Основы элементарной физики - Селезнев Ю.А.

Системы единиц измерения физических величин
Глава I. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1.2. Кинематика движения материальной точки
1.3. Графики зависимости между кинематическими величинами для прямолинейного движения
1.4. Перемещение и скорость в различных системах отсчета. Принцип независимости движений
1.5. Кинематика движения абсолютно твердого тела
2.3. Учет сил внешнего трения в динамических задачах
2.4. Динамика движения систем взаимодействующих тел
2.5. Динамика движения материальной точки по окружности
2.6. Динамика гармонических колебательных движений
§3. Статика материальных точек и твердых тел
§ 5. Энергия, работа, мощность. Закон сохранения и превращения энергии в механике
5.3. Теорема о кинетической энергии. Работа силы как мера изменения кинетической энергии тела
5.4. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии замкнутой консервативной системы взаимодействующих тел
5.7. Изменение механической энергии незамкнутой системы тел
5.8. Изменение механической энергии системы, взаимодействие между телами которой осуществляется потенциальными и непотенциальными силами
§ 6. Значение механики и границы применимости механического подхода в физике
Глава II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
7.2. Применимы ли законы механики к микрочастицам, из которых состоят тела?
7.3. Силы взаимодействия и энергия взаимодействия частиц вещества
§ 8. Свойства вещества в различных агрегатных состояниях
8.2. Свойства вещества в твердом состоянии
10.2. Равновесие частиц внутри объема жидкости или газа
10.3. Равновесие частиц свободной поверхности жидкости вблизи стенок сосуда
10.4. Равновесие сосудов, заполненных жидкостью или газом
10.5. Равновесие тел, погруженных в жидкость или газ. Закон Архимеда
11.2. Применимость законов сохранения к движущимся жидкостям и газам
12.2. Как измеряется изменение внутренней энергии тела или системы тел? Понятие о температуре
12.3. Всегда ли возможен процесс изменения механической энергии за счет изменения внутренней энергии системы?
§ 13. Два способа изменения внутренней энергии
13.2. Процесс теплообмена. Количество теплоты — мера изменения энергии в процессе теплообмена
§ 14 Процесс теплообмена, не сопровождающийся изменением агрегатного состояния вещества
§ 15. Теплообмен и изменение внутренней энергии при фазовых превращениях вещества
15.4. Сублимация
15.5. Изменение внутренней энергии при химических реакциях
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха. Критическое состояние вещества
§ 17. Итоги рассмотрения строения вещества в молекулярно-кинетической теории
18.3. Закон сохранения электрических зарядов
§ 19. Электростатическое поле и его характеристики
19.2. Напряженность — силовая характеристика электрического поля
19.3. Невозможность устойчивого равновесия системы свободных электрических зарядов
19.4. Энергетические характеристики электростатического поля. Работа при перемещении заряженных частиц или тел в электростатическом поле
§ 20. Вещество в электростатическом поле
20.2. Диэлектрики в электростатическом поле
§21. Какие задачи решает электростатика?
22.2. Основные количественные соотношения и закон Ома
22.3. Способы соединения проводников и источников тока
22.4. О некоторых электротехнических приборах
§ 23. Механизм проводимости различных сред
23.5. Электрический ток в полупроводниках
§ 24. Некоторые общие выводы из рассмотрения электростатики и электродинамики постоянных токов
Глава VII. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
25.3. Индукция магнитного поля — основная силовая характеристика магнитного поля
25.4. Воздействие магнитного поля на движущиеся электрические заряды
26.2. Воздействие внешнего магнитного поля на вещество
26.3. Классификация веществ по магнитным свойствам
Глава VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
27.2. Механизм возникновения и закономерности индукционных явлений
§ 28. Электромагнитные колебания и электромагнитное поле
28.3. Колебательный контур как излучатель электромагнитного поля
28.4. Атомы вещества подобны открытому колебательному контуру
§ 30. Некоторые свойства волн различной природы
30.2. Уравнение плоской синусоидальной волны
30.4. Дисперсия скорости волн и дисперсия показателя преломления
32.2. Механизм и условия излучения атомов и молекул
32.3. Электромагнитные волны оптического диапазона
§ 33. Воздействие электромагнитного излучения на вещество
33.2. Возможность использования закона сохранения энергии
35.2. Получение изображений с помощью зеркал
35.3. Прохождение света через границу раздела разнородных прозрачных сред
35.4. Получение изображений с помощью линз
35.5. Назначение простейших оптических систем и приборов
§ 36. Некоторые вопросы волновой и квантовой оптики
36.3. Закономерности фотоэлектрического эффекта
36.4. Итоги рассмотрения оптических явлений
Глава XI. СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 38. Строение ядра атома. Энергия внутриядерных взаимодействий
38.2. Энергия связи. Дефект массы. Взаимодействие нуклонов
38.3. Возможности высвобождения внутриядерной энергии
Author: Селезнев Ю.А.
Tags: физика
Year: 1974
Similar
Справочник по элементарной физике
Пособие по элементарной физике
Элементарный учебник физики. Том 2. Электричество и магнетизм
Курс физики
Text
                    Ю. А. СЕЛЕЗНЕВ
ОСНОВЫ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
проф. Б. М. ЯВОРСКОГО
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для слушателей подготовительных отделений
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974

530
С 29
УДК 530
Основы элементарной физики. Ю.А.Селезнев. Учебное по-
пособие. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы, М., 1974 г.
Цель настоящего пособия — помочь при подготовке к приемным
экзаменам по физике в высшие учебные заведения. В основу книги
положена программа приемных экзаменов, хотя в отдельных случаях
имеются некоторые отступления от нее, учитывающие практику при-
приемных экзаменов. Это пособие должно рассматриваться как допол-
дополнение к учебнику.
Главное внимание сосредоточено на раскрытии физического смысла
важнейших вопросов школьного курса и на детальном рассмотрении
некоторых вопросов, которые часта вызывают затруднения на экза-
экзаменах. Рассмотрено много примеров и аадач, причем в большинстве
случаев приводятся не только их подробные решения, но и анализ
условий и результатов.
Книга может оказаться полезной для лиц, самостоятельно гото-
готовящихся к приемным экзаменам по, физике в институт для школь-
школьников старших классов, слушателей подготовительных курсов и под-
подготовительных отделений.
Юрий Александрович Селезнев
ОСНОВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ФИЗИКИ
М , 1974 г., 544 стр. с илл.
Редакторы В. Л. Григорова, Л. А. Русаков
Техн редактор Я. Ш, Акселърод
Корректоры Г. С. Плетнева, М. Л. Медведская
Печать с матриц. Подписано к печати 14/VlII 1974 г. Бумага типографская
№3 84Xl08l/w Физ. печ. л. 17. Условн печ. л. 28,56. Уч-изд. л. 29П7.
Тираж 490 000 экз. A-й завод 1—250 000 зкз.) Цена книги 92 ко'п. Заказ № 296.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии
№ 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,
с матриц, изготовленных в ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28.
20401 115
С Д" 103-74 © Главная редакция физико-математической
4 Н 1974
© Главная редакци фк
литературы, издательства «Наука», 1974,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию ••••.. 7
Из предисловия к первому изданию , 9
Введение ,- 11
Системы единиц измерения физических-величин 16
Г лае а I. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕР-
ТВЕРДЫХ ТЕЛ 25
§ 1. Кинематика 25
1 1. Основные понятия B5) 1.2. Кинематика движения мате-
материальной точки B8). 1.3. Графики зависимости между кинемати-
кинематическими величинами для прямолинейного движения (J52) 1 4. Пере-
Перемещение и скорость в различных системах отсчета. Принцип неза-
независимости движений F2) 1 5. Кинематика движения абсолютно
твердого тела F6) 1 6. Заключительные замечания F9)
§ 2. Динамика 72
2 1. Основные понятия динамики и законы Ньютона G2),2 2. Закон
сохранения импульса (89). 2 3. Учет сил внешнего трения в
динамических задачах 091) 2 4. Динамика движения систем
взаимодействующих тел (97). 2 5. Динамика движения мате-
материальной точки по окружности A67). 2 6. Динамика гармони-
гармонических колебательных движений A13).
§3. Статика материальных точек и твердых тел 124
3 1 Условия статического равновесия A24). 3.2. Центр тяжести.
Центр масс A32).
§ 4. Закон всемирного тяготения 140
4.1 Основные понятия A40). 4.2. Тяготение и сила тяжести тела
A41).
§ 5. Энергия, работа, мощность. Закон сохранения и превращения
энергии в механике * 148
5 1. Механическое состояние тела и системы тел. Импульс —
функция механического состояния A48). 5.2 Работа силы A52).
5 3 Теорема о кинетической энергии. Работа силы как мера из-
изменения кинетической энергии тела A58) 5.4 Потенциальная
энергия. Закон сохранения механической энергии замкнутой кон-
консервативной системы взаимодействующих тел A62). 5.5. Энергия
поля тяготения A73). 5.6. Мощность A75) 5.7. Изменение ме-
механической энергии незамкнутой системы тел A77) 5 8. Измене-
Изменение механической энергии системы, взаимодействие между телами
которой осуществляется потенциальными и непотенциальными сила-
силами A80)
§ 6. Значение механики и границы применимости механического
подхода в физике .•..•....».*•••*..». 185
1* з

Глава II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА 188
§ 7. Первые шаги в глубь вещества 188
7 1 Основные опытные факты и их истолкование A88) 7 2
Применимы ли законы механики к микрочастицам, из которых
состоят тела? A91) 7 3 Силы взаимодействия и энергия взаимодей-
взаимодействия частиц вещества A94)
§ 8. Свойства вещества в различных агрегатных состояниях . . . 199
8.1 Классификация агрегатных состояний вещества A99) 8 2
Свойства вещества в твердом состоянии B00) 8 3 Жидкое сос-
состояние B01) 8 4 Газообразное состояние B03)
ГлаваШ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 204
§ 9. Используемые модели • 204
§ 10. Статика жидкостей и газов 206
10 1 Равновесие частиц свободной поверхности жидкости вдали от
стенок сосуда B06) 10.2 Равновесие частиц внутри объема жидко-
жидкости или газа B07) 10 3 Равновесие частиц свободной поверхности
жидкости вблизи стенок сосуда B13) 10 4 Равновесие сосудов,
заполненных жидкостью или газом B16). 10 5 Равновесие тел,
погруженных в жидкость или газ Закон Архимеда B18)
§ 11. Динамика жидкостей и газов 226
11 1 Основные понятия Уравнение неразрывности B26) 11 2
Применимость законов сохранения к движущимся жидкостям и
газам B29)
Г лава IV. ОСНОВЫ ТЕРМО ДИНАМИКИ 238
§ 12. Обобщение закона сохранения энергии 238
12 1. Изменение внутренней энергии при изменении механической
энергии замкнутой системы тел или частиц B38) 12 2 Как из-
измеряется изменение внутренней энергии тела или системы тел?
Понятие о температуре B40) 12 3 Всегда ли возможен процесс
изменения механической энергии за счет изменения внутренней
энергии системы? B45)
§ 13. Два способа изменения внутренней энергии 247
13 1 Процесс совершения работы Работа силы как мера измене-
изменения механической, внутренней и полной энергии системы B47)
13 2 Процесс теплообмена Количество теплоты — мера изменения
энергии в процессе теплообмена B49) 13 3 Первое начало
термодинамики B52) 13 4 Виды теплообмена B53)
§ 14 Процесс теплообмена, не сопровождающийся изменением
агрегатного состояния вещества 256
14 1 Поведение твердых тел и жидкостей при изменении темпе-
температуры B56) 14 2 Процессы в идеальных газах B63)
§ 15. Теплообмен и изменение внутренней энергии при фазовых
превращениях вещества 280
15 1 Какие компоненты внутренней энергии изменяются при
фазовых превращениях? B80) 15 2 Плавление и кристалли-
кристаллизация B82) 15 3. Парообразование и конденсация B85).
15 4 Сублимация B89) 15 5. Изменение внутренней энергии при
химических реакциях B89).
§ 16. Свойства паров. Влажность воздуха. Критическое состояние
вещества 291
16 1 Условия получения и свойства ненасыщенных и насыщен-
насыщенных паров B91) 16 2. Лары воды в воздухе B95). 16 3. Кри-
Критическое состояние вещества B96).
4

§ 17. Итоги рассмотрения строения вещества в молекул яр ио-
кинетической теории . 298
ГлаваУ. ЭЛЕКТРОСТАТИКА.... 301
§ 18. Электрические заряды 301
18 1 Что такое электрический заряд? Откуда берутся электри-
электрические заряды? C01) 18 2 Используемые модели C03) 18 3
Закон сохранения электрических зарядов C04)
§ 19. Электростатическое поле и его характеристики 306
19 1 Закон Кулона — основной закон электростатики C06).
19 2. Напряженность — силовая характеристика электрического по-
поля C13) 19 3 Невозможность устойчивого равновесия системы
свободных электрических зарядов C20) 19.4 Энергетические ха-
характеристики электростатического поля Работа при перемещении
заряженных частиц или тел в электростатическом поле C23)
§ 20. Вещество в электростатическом поле 331
20 1 Металлические проводники в электростатическом поле
C31) 20 2 Диэлектрики в электрАстатическом поле C35) 20 3.
Конденсаторы C36)
§21. Какие задачи решает электростатика? 342
Глава VI. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 344
§ 22. Электрический ток — упорядоченное движение заряженных
частиц или тел 344
22 1. Условия возникновения и поддержания электрического то-
тока C44) 22 2 Основные количественные соотношения и закон
Ома C51) 22 3 Способы соединения проводников и источников
тока C62) 22 4 О некоторых электротехнических приборах C67 ).
§ 23. Механизм проводимости различных сред 375
23 1 Электронная проводимость металлов C75) 23 2 Ионная
проводимость электролитов C79) 23 3 Электрический ток в га-
газах C82) 23 4 Электрический ток в вакууме C83). 23 5
Электрический ток в полупроводниках C87)
§ 24. Некоторые общие выводы из рассмотрения электростатики
и электродинамики постоянных токов 392
Глава VII. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
ВЕЩЕСТВА 396
§ 25. Магнитное поле и его свойства 396
25 1 Свойства движущихся заряженных частиц или тел C96)
25 2 Как обнаруживают магнитные поля? C97) 25 3 Индукция
магнитного поля — основная силовая характеристика магнит-
магнитного поля D00) 25 4 Воздействие магнитного поля на движу-
движущиеся электрические заряды D04)
§ 26. Магнитные свойства вещества 407
26.1 Внутренние магнитные поля в веществе D07) 26 2. Воз-
Воздействие внешнего магнитного поля на вещество D08). 26 3.
Классификация веществ по магнитным свойствам D10). 26 4.
Некоторые выводы D12)
Глава VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ЭЛЕ-
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 414
§ 27. рсновные опытные факты и закон электромагнитной индук-
индукции 414
27 1 Явления, связанные с изменяющимися во времени магнит-
магнитными полями D14). 27 2. Механизм возникновения и законо-
5

мерности индукционных явлений D15) 27 3 Принцип действия
трансформатора D22) 27 4. Явление самоиндукции D24)
§ 28. Электромагнитные колебания и электромагнитное поле ... 425
28 1 Закон сохранения энергии в применении к колебательному
контуру D25). 28 2 Электромагнитное поле D26) 28 3
Колебательный контур как излучатель электромагнитного
поля D32) 28 4. Атомы вещества подобны открытому колеба-
колебательному контуру D34). 28 5. Некоторые важные выводы D36)
Глава IX. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ 438
§ 29. Волновой процесс — процесс распространения колебаний в
пространстве 438
29 1 Классификация волн D36)» 29 2. Основные характеристики
волн D39).
§ 30. Некоторые свойства волн различной природы 441
30 1. Скорость распространения волн конечна D41) 30 2.
Уравнение плоской синусоидальной волны D42) 30 3. Перенос
энергии волнами D43) 30 4 Дисперсия скорости волн и дис-
дисперсия показателя преломления D44). 30.5. Явления на гра-
границе раздела сред D45).
§31. Общие свойства волн и частиц ¦• , 451
ГлаваХ. ОПТИКА . ¦ 454
§ 32. Что такое свет? • , , . 454
32,1 Предварительные замечания D54) 32-2 Механизм и ус-
условия излучения атомов и молекул D57) 32 3 Электромагнит-
Электромагнитные волны оптического диапазона D64).
§ 33. Воздействие электромагнитного излучения на вещество . . . 469
33 1 Эффекты воздействия D69). 33 2. Возможность исполь-
использования закона сохранения энергии D72).
§ 34. Основы фотометрии .•.,,, 473
§ 35. Геометрическая оптика 476
35 1 Основные понятия и законы D76) 35 2 Получение изоб-
изображений с помощью зеркал D83) 35 3 Прохождение света
через границу раздела разнородных прозрачных сред D95).
35 4 Получение изображений с помощью линз E03) 35 5, На-
Назначение простейших оптических систем и приборов E11).
§ 36. Некоторые вопросы волновой и квантовой оптики ¦ 515
36 1 Анализ электромагнитных излучений атомов и молекул по
спектрам E15) 36 2 Интерференция и дифракция света E18)
36 3 Закономерности фотоэлектрического эффекта E25). 36 4
Итоги рассмотрения оптических явлений E27)
ГлаваХ!. СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА ..... 528
§ 37. Строение атома • . • 528
§ 38. Строение ядра атома. Энергия внутриядерных взаимодейст-
взаимодействий 530
38 1. Протонно-нейтронная модель ядра E30) 38 2. Энергия
связи Дефект массы Взаимодействие нуклонов E31) 38 3 Воз-
Возможности высвобождения внутриядерной энергии E34). 38 4.
Слияние позитрона с электроном E37).
Заключительные замечания ....•,«,»...«••».« 539

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
В нашей стране проводится большая работа по совер-
совершенствованию народного образования. Партией и прави-
правительством приняты меры по дальнейшему улучшению под-
подготовки квалифицированных рабочих в учебных заведениях
системы профессионально-технического образования и меры
по привлечению в вузы рабочей и сельской молодежи.
С каждым годом возрастает число молодых людей с жизнен-
жизненным и производственным опытом, имеющих возможность
получить высшее образование.
Как показывает практика, в условиях стремительного
развития всех отраслей научных знаний абитуриентам перед
поступлением в вуз требуется определенная и целенаправ-
целенаправленная помощь. Особенно в ней нуждается тот, кто решает
поступить в вуз спустя несколько лет после получения
среднего образования. Именно этой категории абитуриентов
прежде всего и адресуется эта книга.
При подготовке пособия к новому изданию встретились
большие трудности, связанные с переходом средней школы
на новое содержание обучения по физике. Если раньше
«Основы элементарной физики», так сказать, стыковали
материал стабильных школьных учебников с требованиями
программы приемных экзаменов, то теперь пришлось огля-
оглядываться и на старые учебники, и на новые учебники и
учебные пособия, и на программу приемных экзаменов,
которая по вполне понятным причинам пока не могла пре-
претерпеть существенных изменений. Большого опыта работы
по новым учебникам и учебным пособиям еще нет.
Переработка пособия проводилась с большой осмотри-
осмотрительностью, с учетом того, что далеко не все бесспорно
в новых учебных пособиях по физике для средней школы и,
к сожалению, не все нововведения оправданы проверкой
в школах. Мы полагали, что читатели, которые восполь-
7

зуются «Основами элементарной физики», изучали физику
и по старой, и по новой программе, поэтому мы вполне соз-
сознательно изменяли изложение некоторых традиционных
вопросов курса. Однако в ряде случаев это сделано не столь
радикально и не так решительно, как это делается в новых
учебных пособиях для средней школы.
Постоянное сотрудничество с деканом подготовительного
отделения при Московском энергетическом институте
В. М. Камшилиной и анализ опыта проведения занятий
по физике на этом отделении помогли отрабатывать и улуч-
улучшать методику изложения целого ряда вопросов. За помощь
в работе автор выражает В. М. Камшилиной большую
благодарность.
Автор особенно признателен профессору И. В. Савель-
Савельеву, доценту К. В. Любимову, а также рецензентам руко-
рукописи кандидату педагогических наук Б. С. Беликову и
доценту В. Д. Козлову, любезно высказавшим критиче-
критические замечания и очень ценные советы, которые были уч-
учтены при подготовке четвертого издания «Основ элементар-
элементарной физики».
Улучшению пособия в немалой степени могут способ-
способствовать отзывы и пожелания читателей этой книги, кото-
которые автор просит направлять по адресу: 105835, ГСП, Моск-
Москва Е-250, Красноказарменная ул. 14, МЭИ, кафедра фи-
физики.
Ю, А. Селезнев

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
«Физика — трудная наука... Как научиться решать
физические задачи? Какие формулы нужно запоминать?».
Эти и множество других подобных высказываний и вопро-
вопросов можно услышать перед приемными экзаменами в ин-
институт, и не только перед экзаменами. Естественно, что
многих волнуют такие вопросы. Естественно и желание ав-
автора на них ответить.
Цель настоящего пособия — помочь подвести итог изу-
изучения элементарного курса физики, помочь систематиза-
систематизации знаний по физике, полученных в средней школе или
в среднем специальном учебном заведении, помочь в сравни-
сравнительно короткий срок повторить «школьную физику» перед
вступительным экзаменом в высшее учебное заведение.
Оговоримся сразу: наше пособие не заменит учебника по
физике! Оно не было задумано и как сборник ответов на
экзаменационные вопросы. Но если, в качестве дополнения
к учебнику, эта книга поможет вспомнить основные поло-
положения курса физики, методы физического подхода к явле-
явлениям природы и задачам практики, то не жаль будет вре-
времени, затраченного на ее чтение.
Настоящее пособие- следует рассматривать как обзор
основ школьного курса и как введение к вузовскому курсу.
Программа приемных экзаменов по физике была взята
за основу при написании этой книги. В немногих случаях
она превышена из-за желания осветить вполне доступный
материал, знание которого значительно упрощает решение
некоторых физических задач.
Главное внимание на приемных экзаменах обращается
на ясность понимания физического смысла тех или иных
фактов. При этом иногда обнаруживается отставание аби-
абитуриентов от современных физических представлений. Ча-
Часто оно объясняется большим перерывом в учебе, иногда —
9

использованием при подготовке в вуз старых учебников.
Отсутствует у нас и единая методическая программа для
подготовительных курсов, которая помогла бы осветить
современное состояние физической науки в элементарном
изложении.
Работникам вуза часто еще приходится «доучивать» и
«переучивать», исправлять досадные неточности, которые
могут быть ликвидированы самими абитуриентами при под-
подготовке к поступлению в вуз. Вступительный экзамен в ин-
институт нужно рассматривать как новый этап в совершенст-
совершенствовании знаний поступающего. Школьный материал для
студента должен быть прочнейшим фундаментом, на кото-
который будет ложиться новый, более полный, уточненный и
углубленный материал. Высшая школа не имеет возмож-
возможности и не должна заниматься повторением элементарного
курса физики, ее обязанность — идти дальше!
В нашей книге, наряду с основными теоретическими
положениями курса, подробно рассматриваются физиче-
физические задачи, при решении и анализе которых чаще всего
допускаются ошибки. Некоторые задачи призваны уточнить
смысл и значение того или иного физического явления.
Но при рассмотрении любой из них мы пытаемся напом-
напомнить, как следует рассуждать, пытаемся показать, что
в любой, даже самой простой задаче содержится ценный
элемент исследования и что любая задача должна решаться
с позиций общего физического подхода.
Автор выражает глубокую благодарность редактору
книги профессору Б. М. Яворскому, М. И. Блудову и
доценту физического факультета МГУ Г. Я. Мякишеву.
Внимательно ознакомившись с рукописью, они высказали
много ценных замечаний и советов, которые были учтейы
автором при подготовке рукописи к печати.
Ю. А. Селезнев

ВВЕДЕНИЕ
Физика изучает закономерности наиболее общих форм
движения материи. Физические формы движения (меха-
(механическая, тепловая, электромагнитная и др.) имеют место
в мире «неживой» природы, но ошг же являются состав-
составными частями более сложных форм движения, относящихся
к миру «живой» материи.
Этими закономерностями человечество интересовалось
с давних пор не только из желания объяснить происходящее
вокруг. Изучив законы, управляющие явлениями природы,
человек мог активно вмешиваться в их естественный ход,
подчинять эти явления себе.
Внимание физики приковано к фактам и явлениям при-
природы. Но как она изучает их? Какие приемы и методы выра-
выработаны в физике за долгую историю ее развития? На каком
языке изъясняется эта наука?
Французский материалист-просветитель Дени Дидро в
работе «Мысли к объяснению природы» так характеризовал
путь научного познания: «Мы располагаем тремя главными
средствами исследования: наблюдением природы, размыш-
размышлением и экспериментом. Наблюдение собирает факты;
размышление их комбинирует; опыт проверяет результат
комбинаций. Необходимы прилежание для наблюдения
природы, глубина для размышления и точность для опы-
опыта» *).
Итак, прежде всего — прилежное, пристальное наблю-
наблюдение окружающих предметов и процессов. Каждый из них
многогранен, характеризуется целым рядом свойств, ка-
качеств. Чтобы отличить один предмет или процесс от дру-
другого, нужно оговорить, по каким признакам или свойствам
*) Д. Дидро, Избранные философские произведения, Госполитиз-
Дат, 1941, стр. 98,
11

мы их различаем. Ну, а если сравнение проводится по одно-
одному и тому же признаку? Например, по объему мы сравни-
сравниваем спичечную коробку и карандаш. Здесь сравниваются
размеры, части пространства, занимаемые двумя телами.
Это сравнение дает результат в виде числа. Пусть объем
коробки оказался в 5,3 раза больше объема карандаша.
Для нас это число будет иметь вполне определенный смысл.
Но оно ничего не будет значить для тех, кто незнаком с
размерами карандаша, использовавшегося для измерения.
Нужно будет или показать, или как-то описать карандаш,
с которым сравнивалась коробка. Так возникает проблема
выбора общепринятых, понятных для всех мер, или эта-
эталонов. Но об этом разговор впереди.
Пока обратим внимание на встретившуюся необходи-
необходимость количественных сравнений, измерений однородных
свойств. Мы сравнивали объемы, но можно сравнивать лю-
любые однородные признаки: линейные размеры, промежутки
времени, площади и т. д.
Измеряемые качества, признаки или свойства назы-
называются физическими величинами. При этом очень часто
приходится иметь дело с изменяющимися, переменными
величинами (допустим, непостоянна, неодинакова плот-
плотность вещества в пределах данного объема или с течением
времени изменяется сила тока в проводнике).
Из-за бесчисленного множества свойств материальных
объектов и явлений приходится пользоваться многими
физическими величинами. Но нас не должно пугать их
число. Задачу, в которой рассматривается объект или явле-
явление во всем многообразии его качеств, практически ре-
решить нельзя. Очень важно уметь остановиться на круге
величин, характеризующем достаточно полно объект или
явление в конкретном случае. Рассматривать только глав-
главные, существенные стороны, отбросив второстепенные!
С такой классификацией величин на главные и второсте-
второстепенные мы сталкиваемся при решении любой физической
задачи.
Кажущиеся трудности физики как науки объясняются
пестротой, мозаичностью ее разделов. Но каждый из них
занимается своим кругом вопросов, своими задачами, и в
их наборе нужно видеть не сложность физики, а систему ее
взглядов, которые уточняются и углубляются от раздела
к разделу. Не нужно забывать, что, рассматривая тот или
иной круг вопросов, каждый раздел физики пользуется оп-
определенной точкой зрения, объясняет явления природы
12

на определенном уровне, пользуется определенными мо-
моделями, схематизируя явления.
Так, механика занимается рассмотрением движений тел
в целом, не учитывая детали внутреннего строения тел.
Модели, принятые в механике,— материальная точка,
абсолютно твердое тело, несжимаемый невязкий газ, несжи-
несжимаемая невязкая жидкость.
Молекулярно-кинетическая теория и физика тепловых
явлений делают шаг в глубь тел, они работают йа уровне
атомов или молекул. Здесь изучают поведение и взаимодей-
взаимодействие атомов и молекул, пренебрегая их конкретной струк-
структурой.
В физике электрических и магнитных явлений рассмот-
рассмотрение атомов и молекул в целом, как неделимых, ничего не
дает. На передний план выступают электрон и другие заря-
заряженные частицы, наделенные, кроме массы, новым свой-
свойством — электрическими зарядами.
В оптике приходится уточнять поведение электронов
внутри атома и их взаимодействие с электромагнитными
полями.
Атомная и ядерная физика приводят нас к новой меха-
механике атомных частиц, к новым законам, которые имеет
смысл рассматривать только на этом уровне.
Каждый раздел физики использует свой специфический
подход к изучаемым фактам. Но впечатление о резкой обо-
обособленности разделов физики не должно создаваться. Всег-
Всегда нужно помнить, что если раньше предметом физических
исследований были отдельные объекты и явления, рассмат-
рассматривавшиеся с разных, не связанных между собой сторон,
то по мере развития физики ее основным предметом изу-
изучения становятся связи между этими сторонами.
Что общего между всеми разделами физики, кроме того,
что они являются частями одной науки о единой природе?
Нельзя ли найти положения, общие для всей физики в
целом, сквозные идеи, пронизывающие все разделы фи-
физики? Далее мы постараемся показать, что это можно
сделать.
Итак, физическая величина — первое слово в языке
науки о природе. Накапливая в результате пристального
наблюдения факты и размышляя над ними, можно заметить
в них некоторую повторяемость, устойчивое постоянство
связей между некоторыми величинами. Это проще заме-
заметить в специально созданных условиях физического
эксперимента, когда некоторые из величин, могущих вли-
13

ять на ход рассматриваемого процесса, сохраняются неиз-
неизменными.
Постоянство соотношений между несколькими величи-
величинами, повторяющееся от опыта к опыту, очевидно, приводит
к заключению, что между рассматриваемыми величинами и
в других опытах — но непременно проводимых в тех же
условиях — эти соотношения будут сохраняться. Так мы
открываем закономерности явлений, физические законы —
устойчивые, повторяющиеся во множестве опытов связи
между величинами, присущие самой природе явлений.
Физические законы объективны, т. е. действуют помимо
воли или желания людей.
Подчеркнем два очень важных момента. Во-первых,
связь между величинами только тогда будет физическим
законом, когда она не придумана нами (а такое придумыва-
придумывание неоднократно имело место в процессе развития физики),
когда она подтверждена самЬй природой. Во-вторых, физи-
физический закон действует только в определенных условиях.
Иногда рамки этих условий достаточно широки и физиче-
физический закон является весьма общим заключением, справед-
справедливым в большинстве случаев, но все-таки не всегда.
Наиболее общие физические законы называют иногда
физическими принципами. Они являются самыми широкими,
всеохватывающими обобщениями частных законов физики.
К их числу относят: закон сохранения и превращения энер-
энергии, закон сохранения количества движения (импульса),
закон сохранения электрических зарядов и некоторые
другие.
Даже в элементарном курсе мы пользуемся физическими
теориями — заключениями, полученными из обобщения
всего экспериментального материала, которым располагает
физика на сегодня. Физическая теория (например, моле-
кулярно-кинетическая теория, электронная теория, кор-
корпускулярная, волновая и квантовая теории света и т. д.)
позволяет выяснить причину подчинения явлений опреде-
определенным законам, иногда позволяет объяснить связи между
явлениями очень разнородными.
Путь от начала синтеза экспериментальных данных до
построения физической теории огромен. Его этапами яв-
являются стадии предположений и проверок, а также физи-
физические гипотезы— заключения, базирующиеся на меньшем
объеме фактического материала, нежели теории.
Чем больше опытного материала накапливает физика,
тем полнее и точнее становятся ее теории и законы. Ведь
14

любая теория, любой физический закон — это заключения,
приближенно соответствующие действительному положе-
положению дел в природе.
Физика всегда была и всегда будет наукой опытной.
Любое физическое исследование начинается с опыта и опы-
опытом, подтверждающим или опровергающим выдвинутую
гипотезу или теорию, заканчивается. Данные новых опытов
уточняют физические задоны и границы их применимости,
«подправляют» физические теории.
Физика — не застывшая, не законченная, а непрерывно
развивающаяся наука. Физическая картина мира последо-
последовательно, непрестанно приближается к объективной дей-
действительности.

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Представление о физической величине является полным
только тогда, когда она измерена.
Измерить физическую величину — значит сравнить ее
с однородной величиной, условно принятой за единицу
измерения.
Объем можно сравнивать только с объемом, индуктив-
индуктивность — только с индуктивностью! Никому не приходит
в голову сравнивать высоту письменного стола с цветом
неба. В обиходе такие сравнения — предмет веселых шу-
шуток, но в физике подобные сравнения (а они иногда слу-
случаются!) совершенно недопустимы.
Другими словами, измерить величину — значит узнать,
во сколько раз (результат измерения — число!) она отли-
отличается от выбранной единицы.
Подчеркнем существенное отличие физических величин
от единиц их измерения. Физическая величина — это ха-
характеристика, отражающая одну из важных сторон объекта
или явления, это отражение в нашем сознании независимо от
нас существующих объективных данных. Единица же изме-
измерения — это величина, произвольно выбранная людьми
для количественных оценок, сравнений, нужных при ос-
осмысливании происходящего вокруг нас. Более образно
можно сказать, что физические величины дает нам природа,
а единицы их измерения мы придумываем, заботясь о прак-
практической выполнимости и простоте наших действий, име-
именуемых измерениями.
Некоторые единицы измерения удается воспроизвести
в виде каких-то тел или образцов (например, гири для взве-
взвешивания, метровая линейка для измерения длины и т. п.).
Такие единицы называются мерами. Меры, выполненные с
наивысшей достижимой в настоящее время точностью, назы-
называются эталонами.
16

Физика пользуется двумя видами измерений — пря-
прямыми и косвенными. Под прямыми измерениями понимают
такие, при которых измеряемая величина сравнивается с
мерой непосредственно или при помощи определенных
измерительных приборов. Измерение длины линейкой,
массы при помощи рычажных весов и т. д.— примеры пря-
прямых измерений. Косвенные измерения — это такие, при кото-
которых непосредственно измеряется не сама интересующая
нас величина, а другие величины, связанные с ней опреде-
определенными зависимостями. В этом случае результат измере-
измерения получается путем вычислений.
Как измеряется, например, работа силы F при переме-
перемещении точки приложения силы на Дг? Если направления
силы и перемещения совпадают (это предположение мы ис-
используем здесь только для упрощения), то численное зна-
значение работы А связано с модулями перемещения Дг и
действующей силы F зависимостью Л=/7Дг. Эту связь
мы и используем для измерения работы. Результат косвен-
косвенного измерения (значение работы А) в этом случае получаем
перемножением результатов прямых измерений: F можно
измерить динамометром, Дг — линейкой.
В физике установлено большое количество связей между
многими величинами. Значение одной и той же величины
может быть выражено через значения различных других
( A = FAr; A = ^~—^— и т. д. J . Одна и та же величина
может входить в уравнения для определения целого ряда
других величин (например, через массу данного тела можно
выразить: его кинетическую энергию при заданной скорости
движения, значение силы, необходимой для его движения
по окружности определенного радиуса с заданной скоро-
скоростью, и т. п.). Если к этому добавить принципиальную
произвольность выбора единиц; измерения любой величины,
то вопрос об измерениях усложняется.
Не нужно забывать и о том, что по мере развития физи-
физических исследований, охватывающих все большее число
тонких и трудоемких задач, по мере развития связей физи-
физической науки с другими отраслями человеческих знаний
физика все более становилась коллективной наукой. Тот
или иной вывод в большинстве случаев делается не на
основании труда физика-одиночки и не им одним, а является
итогом работы многих больших коллективов. В этих усло-
условиях общедоступность и сравнимость результатов измере-
измерений имеют большое значение. Иначе может случиться, что
17

будет измеряться уже измеренное и открываться уже от*
крытое. Обмен сведениями между научными коллективами
приводит к ускорению научного прогресса.
Анализ накопленных в физике связей между величинами
приводил к заключению, что величины данного раздела
физики всегда могут быть выражены всего лишь через не-
несколько независимых величин.
Оказалось, что все величины, необходимые для описания
любого явления механики, могут быть выражены только
через три независимые величины. Наборы этих трех вели-
величин могут быть различными, например: длина, время и
масса; или: длина, время и сила. Важно только, чтобы эти
величины не были зависимыми одна от другой. Если теперь
для этих трех величин произвольно назначить единицы изме-
измерения, то для всех остальных механических величин еди-
единицы измерения будут получены по уравнениям их связи
с этими тремя.
Основными единицами мы называем произвольные еди-
единицы измерения для этих немногих (независимых друг от
друга!) величин, с которыми все другие находятся в опре-
определенной связи.
Производньье единицы получаются из основных при
помощи уравнений связи между соответствующими вели-
величинами.
В механике три основные единицы. Если мы переходим
к рассмотрению тепловых явлений, к этим трем приходится
добавить еще одну. И далее, при переходе к рассмотрению
электрических и магнитных явлений и к энергетическому
анализу оптических явлений приходится вводить еще, соот-
соответственно, по одной основной единице.
Легко понять, почему в качестве основных берутся еди-
единицы длины и времени. Все, что существует вокруг нас и
независимо от нас, что воспринимается нашими органами
чувств и отражается в нашем сознании, мы называем мате-
материей. Какой бы материальный объект или явление мы ни
рассматривали, окажется, что вне пространства и вне
времени ничто не существует. Кроме того, в природе нет
покоя, нет абсолютно неподвижных тел, нет застывших
явлений. Причем беспрерывное движение, на которое мы
здесь указываем, нужно понимать не в смысле механичес-
механического движения (одно тело перемещается относительно дру-
другого), а как любое изменение вообще.
Полет пули и оптические явления, химические реакции и
обмен веществ в живых организмах, наконец, процессы^
18

происходящие б человеческом обществе,— все это примеры
различных изменений, примеры различных форм движе-
движения, имеющихся в природе. Любой предмет имеет простран-
пространственные размеры и форму, находится в каком-то месте в
пространстве по отношению к другому предмету. Любой
процесс, в котором участвуют материальные объекты, сколь-
сколько-то длится бо времени, может совершаться раньше или
позже другого процесса и т. д. Только в движении, в про-
пространстве и во времени существует материя.
Именно поэтому возникает необходимость измерять
пространственную и временную протяженности, и единицы
для их измерения стоит выбрать в качестве основных.
Эти единицы должны быть удобными для практических
измерений, должны быть неизменными и воспроизво-
воспроизводимыми.
Исторически сложилось так, что одна сорокамиллион-
сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего через
Париж, была выбрана за единицу длины и названа метром.
1/86400 часть средних солнечных еуток (или 1/86164 часть
звездных суток) была выбрана за единицу времени и наз-
названа секундой.
За эталон единицы длины было выбрано расстояние
между рисками на определенном платино-иридиевом стерж-
стержне при 0°С. Секунда могла практически очень точно вос-
воспроизводиться при помощи специального устройства —
кварцевых часов.
Теперь, выбрав еще одну основную единицу и восполь-
воспользовавшись известными уравнениями связи между значе-
значениями величин, можно было построить систему единиц —
совокупность основных и производных единиц — для всех
механических величин. При этом последнем выборе «при-
«привязываться» к какой-то природной мере уже не имело
практического смысла.
За третью основную единицу принималась или едийица
массы A кг или 1 г массы), или единица силы A кГ силы).
Укажем, что одинаковое название единицы — килограмм —
для совершенно разнородных величин, массы и силы, было
очень неудачным и приводило к путанице.
За эталон единицы массы была принята масса опре-
определенного платино-иридиевого цилиндра.
Из принятых в настоящее время систем единиц измере-
измерения механических величин мы рассматриваем две: СИ и СГС.
В СИ за основные единицы приняты: \ м, \ кг (кило-
(килограмм массы!) и 1 сек.
19

Основные единицы системы СГС: 1 см — одна сотая
часть метра, 1 г — одна тысячная часть массы эталонного
цилиндра и 1 сек.
Производные единицы этих систем мы напомним далее,
рассматривая соответствующие величины.
Четвертой основной единицей, необходимой при рас-
рассмотрении тепловых явлений, является градус.
Для нас будет представлять интерес температурная
шкала Кельвина. Не обсуждая действительного принципа
ее построения, мы только скажем, что это температурная
шкала, начало отсчета которой @°К) взято на 273,15 градуса
ниже 0°С, интервалы между ее соседними делениями (гра-
(градусы Кельвина) соответствуют интервалам шкалы Цельсия,
нуль которой определяется температурой плавления льда
при нормальном давлении, а температуре кипения дистил-
дистиллированной воды при нормальном давлении приписывается
значение 100°.
Необходимость ввести пятую основную единицу появ-
появляется при изучении электрических явлений, и в связи с
этим строится абсолютная электростатическая система еди-
единиц СГСЭ. В ней используются единицы механической си-
системы СГС и к ним добавляется еще одна.
Вспомним, как вводилась абсолютная электростатиче-
электростатическая единица заряда. Использовалось уравнение закона
Кулона для взаимодействия равных зарядов (см. § 19).
Единицы измерения силы и расстояния брались из системы
СГС. Но факт появления пятой основной единицы обычно
содержался только в словесной формулировке того, что
рассматривается взаимодействие зарядов в вакууме.
Непосредственные опыты по .измерению силы взаимодей-
взаимодействия заряженных тел в однородном газообразном диэлект-
диэлектрике (и косвенные методы для оценки взаимодействия в
однородных жидких и твердых диэлектриках) позволяют
учесть влияние среды введением дополнительного множи-
множителя в уравнение закона Кулона. В системе СГСЭ можно
написать:
ег2
где е — так называемая относительная диэлектрическая
проницаемость среды, в которой находятся заряды qt и q^
Для вакуума формула принимает вид
20

только при условии, что 8=1, причем в любой другой среде
значение г отличается от единицы, но остается числом отвле-
отвлеченным (безразмерным), показывающим, во сколько раз
сила взаимодействия данных зарядов в этой среде меньше
силы их взаимодействия в вакууме при прочих равных
условиях.
Произвольный выбор пятой основной единицы в системе
СГСЭ и состоит в предположении, что относительная ди-
диэлектрическая проницаемость вакуума равна безразмерной
единице. В других системах единиц измерения г может быть
размерной величиной и по численному значению может
отличаться от единицы.
Подчеркнем еще раз, что в системе СГСЭ основными
являются единицы: 1 см, 1 г, 1 сек и, кроме того, счита-
считается, что 8вак=1.
Единица измерения заряда в системе СГСЭ является
производной:
1 ед. СГСЭ,= 1 см-УТдин,
так как q = rVF и F измеряется в динах.
Единица измерения силы электрического тока в системе
СГСЭ может быть получена по уравнению / = д|, где Aq—
значение электрического заряда, протекающего через по-
поперечное сечение проводника за промежуток времени Д?.
Тогда
¦ ед.
Эта единица в 3-109 раз меньше ампера — единицы силы
тока, используемой в электротехнике, поскольку
1а=г^- и 1к = 3.109ед. СГСЭ..
1 С6К "
Заметим, кстати, что кулон не является единицей, принад-
принадлежащей системе СГСЭ.
Аналогично тому, как вводилась пятая основная едини-
ца (8вак=1) в электростатике, при изучении магнитных
явлений вводилась шестая основная единица. В абсолютной
электромагнитной системе единиц СГСМ, о которой в курсе
физики средней школы обычно упоминалось, можно было
использовать относительную магнитную проницаемость ве-
вещества \i — величину, показывающую, во сколько раз ин-
индукция магнитного поля (при заданном расположении его
21

источников) в данном однородном веществе отличается от
индукции поля тех же источников в вакууме,— как
величину безразмерную и равную для вакуума единице
Наконец, последняя основная единица вводится в фото-
фотометрическом разделе оптики для силы света. Это свеча.
Свечу можно выразить и через механические единицы
(энергии или мощности, площади, времени) и дополнитель-
дополнительную единицу измерения пространственных (телесных)
углов — стерадиан. При этом она являлась бы производной
единицей. Но поскольку энергию светового излучения
практически очень трудно измерять с высокой точностью,
было решено воспользоваться свечой как самостоятельной
основной единицей. Для свечи был принят эталон специ-
специальной конструкции. Все остальные фотометрические еди-
единицы являются производными от свечи.
По мере своего развития физика предъявляла все более
жесткие требования к точности измерений. Она стала изу-
изучать такие тонкие эффекты и явления, что не очень точные
измерения могли не позволить заметить их вовсе. Точность
измерений зависела, конечно, от точности определения
основных единиц и от точности воспроизведения их эта-
эталонами.
Проверку на точность не выдержали ни длина париж-
парижского меридиана, ни расстояние между рисками на эталоне
единицы длины. Из-за сложного характера движения Земли
недостаточной оказалась точность определения секунды как
части средних солнечных или звездных суток. Дополнитель-
Дополнительную неточность при воспроизведении секунды давали и эта-
эталонные кварцевые часы. Пришлось искать меры более точно
определяемые, чем прежние.
Чрезвычайно устойчивой и измеряемой с высокой точ-
точностью (хотя и малой пространственной протяженности)
оказалась длина волны, соответствующая одной из линий
спектра испускания криптона при определенных условиях
наблюдения. Она и была принята за новый эталон единицы
длины. Один метр в 1650763,73 раза больше этого эталона.
Более стабильным и точно определяемым эталонным
интервалом времени стал считаться тропический год —
период обращения Земли вокруг Солнца. Поскольку и
тропический год все же изменяется (примерно на 0,5 сек
за 100 лет), за эталонную была принята его протя-
протяженность, определенная на 12 часов 00 минут 00 се-
секунд 31 декабря 1899 г. Одна секунда составляет
22

1/31556925,1747 часть продолжительности этого года. Вме-
Вместо кварцевых часов для воспроизведения секунды исполь-
используются специальные молекулярные и атомные часы.
Кроме уточнения эталонов, в последние годы появилась
потребность «еще раз договориться». Уж очень большое
число различных систем единиц измерения было в ходу,
не говоря о множестве единиц внесистемных.
В октябре 1960 г. XI Генеральная конференция по ме-
мерам и весам приняла Международную систему единиц СИ
(от Systeme International, сокращенно SI). В Советском
Союзе эта система утверждена как Государственный стан-
стандарт (ГОСТ 9867-61) и должна применяться как предпочти-
предпочтительная во всех областях науки, техники и народного хо-
хозяйства.
Основными в СИ являются единицы измерения следую-
следующих шести величин: длины — 1 метр, времени — 1 се-
секунда, массы — 1 килограмм, температуры — 1 градус
Кельвина, силы электрического тока — 1 ампер, силы
света — 1 свеча.
Кроме того, дополнительными являются единицы: пло-
плоского угла — 1 радиан, телесного угла — 1 стерадиан*
Пять из основных единиц этой системы мы уже обсуди-
обсудили. Шестая — ампер — вводится на основании точной оцен-
оценки силового магнитного взаимодействия двух проводников,
по которым протекает электрический ток. Этот вопрос мы
подробнее осветим в соответствующем разделе нашего по-
пособия. Сейчас не будем задерживаться и на рассмотрении
производных единиц СИ.
Преимущество СИ перед всеми другими системами за-
заключается в ее единстве для всех разделов физики. Она четко
разграничивает единицы массы (килограмм) и силы (нью-
(ньютон), устанавливает универсальную единицу для работы,
энергии и количества теплоты (джоуль). Основной едини-
единицей (кроме механических) для электрических и магнитных
явлений служит одна — ампер. Последнее обстоятельство
приводит к изменению некоторых формул электростатики
и электродинамики. Применение единой системы СИ упро-
упрощает расчеты, ликвидирует необходимость перехода от еди-
единиц одной системы к единицам другой.
После XIII Генеральной конференции по мерам и весам
(октябрь 1967 г.) Комитет стандартов, мер и измерительных
приборов при Совете Министров СССР принял решение о
переходе к обязательному применению Международной
системы единиц.
23

Проект нового стандарта предусматривает введение
нового, «атомного» определения секунды вместо «астроно-
«астрономического». За основу при этом берется период, соответст-
соответствующий излучений) определенной спектральной линии
атома цезия-133 при определенных условиях. Одна секунда
в 9192631770 раз больше этого периода. Специальный це-
зиевый эталон оказывается достаточно точным для такого
определения секунды.
Предусматривается также введение новых обозначений
для единиц измерения и изменение наименований некоторых
единиц измерения. Так, например, метр, секунда, кило-
килограмм, ампер, радиан и стерадиан будут иметь обозначения:
м, с, кг, А, рад и ср. Единица измерения температуры и раз-
разности температур по шкале Кельвина будет называться
Кельвином (К), а единица силы света — канделой (кд). Далее
в тексте мы везде будем использовать новые обозначения и
названия единиц измерения.
XIV Генеральная конференция по мерам и весам (ок-
(октябрь 1971 г.) приняла решение о введении седьмой основ-
основной единицы системы СИ для измерения так называемого
количества вещества. В качестве такой единицы принят
моль (моль) — количество частиц (молекул, атомов и др.),
равное количеству атомов, содержащихся в 0,012 кило-
килограмма изотопа углерода 6С12. Это количество частиц чис-
численно равно так называемой постоянной Авогадро (NA=
=6,02-1023 моль). Количество частиц, в тысячу раз
большее моля, называется киломолем (кмоль). В киломоле
содержится 6,02-1026 частиц.

ГЛАВА I
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 1. КИНЕМАТИКА
1.1. Основные понятия
Механическое движение — изменение взаимного распо-
расположения тел или их частей относительно друг друга в про-
пространстве с течением времени — простейшая из форм дви-
движений. Любое механическое движение относительно. В при-
природе нет неподвижных тел и, значит, нет такого «удобного»
тела, относительно которого можно было бы рассматривать
все движения. Мы в качестве наблюдателей вправе поль-
пользоваться любым из тел, условно считать его неподвижным
и с этой точки зрения рассматривать движение других
тел. Тело, которое в условиях данной задачи может быть
принято за неподвижное, носит название тела отсчета.
Для описания механического движения с телом отсчета
связывают систему координат. Ею может быть пространст-
пространственная прямоугольная система координатных осей XYZ.
Если же движение происходит в одной плоскости или вдоль
одной прямой, то достаточно ввести, соответственно, только
две координатные оси или одну.
Совокупность тела отсчета и связанной с ним системы
координат часто называют системой отсчета, хотя содер-
содержание этого понятия в современной физике оказывается
более широким.
Сама система отсчета «слепа», она не регистрирует поло-
положений движущегося тела или их изменений, но она помогает
это сделать наблюдателю, находящемуся в ней, т. е. наб-
наблюдателю, использующему данную сдстему отсчета. Наб-
Наблюдателем является экспериментатор, изучающий, изме-
измеряющий то или иное движение. Иногда роль наблюдателя
выполняет какой-либо прибор, например кинокамера.
25

Любое движение совершается в пространстве и во вре-
времени. Значит, для исследования движения необходимо рас-
располагать эталонами, которые позволяли бы достаточно
точно измерять пространственные и временные промежутки.
Коротко такие эталоны называют масштабом и часами,
хотя первый из них не обязательно должен быть сантимет-
сантиметровой линейкой или рулеткой, а второй — будильником
или секундомером. Говоря о часах, имеют в виду устрой-
устройство, в котором совершаются какие-то строго периодические
процессы. Их периодичность определяет эталонный проме-
промежуток времени. Момент начала отсчета времени по часам
для данной системы отсчета должен быть, конечно, указан.
Измерение линейных размеров тела или расстояний
может быть связано не с непосредственным прикладыва-
прикладыванием масштаба к измеряемому отрезку, а с использованием
в качестве промежуточных звеньев каких-либо приборов,
например акустических или оптических (типа звукового
локатора, радиолокатора или теодолита).
В специальной теории относительности доказывается,
что пространственные и временные промежутки не яв-
являются абсолютными, они могут изменяться при переходе
от одной системы отсчета к другой. Это значит, что масштаб
и часы оказываются зависимыми от выбора системы отсчета
и должны считаться элементами системы отсчета (помимо
тела отсчета и системы координат).
Если между движущимся телом, телом отсчета, масшта-
масштабом, часами и наблюдателем не будет установлено «двухсто-
«двухсторонних связей», то описать или рассчитать механическое
движение не удастся. Крайне редко случается такое, чтобы
движущееся тело непосредственно контактировало во время
движения с масштабной линейкой и само включало и выклю-
выключало секундомер. Каким образом в большинстве случаев
устанавливаются связи между изучаемым движущимся
объектом, упомянутыми элементами системы отсчета и на-
наблюдателем? С помощью каких посредников наблюдатель
может судить о местонахождении объекта? Ими являются
различные сигналы — звуковые, световые, тепловые. Ин-
Информацию об объекте наблюдения могут принести радио-
радиоволны, рентгеновское и радиоактивное излучение, потоки
заряженных или нейтральных частиц. В этом списке наи-
наиболее универсальны те сигналы, которые распространяются
со скоростью света в вакууме. Ведь эта скорость остается
неизменной — огромной, но конечной и предельной —
в любой системе отсчета. Скорости распространения всех
26

иных сигналов в разных системах отсчета могут быть неоди-
неодинаковыми. Все это дает возможность считать сигнал одним
из элементов системы отсчета.
Если не делается особых оговорок о скорости распро-
распространения сигналов в данной системе отсчета, то эта ско-
скорость считается равной скорости распространения света в
вакууме.
Еще раз напомним читателю и подчеркнем, что при ре-
решении каждой задачи о механическом движении какого-то
тела должна быть выбрана та или иная система отсчета.
Без указания системы отсчета разговор о механическом
движении становится беспредметным. Без системы отсчета
о механическом движении судить невозможно!
Часто при решении задач механики за тело отсчета при-
принимают Землю или связанные с нею тела (стены здания,
лабораторный стол и т. д.). Такой выбор удобен для многих
задач в земных условиях. Он не противоречит нашим пред-
представлениям, так как движения самой Земли мы не замечаем.
Но не забудем, что пользоваться системой отсчета, связан-
связанной с Землей, удобно далеко не всегда. Так, если в задаче
рассматривается несколько тел, движущихся относительно
друг друга (например, брусок соскальзывает с наклонно
расположенной доски, которая сама движется по поверх-
поверхности стола, и т. п.), то удобно бывает воспользоваться в
качестве тела отсчета одним из этих тел, а вовсе не Землей.
Иногда при решении подобных задач вводят не одну, а
несколько систем отсчета (или переходят от одной системы
отсчета к другой) и учитывают характер их относительного
движения. Чтобы различать системы отсчета в таких слу-
случаях, либо конкретно указывают, с каким телом отсчета
связана каждая из систем, либо одну из них называют не-
неподвижной (например, в упомянутой выше задаче непод-
неподвижной будет система отсчета, связанная со столом), а дру-
другие — подвижными или движущимися (например, система
отсчета, связанная с наклонной доской), причем указывают
характер движения последних относительно неподвижной
системы отсчета.
Все тела имеют определенные конечные размеры, но
иногда эти размеры можно не учитывать. Например, мы
решаем задачу о том, сколько времени находится в пути
поезд, вышедший из Москвы в Ленинград. Все характери-
характеристики движения (момент отправления, начальная скорость
и т. д.) заданы. Стоит ли нам интересоваться в этой задаче
размерами поезда (числом вагонов, длиной каждого из них
27

и т. д.)? Конечно, нет. Передняя и задняя точки состава
практически одновременно прибудут в Ленинград. Другое
дело, если бы речь шла о движении того же поезда на пути
в 200 метров!
Когда отпадает необходимость учитывать конечные раз-
размеры тел, говорят о материальных точках — телах беско-
бесконечно малых размеров. Этой моделью пользуются в тех
случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел во
много раз меньше всех прочих расстояний в данной задаче,
или в тех, когда размеры тела хотя и соизмеримы с прой-
пройденным расстоянием, но структуру тела, расположение или
движение отдельных его частей не стоит учитывать.
Второй моделью является абсолютно твердое тело —
тело, форма и размеры которого в данной задаче считаются
неизменными, т. е. расстояние между любыми двумя про-
произвольно выбранными точками тела может считаться
постоянным. Такая модель используется, когда нельзя пре-
пренебречь размерами тела, но можно для упрощения пренеб-
пренебречь их изменениями. Абсолютно твердое тело можно счи-
считать совокупностью жестко связанных материальных точек.
1.2. Кинематика движения материальной точки
Радиус-вектор и координаты. Положение материальной
точки М в пространстве в данный момент времени может
быть задано радиус-вектором
г, соединяющим начало коор-
координат выбранной системы от-
отсчета с рассматриваемой точкой
(рис. 1.1). Поскольку в совре-
современной литературе по физике
векторы чаще всего обозначают-
У ся полужирными буквами, мы
будем придерживаться именно
таких обозначений.
Ясно, что данному положе-
Рис; 1.1* нию точки соответствуют три
координаты (х, у, г) конца ра-
радиус-вектора (координаты начала радиус-вектора при-
принимаются равными нулю).
В дальнейшем, чтобы не усложнять изложения, мы будем
рассматривать не произвольные движения точек или тел
в пространстве, а движения, происходящие в одной пло-
28

скости,— так называемые плоские движения, или движе-
движения, происходящие вдоль одной прямой линии,— так
называемые одномерные двиоюения. В иных случаях будут
сделаны соответствующие оговорки. Для описания плос-
плоского движения достаточно одной координатной плоскости
(например, XOY). Положение точки при этом определяется
лишь двумя координатами (х и у), а изменение положения
точки при движении описывается изменениями этих коор-
координат. Для определения положения точки на заданной
прямой линии требуется лишь одна координата, по изме-
изменению которой судят об одномерном движении.
Траектория. Линия, которую описывает движущаяся
материальная точка в пространстве, называется траекто-
траекторией. Разным положениям точки на траектории соответст-
соответствуют различные радиус-векторы (гх, г2 и т. д.) или различ-
различные наборы координат (хи уи zx\ х2у y2, z% и т. д.).
По форме траектории движения классифицируются на
прямолинейные и криволинейные. Движение по окружности
(или по дуге окружности) является простейшим из криво-
криволинейных.
Различные виды движений и способы их описания мы
более подробно рассмотрим в дальнейшем, но уже здесь
следует напомнить читателю, что форма траектории дан-
данного движения материальной точки зависит от выбора си-
системы отсчета и в этом смысле оказывается относительной.
Если маленький шарик выпал из окна поезда, движуще-
движущегося равномерно по горизонтальному участку, то в системе
отсчета, связанной с поездом, шарик опишет вертикальную
прямолинейную траекторию. Движение того же шарика с
точки зрения наблюдателя на железнодорожной насыпи
(система отсчета, связанная с Землей) будег казаться про-
происходящим по криволинейной (параболической) траектории.
О символе А. Следует обратить внимание на символ Д,
который используется весьма часто. Этот символ имеет
двоякий смысл. Во-первых, он обозначает конечное изме-
изменение (приращение или убыль от одного определенного зна-
значения до другого определенного значения) стоящей за ним
переменной величины: Аг — изменение радиус-вектора;
Ал:, Ду, Дг — изменения координат движущейся точки;
Аф — разность потенциалов в двух точках электростатиче-
электростатического поля и т. п. Во-вторых, он применяется для обозна-
обозначения малого элемента, «малого кусочка» какой-то пере-
переменной величины: At — малый промежуток времени, AS —
малый элемент площади (или так называемая «элементарная
29

площадка»), AV~— малый элемент объема («элементарный
объем») и т. п.
Трудности нередко возникают в тех случаях, когда одно
и то же по форме обозначение может иметь и тот, и другой
смысл. Например, через AV можно обозначить и изменение
объема газа в сосуде с поршнем при расширении (объем
газа увеличился от одного литра до двух; при этом AV=
= 1 л), и элементарный объем, выделенный где-то внутри
этого сосуда (нас мог интересовать состав газа в пределах
каждого кубического миллиметра вблизи дна сосуда и вбли^
зи поршня; теперь A V= 1 мм3).
У к Чтобы избежать подобной не-
неоднозначности, приходится
всякий раз пояснять, в ка-
каком смысле употребляется
символ А.
Вектор перемещения. Дви-
Движение материальной точки
характеризуется вектором
перемещения (иногда для крат-
краткости его называют просто
перемещением), который равен
изменению радиус-вектора движущейся точки за рассмат-
рассматриваемый промежуток времени. При переходе точки из
положения 1 в положение 2 (рис. 1.2) вектор перемещения
Аг связан с радиус-векторами начального и конечного
положений точки соотношением
Аг=г2—гь A.1)
которому в общем случае эквивалентна система трех урав-
уравнений для проекций соответствующих векторов*
Рис. 1.2.
у=г2у—r
lyi
Arz=r2z—rl2
A.2)
Напомним, что проекцией Ьх вектора b на координатную
ось ОХ называется скалярная величина, связанная с мо-
модулем вектора и углом ориентации равенством
где а — угол между координатной осью и вектором Ь,
отсчитываемый от положительного направления координат-
координатной оси против часовой стрелки. Проекция вектора может
быть величиной положительной, отрицательной и равной
нулю (рис, 1.3).,
30

В согласии с этим правилом проекции радиус-вектора г
на координатные оси OX, OF и OZ выражаются просто
через соответствующие координаты его конца:
а система уравнений A.2) для проекций вектора переме-
перемещения принимает вид
АГХ=Х2—Хи Агу=у2—Уи АГг=22—2ь (ЬЗ)
или
Агх^=Ах9 Агу~Ау9 Аг2=Д^ A-3')
Правые части уравнений в системах A.3) или A.3')—
это разности координат движущейся точки, соответствую-
соответствующих ее конечному и начальному положениям. Поэтому очень
bZoc<0
(cosaz<0)
Рис. 1.3.
часто проекции вектора перемещения АгХ9 Агу и Arz назы-
называют перемещениями (или смещениями) точки вдоль соот-
соответствующих координатных осей.
Вектор перемещения движущейся точки соединяет на-
начальное положение точки с конечным и характеризует, на-
насколько точка сместилась в пространстве, а также куда,
в какую сторону она двигалась. Может показаться, что
только с этим последним обстоятельством и связан вектор-
векторный смысл перемещения (вместо того, чтобы пояснять сло-
словами: «точка двигалась на северо-запад» и т. п., мы на схе-
схеме изображаем так или иначе ориентированную стрелку-
вектор).
В действительности же все векторные величины (и век-
вектор перемещения в частности) вводятся не ради экономии
слов. Общим свойством векторных величин является то,
что сложение или вычитание однородных векторных вели-
величин производится не по арифметическим или алгебраиче-
алгебраическим правилам. Векторы складываются и вычитаются
31

геометрически! Тот опытный факт, что результат несколь-
нескольких последовательных перемещений всегда находится как
геометрическая сумма этих перемещений, говорит о век-
векторном характере перемещений, о необходимости и целе-
целесообразности введения перемещения как векторной вели-
величины.
Попутно отметим, что геометрическое суммирование
векторов может производиться по правилу многоугольника,
которым удобно пользоваться, когда слагаемых векторов
больше двух. При таком суммировании слагаемые векторы
пристраиваются последовательно один к другому (второй
вектор совмещается своим началом с концом первого, на-
начало третьего — с концом второго и т. д.), Геометрической
суммой является замыкающий вектор, проведенный от
Рис. 1.5.
начала первого слагаемого к концу последнего. На рис. 1.4
вектор R является суммой пяти слагаемых (а!, а2, а3, а4 и
а5), в чем можно убедиться, последовательно применяя
правило параллелограмма.
Путь. Еще одной кинематической характеристикой дви-
движения является путь (S или AS) — скалярная величина,
равная расстоянию от начального пункта движения до ко-
конечного, измеренному вдоль траектории. Подчеркнем, что
путь не может быть величиной отрицательной. Путь —
это, если так можно сказать, суммарный километраж, прой-
пройденный точкой, независимо от того, в каком направлении
происходило движение и изменялось ли это направление.
Из такого определения следует, что для криволинейного
движения путь никогда не может равняться модулю век-
вектора перемещения. При движении точки из пункта /
в пункт 2 (рис. 1.5) путь S12 равен длине криволинейного
участка траектории 1—2. Модуль вектора перемещения
Аг12 в том же масштабе равен длине прямой 1—2 и, конечно,
оказывается меньшим, чем путь.
32

Не совпадает путь с модулем вектора перемещения и
в случае прямолинейного движения, если направление
движения с какого-то момента изменяется на обратное.
Например, точка начала двигаться из пункта 7, достигла
пункта 2, а потом изменила направление движения и оста-
остановилась в пункте 3 (рис. 1.6). В выбранном масштабе путь
Л
Рис. 1.6.
точки S13 будет равен сумме длин отрезков 1—2 и 2—5, а
^модуль вектора перемещения Аг13 при этом будет равен
длине отрезка 1—3.
Равенство пути и модуля вектора перемещения имеет
место только в одном частном случае: когда прямолинейное
движение происходит в одном направлении.
Средняя и мгновенная скорость. Для оценки быстроты
изменения положения точки в пространстве с течением вре-
времени вводится средняя скорость (vcp) — физическая вели-
величина, равная отношению перемещения Аг к тому промежут-
промежутку времени Д*, в течение которого это перемещение прои-
произошло:
По этому уравнению вводится единица измерения средней
скорости. В системе единиц СИ:
1 ед. скорости СИ 'ед длины СИ 1м =
г 1 ед времени СИ 1 с '
В системе СГС единицей скорости является 1 см/с.
Напомним, что по такому же общему рецепту вводятся
производные единицы измерения и для других величин.
Значение новой величины ставится в зависимость от других
величин, введенных ранее, единицы измерения которых
уже известны. Подставляя в уравнение связи единичные
значения известных величин, получают единичное значение
вновь вводимой величины.
Вместо векторного уравнения A.4) может быть написана
эквивалентная система уравнений для проекций на оси
координат:
(Оср)* = д7, (%)у = д|> (Уср)г=дГ' О-5)
2 Ю. А. Селезнев 33

Бесконечно уменьшая промежутки времени At> в течение
которых наблюдается движение, получают мгновенную
скорость (или скорость в данный момент):
v= lim ~, A.6)
Легко показать, что вектор мгновенной скорости v всегда
совпадает с касательной к траектории движения в рассмат-
рассматриваемой точке и направлен в сторону движения. Находя
значение мгновенной скорости по уравнению A.6), мы долж-
должны рассматривать перемещения за бесконечно малые про-
промежутки времени (Д?-й)). Для этого всю траекторию дви-
^ v жения придется разбить на
4.JL_ J малые криволинейные участки
BN, NK и т. д. (рис. 1.7). Век-
Вектор перемещения для каждого
такого участочка будет сов-
совпадать с секущими BN, NK и
т. д. При увеличении числа
участков, на которые разби-
разбивается траектория движения,
длины секущих будут при-
приближаться к длинам участков траектории, а направление
каждой из них будет в пределе приближаться к направле-
направлению касательной к траектории в рассматриваемой точке,
соответствующей определенному моменту времени. На
рис. 1.7 показаны векторы мгновенных скоростей для точек
R и М, их длины (в выбранном масштабе) соответствуют
модулям скоростей vH и vM.
Скалярная средняя скорость* Для решения некоторых
задач представляет интерес так называемая скалярная сред-
средняя скорость (?>cp)s> которая определяется отношением
отрезка пути AS, пройденного за промежуток времени At,
к этому промежутку:
(Vs = I7- A.7)
Например, если точка, двигаясь по окружности (или
по любой другой замкнутой траектории), возвратилась через
промежуток времени At в исходное положение, то ее полное
перемещение равно нулю. Средняя векторная скорость,
подсчитываемая по уравнению A.4), также окажется рав-
равной нулю. Средняя скалярная скорость при этом будет
34

какой-то вполне определенной, отличной от нуля величи-
величиной, характеризующей быстроту движения по траектории.
Если движение по замкнутой траектории происходит без
остановок, то в любой точке траектории модуль вектора
мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Такое
очевидное заключение подтверждается не только уравне-
уравнением A.6), но и согласуется с понятием средней скалярной
скорости. Если в уравнении A.7) перейти к пределу при
Д?->0, то придется рассматривать такие малые участки
пути AS, которые не отличаются от модуля элементарного
вектора перемещения Аг. Тогда на основании уравнения
A.7) можно получить значение мгновенной скалярной ско-
скорости
» - lim -^
А* -» О &*
которое совпадает с модулем векторной мгновенной ско-
скорости
lim
\t -> о '
<== lim -L?LL = lim ?L,
А/ -* О Ш М -> О Ы
так как Ar=AS.
Поскольку четко разграничивать понятия о перемеще-
перемещении и пути в школьном курсе физики стали сравнительно
недавно, многие абитуриенты допускают ошибки, стремясь
выразить скорость движения «через путь», а не через пере-
перемещение. Чтобы понятие о средней скалярной скорости не
способствовало такому соблазну, подчеркнем, что эта ско-
скорость имеет более узкий смысл, чем вектор средней скорости.
Скалярная средняя скорость совпадает с модулем вектора
средней скорости в одном-единственном частном случае:
для прямолинейного движения в одном направлении (когда
путь равен модулю вектора перемещения).
Среднее и мгновенное ускорение. При произвольном дви-
движении материальной точки вектор скорости с течением вре-
времени может изменяться как по модулю, так и по направле-
направлению. Для оценки быстроты этих изменений вводят среднее
ускорение движения
й мгновенное ускорение
35

Уравнению A.8) эквивалентна система уравнений для про-
проекций на оси координат:
(а ) -Av*
A-8')
Рис. 1.8.
Аналогично может быть записана система уравнений и для
проекций вектора мгновенного ускорения.
Единицы измерения ускорения A м/с2 и 1 см/с2) полу-
получают по уравнениям A.8) или A.9).
Часто забывают, что ускорение характеризует не только
изменение модуля скорости (например, скорость движения
какого-то тела за 5 с изменилась от 5 м/с до 30 м/с, тогда в
среднем за каждую секунду она изменялась на 5 м/с, т. е.
модуль ускорения равен
5 м/с2). Ускорение харак-
характеризует и изменение направ-
направления вектора скорости. На-
Например, равномерное движе-
движение точки по окружности
является ускоренным из-за
изменения направления век-
вектора скорости с течением вре-
времени, хотя модуль скорости
остается неизменным.
Если модули нескольких
векторов одинаковы, а их
направления различны, то такие векторы нельзя считать
равными. Так (рис. 1.8, а), векторы скоростей точки, дви-
движущейся равномерно по окружности, в положениях 1 я 2
не равны. Для того чтобы получить вектор v2, к вектору Vi
нужно прибавить вектор Av, который и будет характери-
характеризовать изменение направления вектора скорости за какой-то
промежуток времени At (рис. 1.8,6). Отнеся Av к А/, мы
оценим быстроту изменения направления вектора скорости
во времени, т. е. ускорение, среднее за промежуток вре-
времени А/. В рассматриваемом движении мгновенное ускоре-
ускорение иногда называют центростремительным ускорением,
а его модуль подсчитывают по известной формуле
ацс = 7Г> A.10)
где v — модуль скорости движения, R — радиус описывае-
описываемой окружности,
36

Чтобы можно было отдельно учитывать изменения век-
вектора скорости по модулю и по направлению, вводят две
составляющие вектора полного ускорения движения тела:
тангенциальное, или касательное, ускорение ах, характе-
характеризующее изменение модуля скорости (насколько скорость
возросла или уменьшилась за единицу времени), и яор-
мальное ускорение ап, характеризующее изменение направ-
направления вектора скорости с течением времени.
Если за промежуток времени At скорость точки изме-
изменилась от vx до v2 (рис. 1.9, а), то полное изменение скоро-
скорости в выбранном масштабе определяется вектором Av
К
Рис. 1.9.
(рис. 1.9, б). Отложим на векторе О/С, равном v2, отрезок
OD, равный модулю вектЪра vi. Отрезок/)К характеризует
изменение модуля скорости (DK=v2—t>i=At;), и модуль
среднего ускорения, измеряющего это изменение, за про-
промежуток времени At будет равен
-" Д* — At '
Отрезок CD позволяет оценить изменение направления
вектора скорости, и модуль среднего ускорения, характе-
характеризующего это изменение, можно найти как
i \ CD
Переходя в этих выражениях к пределам при бесконечном
уменьшении промежутка времени (А?->0), можно опреде-
определить модули тангенциального и нормального ускорений.
Тангенциальное ускорение является составляющей век-
вектора полного ускорения вдоль направления касательной
37

к траектории в данной точке. Оно направлено в сторону
движения, если скорость движения по модулю возрастает
(рйс. 1.10, а), и в противоположную сторону, если модуль
скорости уменьшается (рис. 1.10, б). Нормальное ускорение
представляет собой составляющую вектора полного уско-
ускорения вдоль нормали к траектории в данной точке и всегда
направлено к центру кривизны траектории (рис. 1.10).
Модуль а вектора полного ускорения очень просто вы-
выражается через ах и ап:
По характеру поведения скорости и ускорения движе-
движения классифицируются на равномерные и неравномерные
И
М
Рис. 1.10.
б)
(или переменные). Если вспомнить классификацию движе-
движений по форме траектории, то для всевозможных видов дви-
движения можно составить следующую таблицу, в которой
отражен характер поведения всех компонент ускорения и
скорости:
Прямолинейное
движение
Криволинейное
движение
Равномерное движение
ах = 0, ^=0;
а=0, а = 0;
v=const, v=const
^=0, апф0;
а^ат а ^ 0;
?>= Const, V ф Const
Переменное движение
ахф0, яЛ = 0;
v Ф const, v Ф const
ахф0, апф0'г
v ф const -, v ф const
Обратим внимание на то, что признаком равномерности
движения является постоянство модуля вектора скорости,
а не самого вектора скорости.
38

В элементарном курсе физики рассматриваются наиболее
простые виды механического движения точки. Из прямо-
прямолинейных — равномерное (v=const, а=0) и равноперемен-
равнопеременное (частный случай переменного движения, когда а=const).
Из криволинейных — равномерное движение по окружности
(частный случай криволинейного движения, когда v = const
и a~v4R). И только колебательные движения (происходя-
(происходящие по прямолинейной траектории или по дуге окруж-
окружности) представляют собой более сложный вид движения,
при котором не только скорость, но и ускорение оказы-
оказываются величинами переменными.
Общие соотношения между кинематическими величинами
для прямолинейного движения. При анализе и расчете пря-
прямолинейного движения можно, конечно, выбрать систему
отсчета таким образом, чтобы одна из координатных осей
совпала с траекторией движения материальной точки.
Мы же рассмотрим сначала соотношения для случая, когда
прямолинейная траектория движущейся точки не совпадает
ни с одной из координатных осей. Это позволит нам прийти
к некоторым общим выводам о преобразовании векторных
уравнений.
При равнопеременном прямолинейном движении вектор
мгновенного ускорения не изменяется во время движения
ни по направлению, ни по модулю и совпадает с вектором
среднего ускорения: a=acp=const. Используя это равенство
и уравнение A.8), можно получить выражение для опре-
определения изменения скорости движения в течение произ-
произвольного промежутка времени At:
Av=aA?, A.11)
или
vt—vo=aA/, , A.12)
если договориться, что моменту начала отсчета интервала
времени Д^ (так называемому начальному моменту вре-
времени) соответствует скорость v0 (начальная скорость), а
ронцу интервала времени — скорость vt. Последнее урав-
уравнение может быть преобразовано для определения мгновен-
мгновенной скорости vt в любой момент времени, отделенный от
начального момента промежутком Aft
v,=ve+a Af. A.13)
Начальная скорость v0, ускорение а и момент начала от-
отсчета времени должны быть при этом заданы. '
3D

Следует заметить, что начальный момент времени не
обязательно соответствует началу движения, выходу тела
или точки из состояния покоя. Начальный момент времени
произвольно выбирается наблюдателем. Это момент, с ко-
которого наблюдатель начал следить за данным движением,
начал исследовать движение. Это момент времени, в кото-
который был включен секундомер или иное устройство для из-
измерения промежутков времени.
Векторному уравнению A.13) соответствует система трех
скалярных уравнений для проекций на оси координат:
0** = 0о* + я*д'. vty = vQy+ayM9 vu = vog + a,M, A.13')
причем, как уже отмечалось выше, выражая проекции vtX9
vOxy ах и т. д. через модули соответствующих векторов,
нужно учитывать знаки (плюсы и минусы) и числовые коэф-
коэффициенты, которые появляются в зависимости от направ-
направления проецируемого вектора и выбора положительного
направления координатной оси.
Так, при равнопеременном прямолинейном движении,
происходящем вдоль оси ОХ, вместо уравнения A.13) (или
первого уравнения системы A.13')) можно написать соот-
соотношение
только для случая, когда направления векторов v0 и а
совпадают с положительным направлением координатной
оси. Например, положительное направление координатной
оси мы сами выбрали совпадающим с направлением вектора
начальной скорости v0, положительный знак у а соответ-
соответствует ускоренному (а не замедленному!) движению, поло-
положительный знак у vix будет при этом говорить о том, что
вектор конечной скорости vt направлен в ту же сторону,
что и вектор начальной скорости v0. Если при той же дого-
договоренности о совпадении положительного направления
координатной оси с направлением вектора v0 будет рассмат-
рассматриваться движение, при котором вектор а противоположен
по направлению вектору v0, то придется написать
В зависимости от того, какие конкретные значения будут
иметь интервал времени At> а также модули v0 и а, резуль-
результат расчета для vix может привести как к положительному,
так и к отрицательному значению.
40

Пусть, для примера, материальная точка совершает
прямолинейное равнопеременное движение с начальной
скоростью 20 м/с, модуль ускорения равен а=5,0 м/с2,
но направления векторов а и v0 противоположны. Нас
интересуют скорости этой точки через 3,0 и 10 секунд после
начала движения. Проецируя на координатную ось, поло-
положительное направление которой совпадает с направлением
вектора v0, и выражая проекции векторов через их модули,
мы получим, что через 3 секунды
им = 20—5,0-3,0 = 5 м/с,
а через 10 секунд
1^ = 20—5,0-10 = —30 м/с.
Проекция вектора скорости vt2 имеет знак минус. Это зна-
значит, что через 10 секунд после начала движения матери-
материальная точка движется в противоположную сторону. Легко
определить, что в данном примере направление движения
изменяется спустя 4,0 секунды после начала движения (в
этот момент направление вектора скорости изменяется на
противоположное).
Мы задержали внимание читателей на вопросе о пере-
переходе от векторного уравнения к уравнению в числах для
того, чтобы подчеркнуть и напомнить, что такой переход
лучше всегда проводить в три этапа. Сначала записывается
векторное уравнение связи между величинами. Таким урав-
уравнением может быть уравнение физического закона или урав-
уравнение, по которому одна из физических величин вводится,
определяется через другие величины. (Рассмотренное выше
уравнение A.13) получается при определенных условиях
из уравнения A.8), по которому вводится понятие среднего
ускорения.)
На втором этапе записывают уравнение (или систему
уравнений) для проекций соответствующих векторов. Для
этого непременно должна быть выбрана координатная ось
(или оси) и должно быть указано, какое ее направление
принимается за положительное. Обозначения проекций
векторов следует обязательно снабжать индексами, ука-
указывающими, на какую именно координатную ось произво-
производилось проецирование.
На третьем этапе выражают проекции векторов через мо-
модули соответствующих векторов, учитывая ориентацию
векторов по отношению к положительному направлению
координатной оси. На этом этапе члены уравнения могут
41

приобрести не только тот или иной знак, но и различные
числовые коэффициенты, так как угол между положитель-
положительным направлением координатной оси и векторов может
в общем случае отличаться от 0 или я радиан.
Возвращаясь к анализу равнопеременного прямолиней-
прямолинейного движения, рассмотрим, как могут быть выведены урав-
уравнения, связывающие перемещение или координаты движу-
движущейся точки с остальными кинематическими характеристи-
характеристиками (иногда эти уравнения называют кинематическими
уравнениями движения).
При выводе так называемой формулы пути для равнопе-
равнопеременного прямолинейного движения
используется понятие средней скорости, которую подсчиты-
подсчитывают по формуле
( J, AЛ4)
как среднее арифметическое начальной и конечной ско-
скоростей на данном участке. Существенной при этом ока-
оказывается оговорка о том, что в случае равнозамедленного
движения формула A.14) справедлива только до момента
изменения направления движения. Такое же ограничение
накладывается и на полученную формулу пути. Понятию,
что при таком выводе фактически используется средняя
скалярная скорость, о которой упоминалось выше.
Но как следует поступить, если мы хотим получить выра-
выражение для вектора перемещения? Вот если бы вместо фор-
формулы A.14) можно было использовать аналогичную фор-
формулу для векторов
vCp = (v0 + vt)/2, A.15)
то и дальнейшие рассуждения при выводе уравнения для
вектора перемещения, очевидно, строились бы по известной
схеме.
Мы надеемся, что читатели самостоятельно смогут дока-
доказать справедливость формулы A.15) для случая прямоли-
прямолинейного равнопеременного движения. Обратите внимание,
что эта формула оказывается пригодной и в случае равнопе-
равнопеременного движения с изменением направления движения!
На основании уравнений A.4), A.15) и A.13) получают
уравнение перемещения движущейся точки:
^ A.16)
42

Поскольку начальное положение движущейся точки
обычно задается радиус-вектором г0 или координатами х0,
уОу zOi а ее положение на траектории через промежуток
времени At определяется радиус-вектором г или коорди-
координатами ' х9 у, г, вместо уравнения A.16) можно написать
уравнение
^ A.17)
которое при заданных v0 и а и при выбранных начале от-
отсчета времени к г0 описывает характер изменения радиус-
вектора движущейся точки с течением времени.
Систему уравнений для определения перемещений точки
вдоль координатных осей можно получить на основании
уравнения A.16):
Агх = А* = х-х0 = voxM
A.18)
откуда получают уравнения для координат движущейся
точки:
A.19)
Система уравнений A.19) может быть получена и на осно-
основании уравнения A.17).
Не забудем, что уравнения A.16) — A.19), так же как и
формула A.15), справедливы только для прямолинейного
равнопеременного движения.
Не будем останавливаться на рассмотрении очевидных
упрощений приведенных выше уравнений для случаев рав-
равномерного прямолинейного движения, когда а=0, а также
упрощений для случая прямолинейного равнопеременного
движения вдоль одной из координатных осей, когда вместо
систем уравнений A.13'), A.18) и A.19) достаточно будет
взять только по одному уравнению. Но еще раз обратим
внимание читателей на то, что не рекомендуется записывать
43

уравнения для проекций векторов без соответствующих
индексов. Ведь эти индексы как раз позволяют отличить
уравнение для проекций от уравнения для модулей и напо-
напоминают, что снятие индексов соответствует операции выра-
выражения проекций векторов через модули векторов, при вы-
выполнении которой у некоторых слагаемых уравнения могут
появиться знаки минус.
Например, перемещение точки при одномерном движе-
движении вдоль оси ОХ всегда может быть представлено в виде
Но уравнения
соответствуют трем различным случаям движения. Пер-
Первое — равноускоренному движению в сторону положитель-
положительного направления оси ОХ (допустим, слева направо). Вто-
Второе — равнопеременному движению, которое сначала
происходит вправо (и на этом этапе является равнозамед-
ленным), а далее, в зависимости от конкретных значений
0о, а и А/, может происходить как вправо, так и влево (мо-
(может случиться, что Д*<0, т. е. точка в результате движе-
движения окажется левее своего первоначального положения на
траектории). В третьем случае движение сначала будет
равнозамедленным (вектор начальной скорости v0 направ-
направлен влево, а вектор ускорения а—вправо) и в течение ка-
какого-то промежутка времени будет происходить справа
налево, а далее движение может измениться по направле-
направлению и стать равноускоренным (векторы v и а будут направ-
направлены одинаково — слева направо).
Два последних примера позволяют внести некоторые
уточнения для тех случаев классификации переменных
движений, когда ускоренные и замедленные движения раз-
разграничиваются (при детальном анализе характера движе-
движения такое разграничение оказывается весьма полезным).
Прямолинейное движение может называться замедленным
(или равнозамедленным) только на тех участках траектории,
в пределах которых векторы скорости и ускорения имеют
противоположные направления. Если же направления этих
векторов совпадают — движение ускоренное.
44

О некоторых ошибках, встречающихся при расчете
средней скорости. Часто забывают, что введенная по фор-
формуле A.4) средняя скорость характеризует движение на
всем участке перемещения Аг в целом за промежуток
времени At=t2—h. Она ничего не дает для описания дви-
движения до момента tt и после момента t2, она не характери-
характеризует движения и на отрезках перемещения внутри
участка Аг.
Например, из пункта А в расположенный от него на
расстоянии 5000 метров пункт Б тело двигалось по прямо-
прямолинейной траектории в течение 1000 секунд. Можно ли, зная
модуль средней скорости этого движения E м/с), определить,
за какое время пройдены первые 100 метров пути или ка-
какое расстояние тело проходит за последние 10 секунд сво-
своего движения?
На такие вопросы, зная только среднюю скорость дви-
движения на участке АВ9 ответить не удается. Средняя ско-
скорость является характеристикой движения на всем участ-
участке, она скрадывает детали движения.
Даже при рассмотрении прямолинейного движения без
изменения направления скорости забывают еще об одном
важном обстоятельстве. Пусть, например, тело движется
прямолинейно вдоль координатной оси ОХ. В начальный
момент времени тело имело скорость v0, а по истечении про-
промежутка времени At — скорость vt. Чему равна средняя
скорость за данный промежуток времени А??
Очень часто при ответе на такой вопрос используют
формулу A.14) для связи модулей искомой и заданных ско-
скоростей: t>Cp=(y0+yt)/2. Если не оговаривают всех условий
применимости формулы A.14), то создается впечатление,
что она применима во всех случаях, если известны модули
начальной и конечной скоростей на участке. (Аналогичная
ошибка может быть допущена и при использовании фор-
формулы A.15).)
Попробуем применить формулу A.14) к решению сле-
следующей задачи: точка начинает двигаться по прямой (vQ=
=0), за 50 секунд перемещается на 250 метров и, достигнув
конечного пункта, останавливается (vt=Q); найти среднюю
скорость движения точки.
По формуле A.14) получается, что Уср=0, но это явно
противоречит условию. Точка двигалась, а результат i>cp=0
соответствует случаю покоя.
Если воспользоваться формулой A.7), которая в данном
случае справедлива, так как путь точки равен модулю ее
45

перемещения, получится совсем иной ответ:
AS 250 м г А /
Почему же первый вариант решения приводит к ошибке?
Дело в том, что универсальным уравнением для опре-
определения средней скорости является выражение A.4) (или
эквивалентная ему система A.5)). Ведь оно и появилось в
кинематике как уравнение, определяющее, вводящее сред-
среднюю скорость. Для того чтобы можно было воспользоваться
формулой A.14), движение на участке должно происходить
не только в одном направлении (без изменения направле-
направления вектора скорости), но и быть только равноускоренным
или только равнозамедлещшм на всем участке. Рассмот-
Рассмотренная задача этому последнему условию не удовлетворяет.
Точка начала двигаться из состояния покоя, значит, какое-
то время она двигалась ускоренно. В дальнейшеАм она могла
двигаться как угодно — продолжать двигаться ускоренно
или равномерно, но перед остановкой в конечном пункте ее
движение непременно должно было быть замедленным.
Для такого движения, когда происходит изменение направ-
направления вектора ускорения, формулу A.14) применять нельзя.
Основываться на уравнении A.4) нужно и при решении
задач, подобных следующей.
Задача. Автомобиль в течение 50 секунд (А/3=50 с) двигался со
скоростью 10 м/с, следующие 30 секунд (А/2=30 с) — со скоростью
15 м/с и затем 120 секунд (А/3=120 с) — со скоростью 11 м/с. На всех
этапах движение происходило в одну и ту же сторону по прямой. Опреде-
Определить среднюю скорость автомобиля за время движения на всех этапах.
Часто дают ответ для такой задачи в виде
„ ~__
ср—
Юм/с+15м/с + Пм/с
— з ===
т. е. находят среднюю скорость как среднее арифметическое заданных
скоростей, а это в данном случае неверно.
Средняя скорость за все время движения должна определяться
отношением суммарного перемещения к промежутку времени, затра-
затраченному на все движение в целом. Выбрав координатную ось ОХ совпа-
совпадающей с направлением движения, можем написать
, Ал;
где А^=А^+А4+А4» а &х— суммарное перемещение вдоль оси ОХ,
равное сумме Дл^+А^+Дяз перемещений на каждом этапе. Так как
движение на каждом этапе считается равномерным (это прямо не сфор-
мулировано2 но подразумевается), то kxi~Vxx A/1=yiA/1, A#2=^ Д/2=
46

и A*3=t
Окончательно
_ 10>5Q +15-30+Ц. 120
~~ 50 + 30+ 12(f
M/c#
Анализируя последнее выражение, замечаем, что трлько при усло-
условии равенства промежутков времени движения на о^ДёЛьйых этапам
(А?1=А/2=А^8) для подсчета средней скорости будет справедлива фбр^
мула
Рис. 1.11.
Движение материальной точки по окружности. При опи-
описании движения точки по окружности можно, конечно*
воспользоваться всеми теми кинематическими характера*
стиками, которые вводятся для
описания движения материальной
точки по произвольной траектории
(радиус-вектор, вектор перемеще-
перемещения и т. д.). Но поскольку этот вид
движения характеризуется перио-
периодической повторяемостью значений
величин, описывающих движение,
некоторые из характеристик дви-
движения точки оказываются неудоб-
неудобными: например, за один полный
оборот точки по окружности век-
тор перемещения и вектор средней
скорости равны нулю. В связи с этим вводят некоторые
новые кинематические характеристики.
Положение точки на траектории — окружности зада-
задается не только радиус-вектором, но и углом ф между коор-
координатной осью и радиус-вектором (рис. 1.11). Иногда этот
угол называют угловой координатой точки. Изменении}
положения точки на траектории, например, при переходе
из положения / в положение 2, соответствует изменение Аф
этого угла, которое называют углом поворота. Ясно, что
угол поворота явдяется пространственной характеристи-
характеристикой движения, аналогичной перемещению (или пути) точки
по произвольной траектории.
Аналогия усматривается и при введении других кине-
кинематических характеристик движения по окружности:
; с~х}, A.20)
средняя угловая скорость соср = -л. ,
мгновенная угловая скорость со== lim -Л9 A.21)
л^ -» о *
47

среднее угловое ускорение еср = ~ (^; с'М, A.22)
мгновенное угловое ускорение е= lim ~. A.23)
Нужно подчеркнуть, что в строгом смысле угол поворота,
средняя и мгновенная угловые скорости, среднее и мгно-
мгновенное угловые ускорения являются величинами вектор-
векторными, но в элементарном курсе физики ограничиваются
лишь оценкой их модулей (см. стр. 67—69).
Учитывая периодичность этого вида движения, вводят
также величины:
период обращения Т — продолжительность одного пол-
полного оборота по окружности;
частота обращения v (или п) — число оборотов в еди-
единицу времени (или величина, обратная периоду обраще-
обращения, v=l/r);
круговая (или циклическая) частота со — число оборотов
за промежуток в 2я единиц времени (o)=2ttv=2tt/T).
Можно показать, что между модулями вектора мгно-
мгновенной скорости точки v и угловой скорости со существует
простая связь:
и = <*>#, A.24)
где R — радиус окружйости, по которой движется точка.
Колебательное движение материальной точки. Еще одной
разновидностью движений материальной точки, рассмат-
рассматриваемой в элементарном курсе физики, является движе-
движение с периодически изменяющимися скоростями, ускоре-
ускорениями и другими характеристиками — колебательное дви-
движение (или колебание).
Примером колебательного движения может служить
движение грузика, прикрепленного к концу подвешенной
витой пружины (так называемый пружинный маятник).
Если, например, рукой сместить грузик из положения
равновесия вниз и отпустить, то он будет совершать перио-
периодическое, колебательное движение по вертикальной прямой
(рис. 1.12, а). Колебательное движение совершает малень-
маленький шарик, подвешенный на нити (рис. 1.12, б). Такую
систему иногда называют нитяным маятником. Отклонен-
Отклоненный из положения равновесия какой-то внешней причиной
(например, мы рукой толкнули шарик вправо) и предостав-
предоставленный самому себе, такой маятник совершает колебатель-
колебательное движение, при котором шарик перемещается по дуге
48

окружности. Еще одним примером такого рода колебатель-
колебательных движений является движение физического маятника —
любого тела, имеющего точку подвеса или ось вращения,
лежащую выше центра тяжести (рис. 1.12, в) (более под-
подробно о центре тяжести мы напомним читателю в § 3).
6)
Рис. 1.12.
Часто рассматривают упрощенную модель нитяного ма-
маятника — так называемый математический маятник (тело
пренебрежимо малых размеров по сравнению с длиной ни-
нити), который при малых по сравнению с длиной нити сме-
смещениях от положения равновесия совершает гармоничес-
гармонические колебания.
Колебания называются гармоническими в том случае,
когда смещение колеблющейся толки от положения равно-
равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или
косинуса.
Уравнения, связывающие кинематические характери-
характеристики гармонического колебательного движения, можно
получить, если рассмотреть движение проекции точки,
равномерно обращающейся по окружности, на координат-
координатную ось, проходящую через центр окружности. Пусть,
например, точка равномерно движется по окружности
радиуса А в плоскости XOY (рис. 1.13, а) с постоянной уг-
угловой скоростью со. При переходе точки из положения В
в положение С ее проекция на ось ОХ перемещается на рас-
расстояние Ад:, которое, как видно, связано с углом поворота
Аф радиус-вектора и его модулем А простым соотношением:
Дл;=Л sin Аф.
Если рассматриваемое перемещение происходит в течение
промежутка времени Д?, то Дф=соД? и
Ax=Asm{(*M). A.25)
49

Аналогично может быть получено уравнение для смеще-
смещения точки вдоль оси 0Y.
Уравнение A.25) получено в предположении, что мо«
менту начала отсчета промежутка времени At соответство-
соответствовала угловая координата движущейся точки, равная нулю.
В общем случае, когда в начальный момент времени началь-
начальная угловая координата точки -равна ф0, уравнение для
смещения вдоль оси ОХ за-
писывают в виде
Ax=Asin (со ДН-фо). A.26)
Оказывается, что это
уравнение описывает смеще-
смещение какой-то точки любой си-
системы, совершающей гармони-
гармонические колебания вдоль коор-
координатной оси ОХ: Например,
оно позволяет определить пе-,
ремещение грузика нитяного
маятника, совершающего ко-1
лебания в плоскости XOZ от
положения равновесия О до
положений Е и D, грузика
горизонтального пружинного
маятника, колеблющегося
вдоль линии ED (рис. 1.13, а),
и т. д. Кроме того, такое же
по форме уравнение описы-
описывает не только изменение ко-
координат точки при гармони-
гармоническом колебании, но и изме-
изменения других «колеблющих-
«колеблющихся», изменяющихся по гармоническому закону физических
величин.
В уравнении A.26) величина А называется амплитудой
смещения (или амплитудным значением смещения). Она
равна модулю наибольшего смещения точки от положения
равновесия вдоль данной координатной оси. Величина
(со Д/+фо) носит название фазы колебания и позволяет при
заданной амплитуде определить в любой момент времени
модуль и знак смещения колеблющейся точки, а также
характер дальнейшего изменения смещения. Величина ф0 —
так называемая начальная фаза колебания — выражает
50

связь смещения точки с амплитудой в начальный момент
времени, когда At=b.
Вернемся к рис.ч 1.13 и получим выражения для ско-
скорости и ускорения точки, совершающей гармоническое
колебательное движение вдоль оси ОХ. Из рис. 1.13,6
видно, что vx=vcosA<p. Так как Дф=соД? и и=соЛ, то
vx=®A cos (со At)
или в общем случае
vx= соЛ cos (со А^+фо), A-27)
где соЛ определяет амплитудное значение скорости.
На основании рис. 1.13, в легко установить, что ах=
=—asinAcp, но поскольку a=v*/A = a)*A и Дф=соД/, то
ах——со2Л sin (со АО
или в более общем виде
ах~—со2 Л sin (со ДН-фо), A.28)
где со2Л — амплитуда ускорения.
Сравнивая уравнения A.28) и A.26), замечаем, что
ах=—gMjc, A.29)
т. е. проекция вектора ускорения на ось ОХ пропорцио-
пропорциональна смещению точки от положения равновесия вдоль
этой оси, а вектор ускорения направлен к положению рав-
равновесия (знак минус как раз и свидетельствует о том, что
вектор ускорения направлен противоположно смещению
точки от положения равновесия). Иногда эти, факты ис-
используют в качестве признака, определяющего гармониче-
гармоническое колебательное движение точки.
Поскольку гармоническое колебательное движение —
это движение периодическое, для его описания, так же как
и в случае движения точки по окружности, вводят допол-
дополнительные кинематические характеристики. Наименьший
промежуток времени, по истечении которого повторяются
значения всех физических величин, характеризующих
данное колебание, называется периодом колебаний (Г), а
величина, обратная периоду (или, что то же самое, число
колебаний в единицу времени),— частотой колебаний
(v). Величина со, входящая в уравнения A.25) — A,29),
носит название циклической частоты колебаний; она свя-
связана с частотой колебаний v простым соотношением:
61

1.3. Графики зависимости между кинематическими
величинами для прямолинейного движения
Как известно из математики, функциональная связь
двух или нескольких величин может быть представлена
тремя способами: аналитически (т. е. с помощью уравне-
уравнений), с помощью таблиц и графически.
Желанной целью большинства научных исследований
в области естествознания является получение уравнений
связи между величинами, описывающими тот или иной факт
или явление. Часто решение такой задачи затруднено из-за
того, что интересующая величина является сложной функ-
функцией многих аргументов, и подготовительным шагом на пути
составления уравнений является получение графиков за-
зависимостей между величинами. Вспомним осциллограммы,
получаемые с помощью электронного или шлейфового ос-
осциллографов. Ведь это не что иное, как графики зависимо-
зависимостей одних величин от других. Например, преобразуя при
помощи специального устройства давление в электрический
сигнал, посылаемый на вертикально отклоняющие пласти-
пластины осциллографа, можно получить график изменения дав-
давления пороховых газов в пушечном стволе с течением вре-
времени, несмотря на то, что продолжительность выстрела зани-
занимает малые доли секунды.
Во многих случаях графический способ является един-
единственным для выражения связи между величинами из-за
сложного характера их зависимостей, он всегда достаточно
нагляден, и в этом его немаловажное значение.
В кинематике часто приходится иметь дело с графиками
зависимости скорости или перемещения от времени движе-
движения. Если ограничиться рассмотрением равномерных и
равнопеременных прямолинейных движений материальной
точки вдоль координатной оси ОХ, то можно представить
девять различных типов графиков скорости, которые изоб-
изображены на рис. 1.14. Все эти графики построены в согласии
с первым уравнением системы A.13').
Можно заметить, что при одинаковых масштабах по
соответствующим осям график а является суммой графиков
б и г, график в — суммой графиков б и е, график ж —
суммой графиков г и з и, наконец, график и может быть
получен в результате сложения ординат, соответствующих
одним и тем же моментам времени на графиках оз.
Следует обратить внимание на графики в и ж, которые
относятся к случаям движения с изменением направления
52

вектора скорости. В случае б движение сначала совершается
в положительном направлении оси ОХ и на этом этапе яв-
является замедленным. Через промежуток времени Atn век-
вектор скорости изменяет направление на противоположное
и точка движется ускоренно в отрицательном направлении
оси ОХ.
В случае ж точка сначала движется замедленно в от-
отрицательном направлении реи ОХ (вектор v скорости дви-
движения направлен в сторону отрицательного направления
'At
^п
б)
At
-А *
в)
-At—А
и)
Рис. 1.14.
координатной оси, а вектор ускорения а — в сторону
положительного направления). Через промежуток времени
А/п точка меняет направление и характер движения — она
ускоренно движется в положительном направлении оси ОХ.
Заметна и еще одна закономерность. Если начальные ско-
скорости движения vOx (когда они не равны нулю) во всех слу-
случаях одинаковы (случаи а, б, в, ж, з, и) и одинаковы мо-
модули ускорений во всех случаях равнопеременных движе-
движений (случаи а, г, ж, в, е, и), то переход от первого
графика к последующим в пределах каждого столбца на
рис. Ы4 связан с параллельным переносом графика вниз
на расстояние, численно равное модулю начальной ско-
скорости vQx.
Графики скорости дают наглядные представления о по-
поведении скорости с течением времени, но по ним можно
53

судить и о перемещении точки за какой-то промежуток
времени, и о пути, и об ускорении.
Часто говорят, что перемещение за промежуток вре-
времени At численно равш) площади, ограниченной графиком
скорости, осью времени и ординатами, соответствующими
начальному и конечному моментам времени движения на
рассматриваемом участке, а ускорение численно равно тан-
тангенсу угла наклона графика скорости к оси абсцисс. Хо-
Хорошо, если не забывают добавить, что ординаты при этом
Рис. 1.15.
должны численно равняться скорости движения, а абс-
абсциссы — численно равняться соответствующим промежут-
промежуткам времени движения. Необходимость таких громоздких
оговорок вызывается тем, что в графических решениях
подобного рода используется не равенство, а соответствие
математических величин (площади и тангенса угла наклона)
некоторым физическим величинам (перемещению и ускоре-
ускорению).
Попробуем разобраться в этом вопросе на примерах
простейших графиков равномерного движения (рис. 1.15)
и равноускоренного движения без начальной скорости
вдоль координатной оси ОХ (рис. 1.L6). Пусть точки, отме-
отмеченные цифрами, соответствуют сантиметровым делениям
на осях абсцисс и ординат. Площадь заштрихованного
прямоугольника на рис. 1.15, очевидно, равна произведе-
произведению отрезков lv и 1и т. е. /^=4 см-5 сде=20 см2. Но озна-
означает ли это, что перемещение точки вдоль оси ОХ равно
20 см, 20 м или 20 км? Ясно, что результат зависит от
того, какие масштабы выбраны при построении графика
скорости. Если, например, каждому сантиметру длины оси
ординат соответствует скбрость 5 м/с (иными словами, мы
34

выбрали для оси ординат масштаб 1^ — 5^4, а каждому
сантиметровому отрезку оси абсцисс соответствует интервал
времени в 3 секунды (масштаб для этой оси \it =3 —), то
речь идет о нахождении перемещения точки вдоль оси ОХ
за промежуток времени в 15 секунд при движении с по-
постоянной скоростью, модуль которой равен 20 м/с. Понят-
Понятно, что искомое перемещение равно 300 метрам и по графику
скорости может быть получено таким только при учете
масштабов \iv и \it:
Точно так же следует поступать и в том случае, когда мы
находим значение проекции вектора ускорения на коорди-
координатную ось по графику скорости движения точки вдоль
той же координатной оси. На рис. 1.16 значение тангенса
угла наклона графика скорости к оси абсцисс равно единице
(например, tga=-^=-g- = l),;Ho если Щ=8^р а^ = 2^ ,
то модуль ускорения равен
/ 6cM'8S
я = я* = -г!г = ^--4 м/с2,
см
т. е. и здесь нужно учитывать масштабы по осям графика
скорости.
Вернемся к анализу различных типов прямолинейного
движения материальной точки вдоль координатной оси
ОХ, графики скоростей которых представлены на рис. 1.14.
Для случаев а, б и г площади заштрихованных фигур
(с учетом масштабов \iv и \it) позволяют найти перемеще-
перемещения Ах точки вдоль оси ОХ за промежутки времени At.
Эти перемещения положительны, т. ?. точка перемещается
из начального положения вдоль положительного направле-
направления оси ОХ. Поэтому и значения заштрихованных площадей
(лежащих выше осей абсцисс) принято считать положитель-
положительными (это следует и из того, что в пределах этих площадей
все ординаты положительны). Пути, пройденные точкой за
промежутки времени At, определяются теми же заштрихо-
заштрихованными площадями,

В случае д точка вдоль оси ОХ не движется (Дх=0
и 5,-0).
В случаях е, з, и модули перемещений Дл; и пути опре-
определяются также площадями заштрихованных фигур. По-
Поскольку во всех трех случаях Ax<0, заштрихованные пло-
площади (лежащие под осями абсцисс) при определении пере-
перемещений считаются отрицательными (им соответствуют ор-
ординаты lv<.Q)y а при определении путей — положительными.
Аналогично следует поступать и при анализе более
сложных случаев, когда направление движения за рассмат-
рассматриваемый промежуток времени изменяется. На рис. 1.17
представлен график скорости одного из видов такого дви-
движения (он соответствует
случаю в на .рис. 1.14).
Если нас интересует пере-
перемещение Ах движущейся
точки вдоль оси ОХ за про-
промежуток времени А/, то
нужно взять алгебраичес-
алгебраическую сумму площадей за-
заштрихованных треугольни-
Рис- 1#17* ков, причем площадь тре-
треугольника, лежащего под
осью абсцисс, следует брать со знаком минус. С учетом
масштабов \iv и \nt ответ для рассматриваемого случая
получится отрицательным (Дл;<0). Это означает, что по
истечении промежутка At от начального момента времени
точка окажется левее своего первоначального положения
на оси ОХ (если положительным считалось направление
оси ОХ вправо).
Для определения пути, пройденного точкой за промежу-
промежуток времени At, площади тех же заштрихованных треуголь-
треугольников нужно суммировать арифметически (путь не может
быть величиной отрицательной!).
Для обоих этапов рассматриваемого движения проек-
проекция ах вектора ускорения на ось ОХ оказывается отрица-
отрицательной: ускорению на первом этапе, до изменения направ-
направления движения (за промежуток времени Д*п), соответст-
соответствует тангенс угла аи а ускорению на втором этапе — тан-
тангенс угла а2, причем tg ах<0 и tg а2<0, т. е. вектор уско-
ускорения в течение всего времени движения был ориентирован
в сторону отрицательного направления оси ОХ.
Подобный анализ можно провести и в случае равнопе-
равнопеременного движения, которому на рис. 1.14 соответствует
56

м
В
s
I
график ж. В зависимости от конкретных значений vOx,
ах и At суммарное перемещение Ах вдоль оси ОХ может
оказаться как положительным, так и отрицательным.
По графику скорости произвольного переменного дви-
движения можно найти среднюю скорость для заданного ин-
интервала времени. Если, например, на рис. 1.18 в определен-
определенных масштабах \iv и \it представлен график скорости авто-
автомобиля, о котором шла речь в задаче на стр. 46—47, то
средняя скорость такого движения равна высоте прямоуголь-
прямоугольника ОАВСу равновеликого
фигуре ODLMNSFC под rJ
графиком скорости.
Различные типы графи-
графиков перемещений точки, д
движущейся вдоль оси OX, j)
представлены на рис. 1.19.
Все эти графики построены
на основании первого урав-
уравнения системы A.18) в
предположении, что в на-
начальный момент времени
начальная координата х0
равна нулю. Сравнитель-
Сравнительный анализ всех девяти графиков мы предлагаем про-
провести читателям самостоятельно. Обратите внимание, что
графики в я ж относятся к равнопеременным движениям с
изменением направления скорости. Точки / на этих гра-
графиках как раз соответствуют моментам изменения направ-
направления движения, а точки 2 — моментам возврата движу-
движущейся материальной точки к начальному положению.
По графику перемещения точки вдоль данной коорди-
координатной оси (например, ОХ) можно судить о скорости дви-
движения точки вдоль этой оси. Масштабы \ix и \it по осям
графика перемещения при этом, конечно, должны быть
заданы. Рис. 1.20 иллюстрирует определение скорости по
графикам перемещения при равномерном движении. В
случае а
Рис. 1.18.
т. е. скорости движения соответствует тангенс угла а.
В случае б способ определения скорости тот же:

но теперь vx2<.0, так как /*2<0 (график описывает равно-
равномерное движение вдоль отрицательного направления оси
ОХ). Скорости движения vx2 соответствует тангенс угла |3.
aj>0 a=O а„<0
в)
Ах^
у
Рис. 1.19.
Можно определить скорость по графику перемещения
и в случае равнопеременного прямолинейного движения.
Для этого через точку, соответствующую тому, моменту
времени, для которого определяется скорость, проводят
Рис. 1.20.
касательную к графику перемещения. Можно доказать, что
тангенс угла между осью абсцисс и касательной к графику
перемещения (угол отсчитывается от положительного на-
направления оси абсцисс против часовой стрелки) и в этом
случае соответствует искомой скорости.
58

На рис. 1.21 приведены характерные примеры опреде-
определения скорости равнопеременных прямолинейных движе-
движений материальной точки вдоль координатной оси ОХ.
В момент времени tx (рис. 1.21, а) скорость движения точки
вдоль оси ОХ равна ,
ей соответствует тангенс угла а. В момент времени t2
(рис. 1.21, б) проекция скорости vx2 отрицательна, так как
„ —
*2~
и /зс2<0 (этой скорости соответствует tgp). Точно так же
могут быть найдены скорости для моментов времени t3 и ti
(рис. 1.21, в и г):
1
(ясно, что vxB>0 и ей соответствует tg у),
(этой скорости соответствует tg6; vx4<.0y так как л;4)
Обратим внимание на некоторые особенности графичес-
графического определения скоростей для случаев д и е. В момент
времени U проекция скорости vx% отрицательна. Посколь-
Поскольку отрезки 1ХЬ и lib на осях графика положительны, сле-
следует написать
Появление знака минус в этом выражении связано с тем,
что скорости vXb соответствует тангенс утла 8, а отношение
Ixdhb определяет тангенс угла еь дополняющего угол
8 до 180°. Аналогично, знак минус должен быть введен в
выражение для скорости vxe в момент времени tQ:
так как здесь /*6<0, ^6>0, но должно быть vx?>0 (этой
скорости соответствует tg ?, а отношение lxjlu определяет
тангенс угла ^i).

Следует помнить, что горизонтальный участок графика
перемещения соответствует состоянию покоя, отсутствию
движения вдоль данной координатной оси, а точка пересе-
пересечения графиков перемещения двух (или нескольких) тел—
моменту их встречи или моменту, когда одно тело догнало
другое (в случае, если тела двигались друг за другом в од-
одном направлении). Кроме того, график перемещения нельзя
отождествлять с траекторией движения.
Для примера попытаемся охарактеризовать движения
нескольких тел, которые можно ^принять за материальные
точки.
На рис. 1.22 графики перемещений этих тел вдоль оси
ОХ пронумерованы арабскими цифрами.
Рис. 1.22.
Тела 1 и 2 начали двигаться из одного и того же пун-
пункта О, но имеют разные скорости: v2x>vlx. Тело 3 в на-
начальный момент времени находилось на расстоянии Axt
от пункта О, далее оно двигалось с такой же скоростью,
что и тело 1 (vsx^Vxx). Пройдя расстояние Ах2 за промежуток
времени Att, тело 3 остановилось. К месту остановки тела 3
тело 1 прибыло через промежуток времени At2.
Движения 4 и 5 начались из разных пунктов, располо-
расположенных на расстоянии Д#4. Скорости движений неодинако-
неодинаковы (vbX>v^x). Через промежуток времени At3 тело 5 дог-
догнало тело 4 (в этот момент оба тела находятся на одном и
том же расстоянии Ахъ от пункта О). Тело 6 в начальный
момент времени находилось на расстоянии Дх7 от тела 5,
далее тела двигались навстречу друг другу и через Д?4
встретились в точке, расположенной на расстоянии Ах&
от пункта О.
Движения 7 и 8 характеризуются разными скоростями
>)> °ба тела выходят из пункта О, но движение 8
61

начинается на Atb позже, чем движение 7. Через промежуток
времени Д?6 от начала движения тела 7 оно догнало тело 8
(оба тела в этот момент находятся на расстоянии Ахь от
начального пункта О).
1.4. Перемещение и скорость в различных системах
отсчета. Принцип независимости движений
Мы уже говорили, что форма траектории точки зависит
от того, в какой системе отсчета рассматривается движение.
Перемещение -и скорость точки также оказываются зави-
зависимыми от выбора системы отсчета.
Большой практический и принципиальный интерес
представляет анализ какого-то конкретного движения
Рис. 1.23.
в двух системах отсчета, одна из которых считается непод-
неподвижной, а другая движется относительно первой равно-
равномерно и прямолинейно. Обе такие системы являются инер-
циальными (см. § 2).
Рассмотрим простой пример: поезд движется прямоли-
прямолинейно и равномерно (со скоростью u=const), пассажир рав-
равномерно перемещается поперек вагона из положений"/ в
Шйожение 2 в "течение времени At (рис. 1.23). Требуется
получить связь перемещений и скоростей пассажира в двух
системах отсчета: неподвижной системе отсчета, связанной с
Землей (ей соответствует система координатных осей XYZ),
и подвижной системе, связанной с вагоном (на рис. 1.23
система координатных осей X'Y'Z' соответствует положе-
положению вагона в начальный момент, а система X"Y"Z"—положе-
X"Y"Z"—положению вагона через время At). Только ради упрощения по-
построений и расчета лв§дполржим, что вагон движется вдоль
оси QX. Смысл остальных обозначений понятен из рисунка.
62

Нетрудно прийти к заключению, что вектор перемеще-
перемещения Аг пассажира в неподвижной системе отсчета связан с
вектором перемещения Аг' в подвижной системе и переме-
перемещением AR самой подвижной системы отсчета относительно
неподвижной простым соотношением:
Ar-Ar' + AR, A.30)
которое иногда называют законом сложения перемещений
при переходе от одной системы отсчета к другой. Этот закон
подтверждает различие перемещений одного и того же
тела в различных системах отсчета и требует учета движе-
движения одной системы отсчета относительно другой.
Разделив почленно выражение A.30) на промежуток
времени, в течение которого происходили рассматриваемые
движения, можно было бы получить связь мекду их ско-
скоростями. Но нужно иметь в виду, что такой пересчет связан
с одной тонкостью. При переходе к соотношению между
скоростями следовало бы написать
где At — продолжительность какого-то события (в нашем
примере — продолжительность перехода пассажира из по-
положения 1 в положение 2), измеренная в неподвижной си-
системе отсчета, a At'— продолжительность того же события,
измеренная в движущейся системе отсчета.
В специальной теории относительности доказывается,
что в общем случае At^=Af, т. е. продолжительности одного
и того же события, измеренные по часам в неподвижной и
в подвижной системах отсчета, оказываются неодинако-
неодинаковыми. Это связано с тем, что протекание периодических
процессов в любых устройствах, используемых для из-
измерения временных промежутков, зависит от скорости
движения этих устройств вместе с системой отсчета. Раз-
Различия между А* и А/' становятся ощутимыми при ско-
скоростях, близких к скорости света в вакууме.
Значит, только для движений, скорости которых много
меньше скорости света в вакууме, вместо уравнения A.31)
' можно написать Дг д, д~
откуда вытекает связь между средними за промежуток
времени At скоростями:
vcp ~ vcp
63

Для равномерных и прямолинейных движений, которые мы,
договорились рассматривать, справедливы равенства v='
=vcp, v'=v'cP и u=ucp, т. е. уравнение связи для мгновен-
мгновенных скоростей можно представить в виде
v-v'+u. * A.32)
В этом уравнении v — скорость тела (пассажира) в непод-
неподвижной системе отсчета, v' — скорость того же тела в под-
подвижной системе, и — скорость подвижной системы отсчета
относительно неподвижной.
Уравнение A.32) выражает так называемый классичес-
классический закон сложения скоростей при переходе от одной си-
системы отсчета к другой в случае движений с малыми (по
сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
Оно оказывается справедливым и вне тех упрощающих
условий, о которых мы договорились выше (относительно
направлений движений вагона и пассажира).
В общем случае вместо уравнения A.32) может быть за-
пиеана система скалярных уравнений для проекций на оси
координат
A.33)
которая для приведенного выше примера^ упрощается:
так как рассматривались движения, происходящие в пло-
плоскости XOY, и подвижная система отсчета перемещалась
вдоль оси OX (uy=09 uz=0).
Для движений со скоростями, близкими к скорости света
в вакууме, в специальной теории относительности выво-
выводится иной, так называемый релятивистский закон сложе-
сложения скоростей. Если (в принятых выше обозначениях)
все три вектора v, v' и и направлены вдоль одной прямой
(например, вдоль положительного направления оси ОХ),
то связь проекций vX9 v'x и их описывается выражением
.. _ ** + "* Aв34)
где с — скорость света в вакууме. Видно, что это уравне-
уравнение превращается в первое уравнение системы A.33) при
64

Уравнение A.34) согласуется с важнейшим принципом
специальной теории относительности о предельном харак-
характере скорости света в вакууме. Ни при каких условиях
скорость vx не получается большей, чем скорость с\ Даже
равенство vx—c может быть получено лишь в трех предель-
предельных случаях: если их=с, но vx<c; если v'x=c, но их<Сс и,
наконец, если ux^=v'x=c. Таким образом, в природе не су-
существует систем отсчета, в которых тела (или материальные
точки) двигались бы со скоростями, превосходящими ско-
скорость света в вакууме.
Тот факт, что движения данного тела относительно раз-
различных тел отсчета (или систем отсчета) не зависят друг от.
Лгх
а)
X
Рис. 1.24.
Аг?
друга, является выражением принципа независимости дви-
движений. В приведенном выше примере перемещение пасса-
пассажира Дг' между точками 1 и 2 не зависит от того, движется
вагон относительно Земли или покоится. Точно так же
перемещение пассажира вместе с вагоном вдоль оси ОХ
не зависит от его перехода между положениями / и 2.
Можно считать, что при тех же оговорках, при которых
справедлив классический закон сложения скоростей A.32),
закон сложения перемещений A.30) является следствием
принципа независимости движений.
Этот принцип фактически используют при проециро-
нии вектора перемещения какого-то движущегося тела на
координатные оси. Например, при движении в плоскости
XOY вектор перемещения Дг заменяют независимыми пе-
перемещениями ДгЛ и Дгу вдоль соответствующих координат-
координатных осей (рис. 1.24, а). Физический смысл такой замены
связан с тем, что в данном случае, по сути дела, пользуются
Двумя системами отсчета (рис. 1.24, б): в подвижной системе
8 Ю. А, Селезнев 05

отсчета* Х'О'У тело движется только по вертикали и за
какой-то промежуток времени At смещается вдоль оси O'Y'
на Агу, но в течение того же промежутка времени подвиж-
подвижная система смещается на Агх вдоль оси ОХ неподвижной
системы отсчета XOY и оказывается в положении X"O"Y".
При этом оба движения считаются независимыми: движе-
движение тела относительно подвижной системы отсчета никак
не влияет на ее движение относительно неподвижной си-
системы, а характер движения тела относительно системы
X'0'Y' не зависит от ее движения по отношению к системе
XOY.
1.5. Кинематика движения абсолютно твердого тела
Такие кинематические характеристики, как траектория,
вектор перемещения, путь, средняя и мгновенная скорости,
среднее и мгновенное ускорения, могут быть использованы
для описания самых произвольных механических движений
материальной точки. Этих же характеристик вполне до-
достаточно и для описания поступательного движения аб-
абсолютно твердого тела конечных размеров. В этом случае
движение происходит таким образом, что любая прямая,
соединяющая две произвольно выбранные точки тела, оста-
остается параллельной самой себе (поступательно движется
выдвигаемый ящик письменного стола, ступени эскалатора
метро на том участке, где мы их видим, и т. п.). При посту-
поступательном движении кинематические параметры (Дг, AS,
v, а и др.) одной точки тела будут полностью характеризо-
характеризовать его движение в целом, так как у любой другой точки
они будут точно такими же.
Подчеркнем, что условием поступательности движения
абсолютно твердого тела является требование того, чтобы
любая произвольно проведенная в теле прямая перемеща-
перемещалась параллельно самой себе. Например, движение авто-
автомобиля по выпуклому мосту нельзя считать поступатель-
поступательным, так как ось задних колес автомобиля или другие
параллельные ей линии действительно перемещаются па-
параллельно, но любые иные линии движутся не параллельно.
Еще одной важной разновидностью движения абсолютно
твердых тел является вращательное движение (или враще-
вращение). При вращательном характере движения точки тела
описывают окружности. Центры всех окружностей лежат
на одной прямой линии, называемой осью вращения, а пло-
плоскости окружностей параллельны одна другой. Ось вра-
66

щения может проходить внутри или вне тела, может быть
неподвижной или подвижной.
В случаях, когда рассматривается вращательное движе-
движение тела относительно неподвижной оси вращения, эта ось
связывается с каким-то телом отсчета, т. е. ось вращения
является элементом неподвижной системы отсчета. Иногда
в таких случаях говорят, что неподвижная система отсчета
связана с осью вращения.
В более сложных задачах, когда приходится учитывать
движение в пространстве самой оси вращения, бывает
удобно использовать не одну, а две системы отсчета (или
даже большее их число). Например, так поступают при
описании движения одной из точек боковой поверхности
цилиндра, скатывающегоря с доски, наклонно расположен-
расположенной на лабораторном столе. В системе отсчета, связанной
со столом, точка движется по весьма замысловатой траек-
траектории (по циклоиде), и рассчитать кинематические пара*
метры движения в этой системе не так-то просто.
В согласии с принципом независимости движений ска-
скатывание цилиндра можно представить как совокупность
двух движений, происходящих одновременно: цилиндр
вращается вокруг оси, совпадающей с его геометрической
осью, а ось вращения поступательно движется параллельно
наклонной доске. Такое расчленение движения цилиндра
фактически основывается на введении двух систем отсчета
и учете их относительного движения: одна система отсчета
(подвижная) связывается с осью вращения, другая (непод-
(неподвижная) — с наклонной доской или столом.
Для кинематического описания вращательного движения
вводят те же величины, что и для описания движения точки
по окружности. Мы уже отмечали аналогщр между кинема-
кинематическими характеристиками произвольного движения мате-
материальной точки (или поступательного движения абсолют-
абсолютно твердого тела) и характеристиками движения точки по
окружности. Аналогия распространяется и на уравнения
связи кинематических величин. Так, если рассматривается
вращение тела с постоянным по модулю угловым ускоре-
ускорением, то е=еср=const. Изменение угловой скорости за
промежуток времени At при этом будет равно
Дсо = ±еД/, A.35)
или
A.36)
67

если (Do — угловая скорость в начальный момент времени,
а щ — угловая скорость через промежуток времени А/.
Таким образом, мгновенная угловая скорость в любой
момент времени, отделенный от начального момента проме-
промежутком At, может быть выражена через начальную угловую
скорость о)о и угловое ускорение е:
со,=со0±еД/. (L37)
Видно, что уравнения A.35) — A.37) аналогичны урав-
уравнениям A.11) — A.13).
Кинематические уравнения равнопеременного враща-
вращательного движения можно получить тем же способом, что и
аналогичные им уравнения A.16) и
A.17):
^ A.38)
A.39)
Ф ±Ф0±со0Д/±^
л
Обратим внимание на знаки в пра-
правых частях уравнений A.35) — A.39)
Рис, 1.25. и договоримся о правилах их расста-
расстановки.
Предположим, 4to мы смотрим на вращающееся тело
вдоль его оси вращения. Пусть, например, тело вращается
вокруг оси 01. На рис. 1.25 представлено сечение тела
плоскостью рисунка; г^ — радиус-вектор произвольной
точки К этого сечения в начальный момент времени, О —
,точка пересечения оси вращения с плоскостью рисунка.
Понятно, что знак начальной угловой координаты ф0 (так
же как и ее модуль) выбирается произвольно. Будем счи-
считать угловые координаты положительными, если они от-
считываются от положительного направления оси ОХ
против часовой стрелки. Подобную же договоренность
примем и для углов поворота (если тело вращается против
часовой стрелки, угол поворота положителен, при вращении
тела по часовой стрелке угол поворота отрицателен). На-
Начальная угловая скорость соо берется со знаком плюс, если
в начальный момент времени тело вращается против часовой
стрелки, и со знаком минус, если в начальный момент вре-
времени вращение происходит по часовой стрелке. Наконец,
если угловая скорость вращения тела против часовой стрел-
стрелки возрастает (или уменьшается угловая скорость враще-
68

ния по часовой стрелке), то угловое ускорение 8 подстав-
подставляется со знаком плюс. Знак минус перед е ставится в том
случае, если уменьшается угловая скорость вращения
против часовой стрелки (или увеличивается угловая ско-
скорость вращения по часовой стрелке).
После прочтения этих строк утомленный читатель вправе
спросить: да заслуживают ли такого внимания все эти
плюсы и минусы? И если уж они так важны, то нельзя ли
обойтись без таких громоздких правил?
На оба вопроса можно дать положительные ответы.
Учет знаков в кинематических уравнениях для враща-
вращательного движения помогает рассчитывать более общие
случаи движений, например^ такие, когда направление
вращения в процессе движения изменяется.
Путь ухода от громоздких словесных правил известен.
Но он связан с векторной записью уравнений A.20) —
A.23) и A.35) — A.38), при которой не только угловая
скорость и угловое ускорение, но и угол поворота должны
считаться векторными величинами. Такие предстдвления
пока выходят за рамки программы элементарного курса
физики, а приведенные правила знаков хотя и громоздки,
но по существу просты и обладают преимуществом нагляд-
наглядности.
Не забудем отметить, что уравнения A.35) — A.39)
позволяют решать кинематические задачи о равноперемен-
равнопеременном движении точки по окружности.
1.6. Заключительные замечания
Несмотря на обилие и разнообразие кинематических
задач, с которыми приходится иметь дело на практике,
следует иметь в виду, что при кинематическом описании
любых движений привлекается сравнительно небольшое
число физических величин (перемещение, путь или угол
поворота, средние и мгновенные скорости и ускорения) и
уравнений связи между ними.
Из приведенных в этом параграфе соотношений уравне-
уравнения A.4), A.6) — A.9), A.20)'— A.23) являются наиболее
общими или основными, так как по ним вводятся важней-
важнейшие кинематические характеристики движения. Некоторые
из остальных уравнений являются либо следствиями из
первых, хлибо вспомогательными соотношениями. Лишь
уравнения A.32) и A.34) имеют силу физических зако-
законов, действующих при соответствующих условиях.

Общность кинематического подхода к любым механи-
механическим движениям состоит в том, что довольно часто при
описании движения можно не интересоваться, какое именно
тело движется — шарик, самолет, атом или планета. Дви-
Движение любого тела описывается с -одних и тех же по-
позиций.
В определении положения движущейся точки или тела
в любой момент времени по известному начальному поло-
положению, начальной скорости и ускорению заключается так
называемая основная задача кинематики. Решить такую
задачу для всех рассмотренных выше типов движений поз-
позволяют уравнения A.19), A.39) и A.26).
Система уравнений A.19) решает основную задачу кине-
кинематики для случаев прямолинейного (равномерного или
равнопеременного) движения материальной точки и пря-
прямолинейного (равномерного или равнопеременного) посту-
поступательного движения абсолютно твердого тела.
Уравнение A.39) служит решению основной задачи
кинематики при равномерном или равнопеременном движе-
движении точки по окружности, а также при равномерном или
равнопеременном вращательном движении абсолютно твер-
твердого тела.
Уравнение A.26) позволяет найти для любого момента
времени смещение точки от начального положения при
гармоническом колебательном движении, если известны
амплитуда смещения Л, начальная фаза ф0 и цикли-
циклическая частота со (или частота v, или период Т) коле-
колебаний.
В кинематике решается, конечно, не только эта основная
задача. В ней рассматривается решение многих других
вопросов: определение ускорения движения тела по пере-
перемещению (задача, обратная основной' задаче кинематики),
определение средней скорости произвольного переменного
движения, определение продолжительности движения на
"определенном участке траектории и т. д.
Поскольку при решении физических задач (и кинемати-
кинематических задач в частности) учащиеся подчас испытывают
большие затруднения, хочется завершить этот параграф
несколькими советами.
Если после пристального изучения условий предложен-
предложенной задачи (какое движение 'или движения рассматрива-
рассматриваются? какие кинематические величины характеризуют эти
движения? какие уравнения связи между кинематическими
величинами справедливы в условиях данной задачи?) пут#
70

к решению наметить не удается, то причиной этого часто
является недостаточный навык в составлении и решении
алгебраических уравнений или систем уравнений.
Всякий раз, когда пишется какое-либо уравнение связи
между физическими величинами, не нужно жалеть времени
на труд вспомнить, при каких условиях это уравнение
справедливо.
Обращаем внимание читателей еще на одно требование,
руководствоваться которым полезно при решении любой
(не только кинематической) задачи. Следует записать из-
известные по условию задачи величины в общепринятых обоз-
обозначениях и с заданными числовыми значениями, а затем
отдельно записать искомые величины. Настоятельно реко-
рекомендуем при этом в числе известных отразить и те физиче-
физические величины, которые не заданы явно в виде чисел, огова-
оговариваются только на словах или даже не оговариваются, а
только подразумеваются. Иногда это бывает трудно сделать
перед началом решения задачи, но в ходе анализа, рассуж-
рассуждений и при составлении уравнений такие записи обяза-
обязательно должны появиться.
Например, если сказано, что прямолинейное движение
равномерно, а модуль скорости не задан и может не фигу-
фигурировать в данном случае, запишите все-таки: v=const,
а=0. Если в условии задачи ничего не говорится о силе
трения, видимо, ею можно пренебречь, и тогда следует за-
записать: FTp=0. Общий рецепт таких.записей на все случаи
дать, конечно, невозможно.
Ясно, что это наше требование не формально. Дело не в
том, чтобы записать все константы, все величины, равные
нулю, и т. д. Наша рекомендация основана на необходи-
необходимости глубокого, полного анализа и понимания условий
задачи. Если поставить перед собой цель коротко, сокра-
сокращенно записать эти неявно заданные величины и условия,
то, как видите, придется сделать это не механически, а глу-
глубоко задумываясь и, так сказать, беря на себя ответствен-
ответственность за ту или иную запись. «Сила трения не задана. А по-
почему? В данном случае сила трения вообще не действует
или она очень мала по сравнению с другими силами и ею
можно пренебречь?»... «На каком основании можно счи-
считать, что движение равнопеременно? А не изменяется ли
в данном случае не только скорость точки, но и ее ускоре-
ускорение? Почему?»...
Хочется заметить, что «Сто тысяч почему» — это не
только название хорошей книжки для любознательных,
71

но и принцип, которым следует руководствоваться в любом
исследовании и, в частности, при анализе физических яв-
явлений и решении задач. Не бойтесь задавать себе вопрос
«Почему?» на каждом шагу!
§2. ДИНАМИКА
2.1. Основные понятия динамики и законы Ньютона
Кинематическое рассмотрение движений не отвечает
на вопрос о том, почему осуществляются эти движения или
их изменения.
Динамика является основным разделрм механики. Объ-
Объясняя причины движений или их изменений с помощью
нескольких динамииеских характеристик и законов, она,
кроме того, устанавливает связь динамических величин с
кинематическими* При этом расчет любого механического
движения становится исчерпывающим.
Первый закон Ньютона. Исследователи древнего мира
и средневековья считали, что любое механическое движение
происходит под воздействием внешние факторов, внешних
причин. Труды Галилея и Ньютона внесли существенные
уточнения в эти воззрения.
Равномерные прямолинейные движения (движения по
инерции, или инерциалъные движения) могут происходить
сами собой. Это положение устанавливается первым зако-
законом Ньютона (законом инерции): в отсутствие внешних
воздействий тела могут находиться или в< состоянии покоя,
или в состоянии равномерного и прямолинейного поступа-
поступательного движения.
Свойство тел сохранять в отсутствие внешних воздей-
воздействий состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения называется инерцией.
Все другие разновидности движений (неинерциальные
движения) сами по себе происходить не могут. Легко заме-
заметить, что любое из неинерциальных движений является
движением ускоренным. Каково направление вектора уско-
ускорения, мал или велик модуль ускорения — все это не ме-
меняет неинерциального характера движения. Таким обра-
образом, если имеется движение с ускорением, отличным от
нуля, можно говорить о'внешней причине такого движения.
Поскольку первый закон Ньютона иногда истолковы-
истолковывается неверно или неполно, обратим внимание на сле-
следующее.
72

Этот закон говорит о том, каким может быть движение
материальной точки или поступательное движение абсо-
абсолютно твердого тела в отсутствие внещних воздействий.
К вращательному движению абсолютно твердых тел этот
закон не относится.
Далее. 'Первый закон Ньютона говорит о состояниях
покоя или равномерного прямолинейного движения, но
оценивать любое механическое состояние мржно, только
выбрав систему отсчета (ведь механическое движение и его
частный случай — покой — относительны!). Система от-
отсчета должна быть связана с каким-то телом отсчета, а тела,
как мы уже отметили, могут совершать инерциальные или
неинерциальные движения. Значит, и система отсчета может
быть инерциальной (условно неподвижной или движущейся
равномерно и прямолинейно) или неинерциальной (движу-
(движущейся ускоренно относительно какой-то другой, инерци-
инерциальной системы). Первый закон Ньютона выполняется
только в инерциальных системах отсчета.
Можно привести много подтверждений того, что в не-
инерциальных системах отсчета этот закон не выполняется.
Например, на полу неподвижного вагона поезда лежит
мячик. Как только поезд начнет двигаться, мячик придет
в ускоренное движение к задней стенке вагона, хотя
ничто не воздействует на него в этом направлении. Единст-
Единственной причиной ускоренного движения мячика в этом
случае будет ускоренное, неинерциальное движение ва-
вагона.
Таким образом, смысл первого закона Ньютона состоит
не только в констатации инерциальньъх свойств тел и рав-
равноправия покоя и инициального движения, но и в установ-
установлении факта существования инерциальньм систем отсчета—
таких, в которых без внешних воздействий тела или поко-
покоятся, или совершают равномерные прямолинейные дви-
движения.
Понятие силы. Анализ неинерциальных движений при-
приводит к заключению, что внешней причиной неинерци-
ального движения тела в инерциальной системе отсчета
всегда является воздействие на него go стороны других
объектов.
Сила является физической величиной, оценивающей и
измеряющей эти воздействия, является количественной
мерой этих воздействий.
Отвлекаясь от конкретного указания, какие именно тела
воздействуют на рассматриваемое телр (поверхность ©п<$ры,
73

по которой оно скользит, пружина, Земля или др.), мы
заменяем их воздействия силами, действующими на тело.
Любой силе всегда соответствует какой-то материальный
объект — источник этой силы.
Из сказанного следует, что, рассматривая любое тело
в динамической задаче, мы прежде всего должны поинтере-
поинтересоваться, какие (реально приложенные со стороны других
объектов) силы действуют на него. Нужно выявить все
объекты, действующие на данное тело, и оценить их воз-
воздействия силами.
Поскольку в результате действия определенной силы
на тело изменяется движение этого тела в целом (или от-
отдельных его частей, если тело не абсолютно твердое) и это
изменение характеризуется вектором ускорения, то сила
должна вводиться как векторная величина. Такая необхо-
необходимость подтверждается опытным фактом векторного сло-
сложения сил. При этом имеется в виду, что практический спо-
способ измерения сил известен (например, с помощью пружин-
пружинного динамометра).
Классификация взаимодействий и сил. Все кажущееся
разнообразие взаимодействий в природе с точки зрения
современной физики сводится всего лишь к четырем типам
взаимодействий.
Между всеми телами имеются гравитационные взаимо-
взаимодействия, подчиняющиеся закону всемирного тяготения.
Эти взаимодействия оказываются существенными для боль-
больших тел космического пространства (взаимодействие пла-
планет между собой, взаимодействие между Землей и Луной
и т. п.). С ними приходится считаться и в тех случаях,
когда хотя бы одно из взаимодействующих тел имеет кос-
космические, размеры (например, взаимодействие самолета с
Землей).
Весьма обширна сфера электромагнитных взаимодей-
взаимодействий между телами и частицами, характеризующимися
электрическими зарядами. Эти взаимодействия определяют
поведение макроскопических тел, молекул, атомов или
ионов внутри макроскопического тела, а также частиц,
составляющих атомы и атомные ядра.
Гравитационные и электромагнитные взаимодействия
мы рассмотрим в дальнейшем более подробно.
Ядерные взаимодействия связывают частицы, составляю-
составляющие ядра атомов, а так называемые слабые взаимодействия
фигурируют в процессах взаимного превращения ряда эле-
элементарных частиц.
74

оценки двух первых типов взаимодействий вводят,
соответственно, гравитационные и электромагнитные силы,
а два последних типа взаимодействий силами в обычном
смысле характеризовать невозможно. Уж в о^нь малых
областях пространства происходят эти взаимодействия,
подчиняются они специфическим законам микромира, в
котором такие понятия, как координата, перемещение,
линия действия, точка приложения и др., во многих слу-
случаях неприменимы.
В задачах механики явно учитываются силы гравита-
гравитационные (силы тяготения) и три вида сил, сводящихся к эле-
электромагнитным: силы упругости, возникающие между слоя-
слоями или частицами тела при упругой деформации, силы
сухого (или внешнего) трения, действующие между части-
частицами соприкасающихся поверхностей твердых тел, и силы
вязкого (или внутреннего) трения, действующие меж-
между частицами соприкасающихся слоев жидкостей или
газов.
Характерной особенностью гравитационных сил и сил
упругости является их зависимость от координат относи-
относительного расположения взаимодействующих тел или ча-
частиц. Силы вязкого и сухого трения зависят от скоростей
относительного движения соприкасающихся слоев или по-
поверхностей.
Часто при решении конкретных задач бывает удобно
использовать еще один признак классификации сил (неза-
(независимо от их природы и от того, являются ли они функ-
функциями координат или скоростей): различают внутренние
силы, действующие между отдельными частями рассматри-
рассматриваемой системы взаимодействующих тел или частиц, и
внешние силы, действующие на данную систему в целом или
на отдельные части системы со стороны тел или объектов,
не включенных в эту систему.
Второй закон Ньютона. Принцип независимости дей-
действия сил. При решении основной задачи кинематики
ускорение рассматриваемого тела считается заданной вели-
величиной. Динамика устанавливает причинную и количест-
количественную связь ускорения с действующей на тело силой.
Важнейшим законом динамики произвольного движения
материальной точки или поступательного движения абсо-
абсолютно твердого тела является второй закон Ньютона:
ускорение а, приобретаемое телом в инерциальной системе
отсчета под действием силы F, пропорционально этой силе,
а направления векторов а и F совпадают.
75

Уравнение второго закона Ньютона может быть запи-
записано в виде
•=*?. B.1')
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий
только от выбора единиц измерения остальных величин;
т — величина, характеризующая рассматриваемое тело,
которая носит название массы тела.
Если величины a, F и т выражаются в единицах одной
системы, то коэффициент k принимает значение, равное
безразмерной единице (&=1), и вместо уравнения B. Г)
можно написать
•=?-. B-1)
Важным положением динамики является принцип неза-
независимости действия сил: сила, действующая на тело, сооб-
сообщает ему ускорение, подсчитываемое по уравнению B.1),
независимо от того, действуют на него другие силы или
нет, двигалось оно или покоилось до начала ее действия.
Если на тело действует несколько сил, то каждая из них
сообщает ему «свое» ускорение.
Возможность геометрического сложения векторов сил
согласуется с этим принципом.
Следует подчеркнуть, что сила F в выражении B.1) яв-
является результирующей всех сил, приложенных к данному
телу. Любое тело испытывает воздействие со стороны мно-
множества других, и при расчете его неинерциального движе-
движения нужно учитывать все существенные в данной задаче
внешние влияния. Например, по горизонтальной поверх-
поверхности стола~ мы рукой перемещаем какое-то тело. Тело
движется ускоренно. Но только ли силой воздействия руки
определяется ускорение тела? Конечно, нет. Ускорение
зависит и от силы трения тела о поверхность стола, и от
силы трения тела о воздух. Этими силами можно пренебречь,
если только они много меньше силы воздействия на тело со
стороны руки.
Если в течение промежутка времени At действия силы F
тело с массой т изменяет скорость на Av, то второй закон
Ньютона для этого тела можно записать в иной форме, очень
часто используемой при расчетах: так как Ff=ma, но а==
=Av/A/ (по определению среднего ускорения для интер-
интервала At), то
F = m^, или FA/ = mAv. B.2)
76

Выразив Av через начальную (vo) и конечную (v^) скорости
тела до и после действия силы, лолучим
F &t = mvt—mv0. B.3)
Произведение массы тела на скорость его движения (mv)
называют импульсом (или количеством движения) тела.
В связи с этим формулировка второго закона Ньютона
может быть дана в таком виде: изменение импульса тела за
промежуток времени At действия на него силы равно про-
произведению силы на время ее действия и направлено в сто-
сторону действия силы.
Понятие массы. Масса как динамическая характеристика
тела или частицы впервые появляется в уравнении второго
закона Ньютона. Эта величина всегда доставляет много
хлопот только из-за того, что смысл ее вскрывается недо-
недостаточно полно. К сожалению, неясность и нечеткость вве-
введения и использования понятия массы встречается очень
часто. Иногда говорят о перетекании определенной массы
жидкости из одного сосуда в другой, о подвешенной на
нитке или лежащей на столе массе и пр. Подобные выраже-
выражения не имеют никакого физического смысла и в немалой
степени способствуют затуманиванию содержания понятия
массы.
Масса тела — это прежде всего его свойство откликаться
определенным ускорением на действие определенной силы.
Утверждение, что масса тела — мера его инертности, имеет
тот же смысл.
Попутно заметим, что созвучные термины «инерция» и
«инертностью неодинаковы по смыслу.
Инерция — это свойство всех тел, проявляющееся %
инерциальных системах отсчета. Заключается это свойство
в том, что тела при отсутствии внешних воздействий сохра-
сохраняют скорость своего движения неизменной (включая и
частный случай v=0). Инерцией обладают любые тела, но
для нее не вводится никакой количественной меры. Инерция
является неизмеряемым свойством!
Инертность — тоже свойство, и оно тоже проявляется
в инерциальных системах отсчета, но состоит оно как раз
в изменении скорости тел (в появлении ускорений!) под
воздействием внешних сия. Разные тела по-разному изме-
изменяют свои скорости под действием одной и той же силы, т. е.
свойства инертности у них неодинаковы. Инертность —
свойство измеряемое. Масса и является мерой, количест-
количественной характеристикой этого свойства.
77

Если масса — определенное свойство тела, то, как любое
другое свойство, она не может «висеть», «лежать» или «пере-
«перетекать», ее нельзя потрогать или положить в карман. Ни-
Никому не приходит в голову подвешивать на нитке белизну
снега или прозрачность воды, а массу почему-то «подве-
«подвешивают»!
Отметим, что для использования приведенных выше в
качестве примеров выражений или им подобных имеется
только одно оправдание — экономия слов в предложении.
Можно, конечно, пользоваться такими сокращенными вы-
выражениями, но при этом никогда нельзя забывать об их
истинном значении, о смысле, который в них явно не вы-
высказывается, а лишь подразумевается. (Далее, в гл. V,
мы еще раз обратим внимание читателей на подобные сокра-'
щенные условные словесные конструкции.)
Как вводилась в динамике масса? Прежде всего она по-
появилась как коэффициент пропорциональности в уравнении
связи силы, действующей на тело, с ускорением, приобре-
приобретаемым телом под действием этой силы. Затем оказалось,
что, какими бы силами ни действовали на данное тело,
приобретаемое им ускорение всегда определялось по урав-
уравнению B.1), причем для данного тела коэффициент пропор-
пропорциональности т оставался одним и тем же. И так как сна-
сначала все опыты подтверждали постоянство формального
коэффициента пропорциональности т в уравнении B.1)
для данного тела, то стало возможным усмотреть в нем
объективный смысл, усмотреть свойство, неотделимое от
данного тела, свойство, ему присущее.
Более поздние опыты показали, что масса данного тела
остается постоянной, только при определенных условиях.
Она оказалась зависящей от скорости его движения в той
или иной системе отсчета:
т= гт°.. ' B.4)
В этой формуле т — масса тела в системе отсчета, относи-
относительно которой оно движется со скоростью v,— так назы-
называемая релятивистская масса; т0 — масса того же тела в
системе отсчета, относительно которой оно неподвижно,—
так называемая собственная масса (или масса покоя); с —
скорость света в вакууме.
Подчеркнем, что уравнение второго закона Ньютона
в форме B.1) применяется только при условии, что масса
рассматриваемого тела не меняется. При скоростях, много
78

меньших скорости света, этими изменениями пренебрегают,
но если скорость движения соизмерима со скоростью света,
то с изменением массы приходится считаться.
Уравнение B.4) приводит к очень важному выводу.
Представим, что какое-то тело движется с возрастающей
скоростью, приближающейся к скорости света. При этом
масса тела в системе отсчета, не связанной с самим движу-
движущимся телом, увеличивается и при v—c должна сделаться
бесконечно большой (т->оо). Значит, по мере увеличения
скорости тело пришлось бы ускорять всё большими силами.
Можно показать, что и при малых силах, действующих
на тело весьма продолжительное время, его скорость не мо-
может превысить скорость света в вакууме. Таким образом,
заставить тело двигаться со скоростью большей, чем ско-
скорость света, принципиально невозможно.
Мы сказали о массе как о мере инертности тела, которая
может быть введена в связи со вторым законом Ньютона
(поэтому ее называют инертной массой). Но масса фигури-
фигурирует и еще в одном законе природы — в законе всемирного
тяготения (§ 4), который независим от второго закона
Ньютона. Если вводить понятие массы на основании закона
всемирного тяготения, то она предстает как мера тяготе-
ниЯу как мер.а взаимного притяжения тел (ее называют
гравитационной массой). В настоящее время физика распо-
располагает экспериментальными подтверждениями того, что
для данного тела значения инертной и гравитационной масс
тождественны. Однако смысл понятия массы тела остает-
остается двойственным: масса — и мера инертности, и мера тя-
тяготения.
Наконец, у понятия массы есть и еще один смысл. Он
особенно отчетливо проявляется, когда речь идет о таких,
например, представителях микромира, как фотоны. Массу
фотонов нельзя истолковать как меру инертности или тяго-
тяготения, так как фотоны вообще не обладают никакой инерт-
инертностью, они не могут ни ускоряться, ни замедляться. Они
либо движутся со скоростью, равной скорости света в ва-
вакууме, либо прекращают свое существование, порождая
какие-то новые частицы или процессы. Поэтому масса фото-
фотона предстает как следствие наличия у него каких-то иных,
более общих и универсальных характеристик или мер дви-
движения. Масса оказывается мерой энергии (или мерой им-
импульса).
Такой же смысл имеет масса и тогда, когда ею характе-
характеризуют поля (так называемая полевая масса).
79

Современной физике известны две разновидности, две
формы материи: тела или системы тел, частицы или систе-
системы частиц — все те материальные образования, которые
объединяются общим названием вещество, и различные по-
поля— поле тяготения, электрическое, магнитное и др.,
о которых нам еще предстоит поговорить. Обе эти формы не-
неразрывно связаны, одна существует благодаря существо-
существованию другой, обе формы являются двумя проявлениями
одной и той же, единой материи.
Понятие массы подчеркивает это единство: масса вводит-
вводится как мера важнейших, неотъемлемых свойств материи
в обеих формах. Массой характеризуются и вещество, и
доля.
Таким образом, понятие массы оказывается достаточно
общим и многогранным, но вместе с тем далеко не простым
для понимания.
С подобными же трудностями в физике встречаются
всякий раз, когда приходится давать смысловые определе-
определения наиболее общим, фундаментальным понятиям. К таким
трудным понятиям относится не только масса, но и поле,
электрический заряд и некоторые другие.
Следует обратить внимание на еще одно иногда встречаю-
встречающееся толкование массы — как меры количества вещества
в теле. При этом допускается необоснованное отождеств-
отождествление совершенно разнородных физических понятий.
Само название величины, которую теперь принято из-
измерять молями,— «количество вещества»,— возможно, не
совсем удачно. Эта величина введена для описания таких
явлений и решения таких задач, в которых какими-то
способами может быть достоверно.определено, подсчитано
количество некоторых частиц. В подобных случаях может
идти речь о количестве молекул, атомов, ионов, гидро-
ксильных групп, кислотных остатков и т. п., фигурирующих,
например, в той или иной химической реакции, имеющихся
в данном сосуде.
каждая из этих частиц в отдельности и весь коллектив,
состоящий из определенного числа частиц, могут, конечно,
характеризоваться массой. Но масса и число частиц при
этом не должны отождествляться, одно понятие не должно
подменять другое, ибо они представляют разные сущности,
они характеризуют частицу или группу частиц с различных
сторон, по неодинаковым признакам.
Масса выступает как физическая величина,-отражающая
определенное свойство одиночной частицы или коллектива
№

частиц. У тысячи атомов кислорода масса будет в тысячу
раз больше, чем масса одного атома кислорода при тех же
условиях. Но мас?а будет характеризовать коллектив ато-
атомов кислорода только потому, что массой обладает каждый
одиночный атом.
Число же атомов или других частиц, с которыми мы
имеем дело в той или иной задаче, свойством этих частиц
не является.
К сказайному следует добавить, что «поштучный пере-
пересчет» некоторых частиц в ряде случаев в принципе невозмо-
невозможен. Это относится, например, к элементарным частицам,
из которых состоят ядра атомов. Одним из свойств этих
частиц является их взаимная превращаемость. Этот факт
не позволяет с полной определенностью утверждать, какие
именно элементарные частицы и в каком количестве содер-
содержатся в данный момент времени в данном теле, хотя масса
продолжает характеризовать эти частицы, их коллективы
и тело в целом.
Плотность вещества. Часто в расчетах используется
важная характеристика вещества — плотность (р); это
физическая величина, определяемая отношением массы
данного однородного вещества к занимаемому им объему:
__ т
р _ ~ ,
Если вещество по плотности неоднородно, то ее нужно
определять для каждого элементарного объема отдельно:
Am
Р
Здесь Am — масса такого малого объема AV вещества, в
пределах которого плотность может считаться постоянной.
Единицы-измерения плотности устанавливаются в сог-
согласии с этими формулами: 1 кг/м3 в СИ и 1 г/см3 в си-
системе СГС.
Третий закон Ньютона. Этот закон устанавливает равно-
равноправие взаимодействующих тел и парность возникновения
сил взаимодействия в инерциальной системе отсчета: силы,
9 которыми взаимодействует два тела, равны по модулю и
противоположны по направлению.
Поскольку эти силы приложены к разным телам, ни о
каком их сложении или о нахождении их равнодействующей
не может быть и речи. Практически в любой задаче дина-
динамики мы должны учитывать третий закон Ньютона, так как
81

всегда приходится иметь дело не с одиночным, изолирован-
изолированным телом, а с системой взаимодействующих тел или частиц.
Уравнение третьего закона Ньютона для взаимодей-
взаимодействия двух тел A и 2) может быть записано в виде ,
F — F
1 12 л 21»
где FX2 — сила, действующая на первое тело со стороны
второго, a F2i — сила воздействия на второе тело со сто-
стороны первого.
Знак минус в этом уравнении говорит о противополож-
противоположном направлении векторов сил, а не о том, что одна сила
положительна, а другая отрицательна. Ведь сила, как век-
векторная величина, характеризуется модулем, направле-
направлением, точкой приложения, но не знаком. (Вот если мы будем
проецировать вектор силы на координатную ось выбранной
системы' отсчета, договорившись о положительном направ-
направлении этой оси, то перед модулем вектора силы придется
поставить тот или иной знак в зависимости от ориентации
вектора по отношению к координатной оси.) Можно ска-
сказать, что в уравнении третьего закона Ньютона знак минус
относится не к одной из сил, а сразу к обеим.
Обратим внимание на то, что в приведенной «ньютонов-
«ньютоновской» формулировке третьего закона используется понятие
силы. В связи с этим и с учетом замечаний, которые были
приведены выше при классификации взаимодействий в при-
природе, вырисовываются дополнительные условия примени-
применимости этого закона.
Третий закон Ньютона в данной формулировке справед-
справедлив лишь для гравитационных и электромагнитных вза-
взаимодействий. Поскольку скорость передачи этих взаимо-
взаимодействий велика, но конечна (ора равна скорости распро-
распространения света), то закон применим для промежутков
времени не меньше тех, в течение которых между рассмат-
рассматриваемыми телами успевает установиться стационарное
взаимодействие. Если взаимодействующие тела находятся
в непосредственном контакте (с такими задачами мы имеем
дело при учете сил упругости или сил трения), последнее
ограничение, конечно, снимается.
Проблема измерения мисс и сил. Особо следует остано-
остановиться на выяснении роли второго и третьего законов Нью-
Ньютона при количественном определении, измерении двух
важнейших динамических величин — массы и силы
Вводя ту или иную физическую величину, определяя
ее по смыслу, обязательно следует указывать практический
82

способ ее измерения. У нас же пока сила и масса введены
«на словах». Сила — мера воздействия, масса — мера инерт-
инертности. Но как и чем они измеряются?
Вот здесь-то и возникает некоторая неопределенность.
Она начинается с того, что две величины (масса и сила),
способ измерения которых пока не указан, входят в одно и
то же уравнение второго закона Ньютона. Ускорение, со-
содержащееся в этом уравнении, нас не пугает: эта величина
известна из кинематики, мы знаем способ ее измерения
(например, с помощью линейки и секундомера) и единицы
ее измерения. Значит, в нашем распоряжении имеется одно
уравнение, относящееся к какому-то одному конкретному
телу, с двумя неизвестными величинами
Привлекая уравнение еще одного важнейшего опытного
закона, уравнение третьего закона Ньютона, мы как будто
не улучшаем положения, так как вводим в рассмотрение
второе тело, взаимодействующее с первым. Если, как и ра-
ранее, пометить величины, относящиеся к этим двум взаимо-
взаимодействующим телам, индексами 1 и 2, то можно написать
систему трех уравнений:
ai = F12/mx (уравнение второго закона Ньютона '
для тела 1),
а2 =F21/w2 (то же для тела 2),
F12 = —F21 (уравнение третьего закона Ньютона
для оценки взаимодействия обоих
тел);
B.5)
эта система имеет две пары разнородных величин {тг и т2,
Fi2 и F2i), способ измерения которых не установлен.
Попытки замкнуть эту систему в математическом отно-
отношении какими-то дополнительными уравнениями не приво-
приводят к успеху. Вводить новые тела (кроме тех двух, взаимо-
взаимодействие которых мы рассматриваем) бессмысленно, так
как это только увеличит число неизвестных, а уравнений,
в которых кроме указанных четырех не содержалось бы
каких-то других неизвестных величин, нам не дано. Просто
никому не известны подходящие законы, уравнения кото-
которых не содержали бы новых неизвестных!
Может возникнуть вопрос: а не стоит ли при решении
задачи об измерении масс и сил отказаться от учета третьего
закона Ньютона? Ведь именно этот закон довел число не-
неизвестных до четырех! Давайте рассматривать только одно
тело. Уравнение второго закона Ньютона, записанное
.83

для этого тела, будет содержать только две неизвестные
величины. Лучше иметь дело с двумя неизвестными, чем с
четырьмя...
Оказывается, не лучше. Рассматривая одиночное изоли-
изолированное тело, мы, так сказать, нарушаем естество вза-
взаимодействий, мы отбрасываем источник силы, который при
измерении масс и сил может пригодиться. Ведь если тело
в полном смысле изолировано, то на него вообще не дейст-
действуют никакие силы, оно совершает инерциальное движение
и к нему бесполезно применять второй закон Ньютона.
Значит, остается решать задачу с четырьмя неизвестными.
Понятно-, что если бы мы знали, как измерить хотя бы
одну из этих четырех величин, то система уравнений B.5)
подсказала бы способ измерения всех остальных. Но если
законы природы не дают нам однозначного указания об
измерении массы и силы, то следует, очевидно, воспользо-
воспользоваться произвольным выбором одной из них в качестве эта-
эталонной. Пользоваться эталонной силой менее удобно, чем
эталонной массой. Поэтому при измерении масс различных
тел принято ориентироваться на тот самый платино-ири-
диевый цилиндр, который^ был выбран в качестве эталона
единицы массы.
Итак, в нашем распоряжении имеется эталонное тело,
масса которого тэ считается известной и принимается за
единицу измерения массы. Если нам нужно измерить массу
т какого-то другого тела (например, стального шарика),
то можно поступить следующим образом. Подвесим оба
тела на очень длинных нитях так, чтобы тела соприкаса-
соприкасались (рис. 2.1, а). Далее обеспечим такое взаимодействие
этих тел, чтобы в результате него скорости обоих тел из-
изменились. Например, отведем шарик на небольшое расстоя-
расстояние влево и отпустим (рис. 2.1, б). В момент соударения тела
изменят свои скорости, т. е., иными словами, получат
ускорения. После соударения тело с массой тв начнет дви-
двигаться вправо. Движение шарика после удара может про-
происходить и вправо (но с меньшей скоростью, чем перед
ударом), и влево (шарик может отскочить, изменив направ-
направление скорости движения), шарик после удара может и
остановиться. О всех этих деталям мы можем узнать,
проведя опыт. Но, пожалуй, и без опыта ясно одно: векто-
векторы ускорений а и аэ при взаимодействии будут иметь
направления, указанные на рис. 2.1, в. Рассматривая малые
(по сравнению с длиной нитей) отклонения тел от положе-
положения равновесия, можно считать, что движения обоих тел
84

происходят вдоль горизонтальной линии, проходящей
через точку их касания в состоянии покоя или в момент
удара.
На основании системы уравнений B.5) для данного слу-
случая можем записать уравнение
та = — тэаэ,
которое п|эи проецировании на координатную ось ОХ дает
Выражая проекции ах и аэх через модули соответствующих
векторов, получаем
т(—а) = — тэаэ, или ma = mQaQt
откуда
Теперь мы располагаем способом измерения массы ша-
шарика (и любых других тел), так как масса тэ известна, а
а)
t
т3
6)
Рис. 2.1.
0
б)
модули ускорений а и аэ можно определить из рассмотрен-
рассмотренного опыта "или ему подобных.
Описанный способ измерения масс фактически основы-
основывается на третьем законе Ньютона, (уравнение которого
следует записывать в виде т&х——т2а2). При таком под-
подходе считается, что третий закон Ньютона содержит опре-
определение массы (и смысловое определение, и метод измере-
измерения), а сила определяется в согласии со вторым законом
Ньютона (F=ma) как физическая величина, равная произ-
произведению массы данного тела на ускорение его движения.
Поскольку масса тела т измерена с помощью третьего
закона Ньютона, уравнение F=ma дает возможность
85

измерить силу и ввести единицы измерения силы: ньютон
(Н) в СИ, дина (дин) в системе СГС. Напомним, что
1 Н = 1 кг-1 м/с2, 1 дин=1 г-1 см/с2.
Только что описанный метод введения и измерения масс
и сил принят в последние годы в школьном курсе физики,
но он не является единственно возможным. Выше мы заме-
заметили, что эталонной может быть выбрана не только масса
определенного тела, но и какая-то сила. При такой догово-
договоренности определение силы будет содержаться в третьем
законе Ньютона, а определение массы — во втором.
Мы задержались на обсуждении принципов определения
и измерения масс и сил, чтобы обратить внимание на ту
неопределенность, которая содержится в двух важнейших
законах динамики, и на те трудности, которые приходится
преодолевать при выполнении измерений.
Некоторые читатели могут сказать, что на практике не
часто увидишь, чтобы массу измеряли, заставляя тела стал-
сталкиваться, а силу подсчитывали по ускорению, что для этих
целей имеются специальные приборы (весы различных кон-
конструкций, динамометры), которыми совсем нетрудно пользо-
пользоваться. Таких читателей следует предостеречь от чрезмер-
чрезмерных упрощений. Им следует напомнить, что массу элект-
электрона, протона или Луны измеряли не с помощью весов, что
силу удара ноги футболиста по мячу динамометром не из-
измеришь и что измерения с помощью весов и динамометров
основаны не только на законах Ньютона, но и на некоторых
других.
Силы упругости. Закон Гуна. Измерение силы динамо-
динамометром. Вследствие действия на тело внешней силы оно
может деформироваться, т е. изменять свои размеры или
форму. Так называемые упругие деформации замечательны
не только тем, что после прекращения действия внешней
силы тело в ряде случаев полностью восстанавливает свои
первоначальные размеры, но и тем, что деформация тела
пропорциональна действующей на него внешней силе.
Силы, возникающие между частицами деформируемого
тела и стремящиеся восстановить его первоначальные раз-
размеры и форму, называются силами упругости. Эти силы
имеют электромагнитную природу и оказываются пропор-
пропорциональными деформации, т. е. являются функциями коор-
координат частиц (или частей) тела в выбранной системе от-
отсчета. Последнее обстоятельство, - установленное опытным
путем, является содержанием закона -Тука,
86

Силы упругости возникают при различных деформа-
деформациях: при растяжении, сжатии, изгибе, при скручивании
тела и т. д. В простейших задачах элементарного курса
физики учитываются лишь одномерные-растяжения и сжа-
сжатия тел (продольное растяжение нити или проволоки, сжа-
сжатие или растяжение витой пружины вдоль ее оси и т. п.).
Уравнение закона Гука для этих случаев может быть запи-
записано в виде
Fyop = *(/-/,) = АЛ/, B.6)
где Fynp — модуль силы упругости, /0 — начальная длина
тела, / — длина тела в деформированном состоянии, А/ —
изменение длины тела при растяжении или сжатии (эту
величину обычно и называют линейной деформацией тела
или, просто, деформацией тела), k — коэффициент упру-
упругости (или коэффициент жесткости) — величина, опреде-
определяемая силой, вызывающей единичную деформацию (на-
(например, Д/=1 м или А/= 1 см) данного тела.
Если тело деформируется вдоль одной из координатных
осей (например, вдоль ОХ), то уравнение закона Гука за-
записывают в виде
-kbx. B.7)
Знак минус в этом выражении указывает на то, что сила
упругости направлена в сторону, противоположную дефор-
деформации.
Определив на опыте коэффициент упругости данного
тела, мы получаем возможность использовать это тело для
измерения сил. На этом принципе основано действие пру-
пружинных динамометров, причем, заметим, независимо от
того, какой из двух рассмотренных выше подходов выбран в
качестве определяющего при введении масс и сил. Если
масса определяется в согласии с третьим законом Нью-
Ньютона, а сила — по второму закону Ньютона, то цену деле-
деления шкалы динамометра (или коэффициент упругости пру-
пружины) можно в принципе определить следующим образом.
Тело известной массы т нужно привести в ускоренное дви-
движение, воздействуя на него данной пружиной. Измерив на
опыте ускорение тела и деформацию пружины, можно рас-
рассчитать коэффициент упругости.
Если же используется второй способ введения масс и
сил, то коэффициент упругости пружины определяют,
измеряя ее деформацию под воздействием известной силы,
«7

Сила тяжести. Измерение массы тела в статических
условиях. Движение различных тел под воздействием при-
притяжения к Земле в данном пункте на земном шаре происхо-
происходит с одним и тем же ускорением (ускорение силы тяжести,
или ускорение свободного падения g). Этот факт (напомним,
что он осуществляется только при движении без сопротив-
сопротивления, при движении в вакууме) можно использовать для
того, чтобы на основании второго закона Ньютона ввести
еще одну динамическую характеристику тела —? силу тяже-
тяжести Р:
Какое-то тело имеет массу как свое неотъемлемое свой-
свойство, ибо она характеризует поведение этого тела в любой
динамической задаче, но тело само по себе силы тяжести
не имеет. Силой тяжести мы характеризуем фактически не
данное изолированное тело, а это тело вблизи Земли, при
воздействии на данное тело силы притяжения со стороны
Земли. Если бы не былодругого, притягивающего тела—Зем-
тела—Земли, то не пришлось бы говорить и о силе тяжести первого.
Обращаем внимание на то, что сила тяжести тела вы-
вызвана притяжением его Землей, нр не всегда равна силе
притяжения к Земле. Дальше мы поясним это (см. п. 4.2).
Располагая весьма точными способами измерения уско-
ускорения свободного падения (для этих целей используются
различные маятники или другие устройства), мы получаем
возможность измерять силу тяжести любого тела, так как
массу тела мы можем измерить без измерения силы. Опреде-
Определив силу тяжести тела, мы можем воспользоваться ею как
эталонной силой для градуировки пружинного динамометра.
Итак, мы знаем, как на опыте определить коэффициент
упругости любой пружины или любого другого упруго де-
деформируемого тела независимо от того, в связи с каким из
законов Ньютона вводятся масса и сила. Для этого кроме
законов Ньютона приходится учитывать закон Гука и факт
постоянства ускорения свободного падения тел в данном
пункте Земли.
Не следует забывать, что с помощью пружинного-дина-
мометра можно измерять не только силы, но и массы раз-
различных тел. Подвесив к концу пружины неподвижного ди-
динамометра какое-то тело, мы, конечно, непосредственно
узнаем силу тяжести этого тела, но, если известно ускоре-
вие свободного падения для того пункта, в котором мы про-,
водим измерение, то без большого труда мы определим и
88

значение массы тела. Можно даже шкалу динамометра про-
градуировать в единицах массы, но при этом, правда, при-
придется указать, для каких пунктов на земном шаре она спра-
справедлива без дополнительных поправок, учитывающих изме-
изменение ускорения свободного падения.
Таким образом, статический способ измерения масс с по-
помощью пружинного динамометра (или пружинных весов)
оказывается не универсальным, но все же приемлемым для
многих практических задач и заменяющим тот динамический
способ, о котором говорилось выше.
Есть и еще один способ измерения масс тел в статиче-
статических условиях — с помощью рычажных весов. При равно-
равновесии весов можно утверждать, что сила тяжести тела Рт,
лежащего на одной чашке весов, равна силе тяжести гирь
Рг, которые положены на другую чашку: РТ=РГ. Выражая
силы тяжести через массы соответствующих тел, имеем:
mTg=mrg, или т?=тг. Если на гирях, используемых при
взвешивании, указаны значения их масс, то рычажные весы
позволяют измерить непосредственно массу тела независимо
от того, где производится взвешивание. Поправки прихо-
приходится вводить только при особо точных измерениях для
учета различия выталкивающих сил воздуха, действующих
на взвешиваемое тело и гири, если тело и гири изготовлены
из разных веществ.
2.2. Закон сохранения импульса
Одним из важнейших законов физики является закон
сохранения импульса (или закон сохранения количества дви-
движения). Уравнение этого
закона можно получить на
основании второго и треть-
третьего законов Ньютона, при-
применив их к взаимодейству-
взаимодействующим телам. Рис 22
Рассмотрим простейший
пример взаимодействия двух тел в какой-то инерциальной
системе отсчета. Пусть шарик А с массой т± движется гори-
горизонтально в вакууме со скоростью vOi вдогонку за шариком
В, который имеет массу т2 и движется по той же гори-
горизонтальной прямой со скоростью Vq2<v01 (Рис- 2.2). Возни-
Возникающие при ударе шаров силы взаимодействия Fx и F2 по
третьему закону Ньютона будут равны по модулю и напра-
направлены в противоположные стороны. Сила Fx действует на

шарик А со стороны шарика В, а сила F2 — на шарик В ,са
стороны шарика Л. Пусть шарики абсолютно упруги, т. е.
если при ударе они сначала несколько деформируются,
то сразу же вслед за этим восстанавливают свою форму.
Из-за взаимодейств Pi я при ударе шарики изменят своиь
скорости. В самом деле, шарик Л, получив встречный тол-
толчок, должен замедлить свое движение. Шарик В получает
толчок в направлении своего движения и во время взаимо-
взаимодействия при ударе должен двигаться ускоренно.
Обозначим скорости шаров после удара через \ц и v^2.
Если продолжительность удара равна А/, то для ускоре-
ускорений шаров имеем
Записывая уравнение второго закона Ньютона для каждого
шара,
Р -т v'i-v<* F -m v*2~v°2
и учитывая, что продолжительность удара А/ одинакова для
обоих шаров, a Fi=—F2 в согласии с третьим законом Нью-
Ньютона, получаем
Щ (v*t — vol) = — m2 (vf2—v02), B.8)
или
или, наконец,
m1y0l + m2y02 = m1yn + m2yt2. B.9)
На основании B.8) можно заключить, что изменения
импульсов двух взаимодействующих тел одинаковы по мо-
модулю, но противоположны по направлению, а на основании
B.9) — что суммы импульсов тел до взаимодействия и после
взаимодействия равны, т. е. суммарный импульс тел в ре-
результате взаимодействия не изменяется.
Обратим внимание на то,.что рассмотренные шары изме-
изменяли свои движения только в результате взаимодействия
между собой и никаких других, внешних воздействий не
испытывали.
Только для замкнутых, изолированных систем применим
закон сохранения импульса.
Вообще под замкнутой, или изолированной, системой
понимается такая система взаимодействующих тел, на кото-
которую не действуют никакие внешние силы. Поскольку таких
систем в действительности не существует, мы с достаточной
90

для практики степенью точности принимаем в качестве замк-
замкнутой систему, для которой сумма внешних сил (со стороны
тел или объектов, не включенных в эту систему), действую-
действующих на каждое из тел этой системы, равна нулю или прене-
пренебрежимо мала по сравнению с силами взаимодействия между
телами системы. )
Примером замкнутой системы могут служить две тележ-
тележки, связанные пружиной. Кроме силы взаимодействия че-
через посредство пружины с другой тележкой, на каждую те-
тележку действует сила тяжести (результат взаимодействия с
Землей), но она уравновешивается так называемой силой
реакции опоры (результат взаимодействия с еще одним внеш-
внешним телом), если опора горизонтальна. Ясно, что замкну-
замкнутость системы тележек будет нарушена, если их движение
будет происходить с трением и силу трения, действующую на
каждую из тележек, ничто уравновешивать не будет. Это
говорит о том, что анализ замкнутости системы должен про-
проводиться с большой тщательностью.
Система может состоять из нескольких взаимодействую-
взаимодействующих тел или частей, их число в результате взаимодействий
может изменяться (например, некоторые тела системы сли-
сливаются, объединяются, а другие разделяются на части),
тела системы могут совершать движения в самых различных
направлениях, но если все это не нарушает замкнутости
системы, то к ней применим закон сохранения импульса.
Более того, закон сохранения импульса оказывается
справедливым и в тех случаях, для которых законы Ньютона
неприменимы (например, в физике элементарных частиц,
где проявляются ядерные и так называемые слабые взаимо-
взаимодействия).
2.3. Учет сил внешнего трения в динамических задачах
Все реальные движения тел происходят, как уже отме-
отмечалось, при воздействии множества других окружающих
тел. В местах контакта рассматриваемого твердого тела
с другими твердыми телами возникают силы сцепления меж-
между их частицами, или силы внешнего трения. Эти силы имеют
электромагнитную природу и обнаруживаются как при от-
относительном покое, так и при относительном движении со-
соприкасающихся тел. Как известно, модуль силы трения
FTp зависит от модуля силы Nn, действующей на рассматри-
рассматриваемое тело по нормали к трущимся поверхностям, от их
материала и качества обработки (силу Nn часто называют
91

нормальной реакцией опоры). Влияние материала и качества
обработки определяется опытным путем и учитывается
коэффициентом трения k:
FT9 = kMn. B.10)
Вообще говоря, сила трения зависит и от относительной
скорости движения соприкасающихся поверхностей, но этим
обстоятельством в элементарном курсе физики обычно пре-
пренебрегают. Отметим только, что для выведения из состояния
покоя твердого тела, соприкасающегося с другим твердым
телом (в отличие от выведения из состояния покоя соприка-
соприкасающихся слоев жидкостей или газов), необходимо прило-
приложить отличную от нуля внешнюю сцлу, чтобы преодолеть
так называемую силу трения покоя. Обычно в элементарном
курсе физики под силой трения покоя^ подразумевают силу
трения в момент начала движения, т. е. ту максимальную
силу сцепления между соприкасающимися поверхностями,
которую преодолевает внешняя сила, выводящая тело из
состояния покоя. Сила трения, действующая на тело при
движении, может быть меньше силы трения покоя.
Следует обращать особое внимание на выяснение того,
какими силами обеспечивается взаимодействие по нормали,
что является силой М„ в каждом конкретном случае.
Задача. Определить модуль горизонтально направленной силы F,
которой нужно прижать деревянный брусок к вертикальной»деревянной
стенке (?—0,50), чтобы он не упал
(рис. 2 3, а). Масса бруска т=2,0 кг.
- Будем решать задачу в системе
отсчета, связанной со стенкой. Нас
интересует случай, когда брусок
не падает, случай его покоя. При
каких условиях возможен покой
бруска? Чтобы под действием силы
тяжести P=mg брусок не двигался
вниз, на него должна действовать
вертикально вверх какая-то сила,
о) уравновешивающая силу Р. В нашем
рис 2 з случае такой силой может быть толь-
только сила трения FTp. Несмотря на си-
силу F, брусок не должен двигаться
влево, ее должна уравновесить сила реакции стенки R. Под действием
этих четырех сил (рис. 2.3, б) брусок должен быть неподвижным.
Уравнение второго закона Ньютона для покоящегося бруска (а—О)
можно записать в следующем виде:
или в проекциях на оси координат:

Учитывая, что Рх=0, FTvx=0, /у=0 и #у=0, получаем
Выражая проекции через модули соответствующих векторов, имеем
или
тр:
(а)
Силой нормальной реакции Nn в данном случае является сила R, т. е.
С учетом (а) получаем: P—kF, или mg=kF, откуда
р—.
mg
JL
„ли
2,0 9,8
Задача. Ящик, масса которого т=12 кг, перемещают равномерно
по горизонтальному полу, действуя на него силой F, направленной под
углом а—л/6 радиан к горизонту. Определить модуль этой силы, если
коэффициент трения равен 0,48.
Под действием нескольких сил тело может двигаться равномерно*
если геометрическая сумма всех приложенных к нему сил равна нулю.
В данном случае на ящик действуют четыре силы: сила тяжести Р—mg,
сила реакции пола R, движущая сила F и сила трения FTp. Поскольку
имеется в виду поступательное движение ящика по горизонтали (ящик не
Опрокидывается и т. п.), все действующие на него силы можно считать
приложенными в его центре тяжести. Направления действия сил Pj R
_и FTp ясны. Но в каком направлении действует сила F? Заданный угол
наклона ее к горизонту допускает неоднозначное толкование. Здесь мы
встречаемся с примером того, что физическая задача (подобно большин-
большинству задач практики) сформулирована, поставлена не очень строго.
В задаче возможны два варианта приложения силы F (рис. 2.4, а).
На рис. 2.4, б даны схемы приложения сил к центру тяжести ящика
в обоих случаях.
93

Вводя все* действующие на ящик силы в уравнение второго закона
Ньютона и учитывая, что ящик движется равномерно и прямолинейно,
имеем
Fi+Ri+FTpl + P = 0, F2+R2+FTp2 + P==0.
Выбрав систему отсчета, связанную с неподвижным полом, запишем сис-
системы уравнений для проекций векторов сил на координатные
+Py = O; / Fty+Rtu+Ftpn+Pv^Oi f
после этого можно записать уравнения связи модулей соответствующих
вектров:
Fp i = 0, (а)
P = 0, (б)
F2cosa — FTp2 = 0, (в)
— Р = 0. (г)
Сравнивая выражения (б) и (г), можно заметить, что силы реакции
пола в двух рассматриваемых случаях будут неодинаковыми по модулю*
/?1=Я+/Г1 sin a, R2=P—F2 sin a, (д)
т. е. RX>R2. Эт° объясняется тем, что в первом случае вертикальная
составляющая силы Ft вместе с силой тяжести Р прижимает ящик к полу,
а во втором случае вертикальная составляющая уменьшает силу воз-
воздействия ящика на пол (при условии F2 sina^P ящик может быть
даже оторван от пола)
Система четырех уравнений (а) — (г) содержит шесть неизвестных
величин, и поэтому следует использовать какие-то дополнительные
уравнения В согласии с уравнением B.10) модули сил трения можно
выразить через модули сил нормальных реакций
FTvl = kNnl,s /7тР2 = ^п2, (е)
причем силами Nwl и Nw2, действующими на ящик по нормали к трущимся
поверхностям, в данной задаче являются силы реакции пола Rx и R2.
Учитывая это, на основании (д) можем записать выражения
, Nn2*=P — F2sina,
которые вместе с уравнениями (а), (в), (е) приводят к двум уравнениям
с двумя неизвестными.
F1 cos a~k (P-\~F1 sin a), F2 cos a—k (P—F% sin a).
После простых преобразований получаем
cos a — k sin a ' 2 cos a + k sin a'
или
cosa+ftsin«- №
Выражения эти отличаются только знаками у вторых слагаемых в зна-
знаменателях. Видно, что Ft>F2
94

Оказывается, толкать или тащить (силой, действующей под углом к
горизонту!) какое-то тело с постоянной скоростью — не одно и то же'
Чем это объясняется? Да только наличием силы трения. В самом деле,
если трение отсутствует (&=0), то по формулам (ж) получаем для обоих
рассмотренных вариантов F1=F2z=0 В таком случае ящик мог бы дви-
двигаться равномерно по инерции, а любая сила, отличная от нуля, приво-
приводила бы ящик в ускоренное движение.
Различие ответов для рассмотренных вариантов исчезает и при на-
наличии трения, если приложенная к ящику сила горизонтальна. Тогда
а=0 и по формулам (ж) получаем: Fx—Fz—kmg.
Наконец, в первом варианте возможен случай, когда никакая сила
Fx не сдвинет ящик с места. Это случится, если cos a^k sin а, т. е.
если сила Ft приложена к ящику под углом ct^arcctg k. При этом гори-
горизонтальная составляющая Fx cos а недостаточна для преодоления воз-
возникающей силы трения.
Дроби в выражениях (ж) безразмерны, и если масса ящика т из-
измерена в кг, а ускорение свободного падения — в м/с2 то Fx и F2 будут
получены в ньютонах. Подставляя значения величин, находим
Задача. Как зависит модуль силы F, необходимой для равномерного
подъема тела по наклонной плоскости, от угла наклона а плоскости
к горизонту? Масса тела т, коэффициент трения k. Сила направлена
параллельно наклонной плоскости.
На рис. 2.5 дана схема сил, которые будем считать приложенными
к центру тяжести тела, и оси координат ОХ и ОУ системы отсчета, свя*
занной с наклонной плоскостью.
Для равномерного движения тела должно выполняться условие
которому эквивалентна система уравнений
или
— Psin a + F — FTp = 0, (a)
— Pcosa + # = 0. (б)
Модуль силы трения в данном случае зависит от модуля силы реак-
реакции наклонной плоскости:
Flv = kR. (в)
Решая систему уравнений (а) — (в), получаем искомую зависимость:
F=P(sin a+k cos a),
или
F=mg(sin a^zk cos a).
При a=0 будет F—kmg, а при а—п/2 радиан получим F=mg (сила F
будет поднимать тело вертикально, преодолевая силу тяжести, а на-
наклонная плоскость перестанет поддерживать тело).
95

Предлагаем читателю самостоятельно проанализировать случаи,
когда 0<а<л/2 (обязательно рассмотрите несколько углов а в окрест*
ности значения a=arcctg&).
Рис. 2.5.
Рис. 2.6.
Задача. На горизонтальном столе лежит прямоугольная доска АВ,
а на ней — тело с массой т (рис _S> 6). Будем приподнимать край доски
так, чтобы она поворачивалась Ьокруг левой стороны (наклонная пло-
плоскость с меняющимся углом наклона). При каком значении угла накло-
наклона а плоскости доски к горизонту тело начнет с нее соскальзывать? Ко-
Коэффициент трения k.
На рисуцке показана схема приложения сил к центру тяжести тела
и координатные оси ОХ и OY системы отсчета, связанной с доской.
До того как тело начнет соскальзывать с доски, оно будет находить-
находиться в состоянии покоя, которому соответствует условие
Проецируя векторы сил на оси координат, получаем
а переходя к модулям, имеем
или
/7Tp = Psina, R — P cos a.
Понятно, что составляющая Рх силы тяжести тела (сила, которая
обеспечивает соскальзывание тела) с ростом угла а увеличивается, а
модуль силы реакции /?, который определяет модуль силы трения в мо-
момент начала скольжения (FTp=kR—kP cos a), при этом уменьшается.
Соскальзывание начнется, как только модуль Рх чуть-чуть превысит
модуль силы трения FTp, но для решения задачи достаточно рассмотреть
«критический случай» равенства этих величин:
Р sin a=?P cos a.
Сократив на Р и почленно разделив на cos a, получим
или a
и sin a ,
cos a & '

Результат не зависит от силы тяжести или массы тела и замечателен
тем, что подсказывает очень простой путь опытного определения коэф-
коэффициента трения для пары материалов, из которых изготовлены тело
и доска. Тело начнет соскальзывать с доски, когда тангенс угла ее на-
наклона к горизонту сравняется со значением коэффициента трения или
чуть превысит его. При таком способе определения к не потребуется
даже динамометра!
2.4. Динамика движения систем
взаимодействующих тел
Затруднения при решении задач этого раздела механики
возникают обычно из-за того, что не учитываются конкрет-
конкретный характер движения каждого из тел и характер взаимо-
взаимодействий между ними. Второй закон Ньютона в форме B.1),
B.2) или B.3) применим к любому телу с постоянной мас-
массой. Под этим телом в некоторых случаях может мыслиться
и целая система, состоящая из нескольких тел. Но такая
замена возможна, если нас не интересуют детали взаимо-
взаимодействий тел внутри системы
или если все части системы
движутся совершенно одина-
одинаково, т. е. имеют одинаковые
векторы скоростей (не только
по модулю, но и по направ-
направлению!), ускорений и т. д. Ри 2 7
Так, например, система ис#
трех взаимодействующих (свя-
* занных нитями) тел с массами ти тг и т3 при движении без
трения по горизонтальной поверхности под действием внеш-
внешней силы F (рис. 2.7) может быть заменена одним телом с
массой т—/П!+т2+тз, если мы интересуемся только уско-
ускорением этой системы. В самом деле, если нити нерастяжимы
(см. ниже) и в задачу не входит определение сил их натяже-
натяжения, то ускорения всех тел системы будут одинаковыми по
модулю и по направлению. Система в целом будет иметь
такое же ускорение. Сила F в этом случае может рассмат-
рассматриваться как единственная сила, сообщающая ускорение
одному телу с массой т.
Попытки найти одну силу, сообщающую ускорения раз-
различным частям системы взаимодействующих тел, во многих
иных случаях приводят к неудачам.
Если всегда помнить, что уравнение B.1) имеет вектор--
ный характер (направления векторов а и F совпадают!),
то уже одно это часто наталкивает на правильный ход мысли.
4 Ю. А. Селезнев 97

Проанализируем характер и причины движения тел в
следующем случае.
На горизонтальной поверхности стола лежит тело /
с массой тг. К нему нерастяжимой невесомой нитью, пере-
перекинутой через блок, привязано тело // с массой т2, на кото-
которое действует сила F, направленная вертикально вверх
(рис. 2.8, а) Каково натяжение нити? Какие силы (без учета
сил трения) будут являться причиной ускоренного движе-
движения каждого из тел?
Нить в этом случае является третьим телом системы,
осуществляющим взаимодействие между двумя другими,
является, как говорят, связью между ними. Гибкая нить по-
позволяет осуществить горизонтальное движение тела / за
т2
Рис. 2.8.
счет вертикального подъема тела //. Связь задает возмож-
возможный характер движения составных частей системы.
Нерастяжимая нить — еще одна модель, частб исполь-
используемая в динамике. Мы учитываем изменение формы нити,
но пренебрегаем изменением ее длины, несмотря на то, что
к концам нити приложены силы со стороны прикрепленных
к ним тел (в согласии с третьим законом Ньютона) и в каж-
каждом сечении нити действуют силы упругости.
Имеет ли эта нерастяжимость какое-нибудь значение в
данной задаче? Да, имеет. Она определяет равенство моду-
модулей скоростей и ускорений тел / и //, так как на сколько
тело //за какой-то промежуток времени переместится вверх,
на столько же тело / переместится за то же время по гори-
горизонтали. Если бы нить могла изменять свою длину, модули
скоростей (и ускорений) обоих тел могли быть разными.
Понятием невесомая нить часто пользуются в тех случа-
случаях, когда массой нити (или отдельных ее частей) можно пре-
98

небречь по сравнению с массами тех тел, которые она свя-
связывает. Это обстоятельство, так же как и нерастяжимость
нити, приводит к некоторым упрощениям при решении задач.
Мысленно выделим из горизонтального и вертикального
участков нити рассматриваемой задачи малые элементы
нити, массы которых равны Ami и Лт2 (РИС- 2.9). Ясно, что
на концы выделенных элементов со стороны остальных ча-
частей нити должны действовать силы Fr, Fr, Fb и Fb. Состав-
Составляя уравнение второго закона Ньютона для каждого элемен-
элемента и переходя, как обычно, к уравнениям для проекций (на
Рис. 2.9.
АР*
оси координат, изображенные на рис. 2.8) и к уравнениям
для модулей, получим
= А/на, АР2 + FL+ FB - Am2a2;
+ Kx =
AP
2y
+ Fly = Am2a2y;
Но если можно пренебречь массой всей нити, то уж, ко-
конечно, можно считать; что Ami«0, Д/гг2«0, ДР^О и АР2^О.
Тогда Fr=Fr и FB=FB, т. е. независимо от значения уско-
ускорения, с которым движутся части невесомой нити, между
любыми соседними сечениями нити действуют равные по
модулю силы упругости. Имея в виду эти силы, и говорят
обычно о постоянной силе натяжения, действующей в любом
сечении невесомой нити. Направление вектора силы натя-
натяжения каждый раз должно указываться в зависимости от
того, какое именно сечение нити рассматривается, в какую
сторону оно движется и т. д,
А* 99

После установления направлений возможных по усло-
условию задачи перемещений тел становится ясным факт нера-
неравенства их ускорений. Модули ускорений тел одинаковы,
но направления их различны. В векторном смысле (учитывая
различие в направлениях) ускорения этих тел различны, а
тогда и причины их возникновения не могут быть одина-
одинаковыми.
В этой задаче, как и во многих других, ей подобных, ус-
ускоренное движение каждого из тел системы будет обеспечи-
обеспечиваться разными силами.
Рассмотреть отдельно каждое тело системы; выявить все
другие тела или объекты, действующие на него (в том числе
и связи!); оценить их воздействия соответствующими сила-
силами; применяя для каждого тела системы второц закон Нью-
Ньютона, ввести все действующие на тело силы в уравнение это-
этого закона (сила F в уравнении B.1) и есть герметрическая
сумма всех этих сил!) — такой общий подход всегда должен
использоваться при решении подобных задач. Связь сил
взаимодействия при этом можно установить, применяя тре-
третий закон Ньютона к каждой паре взаимодействующих тел.
Какие тела непосредственно действуют на тело / рас-
рассматриваемой задачи? Таких тел три (если не учитывается
сопротивление воздуха при движении): Земля, поверхность
стола, по которой тело движется, и нить. Оценим их воз-
воздействия силами, приложенными к телу / (рис. 2.8, б):
Pi — сила тяжести тела, результат воздействия Земли; R —
сила реакции со стороны стола; Тх — сила воздействия
нити. (При учете трения между поверхностями тела / и стола
пришлось бы приложить еще силу трения.)
Обозначим на том же рисунке стрелкой направление воз-
возможного ускорения ai.
Составим уравнение второго закона Ньютона для тела /:
спроецируем все его слагаемые на оси ОХ и OY неподвиж-
неподвижной системы отсчета, связанной со столом:
Переходя к уравнениям для модулей, имеем
R=PU ^
на основании чего заключаем, что причиной ускоренного
движения тела / в горизонтальном направлении является
только сила Ti воздействия на него нити, а силы R и Рг
100

взаимно уравновешиваются и не влияют на ускорение дви-
движения тела в горизонтальном направлении.
На рис. 2.8, в представлена схема сил, действующих на
тело /Л Проецируя уравнение второго закона Ньютона
F+P2+T2=m2a2
на координатную ось 0Y, получим
или, переходя к модулям,—
F—Р2—T2~
т. е. ускорение телу // сообщает результирующая трех сил,
F, Р2 и Т2.
Учитывая, что аг=а2 (так как нить нерастяжима) и
Ti=T2 (вследствие невесомости нити), мржно определить
ускорения обоих тел и силы воздействия на тела со стороны
нити (или силу натяжения нити):
т — Т —Т —
тх-\-т2
F-~m2g
m1-\-m2 l-\-m2/mL
Подчеркнем еще раз, что ускорения тел I и II равны по
модулю, но, поскольку массы тел неодинаковы, эти ускоре-
ускорения не могут сообщаться даже равными по модулю силами.
Обратим внимание на то, что характер взаимодействия
тел системы в некоторых случаях может зависеть от такого,
казалось бы, незначительного фактора, как направление
движения системы.
Задача. Зависит ли модуль ускорения движения системы, изобра-
изображенной на рис. 2.10, а, оттого, к какому из тел приложена внешняя
сила F? Зависит ли модуль силы натяжения нити от направления дви-
движения системы? Условимся, что поверхность, по которой движутся те-
тела, горизонтальна и идеально гладкая (считаем отсутствующими силы
трения), сопротивлением воздуха при движении пренебрежем, нить, кото-
которой связаны грузы, будем считать нерастяжимой и невесомой. Два ва-
варианта приложения сил к движущимся телам системы представлены
на рис. 2.10, бив.
Уравнения второго закона Ньютона для обоих тел в обоих случаях
движения
pi + T2 + R1==m1a2, P2 + F + R2+T2==m2a2
не имеет смысла проецировать на координатную осьJDY, так как движе-
движение тел происходит по горизонтали и интересующие нас величины дают
101

на ось 0Y проекции, равные нулю Поэтому запишем уравнения в про*
екциях на ось ОХ.
или, переходя к уравнениям для модулей,
—Т1 = — m2d[y
(a)
(б)
Нерастяжимость нити приводит к равенствам а[==а1 (обозначим
эти равные величины через а±) и аг~аг (обозначим через я2)> а невесо-
невесомость нити позволяет написать равенства Т\—Т'[~ТХ и Т'2—Т'2—Т2.
/77/
к*'
а)
Рис. 2.10.
С учетом этих равенств системы уравнений (а) и (б) приводят к одинако-
одинаковым результатам для ускорений:
^ «(В)
и к неодинаковым — для сил натяжения нити:
т_с т2 т_с п
ftii ~\-fti2
(г)
Если т1>т2, то Т2> Tt В самом деле, сила натяжения нити в двух
рассматриваемых случаях должна сообщать одно и то же ускорение раз-
разным по массе телам. Почленно разделив выражения (г), находим, что
т. е. сила натяжения нити пропорциональна массе того тела, для кото-
которого эта сила является единственной, сообщающей ускорение в заданном
направлении (как и должно быть при определении силы в согласии со
вторым законом Ньютона).
Можно показать, что при учете трения, характеризующегося для
обоих тел коэффициентом трения kt системы уравнений приводятся
102

к виду
F~-Tt —*kmxg =
(д)
(e)
откуда снова
т. е. силы натяжения нити по-прежнему определяются формулами (г)
и не зависят от наличия сил трения, если только коэффициенты трения
для обоих тел при их движении по одной и той же опорной поверхности
равны.
Решая системы уравнений (д) и (е) относительно ускорений, для
случаев движения тел и вправо и влево получаем
Как и следовало ожидать, ускорения рассматриваемых тел при дви-
движении под воздействием одной и той же силы F при наличии трения
оказываются меньшими, чем в его отсутствие
Воздействие тела на движущуюся опору. Вес тела.
Пусть, например, к потолку кабины лифта на пружине под-
подвешено тело, масса которого равна ти а на полу кабины
лежит тело, масса которого т2 (рис. 2.11, а). С какой силой
Рис. 2.11.
первое тело растягивает пружину и второе действует на пол
кабины, если лифт движется: 1) с ускорением аг вверх и 2) с
ускорением а2 вниз в неподвижной системе отсчета, связан-
связанной с Землей?
Схемы воздействия сил на тела в двух вариантах движе-
движения по* форме совершенно одинаковы (рис. 2.11,6 и в):
на первое тело действуют сила тяжести Рх и сила натяжения
пружины Тх или Т2, а на второе — сила тяжести Р2 и сила
103

реакции пола Ri или R2. Под действием этих сил тела в пер-
первом случае должны двигаться вверх с ускорением аь а во
втором случае — с ускорением-а2 вниз. Запишем уравнения
второго закона Ньютона для обоих тел в первом случае:
Ti+P1=m1a1,
Уравнения для проекций на координатную ось 0Y
позволяют получить уравнения для модулей:
Тг— Рх=тхаи Rx— P2^
Выразив Тг и jRi в явном виде:
заключаем, что искомые силы воздействия со стороны пер-
первого тела на пружину и со стороны второго на пол кабины
(в согласии с третьим законом Ньютона равные силам Ti
и Rx по модулю, но по направлению им противоположные)
будут больше сил тяжести соответствующих тел, так как
Ti>Px и i?i>P2. Тела становятся как бы тяжелее. Равенства
Г1=Р1 и J?i=P2 выполняются только при условии равно-
равномерного прямолинейного движения системы или покоя
(ai=Q). _
Составив уравнения второго закона Ньютона для обоих
тел во втором случае:
P2+ R2=
и выполнив, как обычно, соответствующие математические
операции, получим
и
Pi—T2=m1a2, P2—i?2==
откуда
TP R
т. е. силы воздействия тел на пружину и пол теперь меньше
сил тяжести этих тел. Переписав последние выражения в
виде
104

легко заметить, что первое тело перестает растягивать
пружину (Т2=0), а второе — давить на пол (R2=0)y если
лифт движется вниз с ускорением свободного падения (a2=
=g). В подобных случаях говорят о невесомости тела (или
о состоянии невесомости).
В связи с этим остановимся на определении понятая веса
тела, которое в последнее время потребовало некоторых
уточнений.
Весом тела называется сила, с которой это тело вследст-
вследствие притяжения его к Земле действует на горизонтальную
опору или вертикальный подвес. Такой опорой может быть
горизонтальная поверхность, на которой тело лежит, а под-
подвесом — нить, прикрепленная к потолку, на которой дан-
данное тело висит, или какие-то другие тела, удерживающие
рассматриваемое тело от свободного падения.
В согласии с этим определением вес (или рила веса) рас-
рассматриваемого тела действует не на само тело, а на гори-
горизонтальную опору или на вертикальный подвес. Кроме того,
вес данного тела может быть равным его силе тяжести, но
может быть и меньше, и больше силы тяжести, и даже рав-
равняться нулю. Это будет зависеть от того, покоится опора
(или подвес) относительно Земли или движется, и если дви-
движется, то как: равномерно и прямолинейно (инерциально)
или ускоренно. При ускоренном движении опоры (подвеса)
вес тела будет зависеть и от модуля, и от направления уско-
ускорения.
В только что рассмотренном нами примере силы, дейст-
действовавшие со стороны тел на пружину и на пол кабины лиф-
лифта, как раз и представляли собой силы веса тел. Вес равнял-
равнялся силе тяжести тела только в случае покоя или равномер-
равномерного и прямолинейного движения опоры (подвеса). Если же
опора или подвес двигались с ускорением, сила воздействия
на них со стороны тела — вес тела — могла отличаться от
силы тяжести этого тела. При движении опоры (подвеса)
вертикально _вниз с ускорением, рацным ускорению свобод-
свободного падения g*, вес т^ла становился равным нулю: тело
переставало взаимодействовать с «уходящей из-под него»
опорой или с «набегающим на него» подвесом.
Задача. На одной чашке рычажных весов находится очень легкий
блок с перекинутой через него нерастяжимой невесомой нитью, к кон-
концам которой подвешены грузы, массы которых равны тх=1,0 кг и m%=*
==2,0'кг. Сначала блок застопорен и вторая чашка уравновешена с пер-
первой гирями (рис. 2Л22 а). Нарушится ли равновесие весов2 если грузы
качнут двигаться?
105

Здесь, как и ранее, невесомость нити означает, что массой (силой
тяжести или весом) нити можно пренебречь по сравнению с массами (си-
(силами тяжести или силами веса) других тел. Вес нити мал, но не равен
нулю! (Не путать с невесомостью в смысле отсутствия силы воздействия
нити на свободно падающую опору, когда вес нити в точности равен
нулю')
В случае покоя грузов на правую чашку весов через нить, блок и
кронштейн передается сила, равная сумме сил тяжести Р± и Р2 грузов,
т. е. сила, приблизительно равная 29 Н. При равновесии весов на левую
чашку должна действовать такая же сила, т. е. сила тяжести гирь также
равна 29 Н. (Ясно, что при неподвижных чашках весов можно говорить
а)
Рис. 2.12.
о равенстве силы веса гирь, действующей на левую чашку, и суммарного
веса грузов, действующего на правую чашку )
При движении грузов силы натяжения левой и правой частей нити
уже не будут равны силам тяжести грузов В этом можно убедиться,
применив к обоим телам второй закон Ньютона Воспользовавшись не-
неподвижной системой отсчета, связанной, например, со столом, на кото-
котором стоят весы (на рис. 2 12, б изображены координатные оси ОХ и OY
, этой системы отсчета), приходим к системам уравнений
p it1 m n •
ft *¦ 2y I 2y ~"~"~ 2 2y*
Так как нить нерастяжима, то ai=a2» или» обозначая эти величины
через а,
a~a,i=a2. (б)
Невесомость блока позволяет заключить, что
а для невесомой нити на основании третьего закона Ньютона
106
(в)
(г)

Вводя обозначение 7\ с учетом равенств (в), (г) имеем
Т = Т1 = Т[ = Т2 = Т2.
Теперь система уравнений (а) может быть представлена в виде
Т—Р1=тха, Р2—Т= тф,
или
T—mxg= mxa, пцц-—Т— тпф.,
откуда
При движении грузов на правую чашку весов через блок и крон-
кронштейн передается сила, равная 2Г, т. е. сила приблизительно в 26 Н*
меньшая, чем при неподвижных грузах. Значит, равновесие весов на-
нарушится: чашка с гирями перетянет
2,5. Динамика движения материальной точки по окружности
Для того чтобы материальная точка могла двигаться по
окружности заданного радиуса R, совершенно обязатель-
обязательным является наличие такой силы, которая смогла бы сооб-
сообщить ей необходимое центростремительное ускорение ацс.
Эту силу часто называют центростремительной силой. Но
это не какая-то особая сила, подчиняющаяся каким-то осо-
особым законам.
Даже равномерное движение по окружности, как мы пом-
помним, представляет собой пример ускоренного движения,
так как вектор скорости должен все время менять свое на-
направление. Это изменение характеризуется центростреми-
центростремительным ускорением ацс, которое ничем не отличается от
любого другого ускорения, входящего в уравнение второго
закона Ньютона. Смысл центростремительного ускорения —
оценка изменения вектора скорости с течением времени по
направлению. По второму закону Ньютона причиной такого
изменения может быть только какая-то сила.
Часто совершенно ошибочно центростремительную силу
наделяют качествами, ей не присущими, рассматривают ее
как самостоятельную силу, действующую на точку, движу-
движущуюся по окружности. Например, считают, что на малень-
маленький шарик, обращающийся по окружности, действуют:
сила тяжести, сила натяжения нити и центростремительная
ёила.
Центростремительной силы, взявшейся ниоткуда, не су-
существует. Она является мерой воздействия на данную мате-
материальную точку всех тех внешних тел или объектов, которые
107

обеспечивают движение точки по окружности. Ведь сама
по себе точка может двигаться только равномерно и прямо-
прямолинейно, а движение по окружности — это ускоренное дви-
движение (хотя бы в смысле изменения направления вектора
скорости), невозможное без действия сил, а значит, и без
действия других тел или объектов.
Такими телами, внешними по отношению к движущейся
по окружности материальной точке, могут быть: Земля (тог-
(тогда функции центростремительной силы берет на себя сила
тяжести), нить, удерживающая точку на окружности (тогда
центростремительной силой является сила воздействия
нити), рельсы или другая опора (тогда сила реакции этой
опоры является причиной центростремительного ускорения)
или одновременно несколько тел (тогда центростремитель-
центростремительной силой может быть результирующая сила от воздействия
всех этих тел).
Динамический расчет движения точки (или тела, прини-
принимаемого за материальную точку) по окружности не требует
какого-либо специального подхода, кроме обычного динами-
динамического. И если так, то никаких других законов, кроме за-
законов Ньютона, не следует применять для описания причин
таких движений.
Опять нужно выявить все материальные объекты^ дейст-
действующие на данную точку, и оценить их воздействия силами, _
приложенными к точке. Если равнодействующая Fs всех
этих сил (или ее составляющая) будет направлена по радиу-
радиусу траектории точки к центру, вокруг которого точка должна
двигаться, можно анализировать достаточность этих воз-
воздействий для интересующего нас движения.
Пусть, например, материальная .точка должна двигать-
двигаться по окружности в какой-то инерциальной системе отсчета.
Необходимое для такого движения центростремительное ус-
ускорение легко подсчитать по формуле A.10). Обозначим век-
вектор этого ускорения через a?c. Если сила Fs удовлетворяет
условию F2/m=a^c, будет возможным устойчивое движение
точки по окружности. Если же F2/m>auC или Fs/m<a^c,
точка не сможет двигаться по заданной окружности с задан-
заданной скоростью, она будет или впадать» с окружности к ее
центру, или «слетать» с окружности, удаляясь от ее центра.
Заметим, что равенство F2/m=a^c будет являться не
чем иным, как уравнением второго закона Ньютона для рав-
равномерно движущейся по окружности материальной точщ.
Учитывая, что векторы Fs и ацС для любого момента време-
108

ни совпадают по направлению (они направлены вдоль радиу-
радиуса к центру окружности), уравнение второго закона Нью-
Ньютона можно записать в скалярной форме:
где Fs — проекция результирующей всех действующих на
материальную точку сил на направление радиуса ок-
окружности.
.Задача. Определить силу* действующую на мост со стороны авто-
автомобиля, масса которого т= 1000 кг, движущегося равномерно (v=*
= 10,0 м/с) по плоскому горизонтальному мосту (/); по выпуклому мо-
мосту (//); по вогнутому мосту (///) (рис. 2.13? а), В случаях // и ///
считать радиус кривизны моста равным г=100м и рассмотреть момент
прохождения автомобилем верхней или нижней точки.
Будем рассматривать движение автомобиля в инерциальной системе
отсчета, связанной с мостом (координатные оси ОХ и OY этой системы
показаны на рис. 2.13, а).
Силы, действующие на автомобиль во всех трех случаях (при отсут-
отсутствии сил сопротивления), показаны на рис. 2.13, б.
Случай I. Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по
горизонтали. При этом на него действуют две силы: сила тяжести Р
и сила реакции моста Rx. На основании второго закона Ньютона имеем
откуда
т. е. сила воздействия автомобиля на моет (в согласии с третьим закон-ом
Ньютона по модулю равная силе Ri, но противоположна ей направлен-
направленная) будет равна силе тяжести автомобиля (^9810 Н).
Случай II. Необходимое для движения по дуге окружности
центростремительное ускорение % может быть обеспечено результлрую-
109

щей двух сил, действующих на автомобиль: силы тяжести Р и силы ре-
реакции R2. Тогда
откуда
/?2= Р—mo2= mg—ma2— m
Модуль центростремительного ускорения, как всегда, может быть вы-
выражен через модуль скорости движения и радиус кривизны траектории
a^=v2lr} т. е.
Подставляя численные значения, получаем
R2 = 1000-9,81 A -9^00) * 8810 И.
Значение искомой силы воздействия автомобиля на мост будет рав-
равно R2 (по третьему закону Ньютона). Как видим, при движении по
выпуклому мосту сила воздействия на мост оказывается меньше силы
тяжести автомобиля.
Неравенство R2<P как раз и говорит о том, что «избыток» силы тя-
тяжести по сравнению с силой реакции моста и обеспечивает в данном слу-
случае центростремительное ускорение. Земля притягивает автомобиль
сильнее, чем его отталкивает мост.
Случай III. Теперь центростремительное ускорение должно быть
направлено вертикально вверх и может возникнуть только из-за нера-
неравенства модулей сил R3 и Р, действующих на автомобиль. Для этого
случая движения имеем
откуда
R3=P+ma3
Учитывая снова, что a3=v2/r, имеем R3—P+m(vVr), или
R9 = mg^l+~y (б)
Подставляя числа, получаем
«3=1000-9,81 (i+g^)* 10800 Н
Таким же будет значение силы воздействия автомобиля на мост, т. е*
теперь эта сила будет больше силы тяжести автомобиля.
Анализ выражений (а) и (б) представляет практический интерес
Кстати, заметим, что если будет рассматриваться движение автомобиля
не в верхней точке выпуклого и не в нижней точке вогнутого моста, то
центростремительное ускорение будет обеспечиваться силами реакции
моста R2 и R3 и радиальными составляющими силы тяжести автомобиля
Р2 и Р3 (рис. 2.14). Рассмотрим точки мостов, характеризующиеся углом
а наклона к вертикали радиусов, проведенных в эти точки. Выбирая
координатную ось для проецирования векторов сил и вектора центро-
центростремительного ускорения совпадающей с любым из этих радиусов,
110

можно получить выражения для сил реакции моста (или сил воздействия
автомобиля на мост) в произвольных точках:
'2 = mg{ cos a—~
(в)
(г)
Видно, что эти выражения переходят в выражения (а) и (б) при а=0.
Сравнение выражений (в) и (г) показывает, что при заданных т я v
и при нахождении автомобиля в точках моста, характеризующихся од-
одним и тем же углом а, на вогнутый мост действует большая сила, чем
на выпуклый. Поэтому вогнутых мостов и не строят
Строить такие мосты действительно невыгодно. Но с вогнутостью
приходится считаться, даже если мост плоский, так как он прогибается,
если по нему движутся тяжелые тела. При этом радиус кривизны моста г
Р
может быть значительным, новее же не бесконечно большим. В некото-
некоторых точках такого моста сила воздействия со стороны автомобиля не
будет превышать силу тяжести Р (эти точки можно найти из условия
cos a+v2/gr=l), но в самой нижней точке прогнувшегося моста сила
воздействия будет наверняка больше силы тяжести автомобиля (при
<х=0 и г<оо значение суммы cos a+v2/gr в формуле (г) будет больше
единицы и, следовательно, R'3>P).
Из выражения (г) видно, что уменьшение скорости движения авто-
автомобиля уменьшает силу воздействия на вогнутый (или прогибающийся
плоский) мост. Дорожные знаки, ограничивающие скорость при въезде
на мосты, вывешиваются неспроста!
Для выпуклого моста дела обстоят как будто иначе: рост скорости
движения автомобиля уменьшает силу воздействия на мост (см. выра-
выражения (а) или (в)). Но здесь имеется новая неприятность. Если скорость
движения автомобиля по выпуклому мосту равна величине Y~gr cos a,
то выражение, стоящее в скобках в формуле (в), обращается в нуль.
Тогда сила реакция моста становится равной нулю, а это будет соответ-
соответствовать тому, что автомобиль перестал действовать на мост, т е. «ото-
«оторвался» от моста и движется, не касаясь его, в воздухе. Обычные тран-
транспортные средства, для таких «полетов» не приспособленные, вынуждены
сбавлять скорость ниже определенной предельной. Эта предельная ско-
скорость зависит от геометрии моста — от радиуса его кривизны, от зна-
значений углов а между радиусами, проведенными в начальную и конечную
111

точки моста, и вертикалью (если не считать зависимости от g) —
и не зависит от массы движущегося тела, так что знак ограничения ско-
скорости при въезде на выпуклый мост относится и к легковым автомоби-
автомобилям, и к многотонным грузовикам.
Задача. Рассмотрим условия, при которых возможно движение мо-
мотоцикла в аттракционе «мотогонки по вертикальной стене». В этом слу-
случае мотоцикл должен двигаться по внутренней поверхности вертикаль-
вертикального цилиндрического помоста. Для простоты будем считать, что движе-
движение происходит по горизонтальной окружности. Предельная скорость,
развиваемая мотоциклом, равна у, радиус цилиндра г (рис. 2.15, а).
Приняв мотоцикл за материальную точку, рассмотрим, какие силы
должны действовать на нее в положении S (рис. 2 Л 5, б).
Снизу мотоцикл не имеет никакой опоры, и, чтобы он не падал, его
сила тяжести Р должна быть уравновешена какой-то силой, направлен-
направленной вертикально вверх. Такой силой в нашем примере может быть только
сила трения FTp, возникающая
между шинами колес мотоцикла
и опорной цилиндрической по-
поверхностью. Чтобы ввести эту
силу в наш анализ, зададимся
коэффициентом трения между
колесами и стенкой. Пусть он
равен k. Центростремительное
ускорение, которое должен иметь
мотоцикл, чтобы двигаться по
окружности, в данном случае
обеспечивает стенка, действуя
на мотоцикл с силой реакции R.
Итзк, на мотоцикл действу-
действуют три силы: Р, FTp и R. Обра-
Обратим внимание, что введенная сила трения FTp — это не сила трения каче-
качения, направленная горизонтально против движения по касательной к
траектории. Силу трения качения будет преодолевать двигатель, созда-
создавая силу тяги, и, поскольку характеристики двигателя не заданы, этой
силой интересоваться, очевидно, не стоит. Не она определяет условия
устойчивого движения мотоцикла. Введенная нами сила FTp— это сила
трения покоя, удерживающая мотоцикл от вертикального сползания
по стенке. Она должна быть достаточной, чтобы уравновесить силу
тяжести мотоцикла Р.
Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной
с цилиндрической стенкой (на рис. 2.15 указаны координатные оси
OX n OY этой системы отсчета).
Проецируя все векторы, входящие в уравнение второго закона
Ньютона
в
T
j-
с
\
i
1
1л
i
fr,
1
S
1
1
'0
Рис. 2.15.
на обе координатные оси, получаем
Rx = maxi F4
откуда
Учитывая, что в данном случае a=v2/rt FTV~kR (и, как всегда, Р=щ),:
вместо уравнений (а) можем написать
112

откуда
JL—JL
k ~~ gr #
При заданных rnv останется только подобрать такай материал настила,
который в паре с материалом колесных шин обеспечил бы значение ко-
коэффициента трения? определяемое из соотношения
k=gr/v*. (б)
Заметим, что при устройстве такого аттракциона, конечно, придет-
придется считаться и с географической широтой места его расположения (учет
ускорения силы тяжести g)
Анализируя формулу (б) в любой системе единиц, легко убедиться?
что величина k безразмерна.
2.6. Динамика гармонических колебательных движений
Для возникновения любых колебательных движений не-
необходимы некоторые воздействия. Для пружинного, нитя-
нитяного, физического маятников и других систем, совершаю-
совершающих колебания, такими возбуждающими причинами явля-
являются какие-то внешние силы (например, нитяной маятник
мы выводим из положения равновесия, пружину сжимаем
или растягиваем). Эти силы возбуждают колебания даже
при однократном воздействии на систему, а далее колеба-
колебания поддерживаются какими-то внешними или внутренними
силами, действующими в течение всего того времени, пока
система совершает колебательное движение.
Свободные незатухающие колебания маятников. Колеба-
Колебания системы, выведенной из состояния равновесия и не под-
подверженной действию периодически изменяющихся внешних
сил, называют свободными колебаниями. Если можно пре-
пренебречь силами сопротивления движению системы (силами
трения о воздух и т. п.), то говорят о свободных незатухаю-
незатухающих колебаниях (иначе такие колебания называются собст-
собственными). Если бы какая-то материальная точка могла со-
совершать свободные незатухающие колебания, то амплитуд-
амплитудные значения ее смещения, скорости и ускорения, опреде-
определенные из начальных условий, должны были бы сохраняться
неизменными в течение неограниченного времени. В реаль-
реальных условиях собственные колебания получить, конечно,
не удается, но в некоторых случаях такой идеализацией с
успехом пользуются.
В качестве примеров рассмотрим собственные гармони-
гармонические колебания некоторых простейших систем й выясним,
какими силами эти колебания поддерживаются.
ИЗ

Пусть к пружине прикреплено тело, которое может*
скользить по идеально гладкому стержню (рис. 2.16); масса
тела т, коэффициент упругости пружины k (такая система
называется горизонтальным пружинным маятником). Стер-
Стержень и левый конец пружины жестко закреплены в непо-
неподвижной стенке, с которой мы свяжем инерциальную сис-
систему отсчета.
Стержень в данном случае предотвращает движение тела
в вертикальном направлении (сила реакции стержня R
уравновешивает силу тяжести тела Р).
Когда тело находится в положении /, пружина не де-
деформирована. В положении 2 на тело со стороны растянутой
пружины действует сила упру-
упругости Fynp, сообщая телу ускоре-
ускорение, направленное к положению
равновесия. Составив уравнение
второго закона Ньютона для те-
тела в положении 2
и спроецировав его на коорди-
координатную ось ОХ, получим
Рис. 2.16.
откуда видно, что ускоренное
движение тела обеспечивается только лишь силой упру-
упругости пружины.
Проекция вектора ускорения тела на ось ОХ с учетом
A.29) может быть представлена в виде
ах = — ©JAA,
где через соо обозначена циклическая частота собственных
колебаний пружинного маятника.
На основании уравнения B.7) имеем
' упр х ===' ^ Д*»
т. е. для рассматриваемого маятника выполняется равенство
—k Ах = т (— соо Ах),
откуда можно получить формулу для определения цикличе-
циклической частоты собственных колебаний пружинного маятника:
. B.11)
114 '

Учитывая, что Г—2я/(о, имеем формулу для расчета перио-
периода свободных незатухающих колебаний пружинного маят-
маятника:
B.12)
Математический маятник (материальная точка массой
т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной /),
выведенный из положения равновесия OD (рис. 2.17, а),
может совершать колебательное движение, при котором ма-
материальная точка движется по дуге окружности CN.
В произвольном положении В на точку действуют две
силы: сила тяжести Р и сила натяжения нити Q. Здесь, как
и во многих других случаях, мы для упрощения анализа
в)
считаем нить нерастяжимой, т. е. пренебрегаем деформа
цией нити по сравнению с ее длиной или по сравнению с мо-
модулем Дг смещения точки от положения равновесия, но не
можем пренебречь силой упругости, силой натяжения нити,
так как без воздействия силы Q точка не будет двигаться по
дуге окружности с центром в точке D.
Колебания математического маятника в строгом смысле
не являются гармоническими (см. стр. 49). Это следует из
того, что материальная точка совершает неравномерное
криволинейное движение, при котором и нормальное, и
тангенциальное ускорения не равны нулю При $том вектор а
полного ускорения точки не может быть направлен к по-
положению равновесия О, как это бывает при гармонических
колебаниях пружинного маятника (угол между векторами а
и Дг отличается от л рад), и величины, характеризующие
движение маятника (смещение Дг, скорость, ускорение),
с течением времени изменяются не гармонически (синусо-
(синусоидально или косинусоидально), а по более сложному закону.
U5

В элементарном курсе физики рассматривают простей-
простейший случай колебаний математического маятника, который
имеет место при малых углах отклонения а маятника от
положения равновесия (или прц условии Дг<^/). В этом
случае проекции векторов перемещения, скорости и ускоре-
ускорения конца маятника на горизонтальную координатную ось
ОХ (рис. 2.17, а) изменяются практически по гармониче-
гармоническому закону. Инерциальная система отсчета выбирается
при этом связанной с той подставкой, к которой прикреплен
маятник.
Поскольку ни модуль, ни направление вектора а для
произвольного положения маятника DB вам не известны,,
векторное уравнение второго закона Ньютона
следует проецировать на координатные оси Вг\ и Б?, ориен-
ориентация которых показана на рис. 2.17, б:
B.13)
B.14)
При малых углах отклонения маятника от положения рав-
равновесия, очевидно, можно считать, что Дг7)=Агзс=Аа:, ап=ах
и sin a—tg a=Ax/L Учет этих равенств и соотношения
A.29) позволяет на основании уравнения B.13) и рис. 2.17,6
считать, что —Psina=m(—со^Ад;), или mg-^=mcogA#,
где (о0 — циклическая частота свободных незатухающих
колебаний математического маятника^ которая теперь мо-
может быть выражена явно:
<оо = Кр. B.15)
С такой частотой будут изменяться смещение конца
маятника Ах вдоль оси* ОХ, а также проекция скорости vx
и проекция тангенциального ускорения ах.
Вспоминая известную связь периода колебаний с цикли-
циклической частотой, получаем формулу для определения пери-
периода собственных колебаний математического маятника:
Т0 = 2пУЩ. B.16)
В уравнении B.14) величина а^ является проекцией
вектора нормального ускорения а^ движущейся материаль-
материальной точки на координатную ось BZ, (см* рис. 2.17, б). При
малых углах отклонения маятника эту проекцию можно
116

выразить как
at==an = v2x/L
Если смещение конца маятника Ах вдоль оси ОХ описы-
описывается уравнением
то проекция скорости vx должна описываться уравнением
vx—(o0A cos (оHА/+Фо)
(см. уравнения A.^6) и A.27)). Для модуля нормального'
ускорения при этом получаем выражение
cos* (щМ + ф.) = ^г- • ' ~ c°s °
откуда видно, что нормальное ускорение с течением времени
изменяется не с частотой соо, с которой изменяются смещение
Да:, проекция скорости vx и тангенциальное ускорение ах,
а с частотой, в два раза большей.
Теперь, зная характер изменения величины а^ на осно-
основании уравнения B.14) можно выразить модуль силы натя-
натяжения нити математического маятника:
Q =
Видно, что закон изменения силы натяжения нити доста-
достаточно сложен.
Величина Р^ в уравнении B.13) может быть истолкована
и как проекция силы тяжести Р материальной точки на коор-
координатную ось Вт], и как проекция на ту же координатную
ось силы Р^, являющейся одной из составляющих силы тя-
тяжести р (на рис. 2.17, в показаны два возможных варианта
разложения вектора Р: на составляющие Р^ и Р? или на
составляющие Рх и Р^). С учетом высказанных выше огово-
оговорок о малом угле отклонения а маятника от положения рав-
равновесия без дополнительного ущерба для точности нашего
анализа можно считать, что РХ=Р^ РХ=^Р^ и, наконец,
Рх =*= — (*?~ \ Дх, или Рх = <— (mail)
В этих двух уравнениях выражения, заключенные в скоб-
скобки, равны между собой и для данного математического
117

маятника, находящегося в данном пункте на земном шаре,
постоянны. Вводя обозначение k'=mg/l=m(dl, приходим
к уравнению
Рх=— k' Ах, B.17)
аналогичному уравнению B.7) закона Гука.
Теперь мы можем заключить, что силой, поддерживаю-
поддерживающей колебания математического маятника и периодически
возвращающей маятник к положению равновесия, является
составляющая Рх (или Р^) силы тяжести маятника.
Не следует думать, что колебания маятников и других
систем поддерживаются только силами упругости или сила-
силами тяжести. Так бывает только в простейших случаях, когда
отсутствуют воздействия других факторов.
Иногда приходится встречаться с силами, которые по
своей природе не являются силами упругости, но для кото-
которых могут быть составлены уравнения вида B.17), анало-
аналогичные по форме уравнению B.7) для сил упругости. Такие
силы называются квазиупругими, а коэффициент kr — коэф-
коэффициентом квазиупругой силы. Составляющая Р^ силы тяже-
тяжести математического маятника — пример квазиупругой си-
силы (эта сила возникает из-за гравитационного воздействия
Земли на материальную точку математического маятника,
а не изх-за воздействия нити или каких-то других тел).
Рассмотренные примеры движения пружинного и мате-
математического маятников говорят о том, что динамический ана-
анализ колебательного движения не требует какого-либо осо-
особого подхода Исходным законом, который позволяет объяс-
объяснить и описать движение этих маятников, является второй
закон Ньютона. Многие соотношения для обоих типов маят-
маятников аналогичны по форме (сравните, например, формулы
B.11) и B.15), B 12) и B.16), уравнения второго закона Нью-
Ньютона в проекциях на координатную ось ОХ). Все это, наряду
с другими аналогиями в теории колебаний, свидетельствует
об общем методе исследования любых колебаний.
Теория физического маятника в элементарном курсе не
рассматривается, но расчет его движения может быть све-
сведен к расчету математического, если известна приведённая
длина физического маятника (/пр)— длина такого математи-
математического маятника, период колебаний которого совпадает
с периодом колебаний данного физического. Можно пред-
представить, что, вводя приведенную длину, мы заменяем дан-
данный физический маятник (какое-то физическое тело) мате-
математическим маятником с массой, равной массе физического
118

маятника. Очень приближенно приведенную длину можно
мыслить как расстояние от точки подвеса (или оси вращения)
физического маятника до его центра тяжести. (В действи-
действительности приведенная длина отличается от этого расстоя-
расстояния, но такое ее представление имеет преимущество нагляд-
наглядности.)
Если после этого мы будем решать вопрос о периоде коле-
колебаний ведерка с водой, подвешенного на веревке, причем
вода может вытекать из отверстия в его дне, то легко дать
ответ об увеличении периода колебаний такого физического
маятника. Это увеличение нужно будет объяснить не изме-
изменением массы (физический маятник уподоблен математиче-
математическому, а период колебаний последнего от массы не зависит'),
а увеличением приведенной длины (из-за опускания центра
тяжести системы «ведро — вода» при вытекании воды)
в формуле
Задача. На основании опытов известно, что период собственных
колебаний математического маятника Гм зависит только от его длины /
и от значения ускорения силы тяжести g в том пункте, где проводится
опыт -Известно также, что период собственных колебаний пружинного
маятника Тп зависит только от массы m прикрепленного к пружине гру-
грузика и от коэффициента упругости k этой пружины Пользуясь только
уравнениями связи наименований (размерностей) указанных величин,
установить с точностью до безразмерного постоянного множителя вид
этих зависимостей
Установление вида зависимости между несколькими величинами по
уравнениям связи их размерностей — очень интересный метод, приме-
применяемый не только физикой. Нельзя думать, что «теория размерностей»
позволяет устанавливать и открывать закономерности явлений природы,
является универсальным «рецептом, как делать открытия». Но важным
приемом проверки правильности полученной зависимости величин она,
безусловно, служит.
Как мы проверяем правильность решения любой физической зада-
задачи? Прежде всего по размерности окончательной расчетной формулы.
Если размерности правой и левой частей ее неодинаковы, значит, по
ходу решения была допущена какая-то ошибка Поэтому-то обязатель-
обязательным является требование получить решение любой задачи сначала в об-
общем, буквенном виде. Символы физических величин «подсказывают»,
какие единицы измерения вместо них нужно подставить в уравнение
размерностей. Если же решение с самого начала проводится в числах,
очень трудно бывает найти допущенную ошибку и проверить правиль-
правильность результата.
Условия нашей задачи могут быть записаны в следующем виде:
Гм-С/Ъ», (а)
(б)
119

где а, Р, у,Ь — неизвестные показатели степени у соответствующих мно-
множителей, С± и Са — безразмерные коэффициенты пропорциональности.
В СИ величины, входящие в уравнение (а), измеряются в следую-
следующих единицах: Гм — в секундах, / — в метрах, g — в м«с~2. Подста-
Подставим эти размерности- вместо соответствующих величин в уравнение (а):
Условием выполнимости этого равенства будет являться равенство по-
показателей степени у одинаковых единиц измерения в левой и правой
частях:
и —2р=1г откуда Р=—1/2 и а=1/2.
Подставляя эти значения в уравнение ^а), получаем интересующий нас
вид зависимости для математического маятника:
Это выражение совпадает с формулой BЛ 6) при условии, что С1=2л.
Такой же подход используется при решении второй части задачи.
Величина Гп должна измеряться в секундах, т — в кг, k — в Н/м
или в кг» с-2 (так как на основании {2.6) коэффициент упругости изме-
измеряется в Н/м, а 1 Н=1 кг»м- с~2). Подставляя размерности в уравне-
уравнение (б), получаем
с=кг*.кг6.с~26,
откуда
7+6=0 и —26=1, т.е. 6=—1/2 и ?=1/2.
Следовательно, для периода колебаний пружинного маятника можно на-
написать выражение
которое совпадает с теоретически выведенной формулой B.12) при
С2=2я.
Затухающие и вынужденные колебания. При механиче-
механических колебаниях всех реальных систем, кроме прочих влия-
влияний, всегда имеются силы трения, приводящие к затуханию
Свободных колебаний. Динамический расчет всех характе-
характеристик затухающих свободных колебаний пружинного и
математического маятников снова начинается с привлече-
привлечения второго закона Ньютона, уравнение которого для обоих
типов маятников принимает вид
Fn + F^ma, B.18)
где Fn—сила, поддерживающая колебания, a FTp—сила
трения. Силой Fn для пружинного маятника будет служить
сила упругости пружины, а для математического — квази-
квазиупругая сила (составляющая силы тяжести). Заметим, что
в обоих случаях сила Fn является силой, зависящей от коор-
координат.
120

Сложность расчета затухающих колебаний связана с тем,
что должна учитываться зависимость силы трения от скоро-
скорости движения грузика пружинного или математического
маятника:
F^-bv. B.19)
В этом выражении Ъ — коэффициент сопротивления (или
коэффициент трения), зависящий от формы колеблющегося
тела и от среды, в которой происходит колебательное дви-
движение. Знак минус указывает на то, что сила трения в любой
момент времени направлена в сторону, противоположную
направлению скорости тела.
Можно показать, что циклическая частота со свободных
затухающих колебаний пружинного и математического ма-
маятников оказывается меньшей, чем циклическая частота
со« собственных колебаний этих маятников:
со =
а смещение вдоль оси ОХ описывается уравнением
-— и
Ах—Ае 2т * sin(<oА/ + Фо)> B.21)
где А — так называемая начальная амплитуда (амплитуд-
(амплитудное значение смещения в начальный момент времени, когда
ъ
А/=0). Выражение Ae~~™At позволяет определить мгновен-
мгновенное значение амплитуды смещения в любой момент времени
(по истечении времени At от момента начала отсчета вре-
времени). Мгновенное значение амплитуды смещения системы,
совершающей затухающие колебания, с течением времени
уменьшается.
Для осуществления продолжительного колебательного
цроцесса приходится компенсировать влияние трения воз-
воздействием каких-то внешних вынуждающих сил, причем
эти силы могут периодически изменяться с течением време-
времени, например, но закону синуса или косинуса:
-FB - Fo sin Q A/, FB = Fo cos Q At. B.22)
В таких случаях говорят о вынужденных колебаниях.
Уравнение второго закона Ньютона для пружинного
или математического маятников, совершающих вынужден-
вынужденные колебания, будет содержать теперь в левой части три
слагаемых:
+ FB-ma, B,23)
121

Кроме упругой или квазиупругой поддерживающей силы
Fn и силы трения FTp на систему действует вынуждающая
сила FB. В простейшем случае, когда система колеблется
вдоль координатной оси ОХ и вынуждающая сила направле-
направлена вдоль этой же оси (РВХ=±:РВ)9 уравнение для смещения
может быть получено, например, в таком виде:
— At
&х = Лв sin (ОД* + ф01) + Ае~ ™ sin (со М + ф02). B.24)
С течением времени второе слагаемое уменьшается до нуля,
и смещение системы, совершающей установившиеся вынуж-
вынужденные колебания, описывается уравнением
> B.25)
где Ав — амплитуда смещения при установившихся "вынуж-
"вынужденных колебаниях, аи — циклическая частота изменения
вынуждающей силы.
Таким образом, спустя некоторое время после начала
действия вынуждающей силы колебания совершаются с ча-
частотой Q независимо от того, с какой частотой оH могут про-
происходить свободные незатухающие колебания данной систе-
системы. Вынуждающая сила «навязывает» системе колебания с
частотой Я.
' Амплитуда смещения Ав оказывается пропорциональной
амплитуде вынуждающей силы jF0 (в рассматриваемом нами
случае FOx=Fo):
А=F° B.26)
т У (©; _ Q2J _|_ (?2//и2) Q2
и достигает наибольшего значения
^вмакс1^ , /•—о B.27)
6К ©J — F2/4т2)
при условии, что циклическая частота Q изменений вынуж-
вынуждающей силы, действующей на данную колеблющуюся сис-
систему с неизменными характеристиками m, k (или fe'), coo и 6,
удовлетвор яет соотношению
Q =
Обычно в элементарном курсе физики, рассматривая вы-
вынужденные механические колебания (на примерах пружин-
пружинного, математического или физического маятников), огра-
122

ничиваются лишь анализом возрастания амплитуды смеще-
ййя вдоль одной из координатных осей. При этом говорят
о явлении резонанса, вкладывая в это понятие не всегда один
и тот же смысл.
Иногда резонансом называют явление максимального
возрастания амплитуды смещения колеблющейся системы,
а иногда — факт совпадения частоты Q вынуждающей силы
с частотой (о0 собственных колебаний данной системы (вели-
(величины m, k, (Do и b, характеризующие, колебания системы,
считаются при этом неизменными).
Путаница возникает, когда оба смысла понятия отожде-
отождествляются или ставятся в прямую зависимость друг от дру-
друга, независимо от уточнения механизма происходящих ко-
колебаний. Например, считают, что максимальное возрастание
амплитуды смещения наблюдается при непременном усло-
условии равенства частот Q=oH.
Анализируя выражение B.28), приходим к заключению,
что условие Q=coo могло бы иметь место, если бы на систему
не действовали силы трения (Ь=0). При этом на основании
B.27) для наибольшей амплитуды смещения получили бы
Лвмакс=оо.Это означает, что колеблющаяся система обяза-
обязательно должна была бы разрушиться. Такие случаи мы не
рассматриваем в элементарном курсе физики не только из-за
их нереальности F=0), но и потому, что колебания при боль-
больших амплитудах смещения от положения равновесия пере-
перестают быть гармоническими и многие из тех соотношений,
которыми мы пользовались, теряют смысл.
Во всех реальных системах действуют силы трения (Ь>0)
и максимальное (но не бесконечно большое) возрастание ам-
амплитуды смещения имеет место при условии ?2<соо (см. со-
соотношение B.28)). Если же выполняется равенство Q=(oo,
то амплитуда смещения имеет не самое большое значение из
возможных. С этим нужно считаться, давая то или иное оп-
определение явлению резонанса.
Понятно, что для реальных систем оба приведенных выше
определения становятся равнозначными, если силы трения
малы по сравнению с другими силами, действующими на
систему (при этом можно считать, что ЬжО и Лв=Лвмакс
при Q«coo).
Не рассматривая условий, при которых в реальных ме-
механических системах максимально возрастают амплитуд-
амплитудные значения скорости и ускорения, следует упомянуть о
возможности достижения максимальной амплитуды сме-
смещения при точном выполнении равенства, (оо=й. Это
123

наблюдается в тех случаях, когда за счет изменения пара-
параметров системы (например, изменяется масса т грузика пру-
пружинного маятника, длина нити / математического маятника
и т. п.) изменяется частота свободных незатухающих коле-
колебаний системы соо и система «настраивается» на частоту вы-
вынуждающей силы Q. С подобной настройкой системы на оп-
определенную частоту внешних воздействий мы встречаемся и
в случае электромагнитных колебаний, когда параметры
колебательного контура радиоприемника изменяются с та-
таким расчетом, чтобы он наилучшим образом реагировал на
частоту радиосигналов передатчика.
§ 3. СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
3.1. Условия статического равновесия
Задачей статики является рассмотрение условий равно-
равновесия сил, под действием которых материальная точка, тело
или система тел могут находиться в состоянии покоя или
инерциального движения.
Иногда говорят о том, что точка, тело и т. д. находятся в
состоянии равновесия при воздействии на них сил, имея, в
виду покой точки, тела или системы тел в заданной инерци-
альной системе отсчета. Действительно, такие случаи имеют
место довольно часто и их рассмотрение представляет прак-
практический интерес. Но не следует забывать, что условия рав-
равновесия, изучаемые статикой, описывают не только покой
или полную неподвижность точек, тел или систем тел.
Предположим, что в некоторой инерциальной системе
отсчета находится покоящееся тело. В какой-то момент вре-
времени на тело начинает действовать система нескольких сил
(Fi, F2, ..., Fn). Может ли тело при воздействии на него
всех этих сил остаться в состоянии покоя? Легко себе пред-
представить и проверить на опыте, что это возможно при усло-
условии равенства нулю геометрической суммы всех "приложен-
"приложенных к телу сил;
FH-FH-.-.+F^O. C.1)
Вместо этой векторной суммы можно записать эквивалент-
эквивалентную ей систему уравнений для проекций сил на оси коорди-
координат OX, 07, OZ:
Flx+F2x+...+Fnx=0,
Fly+F2y+...+Fny=0, C.10
124

При выполнении условия C.1) отсутствуют причины для
изменения состояния покоя тела. Очевидно, это же условие
будет относиться и к случаю сохранения неподвижности
материальной точки под воздействием системы п сил, если
точка до начала действия сил покоилась.
Кроме того, ясно, что если система сил, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию C.1), подействует на тело, движущееся в дан-
данной системе отсчета поступательно, равномерно и -прямо-
-прямолинейно, или на инерциально движущуюся материальную
точку, снова не появится причин для изменения указанных
состояний движения тела или точки.
Таким образом, выполнение условия статического равно-
равновесия C.1) в общем случае гарантирует сохранение неизмен-
неизменности инерциального движения материальной точки или
равномерного и прямолинейного поступательного движения
твердого тела, включая как частный случай и их покой.
При анализе статического равновесия тела, которое мо-
может вращаться вокруг какой-либо оси, условия C.1) недо-
недостаточно. В самом деле, если на тело действует, например,
пара сил (две pLaBHbie по модулю, но противоположно направ-
направленные силы, точки приложения которых не совпадают),
то условие C.1) выполняется, но при этом состояние покоя
или движения тела в данной ийерциальной системе отсчета
может измениться. Пара сил, приложенная к покоящемуся
телу, приведет его во вращательное движение. Если же тедо
до приложения к нему пары сил уже вращалось, то она так
или иначе изменит его вращательное движение (сообщит телу
то или иное угловое ускорение).
Подобно тому как причиной ускоренного движения ма-
материальной точки или ускоренного поступательного движе-
движения твердого тела в инерциальной системе отсчета может
быть только приложенная к ним'сила, причиной начала,
изменения или прекращения вращательного движения твер-
твердого тела (угловое ускорение в не равно нулю) относительно
какой-либо оси является момент силы (М) относительно
этой оси.
Пусть имеется тело, которое может вращаться вокруг не-
неподвижной оси 00у и к нему в какой-то точке приложена си-
сила F (рис. 3.1). Найдем проекцию F± приложенной к телу
силы F на плоскость, проходящую через точку приложения
силы перпендикулярно к оси вращения, а также кратчай-
кратчайшее расстояние / от оси вращения до линии этой проекции,
которое носит название плеча силы. Момент силы F относи-
относительно оси 00 определяется как физическая величина,
125

равная произведению проекции
силы на длину плеча г:
действующей на тело
Единицами измерения момента силы являются: 1 Н*м
в СИ и 1 дин-см в системе СГС.
Если проекция приложенной к телу силы F на плоскость,
перпендикулярную к оси вращения, равна нулю (F±~0),
что возможно, когда сила F параллельна оси вращения, или
если линия действия силы F пересекает ось вращения, то
такие силы не смогут изменить вращательного движения
тела, не смогут явиться при-
причинами отличного от нуля уг-
углового ускорения.
Таким образом, сила не
является величиной, достаточ-
достаточной для описания и расчета
вращательного движения те-
тела. Не любая^ сила может
явиться причиной измене-
изменения вращательного движения
тела!
- Условием равновесия твер-
твердого тела, которое может
совершать вращательное движение вокруг какой-либо не-
неподвижной (закрепленной) оси, является равенство нулю
суммы моментов сил относительно этой оси:
Мг-\-М2+.. .+Мп=0. C.2)
При этом моменты сил, вращающие тело вокруг данной оси
по часовой стрелке и против часовой стрелки, берутся с раз-
разными знаками.
Если на тело действует пространственная система сил
(векторы сил Fu F2, ... F^ имеют различные направления)
и тело имеет произвольно ориентированную неподвижную
ось вращения 0^ (ни одна из координатных осей не совпа-
совпадает с осью вращения) или неподвижный центр вращения О2
(рис. 3.2), то условие равновесия тела можно записать в виде
равенств нулю сумм моментов всех действующих на тело
сил относительно трех координатных осей:
Mlx+Mtx+...+Mnx=09
М1у+МШу+...+Мпу=09
Mlz+MZz+...+Mnz=0.
C.3)

Подобно тому как условие C 1) в общем случае не исклю-
исключает равномерного и прямолинейного движения тела или
точки, условие C.3) не исключает возможности равномер-
равномерного вращательного движения тела. Если относительно ка-
какой-либо оси сумма моментов всех приложенных к телу сил
равна нулю, то тело может вращаться вокруг этой оси «само
по себе» с постоянной угловой скоростью.
В какой-то инерциальной системе отсчета полностью не-
неподвижное тело (не совершающее ни поступательного, ни
вращательного движения) сохранит состояние покоя, если
Рис. 3.2.
на него начнет действовать система сил, одновременно удов-
удовлетворяющая условиям C.1) и C.3).
Как видим, условия статического равновесия C.1) и C.3)
описывают не только покой материальных точек или тел, но
и их движения с линейными и угловыми ускорениями, рав-
равными нулю. Поэтому в общем случае следует говорить о
статическом равновесии не только неподвижных материаль-
материальных точек или тел, но и о равновесии инерциально движу-
движущихся точек или тел (например, они находятся внутри пря-
прямолинейно и равномерно движущегося вагона). К блокам,
рычагам и другим твердым телам с осью вращения можно
применять анализ статического равновесия, когда рассмат-
рассматривается не только их полная неподвижность, но и равно-
равномерное вращение. Но напомним еще раз, что чаще прихо-
приходится слышать и читать о равновесии покоящихся точек,
тел или систем тел.
Задача. Иногда тяжелый увязший в грязи автомобиль удается вы-
вытащить с помощью длинного троса, привязанного к автомобилю и к ка-
какому-нибудь неподвижному предмету (дереву2 пню4 стене дома и т. ir.)t
127

воздействуя на трос небольшой силой, например силой веса одного че-
человека. На чем основан такой способ?
На рис» 3.3, a D — точка крепления троса к автомобилю, В —•
точка крепления к дереву, в точке С приложен вес человека Р. Для
удобства чертежа провисание троса показано сильно преувеличенным.
Пусть провисшие левая и правая ветви троса составляют с горизонталью
углы а и р.
Выделим мысленно точку троса С й рассмотрим ее статическое рав-
равновесие в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. На
рис. 3 3, а изображены координатные оси этой системы отсчета. В точке С
приложены три внешние силы: вес человека Р, сила Tf, действующая со
а)
6)
х.
АР
в)
Рис. 3.3.
стороны левой ветви троса, и сила Т2, действующая со стороны правой
ветви троса. Условие C.1) для точки С может быть записано в виде
откуда
Т1+Т2+Р=0,
Гх cos a+ Г2 cos p=0,
sin a+T2 sin p~P=0.
(а)
(б)
Решая систему уравнений (а) и (б), при заданных а, Р и Р можно найти
Т2 и, таким образом, определить силу, действующую на автомобиль со
стороны троса в точке D (в согласии с третьим законом Ньютона значе-
значение этой силы равно Т^.
Чтобы не усложнять математические выкладки, предположим, что
точка С находится на середине троса (рис. 3.3, б). Тогда а=$ и на осно-
основании уравнения (а) Г1=Т2=ТГ. Из уравнения (б) получаем 27 sin a=P
и отсюда
т Р
^ 2 sin a ' r ^
Теперь понятно, что при малых углах а сила воздействия троса на
автомобиль может во много раз превышать вес человека. Очевидно, угол
а наклона ветвей троса будет тем меньше, чем длиннее будет трос.
Итак, план спасения автомобиля ясен: нужно взять по возможности
длинный трос, натянуть его горизонтально и повиснуть на нем. При
этом сила воздействия на автомобиль может быть значительной и доста-
точнойд чтобы сдвинуть его с топкого места.
128

Для практического выполнения этой задачи нам потребуется трос
достаточно прочный: он должен выдерживать значительные усилия на-
натяжения Т. Поскольку механическая прочность даже стали ограничена,
трос придется взять значительной толщины, а значит, и достаточно
тяжелый.
При выводе формулы (в) сила тяжести троса не учитывалась. Сила
тяжести троса равномерно распределена по его длине, и если ее учиты-
учитывать, то числитель выражения (в) должен увеличиться.
Ну, а теперь сделаем последний шаг нашего анализа. Пусть трос
своими концами в точках В и D прикреплен к каким-то опорам (столбам,
стенам и т. п.) и никакие искусственно приложенные силы на него не
действуют. При этом силы натяжения троса в различных его сечениях
будут различными и определить их не так-то просто. Но некоторые по-
полезные сведения можно получить, если рассмотреть статическое равно-
равновесие малого участка троса (например, длиной в 1 см) вблизи его середины
(рис. 3.3, в). Нетрудно сообразить, что значения Г,сил натяжения, дей-
действующих на выделенный участок троса со стороны соседних2 могут
быть найдены по формуле, аналогичной формуле (в):
Т- ЛР (г)
где АР — значение силы тяжести выделенного участка троса.
Возможно ли строго горизонтальное расположение натянутого тро-
сь\> При этом угол а в формуле (г) должен равняться нулю. ДР имеет
какое-то определенное конечное (не равное нулю) значение. Значит, в
горизонтально натянутом тросе должна возникнуть бесконечно большая
сила натяжения (Т=оо). Такую силу не выдержат ни сам трос, ни под-
поддерживающие его опоры. Так что же, выходит, трос, веревку, проволо-
проволоку и т. д. натянуть горизонтально невозможно? Да, это принципиально
невыполнимая задача. Если даже тонкую, но достаточно длинную (дли-
(длиной, скажем, 20 м) проволоку, привязанную одним концом к неподвиж-
неподвижной опоре, тянуть рукой за другой конец, горизонтального (без прови-
провисания) ее расположения достичь не удается. Недостаточными окажутся
и усилия двух рук или нескольких человек. Провисание будет заметным
даже на глаз.
По тем же самым причинам любая прямая балка, свободно лежащая
на опорах или с жестко заделанными в опоры концами, не может оста-
оставаться прямой. Мост, даже если он строится как плоский, не может быть
таковым из-за прогиба под действием собственной силы тяжести, не
говоря уже о дополнительном прогибе под действием находящихся
на нем тел. Провисание короткой проволоки заметить трудно, оно не
очевидно, но оно всегда имеется.
В повседневном опыте от человека многое скрывается, не все из
достигнутого укладывается в рамки очевидности. Физические методы
исследования тем и ценны, что, вскрывая принципы поведения объектов
окружающего мира, они всегда учат правильному подходу к изучению
фактов и явлений, учат, куда надо смотреть.
Если уравнения C.1) — C.3) применяются к абсолютно
твердому телу, то ничто в них не изменится, если переносить
любую из сил по линии ее действия. Иными словами, точка
приложения силы при оценке статического равновесия аб-
абсолютно твердого тела не имеет существенного значения,
* Р А. Селезнев 129

Имея это в виду, говорят о возможности переноса точки
приложения силы. \
Мы уже отмечали, что в инерциальной системе отсчета
тело может сохранять состояние покоя, если на него дейст-
действуют силы, одновременно удовлетворяющие условиям C.1)
и C.3). При этом оси, относительно которых рассчитываются
моменты сил, могут выбираться совершенно произвольно.
Ведь какую бы мысленную ось вращения мы ни рассматри-
рассматривали (проходящую внутри или вне тела), покоящееся тело
не должно совершать относительно нее вращательного дви-
движения. Этот факт очень часто используется при решении
задач.
Например, требуется определить силы реакции RA и RB
двух опорных призм, на которых лежит стержень (рис. 3.4).
На стержень по вертикали вниз
кроме силы тяжести Р действует
сила Q.
Условие C.1) приводит к
уравнению
Ra+Rb-P-Q-0,
Рис. 3 4. которое содержит две неизве-
неизвестные величины. На помощь
может быть привлечено уравнение моментов сил относитель-
относительно любой оси. В данном случае удобно воспользоваться
осью, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходя-
проходящей через точку А или через точку В. При таком выборе оси
в уравнение моментов не войдет момент одной из искомых
сил, что упростит решение задачи. Выбирая ось, проходя-
проходящую через точку Л, и соблюдая правило знаков для момен-
моментов сил, получаем
RB(a+b+c)-Q (а+Ь)—Ра=0,
откуда может быть определена величина RB, после чего на
основании предыдущего уравнения находим и вторую неиз-
неизвестную.
С таким же успехом для составления уравнения момен-
моментов сил можно было выбрать оси, проходящие через какие-то
другие точки, но, конечно, проще использовать точки, коор-
координаты которых в данной задаче известны.
Расчет статического равновесия тела или системы тел с
неподвижной, жестко закрепленной осью вращения (рычаг,
неподвижный блок, ворот и т. д.) может производиться толь-
только на основании уравнений C.2) или C.3). Условие C.1)
130

в этом случае выполняется автоматически: не равную ну-
нулю результирующую внешних сил уравновешивает реак-
реакция оси.
Анализ всех воздействий на тело, статическое равнове-
равновесие которого мы исследуем, должен всегда производиться
тщательнейшим образом.
Задача. На горизонтальном полу на своих основаниях стоят две
одинаковые по массе цилиндрические болванки 1 и 2 из одного материа-
материала. Расстояние между ними невелико Чтобы отоднинуть их подальше
друг от друга, между ними закладывают доску и пользуются ею в каче-
качестве рычага, прикладывая рукой к ее концу К силу F, направленную
горизонтально и под прямым углом к плоскости доски (на рис. 3.5, а
изображена схема такого опыта ;в плане) Одновременно ли при этом
сдвинутся с места болванки?
С первого взгляда кажется, что обе болванки сдвинутся одновремен-
одновременно Силе воздействия руки F в точках В и С будут противодействовать
а)
перпендикулярные к доске силы, равные силам трения FTpl и FTp2,
обусловленным взаимодействием болванок с полом (рис. 3 5, б). Посколь-
Поскольку силы веса болванок, вызывающие силы нормальных реакций пола,
равны, материал болванок одинаков и стоят они на одном и том же полу,
должны быть равными модули сил трения в момент, когда болванки
начнут сдвигаться* /^рг^^трг—^тр
Считая вращение доски равномерным, можно воспользоваться ус-
условием равновесия C 2), которое должно выполняться при произволь-
произвольном выборе оси вращения Понятно, что в данном случае ось вращения
должна быть вертикальной Но в каком именно месте ее стоит выбрать?
Ведь в зависимости от положения; оси будут разными плечи сил F, FTp
и моменты этих сил Здесь можно руководствоваться двумя соображения-
соображениями. Во-первых, нужно попытаться выбрать положение оси с таким рас-
расчетом, чтобы выражения для моментов сил были наиболее простыми. Это
приводит к заключению, что вертикальная ось вращения должна быть
выбрана где-то в пределах длины доски или на продолжении продольной
оси доски Во вторых, выбор положения оси вращения не должен про-
противоречить условиям задачи. Если ось вращения будет расположена
между точками /С и ?, то доска в процессе вращения перестанет касаться
болванки 1 Болванка 2 при этом, может быть, и отодвинется от болван-
болванки /, но для практического осуществления такого вращения доска долж-
должна будег опираться в месте расположения оси вращения на какое-то
Тело, не заданное по условиям задачи. Точно так же противоречит реаль-
5* 131

ному осуществлению опыта выбор оси вращения за точкой С (при этом
доска перестанет касаться болванки 2 и снова потребуется дополнитель-
дополнительная опора). Следовательно, ось вращения должна располагаться между
точками Б и С. При этом доска в процессе вращения будет касаться обеих
болванок.
Предположим* что ось вращения проходит через точку О, находя-
находящуюся на расстоянии х от точки приложения силы F (рис. 3.5, б).
Обозначим расстояния между точками К и В через 1Ъ а между Б и С —
через /2. Для простоты анализа рассмотрим такой малый угол поворота
доски, при котором она продолжает касаться болванок по образующим,
проходящим через точки В я С (тогда расстояния 1± и /2 можно считать
неизменными).
Условие равновесия C.2) с учетом знаков моментов сил, действую-
действующих на доску, можно записать в виде уравнения
P ^-/i)-^ = 0i (a)
откуда
Fx = F7vl2. (б)
При практическом осуществлении такого опыта модуль силы F
будет возрастать постепенно: мы будем прикладывать к концу доски все
возрастающее усилие руки до тех пор, пока не сдвинутся обе болванки
или одна из них.
Величины /^р и /2 в правой части уравнения (б) постоянны. Чтобы
не нарушить условий задачи, величина х может принимать значения,
лежащие в пределах li^x^li-\-l2 Ну, а теперь ясно, что наименьшая ~
сила F будет достигаться при наибольшем х, т. е. когда д;=/1+/2. Это
соответствует повороту доски: вокруг оси, проходящей через точку С,
что возможно при неподвижной болванке 2. Значит, сначала будет сдви-
сдвигаться болванка L
Если мы хотим,, чтобы сначала сдвинулась болванка 2, рычаг нужно
применять, как показано на рис. 3 5, в.
Казавшееся вначале правдоподобным предположение об одновре-
одновременном сдвигании флванок после детального анализа условий равно-
равновесия рычага оказалось несостоятельным.
3.2. Центр тяжести. Центр масс
Важным понятием механики является центр тяжести
тела или системы тел — единственная точка, относительно
которой сумма моментов сил тяжести всех частиц тела или
системы тел при любом расположении тела или системы рав-
равна нулю.
В некоторых случаях такая точка может находиться вне
геометрических пределов тела. Часто силу тяжести тела, как
результирующую сил тяжести частиц, из которых оно со-
состоит, мы считаем приложенной в центре тяжести. Если
тело абсолютно твердое и центр тяжести находится внутри
тела, то прикладывать силу тяжести можно в любой точке
вертикали, проходящей через центр тяжести (ведь мы мо-
можем переносить точку приложения силы-в абсолютно твер-
132

Of)
rk
дом теле вдоль линии ее действия!). Таким образом, опреде-
определение центра тяжести как точки, в которой приложена сила
тяжести, нельзя считать полным.
Оказывается, что центр тяжести замкнутой системы тел
(о которой шла речь в п. 2.2) обладает очень интересным
свойством.
Задача. Тележка может катиться по горизонтально расположенным
рельсам. У одного края тележки укреплена пружинная п^шка, заряжен-
заряженная шариком (рис. 3.6, а). Пренебрегая силами трения между шариком
и тележкой, а также между тележкой
и рельсами, определить, насколько от-
откатится тележка при выстреле за про-
промежуток времени А/, в течение кото-
которого шарик переместится до другого
края тележки. Изменится ли положе-
положение центра тяжести этой системы тел
относительно инерциальной системы
отсчета в результате происшедших
перемещений? Масса тележки с пуш-
пушкой My масса шарика т, длина те-
лежки L
Для упрощения расчетов условим-
условимся, что шарик до выстрела находился
у самого переднего края тележки.
Инерциальчую систему отсчета свяжем
с неподвижными рельсами. Начало ко-
координатной оси ОХ совместим с на-
начальным положением шарика, а время
будем отсчитывать от момента выст-
выстрела. Схема приложения сил тяжести
к телам системы для начального и ко-
конечного положений даны на рис. 3 6, б
и б, где через Рт, Рш и Р обозначены
соответственно силы тяжести тележки,
шарика и всей системы, а через Дл:т и Ал:ш — смещейия тележки и ша-
шарика вдоль оси ОХ.
Первую часть задачи можно ре!пать, используя второй и третий
за-коны Ньютона или закон сохранения импульса. Система «тележка —
шарик» в данном случае может считаться замкнутой, так как воздействие
Земли на тележку и шарик уравновешивается в конечном счете реакцией
рельсов, а силами трения мы пренебрегаем. Применение закона сохра-
сохранения импульса быстрее приводит к ответу.
Пружина в данном случае может считаться посредником взаимо-
взаимодействия между тележкой и шариком в момент выстрела. В начальный
момент суммарный импульс тележки и шарика равен нулю. В результате
взаимодействия тележка приобретает скорость vT, а шарик — скорость
vm. Суммарный Ихмпульс тележки и шарика после выстрела равен M+
+/пуш. Значит, на основании закона сохранения импульса имеем
откуда MvTX+тишх—0 и
(а)
133

так как скорость тележки направлена влево, а скорость шарика —
вправо
Поскольку силами трения мы пренебрегаем, движения тележки и
шарика после выстрела должны считаться равномерными, и, следова-
следовательно,
Л" А/ А
Подставляя эти выражения в уравнение (а), получаем
Дл:т / — Д#т л
~~ М 'm A/ ~ '
откуда определяем искомое перемещение тележки:
Ах^1Л^м- (б)
Будем для простоты считать, что центр тяжести тележки находится
на середине ее длины. Для системы «тележка — шарик», исходя из опре-
определения центра тяжести, можно написать
РШ*=*А (в)
где а — расстояние от центра тяжести системы до переднего края те-
тележки или до линии с координатой х=0, а Ь — расстояние между цент-
центрами тяжести тележки и системы. Ясно, что
а+Ь=1/2, (г)
и на основании (в) и (г) можно определить положение центра тяжести
системы в начальный момент (до выстрела)*
IP 1 М
Легко сообразить, что в конечном положении центр тяжести сис-
системы будет находиться на расстоянии а от заднего края тележки,-а его
расстояние с от линии с координатой х=0 можно определить как
с—1 — АхТ — а.
С учетом (б) и (д) получаем
т I M I M
2 т + М 2 т + М *
I
т. е. с~а, а это означает, что .центр тяжести системы «тележка — ша-
шарик» в выбранной инерциальной системе отсчета не переместился.
Итак, если в инерциальной системе отсчета центр тяже-
тяжести замкнутой системы тел был неподвижен в какой-то мо-
момент времени, то он будет оставаться в покое, несмотря на
движение отдельных частей системы в результате их взаимо-'
действия. Можно показать, что если центр тяжести замкну-
замкнутой системы тел в какой-то момент времени двигался инер-
циально (равномерно и прямолинейно), то и в последую-
последующие моменты он сохранит скорость движения неизменно!;
J34

(К этому выводу можно прийти, решая предыдущую задачу
при условии, что тележка до выстрела двигалась с какой-то
скоростью.) Таким образом, центр тяжести замкнутой сис-
системы тел является ее характерной точкой, поведение которой
подчиняется первому закону Ньютона.
Пусть у внимательного читателя не вызовут недоумения
те выводы, к которым мы пришли. Вспомним, что ведь сперва
мы ввели понятие центра тяжести для тела или системы
тел, не говоря о замкнутости последней. Потом мы загово-
заговорили о центре тяжести замкнутой системы тел. Но в полном
смысле система будет замкнутой, если на нее вообще не дей-
действуют никакие внешние силы. Значит, чтобы силы тяжести
тел рассматриваемой системы не оказались внешними сила-
силами, в замкнутую систему непременно нужно включать Зем-
Землю и учитывать не только ее взаимодействие с остальными
телами, но и движение Земли под воздействием этих тел.
Конечно, при решении всех практических «земных» задач
мы этого движения Земли не учитываем, а потому и системы
взаимодействующих тел, которые мы рассматриваем, лишь
приближенно могут считаться замкнутыми.
К замкнутым системам, как уже отмечалось выше, можно
относить также системы, на отдельные т^ла или части кото-
которых действуют уравновешивающиеся внешние силы. С та-
таким случаем мы и имели дело в только что разобранной за-
задаче. Но здесь появляется новая неприятность использова-
использования понятия центра тяжести, связанная уже не с тем, что
система тел «не совсем замкнута», а с тем, что силы тяжести
отдельных частей системы «совсем ничего не делают». Взаи-
Взаимодействие тележки и шарика осуществлялось силами упру-
упругости. Силы тяжести можно было не учитывать и отбросить
(вместе с уравновешивающими их силами реакции рельсов).
А как же тогда быть с определением понятия центра тяже-
тяжести, которое при «отсутствии» силы тяжести теряет смырл?
Все дело в том, что характерная точка системы взаимодей-
взаимодействующих тел, о которой говорилось выше, существует. Без
воздействия внешних сил на систему эта точка совершает
инерциальное движение. Ее положение и,поведение не за-
зависит от природы сил взаимодействия в системе и, в частйо-
сти, не зависит от того, действуют ли в системе силы тяжести
в качестве внутренних сил (как в случае включения в сис-
систему Земли) или нет. Характерная для данной системы взаи-
взаимодействующих тел точка, положение которой зависит от
внутренней структуры системы и не зависит от внешних
факторов и обстоятельств, называется центром масс.
135

Для всех задач элементарного курса физики центр масс
системы тел совпадает с ее центром тяжести. Можно сказать,
что центр масс «становится» центром тяжести, если пове,Ц?-
ние ограниченной по размерам системы тел .рассматривается
вблизи Земли, при учете сил тяжести. Но введение понятия
о центре масс оказывается целесообразным и в том случае,
когда система тел находится в какой-то области космическо-
космического пространства, где не сказывается притяжение Земли и
других космических тел. С большим успехом понятием цент-
центра масс пользуются при изучении поведения систем микро-
микрочастиц, силы тяжести которых оказываются во много раз^
меньше сил, осуществляющих взаимодействия между час-
частицами.
Понятие центра масс относится и к одиночному телу.
Центр масс тела может быть определен как точка (находя-
(находящаяся внутри или вне тела),/в которой пересекаются линии
действия сил, приводящих данное тело в поступательное
движение. Система сил, линии действия которых не прохо-
проходят через центр масс, будет приводить незакрепленное тело
во вращательное движение вокруг оси, проходящей через
центр масс.
Если система взаимодействующих тел не является замк-
замкнутой, то ее центр масс в инерциальной системе отсчета не
может оставаться неподвижным или двигаться равномерно
и прямолинейно. Его движение будет происходить с ускоре-
ускорением под воздействием результирующей внешних сил в со-
согласии со вторым законом Ньютона.
Задача. Два тела, которые можно принять за материальные точки
с массами mt и т2, прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити,
перекинутой через блок радиуса R (рис. 3.7). Сначала тела покоятся
на одном уровне в положениях 1 и 2, а затем, предоставленные воздейст-
воздействию сил натяжения нити и сил тяжести, они перемещаются. Показать,
что центр тяжести (центр масс) системы этих двух тел при их движении
ускоренно перемещается вниз.
Свяжем инерциальную систему отсчета с Землей. Ординаты будем
отсчитывать от первоначального уровня расположения тел, а промежут-
промежутки времени — от момента начала движения тел.
Невесомость нити, как и в других подобных задачах, позволяет не
считать ее третьим телом системы и исключить из рассмотрения. Система
не является замкнутой, так как на каждое тело действуют неуравнове-
неуравновешенные силы — сила тяжести и сила упругости растянутой нити.
Учет следующих трех фактов быстро приводит к заключению о том,
что покоившийся сначала центр тяжести (центр масс) системы тел при-
приходит в движение по вертикали вниз.
Во-первых, на основании определения центр тяжести системы
двух тел должен находиться на линии NN, отстоящей на расстояниях Ь
и d от линий действия сил тяжести р! и Р2 обоих тел. Условие равенства
136

моментов сил тяжести
(а)
и условие постоянства расстояния между линиями действия сил Рх и Pg
b+d=2R (б)
должны выполняться при любых положениях движущихся тел. Из (а) и
(б) можно получить выражения для вели- ,,,,.,,,,„,,з*
чин bud: <//////////Ш
(в)
(г)
Во-вторых, по правилу сложения двух
параллельных сил Рх и Р2, направленных
в одну сторону *), линия действия их рав-
равнодействующей должна делить линию, сое-
соединяющую точки приложения сил Рх и Р2*
как раз согласно соотношению (а). Отсюда
следует, что центр тяжести (центр масс)
системы должен находиться на пересече-
пересечении линии NN и одной из линий (напри-
(например, /—2 или Г—2'), соединяющих цент-
центры тяжести тел при любом их расположе-
расположении.
В-третьих, из равенства нулю началь-
начальных скоростей обоих тел и равенства мо-
модулей их ускорений следует, что линия,
соединяющая центры тяжести тел, должна
при движении тел все время проходить через точку О. Это и дока-
доказывает понижение центра тяжести (центра масс) системы тел при дви-
движении* если при расположении тел в точках 1 и 2 он находился
в точке С, то при расположении тел в точках Г и 2' он уже будет
находиться в точке С'^ и т. д.
Теперь уточним характер движения центра масс системы двух
тел. Рассматриваемые тела движутся равноускоренно, модули их ус-
ускорений одинаковы (из-за нер астяжимости нити) и могут быть най-
найдены из уравнения
Г
т2—т±
(д)
которое мы предлагаем читателям получить самостоятельно.
*) Напомним, что равнодействующая двух параллельных сил, на-
направленных в одну сторону, равна сумме этих сил, а линия ее действия
делит лилию, соединяющую точки приложения сил, в отношении, об-
обратном отношению модулей этих сил.
137

На рис. 3.7 стороны СС и 22' в подобных треугольниках СОС
и 202' представляют в принятом масштабе перемещение центра масс
(гА#с1> и? перемещение второго тела (|А#]^вдоль оси OY за какой-то проме-
промежуток времени А/ от момента начала движения.
Из сказанного выше вытекает, что отношение перемещений Аус
и Д# за любые промежутки времени, измеренные от начала движения
тел, будет оставаться неизменным и равным отношению сходственных
сторон ОС и 02:
Ф^¦ ' <*
Но если перемещение тела с массой т2 описывается в данной задаче
уравнением
• А# = -^-, (ж)
то для соблюдения условия (е) перемещение центра масс должна описы-
описываться таким же по форме уравнением
О)
На основании (ж) и (з) получаем равенство отношений
которое с учетом (е) и (в) приводит к уравнению
ад _R —
а ~~ R
ад _R — rf__j 2щ __m2 m1
~~ R ~~ + '~~' + *
Воспользовавшись уравнениями (и) и (д), получаем
Но как этот результат можно согласовать с приведенным выше
утверждением о том, что в инерциальной системе отсчета ускорение дви-
движения центра масс незамкнутой системы тел под воздействием резуль-
результирующей всех приложенных к системе внешних сил подчиняется вто-
второму закону Ньютона? Ведь если силы воздействия растянутой нити на
оба тела рассматривать как внутренние силы, то результирующая внеш-
внешних сил будет равна Р!+Р2. Центр масс можно считать точкой, в которой
сосредоточена масса всех^ тел системы (для нашего случая суммарная
масса тел равна m-i+m^ Тогда, учитывая, что векторы Рх и Р2 направ-
направлены вертикально вниз, для модуля ускорения центра масс получается
результат ac—g, не совпадающий с выражением (к).
Легко сообразить, что центр масс системы двух тел может двигаться
с ускорением g, если оба тела (пусть даже связанные нитью) будут дви-
двигаться вертикально вниз с ускорением g Условия анализируемой за-
задачи такое движение тел не предполагают.
Поскольку в формуле (к) величина ( ^ , ^ ) меньше единицы, то
ac<g Щ чтобы ускорение движения центра масс можно было найти
Д38

по второму закону Ньютона, видимо, следует считать, что результирую-
результирующая внешних сил, действующих на систему двух тел, меньше суммы сил
тяжести Pi+P2 Кроме сил тяжести на тела системы действуют только
силы натяжения нити, причем, как нетрудно убедиться,
(л)
w
Щ + т2
Остается предположить, что в данной задаче силы воздействия на тела со
стороны растянутой нити должны считаться внешними силами! Если
это так, то результирующая всех внешних сил будет равна Fs-=Pi+P2+
+2Т Тогда можно выразить ее проекцию на координатную ось OY:
и получить выражение для ее модуля:
откуда с учетом (л) имеем
(га2 — щJ
Сила, имеющая такой модуль и действующая вертикально вниз на ма-
материальную точку с массой т1+т2, в согласии со вторым законом Нью-
Ньютона может сообщить точке ускорение, модуль которого определяется
выражением (к)
Итак, мы пбказали применимость второго закона Нью-
Ньютона к неинерциальному движению центра масс незамкну-
незамкнутой системы тел. Но некоторая неясность возникла в связи
с необходимостью считать силы, действующие со стороны
нити на тела, внешними силами, а не внутренними. Нить в
только что разобранной задаче являлась связью и служила
посредником взаимодействия между телами системы. Неве-
Невесомость нити позволила не считать ее третьим телом систе-
системы. В приведенной ранее задаче о взаимодействии тележки с
шариком (см. стр. 133—134),тоже фигурировала связь (пру-
(пружина), она тоже служила посредником взаимодействия тел,
тоже не считалась третьим телом системы, однако силы ее
воздействия на тележку и шарик считались внутренними
силами, не нарушающими инерциального характера движе-
движения центра масс системы тел.
Так как же учитывать силы воздействия связей на тела
системы в различных случаях? Когда их можно относить
к внутренним, а когда к внешним?
Если продолжить сопоставление ролей двух упомянутых
связей (пружины и нити), то можно заметить существенное
различие в их воздействиях на «связываемые» тела» Пружина
139

действовала на тележку и шарик с силами, равными по мо-
модулю и противоположными по направлению. Такие силы при
других условиях могли бы возникнуть и в отсутствие пру-
пружины (например, при ударе шарика о тележку), они не тре-
требуют включения в систему каких-то иных тел, кроме взаи-
взаимодействующих, и поэтому должны считаться внутренними
силами.
В последней задаче со стороны нити на оба тела действо-
действовали силы, равные по модулю и одинаковые по направле-
направлению. Такие силы ни при каких условиях не могли бы воз-
возникнуть между телами при их непосредственном взаимодей-
взаимодействии. Такие силы могли действовать на оба тела только
потому, что нить была перекинута через блок, а блок через
кронштейн, подставку и т. д. был в конечном счете связан
с Землей. Поэтому на систему двух движущихся тел со сто-
стороны Земли действовала сила F?=Pi+P2+2T. Поскольку
нас интересовало поведение незамкнутой системы двух тел,
в которую Земля не включалась, нам и пришлось считать
внешними силами не только силы тяжести тел Рх и Р2,
но и силу натяжения нити Т.
§4. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
4.1. Основные понятия
Явление взаимного притяжения тел называют гравита-
гравитационным взаимодействием или гравитацией.
На основе работ своих предшественников и на основе
собственных исследований в области механики Ньютон
установил характер взаимодействия материальных точек в
согласии с законом
F=y^f D.1)
т. е. сила взаимного притяжения материальных точек про-
пропорциональна их массам тг и т% и обратно пропорциональна
квадрату расстояния г между ними. Коэффициент пропор-
пропорциональности у носит название гравитационной постоянной
и определяется силой притяжения двух точек, имеющих
единичные массы и находящихся на единичном расстоя-
расстоянии;
<у=6,67-10-8 см8/(г«с2} в системе СГС,
?=6,67.10-" м»/(кг. с1) в СИ.
140

Астрономические наблюдения подтверждали справедли-
справедливость этого закона. Он позволял вычислять орбиты движе-
движения планет, сравнивать планеты по массе, но значение гра-
гравитационной постоянной у в астрономических опытах не
могло быть измерено. Оно было определено в лабораторных
условиях.
Гравитационные силы действуют и при непосредственном
контакте взаимодействующих тел (например, тело лежит на
поверхности Земли), и при отсутствии такого контакта (на-
(например, взаимодействие Луны и Земли и т. п.). Направление
этих сил всегда совпадает с линией, соединяющей взаимо-
взаимодействующие точки (поэтому гравитационные силы называют
центральными). В форме D.1) закон справедлив не только
для материальных точек, но и для однородных тел сфери-
сферической формы, расположенных неконцентрично. В послед-
последнем случае величина г в уравнении D.1) представляет собой
расстояние между центрами взаимодействующих сфериче-
сферических тел. Если же вычисляется взаимодействие тел иной
конфигурации, то нужно оценивать попарное взаимодейст-
взаимодействие всех их точек. Приемлемая для практических расчетов
точность часто достигается, если под г в формуле D.1) пони-
понимать расстояние между центрами масс тел (если центры масс
тел не совпадают).
Во многих механических задачах с сравнительно малыми
по массе телами мы пренебрегаем гравитационным взаимо-
взаимодействием из-за его малости. Если подсчитать силу притя-
притяжения между двумя товарными вагонами с массами по
6Q 000 кг, расстояние между центрами масс которых равно
20 м,,то получится значение порядка 6-10~4 Н. Легкое ду-
дуновение ветерка окажет на такой вагон более сильное воз-
воздействие!
4.2. Тяготение и сила тяжести тела
Тела, находящиеся вблизи земного шара, испытывают
притяжение к нему. Это притяжение и обусловливает силу
тяжести тел. Но, как отмечалось, сила гравитационного
притяжения тела к Земле не всегда равна силе тяжести это-
этого тела.
Рассмотрим тело с массой т, лежащее на поверхности
Земли (или на подставке, связанной с ней) в точке В, харак-
характеризующейся широтным углом а (рис. 4.1). Для простоты
будем считать полярную ось Земли вертикальной и непо-
неподвижной (отвлечемся от годичного движения Земли вокруг
141

Солнца), а форму Земли — идеально сферической. Пусть
R3 — радиус Земли. Инерциальную систему отсчета свяжем
с Солнцем.
Учитывая суточное вращательное движение Земли во-
вокруг собственной оси, придется сказать, что точка В земной
поверхности описывает в пространстве окружность радиуса
r=i?3cosa. Тело, неподвижное относительно точки В,
вместе с ней должно двигаться по окружности. Такое дви-
движение без ускорения невозможно.
Откуда же возьмется сила, обеспечивающая ускорение,
если тело ничем к Земле не привязано и свободно лежит на
ее поверхности? Почему тела, не прикрепленные к земной
поверхности, не отрываются от
нее? Предоставленные самим се-
бе^ они могли бы двигаться, под-
подчиняясь первому закону Нью-
Ньютона, только прямолинейно и
равномерно. Значит, что-то их к
Земле все-таки «привязывает».
Этой связью является притяже-
притяжение тел к Земле по закону все-
всемирного тяготения, или, лучше
сказать, поле тяготения (или
гравитационное поле, или поле
силы тяжести) Земли.
Рис. 4.1. Современная физика широ-
широко пользуется понятием поля
(гравитационное, электростатическое, магнитное, электро-
электромагнитное и др.), связывая его с материальным носителем
того или иного взаимодействия. Под гравитационным полем
понимают тот материальный объект природы, который осу-
осуществляет взаимодействие тел по закону всемирного тяго-
тяготения; под электростатическим полем — тот, который осу-
осуществляет взаимодействие между заряженными телами по
закону Кулона, и т. д Без различных полей физика теперь
обойтись просто не может, прочно утвердился их объектив-
объективный характер. Частицы (или тела, предметы как совокуп-
совокупности частиц) и поля — две формы единой материи, извест-
известные физике настоящего времени.
Поле — самостоятельная форма материи, не сводимая ни
к каким другим. Какими бы простыми или сложными ни
показались поначалу представления о полях, к ним нужно
привыкнуть, помня, что без них не удается объяснить целый
ряд физических фактов. *
142

Поля, как все другие материальные объекты, существуют
в пространстве и во времени, т. е. пространство й время яв-
являются формами существования полей как разновидности
материи. Любое поле как-то распределено в пространстве,
но не сводится к пространству. Поле, так же как атом, элек-
электрон и другие материальные объекты, смешивать с простран-
пространством никак нельзя. Поэтому такие определения поля тяго-
тяготения, электростатического поля и других полей, как про-
пространство, в котором действуют силы притяжения к Земле
или силы электрического взаимодействия и т. д., не могут
считаться правильными. Давая такие определения, мы ут-
утверждаем, что поле — это пространство, а это принципиаль-
принципиальная ошибка.
Возвращаясь к анализу движения тела вместе с Землей,
мы скажем теперь, что ускорение а в рассматриваемом при-
примере телу может обеспечить результирующая F двух сил,
действующих на него: силы тяготения FT и силы реакции N
земной поверхности или подставки. Для движения тела по
окружности радиуса г со скоростью v необходимо центро-
центростремительное ускорение
если выразить широтный радиус г через радиус земной по-
поверхности /?з и широтный угол a, a v — через угловую ско-
скорость со вращательного движения Земли, то получим
а=со2г=со2/?з cos a.
Уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направ-
направление широтного радиуса г при этом может быть записано
в виде
Fr = тап
откуда
р^та== ma>2#3 cos a. D.2)
Теперь понятно, что сила реакции земной поверхности N
уравновешивает не силу тяготения FT, а только ее состав-
составляющую Р. Последняя и носит название силы тяжести.
Для всех точек земной поверхности, не принадлежащих
экватору и полюсам, вектор силы тяжести тела не будет на-
направлен к центру ЗемЛи и будет составлять с земным радиу-
радиусом угол р. Сила тяготения FT и сила тяжести тела Р в пол-
полном смысле равны друг другу только в двух точках земного
шара — на полюсах. Это легко показать, анализируя
рис. 4.1 и известную на основании теоремы косинусов связь
ИЗ

между модулями векторов Р, FT и F:
р = YF\ + Р —2F?F cos a,
откуда с учетом формулы D.2) следует:
р = YF\ + m2co4jR| cos2 a—2FTmaJR3 cos2 a,
или
P = /f1} + (mco2/?3—2FT) тсо27?з cos2 a. D.3')
Для полюсов а=зт/2 рад и, следовательно, P=FT при сов-
совпадении направлений этих векторов.
Поскольку угловая скорость вращения Земли вокруг
собственной оси имеет малое значение: со= 8640q рад/с,
модуль Р силы тяжести телаупри различных широтных углах
а, не равных л/2 рад, очень мало отличается от модуля FT
силы тяготения. Угол Р отклонения вектора Р от направле-
направления к центру Земли тоже мал (на полюсах и экваторе Р=0).
Поэтому для упрощения многих практических расчетов
можно пренебречь отличием Р от FT из-за его малости. Но не
забудем, что в принципе такое совпадение справедливо толь-
только для полюсов. На экваторе различие-между Р и jFT наи-
наибольшее.
Значит, только пренебрегая вращением Земли, можно
использовать соотношение
. D.3)
из которого, учитывая, что P=mg, можно получить
?=Ж3. D.4)
Если вращением Земли вокруг собственной оси не пре-
пренебрегать, то на основании D.3') и D.1) будем иметь
р =
откуда
144

Реальные изменения ускорения силы тяжести на уровне
моря при переходе с экватора к полюсам от 978,030 см/с2
до 983,216 см/с2 объясняются двумя причинами: наличием
вращения Земли вокруг собственной оси (при со#0 вклад
второго слагаемого под радикалом в выражении D.4')
будет неодинаковым при различных значениях широтного
угла а) и неодинаковыми значениями Rs для различных ши-
широт (учет сплюснутости Земли — экваториальный радиус
Земли больше полярного).
В последнее время очень часто приходится считаться с
изменением ускорения силы тяжести при подъеме ракет,
спутников и космических кораблей на большие высоты над
уровнем моря. Введя высоту Я расположения точки над
земной поверхностью в уравнение D.4), получим значение
gH ускорения силы тяжести на этой высоте: \*
Первая космическая скорость. Первой космической ско-
скоростью vKl называют скорость, с которой должно двигаться
тело, являющееся спутником Земли. В простейшем случае
рассматривают равномерное дви-
движение спутника по окружности,
плоскость которой проходит че-
через центр Земли и точки которой
располагаются на постоянной
высоте Н над поверхностью Зем-
Земли (рис. 4.2). Если при этом не
делается особых оговорок, то
имеют в виду инерциальную си-
систему отсчета, связанную с Зем-
Землей (т. е. вращением самой Зем-
Земли пренебрегают!). " ' "
Получим выражение для пер- * v
вой космической скорости.
. Спутник имеет размеры много меньшие, чем Яи^з, и,
конечно, может быть принят за материальную точку. Для
того чтобы спутник мог двигаться по окружности, ему каки-
какими-то внешними силами должно быть сообщено ускорение а,
направленное к центру Земли. Если пренебречь достаточно
слабыми силами притяжения к Луне, Солнцу и другим не-
небесным телам, а также малыми силами сопротивления
при движении в околоземном пространстве, то останется
только одна сила, обеспечивающая движение спутника по
145

траектории,— сила FT гравитационного притяжения Земли.
Если масса спутника т, то для его равномерного движе-
движения по окружности должно выполняться равенство
„ тМз ш&л
F, = ma, или уп
откуда
Теперь можно подсчитать t>Kl, так как у, Мз и /?з — извест-
известные постоянные, а Н — заданная высота полета."
Полезно помнить о возможном преобразовании уравне-
уравнения D.6) с учетом уравнений D.^J и D.5). Почленно разде-
разделив D.5) на D.4), получим выражение
in.— R* /4 7ч
справедливое в инерциальной системе отсчета, связанной с
Землей. В нем g — модуль ускорения свободного падения
у поверхности Земли. Числитель правой части выражения
D.6) можно преобразовать с учетом D.5):
"K1 R3+H
Если подставить сюда gH из D.7), то
vl, =
R3+H'
Сп=Яз1/ RTTH-' D.8)
Иногда считают, что значение «около 8 км/с» является,
так сказать, универсальным значением первой космической
скорости. Это мнение ошибочно. Из формулы D.8) видно,
что первая космическая скорость зависит от высоты Н траек-
траектории над поверхностью Земли. Значение t>K1«7,93 км/о
справедливо только для случая полета тела в непосредст-
непосредственной близости от поверхности Земли (при #=0). Подста-
Подстановка в формулу D.8) значений g-^9,81 м/с2, &з~6370 км
и заданной высоты Н траектории полета или высоты точки
запуска, в которой телу сообщается скорость vKl, достаточ-
достаточная для того, чтобы оно превратилось в спутник Земли^
146

позволяет получить значение первой космической скорости
для любой высоты Н.
Иногда говорят о различии модулей скоростей, необхо-
необходимых для запуска спутников или других космических ап-
аппаратов в восточном и в западном направлении (например,
по орбите, лежащей в экваториальной плоскости Земли).
При этом имеют в виду различие «горизонтальных» состав-
составляющих стартовых скоростей непосредственно у поверх-
поверхности Земли в инерциальной системе отсчета, не связанной
с Землей.
Невесомость тел, находящихся на искусственном спут-
спутнике Земли. В наши дни все знают о состоянии невесомости
предметов или человека, находящихся на борту искусствен-
искусственного спутника или космического корабля. Но не всегда
дается правильное объяснение этого явления, не всегда при
анализе этого состояния учитывается необходимость вне-
внесения уточнений в определение понятия веса.
Для простоты будем рассматривать движение спутника
по окружности, центр которой совпадает с центром Земли.
Любая деталь конструкции спутника Земли, любое тело,
находящееся внутри него, тоже являются искусственными
спутниками: ведь все они получили (неважно, за счет чего)
скорость, достаточную для движения по орбите вокруг зем-
земного шара под действием его притяжения.
Орбиты различных точек спутника и тел, находящихся
внутри него, вообще говоря, различны, так как дальняя от
Земли точка и ближайшая к ней находятся на различных
высотах Я над земной поверхностью, или на разных рас-
расстояниях от центра Земли. Но, поскольку размеры спутника
ничтожно малы по сравнению с расстоянием до центра его
траектории, практически все эти точки движутся по орбите
одного радиуса с одинаковыми скоростями и ускорениями.
Воспользовавшись формулой D 8), а также соотношения-
соотношениями D.4) и D.5), можно найти значения ускорений этих точек:
Как видим, они равны ускорению свободного падения на
высоте полета спутника над Землей.
Такое ускорение и корпус спутника, и любое тело, вну-
внутри него находящееся, получают только под действием сво-
своих «собственных» сил тяготения к Земле, без воздействия
каких-либо иных сил. Движение этих тел, как ни странно
на первый взгляд, является свободным падением с ускоре-
147

нием g//. Поэтому все те соотношения, которые имели место
в.примере свободного падения лифта и находящихся в нем
тел (стр. 105), имеют место и в условиях полета искусствен-
искусственного спутника Земли.
Вес тела внутри спутника, как сила воздействия тела
на корпус или на любую скрепленную с корпусом опору,
при этом, конечно, будет равен нулю. Таким образом, неве-
невесомость будет заключаться в отсутствии взаимодействия
между телом и корпусом спутника при их движении под
действием лишь одних сил тяготения к Земле по орбите,
плоскость которой проходит через центр Земли.
Если же на космический аппарат помимо силы тяготения
будут действовать какие-то иные силы (это возможно, на-
например, при работе двигателя ракеты-носителя, при вклю-
включении тормозной двигательной установки и т. д.), условий
для невесомости тел внутри этого аппарата уже не будет.
§ 5. ЭНЕРГИЯ, РАБОТА, МОЩНОСТЬ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ
5.1. Механическое состояние тела и системы тел.
Импульс — функция механического состояния
В механике часто используется представление о механи-
механическом состоянии тела. Это состояние определяется коорди-
координатами (х, у, г) и скоростью (v) движения тела в выбранной
инерциальной системе отсчета. Если изменяется хотя бы од-
одна из этих величин, говорят об изменении механического
состояния тела. Аналогично поступают, рассматривая сис-
систему, состоящую из нескольких тел. Таким образом, меха-
механическое состояние тела или системы тел характеризуют как
раз теми величинами, которые могут изменяться при пере-
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, и по-
поэтому совершенно обязательным является указание на ис-
используемую в том или ином случае систему отсчета. Кроме
того, как мы помним, именно от координат и скоростей зави-
зависят различные типы сил, с которыми мы встречаемся в зада-
задачах механики.
Понятно, что если в идеальном случае рассматривается
одиночное, изолированное тело или система невзаимодейст-
невзаимодействующих тел, то может идти речь только о таких изменениях
их состояний, которые связаны с изменением координат при
неизменных скоростях движения. Когда мы переходим к
анализу изменений состояний, связанных с изменением ско-
148

ростей, мы вынуждены рассматривать системы взаимодейст-
взаимодействующих тел, учитывать характер воздействий на каждое
тело. При этом говорят о консервативных и неконсервативных
системах взаимодействующих тел. К первым относятся сис-
системы, взаимодействие между телами которых осуществляет-
осуществляется лишь силами, зависящими от коордийат. В неконсерва-
неконсервативных системах наряду с силами, зависящими от коорди-
координат, действуют еще силы, зависящие от скоростей движения
тел в выбранной инерциальной системе отсчета.
Одной из важнейших задач физики как науки о природе
является не только определение вида зависимостей между
изменяющимися физическими величинами, но~и поиски
сохраняющихся при некоторых условиях величин и соот-
соотношений между ними, установление «законов сохранения».
Об одном из таких законов — о законе сохранения импуль-
импульса для замкнутой системы тел — мы уже упоминали. Но для
того, чтобы оценить роль и место этого закона в системе
законов физики, и прежде чем перейти к разговору еще об
одном из важнейших законов сохранения, давайте вернемся
к основным законам динамики, которые описывают измене-
изменения состояний тел, связанные с изменением скоростей этих
тел. Таковыми являются второй и третий законы Ньютона.
Как только мы начинаем учитывать неинерциальный ха-
характер движения какого-то тела в инерциальной системе
отсчета и для этого используем второй закон Ньютона, мы
фактически имеем дело с'системой тел, мы начинаем учиты-
учитывать воздействия других тел (или полей) на данное тело.
Если эти внешние по отношению к данному телу воздействия
попытаться связать с их источниками, то приходится учиты-
учитывать третий закон Ньютона.
Пусть, для примера, имеется система, состоящая из п
взаимодействующих 'тел. Будем считать ее замкнутой.
Составляя уравнение второго закона Ньютона для каждого
тела, мы приходим к системе уравнений
m2a2=F21+F23+., .+F2n, E.1)
Максимальное суммарное число слагаемых в правых частях
Ёсех уравнений этой системы будет равно п (п—1), т. е. будет
обязательно числом четным при любом п>1. Если в рас-
рассматриваемой системе тел какие-то пары тел взаимодейство-
взаимодействовать между собой не будут, то это приведет к исключению
149

из правых частей уравнений E.1) «парных» слагаемых (если,
например, F34=0, то и F43=0 и х. п ), но общее число слагае-
слагаемых все равно будет оставаться четным. Учитывая третий
закон Ньютона, в согласии с которым Fkm=—Fmkf и сум-
суммируя правые и левые части уравнений E.1), получаем урав-
уравнение
2
справедливое для любой замкнутой системы взаимодейст-
взаимодействующих тел в течение промежутка времени действия сил.
В этом можно усмотреть достаточно общее утверждение о
постоянстве, о сохранении некоторой функции: сумма про-
произведений масс тел на ускорения, получаемые от воздейст-
воздействий со стороны всех остальных тел*, для замкнутой системы
тел равняется нулю.
Уравнение E.2) не считают уравнением какого-то закона
сохранения, но можно обратить внимание на его общность.
Это уравнение справедливо для замкнутой системы/состоя-
системы/состоящей из любого числа тел. Взаимодействие между телами
системы может осуществляться силами любого типа (гра-
(гравитационными, силами упругости и силами трения), т. е.
система может быть как консервативной, так и неконсерва-
неконсервативной. Обстоятельствами, ограничивающими применимость
этого уравнения, являются: замкнутость системы тел, ис-
использование инерциальной системы отсчета и постоянство
массы каждого из тел системы.
Более детально воздействие на тело учитывается вторым
законом Ньютона в импульсной форме:
F At=m Av, E.3)
в которой отражен процесс действия силы во времени и тот
факт, что скорость тела (или его механическое состояние)
не может измениться мгновенно. Применение второго закона
Ньютона в форме E.3) к каждЬму из тел замкнутой системы
вместе с учетом третьего закона Ньютона приводит (тем же
путем, который был использован при получении уравнения
E.2)) к закону сохранения импульса:
п п
2 /fyv/ = const, или Д 2 /71,-v,. = 0.
t=l i = l
Общность этого закона связана не только с возмож-
возможностью применения его к замкнутым консервативным и це*
150

консервативным системам, но и с тем, что он позволяет учи-
учитывать изменение масс взаимодействующих тел или частей
одного тела, принимаемого за замкнутую систему. В связи
с этим уравнение закона сохранения импульса записывают
в виде
где п — число тел или частей системы, число частиц систе-
системы — может изменяться в результате происходящих взаимо-
взаимодействий. Общий характер и важность закона сохранения
импульса усматриваются еще и в том, что его значение вы-
выходит за рамки «обычной» механики, ибо он оказывается
справедливым при любых взаимодействиях (гравитацион-
(гравитационных, электромагнитных, ядерных и слабых).
Понятие импульса тела, введенное при учете действия
силы во времени, оказывается важным и при рассмотрении
поведения незамкнутых систем тел. Учитывая воздействия
внешних сил на отдельные тела системы, можно судить об
изменениях их импульсов, а значит, и об изменении сум-
суммарного импульса системы.
Импульс тела является функцией механического состоя-
состояния тела. В самом деле, импульс тела в данной инерциаль-
ной системе отсчета в данный момент времени однозначно
определяется скоростью движения тела независимо от того,
за счет чего эта скорость получена, изменялась ли она
ранее и будет ли изменяться в дальнейшем. Если за счет ка-
каких-то причин скорость тела изменяется, то тело переходит
в другое механическое состояние, которому соответствует
новое значение импульса. Импульс одиночного тела, не
взаимодействующего с другими телами и, значит, совершаю-
совершающего инерциальное движение, с течением времени не изме-
изменяется. Точно так же ведет себя суммарный импульс систе-
системы невзаимодействующих тел. При йаличии взаимодействий
между телами импульсы отдельных тел изменяются, но та-
таким образом, что суммарный импульс системы тел, которая
может быть представлен^ как замкнутая, снова сохраняется
с течением времени неизменным. Все это говорит о целесо-
целесообразности применения понятия импульса не только к от-
отдельным телам, но и к системам взаимодействующих тел,
причем суммарный импульс системы тел может также рас-
рассматриваться как функция механического состояния этой
системы.
151

Несмотря на все достоинства таких функций механиче-
механического состояния, как импульс тела или импульс системы
тел^ ^у этих функций имеется существенный недостаток:
они нёхртражают изменений механического состояния тела
или системы тел, связанных с изменением координат. А ведь
такие изменения практически всегда имеются. Получается
ситуация, похожая на ту, с которой мы столкнулись бы,
применяя к замкнутой системе взаимодействующих тел
уравнение E.2): при взаимодействии тел изменяются и коор-
координаты их расположения, и скорости их движения в вы-
выбранной инерциальной системе отсчета, но эти величины
явно не фигурируют в уравнении E.2), так что для опреде-
определения механического состояний тела после взаимодействия
пришлось бы воспользоваться какими-то дополнительными
уравнениями.
К возможности оценки изменения импульса тела как
одной из функций его механического состояния мы пришли,
введя физическую величину ? At — произведение силы на
промежуток времени ее воздействия на тело. Иногда эту
величину называют импульсом силы. Она оценивает послед-
последствия, к которым приводит воздействие силы на тело в те-
течение промежутка времени А/, и, следовательно, может
считаться мерой действия силы во времени, мерой изменения
импульса тела.
5.2. Работа силы
Еще одной мерой действия силы, но уже оценивающей
действие силы в пространстве, при учете изменения коорди-
координат движущегося тела, является физическая величина, на-
называемая работой силы. Если элементарное перемещение
тела равно Дгг и на тело при этом действует сила F, то
элементарная работа силы F определяется как
Ai4=FAr/cos(Ft Дг,). E.4)
Существенным здесь оказывается выбор такого малого век-
вектора перемещения Дг, (иногда его называют элементарным
перемещением точки приложения силы), в пределах кото-
которого сила F не успевает измениться ни по модулю, ни по на-
направлению.
Из такого определения элементарной работы следует,
что она может принимать как положительные, так и отри-
отрицательные значения. Работа силы положительна, если угол
между векторами силы F и элементарного перемещения Дг,
152

острый (при этом cos(F, Дг/)>0), и отрицательна, если этот
угол тупой (cos(F, Дг/)<0). He исключает определение E.4)
и значения работы, равного нулю. Это может иметь место в
трех случаях:
1) F=0 — никакая сила на тело не действует, и оно со-
совершает инерциальное движение;
_ 2) Аг~0 — несмотря на действие данной силы, тело не
перемещается (это, очевидно, возможно при наличии каких-
то иных сил, действующих на тело);
3) cos(F, Дг^О— сила, перпендикулярная к пере-
перемещению тела; работы не совершает.
Следует особо подчеркнуть, что перемещение тела Дг,-,
модуль которого входит в формулу E.4), вовсе не обязатель-
обязательно вызывается действием силы F! Это, например, отчетливо
проявляется в тех случаях, когда мы находим работу так
называемых сил сопротивления, которые никак не могут
способствовать перемещению тела в заданном направлении
(при Аг?>0 работа силы сопротивления FC оказывается от-
отрицательной из-за того, что cos (Fc, Дг/)<0). Следовательно,
выражение E.4) определяет элементарную работу силы F
независимо от того, под действием каких причин тело совер-
совершает перемещение Дг,.
Формула E.4) является исходной для введения единиц
измерения работы:
1 Дж=1 Н-1м (в СИ);
1 эрг=1 дин'1 см (в системе СГС).
Совпадение размерностей работы и момента силы имеет
формальный характер и не указывает ни на какую смысло-
смысловую связь этих (совершенно разнородных!) физических вели-
величин. Для того чтобы подчеркнуть это различие, единицу мо-
момента силы в СИ 1 Н«м не называют джоулем, а единицу
момента силы в системе СГС 1 дин-см не называют эргом.
Суммарную работу А силы F при перемещении тела из
положения ) в положение 2 можно найти суммированием
элементарных работ ДЛ на всех п элементарных перемеще-
перемещениях Аг/Г
A = 2f АОcos(F» Ar/)- E.5)
Подсчитать такую сумму в самом общем случае без привлече-
привлечения высшей математики не удается. Поэтому мы остановимся
на рассмотрении только тех частных случаев, которые пред*
ставляют интерес в задачах элементарного курса физики,
J53

Случай I. Тело, которое может быть принято за мате-
материальную точку, движется по произвольной траектории 1—
2, и на него действует сила F, неизменная по модулю и по
направлению (рис. 5.1).
Формула E.5) для этого случая упрощается, так как из-
под знака суммы может быть вынесен постоянный множи-
множитель F:
2
^9 Дг,).
Легко показать, что сумма в этом выражении представляет
собой проекцию Ar12jF суммарного вектора перемещения
Дг12 на направление действующей силы F:
2 Ar,cos(F, Дг,) =
i
= Дг12 cos a = Arl2,F'
Таким образом, суммарная
работа силы F может быть
выражена как
A=F&rlttP, E.6)
Рис. 5.1.
т. е. она равна произведению модуля силы на проекцию сум-
суммарного вектора перемещения Krl2jF.
Если учесть, что F&r12 cosa=F&r,itAri29 где F&rA2 —
проекция вектора силы F на направление суммарного' век-
вектора перемещения Дг12, то работа может быть подсчитана и
по формуле
А = Рьг,1ъ/Иг1Ъ. E.7)
Фррмулы E.6) и E.7) позволяют определить суммарную
работу постоянной силы F и в тех случаях, когда движение
тела происходит по той же траектории, но с изменением
направления скорости на противоположное. Так, если тело
перемещается сначала из пункта 1 в пункт 2, а затем изме-
изменяет направление движения и достигает пункта 3 (рис. 5.1),
то суммарная работа Л13 силы F будет равна
Случай II. Точка приложения силы перемещается по
произвольной траектории /—2 (рис. 5.2), вектор силы F
J54

имеет неизменный модуль F и в любой точке траектории
составляет один и тот же угол а с вектором элементарного
перемещения Дг,.
Формула E.5) для этого случая снова упрощается, так
как множители F и cos(F, Дг,-) оказываются постоянными:
,2
Л^/^соэа^До. E.8)
Обратите внимание на то, что в случае криволинейной траек-
траектории движения тела (или точки приложения силы) сумма
в выражении E.8) представляет собой не модуль Дг12 сум-
суммарного вектора пере-
перемещения Дг12, а суммар-
суммарный путь S12, пройден-
пройденный телом!
Таким образом, в
рассматриваемом случае
суммарная работа опре-
определяется произведением
A=FXS12J E.9)
причем FX=F cosa является проекцией силы F на направле-
направление элементарного вектора перемещения и остается постоян-
постоянной для каждой точки траектории.
Формулами E.8) и E.9) можно пользоваться и в тех слу-
случаях, когда тело по той же траектории движется в обратную
сторону: например, достигнув пункта 2, тело по дуге 2—3
перемещается в пункт 3 (рис. 5.2). Но так как при получе-
получении формулы E.8) угол а считался постоянным, то и при
возвращении тела сила F должна по-прежнему составлять
с вектором элементарного перемещения угол а, т. е. в ка-
какой-то промежуточной точке на дуге 2—3 сила должна быть
направлена так, как показано пунктиром на рис. 5.2. Сум-
Суммарная работа силы F на пути S123 будет равна ^i23=/vSi23-
В отличие от случая I, где вектор силы F оставался неиз-
неизменным и «безучастным» к форме траектории, в случае II
вектор силы как бы следит за формой траектории, оставаясь
неизменным только по модулю.
Понятно, что расчет суммарной работы силы в случаях
1 и II упрощается, если тело движется по прямолинейной
траектории. Еще более просто рассчитать работу, если тра-
траектория движения тела прямолинейна и рассмотренные
выше углы а равны нулю или я радиан.
155

Случай III. Тело малых размеров движется по криво-
криволинейной траектории 1—2. На тело действует сила F, зави-
зависящая от его координат и всегда направленная к началу от-
отсчета координат О (рис. 5.3).
С такими задачами мы встречаемся, если на движущееся
тело действует, например, сила упругости,, пружины (один
конец пружины прикрепленг к телу, а другой — к неподвиж-
неподвижной точке О) или сила тяготения (точка О при этом совпадает
с центром Земли).
Сложность расчета работы в подобных случаях заклю-
заключается в том, что в правой части формулы E.5) все величины
оказываются переменными. Положение спасает довольно
простая зависимость модулей двух указанных видов сил от
модуля г радиус-вектора точки нахож-
нахождения тела, на которое они действуют:
Fm = k(r-l0), E.10)
недеформированной
где 10 — длина
пружины, и
E.11)
Еще одно упрощающее обстоятель-
обстоятельство возникает в связи с тем, что ра-
работа силы упругости и работа силы
тяготения (как и работа некоторых
других сил, зависящих от коорди-
координат, например сил электростатического взаимодействия) не
зависят от формы траектории тела, на которое они действу-
действуют, а определяются лишь координатами начального и ко-
конечного положений тела в выбранной системе отсчета.
В задачах, подобных той, схема которой изображена на
рис. 5.3 (когда направление вектора силы все время прохо-
проходит через начало отсчета координат), работа зависит не от
радиус-векторов начального и конечного положений тела
(гх и г2) и углов их ориентации, а только от разности их моду-
модулей (r2— /*i), т. е. от разности расстояний конечной и началь-
начальной точек от начала отсчета координат.
Подчеркивая это важное свойство, силы, работа которых
зависит от координат начального и конечного положений
тела и не зависит от формы траектории тела, называют кон-
консервативными или потенциальными силами. Работа таких
сил при перемещении тела по замкнутой траектории всегда
равна нулю.
15а

Если зависимости E.10) и E.11) представить графически
(рис. 5,4 а и б) и учесть только что отмеченное свойство ра-
работы силы упругости и силы тяготения, то станет ясным, что
работе силы упругости при перемещении тела из положения
/ в положение 2 (на рис. 5.3) соответствует площадь трапе-
трапеции, заштрихованной на рис. 5.4, а, а работе силы тяготе-
тяготения — площадь заштрихованной криволинейной трапеции
на рис. 5.4, б.
Можно показать (для силы тяготения это достаточно про-
просто выполнить графически), что средние значения модулей
(F) и (FTST) ср на интервале расстояний г2—гг равны
сил
Ср
' упр/ ср
\* тяг/ ср^
2-
E.13)
После этого получить формулы для расчета работы двух
указанных видов- сил не составляет большого труда:
E.15)
¦"тяг — *
утМ3
2
Появление знаков минус в формулах E.14) и E.15) не-
неизбежно. В рассматриваемом примере (рис. 5.3) г2<ги или
r2— fi<0, но сила упругости или сила тяготения совершают
положительную работу (тело приближается к точке О).
Если бы тело удалялось от начала отсчета координат
О (т. е. Г2>/1 и г2— /i>0), то сила упругости или сила тяго-
тяготения совершали бы отрицательную работу,
157

5.3. Теорема о кинетической ^энергии. Работа силы
как мера изменения кинетической энергии тела
Тело, движущееся в данной инерциальной системе от-
отсчета, может, как уже отмечалось, изменять свое механиче-
механическое состояние так, что при этом изменяются координаты
тела, но вектор его скорости остается постоянным. Если же
на движущееся тело действует сила, то в общем случае из-
изменение его механического состояния будет таким, что на-
наряду с координатами будет изменяться и скорость тела Мы
уже говорили о том, что импульс силы, действующей на тело,
позволяет оценивать изменения такой важной функции ме-
механического состояния, как
импульс тела (mv). Работа си-
силы оказывается связанной с
* а^.У* V 'О > изменением некоторой дру-
0* II F^T 2 t X гой функции механического
р 5 5 состояния тела.
ис" " ' Пусть тело неизменной мас-
массы т перемещается прямоли-
прямолинейно из положения 1 в положение 2 вдоль положительного
направления координатной оси ОХ какой-то инерциальной
системы отсчета (рис. 5.5) в течение промежутка времени
Д^. На тело действует постоянная сила F, составляющая с
направлением перемещения угол а. Скорости движения тела
в положениях 1 и 2 равны \г и v2.
Первое уравнение системы A.18) для данного случая
можно записать в виде
Л д, , ax(&tJ
Ах = vlx At + *v2 ,
откуда, учитывая заданное направление движения, получаем
a a j. . а (
причем на основании второго закона Ньютона
Fx F cos a
т т *
так как ускорение тела вдоль рассматриваемого направле-
направления движения обеспечивается не силой F, а только ее со-
составляющей F*. Следовательно,
(ДО2
15S

Подставим в это уравнение выражение для А/, определенное
по изменению импульса движущегося тела:
Fx At = mv2—mvly Fx At = mv2x—mvlx,
д __ mv2 — mv1 . F cos a (tnv2 —
~~ Vl F cos a "•" 2m (F cos aJ '
откуда после несложных преобразований получаем
FAxQosa^^- — -^ . E.16)
Видно, что левая часть полученного выражения представ-
представляет собой суммарную работу А силы F при перемещении
тела на Ал: из положения 1 в положение 2. На основании
определения механического состояния, которое было дано
выше, дроби в правой части выражения E.16) являются
функциями механического состояния рассматриваемого тела
в конечном и начальном положениях, зависящими только
от массы тела и от квадратов скоростей тела в этих положе-
положениях. Физическая величина
WK=^f E.17)
называется кинетической энергцей тела. Уравнение E.16)
теперь может быть записано в более краткой форме:
у4 = W W - E.18)
К2 КХ \ /
ИЛИ
A = AWK> E.19)
т. е. работа силы, действующей на тело, равна изменению
кинетической энергии этого тела. В этом утверждении и за-
заключается смысл теоремы о кинетической энергии.
На основании E.16) заключаем, что кинетическая энер-
энергия тела возрастает, если действующая на него сила имеет
составляющую, совпадающую с направлением его перемеще-
перемещения. Если сила имеет составляющую, направленную проти-
противоположно перемещению тела, то кинетическая энергия
тела уменьшается. Наконец, если сила перпендикулярна к
перемещению тела (или сила вовсе отсутствует), то его ки-
кинетическая энергия изменяться не будет.
159

Очень часто приходится встречаться с ошибочным ут-
утверждением о том, что работа силы трения всегда отрицатель-
отрицательна и, следовательно, при воздействии силы трения кинетиче-
кинетическая энергия тела уменьшается. Однако это справедливо
только в тех случаях,.когда сила трения является-силой со-
сопротивления, силой, препятствующей движению тела в за-
заданном направлении (этому соответствует случай II на стр.
154, 155 при а=я радиан). В некоторых задачах работа
силы трения положительна и воздействие силы трения на
тело приводит к увеличению его кинетической энергии.
Можно привести"такой пример: на неподвижную тележ-
тележку положим брусок и будем тянуть -его по поверхности те-
тележки. Если сила трения, действующая со стороны бруска
на тележку, будет больше си-
силы трения, действующей на
колеса тележки, то тележка
покатится, значит, сила тре-
трения, действующая со стороны
бруска на тележку, совершит
положительную работу.
Иногда возникает вопрос:
не усложнится ли выражение
E.16), если направление пе-
перемещения тела не будет сов-
совпадать с координатной осью?
Такой более общий случай представлен на рис. 5.6. Чита-
Читатели, мы надеемся, смогут самостоятельно показать, что
при проецировании уравнений
Ar = VlA* + ±^t E.20)
FrAt=mv2—mv1 E.21)
на направление вектора перемещения тела Аг можно полу-
получить уравнение, аналогичное уравнению E.16):
^~^L» E.22)
где работа определяется модулем действующей силы, моду-
модулем перемещения тела в заданном направлении и косинусом
угла между векторами F и Аг.
Но получим ли мы уравнение E.22), если уравнения
E.20) и E.21) будем проецировать не на направление век-
160

тора Дг, а, например, на координатную ось ОХ? Приведем
соответствующие выкладки без подробных пояснений. Прое-
Проецируем уравнение E.20) наг ось ОХ:
, или
причем
(Обратите внимание на то, что в числителе последней дроби
стоит F cos a cos р, a не F cos (а+Р).)
Проецирование уравнения E.21) на ось ОХ дало бы
FrxAt=mv2x—mvlx,
на основании чего
откуда
F cos a cos
Теперь имеем
Лу
п роч ft mt
Р At = /пу2 cos р —mvx cos p,
д, mv2—ти±
" F cos а *
'2 — fnv1 . F cos а соь р (ту2 — т^J
cos а myf /nyf
coTp
но поскольку Дат/cos P—Ar, получаем и для этого случая
уравнение, полностью совпадающее с уравнением E.22).
Универсальность уравнения E.22), его независимость от
выбора направлений координатных осей вытекает, конечно,
из определений E.4) и E.17)> в согласии с которыми и рабб-
та, и кинетическая энергия являются скалярныйи физи-
физическими величинами, не зависящими от расголожения коор-
координатных осей выбранной инерциальной системы отсчета.
В частности, следует подчеркнуть, что работа зависит от
угла между вектором силы и вектором перемещения, а не
от угла между вектором силы и координатйой осью.
В уравнениях E.16), E.18), E.19) и E.22) работа силы
выступает как мера изменения кинетической энергии тела,
6 Ю. А. Селезнев 161

на которое эта сила действует. Значение кинетической энер-
энергии тела WK зависит от выбора системы отсчета и при пере-
переходе к другой инерциальной системе отсчета может
измениться. В этом смысле кинетическая энергия тела оказы-
оказывается величиной относительной. Но изменение кинетиче-
кинетической энергии AWK данного тела на данном перемещении под
воздействием данной силы в любой инерциальной системе
отсчета будет одним и тем же. Этот факт подтверждает, что
кинетическая энергия является функцией механического
состояния тела.
5.4. Потенциальная энергия. Закон сохранения
механической энергии замкнутой консервативной системы
взаимодействующих тел
С замкнутыми консервативными системами в механике
элементарного курса физики мы встречаемся, когда взаимо-
взаимодействие между телами системы осуществляется силами уп-
упругости или силами тяготения.
Вернемся к рие. 5.3, на котором представлена схема та-
такого взаимодействия. Пусть в точке О находится одно из тел
системы, его мы примем за тело отсчета и свяжем с ним
инерциальную систему отсчета. Второе тело системы, кото-
которое может быть принято за материальную точку, имеющую
массу т, перемещается из положения 1 в положение 2. Не-
Невесомая пружина с коэффициентом упругости *k является
посредником взаимодействия между двумя указанными те-
телами. Формулу E.14) для расчета работы силы упругости
можно преобразовать следующим образом:
ЛупР = - №) (^-21^ + ^-^ + 21^-^) =
= -(k/2) [(rt-2l0r2 + 11)-(г1-210гг + /*)] -
Если деформации пружины (rt—/0) и (г2—/0), соответствую^
щие начальному и конечному положениям перемещающего-
перемещающегося тела, обозначить через Д/а и Д/2, то работа силы упругости
будет равна
E.23,
Величину
Га=^ E.24)
162

называют потенциальной энергией системы тел, взаимодей-
взаимодействие между которыми осуществляется силами упругости
(иногда ее называют потенциальной энергией упругого взаи-
взаимодействия). На основании E.23) и E.24) получаем
ЛпР = -(^п2-^п1), E.25)
или
Лупр = -Д1Гп, E.26)
т. е. работа силы упругости равна изменению потенциаль-
потенциальной энергии системы взаимодействующих тел, взятому с
обратным знаком. («Изменение» здесь, как и во всех других
случаях, когда не дается дополнительных уточнений, имеет
смысл разности между конечным и начальным значениями
изменяющейся величины.)
Таким образом, потенциальная энергия упругого взаимо-
взаимодействия оказывается функцией механического состояния
системы. При переходе системы из одного состояния в дру-
другое ее потенциальная энергия изменяется, и это изменение
равно работе силы упругости.
Поскольку энергия, определяемая формулой E.24),
не зависит от того, какие именно тела связаны данной пру-
пружиной, эту энергию часто называют потенциальной энергией
пружины. При отсутствии внешних воздействий сама пру-
пружина может считаться системой взаимодействующих частиц
(частей, слоев или витков), относительное расположение
которых задается обычно смещением одного конца пружины
в системе отсчета, связанной с другим ее концом. Иногда
говорят о потенциальной энергии одиночного тела (напри-
(например, тела с массой т)< находящегося в том или ином положе-
положении относительно другого тела (тела в точке О на рис 5.3),
принятого в качестве тела отсчета. Но независимо от ис-
используемой терминологии потенциальная энергия всегда
имеет смысл физической величины, зависящей от относи-
относительного расположения взаимодействующих тел или час-
частиц. Одно из тел (или одна из частиц) системы при этом
принимается за тело отсчета и с ним связывается система
отсчета. Выбор начала отсчета координат (смещений, дефор-
деформаций или нулевого уровня отсчета потенциальной энергии)
производится из соображений удобства и простоты. В нашем
примере за начало отсчета координат могла'быть принята
не только точка О закрепления неподвижного конца пру-
пружины или точка, в которой находился другой конец пружи-
пружины, когда пружина не была деформирована, но и любая
другая.
6* 163

Если на рассматриваемую систему тел никакие другие^
силы, кроме внутренних сил упругого взаимодействия, не
действуют, то работа сил упругости определяет изменение
потенциальной энергии системы в согласии с E.25). С дру-
другой стороны, на основании теоремы о кинетической энергии
эта же работа определяет изменение кинетической энергии
тела с массой т в системе отсчета, связанной с телом, нахо-
находящимся в точке О. Таким образом, можно написать, что
**К2 **к1 ==: 1^112 ^п!/»
ИЛИ
WK2 + ^п2 = ^Ki + ^ni = const. E.27)
Поскольку в рассматриваемой нами системе взаимодейст-
взаимодействующих тел одно из тел выбрано в качестве тела отсчета,
величины WK2 и WKl могут считаться не только кинетиче-
кинетическими энергиями перемещающегося тела с массой т, но и
кинетическими энергиями всей системы в двух различных
механических состояниях.
Сумму кинетической и потенциальной энергий системы
тел называют механической энергией этой системы:
Следовательно, уравнение E.27) является выражением
закона сохранения механической энергии для замкнутой сис-
системы тел, взаимодействие между которыми осуществляется
силами упругости.
Важнейшим свойством механической энергии Ц7М замк-
замкнутой консервативной системы тел является ее сохранение
при переходе системы из одного механического состояния в
другое (при этом кинетическая энергия может возрастать
за счет убыли потенциальной, и наоборот). Механическая
энергия оказывается более общей функцией механического
состояния системы тел по сравнению с импульсом этой сис-
системы, ибо механическая энергия зависит не только от ско-
скоростей тел системы в выбранной инерциальной системе от-
отсчета, но и от относительного расположения взаимодейст-
взаимодействующих тел.
Примером замкнутой системы, взаимодействие в которой
осуществляется только силами упругости, может служить
горизонтальный пружинный маятник, изображенный на
рис. 2.16 (стр. 114). Если коэффициент упругости пружины
равен ky а масса тела, прикрепленного к ее концу, равна т,
то, воспользовавшись уравнениями A.26) и A.27), можно
164

получить выражения для потенциальной и кинетической
энергии такого маятника к концу промежутка времени At
от начала отсчета времени:
E.28)
. E.29)
Учитывая, что в данном случае имеют место свободные не-
незатухающие колебания (циклическую частоту таких коле-
колебаний мы ранее обозначали через соо), и вспоминая формулу
B.11), получаем
Wn ^\kA* sin2 (соо Дг + Ф0), E.30)
WK =1М2 cos2 (coo A/ + Фо). E.31)
Суммируя эти уравнения, убеждаемся, что механическая
энергия пружинного маятника, совершающего гармониче-
гармонические колебания, для любого момента времени указывается
величиной постоянной:
= 1 kA* [Sin2К Д^ + фо) + СО52@о А^ + Фо)] =
\\\ E.32)
Механическая энергия пружинного маятника зависит лишь
от его характеристик (k или т) и от начальных условий (от
этих условий, как мы помним, зависит амплитуда А смеще-
смещения маятника). Обращает на себя внимание и еще одна ха-
характерная особенность: для пружинного маятника, совер-
совершающего гармонические колебания, величины Wn, WK и WM
пропорциональны квадратам амплитудных значений смеще-
смещения (Л2) или скорости (ос^Л2).
В качестве второго примера замкнутой консервативной
системы рассмотрим систему, состоящую из земного шара
(будем считать, что в точке О на рйс. 5.3 расположен его
центр масс) и тела массы т, перемещающегося из положения
/ в положение 2, причем точки 1 и 2 располагаются над по*
верхностью Земли {г?>Яз и г2>#з). На основании E.15)
имеем
165

Для рассматриваемой системы взаимодействующих тел ве-
величину
В7п==_т^з E34)j
называют потенциальной энергией гравитационного взаимо-
взаимодействия. Расстояние г в этой формуле отсчитывается от
центра масс земного шара.
Учитывая E.33) и E.34), заключаем, что работа силы
тяготения равна изменению потенциальной энергии взаимо-
взаимодействия тела с массой т и Земли, взятому с обратным
знаком:
ATiir = -(Wa2-Wnl)9 E.35)
или
ЛТЯГ^-ДН7П, E.36)
т. е. здесь мы опять встречаемся с ситуацией, аналогичной
той, которая имела место при взаимодействии тел замкну-
замкнутой системы посредством сил упругости. Потенциальная
энергия и в этом случае оказывается функцией механиче-
механического состояния.
На основании E.35) и теоремы о кинетической энергии
снова приходим к выводу о выполнимости закона сохранения
механической энергии и в этом случае:
№к2 + Wn2 - WK1 + Wnl = const,
или
WK2=WM1 = const.
Строго говоря, при перемещении тела массы т из поло-
положения / в положение 2 земной шар из-за взаимодействия с
этим тел'ом тоже изменяет свое местоположение и скорость
своего движения, но эти изменения оказываются практиче-
практически неощутимыми, что и позволяет проводить расчеты в не-
неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с зем-
земным шаром. При этом условии допустимо считать величину,
определяемую формулой E.34), потенциальной энергией
тела с массой т, находящегося в поле тяготения Земли на
расстояние г от ее центра или на высоте Н над ее поверх-
поверхностью (тогда r=R3+H).
Поскольку потенциальная энергия гравитационного вза-
взаимодействия (так же как и потенциальная энергия упругого
взаимодействия) зависит от относительного расположения
взаимодействующих тел, а ее изменение — от изменения их
166,

относительного расположения, нулевой уровень отсчета по-
потенциальной энергии системы тел (или одиночного тела в
системе отсчета, связанной с Землей) может выбираться про-
произвольно. При перемещении тела с массой т в поле тяготе-
тяготения Земли из одного произвольного положения /, находя-
находящегося на высоте Нг над поверхностью Земли, в другое
произвольное положение 2 на высоте Н2 изменение потен-
потенциальной энергии равно
Wni-Wttl ^-v^+Vt5. E.37)
Г2 Г1
Если считать, например, что в положении 2 тело находится
на поверхности Земли (#2=0 или г2=/?з), и условно принять
потенциальную энергию тела в этом положении равной нулю
(Wn2=0), то на основании E.37) получим
О—W — vmMa 1 у тМз
или
Поскольку положение 1 — это произвольно выбранное по-
положение тела в поле тяготения Земли, индекс 1 в последнем
уравнении можно опустить:
H E.38)
По этой формуле можно найти потенциальную энергию тела
с массой т, находящегося на высоте Н над поверхностью
Земли, если потенциальная энергия тела на поверхности
Земли принимается равной нулю. Обращаем внимание на
то, что формула E.38) справедлива только при этом «если»!
Отметим попутно, что известная формула для расчета
потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли
Wn = mgH E.39)
является следствием формулы E.38) для некоторых частных
случаев. С учетом D.4) формулу E.38) можно представить
в виде
_ mgR23H _
W
рткуда получается выражение E.39), если только величиной
Н можно пренебречь в знаменателе по сравнению с /?з» т- е.
при условии H<^R3.
167

Заметим, что, задаваясь вопросом, нельзя ли чем-нибудь
пренебречь, довольно часто удается найти путь упрощения
того или иного выражения. При этом всегда нужно огова-
оговаривать условия возможности таких упрощений и условия
применимости упрощенных выражений.
Часто бывает удобным считать потенциальную энергию
гравитационного взаимодействия тела с Землей равной нулю
не при расположении тела на поверхности Земли, а при его
нахождении на бесконечно большом расстоянии от Земли.
Тогда, подставляя в (S.37) гг=оо и Wnl=Q и учитывая, что
r2=R3 +#2, получаем
W = у тМз
или, снова опуская индексы из-за произвольности выбора
положения 2,
^ E.40)
По этои^формуле также можно найти потенциальную энер-
энергию тела, находящегося на высоте Я над поверхностью Зем-
Земли, но только при условии, что за нуль принимается потен-
потенциальная энергия тела на бесконечно большом расстоянии
от Земли. Когда принимается это условие, потенциальная
энергия тела в различных точках поля тяготения Земли бу-
будет величиной отрицательной. При удалении тела от поверх-
поверхности Земли его потенциальная энергия будет увеличивать-
увеличиваться, оставаясь отрицательной, т. е. модуль значения потен-
потенциальной энергии будет уменьшаться.
Рассматривая в элементарном курсе физики замкнутые
консервативные системы, взаимодействие между телами ко-
которых осуществляется силами тяготения, мы ограничиваем-
ограничиваемся только оценкой взаимодействия различных тел с Землей.
При этом неподвижная инерциальная система отсчета свя-
связывается с Землей, т. е. кроме движений земного шара-; вы-
вызванных перемещением взаимодействующих с ним тел, мы
пренебрегаем и вращательным движением Земли вокруг
собственной оси и вокруг Солнца. В таких условиях можно
пренебречь отличием силы тяжести Р какого-то тела от силы
тяготения FTJII;, действующей на него со стороны Земли, и
можно говорить не о работе силы тяготения, а о работе силы
тяжести.
Задача. Шарик с массой т движется по желобу, имеющему форму
«мертвой петли» (рис. 5.7). С какой наименьшей высоты должно начаться
движение шарика2 чтобы он все время касался желоба? Пренебрегая
168

силами сопротивления движению шарика, определить силу его воздей-
воздействия на желоб в точке 2. Радиус, проведенный в эту точку, составляет
с вертикалью угол а.
Будем решать задачу в неподвижной инерциальной системе отсче-
отсчета, связанной с Землей.
Пусть шарик начинает двигаться из положения 7, находящегося
на высоте Я от нижней точки петли N. Наименьшее значение Я найдем
из условия безотрывного движения шарика по желобу в верхней точке
петли 3. Если шарик перестанет касаться желоба в этой точке, то пре-
прекратится взаимодействие между шариком и желобом. Необходимое для
. V/////7////////////////////////////////
Рис. 5.7.
движения по криволинейной траектории нормальное ускорение будет со-
сообщаться шарику только силой тяжести Р, и уравнение второго закона
Ньютона для шарика может быть записано в виде
откуда, проецируя на вертикальную ось координат и переходя к моду-
модулям, имеем
mg=mas. (a)
Если радиус окружности петли равен R, а модуль скорости движения
шарика в точке 3 равен v3i то a^=v\IRt и с учетом (а)
vl=gR. (б)
Отсюда можно было бы определить модуль v3 скорости движения шари-
шарика в точке 5, но нам нужно выразить v3 через высоту Я. Эту связь полу-
получим, используя закон сохранения механической энергии.
Мы имеем дело с замкнутой системой трех взаимодействующих тел:
шарик,- желоб и Земля. Землю мы приняли в качестве тела отсчета и по-
поэтому не будем интересоваться изменением ее механической энергии.
Изменение механической энергии желоба также может быть исключено
из рассмотрения. Желоб неподвижен в выбранной системе отсчета и не
деформируется, значит, его кинетическая энергия равна нулю и не
изменяется; кроме того, не изменяется потенциальная энергия его гра-
гравитационного взаимодействия с Землей и потенциальная энергия упру-
упругих взаимодействий. В этих условиях можно говорить о сохранении ме-
механической энергии одного только шарика.
В данном случае потенциальную энергию гравитационного взаимо-
взаимодействия шарика с Землей удобно принять равной нулю^при нахождении
шарика в нижней точке петли N.
169

Кинетическая энерия шарика в положении / равна нулю: №к1=0.
Потенциальная энергия Wn\ в согласии с E 39) равна Wnl=mgH. По-
Поэтому Wui^tngH.
В положении 3 шарик движется, т. е. WKZ—mv\l2l и находится на
высоте 2R над точкой Nt т. е. Wn3=mg2R. Тогда
то\
В согласии с законом сохранения механической энергии должно
выполняться равенство №Mi=WM3, или
откуда
vl
С учетом (б) получаем
#=2,5#. (г)
При значениях Я, меньших определяемого формулой (г), шарик
или оторвется от желоба в точке 5, или не достигнет ее.
Теперь нам известны характеристики начального состояния систе-
системы, и вторая, динамическая часть задачи о взаимодействии шарика с же-
желобом в точке 2 решается с помощью законов Ньютона. Правда, и здесь
закон сохранения механической энергии вносит свой вклад.
В точке 2 на шарик действуют две силы: сила тяжести Р, направ-
направленная вертикально вниз, и сила реакции желоба F2, направленная
вдоль радиуса к центру окружности О. Проецируя уравнение второго
закона Ньютона
P+F2=ma8
на направление радиуса 2—О, имеем v
?п + F*n = т^2и» или Р cos a+F2 = ma2nt
и, поскольку а2п =vl/Ry
mg cosа + /72=-?-. (д)
Вторая часть задачи будет решена, если мы определим F2i так как
искомая сила воздействия шарика на желоб в согласии с третьим зако-
законом Ньютона равна F2. Направлена искомая сила вдоль радиуса от
центра окружности, т. е. противоположно направлению силы F2.
Величину v2 выразим из равенства механической энергии шарика в
положениях 1 и 2. Ясно, что
и
Wn2 = mg (R+ OK) = mg (R + R cos a) = mgR A + cos a);
тогда
2=-~^+mgR A + cos a).
17D

Но так как №Ml=mg#? то
2
^ + cosa),
откуда
v\ = 2g# — 2g/? A + cos a). (e)
Из (д) и (е) получаем
Р%=Щ- BH-2R-3R cos a).
Если ввести в это уравнение найденное ранее условие (г) безотрывного
движения шарика (или условие скатывания с наименьшей необходимой
высоты), получаем окончательный результат:
/V=3mg (I—cos a). (ж)
Условие равенства размерностей левой и правой частей этого выражения
выполняется, так как в скобки заключена разность безразмерных
величин.
Формула (ж) является универсальной для определения силы воз-
воздействия шарика на желоб в любой точке петли. Применение ее для
точки 3 должно давать равное нулю значение силы воздействия со сто-
стороны желоба на шарик (или со стороны шарика на желоб) в согласии с
использовавшимся условием определения наименьшей высоты скатыва-
скатывания. Подставляя в (ж) а=0, легко в этом убедиться.
Анализируя формулу (ж), приходим к выводу, что наибольшая сила
будет действовать на желоб в точке N. Для этой точки а=я радиан и
F6
g
В пределах петли шарик движется по окружности неравномерно.
Составляющая Рх силы тяжести шарика является причиной изменения
модуля его скорости. Из рисунка видно, что Px=mg sin a. Таким об-
образом, модуль тангенциального ускорения шарика изменяется по зако-
закону синуса:
ах
^ _mg sin a
—— ¦ —— ~~~ t? от чл«
Задача. Часто приходится слышать, что так называемая вторая
космическая скорость приблизительно равна 11,2 км/с. Второй косми-
космической скоростью называют (без каких-либо дополнительных уточнений)
скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы покинуть Землю,
«оторваться» от земного притяжения и сделаться спутником Солнца.
А может ли тело покинуть Землю, если его скорость равна, например,
1 км/с?
Чтобы получить общее^выражение для второй космической скоро-
скорости, удобно воспользоваться формулой E.40). Оговорка, сделанная при
.выводе этой формулы относительно выбора начала отсчета потенциаль-
потенциальной энергии тела в бесконечности, теперь приобретает для нас особенно
важное значение.
Если тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли^
то оно практически уже не взаимодействует с Землей и, если даже это
тело ничем не поддерживается, оно не упадет на Землю При этом потен-
потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела с Землей равна
171

нулю. Если, кроме того, в инерциальной системе отсчета, связанной
с Землей, тело неподвижно, то его кинетическая энергия также равна
пулю и, следовательно, равна нулю механическая энергия тела. Нахо-
Находясь в «оторванном» от Земли состоянии, тело, конечно, может и дви-
двигаться с какой-то скоростью. Если вектор этой скорости не направлен
к Земле, вновь не будет причины для падения тела на Землю, но его ме-.
ханическая энергия в этом случае будет положительной (если кинети-
кинетическая энергия не равна нулю, то она не может быть отрицательной).
Такие же условия, оказывается, имеют смысл и для конечных рас-
расстояний тела от Земли. Потенциальная энергия в этих случаях будет
отрицательной, но, чтобы тело не вернулось на Землю, -его механиче-
механическая энергия должна быть или равной нулю, или положительной. Это
возможно, если тело не покоится, а движется с какой то скоростьк^
не направленной в сторону Земли. Тогда
ти2 тМ3
Минимальная скорость тела, при которой выполняется равенство
абсолютных значений кинетической и потенциальной энергий тела в
точке запуска, и считается второй космической скоростью vK2. (Большие
скорости движения, соответствующие условию WK>\Wn\s конечно,
также приведут к освобождению тела от земного притяжения ) Найдем
эту скорость из условия
которое с учетом (? 4) можно переписать в виде
откуДа
Сравнивая первую и вторую космические скорости, замечаем, что
они отличаются в У 2 раз и не зависят от массы тела. Вторая космиче-
космическая скорость также зависит от высоты расположения точки запуска:
значение г;к2^11,2 км/с справедливо только для случая #=0,т. е. для
запуска с земной поверхности.
Нас могут спросить: все известные космические корабли стартова-
стартовали с поверхности Земли; зачем же нужны значения второй космической
скорости, отличные от 11,2 км/с? Чтобы ответить на этот вопрос, обратим
внимание на то, что точкой запуска мы назвали такую точку в околозем-
околоземном пространстве, в которой тело дбстигает скорости, достаточной для
освобождения от земного притяжения. Эта скорость зависит от высоты
расположения точки запуска над поверхностью Земли. Если мы хотим,
чтобы тело потеряло связь с Землей, начиная двигаться из любой точки
на ее поверхности, нужно сообщить этому телу скорость, равную
11,2 км/с. Если же мы сперва поднимем тело (неважно, за счет чего
и как) на какую-то высоту, перемещая его даже с очень малой скоростью,
и только там будем сообщать ему скорость, необходимую для освобож-
172

дения от земного притяжения2 то эта скорость может быть меньше^ чем
11,2 км/с.
Осуществлять движение тел со скоростями в несколько километров
в секунду вблизи земной поверхности — задача очень трудная. При дви-
движении с такими скоростями в плотных слоях атмосферы возникают ко-
колоссальные силы вязкого трения, которые могут привести к резкому
повышению температуры и даже к сгоранию аппарата или корабля, если
не принимаются специальные меры тепловой защиты. Поэтому выгодно
с малой скоростью преодолеть плотные слои атмосферы, поднять тело
до высоты разреженных ёлоев и только там сообщить ему первую или
вторую космическую скорость.
На основании формулы для определения второй космической ско-
скорости нам должно быть теперь понятно, что и скорость в 7,93 км/с
может быть достаточной для отрыва тела от Земли, если только такую
скорость тело имеет не у земной поверхности, а на высоте H—R3 от нее.
Предложенная по условию задачи скорость (v—l км/с) в принципе
может стать второй космической скоростью, если только тело обладает
ею на высоте Hi от земной поверхности, определяемой из уравнения
Разрешая его относительно Н±у получаем
Выражение в скобках безразмерно и равно приблизительно 125г т. е.
Нх « 125/?з « 800 000 км.
Телу, доставленному любым способом на такую высоту, достаточно
сообщить скорость, равную всего лишь 1 км/с, чтобы оно при дальней-
дальнейшем движении смогло удалиться на бесконечно большое расстояние от
Земли, преододев ее притяжение.
5.5. Энергия поля тяготения
Когда мы рассматривали замкнутую систему тел, взаи-
взаимодействие между которыми осуществлялось силами упру-
упругости, мы фактически имели дело с системой трех тел. Треть-
Третьим телом системы была пружина, являвшаяся посредником
взаимодействия между двумя другими телами. При этом бы-
было отмечено, что, используя представление о потенциальной
энергии, можно говорить или о потенциальной энергии сис-
системы взаимодействующих тел, или о потенциальной энергии
одного из тел в системе отсчета, связанной с другим телом,
при учете .характера взаимодействия между ними, или, на-
наконец, о потенциальной энергии одной только пружины как
посредника взаимодействия. Аналогичный подход мы ис-
использовали и при анализе замкнутой системы тяготеющих
1*3

тел. Энергия, ^определяемая формулой E.34), имеет смысл
для системы взаимодействующих тел, выражения E.38) —
E.40) с учетом соответствующих оговорок позволяют нахо-
находить потенциальную энергию тела с массой т в той или иной
точке поля тяготения Земли. Но можно ли и в этом случае
говорить об энергии посредника взаимодействия, которым
является не третье тело системы, а поле тяготения? Оказы-
Оказывается, можно. Поле тяготения, так же как и «вещественная»
разновидность материи, обладает энергией. Эта энергия
«размазана», распределена по всему объему пространства, в
котором обнаруживается поле тяготения данного тела.
Энергетической характеристикой поля тяготения в дан-
данной точке является потенциал (срт) — скалярная физиче-
физическая величина, определяемая потенциальной энергией тела
единичной массы, помещенного в эту точку поля:
фт = ^. E.41)
Несмотря на то, что для измерения потенциала исполь-
используется какое-то тело, потенциал не зависит ни от массы этого
тела, ни от каких-либо других свойств этого тела, т. е. он
является характеристикой самого поля тяготения в данной
точке. Для поля тяготения Земли это вытекает, в частности,
из определений E.41) и E.34):
М3
Ф = V
т. е. потенциал зависит только от массы источника поля тя-
тяготения (Мз) и от расстояния г данной точки поля до центра
Земли.
Начало отсчета потенциала (точка поля тяготения, в ко-
которой потенциал срт равен нулю) выбирается произвольно.
С учетом E.38) — E.40) можно получить выражения для по-
потенциала точек поля тяготения Земли, находящихся на вы-
высоте Н над поверхностью* Земли (или на расстоянии г=/?3+
-Ь# от центра Земли), при различных условиях выбора на-
начала отсчета потенциала:
^ <542>
если начало отсчета потенциала выбрано в точке на поверх-
поверхности Земли (фт=0 при Я=0);
Фх = ?Я E.43)
L174

при том же выборе начала отсчета потенциала, но для точек,
находящихся вблизи поверхности Земли (H<^R3);
фтЯ=8_7_^2-э E.44)
если потенциал, равный нулю, приписывается точке, бес-
бесконечно удаленной от поверхности Земли (фт=0 при Н=оо).
Введение потенциала диктуется не только соображения-
соображениями принципиального порядка (которые отражают материаль-
материальность поля тяготения, учитывают тот факт, что поле, так же
как вещество, тела или системы тел, характеризуется энер-
энергией), но и удобством расчета такой практически важной ве-
величины, как работа силы тяготения (или силы тяжести).
Если потенциалы каких-то двух точек (/ и 2) поля тяготения
Земли равны/pTf и фт2, то работа силы тяготения А12 при
перемещении тела с массой т из точки 1 в точку 2 на основа-
основании E.35) и E.41) равна
Л12 = — т(фт2—фт1) = — тДфт. E.45)
5.6. Мощность
Физическая величина, определяемая отношением работы
-ДЛ, совершенной силой F в течение промежутка времени
Д/, к этому промежутку, носит название средней мощности:
Ncv=^. E.46)
Для случаев, когда направление действующей силы и на-
направление вектора перемещения точки приложения силы
совпадают, из E.46) и E.4) можно получить другое по форме
выражение для средней мощности:
N = F — == Fv E 47)
Если рассматривать бесконечно малые промежутки вре-_
мени (Д?-И)), можно получить выражение для мгновенной
мощности:
W = lim — E.48)
или
N = Fv. E.49)
17$

Единицы измерения мощности вводятся по «определяю-
«определяющим» формулам E.46) или E.48): 1Дж/с=1Вт (СИ) и
1 эрг/с (СГС).
Задача. Определить среднюю мощность насоса, который в течение
10 минут (Д?=10 мин) должен наполнить водой из реки открытый вер-
вертикальный цилиндрический бак диаметром D=l,0 м до уровня, находя-
находящегося на высоте Я=10 м. Дно бака располагается на уровне поверх-
поверхности воды в реке (рис. 5.8).
Если отсутствует трение в трубопроводе,, то насосу придется совер-
совершать работу только но подъему воды, работу против силы тяжести.
Силу тяжести воды легко найти по заданной геометрии заполняемой ча-
части бака и взятому из таблицы
значению плотности р воды. Для
вычисления работы нужно знать
высоту подъема воды. Ясно, что
заданная величина Я непосред-
непосредственно эту работу не определя-
определяет: при заполнении бака равные
порции воды (например, по од-
одному килограмму) придется под-
поднимать на различные высоты (от
значения, равного нулю, до зна-
значения, равного Я). Как же по-
ступить?
Можно, очевидно, мысленно
р г о разделить заполняемый объем
* бака на очень тонкие горизон-
горизонтальные цилиндрические слои и
подсчитать суммарную работу подъема всех порций воды, по объему
равных объему одного слоя. Работой нагнетания первой порции можно
пренебречь из-за ничтожно малой высоты ее подъема. Вторую порцию
нужно будет поднимать на ¦ высоту, равную толщине первого слоя,
третью — на высоту, равную толщине двух слоев, и т. д.
Попробуйте провести такой расчет, и вы убедитесь, что работа по
подъему воды против силы тяжести будет зависеть от высоты располо-
расположения центра масс Нс столба воды в баке, отсчитанной от выбранного
начального уровня. Для цилиндрического столба Нс—Н/2.
Об этом следует помнить при расчет работы по подъему жидкостей
или сыпучих тел j
Итак, работа, которую придется совершать насосу, равна
Ч "о- • (а)
Объем воды в баке будет равен (nD2/4)H, и ее масса
•Я.
(б)
На основании (а), (б) и E.46) получаем выражение для искомой средней
мощности насоса:
J76

Выясним размерность правой части этого выражения и подсчитаем
численное значение мощности.
В СИ D и Я измеряются в метрах, g — в м/с2, А/ — в секундах^
р — в кг/м3 (Для воды ря^ 1000 кг/м3). Тогда
кг-м-м2-м2__Н-м_Дж_р
m3-c2-c "" с -~1Г Т
и
_з,14.1ооо.9,8.1,оAоJ
iVcp —g-щ ~ ОД-Ш ЬТ.
5.7. Изменение механической энергии
незамкнутой системы тел
Доказав теорему о кинетической энергии для одиночного
тела, мы показали, что кинетическая энергия тела изменяет-
изменяется под воздействием любой внешней силы и что работа этой
силы является мерой изменения кинетической энергии тела.
Точно к такому же заключению мы, очевидно, придем, если
в какой-то инерциальной системе отсчета будем рассматри-
рассматривать незамкнутую систему не взаимодействующих друг с
другом тел (тела системы не взаимодействуют между собой,
но на некоторые из них или на все тела системы действуют
любые — потенциальные (стр. 156) или непотенциальные —
внешние силы со стороны тел, не включенных в эту систему).
Потенциальная энергия взаимодействия тел системы в этом
случае вообще равна нулю и не может измейяться. Механи-
Механическая энергия системы равна суммарной кинетической энер-
энергии всех тел системы, и ее изменение будет определяться
суммарной работой внешних сил.
Для незамкнутой системы, подверженной действию толь-
только потенциальных внешних сил, выполняется закон сохра-
сохранения механической энергии. К такому выводу можно прий-
прийти, вернувшись к примеру, обсуждавшемуся на стр. 165—
166. Рассмотрим в качестве простейшей незамкнутой систе-
системы упоминавшееся в примере одиночное тело массы /п, на
которое действует потенциальная сила со стороны Земли
(земной шар не включен в одну систему вместе с телом, и
поэтому сила тяготения является силой внешнего воздейст-
воздействия на тело). Работой этой силы измеряется, с одной сторо-
стороны, изменение потенциальной энергии тела в поле тяготения
Земли (взятое с обратным знаком), а с другой — изменение
кинетической энергии тела. Поскольку модули этих -изме-
-изменений равны, суммарная механическая энергия тела будет
оставаться неизменной.
177

Закон сохранения механической энергии выполняется и
в том случае, если незамкнутая система состоит из несколь-
нескольких не взаимодействующих между собой или взаимодейст-
взаимодействующих только потенциальными силами тел, но на все тела
системы или на некоторые из них действуют потенциальные
внешние силы.
Рассмотрим теперь незамкнутую систему взаимодейст-
взаимодействующих тел, подверженную действию непотенциальных
внешних сил. Пусть для простоты система состоит всего из
двух тел, взаимодействие между которыми осуществляется
силами тяготения, и внешняя непотен-
непотенциальная сила действует только на одно
из тел системы.
Оценим изменение механической энер-
энергии камня массой /п, перемещающегося в
инерциальной системе отсчета, связанного
Землей, из точки 1 в точку 2 под воздей-
ствием силы тяжести Р (она является внут-
внутренней силой) и какой-то внешней непотен-
непотенциальной силы F (рис. 5.9). Будем считать
точки 1 и 2 расположенными так близко
одна к другой, что при перемещении камня не успевают из-
измениться ни силы Р и F, ни углы аир. Для упрощения
расчетов предположим также, что вектор результирующей
сил Р и F (а значит, и вектор ускорения а камня) совпадает
по направлению с вектором начальной скорости камня Vi.
Тогда такое же направление будет иметь и вектор переме-
перемещения Аг12. Поскольку на камень никакие другие силы,
кроме постоянных сил Р и F, не действуют, его движение
будет равноускоренным (а=const), причем
P+F=/na.
Если перемещение камня происходит в течение промежутка
времени А/, то справедливы уравнения
/ = mv2—mvv
Проецируя все эти векторные уравнения на направление
вектора перемещения Дг12 и переходя к уравнениям для мо-
модулей, имеем
Р cos a + F cos |3 = та,
(Р сой а 4- F cos Р) А/ = mv2—
178

Если выразить а из первого уравнения этой системы, а
At — из третьего и эти выражения подставить во второе
уравнение, то можно получить
Р cos а Дг12 + F cos 0 Ar12 = -^—fi-.
Первое слагаемое в левой части этого уравнения пред-
представляет работу силы тяжести (или силы тяготения) Лр, ко-
которая в согласии с E.36) равна изменению потенциальной
энергии системы, взятому с обратным знаком (Ар=—Л№п).
Второе слагаемое в левой части — это работа внешней силы
^внешн- Правая часть уравнения представляет изменение
кинетической энергии рассматриваемой системы тел. С уче-
учетом этого последнее уравнение можно записать более
кратко:
А — AW 4-AW
**¦ внешн L*w к i *-* ^ п •
Но сумма изменений кинетической и потенциальной энергий
системы есть не что иное, как изменение механической энер-
энергии Д^м этой системы, т. е.
- E.50)
Таким образом, мы пришли к заключению, что механиче-
механическая энергия незамкнутой системы тел под воздействием не-
непотенциальной внешней.силы изменяется (ДЦ7м=т^0) и это
изменение равно работе внешней силы, действующей на
систему. ^ !
К такому же выводу можно прийти и в тех случаях, когда
система взаимодействующих тел будет состоять не из двух,
а из большего количества тел, когда взаимодействие между
телами системы будет осуществляться не только силами тя-
тяготения, но и любыми другими потенциальными силами и
когда внешние непотенциальные силы будут действовать не
на одно, а на все тела данной системы. Под воздействием
внешних непотенциальных сил у некоторых тел системы ме-
механическая энергия может возрастать, а у других —
уменьшаться, но суммарное изменение механической энер-
энергии системы всегда будет определяться суммарной работой
непотенциальных внешних сил.
Если суммарная механическая анергия данной системы
тел под воздействием внешних сил уменьшается, очень часто
говорят не о работе внешних сил (которая в этих случаях
оказывается величиной отрицательной), а о работе, совер-
совершаемой данной системой против внешних сил, или о работе
179

над телами, не включенными в систему. Именно при описа-
описании явлений подобного рода допускается замена понятия
«работа силы» понятиями «работа тела», «работа, совершае-
совершаемая системой тел», и т. п.
5.8. Изменение механической энергии системы,
взаимодействие между телами которой осуществляется
потенциальными и непотенциальными силами
С непотенциальными силами в задачах механики мы встре-
встречаемся в тех случаях, когда между телами системы дейст-
действуют силы трения (сухого или вязкого) или когда взаимо-
взаимодействие тел системы приводит к неупругим деформациям
тел. В последнем случае часто говорят о взаимодействии
абсолютно неупругих тел (тела не восстанавливают своих
первоначальных форм и размеров после прекращения дей-
действия сил), или о неупругом взаимодействии. При наличии
трения или при неупругих деформациях между телами дей-
действуют силы электромагнитной природы, зависящие от от-
относительных скоростей движения тел в той или иной инер-
циальной системе отсчета.
Если мы имеем дело с одиночным телом, на которое дей-
действует сила трения (сила сопротивления), то в согласии с
E.22) его кинетическая энергия должна уменьшаться (W7K2<
<WHi и А1^к<0),так как работа силы трения отрицательна
„(угол а между вектором силы трения сопротивления и век-
вектором перемещения тела всегда равен я радиан и cosa=—1).
Поскольку никакие другие силы, кроме силы трения, на
тело не действуют, изменение его механической энергии
равно изменению кинетической энергии (AWM=AWK). Та-
Таким образом, механическая энергия тела при воздействии
силы трения (сопротивления) уменьшается.
Рассмотрим теперь замкнутую систему, между телами ко-
которой действуют как потенциальные, так и непотенциальные
силы. Пусть, например, брусок перемещается из положе-
положения 1 в положение 2 по грани неподвижного относительно
Земли клина под действием силы тяжести Р и силы упруго-
упругости пружины Fynp (рис. 5.10). Между бруском и клином
действуют силы трения. (По причинам, на которые мы ука-
указывали ранее (стр. 93), можно считать силу трения FTp,
действующую на брусок, приложенной к центру масс
бруска.)
Система в данном случае состоит из четырех тел: бруска,
клина, пружины и Земли. Воспользовавшись инерциальной
180

системой отсчета, связанной с Землей, и выбрав основание
клина за начало отсчета значений потенциальной энергии
упругого и гравитационного взаимодействий, можно было бы
определить работу всех сил и изменение всех компонент
механической энергии данной системы тел. На, наверное, и
не проводя этих расчетов, можно утверждать, что механиче-
механическая энергия из-за наличия силы трения уменьшается.
В самом деле, изменение потенциальной энергии системы
AWn от сил трения не зависит. Ведь потенциальная энергия
является функцией состояния, зависящей от относительного
расположения взаимодействующих тел и никак не завися-
зависящей от того, действуют ли на тела системы в различных ее
состояниях какие-то постоянные или переменные/непотен-
циальные силы или не дей-
действуют. Изменение потенци-
потенциальной энергии AWn зависит
,от положений бруска 1 и 2 и
не зависит от того, в резуль-
результате каких воздействий (кро-
(кроме сил Fynp и Р) брусок в этих
положениях оказался.
В нашем примере потен- Рис 5ло.
циальная энергия системы на-
насколько-то уменьшается, и если бы отсутствовали силы тре-
трения, то ровно настолько же увеличилась бы кинетическая
энергия системы (AW'K— —AWn). Это увеличение кинетиче-
кинетической энергии определялось бы суммой положительных работ
силы Fynp и составляющей силы Р, параллельной наклонной
грани клина. При наличии сил трения кинетическая энер-
энергия системы возрастает на ДН7К, причем AWK<.AW'K, так
как, кроме указанных выше положительных работ, прихо-
приходится считаться с отрицательной работой силы трения.
Следовательно, механическая энергия замкнутой систе-
системы тел, в которой действуют силы трения, являющиеся вну-
внутренними силами, не остается постоянной, она уменьшается
(hwM=AWK+AWn<O),ii это изменение механической энер-
энергии равно работе сил трения.
Такая же роль сил трения проявляется и в тех случаях,
когда дли некоторых тел или частей системы силы трения
оказываются не силами сопротивления, а силами, способ-
способствующими перемещению в заданном направлении, причем
система тел может быть как замкнутой, так и незамкнутой.
Последнее положение может быть проиллюстрировано сле-
следующим примером.
181

Задача. На горизонтальной поверхности етола лежит доска, на
которой находится брусок (рис. 5.11, а). Сравнить изменение механиче-
механической энергии этой системы, начинающей двигаться из состояния покоя
под действием внешней силы F, в двух случаях: 1) система перемещается
на Ад; как одно целое (рис. 5.11, б); 2) брусок при перемещении системы
проскальзывает подоске (рис. 5.11, в). Для сопоставимости результатов
будем считать, что во втором случае точка приложения силы F переме-
перемещается также на Ал: (брусок перемещается на Алт, а перемещение доски
вдоль координатной оси ОХ будет Дл:д<Дл:). При этом условии работа
внешней силы F в обоих случаях будет одинаковой.
Поскольку анализ общего решения этой задачи провести весьма
трудно и оба варианта движения возможны не при любых значениях оп-
определяющих величин, примем, что масса бруска m=l,0 кг, масса доски
h<—Ах—Н
,1 I ¦ JL I
М=2,0 кг, коэффициент трения между бруском и доской &!—0,40, коэф-
коэффициент трения между доской и столом 62=0,10, модуль внешней силы
/7=5,0 Н и модуль перемещения Ал:=0,15 м.
Подсчитав по этим данным модули сил трения FTpi, FTtJ и FTb3
(рис.5.11, г): fTpl= ^2=^^=0,40-1,0-9,8^3,9 Н, FT^kt(m+M)g^
=0,10» A,0+2,0)»9,8*^2,9 Н, заключаем, что сила F может обеспечить
и ускоренное движение всей системы в целом в первом случае (F > ^тр3),
и проскальзывание бруска по доске — во втором (,F> FTpl), причем во
втором случае сила трения FTp2, действующая на доску со стороны брус-
бруска, может обеспечить скольжение доски по столу (^Тр2>^трз)-
Движение системы «брусок — доска» можно проанализировать
в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной со столом.
Но при этом сила трения FTp3 должна, очевидно, считаться внешней си-
силой, так как изменение механического состояния стола мы не учитываем
и не включаем стол в рассматриваемую систему тел.
В обоих случаях потенциальная энергия взаимодействия тел систе-
системы с Землей не изменяется, поэтому изменение механической энергии
системы будет связано только с изменением ее кинетической энергии.
В первом случае увеличение механической энергии системы AW'M
определяется суммарной работой двух внешних сил F и FTp3:
A W'u = F Ах - FTp3 Ах - (F - Fтр3) Ах.
Подставляя численные значения, получаем
д tt^ = E,0-2,9).0,15 «0,31 Дж.
182

Во втором случае увеличение механической энергии системы
происходит за счет увеличения механической энергии бруска
и увеличения механической энергии доски Д"мД:
(а)
Возрастание энергии бруска определяется работой сил F и FTpl:
д^мб = ^ A*—^TpiA# = (^--^Tpi) &x = (F — kxmg) Да:, (б)
а увеличение энергии доски — работой сил FTp2 и FTp3?
/АИ'МД-Г Тр2 аХВ. — Г ТрЗ &ХП. — L«l/W — «2 \т "Г т)\ § ЛЛГД» \В)
Перемещение доски Дд:д происходит за тот же промежуток времени
Д^, в течение которого брусок перемещается вдоль оси ОХ на Ал:. На
основании второго закона Ньютона выразим модуль ускорения бруска:
_^ —^Tpt__f — kxmg
ч~ т — т \
и так как для рассматриваемого движения Длг= аб(А02/2, то
Ч
Модуль ускорения доски равен
UR~ М ~~ М
а модуль ее перемещения
Лу _вд(А*)'_ g[feim-fe2(m + ^)] тАл:
«д— 2 ~ Ж F-kxmg' (г)
Теперь на основании (в) и (г) имеем
Air/ _fng2lkim — k2 (т+М)]* л
r/
А1Гмд" M(F-ktmg)
и с учетом (б) и (а) получаем окончательное выражение для определения
суммарного изменения механической энергии системы во втором случае:
M(F-kltng)
Подстановка численных значений дает
AW E 0 0 10 1 0 0 g I 1'0'9'82 [°-40-1,0-О.Ю A,0 + 2,0)]'\
ДГм-^5,0 0,40-1,0.9,8-1 _______ jX
Х0,15»0,23Дж.
183

Как видим, во втором случае возрастание механической энергии
системы оказывается меньшим, чем в первом, несмотря на то, что работа
силы F остается прежней, а отрицательная работа силы FTp3 даже умень-
уменьшается по абсолютному значению.
Таким образом, наличие сил трения в системе взаимодей-
взаимодействующих тел всегда приводит к уменьшению, к рассеянию
ее механической энергии.
К таким же последствиям приводят неупругие взаимо-
взаимодействия в системе, в частности так называемый абсолютно
неупругий удар, в результате которого взаимодействующие
тела объединяются и движутся после взаимодействия с од-
одной и той же скоростью. Так, если в коробочку с песком,
имеющую массу М и лежащую на горизонтальной идеально
гладкой поверхности, влетит дробинка, масса которой т
и которая до удара двигалась с горизонтально направлен-"
ной скоростью v0, то скорость движения этой замкнутой сис-
системы после удара может быть* найдена в согласии с законом
сохранения импульса mvo~(tn+M)v, т. е.
Механическая энергия системы не сохраняется, а ее
убыль AWM зависит от соотношения масс взаимодействую-
взаимодействующих тел:
(т+М) v2 mvl _ (m + M)votn2 то* _
mvl ( тп
Видно, что ATFM<0, так как т> О, г>0>0 и т , М < 1.
Выводы, полученные в рассмотренных примерах, имеют
общее значение. Во всех случаях, когда между телами сис-
системы действуют внутренние непотенциальные силы, меха-
механическая энергия системы уменьшается, рассеивается. Эту
убыль механической энергии всегда можно оценить. Но
понять, куда девается «исчезнувшая» энергия, не удается,
если оставаться на «механическом уровне» рассмотрения тел
и их взаимодействий. Только изучив принципы внутреннего
строения тел и закономерности поведения их структурных
частей, физика смогла ответить на вопрос об «исчезновении»
механической эйергии. Механическая форма энергии оказа-
оказалась не единственной.Открыв возможности перехода энергии
механического движения в иные, немеханические формы
184

(энергия теплового движения, энергия электрических и
других взаимодействий), физика уточнила и расширила
границы действия всеобщего закона сохранения энергии.
Механическая энергия оказалась только частным случаем,
разновидцостью общего понятия энергии, относящегося не
только к механической форме движения.
§6. ЗНАЧЕНИЕ МЕХАНИКИ
И ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ
МЕХАНИЧЕСКОГО ПОДХОДА В ФИЗИКЕ
Только что изложенные выводы об «исчезновении» меха-
механической энергии при наличии сил трения и при неупругом
взаимодействии тел ни в какой степени не умаляют значения
механики как части физической науки. В том, что механика
отвечает не на все возникающие вопросы, нужно видеть не
только ее недостатки. Со всеми вопросами поведения при-
природы не справляется и физика в целом. И если механика
достаточно хорошо справляется с решением целого ряда за-
задач, то ее методы, ее приемы должны рассматриваться как
ценные первые шаги на пути раскрытия физической картины
мира. Не нужно только поручать механике то, чего она не
может.
Механика относительно проста, механические явления
встречаются нам на каждом шагу. Механика объединяет
несколько общих законов, пользуется общими механиче-
механическими понятиями, каждый отдельный опыт она рассматри-
рассматривает с общих позиций. Она ценна справедливостью некото-
некоторых своих выводов и для небесных тел, и для микрочастиц.
Пользуясь методами механики, можно не только объяснить
увиденное, но и предсказывать неизвестное. Вспомним,
например, как были открыты планеты Нептун и Плутон.
Это ли не торжество предсказаний механики!
Даже в рамках элементарной механики особого внима-
внимания заслуживают законы сохранения. Мы упомянули о
двух таких законах — о законе сохранения импульса и о
законе сохранения механической энергии. Теперь, подводя
итоги механического подхода, мы можем вспомнить еще один
закон сохранения, в механике элементарного курса физики
всегда подразумевающийся,— закон сохранения массы: сум-
сумма масс всех тел изолированной системы сохраняется неиз-
неизменной при любых происходящих в системе процессах.
Этот закон выполняется при условии, что тела системы
движутся со скоростями, во много раз меньшими, чем ско-
185

рость света в вакууме; в этом случае значения масс могут
считаться неизменными (см. формулу B.4)).
Часто механику, которую мы рассматривали, называют
классической или ньютоновской, подчеркивая незыблемость
некоторых ее выводов и немаловажную роль законов
Ньютона.
Какие же задачи решает классическая механика? По из-
известному начальному положению тела и приложенным силам
она позволяет определить, где тело окажется через опреде-
определенный промежуток времени. По характеру движения тела
можно судить о характере воздействия на него со стороны
других тел, причем для оценки различных взаимодействий
механика пользуется всего тремя типами сил (силы тяготе-
тяготения, силы упругости и силы трения). При каких условиях
возможно равновесие данного тела, на какой угол за опре-
определенное время повернется тело при действии на него дан-
данного момента сил — эти задачи и множество других решают-
решаются на основе законов классической механики.
Механическая основа иногда сохраняется и для описа-
описания более сложных, немеханических явлений (молекулярно-
кинетическая теория, электрические колебания, волновые
процессы и др.).
Проще, пожалуй, ответить на вопрос: чем не занимается
классическая механика? Она не изучает движения со скоро-
скоростями, близкими к скорости света, не изучает и не учиты-
учитывает внутреннее строение тел и его изменения. Поскольку
большие скорости движения известны сейчас только для
малых по массе элементарных частиц, классическую меха-
механику иногда называют механикой малых скоростей и боль-
больших (по массе) тел.
Рассеяние энергии при неупругом взаимодействии тел
является, по сути дела, следствием тепловых эффектов, свя-
связанных с изменением поведения составных частей тел, их
молекул, атомов и т. д. С подобным же рассеянием механи-
механической энергии мы встречаемся во всех случаях движений,
происходящих с трением. Наличие трения всегда приводит
к тепловым эффектам. Если вспомнить, что идеальная изо-
изоляция от трения невозможна, то, следовательно, тепловые
эффекты, тепловые потери механической энергии сопровож-
сопровождают все без исключения процессы. Остается только заклю-
заключить, что в природе нет процессов «чисто механических». Их
нет так же, как нет и не может быть «чисто тепловых», «чисто
электрических», «чисто магнитных» и других «чистых» про-
процессов.
136

Это мы сами, будучи не в состоянии охватить все естест-
естественное многообразие свойств объектов и явлений, совершен-
совершенно условно стали раскладывать по полочкам имеющиеся у
нас сведения, относя их к тому или иному разделу физики —
единой науки, обобщающей эти сведения. Такой библиоте-
библиотекой знаний нужно уметь пользоваться. И не забудем, что
элементарный курс физики знакомит нас не с коллекцией ее
книг, а лишь с ,ее каталогом. Встречаясь с тем или иным
фактом или явлением, прежде всего нужно оценить, какие
его черты являются преобладающими в данном случае.
После этого становится ясным, с какого ящика каталога ну-
нужно начать, помня, что и в соседних с,ним содержится кое-
что по интересующему нас вопросу.

ГЛАВА II
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
§7. ПЕРВЫЕ ШАГИ В ГЛУБЬ ВЕЩЕСТВА
7.1. Основные опытные факты и их истолкование
Догадки о сложном строении всех веществ появились
еще в глубокой древности, а исследования более поздних
времен подтвердили эти предположения. Делимость вещест-
вещества на малые порции без нарушения или с нарушением его
свойств, определенные количественные соотношения ве-
веществ, вступающих в соединения, равенство массы сложного
соединения сумме масс исходных продуктов — все это гово-
говорило об определенном порядке во внутреннем мире тел, об
определенных закономерностях в поведении атомов4 или мо-
молекул.
В молекулярно-кинетической теории можно воспользо-
воспользоваться, как и всегда в физике, какими-то модельными пред-
представлениями, построить определенную схему рассуждений и
затем экспериментально доказать или опровергнуть их.
Простое уменьшение масштабов механических представ-
представлений о поведении «больших» тел на первых порах принесло
пользу. Атомы в физических задачах могли моделироваться
как материальные точки, а молекулы — как абсолютно
твердые (жесткая комбинация из атомов) или упругие (воз-
(возможно относительное движение атомов в молекуле) тела.
В некоторых более грубых задачах можно было не детализи-
детализировать строение молекулы и ее в целом принимать за махе-
риальную точку.
Не следует забывать, что, несмотря на использование
традиционной терминологии (молекулярная физика, моле-
кулярно-кинетическая теория, атомно-молекулярная тео-
теория и т. п.), современной физике известны многие вещества,
которые имеют не молекулярную и не атомную структуру.
Например, в узлах кристаллической решетки поваренной
188

соли (NaCl) отсутствуют атомы натрия и хлора, а имеются
лишь ионы этих химических элементов (таким образом,
структура вещества оказывается ионной). В узлах кристал-
кристаллических решеток металлов также находятся ионы, между
которыми движутся электроны (ионно-электронная струк-
структура). Поэтому правильнее было бы говорить о том, что все
вещества состоят из частиц, уточняя для каждого конкрет-
конкретного случая, из каких именно (молекул, атомов, ио!нов
или др.).
Такие явления, как броуновское движение, диффузия и
смачивание, хорошая или плохая сжимаемость различных
веществ, хорошая или плохая сопротивляемость растяжению
и многие другие, приводят к важным выводам.
1. Частицы вещества находятся в непрерывном хаотиче-
хаотическом движении. Для микроскопических частиц покой не
свойствен так же, как для макроскопических тел или гигант-
скихчтел Вселенной.
2. Между частицами вещества одновременно действуют
силы притяжения и отталкивания.
Например, непосредственно наблюдаемое движение броу-
броуновской частицы может быть только следствием движения
частиц среды, в которой частица находится. Явление диф-
диффузии также не удается объяснить без учета движения
частиц.
Одновременное наличие сил притяжения и отталкивания
особенно просто можно усмотреть в примерах деформации
твердых тел. Для того чтобы сжать, сплющить кусочек
металла, нужны значительные внешние усилия. Значит,
частицы вещества сближаются «неохотно», этому препятст-
препятствуют силы отталкивания. Если тот же образец пытаться рас-
растягивать, в нем на первых стадиях деформации возникают
упругие силы, которые являются следствием действия сил
взаимного притяжения между частицами.
Напомним о тех физических величинах, которые вво-
вводятся для описания поведения частиц вещества.
Молекулы, атомы, ионы и электроны могут, конечно,
характеризоваться массой, измеренной в килограммах. При
этом значения масс частиц оказываются очень малыми, и во
многих расчетах бывает удобнее использовать относитель-
относительные массы частиц.
Относительной атомной массой (Аг) называется отно-
отношение массы данного атома к 1/12 части массы атома изотопа
углерода вС12 (раньше эта величина называлась атомным ве-
весом). Аналогично вводится и относительная молекулярная

масса (Мг) — отношение массы молекулы к 1/12 части мае-
сы атома изотопа углерода вС12 (прежнее название этой ве-
величины — молекулярный вес).
Таким образом, относительные атомные и молекулярные
массы вводятся как безразмерные величины, но в некоторых
случаях им приписывают наименования. Это связано с тем,
что 1/12 часть массы атома изотопа углерода вС12 называют
унифицированной атомной единицей массы (у.а.е.м.),
причем
1 у.а.е.м. = 1,6603.10-27 кг.
Поэтому величины Аг и Мг иногда считают измеренными в
унифицированных атомных единицах массы. Например, от-
относительная атомная масса цинка может быть записана и
как безразмерная величина (i4rzn=65,37), и как размерная
(Лг2п=65,37 у.а.е.м.).
Заметим, что наряду с унифицированной атомной еди-
единицей массы применяется также атомная единица массы
(а.е.м.), равная 1/16 части массы атома изотопа кислорода
О16*
1 а.е.м. = 1,6598-10-27кг.
Мы уже отмечали, что количество любых частиц (моле-
(молекул, атомов, ионов, электронов, гидроксильных групп
и т. д.), равное числу атомов, содержащихся в 0,012 кг изо-
изотопа углерода вС12, называется молем (моль) и принимается
за единицу измерения количества вещества в СИ. Моли
различных веществ содержат одно и то же количество ча-
частиц, численно равное постоянной Авогадро (или числу
Авогадро): '
Мл = 6,02.1023 моль".
Масса моля вещества носит название молярной массы
(М) и измеряется в кг/моль, причем связи численного зна-
значения молярной массы вещества с относительной молекуляр-
молекулярной массой Мг или с относительной атомной массой Аг его
частиц даются соотношениями
Af-M^lO-3 или М = ЛГ.1О-3.
Следует подчеркнуть, что молярная масса измеряется
в кг/моль, а не в килограммах.
Для пояснения этого факта, может быть, стоит обратить-
обратиться к примерам из нашего повседневного опыта. Мы привыкли
видеть цены товаров, выраженные в рублях (и копейках).
т

Например, один метр какой-то ткани стоит 5 рублей, а один
килограмм соли — 10 копеек. Подсчитывая стоимость трех
метров такой ткани и двух килограммов соли, обычно вы-
выполняют действия, которым соответствует следующая за-
запись:
5 руб3=15 руб, 0,10 руб-2=0,20 руб.
Здесь вторые сомножители, являясь по существу размерны-
размерными величинами, записаны без наименований (эти наименова-
наименования только подразумеваются). Если быть более строгими,
то эти величины нужно записывать с соответствующими наи-
наименованиями, но при этом цены должны иметь размерность:
5 руб/м и 0,10 руб/кг. Тогда расчет стоимости будет связан
с перемножением размерных величин:
0,10 М.2кг = 0,20 руб.
м кг
Аналогично, и цены штучных товаров должны были бы иметь
наименование руб/шт, но, простоты ради, таких записей не
делают.
В физике приходится выполнять различные математиче-
математические действия с разнородными, разноименными величинами,
которые могут быть измерены в единицах различных систем,
в дольных или кратных единицах этих систем и, наконец, во
внесистемных единицах. При этом отказ от записи наимено-
наименований чаще всего ничего уже не упрощает и может привести
к ошибкам.
7.2. Применимы ли законы механики к микрочастицам,
из которых состоят тела?
Опыты доказывают движение и взаимодействие микро-
микрочастиц. Но движения и взаимодействия изучаются и описы-
описываются в механике. Если микрочастицы можно моделиро-
моделировать материальными точками или абсолютно твердыми те-
телами, то нельзя ли воспользоваться механическим подходом
к изучению их поведения? Кинематика и динамика позво-
позволили бы описать движение каждой частицы и причины его
изменений: куда, с какой скоростью, с каким ускорением,
под воздействием каких причин й т. д. она движется. Опи-
Описание взаимодействий можно было бы уложить в рамки ди-
динамики или статики: учесть и вычислить силы, действующие
на данную частицу со стороны других, оценить, может ли

частица под действием приложенных сил находиться в рав-
равновесии, и т. д.
Такой метод изучения поведения микрочастиц мыслим.
Кстати, он даже не требует вскрытия природы взаимодейст-
взаимодействий частиц, зависящих уже от их немеханических свойств и
от деталей их внутреннего устройства. Нужно только знать,
как действуют силы притяжения и отталкивания (в каком
направлении, какова их зависимость от расстояний между
частицамиL, и не задаваться пока вопросом: почему они так
действуют? Тогда схема рассуждений в механике микроча-
микрочастиц будет строиться по известным общим правилам клас-
классической механики.
Попробуем воспользоваться такой схемой для механиче-
механического описания поведения частиц, например, какого-либо
газа, взятого в малом объеме. Пусть это будет один кубиче-
кубический сантиметр водорода при нормальных условиях. Моли
всех газов при таких условиях занимают один и тот же объем
B2,4* 10 м3/моль) и ' содержат определенное количество
частиц, численно равное постоянной Авогадро NA. Легко
находим, что в рассматриваемом объеме содержится при-
приблизительно 2,7-1019 частиц, т.е. механическая система
содержит столько тел. Для каждого из них нам придется,
наверняка, написать уравнение второго закона Ньютона.
Значит, общее число уравнений составит 2,7-1019. ^Цалее
нам нужно будет решать систему стольких уравнений. Дело,
прямо скажем, безнадежное! Из-за огромнейшего числа
частиц даже в малых объемах кинематическую, или динами-
динамическую задачу механики микрочастиц мы практически ре-
решить не сможем. ,Иная постановка задачи — по известным
перемещениям за определенные промежутки времени найти
действующие силы и т. д.— также невозможна» Мы не рас-
располагаем «фотографиями» траекторий частиц или графиками
зависимости координат микроскопических частиц данного
вещества от времени. Из опытов известно только, что каждая
из них может двигаться по очень причудливой траектории.
Множественность частиц и хаотичность их движений,
казалось бы, создают непреодолимые трудности на пути ис-
использования механического подхода; Мы или не знаем мно-
многих факторов, определяющих поведение частиц, или прак-
практически не можем решать колоссальное число составленных
уравнений. Но оказывается, что в хаосе движений многих
частиц можно все-таки найти некоторые закономерности —
закономерности поведения средних параметров (или так
называемые статистические закономерности). Например,
192

мы не имеем возможности определить скорость каждой от-
отдельной микрочастицы, но можем узнать скорость, с которой
в среднем движутся частицы данного коллектива при дан-
данных условиях. С таким же правом можно судить о средних
значениях перемещений частиц, о средних значениях сил
взаимодействия и т. д.
К сожалению, мы не имеем возможности более подробно
останавливаться на анализе этого интересного метода фи-
физики (так называемого статистического метода).
Не пройдем без внимания мимо еще одного интересного
обстоятельства. В механике мы встретились с энергетиче-
энергетическим подходом к явлениям. Одной из замечательных его
черт было то, что он позволял отвлечься от многих деталей
процессов, происходящих в системе. Именно деталей пове-
поведения микрочастиц мы не знаем. Так, может быть, энергети-
энергетический подход окажется справедливым и в этой области и
упростит расчеты? Все говорит за то, что на этот вопрос
следует дать положительный ответ.
Понятие механической энергии относится к систёке дви-
движущихся (в какой-то системе отсчета) и взаимодействую-
взаимодействующих тел. Но при рассмотрении какого-то тела на атомном
или молекулярном уровне само это тело является такой сис-
системой. Его частицы движутся, меняют относительное рас-
расположение, взаимодействуют между собой, притягиваясь
и отталкиваясь. Следует иметь в виду, что при описании йо-
ведения микрочастиц статистический метод и метод, основан-
основанный на применении закона сохранения и превращения энер-
энергии, тесно переплетаются. Но и при использовании закона
сохранения и превращения энергии для микрочастиц воз-
возникают трудности, о которых мы говорили раньше,— труд-
трудности из-за хаотичности и множественности. Мы не сможем
найти точное значение кинетической энергии частиц. Точ-
Точно так же, не зная «фотографии» относительного расположе-
расположения частиц в какой-то момент времени, мы не сможем найти
точное значение потенциальной энергии. Но средние значе-
значения кинетической или потенциальной-энергии нас вполне
устраивают! А они могут быть найдены по средним значени-
значениям скоростей и сил взаимодействия. Зная количество микро-
микрочастиц в теле и средние значения механической энергии
этих частиц, можно найти суммарную среднюю энергию
движения и взаимодействия всех частиц тела.
Эту энергию относительного движения и взаимодействия
частиц, из которых состоит тело, называют внутренней энер-
энергией тела (U).
7 Ю. А. Селезнев 193

Забегая вперед и вспоминая, что атом только в очень
грубом приближении может считаться бесструктурной ма-
материальной точкой, и зная, что существуют некоторые дру-
другие, пока еще не учтенные явления на более глубоких уров-
уровнях рассмотрения вещества, мы должны включить в состав
внутренней энергии тела следующие части: 1) кинетическую
энергию поступательного, вращательного и колебательного
движений микрочастиц; 2) потенциальную энергию взаимо-
взаимодействия атомов и молекул; 3) энергию движения и взаимо-
взаимодействия составных частей атома (внутриатомная энергия);
4) внутриядерную энергию.
Внутреннюю энергию тел удается поставить в зависи-
зависимость от некоторых характеристик, легко и точно измеряе-
измеряемых на опыте. Если изменяются характеристики, от которых
зависит внутренняя энергия, мы с уверенностью говорим о
тех или иных изменениях во внутреннем состоянии тел.
Применение статистического метода и закона сохранения
и превращения энергии позволяет оценить явления, проис-
происходящие внутри вещества, сперва на атомно-молекулярном
уровне, а потом и на более глубоких.
7.3. Силы взаимодействия и энергия взаимодействия
частиц вещества
Рассмотрим для простоты две частицы вещества (напри-
(например, две молекулы или два атома), которые будем считать
материальными точками. Пусть с одной из частиц связана
инерциальная система отсчета, а другая частица может на-
находиться на различных расстояниях г от первой. Примерный
график зависимости проекций сил отталкивания и рритя-
жения (F0Tr и /^пр,.), а также проекции результирующей силы
взаимодействия (Fr) частиц на ось Or от расстояния г пока-
показан на рис. 7.1. Неподвижная частица Сг находится в точ-
точке О, а частица С2 может перемещаться вдоль оси абсцисс.
Поскольку сила притяжения, действующая на частицу С2,
направлена влево (в сторону отрицательного направления
оси Or), проекция этой силы будет отрицательной. Своеоб-
Своеобразие этих графиков связано с тем, что силы притяжения и
отталкивания по-разному зависят от расстояния г между ча-
частицами:
194

где ri^9. Поэтому зависимость Fr от г оказывается достаточ-
достаточно сложной:
р _ а ъ
1 г — гп ~ •
График этой зависимости показан отдельно на рис. 7.2.
Характерной на этом графике оказывается точка R. Если
частица С2 будет удалена на расстояние г0 от частицы Сь
то результирующая сила, действующая на нее, будет равна
нулю, т. е. в точке R частица С2 будет находиться в состоя-
состоянии равновесия. При г<г0 на частицу С2 будет действовать
результирующая двух сил, причем преобладающей будет
0
•
R'
R
\R" ^-
Рис. 7.1.
Рис. 7.2.
сила отталкивания, а при r>rQ прербладать будет сила при-
притяжения.
Вблизи точки R график с достаточной степень*© точности
может считаться отрезком прямой (отрезок R'R" на рис. 7.2).
Это приводит к тому, что при малых смещениях из положе-
положения равновесия на частицы действуют силы, пропорцио-
пропорциональные смещениям, т. е. выполняется закон Гука и можно
говорить о силах взаимодействия частиц как о силах квази-
квазиупругих.
Зная, как зависят от расстояния г силы взаимодействия
между двумя частицами, можно построить график зависимо-
зависимости потенциальной энергии взаимодействия частиц от рас-
расстояния между ними. На рис. 7.3 изображен примерный вид
такого графика для случая, когда при бесконечно большом
удалении частиц одна от другой потенциальная энергия
принята за нуль (Wn=0 при г=оо). Положению R частицы
С2 соответствует минимум потенциальной энергии взаимо-
взаимодействия №пмин, следовательно, это положение соответст-
соответствует устойчивому равновесию. Это находится в согласии с
7* 195

w-
общим физическим принципом, который утверждает, что со-
состоянию устойчивого равновесия системы тел или частиц,
взаимодействие между которыми осуществляется потенци-
потенциальными силами, соответствует минимум потенциальной
энергии..
Положение S на рис. 7.3 соответствует наименьшему рас-
расстоянию d, до которого могут сблизиться две частицы (точ-
(точнее, центры масс этих частиц, так как при детальной оценке
взаимодействия частиц их
уже нельзя считать мате-
материальными точками) при
условии, что на бесконеч-
бесконечно большом расстоянии от
частицы Ci частица С2 име-
имеет скорость, равную нулю,
и приближается к частице
Си взаимодействуя только
с ней (какие-либо воздейст-
воздействия со стороны других ча-
частиц отсутствуют). При
этом условии суммарная
механическая энергия си-
системы двух частиц равна
нулю. При сближении ча-
возрастает за счет убыли
потенциальной энергии. Положение if частица С2 проходит
с наибольшей скоростью, на интервале d<r<Cr0 скорость
частицы убывает вплоть до нуля в положении S, которое
соответствует столкновению частиц.
Столкновение микроскопических частиц нельзя представ-
представлять как столкновение упругих шариков макроскопических
размеров. Если даже рассматриваемые две частицы являются
простейшими по структуре атомами (атомами водорода), то
они не могут сблизиться до непосредственного контакта
ядер. Этому препятствуют не только электростатические
силы отталкивания ядер, но и силы отталкиваний электрон-
1 ных оболочек атомов. Картина взаимодействия оказывается
очень сложной: возможно, что силы отталкивания не допус-
допустят касания электронных оболочек, возможно, что элек-
электронные оболочки при сближении атомов будут деформиро-
деформироваться. При некоторых условиях возможно даже перекрытие,
пересечение электронных оболочек атомов и силы отталки-
отталкивания могут смениться силами притяжения, что приведет
к объединению атомов в молекулу.
196
Рис 7.3
стиц кинетическая энергия
й П

Рис. 7.4.
Поэтому, когда приходится учитывать конечность раз-
размеров микроскопических частиц (а это необходимо, напри-
например, хотя бы для того, чтобы отличить атомы водорода от
молекул водорода), когда эти частицы в первом приближе-
приближении моделируются в виде шариков, последние характери-
характеризуются так называемым эффективным диаметром (^эфф).
Эффективный диаметр характеризует не одиночную частицу
саму по себе, а частицу при взаимодействии с другими
частицами. Если центры масс двух одинаковых частиц-
шариков при взаимодействии могут сблизиться до-яаимень-
шего расстояния d, то считают, что
каждая из частиц имеет эффектив-
эффективный диаметр d^^==d (рис. 7.4).
Рис. 7.3 помогает понять, что
для данной пары частиц эффек-
эффективный диаметр не остается посто-
постоянным: он зависит от суммарной
механической энергии этих частиц»
Точка 5 соответствует наименьше-
наименьшему расстоянию между частицами,
если механическая энергия систе-
системы частиц равна нулю (WM=0). При этом db^=d. Но
частица С2, находясь на любом расстоянии от частицы Си
может двигаться с какой-то скоростью, приобретенной не
только в результате воздействия частицы Сь но и под воз-
воздействием каких-то других частиц. Если при этом энергия
рассматриваемой системы частиц будет положительной
(WMl>0 из-за того, что WKi>\Wia\)9 то частицы смогут
сблизиться до расстояния dx и их эффективные диаметры
уменьшатся (d3^1=di<.d). Если механическая энергия
системы частиц возрастает (WM2>WM1)t эффективные диа-
диаметры частиц станут еще меньше.
Может оказаться, что суммарная механическая энергия
двух данных частиц будет отрицательной (например, №мз<0
при WKS<. \Wn31). При этом частица С2 будет совершать коле-
колебания между положениями гг и г2, так что ее среднее рас-
расстояние от частицы d будет равно г0. При каком-то дру-
другом отрицательном значении суммарной энергии частиц
(Ц?м4) среднее расстояние между частицами будет дру-
другим (г'о).
Для разных веществ графики потенциальной энергии
взаимодействия частиц будут, конечно, разными, но харак-
характер их будет примерно таким же, как у графика, изображен-
изображенного на рис. 7.3. Если суммарная энергия частиц вещества
197

отрицательна (нижняя часть графика под осью Or на
рис. 7.3), то частицы вещества находятся в связанном состоя-
состоянии: частицы совершают колебания, могут сталкиваться,
но силы притяжения не дают им возможности разлетаться
на очень большие расстояния. Если же суммарная энергия
частиц положительна (часть графика над осью Or на
рис. 7.3), частицы не могут составлять связанный коллек-
коллектив: они будут находиться в хаотическом движении, иногда
они будут случайно сталкиваться, но силы притяжения не
смогут удерживать частицы в каких-то определенных поло-
положениях.
Для иллюстрации этих типов состояний вещества можно
воспользоваться механической аналогией. Пусть имеется
изогнутый желоб ABC (рис. 7.5), причем его вид сбоку
имеет форму графика потенциальной энергии, представлен-
представленного на рис. 7.3. По желобу без трения может кататься ма-
маленький шарик. В данном случае нет у нас, конечно, ника-
никаких двух частиц (система взаимодействующих тел состоит
из шарика, желоба и Земли) и речь должна идти о потен-
потенциальной энергии гравита-
гравитационного взаимодействия,
но в зависимости от усло-
условий проведения опыта мы
можем добиться или того,
чтобы шарик при движении
все время оставался в кон-
контакте с желобом (аналогия
связанного ^стояния час-
тиц), или чтобы шарик по-
потерял связь с желобом (ана-
(аналогия «несвязанных» состояний). Для большего соответствия
можно выбрать нуль отсчета потенциальной энергии ша-
рика-в системе отсчета, связанной с Землей, в точке А кон-
конца желоба.
-Если поместить шарик в точку А и отпустить его ,без на-
начальной скорости, то на участке АЕВ за ечет уменьшения
потенциальной энергии шарик будет увеличивать скорость
движения, а далее — на участке BGD — будет происходить
уменьшение скорости шарика, будет возрастать его потенци-
потенциальная энергия, и он сможет подняться до точки D. После
этого шарик будет двигаться по желобу в обратную сторону
и при отсутствии трения достигнет точки А. В согласии с за-
законом сохранения энергии и принятой договоренностью о
выборе нуля отсчета потенциальной энергий шарик в любом
198
Рис- 7-5-

положении на желобе будет иметь значение механической
энергии, равное нулю.
Если шарик начнет движение без начальной скорости из
какой-то точки, расположенной ниже точки А (например,
из точки ?), его механическая энергия в любой момент
времени будет отрицательной, шарик будет совершать коле-
колебательное движение между точками ?иС Этот случай будет
'Соответствовать тепловым колебаниям частицы, находящей-
находящейся в связанном состоянии счдругой частицей.
Наконец, можно провести опыт, при котором шарик по-
потеряет связь с желобом. Для этого в положении А шарику
нужно сообщить какую-то скорость, например, подтолкнув
его влево. Механическая энергия шарика в этом случае бу-
будет положительной. Двигаясь по желобу, он сможет под-
подняться до точки /С (это положение будет соответствовать
столкновению частиц), затем шарик будет возвращаться
к точке А у но, проходя ее, он будет иметь скорость, отлич-
отличную от нуля, что и позволит шарику сорваться с желоба,
потерять с ним связь. После этого шарик отлетит куда-то
в сторону, но без дополнительных, внешних воздействий он
уже никогда не сможет вернуться на желоб, восстановить с
желобом контактную связь. Этот случай соответствует дви-
движению несвязанного коллектива частиц, например движе-
движению частиц вещества в газообразном состоянии. Если бы не
было стенок сосуда (или каких-то других воздействий извне,
например сил гравитационного притяжения Земли), моле-
молекулы или атомы вещества в газообразном состоянии, пре-
претерпев несколько соударений между собой, разлетались бы
на бесконечно большие расстояния.
§ 8. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА В РАЗЛИЧНЫХ АГРЕГАТНЫХ
состояниях^.
8Л. Классификация агрегатных состояний вещества
Подобно тому как состояние механической системы ха-
характеризовалось совокупностью механических параметров
всех ее частей, так и состояние данного вещества будем
связывать пока только с относительным расположением час-
частиц, из которых оно состоит, и со значениями скоростей их
движения. Если при этом мы будем пользоваться понятием
внутренней энергии (стр. 193), то каждое ее новое значение
для данного вещества, имеющего определенную массу, будет
соответствовать новому состоянию вещества, причем на
199

первых порах не будем учитывать изменений внутриатом-
внутриатомной и внутриядерной энергии.
В элементарном курсе физики рассматриваются три агре-
агрегатных состояния вещества: твердое, жидкое и газообразное,
каждое из которых имеет свои отличительные черты. Часто
вместо понятия «агрегатное состояние» используют другие
понятия — фазовое состояние или просто фаза (говорят, на-
например, о веществе, находящемся в твердой, жидкой или га-
газообразной фазах). При определенных условиях данное
вещество может находиться в одном из этих состояний
(а в некоторых случаях и одновременно в нескольких).
Современной физике известны и другие состояния веще-
вещества, которые не умещаются в рамки такой классифика-
классификации. Своеобразными особенностями обладают, например, так
называемое плазменное состояние вещества (частично или
полностью ионизованный газ) и сверхплотное состояние ве-
вещества, имеющее место на некоторых звездах.
8.2. Свойства вещества в твердом состоянии
Тот факт, что в веществе, находящемся в твердом состоя-
состоянии, можно выделить малые объемы, имеющие одинаковую
правильную геометрическую форму (кристаллы), свидетель-
свидетельствует об упорядоченном расположении частиц, из которых
состоит вещество. Мы говорим, что частицы вещества в твер-
твердом состоянии образуют кристаллическую решетку (вспом-
(вспомним, например, известную из химии кубическую кристалли-
кристаллическую решетку поваренной соли). Вещества в твердом
состоянии достаточно хорошо сопротивляются деформациям.
Такое поведение вещества связывают со значительными си-
силами взаимодействия между его частицами.
Силы притяжения не позволяют частицам разлетаться в
разные стороны, привязывают их к местам «оседлой жизни».
Значительная плотность и необходимость больших усилий
для сжатия вещества в твердом состоянии говорят о доста-
достаточно компактной упаковке его частиц. Они располагаются
близко друг к другу и при попытках дальнейшего сближе-
сближения начинают сильно отталкиваться. Поступательное дви-
движение частиц вещества в этом состоянии почти запрещено:
они лишь колеблются, «дрожат» около положений устойчи-
устойчивого равновесия (около узлов кристаллической решетки).
Внутренняя энергия вещества в твердом состоянии скла-
складывается в основном из потенциальной энергии взаимодейст-
взаимодействия его частиц и кинетической энергии их колебательных
200

движений. Абсолютное значение 'минимальной потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействия частиц |1ГПМИН| (рис. 7.3) при
этом оказывается гораздо больше значения средней кинети-
кинетической энергии их теплового движения.
Отличительной особенностью твердого состояния веще-
вещества является анизотропия — неодинаковость всех или не-
некоторых свойств вещества по различным направлениям. На-
Например, вдоль различных ребер кристалла, вдоль различ-
различных диагоналей его граней или диагоналей всего кристалла
могут быть различными такие характеристики вещества,
как электро- и теплопроводность, механические, оптические
и химические свойства. Иногда кристаллы вещества анизо-
анизотропны в отношении одних свойств и изотропны в отноше-
отношении других, но главное, о чем нельзя забывать,— это то,
что вещества в жидком и газообразном состояниях анизо-
анизотропией не обладают.
8.3. Жидкое состояние
Вещество в этом состоянии также имеет достаточно плот-
плотную упаковку частиц: плотность веществ в жидком состоя-
состоянии не на много меньше, чем в твердом *), и для сжатия
вещества требуются огромные усилия. Силы взаимного
притяжения частиц ослаблены по сравнению с твердым
состоянием и допускают подвижность, поступательное
движение частиц: жидкость не сохраняет своей формы,
растекается, но сохраняет объем.
Таким образом, между частицами жидкости, как и между
частицами твердого тела, одновременно действуют силы
притяжения и силы отталкивания, имеющие неодинаковый
характер зависимости от расстояния: при малых расстоя-
расстояниях между частицами преобладают силы отталкивания, а
при больших — силы притяжения.
При постоянной температуре в пределах всего объема
жидкости средняя кинетическая энергия ее частиц всюду
одинакова. Если же сравнивать потенциальные энергии
взаимодействия частиц жидкости, то они оказываются оди-
одинаковыми только для частиц, находящихся внутри объема
жидкости. Частицы поверхностного слоя **) жидкости обла-
*) Не забудем о ряде исключений: вода, висмут и некоторые
другие вещества в жидком состоянии имеют плотность большую, чем
в твердом.
**) Поверхностный слой жидкости иногда называют свободной поверх-
ностью жидкости.
201

дают повышенным запасом потенциальной энергии, ибо,
чтобы попасть в этот слой, они должны совершить работу по
преодолению сил притяжения со стороны остальных частиц.
Поэтому частицы поверхностного слоя находятся в неустой-
неустойчивом равновесии, они стремятся перейти в энергетически
более выгодные положения внутри объема жидкости. По-
Поверхностный слой жидкости может быть уподоблен растяну-
растянутой упругой пленке, стремящейся сократить свои размеры.
Характеризуя это натяжение поверхностного слоя, вводят
силу поверхностного натяжения и коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения (а) жидкости:
a=F/l9 (8.1)
где F — значение силы поверхностного натяжения, дейст-
действующей по касательной к поверхностному слою и перпенди-
перпендикулярно к его границе, имеющей длину /. Этой границей
может являться линия контакта поверхностного слоя с
твердой стенкой или любая линия, мысленно проведенная
в слое. Следовательно, коэффициент поверхностного натяже-
натяжения определяется отношением силы поверхностного натя-
натяжения, действующей на контур свободной поверхности жид-
жидкости, к длине этого контура.
Смысл коэффициента поверхностного натяжения хможет
быть установлен и по-другому. Предположим, что при по-
постоянной температуре (чтобы не изменялись средняя кине-
кинетическая энергия частиц жидкости и силы взаимодействия
между ними) мы увеличиваем площадь поверхностного слоя
на AS. Для этого нам придется совершить работу АЛ. Рас-
Расчеты показывают, что связь между этими величинами может
быть представлена в виде
АЛ = a AS,
откуда
т. е. коэффициент поверхностного натяжения равен отно-
отношению работы, необходимой для изменения площади поверх-
поверхностного слоя жидкости на AS при постоянной температуре,
к этому изменению площади.
Во внутреннюю энергию вещества в жидком состоянии
кроме потенциальной энергии взаимодействия и кинетиче-
кинетической энергии колебательного движения частиц входит кине-
кинетическая энергия их поступательного и вращательного дви-
движений. Абсолютное значение минимальной потенциальной
202

энергий взаимодействия частиц вещества \Wnum\ (рис. 7.3)
мало отличается от значений средних кинетических энергий
их тепловых движений.
Из твердого состояния в жидкое вещество в обычных
условиях самопроизвольно не переходит. Чтобы осуществить
такой переход, нужно извне подводить к веществу энергию,
которая будет расходоваться на разрыв прочных связей ме-
между частицами, свойственных твердому состоянию, на со-
совершение работы при изменении расположения взаимодейст-
взаимодействующих частиц.
8.4. Газообразное состояние
Газообразное состояние является, простейшим по сравне-
сравнению с другими. Атомы или молекулы газа разбегаются во
все стороны, заполняя весь предоставленный им объем.
Газы можно сильно сжимать (из-за неплотной упаковки
их частиц). Силы взаимного притяжения между частицами
газа продолжают действовать, но из-за больших расстояний
между частицами они крайне слабы, и ими можно прене-
пренебречь. Значение средней кинетической энергии теплового
движения частиц во много раз превышает абсолютное значе-
значение минимальной потенциальной энергии их взаимодействия
(рис. 7.3). В связи с этим часто используется представление
об идеальном газе как о коллективе частиц, между которыми
силы притяжения не действуют вовсе, а силы отталкивания
проявляются только при соударениях частиц газа между
собой или со стенками сосуда, в котором газ заключен.
Во внутреннюю энергию газа, состоящего из молекул,
вносят вклад: поступательное и вращательное движения
молекул и колебательное движение атомов в молекуле (если
пренебречь потенциальной энергией взаимодействия моле-
молекул). Внутренняя энергия атомарного газа состоит лишь из
кинетической энергии поступательного движения его атомов.
Переход вещества из жидкого состояния в газообразное
может происходить как при подводе к веществу энергии
извне (что имеет место при кипении жидкостей, см. п. 15.3),
так и без такого подвода, за счет перераспределения внутрен-
внутренней энергии между жидкой и газообразной фазами данного
вещества (последнее наблюдается при испарении жидкостей,
см. п. 15.3). Далее мы напомним о возможности перехода
вещества непосредственно из твердого состояния в газооб-
газообразное — о так называемом процессе сублимации (qm.
п. 15.4).

ГЛАВА III
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
§9. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МОДЕЛИ
В главе I мы подробно рассмотрели закономерности ме-
механического движения твердых тел. С относительным пере-
перемещением слоев или порций газов и жидкостей или с их не-
неподвижностью нам приходится встречаться очень часто,
причем механическое движение жидкостей и газов, несмотря
на отличие их свойств от свойств твердых тел, удается
исследовать, используя' в основном прежние законы. При
этом аналогами материальных точек считаются достаточно
малые по объему порции газа или жидкости, внутренней
структурой которых пренебрегают. Используя модель аб-
абсолютно твердого тела, мы пренебрегали деформациями,
считали неизменными расстояния между точками те,ла. Ана-
Аналогичную модель используем и теперь: будем считать, что
газ или жидкость представляют удобоподвижную среду, но с
постоянными расстояниями между ее частицами. Так появ-
появляется модельное представление о несжимаемом газе или
несжимаемой жидкости. В каком бы месте объема, занимае-
занимаемого таким газом или жидкостью, мы ни рассматривали их
малые порции, плотность всюду считается одинаковой. Та-
Таким образом, несжимаемые газы и жидкости — это среды,
однородные по плотности во всех своих точках, среды сплош-
сплошные — без пустот или сгустков.
Нужно иметь в виду, что реальные жидкости, с которы-
которыми мы обычно встречаемся, действительно очень мало сжи-
сжимаются под воздействием внешних усилий (изменения объе-
объема и плотности при этом бывают незначительными) и без
ущерба для дела могут считаться вовсе несжимаемыми. Не-
Несжимаемый газ в этом отношении — модель, более далекая
от реальности. Обычные газы'весьма охотно сжимаются или
расширяются, изменяют свою плотность; в зависимости от
условий плотность газа может быть неодинаковой в разных
204

местах заданного объема. Но в простейших задачах с непод-
неподвижными газами, когда внешние воздействия не изменяют-
изменяются, или в случаях движения газов с малыми скоростями (де-
(десятки метров в секунду) сжимаемостью газов вполне можно
пренебречь.
В механике абсолютно твердых тел часто приходится
иметь дело с нерастяжимыми нитями, с нерастяжимыми или
несжимаемыми стержнями и с прочими телами, обеспечиваю-
обеспечивающими связь между рассматриваемыми телами системы. Но
несмотря на то, что мы пренебрегаем деформациями связей,
мы вынуждены считаться с силами упругости, действую-
действующими между соседними слоями, участками или частицами
этих тел. Иначе они не могли бы выполнять роль посредников
взаимодействия между остальными телами. С аналогичной
ситуацией мы сталкиваемся, когда решаем ту или иную за-
задачу о поведении несжимаемой жидкости или газа Деформа-
Деформациями объемов жидкости или газа мы пренебрегаем, но не
должны забывать о силах упругости, действующих между
соседними частицами или слоями этих веществ. Силы упру-
упругости в твердых кристаллических телах появляются при де-
деформациях любого вида (при растяжении, сжатии, изгибе,
при сдвиге соседних слоев и т. д.), т. е. при изменениях объе-
объема и формы тела. В жидкостях и газах силы упругого взаимо-
взаимодействия частиц появляются только при изменениях объема:
эти силы противодействуют внешним силам и препятствуют
сжатию, уменьшению объема жидкости или газа. В жидко-
жидкостях, кроме того, возникают силы, препятствующие растя-
растяжению, увеличению объема (например, столб жидкости мо-
может находиться в растянутом состоянии, а для разрыва стол-
столба требуются значительные внешние усилия).
Движение твердых тел происходит всегда с трением, но
часто для упрощения мы его не учитываем. Точно так же
при относительном перемещении слоев газа или жидкости
на их границе возникают силы трения. Эти силы называются
силами вязкого трения (или силами вязкости), а явление их
возникновения — вязким трением или просто вязкостью.
Газы и жидкости, при движении слоев которых учитываются
силы вязкого трения, называются вязкими; когда же этими
силами можно пренебречь, говорят о невязких газах или
жидкостях (или об отсутствии вязкости).
Простейшими моделями, используемыми в механике
жидкостей и газов, являются несжимаемые и одновременно
невязкие газы и жидкости. Поскольку многие законы стати-
статики и динамики газов и жидкостей совершенно одинаковы по
205

форме, часто для краткости говорят только о закономерно-
закономерностях поведения жидкостей, но если не делается особых ого-
оговорок, то имеют в виду, что те же закономерности относятся
и к газам.
§ 10. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
10.1. Равновесие частиц свободной поверхности
жидкости вдали от стенок сосуда
Учитывая подвижность молекул или атомов, из которых
состоят жидкости и газы, можно рассматривать статическое
равновесие только их конечных, не микроскопических, а
макроскопических объемов. Говоря о неподвижных точках
или частицах в покоящейся жидкости, имеют в виду именно
такие объемы. Условием их статического равновесия будет
по-прежнему равенство нулю геометрической суммы всех
сил, действующих на них извне (уравнение C.1)).
Большой интерес представляет рассмотрение равновесия
частиц свободной поверхности жидкости в случае движения
всей жидкости вместе с сосудом. Это равновесие достигается
только при условии перпендикулярности каждого участка
свободной поверхности к результирующей всех сил, дейст-
действующих на него со стороны нижележащих частиц, так как
в противном случае возможно перетекание частиц вдоль
слоя, при котором будет нарушена относительная неподвиж-
неподвижность его частиц.
Задача. Железнодорожная цистерна с бензином движется равно-
равномерно со скоростью v по прямолинейному горизонтальному пути в не-
неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Как
Рис. ЮЛ.
будет располагаться свободная поверхность бензина при ускоренном
движении цистерны и при ее торможении? Принять ускорение и замед-
замедление равными а.
Рассмотрим одну из частиц свободной поверхности жидкости (точ-
(точка В на рис. 10.1). Пусть масса частицы равна т. Находясь в поле силы
-206

тяжести Земли, она будет испытывать действие силы тяжести Р. В случав
равномерного движения (рис 10.1, а) воздействие на нее всех соседних
частиц сведется к равнодействующей силе Rlt направленной вертикаль-
вертикально вверх и по модулю равной Р Иной схемы приложения сил к частице
быть не может, так как она не движется по вертикали, а ее горизонталь-
горизонтальное движение с постоянной скоростью не нуждается в силе. В этом слу-
случае поверхность бензина в точке В и во всех других точках (явление сма-
смачивания стенок бензином пока не рассматриваем) должна располагаться
горизонтально (перпендикулярно к направлению силы Rx).
В случае ускоренного движения вправо (рис. 10 1, б) на частицу
по-прежнему будет действовать сила тяжести Р, но результирующая
сила воздействий соседних участков R2 не может теперь уравновешивать
силу Р. чЧастица В должна вместе с цистерной двигаться вправо с уско-
ускорением а. Причиной такого движения может быть сила F2, являющаяся
суммой сил Р и R2, так как никакие другие силы на частицу В не дейст-
действуют. Из рисунка видно, что для обеспечения такой силы равнодейст-
равнодействующая R2 должна быть наклонена под каким-то углом а к вертикали
в сторону движения.
Выбрав координатную ось ОХ горизонтальной, а ее положительное
направление совпадающим с направлением движения (на рис. 10 1, б
эта ось не показана) и воспользовавшись вторым законом Ньютона, имеем
/у=/ш. (a)
Связь F2 и Р ясна из рисунка: F2—P tg а, или
/y=mgtga. (б)
Приравнивая правые части выражений (а) и (б) и сокращая на т, полу-
получаем tg a=a/g, откуда
a = arctg~.
о
Свободная поверхность бензина в этом случае будет наклонена к го-
горизонту под углом а (из-за ее перпендикулярности к направлению силы
R2) и останется плоской, так как для любой другой ее точки направление
силы R2 будет таким же, как и для точки В. Угол наклона при постоян-
постоянном g зависит только от а.
Выяснить", каков будет угол наклона поверхности бензина к гори-
горизонту при замедленном движении цистерны (рис. 10.1, в), можно ана-
аналогичным образом.
10.2. Равновесие частиц внутри объема
жидкости или газа
Рассматривая упругое взаимодействие макроскопиче-
макроскопической частицы жидкости или газа с окружающими ее части-
частицами, удобно пользоваться не силой (для которой должна
быть указана точка приложения, но последнюю не так-то
просто найти, имея дело с коллективом хаотически движу-
207

щихся микроскопических частиц), а давлением (р) — величи-
величиной, оценивающей воздействие, распределенное по площади:
Р= (ЮЛ)
Здесь AFn — проекция силы на нормаль к малому элементу
поверхности с площадью AS, на который эта сила действует.
Если давление постоянно на всех элементах плоской поверх-
поверхности, то
Р=^. A0.2)
где Fn — нормальная проекция суммарной силы, действую-
действующей на плоскую поверхность с площадью S. Силы AFn и Fn
называют силами давления.
Давление не учитывает сил, действующих по касатель-
касательной к элементу поверхности, и поэтому им удобно оценивать
упругие взаимодействия между частицами жидкостей и га-
газов, так как даже при относительном перемещении слоев
жидкости или газа как раз отсутствуют силы упругого взаи-
взаимодействия, направленные по касательной к соприкасаю-
соприкасающимся слоям (не путать с силами внутреннего трения, ко-
которые хотя и направлены по касательной, но зависят от от-
относительных скоростей движения слоев и при рассмотрении
равновесия неподвижной макроскопической частицы, конеч-
конечно, отсутствуют).
Введение давления оправдано и тем, что очень часто при-
приходится оценивать взаимодействие жидкостей и газов с твер-
твердыми телами: со стенками сосуда, в котором содержится
жидкость или газ, со стенками трубопровода, с корпусом
корабля, с лопатками турбины и т. д. Во всех этих случаях
силы взаимодействия не сосредоточены в отдельных точках,
а «размазаны», распределены (равномерно или неравномерно)
по площади.
Единицы измерения давления устанавливаются в согла-
согласии с формулой A0.2): 1 Н/м2 (СИ) и 1 дин/см2 (СГС). Заме-
Заметим, что единица измерения давления в СИ теперь называет-
называется паскалем;
1 Па=1 Н/м2.
Исследование равновесия макроскопических частиц,
находящихся внутри объема жидкости или газа, приводит
к установлению двух закономерностей, которым подчиняет-
подчиняется давление жидкости или газа.
208

Рассмотрим малый элемент объема жидкости или
газа, имеющий форму четырехгранной пирамиды ОАВС
(рис. 10.2, я). Элемент настолько мал, что силой тяжести
этого элемента можно пренебречь по сравнению с силами
AFlf AF2> А^з и А/7*, действующими на его грани со стороны
окружающих частиц. Пусть площади граней соответственно
равны ASb A52, AS3 и AS4 (обозначение AS4 на рисунке не
дано), а двугранные углы, которые грань ABC образует с
AF2
X
Рис, 10 2.
координатными плоскостями (или с остальными гранями пи-
пирамиды), равны а, р и 7-
Условие равновесия C.1) для рассматриваемого элемента
может быть записано в виде
AF1+AF2+AF,+AF4=0
или в виде системы уравнений для проекций векторов на
координатные оси:
Проекции AFlxy AF3x, &Fly, AF2y, AF2z и AF3z равны нулю.
По рис. 10.2, б, на котором изображено сечение элемента
плоскостью YOv\> легко найти угол между положительным
направлением координатной оси OY и вектором AF4. Видно,
что этот угол равен п — р радиан. Точно так же можно по-
показать, что две другие координатные оси составляют с век-
вектором AF4 углы п — а и я — у радиан соответственно. Та-
Таким образом, мы приходим к системе уравнений
(я — а)=0, AF3+AF4cos (я — Р)=0,
os (я — у)=0,
209

которая после простых тригонометрических преобразований
упрощается:
Учитывая связь между, площадями граней выделенного эле-
элемента
AS2= AS4 cosa, AS3=AS4 cos p, AS1 = AS4 cosy,
можно написать
AF2 __ AF4 cos a AF3 _ AF4 cos ft Af t __ AF4 cos 7
A52 ~~" AS4 cos a ' AS3 "" AS4 cos p ' A5X ~~" A54 cos у '
откуда следует, что
Р2=Р4, РЗ=Р4, Pl = p4,
т. е.
Мы пришли к заключению о том, что давление внутри
жидкости или газа не зависит от ориентации площадки, по
силе воздействия на которую оно рассчитывается или опре-
определяется экспериментальна. Имея это в виду, иногда гово-
говорят, что давление внутри жидкости или газа по всем на-
направлениям одинаково. В этом утверждении заключается
смысл закона Паскаля,
До сих пор мы оценивали упругое взаимодействие частиц
жидкости или газа, пренебрегая внешними воздействиями
на них. Однако внешние воздействия в большинстве случаев
имеются. В земных условиях внешней силой, действующей
на частицу жидкости или газа, оказывается сила тяжести.
Если этой силой не пренебрегать, то давления на различных
глубинах внутри объема жидкости или газа оказываются
неодинаковыми.
Термин «глубина» используется только для того, чтобы
подчеркнуть, что речь идет о точках, расположенных внутри
объема жидкости или газа. Если имеют дело с жидкостью,
то глубину обычно отсчитывают от уровня свободной по-
поверхности жидкости. Глубину расположения различных то-
точек внутри объема газа удобно отсчитывать от уровня рас-
расположения самого верхнего слоя газа (например, от верхней
стенки или крышки сосуда, в котором заключен газ, от наи-
наивысшей внутренней точки оболочки воздушного шара и т. д.).
Рассмотрим для примера неподвижный элемент объема
жидкости, имеющий форму призмы с малыми по площади
(AS) верхним и нижним основаниями (на рис. 10.3, а пока-

зан вид этого элемента сбоку, а на рис. 10.3, б — силы, дей-
действующие на него),. Верхнее основание призмы находится
на глубине Ах под свободной поверхностью жидкости, а
нижнее — на глубине А2. Пусть АР — сила тяжести выде-
выделенного элемента. Уравнение
AF1+AF2+AF3+AF4+AF6+AF6+AP=0
является условием статического равновесия элемента жид-
жидкости. Не будем тратить время на проецирование этого урав-
уравнения на координатные оси ОХ и OZ. Ясно, что это привело
Рис. 10.3.
бы нас к очевидным следствиям: AF3=A/r4 и AF5==AF6.
Результат проецирования да ось OY можно записать в виде
AFiy+AF2y+APy=0,
откуда
Если давления на верхнее и нижнее основания элемента
обозначить через рг и р2, а массу элемента — через Am, то
S—Amg=0.
Если плотность жидкости равна р, то Am=p AF, где AV —
объем выделенного элемента: ДК=(Аа—/1х)Д5. Теперь имеем
откуда
р2—pi=pgAa—p
т. е. давление р в какой-то точке жидкости (или газа), вы-
вызванное силой тяжести вышележащих слоев, пропорцио-
пропорционально глубине расположения h этой точки:
A0.3)
211

Если над свободной поверхностью жидкости внешнее дав-
давление равно рвн (давление окружающего воздуха, давление
паров этой жидкости и т. д.), то давление на глубине h под
свободной поверхностью будет равно
(Ю.4)
Задача. В сосуде содержатся три жидкости с неодинаковыми плот-
плотностями р1э р2 и р3. Жидкости расположены слоями, толщины которых
равны къ h2 и hz (рис. 10.4, а). Построить график зависимости давления
на боковую стенку сосуда от глубины. Давление над свободной поверх-
поверхностью верхнего слоя равно рвн.
а)
Рис. 10.4.
Глубину будем измерять от свободной поверхности верхнего слоя
жидкости и откладывать в масштабе ц^ по вертикали, а давление —
в масштабе [ip — по горизонтали (оси h и р на рис. 10.4, б).
Давление рвн передается в любую точку жидкости, так что горизон-
горизонтальных координат, меньших рВн> на графике не будет. При переходе от
точки А стенки до точки В к давлению рвн будет добавляться давление,
вызванное силой тяжести частиц верхнего слоя жидкости, которое в точ-
точке В на глубине7/*! будет равно Pi=Pigh1. Таким образом, суммарное
давление в точке В будет равно
При переходе в точку С давление увеличится на р2=Pigh2 и составит
Рассуждая точно так же, для точки D на уровне дна сосуда получаем
В пределах неглубокого сосуда нужно считать g= const, и тогда
ясно, что тангенс угла наклона графика давления пропорционален
плотности жидкости:
212

Если бы в сосуде содержалась однородная жидкость с плотностью р,
график представлял бы не ломаную, а прямую линию с тангенсом угла
наклона к оси глубин, равным (j^/fX/OgP
Силы давления во всех точках рассматриваемой стенки сосуда на-
направлены перпендикулярно к ней. Если бы это условие не выполнялось
и имелись составляющие сил воздействия частиц жидкости на стенку,
направленные параллельно стенке, то это соответствовало бы опусканию
или подъему частиц жидкости, движению их «от нас» или «к нам», что
противоречило бы статичности задачи, неподвижности всех макроско-
макроскопических частиц жидкости Всегда, когда отсутствует движение частиц
или слоев жидкости вдоль стенки, на последнюю действуют только силы
нормального давления, а силы, направленные по касательной к стенке,
отсутствуют.
10.3. Равновесие частиц свободной поверхности
жидкости вблизи стенок сосуда
При оценке равновесия частиц свободной поверхности
жидкости, граничащих со стенками сосуда, приходится
сравнивать силы молекулярного взаимодействия жидкости
с веществом стенок, жидкости с газом, находящимся над
свободной поверхностью жидкости, и вещества стенок с га-
газом.
У границы со стенкой свободная поверхность жидкости
всегда искривлена — образуется мениск. Форма мениска
зависит от соотношений между указанными силами. Если
силы взаимодействия между жидкостью и веществом стенок,
а также силы взаимодействия жидкости и газа оказываются
меньше сил взаимодействия между веществом стенок и га-
газом, то мениск имеет выпуклую форму и говорят, чтр данная
жидкость не смачивает вещество стенок. При обратном соот-
соотношении между этими силами мениск вогнутый и жидкость
смачивает вещество стенок.
Поскольку в поверхностном слое действуют силы по-
поверхностного натяжения, равновесие мениска жидкости
возможно, если только на его границу действуют силы со
стороны стенки. Эти силы должны быть направлены по ка-
касательной к поверхности мениска и перпендикулярно к его
границе. За счет этого давление внутри жидкости под ис-
искривленным мениском отличается от давления под плоской
ее поверхностью. Особенно просто это подсчитать при за-
заполнении жидкостью тонких цилиндрических трубок — ка-
капилляров, так как в этом случае мениски часто имеют фор-
форму полусферы и силы, уравновешивающие силы поверхност-
поверхностного натяжения, направлены по образующим цилиндричес-
цилиндрической поверхности. На рис. 10.5 мениски для наглядности
213

изображены «оторванными» от стенки. Ясно, что давле-
давление р! под вогнутым мениском жидкости, смачивающей
стенку, меньше внешнего давления рвн над мениском: сила F,
равномерно распределенная по всей границе мениска, как
бы приподнимает его, уменьшая силу его воздействия на
нижележащие слои жидкости (рис. 10.5, а). Для выпуклого
мениска р2>Рвн: сила F поджима-
поджимает мениском остальную жидкость
(рис. 10.5, б).
Если радиус капилляра г и ме-
мениск имеет форму полусферы, раз-
разницу Ар в давлениях под мениском и
над ним легко подсчитать (для слу-
случаев, изображенных на рис. 10.5):
^ F
а) "б) " А"~" "¦-" ~
Рис. 10.5.
РЬн
Равновесие столбов жидкости в капиллярных сосудах
оценивается с учетом изменения давления под искривлен-
искривленным мениском.
Искривление свободной поверхности жидкости, конечно,
имеет место не только вблизи стенок сосуда, в котором нахо-
находится жидкость, но и в местах контакта свободной поверх-
поверхности с поверхностями твердых тел, плавающих в ней, ка-
касающихся поверхности жидкости и т. д.
Задача. Один из простейших экспериментальных методов определе-
определения коэффициентов поверхностного натяжения жидкостей состоит в
следующем. К стойке (рис. 10 6, а), строго вертикальное положение
которой устанавливается винтами и проверяется по отвесу О, прикреп-
прикрепляется витая пружина с указателем S. Пружину обычно перед началом
опыта тарируют, т. е. определяют ее коэффициент упругости k. К ниж-
нижнему концу пружины подвешивается металлическое кольцо /С. Сосуд
с исследуемой жидкостью С помещают на столике Г, который может
" плавно перемещаться вверх и вниз по стойке.
Если сосуд с жидкостью поднять до касания поверхности жидкости
с кольцом, то последнее «прилипает» к жидкости. Это будет происходить,
конечно, в том случае, если жидкость смачивает вещество кольца. При
опускании столика кольцо, испытывающее действие сил притяжения
Fx и F2 со стороны жидкости, распределенных по окружностям внутрен-
внутреннего и внешнего диаметров (рис. 10.6, б), будет опускаться, растягивая
пружину. В некоторый момент кольцо отрывается от поверхности
жидкости.
На шкале, имеющейся на стойке, может быть отмечено деление
No, соответствующее положению указателя S пружины, когда к ней не
было подвешено кольцо, деление Nx — когда кольцо висит на пружине,
не касаясь поверхности жидкости, и деление N2l против которого нахо-
214

дится указатель 5 в момент отрыва кольца от поверхности жидкости.
(При выполнении более точных измерений деформацию пружины изме-
измеряют иным способом.)
Выполнив эти замеры и зная внутренний 4 и внешний 4 диаметры
кольца, удается определить коэффициент поверхностного натяжения
жидкости
Найдем коэффициент поверхностного натяжения жидкости в СИ
по следующим данным 4=26,1 мм, 4=26,7 мм, ?=1,08 Н/м, Nx=
=213,0 мм, ЛГ2=218,6 мм.
Считая, что свободная поверхность жидкости в момент отрыва коль-
кольца искривлена так, как показано нд рис. 10.6, б (силы Fx и F2 действуют
на кольцо вдоль образующих его цилиндрических поверхностей), рас-
рассмотрим равновесие кольца в момент отрыва Вертикально вниз на него
действует сила тяжести Р и сумма сил Fx и F2, вверх действует сила
-A.S
¦а,-
Л-rzz
//////////////////s
а)
Рис. 10 6.
натяжения пружины F. Значит, в неподвижной инерциальной системе
отсчета, связанной, например, со стойкой, условие равновесия может
быть записано в виде
P+Fi+F.+ F=0.
Приняв, что вертикальная координатная ось направлена сверху вниз,
приходим к уравнению
P+Fl+Ft-F=0.
Величину Fможно выразить в согласии с уравнением B.7) через коэффи-
коэффициент упругости пружины и ее удлинение, легко определяемое по раз-
разности отсчетов N2 и No:
F=k(N2-N0).
Аналогично, силу тяжести кольца можно выразить через силу упругости
пружины в случае равновесия кольца, не касающегося поверхности
жидкости. При этом деформация пружины равна разности отсчетов
#! и No, поэтому
P
Учитывая далее, что /71=ая4» F2—and2, имеем
215

откуда после простых преобразований получим выражение для коэффи-
коэффициента поверхностного натяжения жидкости.
Как видим, при таком способе измерения коэффициента поверхно-
поверхностного натяжения не стоит даже отмечать деление шкалы NOi соответст-
соответствующее положению указателя нерастянутой пружины. В нашем анализе
оно было использовано только для указания начала отсчета деформаций
пружины под действием тех или иных сил.
Легко убеждаемся, что размерность правой части полученного вы-
выражения совпадает с размерностью коэффициента поверхностного натя-
натяжения:
Н м Н
Попутно обратим внимание на совпадение размерностей коэффици-
коэффициента поверхностного натяжения жидкости и коэффициента упругости
пружины (дробь в полученном выражении безразмерна при измерении
величин Nlt N2, dt и d2 в одинаковых единицах измерения, не обязатель-
обязательно принадлежащих используемой системе единиц).
Для получения численного результата в СИ значения величин
Wi» N2, dt и d2i в согласии с только что сделанной оговоркой, в расчет-
расчетную формулу можно подставлять в миллиметрах:
, ло 218,6 — 213,0 ос 1Л „„.
«=1'083,14B6,1+26,7) « 36.10-1 Н/м.
С изменением давления под искривленной поверхностью
жидкости приходится считаться не только при контакте
жидкости с твердыми стенками. Искривленной свободная
поверхность бывает и в случае ее полной замкнутости. Ка-
Какова форма пузырьков газа, находящихся внутри жидко-
жидкости, или капель жидкости в воздухе? При стремлении по-
поверхностного слоя сократиться по размерам он принимает
форму сферической поверхности, как минимальной по срав-
сравнению с размерами других поверхностей, ограничивающих
заданный объем. При этом давление внутри пузырька или
капли будет больше внешнего давления на Др=2ос/г (см,
формулу A0.5)), где г — радиус пузырька или капли.
10.4. Равновесие сосудов, заполненных
жидкостью или газом
О равновесии заполненного газом или жидкостью сосуда
можно говорить, конечно, только при условии его полной
неподвижности или инерциального движения. При этом
стенки сосуда не должны деформироваться (продавливаться
внутрь или выпучиваться наружу). Сравнение геометриче-
216

ских сумм сил, действующих на сосуд, одну из его стенок
или любой участок стенки снаружи и изнутри, полностью
решает этот вопрос.
Задача. Сосуд, в форме цилиндра, переходящего в усеченный конус
(рис. 10 7), заполнен газом при давлении р, большем, чем давление ок-
окружающего воздуха рвн. Будет ли со-
сосуд находиться в равновесии?
На любую точку внутренней по-
поверхности сосуда действует давление
р, а на точки внешней поверхности —
давление рвн Силы давлений направ-
направлены перпендикулярно к стенке. Нера-
Неравенство площадей оснований Sx и S2 со-
сосуда не является, конечно, поводом для
его движения вправо. Модули сил Fx и
F2, действующих на эти основания со стороны газа, неравны* F2>Fu
так как /ri=p51, F2—pS2, a S2>Si. Но нельзя не учитывать суммарную
горизонтальную составляющую сил давления на коническую поверх-
поверхность* вместе с силой Fj. она и уравновесит силу F2. Анализ сил воз-
воздействия на внешнюю поверхность сосуда приводит к такому же
результату.
«Гидростатический парадокс». Это явление заключается
втом, что одинаковые по высоте столбы одной и той же жид-
жидкости действуют на определенное по площади дно сосуда с
Pin
Рис. 10.7.
1',
h
I,
\Рдн
~1SZ.ZL.~Z
zliz.~z.
•)
одинаковыми силами независимо от формы столбов и веса
жидкости, заключенной в этих столбах.
Рассмотрим различные по форме сосуды, изображенные
на рис. 10.8. Какую силу F нужно приложить снизу к отъ-
отъемному днищу площадью S, чтобы оно не отрывалось от со-
сосуда при высоте h столба жидкости? Пусть плотность жидко-
жидкости равна р.
Если не учитывать вес самого днища, то при его равнове-
равновесии сила F и сила давления на днище со стороны жидкости
217

должны быть одинаковыми по модулю. Во всех четырех слу-
случаях давление у дна сосуда равно pgh и модуль силы давле-
давления, действующей на днище сверху, равен pghS: (Давление
окружающего воздуха рш из рассмотрения можно исклю-
исключить, так как оно передается через столб жидкости до днища
сверху и действует на днище снизу.) Таким образом, неза-
независимо от формы сосуда при равновесии днища должно вы-
выполняться условие F=pghS. Если вес жидкости, налитой в
сосуд, равен Р, то в случае а будет F=P> в случаях б и г —
F>P, а в случае в — F<P.
Чтобы понять причину указанных неравенств для слу-
случаев^, виг, нужно рассмотреть силы, действующие на бо-
боковые стенки сосудов, и условия их равновесия.
Неподвижность боковых стенок, на которые со стороны
жидкости действуют силы давления, обеспечивается и нали-
наличием сил со стороны кронштейна ААУ поддерживающего
стенки. Если сосуды закреплять не в массивных неподвиж-
неподвижных жестких кронштейнах, а подвешивать на пружинах,
можно заметить, что в случаях б и г на стенки сосудов кроме
собственной силы тяжести действует сила со стороны жидко-
жидкости, направленная вверх, а в случае в — сила, направлен-
направленная вниз.
Таким образом, разница между весом жидкости и силой F
в случае в воспринимается стенками сосуда и, в конечном
счете, кронштейном. В случаях б и г на днище сверху кроме
веса жидкости действуют силы давления поджатой боковы-
боковыми стенками жидкости (наклонные боковые стенки в случае б
и горизонтальные участки стенок в случае г через несжи-
несжимаемую жидкость действуют на дно сосуда). И только в слу-
случае а боковые стенки, не испытывающие действия верти-
вертикальных сил, не воспринимают никакой доли веса жидкости
и к весу столба, действующему на днище сосуда, ничего не
добавляют.
10,5. Равновесие тел, погруженных в жидкость или газ.
Закон Архимеда
При рассмотрении тела, находящегося внутри жидкости
или газа, нужно отчетливо представить, какие силы дейст-
действуют на тело, и проанализировать общие условия его стати-
статического равновесия C.1) и C.3). При таком подходе удается
вскрыть и физический смысл закона Архимеда, который
очень часто истолковывается неверно, если пользуются не
218

совсем строгими формулировками (типа: «тело, погруженное
в жидкость или газ, теряет в своем весе столько, сколько ве-
весят вытесненные жидкость или газ в объеме погруженной
части тела»).
На тело, погруженное в жидкость или газ, кроме силы
тяжести действует выталкивающая (или архимедова) сила,
направленная вертикально вверх. Эта сила равна произве-
произведению объема тела (или объема погруженной под свобод-
свободную поверхность жидкости части тела) на плотность жидко-
жидкости и на ускорение свободного падения в том пункте на
Земле, где проводится опыт.
Рис. 10.9.
Но каков механизм возникновения выталкивающей си-
Всегда ли она направлена вертикально вверх? Рас-
Рассмотрим эти вопросы более подробно.
Твердое тело в форме прямоугольной призмы (рис. 10.9, а)
из вещества с плотностью рт погружено в жидкость, плот-
плотность которой рж. Высота призмы /, стороны ее верхнего
и нижнего оснований равны а. При каких условиях возмож-
возможно равновесие этого тела в жидкости?
Верхнее основание призмы находится на глубине hu
а нижнее — на глубине h2 под свободной поверхностью жид-
жидкости. Давление окружающего воздуха над свободной по-
поверхностью жидкости при рассмотрении равновесия тела
никакой роли не играет. Давление в различных слоях
жидкости, которую мы будем считать несжимаемой, зависит
только от глубины слоев поя свободной поверхностью (см.
формулу A0,3)). Ясно, что давление во всех точках верхнего
основания призмы Pi=p«g^i, а во всех точках нижнего ос-
основания Ра=Ржё'^2. Давление на правую и левую, а также
219

на переднюю и заднюю грани будет изменяться с глубиной
от р! до р2 по линейному закону.
Чтобы воспользоваться условиями равновесия C.1)
и C.3), нужно определить все силы, действующие на тело
(рис. 10.9, б). Для нахождения FB, F4, Fb и Fe воспользуемся
средним значением давления рср в пределах соответствую-
соответствующих граней. Так как давление пропорционально глубине,
можно написать
л — ^1 «~^g -_ ГЖй'1ТУж& __ ^жб (U _1_U \
Поскольку площади боковых граней одинаковы и равны а/,
находим
Г^ Г9 f f ¦*•
и заключаем, что первое и третье уравнения системы (З.Г)
удовлетворяются. Чтобы силы F3 и F4 не создавали вращаю-
вращающих моментов относительно осей OY и OZ, а силы F5 и Fe —
моментов относительно осей OY и ОХ, эти силы должны быть
приложены в центрах масс соответствующих граней. Ана-
Аналогично заключаем, что при равновесии тела сила Fi должна
быть приложена в центре масс верхнего основания призмы,
сила F2 — в центре масс ее нижнего основания, а сила тя-
тяжести Р — в центре масс С призмы (эти три силы должны
действовать вдоль одйой вертикальной прямой, параллель-
параллельной оси OY). Кроме того, на основании второго уравнения
системы C.1') должно выполняться равенство F2—Ft—Р=
=0, или
F«—Fi=P. A0.6)
Результирующую вертикальных сил давления, модуль
которой равен
FA=F2-FU A0.7)
и называют выталкивающей (или архимедовой) силой'. Как
видим, причиной возникновения выталкивающей силы яв-
является неравенство давлений на различных глубинах внутри
жидкости. Это неравенство, как было показано выше, свя-
связано с учетом сил тяжести частиц жидкости в поле тяготе-
тяготения Земли. Таким образом, в «обычных» земных условиях
(когда не имеют дела с состоянием невесомости и т. п.)
выталкивающая сила может действовать на тело только
вертикально вверх,
220

На основании A0.7) с учетом введенных обозначений
имеем
или
Ра = Р*?У„ (Ю.8)
где через VT обозначен объем тела, погруженного в жид-
жидкость ; VT=а2 (/г2—/ii).
На основании A0.6) и A0.8) имеем pmgFT=pTgFT, или
т. е. тело, целиком Aзсем своим объемом) погруженное в
жидкость (или газ), может находиться в равновесии только
при условии равенства плотностей вещества тела и жид-
жидкости.
Если плотность тела меньше плотности жидкости, рт<
<Срж, то равновесие (плавание) тела возможно при условии,
что тело погружено в жидкость частично. В этом случае в
выражение A0.8) входит объем погруженной (под свобод-
свободную поверхность жидкости) части тела Vn:
Fa = P*8Vu. (Ю.9)
Условие равновесия тела A0.6) для этого случая нужно за-
записать в виде
откуда можнЪ получить выражение для подсчета объема
части тела, находящейся под свободной поверхностью жид-
жидкости:
Vn = VT^. A0.11)
^ж
Если рт>рж, то равновесие сплошного тела, целиком
погруженного в жидкость, под действием силы тяжести и
выталкивающей силы невозможно: нужно приложить к телу
еще какую-то внешнюю силу, действующую вверх. Если та-
такой силы нет, тело тонет.
Когда плотность вещества тела рт больше плотности
жидкости рж, уравнение A0.10) продолжает оставаться ус-
условием плавания, если под Ут понимат^ не объем простран-
пространства, занимаемого телом, а объем вещества тела. Тонкостен-
Тонкостенные, коробчатые, полые тела из плотного вещества, напри-
например из металла, у которого рт>рж, могут плавать в воде,
221

так как при этом возможно выполнение условия VT<.Vn
(объем части тела, погруженной под свободную поверх-
поверхность, больше объема, занимаемого веществом стенок).
Когда интересуются плаванием неоднородных тел (ко-
(корабль, подводная лодка и т. п.), под рт в формуле A0.10)
подразумевают среднюю плотность тела.
Уравнения A0.8) и A0.9) справедливы и для случаев
плавания тел в сосудах, заполненных жидкостью, когда за-
зазоры между телом и стенками сосуда малы. Ясно, что при
опускании тела в жидкость в таких случаях она поднимает-
поднимается в зазоре выше первоначального уровня. Мал или велик
. тр р
этот подъем, в каждом конкретном случае можно опреде-
определить, но под величинами Vn или 1/т, входящими в уравне-
уравнения (Ю.в) и A0.9), нужно и в этих случаях понимать объемы
(тела или его части), находящиеся под уровнем свободной
поверхности жидкости. Под тем уровнем, который устано-
установился в сосуде с плавающим телом!
Поскольку выталкивающая сила зависит от формы по-
поверхности тела, соприкасающейся с жидкостью или газом,
не зависит от вещества тела и от его распределения в теле
(от наличия полостей, неоднородностей плотности и т. п.),
точка приложения выталкивающей силы не обязательно
должна совпадать с центром масс тела. Можно сказать, что
выталкивающая сила приложена к центру масс объема,
занятого телом или его частью внутри жидкости или газа
(точку приложения выталкивающей силы часто называют
центром давления). Если, например, твердое тело в форме
куба погружено в жидкость так, как показано на
рис. 10.10, а, причем плотность заштрихованной части боль-
больше плотности остальной части тела, тело не будет находиться
в равновесии. Выталкивающая сила будет приложена в точ-
222 х

ке С, сила тяжести тела — в точке С. Тело будет поворачи-
поворачиваться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к
плоскости рисунка, и примет положение, изображенное на
рис. 10.10, б. Если P=FA, то тело так и останется плавать
в этом положении (безразличное равновесие); если P>FA,
тело будет тонуть, а если P<FA, тело будет всплывать до
тех пор, пока выталкивающая сила, действующая на часть
тела, которая останется под свободной поверхностью жид-
жидкости, не уравновесит силу тяжести тела.
Задача. В цилиндрическом сосуде уровень воды располагается на
высоте #=20,0 см от дна. Когда в воду пускают плавать тонкостенный
бронзовый стакан, уровень воды поднимается на /i=2,2 см. Какова будет
высота #х уровня воды в сосуде, если стакан утопить? Плотность воды
рв=1,0 г/см3, паотность бронзы рб=8,8 г/см3.
Рис. 10.11.
На рис. 10.11 представлены этапы проведения опыта. Предполо-
Предположим, что площадь дна сосуда равна S. Сравнивая случаи / и IIIг запи-
запишем условие постоянства объема воды в сосуде:
#S = #1S —Fg, (a)
где через V$ обозначен объем стенок стакана. Отсюда
#1==#_|_-б (б)
Теперь надо выразить V$ через заданные величины.
/Воспользуемся условием плавания стакана в случае II. Пусть дно^
стакана имеет площадь S± и располагается на глубине х под поверх-
поверхностью воды. Чтобы стакан находился в равновесии, сила тяжести ста-
стакана Рб должна уравновешиваться выталкивающей силой F^:
P^ — Fa* или ^бРб? = |^1*Рв?* (в)
После сокращения на g имеем
V 6Р 6 ~SixPb* (г)
Величины Si и х в этом уравнении не известны, но их можно связать с
заданными, вторично воспользовавшись условием неизменности объема
воды в сосуде! сравнивая случаи II и /:
00
223

Отсюда SiX^hS. Подставив это значение в уравнение (г), имеем:
~/*SpB, откуда
(е)
Теперь на основании уравнений (б) и (е) можно на писать^ оконча-
окончательный результат:
H^H + h^.
96
Проверка размерностей этой формулы не составляет большого тру-
труда. Подставляя значения величин в системе единиц СГС, имеем
Ях = 20,0 +2,2 Ь|« 20,3см.
Когда тело имеет закрепленную ось вращения и погру-
погружено полностью или частично в жидкость, анализ его стати-
статического равновесия может ограничиться рассмотрением
условия C.2), если силы, действующие на ось, не представ-
представляют интереса.
Следующая задача на анализ статического равновесия
плавающего тела с осью вращения одновременно может слу-
служить иллюстрацией простого и не требующего много вре-
времени способа определения плотности вещества без исполь-
использования весов.
Задача. Тонкий однородный цилиндрический стержень верхним кон-
концом крепится к шарниру. Снизу под стержень подводится ванна с водой
(или с другой жидкостью, плотность которой известна). Если вертикаль-
вертикальное положение стержня, погруженного нижней частью в жидкость,
окажется неустойчивым, он наклонится. Определить плотность материа-
материала стержня, если ъ воде находится половина его длины (рис. 10 12).
Чтобы составить уравнение C 2), нужно рассмотреть все силы, дей-
действующие на стержень, и моменты этих сил относительно точки О Ясно,
что такими силами являются сила тяжести стержня Р и выталкивающая
сила F^ (если не учитывать очень малую выталкивающую силу воздуха,
действующую на верхнюю половину стержня).
Выталкивающая сила F^ приложена к центру масс объема, занятого
частью стержня, погруженной в воду, т е. в точке J5, лежащей на сере-
середине длины отрезка АС. Сила тяжести стержня приложена к его центру
масс А, находящемуся на середине его длины. Зададимся длиной стерж-
стержня/и площадью его поперечного сечения S. Плотность материала стерж-
стержня и плотность воды обозначим через рс и рв. Тогда объем стержня равен
S/, a P—Slpcg. Объем части стержня, погруженной в воду, равен 1/2Sl9
a FA=1/tSlpBg.
Чтобы найти плечи сил OD и ОЕ, зададимся углом а наклона оси
стержня к горизонтали. По рисунку видно, ^что OD=OA cos а=г/21 cos a
и OE=OB cos a=3/4/ cos a (так как AB=BC=1JiAC=1IJ).
Сила тяжести создает момент, вращающий стержень относительно
горизонтальной оси, проходящей через точку О, по часовой стрелке, а
224

выталкивающая сила — против часовой стрелки. Условие C.2) можно
записать в виде равенства
которое с учетом найденных ранее выражений пр-инимает вид
/ 1
у cos а==Г
3
Тl C0S а*
После сокращений получаем выражение для искомой величины рс:
3
Рс=-тРв- (а)
Поскольку Рв=1,0 г/см3, то рс=0,75 г/см3.
Как видим, при таком способе определения плотности вещества
твердого тела вовсе не нужно знать угол наклона стержня, его длину
D Е
л
~_Г~_
Ш
Рис. 10.12.
Рис. 10.13.
и сечение (если он однороден, прямолинеен и тонок). Должны быть из-
известны только плотность жидкости, в которую он погружается, и часть
его длины, находящаяся в жидкости.
Результат решения задачи говорит о том, что рс<рв, т. е. что стер-
стержень изготовлен из материала менее плотного, чем вода (например, из
дерева).
Рассмотрим для общности случай, когда стержень с искомой плот-
плотностью рс погружается не в воду, а в жидкость с заданной плотностью
рж и под поверхностью жидкости находится не половина, а A//г)-я часть
его длины (рис. 10.13)
Воспользуемся прежними обозначениями для длины, сечения и угла
наклона оси стержня к горизонтали Aг 5, а). Теперь
во4 К ЛвЬ
~2п ~~ 2/г *
По-прежнему P=Slpcgt но FA~S(llri)pmg. Поскольку О?=
= 0Л cos a= A/2) cos аг a OK = OC cos а = / -^— cos а, уравнение
Ю. А. Селезнев
225

моментов сил Р-OE=Fa*OK можно записать в виде
Sip eg 4 cos a = S — рж#/ ¦ ~ cos a,
откуда после сокращений находим
2n—1 .
рс = Рж—j^r". (о)
Случай Рс=Рж» который возможен при л=1, интереса не представ-
представляет, так как при этом стержень будет целиком погружен в жидкость
и будет находиться в безразличном равновесии, поскольку обе силы, Р
и F^, будут приложены в точке Л и их модули будут одинаковыми, Р=
= Fa При этом шарнир не будет воспринимать никакой нагрузки и угол
а может принимать любые значения.
Случай я=2 мы уже рассмотрели ранее (см формулу (а)) и пришли
к заключению, что стержень при этом может находиться в равновесии,
если рс<рж. Легко убедиться, что при любых значениях п> 1 дробь
в формуле (б) имеет значения, меньшие единицы. Значит, для всех слу-
случаев равновесия стержня в наклонном положении выполняется неравен-
неравенство рс<Рж» и такой метод определения плотности, применим только для
стержней из веществ менее плотных, чем используемая в опыте жид-
жидкость
Равновесие стержня с плотностью рс, погруженного в жидкость с
плотностью рж, выполняется при определенном значении я, которое
можно найти из уравнения (б) При этом угол наклона стержня может
быть любым, но, конечно, меньшим, чем я/2 радиан Зто означает, что,
если мы будем перемещать шарнир О ближе к поверхности жидкости,
стержень будет поворачиваться вокруг точки В Если при неподвижном
шарнире О ванну с жидкостью поднимать, стержень будет поворачивать-
поворачиваться вокруг течки О Но при всех этих поворотах в жидкости будет нахо-
находиться одна и та же часть длины стержня. Отсюда следует, что стержень
известной плотности можно проградуировать в соответствии с уравне-
уравнением" (б) для использования его в качестве измерителя плотностей различ-
различных жидкостей (ареометр)
Часто жидкость или газ являются одним из элементов
системы взаимодействующих тел. Оценка статического рав-
равновесия такой системы должна производиться по прежним
общим правилам: жидкость или газ в этих случаях нужно
рассматривать как самостоятельную часть системы, взаимо-
взаимодействующую с другими.
§ П. ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
11.1. Основные понятия. Уравнение неразрывности
Упорядоченное движение конечных объемов жидкостей
и газов не может быть следствием хаотического движения
атомов или мфлекул, ибо последнее происходит всегда —
и в покоящихся, и в движущихся макроскопических объе-
объемах. Используя основные положения динамики, для объяс-
226

нения возникновения или изменения движения макроско-
макроскопических частиц жидкостей и газов нужно найти внешние
причины. Таковыми чаще всего являются силы давления (а
в некоторых случаях — силы тяжести). Без внешних воз-
воздействий могло бы происходить прямолинейное и равномер-
равномерное движение макроскопических частиц невязких газов
или жидкостей, если бы такие существовали. Наличие сил
внутреннего (вязкого) трения приводит к тому, что для
осуществления движения частиц реальных жидкостей и га-
газов даже с постоянной скоростью пряходится поддерживать
неодинаковые давления в различных точках среды.
Линия, касательная к которой в каждой точке в данный
момент времени совпадает с направлением скорости жидко-
жидкости в этой точке, называется линией тока. Поверхность,
образованная линиями тока, проведенными через все точки
'Выделенного внутри жидкости малого замкнутого контура,
называется трубкой тока.
Если в каждой точке пространства, заполненного движу-
движущейся жидкостью или газом, скорости и давления во вре-
времени не изменяются, говорят о стационарном (или устано-
установившемся) течении. В этом случае линии тока не будут отли-
отличаться от траекторий движущихся по ним частиц. Если
жидкость или газ при движении по какой-нибуДь трубе
сплошь заполняют любое ее поперечное сечение и не отры-
отрываются от стенок трубы, то в некоторых задачах вся такая
, труба в целом может быть представлена как трубка тока
больших размеров.
Если рассматривается стационарное движение несжимае-
несжимаемой жидкости (или газа), то масса и объем жидкости, проте-
протекающей за какой-то промежуток времени через любое по-
поперечное сечение трубки тока, должны оставаться неизмен-
неизменными (имея это в виду, часто говорят о постоянстве массового
и объемного расход® жидкости или газа). Несжимаемая
жидкость движется сплошным неразрывным потоком и не
может накапливаться в некоторых частях трубки тока или
разрываться, образуя пустоты,— в других.
Этот факт находит свое отражение в так называемом
уравнении неразрывности для трубки тока несжимаемой
жидкости (или газа):
St;=const, A1.1)
где S — площадь произвольного поперечного сечения труб-
трубки тока, at/ — значение скорости движения жидкости или
газа в этом сечении,
8* 227

Уравнение неразрывности может быть получено на ос-
основании следующих соображений. Условие постоянства
расхода несжимаемой жидкости (или газа) через любое по-
поперечное сечение трубки тока можно записать в виде т=
= const, где т— масса жидкости, протекающей через лю-
любое поперечное сечение за какой-то произвольный проме-
промежуток времени At. Ясно, что это уравнение можно записать
и по-другому:
pV= const,
где р — плотность жидкости, а V — объем порции жидкости
с массой т.
Если площадь рассматриваемого поперечйого сечения
трубки тока равна S, а скорость жидкости в этом сечении
равна v, то объем жидкости, протекающей через это сечение
за промежуток времени At, можно выразить как F=SyA/,
и уравнение постоянства расхода примет вид
pSvAt= const.
Учитывая, что жидкость однородна и несжимаема (р=const
для любого сечения трубки тока), и рассматривая произволь-
произвольные одинаковые промежутки времени (Д/=const), мы и по-
получим уравнение A1.1).
Важной особенностью движения вязких жидкостей и га-
газов, в отличие от движения твердых тел, является равенство
нулю сил трения покоя между их слоями. Любая, даже нич-
ничтожно малая сила выводит порцию жидкости или газа из со-
состояния покоя. Чтобы привести в движение кирпич, лежа-
лежащий на горизонтальной доске, на него нужно подействовать
силой, не меньшей некоторого определенного конечного зна-
значения. Но многотонную баржу, плавающую в воде, можно
оттолкнуть от берега буквально одним пальцем. Неправдо-
Неправдоподобность такого опыта лишь кажущаяся! Этому трудно
поверить из-за ненаблюдаемости таких явлений в повсе-
повседневной обстановке.
Физическое объяснение такой ненаблюдаемости дать
очень просто. Допустим, баржа, масса которой m=2-105 кг,
находится в неподвижной воде у берега. Мы начинаем от-
отталкивать баржу от берега, воздействуя на нее постоянной
силой F= I H (такое воздействие вполне можно обеспечить
одним пальцем!). За какой промежуток времени At баржа
отплывет от берега, скажем, на 10 см (Дл;=0,1 м)?
Неподвижную инерциальную систему отсчета в данном
случае удобно связать с берегом. Положительное направ-
228

ление горизонтальной координатной оси (например, ОХ)
пусть совпадает с направлением вектора F, а отсчет вре-
времени начат с момента, когда на баржу начала действовать
сила F. Еош модуль ускорения, приобретенного баржей,
обозначить через а, то без труда придем к системе урав-
уравнений, справедливых в рассматриваемом случае:
откуда
^|/^, или
Подставляя численные значения в СИ, получим
Вот, оказывается, в чем дело! Чтобы увидеть результаты
подобных опытов, нужно терпеливо экспериментировать
в течение достаточно продолжительных промежутков вре-
времени, которые не всегда находятся у нас при мимолетных
наблюдениях.
Подобно тому "как силы внешнего трения между твер-
твердыми телами зависят от относительной скорости движения
соприкасающихся поверхностей тел, силы вязкого трения
между слоями жидкости или газа тоже зависят от их отно-
относительных скоростей.
11.2. Применимость законов сохранения
к движущимся жидкостям и газам
Изложенные факты позволяют рассматривать макроско-
макроскопические порции жидкостей и газов как механические си-
системы взаимодействующих материальных точек. Очень
часто силы внешних воздействий на такие системы оказы-
оказываются уравновешенными, что позволяет использовать за-
закон сохранения импульса. Если к тому же допустимо пре-
пренебречь силами вязкого трения, то можно применять закон
сохранения механической энергии.
Применение закона сохранения импульса. Во многих
задачах закон сохранения импульса применяется к замк-
замкнутым системам, элементами которых являются не только
макроскопические частицы жидкостей или газов, но и ка-
какие-то твердые тела. Этим законом можно воспользоваться,
229

например, для нахождения скорости движения ракеты в ва-
вакууме, для объяснения причины вращения «сегнерова коле-
колеса», извивания гибкого шланга при протекании ло нему
жидкости и при анализе многих других явлений.
Задача. Как определить" силу воздействия жидкости на стенку
колена трубы, изображенного на рис. 11.1? Массовый расход жидкости
через трубу равен G кг/с, плотность жидкости р, площади поперечных
сечений трубы везде одинаковы и равны S.
Рассмотрим макроскопическую частицу жидкости с массой т.
Пусть в вертикальной части трубы эта частица движется со скоростью v^,
а в горизонтальной — со скоростью v2 Поскольку площади поперечных
сечений трубы одинаковы, значение скорости частицы в любом сечении,
в любой точке пространсгва внутри тру-
трубы будем считать неизменным и равным
При этом мы, конечно, допускаем, что
имеем дело с так называемым ламинарным
течением невязкой несжимаемой жидкости
(пренебрегаем перемешиванием слоев жид-
жидкости, силами вязкого трения, «прилипа-
нием» слоев жидкости к стенке трубы
ит. д.).
Несмотря на равенство У1=и2=у> ско-
рости Vi и v2 будут отличаться направле-
направлениями, т-. е. в векторном смысле равными
не будут, а поэтому не будут равными и импульсы частицы mvi и /rav2.
Любое изменение импульса частицы связано с импульсом действующей
на нее силы. В данном случае такой силой является сила воздействия
на частицу со стороны стенки трубы. Обозначим среднюю за промежу-
промежуток времени А/, в течений которого импульс частицы изменяется от mvi
до mv2, силу воздействия стенки на частицу жидкости через F^. То-
Тогда на основании B.2) имеем
F^A/ = т Av,
где Av — вектор изменения скорости частицы жидкости за промежуток
времени А/. Сила F^ совпадает по направлению с Av, а сила воздействия
частицы жидкости на стенку Fc в согласии с третьим законом Ньютона
имеет противоположное направление. Проецируя записанные уравнения
на направление вектора Av и переходя к модулям, получаем
FjKA/ = tfi Аи.
В данной задаче
(см. равнобедренный треугольник <ЖЛГ, катеты которого равны v),
с учетом полученного выше выражения для vx
230

Если через поперечное сечение трубы проходит п частиц, масса
каждой из которых равна т, и все они изменяют скорости точно так же,
как рассмотренная нами частица, то модуль суммарной средней силы
воздействия на них со стороны стенки будет равен
откуда
или
,., пт .
== пт &v,
Нетрудно сообразить, что дробь в этом выражении как раз равна мас-
массовому расходу жидкости G, т. е.
Модуль суммарной силы Fc воздействия на стенку п частиц жидкости
будет иметь такое же^ значение:
В действительности силы воздействия частиц жидкости на стенку
колена АС будут распределены по всей ее поверхности. Сила Fc и будет
представлять результирующую всех этих сил.
Если колено трубы не будет жестко закреплено, то в согласии с за-
законом сохранения импульса оно приобретет какую-то скорость Движения
в направлении вектора Fc или будет распрямляться, если труба гибкая.
Уравнение Бернулли. Энергетический подход к анализу
течения жидкости или газа приводит к очень важным прак-
практическим выводам.
112.
Рассмотрим произвольный участок достаточно тонкой
наклонной трубы переменного сечения (рис. 11.2). По трубе
течет несжимаемая и невязкая жидкость, плотность которой
231

р. Течение жидкости стационарное. При этих условиях
стенки трубы могут считаться стенками трубки тока жид-
жидкости. Рассчитаем изменение механической энергии объема
жидкости, заключенного между поперечными сечениями
трубы / и 2, при его перемещении за очень малый проме-
промежуток времени At в положение Г2'.
Инерциальную систему отсчета в данном случае удобно
связать с Землей, а координатную ось ОХ направить вдоль
оси трубы На основании соображений, аналогичных тем,
которые уже высказывались ранее, изменениями механи-
механических состояний Земли и стенок трубы можно не интере-
интересоваться. Не забудем только отметить, что на рассматри-
рассматриваемую порцию жидкости действуют неуравновешенные
внешние силы: силы давления Fi и F2 (со стороны частиц
жидкости, находящейся перед сечением 1 и за сечением 2),
а также сила тяжести (по крайней мере должна быть учтена
составляющая силы тяжести вдоль оси трубы, которая мо-
может влиять на течение жидкости).
Пусть сечение / имеет площадь Su а сечение 2 — пло-
площадь 52. Центры этих сечений располагаются на высотах
lh и h2 от какого-то произвольно выбранного начала от-
отсчета высот (например, от поверхности Земли). Так как
труба достаточно тонкая, можно считать, что все точки се-
сечения 1 находятся на высоте hu а все точки сечения 2 —
на высоте /i2 от выбранного уровня. Через сечение 1 жид-
жидкость движется со скоростью vb а через сечение 2 — со
скоростью v2. Давления в этих сечениях соответственно
равны рх и р2.
Частицы жидкости, которые в начальный момент вре-
времени находились в сечении 1У за малый промежуток вре-
времени At переместятся вдоль оси трубы на A,Vi и окажутся
в сечении Г у а частицы из сечения 2 переместятся на Ах2
и будут находиться в .сечении 2'.
Масса несжимаемой жидкости, протекающей за равные
промежутки времени через любые поперечные сечения
трубки тока, должна оставаться неизменной. Если в рас-
рассматриваемом примере массу жидкости, протекающей через
любое сечение трубы за промежуток времени At, обозначить
через Am, то
pSiAx1=pS1v1At или
Кроме того, можно утверждать, что массы жидкости, зак-
заключенной в тонких слоях (так как промежуток At мал!)
между сечениями 1 и Г и между сечениями 2 и 2', также
232

равны Am (объемы SiA#i и S2Ax2 Для несжимаемой жидкости
равны и р=const).
Расчет изменения механической энергии жидкости, за-
заключенной между сечениями 1 и 2, при ее переходе в поло-
положение Г2' можно свести к расчету изменения механичес-
механической энергии слоя или элемента жидкости IV при его пере-
переходе в положение 22', ибо механическая энергия жидкости,
заключенной между сечениями Г и 2, при стационарном
течении не изменяется (объем между этими сечениями яв-
является частью, объема рассматриваемой порции жидкости
и в начальном, и в конечном состояниях).
Кинетическая энергия малого слоя жидкости в поло-
положении IV равна ИРк1=Дт0?/2, а его потенциальная энергия
в поле тяготения Земли Wnl=Amghl. Таким образом,
суммарная механическая энергия слоя в этом положении
будет
Аналогично для положения 22' слоя можно получить
Wm = WK2 + Wn2 = ^ + дт gh%.
Для оценки изменения механической энергии этого
слоя AWn=WU2—Wm нужно будет учесть только работу
сил давления Fi и F2, так как работа силы тяжести слоя
будет учтена изменением потенциальной энергии слоя.
(Можно было бы, конечно, к тому же результату прийти и
другим путем: на основании теоремы о кинетической энер-
энергии приравнять изменение кинетической энергии слоя сум-
сумме работ сил давления и силы тяжести: Д^К=ЛТЯЖ+
+Лдавл.) Работа силы Fx при перемещении слоя жидкости
на Ахх вдоль оси трубы равна
и оказывается величиной положительной (угол между
вектором элементарного перемещения жидкости и векто-
вектором силы F! равен нулю), работа же силы F2 на перемеще-
перемещении Д#2 будет отрицательной:
Л 2=—/Г2Д^2=—P2S2O2 At.
Суммарная работа сил давления A=A%+A2 и определяет
изменение механической энергии тонкого слоя или, как
233

уже было сказана, всей рассматриваемой порции жидкости:
AWU^A.
Используя полученные выше выражения, имеем
или, домножив все слагаемые этого уравнения на плотность
жидкости р,
Am -ф- + Aw Pgh— Дт "irh
Произведения, взятые нами в скобки, равны между собой и
равны массе Am жидкости, протекающей через любое попе-
поперечное сечение трубы за промежуток времени At:
Сокращая предыдущее уравнение на Am и разнося слагае-
слагаемые с одинаковыми индексами в разные стороны от знака
равенства, получаем уравнение
которое с учетом того, что сечения 1 и 2 выбирались совер -
шенно произвольно, может быть представлено в более об-
общей и короткой записи:
?- = canst. A1.2)
Это — уравнение Бернулли для трубки тока несжимае-
несжимаемой невязкой жидкости (или газа) при стационарном те-
течении. Легко сообразить, что произведение pgh представляет
собой потенциальную энергию единичного объема жидкости
(или газа) в поле тяготения Земли, а дробь ру2/2 — кинети-
кинетическую энергию того же объема в выбранной инерциальной
системе отсчета. Таким образом, из уравнения Бернулли
следует, что при стационарном течении сумма давления,
потенциальной и кинетической энергии единичного объема
несжимаемой невязкой жидкости (или газа) остается по-
постоянной в любых сечениях трубки тока.
Задача. Известен простой способ выливания жидкостей из неопро-
кидывающихся сосудов при помощи резинового шланга. Например,
промывной бак в фотолаборатории если засорилось сливное отверстие
234

в дне, можно опорожнить, используя следующий прием. В воду погру-
погружают резиновый шланг с таким расчетом, чтобы он весь заполнился во-
водой («утонул»). Затем, зажав один конец шланга пальцем, вынимают
его из воды и опускают ниже уровня дна бака, одерживая другой конец
шланга в воде (рис. 11.3). Как объяснить, что при этом удается опорож-
опорожнить бак, заставив жидкость двигаться по шлангу?
Стенками трубки тока воды в этом случае являются стенки и дно
бака и стенки шланга. Рассмотрим два ее сечения. 1 — свободная по-
поверхность воды в баке и 2 — выходное сечение шланга. Располагаются
эти сечения на высотах /гх и h2 от пола. Запишем уравнение Бернулли
A1.2) для этих сечений
Давления воды рх и р2 в сечениях 1 и 2, конечно, равны внешнему атмо-
атмосферному давлению (оно действует на свободную поверхность воды
в баке и препятствует вытеканию воды из сечения 2 шланга). Если пре-
пренебречь его изменением на небольшой разности высот /ix—h2i то Pi=p2>
и эти давления взаимно уничтожаются в записанном нами уравнении.
Тогда
Теперь, сокращая на плотность воды р, получаем
откуда следует, что v2>vb так как hx>h2> т. е. вода вытекает, в конечном
счете, под действием силы тяжести за счет того, что открытое сечение 2
находится ^иже уровня воды
в баке.
Обратим внимание на то,
что уравнение Бернулли мы при-
применили в этом случае для инте-
интересующих нас сечений 1 и 2, не
заботясь о том, что в трубке тока
были, например, сечения, распо-
расположенные на более высоком
уровне (см сечение 3). Если
шланг целиком заполнен теку-
текущей жидкостью, то это не должно
нас смущать. Мы интересовались
здесь только тем, будет ли вода
вытекать из отверстия 2 и за
счет чего. Использование урав-
уравнения Бернулли позволило ответить на эти вопросы. На уровне
сечения 3 вода первоначально оказалась из-за того, что мы ее туда под-
подняли рукой вместе со шлангом, совершив работу против силы тяже-
тяжести. А затем вода поднимается в это сечение за счет подсоса вытекаю-
вытекающей частью, что в итоге как раз и является следствием и подтверждением
наличия сил притяжения между частицами жидкости.
235
Рис. 11.3.

Задача. Сколько времени потребуется для наполнения водой чай-
чайника объемом V=2 л из водопроводного крана в квартире четвертого
этажа дома? Кран, расположен на высоте h2—15 м над поверхностью зем-
земли. Уровень воды в водонапорной башне поддерживается на постоянной
высоте Я1=50 м, измеренной от того же начала отсчета высот (рис. 11.4).
Площадь выходного сечения крана S=l см2.
Трубка тока в этом случае образована стенками и днрм бака и стен-
стенками водопроводной трубы Уравнение Бернулли составим для сечения /
(свободная поверхность воды в баке) и сечения 2 — выходного отверстия
крана.
Pi + РёК+-^~- = ря + pgh2 + -ф-
Снова, учитывая, что Pi=P2=:Pbh» и сокращая на р, получаем
(а)
Сечение / в этом случае не опускается, но вода в нем движется с
какой-то скоростью, так как поддержание уровня свободной поверхно-
поверхности на неизменной высоте при вытекании воды возможно только за счет
долива бака. Значение этой скорости vx не задано, но в уравнении (а)
им можно пренебречь* через сече-
сечение /, которое наверняка во много
раз больше сечения отверстия кра-
крана, з-а единицу времени должна про-
протекать такая же по объему и по мас-
массе порция воды, что и через сече-
сечение 2. Значит, vt<^v2 и тем более
°i^2* Тогда уравнение (а) упро-
упрощается.
и приводит к выражению
Рис. 11.4.
—i ^ — —i
Зная величину v2 в сечении известной площади «S, можно найти объем-
объемный расход Q (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение
трубы за единицу времени):
Q=v2S.
Jfi)
Тогда промежуток времени А/ истечения объема V жидкости из крана,
или промежуток времени наполнения чайника, равен
М=у/? ~ (г)
На основании соотношений (г), (в) и (б) можем записать окончательное
выражение:
V
236

Проверку размерностей и численный расчет произведем в СИ:
м3 __ с At = 0ДЮ2 -08 с
м2 /(м/с2) *м "" °' "" Ю-4 /2-9,81E0 — 15) ~ '
Пусть нашим читателям этот результат не покажется слишком ма-
малым. Наверняка, живущие на четвертом этаже за такой промежуток
времени не смогут наполнить водой двухлитровый чайник. Предложен-
Предложенные по условию задачи значения величин hly h2 и S близки к реальным,
но сил сопротивления при движении воды в трубопроводе и в кране мы
не учитывали, а в действительности они имеются и уменьшают скорость
истечения воды из крана. Не забудем и о том, что кран мы открываем
постепенно и вода вначале проходит через сечение, значительно мень-
меньшее 5
Обратим внимание на уравнение (б) Оно позволяет прийти к выво-
Ду, что скорость истечения жидкости из малого отверстия (иначе нельзя
было бы пренебречь v{ по сравнению с р|') открытого сосуда зависит толь-
только от высоты уровня жидкости над отверстием. Это утверждение справед-
справедливо, конечно, для несжимаемой невязкой жидкости.
Как видим, механический подход к покоящимся и дви-
движущимся жидкостям и газам полностью оправдан. Некото-
Некоторое отличие механики сплошных сред от механики матери-
материальных точек и твердых тел связано с учетом особенностей
взаимодействия частиц вещества в жидком и газообразном
состояниях.

ГЛАВА IV
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 12. ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
12Л. Изменение внутренней энергии при изменении
механической энергии замкнутой системы тел
или частиц
Используя представление о внутренней энергии, можно
понять детали процесса рассеяния механической энергии
замкнутой системы, между телами которой -действуют
силы трения или имеют место неупругие взаимодействия.
Вернемся к примеру о неупругом взаимодействии дро-
дробинки с песком, находящимся в коробочке, которая лежит
на идеально гладкой поверхности (см. стр. 184). Восполь-
Воспользуемся модельной схемой этого опыта: дробинку и песчинки
будем считать маленькими шариками. Шарик-дробинка,
движущийся со скоростью v0, влетает в груду покоящихся
сначала шариков-песчинок, расположенных близко друг
к другу. Что при этом произойдет? Примерно то же, что
происходит в начале игры на бильярде, когда неопытный
игрок одним шаром разбивает треугольную фигуру, по-
построенную из остальных. Шары разлетаются, толкая друг
друга, наталкиваются на борт бильярда, отскакивают от
него, вновь сталкиваются и т. д. Движение первого шара
вызывает хаотическое движение остальных. Песчинки в
нашем примере придут в такое же хаотическое движение,
сопровождающееся соударениями (рис. 12.1). Удары будут
передаваться всем стенкам коробки. Движение вправо со
скоростью v коробка приобретет в основном за счет ударов
по стенке CD. Некоторые косые удары по стенкам ВС и
AD, а также по верхней и нижней стенкам будут ускорять
коробку вправо, но некоторые будут толкать ее влево. Уда-
Удары по стенке АВ наверняка приведут к замедлению движе-
движения коробки,
238

Понятно теперь, куда девалась механическая энергия
дробинки. Она лишь частично перешла в кинетическую
энергию движения коробки. Остальная ее часть привела в
движение составные части той среды, в которую попала
дробинка.
После этого нетрудно сделать еще один шаг — песчинки
мыслить как модели атомов или молекул того тела, с кото-
которым взаимодействует дробинка. Если не забыть о сложном
строении самой дробинки, будет понятно, куда девалась
«потерянная» механическая энергия AWM ее упорядочен-
упорядоченного движения. Она перешла во внутреннюю энергию дро-
дробинки и внутреннюю энергию пе- jvQ
ска, изменила их первоначальные
значения.
Учитывая, что мы рассматри-
рассматривали замкнутую систему тел (при
осуществлении подобных опытов
можно добиться достаточно полной ______
компенсации внешних сил, дейст- »х L
вующих на тела системы), ме- Рис 12.1.
ханическая энергия которой не
расходовалась на совершение работы против внешних
сил, остается сделать вывод о возмбжности изменения внут-
внутренней энергии системы за счет изменения ее механической
энергии. Если, кроме того, данная система не обменива-
обменивается внутренней энергией с телами, не включенными в эту
систему (такая система называется адиабатически изоли-
изолированной), то для нее выполняется закон сохранения полной
энергии.
Полной энергией W тела, системы тел или частиц назы-
называют сумму их механической Wu и внутренней U энергий
в данной системе отсчета.
Значит, для замкнутой и адиабатически изолированной
системы выполняются равенства
. A2.1)
или
Д1Г==ДГм+Д?/==0. A2.2)
Пока мы обратили внимание только на случай, когда
за счет уменьшения механической энергии возрастает внут-
внутренняя энергия системы, но существуют и такие явления,
в которых процесс преобразования энергии идет в обратном
направлении при сохранении полной энергии системы неиз-
239

менной (например, за счет уменьшения внутренней энергии
сжатого воздуха возрастает механическая энергия пули,
вылетающей из духового ружья).
По аналогии с тем, как были получены важные выводы
при подробном рассмотрении замкнутых, и незамкнутых
систем в механике, можно прийти к заключению о том, что
полная энергия системы может в общем случае изменяться,
если система незамкнута, и, кроме того, обмениваться внут-
внутренней энергией с внешними телами. Такие системы назы-
называются термодинамическими системами.
12.2. Как измеряется изменение внутренней энергии тела
или системы тел? Понятие о температуре
Представляя вещество состоящим из микрочастиц, легко
сказать, что происходит внутри него при изменении внут-
внутренней энергии. Изменяется, очевидно, кинетическая энер-
энергия тех или иных видов движения и потенциальная энергия
взаимодействия частиц.
Но велика ли польза от таких теоретических рассуж-
рассуждений? Создается впечатление, что, озабоченные рассея-
рассеянием механической энергии, мы искали путей объяснения
ее утечки. Используя представление о микрочастицах и о
внутренней энергии, удалось заключить, что при рассеянии^
механической энергии изменяется внутренняя энергия.
Но как измерить изменения последней? Возможно ли узнать,
сколь быстро или медленно движутся частицы, из которых
состоит данное тело, сильно или слабо они взаимодействуют,
на больших или малых расстояниях друг от друга нахо-
находятся?
Положение спасает упоминавшийся ранее факт измене-
изменения некоторых внешне проявляемых свойств и количест-
количественно описывающих их физических величин при изменении
внутренней энергии тел. Изменяются геометрические раз-
размеры тела и его плотность, может изменяться его агрегат-
агрегатное состояние или давление, если вещество газообразное.
Могут изменяться и другие свойства. В некоторых случаях
бывает заметно, что тело на ощупь стало горячее или хо-
холоднее.
Последнее обстоятельство заслуживает особого внима-
внимания. Известно, что горячее тело при соприкосновении с
холодным всегда остывает.
«Одинаково горячие» или «одинаково холодные» тела
долгое время остаются без изменения своих свойств, В та-
240

ких случаях говорят о тепловом равновесии термодинами-
термодинамической системы (или о термодинамическом равновесииу
или о равновесном состоянии).
Чтобы иметь представление о тех трудностях, с которыми
столкнулась физика в этих вопросах, нужно помнить, что
первый крупный щаг в учении о теплоте был сделан лишь
в начале XVIII века, когда удалось построить температур-
температурную шкалу, основанную на объективных фактах. Многие
уточнения в учении о теплоте были сделаны только
в XIX веке. Причины столь долгих поисков как раз и свя-
связаны с тем, что долгое время в расчет не принималось внут-
внутреннее строение вещества.
На чем было основано построение шкалы температур?
Здесь учитывались изменения свойств вещества при пере-
переходе его из одного теплового состояния в другое. Газ,
помещенный в сосуд с подвижным поршнем, в «горячем» и в
«холодном» состояниях имел неодинаковые объемы; метал-
металлический стержень в «горячем» и в «холодном» состояниях
имел неодинаковые длины, и т. д. Следовательно, шкала
температур могла быть построена, например, на основе
измерений объема какого-то вещества в различных тепловых
состояниях. В одном из таких методов термометр, заполнен-
заполненный ртутью (или другим веществом), погружался в сосуд
с тающим льдом, и метку, соответствующую положению
уровня ртути в этом случае, принимали за нулевую (при
построении шкалы Цельсия), полагая, таким образом, что
температура тающего льда равна О °С. Температуре паров
кипящей воды при нормальном давлении приписывалось
значение 100 °С. Тот факт, что были предложены другие
температурные шкалы, где тем же тепловым состояниям
приписывались другие значения температуры или интервал
между основными точками разбивался на другое число
делений (например, шкала Реомюра), не имел уже принци-
принципиального значения.
Обратим внимание на то, что при таком способе построе-
построения температурной шкалы то или иное значение тем-
температуры связывалось с определенным тепловым со-
состоянием определенного вещества. Ртутный или любой
другой термометр являлся при этом лишь удобным,
более или менее точным измерительным устройством.
Фактически температура, равная 0 °С, была приписана
тепловому состоянию тающего льда, а 100 °С — тепловому
состоянию того же самого вещества (Н2О) в другом агрегат-
агрегатном состоянии.
241

Отметим еще одно очень важное обстоятельство. По-
Постоянная метка на шкале термометра (О °С, 100 °С или лю-
любая другая) проставляется только тогда, когда столбик
ртути или другого термометрического вещества перестал
ползти. При этом мы имеем дело с тепловым равновесием
термометра (или термометрического вещества, находяще-
находящегося в нем) и того тела, с которым он соприкасается, нахо-
находится в тепловом контакте.
Таким образом, тепловое равновесие положено в основу
измерения температуры. Поэтому, измеряя температуру
какого-то тела термометром, мы непременно должны
дождаться теплового равновесия между ними и отсчитывать
показания термометра только при их контакте. Нельзя,
например, при измерении температуры жидкости вынимать
из нее термометр и отсчитывать температуру по его по-
показаниям в воздухе.
Изложенный подход к проблеме измерения температур
позволяет заключить, что температура может рассматри-
рассматриваться как физическая величина, характеризующая откло-
отклонение теплового состояния данного тела от теплового
равновесия с другим телом (определенному тепловому сос-
состоянию которого приписывается определенное значение
температуры) ц являющаяся мерой этого отклонения.
Если температура всех частей (или тел) термодинамиче-
термодинамической системы одна и та же, то в этом случае система оста-
остается в состоянии термодинамического равновесия бесконеч-
бесконечно долгое время. При этом не будет причин для изменения
тепловых состояний тел или частей системы.
Таким образом, по равенству температур при термодина-
термодинамическом равновесии тел мы можем судить о невозмож-
невозможности обмена внутренними энергиями между этими телами.
При неодинаковых температурах тел, приведенных в теп-
тепловой контакт, внутренняя энергия будет передаваться от
тела с более высокой температурой к телу с меньшей тем-
температурой.
Но не существует ли более детальной связи между тем-
температурой и внутренней энергией тела? Как ведут себя
различные компоненты внутренней энергии вещества при
изменении его температуры? Иными словами, нельзя ли,
кроме термодинамического смысла температуры, о котором
мы только что сказали, установить молекулярно-кинети-
ческий смысл этой физической величины?
В предыдущих рассуждениях явно содержался намек
на то, что разным температурам одного и того же вещества
242

могут соответствовать разные потенциальные энергии взаи-
взаимодействия частиц (как, например, для льда и паров кипя-
кипящей воды). Но всегда ли это так?.
Переход вещества из одного агрегатного состояния в
другое с точки зрения молекулярно-кинетической теории
непременно связан с изменением потенциальной энергии
взаимодействия его частиц. * Чтобы перевести вещество из
твердого состояния в жидкое, нужно изменить относитель-
относительное расположение его частиц. Переход из жидкого состоя-
состояния в газообразное связан с весьма значительным увеличе-
увеличением расстояний между частицами. Из опытов, связанных
с плавлением кристаллических веществ, кипением и дру-
другими изменениями агрегатных состояний, известно, что эти
переходы происходят при определенной для данного ве-
вещества в данных условиях постоянной температуре. Это
говорит о том, что изменение потенциальной энергии вза-
взаимодействия частиц вещества может происходить и при
постоянной температуре.
Поскольку при плавлении и кипении к веществу подво-
подводится энергия от каких-то внешних тел или источников, то
можно предположить, что именно этот подвод энергии яв-
является причиной возрастания потенциальной энергии ча-
частиц вещества.
Однако при подводе к телу или веществу энергии извне
ойо может не претерпевать изменений агрегатного состоя-
состояния. Температура вещества в твердом и жидком (а иногда
и в газообразном) состояниях при этом увеличивается,
значит, увеличивается и его внутренняя энергия. Но про-
происходит ли это увеличение внутренней энергии только за
счет увеличения потенциальной энергии взаимодействия
частиц? Короче говоря, следовало бы еще оценить вклад во
внутреннюю энергию вещества (при разных температурах
и при различных фазовых переходах) кинетической энер-
энергии движения его частиц.
Проще всего это можно сделать, рассматривая идеаль-
идеальный газ. Напомним, что силы притяжения между атомами
или молекулами идеального газа отсутствуют, а с силами
отталкивания приходится считаться лишь при соударениях
частиц газа между собой или со стенками сосуда. В связи
с этим во внутреннюю энергию идеального газа вносит вклад
только кинетическая энергия хаотического движения его
частиц. Если идеальный газ состоит из атомов, то можно
показать, чтр средняя кинетическая энергия, приходящаяся
на один атом, WK> пропорциональна абсолютной температуре'
243

газа (температуре, измеренной по шкале Кельвина):
Fi = -|*7\ A2.3)
В этом выражении коэффициент k является универсальной
постоянной величиной и носит название постоянной Больц-
мана (А=1,38-10"аз Дж/К). Далее мы покажем связь по-
постоянной Больцмана с другими важнейшими физическими
константами.
Числовой коэффициент в формуле A2.3) зависит от
структуры частиц, из которых состоит газ. Если мы будем
рассматривать достаточно разреженные газы, которые мо-
могут считаться идеальными, состоящие не из атомов, а из
молекул различной структуры, то коэффициенты будут
другими.
Замечателен и тот факт, что средние кинетические и сред-
средние потенциальные энергии взаимодействия частиц вещест-
вещества в жидком'и твердом состояниях также оказываются одно-
однозначно связанными с абсолютной температурой вещества.
Поэтому внутренняя энергия любого тела однозначно
связана с его абсолютной температурой.
Таким образом, с позиций молекулярно-кинетической
теории абсолютная температура может рассматриваться
как мера средней кинетической и средней потенциальной
энергии частиц вещества.
Выше мы отмечали, что коллективы, состоящие из боль-
большого числа частиц, подчиняются статистическим закономер-
закономерностям. Средние значения энергии и других величин как
раз и могут описывать поведение таких коллективов. И если
абсолютная температура однозначно связана со средней
кинетической и средней потенциальной энергией частиц,
то это означает, что она также является статистической
величиной. Температура оценивает тепловое состояние
всего коллектива частиц, и не имеет смысла характеризо-
характеризовать ею отдельных, одиночных представителей этого коллек-
коллектива (одиночный атом иди одиночная молекула никакой
температуры не имеют!).
Заметим, кстати, что температура не зависит от числа
частиц, составляющих коллектив. Это следует, например,
из того общеизвестного факта, что температура тела
не зависит от его массы. Приведем в тепловой контакт с
куском льда два медных шарика, имеющих различные
массы. Пусть масса одного mi=l г, а масса другого
/п2=10 г. Подождав некоторое время, чтобы устано-
244

вилось тепловое равновесие, мы убеждаемся, что тем-
температуры обоих шариков будут одинаковыми. Суммарные
же внутренние энергии шариков будут различными из-за
различного числа частиц, их составляющих.
12.3. Всегда ли возможен процесс изменения
механической энергии за счет изменения
внутренней энергии системы?
Говоря о законе сохранения полной энергии системы
тел, мы обратили внимание на возможность изменения
внутренней энергии тел системы за счет изменения их ме-
механической энергии в выбранной инерциальной системе
отсчета. Например, если некоторые тела замкнутой и адиа-
адиабатически изолированной системы движутся с трением или
между ними имеют место не-
упругие взаимодействия, то
возможно увеличение внут-
ренней энергии этих тел, при
котором может наблюдаться
увеличение температуры этих
тел, увеличение их объемов,
изменение агрегатных состоя-
состояний и т. п. Рис 12
Но это, так сказать, лишь
одна сторона закона. Урав-
Уравнения A2.1) и A2.2) не нарушатся, если за счет убыли внут-
внутренней энергии некоторых тел или частей системы будет
совершаться работа и возрастать механическая энергия
других частей системы. Проанализируем такую возмож-
возможность на следующем примере.
Может ли металлический стержень А В за счет уменьше-
уменьшения внутренней энергии совершить работу по подъему
груза Р (рис. 12.2)?
С перваго взгляда кажется, что речь идет о системе трех
тел: стержень—груз — Земля.
Пусть стержень был предварительно нагрет и имел
длину большую, чем в холодном состоянии. Значит, при
уменьшении температуры стержня и его внутренняя энер-
энергия, и длина будут уменьшаться. Внутренние энергии тела
Р и Земли в этом опыте, очевидно, не изменяются. Кроме
того, как мы неоднократно делали ранее, изменением
механической энергии Земли в данном случае можно пре-
пренебречь. В этих условиях можно попытаться применить
245

закон сохранения полной энергии к системе «стержень —
груз», находящейся в инерциальной системе отсчета, свя-
связанной с Землей, и оценить возможность увеличения по-
потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли за счёт
уменьшения внутренней- энергии стержня.
Каждому понятно, что такой опыт вполне реален. Конец
стержня В при остывании перейдет в положение В\ стер-
стержень укоротится на Д/, а груз поднимется на высоту ДА,
причем A/i=Д/, т. е. потенциальная энергия груза в поле
силы тяжести Земли при этом увеличится.
Напрашивается положительный ответ на вопрос, по-
поставленный в заголовке этого пункта. Но не будем торо-
торопиться. Учтены ли нами все условия проведения такого
опыта? Всегда ли такой опыт удастся? Равны ли модули
изменения внутренней энергии стержня и потенциальной
энергии груза?
Даже не проводя расчетов, можно, наверное, заключить,
что полная энергия системы «стержень — груз» сохранять-
сохраняться не будет. Ведь для того, чтобы внутренняя энергия стерж-
стержня могла уменьшиться, в опыте должно присутствовать ка-
какое-то тело, которому передается часть внутренней энергии
стержня, причем это тело должно иметь более низкую тем-
температуру, чем температура стержня.
В рассматриваемом примере таким телом, очевидно,
является воздух, окружающий стержень. Уменьшение
температуры стержня возможно при его контакте с более
холодным телом. При равенстве температур воздуха и
стержня имело бы место тепловое равновесие, отсутство-
отсутствовали бы условия для уменьшения внутренней энергии
стержня, стержень не уменьшил бы своей длины и не под-
поднял бы груза.
Если нашей целью являлось увеличение потенциальной
энергии груза за счет всей убыли внутренней энергии стер-
стержня в согласии с законом сохранения полной энергии, то
для системы «стержень — груз» она не достигнута, так как
часть внутренней энергии стержня передана воздуху, кото-
который не был включен нами в рассматриваемую систему тел.
В данном примере возможны два пути подведения ба-
баланса энергии. Либо интересующую нас замкнутую систе-
систему тел «стержень — груз — Земля» нельзя считать адиа-
адиабатически изолированной, и тогда к ней неприменим закон
сохранения полной энергии (часть внутренней энергии пе-
передается внешнему телу — воздуху). Либо для возможно-
возможности применения этого закона в систему тел должен быть
246

включен и воздух, находящийся в тепловом контакте со
стержнем.
Можно, конечно, изменить условия опыта и проводить
его в вакууме, чтобы не иметь дела с воздухом. В этом слу-
случае придется обеспечить передачу внутренней энергии
стержня непосредственно грузу, но возрастание механичес-
механической энергии груза снова не будет равно убыли внутренней
анергии стержня, так как последняя частично израсходу-
израсходуется на увеличение внутренней энергии груза.
Подчеркнем еще раз, что закон сохранения полной
энергии справедлив для замкнутых и адиабатически изоли-
изолированных систем. Кроме того, следует иметь в виду, что
возможность протекания процессов, в которых увеличение
внутренней энергии системы в точности равно убыли ее
механической энергии, ничем не ограничена (такие про-
процессы происходят, например, 'при застревании пули, в не-
неподвижной стенке, при забивании гвоздя и во многих дру-
других случаях). А вот получить увеличение механической
энергии каких-то частей системы только за счет убыли
внутренней энергии этих или других частей, иными сло-
словами — обеспечить полный переход внутренней энергии в
механическую^ невозможно в принципе. При попытках
осуществления подобных процессов мы всегда встречаемся
с возрастанием внутренней энергии некоторых тел или ча-
частей системы. Только при некоторых специально органи-
организованных условиях удается добиться почти полного пере-
перехода внутренней энергии в механическую. Это может, на-
например, иметь место при очень быстром расширении газа,
теплоизолированного от окружающей среды, когда внутрен-
внутренняя энергия не успевает передаться стенкам сосуда, содер-
содержащего газ, или другим телам.
§ 13. ДВА СПОСОБА ИЗМЕНЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ
13.1. Процесс совершения работы. Работа силы как мера
изменения механической, внутренней и полной энергии
системы
В свое время мы достаточно подробно рассмотрели про-
процессы изменения механической энергии различных систем
тел. Изменение механической энергии замкнутой системы
можно оценить работой внутренних* непотенциальных сил,
которой в случае адиабатически изолированной системы опре-
определяется также и изменение внутренней энергии системы.
247

Работа внешних непотенциальных сил, как мы помним,
позволяет определить изменение механической энергии
незамкнутой системы. При этом тоже происходит измене-
изменение внутренней энергии термодинамической системы. Так,
если в качестве термодинамической системы мы рассматри-
рассматриваем пулю (такие случаи, когда под системой подразуме-
подразумевается одиночное тело, в термодинамике встречаются до-
довольно часто), застревающую в песке, то силы трения долж-
должны считаться внешними силами. Работа этих сил будет
определять не только уменьшение кинетической энергии
пули в принятой инерцйальной системе отсчета," но и воз-
возрастание внутренней энергии пули, сопровождающееся
увеличением температуры или даже плавлением вещества
пули, причем полная энергия пули в общем случае не оста-
останется неизменной.
Наконец, внутренняя энергия незамкнутой адиабати-
адиабатически изолированной системы может изменяться и в ре-
результате совершения работы внешними потенциальными
силами (например, возрастание внутренней энергии газа
при его сжатии в сосуде под действием силы тяжести
поршня).
Следовательно, для незамкнутой (но адиабатически изо-
изолированной) термодинамической системы выполняются
равенства
А^^ A3.1)
или
A3.2)
в которых работа внешних сил выступает не только как
мера изменения механической энергии, но и как мера из-
изменения внутренней, а также полной энергии системы.
Мы уже отмечали, что при наличии внешних сил часто
говорят не о работе силы, а о работе тела или системы тел
против внешних сил. Кроме того, анализируя общие соот-
соотношения и закономерности в термодинамике и подчеркивая
возможность изменения внутренней энергии тел или систем
в явлениях, при протекании которых теми или иными сила-
силами (внутренними или внешними) совершается работа,
говорят о процессе совершения работы как об одном из
способов изменения внутренней энергии.
В некоторых простейших случаях отсутствует измене-
изменение механической энергии незамкнутой, но адиабатически
изолированной термодинамической системы (или им уда-
248

ется пренебречь), и тогда вместо уравнений A3.1) и A3.2)
можно написать
A3.3)
т. е. в этих случаях изменение внутренней энергии системы
равно работе внешних сил.
13.2. Процесс теплообмена. Количество теплоты —
мера изменения энергии в процессе теплообмена
Мы уже говорили о возможности передачи внутренней
энергии от одних тел к другим в отсутствие механического
движения или его изменения в выбранной инерциальной
системе отсчета, т. е. без совершения работы какими бы то
ни было силами. С подобными явлениями мы встречаемся
при отсутствии термодинамического равновесия между
телами, когда внутренняя энергия передается от тела с
большей температурой к телу с меньшей температурой.
Процесс передачи энергии без совершения работы на-
называется теплообменом (или процессом теплообмена), а
энергия, переданная в этом процессе от одного тела к дру-
другому, измеряется количеством теплоты (Q).
Нужно иметь в виду, что названия Некоторых явлений и
величин в термодинамике были введены в те далекие вре-
времена, когда механизм тепловых процессов не был еще понят.
Ряд таких терминов не исключен из употребления и по-
поныне, но их смысл претерпел существенные изменения.
Исторически сложилось так, что изменение теплового
состояния вещества объяснялось изменением количества
тепла, находящегося в нем. Если температура тела повы-
повышалась, гозорили, что это произошло за счет совершения
работы или за счет подвода тепла к нему от какого-то источ-
источника. Процесс подвода или отвода тепла назвали теплооб-
теплообменом. При этом подразумевали, что тела обмениваются
количествами тепла: горячее тело отдает какое-то количе-
количество тепла более холодному телу, а последнее его прини-
принимает. Таким образом, теплоте или количеству тепла при-
приписывалась возможность находиться внутри тел в том или
ином количестве и перетекать от одних тел к другим.
Эффекты в результате совершения работы и теплооб-
теплообмена могли быть одинаковыми. Температура ружейной
пули могла повыситься на определенное число градусов за
счет движения с трением в воздухе (при этом непременно
изменялась ее кинетическая энергия, т. е. совершалась
249

работа по преодолению сил трения), и на столько же гра-
градусов ее можно было нагреть в отсутствие всякого меха-
механического движения и его изменения, например в пламени
спиртовки. Значит, одно и то же изменение теплового
состояния пули один раз произошло за счет совершения
работы, другой раз — за счет теплообмена, за счет подвода
определенного количества теплоты. После этого можно
было говорить об эквивалентности количества теплоты и
работы, приводящих к одному и тому же эффекту.
Классический опыт Джоуля установил такую эквивд-
лентную связь. Заметим, что работа А и количество теп-
теплоты Q в опыте Джоуля измерялись независимо и в совер-
совершенно различных единицах. Единицы количества теплоты—
калория или килокалория — вводились на основании изме-
изменения теплового состояния 1 грамма или 1 килограмма
дистиллированной воды при изменении ее температуры на
один градус (в определенном интервале температур шкалы
Цельсия).
Используя механический эквивалент единицы количества
теплоты (J) или тепловой эквивалент единицы работы
A/J), можно было производить-цересчеты этих эквивалент-
эквивалентных величин:
A JQ QA
Позже, когда в физике получили развитие понятие
энергии и энергетический подход. к описанию явлений,
теплота или теплород, как какие-то тепловые жидкости или
субстанции, содержащиеся в телах, были заменены тепло-
тепловой энергией. Считалось, что тело с бблее высокой темпе-
температурой обладает большим запасом тепловой энергии, чем
тело с более низкой температурой, и может передавать по-
последнему часть ее до установления теплового равновесия.
К сожалению, о тепловой энергии довольно часто при-
приходится слышать и в наши дни. Но если попытаться вскрыть
смысл этого понятия, то окажется, что «тепловая энергия»—
всего лишь словесная конструкция, созвучная некоторым
устаревшим представлениям о механизме тепловых явлений
и не имеющая никакого значения в современной физике.
Нам хорошо известны процессы, происходящие в раз-
различных веществах при изменении их тепловых состояний, и
участники этих процессов. Все эти процессы могут быть де-
детально описаны и рассчитаны с привлечением представле-
представлений о внутренней энергии и о ее компонентах — о кивдти-
250

ческой энергии различных видов движения микроскопи-
микроскопических частиц вещества и о потенциальной энергии их
взаимодействий. Никакой нужды вводить какую-то тепло-
тепловую энергию при4 этом не обнаруживается. Мы, правда,
говорим о тепловом движении частиц, подчеркивая его
неупорядоченность, хаотичность, подчиненность статисти-
статистическим закономерностям микромира. Но, в конце концов,
это — движение, детали которого описываются законами
классической или квантовой механики. Каких-либо иных,
специфически тепловых законов движения микрочастиц
физика не знает. Целесообразность изъятия из употребле-
употребления термина «тепловая энергия» диктуется также тем, что
внутри вещества отсутствуют какие-либо особые тепловые
взаимодействия микрочастиц. Взаимодействие микроскопи-
микроскопических частиц имеется, мы можем вычислить среднюю потен-
потенциальную энергию этих взаимодействий, но природа этих
взаимодействий оказывается или электромагнитной, или
квантовомеханической, а не какой-то «тепловой».
Обратим также внимание на сохраняющуюся до сих
пор двусмысленность при использовании таких терминов,
как «нагревание» и «охлаждение». Первым из них характе-
характеризуют как увеличение температуры тела или вещества,'
так и подвод энергии к телу или веществу в процессе теп-
теплообмена, а вторым — или уменьшение температуры, или
отвод энергии от данного тела (передачу энергии другим
телам) при теплообмене. Мы уже приводили примеры, гово-
говорящие о неоднозначности упомянутых процессов. Напри-
Например, температура тела может увеличиться в процессе со-
совершения работы неконсервативными силами, хотя ника-
никакого теплообмена при этом не будет. С другой стороны, при
сообщении телу энергии в процессе теплообмена темпера-
температура этого тела может не повышаться (с такими случаями
мы имеем дело при изменениях агрегатных состояний ве-
вещества). Поэтому термины «нагревание» и «охлаждение»
следует применять с большой осторожностью.
Итак, несмотря на' устаревшее название, количество
теплоты в физике вводится как мера изменения энергии
тела или системы в процессе теплообмена. Если имеет место
теплообмен, но система замкнута, то изменение полной энер-
энергии системы будет равно количеству теплоты, сообщенному
' системе или отданному системой окружающим телам:
A1T=Q, A3.4)
или
Q. A3.5)
251

Если к тому же не происходит изменения механической
энергии замкнутой системы, то
Q, A3.6)
т. е. процесс теплообмена приводит только к изменению
внутренней энергии такой системы.
13.3. Первое начало термодинамики
Теперь мы можем прийти к обобщению предыдущих
рассуждений для незамкнутых и не изолированных адиа-
адиабатически систем. Изменение полной энергии таких систем
происходит и в результате процесса совершения работы
внешними силами, и в результате процесса теплообмена,
Q, A3.7)
или
<Э. A3.8)
В этом утверждении заключается смысл первого начала
(или закона) термодинамики.
Если мы рассматриваем термодинамическую систему,
механическая энергия которой не изменяется, то уравнение
первого начала термодинамики упрощается:
Q, A3.9)
т. е. изменение внутренней энергии такой системы опреде-
определяется работой внешних сил и количеством теплоты, сооб-
сообщенным системе или отданным системой окружающим
телам в процессе теплообмена.
В некоторых задачах термодинамики удобно использо-
использовать не работу внешних сил Лвнешн, а работу Л, совершае-
совершаемую данной системой против внешних сил. Учитывая, что
Л==—Лвнешн, вместо A3.9) часто записывают уравнение
A, . A3.10)
которое также является выражением первого начала термо-
термодинамики и говорит о том, что энергия, сообщенная систе-
системе ъ процессе теплообмена, расходуется на изменение внут-
внутренней энергии системы и на совершение системой работы
против внешних сил. Механическая энергия термодинами-
термодинамической системы в выбранной инерциальной системе отсчета
при этом не должна изменяться.
252

Так называемое уравнение теплового баланса, которое
часто используется при решении задач и в котором коли-
количества теплоты, отданные некоторыми телами (нагревате-
(нагревателями) термодинамической системы, приравниваются коли-
количествам теплоты,- принятым другими телами системы,
является частным случаем уравнения закона сохранения
полной^энергии для замкнутой и адиабатически изолирован-
изолированной системы. При этом учитывается теплообмен между тела-
телами или частями данной термодинамической системк, но не
рассматривается изменение механической энергии системы.
13.4. Виды теплообмена
Мы уже отмечали, что условием протекания процесса
теплообмена является наличие разности температур между
телами или частями термодинамической системы. И хотя
в этом процессе происходит передача внутренней энергии
от одних тел к другим, различие или равенство значений
внутренних энергий тел, между которыми происходит теп-
теплообмен, никак не влияет на ход процесса.
Например, в тепловой контакт приводятся два медных
шарика — маленький и большой. При одинаковых темпе-
температурах суммарные значения внутренних энергий шариков,
конечно, не будут равными: внутренняя энергия большого
шарика будет во столько раз больше, чем у маленького, во
сколько раз отличаются количества микрочастиц, из кото-
которых они состоят. Тем не менее теплообмен между шариками
происходить не будет — при равных температурах они
будут находиться в термодинамическом равновесии. Если
же температуры шариков неодинаковы, то процесс теплооб-
теплообмена будет наблюдаться, причем внутренняя энергия будет
передаваться от шарика с большей температурой к шарику
с меньшей температурой вплоть до выравнивания темпера-
температур, до установления термодинамического равновесия.
Таким образом, неодинаковость значений внутренних
энергий тел не оказывает влияния ни на возникновение
процесса теплообмена, ни на направление его протекания.
Теплообмен является процессом перехода системы из
неравновесного состояния к равновесному. Его возникно-
возникновение и направление протекания определяются разностью
температур. Кроме того, значение разности температур
влияет на интенсивность процесса теплообмена.
Разница температур может иметь место и в пределах
какого-то одного конкретного тела. Например, когда мы
253

помещаем один конец длинной проволоки в пламя спиртов-
спиртовки, он очень быстро принимает высокую температуру. Дру-
Другой конец той же проволоки может достаточно продолжи-
продолжительное время иметь комнатную температуру. Слои воз-
воздуха, соприкасающиеся с нагретым асфальтом, имеют более
высокую температуру, чем слои, располагающиеся на
несколько метров выше. Подобных примеров можно при-
привести много. Во всех подобных случаях мы имеем дело с
процессом теплообмена между отдельными малыми объе-
объемами, слоями или частицами одного и того же вещества.
Если теплообмен происходит без видимого механичес-
механического перемещения тел или частиц, из которых состоят тела,
то говорят о процессе теплопроводности или о кондуктив-
ном теплообмене. Второе название как раз указывает на
то, что тела или частицы, участвующие в процессе, нахо-
находятся в непосредственном контакте. Механизм этого про-
процесса сводится к передаче энергии от одних частиц к другим
при их столкновениях. Частицы тела с более высокой тем-
температурой движутся с большими скоростями, чем частицы
тела с более низкой температурой. При контакте таких тел
происходят упругие столкновейия частиц, в результате
чего энергии частиц могут выравниваться. Точно так же
происходит* процесс передачи энергии в пределах какого-то
одного тела, если температуры его различных участков
или слоев неодинаковы. От частиц, движущихся с большими
скоростями, энергия передается более медленным частицам,
что внешне и проявляется в выравнивании температур
различных участков тела.
Процесс теплопроводности может происходить в веще-
веществах, находящихся в твердом, жидком и газообразном
состояниях, но быстрее всего он протекает в металлах.
Передача внутренней энергии между слоями жидкостей
и газов осуществляется главным образом за счет конвектив-
конвективного теплообмена, при котором происходит направленный
перенос макроскопических объемов вещества. Анализируя
этот вид теплообмена, можно заключить, что он не является
чисто тепловым процессом, так как перемешивание слоев
вещества всегда связано с какими-то внешними, нетепло-
нетепловыми причинами.
В естественных земных условиях конвективный теплооб-
теплообмен объясняется двумя факторами: изменением плотности
жидкостей или газов при изменении температуры и нали-
наличием поля тяготения Земли. Если температура во всех точ-
точках объема жидкости или газа одна и та же (термодинами-
254

ческое равновесие), то макроскопические частицы жидкости
или газа находятся в безразличном равновесии. Если же в
пределах объема жидкости или газа температуры неодина-
неодинаковы, то возникает движение этих частиц. В тех местах,
где температура выше, в общем случае плотность жидкостей
или газов оказывается меньшей. За счет этого выталкиваю-
выталкивающая сила, действующая на макроскопический объем со
стороны окружающих слоев жидкости или газа, становится
больше силы тяжести этого объема, что и приводит к вытал-
выталкиванию слоев с большей температурой вверх. На их место
опускаются слои с меньшей температурой.
Учитывая указанный механизм процесса конвективного
теплообмена, нагреватели жидкости или газа всегда распо-
располагают по возможности ниже, а холодильники — в самых
верхних частях сосудов или помещений. При такой их рас-
расстановке процесс теплообмена будет идти наиболее интен-
интенсивно, taK как конвекцией будут захвачены все слои объема
жидкости или газа.
Очень часто движение или перемешивание слоев жид-
жидкостей и газов при теплообмене обеспечивается искусствен-
искусственным путем. Так, в условиях невесомости, имеющих место
при движении спутника или космического корабля по
орбите, нет естественного перемешивания слоев воздуха
внутри аппарата. Принудительную циркуляцикк воздуха
обеспечивают, например, с помощью вентиляторов. Иначе
теплообмен между телом космонавта и воздухом в кабине,
а также между некоторыми приборами и воздухом происхо-
происходил бы только за счет теплопроводности, что могло бы при-
привести к перегреву тела космонавта (и приборов), так как
теплопроводность воздуха очень мала.
Кроме перечисленных видов теплообмена, происходя-
происходящих внутри веществ, существует еще один очень важный
вид передачи внутренней энергии — процесс теплообмена
с помощью излучения (иногда его называют лучистым тепло-
теплообменом). Этот вид теплообмена осуществляется с помощью
электромагнитных волн и не нуждается в каких-либо иных
посредниках.- Электромагнитные волны беспрепятственно
распространяются в вакууме, а любые вещества, находя-
находящиеся между телами, которые участвуют в лучистом тепло-
теплообмене, только снижают эффективность этого процесса,
поглощая часть энергии.
Лучистый теплообмен является универсальным видом
теплообмена, происходящим, как и зсе другие виды тепло-
теплообмена, при наличии разности температур. Он может
255

происходить между любыми телами и внутри каждого из
них. Помимо громадной роли в космических масштабах, он
имеет важное значение в микромире.
К этому следует добавить, что каждое тело при любой
температуре находится в лучистом теплообмене с другими
телами, одновременно излучая и поглощая электромагнит-
электромагнитные волны. Для данного тела при заданной температура
отношение энергии, переданной другим телам, к энергии,
поглощенной самим телом, оказывается величиной постоян-
постоянной, т. е. между испусканием и поглощением устанавли-
устанавливается динамическое равновесие.
§ 14. ПРОЦЕСС ТЕПЛООБМЕНА, НЕ СОПРОВОЖДАЮЩИЙСЯ
ИЗМЕНЕНИЕМ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
14.1. Поведение твердых тел и жидкостей
при изменении температуры
Вещества в твердом и жидком состояниях при изменении
температуры изменяют свои линейные размеры и объем.
Для оценки этих изменений вводят коэффициент линейного
расширения (а)
где U и / — какой-то линейный размер тела при темпера-
температурах t0 и t соответственно, и коэффициент объемного рас-
расширения (Р)
где Vo и V — объемы вещества при температурах t0 и t.
При определении коэффициентов/ а и р по этим формулам
принято полагать, что to=O °С. Вводя обозначения А1 и А V
для, изменений линейного размера и объема тела, a At —
для интервала, изменения его температуры, формулы A4.1)
и A4.2) можно переписать в ином виде:
,«=¦&• A4-3)
P A44)
Коэффициент линейного расширения — это физическая
величина, определяемая средним относительным измене-
256

нием линейного размера тела при изменении его темпера-
температуры на один градус в определенном интервале температур
(At). Аналогично истолковывается и физический смысл
коэффициента объемного расширения. Размерность коэф-
коэффициентов а и р — град, или К".
Определенные для различных веществ опытным путем
коэффициенты линейного и объемного расширения позво-
позволяют находить линейный размер / или объем V тела при
любой температуре t, если известны линейный размер /0
или объем Vo при температуре tOy от которой отсчитывается
интервал изменения температуры тела:
A4.5)
A4.6)
Следует помнить, что для одного и того же вещества
значения коэффициентов аир зависят от интервалов тем-
температур, в которых они определяются по формулам A4.1)
и A4.2) или A4.3) и A4.4). При использовании таблиц коэф-
коэффициентов термического расширения нужно обращать вни-
внимание на интервал температур, для которого эти величины
справедливы. Иногда в таблицах явно указывается не ин-
интервал температур, а одно значение температуры, вблизи
которого справедливы те или иные коэффициенты.
Поскольку при изменении температуры вещества в твер-
твердом или жидком состоянии его объем изменяется при неиз-
неизменной массе, плотность вещества при этом также изме-
изменяется:
Р=ТТР7 <147>
Здесь ро — плотность вещества при температуре, с которой
начат отсчет интервала температур At, ар — плотность
при конечной температуре. Исключение из этой закономер-
закономерности представляет вода.
К сожалению, часто причиной теплового расширения ве-
веществ в твердом и жидком состояниях считают возрастание
амплитуд колебаний частиц вещества с ростом температу-
температуры. Между тем ясно, что какое бы то ни было возрастание
амплитуд колебаний не могло бы привести к увеличе-
увеличению средних расстояний между частицами и к увеличе-
увеличению размеров и объема вещества. Дело тут в другом. Теп-
Тепловое расширение в конечном счете связано с различной'
зависимостью от расстояний сил притяжения и отталкива-
отталкивания частиц вещества в твердом и жидком состояниях. Из-за
9 Ю. А. Селезнев 257

этого колебания частиц около положений устойчивого рав-
равновесия имеют несимметричный характер. С возрастанием
температуры несимметричность колебаний становится все
более ярко выраженной (сравните смещения частицы С2 на
рис. 7.3 при значениях энергии WM^ и Wm)9 что и приводит
к увеличению средних расстояний между частицами <ве*
щества (на рис. 7.3 г'0>г0).
Пусть рис. 7.3 напомнит читателям также о том, что
средняя суммарная энергия частиц вещества, находяще-
находящегося в твердом или жидком состоянии, считается отрицатель-
отрицательной. С ростом температуры возрастают не только средние
скорости колебательного движения частиц вещества в
твердом состоянии и средние скорости поступательного,
колебательного и вращательного движений частиц вещества
в жидком состоянии, что равносильно увеличению средних
кинетических энергий движения частиц. При этом увели-
увеличиваются и средние потенциальные энергии взаимодейст-
взаимодействия его частиц.
Расширяясь при увеличении температуры, вещества в
твердом и жидком состояниях совершают работу против
внешних сил (например, против сил давления окружающего
воздуха, против силы тяжести поршня, которым закрыт
цилиндр с жидкостью, и т. д.), но, поскольку расширение
бывает незначительным, эту работу часто не принимают
в расчет, когда составляют уравнение A3.10) первого на-
начала термодинамики. При этом полагают, что практически
вся энергия, подведенная к веществу в процессе теплооб-
теплообмена, идет на увеличение его внутренней энергии.
Для подсчета изменения внутренней энергии вещества,
не претерпевающего в процессе теплообмена изменений
агрегатного состояния, используют среднюю удельную
теплоемкость (сср) и удельную теплоемкость (с). Под сред-
средней удельной теплоемкостью понимают физическую ве-
величину, определяемую тем количеством теплоты, которое
нужно сообщить единице массы данного вещества при уве-
увеличении его температуры на один градус в заданном интер-
интервале температур At:
с- <148)
Предел этого отношения при бесконечном уменьшении
интервала At называют удельной теплоемкостью веще-
вещества при температуре, с которой начат отсчет интервала
258

температур:
A4.9)
При различных температурах одно и то же вещество
имеет неодинаковые удельные теплоемкости, но часто в не
очень точных практических расчетах этим различием пре-
ьебрегают и пользуются табличным значением удельной
теплоемкости для всех температур. При проведении точных
расчетов с температурными изменениями удельной теп-
теплоемкости, конечно, нужно считаться.
До введения СИ удельная теплоемкость веществ изме-
измерялась в кал/(г-град) или в ккал/(кг-град). Эти единицы
ге принадлежали ни к одной из известных систем единиц.
В СИ для измерения количества теплоты установлена
такая же единица, как для работы и энергии, — джоуль.
Таким образом, в соответствии с формулами A4.8) или
A4.9) удельная теплоемкость в этой системе измеряется
в Дж/(кг-К).
Задача. На сколько отстанут за сутки стенные часы, отрегулиро-
отрегулированные при температуре ^1=18,0°С, если их перенести в помещение,
температура воздуха в котором /2=24,0 °С> На сколько при этом изме-
изменится внутренняя энергия маятника? Маятник часов — цилиндрический,
изготовлен из латуни, при температуре /х имеет длину /1=0,37 м и диа-
диаметр D=l,0 см Принять также, что при температуре tx период колебан-
колебании й маятника Т1% определенный с точностью, превышающей точность
нашего дальнейшего расчета, равен одной секунде.
В этой задаче мы имеем дело с физическим маятником, длина кото-
которого увеличивается при повышении температуры Для маятника в форме
стержня, подвешенного за один конец, приведенная длина составляет
две трети всей длины стержня. Этот расчет выходит за рамки элементар-
элементарного курса, но для нас будет вполне достаточно воспользоваться тем об-
обстоятельством, что период колебаний рассматриваемого маятника про-
пропорционален корню квадратному из его длины.
Т=В\ГТг (а)
где B=2jij//Cg).
Обозначив длину стержня при температуре /2 через /2, а период ко-
колебаний — через Тъ применим зависимость (а) для двух рассматривае-
рассматриваемых случаев:
?Ч = б УТЪ (б)
Г,=В КС (в)
На основании A4.5) имеем
ДУ, /а=/0A+аД/2), (г)
где /0 — длина стержня при температуре to=0 °C.
'* ¦ 259

Почленно разделив (в) на (б), найдем связь между периодами коле-
колебаний маятника в двух случаях: T2/T1=yi2llii которая с учетом (г)
принимает вид
Взяв из таблицы значение коэффициента линейного расширения ла-
латуни а—1,89» 1G-5 Кл1? можно подсчитать значение корня в выраже-
выражении (д)'
1/Г+аА7Г -,/1+ 1,89-10-5 B4,0-0) ^ ™-
У 1+5*5 =У 1 + 1,89.10-5A8,0-0) «^000055.
В связи с этим появляется возможность более определенно выска-
высказаться о точнбсти, с которой должен быть измерен период 7\. Ошибка
этого измерения fie должна превышать нескольких микросекунд, так как
в противном случае не удастся обнаружить изменения хода часов при
повышении температуры маятника. Если это условие выполнено, тоТ2=
= 1,000055 с, т. е. при температуре t2 за каждую секунду часы будут от-
отставать на 5,5» Ю-5 с, а за сутки (за 86 400 с) они отстанут на 5,5» 10-бХ
Х8,64-104^4,8 с.
^Внутренняя энергия стержня при повышении его температуры от
/х до L возрастает за счет теплообмена с окружающим воздухом Если
пренебречь работой, совершаемой против внешних сил при удлинении
стержня и при увеличении его диаметра, то на основании A3 10) можно
записать
A?/=Q,
причем количество теплоты Q, подведенное к стержню, можно легко под*
считать по формуле
Q=cm At,
где с — удельная теплоемкость вещества, из которого изготовлен стер-
стержень, Пг — масса стержня, А* — интервал изменения температуры
стержни (А/=/2—у.
Для определения массы стержня придется воспользоваться таблич-
табличным значением плотности латуни* р=8,5« 103 кг/м3 Из таблиц найдем
и значение удельной теплоемкости латуни. с=385 Дж/(кг> К).
Поскольку объем стержня равен У=(яО2/4)/г (пренебрегаем малым
увеличением объема при возрастании температуры), масса стержня бу-
будет равна /тг=(я2J/4)/1р и
... nD2
А(/
При использовании СИ диаметр стержня D надо выразить в мет-
метрах (D=0,010m). Изменение внутренней энергии А0 будет получено в
джоулях:
о кг Дж тг т.
М2.м , J+ . к = Дж
м3 кг «К
(напомним, что разности температур, выраженные в градусах Цельсия
и в Кельвинах, совпадают). Подстановка численных значений дает
]^)!o,37.8;5.103.385 B4,0-18,0) * 550 Дж.
260

Задача. В сосуд, в котором находится порция жидкости, занимаю-
занимающая при температуре /х объем Vb наливают вторую, порцию такой же
жидкости, но при более высокой температуре /g. Объем второй порции
жидкости при температуре t2 равен V2. Изменится ли суммарный объем
двух порций жидкости после установления в сосуде термодинамического
равновесия?
В данном случае имеем дело с адиабатически изолированной систе-
системой, состоящей из двух порций жидкости. Работой, совершаемой систе-
системой против внешних сил (или внешними силами над системой) при из-
изменении объемов порций жидкости, будем пренебрегать. В этих условиях
можно говорить о сохранении суммарной внутренней энергии обеих
порций жидкости. Теплообмен приводит к уменьшению внутренней
энергии и температуры второй порции жидкости, при этом внутренняя
энергия и температура первой порции увеличиваются. Процесс тепло-
теплообмена прекратится, когда будет достигнуто термодинамическое равно-
равновесие, при котором обе порции жидкости примут температуру О, причем
/1<в</2. Ясно, что объем первой порции жидкости при увеличении
температуры будет увеличиваться, а объем второй — уменьшаться при
уменьшении температуры. Если эти изменения объемов будут неодина-
неодинаковыми, суммарный объем жидкрсти изменится.
Обозначим объем первой порции жидкости при температуре в
через V*v а объем второй порции при этой же температуре — через У"г.
Будем считать, что рассматриваемая жидкость имеет коэффициент объ-
объемного расширения р и удельную теплоемкость с, не изменяющиеся в за-
заданном интервале температур. Для составления уравнения теплового ба-
баланса (уравнения закона сохранения суммарной внутренней энергии
для двух порций жидкости) зададимся массами т± и т2 порций жидко-
жидкости, которые, несмотря на теплообмен, конечно, не изменяются. После
этого приравняем изменения внутренних энергий порций жидкости;
или, сокращая на сг
Удобно объемы порций жидкости выразить через неизменяющиеся
массы этих порций. Обозначим плотности жидкости при температурах
tx, /2 и в через Рх, р2 и р соответственно» Тогда
Vl=—, y1=T, va=—, V2_T.
В соответствии с A4 7) плотности pf, p2 и р данной жидкости можно вы-
выразить через вполне определенную ее плотность р0 при температуре О °С|
п Ро . __ Ро п_ Ро
Pl~i+P('i-O)* p2~ i+P('»-o) * р~1+р(в—о)-
Подставляя эти выражения в формулы для Vi, У2> ^1 и У2, получим
Ро Ро
Ро Ро
261

Найдем увеличение объема первой порции жидкости при увеличении
температуры:
Vi—У1 = A + рв)^(l + p/i) f
ро Ро Ро
и уменьшение объема второй порции при уменьшении температуры
Ро Ро Ро
Произведения, заключенные в квадратные скобки в двух последних
уравнениях, равны между собой в соответствии с уравнением тепло-
теплового баланса, значит, равны и изменения объемов обеих порций жид-
жидкости:
Vl-V^ V2-V'2, или Vi+ Vj= Vx + V*
т. е. суммарный объем двух порций жидкости после выравнивания тем-
температур останется неизменным
Задача. Подвешенное на нити твердое тело опущено в жидкость.
Изменится ли сила натяжения нити, если температура жидкости и на-
находящегося в ней тела увеличится на At градусов?
Тело в обоих случаях должно находиться в статическом равновесии.
Обозначив силы, действующие на тело со стороны нити в обоих случаях,
через Тх и Т2, силу тяжести тела — через Р, выталкивающие силы — че-
Рез ?ai и F^a, можем записать условия равновесия тела в двух случаях:
После проецирования этих уравнений на вертикальную координатную
ось неподвижной инерциальной системы отсчета, связанной с той под-
подставкой, к которой крепится нить и на которой находится сосуд с жид-
жидкостью, приходим к уравнениям связи модулей сил:
Ясно, что сила тяжести тела при изменении температуры не изме-
изменяется. Силы натяжения нити могут быть неодинаковыми только из-за
различия выталкивающих сил. Выталкивающая сила зависит от объема
тела ]/т, находящегося 1'внутри жидкости, и от плотности жидкости
рж согласно уравнению A0.8). Обе эти величины при изменении темпера-
температуры изменяются.
Обозначим объем твердого тела при начальной температуре через
Ут1, после увеличения температуры — через Ут2, а плотность жидкости
в этих двух случаях — через рж1 и рж2. Пусть коэффициенты объемного
расширения твердого тела и жидкости рт и Рж определены как раз для
интересующего нас интервала изменения температуры At, Тогда
262

Из сравнения выражений для FAl и FA2 видно, что они отличаются
только множителем
причем его отличие от единицы будет иметь место, только если РТ^РЖ.
Но что мы можем сказать о значениях рт и Рж, если нам не указаны
конкретно вещества, участвующие в опыте? Придется провести анализ
в общем случае, твердое тело из какого-то вещества погружено в какую-
то жидкость.
Обратимся к физическому справочнику и оценим, какие коэффици-
коэффициенты объемного расширения имеют различные вещества в твердом и жид-
жидком состояниях. Нас не поставит в затруднение тот факт, что в справоч-
справочниках отсутствуют таблицы коэффициентов объемного расширения
твердых тел, а имеются лишь таблицы коэффициентов их линейного
расширения. Для однородного и изотропного твердого тела существует
приближенная связь коэффициентов объемного и .линейного расшире-
расширений:
Из анализа табличных данных заключаем, что коэффициенты объем-
объемного расширения различных твердых тел имеют значения в пределах от
1,5-10—6 до 210-10 К~*, а различных жидкостей — в пределах от
0,5* 10~4 до 17* 10-4 К". Из-за «перекрытия» этих пределов однознач-
однозначного ответа на поставленный в задаче вопрос дать нельзя, не зная, с ка-
какими веществами мы имеем дело. Можно только сказать, что сила натя-
натяжения нити не изменится, если РТ=РЖ. Если РТ>РЖ, то FA2>FAl
и Т2<ТЪ т. е. сила натяжения нити уменьшится. Если же будет РТ<CЖ,
то сила натяжения увеличится, так как в этом случае при увеличении
температуры выталкивающая сила, действующая на тело, будет умень-
уменьшаться (FA2<FAl).
14.2. Процессы в идеальных газах
Подобно тому как механическое состояние тела или
•системы тел характеризуется некоторыми величинами или
параметрами (координатами и скоростями), а также функ-
функцией состояния (механической энергией), некоторому тер-
термодинамическому состоянию тела или системы соответст-
соответствуют определенные термодинамические параметры. Для
простейших термодинамических систем такими параметра-
параметрами являются давление (р), объем (V) и температура (Г),
а для более сложных систем — и некоторые другие. Функ-
Функцией термодинамического состояния является внутренняя
энергия. Например, термодинамическое состояние какого-то
твердого или жидкого вещества может быть задано объемом
этого вещества при 0 °С й температурой. При описании
термодинамического состояния газообразного вещества
этих двух параметров бывает недостаточно и приходится
учитывать третий параметр — дазление.
2G3

В задачах элементарного курса физики подробно рас-
рассматриваются равновесные термодинамические состояния,
при которых термодинамические параметры во всех частях
системы оказываются одинаковыми и без внешних воздей-
воздействий сохраняются неизменными в течение сколь угодно
продолжительных промежутков времени.,Если данная систе-
система находится в равновесном состоянии, то в окружающих
эту систему телах никаких изменений не происходит, ибо
все эти тела также находятся в равновесии с данной систе-
системой. Такое состояние системы может быть охарактеризо-
охарактеризовано набором трех величин (р, Vf T). Если изменяется
хотя бы одна из этих величин, то говорят об изменении со-
состояния системы или о термодинамическом процессе изме-
изменения состояния системы. Для простоты в элементарном
курсе физики рассматриваются только равновесные процес-
процессы, т. е. такие, которые представляют последовательность
переходов от одного равновесного состояния к другому*
Практически к такому процессу можно приблизиться, если
проводить процесс очень медленно (чтобы успевало уста-
установиться равновесие между телами или частями данной
системы и между данной системой и окружающими ее те-
телами).
Равновесные процессы называют еще обратимыми про-
цессами, подчеркивая тот факт, что эти процессы могут
идти как в прямом, так и в обратном направлении, причем
все те промежуточные равновесные состояния, которые
Система проходит в прямом процессе, должны быть ею
пройдены и в обратном процессе. Возвращению системы б
начальное состояние после прямого и обратного процес-
процессов должно соответствовать полное исчезновение каких
бы то ни было изменений в состоянии окружаюшдх
ее тел.
В реальных условиях мы не встречаемся ни с равновес-
равновесными состояниями, ни с равновесными или обратимыми
процессами, так как за счет различных внешних влияний
равновесие не успевает установиться даже в пределах
данной системы. Обратный процесс нередко связан с теми
или иными изменениями в термодинамическом состоянии
окружающих тел, так что промежуточные состояния си-
системы в прямом и обратном процессах не являются тождест-
тождественными.
Изучая поведение веществ в газообразном состоянии,
следует помнить о некоторых особенностях, отличающих
это состояние от твердого и жидкого состояний.
264

Прежде всего, в задачах элементарной физики рассмат-
рассматриваются сильно разреженные газы. В этих условиях от-
отвлекаются от учета потенциальной энергии взаимодействия
частиц вещества и ее изменений и полагают, что во внутрен-
внутреннюю энергию вещества вносит вклад только кинетическая
энергия движения частиц (считают газы идеальными).
Учитывая, что вещество в газообразном состоянии может
значительно расширяться и сжиматься, уже нельзя пре-
пренебрегать работой, совершаемой газом против внешних
сил, или работой внешних сил, как часто делают при рас-
рассмотрении термодинамических процессов, в которых уча-
участвуют вещества в твердом или жидком состояниях.
Работа, совершаемая газом против внешних сил в рав-
равновесном процессе, определяется произведением давления
газа р на изменение его объема AV:
A=pAV. A4.10)
Эта связь справедлива в тех случаях, когда при изменении
объема газа его давление остается постоянным. Если же в
процессе расширения или сжатия газа давление изменяется,
то нужно находить элементарные работы, соответствующие
столь малым изменениям объема газа AVif в пределах кото-
которых давление pt может считаться постоянным, а затем все
эти работы суммировать:
A=%PiWi. A4.11)
Работа Лвнешн, совершаемая при изменении объема
газа внешними силами, очевидно, может быть определе-
определена так:
Если объем газа увеличивается (AF>0), то работа, со-
совершаемая газом против внешних сил, положительна
(Л>0), а'работа внешних сил отрицательна (Лвнешн<0).
При сжатии газа (AF<0) знаки этих работ изменяются на
обратные (Л<0 и Лвнешн>0).
Помня о возможности значительных изменений объема
газа в термодинамических процессах, следует учитывать,
что удельная теплоемкость данного газа (или средняя удель-
удельная теплоехмкость) зависит не только от интервала измене-
изменения температуры газа, но и от условий, при которых про-
происходит это изменение. В согласии с уравнением A3.10)
первого начала термодинамики можно сказать, что пути
265

расходования энергии Q, подведенной к системе в процессе
теплообмена, могут быть различными. Если газ в термо-
термодинамическом процессе расширяется, то на совершение
работы против внешних сил пойдет какая-то часть энергии
Q, и только остальная часть Q будет расходоваться на уве-
увеличение внутренней энергии при повышении температурь^
Если же газ при подведении к нему энергии Q почему-либо
не изменяет своего объема (например, объем газа в цилиндре
под поршнем искусственно поддерживается постоянным),
то все подводимое количество теплоты пойдет на увеличение
внутренней энергии при повышении температуры. Таким
образом, удельная теплоемкость газа в случае, если ему
предоставлена возможность при увеличении температуры
расширяться, будет больше, чем при сохранении его объема
неизменным. В первом случае придется подводить больше
энергии для повышения температуры газа на один градус,
чем во втором, ибо часть энергии должна расходоваться на
совершение работы против внешних сил. Следовательно,
удельная теплоемкость газа зависит от процесса, в котором
участвует газ.
Какие же простейшие равновесные процессы изменения
состояния газов нам известны? Таких процессов четыре:
изотермический у изохорический, изобарический и адиабати-
адиабатический. Рассмотрим эти процессы, считая во всех случаях,
что мы имеем дело с идеальным газом, имеющим постоянное
значение массы.
Изотермический процесс. Газ совершает изотермический
процесс в том случае, если его температура не изменяется,
Связь между давлением газа и его объемом устанавливается
тогда законом Бойля — Мариотта:
pF=const, A4.13)
произведение давления газа на его объем остается величи-
величиной постоянной для любого состояния газа в изотермиче-
изотермическом процессе. Поскольку потенциальная энергия взаимо-
взаимодействия частиц идеального газа равна нулю, изменение
объема газа при изотермическом процессе не сопровожда-
сопровождается изменением внутренней энергии. Пропорциональность
внутренней энергии идеального газа его абсолютной темпе-
температуре приводит к тому, что при изотермическом процессе
внутренняя энергия газа не изменяется (Д?/=0). В согла-
согласии с первым началом термодинамики для изотермического
процесса имеем
Q=Af A4.14)
266

откуда следует, что энергия, подводимая к газу в изотерми-
изотермическом процессе, расходуется на совершение работы против
внешних сил, или, иными словами, при сообщении некото-
некоторого количества теплоты газ будет изотермически расши-
расширяться. При изотермическом сжатии газа какими-то внеш-
внешними силами (ЛВнешн>0) ОН будет отдавать энергию окру-
окружающим телам (стенкам сосуда, поршню и т. д.) в процессе
теплообмена (Q<0).
Поскольку при изотермическом процессе энергия к газу
может подводиться (Q>0), но температура газа не изменяет-
изменяется (АГ=0), на основании A4 8) и A4.9) приходим к вы-
выводу, что удельная теплоемкость газа в этом процессе
бесконечно велика (сг=оо).
С молекулярно-кинетической точки зрения при изотер-
изотермическом сжатии газа его частицам для движения предо-
предоставляется меньший объем. Средняя скорость движения
Р\
У 0
Рис. 14.1.
частиц остается неизменной, но частицы чаще соударяются
между собой и со стенками сосуда. Это и проявляется как
увеличение давления газа. При изотермическом расширении
идеального газа средняя скорость хаотического движения
его частиц снова не изменяется, а уменьшение давления
связано с уменьшением числа столкновений частиц при
увеличении объема.
Большую помощь при анализе равновесных газовых
процессов оказывают графики зависимости величин, опре-
определяющих состояние газа. На рис. 14.1 представлены гра-
графики изотермических процессов для некоторого газа (с
постоянной массой) в различных осях координат, причем
y\T7Y
Задача. Мы можем приблизительно определить значение атмосфер-
атмосферного давления следующим образом. Стеклянную трубку длиной / погру-
погружают в вертикальном положении в жидкость с известной плотностью р
(рис. 14.2). Пусть нижний конец трубки при этом находится на глубине Н
под свободной поверхностью жидкости. После этого, закрыв верхний
конец'трубки2 ее вынимают из жидкости. Часть жидкости при этом выте-
267

кает, и в трубке остается столб жидкости высотой h. Как по этим данным
определить значение атмосферного давления рат^ ,
Обозначим площадь поперечного сечения трубки через S и рассмот-
рассмотрим два состояния воздуха в трубке.
Состояние I (рис. 14.2, а). Мы закрыли верхний конец трубки,
но еще не вынимаем ее из жидкости. Воздух в этом состоянии будет
занимать объем
и будет иметь давление р±, равное атмосферному давлению, р1==рат.
Состояние II (рис. 14.2, б). Трубка вынута из жидкости. Остав-
Оставшийся в ней воздух расширился и за-
нял объем
h,,
рения
Бойля
Давление его при этом уменьшилось
и стало равным р2- Ясно, что масса воз-
воздуха в обоих состояниях остается не-
неизменной.
Если трубку вынимать медленно
или если, вынув ее из жидкости, по-
подождать некоторое время до устано-
установления теплового равновесия между
воздухом в трубке и наружным возду-
воздухом, то можно считать процесс расши-
воздуха в трубке изотермическим. Тогда на основании закона
— Мариотта можно написать
или
Рис. 14.2.
откуда
Рат — Рг
По этому выражению можно найти атмосферное давление раг, если удаст*
ся' выразить давление р2 через заданные величины.
Рассмотрим равновесие столба жидкости во втором случае, прене-
пренебрегая силами взаимодействия жидкости со стенками трубки. Давление
на нижнее основание столба жидкости снизу равно атмосферному*
давление на верхнее основание равно давлению р2? установившемуся
в трубке. Равновесие столба возможно, если
Отсюда и появляется возможность выразить неизвестное давление
через заданные (р2 g, h) и искомую (р^?) величины:
Подставляя это выражение в уравнение для рат и произведя простые
преобразования, получаем
Дробь в правой части этой формулы безразмерна, а размерности величи*
ны рат и произведения pgh совпадают в любой принятой для расчета
системе единиц.
268

Изохорический процесс. В этом процессе объем опреде-
определенной порции газа остается неизменным (V=const). Связь
между давлением и температурой устанавливается законом
Шарля:
/> = ЛA+а,0, A4Л5)
где р0 — давление данной порции газа при температуре
О °С, р— давление данного газа при температуре t°C,
ар— термический коэффициент давления (равный коэф-
коэффициенту объемного расширения) газа. Поскольку для
всех газов, которые можно считать идеальными (можно
пренебречь размерами их атомов или молекул и силами
взаимодействия между ними), 0^=1/273,15 град", урав-
уравнение A4.15) записывают иначе:
где Т — температура, при которой газ имеет давление р,
измеренная по шкале Кельвина. Такая форма записи урав-
уравнения закона Шарля очень удобна для сравнения любых
состояний газа при изохорическом процессе и указывает
на пропорциональность давления газа его абсолютной тем-
температуре (для данной порции определенного газа дробь
Ро/273,15 будет являться постоянной величиной). Если при
температуре 7\ газ, совершающий изохорический процесс,
имеет давление ри а при температуре Т$ — давление р2,
то на основании A4.16) можно написать
Л— 273,15 И Р*~~ 273,15 f \™Л1)
откуда после почленного деления получаем
Графики изохорического процесса в координатных осях
р, У и У, Т не требуют никаких пояснений. График в осях
р, Т строится по уравнению A4Л6) и представляет собою
прямую линию, проходящую через начало координат (р=
^const-Т1), причем дробь ро/273,15 вместе с известными
масштабами \ip и \iT позволяет определить тангенс угла
наклона графика изохорического процесса к оси темпера-
температур I тангенс этого угла равен 27з°15 *~) * ^а Рис" ^'^
в различных осях координат изображены графики изохо-
* 269

рических процессов для газа, имеющего постоянную массу
и различные объемы (Ух<Уг<У^>
Из-за неизменности объема при изохорическом процессе
(y=const, или AV=0) газ не совершает работы против
внешних сил (А=0). К нему может подводиться энергия
извне в результате теплообмена, и это приведет к увеличе-
увеличению его внутренней энергии (Q=At/), к увеличению тем-
температуры газа. Давление при этом будет возрастать из-за
увеличения средней скорости движения частиц газа. При
уменьшении температуры газа в изохорическом процессе
часть его внутренней энергии передается окружающим те-
телам (—A U=—Q). При этом уменьшается средняя скорость
движения частиц газа, уменьшается число их соударений
V V
V О
г о
(flr)
Рис. 14.3.
между собой и со стенками сосуда, а значит, уменьшается
ы давление газа.
Удельная теплоемкость газа в изохорическом процессе
(cv) имеет какое-то конечное значение. Если записать урав-
уравнение первого начала термодинамики для единицы массы
газа при изохорическом процессе
и учесть, что для единицы массы газа Q=cvAt или Q=
=cvAT, то
AU=cv&Ty A4.19)
откуда видно, что изменение внутренней энергии находится
в очень простой связи с изменением температуры идеаль-
идеального газа
Поскольку при рассмотрении идеальных газов мы не
учитываем изменение потенциальной энергии взаимодей-
взаимодействия частиц газа, формула A4.19) оказывается пригодной
для подсчета изменения внутренней энергии единицы массы
идеального газа при любых процессах, кроме изотермиче-
изотермического.
270

Изобарический процесс. Если газ изменяет свое состоя-
состояние при постоянном давлении (p=const), говорят об изоба-
изобарическом процессе, для которого связь объема и темпера-
температуры газа устанавливается законом Гей-Люссащ:
A4.20)
где VQ и V — объемы данной по массе порции газа при тем-
температурах 0°С и /°С, av — термический коэффициент объем-
объемного расширения газа. Снова для всех идеальных газов ока-
оказывается, что av= 1/273,15 град. Рассуждая точно так
Pi
V о
Т 0
¦Рз
¦ Pi
¦Pi
Рис 14.4.
же, как и при анализе уравнения закона Шарля, можем
получить иную форму записи закона Гей-Люссака:
273,15 ' К^'^Ч
и уравнение связи между t объемами и абсолютными, темпе-
температурами для двух состояний газа в изобарическом про-
процессе:
Графики изобарического процесса в координатных осях
р, V и р, Т представляют прямые линии (p=const), а в
осях V, Т изобара строится по уравнению A4.21) (V=
=const-7), причем тангенс угла ее наклона к оси темпе-
температур равен 273°15 • —. На рис. 14.4 изображены графики
изобарического процесса для случаев Р1<р2<рз.
Подводимая к газу в изобарическом процессе за счет
теплообмена энергия будет расходоваться и на увеличение
его внутренней энергии (рост температуры, увеличение
средней скорости ехю атомов или молекул), и на совершение
работы против внешних сил. Возрастание средней скорости
частиц газа не приводит в этом случае к увеличении?
271

давления, так как возрастает и объем пространства, предо-
предоставленного для их движения. Внутренняя энергия при
изобарическом процессе может передаваться от газа к дру-
другим телам, но только при условии, что какие-то внешние
силы при этом будут совершать работу против сил давле-
давления газа, уменьшая объем газа.
Если обозначить удельную теплоемкость газа при изо-
изобарическом процессе через ср> то количество теплоты, подво-
подводимое к единице массы газа, можно будет представить как
Q=cp&T. Тогда уравнение A3.10) первого начала термоди-
термодинамики для единицы массы газа с учетом A4.19) и A4.10)
может быть записано в виде
откуда легко получить связь между удельными теплоем-
костями газа в изобарическом и изохорическом процессах:
ср = с7 + ^. A4.23)
Из этого соотношения видно, что удельная теплоемкость
газа в изобарическом процессе больше удельной теплоем-
теплоемкости того же газа в изохорическом процессе. Это различие
определяется работой, совершаемой единицей массы газа
против внешних сил при изменении температуры газа на
один градус.
Адиабатический процесс. Четвертым простейшим про-
процессом является адиабатический процесс, при котором от-
отсутствует всякий теплообмен данного газа с окружающими
телами^(B=0). Чтобы не нарушить адиабатичности процес-
процесса, даже очень малые количества теплоты не должны сооб-
сообщаться газу или от газа отводиться. Заметим также, что
если на каком-то этапе процесса газу сообщается некоторое
количество теплоты, а на другом этапе такое же количество
теплоты отбирается, так что суммарное количество тепло-
теплоты оказывается, равным нулю, процесс не будет адиаба-
адиабатическим.
Все три параметра газа (р, V и Т) при переходе из
одного состояния в другое при адиабатическом процессе
изменяются. Первое начало термодинамики для этого
процесса дает
0
откуда
А=— Д?/, A4.24)
272

или
A4.25)
т. е. газ может совершать работу против внешних сил за
счет убыли своей внутренней энергии, а возрастание внут-
внутренней энергии газа может происходить только за счет
работы внешних сил при адиабатическом сжатии газа.
Если газ сжимается внешними силами, то возрастание
его внутренней энергии проявляется в возрастании темпе-
температуры и увеличении средней скорости частиц газа, но по-
поскольку при этом уменьшается объем газа, его давление
резко возрастает (действуют два фактора увеличения числа
соударений частиц). При адиабатическом расширении ра-
работа совершается газом против внешних сил за счет умень-
уменьшения внутренней энергии, при этом температура и дав-
давление газа резко уменьшаются. ч
г Из-за полного отсутствия-теплообмена удельная тепло-
теплоемкость газа в адиабатическом процессе равна нулю.
В реальных условиях процессы, близкие к адиабатиче-
адиабатическому, можно осуществить, если изменять состояние газа
в сосуде с теплоизолированными стенками или проводить
расширение или сжатие очейь быстро, чтобы теплообмен с
окружающими телами не успел произойти. Истечение газа в
атмосферу из сосуда с высоким давлением или расширение
пороховых газов в канале- орудийного или ружейного
ствола могут служить примерами адиабатического рас-
расширения.
Интересен случай адиабатического расширения идеаль-
идеального газа в вакуум. При этом отсутствует теплообмен (Q=
=0), не изменяется температура газа и не совершается ра-
работа против внешних сил (А=0), т. е. в согласии с первым
началом термодинамики не изменяется внутренняя энергия
газа (Д[/=0). Частицы газа продолжают двигаться с неиз-
неизменной средней скоростью, но за счет увеличения объема,
предоставленного им для движения, давление газа умень-
уменьшается. Подобные опыты еще раз убеждают в том, что с из-
изменением потенциальной энергии взаимодействия частиц
идеального газа считаться не стоит и что внутренняя энер-
энергия идеального газа (только кинетическая энергия движе-
движения его частиц) не зависит от объема, занимаемого газом.
С реальными газами, во внутреннюю энергию которых
в"носит вклад и потенциальная энергия взаимодействия
частиц, такие опыты в общем случае уже не удаются. При
адиабатическом расширении в вакуум реального газа его
273

температура изменяется, что как раз и говорит о зависи-
зависимости внутренней энергии реального газа от занимаемого
объема, т. е. от средних расстояний между частицами газа.
Изменение же расстояний может сказаться на изменении
потенциальной энергии лишь взаимодействующих частиц*
Уравнение состояния идеального газа. При анализе
поведения газа в случаях, когда изменяются все его термо-
термодинамические параметры (р, V и Г), неоценимую услугу
оказывает так называемое уравнение состояния идеального
газа:
^ = const. A4.26)
Это уравнение справедливо для любого равновесного со-
состояния данного идеального газа (масса и химический со-
состав которого неизменны) и может быть получено на осно-
основании законов Бойля — Мариотта и Гей-Люссака или
Бойля — Мариотта и Шарля.
Очень важно помнить, что константа, стоящая в правой
части уравнения A4.26), зависит от массы газа и его хими-
химического состава. Это иногда приводит к затруднениям, так
как при использовании уравнения на практике приходится
отделено определять все три термодинамических парамет-
параметра газа данного химического состава и с задаЙной массой
для одного из состояний.
Если вспомнить, что моли всех газов при нормальных
условиях (Го—273,15 К и ро= 1,013-105 Па) занимают оди-
одинаковые объемы 1^0=22,4-10~3 м3/моль, то можно получить
уравнение состояния идеального газа в более универсаль-
универсальной форме. Подставляя р0, VQ и Го в уравнение A4.26), мы
получаем универсальную константу для любых газов —
так называемую универсальную газовую постоянную R,
которая в СИ равна
1,013-105 Па -22,4-10-з мз/моль Q Q1 Дж
К" То ~ 273,15 К °>*1 моль-К *
Для произвольного состояния моля любого идеального
газа уравнение теперь может быть записано в виде
pV'Q = RT, A4.27)
где V'o — объем моля газа (или так называемый молярный
объем) при какой-то произвольной температуре Г и произ-
произвольном давлении р, а не при нормальных условиях. Если
же в нашем распоряжении имеется m кг газа, молярная
274

масса которого равна М кг/моль, то дробь т/М будет опре-
определять число молей этого газа. Умножая правую и левую
части уравнения A4.27) на число молей, получим
Произведение молярного объема газа V'o на число молей
т/М есть не что иное, как общий объем V газа (или объем
того замкнутого сосуда^ в котором находится газ), т. е.
pV = ^RT. A4.28)
Это уравнение Hocnt название уравнения Клапейрона —
Менделеева. Оно справедливо для произвольного состояния
любого идеального газа. Уравнения законов Бойля —
Мариотта, Шарля и Гей-Люссака могут быть получены как
следствия из него для частных случаев r=const, K=const
и p=const при m=const и M=const.
Уравнение Клапейрона — Менделеева особенно упро-
упрощает расчеты в тех случаях, когда в результате какого-то
произвольного термодинамического процесса изменяется
масса рассматриваемого газа или его химический состав.
Из уравнения состояния идеального газа можно полу-
получить очень важные выводы. Для простоты воспользуемся
уравнением состояния для одного моля идеального газа
A4.27). Выразим из этого уравнения давление:
и, вспоминая, что моли любых веществ содержат количе-
количество частиц, равное числу Авогадро, помножим числитель
и знаменатель правой части полученного выражения на
число Авогадро NA:
Легко убедиться, что первый сомножитель в правой части
представляет собой ту самую универсальную константу,
которая ранее уже содержалась в выражении A2.3) и ко-
которая носит название постоянной Больцмана:
k=R/NA.
Второй сомножитель, равный отношению числа частиц
в моле идеального газа к молярному объему, представляет
275

собой концентрацию частиц газа (число частиц, содержа*
щихся в единице объема газа). Если для концентрации ча-
частиц ввести обозначение п, то получаем выражение
р=кпТ\ A4.29)
свидетельствующее о том, что давление идеального газа
пропорционально концентрации его частиц и абсолютной
температуре. Эту связь мы фактически уже использовали,
анализируя причины изменения давления газа в различных
термодинамических процессах.
На основании A4.29) и A2.3) можно показать, что дав-
давление идеального газа пропорционально средней кинети-
кинетической энергии поступательного движения частиц, из ко-
которых состоит газ:
p = |nFi. A4.30)
Соотношение A4.29) справедливо для любых идеальных
газов и не „зависит от того, из одинаковых или из разных
частиц состоит газ, т. е. оно справедливо и для смесей га-
газов. С помощью этого соотношения можно пояснить смысл
закона Дальтона, утверждающего, что давление смеси га-
газов, не вступающих в химические реакции друг с другом,
равно сумме парциальных давлений ее компонент, т. е.
сумме тех давлений, которые устанавливались бы в данном
сосуде при его заполнении каждой компонентой смеси в
отдельности. Если в сосуд, содержащий газ при каком-то
давлении, мы будем добавлять новые порции такого же газа
или любых других газов при неизменной температуре, то
суммарное давление будет возрастать и всегда будет про-
пропорционально суммарной концентрации частиц смеси. Ведь
чем больше частиц будет содержаться в данном сосуде,
тем более частыми будут их соударения между собой и со
стенками сосуда, что с точки зрения молекулярно-кинети-
ческой теории и будет соответствовать повышению давления
газа или смеси газов в сосуде. Поскольку расстояния между
атомами или молекулами вещества в газообразном состоя-
состоянии велики по сравнению с собственными размерами частиц,
эти зазоры, или пустоты, могут заполняться другими ато-
атомами или молекулами.
Для смесей газов, с которыми на практике приходится
иметь дело очень часто (воздух, рабочие смеси в камерах
сгорания различных двигателей, смеси отработавших га-
276

зов и т. д.), применимо и уравнение Клапейрона — Мен-
Менделеева. Под величиной М в этих случаях следует пони-
понимать среднюю молярную массу смеси.
Задача. В комнате объемом У=бО м3 при давлении р=0,99« 10б Па
температура воздуха повысилась от 10 °С до 20 °С. Определить измене-
изменение массы воздуха в комнате.
Обозначив начальную и конечную абсолютные температуры воздуха
через Тг и Т2, а массы воздуха в этих двух состояниях — через mi и т2,
запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для двух случаев, учи-
учитывая, что, судя по условию, давление воздуха р в процессе повышения
температуры не изменяется:
Из этих уравнений найдем выражения для масс воздуха;
__pVM _pVM
тЖ[ т
Интересующее нас изменение массы воздуха A/n=m2—тг теперь может
быть представлено как
или ^
Легко проверить, дто в СИ ответ будет получен в килограммах:
(Н/м«) (м») (кг/моль) / 1 \
[Дж/(моль-К)] \К) '
Подставляя значения заданных и известных величин в этой системе
{Тг=283 К/ Г2=293 К, #=8,31 Дж/(моль- К), р=0,99- 10б Па, средняя
молярная масса воздуха М=29»10-3 кг/моль), имеем
0,99-106-50.29.10-3 / 1 1
Знак минус означает, что пг2<тъ т. е. при повышении температуры часть
воздуха вытечет из комнаты.
Задача. На дне цилиндра, заполненного воздухом, лежит полый ме-
металлический шарик радиуса г=12 мм Масса шарика тш=5,0 г. До ка-
какого давления нужно сжать воздух в цилиндре, чтобы шарик поднялся
вверх, всплыв в цилиндре? Опыт проводи!ся при температуре 7=
=290 К- Считать, что воздух даже при больших давлениях ведет себя
как идеальный газ и подчиняется уравнению Клапейрона — Менделеева.
Шарик, погруженный в воздух, может всплыть, если выталкиваю-
выталкивающая сила, действующая на шарик со стороны воздуха, будет больше
силы тяжести шарика. Обозначив объем шарика через У"ш, а плотность
воздуха — через рв, запишем условие всплывания шарика:
которое с учетом того, что Рш—шшц, можно упростить:
или рвУш > тт. (а)
277

Так как радиус шарика задан, то Vm=V8nr*. Плотность воздуха
можно выразить из уравнения Клапейрона — Менделеева.
т рМ
9
Подставляя Уш и рв в неравенство (а) и разрешая его относительно давле-
давления pt которое должен иметь воздух в цилиндре, имеем
SmluRT
Р>
(б)
В СИ масса шарика должна быть измерена в килограммах (тш=
=5,0» 10~3 кг), а его радиус — в метрах (г—12» 10~3 м); тогда
(кг)[Дж/(моль-К)](К) _Дж_ Н __п
(м3) (кг/моль) м3 м2
Произведя вычисления, получаем
3-5,0.10-3-8,ЗЬ290
Р>
4-3,14A2-10-3K-29-Ю-3
:5,7.107 Па.
Поскольку нормальное атмосферное давление равно 1,013» 10б Па, то
ясно, что для всплывания шарика давление воздуха в цилиндре должно
быть примерно в 560 раз больше атмосферного.
Графический анализ произвольных равновесных про-
процессов. На рис. 14.5 представлены графики трех произволь-
произвольных процессов в идеальном газе определенного химического
состава (М — const). Масса газа считается заданной и
pi
/
в
0
I ;
L
Л
^?
i
D
-л
V
ю
Рис. 14 5
(Ы
в)
неизменной в течение времени протекания этих процессов
(m=const). Сравним температуры газа в состояниях 1 и 2,
давления — в состояниях 3 и 4i объемы — в состояниях
5 и 6,
Заметим, что во всех трех случаях нужно сравнить ха-
характеристики состояния газа, которые в явном виде не от-
отражены на графиках. Подобные задачи допускают два ва-
варианта решения: с использованием уравнения Клапейрона—¦
278

Менделеева и с использованием графиков простейших
газовых процессов (см. рис. 14.1, 14.3 и 14.4).
Напишем уравнение A4.28) для состояний газа 1 и 2.
Поскольку /ft=const, M=const и /?=const, выражение
(m/M)R в правой части уравнения будет представлять по-
постоянную величину, которую для упрощения записи мы
обозначим одной буквой d (Сх=const):
Из этих двух уравнений получаем
т2 p2v2 •
Величины, стоящие в правой части последнего уравнения,
определяются по заданному графику, построенному в опре-
определенных масштабах. Таким образом, ответ в общем случае
можно дать такой:
ТХ=Т%9 если pxVx=p%V%\
Т?>Т%, если p1V1>p2V2;
Тг<Т2, если p1V1<p2V2.
Заметим кстати, что произведениям piVx и p2V2 на рис.
14.5, а соответствуют площади прямоугольников А1СО
и. B2D0.
Эту же задачу можно решить иначе, проводя через точ-
точку 1, соответствующую начальному состоянию газа, изо-
изотерму 7\=const. Линии постоянной температуры в коорди-
координатных осях р, V изображаются гиперболами.
Снова в общем случае возможны три варианта.
Изотерма, соответствующая температуре 7\ *), прохо-
проходит через точку 2 (изотерма / на рис. 14.5, а). Тогда Т2=Т±.
Если изотерма, проходящая через точку /, будет про-
проходить ниже точки 2, то Т2>Тг (изотерма //); если же она
будет проходить выше точки 2, то Т2<Т1 (изотерма ///).
Уравнения Клапейрона — Менделеева для состояний
3 и 4
позволяют получить связь между интересующими давле-
давлениями:
Р, ~~ Г4 e v3 '
*) Следует иметь в виду, что при выбранных масштабах определен-
определенному состоянию 1 рассматриваемого газа на графике может, конечно,
соответствовать только какая-то одна изотерма (или /, или //, или ///).
279

причем величины, стоящие в правой части, измеряются в
заданных масштабах по рис. 14.5, б.
Проведенные через точки 3 и 4 изобары (IV и V) по-
позволяют заключить, что для изображенного на рис. 14.5, б
процесса будет ръ<р^ так как чем больше угол наклона
изобары к оси температур в координатных осях V, Т,
тем меньшему давлению она соответствует (см. рис. 14.4).
Уравнения Клапейрона — Менделеева для состояний
5 и 6
приводят к связи объемов V% и V6i
* Ve Гд Ре •
Изохоры VI и VII свидетельствуют о том, что для изоб-
изображенного йа рис. 14.5, в процесса выполняется неравенство
Vb<.Vb, так как большему углу наклона изохоры к оси
температур в координатных осях р, Т соответствует мень-
меньший объем (см. рис. 14.3).
§ 15. ТЕПЛООБМЕН И ИЗМЕНЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ
ЙРИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЯХ ВЕЩЕСТВА
15.1. Какие компоненты внутренней энергии
изменяются при фазовых превращениях?
Рассмотренные в предыдущем параграфе изменения внут-
внутренней энергии при изменении температуры веществ в твер-
твердом и жидком состояниях были связаны с одновременными
изменениями средних кинетических и потенциальных энер-
энергий частиц вещества. Но эти изменения были недостаточны
для того, чтобы вещество перешло из одного агрегатного
состояния в другое.
Несмотря на значительные изменения объемов вещества
в газообразном состоянии (кроме изохорического процесса),
при подводе к нему энергии извне или отводе энергии от
него к окружающим телам изменением потенциальной энер-
энергии взаимодействия его частиц мы пренебрегали из-за
ничтожно малых сил взаимодействия между ними.
Переходы вещества из одного агрегатного состояния
в другое замечательны тем, что в процессе таких переходов
не изменяется температура вещества, если давление? при
280

-котором они происходят, остается постоянным. Если при
этом механическая энергия рассматриваемого вещества
в выбранной инерциальной системе отсчета не изменяется,
то первое начало термодинамика снова применимо в форуме
A3.9), т. е. внутренняя энергия может изменяться за счет
работы внешних сил и за счет теплообмена с окружающими
телами.
То, что потенциальная энергия частиц вещества при фа-
фазовом превращении должна изменяться, не вызывает ника-
никаких сомнений, так как взаимодействующие частицы вещества
в результате фазового перехода оказываются на иных сред-
средних расстояниях друг от друга. В ходе изменения агрегат-
агрегатного состояния вещества совершается работа по раздви-
раздвиганию или сближению частиц, которая и определяет изме-
изменение средних потенциальных энергий их взаимодействия.
А как ведет себя кинетическая энергия частиц вещества
при фазовых превращениях? Помня о том, что средняя кине-
кинетическая энергия частиц пропорциональна абсолютной
температуре вещества, а также о том, что изучаемые в эле-
элементарном курсе физики изменения агрегатных состояний
происходят при постоянной температуре, часто говорят о
неизменности средней кинетической энергии при этих пре-
превращениях. Такое утверждение в общем случае оказыра-
ется неверным.
В свое время, когда была приведена формула A2.3),
мы подчеркнули, что числовой коэффициент в этой фор-
формуле вообще-то зависит от структуры частиц газа (состоит
ли газ из атомов или из молекул, и если из молекул, то из
каких — двухатомных или многоатомных). Аналогичная
зависимость существует и для веществ, находящихся не в
газообразном состоянии: коэффициент пропорциональности
между средней кинетической энергией и абсолютной темпе-
температурой зависит от строения частиц вещества, а значит, и
от того, какие виды движений эти частицы могут совершать
(только поступательное или еще вращательное и колебатель-
колебательное). Таким образом, если структура частиц вещества при
фазовом переходе изменяется, их средняя суммарная кине-
кинетическая энергия может измениться и при постоянной тем-
температуре. С изменением структуры частиц при фазовых
переходах мы встречаемся гораздо чаще, чем с неизмен-
неизменностью этой структуры (например, натрий в твердом и жид-
жидком состояниях имеет ионно-электронную структуру, в то
время как пары натрия состоят из нейтральных атомов нат-
натрия и молекул Na2).
281

15.2. Плавление и кристаллизация
Переход вещества из твердого состояния в жидкое в
обычных условиях происходит при подводе к веществу
энергии извне либо за счет теплообмена, либо в результате
совершения*работы внешними силами. Например, кусок
льда может расплавиться при подводе к нему некоторого
количества теплоты от тела с более высокой температурой
или за счет работы сил трения при перемещении по поверх-
поверхности этого куска какого-то тела, имеющего такую же тем-
температуру.
Работа внешних или внутренних сил, связанная с изме-
изменением объема плавящегося или кристаллизующегося ве-
вещества, составляет малую долю энергии, необходимой для
изменения связей между частицами вещества в твердом и
жидком состояниях.
Постоянная при определенном давлении температура,
при которой происходит процесс плавления или кристал-
кристаллизации, называется температурой плавления (tn2[ или
Тил). Количество теплоты, которое необходимо подвести к
единице массы вещества при температуре плавления, чтобы
целиком расплавить его, называется удельной теплотой
плавления (X). Если для расплавления т единиц массы
вещества в процессе теплообмена расходуется количество
тецлоты Q, то
Н
Из этой формулы видно, что удельная теплота плавления
в системе СИ измеряется в Дж/кг. Внесистемные единицы,
которые иногда еще используются для измерения этой ве-
величины: 1 кал/г и 1 ккал/кг.
Если пренебречь работой, связанной с изменением объе-
объема вещества при плавлении и кристаллизации, та можно
сказать, что внутренняя энергия единицы массы вещества
в жидком состоянии примерно на X единиц больше, чем в
твердом, а при кристаллизации единицы массы вещества
в процессе теплообмена выделяется энергия, численно рав-
равная X.
Чтобы использовать выделяющуюся при кристаллиза-
кристаллизации данного вещества внутреннюю энергию для совершения
работы (для изменения механической энергии тел системы),
нужны какие-то дополнительные процессы. Так, за счет
кристаллизации расплавленного металла можно повысить
282

температуру воды в котле и получить пар. Но чтобы пар
смог совершить работу против внешних сил, ему нужно
предоставить возможность расширяться, воздействуя на
подвижный поршень, и т. д.
Из-за того, что средние расстояния между частицами
данного вещества в твердом и жидком состояниях несколько
отличаются, при плавлении и кристаллизации изменяется
плотность вещества. В связи с этим температура плавления
вещества зависит от внешнего давления.
У веществ, плотность которых в жидком состоянии мень-
меньше, чем в твердом (объем вещества при плавлении увеличи-
увеличивается), при увеличении внешнего давления температура
плавления возрастает. Процесс плавления таких веществ
при повышении давления начинается при больших значе-
значениях средних кинетических энергий движения их частиц.
Только для некоторых веществ (вода, висмут и др.),
плотность которых в жидком состоянии больше, чем з твер-
твердом, при повышении внешнего давления температура плав-
плавления уменьшается.
Задача. Свинцовая пуля, имеющая температуру /=57 °С и движу-
движущаяся в неподвижной инерциальной системе отсчета, связанной с Зем-
Землей, со скоростью ^=450 м/с, пробивает неподвижную доску При вы-
вылете из доски пуля имеет скорость у2=400 м/с Не учитывая изменения
внутренней энергии доски, определить, какая часть пули расплавилась.
В данной задаче замкнутая (Лвнешн=0) и адиабатически изолирован-
изолированная (Q—0) термодинамическая система состоит из пули и доски, но,
поскольку ни механическая, ни внутренняя энергия доски не изме-
изменяется, в уравнении первого начала термодинамики будут содержаться
только изменения механической и внутренней энергии пули:
Д№м + Д17 = 0. (а)
Судя по условию задачи, мы не располагаем сведениями об измене-
изменении потенциальной энергии пули в поле тяготения Земли, значит, изме-
изменение механической энергии пули равно изменению ее кинетической
энергии:
Д№М = ДИ7К = \OК2-1УК1. (б)
Пусть начальная масса пули равна т, а масса расплавившегося
свинца равна тхг причем #<;!. Тогда
_(m-mx)v\ mvl
ьw м — 2 2^ ' '
В первой дроби этого выражения учтено, что расплавившийся свинец
остался в доске.
Изменение внутренней энергии пули определяется энергией, не-
необходимой для повышения температуры всей пули от начального значе-
значения / до температуры плавления /лл, и энергией, затраченной на плавле-
плавление тх единиц массы свинца:
(г)
283

На основании (а), (в) и (г) имеем
(т—t
откуда
Нетрудно убедиться, что размерности произведения c(tm—/) и
удельной теплоты плавления К совпадают с размерностью квадрата ско-
скорости:
Дж к Дж_ма
кг-К кг "с1'
так что ответ для величины х будет получен в виде безразмерной дробя.
Значения удельной теплоемкости, температуры плавления и удель-
удельной теплоты плавления свинца находим в таблицах: с= 126 Дж/(кг«К)*
/пл=327 °С, Я=2,52» 104 Дж/кг. Подставляя заданные и табличные вели-
величины в формулу (д), получаем
„ _> 126 C27 - 57) + D00J - D50)* _
х- D00J-2.2,52.104 ~*V<"-
Заметим, что мы использовали значения температуры по шкале
Цельсия, а не по шкале абсолютных температур, так как разности тем-
температур, фигурирующие в решении, от этого не зависят: Тпл—T—t^—t.
Задача. Оценить, какая часть (х) энергии Q, подведенной к одному
килограмму алюминия (т—1,00 кг) в процессе плавления, расходуется
на совершение работы А против сил внешнего давления (р=ь
= 1,013» 10б Па), если известно, что удельная теплота плавления алюми-
алюминия Х=3,87» 10б Дж/кг, плотность алюминия в жидком состоянии при
температуре плавления рж=2,38» 103 кг/м3, плотность алюминия в твер-
твердом состоянии при температуре ?=20 °С р20=2,70» 103 кг/м3 и коэффи-
коэффициент объемного расширения алюминия в интервале температур от 20 °С
до температуры плавления (/пл=659 °С) Р=9,00- Ю-5 К*-1.
Количество теплоты, необходимое для плавления алюминия, равно
Q=m%. (a)
Поскольку плавление происходит при постоянном давлении р, работу,
совершаемую против сил внешнего давления, можно определить как
A^pWk-Vt), (б)
где Уж — объем алюминия в расплавленном состоянии, a VT — объем
алюминия в твердом состоянии при температуре плавления.
Объем Уш находим по заданным величинам m и рж:
^Ж = ^/Рж» (в)
а для определения объема FT придется узнать плотность рт алюминия
в твердом состоянии перед началом процесса плавления:
284

Тогда
V т
Искомая величина х равна
р Г 1
— -г- I
Л |_Рж
или с учетом выражений (а) — (г)
1+Р(/и, —Q-1
— } *
Р20 J
Видно, что дроби в квадратных скобках имеют в СИ размерности
м3/кг, а дробь перед скобками — размерность
Н-кг Н-кг кг
м2 Дж==м2.Н.м:=м5>
т. е. х является величиной безразмерной. Подставляя численные значе-
ния2 получаем
1,013-10» /_1 1+9,00-Ю-3 F59-20Л ^
_
3,87.10е ^2,38. 103 2,70-103
Этот результат иллюстрирует высказанное выше утверждение о
том, что энергия, которая подводится к веществу в процессе плавления,
в основном идет на увеличение его внутренней энергии. На совершение
работы против внешних сил расходуется очень малая доля подведенной
энергии.
15.3. Парообразование и конденсация
Интересной особенностью перехода вещества из жид-
жидкого состояния в газообразное является возможность та-
такого процесса при любой температуре без подвода энергии
извне. При этом увеличение потенциальной энергии выле-
вылетающих из жидкости атомов или молекул происходит за
счет убыли энергии частиц, остающихся в жидкости. Такой
процесс спокойного парообразования, когда частицы выле-
вылетают со свободней поверхности жидкости, носит название
испарения. В процессе испарения жидкость покидают наи-
наиболее быстрые частицы, обладающие кинетической энергией,
достаточной для преодоления притяжения со стороны
остальных частиц. В результате испарения температура
жидкости уменьшается.
Может возникнуть вопрос: не нарушается ли закон сохра-
сохранения энергии при полном испарении вещества? Каждому
известно, что вода из открытого сосуда может испариться
полностью. Суммарная внутренняя энергия образовавшихся
паров больше внутренней энергии воды в жидком состоянии,
285

так как структура молекул воды при испарении не изме-
изменяется, а потенциальная энергия молекул водяного пара
явно должна быть больше потенциальной энергии молекул
воды в жидком состоянии. Кроме того, при испарении долж-
должна совершаться работа против внешних сил (объем вещества
в парообразном состоянии при обычных давлениях гораздо
больше объема того же вещества в жидком состоянии).
Откуда же берется энергия для обеспечения такого процес-
процесса? Или вещество может самопроизвольно принимать раз-
различные значения внутренней энергии? В данном случае
энергия, конечно, поступает извне, от окружающих воду
тел (от воздуха, стенок сосуда и т. д.), причем в процессе
теплообмена ее притекает как раз столько, сколько требу-
требуется для увеличения потенциальной энергии молекул воды
и для совершения работы против внешних сил.
Более интенсивный процесс парообразования, при ко-
котором переход вещества из жидкого состояния в газообраз-
газообразное происходит и под свободной поверхностью жидкости,
носит название кипения. Кипение жидкости при заданном
внешнем давлении начинается при вполне определенной
температуре — при температуре кипения AКШ или Ткт)-~
и может происходить при подводе энергии извне в резуль-
результате теплообмена.
Физическая величина, определяемая энергией, которую
нужно подвести при температуре кипения к единице массы
жидкости, чтобы обратить ее в пар,— удельная теплота
парообразования (г) — может быть найдена по формуле
где Q — количество теплоты, затраченное для обращения
в пар т единиц массы данной жидкости при температуре
кипения.
Единицы измерения удельной теплоты парообразования
формально совпадают с единицами измерения удельной теп-
теплоты плавления (Дж/кг, кал/г, ккал/кг).
Первое начало термодинамики в применении к процессу
кипения говорит о том, что энергия, численно равная г,
во-первых, расходуется на увеличение потенциальной энер-
энергии взаимодействия частиц единицы массы вещества. На-
Напомним, что потенциальная энергия взаимодействия частиц
вещества в жидком состоянии считается отрицательной, а в
процессе парообразования она увеличивается до нуля
(если парообразное состояние вещества может быть уподоб-
286

лено идеальному газу). Во-вторых, часть подведенной энер-
энергии может быть израсходована на увеличение кинетической
энергии частиц вещества, если их структура при парообра-
парообразовании претерпевает изменения (в иных случаях кинети-
кинетическая энергия частиц вещества, как уже отмечалось выше,
при парообразовании может не изменяться или даже умень-
уменьшаться). И, наконец, еще некоторая часть энергии, подво-
подводимой к единице массы вещества, непременно расходуется
на совершение работы против внешних сил.
При конденсации единицы массы вещества в процессе
теплообмена выделяется энергия, численно равная г, и внеш-
внешними силами совершается работа (так как объем вещества
при конденсации уменьшается).
Повышение внешнего давления приводит к увеличению
температуры кипения вещества, так как средняя кинети-
кинетическая энергия движения частиц вещества должна возрасти,
чтобы быть достаточной для совершения большей работы
при увеличении средних расстояний между частицами в
процессе этого фазового перехода.
Необходимым условием для начала и протекания про-
процесса кипения является наличие в жидкости пузырьков
растворенного газа. Таким образом, кипение жидкостей
можно представить как процесс их испарения в объем пу-
пузырьков газа и выброса этих пузырьков через свободную
поверхность жидкости наружу.
Условие возможности выхода пузырька с паром из жид-
жидкости можно записать в следующем виде:
Тр A5.3)
где р — давление пара жидкости в пузырьке, рвн — давле-
давление над свободной поверхностью жидкости, pgh — давление
столба жидкости на глубине h нахождения пузырька,
2а/R —дополнительное давление жидкости под искривлен-
искривленной поверхностью, ограничивающей пузырек (см. формулу
A0.15)). Условие A5.3) позволяет заключить, что процессу
кипения данной жидкости начаться тем труднее, чем больше
давление рвн над ее поверхностным слоем, чем больше глу-
глубина h расположения тех ее слоев, к которым в процессе
теплообмена подводится энергия извне, и чем меньше
радиусы R пузырьков растворенного газа. Естественная
или искусственная конвекция слоев жидкости, конечно,
способствует процессу ее кипения.
287

Задача. Для обращения в пар т единиц массы воды при кипении
к ней должна быть подведена в процессе теплообмена энергия Q~mr,
где r=2,27» 106 Дж/кг. Какая часть (х) этой энергии будет израсхо-
израсходована на совершение работы А против внешних сил, если кипение
происходит при постоянном давлении р== 1,013-106 Па, а плотность
воды в жидком состоянии перед началом процесса кипения равна
р=958 кг/м3?
Эта задача аналогична той, которую мы решили ранее для фазового
перехода алюминия из твердого состояния в жидкое.
Искомая величина х равна отношению работы Л, совершаемой про-
против сил внешнего давления при парообразовании воды, к количеству
теплоты Q:
*
причем
где Уп — объем воды в парообразном состоянии, а Уж — объем воды в
жидком состоянии при температуре кипения (?кип= 100 °С или Ткшъ*
^373 К).
Объем Уж легко определит^ зная массу m и плотность р воды:
Уж=т/р. / - ^
Для определения объема образовавшегося пара Vn придется вос-
воспользоваться уравнением Клапейрона — Менделеева2 из которого
Vn Mp '
причем для паров воды М=18,0« 10~3 кг/моль.
Используя все приведенные соотношения2 получаем
Размерность первой дроби в скобках совпадает с размерностью второй
дроби:
[Дж/(моль-К)](К) __Дж-м2__Н.м3 _м3
(кг/моль) (Н/м2) ~~ кг-Н "кг.Н-'кг1
а размерность отношения р/r равна
Н-кг Н-кг кг
т. е. х является величиной безразмерной. Подстановка численных зна-
значений приводит к результату
1,013-105/ 8,ЗЬ373 :
2,27-Ю6 \ 18,0• 10-а• 1,013-10? 958
288

Как видим, и при переходе вещества из жидкого состояния в газо-
газообразное на совершение работы против внешних сил расходуется всего
лишь несколько процентов энергии, подведенной к веществу, но это
примерно на четыре порядка больше, чем доля затрат энергии на совер-
совершение работы против внешних сил в процессе перехода вещества из твер-
твердого состояния в жидкое.
15.4. Сублимация
Кроме перехода из твердого состояния в жидкое, а из
жидкого — в газообразное, все вещества могут переходить
непосредственно из твердого состояния в газообразное.
Процесс конденсации в этих случаях также может проис-
происходить, минуя жидкое состояние. В обычных условиях
заметно сублимируют немногие вещества, например: «су-
«сухой лед» (твердая углекислота), нафталин, йод, камфара.
Процесс сублимации связан с увеличением потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействующих, атомов или молекул и воз-
возможен как при, подводе энергии к веществу извне, так и без
подвода энергии извне, за счет перераспределения внутрен-
внутренней энергии между твердой и газообразной фазахми вещества
(аналогично тому, как внутренняя энергия может перерас-
перераспределяться между жидкой и газообразной фазами какого-
либо вещества при испарении). Удельная теплота сублима-
сублимации, определяемая энергией, которую нужно подвести к
единице массы сублимирующего вещества, всегда оказы-
оказывается равной сумме удельных теплот плавления и парооб-
парообразования данного вещества. Этот факт приводит к важ-
важному выводу о том, что изменение внутренней энергии ве-
вещества при переходе его из одного агрегатного состояния
в другое не зависит от того, каким путем этот переход осу-
осуществляется: из твердого состояния в жидкое, а потом из
жидкого в газообразное или сразу из твердого в газообраз-
газообразное. Это лишний раз подчеркивает целесообразность и удоб-
удобство использования понятия внутренней энергии вещества
как функции термодинамического состояния вещества.
15.5. Изменение внутренней энергии
при химических реакциях
Некоторые химические реакции носят экзотермический
характер и могут служить поставщиками энергии в термо-
термодинамических процессах: внутренняя энергия продуктов
реакции оказывается больше суммарной внутренней энер-
энергии исходных веществ и может передаваться окружающим
10 Ю. А, Селезнев 289

телам. В частности, большой практический интерес пред-
представляет сгорание различных веществ.
Энергия, выделяющаяся при сгорании, может использо-
использоваться для повышения температуры каких-то тел или для
изменения их агрегатных состояний. Кроме того, за счет
энергии продуктов сгорания может совершаться работа
против внешних сил и, таким образом, изменяться меха-
механическая энергия некоторых тел. В последнем случае
конечная цель может быть достигнута при использовании
некоторых веществ и процессов в качестве посредников.
Например, энергия продуктов сгорания в процессе теплооб-
теплообмена обеспечивает повышение температуры и парообразова-
парообразование воды, а образовавшийся пар совершает работу при
перемещении поршня паровой машины или при вращении
колеса паровой турбины. Иногда промежуточные звенья
отсутствуют и продукты сгорания непосредственно сами
совершают работу против внешних сил (в двигателях внут-
внутреннего сгорания и газовых турбинах, в реактивных и ра-
ракетных двигателях).
Физическая величина, определяемая энергией, выделяю-
выделяющейся при полном сгорании единицы массы вещества, на-
называется удельной теплотой сгорания (q). Если при сгора-
сгорании т единиц массы вещества выделяется количество теп-
теплоты Q, то
*-?. A5.4)
Единицы измерения удельной теплоты сгорания фор-
формально совпадают с единицами измерения удельных теп-
лот плавления и парообразования (Дж/кг, кал/г,
ккал/кг).
Нужно иметь в виду, что сгорание какого-то вещества
часто происходит не в кислороде воздуха или в чистом
кислороде. Например, в ракетных двигателях наряду с та-
таким топливом, как этиловый спирт + жидкий кисло-
кислород, используются и другие высокоэффективные топлива:
керосин + азотная кислота, анилин + азотная кисло-
кислота и т. д.
В физических таблицах удельные теплоты сгорания
обычно приводятся для сгорания различных веществ в воз-
воздухе (например, для бензина 4,44-107 Дж/кг, для антрацита
3,03-107 Дж/кг и т. д.). Если сгорание этих же веществ
происходит не в воздухе, то значения удельных теплот сго-
сгорания будут уже иными.
290

§ 16. СВОЙСТВА ПАРОВ. ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА.
КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
16.1. Условия получения и свойства ненасыщенных
и насыщенных паров
Над свободной поверхностью жидкости всегда имеются
пары этой жидкости, образующиеся за счет испарения.
Если пространство над свободной поверхностью жидкости
не ограничено какими-либо стенками, молекулы или атомы
испарившегося вещества, совершая хаотическое тепловое
движение, удаляются от поверхности жидкости. Удалению
частиц пара от поверхности жидкости способствуют явление
диффузии, а также естественная или искусственная конвек-
конвекция слоев воздуха. Концентрация частиц пара при постоян-
постоянной температуре в этих условиях может изменяться в до-
довольно широких пределах и в сторону уменьшения, и в сто-
сторону увеличения. Такие пары называют ненасыщенными.
Совершенно иная картина наблюдается, если над сво-
свободной поверхностью жидкости имеется ограниченное про-
пространство. Заполнено оно какими-либо другими газообраз-
газообразными веществами, кроме паров испаряющейся жидкости,
или нет,— значения не имеет. Важно другое. Процесс
испарения в замкнутое пространство может происходить
только до определенного предела. Чем большей становится
концентрация молекул или атомов испаряющегося вещества
в парообразном состоянии, тем большим будет давление
этих паров при постоянной температуре. При этом все
большее число молекул или атомов сможет возвращаться
через свободную поверхность обратно в жидкость. Если
объем пространства, предоставленного парам, достаточно
мал, а жидкости много, может наступить динамическое рав-
равновесие: число частиц, покидающих жидкость за единицу
времени, сравняется с числом частиц, возвращающихся в
жидкость за тот же промежуток времени. При этом над
^жидкостью будет находиться постоянная масса пара и боль-
большей концентрации его частиц в данных условиях достичь
не удается. Такой пар называется насыщенным. Давление
насыщенного пара какого-то вещества при заданной темпе-
температуре может иметь одно-единственное определенное зна-
значение.
Уменьшение объема пространства, предоставленного
насыщенному пару данного вещества при постоянной тем-
температуре, приводит к конденсации части пара в жидкость,
Ю* 291

так как концентрация его частиц не может превысить опре-
определенного значения. Этим изотермическое сжатие насыщен-
насыщенных паров отличается от сжатия паров ненасыщенных, ко-
которые ведут себя как обычные-идеальные газы. Закон Бой-
ля — Мариотта, следовательно, для насыщенных паров не
выполняется.
О законе Гей-Люссака в применении к насыщенным
парам говорить не приходится, так как объем, предостав-
предоставленный им, не зависит от температуры (если отвлечься от
возможного неодинакового расширения или сжатия жидко-
схи и сосуда, в котором она находится, при изменении
температуры).
Неприменим к насыщенным парам и закон Шарля. При
увеличении температуры идеальных газов или ненасыщен-
ненасыщенных паров в изохорическом процессе возрастает средняя
кинетическая энергия их частиц, что приводит к их более
частым соударениям между собой и со стенками сосуда, т. е.
к повышению давления. И поскольку средняя кинетическая
энергия частиц идеального газа изменяется пропорциональ-
пропорционально изменению его абсолютной температуры, давление также
оказывается пропорциональным абсолютной температуре
(см. формулу A4.16)). При увеличении температуры Т
насыщенного пара в изохорическом процессе возрас-
возрастает и концентрация его частиц п, так что в соответствии с
A4.29) рост давления насыщенного пара оказывается бо-
более резким.
Обратим внимание на общую причину невыполнимости
для насыщенных паров законов Бойля — Мариотта и Шар-
Шарля. Насыщенный пар не подчиняется этим законам из-за
изменения его массы в изотермических и изохорическйх
процессах. На в уравнении Клапейрона — Менделеева
A4.28) масса m стоит самостоятельным множителем, который
может быть и постоянным, и переменным. Таким образом,
если в этом уравнении наряду с изменяющимися величинами
р и Т (а в более общих случаях, когда изменяется объем,
предоставленный насыщенным парам, и V) считать и массу m
величиной переменной, им можно воспользоваться для опи-
описания того или иного состояния насыщенного пара.
Говорить с уверенностью о том, что в данном закрытом
сосуде содержится именно насыщенный пар какого-то веще-
вещества, можно только в том случае, если в сосуде имеется это
вещество в жидком состоянии и масса его жидкой фазы не
изменяется. Например, перед нами поставили закрытый
стеклянный сосуд и просят без всяких измерений опреде-
292

лить, насыщенный или ненасыщенный водяной пар в нем
содержится.
Торопиться с ответом в этом случае не стоит. Нужно по-
подождать несколько минут, чтобы содержимое сосуда успело
прийти в термодинамическое равновесие с окружающим воз-
воздухом. Это вызывается тем, что мы не знаем, из помещения
с какой температурой принесен сосуд, а изменение темпера-
температуры пара при неизменном объеме может перевести пар из
ненасыщенного состояния в насыщенное или обратно. Если
после установления равновесия не обнаруживается конден-
конденсации воды на внутренних стенках сосуда, мы должны ска-
сказать, что при той температуре, при которой проводится на-
наблюдение, в сосуде содержится ненасыщенный пар. Если же
на стенках сосуда появляются капельки воды —пар насы-
насыщенный.
С присутствием насыщенных паров приходится считаться
при использовании ртутнв1Х барометров, в которых над сво-
свободной поверхностью имеется замкнутый объем. Аналогич-
Аналогичные задачи могут встретиться и при работе с жидкостными
манометрами (например, с так называемым U-образным ма-
манометром, который очень часто заполняется не ртутью, а
какой-то иной жидкостью), так как из-за малого диаметра
каналаг манометрической трубки и сравнительно большой
ее длины непосредственно над жидкостью может скапливать-
скапливаться насыщенный пар.
Задача. Оценить, какие ошибки будут допущены при измерении
нормального атмосферного давления (р== 1,013-105 Па=760 мм рт. от.)
жидкостными барометрами, заполненными: 1) ртутью, 2) водой, 3) эти-
этиловым спиртом и 4) этиловым эфиром при температуре 20 °С, если не
принимать в расчет давление насыщенных паров этих жидкостей в «тор-
«торричеллиевой пустоте».
В таблице даны значения плотностей (р) и давлений насыщенных па-
паров (рн п) этих жидкостей при температуре 20 °С:
Жидкость
Ртуть
Вода
Спирт этиловый
Эфир этиловый
р, кг/м3
13550
990
790
730
рн п#, мм рт. ст.
0,0013
17,5
44,5
440
Мы нарочно привели значения нормального атмосферного давления
и давлений насыщенных паров в миллиметрах ртутного столба, чтобы
упростить решение данной задачи.
293

Отношение высот столбов (hf и К') разнородных жидкостей в баро-
барометрических трубках, уравновешивающих одно и то же внешнее давле-
давление, равно обратному отношению плотностей этих жидкостей (р' и р"):
На основании этого в предложенной задаче высоты столбов жидкостей
без учета наличия насыщенных паров в барометрических трубках будут
равны.
для ртути ftj = 760 mm-j
для воды fta = 76O^jptt 10 400 мм,
. для спирта й3 = 760 4~ « 13000 мм,
для эфира Л4 = 7б0 - « 14 100 мм.
/ ои
Присутствие насыщенных паров в трубках приведет к уменьшению
высот столбов жидкостей, уравновешивающих нормальное атмосферное
давление. Если выразить давления насыщенных паров в миллиметрах
столбов соответствующих жидкостей, то уменьшения высот столбов бу-
будут равны:
для ртути A/ix = 0,0013 мм,
для воды &h2 = 17,5 «239 мм,
для спирта Ah3 = 44,5 ¦ 7qq « 762 мм,
для эфира Д/14 = 440-=^7Г-« 8150 мм,
а относительные изменения показаний этих барометров (относительные
ошибки) составят:
Как видно из сравнения эгих величин, ртуть является самой удоб-
удобной барометрической жидкостью не только из-за того, что ртутный баро-
барометр имеет минимальные размеры (из-за большой плотности ртути), но
и потому, что поправку на учет наличия паров ртути в трубке можно не
делать.
Заметим кстати, что если барометрическая трубка перед заполне-
заполнением ртутью не будет тщательно очищена (например, на внутренних
стелках трубки после промывки останутся следы воды или спирта)^
то это может привести к уменьшению точности показаний барометра.
Так, присутствие в барометрической трубке паров воды вызовет опуска-
опускание уровня ртути на 17,5 мм и ошибка при измерении нормального ат-
атмосферного давления составит 2,3%. Наличие в трубке паров спирта
или эфира приведет соответственно к ошибкам в dfi5% и 57,8%.
294

16.2. Пары воды в воздухе
В атмосфере Земли всегда содержатся водяные пары. С их
присутствием приходится считаться очень часто. В особен-
особенности влажность воздуха подлежит точной оценке в закры-
закрытых или плохо вентилируемых помещениях, в сушильных
камерах и т. д. Часть энергии, выделяющейся в организме
человека за счет окислительных реакций, отдается в окру-
окружающее пространство при испарении воды с поверхности
легких и с поверхности кожного покрова. Если человек
долгое время будет находиться в помещении, где содержатся
насыщенные водяные пары, теплообмен будет затруднен и
может наступить нежелательный перегрев тела.
Для количественной оценки содержания водяных паров
в воздухе используют две величины — абсолютную влаж-
влажность (/) и относительную влажность (В).
Абсолютной влажностью называют физическую величи-
величину, измеряемую массой водяного пара, содержащегося в од-
одном кубическом метре воздуха. Таким образом, размерность
абсолютной влажности совпадает с размерностью плотно-
плотности, но на практике обычно пользуются внесистемной еди-
единицей — 1 г/м3. Последнее обстоятельство связано с тем,
что абсолютная влажность /, выраженная в г/м3, по числен-
численному значению мало отличается от парциального давления
паров воды р при тех же условиях, измеренного в милли-
миллиметрах ртутного столба.
Процентное отношение парциального давления р паров
воды, находящихся в воздухе, к давлению насыщенного пара
воды рн п при данной температуре называют относительной
влажностью:
? = -?-.100%- A6.1)
Рн.п
При расчете относительной влажности по этой формуле
давления ри рнп должны измеряться в одинаковых еди-
единицах. Обычно их измеряют не в паскалях, а в миллиметрах
ртутного столба.
Задача. Относительная влажность воздуха в помещении с объемом
V=50 м3 при температуре 20 °С составляет В1=30%. Сколько граммов
воды (т) нужно испарить в этом помещении, чтобы при той же темпера-
температуре прлучить относительную влажность В2— 60%? Давление насыщен-
насыщенного водяного пара при 20 °С рп п—17,5 мм рт ст.
Начальная относительная влажность Вх (не в процентах, а в виде
безразмерной десятичной дроби) в соответствии с A6.1) равна
295

Где рх — парциальное давление находящегося в помещении napas
выраженное в мм рт. ст. Тогда
Если вспомнить, что численное значение массы пара в граммах в каж-
каждом кубическом метре воздуха совпадает с численным значением его пар-
парциального давления, выраженного в миллиметрах ртутного столба> то
можно написать равенство
где /i выражено в г/м3, а /?н п — в мм рт. ст. Аналогичное равенство мож-
можно написать и для второго случая. Когда относительная влажность воз-
воздуха будет равна #2, в каждом кубическом метре его будет содержаться
/2 граммов водяного пара, причем
Теперь понятно, что для увеличения относительной влажности от
до В2 в каждый кубический метр воздуха нужно испарить
граммов воды. Поскольку объем помещения равен V м3, то
m = m1V=(/2--/1)V,
или с учетом выражений для /2 и f±
причем по этой формуле т будет получено в граммах, если рн#п изме-
измерено в мм рт. ст., V — в м3, а величины В± и В2 представлены в виде
десятичных дробей.
Подставляя численные значения, получаем
т= 17,5- 50 @,60—0,30)^260 г.
В тех случаях, когда в воздух поступает горячий водяной
пар (температура которого выше температуры воздуха),
для расчета результирующей относительной влажности
должен быть учтен теплообмен между паром и воздухом,
ибо давления р и рн п будут зависеть от температуры, ко-
которую примет смесь воздуха с паром.
16.3. Критическое состояние вещества
Известно, что вещества, которые в обычных условиях
находятся в газообразном состоянии (водород, азот, угле-
углекислота и другие газы), при высоких давлениях перестают
подчиняться уравнению состояния идеальных газов Клапей-
Клапейрона — Менделеева и, следовательно, газовым законам
(Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака). Такое пове-
поведение веществ удается объяснить, отказавшись от модели
296

идеального газа. Учитывая собственные размеры атомов и
молекул вещества и наличие сил взаимодействия между ними
даже в газообразном состоянии при высоких давлениях, а
значит, и при большой их концентрации, вводят представле-
представление о реальных газах.
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли, сжимая ре-
реальный газ, сблизить его атомы или молекулы настолько, что-
чтобы между ними установились связи, свойственные жидкому
или твердому состоянию? Это оказывается возможным при
некоторых значениях термодинамических параметров..
Динамическое равновесие жидкой фазы и насыщенных
паров какого-то вещества может иметь место при различных
температурах. Чем выше температура, тем большее давле-
давление имеет насыщенный пар, тем больше концентрация его
частиц (в соответствии с уравнением A4.29)), тем больше
плотность насыщенного пдра (равная произведению кон-
концентрации частиц на массу одной из них). Но плотность
жидкой фазы при увеличении температуры уменьшается в
соответствии с A4.7). При некоторой температуре плотности
данного вещества в жидком и насыщенном газообразном со-
состояниях становятся одинаковыми. Исчезают различия и в
других их свойствах. Такую температуру называют крити-
критической температурой, соответствующее ей давление —
критическим давлением, объем данной массы вещества при
этих условиях — критическим объемом, а состояние веще-
вещества при критических параметрах — критическим состо-
состоянием.
Вещество при температуре выше критической может на-
находиться только в газообразном состоянии, так как большие
скорости хаотического теплового движения его молекул
или атомов препятствуют установлению связей, свойствен-
свойственных жидкому или твердому состоянию. Как бы сильно мы
ни сжимали вещество в этих условиях, оно остается газооб-
газообразным.
Получить вещество в жидком состоянии за счет сжатия
можно только при условии, если температура вещества
ниже критической. Чтобы работа внешних сил не приводила
к увеличению внутренней энергии и температуры вещества
при сжатии (если, например, сжатие осуществляется изо-
изотермически), нужно часть его внутренней энергии в процессе
теплообмена передавать каким-то телам (холодильнику).
Имеется и второй путь сжижения вещества, находяще-
находящегося в газообразном состоянии. Для этого веществу нужно
дать возможность совершать работу против внешних сил,
297

например, в процессе адиабатического расширения. Работа
в этом случае совершается за счет убыли внутренней энергии
вещества, температура его может оказаться значительно
ниже критической, и конденсация происходит даже при не-
невысоком давлении.
В естественных условиях на земной поверхности нам не
приходится видеть некоторые вещества, обычно называемые
газами (водород, азот, кислород и др.), в жидком состоянии
только из-за того, что их критические температуры очень
низки. В специальных установках эти вещества могут быть
переведены не только в жидкое, но и в твердое состояние.
§ 17. ИТОГИ РАССМОТРЕНИЯ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
В МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Молекулярно-кинетическая теория строения вещества
сильно раздвинула границы познания человека. Она приве-
привела к объяснению многих процессов, происходящих внутри
различных тел. Взяв за основу важнейшие положения ме-
механики больших, макроскопических тел, она позволила
построить систему взглядов на механику микроскопиче-
микроскопических частиц.
Таким образом, в нашем распоряжении оказываются два
больших раздела физики — механика макромира (механика
тел, размеры которых во много раз превышают размеры их
структурных составляющих) и механика микромира. Но
одинаковые ли законы управляют этими мирами?
Если вспомнить, каких схем мы придерживались при
анализе явлений этих двух миров, то станет ясным, что меж-
между ними много общего. Понятия и законы механики макро-
макромира позволили нам оценивать механическое поведение ма-
материальных точек, абсолютно твердых и упругих тел или их
систем. Эти же понятия и законы мы постарались применить
к микроскопическим частицам, и это оправдало наши на-
надежды, так как с их помощью удалось объяснить некоторые
явления, происходящие внутри вещества. Более подробно
мы рассмотрели закон сохранения полной энергии, который
явился как бы мостом из макромира в микромир.
Введя понятие внутренней энергии, мы на первых порах
воспользовались лишь некоторыми ее составляющими*—
кинетической энергией поступательного, вращательного и
колебательного движений и потенциальной энергией взаимо-
взаимодействия частиц.
298

Изменение кинетической энергии движения частиц иде-
идеального газа (а для веществ, находящихся в твердом и жид-
жидком состояниях,— и потенциальной энергии взаимодействия
частиц) удалось связать с изменением температуры вещества,
которая "явилась новой, немеханической характеристикой
его состояния.
Нам удалось оценить изменение геометрических разме-
размеров вещества при изменении температуры.
Мы отметили тот факт, что в веществах, находящихся в
твердом состоянии, движение частиц носит в основном коле-
колебательный характер. Рассматривая поведение вещества в
жидком состоянии, мы обратили внимание на колебательно-
поступательный характер движения его частиц, а рассмат-
рассматривая газы — на поступательное движение его атомов и
молекул, вращательное движение молекул, состоящих
из- нескольких атомов, и колебательное движение атомов в
молекулах.
Учет изменения энергии частиц вещества при постоянной
температуре позволил объяснить изменения его агрегатных
состояний, а учет изменения внутренней энергии при хими-
химических реакциях — практическую возможность использо-
использования некоторых реакций в качестве источников энергии.
Рассматривая процессы изменения полной энергии, мы
убедились в наличии двух эквивалентных, но неравноправ-
неравноправных способов ее изменения — процесса совершения работы
внутренними или внешними силами и процесса теплообмена.
Тот факт, что изменение упорядоченного механического'дви-
механического'движения тел в целом всегда сопровождается интенсификацией
хаотического теплового движения их частиц, а процесс
увеличения механической энергии никогда не происходит
только за счет убыли внутренней энергии термодинамиче-
термодинамической системы (этот процесс всегда осложнен теплообменом
с внешними телами, так как идеальная адиабатическая
изоляция системы невозможна), имеет принципиальное
значение.
В свое время мы подчеркивали характерные черты
явлений микромира — хаотичность движений и множествен-
множественность частиц,— которые не присущи механике макромира.
В этом — причина принципиального различия закономер-
закономерностей этих двух миров. Законы случая (вероятностные за-
законы) отличают поведение коллективов микрочастиц от по-
поведения макроскопических тел.
При анализе термодинамических явлений мы пренебре-
пренебрегали многими деталями и рассматривали только те факты,
299

которые подтверждают принятые модели и схемы объясне-
объяснений широкого круга явлений действительности. Подобно
тому, как недооценка деталей строения вещества привела
к серьезным затруднениям в механике'макротел, объяснение
поведения вещества, состоящего из неделимых молекул или
атомов, встретилось со своими трудностями.
Мы обратили внимание на то, что между микроскопиче-
микроскопическими частицами вещества действуют силы притяжения и
отталкивания. Таким образом, мы учитывали, как взаимо-
взаимодействуют частицы, но вопрос, почему они так взаимодейст-
взаимодействуют, остался открытым.
Для ответа на этот и многие другие вопросы придется
уточнить наши представления о поведении частиц внутри
вещества. При этом нужно будет переступить на новый уро-
уровень, нужно будет учесть детали внутреннего устройства
атомов, закономерности поведения его составных частей.
Такая детализация позволит рассмотреть новые составляю-
составляющие внутренней энергии вещества, которые мы упоминали,
классифицируя все ее составные части.

ГЛАВА V
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 18. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ
18.1. Что такое электрический заряд? Откуда
берутся электрические заряды?
Углубляясь при изучении электрических явлений внутрь
атома, чмы говорим, что атом состоит из ядра и электронов,
окружающих его. Этого вполне достаточно для анализа
простейших электрических явлений. Поскольку молекулы,
состоящие из атомов, и атомы в целом электрически ней-
нейтральны, электрическими свойствами могут обладать только
составные части атомов.
Электрический заряд вводят как физическую величину,
характеризующую способность тел или их составных частей
вступать в электромагнитные взаимодействия. Понятие об
электрических зарядах отражает объективные факты, отра-
отражает то, что телам присуще: не мы создаем электрические
заряды, а они заложены в веществе самой природой. Элек-
Электрические заряды являются первичным свойством некоторых
частиц вещества, первичным в том смысле, что оно не сво-
сводится ни к каким другим свойствам.
Таким образом, электрические заряды присущи всем
телам и некоторым частицам, их составляющим. Электри-
Электрическим зарядом обладают электроны и некоторые другие
элементарные частицы. Заряд ядра атома связан с зарядами
содержащихся в нем протонов.
Аналогично тому, как мы поступаем при измерении лю-
любых физических величин, измерить какой-то электрический
заряд можно, сравнив его с другим электрическим зарядом,
приняты^ за единичный.
Естественным эталоном электрических зарядов может
служить заряд электрона е% называемый элементарным
301

электрическим зарядом. Его абсолютное значение в систе-
системах СИ и СГСЭ составляет
?:=1,6.10-19 кулона = 4,8. Ю-10 ед. СГСЭ^.
Меньшие значения электрических зарядов современной
физике неизвестны.
При изучении простейших электрических явлений можно
не рассматривать, как изменяются состояния ядер атомов,
и считать, что главную роль в этих явлениях играют элек-
электроны. Именно перераспределением электронов между ато-
атомами или молекулами (ионизация) или между телами в це-
целом (например, возможность перераспределения электронов
между металлическими проводниками) объясняется элек-
электризация. Недостаток или избыток электронов по срав-
сравнению с электрически нейтральным состоянием и трактует-
трактуется как положительный или отрицательный заряд q иона
или тела, состоящего из многих атомов или молекул, при-
причем абсолютное значение этого заряда может быть равно
только целому числу л=1, 2, ... элементарных заря-
зарядов: q=ne.
В свое время мы подчеркивали, что масса — это свойство
материи и что она не может «перетекать», «лежать» и т. п.
За подобные действия ответственны материальные носители
массы — тела, вещества, частицы, поля. Правда, иногда
ради экономии слов, чтобы не загромождать языка, упо-
употребляются выражения типа: «Перетекла масса в 2 кило-
килограмма», на условность которых мы обращали внимание.
Электрические заряды — физические величины, являющие-
являющиеся мерой новых свойств тел или некоторых частиц,— так
же как и масса, не могут «перемещаться», «покоиться» или
«висеть». Когда говорят о движении или о перераспределе-
перераспределении зарядов, о силах, действующих на заряды, и т. п., то
имеют в виду, что двигаться, перераспределяться, испы-
испытывать действие сил могут, конечно, носители электри-
электрических зарядов(—какие-то заряженные тела или части-
частицы. Далее мы также будем вынуждены пользоваться та-
такой условной, но более краткой и общепринятой термино-
терминологией.
Обратим внимание еще на одну условность. Когда в той
или иной (задаче приходится учитывать форму и размеры
тела, обладающего электрическим зарядом, то форма и раз-
размеры тела конкретно указываются (заряженный шар такого-
то радиуса, заряженная пластина такой-то площади и т. п.).
Если же размеры заряженного тела в задаче несущественны,
302

то можно говорить о заряженных частицах, подразумевая
под ними не только элементарные или микроскопические
частицы (электроны, протоны, ионы и т. д.), но и макроско-
макроскопические заряженные тела, размерами которых в данной
задаче можно пренебречь. Таким образом, заряженная час-
частица — это материальная точка, обладающая электриче-
электрическим зарядом.
18.2. Используемые модели
Попытки как-то представить механизм электрических
явлений привели к введению понятий о так называемых
свободных и связанных зарядах (правильнее, конечно, было
бы говорить о свободных и связанных носителях электри-
электрических зарядов).
При изучении широкого круга явлений приходится иметь
дело с проводниками, в которых носители зарядов могут
перемещаться достаточно свободно по всему объему веще-
вещества. Например, очень часто в задачах фигурируют металли-
металлические проводники. Кристаллическая решетка металлов
отличается от решеток других кристаллических веществ
тем, что в ее узлах размещаются положительные ионы. Часть
электронов, компенсирующих их заряды, не привязана
к каким-то определенным положениям равновесия и может
находиться в хаотическом поступательном движении подоб-
подобно атомам идеального газа. Другой пример свободных заря-
зарядов — электроны, испущенные раскаленной нитью в вакуум
(например, электронный луч в трубке телевизора). Такие
свободные- заряды рассматриваются как материальные
точки (их пространственными размерами пренебрегают),
наделенные, кроме массы, электрическим зарядом. Иногда
говорят об электронном газе в металлах или в вакууме, ко-
который состоит из одиночных, не взаимодействующих меж-
между собой электронов. Такой газ в механическом или теп-
тепловом отношении ведет себя как любой другой идеаль-
идеальный газ.
Поведение другого класса веществ — диэлектриков —
на первых порах нельзя объяснить наличием в них свобод-
свободно перемещающихся зарядов. Молекулы или атомы диэлек-
диэлектриков при обычных, не очень сильных электрических воз-
Действиях на них извне остаются электрически нейтраль-
нейтральными, т. е. отрыв электронов от атомов не наблюдается. Но
такие вещества все же откликаются на внешние электриче-
электрические влияния. Это объясняют -тем, что в диэлектриках
303

имеются связанные заряды. Простейшая модель системы свя-
связанных зарядов— две материальные точки, находящиеся на
некотором расстоянии одна от другой и обладающие рав-
равными по абсолютному значению, но противоположными по"
знаку зарядами. Такая система заряженных частиц назы-
называется диполем. Диполь может поворачиваться, его длина
может уменьшаться или увеличиваться, но при некоторых
условиях (при невысоких температурах и слабых внешних
электрических воздействиях) он не разрушается и весь в
целом не перемещается по объему диэлектрика.
18.3. Закон сохранения электрических зарядов
Еще однИхМ законом сохранения является закон сохране-
сохранения электрических 'Зарядов, который применим к системе
тел или частиц, не обменивающейся электрическими заря-
зарядами с телами или частицами, не включенными в эту систе-
систему. Такая система очень часто называется замкнутой или
изолированной. Чтобы избежать неоднозначности толкова-
толкования (в механике и термодинамике замкнутой мы называли
систему, на которую не действуют внешние силы), при рас-
рассмотрении электростатических и электродинамических яв-
явлений мы будем придерживаться второго названия («изоли-
(«изолированная система»).
Суммарный электрический заряд изолированной систе-
системы при любых процессах, происходящих в этой системе,
остается неизменным. Носители электрических зарядов мо-
могут только перераспределяться между различными частями
системы. Иногда изолированную систему может представ-
представлять какое-то одиночное тело. Процессы рождения и гибели
пар элементарных частиц, обладающих противоположными
по знаку, но равными по абсолютному значению электри-
электрическими зарядами (эти процессы будут рассмотрены нами
позже), также подчиняются закону сохранения электриче-
электрических зарядов.
Электризация прикосновением (или электризация тре-
трением) есть по существу процесс перераспределения заря-
заряженных частиц между соприкасающимися телами. Если два
тела до соприкосновения были электрически нейтраль-
нейтральными, то после перераспределения носителей зарядов в
результате соприкосновения на телах обнаруживаются
заряды противоположных знаков, но равные по абсолют-
абсолютному значению. Поскольку наиболее подвижными носите-
носителями электрического заряда в различных веществах явля-
304

ются электроны, явление электризации можно объяснить
следующим образом: сколько электронов потеряло одно
тело, столько их приобрело другое. В результате соприкос-
соприкосновения куска шерстяной ткани и эбонитовой палочки
(упоминая о «трении», в этом случае имеют в виду не силы
взаимодействия между соприкасающимися телами, а про-
процесс многократного повторения контакта ворсинок ткани
с палочкой) на обоих телах обнаруживаются перераспре-
перераспределенные, избыточные заряды. От эбонитовой палочки
можно, например, зарядить электроскоп. Если затем в
соприкосновение с ним привести наэлектризованный кусок
ткани, электроскоп разрядится. Это свидетельствует о том,
что суммарный заряд изолированной системы, состоящей
из куска ткани, палочки и электроскопа, остается таким
же, каким он был до электризации, т. е. в данном случае
равным нулю.
Как же можно объяснить электризацию тел при сопри-
соприкосновении? Ответить на этот вопрос помогает хорошо
известный факт: электрические заряды перераспределяются
только при соприкосновении разнородных веществ (эбо-
(эбонит — шерсть, стекло — шелк и т. д.). Два тела из одного
и того же вещества в результате соприкосновения никогда
не электризуются! Свободные электроны (которые имеются
все же и в диэлектриках) могут вырываться за ^пределы
вещества, если они преодолеют силы притяжения со сто-
стороны- остальных его частиц. Вот эти-то- силы, препятст-
препятствующие вылету электронов, у разных веществ различны.
Их различием и объясняется электризация разнородных
веществ при соприкосновении. Вещество, более сильно
удерживающее электроны, в контакте с другим веществом,
из которого электронам вылетать легче, будет заряжаться
избыточным отрицательным зарядом.
. Такие контактные явления играют большую роль в
физике и технике.
Перераспределение зарядов внутри тела, находящегося
вблизи другого заряженного тела (явление электростатиче-
электростатической индукции), также подтверждает закон сохранения
электрических зарядов.
Таким образом, при любом способе электризации
можно говорить об изолированной системе тел или час-
частиц (такой системой может быть и одиночное тело), сум-
суммарный электрический заряд которой остается неизменным.
Заряды лишь перераспределяются между частями этой
системы.
605

§19. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
19.1, Закон Кулона — основной закон электростатики
Если в какой-то инерциальной системе отсчета нахо-
находятся неподвижные электрические заряды, между ними
обнаруживается силовое взаимодействие. Одноименно заря-
заряженные тела или частицы отталкиваются, разноименно
заряженные — притягиваются. Формой материи, осуществ-
осуществляющей взаимодействие между неподвижными электриче-
электрическими зарядами* является электростатическое поле. Это
поле материально, обладает энергией, массой и другими
характеристиками. Оно определенным образом распре-
распределено в пространстве вокруг вызывающих его электриче-
электрических зарядов, которые иногда называют источниками поля.
Характеристики электростатического поля в различных
точках пространства с течением времени не изменяются.
Часто, когда оценивают поведение какого-то заряжен-
заряженного тела, представляющего интерес в конкретной задаче,
не указывают, какие именно носители зарядов на него
действуют, где они находятся и т. д. Их воздействия на
данное тело сводят к воздействию на него суммарного
электростатического поля этих носителей заряда.
Все количественные расчеты в электростатике стали
возможными после установления закона Кулона. Только
на основании этого закона можно было измерить электри-
электрические заряды. Кулон,, проводя свой классический опыт,
не имел меры для электрических зарядов. Он использовал
лишь возможность уменьшения избыточного заряда тела
в четное число раз: если к заряженному телу прикоснуться
точно таким же незаряженным, то избыточный заряд рас-
распределяется между телами поровну. Если после этого к
первому телу прикоснуться еще раз таким же незаряжен-
незаряженным, то его заряд становится в четыре раза меньше перво-
первоначального, и т. д. Но каково было значение этого первона-
первоначального заряда, известно не было.
Силы взаимодействия между заряженными телами (ма-
(маленькими шариками) в опыте Кулона определялись с
помощью так называемых крутильных весов. Один заря-
заряженный шарик укреплялся неподвижно, а другой — на
конце легкого изолирующего стержня, подвешенного го-
горизонтально на тонкой упругой нити. Зная упругие свой-
свойства нити, по углу ее закручивания можео было определить
момент силы, действующей на конец стержня (т. е. на вто-
306

рой шарик), а измерив плечо силы, можно было в конечном
счете узнать силу, действующую на второй заряженный
шарик.
Примечательным является тот факт, что сила электро-
электростатического взаимодействия между заряженными телами
не похожа на силу их гравитационного взаимодействия.
Поскольку гравитационное взаимодействие всегда сво-
сводится к притяжению между телами, причину отталкивания,
которое наблюдалось в первых опытах Кулона, нужно
было искать в силах совершенно иной природы.
Эти опыты приводили к заключению, что сила взаимо-
взаимодействия двух малых по размерам тел, обладающих элект-
электрическими зарядами q± и q2y пропорциональна зарядам qx и
цг и обратно пропорциональна квадрату расстояния г
между телами, т. е.
Переход от этого выражения пропорциональности к урав-
уравнению закона Кулона связан с введением двух множителей
(k и е):
F = k4-$. A9 1)
Появление первого из них вызывается тем, что в урав-
уравнение входят неоднородные величины (сила, заряды и
расстояние), причем единицы измерения заряда пока
вообще неизвестны, но могут быть установлены как раз
по этому уравнению. Таким образом, k является коэффи-
коэффициентов пропорциональности, зависящим от выбора си-
системы единиц для измерения всех остальных входящих
в уравнение величин.
Введение второго множителя придется обсудить более
подробно.
Нужно иметь в виду, что закон, установленный Кро-
Кроном, вообще-то говоря, справедлив для оценки силового
взаимодействия точечных электрических зарядов в ва-
вакууме, Но поскольку при любых попытках опытной про-
проверки этого закона мы не имеем возможности работать ни с
точечными зарядами, ни с абсолютным вакуумом, прихо-
приходится как-то обходить эти две трудности.
Закон Кулона подтверждается косвенными методами,
например, по результатам измерения сил взаимодействия
двух параллельных заряженных пластин, находящихся на
известном малом расстоянии одна от другой в каком-то
307

однородном газообразном веществе. В этом случае можно
считать, что электрические заряды равномерно распреде-
распределены по поверхностям пластин. Определив на опыте силы,
действующие на пластины, и разбив мысленно площади
пластин на столь малые участки, которые уже можно
считать материальными точками, несущими на себе из-
известную долю общего заряда пластины, можно убедиться
в том, что взаимодействие любой ч пары таких точечных
зарядов описывается законом Кулона.
Заполняя зазор между пластинами различными одно-
однородными диэлектриками, можно оценить влияние среды на
взаимодействие пластин. В этих случаях на опыте изме-
измеряют, правда, не силы взаимодействия пластин, а неко-
некоторые другие величины, по изменению которых судят об
изменении сил взаимодействия. На основании результатов
подобных опытов в уравнение закона Кулона A9.1) и может
быть введен множитель 8 — так называемая относительная
диэлектрическая проницаемость среды — физическая вели-
величина, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия
между точечными зарядами qx и q2, находящимися на рас-
расстоянии г в данной однородной среде, меньше, чем в ва-
вакууме.
При таком способе введения относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость любого вещества, конечно, будет
величиной безразмерной, но из опытов не следует, что при
оценке взаимодействия точечных зарядов qx и q2 в вакууме
величину е обязательно нужно полагать равной единице
(евак=1). Ведь если даже на основании опыта мы знаем,
что силы взаимодействия двух данных точечных зарядов,
находящихся на неизменном расстоянии, в дистиллиро-
дистиллированной воде в 81 раз меньше, чем в вакууме, то этому
результату не будут противоречить такие,.например, зна-
значения диэлектрических проницаемостей: 8=810 для воды
и 8=10 для вакуума.
Только стремление к упрощению расчетов приводит нас
к выбору условия евак=1. Но этот выбор произволен!
Он не диктуется законами природы и, в частности, законом
Кулона.
В этом произвольном выборе, как уже отмечалось ранее,
можно усмотреть факт введения пятой основной единицы
измерения (кроме сантиметра, грамма, секунды и градуса)
при построении системы СГСЭ.
Если нам удастся- экспериментально установить, что
силы взаимодействия между двумя точечными неизвест-
308

ными, но равными зарядами {qi—q^—q), находящимися в
вакууме на измеренном расстоянии г друг от друга, равны
F, то заряды в системе СГСЭ можно определить по формуле
, A9.2)
полученной из закона Кулона .A9.1) при условии евак=1
и ft=l. Единицу измерения электрического заряда
? = 1 ед. СГСЭ^- 1 oaWk'1
можно теперь получить на основании A9.2) при г=\ см
и F—1 дин. Таким образом, единица измерения электри-
электрического заряда в системе СГСЭ оказывается производной.
Поскольку все физические величины, которые вводятся
в электростатике, так или иначе связаны с электрическим
зарядом, а их единицы измерения в системе СГСЭ выража-
выражаются через абсолютную электростатическую единицу за-
заряда, последнюю иногда почему-то считают основной
единицей. Чтобы опровергнуть это утверждение, напомним,
что основными единицами принято считать такие, которые
не зависят от других ^единиц измерения (например, и в
системе СГС, и в СИ единица измерения массы не зависит
от единицы измерения времени). Однако в связи с более
жесткими требованиями, предъявляемыми в настоящее
время к точности воспроизведения единиц измерения, мы
встречаемся с ситуацией, когда некоторые единицы изме-
измерения, которые используются как основные, не являются
таковыми по существу. В качестве примера можно привести
единицу измерения силы электрического тока в СИ —
ампер. Эта единица связана с единицами измерения силы
и длины (далее мы рассмотрим этот вопрос более подробно),
оказывается зависимой от них и в строгом смысле основной
не является. Оправданием того, что ампер считается ос-
основной единицей, служит только одно обстоятельство:
для этой единицы установлен вполне определенный и
достаточно надежный эталон.
Теперь, наверное, понятно, что единица измерения
электрического заряда в системе СГСЭ ни по одному из
этих признаков к основной отнесена быть не может (она
зависит, от единиц измерения длины и силы, и в настоящее
-время для нее не используется никакое эталонное уст-
устройство).
В СИ за основную единицу измерения при изучении
электрических и магнитных явлений принимается единица
силы тока — ампер (см. п. 25.3). При этом единица изме-
309

рения электрического заряда, кулон (новое обозначение
этой единицы — Кл), оказывается производной, но уста-*
навливаемой не в согласии с законом Кулона, а иначе,
Тогда, если даже в уравнении A9.1) считать 8 для любой
среды величиной безразмерной, а для вакуума имеющей,
кроме того, численное значение, равное единице, коэффи-
коэффициент пропорциональности k уже нельзя выбирать произ-
произвольно. В СИ он будет размерным, а по численному зна-
значению не равным единице. Его размерность легко устано-
установить по уравнению A9.1), учитывая, что в СИ величина 8
по-прежнему считается безразмерной, F измеряется в
ньютонах, г — в метрах, qx и q2 — в кулонах. Выразив
коэффициент k в явном виде:
Яхйъ
убеждаемся, что он должен измеряться в Н-м2/Кл2.
Численное значение k найдем из следующего расчета.
Предположим, что две материальные точки, имеющее
электрические заряды по одному кулону (<7i=<72~ 1Кл),
находятся в вакууме (е=1) на расстоянии г=1 м одна от
другой. В соответствии с A9.1) сила взаимодействия между
ними будет равна
v - /Н-м2\ 1Кл-1Кл и
F = ft I -Tf-Y л ча =fe НЬЮТОНОВ.
\ 1\Л J II My
В системе единиц СГСЭ та же сила
(З.ЮЗед.СГСЭ,J
Г "" A00 смJ ""*У Ш ДИН —У-IU П,
поскольку 1 Кл=3-109 ед. СГСЭ^, 1 м=100 см и 1 Н=
= 105 дин. Из сопоставления полученных выражений
находим численное значение коэффициента k:
?=9.10*.
Для удобства расчетов в СИ коэффициент k представ-
представляют в виде дроби:
где 80 — так называемая электрическая постоянная, кото-
которая равна
ЗШ

Учитывая сказанное, закон Кулона в СИ записыва-
записывают в виде
* A9.3)
Сравнивая уравнения закона Кулона и закона все-
всемирного тяготения, замечаем, что они аналогичны по форме
и справедливы для точечных тел (материальных точек или
точечных электрических зарядов). В том же виде уравнения
справедливы и для неконцентрично расположенных тел
сферической формы (однородных по плотности или по
распределению электрических зарядов). Силы электроста-
электростатического взаимодействия (кулоновские силы), так же как
гравитационные, зависят от координат взаимодействующих
тел и имеют центральный характер (действуют по линии,
соединяющей взаимодействующие заряженные материаль-
материальные точки). Кулоновские силы проявляют себя при отсут-
отсутствии непосредственного контакта между взаимодействую-
взаимодействующими телами, т. е. взаимодействие и здесь осуществляется
через посредство поля. Различная природа кулоновских
и гравитационных сил проявляется прежде всего в том, что
первые могут быть как силами притяжения, так и силами
отталкивания! вторые же всегда являются силами при-
притяжения.
В точных расчетах взаимодействия заряженных тел
можно, конечно, учитывать наряду с кулоновскими и
гравитационные силы, но при взаимодействии малых по
массе тел этого не делают, так как кулоновские силы ока-
оказываются во много раз больше гравитационных.
Задача. Во сколько раз отличаются силы кулоновского и гравита-
гравитационного взаимодействия между двумя электронами, находящимися
в вакууме?
В СИ закон Кулона и закон всемирного тяготения для этого случая
запишем в виде
где е— заряд электрона, т — масса электрона, а г— расстояние между
электронами. Почленно разделив эти уравнения, получаем расчетную
формулу:
F
Величины, стоящие в правой части, в СИ имеют следующие значения:
е=1,6-1(Г19 Кл, ео=8,85-1О-12Кл2/(Н-м2), у=6,67- 10-и м3/(кг-с2),
m=9,b 1Q-31 кг. Нетрудно убедиться, что результат расчета будет
311

безразмерным:
[Кл2/(Н-м2)] [м3/(кг.с2)] (кг2) м-кг Н •
Подставляя численные значения, получаем
F ".3,14.8,85- Ю-12-6,67-10-11 (9,Ы0-31J " ' *
Как видим, независимо от расстояния, на котором находятся элек-
электроны, разница этих сил огромна. /
С помощью закона Кулона можно получить некоторые
сведения о том, м1ного или мало электронов перераспре-
перераспределяется между телами при электризации. Для этого вы-
выясним, например, чему равны силы притяжения двух
одинаковых свинцовых шариков с диаметрами <2=1,0 см,
если у каждого атома одного шарика отнято по одному
электрону и все они перенесены на другой шарик. Шарики
находятся в воздухе, расстояние между их центрами г=*
=50 см.
Обозначим число атомов в каждом шарике через п9
заряд электрона — через е\ тогда заряды шариков <7i=+e/i,
q2=—en и силы кулоновского взаимодействия между ша-
шариками (при равномерном распределении зарядок по их
поверхностям) в СИ будут равны
4я808г2 Апг0 \ г ) *
поскольку можно считать, что для воздуха 8=1 (более
точное значение относительной диэлектрической- прони-
проницаемости воздуха при нормальных условиях—1,00059).
Число п атомов в каждом шарике найдем, исходя из
следующих соображений. В моле атомарного вещества
содержится количество атомов, численно равное постоян-
постоянной Авогадро NA. Если масса каждого шарика равна т,
а молярная масса свинца М9 то
л= (m/M)NA.
Поскольку диаметры шариков заданы и известно, из ка-
какого вещества шарики изготовлены, то m—^-ndBpt где р —
плотность свинца, или
п
Подставляя это выражение для п в уравнение закона
312

Кулона, получаем
F L (?Еа?\ _ (
14480 \ Mr
-=Н.
Входящие в эту формулу величины имеют следующие значе-
значения: ео=8,85- Ю-12 Кл2/(Н-м2), d=0f010 м, р=11 340 кг/м3,
#А=6,02-1023 моль-1, е=-1,6-10~19 Кл, г=0,50 м и М=
=207-10 кг/моль.
Легко проверить, что результат будет получен в нью-
ньютонах:
1 Г(м3) (кг/м3) (моль-1) (Кл)]2__ Н.м2 Кл2
Кл2/(Н-м2) L (кг-моль~1)(м) J ~~ Кл2 м2 "
Подстановка численных значений дает
г 3,14 /ОДНО3-11340-6,02. IP23-1,6. 1Q-19V ,
t~ 144.8,85- Ю-12 V 207.10-^.0,50 * ) **
Если этот результат представить в более «ощутимых»
единицах, то F»2,9-1016 кГ=2,9-1018 тонн!
Наэлектризованные шарики таких размеров, которые
были предложены в условиях этой задачи, безусловно,
всеми наблюдались при демонстрациях опытов в физиче-
физическом кабинете. Расстояния между наэлектризованными
телами обычно бывают порядка нескольких сантиметров,
так что значение г=50 см вполне реально. Но с такими
колоссальными значениями сил мы не встречаемся в физи-^
ческих опытах. О чем это говорит? Да только о том, что
при электризации перераспределяется лишь очень малая
доля числа электронов, имеющихся в телах.
К сказанному следует добавить, что если бы даже мы
попытались каким-то способом сообщить рассмотренным
шарикам заряды, равные dben, то соответствующее коли-
количество электронов не смогло бы удержаться на отрицатель-
отрицательно заряженном шарике из-за взаимного отталкивания и
наступил бы пробой той диэлектрической среды, в которой
находятся шарики:
19,2. Напряженность — силовая характеристика
электрического поля
О наличии электрического поля в той или иной точке
пространства можно судить по силе, действующей на не-
неподвижный точечный электрический заряд q0, помещенный
в данную точку (часто такой заряд называют пробным
613

зарядом). Оказывается, что эта сила зависит от значений
зарядов источников поля, от расположения этих источников
в пространстве, от расположения рассматриваемой точки
по отношению к источникам поля и от электрического
заряда q0. Чтобы характеризовать поле заданных источ-
источников в данной точке пространства, вводят напряженность
электрического поля (Е) — физическую величину, опреде-
определяемую отношением силы F, действующей на неподвижный
точечный положительный электрический заряд qOt к зна-
значению этого заряда:
Е = ?. A9.4)
Напряженность электрического поля заданных источ-
источников в определенной точке пространства не зависит от
заряда qQ и, так сказать, характеризует силовые возмож-
возможности поля. Если в точку поля, напряженность в которой
равна Е, помещен электрический заряд qy то на него дей-
действует сила
F = ?E, A9.5)
причем направление вектора F зависит от знака заряда q:
если <7>0, то F совпадает по направлению с Е; если
<7<С0, то вектор F противоположен по направлению век-
вектору Е.
Следует остановиться на своеобразии и ограниченности
механического подхода к истолкованию силы, определяемой
выражением A9.5), как, впрочем, и всех иных сил, вводимых
при описании полевых воздействий.
Закон Кулона позволяет находить силы электростати-
электростатического взаимодействия заряженных частиц или тел. В этом
отношении он аналогичен закону всемирного тяготения,
которому подчиняются силы гравитационного взаимодей-
взаимодействия частиц или тел. В связи с этим следует еще раз
напомнить, что законы Ньютона были установлены в те
времена, когда о полевом характере различных типов
взаимодействий ничего не было известно, когда опытной
проверкой можно было подтвердить только взаимодействия
тел при непосредственном контакте (упругие или неупру-
неупругие столкновения, возникновение взаимодействий при тре-
трении тел). Не зная механизма передачи взаимодействийщи
отсутствии контакта тел (как, например, при гравитацион-
гравитационном взаимодействии Земли и Луны, Солнца и планет Сол-
Солнечной системы и т. п.), считались лишь с фактом таких
314

взаимодействий* и вводимые при этом силы наделяли
всеми признаками, укладывающимися в рамки класси-
классической механики Ньютона.
Современная физика пользуется представлением о по-
полях как о своеобразной форме материи, осуществляющей
различные взаимодействия между телами или частицами,
причем поведение этой разновидности материи не подчи-
подчиняется законам Ньютона. Например, процесс распростра-
распространения, установления поля в пространстве происходит со
скоростью света, с полем нельзя связать систему отсчета.
Если в одной и той же области пространства одновременно
присутствуют поля от нескольких источников, то поля эти
(если их напряженности не очень велики) не взаимодейст-
взаимодействуют между собой и, так сказать, мирно сосуществуют,
накладываясь друг на друга. В этом заключается так
называемый принцип суперпозиции полей, который позво-
позволяет находить суммарную напряженность в данной точке
пространства сложением векторов напряженностей всех
полей, имеющихся в этой точке.
Любая неподвижная заряженная частица является
источником электростатического поля, которое служит
признаком существования самой заряженной частицы.
Эта частица испытывает действие сил со стороны электро-
электростатических полей других заряженных частиц, а поле
данной частицы оказывает силовое воздействие на другие
заряженные частицы. О взаимодействии каких-то двух за-
заряженных частиц можно говорить только при условии, что
поле первой частицы успело распространиться до места
нахождения второй частицы, а поле второй — до места
расположения первой.
Единицы измерения напряженности устанавливаются
в согласии с A9.4). В СИ сила измеряется в ньютонах,
а электрический заряд — в кулонах; таким образом, еди-
единица напряженности электрического поля имеет наимено-
наименование Н/Кл. Гораздо чаще наименование единицы на-
напряженности в СИ представляют в виде В/м. Выполнив
несложные преобразования, можно показать, что оба наи-
Н н • м Дж
менования совершенно равноправны: g- = |7j7ij = ]Tji7^» но
Дж/Кл=В (см. п. 19.4), поэтому Н/Кл=В/м. В системе
СГСЭ абсолютная электростатическая единица напряжен-
напряженности A ед. СГСЭ?) имеет размерность
= 1 см-
315

Учитывая, что 1 Н=105 дин и 1 Кл=3-109 ед. СГСЭ^ по-
получим связь между единицами напряженности в системах
СИ и СГСЭ:
« и 10*дин 1
Довольно часто мы имеем дело с электростатическим
полем, во всех точках которого напряженности одинаковы
(E=const). Такое поле называется однородным. В различ-
различных точках неоднородного поля векторы напря~женности
неодинаковы (по модулю, по направлению или по обоим
этим признакам).
•Если источником поля в вакууме является точечный
электр-ический заряд q (или .равномерно заряженное по
поверхности или по объему тело сферической формы с
таким же „суммарным зарядом q), то напряженность поля
в точке пространства, находящейся на расстоянии г от
источника поля (или на расстоянии г от геометрического
центра сферического равномерно заряженного тела), на
основании A9.4), A9.1) и A9.3) можно подсчитать по
формулам
Е = -^ (в системе СГСЭ) A9.6')
или
В однородном веществе с относительной диэлектрической
проницаемостью е напряженность в той же точке про-
пространства будет в е раз меньше:
? = ^з (в системе СГСЭ) A9.7')
или
Е-Ш^ <вСИ)' A9.7)
Не следует забывать, что формулы A9.6'), A9.6), A9.7')
и A9.7) позволяют определить напряженность в какой-то
точке поля только в тех случаях, когда источниками поля
являются либо точечный заряд, либ<? равномерно заряжен-
заряженное тело сферической формы. Для расчета полей иных
источников эти формулы применять нельзя!
Электростатика не занимается изучением движения
заряженных частиц или тел, но причины возникновения
316

и характер возможных движений она позволяет вскрыть.
Пусть в вакууме имеется электростатическое поле непод-
неподвижного точечного заряда g и на расстоянии г от этого
заряда находится материальная точка с электрическим
зарядом <7о и массой т. Если эта точка не закреплена, то
под действием кулоновской силы она будет двигаться
с ускорением
а=*? = Ш (В системе СГСЭ)
или
При уменьшении расстояния г ускорение возрастает; если
же г увеличивается, то ускорение уменьшается. Следова-
Следовательно, в этом случае движение заряженной материальной
точки не может быть равнопеременным (a^const).
Незакрепленная заряженная точка в электростатиче-
электростатическом поле всегда будет двигаться с ускорением. Равноус-
Равноускоренное прямолинейное движение возможно в тех случаях,
когда заряженная точка оказывается в однородном элект-
электростатическом поле и первоначально она либо неподвижна,
либо вектор ее начальной скорости совпадает по направ-
направлению с вектором напряженности поля. Замедленное пря-
молинеййое движение будет наблюдаться, если вектор
начальной скорости точки противоположен по направле-
направлению вектору напряженности поля. Если же поле неодно-
неоднородно или вектор начальной скорости точки составляет с
вектором напряженности поля углы, отличные от 0 и я
радиан, то характер движения будет более сложным: ус-
ускорение может быть переменным, а траектория движения —
не только прямолинейной, но и криволинейной.
Бол^е детальный анализ движения заряженной ча-
частицы под воздействием других заряженных частиц выхо-
выходит за рамки электростатики. Это связано с тем, что при
рассмотрении любых движений заряженной частицы (ус-
(ускоренных или даже движений с постоянной скоростью)
в инерциальной системе отсчета, кроме сил электростатиче-
электростатического взаимодействия, зависящих от координат частиц,
приходится учитывать еще силы магнитного взаимодей-
взаимодействия, которые оказываются зависящими не только от
координат, но и от скоростей частиц в данной инерциаль-
инерциальной системе отсчета. Поэтому, когда в задачах электро-
электростатики все же требуется считаться с перемещением
317

заряженных частиц (например, при расчете работы куло-
новских сил), полагают, что эти перемещения происходят
с такими малыми скоростями, при которых эффекты маг-
магнитного взаимодействия практически неощутимы.
Силовые линии. При использовании понятия напряжен-
напряженности электрическое поле удобно графически изображать
с помощью силовых линий (или линий напряженности).
Силовой линией называют воображаемую линию, касатель-
касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением
вектора напряженности поля в этой точке. Каждому очень
малому по длине элементу силовой линии приписывают
направление, совпадающее с направлением вектора на-
напряженности поля, которое в пределах малой длины эле-
элемента силовой линии (между крайними точками элемента)
может считаться однородным» Поэтому силовые линии поля
одиночного точечного положительного заряда изображают
радиально расходящимися во все стороны от источника
поля. Силовые линии поля одиночного точечного отрица-
отрицательного заряда направлены к источнику поля. Если же
с помощью силовых линий изображают поле,системы не-
нескольких заряженных материальных точек, то эти линии
уже не будут прямыми, но тем не менее говорят о направ-
направлении этих линий. В связи с этим на графических схемах
направление не только прямолинейных, но и криволинейных
линий напряженности поля всегда указывается стрелками.
Кроме того, договариваются проводить силовые линии
ближе друг к другу в тех областях поля, где напряженность
больше (число силовых линий, проходящих через единич-
единичную площадку, перпендикулярную к ним, пропорциональ-
пропорционально напряженности поля в месте расположения площадки).
Таким образом, по густоте силовых линий судят о модуле
напряженности поля. Понятно, что при такой договорен-
договоренности однородное поле изображается параллельными и
равноотстоящими одна от другой силовыми линиями.
Силовые линии оказывают услугу и при переходе от
рассмотрения неподвижных заряженных частиц к анализу
их движений под действием сил электрического поля.
Если электрическое поле, силовые линии которого прямо-
прямолинейны, подействует на неподвижную свободную (неза-
(незакрепленную) заряженную частицу или на частицу, имеющую
вектор начальной скорости, совпадающий с направлением
силовых линий поля (или противоположный им по направ-
направлению), то движение частицы будет происходить как раз
вдоль силовых линий. Таким образом, в этих частных
318

случаях силовые линии поля будут являться траекториями
движения заряженной частицы.
Электростатическое поле системы заряженных частиц.
Принцип независимости действия сил выполняется и в
задачах электростатики (этот принцип является следствием
того, что электростатические поля различных источников
не взаимодействуют между собой).
Если какая-то заряженная частица находится в элект-
электростатическом поле нескольких точечных электрических
зарядов, то каждый из них действует на данную частицу
независимо от других, причем силы воздействия подчиняются
закону Кулона. В связи с этим
появляется возможность гово- ^*L ?f
рить о результирующей силе Л ^
воздействия нескольких заря-
заряженных частиц на данную и о +7/
суммарной напряженности поля
нескольких источников в дан-
данной точке пространства.
При геометрическом сумми- Рис. 19 1.
ровании векторов напряжен-
ностей обязательно нужно учитывать знаки зарядов ис-
источников поля, так как от них зависят ориентации слага-
слагаемых векторов. Например, чтобы найти в точке В (рис. 19.1)
суммарную напряженность Е2 поля, источниками кото-
которого являются частицы с зарядами +qu —q2, —q3 и +qu
нужно геометрически сложить векторы Еь Е2, Е3 и Е4.
Если источником поля служит заряженное тело конеч-
конечных размеров, то определение напряженности в какой-то
точке пространства сводится к геометрическому сложению
напряженностей от всех заряженных элементов тела. Для
этого тело мысленно разбивают на малые части, размеры
которых много меньше расстояний от них до рассматри-
рассматриваемой точки пространства, и каждую такую часть прини-
принимают за точечный носитель электрического заряда, равного
известной доле общего заряда тела.
Задача. Два неподвижных положительных заряда ^i—ЗО» Ю-8 Кл
и 92—120* Ю-8 Кл находятся в вакууме на расстоянии /-=0,10 м один от
другого. В какой точке М, лежащей на линии, соединяющей заряды,
нужно поместить положительный заряд qZi чтобы он находился в равно-
равновесии (рис. 19 2р
Пусть расстояние точки М от заряда qx равно х, тогда ее расстояние
от q2 будет равно г — х. В точке М имеется электростатическое поле
двух зарядов, и равновесие заряда q$ возможно, если суммарная напря-
напряженность поля равна нулю. Вектор напряженности Ег поля заряда q±
319

направлен вправо, а вектор напряженности Е2 поля заряда д2— влево
Значения этих напряженностей в точке М в СИ можно выразить в соот-
соответствии с формулой A9.6): '
Е
" 4ttS0#2 4Я80 (Г — ХJ
При равновесии заряда q3 должно выполняться равенство ?1=?2,
куда
9i 92
х2 (г —л:J
Это квадратное относительно х уравнение, приведенное к виду
дает
Выражение в скобках безразмерно, так что значения х± и х2 будут
получены в метрах. Подставляя заданные величины, находим
-о ю
30.10-8-120.10-8
-0 10 /30.10-8-^30.10-8.120.10-Л
Совершенно ясно, что смысл имеет только второй корень (лг2), так
как отрицательное значение расстояния между зарядами q± и q3, видимог
Ь /3 l
Рис. 19.2.
соответствует расположению заряда q3 слева от заряда q± (например, в
точке D), где равновесие заряда <7з> одноименного с зарядами <7i и q2>
невозможно. В этом положении на заряд <7з будет действовать результи-
результирующая сила, направленная влево. Эта сила не позволит незакреплен-
незакрепленному заряду находиться в покое.
19.3* Невозможность устойчивого равновесия системы
свободных электрических зарядов
Оценим, является ли равновесие заряда q3 в точке М
(см. рис. 19.2) устойчивым. Если какие-то внешние при-
причины сместят заряд вдоль линии SN, он будет возвращаться
в точку М, так как в результате смещения либо будет
320

возрастать сила его отталкивания от заряда qx при убы-
убывании силы отталкивания от заряда q2y либо преобладаю-
преобладающей будет оказываться сила отталкивания от заряда q2.
Но равновесие заряда q3 в положении М может считаться
устойчивым, если заряд будет возвращаться в точку М
после малого смещения в любое положение.
Что будет наблюдаться, если заряд q3 переместится в
какую-то точку, не лежащую на линии SN? Например,
в точке В на него будет действовать неуравновешенная
сила FB, являющаяся результирующей двух сил F1B и F2jB,
которая не позволит заряду возвратиться в точку М. Анализ
перемещений заряда в точки, лежащие ниже линии SN,
чили в точки, лежащие на продолжениях линии SN за места
расположения зарядов qt и q2 (например, в точки D или К
на рис. 19.2), приводит к выводу, что равновесие свободного
заряда в электростатическом поле других одноименных
зарядов не может быть устойчивым. К такому же выводу
можно прийти, рассматривая любую совокупность разно-
разноименных зарядов.
После этого становится ясным, что незакрепленные за-
заряженные частицы и тела (иногда такие частицы и тела
называют свободными) должны или разлетаться в раз-
разные стороны на бесконечно большие расстояния, если
;их заряды одноименны, или сближаться до непосред-
непосредственного контакта, если знаки их зарядов противо-
противоположны.
Если вспомнить,- что атомы любого вещества состоят из
заряженных частиц—положительно заряженных ядер и
отрицательно заряженных электронов, то можно спросить:
почему же атомы являются устойчивыми образованиями,
почему электроны не падают на ядра или не разлетаются
в разные стороны, почему не разрушается, не уничтожается
вещество, состоящее из заряженных частиц?
Закон Кулона не позволяет незакрепленным заряжен-
заряженным частицам находиться в устойчивом равновесии,
а аналогичный ему закон всемирного тяготения не должен
позволить находиться в устойчивом равновесии телам
Вселенной. Луна должна упасть на Землю, все планеты
Солнечной системы должны упасть на Солнце и вообще все
тела должны собраться, столкнуться в одном месте, ибо
силы тяготения протягивают их друг к другу! Но нам
достоверно известно, что атомы и космические системы не
исчезают, существуют необозримое число лет и не соби-
собираются исчезать.
И Ю. А. Селезнев 321

Как же разрешить возникшие в наших рассуждениях
противоречия? Они ликвидируются, если учесть реальное
положение дел в природе. Устойчивое соседство космиче-
космических тел возможно из-за их непрекращающегося движения.
Луна упала бы на Землю, если она хотя бы на мгновение
остановилась. Движутся и электроны вокруг атомных
ядер. Но атом устойчив не только из-за того, что его элект-
электроны находятся в движении. Для строгого объяснения
устойчивости атома приходится привлекать законы кван-
квантовой механики.
Нас могут спросить: а как же объяснить хорошо из-
известный факт устойчивого равновесия избыточных заряжен-
заряженных частиц на проводниках? Действительно, при. элект-
электризации, например, металлического шарика от эбонитовой
палочки только в первые мгновения происходит передви-
передвижение по нему заряженных частиц, а затем достигается их
статическое равновесие: они располагаются на его поверх-
поверхности, и никакого их движения не обнаруживается.
Ответить на такой вопрос нетрудно. Дело в том, что за-
заряженные частицы, сообщенные шарику, не являются
свободными. Попав на шарик, они оказываются в электри-
электрическом поле всех частиц, из которых состоит шарик, они
притягиваются этим полем. Нейтральное в электрическом
отношении вещество шарика может удерживать избыточ-
избыточные заряженные частицы подобно тому, как нейтральный
атом может терять часть своих электронов или присоеди-
присоединять лишние электроны, забираемые от других атомов в
процессе ионизации.
Если металлическому шарику извне сообщено какое-то
количество избыточных электронов, то, отталкиваясь друг
от друга, они, конечно, постараются разойтись на воз-
возможно большие расстояния. Устойчивое равновесие из-
избыточных электронов в суммарном электрическом поле
вещества шарика и соседних избыточных электронов
достигается, как всегда, при наименьшем значении потен-
потенциальной энергии их взаимодействия. Этому минимуму
потенциальной энергии и соответствует их распределение
по поверхности проводника.
Понять, что избыточные электроны, сообщенные про-
проводнику, располагаются только на его поверхности, легко.
Это объясняется их хорошей подвижностью в проводнике
и действием сил взаимного отталкивания. Но как объяс-
объяснить, что тот же металлический проводник, обладающий
избыточным положительным зарядом, ведет себя так, как
322

будто избыточные положительные заряды притекают к его
поверхности и располагаются на ней? Ведь если проводник
металлический, то в узлах его кристаллической решетки
находятся положительные ионы, которые не обладают
подвижностью, как электроны, они лишь колеблются вбли-
вблизи узлов решетки, но поступательно по всему объему тела
перемещаться не могут. Объяснение вновь возможно дать,
рассматривая поведение электронов проводника. Если
металлический проводник обладает избыточным положи-
положительным зарядом, то с точки зрения электронной теории это
означает, что в процессе электризации из проводника была
удалена часть электронов (никакие положительные заряды
на проводник не подаются). Оставшиеся в проводнике
электроны испытывают действие более значительных сил
притяжения со стороны суммарного поля вещества про-
проводника, чем при электрически нейтральном состоянии
проводника. Ну, а если вступают в действие силы притя-
притяжения, то для обеспечения минимума потенциальной
энергии взаимодействия электроны стягиваются в пределах
возможно меньшего объема. Картина явления оказывается
похожей на ту, которая имеет место при взаимодействии
притягивающихся частиц жидкости, когда поверхностный
слой стремится уменьшить свою площадь до минимума.
«Оттягивание» электронов от поверхности проводника при-
приводит к их недостатку на ней, что и трактуется как наличие
на поверхности проводника положительных электриче-
электрических зарядов.
19.4. Энергетические характеристики
электростатического поля. Работа при перемещении
заряженных частиц или тел в электростатическом поле
Рассматривая взаимодействие двух зарядов, находя-
находящихся в неподвижной инерциальной системе отсчета, мы
имеем дело с замкнутой консервативной системой, так как
взаимодействие осуществляется внутренними силами, зави-
зависящими только от координат расположения зарядов. При
этом, так же как и в достаточно подробно рассмотренном
ранее случае оценки взаимодействия тяготеющих тел, мы
имеем дело с системой, состоящей из трех объектов: двух
зарядов и электростатического поля, осуществляющего
взаимодействие между ними. Чтобы электростатическое
взаимодействие при перемещении одного заряда отно-
относительно другого не осложнялось никакими другими
ц* 323

силовыми эффектами (например, магнитными; см. стр. 317,
318), будем предполагать, что перемещение происходит с
чрезвычайно малой скоростью. Работу кулоновской силы
можно найти тем же способом, который был указан при
определении работы силы тяготения.
Пусть с зарядом Q связана неподвижная инерциальная
система отсчета. В электростатическом поле этого заряда
из положения / в положение 2 перемещается заряд q.
Кулоновская сила F, действующая на заряд q в произ-
произвольной точке траектории, может быть направлена так,
как показано на рис. 19.3, если заряды Q и q разноименны.
Рис. 19.3.
Рис. 19.4.
Случаю одноименных зарядов соответствует рис. 19.4,
(Обратите внимание наго, что рис. 19.3 и 19.4 аналогичны
рис. 5.3, который был использован нами ранее для пояс-
пояснения расчета работы силы упругости и силы тяготения.)
Пусть заряды находятся в однородной среде с относи-
относительной диэлектрической проницаемостью г. Если рас-
расстояние между ними равно г, то сила, действующая на
перемещающийся заряд, определяется в СИ выражением
Г ~~~ 4яе& г2 '
а среднее значение силы на интервале расстояний (г2—гх)
равно
(сравните это выражение с EЛЗ)). Работу А12, совершаемую
кулоновской силой (иногда говорят о работе, совершаемой
силами поля, или о работе, совершаемой электростатиче-
электростатическим полем) при перемещении заряда q из положения I
324

в положение 2, можно представить в виде
^la — ^cpta—ri) = т^ (r2—ri)> A9.8)
или
Л - Q?
Из формулы A9.8) видно, что если разноименные заряды
сближаются (при этом Qq<0 и г2—гг<0) или если расстоя-
расстояние между одноименными зарядами увеличивается (Qq>0
и г2—^i>0), то работа кулоновской силы положительна
(Л12>0). При увеличении расстояния между разноимен-
разноименными зарядами (Qg<0 и г2—гх>0) и при уменьшении рас-
расстояния между одноименными зарядами (QgOO и г%—гх<0)
работа кулоновской силы отрицательна (Л12<0). Из A9.9)
следует, что рябота кулоновской силы не зависит от формы
траектории точки приложения силы и при замкнутой тра-
траектории (в этом случае г2=г1) всегда равна нулю.
Поля, работа сил которых удовлетворяет этим призна-
признакам, называются потенциальными полями. Иными словами,
потенциальными являются поля консервативных сил. К
потенциальным относятся электростатическое поле, по-
поле тяготения, так называемое стационарное электричес-
электрическое поле.
В правой части выражения A9.9) содержится разность
двух величин, являющихся функциями состояния рассмат-
рассматриваемой системы зарядов. Для данной системы зарядов Q
и q, находящихся в данной среде, эти величины зависят
только от взаимного расположения зарядов. В связи с этим
величину
называют потенциальной энергией электростатического
(или кулоновского) взаимодействия двух зарядов (или потен-
потенциальной энергией одного из зарядов в электростатичес-
электростатическом поле другого).
Аналогично тому, как потенциальная энергия гравита-
гравитационного взаимодействия, определяемая выражением E.34),
зависит от гравитационных свойств взаимодействующих
тел (эти свойства характеризуются массами тел), потенци-
потенциальная энергия электростатического взаимодействия за-
зависит от электрических евойств (от зарядов Q и q) взаимо-
взаимодействующих заряженных частиц или тел. При бесконечно
325

большом расстоянии между телами (г=оо) потенциальные
энергии обоих типов взаимодействия удобно считать рав-
равными нулю (что соответствует отсутствию взаимодействия
между телами). Различия можно усмотреть в том, что по-
потенциальная энергия кулоновского взаимодействия за-
зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие
заряженные частицы или тела, а потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия от среды не зависит.
Кроме того, если потенциальные энергии сбоих типов
взаимодействия при расположении взаимодействующих тел
или частиц на бесконечно большом расстоянии приняты
за нуль, то для конечных расстояний между телами по-
потенциальная энергия гравитационного взаимодействия мо-
может быть только отрицательной (что соответствует притя-
притяжению тел), а потенциальная энергия электростатического
взаимодействия может быть и отрицательной (при Qq<CQ,
что соответствует силам притяжения между разноименными
зарядами), и положительной (при Qq>0, что соответствует
отталкиванию одноименных зарядов).
С учетом A9.10) формула A9.9) может быть представ-
представлена в виде
Л12 = Wnl- Wm = - (Wn2- Wnl), A9.11)
или
A9.12)
т. е. работа, совершаемая кулоновской силой (или элект-
электростатическим полем) при перемещении заряда из одной
точки поля в другую, равна взятому с обратным знаком
изменению потенциальной энергии этого заряда в электро-
электростатическом поле заданного источника
Мы получили формулы A9.11) и A9.12) в предположе-
предположении* что заряд q перемещается в электростатическом поле
точечного электрического заряда Q. Такая же связь работы
кулоновской силы с изменением потенциальной энергии-
перемещающейся заряженной частицы или заряженного
тела оказывается справедливой для электростатических
полей любых других источников (системы точечных заря-
заряженных частиц, заряженного тела конечных размеров,
системы заряженных тел и т. д.).
Сравнение A9.12) с E.26) и E.36) говорит о едином под-
подходе к расчету работы консервативных сил различной
природы.
Потенциал и разность потенциалов. Физическая вели-
величина, определяемая отношением потенциальной энергии
326

Wn точечного заряда qy находящегося в какой-то точке
электростатического поля, к заряду q, называется потен-
циалом этой точки поля (ф):
w
Ч=~- A9.13)
Потенциал является энергетической характеристикой поля
в данной точке и не зависит от электрического заряда
частиц, помещаемых в эту точку поля. Точка поля харак-
характеризуется потенциалом и в том случае, если в ней никакие
заряды не находятся. Но для измерения потенциала в
данную точку поля придется, конечно, поместить так назы-
называемый пробный заряд. При ©том предполагается, что
пробный заряд не искажает того поля, которое с его по-
помощью исследуется.
Если потенциал ср точки поля известен и в- эту точку
помещен заряд q, то потенциальная энергия заряда в
данном электростатическом поле, может быть определе-
определена как
Гп = ?ф. A9.14)
Зная потенциалы (pt и ф2 каких-то двух точек поля,
легко определить работу, совершаемую кулоновской силой
при перемещении заряда q из точки / в точку 2. В самом
деле, на основании A9.11) и A9.14) имеем
q>i), A9.15)
или
Л12=-?Дф21. A9.16)
Обратим внимание на то, что во всех формулах мы
использовали буквенное обозначение работы кулоновской
силы с цифровым индексом, указывающим, из какой точки
и в какую перемещается заряженная частица. Цифровой
индекс мы сохранили и у второго сомножителя в правой
части последней формулы. Несмотря на громоздкость,
такие обозначения оказываются все же оправданными,
так как помогают предотвратить встречающиеся при реше-
решении зацач ошибки. Дело в том, что в задачах электроста-
электростатики наряду с работой кулоновских сил очень часто фигу-
фигурирует работа каких-то внешних сил. Знаки этих работ
зависят не только от направления перемещения заряжен-
заряженной частицы или тела, но и от знака заряда. Кроме того,
потенциалы некоторых точек поля могут быть положитель-
327

ньми, а потенциалы других точек — отрицательными (это -
зависит от места расположения той или иной точки в поле
заданных источников, от расположения самих источников
поля и от знаков электрических зарядов этих источников).
Поэтому весьма желательно, чтобы уравнения и формулы
отражали картину явления во всех подробностях и не-
ненуждались в дополнительных словесных пояснениях.
Из A9Л5) или A9.16) получают энергетическую харак-
характеристику, относящуюся к любым двум точкам электро-
электростатического поля,— разность потенциалов:
ф2-ф1=Дф21 = -^. A9.17)
Разность потенциалов между точками 2 я 1 определяется
взятым с обратным знаком отношением работы, соверша-
совершаемой кулоновской силой при перемещении положительного
электрического заряда q из точки 1 в точку 2, к заряду q.
Введенная таким образом разность потенциалов уже не
зависит от заряда q.
Единицы измерения потенциала и разности потенциа-
потенциалов могут быть установлены в соответствии с формулами
A9.13) и A9.17). В СИ единицей измерения потенциала и
разности потенциалов служит вольт (новое обозна-
обозначение — В). В согласии с A9.13) и A9.17) вольт может быть
выражен через джоуль и кулан:
1 р -1 Дж
1 D ~ 1 Кл '
но следует иметь в виду, что в СИ принято вводить вольт
как разность потенциалов на концах участка электриче-
электрической цепи, по которому протекает единичный ток A А),
развивая мощность, равную единице мощности A Вт):
1 Вт
1 В=-
1 А
В систехме СГСЭ Wn и Л12 измеряются в эргах, a q
в абсолютных электростатических единицах заряда
следовательно,
1 ртт ГГГ'З
Поскольку
1 Дж=10' эрг, а 1 Кл=3-109 ед. СГСЭ?,
328

то
1 1 = 880 ед
На основании A9.13) и A9.10) легко получить формулу
для определения потенциала в точке, находящейся на рас-
расстоянии г от точечного источника поля с зарядом Q, при
условии, что поле распределено в однородной среде с от-
относительной диэлектрической проницаемостью е:
*=? <19Л8>
В системе СГСЭ потенциал той же точки равен
Ф = |г. A9Л9)
Из этих формул видно, что потенциал точки, удаленной от
точечного источника поля на бесконечно большое рас-
расстояние, удобно считать равным нулю (q>=0 при г=оо).
Кроме того, из этих формул сле-
следует, что точки, равноудаленные от
точечного источника поля, будут
иметь одинаковые потенциалы.
Иными словами, совокупность то-
точек равных потенциалов образует
сферическую поверхность с цент-
центром, совпадающим с точечным
источником поля.
Таким образом, эквипотенциаль-
эквипотенциальные поверхности в случае точечно-
точечного источника электростатического
поля имеют сферическую форму, а силовые линии, на-
направленные в этом случае радиалвно, в любой точке по-
поля перпендикулярны к элементу эквипотенциальной гго-
верхности.
Взаимная перпендикулярность силовых линий и экви-
эквипотенциальных поверхностей имеет место для электроста-
электростатических полей любых источников.
Связь между напряженностью электростатического поля
и разностью потенциалов. Эту связь можно получить, рас-
рассматривая работу кулоновской силы при перемещении
точечного электрического заряда в электростатическом
поле. Пусть заряд q перемещается на Ди из точки 1 в точку 2,
причем точки настолько близки одна к другой, что поле
329

в пределах расстояния между ними можно считать однород-
однородным (рис. 19.5), т. е. угол а между векторами Е и Аг при
перемещении заряда остается постоянным.
Кулоновская сила, действующая на заряд, равна
F=</E,
а работу этой силы можно представить как
Л12=/7Ar.cosa=qE Аг
где Ег — проекция вектора напряженности поля на направ-
направление перемещения заряда. Если потенциалы точек 1 и 2
равны соответственно фх и ф2, то ту же самую работу ку-
лоновской силы можно выразить в согласии с A9.16):
Из равенства
qErAr=
и получаем интересующую нас связь:
Следует заметить, что единицу измерения напряженно-
напряженности электростатического поля в СИ (В/м) принято вводить
в соответствии с выражением A9.20), а не по формуле A9.4).
Для доказательства перпендикулярности силовых линий
к эквипотенциальной поверхности можно рассмотреть пере-
перемещение Аг электрического заряда q между двумя произ-
произвольными, но очень близкими точками A и 2) эквипотенци-
эквипотенциальной поверхности. Работа кулоновской силы в этом случае
снова может быть выражена либо как
A12~qE Arcosa,
либо как
При условии, что Дф12=0 (так как точки 1 и 2 принадлежат
эквипотенциальной поверхности), но ^0, ЕФО и АгфО,
из равенства
qE Ar cos a=q Аф12
следует, что cosa=0, или а=я/2 радиан. Это и означает,
что в любой точке электростатического поля вектор на-
напряженности перпендикулярен к элементу эквипотенци-
эквипотенциальной поверхности.
330

§ 20. ВЕЩЕСТВО В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
20.1. Металлические проводники
в электростатическом поле
В отсутствие внешнего электрического поля вещество
незаряженного проводника (на котором отсутствуют избы-
избыточные электрические заряды) электрически нейтрально
и электронный газ равномерно распределен по его объему.
Влияние внешнего поля сводится к перераспределению
электронов по объему проводника. Это связано с тем,' что
внешнее поле, действуя кулоновскими силами на элект-
электроны, сдвигает их. В течение очень короткого промежутка
времени сразу после внесения проводника в поле на хао-
хаотическое тепловое*- движение электронов накладывается
упорядоченное движение, они перемещаются в направ-
направлении, противоположном направлению вектора напряжен-
напряженности внешнего поля. Это перемещение очень быстро пре-
прекращается. В проводнике наводится внутреннее электри-
электрическое поле перераспределенных электронов, причем из-за
большого количества свободных электронов и из-за их
хорошей подвижности оно усиливается по напряженности
до тех пор, пока не скомпенсирует внешнее поле.
Когда напряженность -суммарного поля внутри объема
проводника станет равной нулю, перераспределение элект-
электронов прекратится. Электроны снова оказываются в ста-
статическом равновесии. При этом направление силовых
линий электростатического поля вблизи поверхности про-
проводника может быть только перпендикулярным к ней. Если
бы имелись составляющие напряженности, касательные к
поверхности проводника, то это вызывало бы перемещение
электронов по поверхности, что противоречило бы стати-
статическому равновесию электронов, наблюдаемому на опыте.
Таким образом, при статическом равновесии перераспре-
перераспределенных под действием внешнего поля электронов поверх-
поверхность проводника оказывается эквипотенциальной (так
же как и при статическом равновесии избыточных элект-
электрических зарядов на проводнике). Более того, эквипотен-
эквипотенциальным будет и весь объем проводника, так как если
бы это не выполнялось, сохранялись бы условия для про-
продолжения перераспределения электронов по объему про-
проводника.
Обратим внимание на эту важную особенность метал-
металлических проводников: избыточные электроны, сообщенные
331

проводнику; и электроны, перераспределенные под дейст-
действием внешнего поля, могут располагаться только на по-
поверхности проводника!
Если проводник заряжен избыточными зарядами, то
внутри его объема имеются поля всех этих зарядов, но
суммарная напряженность всех этих полей в любой точке
внутри проводника равна нулю. Если проводник нахо-
находится во внешнем поле, то внутри его объема имеются
два поля: внешнее и поле перераспределенных электронов.
И в этом случае напряженность суммарного поля в любой
точке внутри объема проводника оказывается равной нулю.
При равенстве нулю напряженности суммарного поля
в любой точке внутри проводника потенциалы в этих
точках не всегда целесообразно принимать равными нулю.
Эту ситуацию можно пояснить, вернувшись снова к задаче,
рассмотренной на стр. 319, 320. В точке М имеются ноля
двух зарядов. Напряженность в этой точке оказывается
равной^ нулю вследствие суперпозиции двух полей. Не-
Несмотря на равенство нулю суммарной напряженности,
потенциал в точке М нулю не равен (при условии, что
нуль отсчета потенциалов выбран на бесконечно большом
расстоянии от зарядов). Значение эюго потенциала можно
найти, воспользовавшись формулой A9.18):
Задача. Два металлических шарика с радиусами гг и г2 (для опре-
определенности будем считать, что г2>г1) заряжены одноименными и равными
зарядами q Шарики находятся друг от друга на расстоянии, значитель-
значительно превышающем радиусы гг и г2. Будет ли происходить лерераспределе-
ние электронов между шариками, если шарики соединить проволокой^
Два шарика, соединенные проволокой, будут представлять собою
один проводник. Перераспределение электронов в проводнике может
происходить в тех случаях, когда потенциалы в различных его точках
неодинаковы. Электроны будут перемещаться от точек с меньшим по-
потенциалом в точки с большим потенциалом, стремясь занять наиболее
устойчивые положения, которым соответствует минимальное значение
потенциальной энергии. Остается выяснить, равны ли потенциалы в
раз-личных точках проводника, сое оящего из двух шариков и соединяю-
соединяющей их проволоки.
Можно показать, что потенциал чуединенного проводящего шара ра-
радиуса /*, несущего на себе электрический заряд q и находящегося в среде
с относительной диэлектрической проницаемостью 8, при условии, что
нуль отсчета потенциала-выбран в точке^ бесконечно удаленной от шара3
в СИ равен
332

Судя по условию задачи, рассматриваемые шарики находятся в ва-
вакууме. Поэтому их потенциалы (до соединения проволокой) мождо опре-
определить по формулам
__ д __ д
Так как радиусы шариков неодинаковы, то и потенциалы фх и <р2 не
равны.
При решении вопроса о том, какой из этих потенциалов ббльше,
нужно учесть знаки зарядов шариков (так как знак потенциала провод-
проводника зависит от знака заряда этого проводника). Если заряды на шари-
шариках положительны (#>0), то при г2>гг будет cpi>q>2, т. е. электроны бу-
будут перетекать с большего шарика на меньший. Если же заряды на ша-
шариках отрицательны (<7<0), то <Pi<<p2 и электроны будут перетекать с
меньшего шарика на больший.
Перераспределение электронов в обоих случаях закончится, когда
потенциалы шариков сравняются.
Часто, имея в виду движение электрических зарядов, пользуются
представлением о так называемом техническом направлении электриче-
электрического тока (см. § 22). Если говорить о техническом направлении кратко-
кратковременного тока, соответствующего перераспределению электронов в
двух рассмотренных случаях, то он будет направлен от меньшего шарика
к большему в первом случае и от большего к меньшему — во втором.
Электрическая емкость. Важной характеристикой про-
проводников является их электрическая емкость >С (электро-
(электроемкость или просто емкость) — физическая величина,
равная отношению заряда проводника q к потенциалу ср,
который имеет проводник при наличии на нем этого заряда:
С = А. ^ B0.1)
В СИ единицей емкости является фарадах
1Ф=1Кл/1В.
Учитывая эту связь между фарадой, кулоном и вольтом,
можно преобразовать размерность электрической постоян-
постоянной 8о в СИ:
_ /Кл \ Кл ^ Кл = Ф
Джу м Вм м
Н-м^~~ Дж- м \Джу м В-м м
Обычно электрическую постоянную и приводят в этой
размерности:
ео=-8,85.1О-12Ф/м.
Единица емкости в системе СГСЭ имеет размерность
сантиметра:
333

а если учесть, что 1 Кл=3-109 ед. СГСЭ? и 1 В=1/300 ед.
СГСЭФ, то
Емкость уединенного проводника зависит от формы и
размеров его поверхности, так как заряды на проводнике
распределяются только по поверхности и «не обращают
внимания» на вещество проводника или на наличие в нем
пустот, каких-либо инородных включений и т. д.
Кроме того, емкость зависит от диэлектрической про-
проницаемости среды, в которой находится проводник.
Потенциал проводника, обладающего одним и тем же
зарядом q> зависит от наличия и расположения окружаю-
окружающих его тел. Это связано с тем, что в присутствии каких-то
тел может произойти перераспределение заряда q на дан-
данном проводнике. Из-за явления электростатической ин-
индукции на окружающих телах также произойдет перерас-
перераспределение электрических зарядов. Все это приведет к
тому, что электростатическое поле вблизи данного провод-
проводника при наличии окружающих тел будет отличаться от
поля уединенного проводника. Изменятся напряженности
и потенциалы во всех точках вокруг проводника, изме-
изменится и потенциал самого проводника. Поэтому и емкость
данного проводника зависит от присутствия и расположе-
расположения окружающих тел.
Не следует думать, что емкость проводника зависит от
того, кадим зарядом q он обладает. Емкость данного про-
проводника при данном расположении окружающих тел по-
постоянна, так как чем больший заряд сообщается провод-
проводнику, тем большим будет и потенциал проводника. Про-
Проводник характеризуется электрической емкостью и в том
случае, если он вовсе не заряжен.
Поскольку потенциал уединенного сферического про-
проводника, имеющего радиус г и электрический заряд q,
в" СИ определяется формулой
т 4пг0ег
(при выборе нуля отсчета потенциала в бесконечно удален-
удаленной от проводника точке и при расположении проводника
в однородной среде с относительной диэлектрической про-
334

ницаемостью е), то с учетом B0.1) емкость этого провод-
проводника будет равна
С==4я808Г. B0.2)
В системе СГСЭ емкость того же проводника равна
С=ег. B0.3)
Эти формулы иллюстрируют тот факт, что емкость уеди-
уединенного сферического проводника зависит только от его
размеров и от среды, в которой он находится.
20.2. Диэлектрики в электростатическом поле
Как уже отмечалось, моделью молекулы или атома
диэлектрика может служить диполь — система двух раз-
разноименных, но равных по абсолютному значению элект-
электрических зарядов. Такая модель используется при опи-
описании поведения так называемых полярных диэлектриков,
молекулы и атомы которых даже при отсутствии внешнего
электростатического поля могут быть представлены в виде
диполей. Диполи в этих условиях ориентированы хао-
хаотично и суммарный электрический заряд любого макро-
макроскопического элемента объема диэлектрика равен нулю.
Молекулы и атомы другого класса диэлектриков —
неполярных диэлектриков — столь симметричны, что поло-
положительные и отрицательные заряды не представляется
возможным считать пространственно разделенными (го-
(говорят, что центры распределения или расположения раз-
разноименных, но равных по абсолютному значению элект-
электрических зарядов совпадают). Таким образом, в отсутствие
внешнего электростатического поля атомы или молекулы
неполярного диэлектрика считаются электрически нейтраль-
нейтральными частицами, не моделируемыми диполями.
Иная картина будет иметь место при внесении диэлект-
диэлектриков во внешнее электростатическое поле. Диполи по-
полярных диэлектриков под воздействием сил поля будут
поворачиваться, стремясь расположиться вдоль силовых
линий поля, и, кроме того, диполи будут растягиваться
(расстояние между зарядами диполя будет увеличиваться).
Молекулы или атомы неполярных диэлектриков под воз-
воздействием внешнего поля деформируются, центры распре-
распределения разноименных зарядов уже не будут совпадать.
Говорят, что в неполярном диэлектрике наводятся или
индуцируются диполи, ориентированные вдоль силовых
линий поля.
335

, В этом и состоит механизм поляризации диэлектриков
во внешнем электростатическом поле. На участках поверх-
поверхности диэлектрика, не параллельных вектору напряжен-
напряженности внешнего поля, в результате поляризации обнаружи-
обнаруживаются некомпенсированные электрические заряды (так
называемые поляризационные заряды). Вектор напряжен-
напряженности поля поляризационных зарядов внутри объема од-
однородного диэлектрика направлен противоположно век-
вектору напряженности внешнего поля. Таким образом, в
пределах объема поляризованного диэлектрика напряжен-
напряженность суммарного поля уменьшается. Полной компенсации
внешнего поля и поля поляризационных зарядов никогда
не наступает (в отличие от случая наложения внешнего
поля и иоля электрических зарядов, перераспределяемых
в проводнике).
Относительная диэлектрическая проницаемость веще-
вещества е, как уже отмечалось, и является мерой ослабления
напряженности поля внутри объема данного однородного
диэлектрика по сравнению с напряженностью поля тех же
источников в той же точке пространства в вакууме.
20.3. Конденсаторы
Очень часто бывает необходимо, чтобы какой-то про-
проводник обладал большим электрическим зарядом. При
этом мы ограничены в возможности иметь дело с большими
потенциалами заряженных проводников или с большими
разностями потенциалов, так как при больших напряжен-
ностях электростатических полей, которые при этом воз-
возникают, даже в диэлектриках может начаться упорядочен-
упорядоченное движение заряженных частиц (имеет место так назы-
называемый пробой диэлектрика). Но повлиять на потенциал
и емкость данного проводника можно за счет изменения
расположения окружающих его тел. Например, при при-
приближении к проводнику тел, соединенных с Землей (за-
(заземленных тел), абсолютное значение его потенциала всегда
уменьшается, емкость возрастает, и на проводник могут
подаваться дополнительны^ электрические заряды при
сохранении потенциала проводника не выше допустимого
предела.
Потенциал проводящего тела, связанного с Землей,
равен потенциалу земного шара и практически неизменен.
Это объясняется очень большой электрической емкостью
земного шара. Изменение электрического заряда земногд
336

шара в результате различных процессов, протекающих на
нем, не приводит к ощутимым изменениям его потенциала.
Ну, а поскольку нуль отсчета потенциала может выби-
выбираться произвольно, во многих задачах бывает удобно
приписать нулевое значение потенциала не бесконечно уда-
удаленным точкам, а проводнику, потенциал которого с до-
достаточной для практики степенью точности мажет считаться
постоянным, т. е. заземленному проводнику.
Уменьшение потенциала проводника при приближении
к нему другого, заземленного проводника можно пояснить
на следующем примере. Путь на некотором расстоянии d
от заряженной металлической пластинки п ^
1 находится такая же заземленная пла-
пластинка 2 с противоположным по знаку за-
зарядом (рис. 20.1). Как изменится потен-
потенциал пластинки i, если расстояние между L [„
пластинками ^удет уменьшено до d">
Обозначим потенциал пластинки 1 в
первом случае через фь а во втором —
через ф^.
Если распределение электрических за- U—</
рядов на пластинках равномерно и неиз-
неизменно, а размеры пластинок во много раз Рис> 0Л'
превышают расстояние между ними, то
электростатическое поле между пластинками однородно,
причем его напряженность Е не изменяется при изме-
нениц зазора между пластинками (см. задачу на стр, 339),
В согласии с A9.20) можем написать для этих двух слу-
случаев:
Т?1 ^ > 77 if
Если потенциал заземленной пластинки принять равным
нулю (фа=0), то
Поскольку d'<Cd, потенциал пластинки / во втором случае
будет меньше, чем в первом (qv<<Pi).
Этот факт влияния на электрические характеристики
проводника и используется в конденсаторе, который пред-
представляет собой систему двух близко расположенных про-
проводников (обкладок), имеющих разноименные, но равные
по абсолютному значению заряды (qw —q). Электростатиче-
Электростатическое поле конденсатора сосредоточено в зазоре между его
абкладками. Одну из обкладок очень часто заземляют, что
337

дает возможность ее неизменный потенциал принять для
простоты расчетов равным нулю. Для более значительного
влияния на потенциал незаземленной обкладки простран-
пространство между обкладками конденсатора заполняется диэлект-
диэлектриком.
Можно считать, что обкладки конденсатора оказываются
заряженными в результате перенесения какого-то количе-
количества электронов с одной из них на другую. В результате
этого обкладки будут характеризоваться зарядами ±q
и между ними установится какая-то разность потенциалов
Ф1—Ф2-
Электрической емкостью конденсатора (С) называется
физическая величина, определяемая отношением
Если одна из обкладок конденсатора заземлена (например,
Ф2=0), то емкость конденсатора будет определяться от-
отношением заряда его незаземленной обкладки к ее потен-
потенциалу:
' С-А. B0.5)
К такому же результату можно прийти, если не заземлять
одну из обкладок конденсатора, а отодвинуть ее на беско-
бесконечно большое расстояние от другой. Сравнивая B0.5)
и B0.1), заключаем, что емкость данного уединенного
проводника является, по сути дела, емкостью системы,
состоящей по крайней мере из двух проводников, когда
один из проводников (потенциал которого мы условно
считаем равным нулю) находится на бесконечно большом
расстоянии от данного.
По форме обкладок конденсаторы бывают различными
(плоскими, цилиндрическими, сферическими и др.), но
если расстояние между обкладками много меньше размеров
самих обкладок, их емкость может быть рассчитана по
формуле плоского конденсатора, которая в СИ имеет вид
^р B0 6)
где S — площадь проекции одной обкладки конденсатора
на другую («перекрываемая» площадь), d — расстояние
между обкладками, 8 — относительная диэлектрическая
проницаемость вещества, заполняющего зазор между об-
338

кладками. В системе СГСЭ формула емкости плоского
конденсатора имеет вид
<20-7>
Обратно пропорциональную зависимость емкости пло-
плоского конденсатора от зазора d можно пояснить примером,
рассмотренным на стр. 337 (см. рис. 20.1): при уменьшении
зазора конденсатора уменьшается разность потенциалов
между обкладками, а значит, в согласии с B0.4) увеличи-
увеличивается его емкость. Чем большей будет относительная
диэлектрическая проницаемость е вещества между обклад-
обкладками, тем сильнее это вещество ослабит напряженность
поля между обкладками, тем меньшей будет разность по-
потенциалов между ними, что, снова в согласии с B0.4),
приведет к возрастанию емкости. Уменьшение «перекрыва-
«перекрываемой» площади обкладок S (например, при сдвиге одной
обкладки параллельно другой) приводит к перераспреде-
перераспределению зарядов на обкладках, к уменьшению их взаимного
влияния, что вызывает возрастание разности потенциалов
между ними и уменьшение емкости конденсатора.
Заметим, что емкость плоского конденсатора не зависит
от зарядов его обкладок. Пропорционально изменению этих
зарядов будет изменяться разность потенциалов между
обкладками, так что при неизменных прочих условиях
в соответствии с B0.4) емкость конденсатора останется
прежней.
Таким образом, емкость плоского конденсатора зависит
лишь от его «геометрии» E и d) и от того, каким диэлектри-
диэлектриком заполнено пространство между обкладками (е).
Задача. Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику,
обеспечивающему на его обкладках постоянную разность потенциалов
Ф1— ф2= const Будет ли изменяться напряженность поля в зазоре кон-
конденсатора, если раздвигать его обкладки? Дать ответ на такой же во-
вопрос, если перед раздвижением обкладки отключаются от источника.
Считать в обоих случаях, что раздвижение обкладок не нарушает одно-
однородности поля в зазоре между ними.
В первом случае независимо от ширины зазора d разность потенциа-
потенциалов между обкладками конденсатора остается неизменной. Ее задает
источник, заряжающий конденсатор. Поэтому в соответствии с формулой
A9 20) заключаем, что напряженность поля в зазоре конденсатора умень-
уменьшится (фх— ф2= const, a d увеличивается)
Отметим кстати, что емкость конденсатора при этом будет умень-
уменьшаться в согласии с формулами B0.6) или B0.7). Абсолютные значения
зарядов на его обкладках в этом случае также будут уменьшаться
(в формуле B0 4) при уменьшении С остается неизменной разность потен-
потенциалов фх— ф2) Внешние силы, которые раздвигают пластины конден-
339

сатора (сами по себе обкладки конденсатора всегда притягиваются одна
к другой из-за наведения по индукции на их внутренних сторонах разно-
разноименных зарядов), будут сгонять с них часть носителей зарядов в ис-
источник.
Заряды на обкладках конденсатора при увеличении зазора d во вто-
втором случае изменяться не могут (их носителям некуда стекать, и число их
не пополняется извне). Емкость конденсатора и в этом случае умень-
уменьшается из-за увеличения зазора (см. формулу B0.6) или B0.7)), причем
ее изменение обратно пропорционально изменению d. При неизменных
зарядах на обкладках (<7=?onst) и при уменьшении емкости будет воз-
возрастать разность потенциалов (pt— ф2 между ними в соответствии с фор-
формулой B0 4). Ее увеличение будет пропорционально увеличению рас-
расстояния d. Тогда числитель и знаменатель формулы A9.20) будут уве-
увеличиваться в одинаковое число раз, а это говорит о том, что напряжен-
напряженность поля между раздвигаемыми обкладками конденсатора во втором
случае не будет изменяться.
При выводе формулы для расчета емкости параллельно
соединенных конденсаторов
Спшр = Сг + С% + ... B0.8)
учитывается тот факт, что разности потенциалов между
обкладками любого из них одинаковы, а суммарный заряд
всех одноименных обкладок равен сумме зарядов каждой
из них. Параллельное соединение нескольких конденса-
конденсаторов равносильно увеличению площади обкладок одного
из конденсаторов.
Формула для расчета, общей, емкости последовательно
соединенных конденсаторов
1 + + B09>
получается при учете равенства абсолютных значений за-
зарядов на любой из обкладок (из-за электростатической ин-
индукции заряды на обкладках конденсатора всегда разно-
именны, но равны по абсолютному значению). При этом
общая разность потенциалов между крайними обкладками
группы конденсаторов равна сумме разностей потенциалов
между обкладками каждого из них. Последовательное сое-
соединение нескольких конденсаторов эквивалентно увеличе-
увеличению зазора между обкладками одного конденсатора.
Задача. Имеется плоский конденсатор, расстояние между обкладками
которого <i=6,0 мм. В зазор конденсатора параллельна его обкладкам
вводят стеклянную пластинку (е=-5) толщиной dx=2,Q мм и металличе-
металлическую плаетинку толщиной dpr=2>0 мм (рис 20.2, а и б). Во сколько раз
при этом, изменится емкость конденсатора?
Обозначим емкость конденсатора в первом случае через С*, а во
втором — через С2.
340

Поскольку зазор конденсатора в первом случае, видимо, заполнен
воздухом, относительная диэлектрическая проницаемость которого
очень близка к единице, в соответствии с B0.6) имеем
C^BoS/d, (а)
где 5 — площадь обкладки конденсатора
Во втором случае можно считать, что конденсатор состоит из двух
последовательно соединенных конденсаторов (рис 20.2, в): «воздушного»
с зазором, равным d — йг— d2 (обозначим емкость этого конденсатора
через С'), и конденсатора, заполненного стеклом (пусть его емкость рав-
равна С"). Так можно поступить потому, что металлическая пластинка экра-
экранирует зазор, равный ее толщине d2y от электростатического поля.
(Нельзя считать, что второй случай эквивалентен системе трех последо-
последовательно соединенных конденсаторов1 Верхняя и нижняя стороны ме-
металлической пластинки могут нести на себе индуцированные заряды,
Т"
| ^—Т Г—
а) „ S) в)
Рис. 20.2.
но между ними напряженность суммарного электростатического поля
равна нулю, что не позволяет рассматривать заряженные стороны пла-
пластинки как обкладки третьего конденсатора )
На основании B0.9) для второго случая можно написать
откуда
С1 С"
с
Емкости С и С" выразим по формуле B0.6)*
С'= . У . , С'=г-^. (в)
d—dx — d2 dx v 7
Подставив (в) в (б) и выполнив несложные преобразования, получим
^(d^ + d-d^d- {Г)
Теперь для тогр, 'чтобы ответить на вопрос2 предложенный в задаче2
остается сравнить выражения (г) и (а):
341

Видно, что результат будет безразмерным, и при его подсчете зна-
значения величин dt dx и d2 можно подставлять в миллиметрах:
С2 М
Q —B,0/5) +6,0 — 2,0- 2,0 '
Анализируя выражение (д), заключаем, что внесение в зазор дан-
данного конденсатора как проводящей, так и диэлектрической пластинок
приводит к увеличению емкости конденсатора Внесение проводящей
пластинки эквивалентно уменьшению зазора конденсатора на толщину
этой пластинки.
§21. КАКИЕ ЗАДАЧИ РЕШАЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИКА?
Основной задачей электростатики является определение
вектора напряженности Е поля данной совокупности не-
неподвижных (в какой-то инерциальной системе отсчета)
точечных зарядов или заряженных тел в любой точке
пространства. Если вектор напряженности известен, то без
труда решается вопрос о возможности или невозможности
равновесия заряженной частицы в данной точке поля.
Анализ найденных неуравновешенных сил воздействия на
частицу позволяет решать уже чисто механическую задачу
о выходе частицы из состояния равновесия: с каким ус-
ускорением, в какую сторону будет двигаться частица и т. д.
Таким образом, электростатика является и введением в
электродинамику, занимающуюся изучением взаимодействий
и различных свойств движущихся заряженных частиц
и тел.
Кулоновские силы подчиняются принципу независимо-
независимости действия, что позволяет находить результирующую
нескольких кулоновских сил по правилам геометрического
сложения векторов.
Особенно много общего между кулоновскими силами и
силами гравитационного взаимодействия: эти силы цент-
центральны и изменяются обратно пропорционально квадрату
расстояния между центрами взаимодействующих тел. Элект-
Электростатические и гравитационные поля потенциальны. Они
обладают общей замечательной особенностью: работа по
перемещению частиц или тел между любыми двумя точками
этих полей не зависит от формы траектории и определяется
лишь координатами этих точек. Работа кулоновских сил
при перемещении любого заряда по замкнутой траектории,
так же как и работа гравитационных сил при перемещении
любого тела по замкнутой траектории, всегда равна нулю»
342

Электростатические явления добавляют к уже извест-
известным законам сохранения еще один — закон сохранения
электрических зарядов.
Энергетическая характеристика точки или точек элект-
электростатического поля (потенциал или разность потенциалов)
сильно упрощает расчеты из-за того, что она является не
векторной, как напряженность, а скалярной величиной.
Если в данной точке имеется поле нескольких источников,
то потенциалы в этой точке суммируются алгебраически,
а не геометрически. Такое сложение — задача более про-
простая, чем сложение векторов. Поскольку разность потен-
потенциалов находится в связи с напряженностью поля (см. фор-
формулу A9.20)), известные энергетические характеристики
поля позволяют решать все те задачи, которые решаются
с помощью силовых характеристик.
Не нужно думать, что введение и использование поня-
понятий потенциала и разности потенциалов связано только
с упрощениями расчетного порядка. Это, так сказать,
техническая, второстепенная сторона дела. Причина ши-
широкого использования энергетического подхода в любом
разделе физики связана с всеобщностью закона сохранения
и превращения энергии. Этот закон не подводит нас ни-
никогда. Поэтому наряду с другими характеристиками,
учитывающими детали процессов и явлений, мы всегда
вводим энергетические, являющиеся наиболее общими.
В электростатике учитывается потенциальная энергия
кулоновского взаимодействия заряженных частиц и тел.
Поскольку кулоновское взаимодействие осуществляется
электростатическим полем, мы говорим не только об энер-
энергии взаимодействующих частиц и тел, но и об энергии элект-
электростатического поля. Поле, распределенное в пространстве
вокруг источников, характеризуется энергией: оно, напри-
например, может совершать работу по перемещению заряженных
частиц или тел; для того чтобы увеличить энергию поля дан-
данного проводника, приходится подводить энергию извне,
и т. д.
После того как вскрыты причины и закономерности
электростатических взаимодействий объектов и введены их
силовые и энергетические характеристики, решение электро-
электростатических задач проводится по тем же схемам, что и в
механике взаимодействующих материальных точек и тел.

ГЛАВА VI
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
§ 22. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК — УПОРЯДОЧЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ИЛИ ТЕЛ
22.1. Условия возникновения и поддержания
электрического тока
Электрическим током называется процесс упорядочен-
упорядоченного движения любых носителей электрических зарядов.
Если в какой-то среде упорядоченно перемещаются мик-
микроскопические заряженные частицы (электроны, ионы и
т. д.), то говорят о токе проводимости. Если же в про-
пространстве упорядоченно перемещаются заряженные мак-
макроскопические частицы или тела, то такие токи называют
конвекционными. Летящий в воздухе заряженный шарик
из проводящего или диэлектрического вещества, движение
ткани,, наэлектризованной в реаультате набивки на ней
рисунка, и т. п.— примеры конвекционных токов. В эле-
элементарном курсе физики конвекционные токи обычно не
рассматриваются, но на практике с ними приходится
иметь дело довольна часто.
Электрический ток возникает только при наличии под-
подвижных носителей электрических зарядов. Ток проводи-
проводимости в каком-то веществе обеспечивается,подвижными (или
свободными, как их часто называют) заряженными ча-
частицами, которые могут перемещаться на расстояния, во
много раз превышающие размеры атомов или молекул
вещества или много большие расстояний между соседними
частицами в узлах кристаллической решетки вещества.
Диполи диэлектриков или положительные ионы кристал-
кристаллической решетки металлов такой способностью не обла-
обладают. И если проводящими средами, в которых электриче-
электрический ток может существовать, являются металлы, элект-
электролиты, газы, полупроводники и вакуум, то в них мы
344

непременно находим те или иные свободные заряженные
частицы.
Кроме подвижных заряженных частиц для возникнове-
возникновения и поддержания электрического тока нужны еще какие-
то причины, вызывающие упорядоченное движение носи-
носителей тока. Дело в том, что если, например, в вакууме
мы хотим обеспечить упорядоченное движение электронов,
которые бы двигались не хаотически, а в заданном направ-
направлении, то этим электронам хотя бы в начале процесса их
движения нужно сообщить скорость в определенном на-
направлении. Если дальше на пути движения электронов
не встретится никаких препятствий, электроны будут дви-
двигаться инерциально с этой начальной скоростью.
В веществе заряженным частицам упорядоченно, в од-
одном направлении, двигаться труднее. Например, элект-
электроны, обеспечивающие электрический ток в металлическом
проводнике, могут сталкиваться с ионами кристаллической
решетки, взаимодействие между ионами электролита при-
приводит к силам «трения» между ними, упорядоченному
движению заряженных частиц в газе мешают столкновения
с другими заряженными или нейтральными частицами
газа и т. д. Чтобы все эти помехи не прекратили упорядо-
упорядоченного, дрейфового движения заряженных частиц, оно
должно поддерживаться какими-то внешними причинами.
Мы уже отмечали, что незакрепленная заряженная ча-
частица под воздействием электрического поля может дви-
двигаться только ускоренно (см. стр. 317). На заряженную
частицу, движущуюся внутри проводящего вещества, дей-
действует сила сопротивления, пропорциональная скорости
частицы и направленная противоположно этой скорости.
Значит, если нам удастся каким-то способом обеспечить
электрическое поле внутри проводника, носители тока
будут упорядоченно перемещаться под, воздействием этого
поля, причем их средняя скорость может быть как пере-
переменной, так и постоянной.
В задаче на стр. 332 мы уже столкнулись с фактом воз-
возникновения электрического тока. По проволоке, соеди-
соединяющей шарики, протекал ток, правда, весьма кратковре-
кратковременный. Упорядоченное движение электронов по проволоке
в данном случае было вызвано электрическим полем. Раз-
Разность потенциалов на концах проволоки (или между ша-
шариками) как раз и характеризовала это поле. Ток быстро
прекратился, так как в результате перераспределения элект-
электронов потенциалы выровнялись и не осталось причин для
345

дальнейшего упорядоченного движения электронов по
проволоке.
Заметим, что во всех случаях, когда движение или пере-
перераспределение зарядов в проводнике вызывается одними
только кулоновскими силами, потенциалы различных точек
проводника чрезвычайно быстро выравниваются (вспомним
об эквипотенциальности объема незаряженного металли-
металлического проводника, помещенного во внешнее электроста-
электростатическое поле, или проводника, на котором избыточные
заряды находятся в статическом равновесии). Напряжен-
Напряженность поля между эквипотенциальными точками провод-
проводника равна нулю, и упорядоченное движение зарядов
между ними невозможно.
В большинстве случаев длительный электрический ток
внутри проводника поддерживается электрическим полем,
напряженность которого в течение всего времени протека-
протекания тока не уменьшается до нуля. Из только что сказанного
следует, что это поле не может быть электростатическим
(кулоновским).
Устройствами, обеспечивающими электрическое поле
внутри проводника с током, являются источники тока
(или источники электродвижущей силы). В источнике за
счет каких-то неэлектростатических причин происходит
процесс разделения разноименных зарядов, в результате
которого на клеммах источника скапливаются заряды
противоположных знаков и между клеммами устанавли-
устанавливается та или иная разность потенциалов. Иными словами,
между клеммами источника устанавливается электроста-
электростатическое поле.
Подключение к источнику замкнутого проводника при-
приводит к перераспределению зарядов в самом проводнике
(на стр. 348—351 мы рассмотрим этот процесс более по-
подробно) и к возникновению длительного упорядоченного
движения зарядов не только по проводнику, но и через
источник тока. Все это изменяет характер поля между
клеммами источника. Несмотря на то, что разность потен-
потенциалов на клеммах при этом может оставаться постоянной,
поле между ними уже не будет электростатическим. Ведь
теперь заряды на клеммах источника не остаются непод-
неподвижными!
Если распределение зарядов в пространстве (например,
в различных точках электрической цепи, состоящей из
проводника, подключенного к источнику тока, и самого
источника тока) с течением времени не изменяется, хотя
346

сами заряды при этом непрерывно движутся (одни заряды
из данной точки проводника уходят, но на их место при-
приходят другие), то поле таких зарядов в отличие от электро-
электростатического называют стационарным электрическим полем.
Это поле является наиболее часто встречающейся причиной
постоянного электрического тока в проводнике.
Стационарное электрическое поле, так же как и элект-
электростатическое (кулоновское) поле, потенциально. Именно
поэтому стационарное электрическое поле на данном участ-
участке проводника с током может характеризоваться разностью
потенциалов между концами этого участка или между
клеммами источника, подключенного к участку. Учитывая
это сходство между стационарным электрическим и элект-
электростатическим полями, очень часто говорят не о работе
сил стационарного электрического поля по перемещению
зарядов на данном участке, а о работе кулоновских сил.
Но не забудем, что между этими полями имеются сущест-
существенные различия*.
Еще раз подчеркнем, что электростатическое поле — это
поле неподвижных зарядов (в данной инерциальной системе
отсчета). Источниками стационарного электрического поля
являются движущиеся заряды, причем общее число зарядов
и картина их распределения в данном месте пространства
с течением времени не изменяются. Напряженность элект-
электростатического поля внутри объема проводника всегда
равна нулю, а в каждой точке внешней поверхности про-
проводника направлена перпендикулярно к этой поверхности
(поверхность и объем проводника эквипотенциальны). На-
Напряженность стационарного электрического поля внутри
объема проводника не равна нулю, на поверхности и внутри
проводника «имеются составляющие напряженности, не
перпендикулярные к поверхности проводника (поверхность
и объем проводника не эквипотенциальны). Кроме того,
электростатическое поле в данной системе отсчета не со-
сопровождается магнитным полем, а стационарное электри-
электрическое поле сопровождается.
Далее мы рассмотрим и такие случаи, когда постоянный
или переменный ток в проводнике обеспечивается не ста-
стационарным электрическим полем, а другими причинами.
Подчеркивая, что процесс перераспределения зарядов
в источнике тока вызывается некулоновскими воздействиями
на них, говорят о сторонних силах, действующих в источ-
источнике. Перераспределение зарядов в источнике может про-
происходить за счет химических реакций, в результате кон-
347

такта разнородных веществ, под действием различных
излучений или электрических сил некулоновского харак-
характера и т. д. Природа механизма этих процессов и кладется
в основу классификации источников тока (химические
источники, индукционные и термоэлектрические генера-
генераторы, так называемые солнечные батареи и т. д.).
Основной характеристикой источника тока служит так
называемая электродвижущая сила (ЭДС, $) — физиче-
физическая величина, определяемая отношением работы сторон-
сторонних (неэлектростатических') сил по перемещению заряжен-
заряженных частиц внутри источника тока к зарйду этих частиц.
Эта работа определяет энергетические затраты на перерас-
перераспределение зарядов сторонними силами внутри источника
тока. Она равна изменению энергии единичного заряда
при его упорядоченном движении по цепи, подключенной
к источнику тока. На клеммах источника, не замкнутых
проводником, имеется разность потенциалов, равная элект-
электродвижущей силе источника.
Таким образом, ЭДС является энергетической характе-
характеристикой источника, и единицы ее измерения совпадают
с единицами измерения потенциала или разности потен-
потенциалов (вольт или ед. СГСЭ^).
По определению электродвижущая сила является ска-
скалярной величиной, и поэтому о «направлении ЭДС» х го-
говорят в условном смысле. ЭДС, как и работа любых сил,
может быть величиной положительной или отрицательной.
Знак ЭДС выбирается в зависимости от произвольно вы-
выбранного направления обхода того участка электрической
цепи, на котором включен данный источник тока. Если
внутри источника тока обход совершается от минусовой
клеммы к плюсовой (иногда при этом говорят о совпадении
направления обхода с направлением, сторонних сил в
источнике), то ЭДС считается положительной (<?>0) (рис.
22.1, а). Если же направление обхода противоположно
направлению сторонних сил, то ЭДС отрицательна (<?<G)
(рис. 22.1, б).
Попытаемся представить, как происходило бы движение
заряженных частиц (например, электронов), если бы про-
проводящая среда заполняла все пространство вокруг клемм
источника тока. На рис. 22.2 схематично изображены
клеммы В и D источника и некоторые силовые линии их
электростатического поля. Вокруг клемм имеются элект-
электроны, находящиеся в хаотическом тепловом движении.
Электрон, оказавшийся в какой-то точке К, под действием
348

кулоновской силы F приобретет ускорение а. Направление
движения будет зависеть еще от модуля и направления
скорости, которой обладал электрон в этой точке. Движение
электронов будет происходить по весьма замысловатым
траекториям. Но, так сказать, суммарная картина траек-
траекторий движения огромного числа электронов, видимо,
должна походить на картину силовых линий электроста-
электростатического поля. Какой же ей еще быть, если электроны
должны разлетаться во все стороны от клеммы D и со всех
сторон приближаться к клемме В? Таким образом, в этом
случае можно было бы представить, что движение элект-
электронов происходит примерно по силовым линиям (если
, , 1
I
Q6xoff
i
+
6)
Рис. 22.1.
Рис. 22.2.
учитывать только форму, но не направление силовых
линий), причем основная часть тока обеспечивается теми
электронами, которые движутся вдоль более коротких
силовых линий.
В большинстве случаев с такими безграничными прово-
проводящими средами: нам не приходится иметь дела, и наличие
границ проводящей среды, накладывает свой отпечатЬк на
характер упорядоченного движения заряженных частиц.
Например, направление движения заряженных частиц
в газоразрядной трубке, может зависеть не только от рас-
расположения электродов, но и от конфигурации стеклянных
стенок самой трубки. Короче говоря,, при наличии ограни»
ченной проводящей среды приходится считаться с теми
поверхностными эффектами, которые могут иметь место
на ее границах.
Во многих практических задачах фигурируют доста-
достаточно длинные и тонкие металлические проводники. Рассмо-
Рассмотрим, к чему приводят поверхностные эффекты на границах
таких проводников.
349

\^у
На рис. 22.3, а схематично в виде сферического провод-
проводника изображена отрицательная клемма источника тока
и сечение присоединенного к ней конца металлического
провода. Пунктиром показаны некоторые силовые линии
поля клеммы до внесения в него провода, а стрелками —
силы, действующие на подвижные электроны провода,
находящиеся в точках, помеченных цифрами (изменение
поля клеммы и перераспределение электронов в проводе
„ при приближении его конца
^*'' ^ к клемме анализировать не
будем).
Электроны в различных
точках поперечного сечения
провода под действием ку-
лоновских сил поля клеммы
приобретают движение не
только вдоль оси провода.
Например, электрон, находя-
находящийся в точке 1, оказывается
вовлеченным в «токовое» дви-
движение. Но вблизи точек 2, <?,
4,5 электроны имеют возмож-
возможность скапливаться на по-
поверхности провода. Следова-
_^ тельно, подключение провода
к клемме источника приведет
v к тому, что некоторые элек-
электроны начнут двигаться вдоль
провода, а часть электронов
будет скапливаться на поверх-
поверхности. Причем поверхностное распределение электронов
по длине провода не будет равномерным (рис. 22.3, б).
С неравномерным распределением заряженных частиц
на поверхности проводника мы встречались и в случаях
статического равновесия этих частиц, когда поверхность
проводника была эквипотенциальной, а силовые линии
вблизи нее располагались перпендикулярно к поверхности
проводника. При подключении же металлического провод-
проводника к клемме источника тока, при зарождении тока
в проводнике, неравномерное распределение электронов
на его поверхности обеспечивает неэквипотенциальность
этой поверхности, наличие составляющих напряженности
электрического поля, направленных вдоль поверхности
проводника. Кроме того, неравномерное распределение
350
Рис. 22.3.

электронов по поверхности и объему проводника позволяет
объяснить наличие стационарного поля внутри проводника,
т е. неэквипотенциальность его объема и тот факт, что это
поле существует в любом поперечном сечении проводника
при любой его конфигурации (на рис. 22.3, в показан
вектор Е напряженности поля в какой-то точке К внутри
объема провода и сила F, действующая в этой точке на
электрон). Вот это поле перераспределенных электронов
самого проводника и обеспечивает упорядоченное движение
других электронов во всех точках любого поперечного
сечения проводника (и вдоль поверхности, и внутри объема
проводника).
22.2. Основные количественные соотношения и закон Ома
Сила тока. Пусть суммарный электрический заряд всех
частиц, проходящих через любое поперечное сечение провод-
проводника за промежуток времени А/, равен Ад. Скалярная физи-
физическая величина, определяемая отношением
называется средней силой тока в проводнике. Предел этого
отношения при бесконечном уменьшении промежутка вре-
времени At называют мгновенной силой тока:
Если с течением времени средняя скорость упорядочен-
упорядоченного движения заряженных частиц в проводнике не изме-
изменяется, то говорят о постоянном токе. При этом заряд всех
частиц, проходящих через любое поперечное сечение про-
проводника за единицу времени, будет одним и тем же, а сред-
средняя и мгновенная силы тока будут равными (/=/ср).
В СИ сила тока измеряется в амперах. Связь между ам-
ампером, кулоном и секундой может быть представлена в со-
согласии с B2.1) или B2.2) в виде
1 А=1 Кл/1 с,
но следует помнить, что ампер в СИ считается основной
единицей и вводится не по этому соотношению, а иначе
(см. п. 25.3). Единица измерения силы тока в системе СГСЭ
может быть установлена в согласии с формулами B2.1)
или B2.2):
1 ед. 0X3,= 1 ед. СГСЭ^/1 с.
351

Сила тока является скалярной величиной и никаким
Управлением не характеризуется. Когда говорят о на-
направлении электрического тока, то имеют в виду направле-
направление движения заряженных частиц по проводнику, т. е.
направление скорости их упорядоченного движения.
Несмотря на то, что во многих случаях электрический
ток представляет собой упорядоченное движение ^отрица-
^отрицательных зарядов (свободных электронов в металлах, отри*
цательных ионов в электролитах и т. д.), исторически сло-
сложилось так, что за положительное направление тока было
принято направление движения положительных зарядов.
Это так называемое техническое направление тока исполь-
используется в физике и поныне, так как многие практические
правила, которыми широко пользуются и теперь (правило
буравчика, правило левой руки и т. п.), были когда-то"
сформулированы с ориентацией именно на техническое на-
направление тока. Мы также будем придерживаться этой ис-
исторической условности, и везде, где пойдет речь о направле-
направлении тока и не будет сделано соответствующих оговорок,
будет подразумеваться техническое направление тока.
При составлении различных уравнений направление
тока на участках электрической цепи приходится учиты-
учитывать. В связи с этим силе тока приписывается тот или иной
знак: если направление тока на участке совпадает с направ-
направлением обхода этого участка, сила тока считается положи-
положительной (/>0), а если направление тока противоположно
направлению обхода, сила тока считается отрицательной
(/0)
)
Обратим внимание еще на одну условность, которая ис-
пользуется при графическом изображении процессов в элек-
электрических цепях. Очень часто техническое направление
тока на участке указывается стрелкой, а рядом с ней про-
проставляется буквенное обозначение силы тока (/) на этом
участке. Такое соседство символов, видимо, и приводит к
ошибочным высказываниям о «направлении силы тока»
на участке. В связи с этим подчеркнем, что стрелкой ука-
указывается направление "скорости движения положительна
заряженных частиц (или направление, противоположное
скорости движения отрицательно заряженных частиц), а
символ / относится к скалярной количественной характе-'
ристике этого процесса, которая не имеет никакого направ-
направления, но может иметь тот или иной знак.
При наличии электрического тока хаотическое тепловое
движение свободных заряженных частиц в проводнике не
352 -

прекращается. Упорядоченное движение носителей тока
накладывается на их хаотические блуждания по объему
проводника. Средняя скорость хаотического теплового дви-
движения, как всегда, зависит от температуры проводника, но
несмотря на то, что эта скорость велика (сотни метров или
даже километров в секунду), она не характеризует дрей-
дрейфового движения заряженных частиц по проводнику.
Поэтому для описания упорядоченного движения заряжен-
заряженных частиц по проводнику используют другую величину —
среднюю скорость упорядоченного движения.
Эта скорость также имеет статистический смысл: она
описывает поведение коллектива, состоящего из большого
числа частиц. Эту скорость частицы приобретают под дей-
действием сил стационарного электрического поля, имеющегося
в проводнике. С такой скоростью происходит движение
заряженной частицы в заданном направлении на так на-
называемой средней длине свободного пробега — на расстоянии,
которое в среднем проходит частица между последователь-
последовательными соударениями с другими частицами проводника. Та-
Таким образом, электрический ток в проводнике приближенно
может быть представлен как процесс скачкообразного дви-
движения заряженных частиц. Например, электрон в метал-
металлическом проводнике ет одного удара об ион кристалли-
кристаллической решетки до следующего движется под действием
сил стационарного электрического поля ускоренно, при
ударе он изменяет или теряет скорость, затем снова под-
подхватывается полем и т. д. Вот и считают, что на этих этапах
между препятствиями частица перемещается со средней
скоростью упорядоченного движения. Можно показать, что
эта скорость всегда имеет очень малое значение.
Задача. Определить среднюю скорость упорядоченного движения
электронов в медной проволоке, площадь поперечного сечения которой
5=1,0 мм2, при протекании па ней постоянного тока силой /=1,0 А.
Считать, что каждый атом меди дает'один свободный электрон.
Можно наметить следующий план решения этой задачи. Задавшись
длиной проволоки /, можно выразить ее объем V. Через объем и плот-
плотность меди р (ее значение мы возьмем из таблицы) выразим массу т про-
проволоки. Поскольку каждый моль меди содержит Nд атомов, найденное
по массе проволоки т и молярной массе меди М число молей т/М позво-
позволит найти число атомов N в проволоке. Так как каждый атом меди дает
по одному свободному электрону, число последних в объеме всей прово-
проволоки также будет равно N. Концентрация п свободных электронов в про-
проволоке (число электронов в единичном объеме), очецидно, будет равна
Количество электронов /2Х в единичном по толщине цилиндрическом
12 ю. А. Селезнев 353

слое проволоки, площадь поперечного сечения которой 5, составит
Если значение средней скорости упорядоченного движения электронов
равно v, то они за единичный промежуток времени перемещаются на рас-
расстояние, численно равное v. Это можно истолковать и таким образом:
через площадь поперечного сечения проволоки за единичный промежу-
промежуток времени проходит nxv электронов, заряд каждого из которых е.
Их движение и обеспечивает протекание по проволоке тока силой /:
I-At-nive--y~Ve'
Отсюда получаем выражение для средней скорости упорядоченного дви-
движения электронов:
По намеченной схеме находим* объем проволоки Ч^= IS, масса про-
проволоки m=pV> число молей меди mlM—pVlM, число атомов меди в про-
проволоке или число свободных электронов
М А~~ М '
Подставляя это выражение в формулу для средней скорости упорядочен-
упорядоченного движения электронов, окончательно получаем
_ Ml
V~pNASe'
В СИ заданные и табличные величины имеют значения:
М = 63,5-Ю-3 кг/моль; / = 1,0 А; р = 8,9.103 кг/м3;
NA =6,02-1023 моль-1; S= 1,0-10~6 м2; 6=1,6-10-" Кл.
Проверка размерностей дает
(кг/моль) (А) А м А'М м
(кг/м3) A/моль) (м2) (Кл^ТоГ^ АГс^Т'
а подстановка численных значений приводит к результату
63,5-10-». 1,0 7 4 10 5
U~8,9.103 6,02-Ю23-1,0-10-».1,6-10-" W ' *"М/С<
Как видим, средняя скорость упорядоченного движения
электронов й металлическом проводнике имеет очень малое
значение. Для проводников из других материалов и при
других силах тока мы получим, конечно, иные значения
скоростей упорядоченного движения носителей тока, но
они не будут очень сильно превышать найденное нами
значение.
Закон Ома. Мы уже отмечали, что на пути движения за-
заряженных частиц в проводнике встречаются различные
354

помехи. При этом можно говорить о силах сопротивления
движению заряженных частиц. Ведь при постоянной силе
тока средняя скорость упорядоченного движения заряжен-
заряженных частиц может быть постоянной только из-за наличия
сил сопротивления. Силы сопротивления, как всегда, яв-
являются неконсервативными. Они зависят от скорости за-
заряженных частиц, а работа этих сил при движении частиц
по замкнутой траектории (по замкнутой электрической
цепи) не равна нулю и определяет увеличение внутренней
энергии проводящих участков цепи при уменьшении по-
потенциальной энергии упорядоченно
движущихся заряженных частиц.
Попробуем с энергетических по-
позиций оценить процессы, происхо-
происходящие в простейшей электрической
цепи, состоящей из источника тока
и подключенного к нему металличе-
металлического проводника (рис. 22.4). Элек-
Электродвижущая сила источника тока
равна ?, сила тока в цепи равна /.
На рисунке показаны техническое
направление тока и выбранное на-
направление обхода цепи. Пусть две
произвольные точки 1 и 2, потен- Рис. 22 4
циалы которых соответственно рав-
равны фх и ф2, делят всю цепь на два участка: IN2 и 2DB1.
Рассмотрим сначала нижний участок 1N2, который не
содержит источника тока. Мы надеемся, что читатели пом-
помнят о тех несложных опытах, которые позволяют для по-
подобных участков электрических цепей установить пропор-
пропорциональную связь между силой тока / на участке и разно-
разностью потенциалов Аф на его концах:
/ = ^. ' B2.3)
Коэффициентом пропорциональности R является физиче-
физическая величина, зависящая от геометрических размеров, ма-
материала и температуры проводника и называемая электри-
электрическим сопротивлением (или просто сопротивлением) про-
проводника или участка. Поскольку величины Аф и / могут
быть достаточно просто и точно измерены на опыте, сопро-
сопротивление R проводника определяют как
Я=^. B2.4)
12* • 355

В связи с этим соотношением устанавливается единица из-
измерения сопротивления в СИ A Ом):
1 Ом=1 В/1 А.
На рассматриваемом участке 1N2 электрический ток
обеспечивается только силами стационарного электриче-
электрического поля. Разность потенциалов между концами этого
участка и характеризует это поле. Выразив из B2.3) или
B2.4) произведение IR в явном виде:
/#=Д<р, B2.5)
и вспомнив о том, какой физический смысл имеет разность
потенциалов (см. формулу A9.17)), можно установить фи-
физический смысл произведения силы
тока на участке на сопротивление
этого участка.
С одной стороны, это произведе-
произведение равно работе кулоновскйх сил
(точнее, работе сил, стационарного
электрического поля) по перемещению
единичного положительного заряда
на данном участке проводника. С дру-
другой стороны, это произведение равно
работе сил сопротивления и, следо-
Рйс. 22 5. вательно, возрастанию внутренней
энергии вещества данного участка
проводника при перемещении по нему единичного поло-
положительного заряда.
Чтобы пояснить эти утверждения, может быть, стоит
обратиться к механической аналогии. Маленький шарик из
•рвердого вещества движется с постоянной скоростью в
вязкой жидкости из положения 1 в положение 2 (рис. 22.5).
Опыт проводится в земных условиях. Какие энергетические
соотношения справедливы в этом случае?
Постоянство скорости говорит о том, что кинетическая
энергия шарика не изменяется (аналогия с неизменностью
средней кинетической энергии упорядоченного движения
зарядов в проводнике при постоянном токе). Уменьшение
потенциальной энергии шарика равно работе силы тяжести
Р на пути h±—h2 (аналогия с работой сил стационарного элек-
электрического поля). С другой стороны, изменение потенциаль-
потенциальной энергии шарика равно работе силы сопротивления
Fc, а эта работа определяет увеличение внутренней энергии
системы «шарик — жидкость» (аналогия с возрастанием
356

внутренней энергии проводника). Нужно заметить, что в
рассмотренном опыте мы, чтобы не усложнять сравнения,
не упомянули о работе выталкивающей силы, действующей
на шарик.
Чтобы отличить сопротивления участков рассматривае-
рассматриваемой нами цепи, обозначим сопротивление нижнего участка
1N2 через /?н, а сопротивление верхнего участка 2DB1
через RB. С учетом принятых ранее правил о знаках вместо
уравнения B2.5) для участка 1N2 можно написать //?„=
s=s—(Ч>2—<Pi). или
/Дн = Ф1-ф,. B2.6)
Увеличение внутренней энергии всей замкнутой цепи
при перемещении по ней единичного положительного заря-
заряда, очевидно, может быть оценено суммой IRH +//?B, кото-
которая должна равняться работе сторонних сил источника тока
по перемещению единичного положительного заряда, т. е.
электродвижущей силе источника:
IR» + IRB-?, B2.7)
так как работа сил стационарного электрического поля при
перемещении заряда по замкнутой цепи равна нулю. С уче-
учетом B2.6) вместо B2.7) можно написать ц>х—ф2+//?в= ?>
или
B2 8)
Уравнения B2.6), B2.7) и B2.8) являются уравнениями
закона Ома для различных случаев: первое — для участка
цепи, не содержащего источник тока, второе— для всей зам-
замкнутой электрической цепи, третье — для участка цепи с
источником тока. Различные индексы у величины R в
общем случае можно не писать, нам они потребовались
лишь для анализа явлений на различных участках кон-
конкретной цепи.
Уравнение B2.7) можно переписать в виде
где сумма в скобках представляет суммарное сопротивление
замкнутой электрической цепи. Если отдельно учитывают
сопротивление внешней части цепи, обычно обозначаемое
через R, и внутреннее сопротивление источника тока (г),
то уравнение закона Ома для замкнутой цепи записывают
в форме
/(« + ) = *. B2.9)
357

Обратим внимание на то, что уравнение B2.8) является
наиболее общим выражением закона Ома. Все другие раз-
разновидности уравнений закона Ома могут быть получены
из одного этого уравнения. Если, например, рассматрива-
рассматривается участок цепи, на котором нет источника тока, то в урав-
уравнении B2.8) нужно положить <?=0, что и приводит к урав-
уравнению B2.6). При применении уравнения B2.8) к замкну-
замкнутой электрической цепи нужно принять, что <p2=<Pi. Из
этого же уравнения следует, что разность потенциалов на
клеммах источника, не подключенного к внешней цепи,
равна электродвижущей силе источника (так как для этого
случая /=0). Наконец, из B2.8) вытекает, что если на уча-
участке имеется источник тока, то произведение силы тока на
сопротивление участка в общем случае равно суммарной
работе сторонних сил и сил стационарного электрического
поля по перемещению единичного положительного заряда
на этом участке.
При использовании уравнений закона Ома следует со-
соблюдать правила расстановки знаков у входящих в урав-
уравнение величин в связи с выбранным направлением обхода
электрической цепи или ее участка. Относительно выбора
знаков у величин / и <? мы уже говорили. Отметим только,
что если на участке или в цепи имеется несколько источни-
источников тока, то в правых частях уравнений B2.8) и B2.9)
величина g будет представлять алгебраическую сумму
электродвижущих сил всех источников, имеющихся на
данном участке или в данной цепи. Кроме того, для согла-
согласования с указанными правилами знаков в правых частях
уравнений B2.6) и B2.8) со знаком плюс записывается по-
потенциал точки, с которой начинается обход данного участ-
участка, и со знаком минус—потенциал конечной точки участка.
К сожалению, до сих пор часто приходится встречаться
с неоднозначным толкованием терминов «напряжение на
участке» и «падение напряжения на участке». Первый тер-
термин используют и как синоним разностичдготенциалов (на
концах участка электрической цепи, между любыми двумя
точками электрического поля и т. д.), и как название про-
произведения //?, хотя это произведение иначе называют паде-
падением напряжения. Чтобы эти неоднозначности не приводили
к ошибкам, всякий раз следует уточнять физический смысл
рассматриваемой величины: идет ли речь о работе сил ста-
стационарного электрического поля или о суммарной работе
сторонних сил и сил стационарного электрического поля
по перемещению единичного положительного заряда.
358

От чего зависит сопротивление проводника? Мы уже отме-
отмечали, что сопротивление проводника зависит от геометриче-
геометрических размеров (от длины проводника / и площади его попе-
поперечного сечения S), от вещества, из которого изготовлен
проводник, и от температуры. Влияние двух последних
факторов учитывается величиной, называемой удельным
сопротивлением проводника (р). Для однородных металли-
металлических проводников постоянного поперечного сечения и
для электролитов выполняется соотношение
R = Pj, B2.10)
из которого без труда можно установить физический смысл и
единицу измерения удельного сопротивления (Ом-м в СИ).
Выше было показано, что вместе с силой тока сопротив-
сопротивление проводника определяет работу перемещения по нему
единичного положительного заряда. Понятно, что чем
длиннее будет проводник, тем большую работу придется
совершить силам стационарного электрического поля для
«проталкивания» единичного положительного заряда при
прочих равных условиях. При увеличении площади попе-
поперечного сечения проводника возрастает число носителей
тока на единичной длине проводника (для металлического
проводника см. решение задачи на стр. 353, 354). При не-
неизменной разности потенциалов на концах проводника это
приведет к увеличению силы тока, что в согласии с B2.4)
и может быть истолковано как уменьшение сопротивления
проводника.
С увеличением температуры сопротивление металличе-
металлических проводников возрастает из-за изменений теплового
движения их частиц (возрастают средние скорости хаоти-
хаотического теплового движения свободных электронов, уве-
увеличиваются амплитуды тепловых колебаний ионов кристал-
кристаллической решетки, что приводит к более частым столкно-
столкновениям электронов с ионами или к увеличению сил трения
при упорядоченном движении электронов по проводнику).
Часто появляется соблазн думать, что сопротивление изме-
изменяется за счет температурных изменений геометрических
размеров проводника: сопротивление R зависит от длины /
и площади поперечного сечения S проводника, а с ростом
температуры наблюдается тепловое расширение — / и S
увеличиваются. Далее мы покажем, что температурные
изменения размеров практически не влияют на сопротивле-
сопротивление R проводника.
359

Поэтому нужно говорить не о температурных измене-
изменениях сопротивления проводника, а о температурных из-
изменениях его удельного сопротивления. Это будет лишний
раз подчеркивать неощутимость температурных влияний
изменения объема при оценке температурных изменений
сопротивления.
Если при возрастании температуры на At градусов удель-
удельное сопротивление проводника изменяется от р0 до р, то
удобно ввести так называемый температурный коэффициент
сопротивления а, определяемый отношением
B2.11)
Если температурный коэффициент сопротивления для дан-
данного вещества известен, то можно определить удельное
сопротивление р проводника при изменении его темпера*
туры на At от начала отсчета интервала температур:
B2.12)
Под величиной р0 в формулах B2.11) и B2.12) подразу-
подразумевается удельное сопротивление данного проводника при
температуре 0°С. При этом температурные коэффициенты
сопротивления а одного и того же вещества могут быть не-
неодинаковыми для различных температурных интервалов
At. Об этом нужно помнить при использовании таблиц тем-
температурных коэффициентов сопротивления.
Если сравнить табличные значения температурных ко-
коэффициентов сопротивления различных металлических про-
проводников (эти значения лежат в пределах приблизительно
от 0,9* 10~3 К" до 7-10~3 К) с их коэффициентами объем-
объемного расширения Р (значения которых находятся в преде-
пределах от 1,3-10~б К" до 9-Ю К"), то будет ясно, что
изменение сопротивления за счет изменения объема про-
проводящего вещества при увеличении температуры на один
градус будет очень малым. Кроме того, объемное расши-
расширение металлического проводника должно приводить не к
увеличению, а к незначительному уменьшению его сопро-
сопротивления R при повышении температуры.
Заметим, что формула B2.12) пригодна не только для
металлических проводников, но и для электролитов, если
для последних считать а величиной отрицательной. Дело
в том, что удельное сопротивление электролитов с увеличе-
увеличением температуры уменьшается. Это связано с тем, что в
них при повышении температуры увеличивается скорость
360

упорядоченного движения заряженных частиц из-за умень*
шения сил трения и, кроме того, увеличивается концен-
концентрация этих частиц (например, растворяющееся в воде ве-
вещество полнее диссоциирует при возрастании температуры).
Задача. Имеется моток медной проволоки, площадь поперечного
сечения которой «$=0,10 мм2. Масса мотка т=0,10 кг. Определить со-
сопротивление этой проволоки при температуре 120°С.
В большинстве физических таблиц мы не найдем значения удельного
сопротивления меди для такой температуры. Например, в «Справочнике
по элементарной физике» (авторы Н. И. Кошкин и М. Г. Ширкевич)
имеется значение удельного сопротивления меди только при температуре
20°С: р2о—1>75* 10~8 Ом*м. Значит, придется учесть его изменение при
изменении температуры Воспользуемся для этого табличным значением
температурного коэффициента сопротивления меди* а=3,9* Ю-3 град-1.
Будем считать, что такое значение коэффициента а справедливо для ин-
интервала температур А/ от 0°С до 120°С. На основании формул B2.10) и
B2.12) можно получить зависимосгь
где А/ — интервал температур от 0°С до 120аС (Д?=120°). Связь значе-
значений р20 и р0 удельного сопротивления меди при температурах 20°С и
0°С устанавливается формулой B2.12):
р2о=Ро A+
где А/х — интервал температур от 0°С до 20°С (Д^—20°), откуда
Теперь можно записать
Кроме искомой величины R в этом уравнении содержится еще длина
проволоки /. Ее мы можем выразить через заданные массу проволоки т,
площадь поперечного сечения S и найденную из таблицы плотность меди.
Чтобы не запутаться в обозначениях, положим, что плотность меди рав-
равна D. Ее табличное значение в единицах СИ D=8930 кг/м3. Тогда т=*
— ISD, или
Подставляя это выражение в формулу для Rt окончательно получаем
Дробь, стоящая в скобках, безразмерна. Подстановка оазмерностей
остальных величин в СИ показываем что ответ будет получен в омах*
/ \
(Ом-м)
(КГ/М*ЖJ
361

При подстановке численных значений величин не забудем выразить пло-
площадь поперечного сечения проволоки в квадратных метрах (S=
=0,10 мм2=0,КМ0-6 м2)'
Г 17-10 -of 1+3,9-10-3.120 \ 0,Ю ^
К- 1,75.10 ^-1+3,9-10-3.20 ; 8930 @,10.Ю-6J
22.3. Способы соединения проводников
и источников тока
При выводе формулы общего сопротивления нескольких
последовательно соединенных проводников с сопротивле-
сопротивлениями Ru R2, R3 и т. д.:
/?=/?!+/?.+/?.+..., B2.13)
учитывается тот факт, что через все проводники протекает
ток одной и той же силы (заряженные частицы движутся
сплошным потоком, нигде не скапливаясь), а разность по-
потенциалов на концах крайних проводников равна сумме
разностей потенциалов на концах всех промежуточных про-
проводников. При последовательном соединении п проводников
с одинаковыми сопротивлениями Ri их полное сопротив-
сопротивление будет равно
R=nRt. B2.14)
Одинаковое значение разностей потенциалов на концах:
всех параллельно соединенных проводников и равенство
суммарной силы тока сумме сил токов, протекающих по
каждому из них, позволяет получить формулу для расчета
общего сопротивления разветвленной цепи, состоящей из
нескольких параллельных участков с сопротивлениями
Ru #2, Rs и т. д.:
w-k+i+-k+--~ <22Л5>
Если параллельно соединяют п проводников с одинако-
одинаковыми сопротивлениями Ru то на основании B2.15) можно
получить
R^Rt/n. B2.16)
Очень часто на практике требуется получить в цепи с
заданным общим сопротивлением ту или иную силу тока,
которую не обеспечивает ни один из нескольких имеющихся
источников тока. При этом встречается необходимость со-
соединять параллельно или последовательно источники в ба-
362

тареи. При последовательном соединении источников с
электродвижущими силами <?ь <§2, <§з и т. д. и внутрен-
внутренними сопротивлениями ги г2, г3 и т. д. их общая электродви-
электродвижущая сила <§ будет равна сумме ЭДС всех источников,
а общее внутреннее сопротивление г — сумме внутренних
сопротивлений всех источников:
..., B2 17)
... B2.18)
Если последовательно соединяется п одинаковых источ-
источников с электродвижущими силами Si и внутренними со-
сопротивлениями ги то
? = п&, B2.19)
г = пгг. B2.20)
При параллельном соединении таких одинаковых ис-
источников будут выполняться соотношения
? = &, B2.21)
r = rjn. B2.22)
Задача. На участке с сопротивлением R требуется получить макси-
максимальный по силе ток. В распоряжении имеется п одинаковых источников
с электродвижущими силами $ и внутренними сопротивлениями г.
Каким типом соединения источников нужно воспользоваться для этой
цели, если:
I) допустимо только последовательное или только параллельное
соединение источников;
II) допустимое смешанное соединение источников. А) собираются
одинаковые группы из т последовательно соединенных] источников,
а такие группы соединяются между собой параллельно; Б) собираются
одинаковые группы из k параллельно соединенных источников, а группы
соединяются в батарею последовательно.
Вариант I. Обозначим силы токов, получаемых в цепи в случаях
параллельного и последовательного соединений источников, через
^пари ^посл В соответствии с уравнениями B2.9), B2.21) и B2 22) можем
записать формулу для расчета силы тока при параллельном соединении
источников:
/пар=/? + (,/я). (а)
а на основании уравнений B2 9), B2.19) и B2.20) — для случая последо-
последовательного соединения источников:
Анализируя эти выражения в общем виде, мы с первого взгляда не
можем сказать, какая из сил токов, /парилн /ПОсл> будет большей Тогда
мы можем предположит^ что, например, /Пар>^посд» и оценить, при
363

каком соотношении между остальными заданными величинамичэто воз-
возможно. Для этого придется решить неравенство
(в)
Преобразовав выражение в знаменателе левой части, приходим к нера-
неравенству
nR + r * R + nr '
которое, с учетом того, что все входящие в него величины положительны,
упрощается:
R+nr>nR+r.
Соберем слагаемые, содержащие R и г, по разные стороны от знака
неравенства:
w—/> nR—R.
Вынося общие множители за скобки, получаем
При сокращении на (п—1) знак неравенства не изменится-, так как
п > 1, т. е.
r>R.
Мы приходим к выводу, что сила тока при параллельном соединении
источников будет больше, чем при последовательном, только в случае,
если внутреннее сопротивление источника г больше сопротивления R
внешнего участка цепи. Следовательно, неравенство/посл>/пар будет
выполняться при условии R>r, и силы токов в цепи будут равными,
^пар— Люсл> если R—f- Последние два заключения можно доказать, ре-
решив неравенство, обратное неравенству (в), или приравняв выражения
« и (б).
Вариант И. Обозначим силу тока в цепи для случая А через/А
и для случая Б — через /Б . ЭДС группы, состоящей из т последователь-
последовательно соединенных источников, будет равна т$, сопротивление такой груп-
группы будет тг, а число групп в батарее составит nlm При подключении
такой батареи к участку с сопротивлением R в цепи возникнет ток, сила
которого равна
А (m2r/n) + R mr + (nR/m)' {)
В случае Б ЭДС группы равна <g\ суммарное внутреннее сопротив-
сопротивление группы равно г Ik, а число таких групп в батарее составит n/k.
При этом ЭДС батареи окажется равной (п/к)$, а внутреннее сопротив-
сопротивление батареи
' На основании этого заключаем, что
364

или2 произведя простые преобразования,
Можно показать {мы предлагаем читателям сделать это самостоя-
самостоятельно), что сила тока /д максимальна (/А макс) при условии
mr—nRIm,
т. е. когда число т элементов, соединенных в группу последовательно,
равно
tn^YnRfr. (e)
Аналогично' сила тока /Б принимает максимальное значение /Б макс
при условии
когда число элементов &, соединенных в группу параллельно, составляет
k= Vnr/R. (ж)
Заметим (мы снова не будем загромождать изложение математиче-
математическими выкладками), что если для случая А выполняется условие (е)<
а для случая Б — условие (ж), то максимальные силы токов в цепях для
этих случаев оказываются одинаковыми:
1 А макс — 'Бмакс— 'макс — "TjT у Тр ' v/
(Попробуйте убедиться в этом, подставив условие (е) в формулу (г),
а условие (ж) — в формулу (д)).
Теперь для полной ясности остается сравнить результаты^ вариан-
вариантов I и II. При каких условиях будет, например, выполняться нера-
неравенство /макс^пар^ На основании уравнений (з) и (а) для этого случая
имеем
rR ' nR + r>
откуда
R>rln.
Значит?
если R > г/Пу
R < г/п.
Аналогично, сравнивая уравнения (з) и (б), можно найти, что
/макс > 'посТ, если R < пг>
7макс < 'посл> «СЛИ R > ПГ.
Таким образом, сопоставляя все полученные результаты, можно
прийти к следующим рекомендациям: 1) если R<r/n, то для получения
максимальной силы тока в цепи все источники нужно соединять парал-
параллельно; 2) если R>nr, то источники нужно соединять последовательно^
3) если rljKR<nrx то максимальная сила тока будет получена при сме*
365

шанном соединении источников в батарею, причем вопрос о том, как
сгруппировать источники в каждом конкретном случае, придется решать
особо, сопоставляя выполнимость условий (е) и (ж) или бравнивая выра-
выражения (г) и (д).
Правила Кирхгофа. При расчете разветвленных электри-
электрических цепей очень удобными оказываются так называемые
правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа относится к любому узлу элек-
электрической цепи (т. е. к точке разветвления, в которой схо-
сходится не менее трех проводников) и утверждает, что алгеб-
алгебраическая сумма сил токов,
сходящихся в узле, равна
нулю:
2/* = 0, B2.23)
где т — число проводни-
проводников, сходящихся в узле.
Если в участках цепи име-
имеются постоянные электри-
электрические токи, то первое пра-
правило Кирхгофа является
следствием того, что в узле
не может происходить на-
накопление или разрыв по-
потока упорядоченно движущихся по проводникам заряжен-
заряженных частиц. В противном случае не представлялось бы
возможным говорить о постоянных токах в этих участках.
При использовании первого правила Кирхгофа обычно
имеют в виду техническое направление тока и соблюдают
следующее правило знаков: силу тока, «входящего» в узел,
считают положительной, а силу тока, «выходящего» из уз-
узла,— отрицательной. Так, для узла / электрической цепи,
схема которой изображена на рис. 22.6, уравнение первого
правила Кирхгофа записывают в виде
Второе правило Кирхгофа относится к любому замкну-
замкнутому контуру электрической цепи и является следствием
закона Ома. В электрической цепи, схема которой изобра-
изображена на рис. 22.6, можно выделить три контура (/—2—3—,
4—5—6—1, 1—6—5—4—8—7—1 и 1—2—3—4—8—7—1).
Если принять направление обхода верхнего контура, изо-
366

браженное на рисунке пунктирной стрелкой, и записать
уравнения закона Ома для всех участков этого контура в
согласии с принятыми ранее правилами знаков, то по-
получим:
для участка 1 — 6 —/2/?5 = Ti—Ф6>
для участка 6—5 — /2/-2 = Ф6—ф5 —&.
для участка 5—4 —/2/?в = Ф5--ф4,
для участка 4—3 /17?2 = ф4 —фз>
для участка 3—2 /Л^Ф»—Ф. + &,
для участка 2—1 /1г1 = ф2—фг
Если сложить левые и правые части этих уравнений, то
приходим к уравнению
которое может быть записано в более общем виде:
%1#1=%€ь - B2.24)
где п — число участков рассматриваемого контура. Это
уравнение и является уравнением второго правила Кирх-
Кирхгофа, которое утверждает: алгебраическая сумма произве-
произведений сил токов на сопротивления соответствующих участ-
участков контура равна алгебраической сумме имеющихся в
этом контуре электродвижущих сил. Это утверждение сог-
согласуется с тем фактом, что работа при перемещении единич-
единичного положительного заряда по замкнутому контуру элек-
электрической цепи определяется действием сторонних сил, ибо
суммарная работа сил стационарного электрического поля
на всех участках замкнутого контура равна нулю и одни
силы стационарного электрического поля не смогли бы
обеспечить движение зарядов по замкнутому контуру,
22.4. О некоторых электротехнических приборах
Мы остановимся здесь на анализе закона Ома в приме-
применении к реостатам, потенциометрам, амперметрам и вольт-
вольтметрам. Эти приборы являются неотъемлемыми элементами
почти любой электрической цепи.
Реостаты — это проводники или системы проводников
с регулируемым сопротивлением, предназначенные для
изменения силы тока на участке цепи. Реостат подклю-
подключается к цепи двумя клеммами. Реостаты со скользящим
~ 367

контактом имеют три клеммы: две клеммы обмотки (входная
и выходная) и'одну клемму, соединенную со скользящим
контактом («движком»). При этом используются только две
из них: клемма движка и одна из клемм обмотки.
Задача. Каким должно оыть сопротивление реостата jRp, чтобы он
позволял уменьшать сил}; тока на участке с сопротивлением R в п раз?
На рис. 22.7 точками *В, С и D обозначены клеммы реостата. Рабочи-
Рабочими в нашем случае являются клеммы В и Z). Электрическая цепь питается
от двух точек / и 2 с потенциалами
Ф1 и ср2.
Когда движок находится в крайнем
левом положении (реостат «выведен»),
сила тока в цепи определяется выра-
выражением
Рис. 22.7.
которое получаем в соответствии с
законом Ома для участка цепи без
ЭДС, имеющего сопротивление R (см уравнение B2.6)). Когда движок
находится в крайнем правом положении (реостат «введен»), электриче-
электрическая цепь представляет собой два последовательно соединенных провод-
проводника с сопротивлениями Rp и R. Если на ее концах поддерживается
прежняя разность потенциалов, то сила тока равна
Нас интересует случай, когда
WiM. (в)
Подставляя выражение для /2 из (в) в (б), имеем
После почленного деления уравнения (а) на (г) и преобразований по-
получаем
Яр = /?(л-1).
Если мы собираемся уменьшить силу тока в пределе до двух раз
(п—2), то сопротивление реостата должно равняться сопротивлению R
участка; если же минимальная сила тока должна быть в десять раз мень-
меньше максимальной (д=10), то нужно взять реостат с сопротивлением^
в девять раз большим сопротивления участка, и т. д.
Реостат с подвижным контактом может работать и в ре-
режиме потенциометра (делителя напряжения). В этом слу-
случае его назначение — изменять разность потенциалов на
концах интересующего нас участка. Включение реостата
в качестве потенциометра производится при помощи всех
трех клемм,
368 .

Задача. Влияет ли сопротивление потенциометра Rn на диапазон
изменения разности потенциалов на концах участка с сопротивлением
R"> Питание схемы осуществляется от точек 1 и 2 с потенциалами фх и ф2
(рис. 22 8).
При положении движка в какой-то произвольной точке D разность
потенциалов на концах участка с сопротивлением R будет равна разно-
разности потенциалов (фд— ф?>) в точках В и D. Если пренебречь сопротивле-
сопротивлением подводящих проводов, то Фв~Ф1 и разность потенциалов на кон-
концах участка с сопротивлением R равна фг— фд. Остается проанализи-
проанализировать, от чего зависит значение «потенциала ф?.
Пусть сопротивление участка BD равно гх, сила тока на этом участ-
участке Ibd* a сила тока на участке с со-
сопротивлением R равна /#. На осно- /, В
вании закона Ома для участка BD ft* Г
имеем Т
или, учитывая, что Фя=
1_
Ф1 — 4D~
откуда
(а)
Г'*
с
Рис. 22.8.
Для тбго чтобы выразить силу
тока Ibd через заданные величины,
воспользуемся следующими сообра-
соображениями. Суммарное сопротивление
Ri>bd между точками В и D (два параллельно соединенных участка
с сопротивлениями гх и R) на основании B2.15) равно
Сопротивление обмотки потенциометра между точками /)иС, очевидно,
равно Rn— rx. Значит, общее сопротивление R% всех участков, подклю-
подключенных к точкам 1 и 2, составляет
(б)
Тогда силу тока / на участках IB, DC и С2 можно найти на основании
закона Омд.
(в)
В точке В (или в точке D) имеет место разветвление тока, причем
Составляя производную пропорцию
869

и учитывая, что /д+/го=/, получаем
/
Ibd
откуда
С учетом выражений (б), (в) и (г) уравнение (а) принимает вид
„,„=«,, Ъ-Ъ *?i
rx
откуда после преобразований находим окончательное выражение для ф#:
ДдД —р Дд/jf Г^
Теперь понятно, что разность потенциалов ф#— ф# на концах
участка с сопротивлением R зависит лишь от положения движка по-
потенциометра и может изменяться от нуля (движок находится в точ-
точке В; тогда гх=0, ф?>=ф1 и фд—ф/)=0) до максимального значения,
равного Ф1— ф2, когда движок находится в точке С (при этом гх~ /?п,
С сопротивлением потенциометра Rn нужно считаться, только исхо-
исходя из условия, чтобы сила тока, идущего через его обмотку, не была очень
большой Если сопротивления Rnn R малы, то при значительной разно-
разности потенциалов фх— ф2 сила тока, идущего через обмотку потенцио-
потенциометра, может стать достаточной для того, чтобы вывести потенциометр
из строя.
Значит, от сопротивления Rn зависит безотказная работа потенцио-
потенциометра при заданной разности потенциалов. Разность же потенциалов на
концах участка с сопротивлением R может изменяться от нуля до макси-
максимального значения, равного разности потенциалов на клеммах источни-
источника, лишь в зависимости от положения движка потенциометра
Амперметр предназначен для измерения силы тока на
том участке цепи, к которому он подключен последователь-
последовательно. Чтобы амперметр как можно меньше влиял на силу изме-
измеряемого тока, электрическое сопротивление обмотки ам-
амперметра должно быть по возможности малым. Бесконечно
малым это сопротивление быть не может, и от его значения
зависит диапазон сил токов, для измерения которых пред-
предназначен амперметр. Сила тока, проходящего через ампер-
амперметр, не должна превышать предельной силы тока, на ко-
которую амперметр рассчитан, так как иначе его обмотка вый-
выйдет из строя. Расширить диапазон измеряемых амперметром
сил токов удается за счет подключения к нему шунта.
370

Задача. Обмотка амперметра, предназначенного для измерения силы
тока до максимального значения /ь имеет сопротивление г. Определить
сопротивление R шунта, который нужно подключить к амперметру,
чтобы этим амперметром можно было измерять силы токов до максималь-
максимального значения, в п раз большего
Ясно, что шунт должен подключаться к амперметру параллельно.
Его назначение — «перепустить» через себя значительную долю тока
на участке.
Пусть амперметр с шунтом подключен к точкам цепи 1 и2 (рис 22.9).
Ток силой / в точке / разветвляется
на два тока, которые вновь соби-
собираются в точке 2. Поскольку заря-
ды в цепи нигде не скапливаются,
для точек 1 и 2 должен выполнять-
выполняться баланс токов*
(а)
Силы токов в двух параллель- Рис. 22 9
но соединенных участках обратно 1 *
пропорциональны их сопротивлениям (так как разности пелен ци-
алов на концах этих участков одинаковы), т. е.
h~R
Составив производную пропорцию -—¦—^=—~— и используя условие
h a
(а), получаем:
№ ¦
Чтобы обмотка амперметра не вышла из строя, сила тока, протекаю-
протекающего по ней, не должна превышать значения 1Ъ т. е. i'i=/i, в то время
как сила тока на участке до точки / и после точки 2 имеет значение, в п
раз большее, т. е. I=nli. Подставляя эти выражения в уравнение (б),
/ r + R
получаем -—=—^—, откуда
h К
R=
n — V
Таким образом, сопротивление шунта для расширения диапазона
измеряемых сил тока в п раз должно быть в (п—1) раз меньше сопротив-
сопротивления обмотки амперметра.
Для полноты картины отметим, что в некоторых случаях в качестве
амперметра может быть использован вольтметр. Представим, что вместо
амперметра на участке /—2 (рис. 22.9) включен вольтметр, сопротивле-
сопротивление обмотки которого равно г. Вольтметр предназначен для измерения
максимальной разности потенциалов Аф\ Максимальная допустимая
сила тока через обмотку вольтметра равна ^'1=Дф7/'. Подставляя это вы-
выражение в формулу (б), получим
371

откуда можно выразить сопротивление шунта к вольтметру;
*-"/г —Д<р''
Анализируя эту формулу, заключаем, что вольтметр можно ис-
использовать в качестве амперметра при условии, если /г>Дф', т. е. про-
произведение измеряемой силы тока на сопротивление обмотки вольтметра
должно быть больше предельной разности потенциалов, для измерения
которой предназначен вольтметр. Например, если /-=195 Ом и Лф'=
= 10 В, то таким вольтметром можно измерять силу тока до /=2,0 А
при подключении к вольтметру шунта, сопротивление которого равно
195-10 К1Г|
^-2,0-195-10 ^5>10^
Амперметр при последовательном подключении к нему
проводника, имеющего некоторое сопротивление (такой про-
проводник часто называют дополнительным сопротивлением),
может использоваться в роли вольтметра для измерения
разности потенциалов между точками подключения.
Задача. Обмотка амперметра имеет сопротивление г~\ Ом. Он
рассчитан для измерения сил токов до максимального значения /=
=2,50 А. Какое сопротивление R должен иметь проводник, при подклю-
подключении которого к амперметру пос-
последним можно будет измерять раз-
разности потенциалов фх— q>2 до мак-
максимального значения в 220 В (рис.
22 .Юр
Разность потенциалов <рд— ф2
на клеммах амперметра не должна
быть больше произведения /г, так
как иначе сила тока через чобмотку
амперметра превышала бы допу-
Рис 22 10" стимое значение При этом условии
максимальная сила тока на всем уча-
jQTKe 1B2 должна равняться /, раз-
разность потенциалов на концах проводника с сопротивлением R будет со-
составлять ф!—ф?=/#, а произведение максимально допустимой силы
тока / на суммарное сопротивление участка 1В2 как раз и должно рав-
равняться измеряемой разности потенциалов фх— ф2:
откуда
г. (а)
Подставляя численные значения заданных величин в СИг находим
Формулу (а) можно использовать и для расчета сопротивления
проводника, последовательно подключаемого к вольтметру^ если необ-
372

ходимо расширить диапазон измеряемых вольтметром разностей по-
потенциалов.
Пусть обмотка вольтметра имеет 'сопротивление г, причем он рас-
рассчитан для измерения максимальной разности потенциалов Дф'. Мы хо-
хотим использовать вольтметр для измерения разности потенциалов Д<р>
>Дф', подключив к нему проводник с сопротивлением R.
Допустимая сила тока /, проходящего через вольтметр, будет равна
/=Дф'//\ Подставляя это выражение в формулу (а), получим
или
Заслуживает внимания способ измерения сопротивлений
участков с помощью амперметра и вольтметра. Он счень
часто используется и допускает два возможных варианта
сбор ки измер ител ьной
схемы (рис. 22.11). Ка-
Какую из них нужно при-
применять в каждом кон-
конкретном случае?
Задача. Оценить относи-
относительные ошибки в измерении
сопротивления R проводника
о
Г0П
R
2
1
R 2.
Рис. 22.11.
с помощью амперметра, об-
обмотка которого имеет сопро-
сопротивление га, и вольтметра,
сопротивление обмотки кото-
которого гв, в двух вариантах
сборки электрической цепи
(схемы / и // на рис. 22.11).
Каждая из этих схем по-
своему плоха. В первой ам-
амперметр измеряет силу не того тока, который протекает по провод-
проводнику с сопротивлением R, хотя вольтметр измеряет разность потен-
потенциалов как раз на концах этого проводника. Амперметр в этом
случае, очевидно, измеряет суммарную силу двух токов: тока, проте-
протекающего по проводнику с сопротивлением R> и тока, проходящего
через обмотку вольтметра. Во второй схеме амперметр измеряет силу
тока, идущего по проводнику с сопротивлением R, но показания вольт-
вольтметра включают, кроме разности потенциалов на концах этого про-
проводника, еще разность потенциалов на клеммах амперметра.
Пусть R — истинное значение сопротивления, а Rp— значение со-
сопротивления, которое получается в результате расчетов по показаниям
амперметра и вольтметра. Рассмотрим обе схемы измерений.
Схема I. Амперметр показывает значение силы тока 1Ъ а вольт-
вольтметр показывает значение разности потенциалов (ft— <p2- Тогда расчет-
расчетное значение сопротивления
(а)
373

Ток между точками 1 и 2 протекает по двум параллельно соединенным
участкам с сопротивлениями R и гв. Общее сопротивление Ro этих участ-
участков найдем по известной формуле:
Поскольку на концах этих участков разность потенциалов равна
Фх—ф2э силу суммарного тока можно найти по закону Ома:
Теперь на основании (б) и (а) получаем связь расчетного значения со-
сопротивления с истинным:
. . (в)
Относительная ошибка /х измерения сопротивления в этом случае
будет равна
Подставив выражение для Rv\ из (в), получим
Схема П. Амперметр показывает значение силы тока /2', а вольт-
вольтметр — значение разности потенциалов фх—ср3- Тогда расчетное значе-
значение сопротивления в этом случае
о _Ф1"ФЗ /_ч
^р2=—т— (Д;
1 2
Разность потенциалов между точками 1 и 3 равна сумме произведений
силы тока /2 на сопротивление R проводника и на сопротивление га
обмотки амперметра:
/fl+/ (e)
Ка основании (е) и (д) имеем
(ж)
Чтобы не иметь дела с отрицательными значениями, относительную
сшибку в этом случае будем искать в виде f2—(RV2— R)/R> Подставив
выражение для /?р2 из (ж), получаем
Сравним выражения для расчета относительных ошибок. /х и f2.
Величины га, гв и R положительны. С ростом величины R ошибка из-
измерений ft по схеме I увеличивается, a f2 уменьшается. Если величина R
уменьшается2 то ошибка измерений fx по схеме I уменьшается, а /2 воз-
374

растает. Теперь ясно, что схему I нужно использовать при измерении
малых сопротивлений, а схему II — при измерении больших сопротив-
сопротивлений.
Но какие сопротивления считать малыми, а какие большими* Чтобы
ответить на этот вопрос, посмотрим на графики зависимости относитель-
относительных ошибок измерений ft и /2 от отношений R/r^ и R/ra, изображенные
на рис. 22.12. Эти графики постро-
построены по уравнениям (г) и (з). Решая
эти уравнения совместно, легко най-
найти, что абсцисса точки пересечения
обоих графиков имеет значение 1,62.
Обычно сопротивление обмотки
амперметра га бывает меньше сопро-
сопротивления обмотки вольтметра гв.
Тогда мы должны сказать, что если
измеряемое сопротивление R имеет
значение меньшее, чем 1,62 га, то
первая схема дает меньшую ошиб-
ошибку, чем вторая Если /?>1,62гв,
то нужно пользоваться второй
схемой.
А какая схема даст более точ-
точные результаты, если 1,62га<#<
< 1,62 г^> Этот вопрос уже нужно решать отдельно в каждом конкретном
случае, зная порядок значения искомого сопротивления R Если, на-
например, га=0,5 Ом, гв= 100 Ом, а сопротивление jR^50 Ом (это нам
известно, скажем» из грубых прикидочных расчетов), то /^0,33, a f2^
я^0,01, т. е. f2<h и нужно пользоваться второй схемой. А если при тех
же значениях сопротивлений обмоток приборов JR&1 Ом, то /001
а /2^0,5, т. е. /i</2 и следует пользоваться первой схемой.
О
1,62
Рис 22 12,
§23. МЕХАНИЗМ ПРОВОДИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ СРЕД
23.1. Электронная проводимость металлов
Не останавливаясь на рассмотрении опытных доказа-
доказательств электронной теории проводимости металлов, на-
напомним лишь об основных положениях этой теории. Не*
которые из них уже были использованы нами в предыдущих
параграфах.
Между положительными ионами, колеблющимися, вбли-
вблизи узлов кристаллической решетки металла, находится
электронный газ. В хаотическом тепловом движении элек-
электроны как бы плавают по всему объему проводника. Как
уже отмечалось, каждый электрон испытывает действие
сил притяжения со стороры ионов кристаллической решетки,
и это мешает ему выйти за пределы поверхности металла.
Лишь наиболее быстрые электроны могут преодолеть это
притяжение и вылететь из металла. Этот процесс напоминает
испарение жидкостей. Вылетевшие электроны, если их не
375

отводят от поверхности металла, образуют вблизи нее от-
отрицательно заряженное облако. Чем больше электронов
будет покидать металл, тем больше будет это облако, тем
труднее будет вылетать новым электронам. С другой сто-
стороны, вылетевшие электроны будут втягиваться в металл
возрастающими силами притяжения. В конце концов уста-
устанавливается динамическое равновесие между «испарившим-
«испарившимся» электронным газом и металлом. Это говорит о том, что
электроны обладают не только кинетической энергией тепло-
теплового движения, но и потенциальной энергией взаимодейст-
взаимодействия с веществом проводника.
При подключении проводника к источнику тока в про-
проводнике происходит перераспределение^ электронов, кото-
которое приводит к установлению электрического поля внутри
объема проводника, характеризующегося разностью по-
потенциалов, между любыми точками вдоль оси проводника.
Вследствие этого в проводнике возникает дрейф электро-
электронов — они приводят в упорядоченное движение. Поскольку
электроны имеют отрицательные заряды, скорости их упо-
упорядоченного движения направлены противоположно на-
напряженности поля Е внутри проводника. На электрон,
заряд которого равен —еу со стороны поля с напряженно-
напряженностью Е действует сила F——еЕ, сообщая ему ускорение
а=—еЕ/т.
Постоянство средней скорости упорядоченного движе-
движения электронов в проводнике при постоянной силе тока в
нем объясняется наличием сопротивления. Взаимодействуя
с ионами кристаллической решетки металла, электроны пе-
передают ионам часть своей энергии. Это приводит к тормо-
торможению электронов и к установлению постоянной средней
скорости их упорядоченного движения. Поскольку кон-
концентрация электронов велика и каждый из них за одну
секунду испытывает колоссальное число соударений, мы и
говорим о постоянной средней скорости упорядоченного
движения электронов по участку проводника конечной дли-
длины. При этом энергия, передаваемая электронами кристал-
кристаллической решетке металлического * проводника, оказыва-
оказывается равной той дополнительной энергии, которую они при-
приобретают в поле с напряженностью Е.
Мы уже обращали внимание на тот факт, что увеличение
внутренней энергии вещества проводника при перемещении
по нему единичного положительного заряда может быть вы-
выражено произведением IR (стр. 356, 357). Это возрастание
внутренней энергии оценивают количеством теплоты, вы-
376

делившимся в проводнике. Если сила постоянного тока в
проводнике с сопротивлением R равна /, то это означает,
что суммарный заряд, проходящий через поперечное сече-
сечение проводника за промежуток времени А/, равен Aq—
= /Д/. Возрастание внутренней энергии проводника при
этом, очевидно, будет определяться выражением Q=AqIR,
или
Q=I*RAt. B3.1)
Заметим, что такое количество теплоты выделяется в
участке металлического проводника с сопротивлением R за
промежуток времени Д^ при силе тока / независимо от того,
есть ли внутри этого участка источник тока или нет. Ведь
сила тока / на данном участке металлического проводника
определяется стационарным электрическим полем перерас-
перераспределенных на его поверхности и по его объему электронов,
а это перераспределение обеспечивается всеми источниками
тока, имеющимися в цепи, независимо от того, находятся
ли они внутри или за пределами рассматриваемого участка.
На основании B3.1) и уравнений закона Ома B2.6) —
B2.8) можно получить выражения, определяющие увели-
увеличение внутренней энергии проводника для различных част-
частных случаев.
Если участок проводника с сопротивлением R не содер-
содержит источников тока и разность потенциалов на концах
участка равна Д<р, то
<Э=№д/, B3.2)
Если на участке имеются источники тока с суммарной
электродвижущей силой <§, разность потенциалов на кон-
концах участка равна Дер, а его суммарное ^сопротивление
(включая внутренние сопротивления источников тока) рав-
равно R, то
Q =?*+&• Д*. B3.3)
Наконец, для замкнутой электрической цепи с общим
сопротивлением R и суммарной электродвижущей силой всех
источников ? имеем
Q^At. B3.4)
Выражения B3.1) — B3.4) являются уравнениями за-
кона Джоуля — Ленца, позволяющего определить увели-
377

чение внутренней энергии участка или замкнутой цепи
при наличии в них электрического тока.
Следует иметь в виду, что изменение энергии упорядо-
ченно движущихся по проводнику зарядов может сопро-
сопровождаться не только возрастанием внутренней энергии
проводника, но и изменением механической энергии про-
проводника в целом. Например, при протекании электриче-
электрического тока по незакрепленному или гибкому металлическо-
металлическому проводнику, помещенному в магнитное поле, проводник
или некоторые его участки могут прийти в движение.
Возрастание внутренней энергии металлического про-
проводника приводит к повышению его температуры или может
даже оказаться достаточным для осуществления перехода
его из твердого состояния в жидкое (плавкие предохраните-
предохранители и т. п.) В первом случае более высокой температуре соот-
соответствует более интенсивное колебательное движение ионов
кристаллической решетки и большая скорость хаотического
теплового движения электр.онов, т. е. увеличивается сред-
средняя кинетическая энергия теплового движения частиц и,
кроме того, возрастает потенциальная энергия взаимодей-
взаимодействия частиц вещества проводника. «Испарение» электро-
электронов, о котором мы упоминали в начале этого пункта, в та-
таких условиях облегчается, большее число электронов мо-
может преодолеть притяжение проводника и покинуть его.
В этом и заключается явление термоэлектронной эмиссии.
Закон Джоуля — Ленца справедлив не только для ме-
металлических проводников, но и для электролитов и газов.
В этих случаях внутренняя энергия жидкого или газооб-
газообразного проводящего ток вещества также увеличивается
из-за взаимодействий, из-за столкновений движущихся за-
заряженных частиц с другими заряженными или нейтраль-
нейтральными частицами вещества.
Задача. Сколько витков (п) нихрсмовой проволоки нужно навить
в один слой на фарфоровую втулку с внешним диаметром D=2,0 см,/
чтобы устроить кипятильник, в котором в течение 10 минут (т—10 мин)
будет закипать 500 г воды (т=500 г), взятой при начальной температуре
*0=20 °О Диаметр проволоки d=0^50 мм, удельное сопротивление ни-
нихрома в рассматриваемом интервале температур р=1,0»10" Ом»м.
Кипятильник будет включаться в штепсельную розетку с разностью по-
потенциалов Аф=^220 В. Коэффициент полезного действия кипятильника
принять равным 60% (т]=0,60).
В данном случае удобно воспользоваться уравнением закона Джоу-
Джоуля — Ленца в виде
378
«x, (a)

где R — сопротивление нагревательного элемента кипятильника. Коли-
Количество теплоты, необходимое для повышения температуры воды до
температуры кипения tKJin=l0QoC, равно
QB = mc(tKEU-t0)t (б)
где с — удельная теплоемкость воды. Поскольку на нагревание воды
расходуется не все количество теплоты, выделяющееся в спирали8
можем написать
или с учетом (а) и (б)
^(/кип~*о) = г|^-т. (в)
Сопротивление проволоки #=р -=-, где S=nd2/4: — площадь none-
nonets
речного сечения проволоки с диаметром d, 1—nDn — длина проволоки
(п — число витков, a nD — длина каждого витка спирали). Тогда
pitDn _4рРп
*~1Щ?—1Г (г)
Подставляя это выражение в (в) и разрешая полученное уравнение
относительно п, получаем
п—-
При использовании единиц СИ подставляем в формулу следующие
значения* т=600 с, <i=5,0-10~4 м, D=2,0-10~2 м, т=0,500 кг, с=
=4,19- Ш3 Дж/(кг-К).
Легко проверить, что результат решения получится безразмерным:
(с) (мJ (ВJ с-В2 сВ2
Дж \ ~Ом.Дж"~ Вд '
0,60 600 E,0 Л0-4J B20J
П~~ 4-1,0-10-6.2,0 10-2.0,500 4,19-103 A00-20) ~ витков-
23.2. Ионная проводимость электролитов
Электролитами являются растворы солей, кислот и ще-
щелочей, расплавы солей и металлов. В элементарном курсе
физики обычно ограничиваются рассмотрением водных
растворов солей, кислот и щелочей. Заряженные частицы,
обеспечивающие электрический ток в этих растворах, обра-
образуются в результате электролитической диссоциации. Из-за
взаимодействия с полярными молекулами воды молекулы
растворяемых веществ распадаются на разноименно заря-
заряженные «осколки» — ионы. Положительно заряженными
оказываются ионы металлов и водорода, а отрицательно
заряженными — кислотные остатки и гидроксильная
группа (ОН).
379

В отсутствие внешнего электрического поля ионы вместе
с нераспавшимися молекулами находятся в хаотическом
тепловом движении. Если же ионы оказываются во внеш-
внешнем поле (это поле обеспечивается перераспределением за-
заряженных частиц на электродах, подключенных к источ-
источнику тока и погруженных в раствор), то начинается их
упорядоченное движение двумя встречными потоками: поло-
положительные ионы устремляются к катоду, а отрицательные —
к аноду. Суммарный ток через раствор складывается из
обоих этих потоков.
Таким образом, механизм проводимости электролитиче-
электролитических растворов, о которых шла речь, оказывается ионным.
(Ионной проводимостью обладают и расплавы солей, а вот
проводимость металлов в жидком состоянии обеспечивается
электронами.)
Закон Ома продолжает действовать и в этом случае.
Как мы уже отмечали, с ростом температуры удельное со-
сопротивление электролитов уменьшается из-за дополни-
дополнительной ионизации нераспавшихся молекул и из-за уве-
увеличения подвижности ионов.
В результате прохождения электрического тока через
электролит на электродах выделяются вещества, входящие
в состав электролита. Кроме того, может наблюдаться пере-
переход вещества с одного электрода на другой. Эти процессы
называются электролизом.
Кроме большого прикладного значения, процесс элек-
электролиза сыграл важнейшую роль в установлении дискрет-
дискретности электрических зарядов. Тот факт, что заряды ионов
оказывались кратными некоторому наименьшему электри-
электрическому заряду, явился подтверждением наличия далее уже
не делимых «порций» электрических зарядов.
Явление электролиза описывается двумя законами Фара-
дея. Первый закон Фарадея утверждает, что масса т выде-
выделившегося при электролизе вещества пропорциональна
суммарному заряду Ад всех ионов, прошедших через элек-
электролит:
m=kAq. B3.5)
Если в течение промежутка времени At через электролит
протекал постоянный ток, сила которого /, то Aq=IAt и
m=kIAt. B3.6)
В ^тих формулах k — электрохимический эквивалент
380

вещества — физическая величина, определяемая отноше-
отношениями
k = ?. или k^~. B3.7)
Измеряя на опыте ти Aq или т, / и А/, можно определить
электрохимические эквиваленты выделяющихся при элек-
электролизе веществ.
Из B3.7) видно, что электрохимический эквивалент в
СИ измеряется в кг/Кл, или в кг/(А-с).
Второй закон Фарадея устанавливает пропорциональную
связь между электрохимическим и химическим эквивален-
эквивалентами вещества:
й = С- = -^, B3.8)
где M/Z — химический эквивалент вещества — величина,
равная отношению молярной "массы М вещества к его ва-
валентности Z, a C=l/F — коэффициент пропорциональности,
универсальный для всех веществ. Величину F называют
числом (или постоянной) Фарадея. Ее физический смысл
легко установить на основании объединенных уравнений
обоих законов- Фарадея:
m=-pr-?Aq, или т = тг -у / А/. B3.9)
Например, из B3.9) видно, что постоянная Фарадея по
численному значению равна заряду Aq всех ионов, прошед-
прошедших через электролит, если масса т выделившегося при
электролизе вещества по численному значению равна хи-
химическому эквиваленту MIZ данного вещества. Экспери-
Экспериментальным путем определено, что
f=9,65-104 Кл/моль.
Задача, Никелирование металлической детали с поверхностью 5=
= 150 см2 продолжалось 6 часов при силе постоянного тока /=0,20 А.
Определить толщину б слоя покрытия, если валентность никеля 2=2.
При заданной площади слоя никеля мы сможем найти его толщину,
если будет известен объем V слоя. По формуле B3.9) можно найти
массу т выделившегося при электролизе никеля. Тогда V—m/p, где р —
плотность никеля, которую найдем по таблице. Теперь можно найисать
выражение для толщины слоя никеля:
0=—=—^, прячем т=~ру I At.
Находим
* 1 Ml М
381

Производя расчет в СИ, подставим в эту формулу следующие зна-
значения заданных и табличных величин: F=9,65« 104 Кл/моль, М=
=58,7-Ю-3 кг/моль, /=0,20 А, Д/^2,16-104 с, р=8,9-103 кг/м3, S=
= 1,5-10~2 м2. Тогда
(кг/моль) (А) (с) __ А • с. м __
(Кл/моль) (кг/м3) (м2)~ Кл ~М
58,7.10-3 0,20-2,16.10* „98.10-«ц
9,65-104 2 8,9-103. l,5-10-2
23.3. Электрический ток в газах
Газы в обычных условиях не являются проводниками
электрического тока, так как атомы и молекулы, из которых
они состоят, электрически нейтральны. Чтобы газ стал про-
проводящим, нужно воздействием на него извне добиться обра-
образования в нем подвижных заряженных частиц — ионов и
электронов — или ввести в него заряженные частицы. Ис-
Источники ультрафиолетового, рентгеновского, радиоактив-
радиоактивного излучений или значительное повышение температуры
газа в результате теплообмена могут привести к его иони-
ионизации. После этого газ становится проводящим, причем
переносчиками тока являются молекулы или атомы с «отор-
«оторванными» или «лишними» электронами и свободные элек-
электроны. В этом состоит отличие проводимости газов от про-
проводимости электролитических растворов. Проводимость
электролитических растворов является ионной, а проводи-
проводимость газов носит ионно-электронный характер.
Под воздействием внешнего электрического поля в иони-
ионизованном газе создаются два встречных потока заряженных
частиц. При увеличении до известного предела разности
потенциалов на концах ионизованного газового столба ток
в нем усиливается в согласии с законом Ома. Это связано
с тем, что при увеличении напряженности поля все новые
ионы вовлекаются в упорядоченное движение между элек-
электродами. Начиная с некоторого значения разности потен-
потенциалов для данного объема газа, ионизуемого определенным
ионизатором, рост силы тока прекращается (ток насыще-
насыщения), так как все ионы, образующиеся за единицу времени
в единичном объеме газа, уносятся электрическим полем.
Описанные процессы имеют место при так называемом
несамостоятельном газовом разряде. Если источник иони-
ионизации перестает действовать, электрический ток через газ
382

прекращается, так как имевшиеся в нем ионы перенесены
между электродами, а новые ионы не образуются.
Если после достижения тока насыщения при несамосто-
несамостоятельном газовом разряде продолжать увеличивать раз-
разность потенциалов между электродами, характер разряда
может измениться за счет ионизации молекул или атомов
газа при столкновениях с электронами, разогнанными элек-
электрическим полем до больших скоростей (так называемая
щнизация электронным ударом). При этом кинетическая
энергия электронов оказывается достаточной для того,
чтобы они смогли совершить работу по отрыву электронов
от не ионизованных ранее атомов или молекул. Пополнение
запаса электронов в газе в этих условиях происходит за
счет их выбивания положительными ионами из катода.
Такой разряд носит название самостоятельного газового
разряда. Необходимость во внешнем ионизаторе для под-
поддержания самостоятельного разряда отпадает.
Если давление газа уменьшается, самостоятельный раз-
разряд начинается при меньшей разности потенциалов между
электродами. Это связано с тем, что работа, которая должна
быть совершена при ионизации атомов или молекул дан-
данного газа, так называемая работа ионизации (точно так
же как и работа по выбиванию электронов из вещества
данного катода — работа выхода электрона), имеет впол-
вполне определенное значение. Чтобы кинетические энергии
электронов или ионов были достаточными для совершения
той или иной работы, эти частицы должны успеть приобре-
приобрести определенные скорости. Подобно тому как скорости
электронов в металлах могут увеличиваться только на рас-
расстояниях, равных средней длине свободного пробега, ус-
ускоренное движение электронов или ионов в газе происходит
также на длине свободного пробега. Чем меньше давление
газа при постоянной температуре, тем меньше концентра-
концентрация его частиц, тем больше их средняя длина свободного
пробега, тем меньшим по напряженности полем можно ра-
разогнать данную заряженную частицу до определенной ско-
скорости на длине свободного пробега.
23.4. Электрический ток в вакууме
Получить электрический ток в вакуумной трубке только
лишь за счет термоэлектронной эмиссии с катода не уда-
удается. Дело в том, что электроны, покидающие катод, не
уходят очень далеко и «плавают» в виде электронного
383

облака вблизи него. Между катодом и электронным облаком
устанавливается электрическое поле, препятствующее уда-
удалению вылетевших электронов. Только подключив к ва-
вакуумной трубке, кроме источника питания катода, источник
ускоряющего поля между катодом и анодом, удается полу-
получить в ней электрический ток. Сила этого тока зависит как
от температуры катода (она определяет для данного веще-
вещества катода число электронов, вылетающих с единицы его
поверхности за единицу времени), так и от разности по-
потенциалов ускоряющего поля (сколько электронов и с какой
скоростью будут пролетать в промежутке между катодом и
анодом).
Носителями электрического тока в вакууме могут быть,
конечно, не только электроны, но и другие заряженные
частицы, которые будут вводиться в откачанный сосуд (на-
(например, ионы).
Но о каком же вакууме идет речь, если в сосуде имеются
частицы? Такой вопрос часто возникает у тех, кто под ва-
вакуумом понимает полное отсутствие каких бы то ни было
частиц.
С таким абсолютным вакуумом нам не приходится
встречаться никогда, даже в космической пустоте. В физике
под вакуумом понимают такое состояние любого газа, когда
средняя длина свободного пробега его частиц превышает
размеры сосуда, содержащего этот газ. Концентрация ча-
частиц газа при этом столь мала, что за время движения от
одной стенки сосуда до другой они между собой не сталки-
сталкиваются.
Работа силы ускоряющего поля при движении заряжен-
заряженной частицы в вакууме, с одной стороны, определяет убыль
потенциальной энергии частицы в согласии с A9.12) или
A9.16), а с другой, в согласии с теоремой о кинетической
энергии, эта работа равна возрастанию кинетической энер-
энергии частицы в выбранной инерциальной системе отсчета.
Если частица с зарядом q и массой т перемещается в элек-
электрическом поле из положения 1 в положение 2, причем
разность потенциалов между точками 2 н^1 поля равна
Аф21, то
mv\ mv\
При решении задач, в которых начальная скорость частицы
может быть принята равной нулю, часто пользуются более
384

краткой записью:
B3.11)
связывающей кинетическую энергию частицы sB конечном
положении с абсолютным значением изменения ее потен-
потенциальной энергии в ускоряющем поле.
В сильно откачанном сосуде почти нет препятствий для
движения электронов или других заряженных частиц.
Поэтому изменения их скоростей будут происходить толь-
только в пределах тех областей, где на частицы действуют силы
электрического поля. (В общем случае неинерциальный
характер движения заряженных частиц может обеспечи-
обеспечиваться не только электрическим полем, но и некоторыми
другими, например магнитным.) Электрон в «электронной
пушке» ускоренно движется на участке от катода до анода,
а дальше, если нет воздействия других полей, он будет
двигаться инерциально с той скоростью, которую он при-
приобрел в ускоряющем поле. Так называемые отклоняющие
пластины, вводимые в электронно-лучевую трубку, обес-
обеспечивают получейие электростатических полей, с помощью
которых осуществляется управление электронным пучком.
Задача. В вакуумной трубке пучок электронов ускоряегся электри-
электрическим полем между катодом и анодом, разность потенциалов между ко-
которыми равна Аф!-==5.6» 10s В. Далее пучок попадает в середину зазора
Рис. 23.1.
между двумя параллельными горизонтальными пластинами. Какова
должна быть разность потенциалов Аф* между пластинами, чтобы на
выходе из зазора пучок сместился на ш/=5,0 мм? Длина пластин /==
=5,0 см, расстояние между ними d=2fi см.
Пунктиром на рис. 23.1 обведена «электронная пушка». Ее катод
питается от источника с электродвижущей силой $х* В аноде имеется от-
отверстие О малого диаметраг обеспечивающее получение тонкого элек-
электронного пучка.
13 Ю. А. Селезнев
385

В поле между катодом и анодом электроны приобретают скоростц
которая может быть найдена в согласии с уравнением B3.11):
v = У2е Афх/m. (а)
С такой скоростью электроны будут двигаться инерциально на
участке ОВ.
Изменение движения электронов будет происходить только на участ-
участке BD, в пределах которого они будут испытывать действие сил со
стороны поля пластин. За точкой D движение вновь будет инерци-
альным.
Если поле между пластинами однородно и векторы напряженности
в любой его точке направлены так, как показано на рис. 23.1, то на участ-
участке BD на каждый электрон будет действовать постоянная сила F, на-
направленная вертикально вниз, которую нетрудно найти. Напряженность
поля пластин в согласии с A9.20)
* d #
Тогда сила, действующая на электрон,
а ускорение, сообщаемое этой силой электрону, можно выразить в соот-
соответствии со вторым законом Ньютона:
Вертикальное смещение электрона вызывается действием силы
F, а движение по горизонтали на расстоянии, равном длине плас-
пластин, является равномерным. Для этого случая на основании A.18)
имеем
l = vAt (г)
и
Y (д)
так как Д*=/г vOx=v, ax=Q, vOy—Q, ay~a и Дг=0. С учетом (в)
и (г)
После подстановки выражений для F и v из (б) и (а) и сокращений по-
получаем
откуда искомая разность потенциалов равна
38Q

(дробь в этом выражении безразмерна, так что размерности Дф2 и A<pi
совпадают). Подставляем числовые значения и получаем
Анализируя формулу (е), можно заключить, что отклонение заря-
заряженной частицы в однородном поле пластин заданной геометрии зависит
лишь от соотношения между разностями потенциалов ускоряющего и
отклоняющего электрических полей и не зависит от массы и заряда ча-
част цы.
23.5. Электрический ток в полупроводниках
Если посмотреть на таблицу удельных сопротивлений
различных веществ, то можно заметить, что разрыв между
удельными сопротивлениями металлов (от 10~6 до 10~8
Ом-м) и диэлектриков (от 108 до 1018 Ом-м) огромен.
Первые являются очень хорошими проводниками электри-
электрического тока, вторые используются как изоляторы, которые
при встречающихся на практике напряженностях электри-
электрических полей тока не проводят. А имеются ли вещества с
промежуточными значениями удельных сопротивлений от
10 до 108 Ом» м? Таких веществ в окружающей нас природе
насчитывается очень много. Они называются полупро-
полупроводниками. Германий, кремний, теллур, окислы метал-
металлов, соединения металлов с серой, теллуром и селеном
и другие вещества обладают полупроводниковыми^ свой-
свойствами.
Вспомним, что мы с некоторой осторожностью говорили
о свободных электронах в металлах. В свое время мы упо-
упоминали, что даже в металлах подвижные электроны нахо-
находятся в поле электрических взаимодействий с ионами и их
свобода ограничена. Они, например, не могут беспрепят-
беспрепятственно покинуть металлический проводник. С другой сто-
стороны, диэлектрики, которые очень часто считаются веще-
веществами без свободных зарядов, при некоторых условиях
могут проводить электрический ток. С такими случаями мы
имеем дело при пробое диэлектрика, помещенного в элек-
электрическое поле с очень большой напряженностью. Наконец,
известно, что с повышением температуры в некоторых
диэлектриках легче обеспечить упорядоченное движений
зарядов. Все это говорит о том, что резкой границы
между проводниками и диэлектриками провести нельзя и
электрические свойства различных веществ, в *гом числе и
13* 387

полупроводников, находятся в тесной связи с их внутрен-
внутренним строением.
Атомы, молекулы и ионы веществ содержат электроны.
И если различные вещества по-разному реагируют на дей-
действия внешних электрических полей, то не связано ли это
с различием во взаимодействии электронов с остальными
частицами вещества? Не способствует ли повышение темпе-
температуры освобождению электронов и в tarax веществах, ко-
которые при низкой температуре являются изоляторами?
(Многим нашим читателям, очевидно, известен опыт с зам-
замкнутой электрической, цепью, одним из участков которой
является стеклянная палочка. При комнатной температуре
ток в такой цепи практически отсутствует. Но если стеклян-
стеклянную палочку поместить в пламя газовой горелки, по цепи
потечет ток — загорится лампочка, включенная в цепь,
сдвинется с нуля стрелка амперметра и т. д.) Изучение стро-
строения вещества на электронном уровне позволило ответить
положительно на такие вопросы.
Электроны в металлах лучше было бы назвать слабо свя-
связанными с ионами кристаллической решетки. Достаточно
бывает слабого внешнего электрического поля, чтобы ув-
увлечь их в упорядоченное движение.
Механизм электрического тока в электролитах и газах
нам известен. Молекулы растворяемых веществ диссоци-
диссоциируют под электрическим воздействием молекул раствори-
растворителя, ионы газов образуются при отрывании и перераспре-
перераспределении электронов в результате столкновений частиц или
под действием ионизующего «излучения. При этом образу-
образуются ионы и свободные электроны, которые под действием
внешнего электрического поля приходят в упорядоченное
движение. В принципе можно добиться прохождения элек-
электрического тока через любое вещество, воздействуя на него
одним только внешним достаточно сильным электрическим
полем. Поле с очень большим значением напряжейности
может высвободить подвижные электроны (электроны про-
проводимости, как их называют), которые, подхваченные тем
же полем, приведут к пробою вещества.
Если для пробоя диэлектриков напряженность внешнего
электрического поля должна б&ть очень большой, то для
возникновения проводимости полупроводников эта напря-
напряженность может быть во много раз меньшей. Это говорит
о том, что электроны в полупроводниках связаны с атомами
или молекулами менее прочными связями, чем в диэлектри-
диэлектриках. Это согласуется с тем фактом, что удельные сопротив-
388

ления полупроводников имеют промежуточные значения
по сравнению с удельными сопротивлениями металлов и
диэлектриков.
Казалось бы, на основании анализа взаимодействий ча-
частиц, образующих полупроводниковые вещества, мы не по-
получаем ничего принципиально нового и интересного. Много
ли пользы от того, что пробой кристалла германия проис-
происходит в более слабом поле, чем пробой слюды, фарфора и
других диэлектриков?
Значение того или иного физического явления или факта
не всегда оценивается по масштабам сопровождающих его
эффектов. Многие физические открытия не имеют непосред-
непосредственного прикладного значения. Давление света, напри-
например, не дало человечеству новых возможностей использо-
использования энергии солнечного излучения, оно слишком мало,
чтобы приводить в движение колесо турбины и т. п. Но его
открытие сыграло очень важную роль в установлении элек-
электромагнитной природы света, в подтверждении его матери-
материальности.
Пробой полупроводника, который мы сравнили с пробоем
диэлектрика, имеет место только для химически чистого
полупроводящего вещества, без малейших примесей ино-
инородных веществ, без малейших изъянов в кристаллической,
решётке. Практическое получение чистого полупровод-
полупроводника — задача очень сложная. В настоящее время получи-
получили распространение именно не чистые полупроводники,
а полупроводящие вещества с различными примесями и
неоднородностями в кристаллической решетке, причем
изменением количества и характера этих примесей можно
влиять на электрические свойства полупроводников.
Проводимость таких полупроводников называют примес-
примесной проводимостью.
> Рассмотрим для примера широко используемый в послед-
последнее время полупроводниковый элемент германий. Атомы
германия четырехвалентны — на их внешней, слабее дру-
других связанной с атомным ядром оболочке находятся четыре
электрона, которые обеспечивают химическую связь дан-
данного атома с соседними. Эта связь достаточно прочна. С ее
разрушением и связан пробой полупроводника в сильном
электрическом поле или в слабом поле, но при повышении
температуры.
Если вместо некоторых атомов германия в кристалличе-
кристаллической решетке содержатся атомы пятивалентного вещества,
например мышьяка, то электрические свойства германия
389

изменяются. На внешней оболочке атома мышьяка содер-
содержится пять электронов. Четыре из них участвуют в созда-
создании химической связи с соседними четырьмя атомами гер-
германия, а^дятый остается свободным, очень слабо связанным
со «своим» атомом. Тепловое движение даже при невысоких
температурах обеспечивает разрушение этой связи. Таким
образом, под воздействием внешнего электрического поля
в таком полупроводнике возникнет'электрический ток, свя-
связанный с упорядоченным перемещением примесных элек-
электронов. Такую проводимость называют электронной или
проводимостью п-типа.
Совсем иное происходит в германии, если он содержит
трехвалентную примесь, например алюминий. Три валент-
валентных электрона атома алюминия обеспечивают его химиче-
химическую связь только с тремя соседними атомами германия.
Связь с четвертым атомом германия не устанавливается и
остается незаполненной. В этом месте обнаруживается не-
недостаток одного электрона, что эквивалентно присутствию
в этом месте носителя положительного электрического за-
заряда. Такие незаполненные связи принято называть поло-
положительными дырками, а проводимость полупроводника в
этом случае называют дырочной или проводимостью р-типа.
Дырки заполняются электронами от соседних атомов, при-
причем уход электронов образует дырки на новых местах, кото-
которые вновь заполняются электронами от соседних атомов,
и т. д. Если тепловое движение электронного газа в металле
или в полупроводнике я-типа является хаотическим дви-
движением электронов, то можно считать, что в полупровод-
полупроводнике р-типа происходит хаотическое тепловое движение
дырок.
Моделью движения дырки может служить игра «в пят-
пятнадцать». В плоской квадратной коробке имеется 15 квад-
квадратных шашек и одно незаполненное место, представляю-
представляющее собой дырку. Последовательное перемещение шашек на
свободное место приводит к перемещению дырки по полю
коробки. Ее можно перегнать, например, из левого ближ-
ближнего к нам угла коробки в правый дальний и т. д.
Поскольку дырки эквивалентны положительным элек-
электрическим зарядам, можно представить, что электрический
ток в полупроводнике р-типа обеспечивается упорядочен-
упорядоченным перемещением дырок под воздействием внешнего поля.
Не следует забывать, конечно, что и при дырочной прово-
проводимости реальными переносчиками электрического тока
по-прежнему являются электроны! Дырки служат лишь удоб-
390

ной моделью, никаких дырок в действительности не суще-
существует. Только механизм перемещения электронов в слу-
случаях различной проводимости полупроводника неодинаков.
При проводимости м-типа электроны полупроводника, так
же как свободные электроны металла, непрерывно переме-
перемещаются под действием поля по всему объему вещества. При
проводимости р-типа электроны перемещаются от одной
незаполненной связи, или дырки, к другой.
Число электронов проводимости в металле по порядку
величины равно числу его атомов A022—1023 в одном куби-
кубическом сантиметре) и не зависит практически от темпера-
температуры. Этим и объясняется хорошая электропроводность ме-
металла. Ясно, что примесные полупроводники, проводимость
которых связана, как правило, с наличием очень малого
количества примесных атомов, дающих по одному электрону
или по одной дырке, очень далеки по числу переносчиков
тока от металлов.
Замечательной особенностью полупроводников является
очень резкая зависимость их удельных сопротивлений (ко-
(которые остаются большими, чем удельные сопротивления
металлических проводников) от температуры и от воздей-
воздействия других внешних факторов.
С ростом температуры удельное сопротивление полупро-
полупроводников уменьшается. Если, например, удельное сопро-
сопротивление металла при повышении температуры на 3Q0Q
увеличивается примерно в два раза, то при таком же по-
повышении температуры удельное сопротивление некоторых
полупроводников уменьшается в несколько тысяч раз. Это
связано с тем, что тепловое движение частиц в полупровод-
полупроводнике даже при малых изменениях температуры приводит к
высвобождению новых электронов или дырок, так что пере-
переносчиков тока становится значительно больше.
В частности, эта особенность полупроводников позво-
позволяет использовать их в качестве измерителей температуры,
которые могут иметь очень малые размеры (буквально с
булавочную головку) и позволяют регистрировать измене-
изменения температуры до миллионных долей градуса. Чувстви-
Чувствительность термометров любой другой конструкции намного
меньше.
В последние годы широкое применение в различных об-
областях науки и техники нашли полупроводниковые выпря-
выпрямители, усилители, фотоэлементы и другие устройства,
которые много меньше по размерам, долговечнее и эконо-
экономичнее электронно-вакуумных приборов.
391

§ 24. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
постоянных токов
Изучая и объясняя электростатические явления и про-
процессы движения носителей электрических зарядов, мы не-
неизбежно должны были углубиться внутрь вещества, при-
причем признание атомов и молекул вещества его наименьшими
составными частями не было достаточным для объяснения
электрических взаимодействий и многих свойств вещества.
Рассмотрение вещества на электронном (точнее, атомно-
электронном) уровне открыло новые свойства веществ —
электрические свойства. Механические и тепловые явления
изучаются на менее глубоком уровне, когда не учитывают
электрических процессов, происходящих в изучаемых
объектах.
При изучении поведения систем заряженных частиц или
тел приходится еще раз расширить, обобщить закон сохра-
сохранения энергии. Энергия электрических взаимодействий
является еще одним звеном в энергетическом анализе явле-
явлений природы, причем этот вид энергии не оказывается
чуждым всем другим, нам уже известным. Изменение энер-
энергии электрического взаимодействия может приводить не
только к изменению механической энергии отдельных заря-
заряженных микроскопических частиц, но и к. изменению
механической энергии макроскопических тел (например, пе-
перемещение проводника с током в магнитном поле). В ре-
результате прохождения электрического тока по провод-
проводникам изменяется их внутренняя энергия. Под воздействи-
воздействием электрических полей возможны тепловые эффекты и в
диэлектриках (например, в быстро изменяющемся электри-
электрическом поле температура диэлектрика увеличивается, что
удается объяснить, учитывая «трение» между его повора-
поворачивающимися или деформирующимися дипблями). Про-
Протекание электрического тока по электролитам сопровожда-
сопровождается химическими эффектами (процесс электролиза).
Все это позволяет рассматривать энергию электрических
взаимодействий как одну из компонент внутренней энергии
вещества и, кроме того, как важнейшую характеристику
электрических полей.
Мы подчеркивали, что материальными объектами, осу-
осуществляющими взаимодействия, являются поля (гравита-
(гравитационные, кулоновские и другие). Поля, так же как части-
частицы или тела — скопления частиц, существуют в природе
392

независимо от наших желаний или действий, и мы можем
лишь перераспределять эти поля. Кирпич или любое дру-
другое тело — это не только совокупность большого числа ча-
частиц (молекул, ионов, атомов или атомных ядер и электро-
электронов), это, кроме того, «сгустки» полей: гравитационного,
так как все частицы находятся во взаимодействии в согла-
согласии с законом всемирного тяготения, электрического, так
как электроны и ядра атомов испытывают электрические
взаимодействия, и некоторых других. ^
Следует еще раз напомнить очень важное положение о
невозможности устойчивого равновесия системы свободных
электрических зарядов. Диализ этого факта привел нас к
признанию невозможности покоя заряженных частиц, сос-
составляющих любое тело.
; Таким образом, внося уточнения в модельные представ-
представления о «кирпичиках» мироздания, мы должны представлять
их непременно как движущиеся частички. Движется такая
частичка (при малости ее размеров можно не говорить о ее
форме) и вместе с собой несет целый набор полей, которые
обеспечивают взаимодействие этой частички со всей окру-
окружающей ее материей. В такой грубой и пока еще «очень
механической» модели огромное многообразие тел и частиц
мы должны представлять как бесчисленное множество ча-
частичек, очень неравномерно, «сгустками», распределенных
в пространстве. Эти «сгустки» неодинаковы по размерам:
маленькие соответствуют изолированным атомам или дру-
другим микроскопическим образованиям, большие — макро-
макроскопическим телам. В пространстве между частичками —
сложнейшее переплетение полей. Картина не из простых! *
И чтобы разобраться в ней, мы договорились учитывать
прежде всего преобладающие в данной задаче, характерные,
существенные взаимодействия и не дробить, если это поз-
позволяет нам прийти к правдоподобному результату, «сгуст-
«сгустки» частиц на составные части.
Исследователь природы подобен посетителю живописной
панорамы. Единым взглядом полотна картины не охватишь.
Ее можно изучить лишь по частям и на основании этого сос-
составить представление о картине. Можно изучить каждый
участок картины и с помощью микроскопа. При этом
мы получим представление о мельчайших деталях, но, что-
чтобы картина не потеряла для нас ценности художествен-
художественного произведения, общее представление о ней, о ее со-
содержании и его воплощении не должно затмеваться де-
деталями*

Качественное и количественное рассмотрение электроста-
электростатических явлений и изучение постоянных токов мы фак-
фактически сводим к описанию покоящихся или движущихся
заряженных частиц и тел, взаимодействующих между со-
собой уже не по законам механики. Такой подход обеспечил
пока достаточную наглядность, к которой мы всегда стре-
стремимся, если это только возможно, и позволил привести в
соответствие данные опытов и наших теоретических рассуж-
рассуждений.
Заслуживает особого внимания вопрос о скорости рас-
распространения электрических взаимодействий. Мы уже го-
говорили, что тепловое хаотическое движение частиц внутри
вещества, в том числе и свободных электронов в металлах,
происходит с большой скоростью, зависящей от его темпе-
температуры. Ясно также, что, каким бы большим ни было
значение средней скорости этого хаотического теплового
движения, оно не определяет скорости упорядоченного дви-
движения заряженных частиц. Среднюю скорость упорядочен-
упорядоченного движения электронов проводимости в медном провод-
проводнике, удельное сопротивление которого принадлежит к
числу наименьших, мы подсчитали в задаче на стр. 353, 354.
Она оказалась весьма малой (примерно десятая доля мил-
миллиметра в секунду). Так что же, если длина провода от
штепсельной розетки до настольной лампы составляет,
скажем, два метра, от момента включения до начала све-
свечения лампы нам придется ждать пять с лишним часов?
Хорошо известно, что это не так. Даже при включении ру-
рубильника на электростанции, очень далекой от населен-
населенного пункта, электрические лампочки в нем начинают све-
светиться практически тотчас же, без всякой паузы. В чем
же дело?
Ответ мы находим в том, что электрические возмущения,
или изменения электрических полей, распространяются и в
веществе, и в вакууме с огромной скоростью (для вакуума
примерно равной 300 000 км/с). Не с бесконечно малой или
с бесконечно большой, а с вполне определенной конечной
скоростью! Стоит нам развести в стороны стеклянную па-
палочку и кусок амальгамированной кожи, в результате со-
соприкосновения которых произошла их электризация, как
в пространстве вокруг них установятся электрические поля.
Если где-то в этом пространстве находится, к примеру, за-
заряженный шарик, он начнет испытывать действие сил со
стороны этих полей не сразу, а через отрезок времени, не-
необходимый полям для распространения до него. Если вновь

свести палочку и кусок кожи, в окружающем пространстве
напряженность суммарного поля перераспределенных в
них в результате электризации электронов станет равной
нулю, но сила воздействия на шарик исчезнет не мгновенно,
а с некоторым запаздыванием.
И, наконец, последнее. Мы договорились под электриче-
электрическим, током понимать всякое упорядоченное движение за-
заряженных частиц или тел. Ток может протекать по веще-
веществу, в котором в силу тех или иных причин имеются по-
подвижные заряженные частицы, увлекаемые внешним элек-
электрическим полем. Ток может протекать и в вакууме, если
мы внесем в него заряженные частицы. Электронные (ка-
(катодные) лучи или потоки любых заряженных частиц пред-
представляют собой «ниточки» электрического тока. Если в ва-
вакууме будет двигаться всего-навсего один электрон, он тоже
создаст электрический ток на пути своего движения. Если
его траектория будет ограниченной (от одного электрода до
другого), то ток будет кратковременным и малым по силе.
Но все-таки это будет ток!
Разумеется, с электрическим током мы будем иметь дело
и в тех случаях, когда заряженная частица будет двигаться
по замкнутой траектории, например по окружности или по
эллиптической кривой. Здесь налицо упорядоченное дви-
движение заряженной частицы. Поперечное сечение такой
«ниточки» электрического тока будет очень малым, и сила
тбка~будет определяться скоростью частицы и ее электри-
электрическим зарядом. J ч v v,
* Стоит теперь вспомнить, что в любом атоме вещества
электроны непрерывно движутся, как мы приходим к за-
заключению, что веществу должны быть присущи не только
свойства неподвижных носителей электрических зарядов, но
и «токовые» свойства. Каждый электрон обеспечивает вну-
внутри атома вещества замкнутый микроток. Сколько элек-
электронов — столько и микротоков имеется внутри вещества.
Используя модельное представление об электронных ор-
орбитах внутри атомов вещества, можно отметить также, что
дополнительные электрические микротоки могут возникать
в веществе из-за поворота плоскостей электронных орбит
вокруг атомного ядра или из-за деформации орбит.

ГЛАВА VII
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
ВЕЩЕСТВА
§ 25. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО СВОЙСТВА
25.1» Свойства движущихся заряженных частиц
или тел
Любой ток (ток проводимости или ток конвекционный)
характеризуется способностью взаимодействовать с дру-
другими токами (с другими упорядоченно движущимися носи-
носителями электрических зарядов) при посредстве сил, которые'
носят название магнитных сил. В этом случае мы снова стал-
сталкиваемся с полевым взаимодействием: движущийся элек-
электрический заряд, кроме электрического поля, характери-
характеризуется полем магнитным, действующим на движущиеся
заряженные частицы или тела.
Весьма существенно, что источниками магнитного поля
являются заряженные частицы или тела, движущиеся
в данной инерциальной системе отсчета, и что силовое воз-
воздействие со стороны магнитного поля испытывают только
движущиеся электрические заряды (так, на неподвижный
заряженный стеклянный шарик стационарное магнитное
поле не действует).
Можно показать, что магнитное взаимодействие не сво-
сводится к кулоновскому или гравитационному. Например, два
неподвижных в какой-то инерциальной системе отсчета
электрона; как одноименно заряженные частицы, взаимодей-
взаимодействуя по закону Кулона, могут только отталкиваться. Но
если они движутся в инерциальной системе отсчета по па-
параллельным траекториям в одну сторону с одинаковыми или
с разными по модулю скоростями, кроме электрических сил
отталкивания на них действуют силы магнитного притяже-
притяжения, которые зависят от скоростей движения электронов в
данной системе отсчета и могут во много раз превосходить
39S

силы гравитационного взаимодействия между электронами.
При скоростях, меньших скорости света в вакууме, силы
магнитного притяжения электронов оказываются очень
малыми по сравнению с силами электрического оттал-
отталкивания.
25.2. Как обнаруживают магнитные поля?
Простейшим устройством, с помощью которого можно
обнаружить действие магнитных сил, является магнитная
стрелка, известная естествоиспытателям с давних пор. По-
Помещая маленькую стрелку в различные точки пространства
вокруг того места, где имеются Движущиеся электрические
заряды, по ее поведению судят о наличии магнитных сил.
Стрелка по-разному ориентируется ^в различных точках
магнитного поля, на различные углы может закручиваться
или отклоняться нить, на которой она подвешена. Чем
больше этот угол, тем больше магнитная сила. О направле-
направлении последней мы судим по направлению воздействия этой
силы на северный полюс магнитной стрелки.
Источниками магнитного поля могут быть не только
электрические токи, но и некоторые тела, подобные самой
магнитной стрелке, так- называемые постоянные магниты.
Природу их магнитных свойств мы выясним несколько
позже, но магнитные поля этих тел >*ы снова можем изме-
измерять с помощью магнитной стрелки.
Легко сказать, что магнитная стрелка позволяет узнать
направление действующей на нее магнитной силы. Но если
мы хотим узноть модуль этой силы, то следует считаться с
тем, что он зависит и от магнитных свойств самой стрелки,
измерять которые мы пока не умеем. В принципе можно
было бы измерять различные поля с помощью одной и той
же эталонной магнитной стрелки, но практически это не-
возможно, так же как невозможно, чтобы все магази-
магазины и ателье пользовались одним-единственным эталон-
эталонным метром при отмеривании длины текстильных матери-
материалов. Такая эталонная магнитная стрелка невоспроиз-
водима.
В основе использования других измерительных уст-
устройств лежит известный факт силового воздействия
магнитных полей на проводники с током. Измерительное
устройство может быть выполнено Bv виде прямолинейного
проводника малой длины, по которому протекает электри-
электрический ток определенной силы. Измерить на опыте силу
397

воздействия на такой проводник, помещенный в данную
область исследуемого поля, как будто не составляет труда.
Длину проводника и силу тока в нем можно измерить до-
достаточно точно. Такое измерительное устройство всегда
может быть воспроизведено.
Но при практическом измерении силы воздействия маг-
магнитного поля на прямолинейный проводник с током встре-
встречаются новые трудности. Сила воздействия на проводник
при прочих равных условиях зависит от длины проводника:
чем он длиннее, тем больше сила. Значит, для того чтобы
характеризовать магнитное поле в определенной точке,
нужно брать проводник очень малой длины. Сила воздей-
воздействия на проводник зависит еще от его ориентации. Если
в одном и том же месте магнитного поля проводник повора-
поворачивать, действующая на него сила изменяется от нуля до
какого-то максимального значения. Углы поворота про-
проводника очень малой длины измерять трудно.
Но неприятности связаны не только с этим. Нам нужен
короткий прямолинейный участок проводника стоком. А как
его изготовить? Ведь наверняка к нему должны подходить
провода, соединяющие его с источником тока. Эти провода
сделать короткими не удастся (так как мы не располагаем
очень малыми по размерам источниками тока), и сила воз-
воздействия магнитного поля на них может оказаться гораздо
большей, чем на прямолинейный участок. На перевитые
или вплотную сложенные подводящие провода будут дей-
действовать взаимно уравновешивающиеся магнитные силы,
так как на проводники с противоположно направленными
токами действуют противоположные по направлению маг-
магнитные силы. Но к концам прямолинейного участка про-
проводника с током будут подходить все же неперевитые
провода.
Затруднения подобного рода можно полностью устра-
устранить, если воспользоваться измерительным устройством в
виде маленького витка с током, который соединен с источ-
источником тока двумя перевитыми, переплетенными или парал-
параллельно сложенными проводами (рис. 25.1). Такой виток и
сам является источником магнитного поля, и испытывает
действие со стороны магнитного поля какого-то другого
источника, в которое он внесен. Как ведет себя такой виток
в магнитном поле? Он может поступательно перемещаться
или поворачиваться вокруг оси нити, на которой он подве-
подвешен (роль такой нити могут выполнять, конечно, подводя-
подводящие провода, если они достаточно тонки). Поступательное
398

перемещение имеет место только для случаев сложных (не-
(неоднородных) магнитных полей, а в простейших (однород-
(однородных) полях виток лишь поворачивается.
Пусть виток, площадь S которого очень мала, помещен
в определенной области изучаемого магнитного поля, на-
например в узком зазоре между большими полюсными нако-
наконечниками магнита. Угол закручивания нити будем изме-
измерять по отклонению светового зайчика, отбрасываемого зер-
зеркальцем Z, по шкале К (рис. 25.1). Зная упругие свойства
нити и угол ее закручивания, можно определить момент
сил, поворачивающий виток в магнитном поле.
Оказывается, что момент сил, действующий на виток в
данном магнитном поле, зависит только от силы тока /,
протекающего по витку, и от площади S (на рис. 25.1 пло-
площадь витка заштрихована),
причем фор^а площади витка
(круг, квадрат и т. д.) роли
не играет. Обеим величинам,
/ и S, вращающий момент про-
пропорционален. Поэтому очень
удобно характеризовать пове-
поведение витка в магнитном поле
вектором магнитного момен-
момента витка pw, модуль которого
равен произведению силы то-
тока /, протекающего по витку,
на площадь S витка:
pm=IS. B5.1)
Вектор рт перпендикулярен к плоскости витка и ориенти-
ориентирован так, что с его конца ток в витке кажется .протекаю-
.протекающим против часовой стрелки. Вектор рт витка, изобра-
изображенного на рис. 25.1, перпендикулярен к плоскости ри-
рисунка и направлен от читателя;
Таким образом, виток с током может заменить магнит-
магнитную стрелку при исследовании различных магнитных полей.
Если в одну и ту же область заданного магнитного поля по-
помещать магнитную стрелку и виток с током, то последний
Ориентируется так, что вектор его магнитного момента всег-
всегда направлен вдоль магнитной стрелки и «смотрит» в ту
же сторону, куда и северный полюс стрелки.
Единица измерения магнитного момента устанавлива-
устанавливается в согласии с уравнением B5.1). В СИ магнитный момент
витка или контура с током измеряется в А»м2,
399
К
Рис 25 1.

25.3. Индукция магнитного поля — основная силовая
характеристика магнитного поля
Маленький по размерам виток с током может быть ис-
использован для исследования магнитного поля в различных
точках подобно точечному электрическому заряду при
исследовании полей электрических. Мы знаем, что направ-
направление магнитной силы в данной точке поля совпадает с
направлением вектора магнитного момента витка рт. По-
Помещая виток в различные точки поля, мы узнаем, как
направлена магнитная сила в каждой «из них.' Но кроме
этого нужно знать еще модуль этой силы. Здесь на по-
помощь приходит опытный закон Ампера, который связывает
модудь силы, действующей на малый по длине прямоли-
прямолинейный участок с током, помещенный в магнитное поле,
с модулем основной характеристики магнитного поля —
вектора магнитной индукции В:
AF^kl А/ В sin a. B5.2)
Здесь А/ — длина малого прямолинейного участка про-
проводника, по которому протекает ток силой /; k — коэффи-
коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы
единиц; В — модуль вектора магнитной индукции поля в
месте расположения проводника; а — угол между направ-
направлением оси проводника и направлением вектора В.
Величина В является характеристикой магнитного поля.
Ее смысл легко установить, исходя из этого же уравнения.
Выбор системы единиц всегда производится с таким рас-
расчетом, чтобы уравнения связи между величинами принимали
наиболее простую форму. Если величины Af, /, Al и В
измерены в единицах одной системы, то й=1. Еще одно
упрощение формулы B5.2) возможно, если а=зт/2 радиан.
Тогда sin a=l. Выражая величину В в явном виде, полу-
получаем
в-га- B5-3)
Теперь ясно, что индукция магнитного поля В — физиче-
физическая величина, модуль В которой определяется отношением
модуля А/7 силы, действующей в данном месте магнитного
поля на проводник длиной А/, сила тока в котором равна
/, к величинам А/ и / при ориентации проводника пер-
перпендикулярно к направлению вектора В,
400

Расположить проводник перпендикулярно к В практи-
практически нетрудно. Направление F в данной точке магнитного
поля можно определить с помощью витка с током. Затем
в ту же точку помещаем прямолинейный проводник с то-
током и вращаем его в плоскости, перпендикулярной к на-
направлению вектора F, до тех пор, пока сила воздействия на
него со стороны магнитного поля не достигнет максималь-
максимального значения. При этом мы можем быть уверены, что ось
проводника составляет с вектором В прямой угол.
В согласии с B5.3) устанавливается единица измерения
магнитной индукции в СИ. При Д/7=1 Н, 7=1 Аи А/=1 м
В принимает единичное значение. Название этой единицы -
тесла (тл\ новое обозначение — Т):
Ясно, что 1 тесла — это индукция такого однородного маг-
магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника
с током, в 1 ампер, расположенного перпендикулярно к на-
направлению вектора В поля, действует сила в 1 ньютон.
Произведя простые преобразования, можно показать, что
т Н__Н.м__ Дж _ р .
1~"Ам~" Ам2~(Кл/с)м2~*°'с/м '
Таким образом, вектор магнитной индукции является
силовой характеристикой магнитного поля. Если сравни-
сравнивать его с вектором напряженности электростатического
поля, то можно выявить различие в направлениях этих
векторов по отношению к направлению векторов соответ-
соответствующих сил. Вектор напряженности электростатического
поля Е совпадает по направлению с вектором силы F, дейст-
действующей на положительно заряженную частицу, помещен-
помещенную в данную точку поля. Вектор магнитной индукции В
всегда перпендикулярен к силе, действующей на прямоли-
прямолинейный проводник малой длины, расположенный в иссле-
исследуемой точке магнитного поля.
Подобно тому как электростатические поля графически
изображаются с помощью силовых линий (или линий на-
напряженности), магнитные поля можно графически изобра-
изображать с помощью линий магнитной индукции, которые про-
проводятся с таким расчетом, чтобы касательные к ним в
каждой точке совпадали по направлению с вектором маг-
магнитной индукции поля, При этом аналогично тому, как
, 401

поступают й электростатике, говорят о «направлении» линий
индукции магнитного поля.
Известное правило буравчика позволяет определить на-
направление линий индукции магнитного поля любого по
форме проводника с током: если буравчик ввинчивать по
техническому направлению тока, то направление вращения
рукоятки буравчика будет совпадать с направлением линий
индукции. Если проводник не прямолинеен, то для приме-
применения правила буравчика проводник разбивают на очень
малые по длине участки, которые можно считать прямо-
прямолинейными.
Принцип независимости действия сил, соблюдающийся
и при магнитных взаимодействиях, позволяет рассчитать
сложные магнитные поля нескольких проводников с то-
током, или любых бесконечно маль1х участков каждого про-
проводника, или нескольких полюсов постоянных магнитов.
Результирующая сила в интересующей нас точке поля будет
определяться как геометрическая сумма всех сил, дейст-
действующих в точке. Этот же принцип позволяет с помощью
геометрического сложения находить суммарный вектор
индукции суммарного магнитного поля.
Линии магнитной индукции всегда замкнуты. Это отли-
отличает их от линий напряженности электростатического поля
и лишний раз подчеркивает, что в природе не существуем
магнитных зарядов или магнитных масс (подобных поло-
положительным и отрицательным электрическим зарядам), на
одних из которых линий иддукции начинались бы, а на
других заканчивались.
Для определения направления силы, действующей на
проводник с током, помещенный в магнитное поле, приме-
применяется правило левой руки: если левую руку расположить
так, чтобы в ее ладонь входили линии индукции магнитного
поля, а вытянутые четыре-пальца совпадали с техническим
направлением тока, то отогнутый большой палец будет
указывать направление силы, действующей на проводник.
Это правило основано на законе Ампера и находится в сог-
согласии с определением, принятым для вектора индукции В,
Направление силы, действующей на прямолинейный уча-
участок проводника с током в магнитном поле, цсегда перпен-
перпендикулярно к плоскости, в которой лежат вектор В и ось
участка проводника. Модуль этой силы зависит от угла
между осью проводника и вектором магнитной индукции и
изменяется от нуля (когда ось проводника совпадает по
направлению с линиями магнитной индукции поля) др
402

/
X
максимального значения (когда угол между осью провод-
проводника и линиями индукции составляет я/2 радиан).
Практически важным случаем является взаимодействие
двух очень длинных прямолинейных параллельных про-
проводников с токами. При этом каждый из проводников на-
находится в магнитном поле соседнего проводника. На
рис. 25. изображены два вертикальных параллельных
проводника с противоположно направленными токами, на-
находящиеся на расстоянии а друг от друга. Линии индукции
магнитного поля прямолинейного проводника с током име-
имеют форму концентрических окружностей с общим центром на
оси проводника, а их направле-
направление определяется в соответствии
с правилом буравчика. Ясно, что
в месте нахождения точкой пер-
первого проводника вектор магнит-
магнитной индукции В2 поля второго
проводника лежит в горизон-
горизонтальной плоскости, направлен
«к нам» и составляет с осью пер-
первого проводника прямой угол.
Вектор Fi2 силы воздействия на
первый проводник в точке Ъ
магнитного поля второго провод-
проводника лежит в плоскости рисунка и направлен влево (в со-
соответствии с правилом левой руки). Аналогичные рассужде-
рассуждения можно провести и для точки d второго проводника.
-Между такими проводниками с антипараллельными то-
токами действуют противоположно направленные, но рав-
равные силы отталкивания независимо^ от того, равны или не
равнц силы токов 1г и /2. Это связано с тем, что при прочих
равных условиях сила, действующая на первый проводник,
пропорциональна силе тока /х и индукции магнитного поля
второго проводника, которая в свою очередь пропорциональ-
пропорциональна силе тока /2 во втором проводнике. Таким образом, ве-
величина F1Z пропорциональна произведению сил токов 1Х
и /2. Этому же произведению пропорциональна сила, дей-
действующая на второй проводник, так как амперова сила
пропорциональна силе тока /2, протекающего в том про-
проводнике, на который эта сила действует, и индукции маг-
магнитного поля первого проводника. Последняя же пропор-
пропорциональна силе тока /х.
Опыт по взаимодействию в вакууме двух бесконечно
длинных параллельных проводников бесконечно малого
403
-а-
Рис. 25.2.

поперечного сечения, расположенных на определенном
расстоянии один от другого, при протекании по ним одина-
одинаковых по силе токов положен в основу для введения единицы
силы тока в СИ. Считают, что по таким проводникам про-
протекают токи по 1 А, если проводники находятся в вакууме
на расстоянии 1 м друг от друга и на каждый метр длины
проводников действует сила, равная 2-Ю" Н. Ампер при
таком определении не является в полном смысле основной
единицей, не зависящей от каких-либо других единиц (сила
тока определяется по силе взаимодействия проводников).
Но тем не менее такое определение оказывается более удоб-
удобным, чем другие, использовавшиеся ранее (например, опре,-
деление силы тока по химическому действию тока при про-
протекании через определенный электролит).
Единица измерения электрического заряда — кулон —
в СИ вводится в согласии с B2.1)~и является производной:
это суммарный электрический заряд всех частиц, которые
при прохождении через поперечное сечение проводника в
течение 1 секунды обеспечивают в нем электрический ток
силой в 1 ампер.
25.4. Воздействие магнитного поля на ^движущиеся
электрические заряды
Движущиеся в инерциальной системе отсчета электри-
электрические заряды характеризуются не только тем, что в окру-
окружающем их пространстве обнаруживаются магнитные поля,,
но и тем, что сами заряды испытывают воздействие внешних
магнитных полей. Силу, действующую на движущуюся за-
заряженную частицу, можно определить на основании закона
Ампера. В самом деле, если через поперечное сечение участ-
участка проводника длиной А/ в течение промежутка времени
А* проходит п частиц, заряд каждой из которых равен q,
то суммарный заряд всех частиц будет равен &q=qn. Мо-
Модуль суммарной силы воздействия магнитного поля на все
эти частицы будет равен
~ А/В sin ос = qnvB sin а,
где через v обозначен модуль средней скорости упорядочен-
упорядоченного движения частиц (v^-^j. Модуль силы ?Л9 дейст-
действующей на каждую заряженную .частицу, будет в п раз
404

меньше, т. е.
= qvB sin ос,
B5.4)
где а — угол между вектором v скорости заряженной ча-
частицы и вектором индукции магнитного поля В, в котором
частица движется. Эта сила носит название силы Лоренца.
Линия ее действия всегда перпендикулярна к плоскости,
проведенной через векторы v и В. Направление силы Рл,
действующей на положительно заряженную частицу, опре-
определяется по правилу левой руки (четыре вытянутых пальца
располагаются по направлению скорости частицы, в ладонь
входят линии индукции магнитного
поля, а отогнутый большой палец
указывает направление силы Лорен-
Лоренца). Если же заряд частицы отрица-
отрицателен, то снова можно воспользовать-
воспользоваться правилом левой руки, располагая д
четыре вытянутых пальца по направ- в
лению, противоположному направ-
направлению вектора скорости частицы,
т. е. по техническому направлению
тока.
Анализ направления силы Лорен-
Лоренца еще раз указывает на существен-
существенное отличие магнитных полей от элек-
электростатических. Сила кулоновского
воздействия на заряженную частицу всегда направлена по
касательной к силовой линии в данной точке электростати-
электростатического поля. Сила же Лоренца всегда перпендикулярна
к линии магнитной индукции в точке, где находится за-
заряженная частица.
Тот факт, что"направление силы Лоренца всегда перпен-
перпендикулярно к направлению вектора скорости заряженной
частицы, находит широкое применение. Например, воздей-
воздействуя магнитным полем на потоки разноименно заряженных
частиц, их можно разделять по знаку зарядов. Пусть в об-
области, отмеченной пунктиром на рис.- 25.3, имеется одно-
однородное магнитное поле, вектор индукции В которого на-
направлен перпендикулярно к плоскости рисунка «от нас».
(На схемах такие векторы условно изображаются кружком
с крестиком в середине: мы как бы видим хвост стрелки век-
вектора, направленного «от нас». Если же вектор направлен
«к нам», он изображается кружком с точкой: мы видим
«острие» стрелки вектора.) Если в эту область слева
405
Рис. 25.3.

влетают заряженные частицы с одинаковыми массами тис
одинаковыми скоростями v, то в зависимости от знака за-
заряда они будут двигаться в магнитном поле по разным тра-
траекториям. Положительно заряженные частицы под дей-
действием силы Лоренца отклоняются вверх, а отрицательно
заряженные — вниз.
Легко показать, что траектории заряженных частиц,
влетающих в однородное магнитное поле перпендикулярно
к его линиям индукции, будут представлять собой дуги
окружностей. В самом деле, в этом случае а=я/2, вектор
индукции магнитного поля во всех его точках одинаков
(B=const, так как поле однородно), поэтому сила Лоренца
имеет постоянное значение: FR—qvB. В какой бы точке поля
частица ни находилась, вектор Рл составляет прямой угол
с вектором v скорости частицы, т.^е. сила Лоренца в этом
случае является единственной силой, обеспечивающей ча-
частице нормальное ускорение,
где т — масса частицы с зарядом q, a R — радиус кри-
кривизны траектории. Подсчитанный на основании этого ра-
радиус траектории
* = ;| B5-5)
для частиц с одинаковыми массами т, одинаковыми заря-
зарядами q и одинаковыми скоростями v оказывается величиной
постоянной. Если же заряды частиц q имеют разные знаки,
то траектории их искривляются в противоположные сто-
стороны. (Разумеется, за границами области действия магнит-
магнитного поля частицы будут двигаться прямолинейно, если
отсутствуют какие-либо воздействия на них.)
На основании B5.5) заключаем, что в однородном маг-
магнитном поле частицы с неодинаковыми массами, зарядами
или скоростями будут1 двигаться по дугам окружностей с
различными радиусами. Этот факт находит широкое при-
применение для разделения движущихся заряженных частиц в
магнитном поле. Возможности такого метода разделения
частиц расширяются, если наряду с магнитным полем на
движущиеся заряженные частицы одновременно действует
электрическое поле.
В современных циклических ускорителях заряженных
% частиц магнитное поле обеспечивает управление потоками
406

частиц. Это поле заставляет частицы двигаться по оп-
определенным криволинейным траекториям, на отдельных
участках которых частицы ускоряются электрическими
полями.
§ 26. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
26.1. Внутренние магнитные поля в веществе
В конце § 24 мы отметили, что движение электронов во-
вокруг ядра атома эквивалентно микротокам, протекающим по >
замкнутым виткам — электронным орбитам. Виток с током
характеризуется вектором магнитного момента рт. Значит,
внутри каждого вещества, состоящего из атомов, молекул
или ионов, имеется множество микроскопических витков с
током, каждый из которых характеризуется своим магнит-
магнитным полем. Высказанная когда-то Ампером гипотеза о на-
наличии внутри вещества молекулярных токов оказалась весь-
весьма плодотворной. Она была только несколько уточнена:
токи внутри вещества оказались не молекулярными, а элек-
электронными. В каждой молекуле, в зависимости от ее строе-
строения, протекает не один, а множество (по числу всех элек-
электронов, находящихся внутри всех атомов, из которых со-
состоит молекула) микроскопических замкнутых токов.
Почему же многие вещества в обычных условиях не обла-
обладают проявляемыми в окружающем их пространстве маг-
магнитными свойствами? Это объясняется тем, что даже в очень
малом объеме вещества число электронных орбит огромно.
Рассмотрим для примера кусочек меди объемом в 1 см3,
который имеет массу т=8,93 г=8,93» 10~3 кг (так как плот-
плотность меди р=8,93 г/см3). Поскольку моль меди имеет
массу М=63,54-10~3 кг/моль и содержит количество
атомов, численно равное постоянной Авогадро (NA =
= 6,02-1023 моль"*1), в рассматриваемом куске меди будет
содержаться
п- 5 ^a^S-io-'6'02'1023 * 8>46'1022 атомов'
В каждом атоме меди имеется 29 электронов. Если учесть,
что по одному электрону от каждого атома уходит в элек-
электронный газ, что эти электроны движутся хаотично и го-
гораздо медленнее, чем электроны на орбитах в атоме, и пре-
пренебречь их магнитными полями, то на орбитах в каждом
ионе меди остается по 28 электронов. Таким образом, в
407

\ см3 меди будет насчитываться 28-8,46-1022« 2,37-1024
электронных орбит, каждая из которых представляет со-
собой виток с током, обладающий магнитным моментом рт.
Все эти орбиты ориентированы в пространстве по-разному,
и их магнитные моменты могут компенсироваться. Поэтому-
то кусок меди в обычных условиях не проявляет магнитных
свойств, но они присущи каждому его атому, каждой элек-
электронной орбите любого атома.
Магнитные моменты электронов, движущихсяч внутри
атома или иона, называют орбитальными магнитными мо-
моментами.
26.2. Воздействие внешнего магнитного поля на вещество
Воздействия электрического и магнитного полей на ве-
вещество имеют сходные черты. Так же как напряженность
электрического поля зависит от свойств среды, индуквдя
магнитного поля зависит от того, в каком веществе обнару-
обнаруживается это поле.
Внешнее магнитное поле, в которое вносится какое-либо
вещество, воздействует на электроны вещества и тем самым
как-то изменяет его внутреннее магнитное поле. Ведь каж-
каждая электронная орбита подобна витку с током, а такой ви-
виток во внешнем магнитном поле ориентируется определен-
определенным образом. Значит, мы вправе ожидать, что при воздей-
воздействии внешнего магнитного поля на вещество произойдет
переориентация электронных орбит или векторов орби-
орбитальных магнитных моментов, т. е. в веществе будет про-
происходить процесс, подобный процессу поляризации диэлек-
диэлектрика. Переориентация орбитальных магнитных моментов
(элементарных магнитиков) обеспечит внутри вещества маг-
магнитное поле, отличное от того, которое было в нем до вне-
внесения во внешдее поле^ Таким образом, суммарное магнит-
магнитное поле в пределах объема вещества будет являться ре-
результатом наложения двух магнитных полей — внешнего
и внутреннего, наведенного в веществе под воздействием
внешнего поля.
Вектор напряженности поля поляризационных зарядов
внутри объема диэлектрика всегда направлен противопо-
противоположно вектору напряженности внешнего электрического
поля. Поэтому напряженность суммарного поля внутри
диэлектрика всегда меньше напряженности внешнего поля.
Внешнее поле в пределах объема диэлектрика оказывается
ослабленным,
408

Результаты наложения внутреннего и внешнего магнит-
магнитных полей внутри объема вещества могут быть различными:
индукция суммарного магнитного поля может быть и мень-
меньше, и больше индукции внешнего поля (см. п. 26.3).
Влияние диэлектрика на ослабление внешнего электри-
электрического поля удается оценить относительной диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью 8. Аналогичную характеристику мож-
можно ввести и для учета магнитных свойств вещества:.
Определяя на опыте силы воздействия магнитного поля
заданных источников (например, поля между определен-
определенными полюсными наконечниками магнита или поля опре-
определенным образом расположенных проводников с токами)
на малый по длине прямолинейный проводник с током,
помещаемый в различные однородные вещества, мы убежда-
убеждаемся, что эти силы при прочих равных условиях в различ-
различных средах будут разными. Тогда закон Ампера при ис-
использовании единиц измерения СИ можно записать в сле-
следующем виде:
Af = /Afsina-(pJBBaK), B6.1)
где величины AF, /, А/ и а имеют тот же смысл, что и в
формуле B5.2), а значение В индукции магнитного поля
представлено в виде произведения двух величин:
B = liBBaK. B6.2)
Безразмерная величина \i характеризует степень участия
вещества в изменении суммарного магнитного поля и носит
название относительной магнитной проницаемости веще-
вещества (аналог относительной диэлектрической проницаемо-
проницаемости е), а Ввак— значение индукции магнитного поля задан-
заданных источников в вакууме.
Выразив величину |л в явном виде:
* = ;?. B6.3)
и учитывая соотношения B5.2) и B6.1), можно заключить,
что относительная магнитная проницаемость вещества ха-
характеризует, во сколько раз сила воздействия магнитного
поля заданных источников на проводник с током в данном
однородном веществе отличается от силы воздействия на
него поля тех же источников в вакууме,
409

26.3. Классификация веществ по магнитным свойствам
Все вещества обладают определенными магнитными свой-
свойствами; в них под действием внешнего магнитного поля
происходит та или иная переориентация векторов орби-
орбитальных магнитных моментов и, таким образом, обеспечи-
обеспечиваются те или иные суммарные магнитные поля внутри
вещества. Говорят, что при этом вещество намагничивает-
намагничивается. По тому, сколь велико значение вектора индукции
внутреннего магнитного поля и как направлен этот вектор,
все вещества можно разделить на два класса: слабомагнит-
слабомагнитные вещества и сильномагнитные.
К слабомагнитным относятся диамагнитные вещества
(или диамагнетики) и парамагнитные вещества (или па-
парамагнетики). К сильномагнитным — ферромагнитные ве-
вещества (или ферромагнетики) и некоторые другие. Кратко
рассмотрим особенности этих веществ.
Диамагнетики характеризуются тем, что суммарный
орбитальный магнитный момент всех электронов каждого
атома равен нулю.. Это значит, что атом диамагнетика в от-
отсутствие внешнего магнитного поля в целом не проявляет
магнитных свойств. Воздействие внешнего магнитного поля
на атом диамагнетика приводит к наведению в нем магнит-
магнитного момента, направленного всегда против индукции внеш-
внешнего магнитного поля. Это.связано с тем, что электроны во
внешнем магнитном поле испытывают действие сил Ло-
Лоренца. При этом частота обращения электронов по орби-
орбитам изменяется и сами орбиты могут изменять свою ориен-
ориентацию. Значит, внутри диамагнитного вещества наводится
магнитное поле, вектор индукции которого направлен про-
противоположно вектору индукции внешнего поля. В пределах
диамагнетика внешнее поле будет ослаблено (подобно ос-
ослаблению электрического поля внутри диэлектрика). По-
Поэтому относительная магнитная проницаемость диамагнит-
диамагнитных веществ меньше единицы, fx<l (см. формулу B6.3)).
Нужно иметь в виду, что диамагнитный эффект (наве-
(наведение внутри вещества магнитного поля, вектор индукции
которого противоположен вектору индукции внешнего маг-
магнитного поля) имеет место для всех без исключения веществ,
но из-за своей малости иногда перекрывается иными, более
сильными эффектами.
Атомы парамагнетиков и в отсутствие внешнего магнит-
магнитного поля обладают некоторыми, отличными от нуля,- маг-
магнитными моментами, но из-за их хаотической направлен-
направленно

ности макроскопический объем парамагнетика не проявляет
магнитных свойств (магнитные моменты отдельных атомов
компенсируются). При внесении парамагнетика во внешнее
магнитное поле в нем наводится внутреннее поле, вектор
индукции которого совпадает по направлению с вектором
индукции внешнего поля. Процесс его наведения можно
представить как выстраивание магнитных моментов от-
отдельных атомов по внешнему полю. Диамагнитный эффект
при этом также имеет место, но оказывается более слабым,
чем парамагнитный. Относительная магнитная проницае-
проницаемость парамагнетиков немного больше единицы (|С>1).
Заметим, что магнитные проницаемости диа- и парамаг-
парамагнетиков не зависят от индукции внешнего магнитного поля.
Отличительной особенностью ферромагнетиков является
наличие внутри них объединенных групп атомов, так на-
называемых доменов. Магнитный момент каждого домена от-
отличается от нуля, но в сиЛу возможной компенсации маг-
магнитных полей соседних доменов ферромагнетик в отсут-
отсутствие внешнего магнитного поля может не проявлять своих
внутренних магнитных свойств. Под воздействием внеш- •
него магнитного поля происходят смещения границ доме-
доменов и повороты доменов, они выстраиваются своими маг-
магнитными моментами по направлению индукции внешнего
поля. Для ферромагнетика [г^>1. Таким образом, индукция
внутреннего поля в ферромагнетике может во много раз
превышать индукцию внешнего поля.
Кроме того, магнитная проницаемость данного ферро-
ферромагнетика оказывается зависящей от индукции внешнего
магнитного поля. Это связано с тем, что в зависимости от
индукции внешнего поля происходят смещения границ и
повороты большего или меньшего числа доменов (магнит-
(магнитные моменты некоторых из них и во внешнем поле могут не
совпадать по направлению с его вектором индукции). Ко-
Когда магнитные моменты всех доменов ориентированы по
внешнему полю, дальнейшее усиление внутреннего поля
становится невозможным. В этих случаях говорят о дости-
достижении ферромагнетиком состояния насыщения.
Ферромагнитные вещества обладают еще целым рядом
интересных свойств, из которых мы упомянем только свой-
свойство остаточной намагниченности. Диамагнетики и пара-
парамагнетики после прекращения действия внешнего магнит-
магнитного поля размагничиваются, под действием теплового дви-
движения их внутренние магнитные поля «расстраиваются»;
орбитальные магнитные моменты электронов каждого атома
411

диамагнетика или магнитйые моменты атомов парамагне-
парамагнетика в пределах макроскопического объема снова компен-
компенсируются. Ферромагнетики же после прекращения дей-
действия на них внешнего поля могут сохранять внутренние
магнитные поля. Их домены оказываются «неповоротли-
«неповоротливыми» и могут сохранять ту ориентацию своих магнитных
моментов, которую они имели во внешнем поле. Этот факт
и реализуется в постоянных магнитах. Все постоянные маг-
магниты изготовляются из ферромагнитных веществ (железа,
никеля, кобальта и некоторых сплавов). Таким образом,
магнитные свойства постоянных магнитов (магнитных стре-
стрелок и т. д.) связаны с наличием в них остаточных внутрен-
внутренних магнитных полей.
26.4. Некоторые выводы
Магнитные свойства оказываются универсальными: они
имеются у всех веществ. Магнитными свойствами обладают
электроны, движущиеся по орбитам в атомах, пучки любых
упорядоченно движущихся заряженных частиц в вакууме,
между которыми, кроме сил электрического взаимодей-
взаимодействия, обнаруживаются магнитные силы.
Магнитные взаимодействия осуществляются через по-
посредство магнитных полей, которые по своим свойствам от-
отличаются от полей электростатических, Например, куло-
новская сила действует на заряженную частицу по направ-
направлению касательной к силовой линии электростатического
поля; магнитная же сила, действующая на движущуюся
заряженную частицу, всегда перпендикулярна к линии
индукции магнитного поля. Силовые линии электро-
электростатического поля всегда разомкнуты, линии же ин-
индукции магнитного поля замкнуты, о чем в свое время
мы упоминали в подтверждение того факта, что в природе
не существует магнитных зарядов или магнитных масс.
Есть и другие качественные различия между электростати-
электростатическими и магнитными полями, на которых мы не будем ос-
останавливаться.
Изучая и описывая простейшие магнитные явления,
мы не выходим за рамки электронной теории, рассматрива-
рассматривающей вещества на уровне атомов и электронов. Только при-
природа ферромагнитных явлений не укладывается в рамки
этих представлений. Попытки объяснения образования до-
доменов в ферромагнетиках привели современную физику к
выводам о специфическом взаимодействии между электро-
412

нами (электрическое притяжение особой квантовой приро-
природы) и о магнитных свойствах самих электронов (не только
электронов в атоме, но и одиночных, свободных электро-
электронов) и других элементарных частиц. Так изучение магнит-
магнитных явлений (наряду с другими явлениями) заставило фи-
физику сделать еще один шаг в глубь вещества, перейти на
новый, более глубокий уровень рассмотрения явлений,
происходящих в веществе. Не углубляясь пока в эти тон-
тонкости, мы все же должны заключить, что магнитные свой-
свойства веществ связаны с их внутренним строением (количе-
(количество ' электронных орбит, направление орбитальных маг-
магнитных моментов электронов и т. д.).

ГЛАВА VIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 27. ОСНОВНЫЕ ОПЫТНЫЕ ФАКТЫ
И ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
27.1. Явления, связанные с изменяющимися
во времени магнитными полями
В предыдущих параграфах мы рассматривали однородные
магнитные поля, которые вызывались покоящимися посто-
постоянными магнитами или постоянными электрическими то-
токами, протекающими по неподвижным проводникам. Прин-
Принципиально иные факты имеют место, когда магнитные поля
с течением времени изменяются.
Рассмотрим схему опыта, обнаруживающего явление
электромагнитной индукции. На рис. 27.1 представлены
п два проводящих контура I и
I—в. ^ I | / ~7 И- Первый проводник через
ключ К и реостат R соединен
с источником питания, вто-
второй проводник замкнут на
гальванометр G. Если по про-
проводнику I протекает постоян-
Рис. 27.1. ный электрический ток, в про-
проводнике II тока не обнару-
обнаруживается — стрелка гальванометра стоит на йуле. Ток во
втором проводнике (так называемый индукционный ток)
появляется в следующие случаях:
1) при/ замыкании и размыкании ключа К (сила тока в
первом контуре быстро возрастает от нуля до максимального
значения или убывает от максимального значения до нуля);
2) при перемещении движка D реостата при замкнутом
ключе К (изменение силы тока в первой цепи);
3) при относительном перемещении контуров I и II
(они приближаются друг к другу или удаляются, сдвигают-

ся друг относительно друга в параллельных плоскостях,
поворачиваются и т. д.) или при деформации одного или
обоих контуров;
4) при изменении среды, окружающей контуры (напри-
(например, в зазор между плоскостями контуров быстро вводят
стержень из ферромагнитного вещества);
5) при замене первого контура постоянным магнитом,
перемещающимся относительно второго контура.
Во всех случаях индукционный ток наблюдается только
в течение'того промежутка времени, за который происходят
указанные выше изменения.
27.2. Механизм возникновения и закономерности
индукционных явлений
Вспомним, при каких условиях по замкнутому провод-
проводнику может протекать электрический ток. Кроме наличия
подвижных зарядов, должно существовать электрическое
поле, обеспечивающее их упорядоченное движение. В зам-
замкнутом металлическом проводнике (контур II на рис. 27.1)
при описанных выше изменениях электрический ток' на-
наблюдается, но не стационарное электрическое поле его
обеспечивает. В этом можно убедиться, измеряя разности
потенциалов между любыми точками проводника. Эти раз-
разности потенциалов оказываются равными нулю. Все дело
в том, что изменяющееся магнитное поле сопровождается
появлением в пространстве так называемого индуцированного
электрического поля. Это поле, в отличие от кулоновского
и стационарного электрического полей, характеризуется
замкнутыми силовыми линиями, в связи с чем его называют
еще вихревым электрическим полем. Этот признак (как и в
случае магнитного поля) говорит о том, что индуцированное
электрическое поде не порождается какими-то заряженны-
заряженными частицами. Работа сил этого поля при перемещении за-
заряженных частиц по замкнутым траекториям не равна нулю.
Такое индуцированное электрическое поле и поддержи-
поддерживает индукционный электрический ток в замкнутом про-
проводнике, расположенном в этом поле. Сила 'воздействия
индуцированного электрического поля на заряженную ча-
частицу является сторонней силой. Отношение работы этой
силы к заряду перемещаемой частицы определяет одну из
основных характеристик индуцированного электрического
поля — электродвижущую силу индукции (<?и).
415

Для установления количественных соотношений, опи-
описывающих явление электромагнитной индукции, вводят
физическую величину, называемую магнитным потоком
(или потоком вектора магнитной индукции). Магнитный
поток ДФ сквозь малую площадку AS, расположенную в
магнитном поле с индукцией В, определяется выражением
ДФ=5А5соза, B7.1)
где а — угол между вектором В и нормалью к площадке.
Площадка при этом должна быть столь малой, чтобы в ее
пределах индукция магнитного поля могла считаться по-
постоянной. Если магнитное поле однородно, то суммарный
поток Ф сквозь плоскую поверхность площадью S равен
Ф=Л5 cos ее. B7.2)
В согласии с этой формулой устанавливается единица
измерения магнитного потока. В СИ единицей измерения
магнитного потока является вебер (Вб):
1 Вб=1 Т-1 м2.
Вспоминая, что Т=В-с/м2, можно получить связь вебера
с вольтом и секундой: Вб=В*с.
Анализ опытов, подобных описанным в предыдущем
пункте, приводит к заключению, что в замкнутом контуре
индуцируется электрический ток, если магнитный поток
сквозь площадь этого контура изменяется с течением вре-
времени. При этом совершенно неважно, за счет чего проис-
происходят эти изменения (изменяется ли площадь контура или
ее ориентация в пространстве, изменяется ли индукция
магнитного поля за счёт перемещения его источников или за
счет изменения среды и т. п.). Существенное значение имеет
лишь скорость этих изменений. Со скоростью изменения
магнитного потока сквозь площадь контура замкнутого
проводника связана электродвижущая сила индукции.. Вы-
Выражение
АФ1 B7.3)
является уравнением основного закона электромагнитной
индукции Фарадея. Величина k в этом уравнении — коэф-
коэффициент пропорциональности, который зависит только от
выбора системы единиц измерения. В СИ ДФ измеряется
в веберах, At— секундах и, поскольку Вб=В-с, ЭДС ин-
индукции <?и будет получена в вольтах, если положить &=1.
416

Итак, возникновение индукционного тока в замкнутом
проводнике под" воздействием изменяющегося магнитного
поли удается объяснить, используя представление об ин-
индуцированном электрическом поле. А что будет наблю-
наблюдаться, если в области, где имеется индуцированное элек-
электрическое поле, будет находиться неподвижный разомкну-
разомкнутый проводник? Схема такого опыта снова может быть пред-
представлена рисунком 27.1. Пусть только теперь к концам кон-
контура II подключен не гальванометр (обмотка которого имеет
малое сопротивление и является участком, замыкающим
контур II), а вольтметр электростатической системы (в ка-
качестве такого вольтметра мо-
может быть использован элек- , ¦ ,о /\/ег^/ ,— *
трометр). При этом контур II т т т /у^д *-'-•;
будет разомкнутым, и ток в
нем не возникнет. Индуциро-
Индуцированное электрическое поле
приведет к перераспределе-
перераспределению электронов в проводнике
(на одном конце проводника
электроны будут скапливать- , Рис. 27.2.
ся, оттекая от другого конца.
проводника), и вольтметр будет измерять разность потен-
потенциалов между двумя точками кулоновского поля перерас-
перераспределенных электронов. По абсолютному значению эта
разность потенциалов будет равна электродвижущей силе
индукции в разомкнутом контуре (в согласии с законом Ома
для разомкнутого участка, содержащего источник тока).
Аналогичная ситуация перераспределения зарядов в
проводнике может наблюдаться при движении разомкну-
разомкнутого проводника даже в однородном и стационарном маг-
магнитном поле. В этом случае перераспределение зарядов в
проводнике удается объяснить воздействием на них силы
Лоренца.
На рис. 27.2 изображен металлический проводник дли-4
ной /, движущийся со скоростью v в однородном магнитном
поле, вектор индукции которого направлен вертикально
сверху вниз. Для простоты рассмотрим случай, когда
вектор скорости проводника составляет прямые углы
и с осью проводника, и с вектором В. Вместе с про-
проводником со скоростью v вправо движутся положитель-
положительные ионы и свободные электроны, причем если ионы
под воздействием силы Лоренца не покидают положе-
положений устойчивого равновесия в узлах кристаллической
14 ю. А Селезнев 417

решетки, то электроны перераспределяются при этом по
проводнику, обеспечивая электрическое поле, перемещаю-
перемещающееся в пространстве вместе с проводником. Между конца-
концами проводника устанавливается разность потенциалов, рав-
равная по абсолютному значению электродвижущей силе ин-
индукции, возникающей в проводнике при его движении в
магнитном поле. Это связано с тем, что перераспределение
электронов в проводнике прекращается, как только сила
Лоренца, действующая на электрон в любой точке внутри
проводника, сравняется с силой воздействия на электрон
поля перераспределенных электронов. При этом работа сил
электрического поля по перемещению единичного положи-
положительного заряда на длине I проводника (определяющая раз-
разность потенциалов между концами проводника) по абсо-
абсолютному значению будет равна работе силы Лоренца по
перемещению единичного положительного заряда на той
же длине / (эта работа определяет электродвижущую силу
индукции в проводнике).
Электродвижущая сила индукции и в этом случае может
быть найдена по формуле B7.3), в которую подставляется
изменение магнитного потока сквозь площадь, описанную
проводником за время движения в магнитном поле. За про-
промежуток времени At при скорости движения v проводник
переместится по горизонтали на расстояние vAt, описав
площадь, равную lv At и перпендикулярную к линиям ин-
индукции магнитного поля. Поэтому AO==BlvAt и абсолют-
абсолютное значение электродвижущей силы индукции будет равно
Если вектор v скорости проводника составляет с на-
направлением вектора В индукции магнитного поля угол а,
то абсолютное значение электродвижущей силы индукции
будет меньше:
\SA = Blvsma. B7.5)
Точно такие же рассуждения можно было бы повторить
и для случая движения в магнитном поле не металличе-
металлического проводника, а, скажем, стеклянной трубки, запол-
заполненной электролитическим раствором. По концам трубки
накапливались бы ионы с зарядами противоположных зна-
знаков, перераспределенные силой Лоренца.
Значит, независимо от характера проводимости провод-
проводника, при его движении в магнитном поле появляется воз-
возможность разделения разноименных зарядов. Этот факт ис-
418

пользуется при устройстве индукционных генераторов
электрического тока.
Техническое направление индукционного тока в замкну-
замкнутом проводнике определяется по правилу Ленца: ток,
индуцируемый в проводнике, всегда направлен таким обра-
образом, что его магнитное поле «препятствует» изменениям
магнитного потока того поля, которое вызвало этот ток.,
Магнитный момент рт витка или контура с током харак-
характеризует их магнитные поля. Значит, в согласии с прави-
правилом Ленца вектор магнитного момента замкнутого контура,
по которому протекает индукционный ток, должен быть
направлен таким образом, чтобы «противодействовать» из-
изменениям магнитного потока внешнего магнитного поля.
Сила индукционного тока зависит от суммарного сопро-
сопротивления R контура и определяется по закону Ома:
/„ = ^. B7.6)
Задача. Определить направление индукционного тока в контуре II
(рис. 27.3), помещенном в магнитное поле контура I, в следующих слу-
случаях: 1) при замыкании ключа К\ 2) при размыкании ключа /С; 3) при
перемещении движка D реостата R вправо; 4) при перемещении движка
реостата влево; 5) при перемеще-
перемещении контура I вверх (при непод-
неподвижном контуре II); 6) при пере-
перемещении контура I вниз.
Договоримся во всех случа-
случаях оценивать техническое нап-
направление токов в контурах I и
II, глядя на плоскости контуров
сверху (по направлению стрелки
М на рисунке)
Случай 1 Сначала ток в кон- р ^i 3
туре I отсутствует. Максималь- * * 8
ное значение силы тока /i в этом
контуре можно найти по закону Ома, если известны электродви-
электродвижущая сила источника и суммарное сопротивление всей цепи, при-
причем ток будет направлен по часовой стрелке (при заданной поляр-
полярности источника). При замыкании ключа К сила тока в контуре I
возрастает в течение какого-то малого, но конечного промежутка време-
времени At; при этом увеличивается значение вектора магнитной индукции
поля этого тока Вь направленного вниз (линии индукции магнитного
поля контура I в соответствии с правилом буравчика выходят из-под его
плоскости вниз, т. е. под плоскостью контура I образуется северный
магнитный полюс, а над ней — южный полюс). Вектор индукции маг-
магнитного поля контура II, «противодействующего» возрастающему маг-
магнитному потоку сквозь его площадь, должен быть направлен вверх, а это
возможно, если индукционный ток в нем направлен против часовой
стрелки. При этом вектор магнитного момента рт2 контура II направлен
вверх и возникающий на верхней стороне его плоскости северный маг-
14* ' 419

нитный полюс как бы отталкивает усиливающееся магнитное поле верх-
верхнего витка.
Случай 2. При размыкании ключа сила тока в контуре I уменьшает-
уменьшается от значения /i до нуля. Контур II при этом оказывается в магнитном
поле, индукция которого уменьшается. Вектор индукции этого поля на-
направлен по-прежнему вниз. С верхней стороны плоскости контура II
должен появиться южный магнитный полюс, чтобы «помешать» ослаб-
ослаблению поля. Соответствующий такому положению вектор магнитного мо«
мента нижнего витка должен быть направлен вниз и может быть вызван
индукционным током, протекающим в контуре II по часовой стрелке.
Случай 3 аналогичен первому, так как перемещение движка рео-
реостата вправо приводит к уменьшению сопротивления контура I и к воз-
возрастанию в нем силы тока. При этом магнитный поток, проходящий свер-
сверху вниз через площадь контура II, возрастает. С верхней стороны
плоскости контура II должен появиться северный магнитный полюс
(вектор рт2 направлен вверх). Индукционный ток, вызывающий такое
магнитное поле* будет протекать против часовой стрелки.
Рассуждая точно так же, заключаем, что в четвертом и пятом случа-
случаях индукционный ток в контуре II будет протекать по часовой стрелке
(его магнитное поле «поддерживает» ослабевающее поле контура 1)$
а в шестом случае — против часовой стрелки.
На основе анализа закона электромагнитной ицдукции
B7.3) можно заключить, что электродвижущая сила индук-
индукции будет постоянной только при постоянной скорости изме-
изменения магнитного потока (^H=const при -rr-=const). Если
же скорость изменения магнитного потока сквозь площадь
контура проводника не постоянна, то электродвижущая
сила индукции и сила индукционного тока в замкнутом
проводнике также не будут постоянными. Так, например,
при равномерном вращении проводящего витка в однород-
однородном магнитном поле, когда ось вращения витка перпенди-
перпендикулярна к линиям индукции поля, электродвижущая\:ила
индукции изменяется по закону синуса или косинуса.
Заметим кстати, что синусоидальное изменение электро-
электродвижущей силы индукции можно получить и в проводнике,
движущемся в магнитном поле поступательно (см. формулу
B7.5)), если скорость прямолинейного движения провод-
проводника вдоль какой-то координатной оси изменяется с тече-
течением времени по закону синуса (например, vx—v0 sin (ш At)).
Такой случай может иметь место при возвратно-поступа-
возвратно-поступательном движении проводника, изображенного на
рис. 27.2.
Известно, что незакрепленный проводник с током, по-
помещенный во внешнее магнитное поле, может прийти в
движение под действием силы Ампера. Возрастание кине-
кинетической энергии проводника при этом обеспечивается ис-
источником тока, к которому проводник подключен, а не маг-
420

нитным полем. Последнее утверждение может быть пояс-
пояснено рисунком 27.4, на котором изображен участок метал-
металлического проводника с током, движущийся со скоростью
v в однородном внешнем магнитном поле с индукцией В.
Сила Лоренца FJ, действующая на каждый положительный
ион проводника, будет составлять прямой угол с вектором
скорости v иона, и поэтому работа этой силы будет равна
нулю. Точно так же можно показать, что работа силь! Ло-
Лоренца F~, действующей на каждый свободный электрон, тоже
равна нулю. При этом нужно учесть, что каждый электрон
движется не только со скоростью v вместе с проводником,
но имеет еще скорость vT упорядоченного, токового дви-
движения вдоль проводника. Си-
Сила FjT перпендикулярна к век-
вектору vs суммарной скорости
электрона и работы не совер-
совершает. Таким образом, суммар-
суммарная работа сил воздействия
магнитного поля на все заря-
заряженные частицы движущегося
проводника равна нулю, что и
свидетельствует о неизменно-
неизменности энергии магнитного поля
и его источников.
Если проводник с током пе-
перемещается в магнитном поле
не только под действием силы Ампера, но и под воздействи-
воздействием каких-то иных, внешних сил (например, под действием
силы тяжести), то в нем возникает дополнительный индук-
индукционный ток, направление которого может совпадать с на-
направлением основного тока'или быть ему противоположным
(в зависимости от того, в какую сторону перемещается про-
проводник). В принципе мы можем в подобных опытах пол-
полностью скомпенсировать основной ток индукционным, если
-будем" перемещать проводник с должной скоростью в сто-
сторону, противоположную направлению действующей на него
в заданном магнитном поле силы Ампера, или сможем до-
добиться протекания по нему электрического тока в направ-
направлении, противоположном основному, рабочему току. По-
Последнее положение иногда используется на практике:
если вал некоторых типов электрических моторов вращать
в обратную сторону (противоположно его вращению в ра-
рабочем режиме), то мотор начинает работать в качестве гене-
генератора электрического тока.
421
Рис. 27 4.

Обращает на себя внимание тот принципиальный факт,
что индукционные эффекты, которые мы рассмотрели, не-
непременно связаны с какими-то изменениями магнитных и
электрических полей в той или иной инерциальной системе
отсчета. Индуцированное электрическое поле существует
только в течение того промежутка времени, за который через
рассматриваемую площадку изменяется магнитный поток
(хоти бы и с постоянной скоростью), и поэтому оно не неиз-
неизменно и не стационарно (характеристики этого поля в дан-
данной точке пространства не могут сохраняться неизменны-
неизменными в течение продолжительных промежутков времени).
Электрическое поле заряженных частиц, перераспределен-
перераспределенных в проводнике, движущемся в магнитном поле, будет
электростатическим только в системе отсчета, связанной с
самим проводником. В системе же отсчета, относительно
которой проводник движется и в которой магнитное поле
считается стационарным, электрическое поле перераспре-
перераспределенных заряженных частиц уже не будет стационар-
стационарным, оно будет перемещаться в пространстве вместе с про-
проводником.
27.3. Принцип действия трансформатора
Теснейшая взаимосвязь и взаимообусловленность изме-
изменяющихся магнитных и электрических полей имеет не
только принципиальное, но и большое практическое зна-
значение. Явление электромагнитной индукции приводит к
возможности ускорять заряженные частицы в кольцевой
вакуумной камере, расположенной в области быстро изме-
изменяющегося магнитного поля (этот принцип используется в
бетатроне — ускорителе электронов), а также получать
электрические токи в замкнутых проводящих контурах, не
связанных никакими проводами с источниками тока. Такая
возможность уже была рассмотрена нами на примере опы-
опытов, схемы которых изображены на рис. 27.1 и 27.3.
При любых изменениях силы тока в контуре I инду-
индуцируется электрическое поле, которое приводит или к пе-
перераспределению электронов в разомкнутом контуре II,
или к их упорядоченному движению в замкнутом контуре,
т. е. к индукционному току. Посредником, позволяющие
получить индукционный ток, является изменяющееся маг-
магнитное поле.
Индукционные эффекты во втором контуре можно уси-
усилить, если, например, оба контура нанизать на замкнутый
422

ферромагнитный сердечник. Тогда изменяющееся магнит-
магнитное поле будет практически целиком сосредоточено в пре-
пределах объема сердечника и не будет рассеиваться в простран-
пространстве вокруг него. Рис. 27.5 иллюстрирует такой случай.
Все линии индукции магнитного поля витка 1 находятся в
пределах кольцеобразного ферромагниткого сердечника и
пронизывают площадь контура 2. Этот рисунок представля-
представляет принципиальную схему устройства трансформатора.
Контур 1 является его первичной обмоткой, а контур 2 —
вторичной. Индукция магнитного поля в сердечнике за-
зависит от числа витков в первичной обмотке. Следовательно,
и скорость изменения магнитного потока сквозь площадь
Рис. 27 5.
контура 2 также будет зависеть от числа этих витков. Элек-
Электродвижущая сила индукции ^2, кроме того, будет зависеть
и от числа витков во вторичной обмотке. В самом деле, если
одно и то же магнитное поле пронизывает один или несколь-
несколько (скажем, десять) витков, то магнитный поток во втором
случае будет в десять раз больше (величина 5, входящая
в формулу B7.2), в случае десяти витков будет в 10 раз боль-
больше, чем для одного витка).
Из-за того, что изменяющееся магнитное поле сосредо-
сосредоточено в сердечнике трансформатора и не рассеивается в
окружающем пространстве, а также за счет некоторых дру-
других причин (малое сопротивление обмоток, потери энергии
на возникновение так называемых вихревых токов в сер-
сердечнике сведены до минимума — он набирается из отдель-
отдельных пластин, а не изготавливается из сплошного куска
ферромагнетика) трансформатор является устройством с
достаточно высоким коэффициентом полезного действия.
Если пренебречь потерями на изменение внутренней
энергии обмоток и сердечника, то закон сохранения энер-
энергии в применении к трансформатору приводит к равенству
мощностей электрического тока на входе в трансформатор и
423

на выходе из него:
/1Дф1=/2Дф2, B7.7)
где /i и Аф1 — сила тока в первичной обмотке и разность
потенциалов на ее концах, а /а и Аф2 — то же для вторич-
вторичной обмотки.
27,4. Явление самоиндукции
Индукционные эффекты в проводнике наблюдаются
при воздействии на него любого изменяющегося магнитного
поля. В частности, такое поле может возбуждаться при изме-
изменении тока в самом проводнике. Таким образом, проводник
не отличает ^ссвоего» изменяющегося магнитного поля от
«чужого». Во всех случаях, когда в проводнике изменяется
ток (по силе или по направлению или по обоим этим при-
признакам), имеет место явление самоиндукции — возникновение
~ индукционных эффектов в проводнике под действием его
собственного изменяющегося магнитного поля. Ведь какой
бы проводник с током мы ни рассматривали, он является
участком замкнутого контура, состоящего из этого провод-
проводника, соединительных проводов и источника тока. Изменя-
Изменяющийся ток характеризуется изменяющимся магнитным по-
полем, поток вектора индукции которого сквозь площадь кон-
контура проводника не будет постоянным. Ну, а если так, то
вступают в действие закон электромагнитной индукции
Фарадея и правило Ленца: в проводнике индуцируется
вихревое электрическое поле, характеризующееся электро-
электродвижущей силой самоиндукции (<^с), которое приводит или
к соответствующему перераспределению заряженных частиц
в проводнике (например, при размыкании цепи), или к воз-
возникновению тока самоиндукции, направление которого
определяется по правилу Ленца/
Электродвижущая сила самоиндукции в случае неде-
формируемого проводника зависит от скорости изменения
силы тока в проводнике с течением времени:
\&c\ — L XT f \г{-°)
где А/ — изменение силы тока в проводнике за промежу-
промежуток времени A/, a L — характеристика проводника, назы-
называемая его индуктивностью.
Индуктивность L является физической величиной, за-
зависящей от формы и размеров проводника, а также от маг-
421

нитной проницаемости среды, в которой он находится.
Если, например, из проволоки длиной в 1 м изготовляют
различные по форме контуры (один виток или соленоид и
т. д.), их индуктивности в одной и той же среде будут раз-
различными. Заметим, что материал проводника не влияет на
его индуктивность (была ли взята проволока медная, алю-
алюминиевая или из любого другого проводящего вещества).
В этом смысле индуктивность является характеристикой
проводника, аналогичной его электрической емкости (ем-
(емкость также не зависит от материала проводника, а опре-
определяется его формой, размерами и диэлектрической про-
проницаемостью среды).
Индуктивность проводника можно найти на основании
B7.8) по измеренным на опыте величинам <?с, А/ и At.
В СИ за единицу индуктивности принимают 1 генри
(новое обозначение — Г); это индуктивность такого про-
проводника, в котором при изменении силы тока на один ам-
ампер (Л/=1 А) за одну секунду (Д/=1 с) индуцируется элек-
электродвижущая сила, равная одному вольту (<?с=1 В).
§ 28. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
28.1. Закон сохранения энергии в применении
к колебательному контуру
Анализируя процессы, происходящие в колебательном
контуре — в электрической цепи, содержащей последова-
последовательно соединенные конденсатор и соленоид (рис. 28.1),—
можно прийти к выводу о взаимных пе-
переходах энергии электрического поля в
энергию магнитного поля, а энергии
магнитного поля — в энергию электри-
электрического поля.
Чтобы зарядить конденсатор, нужно
совершить работу какими-то внешними
силами по перераспределению зарядов
на его обкладках. Эта работа служит ме- Рис. 28 1.
рой потенциальной энергии взаимодей-
взаимодействия перераспределенных зарядов или мерой энергии по-
поля заряженного конденсатора.
Разряжая конденсатор через соленоид, мы наблюдаем
перезарядку конденсатора. Если потери энергии в контуре
(например, на изменение внутренней энергии соединитель-
425

ных проводов при протекании по ним электрического тока)
ничтожно малы, то энергия поля перезаряженного конден-
конденсатора будет такой же, какой она была в начале процесса.
Перезарядку конденсатора в колебательном контуре
удается объяснить, принимая во внимание индукционные
процессы, происходящие в соленоиде. При протекании по
соленоиду изменяющегося электрического тока возникает
изменяющееся магнитное поле, которое и обеспечивает
перераспределение зарядов на обкладках конденсатора.
Таким образом, закон сохранения энергии в применении к
колебательному контуру выражается в том, что энергия
электрического поля конденсатора переходит в энергию
магнитного поля соленоида и соединительных проводов,
последняя в свою очередь переходит в энергию электри-
электрического поля перезаряженного конденсатора и т. д.
Два изменяющихся поля, электрическое и магнитное,
взаимосвязь и взаимообусловленность которых встречается
во многих явлениях электродинамики, в частности в про-
процессах, происходящих в колебательном контуре, являются
двумя разновидностями единого электромагнитного поля-.
Деление процессов и явлений на электрические и магнитные
условно. Ведь их первопричина связана с заряженными ча-
частицами или телами. Только отвлекаясь от их движения,
мы говорим об электрических свойствах или явлениях.
Значит, движущимся заряженным частицам присущи, кро-
кроме прочих, единые электромагнитные свойства, электриче-
электрическая или магнитная сторона которых может быть преобла-
преобладающей в тех или иных условиях, в той или иной системе
отсчета.
28.2. Электромагнитное поле
Примерно в той же последовательности, в какой физика
постигала электрические и магнитные явления, мы рас-
рассмотрели основные опытные факты. Замечательным при
этом оказалось то, что между явлениями электрическими и
магнитными имеется очень глубокая взаимная связь.
Любое упорядоченное движение заряженных частиц
(будь то электронный ток в металле или ионный в электро-
электролите, будь то упорядоченное движение дырок в полупровод-
полупроводнике, электронный луч в вакууме или движение заряжен-
заряженного тела в воздухе и т. д.) всегда сопровождается магнит-
магнитными эффектами, всегда является источником магнитного
поли. Если ток постоянен, постоянно и магнитное поле этого
тока (в любой заданной точке пространства вокруг тока век-
426

тор индукции магнитного поля В не изменяется ни по мо-
модулю, ни по направлению). Изменяющийся электрический
ток обеспечивает в общем случае изменяющееся магнитное
поле (если изменяется только сила тока, в заданной точке
магнитного поля этого тока изменяется лишь модуль
вектора В; если ток изменяется и по направлению, изме-
изменяется и направление вектора В).
С другой стороны, явление электромагнитной индукции
убедительно доказывает возможность электрических эф-
эффектов, имеющих, так сказать, магнитную причину: пере-
перераспределение зарядов в незамкнутом проводнике или их
упорядоченное движение — индукционный ток — в зам-
замкнутом проводнике. Правда, этот круг явлений возможен
при соблюдении очень существенного условия: магнитный
поток (сквозь площадь контура витка или катушки, сквозь
площадь, описываемую движущимся участком контура,
и т. д.) должен быть изменяющимся.
Колебательный контур заслуживает внимания как про-
простейшее устройство, в котором могут быть получены элек-
электромагнитные колебания, связанные с переходами энергии
электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.
Кроме того, анализ процессов в колебательном контуре по-
позволяет получить некоторые важные, на первый взгляд до-
достаточно неожиданные выводы.
Попробуем сравнить колебательный контур с простей-
простейшей замкнутой неразветвленной электрической цепью по-
постоянного тока, состоящей из источника питания и внеш-
внешнего участка. Мы знаем, что в такой цепи происходит не-
непрерывная циркуляция зарядов:,они непрерывно переме-
перемещаются и по внешнему, и по внутреннему (внутри источника
тока) участкам цепи в одном направлении. Интересуясь маг-
магнитным полем такой цепи, ее без всяких оговорок можно
представить как замкнутый виток с током. Каждый кусо-
кусочек, любой участок такого витка, конечно, будет являться
источником магнитного поля. Заметим, что магнитное поле
будет порождаться и внутренним участком такой цепи (если
даже это будет, например, участок электролитического
раствора между электродами гальванического элемента)
независимо от устройства источника. Ведь способность воз-
возбуждать магнитное поле — наиболее общий эффект, со-
сопровождающий движение любых электрических зарядов по
любому руслу.
Колебательный контур не очень-то похож на рассмотрен-
рассмотренную цепь хотя бы потому, что он представляет разомкнутую
427

электрическую цепь. В нем, правда, имеется изменяющийся
электрический ток, но ведь этот ток — всего-навсего пери-
периодическое перераспределение зарядов в проводящих участ-
участках контура (от одной обкладки конденсатора через соеди-
соединительные провода и соленоид до другой и обратно).
Ясно, что колебательный контур будет источником пе-
периодически изменяющегося магнитного поля. В основном
это поле будет сосредоточено внутри соленоида, но и за его
пределами (вокруг соединительных проводов, за торцами
соленоида) оно может быть обнаружено. Если нас спросят,
от каких участков или элементов колебательного контура
берет свое начало магнитное поле, мы не будем долго ду-
думать над ответом: конечно же, от тех проводящих участков, в
которых упорядоченно движутся, периодически перераспре-
перераспределяются заряды. Совершенно правильно. Такое заключение
будет находиться в полном согласии с известными законо-
закономерностями магнитных явлений.
Мы, наверное, немало удивимся, если нам скажут, да не
только скажут, но и продемонстрируют на опыте, что изме-
изменяющееся магнитное поле обнаруживается и вокруг за-
зазора конденсатора (причем это будет поле не от соседних
участков контура, а именно поле «от зазора», изменяющееся
магнитное поле, имеющее зазор конденсатора в качестве
своего источника). Как же так? Ведь пространство между
обкладками конденсатора непроводяще, оно может быть ва-
вакуумным, не содержать диэлектрика, не содержать веще-
вещества! «Что же,— может сказать торопливый читатель,—
значит^ в ^вакуумном зазоре конденсатора колебательного
контура перемещаются какие-то заряженные частицы, по-
подобно тому как движутся потоки электронов в вакуумной
трубке телевизора!» Если попытаться обнаружить эти за-
заряженные частицы в зазоре конденсатора на опыте, ничего
утешительного мы не получим. Таких частиц нет!
Выходит какая-то неувязка: с одной стороны, зазор
конденсатора ведет себя как участок цепи с изменяющимся
током, ибо он является источником изменяющегося магнит-
магнитного поля, с другой — в зазоре нет носителей тока.
Логичны два предположения для ликвидации этого ин-
интересного противоречия: либо кроме перечисленных ранее
типов электрических токов (токов проводимости и конвек-
конвекционных) бывают еще токи без носителей электрических за-
зарядов, либо источником изменяющегося магнитного поля
может быть не только изменяющийся электрический ток,
но и что-то еще.
,428

Предположение о существовании тока без носителей за-
зарядов, о так называемом токе смещения, было высказано
Максвеллом. Но не является ли такое предположение
весьма произвольной попыткой объяснить увиденное? Пред-
Предположение еще не доказательство. Да и предположение по
меньшей мере странное. Обнаружено изменяющееся магнит-
магнитное поле вокруг зазора конденсатора колебательного кон-
контура. Известно, что источником изменяющегося магнитного
поля является изменяющийся, электрический ток. Ника-
Никакого тока между обкладками конденсатора не нашли, взяли
да и предположили, что он все-таки есть... Ничего не ска-
скажешь, сомнительный путь избрали физики — представи-
представители строгой и точной науки о природе,— чтобы объяснить
опытный факт! Нет, уж давайте без придумываний! Вы го-
говорите о существовании тока смещения, так извольте
пояснить, какова его природа, Зтб он собою представляет*
Возвращаясь ко второму возможному предположению,
удается установить и смысл первого. До сих пор мы пыта-
пытались найти «вещественный» источник изменяющегося маг-
магнитного поля — искали движущиеся заряженные частицы
или заряженные тела. Их не оказалось. Но ведь в зазоре
конденсатора имеется изменяющееся электрическое поле.
Вот это изменяющееся электрическое поле и ответственно за
изменяющееся магнитное поле вблизи зазора конденсатора
колебательного контура, а ток смещения — всего лишь
другое название этого изменяющегося электрического поля.
Токи смещения могут возникать в пустом пространстве, не
содержащем каких-либо заряженных или нейтральных
частиц.
При использовании понятия о токе смещения колеба-
колебательный контур может представляться как замкнутая элек-
электрическая цепь: изменяющийся ток проводимости имеется
' в соединительных проводах и соленоиде, а зазор конденса-
конденсатора замыкается током смещения. В связи с этим часто го-
говорят о полном токе в цепи колебательнбго контура как
о замкнутой последовательности изменяющегося тока про-
проводимости и тока смещения.
Не забудем отметить, что токи смещения эквивалентны
токам проводимости только по магнитному действию. Ток
смещения может «протекать» в вакууме, являясь при этом
источником магнитного поля, но никакими тепловыми или
химическими эффектами он сопровождаться не будет.
Итак, магнитные поля могут порождаться не только
движущимися заряженными частицами или телами, но и
429

электрическими полями, а электрические поля — не только
покоящимися или движущимися электрическими зарядами,
но и магнитными полями. Эта взаимосвязь полей имеет
принципиальное значение. Она представляет интерес и
в тех случаях, когда в рассматриваемой области простран-
пространства отсутствуют какие бы то ни было проводники или ди-
диэлектрики, заряженные частицы или тела, короче говоря,
когда отсутствует вещество.
Не поленимся еще раз обратить внимание на один важ-
важный штрих в характеристике индуцированного электриче-
электрического поля, порождаемого изменяющимся магнитным
полем.
Пусть в некоторой области пространства имеется маг-
магнитное поле, индукция которого изменяется с течением вре-
времени, например, синусоидально. Если в этом поле распо-
расположен замкнутый проводящий виток (рис. 28.2, а), то в
Рис. 28 2.
витке, как мы знаем, будет индуцироваться ток /и. Заме-
Заметим, что это будет замкнутый переменный ток проводимости.
А что будет наблюдаться, если в том же переменном маг-
магнитном поле будет находиться разомкнутый проводник,
например, представляющий часть только что рассмотрен-
рассмотренного витка (рис. 28.2, б)? Ранее мы такие случаи тоже ана-'
лизировали. Подвижные заряды (свободные электроны, если
это металлический проводник, и т. д.) будут в проводнике
периодически перераспределяться, т. е. можно говорить
о переменном токе проводимости /Пр0В на участке МРТ.
Проводник МРТ можно уподобить проводящим участкам
колебательного контура, и следует заключить, что в зазоре
МТ должен проходить ток смещения /см. Обратим внима-
внимание на то, что если в первом случае переменное магнитное
поле приводило к появлению замкнутого тока проводимости
в замкнутом проводнике, то теперь, как и в случае колеба-
колебательного контура, замкнутым будет полный ток.
,430 7

Дальнейшие этады анализа напрашиваются сами собой.
Будем укорачивать участок проводника с током проводи-
проводимости; при этом в разрыве по-прежнему будет циркулиро-
циркулировать ток смещения, так что полный ток будет оставаться
замкнутым.
В пределе можно рассмотреть мысленный замкнутый
контур. Тогда не останется участков, в которых могли бы
перераспределяться заряженные частицы, не останется тока
проводимости, но, если наши рассуждения соответствуют
действительности, должен остаться замкнутый ток сме-
смещения.
Можно подумать, что примерно таким путем рождалась
еще одна гипотеза Максвелла — догадка о том, что пере-
переменное магнитное поле приводит к появлению в простран-
пространстве замкнутых переменных полных токов.
Эту же мысль можно выразить и по-другому, если, как
и прежде, непосредственной причиной полного тока счи-
считать то электрическое поле, которое «проталкивает» этот
ток. Поскольку полный ток замкнут, силовые линии этого
электрического поля придется считать замкнутыми. Суще-
Существование таких индуцированных или вихревых электри-
электрических полей с замкнутыми силовыми линиями, как мы уже
знаем, подтвердилось.
Вихревое электрическое поле всегда порождается изме-
изменяющимся магнитным полем. Если вихревое электрическое
поле оказывается изменяющимся, оно в свою очередь вы-
вызывает появление в пространстве изменяющегося магнит-
магнитного поля. Таким образом, изменяющиеся магнитные поля
всегда являются связанными, сцепленными с изменяющи-
изменяющимися вихревыми электрическими полями, и их совокуп-
совокупность называют электромагнитным полем.
Термин «сцепленные» достаточно образен, и мы исполь-
используем его, чтобы напомнить и подчеркнуть тот факт, что ли-
линии индукции магнитного поля всегда замкнуты. По этому
признаку любое магнитное поле (и стационарное, и изменя-
изменяющееся) будет вихревым. Изменяющееся магнитное поле
обязательно сопровождается присутствием в той же обла-
области пространства вихревого электрического поля с замкну-
замкнутыми силовыми линиями, которые, как звенья цепочки,
связаны с замкнутыми линиями индукции изменяющегося
магнитного поля. Эта сцепленность отражает и взаимную
порождаемость двух компонент электромагнитного поля, и
возможность распространения, излучения электромагнит-
электромагнитного поля в пространстве в виде электромагнитных волн.
431

28.3. Колебательный контур
как излучатель электромагнитного поля
Период свободных незатухающих электромагнитных ко-
колебаний, возникающих в^колебательном контуре, зависит
от индуктивности и емкости контура и может быть подсчи-
подсчитан по формуле Томсона:
7 * B8.1)
Рис. 28.3
где Т — период электромагнитных колебаний (в секундах),
L — индуктивность контура (в генри), С — емкость кон-
контура (в фарадах).
Соленоид не является неотъемлемой составной частью
колебательного контура, точно так же как и конденсатор.
Дело в том, что любой проводник характеризуется индук-
индуктивностью и емкостью, и, если за счет
каких-либо внешних причин удастся
перераспределить заряды внутри не-
него, это может послужить толчком к
возникновению в проводнике электро-
электромагнитных колебаний, происходящих
с той или иной частотой в зависи-
зависимости от его индуктивности и емкости
(т. е. в конечном счете в зависимости
от формы и размеров проводника и от
среды, в которой он находится).
Рассмотрим колебательный кон-
контур, в котором конденсатор замкнут
не на соленоид, а на линейный проводник (рис. 28.3).
Что можно сказать об электромагнитном поле такого
контура? Электрическое поле почти целиком сосредото-
сосредоточено внутри объема проводника и в зазоре конденса-
конденсатора. Направление силовых линий периодически изменя-
ется~ в зависимости от полярности обкладок конденсатора.
Одна из силовых линий условно показана на рисунке пунк-
пунктиром. Линии индукции магнитного поля от каждого уча-
участка контура имеют форму концентрических окружностей,
плоскости которых перпендикулярны к силовым линиям
электрического поля. Некоторые линии индукции также
показаны на рисунке. В определенные моменты времени,
соответствующие максимальной разности потенциалов меж-
между обкладками конденсатора (например, в начальный мо-
момент, когда конденсатор только что заряжен, через поло-
половину периода, когда конденсатор перезарядился, и т. д.),
432

ток в контуре отсутствует, а значит, отсутствует и магнит-
магнитное поле.
Чем на большем расстоянии от такого контура мы будем
находиться, тем менее ощутимым будет его поле. Ведь элек-
электрическое поле почти полностью сконцентрировано внутри
объема проводника и внутри зазора конденсатора, а маг-
магнитное поле хотя и обнаруживается за пределами контура,
но с увеличением расстояния очень быстро ослабевает.
Подобные колебательные контуры называют закрытыми
(они не служат источниками заметного электромагнитного
поля в окружающем их пространстве).
Видоизменяя конфигурацию колебательного контура,
удается добиться распространения, излучения электромаг-
электромагнитного поля в окружающее пространство. На рис. 28.4, а
Рис 28.4.
представлена схема открытого колебательного контура, или
вибратора (условно показано также неравномерное распре-
распределение зарядов по его длине), а на рис. 28.4,6 — условная
картина некоторых силовых линий его электрического поля
в плоскости оси вибратора (пунктирные линии) и линий
индукции магнитного поля в плоскости, перпендикулярной
к оси вибратора (сплошные линии) При перераспределе-
перераспределении зарядов вдоль такого вибратора по нему протекает
переменный электрический ток, вызывающий переменное
магнитное поле. Вихревое электрическое поле с замкнутыми
силовыми линиями может отделяться от вибратора и рас-
распространяться в окружающем пространстве почти во все
стороны (кроме направлений вдоль оси вибратора), вызы-
вызывая появление в новых местах переменного магнитного
поля и т. д. В пространстве вокруг вибратора распростра-
распространяются как бы цепочки сцепленных переменных магнитных
433

и вихревых электрических полей, распространяется элек-
электромагнитное поле. Переходя от закрытого колебательного
контура к открытому, мы создаем условия для распростра-
распространения электромагнитного поля в окружающем пространстве.
Еще одним условием интенсивного излучения вибрдтора
является большая частота электромагнитных колебаний в
нем. Дело в том, что вибратор излучает электромагнитное
поле и при малых частотах, но на больших расстояниях от
него в этих случаях поле чрезвычайно слабое. Чем больше
частота электромагнитных колебаний в вибраторе, тем более
интенсивное электромагнитное поле будет обнаруживаться
и на больших расстояниях от него.
28.4. Атомы вещества подобны открытому
колебательному контуру
При анализе периодически повторяющихся, колеба-
колебательных процессов в колебательном контуре обращает на
себя внимание ускоренное движение заряженных частиц в
нем. В самом деле, если отсчет времени начат, например,
с того момента, когда перераспределенные электроны на-
находились на нижнем конце вибратора (см. рис. 28.4, а),
то в последующие моменты времени электроны будут дви-
двигаться к верхнему концу вибратора, скапливаться до ка-
какого-то предела на нем, затем двигаться вниз и т. д. Такое
движение электронов не может быть равномерным (есть
моменты остановки, разгона, торможения и т. д.).
Картина станет более простой, если мы учтем, что пере-
перемещения, скорости и ускорения электронов в вибраторе
изменяются с течением времени по закону синуса (или ко-
косинуса). Нельзя ли в таком случае модель вибратора пред-
представить, например, в виде заряженного тела, подвешенного
на длинной нити и колеблющегося с такой же частотой, с ко-
которой происходят колебания в вибраторе (рис. 28.5, а и б)?
Еще проще, очевидно, модель вибратора представить в
виде системы двух связанных разноименно заряженных ча-
частиц, вращающихся вокруг общего центра,— в виде вра-
вращающегося электрического диполя (рис. 28.6).
Наконец, сделаем последний шаг. Атом любого вещества
состоит из положительно заряженного ядра и обращаю-
обращающихся вокруг него электронов. Движение электронов по
орбитам является ускоренным движением (всегда имеется
центростремительное ускорение). Значит, каждый атом ве-
вещества представляет собой вращающийся электрический
434

диполь (или даже систему нескбльких диполей), вокруг ко-
которого в пространстве распространяется электромагнитное
поле, как вокруг вибратора. Частота обращения электронов
по орбитам огромна, а это, как известно, является одним
из условий хорошего излучения.
Мы обратили внимание читателей на аналогию между
атомом и вибратором, чтобы как-то указать на возможность
излучения атомом электромагнитного поля. В дальнейшем
\
\
/
-Г ¦+ +1 в- ч * ¦ у
Рис. 28.5.^ Рис. 28.6.
мы более подробно рассмотрим механизм этого явления и
покажем, что такая аналогия приводит к очень серьезным
противоречиям, разрешить которые удается при использо-
использовании иной модели атома-излучателя. Противоречия будут
связаны с тем, что, несмотря на ускоренное движение элек-
электронов в атоме, он не^ всегда, а только при определенных ус-
условиях является излучателем. Поэтому моделью атома-виб-
атома-вибратора с успехом можно пользоваться для случая, когда
атом уже в силу каких-то причин излучает, связывая ее
лишь с возможностью излучения и помня о том, что такая
модель не позволяет ответить на вопрос, почему атом очень
часто все-таки не излучает.
Говорить с уверенностью об электромагнитных излуче-
излучениях при наличии ускоренно движущихся заряженных ча-
частиц можно лишь в тех случаях, когда эти частицы движутся
в протяженных, макроскопических областях внешних полей
(например, в специальных ускорителях заряженных ча-
частиц, в магнитном поле Земли и т. п.) и не составляют
связанную систему взаимодействующих между собой микро-
микроскопических заряженных частиц (атомы, молекулы, груп-
группы атомов и молекул, ионы как раз и являются такими кол-
коллективами, взаимодействиями между составными частями
которых пренебречь никак нельзя).
435

28.5. Некоторые важные выводы
Рассмотрение электрических и магнитных полей, изме-
изменяющихся во времени, заставляет по-новому взглянуть на
происходящие в природе процессы и внести коррективы в
представления о строении вещества.
Законы электромагнитной индукции замкнули цепь
рассуждений о взаимосвязи изменяющихся электрических и
магнитных полей. Причину индукционных явлений мы на-
находим в существовании вихревых электрических полей, яв-
являющихся частью полей электромагнитных.
Колебательный контур явился простейшим источником
электромагнитных колебаний и электромагнитного поля,
причем при некоторых условиях (открытый колебательный
контур и большая частота колебаний) это поле могло отде-
отделяться от колебательного контура и распространяться в ок-
окружающем его пространстве. Мы не задержали внимания на
вопросах прикладного значения этих явлений (радиопере-
(радиопередача, радиолокация, радиоастрономия и т. д.) и снова по-
поспешили заглянуть внутрь вещества.
Ранее мы говорили о том, что атомы любых веществ со-
содержат заряженные частицы (электроны, протоны), и в
связи с этим, изучая строение вещества, приходится счи-
считаться с микроскопическими электрическими полями внут-
внутри него. Заряженные частицы атомов движутся, поэтому мы
говорим о микротоках и внутренних микромагнитных по-
полях вещества (характеризующихся, например, орбиталь-
орбитальными магнитными моментами атомов). Наконец, мы вы-
вынуждены были сказать о внутренних электромагнитных
колебаниях внутри вещества и о том, что атомй вещества
при некоторых условиях являются источниками электро-
электромагнитных излучений, источниками электромагнитных по-
полей не только/внутри вещества, но и за его пределами.
Электромагнитное поле универсально в том смысле, что
электростатические, вихревые электрические и магнитные
поля являются его неразрывно связанными составными ча-
частями, проявляющими себя в тех или иных процессах в за-
зависимости от условий их протекания в различных системах
отсчета (покоятся или движутся электрические заряды,
движутся равномерно или ускоренно и т. п.).
Атомы, как мы сказали, могут являться источниками
электромагнитных полей, причем мы упомянули только об
обращении электронов по орбитам, но внутри вещества есть
еще и другие виды ускоренных движений заряженных ча-
436 -

стиц (например, колебательные движения ионов в узлах
кристаллической решетки металла, тепловое колебательное
движение диполей в диэлектриках и многие другие), и все
они при определенных условиях могут привести к электро-
электромагнитным излучениям.
Ясно также, что если вещество может быть источником
электромагнитного поля, то внешнее электромагнитное по-
поле, в котором находится данное, рассматриваемое в какой-то
задаче или опыте вещество, влияет на процессы, происхо-
происходящие внутри вещества. Это в свою очередь может изме-
изменять суммарное поле не только внутри объема вещества,
но и за его пределами. Таким образом, мы всегда должны
учитывать воздействие электромагнитных полей на веще-
вещество и влияние вещества на характеристики электромагнит-
электромагнитных полей.
Более того. Нельзя забывать о происхождении электро-
электромагнитных полей — они порождаются заряженными ча-
частицами или сложными образованиями этих частиц (ато-
(атомами, молекулами и т. д.). Но существовало бы вещество
в виде атомов, молекул и т. д., если бы не было электромаг-
электромагнитных полей? Приходится сказать, что нет. Что удерживает
электроны внутри атома, что связывает атомы в молекулы,
а молекулы друг с другом? Таким «цементом» являются
электромагнитные поля (наряду с некоторыми другими
полями, о которых мы не имеем возможности рассказать в
этой книге).
Значит, поля (гравитационные, электромагнитные и др.)
не являются нашим вымыслом! Они существуют объективно,
помимо нашей воли и независимо от нас. Материя в форме
вещества порождает поля, но сама существует благодаря
существованию полей.
Современная физика убедительно доказала, что материя,
изучаемая ею, существует в двух формах, в двух разновид-
разновидностях — в форме вещества и в форме полей.
Читатель, конечно, помнит, что при изучении тепловых
явлений мы учитывали взаимодействия атомов и молекул
вещества, не вскрывая их природы. Теперь становится по-
понятным, что взаимодействия атомов и молекул вещества
имеют электромагнитную природу (если не говорить о не-
некоторых более сложных взаимодействиях).

ГЛАВА IX
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
§29. ВОЛНОВОЙ ПРОЦЕСС — ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
29.1* Классификация волн
Периодически повторяющиеся, колебательные процессы
или движения встречаются очень часто. Колеблется шарик,
подвешенный на нити; колеблется балансир ручных часов;
колеблются ионы в узлах кристаллической решетки, атомы
в молекулах; периодически изменяется температура возду-
воздуха в каком-то пункте на земном шаре. Примеров как про-
простейших, так и сложных колебаний можно было бы приве-
1 сти очень много. Возникнув,
Ук Т\ /~\ /\ 1§ а) колебания могут распростра-
| у \У \У ^*ф^ няться в соседние области про-
-J) >х >mV странства. Процесс распро-
1 странения колебаний в про-
странстве называется волно-
вым пР°Чессом или процессом
распространения волн. Мы го-
вор им о волнах упругих,
электромагнитных и других.
Рис 29 1. Звуковые волны являются
разновидностью упругих
волн. Колебания, лежащие в диапазоне частот от 20 до
20000 Гц, называются звуковыми колебаниями. Эти коле-
колебания обладают способностью воздействовать на ухо чело-
человека— обладают способностью быть слышимыми.
Упругие волны распространяются только в веществе,
электромагнитные же волны могут распространяться как в
веществе, так и в вакууме.
Перемещая конец резинового жгута в вертикальной пло-
плоскости вверх-вниз (рис. 29.1, а), мы можем добиться рас-
138

пространения пэ жгуту упругой волны, например, вдоль
координатной оси ОХ. Смещения частиц жгута будут про-
происходить при этом вдоль оси 0Y, т. е. перпендикулярно к
направлению распространения волны. Такие волны назы-
называются поперечными. Рис. 29.1, б иллюстрирует пример по-
получения продольной упругой волны в витой пружине.
Поперечные упругие волны распространяются только в
твердых телах (например, при колебаниях струны или ли-
линейки, зажатой одним концом в тисках, и т. п.). Продоль-
Продольные упругие волны могут распространяться в твердых,
жидких и газообразных веществах (например, волны сжа-
сжатия-разрежения в стержне, в столбах жидкости или газа).
Рис. 29 2.
Электромагнитные волны являются волнами попереч-
поперечными: они представляют собой процесс распространения
взаимно перпендикулярных колебаний векторов напряжен*
ности Е электрического и индукции В магнитного полей,
причем вектор скорости распространения этих колебаний
перпендикулярен к векторам Е и В (рис. 29.2).
29.2. Основные характеристики волн
Любые волны берут свое начало от источника колеба-
колебаний, который задает характер колебаний: синусоидальный
или иной закон изменения колеблющейся величины с те-
течением времени, направление колебаний частиц вещества
или векторных характеристик электромагнитного поля.
Такие характеристики источника колебаний, как частота,
период, амплитуда и фаза колебаний, характеризуют и
волны, испущенные этим источником.
Любая волна характеризуется, кроме того, скоростью
(v) распространения. Следует помнить, что скорость рас-
439

пространения волн в веществе не имеет ничего общего со
скоростью перемещения.частиц вещества. От брошенного
в воду камня во все стороны по поверхности пруда разбе-
разбегаются волны, но это не означает, что вода отходит от места
падения камня. Камень возбудил колебательное движение
частиц воды, которые колеблются около неподвижных по-
положений равновесия, но колебания от одних частиц пере-
передаются к другим.
Обратим внимание на то, что скорости распространения
волн зависят не только от того, что это за волны, но и от
свойств среды, в которой волны распространяются. Можно
сказать, что источник кодебаний лишь возбуждает колеба-
колебания. Передача колебаний от одних мест пространства к дру-
другим обеспечивается уже средой.
Длиной волны (X) называется то расстояние, на которое
волна распространяется за время одного периода (Т) ко-
колебаний источника:
Я = г;Г = ~-. B9.1)
Длина волны зависит как от характеристик источника ко-
колебаний (Т или v), так и от свойств среды, в которой волца
распространяется (v зависит от этих свойств!).
Поэтому к словам о том, что «имеется источник волн та-
такой-то длины», следует относиться очень внимательно.
Если так и говорят, то при этом имеют в виду, в какой имен-
именно среде (с какой скоростью!) распространяются волны от
источника колебаний. Источник колебаний становится ис-
источником волн только в среде, способной обеспечить пере-
передачу колебаний в пространстве в виде волн! Металличе-
Металлическая мембрана, колеблющаяся с частотой 100 Гц, будет
являться источником звуковых волн, только если она на-
находится в воздухе, в воде или в каком-то другом веществе.
Такая мембрана, помещенная в вакуум, будет источником
колебаний со звуковой частотой, но никаких звуковых волн
при этом она не создаст. С электромагнитными волнами де-
дела обстоят лучше, ибо электромагнитные колебания распро-
распространяются не только в веществе, но и в вакууме. Но длина
и скорость распространения и этих волн зависят от^реды.
От данного источника электромагнитных колебаний опре-
определенной частоты в вакууме, воздухе, воде и в других ве-
веществах будут распространяться волны различной длины и с
различной скоростью!
Поверхность, во всех точках которой в данный момент
времени фазы колебаний в волне одинаковы, называется
440

волновой поверхностью или фронтом волны. Вектор ско-
скорости волны в любой точке волновой поверхности перпен-
перпендикулярен к волновой поверхности.
По форме волновые поверхности могут быть различными:
плоскими, цилиндрическими, сферическими или более
сложными. Этот признак также кладется в основу клас-
классификации волн: говорят о волнах плоских, сферических
и т. д. Так, например, от очень малого (точечного) источ-
источника звука в окружающем воздухе распространяются сфе-
сферические звуковые волны. От брошенного в воду малень-
маленького камешка по ее поверхности распространяются кру-
круговые волны (прообраз сферических волн в пространстве).
Если же колебания частиц поверхности воды возбуждаются
прикосновением длинной линейки (край линейки периоди-
периодически касается поверхности воды), то возникшие волны
прямолинейны (прообраз плоских волн в пространстве).
§30. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПРИРОДЫ
30.1. Скорость распространения волн конечна
Опыты с упругими или звуковыми колебаниями без
особого труда приводят к заключению, что существует
вполне определенная скорость их распространения в дан-
данном веществе — скорость звука в данной среде, зависящая
от плотности и других (упругих) характеристик среды. При
обычных условиях QKopocTb звука изменяется от несколь-
нескольких сотен метров в секунду (для газов) до нескольких кило-
километров в секунду (для жидкостей и твердых тел).
С большими трудностями встретились физики при оценке
скоростей электромагнитных волн, которые могли переда-
передаваться и через пространство, не содержащее вещества.
Существовало даже мнение, что такие волны распростра-
распространяются с бесконечно большой скоростью, мгновенно на лю-
любые расстояния. Именно в связи с этим orpoivfitoe значение
цмели опыты Майкедьсона и других ученых по точнейшему
измерению скорости света. Дело в том, что с некоторых пор
физики были убеждены, что световые йолны, воздействую-
* щие на глаз человека, являются разновидностью волн
электромагнитных. (Видимый свет — это очень узкий уча-
участок в широком спектре электромагнитных волн!) Поэтому,
определив на опыте скорость света, можно было судить и о
скорости других электромагнитных волн. Кроме того,
441

эти опыты позволили бы судить о свойствах той среды, в
которой распространяется свет, и о том, необходима ли во-
вообще материя в форме вещества для распространения элек-
электромагнитных волн и света в частности. Из всех этих опы-
опытов скорость света бесконечной не получалась. Ее значение
было огромным, примерно 300000 км/с, но конечным!
Именно такое большое значение скорости света долгое вре-
время маскировало ее под бесконечно большую.
Скорость света (или скорость электромагнитных волн),
как и скорость любых других волн, зависит от среды, в ко-
которой свет распространяется. Во всех веществах скорость
электромагнитных волн меньше, чем в вакууме. Таким обра-
образом, скорость света в вакууме является йаивысшим преде-
пределом скоростей, встречающихся в природе.
То, что скорость в 300 000 км/с была названа «скоростью
света в вакууме», является исторической случайностью.
Все дело в том, что такая скорость была впервые обнаружена
в опытах со светом. С одинаковым успехом она могла быть
названа «скоростью радиоволн в вакууме», «скоростью
гамма-излучений в вакууме» или как-либо еще.
30.2. Уравнение плоской синусоидальной волны
Конечная скорость волн приводит к тому, что колебания
в точках пространства, удаленных от источника колебаний
на различные расстояния, не будут совпадать по фазе с ко-
колебаниями в источнике. Это и понятно: ведь для того, чтобы
волна успела пройти расстояние до рассматриваемой точки,
требуется какой-то промежуток времени.
Пусть имеется источник гармонических колебаний,
описываемых, например, уравнением
причем под So при упругих колебаниях можно понимать или
смещение точки, или ее скорость, или ускорение. В случае
электромагнитных колебаний под So можно подразумевать
или вектор напряженности электрического поля Е, или
вектор индукции магнитного поля В в месте нахождения
излучающего источника спустя промежуток времени At
от момента начала отсчета времени.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся
вдоль положительного направления координатной оси
ОХ, и установим закон изменения соответствующей вели-
величины S в точке, удаленной от источника колебаний на рас-
442

стояние Ах. Если волна распространяется вдоль оси ОХ
со скоростью vx, то время запаздывания колебаний в рас-
рассматриваемой точке будет определяться отношением Ax/vx.
При отсутствии затуханий величина SMaKC в этой точке будет
такой же, как и в источнике колебаний; циклическая часто-
частота колебаний не будет отличаться от циклической частоты
колебаний в источнике, поэтому мы можем написать
C0.1)
Выполнив несложные преобразования, можно получить
иную форму записи:
(^^) C0.2)
Любое из этих выражений называется уравнением плоской
синусоидальной волны.
Для электромагнитной волны, схематически изобра-
изображенной на рис. 29.2, на основании C0.1) можно, например,
получить уравнения, описывающие изменения проекций
векторов Е и В на соответствующие координатные оси в точ-
точке, отстоящей от источника колебаний на расстоянии Ах:
C0.3)
C0.4)
Эти уравнения называются уравнениями плоской синусои-
синусоидальной электромагнитной волны.
30.3. Перенос энергии волнами
Для того чтобы возбудить колебания в источнике коле-
колебаний, к нему нужно подвести энергию извне. Пружинный
маятник, например, сам по себе не приходит в колебатель-
колебательное движение, самопроизвольно не возникают и электро-
электромагнитные колебания в колебательном контуре. Грузик
маятника может быть выведен из состояния равновесия
толчком (ему извне будет сообщена кинетическая энергия),
или он может быть смещен из положения равновесия очень
медленно, без изменения скорости (работа внешних сил
будет определять увеличение потенциальной энергии)
Колебания в контуре можно вызвать, зарядив его конден-
конденсатор (возрастание энергии электрического* поля) или
443

пропустив по соленоиду ток (возрастание энергии магнитно-
магнитного поля). Таким образом, любая'система, в которой проис-
происходят колебания, обладает повышенным запасом энергии по
сравнению с невозбужденным состоянием этой системы.
Если такая система ^является источником волн, она от-
отдает энергию в окружающее пространство. Волны, отходя-
отходящие от нее, уносят энергию.
Что приводит в колебательное движение барабанную
перепонку нашего уха? Энергия источника звука, донесен-
донесенная до нашего уха звуковой волной. Что вызывает звучание
динамика радиоприемника? Энергия радиоволн, пришедших
от передающей станции. Если не «подкачивать» энергию
извне в источник колебаний, он очень быстро перестает
излучать.
30.4. Дисперсия скорости волн и дисперсия показателя
преломления
Мы уже говорили, что скорость волны зависит от среды.
Но любые ли (к примеру, электромагнитные) волны рас-
распространяются в данном веществе с одной и той же ско-
скоростью? Оказывается, что нет. В каком-то определенном
веществе скорости волн зависят от частот колебаний
jb этих волнах. Это явление носит название дисперсии ско-
скорости волн.
Попытаемся хоть как-то пояснить это явление для элек-
электромагнитных волн. Поскольку атомы и молекулы вещества,
как мы уже отмечали, сами могут являться источниками
электромагнитных колебаний, эти частицы не остаются
безучастными, когда на них воздействует внешняя электро-
электромагнитная волна. В веществе возникают вынужденные
электромагнитные колебания. Атомы и молекулы вещества
начинают излучать электромагнитные волны, которые нак-
накладываются на внешнюю электромагнитную волну. Ча-
Частоты вынужденных электромагнитных колебаний в про-
простейших случаях совпадают с частотой внешней волны, но
их фазы могут отличаться от фазы внешней волны (в зави-
зависимости от структуры частиц вещества, от их ориентации
и т. д.). Это и приводит к тому, что скорости прохождения
суммарных электромагнитных волн через данное вещество
при разных частотах будут неодинаковыми.
При рассмотрении оптических явлений вводится физи-
физическая величина, называемая показателем преломления.
Ее смысл заключается в сравнении скоростей света в двух
444

различных средах. Отношение скорости распространения
света в вакууме (с) к скорости распространения света в
данной среде (v) называется абсолютным показателем
преломления данной среды:
n=c/v. C0.5)
Отношение скорости света (v±) в какой-то среде к ско-
скорости света (v2) в другой среде называется относительным
показателем преломления (второй среды относительно пер-
первой):
/l21=t>i/t>2. C0.6)
Заметим, что относительный показатель преломления
может использоваться и при сравнении скоростей распро-
распространения в двух средах не только световых (или электро-
электромагнитных) волн, но и волн иной природы.
Поскольку скорость волн в данной среде зависит от их
частоты, а показатель преломления как раз и сравнивает
скорости волн в различных средах, он также зависит от
частоты колебаний в данной волне. Зависимость показателя
преломления среды от частоты колебаний в проходящей
волне называется явлением дисперсии показателя прелом-
ления.
30.5. Явления на границе раздела сред
Рассматривая распространение волн в однородной среде,
мы приходим к выводу, что их энергия может по дороге
растрачиваться, поглощаться средой, переходя в соответ-
соответствии с законом сохранения и превращения энергии в иные
формы. Ясно, например, что распространение упругих
колебаний в веществе будет происходить с трением. Ведь
при передаче колебаний, от одних участков тела р другим
наверняка встретятся помехи, на преодоление которых
израсходуется какая-то доля энергии колебательного дви-
движения частиц. Таким образом, энергия упругой волны по
мере ее распространения будет уменьшаться, переходя во
внутреннюю энергию вещества. Во всех других случаях
распространения волн любой природы в веществе (не только
упругих, но и электромагнитных и др.) мы также сталки-
сталкиваемся с явлениями поглощения их энергии; для краткости
их часто называют явлениями поглощения волн. На
что израсходуется поглощенная энергия, только ли на
445

увеличение внутренней энергии вещества или на возбуж-
возбуждение каких-либо иных процессов,— для нас пока значения
не имеет. \
Принципиально отличным от этих случаев является
процесс распространения электромагнитных волн в ва-
вакууме. Здесь нет вещества, колебания электрических и
магнитных полей передаются от одних точек пространства
к другим без всяких помех, при этом не происходит погло-
поглощения энергии электромагнитной волны.
Более сложные явления происходят, если волны рас-
распространяются в неоднородной среде. Среда, как мы уже
отмечали, оказывает влияние на протекание волновых
процессов, и, если она неоднородна, мы вправе ожидать,
что распространение волн в различных ее областях будет
происходить по-разному: неодинаковыми будут скорости
волн, а значит, их длины, процессы поглощения энергии
и т. д., причем резкие, скачкообразные изменения в ходе
волновых процессов будут происходить как раз в тех ме-
местах, где резко изменяются свойства среды, или, как гово-
говорят иначе, на границах раздела сред. Именно на границе
раздела сред скачкообразно изменяется скорость волн.
В связи с этим граница раздела отделяет области простран-
пространства, в которых волна, испущенная одним и тем же источ-
источником, -имеет разные длины. По обе стороны от границы
раздела энергия волны поглощается неодинаково. Если,
например, электромагнитная волна переходит из вакуума
в какое-то вещество, то на границе раздела «вакуум — ве-
вещество» только и начнется процесс поглощения энергии
волны.
Принцип Гюйгенса. Согласно принципу Гюйгенса лю-
любая точка среды, находящаяся в области распространения
волн, может рассматриваться как самостоятельный источ-
источник вторичных волн, распространяющихся от него в про-
пространстве во все стороны. Заметим, что этот принцип
является удобным практическим приемом, позволяющим
правильно (в согласии с опытными данными) и просто по-
получать некоторые количественные соотношения. Никакого
более глубокого физического смысла в принципе Гюйгенса
искать не следует. Просто волновые процессы протекают
таким образом, как если бы точки среды действительно
являлись источниками вторичных волн.
В соответствии с этим принципом легко может быть най-
найдено положение фронта первичной волны для любого
момента времени, если известны скорость этой волны и мо-
446

менты времени, в которые произвольно выбранные точки
среды «начинают излучать» вторичные волны. Поверхность,
огибающая фронты вторичных волн в интересующий нас
момент времени, и является волновой поверхностью пер-
первичной волны в этот момент времени.
Законы отражения и преломления. Явление возврата
волн в ту же среду, в которой они распространялись до
попадания на границу раздела с другой средой, называется
отражением, а явление перехода через границу раздела из
одной среды в другую — преломлением. Заметим, что эти
явления наблюдаются только в неоднородной среде, только
на границах раздела областей пространства с различными
физическими свойствами, причем геометрическую интер-
интерпретацию этих явлений следует давать лишь после того, как
выяснены свойства граничащих сред, скорости волн до и
после границы раздела и направление распространения
волн до попадания на эту границу.
Очень часто, например, можно услышать, что прелом-
преломление—это, мол, явление изменения направления рас-
распространения волн после границы раздела, что преломлен-
преломленная волна распространяется в ином направлении, нежели
волна, падающая на границу. Такое геометрическое истол-
истолкование не является общим и может привести к ошибкам,
если забывают о физическом смысле явления преломления.
Для примера укажем, что преломленная волна вовсе не
обязательно отклоняется от направления распространения
падающей волны.
Применение принципа Гюйгенса к точкам границы раз-
раздела сред позволяет получить правильные выводы об. от-
отражении и преломлении волн на границе.
Рассмотрим плоскую границу АВ раздела двух сред / и
//, на которую падает какая-то плоская волна; ее фронт ОС
(рис. 30.1) составляет с границей чугол а.
Углы i, Риг, указанные на рисунке, называют соот-
соответственно углом падения, углом отражения и углом пре-
преломления. Видно, что угол падения i равен углу а (как углы
со взаимно перпендикулярными сторонами). Точки О и С
фронта волны достигают границы раздела не одновременно:
для прохождения волной расстояния СМ требуется какой-
то промежуток времени At, так как независимо от природы
волны она не может распространяться с бесконечно боль-
большой скоростью. Пусть значения скоростей данной волны в
средах I и II будут равны соответственно vx и и2. Тогда
CM~ViAt. Используя принцип Гюйгенса, мы должны^
447

сказать, что точка М границы раздела «начнет излучать»
вторичные волны на At лозже, чем точка О.
Источники вторичных волн «излучают» волны по всем
направлениям. Что же можно сказать о волнах, которые
берут свое начало из точки О? Эти волны будут распростра-
распространяться в двух различных средах /и //с различными ско-
скоростями. К моменту, когда точка М границы раздела станет
источником вторичных волн, из точки О волны успеют
разойтись на расстояния R1 в первой среде и на R2 во вто-
второй, причем их фронты будут полусферическими (на
рис. 30.1 пунктирными дугами показаны сечения плоско-
плоскостью рисунка фронтов вторичных волн, исходящих из
точки О). Ясно, что Rj—ViAt, a /?2=A/
Рис. ЗОЛ.
Рассуждая точно так же при рассмотрении любых про-
промежуточных точек фронта падающей волны (между точками
О и С) и промежуточных точек границы раздела (между
точками О и М), можно показать, что фронты отраженной
(например, DM) и преломленной (например, ЕМ) волн,
построенные как поверхности, огибающие фронты всех
вторичных волн, для любого момента времени будут иметь
плоскую форму. Кроме того, из равенства прямоугольных
треугольников ОСМ и ODM (общая гипотенуза ОМ и
равные катеты OD=R1=ViAt=CM) следует, что угол у
равен углу а. Мы уже отмечали, что Z_a=Z_t. На основании
того же признака можно установить равенство углов у
и р. Из всех этих равенств вытекает, что
Z_p=ZJ, C0.7)
т. е. угол отражения равен углу падения. Этот вывод,
как известно, является одним из утверждений закона от-
отражения.
448 '

Связь между углом падения I и углом преломления г
легко найти из рассмотрения прямоугольных треугольни-
треугольников OEM и ОСМ, имеющих общую гипотенузу:
OM=CM/sina и ОМ=ОЕШЬ,
т. е.
sin a ""sin б* ' sin 6 ~~ ОЕ "
Учитывая, что CM=ViAt, OE=R2—v2At, /jx-=/Li и /L8=
=Z_r, получаем
sin i vt ,о^ч <
sin r v2 J ^
или с учетом C0.6)
sin i
Это равенство и выражает одно из утверждений закона
преломления.
Анализируя выражение C0.8), можно заключить, что
соотношения между углами падения и преломления могут
быть самыми различными:
угол i больше угла г, если i>i>iy,
угол i меньше угла г, если v1<Cv2;
угол i равен углу г, если vt=vz.
Последний случай фактически сводится к отсутствию пре-
преломления, так как равенствЪ vt = v2 говорит о распростране-
распространении волн в однородной среде.
Если волна падает на границу раздела разнородных
сред (скорости данной волны в которых различны, v^v2)
перпендикулярно, то в этом случае Zi=0 и, в соответствии
с уравнением C0.8), получаем
Z.r=0, если i>i=7^0 и v2?=0.
Значит, волна после границы раздела сред не отклоняется
от направления распространения в первой среде. Можно
ли при этом говорить о явлении преломления? Можно и
нужно! Несмотря на неизменность направления вектора
скорости данной волны, на границе раздела резко, скачком
изменились некоторые другие ее характеристики, например
модуль скорости и в связи с этим длина волны.
45 Ю. А. Селезнев v 449

В случае, если i^O, a v2=0y выражение C0.8) теряет
смысл. При этом условии независимо от значения угла паде-
падения i преломление не будет происходить. Иными словами,
от границы раздела со средой, в которой волна распростра-
распространяться не может (t>2=0), волна будет только отражаться.
Так, например, упругая волна, бегущая по металлическому
стержню, не выйдет за пределы его поверхности, если стер-
стержень находится в вакууме.
Дисперсия при преломлении. Вспоминая о зависимости
скорости волны в данной среде от частоты колебаний (дис-
(дисперсия скорости), мы должны сказать, что преломление
волн одной и той же природы, но разной частоты на одной и
той же границе раздела будет происходить неодинаково.
Пусть, например, система колебательных контуров од-
одновременно излучает колебания различных частот, которые
в виде сложной электромагнитной волны распространяются
в вакууме. Пусть такая волна падает на плоскую границу
раздела с каким-то веществом под углом М=0 и перед паде-
падением имеет плоскую волновую поверхность. Все составные
части такой волны (волны с различными частотами) в ва-
вакууме имеют одинаковые скорости (vx у них одинаковы и
равны скорости света в вакууме). Но в данном веществе их
скорости в зависимости от частоты будут разными. Значит^
волны с различными частотами будут иметь различные
углы преломления г (это следует из уравнения C0.8) для
неодинаковых значений v2), т. е. при прохождении через
границу раздела такая сложная электромагнитная волна
«расщепляется», или, как говорят иначе, разлагается
в спектр по частотам. Если угол падения i не равен нулю, то
преломленные волны с различными частотами будут рас-
распространяться в веществе под разными углами к границе
раздела. Если же i=0, то для волн различных частот г=0,
но «расщепление» по частотам все равно имеет место: от
точки падения все волны распространяются с неодинако-
неодинаковыми по модулю скоростями.
При отражении такой сложной электромагнитной волны
от границы раздела с веществом никакого «расщепления»,
конечно, не обнаруживается, так как в вакууме все ее
составные части распространяются с одной и той же ско-
скоростью.
Некоторые выводы. Все сказанное в этом пункте поз-
позволяет сделать несколько важных выводов.
При взаимодействии волн с веществом происходит
процесс рассеяния их энергии (переход во внутреннюю(
450

энергию вещества и т. д.), процесс поглощения волн. Не
взаимодействуют волны лишь с вакуумом (из известных
нам волн электромагнитные в вакууме распространяются
беспрепятственно, а упругие или звуковые в вакууме попро-
попросту не распространяются).
При распространении волн в неоднородной среде на
границах раздела областей с различными физическими
свойствами наблюдаются явления отражения и прелом-
преломления.
В общем случае в результате отражения изменяется
энергия волны (какая-то доля энергии падающей волны
непременно перейдет во вторую среду) и направление ее
скорости. В результате преломления, кроме подобных
же изменений, обязательно происходит изменение моду-
модуля скорости волны и, в связи с этим, изменение длины
волны.
Явление дисперсии скорости (или показателя преломле-
преломления) еще раз подчеркивает активное влияние вещества на
просекание волновых процессов.
§ 31. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЛН И ЧАСТИЦ
Рассматривая в предыдущем параграфе свойства различ-
различных волн, мы оставили без внимания еще одно, если так
можно сказать, простейшее свойство волн — их способ-
способность распространяться в однородной среде прямолинейно
и с постоянной скоростью. Направление или модуль вектора
скорости волны изменяются, как мы. отметили, только на
препятствиях или границах раздела, т. е. под воздействием
факторов, являющихся внешними по отношению к данной,
рассматриваемой волне. Скорость волны изменяется под
воздействием внешних факторов. Сама по себе волна рас-
распространяется равномерно и прямолинейно, а как только
появляются внешние влияния, скорость волны ^изменяется,
т е. движение волны перестает быть равномерным и
прямолинейным. «Позвольте,— может сказать читатель,—
мы с этим где-то встречались». Да, встречались, когда вели
разговор о законах Ньютона. Тела сами по себе, без воз-
воздействий извне, в инерциальных системах отсчета движутся
равномерно и прямолинейно. Такие движения называются
инерциальными, а способность двигаться инерциально
называется инерцией. В нашей памяти при этом возниг
кает еще одно воспоминание: «масса — это мера инерт-
инертности».
15* 451

Но не слишком ли далеко мы зашли в наших рассужде-
рассуждениях? С тем, что волны обладают способностью двигаться
равномерно и прямолинейно, приходится согласиться. Это
неопровержимый опытный факт. Но возможно ли массу —
основное динамическое свойство привычных нам тел —
считать и свойством волн? Современная физика дает на
этот вопрос положительный ответ. В механике мы говорили
о массе объектов, являющихся «сгустками» материи в виде
вещества. Но масса оказывается свойством более общим,
ею обладают и поля.
Одно из всепроникающих и вездесущих полей —*это
поле электромагнитное. Находится ли электромагнитное
поле в какой-либо связи с электромагнитной волной? В са-
самой непосредственной и прямой! Электромагнитная волна
является процессом распространения электромагнитных
колебаний, возмущений, изменений в пространстве, яв-
является процессом распространения электромагнитного
поля.
А как обстоят дела с другими изменяющимися полями?
Да точно так же. Любые изменяющиеся, перемещающиеся
поля распространяются в виде волн. И если волны харак-
характеризуются массой (это их неотъемлемое свойство!), то
массой обладают и изменяющиеся поля.
Масса — неотъемлемое свойство вещества и полей!
Мы знаем, что тела или частицы, кроме массы, харак-
характеризуются еще некоторыми важнейшими свойствами: им-
импульсом, энергией, способностью передавать -энергию в
той или иной форме другим объектам и т. д. Только что мы
сказали, что волны обладают массой, а несколько ранее
(п. 30.3) — о том, что они являются переносчиками энергии,
т. е. обладают энергией и способностью передавать ее (на-
(например, приемнику волн или веществу, в котором они
распространяются). Даже если не говорить о других при-
признаках, бросается в глаза поразительная общность свойств
частиц и волн. И те и другие обладают массой и энергией,
способностью передавать энергию!
Общность свойств волн и частиц привела современную
физику к признанию единства двух форм материи. Обе фор-
формы в различных условиях обнаруживают двойственный,
корпускулярно-волновой характер: то предстают в форме
полей (или волн), то в форме вещества — тел или частиц
(корпускул). Поэтому физика пользуется двойственным
подходом к изучению вещества и полей: волновым и корпус-
корпускулярным.
452

Иногда с одинаковым успехом могут использоваться оба
подхода (например, явления прямолинейного распростра-
распространения, отражения и преломления волн возможно объяс-
объяснить, исходя из представлений о волнах или о потоках
корпускул), а иногда — только один из них. Явления
интерференции и дифракции, которые мы далее рассмотрим,
с корпускулярной точки зрения элементарно объяснены
быть не могут, они требуют волнового подхода. С другой
стороны, имеются явления (например, фотоэффект, о котором
нам еще предстоит поговорить, и некоторые другие), нуж-
нуждающиеся в корпускулярном объяснении.

ГЛАВА X
ОПТИКА
§ 32. ЧТО ТАКОЕ СВЕТ?
32.1. Предварительные замечания
По накопленным наблюдениям и опыту оптика —
столь же древняя наука, как и механика. Но по теорети-
теоретическому обоснованию многих фактов она очень молода: но-
новейшие выводы принципиального значения были получены
лишь в начале XX века — века революционных преобразо-
преобразований жизни общества и его идей, в том числе и идей физи-
физических.
История развития оптических представлений весьма
поучительна. Выдвигалось множество рабочих гипотез,
некоторые из которых не выдерживали заключительного
экзамена — их выводы не согласовывались с данными
опыта. Корпускулярная теория истечения «световых частиц»
из тел и попадания их в глаз сменилась на каком-то этапе
волновой теорией света. Последняя вновь не смогла объяс-
объяснить все опытные факты и была дополнена квантовой тео-
теорией.
Истинность физических законов проверяется не только
тем, что они удовлетворительно объясняют факты, уже
известные. Закон, отражающий реальное положение дел
в природе, позволяет делать прогнозы, предсказывать фак*
ты и явления, еще не наблюдавшиеся. Ценность современ-
современных оптических представлений как раз и связана с их общ-
общностью, с их способностью объяснять факты, на первый
взгляд не имеющие непосредственной связи с оптикой,
факты, затрагивающие некоторые вопросы, относящиеся
к еще не завершенной теории строения вещества.
Мы можем видеть тела за счет того, что электромагнит-
электромагнитные волны определенных частот, испущенные этими телами,
вызывают зрительные ощущения. Мы говорим, что такие
454

тела являются источниками света или световых волн. По-
Подобно тому как органы осязания человека являются есте-
естественными датчиками тепловых и некоторых других яв-
явлений, а органы слуха — приемниками упругих колебаний
звуковой частоты, глаз служит приемником электромагнит-
электромагнитных излучений световых частот.
То, что распространение света является волновым про-
процессом, вытекает из всех известных нам опытов. Свет рас-
распространяется с конечной скоростью (измеренной, напри-
например, в опыте Майкельсона), в однородной среде распростра-
распространяется прямолинейно, а на границах раздела разнородных
сред обнаруживает явления отражения и преломления.
Свет несет энергию и импульс (возможность увеличения
внутренней энергии освещаемых тел, свет оказывает дав-
давление на освещаемую поверхность и т. д.). Наконец, оди-
одинаковая скорость распространения в данной среде света и
любых электромагнитных волн и возможность получения
электромагнитных волн одной и той же длины различными
способами *) привели физику к выводу об электромагнит-
электромагнитной природе световых волн. >
Классификация источников света на естественные и ис-
искусственные, на «горячие» и «холодные» не вызывает обычно
никаких затруднений. Но часто остается в тени вопрос о
том, что же общего между различными источниками света.
Что роднит все источники света и что является, так сказать,
первоисточником их светового излучения?
Диапазон частот известных физике электромагнитных
колебаний весьма широк (см. табл. 32.1). Заметим, что
никаких резких границ перечисленные диапазоны элек-
электромагнитных волн не имеют (коротковолновая часть одно-
одного диапазона перекрывает длинноволновую часть сосед-
соседнего диапазона).
Способностью воздействовать на глаз человека обладают
колебания в очень узком интервале частот: примерно от
4-1014 до 8-1014 с. В настоящее время светом (или электро-
электромагнитным, излучением оптического диапазона, или оптиче-
оптическим излучением) принято называть излучение с длинами
волн от 10"9 до 1 см (соответствующий диапазон частот:
3-Ю19—3* 109 с). Таким образом, в оптический диапазон
кроме видимых излучений включаются очень короткие
*) Например, электромагнитные волны с длинамиЗ» Ю-3—8» 10~3см
излучаются и телами при невысокой температуре («тепловой способ»
возбуждения), и могут быть получены с помощью специальных коле-
колебательных контуров («электрический способ» возбуждения).
455

Таблица 32.1
Электромагнитные коле-
колебания низкой частоты
Радиоволны
Инфракрасное излучение
Видимое излучение
Ультрафиолетовое излу-
излучение
Рентгеновское излучение
Гамма-излучение
Диапазон длин волн
в вакууме, Л,
оо —10 км
10 км —0,1 мм
0,1 мм —770 нм
770 нм —380 нм
380 нм—5 нм
5 нм—Ю-2 нм
Ю-2 нм —Ю-13 нм
Диапазон частот
V, С"
0—3-Ю4
3-104—3-1Q12
3-1012—4-1014
4 1014—8-101*
8.101*—6-1016
6.10"—3-Ю1»
3-Ю19—3 1030
радиоволны, инфракрасные и ультрафиолетовые излучения,
а также рентгеновское излучение. Это вызвано тем, что,
несмотря на специфические особенности всех этих излуче-
излучений, между ними есть много общего (способы их возбужде-
иия, изучения и практического использования очень по-
похожи).
Попробуем в согласии с определением частоты (v=l/T)
и в согласии с формулой Томсона B8.1) подсчитать необхо-
необходимые значения емкости С и индуктивности L колебатель-
колебательного контура, частота колебаний которого была бы равна,
скажем, v=4-1014 с. Поскольку нам не известны ни С, ни
L, подсчитаем значение их произведения LC (где L изме-
измеряется в генри, а С — в фарадах):
Т 7
i
2х \ПС '
откуда 25TV J/ LC = 1,
или, возводя в квадрат и решая уравнение относительно
произведения LC>
Подставляя численные значения, находим
^С== 4C,14JD.1014J ^^ 2* 31Г#Ф-
Если бы мы попытались изготовить колебательный кон-
контур или вибратор, произведение индуктивности и емкости
которого равнялось бы найденному значению, у нас ничего
бы не получилось: такой вибратор должен иметь размеры
порядка размеров атома или молекулы. Мы'изготовить та-
456

кой вибратор не сможем, но природа позаботилась о таких
вибраторах.
Атомы вещества являются миниатюрными вибраторами,
причем частоты электромагнитных колебаний в них как раз
захватывают интервал от 4-1014 до 8-1014 g, но могут быть
и в сотни раз меньшими, и в миллионы раз большими. Вот
этитто электромагнитные колебания внутри атомов и моле-
молекул вещества и являются первичными излучателями света.
Сказанного уже достаточно, чтобы вновь почувствовать,
потребность в пристальном внимании к строению вещества,
причем от строения зависит не 1олько излучательная спо-
способность вещества, но и его поглощательная способность,
ибо, раз вещество является источником света, оно должно
со светом взаимодействовать, должно испытывать действия
света.
32.2. Механизм и условия излучения
атомов и молекул
Планетарная модель атома. Изменения энергии атома.
Атомы состоят из положительно заряженного ядра и элек-
электронов, обращающихся вокруг ядра по орбитам (это —
так называемая цланетарная или ядерная модель атома;
опыты Резерфорда, положенные в основу создания такой
модели, будут рассмотрены далее). Простейший из атомов —
атом водорода — содержит кроме ядра всего-навсего один
электрон. *
Проведем некоторые расчеты для оценки излучательной
способности атома водорода.
С какой частотой v обращается электрон вокруг ядра в
атоме водорода, если радиус электронной орбиты R=
= 3-100 м, а его масса т=9,1Ы0~3* кг? Чему равна
при ^том кинетическая энергия WK электрона? Как изменя-
изменяется полная энергия электрона при изменении его расстоя-
расстояния от ядра?
Прежде всего следует выяснить, под действием каких
причин электрон может обращаться по устойчивой орбите.
В принципе таких причин две: сила гравитационного и сила
кулоновского притяжения электрона к ядру. Онн-то, види-
видимо, и обеспечивают ускорение электрона, необходимое для
его движения по окружности вокруг ядра. Подсчитаем силу
гравитационного взаимодействия:
п тМ
457

В этой формуле М — масса ядра атома водорода (масса
протона), ее значение находим из таблицы: М =
= 1,67-10"7 кг. Численное решение приводит к результату
I? A R7 1П-И 9,1Ы0-31-1,67.IP-*? _ , п 10_48
Г =6,07-Ш C,00-Ю-10J «^ 1,1^- 1U П.
Обозначая заряд протона и абсолютное значение заряда
электрона через е (е= 1,60-10~19 Кл) и учитывая, что взаимо-
взаимодействующие частицы находятся в вакууме (е=1), запишем
уравнение закона Кулона:
откуда
F A,60.10-19J _о
к~~ 4-3,14.8,85 10-12C,00.10-i°J^ ' *
Сравнение этих сил говорит о том, что в основном элек-
электроны удерживаются вблизи ядра силой электрического
взаимодействия, а сила гравитационного притяжения чрез-
чрезвычайно мала и ею можно пренебречь.
Теперь на основании второго закона Ньютона можно
написать ma^F^, или
откуда с учетом того, что v=(dR—2nvR, после преобразова-
преобразований получаем
е 1
V Г ' ' " -| S\ gy *- V Л ft X X l/ X X X Г '
При использовании единиц СИ результат будет получен
в с:
(Кл) _х
(м) [Кл2/(Н.м2)]1/г (кгI/* (м)х/* "" °
Численное решение дает
1,бО.Ю-19 ^
4.3,14.3,00.10-1° /,14-8,85-10-12.9,1Ы0-31.3,00-10-1° ^
^4,87-1014 с.
V =
Такая частота колебаний принадлежит к диапазону частот^
электромагнитных колебаний, соответствующих видимому^
свету.
458

Для подсчета кинетической энергии WR электрона пре-
преобразуем уравнение C2.1), почленно разделив его на 2 и
умножив на R:
^ = -^~=W C2 2)
В СИ результат будет, получен в джоулях:
[Кл2/(Н.м2)](м) = н 'м = Дж»
Ш A,60. Ю-19J ~Ч ЯД. 10-19 п^
к~~ 8-3,14.8,85.Ю-12-3,00-Ю-10 "J M
Для оценки изменения полной энергии электрона рас-
рассмотрим его переход с одной орбиты на другую. Пусть ради-
радиусы этих орбит Rx и R2y причем R2>Ri.
В согласии с C2.2) кинетические энергии электрона в
этих двух состояниях будут
" wi — "cTHZ FT" 9 w vf> ~
Потенциальную энергию взаимодействия электрона с
ядром найдем на основании A9.10):
" П1 ""-"¦" А П » " ПО. —— —
(здесь мы выбрали нуль отсчета потенциальной энергии для
состояния, когда электрон находится на бесконечно боль-
большом расстоянии от ядра, и учли знаки зарядов).
Полные энергии электрона равны
z>2 />2 />2
w г — w hi "Г w ni — 8я8о^1 4я80/?! ™ 8m0R1 '
8Я80/?2
а изменение полной энергии электрона при переходе с одной
орбиты на другую будет равно
W W = - I — =
w2 wx Ыг^2^Ш^г 8я80 RtR2 '
Поскольку R2>Ru то ДЦГ>0, т. е. при увеличении расстоя-
расстояния между электроном и ядром энергия электрона увеличи-
увеличивается. То же самое можно сказать и об атоме в целом (ведь
мы фактически рассматривали систему «ядро — электрон»,
459

связывая инерциальную систему отсчета с неподвижным
ядром).
Итак, увеличению энергии атома вещества соответству-
соответствует переход электрона на более далекую орбиту. Если же
энергия атома уменьшается, то электрон приближается
к ядру.
Противоречия с классическими представлениями. Теперь
мы в состояний проанализировать возможности излучения
электромагнитных волн атомом (для простоты по-прежнему
будем говорить об атоме водорода).
В рассматриваемой модели атома электрон должен
двигаться с ускорением. Чтобы оценить это ускорение,
можно воспользоваться равенством C2.1), из которого сле-
следует, что
Подставив величины в единицах СИ, найдем
а = 4.3,Н.8,85-10-1й.9,1К10-31C,00.10-10J ^ 2)80# 10^ М/С**
С такими ускорениями в макроскопических явлениях мы не
встречаемся! Для сравнения укажем, что ускорение пас-
пассажирского поезда в момент начала движения равно пример-
примерно 0,4 м/с2, поезда метро — 1 м/с2, снаряда в стволе ору-
орудия — 5-106 м/с2. Чтобы авторучка с массой, скажем, в 30 г
приобрела ускорение в 2,80-1021 м/с2, на нее нужно подейст-
подействовать силой F=8,40-1019 Н=8,56-1018 кГ=8,56-1016 тонн!
Ускоренно движущаяся заряженная частица,' как мы
знаем, может излучать в окружающее пространство электро-
электромагнитные волны. Частоту обращения электрона в атоме
водорода мы определили. Она оказалась очень большой. Как
будто имеются все условия для успешного излучения атомом
электромагнитных волн.
Но, если мы вспомним, что волны уносят энергию от ис-
источника колебаний, что излучающий источник обедняется
энергией, рассеивая ее в окружающее пространство, у нас
возникнут серьезные сомнения. Если атом излучает электро-
электромагнитные волны, его энергия должна уменьшаться. Если
уменьшается энергия атома, его электрон (или электроны —
для многоэлектронных, не водородных атомов) должен при-
приближаться к ядру и рано или поздно упасть на ядро. Такое
падение электронов на ядра должно привести к разрушению^
атомов, к разрушению вещества»
460 " -

Идею о разрушении вещества следует сразу же отбро-
отбросить, так как достоверно известно, что атомы вещества —
чрезвычайно устойчивые образования. Излучать электро-
электромагнитные волны эти атомы все-таки могут, об этом свиде-
свидетельствуют многочисленные опыты. "Атом излучает электро-
электромагнитные волны, растрачивая энергию, а сам при этом
не разрушается* В чем же дело? Как выбраться из создав-
создавшегося тупика? Оказалось, что к атому нельзя подходить
с позиций законов макромира, мира больших тел и малых
скоростей, с позиций классической механики.
Модель Бора. Когда к представлениям о строении атома
Резерфорда добавились постулаты Бора, удалось объяс-
объяснить устойчивость излучающих атомов.
Электроны атома могут находиться не на любой орбите,
а на нескольких орбитах, набор которых для данного атома
является вполне определенным. Эти орбиты оказываются
стационарными, т. е., когда электрон находится на какой-то
из них, он не излучает электромагнитных волн.
Электрон на определенной орбите обладает вполне опре-
определенной энергией, причем чем дальше орбита от ядра, тем
энергия электрона больше. При отсутствии внешних воз-
воздействий электрон в атоме стремится занять наинизшую из
возможных орбит, так как наименьшее значение его пол-
полной энергии более выгодно, соответствует более устойчивому
обращению вокруг ядра. При этом оказывается занятой
лишь одна из потенциально возможных орбит. Самопроиз-
Самопроизвольный переход электронов на другие, более далекие ор-
орбиты невозможен, так как при этом должна увеличиться
энергия электрона (или атома в целом). Но если к атому
подводить энергию извне, его можно возбудить: электроны
перейдут на более далекие орбиты, и энергия атома увели-
увеличится. Если доступ энергии извне прекращен, атом в воз-
возбужденном состоянии не остается, ибо оно неустойчиво. Он
возвращается в невозбужденное состояние, отдавая в окру-
окружающее пространство избыток энергии при излучении элек-
электромагнитных волн.
Таким образом, атом вещества, точно так же как любой
колебательный контур или вибратор, не обладает неисся-
неиссякаемыми запасами энергии: если прекращается процесс
возбуждения, "прекращается подвод энергии извне, очень
быстро затихает и процесс излучения электромагнитных
волн.
Кроме того, оказалось, что атомы, переходя в возбуж-
возбужденное состояние, принимают энергию, а возвращаясь в
461

стационарное, невозбужденное состояние, отдают ее только
определенными порциями — квантами. Значение этих кван-
квантов энергии оказывается связанным с разностью энергий
атома, которыми он обладает, когда его электроны находятся
на различных разрешенных орбитах, или на различных
энергетических уровнях. Значение квантов удается связать с
частотой электромагнитных волн, которые возникают и из-
излучаются атомом при переходе его электронов после воз-
возбуждения на более низкие энергетические уровни.
Если одному энергетическому уровню атома соответст-
соответствует энергия Wu я другому W2, то их разница и равна энер-
энергии кванта, который должен быть подведен к атому для его
возбуждения или который будет отдан атомом после врз-
буждения (при переходе электрона со второго уровня на
первый):
hv^Wg—Wt. C2.3)
В этом уравнении v — частота воспринимаемых атомом
возмущений или частота излучения атома при его пере-
переходе в менее возбужденное состояние, aft — известная
универсальная константа — постоянная Планка (h=
= 6,62-10"84 Дж-с^6,62-~10-27 эрг-с).
Подсчитаем для примера энергию кванта, соответствую-
соответствующего наименьшей частоте видимого излучения (v==
-4-101* с):
ftv=6,62- 10~3М-1014^3- К)9 Дж.
Велика или мала такая порция энергии? Постараемся
представить ее более наглядно. Если такая энергия будет
сообщена неподвижной дробинке с массой т=1 г=10 кг,
дробинка приобретет скорость, которую легко найти из ра-
равенства mv2/2=hv. Тогда
и, подставляя значения величин, получаем
При равномерном движении с такой скоростью путь в 1 см
дробинка пройдет за промежуток времени Д?=5-105 с»
«102 ч«5 суток.
Если такую же энергию сообщить покоящемуся электро-
электрону, масса которого т=9,1Ь101 кг, то приобретенная им
462

скорость будет равна
/2-3.ю-1** о 1ГГ ,
9,11.10-л «8.10° м/с.
За время, пока дробинка будет двигаться на пути в 1 см (за
Д/=5-105 с), электрон, получивший такую же порцию энер-
энергии, как и она, успел бы пробежать расстояние от Земли до
Солнца (примерно 1,5-108 км), 23 раза облететь вокруг Солн-
Солнца (считая диаметр траектории электрона равным 1,4х
X 106 км) и вернуться на Землю. Да, поистине разные ми-
миры — разные масштабы! Неощутимые в макромире кванты
энергии в микромире атома могут «сдвигать горы», причем
даже такое сравнение оказывается очень и очень скромным.
Условия излучения. К каким же выводам об излучатель-
ной способности атомов вещества мы должны прийти?
Энергия атома вещества при расположении его электро-
электронов на различных энергетических уровнях может быть раз-
различной и способной или неспособной изменяться.
Атом сам по себе стационарен, прочен, устойчив и ника-
никаких электромагнитных волн не излучает. Он становится
микроскопическим вибратором за счет подвода к нему энер-
энергии извне, за счет внешнего возбуждения. Способы возбуж-
возбуждения атомов вещества могут быть самыми различными (удар
об атом какой-то частицы, химические реакции, воздействие
света или каких-либо иных электромагнитных волн и т. д.),
но они оказываются эффективными для возбуждения только
тогда, когда поставляют энергию квантами, которые в со-
состоянии возбудить данные атомы. Если подводимая, напри-
например, к атому водорода энергия недостаточна для переброски
электрона с низшей стационарной орбиты на следующую,
атом такую энергию примет (возрастет, например, энергия
его теплового хаотического движения), но при этом не
перейдет в возбужденное состояние, так как энергия атома
при переходе в возбужденное состояние не может изменять-
изменяться непрерывно, а изменяется только скачками. ,
Возвращаясь в стационарное состояние, возбужденный
атом излучает электромагнитные волны, частота которых
находится в соответствии с изменением его энергии. Каждо-
Каждому атому свойствен целый набор энергетических уровней.
«Зазоры» между ними определяют энергию тех квантов, ко-
которые могут быть поглощены или испущены данным атомом
при переходе электрона с одного уровня на другой.
В веществах, состоящих из молекул, процессы поглоще-
поглощения энергии внешних воздействий и излучения электро-
463

магнитных волн имеют более сложный характер. В молекуле
любой электрон находится во взаимодействии не только с
ядром «своего» атома, но uz ядрами соседних атомов. В свя-
связи с этим набор возможных энергетических уровней электро-
электронов увеличивается. Кроме того, энергия вращательного
движения молекулы вокруг некоторой оси и энергия коле-
колебательного движения атомов в молекуле также изменяются
не непрерывно. Характерно, что при изменении этих движе-
движений поглощаются или выделяются гораздо меньшие кванты
энергии, чем при изменение состояний электронов в моле-
молекуле. Все это приводит к расширению диапазона частот,
соответствующих тем квантам энергии, которые молекула
может поглощать или испускать.
Поскольку каждая разновидность атомов или молекул
имеет вполне определенный набор (спектр) излучаемых час-
частот, улавливая их, можно отличить одно вещество от другого
по испускаемым ими электромагнитным волнам. Это и яв-^
ляется исходным принцидом спектрального анализа.
В заключение обратим внимание на то, что электронная
(или, как ее часто называют, боровская) орбита является
всего лишь моделью. Это удобный геометрический образ,
иногда позволяющий с достаточной для практики степенью
точности выполнять некоторые расчеты, пользуясь простыми
механическими приемами (электрон — материальная точка,
движущаяся по окружности вокруг другой материальной
точки — ядра атома, и т. п.). Электронную орбиту нельзя
представить как траекторию движения электрона. В~ дейст-
действительности дела внутри атома обстоят гораздо сложнее.
А вот об определенном наборе энергетических уровней, или
о наборе значений энергии атома, можно говорить без
страха и сомнения. Каждое из этих значений энергии реали-
реализовано в определенных условиях и может изменяться при
внешнид воздействиях на атом или при излучении им элект-
электромагнитных волн.
32.3, Электромагнитные волны' оптического диапазона
Обычно" за основу различия электромагнитных волн
берут их длину. В связи с этим мы должны напомнить, что
о длине той или иной электромагнитной (как и любой другой)
волны можно говорить, если только известны частота коле-
колебаний излучающего источника и среда, в которой распро*
страняются эти волны. Если в учебниках, журналах, спра-
справочниках и т. д. та делается дополнительных оговорок, та
464

все указанные в них длины электромагнитных волн относят-
относятся к вакууму.
Мы не будем останавливаться на рассмотрении электро-
электромагнитных волн большой длины, или радиоволн (от ~10 км
до 0,1 мм). Заметим только, что ультракороткие радиоволны
с длиной примерно от 1 мм до 0,1 мм могут быть результа-
результатом электромагнитных колебаний сравнительно малой час-
частоты A011—1012 с~2) внутри вещества.
Механизм возникновения электромагнитных волн в ато-
атомах связан с определенной системой энергетических уров-
уровней их электронов. Частота этих волн находится в зависи-
зависимости от «ширины зазоров» между энергетическими уровня-
уровнями. Очевидно, чем менее прочно связан электрон с ядром
атома, тем меньше потребуется энергии для его удаления на
соседнюю разрешенную орбиту, тем меньшие кванты энер-
энергии потребуются для осуществления таких переходов, тем
меньше будет излучаемая частота колебаний в результате
возвращения электрона из возбужденного состояния в ста-
стационарное.
Труднее «раскачивать» электроны атома, расположенные
ближе к его ядру. Кванты энергии, поглощаемые или выде-
выделяемые при переходах этих электронов, оказываются во мно-
много раз большими, чем при переходах валентных электронов.
Как уже отмечалось, спектр излучения молекулы связан
не только с переходами электронов между различными энер-
энергетическими уровнями, но и с изменением вращательного
движения молекулы и колебательного движения атомов
в молекуле.
Электромагнитные волны оптического диапазона услов-
условно разделяют еще на несколько диапазонов (см. стр. 455).
Каждый из этих диапазонов имеет свои отличительные черты.
Инфракрасное излучение — результат очень слабых воз-
возмущений электронов в атоме, а также изменения вращатель-
вращательного движения молекул или колебательного движения ато-
атомов в молекуле. Это излучение характеризуется тепловыми
свойствами, и механизм его возбуждения в основном тепло-
тепловой, хотя возможны и иные способы его получения (напри-
(например, обстрел атомов медленными электронами).
Видимое и ультрафиолетовое излучение — результат
возбуждений внешних электронов атомов. Первое обладает
особенностью воздействовать на сетчатку глаза, второе
характеризуется способностью возбуждать фотохимические
реакции, а также вызывать некоторые другие физические
явления, например ионизацию молекул газа. Способы
465

возбуждения этих излучений могут быть самыми различ-
различными (химические, электрические, оптические и др.).
Рентгеновское излучение возникает в результате возбуж-
возбуждения внутренних электронов атома, расположенных близ-
близко к ядру, или в результате резкого торможения быстрых
электронов в электрическом поле ядра атома.
В первом случае рентгеновское излучение называется
характеристическим. Спектр этого излучения зависит от за-
заполнения электронами атома низших энергетических со-
состояний и имеет много сходных черт для атомов различных
химических элементов.
Во втором случае рентгеновское излучение называется
тормозным. В зависимости от того, близко или далеко от
ядра атома пролетит тот или ицой электрон, претерпит ли он
соударения с электронами вещества или нет, его ускорения
могут быть самыми различными. Длины возникающих при
этом электромагнитных волн будут укладываться в довольно
широкий сплошной спектр, не зависящий от строения ато-
атомов, обстреливаемых электронами. !
Рентгеновское излучение обоих видов наблюдается при
взаимодействии с веществом очень быстрых электронов,
причем не нужно думать, что оно возникает только в рент-
рентгеновских трубках. Если скорость сталкивающихся с ве-
веществом электронов высока и они резко тормозятся при
взаимодействии с ним, рентгеновское излучение возникает и
не в специально предназначенных для его получения труб-
трубках. Так, например, с рентгеновским излучением приходится
встречаться при взаимодействии корпуса искусственного
спутника Земли или космического корабля с электронами,
имеющимися и в разреженных слоях атмосферы Земли, и в
космическом пространстве.
Рентгеновское излучение обладает значительной прони-
проникающей и ионизующей способностью. Механические, хими-
химические и тепловые воздействия уже не в состоянии вызвать
возбуждения атомов, достаточные для испускания рентге-
рентгеновских излучений. Практический путь их получения —¦
«электрический» — разгон электронов в электрическом поле
до больших скоростей и обстрел ими атомов вещества.
Гамма-излучение не относят к оптическому диапазону-,
так как оно возникает в глубинах атома в результате радио-
, активного распада его ядра или в результате взаимодейст-
взаимодействия с ядром значительных квантов энергии, приносимых
космическим излучением или гамма-излучением, падаю-
падающим на ядро извне. Самые короткие электромагнитные
466

волны (Х<10~12 см, или v>1021 с) встречаются в косми-
космическом излучении.
Заметим, что кванты энергии, необходимые для возбуж-
возбуждения инфракрасного, видимого, ультрафиолетового и рент-
рентгеновского излучений, могут быть получены за счет воздей-
воздействия на вещество электронов, разогнанных до той или иной
скорости, причем мы в состоянии подсчитать, каким элект-
электрическим полем нужно разгонять электрон, чтобы он обла-
обладал энергией, достаточной для возбуждения того или иного
вида излучения.
Воспользуемся для этого формулой B3.11) и найдем
значения разностей потенциалов Дер электрических полей,
которыми нужно разгонять покоившийся вначале электрон,
чтобы его энергии хватило для возбуждения инфракрасного
излучения с частотой v1=l,00« 1013 с (некоторое промежу-
промежуточное значение из интервала инфракрасных частот), види-
видимого — с частотой, например, v2=5,00-1014 с", ультрафио-
ультрафиолетового — с частотой v3=l,00-1016 с и рентгеновского —
с частотой v4=l,00-1019 с. Для сравнения оценим также,
какое потребовалось бы электрическое поле, чтобы электрон,
пройдя его, приобрел энергию, достаточную для возбужде-
возбуждения гамма-излучения с частотой, скажем, v5=l,00«1021 с.
Легко найти соответствующие этим излучениям кванты
энергии (в джоулях):
/*v2 = 6,62-10~34-5,00-1014
ftv, = 6,62- Ю-34-1,00-1016 = 6,62- Ю-18,
ftv4 = 6,62.10-34.l,00.1019 = 6,62.10-15,
ftv5 = 6,62.10-34.1,00-1021 = 6,62.10~13.
Формулу B3.11) для этих случаев можно записать в виде
е Aq>=ftv, откуда выразим интересующую нас разность потен-
потенциалов «разгоняющего» электрического поля:
Если воспользоваться системой единиц СИ, то абсолютное
значение заряда электрона* ?=1,60-10~19 Кл и разность по-
потенциалов будет получена в вольтах:
hv± 6,62.10-2i
7
467

hvs 6,62.10-18 ¦
е — 1,60.10-" ' '
ftv4 6,62-10-"
-^° 1,60-10-» ^
ftv5 6,62-Ю-13
Эти результаты позволяют заключить, что четыре первых
случая могут быть реализованы на практике без особого
труда. Для четвертого случая, правда, потребуется взять
специальный рентгеновский трансформатор, позволяющий
получать разности потенциалов в несколько киловольт. А вот
попытка возбудить за счет быстрых электронов гамма-излу-
гамма-излучение оказывается делом гораздо более трудным и затраги-
затрагивающим принципиально новые; стороны материального
мира. Трудности здесь не только в том, что поля с разностью
потенциалов в несколько миллионов вольт рбеспечить прак-
практически невозможно (наступает пробой диэлектрика, в ко-
котором находятся электроды). Это еще, как говорится, пол-
полбеды. Можно, например, прогнать электрон последователь-
последовательно через несколько ускоряющих полей с приемлемыми для
практики разностями потенциалов. Тогда электрон в итоге
наберет необходимую энергию. Но оказывается, что при
расчете процесса такого разгона электрона необходимо учи-
учитывать изменение массы электрона!
Попробуем подсчитать, с какой скоростью будет двигать-
двигаться электрон, разогнанный электрическим полем с разностью
потенциалов Дср5=4 140 000 В, если его кинетическая энер-
энергия при этом должна равняться WK=6,62-108 Дж. Вос-
Воспользовавшись известным соотношением WK=mv2/2t найдем
выражение для скорости v:
откуда, вспоминая, что масса электррна имеет значение
т=9,1Ы01 кг, получаем
т /.6,62- Ю-13
V== У 9,1Ы0~31
Этот результат принципиально неверен. Почему? Да
потому, что наивысший предел скоростей в природе равен
скорости света в вакууме: с«3« 108 м/с. Ничто не может дви-
двигаться со скоростью, большей этого значения. А по расчету
выходит, что электрон должен лететь со скоростью, превы-
превышающей скбрость света в вакууме.
468

В 4eiM причина нашей ошибки? Только в том, что мы фак-
фактически поступали по принципу «разгонять — так разго-
разгонять!» и забыли, что имеем дело с электроном — представи-
представителем микромира. Мы попытались описание его поведения
уложить в рамки законов движения заряженных макроско-
макроскопических тел — законов классической электродинамики.
А электрон этим законам не всегда подчиняется, он под-
подвластен еще законам теории относительности.
При возрастании скорости электрона его масса будет
возрастать в согласии с B.4) и при v—c должна принять
бесконечно большое значение. Мы в принципе не сможем
разогнать электрон даже до скорости света, но и при скоро-
скоростях, близких к ней, необходимо считаться с увеличением
его массы, а мы в нашем расчете этого не сделали. Задачи
подобного рода в наши дни перестали быть только академи-
академическими упражнениями. С ними инженеры и физики сталки-
сталкиваются всякий раз, когда решаются вопросы об ускорении
заряженных частиц (не только электронов) в современных
мощных ускорителях.
§33. ВОЗДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
НА ВЕЩЕСТВО
33.1. Эффекты воздействия
Ранее (см. §§ 30 и 31) мы рассмотрели общие свойства
волн различной природы. Кроме того, оценивая взаимодейст-
взаимодействия волн с веществом, мы остановились на учете изменений
некоторых характеристик волн (изменение энергии волны,
изменение направления и модуля вектора скорости волны,
изменение ее длины) и не очень интересовались процессами,
которые при этом происходят в самом веществе. Теперь мы
постараемся коротко сказать и об этом, причем речь пойдет
только об электромагнитных волнах — о волнах, как уже
говорилось, наиболее всепроникающих, частным случаем
которых являются волны оптического диапазона.
При использовании корпускулярного подхода мы долж-
должны электромагнитной волне сопоставить поток каких-то
частичек. Их называют фотонами. Электромагнитной вол-
волне, излученной веществом, соответствует поток фотонов с
энергией hv каждый. В общем случае можно, конечно, гово-
говорить и о квантах энергии, соответствующих волнам, излу-
излученным электрическими вибраторами, о квантах энергии,
соответствующих радиоволнам, только эти кванты будут
469

малыми, недостаточными, например, для возбуждения ато-
атомов вещества. Чтобы применять закон сохранения энергии
к фотонам, заменяющим волну, мы будем приписывать каж-
каждому фотону значение энергии, равное /iv, где v — частота
электромагнитных колебаний в источнике, который испус-
испускает волну или поток частичек — фотонов.
Все эффекты, которые имеют место при воздействии
электромагнитных волн на вещество, мы условно разделим
на несколько групп. Условно потому, что эффекты эти
часто переплетаются, одни сопутствуют другим, одни по-
порождают другие.
Механические и электрические эффекты. При воздей-
воздействии волны на ловерхность вещества последнее "должно
испытывать самое обычное механическое давление. В самом
деле, на вещество налетают фотонь!, обладающие определен-
определенной скоростью, массой (ведь поток фотонов эквивалентен
электромагнитной волне, которая характеризуется массой!),
энергией и всеми другими свойствами частиц. Все происхо-
происходит так же, как при взаимодействии потока дробинок со
стенкой. Каждая из дробинок будет передавать стенке за
время взаимодействия какой-то импульс. Подсчет суммар-
суммарного импульса, доставшегося поверхности стенки, позволит
найти силу, действующую на единицу площади этой поверх-
поверхности, т. е. давление.
Давление, оказываемое электромагнитными волнами на
поверхность вещества, в повседневной практике неощутимо,
но оно все-таки может быть зарегистрировано достаточно
чувствительными приборами. Прямое опытное доказатель-
доказательство давления света на вещество было дано П. Н. Лебедевым.
Заметим, что эффект давления электромагнитных волн
на вещество может быть объяснен как с позиций корпуску-
корпускулярной теории (удары фотонов по веществу), так и с позиций
волновой. Если мы будем рассматривать подошедшее к по-
поверхности в виде волны электромагнитное поле и поведение
заряженных частид внутри вещества (электронов, ионов и
т. д.) под воздействием этого поля, то окажется, что эти
частицы как бы вдавливаются внутрь вещества.
Иначе обстоит дело с объяснением фотоэффекта — явле-
явления выбивания электронов из вещества под действием элек-
электромагнитной волны,— который можно назвать электриче-
электрическим эффектом воздействия волны на вещество. Этот эффект
невозможно правильно истолковать с волновых позиций.
Объяснение фотоэффекта было дано с корпускулярных,
квантовых дозиций. Большей частоте колебаний v в волне
470

соответствуют фотоны с большей энергией hv. Чем больше
частота, тем более эффективным снарядом для выбивания
электрона оказывается фотон.
В свое время, когда в результате объяснения волновых
свойств света восторжествовала волновав теория его при-
природы, открытие фотоэффекта и других явлений заставило
физиков пересмотреть свои позиции, вновь признать корпу-
корпускулярную природу света и других электромагнитных излу-
излучений, не отказываясь и от их волновой природы.
Тепловые и оптические эффекты. Процесс возникно-
возникновения излучения атомов мы рассмотрели достаточно под-
подробно. Если энергия, приносимая электромагнитной вол-
волной, достаточна для возбуждения атомов вещества, то
возникает излучение того или иного вида: рентгеновское,
ультрафиолетовое или, з частности, излучение видимое.
А как объяснить хорошо всем известные тепловые эф-
эффекты воздействия на вещество, например, видимого излу-
излучения? Температура тела, освещаемого Солнцем, увеличи-
увеличивается. Мы говорим, что за счет энергии электромагнитного
излучения Солнца возрастает внутренняя энергия вещества.
Но каков механизм этого процесса? Никакого видимого излу-
излучения вещества мы не наблюдаем. Значит ли это, что энергии
квантов солнечного излучения не хватило для возбуж-
возбуждения атомов или молекул? Здесь нужно рассуждать осто-
осторожно. Возбуждений, достаточных для переброски электро-
электронов на новые энергетические уровни, вещество при этом мо-
может и не получать. Но возрастание внутренней энергии
может быть связано (наряду с увеличением потенциальной
энергии взаимодействия) с увеличением средней энергии
хаотического теплового движения частиц вещества — его
атомов, молекул. Вот на что израсходуется энергия электро-
электромагнитной волны, причем тепловые колебания групп ато-
атомов или молекул всегда приводят к излучениям. Названия
для этих излучений используются разные — тепловое из-
излучение или инфракрасное излучение,— но сущность их одна
и та же. Любое вещество при температуре, отличной от аб-
абсолютного нуля, является источником электромагнитных
излучений. Если же на это вещество падает какая-то внеш-
внешняя волна, его излучение изменяется.
При воздействии на вещество, например, видимым или
ультрафиолетовым излучением может возникнуть излучение
иного спектрального состава, с частотой меньшей, чем в па-
падающей волне. Это так называемое явление фотолюминес-
фотолюминесценции. Здесь опять все находится в согласии с законом
471

сохранения энергии: какая-то доля энергии падающей на ве-
вещество волны израсходуется на увеличение кинетической
энергии теплового движения и потенциальной энергии
взаимодействия частиц вещества, и лишь остальная часть
энергии пойдет на возбуждение волн в видимой области.
Ясно, что этот остаток сможет возбудить только более низ-
низкие частоты колебаний.
Химические аффекты возникают в веществе, если воз-
воздействующая на него волна доставляет энергию, достаточ-
достаточную для изменения химических связей (разрыв молекул,
ионизация, образование новых молекул и т. д.). Такие эф-
эффекты возникают в различных веществах (например, в бро-
бромистом серебре, в листьях растений и т. д.) под воздействием
электромагнитных волн видимой области или более коротких
(преимущественно ультрафиолетовых).
Эффекты рождения частиц могут наблюдаться при воз-
воздействии на вещество электромагнитного излучения, кванты
энергии которого соответствуют частотам 3-1020 с и более.
В поле ядра атома вещества при этом может произойти рож-
рождение пары электрон—позитрон, причем достоверно извест-
известно, что эти частицы не являются продуктами разрушения
атома вещества или его ядра. В этих случаях в веществе
вообще не происходит никаких изменений, оно только слу-
служит как бы катализатором протекания интереснейшего пре-
вращения: электромагнитное излучение превращается в ча-
частицы вещества. Подобные превращения наряду с другими
фактами явились убедительнейшим подтверждением того,
что волны и частицы — две разновидности материи. В зави-
зависимости от условий протекания тех или иных процессов об-
обнаруживается то одна, то другая ее сторона.
33.2. Возможность использования закона сохранения
энергии
Во всех явлениях, о которых мы только что сказали, вы-
выполняется закон сохранения энергии. В некоторых практи-
практических задачах не интересуются деталями процессов, проис-
происходящих внутри вещества, а лишь оценивают, как изменяет-
изменяется энергия волны в результате воздействия на вещество
(какой энергией обладала волна, падающая на вещество,
какой энергией обладают отраженная и * преломленная
волны и т. п.).
Пусть, например, электромагнитная волна, распростра-
распространяющаяся в вакууме, встречает на своем пути поверхность
472

какого-либо вещества — границу раздела двух сред. Ка-
Какие преобразования энергии волны могут при этом про-
произойти?
Чтобы ответить на этот вопрос, вспомнив, что нам из-
известно о поведении волн на границе раздела сред. Волна
может отразиться или обогнуть границу раздела (явления
отражения и дифракции), причем в этих случаях волна после
границы раздела будет распространяться в прежней среде.
Пройдя границу раздела, волна может распространяться в
новой среде (случай преломления). Наконец, если граница
раздела является границей вакуума с веществом, то, начи-
начиная с нее, может возникнуть процесс поглощения энергии
волны.
Теперь легко ответить на поставленный вопрос. Какая-то
часть энергии W падающей волны с отраженной волной-воз-
волной-возвратится в первую среду (обозначим эту долю энергии через
W0TV). Распространяющаяся ёо второй среде волна будет об-
обладать энергией Wnp. И, наконец, еще какая-то часть энер-
энергии (Wn) будет поглощаться веществом, приводя к тем или
иным процессам внутри него.
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии для
волны, падающей на границу раздела вакуум — вещество,
можно записать в виде
В каком соотношении между собой будут находиться
слагаемые Worv> Wnv и Wn, зависит от свойств волны, от
свойств вещества и от условий, при которых волна воздейст-
воздействует на вещество.
§34. ОСНОВЫ ФОТОМЕТРИИ
В жизни и деятельности человека видимое излучение
играет огромную роль. Наибольшее число сведений об окру-
окружающем мире мы получаем при посредстве зрительного ап-
аппарата. Трудно даже себе представить, во что бы преврати-
превратилась жизнь человека, если бы отсутствовали естественные и
искусственные источники света.
На практике приходится решать широкий круг вопросов
о рациональном использовании источников света для созда-
создания наиболее благоприятных условий деятельности чело-
человека, для нормального зрительного восприятия им окружаю-
окружающих предметов (как нужно размещать источники света по
473

отношению к рабочему месту, какое количество искусствен-
искусственных источников света должно находиться в данном поме-
помещении, какой конструкции должны быть эти источники и
многие другие). Понятно, что при этом интерес представ-
представляет только та часть излучения источников, которая может
быть воспринята глазом, т. е. только видимый диапазон
электромагнитных излучений.
Фотометрия и является разделом оптики, в котором изу-
изучаются количественные характеристики видимого излучения
и соотношения между ними.
Чтобы традиционная терминология этого раздела (ис-
(источник света, световой поток, сила света и т. д.) не приво-
приводила к путанице,,еще раз подчеркнем, что в фотометрии
изучается не весь оптический диапазон электромагнитных
излучений, а ?олько та их часть, которая, воздействуя на
глаз человека, может вызывать зрительные ощущения. Нас
не должно смущать то, что в некоторых фотометрических
опытах излучение регистрируется не визуальйо, а с помощью
приборов (например, использование фотоэлектрического
экспонометра при фотографировании).Для этих целей нужно
использовать приборы, реагирующие на видимый диапа-
диапазон электромагнитных излучений и имеющие такую же чув-
чувствительность, как и глаз человека. Таким образом, можно
сказать, что в фотометрии мы изучаем процессы, которые
начинаются в источнике видимого излучения, а заканчивают-
заканчиваются на сетчатке глаза.
Подобно тому, как в механике вводится образ материаль-
материальной точки, а в электростатике — понятие точечного заряда,
в оптике оказывается оправданным введение понятия точеч-
точечного источника света — источника, размерами которого
можно пренебречь по сравнению с расстоянием от него до
места наблюдения его излучения. Введение точечных источ-
источников света упрощает решение многих задач.
Все реальные источники света имеют конечные размеры
и не являются точечными, но мы можем представить их как
совокупность многих точечных источников.
Мощность видимой части электромагнитного излучения,
распространяющегося в пределах данного телесного угла,
называется световым потоком (Ф).
Силой света (/) точечного источника света в данном на-
направлении называют физическую величину, определяемую
отношением
474

где AQ — тот малый пространственный угол, в пределах
которого световой поток равен АФ.
Освещенностью (Е) некоторой малой поверхности, пло-
площадь которой равна AS, называется физическая величина,
определяемая отношением
? = ??> C4.2)
где АФ — световой поток того излучения, которое падает на
данную площадку.
Пусть от точечного источника света L (рис. 34.1) излуче-
излучение падает на малую площадку AS, находящуюся от источ-
источника на расстоянии R, причем угол между нормалью п к
площадке и направлением рас-
распространения излучения ра-
равен а (угол падения при этом
также будет равен а). Значе-
Значение малого телесного угла
AQ, опирающегося на эту пло-
площадку, можйо определить как
где ASj_ — проекция площад- Рис
ки AS на плоскость, перпенди-
перпендикулярную к направлению распространения излучения (на
рис. 34.1 площадка ASj_ заштрихована).
На основании C4.1) — C4.3) можно получить вакон
освещенности от точечного источника:
?=-^cosa. C4.4)
Как уже отмечалось, основной единицей измерения в фо-
фотометрии оказалось целесообразным выбрать единицу силы
света — канделу A кд), эталон которой легко воспроизво-
воспроизводим и обеспечивает приемлемую точность измерений. В свя-
связи с этим единицы измерения светового потока и освещенно-
освещенности оказываются производными. Люмен A лм) — мощность
видимого электромагнитного излучения, распространяюще-
распространяющегося от точечного источника с силой света в 1 канделу в пре-
пределах телесного угла в 1 стерадиан: ч
1 лм= 1 кд-1 ср
(вводится в согласии с C4.1)). Единица освещенности люкс
{1 л к) вводится на основании C4.2) как освещенность по-
475

верхности с площадью в 1 м2, по которой равномерно распре-
распределен поток в 1 лм:
1 лк '
1ЛК
При решении фотометрических задач, кроме уравнений
C4.1), C4.2) и C4.4), приходится использовать лишь извест-
известные геометрические и тригонометрические соотношения.
Примеры фотометрических расчетов будут приведены в сле-
следующем параграфе.
§ 35. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
35.1. Основные понятия и законы
В оптике имеется круг задач, при решении которых двой-
двойственная природа света почти не сказывается. Так, при по-
построении изображений, получаемых е помощью зеркал
и линз, при расчетах некоторые оптических систем можно
использовать достаточно простые приемы, в которых струк-
структура света (волны это или потоки фотонов) вовсе ве учиты-
учитывается. Решением таких задач и занимается геометрическая
(или лучевая) оптика.
Поведение света в задачах подобного рода удается дос-
достаточно просто и наглядно описать, используя такие поня-
понятия, как световой пучок и световой луч. Пучком называют
область пространства, в пределах которой распространяется
свет (или любое другое излучение). Лучом называется ли-
линия, характеризующая направление распространения све-
т?, направление распространения энергии излучения,
В частности, образующие цилиндрического или конического
пучков света, а также оси этмх пучков будут являться лу-
лучами.
Как видим, и пучок, и луч вводятся как геометрические
характеристики распространения света (первая аналогична
трубке тока жидкости или газа, вторая похожа на траекто-
траекторию движения материальной точки), но уж так повелось,
что пучки и лучи наделяют свойствами,, им не присущими.
Говорят, например, о распространении пучка или луча,
б падении, преломлении, отражении пучков и лучей, об
окраске световых пучков и лучей и т. п. Мы не будем нару-
нарушать этой традиции, так как иначе изложение стало бы
очень громоздким.
476 '

Заметим кстати, что, говоря о световых пучках, лучах
и т. д., в геометрической оптике элементарного курса физики
подразумевают прежде всего видимое излучение, хотя зако-
законы и соотношения этого раздела справедливы для всего оп-
оптического диапазона излучений, а в некоторых случаях
и для более широкого диапазона.
Иногда говорят, что световой луч-— это бесконечно тон-
тонкий световой пучок. Как и любые другие понятия, получае-
получаемые при предельных переходах, такое модельное представ-
представление допустимо (мы можем мысленно разделить пучок ко-
конечных размеров на элементарные пучки). Но только нельзя
забывать, что в реальных условиях никаких бесконечно
тонких световых пучков не существует и получить их в ка-
каких бы то ни было опытах невозможно.
Любой бесконечно малый элемент поверхности источника
излучает расходящиеся световые пучки. Если даже пред-
предположить, что мы исследуем пучок света на очень большом
расстоянии от источника, где этот пучок является слабо
расходящимся (близким к цилиндрическому), то бесконеч-
бесконечно тонкий пучок получить все равно не удастся. Для этого
мы, очевидно, должны были бы на пути светового пучка по-
поставить непрозрачный экран с бесконечно малым отверсти-
отверстием. И вот здесь-то мы столкнемся с принципиальной невоз-
невозможностью получения бесконечно тднкого пучка. Нам не
придется даже решать техническую проблему создания бес-
бесконечно малого отверстия: чем меньшим будет отверстие,
сквозь которое мы пропускаем свет, тем сильнее^будет про-
проявляться дифракция света (подробнее см. § 36) на его
краях! Когда размеры отверстия (например, его диаметр,
если отверстие круглое) приблизятся к длине световой
волны, свет за нкм будет распространяться в телесном угле
2я стерадиан. Как видим, и малые отверстия не позволяют
вырезать не только бесконечно тонкий, а даже просто
достаточно тонкий пучок.
Основные законы, на которых базируется геометриче-
геометрическая оптика,— это закон прямолинейного распространения
света в однородной среде и законы отражения и преломле-
преломления, причем при рассмотрении хода световых пучков в неод-
неоднородной среде — на границах раздела или при взаимодей-
взаимодействии с препятствиями — здесь отвлекаются от явлений ди-
дифракции, интерференции (см. § 36) и других специфически
волновых особенностей поведения света.
Следует иметь в виду, что световые пучки, распростра-
распространяющиеся в одной и той же области пространства (напри-
477

мер, два пересекающихся пучка), должны всегда рассматри-
рассматриваться как независимые: каждый идет своим путем и не ме-
мешает распространению своего соседа Световые пучки между
собой не взаимодействуют! Они не отталкивают друг друга,
не притягиваются один к другому и т. д.
Заметим, что предметами, изображениями которых мы
интересуемся в задачах геометрической оптики, не обяза-
обязательно являются самосветящиеся тела (раскаленная нить
электрической лампы, Солнце, звезды и т д.). Можно полу-
получить изображение любого тела, которое диффузно отражает
(см. п. 35.3) излучение каких-либо естественных или искус-
искусственных источников света. Так, например, при портретных
фотосъемках «предметом» является лицо человека, которое
дает лишь инфракрасное излучение, но изображение на фо-
фотопленке рисуется видимым излучением, отраженным
от него.
Приемником изображений в конечном счете всегда слу-
служит глаз человека. Преломленные прозрачными элементами
глаза (роговицей, так называемой водянистой влагой, хру-
хрусталиком и стекловидным телом) лучи, сходясь в какой-то
точке сетчатки глаза, дают изображение той точки, из ко-
которой эти лучи исходят. Если источник или предмет протя-
протяженный (не точечный), то каждая его точка дает на сетчатке
свое изображение, их совокупность и воспринимается как
протяженное изображение предмета. Таким образом, изо-
изображение источника или предмета формируется в резуль-
результате зрительного ощущения.
Не оценивая совершенств и недостатков нашего зритель-
зрительного аппарата, следует все же помнить, что с его помощью
мы не всегда получаем зрительные ощущения, так ска-
сказать, полностью соответствующие реальной действитель-
действительности
Чувство пространства развивается в человеке с младен-
младенческих лет, и зрение при этом играет главенствующую роль.
Постепенно человек приобретает навык «на глаз» определять
расстояния, размеры предметов и другие пространственные
протяженности, причем на первых порах зрительное ощуще-
ощущение пространства подкрепляется другими ощущениями (до
карандаша, который мы видим, можно дотянуться рукой
и т. д.). Наш глаз привыкает видеть точечный предмет в той
точке пространства, из которой исходят попадающие в глаз
световые лучи. Именно эта привычка может иной раз ввести
нас в заблуждение, но на этом же заблуждении основывается
устройство любого оптического прибора.
478

Дело в том, что глаз человека может видеть светящуюся
точку не только в месте нахождения реального источника
света малых размеров, но и в тех местах, где никаких источ-
источников нет. Таким местом может быть точка пересечения све-
световых лучей, исходящих от каких-либо реальных источ-
источников. При этом мы говорим, что в такой точке находится
действительное изображение точечного предмета или источ-
источника. Через такую точку распространяется энергия свето-
светового излучения реальных источников, в чем можно убедить-
убедиться, расположив в месте ее нахождения какой-либо объектив-
объективный приемник энергии электромагнитного излучения
в видимой области (фотоэмульсию и т. п.). Кроме того, глаз
видит изображение в месте пересечения продолжений лучей,
падающих на него в виде расходящегося лучка. При этом
мы говорим о мнимом изображении. Мнимое изображение
видит наш глаз, но через точки пространства, где оно «на-
«находится», никакие световые лучи могут и не распространять-
распространяться. Поэтому мнимое изображение не удается получить на
экране, фотопластинке или обнаружить с помощью каких-
либо иных объективных приемников энергии светового из-
излучения. Только для простоты и удобства расчетов можно
считать, что в месте «нахождения» мнимого изображения
находится источник энергии светового излучения.
Итак, существенным отличием действительного изобра-
изображения от мнимого является то, что в тех точках пространст-
пространства, где находится первое, энергию светового излучения мож-
можно обнаружить, а в точках нахождения второго — нельзя.
Не следует забывать, что изображение, получаемое на
самой сетчатке глаза, всегда действительное! Предмет, его
действительное или мнимое изображение мы видим только
в том случае, если преломленные глазом лучи пересекаются
на сетчатке.
Подчеркнем, что точки и действительного, и мнимого изо-
изображений отличаются от точечных источников света. Свет
от точечного источника распространяется во всех направле-
направлениях в пространственном угле 4я стерадиан. Значит, энер-
энергию светового излучения точечного источника можно обна-
обнаружить в любой точке окружающего его пространства. От
точек же изображений во всех задачах, представляющих
практический интерес, свет расходится в пределах телесных
углов, меньших 4я стерадиан, и условия наблюдения изо-
изображений оказываются ограниченными.
Наконец, последние замечания, на которые следует об-
обратить внимание. Наблюдатель может видеть предметы или
479

изображения только в том случае, если световые лучи от
них попадают в^его глаз, если глаз наблюдателя встречает
эти лучи. Как ни очевиден этот факт, мы напоминаем о нем.
Например, если источник находится за спиной наблюдателя,
последний может увидеть только его изображение, получен-
полученное с помощью зеркала или системы зеркал, когда в его
глаза попадут лучи, отраженные от них. Если наблюдатель
смотрит вдоль лучей (по направлению их распространения),
которые где-либо в пространстве даж^ пересекаются, он
никакого изображения не увидит.
Пучки света от источников, улавливаемые глазом, могут
быть расходящимися (например, глаз находится на малом
расстоянии от малого по размерам источника света) или ци-
цилиндрическими (на очень большой расстоянии от источника).
Во многих случаях действительные и мнимые изображения
наш глаз видит в тех местах пространства, откуда исходят
(или нам кажется, что исходят) расходящиеся пучки. Но
при использовании некоторых оптических систем (например,
окулярных линз) изображение может быть получено при
попадании в глаз цилиндрического или даже сходящегося
пучка.
Задача. На расстоянии R от плоского экрана находится точечный
источник L с силой света /. Как изменится освещенность в точке Т
экрана (рис. 35.1), если на расстоянии х за источником расположить па-
параллельно экрану идеально отражающее плоское зеркало? Как будет
Рис. 35 1.
изменяться освещенность в точке-Т, если расстояние х будет изменяться?
Будет ли изменяться освещенность в той же точке экрана, если зеркало
поворачивать вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 35.2), так,
чтобы его плоскость составляла с плоскостью экрана различные углы ср?
Считать в последнем случае, что OL—R.
Освещенность ?1э создаваемая точечным источником света L в точ-
точке Т экрана, можно найти по формуле C4.4) при условии, что угол па-
падения лучей на экран равен нулю, а значит, cosa=l.
480

К чему приведет установка зеркала на расстоянии х за источником^
Источник L посылает свет по всем направлениям, в том числе и в сто-
сторону, противоположную экрану. Лучи (на рис. 35Л показаны только
два таких луча 1 и 2), встретившие на своем пути зеркало, будут от чего
отражаться в соответствии с законом отражения и при дальнейшем рас-
распространении смогут попасть на экран. Таким образом, зеркало может
пооылать на экран световые лучи, которые на экран непосредственно от
источника не падают (зеркало как бы собирает лучи, испущенные ис-
источником влево от плоскости I—I).
Построение хода отраженных от зеркала лучей позволяет сказать,
что все они как бы исходят из точки L', которая является мнимым изоб-
изображением источника L, причем точка V располагается на одном перпен-
перпендикуляре к плоскости зеркала с точкой L и на таком же расстоянии х
за плоскостью зеркала, на каком перед ним находится точка L. Послед-
Последнее утверждение вытекает из равенства прямоугольных треугольников
LOB и L ОБ (общий катеч ОБ и равенство противолежащих ему углов |3).
Создает ли «мнимый источник» V дополнительную освещенность
в точке Т на экране? Конечно, создает. В действительности никакого
источника V не существует, но им очень удобно воспользоваться
'для упрощения наших'построений и расчетов. Фактически дополнитель-
дополнительная освещенность получается за счет перераспределения энергии свето-
светового излучения реального источника L. Можно сказать, что этот допол-
дополнительный световой поток излучается источником Z/, известное место
расположения которого позволяет вновь использовать закон освещен-
освещенности C4.4).
Условие идеального отражения света зеркалом приводит к заклю-
заключению, что мнимый источник света V обладает такой же силой света, что
и источник L (телесные углы, в пределах которых распространяется
световой поток от источника L влево и от мнимого источника L вправо,
равны, и энергия светового излучения не поглощается веществом зер-
зеркала). Дополнительная освещенность ?д в точке 71, создаваемая точеч-
точечным источником Z/, находящимся на расстоянии L'T~R-{-2x от нее,
равна
а суммарная освещенность Е в этой точке экрана складывается из
освещенностей Ех и Ел.
Если x~R> то
Е 1 ¦ ' -Ei м
Д /D_L OD\2 QD2 S" ,. "*
т. е. дополнительная освещенность за счет постановки зеркала составит
1/9^0,111 освещенности Еъ создаваемой в точке Т источником L без
зеркала.
"Анализируя уравнения (б) и (в), легко показать, что при перемеще-
перемещении зеркала влево (рост расстояния х) освещенность Ел будет умень-
уменьшаться и при х— оо станет равной нулю (при этом, разумеется, Е будет
равна Ех). Если же зеркало перемещать вправо, то освещенность ?д
будет возрастать и при я=0 сделается равно й освещенности Ех. Тогда
суммарная освещенность в точке Т удвоится;
16 Ю. А. Селезнев 481

Этот результат легко понять. Источник L имеет малые, но конечные
размеры, т. е. может быть представлен в виде маленького светящегося
шарика. При отсутствии зеркала на экран направляется световое излу-
излучение только от правой половины поверхности источника-шарика. По-
Поставленное вплотную (х=0) к тако-
такому источнику зеркало позволяет на-
направить на экран и излучение левой
половины его поверхности.
К очень интересным выводам
мы приходим, оценивая освещен-
освещенность в точке Т на экране в случа-
случаях, если поверхность зеркала сос-
составляет с плоскостью экрана раз-
различные углы ф (рис. 35.2).
Ясно, что источник L и в этих
случаях создает в точке Т освещен-
освещенность Еь подсчитываемую по фор-
формуле (а). Дополнительную освещен-
Рис 35.2.
ность
зд, создаваемую мнимым
изображением источника L в зерка-
зеркале, снова можно найти по уравнению C4.4) закона освещенности.
Для случая, изображенного на рис. 35.2, мнимый источник нахо-
находится в точке D на расстоянии DT от интересующей нас точки экрана,
и свет от него падает на экран в точке Т под углом а, отличным от нуля.
По условию задачи LT—OL—R. По построению изображения источника
L в зеркале угол OLD равен углу ф между плоскостями зеркала и экрана
(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). DC — перпенди-
перпендикуляр к продолжению линии ОТ. Выразим расстояние DT и cos а через
заданные величины. -
Из геометрии рисунка ясно, что
DL=2R cos ф.
Из треугольника DCL находим
CD—DL sin ф=2# sin ф cos y—R sin 2ф,
2ф).
CL=DL
cos2 ф=
Теперь CT=CL+LT= R A+cos 2y)+R=RB+cos 2ф).
Из треугольника DCT по теореме Пифагора получаем
(D7J= (С?>J+ {CTJ= R2 sin2 2ф+ Я2 B+cos 2фJ?
или, после простых преобразований,
(DTJ = Я* E+4 cos 2ф), DT = R j/*5+4cos2q>
СТ
cos а=7г^=
DT
cos 2ф
Вновь полагая, чго сила света «источника D» равна /, и подставляя
(DTJ и cos а в уравнение C4.4), находим выражение для дополнитель-
дополнительной освещенности Еп:
Е-
cos а = -^7
2 + cos 2ф
cos2<p)
(Д)
482

Суммарная освещенность, создаваемая в точке Т источником L
и его изображением D в наклоненном зеркале, равна
2 + cos 2ф 1
E + 4 cos 2ф) }^5 + 4 cos 2ф J "
Сравним дополнительные освещенности Е'д и ?д, создаваемые в точ-
точке Т экрана при OT—2R наклонным и параллельным плоскости экрана
зеркалами. Видно, что при ф=0 выражение (д) совпадает с выражением
(г) и ?д==?д^0,111 Ег. При увеличении угла ф наклона плоскости зер-
зеркала к плоскости экрана освещенность точки Т возрастает, а не умень-
уменьшается, как кажется с первого взгляда. Происходит это из-за того, что
расстояние от изображения источника L в зеркале *до точки Т умень-
уменьшается при повороте зеркала вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
рисунка и проходящей через точку О. Уменьшение величины (DTJ
оказывается более существенным, чем уменьшение значения cos a
(при малых углах ф). Это и приводит к увеличению освещенности эк-
экрана в точке Т.
Например, при ф=я/6 рад дробь, стоящая в квадратных скобках
выражения (д), принимает значение, примерно равное 0,135, и Ё^яа
^0,135/?!, а при ф=я/3 рад будет ?^0,288?х. Читатель может легко
убедиться, что и при других значениях угла ф (кроме ср—я/2 рад) осве-
освещенность в точке Т экрана от наклонного зеркала оказывается большей,
чем от зеркала, параллельного экрану и расположенного на расстоянии
x=R за источником L.
35.2. Получение изображений с помощью зеркал
При построении изображения какого-то предмета по-
последний представляют как совокупность точечных источни-
источников света. Точечный источник посылает в окружающее про-
пространство расходящийся^световой пучок, но для определе-
определения местонахождения этого источника вполне достаточно
проследить ход только каких-либо двух лучей (источник
находится в точке их пересечения).
Точно такой же подход используется при построении изо-
изображения светящейся точки: в точке пересечения лучей на-
находится действительное изображение, а в воображаемой точ-
точке пересечения продолжений лучей — мнимое изображение.
Построение изображений в зеркалах основывается лишь
на законах прямолинейного распространения и .отражения
света. Проследив ход каких-либо лучей от точечного источ-
источника до зеркала и ход этих же лучей после отражения от
зеркала, всегда можно построить изображение этого источ-
источника в зеркале. На рис. 35.1 построение изображения
V источника L в плоском зеркале выполнено в соответствии
с этим правилом.
16* 483

Изображение в плоском зеркале всегда мнимое (расходя-
(расходящийся пучок света, падающий на зеркало от источника, пос-
после отражения остается расходящимся в пределах того же по
значению телесного угла). Кроме того, оно всегда симмет-
симметрично источнику относительно плоскости зеркала и, следо-
следовательно, равно ему по размерам.
Более широкие возможности преобразования световых
пучков имеют зеркала не плоские, а прежде всего зеркала
сферические, которые служат элементами многих оптиче-
оптических устройств.
Формула сферического зеркала. На рис. 35.3 представле-
представлено сечение вогнутого сферического зеркала плоскостью чер-
чертежа. Точка Р, являющаяся вершиной сферического сегмен-
сегмента, называется полюсом зеркала, а точка С — геометрический
центр сферической поверхности зеркала радиуса R — цент-
центром зеркала. Прямая линия 00, проходящая через центр и
Рис. 35.3.
полюс зеркала, называется главной оптической осью зерка-
зеркала; любая же прямая, проходящая через центр зеркала и
какую-либо точку его поверхности (например, прямая С/С),
называется побочной оптической осью. Ясно, что любая оп-
оптическая ось в точке пересечения с поверхностью зеркала
является нормалью к последней (любой радиус перпендику-
перпендикулярен к поверхности сферы в точке встречи с ней).
4 Выведем формулу сферического зеркала.
Точечный источник L находится на главной оптической
оси вогнутого сферического зеркала, радиус кривизны по-
поверхности которого R, на расстоянии Я от его полюса Р
(рис. 35.3). Доказать, что в точке V', расположенной на рас-
расстоянии И от полюса зеркала, будет находиться изображе-
изображение источника L, и найти формулу связи между величинами
Я, Я и R.
Как и всегда, при построении изображений в зеркалах
используем закон отражения. Рассмотрим один из лучей,
484

исходящих из источника L, например луч L/C, который па-
падает на поверхность зеркала в точке /С. Радиус кривизны
зеркала С/С перпендикулярен к его поверхности в этой toV
ке. Углы LKC (обозначим этот угол через а) и C/CL' (обо-
(обозначим через Р) лежат в одной плоскости и равны между со-
собой на основании закона отражения (а — угол падения,
р — угол отражения):
Пусть луч, отраженный от зеркала в точке /С, пересечет
главную оптическую ось зеркала в точке L'. Введем, кроме
того, следующие обозначения: б — угол наклона падающе-
падающего луча к главной оптической оси, б' — угол наклона к глав-
главной оптической оси отраженного от зеркала луча, у — угол
между главной оптической осью зеркала и радиусом, про-
проведенным в точку падения луча /С, и h — расстояние от точ-
точки /С до главной оптической оси зеркала.
Угол у является внешним углом треугольника LKC и,
следовательно,
Аналогично
Теперь нетрудно получить простую формулу связи между
углами:
Простейшие расчетные соотношения для сферических
зеркал получаются, если рассматриваются так называемые
параксиальные пучки света, т. е. узкие пучки, составляющие
с оптической осью зеркала очень малые углы (в нашем при-
примере пусти будет малым угол б между крайними лучами
падающего на зеркало пучка и главной оптической осью
00), когда расстояние точек падения этих лучей от оптиче-
оптической оси зеркала (в нашем случае расстояние h точки К
от главной оптической оси) во много раз меньше радиуса
кривизны зеркала (h<^R). Если угол б мал, то, конечно,
малыми будут и углы у и б'. При этом длиной отрезка ВР
можно пренебречь по сравнению с длинами отрезков L/C
и L'/C и приближенно считать, что L/С^Я и Ь'К^И. Кроме
того, значения синусов малых углов 6, б' и у можно будет
заменить значениями самих углов в радианной мере.
Для прямоугольного треугольника LKB имеем равен-
равенство
485

которое с учетом только что сделанных оговорок можно за*
писать в виде
6=А//7.
Точно так же равенство
sin6'=ft/L'/t
заменим более простым:
6'=ft/#.
Кроме того, для треугольника СКВ
___h h_
sinY — ск~ R >
или
у = h/R.
Подставляя выражения для б, б' и 7 в формулу связи между
этими углами, находим
П "+" И~~R '
или, после сокращения на ft,
Это выражение и является искомой формулой связи меж-
между величинами Я, П и /?. Оно называется формулой сфериче-
сферического зеркала и с одинаковым успехом может применяться
не только для вогнутых, но и для выпуклых сферических
зеркал, радиус кривизны поверхностей которых равен R.
Доказательство того, что точка V является изображени-
изображением точечного источника L, как раз и заключается в том
факте, что расстояние ft точки падения луча от главной оп-
оптической оси зеркала может быть исключено при получении
формулы C5.1). Это означает, что не только луч LK после
отражения пересечет главную оптическую ось зеркала в
точке Z/, но и любые другие лучи, исходящие от источни-
источника L под малыми углами б к оси зеркала, будут после отра-
отражения пересекаться с ней в этой же точке, т. е. в L' находит-
находится действительное изображение точечного источника L.
Заметим, что расстояния от источника или предмета,
изображением которого мы интересуемся, и от изображения
до полюса зеркала мы обозначили русскими буквами для
486

мнемонического удобства запоминания (Я — предмет, И —
изображение).
Формула C5.1) позволяет найти фокусное расстояние (/)
зеркала — расстояние от полюса до точки фокуса (F), в ко-
которой пересекаются после отражения лучи, падающие на
зеркало параллельно главной оптической оси.
Если телесный угол, в пределах которого распростра-
распространяется свет, очень мал, для практических расчетов можно
считать пучок цилиндрическим. Например, пучки света от
источников, очень удаленных от наблюдателя (или от зер-
зеркала и т. д.), незначительно отличаются от пучков цилинд-
цилиндрических. Таким образом, если расстояние Я до предмета
устремить к бесконечности (Я->оо), то расстояние И будет
равно фокусному расстоянию /. Тогда
1.1-1
оо" / - R>
ИЛИ
C5.2)
т. е. фокус зеркала лежит на середине расстояния от его
центра до полюса.
С учетом C5.2) формулу сферического зеркала можнр за-
записать в ином виде:
+ C53)
Удобно полагать знаки величин Я, Я, R и / в формулах
C5.1) и C5.3) положительными, если эти расстояния отсчи-
тываются от полюса зеркала в ту сторону, с которой на зер-
зеркало падает свет от предмета, и отрицательными — в про-
противном случае. При такой договоренности расстояние Я
будет положительным, а отрицательный знак у И будет
указывать на то, что изображение мнимое, т. е. расположено
по другую сторону от поверхности зеркала. Согласно такой
договоренности фокусное расстояние f выпуклого зеркала
(выпуклое зеркало имеет мнимый фокус), а значит, и ра-
радиус кривизны его поверхности R будут считаться отрица-
отрицательными.
Это правило знаков нуждается в изменении только для
некоторых специальных задач, в которых на сферические
зеркала падают сходящиеся пучки света. В таких случаях
продолжения лучей падающего пучка пересекаются в ка-
какой-то точке за поверхностью зеркала Если через эту точку
провести плоскость, перпендикулярную к главной оптиче-
487

ской оси зеркала, то расстояние от этой плоскости до полю-
полюса зеркала и должно быть взято в качестве величины П>
входящей в формулу сферического зеркала, причем и для
вогнутых, и для выпуклых зеркал это расстояние П должно
браться со знаком минус (#<0). Договоренность о знаках
остальных величин при этом сохраняется прежней.
Изображения в сферических зеркалах. Если предмет,
изображением которого мы интересуемся, не точечный, впол-
вполне достаточно бывает в простейших случаях построить изо-
изображения отдельных его точек.
При заданной геометрии зеркала и известном расположе-
расположении предмета формулы C5.1) и C5.3) позволяют определить,
где, на каком расстоянии от зеркала будет получено изобра-
изображение и каким будет это изображение — действительным
Рис. 35.4.
или мнимым. Кроме этого, обычно представляют интерес раз-
размер изображения (увеличенное, уменьшенное или равное
предмету) и его ориентация (прямое или обратное, перевер-
перевернутое). Для ответа на эти вопросы приходится прослеживать
ход лучей, падающих на зеркало и отраженных от него.
Не нужно забывать, что любая точка предмета посылает
на зеркало расходящийся световой пучок, но для получения
ее изображения оказывается вполне достаточным просле-
проследить ход всего двух лучей. К числу простейших, или ос-
основных, используемых для построения изображений лучей
принадлежат следующие четыре (рис. 35.4, а и б).
Луч 1 до падения на зеркало направлен параллельно
главной оптической оси. Направление его распространения
после отражения проходит через фокус зеркала.
Луч 2 является «обратным» первому: направление
падения проходит через фокус зеркала, а после отраже-
отражения такой луч направлен параллельно главной оптичес-
оптической оси.
488

Луч 3 — направление его распространения до падения
на зеркало и после отражения проходит через центр зеркала
(углы падения и отражения такого луча в месте встречи с
зеркалом равны нулю).
Луч 4 падает в полюс зеркала под углом а к главной оп-
оптической осв. Ход луча после отражения симметричен холу
падающего луча относительно главной оптической оси.
(Если луч падает не в полюс зеркала, а в какую-то произ-
произвольную точку его поверхности, то отраженный луч будет
симметричен падающему относительно побочной оптической
оси, проведенной через точку падения.)
Задача. Определить, на каких расстояниях от вогнутого сфериче-
сферического зеркала с фокусным расстоянием / будут получены изображения
предметов, находящихся на следующих расстояниях от зеркала. 1) П1=
= оо; 2) #2=2/, 3) оо>Я3>2/; 4) /74=/; 5) 2/>Я5>/; 6) Я6</. Оценить
характер, размеры и ориентацию изображений в этих случаях и опреде-
определить, в пределах каких телесных углов можно наблюдать изображения
глазом (для краткости будем назы-
называть эти углы углами наблюдения).
Случай 1 (рис. 35 5). На осно-
основании определения фокуса зеркала
можно заключить, что если падаю-
падающие лучи параллельны главной оп-
оптической оси-, то изображение будет
получено как раз в точке фокуса, так
что #i=/.K этому же можно прийти,
используя формулу зеркала C5.3):
-La—L — JL
СО" #!~" / '
откуда следует, что Ях=/ (величины с*
/и Их положительны). Если же ци-
цилиндрический пучок падает на зеркало под углом к главной оптической
оси, то все равно Я1=/, но изображение не находится в фокусе, а лежит
в плоскости, проведенной через фокус перпендикулярно к главной опти-
оптической оси,— в так называемой фокальной плоскости зеркала.
Изображение будет точечным и обратным. Можно сказать, что оно
будет уменьшенным, так как размеры предмета, очевидно, должны
считаться равными ширине падающего светового пучка. Напомним,
что такой случай не может иметь места в действительности (строго ци-
цилиндрических световых пучков не существует), но он представляет ин-
интерес для расчета, если пучок является слабо расходящимся.
Телесный угол, в пределах которого изображение можно увидеть,
ограничен лучами, отраженными от краев зеркала (на рис. 35.5 эти
лучи изображены пунктиром, а сечение пространственного угла наблю-
наблюдения плоскостью рисунка отштриховано). Заметим, чго значение угла
наблюдения зависит от размеров диаметра окружности, ограничивающей
зеркало (от так называемого отверстия зеркала).
Случай 2 (рис. 35.6). Для простоты рассмотрим протяженный линей-
линейный предмет АВ, перпендикулярный к главной оптической оси зеркала,
489

точка В которого совпадает с центром зеркала С. На основании формулы
C5 3) при #2=2/ находим, что
JL-L—= — и И =2/
т. е изображение действительное и находится от зеркала на таком же
расстоянии, что и предмет. Легко сообразить, что изображение будет
Рис. 35.6.
обратным и по размерам равным самому предмету. Угол наблюдения ог-
ограничен лучом /, исходящим от точки А предмета и отраженным от точки
М верхнего края зеркала, и лучом //, исходящим от точки В предмета
и отраженным от нижнего края К зеркала.
Следует иметь в виду, что изображение предмета видно целиком
не из любой точки, лежащей в пределах угла наблюдения. Чтобы пояс-
пояснить это, проведем луч /' (исходящий от точки А предмета и отраженный
Рис. 35.7.
от нижнего края К зеркала) и луч //' (исходящий от точки В предмета
и отраженный от верхнего края М зеркала). Теперь, наверное, понятно,
что точка А' изображения видна только в пределах области 1А7', а
точка В' — в пределах области 11В'IV. Изображение А'В' видно цели-
целиком только из точекг находящихся в пределах телесного углаЕ сечение
490

которого Г SIT плоскостью чертежа на рис. 35.6 отмечено двойной штри-
ховкрй. Из точек, лежащих вне этой области, но находящихся в пределах
телесного угла наблюдения, будет видна только какая-то часть изобра-
изображения А'В'.
Случай 3 является промежуточным между случаями 1 и 2. Построе-
ние2 выполненное на рис. 35.7, и формула C5 3) приводят к заключению,
что 2/>Я3>/, изображение действительное, обратное и уменьшенное.
Угол наблюдения ограничен лучом /, отраженным от точки М, и лу-
лучом //, отраженным от точки К. Найти область, из точек которой изо-
изображение предмета видно целиком, можно точно так же, как это было
сделано в предыдущем случае.
При перемещении предмета из бесконечности в центр зеркала его
действительное изображение перемещается из фокуса в центр зеркала^
II
Рис. 35 9.
оставаясь обратным 'и уменьшенным вплоть до помещения предме-
предмета в центр зеркала, когда размеры изображения достигают размеров
предмета.
Случай 4 является обратным первому По формуле зеркала и по
построению можно получить, что #4=оо, т. е изображение предмета,
помещенною в фокусе зеркала, получается в бесконечности.
491

Случай 5 является промежуточным между случаями 2 и 4 и обратным
случаю 3 (рис. 35,8). Построения выполнены аналогично предыдущим
случаям (заметим, что направление луча / случайно оказалось проходя-
проходящим через центр зеркала). На основании формулы C5.3) и по построе-
. нию ясно, что -оо > И5> 2/, изображение действительное, обратное и уве-
увеличенное. у
Таким образом, можно заключить, что при перемещении предмета
из центра в фокус зеркала его действительное, обратное и увеличиваю-
увеличивающееся изображение перемещается от центра зеркала в бесконечность.
В случае 6 (рис. 35.9) изображение получается мнимым (Яв отрица-
отрицательно при положительных значениях / и Я6), прямым и увеличенным
-(сравните сходственные стороны АВ и А'В' подобных треугольников
CAB и С А'В'). Лучи / и // по-прежнему позволяют определить угол на-
наблюдения.
Предлагаем читателям самостоятельно найти для случаев 5 и 6
те совокупности точек в пределах углов наблюдения, из которых изо-
изображения будут видны целиком.
Рис. 35.10 иллюстрирует построение изображения в вы-
выпуклом сферическом зеркале с фокусным расстоянием /
(значение которого считается отрицательным). Угол наблю-
наблюдения на этом рисунке обозначен через <р. Легко убедиться
в том, что изображение предмета видно целиком из любой
точки, находящейся внутри угла ф. При любых положе-
положениях предмета перед выпуклым зеркалом изображение по-
получается мнимым (величина И отрицательна), прямым и
уменьшенным. Действительное изображение с помощью вы-
выпуклого сферического зеркала может быть получено в не-
некоторых частных случаях, когда зеркало явлйется элемен-
элементом оптической системы, при условии падения на него схо-
сходящегося светового пучка.
Анализ формулы сферического зеркала и использование
общего подхода при построении изображений в зеркалах
позволяют прийти к заключению о практическом использо-
492

вании тех или иных зеркал в конкретных случаях. Предметы
могут располагаться любым образом- по отношению к глав-
главной оптической оси зеркала, не быть к ней перпендикуляр-
перпендикулярными и не быть линейными. Ни одна точка предмета может
не находиться на главной оптической оси, как это для про-
простоты построений было в рассмотренных нами случаях.
Но непременным условием применимости формул C5.1)
и C5.3) и использованных приемов построения является то,
чтобы протяженный предмет был виден из полюса зеркала
под малым углом.
Задача. Читатели, конечно, знают, что окулисты и стоматолог и
при работе пользуются сферическими зеркалами. Кроме того, известно,
что справа у кабин водителей городского транспорта помещаются зерка-
зеркала, которые очень часто бывают не плоскими. Какими должны быть зер-
зеркала в указанных случаях и каково их назначение?
В первом случае зеркало имеет отверстие в месте нахождения по-
полюса, сквозь которое врач рассматривает, например, глазное дно (сетчат-
(сетчатку глаза) пациента. Назначение зеркала в эгом случае — сконцентри-
сконцентрировать световой пучок на достаточно малой площади. Осветитель (обыч-
(обычная настольная лампа) располагается несколько в стороне и сзади
головы пациента. Совершенно ясно, что для этих целей не подходит вы-
выпуклое зеркало, которое может только рассеивать падающий на него
свет. Значит, зеркало должно быть вогнутым и должно работать в усло-
условиях, аналогичных изображенным на рис. 35.7: источник света (ЛВ)
должен находиться за центром зеркала, а рассматриваемый объект —
между центром и фокусом. По вполне понятным причинам зеркало, в
полюсе которого располагается глаз врача, не может быть приближено
к объекту наблюдения ближе чем на несколько сантиметров (примерно
на 20—30 см). Поэтому и фокусное расстояние таких зеркал имеет зна-
значение порядка 20 см
Назначение зеркала зубного врача — получить увеличенное изо-
изображение малого объекта, не поддающегося прямому наблюдению (на-
(например, повреждение эмали зуба с внутренней стороны). Выпуклое
зеркало, дающее всегда уменьшенное изображение, для этих целей беспо-
бесполезно. Кроме 'ого, ясно, что изображение, даваемое зеркалом, должно
быть прямым. Значит, объект наблюдения должен располагаться между
фокусом и полюсом-вогнутого зеркала (см. рис. 35.9), причем чем меньше
фокусное расстояние зеркала, тем более увеличенным (при прочих рав-
равных условиях) будет изображение. Фокусное расстояние таких зеркал
насчитывает несколько сантиметров.
Зеркало кабины водителя автобуса должно давать, конечно, прямое
изображение пассажиров, находящихся у задней входной двери. Каза-
Казалось бы, этому условию могут удовлетворять как вогнутые (см.
рис. 35.9), так и выпуклые (см. рис. 35.10) зеркала. Но чем будут отли-
отличаться изображения в этих двух случаях? В первом случае фокус зер-
зеркала должен располагаться позади входной площадки, чтобы предмет
оказался между фокусом и зеркалом (иначе не получится прямого изо-
изображения!). При этом изображение будет увеличенным, так что из ка-
кабины водитель будет видеть увеличенное изображение малого участка
пространства вблизи входной площадки автобуса (скажем, только одну
ступеньку и ногу пассажира, наступившего на нее). Водителю, конечно,
важнее увидеть другое: много ли пассажиров находится у входной двери,
493

все ли они вошли в автобус, т. е. с помощью зеркала должно просматри-
просматриваться значительное пространство вблизи входной двери. Для этого зер-
зеркало должно быть выпуклым. Именно такое зеркало помогает водителю
увидеть пассажира, отставшего на несколько метров от уже поехавшего
автобуса, и любезно притормозить.
Задача. Определить фокусное расстояние / вогнутого сферического
зеркала, которое дает действительное, уменьшенное в 3 раза изображение
предмета при расстоянии между предметом и изображением /=20 см.
Анализируя условия задачи, приходим к заключению, что предмет
(А В) должен находиться за центром зеркала, а его действительное умень-
уменьшенное изображение (А В') —
между центром и фокусом (рис.
35 11). Пусть высота предмета
равна Я, а высота его изобра-
изображения К тогда по условию за-
задачи Я/й=3. Решая уравнение
C5 3) относительно фокусного
расстояния, имеем
ПИ
Г
Кроме того, из условий задачи
Рис. 35.11. MeWeT' ЧТОП=1+И
Используя два последних уравнения, удается выразить величину /
через заданную величину / и одну неизвестную величину Я:
A + И)И
'~ 1 + 2И '
Значение расстояния И найдем из следующих соображений. Прямо-
Л R RC
угольные треугольники ABC и А'В'С подобны, значит, ——_-,.
А В ВС
или, в принятых обозначениях,
Я_Я-2/
Преобразуем последнее уравнение, прибавив к обеим его частям по еди-
единице:
Т
После приведения к общему знаменателю правой части и упрощений
имеем
h + 2/-Я #
Учитывая^ НТО Я — Я=/г получаем уравнение
404,

которое после подстановки в него величины Д выраженной через / и Иг
и преобразований позволяет получить
Я = 7
откуда с учетом заданных значений (/=20 см и Н[к=3) находим
# = — = Ю см.
о— 1
(Здесь мы подсчитали значение промежуточной величины И только для
того, чтобы не иметь дела с громоздкой расчетной формулой для /)
Теперь окончательно для / имеем
B0+10) 10
'"" 20 + 2-10 --/'осм-
35.3. Прохождение света через границу
раздела разнородных прозрачных сред
При отражении света от границы раздела прозрачной
среды (т. е. такой, в которой свет может распространяться)
и непрозрачной происходит лишь изменение направления
скорости световой волны. Модуль скорости волны не изме-
изменяется, если отраженный луч распространяется в той же сре-
среде, что и падающий (только такие случаи мы и рассматри-
рассматривали в предыдущем параграфе). При отражении света сказы-
сказывается качество отражающей поверхности. В связи с этим
мы говорим о зеркальном отражении от идеально гладкой
поверхности или о диффузном отражении от поверхности
шероховатой. В простейших случаях мы не интересуемся
веществом отражающей среды, так как оно не влияет на
закон отражения. Различные вещества зеркал в неодинако-
неодинаковой степени поглощают энергию падающей световой волны,
поэтому изображения, полученные с их помощью, будут от-
отличаться по яркости.
Если же мы интересуемся ходом световых пучков в ка-
какой-то прозрачной среде, попавших на ее границу из другой
прозрачной среды, то различие оптических свойств этих
сред приходится учитывать даже при решении задач геомет-
геометрической оптики (направление распространения, получение
изображений и т. д.). Снова отвлекаясь от поглощения энер-
энергии световой волны, мы основываем наши расчеты на законе
преломления.
Кроме геометрических сведений, например о направле-
направлении хода луча, падающего на преломляющую границу, об
495

угле падения, о ширине падающего светового пучка и т. п.,
нас при этом интересуют скорости, с которыми свет может
распространяться в той или иной среде. Как уже отмеча-
отмечалось, показатели преломления сред (абсолютные и относи-
относительные) как раз, и дают нам сведения об этом.
Напомним, что на границе раздела разнородных про-
прозрачных сред скачком изменяется скорость световой волны,
а в связи с этим — и длина волны.
Рассмотрим поведение светового луча на плоской грани-
границе раздела двух прозрачных сред I и II. Пусть для простоты
средой I будет воздух (ско-
>J « рость света в воздухе очень
мало отличается от его ско-
скорости в вакууме, абсолют-
абсолютный показатель преломле-
преломления воздуха при нормаль-
нормальных условиях равен
1,000292), а средой II —
вода с показателем прелом-
преломления п (рис. 35.12). Луч
света падает на границу раз-
раздела А В в точке О под
углом L (Случай i"=0 не
рассматриваем, так как при
этом не наблюдается изменения направления распростра-
распространения света.) В результате преломления луч изменит на-
направление распространения, причем значение угла прелом-
преломления г можно найти по уравнению C0.8) с учетом того, что
для рассматриваемого случая vi/vn—n:
sin r = — sin/.
Отсюда следует, что угол преломления г в среде II всегда
будет меньше угла падения i в среде I. Говорят, что вторая
среда является оптически более плотной средой, чем первая,
если абсолютный показатель преломления второй больше
абсолютного показателя преломления первой. Максималь-
Максимальное значение угла преломления, очевидно, будет получено
при условии, что sint=l, т^е. i=si/2 рад. Тогда
sm/-MaB<5=l/n, C5.4)
и поскольку п>\ {для воды п= 1,333), то гтакс<.п/2 рад. Рас-
Рис. 35.12.
чет дает для нашего случая
496
*48°я*0,84 рад.

Таким образом, любые световые лучи, попадающие в точ-
точку О границы раздела «воздух — вода», будут распростра-
распространяться в воде только в пределах конуса с углом при вер-
вершине О, равным 2гмакс.
Представим, что АВ — поверхность воды в реке, покры-
покрытая непрозрачным слоем льда. В точке О имеется небольшая
прорубь. Увидит ли водолаз, находящийся в точке С (или
D), самолет, пролетающий над рекой? Если вода в реке даже
абсолютно прозрачна и в ней нет частичек, которые бы рас-
рассеивали, отражали падающий на них свет, то находящийся
в точках С или D водолаз не увидит не только самолета, но
и вообще не увидит све- 4
та. Он может стать на-
наблюдателем всего проис-
происходящего над прорубью
О, если только будет на-
находиться в пределах ко-
конуса, отштрихованного
на рис. 35.12.
Можно заключить,
что при переходе света
через плоскую границу
из оптически менее плот-
плотной среды в среду более
плотную телесные углы,
няются световые пучки,
Рис. 35 13.
в пределах которых распростра-
уменьшаются.
Заслуживает внимания и явление перехода света из опти-
оптически более плотной среды в менее плотную. Пусть этими
средами по-прежнему будут вода с показателем преломле-
преломления п и воздух (рис. 35.13). Теперь уравнение закона пре-
преломления должно быть записано в следующем виде:
sin i vu 1
sin r vl n '
C5.5)
так как показатель преломления п равен отношению скоро-
скорости света в воздухе к его скорости в воде, n=vl/vll.
Поскольку п>\, из уравнения C5.5) следует, что r>i.
Но угол преломления луча света, вышедшего из воды в воз-
воздух, не может быть больше я/2 рад. Как же будут вести себя
лучи, падающие в точку О под различными углами if Выйти
в оптически менее плотную среду (в воздух) смогут только
те да них (лежащие в пределах отштрихованного на
рис. 35.13 конуса), углы падения i которых меньше некото-
некоторого предельного значения ?лр, которое можно найти из
497

уравнения C5.5) в случае, если г=п/2 рад:
siiunp-=l//z. C5.6)
Угол inv носит название предельного угла полного отражения.
Если углы падения лучей на границу раздела «вода —
воздух» меньше, чем fnp, то такие лучи выходят в результате
преломления в воздух. Если же угол падения ?>fnp, то
преломление не наблюдается и луч отражается от границы
раздела в согласии с законом отражения (луч 2 на
рис. 35.13). Это явление отражения луча от границы раздела
с оптически менее плотной средой называется полным отра-
отражением.
Заметим, что это явление обнаруживается только на
границе раздела «оптически более плотная среда — опти-
оптически менее плотная среда» (но не наоборот!) при углах па-
падения, больших предельных.
Легко подсчитать, что для границы «вода — воздух»
inp«48°^0,84 рад. Значит, из воды в воздух в точке О на
рис. 35.13 выходят только те лучи, которые распространяют-
распространяются в воде в пределах конуса с углом при вершине О, равным
2гпр. Если через прорубь О во льду реки мы наблюдаем за
светом фонаря упомянутого выше водолаза, то увидеть свет
нам удастся, если фонарь будет находиться в пределах ко-
конуса, отштрихованного на рис. 35.13. В какую бы сторону
ни светил фонарь, находящийся вне пределов этого конуса,
мы его не увидим, если, конечно, вода абсолютно прозрачна,
а дно реки света фонаря не отражает.
Следовательно, преломление светового пучка на плоской
границе с оптически менее плотной средой приводит к его
расширению. Телесный угол, в пределах которого распро-
распространяется преломленный пучок, больше телесного угла
распространения падающего пучка.
Большой интерес представляет последовательное про-
прохождение светом нескольких границ раздела разнородных
прозрачных сред. Мы для простоты рассмотрим только два
примера: прохождение света через плоскопараллельную
пластинку и через призму.
Задача. Плоскопараллельная стеклянная пластинка с показателем
преломления п и толщиной d находится в воздухе. Угол падения свето-
светового луча на пластинку i (рис. 35.14). Как изменится ход луча после про-
прохождения такой пластинки?
Запишем уравнение C0 8) для случаев преломления луча в точках
А и С;
sin i sin rx 1
Sin Г SHI*! П
498

На основании этих выражений и с учетом равенства г^г (как вну-
внутренние накрест лежащие углы при параллельных ЛВ и СМ и секущей
АС) заключаем, что
т. е. луч, вышедший из пластинки, параллелен падающему лучу2 но
Рис. 35.14.
смещен на расстояние / от направления падающего луча. Найдем это
смещение.
Из треугольника АСК находим
/==СК=ЛС sin (i — r);
AC=d/cos г (из треугольника ABC), следовательно,
, . sin(? — г)
cos г
С учетом того, что sin г=~ sin i, преобразуем функции углов в пра-
правой части этого выражения по известным правилам тригонометрии:
., -/: Ш V
cosr= У 1 — sin2r= у 1
sin (i —,r) = sin i cos r — cos i sin r =
Теперь нетрудно получить
Смещение луча после прохождения плоскопараллельной пластинки
зависит от ее толщины d, показателя преломления вещества пластинки п
и угла падения луча i. ,
Вспоминая о явлении дисперсии показателя преломления (см.
п 30 4) мы должны подчеркнуть, что, поскольку частоты волн светового
излучения различны, показатели преломления одного и того же вещества
499

пластинки будут разными для этих волн. Следовательно, разложе*
ние белого света в спектр возможно и в плоскопараллельной пла-
пластинке.
Задача Используя табличные значения показателей преломления
одного из сортов стекла (тяжелый флинт) для "красного и фиолетового
света, /гк=1,643и п$= 1,685, определить длины волн \'к и Х^ в стекле*
если соответствующие длины волн в воздухе равны А,к=6,708* 10~б см и
^ф= 4,047» 10-б см. Какую толщину d должна иметь плоскопараллель-
плоскопараллельная пластинка из тяжелого флинта, чтобы тонкий плоский пучок белого
света, падающего на нее в воздухе под углом i—n/5 рад, дал на диффузно
отражающем экране, поставленном за пластинкой перпендикулярно к
выходящему световому пучку» спектральную картину шириной а=
= 1,00 см (расстояние между красным и фиолетовым краями радужной
полоски равно 1,00- см)?
Из определения длины волны (см. формулу B9 I)) следует, что она
пропорциональна скорости волны в данной среде. Заданные по условию
задачи показатели преломления n$ и пк равны отношению скоростей
соответствующих воли в воздухе и в данном сорте стекла. Очевидноа
выражения для длин волн в стекле будут иметь вид
откуда
Обратим внимание на то, что длина волны Х*к красного света в стек-
стекле очень близка к длине волны Яф фиолетового света в воздухе. Но это
вовсе не означает, что фиолетовый свет, войдя в стекло, Ъ*анет красным!
Свойстваидзлучений, и в частности цветность видимых излучений, зави-
зависят от частоты соответствующих им электромагнитных колебаний, а дли-
длины волн зависят от среды.
Поскольку показатели преломления тяжелого флинта для красного
и фиолетового света неодинаковы, в согласии с ответом предыдущей за-
задачи неодинаковыми будут и смещения /ф и 1К лучей на выходе из пла-
пластинки. Очевидно, разница этих смещений и определяет ширину а спект-
спектральной картины на экране:
а • ( х т / 1 — sin2 i \ . . .Л т/l- sin2 i \
= dsint ( 1—1/ -г —)—dsinM 1—1/ -i г )=*
= dsin i }Л — sin2 / (—- — V
\Уп1-ьтЧ V 4- sin2 i I
откуда пол учаем расчетную формулу для толщины пластинки d:
a V(t& — sin2 /) {n%~sin2 i)
siniУТ^
500

Размерность величины d совпадает с размерностью а, так как осталь-
остальные сомножители этого выражения безразмерны Подстановка значений
приводит к результату d^!38 см.
Следует обратить внимание на встречающуюся ошибку, иногда счи-
считают, что плоскопараллельная пластинка не дает спектрального разло-
разложения белого света.
В составе белого {или немонохроматнческого) света присутствует
целый набор частот электромагнитных колебаний, для которых показа-
показатели лреломления вещества данной пластинки будут различными. По-
Поэтому при прохождении света через плоскопараллельную прозрачную
пластинку точно так же, как и при переходе света через одну границу
раздела сред, разложение в спектр происходить будет.
Другое дело, удастся ли наблюдать спектральную картину глазом.
Если пластинка строго плоско параллельна и наблюдение ведется в про-
проходящем свете, то лучи различной
окраски, сместившиеся после выхо-
выхода из пластинки на различные рас-
расстояния / от направления падающе-
падающего луча, будут приходить в глаз
наблюдателя параллельно друг дру-
другу. На сетчатке глаза такой пучок
будет фокусироваться в одну белую,
неокрашенную точку, и, таким обра-
образом, цветную картину наблюдать не
удастся.
Если же, как было предложено Рис. 35.15.
в условиях только что разобранной
задачи, на пути вышедшего из плоскопараллельной пластинки пучка
света поставить диффузно отражающий экран, то на нем глаз наблюда-
наблюдателя увидит спектральную картину, ибо от ее различно окрашенных
участков идут расходящиеся пучки света, которые будут фокусировать-
фокусироваться в различных точках сетчатки глаза. Как следует из нашего расчета,
эффект будет заметным при значительной толщине пластинки
Задача. Найти угол отклонения 6 луча, преломленного в трехгран-
трехгранной призме, от первоначального направления, считая преломляющий
угол призмы а (угол между преломляющими гранями) и угол падения i
луча на ее грань малыми. (На рис. 35.15 углы / и а показаны большими
только для удобства построений.) Призма находится в воздухе и изго-
изготовлена из прозрачного вещества с показателем преломления п.
Воспользуемся известным положением о том, что сумма внутренних
углов четырехугольника равна 2зх рад. Тогда для четырехугольника
AECD имеем
(л —6) + / +{я~Р)-М1 = 2л;,
откуда '
6=Ж1-Р. (а)
В четырехугольнике ABCD углы BAD и BCD прямые (по тс/2 рад), т. е
ИЛИ
?=«. (б)
501

На основании закона преломления для точек А и С можем записать
sin t _ sin rt 1
sin r ~~ ' sin ix n 9
откуда
sin i=n sin r, sin ix—n sin rx (в)
Угол р является внешним углом треугольника ACD, поэтому P=/*+/'i,:
или, с учетом равенства (б),
а=г+гг. (г)
Поскольку угол падения / луча на призму мал по условию задачи*
малым будет и угол г на основании первого из уравнений (в) Кроме того,
по условию мал и преломляющий угол а, тогда на основании (г) малым
будег угол г1(ас учетом второго из уравнений (в) заключаем, что угол if
тоже будет малым После этого уравнения (в) можно заменить прибли-
приближенными, но более простыми:
i—nr, i1=nr1. (д)
Выражение (а) для интересующего нас угла отклонения 6 с учетом
выражений (б) и (д) принимает вид
6=nr+nr1— а—/г (r+rj—а
Учитывая равенство (г), окончательно получаем
б=Яа — а=а (л—1), C5.7)
т е. угол б отклонения луча призмой зависит от ее преломляющего угла
а и показателя преломления п вещества, из которого она изготовлена.
Не забудем, что соотношение C5.7) справедливо лишь при условии ма-
малости углов i и а Если это условие не выполняется, угол отклонения
луча призмой в самом общем случае можно найти, решив систему урав-
уравнений (а) — (г).
Понятно, что призма не только изменяет направление хода световых
лучей, но и может разлагать их в спектр, если частоты электромагнитных
колебаний, соответствующих этим лучам, различны. При этом вновь
сказывается различие показателей преломления одного и того же веще-
вещества для света различной цветности (различных частот).
Если призма изготовлена из тяжелого флинта (см. предыдущую
задачу), имеет преломляющий угол а=5,00° и находится в воздухе, то
углы отклонения красных и фиолетовых лучей от первоначального на-
направления распространения белого луча, падающего на призму под ма-
малым углом, составят
6К = 5,00 A,643-1) «3,22°, 6Ф = 5,00 A,685 — 1) «3,43°.
При этом угол меж'ду красными и фиолетовыми лучами, вышедшими из
призмы, составит около 13', так что на экране, поставленном за призмой
перпендикулярно к биссектрисе угла, в пределах которого распростра-
распространяется вышедший пучок, скажем, на расстоянии /=2,0 м от призмы, бу«
дет получена спектральная картина шириной а, равной
a = /tgF4 —6^=2,0 tg 13' «0,0071 м = 7,1 мм.
502-

35.4. Получение изображений с помощью линз .
Элементами многих оптических устройств являются
линзы — прозрачные тела, ограниченные криволинейными
преломляющими поверхностями. В общем случае форма
этих поверхностей может быть различной (цилиндрической,
сферической, параболоидной и т. д.)*, но мы для простоты
рассматриваем лишь тонкие линзы с двумя сферическими
Рис. 35.16
преломляющими поверхностями (двояковыпуклая, двояко-
двояковогнутая, вогнуто-выпуклая линзы) или с одной сфериче-
сферической и одной плоской поверхностями (плоско-выпуклая и
плоско-вогнутая линзы).
При анализе хода лучей в линзе сечение последней можно
представить как совокупность сечений нескольких призм с
различными преломляющими углами. jHa рис. 35.16 пред-
представлены сечения двояковыпуклой и двояковогнутой линз.
d и G2 — геометрические центры преломляющих сфериче-
сферических поверхностей радиусов R± и R2. В элементарном курсе
физики рассматриваются только тонкие линзы: у них рас-
расстояния между вершинами Ох и О2 сферических сегментов
малы по сравнению с радиусами сферических поверхностей
/?! и /?2. При этом можно считать, что точки 0± и 02 практи-
практически совпадают и находятся в точке О, которая называется
оптическим центром линзы. От оптического центра отсчиты-
ваются все расстояния в задачах о получении изображений
различных предметов с помощью линз.
Любая прямая линия, проходящая через оптический
центр линзы, называется оптической осью линзы. Ось, на
которой ле^ат центры преломляющих поверхностей, носит
503

название главной оптической оси (в отличие от прочих, ко-
которые называют побочными оптическими осями).
Точка на главной оптической оси, где пересекаются пре-
преломленные линзой лучи (или их продолжения), которые
перед падением на линзу шли пучком, параллельным ее
главной оптической оси, называется главным фокусом линзы
(F), а расстояние от фокуса до
оптического центра линзы —
фокусным расстоянием (/).
Любая линза имеет два
главных фокуса, так как она
может преломлять световые
пучки, падающие на нее с обе-
обеих сторон. Фокус линзы, ле-
лежащий со стороны падающего
на нее света, мы будем назы-
называть передним фокусом, а
фокус, лежащий за линзой,—
задним фокусом.
Если в фокусе пересекают-
пересекаются лучи, вышедшие из линзы,
то такой фокус мы будем называть действительным, а лин-
линзу — собирающей; если же в фокусе пересекаются мыслен-
мысленные продолжения преломленных лучей, то фокус — мни-
мнимый, а линза — рассеивающая (рис. 35.17). Плоскость,
перпендикулярную к главной оптической оси линзы и про-
проходящую через фокус, называют фокальной плоскостью.
Фокальных плоскостей у линзы две — передняя фокальная
плоскость и задняя фокальная плоскость.
Если через П обозначить расстояние от светящейся точки
до линзы (до ее оптического центра), а через И — расстоя-
расстояние от линзы до изображения этой точки, то связь этих
расстояний с фокусным расстоянием линзы / можно запи-
записать в виде формулы
ir+i=T. C5-8)
Рис. 35.17.
которая по форме совпадает с формулой сферического зер-
зеркала C5.3) и называется формулой тонкой линзы. Вывода
этой формулы мы не приводим.
Договоримся о знаках входящих в формулу C5.8) вели-
величин. Расстояние П от линзы до предмета будем считать вели-
величиной положительной (#>G), фокусное расстояние соби-
504

рающей линзы — величиной положительной (/>0), а фо-
фокусное расстояние рассеивающей линзы — величиной отри-
отрицательной (/<0). Если в результате расчета по формуле
C5.8) расстояние И от линзы до изображения получается
положительным (#>0), это указывает на то, что изображе-
изображение действительное и находится по другую сторону от лин-
линзы, нежели предмет; если же расстояние И отрицательно
(#<0), то изображение мнимое и находится с той же сто-
стороны от линзы, что и предмет. При такой договоренности
формула линзы позволяет не только быстро находить одну
из трех входящих в нее величин по заданным двум другим,
но и оценивать характер изображения.
Некоторое изменение в это правило знаков приходится
вносить в случаях, когда на собирающую или рассеивающую
линзу падает сходящийся световой пучок. При этом расстоя-
расстояние П считается отрицательным (#<0) и измеряется от оп-
оптического центра линзы до плоскости, проведенной перпен-
перпендикулярно к главной оптической оси через точку пересече-
пересечения продолжений падающих на линзу сходящихся лучей.
Подчеркнем, что формула C5.8) справедлива только для
тонкой линзы, на которую падает узкий пучок лучей, состав-
составляющих с оптической осью линзы малые углы (параксиаль-
(параксиальный пучок), когда точки падения лучей находятся на малых
расстояниях от оптического центра линзы.
Для построения изображения какой-нибудь точки пред-
предмета достаточно проследить ход любых двух лучей до по-
попадания на линзу и после преломления в ней, а изображе-
изображение протяженного предмета можно найти как совокупность
изображений отдельных его точек.
Очень удобными, основными лучами, используемыми при
построении изображений в линзах, являются следующие
(рис. 35.18, а и б).
Луч 1 падает на линзу параллельно главной оптической
оси.^После собирающей линзы такой луч проходит через
ее задний фокус, после же рассеивающей линзы луч идет
так, что его продолжение проходит через передний фокус
линзы.
Луч 2 является в какой-то степени обратным лучу /.
Перед падением на собирающую линзу луч проходит через
ее передний фокус, а после преломления в линзе распро-
распространяется параллельно ее главной оптической оси. Перед
падением аналогичного луча на рассеивающую линзу его
продолжение проходит через задний фокус линзы, а пре-
преломленный луч параллелен главной оптической оси.
503

Луч 3 и перед падением на собирающую линзу, и после
преломления в ней проходит через точки С на главной опти-
оптической оси, находящиеся от оптического центра линзы на
расстояниях, в два раза больших фокусного расстояния
Рис 35.18.
линзы. Иногда расстояние ОС называют двойным фокус-
фокусным расстоянием. Ход аналогичного луча через рассеиваю-
рассеивающую линзу ясен из рисунка (через точки С проходят про-
продолжение луча до падения на линзу и продолжение луча
после преломления).
Луч 4 проходит через оптический центр линзы и не испы-
испытывает отклонения. Участки обеих преломляющих поверх-
поверхностей для таких лучей могут считаться параллельными и
находящимися на малом расстоянии один от другого, так
как линза тонкая. Луч как бы проходит сквозь тонкую пло-
плоскопараллельную пластинку.
Обратите внимание, что в ходе одинаково пронумерован-
пронумерованных нами четырех основных лучей, используемых при по-
построении изображений в линзах и в сферических зеркалах,
усматривается аналогия (сравните рис. 35.18 и рис. 35.4).
Кроме того, при построении изображений в тонких лин-
линзах часто используются лучи, параллельные какой-либо по-
506

бочной оптической оси. Так, луч /, параллельный побочной
оптической оси О'О' собирающей линзы (рис. 35.19, а),
пересекает заднюю фокальную плоскость ММ в той же
F
V
a)
\
К
f
V
н
Рис. 35.19.
точке /С, что и побочная ось О'О'. Любой другой луч, па-
параллельный оси О'О', будет также пересекать заднюю фо-
фокальную плоскость в точке /С. Луч // (рис. 35.19, б), иду-
идущий перед падением на рассеивающую линзу параллельно
ее побочной оси 0г0и после преломления идет таким обра-
образом, что его продолжение пересекает переднюю фокальную
плоскость NN в точке Р, в которой эту плоскость пересекает
и побочная оптическая ось OiOi. Любой другой луч, перед
падением на линзу параллельный оси 0г019 за линзой будет
распространяться, как бы исходя из точки Р.
Задача. Определить местонахождение, характер, ориентацию и раз-
размеры изображения предмета, которое получается с помощью собирающей
линзы с фокусным расстоянием /, в следующих случаях: 1) Пх—оо;
Рис. 35.20.
2) Я2=2/; 3) оо>#3>2/; 4) Я4=/; 5) 2/>Яб>/, 6) Яб</. Оценить, в пре-
пределах каких телесных углов изображение можно наблюдать глазом (углы
наблюдения)
Случай 1 (рис. 35.20). На основании формулы C5.8) имеем H1—ft
т. е. изображение находится в задней фокальной плоскости линзы. Изо-
507

бражение действительное, обратное и точечное. Угол наблюдения (на
рис. 35 20 сечение этого угла плоскостью рисунка отштриховано) опре-
определяется ходом крайних лучей падающего на линзу пучка, если этот
пучок узок, или ходом лучей, прошедших через края линзы (на
рис 35 20 эти лучи показаны пунктирными линиями), если пучок ши-
широкий (например, диаметр цилиндрического пучка много больше диа-
диаметра линзы).
Случай 2 (рис. 35.21). Для простоты будем рассматривать линейный
предмет АВ, расположенный перпендикулярно к главной оптической
оси линзы, точка В которого находится на главной оптической оси.
члч,
Рис. 35.21.
Тогда изображение Bf этой точки также будет находиться на главной
оптической оси.
По формуле C5 8) находим, что Я2=2/, т. е. изображение действи-
действительное и располагается симметрично предмету относительно центра
линзы. По построению видно, что изображение обратное, а его размеры
равны размерам предмета. Угол наблюдения ограничен лучами, прохо-
проходящими через края линзы от крайних точек предмета. Изображение бу-
будет видно целиком только из точек8
лежащих в пределах пространствен-
пространственного угла ф, построение которого
ясно из рисунка.
Случай 3 является промежуточ-
промежуточным между случаями 1 и 2. По фор-
формуле линзы находим, что 2/>Я3>/;
поскольку #3>0, то изображение
действительное.
Можно заключить, что при пе-
перемещении предмета из бесконечно-
бесконечности до двойного фокусного расстоя-
расстояния от линзы его действительное и
обратное -изображение перемещается
из задней фокальной плоскости до
положения, удаленного от линзы на двойное фокусное расстояние. Изо-
Изображение уменьшенное для всех промежуточных положений, кроме
случая Я=2/, когда Я=2/ и изображение по размерам равно предмету.
Случай 4 является обратным первому случаю. При этом Я4=оо,
изображение находится в бесконечности, т. е. лучи от каждой точки
предмета после преломления в линзе идут цилиндрическими пучками.
На рис. 35.22 показаны сечения двух таких пучков от крайних точек
предмета.
508
Рис. 35.22.

Случай 5 (рис. 35.23) является обратным третьему. При этом оо>
>#5>2/2 изображение действительное, обратное и увеличенное. При
Рис. 35.23.
перемещении предмета из положения, находящегося на двойном фокус-
фокусном расстоянии от линзы, в ее фокус расстояние между изображением
и линзой увеличивается от двойного фокусного до бесконечности.
Для третьего и пятого случаев найти совокупность точек в пределах
углов наблюдения, из которых изображение предмета будет видно цели-
целиком, можно таким же путемг как это было сделано во втором случае.
^W-_
Рис. 35 24.
Случай 6 (рис. 35.24) — единственный, когда увеличенное изо-
изображение, полученное с помощью собирающей линзы, оказывается
мнимым (#6<0) и прямым. Изображение видно целиком в пределах всего
угла наблюдения.
На рис. 35.25 приведен пример построения изображения,
получаемого с помощью рассеивающей линзы. Независи-
Независимо от положения предмета изображение всегда - мнимое
(й<0), прямое и уменьшенное, видимое целиком в пределах
всего угла наблюдения.
Действительное изображение можно получить с помощью
рассеивающей линзы, если на нее будет падать сходящийся
световой пучок, причем точка пересечения продолжений
509

Рис 35 25
лучей этого пучка за линзу находится от плоскости, перпен-
перпендикулярной к главной оптической оси и проведенной через
центр линзы (такая плоскость называется главной
плоскостью линзы), на рас-
расстоянии, меньшем фокус-
фокусного расстояния линзы.
Обращаем внимание на
то, что на рис. 35.25 луч
АЕУ параллельный главной
оптической оси линзы, про-
проведен до точки встречи не
с линзой, а с главной плос-
плоскостью. Такой луч от точ-
точки А предмета, конечна
не попадет в линзу, но для
построения изображений
такой прием можно использовать и в случае рассеиваю-
рассеивающих, и в случае собирающих линз, когда размеры пред-
предмета превышают диаметр линзы.
Задача. Определить фокусное расстояние объектива фотоаппарата,
если при фотографировании какого-то предмета с расстояния Я1=5,0 м
изображение на пленке получи-
получилось размером /гх=7,9 мм, а с
расстояния #2=2,0 м — разме-
размером /г2=20,3 мм (рис. 35.26).
* Обозначим через Иг и И2
расстояния от оптического цент-
центра объектива до изображения
в первом и во втором случаях со-
соответственно, а через Н — раз-
размер предмета.
Объектив фотоаппарата вы-
выполняет функции собирающей
линзы, так что при использо-
использовании формулы C5.8) его фокус-
фокусное расстояние / должно счи- рис 35 26.
таться положительным Если
изображение удалось получить
на фотопленке, то оно действительное, так что в согласии с принятой
договоренностью величины Их и Я2 также должны считаться положи-
положительными.
Применим формулу линзы для обоих рассматриваемых случаев:
1,11 1.11 , ч
-щ+Щ^у» 7Г2+Т2 = Т' (а)
Из подобных треугольников АВО и А'В'О, АВО' и А"В"О' находим от-
отношения сходственных катетов:
В
д
н
в
^—л2—*
н
А
в"
рг
А"
11
Н~П2
(б)
510

В системе уравнений (а), (б) величина / искомая, величины Пъ Я2,
h± и h2 заданные, а величины Я, И± и Я2 неизвестные, т. е. общее число
неизвестных равно числу уравнений системы, и ее решение позволяет
найти, вообще говоря, все неизвестные.
Для определения величины / мы поступим следующим образом.
Выразим величины Их и И2 из уравнений (б) и найдем их отношение (это
позволит исключить из уравнений неизвестную величину Я).
И -Ml и -^Ь И1_к1П1
"г- н , ~ н > ТГ~Ьф~2 {
Теперь выразим величины Ях и Я2 из уравнений (а) и также найдем их
отношение:
И - &! И -
Приравнивая отношения Mt/M2 из уравнений (в) и (г), получаем
h _ Я,-/
откуда окончательно
Подставляя значения величин в сантиметрах, находим
2,03.200-0,79.500
'— 2,03-0,79 ~Усм-
35.5. Назначение простейших оптических
систем и приборов
Оптические системы, представляющие собой совокуп-
совокупность нескольких призм или линз, нескольких зеркал или
одновременно линз, призм и зеркал, предназначены для
преобразования световых пучков. С их помощью могут
изменяться направление хода световых лучей или телесные
углы, в пределах которых распространяются световые пучки.
Последнее обстоятельство связано с получением изобра-
изображений, размеры которых отличаются от размеров предметов.
Мы кратко рассмотрим лишь некоторые линзовые опти-
оптические системы.
Первое, на что нужно обращать внимание при анализе
действия оптической системы,— это ее назначение и реаль-
реальные условия ее работы. Где может располагаться предмет
перед системой? Какое изображение (увеличенное или
уменьшенное, прямое или обратное) должна давать система?
С помощью чего регистрируется полученное изображение

(на экране или фотопластинке, невооруженным глазом или
рассматривается глазом через какую-нибудь линзовую сис-
систему)? При этом мы, конечно, должны помнить об общих
принципах построения изображений, получаемых с помощью
линз, и о характере изображений в различных случаях.
Объектив фотоаппарата предназначен для получения
уменьшенных изображений предметов (в более редких слу-
случаях — для получения увеличенных изображений) на фото-
фотоэмульсии. Поэтому изображение должно быть действитель-
действительным. Ориентация изображения роли не играет, так как при
рассматривании обработанного негатива последний можно
повернуть как угодно, но технически проще-получать изо-
изображение на пленке обратным. При этом не приходится ус-
усложнять оптическую систему фотоаппарата дополнитель-
дополнительными устройствами. Значит, объектив фотоаппарата должен
выполнять функции собирающей линзы, дающей действи-
действительное изображение. Поэтому предмет должен находиться
от объектива на расстоянии, большем его фокусного рас-
расстояния. Если расстояние до предмета больше двойного
фокусного расстояния объектива, то изображение умень-
уменьшенное (см. случай 3 в задаче на стр. 508). Если предмет на-
находится на двойном фокусном расстоянии (см. случай 2 в
задаче на стр. 508), то изображение по размерам равно
предмету. Увеличенное изображение может быть получено,
если предмет находится от объектива на расстоянии Я,
удовлетворяющем условию 2/>#>/ (см. случай 5 в задаче
на стр. 509).
Объектив проекционного аппарата также должен играть
роль собирающей линзы, так как его назначение — дать
действительное изображение предмета на экране. Обычно
изображение получается увеличенным. Для этого предмет
располагается перед передней фокальной плоскостью объ-
объектива {но на расстоянии, меньшем двойного фокусного),
а изображение получается на расстоянии, большем двойного
фокусного (см. случай 5 в задаче на стр. 509).
Лупа — простейшая оптическая система, предназна-
предназначенная для получения прямого увеличенного изображения
предмета, которое рассматривается глазом. Для этих целей
может подойти только собирающая линза, которая дает
увеличенное, прямое, но мнимое изображение при распо-
расположении предмета между передней фокальной плоскостью
и самой линзой (см. случай 6 в задаче на стр. 509).
Микроскоп предназначен для получения сильно увели-
увеличенных изображений близких предметов. Объективом мик«
512.

роскопа служит короткофокусная собирающая линза, даю-
дающая действительное, увеличенное и обратное промежуточ-
промежуточное изображение предмета. Для этого предмет располагает-
располагается чуть дальше передней фокальной плоскости объектива
(см. случай 5 в задаче на стр. 509). Если микроскоп исполь-
используется для визуального наблюдения, то промежуточное
изображение рассматривается через окуляр, представляю-
представляющий собой собирающую линзу, дающую увеличенное мни-
мнимое окончательное изображение. Для этого промежуточное
изображение должно находиться между передней фокаль-
фокальной плоскостью и оптическим дентром окуляра (см. случай 6
в задаче на стр. 509).
Телескоп (например, зрительная труба Кеплера) служит
для получения увеличенного изображения удаленных от
наблюдателя предметов. Объектив телескопа — собираю-
собирающая линза, дающая промежуточное, действительное, умень-
уменьшенное и обратное изображение предмета вблизи задней фо-
фокальной плоскости, которое рассматривается через окуляр —
обычную собирающую линзу. Чтобы глаз наблюдателя мень-
меньше напрягался, переднюю фокальную плоскость окуляра
совмещают с промежуточным изображением, тогда вышед-
вышедшие из окуляра лучи будут параллельными друг другу. При
этом мышцам глаза неу приходится производить дополни-
дополнительную фокусировку (аккомодацию) хрусталика и условия
наблюдения оказываются наиболее выгодными.
Заметим, что глаз человека является оптической систе-
системой, подобной фотоаппарату, но только с переменным фо-
фокусным расстоянием «объектива».
В качестве примеров приведем простейшие расчеты оп-
оптических систем.
Задача. Оптическая система состоит из двух собирающих линз с
фокусными расстояниями /1=10,0 см и f2=5,0 см, находящихся-на рас-
расстоянии /=35,0 см одна от другой Предмет находится на расстоянии
Я1=25,0см перед первой линзой Определить местоположение, характер,
ориентацию и относительный размер изображения, полученного с по-
помощью такой системы.
На рис. 35 27 AxBi — промежуточное изображение предмета АВ,
а А'В'—окончательное изображение. Размеры предмета, промежуточ-
промежуточного и окончательного изображений обозначены соответственно че-
через Я, hi и h. Остальные обозначения дополнительных пояснений не
требуют. г
Из анализа условий задачи следует, что поскольку Я1>2/1, то Иг>
>flt но Hx<2fv Далее, так как />B/1+2/2), то Я2>2/2 и /2<Я2<2/2,
т. е. действительное (/2>0 и #2>0) изображение предмета будет нахо-
находиться дальше задней фокальной плоскости второй линзы. Из построе-
построения следует, что изображение А'В1 будет прямым.
17 Ю. А Селезне 513

Величину #2 и отношение величин ЫН легко найдем* используя
формулу линзы и условия задачи. По формуле C5.8) для первой и вто-
второй линз имеем
и _
Если, кроме того, учесть, что П2=1—Иъ то на основании этих выраже-
выражений можно получить
откуда с учетом значений величин находим, что #2^6,9 см.
< /
Рис. 35.27.
Из подобия треугольников А'В'О2 и АфхО^ АгВхО1 и АВО± имеем
Перемножая почленно эти выражения, получаем
h -^И, h
W-ЩЩ' откуда H-W=WJh=hy
и с учетом выражений для П2 и Их окончательно получаем
А Ьк
и ~nli-ifl-f1nl-ftn1+fj,'
Подставив значения заданных величин, находим, что
h/H « 0,25,
т. е. изображение примерно в четыре раза меньше предмета.
Задача. В зрительную трубу с фокусным расстоянием объектива
/=50,0 см наблюдатель сперва рассматривает очень далекий предмет
(/7!=оо), а затем направляет трубу на предмет, находящийся от него на
расстоянии 25,0 м (/72=2520 м). Насколько при этом должен быть пере-
перемещен окуляр 7р>бы?
514

Условия наблюдения в обоих случаях будут наилучшими, если из
ойулйра выходит пучок параллельных лучей. Для этого изображение,
которое дает объектив, должно находиться в передней фокальной пло-
плоскости окуляра (рис. 35 28). В первом случае изображение получается в
задней фокальной плоскости объектива (#i=/)> а в<> втором — на рас-
расстоянии Я2, большем фокусного расстояния объектива (Я2>/) на вели-
величину х. Чтобы в глаз наблюдателя и во втором случае попадал пучок
параллельных лучей, окуляр также должен быть смещен на расстоя-
расстояние х. Ясно, что
а использование формулы линзы для второго случая дает
На основании этих выражений получаем
я,-/ '~пш-г
откуда после подстановки значений величин в сантиметрах находим
«1,02 см.
-__ E0,0J
2500—50,0
§36. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВОЛНОВОЙ
и квантовой оптики
36.1. Анализ электромагнитных излучений
атомов и молекул по спектрам
Как уже отмечалось (см. п. 32.2), каждой разновидности
атомов свойственны вполне определенные энергетические
уровни, переходы между которыми связаны с возбуждением
атомов вещества при подводе энергии извне или с излуче-
"* 515

нием электромагнитных волн определенной частоты при
переходе атомов из возбужденного состояния в стацио-
стационарное.
Набор дозволенных энергетических уровней широк даже
для простейшего атома — атома водорода, а для более
сложных атомов и тем более молекул он еще богаче; элек-
электромагнитные излучения веществ, состоящих из таких ча-
частиц, содержат сложные наборы (спектры) различных
частот.
Какие частоты присутствуют в излучении определен-
определенного вещества, можно определить, например, по эффекту
прохождения этого излучения через какое-либо прозрачное
вещество, в результате чего излучение будет разделено,
разложено в спектр по частотам.
Для анализа частот излучений в видимой области может
служить стеклянная трехгранная призма (см. задачу на
стр. 501—502), показатели преломления вещества которой
различны для волн различной частоты. Это приводит к полу-
получению за призмой спектральной картины, так как волны с
различной частотой отклоняются призмой неодинаково, под
разными углами к направлению сложной волны, падающей
на призму.
Заметим, что чем меньше длина волии (чем больше ча-
частота), тем сильнее такая волна отклоняется призмой (срав-
(сравните углы отклонения фиолетовых и красных лучей в за-
задаче на стр. 502). Дело в том, что показатели преломления
стекла (и других веществ) для фиолетовых лучей болыце,
чем для красных. '
(Физике известны и такие аномальные случаи, когда
какое-то вещество на большие углы отклоняет более длинные ,
волны, но в элементарном курсе такие явления не рас-
рассматриваются.)
Таким образом, призма позволяет расчленить сложную
электромагнитную волну, излученную каким-либо вещест-
веществом, на составные части, получить на экране спектральную
картину, различные участки которой будут соответствовать
различным частотам электромагнитных колебаний, т. е.
переходам электронов между различными энергетическими
уровнями излучающего вещества.
Полный спектр излучения зависит, конечно, не только
от химического состава вещества, но и от способа его воз-
возбуждения и может содержать компоненты не только в види-
видимой, но и в инфракрасной, ультрафиолетовой и других об-
областях
516

Поскольку различным веществам присущи вполне опре-
определенные спектры, соответствующие переходам между воз-
возможными энергетическими уровнями, спектральные иссле-
исследования состава и строения вещества принадлежат к числу
точнейших и чувствительнейших методов современной фи*
зики и техники.
Вещества в газообразном (парообразном) состоянии при
невысоком давлении дают спектры, состоящие из отдельных
четких линий (линейчатые спектры) или отдельных доста-
достаточно широких полос (полосатые спектры).
Линейчатый спектр свидетельствует об энергетических
уровнях электронов отдельных, не взаимодействующих
друг с другом атомов. Скажем, имеется разнеженный газ,
состоящий из одинаковых атомов, находящихся на значи-
значительных расстояниях друг от друга. Если атомы такого газа
каким-либо способом возбудить, их излучения будут, так
сказать, независимыми, и, поскольку атомы одинаковы (име-
(имеют одинаковые наборы энергетических уровней электронов)
и находятся в одинаковых условиях, эти излучения будут
совершенно одинаковыми: каждый атом будет давать точ-
точно такую же спектральную картину, как и любой его
сосед.
Если вещество и в газообразном состоянии имеет моле-
молекулярную структуру, состоит из коллективов взаимодейст-
взаимодействующих атомов, то набор энергетических уровней такого
вещества усложняется (он не является простой суммой на-
наборов энергетических уровней электронов отдельных ато-
атомов, из которых состоит молекула). Это приводит к услож-
усложнению спектральной картины: спектры молекул — это
спектры полосатые, являющиеся чрезвычайно сложной сово-
совокупностью линейчатых спектров.
Молекулярные спектры отражают не только переходы
электронов с одних энергетических уровней на другие внут-
внутри атомов, но и вращательное и колебательное движение
частиц вещества (вращательное движение молекул или
групп атомов, колебательное движение атомов внутри мо-
молекул и т. д.).
Вещества в твердом и жидком состояниях и в газообраз-1
ном состоянии при высоком давлении дают непрерывный
сплошной спектр. Это является результатом еще большего
усложнения системы энергетических уровней вещества,
так как в этих состояниях взаимодействуют; не только атомы
внутри «своих» молекул, но и все молекулы вещества, атомы
соседних молекул и т. д.
517

36.2. Интерференция и дифракция света
Интерференция. Если в одной и той же области про-
пространства распространяются волны от нескольких источ-
источников, то каждая из них распространяется независимо от
других и ни о каком взаимодействии нескольких волн не
может быть речи (кроме случаев, когда интенсивности волн
весьма значительны). Но с наложением волн или со сложе-
сложением колебаний считаться приходится. Амплитуда резуль-
результирующей волны в области наложения нескольких волн в
общем случае зависит от направления колебаний в этих
волнах, от их амплитуд и фаз.
Особый интерес представляет явление интерференции,
при котором в результате наложения волн в одних точках
пространства происходит увеличение, а в других — умень-
уменьшение амплитуды результирующей волны.
Пригодная для визуального наблюдения (или для реги-
регистрации фотоэмульсией) не изменяющаяся с течением вре-
времени, устойчивая картина интерференции света получается
при наложении волн, испускаемых источниками с одина-
одинаковыми периодами (или частотами) колебаний Если, кроме
того, в произвольную точку пространства колебания от
этих источников приходят в одинаковых фазах (скажем, од-
одновременно приходят «гребни» двух волн) или с какой-то
постоянной разностью фаз, не изменяющейся с течением
времени, то их сложение может привести не только к более
интенсивному колебанию (амплитуда суммарного колеба-
колебания, например, будет равна сумме амплитуд составляющих
колебаний), но и к ослаблению или полному уничтожению
колебайий (последнее — в случае сложения противофазных
колебаний с одинаковыми амплитудами).
Волны (или колебания, или источники, испускающие та-
такие волны), обладающие указанными свойствами, называют-
называются когерентными.
Заметим, что интерферировать могут не только электро-
электромагнитные, но и упругие волны (к?к поперечные, так и про-
продольные).
Поскольку любой источник света является совокуп-
совокупностью очень многих микроскопических излучателей (от-
(отдельных атомов, молекул или их групп), волны от двух даже
совершенно одинаковых источников (например, от двух
одинаковых электрических лампочек) не удовлетворяют ус-
условию когерентности (невозможно выделить излучения, ска-
скажем, от двух атомов, разность фаз колебаний которых не
518

изменяется с течением времени). Поэтому для получения
когерентных световых пучков пользуются приемами разде-
разделения света, испущенного одним источником При этом из-
излучение каждого атома оказывается разделенным на два
или несколько когерентных пучков, которые при наложении
интерферируют. Это возможно осуществить, например, с
помощью двух плоских зеркал, поставленных под углем
друг к другу, так называемых зеркал Френеля (рис. 36 1).
Пусть источник света L с правой стороны закрыт неболь-
небольшим непрозрачным экраном Э. Пучки света / и //, отражен-
отраженные от зеркал, как бы исходят из двух источников Lx и L2,
Рис. 36.1.
Рис 36.2.
являющихся мнимыми изображениями источника L. Эти
пучки будут когерентными и могут интерферировать.
Рассмотрим, что будет наблюдаться в какой-то произ-
произвольной точке экрана Т (рис. 36.2) при интерференции света
от двух когерентных источников Lx и L2, плоскость распо-
расположения которых отстоит от плоскости экрана на расстоя-
расстоянии /. Пусть расстояние d между источниками много меньше
расстояния / от источников до экрана (d<^S). Смысл осталь-
остальных обозначений ясен из рисунка.
Картина интерференции в точке Т будет зависеть от так
называемой оптической разности хода (б) волн, идущих от
когерентных источников Lx и L2. Ведь в точке Т происходит
сложение колебаний, пришедших от источников Lx и L2,
и результат этого сложения зависит от разности фаз коле-
колебаний. Предположим для простоты, что колебания в Lt
и L2 происходят синхронно (разность фаз равна нулю). При
каких условиях суммарное колебание в точке Т будет
максимальным? Очевидно, в том случае, если разность фаз
слагаемых колебаний будет равна нулю (обе волны прихо-
519

дят в точку Т своими «выступами» или «впадинами»). При
проведении опыта в вакууме фазы колебаний двух волн
в точке Т зависят от расстояний, пройденных каждой волной
от источника Если расстояния LXT и L2T в любое целое чис-
число раз больше длины рассматриваемых волн, то в точке Т
колебания будут происходить в одинаковых фазах. То же
самое будет наблюдаться, если расстояния ЬгТ и L2T отли-
отличаются на четное число полуволн. Ясно, что колебания в
точке Т будут противофазными (па «выступ» одной волны
накладывается «впадина» другой) и будут «гасить» друг дру-
друга, если расстояния LXT и L2T отличаются на четное число
полуволи.
Таким обр'азом, если оптическая разность хода
¦Li!T*) C6.1)
равна четному числу полуволн,
6 = 2^-2*» рДе ^ — любое целое число,
то в точке Т будет наблюдаться свет (волны с совпадающими
фазами колебаний усиливают друг друга). Если же разность
хода б равна нечетному числу полуволн,
6 = B&+1)у, где k-~любое целое число,
то противофазные волны в точке Т экрана будут гасить одна
другую.
Из треугольников L2TB и LXTA найдем
LJY^lz + lx—~V. C6.2)
Вычитая второе уравнение из первого, получаем (L2TJ—
— (LlTJ=2xd> откуда
Если рассматриваемая точка Т находится на малом рас-
расстоянии х от основания О перпендикуляра ОХО (*<<$/), а
*) Заметим, что при распространении двух когерентных волн в
различных средах с абсолютными показателями преломления пг и п2
оптическая разность хода б определяется выражением
520

d<<ZS no условию, то без большой ошибки можно считать, что
L2T=l и ЬгТ=19 тогда
^=2/ C6.4)
Из C6.1), C6.3) и C6.4) находим
S=xd/L
В точке Т будет наблюдаться свет, если ее расстояние х
от точки О удовлетворяет условию
2/е~=у, C6.5)
и темнота, если
B?+1)~ = ~. C6.6)
Если источники Li и L2 испускают свет одной длины вол-
волны '(монохроматический свет), то уравнение C6 6) будет
являться условием полной темноты в соответствующей
точке на экране. Если свет источников немонохроматичен,
то на экране будет наблюдаться спектральная картина и
полностью затемненных мест может не быть.
Заметим, что условие d<^Jt было выбрано не только из
соображений простоты расчетов. Дело в том, что длины волн
Я видимого излучения имеют очень малые значения. Поэтому
для того, чтобы детали картины интерференции на экране
были различимы глазом (при этом расстояния х должны быть
не меньше нескольких миллиметров), отношение dll должно"
быть малым и по порядку должно равняться отношению
%/х.
Соотношения C6.5) и C6.6) можно использовать для из-
измерения длин волн Я, если экспериментально будут опреде-
определены величины d, /, k и х.
Дифракция. В однородной среде световые волны рас-
распространяются прямолинейно (закон прямолинейного рас-
распространения света). Если же на пути световых волн встре-
встречается какое-либо препятствие, то может наблюдаться ди-
дифракция — явление отклонения волн от прямолинейного
распространения. Дифракция — явление, общее для вол-
волновых процессов любой природы, но мы рассмотрим только
дифракцию световых волн.
Препятствиями, на которых возникает дифракция, мо-
могут являться какие-то непрозрачные для данных волн тела
или прозрачные участки, отверстия в больших по размерам
521

и непрозрачных для волн преградах. Если непрозрачное
для волн препятствие имеет размеры, меньшие длины набе-
набегающей волны, то явление дифракции, заключающееся в
огибании препятствия волнами, приводит к тому, что за
препятствием волны распространяются так, как если бы это-
этого препятствия не было вовсе. Волны «не замечают» очень
малых препятствий, не создают за ними области тени. Ди-
Дифракция на малом по сравнению с длиной волны отверстии
в большом непрозрачном для данных волн экране прояв-
проявляется в том, что такое отверстие как бы само является ис-
источником волн, распространяющихся от него за экраном во
все стороны.
- Объяснение дифракционных явлений удается дать на ос-
основании принципа Гюйгенса — Френеля: каждая точка
фронта волны может приниматься за источник вторичных
волн, причем эти вторичные волны когерентны и за препят-
препятствием могут интерферировать. (Утверждение о возможно-
возможности интерференции вторичных волн и является дополнением
Френеля к принципу Гюйгенса.) Наложение противофазных
вторичных волн приводит к гашению колебаний в области
тени, наложение же волн с одинаковыми фазами приводит
к наличию колебаний даже в тех точках пространства, кото-
которые не лежат на пути распространения первичной волны,
падающей на препятствие.
Обратим внимание на то, что явление дифракции прин-
принципиально отличается от явления преломления. Отклонение
от первоначального направления распространения падаю-
падающей волны может наблюдаться и в случае преломления,
причем преломленная волна распространяется в иной среде,
нежели волна падающая. Непременным следствием прелом-
преломления на границе раздела разнородных сред является изме-
изменение длины волны. Явление дифракции в простейших слу-
случаях может происходить без изменения скорости волны и без
изменения длины волны. Оно, например, может иметь место
при распространении волны в о,дной и той же среде, когда
волна лишь «задевает» при своем движении границу раздела
с иной средой.
Рассмотрим дифракцию плоской немонохроматической
световой волны на дифракционной решетке, представляю-
представляющей собой стеклянную пластинку, на которой очень тонким
резцом нанесены близкие параллельные равноотстоящие
один от другого штрихи (царапины), практически не пропу-
пропускающие света. На рис. 36.3 представлено сечение решетки
плоскостью рисунка. Ширина просветов решетки обозначена
522

через at а ширина непрозрачных штрихов — через Ь. Вели-
Величина d=a+b называется постоянной (или периодом) дифрак-
дифракционной решетки.
Пусть пучок света падает перпендикулярно к плоскости^
решетки. Согласно принципу Гюйгенса любая точка просве-
просвета решетки может считаться источником вторичных волн,
ииииииш
b —^К
г
Рис. 36.3.
причем точки всех просветов, очевидно, являются когерент-
когерентными источниками. Рассмотрим волны, идущие вдоль па-
параллельных прямых / и //, исходящих из сходственных
точек (например, левых крайних точек просветов) А и Ах
под углом ф к направлению распространения света перед
решеткой. В точке Т на экране, расположенном в фокальной
плоскости собирающей линзы L, волны будут интерфериро-
интерферировать, причем результат интерференции будет зависеть от оп-
оптической разности хода б этих волн (см. стр. 519, 520). Если
/ ^
на длине Л С укладывается целое число полуволн ( б = 2k -g-,
где k — любое целое число), то в точке Т будет наблюдаться
усиление света (дифракционный максимум).
Из чертежа видно, что 6=d sin cp; тогда условием полу-
получения дифракционных максимумов будет
d sin ф = 2k -к = kk.
C6.7)
523

Волны с длиной %г будут давать максимумы при выходе
из решетки под углами (pi к направлению падающего света,
а волны с длиной Х2 — под углами ф2>. причем
ф1 = arcsin ^, ф, = arcsin ^. C6.8)
В зависимости от значения числа k говорят о дифракци-
дифракционных максимумах различного порядка; если &=0, то мак-
максимум нулевого порядка; если &= 1, то максимум первого по-
порядка, и т. д. Из формул C6.8) видно, что максимумы раз-
различных порядков волн разной длины могут перекрываться
(т. е. наблюдаться под одними и теми же углами ф). Чем
больше .порядок максимума, тем максимум менее интен-
интенсивен.
Таким образом, дифракционная картина за решеткой
будет представлять собой совокупность чередующихся мак-
максимумов волн различной длины, т е. она будет напоминать
обычную спектральную картину. Значит, излучение какого-
либо источника можно разложить в спектр по частотам (или
по длинам волн) не только с помощью призмы, но и с по-
помощью дифракционной решетки.
Заметим, что максимум нулевого порядка отличается от
максимумов других порядков. При &=0 (а значит, и при
Ф=0) наблюдаются максимумы для любых длин волн, и если
падающий на решетку свет был белым; то максимум нулево-
нулевого Ъорядка не будет иметь цветной окраски в отличие от
максимумов других порядков.
Дифракционный спектр отличается от дисперсионного
(полученного с помощью призмы) тем, что в первом на боль-
большие углы отклоняются волны большей длины (меньшей
частоты), а во втором более отклоненными от направления
падающего света оказываются волны меньшей длины (боль-
(большей частоты), так что порядки цветов в этих спектрах
будут обратными.
Выражения C6.7), C6.8) позволяют проанализировать
явление дифракции на больших препятствиях, размеры
которых велики по сравнению с длиной падающей волны,
В принципе можно говорить о дифракции видимого излуче-
излучения (длина волны Я порядка 10~6 см) на частоколе (постоян-
(постоянная d такой «дифракционной решетки» будет насчитывать
несколько сантиметров), но, чтобы наблюдать дифракци-
дифракционную картину в этом случае, пришлось бы отойти от часто-
частокола на очень большое расстояние, так как углы ф, под ко-
524

торыми могут Наблюдаться дифракционные максимумы,
будут чрезвычайно малыми.
Таким образом, для наблюдения дифракционных эффек-
эффектов существенное значение имеет не только соотношение
между размерами препятствия и длиной волны, но и рас-
расстояние от препятствия до места наблюдения дифракцион-
дифракционной картины.
36.3. Закономерности фотоэлектрического эффекта
В п. 33.1 мы уже упоминали о явлении фотоэффекта. Ус-
Установленные опытом законы фотоэффекта: 1) число электро-
электронов, удаляемых под действием света из вещества в единицу
времени, пропорционально световому потоку; 2) макси-
максимальная скорость покидающих вещество электронов зави-
зависит только от частоты падающего на него света.
Поясним смысл этих утверждений. Электроны внутри
любого вещества не являются в полном смысле свободными,
ибо они так или иначе взаимодействуют с другими частицами
и между собой. Чтобы удалить электрон из вещества, нужно
совершить работу против сил притяжения. Эта работа но-
носит название работы выхода электрона (ABUJ из данного
вещества. Различные вещества характеризуются различной
работой выхода, т. е. для вырывания из этих веществ элек-
электронов требуется затрачивать больше или меньше энергии.
Такую энергию, в частности, может поставлять падающее
на вещество световое излучение. Поэтому понятно, что чем
более интенсивный световой поток (энергия в единицу вре-
времени) будет падать на вещество, тем большее число элек-
электронов при прочих равных условиях он сможет вырвать из
вещества.
Второй закон фотоэффекта является следствием закона
сохранения энергии при взаимодействии фотона с электро-
электроном вещества:
Щ C6.9)
где hv — энергия светового кванта (фотона), Авых—"работа
выхода электрона из данного вещества, т — масса электро-
электрона* ^макс— максимальная скорость электрона, с которой он
движется, покинув вещество. Из этого уравнения следует,
что фотоэффект возможен при условии /п^Лвых. Если же
kv<ZABUXi то фотон не в состоянии даже вырвать электрон из

вещества, не говоря уже о сообщении электрону какойчгшбъ
скорости, и фотоэффект не наблюдается.
Минимальная частота vK (или максимальная длина вол-
волны ^к) светового излучения, при которой фотоэффект начи-
начинается, носит название красной границы фотоэффекта дан-
данного вещества и может быть найдена из уравнения
К = ЛВЫХ. C6.10)
Задача. В следующей таблице приведены значения работы выхода
для некоторых веществ*
Вещество
Цезий
Натрий
Цинк
Лвых 1019*Дж
3,02
3,98
5,34
Вещество
Серебро
Вольфрам
Платина
Лвых' 10Х9'Дж
7,56
7,68
10,13
Будет ли наблюдаться фотоэффект при воздействии на эти вещества
Видимым излучением? (Пределы частот видимого излучения 4,00» 1014—
—8,00» 1014 с.) Если фотоэффект имеет место, определить, в каких пре-
пределах лежат скорости вылетающих электронов.
Легко находим, что фотоны видимого излучения имеют энергии от
2,65» Ю-19 до 5,30* 10-19 Дж. Значит, при освещении цинка, серебра,
вольфрама и платины выбивания электронов не произойдет вовсе, так
как энергия фотонов недостаточна для совершения работы выхода. В пер-
первых двух случаях фотоэффект наблюдается, для цезия он осуществляет-
осуществляется фотонами с энергиями от 3,02« Ю-19 до 5,30» Ю-19 Дж, а для натрия —
фотонами с энергиями от 3,98* Ю-19 до 5,30» Ю-19 Дж. Минимальные
значения скоростей покидающих эти вещества электронов равны нулю,
а максимальные значения можно найти на основании уравнения C6.9):
иакс — у "
т
Подставляя значения величин в СИ, найдем:
для цезия
2 E,30» Ю-19 — 3,
7,07-105 м/с;
идя натрия
^макс —
2 E,30. Ю-19 — 3,98» Ю-"»)^
9,11.10-31 я
5,39-105 м/с.
Таким образом* скорости электронов, покидающих цезий, будут
лежать р пределах от нуля до 7,07» 10* м/с, а скорости электронов, выби-
выбиваемых из натрия,— в пределах от нуля до 5,39-106 м/с, причем, по-
поскольку длины волн? соответствующие красным границам фотоэффекта,
526

доз цезия и натрия равны 6,58* 10~5 см и 5,00» 10~5 см, выход электро-
электронов из цезия будет происходить под воздействием излучений почти всей
видимой области, а из натрия — только под воздействием излучений го-
голубого, синего и фиолетового цвета.
36.4. Итоги рассмотрения оптических явлений
Развитие теории оптических явлений служит чрезвычай-
чрезвычайно поучительным примером развития физических знаний,
сопровождавшегося крутой ломкой устаревших взглядов.
От световых корпускул, наделенных лишь свойствами ча-
частиц, через теории продольных и поперечных волн к теории
квантов — таков путь развития оптических представлений.
Современная теория оптических явлений отражает двойст-
двойственный характер свойств электромагнитного поля и хорошо
согласуется со всеми известными опытными фактами. Здесь
можно было бы повторить все изложенное ранее об общно-
общности свойств волн и частиц, обнаруживающейся в различ-
различных оптических явлениях.
В заключение обратим внимание на очень важную осо-
особенность фотонов. Фотоны не имеют собственной массы (или
так называемой массы покоя) и могут существовать только
продвижении со скоростью света в вакууме. Все тела и ча-
частицы в природе, кроме фотонов *), от небесных тел до мик-
р оскопических элементарных частиц, могут двигаться с
любой скоростью от нуля (случай покоя) до скорости света,
причем скорость, равная скорости света, является высшим,
но принципиально недостижимым для них пределом скоро-
скоростей. Фотоны же существуют только при движении со ско-
скоростью света в вакууме.
*) Вообще говоря, кроме фотонов, нейтрино и антинейтрино.
О двух последних элементарных частицах мы не имеем возможности
рассказать в этой книге. '

ГЛАВА XI
СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§37. СТРОЕНИЕ АТОМА
Модель атома достаточно подробно рассмотрена в преды-
предыдущей главе на примере атома водорода. Теперь мы напом-
напомним о некоторых основных опытных фактах и открытиях,
приведших к созданию такой модели.
До конца XIX века науку о строении вещества вполне
удовлетворяли представления о неделимых атомах — мель-
мельчайших «кирпичиках» мироздания. Атомы могли взаимо-
взаимодействовать между собой, вступать в связи, образуя моле-
молекулы, и до поры до времени ничто не говорило о том, что
сами атомы являются сложными образованиями.
Наряду с излучением света, которое свидетельствовало
о каких-то сложных процессах, происходящих внутри ча-
частиц вещества, весточками из глубин атома явились рентге-
рентгеновское излучение, открытое в 1895 г. В. Рентгеном, и явление
радиоактивности, открытое в 1896 г. А. Беккерелем. Оба
этих выдающихся открытия свидетельствовали о каких-то
процессах, происходящих именно внутри атомов, о слож-
сложном строении атомов вещества. В самом деле, как же можно
было иначе объяснить тот факт, что соли урана и некоторых
других элементов обладают способностью испускать а-,
Р- и ^-излучения, которые были открыты в последующие
годы?
На основе опытов В. Крукса, выполненных в 1879 г.,
стало известно, что при пропускании электрического тока че-
через вакуумную трубку обнаруживаются потоки так назы-
называемых катодных лучей, представляющих собой какие-то
частицы, летящие от катода трубки к аноду. То, что катод-
катодные лучи являются потоками электронов, было доказано
опытами Дж. Томсона в 1897 г. (хотя название «электрон»
для носителя электрического заряда было предложено
528

шестью годами раньше английским физиком Дж. Стонеем).
Дж. Томсоном было установлено, что масса электрона в ты-
тысячу с лишним раз меньше массы легчайшего атома —
атома водорода. Так науке стала известна первая час-
частица, меньшая атома, первая элементарная частица —
электрон.
Откуда могли взяться электроны в вакуумной трубке
Крукса? Выводы, к которым приходили физики, сво-
сводились к признанию электронов составными частями
атома.
Дж. Томсоном была предложена первая модель атома.
Атом представлялся как обладающая положительным элек-
электрическим зарядом сфера,, в которую вкраплено столько
электронов, чтобы атом в целом был электрически нейтраль-
нейтральным образованием. Предполагалось, что электроны в модели
атома Томсона могут совершать колебания, т. е. двигаться
с ускорением.
Это, казалось бы, позволяло объяснить механизм ис-
испускания света атомами вещества и 7~излучений (элект-
(электромагнитных волн малой длины) атомами радиоактивных
веществ.
Ученик Дж. Томсона Э. Резерфорд воспользовался а-
частицамд как естественными снарядами для бомбардировки
атомов различных веществ. Исследование рассеяния а-
частиц на очень тонких металлических фольгах привело
Резерфорда в 1911 г. к мысли о ядерной (планетарной)
модели атома. Подавляющее большинство а-частиц про-
простреливало фольгу, как бы не встречая на своем пути ника-
никаких препятствий* некоторые а-частицы рассеивались за
фольгой в стороны, и только очень небольшая доля а-частиц
поворачивала от фольги вспять, натолкнувшись на какую-то
непреодолимую преграду. Этой преградой для положитель-
положительно заряженных а-частиц, по мнению Резерфорда, являлась
очень малая положительно заряженная частица внутри
атома — ядро атома. Ядро по своим размерам примерно в
10 000 раа меньше самого атома (диаметр ядра порядка
10~12—10"3 см). Положительный заряд ядра компенсирует-
компенсируется отрицательными зарядами электронов, которые движутся
вокруг него, подобно тому как планеты обращаются вокруг
Солнца. Мы уже раньше говорили о том, что покой электро-
электронов внутри атома невозможен, так как это привело бы атом
к гибели.
Объяснение закономерностей движения электронов во-
вокруг ядра было предложено в 1913 г. Н. Бором,
* 629

§ 38. СТРОЕНИЕ ЯДРА АТОМА.
ЭНЕРГИЯ ВНУТРИЯДЕРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
38.1. Протонно-нейтронная модель ядра
В результате изучения радиоактивности и на основании
опытов Резерфорда было твердо установлено, что ядра ато-
атомов являются сложными образованиями. В 1919 г. Э. Резер-
форд и ГЪ М. С. Блеккет в результате столкновения а-час-
тиц с ядрами атомов азота получили ядра атомов кислорода
и водорода. Это была первая в истории физики искусст-
искусственная ядерная реакция, которая указывала на возможность
искусственного превращения элементов. Кроме того, полу-
полученные ядра атомов водорода нельзя было представить со-
состоящими из более мелких частей. Так физике стала извест-
известна вторая элементарная частица — ядро атома водорода,
или протон,— которая могла быть составной частью ядер
более тяжелых атомов. Масса протона примерно равна
1,67-10~24 г, а положительный заряд равен абсолютному
значению заряда электрона.
В 1898 г. Дж. Томсон обнаружил, что атомы одного и
того_же химического элемента могут иметь различные мас-
массы. Первые опыты говорили о том, что атомы неона имеют
три разновидности по массе — три нерадиоактивных изото-
изотопа. Позже наличие изотопов было обнаружено и у других
элементов. Что же отличало друг от друга атомы одного
и того же химического элемента — с одним и тем же числом
протонов в ядрах и с одинаковым числом электронов, обра-
обращающихся вокруг ядер?
В связи с этим в 1920 г. Э. Резерфорд высказал предпо-
предположение, что в ядрах атомов имеются какие-то электрически
нейтральные частицы с массой, приблизительно равной мас-
массе протона, а в 1932 г. сотрудник Резерфорда Д. Чедвик в
результате бомбардировки а-частицами атомов бериллия
открыл эти частицы. Они были названы нейтронами
и явились третьей / разновидностью элементарных ча-
частиц.
Новая теория строения атомного ядра, разработанная
Д. Д. Иваненко и независимо от него В. Гейзенбергом,
говорила о том, что ядра состоят из протонов и нейтронов,
или нуклонов, как стали называть оба сорта «кирпичи-
«кирпичиков», из которых построены ядра. Заряд ядра определяется
суммой зарядов входящих в него протонов, а масса ядра —
суммой масс нуклонов.
530

Таким образом, был получен ответ на вопрос об отли-
отличии изотопов элементов — их ядра отличались числом ней-
нейтронов при одном и том же числе протонов.
38.2. Энергия связи. Дефект массы.
Взаимодействие нуклонов
Как и всегда бывало в физике, новое открытие выдвигало
целый ряд новых вопросов. Ядра атомов — очень устойчи-
устойчивые образования, более устойчивые, чем сами атомы. Ядра
состоят из одноименно заряженных протонов и вовсе не за-
заряженных нейтронов. Но что же удерживает нуклоны в
близком соседстве? Что мешает протонам — одноименно за-
заряженным частицам — разлетаться в разные стороны? Мо-
Может быть, знакомые нам силы гравитационного притяже-
притяжения частиц оказываются больше кулоновских сил отталки-
отталкивания?
Попробуем проверить последнее предположение в слу-
случае взаимодействия двух протонов. Поскольку ядра атомов
имеют размеры порядка 10~12 см, будем считать, что центры
«шариков»-протонов отстоят один от другого на расстоя-
расстоянии г=5,0-10~13 см=5,0-10~15 м. Масса протона т=
= 1,67-10~м г=1,67-10-27 кг, а его положительный заряд
е=1,6«10~19 Кл. Тогда сила гравитационного притяжения
протонов в согласии с законом всемирного тяготения будет
равна
р -Mffl2--fifi7, 1Q-11 Н>67'*°~27У^7 4» 1Q-36 Н
а сила отталкивания в соответствии с законом Кулона будет
иметь значение
Сила отталкивания протонов не идет ни в какое сравне-
сравнение с ничтожной силой их взаимного гравитационного при-
притяжения! Значит, имеется еще какой-то, совершенно новый
тип взаимодействия ядерных частиц, причем энергия взаи-
взаимодействия нуклонов, так называемая внутриядерная энер-
энергия, оказывается чрезвычайно большой.
Природа внутриядерных взаимодействий весьма сложна,
и многие ее стороны остаются неразгаданными по сей день,
531

но некоторые количественные оценки энергии взаимодейст-
взаимодействия нуклонов мы в состоянии сделать.
В 1905 г. А. Эйнштейн открыл закон взаимосвязи массы
и энергии — закон, объединяющий два важнейших свойства
вещества и полей. Согласно этому закону собственная мас-
масса (или масса покоя) тела т0 пропорциональна его энергии
покоя (внутренней энергии) U, причем коэффициентом про-
пропорциональности двух , этих величин является квадрат
скорости света:
то=Шс*. C8.1)
Если же тело движется в инерциальной системе отсчета g
какой-то скоростью, так что его полная энергия W склады-
складывается из энергии покоя U и кинетической энергии WK, то
масса т движущегося тела пропорциональна полной энер-
энергии W:
m"=W/c\ C8.2)
Если сравнить собственную массу ядра (тя) какого-то
атома с суммарной собственной массой Bтн) составляющих"
его нуклонов, когда они находятся в свободном состоянии,
то окажется, что первая всегда меньше второй. Это различие
может быть охарактеризовано величиной
которая носит название дефекта массы, В согласии с зако-
законом Эйнштейна дефекту массы соответствует энергия
которую называют энергией связи ядра.
Энергия связи складывается из энергии взаимодействия
нейтронов между собой, нейтронов с протонами и энергии
электростатического взаимодействия протонов в ядре. Что-
Чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, к нему необходи-
необходимо подвести энергию, равную энергии связи, а при образо-
образовании ядра из нуклонов такая энергия будет выделяться.
В атомной физике ядра атомов принято обозначать сим-
символами соответствующих химических элементов с двумя
индексами: слева внизу проставляется атомный номер эле-
элемента в таблице Менделеева (или так называемое зарядовое
число), а справа вверху — массовое число, равное общему
количеству нуклонов в ядре (массовое число равно также
относительной атомной массе элемента, округленной до
532

целого числа). Ядро атома азота, например, имеет обозначе-
обозначение 7N14.
Энергию в атомной физике очень часто измеряют в элек-
тронвольтах (эВ). 1 эВ равен энергии, приобретаемой элек-
электроном при его прохождении между двумя точками электри-
электрического поля с разностью потенциалов 1 В:
i эВ= 1,6- Ю-19 Дж= 1,6- 1СГ12 эрг.
Единица, в миллион раз большая одного электронвольта,
носит название мегаэлектронвольта (МэВ).
Используя закон взаимосвязи массы и энергии, рассмот-
рассмотрим в качестве примера ядерную реакцию взаимодействия
а-частицы (ядра атома гелия) с ядром атома бериллия, в ре-
результате которой образуется ядро атома углерода и нейтрон
(on1):
4 О
Воспользуемся табличными значениями собственных
масс исходных и конечных продуктов этой реакции.
Исходные частицы
4Ве* ,
2Не4
Сумма собствен-
собственных масс ча-
частиц до реак-
реакции (mi)
Собственная
масса, а е м
9,0150
4,0039
13,0189
Полученные
частицы
6С12
on1
Сумма собствен-
собственных масс частиц
после реакции
ы
Собственная
масса, а. е. м.
12,0040
1,0090
13,0130
Разница собственных масс Am=mi—/п2=0,0059 а.
^9,8-10~30 кг, очевидно, и характеризует энергию
выделяющуюся в результате протекания этой реакции. За-
Заметим, что величины тх и т2, подсчитанные нами по таблич-
табличным значениям масс атомов бериллия, гелия и углерода,
включают массы шести электронов, но на результат расчета
это не повлияет, ибо число электронов в результате реакции
не изменяется. Итак, выделяется энергия
ДГ=Дт-с2=9,8- 1(Г30- C-108J^9- 1СГ13 Дж«
^6-106 эВ=6 МэВ.
На первый взгляд может показаться, что эта энергия не
так уж велика. Но не забудем, что она характеризует взаи-
633

модействие частиц с очень малой массой. Если подсчитать
энергию, приходящуюся на единицу массы взаимодействую-
взаимодействующих частиц, то результат окажется более впечатляющим:
bW 9-ю-13 . 1Л14 _
^Г ~ 13-1,67-Ю-» « 4•10 Дж/кг-
Такие значения энергии, приходящейся на 1 кг вещества,
встречаются только в ядерной физике!
Иногда, характеризуя взаимодействие частиц внутри
ядра атома, говорят о силах внутриядерного взаимодействия.
Если для приведенной выше ядерной реакции провести ус-
условную оценку силы внутриядерного взаимодействия, то
можно воспользоваться выражением
где йя — диаметр ядра атома. Считая, как и ранее, что
«10а см=10~14 м, находим
Сравнивая это значение со значением силы кулоновского
отталкивания двух протонов в ядре атома, полученным выше
(FK«9,2 H), заключаем, что силы внутриядерного взаимо-
взаимодействия примерно на порядок превышают силы электро-
электростатического взаимодействия заряженных частиц в ядре и не
могут являться силами электромагйитного происхождения.
38.3. Возможности высвобождения внутриядерной энергии
После того как стало известно, что внутри атомных ядер
скрыты колоссальные запасы энергии, возникла заманчивая
идея найти способы высвобождения этой энергии.-Нельзя
ли разорвать прочные связи нуклонов и заставив «работать»
ядерные частицы?
С выделением внутриядерной энергии физики уже имели
дело при радиоактивном распаде радия, урана и других
элементов. Температура ампулы, содержащей радиоактив-
радиоактивное вещество, была хотя и немного, но все-таки выше тем-
температуры окружающей среды. Внутриядерная энергия при
этом высвобождалась, но уж очень в мизерных количествах.
С момента открытия нейтронов в руках экспериментато-
экспериментаторов оказались новые снаряды, более эффективные, чем
а-частицы, которыми уже ранее бомбардировались недра ве-
вещества. Нейтрон электрически нейтрален, поэтому на его
пути к ядру атома встретится меньше помех: он не будет при-
534

тягиваться электронами, окружающими ядро, не будет и
отталкиваться от положительно заряженного атомного ядра.
С помощью нейтронов физики и рассчитывали расколоть
столь прочное и неподатливое ядро атома.
Открытие в 1934 г. супругами Жолио-Кюри искусствен-
ной радиоактивности было важным этапом на пути проник-
проникновения в глубины атомных ядер. Воздействуя продуктами
радиоактивного излучения на различные вещества, им уда-
удалось получить радиоактивные изотопы элементов, которые
в естественных природных условиях не встречались.
Как можно было использовать это открытие? Бомбарди-
Бомбардируя ядра атомов, в результате ядерных реакций можно было
не только получать одни элементы из других (ядерные
реакции новостью для физики не были), но и получать эле-
элементы с возбужденными ядрами, которые, разваливаясь в
результате радиоактивного распада, высвобождали энергию.
Но здесь опять-таки, как и в случае-естественной радио-
радиоактивности, внутриядерная энергия выделялась в малых
количествах, недостаточных для практического^ использо-
использования.
Непосредственным преддверием высвобождения внутри-
внутриядерной энергии для практических целей явилось открытие
цепной реакции деления ядер атомов урана и некоторых дру-
других элементов. В 1939 г. исследования О. Гана, Ф. Штрасс-
мана, Л.Мейтнер привели к заключению о делении ядер
урана под действием нейтронов, а Ф. Жолио-Кюри экспери-
экспериментально доказал, что при делении одного ядра урана обра-
образуется несколько нейтронов (в среднем два-три)л В 1940 г.
советские физики Я. Б. Зельдович и Ю. Б. Харигон теоре-
теоретически определили условия, при которых возможна цепная
реакция в уране, и в том же 1940 г. Г. Н. Флеров
и К. А. Петржак обнаружили, что цепная реакция в уране
может начаться без воздействия нейтронсв изЕне, так как
ядра урана неустойчивы и склонны к самопроизвольному
(спонтанному) делению с высвобождением нейтронов.
В чем же заключается цепная реакция деления ядер ато-
атомов урана? Под действием нейтрона ядро атома урана раз-
разрушается на два осколка, представляющих собой ядра ка-
каких-то других химических элементов из средней части таб-
таблицы Менделеева. Сумма собственных масс этих осколков
оказывается меньше собственной массы ядра атома урана,
так что в согласии с законом сохранения энергии эти оскол-
осколки должны двигаться с большими скоростями, унося боль-
большую часть энергии, выделяющейся при реакции деления.
535

Кроме того, в результате деления образуются новые нейтро-
нейтроны (так называемые вторичные нейтроны), которые могут
разрушать новые ядра, встретившиеся на их пути, причем
вторичных нейтронов образуется в среднем два-три при
разрушении каждого ядра урана. Вот и получается, что при
определенных условиях, которые характеризуются массой
делящегося вещества, его формой, наличием примесей, по-
поглощающих нейтроны, и т. д. (все это и определяет так назы-
называемую критическую массу, или критический размер),
начавшаяся, хотя бы от спонтанного деления всего-навсего
одного ядра, реакция деления ядер урана будет протекать
очень интенсивно, высвобождая энергию из вновь и вновь
разрушаемых ядер.
Для успешного протекания цепной реакции в изотопе
урана с массовым числом 235 (§2U235) нейтроны должны
иметь малые скорости. Для этих целей в зону реакции поме-
помещают вещества, замедляющие, но слабо поглощающие ней-
нейтроны (например, графит, тяжелую воду, бериллий и др.).
Если, кроме того, в зону реакции вводить вещества, погло-
поглощающие нейтроны (кадмий, бор, бористую сталь и др.),
то реакцией можно управлять, регулируя число нейтронов,
участвующих в расщеплении ядер урана.
Впервые регулируемую цепную реакцию деления ядер
урана осуществил в 1942 г. Э. Ферми. Ядерным «горючим»
реактора являлся обогащенный уран (в природном уране,
содержащем в основном изотоп 92U238, искусственно повыша-
повышалось содержание изотопа 92U235), замедлителем служил гра-
графит, а поглотителем нейтронов — кадмий. В результате
взаимодействия нейтронов с ядрами изотопа 92U238 полу-
получался новый элемент — плутоний, который затем мог ис-
использоваться как Ядерное горючее вместо урана.
Реакция деления ядер урана, плутония и других тяже-
тяжелых элементов, стоящих в конце таблицы Менделеева, не
является единственным способом высвобождения внутри-
внутриядерной энергии. Имеется и другой путь — реакция слияния
легких ядер с образованием более тяжелых, так называемая
термоядерная реакция. Примером термоядерной реакции
может служить реакция синтеза ядер гелия из ядер водо-
водорода, которая является источником энергии излучения
Солнца.
Термоядерная реакция может начаться только при тем-
температуре в несколько миллионов градусов. В земных усло-
условиях такие температуры пока удается получить только в об-
области протекания взрывной реакции деления ядер урана,
536

плутония или других тяжелых элементов. Таким образом,
человечество сейчас располагает неуправляемыми, взрыв-
взрывными реакциями синтеза ядер дейтерия (тяжелого водоро-
водорода — изотопа водорода с массовым числом 2) или трития
(сверхтяжелого водорода с массовым числом 3), но есть
твердые надежды, что термоядерной реакцией удастся уп-
управлять.
38.4. Слияние позитрона с электроном
Еще одной элементарной частицей, встретившейся при
изучении внутриатомных явлений, был позитрон, открытый
К. Андерсоном в 1932 г. Масса позитрона оказалась равной
массе электрона, а положительный заряд позитрона —
абсолютному значению заряда электрода. Позитроны об-
обнаруживались в результате распада искусственно радио-
радиоактивных ядер и при взаимодействии с ядрами атомов гам-
гамма-излучения большой энергии, причем, как уже отмечалось
(см. п. 33 1), второй из этих способов получения позитронов
приводил к рождению пары электрон — позитрон вместо
исчезавшего гамма-кванта (или фотона) без каких-либо из-
изменений внутри ядра, вблизи которого это явление происхо-
происходило. Это было убедительным подтверждением интересней-
интереснейшего превращения: фотоны, или кванты электромагнитного
излучения, которые не имели собственной массы (массы
покоя) и тем самым сильно отличались от обычных частиц,
превращались в электрон и позитрон — в две обычные час-
частицы, собственные массы которых не равнялись нулю, т. е.
в такие частицы, которые могли существовать и в покое, и
при любых скоростях движения, меньших скорости света
в вакууме. В этом превращении обнаруживалась уже упо-
упоминавшаяся «двуликость» вещества и поля: волны электро-
электромагнитного излучения превращались в частицы вещества!
Более того, почти одновременно с открытием процесса
рождения пары электрон — позитрон был обнаружен и
обратный процесс — процесс слияния (аннигиляции) пози-
позитрона с электроном. (Этот процесс, кстати сказать, свиде-
свидетельствовал о невозможности длительного существования
позитронов в земных условиях, где имеется великое множе-
множество свободных электронов.) Оказалось, что в отсутствие
других частиц при аннигиляции одного позитрона и одного
электрона в согласии с законом сохранения импульса
рождаются два гамма-кванта, разлетающихся в противопо-
противоположные стороны,
637

В качестве заключительного примера рассчитаем длину
волны электромагнитного излучения, возникающего при
аннигиляции электрона с позитроном.
Собственные массы этих частиц одинаковы и равны гао=
=9,1* 10~1 кг. Пусть энергия каждого образующегося гам-
гамма-кванта равна ftv. Тогда, в согласии с законом Эйнштейна,
имеем 2/iv=2mo?2, откуда v=m0c2/h. Поскольку длина волны
X связана с частотой v соотношением %—chy можно написать
k=h/moc. Подставляя значения величин в единицах СИ,
находим
« 6,62. Ю-3*
Именно такая длина волны электромагнитного излуче-
излучения в результате аннигиляции электрона с позитроном и
была измерена на опыте, что явилось' блестящим подтверж-
подтверждением закона Эйнштейна, являющегося одним из крае-
краеугольных камней современной физики.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Относительная простота элементарной физики — в на-
наглядности многих ее понятий. Читатели, конечно, обратили
внимание на принятую в настоящем пособии методику изло-
изложения материала. Мы переходили последовательно с од-
одного уровня рассмотрения явлений природы на другой, как
со ступеньки на ступеньку.
Каждый уровень занимается изучением определенного
круга вопросов, но такое деление на уровни весьма условно.
Оно вызвано стремлением к систематизации наших знаний
и намерением, чтобы расчеты были по возможности более
простыми и практически выполнимыми, а описания физиче-
физических фактов и явлений — доступными и понятными. При
таком подходе к изучению природы мы приобретаем навык
обращать внимание на главное в явлении и отвлекаться от
второстепенного, пренебрегать теми тонкостями, которые в
данном случае несущественны. На что следует обратить вни-
внимание и чем можно пренебречь? — этим вопросом мы непре-
непременно задаемся при решении любой физической задачи.
Каждому уровню соответствуют свои законы и наборы
своих моделей — условных и абстрактных понятий, отра-
отражающих те стороны явлений действительности, которые изу-
изучаются на данном уровне. Относительная простота элемен-
элементарного курса физики заключается в том, что многие моде-
модели этого курса достаточно наглядны и легко представимы
на основании нашего повседневного жизненного опыта. Ис-
Использование таких моделей при изучении окружающего нас
мира вполне оправдано, оно отражает естественный путь на-
нашего познания. Каждое новое, впервые встречающееся,
сложное явление мы пытаемся свести к явлениям уже из-
известным, изученным ранее.
В свое время мы подчеркивали, что такой путь сведения
нового к ранее известному не всегда возможен (тепловые или
539

электрические явления, например, не сводятся целиком
только к механическим и т. п.). Кроме того, необходимо
указать на еще одну существенную, своеобразную черту со-
современной физики. По мере проникновения в глубины
тайн природы все чаще приходится использовать понятия и
модели^ не очень наглядные и'совсем неощутимые. В эле-
элементарном курсе физики к таковым относятся, например,
представления о различных полях. Ранее мы останавлива-
останавливались на анализе причин трудностей усвоения и использова-
использования этих понятий. Сейчас мы не будем дополнять список по-
подобных неощутимых понятий, но заметим, что, в особенно-
особенности за последние десятилетия развития физики, таких
понятий появилось очень много: различные свойства и зако-
закономерности поведения элементарных частиц, не наблюдае-
наблюдаемые в повседневном опыте эффекты теории относительности
и квантовой механики и т. п. Тому, кто имеет намерение
всерьез овладеть-современной физикой, нужно быть гото-
готовым к постижению трудно укладывающихся в сознании
понятий.
Достаточно ли только запоминать формулы? Ни одна из
естественных наук, в том числе и физика, не сводится к фор-
формулам. Поскольку явления природы многообразны и много-
многогранны, а взаимосвязи между ними весьма сложны, прихо-
приходится использовать обширный арсенал понятий, с помощью
которых удается формулировать законы, описывающие те
или иные факты, явления или взаимосвязи и взаимообуслов-
взаимообусловленности между ними.
Любая научная дисциплина начинается с определений.
В этом можно убедиться, открыв любой учебник. Сначала
Всегда необходимо договориться о круге вопросов, которы-
которыми занимается данная наука, и о всех тех терминах и поня-
понятиях, а иногда и об образах, которыми она пользуется.
Короче, нужно предельно ясно оговорить, о чем и на каком
языке пойдет речь.
Прелесть лаконичных математических формул заклю-
заключается в их абстрактной общности, в том, что под х или у
мы вправе понимать в зависимости от конкретной ситуации
любую величину. Связь двух величин (а+bJ всегда, что бы
мы ни подразумевали под а и Ь, равноценна другой связи
a*+2ab+b\
Физические формулы в этом отношении более конкретны,
они приобретают ценность только тогда, ко^гда величины,
входящие в них, определены по смыслу для каждого рас-
рассматриваемого случая. Например, математическая зависи-
540

мость вида y=ab2lc в физике может относиться к описанию
совершенно разнородных, неодинаковых фактов. Обозначе-
Обозначение у может представлять перемещение при равноускорен-
равноускоренном движении без начальной скорости, если а — ускорение
этого движения, Ъ — продолжительность движения и с=2.
В случае, если а — масса тела, скорость движения которого
равна 6, и с=2, у будет характеризовать кинетическую
энергию этого тела, если же с представляет радиус окруж-
окружности, по которой движется тело с массой а и линейной ско-
скоростью Ьу то у уже не энергия, а сила, сообщающая телу
нормальное (центростремительное) ускорение.
Подобных примеров можно было бы привести великое
множество. В связи с этим следует помнить, что в физике
нет универсальных формул, каждая формула имеет тот или
иной смысл в зависимости от смысла, содержания входящих
в нее величин.
Поэтому, наверное, понятно, что вряд ли целесообразно
только запоминать какие-то формулы. Надо запоминать и
понимать смысл величин и смысл связей между величинами.
Тогда формулы из балласта зрительной памяти превратятся
в орудия вашего физического мышления. Вы не будете вспо-
вспоминать, как выглядела формула, относящаяся к подобной
задаче, а будете сами писать, мысленно выводить нужную
формулу. И ценность такой, вами прочувствованной и вами
полученной формулы будет во сто крат большей, чем любой
формулы, списанной из учебника или справочника.
Чтобы попытаться предостеречь читателей от механиче-
механического заучивания формул, можно предложить и такой ана-
анализ материала элементарного курса физики. В нашем посо-
пособии упоминается о нескольких десятках физических законов
и используется несколько сот физических понятий. Чита-
Читатель, располагающий свободным временем и желающий сис-
систематизировать физические законы и понятия, может соста-
составить их список и произвести их подсчет. Названия законов,
понятий и величин даны1 в тексте «Основ элементарной фи-
физики» курсивом. Из рассмотренных нами законов далеко не
все имеют уравнения и очень немногие понятия вводятся по
формулам. Многие закрны формулируются на словах и по-
понятия вводятся, определяются без формул. Например, нет
исчерпывающих емысл закона уравнений у принципа неза-
независимости действия сил, закона Паскаля, первого закона
Ньютона и ряда других, а такие Понятия, как материальная
точка, вектор перемещения, вес тела, температура кипе-
кипения, ядро атома, позитрон и многие-многие другие, вводятся
541

тоже на словах и не имеют никаких определяющих формул.
Конечно, какие-то формулы связи могут соответствовать
многим понятиям из числа последних: период колебаний
можно выразить через частоту, а силу — через массу тела
и т. п., но вводятся эти понятия без формул.
Таким образом, существенно не количество заученных
формул, а ясное понимание смысла и целесообразности
введения тех или иных физических величин. Зачем вводится
та или иная физическая величина? Что отражает, характе-
характеризует данное физическое понятие? — попробуйте задаться
такими вопросами, и, отвечая на них, вы приблизитесь к по-
пониманию смысла величин или понятий.
Следует рекомендовать читателям запомнить уравнения
основных физических законов, если такие уравнения име-
имеются (например, уравнения второго закона Ньютона, зако-
закона всемирного тяготения, закона Кулона и др.), и те форму-
формулы, с помощью которых вводятся некоторые физические ве-
величины (например, p==m/V для плотности вещества,
E=F/g0 для напряженности электрического поля, /= АФ/AQ
для силы света и т. п.). Но наряду с формулами непременно
нужно запоминать и смысл того или иного закойа или поня-
понятия, условия применимости закона и границы его действия,
назначение физических понятий и величин.
О некоторых недочетах, встречающихся на приемных
экзаменах. Часто на консультациях перед приемными экза-
экзаменами спрашивают: «На какие вопросы следует обратить
особое внимание? На каких вопросах „проваливаются" чаще
всего?..» На первый из этих вопросов мы попытались отве-
ответить в нашем пособии, обратив большее внимание как раз
на трудные положения элементарного курса физики. На
второй вопрос ответа дать невозможно, так как нет сколько-
нибудь заметной закономерности «провалов» на приемных
экзаменах.
Хочется обратить внимание читателей на некоторые
распространенные, общие недостатки, от которых можно
уберечься при тщательной, упорной подготовке к приемному
экзамену. На наш взгляд, эти недостатки сводятся к сле-
следующим.
1. Неглубокие и неточные представления о некоторых
основных физических понятиях (например, о таких, как
масса, вес, поле, электрический заряд, световой луч
и др.).
2. Не оговариваются границы применимости того или
иного физического закона.
542

3. Нечеткость представления о том, какие законы — ос-
основные (наиболее общие), какие — более частные, какова
связь между разделами курса физики, что между ними
общего, чем они отличаются.
4. Неумение подступиться, начать решать задачу из-за
неглубокого усвоения физических законов и неумения ана-
анализировать условия задачи.
Автору этих строк неоднократно приходилось убеждать-
убеждаться в том, что «ужасом № 1» перед приемными экзаменами по
физике большинство поступающих считают задачи. На заня-
занятиях подготовительных курсов или на предэкзаменацион-
предэкзаменационных консультациях часто можно услышать: «Законы-то
мы выучим по учебнику. Давайте решим%юболыле задач».
Практиковаться в решении физических задач — дело чрез-
чрезвычайно полезное. И ни на каких занятиях курсов, ни на
какой консультации нельзя рассмотреть столько задач,
сколько их может решить абитуриент самостоятельно при
подготовке к экзамену. Но не числом разобранных задач
определяется подготовленность по физике. Сотни решенных
задач не принесут пользы, если под каждую из них не под-
подведена общая теоретическая основа. С полным правом мож-
можно утверждать, что задач боятся те, кто не очень глубоко
изучил физическую теорию, кто не владеет физическим
подходом к явлениям природы.
5. Недостаточная логичность в рассуждениях, неубеди-
неубедительное обоснование выводов. Помните, что логика матема-
математических доказательств не помешает вам и при доказатель-
доказательствах физических.
6. Неумение решать задачу до конца в общем виде.
7. Отсутствие проверки размерности полученных ре-
решений.
8. Неумение анализировать полученное решение.
Завершая наш разговор с читателем, хочется высказать
несколько пожеланий.
Изучая элементарный курс физики по программе сред-
средней школы или повторяя его по программе вступительных
экзаменов в вуз, не упускайте возможностей знакомиться
с материалом сверхпрограммным. Как это сделать? Читайте
учебную внепрограммную литературу, научно-популярные
журналы, статьи, брошюры. Кому как не вам, готовящимся
систематически пополнять и совершенствовать свои знания,
адресованы эти издания!
Собираясь стать инженером, агрономом, врачом или лю-
любым другим специалистом в той или иной области человече-
543

ских знаний, нельзя не представлять себе современного
уровня развития этих знаний. Никакая программа не долж-
должна сковывать. Она должна служить лишь ориентиром. По-
Поэтому вопросы программы нуждаются не в зазубривании
ответов на них, а в глубоком осмысливании, в поисках свя-
связей и различий между теми фактами и явлениями, о которых
программа упоминает.
Не жалейте времени на обдумывание каждой прочитан-
прочитанной статьи и каждой решенной задачи!
Больших вам успехов в учебе!