Text
                    А. Киеелевъ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТР1Я
ДЛЯ СРЕДНИХЪ УЧЕВНЫХЪ ЗАВЕДЕН1Й.
Съ прилсжешемъ большого количества упражнетй и статьи: Глав*
?Mi методы рЬшен1я геометрическихъ задачъ на построеше,
Пзданге двадцать третье.
Допущена Уч. Ком. М. Н. Пр. въ качеств^ руководства для соепнихъ
учебныхъ заведешй, мужскихъ и женскихъ („Журн. М. Н.П " 1913, апрель),
рекомендована Учебн. Ком. при Св. Синода для употреблешя въ духов-
ныхъ семинар1яхъ въ качествЪ учебнаго пособ!я („Церк. Въд.а, 1893, № 32);
ОДОбрена Деп. Торг. и Мануф. для коммерческихъ училищъ въ качеств-в
пособ1я (изв4щен1е отъ 30 мая 1898 г., № 14128). Рекомендована, какъ
РУКОВОДСТВО для кадетскихъ корпусовъ.
с
ее
Из дан i е Т- в а
ПОДЪ ФИРМОЙ
„В. В. Думновъ—наел. Бр. Салаевы^
-on
аб
i
an
cra-
МОСКВА.
Типография П. П. Рябушинскаго, Страстной бул1варь, собственный домъ.
19 14"
A°)
¦ч':
к
\Ч
' I A


Изъ предиелов!я къ первому издан!ю. A892 г.). Главнййппя особенности предлагаемого руководства геометрш со- состоять въ сл'Ьдующемъ. 1. Въ большинстве нашихъ учебниковъ геометрш поняйе о длине окружности и вообще о кривой лиши принимается за элементарное, не требующее никакихъ оговорокъ и разъяснешй, и выводъ, что длина окружности есть предЬлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, основывается на скрытомъ допущенш или на не строго доказываемой теореме, что объемлющая лшпя длиннее объемлемой. Въ предлагаемомъ руководстве, въ согласш со многими авторитетами учебно-математической литературы, про- проведено иное воззрите, которымъ признается, что понятие о длине элементарно только въ прим^ненш къ прямой; но когда речь идетъ о сравненщ конечной кривой съ прямолинейнымъ отрезкомъ, тогда (вотЬдствхе несовместимости элементовъ кривой съ элементами пря- прямой) понят1е о длине становится сложнымъ и требуетъ опредЪлешя *). Сообразно этому взгляду мы не доказываемъ, а принимаемъ за опре- дЬлеше, что длиною конечной кривой называется пред'Ьлъ периметра вписанной ломаной лиши, когда стороны ея стремятся къ нулю. Ко- Конечно, въ среднихъ классахъ учебныхъ заведешй было бы затрудни- затруднительно вполне обосновать это опредйлеше, т.-е. доказать, что такой предЬлъ существуетъ и что онъ не зависитъ отъ закона вписывашя ломаной линш; но въ педагогическомъ отношенш, какъ намъ ка- кажется, н-Ькоторые пробелы въ доказательств^ не скрываемые, впро- чемъ, отъ учащихся) не им-Ьютъ такого вреднаго значен!я, какъ неопределенность, неясность и сбивчивость въ ^цонятаяхъ, а т^мъ бол^е въ основныхъ. При повторен!и геометрш въ старшемъ классе (озобенно въ реальныхъ училищахъ, где въ седьмомъ классе пола- *) Огсылаемъ i нтер^сующихся этимъ вопросом!» къ статьb M. По п ружен к о «О длип'Ь», пом-Ьц1ен 1»>й вь «ВЬстнякЬ опытной и элементарной математик^» A691 г. NLNs 122 и Г-В).
— IV — гается обстоятельно пройти статью о пред'Ьлахъ) ученики не затруд- затруднятся усвоить и необходимое обосноваше указаннаго определешя (оно помещено нами въ мелкомъ шрифте), ЗалгЬтимъ еще по тому же вопросу о длине, что, придерживаясь «Началъ Эвклида» и лучшихъ современныхъ иностранныхъ учебни- ковъ, мы не приписываемъ прямой лиши, какъ а к с i о м у, свойства быть короче всякой другой лиши, проведенной между кон- концами прямой, а доказываемъ эту истину въ гёхъ м-Ьстахъ курса, где въ этомъ является надобность и возможность, сначала въ прим-Ьнеши къ ломаной, а потомъ и къ кривой. И дМствительно, разъ мы стали на ту точку зр-Ьтя, что длина кривой есть понят1е сложное, раз- разрешающееся только при посредстве другого сложнаго понят— о пределе, становится совершенно невозможнымъ принимать за оче- очевидную истину такое предложеше, однимъ изъ терминовъ котораго служить это вдвойне сложное поня™. Съ другой стороны, и н-Ьтъ- логической необходимости въ предварительномъ призна- нш принципа Архимеда, такъ какъ онъ вполне строго доказываетсд. на ряду съ другими теоремами. 2. Въ согласш съ изложеннымъ взглядомъ на длину кривой линш, мы полагаемъ также, что кривыя поверхности, вслгЬдств1е несовме- несовместимости ихъ элементовъ съ элементами плоскости, не могутъ быть непосредственно сравниваемы съ плоскими поверхностями; поэтому мы не доказываемъ, что поверхность крутлаго гЬла есть пред^лъ некоторой плоской поверхности, а принимаемъ это предложеше за о пределен! е, Зам^тимъ, что аналогичный вопросъ по отношенш къ площадямъ криволинейныхъ фигуръ или по отношен!ю къ объемамъ, ограничен- нымъ кривыми поверхностями, разрешается совсемъ иначе. Въ са- момъ деле, мы совершенно ясно представляемъ себе, что площадь круга больше площади вписаннаго многоугольника, какъ целое больше своей части, и меньше площади описаннаго многоугольника, какъ часть меньше целаго; и далее, что при неограниченйомъ удвоенш числа сторонъ вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ разность между ихъ площадями стремится къ нулю; поэтому предложеше: «площадь круга есть общШ пределъ площадей правильныхъ впиеан- ныхь и-описанныхъ. многоугольниковъ» должно быгь рассматриваемо не к$къ оцределеше, а какъ теорема, подлежащая доказательству. То же самое можно сказать юбъ объеме цилиндра, конуса и ша/ра.
у 3. Какъ известно, въ алгебре существуютъ статьи, которыя могутъ быть стрэгч^обоснованы въ элементарномъ курсЬ, но безъ которыхъ этотъ курсъ не обходится (напр., д'Ьйств1я надъ несоизме- несоизмеримыми числами). Въ элементарной геометрш къ такого рода статьямъ относится с по с j)J) ъ пределов ъ. Дня строгаго доказатель- ства этого способа потребовалось бы ввести въ курсъ геометрш теорш предЬловъ- почти въ такомъ размере, въ какомъ эта статья проходится въ седьмомъ классЬ реальныхъ училищъ. Чтобы научно обосновать, наприм'Ьръ, нахождеше предала формулы объема усеченной пирамиды [\Z=1/3H(B-fb+КВЬ)], следовало бы предварительно установить теоремы о пределе суммы, произведешя и корня, а для этого, въ свою очередь, пришлось бы ввести некоторый теоремы о безконечно- малыхъ величинахъ. Само собою разумеется, что въ такомъ виде статья о пределахъ не можетъ быть пройдена въ среднихъ классахъ нашихъ учебныхъ заведешй. Съ другой стороны, обойтись совсемъ безъ способа пределовъ въ элементарной геометрш невозможно. По необходимости здесь приходится поступиться строгостью изло- жешя въ пользу его краткости и доступности. Поэтому мы сочли за лучшзе, доказавъ две известныя теоремы о пределахъ, указать затемъ безъ доказательства основной принципъ способа пределовъ, состоящш въ томъ/ что равенство, верное при всевозможныхъ значе- Я1я?ъ переменныхъ, остается вернымъ и тогда, когда вместо пере- менныхъ подставимъ ихъ пределы. 4. Въ большинстве русскихъ о эигинальныхъ учебниковъ геометрш теоремы о равзнётвЬ несоизмеримыхъ отношен1й доказываются отъ протявнагэ. Мы предпочли другой путь. Прежде чемь доказывать равенство, необходимо точ|ю установить, что разумеется подъ этимъ терминомъ. Если же поставимъ вопросъ, что такое равенство не- соизмеримыхъ отношешй, то наибол:ее простой, ответъ на него будетъ следующ1й: несоизмеримыя отношешя считайся равными, если равны ихъ приближенныя значен1я, вычисленныя ^произвольною, но одинаковою точностью. Принявъ это предложеше s$v определешё равенства, мы не нуждаемся более въ косвенномъ и тяже^омъ до- доказательстве отъ противнаго; его всегда можно заменить'н^ямымъ доказательствомъ, и йолее простымъ, и более яСнымъ. 5. Некоторыя статьи изложены въ предлагаемомъ руководстве, какъ кажется, проще, чемъ въ распространенныхъ нашлхТучёбни- кахъ. Таковы, напр., статьи: о параллельныхъ прямыхъ, объ отно-
- VI — рительномъ полоясенш окружностей, о пропорщональньт* лишяхъ, о правильныхъ многоугольникахъ, о нахождеши объема всякаго параллелепипеда, о подобш многоутольниковъ и некоторый друп.т. Сравнительная простота достигается н'Ькоторымъ изм1шешемъ въ рао предйленш матер!ала, а иногда упрощешемъ пр1емовъ доказательства. Книга снабжена значительнымъ количествомъ упражнешй, состоя- щихъ частш изъ н'Ькоторыхъ, не вошедшихъ въ текстъ, но пред- ставляющихъ интересъ теоремъ, а главнымъ образомъ изъ задачъ на построеше и вычислеше. Въ концЪ плаииметрш мы поместили *) н4- которыя задачи на вычислеше изъ «Сборника геометр и- ч е с к и х ъ задачъ для повторительнаго курса п л а н и м е т р i и» г. М. Попруженко. Эти задачи обладаютъ прежде всего гЬмъ достоинством!*, что онЬ содер.клтъ много чисто геометрическаго матер!ала, а не представляютъ собою только ариометическихъ или алгебраическихъ упражненШ съ гео- геометрическими данными. Въ концЪ курса, въ видЬ дополнешя, мы сочли не липшимъ приложить небольшую статью о методахъ ptmeHifl геометрическихъзадачъ на построе- н i е съ 1 р м-рами задачъ, рйшаемыхъ этими методами. Существую- щ!е у насъ сборники подобнаго рода, устрашая учащихся своимъ объемомъ, употребляются ими лишь въ р'Ьдкихъ случаяхъ. Мы изло- изложили въ самомъ сжатомъ видЪ только главн^йппе методы и пом^тлли наиболее типичныя задачи. СлЪдуя учебнымъ планамъ гимназ1й и реальныхъ училищъ, мы по- М'Ьщаемъ основныя задачи на построен1е и вычислеше въ самомъ тексгЬ книги непосредственно посл-Ь т-Ьхъ теоремъ, на которыхъ основано ихъ piineHie. Въ сокращенномъ вид'Ь мы указываемъ также сущность приложешя алгебры къ геометрш и построен1е прост^й- шихъ алгебраическихъ формулъ. Считаемъ не липшимъ сделать следующее зам4чан1е. Съ точки зрйтя строгой теор1и къ задачамъ на построеше возможно цристу- пить только тогда, когда ученики усвоили основныя предложения объ окружности. Но съ педагогической точки зрйшя это едва ли было бы удобно: отодвинуть практичесшя упражнешя такъ далеко отъ начала курса значило бы сделать начало геометрш, и безъ того трудное для начинающихъ, еще болЪе сухимъ и тяжелымъ. Мы поступились *) Съ еоглао1я соотавителя.
— VII — строгостью въ пользу практическая интереса и пометили основныя задачи на йостроете тотчасъ посл'Ь разсмотр-Ьшя свойствъ треуголь- никовъ. Книга напечатана двумя шрифтами: въ обыкновенномъ изложена все то, ч?о должно быть пройдено "въ^среднихъ классахъ, въ мел- комъ—то, что желательно дополнить при повторены геометрш въ старшемъ классЬ. Предиелов1е къ 21-iyiy издан!ю. A912 г.). 21-е издаше «Элементарной геометр!и» значительно переработано сравнительно съ издашями предыдущими. Главн-Ьйпия шзжкЕелхя отЬдуюцця (перечисляемъ ихъ въ порядки отЬдовашя параграфовъ). 1°. Въ начали главы «Параллельныя прямыя», раньше опредЪ- лен]Я такихъ прямыхъ, поставлена вспомогательная лемма (§ 73) о взаимной связи извЪстныхъ 5-и соотношешй между углами, обра- образующимися при пересЬченш двухъ прямыхъ третьего. Предвари- Предварительное установлеше этой связи, не представляя собой большой трудности для учащагося, значительно облегчаетъ усвоеше даль- дальнейшей теорш параллельныхъ прямыхъ. Изложеше самой этой Teopin тоже отличается теперь отъ прежняго. Такъ, ран-Ье опред-Ьлешя параллелизма мы показываемъ (§ 74) возможность сущзствовашя такихъ прямыхъ, которыя не пересЬкаются, сколько бы мы ихъ ни продолжали; загЬмъ мы сначала указываемъ признаки параллельности прямыхъ (§ 76), а уже пэтомъ излагаемъ, въ вид"Ь обратной теоремы (§81), свойства параллельныхъ прямыхъ, а не наоборотъ, какъ это делалось въ предыдущихъ издашяхъ. Иначе, чЪмъ прежде (болйе общимъ способомъ) доказывается теорема (§ 77), что «черезъ всякую точку, лежащую внй прямой, можно провести параллельну!ю этой прямой»; излагаемый теперь пр1емъ доказатель- доказательства даетъ больше возможности выяснить (§ 78) логическую потреб- потребность въ изв^стномъ постулат-Ь параллельныхъ прямыхъ (§ 79). Признаки непараллельности прямыхъ (§ 83) изложены теперь ни- нисколько подробнее, чЪмъ прежде.
- VIII - Въ конце главы о параллелъныхъ прямыхъ мы поместили теперь (мелкимъ шрифтомъ) добавлеше, могущее, какъ намъ кажется, за- заинтересовать многихъ любознательныхъ учениковъ: «О постулате нараллельныхъ лише»; въ этомъ добавленщ мы даемъ понят о важной роли этого постулата, а также и о «не-Эвклидовыхъ» гео- 2°. Въ главе «Параллелограммы и трапецш» мы теперь излагазмъ и гЬ теоремы, доказательство которыхъ въ предыдущихъ издашяхъ предоставлялось самимъ учащимся; таковы, напр., обратныя теоремы: «всяшй четыреугольникъ, котораго д!агонали делятся пополамъ, есть параллелограммъ» (§ 101), «всяшй параллелограммъ, у котораго д1агонали равны, есть прямоугольникъ» (§ 105), и т. п. 3°. Въ глав-Ь «Свойства касательной» бол-Ье подробно и система- уично^ чфмъ прежде, разсматривается относительное положеше пря- прямой и окружности (§ 135), вслед cTBie чего дальнейшее изложеще свойствъ касательной упрощается. Въ той же глав'Ь теперь мы по- подробно излагаемъ (§ 142) доказательство (которое прежде предо- предоставлялось самимъ ученикамъ) правильности решетя задачи о про- веденш касательныхъ,. общихъ двумъ даннымъ окружностямъ, 4?., Въ глав'Ь «Изм-Ьреше величинъ» несколько упрощено (§ 156) доказательство теоремы о несоизмеримости основашя и боковой стороны равнобедреннаго треугольника, у котораго уголъ при осно- ваши равенъ 2/5d, а такше добавлена (мелкимъ шрифтомъ, § 157) классическая теорема о несоизмеримости дигонали квадрата съ его стороной. 5°. Въ книге III подоб1е треугольниковъ отделено отъ подоб1я многоугольниковъ более, чемъ это делалось прежде, причемъ; рацее определен!й подоб!я техъ и другихъ, предварительно устанавли- устанавливается (въ леммахъ §§ 196 и 205), возможность существовашя техъ фигуръ, о которыхъ будетъ затемъ говориться въ определешяхъ. 6°. Существенному измененш подверглось доказательство теоремы Птоломея. Въ прежнихъ издашяхъ эта теорема (§ 215 прежнихъ издашй) излагалась мелкимъ шрифтомъ, какъ следств!е изъ формулъ, найденныхъ раньше, путемъ довольно сложныхъ вычислен^, для диагоналей вписаннаго четыреугольника; теперь мы даемъ классиче- классическое доказательство () 242) этой весьма важной теоремы и излагаемъ .ее обыкновеннымъ шрифтомъ. Вычислеше же д!агоналей вписаннаго четыреугольника (оставляя его въ мелкомъ шрифте) мы основы-
— IX — ваемъ на теорем* Птоломея и на другой, добавленной теперь (§ 244)> объ отношенш д1агоналей такого четыреугольника. Н*которымъ изм*нешямъ (и дополнешямъ) подверглись также тео- теоремы о пропорщональныхъ лишяхъ въ круг* (§§ 246, 247, 248, 249). 7°. Несколько изменено изложеше опред*лешя длины окруж- окружности и ея частей (§ 286) и упрощено доказательство теоремы (§^188) г что «длина дуги больше стягивающей ее хорды, но меньше всякой ломаной линш, описанной около этой дуги и имеющей съ нею одни и т* же концы». 8°. Существенно переделано теперь изложеше теоремы: «площадь прямоугольника равна произведенш его основашя на высоту» (§ 305). Въ предыдущихъ издашяхъ доказательство этой теоремы основы- основывалось на двухъ предварительныхъ леммахъ объ отношен1и площадей прямоугольниковъ, причемъ приходилось перемно- перемножать между собою дв* пропорцш, сокращая посл*дуюшдй членъ. одной пропорцш съ предыдущимъ членомъ другой, т.-е. приходилось скрытымъ образомъ предполагать, что площади, представляющая собою эти члены, уже выражены числами. Теперь мы даемъ прямое, бол*е строгое и вм*ст* съ т*мъ бол*е ясное, доказа- доказательство этой теоремы и только, какъ сл*дств!е изъ нея, выводимъ (§ 306) заключеше объ отношенш площадей двухъ прямоугольниковъ. 9°. Въ начал* главы «Площади многоугольниковъ» мы поместили зам*чаше (мелкимъ шрифтомъ, § 301), указывающее на важный вопросъ, возникающей относительно основныхъ допущешй о пло- щадяхъ, а также дали наглядное поняйе о томъ (§ 303), что сл-Ьдуетъ разуметь подъ числомъ, измЬряющимъ какую-нибудь данную площадь въ квадратныхъ единицахъ. 10°. Въ н-Ькоторыхъ случаяхъ, не ограничиваясь ойычнымъ до- казательствомъ равновеликости фигуръ, мы дали дополнительное зам^чаше о возможности разложен1я этихъ фигуръ на соот- соответственно конгруентныя части (въ § 309—о превращенш параллелограммовъ, въ § 312—о превращеши треугольника въ прямо- угольникъ и въ § 315—о превращенш трапещи въ прямоугольникъ). 11°. Для большей наглядности мы привели третье доказатель- доказательство теоремы Пиеагора (§ 321), показывающее, какъ разложить сумму квадратовъ, построенныхъ на катетахъ, на ташя части, изъ кото- рыхъ, перем'Ьщешемъ ихъ, можно образовать квадратъ, построенный на гипотенуз*.
12°. Въ стереометрш, въ глав'Ь «Перпендикуляръ и наклонныя», ради большей систематичности, мы поместили теперь и ту теорему (изъ точки, взятой вн^ плоскости, можно опустить на эту плоскость перпендикуляръ), которая въ предыдущихъ издашяхъ отрывалась отъ родственной ей теоремы (изъ точки, взятой н а п.л о - скости, можно возставить къ этой плоскости перпендикуляръ), и доказывалась позже, въ конц'Ь главы о параллельныхъ прямыхъ. 13°. Известное предложеше о трехъ перпендикулярахъ, которое прежде излагалось нами, какъ лемма (§ 321 прежнихъ изданш), теперь поставлено въ вщгб самостоятельной теоремы въ концъ1 главы о перпендикуляр^ и наклонныхъ (§ 359). 14°. Изложеше главы «Объемъ призмы и пирамиды» изменено теперь въ соотвйтствш съ изм'Ьнешемъ главы о площадяхъ; такъ, объемъ прямоугольнаго параллелепипеда находится непосредственно, а не на основаши двухъ леммъ объ отношенш объемовъ, какъ это делалось прежде. Мы перечислили только главнМипя измйнетя, сд'Ьланныя въ 21-мъ изданш. Есть много другихъ болйе мелкихъ отличш, введен- ныхъ главнымъ образомъ съ 1гЬлъю достигнуть большей ясности изложешя или большей точности въ формулировки определен!й и теоремъ. Кром'Ь того, частью съ ц'Ьлью выполнить всЬ требовашя офи- щальныхъ программъ, а главнымъ образомъ съ 1гЬлью удовлетворить любознательность учениковъ, мы ввели и некоторые новые параграфы и даже Ц'Ьлыя главы; напр., о симметрш фигуръ (§§ 33, 102, 109, 264), о постулатъ1 параллельныхъ линш (§§ 91—95), о признакахъ, не- обходимыхъ и достаточныхъ (§ 187), о фигурахъ, подобно распо- ложенныхъ (гомотет1я §§ 211—218), объ однородности уравненш, получаемыхъ при р-Ьшеши геометрическихъ задачъ (§ 342), о по- строен1и корней квадратнаго уравнешя (§ 343), опредйлеше проэкщи прямой на плоскость (§ 394) и некоторые друие.
Предиелов1е къ 22-му издашю- Приступая %ъ 22-му издатю, мы тщательно просмотрели изло- жеше предыдущаго издашя съ целью устранить все замеченныя опечатки, а также и неточности, неясности или шероховатости слога. При этомъ, для большей полноты или для достижешя большей ясно- ясности и большей строгости изложешя, пришлось сделать нЪкоторыя неболышя измйнетя и добавлешя (последшя, главнымъ образомъ, въ мелкомъ шрифте). Укажемъ главнейния изъ нихъ. Къ § 35 сделана выноска, въ которой разъясняется, что конгруенщя на плоскости различается двухъ родовъ: прямая и не-прямая. Въ § 130 добавлены 2 слгЬдств1я, представляющая собою предло- жешя, обратныя теореме 1° этого параграфа. Въ нихъ встречается надобность при доказательстве теоремы 2° (обратной) § 138, введен- введенной для обосновашя содержащагося въ § 258 построешя правильнаго описаннаго многоугольника, стороны котораго параллельны сторо- намъ правильнаго вписаннаго многоугольника. Въ выноск-Ь къ § 224 указано иное отложеше прямыхъ а, в и с> къ которымъ отыскивается 4-ая пропорциональная. Равнымъ образомъ, въ выноске къ § 255, 3° указывается другой способъ построешя 3-й пропорциональной. Въ конце того же § 255 добавлена выноска, въ которой говорится о невозможности решешя помощью циркуля и линейки задачи о б ъ у дв оен1и куба. Въ § 301 добавлены два замечашя B° и 3°), въ которыхъ разъяс- разъясняется, что равноведикость фигуръ можетъ быть двоякаго рода: равновеликость «по разложенш» и равновеликость «по дополненш». Къ § 433 добавлена выноска о томъ, что равновеликость двухъ пирамидъ, имеющихъ равновелишя основашя и равныя высоты, не можетъ быть сведена ни на равновеликость «по разложенш», ни на равновеликость «по дополиенш». Изложеше §§ 299 и 300 («Основныя допущешя о площадяхъ») теперь несколько более систематизировано; то же самое сделано и относи- относительно изложешя соответствующихъ §§ 422 и 423 объ объемахъ. Изменено изложеше конца § 429 съ целью подробнее, чемъ было прежде, выяснить, что отрезокъ KS представляетъ собою высоту параллелепипеда. Весьма мнопе чертежи для 22-го издашя переделаны вновь съ целью ихъ улучшешя.
— XII — 23-е* издаше существенно не отличается отъ издашя 22-го; лишь въ немногихъ мйстахв несколько улучшено изложеше (напр., о перпендикуляр^ и наклонныхъ, §§ 59,1? 59,2 и 60), или сделаны неболыщя добавлешя (напр., § 160,2 ,,0 пропорщи").
ВВЕДЕШЕ. Математичесшя предложен'm. 1- Во всякой математической науки могутъ встретиться сл'Ьдуюпця предложен1я: Определения. Такъ называютъ предложешя, въ которыхъ разъясняется, какой смыслъ придаютъ тому или другому вы- раженш или названш. .Наприм., въ ариеметикФ мы встрФ- чаемъ опред^летя наименьшаго кратнаго, общаго наиболь- шаго делителя, и т. п. Аке1омы. Такъ называютъ истины, которыя, всл^дств1е своей очевидности, принимаются безъ доказательства. Таковы, напр., предложетя: Если двФ величины равны порознь одной и той же третьей величин^, то они равны и ^между собою. Если къ равнымъ величинамъ придадймъ поровну, или отъ равныхъ величинъ отнимемъ поровну, то равенство не нару- нарушится. Если къ неравнымъ величинамъ придадймъ поровну, или отъ неравныхъ величинъ отнимемъ поровну, то смыслъ неравенства не изменится, т.-ее большая величина останется большей. Теоремы. Такъ называются предложешя, которыхъ истин- истинность обнаруживается только поели н^котораго разеуждешя (доказательства). Прим^ромъ можетъ служить ариеметическая истина: «если сумма цыфръ делится на 9, Td число' делится на 9». CjitACTBifl. Такъ называются предложешя,.которыя соста- вляютъ непосредственный выводъ изъ аксюмы или теоремы. Напр., изъ теоремы: «въ пропорщи произведете крайнихъ членовъ равно произвёдетю среднихъ», выводится сл'Ьдствхе: «крайн1й членъ пропорщи равенъ произведешю среднихъ чле- членовъ, деленному на другой крайни».
2 2. Составъ теоремы. Во всякой теоремй можно раз- различить дв4 части: услов1е и заключеше. У с л о в i e выражаете то, что предполагается даннымъ; заключен1е — то, что требуется доказать. Напр., въ теорем^: «если сумма цыфръ де- делится на 9, то число делится на 9», услов1емъ служить первая часть теоремы: «если сумма цыфръ делится на 9», а заклю- чешемъ—вторая часть: «то число делится на 9»; другими словами, намъ дано, что сумма цыфръ н^котораго числа де- делится на 9, а требуется доказать, что въ въ такомъ случай и само число делится на 9. Услов1е и заключеше теоремы могутъ иногда состоять изъ н'Ьсколькихъ отд'Ьльныхъ условШ и заключенШ; напр., въ теорем^: «если число делится на 2 и на 3, то оно разделится на 6», услов!е состоитъ изъ двухъ частей: если число делится на 2 и если число делится на 3. Полезно заметить, что всякую теорему можно подробно вы- выразить словами такъ, что ея услов1е будетъ начинаться сло- вомъ «е с л и», а заключеше — словомъ «т о». 3. Обратная теорема. Теоремою, . обратною данной теорем^, наз. такая, въ которой услов1емъ поставлено заклю- заключеше или часть заключешя данной теоремы, а заключешемъ— услов!е или часть услов1я данной теоремы» Напр., слгЬдующ1я теоремы обратны другъ-другу: Если число делится на 9, то сумма цыфръ делится Если сумма цыфръ делится на 9, т о число делится на 9.- на 9. Если одну изъ этихъ теоремъ назовемъ прямою, то дру- другую сл^дуетъ назвать обратною. Въ этомъ примири об? теоремы, и прямая и обратная, ока- оказываются верными. Но такъ бываетъ не всегда. Напр., теорема:* «если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на то же число» — вЪрна, но неверно обратное предложеше: «если сумма делится на какое-нибудь чигло, то каждое слагаемое разделится на него». 4. Противоположная теорема. Теоремою, противо- противоположною данной теорем^, наз. такая, которой yonoBie и за- заключеше представляютъ отрицан1е услов1я и заключен1я
— 3 — данной теоремы. Напр., теорем^: «если сумма цыфръ делится на 9, то число делится на 9» соответствуете такая противопо- противоположная: «если сумма цыфръ Н6 делится на 9, то число HG де- делится на 9». Й здгЬсь должно заметить, что верность прямой теоремы еще не служитъ признакомъ верности противоположной; напр., противоположное предложеше: «если каждое слагаемое н е де- делится на одно и то же число, то и сумма н е разделится на это число»,— не вйрно, тогда какъ прямое предложеше в^рно. б. Зависимость между теоремами: прямой, обратной И ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ. Для лучшаго уяснешя этой зависимости выразимъ теоремы сокращенно такъ: 1°. П р я м а я теорема: если есть Л, то есть и В. 2°. Обратная теорема: если есть В, то есть и А. Б°. Противоположная прямой: если н'Ьтъ Л, то н'Ьтъ и В. 4°. Противоположная обратной: если нЪтъ В, то нЪтъ и А. Легко обнаружить, что предложешя первое и четвертое обра- обратимы одно въ другое, равно какъ второе и третье. Действительно, изъ предложешя: «если есть А, то есть и В», непосредственно сл'Ьдуетъ: «если нгЬтъ В, то н'Ьтъ и А» (такъ какъ если бы А было, то, согласно первому предложешю, было бы и В); обратно, изъ предложешя: «если Н'Ьтъ В, то н'Ьтъ и А», выводимъ: «если есть А, то есть и Б» (такъ какъ если бы В не было, то не было бы и А). Совершенно такъ же убедимся, что изъ второго предложешя сл'Ьдуетъ третье, и иаэборотъ. Поэтому, чтобы быть ув'Ьреннымъ въ верности всЬхъ четырехъ теоремъ, нт/гъ надобности доказывать каждую изъ нихъ отдельно, а достаточно ограничиться доказательствомъ только двухъ: прямой и обратной или прямой и противоположной. Прямая лишя, плоскость. Понятче о геометрш. 6. Геометрически фигуры. Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическимъ тФ- л о м ъ. Геометрическое гбло можно подразделять на части; каждая часть геометрическаго т^ла есть также геометрическое т'Ьло. Граница грометрическаго гбла, т.-е. то, ч4мъ оно отделяется отъ остального пространства, наз. поверхностью.
Поверхность можно подразделять на части; всякая часть, поверхности есть также поверхность. Граница поверхности называется ли Hi ей. Линш можно также подразделять на части; каждая часть лиши есть также лишя. 'Граница лиши называется точкой. Геометрическое тело, поверхность, лишя и точка не суще- существу етъ раздельно. Однако при помощи отвлечетя, мы можемъ разсматривать поверхность независимо отъ геометрическаго тела, линш—'Независимо отъ поверхности и точку—неза- точку—независимо отъ лиши. При этомъ поверхность мы должны пред- представлять ce6i не имеющею толщины, линш — не имеющею ни толщины, ни ширины, и точку — не имеющею ни длины, ни ширины, ни толщины.^ Всякая лишя содержитъ въ себе безчисленное множество точекъ. Принято говорить, что эти точки л е ж а т ъ на ли- линш, или что эта лишя проходитъ черезъ эти точки. Ихъ можно разсматривать, какъ последовательныя положешя одной и той же точки, движущейся вдоль этой линш. Поэтому можно сказать, что лин!я есть следъ двйжен1я точки. Если, напр., мы острее карандаша дветаемъ по бумаге, то следъ этого движешя на бумаге есть приблизительно лишя; прибли- приблизительно дотому, что острее карандаша не представляетъ собою геометрической точки, вследств1е чего проведенная на бумаге лишя имеетъ некоторую ширину (и даже толщину). Чемъ острее очиненъ карандашъ, темъ более острее его приближается къ геометрической точке и темъ более лишя, проведенная этимъ карандашомъ, приближается къ геометрической линш. Подобно этому поверхность можно разсматривать, какъ следъ д'вижен1я л и н i и, двигающейся въ простран- пространстве некоторымъ образомъ. Совокупность какихъ бы то ни было точекъ, лиши, поверх- поверхностей или телъ, расположенныхъ известнымъ образомъ въ пространстве, называется вообще геометрической фигурой. 7. Геометр1я. Наука, разсматривающая свойства геоме- трическихъ фигуръ, наз. геометр-i ей, что въ переводе съ
греческаго языка означаетъ землемгЬр1е. Такое назвате этой науки дано было потому, что въ древнее время главною целью геометрш было измереше разстояшй и площадей на земной поверхности. 8. Въ самомъ начале геометрш должно быть указано сле- следующее общее свойство фигуръ: Акс1ома пространства. Всякую геометрическую фи- фигуру можно перенести изъ одного мЪста пространства въ другое, не нарушая ни величины составляющихъ фигуру частей, ни ихъ взаимнаго расположешя. 9. Прямая лишя. Всяюй знаетъ, что такое прямая л и н i я, или просто прямая, представлете о которой намъ даетъ туго натянутая нить. П о н я т i e о прямой эле- элементарно, т.-е. оно не можетъ быть определено посред- ствомъ другихъ более простыхъ понятШ. На чертеже прямую изображаютъ въ виде тонкой черты, проведенной отъ руки или помощью чертежной линейки. Прямая лишя обладаетъ следующ ши очевидными свой- свойствами: Акс1омы прямой. 1°. Черезъ всямя двЪ точки простран- пространства можно провести прямую и притомъ только одну. 2°. Прямую можно продолжать безъ конца въ o6t стороны отъ каждой ея точки. Изъ первой акс1омы сл^дуетъ: Если дв* прямыя наложены одна на другую такъ, что кашя- нибудь дв*Ь точки одной прямой совпадаютъ съ двумя точками другой прямой, то эти прямыя сливаются и во всЬхъ остальныхъ точкахъ (потому что въ противномъ случай черезъ двФ точки можно было бы провести двЬ различныя прямыя, что противоречите акс1омФ первой). По той же причин^ дв* прямыя могутъ пересечься только въ одной точке. Ю.Прямая конечная и безконечная. Если прямую представляютъ цродолженною въ обе стороны безконечно, то ее называютъ безконечною или неограниченною прямой. ^Конечно, такую прямую изобразить на чертеже не-
— 6 — возможно. Изображаютъ только какую-нибудь часть ея и мысленно воображаютъ, что эта часть продолжена въ об^ сто- стороны безконечно. Прямую обозначаютъ обыкновенно двумя буквами, поставленными у двухъ какихъ-либо ея точекъ. Такъ говорятъ «прямая АВ или ВА» (черт. 1). д в Ci 'D Черт. 1. Черт. 2, Часть прямой, ограниченная съ об4ихъ сторонъ, наз. о т р Ъ з- комъ прямой или конечною прямой; такая прямая обозначается двумя буквами, поставленными у концовъ ея* (отрйзокъ CD, черт. 2). ОтрЪзокъ прямой, соединяющей дв4 точки, наз. иногда разстоян1емъ между ними. Иногда разсматриваютъ прямую, ограниченную только съ одной стороны, напр., въ точкФ А (черт. 3). О такой прямой А Черт. 3. говорятъ, что она исходитъ изъ точки А; ее называютъ полупрямою (или л у ч е м ъ). 11. Равенство и неравенство конечныхъ пря- мыхъ. Два отрЪзка прямой считаются равными, если они могутъ быть наложены другъ на друга такъ, что совмЪщаются. Положимъ, напр., что мы накладываемъ отр^зокъ^В на отрФ* зокъ CD (черт. 4) такъ, чтобы точка А упала на С и чтобы пря- прямая АВ пошла по CD; если при этомъ концы В и D совпадутъ, то отрезки АВ и CD считаются равными; въ противно мъ случай отрезки будутъ неравны, при чемъ меныпимъ считается тотъ, который составляетъ часть другого. Чтобы на какой-нибудь прямой отложить отр^зокъ, равный данному отрезку, употребляютъ ц и р к у л ь—приборъ, из- известный учащемся изъ опыта, 12. Сумма конечныхъ прлмыхъ. Суммою Ht- сколькихъ данныхъ отр^зковъ прямой наз. такой новый OTpt- зокъ прямой, который составленъ изъ частей, соотв*Ьтственно равныхъ даннымъ отр-Ьзкамъ. Положимъ, напр., требуется найти сумму трехъ отрйзковь: АВ, CD и EF (черт. 4). Для
«7 этого на какой-нибудь прямой беремъ произвольную точку М и откладываемъ отъ нея часть MN, равную АВ\ затЬмъ Е, ,р М N Р Q Черт. 4. отъ точки N въ томъ же направленш откладываемъ часть NP, равную CD, и часть PQ, равную EF. Отр'Ьзокъ MQ будетъ сумма данныхъ отр'Ьзковъ АВ, CD и EF, которые по отношенцо къ этой суммФ называются слагаемыми. Подобнымъ образомъ можно получить сумму какого угодно числа отр'Ьзковъ. Сумма отр'Ьзковъ прямой обладаетъ свойствами всякой суммы; такъ, она не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ (п е р е м стительное свойство) и не изменяется, если которыя слагаемыя будутъ заменены ихъ суммою (сочета- (сочетательное свойство). Напр., легко убедиться (черт. 4), что AB+CD+EF=CD+EF+AB=EF+AB+CD=... и AB+CD+EF=AB+(CD+EF). Изъ понят1я о суммФ выводятся понят1я о разности, произ- веден1и и частномъ отр'Ьзковъ. Такъ, разность отр'Ьзковъ АВ и CD (е#ли AB^>CD) есть такой третш Отр'Ьзокъ, котораго сумма съ CD образуетъ АВ\ произведен1е отрезка АВ на число 3 есть сумма трехъ отрфзковъ, изъ которыхъ ка- лсдый равенъ АВ, частное отъ д^летя отрезка АВ на число 3 есть третья часть АВ и т. п. Мы принимаема за очевидную истину, что каждый отр^зокъ прямой можетъ быть подразд'Ьленъ (хотя бы только мысленно) на 2, на 3, на 4 и т. д. равныя части. 13. Плоскость. Плоскостью наз. поверхность, обладающая гЬмъ свойствомъ, что прямая, проходящая черезъ любыя двЪ точки этой поверхности, лежитъ на ней всЬми остальными своими точками. Положимъ, напр., мы желаемъ уб-Ьдиться, бу- будетъ ли плоскостью поверхность стола. Для этого беремъ хорошо выверенную линейку и прикладываемъ ее краемъ въ различныхъ паправлешяхъ къ поверхности стола такъ, чтобы катя-нибудь
о дв'Ь точки линейки лежали на этой поверхности. Если при этомъ окажется, что, бъ какомъ бы направленш мы линейку ни приложили, веб остальныя точки ея будутъ лежать на по- верхности стола, то эта поверхность есть плоскость. Существоваше плоскости въ пространстве принимается за Укажемъ следующее свойство плоскости, которое мы при- мемъ здесь безъ доказательства: Всякую часть плоскости можно наложить Bctwin ея точками на другое мЪсто этой или другой плоскости, при чемъ наклады- накладываемую часть можно предварительно перевернуть другою сто- стороною. 14. Разд'Ьлен1е геометрш. Геометр1я разделяется на двй части: планиметр1я и стереометр1я. Первая разсматриваетъ свойства такихъ фигуръ, которыхъ веб части помещаются на одной плоскости; вторая—свойства такихъ фи- фигуръ, которыхъ не всЬ части помещаются на одной плоскости.
ШАНИМЕТР1Я. КНИГА I. ПРЯМАЯ ЛИШЯ. Г Л А В А I. " Угды. Предварительныя понят'ш. 16. Опред'Ьлетя. Фигура, образованная двумя поду- прямыми (ОА и ОВ, черт. 5), исходящими изъ одной точки, вмгЬст4 съ частью плоскости, ограниченной ими, наз. у г л о м ъ. Полупрямыя, образу- ф юпця уголъ, наз. сторонами, д / а точка, изъ которой онф исхо- дятъ,—в ершиною угла. Сто- Стороны должно представлять себФ продолженными отъ вершины без- конечно. • Уголъ обыкновенно обозначает- О4 ся тремя буквами, изъ которыхъ Черт. 5. средняя ставится у вершины, а крайтя у какихъ-нибудь то- чекъ сторонъ; напр., говорятъ: «уголъ ЛОВ или уголъ BOA» (черт. 5). Н) можно обозначать уголъ и одною буквою, по- поставленною у верпшны, если при этой вершин'Ь н^тъ другихъ угловъ. Мы иногда будемъ обозначать уголъ .цифрою, поста- поставленною внутри угла, около вершины. Слово «уголъ» на письма заменяется часто знакомь ^Л Если изъ верпшны угла (черт, б) проведемъ внутри его (т.-е. въ той части плоскости, которая принадлежитъ углу) кашя-нибудь прямыя OD, ОЕ..., то образовавппеся при этомъ углы AOD, DOE, ЕОВ... разсматриваются, какъ части угла АОВ.
10 — 16. Равенство и неравенство угловъ. Два угла считаются равными, если при наложеши они могутъ совмЪ- ститься. Положимъ, напр., что мы накладываема уголъ АОВ на уголъ AxO-JJ-i (черт. 6) такъ, чтобы вершина О упала въ Оь сторона ОВ пошла по 01В1 и чтобы углы покрыли другъ друга. О В Черт. 6. Если при этомъ сторона ОА совместится съ 0*4Ь то углы равны; если же О А поидетъ внутри угла АгО±Въ или внй его, то углы не равны, при чемъ тотъ изъ нихъ будетъ меньше, который составитъ часть другого угла. 17. Сумма угловъ. Суммою данныхъ угловъ наз. уголъ, составленный изъ частей, соотв-Ьтственно равныхъ даннымъ угламъ. Такъ, чтобы получить сумму угловъ ЛОВ и А101В1 (черт. 7), строятъ уголъ MNP, равный одному изъ данныхъ угловъ, напр., АОВ, и къ нему пристраиваютъ уголъ PNQ, равный другому данному углу A-lO-JJ^ такъ, чтобы у обоихъ угловъ оказалась общая вершина N и общая сторона NP и чтобы углы были расположены по разныя стороны отъ общей стороны NP. Полученный такимъ образомъ уголъ MNQ есть сумма угловъ АОВ и A^jB^ Подобнымъ образомъ можетъ быть составлена сумма трехъ и бол'Ье угловъ. О В А, N М Черт. 7. Сумма угловъ, какъ и сумма отрйзковъ прямой A2), обла-
11 Б и с с е нтр и ее а . Черт. 8. даетъ свойствами пере мостите л ьнымъ и со четательнымъ. Изъ понят1я о суммЪ угловъ выводятся понятая объ ихъ раз- еости, произведении и частномъ. Мы принимаемъ за очевид- очевидную истину, что каждый уголъ можетъ быть разд'Ьленъ (хотя бы только мысленно) на 2, на 3, на 4 и т. д. р а в н ы я части. За]УгЬтимъ, что полупрямая,де- полупрямая,делящая уголъ пополамъ (черт. 8), наз. биссектриссою этого угла (или равнодйля- щею) *). . 18. ЗаМ'ЬчанХе 1-е. При нахожденш суммы угловъ могутъ представиться некоторые особенные случаи, которые полезно раз- смотр^ть особо. 1°. Можетъ случиться, что посл'Ь сложешя нЪсколькихъ угловъ, напр., трехъ: АОВ, ВОС и COD (черт. 9), сторона OD угла COD составить продо лжен1е стороны О А угла АОВ. Мы по- лучимъ тогда фигуру, образо- образованную двумя полупрямыми (ОА и OD), исходящими изъ одной D точки (О) и составляющими про- продолжение одна другой. Такую фи- Черт. 9. гуру (вмЪстЪ съ частью плоскости, расположенную по одну сторону пря мой AD) принято тоже называть угломъ (развернут ымъ, или вы прямленным ъ). 2°. Можетъ случиться, что посл'Ь сложешя н'Ъсколькихъ уг- угловъ, напр., пяти угловъ: АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА (черт. 10), сторона ОА угла ЕОА совме- совместится со стороной ОА угла АОВ. Фигура, образованная таки- такими совпавшими" полупрямыми со всею плоскостью, расположенною кругомъ общей вершины О) также называется угломъ (полнымъ). *) Въ Н'Ькоторыхъ руководсгвахъ л шля эта наз. также биссекторомъ.
- 12 — 8°. Наконецъ, можетъ случиться, что, строя сумму угловъ, мы не только заполнимъ всю плоскость кругомъ ихъ общей вершины, но даже будемъ вынуждены налагать углы одинъ на другой, по- покрывая плоскость вокругъ общей вершины во второй разъ, въ тре- тШ разъ и т. д. Въ этомъ случай поыят1е о сумм^ угловъ должно быть расширено на основании сл'Ъдующихъ определений: 1°* ДвЪ суммы угловъ: аг-\-а2-\-аг-\-...-\-ап и &1 + &2 + &з + ---+&т счи- считаются равными, если, строя ихъ указаннымъ путемъ, начиная отъ одной и той же полупрямой О А въ одномъ направленш вокругъ общей вершины О, мы для каждой суммы, во-первыхъ, обойдемъ по плоскости все пространство вокругъ точки О одинаковое число разъ и, во-вторыхъ, последняя сторона угла ап совпадетъ съ последнею стороною угла Ьт. 2°. Если же эти услов1я не выполнены, суммы считаются неравными, при чемъ та будетъ меньше, къ которой надо приложить е.ще некоторый уголъ или несколько угловъ, чтобы получить вторую сумму. 19. Зам^чаше 2-е. Когда двЪ полупрямыя исходятъ изъ одной точки, то, строго говоря, он'Б образуютъ не одинъ уголъ, а два угла. Возьмемъ, напр., черт. 5-й и вообразимъ, что полупрямая О А вращается вокругъ О до совпадетя съ полупрямой ОВ. Это вращен1е можетъ быть двоякое: или О А вращается по направлетю движения часовой стрелки, или же, наоборотъ, противъ движетя часовой' стрелки. Если обратимъ внимаше на часть плоскости, которую О А проходитъ до совпадетя съ О В при первомъ вращенш, то будемъ им'бть одинъ уголъ, образованный полупрямыми О А и ОВ и содер- жаций эту часть плоскости; если же обратимъ внимаше на часть пло- бкости, проходимую О А до совпадетя съ О В при другомъ вращенш, то получимъ другой уголъ, образованный т^ми же сторонами О А и ОВ, но содержаний эту другую часть плоскости. Эти два угла равны другъ другу лишь въ томъ случаъ1, когда полупрямыя ОА и ОВ составляюсь одну прямую, т.-е. когда оба угла развернутые; въ остальныхъ слу- чаяхъ углы эти не равны, но всегда въ сумм'Ь составляютъ полный уголъ. Обыкновенно, говоря объ угл'Ь АОВ, разум-Ьють только тотъ изъ двухъ угловъ, образованныхъ полупрямыми ОА и ОБ, который меньше развернутаго угла. Свойство прямого угла. 2О. Опред*лен1Я. Два угла (АОВ и БОС, черт. 11 и черт. 12) наз. смежными, если одна сторона у нихъ об- общая, а дв^Ь друия стороны составляютъ про до лжете одна другой. Изъ этого опред'Ьлешя видно, что если возьмемъ произволь- произвольный уголъ (напр., ЛОВ, черт. 11) и продолжимъ одну его сто-
13 — рону (напр., АО) за вершину, то получимъ другой уголъ (ВОС), смежный со взятымъ угломъ. В А ' Черт. 11. Черт. 12. О Общая сторона (ОВ) двухъ смежныхъ угловъ наз. наклон- наклонною къ прямой (АС), на которой лежать друпя стороны, въ томъ случай, когда смежные углы не равны (черт. 11). Общая сторона (ОБ) двухъ смежныхъ угловъ наз. п е р- пендикуляромъ къ прямой, на которой лежатъ друпя стороны, въ томъ случай, когда смежные углы равны (черт. 12). Въ первомъ случай общая вершина (О) наз. основ а- н i е м ъ наклонной, во второмъ случай — основан1емъ перпендикуляра. Говорятъ «в о з с т а в и т ь къ прямой перпендикуляр», если этотъ перпендикуляръ приходится проводить черезъ.точку, взятую на прямой, и «опустить на прямую перпенди- перпендикуляръ», если онъ проводится черезъ точку, взятую внй прямой. Каждый изъ равныхъ смежныхъ угловъ наз. прямымъ (черт. 12). Что смежные углы могутъ быть равны, видно изъ слйдую- щей теоремы. 21. Теорема. Изъ всякой точки прямой можно, по ту и другую сторону отъ этой прямой, возставить къ ней перпенди- перпендикуляръ и притомъ только одинъ. Пусть дана какая-нибудь прямая А В (черт. 13) и ha ней произ- произвольная точка О. Требуется доказать, что: во 1) изъ этой точки можно, по каждую сторону отъ прямой АВ, возставить къ А В
— 14 — пер'пендикуляръ, и во 2) этотъ перпендикуляръ можетъ быть только одинъ (по каждую сторону отъ прямой). 1°. Проведемъ изъ точки О какую-нибудь полупрямую ОС. Тогда образуются 2 смежныхъ угла: .400 и СОВ. Если слу- случится, что углы эти равны другъ-другу, то тогда ихъ общая сторона ОС будетъ перпендикуляромъ къ АВ; если же углы АОС и СОВ окажутся неравными, то одинъ изъ нихъ долженъ быть меньше другого. Пусть .400 меньше СОВ. Тогда отъ 66 л ь- шаго угла СОВ мы можемъ отделить часть СОВ, равную углу .400; посл-Ь чего отъ угла СОВ останется неко- некоторый уголъ СОС\ Вообра- зимъ, что этотъ уголъ раз- д'Ьленъ пополамъ; пусть биссектрисса будетъ некото- некоторая полупрямая ОТ). Эта полу- полупрямая и будетъ перпенди- перпендикуляромъ къ АВ, такъ какъ О В Черт. 13. смежные углы АОВ и DOB, состояние изъ соответственно рав- ныхъ частей (АОС=СГОВ и COD=DQCf), равны между собою. 2°. Всякая другая полупрямая 0D', исходящая изъ точки О и расположенная по ту же сторону отъ АВ, по которой ле- житъ ОД не можетъ образовать съ АВ равныхъ смежныхъ угловъ, такъ какъ A0D'^>A0D, a Df0B<JHB и, сл*д., углы .40D' и D'OB не могутъ быть равны. Такимъ образомъ, нельзя возставить другого перпендикуляра къ АВ изъ точки О по ту сторону отъ АВ, по какой лежитъ перпендикуляръ 0D. Точно такъ же убедимся, что по другую сторону отъ АВ можно возставить изъ точки О перпендикуляръ къ АВ и при- томъ только одинъ. 22. Теорема. Bet прямые углы равны между собою. Пусть смежные углы при вершинахъ О и О' (черт. 14) пря- прямые, т.-е. /_АОВ=/_ВОС и /_АХОХВХ=/_ВхОгСх. Требуется доказать, что прямые углы первой пары равны прямымъ угламъ второй пары.
15 Наложимъ фигуру АОВС на фигуру А^В^х такъ, чтобы точка О упала на Оъ полупрямая ОС пошла по ОгСг и чтобы потупрямая ОВ упала по ту же сторону отъ АгСъ по которой расположена О^. Тогда полупрямыя О А и О1А1 совместятся, О с \т Черт. 14 такъ какъ онЪ составляютъ продолжеше совпавшихъ полу- прямыхъ ОС и OxCi, полупрямая ОВ совпадетъ съ ОгВг, потому что въ противномъ случай изъ одной точки Ох прямой А±Сг можно было бы, возставить къ ней, по одну и ту же сторону, два перпендикуляра, что, по доказанному, невозможно. Если же полупрямыя ОВ и OiB± совпадутъ, то это значитъ,что /^АОВ= =J/mA1O1B1 и j^aCOB=C1O1B1, что и требовалось доказать. Зам^чанге. Изъ доказанной теоремы слйдуетъ, что прямой уголъ представляетъ собою постоянную вели- величину (ее обыкновенно обозначаютъ знакомъ d, т.-е. началь- начальною буквою французскаго слова droit, прямой). Вслйд- ств|е этого обыкновенно углы сравниваютъ по величин^ съ прямымъ угломъ. Если уголъ меньше прямого (какъ уголъ АОС, черт. 15), то его называютъ острымъ, если же уголъ боль- больше прямого (какъ уголъ AOD, черт. 15), то его называютъ тупымъ. 23. Доказательство нало- жен!емъ. Пр1емъ, которымъ мы доказывали предыдущую теорему, наз. доказательствомъ по- средствомъ наложен! я. Черт. 15. Мы принпмаемъ за очевидное, что наложеше одной пло-
16 — ской фигуры на другую всегда можно выполнять въ такой по- последовательности : 1°. Мы можемъ любую точку одной фигуры совместить съ любою точкою другой фигуры; напр. (черт. 14), точку О съ Ох. 2°. По совмещенш двухъ точекъ мы можемъ, вращая на- накладываемую фигуру вокругъ совпавшей точки, совместить въ обЗшхъ фигурахъ любыя две полупрямыя, исходящая изъ совпавшихъ точекъ, напр. (черт. 14), ОС съ ОгСх\ тогда, конечно,, совместятся и продолжешя этихъ полупрямыхъ, ОА съ ОгАъ т.-е. совместятся прямыя АС и АгСх, проходяпця черезъ точки О и Ох. 3°. По совмещенш двухъ точекъ и двухъ прямыхъ мы можемъ, вращая накладываемую фигуру вокругъ совпавшей прямой, какъ около оси, расположить эту фигуру или по ту, или по другую сторону отъ совпавшей прямой. Напр. (черт. 14), по совмещенш точекъ О и Ог и прямыхъ АС и АгС1л мы можемъ расположить фигуру АОВС или такъ, что полупрямая ОВ пойдетъ кверху отъ OiCb или же такъ, что она пойДетъ книзу отъ нея (въ последнемъ случае будетъ такъ называемое при- л-ожен1е фигуры). После этого нашъ произволъ заканчивается; совпадутъ ли друпя части фигуръ,—зависитъ отъ свойствъ самихъ фигуръ. 24. Черчен1е прямого угла. Прямой уголъ легко на- начертить помощью прибора, называемаго наугольникомъ, у котораго одинъ изъ трехъ угловъ делается прямымъ. Чтобы начертить прямой уголъ при точк* С прямой АВ (черт. 16), можно поступить такъ: приставимъ къ этой прямой линейку, а къ линейке науголь- D к к к в Черт. никъ, какъ указано на чертеже, и будемъ дви- двигать наугольникъ вдоль линейки до техъ поръ, пока вершина пря- прямого угла не совпа- детъ съ точкой С Остается затемъ про- провести по стороне пря- прямого угла прямую CD.
Свойства смежныхъ и вертикальныхъ угловъ. 25. Теорема. Сумма двухъ смежныхъ угловъ равна двумъ прямымъ. Даны два смежныхъ угла: АОВ и ВОС (черт. 17); требуется доказать, что AOB+BOC=d+d=2d Возставивъ изъ точки О къ прямой АС перпендикуляръ OD, мы разобьемъ уголъ АОВ на два угла AOD и DOB. Отнявъ отъ угла АОВ уголъ DOB, мы получимъ прямой уголъ AOD; прибавивъ къ углу ВОС тотъ же уголъ А Черт. 17. DOB, мы получимъ тоже прямой уголъ; именно DOC. Но если мы одно слагаемое уменыпимъ, а другое увеличимъ на одну и ту же величину, то сумма не изменится; значитъ, сумма АОВ+ВОС должна быть такая же, какъ и сумма AOD+DOC. Но эта сумма равна d+d, т,-е. 2d; значитъ, и AOB+BOC=2d. 26.Сл*дств1я. 1°. Суммаугловъ (АОВ, ВОС, COD, DOE, черт. 18), расположенныхъ вокругъ об- общей вершины (О) по одну сторону прямой D А Черт. 18. Черт. 19. (АЕ), равйа 2d, потому что эту сумму можно разсматривать (согласно сочетательному свойству), какъ сумму двухъ смеж- смежныхъ угловъ, напр., угловъ АОВ и ВОЕ, или угловъ А ОС и СОЕ, и т. п. А. Кяселевъ. Гв1>метр1я.
— 18 — 2°. Сумма угловъ (АОВ, BOG, COD, DOE, ЕОА, черт. 19), расположенныхъ вокругъ общей вершины (О) по об'Ь стороны отъ какой- нибудь прямой (DM), равна Ы, потому что, сложивъ углы DOC, СОВ и ВОМ, расположенные по одну сторону отъ прямой MD, мы получимъ въ сумм* 2d, и сложивъ углы МОЛ, АОЕ и EOD, расположенные по другую сторону отъ MD, мы въ суммй еще получимъ 2d; значитъ, сумма всЬхъ этихъ угловъ равна 2d+2d, т.-е. 4d. 27. Обратная теорема. Если сумма двухъ угловъ, щихъ общую вершину и общую сторону и не покрывающихъ другъ друга, равна двумъ- прямымъ, то таше углы—смежные, т.-е. двЪ друпя стороны ихъ составляютъ продол жен ie одна другой. Пусть даны (черт. 20) два угла: АОВ и ВОС, имйющ^е общую вершину О и общую сторону ОВ и не покрываюпце другъ друга; пусть, кром^ того, известно, что сумма ихъ равна 2d\ требуется доказать, что при этихъ услов1яхъ ОС есть продолжеше АО, Допустимъ противное (про- тивоположное) тому, что тре- требуется доказать, а именно до- •С пустимъ, что ОС не есть про- А D должеше АО. Посмотримъ, къ Черт. 20. чему приведетъ насъ это пред- положеше. Такъ какъ всякая прямая можетъ быть продол- продолжена въ об$ стороны, то и прямая АО можетъ быть продолжена за точку О. Пусть это продолжете будетъ некоторая полу- полупрямая 0D, которая, согласно нашему допущенш, не сливается съ ОС. Тогда углы АОВ и B0D будутъ смежные и потому, по доказанному прежде B5): A0B+B0D=2d. Съ другой стороны, согласно условно нашей теоремы:
19 Правыя чарти этихъ двухъ равенствъ равны, сл4д., равны и Л'Ьвыя (дв'Ь величины, равныя порознь одной и той же третьей величин^, равны между собою): AOB+BOD-=AOB+BOC. Отнявъ отъ равныхъ суммъ по одному и тому же углу АОВ, мы должны получить равные остатки: BOD=BOC. Но это равенство невозможно, такъ какъ уголъ ВОС соста- вляетъ часть угла BOD, а часть не можетъ равняться целому. Если въ результат^ разсуждешя мы получаемъ невозмож- невозможный (нелепый) выводъ, то это можетъ произойти или отъ того, что мы неверно разсуждали, или отъ того, что наше разсу- ждеше было основано на невозможномъ допущенш. Разсужде- Hie наше было правильно; значитъ, причина нел'Ьпаго вывода заключается въ невозможности допущешя, что ОС не есть про- должете АО. Но если это предположеше невозможно, то остается только одно: ОС есть продолжеше АО *); что и требовалось доказать. СхгЬдетв1%. Если изъ како й-н ибудь точкиО прямой АВ (черт. 21) возставимъ къ ней, по каждую ея сторону, перпендикуля р ы ОС и OD, то эти перпенди- к у л.я ры образуютъ одну прямую CD, потому что сумма угловъ СОВ и BOD равна 2d. A —- 28. ОпрбД'Ьлехйе. Пря- Прямая CD (черт. 21), которой части ОС и OD служатъ пер- перпендикулярами къ другой пря- прямой АВ, наз. прямой, пер- перпендикулярной къ АВ. 0 'В Черт. 21. Если прямая CD перпендикулярна къ прямой АВ, то и обратно: АВ перпендикулярна къ CD, потому что части О А ') Сл'Ьд., нашъ чертежъ сдЪланъ неправильно.
— 20 — и ОВ служатъ также перпендикулярами къ CD. Поэтому пря- мыя АВ и CD наз. взаимно перпендикулярными. Что двй прямыя А В и CD взаимно перпендикулярны, вы- ражаютъ письменно такъ:, AB±CD. 29. Доказательство отъ противнаго. Способъ, которымъ мы доказали обратную теорему о смежныхъ углахъ B7), наз. доказательствомъ отъ противнаго, или п р и- веден1емъ къ нелепости (reductio ad absurdum). Первое назваше этотъ способъ получилъ потому, что въ начала разсуждешя делается предположеше, противное (про- (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведешемъ къ нелепости онъ наз. вслЗгдстше того, 4что, разсуждая на осно- ваши сд^ланнаго предположешя, мы приходимъ къ неле- нелепому выводу (къ абсурду). Получеше такого вывода заставляетъ насъ отвергнуть сделанное въ начали допущеше и принять то, которое требовалось доказать. SO. Определение. Два угла наз. вертикальными, если стороны одного составляютъ продолжешя сторонъ другого. Такъ, при пересЬченш двухъ прямыхъ АВ и CD (черт. 22) образуется дв*Ь пары вертикальныхъ угловъ: A0D и СОВ, АОС и DOB. 81. Теорема. Два вертикальныхъ угла равны. Пусть даны (черт. 22) два вертикальныхъ угла: A0D и СОВ; другими словами, пусть дано, что ОВ есть продолжеше О А и ОС есть продолжеше OD. Требуется доказать, что AOD=COB. \ Уголъ A0D, сложенный съ угломъ DOB, составляет^ 2d (по свойству смежныхъ уг- угловъ); уголъ СОВ, сложенный съ тймъ же угломъ DOB, составляетъ также 2d (по тому же свойству). Значить, каждый изъ угловъ A0D -и СОВ равенъ одной и той же разности Ы—D0B\ поэтому углы эти равны. Подобнымъ же образомъ докажемъ, что и Черт. 22. AOC=DOB. 32.Теорема. Изъ всякой точки, взятой BHt прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляръ и притомъ только одинъ.
— 21 — Пусть дана какая-нибудь прямая АВ (черт. 23) я внй ея точка М\ требуется доказать, что во 1) изъ этой точки можно опустить на прямую АВ пер- пендикуляръ и во 2) что этотъ , перпендикуляръ можетъ быть * ОМ только одинъ. 1) Перегнемъ чертежъ по прямой АВ такимъ образомъ, чтобы верхняя его часть (со- (сов держащая точку М) упала на нижнюю часть *). Тогда точка М займетъ некоторое положе- положете N. Отм'Ьтивъ это положете, приведемъ чертежъ въ преж- нШ видь и зат&мъ черезъ точки • М и N проведемъ прямую. До- Черт. 23. кажемъ, что эта прямая перпендикулярна къ АВ. Для этого перегнемъ чертежъ вторично по прямой АВ. Тогда точка М снова совм'Ьстится съ N, а точка С, въ которой пересекаются прямыя MN и АВ, останется на мйстй; сл'Ьд., полупрямая СМ пойдетъ по полупрямой CN, уголъ МСВ, совм'Ьстится съ угломъ BCN, а уголъ МОА совм'Ьстится съ угломъ ACN\ значить, смежные углы МСВ и BCN равны, а также равны и смежные углы МСА и ACN. Такъ какъ каждый изъ равныхъ смежныхъ угловъ наз. прямымъ, то всЬ 4 угла, образовавшиеся при точки С, будутъ прямые; значить, MNA_AB. 2) Докажемъ теперь, что другого перпендикуляра черезъ точку М къ прямой АВ провести нельзя. Предположишь про- противное, т.-е. что черезъ М къ АВ можно провести, кром'Ь MN, еще какой-нибудь другой перпендикуляръ, напр., MB (черт. 24). *) Выражаясь бол^е точно, вообразимъ, что верхняя часть пло- плоскости чертежа, вращаясь вокругъ прямой АВ, пришла въ совм;вщете съ нижней частью этой плоскости.
- 00 Чтобы опровергнуть это допущеше, перегнемъ чертежъ снова по прямой АВ. Тогда точка М по прежнему совместится съ JV, а точки J) и С останутся на своихъ мФстахъ; сл^д., уголъ MDB заиметь положете BDN. Разогнувъ чертежъ, расмотримъ линш MDN. Такъ какъ, по предположенш, MD J_ АВ, то уголъ MDB долженъ быть пря- мымъ, а потому и равный ему уголъ BDN также дол- долженъ быть прямымъ. Но тогда мы будемъ имйть два угла, MDB и BDN, которые, имйя общую вершину и общую сто- сторону, составляютъ въ сумме 2d; Черт. 24. след., по доказанному раньше B7), две ихъ стороны DM и DN должны составлять продолже- Hie одна другой, и, значитъ, литя MDN должна оказаться прямою. Но тогда черезъ точки М и N будутъ проходить 2 раз- личныя прямыя лиши: одна MN, которую мы раньше провели, я другая MDN, которую мы получили теперь. Такъ какъ это невозможно (9), то нельзя допустить, чтобы черезъ точку М къ прямой АВ можно было провести еще какой-нибудь иной перпендикуляръ, кроме MN. Чтобы опустить перпендикуляръ на прямую изъ данной точки, можно пользоваться линейкой и науголь- никомъ (см. черт. 16). 33. СиммеТрИЧНЫЯ ТОЧКИ. Если точки М и N (черт. 24) распо- расположены по разныя стороны отъ прямой А В, на одномъ къ ней перпен- перпендикуляр^ и на одинаковомъ разстоянш отъ основашя этого перпен- перпендикуляра, то так1я дв'Ь точки принято называть симметрич- нымиотносительно оси АВ. Зд'всь слово «ось» применено потому, что если мы часть плоскости, расположенную по одну сторону отъ прямой АВ, станемъ вращать вокругъ этой прямой, какъ вокругъ оси, до совм'Ьщетя ея съ частью плоскости, распо- расположенною по другую сторону отъ АВ, то симметричныя точки М и N совместятся.
— 23 УпраЖНвн1я. Доказать, что: Г л 1. Биссектриссы двухъ смежныхъугловъ взаимно перпендикулярны, 2. Биссектриссы двухъ вертикальныхъ угловъ составляютъ про- должеше одна другой. 3. Если при точк'Ь О прямой А В (черт. 22) построимъ по разныя стороны отъ А В равные углы AOD и ВО С, то стороны йхъ 0D и ОС составляютъ одну прямую (теорема, обратная теорем'Ь § 31-го). 4. Если изъ точки О (черт. 22) проведемъ полупрямыя ОAt 0D, ОВУ ОСтакъ, что ?AOC=?DOB и ?AOD= ? СОВ, то ОВесть продолжеше О А и 0D продо лжете ОС.
24 — ГЛАВА И. Треугольники и многоугольники. Поняп'е о многоугольники и треугольник-fc. 34. Ломаная лин1я. Литя.наз. ломаною, когда она состоитъ изъ отрйзковъ прямой, не расположенныхъ на одной прямой (черт. 25 или 26). Эти отрезки наз. сторонами ломаной, а вершины угловъ, образуемыхъ соседними отрез- отрезками,—в ершинами ея. Ломаная лишя обозначается ря- домъ буквъ, поставленныхъ у ея вершинъ и концовъ; напр., говорятъ: ломаная ABCDE (черт. 25 и 26). "ь в Черт. 25. D Ломаную линш мы будемъ называть выпуклою, если она вся расположена по одну сторону отъ к а ж д а г о со- ставляющаго ее отрезка, продолженнаго неопределенно въ обФ стороны. Такова, напр., литя, изображенная на черт. 25-мъ, тогда какъ ломаная чертежа 26-го не будетъ вы- выпуклой. Когда концы ломаной сходятся въ одну точку, то она наз. замкнутой. 35. Многоугольникъ. Фигура, образованная замкну- замкнутою ломаной литей (вмести съ частью плоскости, ограничен- ограниченною этою ломаною), наз. многоугольникомъ (черт. 27). Стороны этой ломаной наз. сторонами многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами,— углами многоугольника, а ихъ вершины—в ершинами
25 — его. Сама ломаная лишя, ограничивающая многоугольникъ, наз. контуромъ его. Многоугольникъ наз. выпуклымъ, если онъ ограничеиъ выпуклою ломаной лишей; таковъ, напр., многоуг. ABCDE, изображенный на черт. 27 (многоуг. MNPQRS нельзя назвать выпуклымъ). N А М S Черт. 27. Всякая прямая (какъ AD, BE, MR...), которая соединяетъ вершины двухъ угловъ многоугольника, не прилежащихъ къ одной сторон^, наз. дгагональю многоугольника. . Сумма всЬхъ сторонъ многоугольника наз. п е р и м е т- ромъ его. Два многоугольника, какъ вообще двй каюя-нибудь гео- метричесшя фигуры, считаются равными, если они при наложеши могутъ быть совмещены *). Наименьшее число сторонъ въ многоугольник^—т р и. По числу сторонъ многоугольникъ наз. треугольник о мъ, четыреугольникомъ, пятиугольникомъ и т. п. *) Фигуры, могуцпя совместиться при наложенш, наз. к о н г р у- ентными, а самое совм^щете —к онгруенц1ей. Разли- чаютъ конгруенц11р прямую и непрямую. Прямою кон- груенщя наз. тогда, когда coBM^iiieHie можетъ быть выполнено посред- ствомъ передвижешя одной изъ конгруектныхъ фигуръ по плоскости, въ которой фигуры лежать; если же для совмгвц1ен1я фигуръ такого передвижешя недостаточно, но надо еще перевернуть одну изъ фигуръ другою стороною, то конгруенщя наз. непрямою. Напр., тр-киэ изображенные на черт. 37-мъ, прямо конгруентны, а тр-ки. ЛВС и Л1В11С1 черт. 39-го непрямо конгруентны.
— 26 — Для краткости слова: «многоугольшщъ», «треугольникъ», «четыреугольникъ» и т. п. мы часто будемъ писать такъ: мн-къ, тр-къ, четыре-къ и т. п. Слово «треугольникъ» на письме иногда заменяется также знакомъ Д. Зв. Разд*лен1е треугольниковъ. Треугольники разделяются или по сравнительной длине ихъ сторонъ,или по характеру ихъ угловъ. Относительно длины сторонъ они бываютъ: разносторонн1е (черт. 28), когда все сто- стороны различной длины, равнобедренные (черт. 29), когда две стороны одинаковы, и равносторонн1е (черт. 30),'когда все стороны равны. Относительно характера угловъ треугольники бываютъ: остроугольные (черт. 28), когда все углы острые, Черт. 28. Черт. 29. Черт. 30. прямоуг о-л ьные (черт. 31), когда въ числе угловъ есть прямой, и тупоугольные (черт. 32), когда въ числе угловъ есть тупой*). Въ прямоугольномъ треугольнике стороны, образующая пря- л Г"» КАТЕТЬ Черт. 31. Черт. 32. мой уголъ, наз. катетами, а сторона, лежащая противъ прямого угла,—г ипотенуаой. *) Возможность существования всЪх'ь этихъ видовъ треугольника легко показать теперь же, за исклю^еьпемъ треугольника равноето- ронняго, существоваше котораго можно обнаружить только впо- СЛ'БДСТВШ..
27 — 37. Главн*йш1я лин1и въ треугольник*. Одну язъ сторонъ треугольника обыкновенно называютъ основа- н i е м ъ, вершину противоположнаго угла — вершиною тр-ка, а перпендикуляръ, опущенный изъ вершины на осно- ван1е или на его продо лжете, — высотою его. Такъ/ если въ тр-кй ABC (черт. 33 или 34) за основате взята сторона АС, то В будетъ вершина, BD—высота тр-ка. Въ равнобедренномъ тр-к* основашемъ называютъ обык- обыкновенно ту сторону, которая не принадлежить къ равнымъ; тогда вершина равнобедреннаго тр-ка будетъ вершина того угла его, который образованъ равными сторонами. Конечная прямая BE (черт. 33 и 34), соединяющая вершину какого-нибудь угла тр-ка съ серединою противополож- противоположной стороны, наз. среднею л и н i e й или м е д i а н о ю. Конечная прямая BF (черт. 33 и 34), делящая какой-нибудь уголъ тр-ка пополамъ, наз. равнод'Ьлящею угла тр-ка или его биссектриссою (биссектрисса вообще не совпа- В F Черт, 34. даетъ ни съ мед1аною, ни съ высотою). Во всякомъ тр-кЪ есть три мед1аны, три биссектриссы и три высоты (опущенныя на каждую изъ трехъ сторонъ). Свойства равнобедреннаго треугольника. 38. Теорема. Въ равнобедренномъ треугольник биссе- биссектрисса угла при вершин% служить одновременно и мед1аной, и высотой. Пусть тр-къ ABC (черт. 35) равнобедренный и прямая BD д'Ьлитъ пополамъ уголъ В при вершин* его. Требуется доказать, что эта биссектрисса ВТ) есть также и мед1ана, и высота. Вообра-
В зимъ, что &ABD повернутъ вокругъ стороны BD, какъ около оси, такъ, чтобы онъ упалъ на &BDC. Тогда, вслЗгдстзпе ра- равенства угловъ 1 и 2, сторона АВ упадетъ на ВС, а всл^дств1е равенства этихъ сторонъ точка А совпа- детъ съ С. Поэтому DA совместится съ DC и уголъ 4 съ угломъ 3; значить, DA=DC и ^/4=^/3. Изъ того, что DA=DC, сл-Ьдуетъ, что BD есть ме- д1ана; изъ того, что углы 3 и 4 равны, выходитъ, что эти углы прямые, и ел ? д., BD есть высота тр-ка ABC. 89. Сл*детв1е 1-е. Такъ какъ, г« ю доказанному, биссектрисса BD пред- D ставляетъ собою и мед1ану, и высоту, то Черт. 35. можно сказать, что она есть таклее и перпендикуляръ къ основашю АС, возстановленный изъ его середины D, Такимъ образомъ, въ равнобедренномъ тр-кЪ ABC (черт. 35) одна и та же прямая BD служитъ одновременно: 1) биссектрис- сою угла при вершин*, 2) мед1аною, проведенною къ основанш, 3) высотою, Опущенною на основаше, и, наконецъ, 4) перпенди- куляромъ къ основашю, возстановленнымъ изъ его середины. Такъ какъ каждое изъ этихъ 4-хъ свойствъ вполн'Ь опред^ляетъ положеше прямой BD, то существован1е одного изъ нихъ влечетъ за собой всЬ остальныя. Напр., высота равнобедрен- наго тр.е угольник а, служитъодновременно биссектриссою, мед1аною и перпендику- ляромъ къ основан1ю въ его середин*. Действительно, во-1-хъ, эта высота должна служить биссектрис- биссектриссою, потому что въ противномъ случай, проведя такую бис- сектриссу» мы имйли бы дв* различныя высоты на одну и ту жу сторону тр-ка, что невозможно. Во-2-хъ, эта высота, будучи биссектриссою, должна быть, по доказанному, мед!аной и, слйд., перпендикуляромъ къ основанш въ его середин*. 4О, Cfl^CTBie 2-е. Изъ того, что тр-ки ABB и BDC (черт. 35) совмещаются вейми своими частями, сл^дуетъ, что ^, т.-е. въ равнобедренномъ треугольник углы при основанш равны*
— 29 — М м1 41. П0НЯТ1е ОбЪ ОСИ СИММвтр1и. Мы видЪли, что равнобедрен- равнобедренный ?±АВС (черт. 36) делится биссектриссою BD на тате 2 тр-ка (л-в- вый и правый), которые вращешемъ вокругъ биссектриссы, какъ около оси, могутъ быть совмещены другъ съ другомъ. Изъ этого можно заключить, что какую бы точку на л'Ъвой половин^ равнобедреннаго тр-ка мы ни взяли, всегда можно на правой его половин'Ь найти другую точку, симметричную первой относительно оси BD C3). Возьмемъ, напр., на сторонЪ АВ какую-нибудь точку М. Опустимъ изъ нея на BD перпендикуляръ МК и про- должимъ его до пересЪчешя со стороною BG. Мы получимъ тогда на этой сторонЪ точку М\ симметричную точк'Ь М отно- относительно оси BD. Действительно, если, вращая /\ABD вокругъ BD, мы его совм'Ъ- стимъ съ ДВС1), то при этомъ КМ пойдетъ по КМ' (по равенству прямыхъ угловъ), а сторона В А упадетъ на сторону ВС (по равенству угловъ при точкЪ В); значитъ, точка Му которая лежитъ и на КМ, и на В А, упадетъ въ точку М', которая лежитъ и на КМ\ и на ВС, Отсюда видно, что КМ —КМ'. Такимъобразомъ, точки Ми М' лежатъ по разныя стороны отъ биссектриссы BD, на одномъ къ ней перпендикуляр^ и на равныхъ разстоян1яхъ отъ основашя этого перпендикуляра; значитъ, эти точки симметричны относительно оси В. Если въ какой-нибудь геометрической фигур^ существуетъ прямая, которая раздаляетъ эту фигуру на так1я 2 части, что любой точк^ на одной части соотв^тствуетъ на другой точка, симметричная отно- относительно этой прямой, то такая прямая наз. осью симметр1и этой фигуры. В ъ р а в н~о бедренномъ треугольник^ б и с е к- трисса угла при вершин-Ь есть его ось сим- м е т р i и. Въ геометрш мы будемъ иногда встречаться съ фигурами, имею- имеющими одну или несколько осей симметрш. Симметр1я относительно оси наз. часто «осевая симметр1я» (въ от- лич1е отъ «центральной» симметрш, о которой говорится ниже, въ § 102). Признаки равенства треугольниковъ. 42. Предварительный понятая. Такъ какъ рав- равными треугольниками наз. тате, которые при наложенш могутъ быть совмещены, то въ такихъ тр-кахъ равны веб с о о т- вЪтствуюппе элементы ихъ, т.-е. стороны, углы, высоты, мед1аны и биссектриссы.
— 30 — Однако для того, чтобы утверждать равенство двухъ тре- угольниковъ, не необходимо знать равенство в с •? х ъ элементовъ ихъ; достаточно убедиться въ равенств* только нйкоторыхъ изъ нихъ. Слйдуюпця теоремы излагаютъ три главнФйпие признака равенства тр-ковъ. 43.Теоремы. Два треугольника равны: 1°, если двЪ стороны и уголъ, заключенный между ними, одного треугольника соотвЪтственно равны двумъ сторонамъ и углу, заключенному между ними, другого треугольника; или 2°, если два угла и прилежащая къ нимъ сторона одного треугольника соответственно равны двумъ угламъ и прилежащей къ нимъ сторон% другого треугольника; или 3°, если три стороны одного треугольника соотвЪтственно равны тремъ сторонамъ другого треугольника. 1°. Пусть ABC и ^i-BiCi два тр-ка (черт. 37), у которыхъ: " 1° Требуется доказать, что эти тр-ки равны. А А, Черт. 37. Наложимъ ДАВС на ДА^Сх такъ, чтобы точка А совпала съ At и сторона АС пошла по АгСг *). Тогда всл4дств1е равен- равенства этихъ сторонъ, точка С совместится съ Сх; всл|Ьдств1е ра- равенства угловъ Ал А± сторона АВ пойдетъ по АгВъ а всл-Ьдствхе равенства этихъ сторонъ точка В упадетъ въ Вг\ поэтому сто- сторона СВ совместится съ Cxi?! (между двумя точками можно провести только одну прямую), и треугольники совпадутъ; зпачитъ, они равны. *) Для выполнен!я указанныхъ въ этомъ траграф-Ь наложенШ иногда приходится треугольникъ ABC перевернуть другою стороною.
qi —— ox 2°. Пусть ЛВС и x (черт. 38) два тр-ка, у которыхъ: и Требуется доказать, что эти тр-ки равны. Наложимъ ААВС на АА^Сг такъ, чтобы точка С совпала съ Съ и сторона СВ пошла по СгВг. Тогда, всл>6дств1е равен- равенства этихъ сторонъ, точка В упадетъ въ Бь а всл|Ьдств1е ра- в с, Черт. 38. венства угловъ В и Вг, С и Сг сторона ВА пойдетъ по ВгАх, и сторона СА по СгАг. Такъ какъ двй прямыя могутъ пересечься только въ одной точки, то вершина А должна совпасть съ Такимъ образомъ, тр-ки совместятся; значитъ, они равны. Черт. 39# 3°. Пусть ABC и (черт. 39) два тр-ка, у которыхъ: гг, ^В^ и СА=С1А1. Требуется доказать, что эти тр-ки равны. Доказывать этотъ признакъ равенства наложен1емъ, какъ мы это делали для первыхъ двухъ признаковъ, было бы неудобно, такъ какъ, не зная ничего о величин* угловъ, мы не можемъ утверждать, что при совпаденш двухъ равныхъ
— 32 — сторонъ совпадутъ и остальныя стороны. Вместо наложен1я примйнимъ здйсь приложен1е. Приложимъ АЛВС къ ДА1В1С1 такъ, чтобы у нихъ совме- совместились равныя стороны АС и АгСг. Тогда /\АВС заиметъ по- ложеше А^Вц. Соединивъ прямою точки Вг и Ви, мы полу- чимъ два равнобедренные тр-ка А^^ц и В^Вц съ общимъ основашемъ В^ц. Но въ равнобедренномъ треугольники углы приоснованшравныD0); сл*д., ^/1=^/2 ц /^—/j^, а потому J/mA1B1C1=2^АгБ>пС\~Z-B- Новъ такомъ случай данные тр-ки должны быть равны, такъ какъ дв'Ь стороны и уголъ, заключен- заключенный между ними, одного тр-ка равны соответственно двумъ сторонамъ и углу, заключенному между ними, другого треуголь- треугольника. Можетъ случиться, что прямая ВгВ1Х не пересечется съ Ах Clt а пойдетъ вн^ треугольниковъ (если сумма угловъ С и Си больше 2d), или сольется съ лин!ей Вх С± Вп (если С -f Ct = 2d). Доказательство остается то же самое, съ тою только разницей, что углы Вх и В1Х будутъ равны другъ другу, не какъ суммы равныхъ угловъ, а какъ ихъ разности, (черт. 40), или какъ углы при основанш равнобедр^ениаго тр-ка (черт. 41). Черт. 40. . Черт. 41. Зам^чаше. Въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ сто- сторонъ лежать равные углы и противъ равныхъ угловъ лежать равныя стороны. Соотношешя между углами и сторонами треугольника. 44. Опред'Ълен1ев Уголъ, смежный съ какимъ-нибудь угломъ треугольника (или многоугольника), наз. внйшнимъ у г л о м ъ этого треугольника (или многоугольника).
о о — При каждомъ угл*Ь тр-ка (и мн-ка) можно построить по 2 р а в- н ы х ъ смежныхъ угла. Напр., продолживъ сто- стороны угла А (черт. 42) тр-ка ABC за вершину, мы получимъ два внйш- нихъ угла BAD и САЕ, которые равны между со- собою, какъ углы верти- вертикальные. Въ отлич1е отъ вн^ш- нихъ углы самого тр-ка (или мн-ка) наз. вну- внутренними. Черт. 42. 45. Теорема. Въ треугольник всяшй вн~Ьшн!й уголъ больше каждаго внутреннягр угла, не смежнаго съ нимъ. Напр., докажемъ, что внйштй уголъ BCD тр-ка ABC (черт. 43) больше каждаго изъ внутреннихъ угловъ А и В, не смежныхъ съ этимъ BHUniHHMb. Для этого черезъ средину Е стороны ВС проведемъ мед1ану АЕж продолжимъ ее на длину EF, равную АЕ. Соединимъ F съ С. Тр-ники ABE и EFC (покрытые штрихами) равны, такъ какъ при точки Е они имйютъ по равному углу, заключенному между двумя соответственно равными сторонами. Изъ равенства ихъ заключаемъ, что углы В и ECF, лежащее противъ равныхъ сторонъ АЕ и EF, равны; но уголъ ECF, со- составляя часть внЬшняго угла BCD, меньше его; сл^д., и уголъ В меньше BCD. Продолживъ сторону ВС за точку С, мы получимъ внйштй уголъ АСН, равный углу BCD. Если изъ вершины В проведемъ къ сторон* АС мед1ану.и продол- продолжимъ ее на такую же длину за сторону АС, то совершенно такъ же докажемъ, что уголъ А мень- меньше АСН, т.-е. меньше BCD. А. Киселевъ. Геометр1я. В D Н
— 34 46. СлЪдСтв1е. Если въ треугольник одинъ уголъ прямой или тупой, то два друпе угла острые. Действительно, допустимъ, что какой-нибудь уголъ С тр-ка ABC (черт. 44) будетъ прямой или тупой; тогда смежный съ нимъ внйштй уголъ BCD долженъ быть прямой или острый; вслйд- CTBie этого углы А и В, которые, по доказанному, меньше внйш- няго угла, должны быть оба острые. 47. Теоремы. Во всякомъ треугольник^ 1°, противъ рав- ныхъ сторонъ лежатъ равные углы; 2°, противъ большей сто- стороны лежитъ болышй уголъ. 1*. Если двй стороны треугольника равны, то онъ равно- равнобедренный; тогда углы, лежапце противъ этихъ сторонъ, должны быть равны, какъ углы при основаши равнобедреннаго тре- треугольника D0). 2°. Пусть въ ААВС (черт. 45) сто- сторона АВ больше ВС; требуется дока- доказать, что ^/G больше ^/-4. Отложимъ на бблыпей сторон^ ВА отъ вершины В часть BDy равную меньшей сторон* ВС, и соединимъ I) съ С. Тогда получимъ равнобедрен- А "' С ный ДДВС, у котораго углы при Черт 45 основанш равны, т.-е. ^/BDG= =^/mBCD. Но уголъ ВВС, какъ внйш- тй по отношенш къ &ADC, больше угла А; следовательно, и уголъ BCD больше А, а потому и подавно уголъ ВС А больше угла А; что и требовалось доказать.
QK 48. СлЪдствш. 1°. Въ равностороннемъ треугольник Bet углы равны; 2°, въ разностороннемъ треугольник н-Ьтъ равныхъ угловъ. 49. Обратный теоремы. Во всякомъ треугольник 1°, противъ равныхъ угловъ лежатъ равныя стороны; 2°, противъ ббль- шаго угла лежитъ большая сторона. 1°. Пусть въ ААВС углы А ж С равны (черт. 46); требуется дока- доказать, что АВ=ВС.— Предполо- жимъ противное, т.-е., что стороны А В и ВС не равны. Тогда одна изъ этихъ сторонъ должна быть боль- Черт 46 ше другой, и, сл'Ьд., согласно прямой теореагб, одинъ изъ угловъ А ж С долженъ быть больше другого. Но это противоречите условш, что А=С\ значитъ, нельзя допустить, что стороны АВ и ВС не равны; остается при- принять, что АВ=ВС. 2°. Пусть въ тр-кй ABC (черт. 47) уголъ С больше угла А\ требуется доказать, что АВ^>ВС.—Предположимъ противное, т.-е. что А В не больше ВС. Тогда могутъ представиться два случая: или АВ=ВС, или АВ<^ВС. Въ первомъ случай, согласно прямой теорем^, уголъ С былъ бы равенъ yfriy A, во второмъ случай уголъ С былъ бы меньше А; и то, и другое противоречить условш; значитъ, оба эти случая исключаются. Остается одинъ возможный случай, что .4В>ВС. 50. Сл4дств1я. 1°. Равноуголь- Равноугольный треугольникъ есть и равносто- роншй. 2°. Въ треугольник^ сторона, ле- лежащая противъ тупого или прямого угла, больше другихъ сторонъ D6). _ ЧерТ. 47. 51. ЗамЪчакйе объ обратныхъ теоремахъ. Относительно равенства или неравенства двухъ сторонъ тре- s*
— 36 — угольника, напр., сторонъ АВ и ВС, могутъ представиться только сл'Ьдуюпце три возможные случая: АВ^ВС, АВ>ВС, АВ<ВС Каждый изъ этихъ случаевъ исключаешь собою веб осталь- остальные; такъ, если имйетъ мйсто 1-й случай, что АВ~ВС+ то одно- одновременно съ нимъ не могутъ существовать ни 2-й случай, ни 3-й. Въ теорем* § 47 мы раземотрйли всЬ эти случаи; оказалось, что въ каждомъ изъ нйхъ получаются таше выводы относительно равенства или неравенства противолежащихъ угловъ С в. А (именно: С=А, С^>А, С<^А), изъ которыхъ каждый исключаетъ собою всЬ остальныя. И мы видели D9), что обратныя предло- жешя оказались верными, въ чемъ было легко убедиться дока- зательствомъ отъ противнаго. Вообще, если въ теорем*, или въ ряд* теоремъ, мы раземо- тр'Ьли всевозможные взаимно исключающее слу- случаи, которые могутъ представиться относительно величины или расположешя н*которыхъ частей фигуры, при чемъ ока- оказалось, что въ этихъ случаяхъ получаются различные вза- взаимно исключаюппе выводы относительно величины или расположешя н*которыхъ другихъ частей фигуры, то мы мо- жемъзаранее (к priori)утверждать,что обратныя пред- i о ж е я i я вфрны. Впосл'Ьдствш мы неоднократно будемъ встречаться съ этимъ закономъ обратимости. Сравнительная длина объемлющихъ и объемлемыхъ ломаныхъ лин1й. 52. Теорема. Въ треугольник каждая сторона меньше суммы двухъ другихъ сторонъ. Данъ тр-къ ABC (черт. 48); требуется доказать, что любая сторона его, напр., сторона АС, меньше суммы двухъ другихъ сторонъ.
— 37 — Если сторона АС равна или меньше какой-нибудь изъ двухъ другихъ сторонъ, то тогда, очевидно, АС<С.АВ+ВС. Значитъ, намъ надо рассмотреть только тотъ случай, когда АС есть наибольшая изъ трехъ сторонъ. Продолживъ сторону АВ, отло- жимъ BD—BC и проведемъ DC. Такъ какъ Д BDC равнобедренный, то j/J^—j/J^CB', поэтому уголъ D ч 48 меньше угла DC А, и слйд., въ t\ADG сторона АС меньше AD D9), т.-е. AC<AB+BD. Зам*- нивъ BD на ВС, получимъ: АС<АВ+ВС. CJitflCTBle. Если АС есть наибольшая изъ сторонъ-, то мы мозкемъ отъ обЗшхъ частей выведеннаго неравенства отнять по АВ или по ВС; тогда получимъ: АС—АВ<ВС и АС—ВС<АВ. Читая эти неравенства справа налево, видимъ, что каждая изъ сторонъ ВС и АВ больше разности двухъ другихъ сторонъ; такъ какъ это же можно, очевидно, сказать и о третьей, наиболь- наибольшей сторон* АС, то заключаемъ: въ треугольник каждая сторона больше разности двухъ дру- другихъ сторонъ» 53. Теорема. 0ipt30Kb прямой, соединяющш flet каюя- нибудь точки, короче всякой ломаной, проведенной между этими точками. Пусть (черт. 49) АЕ есть отрйзокъ прямой, соединяющей точки А ж Е, a ABCDE какая-нибудь ломаная, проведенная между т^ми же точками. Требуется доказать, что АЕ короче суммы AB+BC+CD+DE. С Соединивъ А съ С и D, находимъ, согласно ляреды- дущей AIXAC+CD; АС<АВ+ВС. Черт. 49.
38 — Сложимъ почленно эти неравенства и затФмъ отъ об'Ьихъ частей полученнаго неравенства отнимемъ по AD и АС\ тогда получимъ: AE<AB+BC+CD+DE. 54. Опред'Ьлеше. Если между двумя точками А и D (черт. 50) по одну сторону отъ прямой AD проведены татя дв$ ломаныя лиши, что одна изъ нихъ — ABCD — вся заключена внутри , фигуры, образованной другою лишей — AEFGD — съ отрйзкомъ прямой AD, то первая ломаная наз. о б ъ е м л е- мой, а вторая объемлющей, 55. Теорема. Выпуклая ломаная короче всякой другой ло- ломаной, объемлющей ее. Пусть (черт. 50) ABCD есть вы- п у к л а я C4) ломаная, a AEFGD какая-нибудь другая ломаная (вы- (выпуклая или невыпуклая — все равно), объемлющая первую; тре- требуется доказать, что: AB+BC+CD<AE+EF+ +FG+GD. Черт. 50. Продолживъ стороны выпуклой линш, какъ указано на чер- , можемъ написать слйдуюпця неравенства E3): АВ+ВН<АЕ+ЕН BC+CK<BH+HF+FG+GK CB<CK+KD. Сложимъ почленно всЬ эти неравенства и загЬмъ отъ обЬихъ частей полученнаго неравенства отнимемъ вспомогательные отрезки ВН и СК; далйе зам'Ьнимъ сумму EH+HF черезъ EF и сумму GK+ED черезъ GD\ тогда получимъ то неравенство, которое требовалось доказать. 56. Теорема Если выпуклый многоугольникъ заключенъ весь внутри какого-нибудь другого многоугольника, то пери- метръ перваго меньше периметра второго.
— 39 — Пусть ABCD (черт. 51) есть выпуклый многоуголь. никъ, a LMNPQR какой-нибудь другой многоугольникъ (выпуклый или невыпуклый), внутри котораго заключенъ пер- первый. Требуется доказать, что АВ + ВС + CD + DA меньше LM+MN+NP+PQ+QR+RL. Продолживъ въ обоихъ напра- влешяхъ одну какую-нибудь сто- сторону AD выпуклаго мн-ка, при- мЗшимъ къ ломанымъ лишямъ ABCD и ATMNPQRSD, прове- деннымъ между точками А и D, теорему предыдущего параграфа: АВ + ВС + CD < AT + TM + MN + NP+PQ+QR+RS+SD. Оъ другой стороны, такъ какъ отрйзокъ ST короче лома- ломаной SLT, то можемъ написать: AT+AD+DS<TL+LS. Сложимъ почленно эти два неравенства и отнимемъ отъ обоихъ частей вспомогательные отрезки AT я DS\ загЬмъ зам'Ьнимъ сумму TL+TM черезъ LM и сумму LS+RS черезъ LR; тогда получимъ то, что требовалось доказать. ч 67. 3aNrb4aHie. Дв-Ь предъ- идущ1я теоремы перестаютъ быть верными, если объемле- мая ломаная или объемлемый многоугольникъ не выпук- выпуклые. Такъ, на черт. 52-мъ объ- емлемая ломаная, проведенная между точками А ж В, можетъ оказаться длиннее объемлю- объемлющей, проведенной между т-Ьми же точками. в Черт.« 52.
— 40 — Треугольники съ двумя соотвЪтетвенно равными сто- сторонами. 58. Теоремы. 1°. Если двЪ стороны одного треугольника соответственно равны двумъ сторонамъ другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, не равны, то про- тивъ ббльшаго изъ этихъ угловъ лежитъ большая сторона. 2°. (Обратная). Если двЪ стороны одного треугольника со- отвЪтственно равны двумъ сторонамъ другого треугольника, а третьи стороны не равны, то противъ большей изъ этихъ сто- ронъ лежитъ болышй уголъ. 1°. Пусть въ тр-кахъ ABC и А^Ст, (черт. 53) дано; АС=^АгСъ АВ=А1ВХ\ но АфАг. Требуется доказать, что если А^>Аг, то и ВС^>ВгСг, а если , то и ВС<СВСг.— Предположимъ, что A^>AV Нало- Б Черт. 53. жимъ A AtBiCi на Д ABC такъ, чтобы сторона АгСг совпала съ АС. Такъ какъ, согласно предположены), А^>АЪ то сто- сторона АгВг пойдетъ внутри угла 4,и Д А^Сх заиметь н^ко- торое положен1е АВпС (при чемъ вершина Вп можетъ лежать или внЪ Л ABC, какъ изображено на нашемъ чертеж'Ь*), или внутри его, или\ же на сторонй ВС; доказательство остается одно и то же во всЬхъ этихъ случаяхъ). Проведемъ биссектриссу угла ВАВ1г до пересЬчешя со стороною ВС въ точкЪ D и эту точку соединимъ прямою съ Вп; тогда получимъ два тр-ка ABD и *) На чертежЬ вм-Ьото буквы В„ ошибочно поставлена буква Ь.
— 41 — DABU, которые равны, потому что у нихъ: AD общая сторона, АВ=АВп по условш B^BAD=J/mDAB11, такъ какъ прямая AD д'Ьлитъ пополамъ уголъ ВАВп. Изъ равенства тр-ковъ слйдуетъ: BD=DBn. Теперь изъ Д DCBn выводимъ: ^ E2), или (зам'Ьнивъ B1VD на BD): ВВ+ВС>ВпС, т.-е. В Если допустимъ, что А<^Аг, то такъ же докажемъ, что тогда ВС<ВгСх. 2°. Пусть въ т^хъ же треугольникахъ дано: АВ=АгВъ АС=А1С1, но Требуется доказать, что если ВС^ВхС^ то и А^>АЪ если же ВС^ВхСь то и А<^Аг.— Предположимъ, что Вб^В^; докажемъ, что А^>Аг. Допустимъ противное, что А не больше Аг\ тогда могутъ представиться два случая: или А=Аг, или А<^Аг. Въ первомъ случай тр-ки были бы равны и, слйд., сторона ВС равнялась бы ВгСг, что противоречить условш;, во второмъ случай сторона ВС, согласно теоремй 1°, была бы меньше ВгСъ что также противоречить условш. Значитъ, оба эти случая исключаются; остается одинъ возможный случай, что А^>Аг. Если допустимъ, что ВС^ВхСх, то такъ же докажемъ, что тогда и ГЛАВА III. Перпендикуляры и наклонныя. 59,1. Теорема. Перпендикуляръ, опущенный изъ точки напря- напрямую, короче всякой наклонной, проведенной изъ той же точки на эту прямую. Пусть АВ (черт. 54) есть перпендикуляръ, опущенный изъ точки А на прямую MN, и АС какая-нибудь наклонная, проведенная изъ той же точки А къ прямой MN. Требуется доказать, что АВ<^АС.— Въ Д ABC угойъ В прямой, а прс- тивъ прямого угла лежитъ большая сторона E0 ,2°); АС>АВ.
— 42 — ЗамтЬчаше. Когда говорятъ: «разстояше точки отъ пря- мой», то разумФютъ разстояше, измеряемое по перпендику- перпендикуляру, опущенному изъ этой точки на прямую. 59, 2. Теорема. Если изъ одной и той же точки, взятой BHt прямой, проведены къ этой прямой перпендикуляръ и как'ш- нибудь наклонныя, то: 1°, если основашя двухъ наклонныхъ одинаково удалены отъ основашя перпендикуляра, то татя наклонныя равны; 2°, если основашя двухъ наклонныхъ не одинаково удалены отъ основашя перпендикуляра, то та изъ наклонныхъ больше, которой основаше дальше отстоитъ отъ основашя перпендикуляра. 1°. Пусть АС и АВ (черт. 54) будутъ двЪ ташя наклонныя, проведенныя изъ точки А къ прямой MN, которыхъ основа- основатя С и D одинаково удалены отъ основатя перпендикуляра АВ, т.-е. СВ = ВВ\ требуется дока- доказать, что АС=АВ./\Въ тр-кахъ ABC и ABB есть общая сторона АВ и сверхъ того BC=BD (по условш) и /_ ABC = /_ ABB (какъ углы прямые); значитъ, ч 54 эти тр-ки равны, и потому ' AC=AD. 2°. Пусть АС и АЕ (черт. 54) будутъ двФ татя наклонныя, проведенныя изъ точки А къ прямой MN, которыхъ основатя неодинаково удалены отъ основашя перпендикуляра АВ; напр., пусть ВЕ^>ВС\ требуется доказать, что АЕ^>АС.—Отложимъ BD=BC и проведемъ АВ. По доказанному выше, AD=AC. Сравнимъ АЕ съ АВ. Уголъ ABE есть внйштй по отношетю Д ABB и потому онъ больше прямого угла АВВ\ сл^д.,^АВЕ тупой; но въ Л противъ тупого угла должна лежать большая сторона E0, 2°); значитъ,' АЕ^>АВ и, сл^д., АЁ^>АС. вО. Обратная предложения. Въ предыдущей тео- рем^ разсмотрФны всевозможные взаимно исключающее случаи относительно равенства или неравенства разстояшй основашй наклонныхъ отъ основатя перпендикуляра; при этомъ получи- получились взаимно исключаюпце выводы относительно равенства или
неравенства наклонныхъ; вслЪдстше этого обратныя предло- жешя должны быть вйрны E1), а именно: Если изъ одной и той же точки, взятой внЪ прямой (черт. 54), проведены къ этой прямой перпендикуляръ и кашя-нибудь на- наклонныя, то: 1°, если двЪ наклонныя равны, то ихъ основашя одинаково удалены отъ основашя перпендикуляра; 2°, если д t наклонныя не равны, то основаше большей изъ нихъ дальше отстоитъ отъ основашя перпендикуляра. Предоставляемъ учащимся самимъ доказать эти предложешя (способомъ отъ противнаго). Равенство прямоугольныхъ треугольниковъ. 61. Такъ какъ въ прямоугольныхъ тр-кахъ углы, содер- жапцеся между катетами, всегда равны, какъ прямые, то: Прямоугольные треугольники равны: 1°, если катеты одного треугольника соответственно равны катетамъ другого; или 2°, если катетъ и прилежащш къ нету острый уголъ одного треугольника равны соответственно катету и прилежа- прилежащему къ нему острому углу другого треугольника. Эти два признака не требуютъ особаго доказательства, такъ какъ они представляютъ лишь частные случаи общихъ призна- ковъ D3, 1° и 2°). Докажемъ еще два слйдуюпце признака, отно- сяпцеся только къ прямоугольнымъ треугольникамъ. 62. Теоремы. Прямоугольные треугольники равны: 1°, если гипотенуза и острый уголъ одноготре- угольника соответствен- соответственно равны гипотенузЪ и острому углу другого; или 2°, если гипоте- гипотенуза и катетъ одного треугольника соответ- соответственно равны гипоте- гипотенузе и катету другого. черт. об. 1°. Пусть ABC и -4i#iCi (черт. 55) два прямоугольные тр-ка, у которыхъ: АВ^АХВХ и А=Аг] требуется доказать, что эти
— и — тр-ки равны.— Наложимъ Л ABC на д А1В1С1 такъ, чтобы у нихъ совместились равныя гипотенузы. Тогда по равенству угловъ А ж Аг катетъ АС пойдетъ по А-^С^ При этомъ точка С должна совместиться съ точкой Сь* потому что если предполо- жимъ, что она упадетъ въ точку С2 или точку С3, то тогда катетъ ВС занялъ бы положеше ВгС2 или ВгС3, что невозможно, такъ какъ изъ одной точки Вг нельзя на прямую АхСг отпустить два перпендикуляра (В^ и ВгС2, или В1С1 и BXCS). 2°. Пусть (черт. 56) въ прямоуг. тр-кахъ дано: АВ = А^ и ВС=В1С1; требуется доказать, что тр-ки равны. — Наложимъ Д ABC на д А^Сг такъ, чтобы у нихъ совместились равные катеты ВС и Черт. 56. ^^ Тогда, по равенству прямыхъ угловъ, С А пойдетъ по СгАг. При этомъ гипотенуза АВ не можетъ не совместиться съ гипо- гипотенузой АгВъ потому что если бы она заняла положеше А2Вг или А з-Bx, то тогда мы имели бы две равныя наклонныя (А1В1 и А2ВЪ или АгВг и AzBt), которыя не одинаково удалены отъ основашя перпендикуляра, что невозможно E9, 2). ГЛАВА IV. Свойство перпендикуляра, проведенного къ прямой черезъ ея середину, и свойство Оиссектриссы угла. 63. Теоремы. 1°. Если какая-нибудь точка одинаково уда- удалена отъ концовъ отрЪзка прямой, то она лежитъ на перпенди- куляр% къ этому отр%зну, проходящемъ черезъ его середину. 2°. Обратно: если какая-нибудь точка лежитъ на перпенди- куляр% къ отр%зку прямой, проходящемъ черезъ его середину. то она одинаково удалена отъ концовъ этого отрезка.
1 / * * * * Iм V \ \ ч \ X ч ч \ \ \ о 4N — 45 — 1°. Пусть точка М (черт. 67) одинаково удалена отъ концовъ отрезка прямой АВ, т.-е. пусть МА=МВ; требуется доказать, что точка М лежитъ на перпендикуляр^, проведенномъ къ прямой АВ черезъ ея середину. — Проведемъ биссектриссу МО угла АМВ. Такъ какъ тр-къ АМВ равнобедренный, то эта биссектрисса служить въ ней вы- высотою и мед1аною C8); значитъ, точ- ка М лежитъ на перпендикуляр^ къ прямой АВ} д'Ьлящемъ ее пополамъ. 2°. Пусть ОМ (черт. 57) есть пер- перпендикуляру проведенный къ отр'Ьз- kjAB черезъ его середину, и М какая- нибудь точка на немъ; требуется доказать, что эта точка одинаково Черт. 57. удалена отъ концовъ АВ, т.-е,. что МА=МВ. — Прямыя МА и MB суть наклонныя къ АВ, одинаково удаленныя отъ осно- ватя перпендикуляра МО; а татя наклонныя равны; сл?д., МА=МВ. 64. CjrbACTBie. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, пря- прямой и обратной, можно вывести слйдстые, что теоремы, п р о- тивоположныя имъ, также в^рны D), т.-е. что (черт. 58): если какая-нибудь точка (М) н е одинаково удалена отъ концовъ отрезка прямой (АВ), то она н е лежитъ на перпендикуляр^ (CD) къ этому отрезку, проведенномъ черезъ- его середину (О); если какая-нибудь точка н е лежитъ на перпендику- ляр$ къ отрезку прямой, проведенномъ черезъ его сере- середину, то она не одинаково удалена отъ концовъ этого м Аь- D Черт. 58. отрезка. Предлагаешь учащимся самимъ доказать эти противополож- противоположный предложетя (разсуждетемъ отъ противнаго)..
— 46 — 65. Теоремы. 1°. Если какая-нибудь точка одинаково уда- удалена отъ сторонъ угла, то она лежитъ на его биссектрисе^. 2°. Обратно: если какая-нибудь точка лежитъ на биссектрисе* угла, то она одинаково удалена отъ его сторонъ. 1°. Пусть точка М (черт. 59) одинаково удалена отъ сторонъ угла ABC, т.-е. пусть перпендикуляры MF и ME, опущенные изъ этой точки на стороны угла, равны; требуется доказать, что точка М лежитъ на бис- сектриссЬ угла ABC. — Проведемъ прямую черезъ ВиМ. Прямоугольные тре- треугольники МВЕ и MBF равны, такъ какъ у нихъ общая гипотенуза и ка- катеты ME, MF равны по условно. Изъ равенства Черт* б9# тр-ковъ сл'Ьдуетъ, что /JS/LBE—^MBF, т.-е. прямая MB есть биссектрисса угла ABC. 2°. Пусть BD (черт. 59) есть биссектрисса угла ABC, и М какая-нибудь точка на ней; требуется доказать, что перпен- перпендикуляры ME и MF, опущенные изъ этой точки на стороны угла, равны.— Прямоугольные тр-ки МВЕ и MBF равны, такъ какъ у нихъ общая гипотенуза, и углы МВЕ, MBF равны по условно. Изъ равенства тр-ковъ сл'Ьдуетъ, что ME—MF *). 66. Cji^CTBie. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, пря- прямой и обратной, можно вывести сл?дстше, что теоремы, п р о- тивоположныя имъ также в^рны, т.-е., что (черт. 60): если какая-нибудь точ- точка (М) н е одинаково уда- удалена отъ сторонъ угла (ABC), то она н е лежитъ на его биссектрисе^ (BD); Черт. 60. если какая-нибудь точ- *) Предлагаемъ оамимъ учащимся разсмотрЪть свойства точекъ, одинаково удаленныхъ отъ п р о д о л ж е н i й сторонъ угла (за вершину).
— 47 — ка н е лежитъ на биссектрисе^ угла, то она н е одинаково удалена отъ сторонъ его. в7. Геометрическое м^сто. Геометрическимъ м$- стомъ точекъ, обладающихъ нйкоторымъ свойствомъ, наз. такая лишя, или поверхность, или совокупность лиши и поверхностей (вообще такая фигура), которая содержитъ въ себй веб точки, обладаюпця этимъ свойствомъ, и не содержитъ ни одной точки, не обладающей имъ. Изъ теоремъ предыдущихъ параграфовъ слФдуетъ: Геометрическое мЪсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ двухъ данных* точекъ, есть перпендикуляръ, проведенный къ отрЪзку прямой, соединяющему эти точки, чрезъ его середину. Геометрическое мЪсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ сторонъ угла, есть биссектрисса этого угла *). ГЛАВА V. Основный задачи на построеше. 68. IIOHHTie объ окружности. Теоремы, доказан- ныя нами въ предыдущихъ главахъ, позволяюсь решать которыя задачи на построен1е. Зам'Ьтимъ, что въ эле- элементарной геометр in разематриваются только татя построения, которыя могутъ быть выполнены помо- помощью линейки и циркуля (упо- В, треблеше наугольника и нйкоторыхъ другихъ приборовъ хотя и допускается ради сокращетя времени, но не i составляетъ необходимости). Посред- ствомъ линейки проводятся прямыя линш, посредствомъ циркуля чертится ОКРУЖНОСТЬ. СвОЙСТВа ЭТОЙ ЛИШИ Черт. 61. мы раземотримъ впосл'Ьдствш, теперь же ограничимся только краткимъ поняпемъ о ней. *) Предлагаемъ самимъ учащимся убедиться, что геометрическое м^сто точекъ, равнеотстоящихъ отъ двухъ пересЪкающихся прямыхъ, состоитъ изъ двухъ прямыхъ, д'Ъляцшхъ пополамъ углы, образованные пересекающимися прямыми.
— 48 — Если дадимъ циркулю произвольное раетвореше и, поставивъ его ножку съ остреемъ въ какую-нибудь точку О (черт. 61), стапемъ вращать циркуль вокругъ этой точки, то другая его ножка, снабженная карандашомъ или перомъ, опишетъ непре- непрерывную линш, которой всЬ точки одинаково удалены отъ точки О. Эта лишя наз. окружностью, а точка О — центромъ ея. Прямыя О А, ОВ,ОС...\ соединяюпця центръ съ какими-нибудь точками окружности, наз. рад1усами. Веб рад1усы одной окружности равны между собою. Часть окружности, напр., АВ (черт. 61), наз. дугою. S 69. Оеновныя задачи на построение. Укажемъ рйшеше сл'Ьдующихъ задачъ на построете. Задача 1. Построить треугольникъ по даннымъ его сторон а мъ а, бис (черт. 62). На какой-нибудь прямой MN откладываемъ часть С23, рав- равную одной изъ ¦ данныхъ сто- ронъ, напр. а. \ а \ /\* ^-зъ точекъ ^ и / \ ^' какъ цен- тровъ, описы- а ваемъ двФ не- М N больш1я дуги, черт. 62. одну рад1усомъ, равнымъ Ь, дру- другую рад!усомъ, равнымъ с. Точку А, въ которой эти дуги пере- пересекаются, соединяемъ .съ В и С Треугольникъ ABC будетъ Зам'ЬчаШе. Не всяк1е три отрезка прямой могутъ служить сторонами треугольника; для этого необходимо, чтобы болышй изъ нихъ былъ меньше суммы двухъ остальныхъ E2). Задача 2. н а даннойпрямой MN при данной
— 49 — на ней точке О построить уголъ, равный данном1' углу ABC (черт. 63). В А М N Черт. 63. Изъ вершины В, какъ центра, описываемъ произвольнымъ рад1усомъ между сторонами даннаго угла дугу EF\ затемъ, не изменяя растворешя циркуля, переносимъ его острее въ точку О и описываемъ дугу PQ. Далее, изъ точки Р, какъ центра, описываемъ дугу аЪ рад1усомъ, равнымъ разстоянш между точками Е и F. Наконецъ черезъ точки О и В (пересечете двухъ дугь) проводимъ прямую. Уголъ ВОТ равенъ углу ABC, потому что тр-ки ROP и FBE, имеюнце соответственно равныя стороны, равны. Задача 3. Разделить данный уголъ ABC п о- пополамъ (черт. 64). Изъ вершины В, какъ центра, произвольнымъ рад1у- сомъ опишемъ между сторо- сторонами угла дугу DE. Затемъ, взявъ произвольное раство- peHie циркуля, большее, однако половины разстоятя между точ- точками Е и D (см. зам^чаше къ за- задачи 1-й), описываемъ этимъ растворешемъ изъ точекъ D и Е неболышя дуги, которыя пересекались бы въ какой-нибудь точке F. Проведя прямую BF, мы получимъ биссектриссу угла ABC.—Для доказательства соединимъ прямыми точку F съ В и Е\ тогда получимъ два тр-ка BEF и BBF, которые равцы, такъ какъ у нихъ BF общая сторона, ВВ—ВЕ и BF—EF по построенш. Изъ равенства тр-ковъ ^ледуетъ: Z.ABF—/J3BF. А. Киселевъ. Геометрия. 4 В D Черт. 64.
50 — Д в Черт. 65. Задача 4. и зъ данной точки С прямой АВ возставить къ этой прямой перпендику- перпендикуляр ъ (черт. 65). Отложимъ на АВ по обе стороны отъ данной точки С равные отрезки (произвольной длины) СВ и СЕ. Изъ точекъ Е и В однимъ и темъ же ра- створешемъ циркуля (боль- (большимъ однако СВ) опишемъ две неболышя дуги, которыя пере- пересекались бы въ некоторой точ- точке F. Прямая, проведенная че- черезъ точки С и F, будетъ искомымъ перпендикуляромъ.—Дей- перпендикуляромъ.—Действительно, какъ видно изъ построешя, точка F одинаково удалена отъ В и Е\ след., она должна лежать на перпендику- перпендикуляре, проведенномъ къ отрезку BE черезъ его середину F3); но середина этого отрезка есть G, а черезъ С и F можно провести только одну прямую; значитъ, ВС1.ВЕ. Задача б.Изъ данной точки4опустить пер- пендикуляръ н $ данную прямую ВС (черт. 66). Изъ точки А, какъ центра, произвольнымъ растворешемъ цир- циркуля (большимъ однако разстояшяотъ А до ВС) опишемъ такую дугу, которая пересекалась бы съ ВС въ какихъ-нибудь двухъ точ- кахъ В и Е. Затемъ изъ этихъ точекъ произвольнымъ, но однимъ и темъ же, растворетемъ циркуля (большимъ однако х/2 BE) проводимъ две не- неболышя дуги, которыя пере- пересекались бы между собою въ В ^4 " ^ С некоторой точке F. Прямая AF будетъ искомымъ перпен- перпендикуляромъ .—Действитель- .—Действительно, какъ видно изъ построе- шя, каждая изъ точекъ А и F одинаково удалена отъ В и Е\ а татя точки ле- лежать на перпендикуляре, Черт. 66. проведенномъ къ отрезку BE черезъ его середину F3).
— 61 - Задача 6. Провести перпендикуляръ къ данной конечной прямой (АВ) черезъ ея середину (черт. 67). Изъ точекъ А и В произвольными но одинаковымъ, раство- ретемъ циркуля (бблыпимъ г/2 АВ) описываемъ дв'Ь дуги, которыя пере- пересекались бы между собою въ н^кото- рыхъ точкахъСи В. Прямая С В будетъ искомымъ перпендикуляромъ. — Дей- Действительно, какъ видно изъ построешя, каждая изъ точекъ С и В одинаково удалена отъ А и В; сл^д., эти точки должны лежать на перепендикуляр'Ь, цроведенномъ къ отрезу АВ черезъ его середину F3). ЧеРт- 67- Задача 7.Разделить пополамъ данную ко- конечную прямую АВ (черт. 67). Решается такъ же, какъ предыдущая задача. 7(Х Прим-Ьръ бол'Ье сложной задачи. При помощи этихъ основныхъ задачъ можцо решать задачи бол'Ье сложныя. Для примера р^шимь следующую задачу. Задача. Построить треугольник ъ, зная его основан1еЬ, угольа, прилежащ1йкъ о с н о- в а н i ю, и сумму s двухъ боковыхъ сторонъ (черт. 68). Чтобы составить планъ р^шен1я, дрёдцоложимъ, что задача решена, т.-е. найденъ такой тр-никъ ABC, у котораго осно- вате АС—Ъ, уголъ А=а и AB+BC=s. РазЬмотримъ теперь полученный чертежъ. Сторону АС, равную Ъ, и уголъ А, равный а, мы построить ум^емь. Значить, остается найти на сторон^ АВ угла А такую точку В, чтобы сумма АВ+ВС равнялась s. Про- долживъ АВ, отложимъ отрйзокъ АВ, равный 5. Теперь вопросъ приводится къ тому, чтобы на прямой АВ отыскать такую точку В, которая была бы одинаково удалена отъ С ж В. Такая точка, какъ мы знаемъ F3), должна лежать на перпендикуляр'Ь, про- веденномъ къ отрезку прямой СВ черезъ его середину. 4
— 62 — Этотъ перпендикуляръ мы построить умйемъ. Точка В най- найдется въ пересбчети перпендикуляра съ AD. Итакъ, вотъ pfoneme задачи: строимъ (черт. 68) уголъ А, равный данному углу а; на сторонахъ его откладываемъ АС=Ъ и AD=s. Черезъ середину отрезка прямой DC про- водимъ перпендикуляръ ВЕ\ пересечете его съ AD, т.-е. точку В, соеди- нимъ съ С Тр-нпкъ ABC Черт. 68. будетъ искомый, такъ какъ онъ удовлетворяете всбмъ требова- шямъ задачи: у него ЛG=Ь, Z.A=a и AB+BC=s, (потому что BD=zB(J). Разсматривая построеше, мы зам'Ьчаемъ, что задача возможна не при всякихъ данныхъ. Действительно, если сумма s задана слишкомъ малою сравнительно съ ^, то перпендикуляръ ЕВ можетъ и не пересечь отрезка AD (или пересбчетъ его продол- жен1е за точку А или за точку D); въ этомъ случай задача ока- окажется невозможной. И. независимо отъ построешя можно видеть, что задача невозможна, если s<0>, или $=Ь, потому что не можетъ быть такого треугольника, у котораго сумма двухъ сторонъ была бы меньше или равна третьей сторон*. Въ томъ случай, когда задача возможна, она имйетъ только одно punieHie, т.-е. существуетъ только одинъ тр-никъ, удовлетворяющей требовашямъ задачи, такъ какъ пересечете перпендикуляра BE съ прямой AD можетъ быть только въ одной точки. 71. Зам1эЧан1е. Изъ приведенная примера видно, что решете сложной задачи на построете состоитъ изъ сл^дую- щихъ четырехъ частей: 1°. Предположивъ, что задача р-Ьшена, дйлаютъ отъ руки приблизительный чертежъ искомой фигуры и затймъ, внима- внимательно разсматривая начерченную фигуру, стремятся найти тащя зависимости между данными задачи и искомыми,. кото-
— 63 — рыя позволили бы свести задачу на друтс, изв'Ьстныя ран^е. Эта самая важная часть рЪшешя задачи,, имеющая ц'Ьлью со- составить п л а н ъ решетя, носитъ назваше анализа. 2°. Когда такимъ образомъ планъ решетя найденъ, выпол- няютъ сообразно ему построен! е. 3°. Для проверки правильности плана доказываютъ загЬмъ, на основанш изв'Ьстныхъ теоремъ, что полученная фигура удовлетворяетъ всЬмъ требоватямъ задачи. Эта часть решетя называется синтезомъ. 4°. Зат'Ьмъ задаются вопросомъ, при всякихъ ли данныхъ задача возможна, допускаетъ ли она одно решете, или не- несколько, и н^тъ ли въ задача какихъ-либо особенныхъ случаевъ, когда построеше упрощается, или, наоборотъ, усложняется. Эта часть решетя наз. изслгЬдован1емъ задачи. Когда задача весьма проста и не можетъ быть сомнЪшя отно- относительно ея возможности, то обыкновенно анализъ и изсл'Ьдо- ваше опускаютъ, а указываюсь прямо построете и приводятъ доказательство. Такъ мы делали, излагая решете первыхъ 7-ми задачъ этой главы; такъ же будемъ делать и впосл'Ьдствш, когда намъ придется излагать решете несложныхъ задачъ. УПРАЖНЕН1Я. Доказать теоремы. 5. Въ равнобедренномъ треугольник^ двЪ мед1аны равны, дв'Ь биссектриссы равны, двЪ высоты равны. 6. Если изъ середины каждой изъ равныхъ сторонъ равнобедрен- наго тр-ка возставимъ перпендикуляры до пересЬчешя съ другою изъ равныхъ сторон*, то эти перпендикуляры равны. 7. Перпендикуляры, возставленные къ двумъ сторонамъ угла на равныхъ разстояшяхъ отъ вершины, пересекаются на биссектрисе^. 8. Прямая, перпендикулярная къ биссектриссЬ угла, отсЬкаетъ отъ его сторонъ равные отрезки. 9. Мед1анд тр-ка меньше его полупериметра. 10. Мед1ана тр-ка меньше полусуммы сторонъ, между которыми она заключается. Указан1е : продолжить мед1ану на разстояше, равное ей, полученную точку соединить съ однимъ концомъ стороны, къ которой проведена мед1ана, и раземотр^ть образовавшуюся фигуру. 10.а. Сумма мед1анъ тр-ка меньше периметра, но больше полу- полупериметра. 11. Сумма разстояшй какой-нибудь точки, взятой внутри тр-ка, отъ трехъ его вершинъ меньше периметра, но больше полупериметра.
'— 54 11,а. Сумма д!агоналей четыреугольника меньше его периметра, но больше полу периметра. 12. Доказать прямо, что всякая точка, не лежащая на перпенди- перпендикуляре, проведенномъ къ отрезку прямой черезъ его середину, не одинаково удалена отъ концовъ этого отрезка. 13. Доказать прямо, что всякая точка, не лежащая на биссектрисой угла, не одинаково отстоитъ отъ сторонъ его. 13,а. Если на сторонахъ угла А отложимъ равныя длины АВ и АВ±, зат'вмъ равныя длины АС и АСи то прямыя ВСХ и ВгС пересекаются на биссектрйссв угла А. Задачи на построеше. 14. Построить ёумму двухъ, трехъ и более данныхъ угловъ. 15. Построить разность двухъ угловъ. 16. По данной сумм^ и разности двухъ угловъ найти эти углы. 17. Разделить уголъ на 4, 8, 16 равныхъ частей. 18. Черезъ вершину даннаго угла провести вне его такую прямую, которая со сторонами угла образовала бы равные углы. 19. ПостроитьД: а) по двумъ сторонамъ и углу между ними; Ь) по стороне и двумъ прилежащимъ угламъ; с) по двумъ сторонамъ и углу, лежащему противъ ббльшей изъ нихъ; d) по двумъ сторонамъ и углу, лежащему противъ меньшей изъ нихъ (въ этомъ случае полу- получаются два решен!я или ни одного). 20. Построить PJ)*b нобедренный Д: а) по основашю и боковой стороне; Ь) по основашю и прилежащему углу; с) по боковой стороне и углу при вершине; d) по боковой, стороне и углу при осно- вашие ' 21. Построить прямоугольный Д: а) по двумъ катетамъ; Ь) по катету и гипотенузе; с) по катету и прилежащему острому углу. 22. Построить равнобедренный Д: а) по высоте и боковой стороне, Ь) по высоте и углу при вершине; с) по основатю и перпен- перпендикуляру, опущенному изъ конца основатя на боковую сторону. 23. Построить прямоугольный Д по гипотенузе и острому углу. 24. Черезъ точку, данную внутри или вне угла, провести такую пряную, которая отсекала бы отъ сторонъ угла равныя части. 25. По данной сумме и разности двухъ прямыхъ найти эти прямыя. 26. Разделить данную конечную прямую на 4, 8, 16 равныхъ частей. 27. На данной прямой найти точку, одинаково удаленную отъ двухъ данныхъ точекъ (вне прямой). 28. Найти точку равноотстоящую отъ трехъ вершинъД. 29. На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, оди- одинаково удаленную отъ сторонъ этого угла. 30. Найти точку, одинаково удаленную отъ трехъ сторонъ Д. 31. На безконечной прямой АВ найти такую точку С, чтобы полу- Прямыя СМ и CN, проведенныя изъ С черезъ данныя точки М и N,
бб — расположённый по одну сторону отъ АВ, составляли съ полупрямыми С А и С В равные углы. 32. Построить прямоугольный Д по катету и суммЪ гипотенузы съ другимъ катетомъ. 33. Построить Д по основашю, углу, прилежащему къ основашю, и разности двухъ другихъ сторонъ (разсмотр'Ьть два случая: 1) когда данъ м е н ь ш i й изъ двухъ угловъ, прилежащихъ къ основанш, 2) когда данъ б 6 л ь ш i й изъ нихъ). 34. Построить прямоугольный Д по катету и разности двухъ дру- другихъ сторонъ. ГЛАВА VI. Параллельныя прямые Основныя теоремы. 72. Опред'ЪленХе. Когда катя-нибудь двй прямыя АВ и GD (черт. 69) пересечены третьей прямой MN, то образова- образовавшееся при этомъ углы получаютъ попарно сл'Ьдуюпця назвашя: соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7; внутренн1е накрестъ ле- лежа щ i e углы: 3 и 5, 4 и 6; в н ? ш н i e накрестъ лежа- щ i e углы: 1 и 7, 2 и 8; внутренн1е односто- poHHie углы: Зи6,4и5; в н ? ш н i e односторон- Hie углы: 1 и 8, 2 и 7. ЧеРт- 6Э- 73. Лемма. *) Если между углами, образовавшимися при пересЪченш двухъ прямыхъ третьего (черт. 69), существуетъ какое-нибудь одно изъ сл^ующихъ 5-и соотношенш: 1°, соотв^ственные углы равны, 2°, внутренне накрестъ лежащ1е углы равны, 3°, BHtuiHie накрестъ лежанье углы равны, 4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2d4 5°, сумма вн-Ьшнихъ одностороннихъ угловъ равна 2d, то существуютъ и ect остальныя изъ этихъ соотношен"ш. Сначала докажемъ, что первое изъ указанныхъ соотно- влечетъ за собою, какъ сл^дств1е, вс^ остальныя; посл'Ь *) Леммою наз. вспомогательная теорема, излагаемая только для того, чтобы при ея помощи доказать послЪдуюцпя теоремы.
56 этого до^ажемъ, что, обратно, каждое изъ этихъ остальныхъ соотношенШ (т.-е. 2-е, 3-е, 4-е и 5-е) влечетъ за собою первое; отсюда мы заключимъ, что каждое изъ указанныхъ соот- ношешй влечетъ за собою вс* остальныя. 1) Пусть дано, что соответственные углы 2 и 6 равны между собою (черт. 70); требуется доказать, что въ такомъ случай будутъ им'Ьть мйсто и веб остальныя указанныя соотношешя. Прежде всего покажемъ, что #™ равенство одной пары соотвЪт- ственныхъ угловъ, напр, угловъ 2 и 6, влечетъ за собою равен- равенство и всЬхъ остальныхъ паръ соотв'Ьтственныхъ угловъ. ДЬй- ствительно, Z 4 = Z 8, такъ какъ первый изъ этихъ угловъ равенъ углу 2, а второй—углу 6, какъ вертикальный; Z 1 = Z 7 70 такъ какъ эти углы составляютъ дополняя до 2d къ равнымъ угламъ 2 и 6; по той же причин* Обращая теперь внимате на внутренн1е накрестъ лежапце углы, находимъ: /_ 4 = ^/ 2, какъ углы вертикальные; ^2=^/6 по заданш; сл'Ьд., ^Л~/3* Если же Zl4 = Zl 6, то равны и внутренше накрестъ Лежа- m;ie углы 3 и 5, какъ дополнешя до 2d къ равнымъ угламъ 4 и 6. Обращая Бнимаше на вн^ште накрестъ лежапце углы, нахо- какъ углы вертикальные; ,/6=^2 по заданш; Если же ZJ*— /L$, to равны и друпе вн^ште односторон- Hie углы 1 и 7, какъ дополнешя до Ы къ равнымъ угламъ 2 и 8. Обращая внимате на внутренте односторонн1е углы, нахо- находимы' ^.3+ZL2=2d, такъ какъ эти углы смежные. ЗамЗшивъ въ этой сумм* уголь 2 равнымъ ему угломъ 6, по лучимы Z Точно такъ же: Z4+Zl=2d, Zl=Z.5; сл*д., Обращая, наконецъ, внимаше на вн^ште односторонте углы, совершенно такъ же, какъ это было сделано для внутрен-
57 — нихъ одностороннихъ угловъ, докажемъ, что и 2) Докажемъ теперь, что каждое изъ соотношешй: 2-е, 3-е, 4-е и 5-е влечетъ за собою соотношеше 1-е. Пусть, напр., дано (черт. 70), что Z-2-\-Zj=2d\ требуется доказать, что соответственные углы 2 и 6 равны. Действительно, Zl7-fZl6=2d, такъ какъ углы эти смежные; но /j2-\-Zj"=2d по заданно; след., zl7+Zl6=Zl2+^l7. Отнявъ отъ этпхъ рав- ныхъ суммъ по одному и тому же углу 7, получимъ /jo=Z-2. Подобно этому докажемъ, что и любое иное изъ соотношешй: 2-е, 3-е, 4-е и 5-е влечетъ за собою соотношеше 1-е. 3) Теперь заключаемъ, что каждое изъ 5-ти указанныхъ соот- ношетй влечетъ за собою все остальныя, такъ какъ каждое влечетъ 1-е, а это влечетъ все остальныя. 74. Теорема. Два перпендикуляра къ одной и той же пря- прямой не могутъ пересЪчься, сколько бы мы ихъ ни продолжали. Пусть къ одной и той же пря- прямой АВ (черт. 71) проведены два перпендикуляра CD и EF\ тре- требуется доказать, что эти пер- перпендикуляры не пересекаются, сколько бы мы ихъ ни продол- продолжали. Предположимъ противное, т.-е что прямыя CD и EF, будучи А— продолжены достаточно далеко, пересекаются въ некоторой точ- точке М (или М'). Тогда изъ этой точки на прямую АВ были Лы опущены 2 различные перпен- перпендикуляра. Такъ какъ это невоз- невозможно C2), то нельзя допустить, чтобы перпендикуляры CD и EF где-нибудь пересекались. 75. ОпредгЪлен1е. Две прямыя наз. парал- параллельными, если, находясь* въ одной пло- плоскости, оне не пересекаются, сколько бы ихъ ни продолжали. с Е В Черт. 71.
— 58 — - Возможность существовашя паралелльныхъ прямыхъ обна- обнаруживается предыдущей теоремой, которую теперь можно вы- высказать такъ: два перпендикуляра къ одной и той же прямой параллельны. Параллельность прямыхъ обозначается письменно знакомъ II , поставленнымъ между обозначетемъ прямыхъ; такъ, если прямыя CD и EF параллельны, то пишутъ: CD\\ EF. Предыдущая теорема, показывая возможность существо- вашя параллельныхъ прямыхъ, выражаетъ одинъ изъ п р и з н а- ковъ параллельности (перпендикулярность къ од- одной и той же прямой). Следующая теорема выражаетъ еще дру- rie признаки параллельности. 76, Теорема. Если при пересЪченш двухъ прямыхъ какою- нибудь третьего прямой окажется, что: 1°, соотв*Ьтственные углы равны; или 2°, внутренше накрестъ лежащ'ш углы равны, или 3°, BiituiHie накрестъ лежащ'ю углы равны; или 4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2d, или 5°, сумма вн-Ьшнихъ одностороннихъ угловъ равна то первыя двЪ прямыя параллельны. Мы видели G3,) что если существуетъ какое-нибудь одно изъ 5-ти соотношешй, перечисленныхъ въ теоремЬ, то суще- ствуютъ и всЬ остальпыя. Поэтому намъ достаточно обнару- обнаружить, что прямыя АВ и CD (черт. 72) параллельны при суще- ствоваши какого:нибудь одного изъ этихъ соотношешй. Пусть, напр., дано, что соответственные углы 2 и 6 равны; требуется доказать, что въ такомъ случай АВ \\ CD,—Предположимъ противное, т.-е. что прямыя АВ и CD не параллельны; тогда эти прямыя пересЬ- / кутся въ какой-ни- 1А А 1А В будь точки Р, ле- ка1Чей направо отъ MN, или въ какой- т D нибудь точки Р\ ле- жащей палево отъ - MN. Если пересЬче- Черт. 72. Hie будетъ въ Р> то образуется тр-къ, въ которомъ ^/2 будетъ вн^шнимь, a /J6 внутреннимъ, не смежнымъ съ вн^шнимь угломъ 2, и, значитъ,
л 59 — тогда Zl2 долженъ быть больше Zl6 D5), что противоречить заданно; значить, пересечься въ какой-нибудь точк| Р, лежащей направо отъ MN, прямыя АВ и CD не могутъ. Если преДполо- жимъ, что пересечете будетъ въ точке Р', то тогда образуется тр-къ, у котораго ZL4, равный Zl2, будетъ внутреннимъ, а /1б внешнимъ, не смежнымъ съ внутреннимъ ^4; тогда /jo долженъ быть больше /Л и, след., больше 212, что противоречить зада- нш. Значить, прямыя АВ и CD не могутъ пересечься и въ точке, лежащей налево отъ MN\ след., эти прямыя нигде не пересе- пересекаются, т.-е. ойе параллельны. • , 77. Теорема. Черезъ всякую точку, лежащую внЪ прямой, можно провести параллельную этой прямой. Дана прямая АВ (черт. 73) и какая-нибудь точка С, лежащая вне этой прямой; требуется доказать, что черезъ точку С можно провести прямую, параллельную АВ.—Черезъ какую-нибудь точку / D прямой АВ и черезъ точку С . С/^\ проведемъ прямую CD. Эта- пря- мая образуете съ АВ некоторый уголъ а. Построимъ при точке С уголь Ь, равный углу а, располо- A i' В живъ его такъ, чтобы онъ оказался / соответственнымъ углу а. Тогда ч 73 прямая СЕ будетъ параллельна АВ, такъ какъ соответственные углы а и Ъ равны G6). т 78. ЗамЪчан1е. Такъ какъ точку D на прямой АВ (черт. 73) мы можемъ брать -произвольно, то построешй, по- добныхъ указанному, можетъ быть выполнено сколько угодно. При этомъ возникаетъ вопросъ, бу- будетъ ли при разныхъ построе- тяхъ всегда получаться одна и та же прямая СЕ, параллельная АВ, или могутъ получаться и д друпя прямыя, параллельныя • /Ъ Df Черт. 74.
— 60 — Если, напр., вместо точки D мы возьмемъ точку D' (черт. 74) и сд'Ьлаемъ для сЬкущей CD' такое же построеше, какое раньше было сдйлаШо для сЬкущей CD ^т.-е. построимъ /Jo'=Zjx'), то получится ли при этомъ та же прямая СЕ или окажется не- некоторая новая прямая СЕ'? Вопросъ этотъ другими словами можетъ бьшцвысказанъ такъ: черезъ точку С, взятую внй прямой АВ, можно ли провести только одну прямую, параллельную АВ, или нисколько? Отв'Ьтомъ на этотъ вопросъ служитъч|ягЬдующая aKcioMa параллельныхъ линШ. 79. Дкс1ома параллельныхъ лин1й. Черезъ одну и ту же точку нельзя провести двухъ различныхъ прямыхъ, па- параллельныхъ одной и той же прямой. Такъ, если (черт. 74) СЕ || АВ, то всякая другая прямая СЕ', проведенная черезъ точку С, не можетъ быть параллельной АВ, т.-е. она при продолженш пересечется съ АВ. Доказательство этой не вполне очевидной истины оказы- оказывается невозможны мъ; ее принимают^ безъ дока- доказательства, какъ необходимое допущен1е или т р е б о- ван1е (постулатъ — postulatum). 80. Сл*дств1я.1°. Если прямая (СЕ% черт. 74) nepect- кается съ одной изъ параллельныхъ (СЕ), то она пересекается и съ другой (АВ), потому что въ противномъ случай черезъ одну и ту же точку О проходили бы двЬ различныя прямыя, параллельныя АВ, что невозможно. 2°. Если каждая изъ двухъ прямыхъ 4 и S (черт. 75) па- параллельна одной и той же третьей прямой (С), то онЪ парал- параллельны между собою. Действительно, если предположимъ, что пря- мыя А и В пересЬкаются В ~—-т въ некоторой точк-Ь М, то тогда черезъ эту точку проходили бы дв* различ- Черт. 75. ныя прямыя, параллель- ныя С, что невозможно.
' — 61 — 8. Теорема, (обратная теорем* § 76). Если дв% парал- лельныя прямыя (АВ и CD, черт. 76) перес%чены третьей пря- прямой (MN), то: 1°, соотв%тственные углы равны; 2°, внутренше накрестъ лежащ1е углы, равны; з°, внЪшше накрестъ лежащ1е углы равны; 4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна . 5°, сумма внЪшнихъ одностороннихъ угловъ равна 2d. Достаточно доказать, что параллельность прямыхъ АВ и GD влечетъ за собою какое-нибудь одно изъ 5-ти указанныхъ соотношешй, потому что, какъ мы видели G3), если существуетъ одно изъ нихъ, то должны существо- существовать и всЬ остальные. Докажемъ, напр., что если АВ II CD, то соответственные углы а и Ъ равны. Предположишь противное, т.-е. что эти углы не равны (напр., пусть <?>Ъ). Построивъ ^/MEBx=^b, мы нолучимъ тогда прямую АХВЪ не сливающуюся съ ^.Бги,сл'Ьд., будемъ имЪть 2 различныя прямыя, проходяпця черезъ точку Е и парал- лельныя одной и той же прямой CD (именно: АВ II CD согласно условш.теоремы и A&WCD всл*дств1е равенства соотвЪт- ствеяныхъ угловъ МЕВг и Ь). Такъ какъ это противоречить акс1оме параллельныхъ лин1й, то наше предположеше, что углы а и Ъ не равны, должна быть отброшено; остается'при- остается'принять, что а =7 82. СлгЬдетв1е. Перпендикуляръ къ одной изъ двухъ параллельныхъ прямыхъ есть также перпендикуляръ и къ другой. Действительно если АВ || CD (черт. 77) и МЕ±АВ, то, во 1, ME, пересекаясь съ АВ, пересекается и съ GD въ некоторой
— 62 — точке F (80,1°); во 2, соответственные углы а и Ъ равны. Но уголъ а прямой; значить и уголъ Ъ прямой, т.-е. MF!1.CD. 83. Признаки непарал- лельноети црямыхъ. Изъ двухъ теоремъ: прямой, выражаю- • щей признаки параллельности G6), Г4? и ей обратной (81), можно вывести !р^ , D заключеше, что противополо- ! жныя теоремы также верны, т.-е. что Черт. 77. если при пересеченш двухъ пря- мыхъ третьею окажется, что: 1°, соответственные углы н е равны, или 2°, внутренше накрестъ лежапце углы н е равны, и т. д., то прямыя не параллельны; еслц две прямыя не параллельны, то при пересеченш пхъ третьею прямой: 1°, соответственные!;углы не равны, 2°, внутренше накрестъ лежапце углы не равны, и т.д. Изъ этихъ признаковъ непараллельности" (легко доказы- ваемыхъ способомъ отъ противнаго) полезно обратить особое внимаше на следуюпцй: если сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ (а и Ь, черт. 78) не равна 2d, то прямыя (АВ и CD) при дозтаточномъ продолжеши пересекаются, такъ какъ если бы эти прямыя не # л пересекались, то one бы- / ' В/ /Ъ ли бы параллельны, и Ъ/ Л) / / тогда сумма внутреннихъ / \ I / одностороннихъ угловъ А\ /м Ау?х равнялась бы 2d (81), что д С Д^' 'С противоречить условш. I / Это предложеше (допол- (дополненное утвержден1емъ, что Черт. 78. прямыя пересекутся по ту сторону огъ секущей лиши, по которой сумма внутрепнихъ одностороннихъ угловъ меньше 2d) было принято знамени- тымъ греческимъ геометромъ Эвклидомъ (жившимъ въ III веке до Р. X.) въ его «Началахъ» геометрш безъ доказа- доказательства, какъ атома параллельныхъ литй, и потому оно
— 63 — известно подъ именемъ постулата Эвклида. Въ стоящее время предпочитаютъ принимать за такую акс1ому болйе простую истину, а именно ту, которую мы изложили раньше G9). Укажемъ еще 2 слйдуюпце признака непараллельности, которые понадобятся намъ впосл'Ьдствш: 1°. Перпендикуляръ (АВ, черт. 79) и наклонная (CD) къ одной и той же прямой (EF) пересекаются, потому что сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ 1 и 2 не равны 2d. В Черт. 79. Черт. 80. 2°. ДвЪ прямыя (АВ и CD, черт. 80), перпендикулярныя къ двумъ пересекающимся прямымъ (FE и FG), пересекаются. Действительно, если предположимъ противное, т.-е. что АВ II CD, то прямая FD, будучи перпендикулярна къ одной изъ параллельныхъ (къ CD), была бы перпендикулярна и къ другой параллельной (къ АВ), и тогда изъ одной точки F къ прямой АВ были бы проведены два перпендикуляра: FB и FD, что невозможно. 84. Задача. Черезъ данную точку М про- в е с т и прямую, парал ^е льную данной пря- прямой АВ (черт. 81). Наиболее простое pfoneme этой задате е&стоитъ въ слйдую- щемъ: изъ точки М, какъ центра, сягасываемъ произвольнымъ рад1усомъ дугу CD и изъ точки Q т^мъ же радтусомъ дугу
м ал Затймъ, давъ циркулю раствореше, равное рйзстюянш orb Е до М, описываемъ изъ точки С небольшую дугу, которая пере- сбк&лась бы съ CD въ некоторой точки F. Прямая MF будетъ параллельна АВ.—Для доказа- доказательства проведемъ вспомога- вспомогательную прямую МС\ образо- вавппеся при этомъ углы 1 и 2 равныпо построеншF9,зад.2); Черт. 81. а если внутренше накрестъ ле- жапце углы равны, то лин1и параллельны: Параллельныя прямыя весьма удобно проводятся также помощью наугольника и линейки. Приставивъ наугольникъ Черт. 82. ч одною стороною (напр., гипотенузой) къ данной прямой прикладываемъ къ другой его сторон^ (напр., къ длинному катету) линейку;, загбмъ, придерживая рукой линейку въ этомъ положенш, двигаютъ наугольникъ вдоль нея до тйхъ поръ/пока сторона его, совпадавшая съ АВ, не пройдетъ черезъ точку М\ послФ чего проводятъ вдоль этой стороны прямую. Эта прямая будетъ параллельна АВ, такъ какъ соответственные углы 1 и 2 равны. Углы съ соотвЪтственно параллельными или перпенди- перпендикулярными сторонами. 85. Теорема. Если стороны одного угла соотвЪтственно параллельны сторонамъ другого угла, то таше углы или равны, или въ cyMMt составляютъ два прямыхъ.
— С5 — Черт. 83. Разсмотримъ особо слф.;уюаце три случая (черт. 83); 1°. Пусть стороны угла 1 соответственно параллельны сто- рэнамъ угла 2 и, сверхъ того, имйютъ одинаковое на- п р а в л е н i e отъ вершины (на чертеже направлешя указаны стрелками.)—Продолживъ одну изъ сторонъ угла 2 до пере- сЬчешя съ непараллельной ей сто- стороной угла 1, мы получимъ уголъ 3, равный и углу 1, и углу 2 (какъ соответственные при параллель- ныхъ), след., Zll—Z12. 2°. Пусть стороны угла 1 соот- вЬтстБенно параллельны сторонамъ угла 4, но иьгЬютъ противопо- противоположное направлен1е отъ вершины.—Продолжпвъ обе стороны угла 4, мы получимъ уг. 2, который равенъ углу 1 (по до- доказанному выше)пуглу 4(какъ.вертикальные); Сл'Ьд., ^/4=^/1. 3°. Пусть, наконецъ, стороны угла 1 .соответственно парал- } лельны сторонамъ угла б или, угла 6, при чемъ две изъ этихъ сторонъ,ймеютъ одинаковое на- ' правлен1е, а две другая противополож- противоположное. Продолживъ одну сторону угла 5 или угла 6, мы по- получимъ уг. 2, который равенъг по доказанному, углу 1; но Zl5 (или ^6)+Zl2=2d (по свойству смежныхъ угловъ); след., - н Z.5 (или Z.e)+Zl=2d. Такимъ образомъ, углы съ параллельными сторонами ока- оказываются равными, когда ихъ стороны ймеютъ или о Л и - иаковое, или про т-и - воположное напра- направлен i e отъ вершины; если же это условие не выполнено, то углы составляютъ въ сумме 2d. 86. Теорема .Если сто- стороны одного угла соотвЪтствен- но перпендикулярны къ сторо- сторонамъ другого угла, то тате углы или равны, или въ сумнгЬ составляютъ два прямыхъ. А. Киселевъ. ГеометгЛя. Черт 84.
— 66 — Пусть уголъ А ВС, обозначенный цыфрою 1 (черт. 84), есть одииъ изъ данныхъ угловъ. Проведемъ изъ его вершины две вспомогательный прямыя: BDA-BC и БЕЛОВА. Образованный ими уголъ 2 равенъ углу 1 по следующей причине: углы DBG и ЕВА равны, такъ какъ оба они прямые; отнявъ отъ каждаго изЦТшхъ по одному и тому же углу ЕВС, получимъ: Zl2=zll. Теперь вообразпмъ, что намъ данъ где-нибудь такой уголъ 3 (пли уг. 4, или уг. б, или уг. 6), у котораго стороны соответ- соответственно'перпендикулярны къ сторонамъ угла 1. Тогда стороны этого угла будутъ параллельны сторонамъ угла 2 (потому что два перпендикуляра къ одной прямой параллельны); след., новый уголъ или равенъ углу 2, или составляет!» съ нимъ въ сумм^ 2d. Зам'Ьнивъ уголъ 2 равнымъ ему угломъ 1, получимъ то, что требовалось доказать. 87. Зам*Ьчан1е. Если намъ заранее известно, что два угла съ соответственно параллельными или "и^га^дикуляр- ными сторонами оба- острые, или о б а тупые, то можемъ утверждать, что таше углы равны, такъ какъ два острыхъ или два тупыхъ угла не могутъ въ сумме составить Ы. Сумма угловъ треугольника и многоугольника. 88. Теорема. Сумма угловъ всякаго треугольник а равна двумъ прямымъ. / Пусть ABC (черт. 85) какой-нибудь треугольникъ; требуется доказать, что сумма угловъ А, В и С равна 2d. Продолживъ сторону АС и проведя СЕ II АВ, най- демъ: Z.A=/JEGD (какъ углы -соответственные при параллельныхъ), Zl В = /J5CE (какъ углы накрестъ лежащ1е при параллель- ныхъ); след.: Черт. 85* ' Z.A+Z.B+Z.C= . ZlZ==2^ B6).
— 67 — СлгЬдетв1я. 1°. Внйштй уголъ треугольника равенъ сумм* двухъ внутреннихъ угловъ, не смежныхъ съ нимъ (такъ, ZBCD=Z4+ZB). 2°. Если два угла одного треугольника соответственно равны двумъ угламъ другого, то и третьи углы равны. 3°. Сумма двухъ острыхъ угловъ прямоугольнаго треуголь- треугольника равна одному прямому углу. 4°. Въ равнобедренномъ прямоугольномъ тр-кй каждый острый уголъ равенъ х/2й. 5°. Въ равностороннемъ тр-к* каждый уголъ равенъ 2/3 d. 89. Теорема. Сумма~угловъ всякаго выпуклаго многоуголь- многоугольника равна двумъ прямымъ, повтореннымъ столько разъ, сколько въ многоугольник сторонъ безъ двухъ. Взявъ внутри многоугольника (черт. 86) произвольную точ- точку О, соединимъ ее со всЗши вершинами. Тогда выпуклый многоугольникъ разобьется на столько тр-ковъ, сколько въ немъ сторонъ. Сумма угловъ каждаго тр-ка равна 2d; сл'Ьд., сумма угловъ всЬхъ тр-ковъ равна Ып, если п означаетъ Черт. 86. число сторонъ многоугольника. Эта величина, очевидно, превы- шаетъ сумму угловъ многоугольника на сумму всбхъ т^хъ угловъ, которые расположены вокругъ точки О; но эта сумма равна 4d B6, 2°); слйд., сумма угловъ многоугольника равна 2dn—4d=2d (n—2). СлгЬдетв1е. При данномъ числЪ сторонъ сумма угловъ выпуклаго многоугольника есть величина постоянная. Такъ, сумма угловъ во всякомъ выпукломъ четыреугольник'Ь равна 2dD—2)—4d; въ пятиугольник|Ь=2йE—2)=6й; въ шеСтиуголь- ник'Ь=2йF—2) —Sd\ и т. д. 90. Теорема. Если изъ вершины каждаго угла выпуклаго многоугольника проведемъ продолжеше одной изъ сторонъ этого угла, то сумма образовавшихся при этомъ вн~Ьшнихъ угловъ 5*
— 68 — равна четыремъ прямымъ (независимо отъ числа сторонъ много- многоугольника). * Каждый изъ такихъ вн'Ьш- вн'Ьшнихъ угловъ (черт. 87) со- ставляетъ дополнете до 2d къ смежному съ нимъ вну- внутреннему углу многоуголь- многоугольника; сл'Ьд., если къ суммй всЬхъ внутреннихъ угловъ придожимъ сумму всЬхъ вн'Ьшнихъ угловъ, то полу- чимъ 2dn (гдй п число сто- сторонъ); но сумма внутреннихъ • 87. угловъ, какъ мы видели, равна 2dn—4d; сл'Ьд., сумма вн'Ьшнихъ угловъ равна: СлгЁдетв1е. Въ выпукломъ многоугольник не можетъ быть бол%е 3-хъ внутреннихъ острыхъ угловъ. Действительно, если бы существовало 4 (или бол^е) внутреннихъ острыхъ угла, то тогда бы было 4 (или бол'Ье) тупыхъ вн'Ьшнихъ угла, и по- потому сумма .всЬхъ вн'Ьшнихъ угловъ мн-ка была бы бол'Ье 4*7, что невозможно. О постулагЬ параллельныхъ линвй. 81. Легко показать, что такъ называемый б-й поотулатъ Э в к л и д а (указанный въ § 83 этой книги) и постулатъ, принятый нами (§ 79) въ основате теорш параллельныхъ линШ (введенный ваервые англШскимъ математикомъ Джономъ Плейферомъ въ 1795 г.) обратимы одинъ въ другой, т.-е. изъ по- етулата Плейфера можно вывести, какъ логическое слгвдств1еу посту- постулатъ Эвклида (что и сделано въ этой книгЬ, § 83) и, обратно, изъ этого постулата можно логически получить постулатъ Плейфера. Последнее можно выполнить, напр., такъ: Пусть черезъ точку Е (черт. 88), взятую внЪ прямой CD, проведены как1я-нибудь 2 прямыя А В и А1В1\ докажемъ, исходя изъ постулата Эвклида, что эти прямыя не могутъ быть обЪ параллельны одной и той же прямой CD.
О I/ ' Для этого проведемъ черезъ Е какую-нибудь секущую прямую МN; обозначимъ внутренте односторонне углы, образуемые этого секущею съ прямыми CD и А В, буквами а и Ъ, Тогда одно изъ двухъ: или сумма а-\-Ь не равна 2d, или она равна 2d. Въ первомъ случай согласно постулату Эвклида, прямая АВ должна пересечься съ CD и, след., она не можетъ быть параллельной CD; во вто- ромъ случай сумма a-\-BtEN окажется не равной 2d (такъ какъ уголъ BtEN не равенъ углу BEN); значить, тогда, со- согласно тому же постулату, пря- прямая АХВ{ должна пересечься съ CD и, след., эта прямая Черт. 88. не можетъ Сыть параллельной CD, Такимъ образомъ, одна изъ прямыхъ АВ и АХВХ непременно окажется непараллельной пря- прямой CD; след., черезъ одну точку нельзя провести двухъ различныхъ прямыхъ, параллельныхъ одной и той же прямой. 92. Существуетъ очень много и другихъ предложешй, также логи- логически обратимыхъ съ постулатомъ Эвклида (и, сл'вд., ему логически равносильныхъ). Укажемъ, напр., слъугуюцпя предложешя, которыя некоторыми известными геометрами ставилиеь въ основан1е Teopin параллельныхъ лин1й: Существуетъ по крайней мере одинъ треугольникъ, у котораго сумма угловъ равна 24 (французскШ математикъ Л е ж а н д-р ъ, въ начале XIX столет1я). Существуетъ выпуклый четыреугольникъ (прямоугольникъ), у ко- котораго все четыре угла прямые (французскш математикъ К л о д ъ К л е р о, XVIII столет1е). Существуетъ треугольникъ, подобный, но не равный, треугольнику (итальянекШ математикъ С а к к е р и, XVIII столет1я). Черезъ всякую точку, взятую внутри угла, меньшаго провести прямую, пересекающую об в стороны этого угла (немеук!й математикъ Лоренуъ, конеиъ XVIII стол.); и друтя. Такъ какъ постулатъ Эвклида и все друте, равносильные ему, не обладаютъ качествомъ очевидности, то весьма MHorie математики, начиная съ древнихъ временъ и до конца первой четверти XIX стол!тя, делали неоднократныя попыткич доказать йостуЛатъ Эвклида (или какой-нибудь другой, ему равносильный), т.-с. вывести его-, какъ логическое следств1е, изъ другихъ акс!омъ геометрХй. Все эти пойытки оказались однако неудачными: въ каждомъ изътакихъ другому начало можно
70 зательствъ», после подробнаго разбора его, можно было всегда найти какую-нибудь логическую ошибку. 93. Постоянныя неудачи въ поискахъ доказательствъ Эвклидова постулата привели н'Ькоторыхъ математиковъ къ мысли, что этотъ постз?датъ (или ему равносильный) и не можетъ быть выведенъ изъ другихъ аксюмъ геометрш, а представляётъ собою независимое отъ нихъ самостоятельное допущеше о свойствахъ пространства. Впервые эту мысль обстоятельно развилъ русскШ математикъ, профессоръ Казанскаго университета, Н. И. Лобачевск1й A793—1856). Въ своемъ сочиненш «Новыя начала геометр1и», появившемся въ 1836—1838 годахд>, онъ обнародовалъ особую геометр1ю (названную потомъ г е о м в'Т р i e й Лобачевскаго), въ основате ко- которой положены те же геометрическ1я аксюмы, на которыхъ основана геометр1я Эвклида, за исключешемъ только его постулата параллель- ныхъ линШ, вместо котораго ЛобачевекШ взялъ следующее допущеше: черезъ точку, лежащую вне прямой, можно про-, вести безчисленное множество параллель- ныхъ этой прямой; именно, онъ допустилъ, что если А В (черт. 89) есть прямая и С какая-нибудь точка вне ея, то при этой точке существуетъ некоторый уголъ DEC, обла- дающ1й т'Ьмъ свойствомъ, что всякая прямая, проведенная черезъ С внутри этого угла (напр., прямая CF), а также 6 Черт. 89. и об'Б стороны его не пересекаются съ АВ, сколько бы ихъ ни про- продолжали, тогДа какъ всякая прямая, проведенная черезъ С внЪ этого угла, пересекается съ А В. Понятно, что такое допущеше отрицаетъ постулатъ Эвклида, такъ какъ при сушествованш этого угла нельзя утверждать, что всяк1я 2 прямыя переев каются, коль скоро онЪ съ евкущей образу ютъ внутренше односторонн!е углы, которыхъ сумма не равна двумъ прямымъ угламъ. Несмотря однако на это отри- цан1е, геометр1я Лобачевскаго представляётъ собою такую же стройную систему геометрическихъ теоремъ, какъ и геометр1я Эвклида (хотя, . конечно у теоремы геометрш Лобачевскаго существенно отличаются отъ теоремъ геометрш Эвклида); въ ней, какъ и въ геометрш Эвклида, не встречается никакихъ логическихъ противоречШ ни теоремъ съ акскшами, положенными въ основаше этой геометрш, ни однехъ теоремъ съ другими теоремами. Между гвмъ, если бы постулатъ Эвклида могъ быть доказанъ, т.-е. если бы онъ представлялъ собою некоторое, хотя бы и очень отдаленное, логическое следств1е изъ другихъ геометрическихъ акскшъ, то тогда о т р и у а и i e этого постулата, положенное въ основу геометрш вместЬ съ п р и н я-
— 71 — т i e м ъ всбхъ другихъ акскшъ, непременно привело бы къ логи- логически противорЪчивымъ сл*дотв1ямъ. Отсутств1е такихъ противорЪчШ въ геометр!и Лобачевскаго служить указатемъ на независимость 5-го постулата Эвклида отъ прочихъ геометрическихъ акскшъ и, ол-Ьд., на невозможность доказать его *). 94. Почти одновременно съ Лобачевскимъ, независимо отъ него, ВенгерскШ математикъ Юаннъ Больэ A802—186Q) также построилъ новую геометрш, исходя изъ того же допущешя, какъ и ЛобачевскШ, что черезъ точку, взятую вн-в прямой, можно провести безчисленное множество параллельныхъ этой прямой. Позже ихъ нЪмецюй математикъ Р и м а н ъ A826—1866) пока- залъ возможность построешя еще особой, также лишенной противо- рЪчш, геометрш (названной потомъ геометр1ей Римана), въ которой вм-БСТО постулата Эвклида принимается допущеше, что черезъ точку, взятую вн^ прямой, нельзя провести ни-одной параллельной этой пря- прямой (другими словами, всв прямыя плоскости переев каются). Bcfe т-в геометрш (какъ Лобачевскаго и Римана), въ которыхъ въ основан1е положено какое-нибудь допущеше о параллельныхъ лишяхъ, не согласное съ постулатомъ Эвклида, носятъ общее назваше не-Эвклидовыхъ геометрШ. 95. Приведемъ нЪкоторыя теоремы геометрш Лобачевскаго, рЪзко- различаюцияся отъ соотвЪтствующихъ теоремъ геометрш Эвклида: Два перпендикуляра къ одной и той же прямой, по м^рЪ удалешя отъ этой прямой, расходятся неограниченно. Сумма угловъ треугольника меньше 2d (въ геометрш Римана она больше 2ф| ПРИ чемъ эта °.Умма не есть величина постоянная для разныхъ треугольниковъ. Ч*мъ больше площадь треугольника, гЪмъ больше сумма его угловъ разнится отъ 2d. *) Зам'Ьтимъ, однако, что одно только отсутств!е въ геометр!и Лобачевскаго еше не служитъ доказательствомъ незави- независимости Эвклидова постулата отъ другихъ аксЮмъ геометрш; вЪдь всегда можно возразить, что это отоутоте1е пРотивор-Бч1й есть только случайное яцлвн1в, происходящее, быть -можетъ, отъ того, что въ гео- геометрш Лобачевскаго не едЬлано еще достаточнаго количества выпо- довъ что со временемъ, быть можетъ, и удастся кому-нибудь получить такой логически выводъ въ этой геометрЫ, который окажется въ про- THBoptoin съ какимъ-нибудь другимъ выводомъ той же геометрш. Подробная теор!я этого вопроса (см. Э н и и к л о п ед i я э л е м. математики Вебера и В в л ь ш т е й и а,- т. II кн. 1, сто 74 и др.) устанавливаем: 1) что если бы въ геометрш Лооачев- скаго или въ какой-нибудь другой „е-Эвклидовой геометрш оказалось „ООТивор*п1в, то и въ Эвклидовой геьмвгчйи было бы сботв*тству.отее
— 72 — Если въ выпукломъ четыреугольникЪ 3 угла, прямые, то 4-й уголъ острый (значитъ, въ этой геометрш прямоугольники невозможны). Если углы одного тр-ка соответственно равны угламъ другого тр-ка, то так1е тр-ки равны (сл'Ьд., въ геометрхи Лобачевскаго не суще- ствуетъ подоб1я). Геометрическое м^сто точе'къ плоскости, равностоящихъ отъ какой- нибудь прямой этой плоскости, есть некоторая кривая литя. ГЛАВА VII. Параллелограммы и трапзши- I. ГлавнЪйиля свойства параллелограммовъ. 96. Определение. Четыреугольникъ, у котораго про- противоположный стороны попарно параллельны, наз. п а р а л - лелограммомъ. Такой четыреугольникъ л (ABCD, черт. 90) получится, напр., если кашя-нибудь дв* параллельный прямыя EL и MN пересечь двумя другими параллельными прямыми RS и PQ. Для краткости слово «парал- лелограммъ» мы часто будемъ писать такъ: пар-мъ. 97. Теорема. Во всякомъ пapaллeлoгpaммt: 1°, противоположные углы равны; 2°, сумма угловъ, прилежащихъ къ одной сторонЪ, равна двумъ прямымъ. Пусть ABCD (черт. 91) есть параллелограммъ, т.-е. АВ II CD и ВС II АВ\ требуется доказать, что 1°, LA=?Q и ЛВ^ЛТ): 2°, Z4+ZB=2d, ZB+ZC=2d и т. д. ie; но 2) въ Эвклидовой геометрш противор'ЬчШ быть не молсетъ. Отсюда, конечно, необходимо сл'Ьдуетъ, что постулатъ Эвклида не представляетъ собою сл-Ьдствая другихъ акс1омъ и потому онъ подакялуемъ.
1 7*} —— f о 1°. Угли А п С равны, потому что стороны этихъ угловъ соответственно параллельны и имЗиотъ противоположное на- правлеше отъ вершины (85). То же самое можно сказать объ углахъ В H.D. 2°. Каждая изъ суммъ: А+В, В+С, C+D и D+A равна 2d, по- потому что это суммы внутреннихъ Черт. 91. одностороннихъ угловъ при параллельныхъ прямыхъ. 98. Теорема. Во всякомъ параллелограммЪ противополож- противоположный стороны равны. Пусть фигура ABCD (черт. 92) есть параллелограммъ, т.-е. АВ II CD и ВС II AD\ требуется доказать, что AB=CD и BC=AD. Проведя д1агональ BD, получимъ два тр-нпка ABD и BCD, которые равны, по- потому что у нихъ: BD общая сторона, Zll=ZL4 и Zl2= Zl3 (какъ внутренше на- крестъ лежапце при парал- Черт. 92. лельныхъ прямыхъ). Изъ равенства тр-ковъ слйдуетъ: AB=CD и AD^BC (въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ угловъ ле- жатъ равныя стороны). Замечание. Теорему эту можно выразить еще и такъ: от- рЪзки параллельныхъ, заключенные между параллельными, равны. 99. Обратный теоремы. Если въ выпукломъ *) четыре- угольншгЬ: К. — --UH-- - -_»..ии д- i *) Четыреугольникъ, какъ и всякШ многоугольникь C5), наз. выпуклымъ,. если онъ ограничёиъ такою ломаною лищей, Черт. iJ6. которая вся расположена по одну сторону отъ каждаго изъ 4-хъ со- ставляющихъ ее отр'Ьзковъ. Четыреугольники могутъ быть и не- выпуклые, какъ, напр., тЪ, которые изображены на черт. 96-мъ.
— 74 1°, противоположный стороны попарно равны, или 2°, ABt противоположный стороны jiaBHbi и параллельны, такой четыреугольникъ есть -лараллелограммъ. 1°. Пусть фигура ABCD (черт.93) есть выпуклый четыреугольникъ, у котораго: AB=CD и BC=AD. Требуется доказать, что эта фигура—пара ллелограммъ, т .-е. АВ II CD и ВС I! AD.—Проведя д1а- Черт. 93. гональ BD, получимъ два тр-ка, которые равны, такъ какъ у нихъ: BD общая сторона, AB=CD и BC—AD (по условно). Изъ равенства ихъ сл^дуетъ: /Л=/Л и Zl2=Zl3 (въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ сторонъ лежатъ равные углы); вслгЬд- CTBie этого АВ II CD и ВС II AD (если внутренше накрестъ ле- жапце углЬг равны, то прямыя параллельны). 2°. Пусть въ четыреугольникъ (ABCD, черт. 94) дано усло- в1емъ: BC=AD и ВС WAD. Требуется доказать, что ABCD есть Псфаллелограммъ, т.-е. что AB\\CD—Tpe- угольйики ABD и BCD рав- равны, потому что у нихъ: BD 4tJPT- 94- . общая сторона, BC=AD [по условш) ,и Zl2=zl3 (какъ внутренте накрестъ лежащ1е углы при параллельныхъ ВС и AD и сЬкущей BD). Изъ ра- равенства тр-ковъ слЪдуетъ: Zll=Zl4; поэтому АВ || CD. 1ОО. Теорема. Во всякомъ napannenorpaiviMt д'|агонали длятся паполамъ. Пусть ABCD (черт. 95) есть параллелограммъ, а АС и BD его дгагонали; требуется дока- доказать, что BO=OD и АО=ОС. Тр-ки ВОС и AOD (покрытые на чертеж^ штрихами) равны, потому что у нихъ: BC=AD (какъ противоположный стороны т . параллелограмма), ZLl=Zl2 и (тсатсъ впутроптпе В
75 крестъ лежапце углы при параллельныхъ прямыхъ). Изъ ра- равенства тр-ковъ сл-Ьд^тъ: ОС==ОА и OB=^OD. 101. Обратная теорема. Всякш четыреугольникъ flia- гонали котораго длятся пополамъ, есть параллелограммъ Пусть фигура ABCD (черт. 95) есть четыреугольникъ у ко- котораго: АО=ОС и BO=OD; требуется доказать, что эта фи- фигура—параллелограмм*». д AOD=ABOC, такъ какъ эти тр-ки ивйиотъ по равному углу (при вершин* О), заключенному между соответственно равными сторонами. Изъ ихъ равенства слйдуетъ: Zl=Z.2 и ^3=^4 (въ, равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ сторонъ лежатъ равные углы); но если внутренне накрестъ лежапце углы равны, то прямыя параллельны G6); поэтому AD \\ ВС Такъ какъ изъ равенства т-Ьхъ же тр-ковъ слйдуетъ еще, что Л?=ВС, то фигура ABCD есть параллелограммъ (99, 2°). 102. Центръ 0ИМметр1и. Полезно заметить еще следующее свойство параллелограмма: если черезъ точку пеРе<*ч9н1я ыагоналей парал- логограмма (черезъ точку О, черт. 97) проводемъ какую-нибудь прямую (MN), то зта прямая пересЪчетъ контуръ парал- параллелограмма въ двухъ точкахъ (Р и §>, симметричныхъ относительно точки пере- ct46Kifl диагоналей, т.-е. въ 2-хъ такихъ точкахъ, которыя, во 1, лежатъ по раз- ныя 'стороны отъ точки О и, во 2, на равныхъ разстояшяхъ отъ этой точки. Действительно, тр-ки ОАР и OCQ равны, такъ какъ у нихъ: АО^ОС (по свойству д1агоналей параллело- параллелограмма), углы при общей вершин-й О Черт. 97. равны (какъ вертикальные) и ^/1 == /2 ( ) ^ (какъ углы, внутренше накрестъ лежащ1е при параллельныхъ) Изъ равенства этихъ тр-ковъ сл^дуетъ: OP — OQ. Если въ какой-нибудь фигур* существуем точка, обладающая указаннымъ свойствомъ, то такая точка наз. ц е и т р о м ъ сим м е т р i и этой фигуры; значить, въ паралеллограмм* пересечен i.e его д!аго налей есть центръ сим- м е т р i и. с ,.СмИГетРрЯ1 ео™осителыю че»тря .паз. центральной
— 76 — Черт. 98. 2. Особыя формы параллелограммовъ: прямоугольнихъ, ромбъ и квадратъ. ЮЗ. Определение. Параллелограммъ, у котораго веб углы прямые, наз. прямоугольником ъ. Такой параллелограммъ можно, напр., получпть, если на сто- ронахъ прямого угла А (черт. 98) отъ его вершпны отложимъ произвольной длины отрезки АВ и АС и черезъ точки В л С проведемъ прямыя BD и СЕ, параллельиыя сторонамъ прямого угла. Прямая Ш), пересекаясь въ точки В съ прямой АВ, должна пересечься и съ прямой СЕ, парал- параллельной АВ (80, 1°) въ некоторой точке F. Мы цолучимъ такимъ образомъ параллелограммъ ABFC, у котораго одинъ уголъ< именно А, есть прямой по построенш;, по въ такомъ случае, по свойству угловъ параллелограмма (97), и все остальные углы его должны быть прямые,, такъ какъ уголъ при вершине F равенъ А, а углы при В я С дополняють А до 2d. , - 104. Теорема. Во всякомъ прямоугольник д1агонали равны. . Пусть фигура ABCD (черт. 99) С есть прямоугольникъ; требуется до- доказать, что AC—BD. Прямоугольные тр-ки ACD д ABD равны, потому что у нпхъ: D AD общШ катетъ u AB^CD (какъ черт. 99. противадоложныя стороны' паралле- лограмма). Изъ равенства тр-ковъ следуетъ: AC*=BD. 105. Обратная теорема. Всякш параллелограммъ, у котораго д1агонали равны, есть прямоугольникъ. Пусть фигура ABCD (черт. 99) есть параллелограммъ, у ко- котораго AC=BD] требуется доказать, что эта фигура—прямо- фигура—прямоугольникъ.—Тр-ки ABD и ACD равны, такъ какъ у нихъ АВ общая сторона, AC=BD (по условно) и AB=CD (по свои- в s л ч s s Л Чь < s • г ¦ S.
— 77 — В сгву протпвоположныхъ сторонъ параллелограмма). Изъ ихъ равенства слйдуетъ: /JBAD—Z-ADC. Но сумма этпхъ 2-хъ угловъ равна 2d (по свойству угловъ параллелограмма); сл'Ьд., каждый изъ нихъ есть d. Но тогда и углы В и С должны быть прямые, и потому фигура ABCD есть прямоугольнпкъ. 106. Определение. Параллелограммъ, у котораго всЬ стороны равны, наз. р о м б о м ъ. Такой пар-мъ можно/ получить, если на сторонахъ пропз- вольнаго угла А (черт. 100) отъ его вершины отложимъ равные отрезки АВ и АС и черезъ точки В п С проведемъ прямыя BD и СЕ, парал- лельныя сторонамъ угла А. Эти прямыя должны пере- пересечься между собою (80,1°) въ некоторой ночкЬ F. Мы получимъ такпмъ образомъ Пар—МЪ, у КОТОрагО ДВ-Ь Черт. 100. смежныя стороцы АВ и АС • равны по построешю. Но тогда, по свойству сторонъ пар—ма (98), у него всЬ 4 стороны окажутся равными, такъ какъ BF=AC и CF=AB. 1O7 Теорема. Во всякомъ ромбЪ д'|агонали взаимно пер- перпендикулярны. Пусть ABCD (черт. 101) есть ромбъ, а АС и BD его д1аго- нали; требуется доказать, что ACA-BD. Тр-ки АВЭ и ВОС равны, потому что у нихъ: ВО общая сто- сторона, АВ=ВС (такъ какъ у ро^ба вс/Ь р ц - п стороны равны) и АО=ОС (такъ д1агоналн всякаго параллелограмма лятся пополамъ). Изъ равенства тр-ковъ i ду етъ: Ы — D Черт. 101. Зам*Ъчан1е. Изъ равенства т'Ьхъ же тр-ковъ слЪдуетъ, что Z.3=Z.4, т.-е. что уголъ В делится д1агональю пополамъ. Изъ равенствал тр-ковъ ВОС и COD (которое доказы - вается такъ же, какъ и равенство тр-ковъ АВО и ВОС) сл'Ь-
78 дуетъ, что уголъ С Делится д!агоналыо пополамъ; и т. д. Значить, д1агонали ромба дЪлягй его углы пополамъ. ,*ЛО8. Обратная теорема. Всякш параллелограммъ, у котораго д!агонали взаимно перпендикулярны, есть ромбъ. Пусть фигура ABCD (черт. 101) есть параллелограммъ, у ко- котораго д1агонали АС и BD перпейдикулярны; требуется до- доказать, что эта фигура есть ромбъ, т.-е. что AB=BC=CD=DA. Тр-ки АОВ и ВОС прямоугольные (по условш); у нихъ ка- тетъ ОВ обпцй и катеты АО и ОС равны (такъ какъ д!агонали всякаго параллелограмма делятся пополамъ). Значить, эти тр-ки равны, и потому равны ихъ гипотенузы АВ и ВС, Но AB=CD и BC=AD (по свойству протпвоположныхъ сторонъ пар-ма); сл-Ьд., AB=BC=CD=DA, т.-е. фигура ABCD есть ромбъ. 1О9. ОСИ СИММвтр1и ромба. Полезно заметить еще следую- следующее свойство: каждая д1агона/.ь ром5а есть его ось симметрК Такъ, д!агональ BD (черт. 102) есть ось симметрш ромба ABCD, потому что^ вра- вращая Д ABB вокругъ BD, мы можемъ сов- совместить его съ Д BCD; вслгЬдств1е этого любой точке М, взятой на одйой половине контура ромба, соответствуетъ точка N на другой половине контура, симметричная относительно д1агонали BD C3). То же самое можно сказать о д1агонали АС. ПО. Определение. Параллело- Параллелограммъ, у котораго веб стороны равны и всЬ углы прямые, наз. квадра- квадратом ъ. Такой пар-мъ можно получить, если при построенш прямо- прямоугольника A03) мы возьмемъ отрезки АВ и АС равными, или если при построенш ромба A06) возьмемъ уголъ А прямой. Такъ какъ квадратъ есть параллелограммъ, прямоугольник ъ и ромбъ, то онъ соединяетъ въ себ'Ь веб свойства этихъ фигуръ; напр., относительно д1аго- налей квадрата'можно сказать, что онФ: 1) делятся пополамъ, 2) равны между собою, 3) взаимно перпендикулярны и 4) д^лятъ углы квадрата пополамъ. N
7Q 3. Некоторый теоремы, основанныя на свойствахъ параллелограмма, 111. Теорема. Параллельныя прямыя (АВя CD, черт. ЮЗ) вездЪ одинаково удалены одна отъ другой; другими словами: вз-Ь точки одной параллельной одинаковы удалены отъ дру- другой параллельной* Действительно, если изъ какихъ-нибудь двухъ точекъ М и N прямой CD опустимъ на А В -, .- перпендикуляры МР и NQ, С—?¦ то эти перпендикуляры парал- параллельны G4), и потому фигура MNQP параллелограммъ; от- Q В сюда сл'бдуетъ (98), что =JVQ,T.-e. точки Мп N одина- одинаково удалены оть прямой АВ. , Черт. 103. 112. Теорема. Геометрическое мЪсто точекъ, удаленныхъ отъ данной прямой на одно и то же разстояше и находящихся по одну сторону отъ нея, есть Прямая, параллельная данной. Пусть 'М и N (черт. 104) будутъ кашя-нибудь дв* точки, находящаяся по одну сторону отъ прямой 4В и удаленныя отъ нея на одно и то же разстояше га; тогда перпендикуляры MF \i NQ, опущенные изъ этихъ точекъ на АВ, равны т. Про- ведемъ черезъ М и N пря- прямую CD. Такъ какъ MF=NQ и сверхъ того MF II NQ G4), то фигура MNQF есть параллело- грамъ (99, 2°); слйд., CD II АВ. Мы видимъ такимъ образомъ, 8! Q -В ЧТО ВСЯКЩ 2 ТОЧКИ (каКЪ М И JV), Черт. 104. которыя удалены отъ прямой АВ на разстояше т и расположены по одну сторону отъ этой пря- прямой, лежатъ на прямой, параллельной АВ и удаленной отъ АВ на разстоягпе т. Такъ какъ такая прямая можетъ быть только одна (по одйу сторону отъ АВ), именно CD, то мы должны за- заключить, что вс* точгки, удаленныя отъ АВ на одно и то же разстояшё m и расположенные по одну сторону отъ нея, лежатъ на прямой CD, параллельной АВ. Обратно, всякая
— 80 точка й, взятая на этой прямой, отстоптъ отъ. АВ на столько же, какъ и точки М и- JV, т.-е. на данное разстояше т (III). 113. Теорема. Если на одной CTopoHt угла отложимъ каше-нибудь равные между собою отрЪзки и черезъ ихъ концы проведемъ параллельныя прямыя до пересчета съ другой стороной угла, то и на этой CTopoHt отложатся равные между СОбОЮ 0Tpt3KM. Пусть ABC (черт. 105) какой-нибудь уголъ и на его сторэнй ВС отложены равные отрезки BD=DE=EF... Проведемъ черезъ точки D, Е, F.:. пграллельныя прлмыя DM, EN, FP... до пере- сЬчешя съ А В; требуется доказать, что BM=MN=NP... Возьмемъ каше-нибудь два изъ этихъ отр'Ьзковъ, напр., MN и NP, и докажемъ, что они равны. Для этого проведемъ орямыя DK и EL, параллельныя АВ. По- Полученные при этомъ тр-ки DKE и ELF рав- вны, такъ какъ у нихъ: DE=EF (по условно), Z.KDE = 4-LEF и Z.KED = ElFE (какъ углы соотв^тственгы з Черт. 105. при параллельныхъ прямыхъ). Изъ равенства этихъ тр-ковъ слЪдуетъ: DK=EL. Но DK=MN и EL=NP (какъ противо- противоположный стороны параллелограммовъ); значитъ, MN=NP. Такъ же докажемъ —А равенство и другихъ отр'Ьзковъ стороны АВ (для отрезка ВМ мы должны взять тр-къ BMD). SBM'bHaHie. Тео- Теорема не требуетъ, чтобы равные отрез- отрезки откладывались на Черт. 1OG.
¦ч / N Q1 стороне угла непременно отъ его вершины; они могутъ быть отложены отъ произвольной точки стороны и даже могутъ раз- разделяться какими-нибудь промежутками (черт. 106). 114. Задача. Данный отрезокъ прямой раз- разделять на m равныхъ ча-стей. Эта задача решается на основанш предыдущей теоремы. Пусть АВ (черт. 107) дан- *• ., ный отрезокъ прямой, кото- А к: у *- рый требуется разделить, по- ложимъ, на 3 равныя части. Изъ конца его А проводимъ прямую АС, образующую съ АВ произвольный уголъ; от- кладываемъ на АС отъ точки v С А Три ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЛИНЫ, Черт. 107. но равные между собою, от- отрезка: АВ, BE и EF: точку F соединяемъ съчВ; наконецъ, изъ Е и В проводимъ прямыя EN и ВМ, параллельныя FB. Тогда отрезокъ АВ, по доказанному, разделится въ точкахъ М и N на три равныя части. 115. Теорема. Прямая, соединяющая середины двухъ сто- ронъ треугольника, параллельна третьей его CTopoftt и равна ея половинЪ. Пусть BE (черт. 108) есть прямая, соединяющая середины двухъ сторонъ треугольника ABC. Докажемъ сначала, что ВЕ]\АС. Предположимъ противное, т.-е. что прямая BE не парал- параллельна АС. Проведемъ черезъ точку В %прямлю, параллельную АС G7). Эта прямая, при нашемъ предположен^, не можетъ быть BE; пусть это будетъ некоторая прямая ДЕ^. Такъ какъ на стороне ВА угла В отложены равные отрезки ВВ и ВА, и изъ ихъ КОНЦОВЪ проведены КЪ ДРУГОЙ СТОрОНе Черт. 108. угла В параллельныя прямыя ВЕг и АС, то на стороне ВС должны получиться равные отрезки (ИЗ); значить, ВЕг=ЕгС, и потому точка Ег должна быть серединой 6
82 — стороны ВС. Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ нелепому заключенш, что сторона ВС имЪетъ 2 середины: точку Е по условно и точку Ех согласно нашему выводу. Нелепость этого заключешя заставляете насъ отбросить сделанное допущеше, что БЕ не параллельна АС; значить, DE\\AC. Остается теперь доказать, что ЪЕ^^АС. Для этого изъ Е проведемъ EF II DA\ тогда фигура EDAF будетъ параллелограммъ и, сл?д., DE=AF. Такъ какъ на сторон^ СВ угла С отложены равные отрезки (СЕ=ЕВ) и изъ точекъ, разграничивающихъ эти отрезки, про- проведены къ другой сторон^ параллельныя прямыя EF и В А, то л*д., DE=l/2AC. 4. ОпредЪлеше и свойство трапецш. 1ГО. Опред'ЬлеМе. Выпуклый четыреугольыикъ, у котораго кашя-нибудь дв'Ь противоположныя стороны парал- параллельны, наз. трапещей. Такой четыреугольникъ можно получить, если между двумя параллельными пря- прямыми ВС и AD (черт. 109) проведемъ дв'Ь кашя-нибудь D сЬкупця прямыя АВ и CD. Черт. юз. Параллельныя стороны тра- пецш наз. ея основан1ями, непараллельныя—б о к а м и. 117. Теорема. Прямая, соединяющая середины боковъ тра- П6Ц1И, параллельна основашямъ трапецш и равна пoлycyммt ихъ. л Пусть прямая EF (черт. 110) соеди- няетъ середины бо- ковыхъ рторонъ трапецш ABCD; требуется дока- доказать, что EF || AD (и, сл*д., EF || ВС) Черт. по. ) и, кромЪ того, что EF=1/2 (AD+BC).—Черезъ точки В и F проведемъ прямую до пересЬчетя съ продолжетемъ стороны AD
— 83 — въ некоторой точки G. Тогда получимъ два тр-ка BCF rDFG, которые равны, такъ какъ у нпхъ: CF=FD (по условно), /LBFC—/.DFG (какъ углы вертикальные) и Z.BCF=Z.FDG (какъ углы внутренше накрестъ лежащее при параллельныхъ прямыхъ). Изъ равенства тр-ковъ сл'Ьдуетъ: BF=FG и BC=DG. Теперь видимъ, что въ &ABG прямая EF, соединяешь середины двухъ сторонъ; значить. A15), EFWAG и EF^/^AD+DG); другими словами, EFWAD и EF=XI2 (AD+BC). Зам'ЬчаШе. Прямая, соединяющая середиаы боковъ тра- пецш, наз. ея среднею л и н i e й. У П Р А Ж Н Е Н I Я. Доказать теоремы. 37. Соединивъ последовательно середины сторонъ какого-нибудь четыреугольника, получимъ параллелограммъ. 38. Въ прямоугольномъ Д мед1ана, проведенная къ гипотенузФ», равна ея половин-в. (У к а з а н i e: сл'Ьдуетъ продолжить мед1ану на равное разстоян1е). " * 39. Обратно: если мед1ана равна половин'Ь стороны, къ которой она проведена, то тр-никъ прямоугольный. 40. Въ прямоугольномъ Д мед1ана и высота, проведенныя къ гипо- ч, тенузЪ, образуютъ уголъ, равный разности острыхъ угловъ Д. 41. Если въ прямоугольномъ Д одинъ острый уголъ равенъ 7з dy то противолежафп! ему катетъ составляетъ половину гипотенузы. 42. Обратно: если катетъ вдвое меньше гипотенузы, то противо- лежащ1й ему острый уголъ равенъ llzd. 44. Всякая прямая, проведенная внутри трапецш между ея осио- ван1ями, делится среднею лин1ей пополамъ *). 46. Черезъ вершины угловъ Д проведены прямыя, параллельныя противоположнымъ сторонамъ. Образованный ими Д въ 4 раза бол'Ьэ даннаго; каждая сторона его въ 2 раза бол^е соответствующей стороны дан наго Д. *) Упражнешя подъ №№ 43 и 45 выпущены, такъ какъ содержаше перваго изъ нихъ изложено теперь въ § 102, а второго—въ слгвдств1и къ § 90. 6*
— 84 — 47. Въ равнобедренномъ Д сумма разстоятй каждой точки осно- ватя отъ Ооковыхъ сторонъ есть величина постоянная, а именно она равна высоте, опущенной на боковую сторону. 48. Ка,къ. изменится эта теорема, если взять точку на продолжеши основатя? 48,а. Въ равностороннемъ Д сумма разстоянш всякой точки, взятой внутри этого Д, до сторонъ его есть величина постоянная, равная высоте Д. 49. Данъ квадратъ ABCD. На сторонахъ его отложены р а в н ы я части: ААи ВВи ССг и DDX. Точки Аи Ви Съ Dx соединены после- последовательно прямыми. Доказать, что A1B1C1D1 есть квадратъ. 49,а. Если середины сторонъ какого угодно четыреугольника взять за вершины новаго четыреугольника, то (упр. 37) послЪдтй есть параллелограммъ. Определить, при какихъ услов1яхъ этотъ пар-мь будетъ: 1) прямоугольникомъ, 2) ромбомъ, 3) квадратомъ (решается на основанш § 115). Найти геометричешя MtcTa: 50.—серединъ всЬхъ прямыхъ, прбведенныхъ изъ данной точки къ различнымъ точкамъ данной прямой. 51.—точекъ, равноототояцшхъ отъ двухъ параллельныхъ прямыхъ. 52.-=—-вершинъ тр-ковъ, имЪюцшхъ общее основан1е и равныя высоты. Задачи на построеше. 53. Даны два угла Д; построить трет1й. • 54. Данъ острый уголъ прямоугольнаго Д; построить другой острый уголъ. , ¦¦ 55. Провести прямую, параллельную данной прямой и находя щуюся отъ нея на данномъ разстоянш. 56. Разделить пополамъ уголъ, вершина котораго не помещается на чертеж-в. 57.. Черезъ данную точку провести прямую подъ даннымъ угломъ къ данной прямой.. 58. Черезъ данную точку провести прямую такъ, чтобы отрЪзокъ ея, заключенный между двумя данными параллельными прямыми, равнялся данной длине. 59. Между сторонами даннаго остраго угла поместить прямую данной длины такъ, чтобы она была перпендикулярна къ одной сто- стороне угла, 60. Между сторонами даннаго угла поместить прямую данной длины такъ, чтобы она отсекала отъ сторонъ угла равныя части. 61. Построить прямоугольный Д по даннымъ острому углу и про- противолежащему катету. 62. Построить Д по двумъ угламъ и стороне, лежащей противъ одного изъ нихъ.
63. Построить равнобедренный Д по углу при вершинЪ и основатю. 64. То же—по углу при основанш и высогЪ, опущенной на боковую сторону. 65. То же—по боковой сторонЪ и высот*, опущенной на нее. 66. Построить, равностороннш Д по его высогЬ. 67. Разделить прямой уголъ на 3 равныя части (другими ело* вами построить уголъ, равный 1/zd). 68. Построить Д по основатю, высотЪ и боковой сторонЪ. 69. То же—по основатю, высот-Ъ и углу при основаны. 70. То же—по углу и »двумъ высотамъ, опущеннымъ на стороны этого угла. 71. То же—по сторон-Ь, суммъ1 двухъ другихъ сторонъ и высогЬ, опущенной на одну изъ этихъ сторонъ. 72. То же—по двумъ угламъ и периметру. 73. То же—по высотЪ, периметру и углу при основанш. 74. Провести въ Д прямую, параллельную основанш, такъ, чтобы она была равна сумм-в отр'Ьзковъ боковыхъ сторонъ, считая отъ осно- вашя. 75. Провести въ. Д'прямую, параллельную основатю, такъ, чтобы верхнш отр'Ъзокъ одной боковой стороны равнялся нижнему отрезку другой боковой стороны. 76. Построить многоугольникъ, равный данному (у к а з а н i е: д1агоналями разбиваютъ данный мн-къ на тр-ки). 77. Построить четыреугольникъ по тремъ его угламъ и двумъ сторонамъ, образу ющимъ, четвертый уголъ (указа- Hie: надо найти 4-й уголъ). 78. То же—по тремъ сторонамъ и двумъ д1агоналямъ. 79. Построить параллелограммъ по двумъ не- равнымъ сторонамъ и одной д1агонали. 80. То же—по сторонъ" и двумъ д1агоналямъ. 81. То же—по двумъ д1агоналямъ и углу между ними. 82. То же—по основатю, высотЪ и д1агонали. : 83. Построить прямоугольникъ по д1агонали и .углу между д1агоналями. 84. Построить ромбъ по сторон^ и Д1агонали. 85. То же—по двумъ д1агоналямъ. 86. То же—по высот'Ь и д1агонали. 87. То же—по углу и д1агонали, проходящей черезъ этотъ уголъ. 88. То же—по д1агонали и противолежащему углу. 89. То же—по сумм'Б д1агоналей и углу, Образованному д1аго- налью со стороною. 90. Построить квадратъ по данной дДагонали. 91. Построить Tpaneuiio по основатю, прилежащему къ нему углу и двумъ непараллельнымъ сторонамъ (могутъ быть д&а р-Ьшетя, одно и ни одного).
— 86 92. То же—по разности основашй, двумъ боковымъ сторонамъ и одной д1агонали.. 92,а. То же—по четыремъ сторонамъ (всегда ли задача возможна?). 93. То же—по основан!ю, высогв и двумъ д1агоналямъ (услов1е возможности). 94. То же—по двумъ основашямъ и двумъ д1агоналямъ (услов1е возможности). 95. Построить квадратъ по сумм'В стороны съ д1аго- налью. 96. То же—по разности д1агонали и стороны. 97. Построить параллелограммъ по двумъ д1аго- налямъ и высот^. 98. То же—п'р сторон-в, суммЪ д1агоналей и углу между ними. 99. Построить Дпо двумъ сторонамъ и мед1ангв, проведенной къ третьей сторонЪ. 100. То же—по основашю, высота и мед1ангв, проведенной къ боко- боковой сторон^. 100,а. Построить прямоугольный Дпо гипотенуз^ и сумм^ катетовъ. 100,6. То же — по гипотенуз-в и разности катетовъ. КНИГА II. ОКРУЖНОСТЬ. ГЛАВА I. Форма и полонше окружности. 118. ОпреД'ЬленХя. Окружностью (черт. 111) называется замкнутая плоская лишя, веб точки которой одинаково удалены отъ одной и той же точки @), называемой центр омъ. 'Прямыя @А, 0В, ОС...), соеди- няюпця центръ съ точками окруж- окружности, называются р а д i у- с а м и. Безконечная прямая (MJV), про- ходящая черезъ кашя-нибудь дв* точки окружности, называется с Ъ& ущею. Отр-Ьзокъ прямой (EF), соеди- няющ1й двЪ кашя-нибудь точки Черт. т. окружности, наз. хордою.
— 87 — Всякая хорда (AD), проходящая черезъ центръ, паз. д i a - м е т р о м ъ. Какая-нибудь часть окружности (напр., EmF) наз. дугою. О хорд'Ь (EF), соединяющей концы какой-нибудь дуги, го- ворятъ, что она стягиваетъ эту дугу. Дуга обозначается иногда знакомъ w; напр., пишутъ такъ: ^,EmF. Часть плоскости, ограниченная окружностью, наз. кру- кругом ъ. Часть круга (напр., часть СОВ, покрытая на чертеж^ штри- штрихами), ограниченная дугою и двумя радиусами, проведенными къ концамъ дуги, наз. сектором ъ. Часть круга (напр., часть EmF), ограниченная дугою и стя- стягивающею ее хордою, наз. сегментом ъ. Изъ этихъ определены сл^дуетъ: 1°, вс^ радиусы.одной окружности равны между собою; 2°, BCHKifi д i а м е т р ъ равенъ с у м м t двухъ рад1усовъ, и потому вей д i а м е т р ы одной окружности равны между собою. 119. Точки внутри круга и точки вн* его. Окружность раздЪляетъ веб точки плоскости, на которой она проведена, на 3 слЪдуюпця области: 1) точки, которыхъ разстоятя отъ центра больше рад1уса; такова, напр., точка М (черт. 112), для которой разстояте ОМ бол-Ье рад!уса О А; Черт. 112. Черт. 113. 2) точки, которыхъ разстоятя отъ центра равны рад1усу (точки А,В,... черт. 112);
— 88 — 3) точки, которыхъ разстояшя отъ центра меньше рад1уса; такова, напр., точка N (черт. 112), для которой разстояше ON , меньше рад!уса ОБ. Точки первой области лежатъ вн^ круга, точки второй области лежатъ на окружности и точки третьей области расположены внутри круга. Слйдуюшдя предложешя мы принимаемъ за очевидныя: 1) отрЪзокъ прямой (и вообще всякой непрерывной линш), соединяюпцй (черт. 113) какую-нибудь внутреннюю точку А съ какою-нибудь внешнею точкою В, пересекается где-нибудь съ* окружностью; 2) отр^зокъ прямой, соединяющей любыя 2 внутреншг точки А я С (черт. 113), не пересекается съ окруж- ностио; 3) отр'Ьзокъ прямой, соедппяюпцй 2 внешшя точки, иногда не пересекается (Ш)), иногда пересекается (DE) съ окруж ностью. 12O. Теорема. Прямая и окружность не могутъ ишгЬтг 6onte двухъ общихъ точекъ. Для доказательства предполс- жимъ, что прямая MN (черт. 114) имеетъ съ окружностью, которой центръ находится въ точке О, три обпця точки А, В ж С. Тогда прямыя О А, ОБ, ОС должны быть равны между собою, какъ ра- д1усы, вследствие чего тр-ки ОАЕ и О АС будутъ равнобедренные, и, ; откуда: Z.2=Z.3\ но это невоз след., Z.l=Zl2 и можно, такъ какъ Zl2, будучи внешнимъ по отношенш ki тр-нику ОВС, больше внутренняго, не Смежнаго съ нимъ, угла 3 D5). 121. Сл*детв1е. Никакая часть окружности не можетъ совместиться съ прямой, потому что въ противномъ случае окружность съ прямою имела бы более двухъ общихъ точекъ. Лишя, которой никакая часть не можетъ, совместиться съ прямой, наз. кривою ли н i e й. Значитъ, окруж- окружность есть кривая л и н i я.
— 89 М' Черт. 115. 122. Теорема. Черезъ три точки, не лежащ1я на одной прямой, можно провести окружность и притомъ только одну. Черезъ три точки А, В и С (черт. 116), не лежапця на одной прямой, только тогда можно провести окружность, если суще- ствуетъ такая четвертая точка О, которая одинаково удалена о^ъ точекъ Л, В и С. Докажемъ, что такая точка существуете и притомъ только одна. Для этого примемъ во вни- маше, что всякая точка, одинаково удаленная оаъ точекъ А я В, должна ле- лежать на перпендикуляр* MN, проведенномъ къ сто- сторон* АВ черезъ ея сере- середину F3); точно также вся- всякая точка», одинаково уда- удаленная отъ точекъ В и С, должна лежать на пер- перпендикуляр* PQ, прове- проведенномъ къ сторон* ВС черезъ ея середину. Значить, если суще- существу етъ точка, одинаково удаленная отъ трехъ точекъ А, В, и Q то она должна лежать заразъ и на MN, и на PQ, что возможно только тогда, кргда она совпрдаетъ съ точкой перес*четя этихъ двухъ прямыхъ. Прямыя MN и PQ всегда пересека- пересекаются (83, 2°), такъ какъ он* перпендикулярны къ пересдаю- пересдающимся прямымъ АВ и ВС. Точка О ихъ перес*четя и будетъ точкой, одинаково удаленной отъ А, отъ В и отъ G; значить, если примемъ эту точку за центръ, а за рад1усъ возьмемъ раз- стояте О А (или ОБ, или ОС), то окружность пройдетъ черезъ точки А, В и С. Такъ какъ прямыя MN и PQ могутъ перес*чься только въ одной точк*, то центръ этой окружности можетъ быть только один ъ, и длина ея рад1уса можетъ быть только одна; значить, искомая окружность — единственн а-я. ч 123. СлрЬдетв1е. Точка О (черт. 116), находясь на оди- наковомъ разстоянш отъ А и отъ С, должна также лежать на перпендикуляр* RS, проведенномъ къ сторон* АС черезъ ея середину. Такимъ образомъ:
90 три перпендикуляра къ сторонамъ треугольника, проведен- проведенные черезъ ихъ середины, пересекаются въ одной точк%. 124.Задача. Найти центръ данной окружности (черт. 116). Взявъ на данной окружно- окружности кашя-нибудь три точки А, В ж С, проводятъ черезъ нихъ двЪ хорды, напр., АВ и CJ5, и черезъ середины этихъ хордъ проводятъ къ нимъ пер- перпендикуляры MN и PQ. Иско- Черт. не. мый центрЪ? будучи одинаково удаленъ отъ А, В ж С, долженъ лежать и на MN, и на PQ\ слйд., онъ находится въ пересЬченш этихъ перпендикуляровъ, т.-е. въ точк'б О. ГЛАВА П. Равенство и неравенство дугъ. 125. Теорема. Два круга одинаковаго рад!уса равны (черт. 117.) Пусть О и Ог суть центры двухъ круговъ, которыхъ рад1усы равны. Наложимъ кругъ О на кругъ Ог такъ, чтобы ихъ центры совпали. Тогда об'Ь окружно- окружности совместятся, такъ какъ въ противномъ случай ихъ точки не одинаково отстояли бы отъ ч 117 центра и, слг6д.,рад1усы были бы неравны. 126. Зам'ЪчаШе. Вращая одинъ изъ совпавшихъ круговъ вокругъ общаго центра, мы не нарушимъ ихъ совм^щетя: Изъ этого сл^дуетъ, что дв'Ь части одной окружности или дв'б части равныхъ окружностей мо- гутъ быть наложены одна на другую такъ, что всгЬ точки одной части окажутся лежа- лежащими на другой. > /
91 м Черт. 118. 127. ОпредгЬлен1е. Две дуги одинаковаго рад1уса счита ются равными, если они при наложенш могутъ быть совме- щены. Положимъ, напр., что мы накладываемъ дугу АВ (черт. 118) на дугу CD такъ, чтобы точка А упала въ точку С и дуга АВ по- пошла по дуг^ CD (что возможно, какъ мы видели въ предыдущемъ замечанш); если при этомъ концы В и D совпадутъ, tg^AB—^CD; въ противномъ случай дуги не равны, при чемъ та будетъ меньше, которая составить только часть другой. Суммою нескольким данныхъ дугь одинаковаго рад1уса наз. такая дуга того же рад1уса, которая составлена изъ частей, соответственно равныхъ даннымъ дугамъ. Такъ, если отъ про- произвольной точки М (черт. 118) окружности отложимъ часть MN, равную АВ, и затемъ отъ точки N въ томъ же направленш отло-. жимъ часть ЖР, равную CD, то дуга МР будетъ суммой дугь АВ и CD. Подобно этому можно составить сумму трехъ и более дугъ. Изъ понятзя о сумме дугъ одного и того же радиуса выводятся понят1я объ ихъ разности, произве- произведен^ и частно мъ въ томъ же смысле, какъ и для отрезковъ прямыхъ. 128. Теорема. Всямй д!аметръ д*Ь- литъ окружность и кругъ пополамъ (черт. 119). Черт. 119. Вообразимъ, что кругъ перегнутъ по какому-нибудь д1аметру АВ такъ, чтобы часть его АшВ упала на часть АпВ. Тогда все точки дуги m совместятся съ точками дуги п, потому что въ противномъ случае точки одной дуги лежали бы ближе къ центру, чемъ точки другой дуги, что не- невозможно.
Такимъ образомъ, всякш д1аметръ раздйляетъ окружность на дв'Ь полуокружности, а кругъ—на два полу- полукруга. 129. Зам'Ьчанхе. Всякая хорда СВ (черт. Ц9), не проходя- проходящая черезъ центръ, стягиваетъ двгЬ н е р а в н ы я дуги; одну, большую полуокружности, другую—меньшую ея. Когда гово- рятъ: «дуга, стягиваемая хордой», то обыкновенно разумйютъ ту изъ двухъ дугъ, которая меньше полуокружности. 130. Теоремы. 1°. Д1аметръ, перпендикулярный къ xopflt, д-Ьлитъ эту хорду и o6t стягиваемыя ею дуги пополамъ. ' 2°. Дуги, заключенныя между парал- параллельными хордами, равны. 1°. Пусть д1аметръ АВ (черт. 120) перпендикуляренъ къ хорд* CD и EF li CD; требуется доказать, что: 1°. CK = KD 2° wi Черт. 120. ' w Перегнемъ чертежъ по д1аметру АВ гакъ, чтобы его Л'Ьвая часть упала на правую. Тогда л'Ьвая полуокружность совместится съ правою полуокружностью, перпендикуляръ КС пойдетъ, по KB и перпендикулйръ LE пойдетъ по LF. Изъ этого сл'Ьдуетъ, что точка С, представляющая собою, пересечете полуокрулшости съ КС, упадетъ на D, а точка Е, представляющая собою пересечете полуокрулшости съ LE, упадетъ на F; поэтому: 1°. CK=KD; s. • 2°. СлЪдствхя. 1°. Д1аметръ (АВ), проведенный черезъ се- середину хорды (CD), перпендикуляренъ къ этой хордЪ и flt- литъ дугу, стягиваемую ею, пополамъ. 2°. Дгаметръ (АВ), проведенный черезъ середину дуги (CBD), перпендикуляренъ къ хорд*Ь, стягивающей эту дугу, и дЪлитъ ее пополамъ. Оба эти предложетя (обратныя теорем'Ь 1°) легко доказы- доказываются отъ противнаго. Зам1>чан1е« Изложенное доказательство убЪждаетъ насъ, что каждый д1аметръкруга есть его ось симадетр1и.
— 93 — 131. Задача. Разделить данную черт. 121) пополам ъ. -Проведя хорду АВ, опускаемъ на нее перпендикуляръ изъ центра и продолжаемъ его до пересЬчешя съ дугою. По доказанному въ преды- предыдущей теорем^, дуга АВ разделится этимъ перпендикуляромъ пополамъ. Если же центръ неизв'Ьстенъ, тогда къ хорде АВ следуете провести пер- перпендикуляръ черезъ ея середину (§ 69, задача 6). дугу {АВ, Черт. 121. ГЛАВА III. Зависимость между дугами, хордами и разстояншми хордъ отъ центра. 132. Теоремы, Въ одномъ кругЬ или въ равныхъ кругахъ: 1°, если дуги равны, то стягивающ1я ихъ хорды равны и одинаково удалены отъ центра; 2°, если дуги не равны и притомъ каждая меньше полуокруж- полуокружности, то большая изъ нихъ стягивается большею хордою, и эта большая хорда ближе къ центру. 1°. Пусть дуга АВ (черт. 122) равна дугЬ CD\ требуется доказать, что хорды АВ и CD равны, а также равны перпендикуляры ОЕ и OF, опущенные изъ центра на хорды. Повернемъ секторъ ОАВ вокругъ центра О въ направленш, указанномъ стрелкою, на столько, чтобырад1усъ ОБ совпалъ съ ОС. Тогда дуга ВА пойдетъ по дугб CD, и, вслг?дств1е ихъ равенства, эти дуги совместятся. Значитъ, хорда АВ совместится съ хордою CD (между двумя точками можно провести только одну прямую) и перпендикуляръ Черт. 122.
— 94 — ОЕ совпадетъ съ OF (изъ одной точки можно опустить на прямую только одинъ перпендикуляръ), т.-е. AB=CD и OE=OF. 2°. Пусть дуга АВ (черт. 123) меньше дуги CD, и притомъ обй дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда АВ меньше хорды CD, а перпендикуляръ ОЕ больше перпен- перпендикуляра OF,—Отд'Ьлимъ на дугб CD часть СК, равную АВ, и проведемъ вспомогательную хорду СК, которая, по доказанному, равна хордЪ АВ и одинаково съ ней удалена отъ центра. У тр-ковъ*) COD и СОК двЪ стороны одного равны двумъ сторонамъ дру- другого (какъ рад1усы), а углы, заклю- заключенные между этими сторонами, не равны; въ этомъ случай, какъ мы Черт. 123. зназмъ E8), противъ болыпаго изъ угловъ, т.-е. COD, должна лежать ббльшая сторона; значить, CD>CK, и потому CD>AB. Для доказательства того, что OE^>OF, проведемъ OL1.CK и примемъ во внимаше, что, по доказанному, OE—OL; сл'Ьд., памъ достаточно сравнить OF съ OL. Въ прямоугольномъ тр-кЪ OFM (покрытомъ на чертежи штрихами) гипотенуза ОМ больше катета OF; но OV>OM\ значить, и подавно, OL^>OF и потому OE>OF. Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верною и для р а в н ы х ъ круговъ, потому что тате круги нич'бмъ, кромй своего положетя, другъ отъ друга не отли- отличаются. 133. Обратныя теоремы. Такъ какъ въ предыдущемъ параграф*разсмотр'Ьны всевозможные взаимно исключающее слу- случаи относительно сравнительной величины двухъ дугъ одного ра- д!уса, при чемъ получились взаимно исключающее выводы относи- относительно сравнительной величины хордъ и разстоянШ ихъ отъ цент- центра,™ обратныя предложешя должны быть в^рны E1), а именно: Въодномъкруги или въравныхъ кругахъ: 1°, равныя хорды стягиваютъ равны я дуги и одинаково удалены отъ центра; *) На чертеж-b 123-мъ надо провести рад!усъ ОТ)
— 95 2°, хорды, одинаково удаленны я отъ центра равны и стягиваютъ равныя дуги; 3°, изъ двухъ неравны хъ хордъ большая стягиваетъ большую дугу и ближе к ъ центру; 4°, изъ двухъ хордъ, неодинаково уда- удалены ыхъ отъ центра, та, которая ближе къ центру, бол'бе и стягиваетъ большую Дугу. Эти предложешя легко доказываются отъ противнаго. Напр., для доказательства перваго изъ нихъ разсуждаемъ такъ: если бы данныя хорды стягивали неравныя дуги, то, сэгласно прямой теорем*, он* были бы не равны, что противоречить условно; значить, равныя хорды должны стягивать равныя дуги, а если дуги равны, то, согласно прямой теорем*, стягиваюпця ихъ хорды одинаково удалены отъ центра. 134. Теорема. Д1аметръ есть ж и большая изъ хордъ. Если соединимъ съ центромъ О концы какой-нибудь хорды, не проходящей черезъ центръ, напр., хорды АВ (чер- тежъ 124), то получимъ тр-къ АОВ, въ которомъ одна сторона есть эта хорда, а дв'Ь друпя—рад!усы. Но въ тр-к'Ь каждая сторона Meirfee суммы двухъ другихъ сторонъ; сл^д,, хорда АВ - мен'Ье суммы двухъ рад1усовъ; тогда какъ всяшй д1аметръ CD равенъ сумм'Ь двухъ рад!усовъ. Значить, д!аметръ больше всякой хорды, не проходящей черезъ центръ. Но такъ какъ д!аметръ есть тоже хорда, то можно сказать, что д1аметръ есть наибольшая изъ хордъ. ГЛАВА IV. Свойства касательной. 135. Относительное положен!е прямой и окружности. Мы видели A20), что прямая и окружность не могутъ им^ть бол'Ье 2-хъобщихъточекъ. Посмотримъ теперь, Черт. 124.
N — 96 — при какихъ услов1яхъ прямая съ окружностью можетъ имйть 2 обпця точки, 1 общую точку и ни одной общей точки. Раз- смотримъ сл'Ьдуюпце 3 случая: 1°. Разстоян1е (ОС, черт. 125) центра (О) окруж- окружности отъ прямой (АВ) больше р а д i у с а этой окружности. Тогда точка С прямой АВ. п удалена отъ центра О Т0—В больше, ч'Ьмъ на рад1усъ, /' и потому лежитъвн'Ь круга. / ВсЬ остальныя точки пря- гч мой АВ удалены отъ О еще бол'Ье, ч'Ьмъ точка С E9); Черт. 12о. значитъ, всЬ точки пря- прямой АВ лежать вн^ круга, и потому ата прямая не им^етъ общихъ точекъ съ окружностью. 2°.Разстоян1е (ОС,черт. 125) центра (О) окруж- окружности отъ прямой (АВ) меньше р а д i у с d этой окружности. Въ этомъ случай точка С лежитъ внутри круга. Но на прямой АВ, по об'Ь стороны отъ точки С, можно найти ташя точки D и Е, которыя удалены отъ О бол'Ье, ч'Ьмъ на рад1усъ *), и которыя, сл-Ьд., лежатъ вн^ круга. Но тогда каждый изъ двухъ отр'Ьзковъ: CD и СЕ, соединяя вну- внутреннюю точку съ внешней, долженъ пересЬчься съ окруж- окружностью. Сл'Ьд., въ этомъ случай прямая им^етъ съ окружностью 2 обпця точки. 3°. Разстоян1е (ОС, черт. 125) центра (О) отъ прямой (АВ) равно рад1усу. Тогда точка С при- надлежитъ и прямой, и окружности; Bcfe же остальныя точки прямой удалены отъ О бол'Ье, ч'Ьмъ точка С E9), и потому, ле- лежатъ вн'Ь круга. Значитъ, въ этомъ случа-Ь прямая и окруж- окружность имЗиотъ только одну общую точку, именно, точку С. *) Если, напр., на прямой АВ отложпмъ отъ точки С, по обЪ сто- стороны отъ нея, отрезки, равные рад1усу, то разстояте ихъ концовъ до центра будутъ больше рад1уса, такъ какъ гипотенуза больше катета#
Q7 136. ОпредЪлекйе. Прямая {АВ, черт. 126), имею- имеющая съ окружностью только одну общую точку (С), наз. каратель- карательною къ окружности; общая точка наз. въ этомъ случай точкою к а с а н i я. 137. Теоремы. 1°. Если прямая перпендикулярна къ рад'|усу въ концЪ его, лежащемъ на окружности, то она есть касательная* 2° (обратная). Если прямая каса- тельна къ окружности, то рад"|усъ, проведенный въ точку касашя, пер- пендикуляренъ къ ней. Черт. 126 С С, 7 •в 1°. Пусть О (черт. 127) есть центръ окружности, ОС какой- нибудь, ея рад!усъ и АВ прямая, перпендикулярная къ ОС и проходящая череэъ С; требуется дока- доказать, что эта прямая есть касатель- касательная,—Разстояте прямой АВ отъ цен- центра О равно перлендикуляру ОС; но, по условно, ОС есть рад1усъ; значить, разстояте прямой АВ отъ центра О рав- равно рад1усу; а въэтомъ случай, какъ мы видели A.35), прямая им-Ьетъ съ окруж- i О Черт\ 127. ностью только одну общую точку; сл'Ьд., АВ есть касательная. 2°. Пусть АВ (черт. 127) есть касательная и ОС рад!усъ, проведенный въ точку касатя; требуется доказать, что ОС1.АВ. Предположимъ противное, т.-е. что рад!усъ ОС не перпенди- куляренъ къ АВ, а представляетъ собою наклонную къ этой прямой. Въ такомъ случай какая-нибудь другая прямая, напр. ОС1у будетъ перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ центра О на касательную АВ C2). Такъ какъ перпендикуляръ короче на- наклонной E9), то ОСХ<^ОС\ значить, тогда разстояте прямой АВ отъ центра О, равное перпендикуляру ОСЪ будетъ меньше рад1уса; а въ атомъ случай, какъ мы видели A35), прямая должна имЪть съ окружностью 2 обпця точки, а, не одну, какъ данная А. Киселевъ. Геометр1я. . '
— 98 — касательная АВ. Ол^д., нельзя допустить, что рад1усъ ОС не перпендикуляренъ къ АВ\ значитъ, ОСА-АВ. 138. Теоремы. 1°. Если каса- касательная параллельна xopflt, то она д%литъ въ точкЪ касан|"я дугу, стягиваемую хордой, пополамъ. Пусть прямая АВ (черт. 128) касается окружности въ точк'Ь М и параллельна хорд'Ь CD; тре- требуется доказать, что Черт. 123. Проведя черезъ точку касашя д1аметръ ЕМ, будемъ им^ть: ЕМ±АВ A37, 2°) и сл*д., EM±CD (82); поэтому wCI- wlfD A30, 1°). 2° (Обратная). Если касательная (АВ) проходить черезъ середину дуги (CD), то она параллельна xopflt, стягивающей эту дугу. Действительно, эта касательная перпендикулярна къ д1а- метру (ЕМ), проведенному черезъ середину дуги, а такой Д1*а- метръ перпендикуляренъ къ хорд* A30, сл-Ьд. 2°); но два перпен- перпендикуляра къ одной и той же прямой должны быть параллельны. 139. Задача.. Черезъ данную точку провести касательную къ данной окружности. Если данная точка (напр., точка Му черт. 128) находится на окружности, то проводятъ черезъ нее рад1усъ и черезъ конецъ рад1уса перпендикулярную прямую. Эта прямая и будетъ искомой касательной A37, 1°). Другой касательной черезъ ту же точку окружности провести нельзя, такъ какъ касательная должна быть перпендикулярна къ paдiycy въ кошф его, лежащемъ на окружности, а двухъ различныхъ перпендикуляровъ къ одному и тому же рад1усу черезъ одну и ту же точку провести нельзя. , Разсмотримъ теперь случай, когда точка дана в н *Ь круга. Пусть требуется (черт. 129) провести къ окружности центра О касательную черезъ точку А. Для этого изъ точки А, какъ центра, опиеываемъ дугу рад1усомъ AQ} а изъ точки О, какъ
— 99 — центра, пересЬкаетъ эту дугу въ точкахъ В ж С растворетемъ циркуля, равнымъ д1аметру даннаго круга. Проведя зат'Ьмъ хорды ОВ и ОС, соединимъ точку А съ точками D и Е, въ ко- торыхъ эти хорды пересекаются съ данною окружностью. Пря- мыя AD и АЕ и будутъ касательными къ окружности О. Дей- Действительно, изъ построешя видно, что тр-ш АОВ и АОС равнобедренные (АО=АВ=АС) съ основашями ОВ и ОС, равными д1аметру круга О. Такъ какъ OD и ОЕ суть рад1усы, а рад1усъ равенъ половин^ д1а- метра, то D есть середина ОВ, а Е середина ОС; значитъ, пря- мыя AD и АЕ суть м е д i а н ы, проведенныя къ основатямъ рав- нобедренныхъ тр-ковъ, и потому перпендикулярны къ этимъ осно- основатямъ C9). Если же прямыя AD и АЕ перпендикулярны къ ра- д1усамъ OD и ОЕ въ ихъ концахъ, лежащихъ на окружности, то касательныя. Зам%чаше. Очевидно, что если данная точка лежитъ внутри круга, то черезъ нее нельзя провести касательной. 140. CntflCTBie. Дв% касательныя, проведенныя изъ одной точки къ окружности, равны и образуютъ равные углы съ прямою, соединяющею эту точку съ центромъ Такъ, AD=AE и /mOAD=Z.OAE (черт. 129), потому что прямоугольные тр-ки АОВ и АОЕ, имйюпце общую гипоте- гипотенузу А О и равные катеты OD и ОЕ (какъ рад1усы), равны. Само собою разумеется, что зд^сь подъ словомъ «касательная» разумеется собственно «отрйзокъ касательной» отъ данной точки до точки касатя. 141. Задача.Провести каса- касательную къ данной окруж- окружности параллельно данной прямой АВ (черт. 130). Черт. 129. Черт. 130.
— 100 — в Черезъ центръ О проведемъ MCJLAB и черезъ точки D и D1# въ котррыхъ этотъ перпендикуляръ пересекается съ окруж- окружностью, проведемъ EF II АВ и EXFX II АВ. Искомыя касательныя будутъ EF и .Ei-Pi. Действительно, такъ какъ МСА.АВ и EFWAB, а также и EXFX WAB, то EF±OD и Е^^ОВ^ а прямая, перпендикулярная къ рад1усу въ конце его, лежа- щемъ на окружности, есть касательная. 142. Задача. Къ двумъ окружностямъ про- провести общую касательную (черт. 131). 1°. А н а л и з ъ. Предположимъ, что задача решена. Пусть АВ будетъ общая касательная, А ж В точки касашя. Очевидно, что если мы найдемъ одну изъ этихъ точекъ, напр., А, то за- темъ легко найдемъ и дру- другую. Проведемъ рад1усы О А и ОгВ. Эти рад1усы, будучи перпендикулярны къ общей касательной, параллельны между собою; поэтому если изъ 01 проведемъ ОгС II В А, то тр-къ ОСОг будетъ пря- прямоугольный при верг шине О; вследств1е этого, если опишемъ изъ О, какъ центра, рад1усомъ ОС окружность, то она будетъ касаться прямой ОгС въ точке О. Рад1усъ этой вспомогательной окружности изве- стенъ: онъ равенъ ОА—СА~ОА—ОгВ, т.-е. онъ равенъ разности рад1усовъ данныхъ окружностей. Пос.троен1е. Обозначимъ рад1усъ болыпаго круга че- черезъ R и рад1усъ меныпаго черезъ г. Опишемъ изъ центра О окружность рад1усомъ, равнымъ R—г; изъ Ох проводимъ къ этой окружности касательную 0±С (способомъ, указаннымъ въ предыдущей задаче § 139)* черезъ точку касашя С проводимъ рад1усъ ОС и продолжаемъ его до встречи съ данною окруж- окружностью въ точке А. Наконецъ, изъ А проводимъ АВ парал- параллельно СОг. Доказательство (синтезъ). Такъ какъ ОгС, по по- строенш", есть касательная въ точке С къ окружности рад!- уса 00, то О1С±ОС, и, значить, ОгС±ОА. Такъ какъ АВ II СОг, Черт. 131. *) Если этэ возможно, т.-е. если центръ 01 окажется лежащимъ не внутри круга, описаннаго рад1усомъ ОС=Й—г.
— 101 — то и AD±0A и дотому AD есть касательная къ данной окруж- окружности центра О A37). Остается доказать, что прямая AD ка- касается также и другой данной окружности. Для этого изъ центра Ог проведемъ ОХВ±,АВ. Прямыя ОгВ и С А, будучи перпендикулярны къ AD, должны быть параллельны; съ дру- другой стороны, AD\\ ОХС\ сл'Ьд., фигура ОгСАВ есть параллело- граммъ; поэтому ОХВ~СА—ОА—ОС\ но ОС—В—г; сл'Ьд., OXB=R—(R—r)=r. Значить, точка В принадлежите данной окружности центра Оь и прямая ОХВ есть рад1усъ этой окруж- окружности. Такимъ образомъ, прямая AD перпендикулярна къ рад1усу ОгВ въ его концЪ, лежащемъ на окружности, а такая прямая есть касательная. Совершенно такимъ же способомъ мы можемъ построить другую общую касательную АхВг (черт. 131). Прямыя АВ и АхВг наз. внешними общими касательными. Можно еще провести дв-Ь внутренн1я касательныя сл'Ьдующимъ образомъ. 2°. Анализъ. Предположимъ, что задача решена (чер- тежъ 132). Пусть АВ будетъ искомая касательная. Проведемъ рад1усы О А и ОгВ въ точки касашя А и В. Эти рад1усы, будучи оба перпендикулярны къ общей касательной, параллельны между собою. Поэтому если изъ Ог проведемъ ОгС II В А и про- должимъ О А до точки О, то ОС будетъ перпендикуляренъ къ ОгС\ всл|Ьдств1е этого окружность, описанная рад1усомъ ОС изъ точки О, какъ центра, бу- будетъ касаться прямой ОХС въ точкЪ С. Рад1усъ этой вспомогательной окруж- окружности изв'Ьстенъ: онъ ра- венъ О А +АС = ОА + ОгВ=В+г, т.-е. онъ ра- венъ суммй рад1усовъ данныхъ окружностей. Черт. 132. Построен1е. Изъ О, какъ центра, описываемъ окружность рад1усомъ, равнымъ сумм-Ь R+r; изъ Ог проводимъ къ этой окружности касательную ОХС*\ точку касатя С соединяемъ съ *) Если эта возможно, т.-е. если центръ Ох окажзтся лежащнмъ не внутри круга описаннаг) радьусомъ OG=R-{-r.
— 102 ~- О; наконецъ, черезъ точку А, въ которой ОС пересЬкается съ данной окружностью, проводимъ AD II ОгС. Доказательство (синтезъ) остается то же самое, какъ я въ случай 1°. Подобнымъ же рбразомъ можно построить другую внутрен- внутреннюю касательную АгВг. SaMtnaHle. He ко всякимъ двумъ окружностямъ можно провести обпця касательныя; напр., если одна окружность л ежить внутри другой, не имея съ ней ни одной общей точки, то очевидно, что къ такимъ окружностямъ нельзя провести ни внешнихъ, ни вЕутреннихъ общихъ касательныхъ; или, если окружности пересекаются, то очевидно, что къ нимъ нельзя провести внутреннихъ общихъ касательныхъ, 143. Общее опред*лен1е касательной. Пусть къ окружности центра О (черт. 133) проведены черезъ точку А касательная AT и какая-нибудь секущая AM. Станемъ вра- вращать эту секущую вокругъ точки А такъ, чтобы другая точка пересЬчешя В все ближе и ближе придвигалась къ А. Тогда перпендикуляръ OD, опущен- опущенный изъ центра на секущую, будетъ все более и более при- приближаться къ рад!усу ОА, при- чемъ уголъ AOD, равный поло- вин-б угла ^405, можетъ сде- сделаться меньше всякаго малаго угла. Уголъ МАТ, образован- образованный сЬкущею и касательною, Черт. 133. равенъ углу AOD (вслгЬдств1е перпендикулярности ихъ сторонъ); поэтому при неограни- ченномъ приближеши точки В къ А уголъ МАТ также можетъ быть сд^ланъ какъ угодно малъ. Это выражаютъ иными сло- словами, такъ: касательная есть предельное по- ложен1е, къ которому стремитсяс^кущая, проведенная черезъ точку касан1я, когда вторая точка пере- сеченiя неограни- неограниченно приближается Ч рт. 134. къ точке касан1я. м
— 103 — Это свойство принимаюсь за опредг6лен1е каса- касательной, когда р'Ьчь идетъ о какой угодно кривой. Такимъ образомъ, касательною къ кривой АВ (черт. 134) въ точки М на з. пред Ильное положе-Hie МТ, къ которому стремится сЬкущая MN> когда точка перес|6чен1я Р неограниченно при- приближается къ М. Определяемая такимъ образомъ касательная можетъ им^ть съ кривою бол-бе одной общей точки (какъ это видно на черт. 134). Г Л А В А V. Относительное наложение окружностей, г 144. ОпредгЬлен1е. Если д в ¦? окружности имФютъ только одну общую точку, то го- говорят ъ, что он4 касаются; если ж е -. д в 4 окружности им'Ьютъ дв'Ь общ1я точки, to говорят ъ, что он* пересекаются. '¦ Трехъ общихъ точекъ дв'Ь несливаюпцяся окружности им^зть не могутъ, потому что въ противномъ случай черезъ три точки можно было бы провести дв'Ь различныя окружности, что не- невозможно A22). ' Вудемъ называть л и н i e й центровъ прямую,проходящую черезъ центры двухъ окружностей (напр., прямую ООЪ черт. 136). 145. Теорема. Если двЪ окружности имЪютъ общую точку по одну сторону отъ лиши центровъ, то OHt имЪютъ общую точку и по другую сторону отъ этой лиши, т.-е. ташя окруж- окружности пересекаются. Пусть (черт. 135) дв'Ь окружности им^ють общую точку А, лежащую внй лиши центровъ OOt\ требуется доказать, что эти окружности икгЬютъ еще общую точку по другую сто- сторону отъ прямой OOV Опустимъ изъ А на прямую OOi перпендикуляръ АВ и продолжимъ его на разстояше ВА1у равное АВ. Докажемъ г—¦ Черт. 135. теперь, что точка Ах принадлежить обЗшмъ окружностя^ъ.
— 104 — Изъ построешя видно, что точки О и Ог лежать на перпенди- перпендикуляра, проведейномъ къ отрезку AAlt черезъ его середину. Изъ этого слйдуетъ, что точка О одинаково удалена отъ Аи Ах F3, 2°); то же можно сказать и о точки Ог\ значить, об? окруж- окружности, при продолженш ихъ, пройдутъ черезъ Аг. Такимъ образомъ, окружности имЪютъ дв'Ь обпця точки: точку А (по уело- Biro) и точку Аг (по доказанному); елфд., он^ пересекаются. 146. Сл'Ьдств1е. Общая хорда (ААЪ черт. 135) двухъ пере- пересекающихся окружностей перпендикулярна къ линш центровъ и дЪлится ею пополамъ. 147. Теорема, Если дв* окружности имЪютъ общую точку на линш ихъ центровъ, то он* касаются. Пусть общая точка А двухъ окружностей лежитъ на линш центровъ ООг (черт. 136 и 137). Требуется доказать, что ташя окружности касаются, т.-е что они не имЪютъ никакой другой общей точки.—Окружности не могутъ имйть другой общей точки ъпЪ линш цеятровъ, потому что въ противномъ случай они им'Ьли бы еще третью общую точку по другую сторону отъ линш центровъ A45) и, сл^д., должны были бы слиться A22) Они не могутъ имйть другой общей точки и па линш центровъ, такъ какъ на этой прямой, очевидно, н^тъ другой точки, ко- которая отъ обоихъ центровъ была бы удалена настолько же, какъ и точка А. Сл'Ьд., окружности им^ють только одну общую точку, т -е они касаются, М N Черт. 136. Черт. 137. . Kacame двуХъ окружностей наз. в н i ш - н и м ъ, если они расположены одна вн? другой (черт 136), и внутреннидаъ, если одна изъ окружностей лежитъ внутри другой (черт. 137).
— 105 — 149. Теорема, (обратная предыдущей). Если двЪ окруж- окружности касаются, то точка касашя лежитъ на лиши центровъ. Пусть дв? окружности (черт. 136 и 137) касаются въ точк'Ь А, т.-е им'Ьютъ только одну общую точку А\ требуется доказать, что эта точка лежитъ на лиши центровъ.—Точка А не можетъ лежать ви-Ь лиши центровъ, потому что въ противномъ случай окружности имйли бы еще другую общую точку, что противо- противоречить условш теоремы 150. OrfeACTBie. flet касательныя окружности имЪютъ общую касательную въ точкЪ касашя, потому что если про- ведемъ черезъ точку касатя прямую MlSf (черт. 136 и 137), перпендикулярную къ рад1усу О А, то эта прямая будетъ также перпендикулярна и къ рад1усу ОгА*. 151. Различные случаи относительного поло- положения двухъ окружностей > Обозначимъ рад1усы двухъ окружностей буквами Е и Rx и разстоян1е между ихъ центрами буквою d. Разсмотримъ, какова зависимость между этими величинами въ различныхъ случаяхъ относительнаго положешя двухъ окружностей. Этихъ случаевъ можно указать сл'Ьдуюпце 5: 1°. Окружности лежатъ одна вн* другой, не ка- касаясь (черт. 138); въ этомъ слу- случай, очевидно, d^E+Ei. 2°. Окружности им'Ьютъ внешнее касан1 еДчерт. 139); тогда d=E+Ex, такъ какъ точка касатя лежитъ на линш центровъ. 3°. Окружности пересека- пересекаются (черт. 140, 1° и 2°);то- Черт. 138. Черт. 139. 1 гда d<CE+Ex и въ то же время <O>R—Еь потому что въ тр-кй ОАОг сторона ООЪ равная d, меньше суммы, но больше раз- разности двухъ другихъсторонъ, равныхъ рад1усамъ Е и Г Черт. 140. О*фужносги, касающ1ясяи8внЬ,им^ютъеще 2 обпця внЪштя касательпыя.
106 4°. Окружности имЪютъ внутреннее ка- с а н i e (черт. 141); въ этомъ случай , потому что точка касатя лежитъ Черт. 141 на лиши центровъ. Наконецъ, 5°, одна окружность лежитъ внутри другой, не ка- касаясь (черт. 142); тогда, очевидно, d<^R—R1 и въ частномъ случай d=O, когда центры обЗшхъ окружностей сливаются (ташя окружности наз.к онцентрическими). 152. Обратныя предложеюя. такъ какъ разсмотр-бнные нами случаи располо- жетя двухъ окруж- окружностей таковы, что ка- каждый изъ нихъ исклю- чаетъ собою всЬ осталь- Черт. 142. и СЛуЧая эти со- сопровождаются такими соотношешями между разстоян1емъ центровъ и величиною рад1усовъ, которые тоже взаимно другъ друга исключаютъ, то обратныя предложешя должны быть вйрны E1), а именно: 1° Если d^>R+R1, то окружности располо- расположены одна вн4 другой, не касаясь. 2° Если й=й+Еь то окружности касаются и з в н -6. . 3°. Если d<^R+Ri и въ то же время d^>R—Дь то окружности пересекаются. 4°. Если d=R—1?!, то окружности касаются извнутри. 5°. Если d^R—Rt, то одна окружность ле- лежитъ внутри другой, не касаясь. ВсЬ эти предложешя легко доказываются отъ противнаго.
— 107 — УПРАЖНЕН1Я: Найти геометричешя мЪста; 101.—точекъ, изъ которыхъ касательныя, проведенныя къ данной окружности, равны данной длинЪ. 102.—точекъ, изъ которыхъ данная окружность видна подъ даннымъ угломъ (т.-е. двЪ касательныя, проведенныя изъ каждой точки къ окружности, составляютъ между собою данный уголъ). 103.—центровъ окружностей, описанныхъ даннымъ рад1усомъ и касающихся данной прямой. 104.—центровъ окружностей, касающихся данной окружности въ данной точкЪ. 105.—центровъ окружностей, описанныхъ даннымъ рад1усомъ и касающихся данной окружности (два случая: касаше внъчинее и ка- caHie внутреннее). 106. Прямая данной длины движется параллельно самой себ'Ь такъ, что одинъ ея конецъ скользитъ по окружности. Найти геометрическое мЪсто, описанное другимъ концомъ. 107. Прямая данной длины движется такъ, что концы ея скользятъ по сторонамъ прямого угла. Найти геометрическое мЪсто, описываемое серединою этой прямой. Доказать теоремы. 107. а. Въ кругЪ центра О проведена хорда А В и продолжена на разстояте ВС, равное рад1усу. Черезъ точку С и центръ О проведена свкущая С В (В вторая точка пересЬчетя съ окружностью). Доказать, что уголъ АО В равенъ утроенному углу АС В. 108. Если черезъ центръ окружности и данную точку вн^ ея про- ведемъ сЬкущую, то часть ея, заключенная между данною точкою и ближайшею точкою пересЬчетя, есть наименьшее разстояте, а часть, заключенная между данною точкою и другою точкою пересЬ- чешя, есть наибольшее разстояте этой точки отъ окружности. 109. Кратчайшее разстояте между двумя окружностями, лежащими одна Birb другой, есть отрЪзокъ лиши центровъ, заключенный между окружностями. 110. Изъ всЪхъ хордъ, проведенныхъ въ окружности черезъ одну точку, наименьшая есть та, которая перпендикулярна къ рад1усу, проходящему черезъ эту точку. 111. Если черезъ точку пересвчетя двухъ окружностей будемъ проводить свкуция, не продолжая ихъ за окружности, то наибольшая изъ нихъ окажется та, которая параллельна линш центровъ. 112. Если къ двумъ окружностямъ, касающимся извн'Ь, провести три обция касательныя, то внутренняя изъ нихъ дЪлитъ двЪ друтя въ точкахъ, одинаково удаленныхъ отъ точекъ касатя. 113. Вс-в хорды данной длины, проведенныя въ данной окруж- окружности, касаются некоторой другой окружности.
— 108 — 114. Если черезъ одну изъ точекъ пересЬчетя двухъ окружностей проведемъ д1амегры въ каждой окружности, то прямая, соединяющая концы ихъ, иройдетъ черезъ другую точку пересЪчешя. 114. а. Черезъ точку А окружности проведена хорда А В и затЪмъ касательная въ точке В\ д1аметръ, перпендикулярный къ рад1усу О А, встречаешь касательную и хорду соответственно въ точкахъ С и D. Доказать, что BC^CD. 114,&. Къ двумъ окружностямъ центровъ О и 0и касающимся извне въ точке А, проведена общая внешняя касательная ВС (В и С точки касатя); доказать, что уголъ ВАС есть прямой. Задачи на построение. 115. Разделить данную дугу на 4, 8, 16... равчыхъ частей. 116. По сумм^ и разности дугъ найти эти дуги. 117. Изъ данной точки, какъ центра, описать такую окружность, которая разделила бы данную окружность пополамъ. 118. На данной прямой найти точку, наименее удаленную отъ данной окружности. 119. Въ круге дана хорда. Провести другую хорду, которая де- делилась бы первою пополамъ и составляла бы съ нею данный уголъ. 120. Черезъ данную въ круге точку провести хорду, которая де- делилась бы этою точкою пополамъ. 121. Изъ точки, данной на стороне угла, описать окружность, которая отъ другой стороны угла отсекала бы хорду данной длины. 122. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которой центръ лежалъ бы на стороне даннаго угла и которая отъ другой стороны его отсекала бы хорду данной длины. . 123. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая касалась бы данной прямой въ данной точке. 124. Описать окружность, касательную къ сторонамъ даннаго угла, при чемъ одной изъ нихъ въ дайной точке. 125. Описать окружность, касающуюся трехъ сторонъ тр-ка. 126. Между двумя параллельными прямыми дана точка; провести окружность, проходящую черезъ эту точку и касающуюся данныхъ прямыхъ. 127. Провести къ данной окружности касательную подъ даннымъ угломъ къ данной прямой. 128. Изъ точки, данной вне круга, провести къ нему секущую такъ, чтобы ея внутренняя часть равнялась данной длине (изследо- вать задачу). 129., Даннымъ рад1усомъ описать окружность, проходящую черезъ данную точку и касательную къ данной прямой. 130. На данной прямой найти такую точку, чтобы касательныя, проведенныя изъ нея къ данной окружности, были данной длины. 131. Построить Д, зная одинъ уголъ и две высоты, изъ которыхъ одна проведена изъ вершины даннаго угла.
— 109 — 132. Даны двЪ окружности; провести къ нимъ свкущую такъ, чтобы внутренн1я части ея равнялись даннымъ прямымъ. 133. Даны двъ1 точки; провести прямую такъ, чтобы перпендику- перпендикуляры, опущенные на нее изъ этихъ точекъ, имрвли данныя длины. 134. Описать окружность, которая проходила бы черезъ данную точку и касалась бы данной окружности въ данной точкъ\ 135. Описать окружность, которая касалась бы двухъ данныхъ параллельныхъ прямыхъ и къ кругу, находящемуся между ними. 136. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая касалась бы даннаго круга и проходила бы черезъ данную точку. 1Б7. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая касалась бы данной прямой и даннаго круга. 138. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая отъ сторонъ даннаго угла отсЬкала бы хорды данной длины. 139. Описать окружность, касающуюся даннаго круга въ данной тОчкЪ и данной прямой B рЪшетя). 140. Описать окружность, касающуюся данной прямой въ данной точкЪ и даннаго круга B рЪшетя). 141. Описать окружность, касающуюся двухъ данныхъ круговъ при чемъ одного изъ нихъ въ данной точкъ1 (разсмотр'Ьвъ три случая: 1, искомый кругъ лежитъ внЪ данныхъ; 2, одинъ изъ данныхъ круговъ лежитъ вн^ искомаго, другой внутри; 3, оба данныхъ круга лежатъ внутри искомаго). 142. Описать окружность, касающуюся трехъ равныхъ круговъ извн'Ь или внутри. 143. Въ даннный секторъ вписать окружность, касающуюся къ рад1усамъ, ограничивающимъ секторъ, и къ дугЬ сектора. 144. Вписать въ данный кругъ три равные круга, которые каса- касались бы попарно между собою и даннаго круга. 145. Черезъ точку внутри круга провести хорду такъ, чтобы раз- разность ея отрЪзковъ равнялась данной длинЪ 146. Черезъ точку пересвчетя двухъ окружностей провести се- секущую такъ, чтобы часть ея, заключенная внутри окружностей, равнялась данной длинЪ. 147. Изъ точки, данной вн^ круга, провести свкущую такъ, чтобы внешняя ея часть равнялась внутренней. ГЛАВА VI. ИзмЪреме величинъ- 153. Общая М'Ьра. Общею мйрою двухъ дан- данныхъ отр'Ьзковъ прямой называется такой третей отр'Ьзркъ прямой, который въ ка- ждомъ изъ данныхъ содержится ц*Ьлое
— 110 — число разъ безъ остатка. Такъ, если (черт. 143) «* отр^зокъ AM содержится въ АВ и Д| | 1 [ 1 |Д въ CD ц&лое число разъ (напр., 5 разъ въ АВ и 3 раза въ CD), то г| 1 j [л AM есть общая м^ра АВ и CD. Подобно этому, можетъ быть Черт. 143. общая м4ра двухъ дугъ одина- коваго рад1уса, двухъ угловъ и вообще двухъ значенш одной и той же величины. 154. Нахождеше наибольшей общей м'Ьры. Чтобы найти наибольшую общую м^ру двухъ отр'Ьзковъ прямой, употребляютъ способъ последовательная отложен1я, подобный тому п о - _ сл^довательному д i л е - 1 1——^J н i ю, какимъ въ ариеметикФ нахо- дятъ общаго наибольшаго делителя двухъ ц4лыхъ чиселъ. Этотъ способъ основывается на слйдующихъ пред- Чэрт. 144. ложешяхъ: .1°. Если меньш1й изъ двухъ данныхъ отр4зковъ (А я В, черт. 144) содержится въ бблыпемъ ц4л-ое число разъ безъ остатка, то наиб, общая мира такихъ отрйзковъ есть м е н ь ш i й изъ нихъ. Пусть, напр., В содержится въ А ровно 3 раза; такъ какъ прп этомъ, конечно, В содержится въ В ровно 1 раз#, то В есть общая м$ра отрйзковъ i и В; съ другой стороны, эта м^ра есть и наибольшая, такъ какъ никакой отрЗззокъ, большш Б, не можетъ содержаться въ В безъ остатка. 2°. Если меньшей изъ двухъ данныхъ отр'Ьзковъ (В, черт. 145) содержится въ боль- га е м ъ (въ А) ц'Ьлое число разъ съ какимъ- нибудь остаткомъ (К), т о А наиб, общая м4ра этихъ l-~~~~\~ . ~**"у J отр'Ьзковъ должна быть R вмйстй съ т*мъ и наиб. j общей м 4 р о й меныпаго о т р i з к а ¦ (В) и остатка (К). Черт. 145. Пусть, напр., A=B+B+B+R.
— Ill — Изъ этого равенства мы можемъ вывести сл'Ьдуюшдя два заключешя: 1) Всяшй отр'Ьзокъ, содержащшся ц'Ьлое число разъ безъ остатка въ В и въ R, содержится также безъ остатка и въ А; если, напр., какой-нибудь отр^зокъ содержится въ В ровно 5 разъ ивъй содержится ровно 2 раза, то въ А онъ содержится 5+5+5+2, т.-е. 17 разъ безъ остатка. 2) Обратно: всяшй отр^зокъ, содержапцйся ц'Ьлое число разъ безъ остатка въ А и въ В, содержится также ц'Ьлое число разъ безъ остатка и въ Е; если, напр., какой-нибудь отрЪзокъ содержится въ А ровно 17 разъ и въ В ровно 5 разъ, то въ той части отрезка А, которая равна ЗВ, онъ содержится 15 разъ; сл-Ьд., въ оставшейся части отрезка А, т.-е. въ R, онъ содер- содержится 17—15, т.-е. 2 раза. Такимъ образомъ у двухъ паръ отр'Ьзковъ: Хи"в Вий должны быть одн'Ь и rfc же обпця м^ры; поэтому и наибольшая общая мФра у нихъ должна быть одна и та же. Къ этимъ двумъ предложешямъ надо еще добавить следующую акс1ому Архимеда (аксюму измЪрешя).: 3) Какъ бы великъ ни былъ 66льш1й отре- отрезок ъ (А) и какъ бы малъ ни былъ м е н ь ш i й отре- отрезок ъ (В), всегда, откладывая меньш1й на ббл ь- шемъ последовательно 1, 2, 3, и т. д. раза, мы дойдемъ до того, что посл^ н^ котораго т-а г о отложен1я или не получится н и'к а к о г о ос- остатка, или получится остаток ъ, меньш1ймень- шаго отрезка (Б). Прим^нимъ эти предложен1я къ нахожден1ю наиб, общей миры данныхъ отр'Ьзковъ АВ и CD (черт. 146). Для этого на бблыпемъ отр^зк* откла- Е дываемъ меньш1й (по- А| 1 1 I IB мощью циркуля) столько разъ, сколько можно. CI Если CD уложится въ АВ Черт. 146. безъ остатка, то искомая м^ра, согласно предложенш 1-му, й есть CD; если же этого не произойдете (какъ у насъ на чер- чертежи), то, согласно предложенш 2-му, вопросъ приведется къ нахожденш наиб, общей мЪры двухъ меныпихъ отр'Ьзковъ,
именно CD и перваго остатка ЕВ. Чтобы найти ее, поступаемъ по предыдущему, т.-е. откладываемъ ЕВ на CD столько разъ, сколько можно. Если ЕВ уложится въ CD безъ остатка, то иско- искомая мера и будетъ ЕВ\ если же этого пе произойдете (какъ у насъ на чертеже) г то вопросъ приведется къ нахождешю наиб, общей меры двухъ меньшихъ отргЬзковъ, именно ЕВ и второго остатка FD. Если, продолжая этотъ пр1емъ далее, мы дойдемъ до того, что после нъкотораго отлолюшя улсе не получит- получится никакого остатка, то отрезокъ, который при этомъ от- откладывали (посл'ЪднШ изъ остатковъ), и будетъ искомая мера. Чтобы удобнее вычислить, сколько разъ найденная общая наибольшая мера содержится въ данныхъ прямыхъ, выписы- ваемъ рядъ равенствъ, получаемыхъ после каждаго отложешя. Такъ, при пашемъ чертеже мы будемъ иметь: Посл'Ь 1-го отложешя АВ=3 CD+EB > 2-го » CD=2 EB+FD » 3-го » ЕВ=4: FD. Переходя въ этихъ равенствахъ отъ нилшяго къ верхнему, последовательно находимъ: ЕВ=4 FD\ CD=D FD).2+FD=9 FD\ АВ=(д FD).3+4 FD=31 FD. Подобно этому можно находить наиб, общую м?ру двухъ дугъ одинаковаго рад1уса, двухъ угловъ и т. п. Зам*Ьчаше* Найдя наибольшую общую м^ру^ мы можемъ загбмъ получить сколько угодно другихъ меньшихъ общихъ мЪръ; стоитъ только брать 1/2, х/3, х/4 и т. д, наиболь- наибольшей м^ры. 155. Соизмеримый и несоизмеримый длины. Можетъ случиться, что при нахоледенш общей м^ры мы ни- никогда не дойдемъ до того, чтобы не получилось никакого остатка; тогда данныя прямыя не будутъ имЪть общей м'Ьры. Два отрезка прямой наз. соизмеримыми, если они им^ютъ общую м^ру, и несоиз- несоизмеримыми, когда такой миры не суще- существ у е т ъ. На практики, н^тъ возможности убедиться въ существованш несоизмеримыхъ отрЪзковъ, потому что, продоллсая после-, довательное отложеше, мы всегда дойдемъ до столь малаго
— 113 остатка, который въ предшествующемъ остатке, повиди- м'ому, укладывается целое число разъ. Выть можетъ, при этомъ и долженъ былъ бы получиться некоторый остатокъ, но по причин* неточности инструментов^, (циркуля) и несо- несовершенства нашихъ органовъ чувствъ (зр'Ьтя) мы не въ со- стоянш его заметить. Однако, можно доказать, что несоиз- несоизмеримые отрезки существуютъ. Приведемъ наиболее простой прим'Ьръ такихъ отрезковъ. 156. Теорема. Если въ равнобедренномъ треугольник уголъ при основаши равенъ 2/5d, то боковая сторона его несо- несоизмерима съ основашемъ. Пусть ABC равнобедренный тр-къ (черт. 147), у котораго каждый изъ угловъ А и С равенъ 2/5 d; требуется доказать, что боковая сторона А В несоизмерима съ основатемъ АС. Прежде всего определимъ, которая изъ этихъ сторонъ больше. Для этого достаточно сравнить углы, противъ которыхъ лежатъ эти стороны. Такъ какъ, по условно, Л=С=2/5 d, то B=2d— Черт. 147. \ поэтому АС^>АВ. Теперь найдемъ, сколько разъ въ АС можетъ уло- уложиться АВ. Такъ какъ АС<АВ+ВСяАВ=:ВС, то АС<С$АВ\ значить, АВ въ АС можетъ уло- уложиться только о д и н ъ разъ съ нйкоторымъ остаткомъ. Такимъ образомъ, мы прежде всего замЪчаемъ следующее свойство: если въ равнобедренномъ треуголь- ник* уголъ при основан1и равенъ 2/5d, то боковая его сторона содержится въ осно- ван1и только один-ъ разъ и притомъ съ н^которымъ остаткомъ. Зам^тивь это, приступимъ теперь къ последовательному отложенш. Отложимъ на АС часть АВ, равную АВ\ тогда полу- чимъ остатокъ ВС, который надо накладывать на АВ, или, что все равно, на ВС. Чтобы узнать, сколько разъ ВС уложится 8
— 114 — на ВС, соединимъ В съ D и разсмотримъ Д.ОВС Найдемъ его углы. Такъ какъ &ABD равнобедренный, то его углы ABB и ADB равны; сл-Ьд., каждый изъ нихъ равенъ 1/2Bd—А)=г/2Bй— 2/5d)=4/5d. Но уголъ ABC, какъ мы прежде нашли, равенъ /5d=2/5d. Такимъ образомъ, въ тр-к-Ь 6/ Л- DBC есть два равныхъ угла при ВС; сл-Ьд., онъ равнобедренный, при чемъ каждый уголъ при его основанш ВС равенъ 2/5dL Всл'Ьд- CTBie этого, по доказанному выше, боковая сторона его DC (или BD) уложится въ основанш ВС одинъ разъ съ н 4- которымъ остаткомъ. Пусть этотъ остатокъ будетъ ЕС. Соединивъ Е съ D, мы снова получимъ равнобедренный тр-къ CDE, въ которомъ каждый уголъ при основанш CD равенъ 2/5d. Отложивъ ЕС (или DE) на DC (отъ точки D), мы снова получимъ равнобедренный тр-къ CEF, у котораго каждый уголъ при осно- основанш СЕ равенъ 2/bd. Такимъ' образомъ, мы постоянно будемъ приходить къ равно- равнобедренному тр-ку (все меньшему и меньшему) съ углами при основами, равными 2lbd\ сл-Ьд., мы никогда въ этомъ процесс^ не дойдемъ до конца. Значить, стороны АС и АВ не могутъ имйть общей миры. 167. Приведемъ еще сл'Ьдуюцпй прим'Ьръ несоизм'Ьримыхъ от- Р'бзковъ прямой. Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима съ его стороною. Такъ какъ д1агональ квадрата разд'вляетъ его на два равнобедрен- ныхъ прямоугольныхъ тр-ка, то теорему эту можно высказать иными словами такъ: гипотенуза рав- нобедренаго прямоуголь- наго треугольника несо- несоизмерима съ его катетомъ. Предварительно докажемъ следую- следующее свойство такого тр-ка: если на ги- гипотенузе (черт. 148) отложимъ часть AD, равную катету, и проведемъ DE\_AC, то образовавпийся при этомъ прямо- прямоугольный тр-къ DEC б у- детъ равнобедренный, а отрЪзокъ BE катета ВС ока- окажется равнымъ отрезку DC гипотенузы. Чтобы убедиться въ Черт. 148. этомъ, проведемъ прямую BD и разсмотримъ углы тр-ковъ DEC и BED. Такъ какъ тр-къ ABC равнобедренный и прямоугольный, то =1/^; вследств!е этого ?2 также равенъ 1/2d; значить, /Л =
115 — и потому CD = DE. Въ тр-къ1 BED уголъ 3 равенъ. разности ^/ А ВС— ' >; но 3 = ^~3/4^ = 1/4^- Равнымъ образомъ, Z.5^Z.ABE2. ~xUd. Сл'Ьд., ^/3=^/5 и потому BE — DE\ но ВЕ = СВ\ значитъ, ЗамЪтивъ это свойство, станемъ отыскивать наибольшую общую мЪру сторонъ А С и id В. Такъ какъ АС<АВ + ВС, т.-е. ЛС<2^В, то А В отложится на А С только 1 разъ, причемъ получится некоторый остатокъ ВС<с,АВ. Теперь надо ототъ остатокъ откладывать на АВ, или—что все равно—на ВО. Для этого проведемъ DE_[_AC. Тогда по доказанному, BE— ВС и, слЪд., мы будемъ имЪть одно отложеше остатка DC на катетЪ ВС. Остается теперь откладывать ВС отъ точки Е къ С столько разъ, сколько можно. Но прямоугольный тр-къ ВЕС, какъ мы видели, есть равнобедренный; значитъ, процессъ нахождешя общей мЪры гипотенузы АС и катета АВ даннаго равнобедренного тр-ка переходитъ теперь въ процессъ нахождешя общей м^ры гипо- гипотенузы ЕС и катета ВС другого (меньшаго) равнобедреннаго тр-ка. Въ свою очередь, этотъ процессъ также сведется къ нахождетю общей мЪры гипотенузы и катета третьяго (еще меньшаго) равнобед- реннаго тр-ка и т. д. б е з ъ конца. Значитъ, д1агональ квадрата и сторона его не могутъ имЪть общей мъ'ры. 158. Понятае объ измЪренш. Чтобы составить ясное представлете о данной длин4, мы ее измЪряемъ при помощи другой, известной намъ, длины, напр., посредствомъ метра. Эта известная длина, съ которой мы сравниваемъ друпя длины, наз, единицей длины. При измЬренш могутъ представиться два различныхъ случая: или измеряемая длина соизмерима съ единицей, или несоизме- несоизмерима съ ней. 1°. Измерить длину, соизмеримую съ еди- единицей, значитъ узнать, сколько разъ въ ней содержится единица или какая-ни- какая-нибудь доля единицы. Пусть, напр., надо измерить (черт. 149) длину отрезка пря- прямой А при помощи единицы В, соизмеримой съ А. Тогда находятъ ..А... ихъ общую меру и узнаютъ, сколько у'{'\ ГУУ разъ она содержится въ В и А. ' ' Если общей мерой окажется сама р'рVУ единица, В то результата измеретя v Черт. 149. выразится ц е л ы м ъ числомъ; такъ, 1
— 116 — когда В содержится въ А три раза, то длина А равна 3 един. Если же общей мерой будетъ некоторая доля В, то результатъ измерешя выразится дробнцмъ числомъ; такъ, если общая мира есть х/4 доля В и она содержится въ А девять разъ (какъ изображено на черт. 149), то длина А равна 9/4 единицы. Число, получившееся после измерешя длины А, наз р о го этой длины; о немъ принято говорить, что оно и з м е- р я е т ъ длину А въ единиц* В. Числа цЬлыя и дробныя наз. соизмеримыми (или рац1ональными) чис- числами. 2°. Когда измеряемая длина А несоизмерима съ единицею длины В, тогда при помощи соизмеримыхъ чиселъ мы не можемъ получить точнаго результат*, измйретя. Действительно, если предположимъ, что мы нашли точную меру длины А, напр., m йашли, что^.=В.— »то это значило бы, что 1/п доля В содер- жится въ А ровно m разъ; тогда, значитъ, эта доля была бы общею мерою А и В, тогда какъ мы разематриваемъ случай, когда эти длины не соизмеримы. Въ этомъ случае при помощи соизмеримыхъ чиселъ мы можемъ находить только приближенные результаты из- измерен! я, но съ какою угодно степенью точности. Пусть, напр., мы желаемъ найти приближенную меру длины А съ точностью до Ую- Это значитъ, что мы же- желаемъ найти число, которое изме- А ряло бы некоторую соизмеримую М 1 I I I I I I I I I I 1| длину, различающуюся отъ данной о несоизмеримой длины А менее, | 1 1 1 1 I 1 1 1 1 | чемъ на Vio Долю едини- Черт. 150 цы В. Для этого делимъ единицу В на 10 равныхъ частей и одну такую долю укладываемъ на А столько разъ, сколько можно. Пусть окажется, что г/10 В содержится въ А 13 разъ (черт. 150), при чемъ получается остатокъ, менышй 1/10 В. Тогда каждое изъ чиселъ: 13/10и 14/ю можно принять, какъ приближенную меру длины А, причемъ первое число будетъ съ недостаткомъ (такъ какъ 13/10 В<С.А), а второе—съ избыткомъ (такъ какъ 14/ю >
— 117 — Вообще, чтобы найти приближенный меры длины А съ точ- точностью до 1/в единицы, д-Ьлятъ единицу В на п равныхъ частей и узнаютъ, сколько разъ 1/я доля единицы содержится въ А; если она содержится более m разъ, но менее т+1 разъ *), то m m+1 числа — и будутъ приблпженныя меры длины А съ точ- ностью до х/п, первое—съ недостаткомъ, второе—съ избыткомъ. Заметимъ, что этимъ нутемъ мы можемъ находить приближен- приближенные результаты измерешя и тогда, когда измеряемая длина А соизмерима съ единицей В\ только въ этомъ случай мы, если пожелаемъ, можемъ найти также и точный результатъ, тогда какъ въ случай несоизмеримости такого результата при помощи однихъ соизмеримыхъ чиселъ мы получить не можемъ. За точную меру несоизмеримой длины А принимаютъ не- некоторое несоизмеримое число, которое считается болыпимъ всякаго соизмеримая числа, выражающаго прибли- женныя меры длины А съ недостаткомъ, и меньшимъ вся- всякаго соизмеримаго числа, выражающаго приближенныя меры длины А съ избыткомъ. Сказанное объ измеренш длины прямой применимо къ изме- ренш всякой иной величины, напр., дуги, угла и пр. 169. Отношение. Отношен1емъ одного от- отрезка прямой (А) къ другому отрезку пря- прямой (В) наз. число, измеряющее первый отрезокъ (А), когда второй (В) принятъ за единицу. Такъ, если отношеше А къ В есть число 23/4, то это значитъ, что число 23/4 измеряетъ отрезокъ А, когда отрезокъ В принятъ за единицу (другими словами—это значитъ, что В со- содержится въ А 2 раза, причемъ получается остатокъ, равный 3/4В). Можно также сказать, что о т н о ш е н i e м ъ одного отрезка прямой къ другому наз. число, ва которое надо умножить второй отре- отрезокъ, чтобы получить первый. Такъ, если отношете А къ В есть число 23/4, то это значитъ, что А=В . 23/4, т.-е. что А получится, если В повторимъ слага- емымъ 2 раза и къ сумме еще добавимъ 3/4 *) что всегда возможно, согласно аксюм-в Архимода (стр. 111).
— 118 — Е ели разематривается отношеше отрезка А къ отрезку В, то А наз. предыдущимъ членомъ, а В последую- щимъ членомъ. Изъ определешя следуетъ, что нахождеше отношешя от- отрезковъ А я В сводится къ измЪренш А, когда отр^зокъ В принятъ за единицу. Поэтому мы можемъ здесь повторить все то, что раньше A58) говорили объ измеренш, а именно: Если отрезки А ж В соизмеримы, то отношеше ихъ есть соизмеримое чрело, целое или дробное; если же эти отрезки несоизмеримы,! то при помощи соизмеримыхъ чиселъ ихъ отно- отношеше можетъ быть выражено только приближенно, но съ какою угодно степенью точности. Такъ, если хотятъ найти отношеше А къ В съ точностью до 1/10, то дйлятъ В на 10 равныхъ частей (черт. 150) и узнаютъ наибольшее содержаше 1/10 В въ А\ если окажется, напр., что 1/10 В содержится въ А более 13, но менее 14 разъ, то числа 13/ю и 14/ю будутъ приближенныя значен1я отношешя А къ В съ точностью до 1/10, первое— съ недостаткомъ, а второе—съ избыткомъ. Отношеше отрезковъ А къ В въ томъ случае, когда эти отрезки несоизмеримы, наз. также несоизм4римымъ (такъ какъ оно представляетъ собою несоизмеримое число). Два отношешя считаются равными, если они предста- вляютъ собою одно и то же число; такъ, если отношеше А къ В равно 9/4 и отношеше Аг къ В± также равно 9/4, то эти отношешя равны между собою. Въ случае несоизмеримыхъ отношешй равенство между ними узнается но следующему признаку. Два несоизмеримыя отношен1я равны, если ихъ приближенныя значен! я, взя- тыя оба съ недостаткомъ, или оба съ из- избыткомъ, и вычисленныя съ одинаковою точностью, равны между собой при вся- всякой степени точности*). Сказанное объ отношеши двухъ отрезковъ прямой можно повторить объ отношенш двухъ угловъ, двухъ дугъ одинаковаго *) Какъ известно изъ алгебры (см. напр., § 200 Элем, алгебры А. Киселева) этотъ признакъ есть признакъ равенства самихъ HeconsM-bpHMuxb чиселъ.
— 119 — рад1уса и вообще объ отношеши двухъ частныхъ значенШ любой величины, доступной измйренш. Напомнимъ, что равенство 2-хъ отношешй наз. п р о п о р- ц i e й. 16Ох. Свойство- отношешй. Если отрезки А ж В (черт. 161) измерены при помощи одной и той же единицы С, то о т н о ш е н i e А къ В равно частному отъ д4лен1я числа, и з м i p я ю щ а г о А, на число, измеряющее В. Пусть, t % напр., отъ измЗфешя отрезка А ' ' единицею С получилось число -п 7/2, а отъ изм^ретя В тою же единицею С получилось число с 5/з- Тогда по определенно отно- ч шешя мы можемъ написать: 'б Чтобы найти теперь отношеше А къ В, достаточно узнать, на какое число сл-Ьдуетъ умножить 5/3 С, чтобы получить 7/2 С, или—что все равно—на какое число надо умножить 5/3 (какой- нибудь единицы), чтобы получить 7/2 (той же единицы). Такое число находится дгЬлен1емъ (согласно опред^ленш этого ств1я); значить: 7 б 21 1 отношеше А къ В—— '• г— — —2 *::• 2 о 10 10 Вообще, если, измеривъ отрезки А я В при помощи одной и той же единицы С, мы получимъ для А число т, а для В число п, то, повторивъ предыдущая разсуждетя, найдемъ (каковы бы ни были числа т и п): отношете А къ В=
— 120 — Всл|6дств1е этого отношеше А къ В принято обозначать по- помощью знаковъ д^летя, а именно такъ: А А : В или — • Зд'Ьсь подъ буквами А и В, согласно указанному сейчасъ свойству отношетя, можно разуметь и числа, изм'Ьряю- пця отрезки А и В въ какой-нибудь одной и той же еди- ниц'Ь С. 16О2. Пропорция. Равенство двухъ отношенш составляетъ пропорфю. Если, напр., известно, что отношеше двухъ OTpij- ковъ А и В равно отношенш двухъ другихъ отрйзковъ Аг и , то можно написать пропорцш: А Аг или ---^ Когда отрезки А, В, А± я Вг измерены при помощи од- одной и той же единицы, то каждое изъ двухъ отношенш, со- состав ляющихъ пропорщю, можно заменить отношешемъ чи- селъ, измФряющихъ отрезки. Посл'Ь замены получится чи- числовая процорц1я, обладающая всЬми тйми свойствами числовыхъ пропорщй, которыя были указаны въ ариеметик^ ц алгебр'Ь, напр.; въ пропорщй произведете краинихъ членовъ равно произ- ведетю среднихъ; въ пропорцш можно переставить средше члены, крайше члены и средше съ крайними; если въ пропорщй предыдущее члены равны, то равны и последующее члены; если въ пропорцш последуюпце члены равны, то равны и предыдупце; и т. п.
— 121 — ГЛАВА VII. ИзмЪнеме угловъ помощью дугъ. Центральный уголъ. 161. Опред*лен1е. Уголъ (АОВ, черт. 152), обра- образованный двумя рад1усами, н а з. централь- центральны м ъ угломъ; о такомъ угле и дуге, заключенной между его сторонами, гово- рятъ, что они соотв'Ьтствуютъ другъ другу. 162. Теорема. Въ одномъ Kpyrt или въ равныхъ кругахъ: 1°, если центральные углы равны, то и соотв~Ьтствующ1я имъ дуги равны; 2°, если центральные углы не равны, то большему изъ нихъ соотвЪтствуетъ боль- большая дуга. В Черт. 162. В Пусть (черт. 163) АОВ и COD два центральные угла, равные или неравные. Повернемъ секторъ АОВ вокругъ центра въ направленш, указанномъ стрелкою, настолько, чтобы радусъ О А сов- совместился съ ОС. Тогда: 1°, если центральные углы равны, то рад1усъ ОВ совпадаете съ OD и, след., дуга АВ совместится съ дугою CD; зна- значить, эти дуги будутъ равны; 2°, если же центральные углы неравны, то рад1усъ ОВ пойдетъ не по OD, а по какому-нибудь иному напра- Черт. 153. вленш, напр., по ОЕ или по OF; въ томъ и въ другомъ случаяхъ большему углу, очевидно, соответствуете большая дуга. Теорема, доказанная нами для одного круга, остается дверною для равныхъ кругов ъ, потому что тате
— 122 круги нич'Ьмъ, кром^ своего положетя, другъ отъ друга не отличаются. 163. Обратныя теоремы. Такъ какъ. различные взаимно исключающее случаи относительно равенства и не- неравенства двухъ центральныхъ угловъ сопровождаются взаимно исключающими выводами относительно равенства и неравенства соотв'Ьтствующихъ Дугъ, то обратныя предложетя должны быть в^рны E1), а именно: Въ одномъ кругЬ Или въ равныхъ кругахъ: 1°, если дуги равны, то и соотв-Ьтствующ1е имъ центральные углы, равны; 2°, если дуги не равны, то большей изъ нихъ соотвЪтствуетъ бблышй центральный уголъ. Доказательство отъ противнаго (или наложешемъ) предо- ставляемъ самимъ учащимся. 164. Теорема. Въ одномъ Kpyrt или въ равныхъ кругахъ центральные углы относятся, какъ соотвЪтствующ1я имъ дуги. Пусть (черт. 154) АОВ и COD два центральные угла; требуется доказать, что Z.AOB : В 1°. Допустимъ сначала, что дуги АВ и CD соизмеримы, т.-е. что он^ им4ютъ общую м-Ьру. Положимъ, что э,та общая мира содержится m разъ въ дуг* АВ и п разъ въ' CD; тогда ^ АВ: ^ CD=m : п [1]. Соединивъ точки д^летя дугъ съ центромъ, мы раздйлимъ централь- центральные углы на равныя части (потому что равнымъ дугамъ хоотв^тствують равные центральные углы). Такъ какъ этихъ частей будетъ m въ углФ АОВ ж п въ угл^ COD, то Z.AOB : ZjOOD=m : n [2]. Сравнивая пропорщи [1] и [2], замйчаемъ, что вторыя отно- шешя у нихъ равны; сл^д., равны и первыя отношешя, т.-е. Z.AOB : Черт. 154.
1 ОО 2°. Предположимъ теперь, что (черт. 155) дуги АВ и CD не- несоизмеримы. Тогда и соответствующее имъ центральные углы будутъ также несоизмеримы. Действительно, если бы эти углы им^ли какую-нибудь общую ме- меру, напр., уголъ EOF, то это значило бы, что этотъ уголъ со- содержится целое число разъ какъ въ угле АОВ, такъ и въ угле COD; но тогда дуга EF содержалась бы целое число разъ какъ въ дуге АВ, такъ и въ дуге CD, и, зна- значить, дуги эти имели бы общую меру, именно дугу EF, что про- противоречить предположение. Та- цръгь образомъ, въ разсматриваемомъ случае и отношеше угловъ, и отношеше дугъ оба несоизмеримый. Чтобы доказать равенство двухъ несоизмеримыхъ отпошешй, достаточно доказать равен- равенство ихъ приближенныхъ значешй, вычисленныхъ съ произ- произвольною, но одинаковою точностью A59). Найдемъ приближенное значеше отношетя дугъ АВ и CD съ точностью до 1/п. Для этого раздблимъ CD на п равныхъ частей и одну часть отложимъ на АВ столько' разъ, сколько можно. Пусть г/н доля CD содер- содержится въ АВ более m разъ, но менее т+1 разъ; тогда АВ т прибл. отношеше '—^г^=-(съ нед.). ^ CD n Соединивъ точки д^летя дугъ съ центромъ, мы разделимъ уголъ COD на п такихъ равныхъ частей, какихъ въ угле АОВ содержится более т, но менее т+1; след.: Z.AOB т прибл. отношете , „^ъ=- (съ нед.). ZL. COD n Сравнивая приближенный отношен1я угловъ и дугъ, видимъ, что они равны при всякомъ п; а татя несоизмеримыя отно- шен1я равны другъ другу. 166. Пропорщональныя величины. Две зависящ1я другъ огё друга величины наз. пронорц1ональными, .если зависимость между ними состоитъ въ следующемъ:
124: — 1°, каждому значешю одной величины соответствуешь не- некоторое значете другой величины и притомъ только одно; 2°, отношеше двухъ какихъ бы то ни было значешй одной величины равно отношенш соответствующихъ значенШ другой величины. Изъ предыдущихъ теоремъ следуетъ, что центральный уголъ пропорц1оналенъ соответствующей ему дуг*. 16в. Изм'Ьрете угловъ. Измерен1е угловъ сводится на измереше соответствующихъ имъ дугъ следующимъ образомъ. За единицу угловъ берутъ уголъ, составляющей х/90 часть прямого угла; эту единицу называютъ угловымъ граду- градусом ъ. За единицу дугъ одинаковаго рад!уса берутъ такую дугу того же рад!уса, которая соответствуете центральному углу, I « Черт. 166. равному угловому градусу. Такая дуга наз. дуговымъ градусомъ. Такъ какъ прямому центральному углу соот- ветствуетъ х/4 окружности, то угловому градусу соответствуешь х/90 четверти окружности; значить, дуговой градусъ есть х/збо целой окружности. Пусть требуется (черт. 156) измерить какой-нибудь уголъ АОВ, т.-е. найти отношеше этого угла къ угловому градусу. Пусть этотъ градусъ будетъ уголъ MNP. Опишемъ изъ вершинъ угловъ произвольными но одинаковымъ, рад1усомъ дуги CDrEF. Тогда углы АОВ и MNP можно разсматривать, какъ углы цен- центральные по отношенш къ темъ равнымъ окружностямъ, которымъ принадлежать дуги CD и EF. Вследств!е этого A64):
— 126 — Левое отношете этой пропорщи есть число, измеряющее уголъ АОВ въ угловыхъ градусахъ A59); правое отношете есть число, измеряющее дугу CD въ дуговыхъ градусахъ. След., эту про- порщю можно высказать такъ: Число, измеряющее центральный уголъ въ угловыхъ градусахъ, равно числу, из- измеряющему соответствующую дугу въ ду- дуговыхъ градусахъ. Для краткости эту фразу выражаютъ обыкновенно такъ: Уголъизмеряется соответствующей ему дугой. При этомъ безразлично, какъ великъ взятый рад1усъ дугъ EF и CD, лишь бы только онъ былъ одинаковъ для обеихъ этихъ дугъ (только при этомъ условш углы пропорщональны дугамъ). 167. Подразделен^ градуеовъ. Градусы угла или дуг^ подразделяются на 60 равныхъ частей, называемыхъ минутами (угловыми или дуговыми); минуту разделяютъ на 60 равныхъ частей, называемыхъ секундами (угло- (угловыми или дуговыми). Изъ сказаннаго въ предыдущемъ параграфе следуетъ, что въ угле содержится столько угловыхъ градусовъ, минутъ и секундъ, сколько въ соответствующей ему дуге заключается дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ. Если, напр., въ дуге CD (черт. 156) содержится 40 град. 25 мин. 13 секундъ (дуговыхъ), то и въ угле АОВ заключается 40 град. 25 мин. 13 сек. (угловыхъ); это выражаютъ сокращенно такъ: обозначая значками (°), (') и (") соответственно градусы, ми- минуты и секунды *). 168. Транепортиръ. Этотъ приборъ (черт. 157), употребляемый для измеретя угловъ, представляетъ собою полукругъ, котораго дуга разделена на 180 градусовъ. Чтобы *) Употребительна также сотенная система мЪръ угловъ и дугъ; до этой систем^ 'за градусъ дуги принимаютъ Yioo четверти окружности (и, сл'Ьд., за градусъ угла берутъ 1/100 прямого угла), минуту принимаютъ равной Vioo градуса, секунду—7гоо минуты.
— 126 — измерить уголъ АОВ, накладываютъ на него приборъ такъ, чтобы центръ полукруга совпадалъ съ вершиною угла, а рад1усъ ОМ сов- совпадалъ со стороною АО. Тогда число градусовъ, со- содержащееся въ дуг?, за- заключенной между сторо- Черт. 157. нами угла АОВ, покажетъ величину его. При помощи транспортира можно также начертить уголъ, содержащШ данное число градусовъ. Конечно, на такомъ прибор^ н*Ьтъ возможности отсчитывать не только секунды, но и минуты; изм^реше и построете можно выполнять только приблизительно. 169. Выражеше вгЬкоторыхъ угловъ въ гра- граду еахъ. Такъ какъ прямой уголъ содержитъ 90°, то: 1°, сумма угловъ всякаго тр-ка равна 180°; 2°, сумма острыхъ угловъ прямоугольнаго тр-ка равна 90°; 3°, каждый уголъ равносторонняго тр-ка равенъ 60°; 4°, сумма угловъ выпуклаго мн-ка (89), югЬющаго п сторонъ, равна 180° (п—2); 5°, сумма вн'Ьшнихъ угловъ выпуклаго мн-ка (90) равна 360°. Вписанный уголъ. 170. О пред* лете. Уголъ, образованный дву- двумя хордами, исходящими изъ одной точки окружности, наз. вписаннымъ углом ъ. Та- ковъ, напр., уголъ ABC (черт. 159). О вписанномъ угл*Ь принято говорить, что онъ опирается на дугу, заключенную между его сторонами. Такъ, уголъ ABC (черт. 159) опирается на дугу ABC. 171. Теорема. Вписанный уголъ измЪряется половиною дуги, на которую онъ опирается. Эту теорему надо понимать такъ: внисанный уголъ содержитъ въ себй столько угловыхъ градусовъ, минуть и секундъ, сколько ду говыхъ градусовъ, минуть и секундъ заключается въ по ловин* дуги, на которую онъ опирается.
127 — При доказательстве теоремы разсмотримъ особо три случая: 1°. Ц е н т р ъ О (черт. 158) л е ж и т ъ на сторон* вписаннаго угла ABC. — Проведя рад1усъ АО, мы полу- чимъ А АВО, въ которомъ ОА=ОВ (какъ рад1усы) и, след., Z.ABO=Z.BAO. По отношетю къ этому тр-ку уголъ АОС есть внешни; поэтому онъ равенъ сумм* угловъ АВО и В АО, или равенъ двойному углу АВО\ значитъ, уголъ АВО равенъ половин* центральная угла АОС. Но уголъ АОС измеряется дугою АС, т.-е. онъ содержитъ въ себ* столько угловыхъ градусовъ, минутъ и секундъ, сколько дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ содержится въ дуг* А С; след., вписанный уголъ ABC измеряется половиною дуги АС. 2°. Центръ О лежитъ ме- между сторонами вписан- вписаннаго угла ABC (черт. 159). Проведя д1аметръ BD, мы разде- лимъ уголъ ABC на два угла, изъ которыхъ, по доказанному въ пер- вомъ случае, одинъ измеряется по- половиною дуги AD, а другой—поло- другой—половиною дуги CD\ след., уголъ ABC измеряется суммою 1/2AD+1/2DC, a эта сумма равна г\\{АВ+DC), т.-е. 1/2АС. 3°. Центръ О лежитъ вне вписаннаго угла ABC (черт. 160). Проведя д1аметръ BD, мы будемъ иметь: Но углы ABB и CBD измеряются, по доказанному, половинами дугъ AD и CD; след., уголъ ABC изме- измеряется разностью 1I2AD^-1I2CD, а эта разность равна 1/2DD—CD), т.-е.
— 128 — 172. СлЪдствХе 1-е. Bet вписанные углы, опиракнщеся на одну и ту же дугу, равны между собою (черт. 161), потому что ка- каждый изъ нихъ измеряется полови- половиною одной и той же дуги. Если величину одного изъ такихъ угловъ обозначимъ а, то можно сказать, что сегмента АтВ (покрытый на чертежи штрихами) вм'Ьщаетъвъсеб'Ь уголъ, равный а. 173. СлгЬдетв1е2-е. Всякш впи- вписанный уголъ, опирающшея на flia- В Черт. 161. метръ, есть прямой (черт. 162), потому что каждый такой уголъ измеряется половиною полуокружности и, сл*д., со- держитъ 90°. \ тт 1«о Черт. 163. Черт. 162. 174. Задача. Построить прямоугольный т р е- угольникъ по гипотенуз* АВ и к а т е т у Ж7 (черт. 162). На гипотенуз* АВ, какъ на д!аметр*, описываемъ полуокруж- полуокружность и изъ конца А проводимъ хорду АС, равную данному катету. Тр-никъ АСВ будетъ искомый A73). Это построете можно, между прочимъ, применить въ томъ случай, когда (черт. 163) изъ данной точки А тре- требуется провести касательную къ данной окружности О (см. § 139). Оединивъ А съ центромъ О, д*лимъ отрйзокъ АО пополамъ и изъ полученной середины О, описываемъ окружность раД1усомъ ОгО; черезъ А и точки В и Вь въ которыхъ эта окружность пересекается съ данною окружно- стью проводимъ прямыя АВ и ABV Эти прямыя и будутъ каса-
129 — D тельными A37, 1°), такъ какъ углы ОВА и ОВгА (вписанные во вспомогательную окружность и опирающееся на ея д1аметръ)— прямые, и, значить, АВА-ОВ и АВгА^ОВг. 175. Задача. Изъ конца А (черт. 164) данной пря- прямой АВ, не продолжая ея, возставить къ ней перпендикуляр ъ. Взявъ вн-Ь прямой произвольную точку О, опишемъ изъ нея окружность рад1усомъ, равнымъ разстоянш между точками О и А; черезъ точку С, въ ко- которой эта окружность пересекается съ ,\ -ч ,- прямой АВ, проведемъ д1аметръ СВ и ч '- черезъ конецъ его В и точку А про- проведемъ прямую. Эта прямая, и есть искомый перпен дикуляръ, потому что уголъ А прямой, такъ какъ онъ вписанный и опирается на д1аметръ. Уголъ, котораго вершина лежитъ внутри или внЪ круга. 167. Теоремы. 1°. Уголъ {ABC, черт. 165), вершина кото- котораго лежитъ внутри круга, изнуряется полусуммою двухъ дугъ {АС и BE), изъ которыхъ одна заключена между его сторонами, а другая—между продолжениями сторонъ. 2°. Уголъ {ABC, черт. 166), вершина котораго лежитъ BHt круга и стороны пересекаются съ окружностью, изм%ряется полуразностью двухъ дугъ {АС и ЕВ), заключенныхъ между его сторонами. ч-—-'С Черт. 164. Черт. 165. Черт. 166. Проведя хорду АВ (на томъ и на другомъ чертежахъ), мы получимъ тр-къ ABB (покрытый штрихами), относительно ко- А. Киоелевъ. Геометр1я. * 9
130 тораго разсматриваемый уголъ ABC служить внешнимъ, когда его вершина лежитъ внутри круга (черт. 165), и в н у- треннимъ, когда его вершина лежитъ вне круга (черт. 166). Поэтому въ первомъ случай: Z.ABC=Z.ADC+Z-T)AE', во второмъ случай: Z-ABC=Z-ADC—Z-DAE. м N Но углы ABC и DAE, какъ вписанные, измеряются поло- половинами дугъ АС и ВЕ\ поэтому уголъ ABC измеряется: въ пер- первомъ случай суммою 1/2AC+1/2DE, которая равна 1/2(AC+DE), а во второмъ случае разностью г/2АС—1/2DE, которая равна 112{АС—ВЕ). 177. СггЪдетв1е. Геометрическое мЪсто точекъ, изъ кото- рыхъ данный отрЪзокъ прямой виденъ подъ даннымъ угломъ а, и которыя расположены по одну сторону отъ этого отрЪзка, есть дуга сегмента, вм"Ьщающаго уголъ а и построеннаго на данномъ 0Tpt3Kt. Пусть М (черт. 167) будетъ одна изъ точекъ, изъ которыхъ данный отрезокъ АВ виденъ подъ угломъ а, т.-е. допустимъ, что прямыя МА и MB образуютъ уголъ а. Проведемъ черезъ три точки А, М ж В окружность. Тогда часть этой окружности, именно дуга АтВ, будетъ искомымъ геоме- трическимъ местомъ. Действительно, изъ каждой точки этой дуги прямая АВ видна подъ угломъ а, потому что все вписанные углы, опирающееся на АВ, равны углу АМВ, который есть а. Обратно: всякая точка, напр., N, изъ которой прямая АВ видна подъ угломъ а и которая расположена по ту же сторону отъ АВ, какъ и точка If, должна находиться на дуге сегмента АтВ> потому что, если бы такая точка лежала внутри или вне этого сегмента, то уголъ ANB не измерялся бы половиною дуги АпВ A76, 1° и 2°) и, след., не былъ бы равенъ а. По другую сторону отъ АВ существуютъ также точки, изъ которыхъ эта прямая видна подъ угломъ a; oirb расположены Черт. 167.
— 131 — на дуге сегмента АрВ, равнаго сегменту АтВ, но расположен- наго по противоположную сторону отъ АВ. Уголъ, котораго одна или обЪ стороны касаются окружности. 178. Теорема. Уголъ {ACD, чертежи 168 и 169), соста- составленный касательной и хордой, измеряется половиною дуги, заключенной внутри его. D А О В Черт. 163. Предположимъ сначала, что хорда CD проходить черезъ центръ О, т.-е. что эта хорда есть д1аметръ (черт. 168). Тогда уголъ ACD—прямой A37, 2°) и, сл'Ьд., равенъ 90°. Но и половина дуги CntD также равна 90°, такъ какъ ц'Ьлая дуга CmD, составляя полуокружность, содержитъ 180°. Значитъ, теорема оправды- оправдывается въ этомъ частномъ случае. Теперь возьмемъ обнцй случай (черт. 169), когда хорда CD не проходитъ черезъ центръ. Проведя тогда д1аметръ СЕ, мы будемъ иметь: Уголъ АСЕ, какъ составленный касательною и д1аметромъ, измеряется, по доказанному, половиною дуга СтЕ\ уголъ DCE, какъ вписанный, измеряется половиною дуги DE\ сл'Ьд., уголъ ACD изм'Ьряется разностью 112СтЕ—1/2DB, т.-е. половиною дуги CmD. Подобнымъ же образомъ можно доказать, что тупой уголъ BCD (черт. 169), также составленный касательною и хордой, измеряется половиною дуги CnED\ разница въ дока- 9*
— 132 — зательстве будетъ только та, что этотъ уголъ надо разсматри- вать не какъ разность, а какъ сумму прямого угла ВСЕ и остраго ЕС В. 179. Теорема. Уголъ (ABC, черт. 170), составленный касательной и сЪкущей, а также и уголъ (ЛВС, черт. 171), составленный двумя касательными, изм%ряется полуразностью двухъ дугъ, заключенныхъ между его сторонами. В Q-...J\E Черт. 170. Черт. 171. Проведя (на томъ и на другомъ чертежахъ) хорду DE, мы по лучимъ ДВ-DJE, относительно котораго уголъ СЕВ есть внеш тй; след., Но углы СЕВ и ВВЕ, по доказанному раньше, измеряются половинами дугъ ЕтВ и EnF на первомъ чертежи и половинами дугъ ЕтВ и ЕпВ на второмъ чертежи; поэтому уголъ В изме- измеряется полуразностью этихъ дугъ. 18O. Задача. На даниомъ отрезке прямой АВ построить сегмент ъ, вмещающей дан- данный уголъ а (черт. 172). А н а л и з ъ. Предположимъ, что задача решена; пусть сегментъ АтВ будетъ такой, который вм^щаетъ въ себе уголъ а, т.-е. такой, что всякш вписанный въ немъ уголъ АСВ равенъ а. Проведемъ вспомогательную прямую EF, касательную къ ок- окружности въ точке А. Тогда уголъ ВАЕ, составленный каса- тельною и хордою, долженъ равняться вписанному углу АСВ, такъ какъ и тотъ, и другой уголъ измеряются половиною дуги
— 133 — AnB. Примемъ теперь во внимаше, что цвнтръ О окружности долженъ лежать на^перпендику- ляр'Ь DO, проведенномъ къ от- отрезку АВ черезъ его середину, и въ то же время онъ долженъ лежать и на перпендикуляр^ АО, возставленномъ къ касательной АЕ изъ точки касашя. Отсюда выво- димъ следующее построете. Построен! е. При концЪ отрезка АВ строимъ уголъ ВАЕ, равный углу а; черезъ середину АВ проводимъ перпендикуляръ DO и изъ точки А возставляемъ пер- перпендикуляръ къ АЕ. Пересечете О этихъ двухъ перпендику- ляровъ принимаемъ за центръ и рад1усомъ ОА описываемъ окружность. -Доказательство. Сегментъ АпгВ будетъ искомый, потому что всякш вписанный въ немъ уголъ измеряется поло- половиною дуги АпВ, а половина этой дуги измеряете также и уголъ ВАЕ=а. ГЛАВА VIII. Вписанные и описанные многоугольники. 181. Определения. Если веб вершины многоугольника {ABCDE, черт. 173) лежать на окружности, то говорятъ, что что этотъ мн-къ вписанъ въ окружность, или что окруж- окружность описана около него. Если веб стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорятъ, что этотъ мн-къ о п и с а н ъ около окруж- окружности, или что окружность в п и сана въ него. Черт. 173.
182. Теоремы. 1°. Около всякаго треугольника можно описать окружность и притомъ только одну. 2°. Во всякш треугольникъ можно вписать окружность и при- притомъ только одну. 1°. Вершины А, В и С всякаго тр-ка суть три точки, не ле- жапця на одной прямой; а черезъ татя п точки, какъ мы видели A22), всегда можно провести окружность и притомъ только одну. 2°. Если возможна такая окружность, которая касалась бы всехъ сторонъ тр-ка ABC (черт. 174), то ея центръ долженъ быть точкой, одинаково уда- удаленной отъ этихъ сторонъ. Докажемъ, эд1 что такая точка существуетъ. Геометри- Геометрическое место точекъ, равно отстоящихъ Черт. 174. ' ^ к отъ сторонъ АВ и АС, есть биссектрисса AM угла А F7); геометрическое место точекъ, равно отстоящихъ отъ сторонъ В А и ВС, есть биссектрисса BN угла В. Эти две биссектриссы должны, очевидно, пересечься внутри треуголь- треугольника, въ некоторой точке О. Эта точка и будетъ равно удаленной отъ всехъ сторонъ тр-ка, такъ какъ она находится на обоихъ геометрическихъ местахъ. Итакъ, чтобы вписать кругъ въ тр-къ, делимъ кате-нибудь два угла его, напр., А и В, пополамъ и точку пересечетя биссектриссъ беремъ за центръ. За рад!усъ возьмемъ одинъ изъ перпендикуляровъ ОТ, OQ, OR, опущен- ныхъ изъ центра на стороны тр-ка. Окружность коснется сто- р$нъ въ точкахъ Р, Q, й, такъ какъ стороны въ этихъ точкахъ перпендикулярны къ рад1усамъ въ ихъ концахъ, лежащихъ на окружности A37, 2°). Другой вписанной окружности не мо- жетъ быть, такъ какъ две биссектриссы пересекаются только въ одной точке, а изъ одной точки на прямую можно опустить только одинъ перпендикуляръ. 183. CjrbACTBie. Точка О (черт. 174), находясь на оди- наковомъ разстоянш отъ сторонъ АС и ВС, должна лежать на биссектрисе^ угла С F5); след.,
— 136 — Черт. 175. биссектриссы трехъ угловъ треугольника сходятся въ одной TOHKt. 184 Вн^ВПИСанНЫН ОКРУЖНОСТИ. Такъ называются окруж- окружности (черт. 175), которыя касаются одной стороны тр-ка й про- должен1й двухъ другихъ сторонъ (он'Ь лежатъ в н Ъ тр-ка, вслгЬдств1е чего и по- получили назваше в н Ъ в п и- с а н н ы х ъ). Такихъ окруж- окружностей ддя всякаго треуголь- треугольника можетъ быть три. Чтобы построить ихъ, проводятъ бис- биссектриссы внЪшнихъ угловъ тр-ка ABC и точки ихъ пере- пересечен 1й берутъ за центры. Такъ, центромъ окружности, вписан- вписанной въ уголъ А, служитъ точка О, т.-е. пересечете биссектриссъ ВО и СО вн'Ьшнихъ угловъ, не смежныхъ съ А\ рад1усъ этой окружности есть перпендикуляръ, опущенный изъ О на какую-либо сторону треугольника. 185. Теоремы. Х°. Въ выпукломъ вписанномъ четыре- угольник% сумма противоположныхъ угловъ равна двумъ пря- прямымъ. 2°. Обратно: Если въ выпукломъ четыреугольникъ сумма про- противоположныхъ угловъ равна двумъ прямымъ, то около него можно описать окружность. 1°. Пусть ABCD (черт. 176) есть впи- вписанный выпуклый четыреугольникъ; тре- В буется доказать, что B+B=2d и A+C=2d. Такъ какъ сумма всЬхъ 4-хъ угловъ всякаго выпуклая четыреугольника рав- равна 4d, то достаточно доказать только одно изъ требуемыхъ райенствъ. Дока- жемъ, напр., что B+B=2d.—Углы В и D, какъ вписанные, измеряются: первый—половиною дуги ABC, второй—половиною дуги ABC; сл*д., сумма В+В измеряется суммою дугъ г12ABC+112АВС; а эта сумма равна г12(АВС+АВС), т.-е. равна половин^ окружности; значитъ, B+B—l80°=2d.
Черт. 177. — 136 — 2°. Пусть ABDC (черт. 177) есть такой выпуклый четыре- уголышкъ, у котораго B+D=2d и, след., A+G=2d. Требуется доказать, что около такого четыреугольника можно описать окружность.—Черезъ кашя-нибудь три его вершины, напр., черезъ А, В и С, проведемъ окружность (что всегда можно сделать). Четвертая вершина D должна нахо- находиться на этой окружности, потому что въ противномъ случай вершина угла D лежала бы или внутри круга, или вне его, и тогда этотъ уголъ не измерялся бы половиною дуги ABC A76, 1° и 2°); поэтому сумма B+D не измерялась бы полусуммою дугь ADC и ABC, т.-е. сумма B+D не равнялась бы 2d, что противо- противоречить условно. 186. ОгЬдетв1я. 1°. Изъ всЬхъ параллелограммовъ только около прямоугольника (и, сл~Ьд., около квадрата) можно описать окружность. 2°. Около трапецш можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная. 187. SaM^naHie. Две изложенныя теоремы о вписан- номъ четыреугольника (прямая и обратная) приводятъ насъ къ следующему заключена: для того, чтобы около выпуклаго четыреугольника можно бы- было описать окружность, необходимо и достаточно чтобы~сумма его противоположныхъ уг- угловъ равнялась двумъ прямымъ. Действи- Действительно, это услов!е необходимо, такъ какъ, согласно теорем^ 1°, во всякомъ вйисанномъ выпукломъ четыреугольнике сумма противоположныхъ "угловъ равна 2d, и след., безъ этого услов1я не можетъ существовать вписанный вы- выпуклый четыреугольникъ; въ то же время это услов1е и до- достаточно, такъ какъ, согласно теореме 2°, если въ вы- выпукломъ четыреугольнике сумма противоположныхъ угловъ равна 2d, то около такого четыреугольника можно описать окружность. Заметимъ, что необходимость какого-нибудь признака еще не означаетъ его достаточности, равно какъ достаточность
— 137 — какого-нибудь признака еще не влечетъ за собою его необхо- необходимости. Напр., для того, чтобы выпуклый четыреугольникъ былъ ромбомъ, необходимо, чтобы его д1агонали были взаимно перпендикулярны (если есть ромбъ, то д1агонали его взаимно перпендикулярны; значить, безъ перпендикулярности д1агоналей ромбъ не существуетъ); однако этотъ признакъ не достаточенъ: нельзя утверждать, что если д1агонали выпуклаго Черт. 178. Черт. 179. четыреугольника взаимно перпендикулярны, то такой четыре- четыреугольникъ непременно ромбъ (при перпендикулярности д1аго- налей выпуклый четыреугольникъ можетъ и не быть ромбомъ, черт. 178). Другой примерь: для того, чтобы двй дуги одной и той же окружности были равны, достаточно, чтобы они заключались между параллельными хордами; однако это не необходимо, такъ какъ и безъ параллельности хордъ дуги могутъ оказаться равными (дуги А В и CD, черт. 179). Для того, чтобы быть ув^реннымь, что некоторый признакъ А необходимъ и достаточенъ для существовашя н^котораго свой- свойства В, надо отдельно доказать его необходимость (если есть В, то есть и А) и его достаточность (если есть А, то есть и В), 188. Теорема. Въ описанномъ вы- пукломъ четыреугольникъ суммы проти- воположныхъ сторонъ равны. Пусть ABGD (черт. 180) будетъ опи- описанный выпуклый четыреугольникъ, т.-е стороны его касаются окружности; требуется доказать, что AB+CD= BC+AD.—Обозначимъ точки касатя черезъ М, N, Р к Q Такъ какъ N Черт. 180.
— 138 — касательный, проведенныя изъ одной точки къ окружности, равны A40), то AM=AQ, BM=BN, CN=GP и DP=DQ AM+MB+GP+PD=AQ+BN+NG+QD, т.-е. AB+CD=AD+BC 189. Обратная теорема. Если въ выпукломъ четыреугольникъ равны суммы противоположныхъ сторонъ, то въ него можно вписать окружность. Пусть ABCD такой выпуклый четыреугольникъ (черт. 181), въ ко- торомъ: Требуется доказать, что въ него можно вписать окружность.—Про- ведемъ биссектриссы ВО и СО двухъ угловъ В и С. Эти прямыя должны пере- пересечься, потому что сумма угловъ NBO и NCO меньше 2d (такъ какъ # + C<4d). Точка пересЬчешя биссектриссъ должна быть одинаково удалена отъ сторонъ АВ, ВС и CD; поэтому, если эту точку возьмемъ за центръ, а за рад1усъ одинъ изъ трехъ равныхъ перпендикуляровъ ОМ, ON, OP, опущенныхъ изъ О на Черт. 181. стороны угловъ В и С, то окружност коснется сторонъ АВ, ВС и СВ. Дока- жемъ, что она коснется и четвертой стороны AD. Предположимъ про- противное, т.-е. что 4-я сторона AD не касается проведенной окружности. Тогда проведя изъ точки А касательную къ этой окружности, мы должны получить некоторую прямую, не сливающуюся съ AD. Пусть это будетъ прямая АЕ, расположенная ближе къ центру О, чгЬмъ AD. Тогда получится описанный выпуклый четыреугольникъ АВСЕ, въ которомъ, по доказанному выше, будемъ им'Ьть: Но по условш: Вычтя почленно первое равенство изъ второго, найдемъ: AD— AE^CB— CE^DE, т.-е. разность двухъ сторонъ Д ADE равна третьей сторонЪ DE, что невозможно E2); значитъ, нельзя допустить, чтобы касательною къ нашей окружности была какая-нибудь прямая АЕ, лежащая ближе къ центру О, чЪмъ AD. Такъ же можно доказать, что касательною не можетъ быть никакая прямая АЕ1ь лежащая дальше отъ центра, ч'бмъ AD; значитъ, AD должна касаться окружности, т.-е. въ четыре- четыреугольникъ ABCD можно вписать окружность. 19O. СлЪдствХе. Изъ всЪхъ параллелограмовъ только въ рембъ (и, ., въ квадратъ) можно вписать окружность.
— 139 — 191* ЗаМ'ЬчанХв. ДвЪ изложенныя теоремы объ описанномъ четыреугольник'в (прямая и обратная) приводятъ насъ къ следующему заключетю: для того, чтобы въ выпуклый четыре- угольникъ можно было вписать окружность, необходимо и достаточно чтобы у него были равны суммы противоположи ыхъ сторон ъ. ГЛАВА IX. Четыре замечательный точки въ треугольник*. 192. Центръ описаннаго и центръ вписаннаго круга. Мы вид-вли A23 и 183), что: 1°, три перпендикуляра къ сторонамъ треугольника, проведенные черезъ ихъ середины, сходятся въ одной точкЪ, которая есть цснгръ описаннаго круга; 2°, три биссектриссы угловъ треугольника сходятся въ рдной точкЪ, которая есть центръ вписаннаго круга. ЗамЪтиадъ (учациеся сами могутъ убедиться въ этомъ), что центръ вписаннаго круга всегда лежитъ внутри тр-ка, а центръ описаннаго круга лежитъ внутри тр-ка только въ томъ случай, когда тр-къ остро- остроугольный; въ тупоугольномъ же тр-к-в онъ лежитъ вн'Ь его, а въ прямо- угольномъ—на середин-в гипотенузы. Сл'вдуюцпя 2 теоремы указываюсь еще 2 замЪчательныя точки тр-ка: 3°, пересвчеше высотъ и 4°, пересЪчеше мед1анъ. 193. Теорема. Три высоты треугольника пересекаются въ одной точкЪ. Черезъ каждую вершину тр-ка ABC (черт. 182) проведемъ прямую, параллельную противоположной сторон^ его. Тогда получимъ вспо- вспомогательный /\ A1B1Cli къ сторо- сторонамъ котораго высоты даннаго тр-ка перпендикулярны. Такъ какъ С1В = АС = ВА1 (какъ противопо- ложныя стороны параллелограммо- мовъ), то точка В есть середина стороны АхСг. Подобно этому, убЪ- димся,-^что С есть середина А1В1 и А—середина ВгСг. Такимъ обра- зомъ,высоты AD, BE и CF пер- перпендикулярны къ сторонамъ тр-ка А1В1С1 и проходятъ черезъ ихъ середины; а так1е перпендикуляры, какъ мы знаемъ, пересекаются въ одной точк'Ь. Точка, въ которой пересекаются высоты треугольника, наз. орто- центромъ, или точкою высотъ. Эта точка въ остро- угольномъ тр-кЪ лежитъ внутри, въ тупоугольномъ—вн^ его, а въ прямоугольномъ—въ вершин'Ъ прямого угля.
— 140 — 194. Теорема. Три метаны треугольника пересекаются шъ одной точк*; эта точка отсЬкаетъ отъ каждой медоаны третью часть, считая отъ соответ- соответствующей стороны. Возьмемъ въ тр-ке ABC (черт. 183) 5 как1я-нибудь две мед1аны, напр. АЕ и BD, пересекающ1яся въ точке О, и докажемъ, что Для этого, раздал ивъ О А и ОБ пополамъ въ точкахъ F и G, построимъ четыре- угольникъ DEGF. Такъ какъ прямая FG соединяютъ середины двухъ сторонъ тр-ка ,450,то A15) FG || АВи FG=^1/2AB. Прямая BE также соединяетъ середины двухъ сторонъ тр-ка ABC; поэтому: DE \\ АВ и DE=1/2AB. Отсюда выводимъ, что DE \\ FG и DE = FG; след., четыреуг^льникъ DEGF есть параллелограммъ (99, 2°), и потому OF = OE и 0G = 0D. Отсюда сл'Ьдуетъ, что OE=1/ZAE и О2)=7з BD. Если теперь возьмемъ третью мед1ану съ одной изъ мед1анъ АЕ или BD, то также убедимся, что точка ихъ пересвчешя отсЬкаетъ отъ каждой изъ нихъ х/з часть, считая отъ соответствующей стороны; значитъ, третья мед1ана должна пере- пересечься съ мед1анами АЕ и В В въ одной и той же точке О. Изъ физики известно, что пересечете мед!анъ тр-ка есть его центръ тяжести; онъ всегда, лежитъ внутри тр-ка. УПРАЖНЕН1Я. Доказать теоремы: 148. Если две окружности касаются, то всякая секущая, прове- проведенная черезъ точку касашя, отсекаетъ отъ окружностей две противо- лежацпя дуги одинаковаго числа градусовъ. 148. а. Отрезки двухъ равныхъ хордъ, пересекающихся въ одной окружности, соответственно равны. 148,Ь. Две окружности пересекаются въ точкахъ А и В;, черезъ А проведена секущая, пересекающая окружности въ точкахъ С и D; доказать, что уголъ CBD есть велшина постоянная для всякой се- секущей. 149. Если черезъ точку касатя двухъ окружностей проведемъ две секуцпя и концы ихъ соединимъ хордами, то эти хорды парал- параллельны. 150. Если черезъ точку касатя двухъ окружностей проведемъ внутри ихъ какую-либо секущую, то касательныя, проведенныя черезъ концы этой секущей, параллельны. 151. Если основашя высотъ тр-ка соединимъ прямыми, то получимъ новый тр-къ, для котораго высоты перваго тр-ка служатъ биссектрис- сами. 151,а. На окружности, описанной около равносторонняго тр-ка
— 141 — ABC, взята произвольная точка М; доказать, что одна изъ прямыхъ: Ж A, MB, МС равна сумм'Ь остальныхъ двухъ. 152. Если около тр-ка опишемъ окружность и изъ произвольной точки ея опустимъ перпендикуляры на стороны тр-ка, то ихъ осно- вашя лежатъ на одной прямой (прямая Симпсона). Задачи на построеше. 153. На данной безконечной прямой найти точку, изъ которой другая данная конечная прямая была бы видна подъ даннымъ угломъ. 154. Построить Д по основашю, углу при вершинЪ и высотв. 155. Къ дугв даннаго сектора провести такую касательную, чтобы часть ея, заключенная между продолженными рад1усами (ограничи- (ограничивающими секторъ), равнялась данной длинЪ (свести эту задачу на предыдущую). 156. Построить Д по основашю, углу при вершин'Ь и мед1ангв> проведенной къ основашю. 157. Даны по величин^ и положешю дв'Ь конечныя прямыя а и Ъ. Найти такую точку, изъ которой прямая а была бы видна подъ даннымъ угломъ о, и прямая Ъ подъ даннымъ угломъ р. 158. Въ тр-кЪ найти точку, изъ которой его стороны были бы видны подъ равными углами (у к а з а н i е; обратить внимаше на то, что 'каждый изъ этихъ угловъ долженъ равняться A/Zd). 159. Построить Д по углу при вершин'Ь, высотЪ и мед1ангв, прове- проведенной къ основашю (у к а з а н i е: продолживъ мед1ану на равное разстояте и соединивъ полученную точку съ концами основашя, разсмотр'вть образовавшШся параллелограмъ). 160. Построить Д, въ которомъ даны: основаше, прилежащШ къ нему уголъ и уголъ, составленный мед1ан,ою, проведенною изъ вер- вершины даннаго угла, со стороною, къ которой эта мед1ана проведена. 161. Построить параллелограммъ по' двумъ его д1агоналямъ и одному углу. 162. Построить Д по основашю, углу при вершин'Ь и сумм'Ь или разности двухъ другихъ сторонъ. 163. Построить четыреугольникъ по двумъ д1агоналямъ, двумъ сосвднимъ сторонамъ и углу, образованному остальными двумя сторонами. 164. Даны три точки А, В и С. Провести черезъ А такую прямую, чтобы разстояше между перпендикулярами, опущенными на эту прямую изъ точекъ В и ^С, равнялась данной длинЪ. 165. Въ данный кругъ вписать Д, у котораго два угла даны. 166. Около даннаго круга описать Д, у котораго два угла даны. 167. Построить Д по рад1усу описаннаго круга, углу при вершин'Ь и высотв. 168. Вписать въ данный кругъ Д, у котораго известны: сумма двухъ сторонъ и уголъ, противолежащШ одной изъ этихъ сторонъ. 169. Вписать въ данный кругъ четыреугольникъ, котораго сторона и два угла, не прилежацпе къ этой сторон'Ь, даны. 170. Въ данный ромбъ вписать кругъ.
— 142 — 171. Въ равностороннШДвписать три круга, которые попарно касают- касаются другъ друга и изъ которыхъ каждый касается двухъ сторонъ тр-ка. 172. Построить четыреугольникъ, который можно было бы вписать въ окружность, по тремъ его сторонамъ и одной д1агонали. 173. Построить ромбъ по даннымъ стороне и рад1усу вписаннаго круга 174. Около даннаго круга описать равнобедренный прямоугольный Д. 175. Построить равнобедренный Д по основанш и рад1усу впи- вписаннаго круга. 176. Построить Д по основашю и двумъ мед1анамъ, исходящимъ изъ концовъ основашя. 177. То же—по тремъ мед1анамъ. 178. Дана окружность и на ней три точки А, В и С. Вписать въ эту окружность такой Д, чтобы его биссектриссы, при продолженш, встречали окружность въ точкахъ А, В и О. 179. Та же задача, съ заменою биссектриссъ тр-ка его высотами. 180. Дана окружность и на ней три точки ilf, N и Р, въ которыхъ пересекаются съ окружностью (при продолженш) высота, биссектрисса и мед1ана, исходяцпя изъ одной вершины вписаннаго тр-ка. По- Построить этотъ Д. 181. На окружности даны две точки А и В. Изъ этихъ точекъ про^ вести две параллельныя хорды, которыхъ сумма дана. Задачи на вычислеше. 182. Вычислить вписанный уголъ, опираюцпйся на дугу, равную Vi2 части окружности. , 183. Кругъ раздЪленъ на два сегмента хордою, делящею окруж- окружность на части въ отношети 5:7. Вычислить углы, которые вме- цдаются этими сегментами. 184. Две хорды пересекаются подъ угломъ въ 36°15/32//. Вы- Вычислить въ градусахъ, минутахъ и секундахъ две дуги, заключенныя между сторонами этого угла и ихъ продолжетями, если одна изъ этихъ дугъ относится къ другой, какъ 3:2. 185. Уголъ, составленный двумя касательными, проведенными изъ одной точки къ окружности, равенъ 25°15'. Вычислить дуги, заключенныя между точками касашя. 186. Вычислить уголъ, составленный касательною и хордою, если хорда дЪлитъ окружность на дв^ части, относяцпяся, какъ 3:7. 187. Дв'Ь окружности одинаковаго рад1ус^ пересекаются подъ угломъ въ 2/2d\ определить въ градусахъ меньшую изъ дугъ, заклю- заключающихся между точками пересЪчешя. IIpHMtqaHie. Угломъ двухъ пересекающихся дугъ наз- уголъ, составленный двумя касательными, проведенными къ этимъ дугамъ изъ точки перес-Ьчешя. 188. Изъ одного конца д1аметра проведена касательная, а изъ другого секущая, которая съ касательною составляетъ уголъ въ 20°30/. Какъ велика меньшая изъ дугъ, заключенныхъ между каса- касательною и секущею?
143 - КНИГА III ПОДОБНЫЯ ФИГУРЫ. ГЛАВА I Подобие треуголымовъ. 191. Сходственный стороны. Въ этой глав* намъ придется разсматривать тате тр-ки пли мн-ки, у которыхъ углы одного соответственно равны угламъ другого Условимся въ такихъ случаяхъ называть «сходственными» т-Ь стороны этихъ тр-ковъ или мн-ковъ, которыя прилежатъ къ равнымъ угламъ (въ тр-кахъ таюя стороны и противо- противолежа т ъ равнымъ угламъ) 196. Лемма. Прямая {BE, черт. 184), проведенная внутри треугольника {ABC) параллельно его сторон* {АС), отсЪкаетъ отъ него другой треугольникъ {DBE), У котораго: 1°, углы равны соотв-Ьтственно угламъ перваго треугольника и 2°, сто- стороны пропорциональны сходственнымъ сторонамъ этого тре- треугольника. 1° Углы тр-ковъ соответственно равны, такъ какъ уголъ В у нихъ обпцй, a D=A и Е=С, какъ углы,^соответственные при параллельныхъ DE и АС и сЬкущихъ АВ и СВ. 2° Докажемъ теперь, что сто- стороны тр-ка DBE пропорщональ- ны сходственнымъ сторонамъ тр-ка ABC, т-е что- / Х\\\\\\У DE , ¦А\\\\\\\\\ АС Черт lg4 Для этого разсмотримъ отдельно сл'Ьдующ1е два случая. • 1°. Стороны АВ и DB им^вготъ общую м 4 р у. РавдЬлпмъ АВ на части, равныя этой общей мЪр*. Тогда BD
— 144 — разделится на ц^лое число такихъ частей. Пусть этихъ частей содержится m въ BD и п въ АВ. Проведемъ изъ точекъ раздала рядъ прямыхъ, параллельныхъ АС, я. другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ ВС. Тогда BE и ВС разделятся на равныя части A13), которыхъ будетъ m въ BE и п въ ВС. Точно такъ же DE разделится на m равныхъ частей, а АС на п рав- ныхъ частей, при чемъ части BE равны частямъ АС (какъ про- тивоположныя стороны параллелограммов^.Теперь очевидно, что BD m BE m DE m _ » • АВ~~п" ВС~~~п" АС п А1ГжГАС 2°. Стороны АВ и BD не и м е ю т ъ общей меры (черт. 185). Тогда стороны ВС и BE, а также и стороны АС и ЯЕ, также не им-Ьютъ общей миры. Действительно, если допустимъ, что стороны ВС и BE (или АС и BE) имйютъ какую-нибудь общую м-Ьру, то, разделивъ ВС (или АС) на части, равныя этой общей мере, и проведя черезъ точки раздела Ллл\\\\ г\\\\\\\л ^^^^^^^^^^ q мы этими прямыми разделимъ сто- Че 185 роны АВ и ВВ также на равныя части; след., тогда эти прямыя бу- дутъ иметь общую меру, что противоречите предположетю. Значитъ, если стороны АВ и ВВ несоизмеримы, то каждре изъ трехъ отношешй: BD BE BE Э ВС * АС \\\\\\\ РЯДЪ параллельныхъ прямыхъ, \\\SC\S\S\S\4 какъ эт0 мы Д*лали въ случае 1-мъ, будетъ несоизмеримое. Найдемъ приближенное значеше каждаго изъ нихъ съ точ- точностью до 1/п. Для этого разделимъ АВ на п равныхъ частей и черезъ точки раздела проведемъ рядъ прямыхъ, параллель1
— 145 — ныхъ АС, и другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ ВС. Тогда каждая дзъ сторонъ ВС и А С разделится также на п равныхъ частей (ИЗ). Предположимъ, что 1/п доля АВ содержится въ BD бол-Ье. m разъ: но менЪе т+1 разъ; тогда, какъ видно изъ чер- чертежа, Vn Д°ля ВС содержится въ BE также бол-Ье т, но мен?е т+1 разъ, и 1/п доля АС содержится въ BE бол'Ье т, но т+1 разъ. Сл^д.: BD m BE m BE m прибл. отн. — = —; прибл, отн. -^= —; прибл. отн. -77;= — ^ ВЛ п ВС п АС п Отсюда сл^дуетъ, что приближенныя отношен1я, вычисленныя съ произвольною, но одинаковою точностью, всегда равны другъ другу; а татя несоизмеримый отношетя мы условились счи- считать равными A59); сл^д , и въ этомъ случай можемъ написать: BBJBEJDE 197. ЗамЪчавйе. Доказанный рядъ равныхъ отпошешй представляетъ собою три слгЬдующ1я пропорщи: BD BE BD DE BE DE ¦ __ ____. • BA~~ ВС" BA~ AC9 BC~ AC' Применяя къ этимъ пропорщямъ свойства числовыхъ пропорцШ, мы можемъ переставить въ нихъ 'средте члены: BD BA BD BA BE ВС BE ВС BE AC BE AC Мы видимъ такимъ образомъ, что если в ъ треуго ль- ii и к а х ъ стороны пропорцГональны, то от- HonieHie любыхъ двухъ сторонъ одного треугольника равно о т н о ш е н i ю сход- ственныхъсторонъ другого треугольника. 198. Опред1шете. Два треугольн и-к а н а з. подобными, если углы одного соответ- соответственно равны угламъ другого и стороны одного пропорциональны сходственнымъ сторонамъ другого. А. Киселев*. Геометр!я. 10
— U6 — Что таше тр-ки возможны, доказываете лемма предыду- щаго параграфа, которую теперь можно высказать такъ: прямая, проведенная внутри треугольника параллельно какой-нибудь его сторон*, отсЬкаетъ отъ него подобный треугольникъ. 199. Теоремы (выражаюпця три признака подоб!я тре- угольниковъ). Два треугольника подобны: 1°, если два угла одного соответственно равны двумъ угламъ другого; или 2°, если дв% стороны одного пропорцтнальны двумъ сторонамъ другого, и углы, лежащее между этими сторонами, равны; или 3°, если три стороны одного пропорциональны тремъ сто- сторонамъ другого. 1°. Пусть ABC и AtJB^x (черт. 186) будутъ два тр-ка, у ко- торыхъ: А=Аи В=Вг и, слйд., С=Сг. Требуется доказать, что тате тр-ки подобны.—Отложимъ на АВ часть BD, равную А{ВХ и проведемъ DE II АС. Тогда получимъ вспомогательный тр-къ DBE который, со- согласно предыду- В щей лемм-Ь, по- подобенъ тр-ку ABC. Съ другой стороны А№Е= ААгВгСъ потому что у нихъ: В1)=Л1В1 (по ^ строенш), В Черт. 186. (по Услов1ю) и D=^41 (потому что =*A и А=Аг). Но если изъ двухъ равныхъ тр-ковъ одинъ подобенъ третьему, то и другой ему подобенъ; слйд., Д АгВгС1 подобенъ Д ABC. 2°. Пусть въ тр-кахъ ABC и А1В1С1 дано (черт. 187): АВ ВС
*—' 14:7 — Требуется доказать, что таюе тр-ки подобны.—Отложимъ снова часть ВВ, рав- равную АхВъ и проведемъ ВЕ=АС. Тогда полу- чимъ вспомогательный Д BDE, подобный Д ABC. Докажемъ, что онъ равенъ &АХЪ Изъ подоб!я тр-ковъ ABC и DBE слЪдуетъ: ЧеРт- 187,- Г2] Сравнивая этотъ рядъ равныхъ отношетй съ даннымъ ря- домъ [1], зам'Ьчаемъ, что пёрвыя отношешя обоихъ рядовъ одинаковы (DB=A1B1 по построение); следовательно, осталь- ныя отношешя этихъ рядовъ также равны, т.-е. ВС _ВС BE Но. если въ пропорцш предыдущ1е члены равны, то должны быть равны и посл'Ьдуюпце члены; значить: Теперь видимъ, что тр-ки DBE и А^Сх им^ють по рав- равному углу (В^Вх), заключенному между равными сторонами; значить, эти тр-ки равны. Но Д DBE подобенъ Д АВС\ по- поэтому и Д AJifix подобенъ Д ABC. 3. Пусть въ тр-кахъ ABC и A-JixC-L (черт. 188) дано: АВ ВС _ AC r , Требуется доказать, что таше тр-ки подобны.—Сд'Ьлавъ по- строен1е такое же, какъ и прежде, докажемъ, что =Д^41В1С1. Изъ по- доб1я тр-ковъ ABC и ВВЕ сд^дуетъ: АВ_ВС_АС г , ВВ""ВЕ~Ш Сравнивая этотъ рядъ съ даннымъ ря- ^ Черт. 1ЬЬ.
— 148 — домъ [Ij, зам'Ьчаемъ, что первыя отношешя у нихъ равны; сл^д., и остальныя отношешя равны, и потому ВС ВС откуда: BE AC AC , n „ и —,—; откуда: A1C1=DE. A1C1 DE Теперь видемъ, что тр-ки DBE и А1В1С1 им^ютъ по три со- соответственно равныхъ стороны; значитъ, они равны. Но одинъ изъ нихъ, именно DBE, подобенъ Д АВС\ сл?д., и другой, т.-е. А^В^Рх, подобенъ д ABC. 200. Зам*чан1е ощИем* доказательства. По- Полезно обратить внимаше на то, что пр1емъ доказательства, употребленный нами въ трехъ предыдущихъ теоремахъ, одинъ и тотъ же, а именно: отложивъ на сторон^ болыпаго треуголь- треугольника часть, равную сходственной сторон^ меньшаго, и проведя прямую, параллельную другой сторон^, мы образуемъ вспо- вспомогательный тр-къ, подобный бблыпему данному. Посл-Ь этого, беря во внимаше услов1я доказываемой теоремы и свойства подобныхъ тр-ковъ, мы обнаруживаемъ равенство вспомога- вспомогательна™ тр-ка меньшему данному и, наконецъ, заключаемъ о подобш данныхъ тр-ковъ. 201. Теоремы (выражаюпця еще 2 признака подоб1я треуЬльниковъ). Два треугольника подобны: 1°, если стороны одного соотв%тственно параллельны сторо- сторонамъ другого; или 2°, если стороны одного соотвЪтственно перпендикулярны къ сторонамъ другого. Будемъ вести разсуждеше независимо отъ чертежа, при чемъ это разсуждеше отнесемъ одновременно къ обЪимъ теоремамъ. Пусть стороны угловъ А, В, С н^котораго треугольника соответственно параллельны или перпендикулярны сторонамъ угловъ Ах, Въ Сг другого треугольника.. ТогДа углы А и Ах или равны другъ другу, или составляютъ въ сумм-Ь два прямыхъ (85 и 86); то же самое можно сказать объ углахъ В и Вь С и Сг. Чтобы доказать подоб1е данныхъ тр-ковъ, достаточно убе- убедиться, что каше-нибудь два угла одного изъ нихъ равны со-
— 149 — ответственно двумъ угламъ другого. Предположимъ, что этого н-Ьтъ. Тогда могутъ представиться следуюпце два случая: 1°. У треугольниковъ н4тъ вовсе попарно равны х ъ угловъ. Тогда: A+A1=2d\ B+B1^2d; G+C1=2d, и, сл-Ьд., сумма угловъ обоихъ треугольниковъ равна 6d. Такъ какъ это невозможно, то этотъ случай исключается. 2°. У треугольниковъ только одна пара равныхъ угловъ; напр., nycTjb А=АХ. Тогда: B+B1=2d\ C+Cx=2d и, и потому сумма всЬхъ угловъ обоихъ тр-ковъ больше 4d. Такъ какъ это невозможно, то и этотъ случай исключается. Остается одно возможное допущеше, что тр-ки им^ютъ двЪ пары равныхъ угловъ; но тогда они подобны. 2O2. Теоремы (выражаюпця признаки подоб1я прямо- угольныхъ треугольниковъ). Такъ какъ прямые углы всегда равны другъ другу, то на основанш доказанныхъ признаковъ подоб1я треугольниковъ вообще мы можемъ утверждать, что прямоугольные тр-ки подобны: 1°, если острый уголъ одного треуголь- треугольника равенъ острому углу другого тре- треугольника, или 2°, если катеты о^дного треугольника п р о п о р ц i о н а л ь н ы катетамъ другого. Укажемъ еще сл'Ъдующш признакъ подоб!я прямоуголь- ныхъ тр-ковъ, требующ1й особаго доказательства. Теорема. Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катетъ одного пропорциональны гипотенузЪ и ка- катету другого. Пусть ABG и АхВхСг два тр-ка (черт. 189), у которыхъ углы В и Вг прямые и
— 150 — Требуется доказать, что тате тр-ки подобны.—Для доказа- доказательства употребимъ тотъ же npieMb, которыыъ мы пользо- пользовались ран^е B00). Отложимъ BD=A1B1 и проведемъ BE || АС. Тогда получимъ вспомогательный Д DBE, подобный Л ABC A96). До- кажемъ, что онъ равенъ Д А^Сх. Изъ подоб1я трковъ ABC и DBE сл*- Черт. 189. дуетъ: DB DE [2] Сравнивая эту пропорщю съ данной [1], находимъ, что пер- выя отношешя ихъ одинаковы; сл'Ьд., равны и вторыя отно- шешя, т.-е. АС АС ; откуда: Теперь видимъ, что тр-ки DBE и AxBfix имйютъ по равной гипотенуз^ и равному катету; сл'Ьд., они равны; а такъ какъ одинъ изъ нихъ подобенъ д ABC, то и другой ему подобенъ. 2ОЗ. Теорема (выражающая свойство подобныхъ треу- гольниковъ). Въ подобныхъ треугольникахъ сходственныя стороны пропорцтнальны сходственнымъ высотамъ, т.-е. т!>мъ, которыя опущены на сходственныя стороны. Действительно, если тр-ки ABC и А1В1С1 (черт. 190) подобны, то прямо- прямоугольные тр-ки BAD и ВъАгВъ также подобны (А=-Ах и D= поэтому: BD АВ Черт. 100. BxDi ВС АС
— 151 — Можно также доказать, что въ подобныхъ тр-кахъ сходственны я стороны пропорциональны сходственнымъ мед1анамъ, сходственнымъ 0ис- сектриссамъ, радхусамъ круговъ вписанныхъ и paдiycaмъ круговъ описанныхъ. 2O4. Задача. На данной сторон* (АгСъ черт. 191) построить тре- треугольник ъ, подоб- подобный, данному (ABC). На данной сторон* стро- имъ тр-къ, у котораго уголъ Аг равенъ А и уголъ Сг равенъ С. Этотъ тр-къ подобенъ данному A99,1°). с а; Черт. 191, ГЛАВА И. Подойе многоугольниковъ. 2O5. Лемма. Если, разбив ъ многоуголь- многоугольник ъ ABCDE... (черт. 192) на треугольники М, N, Р,..., мы построимъ на какой-нибудь ко- конечной прямой АгВг д Мг подобный д зат'Ьмъ на сторон^ его АХСХ построимъ подобный Д-N, дал'Ье на сторон* AXD^ по- построимъ ДРЬ подобный дР, и т. д., наблю- наблюдая при этомъ, чтобы- подобные треуголь- треугольники были одинаково расположены, то мы получимъ такой мнсггоугольникъ у котораго: 1°, уг- углы соответствен- соответственно равны угламъ многоугольника ABCDE... и 2°, сто р о- ? ны пропорц1ональ- ны сходственнымъ сторона.мъ этого МНОГОугОЛЬНИКа. Черт. 192. 1°. Равенство угловъ мн-ковъ сл'Ьдуетъ изъ равенства угловъ тр-ковъ; такъ, B=B± и Е=ЕЪ какъ равные углы подобныхъ
162 — тр-ковъ (М и Мъ Р и Рх), А=АЪ С=СЪ D=Dv..y какъ суммы угловъ, соответственно равныхъ другъ другу. 2°. Пропорциональность сторонъ мн-ковъ слйдуетъ изъ про- пропорщональности сторонъ подобныхъ тр-ковъ. Действительно, мы можемъ написать сл'Ьдуюнце ряды равныхъ отношенШ: АВ ВС АС ИЗЪ ПОДОб1я М И Мл 1 AC CD AD Изъ подоб!я N и Nx AD BE EA Изъ подойя Р и Pl _=—=_ Разсматривая эти отношешя, замечаемъ, что последнее отно- шен1е 1-го ряда есть вмести съ т^мъ первое отношеше 2-го ряда, а последнее отношен1е 2-го ряда есть вместе съ т^мъ первое отношен1е 3-го ряда; отсюда заключаемъ, что всЬ отношен1я этихъ трехъ рядовъ равны между собою. Возьмемъ изъ нихъ только те, въ которыя входятъ стороны данныхъ многоуголь- никовъ; тогда и получимъ лропорщональность сторонъ: АВ ВС CD DE ЕА . Изъ пропорщональности сторонъ двухъ мн-ковъ совершенно такъ же, какъ это было сделано нами раньше для тр-ковъ A97), можно вывести, что если въ мн-кахъ стороны п р о п о р ц i о н а л ь н ы, то отношен1е любыхъ двухъсторонъ одного мн-ка равно OTHomeHiio . сходственны хъ сторонъ дру- другого мн-ка. 2O6. Определение. Два одноименныхъ*) многоугольника наз. подобными, если углы одного равны соответственно угламъ Другого и стороны одного пропорц1ональ- ны сходственны мъ сторонамъ другого. Что тате многоугольники возможны, показываетъ лемма предыдущаго параграфа, которую можно теперь высказать такъ: два многоугольника подобны, если они состоять изъ оди- *) Напр., два пятиугольника, два шестиугольника и т. д., вообще два многоугольника, имЪюцие одинаковое число угловъ.
— 163 — наковаго числа подобныхъ и одинаково расположенныхъ тре- угольниковъ. - 2O7. ЗамЪча^е. Для тр-ковъ, какъ мы видели A99), равенство угловъ влечетъ за собою пропорциональность сто- ронъ и, обратно, пропорциональность сторонъ влечетъ за собою равенство угловъ; всл'Ьдств1е этого для тр-ковъ одно равенство угловъ или одна пропорциональность сторонъ служитъ достаточ- нымъ признакомъ ихъ подоб1я. Для мн-ковъ же одного равенства угловъ или одной пропорциональности сторонъ еще не достаточно для ихъ подоб1я; напр., у квадрата и прямоугольника углы равны, но стороны не пропорциональны, у квадрата же и ромба стороны пропорциональны, а углы не равны. Сл'Ьдуюнця 2 теоремы выражаютъ главнМппя свойства по- подобныхъ многоугольников^ 2O8. Теорема. Подобные многоугольники (ABCDE и -^i-BiCi-Dj^!, черт. 193) можно разложить на одинаковое число подобныхъ и одинаково расположенныхъ треугольниковъ. Подобные многоугольники можно разложить на подобные тр-ки различными способами. Укажемъ одинъ изъ нихъ.— Возьмемъ внутри мн- ка ABCDE про- произвольную ТОЧКУ О и соединимъ ее со всеми вершинами. Тогда мн-къ ABCDE разобьется на столь- столько треугольниковъ, сколько въ немъ сто- сторонъ. Возьмемъ одинъ изъ нихъ, напр., АОЕ, (покрытый на чертеж'Ь штрихами), и на сходственной сторон^ А1Е1 другого многоугольника построимъ углы O^iEi и OJE-iA^ соответ- соответственно угламъ ОАЕ и ОЕА\ точку пересЬчешя Ох соединимъ съ прочими вершинами мн-ка A^CiDjE^ Тогда и этотъ мн-къ разобьется на то же число тр-ковъ. Докажемъ, что тр-ки перваго многоугольника соответственно подобны тр-камъ второго много- многоугольника. ААОЕ подобенъ ДЛ^Ех по построенш. Чтобы
— 154 — доказать подоб1е сосЬднихъ тр-ковъ АВО и А^ВхО1ч примемъ во внимаше, что изъ подоб1я мн-ковъ, между прочимъ сл'Ьдуетъ: ВА АЕ И "и изъ подоб1я тр-ковъ АОЕ и А-уО-уЕ-^ выводимъ: АО АЕ и ~ j^ [2] Изъ равенствъ [1] и [2] сл'Ьдуетъ: ВА АО В1А1 А Z.BAO=^B1A1O1 и Теперь видимъ, что тр-ки АВО и А^^ имеютъ по равному углу, заключенному между пропорциональными сторонами; зна- читъг+дци подобны. Совершенно такъ же докажемъ подоб1е следующихъ тр-ковъ ВСО и BiCiOx, загЬмъ тр-ковъ COD п СХО^Х и т. п. При этомъ очевидно, что подобные тр-ки въ обоихъ мн-кахъ одинаково расположены. SaMtnaHle. Точку О (черт. 193) мы можемъ взять и на какой-нибудь сторон^ мн-ка, и въ вершпне любого угла его и даже вне мн-ка (въ последнемъ случае получатся тр-ки, частью выступаюшде за контуръ мн-ка). 2O9. Теорема. Периметры подобныхъ многоугольниковъ относятся, какъ сходственныя стороны. Пусть мн-ки ABCDE и A1BlC1DlE1 (черт. 193) подобны; тогда по. определенно: АВ ВС CD DE ЕА Изъ алгебры известно, что если имйемъ рядъ равныхъ отно- шенШ, то сумма всЬхъ предыдущихъ членовъ относится къ суммй всЬхъ посл'Ьдующихъ, какъ какой-нибудь изъ предыдущихъ членовъ относится къ своему последующему; поэтому: AB+BC+CD+DE+EA АВ ВС
— 155 — Прим'Ьръ. Если сторона одного многоугольника бол'Ье сходственной стороны другого многоугольника, подобнаго ему, въ 2 раза, 3 раза, 4 раза и т. д., то и периметръ перваго много- многоугольника бол^е периметра второго въ 2 раза, 3 раза, 4 раза и т. д. 21O. Задача. На данной сторон* AxBx (черт. 192) построить многоугольн и къ,подобный дан- данному многоугольнику ABCDE. Разбивъ данный многоугольникъ на тр-кп М, IV, Р, строятъ, согласно лемм* § 205, на данной сторон* А1В1 тр-къ Мъ по- подобный тр-ку М, зат'Ьмъ на сторон* А1С1—тр-къ АГЬ подобный тр-ку JV, п т. д., наблюдая при этомъ, чтобы тр-ки были одинаково расположены въ об'Ьихъ фигурахъ. Полученный такимъ обра- зомъ мн-къ Аг Вг Сг Т)х Ех подобенъ данному. ГЛАВА III. Фигуры, подобно расположенный. 211. OnpeA'bJieHie. Пусть намъ дано: какая-нибудь фи- фигура F (черт. 194), точка S, которую мы назовемъ центром ъ по до б1я, , и отвлеченное число к, которое мы назовемъ о т н о- ш е н i е м ъ п о д о б i я. Возьмемъ въ фигурЪ F произвольную точку А и черезъ нее изъ центра подоб1я S проведемъ полупрямую SA. Найдемъ на этой полупрямой такую точку Аи чтобы отно- шете SAX : SA было равно числу и-(если к<1, то точка Аг расположится между S и А, к'акъ у насъ на чертёж-Ь, если же к> 1, то точка Ах бу- детъ лежать за точкой А). Возьмемъ какую-нибудь дру- другую точку В фигуры F и сд-Ъ- Черт. 194. лаемъ для нел то же построеше, какое мы указали для Аи т.-е. черезъ В проведемъ изъ S полупрямую и на ней найдемъ такую точку Ви чтобы отношете SBX : SB равнялось тому» же числу к. Вообразимъ теперь, что, не изменяя положешя точки S и величины числа к, мы для каждой точки фигуры F находимъ указаннымъ путемъ соответствующую точку; тогда геометрическое м^сто всвхъ этихъ.точекъ составитъ некоторую новую фигуру Fx. Фигура Flt полученная такимъ образом ъ, на з. фигурой, подобно расположенной съфигурой F относительно центра лодоб1я 8 при дан. номъ отношен1и подоб1я к.
I 156 Полупрямыя SAU SB^.., проводимыя изъ центра подоб1я черезъ раз- личныя точки фигуры F, наз. лучами подоб!я; точки Л и Alt В и Bj и т. д. наз. сходственными точками фигуръ F и jF^- Изъ сказаннаго следу етъ, что если Fx есть фигура, подобно распо- расположенная съ фигурой F относительно центра подоб1я S при отношенш подоб1я я, то, обратно, F есть фигура, подобно расположенная съ фи- фигурой Fx относительно того же центра подоб1я #, но при отношенш подоб1я равномъ не я, а обратному числу 1/к. Подобно расположенную фигуру можно получить еще иначе. Вместо того, чтобы точки Аи Вг... сходственныя съ точками А, В... фигуры F, находить на лучахъ подоб1я (т.-е. по ту же сторону отъ центра подоб1я S, по которую отъ него расположены точки Л, В...), можно брать ихъ на продолжен1яхъ лучей подоб1я, по другую сторону отъ S. Тогда мы получимъ фигуру F1X (черт. 194), которая тоже подобно расположена съ фигурой F относительно центра подоб1я S при томъ же отношенш подоб1я к. Для отлич1я первое изъ указанныхъ нами подобш въ расположении наз. прямымъ, а второе—обратнымъ *). 212. 3aMii4aHie. Фигуры Fx и Fn (черт. 194) равны между собою. Действительно, изъ равенствъ: сл'Ьдуетъ: SAn — SAx; подобно этому ^511 = a5B1 и т. д. Поэтому, если секторъ SAB,.., содержаний фигуру F, повернемъ въ плоскости вокругъ точки F на 180°, то точка А1 совместится съ А11у точка Вг совместится съ Вг1... и т. д.; значитъ, фигура ^совместится съ фи- фигурой Fu. 213. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ отрЬзкомъ прямой (АВ, черт. 1У5), есть так*е отрЬэокъ прямой {А1В1 или Аг1Вг1); этотъ отр%зокъ параллеленъ первому и им-fe тъ съ нимъ одикаксвоэ направлен1е при прямомъ подоб!и и лроти.ополокное при обратномъ; oTHoneHie этого отрЬзна къ первому равно отнош«Н1Ю подоб1я. Будемъ говорить сна- сначала только о прямомъ подобш. Найдемъ точки Ах и В1у сходственныя съ концами А и В дан- наго отрезка; эти точки должны лежать на лу- лучахъ SA и SB и удо- Черт. 195. влетворять равенствамъ =^SB1 : SB —к, где к есть отношение подоб1я. Соединивъ *) Подоб1е въ расположенш (прямое и обратное) наз. въ некоторыхъ нашихъ руководствахъ (по образцу французскихъ) словомъ «г о м о т е- т i я», и фигуры, подобно расположенныя, наз. тогда «гомотетичными». Мы Избегаемъ этихъ неблагозвучныхъ иностранныхъ названШ.
— 167 ~ А1 съ Вх прямой, докажемъ, что A-yB^W АВ и что АгВг : АВ=к. Тр-ки SAXBX и SAB подобны, такъ какъ они имЪютъ по равному углу (при общей вершине $), заключенному между пропорциональными сто- ронами. Изъ ихъ подоб1я следуетъ, во 1, равенство угловъ и, след., параллельность сторонъ А1В1 и АВ\ во 2, пропоруюнальность сто- ронъ: AXBX : AB=SAt : SA=^k. Теперь докажемъ, что полученный нами отрезокъ А1В1 есть фигура, подобно расположенная съ отръ'зкомъ АВ. Для этого возьмемъ какую- нибудь точку М на АВ и проведемъ лучъ 8М; пусть Мг будетъ точка, въ которой ототъ лучъ пересекается съ А^^ Тр-ки SA1M1 и SAM под( бны, такъ какъ углы одного равны соответственно угламъ другого (всл^дCTBie параллельности сторонъ АгВг и АВ). Изъ ихъ подоб1я сл^дуетъ: 8Мг : SM = SAt : SA = к; значшъ, точка Мх есть точка, сходственная съ М. Такимъ образомъ, какую бы точку М нэ, АВ мы ни взяли, сходственная ей точка Мх лежитъ на А1В1. Вообразимъ теперь, что точка М перемещается по АВ отъ А къ В\ тогда сходствен- сходственная ей точка Мг будетъ перемещаться отъ Ах къ Ви оставаясь по- постоянно на отрезке А1В1. Значитъ, этотъ отрезокъ и будетъ фигурой, подобно расположенной съ АВ. То же самое можно повторить и для обратнаго подоб1я. При этомъ изъ чертежа непосредственно усматриваемъ, что направлеше отрезка АгВг, получающагося при прямомъ подобш, одинаково съ направле- шемъ АВ, а направление отрезка А11В111 получающагося при обрат- номъ подоб!и, противоположно направлетю АВ. 214. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ многоугольникомъ (ABCD, черт. 196) есть также многоугольникъ {A1BlC1D1 или AuBnCuDu)\ этотъ многоугогьникъ подобенъ первому, при чемъ отношен!е сторонъ его къ сходственнымъ сторонамъ перваго многоугольника равно отношен'ио подоб'ш. Согласно доказанному выше B13), фигура, подобно расположенная съ мн-комъ ABCD, должна быть образована такими отрезками пря- А Черт, 196. мыхъ, которые параллельны сторонамъ даннаго мн-ка и находятся къ нимъ въ отношенш, равномъ отношешю подоб1я; след., фи- фигура A1B1C1D1 (и ^цЯцСцЯц) есть мн-къ, у котораго стороны про- порцюнальны сторонамъ даннаго мн-ка. Съ другой стороны, такъ какъ отрезки AXBX, B1C1... имеютъ одинаковое направлеше съ отрез-
— 168 — ками АВ, ВС,..., а отрезки АпВп, BnCllt имЪютъ противоположное направлеше съ отрезками АВ, ВС,..., то (85) углы мн-ковъ A1B1C1D1 и АцВцСцБц равны соответственно угламъ мн-ка ABCD\ значитъ, эти мн-ки подобны. 215. ЗаМ'Ъ'ЧаШе. Мы видимъ такимъ образомъ, что прямолинейныя фигуры, подобно расположенныя, оказываются вмъ'стъ' съ тЬмъ и подобными B06). Поэтому фигуры эти наз. фигурами подобными и подобно расположенными. 216. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ окружн сетью (центра О, черт. 197) есть также окружность; центръ (Ot или Ои) этой окружности лежитъ въ TOHKt, сходственной съ центромъ первой окружности; отношежэ рад"|>са этой окружности къ рад|усу перзол гавно отношению подоб1я. Пусть S есть центръ подоб1я и к отношеше подоб1я (на нашемъ чертеж'в мы взя- ли й=У2)- Возь- мемъ въ данной ок- окружности произ- произвольный рад1усъ О А и построимъ отр'взокъ ОхАи по- подобно расположен- Черт. 197. ный съотр'ЬзкомъОЛ. По доказанному раньше B13) О1А1\\ О А иО1А1: О А —к, т.-е. О1Л1 = О^../с = Rk, ели буквою R обозначимъ рад1усъ даннаго круга. Изъ посл'вд- няго равенства видно, что длина ОгАг не изменяется при изменены положен1я рад1уса О А. Поэтому если станемъ вращать этотъ рад1усъ вокругъ центра О, то подобно расположенный отр'Ьзокъ О1А1 будетъ вращаться вокругъ точки Ои при чемъ длина его не будетъ изменяться; значитъ, точка ^4.1опишетъ при этомъ окружность, которой центръ есть О1ирад1усъ #1} удовлетворяющ1й равенству: R1 = O1A1~OA.k — Rk. Такъ же докажемъ, что теорема остается верной и при обратномъ подоб1и (получается окружность центра Ои съ рад1усомъ ОпАп). 217. Теорема. Всякя дв% окружности можно разематривать, какъ по* добно расположенныя относительно некоторыхъ центровъ подоб'т. в Черт. 198, Пусть (черт. 198) О и Ог будутъ центры двухъ окружностей и R и R1 ихъ рад1усы. Возьмемъ каше-нибудь рад1усы О А и О1А1, парал-
— 169 — лельные между собою, и черезъ концы ихъ А и Ах проведемъ неогра- неограниченную прямую. Пусть точка пересвчетя этой прямой съ лишей центровъ будетъ S. Докажемъ, что эту точку можно разсматривать какъ центръ прямого подоб1я данныхъ окрулхистей. Изъ построешя видно, что SO1_O1A1_ Пг SO UT~~ К Поэтому, если, взявъ за центръ прямого подоб1я точку 8 и за отношете подоб1я число k—Rx : #, мы пастроимъ фигуру, подобно расположенную съ окружностью О, то, согласно предыдущей теорем^, эта фигура и будетъ окружность 0г. Значитъ, дв-в данныя окружности суть фигуры?, подобно расположенныя относительно центра прямого подоб1я 8, Такъ же убедимся, что если возьмемъ параллельные рад1усы О А и ОгАц, которыхъ направлешя противоположны, и черезъ концы ихъ А и Ац проведемъ прямую, то эта прямая пересвчетъ лишю центровъ въ точк'в 8и которую можно принять за центръ обратнаго подоб1я данныхъ окружностей. Если рад1усы R и Rx данныхъ окружностей будутъ равны, то пря- прямая ААХ не пересъ'четъ лин1и центровъ; въ этомъ случай не суще- ствуетъ прямого подоб1я, а есть только обратное. 218. ЗамЪчаше. Вообразимъ, что лучъ подоб1я 8А (черт. 198) все болЪе и бол'ве отклоняется отъ лиши центровъ. Тогда точки А и В, въ которыхъ этотъ лучъ пересекается съ окружностью О, будутъ все бол^е и бол^е сближаться между собою; при этомъ и сходственныя имъ точки Аг и Вх будутъ также сближаться между собою, и въ тотъ моментъ, когда точки А и В сольются въ одну точку М, точки А± и Вх также сольются въ одну точку Ми и тогда лучъ подоб1я сдвлается общею внешнею касательною къ даннымъ окружностямъ. Такимъ образомъ, общая внешняя касательная къ 2-мъ окружностямъ (если она существуетъ) проходитъ черезъ центръ S ихъ прямого подоб1я. Такъ же можно разъяснить, что общая внутренняя касатель- касательная къ 2-мъ окружностямъ (если она существуетъ) проходитъ черезъ центръ Sx ихъ обратнаго п о д о б i я. Добавлеше: «если она существуетъ» мы должны сделать потому, что центры подоб1я 2-хъ окружностей существуютъ всегда (по крайней м^р^ обратнаго подоб1я), тогда какъ обция касательныя существуютъ не всегда (см. замЪчан1е къ задач'Ь § 142). Указанное свойство общихъ касательныхъ даетъ простой способъ ихъ построешя. Найдя центры 8 и Sx прямого и обратнаго подоб1я двухъ окружностей (посредствомъ проведен1я параллельныхъ ра- д1усовъ ОА, 01А1 и 0хАп, черт. 198), черезъ каждый изъ нихъ про- водятъ касательныя къ одной изъ двухъ окружностей; эти касательныя должны касаться и другой окружности.
— 160 — ГЛАВА IV. НЪкоторыя теоремы о прспоршональныхъ лин1яхъ. 219. Теорема. Стороны угла, пересЬкаемыя рядомъ па- раллельныхъ прямыхъ, разсЬкаются ими на пропорцшнальныя части. Пусть стороны угла ABC (черт. 199) разсЬкаются рядомъ параллельныхъ прямыхъ; ВВЪ ЕЕЪ Черт. 199. (или: ВВ : DE=BD± : ... на части: БД DE, EF (сторонаВС); Ъ D1E1,EF1 (сторонаВС). Требуется доказать, что части одной стороны пропорщональ- ны соотв'Ьтствующимъ частямъ ругой стороны, т.-е. что: BD DE EF DE : EF=D1E1 : Е^; и т. д.) Проводя вспомогательные прямыя DM, EN..., параллель- ныя В А, мы получимъ тр-кп BDD±, DEM, EFN..., которые всЪ подобны между собою, такъ какъ углы у нихъ соответ- соответственно равны (всл'Ьдств1е параллельности прямыхъ). Изъ ихъ подоб1я сл^дуетъ A97, зам'Ьчан1е): BD DE Зам'Ьнивъ въ этомъ ряду равныхъ отношенш отр'Ьзокъ DM на D1E1, отр'Ьзокъ EN на ЕгЕъ... (противоположныя стороны параллелограммовъ равны), мы получимъ то, что требовалось доказать. 220. GJTfeACTBie. Дв-Ьпрямыя (АВ и АгВъ черт. 200), пересекаемый рядомъ параллельныхъ прямыхъ (ССЪ ВВ1л ЕЕХ...), равсЬкаются ими на пропорц1ональныя части.
161 Предположимъ сначала, что прямыя АВ и А,ВХ т*р парал- параллельны. Тогда он* обра- зуютъ н*который уголъ. Прим*няя къ этому углу предыдущую теорему,, мо- жемъ написать: СВ _ BE __ EF f^T\ ~f\ jp 771 771 x XX XX (части сторонъ угла, при- Черт. 200. мыкаюшдя къ его вершин*, мы отбрасываемъ). Если теперь допустимъ, что АВ\\АгВъ то пропорщональ- ность частей этихъ прямыхъ не нарушается и въ этомъ случа*,. такъ какъ тогда соотв*тственныя части не только пропорщо- пропорщональны, но и равны (CD=CiDi, BE—ByE^ и т: д.). 221. Обратная теорема. Если на сторонахъ угла рт- ложимъ отъ вершины пропорц'юнальныя части, то прямыя, соединяющ'ш соотвЪтственные концы ихъ, параллельны. Пусть на сторонахъ угла ABC (черт. 201) отложены огь вершины на сторон* ВС части: ВВ, DE...... на сторон* В А части: ВВг, BXEV..\ и пусть части одной стороны пропорщональны застймъ другой стороны, т.-е.: ВВ BE Требуется доказать, что прямыя ВВЪ ЕЕХ..Л пат)я.ттдельны. Предположимъ, что эти пря- прямыя непараллельны. Тогда, проведя черезъ точку Е прямую, параллельную ВВХ G7), мы получимъ н*которую линш, не сливающуюся съ ЕЕХ\ пусть это будетъ прямая ЕЕп. Согласно предыдущей теорем*, мы будемъ им*ть: ВВ BE В D Е1 Ен Черт. 201. ВВ BE - ; но но услов1Ю: и
— 162 — D1Ei1=DlEb что при нашемъ предположенш невоз- невозможно; значитъ, нельзя допустить, чтобы прямыя ВВХ и ЕЕг быйй непараллельны; остается принять, что ВВг II ЕЕХ. 222. Теорема. Дв-fe параллельныя прямыя (MN и Ж^, черт. 202), ррес-Ькаемыя рядомъ прямыхъ (ОА, ОВ, ОС, ....), исходящихъ\изъ одной и той же точки (О), разсЪкаются ими на лропорфональныя части. Требуете^доказать, что части: АВ, ВС, СВ,... прямойMiVnpo- пордюнальны частямъ АгВъ ВгСъ C-J)^..прямой М^г.— Изъ подоб1я тр-ковъ ОАВ и О А хВг A96), загбмъ тр-ковъ ОВС и ОВхСг выводимъ: В0_ ВО __ ВС ВгО ~ ВгСгл АВ ВС Черт. 202. Откуда: AI D Е Подобнымъ же образомъ доказывается пропорщональность и прочихъ частей. 223. Задача. Разделить отр'Ьзокъ прямой АВ (черт. 203) на три части пропорционально ряду .Щ\1П';Р, гд'Ь m, n и р суть данные отрезки прямой, или данныя числа. Проведя неограниченную пря- мую АС подъ произвольнымъ угломъ къ АВ, отложимъ на ней отъ точки А части, равныя прямымъ т, п и р. Точку F, составляющую конецъ р, соеди- няемъ съ В и черезъ точки отло- отложения проводимъ прямыя, па- параллельныя BF. Тогда^В разде- разделится въточкахъ2)иЕначасти, Черт. 203» пропорщональныя т-.п-.р B19). Если т, п и р'означаютъ кашя-нибудь числа, напр., 2, 5, 3, то построеше выполняется такъ же, съ тою разницей, что на АС откладываются отрезки, равные 2, б и 3 произвольнымъ едини- цамъ длины. «а- (В
163 и ^ 4 Конечно, указанное построеше применимо къ д^ленш не только на 3 части, но и на какое угодно иное число частей. 224. Задача. Къ тремъ даннымъ отр^зкамъ прямой а, Ъ и с найти четвертый пропор- ц1ональный (черт. 204), т.-е. найти такой отр'Ьзокъ прямой х, который удовле- творялъ быпропорцш: а : Ъ = =с : х.—На сторонахъ про- извольнаго угла ABC откла- дываемъ части: BD=a,BF=b, DE=c. Соединивъ зат^мъ D и F, проводимъ EG \\ DF. От- Р'Ьзокъ FG будетъ искомый B19) *). 226. Задача. На б е з к о- нечной прямой MN ' ЧеРт- 204- (черт. 205) найти точки, которыхъ разстоян1я отъ двухъ данныхъ точекъ Аш В этой пря- прямой относились бы, какъ т : п (шип или данные отрезки прямой, или данныя числа). Черезъ А и В проводимъ каюя-нибудь дв'Ь параллельныя прямыя и на нихъ откладываемъ АС=т и BD=BE=n (если шип числа, напр., т—3, п—2, то мы возьмемъ отр'Ьзокъ АС, Ь т равный 3 какимъ-ни- будь единицамъ дли- длины, а отрезки ВТ) и BE, равные 2 такимъ же единицамъ). За- гЬмъ проведемъ пря- прямыя черезъ точку С и каждую изъ точекъ Ей В. Очевидно, ка- каковы бы ни были ш и п, прямая СЕ всегда пересечется съ MN *) ОтрЪзокъ с можно откладывать, такъ же какъ и а, отъ вершины угла В\ тогда и отрЪзокъ х отложится тоже отъ этой вершины. При такомъ построенш nponopniiTa : & = с : х выводится изъ подоб1я тр-ковъ
— 164 — въ некоторой точки F; прямая же CD пересечется съ MN только въ томъ случай, если тфп, причемъ точка пересЬчешя G будетъ лежать направо отъ В, если т^>п (какъ у насъ на чертежи), или налево отъ А, если m<Cyi. Докажемъ, что точки F и G удо- влетворяютъ требованш задачи. Действительно, изъ подобья треугольниковъ ACF и FBE, а зат^мъ изъ подоб!я тр-ковъ ACG и BDG находимъ: FA : FB=AC : ВЕ=т : п GA : GB=AC : BD=m : п.. Кром^Ь этихъ двухъ точекъ на прямой MN нЪтъ ни одной точки удовлетворяющей треСован1Ю задачи. Действительно, если точку F (черт. 206) передвинемъ ближе къ Л, то FА уменьшится, a FB уве- увеличится, потому стпошеше FЛ : FB уменьшится; если же точку F А В ^ F , Черт. 206. перем^стимь ближе къ В, то FА увеличится, a FB уменьшится, и погэму отношете FA : FB увеличится. Значить, между А и В, кромЪ точки F, не можетъ существовать никакой другой точки, разстоян1я которой отъ А и В относились бы между собою, какъ т : п. Возьмемъ теперь какую-нибудь точку Gu лежащую между В и {?, и допустимъ, что GXA : GtB = GA : GB = m : п. Чтобы доказать невозможность этой пропорцш, составимъ изъ нея следующую производную пропорц1ю: (GXA—GXB) : G1B=(GA—GB) : OB, т.-е. АВ : GtB=AB : GB; Откуда получимъ: GXB = GB. Такъ какъ это равенство невозможно, то значитъ, невозможна и допущенная нами пропорщя, и потому нельзя допустить, чтобы между А и G существовала какая-нибудь точка, удовлетворяющая требо- вашямъ задачи. -Такъ же можно доказать, что никакая точка G2, лежащая направо отъ С?, не-можетъ удовлетворить этимъ требовашямъ. Наконецъ, если возьмемъ какую-нпбудь точку К, лежащую на* л^во отъ А, то для нея, очевидно, КА<КВ, и потому отношеше ЦА : KB меньше I иг сл^д., оно не можетъ равняться отношению
— 165 — ж : п, которое больше 1 при w>n (если m<n, то точка G будетъ находиться налево отъ А9 а направо отъ В не будетъ ни одной точки, удовлетворяющей 1°. Когда т=п, существуете только одна точка (лежащая на середин^ между 4 и В), которая удовлетво- удовлетворяете требованш задачи, такъ какъ разстояшя какой-нибудь другой точки прямой MN отъ точекъ А и В не могутъ быть равными. 2°. О точкахъ F и G, удовлетворяющихъ пропорщи FA : FB=GA : GB=m : п, говорятъ, что они д'Ьлятъ въ дан- номъ отношенш m : п отр^зокъ АВ (черт. 205) внутрен- нимъ и вн^шнимъ образомъ (точкаFвнутреннимъ, а точка G вн'Ьшнимъ); говорятъ также, что точки JF и G д'Ьлятъ отрйзокъ АВ гармонически. 226. Теорема. Биссектрисса любого угла треугольника, какъ внутренняго, такъ и вн*Ьшняго, пересЬкаетъ противопо- противоположную сторону или ея продолжете въ такой точкЪ, которой pa3CT0flHifl ОТЪ КОНЦОВЪ ЭТОЙ СТОРОНЫ ПрОПОрЦШНаЛЬНЫ COOTBtT- ственно другимъ сторонамъ треугольника. Пусть (черт. 207) BD есть биссектрисса внутренняго, a BD±— биссектрисса вн^шняго угла тр-ка ABC. Требуется доказать, что точки D и ?>! д'Ьлятъ сторону АС внутреннимъ и вн'Ьшнимъ образомъ на части, пропорщональныя сторонамъ В А и ВС, т.-е., что: ВА Черезъ вершину С проведемъ ЕЕг II АВ до пересЬчешя съ обеими биссектриссами (80, 1°). Тр-кн ABB и DEC подобны (углы при В равны, какъ вертикальные, уг. 1=уг. 5, какъ углы внутр. накрестъ лежапце при параллельныхъ); точно такъ же подобны тр-ки ABDX и CE^D^ Изъ подоб!я ихъ находимъ: ВА ВА ВХА ВА ______ — [""I "!• — ^ ВС ЕС L J' ВХС СЕг Чтобы перейти отъ этихъ пропорщи къ тЗшъ, которыя требуется доказать,-достаточно убедиться, что ЕС=ВС и СЕг=ВС. Такъ
166 в какъ уг. 2=уг. 1 (по условш) и уг. 5=уг. 1 (какъ внутренше накрестъ лежащее при параллельныхъ), то уг. 2=уг. б, и потому въ ДЕВС стороны ЕС и ВС равны; съ другой стороны, уг. 3=уг.4 (по условш) и уг.6=уг.4 (какъ углы внутр. накр. лежапце при параллель- параллельныхъ); значитъ уг. 3=уг. 6, и потому въ ДВСЕг стороны СЕг и ВС равны. Зам'Ьнивъ теперь въ пропорщяхъ [1 ] и [2 ] отрезки Е С и СЕг на ВС, полу- чимъ гё пропор- щи, которыя тре- требовалось доказать. Численный прим'Ьръ. Пусть AB=W, BC=1 и АG=6. Тогда биссектриссы BD и ВВг опред'Ьляютъ точки В и 2)ь которыхъ разстояшя отъ А ? С можно найти изъ пропорцш: В А _10 ВХА_ 10 ~BC~~7R В^С^ V ВАЛ-ВС 17 DiA—DiP 3 откуда: Черт. 207. DA 6 т.-е. значитъ: = Го и 17 и ВгА 6 3 60 - 17 И 60 "з Для биссектриссы вн-Ьшняго угла тр-ка теорема не применима въ томъ случай, когда этотъ внйштй уголъ лежитъ при вершин* равнобедреннаго тр-ка. Действительно, легко доказать, что въ этомъ случай (если АВ=ВС, черт. 207) биссектрисса ВВг параллельна АС. 227. Обратная теорема. Если прямая, исходящая изъ вершины треугольника, пересЬкаетъ противоположную сторону (или ея продолжеше) въ такой точк*Ь, которой разстояшя до концовъ этой стороны пропорцтнальны соответственно двумъ
-- 167 — другимъ сторонамъ, то она есть биссектрисса угла треуголь- треугольника (внутренняго или внЪшняго). Пусть D и Dx (черт. 208) дв'Ь точки, удовлетворяюпця про- порщямъ: DA В А ВгА В А ' r'Z ri т А : гА В А r-i т. А . — : то"] L J' DC ВС L J* DC ВС L J' DiC ВС Требуется доказать, что прямыя ВТ) и ВЬг д'Ьлятъ пополамъ: первая внутреншй, а вторая внешний уголъ тр-ica ABC. '-' " Черт. 208. Проведя черезъ точку С прямую ЕЕг \\ АВ, найдемъ изъ по- цоб\я треугольниковъ: т ^ ВХА В А ¦' Сравнивая пропорцш [3] съ [1] и [4] съ [2], находимъ: *>.-.. . ЕС=ВС и СЕ^ВС. - ч л Поэтому въ тр-к* ВЕС равны у!\лы 2 и 5, а въ треугольник^ ВЕгС равны углы 3 и 6; но уг. 5=уг. 1 (какъ днутренше накр. лежащ1е при пар.) и уг. 6=уг. 4 (по той же причини);-сл'Ьд., уг. 2—уг. 1 и уг. 3=уг. 4, т.-е. BD и BDX суть биссектриссьь 228. Теорема. Геометрическое мЪето точекъ, которыхъ разстоятя отъ двухъ данныхъ точекъ Л и В находятся въ постоянномъ отношен!и т : п, есть окружность, когда т не равно п, и прямая, когда ш—п. Предположимъ сначала, что т не равно п. Тогда на безконечной прямой, проходящей черезъ А и В (черт. 209), можно найти дв'Ь точки принадлежащая искомому геометрическому м'Ьсту B25). Пусть это будутъ точки С и С1э т.-е. СА : С5 = т : п и СХА : С1В^т : п.
— 168 Предположимъ теперь, что существуетъ еще какая-нибудь точка М, не лежащая на прямой АВ и удовлетворяющая пропориш: МА : МВ = т : п. Проведя СМ и МС1у мы должны заключить B27), что первая изъ етихъ прямыхъ есть биссектрисса угла AM В, а вторая—биссектрисса угла BMN; всл'Ьдсг^е этого уголъ СМСь составленный изъ двухъ полови иъ смеж- -N М Черт. 209. ныхъ угловъ, долженъ быть прямой, а потому вершина его- М лежитъ на окруж- окружности, описанной на ССХ, какъ на д1аметр'Ь. Такимъ образомъ, мы дбказали, что всякая точка Л/, принадле- принадлежащая искомому геометри- геометрическому мЪсту, лежитъ на окружности ССХ. Теперь докажемъ обратное пред- ложеше, т.-е., что всякая точка этой окружности принадлежитъ геометрическому мЬсту. Пусть М есть произвольная точка этой окружности. Требуется доказать, что МА : МВ — т : п. Проведя черезъ В прямую DE || AM, Оудемъ им^ть сл'Ъдуюцпя пропорщи: МА : BD = C1A : СгВ = т : п; A) МА : ВЕ= СА : СВ = т : п. B) Откуда BD = BEti т.-е. точка В есть середина прямой DE. Такъ какъ уголъ СМСХ впи- вписанный и оцирается на д1аметръ, то онъ прямой; поэтому /\^DME прямоугольный. BcjT^CTBie этого, если середину В гипотенузы DE примемъ за центръ и опишемъ окружность, то эта окружность пройдетъ черезъ Ж;"значитъ, BD = MB. Подставивъ теперь въ продорщю A) на М'всто BD равную ей прямую MB, будемъ им'Ьть: МА : МВ = т : п. Когда т*=п, разсматриваемое геометрическое мЪсто, очевидно, обра- обращается въ прямую, перпендикулярную къ отрезку А В въ его середин*. ЗаМ'ЪчанХе. Окружность, о которой говорится въ этой теорем в, изв-Ьстна подъ назван]емъ Аполлон'ювой окружности (Аполлон! й— греческШ геометръ, живш1й за 2 вЪка до Р. Хр.).
— 169 — Г Л А В А V. ¦ , Числовыя зависимости между элементами треуголь- треугольника и нЪшорыхъ другихъ фигурь. 229. Теорема. Въ прямоугольномъ треугольник перпендмку- ляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорцшнальная между от^зками гипотенузы, а каждый катетъ есть средняя пропорцшнальная между гипо- гипотенузой и прилежащимъ къ этому катету отрЪзкомъ. Пусть AD (черт. 210) 'есть перпендикуляра*, опущенный изъ вершины прямого угла А на гипотенузу ВС. Требуется доказать сл'Ьдуюпця три пропорцш: о JBD_A? о ВС__АЯ_ о ВС АС АВ DB' AC DC Первую пропорцш мы до- кажемъ изъ подоб1я тр-ковъ ABC и ADC, у которыхъ AD общая сторона. Эти тр-ки по- подобны, потому что острые углы, обозначенные на чертежи одни- одними и т$ми же цыфрами, равны всл4дств1е перпендикулярности Черт. 210. ихъ сторонъ (86, 87). Возьмемъ въ &ABD г? стороны BD и AD, которыя составляютъ первое отношен1е доказываемой пропорцш; сходственными сторонами въ /\ADC будутъ AD и DC\ поэтому: BD : AD=AD : DC. Вторую пропорцш докажемъ изъ подоб1я тр-ковъ ABC и ABD, у которыхъ АВ общая сторона. Эти тр-ки подобны, потому что они прямоугольные, и острый уголъ В у нихъ общШ. Въ ААВС возьмемъ т$ стороны ВС и АВ, которыя составлдютъ первое отношеше доказываемой пропорцш; сходственными сто- сторонами въ &ABD будутъ АВ и BD\ поэтому: ВС : АВ=АВ :BD t Третью пропорцш докажемъ изъ подоб1яяр-ковъ ABQ и ADC у которыхъ АС общая сторона. Эти тр-ки подобны, цртоМу что "ойи оба прямоугольные и имйють обпцй острый уголъ С. Въ
— 170 — АЛВС возьмемъ стороны ВС и АС\ сходственными сторонами въ &ADC будутъ АС и DC; поэтому: ВС : АС^АС : DC. 23О.-Сл'Ьдетв1е. Пусть А (черт. 211) есть произвольная точка окружности, описанной на д1аметргЬ ВС. Соединивъ концы д!аметра съ этою точкою, мы по- лучимъ прямоугольный тр-къ ABC, у котораго гицотенуза есть д1а- метръ, а катеты суть хорды. При- Применяя доказанную выше теорему къ этому треугольнику, приходимъ Черт. 211. къ следующему заключенно: Перпендикуляръ, опущенный изъ какой-либо точки окружности на д1аметръ, есть средняя пропорцтнальная между отрЪзками д1аметра, а хорда, соединяющая ату точку съ концомъ д|"аметра, есть средняя пропорцшнальная между д1аметромъ и прилежа- щимъ къ хорд* отрЪзкомъ его. 231. Задача. Построит?» среднюю nponopijio- нальную между двумя конечными прямыми а и Ъ. .. Дредыдущее сл/Ьдств1е позволяетъ решить эту задачу двоя- кимъ путемъ. 1°. На произвольной прямой (черт. 212) откладываемъ ;, части АВ=а и ВС=Ъ; на АС, какъ на д1аметргЬ, описы- ваемъ полуокружность; изъ В возставляемъ до пересЬчетя съ окружностью перпендику- перпендикуляръ BD. Этотъ перпендику- перпендикуляръ и есть искомая средняя про- порщональная между АВ и ВС. Черт. .212. 2°. На произвольной прямой (черт. 213) откладываемъ отъ точки А части а и Ъ. На большей изъ этихъ частей описываемъ полуокруж- полуокружность. Проведя изъ конца меньшей части перпендикуляръ къ АВ до пересбчешя его съ окружностью въ точки D, соединяемъ А съ D. Хорда В 4 , Черт, 213. AD есть средняя пропорциональная между а и Ъ.
— 171 — 232. Теорема. Если стороны прямоугольна™ треугольника измЪрены одною единицею, то квадратъ числа, выражающаго гипотенузу, равенъ сумм* квадратовъ чиселъ, выражающихъ катеты. Пусть ABC (черт.214) есть прямоугольный тре- угольникъ и AD пер- пендикуляръ, опущен- опущенный на гипотенузу изъ вершины прямого угла. Тогда, какъ было дока- доказано B29), ВС : АВ=АВ : BD и ВС : АС=АС : DC. В Черт. 214. Когда стороны даннаго треугольника и отрезки гипотенузы выражены числами, то мы можемъ применить къ этимъ пропорщямъ свойство числовыхъ пропорщй, по кото- которому произведете среднихъ членовъ равно произведетю край- нихъ: АВ2=ВС . BD и АС2=ВС . DC. Сложивъ эти два равенства, получимъ то, что требовалось доказать: AB2+AC2=BC(BD+BC)=BC . ВС=ВС2. Эту теорему обыкновенно выражаютъ сокращенно такъ: Квадратъ гипотенузы равенъ суммЪ квадратовъ катетовъ. ПримЪръ. Положимъ, что катеты,измеренные какою-нибудь линейною единицею, выражаются числами 3 и 4; тогда гипоте- гипотенуза въ той же единиц* выразится числомъ ж, удовлетвс ряющимъ уравнешю: ж2=32+42=^9+1|В=25; откуда: ж=1^25=5 *). 233. Численный прим^не^я. Пусть а, Ь, с, Ь,Ъ' и с' (зерт. 214) будутъ числа, выражающ1я въ одной и той же еди- ниц'Ь стороны, высоту и отрезки гипотенузы прямоугольнаго гр-ка ABC. На основанш предыдущихъ теорэмъ мы можемъ вывести слйдуюпия 5 уравнен!й, связываюпця эти 6 чиселъ: с*=ас'; Ъ2=аЪ'\ Ъ,2=Ъ'с'; Ъ'+с'=а; : *) См. ниже § 323 о «Пиеагоровыхъ» треугольникахъ.
— 172 — Изъ этихъ уравненШ только перщя четыре самостоятельны, а последнее состдвляетъ ^'fcACTBie двухъ первыхъ; вслгЬдств1е этого уравнешя поз?оля|отъ по даннымъ двудоъ изъ щести'чиселъ находить остальныя четыре. Для примера положимъ, что намъ даны отрезки гипотенузы: Ь'=5 метрамъ и с'=7 метр.; тогда: а=Ъ'+с'=12; с=|/"ас'[=V12 . 7=/"Й=9,16б... " =V60=7,745... 234. drfeACTBie. Квадраты катетовъ относятся между собою, какъ прилежащ1е 0Tpt3KM гипотенузы. Действительно, изъ уравнешй предыдущаго параграфа находимъ; 235. Зам4чаше. Въ посл'Ьдующихъ теоремахъ мы будамъ сокращенно говорить: «квадратъ стороны» вместо: к в а д р.а^ъ числа, выражаю щаго сторону, или «произве- «произведете прямыхъ» вместо: произведение чиселъ,вы- ражающ и х.ъ п р я м ы я. При этомъ будемъ подразуме- подразумевать, что прямыя измерены одною и тою же единицею t,. 236. Теорема. Во всякомъ треугольник квадратъ сто- стороны, лежащей противъ остраго угла» равенъ сумм* квадратовъ двухъ другихъ сторонъ безъ удвоенна™ произведения какой-ни- какой-нибудь изъ этихъ сторонъ на отр-Ьзокъ ея отъ вершины остраго угла до высоты. Пусть ВС есть сторона тр-ка ABG (черт. 215 или 216), лежа- лежащая противъ остраго угла А, и ВВ высота, опущенная на какую- лй^о изъ остальных^ сторонъ, напр./на АС (или на продолжите АС). Требуется доказать, что ' * г , , ВС2=АВ2+АС2—2АС. АВ. и' ¦ • ' ... Йзъ ирямоугрлгьнаго тр-ка ВВС?выводимъ: ВС*=ВВ2+ВС2 , [1]
— 173 — Определи мъ каждый жзъ квадратовъ BD2 и DC2. И&ъ прямо- угольнаго тр-ка BAD находимъ величину BD\ а именно: [2] Черт, 215. Черт. 216. Съ другой <угороЕы:1УС—АС— AD (черт. 215) или DC=AD—AC (черт. 216). Ёъ обоихъ случаяхъ для DC2 получимъ одно и то же выражете: '.".'. J)C2=(AC—AJ}J=AC2—2AC . AD+AB2 V DC2=(AD—ACJ=AD2—2AD . AC+AC2 j "Тейёрь ^айенство [1] можно переписать такъ: L J* • ' BCZ=AB2—AIP+AC2—2AC . AD+AD*. . Это равенство, посл'Ь уничтожешя подчеркнутыхъ членовъ —AD2 и +AD2, и есть то самое, которое требовалось доказать. Зам"Ьчате. Теорема эта остается верною и тогда, когда уголь С прямой; тогда отрйзок^ CD обратится въ нуль, т.-е. АС сд^й^тсй раиной AD, и мы будемъ им^ть: ВС2=АВ2+АС2—2АС2=АВ2—АС2, что согласуется съ теоремою о квадратЬ гипотенузы B32). 237. Теорема. Въ тупоугольномъ треугольник квадратъ стороны, лежащей противъ тупого утла, равенъ cyMMt квадра- товъ двухъ другихъ сторонъ, сложенной съ удеоеннымъ произ- веден'|емъ какой-нибудь изъ этихъ сторонъ на 0Tpt30K-b ея продолжежя отъ вершины тупого угла до высоты.
— 174 — - Пусть, АВ есть сторона тр-ка ABC (черт. 217), лежащая про- противъ тупого угла, С и BD—высота, опущенная на какую-либо изъ остальныхъ сторонъ; требуется доказать, что АВ2=АС2+ВС2+2АС . CD. Изъ прямоугольныхъ тр-ковъ ABD и CBD выводимъ: AB2=BD2+AD2; [l] BD2=BC2—CD2. [2] Но AD2=(AC+CDJ= =АС2+2АС . CD+CD2. [3] Зам'Ьнивъ въ равенств* [1] BD2 Черт. 217. и AD2 ихъ вкражешями изъ ра- венствъ [2] и [3], найдемъ: АВ2=ВС2—CD2+AC2+2AC . CD+CD2. Такъ какъ подчеркнутые члены—CD2 и +CD2 взаимно уничто- уничтожаются, то это равенство и есть то, которое требовалось доказать. 238. CjrfeACTBiei Изъ трехъ посл'Ьднихъ теоремъ выю- димъ, что квадрата стороны треугольника равенъ, меньше или больше суммы квадратовъ другихъ сторонъ, смотря по тому, будетъ ли противолежащШ уголъ прямой, острый или тупой; отсюда сл'Ьдуетъ обратное предложеше E1): Уголъ треугольника окажется прямымъ, острымъ или тупым ъ, смотря по тому, бу- будетъ ли, квадратъ противолежащей сто- роны равенъ, меньше или больше суммы квадратовъ другихъ сторонъ. ПримЪръ, Стороны тр-ка равны: 1) 5Г 3, 4. Такъ какъ 52=32+42, то уголъ, лежащШ противъ стороны 5, прямой. 2). 8, 4, 7. Такъ какъ 82<42+72, то уголъ, лежащШ противъ стороны 8, острый. 3) 8, 4, 5, Такъ какъ 82>42+б2, то уголъ, лежапцй противъ стороны 8, тупой.
— 175 — 239. Теорема. Сумма квадратовъ д1агоналей параллело* грамма равна сумм* квадратовъ его сторонъ. Изъ вбрпшнъ В и С (черт. 218) параллелограмма ABCD опу- стимъ на основате AD перпен- перпендикуляры BE и CF. Тогда изъ тр-ковъ ABB и ACD находимъ: BD2=AB2+AD2—2AD . АЕ\ AC2=AD2+CD2+2AD . DF. Прямоугольные тр-ки ABE и DGF равны, такъ какъ они им'Ьютъ по равной гипотенуз^ и равному острому углу; поэтому AE=DF. Зам'Ьтивъ это, сложимъ два выведенныя выше равен- равенства; .тогда подчеркнутые члены взаимно уничтожатся; и мы получимъ: " BD2+AC2=AB2+AD2+AD2+CD2=AB2+AD2+ +BC2+CD2. 240. Вычисление выеотъ треугольника по его сторонамъ. Если в(рлины тр-ка обозначены большими бук- буквами А, В и С, то численныя величины сторонъ этого тр-ка. обыкновенно обозначаютъ соответственными малыми буквами а, Ъ и с, причемъ буквою а обозначаютъ ту сторону, которая лежитъ противъ угла А, буквою Ъ—ту сторону, которая лежитъ противъ угла В, и т. д. Численную величину высоты тр-ка обык- обыкновенно обозначаютъ буквою h (первая буква французскаго Б a Черт. 219. Черт. 220. слова hauteu r—высота), сопровождаемою (внизу) одною изъ малыхъ буквъ: а, Ъ и с. Такъ, высота, опущенная на сторону
— 176 — d\ обозначается fia, высота, опущенная на сторону Ь, обозна- обозначается ЬЪу и т. д. Определишь ha (черт. 219 и 220) въ зависимости отъ сторонъ тр-ка. Обозначать отрезки стороны а (продолженной въ случай тупого угла С, черт. 220) такимъ образомъ: отр*зокъ ВВ, прп- лежапцй къ сторон* с, черезъ с', а отр*зокъ ВС, прилежащШ къ сторон* Ь, черезъ Ь'. Пользуясь теоремою о квадрат* стороны тр-fca, лежащей противъ остраго угла B36), можемъ написать: Ъ*=а2+с2—2ас'. Изъ этого уравнетя находимъ отр*зокъ с': •'.'•- 2а Поел* этого изъ тр-ка ABB опред*ляемъ высоту, какъ катетъ: Ь 2а .*)•) Такимъ же дутемъ можно опред*лить въ зависимости отъ сторонъ тр-ка численныя величины Ьь и Ьс высотъ, опущенныхъ йа стороны Ьи'с, - < . • 241. Вычислеше мед1анъ треугольника по его еторонамъ. Численная величина мед1аны тр-ка обыкновенно обозначается буквою т (начальной бук- буквой слова median e—средняя), со- сопровождаемою (внизу) одною изъ ма- ленькихъ буквъ а, Ъ и с въ зависимости отт> стороны тр-ка, къ которой прове- проведена обозначаемая мед1ана. Опред*лимъ величину та мед!аны, проведенной къ сторон* а (черт. 221). Для этого про- должимъ мед!ану на разстоян!е ВЕ=АВ и соединимъ точку Е прямыми съ В п С. Тогда мы получимъ параллелограммъ А ВЕС A01). Прим*нивъ къ нему теорему о сумм* квадратовъ д!агоналей B39), получимъ: а2+BтаJ=2Ъ2+2с2\ откуда: 4ть2=2Ъ2+2с2—а2 '.*) Ниже, въ § 313. будетъ дана бол-fee простая фор^мула для высоты.
— 177 и, сл'Ьд.: га. - /2Ь2+2с2—а2. Подобнымъ же образомъ можемъ найти величины га4 и га, мед1анъ, проведенныхъ къ сторонамъ Ъ и с. 242. Теорема Птоломея. *) Произведете д1агоналей вписаннаго выпуклаго четыреугольника равно сумм% произведе- произведена противоположныхъ сторонъ его. Пусть АС и ВВ суть д1агонали вписаннаго выпуклаго четыре- четыреугольника (черт. 222); требуется доказать, что АС . ВВ=АВ . СВ+ВС . AD, гд? подъ обозначетями АС> BD и пр. разумеются числа, изм^рякшия д!агонали и стороны въ одной и той же линейной единиц^. С Черт. 222. Черт. 222а. Построимъ уголъ ВАЕ, равный углу ВАС (меньшему изъ двухъ угяовъ, на которые уголъ А делится д!агональю АС); пусть Е будетъ точка пересЬчетя стороны этого угла съ д1аго- налью BD. Тр-ки ABE и ABC (покрытые на чертеж* штрихами) подобны, такъ какъ у нихъ углы В я С равны, какъ вписанные, опираюпцеся на одну и ту же дугу АВ, а углы при общей вер- шин'Ь А равны по построенш. Изъ подоб!я этихъ тр-ковъ выво- выводимы АВ : АС=ВЕ : СВ\ откуда: АС . ВЕ^АВ . СВ. Разсмотримъ теперь другую пару тр-ковъ, а именно: ABC и АЕВ (тр-ки эти на черт. 222,а покрыты штрихами). Они подобны, *) К л а в д i й Птоломей известный астрономъ, живили въ Александрш во 2-мъ в-бк-б по Р. Хр. А. Кнселевъ. Геометр1я. 12
178 такъ какъ у нихъ углы ВАС и ВАЕ равны, какъ суммы соот- в*тственно равныхъ угловъ, а углы АСВ и ABB равны, какъ вписанные, опирающееся на одну и ту же дугу АВ. Изъ ихъ подоб!я сл*дуетъ: ВС : ЕВ=АС : АВ; откуда АС . ЕВ^ВС . АВ. Сложивъ полученныя два равенства, находимъ: АС(ВЕ+ЕВ)=АВ . СВ+ВС .АВ, т.-е. АС . ВВ=АВ . СВ+ВС . АВ. ЗамЪчаше. Подобнымъ же сбразомъ можно было бы до- доказать, что если выпуклый четыреугольникъ не вписанный, то въ немъ произведете д1агоналей меньше суммы произве- произведений протввоположныхъ сторонъ; поэтому теорема, обратная Птоломеевой, в*рна. 243. Задача. По даннымъ р а д i у с у й и двумъ хордамъ а_и Ь окружности вычислить длину третьей хорды, которая стягиваетъ дугу, равную: 1°, сумм* дугъ, стягиваемыхъ хордами а и Ь, 2°, разности этихъ дугъ. 1°. Пусть хорда а (черт. 223) стя- гиваетъ дугу MN, а хорда Ъ—дугу NP; требуется вычислить хорду МР = ж, которая стягиваетъ дугу MNP, равную сумм* дугъ MN и NP.—Проведя черезъ точку N, въ которой сходятся данныя хорды а и Ь, д!аметръ NQ, соединимъ Q прямыми съ точками М и Р. Тогда мы получимъ вписанный четыре- четыреугольникъ, у котораго д1агоналями служатъ: МР=х и NQ=2R. Тр-ки QMN и QNP прямоуголь- прямоугольные, первый при вершин* М, второй—при вершин* Р A73); поэтому: Черт. 223. Прим*нивъ теперь теорему Птоломея, получимъ уравнеше: изъ котораго найдемъ х (разд*ливъ об* части уравнен1я на 2R).
— 179 2°. Пусть хорда а (черт. 224) стягиваетъ дугу MN, а хорда Ъ—дугу NP\ требуется вычислить хорду МР=ж, которая стя- стягиваетъ дугу, равную разности дугъ MN и NP. Проведя снова черезъ точку N, въ которой сходятся 2 данныя хор- хорды, д1аметръ NQ и соединивъ Q съ М и Р, получимъ вписанный четыреугольникъ. Изъ прямоуголь- ныхъ тр-ковъ QMN и QPN находимъ: иPQ= NQ2—MN2=V 4 й2—а2, —PN*=/4:R*-b\ / черт. 224. Прим1шивъ теорему Птоломея, получимъ уравнен1е: aV 4R2—Ъ2= 2 4 В2—аа, изъ котораго опред'Ьлимъ ж. Зам'6чан1е. Задачу эту можно высказать и такъ: п о двумъ даннымъ сторонамъ а и Ъ треуголь- треугольника и рад!усу И описанной около него окружности вычислить третью сторону этого треугольника. Задача эта вообще им^егь 2 решетя, потому чтопрямыя а и Ъ могутъ быть отложены или по разныя стороны отъ д!аметра NQ (черт. 223), или по одну и ту же сторону отъ него (черт. 224). Если большая изъ двухъ данныхъ сторонъ равна 2Й, то получается одно решете, а если эта сто- сторона превосходитъ 2R, то задача невозможна. 244. Теорема. Отношеше Д1агоналей вписаннаго выпуклаго четыре* угольника равно отношемю суммы произведена сторонъ, сходящихся въ кон- цахъ первой д1агонали, въ суммЪ произведемй сторонъ, сходящихся въ кон* цахъ второй д1агонали. Обозначимъ численныя величины сторонъ вписаннаго выпуклаго четыреугольника ABC В (черт. 225) буквами а, &, с и d и его д1аго- налей буквами,ж у. Докажемъ, что ad + hc х у ab-\-cd Тр-ки AFB и FDC (покрытые штрихами) по- подобны, такъ какъ углы одного соответственно Черт. 225. 12*
„ 180 — равны угламъ другого; по той же причин^ подобны и тр-ки ADF и FSG. Изъ ихъ подоб!я выводимъ: а __ AF_ BF. с ~~ DF~~ СЕУ d = DF AF Ь ~ CF~~ BF' И«ъ втихъ пропорцШ находимъ: AF=—. DF; DF = 4-- OF. с b Откуда: AF~- (-f« CF) =Tc' CF и, ad -f be т..е. .*=_— Пользуясь гвми же равенствами [1] и [2], получимъ: d т.-е. y^^JT- CF- Разд'вливъ равенство [З] на [4], получимъ ту nponopyiio, которую требовалось доказать (be и CF сократятся). 245. Вычислен!е д!агоналей вписаннаго четыреуголь- НИКа ПО его СТОронамъ. Пользуясь теоремой Птоломея и теоремой объ отношенш д1агоналей вписаннаго четыреугольника, мы легко молшмъ вычислить отдельно каждую его д!агоналъ, если из- известны Bc1i стороны. Такъ, для чертежа 225-го мы будемъ имЪть: х ad-\-bc Если эти 2 равенства почленно перемножимъ и зат'Ьмъ почленно разд"Ьлимъ, то получимъ (по извлечети квадратнаго корня): _1 f{ac + bd) (ab-\-cd) V ad + bc Зам'Ьтимъ для памяти, что въ числители подкоренной величины первый множитель есть сумма произведенШ противоположныхъ сто- сторонъ, а второй—сумма произведенШ сторонъ, сходяцшхся въ концахъ определяемой д1агонали, знаменатель же предста- вляетъ сумму произведенШ сторонъ, сходяфихся въ концахъ дру- другой д i а г о н а л и ¦). *) Въ предыдугиихъ издатяхъ этой книги (до 21-го) для вычислешя диагоналей вписаннаго четыреугольника указывался (въ § 214) иной способъ, независимый отъ теоремы Птоломея и отъ теоремы объ отноше- hjh д!агоналей, при чемъ эти двЪ теоремы разематривались, какъ прэ- стыя слгЬдств1я изъ формулъ,.опредЪляюфихъ диагонали. Въ перерабо-
— 181 — 246. Теорема. Если черезъ точку, взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда и д1амётръ, то произведете от- рЪзковъ хорды равно произведен^ отр%зковъ Д1аметра. Пусть черезъ точку М (черт. 226) проведена какая-нибудь хорда АВ и д1аметръ CD; требуется доказать, что МА . МВ=МС . MD. Проведя 2 вспомогательные хор- хорды АС и BD, мы получимъ два тр- ка АМС и MBD (покрытые на чер- х ^ t и ¦ ц теж-Ь штрихами), которые подобны, РУ^^ ^s' такъ какъ у нихъ углы АжВ равны, ч 226 какъ вписанные, опираюнцеся на - * одну и туже дугу ВС, и углы С я В равны какъ вписанные, опирающееся на одну и ту же дугу AD. Изъ подоб1я ихъ вы- выводимы МА : MD=MC : MB; откуда: МА . МВ=МС . MD. 247, Сл(Ьдств1е. Если черезъ точку (М, черт. 386), взятую внутри круга, проведены несколько хордъ (АВ, EF, KL.>.), to произве- д а Ц i e отр^зковъ каждой хорды есть число постоянно ед*л я вс'Ьхъ этихъ хордъ, такъ какъ для жаждой хорды это произведете равно произведешю отрйз- ко!Ъ ^а^етра CD, проходящаго черезъ взятую точку М. •Vjiljp" постоянное число равно квадрату рад1уса, улздыпенному на квадратъ разстоян1я ваа?ой точки отъ центра. Д^ЙМЕВ*ельно, обозначивъ рад1усъ круга черезъ R и раз- стоян!ё МО (терт. 226) черезъ d, будемъ им^ть: MC=R—d, MD=B+d; : МА . МВ=МС . танномъ 21-мъ изданш (и въ сл^дующихъ) въ числ* многихъ другнхъ изм*нен1й, мы сочли полезнымъ изложить классическое доказательство теоремы Птоломея, имеющей весьма большое самостоятельное зна- , чен1е; но тогда вычислеше д!агоналей всего удобнее основывать, какъ это сделано въ текств, на теорем* Птоломея и теорем^ § 244*
1 оо «... 248. Теорема. Если изъ точки, взятой вн% круга, прове- проведены къ нему какая-нибудь секущая и касательная, то произве- произведете секущей на ея внешнюю часть равно квадрату касатель- касательной (предполагается, что сЬкущая ограничена второю точкою пересЬчешя, а касательная—точкою касашя). Пусть изъ.точки М (черт. 227), проведены какая-нибудь cfe- ¦г кущая МА и касательная МС\ требуется доказать, что МА . МВ=МС2. Проведемъ вспомогательная хорды АС и ВС\ тогда полу- чимъ два тр-ка MAC и МВС (покрытые на чертеж^ штрихат ми), которые подобны, потому что у нихъ уголъ М обпцй, и углы МСВ и CAB равны, такъ какъ каждый изъ нихъ измеряется половиною дуги--ВС A78, 171). Возьмемъ въ A MAC стороны МА и МС\ сходственными сторонами въ Д МВС будуть МС и МВ\ поэтому Черт. 227. Откуда: МА : МС=МС : MB. МА . МВ=МС2. 249. Cn^ACTBie. 1°. Если изъ точки (ЛГДерт. 227), взятой вн* круга, проведены къ нему ни- нисколько сйкущихъ (МА, MD, ME...), то п р о и з- веден1е каждой сЬкущей на ея в ^ЧШ:н ю ю часть есть число постоянное для веб хъ этихъ сЬкущихъ, такъ какъ для каждой сбкущей это произведён1е равно квадрату касательной (МС2), проведенной черезъ точку М. 2°Г Это постоянвгое число равно квадрату раз- стоянДя взятой точки отъ центра, умель- шенно м.у на к в а д р а.т ъ р а д i у с а.
— 183 — Действительно, проведя рад1усъ ОС, получимъ прямоуголь- ный треугольникъ МСО, изъ котораго находимъ: МС2=МО2— CO2=d2—К2. 25O. Теорема. Произведете двухъ сторонъ треугольника равно произведена д1аметра круга, описаннаго около этогЬ тре- треугольника, на высоту его, опущенную на третью сторону. D Черт. 229. Обозначивъ буквою R рад1усъ круга, описаннаго около тр-ка ЛВС (черт. 228 и 229), докажемъ, что Ьс=2й . \, Проведемъ д1аметръ AD и соединимъ D съ В. Тр-ки ABD и АЕС подобны, потому что углы В и Е прямые и D=C, какъ углы вписанные, опираюпцеся на одну и ту же дугу. Изъ подоб1я выводимъ: с : ha=2R : Ь; откуда: Ьс=2й . ha. 251. Теорема. Произведете двухъ сторонъ треугольника равно квад- квадрату биссектриссы угла, заключеннаго между этими1 сторонами, сложенному съ произведешемъ отр-Ьзковъ третьей стороны. - < Обозначивъ биссектриссу AD угла А ,(черт. 230) греческою бук- буквою а, докажемъ, что bc=a2-\~BD . DC. Продолжимъ AD до пере- с*чен1я с>. окружностью въ точки В (эта точка лежитъ въ серединЪ
— 184 — дуги ВС, чакъ какъ углы ВАЕ и ЕАС равны). Тр-ки ABE и ADG подобны, потому что углы при точк* А равны по услов1ю и G = 2?, какъ углы впи- вписанные, опираюцпеся на одну и ту же дугу. Изъ подоб1я ихъ сл'вдуетъ: е : а = АЕ : Ь, откуда &с=»а. АЕ или Ъе=±а(а + DE)=a*+<x . DE. Но а . DE^BD . DC B47, Iе). Поэтому bc=a2 + BD . DC. Е Черт. 230. 252. Вычислен^ Оиссектрисоъ треугольника по его СТОРОНамъ. Изъ равенства [2J предыдуфаго параграфа выводимъ: о3=^с— BD . DC. Отрезки BD и DC можно найти изъ лропорцш BD : DC=*c : Ь B26); откуда: BD + DC Ъ + с ВР+РС_Ъ+с "~ Ь BD и Зам'Ьтивъ, что с DC — a, получимъ: ас . ab Сл-Ьд. а2 = а*Ье Ье аЛ Это выражено можно упростить, если обозначимте периметръ тр-ка, Т.-0. a+b+с, черезъ 2р; тогда Ъ-\-с—>&***%р—^2*^=2(р—а) и ГЛАВА VI. Жунят1е п приложен:и алгебры къ геометрш. 253- Задача. Данный отр^зокъ прямой раз- д i л и т ь в ъ средне мъи крайнемъотношен1и. Эту задачу надо донимать такъ: разделить данный отр'Ьзокъ прямой на такт Д9$ части, чтобы ббльшая изъ низсь была сред-
— 186 — нею пропорциональною между всЬмъ отрезкомъ и меньшею ея частью. Задача будетъ решена, если мы найдемъ одну изъ двухъ ча- частей, на которыя требуется разделить данный отрЪзокъ. Будемъ находить большую часть, т.-е. ту, которая должна быть сред- среднею пропорциональною между всей лшией и мень- меньшею ея частью. Предположимъ сначала, что речь идетъ не о по- строенш этой части, а только объ ея в ы ч и с л е н i и. Тогда задача решается алгебраически такъ: если число, измеряющее въ какой-нибудь единиц* длину даннаго отрезка, обозначимъ а, а число,измеряющее въ той же единице длину большей его части, ж, то число, измеряющее длину другой части, выразится а—х, и, согласно требование задачи, мы будемъ иметь пропорцш: а : х=х : (а—х)\ откуда: х2=а(а—х) или х2+ах—а2=0. Решивъ это квадратное уравнеше, находимъ: =-:+/(Г+-' -ч- Отбросивъ второе решете, какъ отрицательное *), возьмемъ только первое положительное решете, которое удобнее пред- представить такъ: «1 У о Покажемъ прежде всего, что величина хг меньше а. - *) Не трудно было бы показать, что абсолютная величина этого отрицательнаго рЪшешя даетъ отв'Ьтъ на измененную задачу: дан- данную прямую а продолжить на столько (на х), чтобы продолжен1е было средней nponopnio- нальной между а и а-\-х. Это будетъ тоже дЪлете даннаго отрезка въ среднемъ и крайнемъ отношенш; оно наз. вн'Ьшнимъ въ отличхе отъ знутрен н яго? разсматриваемаго въ текст^.
— 186 — /а\2 /а \ 2 /~ /а\ 2 ~~ а Такъ какъ (-) +а2<1+а\ т0|/ (_) +а2< +а; отнявъ отъ обЗшхъ частей этого неравенства по а, найдемъ, что xx<Cji. Отсюда заключаемъ, что задача всегда возможна и им'Ьетъ только одйо pimeHie. Если бы намъ удалось построить такую прямую, кото- которой длина численно выражается найденной выше формулой, то, нанеся эту длину на данную прямую, мы разделили бы ее въ среднемъ п крайнемъ отношенш. Итакъ, вопросъ сводится къ построен1ю найденной формулы. Разсматривая отдельно выражеше |/ [-) +а2, мы * / © чаемъ, что оно представляетъ собою длину гипотенузы такого прямоугольнаго тр-ка, у котораго одинъ катетъ равенъ a, a другой а/2. Построивъ такой тр-къ, мы найдемъ прямую, вы- ражаемую формулой |/ (-) +а2. Чтобы получить за^мъ длину «1, достаточно изъ гипотенузы построеннаго треугольника вычесть а/2. Такимъ образомъ, построеше можно выполнить такъ: д'Ьлимъ (черт. 231) данный отр'Ьзокъ АВ D пополамъ въ точки С. Изъ конца В воз- * ставляемъ церпендикуляръ BD и отклады- ваемъ на немъ BD=BC. Соединивъ А съ D • г В прямою, получимъ прямоугольный тр-къ Че т 231 ABB, у котораго катетъ АВ=а, а другой катетъ BD=a/z. Сл-Ьд., его гипотенуза АВ равна |/ /-J -fa2.Чтобы вычесть изъ гипотенузы длину а/2, опишемъ изъ D, какъ центра, дугу рад!усомъ DB=a/2. Тогда отр'Ьзокъ АЕ будетъ равенъ |/ (-) 2+а2 , т.-е. будетъ ра- равенъ хг. Отложивъ АЕ яа АВ (отъ А до G), получимъ точку G,
— 187 — въ которой отрйзокъ АВ делится въ среднемъ и крайнемъ отно- шенш. Зам1эЧан1е. Д-Ьлеше даннаго отрезка прямой въ среднемъ и крайнемъ отношеши наз. также золотымъ д|6лен1емъ. 254. АлгебраическШ споеобъ р*шен1я гео- метричеекихъ задачъ. Мы р-Ьшили предложенную за- задачу путемъ приложен1я алгебры къ геометрш. Этотъ пр!емъ состоитъ въ сл'Ьдующемъ: сперва определяюсь, какую прямую должно отыскать, чтобы можно было решить задачу. Затймъ, обозначивъ численныя величины данныхъ прямыхъ буквами а, Ь, с..., а искомой прямой—буквою ж, составляютъ изъ условш задачи и изв'Ьстныхъ теоремъ урав- неше, связывающее искомую прямую съ данными; полученное уравнеше р^шають по правиламъ алгебры. Найденную формулу изсл'Ьдуютъ, т.-е. опред'Ьляютъ, при всякихъ ли зада- Н1яхъ это формула даетъ возможныя pimeHifl, или только при н^бкоторыхъ, и получается ли .одно решете или несколько. Зат^мъ с т р о я т ъ формулу, т.-е. находятъ построетемъ такую прямую, которой численная величина выражается этой формулой. Такимъ образомъ, алгебраическШ пр1емъ pimenifl геометри- ческихъ задачъ состоитъ въ общемъ изъ сл'Ьдующихъ 4-хъ ча- частей: 1°, составлен1е уравнен! я, 2°, pimeHie его, 3°, изсл'Ьдован1е по j^y ченной формулы и 4°, построен1еея. Иногда задача приводится къ отысканпо н'Ьсколькихъ пря- прямыхъ лиши. Тогда, обозначивъ численныя величины ихъ бук- буквами ж, t/,..., стремятся составить столько уравнешй* сколько неизв'Ьстныхъ. ^ 256. Поетроен1е прост'Ьйшихъ Формулъ. Ука- жемъ npocrtfiniin формулы, которыя можно построить посред- ствомъ циркуля и линейки; при этомъ будетъ пр^дЙ<65Й1гай, что буквы а, Ь, с... означаютъ величины данныхъ конечныхъ прямыхъ, а х величину искомой. Не останавливаясь на такихъ форму лахъ: ж=а+Ь+с, х=а—Ъ, ж==2а, За..., ; построен1е которыхъ выполняется весьма просто, перейдемъ сложнымъ:
— 188 — а а 2 1 . Формулы х=~, -,...ж=-а,... и т. п. строятся посред- 4 о о ствомъ д^летя прямой а на равкня части F9,7; 114) и загЬмъ, если нужно, повторешемъ одной части слагаемыхъ 2, 3... и т. д. раза. аЪ 2 • Формула ж=— представляетъ собою четвертую с Пропорциональную къ прямымъ с, а и Ь. Действи- Действительно, изъ этого равенства выводимъ: ч сх=аЪ, откуда с : а=Ь : ж. Ол'Ьд., ж найдется способомъ, указаннымъ нами B24) для построещя 4-й пропорциональной. а2 3°, Формула х==т; выражаетъ четвертую пропорщональную къ црямымъ Ь, а и а; или какъ говорятъ, третью пропор- пропорциональную къ прямымъ Ъ я а. Действительно, изъ дан- наго равенства выводимъ: Ь#=а2; откуда Ъ : а=а : х. Сл^д., х найдется гЬмъ же способомъ, какими (Кшскивается 4-^1 шропорц1ональная (только прямую а придется откладывать два раза) *). 4°. Формула x=Vdb выражаетъ среднюю пропор- д!Ональпую между а и Ъ. Действительно, изъ нея выво- х2=аЪ] откуда а : ж=ж : Ь. ., х найдется епособомъ, указаннымъ раньше для по- средней пропорщональной B31). , формула X—V а*+Ъ* выражаетъ гипотенузу прямо- прямого тр-ка, у котораго катета суть а и Ь. *) Можно также построить ж, основываясь на теорем* § 229: отло- жимъ BD*=*a (см. черт. 210); проведемъ DAJ_BD\ отложимъ DA — Ъ; соединимъ В съ А прямой; проведемъ ACJ_AB. Тогда отр-взонъ DC и будетъ искомая Лин1я, такъ какъ BD : JJA = RA : DC. Если а<&, то построенie можно выполнить еще иначе, при помощи полуокруж- полуокружности <см. ^ерт:. 2Ц), приняйгь за д1аметръ ВС отр'Ьзокъ Ъ, а ва хорду В А отр'Ьаокъ а; тогда искомая литя будетъ BJ>.
— 189 — 6°. Формула x—V az—Ъ2 представляетъ катетъ прямо- угольнаго тр-ка,укотораго гипотенуза есть а, а другой катетъ Ь. Построеше всего удобнее выполнить такъ, какъ указано въ § 174. Указанныя формулы можно считать основными. При помощи ихъ строятся бол'Ье сложныя формулы. Напр.: abed 7°. ж=~7"-. Разобьемъ дробь на множителей такъ: аЪ с d db х=— ' —/ - и положимъ, что ——к. Тогда к найдемъ, какъ е f q в 4-ю пропорщональную къ е, а и Ъ. Найдя fc, будемъ им^ть: кс d kc х=~- -• Положимъ, что "т=1. Тогда I найдемъ, какъ 4-ю про- / У I порщональную къ лишямъ /, к и с. Найдя ?, будемъ имйть U х=-; сл'Ьд., х есть 4-я пропорциональная къ д, I ж d.* у Подобнымъ образомъ строятся также и формулы вида: аЪс.М ат Х==а'Ъ'с'...к' ИЛИ Х== т.-е. ташя формулы, въ которыхъ числитель и знаменатель представляютъ пройзведен1е лянейныхь множителей (буквъ, означающихъ лиши), причемъ числитель содержитъ этихъ множителей на одинъ больше, ч^мъ знаменатель. 8°. х=а\/ —. Подведя а подъ знакъ радикала, получимъ: (. х=а\/ —. V 3 х= _  Отсюда видимъ, что х есть средняя пропорциональная между прямыми а и 2/3а. 9°. x=Va2+b2—c2+d2. Положимъ, что а2+Ъ2=*к2. Тогда к найдется, какъ гипотенуза прямоугольнаго тр-ка, у котораго катеты суть а и Ь.ПостроивъТс, положимъ, что k2+d2—l2. Тогда I найдется, какъ гипотенуза прямоугольнаго тр-ка, у котораго катеты суть к и d. Построивъ Z, будемъ им$ть: x=V 12—с2. СлФд., х есть катетъ такого тр-ка, у котораго гипотенуза Z, а другой катетъ с.
— 190 10. ж==а2У а2±Ъс. Если положимъ, что bc=fc2, то найдемъ fc, какъ среднюю пропорщональную между Ъ и с. Тогда x=Va2±k2. найдется, какъ было выше указано въ случаяхъ 5-мъ и 6-мъ. 11°. ж=к а4+Ь4. Положимъ, что а4 а2 а а a4=b3t/; отсюда: ^=-=- • - • - Изъ этого выражешя видно, что у найдется посредствомъ троекратнаго построешя 4-й пропрощональной. Построивъ у% будемъ им^ть: х=]/Ъ*у+Ъ*= у Уъ\у+Ъ)= Г/ ъУЪ(у+Ъ).. Выражеше V Ъ(у+Ъ) представляетъ прямую, которая есть средняя пропорщональная между Ъ и у+Ъ. Пусть эта пряиая будетъ fe. Тогда x=\bk; значить, х найдется, какъ средняя пропорщональная между Ъ и к. Ограничимся этими примерами. Зам^тимъ, что подробное разсмотрйше способовъ построешя алгебраическихъ формулъ приводить къ следующему важному выводу: помощью линейки и циркуля возможно строить только ташя алгебраичешя выражешя, которыя или вовсе не содержать ра- дикаловъ, или же содержать только радикалы съ показате- показателями 2, 4, 8..., т.-е. съ показателями, равными степени 2-хъ *). УПРАЖНЕН1Я. Доказать теоремы. 189. Прямая, проведенная черезъ середины основашй трапецш, проходить черезъ точку пересЪчешя непараллельныхъ сторонъ и черезъ точку пересЪчетя д!агоналей, 8 *) Напр., нельзя построить выражеше a;=i/r2ay, т.-е.—другими словами—нельзя только помощью циркуля и линейки решить зна- знаменитую съ древнихъ временъ задачу объ удвоен1и дан- наго куба (со стороною а). Объ однородности уравнешй, получаемыхъ при р^шенш геометрическихъ задачъ, а также о построенш корней квад- ратнаго уравнен1я см. ниже, §§ 342, 343.
— 191 — 189а. Если въ тр-кЪ изъ вершины угла, лежащаго между неравными сторонами, проведены биссектрисса и медДана, то первая меньше второй. 189&. Прямая, проходящая черезъ середину основашя равнобед- реннаго тр-ка и ограниченная одною боковою стороною и продолже- н1емъ другой боковой стороны, больше основан1я этого тр-ка. 190. Если два круга касаются извн'Ь, то часть внешней общей касательной, ограниченная точками касашя, есть средняя пропор- цшнальная между ддаметрами круговъ. 190а. Доказать, что если А, В и С суть три посл'Ьдовательныя точки прямой и М какая-нибудь точка внЪ прямой, то существуетъ соотно- шеше (теорема Стюарта): . МА2 . ВС+МС* . АВ—МВ* . АС = ВС . АВ .АС (решается при помощи теоремъ §§ 236 и 237). 190&. При помощи этого соотношешя найти выражеше для биссек- триссъ тр-ка въ зависимости отъ его сторонъ (на основанш § 226). ? 191. Сумма квадратовъ сторонъ треугольника равна утроенной сумм'Ь квадратовъ разстояшй отъ точки пересЬчешя мед1анъ до вер- шинъ треугольника (§ 239). 192. Если въ прямоугольный тр-къ ABC вписать квадратъ DEFG такъ, чтобы сторона СЕ лежала на гипотенузЪ ВС, то эта сторона есть средняя пропорцюнальная между отрезками гипотенузы BDn EC. 193. Если двЪ конечныя прямыя АВ и CD пересекаются (хотя бы и при продолженш) въ точк'Ь Е такъ, что ЕВ . ЕА = ЕС . ED, то точки А, В, С и D лежатъ на одной окружности (эта теорема обратна изложеннымъ въ §§ 247 и 249). 194. Дана окружность О и двй точки А и В вн^ круга. Черезъ эти точки проведены несколько окружностей, пересвкающихъ окружность О, или касающихся ея. Доказать, что всв хорды, соединяюция точки пересЪчетя каждой • изъ этихъ окружно- окружностей съ окружностью О, а также и обцпя касательныя, сходятся (при продолженш) въ одной точк'Ь, лежащей на продолженш прямой АВ. 195. Основываясь, на этомъ, вывести способъ построешя такой окружности, которая проходитъ черезъ 2 данныя точки А и В и ка- касается данной окружности О. 196. Даны два KaKie-нибудь круга на плоскости. Если два рад4уоа этихъ круговъ движутся, оставаясь постоянно параллельными, то прямая, проходящая черезъ концы ихъ, пересЪкаетъ литю центровъ всегда въ одной и той же точк'Ь (эта точка наз. центромъ по- подо б i я двухъ круговъ). 197. МедДана тр-ка д'Ьлитъ пополамъ всв прямыя, проведенныя внутри тр-ка параллельно той сторон'Ъ, относительно которой взята мед1ана.
_ 1Q0 198. Даны три прямыя, исходяцпя изъ одной точки. Если по одной изъ нихъ движется какая-нибудь точка, то разстоятя ея отъ двухъ другихъ прямыхъ сохраняютъ всегда одно и то же отношеше. 199. Если дв'Ь окружности концентричесшя, то сумма квадратовъ разстоятй всякой точки одной изъ нихъ отъ концовъ какого угодно д1аметра другой есть величина постоянная (§ 239). .200. Если изъ трехъ вершинъ тр-ка и изъ точки пересЬчешя его мед1анъ опустимъ перпендикуляры на какую-нибудь внешнюю пря- прямую, то посл'вдтй изъ 4-хъ перпендикуляровъ равенъ третьей части суммы первыхъ трехъ. 201. Если соединимъ прямыми основатя трехъ высотъ какого- нибудь тр-ка, то образовавыпеся при этомъ 3 тр-ка у вершинъ даннаго подобны ему. Вывести отсюда, что для тр-ка, имЪющаго сторонами прямыя, соединяюцпя основатя высотъ даннаго тр-ка, эти высоты служатъ биссектриссами. 202. Д1аметръ АВ данной окружности продолженъ за точку В. Черезъ какую-нибудь точку С этого продолжетя проведена неопре- неопределенная прямая CDJ^AB. Если произвольную точку М этого перпен- перпендикуляра соединимъ съ А, то (обозначивъ черезъ Аг вторую точку пересвчетя съ окружностью этой прямой) произведете AM . ААХ есть величина постоянная. Найти геометричеыпя шгЬста: 203.—серединъ зсЬхъ хордъ, проходящихъ черезъ данную точку окружности. 204.—точекъ, дЪляшихъ въ одномъ и томъ же отношенш т : п всЪ хорды, проходяцпя черезъ данную точку окружности. 205.—точекъ, которыхъ .разстояшя отъ сторонъ даннаго угла имЪютъ одно и то же отношеше т : п. 206.—точекъ, для которыхъ сумма квадратовъ разстояшй отъ двухь данныхъ точекъ есть величина постоянная (§ 239). 207.—точекъ, для которыхъ разность квадратовъ разстоятй отъ двухъ данныхъ точекъ есть величина постоянная. 208.—точекъ, изъ которыхъ касательныя, проведеннныя къ двумъ даннымъ окр^жностямъ, равны (это геометрическое м-всто есть прямая, перпендикулярная къ линш иентровъ; она назыв. радикаль- радикального, осью двухъ круговъ). 209.—точекъ, дЪлящихъ въ данномъ отношенш т : п всв прямыя, соединятоштя .точки окружности съ данною точкою О (лежащею внй или внутри круга). 210. Даны дв^ изви'Ь касающ1яся окружности. Черезъ точяу касашя А проводятъ въ окружностяхъ дв-b перлендикулярныя хорды АВ и АС, Концы ихъ В и С соединяютъ прямой. Найти геометриче- геометрическое мЪсто точекъ, дЪлящихъ ВС въ данномъ отношенш т : п.
— 193 — 211. Данный уголъ вращается вокругъ своей вершины. На сторо- нахъ его, отъ вершины, откладываютъ перемЪнныя длины, но кото- рыхъ отношеше постоянно. Если конецъ одной стороны описываетъ данную по положешю прямую, то какую лин1ю опишетъ другой конецъ? Задачи на построеше. 212. Черезъ точку, данную внутри или внЪ угла, провести прямую такъ, чтобы части ея, заключенныя между этой точкой и сторонами угла, им'вли данное отношеше т : п. 213. Найти въ треугольники такую точку, чтобы перпендикуляры, опущенные изъ нея на стороны, находились въ данномъ отношенш т : п : р (см. упражнете 205). 214. Построить тр-къ по углу, одной изъ сторонъ, прилежащихъ къ нему, и по отношетю этой стороны къ третьей сторонЪ (сколько рЪшетй?). 215. То же—по углу при вершинЪ, основанпо и отношетю его къ одной изъ боковыхъ сторонъ. 216. То же—по высотЪ, углу при вершинЪ и отношетю отрЪзковъ основашя. 217. То же—по углу при вершинЪ, основатю и данной на основати точк'б, черезъ которую проходитъ биссектрисса угла при вершин^. 218. То же—по двумъ угламъ и суммЪ или разности основашя съ высотою. 219. Построить равнобедренный тр-къ по углу при вершинЪ и суммЪ основатя съ высотою. 220. Вписать въ даннный кругъ тр-къ, у котораго даны: основате и отношете двухъ другихъ сторонъ. 221. Вписать въ данный кругъ тр-къ, у котораго даны: основате и мед1ана относительно одной изъ неизвестныхъ сторонъ (см. упраж- упражнете 203). 222. Вписать квадратъ въ дачный сегментъ такъ, чтобы одна его сторона лежала на хорд^, а вершины противолежащихъ угловъ—• на дугЪ. 223. Вписать квадратъ въ данный тр-къ такъ, чтобы одна сторона его лежала на основанш тр-ка, а вершины противолежащихъ угловъ на боковыхъ сторонахъ тр-ка. 224. Въ данный треугольникъ вписать прямоугольникъ (см. пред. задачу), у котораго стороны относились бы, какъ т : п. 225. Около даннаго квадрата описать тр-къ, подобный данному. 226. Дана окружность и на ней дв^ точки А и В. Найти на этой окружности третью точку С, чтобы разстоятя ея отъ А и В находи- находились въ данномъ отношенш. 227. На данной прямой найти точку, которая одинаково была бы удалена отъ другой данной прямой и данной точки.
— 194 — 228. Построить тр-къ по двумъ сторонамъ и биссектрисе^ угла между ними (см. черт. 207. Сначала находимъ прямую BE изъ про- порцш АВ : ЕС (т.-е. BC) = BD : DE; затЪмъ строимъДВСЕ,....). 229. Построить прямую х, которая относилась бы къ данной пря- прямой га, какъ а2 : Ъ2(а и Ъ данныя прямыя). 230. Найти внЪ даннаго круга такую точку, чтобы касательная, проведенная изъ нея къ этой окружности, была вдвое мен'Ье секущей, проведенной изъ той же точки черезъ центръ (приложешемъ ал- алгебры къ геометр in). 231. Черезъ данную вп'Ъ круга точку провести такую сЬкуфую, которая разделилась бы этою окружностью въ данномъ отношенш (пргиложешемъ алг. къ геом.). 2S2. Построить тр-къ по тремъ его высотамъ hu h2 и hz. (Предвари- (Предварительно изъ подоб1я прямоуг. тр-ковъ надо доказать> что высоты обратно п р о п о р i,i i о и а л ь н ы соотвЪтствующимъ сторо- сторонамъ. Если стороны, на которыя опущены высоты hx, h2 и hZi обозна- чимъ соответственно черезъ хи х2 и xz, то iCj ' Х2 — /J>2 * " ho 7 /it/io ц2 откуда: хг : х2 : xz~h2 : hx : -r~ 3 h-Ji^ Выражеше —;— есть четвертая пропорцюнальная къ h3, h2 и hx. Построивъ ее (пусть это будетъ к), мы будемъ им^ть три прямыя: й2, hx и /j, которымъ искомыя стороны пропорциональны; значитъ, тр-къ, им^юций эти прямыя сторонами, подобенъ искомому, и потому вопросъ приводится къ построешю такого тр-ка, который, будучи подобенъ данному имЪлъ бы данную высоту. Задача окажется невозможной, если по тремъ прямымъ hlt h2 и к нельзя построить треугольникъ E2). Задачи на вычислеше. 233. По данному основан 1ю а и высота h остроугольнаго тр-ка вычислить сторону х квадрата, вписаннаго въ этотъ тр-къ такъ, чтобы одна сторона квадрата лежала на основанш тр»ка, а дв^ вершины квадрата—на боковыхъ сторонахъ тр-ка. 234. Стороны тр-ка суть 10 ф., 12 ф. и 17 ф. Вычислить отрезки стороны, равной 17 ф., на которые она делится биссектриссою проти- волежащаго угла. ¦ 235. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу, д'влитъ ее на два отрезка тип. Вычислить катеты. 236. Вычислить высоту тр-ка, опущенную на сторону, равную 20, если дв^ друтя стороны суть 12 и 15. 237. Вычислить мед1аны тр-ка, котораго стороны суть: а=5, Ъ=1 и с=9,
— 195 — 238. Въ тр-кЪ ABC стороны суть: АБ=7, БС = 15 и О предЪлить, какого вида уголъ Л, и вычислить высоту, опущенную изъ вершины В. 239. Изъ точки внЪ круга проведены касательная а и свкущая. Вычислить длину свкущей, зная, что отношете внешней ея части къ внутренней равно • т : п. 240. Къ двумъ кругамъ, которыхъ ра;1усы суть R и г, а разстояте между центрами d, проведена общая касательная. Определить вычис- лен1емъ положен1е точки пересгЬчен1я этой касательной съ лишен центровъ,во 1-хъ, когда эта точка лежитъ по одну сторону отъ пентровъ во 2-хъ, когда она расположена ме^кду ними. ГЛАВА VII. Правильные многоугольники. 256. Опред'Ьлешя. Ломаная лишя наз. правиль- правильной, если она удовлетворяетъ слЪдующимъ тремъ услов!ямъ: А F H M Черт. 232. 1°, отрезки прямыхъ, составляющее ее, равны; 2°, углы, со- составленные каждыми двумя соседними отрезками, равны, и 3°, изъ каждыхъ трехъ послЪдовательныхъ отр^ковъ пер- первый и третШ расположены по одну сторону отъ второго. Таковы, напр., лиши ABODE и FGHKL (черт. 232); но ло- ломаную MNPQR нельзя назвать правильною, потому что она не удовлетворяетъ третьему условш. Правильная ломаная можетъ быть выпуклой C4), какъ, напр., лишя ABODE (ломаную FGHKL нельзя назвать выпуклой). Многоугольникъ наз. правильны мъ, если онъ огра- ниченъ правильною ломаною лишей, т.-е. если онъ имЪетъ равныя стороны и равные углы. Таковы, напр., квадратъ, равно- стороншй треугольникъ и мнопе друпе.
— 196 Многоугольникъ, изображенныйна чертеж* 233-мъ, есть в ы- п у к л ы й правильный пятиугольникъ; • многоугольникъ чер- чертежа 234-го также правильный пятиугольникъ, но не выпуклый Черт. 233. Черт. 234. (такъ называемы звездчатый). Мы будемъ разсматривать только выпуклые правильные мн-ки. Последующая теоремы показываютъ, что построеше правиль- ныхъ многоугольниковъ т^сно связано съ раздЪлетемъ окруж- окружности на равныя части. 257. Теорема. Если окружность разд-Ьлена на нЪкоторое число равныхъ частей (большее двухъ), то: 1°, соединивъ хордами каждыя двЪ сосЬдшя точки дЪлетя, получимъ правильный многоугольникъ (вписанный); 2°, проведя черезъ Bet точки д-Ьлешя касательныя до взаим- наго пересЪчешя, получимъ правильный многоугольникъ (опи- (описанный). В Черт. 235. Черт. 236. Пусть окружность (черт. 235) разделена на несколько рав- равныхъ частей въ точкахъ Л, В, С..., и черезъ эти точки проведены х^рды АВ, ВС... и касательныя MN, NP... Тогда:
— 197 1°. Вписанный много^голььикъ ABCDEF правильный, потому что всё его стороны.р^вны (какъ хорды, стягиваюпця равныя дуги) и веб углы равные (какъ вписанные, опирающееся на рав- равныя дуги). 2°. Чтобы доказать правильность описаннаго многоугольника MNPQRS, разсмотримъ тр-ки АМВ, BNC и т. д. У нихъ осно- вашя АВ, ВС и т. д. равны; углы, прилежапце къ этимъ осно- вашямъ, также равны, потому что каждый изъ нихъ имЪетъ одинаковую миру (уголъ, составленный касательною и хордой, измеряется половиною дуги, заключенной внутри его). Значитъ, всЬ эти тр-ки равнобедренные и равны между собою, а потому MN=NP... и M=N=... т.-е. мн-къ MNPQRS правильный. 258. Зам^чаше. Если возьмемъ середины дугъ АВ, ВС, CD... (черт. 236), то получимъ точки, кото^ыя д^лятъ окруж- окружность на столько же равныхъ частей, на сколько она разде- разделена въ точкахъ А, В, С... Поэтому, если черезъ эти середины проЕедемъ касательныя до взаимнаго пересЬчешя, то получимъ также правильный описанный многоугольникъ; стороны этого многоугольника параллельны сторонамъ вписаннаго мн-ка ABCDEF A38, обратная теорема). 259. Теорема. Если многоугольникъ правильный, то 1°, около него можно описать окружность; 2°, въ него можно вписать окружность. 1°. Проведемъ окружность черезъ кашя-нибудь три сосЬдшя вершины А, В я С (черт. 237) правильнаго мн-ка ABCDE и докажемъ, что она пройдетъ черезъ следующую четвертую вершину D. Опустимъ изъ центра О периенди- куляръ ОК на хорду ВС и соединимъ А О съ А и D. Повернемъ четыреуголь- никъ АВКО вокругъ стороны ОК такъ, чтобы онъ упалъ на четыре- угольникъ ODCK. Тогда KB пой- пойдетъ по КС (всл*дств1е равенства прямыхъ угловъ при точкЪ К), точка Черт. 237. В упадетъ въ С (такъ какъ хорда ВС делится въ точк'Ь К попо- ламъ), сторона В А пойдетъ по CD (вслгЬдств1е равенства угловъ
1QQ ь 1ЯО В и С) и, наконецъ, точка А упадетъ въ D (всл|Ьдств1е равенства сторонъ В А и CD). Изъ этого сл'Ьдуетъ, что О А совместится съ OD, и, значитъ, точки А ж D одинаково удалены отъ центра; поэтому вершина D должна лежать на окружности, проходящей черезъ А, В и С. Точно такъ же докажемъ, что эта окружность, проходя черезъ три сосЪдшя вершины В, С и D, пройдетъ черезъ следующую вершину Е и т. д.; значитъ, она пройдетъ черезъ всЬ вершины мн-ка. 2°. Изъ доказаннаго слЪдуетъ, что стороны правильнаго мн-ка всегда можно разсматривать, какъ равныя хорды одной окруж- окружности; но татя хорды одинаково удалены отъ центра; значитъ, веб перпендикуляры ОМ, ON..., опущенные изъ О на стороны многоугольника, равны между собою, и потому окружность, описанная рад1усомъ ОМ изъ центра О, будетъ вписанной въ мн-къ ABODE. 260. Сл'Ьдетв1е. Изъ предыдущего видно, что двй окруж- окружности: описанная около правильнаго мн-ка и вписанная въ него, им^ють одинъ и тотъ же центръ. Такъ какъ этотъ общш центръ одинаково удаленъ отъ всЬхъ вершинъ мн-ка, то онъ долженъ лежать на перпендикуляр^, возставленномъ къ любой сторон^ изъ ея середины, а будучи одинаково удаленъ отъ сторонъ ка- ждаго угла, онъ долженъ находиться на его биссектрисе^. По- Поэтому, . . • чтобы найти центръ окружности опи- описанной около правильнаго мн-ка, или вписанной въ него, достаточно опреде- определить точку перес|Ьчен1я двухъ перпенди- куляровъ, возставленныхъ къ сторонамъ мн-ка изъ ихъ сер,единъ, или двухъ бис- сектриесъ угловъ, или одного такого пер- перпендикуляра съ биссектриссой. 261. Опред'ЬлеМя. Общш центръ окружностей: опи- описанной около правильнаго мн-ка и вписанной въ него, наз. центромъ этого мн-ка, радгусъ описанной окружности наз. рад1усомъ мн-ка, а рад1усъ вписанной окружности—а п о- е е м о ю его. Уголъ, составленный двумя рад1усами, проведенными къ концамъ какой-нибудь стороны правильнаго мн-ка, наз. цент-
— 199 — ральнымъ угломъ. Такихъ угловъ въ мн-к* столько, сколько сторонъ; всЬ они равны, какъ измеряющееся равными дугами. Такъ какъ сумма всЬхъ центральныхъ угловъ равна Ы или 360°, то каждый изъ нихъ равенъ Ы : п или 360° : п, если п означаетъ число сторонъ мн-ка; такъ, центральный уголъ пра- вильнаго 6-угольникаравенъ 360 : 6—60°,—правильнаго 8-уголь- ника равенъ 360 : 8=45° и т. п. 262. Теорема. Правильные одноименные многоугольники подобны, и стороны ихъ относятся, какъ рад'|усы или апооемы. 1°. Чтобы доказать подоб1е (черт. 238) правильныхъ одно- именныхъ мн-ковъ ABGDEF и A1B1C1D1E1F1, достаточно обна- обнаружить, что у нихъ углы равны и стороны пропорщональны. Углы м-ковъ равны, такъ какъ каждый изъ нихъ содержитъ 180(п— 2) одно и то же число градусовъ, и именно A69,4°), если п IV означаетъ число сторонъ каждаго мн-ка. Такъ какъ АВ—ВС— =CD=... и A1B1=B1C1=C1D1=..., то очевидно, что: АВ ВС CD Л1В1 т.-е. у такихъ мн-ковъ стороны пропорщональны. 2°. Пусть О и Ог (черт. 238) будутъ центры данныхъ мн-ковъ, ОА и ОХАХ ихъ рад!усы, ОМ и О1М1—апоеемы. Тр-ки ОАВ и О1А1В1 подобны, такъ какъ углы одного соответственно равны угламъ другого. Изъ подоб1я ихъ сл^дуеъ B03): АВ ОА ОМ
— 200 — 263. Сл'Ьдетв1е. Такъ какъ периметры подобныхъ мн-ковъ относятся, какъ сходственныя стороны B09), то пери- периметры правильныхъ одноименныхъ многоугольниковъ относятся, какъ pafliycbi или апоеемы. 264. Симметр1я правильныхъ многоугольниковъ. Про- ведемъ въ описанной окружности черезъ какую-нибудь вершину С правильнаго мн-ка (черт. 239, л'Ьвый) д1аметръС^У, который разд'Ьлитъ окружность и многоугольникъ на две части. Вообразимъ, что одна изъ этихъ частей (напр., левая) повернута вокругъ д1аметра CJV, N Черт. 239. какъ около оси, на столько, чтобы она упала на другую часть (на пра- правую). Тогда одна полуокружность совместится съ другою полуокруж- полуокружностью, дуга СВ совместится съ дугою CD (по равенству этихъ дугъ), дуга В А совместится съ дугою DE (по той же причине) и т. д.; след., хорда ВС совпадетъ съ хордой CD, хорда АВ съ хордой DE и т. д. Такимъ образомъ, д1аметръ оп и'с анной окружно- окружности, проведенный черезъ какую-нибудь-вер- шину правильнаго многоугольника, служитъ осью симметр1и этого многоугольника (вслед- CTBie чего каждая пара вершинъ, какъ В и Z), Аи ? и т. д., лежитъ на одномъ перпендикуляре къ д1аметру CN9 на равномъ отъ него разстоянш). Проведемъ еще въ описанной окружности д1аметръ MN (черт. 239, правый), перпендикулярный къ какой-нибудь стороне CD правиль- правильнаго мн-ка; этотъ д1аметръ тоже разделитъ окружность и многоуголь- многоугольникъ на две части. Вращая одну изъ этихъ частей (левую), вокругъ проведеннаго д1аметра до техъ поръ, пока она упадетъ на другую часть (правую), мы такъ же убедимся, что одна часть мн-ка совме- совместится съ другой частью. Значитъ, д1аметръ описанной окружности, перпендикулярный къ сторо- стороне правильнаго многоугольника, служитъ его осью симметр1и (и, след., каждая пара вершинъ, какъ В и Е, Аи F и т. д., лежитъ на одномъ перпендикуляре къ д1аметру MN, на равномъ отъ него разстоянш). Если число сторонъ мн-ка четное, то д1аметръ, проведенный черезъ любую вершину мн-ка проходитъ также и черезъ противо- противоположную вершину, и д1аметръ, перпендикулярный къ любой сто-
— 201 мн-ка, перпендикуляренъ также и къ противоположной сторонгЬ его; если же число сторонъ нечетное, то д1аметръ, проходящШ черезъ любую вершину, перпендикуляренъ къ противоположной сторон'в, и обратно, д1аметръ, перпендикулярный къ любой сторонЪ, проходитъ черезъ противоположную вершину. Отсюда сл'вдуетъ, что во всякомъ правильном!*, мн-к'в есть столько осей симметрш, сколько въ немъ сторонъ. Напр., въ правильномъ " б-угольников есть 6 осей симметрш, именно: 3 оси, проходяцпя черезъ вершины, и 3 оси, пер- пендикулярныя къ сторонамъ; въ пра- правильномъ 5-угольник'в есть 5 осей сим- симметрш; всв owh проходятъ черезъ вершины угловъ и въ то же время перпендикулярны къ сторонамъ. Всякш правильный мн-къ ч е т н а г о числа сторонъ имЪетъ еще центръ симметр1и A02), совпадающШ съ цен- тромъ мн-ка (черт. 240). Действительно, всякая прямая ZL, соединяющая 2 точки контура такого мн-ка и проходящая черезъ центръ О, делится этою точкою пополамъ, какъ это видно изъ равенства тр-ковъ ОВК и OEL (покрытыхъ на чертежЪ штрихами). Черт. 240. 265. Задача. Вписать въ данный кругъ квад- ратъ и определить его сторону въ зависи- зависимости отъ р а д i у с а. 1°. Предположимъ, что АВ (черт. 241) есть сторона квадрата, вписаннаго въ данный кругъ О. Тогда дуга АВ должна равняться г/А окружности и уголъ АОВ долженъ быть прямой. Поэтому для построешя вписаннаго квадрата (и сл-Ьд., для разд^летя окружности на 4 равныя части) достаточно провести два перпендикулярныхъ д1аметра АС И BD И КОНЦЫ ИХЪ СОеДИНИТЬ ХОрдамИ. Черт. 241. Вписанный четыреугольникъ ABCD правильный, потому что дуги АВ, ВС, CD и DA равны, какъ соответствующая равнымъ центральнымъ угламъ. 2°. Изъ прямоугольнаго тр-ка АОВ находимы AB2=A02+B02, T.-eL АВ2=2А02- откуда AB=A0V2.
— 202 — Условимся всегда обозначать черезъ а численную величину стороны правильнаго вписаннаго мн-ка, им'Ьющаго п сторонъ, а черезъ R рад1усъ описаннаго круга; тогда выведенное равен- равенство изобразится такъ: 266. Задача. Вписать въ данный кругъ пра- правильный шестиугольникъ и определить его сто- сторону въ зависимости отъ р а д i у с а. Предположимъ, что .4В (черт. 242) есть сторона правильнаго вписан, шестиугольника. Тогда дуга АВ должна быть х/в часть окружности и, сл'Ьд., уголъ АОВ долженъ содержать 60°. Такъ какъ тр-къ АОВ равнобедренный (АО=ОВ), то углы А и В равны и каждый изъ нихъ содержитъ по Va A80°—60°), т.-е. тоже по 60°. Такимъ образомъ, тр-къ АОВ оказывается равно- угольнымъи, сл'Ьд., равностороннимъ, т.-е. АВ=АО=ОВ. Итакъ, сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника равна рад'|усу, к^=^ъ Черт. 242. что, по принятому нами обозначенш, мюжно выразить такъ: Отсюда возникаетъ весьма простой способъ построешя пра- правильнаго впис. шестиугольниками д'Ьлешя окружности на 6 равныхъ частей): давъ циркуЛю раствореше, равное рад1усу, откладываютъ этимъ растворешемъ по окружности, одна за другою, равныя дуги и точки д'Ьлетя соединяютъ хордами. 267. Задача. Вписать въ данный кругъ пра- правильный треугопьникъ и определить его сто- сторону въ зависимости отъ р а д i у с а. 1°. Чтобы разделить окружность на 3 равныя части (черт. 243), д^лять ее сначала на 6 равныхъ частей (какъ ука- указано въ предыдущей задач*) и зат'Ьмъ соединяютъ по дв* части въ одну. 2°. Для опредЪлешя стороны А В про- ведемъ д1аметръ BD и хорду AD. Тр-къ ABB прямоугольный при вершин^ А\ поэтому АВ=УВВ2—АВ2. Но BB=2R
— 203 и AD=R (потому что дуга AD есть х/6 часть окружности и, с хорда AD есть сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника); значитъ: 268. Задача. Вписать въ данный кругъ пра- правильный десятиугсльникъ и определить его сторону въ зависимости отъ р а д i у с а.. Предварительно докажемъ следующее свойство правильнаго десятиугольника. Пусть хорда АВ (черт. 244) есть сторона такого многоуголь- многоугольника. Тогда уголъ АОВ равенъ 36°, а каждый изъ угловъ Аи В содержитъ по 1/а A80°—36°), т.-е. по 72°. Разд'Ьлимъ уголъ А пополамъ прямою АС. Каждый изъ угловъ, образовавшихся при точк^ А, равенъ 36°; слЪд., тр-къ х . п АСО, им^я два равные угла, есть равно- ~ ~ бедренный, т.-е. АС—СО.Ттр-кь ABC так- также равнобедренный, потому что В=72°; и С=180°—72°—36° =72°; слЪд., АС—СО. По свойству биссектриссы угла тр-ка B26) можемъ написать: АО :АВ=ОС:СВ [1] Черт. 244. Зам'Ьнивъ АО и АВ равными имъ прямыми ОВ и ОС, получимъ: ОВ : ОС^ОС : СВ, [2] 4 т.-е. рад1усъ ОВ разд'Ьленъ въ точк* С въ среднемъ и крайнемъ отнощенш B53), при чемъ ОС есть его большая часть. Но ОС равна сторон^ прав. впис. десятиугольника; значитъ: сторона правильнаго вписаннаго де- десятиугольника равна большей части pafliyca, разд1эленнаго въ среднемъ и крайнемъ отношеши. Теперь задача решается легко: 1°. Д'Ьлятъ рад1усъ круга (напр., 0^4, черт. 245) въ среднемъ и крайнемъ отношенш B53); загЪмъ, давъ циркулю раствореше, равное Черт. 245.
204 — большей части рад!уса, откладываютъ имъ по окружности дуги, одна за другою, и точки д'Ьлешя соединяютъ хордами. 2°. Обозначивъ численную величину стороны правильнаго вписаннаго 10-угольника черезъ х, мы можемъ пропроцш [2] переписать такъ: JR : х~х : (R—х), откуда * x2+Rx—R2=o. Р'Ьшивъ это квадратное уравнеше, найдемъ: 1 1 Л/ — 269. ЗамЪчаьйя. 1°. Формулы, выведенныя нами въ пре- дыдущихъ задачахъ для а4, а6, а3, а10, позволяютъ вычис- вычислить р а д i у с ъ описаннаго круга по данной сторон* правильнаго многоугольника. Такъ, изъ выражешя, опред^ляющаго а10, находимъ: 2а10 2а10 5—1 (ГТ+г). 2°. Чтобы вписать въ данный кругъ правильный пятк- угольникъ, д'Ьлятъ окружность на 10 равныхъ частей (какъ указано выше) и точки д'Ьлешя соединяютъ черезъ одну хордами. 27O. Задача. Вписать въ данный кругъ правильный пятиугольник ъ. Чтобы найти г/15 окружности, достаточно изъ х/в ея части вычесть Vio» какъ это видно изъ сл'Ьдующаго равенства: Черт. 246. 61030 303015 Поэтому если хорда АВ (черт. 246) равна рад1усу, а хорда АС—большей части рад!уса, разд'Ьленнаго въ сред- немъ и крайнемъ отношенш, то дуга СВ должна быть х/15 окружности, а хорда СВ—сторона прав. впис. 15-угольника. Вычисление стороны С В можно вы- выполнить, применяя теорему Птоломея B42) къ четыреугольнику ACBD, въ ко-
205 — торомъ AC = a1Oi СВ = аи, AD=2R, — a3 (такъ какъ дуга BD равна 7з окружности). Теорема Птоломея даетъ: АВ . CD = AD . СВ+АС . BD, 2=2R . а^ + ЯюЯз т.-е. a lo Подставивъ на м'Ьсто а10 и as ихъ выражен!п, получимъ посл-Ь упрощенШ: а 15" / 3 б— 271. Задача. По данному рад1усу круга и сторон^ правильнаго вписаннаго много- многоугольника вычислить сторону правиль- правильнаго одноименнаго описаннаго много- многоугольника. Пусть ABCD... есть прав, впи- вписанный мн-къ, a MNP... одноимен- одноименный прав, описанный B57). Такъ какъ стороны правильныхъ одно- именныхъ мн-ковъ относятся, какъ ихъ рад1усы или апоеемы B62), то: MN : АВ^ОВ : (Ж А Откуда: MN- ОВ .АВ ОЕ Черт. 247. ОВ .АВ Обозначивъ численныя величины MN, АВ и ОВ соответ- соответственно черезъ Ъп, ап ийи зам'Ьтивъ, что ВЕ=1/2 АВ, будемъ им^ть: п ПримгЬръ. 10-угольника: Вычислимъ сторону правильнаго описаннаго W б—
— 206 5)(—бКб')_2 , Г 5-2 VI. 272. Зам^чаше. Формула, определяющая Ъп, позво- ляетъ вычислить ап по даннымъ Ьи иЕ. Для этого стоить только решить уравнеше, принимая ап за неизвестное: о ъпп п V R2+ 4 273. Задача. Удвоитьчисло сторонъправиль- наго вписаннаго многоугольника. Въ этомъ сокращенномъ выражеши разумеется собственно две задачи: 1°, по данному правильному впис. мн-ку п о- строить другой правильный мн-къ, вписанный въ ту же ок- окружность и имеющШ вдвое более сторонъ; 2°, вычислить сто- сторону этого мн-ка по данной сто- стороне перваго мн-ка и данному рад1усу круга. 1°. Пусть АВ (черт. 248) есть сторона прав. впис. мн-ка, ющаго п сторонъ и О центръ круга. Проведемъ OCJL.AB и соеди- нимъ А съ G. Дуга АВ делится въ точке С пойоламъ; след., хорда АС есть сторона прав. впис. мн-ка, имеющаго 2п сторонъ. 2°. Въ тр-ке АСО уголъ О всегда острый (такъ какъ дуга АСВ всегда меньше полуокружности и, след., половина ея, дуга АС, меньше четверти окружности); поэтому B36): АС2=ОА2+ОС2—2ОС . OD. т.-е. я2п2 =д2+й2—2Й . OD=2R2—2R . OB. Изъ прямоугольнаго тр-ка A0D определимъ катетъ OD:
207 2R2—2Ry Такова формула удвоежя числа сторонъ правильнаго вписан- нако многоугольника *). ПримгЬръ. Вычислимъ сторону прав. впие. 12-угольника: Л/ 2R*-2rVR2-a±- = у 3 = 274. На^сколько равныхъ частей можно д лить окрз^кцрсть помощью циркуля и линейки? Применяя указанные въ предыдущихъ задачахъ способы, мы можемъ помощью циркуля и линецки. делить окружность на такое число равныхъ частей (и сл'Ьд., вписывать въ окруж- окружность правильные многоугольники съ такимъ числомъ сторонъ), которое заключается въ^Ыбдую^ихъ рядахъ: I 3, 3.2, 3.2.2...вообще 3.2м 4, 4.2, 4.2.2...вообще 2п 5, 5.2, 5.2.2...вообще 5.2П . 15, 15.2, 15.2.2...вообще 3.5.2П ГерманскШ математикъ Г а у с с ъ (умершш въ 1855 г.) доказалъ, что посредствомъ циркуля и линейки, можно делить окружностц на такое число равныхъ частей, которое, будучи п р о с т ы м ъ, выражается формулою 2п+1. Напр., можно разделить окружность на 17 равныхъ частей и на 257 равныхъ частей, такъ какъ 17 и 257 суть простыя числа вида 2W+1 A7^=24+1, 257=28+1). Доказательство Гаусса выходитъ изъ пред'Ьловъ элементарной математики. Доказано также, что помощью линейки и циркуля окруж- окружность можно делить на такое составное число равныхъ *) Сложныерадикалы, получаемые изъ формулы удвоешя, могутъ быть преобразованы въ сумму или* разность двухъ простыхъ ради- каловъ (см. алгебра А. Киселева, § 238); напр., для а12 можно получить такое выражеше: a12 = ^
— 208 — частей, которое, разложенное на простыхъ множителей, не со- держитъ никакихъ иныхъ множителей, кромЪ множителей вида 2я-+1 при условш, что эти множители всЬ различны, и множителя 2 въ какой угодно степени. Напр., въ окруж- окружность помощью циркуля и линейки можно вписать правильный 170-угольникъ A70=2.5.17), но нельзя вписать правильный 9-угольникъ (хотя множитель 3 им'Ьетъ видъ 2W+1, но въ состав^ 9-и онъ повторяется). На всякое иное число равныхъ частей окружность можетъ быть разделена только приближенно. 275. Поетроен1е правильнаго многоугольника по данной еторон'Ь. Для различныхъ правильныхъ мно- гоугольниковъ существуютъ различные способы. Но можно указать сл'бдуюпцй о б щ i и способъ. Чертятъ окружность произвольнаго рад!уса и вписываютъ въ нее правильный мн-къ съ такимъ числомъ сторонъ, которое должно быть у искомаго мн-ка; зат'Ьмъ на данной сторон^ строятъ мн-къ, подобный описанному B10). УПРАЖНЕН1Я. 241. Составить формулу для стороны правильнаго вписаннаго 24-угольника. 242. Составить формулы для сторонъ правильныхъ вписанныхъ 8-уголышка и 16-угольника. 243. Исходя изъ формулы удвоешя, определить сторону правиль- правильнаго вписаннаго 5-угольника. 244. Составить формулы для сторонъ правильныхъ описанныхъ треугольника и фестиугольника. 245. Доказать, „ что если въ прав, б-угольник^ проведемъ всб д1агонали, то онЪ своими пересЬчешями образуютъ внутреннш прав. 5-угольникъ. 246. Пусть А В, ВС и CD будутъ три посл'вдовательныя стороны правильнаго мн-ка, им^ющаго уентръ въ О. Если продолжимъ сто- стороны А В и CD до взаимнаго пересвчешя въ точк-в Е, то четыреуголь- никъ О А ЕС можетъ быть вписанъ въ окружность. 247. Доказать, что: 1°, всякш вписанный равностороншй много- угольникъ есть правильный; 2°, равноугольный вписанный мн-къ есть правильный, когда число сторонъ его нечетное; 3°, всякШ опи- описанный равноугольный мн-къ есть правильный; 4°, описанный равно- стороннШ мн-къ есть правильный, когда число сторонъ его нечетное.
— 209 — 248. Доказать, что двЪ д1агонали правильнаго 5-угольника, не исходяция изъ одной вершины, пересекаются въ среднемъ и край- немъ отношенш. 249. На данной сторонЪ построить правильный 8-угольникъ. 250. На данной сторонЪ построить правильный 10-угольникъ. 251. Срезать отъ даннаго квадрата углы такъ, чтобы образовался правильный 8-угольникъ. 252. Въ данный квадратъ вписать равностороншй тр-къ, помещая одну изъ его вершинъ или въ вершинЪ квадрата, или въ серединЪ какой-либо стороны. 253. Вписать въ равносторонтй тр-къ другой равносторонний треугольникъ, котораго стороны были бы перпендикулярны къ сто- ронамъ даннаго. 254. Построить углы: въ 18, въ 30, въ 75, въ 72 градуса. КНИГА IV. ВЫШЛЕН1Е ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ЕЯ ЧАСТЕЙ ГЛАВА I. Оснсвныя свойства предЪловъ. 276. Величины поетоянныя и перем-Ьнныя. Решая какой-либо вопросъ, въ который входятъ несколько величинъ, мы иногда предполагаем!), что некоторый изъ этихъ величинъ сохраняютъ одно и то же неизменное значете, тогда какъ друшя способны принимать безчисленное множество раз- личныхъ значетр. Первыя величины наз. постоянными, вторыя переменными. Такъ, разсматривая зависимость между длиною хорды и ея разстоятемъ отъ центра, мы считаемъ рад1усъ круга величиною постоянною, а длину хорды и ея раз- стояте отъ центра—величинами переменными. Впрочемъ, некоторый величины являются постоянными не потому, что мы ихъ такими предполагаемъ, а вследств!е своего основного свойства; такова, напр., сумма угловъ тр-ка, которая всегда равна Ы. Если величины выражены числам и4 то постоян- постоянной величине соответствуешь постоянное число, а переменной величин гЬ—п временное число.
210 277. ПеремЪнныя величины, стремяшдяся къ нулю. Если переменная величина (и переменное число, из- измеряющее ее), изменяясь, делается меньше любого даннаго значетя, какъ бы мало это значеше ни было, и при дальнМшемъ изменеши постоянно остается меньше этого значешя, то гово- говорятъ, что эта переменная величина стремится къ нулю. Напр., если черезъ какую-нибудь точку А окружности д (черт. 249) проведемъ касатель- касательную МТ и секущую AM и затемъ станемъ вращать се- секущую вокругъ точки касашя такъ, чтобы вторая точка пере- сечешя В все ближе и ближе придвигалась къ точке А, то при этомъ уголъ ТАМ, соста- составленный касательной) и секу- секущею, стремится къ нулю, по- м Черт. 249. тому что, какъ мы это говорили прежде A43,) равный ему уголъ A0D, составленный рад1усомъ АО и перпендикуляромъ OD на хорду АВ, можетъ сделаться меньше любого даннаго угла, напр, меньше угла въ 1', и, при дальнейшемъ сближенш точекъ пересечетя, постоянно остается меньше этого угла. Точно такъ же центральный уголъ правильнаго многоуголь- многоугольника, котораго величина равна 4d/n, стремится къ нулю, если п, т.-е. число сторонъ этого мн-ка, неограниченно возрастаетъ; напр., при п=100 этотъ уголъ равенъ 0,04d, при п=1000 онъ делается 0,004d и т. д. 278. Перем-Ьнныя величины, увеличиваюшдя- ея безпред'Ьльно. Если переменная величина (и перемен- переменное число, измеряющее ее), изменяясь, делается и остается больше любого даннаго значетя, какъ бы велико это значеше ни было,то говорятъ, что она увеличивается безпредельно (или неограниченно) *). *) Величин^, увеличиваюцияся безпред'Ьльно, принято въ мате- математик^ называть безконечно большими, а величины стремяцпяся къ нулю, —б езконечно малыми. Въ этой книгЪ мы не будемъ однако употреблять этихъ терминовъ для избЪ- жатя некоторой неясности представлетя въ умЪ учащагося.
- 211 — Напр., сумма угловъ выпуклаго многоугольника, равная 2d(n—2)=2dn—4d, при неограниченномъ возрасташи числа сторонъ увеличивается безпредельно; такъ, при п=100 она равна 196й, при п=1000 она делается 1996d и т. д. 279. Перем'Ьнныя величины, 0тремящ1яея къ пределу. Иногда случается, что переменная величина, из- изменяясь, стремится къ некоторому пределу. Пред-Ьломъ переменной величины наз. такая постоянная вели- величина, къ которой переменная приближается такъ, что разность между ними стремится къ нулю, т.-е. эта разность делается и остается меньше любого даннаго значешя, какъ бы мало это значеше ни было. Приведемъ два примера переменныхъ величинъ, стремя- стремящихся къ пределамъ. А 1 В 1 1 1 I 1 1 I 1 Н 1 1 1 1 11 1 i м ь L А, | A Черт. 250. 1°. Разсмотримъ (черт 250),процессъ изьгЬрешя какой-нибудь длины А, несоизмеримой съ единицею В Чтобъ измерить такую длину A58, 2°), мы дЪлимъ В на п равныхъ частей и одну изъ нихъ откладываемъ на А столько разъ, сколько можно. Тогда мы получаемъ соизмеримую длину Аъ которая меньше А; если же отложимъ 1/п долю В еще одинъ разъ, то получимъ другую соизмеримую длину А2, которая больше А; при этомъ каждая изъ разностей А—Аг и А2—А меньше х/п Доли ^- Предположимъ теперь, что число п равныхъ частей, на которое мы дйлимъ В, увеличивается неограниченно. Тогда длины Аг и А2 становятся переменными, а длина А остается постоянной; такъ какъ г/п доля В при достаточномъ увеличеши числа п можетъ быть сде- сделана меньше любой данной длины (напр., меньше миллиметра) и при дальн'Ьйшемъ увеличенш п она постоянно остается меньше этой малой длины, то можно сказать, что переменный величины Ах и А2 стремятся при этомъ къ общему пределу А. Изъ этого примера мы видимъ, что переменная величина, приближаясь къ своему пределу, дажетъ быть или меньше
— 212 — его, или больше; такъ, длина Ах постоянно меньше, чЗшъ А, а длина А2, наоборотъ, всегда больше А. 2*. Сумма всЬхъ внутреннихъ угловъ выпуклаго много- угольника, им^ющаго п сторонъ, выражается, какъ известно (89), формулой 2d(n—2); поэтому величина одного угла пра- бильнаго n-угольника равна: 2d(n—2) 2dn—U Ad n n n Предположимъ, что число сторонъ многоугольника, т.-е. число п, неограниченно увеличивается; тогда, какъ видно изъ приведенной формулы, величина угла мн-ка, оставаясь всегда меньше 2d, все более и более приближается къ 2d такъ, что разность между ними, равная —, делается и остается меньше п какого угодно угла. Поэтому можно сказать, что уголъ пра- вильнаго мн-ка, при неограниченномъ увеличенш числа его сторонъ, им^етъ пред'Ьлъ 2d. 280. Зам^ча^е. Если переменная величина а, изме- изменяясь, остается постоянно большей своего предала А, то ее можно разсматривать, какъ сумму А-\-х\ если же переменная величина а, изменяясь, остается постоянно меньшей своего предала А, то ее можно разсматривать, какъ разность А—х\ и въ томъ, и въ другомъ случаяхъ х означаетъ некоторую по- положительную величину, которая, согласно определешю предела, стремится къ нулю, когда переменная величина а стремится къ своему пределу А. 281. Теорема. Если две перемЪнныя величины, стремя- щ1яся къ пред-Ьламъ, при вс%хъ своихъ послЪдовательныхъ изменен1яхъ остаются равными между собою, то равны и ихъ пределы. Пусть а и Ъ две переменныя величины, а А и В ихъ пределы; положимъ, что при всехъ последовательныхъ изменешяхъ переменныя величины а и Ъ всегда равны между .собою; требуется доказать, что въ такомъ случае и А=В. ¦ Предположимъ, что обе переменныя величины а и Ь, изме- изменяясь, остаются постоянно меньшими своихъ пределовъ. Тогда
— 213 — можно принять, что а=А—х и Ъ=В—у, где х и у н^которыя положительныя величины, стремяпцяся къ нулю. Такъ какъ, по условно, а=Ь, то можно написать: А—х=В—у. Докажемъ, что это равенство возможно только тогда, когда А=В (и, след., х—у). Перенеся въ этомъ равенстве постоянны# члены въ одну часть, а переменные въ другую, получимъ: А—В=х—у. Л^вая часть последняго равенства, представляя собою раз- разность между постоянными величинами, должна рав- равняться или нулю (если А—В), или некоторой постоян- постоянной величин'Ь. Правая часть того же равенства, представляя собой разность между такими переменными величинами, ко- торыя обе стремятся къ нулю, должна равняться или нулю (если х=у), или некоторой переменной величине, стремящейся къ нулю. Такъ какъ постоянная вели- величина не можетъ равняться переменной величине, то написанное равенство возможно только тогда, когда обе его части равны нулю, т.-е. только тогда, когда А=В (и х=у). Подобнымъ же образомъ можно доказать, что А=В и въ томъ случае, когда переменныя а и Ъ остаются большими своихъ пределовъ *). ^ 282. Теорема. Если flBt переменныя величины, стремя- щ'|яся къ пред'Ьламъ, при всЪхъ своихъ измЪнешяхъ сохраняютъ одно и то же отношеше, то въ томъ же отношенш находятся и ихъ пределы. Пусть а и Ь две переменныя величины, aiiB ихъ пределы, и положимъ, что при всехъ изменешяхъ величины а и Ъ по- постоянно удовлетворяютъ пропрщи: где тип катя-нибудь постоянныя дайныя числа. Требуется доказать, что въ такомъ слуаче и А : В=т : п. *) и даже въ томъ случай, когда он'Ь, изменяясь, делаются то меньшими» то ббльшими своихъ пред'Ьловъ.
— 214 — Предположимъ снова, что обЪ перем'Ьнныя, изменяясь, оста- остаются меньшими своихъ предаловъ; тогда можно принять, что а=А—х и Ъ=В—у, гд'Ь вычитаемыя хну суть некоторый поло- жительныя величины, стремяпцяся къ нулю. Подставивъ въ данную пропорщю на мЪсто а и Ъ равныя имъ разности А—х и В—у, получимъ: (А—х) : (В—у)=т : п. Откуда: (А—х) п=(В—у) т, т.-е. An—пх=Вт—ту. Такъ какъ величины х и у стремятся къ О, то и произведе- шя пх и ту стремятся къ О *); всл'Ьдств1е этого разности An—пх и Вт—ту представляютъ собою перем'Ьнныя величины, стремя- шдяся къ пред'Ьламъ: первая разность—къ постоянной вели- чинй An, а вторая разность—къ постоянной величин'Ь Вт. Но если равны перем'Ьнныя, стремяпцяся къ пред'Ьламъ, то равны и ихъ пределы B81; значитъ: Ап=Вт; откуда: А : В=т : п, 283. Основное начало способа предЪловъ. ДвЪ предыдущая теоремы составляютъ частные случаи сл^дую- щаго важнаго предложешя, которое мы примемъ безъ доказа- доказательства: Если какое-либо равенство, содержащее перем'Ьнныя величины, стремящ'шся къ пред-Ьламъ, остается BtpHbiMb при всЪхъ M3Mt- нен'тхъ nepeMtHHbixb, то оно остается BtpHbiMb и тогда, когда на MtcTO nepeMtHHbixb подставимъ ихъ пред-Ьлы. Это предложен!е слулштъ основан1емъ такъ называемому способу пред^ловъ, которымъ иногда пользуются для доказательства н'Ькоторыхъ геометрическихъ истинъ. 284. Понят1е о способ* пред'Ьловъ. Этотъ спо- собъ состоитъ въ сл'Ьдующемъ. Положимъ, что мы желаемъ *) т.-е. каждое изъ этихъ произведетй делается (и остается) меньше любого даннаго положительнаго числа, какъ бы мало это число ни было; напр., произведете пх дЪлается (и остается) меньше^ дроби 1-й миллшнной, такъ какъ число х, изменяясь, делается (и. остается) меньше г/п милл1онной.
— 215 — найти зависимость между некоторыми постоянными величи- величинами А и В, и допустимъ, что эту зависимость трудно (или даже невозможно) найти непосредственно. Тогда задаемся во- просомъ: нельзя ли величины Аи В разсматривать, какъ пре- пределы н'Ькоторыхъ перем'Ьнныхъ величинъ а и Ь, и если воз- возможного какова зависимость между аи Ъ? Положимъ, оказалось, что эта зависимость выражается равенствомъ: а=ЗЬ2, которое остается вЪрнымъ при всЬхъ изм'Ьнешяхъ а и Ь; въ такомъ случай можемъ принять, что это равенство остается в'Ьрнымъ и тогда, когда на место а и Ъ подставимъ ихъ пре- пределы, т.-е., что и А=ЗВ2. Такимъ образомъ, зависимость между А и В мы найдемъ косвен- нымъ путемъ, отыскавъ предварительно зависимость между переменными. Применеше этого способа мы вскоре увидимъ. ГЛАВА II. Вычислен длины окружности. 285. Предварительное разъяснеше. Конечную прямую можно сравнивать съ другою конечною прямою, при- принятою за единицу, вследств!е того, что прямыя линш при нало- жеши совмещаются. Действительно, только по этой причине мы можемъ совершенно точно установить, каше отрезьи прямыхъ считать равными и неравными, что такое сумма от- резковъ прямой, какой отрезокъ более другого въ 2, 3, 4... раза и т. п. Точно такъ же дуги окружностей одинаковаго р а д i у с а можно сравнивать между собою вследств1е того, что татя дуги при наложети совмещаются. Но известно, что никакая часть окружности (или другой кривой) не можетъ совместиться съ прямой A21); поэтому нельзя установить пу-
216 — темъ наложешя, какой криволинейный отр*Ьзокъ должно считать равнымъ данному прямолинейному отрезку, а сл'Ьд., и то, какой криволинейный отръзокъ больше даннаго прямолинейнаго въ 2,3,4... раза. Такимъ образомъ, является необходимость опре- определить, что мы разум^емъ подъ длиною окруж- окружности (или части ея), когда сравниваемъ ее съ прямолиней- прямолинейными отрЪзкомъ. 286. Определение длины окружности и ея дуги. Впишемъ въ данную окружность (черт. 251) какой- нибудь выпуклый многоугольникъ ABCDEF и найдемъ его периметръ. Пусть это будетъ конечная прямая Рх (черт. 252). Впишемъ въ ту же окружность какой-нибудь другой вы- выпуклый мн-къ, у котораго стороны были бы меньше (и, сл'Ьд., число сто- сторонъ больше), ч'Ьмъ у перваго мн-ка; найдемъ его периметръ; пусть это бу- будетъ прямая Р2 (черт. 252). Впишемъ дал'Ье въ нашу окружность трет1й мн-къ (онъ не указанъ на чертеж'Ь), у котораго стороны были бы еще меньше (и, сл'Ьд., число сторонъ еще больше) и найдемъ его периметръ; пусть это будетъ прямая Р3. Вообра- Черт. 252. зимъ теперь, что мы вписываемъ въ данную окружность все новые и новые мн-ки, у которыхъ стороны неограниченно умень- уменьшаются, и каждый разъ находимъ ихъ периметры. Тогда мы получимъ безконечный ряда периметровъ Рь Р2, Р3,
— 217 Можно доказать *), что этотъ рядъ стремится къ определенному пределу (напр., къ длинй L, черт. 252), не зависящему отъ того, по какому закону мы уменьшаемъ стороны вписан- ныхъ многоугольниковъ (и, сл-Ьд., увеличиваемъ число ихъ сторонъ). Мы можемъ, напр., вписывать въ данную окружность мн-ки по такому закону: сначала впишемъ квадратъ (черт. 253); зат^мъ впишемъ правильный 8-угольникъ, дал^е правильный 16-угольникъ, потомъ 32-угольникъ и т. д., и т. д., все удваивая число сторонъ правильныхъ мн-ковъ. Можемъ Черт. 253. Черт. 254. поступить и такъ: сначала впишемъ правильный 6-угольникъ (черт. 254), загЬмъ правильный 12-угольникъ, дал'Ье 24-уголь- никъ ит. д., и т. д., все удваивая число сторонъ мн-ковъ. Мо- Можемъ вписывать мн-ки и по какому угодно иному закону, при- чемъ вписываемые мн-ки могутъ быть и неправильные. Всегда окажется, что если только стороны вписаннаго выпуклаго мн-ка неограниченно уменьшаются, то периметръ его стремится къ*одному и тому же пределу, определенному для данной окружности. Этотъ пред'Ьлъ принимаетсяч за длину окружности. Такимъ образомъ: за длину окружности принимаютъ предал ъ, къ которому стре- стремится периметръ вписаннаго въ эту окруж- окружность выпуклаго многоугольника, когда стороны его неограниченно уменьшаются. •) Доказательство помещено ниже, въ § 298.
— 218 Черт. 255. Подобно этому за длину дуги (АВ, черт. 255) окруж- окружности (и вообще за длину какой-ни- какой-нибудь конечной кривой) принимаютъ пред'Ьлъ, къ которому стре- стремится периметръ ломаной ли- н i и, вписанной въ эту дугу и имеющей съ нею одни и т'Ьже концы, когда стороны этой ло- ломаной неограниченно умень- уменьшаются. 287. Сл1гдств1я- 1°. Равныя дуги и равныя окружности имЪютъ одина- ковыя длины. Действительно, если дуги АВ и CD (черт. 256) равны, то это значитъ, что one при наложенш совмещаются. Вследств1е этого ломанныя линш, вписываемыя въ нихъ, можно брать совершенно одинако- одинаковыми. Но тогда периметры этихъ ломаныхъ будутъ, конечно, стремиться къ одному и тому же пределу; а этотъ пределъ, со- согласно определешю, и есть длина дуги какъ АВ, такъ и CD. То же самое можно повторить о равныхъ окружностяхъ. 2°. Длина суммы дугъ равна сумме длинъ этихъ дугъ. Если дуга А В С (черт. 257) есть сумма двухъ дугъ АВ и ВС, то мы можемъ вписывать ломаную литю въ дугу ABC такимъ образомъ, чтобы она всегда была со- составлена изъ двухъ ломаныхъ, сходящихся въ точке В; тогда одна изъ нихъ будетъ впи- вписана въ дугу АВ, а другая въ дугу ВС. При такомъ способе вписывашя, очевидно, пре- пределъ t периметра ломаной, вписаной въ дугу ABC, равенъ сумме пределовъ периметровъ ломаныхъ, вписанныхъ въ дуги АВ и ВС; а это значитъ, что длина дуги ABC равна сумме длинъ дугъ АВ и ВС. Въ частности, напр., длина целой окруж- окружности, разложенной на несколько дугъ, равна сумме длинъ всехъ этихъ дугъ. 288. Теорема. Длина дуги больше стягивающей ее хорды, но меньше всякой ломаной линш, описанной около этой дуги и имеющей съ нею одни и Tt же концы. Черт. 256.
— 219 — 1°. Пусть АСВ (черт. 258) есть дуга окружности, а АВ стяги- стягивающая ее хорда; требуется доказать, что длина дуги больше этой хорды.—Предположимъ, что въ дугу АСВ мы вписываемъ ломаныя линш по такому закону: первая ломаная пусть будетъ какая угодно, напр., ломаная, со- составленная изъ 2-хъ хордъ АС и СВ\ вторая ломаная пусть будетъ ADCEB, " составленная изъ 4-хъ хордъ, при- чемъ вершины первой ломаной, т.-е. ТОЧКИ А, С И В ПуСТЬ ВХОДЯТЪ также Черт. 258. въ число вершинъ и второй ломаной. Третья ломаная (не указана на чертеж'Ь) пусть будетъ такая, которая составлена изъ 8-ми хордъ, причемъ вершины второй ломаной, т.-е. точки A, D, С, Е и В, пусть входятъ также и; въ число вершинъ третьей ломанной. Такимъ же образомъ вписы- вписывается четвертая ломаная, загЬмъ пятая и т. д. безъ конца. При такомъ закон-Ь вписывай!я периметръ ломаной, съ каждымъ удвоешемъ числа ея сторонъ, будетъ все возрастать (напр., AD+BC+CE+EB>AC+CB, такъ какъ AB+DC>AC и СЕ+ЕВ^>СВ)\ всл'Ьдств1е этого пред'Ьлъ, къ которому стре- стремится этотъ лериметръ, долженъ быть больше периметра первой ломаной, т.-е. суммы АС+СВ, и, значитъ, долженъ быть, и подавно, больше хорды АВ E3). Но пред'Ьлъ, къ которому стремится периметръ вписанной ломанной лиши принимается за длину дуги АВ\ значитъ, эта длина больше хорды АВ. 2°. Пусть ломаная лин1я АСВ (черт. 259) описана около дуги"^4В и им'Ьетъ съ этою дугою одни и гЬ же концы А и В.; требуется доказать, что длина дуги С меньше длины этой ломаной; дру- гими словами, требуется доказать, что пред'Ьлъ L, къ которому стремится периметръ выпуклой ломаной.ли-нш ^ -ч« вписанной въ дугу АВ, при неогра- ниченномъ уменыпеши ея сторонъ, меньше суммы АС+СВ, которую мы для краткости обозначимъ одною буквою S. Длд доказательства возьмемъ вспомогательную ломаную АтпВ, которая получится, если мы ср'Ьжемъ уголъ С кашшъ-нибудь отр-Ьзкомъ прямой rnni не пересЬкаю-
— 220 — щимся съ дугою АВ (что всегда возможно, если ло- ломаная АСВ описана, т.-е. составлена иэъ касательныхъ). Обозначимъ длину этой вспомогательной ломаной буквою 8г Такъ какъ тп<тС+Сп, то ^<S. Докажемъ теперь, что п р е - дъ-лъ L не можетъ быть больше 8г. Предпо- ложимъ противное, т.-е. что Ь>8Х. Такъ какъ переменная величина приближается къ своему пределу какъ угодно близко то периметръ вписанной въ дугу АВ ломаной линш, при до- статочномъ уменыпенш ея сторонъ, можетъ приблизиться къ своему пределу L настолько близко, что разность между L и этимъ периметромъ сделается меньше постоянной разности L—S^, тогда, значитъ, периметръ вписанной ломанной сделается больше 8г. Но это невозможно, такъ какъ всякая выпуклая ломаная литя, вписанная въ дугу АВ, есть объемлемая по отношетю къ объемлющей ломаной АтпВ, и потому первая должна быть меньше второй E5). СлЪд., нельзя до- допустить, что L>#i; значитъ, L<St и такъ какъ ?х<#, то L<S. 289. Зам-Ьчан!е. Доказательство объ-ихъ частей этой теоремы остается въ полной сил* и тогда, когда дуга, о которой говорится въ теорем*, будетъ не дуга окружности, а, часть ка- какой-нибудь иной кривой, лишь бы только эта часть кривой была выпуклая, т.-е. такая, которая расположена по одну сторону отъ каждой своей касательной. 290. Сл-Ьдетв1е. Пусть въ данную окружность (черт. 260) вписанъ какой-нибудь выпуклый многоугольникъ ABGD и опнеанъ какой-нибудь многоугольникъ MNPQR. Такъ какъ дуга АВ больше хорды АВ, дуга ВС больше хорды ВС и т. д., то длина окружности больше периметра вписаннаго многоугольника. Оь другой стрроны, такъ какъ дуга ab меньше описанной лома- р ной линш аМ+МЬ, дуга Ъе меньше описанной ломаной линш bN+Nc и т. д., то длина окружности меньше периметра описаннаго многоугольника. Напр., длина окружности больше а меньше Q Черт. 260. периметра правильнаго вписаннаго шестиугольника
991 периметра описаннаго квадрата; значитъ, длина окружности больше 6-ти рад1усовъ и меньше 8-ми р.ад1усовъ (такъ какъ сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника равна ра- д1усу, а сторона описаннаго квадрата равна д1аметру). Для бол'Ье точнаго вычислетя длины окружности въ за- зависимости отъ рад1уса докажемъ следующую теорему. 291. Теорема. Длины окружностей относятся, какъ ихъ рад1усы или д1аметры. Пусть В и их (черт. 261) будутъ рад1усы двухъ окружностей, а С и Сг ихъ длины; требуется доказать; что С : CX-=R: R1=2R :2RV Впишемъ въ дан- ныя окружности ка- Kie-нибудь правиль- правильные одноименные мно- многоугольники (напри- м'Ьръ, шестиуголь- шестиугольники) и зат'Ьмъ во- образимъ, что число ихъ сторонъ одновре- тт ^ * Черт. 201. менно неограниченно удваивается (т.-е. вместо шестиугольниковъ берутся правиль- правильные вписанные 12-угольники, зат'Ьмъ 24-угольники, 48-уголь- ники и т. д. безъ конца). Обозначимъ переменные периметры этихъ многоугольниковъ черезъ р и рх. Тогда будемъ имйть пропорцш B63): Но если перем^нныл величины сохраняютъ одно и то же отно- шеше, то пределы ихъ находятся въ томъ же отношенш B82); пределы же периметровъ р и рг суть длины окружностей С и Сг\ значитъ:' С : CX=R : Rv Умноживъ оба члена второго отношешя на 2 (отчего отношете не изменится), получимъ: С : C1=2R : 2ЕХ. 292. Cn^CTBifl. i°. Переставивъ въ последней пропорц1и средше члены, получимъ: С : 2R=C1 :
ооо т.-е. отношеше одной окружности къ своему д1аметру равно отношенш другой окружности къ своему д!аметру; другими словами: отношеше окружности къ своему д!аметру есть число посто- постоянное для Bctxb окружностей. Это постоянное число принято обозначать греческою бук- буквою TZ *). 2°. Зная рад1усъ и отношеше окружности къ своему д1а- метру, т.-е. число тс, мы можемъ вычислит:- длину окружности изъ равенства: С : 211=%; откуда C±=2R.tz=R.2tz, т.-е. длина окружности равна произведена ея д1аметра на число ти, или произведен^ ея рад!уса на удвоенное число-. Чаще всего формулу для длины окружности пишутъ такъ: 293. Понятие о вычиеленш %. Доказано, что отно- nieHie окружности къ д1аметру не можетъ быть выражено точно ни итЬлымъ, ни дробнымъ числомъ **). Но можно найти при- приближенное значете тг съ какою угодно точностью. Укэжемъ одинъ изъ способовъ этого вычислетя. Если рад1усъ примемъ за единицу длины, то длина окруж- окружности выразится числомъ 2%. Поэтому можно сказать, что тс есть длина полу окружности единичнаго раду1са. Чтобы вычислить полу окружность съ н'Ькоторвщъ приближе- шемъ, находятъ полу периметры правильныхъ вписанныхъ мн-ковъ, которые получаютъ черезъ удвоеше числа сторонъ ка- какого-нибудь одного изъ нихъ, напр., шестиугольника. Для *) Обозначеше это введено, по всей вероятности, въ XVII стол'Ътш. Буква ^с (пи,)- есть начальная буква греческаго слова Trepicpepsia (окружность). **) OTHomeHie окружности къ д1аметру есть число не только не- несоизмеримое, но и трансцендентное, т.-е. такое, ко- торое не можетъ служить корнемъ никакого алгебраическаго уравнен1я съ рациональными коэффиц!ентами (впервые это было доказано въ 1882 г. нЪмецкимъ математикомъ Ф. Линде- м а н о м ъ). Отсюда можно вывести заключеше, что помощью пир- кулл и линейки нельзя решить построен1емъ задачу о в ы п р я м л е- н1и окружности, т.-е. нельзя построить такой отрЪзокъ прямой, длина котораго въ точности равнялась бы длин'Ь данной окружности.
— 223 — этого предварительно находятъ длины сторонъ этихъ мн-ковъ, а зат'Ьмъ полупериметры. Обозначая, по принятому, черезъ а сторону правильнаго вписаннаго мн-ка, им'Ьющаго п сторонъ, будемъ иметь: c?e== JR=1 - Применяя формулу удвоешя, выведенную нами ранее B73): находимъ: а12=2—2л/ 1 =2—V3 =0,26795... После этого, пользуясь тою же формулою, последовательно вычисляемъ: 4 Положимъ, что мы прекратили удвоеюе на 96-угольнике. Чтобы получить его полупериметръ, надо сторону умножить на 48. Сделавъ все упрощешя и вычислешя, пайдемъ (обо- (обозначая периметръ буквою р съ соответствующимъ знакомъ): 1 -р9в=3,Ш0319... * Если полупериметръ 06-угольника примемъ за длину полу- полуокружности, то, конечно, сделаемъ некоторую погрешность. Чтобы судить о величине ея, вычислимъ еще полупериметръ правильнаго описаннаго 96-угольника Для этого вос- воспользуемся формулою, дающею выражеше для стороны описан- описаннаго мн-ка по рад1усу и стороне вписаннаго B71): у а 96 "Г 1 отсюда: - л 4 У 4 где Р96 означаетъ периметръ описаннаго 96-угольника. Под-
1 -Р96 =3,1427146... — 224 — ставивъ на м&сто 7гР9в и а9в найденныя прежде числа и сд'Ьлавъ вычислешя, найдемъ: 1 - Полуокружность бол'Ье полупериметра вписаннаго, но меньше полупериметра описаннаго 96-угольника B90); поэтому она отличается отъ каждаго изъ этихъ полупериметровъ меньше, чФмъ они разнятся между собою. Сравнивая два числа, найден- найденныя для 72^96 и 72^96> зам'Ьчаемъ, что у нихъ одинаковы ц'Ьлыя, десятыя и сотыя доли; сл'Ьд., разность между этими полупери- полупериметрами меньше 7юо- Поэтому, если положимъ, что тс=3,14, то получцмъ приближенное значеше 7U съ точностью до 0,01, при чемъ это значеше будетъ с ъ недостаткомъ, такъ какъ оно меньше 7гР9б и> сл'Ьд., подавно меньше полу» окружности. Если подобнымъ образомъ продолжимъ вычислеше до полу- чешя полупериметра мн-ка о 6144 сторонахъ, то получимъ следующее"число (съ недостаткомъ), точное до одной мюипонной: тс=3,141 592. Для практическихъ ц'Ьлей достаточно запомнить три или четыре цыфры этого числа, а въ случай особенной точности можно довольствоваться такимъ приближеннымъ значешемъ (съ избыткомъ) числа тс, выраженнымъ 5-ю цыфрами: 7U=3,1416. Полезно также запомнить несколько цыфръ числа 1 -=0,318 3098..., часто встречающаяся при вычислен1яхъ. 294. Архимедово и Мец1ево отношен!я. А р х и- м е д ъ, знаменитый сиракузскШ геометръ, жившш въ III вйкй до Р. Хр., нашелъ для тс весьма простое число 22/7, т.-е. 37?- Это число несколько болФе тс и разнится отъ него мен^е, чФмъ на 2 тысячныхъ. Адр!анъ Мец1й, голландстй геометръ XVI столбя, далъ для отношешя окружности къ д1аметру число 355/пз> ко- которое превосходить точное значеше тс мен^е, ч^мъ на пол у-
— 226 — м и л л i о н н у ю ; его легко запомнить по следующему пра вилу: написавъ по 2 раза первыя три нечетныя цыфры: 113 | 355, слйдуетъ послйдтя три взять числителемъ, а первыя знамена- телемъ. Ученые позднййшаго времени, пользуясь упрощенными спо- способами (которые указываются высшей математикой), вычислили тс съ точностью, далеко превосходящею всяшя практичесшя тре- бовашя (такъ, Ш е н к с ъ въ 1873 году нашелъ 707 десятич- пыхъ знаковъ числа % *). 296. Длина дуги въ п°. Такъ какъ длина всей окруж- ности есть 2тгй, то длина дуги въ 1° равна Т^7п сл'Ьд., длина 5 дуги, содержащей п°, выразится такъ: tzRu S== 180 ' Если дуга выражена въ минутахъ {п) или въ секундахъ (п")> то длина ея определится формулами: 5l~~lb060' Sn lb0.60'. Sn 180.60.60 *) Для запоминан1я довольно длиннаго ряда цыфръ, выражающихъ число те, можно пользоваться слЪдующимъ французскимъ двустиш1емъ: Que j*aime a f air e apprenjdre Un nombre utile aux hommes! или сл'вдующимъ русскимъ (придуманнымъ поюойнымъ преподавате- лемъ Нижегородской гимназ!и Шенрокомъ): Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число, ужъ энаетъ! Если, выписать въ рядъ числа буквъ, заключающихся въ каждомъ слов'Ь втихъ фразъ, то получимъ для те приближенное число (съ из- быткомъ) 3,1415926536, верное до одной половины десятибилл!онной. *¦) Ц'влую окружность можно разсматривать, какъ сумму 860 дугъ, равныхъ одному градусу; и такъ какъ длина суммы дугъ равна сумм'Ь длинъ этихъ дугъ B87, 2°), то дуга въ 1° должна им-вть длину, въ 360 разъ меньшую длины utaon окружности. Д'лштя дуги въ п° есть сумма п дугъ въ Iе; поэтому она должна быть въ п разъ больше длины дуги, въ 1°.
— 226 — 296. Задача 1-я. Вычислить съ точностью до 1 миллиметра рад1усъ такой окружности, которой дуга, содержащая 81° 21' 36", равна 0,452 метра. Обративъ 81° 21' 36" въ секунды, получимъ число 292896. %R . 292896 Изъ уравнешя: 0^52==180 . 60 . 60 0,452 . 180 . 60 . 60 1 находись: R= ^^ «0,818 (метра). Задача 2-я. Определить число г]эадусовъ дуги, которой длина равна р а д i у с у. Замйнивъ въ формул^, определяющей длину дуги въ п°, величину s на й, получимъ уравнение: izRn 180 1 откуда: п=— =180. .- =180 . 0,3183098 . 7Г % °17/44// =57°,295764=57°17/44//,8. Теорема, служащая основан1емъ для опред'ЬлеШя длины окружности. (См. § 286). 297. При доказательств^ этой теоремы, мы будемъ основываться на сл'Ьдуюцшхъ почти очевидныхъ истинахъ: 1° Если переигЬнная величина, изменяясь, все увеличивается, но при этомъ остатся меньше нЪкоторой постоянной величины, то она им%етъ пред%лъ. 2° Если перем%нная величина, изменяясь, все уменьшается, но при этомъ остается большз н!которой постоянной величины, то она им%етъ пред^лъ. * 3° Если разность дэухъ перем%нныхъ величинъ стремится къ нулю, и одна у.эъ этихъ величинъ имЪетъ предалъ, то другая HMteTb тотъ же предъ-лъ. 298. Теорема. Периметръ выпуклаго многоугольника, вписаннаго въ окружность, стремится къ предъ*лу, когда стороны этого многоугольника не- неограниченно уменьшаются (и, сл'Ьд., число сторонъ неограниченно увеличивается); г.редЪлъ этототъ не зависитъ отъ закона, по которому сто- стороны многоугольника уменьшаются. Пусть ABCDE (черт. 262) есть какой-нибудь выпуклый много- угольникъ, вписанный въ данную окружность.
— 227 — Проведемъ черезъ всЬ его вершины касательныя къ окружности до взаимнаго пересЬчетя. Тогда получимъ описанный мн-къ KLMNP. Условимся называть такой описанный мн-къ соотв'Ьт- ственнымъ для вписаннаго мн-ка ABCDE. Доказательство наше будетъ состоять изъ сл-Ьдующихъ" трехъ частей: 1°. Пусть р есть периметръ какого угодно вписаннаго, а Р периметръ со- отв'Ьтственнаго описаннаго мн-ка *). Докажемъ, что разность Р—р стремится къ 0, когда стороны вписан- вписаннаго мн-ка стремятся къ 0 по какому угодно закону. Для этого предварительно Черт. 262. уд у Д рдр найдемъ предЪлъ отношетя Р : р. Изъ вершинъ Kt L, M, JV... опу- стимъ перпендикуляры на стороны вписаннаго многоугольника. Тогда A) Изъ алгебры известно, **) что величина дроби: PAL-\-LB-\~BM-\- р~ заключается между меньшею и ббльшею изъ дробей: AL LB ВМ AV 1В' Вт'"" B) Докажемъ, что при неограниченномъ уменыпенш сторонъ вписан- вписаннаго многоугольника каждая изъ этихъ дробей стремится къ пре- AL д'Ьлу 1. Возьмемъ какую-нибудь одну изъ нихъ, напр. ~jT' Изъ пря- моугольнаго тр—ка АЫ (черт. 262) мы усматриваемъ, что AL 1 Al = AL cos А; откуда-^^ Когда стороны вписаннаго многоугольника стремятся къ 0, уголъ А, составленный касательною AL и хордою АВ, также стремится къ О AL B77); сл'Ьд., cos А стремится при этомъ къ 1, и потому отношеше ~тт также им'Ьетъ пред'Ьломъ 1. Такъ какъ это разеуждеше можно при- м'бнчть кэ всякому тр—ку чертежа 262-го, то, значитъ, каждая дробь изъ ряда B) им-ветъ пред'Ьломъ 1. Р "Отсюда сл'Ьдуетъ, что и пред'Ьлъ отношетя - также равенъ 1. с *) Не должно смешивать эгихъ буквъ съ такими же, поставлен- поставленными на черт. 262. **) См., напр., «Элементарная алгебра» А. Кисе- Киселе в а, § 264 (изд. 23-е и сл'Ьд.).
— 328 — Доказавъ это, возьмемъ разность Р—р и представимъ ее такъ: Р Отношеше — стремится, по доказанному, къ 1; след., разность Р (Р \ — u—i стремится къ 0; вслгвдств1е этого и произведете р\ — * )> въ которомъ р есть величина конечная (такъ какъ периметръ любого вписаннаго мн—ка всегда остается меньше периметра всякаго описан- наго), также стремится къ 0; значить, то же самое можно сказать о разности Р—р. 2°. Докажемъ теперь, что периметръ вписаннаго мн—ка стремится къ предъ-лу при следу ющемъ частномъ законе вписыватя. Впишемъ въ кругъ правильный тр—къ; загвмъ удвоимъ число сто- ронъ, т.-е. возьмемъ правильный вписанный 6-угольникъ; далее удвоимъ опять число сторонъ, т.-е. возьмемъ правильный 12-уголь- никъ; вообразимъ, что этотъ процессъ удвоешя идетъ безъ конца. Тогда периметры такихъ вписанныхъ многоугольниковъ, увели- увеличиваясь съ каждымъ удвоен1емъ, все будутъ воз- возрастать, оставаясь однако меньше периметра любого описаннаго мн—ка (напр., квадрата); вслгвдств1е этого периметръ вписаннаго мн—ка, стороны котораго стремятся къ 0 по этому частному закону, им'Ьетъ пред'влъ. Обозначимъ его черезъ Т. Тотъ же преде л ъ имеетъ' и периметръ' соответствен наго описаннаго мн—ка, такъ какъ, по доказанному, разность между этими периметрами стремится къ 0. 3°. Докажемъ, наконецъ, что къ тому же пределу Т стремится периметръ вписаннаго мн—ка, стороны котораго уменьшаются по какому угодно закону. Пусть рг есть переменный периметръ вписаннаго мн—ка, котораго стороны уменьшаются по произвольному закону, а р периметръ вписаннаго мн—ка, стороны котораго уменьшаются по указанному выше частному закону; положимъ еще, что Рг и Р будутъ периметры соотв'втственныхъ описанныхъ многоугольниковъ. По доказанному въ части 1° этого изложен1я, разности: Рг—рг и Р—р стремятся къ 0. Поэтому и сумма ихъ должна стремиться къ 0. Но эту сумму можно представить такъ: Такъ какъ периметръ выпуклаго многоугольника меньше пери- периметра всякаго другого многоугольника, объемлюцшго его, то р< Рг и /?!<Р; сл^д., обе разности Рг—р и Р—р1 положительны; сумма же поло.жительныхъ слагаемыхъ стремится къ 0 только тогда, когда каждое слагаемое стремится къ 0; след., разности Р1—р и Р—рг стремятся къ 0. Но величины р и Р имеютъ обций пределъ ЗГ; след. B97, 8°), величины рг и Pi имеютъ тотъ же пред^лъ Т.
— 229 — Такимъ образомъ, пределъ периметра существуетъ и не зависитъ отъ закона, по которому стороны вписаннаго мн—ка уменьшаются. З&М'ЬчаШб. Применяя изложенное доказательство не къ целой окружности, а къ какой-нибудь ея части, или вообще къ какой- нибудь конечной выпуклой кривой (кривую не выпуклую можно разбить на выпуклыя части), мы можемъ доказать эту теорему по отношенш къ псрлметру ломаной лиши, вписанной въ эту конеч- конечную кривую. УПР АЖНЕН 1Я. 255. Доказать, что въ двухъ кругахъ отношеше центральныхъ угловъ, соотв'втствуюцшхъ дугамъ, им'вющимъ одинаковую длину равно обратному отношешю рад1усовъ. 256. Какъ велика будетъ ошибка, если вместо полуокружности восьмемъ сумму стороны правильнаго вписаннаго треугольника и стороны вписаннаго квадрата? 257. На окружности взята точка А и черезъ нее проведены: д1а- метръ АВ, сторона правильнаго вписаннаго 6-угольника АС и каса- касательная MN.- Изъ центра О опущенъ на АС перпендикуляръ и про- долженъ до пересвчетя съ касательною въ точке Z). Отъ этой точки отложена по касательной (черезъ точку А) прямая DE, равная 3 ра- д1у.амъ. Точка Е соединена съ концомъ ддаметра В. Определить, ьакъ велика погрешность, если прямую BE возьмемъ за длину полу- полуокружности *). 258. На д1аметре данной полуокружности построены две равныя полуокружности и въ ту часть плоскости, которая заключена между тремя полуокружностями, вписанъ кругъ. Доказать, что д1аметръ этого круга относится къ д1аметру равныхъ полуокружностей, какъ 2 : 3. 259. Вычислить въ градусахъ, минутахъ и секундахъ дугу, равную рад!усу (решете въ тексте, стр. 226). 260. Вычислить длину одного градуса земного экватора, принимая рад1уръ земли въ 85.9 геогр. миль. *) Доказано, что посрсдствомъ циркуля и линейки нетъ возмож- возможности nociроить такую конечную прямую, которая въ точности равня- равнялась бы длине окружности (задача о с п р я м'л е н i и окруж- окружности невозможна, см. выноску къ § 293). Однако есть несколько способовъ для приближеннаго спрямлен!я. Въ задачахъ 256 и 257 указаны два изъ этихъ способовъ. ПоследнШ изъ нихъ, принадле- жащШ польскому 1езуиту Коханскому A683), замечателенъ темъ, что можетъ быть выполненъ однимъ растворешемъ циркуля.
230 КНИГА V. ИЗМЪРЕНШ' ПЛОЩАДЕЙ. ГЛАВА Т. Площади многоугольниковъ. 299. Основныя допущен1я о площадяхъ. Часть плоскости, заключенная внутри многоугольника или другой какой-нибудь плоской фигуры наз. площадью этой фи- фигуры. Площадь фигуры мы можемъ разсматривать, какъ вели- величину особаго рода, если примемъ сл-Ьдуюпця допущешя: 1°. Равныя фигуры (т.-е. татя, которыя могутъ быть совмещены при наложенш) им-Ьютъ равныя площади независимо отъ ихъ положения въ про- пространств •?. 2°. Площадь' какой-нибудь фигуры (напр., изображенной на черт. 263), с о- • стоящей изъ н i с к о л ь- кихъ частей (М, N...), при- принимается за сумму пло- площадей этихъ частей. ЗОО. СггЬдсгая. 1°. П§о- ща дь фигуры большепло- щади каждой ея части, такъ какъ сумма положительныхъ величинъ больше каждаго слагаемаго. 2°. Если фигура состоитъ изъ 2-хъ частей (черт. 263), то пло- площадь каждой части разсматривается, какъ разность между площадью ц^лой фигуры и площадью другой ея части. 3°< Если фигуры (напр., изображенныя на черт. 264) состоятъ изъ одинаковаго числа частей (А, В...,), соответственно другъ другу равныхъ, то площади такихъ фигуръ, представляя собою суммы соответственно равныхъ слагаемыхъ, считаются равными независимо отъ того, какъ расположены эти части относительно другъ друга. Черт, 263.
231 4°. Фигуры, площади которыхъ можно разсматривать, какъ разности площа- площадей равныхъ фигуръ, им^ют/Ъ одинаковая пло- площади. Мы BCKOpt BCTpt- тимъ такой случай C08). Мы видимъ такимъ обра- Черт. 264. гомъ, что могутъ быть фи- фигуры, которыя нельзя на- назвать равными (такъ какъ они не могутъ быть совмещены), но которыя однако имЪютъ равныя площади; таковы, напр., прямоугольникъ, параллелограммъ и треугольникъ, изобра- изображенные на черт. 264 Фигуры, ц м t ю щ i я равныя площади, назы- называются равновеликими. Равныя фигуры всегда равновелики, но равновелитя фигуры не всегда равны. ЗО1. Зам'ЬчаЙЯ. 1°. Относительно указанныхъ допущенш о пло- щадяхъ возникаетъ слЪдуюций важный вопросъ. Положимъ, что, разбивъ данную фигуру на некоторое число частей произвольной формы, мы перемЪщаемъ эти части разнообразными способами (по- (подобно тому, какъ на черт. 264-мъ перемещены части А и В); мы будемъ тогда получать различныя новыя фигуры. Не можетъ ли при этомъ получиться и такая фигура, которая, помещенная на начальную фигуру или на какую-нибудь изъ образовавшихся изъ нея новыхъ фигуръ, вся уместится внутри этой фигуры? Если бы это случилось, то мы имели бы тогда две фигуры, которыя, съ одной сто- стороны, состоя изъ одинаковаго числа попарно совмещающихся частей, должны считаться равновеликими; а съ другой стороны, та изъ нихъ, которая способна поместиться внутри другой и, такимъ образомъ, мо- жетъ составить часть этой другой, должна считаться меньшей изъ двухъ. Тогда указанныя допущешя о равенстве и неравенстве площадей теря- теряли бы всякШ смыслъ, такъ какъ, согласно этимъ допущешямъ, две пло- площади могли бы одновременно считаться и равными, и неравными. .Впервые обратилъ внимате на этотъ вопросъ итал1анскШ мате- матикъ Де-Цольтъ, который (въ 1881 г.) пытался доказать (но неудачно), что много.угольникъ никогда не м о - жетъ оказаться равновеликимъ своей части (и, значитъ, предположенный нами случай невозможенъ). Это предложен1е Де-Цол ьта принималось сначала, какъ недоказуемый постулатъ равйовеликости, но затемъ (въ конце XlX столет1я) оно было строго доказано (С. Ш а т у -
232 - новскимъ, Гильбертомъ и др.). Мы опускаемъ эти доказательства по причин^ ихъ сложности. 2°. Различаютъ равновеликость Двухъ ?юдовъ; одна изъ нихъ указана въ отдвленш 3° параграфа 300-го, другая—въ отд-влеши 4° того же параграфа. Первую можно назвать равновеликостью «п о разложен! ю», вторую—равновеликоетью «по дополне- н i ю». Действительно, равновеликость 1-го рода можетъ быть вы- высказана такъ: дв'Ь фигуры считаются равновели- равновеликими, если он'Ь могутъ быть разложены на о д и н* а- ковое число частей, соответственно другъ другу равных ъ, а равновеликость 2-го рода можетъ быть выражена такъ: дв! фигуры считаются равнове- равновеликими, если ихъ можно дополнип.ъ равными другъ другу фигурами такимъ образом ъ, что образовавш1яся суммы представляютъ собою тоже равныя фигуры. ПримЪромъ равновеликости по разложен!ю служатъ фигуры, указанныя на черт. 204; какъ прим-Ь^ъ равновеликости по дополнешю можно указать пар—мъ ABCD и прям—къ AEFD черт. 270-го. Действительно, обе эти фигуры даютъ одну и ту же трапещю AECD, если пар—мъ дополнимъ тр—комъ АЕВ% а прям—къ дополнимъ тр—комъ DEC, равнымъ /\АЕВ. Для прямолинейныхъ фигуръ доказано, что равновеликость по дополнетю есть вместе съ темъ и равновеликость по разложешю. Частный случай этой истины доказанъ нами въ § 309 помощью чер- чертежа 273-го. 3°. Можно также доказать, что две фигуры, равно- равновелик i я одной и той ^ке третьей фигуре, рав- равновелики и между собою. Мы принимаемъ эту истину безъ доказательства. 802. Единица площади. За единицу площади при из- м-Ьренш ихъ обыкновенно берутъ площадь такого квадрата, у котораго сторона равна линейной единдц'Ь; таковы, напр., квадратный метръ, квадратный аршинъ и т. п. Отношен1е двухъ квадратныхъ единицъ. разныхъ назван1й равно второй сте- степени отношен1я тФхъ линейныхъ единицъ, которыя служатъ сто- сторонами для этихъ к в а д р а т н ы х ъ е д и н и ц ъ. Такъ, отношете квадратной сажени къ квадр. аршину - j. ' .^штЛ Черт. 265.
— 233 — В равно З2, т.-е. 9, что ясно видно изъ чертежа 26б-го, на кото- ромъ менытй изъ двухъ квадратовъ изображаетъ квадратный аршинъ, а Сбтышй—квадратную сажень. ЗОЗ. Понят1е о нисл*, изм-Ъряющемъ площадь. Пояснимъ наглядно, что сл-Ьдуеть разуметь подъ числомъ, измеряю* щ и м ъ в ъ квадратныхъ единиуахъ 'данную площадь. Проведемъ две взаймйо- перпендикулярныя прямыя А В и CD (черт. 266) и зат'вмъ построимъ рядъ прямыхъ, па- раллельныхъ АВУ и другой рядъ прямыхъ, параллель- ныхъ CD, причемъ разстоя- шя между теми и другими прямыми возьмемъ одинако- одинаковыми, а именно равными какой-нибудь линейной еди- единице. Мы получимъ тогда сеть квадратовъ, изъ которыхъ каждый пред- ставляетъ собою квадратную единицу. Вообразимъ, что на БМ: ::r:s::::::::::::::: Черт. 206. такую сеть наложена та фи- фигура, которой площадь мы желаемъ измерить (напр., данный кругъ, какъ изображено на чер- тежЪ 266). Тогда по отношен!ю къ этой фигурй всв квадраты свти можно разделить на три рода: 1) вн-вшше квадраты, которые распо- расположены внй данной фигуры; 2) внутренше квадраты, которые лежать внутри фигуры (они покрыты на чертеж^ двойными штрихами) и 3) тЬ квадраты, черезъ которые проходитъ контуръ фигуры и которые, сл'вд., лежатъ частью внутри, частью внй данной фигуры (эти ква- квадраты на чертеж^ покрыты простыми штрихами). Оставивъ безъ вниманш BH-biiiHie квадраты, сосчитаемъ отдельно квадраты 2-го и* квадраты 3-го рода. Пусть первыхъ окажется ш, а вторыхъ п. Тогда, очевидно, измеряемая площадь больше w, но меньше w-f-n квадр. единицъ. Числа т и т + п будутъ въ этомъ случай приближен- приближенный м^ры данной площади, первое число съ недостаткомъ а второе съ избыткомъ, причемъ погрешность меньше п квадр; ед. (меньше суммы твхъ квадратовъ, которые покрыты на нашемъ чертежи простыми штрихами). Чтобы получить бол^е точные результаты изм-вретя, у п л о т • н и м ъ нашу сеть квадратовъ, подразделивъ каждый изъ нихъ на более мелте квадраты. Напр., разделимъ стороны квадратовъ на 10 равныхъ частей и черезъ точки раздела проведемъ рядъ прямыхъ,
— 234 — параллельныхъ АВ, и другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ CD. Мы разложимъ тогда каждый квадратъ сети на 100 мелкихъ квадра-, товъ, изъ которыхъ каждый составляетъ Vioo часть квадратной еди- единицы. Положимъ, что теперь всЪхъ внутреннихъ малыхъ квадратовъ будетъ т\ а т-вхъ, которые пересекаются контуромъ фигуры, пусть окажется п'. Тогда измеряемая площадь будетъ более y^j' но менее .т 7ПП квадратной единицы. Эти числа Сг дуть новыя приближенныя меры измеряемой площади, первое съ недостаткомъ, второе съ из- п' быткомъ, причемъ погрешность менее у^ квадр. един. Не трудно 1 ¦¦¦¦¦«•••¦¦•¦а*¦••¦¦¦ ¦¦г •«•¦•¦•¦>•¦•¦¦••¦>¦•••¦¦ убедиться,что эта погрешность окажется менее прежней погрешности. действительно, отъ каждаго изъ техъ квадратовъ чертежа 266-го, которые покрыты простыми штрихами, отойдутъ теперь, во 1, те части, которыя составлены малыми квадра- квадратами, лежащими вне фигуры, и во 2, те части, которыя составлены малыми квадра- квадратами, лежащими внутри фигуры. Для ясности мы на черт. 267-мъ изобразили въ увеличен- номъ виде одинъ изъ квадратовъ, покрытыхъ на предыдущемъ чертеже простыми штрихами (именно, квадратъ, обозначенный буквою fc), разделивъ его на 100 мелкихъ квадратовъ. Черт. ?67. мы теперь ясно видимъ, что полоса, соста- составленная изъ малыхъ квадратовъ, черезъ которые проходитъ контуръ фигуры (покрытая на черт. 267 простыми штрихами), значительно менее всего большого квадрата. Такъ какъ это справедливо для каждаго квадрата чертежа 266-го, покрытаго простыми штрихами, и' то ясно, что погрешность, равная ^ квадр. ед., менее погрешности, равной п квадр. с д. Если подразделимъ квадратную единицу на части еще более мелшя, то, произведя указаннымъ путемъ измереше, мы получимъ приближенныя меры площади еще съ меньшей погрешностью. Иногда (напр., при измеренш площади прямоугольника, см. чер- тежъ 268), поступая описаннымъ способомъ, мы можемъ получить точную меру площади. Это будетъ тогда, когда контуръ дан- данной фигуры представляетъ собою ломаную лишю, которой стороны совпадаютъ съ частями прямыхъ лиши, образующихъ сеть квадра- квадратовъ; въ этомъ случае, след., не будетъ совсемъ квадратовъ, про- резываемыхъ контуромъ фигуры. Тогда число квадратовъ, лежащихъ внутри фигуры, составитъ точную меру измеряемой площади^ Во всехъ остальныхъ случаяхъ указанный пр1емъ измерешя даетъ только приближенные результаты,- причемъ* погрешность можетъ быть сде- сделана какъ угодно малой.
" С.ОО Представимъ себ-Ь, что какими-нибудь соображениями мы нашли такое число Q (цЪлое, дробное или несоизмеримое), которое оказы- оказывается ббльшимъ всякаго приближеннаго результата измЪрещя, взятаго съ недостаткомъ, и меньшимъ всякаго приближеннаго ре- результата измЪрешя, взятаго съ избыткомъ; тогда такое число можетъ быть принято за точную м ij p у изм^* ряемой площади. Доказано, что такое число существуетъ дл*я всякой площади и что оно не зависитъ отъ положешя тЪхъ прямыхъ АВ и CD (черт. 266), параллельно которымъ проводятся лиши свти. *) Число это обладаетъ следующими двумя свойствами: при одной и той же ква- квадратной единице 1) площадямъ равныхъ фи- фигу р ъ (совмещающихся) соответствуютъ равны я числа,, и 2) сумме площадей B99,2) соотв-Ьт* ствуетъ сумма чисел ъ. Отсюда следуетъ, что ббльшей площади соответствуетъ ббльшее число, равновеликимъ фигурамъ соответствуютъ равныя числа, и т. п. 304. Основание и высота. Изм^рете площади только въ рЪдкихъ случаяхъ могло бы быть выполнено йепосредствен- нымъ наложешемъ квадратной единицы. Большею частью пло- площади приходится измерять косвенно, посредствомъ измйретя н^которыхъ литй фигуры. Условимся одну изъ сторонъ треугольника или параллело- параллелограмма называть основан1емъ этихъ фигуръ, а перпен- дикуляръ, опущенный на эту сторону изъ вершины тр-ка или изъ какой-нибудь точки противоположной стороны параллело- параллелограмма, будемъ называть высотою. Въ прямоугольник^ за высоту можно взять сторону, перпен- перпендикулярную къ той, которая принята за основаше. Въ трапецш основащями называютъ o6i параллельныя сто- стороны, а высотою—обпцй перпендикуляръ между ними. Основаше и высота прямоугольника наз. его изморе- Hi я м и. 305. Теорема. Площадь прямоугольника равна произве- дешю его основашя на высоту. ¦) См. W. Killing und Hovestad t—Handbuch de3 mathematischen Unterrichts, I Band. 1910.
236 Это краткое предложеше надо понимать такъ: число, выражающее площадь прямоугольника въ квадратныхъ единицах ъ, равно произ- произведен^, чисел ъ, выражаю щи хъ основан!е и высоту его въ соотв*тствующихъ линей- ныхъ единицахъ При доказательств* разсмотримъ особо сл*дуюпце три случая: 1°. Основан1еивысота, изм*ренныя одной и той же единицей, выражаются ц*лыми числами. Пусть у даннаго прямоугольника (черт. 268) основаше равно ц*лому числу Ъ линейныхъ единицъ, а высота—ц*лому числу h т*хъ же единицъ. Разд*ливъ основаше на Ъ и высоту на h равныхъ частей, про- ведемъ черезъ точки разд*ла рядъ прямыхъ, параллельныхъ высот*, и другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ основанш. Отъ взаимнаго перес*чешя этихъ прямыхъ обра- образуются н*которые четыреугольники. Возь- мемъ какой-нибудь одинъ изъ нихъ, напр., четыреугольникъ к (покрытый на чертеж* Черт. 268. штрихами). Такъ какъ стороны этого че- гыреугольника, го построенш, параллельны соотв*тствующимъ сторонамъ даннаго прямоугольника, то вс* углы его прямые; значить, четыреугольникъ к есть прямоугольникъ. Оь другой стороны каждая сторона этого прямоугольника равна разстоя- шю между сос*дними параллельными прямыми, т.-е. равна одной и той же линейной единиц*. Значить, прямоугольникъ к пред- ставляетъ собда квадратъ, а именно ту квадратную единицу, которая соотв*тствуетъ взятой линейной единиц* (если, напр., основаше и высота были изм*рены лине?плми сантиметрами, то квадратъ к есть квадратный сантиметръ). Такъ какъ сказанное объ одномъ четыреугольник* можетъ быть повторено о всякомъ другомъ, то, зпачитъ, проведешемъ указанныхъ параллель- параллельныхъ прямыхъ мы разбиваемъ всю площадь даннаго прямоуголь- прямоугольника на квадратныя единицы. Найдемъ ихъ число. Очевидно, что рядъ прямыхъ, параллельныхъ основанш, разд*ляетъ прямо- прямоугольникъ на столько равныхъ горизонтальпыхъ полосъ, сколько i • -
— 237 — въ высота содержится линейныхъ единицъ, т.-е. на h равныхъ тюлосъ. Оъ другой стороны рядъ прямыхъ, параллельныхъ высоте, разбиваетъ каждую горизонтальную полосу на столько квадратныхъ единицъ, сколько въ основанш содержится линей- линейныхъ единицъ т.-е. на Ъ квадратныхъ единицъ. Значить, всЬхъ квадратныхъ единицъ окажется Ъ . In. Такимъ образомъ; площадь прямоугольника =ЬА, т.-е. она равна произведешю основашя на высоту. 2°. Основап1е и высота, измЪренныя од- одною и тою же единицею, выражаются дробными числами. Пусть у даннаго прямоугольника: т р основаше=—лин. ед.; высота=—той же ед., n q причемъ мы не исключаемъ и тотъ случай, когда какая-нибудь изъ этихъ дробей равна целому числу. Приведя дроби къ одипаковому знаменателю, получимъ: mq pn основате=—; высота =—\ щ щ Примемъ 11Щ долю линейной единицы за новую единицу длины. Тогда мы можемъ сказать, что основаше содержись mq этцуь новыхъ единицъ, а высота рп гЬхъ же единицъ. Значить, по до- доказанному въ случае 1°, площадь прямоугольника равна (mq) (pn) такихъ квадратныхъ единицъ, которыя соответствуют^ новой единице длины. Но эта квадр. единица составляетъ V^J часть квадр. единицы, соответствующей прежней лпнейной единице C02); значить, площадь прямоугольника равна: mqpn тр т р () (р) nqL n*q* nq n q 3°. Основ a Hie.и высота (или только одно изъ этихъ измеретй) несоизмеримы съ единицей длины и, след., выражаются десои л а ад и,
— 238 — Пусть основаше АВ прямоугольника ABCD (черт. 269) вы- выражается несоизмЗфимымъ числомъ а и высота BD—несоизме- BD—несоизмеримыми» числомъ р. Найдемъ при- ближенныя значен!я этихъ чиселъ съ точностью до 1/п. Для этого на основанш АВ, начиная отъ точки А, отложимъ 1/п долю линейной еди- единицы столько разъ, сколько можно. Пусть окажется, что, отложивъ п такихъ долей, мы получимъ отр-Ь- зокъ АВХ<САВ, а отложивъ га+1 до- долей, найдемъ отр-Ьзокъ АВ^>АВ. га т+1 Тогда дроби—и будутъ прибли- Черт. 269. п п женныя значешя числа а, первая съ недостаткомъ, вторая съ избыткомъ. Положимъ дал-Ье, что отло- отложивъ г/п долю линейной единицы па высот* AD (отъ точки А) р разъ, мы получимъ ADX<AD, а отложивъ %>+! разъ, найдемъ AD?>AD\ тогда V дроби-и будутъ дриближенныя зна- чешя числа р, первая съ недостаткомъ, вторая съ избыткомъ.По- строимъ 2 вспомогательные прямоугольника АВ^^ж AB2C2D2. У каждаго изъ нихъ основаше и высота выражается дробными числами: т n n n n Поэтому, согласно доказанному въ случай 2 площ. п п площ. п п Такъ какъ площадь ABXCJ)X есть часть площади ABCD, а эта последняя есть часть площади АВгСгТ>ъ т0 пл. АВхСгЯ^ш. АВСП<ш. AB2C2D2, й потому^. -?<^числа, изм^р. пл. ABCD<" . -^—. п <? п q
— 239 — Это двойное неравенство остается в-Ьрнымъ при всякомъ зна- ченш гц т.-е. оно остается вернымъ, съ какою бы точностью мы ни находили приближенныя значешя чиселъ аир. Значить, мы можемъ сказать, что площадь ABCD должна выражаться такимъ числомъ, которое больше произведения любыхъ прибли- женныхъ значешй чиселъ аир, если эти значен1я взяты €ъ не- достаткомъ, но меньше произведешя любыхъ ихъ приближен- ныхъ значешй, если эти значешя взяты съ избыткомъ. Такое число, какъ известно изъ алгебры, наз. произведен ieMb несоизмеримыхъ чиселъ а и р. След.: площ. т.-е. она и въ этомъ случай равна произведенш основатя на высоту. Это разсуждеше вполне применимо и къ тому случаю, когда только одно изъ измерешй прямоугольника несоизмеримо съ единицей длины. ЗОв. Сл*Ъдств1е. Площади двухъ прямоуголь- никовъ, имйющихъ равныя основан1я, от- относятся, какъ ихъ высоты, а площади двухъ прямоугольников ъ, имйющихъ рав- равныя высоты, относятся, какъ ихъ осно- основа н i я. Действительно, если Ь, h и Р будутъ основаше, высота и площадь одного прямоугольника, а Ь1э \ ц Рх—^основан1е, вы- высота и площадь другого прямоугольника, то, по доказанному: Р=Ыг и Р^Ь^; след.: P:P1=bfc:b1fe1. Отсюда находимъ, что если Ъ=ЪЪ то Р : Рг=Ж : Аь а если Ь=ЬЪ то Р : Рг=Ъ : Ъг. ЗО7. SaMtnaHie. Въ последующихъ теоремахъ мы будемъ сокращенно гоЕоритъ: «площадь равна произведенда такихъ-то -лин1й», разумея подъ этимъ, что число, выражающее площадь въ квадратныхъ единицахъ, равно произведен!») ч и с е л ъ. выражающихъ так1я-то лиши въ соответствующихъ линейныхъ единицахъ.
240 308. Теорема» Площадь параллелограмма {ABCD, черт. 270 и 271) равна произведен^ основашя на высоту. В п к в Черт. 270. На основанш AD построимъ прямоугольникъ AEFD, у ко- тораго сторона EF составляетъ продолжеше стороны ВС. До- кажемъ, что площ. АВСВ=влощ. AEFD.—Изъ чертелсей усма- трираемъ, что площ. АВСВ^площ. AECD—шощ. АЕВ и площ. AEFD=площ. AECD—площ. DFC. Но прямоугольные тр-ки АЕВ и DFC равны, потому что у нихъ: AE=DF и AB=DC (какъ противоположныя стороны параллелограммовъ). Значить, равны и площади этихъ тр-ковъ. Поэтому площади ABCD и AEFD представляютъ собою раз- разности соответственно равныхъ площ ад ей; B^^CTBie этого C00, 4°): . площ. АВСО=площ. AEFD. ' Но пл. AEFD=bh; сл*Д., и пл. ABCD—bh, причемъ Ъ можно рассматривать, какъ основаше параллелограмма, и h, Kairb его высоту Сл-Ьдств1е. Параллелограммы съ равными основан1ями и равными высотами равновелики. ЗО9. 8ам*чан1в. Параллелограммы, HMfcioqiie равныя осно в^а н1я и равн ыя высоты, могутъ быть разложены на одинаковое число частей, попарно другъ другу равныхъ (конгруэнт- (конгруэнтны х ъ). Для доказательства разм'Ьстимъ параллелограммы такимъ образомъ, чтобы ихъ равныя основашя совпали. Тогда могутъ пред-
241 — ставиться два случая: 1) когда верхтя стороны пар-мовъ им'Ьютъ какую-нибудь общую часть (черт. 272), и 2) когда такой общей части н'Ьтъ (черт. 273). в Е с s с е о / \ - - - —— --——-¦ Черт. 272. Разсмотримъ эти случаи отдельно. 1) Парал-мъ ABC В прямою АЕ разделяется на 2 части: Д ABE и трапещя АЕСВ; другой парал-мъ прямою CD разлагается на Д DCF и ту же трапец1ю AECD. Такъ какъ Д АВЕ= Д DCF, то значитъ, оба парал-ма составлены изъ попарно равныхъ частей. 2) Пусть К будетъ точка пересЬчетя сторонъ АЕ и ВС. Отложимъ на КС, начиная отъ К, части, равныя В К, столько разъ, сколько можно (на нашемъ чертеж^ отрЪзокъ KB уложился на КС одинъ разъ до точки L, причемъ получился остатокъ LC<DK). Черезъ точки К и L проведемъ прямыя, параллельныя АВ. Тогда пар-мъ АВСВ разложится на 3 пар-ма, изъ которыхъ два равны между собою; пар-мъ AEFB также разложится на 3 пар-ма, изъ которыхъ два равны между собою. Проведя д1агонали ML и NQ, загЬмъ PS || АЕ и OR || АВ, мы разд'Ьлимъ каждый изъ Данныхъ пар-мовъ на 6 частей; не трудно видеть, что части, обозначенныя на чертеж1з одними и гЪми же цыфрами, другъ другу равны. 31O Теорема. Площадь треуголь- треугольника (ABC, черт. 274) равна половин% произведешя основашя на высоту. Проведемъ BE II АС и АЕ \\ ВС. Тогда получимъ пераллелограммъ АЕВС, ко- тораго площадь, до доказанному, рав- равна Ыг. Но площадь /\АВС составляетъ половину площади АЕВС\ сл'Ьд.: 1 площ. ?'~~ Е Черт. 274.
— 242 311. Слгёдств1я. 1°. Треугольники съ равными основашями и равными высотами равновелики. Если, напр., вершину В тр-ка ABC (черт. 275) будемъ переме- перемещать по прямой, параллельной основанш АС, а основате оста- вимъ то же самое, то площадь тр-ка не будетъ изменяться. Черт. 275. 2°. Площадь прямоугольнаго тре- треугольника равна половинЪ произведешь его катетовъ, потому что одинъ катетъ можно взять за основате, а другой за высоту. Изъ черт. 276 непосредственно видно, что площадь такого тр-ка составляет!» половину площади прямоугольника, им'Ьющаго то же основате и ту же высоту. 3*. Площадь ромба равна половинЪ произведения его fliaro- налей. Действительно, если ABCD (чер?. 277) есть ромбъ, то его д1аго- нали взаимно перпендикулярны. По- Поэтому: пл. ААВС==г/2 АС . ОБ. пл. AACD^U AC . OD. пл. =±U AC . (OB+OD)= =V2 AC . BD. Черт. 277. 4°. Площади треуголькиковъ относятся, какъ произведешя основанш на высоты (множитель г/2 сокращается). 312. Зам*Ъчан1в. ВсякШ треуго лЧ> никъ разла- разлагается на части, перемещен 1емъ которыхъ можно образовать прямоугольник ъ^ им'Ью- щ i й одинаковое съ треугольникомъ осно- основан ie и высоту, вдвое меньшую высоты тре- треугольника. Действительно, если въ тр-кЪ ABC (черт. 278)
— 243 — к черезъ середины D и Е двухъ сторонъ (образующихъ съ третьей стороной острые углы) проведемъ прямую и на нее опустимъ перпен- дикуляръ BF, то тр-къ ЛВС разобьется этими прямыми на 3 части, обозначенныя на чертежЪ пыфрами 1, 2 и 3. Повернувъ часть 1-ую вокругъ точки D ив, 180° (въ направленш, указанномъ етрЪлкой), мы приведемъ ее въ положете AKD; подобнымъ же образомъ часть 2-ю мы приведемъ въ положете OLE. Тогда тр-къ ЛВС превратится въ прямоуголь- никъ AKLC, у котораго основате то же самое, что и у тр-ка, а высота вдвое меньше высоты тр-ка. 313. Теорема. Площадь S треугольника въ зависимости отъ его сторонъ а, Ъ и с выражается формулой: Черт. 278. есть полупериметръ треугольника, т.-е. _ 1 V——(а-\-Ъ-\-с), 2 Пусть высота тр-ка ABC (черт. 279). опущенная на сторону а, есть Ьа. Тогда: 1 Чтобы найти высоту ha, возьмемъ уравнете B36): и опред'Ьлимъ нзъ него отр^зокъ с' С = 2а. Изъ треугольника ABB находимъ: *—(°L 2а 2a Преобразуемъ подкоренную величину такъ: BacJ—(a2+c2—b2J=Bac+a2+c2—b2)Bac—a2—с2 +b2) = =[(a2+c2+2ac)—Ь2][Ь2—(а2+с2—2ac)J= =[(a+cJ-b2][b2-(a-cJ]- =(a+c+b)(a+c—b)Q)+a—c)(b—a+c).
— 244 — Если положимъ, что а-\-Ъ-\-с—2р, то а+с—Ъ =(а+Ъ +с)—2Ъ =2р—2Ъ =2(р—Ъ). Подобно этому: Ъ +а—с=2(р—с); Ъ-\- с—а=2(р —а). Поэтому подкоренную величину можно представить такъ: Сл'Ьд.: Поэтому: h а 16р(р~ а)(р—Ъ)(р—с). 2-1/ " Г У 1)(р—а)(р—Ъ)(р—с) -—ала= у р(р—а)(р—Ъ)(р—с). Частный случай. Площадь равносторонняго треуголь ника со стороною а выражается следующей формулой: -—а2 У а. 314* Задача^ Вычислить площадь треугольни- к a ABC (черт. 280) по двумъ сторонамъ АВ и АС и углу А между ними. Безъ помощи тригонометрш эта задача р-Ьшается только для H'fe- которыхъ частныхъ значен1й угла А. Положимъ напр, что А = 18°. Тогда можно вычислить h въ зависимости отъ стороны АВ такимъ образомъ: продолживъ BD на разстояше DE = BD, соединимъ Е съ А. Тогда въ равнобедренномъ тр-к'Ь ABE уголъ ВАЕ равенъ 36°. Изъ этого заключаемъ, что BE, т.-е. двойная высота, есть сторона правиль- наго 10-угольника, вписаннаго въ кругъ, котораго рад1усъ есть АВ. Поэтому BE найдется по формул^, определяющей сто- сторону прав, вписан. 10-угольника F8). Опред'Ьливъ высоту, найдемъ зат'Ьмъ пло- площадь тр-ка по формул^ S=~AC.h. Черт. 280. Подобно этому задача решается для ^.=30°, 45°, 60°.
— 246 — 315. Теорема. Площадь трапецш равна произведена полусуммы основанш на высоту.. В h А Черт. 281 Черт. 232. Проведя въ трапецш (черт. 281) ABCD д1агональ АС, мы можемъ разсматривать ея площадь, какъ сумму площадей- Двухъ тр-ковъ CAB и ABC. Поэтому 11 1 площ. ABCD=—-AD . П+-—ВС . /г==—(AD+BO)h. . & л л - 316, Сл'ЬдетвХе. Если MN (черт.. 281) есть средняя лишя трапецш, то, какъ известно A17): MN——(AD+BC). 2 Поэтому . площ. ABCD=MN . т.-о. площадь трапецш равна произведена средней лиши на высоту. .Это же можно видеть и непосредственно изъ чертежа 282-го. 317. Теорема. Площадь всякаго описаннаго многоугольника равна произведен^ периметра на половину рад1уса. Соединивъ центръ О (черт. 283) со всЬми вершинами описаннаго мно- многоугольника, мы разд'Ьлимъ его на треугольники, въ которыхъ за осно- ван1я можно взять стороны много- многоугольника, а за высоту—рад1усъ кру- круга. Обозначивъ этотъ рад1усъ черезъ В, будеш>. имйть: 1 площ. АОВ—А В .-t 1 площ. АОЕ=АЕ .—Е; и т. д. Черт. 283. i
— 246 — 1 1 Сл4д., площ. ABCDE=(AB+BC+CD+DE+EA) . ~R=P . - где буквою Р обозначенъ периметръ мн-ка. 318. Сл?дств1е. Площадь правильна™ многоугольника равна произведению периметра на половину апоеемы, потому что всящй прав, многоугольникъ можно рассматривать, какъ описанный около круга, у котораго рад1усъ есть апооема. 319. Задача. Превратить многоугольникъ (ABCDE, черт. 284) въ равновеликШ треуголь- треугольникъ. Какою-нибудь д1агоналыо АС отсбкаемъ отъ даннаго мн-ка /\АВС. Черезъ ту вершину В этого тр-ка, которая лежитъ про- тивъ взятой ддагонали, прово- димъ прямую MNII АС. Зат'бмъ продолжимъ одну изъ сторонъ ЕА или DC, прилежащихъ къ отсеченному тр-ку, до пересЬче- Чеот 284 • •»*-»Ў ^ v р • ' ндя съ прямою MN (на чертеж* продолжена сторона ЕА). Точку пересбчешя F соединимъ съ С. Тр-ки СВА и CFA равновелики C11, 1°), такъ какъ у нихъ общее основаше АС, а вершины Ви F лежатъ на прямой, парал- параллельной основанш. Если отъ даннаго многоугольника отдЗз- лимъ тр-къ. СВА и вместо него приложимъ равновелиюй ему тр-къ CFA, то величина площади не изменится; сл'Ьд., данный многоугольникъ равновеликъ многоугольнику FCDE, у кото- котораго, очевидно, число угловъ на 1 меньше, ч^мъ у даннаго мн-ка. Такимъ же пргемомъ можно число угловъ полученнаго мн-ка уменьшить еще на 1 и продолжать такое последовательное уменыпеше до гЬхъ поръ, пока не получится треугольникъ (FCG на нашемъ чертеж^). 320. Задача. Превратить данный многоуголь- никъ въ равновелики квадратъ. Сначала превращаютъ многоугольникъ въ равновелшай тре- треугольникъ, а вагЬмъ этотъ треугольникъ въ квадратъ. Пусть основаше и высота треугольника будутъ Ъ и Ь, а сторона иско-
— 247 — маго квадрата х. Тогда площадь перваго равна 11фк, а второго с ли д.: 1 1 —b/i=ar, откуда — Ъ : х=ж : h. Изъ этой пропорщи видно, что х есть средняя пропорщональ- ная между х/2 Ъ и h. Значить, сторону квадрата можно построить способомъ, указаннымъ раньше B31) для нахождетя средней пропорщональной. Зам"Ьчан1е. Предварительное превращете даннаго мно- многоугольника въ треугольникъ не всегда необходимо. Напр., если рЪчь идетъ о превращенш къ квадратъ данной трапещи, то достаточно найти среднюю пропорщональную между высотою трапещи и ея среднею лишею и на полученной прямой построить квадратъ. Г Л А В А П. Теорема Пкеагора и оснсвакныя на ней зздачи. 321. Теорема. Сумма площадей квадратовъ, построенныхъ на катетахъ прямоугольнаго треугольника, равна площади ква- квадрата, построеннаго на гипотенузЪ. Это предлоше^е, известное пэдъ назвашемъ теоремы Пи- вагора (гречесьаго философа, жившаго въ VI вЪк'Ь до Р. X.), им^етъ многощсленныя доказательства. Приведемъ простМ- Ш1Я ИЗЪ НИХЪ. Первое доказательство (Эвклида). Пусть ABC (черт. 285) прямоугольный треугольникъ, a BDEA, AFGC и ВСКН квадраты, построенные на его катетахъ и гипотенуз*; требуется доказать, что сумма площадей двухъ первыхъ квадра- квадратовъ равна площади третьяго квадрата. Проведемъ АМХ.ВС. Тогда квадратъ ВСКН разделится на два прямоугольника. Докажемъ, что пр-къ BLMH равновеликъ квадрату BDEAy а пр-къ LCKM равновеликъ квадрату AFGC.
248 Проведемъ в.спомогательныя прямыя DG и АН. Обратимъ вни- внимание на два тр-ка, покрытые на чертеж^ штрихами. Тр-къ DGBy им-Ьюнцй основан1е BD, общее съ квадратомъ BDEA, а высоту CN, равную высогЬ АВ этого квадрата, равновеликъ по- ловин'Ь его. Тр-къ АВН, им?ю- нцй основан1е БЯ, общее съ прямоугольникомъ BLMH, и вы- высоту АР, равную высогЬ BL этого прямоугольника, равно- равновеликъ половин^ его. Сравни- Сравнивая эти два треугольника ме- между собою, находимъ, что у нихъ BD=BA и ВС=ВН (какъ стор с ны ква; рата); сверхъ того /JDBC'=Z.ABH", такъ какъ каждый изъ этихъ углокь состоитъ изъ общей части ABC и прямого угла. Значитъ, тр-ки АВН и BDG равны. Отсюда слъдуетъ, что прямоуголь- никъ BLMH равновеликъ квадрату BDEA. Соединивъ G съ В и А съ К, мы совершенно такъ же докажемъ, что прямоугольникъ LCKM равновеликъ квадрату AFGC. Отсюда сл'Ьдуетъ, что квадратъ ВСКН равновеликъ сумм* квад- ратовъ BDEA k.AFGC. Вт о р о е до к а з а т е л ь.с т в о. Пусть а, Ъ и с озна-. чаютъ числа, выражаюпця гипотенузу и катеты прямоугольнаго треугольника въ одной и той же линейной единиц^. Тогда, какъ мы видели раньше B32), между этими числами существуетъ такая зависимость: Черт. 285. Но а2, Ъ2 и с2 суть числа, нзмЗфяюпця площади квадра- товъ, которыхъ стороны а, Ъ и с; поэтому изъ написаннаго ра- равенства слъдуетъ, что площадь квадрата, построеннаго на гипо- тенуз^Ь, равна сумм^ площадей квадратовъ, построенныхъ на катетахъ.
Третье доказательство. Существуетъ много и такихъ доказательству которыя по'казываютъ, на"как1я части надо разбить квадраты, построенные на катетахъ, чтобы перемЪщетемъ атихъ частей образовать квадратъ, построенный, на гипотенуз^. Вотъ одно изъ такихъ доказательству . Обрзначимъ гипотенузу и ка- катеты даннаго тр-ка соответ- соответственно буквами а, Ъ и с. Отло- живъ на какой-нибудь прямой (черт. 286) АВ = Ь и ВС = с, по- строимъ квадраты ABE В и BFHC. Площадь образовавша- гося 6-угольника ABEFНС ' представляетъ собою сумму пло- площадей квадратовъ, построен- ныхъ на катета.хъ. Отложивъ еще АК=с (и, сл^д., КС = Ъ), проводимъ прямыя ВК' и КН, которыя разложатъ шестиуголь- никъ на три части, обозначен- ныя на чертемсЬс цыфрами 1, 2 ж 1МИЩ\НМ>П\\\\\\ l Черт. 286. и 3. Части 1-я и 3-я предста- вляютъ собою прямоугольные тр-ки, равные данному. Повернемъ. на 9О°- тр-къ 1-й вокругъ вершины D и тр-къ 3-й вокругъ вершины Я, какъ указано стрелками. Тогда эти части займутъ так1я положешя, при даторыхъ онЪ, вмести съ оставшейся частью 2^й, образуютъ квадратъ, построенный на гипотенуз^ (предоставляемъ самимъ уча- учащимся доказать это). 322. Задачи. 1°. Построить квадратъ, рав- новеликгй сумм^ двухъ данныхъ квадра- квадратовъ. Строимъ прямоугольный треугольникъ, у котораго кате- катетами были бы стороны данныхъ квадратовъ. Квадратъ, построен- « ный на гипотенуз^ этого треугольника, равновеликъ с-у.-м-м-Ь данныхъ квадратовъ. 2°. Построить квадратъ, равновелик1й разности двухъ данныхъ квадратовъ. Строимъ. прямоугольный треугольникъ, у котораго гипоте- гипотенузой была бы сторона бшыпаго изъ данныхъ квадратовъ, а катетомъ сторона меныпаго квадрата. Квадратъ, построенный на, другомъ категЬ этого треугольника, равновеликъ разности данныхъ квадратовъ.
— 260 — 3°. Построить квадрат ъ, кбтораго п л о-, щадь(относилась бы къ площади даннаго квадрата, какъ т : п. На произвольной прямой (черт. 287) откладываемъ АВ=т и ВС=п и на АС, какъ на д1аметр(Ь, описываемъ по- полуокружность. Изъ точки В возста- вляемъ перпендикуляръ BD до пере- сЪчетя съ окружностью. Проведя хор- хорды AD и DC, получимъ прямоугольный тр-къ, у котораго B34): AD2 : DC2^AB : ВС^т : п. На катетй DC этого треугольника отложимъ отр&зокъ DE, равный стороп* даннаго квадрата, и проведемъ EF II С А. Прямая DF есть сторона искомаго квадрата, потому что DFAD /DF\2 /AD\2 ) ^ ; DF2 : DE2=AD2 : DC2=m : n. 323. ПиеагорОВЫ треугольники. Такъ наз. прямоугольные тр-ки, у которыхъ стороны, измеренный одною и тою же единицей, выражаются целыми числами. Такихъ тр-ковъ существуетъ безчисленное множество. Прост'Ьйций изъ нихъ есть тотъ (известный еще съ глубокой древности), у котораго стороны выражаются чис- числами: 3, 4 и б C2+42=52). Доказано, что стороны пиеагоровыхъ тр-ковъ могутъ быть выражены следующими общими формулами; х—2аЪ катеты: гипотенуза s = у=а*—Ъ* а и Ъ суть произвольный ц^лыя числа, лишь бы было а>Ъ. ГЛАВА III. Отношещ'е площадей подооныхъ фигуръ. 324. Теорема. Площади двухъ треугольниковъ, имЪющихъ по равному углу, относятся, какъ произведемя сторонъ, за* ключающихъ эти углы.
251 Пусть (черт. 288) въ тр-йахъ ABC и Л^Сх углы А и Аг равны. Проведя высоты BD и ВхВг, будетъ имйть: площ. ABC АС.ВВ ^ АС ВТ) площ. ^^^~ n D ° Черт. 288. Тр-ки ABB и A-JJ^Px подобны (А=Аг и В~Вг)\ поэтому отно- шэше ВВ : BXBX равно отпошенш АВ : AXBX\ замгЬнивъ первое вторымъ, получимъ: площ. ABC АС АВ АС.АВ площ. гfii ХХ XX fi^ii 325. Зам'Ьчан1е.Предлагаемъ самимъучащимся доказать, что если у двухъ треугольнпковъ ABC и А^Сц (черт. 288) углы А и Аг не равны, nb составляютъ въ сумм* 2d, то площади такихъ тр-ковъ также относятся, какъ произведешя' сторонъ, заключающихъ углы А и Ах. 326. Теорема. Площади подобныхъ треугольниновъ или многоугольниковъ относятся, какъ квадраты сходственныхъ сторонъ. 1°. Если ABC и AxBiCx (черт. 288) два подобные треугольника, то углы одного равны соответственно угламъ другого; пусть А=АЪ В*=Вг и С=С1.Прим'Ьняя къ нимъ предыдущую теорему, получимъ: площ. ABC ABAC АВ АС ш площ. AxBiCx AiBx . Но изъ лодоб1я треугольниковъ сл^дуетъ: АВ АС ВС
252. Поэтому въ равенстаЬ [1] мы можемъ каждое изъ отношейй АВ АС и п заменить любымъ отношёшемъ ряда [2]; сл'бд.: площ. ABC / АВ \2 / АС \ 2 / ВС \* площ. АхВх< АВ2 АС2 2°. Если ABCDE и А^С^В^ (черт. 289) два подобные многоугольника, то ихъ можно, какъ мы видели B08), разло- разложить яа одинаковое число подобнйхъи одинаково располо- Черт. 289. женныхъ тр-ковъ. Пусть эти тр-ки будутъ: АВО и А^Ох, АОЕ и А^РхЕх и т. д. Согласно доказанному въ первой части этой теоремы, мы получимъ пропорщю: . АОВ ( АВ\* площ. ВОС / ВС \* = ; -^ =( ; и т. д. . АхОхВх \AiBxl площ. ВхОхСх \BxCi/ площ. АОВ площ, Но изъ иодоб1я многоугольниковъ сл'Ьдуетъ: АВ ВС CD и потому: Значить: - / АВ. \ \AJiJ ВС площ. АОВ площ. iCxDx^ ВОС плйщ. COD площ. площ.
263 Откуда (по свойству равныхъ отношенШ): пл. ^ОВ+пл. ВОС +пл. COD +...пл. ABCDE 327. СлгЬдств1е. Площади правильныхъ одноименныхъ многоугояьниковъ относятся, какъ квадраты сторонъ, или ква- квадраты р?д'|усовъ, или квадраты апоеемъ B62). 328. Задача. Разделить данный треуголь- н и к ъ натравновеликихъ частей прямыми, параллельными его сторон Ъ. Пусть, напр., требуется разделить тр-никъ ABC (черт. 290) на 3 равновелишя части пря- прямыми, пераллельными осно- ванш АС. Предположимте, что задача решена, и что искомыя прямыя будутъ DE я FG. Очевидно, что если мы найдемъ отрезки BE и Вбг, то загбмъ определятся и прямыя DE и FG. Тр-ки BDE, BFG и ВАС подобны; поэтому: площ. Черт. 2С0. плотц. BFG_BG2 площ. ВАС ВС2 площ. ВАС~ВС*' Но изъ требован!! задачи видно, что: _BE площ. BDE Сл^д.: Откуда: площ. ВАС 3 BE2 площ. BFG_ 2 площ. ВАС 3 BG2 2 ВС2 ВС2 ВС ВС. ВС. Изъ этихъ выраженШ видимъ, что BE есть средняя пропор- щональная между ВС и х/з ВС, a BG есть средняя пропорщо-
— 264 — нальная между ВС и 2/з ?С B55, 4). Поэтому построеше мозйно выполнить такъ: разд'Ьлимъ ВС на три равныя части въ точйахъ а и Ъ\ опвшемъ на ВС полуокружность; пзъ а и Ъ возставимъ къ ВС перпендикуляры аН и ЪК. Хорды НВ и ВК будутъ иско- искомыми среднщш пропорциональными: первая—между всбмъ д1а- метромъ ВС д его третьею частью Ва, вторая—между ВС и ВЬ, т.-е. между ВС и 2/з ВС B30). Остается отложить эти хорды на ВС отъ точки В; тогда получимъ искомыя точки Е и G. Подобнымъ образомъ можно разделить тр-къ на какое угодно иное число равновеликихъ частей. ГЛАВА IV. Площадь круга и его частей. 329. Лемма 1-я. При неограниченномъ удвоенш числа сторонъ правильнаго многоугольника, вписаннаго въ окружность: 1°, сторона этого многоугольника стремится къ нулю; 2°, разность между рад|усомъ окружности и апоеемой много- многоугольника стремится къ нулю. 1°. Обозначимъ периметръ правильнаго вписаннаго много- многоугольника черезъ р, а число его сторонъ черезъ п; тогда длина одной стороны этого многоугольника выразится дробью р/п. При неограниченномъ удвоепш числа сторонъ этого много- многоугольника знаменатель дробп р/п будетъ возрастать безпред^льно, а числитель хотя к будетъ возрастать, но не безпред^льно, такъ какъ периметръ всякаго вписаннаго выпуклаго многоугольника меньше периметра любого описаннаго многоугольника (нацр., меньше описаннаго квадрата) *). Если же въ дроби знаменатель увеличивается безпред'Ьльно, а числитель хотя и увеличивается, но остается меньше некоторой постоянной величины, то, какъ известно изъ алгебры, эта дробь можетъ быть сделана менйе *) Можно было, бы сказать, что периметръ р не увеличивается безпред'Ьльно, потому что онъ остается всегда меньше длины окруж- окружности; но основан1е, приведенное въ тексгЪ, удобнее, такъ какъ оно не предполагаетъ предварительнаго установлен1я понят1я о длинЗ* окружности.
— 266 — любой данной положительной величины; значить, ври неограни- неограниченномъ удвоенш числа сторонъ вписаннаго правильнаго много- многоугольника сторона его, равная дроби р/п, стремится къ 0. 2°. Пусть АВ (черт. 291) есть сто- сторона какого-нибудь правильнаго впи- вписаннаго многоугольника, О А рад1усъ и ОС ароеема. Изъ тр-ка О АС нахо- димъ E2): ОА—ОС<АС или ОА—ОС<-АВ, В т.-е. разность между рад1усомъ и апофемою меньше половины стороны правильнаго многоугольника. Но при неограниченномъ удвоенш числа сторонъ правильнаго вписаннаго многоугольника сторона его, какъ мы видели, стремится къ нулю; поэтому разность между рад1усомъ и апооемою и подавно стремится къ нулю. 23O. Лемма 2-я. Разность между площадью правильнаго многоугольника, описаннаго около круга, и площадью правиль- правильнаго одноименнаго многоугольника, вписаннаго въ тотъ же кругъ, при неограниченномъ удвоенш числа сторонъ этихъ многоугольниковъ, стремится къ нулю. Впишемъ въ кругъ (черт. 292) и опишемъ около него по какому- нибудь правильному мн-ку (на чертеж^ изображены 6-угольншш). Пусть R будетъ рад1усъ круга, а— апооема вписаннаго мн-ка, q его пло- площадь и Q—площадь описаннаго мн-ка. Тогда C27): Q : q=R2 : а2. Составимъ изъ этой пропорщи про- производную (разность членовъ перваго отношетя относится такъ къ предыду- предыдущему члену этого отношетя, какъ*..): Q—q R2—а2 Д .«нм Q Черт. 292.
256 — Откуда: «ли . (Q—q)R2=Q(R+a)(R—a). При неограниченномъ удвоенщ числа сторонъ многоуголь- никовъ разность R—а, по доказанному въ предыдущей лемм'Ь, стремится къ нулю, сомножитель Q уменьшается *), а, сомно- сомножитель й+а всегда остается меньше JR+JR; всл^дств1е этого правая часть посл'Ьдняго равенства (сл'Ьд., и л'Ьвая еголасть), при неограниченномъ удвоенш числа оторонъ мнгковъ, стремится къ нулю. Но л'Ьвая часть равенства, представляя собою произ- произведете, въ которомъ множитель В2—число постойнное, можеть стремиться къ нулю только тогда, когда его множимое стремится къ нулю; множимое же Q—q и есть разность площадей правиль- ныхъ мйогоугольниковъ, описаннаго и вписаннаго. 331* ЗамЗэЧаше. Такимъ же путемъ мы можемъ доказать, что разность между периметромъ- описаннаго и периметромъ одлоименнаго вписаннаго пра- вильнаго мн-ка, ;п:ри неограниченномъ удвое- Hin числа ихъ сторонъ, стремится къ нулю. Действительно, если Р и р будутъ периметры одноименныхъ правиль- Т1ыхъ мн-ковъ, описаннаго и вписаннаго, то B63): --. - Р : p = R : a. Откуда: (Р—Р)г. P = (R—a) : Д, и, сл^д., <Р— р) R = (R—a) P. При неограниченномъ удвоенш ^чнсла сторонъ мн-ковъ правая часть посл'Ьдняго равенства (сл^д., и его л-ввая часть) стремится к,ъ нулю, такъ какъ множимое R—а, по доказанному, стремится къ нулю, а множитель Р уменьшается. Но л^вая часть равенства, представляя собою произведете, въ которомъ множитель R—число постоянное, можетъ стремиться къ нулчю только тогда, когда его множимое стремится къ нулю;- а .множимое и есть разность пери- метровъ Р и р. ; 332. Теорема. Площадь круга есть общш пред-Ьлъ площа- дей, правидьныхъ вписанныхъ въ этотъ кругъ и описанныхъ около него многоугольниковъ при неограниченномъ удвоен1и числа ихъ сторонъ. Пусть около круга, площадь котораго мы обозначимъ Z, описать. к^ой^нибудь правильный мн-къ и въ него вписанъ *) такъ какъ при каждомъ удвоенш числа сторонъ правильнаго описаннаго мн-ка отъ его угловъ срезываются небольиие тр-ки, отчего, конечно, площадь мн-ка уменьшается.
— 257 — одноименной правильный мн-къ (черт. 292). Обозначимъ пло- площадь перваго Q, а площадь второго q. Если станемъ удваивать число сторонъ этихъ мн-ковъ, то величины Q и q сделаются пере- переменными-, тогда какъ величина К останется неизменной. Тре- Требуется доказать, что при неограниченномъ удвоенш числа сто- сторонъ мн-ковъ переменныя величины Q и q стремятся къ одному и тому же пределу, именно къ площади К. Очевидно, что, каково бы ни было число сторонъ мн-ковъ, всегда (?>K^>q, и потому каждая изъ двухъ разностей: Q—К и К—q всегда меньше разности Q—q. Но при неограниченномъ удвоенш числа сторонъ мн-ковъ разность Q—д, согласно лемме 2-й, стремится къ нулю; сл^д., при этомъ каждая изъ меныпихъ разностей: Q—К и К—q и подавно стремится къ нулю; а это, согласно определенно предела, означаетъ, что пред. Q=K и пред. q—K. 333. ЗаМ'Ьчаше* Можно также утверждать, что длина окружности есть общ1й пред'Ьлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ въ эту окружность и описанныхъ около нея многоугольниковъ при неограниченномъ удвоен1и числа ихъ сторонъ. Действительно, изъ того обстоятельства, что раз- разность Р—р стремится къ нулю C31), надо заключить, что перем-внные периметры Р и р могутъ стремиться только къ одному и тому же пределу; но предвлъ р есть то, что принимается за длину окруж- окружности; значитъ, и предЪлъ Р есть тоже длина окружности. 334. Теорема. Площадь круга равна произведена длины окружности на половину pafliyca. Пусть JR, К и С означаютъ рад1усъ, площадь и длину данной окружности, a g, p и а—площадь, периметръ и аповему какого- нибудь правильнаго вписаннаго многоугольника. Тогда можемъ написать C18): 1 -a. [1] Вообразимъ теперь, что число сторонъ вписаннаго многоуголь- многоугольника неограниченно удваивается. Тогда величины g, p и а де- делаются переменными, при чемъ первая им^етъ пред^ломъ пло- площадь круга К, вторая—длину окружности С, а третья—рад1усъ ея R. Такъ какъ при этомъ равенство [1] остается постоянно А. Киселевъ. Геометр1я. 17
— 268 — в'Ьрнымъ, то, согласно основному началу способа пред'Ьловъ B83), оно останется вйрньшъ и тогда, когда вместо пере- мйнныхъ подставимъ ихъ пределы; послй такой подстановки получимъ: -R. [21 2 l J 335. СлгЬдетв1я. 1°. Площадь круга равна произведена квадрата pafliyca на число п (отношеше окружности къ дааметру). Действительно, подставивъ въ равенство [2] предыдущаго параграфа на м-Ьсто С произведете 2%R B92, 2), получимъ: 2°. Площади круговъ относятся, какъ квадраты рад1усовъ или д1аметровъ. Действительно, если К и Кг будутъ площади двухъ круговъ, a R и Рьг ихъ pafliycbi, то Откуда: И &!—' К ъВ2 R2 4E2 BRJ Кг тсЙ!2 Rx2 4йа2 BR1) 336. Задача I. Вычислить площадь круга, окружность котораго равна 2 метрам ъ. Для этого предварительно находимъ рад1усъ R изъ уравнешя: 1 2tc#=2; откуда Д=— =0,3183... Зат^мъ опред^ляемъ площадь круга: /1\2 1 K=tzR2='k 1 — 1 =—=0,3183... квадр. метра. Задача 2. Превратить данный кругъ въ квад- квадрат ъ (т.-е. построить квадратъ, равновелишй данному кругу). Эта задача, известная подъ назвашемъ квадратуры круга, не можетъ быть решена при помощи циркуля и ли-
— 259 — нейки. Действительно, если обозначимъ черезъ х сторону иско- маго квадрата, а черезъ R рад1усъ круга, то получимъ уравнете; . x—%R2\ откуда: %R : х=х : В, т.-е. х есть средняя пропорщональная между полуокружностью и рад1усомъ. След., если известна прямая, которая равна длине полуокружности, то легко построить квадратъ, равновелитй данному кругу, и обратно: если известна сторона квадрата, равновеликаго кругу, то можно построить прямую, равную по длине полуокружности. Но доказано, что помощью циркуля и линейки нельзя построить прямую, которая в*ц точности рав- равнялась бы длине полуокружности (см. выноску въ задаче № 257, стр. 229-я); след , нельзя въ точности решить задачу о превра- щенш круга въ квадратъ. Приближенное же решете можно выполнить, если предварительно найти приближенную длину полуокружности и затемъ построить среднюю пропорщональную между этою длиною и рад1усомъ. 337. Теорема. Площадь сектора равна произведен*!ю его дуги на половину радиуса. Пусть дуга АВ (черт. 293) сектора АОВ содержитъ п°. Оче- Очевидно, что площадь сектора, котораго дуга содержитъ 1°, составляетъ ^зво часть пло- площади круга, т.-е. она равна 360* След., площадь 8 сектора, котораго дуга содержитъ п°, равна 360 180 R 2 Черт. 293. п Такъ какъ -~- выражаетъ длину дуги А В, то, обозначивъ ее черезъ 5, получимъ:
— 260 — 338. Ра/'ача. Вычислить площадь сегмента, зная pafliyсъ круга и число градусов ъ, за- заключающееся въ дуг'Ъ сегмента. Чтобы получить площадь сегмента ASB, ¦* (черт. 294), достаточно изъ площади сектора ЛОВ вычесть площадь тр-ка ЛОВ. Про- Проведя ACJ_OB, будемъ им-бть: площадь сектора — -^ площадь тр-ка=2 OB.AC— тг Сл'Ьд., площ. сегмента ==2" R(s—АС). Черт. 294. Такимъ образомъ, вопросъ приводится къ вычисленш высоты АС. Геометрически (т.-е. безъ помощи тригонометрш) ее можно вычислить только въ н'Ькоторыхъ частныхъ случаяхъ сл'Ьдующимъ способомъ. Продолживъ АС до пересЬчешя съ окружностью въ точк'Ь D, мы увидимъ, что AC —CD и ^-AB — ^BD; значитъ, АС есть половина хорды, стягивающей дугу, вдвое ббльшую дуги сегмента. Отсюда заключаемъ, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будетъ сторона такого правильнаго вписаннаго многоугольника, для ко- тораго мы знаемъ формулу его стороны, то высота АС определится геометрически. Напр., пусть дуга сегмента содержитъ 60°. Тогда AD есть сторона правильнаго вписаннаго треугольника; значитъ, AC=1/2Ryr3. Дуга АВ въ этомъ случа-в равна х/6 окружности, т.-е. Зя R; поэтому: площ. сегмента = тг Если хорда АВ есть сторона такого правильнаго вписаннаго п—угольника, которую мы можемъ вычислить по данному рад1усу, то площадь сегмента можно найти также и по следующей формул^: пл. сегм , = --[пл. круга—пл. прав, п-угольника]. 339. Теорема. Сумма площадей подобныхъ многоуголь- многоугольниковъ (или круговъ), построенныхъ на катетахъ прямоуголь- наго треугольника, равна площади подобнаго многоугольника (или круга), построеннаго на гипотенуз^ если катеты и гипоте- гипотенуза служатъ сходственными сторонами этихъ многоугольниковъ (или д|'аметрами круговъ). Пусть Q, R и S будутъ плрщади подобныхъ фигуръ (или кру-
261 — говъ), построенныхъ на катетахъ и гипотенуз'Ь прямоугольнаго тр-ка ABC (черт/ 295). Тогда C26, 335, 2°) Q АВ2 В ВС2 S AC2' S АС2 Сложивъ эти равенства, найдемъ: Q+R АВ2+ВС2. S АС2 Но АВ2+ВС2=АС2 B32;) поэтому: Q+R=S. Черт 2J5. 34O, СлЪдств1е, Если на сторонахъ прямоуголь наго треугольника А ВС (черт. 296) построимъ полукруги, расположивъ ихъ такъ, какъ ука- указано на чертеж'Ь, то сумма площадей образо- образовавшихся при этомъ фигуръ (луночекъ) М и N равна площади треугольника. Действительно, сумма полукруговъ, построенныхъ на катетахъ, равна полу- полукругу, построенному на гипотенуз'Ь; если же отъ объ'ихъ частей этого равен- равенства отнимемъ сумму сегментовъ 1-го и 2-го, то получимъ: М-Ь# = площ. ABC. ш Фигуры М и N извЪ тны подъ назва- темъ Гиппократов ыхъ лу- луночекъ. *) Когда треугольникъ равнобедренный, то обЪ луночки одинаковы и каждая изъ нихъ равновелика половин'Ъ треугольника. Черт. 296. ГЛАВА V. Ссстнсшен!я кгжлу сторонами треугольника и рад!у- са: и Еписакнаго и описаннаго кругсвъ. 341, По теорем^ § 250 мы имЪемъ: bc—2Rhai гдЪ Ъ и с суть стороны треугольника, ha—высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R—рад1усъ описаннаго круга. Изъ этого равенства выводимъ: *) По имени греческаго геометра Гиппократа Xio с- с к а г о, жившаго въ V B^Kis до Р. Хр.
2С2 Исключимъ изъ этой формулы высоту ha; для этого умножимъ числителя и знаменателя дроби на а; тогда, зам'внивъ произведете haa удвоенною площадью треугольника (которую обозначимъ S), по- лучимъ: р —^1— А 4Ур(р-а)(р~Ъ)(р-сУ а Чтобы найти рад1усъ г внутренняго впи- | саннаго круга (черт. 297), примемъ во вни- 4 маше, что прямыя О А, ОВ и ОС раздЪляютъ данный тр-къ на три тр-ка, у которыхъ основашями служатъ стороны даннаго тр-ка, а высотою—рад!усъ г. Поэтому: S b+ I Черт. 297. Отсюда: r = ^ v Рад!усъ ра, внЪвписаннаго круга (черт. 298), касающагося сто- стороны а, можно определить изъ равенства: пл. 4?<7=пл, АСО + +пл. АВО—пл. В т.-е. о - Откуда: 8 Ъ-\-с— а~2(р—а)~р- а Подобно этому найдемъ: S 9 Черт. 298. Р&==р=5 и рв==р^с' Между четырьмя рад1усами г, ра, р&, и рв существуютъ н^которыл зависимости. Укажемъ простейшую изъ нихъ: 111 Зр—а—Ъг—сЗр—2р^ р Р~+ Р Р~ 8 S ~ 8' Ре р 1 S 1 ДОВАВЛЕН1Е. Построем'е корней квадратнаго уравнена. 842. Объ однородности уравненШ, получае- мыхъ при р^шенШ геометричеетихъ задачъ. Просматривая всЬ ц'Ьлыя алгебраичесшя выражен1я, найден-
— 263 — ныя въ геометрш для вычислетя различныхъ л и н i й, мы зам'Ьчаемъ, что всЬ они одного изм-bpeHi я, т.-е. вей содержать только одного буквеннаго множителя, выражающаго длину некоторой линш. Таковы, напр., выражешя: для стороны вписаннаго квадрата; для стороны прав. впис. треугольника; для длины окружности круга; и т. п. (въ последней формул* буква тс означаетъ не линш, а отвлеченное число 3,14...; поэтому она не вл1яетъ на измйрете выражетя). Просматривая дал'Ье всЬ д-Ьлыя алгебраичестя выражетя, найденныя въ геометрш для вычислетя площадей раз- различныхъ фигуръ, мы зам'Ьчаемъ, что всЬ они двухъ измо- изморе н i й, т.-е. всЬ .содержать по 2 буквенныхъ множителя, выражающихъ длины н-Ькоторыхъ лин1й. Таковы, напр., выра- жен1я: Ыг... для площади прямоугольника; 1 bfe.. для площади треугольника; -УУъ... w для площади равност. треугольника; тсг2... для площади круга, и т. п. (Подобно этому, какъ мы впосл'Ьдствш узнаемъ изъ стереомет- рш, ц'Ьлыя алгебраичестя выражетя, служащ1я для вычислен1я объемовъ, оказываются всЬ т р е х ъ изм^ретй, т.-е. содержать въ себ*Ь по 3 буквенныхъ множителя, выражающихъ ДЛИНЫ E^KOTOpblXb ЛИШИ). Замйтивъ это, примемъ во внимате, что всякое уравнете есть равенство двухъ выражетй. Сл-Ьд., въ геометриче- скомъ смысл* оно представляетъ собою или равенство линШ, или равенство площадей (или равенство объемовъ), или же, наконецъ, равенство отношетй. Когда уравнете, составленное при рЗженш геометрической задачи, выражаетъ равенство лиши, об*Ь его части должны быть одного изм'Ьрешя; когда оно выражаетъ равенство площадей, его части должны быть двухъ изм^ренШ, и т. д. Сл-Ьд., во всЬхъ случаяхъ полученное уравне- уравнете должно быть однородными Однородность не нарушится и
— 264 — послФ преобразоватя уравнешя, какъ не трудно видеть, при- нявъ во внимап1е все то, что известно намъ изъ алгебры о пре- образоваши уравнешй. Сказанное, впрочемъ, в^рно только при томъ условш, если ни однаизъ л и н i и, входящихъвъуравнен1е не принята за единицу. Въ противномъ случай одно- однородность нарушается. Наприм'Ьръ, уравнеше #2=тсг2, выражаю- выражающее равенство между площадями искомаго квадрата и даннаго круга, обращается въ неоднородное (ж2=ти), когда рад!усъ дан- даннаго круга принятъ за 1. 343. Поетроен1е корней квадратнаго уравне- уравнения. Изъ сказаннаго сл-Ьдуетъ, что если при р-Ьшенш какой- нибудь геометрической задачи помощью алгебры мы получили уравнеше (при чемъ ни одна изъ литй, входящихъ въ уравнете, не была принята за 1), то всЬ члены этого уравнешя должны быть одинаковаго измйрешя. Поэтому, упростивъ квадратное уравнеше, мы всегда приведемъ его къ такому виду: х2±рх±аЪ=о, въ которомъ всЬ члены двухъ изм^решй (при чемъ буквы р, а и Ъ выражаютъ данныя положительныя длины, а буква х—искомую длпну, положительную или отрицательную). Если предвари- предварительно построимъ B31) вспомогательную прямую q, представляю- представляющую собою среднюю геометрическую прямыхъ а и Ъ (т.-е. по- построимъ выражеше g=+j/ab), то, замЗшивъ въ уравненш произведете аЪ на д2, мы приведемъ его къ такому виду: Сочетая различными способами знаки + и — передъ членами рх и д2, мы будемъ имйть сл'Ьдуюпце 4 вида квадратныхъ урав- нешй: 1°. х2—px+q2=o; 3°. x2+px+q2=o; 2°. х2—рх—q2=o; 4°: х2-\-рх—q2=o. — Нетрудно видеть, что уравнен!я 3° и 4° получаются соответ- соответственно изъ уравнешй 1° и 2° посредствомъ замены въ нихъ х на —х\ 8начитъ, корни уравнешй 3° и 4° суть корни соотвйт-
— 266 — ственно уравнешй 1° и 2°, только взятые съ противоположными знаками. Поэтому намъ достаточно указать построеше корней только уравнешй 1° и 2°. V 'Г — Р Ф ¦ 2 \\ х2-рх+д2=о; *=\±\/ («) ~^ (VJ' i *«*?-¦¦/"" \2/ ' 2 2 У Предположимъ сначала, что ~х>3- Тогда выражен1е 2 .2 —д2 представляетъ собою катетъ такого прямоуголь- наго тр-ка, у котораго гипотенуза есть */2, а другой катетъ равенъ q\ вслг?дств1е этого построете всего проще можно вы- выполнить такъ: На какой-нибудь пря- прямой АВ (черт. 299) беремъ произвольную точку С и возставляемъ изъ нея къ АВ перпендикуляръ, на ко- / • / торомъ откладываемъ ' Д- N \ =q. Изъ точки D, какъ " ^"с ' 2t центра, рад1усомъ, рав- Черт 299 нымъ */2, пересЬкаемъ прямую ^4В въ некоторой точк*Ь О; тогда, проведя прямую ОД мы получимъ прямоугольный тр-къ ODC, у котораго ОС=А/ OD2-CD2=l/ (L\ Остается теперь къ р/2 приложить ОС (тогда получимъ хг) и отъ р/2 отнять ОС (тогда получнмъ х2). Для этого раствореьпемъ циркуля, равнымъ OD=-Pj2, откладываемъ на прямой АВ, въ об* стороны отъ точки О отрезки ОЕи OF; тогда ЕС=жхи CF=x2. Если —=3, то ж1=ж2=="г; если же —\д, то корни хг vlx2 будутъ мнимые.
— 266 2, ху—рх— q2—o •W® 2. + 9»; т.-е. W (I) 2 Въ этомъ случай корни всегда вещественные, при чемъ корень хг положительный, а х2 отрицательный. Такъ какъ выражете | / {—) представляетъ собою гипотенузу прямоугольнаго \ Ъ / /О Р/2 уС В Черт, 300. тр-ка, у котораго катеты равны р/2 и д, то построеше всего проще можно выполнить такъ: Возставивъ изъ точки С пер- пендикуляръ къ АВ (черт. 300), отложимъ на немъ CD=g; на А В отложи мъ СО=?/2. Про- Проведя прямую OD, мы получимъ прямоугольный тр-къ OCD, у котораго OD = l/ (—\ +q2. Остается къ OD приложить р/2 (тогда полу- получимъ хг) и отъ OD отнять р/г (тогда получимъ абсолютную велп- чину х2). У П Р А Ж Н Е Н I Я. Доказать теоремы: 261. Въ параллелограмм^ разстояшя какой-ниубдь точки д!агонали отъ двухъ, прилежащихъ сторонъ обратно пропориюнальны этимъ сторонамъ. 262, Площадь трапеиш равна произведешю одной изъ непарал- лельныхъ сторонъ на перпендикуляръ, опущенный изъ средины дру- другой непараллельной стороны на первую.
0А7 • 263. Два четыреугольника равновелики, если у нихъ равны со- соответственно д1агонали и уголъ между ними. 264. Если площади двухъ треугольниковъ, прилежацшхъ къ осно- вашямъ трапецш и образуемыхъ пересечешемъ ея д1агоналей, равны соответственно р2 и q2, то площадь всей трапецш равна (р + #J- 265. Площадь правильнаго вписаннаго шестиугольника равна 3/4 площади правильнаго описаннаго шестиугольника. 266. Въ четыреугольнике ABCD черезъ середину д1агонали BD проведена прямая, параллельная другой д1агонали АС\ эта прямая пересвкаетъ сторону ID въ точке Е. Доказать, что прямая СЕ де- делить четыреугольникъ пополамъ. 267. Если мед1аны треугольника взять за стороны другого тре- треугольника, то площадь последняго равна 3Д площади перваго. 268. Въ круге съ центромъ О проведена хорда АВ. На рад1усе 0А% какъ на д1аметре, описана окружность. Доказать, что площади двухъ сегментовъ, отсекаемыхъ хордою АВ отъ обоихъ круговъ, относятся, какъ 4:1. Задачи на вычислеме. 269. Вычислить площадь прямоугольной трапеиЫ, у которой одинъ изъ угловъ равенъ 60°, зная или оба основашя, или одно осно- ван1е и высоту, или одно основате и боковую сторону, наклонную къ основатю. 270. Вычислить площадь равносторонняго треугольника, зная его высоту h. 271. Даны основатя трапецш В и Ъ и ея высота Я. Вычислить высоту треугольника, образованнаго продолжетемъ непараллель- ныхъ сторонъ трапецш до взаимнаго пересечен1я. 272. Составить формулу для площади правильнаго вписаннаго 12;угольника въ зависимости отъ рад1уса круга. 273. Въ треугольникъ вписанъ другой треугольникъ, котораго вершины делятъ пополамъ стороны перваго треугольника; въ другой треугольникъ вписанъ подобнымъ же образомъ третШ тр-къ;. въ третШ—четвертый и т. д. безъ конца. Найти пределъ суммы пло- площадей этихъ треугольниковъ. 274. Въ данномъ треугольнике известны стороны а, & и с. Изъ серединъ этихъ сторонъ возставлены перпендикуляры ж, у и z до взаимнаго пересечетя въ центре описаннаго круга. Найти въ за- зависимости отъ а, Ъ и с величины х, у и г и рад1усъ R описаннаго круга. (У к а з а н i е: пользуясь теоремою Птоломея B42), можно вывести уравнетя: bz + c?/ = a#, cx-\-az = bR, ay + bx—cR и ax+by + cz~2Sy где S есть площадь треугольника). Задачи на построен'^. 275. Разделить треугольникъ прямыми, проходящими черезъ его вершину, на три части, которыхъ площади относились бы, какъ т ; п : р,
— 268 — 276. Разделить пополамъ т-къ прямою, проходящею черезъ дан- данную точку его стороны. 277. Найти внутри тр-ка такую точку, чтобы прямыя, соединяюцпя ее съ вершинами тр-ка, делили его на три равновелик1я части. 278.—то же—на три части въ отношенш 2:3:4 (или вообще т : п : р). 279. Разделить параллелограммъ на три равновелик!я части пря- прямыми, исходящими изъ вершины его. 2S0. Разд-Ьлить параллелограммъ на дв-fe части въ отношенЫ т : п прямою, проходящею черезъ данную точку. 281. Разд-Ьлить параллелограммъ на 3 равновелишя части пря- прямыми, параллельными д1агонали. 282. Разделить площадь тр-ка въ среднемъ и крайнемъ отношен!и прямою, параллельною основанш. 283. Разделить тр-къ на три равновелик1я части прямыми, пер- перпендикулярными къ основашю. 284. Разделить кругъ на 2, на 3... равновелик1я части концетри- ческими окружностями. 285. Разделить пополамъ трапещю прямою, параллельною осно- вашямъ. (Указание: продолживъ непараллельныя стороны до взаимнаго пересгЬчен1я, взять за неизвестную величину разстояше конца искомой линш до вершины тр-ка; составить пропорцш, исходя изъ площадей подобныхъ тр-ковъ...). 286. Данный прямоугольникъ превратить въ другой равновеликШ прямоугольникъ съ даннымъ основашемъ. 287. Построить квадратъ, равновеликШ 2Д даннаго квадрата. 288. Превратить квадратъ въ равновеликШ прямоугольникъ, у ко- тораго сумма s или разность d двухъ смежныхъ сторонъ дана. 289. Построить кругъ, равновеликШ кольцу, заключенному между двумя данными концетрическими окружностями. 290. Построить тр-къ, подобный одному и равновеликШ другому изъ двухъ данныхъ тр-ковъ. 291. Данный тр-къ превратить въ равновеликШ равностороннШ (посредствомъ приложешя алгебры къ геометрш). 292. Въ данный кругъ вписать прямоугольникъ съ данною пло- площадью т2 (посредствомъ приложешя алгебры къ геометрш). 293. Въ данный тр-къ вписать прямоугольникъ съ данною пло- площадью тг (приложешемъ алгебры къ геометрш). Числовыя з дчл на разные отделы планиметрм *). 294. Катеты прямоугольнаго тр-ка суть 3 ф. и 4 ф. Найти площадь круга, котораго окружность проходить черезъ середину менынаго катета и касается гипотенузы въ ея середин^. *) Взят>. изъ «Сборника геометрическихъ задачъ для повторительнаго курса п л^, н и м е тр i и», составилъ М. Попруженко, издатеЗ-е, исправленное и дополненное, Москва, 1905 г.
— 269 — 295. Точка касан1я окружности, вписанной въ прямоугольный тр-къ, дЪлитъ гипотенузу на отрезки а и Ь. Найти площадь тр-ка. 296. Катеты прямоугольнаго тр-ка суть Ъ и с. Найти биссектриссу прямого угла. г 297. Рад1усы двухъ концетрическихъ окружностей суть 15 см. и 8 см. На продолженномъ д1аметре взята точка на разстоянш 17 см. отъ общаго центра, и изъ нея проведены касательныя къ этимъ окруж- ностямъ. Найти разстояше точекъ касатя. (У к а з а н i е: при- применить теорему Птоломея). 298. Часть площади круга, заключенная между стороною вписан- наго квадрата и параллельною ей стороною правильнаго вписаннаго б-угольника, равна 1/12 (тг+З^З—6) Найти сторону квадрата, равно- великаго данному кругу. 299. Въ ромбъ, который разделяется д1агональю на два равно- сторонн1е тр-ка, вписанъ кругъ. Найти сторону ромба въ зависимости- отъ рад1уса этого круга. 300. Въ тр-ке, котораго стороны суть 4 см., 5 см. и 6 см., прове- проведены биссектриссы меньшаго угла и смежнаго съ нимъ вн-вшняго угла. Найти отр'Ьзокъ противолежащей стороны, заключенный между этими биссектриссами. 301. Въ равностороннемъ тр-ке со стороною а вписана окружность, а изъ вершины тр-ка рад1усомъ, равнымъ половине его стороны, описана другая окружность. Найти площадь, общую обоимъ кругамъ. 302. Въ треугольнике две стороны суть а и Ь. Найти третью сто- сторону и площадь, если уголъ хч.ежду сторонами а и Ъ равенъ 45°; 60°; 150°; 120°; 75°; 135°. 303. Длины двухъ параллельныхъ хордъ круга суть 30 д. и 16 д., а разстояте между ними 7 д. Найти площадь круга. 304. Черезъ точку, удаленную отъ центра круга на длину д1а- метра, проведена такая свкущая, которая делится окружностью пополамъ. Найти длину свкущей, , ели рад1усъ круга равенъ ^6. 305. Въ кругв рад1уса R проведена хорда, стягивающая дугу въ 108°. Найти ея длину. 306. На д1аметргв полукруга рад1уса R построенъ равностороннШ тр-къ. Найти площадь той его части, которая лежитъ вн^ круга. 307. Найти рад1усъ окружности, касательной къ сторонамъ а и Ъ треугольника, и центръ которой лежитъ на третьей его сторон^ с. 308. Къ двумъ извне касающимся въ точке А окружностямъ, рад1усы которыхъ суть 3 см. и 1 см., проведана внешняя касатель- касательная ВС. Найти площадь фигуры ABC, ограниченной двумя дугами и касательной. 809. Полуокружность рад1уса R разделена на три равныя'части и точки делешя соединены съ концомъ д1аметра. Найти площадь, ограниченную двумя хордами и заключенною между ними дугою. 310. Стороны тр-ка ABC продолжены въ одномъ направленш (сторона А В за точку Ву сторона ВС за точку С и сторона С А за
— 270 — тючку Л).до точекъ Аъ Вг и Сг, такъ что ААХ~ЪАВ, ВВг—ЪВС и СС1=8СА. Найти отношен!е площадей тр-ковъ ABC и А1В1С1. 811. Изъ вершины тр-ка проведена къ его основанш прямая, делящая основаше на два отрезка тип. Найти длину этой прямой, если стороны тр-ка, прилежацпя къ отрез камъ тип, суть а и Ъ. 312. Кругъ рад1уса R обложенъ тремя равными кругами, касаю" щимися даннаго и взаимно. Найти рад!усъ одного изъ этихъ круговъ. 313. Определить высоту башни, если известно, что нужно отойти на а метровъ отъ ея основашя, чтобы башня была видна подъ угломъ въ 30°. 314. По даннымъ хордамъ а и Ь, стягивающимъ две дуги въ круге единичнаго рад1уса, найти хорду, стягивающую разность этихъ дугъ. (У к а з а н i е: применить теорему Птоломея). 315. Прямая, параллельная основангямъ трапеиш, разделяетъ ее на две части въ отношенш 7 : 2 (считая отъ ббльшаго основашя). Найти длину этой прямой, если основашя трапещи суть 5 м. иЗм, 316. Изъ точки, делящей основаше тр-ка въ отношенш т : п, проведены прямыя, параллельныя двумъ другимъ сторонамъ. Найти отношеше площади каждой изъ частей, на которыя разделится тр-къ, къ площади всего тр-ка. 317. Изъ некоторой точки внутри тр-ка на стороны его а, Ь и с опущены перпендикуляры р1э р2> Рз* Найти отношен1е площади тр-ка, который образуется отъ соединен [я основанШ этихъ перпендикуляровъ, къ площади даннаго тр-ка. (У к а з а н i е: см. § 325). 318. Вычислить д1агонали трапеиш по четыремъ ея сторонамъ а, Ъ, с и d. (Указание: надо применить къ д1агонали теорему о ква- драте стороны тр-ка). 319. Найти площадь трапеиш по четыремъ ея сторонамъ а, Ь, с и d. 320. Ha противоположныхъ сторонахъ квадрата построены внутри его два равносторонше тр-ка. Пересечен1е сторонъ этихъ тр-ковъ опред^ляетъ некоторый четыреугольникъ. Найти его видъ, стороны, углы и площадь, если сторона квадрата равна а. 321. Проведена окружность, касающаяся одной стороны прямого угла и пересекающая другую сторону въ точкахъ, отстоящихъ отъ вершины угла на 6 см. и 24 см. Вычислить рад1усъ этой окружности и разстояше точки касатя отъ вершины угла. 322. Вычислить площадь тр-ка по двумъ сторонамъ а и Ъ и ме- д1ане т относительно третьей стороны. 323. На общей хорде А В построены (по одну сторону отъ А В) два сегмента, изъ которыхъ одинъ вмещаетъ уголъ 135°, а другой 120°. Найти площадь Луночки, заключенной между дугами сегментовъ. 324. На радДусахъ квадранта (четверти круга) внутри его построены два полукруга. Найти площадь той части квадранта, которая лежитъ вне полукруговъ, если рад1усъ квадранта есть R.
— 271 — 325. Въ прямоугольномъ тр-кЪ ЛВС опущенъ перпендикуляръ AD , на гипотенузу ВС. Зная рад1усы гг и г2 окружностей, вписанныхъ въ тр-ки ABD и ACD, найти рад1усъ г окружности, вписанной въ треугольникъ ABC. 326. На окружности рад1уса R отложены отъ точки А (по обЪ ея стороны) дв'Б дуги: ЛС=30° и АВ = вО°. Найти площадь тр-ка ABC. СТЕРЕОМЕТРШ. КНИГА I. ПРЯМЫЯ ПЛОСКОСТИ. Г Л А В А I. Определение положена плоскости. 344. ОпредЪсЛеше. Плоскостью A3) ваз. поверхность, обладающая гЬмъ свойствомъ, что прямая, проходящая .черезъ двй произвольныя точки этой поверхности, лежитъ на ней вс"Ьми остальными своими точками. Возможность существовашя такой поверхности принимается за акс1ому. Стереометр1ей, какъ мы говорили во введенш A4), наз. часть геометрш, въ которой разсматриваются свойства такихъ фигуръ, которыхъ не всЬ части помещаются въ одной плоскости. 345. Акс1омы ПЛОСКОСТИ. Укажемъ сл'Ьдуюпця свой- свойства плоскости, которыя мы принимаемъ за очевидныя: 1°. Плоскость есть поверхность незамкнутая. 2°. Всякая плоскость д^литъ пространство на 2 части, изъ которыхъ одна расположена по одну сторону отъ плоскости, а другая по другую сторону отъ нея. 3°. Прямая, имеющая съ плоскостью только одну общую точку, перес'Ькаетъ плоскость, т.-е. изъ части простран- пространства, лежащей по одну сторону отъ плоскости, переходитъ въ часть пространства, лежащую по другую ея сторону; такимъ образомъ, дв* полупрямыя, на которыя разделяется эта прямая плоскостью, расположены по разныя стороны отъ плоскости.
272 — 4°. Отр'Ьзокъ прямой, соединяющей двй точки пространства, расположенныя по разныя стороны отъ плоскости, переев- к а е т ъ эту плоскость, тогда какъ отрЪзокъ прямой, соеди- няюпцй дв'Ь точки, расположенныя по одну сторону плоскости, не пересЬкаетъ ее. 5°. Черезъ всякую прямую можно провести безчислен- ное множество плоскостей. 6°. Всякая прямая, проведенная на плоскости, раздйляетъ ее на дв'Ь части (называемыя полуплоскостями). 7°. Плоскость можно вращать вокругъ любой прямой, лежа- лежащей на ней,причемъ каждую изъ частей, на которыя плоскость делится этою прямою, можно заставить пройти черезъ всякую точку простралства. 346. Изображение и обозначен1е плоскости. Плоскость изображается на чертеж^ въ вид-Ь некоторой ея части, обык- М Р Черт. 301. N новенно въ формй параллелограмма или прямоугольника (черт. 301). Обо- Обозначается плоскость большею частью одною или двумя буквами; такъ го- ворятъ: плоскость Р, плоскость MN. 347. Теорема. Черезъ всяшя три точки (Л, В и С, черт. 302), не лежанья на одной прямой, можно провести пло- плоскость и притомъ только одну. 1°. Черезъ каюя-нибудь дв'Ь изъ трехъ даииыхъ точекъ, напр., черезъ Л и В, проведемъ прямую и черезъ нее—произ- нее—произвольную плоскость. Станемъ вра- вращать эту плоскость вокругъ пря-в мой АВ\ вращая, мы можемъ заставить ее пройти черезъ точку С. Тогда будемъ имйть плоскость, которая проходитъ черезъ три точки А, В и С. Остается доказать, что такая плоскость можетъ быть только одна. 2°. Предположимъ, что черезъ гЬ же три точки проведены плоскости, Обозначидоъ одну черезъ Р, а другую черезъ Рг.
Докажемъ, что эти плоскости сливаются въ одну.—Предвари- одну.—Предварительно замйтимъ, что прямыя АВ, ВС и АС, проходяпця черезъ каждую пару данныхъ точекъ, принадлежать обЪимъ плоско- стямъ, такъ какъ эти прямыя им'Ьютъ по двЪ общихъ точки и съ плоскостью Р, и съ плоскостью Рг. Возьмемъ теперь на плоско- плоскости Р какую-нибудь точку М и докажемъ, что эта точка при- надлежитъ и другой плоскости Рг. Для этого на плоскости Р черезъ точку М проведемъ какую-нибудь прямую MJD, пересе- пересекающую АВ и АС въ н'Ькоторыхъ точкахъ Е и F. Такъ какъ пря-^ мыя АВ и АС принадлежать и другой плоскости Рх, то точки ихъ Е и F также принадлежать этой плоскости» Всл|Ьдств1е этого прямая MD, проходящая черезъ Е и JF, лежитъ вся въ плоскости Рг (по определенно плоскости), а потому и ея точка М лежитъ въ этой плоскости. Такимъ образомъ, всякая точка М плоскости Р принадлежитъ и плоскости Рг: значить, эти пло- плоскости сливаются. 348. СлгЬдетв1я. 1°. Черезъ прямую и точку BHt ея можно провести плоскость и притомъ только одну, потому что точка вн^ прямой вмести съ какими-нибудь двумя точками этой пря- прямой составляюсь три точки, черезъ которыя, по доказанному, можно провести плоскость и притомъ одну. 2°. Черезъ flBt пересЪкающ'шся прямыя можно провести пло- плоскость и притомъ только одну, потому что, взявъ точку пере- сЬч'етя и еще по одной точки на каждой прямой, мы будемъ имйть три точки, черезъ которыя и т. д. 3°. Черезъ ABt параллельныя прямыя можно провести пло- плоскость и притомъ только одну, потому что паралелльныя.пря^ мыя, по определенно, лежать въ одной плоскости; эта пло-^ скость единственная, такъ какъ черезъ одну изъ параллель- ныхъ и какую-нибудк точку другой можно провести не бол^е одной плоскости. 4°. Всякую часть плоскости можно наложить вс%ми ея точками на другое м%сто этой или другой плоскости, при чемъ наклады- накладываемую часть можно предварительно перевернуть другою сто- стороною, потому что всегда возможно наложить одну плоскость на другую такъ, чтобы у нихъ совпали катя-нибудь три точки, не лежапця на одной прямой, а тогда совпадутъ и остальныя точки. 18
— 274 — 349. Теорема. Если дв* плоскости имЪютъ общую точку, то OHt им-Ьютъ и общую прямую, которая проходить черезь эту точку и по которой плоскости пересекаются. Пусть плоскость Р (черт. 303) иагЬетъ точку А, общую съ1 дру- другою плоскостью Q. Проведемъ на плоскости Q черезъ точку А кашя-нибудь две прямыя ВВг и ССг. Если бы случилось, что одна изъ этихъ прямыхъ лежитъ и на плоскости Р, то плоскости имели бы общую прямую. Предположимъ, что этого н'Ьтъ; тогда обе эти прямыя пересЬкаютъ плоскость Р C45, 3°); след., каждая изъ нихъ подразделится плоскостью Р на две полупрямыя, расположенныя по разныя стороны отъ этой пло- плоскости. Возьмемъ на полупрямыхъ АС и АВ катя-нибудь точки D и Dt и проведемъ прямую DDV Эта прямая, переходя изъ части пространства, ле- жащаго надъ плоскостью Р, въ часть пространства, лежащаго подъ пло- плоскостью Р, пересечется съ плоско- плоскостью Р въ некоторой точке Е C45, 4°). Такъ какъ, съ другой стороны, пря- прямая DBX им-Ьетъ съ плоскостью Q две общихъ точки (D и jDx), to она принадлежить ей вся. Поэтому точка Е прямой DDX также принадлежите плоскости Q. Итакъ, плоскости Р и Q имеютъ две обпця точки Аи Е; значитъ, оне имеютъ и общую прямую АЕ, проходящую черезъ эти точки. Что плоскости Р и Q пересекаются по прямой АЕ (а не саются), следуетъ изъ того, что прямыя ВВХ и ССг, содержащаяся въ плоскости Q, пересекаются съ Р. 350. Сл^детв1е. Пересчете двухъ плоскостей всегда есть лрямая лишя. 4 Действительно, если плоскости пересекаются, то оне имеютъ общую точку, но въ такомъ случае оне имеютъ и общую прямую.
— 276 Какой-нибудь еще общей точки, сверхъ точекъ этой прямой, плоскости им^ть не могутъ, такъ какъ въ противномъ случай и должны были бы слиться въ одну C48, 1°). Q.... ГЛАВА II. Перпендикуляръ къ плоскости и наклонный къ ней. 361. Предварительное замЪчанДе, Возьмемъ ка- какую-нибудь прямую АВ (черт. 304) и проведемъ чсрззъ нее двй произвольныя плоскости Р и Q; затЬмъ, взявъ на АВ какую-нибудь точку С, проведемъ на плоскостяхъ Р и Q черезъ эту точку прямыя: CD±AB и СЕ±АВ. Черезъ дв-Ь пере- сЬкаюпцяся прямыя CD и СЕ про- проведемъ плоскость й. Мы получимъ тогда такое расположеше прямой (АВ) и плоскости (В), при которомъ эта прямая, пересекаясь съ плоскостью, оказывается перпендикулярной къ двумъ прямымъ (къ CD и къ СЕ), проведеннымъ на этой плоскости черезъ точку пересЬчетя. Докажемъ теперь, что такое расположете прямой и плоскости обладаетъ сл'Ьдующимъ важнымъ свойствомъ. 352. Теорема. Если прямая (ААЪ черт. 305), пересекаю- пересекающаяся съ плоскостью (Р), перпендикулярна къ двумъ прямымъ (CD и EF), проведеннымъ на этой плоскости черезъ точку пере- сЬчешя (В), то она перпендикулярна и ко всякой третьей пря- прямой (MN), проведенной на плоскости черезъ ту же точку пере- с%чешя. Отложимъ произвольной длины, но равные, отрезки В А и ВАг и проведемъ на плоскости какую-нибудь прямую. DF, Черт. 304.
— 276 — которая пересекала бы прямыя CD, MN и EF. Точки перес*- чзшя D, N и F соедйнийъ съ точками А и ^i. Мы получимъ тогда нисколько тр-ковъ. Разсмо- тримъ ихъ въ такой последова- последовательности. Сначала возьмемъ тр-ки AFD и AxFt); они равны, такъ какъ у нихъ: FD общая сторона, АВ=Аг1)ъ какъ наклонныя къ прямой ААг, одинаково удален- ныя отъ основатя перпендикуляра BD; по той же причини AF=AXF. Изъ равенства этихъ тр-ковъ олй- дуетъ, что ZmADF=/iA1DF: Поел* этого йгрейдемъ кь тр-камъ ^jDi^ и AiDN\ они равны, такъ какъ у нихъ;Я№ общая tfropона, AD=AXD и Z-ADN^Z-AiDN. Изъ равенства ^этихъ тр-ковъ выводимъ, что AN^AxN. Теперь возь- возьмемъ тр-ки ABNb. AxBN; они равны, такъ какъ имйють соответ- соответственно равныя стороны. Изъ ихъ равенства выводимъ, что /.AftN^ZAiBN; сл^д., AAt±-MN. 353. Оп?ед'Ьлен1е. Прямая наз. перпендикуляр- перпендикулярною къплос ко с т и, если она, пересекаясь съ этою пло- плоскостью, образуетъ прямые углы со всеми прямыми, проведенными на йлоскости черезъ точку пересечешя. Въ этомъ случае говорятъ также, что плоскость перпендикулярна къ прямой. Прямая, пересекающаяся съ плоскостью, но не перпенди- перпендикулярная къ ней, наз. наклонною. Точка пересечен]я прямой сте» плоскостью, наз.* основан1емъ перпендикуляра или наклонной. Возможность существоватя перпендикулярной прямой къ плоскости составляетъ следств!е предыдущей теоремы и пред- варительнаго разъяснешя § 351-го. 354. Теорема. Если черезъ одну и ту же точку прямой проведемъ въ пространств* сколько угодно перпендикуляровъ къ атой прямой, то feet они лежать въ одной и той же плоскости (перйендйкулйрной ко веятой прямой).
277 Черт. 306. Дана прямая Л В (черт. 306) и на ней тдчка #. Изъ этой точки возставимъ въ пространств^ несколько, перпендикуляровъ къ прямой АВ. Для этого че- черезъ АВ проведемъ кашя- нибудь плоскости Р, Q, 2{t iS... и на каждой изъ нихъ черезъ точку В про- проведемъ прямую, перпенди- перпендикулярную къ АВ. Пусть это будутъ прямыя ВС, ВТ), BE, BF... Требуется доказать, что всЬ эти пер- перпендикуляры лежатъ въ одной и той ще плоскости, перпендикулярной къ АВ. Для доказательства черезъ кашя- нибудь два изъ нихъ, напр., черезъ ВС и BD, проведемъ плоскость М> которая, согласно Предыдущей теорем^, будетъ перпенди- перпендикулярна къ АВ. Вообразимъ теперь, что какой-нибудь изъ прог чихъ 'перпендикуляровъ, напр.; BE, проведенный въ пл. В, не лежитъ въ пл. М. Тогда перес-Ъчеше плоскостей ВиМ должна быть некоторая прямая, не сливающаяся съ BE, и, слгЬд., въпл. R должны существовать 2 перпендикуляра къ АВ, проходяпце черезъ точку В: одинъ BE, а другой—пересечете плоскостей МиК C52); такъ какъ это невозможно, то нельзя допустить, чтобы какой-нибудь изъ проведенныхъ нами перпендикуляровъ не лежалъ въ пл. В; значитъ* всЬ они лежатъ въ этой плоскости, которая, какъ мы говорили, перпендикулярна къ АВ. 355- Теорема. Нерезъ рсякую точку пространства мржно провести плоскость, перпендикулярную къ данной прямой, и притомъ только одну. Разсмотримъ отдельно 2 случая: когда точка лежитъ на данной прямой и когда она расположена внй этой прямой. 1°. Пусть С будетъ точка, взятая на данной прямой АВ (черт. 307). Проведемъ черезъ, эту прямую катя-нибудь дв* плоскости Р и Q и на нихъ возьмемъ прямыя СД д СЕ, перпендикулярный къ 4В, Черезъ этц двф пересбкающшся прямыя проведэдаъ плоскость I?. Эта плоскость перпендикулярна къ АВ въ точк*
— 278 потому что две ея прямыя CD и СЕ перпендикулярны кь АС, и, след., всякая третья прямая, проведенная на В черезъ точку С, также перпендикулярна къ АВ C52). Для доказательства, что такая плоскость можетъ быть только од- одна, допустимъ, что черезъ точку С можно провести еще другую плоскость, перпендикулярную къ АВ. Обозначимъ ее Вг. Эта пло- плоскость должна пересечься съ плоскостью Р по такой прямой, которая, во 1, проходить черезъ С и, во 2, перпендикулярна къ АВ. Но на плоскости Р существуетъ В Черт. 307. только одна такая прямая, именно прямая CD, которую мы раньше провели; значить, плоскость Rx должна пересечься съ Р по той же прямой CD, по которой съ ней пересекается и пл. Л, Такъ же убедимся, что пл. Ег должна пересечься съ пл. Q т той же прямой СЕ, по которой съ ней пересекается пл. R. Сл$дм пл. Вг должна проходить черезъ те же пересекаюдцяся прямыя CD и СЕ, черезъ которыя проведена нами ранее плоскость Д, Но черезъ 2 пересекаюпцяся прямыя можно провести только одну плоскость; значить, плоскости R и Вг должны слиться въ одну. 2°. Пусть D будетъ точка, взятая вне данной прямой АВ (черт. 307). Проведемъ черезъ DrAB плоскость Р и черезъ АВ еще какую-нибудь плоскость Q; на первой опустимъ на АВ изъ точки D перпендикуляръ DC, а на второй возставимъ къ АВ изъ точки С перпендикуляръ СЕ. Плоскость В, проходящая черезъ DC и СЕ, и будетъ плоскостью, препендикулярною къ АВ и проведенною черезъ точку D C52). Предположимъ теперь, что черезъ точку D можно провести еще другую плоскость Вг, перпендикулярную къ АВ. Эта пло- плоскость должна пересечься съ пл. Р по такой прямой, которая, во 1, проходить черезъ D и, во 2, перпендикулярна къ АВ. Но на йл. Р существуетъ только одна такая прямая, именно перпен- перпендикуляръ DC, который мы провели раньше; значить, пл. Вг
— 279 — должна пересечься съ пл. Р по той же прямой DC, по которой съ ней пересекается и пл. й. Но тогда съ пл. Q пл. В,г можетъ пересечься только по прямой СЕ, такъ какъ это—единственная прямая плоскости Q, проходящая черезъ С и перпендикуляр- перпендикулярная къ АВ. Такимъ образомъ, пл. Rb проходя черезъ гЬ же дв-fc пересЪкаюпцяся прямыя DC и СЕ, черезъ которыя прове- проведена пл. R, должна слиться съ этою плоскостью. 356. Теорема. Черезъ всякую точку пространства можно провести перпендикуляръ къ данной плоскости и притомъ только одинъ. Разсмотримъ отдельно 2 случая: когда точка, черезъ которую требуется провести нерпендикуляръ къ данной плоскости, лежитъ на этой плоскости, и когда она расположена вн-Ь ея. 1°. Пусть точка О лежитъ на плоскости Р (черт. 308). Про- ведемъ черезъ нее на этой плоскости какую-нибудь прямую MN и затЗшъ черезъ ту же точку О проведемъ пло- плоскость Q, перпецдикуляр- ную къ прямой \MN, что, какъ мы вид-Ьли C55, 1°), всегда возможно. Пусть плоскости Р и Q пересе- пересекаются по прямой А В. Въ плоскости Q проведемъ ОСА-АВ. Докажемъ, что полученная такимъ обра- Черт. 308 у кмъ обра зомъ прямая ОС есть перпендикуляръ къ плоскости Р. Такъ какъ прямая MN перпендикулярна къ пл. Q, то она пер- перпендикулярна ко всякой прямой, проведенной на этой плоскости черезъ точку О; значить, 0C1.MN. Съ другой сто- стороны, ОСА-АВ по построение-. Значить, прямая ОС перпенди- перпендикулярна къ двумъ Йрямымъ, проведеннымъ на пл. Р черезъ точку О; сл*д., она перпендикулярна къ пл. Р. « Предположимъ теперь, что кромй найденнаго наш перпен- перпендикуляра ОС существуете еще другой перпендикуляръ ОСЛ (черт 309), проведенный къ пл. Р черезъ ту же точку О.,, Про-
— 280 ведемъ черезъ прямыя ОС и ОСг плоскость (она не указана на чертежи); пусть эта плоскость пересечется съ пл. Р по прямой ОН. Тогда углы СОН и СХОН должны оказаться оба прямые. Но это невозможно, такъ какъ одинъ изъ этихъ угловъ составляетъ часть другого. Значить, дру- другого перпендикуляра черезъ точку О къ пл. Р провести нельзя. 2°. Пусть точка 0 лежитъ вне плоскости Р (черт. 310). Прове- Чепт ЗОЙ * демъ на этой плоскости произ- произвольную прямую МN и загЬмъ черезъ точку О проведемъ пло- плоскость Q, перпендикулярную къ прямой MN, что всегда воз- возможно C55, 2°). Пусть плоскости Р и Q nepec-Ькаются по прямой ДВ. На пл. Q проведемъ ОС±АВ. Докажемъ, что полученная такимъ образомъ прямая ОС есть перпендикуляръ къ пл. Р. Для этого достаточно показать, что эта прямая перпендикулярна къ какимъ-нибудь двумъ прямымъ, проведеннымъ на пл. Р черезъ точку С. Къ одной такой прямой, именно къ АВ, прямая ОС перпендикулярна по построение. За другую прямую возьмехмъ CD, со- соединяющую точку С съ какою-нибудь точкою В прямой MN. Для доказа- доказательства, что ОС-LCD, продолжимъ ОС на длину СОг~ОС и точки О и 0^ соединимъ прямыми съ А и D. Такъ MN±.A0x\ О значитъ, тр-ки OAD и OXAD прямоугольные при вершине^. У нихъ катетъ AD обпцй и катеты АО и АОг равны, какь наклон- ныя, проведенныя на пл. Q изъ точки А къ прямой 00ь приченъ разстояшя ихъ основашй отъ основашя перпендикуляра AJC (отрезки ОС и ОХС) равны. Изъ равенства этихъ тр-ковъ сл^дуетъ, 1гго OjD=Q1D. Перейдя теперь къ тр-камъ OCD и OXCD, видимъ, что они равны, такъ какъ стороны одного равны соответственно
— 281 — сторонамъ другого,- Сл'Ьд., ^LOCD^^OxCD и потому углы эти прямые. Такимъ образомъ, оказывается, что ОСХ.СА и OCJLCD] значить, ОС1.Р. Допустимъ тецерь, что кромЪ найденнаго нами перпендикуляра ОС можно опустить изъ точки О на пл. Р еще другой перпенди- куляръ ОСг (черт, 811). Тогда, соединивъ точки С и- Сг прямой, мы получимъ тргкъ ОССг, у ко- тораго два угла (при вершинажь С и Сг) прямые. Такъ кэкъэто невозможно, то другого перпендикуляра изъ точки О на шь Р опустить нельзя. 357. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонньипь. Когда изъ одной точки .(черт. 312) проведены къ плоскости перпендикудшръ АВ и наклонная АС, условимся называть проекций наклонной на плоскость прямую ВС, проведенную между оеноватями перпендикуляра и наклонной. Теоремы. Если изъ одной и той же точки (А, черт. 312), взятой вн% плоскости (Р), проведены къ этой плоскости пер- пендикуляръ (ДВ) и катя-ни будь наилонныя (AC, AD, AE...), то: 1°, перпендикуляръ короче вся- всякой наклонной; 2°, flet наклонныя, идоШидя равныя проекции, равны; 3°, изъ двухъ наклонныхъ ta больше, которой проекция больше; Вращая прямоугольные тргки ABC и ABD вокругь катета АВ, мы можемъ оовм^стщъ^ их'ь пло- скости съ плоскостью- тр-ка A BE. Тогда всЬ наклонныя будутъ ле- дать въ одной плоскости съ перпендикуляромъ^ и вс* проекщи Черт. 312
— 282 — расположатся на одной прямой. Такимъ образомъ, доказываемый теоремы приводятся къ аналогичнымъ теоремамъ планиметрш E9, 1 и 2). Зам*чан1е. Длина перпендикуляра, опущеннаго изъ точки А на пл. Р (черт. 312), принимается за миру разстоян1я точки А отъ пл. Р. 358. Обратныя теоремы. Если изъ одной и той же точки, взятой вн* плоскости, проведены къ этой плоскости пер- пендикуляръ и каюя-нибудь наклонныя, то равныя наклонныя им1»ютъ равныя проекцж, и изъ двухъ проекфй та больше, которая соотв"Ьтствуетъ ббльшей наклонной. Доказательство (отъ противнаго) предоставляемъ самимъ учащимся. 359.. Приведемъ еще следующую теорему о перпендикуля- рахъ, которая понадобится намъ впосл'Ьдствш *). Теорема. Прямая (BE, черт. 313), проведенная на пло- плоские^ (Р) черезъ основаше наклонной (АС) перпендикулярно къ ея лр'0екц!и (ВС), перпендикулярна и къ самой наклонной. Отложимъ произвольные, но рав- равные, отр-Ьзки CD я СЕ я соединимъ точки А и В съ В и Е. Тогда будемъ имйть: ВВ=ВЕ, какъ наклонныя къ прямой DE; одинаково удаленныя отъ основашя перпендикуляра ВС; AD—AE, какъ наклонныя къ пло- плоскости Р, имйюндя равныя проекцщ BD и BE. Всл(Ьдств1е этого Д ABE есть равнобедренный, и потому ei?o мед1ана АС перпендикулярна къ ос- новашю BE C9). Черт. 313. *) Въ н-Ькоторыхъ курсахъ геометрш теорема эта (или несколько измененная) носить назваше теоремы трехъ перпенди- перпендикуляре в ъ. Действительно, ьъ ней гоеорится о связи, соединяю- соединяющей сл'вдуюцДя 3 перпендикуляра: 1) АВ къ пл. Р, 2) ВС къ прямбй DE и 8) АС къ той же прямой DE.
— 283 — ГЛАВА III. Параллельная прямыя и плоскости. Параллельный прямыя. 36O. Предварительное зам*чан1е. Две прямыя могутъ быть расположены въ пространстве такъ, что черезъ нихъ нельзя провести плоскости. Возьмемъ, напр., две татя прямыя АВ и DE, изъ которыхъ одна пересекаетъ некоторую пло- плоскость Р, а другая лежитъ на ней, но не проходить черезъ точку пересечешя С. Черезъ татя две прямыя нельзя провести плоско- плоскости, потому что въ противномъ Че 814 случае черезъ прямую DE и точку С проходили бы две различный плоскости: одна Р, пересекающая прямую АВ, и другая, содер- содержащая ее; а это невозможно C48, 1°). Две прямыя, не лежапця въ одной плоскости, конечйр, не пересекаются, сколько бы ихъ ни продолжали; однако ихъ не называютъ параллельными, оставляя это назваше только для такихъ прямыхъ, которыя, находясь въ одной плоскости, не пересекаются, сколько бы ихъ ни продол- жали. Две прямыя, не лежапця въ одной плоскости, наз. с"н?р ё- щ и в а ю щ и м и с я. . . , , . , п Въ плайиметрш мы видели G7 и 79), *ш> черезъ всякую зшку ич* о с к о с т и можно.провести, прямую, параллельную данной прямой, и иритомъ только одну. То же самое можно Сказать о всякой точке пространства, йотому что черезъ- тоэдеу я данную прямую можно провести плоскость и тблько одну. т v
— 284 361. Теорема. Если плоскость (Р, черт. 315) пересгЬкаетъ одну изъ параллельныхъ прямыхъ (АВ), то она пересЬкаетъ и другую (CD). i ; Проведеадъ нереаъ АВ и CD дл^скость. Эта плрскость содер- житъ въ сЪбе Ту TO4iiy В, въ которой прямая ^В~ пересекается съ Р; значить, эта плоскость пере- пересекается съ Р по некоторой прямой BE C49). Эта прямая, находясь въ одной плоскости съ АВ и CD и пере- пересекая одну изъ этихъ параллельныхъ, должна пересечь и другую (80), въ некоторой точке F. Точка jF, нахо- находясь заразъ на прямой BE и на пря- мой CD, должна быть точкою пересе- / чешя плоскости Р съ прямой CD. Черт..315. : 362. Теорема. Если плоскость (Р, черт. 316) перпендику- перпендикулярна къ одной изъ параллель* ныхъ прямыхъ (АВ), то она пер- перпендикулярна и къ другой (CD). Предстоите доказать,,что, во 1Q, ? ял, Р пересекаетъ прямую CD, а во 2°, эта прямая перпендику- перпендикулярна къ какимъ-нибудь двумъ прямымъ, проведенным1! на пло* скости Р черезъ основаше CD. Черт, 316. 1°. Плоскость Р должна пере- пересечь CD, потому что она, по условш, пересекаетъ прямую АВ, параллельную CD. 2°. Проведёмъ черезъ АВ и CD плоскость R и возьмемъл ея пересечете BD съ плоскостью Р. Такъ какъ, по условш, АВ перпендикулярна ш> Р, то/ ABJLBD; поэтому и CD±.BD (82). Лроведемъ на. плоскости Р прямую, DE, перпендикулярную кгь.ВД и возьмемъ яакую-нибудь наклонную.MDA для которой дроекщейг служить BD: Дрямая ЕД будучи перпендикулярна къ щюекцшВД должнайытьиерпендикулярной и къ наклонной
— 285 — MD C59) и, сл-Ьд., перпендикулярна къ плоскости R C52), зна- значить, и къ прямой CD. Такимъ образомъ, прямая CD оказывается перпендикулярною къ двумъ прямымъ плоскости Р, именно къ DB жи% DE\ Слйд., она перпендикулярна къ этой плоскости. В Черт. 817. Черт. 318. 363. Обратная теорема* Если дв% прямыя (ABn CD, черт. 317) перпендикулярны къ одной и той же плоскости (Р), то он"Ь параллельны. Предположишь противное, т.-е. что прямыя АВ и CD не па- параллельны. Проведемъ тогда черезъ тояку D прямую, параллель- параллельную АВ. При нашемъ дредполоадщи это будетъ какая-нибудь прямая DCX, не сливающаяся съ DC. Согласно прямой теорем*, литя DC± будетъ перпендикулярна къ пл. Р. Тогда, слйд., мн будемъ им4ть дви перпендикуляра къ пл. Р, проходяпце черезъ одну и ту же точку: DC и DCV Такъ какъ это невозможно, то нельзя допустить, чтобы прямыя АВжСТ). были непараллельны. 364. Теорема. Если двЪ прямыя (А к В, черт. 318) парал- параллельны третьей прямой (С), то онЪ параллельны между собой. Проведемъ плоскость Р, пердандикулярную- къ С. Тогда А и В будутъ перпендикулярами къ этой плоскости C62). и, сл-Ьд., А II В C63). > * 365. Теорема. Если д&% прямыя {А и В, черт. 319) парал- лельны и черезъ каждую изъ нихъ проходить плоскость, то лин'ш Перес%чен1я этихъ плоскостей (если она существуетъ) параллельна первымъ прямымъ.
**" 28b *~~~ . Пусть черезъ прямую А проходить пл. Р и черезъ прямую —пл. Q, и пусть эти плоскости пересекаются по прямой CD; требуется доказать, что CD IIА и CD II В.—Черезъ какую-нибудь точку Е линш пересЬчешя вообразимъ пря- прямую Аъ параллельную А; тогда эта прямая должна быть также параллельна и В. Такъ какъ прямая Аг параллельна А и проходить черезъ точку Е, то А\ - должна лежать въ плоскости, содержа- содержащей прямую А и точку Е, т.-е. въ пл. Р. Съ другой стороны, такъ какъ прямая Аг параллельна В и проходить черезъ точку Е, то Аг должна лежать въ пл. Q. Если же прямая Аг лежитъ заразъ и въ пл. Р, и въ пл. Q, то она должна совпадать съ литей пересЬчетя CD; значить, CD II А и CD || В. Черт. 319- Прямая и плоскость, параллельный между собою. 366. ОпредгЬлен1е. Плоскость и прямая, не лежащая въ этой плоскости, наз. параллельными, если онФ не пересекаются, сколько бы ихъ ни продолжали. Сл-Ьдугопця двй теоремы В tr выражаютъ признаки параллельности прямой съ плоскостью. 367. Теорема 1. Если прямая (АВ, черт. 320) и черт. 320. плоскость (Р) перпендику- лярны къ одной и той же прямой (АС), то OHt параллельны. Предположимъ, что прямая АВ пересекается съ пл. Р въ некоторой точке М; тогда, соединивъ прямой эту точку съ точ- точкой С?, въ которой пл. Р пересекается съ данной прямой, мы будемъ иметь два перпендикуляра МС и МА на прямую АС изъ одной-тфчки М, что невозможно; значить, АВ не пересекается съ Р, т.-е. АВ параллельна Р.
в — 287 — Теорема 2. Если прямая (АВ, черт. 321), параллельна какой-нибудь прямой (CD), проведенной на плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости. Проведемъ черезъ АВ u CD плоскость R, и предположимъ, что прямая АВ где-нибудь пере- пересекается съ пл. Р. Тогда точка пересбчешя, находясь на прямой А В, должна принадлежать также и пл. й, на которой лежитъ АВ\ въ то же время точка пересбчешя, конечно, должна принадлежать и R Черт. 321. пл. Р. Значитъ, точка пересечения, находясь заразъ и на пл. R, и на пл. Р, должна лежать на прямой CD, по которой пере- пересекаются эти плоскости; след., прямая А В пересекается съ пря- прямой CD. Но это*невозможно, такъ какъ, по условно, АВ II CD. Значитъ, нельзя допустить, чтобы прямая АВ пересекалась съ пл. Р, и потому АВ || Р. Последующая теоремы выражаютъ некоторыя свой- свойства прямой и плоскости, параллельныхъ междусобою. 368. Теорема. Если плоскость (R, черт. 321) проходить черезъ прямую (АВ), параллельную другой плоскости (Р), и перес%каетъ эту плоскость, то лин'ш перес%чен"|я (CD) парал- параллельна первой прямой (АВ). Действительно, во 1-хъ, прямая CD лежитъ въ одной пло- плоскости съ АВ, во 2-хъ, эта прямая не можетъ пересечься съ АВ, потому что въ противномъ случае прямая АВ пересекалась бы съ плоскостью Р, что невозможно. 369. СлгЬдетв1е. Если прямая (АВ, черт. 322), параллельна двумъ перес%каю- щимся плоскостямъ (Р и Q), то она па- параллельна лин'ш ихъ пересчета (CD). Вообразимъ плоскость черезъ АВ и ка- какую-нибудь точку М прямой CD. Эта плоскость должна пересечься съ Р и Q по прямымъ, параллельнымъ АВ и про- ход^ящимъ черезъ М. Но черезъ* М можно Черт. 322. M J) В
— 288 -- А М N провести только одну прямую, параллельную АВ; значить, два лересЬчешя воображаемой плоскости съ плоскостями Р и Q должны слиться въ одну прямую. Эта прямая, находясь заразъ1 на пл. Р и на пл. Q, должна совпадать съ прямой CD, по ко- которой плоскости Р и Q пересекаются; значить, CD !l АВ. 37O. Теорема. Bet точки пря- прямой (АВ, черт. 323), параллельной плоскости (Р), одинаково удалены отъ этой плоскости. ш- 1 1—j Изъ какихъ-нибудь точекъ М я N L L I / прямой АВ опустимъ на Р перпенди- /Р С D / кул яры МС и ND. Такъ какъ эти перпендикуляры параллельны C63), Черт, 323. то черезъ нихъ можно провести пло- плоскость. Эта плоскость пересекается съ Р по прямой CD, парал- параллельной АВ C68); поэтому фигура M2JDC есть параллелограммъ и сл'Ьд., MC—ND. Но длина перпендикуляра, опущеннаго изъ точки на плоскость, принимается за миру разстоян1я этой точки отъ плоскости; значить, любыя точки М и N пря- прямой АВ одинаково удалены отъ пл. Р. Паралдельныя плоскости. 371. Определение. Двй плоскости наз. параллель- параллельными, если он* не пересекаются, сколько быихъни продолжали. Сл'Ьдуюпця дв? теоремы выражаютъ признаки параллельности двухъ плоскостей. 372. Теорема 1. Если дв% плоскости (Р и Q, черт, 324) перпендикулярны къ одной и той же примой (АВ), to OHt парал- параллельны. Действительно, если бы плоскости Р и Q пересЬкались, то черезъ всякую точку ихъ пересЬчетя проходили бы двй пло- плоскости Р и Q, перпендикулярныя къ пря- прямой А В, что невозможно. ¦в Черт. 324.
— 289 — Теорема 2. Если две пересЪкающ1яся прямыя (АВ и АС, чэрт. 326) одной плоскости (Р) соотв-Ьтственно параллельны двумъ прямымъ (АхВг и АхСг) другой плоскости (Q), то эти плоскости параллельны. Изъ точки А опустимъ на пло- плоскость Q перпендикуляръ ААг1 и про- ведемъ прямыя АиВи и АпСп, соот- соответственно параллельныя прямымъ А1В1 и АгСг\ эти прямыя также парал- параллельны и лишямъ АВ и АС C64). Такъ какъ ААцА-АцВц и АВ \\ АцВп то .4ЛП_1_ЛВ; такъ же доказывается, что ААпА-АС. След., прямая ААи перпендикулярна къ плоскости Р C52). ТакИМЪ ОбразОМЪ, ПЛОСКОСТИ Р Черт. 325. и Q перпендикулярны къ одной и той же прямой АА1г и потому параллельны. Последующая теоремы выражаютъ некоторъш свойства параллельныхъ плоскостей. 373. Теорема. Если дв% параллельныя плоскости (Р и Q, черт. 326) пересдаются третьею плоскостью (В), то лиши перес%чешя (АС и ВЪ) параллельны. . Действительно, во 1-хъ, прямыя АС и ВТ) находятся въ одной пло- плоскости (Е), во 2-хъ, оне не могутъ пересечься, такъ какъ въ противномъ случае пересекались бы плоскости Р и Q, что противоречите условш. ' ¦"тттттшт Черт. 323. 374. Теоремы. 1°. Если пря- прямая пересекаетъ одну изъ параллельныхъ плоскостей, то она перес%каетъ и другую. 2°. Если плоскость пересЬкаетъ одну изъ параллельныхъ плоскостей, то она пересЬкаетъ и другую. 1°. Пусть прямая АВ (черт. 327) пересекаетъ въ точке В плоскость Р, параллельную Q. Сое^йнимъ прямою точку В съ
290 — Черт. 327. какою-нибудь точкою плоскости Q и черезъ АВ и ВО проведемъ плоскость (не указана на чертелсЬ). Эта плоскость, содержа въ себЪ точки В и С, пересекается съ Р и Q по н'бкоторымъ прямъШъ BE й FH, которыя параллельны C73). Прямая АВ лежитъ въ одной плоскости съ DE и FH и пересбкаетъ одйу й&ъ этихъ парал- лельныхъ; сл^д,, какъ мы знаемъ изъ планиметрш (80, 1°), она пересЬчетъ и другую; значить, перес6ч?тъ и пло- плоскость Q. 2°. Пусть какая-нибудь плоскость пе- ресЬкаетъ плоскость Р (черт. 327), па- параллельную Q. Тогда на ней можно'Взять прямую АВ, которая тоже пересЬкаетъ плоскость Р; по доказанному эта прямая пересЬкаетъ и плоскость Q; зн&адтъ, съ этою плоскостью пере- пересечется и та плоскости, въ которой взята АВ. 376. Теорема. Если пряйая (АВ, черт. 328), перпенди- перпендикулярна къ одной изъ па|ШЛ*/гьныхъ плоскостей (къ Р), то она перпендикулярна и къ Другой (къ Q). Прямая АВ, пересбкая Одну изъ параллельныхъ плоскостей, пересЬчеаъ и другую въ ^которой точк^ Вг. Проведемъ черезъ АВ кашя-нибудь двФ плоскости М и N, которыя пересекутся съ Р и Q по парал- лельнымъ прямымъ C73): одна по ВС и BiCi, другая по BD и В^. Согласно условш, прямая АВ перпендикулярна къ ВС и BD, сл^д., она также перпен- перпендикулярна къ В1С1 и Вг1)ъ а потому перпендикулярна и къ плоскости Q. , 376. Теорема. Черезъ всякую точку (В, черт. 328) пространства можно Черт. 328. провести плоскость (Р), параллельную данной плоскости (Q) и притомъ только одну. Всегда возможно изъ точки В опустить на пл. Q перпендику- ляръ ВВг и загЬмъ черезъ точку В провести пл. Р, перпенди- перпендикулярную къ ВВг. Эта плоскость будетъ параллельна Q C72,1°).
— 291 — i Другой плоскости, параллельной Q, черезъ точку В провести нельзя, такъ какъ, если бы это было возможно, то тогда черезъ точку В проходили бы двЪ плоскости, перпендикулярныя къ ВВг C75), что невозможно. # 377. Теорема. 0тр%зки параллельныхъ прямыхъ (АС и ВТ), черт. 329), заключенные между параллельными плоскостями (Р и Q), равны. Черезъ параллельныя прямыя АС и ВТ) йроведемъ плоскость Е; она пересЬчетъ Р и Q по параллельнымъ прямымъ АВ и CD; сл'Ьд., фигура ABCD будетъ параллелограммъ, и потому AC=BD. 378. drbACTBie. Параллельныя плоскости везд% одинаково удалены одна отъ другой, потому что, если параллельныя прямыя АС и ВТ) (черт. 329) будутъ перпендикулярны в /'И/ А D // Черт. 329. къ Р, то он* также будуть перпендикулярны къ Q и въ то же время равны. 379. Теорема. Два угла (ВАС и ВгАхСъ черт. 330) съ соотв%тственно параллельными и одинаково направленными сто- сторонами равны и лежатъ въ параллельныхъ плоскостяхъ(Ри Q). Что плоскости Р и Q параллельны, было доказано прежде C72, 2°); остается доказать, что углы А и Ах равны.— Отложимъ АВ=А1В1, АС—А1С1 и проведемъ ААЪ ВВХ, ССЪ ВС и ВгСх. Такъ какъ отрезки А В и А1В1 равны и параллельны, то фигура АВВХАХ есть параллелограммъ (99, 2°); поэтому отрезки ААХ и ВВг равны и параллельны. По той же причин^ равны и параллельны отрезки ААХ и ССг; сл'Ьд., ВВг II ССг и ВВ1=СС1, Поэто- Поэтому ВС = ВхСг и Л ABC = Л АХВХС1 (по тремъ сторонамъ); значитъ, Черт. 330.
С. А — 292 — 38O. Теорема. Если дв* прямыя (АВ и CD, черт. 331) пересдаются рядомъ параллельныхъ плоскостей (P,Q,R...), то OHt разсЪкаются этими пло- плоскостями на пропорфональныя части. Пусть 2?,2<т,Я...будутъ точки пересЪчешя прямой АВ съ плоскостями P,Q,R... и K,L,M...—точки пересЬчешя другой прямей CD съ т'Ьми же плоскостями; требуется дока- доказать, что части EF, FH... одной прямой про- пориюнальны частямъ KL, LM... другой пря- прямой, т.-е. что EF_ FE_ KL"~LM~'" Проведемъ черезъ точку Е прямую C1D1, па- параллельную CD, и черезъдвЪпересЬкак.щ'яся прямыя АВ и С1В1 вообразимъ плоскость. Пря- Прямыя LXF, МгЕ..., по которымъ эта плоскость пересекается съ данными плоскостями, должны быть параллельны между собою C73); по- поэтому B19) • EF FH Но ЕЬг~КЬ, ЬгМг — ЬМ,... C77); подставивъ въ полученный рядъ равныхъ отношешй отрезки KL, LM... вместо ELU L1M1...i получимъ то, что требовалось доказать. ГЛАВА IV. Двугранные углы, 381. Определение. Фигура, образованная двумя полу- полуплоскостями (Р и Q, черт. 332), исходящими изъ одной прямой (АВ) (вмйстй съ частью про- пространства, ограниченной ими) наз. двуграннымъ уг- углом ъ. Прямая АВ наз. р е б р о м ъ, а полуплоскости Р и Q—сторо- Q—сторонами или гранями дву- граннаго угла. Такой уголъ обо- обозначается обыкновенно двумя буквами, поставленными у его Черт. 332
293 - ребра (двугр. уголъ АВ). Но если при одномъ ребрФ лежатъ несколько двугранныхъ угловъ, то каждый изъ нихъ обозиа- чаютъ 4-мя буквами, изъ которыхъ дв* средтя стоятъ при ребрй, а дв* крайшя у граней (напр., двугр. уголъ SCDR). Если черезъ ребро (CD, черт. 332) двуграннаго угла (PCDS) проьедемъ внутри его (т.-е. въ той части пространства, которая принадлежишь углу) катя - нибудь полуплоскости (JR, Q...), то образовавпиеся при этомъ двугранные углы (RCDS, QCDR...) разсматриваются, какъ части перваго двуграннаго угла. Если изъ произвольной точки D ребра АВ (черт. 333) про- ведемъ на каждой грани по перпендикуляру къ ребру, то обра- образованный ими уголъ CDE наз. линейнымъ угломъ дву- двуграннаго. Величина линейнаго угла не зависитъ отъ положешя точки D на ребрЪ. Такъ, линейные углы CDE и CJ)^ равны, потому что ихъ стороны соответственно параллельны и одина- одинаково направлены. Плоскость линейнаго угла перпендику- перпендикулярна къ ребру, такъ какъ она содер- житъ двЬ прямыя, перпендикулярныя къ нему C52). 382. Равенство и неравенство двугранныхъ угловъ. Два дву- двугранные угла считаются равными, если они при вложенш могутъ совме- совместиться; въ противномъ случай тотъ изъ угловъ считается менынимъ, который мо- жетъ составить часть другого угла. Можно разсматривать сумму, раз- разность, произведен1еи част- - ~ ное двугранныхъ угловъ въ томъ же смысли; какъ и для угловъ планиметрш. Подобно этимъ угламъ двугранные углы могутъ быть смежные, прямые* вертикаль- н ы е... 383 Теоремы. 1°. Равнымъ двугрйннымъ угламъ соот- в-Ьтствуютъ равные линейные углы. 2°. Большему двугранному углу соответствует^ ббльилй ли- линейный уголъ. А D Д В а Е Е, Черт. 333.
— 294 — • Пусть PABQ и РИА^! (черт. 334) будутъ два двугранные угла. Вложимъ уголъ AXBX въ уголъ АВ такъ, чтобы ребро АгВг Черт. 334. совпало съ ребромъ АВ и грань Рг съ гранью Р. Тогда, если эти двугранные углы равны, то грань Qx совпадетъ съ Q; если же двугранные углы не равны, то грань Qx не совпадетъ съ Q; напр,, она заиметь некоторое положеше Qn, если уголъ АгВг будетъ меньше угла АВ. Замйтивъ это, возьмемъ на общемъ ребрй какую-нибудь точку В и проведемъ черезъ нее плоскость R, перпендикулярную къ ребру. Отъ пересЬчешя этой плоскости съ гранями двугран- ныхъ угловъ получатся линейные углы. Ясно, что если дву- двугранные углы совпадутъ, то у нихъ окажется одинъ и тотъ же линейный уголъ, именно CBD; если же двугранные углы не совпадутъ, если, напр., грань Qi заиметь положеше Qn, то у болыпаго двуграннаго угла окажется болыдШ линейный уголъ (именно: CBD^>CnBD). 384. Обратныя теоремы. 1°. Равнымъ линейнымъ угламъ соотв%тствуютъ равные двугранные углы. 2°. Большему линейному углу соотвЪтствуетъ больш1й дву- двугранный уголъ. Эти теоремы легко доказываются отъ противнаго E1). 385. ЗамгЬчаше. Мы принимаемъ за очевидное, что вло- ж е н i е одной фигуры въ другую, часто употребляемое въ стереометрш, всегда можетъ быть выполняемо въ такой по- последовательности: во 1°, совм^щаемъ кашя-нибудь дв^ точки
295 фигуръ; во 2°, катя-нибудь двй полупрямыя, исходящая изъ совпавшихъ точекъ, й, въ 3°, кашя-нибудь двЪ полуплоскости, исходяпця изъ совпавшихъ прямыхъ. Совместятся ли при этомъ друпе элементы фигуръ, зависитъ отъ свойствъ ихъ. Черт. 335. 386. CnrfeACTBiH. 1°. Прямому дву- двугранному углу соотв-Ьтствуетъ прямой линейный уголъ и обратно. Пусть (черт. 335) двугранный уголъ PABQ прямой. Это значить, что онъ равенъ смежному углу QABPV Но въ такомъ случай линейные углы CDE и CDEX также равны; а такъ какъ они смежные, то каждый изъ нихъ долженъ быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDEX, то равны и смежные двугранные углы, т.-е. каждый изъ нихъ долженъ быть прямой. 2°. Прямые двугранные углы равны, потому что у нихъ равны линейные углы. По той же причин*: 3°. Вертикальные двугранные углы равны. 4°. Двугранные углы съ соответственно параллельными и одинаково направленными гранями равны. 387. Теорема. Двугранные углы относятся, какъ ихъ ли- линейные углы. При доказательств* разсмотримъ особо два случая: 1°. Линейные углы CBD и СхВ^ соизме- соизмеримы (черт. 336). Пусть ихъ общая мира содер- содержится въ первомъ углЪ m разъ, а во второмъ п разъ. Проведемъ рядъ плоскостей черезъ ребра и прямыя, дЪляпця ли- линейные углы на части, рад- ныя общей м^р-Ь; тогда мы разд'Ьлимъ уголъ АВ на т, а уголъ АгВг на Черт. 336.
— 296 — п частей, которыя все равны между собою (вследств!е равенства линейныхъ угловъ). Поэтому: Zl CBD т дв. уг. АВ т п дв.уг. АгВг п дв. уг. АВ Z CBD Откуда: —zr = у „ п ' • дв. уг. АгВг /LCXBJ)X 2°. Линейные углы несоизмеримы. Разд*- лимъ (черт. 336) уголъ C^Di на п равныхъ частей. Пусть 7» этого угла содержится въ угле CBD более т, но менее т+1 разъ. Тогда приближенное отношеше угловъ CBDr С^В^ съ точностью до V» (съ недост.), равно т/п. Проведя плоскости такъ же, какъ и въ первомъ случае, найдемъ, что приближён- приближённое отношеше двугранныхъ угловъ АВ и АгВъ съ точностью до'1/» (съ недост.), также равно т1п. Такимъ образомъ, прибли- женныя отношен1я оказываются равными при всякомъ п; а въ этомъ случае мы условились считать несоизмеримыя отпошешя равными. 388. СлгЬдетв1в. Если за единицу двугранныхъ угловъ возьмемъ такой уголъ, который соответствуешь единице ли- линейныхъ угловъ, то можно сказать, что двугранный уголъ измеряется его линейнымъ угломъ, ; Лерпендикулярныя плоскости. 3819. Опрэд*л0н1е. Две плоскости наз. взаимно п е'р^п^ЙЁ двкулярнымв, если, пересекаясь, оне обра- in рямые двугранные 'углы. Возможность существовашя такихъ плоскостей обнаруживается следующей теоремой, указывающей признакъ перпендику- перпендикулярности двухъ плоскостей. 39O. Теорема. Если плоскость (Р, черт. 337) проходить черезъ перпендикуляръ (АВ) къ другой плоскости (Q), то ока перпендикулярна къ этой плоскости.
297 На плоскости Q проведемъ BCA-DE. Тогда уг. ABC будетъ линейнымъ угломъ двуграннаго угла PDEQ. Такъ какъ прямая А В, по условно, перпендикулярна къ Q, то ABA-ВС: значитъ, у г. ABG прямой, а потому и двугранный уголъ прямой C86), т.-е. пл. Р перпендикулярна къ Q. Сл'Ьдуюпця дв'Ь теоремы выра- жаютъ главнМппя свойства В C/Q D Черт. 337. перпендикулярныхъ плоскостей. 391. Теорема. Если дв% плоскости (Р и Q, черт. 338) взаимно перпендикулярны и къ одной изъ нихъ (къ Q) проведенъ перпендикуляръ (ЛВ), имЪющш общую точку (А) съ другою плоскостью (съ Р), то онъ весь лежитъ въ этой плоскости. Предположимъ, что АВ не лежитъ въ плоскости Р (какъ изображено у насъ на чертеж^). Проведемъ на этой плоскости АС±.Т)Е, а на пл. Q прове- проведемъ CF±DE. Тогда уголъ ACF, какъ линейный уголъ прямого двугранпаго угла, будетъ пря- прямой. Поэтому лишя АС, образуя прямые углы съ DE и CF, бу- будетъ перпендикуляромъ къ пл.ф. Мы будемъ имйть тогда 2 пер- перпендикуляра, опущенные изъ одной и той же точки А на пл. Q, именно АВ и АС. Такъ какъ это не- невозможно, то нельзя допустить, чтобы перпендикуляръ АВ не лежалъ въ пл. Р. 392.СлгЬдетв1е. Пересчете Ub, черт. 339) двухъ плоскостей (Р и Q), перпендикулярныхъ къ третьей пло- плоскости (R), есть перпендикуляръ къ этой плоскости. Q Действительно, еели через-Б какую- Черт. 339
— 296 — нибудь точку А линш пересЬчешя вообразимъ перпендикуляръ къ пл. R, то этотъ перпендикуляръ, согласно предыдущей тео- ремЪ, долженъ лежать и въ пл. Q, и въ пл. Р; значитъ, онъ сольется съ АВ. Уголъ двухъ скрещивающихся прямыхъ. 393. Мы видели C60), что въ пространств^ могутъ быть взяты таюя прямыя, которыя не пересекаются и въ то же время не параллельны, такъ какъ не лежатъ въ одной плоскости. Для такихъ скрещивающихся прямыхъ дадимъ следующее Определение. Угломъ двухъ скрещиваю- скрещивающихся прямыхъ {АВ и СД черт. 340), которыхъ дано положете и направлете, наз. уголъ (M0N), который полу- получится, если изъ произвольной точки пространства (О) прове- демъ полупрямыя (ОМ и ON), соответственно параллель- ныя даннымъ пря- прямы м ъ (АВ и CD) и одина- одинаково съ ними напра- направлен н ы я. Величина угла M0N не зависитъ отъ положетя точки О. Въ самомъ д^лй, если построимъ указаннымъ путемъ уголъ МгО^г при какой-нибудь другой точки Оъ то M0N=M101N1, такъ какъ эти углы им^ютъ соответственно параллельныя и одинаково направленный стороны C64 и 379). Уголъ, образуемый прямой съ плоскостью, 394. ПроекцДя прямой на плоскость. Мы гово- говорили ранйе C57), что когда изъ одной точки проведены къ пло- плоскости перпендикуляръ и наклонная, то проекщей этой на- наклонной на плоскость наз. прямая, соединяющая основаше
299 перпендикуляра съ основатемъ наклонной. Дадимъ теперь бол'Ье общее опредйлеше проекцш. 1°. Проекц1ей какой-нибудь точки плоскость (напр., точки М на плоскость Р, черт. 341) н а з. основан1е (m) перпен- перпендикуляра, опущенна- го на эту плоскость изъ взятой точки. 2°. Проекцией какой- нибудь л и н i и на пло- плоскость наз. геометри- геометрическое мЬсто проек- н а Черт. 341. Ц1Й всЬхъ точекъ этой л и н i и. Въ частности, если проектируемая лишя есть прямая (напр., АВ, черт. 341), то проекщя ея на плоскость (Р) есть также прямая. Въ самомъ д'Ьл'Ь, если мы черезъ прямую АВ и перпендикуляръ Mm, опущенный на плоскость проекщй изъ какой-нибудь одной точки М этой прямой, проведемъ пло- плоскость Q, то эта плоскость должна быть перпендикулярной къ пл. Р C90); поэтому перпендикуляръ, опущенный на пл. Р изъ любой точки прямой АВ (напр. изъ точки N), долженъ лежать въ этой пл. Q C91) и, сл'Ьд., проекцш всбхъ точекъ прямой АВ должны лежать на прямой аЪ, по которой пере- пересекаются плоскости Р и Q. Такимъ образомъ, эта прямая ah представляетъ собою геометрическое м^сто проекщй всЬхъ точекъ данной прямой АВ, и, слЪд., есть ея проекщя. Существуетъ, впрочемъ, одинъ частный случай, когда п р о - екц1я прямой обращается въ точку; это бы- ваетъ тогда, когда прямая перпендикулярна къ плоскости проекщй. 395. Уголъ прямой еъ плоскостью. у г л о м ъ прямой (АВ, черт. 342) съ плоскостью (Р)въ томъ случай, когда прямая наклонна къ плоскости, наз. уголъ (ABC), составленный этою прямою съ ея дроекц1ей на плоскость.
— 300 — Уголъ этотъ обладаетъ гЪмъ свойствомъ, что онъ есть н а и - м е н ь ш i й изъ всЬхъ угловъ, которые наклонная образуетъ съ прямыми, проведенными на плоскости Р черезъ основаше наклонной. Докажемъ, напр., что Z.ABC меньше /_ABD. Для этого отложимъ BD=BC и соединимъ D съ А. У тр-ковъ ABC и ABD дв'Ь стороны одного равны соот- соответственно двумъ сторонамъ дру- другого, но третьи стороны не равны Черт. 342. а именн0 AD>AC C57). Всл*д- CTBie этого Z.ABD больше Z.ABC E8, 2°). ГЛАВА V. Многогранные углы. 396. Определение. Возьмемъ я-Ьзколько угловъ (черт. 343): ASB, BSC, C/SD..., которые, примыкая последо- последовательно одинъ къ другому, расположены въ одной плоскости вокругъ общей вершины S. Цовернемъ плоскость угла A SB Черт. 343. Черт. 344. вокругъ общей стороны SB такъ, чтобы эта плоскость соста- впла некоторый двугранный уголъ съ пл. BSC. Затймь, не изменяя получившагося двуграннаго угла, повернемъ его во-
— 301 — кругъ прямой SC такъ, чтобы пл. BSC составила некоторый двугранный уголъ съ пл. CSD. Продолжаемъ такое последо- последовательное вращеше вокругъ каждой общей стороны. Если при этомъ последняя сторона SF совместится съ первою стороною 8А, то образуется фигура (черт. 344), которая вместе съ частью пространства, ограниченною плоскостями, называется много- граннымъ углом ъ. Углы ASB, BSC... наз. п л о с- с к и м и углами или гранями, стороны ихъ 8А, SB... наз. ребрами, а общая вершина S—в ершиною много- граннаго угла. Каждому ребру соот^гствуетъ свой двугранный уголъ; поэтому въ многогранномъ угли столько двугранныхъ угловъ и столько плоскихъ, сколько въ немъ всбхъ, реберъ. Наименьшее число граней въ многогранномъ угле три; такой уголъ яаз. треграннымъ. Могутъ быть углы четыре- гранные, пятигранные и т. д. Многогранный уголъ (черт. 344) обозначается или одною буквою S, поставленною у вершины, или же рядомъ буквъ SABCBE, изъ которыхъ первая обозначаетъ вершину, а проч1я —ребра по порядку ихъ расположешя. Многогранный уголъ наз. выпуклымъ, если онъ весь расположенъ по одну сторону отъ каждой своей грани. Таковъ, напр., уголъ, изображенный на чер- • теже 344-. Наоборотъ, уголъ на чер- чертеже 345 нельзя назвать выпуклымъ, такъ какъ онъ расположенъ по обе стороны отъ грани A SB, или отъ грани BSC. Если две грани многограннаго угла пересечемъ плоскостью, то въ сЬченш образуется многоугольникъ (ahede, черт. 344 и 345). Въ выггукломъ угле этотъ многоугольникъ тоже выпуклый. Мы будемъ разематривать только выпуклые многогранные углы. 397. Теорема. Во всякомъ трегранномъ углЪ каждый плоск1й уголъ меньше суммы двухъ другихъ плоскихъ угловъ. Очевидно, теорема эта нуждается въ доказательств* только въ томъ случай, когда она применяется къ плоскому углу,
— 302 — наибольшему изъ трехъ. Пусть въ углФ SABC (черт. 346) наибольпмй изъ плоскихъ угловъ есть ASC. Докажемъ, что даже этотъ наиболышй уголъ меньше суммы двухъ остальныхъ. Отложимъ на углФ ASC часть ASD, рав- равную ASB. Проведемъ къ плоскости угла АЗС какую-нибудь прямую АС, пересе- пересекающую SD въ некоторой точки D. Отло- / I \D \С жимъ SB=SD. Соединивъ В съ А и С, получимъ ДАСВ, въ которомъ: AD+DC<AB+BC. Черт. 346. Тр-ки ASD и А8В равны, такъ какъ они содержатъ по равному углу, заклю- заключенному между равными сторонами; сл$д., AD=AB. Поэтому въ выведенномъ неравенств^ можно отбросить равныя части AD и АВ, послФ чего получимъ: DC<BC. Теперь зам^чаемь, что у тр-ковъ SCDeSCBrb^ стороны одного равны двумъ сторонамъ другого, а третьи стороны неравны; въ такомъ случай противъ большей изъ этихъ сторонъ лежитъ бблышй уголъ E8, 2°); значить: уголъ С&О<угла CSB. Приложивъ къ л ивой части этого неравенства уголъ ASD, а къ правой равный ему уголъ A SB, получимъ неравенство, которое требовалось доказать: уголъ /1?С<угл. CSB+yv. ASB. CntflCTBie. Отнявъ отъ обйихъ частей послйдняго неравенства по углу ASB или по углу CSB, получимъ: уголъ ASC—yr. ASE<yv. CSB; уголъ ASB—уг. С&Б<уг. A SB. Такъ какъ, кромФ того, уголъ ASC, наиболышй изъ трехъ угловъ, конечно, больше разности двухъ другихъ угловъ, то заключав мъ: Въ трегранномъ угл"Ь каждый плоскш уголъ больше разности двухъ другихъ угловъ.
— зоз — 398. Теорема. Во всякомъ выпукломъ многогранномъ yrnt сумма всЪхъ плоскихъ угловъ меньше Ы. ПересЬчемъ грани (черт. 347) выпуклаго угла 8АВСВЕ какою- нибудь плоскостью; отъ этого въ сЬченш иолучимъ выпуклый п- угольникъ ABCDE. Применяя теорему предыдущаго параграфа къ каждому изъ трегранныхъ угловъ, образовавшихся при точ- кахъ А, В, С, D и Е, находимъ: ABC<ABS+SBC; BCB<BCS+ SCD,... Сложимъ почленно веб эти неравенства. Тогда въ л^вой части получимъ сумму всЬхъ угловъ многоугольника ABCDE, которая равна 2dn—4d (89), а въ правой—сумму угловъ тр-ковъ ASB, BSC... кромЬ гЬхъ угловъ, которые лежатъ при вершин^ S. Обозначивъ сумму этихъ посл'Ьднихъ угловъ буквою ж, мы получимъ послй сложетя: 2dn—4d<C2dn—х Откуда: Черт. 347. Равенство трехгранныхъ угловъ. 399. Дополнительный уголъ. Изъ вершины 8 (черт. 348) треграннаго угла SABC возставимъ къ грани ASB перпен ,,икуляръ#С1э направляя его въ ту сторону отъ этой грани, въ которой располо- расположено противоположное ребро/SC- Подобно этому проведемъ пер- пендикуляръ 8Аг къ грани BSC и SBX къ грани ASC. Трегран- ный уголъ, у котоЪаго ребрами служатъ полупрямыя SAU SBX и SClt наз. дополнитель- дополнительны м ъ для угла SABC. ЗамЪтимъ, что если для угла SABC дополнительнымъ угломъ служитъ уголъ SAiBiC^ то и наоборотъ: для уг. 8А1В1С1 дополнитель- дополнительнымъ угломъ будетъ SABC. Действительно, плоскость SAxBly проходя черезъ перпендикуляры къ плоскостямъ BSC и ASC, перпендикулярна
— 304 къ нимъ обеимъ, а след., и къ лиши ихъ пересечешя SC; значитъ, прямая SC есть перпендикуляръ къ грани SA1B1 и, кроме того, она расположена по ту же сторону отъ этой грани, по которую лежитъ противоположное ребро SCX. Подобно этому убедимся, что прямыя SB и SA соответственно перпендикулярны къ гранямъ SA1C1 и SB1C1 и расположены по ту сторону отъ нихъ, по которую лежатъ ребра SBt и SA±. Значитъ, углы SABC и 5'Л1В1С1 взаимно дополни- дополнительны. 400. Яемма 1. Если два трегранные угла взаимно дополнительны, то плосте углы одного служатъ дополнешемъ до Ы къ противоположнымъ двуграннымъ угламъ другого. Каждый плоскШ уголъ одного изъ взаимно дополнительныхъ тре" гранныхъ угловъ образованъ двумя перпендикулярами, возставленными къ гранямъ противоположнаго двуграннаго угла дру- другого треграннаго, изъ одной точки его ребра. Заметивъ это и принявъ во внимаше направлеше перпендикуляровъ, возьмемъ какой-нибудь двугранный уголъ А В (черт. 349) и изъ произ- произвольной точки В его ребра возставимъ перпен- перпендикуляры: BE къ грани AD и BF къ грани А С, и затемъ черезъ ВЁ и BF вообразимъ пло- плоскость, которая должна быть перпендикулярна къ ребру А В C90, 392). Пусть пересечешя этой плоскости съ гранями угла А В будутъ прямыя ВС и ВЭ. Тогда уголъ CBD долженъ быть линейнымъ угломъ двуграннаго АВ. Такъ какъ стороны угла EBF соответственно пер- перпендикулярны къ сторонамъ угла CBD, и эти углы неравны, то сумма ихъ равна 2d (86); Черт. 349. что и требовалось доказать. 401. Яемма 2. Равнымъ треграннымъ угламъ соотвътствуютъ равные до- дополнительные углы и обратно. Равные трегранные углы при вложенш совмещаются; поэтому со- совмещаются и те перпендикуляры, которые образуютъ ребра дополни- дополнительныхъ угловъ; значитъ, дополнительные углы также совмещаются. Обратно: если совмещаются дополнительные углы, то совмещаютря и данные углы. 402. Теоремы. Трегранные углы равны, если они имЪютъ: 1°, по равному двугранному углу, заключенному между двумя оотвътственно равными и одинаково расположенными плоскими углами; или 2°, по равному плоскому углу, заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двуг.ашыми углами; или 3°, по три соответственно равныхъ и одинаково расположенныхъ плоскихъ угла; или 4°, по три соответственно равныхъ и одинаково расположенныхъ двугран- двугранныхъ угла. D
305 1°. Пусть S и Si два трегранные угла (черт. 350),* у которыхъ: ЛА&Вц /mASC=?A1S1C1 и двугр. уг. AS ^ двугр. уг. Ai8t. Вложимъ уголъ 8г въ уголъ S такъ, чтобы у нихъ совпали: точка #! съ ?, прямая SXAX съ SA и плоскость A1S1B1 съ AS В. Тогда ребро $!#! пойдетъ по SB (по равенству угловъ Л^В! и AS В), пло- плоскость А^С^ пойдетъ по AS С (по равенству двугранныхъ угловъ), Черт. 350. и ребро S^Cj—по SC (по равенству угловъ А^С^ и AS С). Такимъ образомъ, трегранные углы совместятся всеми своими ребрами, знач .тъ, они будутъ равны. 2°. Второй признакъ доказывается вложешемъ подобно первому. Черт. 351. 3°. Пусть S и Sx (черт. 351) два трегранные угла, у которыхъ плосюе углы одного равны соответственно плоскимъ угламъ другого» и, кром-в того, равные углы одинаково расположен!^. О ложимъ на всъ-хъ ребрахъ произвольные, но равные, отрезки SA — SB — SC — S1A1 — ... и построимъ тр-ки ABC и А^В^Сх. Изъ ра- равенства тр-ковъ ABS и A1B1Sl находимъ: АВ = А1В1. Подобно этому изъ равенства другихъ боковыхъ тр-ковъ выводимъ: АС — А-^Сх и ВС = ВХСХ. СлгЬд., /^АВС—ДА^хСх. Опустимъ на плоскости этихъ тр-ковъ перпендикуляры SO и SxOx. Такъ какъ наклонныя SA, SB и SC равны, то должны быть равны ихъ проекции ОА, ОВ и 0С\ зна- значить, точка О есть центръ круга, описаннаго около тр-ка ABC. Точке 20
— 306 — такъ же точка 0г есть центръ круга, описаннаго около тр-ка А1В1С1. У. равныхъ тр-ковъ рад1усы описанныхъ круговъ равны; значитъ, ОВ^О^В^ Поэтому /^SBO^=S1B1O1 (по гипотенузе и катету), и, след., OiS'"«O1/Sf1. Вложимъ теперь фигуру S1A1B1C1 въ фигуру SABC такъ, чтобы равные тр-ки А1В1С1 и ABC совместились; тогда совместятся описанныя окружности, и, след., ихъ центры Ох и О; вслгвдств1е этого перпендикуляръ O1S1 пойдетъ по OS и точка St упадетъ въ S. Такимъ образомъ, трегранные углы совместятся всеми своими ребрами, значьтъ, они равны. 4°. Четвертый признакъ легко доказывается при помощи дополни- тельныхъ угловъ. Если у двухъ трегранныхъ угловъ соответственно равны и одинаково расположены двугранные углы, то у до- полнительныхъ угловъ соответственно равны и одинаково располо- расположены п л о с к i e углы D00); след., дополнительные углы равны; а если равны дополнительные, то равны и данные углы D01). 4ОЗ. Симметричные многогранные углы. Какъ известно, вертикальные углы равны, если речь идетъ объ углахъ, образованныхъ прямыми или плоскостями. Посмотримъ, применима ли эта истина къ угламъ многограннымъ. Продолжимъ (черт. 352) все ребра угла SABCDE за вершину; тогда образуемъ дру- другой многогранный уголъ SA1B1C1D1E1, ко- который можно назвать вертикаль-, н ы м ъ по отношенпо къ первому углу. Не трудно видеть, что у обоихъ угловъ равны соответственно и плоск1е углы, и дву^ гранные; но те и друте расположены в ъ обратномъ порядке. Действи- Действительно, если мы вообразимъ наблюдателя, который смотритъ извне многограннаго угла на его вершину, то ребра SA, SB, SC, SD, SE будутъ казаться ему расположенными противъ движешя часовой стрелки, тогда какъ, смотря на уголъ SA1B1C1D1E1, онъ увидитъ ребра SAU SBlt... расположенными по движешю часовой стрелки. Многогранные углы съ соответственно равными плоскими и дву- двугранными углами, но расположенными въ обратномъ порядке, вообще не могутъ совместиться при вложеши; значитъ, они не равны. TaKie углы называются симметричными (относительно вершины S). Черт. 352.
— 307 КНИГА И. МНОГОГРАННИКИ. г л а в а I. Свойства параллелепипеда и пирамиды. 404. Многогранникъ.Многогранникомъ наз. гЬло, ограниченное со всЬхъ сторонъ плоскостями. Многоуголь- Многоугольники, образованные пересЪчешемъ этихъ плоскостей, наз. гра- гранями, ихъ стороны—р е б р а м и, а вершины—в ерши- * нами многогранника. Прямыя, соединяющая дв^Ь катя- нибудь вершины, не лежапця на одной грани, наз. д i а г о - н а л я м и многогранника. Мы будемъ разсматривать только выпуклые многогран- многогранники, т.-е. тате, которые расположены по одну сторону отъ каждой своей грани. Наименьшее число граней въ многограннике четыре; такой многогранникъ получается отъ пересЬчешя треграннаго угла какою-нибудь плоскостью. 405. Призма. Призмою наз. многогранникъ, у кото- фаго две грани—равные многоуголь- многоугольники съ соответственно параллельными * -.сторонами, а все остальныя грани— параллелограммы. Чтобы- показать возможность суще- ствовашя такого многогранника, возь- мемъ (черт. 353) какой-нибудь много- угольникъ ABCDE и черезъ его вер- вершины проведемъ рядъ параллельныхъ прямыхъ, не лежащихъ въ его пло- плоскости. Взявъ зат'Ьмъ на одной изъ этихъ прямыхъ произвольную точку Аъ проведемъ черезъ нее плоскость, парал- параллельную плоскости АВСВЕ\ черезъ каждыя две посл'Ьдова- тельныя параллельныя прямыя также проведемъ плоскости. Пересечете всЬхъ этихъ плоскостей определить много- многогранникъ ABODE ^BxCxDiEx, удовлетворяющей определен1ю 20* D
308 — призмы. Действительно, параллельныя плоскости ABCDE п AjB1C1D1E1 пересекаются боковыми плоскостями по парал- лельнымъ прямымъ C73); поэтохму фигуры АА^Е^Е, EEXT>^J) и т. д.—параллелограммы. Съ другой стороны, у многоуголь- никовъ ABCDE и A1B1C1D1E1 равны соответственно стороны (какъ противоположныя стороны параллелограммовъ) и углы (какъ углы съ параллельными и одинаково направленными сторонами); след., эти многоугольники равны. Многоугольники ABCDE и A^B-^CJiJE^ лежапце въ парал- лельныхъ плоскостяхъ, паз. основан1ями призмы; пер- пендикуляръ ООЪ опущенный изъ какой-нибудь точки одного основашя на другое, наз. высотою призмы. Параллело- Параллелограммы наз. боковыми гранями призмы, а ихъ сто- стороны, соединяющая соответственный вершины основашй,—б о - ковымп ребрами. У призмы все боковыя ребра равны, какъ отрезки параллельныхъ прямыхъ, .заключенные между параллельными плоскостями. Плоскость, проведенная черезъ каюя-нибудь два боковыя ребра, не прилежапця къ одной боковой грани призмы (напр., черезъ ребра ААг и ССЪ черт. 363), наз. д1агональною плоскостью. Призма наз. прямою или наклонною, смотря по тому, будутъ ли ея боковыя ребра перпендикулярны или на- клоины къ основатямъ. У прямой призмы боковыя грани суть прямоугольники. За высоту такой призмы можно принять боко- боковое ребро. Прямая призма наз. правильною, если ея основашя правильные многоуголь- многоугольники. У такой призмы все боковыя грани суть равные прямоугольники (черт. 364). Призмы бываютъ: треугольныя, четыре- угольныя и т. д., смотря по тому, лежитъ ли въ основанш треугольникъ, четьрзуголь- никъ и т. д. 406. Параллелепипедъ. Такъ называютъ призму, у которой основа- тямислужгтъ параллелограммы (черт. 356). Черт. 354.
— 309 Параллелепипеды могутъ быть прямые и наклонные. Пря- Прямой параллелепипедъ наз. прямоугольнымъ, если его основашя прямоугольники (черт. 356). Изъ этихъ опредЬлещй сл'Ьдуетъ: 1°, у параллелепипеда всЬ шесть граней параллелограммы; 2°, у прямого параллелепипеда четыре боковыя грани пря- прямоугольники, а два основашя—параллелограммы; 3°, у прямоугольнаго параллелепипеда всЬ шесть граней прямоугольники. Черт. 355. Черт. 356. Три ребра прямоугольнаго параллелепипеда, сходянцяся въ одной вершин*, наз. его HSMipeHiflMn; одно пзъ нихъ можно разсматривать, какъ длину, другое, какъ ширину, а третье, какъ высоту. Прямоугольный параллелепипедъ, имйюнцй равпыя изм^ре- шя, наз. кубомъ. У куба всЬ грани—квадраты. Для краткости слово «параллелепипедъ» мы часто будемъ писать такъ: пар—дъ. 407. Пирамида. Пирамидою наз. многогранникъ, у котораго одна грань, называемая основатемъ, есть какой-ни- какой-нибудь многоугольникъ, а всЬ остальныя грани, назы- ваемыя боковыми,—т реугольники, и м 4 ю щ i e об- общую вершину. Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь много- многогранный .уголъ 8 (черт. 357) пересЬчь произвольною пло- плоскостью ABCD. Общая вершина S боковыхъ треугольниковъ наз. верши- вершиною пирамиды, а перпендикуляръ SO, опущенный изъ вер- вершины на основашя—высотою ея.
— 310 — Обыкновенно, обозначая пирамиду буквами, пишутъ сначала ту, которая поставлена у вершины, напр.: SABCD (черт. 367). Плоскость, проведенная черезъ вершину пирамиды и черезъ какую-нибудь д1агональ основашя (напр., черезъ д1агональ BD, черт. 359), наз. д1агональною плоскостью. В Черт. 357. Черт. 358. Пирамиды бываютъ: треугольныя, четыреугольныя и т. д., смотря по тому, лежитъ ли въ основати треугольникъ, четыре- угольншсъ, и т. д. Треугольная пирамида (черт. 358) наз. иначе тетраэдромъ; у такой пирамиды всЬ четыре грани тре- треугольники . Пирамида наз. правильною (черт. 359), если, во 1°, ея основате есть правильный многоугольникъ, и, во 2°, высота проходитъ черезъ центръ этого многоугольника. Въ правиль- правильной пирамид^ всЬ боковыя ребра равны между собою (какъ наклонныя съ рав- равными проекщями). Поэтому вей боковыя грани правильной пирамиды суть рав- равные равнобедренные тр-ки. Высота 8М (черт. 359) какого-либо одного изъ этихъ тр-ковъ наз апоеемою. ВсЬ апо- еемы въ одной пирамид4 равны. 408. Усеченная пирамида. Отр^зокъ пирамиды (черт. 360), заклю- заключенный между основа шемъ (ABCDE) и сЬкущею плоскостью (А^С^Е^, па-
— 311 — раллельною основание, наз. усеченною пирамидою. Параллельные многоугольники наз. основан1ями, а раз- стояще между ними ООг—в ы с о т о ю. Усеченная пирамида наз. правильною, если она составляетъ отр'Ьзокъ пра- правильной пирамиды. Равенство призмъ и пирамидъ. 4O9. Мы ограничимся указатемъ только слЪдующаго при- признака равенства призмъ или пирамидъ. Теорема, flet призмы или двЪ пирамиды равны, если основаше и боковая рань одной и основаше и боковая грань другой соответственно равны, одинаково наклонены и одинаково расположены. Пусть въ двухъ призмахъ (черт, 361) соответственно равны и одина- одинаково расположены основатя и боковыя грани AD и A1D1 и, сверхъ того, равны двугранные углы АВ и А1В1. Вложимъ одну призму въ АРУГУК> такъ, чтобы у нихъ совпали равныя основатя. Тогда, по ра- Черт. 361 Черт. 862. венст^у двугранныхъ угловъ, грань A1D1 пойдетъ по АВ, а такъ какъ эти г\ани равны и одинаково расположены, то онЪ совпадутъ; но тогда Ьвпадутъ и верхтя основатя (какъ параллельныя и равныя нижнигь основатямъ), т.-е. призмы совместятся. То Mr доказательство применяется и къ пирамидамъ (черт. 362)
312 — Свойства граней и д1агоналей параллелепипеда. 41O. Теорема. Во всякомъ параллелепипедЪ противополож- ныя грани равны и параллельны. Такъ, грани (черт. 363) и AA^iD параллельны, потому что двЬ пересбкадопцяся прямыя ВВг\я В1С1 одной грани параллельны дву&ъ пересекающимся прямымъ ААг и A1D1 другой C72,2°); эти грани и равны, такъ какъ В1С1 = A-Jx, BJ5 = АгА (какъ противоположная стороны параллелограммовъ) и C79). черх.363. 411. Теорема. Во всякомъ параллелепипедЪ Bet четыре дЦ- гонали пересЪкаются въ одной точкЪ и д%лятся въ ней пополамъ. Возьмемъ (черт. 364) въ паралле-/ лепипед'Ь катя-нибудь дв'Ь д1агоу нали, напр., АСг и ВВЪ и проведем! вспомогательныя прямыя АВг и BCL Такъ какъ ребра AD и ВгСг cocTBtt- ственно равны и параллельны решу ВС, то они равны и параллелшы между собою; вслг6дств1е этого/фи- этого/фигура АВСгВг есть параллелогр/ммъ (99,2°), въ которомъ прямыя (hA и DB±—д1агонали; а въ пара/л ело- в грамм^ д1агонали пересекаются и делятся въ точк^ пересвчешя пополамъ. / Возьмемъ теперь одну изъ этихъ д1агопалей, наш., АСЪ съ третьею д1агональю, положимъ съ BD±. Совершеннатакъ же мы можемъ доказать, что они пересЬкаются и д'Ьлятсдвъ точк*Ь пересЬчешя пополамъ. Сл^д., д1агонали BDX и Аи п д1аго- нали АСг и DB1 (которыя мы раньше брали) пё^с^каются въ вдней и той же точки, именно въ средин* д!а/нали АС1. В Черт. SC4
010 о±о Наконецъ, взявъ эту же д1агональ АСг съ четвертою д1аго- налью АгС, мы такъ же докажемъ, что они пересекаются и делятся пополамъ. Значить, точка пересЬчешя и этой LO/ры д1агоналей лежитъ въ средин^ д1агонали АСг. Такимъ обра- зомъ, всЬ 4 д1агонали пересЬкаются въ одной и той же точки и делятся ^тою точкою пополамъ. 412. Теорема. Въ прямоугольномъ параллелепипед% ква- дратъ любой д'|агонали равенъ сумягЬ квадратовъ трехъ его измЪренш. Пусть (черт. 365) прямая АСг есть какая-нибудь д1агональ прямо- угольнаго параллелепипеда . Про- Проведя д1агональ основашя АС, полу- чимъ два тр-ка: АСгС и АСВ. Оба они прямоугольные; первый потому, что параллелепипедъ прямой, и, сл'Ьд., ребро ССг перпендикулярно къ основанш; второй потому, что параллелепипедъ прямоуголь- прямоугольный, значитъ, въ основанш его лежитъ прямоугольникъ. Изъ этихъ тр-ковъ находимъ: АС12=АС2+СС12 и АС2=АВ2-\-ВС2. Сл'Ьд., ACi2=AB2-\-BC2-{-CCi2=AB2-{-AD2-\-AA12. 413. СлгЬдетв1е. Въ прямоугольномъ параллелепипед% Bet д'|агонали равны. В Черт. 365. Свойства параллельныхъ с^ченш въ пирамид'Ь. 414. Теоремы. Если пирамида (черт. 366) пересЪчена плоскостью, параллельною основашю, то: 1°, боковыя ребра и высота дЪлятся этою плоскостью на части пропорцшнальныя; 2°, въ ctneHin получается мноГвугольникъ (dbcdc), подобный основана;
— 314 3°, площади сЪчешя и основания относятся, какъ квадраты ихъ разстояшй отъ вершины. 1°. Прямыя аЪ и АВ можно разсматри- S вать, какъ пересбчешя двухъ параллель- ныхъ плоскостей (основатя и сЬкущей) третьею плоскостью ASB-, поэтому аЪ II АВ C73). По той же причин* Ъс II ВС, cd II CD... и am II АМ\ вслгЬдств1е этого B19): Sa Sb Sc aA ЪВ Sm тМ 2°. Изъ подоб1я тр-ковъ ASB и aSb, зат4мъ BSC и bSc и т. д. выводимъ: АВ BS Черт. 366 ВС Ъс CS ___^ • cS ' BS ~bS CS cS ВС ~bc' CD cd откуда: откуда: —= АВ аЪ ВС ~Ьс~ ВС ~~Ьс CD cd Такъ же докажемъ пропорциональность остальныхъ сторонъ мн-ковъ ABCDE и abcde. Такъ какъ, сверхъ того, у этихъ мн-ковъ равны соответственные углы (какъ образованные параллель- параллельными и одинаково направленными сторонами), то они подобны. 3°. Площади подобныхъ многоугольниковъ относятся, какъ квадраты сходственныхъ сторонъ; поэтому: площ. ABCDE _АВ2_ площ. abcde Но Значитъ: MS аЪ mS площ. ABCDE_(MS\2_MS\ площ. abcde \ mS/ m,S2 415. Сл1эдств1е. У правильной усеченной пирамиды верх- верхнее основаше есть правильный многоугольникъ, а боковыя грани суть равныя и равнобочныя трапец1и (см. черт. 360). Высота какой-нибудь изъ этихъ трапещй наз. апоеемой правильной усеченной пирамиды.
416. Теорема. Если двЪ пирамиды съ равными высотами разсЪчены на одинаковомъ разстояши отъ вершины плоскостями, параллельными основашямъ, то площади сЪченш пропорц'ю- нальны площадямъ основашй. Пусть (черт. 367) В и Вх площади основашй двухъ пира- пирами дъ, Н высота каждой изъ нихъ, Ь и Ъх площади сЪчетй пло- плоскостями, параллельными основатямъ и удаленными отъ вер- Черт. 367. шинъ на одно и то же разстояше h. Согласно предыдущей теоремЪ мы будемъ имЪть: Ъ Ъ _Ь± ±___^_ ткуда: —- — или -^-^ • 417. CjrfeACTBie. Если В=Вг, то и Ь=ЬЬ т.-е. если у двухъ пирамидъ съ равными высотами основан'ш равновелики, то равновелики и ctsemfl, равноотстоящ'ш отъ вершины. . ГЛАВА И. Боковая поверхность призмы и пирамиды. 418. Теорема. Боковая поверхность призмы равна про- произведен'^ периметра перпендикулярнаго ctneH'm на боковое ребро. Перпендикулярны мъ сЬчен1емъ (черт. 368) наз. многоугольникъ abed, получаемый отъ пересЬчетя призмы
01 ? плоскостью, перпендикулярною къ боковымъ ребрамъ. Стороны этого многоугольника перпендикулярны къ ребрамъ C53). Боковая поверхность призмы представляетъ собою сумму площадей параллелограм- параллелограммов ь; въ каждомъ изъ нихъ за основаше можно взять боковое ребро, а за высоту сторону перпендикулярнаго сЬчешя. Поэтому: Бок. нов. = ААг . аЪ + ВВг . Ьс + + ССХ . cd + BD1 . da = (аЪ +Ъс + cd + da) . ААх. 419. Сл*детв1е. Боковая поверх- поверхность прямой призмы равна произве- произведен!^ периметра основан1я на высоту, потому что въ такой призма за пер- перпендикулярное сбчеше можно взять само основаше, а боковое ребро ея равно высот*. 420. Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведена периметра основащя на половину апоеемы. Пусть (черт. 369) SABCDE есть дравильцая пирамида и SM ея апоеема. Боковая поверхность этой пирамиды есть сумма площадей равныхъ равнобедренпыхъ тр-ковъ. Площадь одного изъ нихъ, напр. ABB, равна АВ . 7г 8М. Если всбхъ тр-ковъ п, то боковая поверх- поверхность выразится АВ . г/2 SM . п= =*(АВ . п) . 7г SM, гдЪ АВ . п есть периметръ основашя, a SM апоеема. 421. Теорема. Боковая поверх- поверхность правильной усеченной пира- пирамиды равна произведена полусуммы периметровъ обоихъ основан1й на апоеему. Эта поверхность есть сумма площадей равныхъ трапещй. Площадь одной изъ нихъ, напр. АаЪВ (черт. 369), равна г/2 (АВ+ +ab) . Mm C15). Если число всЬхъ трапещй есть ?г, то Черт. 369.
— ox i АВ+аЪ ,, AB.n+ah.n ,. бок. пов.= . Мт.п=- . Mm, 2 2 АВ.п и аЪ.п суть периметры нижняго и верхняго осно- ваши. ЗАДАЧИ. 327. Высота прямой призмы, которой основате есть правильный треугольникъ, равна 12 метрамъ, сторона основашя 3 метр. Вычислить полную поверхность призмы. 328. Полная поверхность прямоугольнаго параллелепипеда равна 1714 кв. футовъ, а неравныя стороны основашя равны 25 ф. и 14 ф. Вычислить боковую поверхность и боковое ребро. 329. Въ прямоугольномъ параллелепипед^ съ квадратнымъ осно- вашемъ и высотою h проведена свкущая плоскость черезъ два про- тивоположныя боковыя ребра. Вычислить полную поверхность парал- параллелепипеда, зная, что площадь свчешя равна S. 330. Правильная шестиугольная пирамида им-Ьетъ сторону осно- вашя а и высоту h. Вычислить боковое ребро, апоеему, боковую поверхность и полную поверхность. 331. Вычислить полную поверхность и высоту треугольной пира- пирамиды, у которой каждое ребро равно а. 332. Правильная шестиугольная пирамида, у которой высота 25 сантим., а сторона основатя 5 сант., разсвчена плоскостью, парал- параллельною основашю. Вычислить разстояше этой плоскости отъ вер- вершины пирамиды, зная, что площадь СБчен1я = 2/з VS квадр. сант. 333. Высота усеченной пирамиды съ квадратнымъ основашемъ равна h, сторона нижняго основашя а, а верхняго Ь. Найти полную поверхность усеченной пирамиды. 334. Высота усеченной пирамиды равна 6, а площади основанШ 18 и 8. Пирамида разсвчена плоскостью, параллельною основашямъ и делящею высоту пополамъ. Вычислить площадь свчетя.
318 ГЛАВА III. Сбъемъ призмы и пирамиды. 422. Оеновныя допущешя объ объемахъ. Часть пространства, занимаемая геометрическимъ тйломъ, наз. объемомъ этого т'Ьла (если она разсматривается незави- независимо отъ своей формы). Объемъ т'Ьла мы можемъ разсматривать, какъ величину особаго рода, если примемъ сл'Ьдуюпця допущен1я объ объемахъ (аналогичныя допущешямъ о площадяхъ, указанныхъ нами въ § 299): 1°. Р а в н ы я т ? л а, т.-е. совм'Ьщаюнцяся при вложеши, имЪютъ равные объемы, независимо отъ ихъ положен1я въ пространств*. 2°. Объемъ какого-нибудь тЪла (напр., каждаго параллелепипеда, изображеннаго на черт. 370), состоя- щаго изъ частей (PhQ), принимается за объемовъ сумму э т и х ъ частей. 423. СлгЬдетв1я. 1°. Объемъ т'Ьла больше объемакаждой его части (сумма положи- тельныхъ величинъ больше каждаго слагаемаго). 2°. Если какое-нибудь гЬло состоитъ изъ двухъ частей (черт. 370), то объемъ каждой части разсматривается, какъ разйость между объемомъ всего т'Ьла и объемомъ другой части. ч Ix^u! ч. i i t i i i Черт. 3/0. . Если т'Ьла состоятъ изъ одинаковаго числа частей, соответ- соответственно другъ другу равныхъ (напр., два параллелепипеда, изображенные на черт. 370), то объемы этихъ гЬлъ, представляя собою суммы соответственно равныхъ слагаемыхъ, считаются равными, независимо отъ того, какъ расположены эти части въ пространств^.
319 4. Т^ла, объемы которыхъ можно разсматривать, какъ раз- разности объемовъ равныхъ гЬлъ, имЬютъ одинаковые объемы; мы вскоре встр'Ьтимъ такой случай D28). Мы видимъ такимъ образомъ, что могутъ быть гбла, которыя нельзя назвать равными (такъ какъ они не могутъ быть совмещены), но которые однако имЪютъ равные объемы. ТЬла, имЪюпця равные объемы, мы будемъ называть равно- равновеликими Таковы, напр , 2 параллелепипеда, изобра- изображенные на черт. 370-мъ 424. Единица объема. За единицу объемовъ, при измЪрети ихъ, берутъ объемъ такого куба, у котораго каждое ребро равно линейной единиц^ Такъ, употребительны: куб. аршинъ, куб. метръ и т. д. Отношен1е двухъ кубическихъ единицъ разныхъназван1й равно 3-ей степени отношен1я тйхъ линейны хъ еди- единицъ, которыя служатъ ребрами для этихъ кубическихъ единицъ. Такъ, отношеше kv6. сажени къ куб. аршину равно З3, т.-е. 27-и, что ясно видно изъ черт. 371, на которомъ меныши изъ двухъ Цк \ \ N к ч ч .. к \ \ 1 V \ ч Черт. 371. кубовъ изображаетъ куб. аршинъ, а болышй—куб. сажень. 425. 3aMrfe4aHie. Относительно числа, изм-Ьряющаго данный объемъ въ кубическихъ единицахъ, также можно сделать разъяснеше, аналогичное тому, какое было нами приведено въ § 303 относительно числа, изм-вряющаго данную площадь въ квадратныхъ единицахъ. Повторимъ вкратц-в это разъяснете въ npHMiiHeHin къ объемамъ. Возьмемъ три взаимно перпендикулярныя прямыя (черт. 372): О А, ОВ и ОС и черезъ каждыя дв-в изъ нихъ проведемъ плоскость. Мы по- лучимъ тогда 3 взаимно перпендикулярныя плоскости: АОС, СОВ и BOA. Вообразимъ теперь 3 ряда параллельныхъ плоскостей: рядъ плоскостей, параллельныхъ пл. АОС, другой рядъ плоскостей, парал- параллельныхъ пл. BOA, и третШ рядъ плоскостей, параллельныхъ пло- плоскости ВО С; допустимъ, кром'в того, что сосвдщя плоскости каждаго
320 — ряда отстоять одна отъ другой на одно и то же разстояте, равное какой-нибудь Vft долъ1 линейной единицы. Тогда отъ взаимнаго пере- сЬчешя этихъ трехъ рядовъ плоскостей образуется пространственная с^ть кубовъ, изъ которыхъ каждый /1\3 представляетъ собою! -г ) часть куб. еди- единицы. Вообразимъ, что въ эту сеть мы поместили то тело, объемъ котораго же- лаемъ измерить. Тогда все кубы сети мы можемъ подразделить на 3 рода: 1) кубы, которые расположены вполне внутри тела, 2) кубы, которые некоторою частью выступаютъ вн^ т^ла (которые, другими словами, пере- пересекаются поверхностью те л а), и 3) кубы, расположенные вполне вне тела. Если кубовъ 1-го рода будетъ г», а 2-го рода w, то объемъ даннаго тела более т fT, но менее Черт. 372. m-j-n куб. ед. Значитъ, эти 2 числа будутъ приближенный п меры даннаго объема съ точностью до-g куб. ед., первое число съ не- достаткомъ, второе—съ избыткомъ. Уменьшая все более и более раз- разстояте между параллельными плоскостями, мы будемъ заполнять пространство все меньшими и меньшими кубами; и такъ же, какъ это мы раньше делали для площадей, можно и здесь разъяснить, что по мере уменылешя кубовъ мы будемъ получать приближенные резуль- результаты измерешя все съ ббльшею и ббльшею степенью точности; и если будетъ найдено такое число V (соизмеримое или несоизмеримое), которое окажется больше любого приближеннаго результата измере- тя, взятаго съ недостаткомъ, и меньше любого приближеннаго ре- результата измеретя, взятаго съ избыткомъ, то это число принимается за точную меру даннаго объема. Доказано, что такое число существуетъ вообще для всякаго объема и что оно не зависитъ отъ выбора техъ трехъ прямыхъ О А, О В и ОС (черт. 37L), которыя были взяты для построетя пространственной сети кубовъ *). Число это обладаетъ следующими двумя основными свойствами: при одной и той же кубической единице 1) равнымъ теламъ (совмещающимся) соответствуютъ равныя числа, 2) сумме объемовъ D22, 2°) соответствуем сумма чиселъ. Отсюда уже сле- следу етъ, что ббльшему объему соответствуем ббльшее число, равно- великимъ теламъ соответствуютъ равныя числа, и т. п. ¦) См. Н. Killing und Hovestad t—H a n d b u с h des Mathematischen Unterrichts, I, 1910.
321 — Объемъ прямбугольнагэ параллелепипеда. 426. Теорема. Объемъ прямоугольнаго параллелепипеда равенъ произведена трехъ его изигЬренж. Въ такомъ краткомъ выраженш теорему эту надо понимать такъ: число, выражающее объемъ прямо- прямоугольнаго параллелепипеда въ кубиче- кубической единиц*, равно произведена чиселъ, выражающихъ три его изм*рен1я въ соот- соответствующей линейной единицй, т.-е. въ той едиЕИц'Ь, которая служить ребромъ куба, объемъ котораго при- нятъ за кубическую единицу. Такъ, если х есть число, выражаю- выражающее объемъ прямоугольнаго параллелепипеда въ кубиче- екихъ сантиметрах ъ, и а, Ь и с числа, выражаюпця три его изм^ретя въ линейны хъ сантиметрах ъ, то теорема утверждаетъ, что х=аЪс. При доказательств* разсмотримъ особо сл'Ьдуюпце три случая: 1°. Вс* три изм*рен1я выражаются це- целыми числами. Пусть, напр., измйретя будутъ (черт. 373): АВ=а, ВС=Ъ и BD-=c, гд^ а, Ъ и с каюя-нибудь ц-Ьлыя числа (напр., какъ изображено у насъ на чертежи: а=4, Ь=2 и с=б). Тогда основаше параллелепи- параллелепипеда содержитъ аЪ такихъ ква- дратовъ, изъ которыхъ каждый представляетъ собою соответ- соответствующую квадратную единицу. На каждомъ изъ этихъ квадра- товъ, очевидно, можно поместить по одной кубической единиц^. Тогда получится слой (изобра- (изображенный на чертежи), состоящ1й изъ аЪ куб. единицъ. Такъ какъ высота этого слоя равна 1 линей- л ct ной единиц'Ь, а высота всего па- Черт. 373. раллелепипеда содержитъ с такихъ §диницъ, то внутри паралле- 91 А -с
— 322 — лепипеда можно поместить с такихъ слоевъ. След., объемъ его равенъ аЪс куб. *ед. 2°. Измерен1я (все или некоторыя) выражаются дробными числами. Пусть измерешя параллелепипеда будутъ: т р г nqs (причемъ некоторыя изъ этихъ дробей могутъ равняться целому числу). Приведя дроби къ одинаковому знаменателю, будемъ иметь: mqs pns rnq nqs nqs nqs 1 Примемъ долю линейной единицы за новую (^вспомога- (^вспомогательную) единицу длины. Тогда въ этой новой единице данныя измерешя выразятся целыми числами, а именно: mqs, pns и rnq, и потому, по доказанному въ случае 1°, объемъ параллелепи- параллелепипеда равенъ произведешю (mqs) (pns) (rnq), если измерять этотъ объемъ новой кубической единицей, соот- соответствующей новой линейной единице. Такихъ кубическихъ единицъ въ одной кубической единице, соответствующей преж- прежней линейной единице, содержится (nqs)z; значить, новая куби- кубическая единица составляетъ-—rz прежней. Поэтому объемъ пар-да равенъ: 1 (nqsK - (mqs) • (pns) т п (rnq)- V Я. mqs nqs г s pns nqs rnq nqs 3°. Измерен1я (все или некоторыя) выражаются несоизмеримыми числами. Пусть у даннаго пар-да (черт. 374), который для краткости мы обозначимъ одною буквою Q, измерешя будутъ:
- 323 — гд*Ь а, |? и y несоизмеримый числа (не исключается, впрочемъ и случай, когда никоторый изъ этихъ чиселъ соизмери- соизмеримый). Найдемъ приближен- ныя значетя этихъ чиселъ съ точностью до 7п- Для этого отложимъ г1п долю ли- линейной единицы на измйре- тяхъ АВ, АС и AD, начиная отъ точки А, столько разъ, сколько можно. Пусть ока- окажется, что, отложивъ эту долю на АВ т разъ, мы по- лучимъ отрЪзокъ АВХ<САВ, а отложивъ эту же долю Черт. 374. m+1 разъ, получимъ отрй- зокъ АВ^>АВ. Тогда приближенный значетя числа а съ точ- m m+1 ностыо до Vn будутъ дроби —и , первая съ недостаткемъ, вторая съ избыткомъ. Пусть такимъ же образомъ окажется, й D что АС1=--и ^С2= и q п g+1 п при чемъ при чемъ Тогда приближенныя значешя будутъ: m m+1 для числа а. . . для числа для числа y п п п п п п Построимъ теперь 2 вспомогательные параллелепипеда: одинъ и другой . Тогда, (обозначимъ его Qx) съ H3k*bpeHiHMH АВЪ АСг и (обозначимъ его О2) съ HSMbpeHiflMH ЛВ2, АС2 и по доказанному въ случай 2°, будемъ имйть: т р q m+1 — • — • -; объемъ Q2 = п п п п объемъ р+1 п 21* q+1 п
324 Пусть число, выражающее искомый объемъ Q, будетъ х. Такъ какъ, очевидно, Qx составляетъ часть Q, a Q составляетъ часть Q2, то: слъд., об. Qi<o6. Q<Co6. Q2; m p q m+1 p+1 q+1 n n n n n n Это двойное неравенство остается в'Збрнымъ при всякой сте- степени точности, съ которою мы находимъ приближенный зна- четя чиселъ а, р и у. Значить, неравенство это мы можемъ высказать такъ: число, измеряющее объемъ дапнаго параллелепипеда, должно быть больше произведен1я любыхъ прибли- женныхъ значен1й чиселъ а, (Зи у, если эти значен1я взяты съ недостаткомъ, но мень- меньше произведен1я любыхъ приближенныхъ значен1й тЪхъ же чиселъ, если эти зна- значен i я взяты съ избыткомъ. Такое число, какъ изв^зтио изъ алгебры, наз. пропзведешемъ несоизмеримых^» чиселъ сфу. Значить, и въ этомъ случай объемъ Q—a^. 427. СлгЬдетв1я. 1°. Пусть изм^рен1я прямоугольнаго параллелепипеда, служапця сторонами его основашя, выра- жаются числами а и Ь, а третье изк^реше (высота)—числомъ с. Тогда, обозначая объемъ его въ cooTb^TCTByionpixb куб. едини- цахъ буквою F, можемъ написать: V—abc=(db)c. ±акъ какъ произведен1е аЪ выражаетъ площадь основан1я» то можно сказать, что объемъ прямоугольнаго параллелепипеда равенъ произведен^ площади основан1я на высоту. 2°. Пусть а,Ъ,с будутъ измйретя одного прямоугольнаго парал-да, имЬющаго объемъ F, и ajb^cx—изм^ретя другого парал-да, котораго объемъ есть Vr. Тогда: у=аЪс\ V1=a1b1c1\ с ли д.: V : V^iabc) : (аф^). Отсюда видно, что если с=сг, то V : V1=(ab) : а если ah^ajbi, то V : V1=c : сг; т.-е.:
325 объемы прямоугольныхъ параллелепипедовъ, им-Ьющихъ рав- ныя высоты, относятся, какъ площади ихъ основашй; объемы прямоугольныхъ параллелепипедовъ, им-Ьющихъ рав- ныя площади основан ш, относятся, какъ ихъ высоты. 3°. Объемъ куба равенъ 3-ей степени его ребра, такъ какъ при а—Ъ=с произведете аЪс обращается въ а3. Объемъ всякаго параллелепипеда. 428 Лемма. Наклонная призма равновелика такой пря- прямой призмЪ, у которой основаше равно перпендикулярному ct- чешю наклонной призмы, а высота—ея боковому ребру. Пусть дана наклонная призма ABCDE AxBjCxDJEx (черт. 375). Продолжимъ всЬ ея боковыя ребра и боковыя грани въ одномъ направлеши, напр., внизъ. Возьмемъ на продолжети одного какого-нибудь ребра произвольную точку а и прове- демъ черезъ нее перпендикулярное сЬче- Hie abode. Зат&мъ, отложивъ aai=AA1, проведемъ черезъ ах перпендикулярное сЬчеше ajb^id^. Такъ какъ плоско- плоскости обоихъ сЬченш параллельны, то ЬЬХ== со1= dd1= ee1= aax— ААг C77). Всл|Ьдств1е этого многогранникъ axd, у котораго за основан1я приняты про- веденныя нами с^чеи1я, есть прямая призма, о которой говорится въ теорем'Ь. Докажемъ, что данная наклон- наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники аВ и агВг равны. Основашя ихъ abode и а^ЬхС^ех равны, какъ основатя призмы axd\ съ другой стороны, приложивъ къ об'Ьимъ частямъ равенства АхА—аха по одной и той же прямой Аха, получимъ: aJ.=a141; подобно этому: и т. д. Вообразимъ теперь, что многогранникъ aD
— 326 - вложенъ въ axDx такъ, чтобы основашя ихъ совпали; тогда боковыя ребра, будучи перпендикулярны къ основашямъ и соответственно равны, также совпадутъ; поэтому многогран- никъ aD совместится съ axDx\ значитъ, эти т$ла равны.Теперь замЪтимъ, что если ртъ цйлаго многогранника axD отнимемъ часть aD, то получимъ прямую призму; а если отъ того же много- многогранника отнимемъ часть axDx, то получимъ наклонную призму. Изъ этого слйдуетъ, что эти двй призмы равновелики, такъ какъ объемы ихъ представляютъ собою разности о б ъ е • мовъ равныхъ тЬлъ D23,4). 429. Теорема. Объемъ всякаго параллелепипеда равенъ произведен^ площади основашя на высоту. Ранйе мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямо- угольнаго, теперь докажемъ ее для параллелепипеда п р я • м о г о, а потомъ и наклоннаго. 1°. Пусть (черт. 376) АСХ—пря- АСХ—прямой пар-дъ, т.-е. такой у кото- раго основаше ABCD какой-ни- какой-нибудь параллелограммъ, а всЬ бо- боковыя грани — прямоугольники. Возьмемъ въ немъ за основаше боковую грань ААХВХВ\ тогда па- раллелепипедъ будетъ наклон- наклонный. Разсматривая его, какъ частный случай наклонной приз- призмы, мы, на основаши леммы Q --г .._JP 4 М Черт. 376. предыдущаго параграфа, мозкемъ утверждать, что этотъ пар-дъ равновеликъ такому прямому, у котораго основаше есть пер- перпендикулярное сЬчеше MNPQ, а высота ВС. Четыреуголь- никъ MNPQ есть прямоугольникъ, потому что его углы слу- жатъ линейными углами прямыхъ двугранныхъ угловъ; поэтому прямой пар-дъ, имйюнцй это основаше, долженъ быть прямо» угольнымъ, и, сл^д., его объемъ равенъ произведешю трехъ его изм'Ьретй, за которыя можно принять отрезки MN, MQ и ВС. Такимъ обрасомъ: 0<*ьемь АСг*=МП . MQ . BC=MN . (MQ . ВС).
— 327 — Произведете MQ . ВС выражаетъ площадь параллелограмма ABCD\ поэтому: Объемъ АСг-=(илощ. ABCD) . М2У=(площ. ABCD) . ВВг. 2°. Пусть (черт. 377) АСг есть пар-дъ наклонный. А, Онъ равновеликъ такому прямому, у котораго осно- ватемъ служитъ перпен- перпендикулярное сЬчете MNPQ (т.-е. перпендикулярное къ ребрамъ AD, ВС...), а вы- В М сотою ребро ВС. Но, по Черт. 377. доказанному, объемъ прямого параллелепипеда равенъ произ- веденш площади основатя на высоту; значитъ: Объемъ ЛС!=(площ. MNPQ) . ВС. Если RS есть высота сЬЗетя MNPQ, то площадь MNPQ— =MQ . JRS\ поэтому: Объемъ ACX=MQ . RS . ВС .=(ВС . MQ) . RS. Произведете ВС . MQ выражаетъ площадь параллелограмма ABCD\ сл-Ьд.: Объемъ ЛСх==(площ. ABCD) . RS. Остается теперь доказать, что отр'Ьзокъ RS представляетъ собою высоту пар-да. Действительно, сЬчете MNPQ, будучи перпендикулярно къ ребрамъ ВС, В^..., должно быть перпен- перпендикулярно къ гранямъ ABCD, BBxCJ)..., проходящимъ черезъ эти ребра C90). Поэтому, если мы изъ точки 8 возставимъ пер- пендикуляръ къ пл. ABCD, то онъ долженъ лежать весь въ пл. MNPQ C91) и, сл-Ьд., долженъ слиться съ прямой SR, ле- лежащей въ этой плоскости и перпендикулярной къ MQ. Значитъ, отр'Ьзокъ 8R есть высота пар-да. Такимъ образомъ, объемъ и наклоннаго параллелепипеда равенъ произведетю площади основатя на высоту. 4SQ. СлгЬдств1е. Если F, В и Н суть числа, выражаю- пця въ соотв'Ьтствующихъ единицахъ объемъ, площадь осно- основатя и высоту какого ни на есть параллелепипеда, то можемъ писать:
328 Объемъ призмы. 431. Теорема. Объемъ всякой призмы равенъ произведе- шю площади основашя на высоту. Сначала докажемъ эту теорему для треугольной призмы, а потомъ и для многоугольной. ]°. Проведемъ (черт. 378) черезъ ребро ААг С, треугольной призмы АВСА^В^х плоскость, параллельную грани ВВгСгС, а черезъ ребро ССг~плоскость, параллельную грани ААгВ^В\ затймъ продолжимъ плоскости обоихъ осно- с ваши призмы до пересЬчешня съ ранйе про- проведенными плоскостями. Тогда мы получимъ параллелепипедъ BDX, который д1агональ- ною плоскостью ААгСгС делится на дв'Ь тре- угольныя призмы (изъ нихъ одна есть данная). Докажемъ, что эти призмы равновелики. Для этого проведемъ перпендикулярное cfe- чете abed. Въ сЬчети получится паргл- лелограммъ, который диагональю ас делится на два^авные тр-ка. Данная призма равновелика такой прямой призма, у которой основаше есть Л аЪс, а высота—ребро ААХ D28). Другая тре- треугольная прпзма равновелика такой прямой, у которой осно- есть Д adc, а высота—ребро ААг. Но дб* прямыя призмы съ равными основашями и равными высотами равны (потому что при вложепш они совмещаются); значитъ, призмы АВСА&Сг и AVCAJ)^ равновелики. Изъ этого слЗцуетъ, что объемЪ данной призмы соста- вляетъ половину объема па- параллелепипеда BD±; поэтому, обо- обозначая высоту черезъ Н, получимъ D29): . (площ. ABCD)H Об. тр. призмы—4 = Черт. 378. площ. ABCD 2 ' Я=(площ. АВС)Н.
2°, Проведемъ черезъ ребро ААг многоугольной призмы (черт. 379) д1агональныя плоскости АА^гС и AAxDJ). Тогда данная призма разсЬчется на несколько треугольныхъ призмъ. Сумма объемовъ этихъ призмъ составляетъ искомый объемъ. Если обозначимъ площади ихъ основашй черезъ Ьх, Ь2, Ь3, а общую высоту черезъ Я, то получимъ: Объемъ мн. лщзмы=Ъ1Н-\-Ъ2Н+ЪгЕ=(Ъ1+Ъ2+Ъг)Н== =(площ. ABCDE)H. 432. CjrfeACTBie. Если F, В и Н будутъ числа, выра- жающ1я въ сооть'бтственныхъ единицахъ объемъ, площадь осно- вашя и высоту призмы, то, по доказанному, можемъ писать: 7=БЯ. Объемъ пирамиды. 433. Лемма. Треугольный пирамиды съ равновеликими основашями и равными высотами равновелики. Черт. 380. Пусть SABG и SiAiBxCx (черт. 380) будутъ треугольныя пирамиды, у которыхъ высоты одинаковы и основащя—равно* тр-ки ABC и
— 330 — Раздйтамъ (черт. 380) высоту каждой изъ этихъ пирамидъ на произвольное число п равныхъ частей и черезъ точки д*Ьле- шя проведемъ рядъ плоскостей, параллельныхъ основашю (на чертежи высота, а сл^д., и боковыя реСра, раздоены на 4 рав- ныя части). Такъ какъ, по условно, основашя ABC и AJB-jpi равновелики, то тр-ки, получивпиеся въ сЬчешяхъ одной пира- пирамиды, соответственно равновелики тр-камъ, получившимся въ с ^чеши другой пирамиды D17). Построимъ въ каждой пирамид* рядъ внутреннихъ призмъ такихъ, чтобы верхними основа- шямй у нихъ были треугольники сЬчетй, боковыя ребра были параллельными ребру SA въ одной пирамид* и ребру 8гАг въ другой, а высота каждой призмы равнялась, бы г/п высоты пирамиды. Такихъ призмъ въ каждой пирамид* будетъ п—1. Объемы призмъ пирамиды S обозначимъ по порядку, начиная отъ вершины, черезъ Pi,P2>P3--2V-i> a объемы призмъ пира- пирамиды Si, также по порядку отъ вершины, черезъ Тогда: потому что у каждой пары соотв^тственныхъ призмъ основашя равновелики и высоты равны. Поэтому: Предположимъ теперь, что число п равныхъ частей, на ко- торыя мы дйлимъ высоту пирамидъ, неограниченно возрастаетъ. Тогда обЪ части послЬдняго равенства сд'Ьтаются величинами переменными. Докажемъ, что каждая изъ нихъ стремится въ предали къ объему той пирамиды, въ которую призмы вписаны. Это достаточно доказать для какой-нибудь одной пирамиды, напр., для 8. Для этого построимъ въ ней еще рядъ призмъ, выходящихъ частью изъ пирамиды, такихъ, чтобы нижними огаовашями ихъ служили треугольники сЬчешй (и основате пирамиды), высоты были, бы равны, допрежнему, */» высоты пирамиды, а боковдя ребра параллельны тому же ребру 8А. Такихъ призмъ будетъ п. Обозначимъ ихъ ббъемы, начиная оть
— 331 — вершины пирамиды, по порядку, черезъ <рг', ра', p8'»---pV-ii V» Не трудно видеть, что Поэтому: Если обтсть пирамиды обозначимъ F, то очевидно: Откуда: F—(px+p2+. - • +2W)<pV При неограниченное увеличеши числа п объемъ призмы рп* стремится къ нулю (потому что высота ея стремится къ нулю, а основате не изменяется); след., разность F—(Р1+Р2+• • • +Pn-i) и подавно стремится къ нулю; а ото, по определенно предела, огначаетъ, что Такъ какъ это доказательство можно применить ко всякой треугольной пирамиде, то можно утверждать, что F1? т.-е. объемъ пирамиды Sb есть пределъ переменной суммы <h+<Z2+---+<Zn—i- Но если две переменныя величины, имеюпця пределы, всегда остаются равными, то равны и ихъ пределы B81); поэтому: *) Проводя аналотю между площадями и объемами, можно было бы подумать, что равновеликость двухъ пирамидъ, о которыхъ говорится въ теорем'в, можетъ быть сведена на равновеликость «по разложетю» D28, 3°), т.-е. что можно так1я пирамиды разложить на одинаковое число частей, соответственно другъ другу равныхъ (конгруентныхъ). Однако, это не такъ. Въ 1900 году н^меикШ математикъ Д е н ъ (Dehn) впервые строго доказалъ (его очень сложное доказательство было затЪмъ упрощено русскимъ математикомъ В. Каганом ъ)э что дв^ пирамиды съ равновеликими основатями и равными высо- высотами вообще не могутъ быть разложены на конечное число соответ- соответственно конгруентныхъ частей. Бол-ве того, доказано, что равнот великость такихъ пирамидъ не можетъ быть сведена даже и на равно- равновеликость «по дополнетю» (определяемую въ § 423, 4°). Такимъ образомъ, способъ предЬловъ (какимъ мы пользовались въ тексте) есть единственный методъ доказательства равновеликости пирамидъ ja вообще многогранников?».
434. Теорема. Объемъ всякой пирамиды равенъ произ- произведению площади основания на треть высоты. Е D Черт. 381. Сначала докажемъ эту теорему для пирамиды треуголь- треугольной, а зат^мъ и многоугольной. 1°. На основашл треугольной пирамиды 8АВС (черт. 38]) построимъ такую, призму ABCDES, у которой высота равна высогЬпирамиды, а одно боковое ребро совпадаетъ съ ребромъ SB. Докажемъ, что объемъ пирамиды составляетъ третью часть объема этой призмы. Отдйлимъ отъ призмы данную пирамиду. Тогда останется четыреугольная пирамида SADEC (которая для ясво-^ сти изображена отдельно). Проведемъ въ ней сЬкущую пло-; скость черезъ вершину 8 и д1агональ основатя DC. Получив- ' ш1яся отъ этого дв'Ь треугольныя пирамиды им^ютъ общую вершину S и равныя основашя DEC и DAC, лежащ!я въ одной плоскости; значитъ, согласно доказанной выше леммй, пирамиды SDEC и SDAC равновелики. Сравнимъ одну изъ нихъ, именно SDEC, съ данной пирамидой. За основаше пирамиды SDEC можно взять A 8DE; тогда вершина ея будетъ въ точки С, и высота равна высота данной пирамиды. Такъ какъ Л 8DE= —ААВС, то, согласно той же лемм*, пирамиды CSDEn SABC
333 — равновелики. Такимъ образомъ, сумма объемовъ трехъ пирамидъ, равновеликихъ данной, составляетъ объемъ призмы; сл'Ьд : 1 (площ. ABC). Н Н Об. SABC=-o6.SDEABC= ~ =(площ. ABC).-г» о о & vjifb H означаетъ высоту пирамиды. 2°. Черезъ какую-нибудь вершину Е (черт. 382) основашя многоугольной пи- пирамиды 8ABCDE проведемъ ддагонали ЕВ и ЕС. ЗатЪмъ черезъ ребро SE и каждую изъ этихъ д1агоналей проведемъ сЬкупця плоскости. Тогда многоуголь- многоугольная пирамида разобьется на несколько треугольныхъ, им'Ьющихъ высоту, об- общую съ данной пирамидой. Обозначивъ площади основатй треугольныхъ пира- пирамидъ черезъ Ъъ Ъ2, Ь3 и высоту черезъ Я, будемъ им^ть: 3 1 Объемъ о н н н A>1+Ь,+Ь»)-5:=(ш1О1ц. ABODE). О О» 435» СлгЬдетв1е. Если F, В и Н означаютъ числа, вы- ражающ1я въ соотв^тственныхъ единицахъ объемъ, площадь оеновашя и высоту какой угодно пирамиды, то —ВЯ. Объедоъ усеченной пирамиды и усеченной призмы. 436. Теорема. Объемъ усеченной пирамиды сбъемовъ трехъ пирамидъ, им'Ьющихъ высоту, одинаковую съ высотою усеченной пирамиды, а основаниями: одна—нижнее основание усеченной пирамиды, другая—верхнее основаше этой пирамиды, а третья—среднее пропорциональное между ними.
— 334 — . Сначала докажемъ эту теорему для треугольной пира* миды, а потомъ и многоугольной. 1°. Пусть (черт. 383) ABCDEF есть усеченная треугольная пирамида. Отд^лимь отъ нея сЬкущею плоскостью AEG тре- треугольную пирамиду ЕАВС. Эта пирамида, имйя основаше ABC и вершину въ Е, удовлетворяетъ требовашю теоремы. Оставшаяся часть есть четыреугольная пира- пирамида EADFC. Проведя въ ней сЬкущую плоскость черезъ точки Е, D и С, мы разд'Ьлимъ ее на дв* треугольныя пира- пирамиды EDFC и EADC. Въ первой можно принять за основаше Д DEF, т.-е. верхнее основаше В Черт. 383. усеченной пирамиды, а за вершину точку С; сл'Ьд., эта пирамида удовлетворяетъ требованш теоремы. Остается разсмотр^ть третью пирамиду EADC. Превратимъ ее въ другую равнове- равновеликую пирамиду сл^дующимь образомъ. Проведемъ прямую ЕК \\ DA и точку К примемъ за вершину новой пирамиды, которой основатемъ оставимъ тотъ же треугольникъ ADC. Пирамиды EADC и KADC [авновелики, потому что у нихъ общее основаше ADC и высоты равны (такъ какъ вершины лежать на прямой ЕК, параллельной AD и, сл-Ьд., параллельной плоскости основатя). Примемъ за вершину новой пирамиды точку D, а за основаше Д АСЕ. Тогда высота ея будетъ равна высот* усеченной пирамиды. Остается доказать, что основаше АСЕ есть средняя пропорщональная величина между ABC и DEFy т.-е. что площ. ABC площ. АС К площ. АСЕ площ. DEF
— ЗЗб — У тр-ковъ ABC и АСК за основан1я можно взять стороны АВ и АК\ тогда вершина у нихъ будетъ общая С, и сл^д., высоты окажутся одинаковы; поэтому: площ. ABC АВ АВ площ. ACK=~AK~~DE (вместо А К можно взять равный отрйзокъ DE). Треугольники АСК и DEF имЪютъ по равному углу при верпшнахъ А и D; поэтому C24): J площ. АСК АС.АК АС площ. DEF^ DF.DE^ DF [2] (отрезки АК и DE, какъ равные, сокращаются). Изъ подоб1я тр-ковъ ABC и DEF слйдуетъ, что правыя части равенствъ [1] и [2] равны; слЪд., равны и ихъ л'Ьвыя части, т.-е. площ. ABC площ. АСК площ. АСК~^шощ. BEF 2°. Пусть (черт. 384) Ad есть усе- усеченная пирами- пирамида, составляющая часть многоуголь- многоугольной пирамиды 8ABCDE. Превра- тимъ мн-къ ABCDE въ равновелишй jrp-къ PQR и, при- нявъ этотъ тр-къ за основате, по- В строимъ вспомогательную пирамиду (MPQR съ такой же высо- высотою, какъ у пирамиды 8. ПвресЬчемъ пирамиду М плоскостью,
336 параллельною основанш, на такомъ разстояши отъ вершины, на какомъ въ пирамид^ 8 проведена плоскость abode. Въ сЬченш получится Д pqr, равновелики мн-ку dbcde D17). Пирамиды SABCDE и MPQR равновелики, такъ какъ у нихъ равновелики основашя и высоты равны; по той же причини пирамиды Sabcde и Mpqr тоже равновелики; отсюда слфдуетъ, что усЬч. много- многоугольная пирамида Ad равновелика усЬч. треугольной пира- мид'Ь Рг\ такъ какъ у этихъ двухъ усЬченныхъ пирамидъ осно- вашя, и нижнее и верхнее, соответственно равновелики, а вы- высоты равны, то теорема, доказанная для усеченной треугольной пирамиды, остается применимой и къ многоугольной. 437. Сл'ЬдствХе. Пусть 7, В, Ъ и Н будутъ числа, вы- ражаюпця въ соответствующихъ единицахъ объемъ, площадь нижняго основан1я, площадь верхняго основашя и высоту усеченной пирамиды; тогда: о б о ±н( в+ъ+Увь\ о \ I у ВЪ есть средняя пропорщональная величина между В и Ъ. 438. Теорема. Объемъ треугольной призмы, усеченной непараллельно основанш, равенъ cywiMt объемовъ трехъ пира- пирамидъ, им%ющихъ общее основан"|е съ усеченной призмой, а вер- вершины въ трехъ вершинахъ непа- раллельнаго (гЬчешя. Пусть (черт. 385) ABCDEF есть усеченная треугольная призма, т.-е. такая, у которой пло- плоскость DEF не параллель- н а основанш ABC. Проведя сЬ- кущую плоскость черезъ точки Е, А и G, мы отдЪлимъ одну изъ трехъ пирамидъ, указанныхъ въ теорем^, именно пирамиду ЕАВС, имеющую общее осноЕаше ABC съ усеченной призмой и вершину въ точки Е. Проведемъ еще сЬ- кущую плоскость черезъ точки Е,
QQ 7 —-*- OO I —~ ВиС; тогда получимъ двЪ друпя пирамиды: EDAC и EDFC. Теорема будетъ доказана, если мы обнаружимъ, что эти пира- пирамиды равновелики такимъ, у которыхъ основашемъ служитъ Д ABC, а вершины лежать: одной въ D, другой въ F. Действи- Действительно, пирамиды EDAC и DABC равновелики, потому что за основаше ихъ можно взять обпцй тр-къ ВАС, и тогда вер- вершины Е и В будутъ лежать на прямой BE, параллельной пло- плоскости основашй; пирамиды EDFC и FABC равновелики, потому что за основатя ихъ можно принять равновелите тр-ки: для первой CFD, для второй AFC C11,1°), и тогда ихъ вер- вершины ЕиВ будутъ лежать на прямой БЕ, параллельной пло- плоскости основашй. 439. СлгЬдств1е. Пусть F, В, Ьх, h2, h3 будутъ числа, выражаюпця въ соотв'Ьтствующихъ единицахъ объемъ, пло- площадь основашя и высоты, опущенныя на основаше изъ трехъ верншнъ непараллельнаго сЬчешя; тогда: 111 V—— Когда призма прямая, высоты Ьъ h2 и h3 равны боковымъ ребрамъ ея. ГЛАВА IV. Подобгс многогранников^ 44O. ОпрвД'ЬлвнХе. Два многогранника наз. подобными, если они им'Ьютъ соответственно равные многогранные углы и соответ- соответственно подобныя грани. Соответственные элементы подобныхъ много- гранниковъ наз. сходственными. Изъ этого определенia следуетъ, что въ подобныхъ многогран- никахъ: ; 1°. Двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, потому что многогранные углы равны. 2°. Сходственны я v ребра пропорц1ональны, потому что въ каждыхъ двухъ. подобныхъ граняхъ отношеше сход- ственныхъ реберъ одно и то же, и въ каждомъ многограннике со- седшя грани имеютъ \по общему ребру. Возможность существовашя подобныхъ многогранниковъ доказы- доказывается следующей теоремой. 22
— 338 Черт. 386. 441. Теорема. Если въ пирамиде (черт. 386) проведемъ секущую плоскость параллельно основашю, то отсЬчемъ отъ нея другую пирамиду подобную дакнем. Такъ клкъ А1В1\\ АВ, В1С1\\ ВС и т. д. C73), то боковыя грани двухъ пирамидъ подобны; основашя ихъ также подобны D14). Остается доказать равенство многогранныхъ угловъ. Уголъ S у обеихъ пирамидъ общШ; трегранные углы Alt Bx, Сг... равны соответственно угламъ А, Б, С.., потому что у каждой пары этихъ угловъ плоск1е углы соответственно равны и одинаково расположены D02, 3°). 442* Теорема. Две призмы или две пирамиды подобны, если основаше и боковая грань одной и осно- основан ie и боковая грань другой соответственно подобны, одинаково наклонены и одинаково расположены. 1°. Пусть у двухъ призмъ (черт. 387) соответственно подобны и оди- одинаково расположены осно- ватя ABCDE, abede и гра- грани ААХВХВ, aa-J)-^) (на чер- чертеже оне покрыты штри- штрихами) и, кроме того, рав- равны двугранные углы АВ и аЪ. Для доказательства подоб1я этихъ призмъ, раз- суждаемъ въ такой после- последовательности. Трехгран- Трехгранные углы В и Ъ равны, по- потому что они имеютъ по равному двугранному углу (АВ и аЬ), заключенному между двумя соответ- расположенными плоскими углами Черт. 387. ственно равными и одинаково (АЕС = аЪс и АВВ1 — аЪЪ1)\ отсюда следуетъ, что равны плоск1е углы ВгВС и ЪхЪс, а также и двугранные ВС и Ъс. Если же у двухъ паралле- лограммовъ ВВХСХС и ЬЬ^с имеется по одному равному углу, то тЛ остальные углы ихъ соответственно равны; такъ какъ, сверхъ того, ВС АВ ( подоб1я основанШ) Ъс ВВг аЪ АВ г (изъ подоб1я бок. граней), ВС ^ ВВХ Ъс Ых ' Эначитъ, грани ВВгСхС и ЬЬ^с подобны. Переходя теперь къ трегран- иымъ угламъ Сие, совершенно такъ же убедимся, что они равны и что то
— 339 грани CC1D1D и ccxdxd подобны. Такимъ образомъ, мы переберемъ век трегранпые углы при основанш и все боковыя грани. Верхтя основа- шя A1B1C1D1E1 и a1b1c1d1e1 подобны, потому что они равны нижнимъ основатямъ; трегранные углы при верхнихъ основашяхъ соответ- соответственно равны, потому что у нихъ равны и одинаково расположены плоск1е углы. Значить, разсматриваемыя призмы подобны. 2°. Пусть мы имЪемъ (черт. 388) две пирамиды, у которыхъ соответ- соответственно подобны и оди- одинаково расположены основатя ABCDE, abode и боковыя,грани SAB, sab (на чертеже оне покрыты штри- штрихами) и, кроме того, равны двугранные углы АВ и аЪ. Совер- Совершенно такъ, какъ это было сделано для призмъ, мы докажемъ, что все трегранные углы, прилежацие къ Черт. 388. основашямъ, соответ- соответственно равны, и что все боковыя грани соответственно подобны. Тогда многогранные углы S и S1 также будугъ равны, потому что, имея все плоск1е и двугранные углы соответственно равные и одинаково расположенные, они при вложенш одного въ другой совмещаются. 443. Теорема. Подобные многогранники могутъ быть разложены на одина- одинаковое число соответственно подобныхъ и одинаково расположенныхъ пирамидъ (черт. 389). С в D. Черт. 389. Указанное въ теореме разложете можетъ быть выполнено различ- различными способами. Мы поступимъ следующимъ образомъ:
— 340 — Возьмемъ въ одномъ изъ данныхъ подобныхъ многогранниковъ ввр- дцину А какого-нибудь многограннаго угла. Возьмемъ далее все тЪ грани многогранника, которыя не прилежать къ углу А. Въ нашемъ многограннике такихъ граней четыре: EDKL, DCHK, CBGE и FGEKL. Каждую изъ этихъ граней примемъ за основате такой пира- пирамиды, которой вершина лежала бы въ А. Тогда многогранникъ ра- разобьется на пирамиды, сходяцпяся вершинами въ точке А. Въ другомъ многогранник'в возьмемъ сходственную вершину Аг и т'Ьмъ же путемъ разложимъ его на одинаковое число пирамидъ. Докажемъ, что эти пирамиды соответственно подобны. И действительно, какую бы пару соотв'втственныхъ пирамидъ мы ни взяли, легко найдемъ, что основате и грань одной пирамиды и основате и грань другой пирамиды соответ- соответственно подобны, одинаково наклонены и одинаково расположены. Напр., у пирамидъ ADELK, AlD1ElL1K1 основатя DELKn D1E1L1K1 подобны, какъ сходственныя грани подобныхъ многогранниковъ, грани ABE и A1D1E1 подобны, потому что подобные многоугольники ABCDEy A1B1C1D1E1 разбиваются на соответственно подобные тр-ки; двугранные углы DE, D1E1 равны, какъ сходственные углы подобныхъ многогранниковъ. Изъ этого следуетъ, что взятыя нами пирамиды подобны. То же самое можно сказать о другихъ пирамидахъ. 444. Теорема. Поверхности подобныхъ многогранниковъ относятся, какъ квадраты сходственныхъ реберъ. Пузть Р1э Р2, Pz...Pn означаютъ площади отдельныхъ граней одного изъ подобныхъ многогранниковъ, a plt p2i Рз««ч Vn площади сход- сходственныхъ граней другого; положимъ еще, что L и I будутъ длины двухъ какихъ-нибудь сходственныхъ реберъ. Тогда, вследств1е по- доб1я сходственныхъ граней и пропорпюнальности всехъ сходствен- сходственныхъ реберъ, будемъ иметь C26): Откуда: в Черт. 390. 445. Теорема. Объемы по- подобныхъ многогранниковъ отно- относятся, какъ куЗы сходственныхъ реберъ. 1°. Сначала докажемъ тео- теорему для подобныхъ пира- пирамидъ. Пусть (черт. 390) пирамиды SABCDE и S1A1B1C1D1E1 подобны. Вло- жимъ вторую пирамиду въ первую такъ, чтобы у нихъ совпали равные многс гранные углы 8 и 9у Тогда
541 IЁ1 заиметь некоторое положете abcde, причемъ стороны ai, bet... соответственно параллельны сторонамъ АВ, ВС,... (вслгвдств1е равенства п л оскихъ угловъ трегранныхъ 1и1ь В и В1 и т. д.); всл'Ьд- c.TBie этого плоскость abode параллельна ABC BE C72,2°). Пусть SO и #0—высоты двухъ пирамидъ. Тогда: Об. SABCDE = (nm)w. ABODE). 73 SO. Об. 8abode=(площ. abode). 1/z So. Об. SABCРЕ^илощ. ABCDE ?Ю Об. ISabcde площ. abode So площ. ABCDE_SO* 0 площ. abode "~" *««" D14j3 ^ „ об. SABCDE SO* SA* Поэтому .___-_-_e... D14,1°) 2°. Теперь докажемъ теорему для двухъ какихъ угодно подобныхъ многогранниковъ, объемы которыхъ назовемъ У и v. Разобьемъ ихъ на подобныя пирамиды D43). Пусть Ух, У2, У8... ^п и vi» V2> v8...vM будутъ объемы сходственныхъ пирамидъ, L и 2 длины какихъ-нибудь сходственныхъ реберъ. Тогда, согласно доказанному, будемъ имЪть: VX_L\ V2_L\ Vn_L* vx I* v2 I* in i3 Откуда: yt-f F2-f ... + г?хH-г?а -|- — -|- т.-е. У L3 446. Зам'ЬчаМе. Въ стереометр1и можно разсматривать ф и* гуры, подобно расположенный, въ томъ же смысла, какой былъ нами указанъ въ планиметрш B11 и сл^д.), причемъ и зд'всь, какъ и тамъ, подоб1е въ расположен in можетъ быть двоякое: прямое и обратное. Не входя въ подробности этого разсмотр^^я, зам^тимь только следующее важное различ!е между подоб1емъ въ располо- жен1и на плоскости и подоб1емъ въ расположены въ пространств^ 3-хъ HSM^peHift. На плоскости> какъ мы видели B15), многоугольники, подобно расположенные, прямо или обратно, оказываются всегда по- подобными между собою; въ стереометрш же только при прямомъ подоб!и въ расположенш многогранники подобны между собою, при обратномъ же подобш въ расположен^ многогранники вообще не подобны (прим'Ьромъ могутъ служить симметричные много» гранные углы, о которыхъ говорилось въ § 403). Г Л А В А V. Симметричныя фигуры. 447. ОпрбД'ЪленЛя. Различаютъ три рода симмвтр1и: отно- относительно точки, относительно прямой и относительно плоскости.
— 342 — Какъ мы уже говорили ранЪе D1), двЪ точки А и Аг (черт. 391) наз. симметричными относительно точки О (центра симметр!и) если прямая ААХ проходитъ черезъ точку О и делится ею пополамъ! А° О оД Де а а . «А, А е- а А, Черт. 391. Черт. 393, Ч°рт 393 Дв% точки Аи А, (черт. 392) наз. симметричными относительно пря- прямой ху (о с и с и м м е т р i и) или (черт. 392) относительно пло- плоскости Р (плоскости с и и м е т р i и), если прямая А А,, перпен- перпендикулярна къ ху или къ плоскости Р и делится ими пополамъ Дв* фигуры наз. симметричными относительно центра (черт 394) оси (черт. 395), или плоскости (черт. 396), если каждой точк-Ь одной в, Черт. 394. В Черт. 396. Черт. 395. _^_ wvw# фигуры соотв^тствуетъ симметричная точка другой." Си'мметричныя точки двухъ такихъ фигуръ наз. сходственными. Легко видЪть, что двЪ фигуры, симметричны я от- носительно оси, равны. Въ этомъ убедимся, если пс*
343 вернемъ одну изъ фигуръ (черт. 395) вокругъ оси на 180°. Тогда каждая точка А одной фигуры совладеть съ сходственной точкой Аг другой фигуры, и, сл'бд., обЪ фигуры совместятся. 448. Теорема. Фигуры, симметричный съ одной и той же фигурой отно- относительно различныхъ цен- центровъ, [авны между собою. F Док. Пусть фигуры Fx и FX1 симметричны съ одной фигурой F относи- относительно центровъ О и Ог (черт. 397). Возьмемъ въ фигур'в F произвольную точку А и въ фигурахъ Fx и F2 точки Ах и Аг1, сим- метричныя съ А\ затЪмъ проведемъ прямыя 00г и А1А11. Такъ какъ АО — Аг0 и А01 = А1101, то А1А111| 00хи А1Ац—2001. Такимъ образомъ, всв соответственныя точки фигуръ Fx и Fn (напр., Ах и Ап, Вх и Ви, Сх и С1Х и т. д.) лежатъ на разстояшяхъ, параллель- ныхъ прямой 00х и равныхъ 200х. Поэтому, если перем'встимъ фи- фигуру Fx такъ, чтобы каждая ея точка описывала прямую, параллель- параллельную 00г и равную удвоенной этой лиши, то обЪ фигуры Ft и Fn совме- совместятся; значитъ, онЪ равны. 449. Теорема. Если фигуры F и Fx (черт. 398) симметричны относительно плоскости Р, то ихъ можно помЪстить такъ, что OHt будутъ симметричны отно- относительно любой точки О, взятой на этой плоскости; обратно, если фигуры F и Fn симметричны относи- относительно точки О, то ихъ можно помъхтить такъ, что он% будутъ симметричны относительно любой пло- у[ _ скости Р, проходящей че- Черт. 397. О \ Черт. 398. >-о А резъ эту точку О. Док. Если фигуры F и Fx симметричны от- относительно плоскости- Р, то прямая ААХ, со- соединяющая катя-ни- будь двЪ сходственныя точки, перпендикулярна къ плоскости Р и делится ею пополамъ; зна- значитъ: Аа = Аха. Если фигуры F и Flx симметричны относительно точки О, то прямая АА1и соединяющая дв-в сходственныя точки, про-
— 344 — ходить черезъ О и делится этою точкою пополамъ; значитъ: АО = АпО. Зам'Ьтивъ это, соединимъ Аг съ Ап и проведемъ ОМ перпендикулярно къ Р. Такъ какъ АО = АцО и Aa = A1ai то АхА1г\\ аО\ сл'Ьд., </A11A1A = </OaA = d. Такъ какъ ОМ±_Р и ААг±.Р, то ОМ±ААг; изъ этого сл'Ьдуетъ, что, во 1°, ОМ пересекается съ АгАХ1 въ некоторой точке Ь, во 2°, Z.A11bO=Z.A11A1A = d, въ 3°, АгЪ — А1ЛЬ (такъ какъ АцО = ОА). Если мы теперь повернемъ фигуры Fx и Flt вокругъ оси ОМ на 180°, то точки Аг и Allt а сл'Ьд., и всв друпя сходственныя точки, поменяются местами; значитъ, фигура Ft можетъ быть сделана симметричною съ F относительно точки О, а фигура FllL можетъ быть сделана симметричною съ F относительно плоскости Р, что и требо- требовалось доказать. 45O. Сл&дств1я. 1°. Фигуры, симметричный съ одной и той же фигурой относительно различныхъ плоскостей, равны между собою, потому что эти фигуры всегда можно сделать симметричными съ одной и той же фи- фигурой относительно различныхъ центровъ, а татя фигуры, какъ мы видели D48), равны между собою. 2°. Если будемъ обращать внимате только на форму фигуры, а не на ея положете въ пространстве, то можемъ сказать, что данная фигура F имЪетъ только единственную симметричную съ нею фигуру (относительно точки, или относительно плоскости, все равно), такъ какъ все фигуры, симметричныя съ F, равны между собою. Всл'Ьд- ств1е этого, при изсл'вдованш свойствъ симметричныхъ фигуръ, за- висящихъ только отъ ихъ формы, мы можемъ по произволу разсматри- вать эти фигуры или какъ симметричныя относительно центра, или какъ симметричныя относительно плоскости. 451. Теоремы, выражанищя свойства симметричныхъ фигуръ. 1°. Фигура, симметричная съ плоской фигурой, есть также плоская фигура, равная первой. Это свойство сделается очевиднымъ, если возьмемъ за плоскость симметрш плоскость данной фигуры; тогда симметричная фигура сливается съ данной. Въ частности, фигура, симметричная съ отр'Ьз- комъ прямой, есть равный отрЪзокъ прямой; фигура, симметричная съ угломъ, есть равный уголъ; фигура," симметричная съ плоскимъ многоугольникомъ, есть равный плоскШ многоугольникъ; фигура, симметрич- симметричная съ кругомъ, есть равный кругъ, и. т. п. 2°. Фигура, симметричная съ двуграннымъ угломъ (PABQ, черт. 399), есть равный двугранный уголъ. Это свойство сделается очевиднымъ, если за пло- плоскость симметрш возьмемъ биссектриссную плоскость В. Тогда фигура, симметричная съ гранью Р, будетъ другая грань Q, и наоборотъ; сл'Ьд., фи- фигура, симметричная съ угломъ PABQ, будетъ уголъ QABP. u qqq
345 Черт. 400. 3°. Фигура, симметричная съ многограннымъ угломъ (SABCDE, черт. 400), есть многогранный уголъ, у котораго двугранные и плосше углы соотвътственно равны двуграннымъ и плоскимъ угламъ перваго много- граннаго угла, но расположены въ обратномъ по- рядкЪ. Это свойство сделается очевиднымъ, если возьмемъ за центръ симметрш вершину 8. Тогда получимъ два симметричные угла SABCDE и SA-lB-lC-lDxE^ у которыхъ дву- двугранные и плоск1е углы соответственно равны, но расположены въ обратномъ порядкв D03). CjrbACTBie. Симметричные мно- многогранные углы вообще не равны, такъ какъ, вслгЬдств1е обратнаго расположетя равныхъ двугранныхъ угловъ, они не могутъ совместиться. По той же при- чинЪ симметричные многогран- многогранники вообще не равны. 4°. Два симметричные многогранника равновелики. Докажемъ сначала эту теорему для симметричныхъ пирамидъ (черт. 401) SABCD и SxABCD, которыя мы раз- М'Ьстимъ такъ, чтобы плоскостью сим- симметрш служило основате ABCD. Такъ какъ точки S и 8г симметричны относительно плоскости основатя, то высоты SO и StO равны; вслгвдств1е этого пирамиды, им^я общее основате и равныя высоты, равновелики. Два каше угодно симметричные мно- многогранника всегда могутъ быть разло- разложены на одинаковое число симметрич- симметричныхъ пирамидъ; поэтому теорема верна и для многогранниковъ произвольной формы» Черт. 401. ГЛАВА VI. Понят!е о правильныхъ многогранникахъ. 452. Опред'Ьлею.е. Многогранникъ наз. правиль- правильны м ъ, если всЬ его грани суть равные правильные многоуголь- многоугольники и веб многогранные углы равны (таковъ, напр., кубъ). Изъ этого опред'Ьлешя сл*Ьдуетъ,что въ правильныхъ многогран- многогранникахъ равны веб плосше углы, всЬ двугранные углы и всЬ ребра.
— 346 453. KaKie правильные многоугольники мо- гутъ служить гранями правильныхъ много- гранниковъ? Чтобы решить этотъ вопросъ, примемъ во внимаше, что въ многогранномъ угли наименьшее число граней три и что сумма всЬхъ плоскихъ угловъ выпуклаго мн-ка меньше Ы C98). Каждый уголъ правильнаго треугольника равенъ 2/zd. Если повторимъ 2/3d слагаемымъ 3 раза, 4 раза и 5 разъ, то получимъ суммы, менышя Ы\ а если повторимъ 2/3d слагаемымъ 6 разъ или болйе, то получимъ въ суммЪ Ы или бол'Ье. Поэтому изъ плоскихъ угловъ, равныхъ угламъ правиль- правильнаго тр-ка, можно образовать выпуклые многогранные углы только трехъ видовъ: трегранные, четырегранные и пятигран- пятигранные. Уголъ квадрата равенъ d, а уголъ правильнаго пятиуголь- пятиугольника равенъ 6/5d; повторяя ати углы слагаемымъ 3 раза, полу- чаемъ суммы, менытя 4d, а повторяя ихъ 4 раза или бол'Ье, получаемъ Ы или бол'Ье. Поэтому изъ плоскихъ угловъ, рав- равныхъ угламъ квадрата или правильнаго пятиугольника, можно образовать только трегранные углы. Уголъ правильнаго шести- шестиугольника равенъ xjzd\ поэтому изъ такихъ угловъ нельзя обра- образовать даже треграннаго угла. Изъ угловъ правильныхъ много- угольниковъ, им'Ьющихъ бол'Ье 6-ти сторонъ, подавно, нельзя образовать никакого многограннаго угла. 454. Перечислена правильныхъ многогран- никовъ. Изъ сказанцаго въ предыдущемъ параграф^ Черт. 402. Черт. 403. Черт. 404. дуетъ, что выпуклыхъ правильныхъ многогранниковъ не можетъ быть бол'Ье сл'Ьдующихъ пяти *): *) Ихъ не можетъ быть б о л t e п я т и, но существуютъ ли эти пять, это предыдущими разсуждешями, конечно, не доказывается; мы опускаемъ это доказательство по причин'Ъ его сложности.
— 347 Iе. Правильный четырегранникъ (или тетраэдръ), котораго поверхность составлена изъ 4-хъ правиль- ныхъ тр-ковъ (черт. 402). Черт. 405. Черт. 406. 2°. Правильный восьмигранникъ (или октаэдръ), котораго поверхность составлена изъ 8-ми правиль- ныхъ тр-ковъ (черт. 403). 3°. Правильный двадцатигранникъ (или икасаэдръ), образованный 20-ю правильными тр-ками (черт. 404). 4°. Правильный шестигранникъ (или экса- эдръ), образованный 6-ю квадратами (черт. 405). Онъ наз. иначе к у б о м ъ. 5°. Правильный дв'Ьнадцатигранникъ (или додекаэдръ), образованный 12-ю правильными пятиугольниками (черт. 406). ЗАДАЧИ. 335, а. Ребро даннаго куба равно а. Найти ребро другого куба, котораго объемъ вдвое болЪе объема даннаго куба. Замучан ie. Эта задача объ удвоен in куба, известная съ древнихъ временъ, легко решается вычислетемъ (именно: ж = У Ха3 = п\ 2 = а1,25992..), но построен1емъ (помощью циркуля и линейки) она решена быть не можетъ, такъ какъ формула для неизвЪстнаго содержитъ радикалъ 3-й степени (см. конецъ § 225). 335. Вычислить поверхность и объемъ прямой призмы, у которой основаше правильный тр-къ, вписанный въ кругъ рад1уса г =2 метрамъ, а высота равна сторон^ правильнаго 6-угольника, описаннаго около того же круга. 336. Определить поверхность и объемъ правильной 8-угольной призмы, у которой высота 7&=6арш., асторон*аосиоватя а—8вершкамъ
— 348 — 337. Определить боковую поверхность и объемъ правильной Шести» угольной пирамиды, у которой высота равна 1 метру, а апоеема со- ставляетъ съ высотою уголъ въ 30°. 338. Вычислить объемъ треугольной пирамиды, у которой каждое боковое ребро равно J, а стороны основатя суть а, Ъ и с. 339. Данъ трегранный уголъ SABC, у котораго все три плоск1е угла прямые. На его ребрахъ отложены длины: <SA = a, SB = b и SC~c. Черезъ точки А, В и С проведена плоскость. Определить объемъ пирамиды SABC. 340. Высота пирамиды равна Л, а основате—правильный шести - угольникъ со стороною а. На какомъ разстоянш яотъ вершины пира- пирамиды следуетъ провести плоскость, параллельную основатю, чтобы объемъ образовавшейся усеченной пирамиды равнялся V? 341. Определить объемъ правильнаго тетраэдра съ ребромъ а. 342. Определить объемъ правильнаго октаэдра съ ребромъ а. 343. Усеченная пирамида, которой объемъ "Г = 1465 куб. сантим., имеетъ основатями правильные шестиугольники со сторонами: а =23 сант. и Ь = 17 сант. Вычислить высоту этой пирамиды. 344. Объемъ V усеченной пирамиды равенъ 10,5 куб. метра, высота Л="|/"в метр, и сторона а правильнаго шестиугольника, служащаго нижнимъ основатемъ, равна 2 метр. Вычислить сторону правильнаго шестиугольника, служащаго верхнимъ основатемъ. 345. Вычислить объемъ треугольной усеченной призмы, у которой стороны основатя суть: а=7,5, Ь=7 и с=6,5 и ребра, перпенди- кулярныя къ основатю, суть: к=2, J=3 и т=4. 346. На какомъ разстоянш отъ вершины S пирамиды 8ABC надо провести плоскость, параллельную основатю, чтобы отношете объе- мовъ частей, на которыя разсекается этою плоскостью пирамида, равнялозь т? 347. Вычислить объемъ усеченнаго параллелепипеда, у котораго основате есть В, а Лх и h2 суть длины перпендикуляровъ, опущенныхъ на плоскость нижняго основатя изъ двухъ вершинъ, лежащихъ на концахъ какой-нибудь д1агонали верхняго основатя *). 348. Пирамида съ высотою h разделена плоскостями, паралелль- ными основатю, на три части въ отпошенш т : п : р. Определить разстоятя этихъ плоскостей до вершины пирамиды. 349. Сумма объемовъ двухъ подобныхъ многогранниковъ равна У, а отношен!е сходственныхъ реберъ равно ш : п. Определить объ- объемы ихъ. 350. Разделить объемъ усеченной пирамиды плоскостью, парал- параллельною основатямъ В и Ь, на две части въ отношен!и т : п. *) Легко установить, что сумма Ьх + Ъг равна сумме двухъ другихъ перпендикуляровъ, опущенныхъ на плоскость нижняго основатя изъ вершинъ, лежащихъ на концахъ другой д1агонали верхняго основатя.
— 349 - КНИГА III. КРУГЛЫЯТЪЛА. ГЛАВА I. Цилиндръ и конусъ. 455. Поверхность вращетя. Поверхностью вращен1я наз. такая поверхность, которая получается отъ вращен1я какой-нибудь неизме- неизменяющейся линш (MN, черт. 407), на- называемой образующей, во- кругъ неподвижной прямой (АВ), на- называемой осью; при этомъ пред- предполагается* что образующая (MN), при своемъ вращенш, неизменно свя- связана съ осью (АВ). Возьмемъ на образующей какую- нибудь _ точку Р и опустимъ изъ нея на ось перпендикуляръ РО. Очевидно, что при вращенш не изменяется ни длина этого перпен- перпендикуляра, ни величина угла АОР, ни положеше точки О. Поэтому каждая точка образующей описываетъ окружность, которой пло- плоскость перпендикулярна къ оси и центръ лежитъ на пересбчеши этой плоскости съ осью. Отсюда слйдуетъ, что плоскость, перпендикулярная къ оси, nepectKaflCb съ поверхностью вращетя, даетъ въ ctseHin окружность. Всякая сбкущая плоскость, прохо- проходящая черезъ ось, наз. м е р и д i а- н а л ь н о ю плоскостью, а пересбчеше ея съ поверхностью вращетя—м ери- д i а н о м ъ. ВсЬ мерид!аны равны между собою, потому что при вращенш щъ тохъ проходитъ черезъ Черт. 4Q8.
— 350 — то положеше, въ которрмъ ран^е былъ всякШ другой мери- дданъ. 45в. Цилиндрическая поверхность. Цилин- Цилиндрическою поверхностью паз. поверхность, про- производимая движешемъ прямой (АВ, черт. 408); перемещаю- перемещающейся въ пространств^ параллельно данному направленно и пересекающей при этомъ данную линш (MN). Прямая АВ наз. образующею, а литя MN направляющею. 457. Цилиндръ. ТЬяо, ограничен- ограниченное цилиндрическою поверхностью и двумя параллельными плоскостями, наз. ци- линдромъ (черт. 409). Часть цилин- цилиндрической поверхности, заключенная между плоскостями, наз. боковою поверхностью цилиндра, а части плоскостей, отсЬкаемыя этою поверхно- поверхностью,—о снован1ямп цилиндра. Раз- стояте между основатями есть высота Черт. 409. цилиндра. Цилиндръ паз. п р я м ы м ъ или наклони ымъ, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны къ основатямъ его образующая Прямой цилиндръ (черт. 410) наз к р у г о- в ымъ, если его основаьпя круги. Такой цилиндръ можно разсматривать, какъ тЬло вращен1я, а именно, происходящее отъ вращешя прямоугольника ОААХОХ вокругь стороны 00), какъ оси; при этомъ сторона ААг описываетъ боковую поверхность, а стороны О А и ОгАг—круги основатй. Всякая прямая ВС, параллельная РА, описываетъ также кругъ, перпендикулярный къ оси. Отсюда сл'Ьдуетъ, что с i ч е н i е п р я м о г о к р у- гового цилиндра плоскостью, параллельною основан1ямъ, есть кругъ. Въ элементарной геометрш разсматривается только прямой круговой цилиндръ; для краткости его называютъ просто ци - линдромъ. Черт. 410.
— 361 — Иногда приходится разсматривать татя призмы, которыхъ основатя суть многоугольники, вписанные въ основатя ци- цилиндра или описанные около нихъ; татя призмы наз. впи- вписанными въ цилгндръ или описанными около него. 458. Коническая поверхность. Коническою поверхностью наз. поверхность, производимая движе- темъ прямой (АВ, черт. 411), перемещающейся въ простран- пространстве такъ, что она при этомъ постоянно проходитъ черезъ не- неподвижную точку (S) и пересЬкаетъ данную лишю (MN). Прямая АВ наз. образующею, литя MN—н аира- в л я ю щ е ю, а точка S—в е р- шиною конической поверх- поверхности. 459. Конусъ. тало, огра- ограниченное коническою поверх- поверхностью и плоскостью,, пере- пересекающею все образуюпця по Черт. 411. одну сторону отъ вершины, наз. конусомъ (черт. 412). Часть конической поверхности, ограниченная этою плоскостью, наз. боковою поверх- поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковою поверх- поверхностью,—о с н о в а н i e м ъ конуса. Перп'ендикуляръ, орущен- ный изъ вершины на основате, есть высота конуса. Конусъ наз. прямымъ круго- круговым ъ, если его основате есть кругъ, а высота проходитъ черезъ центръ осно- основатя (черт. 413). Такой конусъ можно разсматривать, какъ тело, происходя- происходящее отъ вращетя прямоугольнаго тр-ка SO А вокругъ катета SO, какъ оси. При этомъ гипотенуза 8А производитъ бо- боковую поверхность, а катетъ О А—осно- А—основате конуса. Всякая прямая ВОг, па- параллельная АО, описываетъ при вра- щенш кругъ, перпендикулярный къ оси. Отсюда следу етъ, что сеченае пря- Черт. 412,
— 352 — мого кругового конуса плоскостью, парал- параллельною основан1ю, есть к р у гъ. Въ элементарной геометрш разсматри- вается только прямой круговой конусъ, который для краткости наз. просто к о - н у с о м ъ. Иногда приходится разсматривать та- татя пирамиды, которыхъ основан]я суть многоугольники, вписанные въ основаше конуса, или описанные около него, а вершина совпадаетъ съ вершиною конуса. Татя пирамиды наз. вписанными въ конусъ или описанными около него. 46O. Усеченный конусъ. Усеченнымъ ко- кону с о м ъ (черт. 414) наз. часть полнаго конуса, заключенная между основашемъ и сЬкущею плоскостью, параллель- параллельною основан! ю. Параллельные круги, ограничивающее усеченный конусъ, наз. основан1ями его. Усеченный конусъ можно разсматривать, какъ гЬло, происходящее отъ вращетя прямоуголь- прямоугольной трапещи ОААгОг вокругъ стороны ООЪ перпендикулярной къ основашямъ тра- трапещи . Черт. 413. Черт. 414. Поверхность цилиндра и конуса. 461. Опред'ЬлеЕ^я. Воковыя поверхности цилиндра и конуса принадлежатъ къ поверхностямъ к р и в ы м ъ, т.-е. къ такимъ, которыхъ никакая часть не можетъ совместиться съ плоскостью. Поэтому мы должны особо определить, что надо разуметь подъ величиною боковой поверхности • цилиндра или конуса, когда сравниваютъ эти поверхности съ плоскою единицею площади. Мы будемъ держаться слйдующихъ опре- определений,
— 353 1°. За величину боковой поверхности цилиндра принимаютъ пред-Ьлъ, къ которому стремится боковая поверхность вписанной въ этотъ цилиндръ призмы, когда ея боковыя грани неограни- неограниченно уменьшаются (и, сл'Ьд., число граней неограниченно увеличива ется). 2°. За величину боковой поверхности конуса (полпаго или усЬ- ченнаго) принимается пред-Ьлъ, къ которому стремится боковая поверхность вписанной въ этотъ конусъ пирамиды (полной или усеченной), когда ея боковыя грани неограниченно уменьшаются (и, сл'Ьд., число граней неограниченно увеличивается)*). 462. Теорема. Боковая поверхность цилиндра равна про- изведешю окружности основашя на высоту. Впишемъ въ пилиндръ (черт. 416) какую-нибудь призму. « Обозначимъ буквами ри Я чпсла, рыражаюпця въ соотвйт- ствующихъ единицахъ периметръ оспо- вашя и высоту этой призмы. Тогда боко- боковая поверхность ея выразится произведе- шемъ <рН. Предпололшмъ теперь, что боко- боковыя грани вписанной призмы (сл'Ьд., и стороны вппсаннаго многоугольника, слу- жащаго осповашемъ этой призмы) неогра- неограниченно уменьшаются. Тогда периметръ р будетъ стремиться къ пре;Ллу, прини- принимаемому за длину С окружности осно- ващя, а высота II останется безъ измйне- тя; сл'Ьд., боковая поверхность призмы, равная всегда произведенш pff, будетъ стремиться къ пределу СН. Этотъ пред^лъ и принимается за величину боковой поверхности цилиндра. Обозначивъ ее бук- буквой ?,- можемъ написать: 463. Сл"Ьдетв!я. 1°. Если Е озпачаетъ рад1усъ основа- н1я цилиндра, то C=2tzR; поэтому боковая поверхность ци- цилиндра выразится: *) Въ теор1и пред'Ьловъ доказывается, что эти пределы суще- ствуютъ и что они не зависятъ отъ закона, по которому боковыя грани уменьшаются. А. Киселев*. Геометр1я. 23
— 354 — 2°. Чтобы получить полную поверхность цилиндра, до- достаточно приложить къ боковой поверхности сумму площадей двухъ основанШ; поэтому, обозначая пол- S ную поверхность черезъ Т, будемъ им&гь: 464. Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведена окружности основашя на половину образующей. Для простоты доказательства впишемъ въ конусъ (черт. 416) не какую-нибудь пирамиду, а правильную, и обозначимъ буквами р и I числа, выражаюпця въ соотв'Ьтствующихъ единицахъ периметръ основашя и апооему этой пирамиды. Тогда боковая поверх- поверхность ея выразится ироизведешемъ 1/2 pi. Предположимъ теперь, что боковыя грани вписанной пирамиды (сл'Ьд., и стороны вписаннаго многоугольника служащаго основашехъ этой пира- пирамиды) неограниченно уменьшаются. Тогда периметръ р будетъ стремиться къ пределу, принимаемому за длину С окруж- окружности основашя, а апоеема I будетъ им*6ть пред*?яомъ обра- образующую конуса (такъ какъ изъ тр-ка SAK слйдуетъ, что 8А—SK<^AK); значитъ, если образующую конуса обозначимъ буквою L, то боковая поверхность вписанной пирамиды, по- постоянно равная VapJ» будетъ стремиться къ пределу 1j2CL. Этотъ пред'Ьлъ и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначивъ ее буквою 8, можемъ написать: 1 2 1 П 7 2 465. СлгЬдетв1я. 1°. Такъ какъ C=2irB, то боковая по- поверхность конуса выразится: _ 1 2°. Полную поверхность конуса получимъ, если къ боковой поверхности приложимъ площадь основан1я; поэтому:
— 355 466. Теорема. Боковая поверхность ус%ченнаго конуса равна произведена полусуммы окружностей основами на обра- образующую. Для простоты доказательства впи- шемъ въ усеченный конусъ (черт. 417) не какую-нибудь усеченную пирамиду, а правильную, и обозначимъ буквами р, Pi и I числа, выражаюпця периметръ нижняго, периметръ верхняго основа- нШ и апооему этой пирамиды. Тогда боковая поверхность ея выразится про- изведешемъ 1 Черт. 417. При неогранпченномъ уменыпенш боковыхъ граней вписан* ной пирамиды периметры р и рх стремятся къ пред'Ьламъ, при* нимаемымъ за длины С и Сг окрулшостей основашй, а апоеема J, какъ не трудно видеть, им'Ьетъ пред&ломъ образующую L ycfe- ченнаго копуса. Сл^д., боковая поверхность вписанной пира- пирамиды стремится къ пределу, равному 1l2(C-\-C1)L. Этотъ пред^лъ и принимается за величину боковой поверхности усЬченйаго конуса. Обозначивъ ее буквой S, будемъ им^ть: 467. СлгЬдетв1я. 1°. Если В и Вх означаютъ рад1усы окружностей нижняго и верхняго осповашй, то боковая по- поверхность усбченнаго конуса выразится: о 1 8==- B%B+2TzB1)L=n(B+B1)L. 2°. Проведемъ въ трапецш ОО^А^А (черт. 417), отъ вращешя которой получается усеченный конусъ, среднюю линш ВС A17). Тогда получимъ: j (OA+O.A,) Откуда: СлФд.,
366 — т.-е, боковая поверхность ус^ченнаго конуса равна произведена окружности средняго ctneHifl на образующую. 3°, Полная роверхность Т усЬченпаго конуса выразится такъ: 468. Замечание* Въ предыдущихъ теоремахъ боковыя поверхности цилиндра и конуса разсматривались, какъ пре- пределы боковыхъ поверхностей вписанныхъ призмъ или пирамидъ. Если бы, подобно тому, какъ мы это делали при доказательств^ этихъ теоремъ, мы стали находить пределы описанныхъ призмъ или пирампдъ, то нашли бы, что эти пределы тЬ же самые, какъ и для вписанныхъ призмъ или пирамидъ. Bcj^ACTBie этого боковыя поверхности цплиндра и конуса можно разсматривать, какъ о б щ i й пред'Ьлъ боковыхъ поверхностей призмъ или пирамидъ, какъ вписак- такъ и описанныхъ. 469. Развертка цилиндра и конуса, впишемъ въ цилиндръ <черт. 41Ь) какую-нибудь призму и затъмъ вообразимъ, что боковая ея поверхность разр-взана вдоль какого-нибудь бокового ребра. Очевидно, что, врацтя ея грани вокругъ реберъ, мы можемъ развернуть эту поверхность въ одну плоскость, безъ разрыва и безъ складокъ. Тогда получится то, что наз. разверткою боковой поверхности призмы. Она представляетъ собою прямоугольникъ KLMN, соста- составленный изъ столькихъ прямоугольниковъ, сколько въ призм-в боко- боковыхъ граней. Основате его MN равно периметру основашя призмы, а высота KN есть высота призмы. к N Lp М Q Черт. 418. Вообразимъ теперь, что боковыя грани вписанной призмы неогра- неограниченно уменьшаются; тогда ея развертка будетъ все удлиняться, при- приближаясь къ предельному прямоугольнику KPQN, у кото-
— 367 раго основате равно длинЪ окружности основан1я цилиндра, а высота есть высота цилиндра. Этотъ прямоугольникъ наз. разверткою боковой поверхности цилиндра. Подобно этому вообразимъ, что въ конусъ вписана какая-нибудь пирамида (черт. 419). Мы можемъ разрезать ея боковую поверхность S Черт. 419. по одному изъ реберъ, и затъмъ, повертывая грани вокругъ реберъ, получить ея развертку въ видЪ многоугольнаго сектора SKLi соста- влеипаго изъ столькихъ равнобедренныхъ тр-ковъ, сколько въ пира- мид-Ь боковыхъ граней. Прямыя SK, Sa, Sb... равны боковому ребру пирамиды (или образующей конуса), а длина ломаной КаЪ...Ь равна периметру основашя пирамиды. При неограниченномъ уменьшены боковыхъ граней вписанной пирамиды развертка ея увеличивается, приближаясь къ предельному сектору SKM, у котораго ду1а КМ равна окружности основания, а рад1усъ SK—образующей конуса. Этотъ секторъ наз. разверткою боковой поверхности конуса. Подобно этому можно получить развертку боковой поверхности ycfe- ченнаго конуса (черт. 419) въ вид'Ь части кругового кольца KMNP. Легко видтть что боковая ппворхность цилиндра или конуса равна площади соотв-Блствующей развертки. Объемы цилиндра и конуса. 47O Лемма. 1. Объемъ цилиндра есть общш пред-Ьлъ объ- емовъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ призмъ, при неограниченномъ удвоеши числа ихъ боковыхъ граней, Впишемъ въ цилиндръ и опишемъ около него по какой-нибудь правильной одноименной призм^. Обозначимъ объемъ, площадь основашя и высоту соответственно: для цилиндра—F, В, Н, для вписанной призмы—Fb Въ Н и дли описанной Призмы— F2, B2, H. Тогда будемъ им^ть D31): Откуда: 2—F^
— 368 — Дря неограниченность удвоенш числа боковыхъ граней призмъ разность: B2—Bi стремится къ нулю C30), а множитель/Я есть число постоянное; поэтому правая часть посл'Ьдняго равенства, а <?л$д., и его лйвая часть, стремится къ нулю. Объемъ цилиндра, очевидно, больше объема вписанной призмы, но меньше объема описанной; поэтому каждаяизъ разностей V—Vxn F2—V меньше разности F2—У\\ но последняя, по доказанному, стремится къ нулю; сл*Ьд., fc первыя стремятся къ нулю; а это, по опре- определенно предала, означаетъ, что F=n ред. V1=n ред. F2. 471. Лемма. 2. Объемъ конуса полнаго и ус%ченнаго есть общiii пред-Ьлъ объемовъ правильныхъ вписанныхъ и описан- ныхъ пирамидъ при неограниченном^ удвоенш числа ихъ боко- боковыхъ граней. 1°. Впишемъ въ конусъ и опишемъ около него по какой-ни- какой-нибудь правильцой одноименной пирамид^. Употребляя гЬ же обозначещя, какъ и въ предыдущемъ параграф^, будемъ им-бть D34): Откуда: Vf-V1=TH(Bt-Bi). • О Изъ этого равенства такъ же, какъ и въ предыдущей лемм'б; заключаемъ, что разность F2—Ух стремится къ нулю, когда число боковыхъ граней вписанной и описанной пирамиды не- неограниченно удваивается; а такъ какъ каждая изъ разностей: V^-V и V—17г меньше F2—Flf то эти разности и подавно стре- стремятся къ нулю; а это значить, что ] ^«=пред. Fi—пред. F2. 2 . Вообразимъ, что усеченный конусъ дополненъ до пол- наго конуса (черт. 420), Впишемъ въ этотъ полный конусъ и опишемъ около него по кайой-нибудь правильной одноименной тгарамидф. Части этихъ пирамидъ, заключенныя между пло-
359 — скостями нижняго и верхняго основатй, будутъ усЬченныя пирамиды, одна—вписанная въ усеченный копусъ и другая, описанная около него* Обо- значимъ объемы конуса, пи- пирамиды вписанной и пира- пирамиды описанной соответ- соответственно буквами: для полныхъ . . . . V, для усЬченныхъ . . . v F2; v2. Изъ чертежа непосред- непосредственно усматриваемъ, что разности объемовъ: v2—v и v—v1 Черт. 420. составляютъ некоторый части разностей объемовъ: V2-V и V—Vti поэтому первыя разности меньше вторыхъ. Но при неогра- ниченномъ удвоенш числа боковыхъ граней пирамидъ каждая изъ разностей: F2—V и V—Yx стремится, какъ мы видели, къ нулю; сл'Ьд., каждая изъ меньшихъ разностей v2—v и v—vx стремится при этомъ и подавно къ нулю. Изъ этого сл^дуетъ, что пред. г;1=пред. v2—v. Въ доказанныхъ двухъ леммахъ вписанныя и описанныя призмы и пирамиды предполагаются п р а в и ль** н ы м и только ради простоты доказательства; содержате этихъ леммъ остается въ полной силй и тогда^ когда призмы и пира- пирамиды будутъ неправильные, лишь бы боковыя грани ихъ не- неограниченно уменьшались. 472. Теоремы. 1°. Объемъ цилиндра равенъ произведена площади основашя на высоту. 2°. Объемъ конуса равенъ произведена площади основания на треть высоты.
— 360 — Впишемъ въ цилиндръ какую-нибудь правильную призму, а въ конусъ какую-нибудь правильную пирамиду; тогда, упо- употребляя прежшя обозпачешя, будемъ имйть: для призмы .... V1=B1II\ 1 для пирамиды.. F1=~-B1H. о Эти равенства остаются верными, сколько бы мы ни удваи- удваивали числа боковыхъ граней призмы и пирамиды; поэтому они останутся вирными и тогда, когда на м^сто перемЗлйаыхъ под- ставимъ ихъ пределы B83); сл'Ьд.: для цилиндра .... V=BH\ 1 для конуса V=-~BH. о 473. CjrfeflCTBie. Если рад!усъ основашя цилиндра или конуса обозначимъ черезъ й, то В=т:2?2; поэтому: 1 Об. цил. 7=т:Е2Я; об. кон. 7= — тгй2Я, о 474. Теорема. Объемъ усЪченнаго конуса равенъ cyMMt объемовъ трехъ конусовъ, им'Ьющихъ одинаковую высоту съ ус%ченнымъ конусомъ, а основан1ями: одинъ—нижнее основан1е этого конуса, другой—верхнее, третш—среднее пропорцшнальное между ними. По доказанному раньше, объемъ усЬченнаго конуса есть обйцй пред'Ьлъ объемовъ правильныхъ вписанныхъ и описан- ныхъ усЬченныхъ пирамидъ. Но объемъ Fx правильной впи- вписанной усеченной пирамиды, которой высота есть Я, а пло- площади основашй Вг и bj, выражается равенствомъ D37): V Ёъ пред^лф, при неограниченномъ удвоенш числа боковыхъ граней ^писанной пирамиды, это равенство даетъ: \ О гд'Ь V есть объемъ, В и Ъ площади основанай и Я высота ycfe- ченнаго конуса.
— 361 — 475. CJl^ACTBie. Если R и г означаютъ рад!усы нижняго и верхняго оикванЩ усЬченпаго конуса, то B=t:R2, Ъ=ъг2 и поэтому: 1 Об. ус. конуса V=~-rJI(R2+r2+Rr). о 476. Замучан!©. Объемъ усЬченнаго конуса можно наиш и независимо отъ свойствъ пред'в- ловъ сл'Ьдуюцшмъ образомъ. На верхнемъ осно- ваши усЬченнаго конуса (черт. 421) пом'Ьстимъ такой малы л конусъ (съ высотою Л), чтобы усечен- усеченный конусъ превратился въ полный. Тогда объ- объемъ V усЬченнаго конуса можно разсматривать, какъ разность объемовъ полнаго конуса и до- пол нитрльнаго. Поэтому: )- ~иг2/1=-^ Изъ подоб1я тр-ковъ находимъ: R H -J- h R—г Я 7 = —^~; откуда: __ = ^; сл^Дм Черт.421. гП и—г' R*H+(R + r)rE = Подобные цилиндры и конусы. 477. Определен!©. Два цилиндра или конуса наз. п о д о б - Черт, 422. I Черт. 423. ними, если они произошли отъ врахиетя подобныхъ прямо- угольниковъ или треугольниковъ вокругъ сходственны хъ /сторонъ.
— 362 — Обозначимъ (черт. 422 и 423) черезъ h и hx высоты двухъ подобныхъ цилиндровъ или конусовъ, черезъ'г и тг рад1усы ихъ оснбванШ и черезъ I и lt образуюцпя; тогда, согласно опредЪлешю, будемъ имЪть: Откуда по свойству равныхъ отношенШ выводимъ: Ч Ч-rk Н m 478. Теорема. Боковыя и полныя поверхности подобныхъ цилиндровъ или конусовъ относятся, какъ квадраты раддустшъ или высотъ, а объемы—какъ кубы рад1усовъ или высотъ. Обозначимъ черезъ S, Т и V соответственно боковую поверхность, полную поверхность и объемъ одного цилиндра или конуса, а черезъ 8г\ Тг и Vx т^ же величины для другого цилиндра или конуса, по- добнаго первому. Тогда будемъ им^ть. Для цилиндровъ. 8 _ 2т. h __ rh j r A_il-i!- Т_ 2т. ( -4-/,) __ г У+А __ 72 _ ^ . Для конусовъ* Т ТГ ("+/) Г Г+1 '1 ГЛАВА Н-. Ш а р ъ. ОЬчеше шара плоскостью. 479. OnpeA^neHie. ТЬло, происходящее отъ вращешя полукруга вокругъ д1аметра, ограничивающаго его, наз. шаромъ, а поверхность, образуемая при этомъ полуокруж- полуокружностью, наз. шаровою или сферическою по-
— 363 — верх нос тью. Эта поверхность есть геометрическое м'Ьсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ одной и той же точки, назы- называемой центромъ шара. Прямая, соединяющая центръ съ какою-нибудь точкою по- поверхности, наз. рад1усомъ, а прямая, соединяющая двй точки поверхности и проходящая черезъ центръ, наз. д i a - м е т р о м ъ шара. ВсЬ рад1усы одного шара равны между собою, а д1аметръ равенъ двумъ рад1усамъ. Два шара одинаковаго рад1уса равны, потому что при вло- женш они совмещаются. 480. Теорема. Всякое ctneHie шара плоскостью есть кругъ. 1°. Предположимъ сначала, что (черт. 424) сЬкупая пло- плоскость ЛВ проходитъ черезъ центръ О шара. ВсЬ точки лиши пересЬчешя, при- надлежа шаровой поверхности, одинаково удалены отъ точки О, лежащей въ сЬкущей плоскости; сл'Ьд., сЬчеше есть кругъ. 2°, Положимъ теперь, что сЬкущая пло- скоть CD не проходптъ черезъ центръ. Опустимъ на нее изъ центра перпенди- Черт. 424. куляръ ОЕ и возьмемъ на лиши пересЬчетя какую-нибудь точку М. Соединивъ ее съ О и К, получимъ прямоугольнкй тр-къ МОК, изъ котораго находимъ; MK=V0M2—0K\ [1]. Так^ какъ длины ОМ и ОК не изменяются при изм^ненш положен1я точ1Ш Ж на лиши пересЬчешя, то разстояше МК есть величина постоянная; значить, лишя перес4чен1я есть окруж- окружность, которой центръ есть точка К. 481. Сл'Ьдств1е. Пусть й, г и d означаютъ: радаусъ шара, рад1усъ круга сЬчен1я и разстоян1е сЬкущей плоскости отъ центра; тогда равенство [1] приметъ вйдъ: Изъ этой формулы выводимъ: 1°. Наибольш1й рад1усъ сбчешя получается при d—0, т.-е. когда секущая плоскость проходитъ черезъ центръ шара.
— 364 — Въ этомъ случай г=В. Кругъ, получаемый въ этомъ случай, наз. большимъ кругом ъ. 2°. Наименышй рад1усъ сЬчешя получается при d=B. Въ этомъ случай г=0, т.-е. кругъ сбчешя обращается въ точку. 3°. ОЬчешя, равпоотстояпця отъ центра шара, равны. 4°, Изъ двухъ сЬчешй, не одинаково удаленныхъ отъ центра шара, то больше, которое ближе къ центру. Свойства большихъ к])уговъ. 482. Теорема. Всякш большой кругъ д-Ьлитъ шаръ и его поверхность пополамъ. Вообразимъ, что мы разрезали шаръ (черт. 425) по какому-нибудь большому кругу и, перевернувъ верхнюю часть шара, вложпли ее въ нижнюю такъ, чтобы у нихъ совпали круглыя основашя. Тогда всЬ точки одной части шаровой поверхности совместятся съ точками другой части, потому что гЬ и друпя одинаково удалены отъ общаго центра. Изъ этого сл^дуетъ, что большой кругъ дй- Черт 425. литъ шаръ и его поверхность поноламъ. 483. Теорема. Черезъ всятя двЪ точки шаровой поверх- поверхности, не лежанья на концахъ одного д1аметра, можно провести только одну окружность большого круга. Пусть на шаровой поверхности (черт. 426), имеющей центръ О, взяты кашя-нибудь дв'Ь точки, напр., С и ДГ, не лежанця на одной прямой съ точкой О, Тогда черезъ точки С, О ж N можно провести пло- плоскость. Эта плоскость, проходя черезъ центръ О, дастъ въ пересЬченш съ шаро- шаровою поверхностью окружность боль- большого круга. Другой окружности большого круга черезъ гЬ же дв'Ь точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга D Черт, 426.
— 365 — должна, по опредйлетю, лежать въ плоскости, проходящей черезъ центръ О шара; сл'Ьд., если бы черезъ С и N можно было провести еще другую окружность большого круга, то тогда выходило бы, что черезъ 3 точки С, N в О, не лежания на одной прямой, можно провести 2 различныя плоскости, что невоз- невозможно. ЗамЪчаше. Всятя двЪ точки шаровой поверхности могутъ быть соединены двумя дугами большого круга, составляю- составляющими въ суммЪ окружность большого круга (такъ, точки С и N, черт. 426, соединяются дугою CN и дугою CMDN, и сумма этихъ дугъ составляетъ окружность большого круга). Если взятыя дв'Ь точки не лежатъ на концахъ одного д1а- метра, то одна изъ этихъ дугъ меньше полуокружности, а дру- другая больше." 484. Теорема. Окружности двухъ большихъ круговъ пере- пересекаются пополамъ. Действительно, центръ О (черт. 426), находясь на плоско- стяхъ обоихъ большихъ круговъ, долженъ лежать на пря- прямой MN, по которой эти круги пересекаются; значитъ, пря- прямая MN есть Д1аметръ того и другого круга, а д1аметръ делить окружность ноноламъ. 485. Теорема. Кратчайшее разстояше на шаровой поверхности между двумя ея точками есть дуга большого круга (меньшая полуокружности), прове- • денная между ними. Пусть т (черт. 427) есть дуга боль- большого круга, проведенная на шаровой по- поверхности между двумя ея точками А и В, as какая-нибудь лишя, проведенная на шаровой поверхности между гЬми же точками. Докажемъ, что s дтинн-Ье т. Возьмемъ на кривой s произ- произвольную точку d и соединимъ ее съ А и В дугами большого круга. Проведя ра- д1усы О A, Od и О В, примемъ ихъ за Черт. 427. ребра треграннаго угла. Въ этомъ угл'Ь, какъ во всякомъ трегранномъ C97), сум- сумма плоскихъ угловъ AOd и dOB больше третьяго плоскаго угла АО В, Но эти углы измеряются дугами dB и А В, проведенными изъ вершины угловъ однимъ и тЬмъ же ра- д1усомъ; сл^д., сумма дугъ Ad и dB больше дуги АВ. Возьмемъ теперь на кривой s промежуточный точки е и / и проведемъ дуги большого
— 366 — круга черезъ каждыя дв'Ь сосЬдшя точки: А, е, dr f и В (Дуги эти на чертеж'Ь не' указаны). Такъ же, какъ и прежде, убедимся, что Ae + ed>Ad и df-\-fB>dB; значитъ, сумма Ae-\-ed-\-df-\-jB больше Ad-{-dBy а потому подавно больше дуги т. Вообразимъ теперь, что число промежуточныхъ точекъ, взятыхъ на кривой s, неограниченно увеличивается, и между каждыми двумя сосвдними точками постоянно проводятся дуги большихъ круговъ; тогда лишя, составленная изъ этихъ дугъ, все увеличивается, и постоянно остается больше дуги т; значитъ, и пред'влъ*), къ которому она стремится, долженъ быть больше т; а этотъ пред'влъ принимается за длину дуги s. Плоскость, касательная къ шару, 486. Опред'Ьлен1е. Плоскость, имеющая съ шаровою поверхностью только одну общую точку, наз. касатель- касательно ю плоскостью. Возможность существовашя такой плоскости доказывается следующей теоремой. Теорема. Плоскость (Р, черт. 428), перпендикулярная къ pafliycy @,4) въ конц% его, лежащемъ на поверхности шара, есть касательная. Возьмемъ на плоскости Р произвольную точку В и соеди- нимъ ее съ центромъ О. Такъ какъ ОБ наклонная, а О А пер- пендикуляръ къ Р, то ОВЕ>ОА. Поэтому точка В не можетъ лежать на шаровой поверхности; сл'Ьд., у плоскости Р есть только одна общая точка А съ шаро- шаровою поверхностью; значитъ, эта плоскость касательная. 487. Обратная теорема. Касательная плоскость (Р, черт. 428) перпендикулярна къ pafliycy (ОА), проведенному въ точку касашя. *) Мы принимаемъ безъ доказательства, что пред'Ьлъ кривой AedfB, •оставленной изъ дугъ большихъ круговъ, суцлествуетъ, и что онъ не вависитъ отъ закона, по которому увеличивается число точекъ на кривой $. Черт. 428.
~ 36? — Такъ какъ, по опред^ленш, точка А есть единственная общая у плоскости съ шаровою поверхностью, то всякая другая точка плоскости лежитъ внй шаровой поверхности и, сл'Ьд., дальше отстоитъ отъ центра, чЪмъ А\ такимъ образомъ, прямая О А есть кратчайшее разстояше точки О отъ плоскости Р, т.-е. ОА есть перпендикуляръ къ Р. Поверхность шара и его частей. 488. OnpeA'feJieHiH. 1°. Часть шаровой поверхности (черт. 429), отсекаемая отъ нея какою-нибудь плоскостью (ААг), наз. сегментного поверхностью. Окружность ААг есть основан1е, а отрЪзокъ КМ ра- д!уса, перпендикулярнаго къ плоскости сЬчешя, есть высота сегментной поверхности. Часть шаровой поверхности/ за- заключенная между двумя параллель- параллельными сЬкущими плоскостями (ААг и ВВи черт. 429), наз. шаровымъ ПОЙСОМЪ ИЛИ ЗОНОЮ. Окружности сЬчешй ААХ и ВВг наз. о с н о в а н i я ми, а разстояте KL между параллельными плоскостями— высотою пояса. Шаровой поясъ и сегментную по- ч 429 верхность можно разсматривать, какъ поверхности вращен1я: въто время, какъ полу- полуокружность MABN, вращаясь вокругъ д1аметра MN, описы- ваетъ шаровую поверхность, часть ея АВ опишетъ поясъ, а часть МА—сегментную поверхность. Для нахождешя величины шаровой поверхности и ея частей мы должны предварительно доказать следующую вспомога- вспомогательную истину. 489. Лемма. Боковая поверхность каждаго изъ трехъ т%лъ: конуса, усЪченнаго конуса и цилиндра равна произведению
368 — высоты гЬла на длину окружности, у которой рад1усъ есть лерпендикуляръ, возставленный къ образующей изъ ея середины до пере^четя съ осью. 1°. Пусть конусъ образуется (черт. 430) вращешемъ тр-ка ABC вокругъ катета АС. Если D есть сере- середина образующей АВ, то D64): Бок. нов. конуса=2t:BC.AD [1] Проведя DEA.AB, получимъ два по- добныхъ тр-ка ABC и ADE (они прямо- прямоугольные и имЪютъ общШ уголъ А); изъ ихъ подоб1я выводимы откуда: BC:ED=AC:AD; BC.AD=ED.AC. Черт. 43Э. Поэт9му равенство [1] можно написать такъ:! Боков, нов. ковус&=2-ED\AC. Что и требовалось доказать, 2°. Пусть усеченный конубъ (черт. 431) производится вра- щешемъ трапецш ABCD вокругъ сто- стороны AD. Провеля среднюю лшшо EF, будемъ пы^ть D67, 2°): Боков, пов. ус. Konyca=27rEjP.BC [2] Проведемъ EGJLBC и BU II AD\ тогда получимъ два подобндаъ тр-ка EFG и ВСЕ (стороны одного перпендику- перпендикулярны къ сторонамъ другого); из* ихъ подоб1Я выводимъ: EF : BH=EG : ВС. Черт. 431 Откуда: EF . ВС . EG=AD . EG. Поэтому равенство [2] можно написать такъ: Бок. пов. усЬч. K0nyca=?7r?G . AD. Что и треб, доказать. 3°. Теорема остается верной и въ прим^неши къ цилиндру, такъ какъ окружность, о которой говорится въ теорем*, равна окружности основашя цилиндра.
— 369 — 49O. Опред'Ьлеьпе. За величину поверхности шарового пояса, образуемаго вращешемъ (черт. 432) какой-нибудь части (BE) полуокружности (ACF) вокругъ д1аметра (AF), принимаютъ пред'Ьлъ, къ которому стремится поверх- поверхность, образуемая вращешемъ вокругъ того же д1аметра вписанной ломаной л и - н i и (BCDE), когда ея стороны неограни- неограниченно уменьшаются *). Это опред'Ьлеше распространяется и на сегментную поверхность, и на шаровую по- поверхность; въ посл'Ьднемъ случай ломаная литя вписывается въ ц'Ьлую полуокружность. А О F 491. Теоремы. 1°. Сегментная поверхность равна произ- произведен iio ея высоты на окружность большого круга. 2°. Поверхность шарового пояса равна произведена его вы- высоты на окружность большого круга. 1°. Для большей простоты разсуждетя мы впишемъ въ дугу AF (черт. 433), производящую при вращенш сегментную поверхность, не какую-нибудь ломапую лшию, а правильную ACDEF съ произвольнымъ числомъ сторонъ. д Поверхность, получающаяся отъ вращетя этой ломаной, состоитъ изъ частей, образуе- мыхъ сторонами AC, CD, БЕ.... Эти части представляютъ собою боковыя поверхпости или полнаго конуса (сть вращетя АС), или усЬ- ченнаго конуса (отъ вращетя CD, FE...), или цилиндра (отъ вращетя DE, если DE \\ АВ). Поэтому мы можемъ применить къ нимъ лемму § 489-го. При этомъ замйтимъ, что перпенди- перпендикуляры,- возставленные изъ серединъ образую- *) Въ теорш предЪловъ доказывается, что этотъ пред'Ьлъ суще- ствуетъ и что онъ не зависитъ отъ закона, по которому стороны ло- ломаной неограниченно уменьшаются.
— 370 — щихъ до пересбчешя съ осью, равны аповемй ломаной лиши Обозначивъ эту апоеему черезъ а, получимъ: поверхн. AC=AcStzu\ поверхн. CD=cd.^Tza; поверхн. Сложивъ эти равенства почленно, найдемъ: поверхн. ACDEF=Af.2iza. При неограниченномъ удвоенш числа сторонъ вписанной ло- ломаной апоеема а стремится къ пределу, равному рад1усу шара В, а прямая Af остается безъ изм'Ьнешя; сл'Ьд.: пред'Ьлъ поверхности ACDEF=Af.2izR. Но пред'Ьлъ поверхности ACDEF принимаютъ за величину сегментной поверхности, а прямая Af есть высота Я поверх- поверхности; поэтому: сегментная поверхность =H.2'kR=2t:RH. 2°. Предположимъ, что правильная ломаная литя, о которой мы сейчасъ говорили, вписана не въ дугу AF, образующую при вращенш сегментную поверхность, а въ какую-нибудь дугу CF, образующую шаровой поясъ. Это измйнеше, какъ легко видеть, нисколько не повл1яетъ на ходъ разсужденш, изложенныхъ въ части 1° этого доказательства, поэтому и выводъ останется тотъ же, т.-е. что поверхность шарового пояса =H.2'kR=27cRH, гд'Ь буквою Н обозначена высота с/ шаро- шарового пояса. 492. Зам^чаШе. Пусть около дуги AF (черт. 434) описана правильная лома- ломаная литя А^^Е^?^ стороны которой параллельны сторонамъ правильной впи- вписанной ломаной лпнш ACDEF. Поверх- Поверхность, получаемая вращетемъ вокругъ д1аметра АВ этой описанцрй ломаной, также состоитъ изъ частей, къ которымъ мы можемъ применить лемму § 489. Тогда, зам'Ьтивъ, что перпендикуляры, возставленные изъ серединъ образующихъ F Черт. 434-
— 371 —¦ до пересЪчешя съ осью, будутъ теперь вс*Ь равны рад1усу- R круга, мы получимъ: поверхность A1C1D1E1F1~A1f1 . 2%R. При неограниченномъ удвоенш числа сторонъ вписанной я описанной ломаныхъ линш отр'Ьзокъ д1аметра A1f1 стремится, какъ не трудно видеть, *) къ пределу Af, т.-е. къ высотЪ Н сегментной поверхности; поэтому: пред. поверхн. A1C1D1E1F1=H . 2тсй=пред. поверхн. ACDEF. Такимъ образомъ, сегментную поверхность мо&кно разсматри- вать, какъ о б щ i й пред'Ьлъ поверхностей, образуемыхъ вращен1емъ правильныхъ ломаныхъ лин1й, какъ вписан- вписанных ъ, такъ и о п и с а н н ы х ъ. То же самое можно повторить о поверхности шарового пояса. 493. Теорема. Поверхность шара равна произведен^ окружности большого круга на д'шметръ; или поверхность шара равна учетверенной площади боль- большого круга. Поверхность шара, производимую вращетемъ полуокруж- полуокружности ADB (черт. 433), можно разсматривать, какъ сумму по- поверхностей, образуемыхъ вращетемъ дугъ AD и DB. Поэтому, согласно предыдущей теорем*, можемъ написать: нов. ma,])&==2'KRAd+2'KR.dB==2'KR(Ad+dB)== *) Для этого достаточно показать, что отрезки ААХ и F^ (а слгЬд., и отр'Ьзокъ //х< FFJ стремятся къ О. Изъ чертежа усматриваемъ B19): А Ах _ F—а FFx_R—ga и и ьА а и oF~ а Отсюда (принимая во внимание, что OA=0F—R) находимъ: а Такъ какъ разность R—а стремится къ О, величина R постоянна, а апоеема а увеличивается, то изъ последней формулы видно, что отрезки ААг и FF-y стремятся къ О,
494. Сл*детв1е. Поверхности шаровъ относятся, какъ квадраты рад1усовъ или д1аметровъ, потому что, обозначая черезъ R и Rx рад!усы, а черезъ S и Sx поверхности двухъ ша- шаровъ, будемъ имЪть: 8 : S1= D, Объемъ шара и его частей. 495. Опред*лен1я. ТЬло, получаемое отъ вращешя (черт. 435) кругового сектора (COD) вокругъ д1аметра (АВ), не пересЬ- кающаго его площади, наз. ш а- р о вы мъ сектором ъ; это гЬло ограничено боковыми поверхностями двухъ конусовъ и поверхностью ша- шарового пояса; последняя поверхность наз. основан1емъ шарового сектора. Въ частномъ случай одинъ изъ рад1усовъ кругового сектора мо- жетъ совпадать съ осью вращешя; напр., секторъ АОС, вращаясь во- вокругъ АО, производитъ шаровой сек- секторъ ОСАСЪ ограниченный боковою поверхностью конуса и сегментною поверхностью. Для нахождешя объема шарового сектора и ц^лаго шара мы должны предварительно доказать схфдующую лемму. 496. Лемма. Если тр-къ ABC (черт. 436) вращается вокругъ оси ху, которая лежитъ въ плоскости тр-ка и проходитъ черезъ его вер- вершину Л, но не пересЬкаетъ его площади, то объемъ гЬла, получаемаго при этомъ вра- щенш, равенъ произведена поверхности, образуемой противоположною стороною ВС, на одну треть высоты fr, опущенной на эту сторону. При доказательств^ разсмотршъ три случая. 1°. Ось совпадаетъ со сторо- Черт. 436.
- 373 — ною АВ (черт. 437). Въ этомъ случай искомый объемъ равенъ суммФ объемовъ двухъ конусовъ, получаемыхъ ~ вращешемъ прямоугольныхъ тр-ковъ BCD и DC А. Первый объемъ равенъ 1j$:CD2'. ДВ, а второй—1/bTz3D2 . DA; поэтому: об ABC =-kCD* (DB+DA) = -tzCD.CD.BA. 3 3 Произведен1е CD . ВА равно ВС . 7i, такъ какъ ьаждое изъ этихъ произведешй выражаетъ двой- двойную площадь тр-ка АВС\ поэтому: об. ABC =-rXD.BC.b. о 437. Но произведете izCD . ВС равно боковой поверхности ко- конуса BDC; значитъ: об. АВС=(пов. BC).-h. 3 2°. Ось не совпадаетъ съ АВ и л е л ь н а ВС (черт. 438). Въ этомъ случай искомый объемъ равенъ разности объемовъ, про- изводимыхъ вращешемъ тр-ковъ АМС и АМВ. По доказанному въ первомъ случай, объемъ АМС=1/гк (пов. If С), а объемъ АМВ= т (пов. МБ); с ли д.: .об. ABC=-h (пов. МС—пов. MB) О не парад =—h (пов. ВС). 3 Черт. 438. 3°. Ось параллельна сторон^ ВС (черт. 439). Т( гда искомый объемъ равенъ объему DEBC безъ суммы объе- объемовъ АЕВ и ACD\ первый изъ нихъ равенъ %DC2. ED, вто- второй—11гъЕВ2. ЕА и третШ—1/^DC2. AD. Принявъ теперь во внимате, что EB=DC, получимъ: объемъ ABC=vDC2[ED— ~(EA+AD)]= о 3 - 3
374 Произведете 2%DC . ED выражаетъ боковую поверхность ци- цилиндра, проьзводимаго стороною ВС; поэтому: Об. Зам'Ьчаше. На нашихъ чертежахъ мы брали тр-къ остроугольный. Доказа- Доказательство несколько изменится (въ слу- чаяхъ 1° и 3°), если тр-къ будетъ тупо- тупоугольный (при вершин^ А или В въ слу- случай 1° и при вершин^ В или С въ слу- случай 3°).Разница въ доказательств^ будетъ Черт. 439. та, что вместо суммы объемовъ придется брать иногда ихъ разность. Предлагаемъ учащимся самимъ разобрать эти случаи. 497. Теорема. Объемъ шарового сектора равенъ произ- произведена поверхности его основашя на треть радиуса. Пусть шаровой секторъ производится вращешемъ вокругъ д1аметра EF (черт. 440) сектора A0D. Доказательство распо- лояшмъ въ следующей последовательности: 1°. Впишемъ въ дугу AD правильную ломаную линш ABCD съ произвольнымъ числомъ сторонъ и за- гбмъ, продолживъ конечные рад1усы О А и OD, опишемъ около дуги AD правиль- правильную ломаную AiBxCxDx, стороны которой параллельны сторонамъ вписанной лома- ломаной. Многоугольные секторы OABCD и (LliBiCiDi произведутъ при вращенш нФ- которыя гЬла, объемы которыхъ обозна- чимъ: перваго черезъ F1? а второго че- резъ F2. Докажемъ прежде всего, что при неограниченномъ удвоенш числа сторонъ об'Ьихъ ломаныхъ лвшй разность V2—Vx стремится къ О. Объемъ Fx есть сумма объемовъ, полу- чаемыхъ врапгешемъ тр-ковъ ОАВ, ОВС, OCD вокругъ оси EF\ объемъ V2 есть «сумма, объемовъ, получаемыхъ вращешемъ вокругъ той же аси тр-ковъ О А гВъ ОВХСЪ ОСгОг. Прим'Ьнимъ с, Черт.
— 375 — къ этимъ объемамъ лемму предыдущего §, при чемъ замЪтимъ, что высоты первыхъ тр-ковъ равны аповемФ а вписанной лома- ломаной, а высоты вторыхъ тр-ковъ равны рад1усу R шара. Согласно этой леммФ будемъ им^ть: -+пов. (ВС)- +пов. (CD)-=. 3 3 3 =(пов. ABCD)-- 3 7? 7? 7? 2 (А1В1)-+пов. (ВгС^— +пов. (CiDi)- = 3 3 3 =(пов. -AiBAJDi)-. 3 Вообразимъ теперь, что число сторопъ об'Ьихъ ломаныхъ лиши неограниченно удваивается. При этомъ условш поверх- поверхности ABCD и A1B1C1D1 стремятся къ общему пределу, именно къ поверхности шарового пояса AD D92), а апооема а им'Ьетъ пред'Ьломъ рад1усъ Е; сл'Ьд., объемы Fx и F2 стремятся при этомъ къ общему пределу, именно къ произведе- 7? тю (пов. AD). — . Но тогда, значитъ, каждый изъ перем'Ьнныхъ 3 объемовъ V1 и F2 приближается къ одной и той же постоянной величин'Ь какъ угодно близко; это возможно только тогда, когда разность между этими переменными стремится къ О. 2°. Обозначимъ буквою V объемъ шарового сектора ОАВ. Очэвидно, что V^>V1 и У<СУ2\ значитъ, каждая изъ разностей F2—F и V—Fx меньше разности F2—Fx. Но эта разность, какъ мы видели, при неограниченномъ удвоенш числа сторонъ ломанныхъ стремится къ О; сл'Ьд., разности F2—V и V—Fx и подавно п^и этсмъ стремятся къ О. Отсюда заключаемъ, что постоянная величина V есть общш пред'Ьлъ перем'Ьнныхъ объе- объемовъ F2 и Vx. Но этотъ обпцй пред^лъ, какъ мы нашли, есть произведете (пов. АВ)~; значитъ: 3 7=(пов. AD) . -. 3
— 376 — 3aMt4aHie. Теорема и ея доказательство не зависать отъ того, будетъ ли одинъ изъ рад1усовъ кругового сектора совпа- совпадать съ осью вращешя или н'Ьтъ. 498. Теорема. Объемъ шара равняется произведен^ его поверхности на треть pafliyca. Разбивъ полукругъ ABCD (черт. 441), производяпцй шаръ, на каше-нибудь кру- круговые секторы АОВ, BOG, COD, мы замй- тимъ, что объемъ шара можно разсматри- вать, какъ сумму объемовъ шаровыхъ секторовъ, производимыхъ вращешемъ этихъ круговыхъ. Такъ какъ, согласно предыдущей теорем^: объемъ АОВ=(иов. обьемъ ВОС=(пов. объемъ COD=(пов. то объемъ шара=(пов. ^4В+пов. ВС +пов. CDy =(пов. ABCDfUB. 489. Сл1здств1е 1-е. Обозначимъ высоту шарового пояса или сегментной поверхности черезъ Я, рад1усъ шара черезъ В, а д1аметръ черезъ D; тогда поверхность пояса или сегментной поверхности выразится, какъ мы видели D91), формулой 2тийЯ, а поверхность шара D93) формулой 4тсй2; поэтому: об. шарового сектора =2т:йЯ . 1/з^=== Отсюда видно, что объемы шаровъ относятся, какъ кубы ихъ рад1усовъ или д1аметровъ. Сл<Ъдств1е 2-е. Поверхность и объемъ шара составляютъ 2/3 соотв%тственно поверхности и объема цилиндра, описаннаго около шара. Действительно, у цилиндра, описаннаго около шара, рад!усъ осыовашя равенъ рад1усу шара, а высота равна д!аметру шара; поэтому для такого цилиндра: полная поверхность=27иЕ . 2й+27сЕ2=6т:Е2; объемъ =тсй22Е=2тсй3. об.
— 377 — в Черт. 442. слоя, а разстояше тп Отсюда видно, что 2/3 полной поверхности этого цилиндра равны 4тсЕ2, т.-е. равны поверхнотси шара, а 2/з объема ци- цилиндра состав л яютъ 4/зтсй3, т.-е. объемъ шара *). 6ОО. Опред'Ьлете. Часть шара (АССЪ черт. 442), отсекаемая отъ него какою-нибудь пло- плоскостью (ССг), наз. шаровым ъ сегментом ъ. Кругъ сЬчешя наз. основан1емъ сегмента,аотр^зокъ Лтрад1уса, перпенидкулярнаго къ осно- ватю,—в ы с о т о ю сегмента. Часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими пло- плоскостями (ССг и DDi), наз. шаро- вымъ слоемъ. Круги паралелль- ныхъ сЬчешй наз. основан1ями между ними—его высотою. Оба эти т'Ьла можно разсматривать, какъ происходящая отъ вращешя вокругъ д1аметра АВ части круга АтС, или части CrnnD. 5O1. Теорема. Объемъ шарового сегмента равенъ объему цилиндра, у котораго рад'|усъ основашя есть высота сегмента, а высота равна рад'|усу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, т.-е. 7=тиН2(Е—78Н), гд^Ь Я есть высота сегмента, a R рад1усъ шара. Объемъ шарового сегмента, получаемаго вращешемъ вокругъ д1аметра AD (черт. 443) части круга АС В, найдется, если изъ объема шарового сектора, получаемаго вра- щешемъ кругового сектора АОВ, вычтемъ объемъ конуса, получаемаго вращешемъ *) Это предложение было доказано Архимедомъ (въ III в-Ък-Ь до Р. Хр.). Архимедъ выразилъ желан1е, чтобы чертежъ этой теоремы былъ изображенъ на его гробниц'Ь, что и было исполнено римскимъ военачальникомъ Марцелломъ (Ф. К э д ж о р и—Истор1я эле- ментарной математики).
378 тр-ка СОВ. Первый изъ нихъ равенъ 2j$zR2H, а второй 7з т:СВ2. СО. Такъ какъ СВ есть средняя пропорщональная между АС и CD, то CB2=HBR—Я); поэтому СВ2 . СО= HBR—H) (R—H)=2R2H—RH2—2RH2+H*=2R2H—3HR2+H3; сл-Ьд., об. i—об.ОВВ1=-тий2Я 3 = izH\R—iff). 3 т:СВ2.СО= 502. Теорема. Объемъ шарового слоя равенъ объему шара, имЪющаго д'шметромъ высоту слоя, сложенному съ полусуммою объемовъ двухъ цилиндровъ, у которыхъ высота равна высогЬ слоя, а основашя: у одного нижнее, у другого верхнее основаше слоя, т.-е. Я есть высота слоя, а гг и г2 рад1усы основатй слоя. Д Предварительно найдемъ объемъ, полу- --:s*^b чаемый врац1ен1емъ вокругъ д1аметра AF (черт. 444) кругового сегмента ВС (покры- таго на чертеж^ штрихами). Этотъ объемъ г* есть Разность между объемомъ шарового сек- сектора ОВС и объемомъ т'Ьла, получаемаго вра- щен1емътр-ка ОВС. Первый равенъ 2jz 1 1 а второй=(пов. ВС)-т7 0Е=0ЕН О О Черт. 444. ~ 2 = 7гкОЕ2Н. Сл-Ьд., объемъ отъ вращешя сег- о мента выразится такъ: =-g7c#. ^BC\=-qTzBC* . Я. ЧюЗы получить объемъ слоя, достаточно къ найденному объему приложить объемъ усЪченнаго конуса ВВ^хС; поэтому объемъ слоя выразится такъ: i ^а2 + ВЬ2-{-Са . ВЪ)Е =^тг 2ВЪ2+2Са . ВЪ). Проведя BDJ^Ca, будемъ им-вть: BC2 = BD2 + CD2 = H2+(Ca— ВЪJ = Н2 + Са2 + ВЪ2—2Са . ВЪ Подставивъ это выражете въ предыдущую формулу, найдемъ: об. |ЯС2В62^Я3 +
— 379 — или, обозначая Са черезъ г1? а ВЪ черезъ г2: об. сегм.=-?7гЯ3 +77 Положивъ въ этой формулЪ г2=0, получимъ другое выраженie для объема шарового сегмента: об. сегм.=-т:т:й34-ог 2Я, т.-е. объемъ шарового сегмента равенъ объему шара, им'Ьющаго д*1аметромъ высоту сегмента, сложенному съ половиною объема цилиндра, у котораго рад'|усъ основашя есть рад'|усъ основан'ш сегмента и высота равна высогЬ сегмента. ЗАДАЧИ. 353. Объемъ цилиндра, у котораго высота вдвое болЪе д1аметра, равенъ 1 куб. метру. Вычислить его высоту. 354. Д1аметръ основатя цилиндра = 16 сант., а полная поверхность его содержитъ 1546 квадр. сант. Вычислить высоту этого цилиндра. 355. Найти в'Ьсъ железной цилиндрической трубки, которой вну- треншй д1аметръ =17 сант., вн^штй д1аметръ = 18 сант., а длина = =74 сант.; удельный вЪзъ железа 7,7. 356. Въ сосудъ, им^юций форму конуса, обращеннаго вершиною внизъ, вливаютъ 345 граммовъ ртути. Зная, что уголъ при вершинЪ конуса равенъ 60°, а уд. вЪсъ ртути 13,596, вычислить высоту, до ко- которой налита въ сосудЪ ртуть. 357. Вычислить боковую поверхность и объемъ усЬченнаго конуса, у котораго рад1усы основанШ суть 27 и 18 сант., а образующая 21 сант. 358. На какомъ разстоянш отъ центра шара, котораго рад1усъ равенъЧ2,425 метра, слЪдуетъ провести сЪкущую плоскость, чтобы отношете поверхности меньшаго сегмента къ боковой поверхности конуса, им'Ьющаго общее съ сегментомъ основаше, а вершину въ центр-Ъ шара, равнялось 7 : 4. 359. Найти объемъ гЪла, происходящаго отъ вращешя правиль- наго 6-угольника со стороною а вокругъ одной изъ своихъ сторонъ. 360. Вычислить рад1усъ шара, описаннаго около куба, котораго ребро равно 1 метру. 361. Жел-Ьзный пустой шаръ, котораго внгЬшн1й рад1усъ равенъ 0, 154 метра, плаваетъ въ водЪ, погружаясь въ нее на половину. Вы- Вычислить толщину оболочки этого шара, зная, что. уд. в'Ъсъ железа равенъ 7,7. 362. Вычислить объемъ т-Ъла, происходящаго отъ вращешя правиль- наго треугольника со стороной а вокругъ оси, проходящей черезъ его вершину и параллельной противоположной сторон'Ъ. 363. Данъ равностороннш Д ABC со стороною а; на ВС строятъ квадратъ BCDE, располагая его въ противоположную сторону отъ
— 380 — треугольника. Вычислить объемъ тЪла, происходящая отъ вращешя б-угольника ABEDC вокругъ стороны АВ. 364. Данъ квадратъ ABCD со стороною а. Черезъ вершину А про- проводятъ прямую AR, перпендикулярную къ д1агонали АС, и вращаютъ квадратъ вокругъ AR. Вычислить поверхность, образуемую кон- туромъ квадрата, и объемъ, образуемый площадью квадрата. 265. Данъ правильный 6-угольникъ ABCDEF со стороною а. Черезъ вершину А проводятъ прямую AR, перпендикулярную къ ра- д1усу О А, и вращаютъ 6-угольникъ вокругъ AR. Вычислить поверх- поверхность, образуемую контуромъ, и объемъ, образуемый площадью прав. 6-угольника. 366. Въ шар-в, котораго рад1усъ равенъ 2, просверлено цилиндри- цилиндрическое отверст1е вдоль его д1аметра. Вычислить объемъ оставшейся части, если рад1усъ цилиндрическаго отверст1я равенъ 1.
381 ПРИЛ0ЖЕН1Е. Главк'Ьйнпе методы решетя геометрическпхъ задачъ на построеше. 1. Методъ геометрическихъ мЪстъ, известный еще со вре- менъ Платона (IV века до Р. Хр.), состоитъ въ следу ющемъ. По- ложимъ, что решете предложенной задачи сводится къ нахождешю некоторой точки, которая должна удовлетворять известнымъ услов1ямъ. Отбросимъ изъ этихъ условШ какое-нибудь одно; тогда задача сделается неопределенною, т.-е. ей можетъ удо- удовлетворять безчисленное множество точекъ. Эти точки составятъ не- некоторое геометрическое место. Построимъ его, если это окажется воз- можнымъ. Затемъ примемъ во внимате отброшенное нами услов1е и откинемъ какое-нибудь другое; тогда задача будетъ снова удовле- удовлетворяться безчисленнымъ множествомъ точекъ, которыя составятъ но- новое геометрическое место. Построимъ его, если это возможно. Искомая точка, удовлетворяя всвмъ услов1ямъ, должна лежать на обоихъ гео- геометрическихъ мЪстахъ, т.-е. она должна находиться въ ихъ пересЪче- нш. Задача окажется возможной или невозможной, смотря по тому, пересекаются или нетъ найденныя геометрическ1я места; и задача будетъ иметь столько решешй, сколько окажется точекъ пересечетя. Приведемъ на этотъ методъ одинъ примеръ, который вместе съ темъ покажетъ намъ, какъ иногда приходится вводить въ чертежъ взпомога- тельныя линш съ целью принять во внимашевсе данныя услов1я задачи. Задача. Построить треугольникъ по основа- Н1Ю а, углу при вершине А и сумме s боков ыхъ с т о р о н ъ. Пусть ABC будетъ искомый Д. Чтобы принять во внимате данную сумму боковыхъ сторонъ, продолжимъ В А и отложимъ BM = s. Проведя МО, получимъ вспомогательный тр-къВМС. Если мы построимъ этотъ тр-къ, то за-\ темъ легко построимъ и тр-къ ABC. Построете тр-ка ВМС сводится къ на- хожден1ю точки М. Заметивъ, что тр-къ АМС равнобедренный (АМ= АС) и, след., Z.M=^1I2A (такъ какъ AM-\-Z.C = Z.A)y мы видимъ, что точка М должна удовлетворять двумъ услов1ямъ: 1) она удалена отъ В на разстояше 5, 2) изъ нея данная конечная прямая ВС видна подъ угломъ, равнымъ Х/2А. Отбросивъ второе услов1е, мы получимъ без- безчисленное множество точекъ М% лежащихъ на окружности, описанной в Черт. 445.
— 382 — изъ В рад1усомъ, равнымъ а. Отбросивъ первое услов1е, мы получимъ также безчисленное множество точекъ М, лежащихъ на дуге сегмента, построеннаго на ВС и вмещающаго уголъ, равный V2^- Такимъ обра- зомъ, нахождете точки М сводится къ построетю двухъ геометрич- скихъ м'Ьстъ, изъ которыхъ каждое мы построить умЪемъ. Задача ока- окажется невозможною, если эти геометричесюя места не будутъ иметь общихъ точекъ; задача будетъ им'Ьть одно или два решетя, смотря по тому, касаются ли, или же пересекаются эти м'Ьста (на нашемъ чертеже дуга сегмента пересЬкается съ окружностью; вслгЬдств1е этого получаются два тр-ка ABC и АгВС, удовлетворяюцпе услов1ямъ задачи). Иногда задача сводится не къ определешю точки, а къ нахождешю прямой, удовлетворяющей н'Ьсколькимъ услов1ямъ. Если отбро- симъ одно изъ нихъ, то получимъ безчисленное множество прямыхъ; при этомъ можетъ случиться, что эти прямыя опред'Ьляютъ некоторую лишю (напр., всЬ оне будутъ касательными къ некоторой окруж- окружности). Отбросивъ другое услов1е и принявъ во внимание то, которое было откинуто ранее, мы получимъ снова безчисленное множество прямыхъ, которыя, быть-можетъ, опредЪлятъ некоторую другую ли- н1ю. Построивъ, если возможно, эти две линш, мы зат'Ьмъ легко найдемъ и искомую прямую. Пусть, напр., намъ предложена задача: провести секущую къ двумъ даннымъ окруж- ностямъ О и 0г такъ, чтобы части секущей, за- ключенныя внутри окружностей, равнялись соответственно даннымъ длинамъ а и ах. Если возьмемъ только одно услов1е, напр., чтобы часть сЬкущей, лежащая внутри круга О, равнялась а, то получимъ безчисленное множество сЬкущихъ, которыя всЬ должны быть одинаково удалены отъ центра этого круга (такъ какъ равныя хорды одинаково удалены отъ центра). Поэтому, если въ круге О где-нибудь построимъ хорду, равную а, и затемъ рад1усомъ, равнымъ разстоянпо этой хорды отъ центра, опи- шемъ окружность, концентрическую съ О, то все секуцпя, о которыхъ идетъ речь, должны касаться этой вспомогательной окружности; по- добнымъ образомъ, принявъ во внимаше только второе услов1е, мы увидимъ, что искомая секущая должна касаться второй вспомогатель- вспомогательной окружности, концентрической съ 0г. Значитъ, вопросъ приводится къ построетю общей касательной къ двумъ окружностямъ. Кроме техъ геометрическихъ местъ, которыя указаны въ тексте (этой книги (§§ 67, 112, 177, 228), полезно заметить еще следуюцпя доказательство предоставляемъ самимъ учащимся): 1°. Геометрическое место точекъ, делящихъ въ данномъ отношенш отрезки параллельныхъ прямыхъ, заключенные между сторонами даннаго угла, есть прямая, проходящая черезъ вершину угла и какую- нибудь одну изъ этихъ точекъ. 2°. Геометрическое место точекъ, которыхъ разстояшя отъ сторонъ даннаго угла находятся въ данномъ отнощенш, состоитъ изъ двухъ
— 383 — п.рямыхъ, проходящихъ черезъ вершину угла, и изъ которыхъ одна лежитъ внутри угла, а другая внЪ его. 3°. Геометрическое м'Ьсто точекъ, д'Ьлящихъ въ данномъ отношенш всЬ равлыя х >рды данной окружности, есть окружность, концентриче- концентрическая съ данною. 4°. Геометрическое м'Ьсто точекъ, изъ которыхъ касательныя, про веденныя къ данной окружности, им'Ьютъ данную длину, есть окруж- окружность., концентрическая съ данной. 5°. Геометрическое м'Ьсто точекъ, квадраты разстоянш которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ А и В им'Ьютъ постоянную сумму, есть окружность, которой центръ лежитъ въ серединЪ прямой А В (дока- (доказательство основывается на теор мЬ § 2^9). 6°. Геометрическое м'Ьсто точекъ, квадраты разстоянШ которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ А и В им'Ьютъ постоянную разность, есть прямая, перпендикулярная къ прямой АВ, 7°. Геометрическое м'Ьсто точекъ, сумма разстоянш которыхъ отъ сторонъ даннаго угла постоянна, есть лежаций внутри угла отр'Ьзокъ прямой, отсЬкающей отъ угла равнобедреншй тр-къ. Продолжешя этого отр'Ьзка (въ обЪ стороны) представляютъ геометрическое м'Ьсто точекъ, которыхъ разность разстоянш отъ сторонъ угла постоянна. 8°. Геометрическое м'Ьсто точекъ, д'Ьлящихъ въ данномъ отношенш хорды, проведенныя изъ одной точки А данной окружности, есть окружность, касательная къ данной въ точк'Ъ А. Последнее геометрическое м'Ьсто составляетъ частный случай сл'Ь- дующаго бол-йе общаго (см. §§ 211—218): 9°. Если изъ данной точки О (черт. 446) къ различнымъ точкамъ А Alt Аг1... какой-нибудь фигуры F проведемъ прямыя О А, 0Ах, 0А1г.. и на каждой изъ нихъ отложимъ части Оа, 0аг, 0а1Х... так1я, \тэ Оа : ОА = Оаг : ОА1 — Оа11 : 0А1Х = ..., то геометрическое м'Ьсто точекъ а, а1э ап... есть фигура /, подобная фигур'Ь F и одинаково съ ней расположенная относительно точки О. Такимъ образомъ, если фигура F есть прямая, то и / есть прямая, параллельная F; если F есть многоугольникъ, то и / есть многоуголь- никъ, подобный F и одинаково съ нимъ расположенный; если F есть окружность, то и / есть окружность. Черт. 446,
— 384 — Когда пропорцюнальныя части Оа, 0аь 0аХ1... откладываются на продолжешяхъ лиши О А, 0Аг... (за точку О), то получается тоже подобная фигура, но расположенная обратно относительно точки О. Точка О въ этихъ случаяхъ наз. центромъ п о д о б i я фи- гуръ F и /, точки А и а, Ах и аг и т. д. наз, сходственными точками, а прямыя О А, 0А1...—л учами п о д о б i я. 2. Методъ ПОДОб1я. Онъ состоитъ въ томъ, что, пользуясь не- некоторыми данными задачи, строятъ сначала фигуру, подобную искомой, а зат'Ьмъ переходятъ къ последней. Этотъ методъ особенно удобенъ тогда, когда только одна данная величина есть длина, а всв проч1я суть или углы, или отношешя лиши; таковы, напр., задачи: Построить треугольникъ по данному углу, сторон-b и отношешю двухъ другихъ сторонъ, или по двумъ угламъ и длин-b некоторой прямой (высота, мед1ангв, биссектрисе^ и т. п.). Построить квадратъ по данной суммЪ или разности между д1аго- налью и стороною, и т. п. Въ этихъ задачахъ положеше искомой фигуры' остается произволь- нымъ; но во многихъ вопросахъ требуется построить фигуру, которой положеше относительно данныхъ точекъ или линш вполне опре- д'Ьлено. При этомъ можетъ случиться, что, отръшившись отъ какого- нибудь одного изъ условш положешя и оставивъ всв остальныя, мы получимъ безчисленное множество фигуръ, подобны хъ искомой. Въ такомъ случай методъ подоб1я можетъ быть употребленъ съ поль- пользою. Приведемъ примЪръ. Задача. Въ данный уголъ ABC вписать окруж- окружность, которая проходила бы черезъ данную внутри угла точку М (черт. 447). N Черт. 447. Отбросимъ на время требоваше, чтобы окружность проходила черезъ точку М. Тогда вопросу удовлетворяетъ безчисленное множе- множество окружностей, которыхъ центры лежатъ на биссектрисс-Ь BD' Построимъ одну изъ такихъ окружностей, напр., ту, которой центръ
— 385 — есть о. Возьмемъ на ней точку т, сходственную точки М, т.-е. ле- лежащую на луч'Ь подоб1я MB, и проведемъ рад1усъ то. Если теперь по- строимъМО || то, то точка О будетъ центромъ искомаго круга. Действи- Действительно, проведя къ сторон^ А В перпендикуляры ON и on, мы получимъ подобные тр-ки МВОи тВо, NBO и пВо, изъ которыхъ будемъ им^ть: МО : то^ВО : Во N0 : по^ВО : Во Откуда: МО : то— NO : no. Но то~по\ сл'вд., и MO = NO, т.-е. окружность, описанная изъ центра О рад1усомъ ОМ, касается стороны АВ\ а такъ какъ ея центръ лежитъ на биссектрисе^ угла, то она касается и стороны ВС. Если за сходственную точку возьмемъ другую точку тх переевчетя луча MB съ окружностью о, то найдемъ другой центръ 0х искомаго круга. СлЪд., задача допускаетъ два решетя. 3, Методъ параллельнаго перенесеШя. Весьма часто бы- ваетъ полезно неремъстить нъкоторыя части данной или искомой фи- фигуры въ другое положете. при которомъ легче обнаружить зависи- зависимость между данными элементами и искомыми. Существуютъ различ. ные пр1емы такого перемгвщен1я. Разсмотримъ сначала парал- параллельное перенесен! е. , Задача. Построить четыреугольникъ ABCD (чер- тежъ 448), зная вс^ его стороны и прямую EF, соединяющую середины противоположи ыхъ с т о р о н ъ АВ и CD. Чтобы сблизить между собою данныя лиши,, перенесемъ парал- параллельно самимъ себ'Ь стороны AD и ВС въ положетя EDxn ЕСг. Тогда прямая DDX будетъ равна и параллельна АЕ, а прямая ССХ равна и параллельна ЕВ; но такъ какъ АЕ = ЕВ, то DD1 = ClC и DDX || ССг. Вслгвдств1е этого тр-ки DDXF и CCXF будутъ равны (такъ какъ у нихъ: DD1 = CCU DF = CF и DXDF = ,/ FCCJ; значитъ, DXFD = ^1 CFCX, и потому ли- н1я DXFCX должна быть прямая, т.-е. фигура ЕDXFCX окажется тре- угольникомъ. Въ этомъ тр-к'Ь из- _ t р'встны дв'в стороны (EDX — AD и D f ЕСХ — ВС) и мед1ана EF, проведен- ная къ третьей сторон^. По этимъ Черт. 443. даннымъ легко построить треуголь- никъ (если продолжимъ мед1ану EF за точку F на длину, равную ей, и полученную точку соединимъ съ Dx и Сь то получимъ параллело- граммъ, у котораго изв-встны стороны и одна д1агональ). Найдя Д EDXCU строимъ загЪмъ тр-ки DXDF и CXCF, а зат'Ьмъ и весь четыреугольникъ ABCD. Д. Киселевъ. Геометрщ.
— 386 — Заметимъ, что иногда бываетъ полезно перенести параллельно дан- данному направлешю целую фигуру, напр., окружность. Въ этомъ случай всв точки перемещаемой фигуры описываютъ параллельныя и равныя прямы я (см., напр., задачу 883, стр. 3е 8). 4. МбТОДЪ ВращеШЯ ВОКругъ ТОЧКИ. Для уяснетя этого особеннаго вида перенесешя приведемъ следующШ примеръ: Задача. Даны по поло- жен!ю точка С (черт. 449) и две безконечныя пря- мыя а и Ъ. Построить треугольникъ ABC, ко- тораго одна вершина была бы въ С, а две д ру- г i я лежали бы на п р я - мыхъ а и Ь, и который, кроме того, былъ бы подобенъ данному, тре- треугольнику (не помещенному на чертеже). Пусть задача решена. Заметивъ, что углы искомаго тр-ка даны, обозначимъ одинъ изъ нихъ, который находится при точки С, черезъ ш. Повернемъ всю фигуру вокругъ точки С въ направленш, указанномъ стрелкою, на уголъ <d и найдемъ положеше, которое займетъ после вращешя прямая а. Для этого до- достаточно опустить на а перпендикуляръ CD, затемъ повернуть его на уголъ <о въ положеше CDX и провести черезъ Dx прямую а1э перпенди- перпендикулярную къ CDX. Прямая аг и будетъ то положеше, которое займетъ после вращешя прямая а. Такъ какъ при врйщенш все части фигуры повертываются на одинъ и тотъ же уголъ, то С А, после вращешя, пойдетъ по СВ, вследств1е этого точка А упадетъ въ А1у т.-е. въ точку пересечешя С В съ аг. Такъ какъ отношеше С А къ С В или, все равно, отношете САг къ С В дано (пусть это будетъ т : п), то теперь вопросъ сведенъ къ тому, чтобы черезъ точку С провести такую прямую САи которая пересекалась бы съ прямыми Ъ и ах въ точкахъ В и А, удо- удовлетворяю щихъ пропорцш: САХ : СВ = т : п. Чтобы провести такую прямую, достаточно разделить CDX въ не- некоторой точке х такъ, чтобы CDX : Сх — т : п, и черезъ точку делешя провести прямую, параллельную аг\ пересечете этой прямой съ Ъ определить точку В. б. Методъ вращен!я вокругъ прямой (или методъ симмзтрЫ). Иногда пр1емъ построешя легко обнаруживается, если перегнемъ часть чертежа вокругъ некоторой прямой такъ, чтобы эта часть за- заняла симметричное положете по другую сторону отъ этой прямой. Приведемъ примеръ.
— 38? — Задача. На безконечной прямой АВ (черт. 450) найти точку ж, чтобы сумма ея разстоян1й отъ данныхъ точекъ М и N была наименьшая. Если, перегнувъ чертежъ вокругъ АВ, приведемъ точку М въ сим- симметричное относительно АВ положете М±, то разстояте точки М отъ какой угодно точки прямой АВ сделается равнымъ разстоятю точки Мх отъ той же точки прямой АВ. Поэтому суммы Mx-\-xN, Mx1-\-x1N... равны соответственно суммамъ Mxx-\-xN, M1x1-\-x1N...\ но изъ посл-Ьднихъ суммъ наимень- наименьшая будетъ та, при которой литя MtxN окажется прямою. Отсюда становится яснымъ пр1емъ построе- М< То же самое построете рЪшаетъ и Другую задачу: на прямой АВ найти такую точку ж, чтобы прямыя хМ и xN, ироведенныя отъ нея къ даннымъ точкамъ М и N, соста- составляли съ АВ равные углы. в. МвТОДЪ ОбратноСТИ. Иног- Иногда бываетъ полезно, такъ сказать, перевернуть задачу, т.-е. данныя услов1я задачи взять за искомыя и наоборотъ. Прим'вромъ служить следующая задача. Задача. Въ данный треугольникъ ABC вписать другой треугольникъ, у котораго стороны были бы параллельны сторонамъ другого дан- наго треугольника MNP. Перевернемъ вопросъ: опишемъ около тр-ка MNP другой тр-къ ^l1B1C1, у котораго стороны были бы параллельны сторонамъ тр-ка ABC (что, конечно, легко выполнить). Тогда мы получимъ фигуру/'подобную искомой; разд^ливь зат'Ьмъ какую-нибудь сторону тр-ка ABC на дв^ части, пропорцюнальныя отр'Ьзкамъ сходственной стороны тр-ка ^l^i^1» мы получимъ одну изъ вершинъ искомаго тр-ка. 7. Алгебраическ1Й МвТОДЪ. Сущность этого метода, а также и примеры задачъ, ръ-шаемыхъ имъ, были указаны ран^е (§§ 254, 255, 342, 343 и задачи №№ 230, 231, 285, 288, 289, 290, 291, 292, 293). Примеры задачъ, р^шаемыхъ этими методами. 1°. Методъ геометр и"ч ескихъ м'Ьстъ. 367. Построить четыреугольникъ ABC В, около котораго можно было бы описать окружность, зная его стороны АВ и ВС, д!агональ АС и уголъ между д1агоналями. 368. Построить треугольникъ по основан!ю, углу при вершин'Ь и сумм'Ь или разности квадратовъ двухъ другихъ сторонъ (напр., авно-
— 388 — вате а, уголъ при вершине А и сумма квадратовъ боковыхъ сто- ронъ к2). 369. Около равносторонняго треугольника описать квадратъ такъ, чтобы обе фигуры имели общую вершину. 370. Найти точку, изъ которой три отрезка данной прямой А В, ВС и CD были бы видны подъ равными углами. 371. Внутри тр-ка найти такую точку, которой разстояшя до сторонъ тр-ка относились бы между собою, какъ 6:3:2. 372. Найти точку, изъ которой три данные круга были бы видны подъ равными углами (у к а з а н i е: надо сначала найти геометр, место точекъ, изъ которыхъ два данные круга видны подъ равными углами). 373. Дана окружность и кашя-нибудь две прямыя. Найти на окружности такую точку, чтобы сумма ея разстоянШ отъ этихъ пря- мыхъ была наименьшая. 374. Превратить данный тр-къ въ другой равновелиюй тр-къ с? даннымъ основашемъ и съ даннымъ угломъ при вершине. 375. Въ данной окружности провести две хорды данной длины такъ, чтобы онЪ пересекались подъ даннымъ угломъ и одна изъ нихъ проходила черезъ данную точку. 2°. Методъ по до 6i Д. 376. Построить тр-къ по углу при вершине, высоте и отношенiio отрезковъ, на которые основаше делится высотою. 377. Вписать квадратъ: 1, въ данный тр-къ; 2, въ данный секторъ; 3, въ данный сегментъ. 378. Черезъ данную точку провести прямую такимъ образомъ, чтобы три данныя прямыя, исходяция изъ одной точки, отсекали отъ искомой прямой отрезки, находяцпеся въ данномъ отношенш. 379. Черезъ данную точку А окружности провести хорду AD, которая пересекалась бы съ данною хордою ВС въ такой точке 22, чтобы прямыя DE и DC находились въ данномъ отношенш. 380. Провести внутри тр-ка прямую, параллельную основанш, такъ, чтобы эта прямая была средней пропорцюнальной между от- отрезками одной боковой стороны. 381. Построить равнобедренный тр-къ, зная его боковую сторону и сумму высоты съ основашемъ. 382. На данной прямой найти такую точку, чтобы ея разстоятя отъ данной точки и другой данной прямой находились въ данномъ отношенш. 3°. Методъ параллельнаго перенесен! я. 383. Между двумя данными окружностями провести прямую дан- данной длины а параллельно данной прямой MN. (Указаше: надо одинъ мругъ приблизить къ другому, перенеся его параллельно прямой MN на разстояше а).
— 389 — 384. Въ круге даны две хорды А В и CD. Найти на окружности такую точку х, чтобы прямыя хА и хВ отсекали отъ хорды CD отрЪ- зокъ, равный данной длине (методъ парал. перенесетя и геом. местъ). 385. Въ данномъ тр-ке ABC найти так1я точки: х на стороне АВ и у на стороне ВС, чтобы прямая ху была данной длины и, кроме того, отношеше Ах : Су было бы данное (парал. перенесете и методъ подоб1я). 386. Построить трапещю по одному ея углу, двумъ д1агоналямъ и средней лин!и. 387. Построить четыреугольникъ по тремъ сторонамъ а, Ь, с и двумъ угламъ аир, прилежащимъ къ неизвестной стороне. 388. Къ двумъ даннымъ кругамъ провести общую секущую, парал- параллельную данной прямой, такъ, чтобы сумма или разность хордъ, определяемыхъ точками пересЬченш, была равна данной длине. 389. Съ корабля видны два маяка, положете которыхъ на карте известны, подъ даннымъ угломъ. Когда корабль, прошелъ известную длину въ данномъ направленш, т^ же самые маяки видны подъ дру- гимъ даннымъ угломъ. Определить на картЬ м^сто корабля (геом* м^сто и параллельное перенесете). 4°. Методъ вращен1я вокр.угъ точки. 390. Построить тр-къ, подобный данному тр-ку, такъ, чтобы одна его вершина лежала въ данной точке А, а две друНя вершины на- находились бы на данныхъ окружностяхъ О и 0г (одна на О, другая на 0^. 391. Данъ кругъ и вне его две точки А и В; провести къ кругу касательную такъ, чтобы разстоятя точки А до этой касательной и до перпендикуляра, опушеннаго изъ В на касательную, были въ да- номъ отношенш. (Укгз н!з: надо повернуть вокругъ точки А на 90° прямоугольный тр-к э, у котораго гипотенуза есть АВ, а одинъ катетъ—-разстояте точки А до перпендикуляра, опущеннаго на касательную изъ точки В. Эту же задачу можно решить при помощи одновременнаго пользо- ван1я методомъ подоб1я и методомъ геометр, местъ). 392. Построить тр-къ, котораго стороны были бы пропорцк>нальны числамъ 3, 4 и 5, и котораго вершины лежали бы на трехъ данныхъ параллельныхъ прямьцсъ. 5°. Методъ вращен1я вокругъ прямой. 393. Построить по четыремъ сторонамъ четыреугольникъ ABCDt зная, что его д1агональ АС делитъ уголъ А пополамъ. 894. Конечная прямая АВ пересечена въ точке С прямой MN; найти на MN такую точку, изъ которой отрезки АС и ВС видны подъ равными углами (эту задачу можно также решить методомъ геометр, местъ). 395. Построить квадратъ, две противоположныя вершины кото*
— 390 — раго находились бы на двухъ данныхъ окружноотяхъ, а дв'Ь друпя на данной прямой, расположенной между окружностями, 396. На прямоугольномъ бильярд-Ь дано положеше двухъ ша- ровъ А и В. Въ какомъ направленш надо толкнуть шаръ Л, чтобы онъ, отразившись последовательно отъ всбхъ четырехъ бортовъ, ударилъ зат'вмъ ш&ръ В? 397. Данъ уголъ и внутри его точка. Построить тр-къ наименьшаго периметра такой, чтобы одна его вершина лежала въ данной точк^, а дв'в друпя на сторонахъ угла. 398. Решить методомъ симметрш задачу, которая выше (стр. 384) была решена методомъ подоб1я: въ данный уголъ вписать окружность, которая проходила бы черезъ точку, данную внутри угла. 6°. Методъ обратности. 399. Въ данный секторъ вписать тр-къ, равный данному тр-ку. 400. Построить тр-къ, равный данному тр-ку, такъ, чтобы его вер- вершины лежали на трехъ данныхъ прямыхъ, исходящихъ изъ одной точки, 401. Построить тр-къ, подобный данному тр-ку, такъ, чтобы его вершины лежали на трехъ данныхъ концентрическихъ окружностяхъ. 402. Въ данный тр-къ вписать тр-къ, подобный другому данному тр-ку, такъ, чтобы одна изъ его вершинъ лежала въ точк'Ь, данной ча основанш.
ОГЛАВЛЕНИЯ. Цыфры означаютъ номера стрйницъ. Предислов1е III—XII. Введете. Математическ1я предложетя, I.—^Прямая лирпя, пло« скость. Понят1е о геометрш, 3. ПЛАНИМЕТРЫ. КНИГА I. ПРЯМАЯ ЛИН1Я. Глава I. Углы. Предварительныя понят1я, 9.—Свойства прямого угла, 12.—Свойства смежныхъ и вертикальныхъ угдовъ, 17. Упражнения, 23. Глава II. Треугольники и многоугольники. Понят1е о многоугольник^ и треугольник^, 2%.—Свойства равнобедреннаго треугольника, 27.— Признаки равенства треугольниковъ, 29.—Соотношешя между углами и сторонами треугольника, „32.—Сравнительная Длина объемлющихъ и объемлемыхъ ломаныхъ литй, 36.—Треугольники съ двумя соотвЪт- ственно равными сторонами, 40, Глава 111. Перпендикуляры и нанлонныя,—41 Равенство прямоуголь ыхъ треугольниковъ, 43. Глава IV. "Свойство перпендикуляра къ серединЪ прямой и свойство биссек- триссы угла, 44. Глава V. Основныя задачи на построеше, 47. Упражнения* 53. Глава VI. Параллельныя прямыя. Основныя теоремы, 55.—Углы съ соотв'Ьтственно параллельными или перпендикулярными сторонами, 61. Сумма угловъ треугольника и многоугольника, 66.—О постулат^ параллельныхъ литй, 68. Глава VII. Параллелограммы и трапещи. ГлавнЪйипя свойства парал- лелограммовъ вообще, 72.—Особыя формы параллелограммовъ: пря- моугольникъ, ромбъ и квадратъ, 76.—НЪкоторыя теоремы, основан- ныя на свойствахъ параллелограмма, 79.—ОпредЪлешо и свойства трапецш, 82. У п р а ж п е н i я, 83. КНИГА II. ОКРУЖНОСТЬ. Глава I. Форма и положеше окружности, 86. Глава II. Равенство и неравенство дугъ, 93. Глава III. Зависимость между дугами, хордами и разстоян'шми хордъ отъ центра, 93. *
— 392 — Глава IV. Свойства касательной, 95. Основныя задачи на проведете касательной, 93 и слЪд. Глава V. Относительное положеше окружностей, 103. Упражнен1я, 107. Глава VI. ИзмЪреше величинъ. 1С9. Глава VII. ИзмЪрен'ю угловъ помощью дугъ, 121. Глава VIII. Вписанные и описанные многоугольники, 133. Глава IX. Четыре замЪчательныя точки въ треугольник-^, 139. Упражнен1я, 140. КНИГА III. ПОДОБНЫЯ ФИГУРЫ. Глава I. Подоб'ю треугольниковъ, U3. Глава It. Подоб'ш многоугольниковъ, 151. Глава III. Фигуры, подобно расположенныя, 155. Глава IV. НЪкоторыя теоремы о пропорц'юнальныхъ лин'шхъ, 160. Глава V. Числовыя зависимости между элементами треугольника и нЪкото- рыхъ другихъ фигуръ, 169. Глава VI. Понят'ю о приложен'^ алгебры къ геометрж, 183. Упражнен1я, 19Э. Глава VII. ^Правильные многоугольники, 195. Упражнения, 2-8. КНИГА IV. ВЫЧИСЛЕНА ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ЕЯ ЧАСТЕЙ. Глава I. Основныя свойства предЪловъ, 2 9. Глава II. Вычислеше длины окружности, 215. Упражнен1я, 229. КНИГА V. ИЗМЪРЕЖЕ ПЛОЩАДЕЙ. Глава I. Площади многоугольниковъ, 220. Глава II. Теорема Пиеагора и основанныя на ней задачи, 247. Глава III. Отношеше площадей подобныхъ фигуръ, 250: Глава IV. Площадь круга и его частей, 254. Глава V. Соотношеше между сторонами треугольника и рад'|усами вписаннаго и описаннаго круговъ, 261. Добавление. Построена корней квадратнаго уравнен'ш, 262. Упражнен1я, 268. Числовыя задачи на разные отделы плани- планиметр i и, 268.
— 393 — СТЕРЕОМЕТР 1Я. КНИГА I. ПРЯМЫЯ И ПЛОСКОСТИ. Глава I. ОпредЪлеше положешя плоскости, 271. Глава II. Перпендикуляръ и наклонныя къ плоскости, 275. Глава III. Параллельныя прямыя и плоскости. Параллельныя пря- мыя, 283.—Прямыя, параллельныя плоскости, 286.—Параллельныя плоскости, 288. Глава IV. Двугранные углы, 292.—Перпендикулярныя плоскости, 293.— Уголъ двухъ скрещивающихся прямыхъ, 298.—Уголъ, образуемый прямой съ плоскостью, 298. Глава V. Многогранные углы, 300.—Равенство трегранныхъ угловъ, 303. КНИГА П. МНОГОГРАННИКИ. Глава I. Свойства параллелепипеда и пирамиды.ОпредЪлетя, 307. — Ра- Равенство призмъ и пирамидъ, 311.—Свойства граней и д1агоналей парал- параллелепипеда, 312.—Свойства параллельныхъ свченш въ пирамидЪ, 313. Глава II. Боковая поверхность призмы и пирамиды, 315. Задачи, 317. Глава III. Объемъ призмы и пирамиды. О пределен in, 318. — Объемъ прямоугольнаго параллелепипеда, 320.—Объемъ всякаго параллеле- параллелепипеда, 325.—Объемъ.призмы, 328.—Объемъ пирамиды» 329.—Объемъ усеченной пирамиды и усеченной призмы, 333. Глава IV. Подобие многогранниковъ, 337. Глава V. Симметричныя фигуры, 341. Глава VI. Понят о правильныхъ многогранникахъ, 345. Задачи, 347. КНИГА III. КРУГЛЫЯ ТЪЛА. Глава I. Цилиндръ и конусъ. ОпредЬлешя, 349.—Поверхность цилиндра и конуса, 352.—Объемъ цилиндра и конуса, 357.—Подобные цилиндры и конусы, 361. Глава Л. Шаръ. ОЬчен1е шара плоскостью, 362.—-Свойства болынихъ круговъ, 364.—Плоскость, касательная къ шару, 366.—Поверхность шара и его частей, 367.—Объемъ шара и его частей, 372. Задачи, 37 9. - Приложение. ГлавнЪйпие методы рЪшетя геометрическихъ ва- дачъ на построете, 381. Примеры задачъ, рЪшаемыхъ этими мето- методами, 387.