободы. Мы также установили, что фракталь-
Фрактальная размерность
183
яая размерность D может быть аппроксимирована покрытием фрактала кругами и выводом следующей меры:
т) = ioSN
1оё(1/Л) ’
где N — количество кругов диаметра R,
Эта мера используется для фракталов в двумерном пространстве, подобных снежинке Кох. Для высокоразмерного аттрактора необходимо использовать гиперсферы размерностью 3 и выше.
Похожим, но более практичным методом, разработанным Грассбергером и Прокаччей (Grassberger, Procaccia, 1983), является нахождение корреляционной размерности, которая использует корреляционный интеграл Cm(R). Он представляет собой вероятность того, что две точки на аттракторе лежат в пределах расстояния R одна от другой.
Мы подсчитываем количество пар точек следующим образом. Во-первых, восстанавливаем наш временной ряд как фазовое пространство, начиная с нижней размерности вложения тп = 2, как это было показано в предыдущем разделе. Затем, начиная с малого расстояния R, подсчитываем для него корреляционный интеграл Cm(R) в соответствии со следующим соотношением:
N
Cm(R) = (1/№) * £ Z(R-\Xi-Xj\),	(12.2)
где Z(x) = 1, если R— |Xj —Х/| > 0, и равно 0 в противном слу-чйь ;у — количество наблюдений. R — расстояние. С1П — корреляционный интеграл для размерности т. Z (х) называется функцией Хевисайда, так как она равна 0, если расстояние между двумя точками X, и Xj меньше R, и равна 1, если это расстояние большее. Корреляционный интеграл есть вероятность того, что две точки, выбранные случайным образом, Удалены друг от друга меньше, чем на расстояние R. Если мы увеличиваем R, то Ст должно увеличиваться со скоростью Rd. Это дает следующее соотношение:
Cm = RD
Или
log((7m) = D * log(7?) 4- const.	(12.3)
184 Глава 12. Динамический анализ временных рядов
Для размерности т мы можем вычислять Ст при увеличении R. Находя наклон прямой на графике линейной регрессии в двойных логарифмических координатах log((7m), log(H), мы можем оценить корреляционную размерность D для размерности вложения т. При увеличении т, размерность D будет в конце концов сходиться к своей истинной величине. По причинам, установленным выше, тот же результат имеет место, если размерность вложения становится больше, чем фрактальная размерность. Обычно сходимость наблюдается, когда размерность вложения на три или более целых чисел выше фрактальной размерности. Фрактал, вложенный в более высокую размерность, сохраняет свою истинную размерность по причине корреляций между точками. Таким образом, корреляционная размерность Грассбергера и Прокаччи является хорошей оценкой для фрактальной размерности. Эти две размерности, как показали названные авторы, прямо соотносятся друг с другом.
В Приложении 4 приведено описание бейсик-программы для расчета корреляционных интегралов по временным рядам. Ввиду того, что должны рассчитываться относительные расстояния между всеми точками ряда, эта программа рабо-
Рис. 12.2. Корреляционный интеграл: аттрактор Хенона; оценка фрактальной размерности 1.25.
Показатели Ляпунова
185
тает сравнительно медленно—но она работает. На рис. 12.2 показаны корреляционные интегралы для аттрактора Хенона, полученные с использованием восстановленного фазового пространства по одной переменной способом, рассмотренным выше. График представляет собой зависимость Ст от й в двойных логарифмических координатах для размерности вложения, равной 3. Регрессия представляет собой прямую линию. Оценка D составляет 1.25 против 1.26, полученной при измерении методом оконного скейлинга. Метод Грассберге-ра и Прокаччи предлагает надежный, относительно простой способ оценки фрактальной размерности в том случае, когда наблюдается только одна динамическая переменная. Этот метод требует обработки большого количества данных и соответственно много машинного времени, однако его результаты отличаются надежностью.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Мы не можем рассчитать полный спектр показателей Ляпунова, поскольку нам неизвестны уравнения движения. Однако Уолфом и др. (Wolf et all., 1985) был разработан метод для расчета наибольшего показателя Ляпунова L\ по экспериментальным данным. Показатель Z>i, больший 0, свидетельствует о том, что имеется чувствительная зависимость от начальных условий и что в системе существует странный аттрактор. С помощью этого метода измеряется разбегание близлежащих точек в восстановленном фазовом пространстве и указывается, как изменяется скорость разбегания за пределами фиксированных ИНТРрва ПОП npPMPWH
Сначала выбираются две точки, отстоящие одна от другой по крайней мере на один орбитальный период. После установленного интервала времени («эволюционного периода») измеряется расстояние между этими двумя точками. Если расстояние становится слишком большим, ищется точка замены с той же угловой ориентацией движения, что и у исходной точки. Относительная угловая ориентация новой пары точек Должна быть по возможности ближе к ориентации пары исходной.
Точка замены является необходимой, так как мы измеряем только растяжение, или разбегание в фазовом пространстве. Если эти точки отстоят слишком далеко, они сложатся одна в Другую, что будет мерой конвергенции. Конвергенция не
Рис. 12.3. Схематическое представление алгоритма Уолфа для оценки наибольшего показателя Ляпунова по временному ряду (воспроизведено с разрешения Financial Analysts Journal).
есть часть L\. На рис. 12.3 схематически представлен этот алгоритм. Формально он записывается следующим образом:
j=l \ мч) /
Теоретически при бесконечном количестве незашумленных данных уравнение (12.4) эквивалентно уравнению (11.3). В реальности мы должны иметь дело с ограниченным количеством зашумленных данных — это означает, что размерность вложения т, временной лаг t и допустимые максимальное и минимальные дистанции между точками должны выбираться с осмотрительностью.
К счастью, Уолф дал несколько «правил большого пальца» для обработки экспериментальных данных. Во-первых, размерность вложстптя должна быть больше, чем у ф'’?г>яо-го пространства аттрактора — это не является неожиданным, учитывая вышеизложенное относительно фрактальных размерностей. Что ново, однако, так это то, что размерность вложения должна быть больше, чем следующее ближайшее целое число, поскольку грубая поверхность часто выглядит более гладкой в более высокой размерности. Эта размерность, однако, не должна быть слишком высокой, ибо данные становятся слишком редкими, когда мы восстанавливаем фазовое пространство. В результате оказывается слишком мало кандидатур на точки замены.
Временной лаг может быть рассчитан по соотношению (12.1). Уолф с соавторами установили, что эволюция длины не должна превышать 10% длины аттрактора в фазовом пр0'
Показатели Ляпунова
187
странстве. В сущности максимальная длина не должна превышать 10% разности между максимальной и минимальной величинами временного ряда. Уолф с соавторами пришли к этому числу экспериментально, так как логика, стоящая за этими рассуждениями, по-видимому, не поддается точному количественному анализу. В целом же, на мой взгляд, это вполне работоспособное правило. Временная эволюция должна быть достаточно долгой для того, чтобы измерить растяжение, но не складывание. И здесь нет правила — просто чем короче, тем лучше. Здесь должен быть соблюден компромисс: хотя короткие периоды эволюции требуют больше вычислений, при этом имеет место меньше точечных замен, и в результате сходимость более устойчива.
После завершения вычислений по длинному временному ряду получается устойчивая величина L\. Если нет устойчивой сходимости, это означает, что параметры выбраны неверно, или недостает циклов данных для анализа, или система в действительности не является нелинейной.
Требования к данным, обусловленные использованием алгоритма Уолфа, варьируют в зависимости от сложности системы. Как минимум, нам нужно 10° точек и 1(ФО_1) орбитальных периодов. Поэтому, если размерность аттрактора равна 2, необходимо 100 точек данных; если же размерность равна 6, то требуется один миллион точек. Определение размерности является решающим условием, если предпринимается попытка расчета показателя Ляпунова.
В Приложении 5 описана бейсик-программа для расчета показателя L\ по данным временного ряда.
Ня рис 12.4 показана сходимость показателя L-. к зпаче нию 0.45 для аттрактора Хенона, который при использовании Уравнений движения проявил спектр показателей Ляпунова в Диапазоне 0.4 —1.6.
В заключение следует сказать о природе «экспериментальных данных» в теории инвестиций, экономической теории и Физических науках. В физических науках экспериментальные Данные получаются из управляемого эксперимента. В задаче Конвекции жидкости, например, данные собирают только тог-когда температура достаточно высока для индуцирования тУрбулентности. Эти данные анализируют с целью установления того, является ли турбулентность действительно хаотической, со странным аттрактором или просто случайной.
188
Глава 12. Динамический анализ временных рядов
Время эволюции
Рис. 12.4. Сходимость наибольшего показателя Ляпунова: аттрактор Хенона, оценка Li = 0.45.
В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, устойчивые и турбулентные состояния смешиваются. Для ученых такая ситуация могла бы быть сравнима с температурой жидкости, выходящей в эксперименте из-под контроля. Ученый мог бы измерять состояния, где жидкость закипает или кипит при уровне нагрева, изменяющемся случайным образом.
Наибольший показатель Ляпунова, вычисленный для экономического временного ряда, будет всегда ниже, те.м турбулентная величина, потому что данные всегда будут включать фазы случайных блужданий и хаотических режимов. Положительная величина показателя Li является симптоматикой хаотической системы, но при использовании экономических данных мы можем вычислять среднее разбегание, которое будет понижать эту величину. Действительная величина может быть никогда не достигнута.
Такой возможности не будет, если рынок всегда находится в критическом состоянии или далек от равновесия. Однако защиты от таких состояний не существует, и это входит в противоречие с гипотезой когерентного рынка, к которой мь1 обратимся в гл. 14.
Глава 13
Динамический анализ рынков капитала
3 этой главе мы продемонстрируем результаты применения методов, описанных в гл. 12, к некоторым рынкам капитала. Данная методология, еще оставаясь в младенчестве, по-новому осветила функционирование рынков капитала, однако не создала еще возможности предсказаний. Есть надежда, что ввиду лучшего понимания динамической природы рынков капитала будет развиваться новая их теория. В гл. 14 мы изучим два новых подхода, используемых для иллюстрации того, что практический анализ рынка возможен уже на этой ранней стадии. Перед тем как мы разовьем эти новые подходы, мы изучим подробнее признаки того, что рынки являются нелинейными динамическими системами. В сочетании с результатами R/S'-анализа, описанного в гл. 9, эти данные создают убедительную картину того, что рынки капитала являются нелинейными динамическими системами.
УДАЛЕНИЕ ТРЕНДОВ ИЗ ДАННЫХ
В количественном анализе рынков капитала мы всегда используем прибыли; это значит, что мы используем процент изменения в ценах вместо самих цен. Цены не подходят для линейной регрессии, поскольку они последовательно коррелиро-ваны. Каждая цена соотносится с ценой предшествующей — в нарушение предположений, необходимых для использования гауссовского линейного анализа. Мы пытаемся предсказывать прибыли, но мы не должны забывать, что объективно это есть предсказание поведения цен. Прибыли просто-напросто делают данные подходящими для линейного анализа и сопутствующих требований о независимости этих данных.
Процентное изменение не может быть пригодным временным рядом для нелинейного динамического анализа системы. Оно отбеливает данные путем исключения последовательной Зависимости, которая может проявляться в шуме нелинейной зависимой структуры. Когда ученые изучают турбулентность
190 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
в естественных системах, фазовое пространство состоит из наблюдаемых данных, а не из скоростей изменения переменных Финансы и экономическая теория имеют давнюю традицию использования прибылей. В изучении рынков как нелинейных динамических систем нам необходимы новые стандарты Прибыли не являются подходящей трансформацией цен при исследовании нелинейных динамических систем.
Предшествующее изучение рынка обыкновенных акций как нелинейной динамической системы было сосредоточено на прибылях. Результаты не были обнадеживающими. Шей-нкман и ЛеБарон (Scheincman, LeBaron, 1986) нашли изящную совокупность доказательств нелинейности динамической структуры, включая положительный показатель Ляпунова и фрактальную размерность. Однако они обнаружили, что их ряд дневных прибылей, состоящий из 5000 наблюдений, имеет фрактальную размерность между 5 и 6. Эта фрактальная размерность выглядит обескураживающей, потому что она подразумевает динамическую систему с шестью переменными. Такую систему практически невозможно описать или смоделировать ввиду ее чрезвычайной сложности. Это исследование похвально, тем не менее его результаты остаются под вопросом, так как использование 5000 дневных прибылей не является адекватным самому методу. Как было сказано в гл. 12, потребовалось бы минимум десять миллионов точек данных для системы с фрактальной размерностью такой величины. В сочетании с размерностью вложения, которая была использована Шейнкманом и ЛеБароном для восстановления фазового пространства (т — 14), это множество данных спитпклм разрржрно для того чтобы чать нядржный результат. К тому же, R/S'-анализ показал, что значение орбитального периода для американского рынка обыкновенных акций составляет четыре года. Это означает, что для такого анализа были бы необходимы 10 орбитальных периодов, или данные за 40 лет (примерно 10000 дневных прибылей). Названные авторы показали, что использование прибылей радикально осложняет проблему и что альтернативой должен быть анализ, не использующий процентов изменений. По аналогии с естественными науками выглядит разумным использование реальных объектов изучения, а именно цен.
Использование цен влечет за собой разнообразные проблемы. Величина активов растет вместе с экономикой и подвер' жена инфляции. Цены растут просто по причине одной лиШ1,
Удаление трендов из данных
191
инфляции, даже если нет реальных перспектив их роста. Цены могут расти бесконечно. Фазовое пространство номинальных цен (т. е. цен без поправок на инфляцию) будет просто взлетающей спиралью. Анализировать такой временной ряд было бы бесполезным занятием.
Следовательно, мы должны детрендировать цены к экономическому росту, поскольку нас интересует именно движение цен, а не их инфляционный рост. Чен (Chen, 1988) детренди-ровал денежную массу посредством исключения внутренней скорости ее роста. Он нашел, что денежное предложение, измеряемое экономическим индексом Дивижи (Индекс денежного предложения, публикуемый американским федеральным резервным банком) имеет странный аттрактор с фрактальной размерностью 1.24 и длиной цикла в 42 месяца. Эта длина цикла подобна циклу казначейских облигаций, который мы нашли в гл. 9, используя R/S-анализ. Чен детрендирует цены по формуле:
Si = loge(Pj) — (а * i + const.),	(13.1)
где Si - детрендированный ряд цен, Р, — исходный ряд цен, г — номер наблюдения.
Посредством регрессии логарифма цены на время и вычитания этих двух рядов мы получаем новый ряд с исключенным трендом экспоненциального роста во времени.
Этот метод привлекателен, однако он предполагает, что экономический рост происходит с постоянной скоростью. Поскольку мы знаем, что это не так, было бы предпочтительным исключить тренд посредством переменной, более непосредственно относящейся к экономическому росту.
Предпочтительной переменной был бы совокупный национальный доход (GNP), но эти данные имеются только поквартально. Нам необходим ряд по меньшей мере месячных Данных. Альтернативой могло бы быть измерение инфляции, Поскольку активы растут вместе с инфляцией. Посредством вычитания инфляции мы можем получить ряд реальных цен и попытаться смоделировать их движение.
Мы можем привести уравнение (13.1) к следующей инфляционно скорректированной форме:
Si = loge(P) — (а * loge((7PI) + const.), (13.2) гДе CPI — индекс цен на потребительские товары. В Соединенных Штатах информация о потребительских ценах фик-
192
Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Рис. 13.1а. Временной ряд индекса S&P 500, детрендированного индексом CPI: январь 1950 — июль 1989 гг. (Воспроизведено с разрешения Financial Analysts Journal.)
Рис. 13.16. Двумерный фазовый портрет индекса S&P 500, детреЯ дированного индексом CPI: январь 1950 —июль 1989 гг. (Воспр°и3 ведено с разрешения Financial Analysts Journal.)
Удаление трендов из данных
193
сируется в течение многих лет. В других странах это не так. Поэтому мы будем использовать уравнение (13.2), когда данные об инфляции доступны, и уравнение (13.1) в противном случае.
Детрендированные данные S&P 500 с января 1950 по июль 1989 гг. показаны на рис. 13.1а. Этот ряд имеет волнообразный характер. В ценах проявляется периодичность, когда они остаются высокими, инфляционно скорректированными или низкими. Двумерное фазовое пространство показано на рис. 13.16. Временной лаг —15 месяцев. При вычерчивании графика движение идет по часовой стрелке, подобно спиральному хаосу. Траектория делится на (или имеет) две доли. Одна заключена во втором квадранте и содержит периоды, когда рыночные цены ниже, чем их инфляционно скорректированные величины. Вторая доля заключена в четвертом квадранте и соответствует низкоинфляционному тренду. Эти две области связаны рукавом, который отражает переход из одной доли в другую. На рис. 13.1в представлено трехмерное фазовое пространство с временным лагом 16 месяцев. Основ-
х = месяц (t) у = месяц(1+16) z = месяц (t+32)
^Ис-13.1в. Трехмерный фазовый портрет индекса S&P 500, детрен-^ированного индексом CPI: январь 1950 — июль 1989 гг.

194 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
ная структура сохраняется — два бассейна притяжения, связанные рукавом.
На рис. 13.2-13.4 продолжен такого рода анализ в отношении британского, германского и японского рынков с исключением трендов — корректировкой на экономический рост (показатели инфляции недоступны). Был использован индекс международного капитала Моргана—Стенли (MSCI) за период с января 1959 по февраль 1990 гг. в собственной валюте. Каждая страна обладает собственной динамикой, графики вычерчиваются по часовой стрелке. Британский рынок был под влиянием большого падения в начале 1970-х годов, когда британская экономика переживала спад и фунт стерлингов потерял свои позиции. Вне этого периода британский рынок претерпевал колебания относительно своей внутренней скорости роста. Германский рынок демонстрирует замечательную стабильность на протяжении всего периода.
Японский рынок имеет периоды устойчивого роста, следующие за ускоренным возрастанием стоимости запасов и по-
Рис. 13.2а. Временной ряд индекса MSCI английских обыкновея-ных акций. Логарифмически-линейное детрендирование: январь 1959 —февраль 1990 гг.
Удаление трендов из данных
195
Рис. 13.26. Двумерный фазовый портрет индекса MSCI английских обыкновенных акций, январь 1959 — февраль 1990 гг. Логарифмически-линейное детрендирование.
13.3а. Временной ряд индекса MSCI немецких обыкновенных ^Ций. Логарифмически-линейное детрендирование, январь 1959 — Февраль 1990 гг.
196
Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Рис. 13.36. Двумерный фазовый портрет индекса MSCI немецких обыкновенных акций. Логарифмически-линейное детрендирование, январь 1959 —февраль 1990 гг.
Рис. 13.4а. Временной ряд индекса MSCI японских обыкновенны* акций. Логарифмически-линейное детрендирование, январь 1959' февраль 1990 гг.
Фрактальные размерности
197
Рис. 13.46. Двумерный фазовый портрет индекса MSCI японских обыкновенных акций. Логарифмически-линейное детрендирование, январь 1959 —февраль 1990 гг.
следующих резких падений со стабилизацией состояния. Такая картина наблюдалась в конце 50-х, конце 60-х и с середины до конца 80-х годов. Подобным образом в 1990 г. фаза гиперроста снова продемонстрировала самокоррекцию.
Эти восстановленные фазовые пространства не являются <>техпичсскими-г графиками, ui носящимися к техническому анализу (точки, диаграммы и т. п.). Они являются базовыми Данными для нахождения характеристик, необходимых для определения рынков как нелинейных динамических систем. Мы можем использовать теперь эти детрендированные данные для восстановления фазовых пространств, расчета фрак-Та-льных размерностей и показателей Ляпунова.
фрАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
^Ь1 рассчитываем фрактальную размерность способом, изло-®Нным в гл. 12. Во-первых, в соответствии с уравнением ^•2) рассчитываются корреляционные интегралы для по-еДовательного увеличивающихся размерностей вложения.
198 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
При этом просматриваются регрессии на линейных областях двойных логарифмических кривых. Фрактальная раз. мерность должна в конце концов сходиться к своей истинной величине, по мере того как будет увеличиваться размерность вложения.
На рис. 13.5-13.8 показаны диаграммы корреляционных интегралов для четырех рынков. Линейные области на каждой диаграмме могут быть использованы для построения регрессий. На рис. 13.9-13.12 показана сходимость к фрактальной размерности. В табл. 13.1 дана сводка результатов.
США, Англия и Германия имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Это хорошая новость, потому что это означает, что есть возможность смоделировать динамику этих рынков с помощью трех переменных. Мы не знаем, каковы эти три переменные, но графическое изображение трех переменных представляет собой решаемую проблему.
Для Японии мы видим другую картину. Ее фрактальная размерность равна 3.05, и это означает, что необходимы четыре переменные. Японский рынок более сложен, чем три других рассмотренных рынка.
Рис. 13.5. Корреляционные интегралы: индекс S&P 500, детренд»' рованный индексом CPI (воспроизведено с разрешения Financial Analysts Journal).
Фрактальные размерности
199
Рис. 13.6. Корреляционные интегралы: логарифмически-линейное детрендирование индекса MSCI английских обыкновенных акций.
рис. 13.7. Корреляционные интегралы: логарифмически-линейное Детрендирование индекса MSCI немецких обыкновенных акций.
200 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Рис. 13.8. Корреляционные интегралы: логарифмически-линейное детрендирование индекса MSCI японских обыкновенных акций.
Размерность вложения
Рис. 13.9. Сходимость фрактальной размерности: индекс S&P 500, детрендированный индексом CPI; D = 2.33 (воспроизведено с раз' решения Financial Analysts Journal).
Фрактальные размерности
201
Рис. 13.10. Сходимость фрактальной размерности. Логарифмически-линейное детрендирование индекса MSCI английских обыкновенных акций; D = 2.94.
рис. 13.11. Сходимость фрактальной размерности. Логарифмически-линейное детрендирование индекса MSCI немецких обыкновен-Bbix акций; D — 2.41.
202
Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Размерность вложения
Рис. 13.12. Сходимость фрактальной размерности. Логарифмически-линейное детрендирование индекса MSCI японских обыкновенных акций; D = 3.05.
Такая высокая фрактальная размерность говорит также о том, что для анализа требуется больше данных — скорее 1000 точек нежели 500. Однако мы увидим далее, что это не так.
Этот реальный анализ показывает, что устойчивая сходимость к фрактальной размерности согласуется с теорией. Он выглядит обнадеживающе, поскольку, за исключением Японии, системы являются низкоразмерными. А раз так, то они разрешимы, и мы можем надеяться, что они будут решены в недалеком будущем.
Таблица 13.1. Фрактальные размерности: обыкновенные акции
Индекс	Фрактальная размерность
S&P 500	2.33
MSCI Япония	3.05
MSCI Германия	2.41
MSCI Англия	2.94
Показатели Ляпунова
203
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Вычисление показателей Ляпунова требует больших затрат времени. Теоретически показатели Ляпунова остаются постоянными, независимо от того, какие параметры выбираются для их измерения. Увы, реальная жизнь вносит некоторую неясность в эту проблему. Экономический временной ряд включает в себя все фазы системы, а не только хаотические. Наши параметры должны выбираться для максимизации измерения «растяжения» точек в фазовом пространстве и в то же время минимизации «складывания», или ограничений, которые могут иметь место, когда рыночная активность действительно случайна или когда она низка.
«Правило большого пальца», предложенное Уолфом — это всего лишь предложение. Действительные результаты зависят от большого количества численных экспериментов с различными пробными параметрами. Как бы ненаучно это ни звучало, но это так. Плодотворной областью исследований могло бы стать развитие метода, менее подверженного эксперименту, связанному с «раскапыванием данных», т. е. поисками таких данных, которые будут признаны удачными. К счастью, эффекты некорректного описания легко можно увидеть и поправить, но это длительный процесс.
Программа, описанная в Приложении 5, распечатывает результаты каждой итерции. Посредством их изучения можно увидеть, когда особая точка во времени становится причиной отказа этого метода.
Для данных S&P 500 существование двух «долей» во втором и четвертом квадрантах (см. рис. 13.16) порождает особые проблемы в отношении точек замены. Алгоритм Уолфа работает, начиная с двух близлежащих точек в фазовом пространстве (отстоящих одна от другой по крайней мере на один орбитальный период) и следуя их эволюции во времени. Если эти точки слишком сильно отдаляются друг от друга, то ищется точка замены с целью исключения складки. Наибольшие показатели Ляпунова измеряют растяжение, или разбегание точек в фазовом пространстве, но не сходимость. Если одна или две точки попадут в одну долю, то при расчете показателя Ляпунова последует значительное увеличение объема вычислений.
Конечный результат связан с количеством точек данных. Иметь больше точек на коротком временном периоде не все
204 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
гда лучше, чем иметь меньше данных для большого временного периода. В противоположность статистическому анализу иметь четырехгодичные ежедневные данные (приблизительно 1000 точек) не лучше, чем 40-годовые месячные данные или 480 точек. Как мы увидим, при анализе хаоса больший объем данных не всегда с необходимостью предпочтителен.
Возьмем, например, природную систему, подобную хорошо задокументированным солнечным пятнам с циклом 11 лет. Показатель Ляпунова может быть аппроксимирован как 1/Ц или 0.09 бит в год. Если мы увеличим разрешение до 11-годовых дневных данных, или 3872 дней, показатель Ляпунова будет 1/38726, или 0.00002 бит в день. В любом случае заявлен 11-годовой цикл. Увеличение количества данных на цикл увеличивает время, потребное для расчета, без повышения точности результата.
Дополнительной проблемой при анализе временных рядов, особенно в случае прибылей на рынках капитала, является шум. При более высоком разрешении, таком, как дневные прибыли, мы обычно находимся в положении, когда имеется больше случайных флуктуаций, чем при низком разрешении. Можно понять, почему исследование Шейнкмана и ЛеБарона дало странные результаты. Оно содержит только пять циклов данных с высоким разрешением, тогда, как мы видели из Я/б'-анализа, существует высокий уровень шума и/или марковские короткопериодные зависимости.
Такой подход к данным совершенно отличается от того, который принят большинством статистиков. В стандартной статистической теории, чем больше имеется данных точек, тем лучше, потому что наблюдения предполагаются независимыми. Нелинейные динамические системы характеризуются процессами с долговременной памятью — лучше больше времени, чем больше данных. Уолф предлагает и другое правило большого пальца: необходимо примерно 10 циклов.
В главе 9 при использовании R/S'-анализа мы нашли, что данные S&H 500 имеют длинный цикл памяти — около 4 лет. Такая длина цикла была очевидна для всех временных приращений прибылей, что сделало ее независимой от разрешения данных. Мы также нашли, что показатель Херста ДЛЯ дневных прибылей равен 0.60, и что он растет при увеличении временных приращений прибылей и стабилизируется на 0.80 для 30-дневных прибылей и выше. Из этой инфорМа" ции мы можем понять, что дневные данные более зашумЛе'
Показатели Ляпунова
205
цы, чем данные месячные, поскольку показатель Херста для них достаточно низок. Месячные и более высокие приращения данных удалили шум, на что указывает их устойчивый показатель Херста. Эффект структуры долговременной памяти также стабилизируется по достижении месячных приращений. Поскольку мы имеем четырехгодичный цикл, то для того чтобы вычислить показатель Ляпунова следует использовать данные за сорок лет.
В итоге мы должны решить, какое разрешение является предпочтительным. Должны ли мы использовать месячные, квартальные или полугодовые данные? Уменьшение разрешения уменьшает потребность в компьютерном времени, но может не дать достаточно данных точек для нахождения точек замены. Здесь должен быть соблюден баланс. К сожалению, такой баланс достигается только путем проб и ошибок.
При оценке S&H 500 месячные данные обладают наиниз-шим разрешением и наибольшим количеством кандидатур на замены. Применение уравнения (12.4) к нашему детрендиро-ванному временному ряду S&H 500 в итоге требует выбора размерности вложения восстановленного фазового пространства, времени эволюции и величины максимального разбегания точек перед заменой.
Как мы упоминали в гл. 12, для выполнения окончательного анализа Уолф дает дополнительные правила большого пальца. Во-первых, размерность вложения должна быть выше, чем фрактальная размерность, потому что грубая поверхность выглядит более гладкой, когда помещена в более высокой размерности вложения. Мы нашли также, что фрактальная размерность Я&-Р 500 равна 2 33 значит размерность вложения должна быть равна 3 или выше. Временной лаг может быть вычислен по уравнению (12.1). Поскольку мы имеем цикл около 40 месяцев, размерность вложения должна бы требовать временного лага равного 16 месяцам. Максимальная длина роста между двумя точками должна составлять не больше 10% протяженности аттрактора. Наконец, время эво-нюции должно быть достаточным для измерения растяжения без складок.
При выполнении вычислений должна иметь место сходимость к устойчивой величине наибольшего показателя Ляпунова Ьг. Если сходимости нет, то или требуется другое опи-Сание или система не хаотична.
206 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Время
Рис. 13.13. Сходимость наибольшего показателя Ляпунова. Месячные прибыли. Индекс S&P 500, детрендированный индексом CPI;
Li = 0.0241 бит/месяц.
Устойчивая сходимость была найдена для детрендирован-ного ряда данных S&P 500 (месячные данные с января 1950 по июль 1990 гг.) с использованием размерности вложения равной 4. временного тага 12 месяцев и времени эволюпии в шесть месяцев. На рис. 13.13 показана устойчивая сходимость показателя L\ к величине 0.0241 бит/месяц.
Это означает, что мы теряем предсказательную мощность со скоростью 0.0241 бит/месяц. Если бы мы знали точно, какова будет прибыль следующего месяца (т. е. могли бы измерить начальные условия с точностью до одного бита), т° потеряли бы всю предсказательную мощность после 1/0.0241-или 42 месяцев. Этот цикл в 42 месяца приблизительно равен 1000-дневному торговому циклу, полученному в гл. 8 с исполь зованием R/ S'-анализа и подтверждающему, что длина цикла для S&P 500 равна приблизительно четырем годам.
В качестве дополнительного теста я вычислил показатель Ляпунова для 90-дневных торговых данных, использованнь •
Показатели Ляпунова
207
Рис. 13.14. Сходимость наибольшего показателя Ляпунова. 90-дневные прибыли. Индекс S&P 500, детрендированный индексом CPI; Lj = 0.09883 бит/месяц.
В гл. 9 и детрендированных для внутреннего роста по уравнению (13.1). Эти данные охватывают период с января 1928 по июнь 1990 гг., или около 60 лет. На рис. 13.14 показано, что устойчивая сходимость была достигнута при 0.09883 бит на ^0-дневный период. Длина цикла снова составила 1/U.09883, или около десяти 90-дневных периодов — приблизительно че-тыре года.
Тесты по трем международным индексам выглядят обнадеживающе, но при этом не вполне убедительны для Германии. И причиной тому снова недостаточное количество дан-HbIX- Данные MSCI покрывают период в 41 год, с января 1959 По февраль 1990 гг. Германия, как было найдено из R/S-^на-лиза, имеет цикл длиной около 60 месяцев. Следов атель-°> наше правило большого пальца говорит, что мы должны еть примерно 50-летние данные, но у нас их значительно ЗаНЬШе’ Япония в точности соответствует этому требованию
Период 40 лет, Англия — за 30 лет.
208
Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Рис. 13.15. Сходимость наибольшего показателя Ляпунова. Логарифмически-линейно детрендированный индекс MSCI английских обыкновенных акций; Д = 0.028 бит/месяц.
Время
Рис. 13.16. Сходимость наибольшего показателя Ляпунов3-Логарифмически-линейно детрендированный индекс MSCI япон ских обыкновенных акций; Li = 0.0228 бит/месяц.
Показатели Ляпунова
209
Рис. 13.17. Сходимость наибольшего показателя Ляпунова. Логарифмически-линейно детрендированный индекс MSCI немецких обыкновенных акций; Li = 0.0168 бит/месяц.
В результате Англия дает самую гладкую сходимость. Как показано на рис. 13.15, оценка показателя L\ составляет 0.028 бит/месяц. Инверсия составляет около 36 месяцев. Япония тоже сходится, хотя и более хаотично, к величине L\ = 0.0228, как это показано на рис. 13.16. И снова инверсия наибольшего показателя Ляпунова подразумевает цикл в 44 месяца, подобный циклу, выведенному с использованием R/S-анализа. Германский рынок дает L± = 0.0168 бит/месяц с результирующим временем декорреляции в 60 месяцев. Однако эта величина сходимости, как показано на рис. 13.17, менее убедительна, поскольку для получения устойчивой сходимости требуется больше данных.
Это снова показывает, что когда анализируется такого ро-Да движение, количество точек не так важно, как количество Циклов. Мы должны переориентировать наше мышление, когда используем не-гауссовские данные и методы.
210 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
ВЫВОДЫ
Эффект долговременной памяти в ценах на акции теперь подтвержден двумя разными методами нелинейного анализа. R/S'-анализ месячных прибылей по данным S&P500 обнаружил смещенные случайные блуждания с длиной памяти около четырех лет. Показатель Ляпунова для месячных инфляционно-детрендированных цен по S&P 500 обнаружил 42-месячный цикл. Подобные же соотношения были найдены для Англии, Японии и Германии с использованием числовых индексов ценных бумаг MSCI.
Показатель Ляпунова может быть интерпретирован двумя способами. В Соединенных Штатах мы теряем предсказав тельную способность со скоростью 0.0241 бит в месяц. Если бы мы могли измерить начальные условия с точностью до одного бита, то потеряли бы всю предсказательную способность после 42 месяцев. Это «вперед смотрящая» интерпретация из гл. 12. Но это также и «назад смотрящая» интерпретация. Система теряет всю память о начальных условиях после 42 месяцев. В среднем рыночные показатели, отстоящие на 42 месяца или более, не соотносятся и не коррелируют. Эта интерпретация показателя Ляпунова подобна времени декорреляции, или циклу, найденному с помощью R/S-анализа. В последнем переход к поведению случайного блуждания через четыре года означает, что эффект долговременной памяти диссипирует после четырех лет — прибыли становятся независимыми. Такое подобие в концепциях и результатах поистине поразительно.
Важно заметить, что длина цикла непериодична. Среднюю длину такого цикла нельзя обнаружить стандартными методами, подобными спектральному анализу, потому что она не имеет характерного масштаба. Это также не «диаграммный» цикл или цикл «пик — впадина», столь дорогие сердцу технических аналитиков. Это статистический цикл; он измеряет влияние информации на рынок и то, как память о тех или иных событиях влияет на будущее поведение рынков.
ТЕСТ НА ПЕРЕМЕШИВАНИЕ
В части 2 мы перемешивали данные временных рядов, чтобы проверить, сохраняется ли эффект долговременной памят»' Этот тест был основан на похожем тесте для корреляцией-
Тест на перемешивание
211
Рис. 13.18. Тест на перемешивание для корреляционных интегралов. Американский рынок обыкновенных акций. Индекс S&P 500, детрендированный индексом CPI. Неперемешанные данные: D — 2.33. Перемешанные данные: D = 3.39.
ной размерности, развитом Шейнкманом и ЛеБароном. В качестве окончательного подтверждения результатов, уже показанных в этой главе, я применил тест на перемешивание ко всем детрендированным временным рядам. Если ряд не стрття^тся частью хаотического аттрактора, корреляционная размерность не должна измениться. Если, однако, существует этот странный аттрактор, то тогда перемешивание данных Должно сломать структуру этого аттрактора, и корреляционная размерность должна возрасти. Во всех случаях возрастание фрактальной размерности указывает на то, что перемешивание имеет существенное значение для анализа. На Рис. 13.18 и 13.19 показаны результаты теста на перемешивание для американского и германского рынков акций при Размерности вложения, равной 6. В тестах с неперемешанны-ми данными корреляционная размерность была достигнута Именно в этой размерности вложения. В обоих случаях корреляционная размерность возрастает до 4. Это справедливо Также и для двух других рынков. Таким образом, мы можем
212
Глава 13. Динамический анализ рынков капитала
Рис. 13.19. Тест на перемешивание для корреляционных интегралов. Немецкий рынок обыкновенных акций. Логарифмически-линейно детрендировнный индекс MSCI. Неперемешанные данные: D = 2.41. Перемешанные данные: D = 4.03.
отбросить нулевую гипотезу о том, что рассмотренные системы не хаотичны.
ЧТО ЭТО ЗНАЧИТ?
В этой главе мы проверили данные S&P 500 для двух характеристик хаотической системы: существования фрактальной размерности и чувствительной зависимости от начальных условий.
Мы нашли, что S&P 500 имеет фрактальную размерность около 2.33. Это означает, что мы должны быть в состоянии моделировать движение системы минимум с тремя динамическими переменными. Мы также нашли, что рынок имеет положительный показатель Ляпунова, подразумевающий, что его цикл составляет около 42 месяцев — подобный четырехгодичному циклу, найденному с помощью R/S-анализа в гл- °-Похожее соотношение было найдено также для английского! германского и японского рынков акций.
В совокупности с результатами R/S-анализа мы теперь имеем убедительное доказательство того, что мировой PbI
Что это значит?
213
нок акций является нелинейной динамической системой. В заключение нам осталось только спросить: что это означает? Не приблизились ли мы к определению уравнения рынка (подобному, например, аттрактору Лоренца)?
В физических моделях, подобных аттрактору Лоренца, существуют особые измеряемые переменные, которые определяют их состояние. Для многих нелинейных систем эти перемен
ные включают такие понятия, как температура, давление или плотность. Такие факторы в сумме отражают реакцию изучаемой системы на другие, внешние силы. Температура, в конце-концов не появляется сама собой. Она является результатом воздействия других сил, продуцирующих тепло. Физические науки удачливы —они могут измерять воздействие внешних переменных. На рынках мы сталкиваемся с различными окружающими условиями. Рынки, в конечном счете, подвергаются влиянию плохо измеряемых сил. Так, три динамических переменных, подразумеваемых фрактальной размерностью 2.33 американского фондового рынка, не будут легко идентифицируемыми локальными факторами, такими, как например Р/Е (отношение цены акции к ее прибыли) или GNP (валовой национальный продукт). Вместо этого ведущие силы на рынках больше подходят под характеристику глобальных, выяснение которых может стать результатом совместных усилий фундаментальной и технической мысли. Мое собственное мнение
состоит в том, что растяжение фазового пространства порождается рыночными эмоциями или техническими факторами. Образование складок, которое выносит цены обратно на аттрактор, порождается истинными ценностями, или фундамента пьными факторами Таким образом. ожи дание (или настроение) определяет «степень разогретости» рынка, в то время как ценности определяют пределы аттрактора. Третьим фактором, который мог бы играть роль, аналогичную плотности жидкости, может выступить рыночная ликвидность. Ликвидность, в конце концов, и есть причина существования Рынка.
Заметим, что в данной сфере исследований люди пытались измерить эти факторы с самого начала, когда еще не ныло найдено надежных методов. Почему? Рынок представляет собой сложную динамическую систему, подобную экосистеме. Она развивается в целях обеспечения собственной вЫживаемости. Если то или иное множество факторов могло °пРеделять рынок, один инвестор, подобно паразитическому
214 Глава 13. Динамический анализ рынков капитала вторгающемуся организму, мог бы разрушить его спекулятивной скупкой мирового богатства. Таким образом, рынок развивается. Циклы приходят и уходят, но каждый рыночный цикл отличается в деталях, хотя все циклы сходны в своих глобальных характеристиках. Это означает, что каждый бычий рынок (на котором наблюдается тенденция к повышению курса — Прим, перев.) и медвежий рынок (на котором наблюдается тенденция к снижению курса—Прим, пер.) состоит из периодов растущих и падающих цен на протяжении подъема или спада бизнес-циклов. Однако причины или обстоятельства, сопутствующие каждому циклу, никогда не бывают одинаковы.
Важно также указать, что рыночный аттрактор связан с бизнес-циклом, а не с торговлей как таковой. Это объясняется подобием циклов, найденных с помощью 7?/<!?-анализа экономических индикаторов. В то время как рынок создается множеством трейдеров, в агрегировании это долговременный экономический объект. Рассматривать большое количество короткопериодных трейдеров — все равно что рассматривать сложный организм как состоящий из совокупности ячеек. Понимание того, как работает одна ячейка не дает понимания целостно функционирующего организма. В этом смысле низкоразмерный аттрактор, который был описан в этой главе, не поможет ежедневным трейдерам. Это только может помочь инвестору в долговременной инвестиционной перспективе. Даже долговременный инвестор не может зависеть от регулярного четырехгодичного цикла.
Что это означает для инвесторов? Это значит, что всегда будут существовать возможности лля извлечения прибыли, но нет такой простой системы, которая могла бы это гарантировать. Такие системы или не адаптируемы, или не охватывают глобальные рыночные характеристики.
Таким образом, несмотря на то что мы нашли для фондового рынка признаки низкоразмерного аттрактора, это не значит, что будет легко разработать некую определенную систему для достижения успеха. По мере понимания рынков мы должны продвигаться в разработке согласованных инвестиционных дисциплин, которые способны аккумулировать богатство в долговременной перспективе. Кратковременные прибыли — дело удачи, догадки, основанные на изучении опыта, обычно компенсируются последующими «неудачами».
жить со сложностью
В части 4 мы рассматриваем идеи нелинейности в их развитии как способы справиться со сложностью мира. Это, однако, не поваренная книга для приготовления удачи на рынках. Читатели, которые продвинулись до этого места, могут видеть, что я не говорю, будто мы теперь имеем потенциал для начала практической работы на рынках. Вместо того мы узнали, что рынки— это сложные развивающиеся системы. Рынки существуют в такой форме с одной целью: выживание. Подобно другим адаптивным сложным системам, рынок развивается для того, чтобы обеспечить собственное выживание. В случае рынков выживание обеспечивается тем, что никто не может скупить мировое богатство. Если бы это было возможным, рынки прекратили бы свое существование. Рынки предназначены для того, чтобы обеспечить ликвидность в торговом процессе, но не для того, чтобы устанавливать справедливые цены и определенно не для того, чтобы сделать какую-либо торговую систему работающей постоянно.
Все. что мы изучали до сих пор, есть наука анализ с целью понимания. Это не технология, т. е. не практическое применение науки. В этом разделе мы будем рассматривать технологические попытки, которые были предприняты в этой области со времени выхода первого издания этой книги. Нелинейная технология в значительной степени касается искусственного интеллекта (ИИ). Ученым-когнитивистам стало ясно, что понимание и принятие решений человеком являются нелинейными процессами. Таким образом, ИИ есть попытка создания моделей, которые имитируют человеческий мозг. Многое из того что последует дальше, тесно связано с Искусственным интеллектом.
216
Глава 14 не связана с ИИ, она посвящена нелинейной статистической модели Веге (Vaga, 1991). Эта модель, тем не менее, представляет собой попытку описания психологии человеческих групп на рынках количественными методами. Глава 15 охватывает взаимоотношения межд двумя областями изучения. Поведенческие финансы эмпирически изучают процессы принятия решений инвесто рами. Нечеткая логика математически моделирует пуп принятия решений людьми. Две этих области дополняю1: друг друга, однако видимой попытки формализации их связи не существует. В главе 15 предпринимается такая попытка. В главе 16 рассматривается ряд практических применений нелинейных концепций в инвестиционных стратегиях.
Глава 14
Гипотеза когерентного рынка
НЕЛИНЕЙНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕГЕ
Веге (1991) разработал уникальный метод. Его гипотеза когерентного рынка ( Coherent Market Hypothesis — СМН) есть нелинейная статистическая модель — в противоположность нелинейным детерминистическим моделям, которые обсуждались в гл. 11-13. Она связана с фрактальной гипотезой из части 2, но это — статистическая динамическая модель. Ее основная предпосылка состоит в том, что вероятностное распределение изменений рынка во времени базируется на:
•	фундаментальных, или экономических, окружающих условиях и
•	определенных настроениях, или «групповом сознании» рынка.
Ввиду того что комбинации этих двух факторов изменчивы, изменяется и состояние рынка. Происходящие при этом фазовые переходы представляют собой изменения формы функции плотности вероятности.
Рынок может пребывать в четырех различных фазах:
1.	Случайные блуждания. Согласно Веге, истинное случайное блуждание действительно существует: инвесторы действуют независимо друг от друга и информация быстро отражается в ценах.
2.	Переходные рынки. Но мере возрастания уровня «группового сознания» смещение в настроениях инвесторов может быть причиной действия информации на длительных периодах времени.
3.	Хаотические рынки. Настроения инвесторов быстро распространяются в групповом сознании, но фундаментальные Условия нейтральны или неопределенны. В результате могут происходить широкие колебания в групповых настроениях.
4.	Когерентные рынки. Сильные позитивные (негативные) Фундаментальные факторы в комбинации с сильными инвес-ТоРСкими настроениями могут порождать когерентные рын-Ки; где тренд становится положительным (отрицательным) и Риск низким (высоким).
218
Глава 14. Гипотеза когерентного рынка
Эти состояния являются результатом нелинейной статистической модели, к обсуждению которой мы теперь переходим.
КОГЕРЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ
Когерентные поведенческие модели уже разработаны для естественных систем, имеющих большое количество степеней свободы, или влияний, которые могут быть объединены в «параметры порядка». Параметр порядка суммирует внешние воздействия на систему. Флуктуации в параметре порядка определяют состояние системы. Примером параметра порядка является температура. Она суммирует все атмосферные переменные, которые релевантны некоторым погодным системам, без их непосредственного изучения, или даже тогда, когда они известны. Параметры порядка отличаются от управляющих параметров, которые обсуждались в гл. 11. Управляющие параметры отражают влияние параметров порядка. В уравнениях движения управляющие параметры выступают коэффициентами, а параметры порядка — переменными.
Веге взял за основу теорию социальной имитации, разработанную Калланом и Шапиро (Callan, Shapiro, 1974) для моделирования поляризации общественного мнения. Их модель, в свою очередь, является развитием модели Изинга, описывающей когерентное молекулярное поведение намагниченного бруска железа.
Модель Изинга утверждает, что уровень магнитного поля в бруске железа зависит от сцепления соседствующих молекул I! от фактора внешнего поля. В бруске железа намагниченность зависит от того, имеют ли молекулы положительный или отрицательный спин, т. е. направлены ли молекулы «вниз» или «вверх».
Если железный брусок нагрет, молекулы не сцеплены одна с другой. Количество молекул, направленных вверх или вниз-будет случайно флуктуировать во времени и средняя разница между количеством молекул, направленных вверх или вниз-будет равна нулю. В результате будет иметь место нормальное вероятностное распределение, как при обычном случайном поведении.
Если температура понижается, это отношение между с0" седними молекулами усиливается. Когда оно превышает крй' тический уровень, это взаимодействие начинает преобладать
Теория социальной имитации
219
над случайными термальными силами. Группа молекул, формируя положительно ориентированный кластер, будет побуждать соседние молекулы также становиться положительными. Вскоре будут сформированы большие кластеры, как положительные, так и отрицательные, которые станут причиной долговременных флуктуаций магнитного поля. Среднее будет оставаться равным нулю, но флуктуации от среднего могут становиться большими и оставаться на долгие периоды времени. В отсутствие внешнего смещения, однако, среднее значение будет оставаться равным нулю.
Приложенное в это время внешнее магнитное поле будет приводить в большинстве кластеров к выстраиванию молекул в одном направлении. Случайные термальные силы, или флуктуации температуры, будут продолжать иметь кратковременное влияние, но пока внешнее поле будет оставаться неизменным, а температура — ниже критического уровня, большинство молекул будут оставаться выстроенными по направлению внешней силы.
Легко увидеть родство между этим явлением и смещенным случайным блужданием фрактальной статистики. В фрактальной статистике уровень показателя Херста управляет согласованностью трендов и влиянием случайного шума в системе. В модели Изинга согласованность между отдельными молекулами зависит от уровня температуры и существования внешних влияний, которые смягчают влияние шума — случайных термальных сил. Фрактальная модель утверждает, что этот процесс зависит от одной переменной — фрактальной размерности. Модель Изинга включает два параметра — внутреннюю кластеризацию и внешние силы. Модель Изинга- богаче; тем не менее, она является средством измерения тех же явлений, что и фрактальная модель. В сущности, модель Изинга касается систем, в которых могут быть корреляции между компонентами системы, но это отношение может быть также подвержено влиянию внешних сил. Такое соединение уровня внутренней корреляции и силы внешних влияний определяет состояние системы.
теория социальной имитации
Каллан и Шапиро (1974) применили модель Изинга в социальных науках. Они постулировали, что взаимодействие социальных групп подобно полету птиц в стаях и плаванию рыб в
220	Глава 14. Гипотеза когерентного рынка
косяках и может быть представлено с помощью модели Изин-га. Их основной целью было изучить, как люди следуют диктату моды и прихотям. Они назвали это теорией социальной имитации.
Теория социальной имитации предполагает, что существует сильное сходство между поведением индивидов и поведением молекул в намагниченном бруске железа. Положительная и отрицательная поляризация молекул железа переводится в положительные и отрицательные чувства. В некоторые периоды времени не существует консенсуса в общественном мнении, и индивиды реагируют независимо друг от друга. В иное время могут быть сильно согласованные чувства. Третья возможность состоит в том, что общественное мнение поляризуется в два Оппозиционных лагеря, в результате чего наступает социальный хаос.
Веге перевел «общественное мнение» Каллана и Шапиро в «рыночное настроение». Внешняя сила, которая была внешней магнитной силой в модели Изинга, стала экономическими окружающими условиями. Выбор риск/прибыль на рынке становится комбинацией рыночного настроения и фундаментальных условий. И снова мы имеем комбинацию точек зрения технических и фундаментальных аналитиков.
ГИПОТЕЗА КОГЕРЕНТНОГО РЫНКА
Функция плотности вероятности, записанная Калланом и Шапиро и повторенная Веге, представляет собой достаточно сложное выражение:
/(?) = с"1 * Q(g) * ехр(2 * / ' (K(y)/Q(y))dy),	(14.1)
У —1/2
где /(g) — плотность вероятности ежегодной прибыли д,
К(д) = sh(fc *g + /i) — 2*д* ch(fc * д + h),
Q(q) = (1/n) * (ch(fc *g + /i) — 2*д* sh(fc * g + /i)), /1/2	fq
c-1 = /	Q-1(g) * exp(2 /	(K(y')/Q(y'))dy)dq,
J-1/2	J —1/2
n — число степеней свободы, к — показатель поведения толпы, /i — фундаментальное смещение.
Гипотеза когерентного рынка
221
Хаотический рынок, поведение толпы с небольшой игрой на понижение, фундаментальные условия: k=2.2, h=-0.005
Когерентный рынок, поведение толпы с сильной игрой на повышение, фундаментальные условия: k=2.2, h=0.02
Годовая прибыль
о +25%
Годовая прибыль
Неустойчивый переход (неэффективный рынок), нейтральные фундаментальные условия: k=2, h=0
Истинно случайное блуждание (эффективный рынок), нейтральные фундаментальные условия: к=1.8, h=0
Рис. 14.1. Гипотеза когерентного рынка. Переход от случайного блуждания к стадному поведению. (Воспроизведено с разрешения Financial Analysts Journal.)
Эта громоздкая формула может быть вычислена с помощью компьютера. Решения зависят от показателя поведения толпы к, степени фундаментального смещения h и числа степеней свободы (количества участников рынка) п. Это — пара-Метры порядка системы.
На рис. 14.1, взятом у Веге (1991), показано, как изменение ^Равняющих параметров изменяет форму функции плот-н°сти вероятности (14.1). Правая шкала отражает функцию Плотности. Левая соотносится с «потенциальным колодцем»,
222
Глава 14. Гипотеза когерентного рынка
который выглядит как зеркальное отражение вероятностной функции.
Потенциальный колодец отражает возможные воздействия случайных сил на частицу, помещенную в колодец. Эта идея заимствована из «теории катастроф» — раздела теории хаоса. Кружок на рисунке изображает частицу в двумерном окружении, где сила может выдавливать ее справа (отрицательная информация, или плохие новости), или слева (положительная информация, хорошие новости).
В нижней части рис. 14.1 мы видим, что при к = 1.8, h — О уравнение (14.1) преобразуется в нормальное распределение, отражающее состояние истинного случайного блуждания. Потенциальный колодец имеет форму симметричной чаши. Случайные силы, выдавливающие частицу, быстро ослабевают, так что она возвращается в нуль. Другими словами, информация быстро обесценивается рынком.
Когда к достигает значения 2, при h, остающемся равным О, функция плотности вероятности расширяется и становится более плоской; мы получаем следующий график — «неустойчивый переход». Потенциальный колодец принимает плоскую форму. Если частица выдавливается в одном направлении, это подобно тому, что она остается на месте до тех пор, пока не воздействует новая сила. Информация не обесценена и тренды сохраняются до тех пор, пока новая информация их не изменит. Результаты /?/5-анализа из гл. 9 служат подтверждением того, что это наиболее общее состояние рынков.
Если к становится больше 2 (его критический уровень), функция плотности вероятности образует две впадины. Это бифуркация функттии плотности вероятности. Если h остается равным нулю, отражая отсутствие фундаментального смещения, мы имеем очень неустойчивую систему. Частица садится на пик в потенциальном колодце. Информация справа или слева может привести к радикальным переменам. Это мог бы быть классический хаотический рынок: высокий показатель поведения толпы при отсутствии фундаментальной информации, подтверждающей смещение в положительную или отрицательную сторону. Слухи или неверно интерпретированная информация могут стать причиной паники, так как инвесторы отслеживают поведение друг друга, надеясь на разгадку. Однажды начавшись, движение может стать паническим бегством, а противоположная информация может привести и большому откату в другом направлении. Недавним примером
Гипотеза когерентного рынка	223
хаотического рынка было поведение фондового рынка 9 января 1991 г., когда госсекретарь Джеймс Бейкер встретился с министром иностранных дел Ирака Азизом дня обсуждения позиций двух стран в отношении иракского вторжения в Кувейт. В условиях, когда возможны политические события, в данном случае неминуемая война и резкое изменение экономической ситуации, экономические новости имеют значительно меньший вес в сознании инвесторов, чем обычно. Тот факт, что встреча продолжается дольше обычного, побудила инвесторов в начале дня предположить, что мир возможен. Индекс Доу Джонса акций промышленных предприятий взлетел на 40 пунктов. Когда встреча закончилась, и обе стороны заявили об отсутствии прогресса, индекс Доу Джонса немедленно, в тот же день упал на 39 пунктов. Та однодневная торговая волна имела небольшое отношение к фундаментальной информации. Это было поведение толпы.
Однако сдвиг в фундаментальных условиях может сильно сдвинуть функцию плотности вероятности в положительную или отрицательную область. Увеличение h до +0.02 приводит к когерентному бычьему рынку. Функция плотности сильно скошена вправо, но остается длинный отрицательный хвост, указывающий на то, что потери остаются возможными, даже если вероятности их очень малы. Потенциальный колодец понижается в положительной области и остается плоским в отрицательной области. Отрицательная информация может иметь меньший эффект в этих условиях, чем положительная той же величины. Длинный отрицательный хвост остается, указывая на то, что достаточная отрицательная информация может стать причиной потерт.. Однако г. когерент ном бычьем рынке риск потерь низок и общая волатильность падает. Это изменит порядок выбора риск/прибыль в модели оценки капитальных активов (САРМ). Примеры когерентных бычьих рынков включают в себя январь 1975 г. и август 1982 г.
Когерентные медвежьи рынки ведут себя подобным же образом, если h становится отрицательным. Веге считает, что когерентный медвежий рынок является редкостью, -но мед-пежий рынок 1973-1974 гг. —свежий пример. Крах октября 1987 г. и «октябрьская резня» 1978 г. (которая побудила Ве-Ге к изучению проблемы) были хаотическими рынками, но не Когерентными медвежьими.
224
Глава 14. Гипотеза когерентного рынка
УПРАВЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
Мы выяснили, что модель Изинга зависит от трех управляющих параметров, которые Веге определил в гипотезе когерентного рынка (СМИ) следующим образом:
1.	к — рыночные настроения; параметр может изменяться от 1.8 (случайность) до 2.0 (неустойчивый переход) и до 2.2 (поведение толпы).
2.	h — фундаментальные окружающие условия; параметр может изменяться от —0.02 (медвежий рынок) до 0.0 (нейтральный рынок) и до +0.02 (бычий рынок).
3.	п — количество степеней свободы, или количество участников рынка.
Параметры к и h предполагаются изменяющимися, параметр п фиксирован. В своем анализе Веге предполагает, что п = 186 (количество промышленных групп). Хотя это и выглядит небольшим упрощением, п является константой. Предположение о равенстве п = 186 или какому-либо другому числу не является существенным.
С другой стороны, параметры к и h очень важны. Как мы оцениваем их величины? Стандартная техника оценки вообще здесь не адекватна, потому что динамическая природа гипотезы когерентного рынка — это то, что делает ее уникальной. Однако, если мы не можем оценить к и h, то как можно сделать эту привлекательную теорию полезной?
РЕАЛИЗАЦИЯ ВЕГЕ
Веге чувствует. что мт.т никогда не можем знать точно значений параметров к и h, т. е. знать достаточно хорошо, положительны ли они, нейтральны или отрицательны. Он изучает некоторые настроенческие индикаторы и решает, какое из трех возможных состояний к в действительности отражено на рыночной площадке.
В качестве основы он изучает политику Федеральной р6" зервной системы, чтобы выяснить, действительно ли h должно быть отрицательным (отражая напряженность монетаристских условий), нейтральным или стимулирующим. ДлЯ установления этих уровней Веге следует некоторым простым правилам. Положительные фундаментальные условия могут иметь место тогда, когда Федеральная монетарная политика ослабляется дважды за последние шесть месяцев; отриРа
Критика гипотезы когерентного рынка
225
тельные окружающие условия могут возникнуть в результате каких-либо двух ужесточающих акций за шесть месяцев.
Веге использует сигналы настроения, основанные на экстремальных отношениях верхней и нижней величин и ро-ста/падения курса ценных бумаг на Нью-Йоркской фондовой бирже. Он определяет сигнал покупки как два или более случаев девятикратных падений курсов, следующих за девятикратным взлетом. В среднем, говорит Веге, рыночные прибыли составляют +23.6% в течение шести месяцев после такого сигнала покупки. Сигналом продажи является три или более девятикратных падений. В течение шести месяцев, следующих за таким сигналом продажи доход по индексу S&P 500 в среднем составляет —21.87%. (Изучался период с января 1962 по декабрь 1983 гг.) Каждый сигнал сохраняется в течение шести месяцев до тех пор, пока не появится сигнал противоположного свойства.
Используя эти индикаторы, Веге проверял свою теорию с апреля 1983 г. путем сравнения инвестиционной стратегии с покупкой ценных бумаг и длительным владением («покупай и держи») для индексного фонда S&P 500 со схемой переключения «фонды-наличность», добавляющей фонд денежного рынка. До 31 октября 1989 г. стратегия Веге принесла ежегодный доход 17.67% с ежегодным риском 5.1%. В противоположность этому стратегия «покупай и держи» дала 16% ежегодной прибыли с 8.1% ежегодного риска. В этих ограниченных временных рамках Веге получил эффективную прибыль.
КРИТИКА ГИПОТЕЗЫ КОГЕРЕНТНОГО РЫНКА
Когерентный рынок представляет собой чрезвычайно привлекательную модель, ввиду того что описывается нелинейной статистической теорией. Мы уже убедились в гл. 13, что рынки хаотичны и обладают чувствительной зависимостью от начальных условий. Они трудны для предсказаний, и поэтому статистическое описание становится в большинстве случаев вынужденным. Такое статистическое описание не может основываться на гауссовском распределении и случайных блужданиях. Гипотеза когерентного рынка предлагает богатую теоретическую схему для оценки рыночного риска и того, как он изменяется во времени в зависимости от фундаментальных и технических факторов.
226	Глава 14. Гипотеза когерентного рынка
Однако эмпирических данных в поддержку этой гипотезы в настоящее время недостаточно. Опыт инвестиционной стратегии Веге весьма короток и в основном охватывает фазу бычьего рынка с 1982 г., включая крах 1987 г. Первым подтверждающим фактором являются результаты jR/S'-анализа из гл. 9. Фрактальная гипотеза подразумевает, что рынок пребывает первоначально в фазе неустойчивого перехода, когда мы имеем неэффективный рынок; он не проявляет когерентность или случайных блужданий. Однако R/S'-анализ находит среднее состояние рынка, которое в соответствии с гипотезой когерентного рынка может также быть фазой неустойчивого перехода.
Недостаток эмпирческих данных не отрицает значимости этой теории. Хотя она до сих пор достаточно не изучена, эта теория выглядит согласующейся с экспериментом. Ситуация на рынке бывает разной в различные времена. Представляется существенным дальнейшее эмпирическое изучение, и я верю, что оно будет выполнено.
Глава 15
Частичное соответствие: нечеткая логика и поведенческие финансы
Нас окружают сложные объекты и ситуации. Мы исследуем качественные аспекты сложных систем, не имея возможности точно измерить их. Деревья, почерк и даже стулья —это все объекты, которые, будучи индивидуальными, имеют еще и общие характеристики. Сложность предполагает, что они отличны в деталях и в то же время подобны концептуально. Следовательно, они локально случайны и детерминированны в своей общности. Подобно треугольнику Серпинского, они к тому же фрактальны. Принятие решения зависит от возможности классифицировать эти сложные объекты в соответствии с их общими характеристиками. Мы видим медведя? Если так, что мы должны делать? Мы находимся на медвежьем рынке? Если это так, что нам делать? Как нам известно, каждый медведь и каждый медвежий рынок отличаются между собой, но если мы знаем их общие характеристики, то можем принять решение: покупать или продавать.
Большая часть исследований по проблемам принятия решений выполнена в двух разных областях: нечеткой логике и поведенческой психологии. В психологии поведения (и ее подмножестве — поведенческих финансах) мы имеем богатые эм-пнррртоскгш данные относительно того, как люди принимают решения, основываясь на правилах большого пальца, именуемых эвристиками. Однако бихевиористы не имеют математической модели, которая позволила бы нам использовать это знание. К тому же, бихевиористы утверждают, что индивиды принимают субоптимальные решения, сравнивая при этом то, что люди в действительности делают, с тем, что они должны были бы делать, основываясь на хорошем байесовском анализе. В лице нечеткой логики мы имеем — какова ирония! — ответвление строгой математики, которая может количественно формулировать правила принятия решений, но одновременно — полное отсутствие эмпирических данных, подтверждающих ее валидность как когнитивной модели. Имеется мало работ, проводящих различие между оптимальными решениями
228 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
нечеткой логики и оптимальными верятностными решениями. Эти две группы выглядят не связанными друг с другом. Каждая из них также имеет свой подход к понятию рациональности.
В этой главе мы будем изучать обе дисциплины и сравнивать их. В результате этого изучения мы сделаем вывод относительно того, как это сложное поведение может отражаться во фрактальной статистике, которая была описана выше. Мы не можем здесь углубляться в эти темы детально. Тот, кого они заинтересуют, должен обратиться за помощью к источникам, ссылки на которые будут даны по тексту.
НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
Нечеткая логика исходит из того, что люди классифицируют предметы в определенном порядке, чтобы их познать. Подобным образом они классифицируют ситуации в соответствии со своим прошлым опытом с целью принятия решений. Начиная с XIX века предполагалось, что люди должны принимать рациональные решения. Это означает, что для каждого возможного исхода мы должны оценивать его вероятность. К несчастью, возможности нашего мозга слишком ограничены, чтобы достигать столь идеальной рациональности мышления. Вот почему было столько восхищения, когда был создан компьютер. Появилась машина, которая могла рассчитывать «рациональную» оценку ситуации при наличии достаточного количества информации. Предполагалось, что это будет истинная оценка даже при использовании первых компьютеров, предназначавшихся для решения весьма ограниченного круга проблем.
Вначале компьютеры были применены для игры в шахматы. До того, как были развиты методы искусственного интеллекта (ИИ), компьютеры рассматривали все возможности и выбирали наилучший вариант на основании статистических предположений. Поскольку люди не могут рассчитывать все возможные комбинации (оценку вероятности успеха оставим в стороне), предполагалось, что ни один человек не может превзойти компьютер в шахматной игре. Тем не менее, ни один компьютер, использующий этот метод «грубой силы», не смог достигнуть уровня гроссмейстера. Живые гроссмейстеры всегда побеждали. При том, что гроссмейстер не располагал даже той небольшой компьютерной вычислительной моШ'
Нечеткая логика
229
ностью, он имел другие способности. Гроссмейстеры играли сами и изучали тысячи игр. Играя, они, как правило, обнаруживали подобие между текущей стадией своей игры и другими известными им партиями. Конечно, другие партии не могли быть идентичными текущей, но они могли быть достаточно похожи для того, чтобы чему-то научиться. Это ограничивало «поиск» игр с благоприятными окончаниями. Посредством применения их стратегий к своей игре гроссмейстер мог правильно выбрать ходы. Компьютерные программы «грубой силы» не могут учиться у прошлого и адаптироваться. Таким образом, они всегда остаются в невыгодном положении.
Гроссмейстеры используют опыт прошлого, чтобы принять решение. Заметим, что они не копируют прошлое. Вместо того они используют свои знания для классификации ситуации, в которой, например, атака выглядит предпочтительнее обороны. Затем они формулируют точную стратегию собственной игры. В этом процессе классификации и установления подобия содержится то, что составляет сердцевину нечеткой логики.
Название нечеткая логика не совсем точно. Существует некоторая область, именуемая «нечеткая логика», которая имеет дело с многочисленными формами логики. Мы не будем заниматься здесь всей этой областью. Нечеткая логика будет обозначать здесь широкий диапазон приложений теории нечетких множеств. Нечеткие множества и есть то, о чем в большинстве думают как о нечеткой логике.
Нечеткие множества имеют дело с проблемами классификации. Однако перед тем как заняться нечеткими множества-W МУ.Т ДОЛЖНЫ брОСМТЕ ВЗГЛЯД ТУЯ КЛЯССИ’У0ЛКУУ° ИЛИ теорию множеств.
Классическая теория множеств, подобно классической геометрии, была сформулирована древними греками и также восходит к Платону. Множество есть совокупность объектов. В четких множествах отдельный объект или принадлежит множеству, или нет. Это значит, что кокер-спаниель принадлежит множеству всех собак, в то время как персидская Кошка — нет. Два разных множества могут иметь общие объекты. Они являются пересечением двух множеств. Например, Пересечением множества всех любимых животных и множества всех рыб были бы все любимые рыбы, скажем гуппи. Объединение двух множеств есть все объекты, сложенные вместе.
230 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
В нашем примере это были бы все любимые животные и все рыбы.
Дополнение множества есть множество всех объектов не принадлежащих множеству. Так, дополнением множества всех животных, которые являются любимыми, было бы множество всех нелюбимых животных. По определению, пересечение четкого множества и его дополнения есть пустое множество. Такого пересечения не существует. Это называется законом противоречия. Животное не может быть одновременно любимым и нелюбимым. Объединение множества и его дополнения есть универсум. Таким образом, дополнением множества всех любимых и множества всех нелюбимых животных является множество всех животных. Это называется законом исключенного третьего. Это значит, что животное должно быть или любимым или нелюбимым.
Парадокс
Для простых множеств эти определения работают прекрасно. Мы можем с определенностью провести грань между животными любимыми и нелюбимыми. Однако такое использование жестких определений может приводить к проблемам, которые называются парадоксами. Возьмем пример, который носит название парадокс кучи.
Начните с кучи песка. Переместите одну песчинку слева направо — у вас останется куча. Переместите другую песчинку, и еще одну. В конце концов, у вас останется слева одна песчинка. Это все еще куча? Если нет, то когда она перестала рю быть?
Вот где появляется суть нечетких множеств. Две песчинки— это куча? А одна? Возьмем другой пример. Предположим, что имеется множество высоких людей. Как мы определим такое множество? Кто-либо шести футов роста считается высоким? Тогда как насчет пяти футов одиннадцати дюймов-Если это высокий рост, то что можно сказать о пяти футах Де1« сяти дюймах? Когда мы решаем, что кто-то высокий, а кто-тЧ нет? Где мы применяем закон исключенного третьего? I
Для четких множеств мы Должны установить пределы! Следует решить, что люди шести футов роста или выше явлЯЧ ются «высокими». Индивиды ниже этого роста принадлежаЧ дополнительному множеству «невысоких». Так, кто-либо пЯ1 ти футов одиннадцати дюймов — невысок. Но это выгляДЯЧ
Нечеткая логика
231
неразумным. Как может один дюйм составить разницу между высоким и невысоким? Определенно, когда мы видим кого-то, кто обладает ростом пять футов одиннадцать дюймов, мы не можем классифицировать его как человека невысокого. Он высок, но не очень. В этом состоит затруднение. Понятие высоты очень сложно для того, чтобы оперировать с четкими множествами. Решение о том, что кто-то высок в большей степени, зависит от точки зрения. Мы, несомненно, можем распространить это и на более важные понятия, такие, как справедливость и несправедливость, точность и неточность. Даже в военных действиях — что есть война и что не война? Формально Вьетнам и Корея не были войнами, поскольку не было объявления войны. Однако для людей, которые воевали, это определенно были войны.
Четкие множества не могут оперировать с такими понятиями. Они слишком сложны. Лотфи Заде (Lotfi Zadeh, 1965) ввел понятие нечетких множеств, чтобы приспособить теорию множеств для сложных ситуаций. Надобность нечетких множеств была установлена в его законе несовместимости, который был пересказан МакНейлом и Фрейбергом (McNeill, Freiberger, 1994) следующим образом:
«С возрастанием сложности точные утверждения становятся менее осмысленными, а осмысленные утверждения теряют точность».
Таким образом, перед лицом сложных ситуаций требования точности четких множеств становятся непродуктивными. В частности, закон исключенного третьего и закон противоречия слишком точны для использования. В языке мы крутимся вокруг этих проблем, используя «лазейки», такие, как почти, вокруг, около. Мы также используем «определения» вроде зеленый, большой, быстрый.
Заде развил теорию множеств путем обобщения понятия Множества. В четких множествах объект находится или внутри множества, или вне его. В бинарном представлении такой объект равен нулю или единице. Заде ввел частичную принадлежность множеству, описываемую функцией принадлежности. функция принадлежности определяет, насколько подобен объект данному множеству. В четких множествах функция принадлежности равна или нулю, или единице. Это или Полное подобие множеству, или полное отличие от него. В нечетком множестве функция принадлежности может находиться в диапазоне между нулем и единицей и включать все
232 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
дробные величины этого промежутка. Так, человек шести фу. тов роста имеет функцию принадлежности, равную единице в множестве высоких людей, в то время как некто пяти футов одиннадцати дюймов может иметь функцию принадлежности 0.9, а некто пяти футов четырех дюймов —- функцию принадлежности 0.1. Теория множеств была обобщена, и внезапно исчезли все парадоксы. Теперь мы можем строго определить туманные понятия, такие, как например «куча». Груда в 1000 песчинок имеет функцию принадлежности 1.0 к множеству «куча». Груда в 20 песчинок имеет функцию принадлежности 0.4. Как это было в случае с фракталами, обобщение теории с включением дробных величин размерности увеличивает ее полезность и укрепляет связи с реальностью.
Нечеткие множества
Как мы установили, нечеткое множество является способом описания сложных понятий. Чем больше становится их сложность, тем более нечеткими становятся сами понятия. Например, множество целых чисел от 1 до 10 есть простое четкое множество. Однако предположим, чтв-множество составляют «целые числа около шести». Пять около шести. Так же и семь, и восемь. Но что сказать относительно 11 или 16? Нечеткие множества дают нам точный способ определения этого понятия— «около 6», но он субъективен. Графически это можно представить так, как сделано на рис. 15.1.
Рис. 15.1. Четкое множество: числа «около 6».
Нечеткая логика
233
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
15.2. Функция нечеткой принадлежности; числа «около 6».
Рис.
В четком множестве мы должны были бы решить точно, что означает «около 6». Если мы решим, что числа от 5 до 7 «около 6», мы получим рис. 15.2. На нем показано подобие чисел понятию «около 6». По оси у располагаются функции принадлежности. Как можно видеть, в терминах обычного четкого множества величины, меньшие 5 или большие 7 получают величину функции принадлежности, равную 0. Они не «около 6». Только числа 5, 6 и 7 — «около 6», и, будучи таковыми, они все равны между собой. В нечетком множестве мы должны решить вопрос относительно того, являются ли числа определенно не «около 6» и каковы функции принадлежности каждого числа. В данном примере мы установим, что число, меньшее 2 или большее 10, — определенно не около 6. Величины от 5 до 7 — определенно около 6 и. следовательно, имеют функцию принадлежности, равную 1. В диапазоне от 2 до 5 проводим прямую линию от у = 0 до у = 1. От 7 До 10 также проводим прямую с отрицательным наклоном от У ~ 1 до у = 0. Величины ординат этих прямых соответствуют функциям принадлежности чисел, расположенных по оси абсцисс, к множеству «числа около 6». Таким образом, число 4 имеет величину функции принадлежности 0.67, а число 5 — аеличину функции принадлежности 1. Пять в большей степени «около 6», чем 4, но 4 остается «около 6». Мы могли бы Получить границы множества, подобные форме функции при-падлежности, различными способами. Как мы делаем выбор? ^от в чем состоит сила и слабость нечетких множеств. Параметры такого выбора субъективно зависят от природы про
234 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
блемы. Адекватность модели зависит от того, как хорошо создатель модели понимает проблему. Хорошее понимание проблемы даст в результате хорошую нечеткую модель. Однако модель, разработанная при ошибочном понимании проблемы даст результаты со всеми теми ограничениями и ошибками которые может сделать моделирующий.
Кроме того, существуют различные определения для дополнения, объединения и пересечения нечетких множеств. Они подобны правилам для четких множеств. Мы дадим здесь основные определения; обобщенные определения могут быть изучены более подробно по книге Заде и Каспржик (Zadeh, Kacprzyk, 1992):
А — принадлежность множеству А, 0<А<1	(15.1)
1 — А дополнение множества А 	(15.2)
Min(A, В) — пересечение множеств А и В	(15.3)
Мах(А, В) — объединение множеств Атл. В (15-4)
Как можно видеть, дополнение нечеткого множества есть единица минус функция принадлежности. Так, если 4 на 0.67 принадлежит множеству около 6, оно также на 0.33 не принадлежит множеству около 6. Закон исключенного третьего был одним из первых среди причин перехода к теории нечетких множеств. В нечетких множествах объект может принадлежать как множеству, так и его дополнению. Это может быть прослежено графически на рис. 15.3.
Нечеткое дополнение ]
Нечеткое множество
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Рис. 15.3. Нечеткое дополнение: числа «около 6».
Нечеткая логика
235
Например, предположим, что некто ростом пять футов одиннадцать дюймов на 0.5 принадлежит множеству высоких людей. При таком определении высоких и не высоких некто пяти футов семи дюймов находится в промежутке — он не высокий и не низкий. Ближе к делу: предположим, что мы оценивали акции и имели множество критериев относительно благоприятной ситуации для покупки. Существует одна акция, которая удовлетворяет всем критериям, кроме одного. Она имеет отношение Р/Е 20, а не 15. С использованием нечетких множеств была бы возможность установить количественную меру, сказав, что эта акция на 0.8 принадлежит множеству «покупать», и это означало бы частичное, но не полное основание для покупки.
Нечеткие множества и вероятность
Теорию нечетких множеств часто путают с теорией вероятностей. В самом деле, ее критики заявляли, что теория нечетких множеств не способна решать задачи, которые не сформулированы в терминах теории вероятностей. Это непонимание является следствием похожести функции принадлежности, которая изменяется от 0 до 1, с вероятностями, которые также изменяются от 0 до 1. За исключением этих величин, две данные меры совершенно различны, хотя обе могут быть описаны как меры неопределенности. Из них каждая измеряет отличный аспект неопределенности.
Нечеткая функция принадлежности является описателем сложного состояния. Дополнительные данные или выборки
’тзмепяют этой величины. С1 другой стороны, вероятности зависят от частоты и случайности. Будущие выборки данных Могут изменить вероятность.
Возьмем следующий классический пример нечеткого множества. Предположим, что вы имеете две бутыли с жидкостью. Бутыль А имеет функцию принадлежности 0.9 к множеству питьевых жидкостей, в то время как жидкость в бутыли В имеет 90% вероятности быть питьевой. Если вы вы-нУЖдены пить из одной из этих бутылей, то какую вы пред-П°4ли бы?
Жидкость в бутыли А, в соответствии с ее функцией при-НаДлежности, не совсем питьевая, но похожа на таковую. Это ^Окет быть грязная вода. С другой стороны, жидкость в бутыли в имеет 90% вероятности быть полностью питьевой и
236 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
10% — быть смертельной. В этом случае жидкость в бутыли В может быть или на 100% питьевой, или на 100% смертельной. Вы не узнаете это, пока не попробуете. Однако, зная, что бутыль А более питьевая, мы бы выбрали именно ее. Заметим что когда мы пьем из бутыли А, ее функция принадлежности к нечеткому множеству питьевых жидкостей не изменяется. Она остается грязной водой, а величина ее функции принадлежности равной 0.90. Тот факт, что нечеткие множества не зависят от частоты, оказывается важным при рассмотрении поведенческих финансов.
Частичная истина
Нечеткая логика является системой, где дробные величины увеличивают способность теории множеств моделировать реальность. Применение теории нечетких множеств обусловило успехи искусственного интеллекта. В Японии система движения поездов метро основана на нечетких понятиях. Повсюду работающие нечеткие контроллеры, начиная от электробритв до автоматических передач, так же как и промышленное оборудование, обнаруживают высокую эффективность и приспо-сабливаемость. В искусственном интеллекте гибриды нечетких правил и нейронных сетей дают в результате системы с высокой способностью к обучению и адаптированию.
В статистическом анализе меньше выразительности, в то время как в области распознавания образов нечеткие множества были применены с большим успехом. Мы увидим далее, что нечеткие множества помогают понять, как люди принимают решения
Нечеткие множества — это архетип сложных понятий. Для полной принадлежности к нечетному множеству существуют разные критерии, из которых каждый согласован с определением множества. Однако наряду с этим существует неопределенная область, где объекты только частично принадлежат множеству. Чем дальше мы уходим от сердцевины, тем в меньшей степени объект принадлежит множеству или походит на него.
Функция принадлежности не зависит от частоты. Она есть мера состояния и того, насколько объект сравним или походит на идеального члена нечеткого множества, т. е. на такого, у которого функция принадлежности равна 1.0. Эта степень подобия не изменяется при увеличении выборки.
Поведенческая психология
237
Мы кратко изучили область, которая кажется точно воспроизводящей количественную сторону того, как большинство людей думают и принимают решения. Интересно то, как мало существует эмпирических исследований, подкрепляющих утверждение Заде и его последователей о том, что люди реально используют нечеткие множества именно таким образом. В другой области — поведенческой психологии — существует много эмпирических данных. Многие из них были связаны с экономикой и рынками.
ПОВЕДЕНЧЕСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ
Поведенческая психология исследует то, как люди в действительности принимают решения. Это отличается от общепринятой «рациональной» модели, которая описывает, как люди должны принимать решения. Такая рациональная модель ведет к гипотезе эффективного рынка, как об этом было сказано в гл. 2, где мы кратко рассмотрели работу Амоса Тверски (1990). В данном разделе мы более подробно исследуем работу Кахнемана и Тверски (Kahneman, Tversky, 1974) и их последователей.
Кахнеман и Тверски интересовались тем, как люди в действительности принимают решения. Результаты показали, что рациональная модель человеческого поведения обычно нс реализуется, за исключением определенных, весьма специфических условий. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые из их находок. И снова моей целью является обратить внимание на результаты этих авторов в сопоставлении с нечеткой логикой и рыночным поведением. Тот, кто заинтересуется деталями, может обратиться к первоисточнику.
Эвристики
Кахнеман и Тверски нашли, что люди обычно решают проблемы не с помощью вероятностей, а используя правила большого пальца, называемые эвристиками. Эти эвристики является упрощенными стратегиями решения сложных проблем ПРИ ограниченной информации. Иногда такой подход к принятию решений бывает оптимальным, но иногда нет. Кахне-^ан и Тверски нашли, что люди не могут проводить различие ^Жду тем, когда лучше применять эвристики и тем, когда
238 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
предпочтительнее использовать вероятность. Это имеет след, ствием кажущуюся иррациональность поведения.
Существует три основных категории эвристик. Эвристика доступности оценивает вероятности на основании того как примеры возникают в памяти. Мы используем репрезентативную эвристику для принятия решений, основанных на подобии типическим ситуациям, с которыми мы сталкивались в прошлом. Люди также используют для принятия решений закрепление и приспособление. Это означает, что мы часто выбираем точку отсчета и согласовываем наше решение с текущей информацией.
Каждая из этих эвристик имеет прямое отношение к теории нечетких множеств. На самом деле мы увидим, что смешение нечетких функций принадлежности с вероятностью было преодолено Кахнеманом, Тверски и их последователями. Многие примеры «иррационального» поведения, найденные бихевиористами, демонстрируют различие между использованием теории вероятностей и теорией нечетких множеств. В последующих разделах показаны смещения, которые являются следствием использования эвристик в принятии решений. Эти примеры взяты из работ Базцрмана (Baserman, 1994) и Кахнемана и Тверски (1973). Мы обсудим их здесь в контексте нечетких множеств и рыночной неэффективности.
СМЕЩЕНИЕ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ДОСТУПНОСТЬЮ ЭВРИСТИКИ
Легкое вспоминание
Индивиды склонны присваивать большую вероятность знакомым событиям. Например Руссо и Шумейкер (Russo, Shoemaker, 1989) нашли, что большинство людей думают, буД" то большее количество смертей происходит от автомобильных аварий, чем от рака желудка, хотя все наоборот и в пропорции два к одному. Столь неверное суждение связано с тем, что автокатастрофы гораздо чаще упоминаются в средствах массовой информации, чем рак желудка. Подобно этому инвесторы на рынке более склонны думать, что известные им большие компании менее рискованны, чем компании малые, хотя это совсем не обязательно, как, например, считают держатели аК' ций Ванг Лабе. Кроме того, инвесторы более осторожны на рынке после большой коррекции (обратного движения цены "
Смещения, обусловленные репрезентативностью эвристики 239
Прим, перев.), чем после длительного подъема, хотя вероятность коррекции увеличивается по мере того, как проходит время со дня предыдущей коррекции.
СМЕЩЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬЮ ЭВРИСТИКИ
Как вы могли бы ожидать, репрезентативная эвристика имеет наиболее прямое отношение к нечетким множествам. Это эвристика, которая основана прежде всего на подобии. К тому же, большинство смещений, найденных бихевиористами, отразили различия между теорией нечетких множеств и вероятностью. Однако существует необходимость дальнейшего обсуждения вопроса о том, что является более «рациональным».
Нечувствительность к базовой норме
Предположим, что перед вами выстроились по росту десять индивидов. Вам сказали, что восемь из десяти — водители грузовиков и двое — бухгалтеры. Вас попросили угадать занятие одного из них, человека крупного, который одет в костюм и носит очки. Большинство людей догадались бы, что это бухгалтер, несмотря на тот факт, что шансы составляют 4 против 5. Мало того, они предположили бы, что это бухгалтер, полностью игнорируя ситуацию вероятности. Кахнеман и Тверски (1972,1973) нашли, что мы принимаем решения, основываясь на соображениях вероятности в тех случаях, когда отсутствует описательная информация.
Конечно, такое отклонение от «рационального» поведения происходит оттого, что мы принимаем решение скорее на основании нечеткого множества, чем исходя из вероятностной оценки. Солидный человек, одетый в костюм, больше похож на множество бухгалтеров, чем на множество водителей грузовиков, поэтому мы присваиваем ему более высокую функцию принадлежности к нечеткому множеству бухгалтеров, Чем к множеству водителей грузовиков. Мало того, мы бу-Цсм устанавливать величину членства как «вероятность» то-г°> что он бухгалтер. Кахнеман и Тверски (1974) установили, Чт° «люди устанавливают профессии, одновременно пользуясь вероятностью и подобием». Это не означает корректность
240 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы способа принятия решения, тем не менее, это то, что стоит за человеческим поведением.
Встает вопрос: почему мы так делаем? Почему мы игнорируем вероятности, даже тогда, когда мы знаем о них заранее, в случаях когда нам доступна описательная информация. Причина связана с инстинктом выживания. Предположим нас спросили, какова вероятность того, что опасное животное неожиданно окажется во дворе вашего дома? Для большинства из нас такая вероятность очень низка. Однако предположим, что вы находите там большое животное, с большими зубами, оно рычит? Что бы вы сказали о вероятности того что это животное опасно? Большинство сказали бы, что эта вероятность очень высока, даже если мы считали, что вероятность обнаружить здесь опасное животное очень мала. Теперь же мы скажем, что эта вероятность высока еще потому, что это животное, судя по его описанию, имеет высокую функцию принадлежности к нечеткому множеству опасных животных. В этом случае знание функции плотности вероятности не поможет нам избежать вреда. Во многих случаях это похоже на старую шутку, относительно того, что экономист не поднял бы на улице пятидолларовую банкноту, потому что он знает, что на эффективном рынке кто-то другой уже поднял бы ее.
Эвристики, использованные в этих двух примерах, являются оптимальными для принятия решений. Но мы ошибемся, если используем этот метод в неподходящих случаях.
Нечувствительность к величине выборки
Оценивая вероятности, люди, кажется, редко принимают во внимание смещения, связанные с малым объемом выборки. Если выборка берется из некоторой популяции, то люди предполагают, что статистическая структура популяции в целом будет отражаться и в этой выборке. Девяноста пяти опрашиваемым были представлены данные о количестве рождений в двух больницах: в большей из больниц было 45 рождений в день, в меньшей —15. Их спросили: в какой больнице на протяжении года будет зафиксировано большее количество дней, когда будут рождаться по меньшей мере 60% мальчиков. Два' дцать один человек указали на большую больницу. Такое количество испытуемых — на меньшую. Тридцать три человека сказали — поровну. Конечно, такая вероятность была боль ше в малой больнице ввиду смещения, связанного с малостью
Смещения, обусловленные репрезентативностью эвристики 241
выборки (маленькая больница могла бы также установить рекорд по рождениям меньше 40% мальчиков). Очевидно, поскольку обе больницы считались репрезентативными, популяционная статистика полагалась применимой в обоих случаях.
Кахнеман и Тверски (1973) замечают, что мы обычно сталкиваемся с вопросами более общими, чем приведенные примеры. Реалистические вопросы могли бы включать такие, как «Будет ли спад в ближайшие шесть месяцев?» или «Какова вероятность того, что Федеральная резервная система поднимет ставки процента?» Такие вопросы в действительности не имеют ответов. Кахнеман и Тверски говорят:
«Эти проблемы отличаются от обсуждавшихся в этой статье тем, что ввиду их уникального характера на них не могут быть получены готовые ответы в терминах частоты прошлых событий или в терминах правильно построенного процесса выборки».
Другими словами, ответ не зависит от частоты. Как мы видели выше, нечеткая функция принадлежности также не зависит от частоты. Если мы говорим что «есть 70% шансов, что спад уже начался», мы в действительности не устанавливаем вероятности, так как нет способа получить выборку такого рода данных. Что мы можем в действительности сказать, так это то, что в настоящих условиях имеется величина функции принадлежности к нечеткому множеству спадов, равная 0.7. Это означает 70% подобия прошлым спадам. Такой способ оценки совершенно рационален при наличии информации. Бихевиористы нашли, что мы применяем похожую оценку даже тогда, когда можем реализовать процесс и точно посчитать вероятности. Это уже иррационально.
Неверное понимание вероятности
Предположим, что перед нами две последовательности, полученных подбрасыванием монеты:
А: ТТТТТТ
В: ТННТТТ
Какая из них более правдоподобна? К удивлению, большинство людей выбирают последовательность В, хотя обе мо-гУт случиться с одинаковой вероятностью. Кахнеман и Тверски (1972) верят, что это другая проблема выборки, связанная с верой в то, что случайные процессы имеют склонность
242 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
к самокоррекции для восстановления равновесия. Простейшее объяснение использует нечеткие множества. Каждый из нас имеет идеал истинно случайной последовательности событий, которая не должна иметь закономерностей. Последовательность В ближе к такому идеалу, следовательно, она более правдоподобна. Это означает, что последовательность В имеет более высокую величину функции принадлежности к нечеткому множеству случайных последовательностей, чем последовательность А. Последовательность А имеет большую величину функции принадлежности к нечеткому множеству удачных подбрасываний и, таким образом, имеет меньшую вероятность случиться. Это снова относится к тому обстоятельству, что нечеткие функции принадлежности не зависят от частоты, но имеют общее с неким идеалом, или репрезентативным множеством.
Это, конечно, совершенно ошибочно. Приведенный пример показывает, что неправильное использование репрезентативной эвристики, или теории нечетких множеств может привести к неверному ответу. Вероятность чисто статистического процесса не должна оцениваться таким путем, но многие из нас делают нечто подобное.
Излишнее доверие
Такого рода смещение отражает избыточное доверие к рыночным прогнозам больше, чем что-либо другое. Мы выяснили, что люди часто предсказывают последствия путем выбора ответа, который кажется наиболее типичным по оценке имеющейся информации. В выборе профессий мы полагаемся на доступную описательную информацию. Если большее количество информации подтверждает этот выбор, мы становимся более доверчивы, даже в том случае, когда новая информация сильно коррелирует с уже имеющимися данными. Однако мы знаем, что модель, основанная на сильно коррелирующих переменных, менее пригодна, чем модель меньших размеров с некоррелированными переменными. Так, рыночные гуру бу-дут больше доверять данным, которые в действительности уменьшают точность их предсказания.
И снова инвесторы основывают свой приговор на нечетких множествах. Чем больше оказывается в распоряжении подтверждающей информации, тем выше становится значение функции принадлежности. Тем не менее, есть опасность
Смещения, обусловленные репрезентативностью эвристики 243
слишком близко подогнать нечеткую модель, так же как и традиционную.
Ошибка объединения
Ошибка объединения — одна из наиболее знаменитых находок бихевиористов. Она также непосредственно связана с широко известной критикой нечетких множеств.
Группе испытуемых было представлено описание гипотетической женщины по имени Линда, где она была охарактеризована как человек прямой в высказываниях и участница движения студенчества. Опрашиваемым было предложено упорядочить возможные описания Линды по степени правдоподобия. Испытуемые ответили, что Линда меньше похожа на простого банковского служащего, чем на банковского служащего, который принимает активное участие в феминистском движении. Ясно, что банковский служащий-феминист является подмножеством банковских служащих, поэтому, как это может быть, что Линда больше похожа на первого, чем на второго? Ответ простой. Описание, данное Кахнеманом и Тверски, было более типично для феминистки, чем для банковского служащего. Следовательно, Линда имела более высокую нечеткую функцию принадлежности к множеству банковских служащих-феминисток, чем к обыкновенным банковским служащим. Бихевиористы назвали это ошибкой объединения, потому что здесь содержится вероятностное заблуждение. Она полностью согласуется с теорией нечетких множеств.
МакНейл и Фрейбергер (1994) привнесли в теорию не-чрггких множеств следующее соотношение. Это. фактически, один из немногих случаев, когда соотношение .устанавливается между двумя множествами. Ошерсон и Смит (Osherson, Smith, 1981) критиковали теорию нечетких множеств, изучая противоречие в понятии нечеткого пересечения. Они обратили внимание на понятие «любимая рыба». Любимая рыба это, очевидно, пересечение множества любимых животных и множества рыб. Гуппи также являются любимыми рыбами, и их величина функции принадлежности к нечеткому множеству любимых рыб должна быть высока. Однако в соответствии с Законом нечеткого пересечения (уравнение (15.3)) оно должно иметь величину, которая меньше ее величины функции принадлежности к нечеткому множеству любимых животных и к нечеткому множеству рыб. Очевидно, величина функции
244 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
принадлежности гуппи к этим двум множествам должна быть ниже, так как они не очень типичны для каждой из этих категорий. Так, гуппи больше любимые рыбы, чем любимые животные, или рыбы, но в соответствии с правилом нечеткого пересечения они должны меньше иметь общего с любимыми рыбами. Эта аномалия, по Ошерсону и Смиту, разрушает концепцию нечеткого множества.
Ошибка объединения указывает ответ. Люди будут иногда превращать пересечение в полное нечеткое множество. Следовательно, в примере с Линдой банковские служащие-феминисты становятся самостоятельным множеством. Подобно этому, любимые рыбы становятся самостоятельным множеством. Заде назвал это «нормализацией», поскольку она изменяет масштаб сравнения.
СМЕЩЕНИЯ ОТ ЗАКРЕПЛЕНИЯ И
ЭВРИСТИКИ ПРИСПОСОБЛЕННОСТИ
Эти эвристики тесно связаны с конструкцией нечетких множеств. Происходящие в результате их использования смещения показаны в следующем разделе, где описано, как неверное конструирование нечеткого множества может привести к глупостям.
Недостаточная приспособленность
Люди часто основывают свои оценки, исходя из начальных величин. Однажды применив ^.кие оценки, они не склонны менять их даже тогда, когда получена новая информация. Например, часто бывает трудным узнать справедливую цену персонального компьютера. Цены персональных компьютеров при увеличении их возможностей возрастают не намного. Так, в 1992 г. цена IBM-совместимого компьютера 486-33 с 4 мегабайтами оперативной памяти и 100 мегабайтами на жестком диске составляла около трех тысяч долларов. Позже, в 1995 г. такая же цена предлагалась за Pentium 100 с 8 мегабайтами оперативной памяти и 850 мегабайтами на жестком диске. При этом не было ничего необычного в том, что вы видели рекламу старой системы по цене 1500 долларов^ хотя она уже стоила не более половины этой цены. Почему-Продавец закрепился на той цене, которую вы ему платили
Синтез нечеткого поведения и фракталов	245
эту систему, вместо того чтобы приспособиться к рыночным ценам. Подобное часто случается с автомобилями.
Закрепление служит важнейшей функцией в нечетких множествах. А раз так, точка отсчета чрезвычайно важна и должна выбираться с большой тщательностью.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКОГО ПОВЕДЕНИЯ И ФРАКТАЛОВ
В нечетких множествах мы увидели еще один пример того, как дробные величины могут во много раз увеличить полезность уже хорошо известного понятия. Нечеткие множества могут точно моделировать процессы принятия решений человеком. Их достижения в моделировании поведения, когда точность не является необходимой, почти сказочны. Поведенческая психология эмпирически показала, что нечеткая модель принятия решения человеком применима к реальному миру. В то же время бихевиористы показали, что бывают случаи, когда такой подход к принятию решений наиболее оптимален. Он может вести к лучшим оценкам, чем могли бы быть получены с помощью других статистических методов.
ДеБонд и Тейлер (DeBondt, Thaler, 1986) применили эти бихевиористические концепции к рынкам. Они проверили, действительно ли фондовый рынок сверхчувствителен к информации. Они сделали это посредством создания портфелей акций прибыльных и убыточных фирм, основываясь на прошлых наивысших прибылях фондового рынка, а не на предсказаниях переменных, таких, как например та же прибыль. Если рынок сверхчувствителен к информации, то тог-ла vGbTTHHHbiit ппртф**ль л^лжрн быть в будущем выгоднее, чем портфель прибыльный. Как могли бы ожидать некоторые практики, такое явление было обнаружено. Был исследован период времени с января 1933 по декабрь 1980 гг. Рыночный портфель был определен исходя из списка акций CRSP (Center for Research in Security Prices, University of Chicago, Cradnate School of Business) с весами, пропорциональными Рыночной капитализации. ДеБонд и Тейлер нашли, что в среднем убыточный портфель работает на рынке на. 19.6% лУчше в течение трех лет после формирования, в то время как портфель прибыльных предприятий работал с пониженной экономической активностью на пять процентов. Бенжа-Мин Грэхем (Benjamin Graham, 1959) установил, что «интервал, требуемый для самокоррекции реальной недооценки ка-
246 Глава 15. Нечеткая логика и поведенческие финансы
питала, составляет в среднем 1.5 — 2.5 года». ДеБонд и Тейлер подтвердили наблюдение Грэхема, состоящее в том, что относительная эффективность проявляется на второй или третий год после создания портфеля. Они выдвигают это как очевидное доказательство действительной сверхреактивности фондового рынка. Это является примером репрезентативности эвристики в действии, где свежая наглядная информация играет большую роль, чем важные, основополагающие для рыночного курса данные.
Эта сверхчувствительность рынка к информации, так же как и следование трендам, определяет большинство статистических рыночных характеристик, в том числе и эффект долговременной памяти, описанный в гл. 7, неустойчивую волатильность и толстые хвосты функций плотности вероятности. Таким образом, возможно, что результирующая статистическая структура рынков имеет бихевиористические истоки, по крайней мере на коротких интервалах времени.
Глава 16
Применение теории хаоса и нелинейных методов
Со времени первого издания этой книги у нее нашлись настоящие последователи-практики. Большинство не полностью обнародовали свои приложения теории. Как можно ожидать, верящим в слабость формы рыночной эффективности не понравилось бы, если б другие стали копировать их методы и тем самым разрушили возможности оперирования с ценными бумагами. В этой главе мы кратко опишем ряд практикующих компаний, которые управляют реальными активами, используя некоторые формы нелинейного анализа.
Никто из этих приверженцев теории хаоса не использовал исключительно ее для выработки своей инвестиционной стратегии. Сама по себе теория хаоса не может помочь нам предсказывать рынки, она только способствует их пониманию. Следовательно, теория хаоса используется в большинстве случаев как основа для понимания рынков. Сама же технология, применяемая для рыночных предсказаний, представляет собой сочетание стандартных линейных методов, нечеткой логики, нейронных сетей или генетических алгоритмов. В то время как первые две области были нами рассмотрены, последние две не упоминались и поэтому заслуживают краткого введения.
Нейронные сети — это математические модели, которые имитируют работу мозга. Это означает, что они пытаются подражать параллельным методам вычислений, которые, по нашим предположениям, лежат в основе функционирования Мозга. Нейронные сети в действительности не имитируют Мозг, они лишь являются некоторыми моделями его работы. Подобно любым моделям нейронные сети — это огрубляющее Упрощение действительности. Однако нейронные сети обладают умением приспосабливаться. Это значит, что они могут ручаться (или перестраивать свои параметры) при получении новой информации. При наличии достаточной обучающей выборки они становятся способны к распознаванию образов. Однако в итоге нейронные сети — это в основном некоторая
248 Глава 16. Применение теории хаоса и нелин. методов новая форма нелинейной непараметрической регресии. Они многообещающи, но требуют большого внимания, поскольку методы их диагностики незрелы и неполны. Оценить эффективность нейросетевых моделей чезвычайно сложно. Это настоящий черный ящик. Входы транформируются в выходы. Распутывание того, что происходит внутри нейронной сети очень трудная задача. Тот кто интересуется более полным обсуждением проблемы может обратиться к Рефнесу (Refness 1995) и Дебоку (Deboek, 1994). В этих книгах оцениваются исследования в области нейронных сетей применительно к рынкам капитала.
Генетические алгоритмы имитируют эволюцию. Здесь опять мы используем модель, а не реальный процесс. Генетические алгоритмы могут тестировать правила и находить множество правил, которые оптимизируют конкретную целевую функцию посредством конкуренции. Только наилучшие правила (т. е. «самые приспособленные») выживают при окончательном решении. Больше того. Не только достигается преобладание сильных правил над слабыми, — генетические алгоритмы могут формировать другие правила посредством кроссовера и мутации. Это означает, что части правил могут изменяться случайным образом и складываться с целью получения смеси потенциальных правил. Два успешных правила могут быть объединены в новое правило. Если эти новые правила выживают, они могут преобладать над родительскими правилами. Кроссовер и мутация предохраняют процесс оптимизации от попадания в «локальный» максимум. Когда мы оптимизируем функцию, мы проверяем, действительно пи мы накопимся на вершине горы. Например, максимум двумерной параболы есть ее пик. Однажды достигнув пика, большинство оптимизационных алгоритмов останавливаются, что должно говорить о достижении максимального уровня. В многомерных проблемах мы можем иметь много возвышенностей. Только один из них является предельным пиком, или глобальным максимумом. Однако большинство оптимизационных алгоритмов останавливаются при достижении пика, даже если он всего лишь локальный максимум. Мы не можем быть уверены в том, что это наивысший пик. Функций кроссовера и мутации выбрасывают процесс с текущей возвышенности в том случае, если не достигнут глобальный максимум. Если же это глобальный максимум, алгоритм просто поддерживается на вершине. Если этого нет, поиски проДоЛ'
Lbs Capital Manag. (Клервотер, штат Флорида)
249
жаются. Таким образом, генетический алгоритм становится эффективным методом поиска для максимизационных проблем. Однако это требует существенного количества данных. Тому, кто заинтересован в более полном обсуждении проблемы, рекомендуем прочесть Дебока (Deboek, 1994) и Бауэра (Bauer, 1994). В этих книгах рассматриваются генетические алгоритмы в применении к рынкам капитала.
Практики часто используют названные методы в комбинации. Это значит, что они создают гибридные системы. Генетические алгоритмы могут быть использованы для оптимизации нечетких правил или параметров нейронных сетей. Нечеткие правила могут определять параметры нейронной сети. Существует много комбинаций такого рода.
За пять лет, истекшие со времени первого издания этой книги, многие заявили о том, что применили эти инновации к рынкам. Остается неясным, каковы были их действительные успехи. Многие фирмы создали шумиху только для того, чтобы предать забвению тот факт, что однажды им доверили в управление деньги. В этой главе мы рассмотрим четыре фирмы, которые выглядят убедительно. По необходимости эта глава будет краткой. Как я сказал раньше, инвестиционные менеджеры не любят распространяться о своих «технологиях». Поэтому никаких секретов здесь раскрыто не будет. Я должен добавить, что не могу подтвердить данные какой-либо фирмы, названной здесь (за исключение PanAgora). Вся информация получена из опубликованных источников, однако я не гарантирую ее точности. Читатели, заинтересованные в дополнительной информации, могут связаться с этими фирмами непосредственно.
LBS CAPITAL MANAGEMENT (КЛЕРВОТЕР, ШТАТ ФЛОРИДА)
LBS является фирмой, которая использует нейронные сети, генетические алгоритмы и гибридные системы. Под управлением доктора Ганеш Мани (Ganesh Mani), руководителя научно-исследовательских работ, фирма предложила-методику выбора времени для операций на рынках и одновременно стратегию сортировки акций. Это средних размеров инвестиционная фирма, в управлении которой находится 600 миллионов долларов. LBS необычна в том смысле, что она установила настоящий рекорд продолжительности жизни. Ее модель
250 Глава 16. Применение теории хаоса и нелин. методов резервирования активов восходит к 1987 г., а модель выбора акций реально работает с 1992 г. Обе стратегии, кажется, используют разные технологии.
Методика выбора времени для операций на рынках является экспертной торговой системой, использующей 260 правил и перемещения активов между акциями и наличностью. В соответствии с сообщением в Бэрроне (Laing, 1995), эта модель хорошо работала в течение восьми лет, до 1994 г., но стала ухудшать результаты в последние пять лет. Это означает, что большая часть прибыли была получена при крахе 1987 г. Однако в этой статье в Бэрроне LBS допускает, что в основном это ухудшение связано с игнорированием сигнала покупки в январе 1991 г., во время военного противостояния в Персидском заливе. Это могло бы означать, что LBS является «по-луколичественной» фирмой. Она применяет количественные модели, которые отвергает по своим собственным соображениям об их несоответствии. «Истинно количественные» фирмы не отвергают свои модели, за исключением каких-либо особых обстоятельств.
LBS имеет также модель выбора акций, которая работает на нейронных сетях. Стратегия компании основывается на работе с акциями фирм, имеющих средний размер капитализации, и результаты за 1992-1994 гг. были на 3% годовых лучше показателей индекса S&S 400 Mid-Cap (один из рыночных индексов компании Standard and Poor, отражающий доходность по акциям американских компаний со средним размером капитализации). Многие могут найти это не очень впечатляющим, но я как профессиональный финансовый менеджер могу кжазагь, пи гри прицеша превышения в год это много при условии непрерывности.
LBS испытывает также гибридные системы. Мафолд и Мани (Mahfold, Mani, 1995) описывают стратегию выбора акций с использованием генетического алгоритма. Доктор Мафолд испытал генетический алгоритм, регулярную нейронную сеть и гибридную систему в реальном режиме времени. Гибридная система оказалась победителем.
PREDICTION COMPANY
(САНТА-ФЕ, ШТАТ НЬЮ-МЕКСИКО)
Prediction Company — одна из наиболее хорошо известных инвестиционных фирм, использующих нелинейные технологии-
Prediction Company (Санта Фе, штат Нью-Мексико) 251
Этой известностью она обязана своим основателям — доктору Дайану Фармеру и доктору Норману Паккарду (Doyne Farmer, Norman Packard). Они были членами группы Санта Крус, и в бытность аспирантами стали инициаторами формулирования многих положений теории хаоса. Как ученые они способствовали пониманию важности показателей Ляпунова в классифицировании хаоса, так же как и метода временной задержки в восстановлении фазового пространства. Об их работах подробно рассказано у Глика (Gleick,1987). В 1991 г. Фармер, Паккард и Джеймс МакГилл (James McGill) основали Prediction Company. Фармер и Паккард — самые яркие выразители и защитники нелинейных исследований. Как таковые они часто выступают на конференциях и дают интервью в биржевой и общедоступной прессе. К сожалению, их технологии, по контракту со Швейцарским банком, а также детали инвестиционных процессов и статистика курсов являются собственностью последнего. Они к тому же являются сторонниками «слабой формы эффективного рынка» и поэтому маловероятно, что они обращают внимание на детали, в нее не укладывающиеся. Таким образом, Prediction Company является одной из самых хорошо известных новых фирм, тем не менее мы очень мало знаем о ее инвестиционных процессах. Но ввиду важности опубликованных работ Фармера и Паккарда нельзя не обращать на нее внимания.
Доктор Паккард любезно предоставил некоторую информацию в частном письме. Prediction Company поставила целью предсказание больших ликвидных рынков, таких, как рынки валют, товаров, обыкновенных акций, а также прогнозирование процентных ставок. Инструментами этих стратегий часто выступают фьючерсы. Моделирование осуществляется посредством целого ряда различных методов. По сообщению доктора Паккарда, они включают генетические алгоритмы, деревья решений, нейронные сети и другие нелинейные Регрессионные методы. Судя по опубликованным интервью, Prediction Company верит, что рыночные прибыли подвержены периодам случайных изменений, за которыми следуют «пакеты предсказуемости». Это значит, что существует время, когда мы можем получить прибыль на рынке, и другое вРемя — когда это не так. В некотором смысле это похоже на гипотезу когерентного рынка, хотя и не имеет с ней прямой связи. Доктор Паккард также заявил: «Мы принимаем Во внимание тот факт, что вопрос о связи найденных нами
252 Глава 16. Применение теории хаоса и нелин. методов прогнозирующих структур с теорией хаоса остается откры-тым». Нелинейность является ключевым фактором в рыночном поведении, но это не обязательно хаотичность в понимании Prediction Company.
Prediction Company является фирмой, действительно ши- > роко использующей количественные методы. Доктор Паккард говорит, что «торговля управляется исключительно нашими моделями, без вмешательства человека». Это, конечно, в традициях «количественных фирм» (включая PanAgora, фирму, в которой я работаю). Дисциплина всегда была отличительной чертой «количественников».
TLB PARTNERS (НЬЮ-ЙОРК)
TLB Partners управляет страховым фондом. Инвестиционная дисциплина была разработана Кристофером Меем (Christopher Мау) и базируется на концепции «нелинейного • ценообразования». Эта фирма относительно нова и мала, но за короткое время добилась впечатляющих управленческих результатов. Нам еще потребуется время, чтобы оценить работоспособность стратегии Мея. Мистер Мей не новичок на । рынке, к тому же он привнес в дело академический опыт. До того как стать приверженцем нелинейности, он работал арбитражером в Oscar Gruss & Son и в Wyser-Pratte Company, Inc. Он также сотрудничал в Baring Securities и Prudential-Bashe Securities.
Мистер Мей является защитником нелинейного ценообразования, понятия, им часто употребляемого и ставшего красноречивым вырази телем его идей в дискуссиях о рынке. В его технике используются нейронные сети, генетические алгоритмы и показатели Херста. Хотя детали неясны (кроме всего, Мей — практикующий финансовый менеджер), тем не менее очевидно, что для установления сигналов покупки и продажи им применяется распознавание образов. Он также говорит, что не является дневным трейдером, и его инвестиционный горизонт составляет от шести до девяти месяцев. В сравнении с другими финансовыми менеджерами он выглядит в своих ожиданиях реалистом. В номере Wall Street Transcript от 18 декабря 1995 г. он сказал: «Если вы оказываетесь правы и 53% случаев на протяжении длительного времени, значит вЫ делаете все как надо. Вы не должны быть правы всегда». О0
PanAgora Asset Management (Бостон, штат Миннесота) 253
также сказал: «Хаос — легитимное новшество. Хаос — не чаша Грааля». Я бы не мог сказать лучше.
За первый год работы Мея (примерно с октября 1994 по сентябрь 1995 гг.) чистый доход TLB за вычетом гонораров составил +102.63%. Даже для бурного бычьего рынка 1995 г. это внушительная прибыль. Конечно, рано говорить, сколь долго это продлится. Однако он один из немногих практиков, действительно использующих нелинейные методы в финансовом менеджменте.
PANAGORA ASSET MANAGEMENT (БОСТОН, ШТАТ МИННЕСОТА)
Меня часто спрашивают, что я использую в своей работе. Так что при написании этой главы я проявил бы невнимательность, не обсудив практику, связанную с моей собственной фирмой. PanAgora находится в ряду других фирм, использующих количественные методы. Хотя мы были зарегистрированы в 1990 г., наше действительное существование относится к более раннему времени. В 1985 г. PanAgora оформилась как отдел Институциональных инвестиций Boston Company. Наша оригинальная модель Тактического распределения активов и акций датирована 1982 г. Отдельные составляющие этой модели восходят к началу 70-х. Нашему учредителю, доктору Ричарду Кроуэллу, в 1972 г. была присуждена премия Додда и Грэхема (Dodd, Graham), учрежденная Financial Analysis Journal.
PanAgora управляет почти 15 миллиардами долларов. Мы также на практике используем количественные методы, но можем и отвергать их по собственному усмотрению. Мы убеждены в том, что субъективная сторона управления активами состоит в формулировании определенных моделей. Если модель надежно проверена на работоспособность, мы ей строго следуем.
Вероятно, многие будут удивлены, узнав, что наши модели основаны на линейных регрессионных методах. Моя работа в теории хаоса увеличила наши возможности моделирования с использованием стандартных методик, но мы также Добавили некоторые нелинейные элементы. Мы экспериментируем с генетическими алгоритмами и нечеткой логикой, но эта работа еще не закончена. Мы не торопимся. Применяемый PanAgora подход к решению проблем дал хорошие ре
254 Глава 16. Применение теории хаоса и нелин. методов
зультаты за последние десять лет. Поэтому любое изменение технологии должно было бы представить сверхпревосходные результаты нашей клиентуре, для того чтобы оправдать радикальные перемены. Но это не значит, что мои изыскания в области нелинейности не оказывают влияния на PanAgora. В действительности это влияние достаточно глубоко.
В большей части этой книги я подчеркивал возможность крушения многих стандартных статистических критериев. Существует возможность отбросить или принять негодную информацию по той причине, что мы приспосабливаем нелинейные данные к линейной модели. Теория хаоса и фрактальная статистика задают некий каркас для оценки наших моделей, позволяя нам увидеть пределы линейного подхода. Мало получить хорошие i-статистики, корреляции или информационные отношения. Такие модели должны пробуждать интуицию и быть устойчивы к различным экономическим условиям. Можно придать значение факторам, которые имеют «слабое» влияние, если они дают осмысленные результаты в течение длительного времени. Можно отвергнуть статистически значимый результат, потому что его значимость зависит от верного предсказания одного большого нелинейного события. R/S'-анализ применяется к остаточной регрессии с целью выяснения, не остается ли нераскрытой в модели персистентная нелинейная структура.
Далее, существует проблема предсказательной частоты. Хаотический аттрактор для американского рынка имеет в среднем четырехгодичный непериодический цикл. Это подразумевает долговременный инвестиционный горизонт. Паккард и др. (Packard et al, 1980) показали, что можно предсказать поведение нелинейной системы с помощью линейных методов на коротких интервалах времени. В PanAgora мы прогнозируем с месячной частотой. Это означает, что мы используем месячные данные для предсказания на месяц вперед. В PanAgora мы верим, что надежный путь к созданию богатства — долговременные инвестиции. Среди нашей клиентуры — пенсионные фонды, учреждения, дарственные фонды-Наши клиенты — долговременные институты, освобожденные от уплаты налогов. Накопление богатства посредством бир" жевой торговли — не единственная их цель. В действительности мы уверены, что устойчивое извлечение прибылей посредством торговой активности является чрезвычайно трУД" ной задачей.
PanAgora Asset Management (Бостон, штат Миннесота) 255
1.0
0.2
Л Q -I 11 1 1 I 1 I 1	111 Lit И Ш J И t I I i 1 1 1 1	I 1 i 1 £ I i I 1 >	I М.1,11 1 t И 1 1 1 1 I I | I 111 I	I 1 1.1J 1 1 i I
' 1/90	1/91	1/92	1/93	1/94	1/95
Рис. 16.1. Показатель Херста: 1/90—12/95.
Наконец, в наших моделях присутствуют нелинейные элементы. Следуя форме изложения, я не намерен здесь входить в детали. Но я могу сказать, что антиперсистентная природа волатильности, как показано в гл. 9, очень важна. По сути, увеличение волатильности в коротких интервалах времени является знаком увеличения неопределенности на рынке и предвещает убытки в будущем. Заметим, что это отменяет САРМ, которая утверждает, что более высокий риск подразумевает более высокие прибыли. На высоких частотах САРМ действительно не работает. В дополнение мы используем показатель Херста в качестве сигнала. На рис. 16.1 представлен показатель Херста для месячных данных S&P 500 по 12-месячным интервалам. Этот показатель был рассчитан по эмпирическому закону Херста, представленному уравнением (7.6). Как можно видеть, этот показатель изменяется во времени. Естественное состояние рынка —персистентность. Однако рынок может впадать в состояние случайности, или даже в антиперсистентность. Каждое состояние можно соотнести с состояниями, представляемыми гипотезой когерентного Рынка Веге. И снова, в противоположность САРМ, состояние случайного блуждания подразумевает потерю силы в экономическом росте. Это снова является знаком высокой -неопределенности на рыночной площадке. Использование волатильности и показателя Херста подразумевает, что на рынке существуют как долговременные, так и кратковременные уровни неопределенности. Когда рынок входит в одно из этих не-°пРеделенных состояний, это заставляет подозревать плохие
256 Глава 16. Применение теории хаоса и нелин. методов
новости. Так, если появляются неожиданные плохие новости рынок принимает их плохо. Если, однако, рынок находится в состоянии персистентного тренда, или имеет низкую волатильность, он будет склонен игнорировать плохие новости.
В будущем исследования в PanAgora сосредоточатся в области генетических алгоритмов и нечеткой логики. Оба направления многое обещают в области классификации. Предстоящие публикации (я надеюсь) будут посвящены этим приложениям.
Теория хаоса оказала на меня большое влияние как на теоретика и финансового менеджера. Она дала мне каркас для формулирования политики и создания моделей. Моя единственная надежда состоит в том, что так же будут обстоять дела и в других областях.
ВЫВОДЫ
Приведенный перечень фирм, конечно, не полон. Приношу извинения тем, кого я не включил в книгу. Упомянутые менеджеры были выбраны для иллюстрации. Однако этот список указывает на растущее движение к моделированию рынков как нелинейных сложных систем. В будущем можно ожидать, что появится больше нелинейных технологий в управлении активами, так как очевидность нелинейности становится все более широко признанной.
Глава 17
Что впереди: по направлению к более общему подходу
В любой науке приходит время, когда существующая парадигма ставит больше вопросов, чем дает ответов. В такое время обнаруживает себя необходимость нового взгляда на старые проблемы. Теория рынков капитала и экономическая теория в целом в настоящее время подошли к такому рубежу. По достижении некоторого времени обстоятельства, при которых необходимо оправдание большинства наших традиционных аналитических методов, в общем перестали существовать. Пришло время изучения альтернатив. Применение новых методов еще находится в периоде становления. «Экономических хаологистов» пока еще очень мало по сравнению с целой отраслью традиционных аналитиков.
Науки о сложности — фрактальная геометрия, теория хаоса, — предлагают новые инструменты, которые могут быть в определенных условиях более подходящи, чем традиционные методы. Они к тому же расширяют возможности нашей традиционной техники. При более близком рассмотрении эта новая парадигма оказывается обобщением существующих методов.
Когда фрактальная гипотеза, рассмотренная в части 2, сравнивается с гауссовой гипотезой, ее ключевой отличительной чертой выступает величина альфа, или размерность Функции плотности вероятности ценовых изменений. Гауссовская гипотеза утверждает, что альфа равна 2, и никак иначе. Фрактальная гипотеза отличается тем, что альфа может лежать в пределах между 1 и 2 и быть как целой так и дробной величинами. Такое обобщение функции плотности имеет значение для поведения системы.
Теория хаоса устанавливает, что системы, вообще говоря, обладают внутренними зависимостями; отношение между величинами может иметь показатели степеней, отличные от единицы. Стандартная эконометрика предполагает линейные отношения между независимыми переменными. Этот экономе-
258
Глава 17. Что впереди: по направлению к общему
ПОДХОДУ
трический случай представляет собой ограниченную более общего нелинейного случая.
Обе названные науки о сложности предлагают более об щие формы существующей парадигмы. Существующая парадигма становится специальным случаем новой, более сложной модели, которая может совместить фракталы, хаос или дру. гие нелинейные методы. Такое увеличение сложности несет с собой утрату определенности в оценке проблем. Мы больше не можем искать оптимальных решений, но вместо этого вынуждены довольствоваться изучением вероятностей в мире который может внезапно измениться, когда наступают определенные критические условия. Этот новый взгляд сулит нам меньшие возможности контроля над окружающими условиями, вместе с тем предлагая более общую картину того, как мир работает.
В Третьей волне Олвин Тоффлер (Alvin Toffler) замечает, что в реальной жизни не существует независимых переменных, но есть только одна большая внутризависимая система бесконечной сложности. Нам надо осознать эту возможность по отношению к рынкам капитала.
УПРОЩАЮЩИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
При конструировании моделей стандартная процедура должна всегда предполагать выход за пределы сдерживающих ограничений — таких, которые могут мешать выявлению реального поведения моделируемой системы и препятствовать лучшему ее пониманию. Сдерживающие ограничения, в результате. мутят волу, и поэтому реальное явление труднее наблюдать. Упрощающие предположения позволяют нам создавать более простые модели, делая, таким образом, проблему более управляемой. Классический пример такого упрощающего предположения — исключение трения из физических проблем. В элементарной физике тела предполагаются движущимися в вакууме. Трение рассматривается как внешнее влияние, сложность, добавленная к проблеме и не являющаяся реальной частью взаимодействия между телами. Подобное ограничение на рынках капитала представляет собой неучитываемое влияние налогов. Налоги могут оказывать воздействие на инвесторов, но они рассматриваются как внешни® факторы, которые не влияют на динамику покупок и пр0' даж на рыночной площади. Когда изучается то, что лежит в
Упрощающие предположения
259
основе инвесторского поведения, есть основание предполагать налоги не влияющими, как если бы инвесторы были свободны инвестировать по собственному усмотрению.
В физике было бы нецелесообразным предполагать, что сила действующая на тело, линейна, если нет согласия с эмпирическими данными, стоящими за таким предположением, — особенно когда речь идет о приложениях теории. Когда изучается движение груза, подвешенного на пружине, мы не можем предположить, что сила пружины линейна, чтобы облегчить расчеты и затем построить полную аналитическую модель, основанную на линейной восстанавливающей силе. Было бы неоправданным продолжать так размышлять о других системах, похожих на пружину с грузом, и так же прилагать к ним линейную восстанавливающую теорию.
В теории рынков капитала мы сделали подобное упрощающее предположение. Мы долгое время предполагали, что инвесторы реагируют на информацию линейно. Мы построили полный аналитический каркас на этом предположении, — без исследования правдивых эмпирических данных. Даже когда поиск данных, подтверждающих это предположение, был объективным, при их оценке мы использовали гауссовские предположения. Эти методы предполагают, что такое условие как, например, независимость наблюдений соблюдается, хотя совсем нет увереноости в том, что это имеет место в реальности. Для оправдания наших методов мы даже построили модель человека, названного реальным инвестором, хотя эта персона не похожа ни на одного из тех, кого мы знаем. Мы проигнорировали исторические данные о том, что человеческие группы склонны спрцонать моцр и при^отчм пмосго того заявив, что в своей совокупности инвесторы рациональны, даже если они не рациональны поодиночке. В итоге мы сконструировали условия, при которых все эти предположения должны выдерживаться и назвали это гипотезой эффективного рынка.
Я говорю об этом не для того, чтобы опорочить результаты заслуживающего уважения труда последних сорока лет. Я просто указываю, что, ограничиваясь условиями очень специфического случая, мы упускаем возможность достигать богатства теми методами, которые доступны нам и расширяют наше понимание рынков и экономики в целом.
260 Глава 17. Что впереди: по направлению к общему подходу
ХОД ВРЕМЕНИ
Возможно, большинство ограничивающих предположений традиционного анализа касаются времени. В ньютоновской физике время полагается инвариантным. Это означает, что время, не имеет значения для ее задач. Движение тел в пространстве может быть повернуто вспять простым изменением уравнений. Поскольку экономическая теория и инвестиционный анализ многое заимствовали у ньютоновской физики, мы по традиции считаем время не имеющим значения для наших проблем. Событие может оказать возмущающее воздействие на систему, но по прошествии достаточно короткого промежутка времени система вернется в положение равновесия, это событие будет забыто. Такая короткая память является характеристикой большинства эконометрических методов, если они вообще как-то учитывают время.
В реальной жизни события воздействуют на нас длительное время. Некоторые события навсегда изменяют нашу жизнь, другие изменяют историю мира. Мы ограничили влияние событий на рынках коротким временным периодом, как если бы рынки были отделены от остального нашего жизненного опыта.
Теория хаоса показывает нам, что в природных системах события могут изменять ход истории, даже если общее количество возможных результатов лежит в ограниченном пространстве. Система может терять память о начальных условиях, даже если их влияние продолжает сохраняться. С социологической точки зрения мы можем сказать, что определенные события должны были изменить ход истории, даже если общссхви нс помши, когда эти события произошли. Па-пример, мы не знаем, когда было изобретено колесо, но его влияние остается.
События на рынках могут забываться с течением времени, но это не значит, что их влияние не ощущается достаточно долго. В сущности то, где мы находимся, зависит от того, где мы находились, и то, куда мы идем, зависит от того, что мы делаем в данный момент. Посредством создания концепции, учитывающей время, мы обогащаем наши аналитические способности и наш потенциал в понимании функционирования рынков.
И снова равновесие
261
ВЗАИМОСВЯЗЬ ПРОТИВ НЕЗАВИСИМОСТИ
При использовании эконометрических моделей обычным является анализ по схеме «что если?» Фактически единственная цель, стоящая перед эконометрическими моделями — ограничить взаимное влияние факторов. Мы можем захотеть узнать влияние инфляции на ставки процента, сохраняя все другие факторы постоянными. Но все факторы в действительности взаимозависимы. Наши попытки «ортогонализировать» их или отфильтровать основаны на гауссовском предположении. Мы никогда не сможем узнать влияние одной только инфляции на уровень процентных ставок, потому что характер этого влияния зависит от других переменных и всегда будет зависеть. Предположение об отсутствии зависимости между переменными упрощает проблему, но ведь зависимость — это не внешнее влияние, подобное трению, которое может быть исключено в целях упрощения проблемы. Она является важной частью самой системы. Предположение о несуществовании зависимости изменяет всю природу проблемы: модель системы и реальная система становятся безотносительными друг к другу.
Теория хаоса обобщает изучение систем, беря в расчет их взаимозависимость. Обобщая проблему, а не ограничивая ее, мы улучшаем наше понимание системы и таким образом получаем новые приложения. Быстрые оптимальные решения могут оказаться невозможными. Однако потенциал для существенно новых приложений с ростом нашего понимания становится неограниченным.
И СНОВА РАВНОВЕСИЕ
Мы обсудили равновесие во многих контекстах. Однако понятие экономического равновесия настолько укоренилось, что я Должен указать, в конце концов, его источник. Экономическое Равновесие тесно связано с ньютоновской физикой. Ученым Давно известно, что ньютоновская физика предлагает только оптимальные решения (или решения в замкнутой форме) Для проблемы двух движущихся тел. Но за пределами задали двух тел единственного решения до сих пор не получено, и Ученые со времен Пуанкаре предпринимают попытки его найти.
262 Глава 17. Что впереди: по направлению к общему подходу
В экономической теории и инвестиционном анализе мы продолжаем искать решение для проблемы многих тел. Мы должны помнить, что в проблеме многих тел нелинейности между силами далее не могут предполагаться несуществующими, как это сделано в проблеме двух тел, без радикального изменения природы системы. Это значит, что точечные аттракторы и предельные циклы не единственные возможные типы равновесия. Странные аттракторы, которые предлагают бесконечное количество решений в конечном диапазоне, являются весьма реальной возможностью. Только путем обобщения нашей аналитической концепции мы можем исследовать эту возможность достаточно эффективно.
ДРУГИЕ ВОЗМОЖНОСТИ
Существует множество других возможных объяснений для эмпирических находок, описанных в предыдущих главах. Существует также много других парадигм, которые могут оказаться более полезными, чем фракталы или хаос. Эти альтернативные методы тоже тесно связаны с теорией хаоса. Они являются относительно новыми разработками, о которых мы только что начали узнавать. В январском номере за 1991 г. журнала Scientific American описаны два таких направления.
Первый из таких подходов носит название теории вэйвле-тов; она явилась обобщением спектрального анализа. Создание вэйвлет-теории приписывается Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies, Bell Labs), Григорию Белкину (Gregory Belylkin, Schumberger-Doll Research) и Рональду Коифману (Ronald Coifman, Yale Iniversity). Спектральный анализ основан на преобразовании Фурье, разлагающем сигнал на ряд синусоидальных волн, которые, будучи сложенными вместе, воссоздают исходный сигнал. Однако применимость спектрального анализа зависит от того, имеет ли система характеристический масштаб; это означает, что каждое меньшее приращение сводится к определенному масштабу в соответствии с некоторым фиксированным числом. Спектральный анализ также ищет периодический цикл. Как мы видели, фрактальные и хаотические временные ряды не имеют характеристического масштаба, поэтому спектральный анализ хаотического или фрактального временного ряда дает график, который выглядит как широкополосный шум. Непериодические циклы зДеСЧ также вносят свой вклад.	I
Другие возможности
263
Поскольку вейвлет-теория умеет обращаться с мультимас-щтабными сигналами, она может быть использована для анализа фрактальных и хаотических временных рядов. Это может стать обещающей областью будущих исследований.
Второй возможностью является концепция «самоорганизо-ванной критичности». Она подробно описана Бэком и Ченом (Bak, Chen, 1991) и предоставляет великолепные возможности для приложений в анализе рынков капитала.
Самоорганизованная критичность берет свое начало с изучения песчаных куч, в частности, их устойчивости. Глен Хелд (Glen Held, The IBM Thomas J. Watson Researbh Center) выполнил эксперименты на реальных песчаных кучах. Бэк и Чен проделали подобные же эксперименты математически. В таком эксперименте одна песчинка в некоторый момент времени падает в центре плоской круглой поверхности. Как можно ожидать, песчинки будут сбиваться в кучу, нагромождаясь одна на другую, и образуют конус, если их будет достаточно много. Время от времени песчинки будут осыпаться маленькими лавинами. Если куча станет выше, то и лавины станут больше, и наклон сторон конуса станет круче. В некоторой точке куча перестанет расти, и песок начнет высыпаться через края тарелки. На этой точке, где количество добавляемого песка равно количеству высыпающегося через края тарелки, куча достигает своего «критического состояния». При этом размеры лавин могут широко изменяться — от немногих песчинок до больших оползней («катастроф»).
Удивительно, но даже большие лавины не увлекают огромного количества песка. К тому же, наклон поверхности кончса ио намногп отклоняется от того, что был в критическом состоянии, даже после большого оползня-. Действительный размер лавин зависит от устойчивости песчинок, которые выбиваются сгустком песчинок, падающих при их движении вниз. Такой сгусток может достичь устойчивой позиции, и тогда не будет оползня; или он может достичь неустойчивости и продолжать выбивать песчинки, которые будут выбивать другие. Эти в свою очередь могут остановиться или Выбить другие неустойчивые песчинки. Бэк и Чен говорят, Нто «куча сохраняет постоянную высоту и наклон, поскольку Вероятность того, что активность прекратится, в среднем сбалансирована вероятностью того, что она будет расширяться». Другими словами, вероятность обвала и вероятность отсутствия обвала, по существу, одинаковы.
264 Глава 17. Что впереди: по направлению к общему подходу
В песчаной куче существует много областей неустойчивости, но критическое состояние устойчиво — оно варьируется мало. Распределение устойчивых и неустойчивых участков часто изменяется, но сами по себе статистические характеристики оползней в сущности остаются одними и теми же.
Эта характеристика —локальные условия в непрерывном течении, при которых статистические характеристики остаются неизменными, — имеет тесную связь с фрактальной статистикой. В этом случае количество песка, который осыпается с кучи, непрерывно изменяется. Бэк и Чен говорят, что во временном ряду таких количеств «можно видеть беспорядочный сигнал, который имеет черты всех длительностей». Другими словами, не существует характеристического масштаба или периодичности. Такой сигнал называется «фликкер-шум», или 1//-шум. Через f обозначается фрактальная размерность; таким образом, фликкер-шум — это фрактальный шум, и 1// соотносится с показателем Херста.
Самоорганизованная критичность оказалась полезной при моделировании землетрясений и других естественных явлений, поскольку природные системы имеют тенденцию во все времена пребывать в критических состояниях. Другими словами, они далеки от равновесия. В случае песчаных куч наиболее устойчивой формой был бы не конус, а равномерное рассыпание на плоской поверхности. Однако реальная система, подобно другим природным системам, балансирует на грани устойчивости, далеко от равновесия.
Самоорганизованная критичность многообещающа, потому что она предлагает физическую модель для воспроизводства фрактальной статистики Она л^готпа бы стать очень плодотворной областью для будущих исследований.
Наконец, не в пример теории хаоса, теория самоорганизо-ванной критичности дает надежду на возможность предсказаний. Самоорганизованные системы «слабо хаотичны», чт0 означает их нахождение на краю хаоса. Их близкие траектории разбегаются не экспоненциально, а в соответствии со степенным законом. Это означает, что слабо хаотичные системы не имеют временного масштаба, за пределами которое0 предсказание становилось бы невозможным, тем самым fl.0' пуская возможность долговременного прогноза. Это против0" речит положительному показателю Ляпунова, описанному в гл. 13 применительно к рынкам капитала, но тем не менее остается перспективной областью исследований.
Выводы
265
выводы
Мы рассмотрели данные, свидетельствующие о том, что рынки капитала являются нелинейными системами и что нынешняя теория рынка не принимает эти нелинейности в расчет. По причине этого упущения ее значимость значительно снижается. Однако у нас нет полной модели инвестиционного поведения для замены САРМ. Гипотеза когерентного рынка Веге, которую мы обсудили в гл. 14, более приспособлена для обыкновенных акций, чем для облигаций. Требуется новая теория рынков капитала, которая принимала бы в расчет все те нелинейные эффекты, которые были нами рассмотрены. Нелинейное поведение очевидно в случаях рынка акций, облигаций и валюты. Фондовый рынок не ограничивается отечественными акциями, но включает также международные активы. Это дает простор для более широких эмпирических исследований, и следующей фазой должно стать развитие теории рынков капитала, которая включит в себя все рассмотренные нами нелинейные структуры.
Впереди еще много работы.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Создание бифуркационной диаграммы
Бифуркационная диаграмма логистического уравнения может быть построена способом, описанным в гл. 1 и 10. Эта программа требует для построения графика два входных значения— начального и конечного значений «а». По тексту указано: 0 < а < 1. Для обзора полного диапазона величин используйте 0.5 < а < 1, поскольку при меньших величинах «а» получаются константы. Программа также порождает временной график уравнения Хенона, использованного в гл. 11 и 12.
Программа может рисовать в «эскизном» или «плотном» формате, в зависимости от желаемого разрешения. Более высокое разрешение требует большего времени рисования, но оно стоит того.
Приложение 2
Метод нормированного размаха (R/S'-анализ)
.R/S'-анализ, представленный на дискете, не в точности подобен процессу, описанному в тексте. Вместо этого использован процесс, описанный в книге Петерса «Фрактальный анализ рынка» (1994). Результаты Л/б’-анализа могут быть смещенными под влиянием двух основных обстоятельств: (1) неста-ционарности данных и (2) наличия процесса с короткой памятью. В частности, процесс авторегрессии 1-го порядка (?1R(1)) является процессом с бесконечной памятью. Таким образом, всегда стоит, перед применением R/S'-анализа взять первые разности, чтобы исключить процесс с короткой памятью. С учетом этой проблемы, перед применением ^/S'-анализа программа формирует из приведенных данных Л7?(1)-разности.
Кроме того, программа вычисляет величины R/S для всех значений п. Если не остается достаточного количества данных для деления нацело на п, то остаток отбрасывается. Когда п мало, это не представляет заметной проблемы. Если мы имеем временной ряд из 500 наблюдений и п = 5, мы имеем для осреднения 100 полных ^/S'-величин. Когда п = 6, мы имеем 86 R/S'-величин и два отброшенных наблюдения. Однако если п = 48, мы имеем 10 R/S'-величин и 20 отброшенных наблюдений При vrpttkhphkm п. все больше и больше данных отбрасывается. Это проявляется в зазубренности двойных логарифмических кривых при больших значениях п. Программа на дискете не использует этот метод. Вместо нее содержится алгоритм, использованный в упомянутой книге 1994 г.
В своей книге 1994 г. я использовал величины п, которые являются делителями общего количества наблюдений. Таким образом, все R/S'-величины используют все данные. Это означает, что множество всех исходных данных должно иногда уменьшаться до числа, которое имеет наибольшее число Де' лителей. Например, 980 имеет больше сомножителей, чем 997-Что же делать с этими избыточными данными? Дополнительный тест на устойчивость, наоборот, отбрасывает начальны6 данные. Предположим, мы имеем 997 наблюдений. Мы снача
Приложение 2
273
ла обрабатываем первые 980 наблюдений, а при втором проходе — последние 980 наблюдений. Так делается потому, что Д/S'-анализ не должен быть чувствительным к началу отсчета в том случае, если имеется достаточное количество данных.
Должен заметить, что эта книга не содержит критериев значимости для Д/5-анализа. Они есть в моей книге 1994 г., и я советую заглянуть в нее всем, кто намерен продолжить и углубить изучение Д/5-анализа.
Предлагаемые по умолчанию файлы данных содержат два временных ряда ценовых индексов Доу Джонса, с января 1888 г. по июнь 1990 г. «DJ5DY Price» является пятидневным ценовым рядом, «DJ20DY Price»—двадцатидневным. Программа создает файл с именем RSOUTPUT.TXT, который содержит п (количество наблюдений) и соответствующую величину R/S. Этот файл должен быть импортирован в электронную таблицу для просмотра и регрессионного вычисления показателя Херста. От пользователя требуется лишь ввести количество наблюдений. Это необходимо только в том случае, если оно отличается от количества наблюдений в файле.
Я также предлагаю начертить кривую в координатах logп — (/?./Sn)/у/п. Такое соотношение (называемое Д-статис-тикой) показывает очевидный максимум, когда R/S перестает расти как корень квадратный из времени. Это часто является признаком существования периодического или непериодического цикла. Этот максимум должен быть нечувствителен к шагу по времени в исходном ряду. В моей книге 1994 г. я нашел, что [/-статистика для файла данных индекса Доу Джонса имеет максимумы на 1000 торговых дней, на 200 интервалах по 5 торговых лней и 50 интервалах по 20 торговых дней. Эти пики были нечувствительны к интервалу, измерений.
Все файлы данных, имеющиеся на дискете, могут быть использованы для исследований. Вдобавок, ряд, полученный Частично Броуновским Движением, также может быть исследован с помощью этой программы R/5-анализа.
Приложение 3
Имитация смещенного случайного блуждания
Федер (Feder, 1988) вывел формулу для создания временного ряда смещенного случайного блуждания,	из последо-
вательности гауссовских случайных чисел. Формула длинная, но не сверхсложная:
(-Н \	(
р(я + .5)) •
+ 52 ((и+*/я ‘5Ь-^Я ‘^) * ^'(i+n(M-i+t)-i) * г=1
В этом уравнении Ei — временной ряд гауссовских случайных чисел, нормально распределенных, со средним значением, равным 0, и стандартным отклонением, равным 1. Однако мы обычно исходим из множества псевдослучайных чисел, порождаемых некоторым алгоритмом; t — целочисленный временной шаг, обычно один период, который делится на п интервалов, чтобы аппроксимировать непрерывный интеграл; М — число периодов, для которых порождается эффект долговременной памяти. Теоретически он должен быть бесконечным, но для целей имитации берется просто достаточно большое М-
Этот алгоритм берет ряд гауссовских случайных чисел и аппроксимирует эффект памяти как скользящее среднее взвешиванием прошлых величин в соответствии с функцией степенного вида. При анализе этого уравнения можно увидеть, что нам необходимо п * М гауссовских случайных переменных, чтобы создать каждый смещенный интервал. Данный алгоритм неэффективен по причине большого объема вычислений, и тем не менее он результативен.
Эта программа, называемая Частично броуновским движением, способна воспринимать временной ряд гауссовских случайных чисел или самостоятельно порождать такой ряД-
Приложение 3
275
Это достигается соответствующей настройкой; значение М может быть выбрано пользователем. Чем больше М, тем лучше результат аппроксимации эффекта «бесконечной памяти», но и тем больше необходимое для вычислений время. В примерах, приведенных в тексте книги, М = 200. Число п не должно быть особенно большим; оно главным образом влияет на кратковременное поведение Вц({), и здесь мы это не рассматриваем. При имитации я брал п = 5, чтобы свести время вычислений до минимума. Таким образом, при имитации, описанной в гл. 7, было использовано 1000 гауссовских случайных чисел для каждого интервала частично броуновского движения.
Эта программа может или порождать новый входной ряд случайных чисел, или использовать файл RAND.TXT, который содержит числа, использованные мной в тексте. Он требует входную величину Н, величину п (кратковременная память, если она отлична от 5), длину памяти М (если она отлична от 200) и значение гамма-функции от (Н + 0.5). Последняя может быть взята из статистических таблиц. Эту величину также вычисляют большинство электронных таблиц. BASIC этого не делает, так что она должна вводиться вручную. В порядке изучения отношения между исходным рядом и его последующими трансформациями полезно начать именно с этого случайного ряда. Выходом является файл, называемый BROWNhh.TXT, где hh равна выбранной величине Н. Так, прогон с Н = 0.72 даст выходной файл с именем BROWN72.TXT.
Этот выход будет эквивалентен доходностям. Выходной гЬайп может быть перенесен в httpktpohhvto таблитту и по нему можно построить график, как это показано на .рис. 7.1. При использовании того же входного файла с различными величинами Н можно получить множество графиков, подобных тем, которые приведены в книге. Они выглядят похожими, если не считать различия в величинах Н. Версия файла накопленных наблюдений даст график, аналогичный представленному на рис. 7.2.
Приложение 4
Вычисление корреляционношЛ ” ч
Эта VBASIC-программа является инструментом для уравнения (12.2), которое вычисляет корреляционные интегралы временного ряда. Она невелика, но обрабатывает большое количество данных. Поэтому она может требовать много времени даже на высокопроизводительном компьютере. Вычисление само по себе несложно. Программа восстанавливает фазовое пространство для заданной пользователем размерности
вложения и временного лага и вычисляет определенное количество точек на расстоянии R одна от другой внутри этого восстановленного фазового пространства. Затем вычисляется вероятность того, что некоторые две выбранные случайно в полном множестве точки данных будут находиться в пределах этого расстояния R. Программа выполняет расчеты для возрастающих величин R. Таким образом, для каждого R она должна проверить расстояния между всеми точками попарно, чтобы определить, укладывается ли оно в пределы R. Эта процедура выполняется также для возрастающих размерностей вложения.
Данная программа и программа вычисления наибольшего показателя Ляпунова, следовательно, имеют одинаковый начальный этап. Сначала должно быть восстановлено фазовое пространство. Рекомендации по выбору параметров даны в тексте. Затем программа работает в восстановленном фазовом пространстве.
1. Восстановление фазового пространства. По умолчанию берется файл SPCPI.TXT для отображения Хенона, который генерирует 1000 точек аттрактора. Этот файл совпадает с инфляционно детрендированным файлом S&P 500, использованным в тексте книги. Восстановление фазового пространства требует введения количества наблюдении (NPT, вычисляемого в используемых неисполняемых файлах), желаемой размерности вложения (DIMEN) и временного лага (TAU). Выберите эти величины в соответствии
Приложение 4
277
с рекомендациями, данными в тексте книги. Для запуска программы нажмите кнопку «Reconstruct».
2. Вычисление корреляционной размерности. Эта программа берет восстановленное фазовое пространство заданной размерности вложения и вычисляет корреляционные размерности. Вы должны ввести начальное расстояние (R) и интервал расстояния (DT), как это описано в тексте книги. Я рекомендую взять R и DT равными 10% разности между максимальной и минимальной величинами исходного временного ряда. Для запуска вычислений нажмите кнопку «Compute».
Выходной файл CORRDIM.TXT напечатает расстояние (R) и корреляционный интеграл (СД) в колонке для этой размерности вложения. Нажмите кнопку «View» для изучения выходных данных.
Файл CORRDIM.TXT должен быть переведен в электронную таблицу. Двойная логарифмическая кривая выходного файла даст график, подобный графику рис. 12.2 для аттрактора Хенона. Линейная регрессия применяется к линейному участку этой двойной логарифмической кривой. Ее наклон есть оценка корреляционной размерности. Для аттрактора Хенона размерность вложения известна, поэтому требуется только один ряд в этой размерности. Однако для экспериментальных данных, подобных рыночному временному ряду, размерность вложения нам не известна. Следовательно, мы должны запускать программу неоднократно, увеличивая величины DIMEN до тех пор, пока регрессия не сойдется к единственной величине, как это описано в гл. 13. Эта конвергенция должна произойти до того, как размерность станет слишком большой. В противном случае можно заключить, что данные слишком разрежены для того, чтобы в линейной области подходила двойная логарифмическая кривая. Если налицо такой случай, значит требуется больше данных для оценки размерности, как об этом было сказано в гл. 12 и 13.
Приложение 5
Вычисление наибольшего показателя Ляпунова
Эта программа для VBASIC является адаптацией Фортран-программы Уолфа для вычисления наибольшего показателя Ляпунова временного ряда наблюдений одной переменной. Программа реализует уравнение (12.4), используемое в гл. 13. Для нахождения подходящих величин она требует большого количества численных экспериментов. Программа прослеживает разбегание двух точек при их движении во времени. Пользователь задает входной файл временного ряда, и система, во-первых, восстанавливает фазовое пространство для указанных размерности вложения и временного лага, как это было сделано в Приложении 4. В главе 12 даны рекомендации относительно выбора этих параметров.
В главах 12 и 13 содержатся советы по выполнению такого анализа. Перед тем как приступить к работе с программами, читателю предлагается перечитать эти главы. Пользователь также задает время развития (EVOLVE), нужное для измерения расходимости. Это время должно быть достаточно малым, чтобы измерять расходимость, не измеряя при этом складки. Однако, если оно будет слишком мало, потребуется много компьютерного времени. Допустимое максимальное разбегание до замены точки (SCALMX) должно составлять 10% разности максимальной и минимальной величин временного ряда. Для выбора минимальной дивергени-ции (SCALMN) не существует правила, и я брал ее как 10% от SCALMX, но этот выбор зависит от уровня шума, который ощущается пользователем в множестве данных.
Эта программа создает файл, который имеет оценку показателя Ляпунова, точность которой зависит от времени эволюции и текущего расстояния между близлежащими точками. Программа проводит тщательный выбор точек замены, когда пара расходится на расстояние, превышающее SCALMX. В поисках точек замены программа выполняет поиск всех точек файла, которые имеют больший SCALM, чем имелся вначале, и также имеют угол, близкий к начальной
Приложение 5
279
точке, ввиду того что мы измеряем траектории в фазовом пространстве. Время, потребное для выполнения этой программы, зависит от размерности вложения и времени развития процесса (EVOLVE).
Программа работает следующим образом:
1. Восстановление фазового пространства. Эта программа использует процедуру восстановления фазового пространства и файлы, которые применялись при расчете корреляционного интеграла (см. Приложение 4). Для начала работы нажмите кнопку «Setup».
2. Вычисление наибольшего показателя Ляпунова. Вы должны ввести минимальное отклонение (SCALMN), максимальное отклонение (SCALNX), время развития (EVOLVE) и минимальное время между парами (я рекомендую, по крайней мере, одну полную орбиту). Вы можете ввести также «Интервал временного ряда», т. е. желаемый интервал между отдельными наблюдениями. По умолчанию это 1, но если вы решили брать каждое третье наблюдение, то введите 3. Для начала работы нажмите «COMPUTE» Используйте «VIEW» по завершении вычислений. Программа создаст файл под названием LYAPUFET.TXT.
Эта программа позволяет использовать оригинальный алгоритм Уолфа из первого издания книги либо более поздний алгоритм из работы Уолфа. Последний предусмотрен по умолчанию. Для выбора старого алгоритма выберите в диалоговом окне «original code».
Страничка Алана Уолфа в Интернете содержит программа тта языке «С» и дополнительные сведения из оригинальных работ Уолфа и его сотрудников. Адреса приведены в Приложении 6.
Приложение 6
Ресурсы Интернет
Я не знаю более выдающегося достижения за время, прошедшее со дня первого издания этой книги, чем развитие сети Интернет. Она сделала коммуникации легкими и повсеместными. Например, Майкл Корнинг переписал оригинальные Бейсик-программы из первого издания на VISUAL BASIC и создал страничку FMA (Fractal Market Hypothesis), при том что мы с ним не встречались, ограничиваясь электронной почтой и редкими телефонными разговорами.
Стала доступной несметная и разнообразная информация. Для удобства читателя в этом приложении приведен список некоторых из того множества доступных ресурсов, которые имеют отношение к нелинейным исследованиям. Это только для начала. Я решил ограничить этот список Мировой Паутиной WWW. Большинство сайтов указывают на другие сайты, которые возникают ежедневно. Никто не может сказать, сколько их будет, когда книга выйдет из печати.
Санта Фе институт http://chaos.santefe.edu/
Наиболее широко известный центр нелинейных исследований.
Центр Пригожина	http://chaob.ph.utcxas.edu/
Менее известное, но высококвалифицированное учреждение. Директор — Илья Пригожин.
Домашняя страница http://www.users.interport.net
Алана Уолфа	/ ~ wolf/
Тот самый Алан Уолф, который разработал алгоритм для вычисления показателей Ляпунова временного ряда-Здесь предложены новые версии этой программы.
http: //industrialstreet.com
Метасвязь хаоса
/ chaos//metalink.htm
Связи со многими сайтами, имеющими отношение к следованиям хаоса.
Приложение 6
281
Библиография хаоса http://www.uni-mainz.de/FB
/Physic/Chaos/chaos.bib.html
Это именно библиография, используемая аспирантами. Она в основном имеет отношение к физическим наукам.
Группа фракталов	http.://www-syntim.inria.fr
/fractales
Множество ресурсов, имеющих отношение к фракталам.
Вэйвлеты	http://www.mat.sbg.ac.at/~
uhl /wav.html
Посвящено популяризации вэйвлетов.
Журнал нелинейной http.//www.spring-ny.com/nst/ науки
(Journal of Nonlinear Science)
Сложность	http://life.anu.edu.au/ci/ci.html
(Comlexity International)
Два лучших онлайновых журнала, посвященных нелинейным исследованиям.
Фрактальный анализ http://oara.org/mpc/fma рынка, домашняя страница
Эта страница сделана Майклом Корнингом. Она посвящена популяризации гипотезы фрактального рынка, которая описана в двух моих книгах. Мы намерены консультировать, предоставлять программы ч данные Я буду посылать на этот сайт изменения (включая опечатки).
Эдгар Петерс, адрес в	epeters@panagora.com или
электронной почте	eepeters@ix.netcom.com
Не стесняйтесь задавать мне вопросы, критиковать и даже дискутировать.