COLLECTION I NIVERSlTAlRr Dr МАТНЕМЛ
CLAUDE BCRGE
Ma?tre de Recherches an С N R S
THEORIE DES GRAPHES
ET
SES APPLICATIONS
D UNO D
Paris
1958

К. БЕ РЖ
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
и
ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Перевод с французского
А А ЗЫКОВА
Под редакцией
И А ВАЙИ ШТЕЙНА
Ичдате чъство
ИНОСТРАННОЙ Л И Т F Р А Т У Р Ы
Москва J 96 2

АННОТАЦИЯ
Книга К Сержа— первая книга по теории графов на рус-
русском языке Между тем в последние годы интерес к этой тео-
теории резко усилился как со стороны математиков, таь и пред
ставителей самых различных прикладных дисциплин Это
объясняется тем, что методы iсорни графов у спешь о решают
многочисленные задали теории электрических цепей, теории
транспортных сетей теории информации, кибернетики и др.
В книге Бержа геория )рафов излагается последовательно,
начиная с основ. Предполагается, что читатель обладает весьма
скромными математическими познаниями, хотя и пмеет некото-
некоторую математическую культуру В текст включены многочислен-
многочисленные зачастую забавные примеры Книга может Сыть использована
для первоначального изучения теории графов. Математики-про-
фессионачы также найдут в ней много интересного
Редакция литературы по математическим наукам

ВВЕДЕНИЕ
Во многих случаях жизни старая привычка толкает нас рисовать
на бумаге точки изображающие людей, населенные пункты хими-
химические вещества и т. д , и соединять эти точки линиями или стрел-
стрелками означающими некоторые отношения Такие схемы встречаются
всюд) под разными названиями сопрограммы (н психологии), сим-
симплексы (в топологии), электрические цепи (в физике), диаграммы
организации (в экономике) сети коммуникаций, генеалогические
деревья и г д Д Кёниг бет сомнения первый, предчожил называть
такие схемы „графами" и систематически изучать их свойства
Весьма примечательно что в совершенно различных дисциплинах
приходится использовать аналогичные теоремы, так понятие „мат-
„матрицы инциденций", введенное Кирхгофом для изучения электрических
цепей, было привлечено А Пуанкаре в топоюгию при создании его
„analysis situs", понятие „точки сочленения", с давних пор известное
в социологии впоследствии появилось в э тектронике; все примеры
такого рода перечислить невозможно Чтобы можно было применять
теорию графов в столь разнообразных областях, она должна быть
в высшей степени абстрактной и форма пизованной
В действительности такие основные понятия, как „цепь", „путь",
„центр", будучи определены абстрактно остаются в то же время
неразрывно связанными с i рафической реальностью и легко распо-
распознаются, когда схема начерчена. Вот почем} теорию графов нельзя
смешивать с а 1гебрлической теорией отношений имеющей другие
задачи В ю же время современная комбинаторная юпоаогия, игно-
игнорирующая ориешацию ребер и почти не интересующаяся понятиями,
не обобщаемыми на случай п измерений, до сих пор мало что внесла
в теорию графов Например некоторые результаты, относящиеся
к чередующимся цепям, не похожи ни на алгебраические, ни на
топотогические теоремы
Излагая здесь теорию графов, мы ставим целью дать в руки
читателю математическое орудие, пршюжимое. как к наукам о пове-
поведении (теории информации, кибернетике, играм транспортным сетям),
так и к теории множеств теории матриц и к другим чисто абст-
абстрактным дисциплинам-

б ВВЕДЕНИЕ
Некоторые теоремы, приводимые нами, явчяются легкими, это
такие теоремы, которые математик применяет „бессознательно",
воспроизводя их в частной форме в той или иной задаче Придавая
им возможно более общую форму, мы надеемся лишь добиться тем
самым значительной экономии мышления
Наряду с такими „мягкими" теоремами имеются „жесткие" тео-
теоремы доказательства которых оказываются весьма тонкими и кото-
которые представляют собой результат многочисленных изысканий.
Подобная разнородность могла быть лишь уменьшена путем расчле-
расчленения некоторых теорем па большое число отдельных предложений
с более короткими доказательствами.
Порядок, в котором мы рассматриваем различные задачи, отно-
относящиеся к графам, продиктован аналогичными соображениями, не
сразу бросающимися в гдаза читателю Большая часть предложений
необходима для доказательства дальнейших теорем
Первые главы в основном посвящены понятиям, связанным
с „ориентацией", а последние — понятиям, с пей не связанным Опре-
Определения из алгебры и теории множеств напоминаются читателю по
мере надобности а для |лав 14 15 и 16 требуются некоторые све-
сведения из теории матриц
Наконец доктор Ж Риге любезно согласился в одном из до-
добавлений к книге развить доклад, прочитанный им на Семинаре по
Алгебре и Теории Чисел (Париж, 1955) и посвященный тонкой за-
задаче подсчета числа графой, удовлетворяющих заданным условиям.
Мы выражаем ем\ благодарность

ГЛАВА 1
Основные определения1)
Множества и многозначные отображения
В теории [рафов, как и во всех современных математических
теориях, пользуются стенографическими символами дающими зна-
значительную экономию мышления и делающими орудие исследования
более 1ибким и эффективным Хотя классические символы теории
множест без сомнении, швеаны читателю, мы все же считаем
целесообразным их напомнить.
Множество — это собрание объектов любой природы называ-
называемых его точками (или его элементами) Рассуждения которые
нам предстоит проводить, не зависят от природы этих объектов
лос [едние мог>т быть людьми, городами, числами, функциями и т д
Удобно обозначав множества большими латинскими буквами
А, В, X ..., d элементы множества—малыми латинскими буквами
а, Ь, х . Множество А, элементами которого являются а Ь, с, d,
обозначают симпопом А = {а, Ь, с, d\.
Целесообразно рассматривать также пустое множество, совсем
не содержащее элементов, его мы будем обозначать символом 0.
Иногда множество Л определяется не перечислением ею элементов,
а указанием характеризующего их свойства; например, множество
простых чисел можно «записать так А = [xjx простое}.
Если свойство A) влечет за собой cnoflciGO B) ю мы пишем
A)=фB), когда эти два свойства равносильны пишем A)/ У(С})
Пусть А и В — два данных множества, будем почьзоваться сле-
следующими обозначениями
а есть элемент множества Л
A* а не является элементом множества А
AczB: А содержится в В, и.чи А есть подмножество множества В
(все элементы множества А являются элемерттами множества В).
А=В А совпадает с В (AczB и BczA)
А 4- В -4 не совпадает с В
*) Эта глава—¦ не более чем перечень самых основных терминов, кото*
рычи мы будем пользоваться; так сказать, правила игры .. . Большую часть
этих терминов можно понимать интуитивно, но во избежание недоразумении
следует дать им аксиоматическое опоеделение

8
ГЛ 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
АоВ
A<z.<^B А строго содержится в В(Лс5 и А ф В)
А П В пересечение Л и В (множество э ieментов принадлежащих
как А, так и В)
А\}В: объединение А и В (множество элементов, принадлежа-
принадлежащих или А или В, или обоим этим множествам)
А \ В- множество элементов, при-
принадлежащих А но не принадлежащих В
(см рис 1—1)
АХ В декартово произведение А
и В [множество пар (а, д), образован-
образованных доумя объектами а?А и Ь^В\
(см рис 1—2)
Объединение, пересечение и де-
декартово произведение можно опре-
определить не только для диух множеств
В А и В но и для семейства множеств
в
АиВ
Л*В
В
\ь\
Р ч с
Объединение множеств At — это множество эчементов каждый
из которых принадлежит хотя бы одному At\ оно обозначается сим-
велом
U а
I
Пересечение лшожеств At — ото множество элементов, лринад ie-
жащих всем А1 сразу; оно обозначается символом
Декартово произведение множеств А, есть множестзо последо-
последовательностей (aiji==[, 2, ...). где at?At для каждою iy оно обо-
обозначается символом

МНОЖЕСТВА И ЧНОГОЩАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 9
Пос '[сдовательность из п элементов называется п-строчкой> ее
нельзя смешивать с множеством п эчементов (где лорядок располо-
расположения элементов не играет ро
Пример. Вещественное трехмерное пространство представляет
собой множество 3-строчек, или прост троек (а1 а2 Д3)' где
av а2 а^ — иещеегкенные чисаа- это дскарюво произведение трех
множеств каждое из которых совпадает с множеством R веществен-
вещественных чисеп, по этой причине трехмерное вещественное пространство
обозначают сичколом
Вещественное «-мерное пространство обозначается символом R"
Другим важным понятием которым мы б^дем часто пользоваться,
является понятие разбиения Разбиением данного множества А* на-
называется такое ссмойстно множеств {AJi^I} где /—некоторое
множество индексов и AiaX при исех {?/, что
A) А{^ 0
B)
C)
При заданном разбиении \AS} мы пишем х=у когда х и у
являются Э1ементами одного и того же множества At, Тем самым
определено отношение которое обозначается символом i== и об ia-
д^ет следующими свойствами-
A) рефлексивность х^х,
B) симметрии' х==
C)
Всякое отношение == со свойствами A) B) C) называется экви-
ва рентное тью.
В свею очередь эквивалентность ^ определяет очевидно раз-
разбиение множества X на множества вида
(где х0 — данная точка X)
Множество А{ иногда называют классом эквивалентности
содержащим х0
Примср 1 П}Сть р — целое чисто, пишем
л = у (mod p),
если л: ну — два целых числа отличающихся слагаемым, кратным /?.
Ясно, чго это отношение — эквивалентность

10 ГЛ 1 ОСНОВПЫГ ОПРЕДЕПС1ШЯ
Пример 2 Ьс.|и две прямые D и D' параллельны или совпадают,
то пишем D\\D', очевидно, || есть отношение эквиватенгности
Пример 3 Есгш у лпух тгодей х и у глаза одинаково! о цвета,
то пишем x=sy ясно что == есть отношение эквивалентности
Пусть X и К —два данных множества, закон <з, согласно кото-
которому каждом} элемент) х? X ставится в соответствие элемент ох? I7»
называется од но тачным отображением X в У, или функцией,
определенной на X и принимающей значения в К, например, чи-
с to нал функция вещественной переменной представляет собой одно-
значкое от обращение R в R Многозначное отображение Г мно-
множества X в множество У есть закон по которому каждому
элемент\ х?Х ставится в соответствие иекоюрое подмножество
Гхс=К; при этом не исключается возможность 1х=0
Говоря просто „отображение", большинство авторов подразумевает
однозначное отображение. Поскольку нам предстоит иметь дело
глашшм образом с неоднозначными отображениями, мы не придер-
жинаьмся упомянутого соглашения и понимаем слово „отображение"
в широком смысле
Пусть Г—отображение данного множества X в У При ЛаХ
1Ш0вем образом множества Л множество
U
А
Можно проверив чюеели Лт, А2, Лп — подмножества X то
Ести Г и Д—отображения множества X в X, то результат
композиции ГЛ ecib отображение, определяемое следующим образом
(ГД) х = Г (Дл:)
Отображения Г2, Г3 . определяются так
=г Г (Гх),
Транзитивным замыкание ч отображения Г называется следую-
следующее отображение Г множества X в X:
Yx — {х] U Гл: U Г2^ U Г3л- U
Отображение Г~ , обратное о] обряжению Г» определяется так

ГРАФ ПУТИ И КОНТОРЫ 11
В—подмножество множеава X, то полагаем
Пример 1 Возьмем в качестве X мпожестно людей и для
обозначим через Тх множество детей человека х Тогда
Т2х: множество внуков х,
Тх множество, состоящее из х и всех ею потомков;
r-Ijc родители х, и i д
Изображая людей точками и рисуя стрелку ид>щую из х в у
в случае копа х является отцом или матерью уу мы почучим родо-
родословное, или генеалогическое дерево.
Пример 2 Рассмотрим шахматную игру; каждое положение за-
задается диаграммой (местонахождением фигур в данный момент)
и ходом (указанием, к го из игроков должен в эют момеш играть).
Пусть X—множество всевозможных положений, Гл: (где х?Х)-
множес1во положений которые по правилам игры можно получить
непосредственно из ху если положение х — матовое или паювое,
10 Гд; = 0.
Имеем.
V2x — множесгво положений, которые можно получить из х тремя
ходами,
Vx — множество положений которые вообще можно рано или
поздно получить отправляясь oi х,
Г^Л (где ЛсЛТ) — множество iex положений, из которых поз-
можно одним холом получить какое-либо положение, входящее в Л
Такая система обозначений позволяет выразить формулой мно-
множество выигрышных положений и вывести отсюда некоторые свойства 1)
В случае шахмат правила игры полностью определяются мно-
множеством X и отображением Г, однако здесь мы имеем дело с таким
большим числом положений что изобразить все их точками а ото-
отображение Г — стрелками соединяющими некоторые точки практи-
практически невозможно Тем не менее некоторые свойства общие для
правил шахматной игры и для отношений родства в группе людей,
можно выявить, обращаясь к аксиоматическому методу; этим мы
займемся в следующих параграфах,
Граф. Пути и контуры
Говорят, что дан граф, если даны.
1° непустое множество X,
2° отображение Г множества X вХ
l) Cv Берж [2]

12 ГЛ I OCHORHblF ОПРРДЕТПНИЯ
Собственно говоря, граф обозначаемый символом G=
есть пара, которая состоит нз множества X и отображения Г Отно-
Отношения отцовства и материнства в множестве шдей определяют граф,
то же имеет место для правит шахматной игры, для соединений
между собой электрических приборов, для отношения превосходства
одних участников турнира над другими м г. д
Всякий раз когда это возможно, б> чем элементы множества X
изображать точками плоскости, а пары точек х и уу для которых
у?Глг, соединять непрерывной линией со стрелкой направленной
от х к у Это даег основание называть каждый элемент множества
X точкой, ичи вершиной графа, а пару элементов (х, у) в которой
y^Vx, —дугой графа Далее множество дуг графа б\деч обозна-
обозначаться через U, а сами дуги —буквами а ощиш (в сл>чзе надоб-
надобности— с индексами)
Пример V графа О, изображенною на рис 1—3, множество X
образовано вершинами a, b с d е х множество U — дугами (а д),
(bt а), (Ь х), (х х), (х, с) (с х) (х d), (e, е) Оюбражение Г
определить нетрудно: например
Тх = {х, с й),
Г d = 0 и т д
Ясно что множество дуг вполне определяет отображение графа,
и, наоборот, отображение Г определяет множество U, поэтому граф
можно с одинаковым правоч записывать как в виде G = {Х, Г), так
и в виде G = (ЛГ U)
Подграфом графа (X Г) называется граф вида (Л Гд), ri,e
Л" а отображение ГА определено следующим образом;
Частичны« графом для (X Г) называется граф вида (X А),
где кхаТх при всех х?Х
Частичным подграфом графа (X, Т) называется граф вида
(Л Дл) где ЛсХи &Ах<=ГхГ\А
Пример Рассмотрим граф (X, U), преде 1 аиляющий карту дорог
Франции X—множество городов Франции, и (л:, у)^^/, если
имеется дорога, главная или иторостепенная, ведущая из города х
в город у, карта главных дорог определяет частичный граф, л i<apia
всех дорог Нормандии — подграф
Говорки, что а и Ь являются граничными вершинами ду| и
и=(а, Ь)у причем а — начало, а Ь — конец дуги Две дуги и и v
называются смежны ни, если
1° они различны,
2° они имеют общую граничную точку (независимо от того
япляется ли эта точка началом или концом дуги я, начаюм или
колцом дуги хО

граф тти и
говоря i, 4io две вершины х и у смежны ее пи
V они различны,
2° С)щестиует дуга, идущая от одной из них к другой
Наконец говорят что дуга а исходит из вершины х, если х
является началом но не является концом и и что а заходит в х,
если х является концом но не явчяется начатом и, в обоих случаях
луга и называется инцидентной
вершине х. Э'Ю понятие легко ,'" ""х Л
обобщается: если А — данное мно-
множество вершин то говорят, что
Л)га и исходит и^ А, ести
а
и^=-{а х)у i
множество дуг, исходящих ив А Ь
обозначается символом ?/д. Ана-
Аналогично определяется множество
Uа дуг, заходящих в множество
вершин А
Множество д>г, инцидент-
инцидентных Л, обозначается символом
О
Ряс 1—3
a
Предоставляем читателю проверить, что в графе, изображенном
на рис 1—3, для А = [a xi имеем
= {(a, b)f (х с), (х, d))t Иа=-
(Ь х) {с, х)).
Путеч и i рафе О = {X U) называется 1акая not |едопа1ельность
(Wj u2, ) Д)т, что конец каждой предыдущей дуги совпадает
l началом следующей П>ть является простым когда в нем никакая
дуга не встречается дважды, и составным — в противном случае
П)тъ р., последовательные вершины которого суть xlt x
к+[
можно обозначить символом [i. =
2"
путь, идущий 01
значать
х2 к хк по тем же дугам что и <i, будем обо-
Пугь, в котором никакая вершина не встречается дважды, назы-
называется эле чентарпым, путь может быть конечным или бесконечным
Ноятур — это конечный путь р =
хк] у которого
начальная вершина х1 совпадав! с конечной хк, при этом контур
называется элементарным, если все его вершины различны (за исклю-
исключением начальной и конечной, которые совпадают)
Длина пути \^-^{их, и2, . ик) есть чисто 1(\ь) = к д>г после-
последовательности, в случае бесконечного п)ти \х почагаем /(^) = сс^.
Наконец, контур длины I, образованный дугой вида (.V, х) назы-
называется петлей

14 Ul 1 ОСНОВНЫЕ ОПР!_ДРЛЕПИЯ
Пример Старшинство в организации
Пусть X — множество лиц некоторой орииизации например
военной, и пусть Гд:— множество щц непосредственно подчиненные
лицу х Связь любо1О начальника с пюбым подчиненным изобразится
в виде пути ! рифа (А" Г); важно чтобы граф не имел контуров,
ибо их наличие может привести к противоречивым приказаниям.
С помощью понятий дуги, пути, понт ура можно охарактеризо-
охарактеризовать некоторые важные категории графов Прежде всего, граф (A' U)
называется симметрическим, если
{х, y)?U =ф (у, x
В симметрическом графе две смежные вершины х и у всегда
соединены двумя противоположно ориентированными дугами; для
упрощения изображения условимся в этом случае соединять обе
точки одной непрерывной гиниеи без cm ре юк
Граф (A' U) называется антиси мчетрическич, если
(у х) $ U
(каждая пара смежных вершин сое щнена ючько в одном напра-
направлении; петли отсутствуют).
Граф (A" U) называется полным если
(X, y)?U=$ {у x
(любые две вершины соединены хотя бы в одном напраптении)
Наконец гоьоряг что граф сильно связен,, когта дтя любых
дв\х вершин х и у (х±у) существует путь, идущий из х в у.
Пгимьр Схема коммуникаций Пусть А' — некоторое множество
людей и nycib (x у)?У когда лицо х имеет возможность непо-
непосредственно пергдавать сообщения пицу у Обычно этот граф — сим-
метрический например, если связь осуществляетеч с помощью теле-
телеграфа, телефона там-там a hi д , но граф может и не быть
симметрическим, как в случае ракет или почтовых голубей.
Кроме того, и правильно спроектированной сети коммуникаций
каждый человек юлжен иметь возможность передать сообщение
любому друюму ччепу организации или непосредственно, или через
посредников; иными словами, важно, чтоб hi граф был сильно связен.
Цепи и циклы
Ребром графа G = (X U) называется множество ич двух эле-
элементов л: и у, для которых (х v)?t/ или (у, x)?U, это понятие
нельзя смешивать с понятием дуги, в котором участвует ориентация.
Так например, i раф, изображенный на рис 1—3, имеет 8 дут, но
только 6 р^бер

ЦЕПИ И [ДИМЫ 15
Ребро обозначается лирной чатинской буквой и или v а мно-
множество ребер — букноЙ V. Ребро л™ Koropoto вершины л: и
у — граничные обозначается символом и = [х у]
Цепь —это последовательность ребер (i^ и2 ) ъ котрой
у каждого ребра uft одна из граничных вершин як-пяекя также грл-
1ШЧИ0Й ВчрШИПОЙ ДЛЯ Uft_, ЙДругаЯ 1 рЗНИЧНОЙ иерШИНОЙ Т.1Я U^^j
Цепь называется простой, сечи все ее ребра ра^ичпы и состав-
составной в противном случае
Цикл — это конечная цепь, начинающаяся в некоторой вершине х
и оканчивающаяся в той же вершине х, никл называется простым,
если псе его ребра различны, и составным в противном спумае;
наконец цикл, при обходе которого ни одна вершина не встречается
дважды, называется элементарным
Граф связен» если любые дне его различные вершины можно
соединить пенью Сильно связный граф связен по обратное утоср-
жяение неверно
Обозначим через Са мпожеано состоящее из данной вершины а
и всех тех вершин 1рафа которые могут быть соединены с ней
цепью компонента святости (или просто ко чпонетпа) — это
подграф порожденный множеством типа Са,
Приведем две очень простые теоремы
Теорема I Раз шчные компонент ы графа (X, Г) образуют
разбиение множества X, то есть
A) С.+ 0
B) Ся^С
Так к^к а?Са, го A) имеет место
Для доказательства B> предположим чго CQ(\CbJ=0 и покажем,
чю тогда Са — Сь
С
а ь
Пусть х ? Сй П Сп вершинз х может быть соединена цепями как
а, так и с Ь, поэтому а можно соединить с Ь, т с
Точно гак же имеем CQ<zCb (цз соображений симме]рии), следо-
следовательно Са =- Сь
C) справедтиво потому что
а ?Х а ? X
01 к) да
и
Теорема 2 Граф связен, в том и только в то ч с гучае>
если он состоит из единственной компоненты

16 ГР 1 ОСНОВНЫЕ
Если граф имеет две различные компоненты Са и Сь то он
несвязен ибо вершины а и Ъ нельзя соединить цепью
Если граф пееннзеи, то найдутся две вершины а и Ь которые
heBO3MO/Kno соединить цепью и, значит Са и Сь 6yiyi раз шчными
компонентами
Замечание I раф можно рассматривать либо с учетом либо без
учета ориентации его дуг; в первом случае мы имеем тело с поня-
понятиями дуги п}1И контура сильной связности и т д во втором —
с понятиями ребра, цепи цикта, связности и т д В дальнейшем
когда для некоторого поня1ия определяемого в терминах дуг графа,
имеется параллельное понятие определяемое в терминах реб<-р. мы
часто будем образовывать второе из первого посредством добавления
суффикса „оад" (например, „центр"—„центроид" и т д ),

ГЛАВА 2
Предварительное изучение
квазиупорядоченности
Квазипорядок, определяемый графом
В алгебре говорят, что отношение ^ па множесие X есть
квазипорядок если имеют место
A) рефлексивность х <?- х (дтш всех х?Х)>
B) транзитивность х <Су, y^z гф х < г (х> у,
Квазипорядки встречаются всюду, „целое число х делится на у",
„V — вещественное число, большее или равное уи, „х — сит>ация,
которую я предпочитаю и аи считаю равносильной ситуации у", су i ь
отношения квазипорядка.
Ввезем на графе О = (Х Г) отношение <! следмошим образом
для двух вершин х w у пишем х^у есчи х = у или существует
путь из х r у (иначе говоря, если у ? Гл:)
Это отношение ^ удов1етворяюшее, очевидно, условиям A)
и B), называется квазипорядком, определяемым графом О
Если х<^у, то гопорят что вершина л: предшествует вер-
вершине у
Отношение у <^ х можно записать также в виде х >-у и сказать,
чго вершина х с гедует за вершиной у
Если х?Су и у^Сх> то пишем х~у и говорим, чго вершина х
эквивалентна вершине у, в этом случае хну совпадают или '[ежат
на одном и том же контуре Читатель непосредственно проверит,
чю ^ является отношением эквивалентности т е. что имеют место
(\) рефлексивность х^х,
B) транзитивность х ?= у, у = z =ф х == г,
C) симметрия х =у
Если х <^ у, по не х = у, ю пишем х <^у и говорим, что вер-
вершина х строго предшествует вершине у, пишут также у ^> х и
говоря!, что вершина у строго следует за л:
Вершина г, следующая за всеми вершинами некоторого мно-
множества ВсХ, называется мажорантой множества В, это можно
записать так
2 К Берж

18 ГГТ 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ КВАЗПУПОРЯДОЧР'|НОГП1
Если в В имеется элемент который сложит Md/корангой В то
эют эчемент называется наибо чъшим элементом множества И
Еспи Ъ и Ь' — два наибольших элемента множества В, ю b ^ Ьг
и br *?Ъ, счедователыю Ь^=Ь! т е все наибольшие элементы
одного и того же множества вершил графа эквивалентны
Аналогично минорантой В называется такая вершина z, для
коюрой
Миноранта В, принадчежащзя В называется наименьший элемен-
элементом множества В
Эти понятия хорошо известные из ал.) ебры прежде всего поз-
вочяют легко характеризовать различные категории графов
Пример 1 Граф без контуров Если (X, Г) не содержит кон-
контуров, то определяемое им отношение ^ обладает свойством
В этом с л) чае говоря!, что .< есть отношение порядка,
Наоборот если отношение <^, определяемое графом есть поря-
док, то граф не имеет контуров
В качестве примера рассмотрим множество X и некоторое
семейство ?f его подмножеств, назовем диаграммой Хае се семей-
семейства ?f граф G вершинами которого сл>жаг раяличные множества
семейства <&~Л причем ия /г?^г р F''?<^ идет дуга ecin
1е Z^czcz/";
2 tie существ}ет такого множества Ь" ?<^ что /'«z: (=F/rcz с=Г7.
Квазипорядок определяемый графом О есть не чго иное как отно-
отношение с; это отношение-—порядок G не содержит контуров
Было бы интересно выяснить при ^={1, 2, ., п), сколько
семейств ^ допускает данную диаграмм} Хассе; эта задача, назы-
называемая ино1да проблемой Рейки (Rainey), не решена еще для п > 5.
Пример 2 Транзитивный граф. Граф (X, U) называется тран-
транзитивным, если
Так, если вершины графа изображают шдей, а дуги — иерархи-
иерархическое превосходство (например, старшинство), то граф — транзи
1ИВНЫЙ
Пример 3 Тотальный граф Отношение кназипорядка <? назы-
называется тотальный когда для любой пары (лг, у) имеет место или
х ^ уУ ичи у ^ х, граф явчяется тотальным, если связанный с ним
квазипорядок—тотальный Справедливо следующее утверждение:
всякий сильно связный граф является тотальным.

ИНДУКТИВНЫЙ к РАФ И BA1U
19
Примем 4 Структурный граф а прадеревья Рассмотрим отно-
отношение порядка <1, определяемое графом (АГ, Г) без контуров; ^сли
множество мажорант некоторого множества BtzX имеет наименьший
элемент с то с называется верхней
гранью множества В отношение по-
порядка <^ называется структурным
(сверху), если каждое множество В
допускает верхнюю грань; в этом
случае говорят, чю граф (X Г)
является верхней структурой
Аналогично определяются по-
понятия нижней грани н нижней рис 2_1
структуры.
Частным случаем структурного графа явпяется так называем ое
прадерево1) с корнем а, например изображенное на рис 2—-1, Пра-
деревья буду г изучаться позднее (гл 16)
Индуктивный граф и базы
Множество ВсХ называется базой графа (А', Г), если оно удо
илетуоряет следующим твум условиям
A) Ь^В, Ь2?В Ь^Ь2^> ни ЪХ4,Ь2 ни b2^bv
B) х (? В =$ существует такая вершина Ь?В, что
. Рассмотрим граф, изображенный на рис 2—2 Множе
ство B=[b}f blt .,,}—его база, подграф же, порожденный мно
жеством Х\В> не имеет базы
Рис 2—2
Понятие базы графа участвует в многочисленных конкретных
задачах, относящихся к сетям коммуникаций, и мы увидим позднее
(гл 5 и 6), чю оно применяется и в теории игр Наконец,
с его помощью можно получать чисто теоретические результаты
1 Мы переводим гак термин arborescen.ee —Прим, пере&.
2*

9() Г Л 2 ПРЕЧЯАРИТЕПЬНОЕ ИЗЬЧЬНИЕ KBA3T-U ПОРЯДОЧРННОСТИ
или линейного анализа Здесь мы собираемся тотько найти
возможно более общие условия С)ществования базы i рафа как и слу-
случае когда он имеет конечное так и в случае, когда он имеет беско-
бесконечное множество вершин
Граф назыоаечся индуктивным, если каждый ею путь ji = [.*;,
х2, ] лопускает мажоранту г е если для каждого ;х существует
такая вершина z что
z>xn (я-1, % 3 )
Пример 1. Всякий конечный граф является индуктивным, ибо
есчи путь \у конечен, то мажорантой с |ужит его последняя вершина,
а есгш у- бесконечен то по крайней мере одна из вершин этого
пути повторяется бесконечно много раз и поэтому яв!яется его
мажорантой.
Пример 2 Напротив, граф изображенный на рис 2 — 2 не
явпяется индуктивным
В некоторых вопросах (ыава 5) понятие индуктивною графа
оказывается недостаточным, говорят, что граф вполне индуктивен
если для каждого бесконечного пути ji=[a*0 jc|p ] отношение
квазипорядка <^* а подграфе, порожденном множеством вершин
{Хц, x[t . \ мо/кно при достаточно больших номерах с и J пред-
представить в виде xt ==?
Рис 2—3
Пример Для графа, изображенною на рис 2—3, имеем
значит он вполне индуктиъен.
Очевидно, вполне индуктивный граф индуктивен, кроме того
имеет место основное свойство всякий подграф вполне индуктив-
индуктивного графа вполне индуктивен (Для индуктивных графов анало|ич-
ного предложения нет )
Лемма Цорна В индуктивном графе (X, Г) для любой
вершины к существует вершина z, не и иеющая строго последую-
последующих 1) и такая, что z ^ х
!) Вершину, не имеющую ciporo последующих (строго предшествующих),
называют еще максимальным (соответственно минимальным) элементом,
его нельзя путать с наибольшим (соответственно наименьшим) элемен
том(см [2| гл 1) —Прим перев

ИНД\ КТИВНЫИ ГРАФ И БАЗЫ 21
Это хорошо известный в теории миожестм результат; для дока-
доказательства его мы отсылаем читателя к [2] (гл I) или к Е Т F Ч
(гл 3)
Теорема 1 Всякий индуктивный граф обладает базой 1).
Пусть Z— множество тех вершин, у которых нег строго после-
последующих; рассмотрим в Z эквивалентность == определяемую отно-
отношением квазипорядка С (^i =z^ если z\ и Z2 принадлежат одном)
и тому же контуру) В каждом классе эквивалентности Ct выберем
некоторого представителя bt и покажем, что множество В= {bji{-]} 2)
является базой графа
Г' При 1ф] не может быть ЬГ^,Ь} так как в этом случае
было бы bt==bj (вершина bt не имеет строго послед)ющих) т е bl
и bj принадлежали бы к одному класс) эквиватентности (что невоз-
невозможно, поскольку классы эквивалентности попарно не пересе-
пересекаются)
2° ДГ1л х^В по лемме Цорна существует точка zQ не имеющая
строго последующих и такая, что zQ~^>x, пусть bt — представитель
класса эквивалентности С, ~ [zjz^Z, z^zo)t тогда
Теорема 2. Граф (X Г), обладающий конечной базой В,
индуктивен
Пусть |j, = [хр х2, ] — бесконечный путь графа (если такой
путь существует) и пусть br b2 —те вершины базы В, для
которых Ьп^хп при всех п так как множество В конечно, то по
крайней мере одна вершина bk встретится в последовательности (Ьп)
бесконечно много раз, тогда
bk^xn (п^\, 2. . )
Ч И Т Д.
Теорема 3 В множестве Z вершин, не имеющих строго
последующих, рассмотрим классы эквивалентности \z/z?Z,
z^z$\, база В если она существует образована элементами,
выбранны чи /ю одному из каждого класса эквивалентности
Если В — база, ю вершина Ь?В не может иметь строго поспе-
дующих; действительно из х р> b вытекало бы существование такого
bf ?В что Ь'^, х и значит b'^b> Ь'ФЬ, а это невозможно, так
как В— база
Хотя бы одна вершина из базы В принадлежит классу [z/z?Z,
z^zQ\, так как и противном случае не существовало бы пути,
ведущего из 20 в В
') Можно, между прочим, показать что это предложение равносильно
лемме Цорна, поэтому его прямое доказательство было бы длинным и
трудным
2) / означает множество {i} индексов в сеч классов Ct —Прим пере в

22 ГЛ 2 ПРРДВАРИТСЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ KBA3HVПОРЯДОЧЁННОСТИ
Два различных элемента b и Ь'^В не могут примадпежать одному
и тому же классу эквивалентности ибо иначе было бы Ъ = Ь' и
существовал бы путь ведущий из одной ючки В в другую точку Й.
Следствие Если граф об гадает базой, то все его базы
имеют одну и ту же мощность, в частности, все ба.ш конеч-
конечного графа (который, будучи индуктивным всегда обладает базой)
имеют одно и то же число элементов
Это вытекает из того чго классы экниваиенцюсти, о которых
идет речь в теореме S образуют разбиение множества Z.

Г ПАВ А 3
Порядковая функция и функция Гранди
для бесконечного графа
Общие соображения относительно бесконечных графов
Если Л — конечное множество то через \А\ б}дем обозначать
число его элементов Сс^и Л содержит бесконечно много элементов,
то полагаем |Л|=со
Граф (X, Г) называется конечным есш [Аг|<оо. Граф Г-ло-
печен если |Гх| < со для веек х, и Г~ -конечен если JF^ < со
для всех х, граф обладающий этими двумя свойствами одновременно,
называется локально конечным Очевидно всякий конечный граф
локально конечен
Наконец, граф называется Г-ограниченны.и, если с> шествует
такое целое чисто т, что \Тх\^т при всех х
Пример. I раф, изображенный на рис 3—1 Г-конечен ио не
является Г-ограниченным, он не является также Г' -конечным
Рис 3—1.
Если в графе не существует путей бесконечной длины, начинаю-
начинающихся в данной вершине х0, то говорят, что этот граф прогрес-
прогрессивно конечен в xQ; граф, прогрессивно конечный в каждой своей
точке, называется прогрессивно конечным
Граф называется прогрессивно ограниченны ч в вершине xQt если
существует такое целое число т 'по длина каждо) о пути, начинаю-
начинающегося в хь, не превосходит ту граф, прогрессивно ограниченный
в каждой своей точке, прогрессивно ограничен Прогрессивно огра-
ограниченный граф является в ю же иремя прогрессивно конечным, но
обратное неверно

<24 гп з порядковая функция и Функция
Наконец, говорят, что граф (X Г) регрессивно конечен соответ-
соответственно регрессивно ограничен, если граф (X Г) прогрессивно
конечен соответственно прогрессивно ограничен
Пример Граф, изображенный на рис. 3—1, прогрессивно конечен,
но не является регрессивно конечным, он прогрессивно ограничен,
хотя и содержит скоть угодно длинные п^ти
В этом параграфе мы намереваемся установить весьма общие
теоремы которые впоследствии позволят распространять утвержде-
утверждения о конечных графах на некоторые бесконечные графы. Важность
этой задачи очевидна если в психоаогии ичи исследовании операций
имеют дело с конечными графами то в геометрии и теории мно-
множеств напротив, приходится сталкиваться главным образом с беско-
бесконечными графами
Теорема I, Дгя конечных ?рафов свойства „прогрессивно
ограниченный" „прогрессивно конечный" и „без контурови равно-
равносильны
(Очевидно )
Теорема 2. Если граф (X Г) прогрессивно конечен и Т-ко-
нечен, то
|Г*|<оо (х?Х)
В самом деле, допустим, чю в некоторой вершине „г0 имеет
меао |Гх0|~оо, iак как |Гхо[< го то в TxQ ыайдекя чотя бы
одна такая вершина лг1р что |I^jc] J =со, точно так же в Га:, найдемся
вершина х2, д'|я ко юрой |Г*2| ~ оо, и т д Путь |л0, x[t xn, \
имеет бесконечною длину, что противоречит условию теоремы
Спедсгвие 1 Граф {X, Г) прогрессивно конечный в неко-
некоторой вершине х0 а Т-конечный, является также прогрессивно
ограниченны *л в х0
В самом дело, подграф, порождаемый множеством Гл:0 прогрес-
прогрессивно конечен, а значит, в силу теоремы 2, конечен, так как, кроме
того он не содержит контуров, ю он прогрессивно ограничен
(георема 1) Следовательно граф (ХУ Г) прогрессивно ограничен в xQ,
С тедствие 2 (Кёниг) Пусть (Л{ Л2 ) —последователь-
—последовательность конечных непустых попарно непересекающихся множеств,
а пусть -<—отношение, определенное для элементов двух после-
последовательных множеств Ап\ если оля любого элемента хп ? Лп
существует такой элемент хп-]?Ац-1> чмо хп_1^хп, то суще-

БЕСКОНЕЧНЫ!, ГРАФЫ 25
ствует такая пос ърдовательность (а} а2 .) где ап^Ап при,
всех п, что
Пусть X—объединение зее.ч множеств Аа, к которому добавлена
произвольная точка х0, опредечим на X отображение Г следующим
образом-
Граф (А', Г) Г-конечеы, он не является прогрессивно ограничен-
ограниченном ибо для любого т легко построить путь длины ш, беря неко-
некоторую точку ат в Л1П затем ат_х в Лт_т с условием ат_] ^ ат
и 1 д Ввиду следствия 1 граф не яв^ется прогрессивно конечным
в х0 позюму существует бесконечный путь [х0, а{, а2, .]; после-
доватечьность (#,, а2, ,) удовлетворяет требуемому условию.
Теорема 3 Множества вершин и цепей локально конечного
связного графа ложно перенумеровать.
Выберем произвольно вершину х0; пронумеруем цени дчины 1,
выходящие из х0 и их крайние вершины, затем станем нумеронать
цепи длины 2 и и\ крайние вершины (те, которые еще не получили
номеров) и т д Носко |ьку до любой вершимы можно добраться
по цепи, ныходящей из xQ все множество X и множество цепей,
идущих из х0 окажутся пронумерованными )
Теорема Радо [5] Пусть (X, Т) — локально конечный граф,
F$ — некоторое конечное множество целых чисел, каждому 1аЕ0
ностаеич в соответствие некоторое ЕA)аЕ^ Если для каж-
каждого конечного подграфа (Л, Гл) существует целозначная функ-
функция уД(х), удовлетворяющая условию
то на X существует целозначная функция у(х) такая, что
По определению, 9(^"-v) означает множество /= ftp (y)/y ?Гд:| 2).
') А так как множество всех цепей, выходящих из jc0) и множество Л!"
всех л0 оба счетны, то и множество всех вообще цепей можно перенумеро-
перенумеровать — Прим. пере в,
2) В оригинале f6 отсутствует, а /и Е{[) иросто предполагаются конеч-
конечными; но в такой форлтулировке теорема неверна —Прим перев

25 гл i порядковая функция и фчпшия гтанди
Пусть Ло —конечное под\шожеиво X, будем последовательно
составлять множества
ч
Множеава Лп конечны я образуют расширяющуюся последова-
последовательность, кроме тот о, граф можно предполагать связным (иначе бы
мы стали рассматривать каждую компоненту отдельно) и считать
поэтому, что от
,1-0
Обозначим более кратко через © = $А функцию соответствую-
соответствующую конечном} множеаву Ап, ее усечение ил множестке /10
(т е функцию, заданную юаько на Ло и совпадающую там с <рЛ)
обозначим чере-i ^. Среди функций <р? (для исеиозиожных п) имеется
только конечное чис ю различных Отсюда с.тедз-ej что ^JJ остается
одной и той же для бесконечного множества значений п, скажем для
Обо<шачим через «fj, Нечение фзнкции fft на множес1ве А1% по
указанной вьше причине эти усечения <uln одинаковы для бесколе »-
hoi о множества значений п скажем для
Обозначим через о2; усечение функции <р^ на множестве А2,
и т. Д
Функции ср^, ср>' ff|» определены соответственно на множест-
множествах Ао Av Л2, . , и еспи /? > q, то
Отсюда следует что д 1Я каждого х?Х величина ъпп(х) при
неограниченном возрастании я. стремится к некоторому пределу <р (х)
и тем самым определяется функция ф па X
Для любой вершины х$ существует такой номер п, что
причем
Следовательно,
Ч И Т Д.

ПОРЯДКОВАЯ ФУНКЦИЯ 27
Порядковая функция
Хорошо известным обобщением понятия целого числа сл>жит
понятие порядкового числа, напомним его
В LTpoMKe (x{, х2 , х]2) из 12 объскюв месю объекта л6
указывается символом Ь.
Допустим теперь, что собрание обьектов х{, х2 бесконечно
и что эти объекш расположены в некотором порядке, скажем
^ДГ^, Х^, 6 1 "^1' 2' ^з''
Если места объектов х4, а:- х$ можно определить обычными
целыми числами то для определения мест объектон хЛ х2, хг
потребуется ввести новые симвоты ш -\-1 дтя х: ш-\-2 для х2
со —|— 3 для х^ Симво in 1 2 uj —|— I to -j- 2, «> -|- 3 называются
порядковыми час га ми первого рода (ami непредельными порядко-
порядковыми числами), а симвот to не определяющий никакого места, —по-
—порядковым числом второго рода (или предельным порядковым чис-
числом).
Эти опреде |емия можно продолжать и дальше, например, при
порядке
Х-
место объекта х% б>дет со -\-4, место хх б)дет и>2-|-1
Для двух порядковых чисел а и [3 считают, что а < C если
объект месю которого укалывается символом а, предшестнуе!
объекту, место которого указывается символом р
Разумеется, порядковые числа можно оиреастшь строго при
помощи алгебраических понятий т)
Б теории i рафов понятие порядкового числа имеет б0 1ьшое зна-
значение так как оно позволяет переносить предложения о конечных
графах на некоторые бесконечные графы
') Пара образованная множеством X и отношением порядка <!, есть
толпе упорядоченное множество, если любое подмножество множестна X
имеет наименьший элемент. Два вполне упорядоченных множества (X, <)
и (Y, <О называются эквивалентными, если между X и У можно установить
взаимно однозначное соответствие з, при котором
Порядковое число будет тогда классом эквивалентности, содержащие
данное вполне упорядоченное множество Запомни;vf лишь результат: сами
порядковые числа вполне упорядочены отношением < (См. например, AJ
{гл. I)) (См также П. С. Александров. Введение в общую теорию
множеств и функций, М.—Л., 1948, или Ф Хаусдорф, Теория мно-
множеств, М —Л,, 1937. — Прим ред.)

«о гп з порядковая ФМ-тция и функция гр\иаи
Для заданного графа G = (X, Г) рассмотрим множества
Ясно, что эти определения можно продолжать неограниченно;
a — порядковое число первого рода, то полагаем
Л»-= [лг/Г*с*(а—1)}.
а если а — порядковое число второго рода, полагаем
Заметим, что если два порядковых числа я и 6 удовлетворяют
условию »<р ю Х(а)сХ($)
Порядком вершины х называется наименьшее порядковое число а,
тля которого
ф) при всех S < х,
Полагаем тогда i = о(х), раз)меется, некоторые вершины могут не
иметь порядка, к таким относятся, например, все вершины контура
Функция о (х), определенная, вообще говоря, не на всем X,
называется порядковой функцией графа.
XV)
Рис 3—2
Пример V графа, изображенного на рис 3—2, каждая вершина х
имеет порядок о(х), который указан на чертеже, тишь одна
вершина у имеет трансфинитный порядок Здесь X=X(\l)

ФУНКЦИИ 1РАНДИ 20
Теорема 4 Порядковая функция определена на всем мно-
множестве X в той а то гько в том случае, ее ги граф (X Г) про-
прогрессивно конечен
\° Пусть о(х) существует для всех х^Х, покажем, что граф
прогрессивно конечен С этой целью мы допустим, чю существует
бесконечный путь [а1 а2 .] и убедимся в том что это приводит
к противоречию
Положим A = \av a2 .); имеем А(\Х(О)=0
Если ЛПА'(Р)~0 для всех порядковых чисет ? < а, ю также
А[)Х(я)=0 Тогда в силу принципа индукции,
Af\X^0
Отсюда А = 0 то невозможно
2° Hao6opoi, предположим что существует вершина х не имею-
имеющая порядка, пусть В— множество всех таких вершин. Имеем #^0.
Если хх ? В то Г^т=^0 [ибо ^^Л^О)] поэюму в Гх] найдется
вершина лг2??, точно так же в Тх2 найдется вершина х^^В и i д
Путь [xv х2 лгд . .. ] обладает бесконечной длиной, и i раф не
может быть прогрессивно конечным
Функции Гранди
Рассмотрим конечный граф (А", Г) и функцию g> относящую
каждой вершине х целое число g(x)^0 Будем говорить, что g(x)
ести функция Гранда для данного графа если в каждой вершине х
G
о
Рис 3—3
значение g(x) представляет собой наименьшее из гех цетых неотри
цательных чисел, которые не принадлежат множеству
По1ьзуясь трансфинитными порядковыми числами, можно опре-
дечать функцию Гранди в Случае бесконечною графа. g(x) есть
наименьшее порядковое чисто, не принадлежащее множеству
Из определения с чедует что еслиГх=0 то нсобходичо g (д-)^0
Граф может не допускать функции Гранди (например, если у пего
есть петля) или же допускам более одной такой функции
Пример I Граф, изображенный на рис 3 — 3 допускае! две функ-
функции Гранди, значения которых указаны okoiu соогвеютвующих

30 гп э порядковая «дикция и функция ^
вершин; можно )бедиться, что если Гдг---^^, v2, } то g(x) -
лаимегьшее цгтое число, отличное от giy^), g (Уо)
Примгр 2 Граф изображенный на рис. 3—2 дои)скаег единствен-
н)ю функцию Гранди g(x): эта функция при х-д > раппа о (л;), а
в вершине у принимает трансфинитное значение ш
Теорема 5. Прогрессивно конечный граф допускает одну и
топко одну функцию Гранди g(x), при этом
Дока^ательС1во пол}чается непосредственно, ее™ провести инч\к-
цию по множествам
-- \\./Тхс:ХA))
Теорема Ь Ее га ]Гх]-^ьо tno g (х) -^ | Га
Ecivi g(x)—n iо функция g принимает в Гх нес значения
0, 1 2, , п -1, поэтому \Гх\ _^> п ^ g (х).
Теоремы 5 и Q показывают что функция g(x) не слишком
ovotho принимает большие значения; и частности для Г -конеч-
-конечного или для прогрессивно ограниченного графа значения g {x)
остаются конечными чис шми
Операции над графами
Рассмо1рим а графов G, —- (А',, ГД), </2 — (Х2, Г2), Ga—(Xn Vn),
а также граф О — (X Г), опреде ляемый с кдующим образом
(П^-^Х^Х X *„={(*! а2. xJIx^Xj пт д)
(декартово произведетше множеств А',),
B) 1 (Л^ Х%, , Хп) = 1 1Л'1 X * 2Х2 X • ' X 1 п ^п
Эгог граф обозначается сим^оюм О -GjX^X X ^J? и
называется произведение м i рафов Oz.
Подобным же образом сумма графов Gt no определению еиь
граф (X, Г) для которого
A) ^-^Х^Х Х^„
B) Г Г*! л> . хп) = \Гхг X U2) X [U
и1г^}ХГ^2х 1U U[(jfi}X^2!X ХГ/Я[
Этот граф обозначается снмвотом E = 0, f О2 ^ т~^«
Операции X и г- как они d-^ecL определены, хорошо известны
в теории игр; они встречаются и во многих других областях имею-
имеющих отношение к теории графов

ОПРРАЦИИ I-КД ГРА<1
31
Пример Каждая ил дв)х машин может находиться в определен-
определенном числе состояний Множество состояний первой машины обозна-
обозначим через Хь если состояние х\ может следовать ^а состоянием лгр
то попагаеч х{ ? Г1х1 Гем самым определен граф О3 ~ (Л\ Г,),
точно так же определяется граф G2 = (Хъ Г2) для второй машины
Оператор который может использовать чюбую из этих, двух ма-
машин, запишет в виде (х{, х2) ситуацию, когда периая машина
находится в сосюянии х^ а иторая — в состоянии х^ Если опе-
оператор приведет и дейстие обе машины одновременно, то граф си-
ситуаций б\де1 О, X ^2 Если же оператор станет каждый раз при-
приводить з действие точько одн> ич машин \о граф ситуаций буде*
Сохраняют ли операции над 1рафами свойство доп)скать функцию
Гранди? Прежде чем подойти к этому вопрос), мы должны ввести
понятие d-суммы порядковых чисел, снлчала вспомним, что deoi ч
ныч разложением целого числа с называется такая строчка (г1,
с2, . ск) чисел с1 (которые мог\т быть точько нулями и-ш еди-
единицами), чю
I I I J
Короче пиш>т
С — скск~1 с2с1
Эга двоичная запись образуется по тому же принципу, что и
десятичная, и тсгко установить соответствие
десятичная
запись
0
1
2
3
4
5
двоичная
запись
0
1
10
11
100
101
лиончнос
разложение
@)
A)
@,1)
AЛ)
(О0Л)
О.ОЛ)
десятичная
6
7
8
9
10
11
180ИЧЦЗЯ
запись
ПО
ш
1000
1001
1010
1011
двоичное
разложение
@,1,1)
(МЛ)
@, 0, 0,1)
A,0 0,1)
@Л.0Л)
ОЛ.ОЛ)
В арифметике \п\^ ичи п по модулю 2", смначает остаток
(равный н)лю И1И единице) от деления п на 2
По определению, d-сумма (подробно поразрядная двоичная
сумма по модулю два) целых чисел сх, с2,
число с =
Дйоичные разюжения cft =
П I 1/1
, сп есть целое
которое полечится если произвес1И
1к , . ) И ПОЛОЖИ |Ь
Так,
2 4
*-i
k~\
12)
3 -Ь7 =
. 0, 1) —A, 0, 0, 1)^=9 и т д

32 г л з порядковля функция и Фракция гранди
Эти поня1ия без труда переносятся на трансфинитные порядковые
числа; например двоичное разложение порядкового числа я = игЧ На-
Наесть нполне упорядоченное множество (с1, с2, .
с**"*2, ) чисеч, равных путо или единице, которое
образуется следующим образом: первая последовательность (от ?1
до сшП) ecib двоичное разложение числа 7, за которым идет бес-
бесконечное множество нулей, вторая последовательность (от сш+1 до
c2oJ+i) есть двоичное разложение числа 3 l последующим бесконеч-
бесконечным множеством нулей, третья последовательность есть двоичное
разложение чиспа 4 (дальнейшие ч^сны, все равные нулю, не пи*
шутся), итак
оJ4 + и>3 + 7^A, 1. 1 0 0, ; 1,1,0 0, ; 0, 0 1)
d-сумма порядковых чисел образуется, как и в случае конеч-
конечных чисел, сложением по модутю 2 членов, стоящих на одноимен-
одноименных местах; заметим что d-сумма трансфинитных порядковых чисел
легко получается с помощью табпицы ^-сложения конечных чисел,
например
Теорема 7. d-сумма -\- об гадает следующими свойствами*
A) ассоциативность (а-|- ji)-|- '{ =¦ a —[— (р + у),
B) существование нейтрального элемента 0, для которого
C) существование для любого а противоположного э ге мента
— а удовлетворяющего уаоваю a-f(—а) =* О,
D) колчутатитость a-\-$—$~\-at
(на языке ал!ебрн первые iри свойства выражают тот факт, что
порядковые числа образуют группу относительно операции d-сло-
d-сложения , а чензертос — что эта группа абелева).
(Непосредственно )
С л е д с 1 вне Для любых двух порядковых часе г % и р су-
существует такое порядковое число х, притом единственное гто
Это хорошо известное свойаво гр)пл, достаточно положить
Теорема 8 Если графы G]f G2 Gfl допускают соот-
соответственно функции Гранда glf gv . ., gn то граф G = GlJr
-\-G2-\- -l-^д также допускает функцию Гранди g, значе-
значение которой в вершине л =(xv х2 , , , *„) выражается d-cy мной:

ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФ\ЧИ 33
Покажем, что функция g(x) определенная таким образом на
множестве Х~-ХХ\Х X У^ц есгь функция Грзндп гхля
cvmmu G —(.Y. Г)
1° Для любого порядкового числа fi<g(x) в Гх существует
такая вершина у что g {у) = C
В самом jitiL рассмотрим авоичные раз южен ия*
Пусть г — наибольшее порядковое число для которого У Ф сг
[такое есть поскольку 3 -f= g (x)l) ]; ввиду того что $<g{x)t имеем
^О, с
г
=1
Значат, срет.и чисел с~ с^, ., , с'п имеется хотя бы одно, равное
единице; например пусть cj=l Положим
( с\. если рл==с?4;
= f^+lW *
В Г1х1 существует 1акая вершина yJt что g^<yl)~(d* d2 . . ),
и мы имеем
2° 5 множестве Vx яет. такого у, для которого было бы
В самом деле, рассмотрим вершину у=^(у1, лг2, хг, ,..,
где ^je^i^i- и положим
Так как g (у ) Ф g (х \, то й?г =^= с[ для некоторого порядкового
числа г и
-l с -(- ... 4- ся]р, + \с[ 4- 4 + • • + ^
Следовательно.
Этот результат дающий правило вычисления функции Гранди
для суммы графов, будет играть фундаментальную роль в последую-
последующих павах,
') И поскольку в твоичное разложение любого порядкового числа входит
лишь конечное число единиц, — Прим ред.
3 К Берж

ГЛАВА 4
Основные числа теории графов
Цикломатическое число
Понятие, которое мы собираемся здесь ввести не зависит от
„ориентации". Для ботыией общности введем в рассмотрение не просто
графы а мультаграфы) по определению, иультиграф (X U)
это пара, образованная множеством X вершин и множеством U
ребер соединяющих некоторые пары вершин, в противополож-
противоположность обычным гряфам у мультиграфа одна и ia же пара вершин
может соединяться ботее чем одним ребром
Во многих задачах удобно вместо обычных графов рассматри-
рассматривать мультиграфп
Пример (химия). Молекула 11реаставаяется муштиграфом вер-
вершины которого обозначены символами таблицы Менделеева (Пойа [4]
применил теорию графов к органической химии для подсчета числа
изомеров химических соединений) Говорят также, что этилен яз-
чяется 2-графом, ацетилен — 3-графом) и т. д (см рис 4—1)
НЧ ~ /Н
н/ хн
Этилен Ацетилен
Рис 4—1
Рассмотрим м^льтиграф Gen иершинами т ребрами, р ком-
1юнента1/и связности Положим
*((j) — пг — (i(G) ¦= т — п -\- р,
называется цикламатическич числом Л1>льтиграфа G. Его
свойства играют важную роль'1)
') Цикломатическим числом графа называется цикломатич^ское числ<
того 2-i рафа который потучитсн, если каждую д>гу заменить ребром -
При м пербв

ЦИКЛОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСТО 35
Теорема 1 Пусть О —мультиграф полученный из мулъти-
графа О добавлением нового ребра между вершинами а и Ь\ если
а и b совпадают или чогут быть соединены цепью в G, то
в противно ч случае
(Нелосредивенно )
Следствие р (С) > О, v (G) >- О
В самом деле, для графа, образованного всеми вершинами О,
но без ребер имьем р—О, ^ = 0. Каждое добавление ребра либо
увеличивает о, не меняя v либо увеличивает / не меняя р таким
образом, в процессе построения графа О числа р ц v могут только
возраста1ь
Для дальнейшего удобно следующим образом огохдсств7.ять
циклы мультиграфа с векторами придадим каждом) ребру мульти-
графа О произвольную ориентацию, есчи цикл <i проходит черс^
ребро Мк в направлении его ориентации гк раз и в противопо-юж-
противопо-южном направлении sk раз, то полагаем ск = гк — 5Л Вектор
(с] с\ , ск, ст)
/я-мерного пространства Rm б^дсм называть ееьторо ч-циклоч,
соответствующим }шклу р, и обозначать через jt (или опять
через [а, если это не может привести к недоразумению)
Циклы \у \у!', и", называются независимыми если cooi лет -
стелющие им векторы линейно независимы3) Отметим, что это
свойство не зависит от выбора ориентации ребер
L) Напомним некоторые классические определения вдшилои алгебры
Если с —(с1, с2, ,ст) и d = (d\ dz, ,</m) —дьа вектора из R™,
а а ^ R, то полагаем
— с-(-с1, —с2, , — ст),
с -f d = (С -f d> с2 -f- d\ iCm-\-dm)
0=@ 0, , 0)
Множество EczR171 представляет собой векторное подпростран-
подпространство если
cc F
с d€
Гоиоряг что векторы с с2 с^ из Rw линейно незатсимы. если
, - а2 - = ал = 0
Напротив, когча для некоторых чисел ^ не равных одновременно нулю,
-(- а2с2 -f- + tf*cfc== 0» говорят, что данные векторы линейно
3*

36 П 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРЕФОВ
Имеет место
Теорема 2 Цикломатическое число v(О) мультиграфа G
равно наибольшему количеству независимых циклов
Действительно, иозьмем граф без ребер, образованный всеми
вершинами 6 и, добавляя к нем} ребро за ребром, построим дан-
данный мулы и граф О В силу теоремы 1 цик юм этическое число
увеличивается на единицу, когда добавление ребра приводит к обра-
образованию новых циклов и не меняется в противопо южном случае
Допустим, что перед гобавлением ребра uft >же имелась баяа,
состоящая из независимых циклов pij \у2, , и что добавление uk
повлекло за собой возникновение циклов vp v2, .. Среди новых
циклов иаверняхЧа имеются простые, пусть, например. Vj — простой.
vfr = 1 Очевидно vy не може! линейно выражаться через pt (ибо
\ь\ =- [а* = =0) С другой стороны, v2 (и аналогично уу )
можно линейно выразить через /j. |х{, jxL>, и самом деле, век
тор v2 — ;*v соответствует некоторому цикау, не содержащему ий
(эгог цикл поручается нз >2 заме1{Ой ребра ик оставшейсь частью vt
с измененным направлением обхода), и, значит линейно выражается
через «Aj, u2,. . . Таким образом каждый шаг, упеличивающий на
единицу циклом ати чес кое число, в то же время увеличивает на
единицу наибольшее количество независимых циклов Теорема до-
доказана
Следствие I Граф G не имеет цшеюв тогда и только
тогда когда v (О) = 0
Следствие 2 Граф G имеет один единственный цикл
тогда а только тогда, когда v(G)=l
Теорема 3 В сильно связном графе цикломатическое число
равно наибольшему количеству независимых контуров
В самом деле, рассмотрим 2-граф. получающийся заменой дуг
данного [рафа G ребрами, и элементарный цикл jj., вершины, встре-
встречающиеся а цикле р-, можно распределить по следующим множе-
сизам множество S точек обладающих тем свойством, что одна
из д>г а исходит из точки, а другая заходит в нее, множество 6'
зависимы Если о, ф 0, то можно также написать
a, a,
в этом случае говоря:, что с{ линейно выражается через с2, с3 ., cfc
База векторного подпространства t есть такое множество векторов
{е,, е2, ек} нз В, что каждый вектор подпространства & линейно ныра-
жается через векторы е;, наименьшее т чнсеч k называется размерностью
подпространства В,
Б ?- R о^на из баз образуется векторами
€,«A,0,0, 0), еа = @,1,0, ..,0),,., ет-@, 0, 0, ,,., 1),

XPOMATH4LCKOE ЧИС10
37
точек, из которых исходит по две ауги [*, множеиво
в которые заходиi по две ду1И jx (см. рис 4 — 2).
Так как количество конечных точек раьно количеству
ных то \S'\ = IS"|, итак, пусть х[, x'r .
"
а л
1
x"k — элементы S'
х'к—элементы
точек,
началь-
начальРис 4—2
В цикле а элементы S' чередуются е элементами $', и мы предпо-
предположим нумерацию вершин такой что первая вершина после х'г не
принадлежащая S естьд:^, наконец, если р,0—путь, в котором вер-
вершина х встречается раньше вершины у. то обозначим через ^[х у]
частичный путь из х в у Поскольку i раф сильно связен, существует
контур |а?> проходящий через
J
и x't и содержащий дуги р на
п^ти ог х[ г к х!. Пикт
ров ибо можно написать
является линейной комбинацией конту-
конту= р.[х[ х;\-ь[4, х[\+[.[*;. 4] +¦
Значит каждый элементарный цикт есть линейная комбинация коп-
туров и то же справедливо для произвольного цикш (поскольку
он являе1СЯ линейной комбинацией элементарных)
В К"г контуры образуют базу векторного подпространства, порожден-
порожденною циклами и в силу теоремы 2 о га база имеет размерность v (G);
поэтому наибольшее число независимых коьтуров равно v(G)
Хроматическое число
Пуепь дано натуральное число р, говорят что граф G является
р-хро матическим если его вершины можно раскрасить р различ-
различными цветами таким образом, чгобы никакие две смежные вершины

38
ГЛ 4 ОСНОВНЫГ ЧИСЛ\ ТЕОРИИ ГРАФОВ
не были окрашены ояииаково Наименьшее число р при ко юром
граф G является /^-хроматическим называется хроматическим час-
дом это] о графа и обозначается символом -({О)
Пример. Географическая карта
Нарисуем на пюскости карту, содержлщ)Ю множество А" стран,
и положим (л: у) ? U сети страны х и у 1раничат между собой.
Рис 4—3. 4 хроматическая карта (выбор цветов 0, 1 2, 3
соответствует значениям некоторой функции Грзнди дтя сим-
симметрического плоского графа, изображенного жирными ли-
линиями; вершины цвета „О" образуют наибольшее множество,
которое можно закрасить в один цвет)
Граф (A' U) — симметрический к обладает к том} же весьма приме-
примечательным свойством его можно начертить па тоскости так, чтобы
никакие два ребра не пересекались (в точках, отличных от гранич-
граничных) Такие графы называются плоскими. Известно что хроматиче-
хроматическое число плоского i рафа никогда не превышает 5 (см гл. 21),
таким образом, пяти красок достаточно для раскрашивания карт
(плоской), при котором никакие дне соседние страны не окраши-
окрашиваются в один и тот же цвет
Хроматическим классом графа называется на^рачьное число qy
обладающее следующими свойствами:

ХРОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСТО
39
1° каждое ребро графа можно окрасить в какой-нибудь из q цве-
цветов 1аким образом, чтобы никакие два смежныч ребра не были
окрашены одинаково,
2° зто невозможно сде тать с помощью только q — 1 цветов.
Хрома|Ический кааес графа (A' U) совпадает с хроматиче-
хроматическим числом графа (U Г), определяемого следующим образом
вершинами его счужа! ребра исходного графа и и'?Ги. когда
(XV)
(ЦТ)
1> и с 4—4
ребра и и и' исходного графа смежны (см рис. 4— 4). Таким об-
образом, задача определения хроматического класса сводится к изу-
изучению хроматического числа
Приводим леекоаько основных резолыатов, относящихся к хро-
хроматическим числам
Теорема К с н и г а Граф является бихро иатическам (т е.
имеет хроматическое число -<^ 2) в том и только в том случае если
он не содержит циклов нечетной длины,.
A) Рассмотрим граф (X, U) беч нечетных циклов и покажем,
что он — бихроматический Граф можно предполагать связным
(в протинном случае мы рассмотрели бы все ею компоненты связ-
связности отдельно) Будем последовательно раскрашивать вершины по
счетающему правилу
Г произвольную вершину а окрашиваем в синий цвет,
1° ест вершина х уже оказалась синей jo псе смежные с ней
вершины окрашиваем и красный цвет, если вершина у — красная,
то все смежные с рей окрашиваем в синий цвет
Так как граф связен каждая его вершина рано или поздно
окажется окрашенной, причем никакая вершина л пе будет одно-
одновременно синей и красной ибо иначе х и а находились бы на од-
одном цикле нечетной длины Следовательно, граф —бихроматический.
B) Сели граф—бихроматический, то он, очевидно не содержит
циклов нечетной длины ибо вершины 1акою никла невозможно
окрасить дкумя цветами в соответствии с указаниим требованием.
Замечание Свойство.
A) Граф G не смеет цикгов нечетной длины
рДВНОСИ 'IbHO СВОЙСТВ}

4Q ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
B) граф О не имеет элементарных циклов нечетной длины.
Непосредственно ясно что A)^^B), л w доказатьчьства того что
B)^фA). допустим что существует цикл jjl = [xQ, xv хр^х^]
нечетной длины р Каждый раз кот да имеются такие две вер-
вершины X} и xk, <то j < k < р и Xj~xk, цикл [х можно разбить
на два частичных цикла ^[v,, xr\ и }ь[*0, *yl-KM**» Л»! причем
ровно один из si их двух циклов имеет нечетную длину.
Ясно, что если продолжать таким же образом разбивать цикл р,
пока это возможно, то всякий раз будет оставаться в точности один
цикл нечетной длины, дойдя в конце концов до элементарных цик-
циклов мы получим противоречие с B).
Эти результаты позооляют легко распознавать бихроматические
графы, что же касается других графов то для них графические ме-
методы определения хроматического числа неизвестны Отметим,
однако, что во многих случаях благодаря следующей теореме
действенным орудием оказывается понятие функции Гранди.
Теорема 4 Пусть О — симметрический граф Чтобы
граф G был р>хроматическим необходимо и достаточно, чтобы
он допускал функцию Гранди g(x), для которой
тзх g(x) .<? р — Ь
\° Если такая функция g(x) существует, то граф G является
/^-хроматическим: в самом деле, достаточно числам 0, 1 , . р— 1
поставить в соответствие различные циета и окрасить кажд)Ю вер-
вершину х в тог цвет который отвечает числу g(x)
2° Предположим, чго граф р- хром этический, и докажем, что
на G существует функции Гранди, значения которой не превы-
превышают р — 1
Пусть S[}, 5, Sp-\ — множества вершин с одинаковыми цве-
цветами Присоединим к 50 все вершины из S^, не смежные ни с одной
и^ вершин Sfl. Далее присоединим к So все вершины из «S2. не смеж-
смежные ни с одной из вершин Sq и вершин S{, ранее присоединенных
к Sq Затем лоследов1тег1ьно поступим подобным же образом с мно-
множествами 53, , ., Sp_} В результате получим множество 50гэ50.
Пополняя подобным же образом множество SjXSy не смежными
с ним вершинами из S2\S0, а затем из 53\50 и т. д , получим
множество 5j Аипогичио определяем множество 52, затем S3
и г д
Функция g(x), равная k при x^Sk, есть функция Гранди для
графа G, что и требовачось
Указания для нахождения хроматического числа. Рассмотрим
граф G t n вершинами и т ребрами, для нахождения его хрома-

ХРОМАТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО 41
тического числа можно воспользоваться эмпирическим способом,
весьма простым непосредственно применимым, но не всегда эффектив-
эффективным; можно использовать и аналитический метод который система-
систематически дает решение но требует вообще говоря, применения
э ^тронной вычислительной машины1)
Эмпирический способ состоит в том, чюбы отправляясь or
произвольной раскраски цветами 12, , р стараться ностетшю
исключить какой-либо из этих цветов (который объявляется „крити-
„критическим цветом") Для этого рассмотрим вершину х имеющую это г
критический цвет и компоненты связности С{ , С{к, ., подграфа,
порожденного вершинами дв>х некритических цветов j и k Если
множества С\ (]Гх, С?{\Гх и i д не ягнился двухцветными,
то имеется возможность сразу изменить цвет вершины х берем
отдельно каждую компоненту CJk, для которой нее вершины CJk ПI х
имеют цвет j затем меняем ролями в этой компоненте цвета j и к
(не менял цветов других вершин) и наконец окрашиваем краской j
вершину х (теперь уже не смежную ни с какой зершилой цвета J).
Аналитический метод проверки возможности раскрашивания
графа G посредством р цветов состоит в следующем Каждом}
раскрашикзнию р цветами можно поставить в соответствие систему
таких чисел %lq A де i = I 2, , п, q = 1 2 . р), что
i [ 1 если вершина х1 имеет циет q,
4 1 0 в противном случае.
Положим
1, есчи х( — граничная точка ребра а,,
0 в пр01ивном случае.
г1 —
Задача сводится теперь к отысканию таких целых чисел 4-
1° 4>0 (/=12, я. ^ = 1. 2 р),
р
2
п
3° 2 П'4 < 1 G=1-2 т, q=\ 2, .... р)
Мы получили систему линейных неравенств, соответствующую,
как легко видеть, известным методам „линейных программ"; однако
1) С>ществ}ст еще рекуррентный способ, (см [Ь], [7\, [8]) —Прим
пере о

42 ГЛ 4 ОСНОВНЫЕ Ч1|СП\ ТЕОРИИ ГРАФОВ
в дайном случае требуется выяснить, имеет пи ^ia система решения
в целых числах и только соисем недавно был разработан система-
систематический слособ для нахождения такого решения1)
Рассмотрим теперь дна различных графа О и И, може1 оказаться
жечатетьиым определить хроматическое число их суммы О -|- И
или их произведения G уН (см г л 3) Имекн место следующие
результаты
Теорема 5 Пусть G —~(р-\-\)-хроматический граф,
И — {q-\-\yхроматический граф, обозначим через г наибольшую
из d-сумч р'~\-q' где /?'</? q' <<?, тогда граф О -\- Н яв-
является (г Н-1)- хроматическим
Дейсгпигелыю всегда можно предположить что графы О и Я
симметрические (эю никак не изменит ребер графа G-f-Я), по-
построим дтя О функцию Гранди g(x) с наибочьшим значением, не
превосходящим р а для И — ф}нкцию Гранди h (x) с наибольшим
значением не превосходящим q в соогветств11и с предыдущей тео-
теоремой В сил} теоремы 8 (гл 3) граф О-\-М гопускает функцию
Гранди с наибольшим значением не превосходящим г, отсюда и
следует справедливость утверждения
Например читать 1егко проверит что если О 6-хроматический,
а Н 7 хроматический граф, то граф О ~^- И является 8-хрома-
тическим потом) что
Теорема б Если G и И—два разгичных графа с хрома-
хроматическими числами р и q, a r-=min{p q\, то граф G У1 И яв-
является г-хроматическим
Предположим ,тля определенности, что p<?q> и раскрасим
граф О с помощью р цветов; в графе G X Н придадим вершине
$~(х, у) ют же цвет, который имеет х л G Гогда смежные вер-
вершины графа ОХН буд>т иметь различные цвета (ибо иначе в G
имелись бы одинаково окрашенные смежные иеришиы)
Ч И Т Д
Эт> теорем) можно выразить еще и так
1) Этот систематический способ которым мы обязаны Гомори [9] осно-
основывается на симплскс-мстоде Данцига (G. Dantzig) и в общих чертах
состоит в том что сначала решается обычная линейная программа, а затем
если какой-ииб>дь из переменных в этом решении отвечает нецелое число,
то составляется некоторая новая система неравенсiи, которым удовлетворяю!
искомые цеючмеченные значения но не удовлетворяют уже найденные

1 ИСЛО ВНУТРЕННЯЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Число внутренней устойчивости
Рассмотрим граф G=;(X Г), множе^-тво 6 с: V называется
внутренне устойчивы ч, если никакие две вершины 5 не смежны
другими сновами если
TSftS=0
Обозначим через ?? семейство всех внутренне устойчивых мно»
жеС1В графа; имеем
AcS
По определению число внутренней устойчивости графа О есть
a (G) = max \S\
Пример 1 (Га\сс) Задача о восьми ферзях.
Можно ли на шахматной доске расставить восемь ферзей так,
чтобы ни один из них не находился под ударом какого-либо дру-
другого? Эта известная задача сводится к нахождению наибольшего
8
7
8
5
Ч
3
2
1
{72 63 К 85)
F752837W
Рис 4—5
внутренне \стойчпвого множества в симметрическом графе с 64 вер-
вершинами (клетки шахматной доски), где у^Тх, К01да щетки х и у
находятся на одной и той же горизонтали вертикали или диагонали
Задача значительно труднее чем кажется на первый взгляд: Гаусс
первоначатьно предполагал 76 решений, а в берлинском шахматном
журнале „Schachzeiumg" в 1854 юлу бычо опубтиковано всего
40 позиций найденных различными любителями шахмат На елмом же
дече существует 92 решения как показывают следующие 12 диаграмм
G2631485) F1528371) E8417263)
C5841726) D6152837) E7263148)
A6837425) E7263184) D8157263)
E1468273) D275186^) C5281746)

44
Г Л 4 ОСНОВНЫЬ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
Каждой перестановке огвечае1 диаграмма, как на рис 4 — 5
а каждая диаграмма кроме той которая соо!ветствуег л ос те дней
перестановке порождает восемь различных решений: три возникают
при повороте данной диаграммы на 90\ 180" и 270° а остальные
четыре — при зеркальном отображении каждой m четырех получив-
получившихся диаграмм относитетьно павиой диагонали, последняя пере-
перестановка C5281746) дает только четыре решения, так как соответ-
соответствующая диаграмма при повороте доски на 180° переходит сама
в себя
Примьр 2 К шкой симметрического графа называется такое мно-
множество C<zzX, что
рели X—множество чип а у?Тх означает сопасие межд> х
и у, та часто требуется разыскать ямаксимальную клику т е
общество с наибольшим числом членов Определим отображеще Iv
следующим образом:
Задача сводится к нахождению наибольшего внутренне устойчивою
множееща в трафе (X Г')
Пример 3 Задача о пятнадцати девушках, которая была пред-
меюм mhos очисленных математических pa6oi может быть сформу-
сформулирована следующим образом в пансионе воспитываются пятнадцать
молодых девушек, которых мы обозначим буквами а, Ь, с, d e /,
g h i j k L m, n, о, они ежедневно выходяа на прогулку трой-
тройками, возможно ля н течение семи дней составлять тройки таким
образом чтобы никакие две девушки не попадали в одну и ту же
тройку более одного раза >
Пользуясь соображениями симметрии, Кэчи нашей следующее
решение-
С\6оота
Воскресенье
afk
bgt
chm
dm
ejo
Поножсльрик
abc
спи
dfl
gl*
ijm
ВТО]>|I!К
bcf
deh
gio
jkn
Среда
ado
bik
cjl
e^m
fhn
Четверг
agn
bdj
cek
fmo
hil
Пя-пшия
ah]
brnn
edg
efi
klo
aci
blio
dkra
elu
Задача о пятнадцати девушках родственна другой, столь же из-
известной задаче, которую мы назовем д с по чо га тельной задачей
можно ли из 15 девушек последовательно составить 35 различных
троек так, чтобы никакие две девушки не входи аи имеете более чем

ЧИСЛО BHVTPEHHFM УСТОЙЧИВОСТИ
45
и одну тройку ^ Дгуя решения вспомогательной задачи достаточно по-
построить граф О, вершинами которого служат все 455 возможных
троек причем две гройки считаются смежными, koi да и эж тройки
входят одни и ге же две 'tea ушки тогда требуется наиги наиболь-
наибольшее внутренне устойчивое множество. Имеем а (О) .^35, так как
никакая девушка не может и ходить более чем а семь различных троек
а это дае; самое большее 15Х?Х7з = 35 чроек, поэтому всякое
внутренне устойчивое множество из 35 троек максимально
Чтобы показать что решение вспомогательной задачи даст также
ответ па задачу о пятнадцати девушках, построим граф Ог верши-
вершинами которого служат какие-либо д5 троек, лающие решение вспо-
вспомогательной задачи, причем две тройки считаются смежными когда
в них входит одна и та же девушка- если хроматическое число 7@')
равно 7, то задача о пятнадцати девушках решена; если же у (G') > 7
то надо выбрать другое множество троек, дающее решение вспомо
гателыюй задачи Нетрудно проверить что существуют такие реше-
решения вспомогательной задачи которые не приводят к решению задачи
о пятнадцати девушках
Замечание 1 Хроматическое число т(О) и число внутренней
устойчивости а (О) связаны неравенством
* (О)
т
В самом деле, можно разбть X ua ? (G) внутренне устойчивых
множеств образованных вершинами одинакового цвета и содержащих
соответственно т
сершип Поэтому
-f-
... +*(<?) = Т@) а (О).
Заиечание 2 Можно поста-
поставить вопрос не являются ли связи
между обоими понятиями более
тесными и нельзя ли найти хрома-
хроматическое число окрашивая сначала
в цвет A) наибольшее внутренне
устойчивое множество S:, затем
в цвет B) наибольшее внутренне
устойчивое множество S2 подграфа порожденного вершинами X\Slr
далее в цвет C) наибольшее внутренне устойчивое множество остав-
оставшегося подграфа и т д Оказывается это не так. что видно на
примере графа изображенного на рис i—6 (его хроматическое
число очевидно, равно 4), вершины изображенные белыми кружками
образуют единственное наибольшее внутренне устойчивое множество,
Рис 4—6

46 111 ОП-Ю1ШЫЕ ЧИСЛА. ТЕОРИИ
но ести ич окрасить в один цвек то остатьные вершины abed
надо было бы окрасить с помощью только трех цветов а это, оче
видно невозможно
Иногда для двух графов О и И возникает нопрос о нахождении
числа внутренней устойчивости произведения О
(Шеннон {Ъ\) Задана об аяфор чацаоппой емкости
множества сигналов
Рассмотрим п рос гейш ий случай одного передатчика который
может передавать пять сигналов а Ь, с, d, е, при приеме каждый
ич этих сигналов может быть истолкован двояко сигнал а дает р
или q, сигнал Ь itaei q или г, и т. д .,, как показано на схеме
изображенной на рис 4—7 Какое наибольшее число сигналов можно
принять, не рискуя спутать ич
*^ s * п друг с другом ^Задача сводится
к нахождению наибольшего
вн> гремне устойчивого множе-
множества 6 графа G (рис. 4— 8) где
две вершилы смежны, если они
представляют такие сигналы,
которые можно спутать при
приеме; очевидно а (О) = i и
можно взять S=\a, с).
Вместо однобуквенных сиг-
сигналов можно пользоваться
Рис 4—7 Рис 4—8 „словами" из т.вух букв с та-
таким расчетом, чтобы эти слова
не питались др>г с лр>юм при приеме Из букв с и с, которые
нельзя спутать составляется код. аа ас, са ее, таким образом,
получаются [a(G)]2 —4 слова Но можно составить еще более бо-
богатый код. аа, be ce, db, ed (Непосредственно проверяется, что
никакие два из этих с.юв спутать одно сдр>гимпри приеме нельзя.)
Назовем здесь произведением дв>х графов G = {X V) и H=(Y V)
граф О X W вершинами которого служат пары ху где х? X, у? К,
причем 1ве вершины ху и xryf смежны если они } гое четворяют
одному из следующих >сювий
2° (х
3° (х x')
(Это определение несколько отличается от определения, данного
в гл 3, но мы не будем вводить другого обозначения ) Для графа О.
изображенного на рис 4—8, два слова ху и х'уг могут быть перс-
путаны, если они являются двумя смежными вершинами графа-ггро-

число внутренней устойчивости 47
из ведения О X G — G2, и богатство кода с двухбуквенными словами
ныражается числом a(G2) = 5, в более общем случае богатство кода
с я-букиенными словами иыражается числом внутренней устойчивости
графа -произведения
Gn = GXGX . Х<Х
Лемма 1 Для двух графов G а И
ДейС1Ви [ельно если 5 и Г — наибочыдие внутренне устойчивые
множества соответственно для О и И то декартово произведение
Sy^T явтяется внутренне устойчивым в графе Оу-^М, откуда
а (О X И) > | S X Т | = | S | X ! Т | = а (О) о,{И)
Эта лемма подсказьшаеч нам евд^ющее определение назовем
емкостью графа О чисхо
Имеем 6@M>сс@), мы собираемся показан» чю почти всегда
6@) = а (О)
Между прочим, Шеннон усганоаил что граф О, изображенный
на рис 4—8, является единственным графом с чис юм вершин менее
шести, для которого О (О) Ф а (О), фактически его емкость б (G) не
удалось определить, и известно лишь, чю
Рассмотрим однозначное отображение а множества X в себя,
такое отображение называется сохранным, если
уфх, у <?Гх => з{у)фс(х) о(у)?То(х)
Это отображение сохраняет свойство лары вершин 31быгь несмеж-
несмежными и разаичными"
Лемма 2 Сохранное отображение о переводит инутренне
устойчивое множество 6 во внутренне устойчивое множество a(S),
и при этом | 51 — | а E)
В самом деле, ввиду однозначности отображения о имеем
5 \ S |, а так как а сохранно, то | a (S) | = | S |
Лемма 3 Если множество а (X) внутренне устойчиво, то
чис АО внутренней устойчивости графа G есть а (</) = | о
Действительно, раз о (X) внутренне устойчиво, то

48 I т * основные числа tfophh графов
С лр}гой стороны, если So—наибольшее внутренне усгойчшзое
множество, го в силу леммы 2,
|
Отсюда
Теорема 7 (Шеннон) Если хотя бы для одного из графов О
а И существует сохранное отображение <з переводящее множе-
множество вершин этого графа во внутренне устойчивое множество то
Достаточно показать, что я(ОХЯ)^а(О)я(Я), щсть а — со-
сохранное отображение для О, при котором <з(Х) внутренне устойчиво,
и пусть а0 — отображение множества вершин графа О X Н в себя,
определенное следующим образом.
°о(*. У) —И*) у]
Отображение о0 переводит две несмежные различные вершины
* ={*, у) и V — (х' у') в две несмежные различные вершины (ал: у)
и (зх\ у') и поэюму сохранно
Если ^о — наибольшее внутренне устойчивое множество графа
ОХЯ то а (О X Н)= |50[ = |а0 (So)\ в силу леммы 2, распределим
элеменш 3q(>S0) по разлши'ым классам в зависимости oi первой буквы
каждого слова Согласно лемме 3 получим ]о(Х)\ =a(G) различ-
различных классов Поскольку никакие ава элемента из <у0F'о) не смежны,
каждый класс имеет самое большее а (Я) элементов, зиачит
а (ОХ Я>=|аоE„)| <я(О)а(//)
Следствие Если множество вершин графа О при помощи
сохранного отображения з можно перевести во внутренне устой
чивое множество, то емкость этого графа совпадает с числом
внутренней устойчивости
В самом деле.
а (О X О X О) = [«(О)]2 а (О) = [а [О
и 1 д ,
отсюда
О (О) =^ sup Ka(G") = a@).
Число внешней устойчивости
Пусть дан граф О —(Л, Г), говорят, что множеаво ТсХ внешне
устойчиво если для каждой вершины х ^ 7 имеем Га П 7=^0.
иначе гоиоря если Г~'7^ДГ\Т,

ЧИСПО ВНЕШНЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
49
Если J* ~ семейство всех внешне устойчивых множеств графа, то
По определению, число внешней устойчивости графа О есгь
p(G)= mm | ТК
тез'
Задача, которая нас сейчас интересует, заключается п построении
внешне устойчивого множества с наименьшим числом элементов
Пример 1. Задача о часовых В тюрьме города N около каждой
камеры может быть поставлен
часовой. Однако часовой стоя-
стоящий, например, у камеры х0,
видит также что происходит
в камерах
2,
и х4> от
каждой из которых к камере х0
и лег коридор как показано
на рис 4—9. Каково наимень-
наименьшее количество часопых не-
необходимое для набиодения за
всеми камерами^ Требуется
най1 и число р внешней устой-
устойРис 4—9
чивое! и симметрического графа, изображенного на рис. 4—9, для
этого весьма простого плана § = 2.
Пример 2 Задача о пяти ферзях.
Сколько ферзей достаточно расставить на шахматной доске так,
чтобы каждая клетка доски находилась под ударом хотя бы одного
hi них?1) Эта задача сводится к отысканию наименьшего внешне
устойчивого множества в графе с G4 вершинами (клетки доски),
} которого (д\ y)?_U тогда и только тогда, когда клетки х и у
расположены па одной и той же горизонтали, вертикали и in диа-
диагонали
Число внешней устойчивости р = 5 для ферзей, р = 8для ладей,
[3 = 12 для коней J3 = 8 для слонов (см рис. 4—10).
Пример 3 Задача о шести красных дисках
Любителям французских ярмарок хорошо известна следующая
игра большой белый диск (радиус которого примем за единицу)
лежит на столе, требуется полностью покрыть его шестью малень-
маленькими красными дисками (радиуса р < 1), которые последовательно
') Считая что к четка занимаемая фигурой, юже находится под ее ) да-
даром — Прим пере а.
4 К

50
П! 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГРАФОВ
кладут на с гот а положив, более \же не перемещают При ка^ом
наименьшем радиусе р это возможно^
Задача сводится к нахождению наименьшего внешне устойчивого
множества Т для бесконечного графа (X, V), где X—множество
ючек белого диска, а (а у)??/. когда расстояние d(x, у) между .V
и у не превышает р
Рис 1—10
Для отыскания наибольшего внутренне устойчивого
или наименьшего внешне устойчивого множества можно последова-
последовательно рассматривать каждое множество ТаХ и проверять, удовле-
удовлетворяет ли оно всем требуемым условиям Конечно, в общем случае
этот метод исключения практически недоступен, и надо прибегнуть
к каком)-либо алгорифму, т. е к сокращенном) способу таких вы-
вычислений (иногда предполагается использование быстродействующих
электронных вычислительных машин)

ЧИСЛО ВНЕШНЕЙ Л СТОЙ 4ИЕ ОСТ И 51
Ниже мы изложим такой алгорифм для опреде тения наибольшего
инутренне устойчииою множества, непосредственно иытекающий из
дальнейших теорий (гл. 10 дтя бихроматических графов гл. 18 для
общего случая) Т<ш например, решить задачу о восьми ферзях при
наличии хорошего алгорифма можно менее чем за три минуты, в то
время как способ исключений потребует десятка часов кроме того
следует заметить, что для конкретной расстановки невозможность
увеличения числа ферзей доказывается весьма простым рассуждением;
и более общем случае тоже нужен простой критерий для проверки
является ли внутренне устойчивое множество наибольшим, и точько
хорошо зал) манный алгорифм можег нас удовлетворить
Нахождение наименьшего внешне устойчивого множества пред-
представляет собой более элементарную задачу, которую можно решать
следующим образом.
Алгорифм для нахождения наименьшего внешне устойчивого
множества. Рассмотрим для примера i раф G=(X Г) изображен-
изображенный на рис 4—11 и опредечи-ч отображение Л множества
Х=-— \а, Ь } и ночое множество
Х-~ \а Ъ }
следующим образом
у ? 1х <^^ф у =—jc или у ? I ~ х
Тем самым построен так называемый
простой граф1; который мы обозначим
через (X, X Л) (рис, 4--12), если
Г— внешне >стойчииое множество графа О,
то \Т=Х наоборот, если \Т^Х то рис
множество Т внешне устойчиво в G За-
Задача свелась таким образом, к определению наименьшего множества
для которого &Т—Х
1° Удаляем из простого графа каждую такую вершину х, что
гДу для некоторой иершкпы у м к (в самом деле с точки зре-
зрения нашей задачи вершина у будет почностью заменять вершину х)
В нашем примере мы удаляем, таким образом вершины с, d, f
2° Если о простом i рафе имеется висячее ребро (х, у) ю оче-
очевидно. х?Г В данном примере множеству Т заведомо принадчежит
вершина а
3й Искчючим из простого графа вершину а, уже входящую в Т,
и множеаво Дс — {«т Ь с\% в результате получается граф изобра-
изображенный на рис 4—13
') Общее определение простого графа, в данный момент не нужное,
дается в п 10 —Прим порее.

52
IЛ 4 ОСНОВНЫЕ ЧИСЛА ТЕОРИИ ГР\ФОВ
4° Снова пытаемся л т.алить некоторую перш и ил как в 1° ита
иск почить вершину заведомо принадлежащею У как в 2°, если
а
упростить граф уже нельзя (как в данном примере) то назовем его
непривот.имым Временно отнесем в 7" произвольную вершин}, ска-
скажем Ъ
5° Исключим, как в 3°, вершину Ъ и множество ^Ь = {d, e, /}
6° Продолжаем упрощение, как выше из полученного графа
можно исключить нершину g так как Д^сгЛ^ =-{#•} Вктючая в Т
пос |еднкж> вершин} е, получаем решение Т — {а, ?, е\
Ъ е у
d
Если в 4° попробовать вместо Ь включить в Т вершину g или е,
то результат не улучшится, поэтому найденное ь 6° решение удовле-
удовлетворяет поставленным условиям

ГЛАВА Ч
Ядра графа
Теоремы существования и единственности
Пусть G =(Х, Г) — конечный или бесконечный граф Множество
SaX называется ядром графа, если 5 устойчиво как внутренне, так
и внешне, т е. ести
A)
B) х ? S^>Tx{]S -fc 0
Из условия A) вытекает что ядро S не содержит петель из
условия B) — что 6 содержит все такие вершимы х, для которых
Гх^0, очевидно, пустое множество 0 не может бьль ядром
Пример 1 (фон Нейман — Моргеяштерн [3]). Понятие ядра перво-
первоначально было введено в теории игр под названием „решения*.
Пусть имеется я игроков A) B), ,., (п), которые могут сове-
ювзться при выборе ситуации х из миожесчиа X ее аи игрок (/)
предпочитает ситуацию а ситуации д, то пишем а^1 Ъ и ясно что
^>i есть тотальный квазипорядок (пример Ъ гл. 2) Так как отдель-
отдельные предпочтения ^>* могут не быть совместимы, то приходится
вводить понятие эффективною предпочтения >- Если ситуация а
эффективно предпочитается ситуации Ь, то эго означает, чго суще-
существует множество игроков, которые., считая а лучше Ь, имеют воз-
возможность добиться тою, чтобы угодная им точка зрения одержала
перх, в si ом случае пишем а>- Ь Если кроме того, b >- с то
существует множество игроков, способных сделать так чтобы одер-
одержала верх ситуация Ь но так как второе множество не обязательно
соппадает t первым, то может не быть а >- с отношение >- не трян-
зитивно11)
Теперь рассмотрим граф (X I1), где Гд: означает множество
ситуаций, эффективно лредпочжаемых ситуации х Пусть 5 — ядро
графа (ест|И оно существует); фон Нейман и iMopreijimepH гредпагают
х) Термином эффективное предпочтение мы обяз<шы Гильбо изло-
изложившему [2] на основе этого термина; фол Неймап и Моргенштсрн Поль
зокались понятием доминирования О различных, математических формули-
формулировках эффективного предпочтения см Верж [1] i л V

54
ГЛ
Я1РА ГРАФ\
ограничивать игр} э уметами 5 Внутренняя устойчивость 5 выра-
выражает тот факт, что никакая ситуация из <S не может эффективно
предпочитаться какой-либо другой ситуации из «S а это обеспечивает
известную сплоченность; внешняя устойчивость означает, что любой
ситуации х не из S эффективно предпочитается некоторая ситуация
из S, в силу чего ситуация х сразу же отвергается
Пример 2 Рассмотрим некоторый граф (А* Г), допускающий функ-
функцию 1 ранд и g(x); множество S = \xjg(x) — 0} служит ядром этого
графа так как
A) xeS=}Txr\S=^0,
B) jc $S=$g(x)=rQ, значщ Txf\S+0
Пример 3 Не нсякий граф обладает ядром в эюм читатель может
самостоятельно убедиться на примере графа изображенного на
Рис o—l
рис 5—1, если граф имеет ядро So то его числа усюйчивости удо-
удовлетворяю! услонию
a(G) = max I S[ J> | Sc | ]>- mm | Г| =р (О)
У графа О, изображенного на рис, 5—1, пег ядра, поскольку
Напротив, у графа Of, изображенного на рис 5—2, есть два
ядра S' и S"
Предложим теперь критерии, позволяющле узнавав, имеет ли
граф ятро и является ли оно единственным.
Теорема 1 Если S — ядро графа (X Г), то множество S —
максимальное е семействе $ внутренне устойчивых множеств,
т е
ГКсчь А вн)тренне устойчивое множество содержащее ядро S',
предположим 4Ю А строго содержит S и покажем, что это при-

TFOPEMbl СУЩРСТВОВ\НИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 55
водит к противоречию. В самом ^еле, гог ы сушестовала бы
]акая вершина а что а?А a(rS откуда Та Г) 5 -<= 0 и, значит,
Va{]A-/-0 в противоречии с усювием А?$
Теорема 2 В си и метрическом графе без петель каждое
максимальное множество семейства $ внутренне устойчивых
множеств представляет собой ядро
Пусть 5—максимальное множество из I; надо показать что
для любой вершины x(?S имеет место Г л: П S i 0 В самом деле
если TxftS+0 для некоторой вершины x?S то множество
A=^S[\ \x) внутренне >стойчиио (поскольку х^Тх) и в то же
время АгэS A=jkS что противоречит предположению о макси
1^алыюсти S в &
Следствие Си ч четрический граф без петель об гадает
ядром
В самом деле, образуем вспомогательный граф ($, Г), вершинами
которого служат внутренне устойчивые множеавз данного симметри-
симметрического графа a .S^rS' тогда и только тогда, когда S з S'
Вспомогательный граф — индуктивный следовательно по лемме
Цорна (гл. 3) существует вершина S?S без строго последующих
Множество 5 является максимальным внутренне устойчивым и зна-
значит, и силу теоремы 2, ядром
В случае когда данный симметрический [раф конечен это стед-
ствие становился очевидным и процесс нахождения ядра coltoht
в следующем
Берем произвочьпую вершин\ л:0 и полагаем S0={x0}; заим
берем некоторую вершину x}^VS0 и полагаем 6^^=:}^, хх\, д.ачее
берем вершин) x^^VS^ , и т д. Так как граф конечен, го
рано или поздно мы получим TSn — X и Sn как максима ibHoe мно-
множество в S будет ядром
Характеристической функцией ср^ (х) множества .S называется
ф}нкция
( 1 при x?S
^(Х) = (о при «#3
Если Гл:^=0, то условимся счи!ать, чзо
max о (у) = О
Теорема 3 Для того чтобы множество S было ядро ч,
необходимо и достаточно чтобы для характеристической
функции fs (х) выполнялось соотношение

56 ГЛ 5 ЯДРА ГР^ФА
Г Пусть S — ядро В силу внутренней )сгойчивосщ
ys (х) = 1 =ф х ? S =ф max <ро (у) = 0.
В силу внешней устойчивости
ср5 (х) = 0 =ф а: ^ 5 =^ max ср5 (у) = 1.
Отсюда получается требуемое соотношение
2° Пусть 9^(л;) — характеристическая функция некоторого мно-
множества S, если рассматриваемое соотношение выполнено, то
х 6 5 =ф ^ U) = L =$ max <р (у) = 0 =ф Гд: П 5 = 0,
j: rf 5 =ф <рл (Jr) = 0 =ф шах <р5 (у) = 1 =$ Гх П 5 ^ 0
С л едовате л ъ н о 5 — ядро
Теорема 4 Прогрессивно конечный граф обладает ядром
Доказательство получается сразу, если заметить, что характери-
характеристическая функция ys(Je), удовлетворяющая соотношению преды-
предыдущей теоремы, по инд>кции определяется на множествах
Х(\)={х/ГхсХ@)\,
ХB)=\х/Гхс:Х(\)\,
Теорема 4 (гл 3) показывает, чю 1аким лугем ^ 6} дет опре-
определена на всем X.
Теорема Ричардсона Конечный граф, не содержащий
контуров нечетной длани, обладает ядром
Пусть {X, Г) — конечный i раф без нечетных контуров, б}лем
последовательно определять множества Ко У\, К2, czA" с.|ед)ю-
щим образом
Г Берем Ку==0, обозначим через BQ базу (см. гл 2) подграфа,
порождаемою множеством Х\ Ко: эта база с>ществ>е1 в силу гео-
георемы 1 (гл. 2) Полагаем К, = Во{] Г~!?о.
2° Если множество Уп уже определено, то обозначим через Вп
как}50-либо базу подграфа поро/кдаемого множеством Х\Уп,
удовлетворяющею условию Bndl *(Г~*Вп_1\Уп_]) Легко виден,,

ТЕОРРМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 57
чю такая база всегда существ)ei '); далее no;iaiaeM
Тог w
Ттк как i раф претлолагается конечным, то существует такой
номер т, что Yт = X, пусть
rt=O
Покажем чю S — ядро трафа (X, Г).
1° 5 внешне устойчиво, ибо если x^S то х ? T~]Bk\Yk ал я
некоюро[о номера к. шачит Vx[\Bk-f0 и Гх f)S =? 0
Т S внутренне устойчиво В самом деле, никакие два элемента
из Вп не могут быть смежны (ибо Вп является базой некоторого
подграфа); рассмотрим две смежные першины одна из которых ?Вп,
другая ? В где р < п (если такие вершины есть) Имеем
Вп{\Т~1Вр= 0, ибо Г"'^рс:Кр+1 и BncX\YncX\Yp_{l Точно
так же Вр{]Т 1Вп= 0, так как u npoiHJHOM случае можно было бы
1) Для доказательства того что граф (X\Yn ?Х\ У ) Имеет
рассмотрим какую-нибудь базу В'п к вершину а без строго последующих
выбранную для построения Вп в lootbcictbkh с теоремой 3 (гл 2), доста-
достаточно показать, что в X \Yn найдется вершина Ь, которой можно заменить
вершину а0 и дтя которой
п п
A) Ь = а0 (|де ^ — отношение квазипорядка в графе, порожденнеш
множеством X\Yn)
Ь графе (X\Ya_v ^x\Y ) существует путь [л = [д0 ль , * 1
вед)щий из а0 в Вп_х, пусть дй—первая вершина н}ти р. принадлежа-
щая Г„ Так как д^ХХ^., аА ^ Уп <1к(?вп_г ю ак^\"'1Вп_1\Ул_{
(Предполагается, что множество Уп определено по формуле Уп^~
=- Yn-\ UBn~.l\JBn_i Если бы й^? Йя^|, то вершина йй_! принадлежала бы
1чйл,|СГя и таким образом, а^ не была бы цервой вершиной гщи [х,
ирилс!длежащей Уп Следовательно а^{^Вп и а так как tf/j^^-i T0
лА^Г~'?(„_|\ ) 7_1. — Прим. ред) Вершина Ь =. дй 4 удов!етьоряет как
условию A) гак и условию B))

построить такой
что
ГЛ 5 ЯЧГ'А ГР\ФА
= [Л; ха уп [ хп_[ уп_2 хп 2
«-! €*/,-!
Заметим
идет из
хо?13р в
что все вершины пути \± принадлежат А'Х Yр и что ij
о?3р в хр g /i^ (см рис 53) 5 б
графа порожденною множеством Х\У то о р
зом путь [х представляет собой контур нечетной дшны, что про
тиворечит усювию теоремы
р р
5—3), так как 5р — база под
: таким обра
Рис
Обобщение 1 В по те индуктивный граф, не содержащий
контуров нечетной длины, имеет ядро,
Дейсижтелыю поскольку всякий подграф вполне индуктивного
] рафа обладает базой, доказательство в точности совпадает с преды-
предыдущим определяются по индукции множества Кк (где а может теперь
быть трансфинитным порядковым числом).

ПРИ ПОЖЕН ИЕ К ФУНКЦИЯМ ГРАНДИ 59
Обобщение 2 Локально конечный граф G = (X Г), не со-
держащий контуров нечетной дяияы, имеет ядро
Это следует из теоремы Радо о л ЗI).
Приложение к функциям Гранди
"Условия существования, j станов ленные для ядер можно распро-
распространить на функции Гранди благодаря следующим результатам
Теорема 5 Ее ш каждый подграф графа (X Г) об ладе ет
ядром то граф (X Г) допускает функцию Гранди
В самом деле, п)сть SQ — ядро графа (X Г) далее, S1— ядро
подграфа порожденного множеством А",—А"\?о затем So — ядро
подграфа, порожденною множеством Х2 = Xl\S1, и т д ,
вообще положим Xni=zXn,^1\Sn,_v если а —порядковое число
первого рода, Хл= {] Х^ если %—порядковое число второго
рода (заметим, что р>а влечет XzzdzdX^ и с сил> принципа
инд>кции с>шествует порядковое чисто *[> при котором Х^ = 0).
jMнoжecтвa Sa образуют разбиение X, и каждой вершине х мы
отнесем порядковое число g (x) следующим образом
1) В самом деле, п>сть (А Гд) — произвольный конечный подграф G,
в силу теоремы Ричардсона, он имеет ядро «S . Положим Го = {0, 1},
В @) - ? ({0}) = {^, ?({!}) = L «О, 1» = {0> Функция
( 1 при х ? S
4 I 0 при дг ^ SA
удовлетворяет условию теоремы Рачо ибо есчи х С Ч., то f А {х) — 1,
^л(ГЛ^)^^°> или ^ ?(^(ГАЛ)) = <1>» а еСЛИ ^^ 5А« то ?Л
^л(Г^д:) —{1} или {0, 1} П ( j 4 (ТАх)) = {0> и в обоих случаях д
^? (fд(глA:))¦ ^° те0Рсме РаД° существ}ет функция <?(х), определенная
на всем X и такая что <f (х) ^ ? (<f (Гх)) Тогда множество
является ядром G, так как
f Aл:) ^ 1 =^> Гл-Г) Л ^ 0 — /7/?мл/

60 П S ЯДРА 1РАФ\
Покажем, что g (х) — функция Гранди
A) Пусть g(x) = n, покажем, что для любого р < а найдется
вершина у?Глг, удовлетворяющая условию g(y) — p
Так как *?Sa и a > fl, то х?ХЛсХ^ х ?S& Так как S*
внешне усюйчивое множество подграфа порожденного множест
в ом Х^, то в S ^ существует верщшга y?Yx, иначе говоря в Тх
есть лакая вершина у что g(y) = $
B) Пусть g(x) = a4 в Тх не существует такой вершины у
что g(y) = a, ибо иначе множество Sa не было бы внутренне
устойчивым
Условия A) и B) вместе выражают, что g(x) есть функция
Гранди
Следствие 1 Сим четрическай граф допускает функцию
Гранда в то ч и только том случае, если он не имеет петель
(Ясно что граф с петлей не может дон)екать функций Гранди )
Следствие 2 Граф без контуров нечетной длины, являю-
являющийся или конечным, или локально конечным, или индуктивным,
допускает функцию Гранди.
Замечание Пусть графы Gv О2, , Оп обладают ядрами,
имеет ли ядро их сумма (или их произведение)? Безотказным ору-
орудием для опредеаения ядра суммы графов служит понятие функции
Гранди (впрочем, это мотивирует также важность понятия ядра для
теории функций Гранди) Комбинируя теорему 8 (гд, 3) с теоре-
теоремой 5 настоящей главы, мы видим, что если все подграфы графа О
обладают ядрами (при всех /), то сумма
0,4-0.,4- ¦ +0„
допускает функцию Гранди g, а значит, и ядро S= {xjg (x) = 0\.
В следующей главе мы познакомимся с применениями этого
важного замечания.

Г Л Л В \ б
Игры на графе
Игра Ним
Граф (X Г) дает возможность определить некоторую игру двух
игроков которых мы назовем (А) и (В). Положениями этой игры
служат вершины i рафа, начальная вершина д:0 выбирается жеребьевкой,
и противники играют поочередно сперва игре к (Л) выбирает вер-
вершин} лг1 в множестве Yx0 затем {В) выбирает в ерш гну х2 в мно-
множестве Гх^ после этого (А) опять выбирает вершин) х^ в Гх2>
и т д Если один из игроков выбрал вершину хк Д1я которой
Гхк=0, то паржя оканчивается, игрок, выбравший вершину
последним выигра 1, а его противник проиграл Ясно, что если
граф не являемся прогрессивно конечным, го партия может ^ико!да
не окончиться,
В честь известного развлечения, которое здесь обобщено, будем
описанную только что игру называть игрой Ним, а определяющий
ее граф обозначать через (X, Г); сейчас наша задача состоит в том,
чтобы охарактеризовать выигрышные положения, г е ie вершины
i рафа, выбор которых обеспечивает выигрыш партии независимо oi
ответов противника Главным результатом является следующая
Теорема 1 Если граф имеет ядро S и если один из игроков
выбрал вершину в ядре, то этот выбор обеспечивает ему вы-
выигрыш ила ничью
Действительно, если ш рок (Л) выбрал вершину х{ ? S ю либо
Тх{ — 0 и тогда он уже ныиграл партию либо его противник (8)
вынужден выбрать вершину х2 в X\S, а значи!, следующим ходом
игрок (А) может выбрать х% опять в 5 и продолжать в том же
духе Если в какой-либо определенный момент один из игроков
выиграл, выбрав вершину xk, для которой Гл:д = 0, то л:й? S и
выигравшим партнером необходимо является (Л)
Ч ИТ Ц.
Основной метод для хорошего игрока состоит следовательно,
в вычислении какой-либо функции Гранди если она существует,
С помощью эгой функции g (x) получаем ядро
^ 0)

62
I Л б И1 РЫ ПА I РЛ.ФГ
рассматриваемого графа Если начачьная вершина v(> такова чю
g-(x0) —О то игрок (Л) находится в критическом положении, ибо
его противник может обеспечить себе иыигрыш или ничью напротив,
если g(xo)=j=0, то игрок (А) сач обеспечивает себе выигрыш и'ш
ничью, выбирая такую вершит л1 чао g(jc1) = 0
С тедствис Если граф прогрессивно конечен то существует
одна а только одна функция Iранда g (х), каждый выбор такой
вершины у для которой g(y) = 0, является выигрышным,
а каждый выбор такой вершины z, что g(z) ^ 0, —проигрышным
(Непосредственно )
Пример 1 [Айзеке (R Isaacs)] П^сль X—множество точек (р, q)
декартовой плоскости имеющих целые неотрицательные координаты
р и qf два партнера поочередно зачеркипакл точки множества X,
10'
8 <
7'
5 *
/^ \
2*
и
(у
ОЛ
» 7?
» /0
' 5
> 8
i 7
' 3
• 5
i if
/
•
•
•
•
•
•
•
•
/
9»
11 •
7*
6 •
8 •
^ •
3*
5У
У
(Г
2
8 •
12*
Ю*
9»
/•
о<&
2У
5/
У**
с
3
13
8
1
0i
9
/
/
7у
/
/
5
* Пт
• 7*
• г/
^У
Ую/
У8/
У в/
Уо&
• и*
IQ
U 5
0®
/5/
5У
ьХ
ъ/
/
г*
8*
7 •
6
j
У
У
У
у
9
6
8
г
/
/
/
/
/
•
•
•
7
16 *
75/
их
зх
5yf
2/
1 •
10*
7 •
6 •
8
17
J
46
/
ш
7
8
12
11
10
г
/
/
/
•
•
•
3
18
у
у
/5
у
ГЗ
8
9
11
/
/
/
ф
•
•
•
•
10
Рис 6-1
если х -последняя зачеркнутая точка, то игрок которому нужно
ходить, до.!жен выбрать точку либо на одном из перпендикуляров
ха или хЬ опущешплх из х на оси координат, либо же на отрезке хс
биссектрисы угла axb распочоженном во внутренней области этого
3-гла; например, после вершины Л' —D 1) 1>ыбор аотжен быть сдеаан

игра mm 63
из числа вершин D, 0), C, 1), B 1) (I, 1) @ 1), C, 0) Игрок,
который сумесл леркым достшнуть нершины @ 0), мыигривает
I раф {X, Г) прогрессии но конечен и поэтому допускает функцию
Грамди gix), значения которой в каждой вершине показаны на
рис. 6—1, выигрышные выборы обведены кружком. Хотя последние
образ) ют множество симметричное относительно главной диагонали,
в их расположении наблюдается нерегулярность
Примрр 2 Граф изображенный на рис 6—2 представляет игру
Ним, для которой не существует ни функции Грамши пи ядра,
предыдущий метот поэтому здесь не приме- ,
ним Тем не менее каждый игрок может за- ~ "~"
страховать себя от проигрыша, ограничивая
свой выбор одной из вершин а Ь с
Рассмотрим теперь разчичные игры Ним
(X, 1\) (Х2 Г2), .... (Хп, Гя) и допустим
что два игрока хоiяi играть по очереди по
следующему правилу в очередной момен;
игры партнер, которому н>жно ходить, вы-
выбирает одну из игр Ним и делает ход в этой р ис g 2
игре не )рогаи остальных первый кго
совсем не сможет играть, проигрывает. Эга ситуация представляет
собой И1р> Ним на графе который есть не что иное, как сумма
графов (XL Г() (см ivj 3\ способ выигрыша дается счедующим ре-
результатом
Теорема 2 Рассмотрим игры (Х^ Гт), (Х2, Гг) (Хп Тп),
допускающие соответственно функции Гранд и gv g2 , gn;
ее iu играют в сумму этих игр то выигрыш, или яачья обеспе-
обеспечивается виборо ч таких по вожений
* = (*! х2 . хп)?Х^ХХ2Х У.Хп
дан которых
Ч^)=8^х{)А- g2(x2L- .- 4- ?п(хп) — °
Это непосредственно вытекает из теоремы 8 (r'i 3)
Прими» Простая игра Ним иш Фая Тан Два ш рока по-
поочередно берут спички из п кучек, игрок которому нужно ходить,
имеет право выбрать какую-нибудь кучку (не пустою) и взягь из
нее ощ\ ил1 несколько спичек Тот кто сумеет забрать последние
спички, выигрывает
Эта ситуация есть сумма игр (Х^ 1\), (Хр Г2) {Хп Гя);
в игре (Хк Гй) тюбой элемент хк из Xk выражает состояние
k-ft кучки a ?ft(vfr) равно соогвс[итв)Ю1цему чис/i) спичек

ГЛ 6 ИГРЫ НА ГРАФР
В сил} теоремы 2 выбор является выигрышные тогда и только
тогда когда d-сумма количеств спичек, оставшихся в различных
кучках, равна ну/мо
Мы собираемся рассмотреть различные обобщения теоремы 2,
прежде всего» если р ^п и если {Х{ Г\), {Х2> Г2) , (Хп, Тп) —
данные шры Ним то их сумма порядка р по определению есть
игра Ним w которой каждый игрок имея перед собой все игры
(X;, 1\) выбирает р из них и играет одновременно в эти /? щр не
трогая остальных, сумма порядка а соответствует произведению
графов а сумма порядка 1—сумме графов Для яыигрыша имеем
следующий результат
Теорема 3 Пусть игры Нал (Х{ Г,), (Х2 Т2), .,., (Хп Га)
транзитавны (г е Г^^Г^ для всех &), и пусть glt g2, , . gn-
их функции Граяди (она всегда существуют), сумма порядка р
этих п игр допускает функцию Гранд и g, значение которой
для х = {х1 х2 ... , хп) вычисляется следующи и образом найдем
двоичные разложения
)
и положим
v .1
-Kp+D
(p+i)
Г п
где l^i 1^+я означает остаток от деления т на р-\-\ („т по
модулю р И- 1к)
Выбор х является выигрышным тогда и только тогда когда
Доказательство аналогично доказатепьству теоремы 8 (гл ЗI)
Пример Игры Ним порядка р(Мур[8]) Перед двумя игроками
находятся rt кучек спичек, пусть р — целое число < п, игрок, кото
рый должен сделать очередной ход выбирает р кучек, а из каждой
выбранной кучки вынимает одну или несколько спичек Взявший
последние спички ъыигрывает
Чтобы узнать, является ли выбор x^=(xY x2
хп) выигрыш-
выигрышным, надо сосчитать в двоичной системе количества спичек. gb (хъ) —.
^(cj. ^^ • •,) для ?-й кучки—и проверить, что для каждого
номера г
Г п
= 0
!) Теорема За гом виде, как она сформулирована,
можно убедиться на простых примерах —Прим. ред
В

ИГРА НИМ 65
Рассмотрим теперь прогрессивно конечную игру Ним с функцией
Гранди g(x), предположим, что на X определена операция -J-» т е
закон, относящий каждой паре
9
некоторою вершину z = x -р- у, если SczX ТаХ, то положим
Часто для выигрыша удается применить следующий результат
Теорема 4 (Гранди) Если прогрессивно конечный граф (X Г)
снабжен операцией -\- удовлетворяющей условию
U (х + Ту),
то для его функции Гранди g при z = x-^y имеет место фор~
мула
A) g(z) = g(xl y) = g(x) + g(y)
Мы докажем эту формулу с помощью индукции, выбирая по-
последовательно точки z-=^ х-\- у в множествах:
Х{\) =
При 2^Х@) формула A) верпа потому что
откуяа
Доп)С|Им теперь, что формула A) уже доказана для всех z из
Х(а.— 1) и покажем, что она остается справедливой для любой
вершины z = х -\-у из Х(<х), если бы было не так, то выполнялось
бы одно из двух неравенств
g(z)<g(x)~\-g(y).
Г Если g (z) > g (x) -f" g (У)у то существует такая вершина
zl ? Гг, что
5 К Берж

66 ГЛ б ИГРЫ НА ГРАФЕ
.Можно написать (с точностью до перестановки х и у) z^ = х: -\-у
где Х\?Тх- так как zx ? YzzzX(<%^ 1), то
g(Zi) = g(Xi+y) = g (*i) + ? (У)
О [Сюда
g(x)+g (У) = g(*i)+g (У)
Из этого, в ситу теоремы 7 (гл 3), вытекает что g(x)^ g(x}),
но это невозможно, гак как хг ? Гх
2° Если g (z) < g" (л:) -f- g (у), го можно определить [например,
как в теореме 8 (гл 3)] такое число т, что
?(z) = 7 +-?¦ Су), 7 <?(*)
Так как в Гд: cjmecr»yei вершина j:p яля которой 'i = g(xl)i
то очевидно.
Так как ^^^^^(a-l), то
g (*! Н-У) = ^ (^О Н- ^ (>) -= g (Z)
Но это невозможно поскольку хх -\-у
Пример Два противника играют поочередно, выбирая кучку
спичек среди п кучек и разделяя выбранную кучку па две неравные
части, последний, кто еще имеет возможность это сделать, выигрывает.
Положение х задается ко1ичестнами х1г х2, . , хк спичек
в кучках' положим
У2 * .
= (¦^1 Х2- ' х* Ур . У;)
Операция -у-удовленюряет ^сювиям.
A) Г(д: -^у)==(Гл:-г-\р)и(*Н-Г,у) (основной закон),
>
B) х -\-у =^ у -\- х (коммутативность),
C) х-^(у-\-z)*~{x ~±-у) л-z (ассоциатщшость),
D) x~\-z=y-\-zz$x = y,
E) существует положение е (без спичек), такое что х-\-е = х
дпя всех х
Вершина z называется неприводимой, если невозможно написать
Z=-x-\-y> х =l е, у Ф е, неприводимым вершинам здесь отвечают
конфигурации пида 2 = (xt) с одной-единственной кучкой Имеем.

ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
67
Поэтому достаточно располагать значениями g для неприводимых
положений, чтобы сраз>, простым rf-с.южением. найти остальнпе
значения Непосредственно получаем
*(*¦) =
\
0
2
0
3
1
4
0
5
2
б
1
7
0
8
2
9
1
10
0
11
2
12
1
13
3
14
2
15
1
16
3
17
2
18
4
19
3
20
0
В более общем случае про1рессивно конечной игры, в которой
существует единственная такая вершина е, что Г<?=0, а операция
~j- удовлетворяет условиям A) B), C), D), E), Адаме и Венсон [II
доказали, что каждое положение разлагается в конечную сумму
неприводимых положений, причем это разложение единственно
Общее определение игры (с полной информацией)
Общее определение игры весьма простое лля ограниченных
, требует большой осторожности в случае отказа от этого
условия. Игрок — это тицо, с которым связан один из эпите-
эпитетов активный или пассивный, для двух игроков (А) и (В) игра
определяется
1° множеством X, элементы которого называются положениями
игры,
2° многозначным отображением Г множества X в себя, называе-
называемым правилом игры\
Зд однозначным отображением б множества Xв множество @, 1, 2).
называемым ходом; предполагается, что 9(,v) = 0 тогда и только
тогда, когда Vx = 0, при Ь (х) — 1 говорят что в положении х
очередной ход должен сделать игрок {А), а при 0(*) —2 — чло
ход игрока (В),
4° двумя вещественными функциями / (х) и g"(A) определенными
и ограниченными на X, называемыми функциями предпочтения со-
соответствен л о для игроков (Л) и (В)
Партия осуществляется следующим образом, начальное положе-
положение хо?Х выбирается по жребию, если например, 6(jeo)=l, то
HipoK (Л), которому нужно сделать ход, должен выбрать положе-
положение X) в множестве Гл:0, в свою очередь, игрок, который должен
сделать следующий ход [т е (А), если 6(^^=1, ити (Я), если
6(х1) = 2], выбирает положение х2 в множестве Гл^, и так далее
Если один из игроков выбрав такое положение xk, для которого
*1-**=0 "ю партия окончена (разумеется, партия может и никогда
не окончиться). Если SczX—множество положений, встретившихся

68 ГЛ 6 ИГРЫ НА ГРАФЕ
в течение партии» то выигрыш шрока (А), по определению, есгь
f(S) = sup f(y)y если игрок {А) активный,
= inf f(y), если игрок (А) пассивный
Аналогично, посредством ф)нкции g, определяется выигрыш
игрока (В) Цель игрока (А) состоит в получении гюзможно большего
выигрыша, обычно \/{$)\ выражается денежной суммой, которую (А)
должен получить в случае /E)^-0 и уплатить в случае /E)<^0.
Положим ХА = { jc/0 (х) = 1) ХВ = \x/d (х) = 2}; надо отметить,
что игра — это не что иное, как граф (X, Г), снабженный в каждой
иершине х вектором (Q\x) /(х), g(x))
Подграф графа {X Г) определяет подагру, а частичный граф—¦
частичную игруу заметим, что при вышеуказанных определениях
каждая поди] ра и каждая частичная игра сами являются играми
(это неверно при других более обычных определениях); игра пред-
представляет собой в точности „структуру", заданную на абстрактном
множестве X
Пример 1 Игра Нам В случае игры Ним на графе {X, Г) по-
положение игры есть пара (х i), |де лг? X, а / равно 1 или 2,
смотря по тому, сделан последний ход игроком (В) или игроком (А);
имеем
0(х, *) —Л если Т~хф 0,
О (л; <)=-0, если Гл; = 0,
Т(х, 1) = ^
Если Гл:= 0, то
f(x,
Во всех остальных случаях /(л:) = g(х) = 0; оба игрока активны.
Пример 2 Шахматы Два игрока (Л) и (В) играют соответ-
соответственно „белыми" и „черными*, положение х = (хх, х2> х$, . .,0
представляется клетками х1У х2 х3, .. шахматной доски, на которых
расположены различные фигуры, и индексом /, равным 1 или 2, —
теоретическим ходом в положении xt x=(xv x2, хг, ,..) называется
также диаграммой положения х.
Игрок (А) активен; f(x)~l, когда х — матовае положение для
черных, во всех же остальных случаях

СТРАТЕГИИ fig
Пример 3. Погоня [2] На поверхности 5 („море") одна из двух
лодок преследует другую, эту ситуацию можно уподобить игре,
в которой два игрока (А) и (В) ходят поочередно например каждую
секунду, перемещая свои лодки Re аи хг—точка моря S н которой
находится преследующая лодка а х2— точка, где нахошгея пре-
преследуемая лодка, и если /—теоретический ход то положением игры
будет х — {хх, хй, I) Пусть Bt{xt\C2S— „круг4 с центром ~хь имею-
имеющий своим радиусом наибочьшее расстояние, коюрое может про-
проплыть лодка хг за одну секунду, имеем
X B),
Г(х1ш х2. 2)=\xl}XB2{x1)X\
Обозначим через d{xy у) расстояние между точками х и у если
целью преследователя является возможно большее приближение
к преследуемому, то игрок (А)— активный и
г х2 0 = —d{xl x2)
Если цель преследователя сосюит в тм чтобы обязательно
настигнуть преследуемого, то (А) активен и
1 х2 1) = \ при х,=х2>
f(xr x2 /) = 0 при х2^х2
Если цель преследуемого—не дать себя настигнуть то ж рок (В)
пассивный и
g {xl х2, 0 = 1 при хх Ф х2,
x2 0 = 0 при л:1 = х2
В нашем случае цель игрока (А) существенно активна, в то
о рем я как цель и I рока (В) 1,уществешш пассивна. Подагра по-
получится, если запретить некоторые области моря 5 для одной из
лодок, частичная игра получится если уменьшить максимальную
скорость какой-либо из лодок.
Стратегии
В игре (А', Г, 9, /, g) стратегия игрока (Л) есть, по опреде-
определению, такое однозначное отображение а множества ХА в X, что
хА)
Игрок (А) придерживается стратеги а, если он a priori решает,
„в каждом положении ху в котором ход мой, я буду в течение
всей партии выбирать положение ojc" Множество всех возможных
стратегий а игрока {Л) обозначается символом ЛА,

70 ГЛ 6 ИГРЫ НА ГРАФЕ
Если начальное положение xQ фиксировано и если игроки (А)
и (В) придерживаются соответстиешю стратегий с и и, то партия
полностью определена и мы обозначим через {*0, ау х) множество
встречающихся в ней положений; выигрыш игрока (А) в таком слу-
случае равен
/ (х0> а, т) = sup {f(x)jx? {х0, о, х)), если игрок (А) активен,
f(xQ; о, х) — mf {/{x)jx? (л:0; <з, х)), если игрок (А) пассивен
Пара (з0 то)а по определению, есть равновесие (для положе-
положения *) если
f(xt о, *0)<f{x, aOl x0) (
Иначе говоря, если перед начатом партии игроки договорятся при-
придерживаться стратегий з0 и х0, то такое решение будет обладать
определенной устойчивостью игрок, который попытается измени!ь
свою стратегию в ходе партии, б^дет „наказан" за это уменьше-
уменьшением выигрыша.
Пара (з0, х0), являющаяся равновесием для любого положения х,
называется абсолютным равновесием игры; обобшая теорему суще-
существования ядра у прогрессивно конечного графа, получаем следую-
следующий основной результз1
Теорема Цермело — фон Неймана1). Если граф (X, Г)
некоторой игры прогрессивно конечен, а множества f(X) =
— \f(x)jx?X\ и g(X) конечны то игра допускает абсолютное
равновесие (з0 т0)
Как и в предыдущей главе, последовательно определяем множе-
множества А'(а), полагая
— l))s если а —порядковое число первого
рода;
Х{и)~\\ Хф), если а. — порядковое число второго рода.
Так как граф прогрессивно конечен, то, в силу теоремы 4 (гл. 3),
существует порядковое число 7' такое, что Х^Х(ч), будем после-
последовательно определять равновесие (о0, т0) дли всех А'(а),
2) Эта теорема была открыта Цермело (Е /ermelo) для шахмат и
почти одновременно распространена Калмаром (F. Kalmar) и фон Нейманом
на игры с платежами (где выигрыш игрока является проигрышем его против-
противника). Затем Кун (W. H Kuhn) перенес ее на игры, в которых интересы
игроков не обязательно противоположны, в [2] дается ее обобщение на
случаи игр с неограниченной продолжительностью и таких игр, в которых
имеется мною способов достижения одного положения из другого Здесь
мы приводим наиболее общую формулировку.

СТРАТЕГИИ 71
В Х@) отображение а0 не обязано быть определено, однако МЬ|
поюжим
Если а—порядковое число первою рода, а равновесие (а0, т0)
уже определена в Х(э.— 1), то определяем равновесие (<з0, т0) в Х(а)
следующим образом J) пусть х ? ХА, тогда
1° в случае x?X(ql—1) полагаем сол; = jojc ,
2° в случае х ? X(z.)\ X(a— 1) полагаем aQx=iy, где у?Тх, и
, o0> т0).
Очевидно, (а0, -0) есть равновесие для подигры, порожденной
множеством Х@)\ допустим теперь, что (о0, t0)—равновесие для под--
игры, порожденной множеством Х(а— 1), и покажем, что тогда (з0, -0)
является равновесием для подигры, порожденной Х(а), т. е,
A) /(л?, вЛо)
так как предполагается что неравенства A) и A') уже выполнены
для х?Х(&—1), то можно считать, что х?Х(я)\Х(*—1)
Если х?ХДу то пусть ъх = гу ввид\ того, что z?X(ol — 1),
имеем
Jo -<))</(У, з0, т0)
Будем выводить неравенство A) во всех возможных случаях:
1° если игрок (Л) активен, a f(x)-^f(z\ о, т0), то
Т если игрок (Л) активен, a f{x)^f{z, о, -0), то
3° если игрок (Л) пассивен, a f(x)*Cf(y, з0, т0), то
4Э если игрок (Л) пассивен а /(*)!>/Су, ^0 х^), ю
Таким же путем, заменив / на g, докажем неравенство (Iх)
!) Случай, когда а — второго рода, тривиален. 6>дучи определено на
всех множествах растиряющейся последовательности, («о, xQ) тем самым
определено и на их объединении — Прим перев

72 ГЛ 6 ИГРЫ НА ГРАФЕ
Следствие 1 Если граф (X, Г) некоторой игры прогрес
сивно конечен то д гя любого s > 0 существует такая пара (а0,
что
В самом деле, заменим функции предпочтения / и g 1акими
функциями /' и g'\ чтобы множества
f(X)={f'(x)lx?X},
были конечными и чтобы было
это всегда возможно, поскольку fag предполагаются ограни-
ограниченными на X Так как существует равновесие с /' и g't то будет
существовать и е-равновесие с / и g
Следствие 2 Если граф (X Г) некоторой игры прогрес-
прогрессивно конечен то д чя любого s > 0 существуют такие стра-
стратегии а0 и ^0> что
f(x0, а, т0) — 5 < / (^
(каковы бы на были а ? ?л, х 5
Иными словами в партии с начальным положением xQ игрок (Л)
посредством стратегии бц можег гарантировать выигрыш / (х0, ай, х0)
(с точностью z), с другой стороны, в сил> первого неравенства,
никакая другая стра]егия а не даст ему возможности гарантировать
больший выигрыш (с точностью г). Поэтому с0 будет благоприят-
благоприятной (оптимальноа) страт&гией для (А)
Чтобы доказать это следствие, достаточно положить / (х) -= — g(x)
и рассматривать игрока (А) как активного, а (В) — как пассивного;
тогда
f(xD; с, x) = —g(x0, з, т)
и высказанное утверждение получается срзз>
Каждый раз, когда пиигрыши обоих игроков одинаковы по абсо-
абсолютной величине и противоположны по знаку, говорят, что игра
представляет собой поединок, значение
, т) = — g(a, t)
называется результатом игры (Л) стремится получить как можно
больший результат, а (В) — как можно меньший Наибольший резуль-

СТРАТЕГИИ
73
тат, который (Л) может гарантировать посредством аратегии, есть
ao=supinf/(c т).
Наименьший результат, который (В) может гарантировать по-
посредством cipaieniH, есть
C, т)
т о
Заметим что аа ^ р0> ибо если каждый из игроков (А) и (В)
б^дег придерживаться благоприятной стратегии то результат ока-
окажется не меньше а0 и не больше [Jo Но справедливо и значшельно
более сильное утверждение,
Теорема 5 Бели в поединке граф (X, Г) прогрессивно
конечен, то ао=(Зо1)
В самом деле, ввиду следствия 2
sup f(o, то
откуда
Поскольку s произвольно, ро ^ я0, a
как противоположное
неравенство выполняется всегда, то C0=«
Пример 1 Следствий из этой гсоремы очень много Д1Я про-
1рессивно конечной И1ры Ним, где результат можег быть только -|-1
или —1, получается уже известное нам утвер-
утверждение* при данном начальном положении х^
либо существует страте i и я для (А) позволяю- <т ст
щая ему наверняка выиграть (ao = -f-l), либо
существует страчегия для (В), обеспечивающая
выигрыш ему (ао~— I)
Пример 2. Рассмотрим следующею игру (Л)
и (В) ходят по очереди, передвигая жетон по
ребру графа, изображенного на рис б—3 Если
по окончании партии окажется что жетон
прошел четное число раз через вершину, отме-
отмеченную кружком (а или Ь) то (Л) платит один франк игроку (В),
в противном случае (В) дает франк m рок> (А)
При поверхностном аначизе этой игры возможен следующий
парадоксальный вывод Можно подумать, что каждый из дв>х
Рис 6—3
') Мы доказали в [3] (гл I, стр 15—18), что это утверждение остается
в силе и без предпоюженяя о прогрессивной конечности графа

74 Г Л 6 ИГРЫ НА ГРАФЕ
игроков имеет по две стратегии (указанные на рис 6—3). Придер-
Придерживаясь стратегии о, игрок (А) может |Юл\чить ре^льтат
/(а, х) = — 1, а придерживаясь а' — результат /(о', т') = — 1, поэтому
кажется, что лучший выигрыш, коюрый (А) способен гарантировать,
есть ао=— 1 Точно такие же соображения дают C0 = 4-1.
выходит, будто а0 < р0, п противоречии с теоремой 5
В действительности мы имеем здесь дело с одним из тех кажу-
кажущихся парадоксов, которые нередко встречаются в литературе
Ошибка объясняется тем, что в данном случае положение
игры — это не вершина графа а последовательность [j. пройденных
вершин :) В конечном счете важно что выигрыш имеет вид
max {f(x)Jx ? (a t)J. При правичыюй постановке задачи как легко
проверить я0 = j
') И таким образом, у игрока (Л) имеется не две, а четыре страте*
гии — При \t ред

ГЛАВА 7
Задача о кратчайшем пути
Процессы по этапам
Для данного графа (X Г) и двух ею вершин а и Ь мо^кно
поставшь следующие задачи
Задача I Найти в графе путь ведущий из а 8 Ь.
Задача 2 Найти путь наименьшей длины, ведущий из а в Ь.
Вторая задача охватывает первую.
Пример 1 Любая игра с одним участником (например, мелела г),
такен, или „игра в 15" и др) сводится к „процессу по этапам":
к
а
с
V
,?
h
i
m
и
'h
f 9
V
I . 2-
\^ f
Рис 7—1а
Рис 7—Ib
дано положение а, мы стремимся последовательными этапами дости-
достигнуть положения b Одним из известных примеров является лаби-
лабиринт, путешественник, находящийся в а, ищет выход из лабиринта,
двигаясь по коридорам (рис. 7 — 1а), это сводится к решению
задачи 1 для графа, изображенного на рис 7— 1Ь где X — мно-
множество перекрестков, а >|?Гх, когда перекрестки х и у непосред-
непосредственно соединены коридором
') Об игре „мелсдав (или сплетение колец) по-французски, baguenaudter,
можно прочесть например, в книге Люк ас Э, Л1атематические развлече-
развлечения, СПБ, 1883. См. также Доморяд А П, Математические игры и раз-
развлечения Физматгиз, 1961, стр 67. — Прим пере в

7ft
ГЛ 7 ЗАДАЧИ О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
Пример 2 Задача о золке, козе и капусте Коза, капуста и
волк находятся ла 6epei у реки; перевозчику надо переправить их
через реку, но его лодка iак мала, что он может взять с собой не
более однО| о из этих трех „пассажиров" По очевидным причинам
нельзя оставлять без надзора волка с козой, а козу с капустой Как
должен поступить перевозчик?
Эта широко известная задача легко решается в уме благодаря
малому числу вариантов, подлежащих рассмотрению, тем не менее
перед нами типичный пример задачи, сводящейся к задаче 1: чертится
ВКап
Рис 7—2
граф изображенный на рис 7 — 2 и ищется путь, ведущий из поло-
положения а (когда коза К, капуста Кап, вотк В и перевозчик П нахо-
находятся на правом берегу) в положение Ь (когда все переправлены
на левый берег), искомый л}чь показан на рисунке жирными линиями
В более общем случае необходим систематический алгорифм, и
мы изложим несколько меюдои
Алгорифм для задачи I в плоском случае. Пус1ь граф G
с двумя отмеченными иершинами а (вход) и Ь (выход), принадлежа-
принадлежащими одной компоненте связности, является ab-плоасим, последнее
означает, чго граф G'', полученный из G добавлением нового
ребра {а, Ь\у можно полностью поместить на плоскости так, чтобы
никакие два его ребра не имели общих точек, отличных oi гра-
граничных (см , например, ]раф G, изображенный на рис 7 — ID)
Пусть, далее, а не является вершиной никакого простого цикла Для
соответствующего лабиринта (рис 7—1а) решение задачи 1 значи-
значительно упрощается и достаточно руководствоваться следующим пра-
правилом выйдя на перекресток, выбирать всегда самый левый
{ила всегда сачый правый) коридор
Общий алгорифм для задачи 1. Рассмотрим сначала граф, пред-
представляющий собой прадерево с корнем а (см рис. 2—1), и найдем
путь, ведущий из а в некотор>ю вершин.) Ьу имеется следующий
простой способ выходим из а, идем по какой-нибудь ветви насколько
возможно далеко затем возвращаемся на ближайший перекресток и

ПРОЦЕССЫ ПО ЭТАПАМ 77
отправляемся по новому, еще не изведанному направлению, и т. д ,
пока не наюлкнемся на вершин} Ь Искомый путь из а в b будет
тогда состоять из всех тех ребер, которые в процессе поисков
были пройдены ровно по одному разу
Если граф О не является прадеревом то мы приходим к преды-
предыдущему случаю, „отсекая" некоторые ребра и от одной из двух своих
граничных точек х это отсечение производим каждый раз, когда,
пройдя по некоторому ребру и, мы попадаем на уже пройденный
ранее перекресток х (ведь после отсечений рёбра, пройденные
хотя бы один раз, образуют прадерево)
Заметим, что этот алгорифм можно применить к задаче о лаби-
лабиринте не только тогда, когда известен план, но и в случае, если
путешественник заблудился достаточно помечать какими-либо зна-
знаками всфечающиеся на пути перекрестки и коридоры
Другой алгорифм для задачи 1 (Тарри [51). Путешественнику,
аабл}лившемуся в лабиринте, достаючко соблюдать следующее пра-
правило никогда не проходить дважды по одному и тому же кори-
коридору в одном а том же направлении; находясь в xt не выби-
выбирать того коридора, который привел на перекресток х в пер-
первый раз,—если только имеется возможность другого выбора
1° Покажем, что если путешественник остановился потому что
не может более соблюдать это правило, то он находится в а причем
каждое ребро, инцидентное а, уже пройдено им в обоих направле-
направлениях В самом деле, пусть он находится в х (х Ф а) и пусть этот
перекресток был ранее пройден k раз, ребра, инцидентные х были
пройдены в общей сложности k -[- 1 раз по направлению к л: и к раз
ог х, значит, можно поЙ1И по тому ребру, по которому путеше-
путешественник еще не выходил из х
2° Пусть (д0 = a, av а2 ) — последовательность различных
пройденных перекрестков, пронумерованных в том порядке, в каком
они встретились впервые, покажем, что каждое ребро, инцидентное
любой вершине ak, было пройдено дважды ]). В самом деле, это
верно при А —0 (в силу 1°), допустим что это утверждение верно
при k ^ р—1, и докажем его для k~p Пусть (а1 ар) — ребро,
которое привело путешественника вйрв первый раз, так как i < ру
то это ребро пройдено в обоих направлениях, что, в силу правила
Тарри, возможно лишь в случае, когда все ребра, инцидентные ар
пройдены в обоих направлениях Ч И Т, Д
3° Если существует путь (a, xv х2> . , хт, Ь) из а в Ь то,
очевидно, перекресток Ь рано или поздно встретится путешествен-
путешественнику: действительно, в силу 2° каждая вершина, смежная с уже
пройденной, тоже бьпа когда-либо пройдена.
') При этом асе еще предполагается, что путешественник остановилсй
в а потому, что не может более соблюдать правило Тарри —Прим. ред

78 Г Л 7 ЗАДАЧИ О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
Алгорифм для задачи 2. С помощью итерационного метода
постепенно придадим каждой вершине лт некоторый индекс, разный
длине кратчайшего п)ти из а в Л"
1° Вершину а пометим индексом О
2° Если все вершины, помеченные индексом т, образуют известное
множество Л (т), ю помечаем индексом w-j-1 вершины множества:
А(т -Ы) = {xjx^VA(m), х^Л(к) при всех
3° Как только вершина Ь окажется помеченной останавливаемся;
если Ь?-А(т), то рассмотрим такие вершины b{, b2 что
— 1), Л
Путь ji ^= [й = bmt Ьт_ъ , , Ьх Ь] дает решение задачи
Некоторые обобщения
Часто возникают следующие задачи являющиеся обобщениями
задач 1 и 2
Задача 3 Каждой дуге и данного графа (X, U) отнесем
число /(и) >0, которое назовем „дшной" дуги и, требуется
найти путь [Л, ведущий из данной вершины а в данную вер-
вершину b и такой чтобы его по гная длина
€i
была наименьшей
Задача 4 Каждому пути »л ~ \xlt х2, .. , хт] отнесем
число /d-t), найти путь ;х, ^^гя которого число /(^) является
наименьшим
Задача 5 Као/сдому частично ну подграфу G} данного графа G
отнесем число h(G^); найти частичный подграф Gp для кото-
которого число Л(О^) является наименьшим
Каждая из этих ^адач окиатшзает предыд>щ>ю
Пример 1 П>сть X—множество географических пунктов, U—мно-
U—множество дорог, соединяющих некоторые из них Предполагается, что
все перекрестки дорог входят а X Для дороги и число /(#) можег
означать или ее длину \\ километрах, или стоимость проезда но пей,
или же например, продолжительность проезда (при соблюдении всех
правил движения).

НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 79
Тогда для поездки из одного пункта и другой ищется наиболее
короткая, и™ наиболее экономичная или наиболее быстрая дорога.
В каждом из этих сч}чаев мы дотжны решать задач) 3.
Пример 2 Динамические программы (Беллман [2)) Два золотых
месторождения а и Ь содержа i соответственно а и [э тонн золота,
но дпя их разработи имеется только одна машина, которая способна
в течение года добыть г% золота, содержащегося в месторождении а
(причем вероятность юго, что в стедующем год} машина сохранит
свою пригодность, равна р) или s% золога содержащегося в Ь
(с вероятностью q остаться пригодной дтя работы в следующем
году) Рассмотрим граф с двумя вершинами а и Ь где Ya = Yb =
= \at Ь\ и будем искать такой путь \хг, х2, \ (где xl~at
если в течение :-го года предполагается разрабатывать месторожде-
месторождение а), дчя которого математическое ожидание прибьпи будет наи-
наибольшим. Полное копи^ество золота F(т. р), ожидаемое при опти-
оптимальной стратегии, определяется функциональным уравнением
_ max
Этот тип задачи, называемый „динамической программой", является
частным случаем задачи 4, здесь Тх — постоянное множество а функ-
функция /(р.) имеет весьма специальный ыид.
Мы будем заниматься только задачами 1ипа 3. дан графО = (Х, U),
каждой его дуге отнесена „длина" /(и)^0, ищется путь [л hi хп
в хп минимизирующий полную ,.длину":
Алгорифм для задачи 3 (Форд [3]) Процесс, легко осущест-
осуществляемый и для сетей с большим количеством вершин состоит в сле-
следующем
1° Помечаем каждую вершину xt индексом >^; первоначально
берем >0 = 0 и /ч=^-\-со при / -jfc 0.
2° Ищем такую дугу (х^ xj), дчя которой i} — *ч~> l(xlt лгД
за|ем заменяем индекс )} индексом // = >, ~\-1{х1у д:;)<^, заме-
|им, что \j > 0 при j -/= 0 Продочжаем в том же духе, пока еще
остается xoia бы одна дуга, для которой можно }меньшюь лг
3° После того как индексы установятся, найдется такая вер-
вершина xPi, что \п — ).р =1(хРу, хп), в самом деле, индекс )П при
нашем процессе монотонно уменьшайся, a xPi — последняя оершияа.
послужившая для его уменьшения Точно так же найдется вер-
вершина хр,, для которой /Л — \р =l{xPl> хр)> и т д
Последовательность \n \Pl XP2, —строго убывающая, поэтому
в некоторый момент будет xf = х0 Я утверждаю, что )п^

80
Г Л " 3\ДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ !"|VTH
кратчайшего пути из х0 в хп и что jj.o = \х..}, хр , хр _
jtnom кратчайший путь
Доказате tbciBO Пусть
произвольный путь между „v0 и д
обозначим через /(а); тогда
I I
ею д ши\ (и обобщенном смысле)
)t
Складывая моччепно эш неравенства гюлуччем что тля nodoi о
л>ти а-
Так как для пути а0 имеем X/;=/(ji0), то п^ть
чайший
— крат-
кратПример Предлагаем читателю проверщь чго кратчайший п}ть
между д:0 и л"9 в симметрическом графе, изображенном на рис 7—-3,
имеет длин> /(pi0)—14
Рис 7—3
Замечание Попожим дня простоты /у —/(л:г, Xj) при (\г/ х/)(: U*
lj=i-\-co при (д:( х)Ф U; каждому пути |л можно отнести чисча ;у,
i^e tj- ^= 1. если [I содержит д}гу (х, х}), а ?у=0 в противном
случае Задача 3 сведется юг да к нахождению системы петых чисел
$Л' = 0, 1. ..., п, y = 0s 1, ..,, и), минимизирующей линейную

HEKOTOPblF ОБОБЩЕНИЯ
81
форму 2 h'tj и удовлетворяющей системе линейных соотношений
— Й) = 0 при
Другими словами, мы имеем здесь дело с линейной програм-
программой которую могут решать обычные электронные вычислительные
машины; но не будет ли это стрельбой из пушки по воробьям?
К Борж

ГЛАВА 8
Транспортные сети
Задача о наибольшем потоке
Транспортной сетью называется конечный граф без петель,
каждой дуге и которого отнесено целое число с(«M>0 (называемое
пропускной способностью дуги и) и у которою
1° существует одна и только одна такая вершина xQ, чгоГ^^ 0;
эта вершина называется в ход о ч сети;
2Э существует одна и только одна такая вершинам, чтоГя= 0, она
называется выходом сети.
Пусть U# —множество д^г, заходящих в л;, a U* -множесюо
дуг, исходящих из х Говорят что функция ср(//), определенная на U
и принимающая целочисленные значения, представ чяег собой поток
по этой транспортной сети если
A) <?(«)> О (а
B) 2 9 («)— 2 9 00 = О
и t х и t х
C) ?(«)О(«)
Функцию ср(и) мы б>дем уподоблять количеству вещества, про-
протекающего (в единицу времени) по дуге и — (х у) от л: к у> при-
причем это количество не превышает пропускной способности дуги и
в каждой вершине х отличной от входа х0 и выхода z, количество
притекающего вещества равно количеству вытекающего.
Из B) непосредственно следует
D) 2 ? С") = 2 9 (и) = ?z*
Это чис^о yz> выражающее количество притекающего в z вещества,
называется притоком в точке z, или величиной потока у\ задача,
которой мы здесь займемся, состоит в определении наибольшей вели-
величины потока по данной транспортной сети
Пример 1 Морской грузооборот между двумя континентами.
Некоторые порты xv лг2, ., . располагают продуктом, имеющим
спрос и портах yv у2> ••¦> п>сть наличный загас продукта в хь
равен sr а потребность в этом продукте с у равна dj< Обозначим

НАИБОЛЬШИЙ ПОТОК 83
через Сц полное ко тичество продукта, которое способны перевезти
суда, плывущие из xt в yj Возможно ли удовлетворить все потреб-
потребности? Как организовать перевозки? Чтобы свести эту задачу к за-
задаче о наибольшем потоке, достаточно соединить х1 с Уу дугой
пропускной способности c{j, затем соединить вход х0 с каждой вер-
вершимой xt дугой пропускной способности st и, наконец, соединить
каждую из вершин y>j с выходом z дугой пропускной способности df,
если о — наибольший поток, то rf(xi у) будет означать количество
продукта, которое надо перевезти из xi в у}> чтобы удовлетворить
потребности в наибольшей степени
Пример 2 {Цикамичеасае сета [3]) Из различных городов xv
х2, , хп в одно и то же место назначения у отправляются авто-
автомашины, если (л:., х;) — дорога, соединяющая два города х{ и х^
ю пусть ty означает продолжительность переезда по ней из xi в хл
Сц — количество автомашин которое может пропустить эта дорога
за единицу времени (а случае отсутствия дороги ?.. — 0); сп — коли-
количество автомашин, которое может одновременно находиться в го-
городе xlt at — первоначальное число автомашин в х^
Как надо организовать движение, чтобы в течение промежутка
времени 0 в пункт у прибыло возможно больше машин?
Определим транспортную сеть множеством вершин которой слу-
служит декартово произведение
Х^{х{, х2, ... ~у] Х@, 1, 2 в}.
Для вершины jtj(f) = (je|t t) определим дуги (x^t), X^^
с прои}скной способностью с1} и дуги (xt(t)r ^(?-f-l)) с проп>-
склой способиоетъю си, обозначим через
количество автомашин, выезжающих из города xt в момент t и на-
направляющихся в х. при этом <^{хгA) xt(t -|-1)) будет количеством
авюмашин, остающихся в х1 в момент t Наконец соединим вход Хо
с каждой из вершин x{@) д>гой пропускной способности аг> а вер-
вершины у{\)> }>B) уF) —с выходом z дугами пропускной спо-
способности -f- эо, наибольший поток опредетит тогда оптимальное
использование дорог (см рис 8—1)
Замечание Положим для простоты г = хпП и определим числа
clj и Ц (при / = 0, 1, 2, . ., п, У=1, 2, . ., л+1) следующим
образом-
О, если
С ( V V \ РГ пи

ГЛ 8 TPAHCrtOPTHbTF СЕТИ
Задача о наибольшем потоке сводится к определению такой системы
чисел Ц, для которой
0<^<cj (/^0 1. , п, j =1,2,
= 1 r 2, . , п),
B)
C)
^? — 2 S> = 0
о
наибольшая
Таким образом задача представляет собой классическую линей-
линейную программу, несмотря на то, что искомые %* должны быть
x,(t)
Рис 8^1 Карта дорог и соответствующая прострапствешю-временная
транспортная сеть.
целыми числами [в самом деле, из лида условий A), B), C) следует,
что целочисленное решение всегда есть] Здесь можно было бы вое-

Наибольший поток 85
пользоваться симплекс-методом однако алгорифмы которые мы
собираемся изложить, настолько проще, что позволяют находить
вручную решение для чрезвычайно сложных се гей (В корпорации
РАНД этим способом был исследован граф с 500 вершин и 4000
дуг.)
Пусть ЛсХ—такое множество, что
Множество Uа дуг, заходящих в Л, иногда называют разрезом
сети; равным образом, пропускной способностью разреза Ua назы-
называют число
= 2 с (а).
Каждая частица вещества, движущаяся от х^ к z, пройдет холя бы
однажды по какой-нибудь дуге разреза Ua, поэтому, каковы бы ни
были поток ср и разрез Ua, всегда
Следовательно, если для некоторого потока <р и некоторого раз-
разреза V мы имеем уг = с (V) то мы можем быть уверены, что поток ср
имеет наибольшуЕо величину (а разрез V обладаег наименьшей про-
пропускной способностью)
Алгорифм для определения наибольшего потока в плоском
случае (Форд — Фалкерсон [2]) В случае х0г-плоского графа (т е
такого i рафа который после добавления дуги (х0, z) остается пло-
плоским) нахождение наибольшего потока можно осуществлять следую-
следующим образом.
Г Соединим х0 и z дугой (z, х0), которую изобразим в виде гори-
горизонтального отрезка; граф чертим над отрезком (jc0, z) таким образом,
чтобы никакие дуги не пересекались друг с другом в точках,
отличных от граничных, поскольку граф плоский можно определить
наивысший путь из х0 в z, выбирая всякий раз самую левую дугу
не ведущею только в тупики или в }же пройдеммые лершины
2° Рассмотрим наивысший путь а, из х0 в z и найдем дугу
v-i c наименьшей пропускной способностью Затем удалим а} и
вычтем с (й,) из пропускных способностей всех дуг пуги ji^. To же
самое проделаем опять, рассматривая новый наивысший путь |л2 и
его дугу и2 с наименьшей пропускной способностью, и т д
3° Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не будут
разрушены все пути из jc0 в z Тогда в исходном графе G
зададим на каждом пути ^л поток, количественно равный

86 гл а транспортные сети
пропускной способности соответствующей дуги uk (взятой в тот
момент построения, когда jift быч наивысшим путем) Суммарный
поток и будет наибольшим потоком по О1)
Общий алгорифм для нахождения наибольшего потока (Форд
и Фалкерсон [2]) Рассмотрим транспортную сеть с потоком <р (х, у),
величин} которого срг мы стремимся улучшить
1° Дугу и назовем насыщенной, когда ср («) = с (и); поток назо-
вем полным, если каждый п}ть из д;0 в г содержит по крайней
мере одну насыщенную дугу
Если поток не является полным то можно найти путь ^, все
дуги которого не насыщены [при эгом применяется тот же алгорифм,
что и в задаче 1 (гл. 7): в частичном графе, образованном ненасы-
ненасыщенными дугами, находим п>ть из х0 в z] Почожим
?'00 = ?(«)+! при
<р'(и) = <р(д) при
Очевидно <р' представляет собой поток с величиной
V* = Ум
Таким способом нетрудно >ве,!ичива1Ь неполный лоюк до тех пор
пока он не станет полным.
2° Пусть ъ(хг у)—полный поток, с помощью итерационного
процесса б>дем последовательно помечать те вершины i рафа, в ко-
которые можно доставить единицу добавочного вещества
Помечаем х0 индексом 0.
Если xt2) — уже помеченная вершина, то помечаем индексом _j-f
вес тс непомеченные вершины у, дтя которых
(**. У)?и и <?(Jft. У)<С(ХР у).
Если вершина xt помечена, то помечаем индексом —I все не
помеченные еще вершины у, дтя которых (у, x^U, у (у, xt) > 0
Если этим процессом мы добились того, что вершина Z оказа-
оказалась помеченной то меж л у х0 я z существует цепь }t, все вершины
которой различны и (с точностью до знака) помечены номерами пре-
предыдущих вершин. Положим
<р' (и) = cp (а) если и ^ а,
1) Предлагаемое автором доказательство некорректно Правильное дока-
доказательство можно, например, получить путем переделки из работы Форда
и Фалкерсоиа [2], где рассматриваются сети с неориентированными ребрами
и нецелочисленные потоки. Другое доказатечьство приводится в добавле-
добавлении VI —Прим. пере в.
2) Предполагается, что все вершины графа как-либо перенумерованы —
Прим ред

наибольший поток
о' (и) = <?(и) -\- 1 если и?ц. и при следовании по цепи |л от лг0
к z дуга « проходится в направлении ее ориентации,
<р'(л)=:<р(й)—1, если «?и и при следопании по |л о г х0 к z
д>га а проходится в направлении, противоположном ее ориентации
(см. рис. 8—2).
К-
JC.
¦X.
с (а)
Рис 8-2
Очевидно, ср'(а) все еще яВ1яется потоком, атак как <р' =^= ^ +1,
ю величина потока возросла
3° Если некоторый поток f° невозможно увеличить пребыл)щим
методом, г е если невозможно пометить вершину z, то я утвер-
утверждаю что ср° имеет наибольшую величину
В самом де^е, пусть Л— множество непомеченных вершин, так
как х$(?а, z^A to множество А определяет разрез Ua, имеем
Поэтому noiOK ^° обладает наибочылей возможной величиной.
Из сказанного сраз} вытекает фундаментальный результат
Теорема Форда — Фалкерсона. Для заданной транс-
транспортной сети наибольшая величина потока равна наименьшей
пропускной способности разреза, т. е
max
= min с
Л
Пример Рассмотрим гранспорти}ю сеть на рис. 8—3 с пол-
полным потоком о который насыщает дуги изображенные жирными
линиями; его величина уг = Ь Читатель может сразу же получить
наибольший поток величины б

88 ГЛ 8 ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Заметим, что для сети этого типа можно непосредственно полу-
получить наибольший поток по следующему правиту: будем увеличивать
единица за единицей пропускаемый поток, перемещая каждую новую
единицу по направлению к такой вершине, из которой может еще
выйти наибо1ьшее количество единиц, как только поток станет
полным оп окажется наибольшим.
Вообще говоря, речь тут идет о некотором псевдоалгорифме,
который оказывается весьма действенным в большинстве случаев, но
не всегда даег наибольший поток и поэтому должен применяться
лишь в первом приближелии,
Задача о наименьшем потоке
Для заданной транспортной сети будеи искать теперь поток <р
наименьшей величины, удовлетворяющий условию
C') ?(«)><;(«) (*?t/).
Эга задача, весьма близкая к лредыл}щей, встречается столь же
часто
Примет Наименьшее покрытие простого графа (X, Y, Г). Назо-
Назовем покрытием графа такое множество V жу\, чго любая вершина
графа служит граничной точкой хотя бы дчя одной из этих д)г.
Ищется покрытие V с возможно меньшим |V| Эта задача, коюрая
в общем виде будет решена в главе 18, есть задача о наименьшем
потоке для случая, когда i раф — простой, т е образован двумя
непересекающимися множествами X, У и отображением Г множества
X на Y.
Соединим вход х0 с каждой из вершин х^Х, а каждою вер-
вершину у7?К —с выходом z д>гой пропускной способности -f-1 и
примем пропуски}ю способность остальных дуг равной пулю, при
наименьшем потоке ср дуги u?U для которых с(«)>0, образ>ют
наименьшее покрытие.

поток совместимый с множествоч зн^чрпий 89
Алгорифм для задачи о наименьшем потоке. Можно приме-
применить процесс, в точности аналогичный процессу для задачи о наи-
наибольшем потоке, можно также свести ее к этой задаче следующим
образом
1D Ищем поток (fj, такой, что у{{и)^> с (и) при всех и (последо-
(последовательно перемещая единицы вещества к дугам, наибоаее далеким от
насыщения)
2° Полагаем с,2 (и) = уг (и) - с (и) и строим при помощи алго-
алгорифма Форда- Фалкерсона такой наибольший поток $2* чт0 9
^ с2 (а) при осех и
3е Имеем
f 1
поэтому ср = cp-j — о2 есть искомый наименьший поток.
Задача о потоке, совместимом с множеством значений
Снова рассмотрим транспортную сеть, но каждой дуге и отнесем
вместо числа с{а)'^-0 множество С (у) натуральных чисел Возни-
Возникают следующие задачи:
Задача I Построить такой поток <р(м), чтобы ^(и)^С(и)
при всех а
Задача 2 Построить наибольший поток <?(и), для которого
ср(и)^С(и) при всех и.
Вторая задача включает первую, она охиатывает также задачу
о наибольшем потоке если положить
С(и) = |0. 1» 2, .. с (и)}.
Пример ] [Фишер (R. A. Fisher)] Какое наибольшее количе-
количество троек можно образовать из п объектов A), B), . , (л) таким
образом, чтобы никакие два объекта не находились вместе бсл^е
чем в р разчичиых тройках? Эта задача сиояится к отысканию наи-
наибольшего потока для сети изображенной на рис 8—4 где числа
С (и) указаьы около каждой дуги и Заме) им что задача этого типа
возникла в биологии под названием „планирование неполных бло-
блоков" („incomplete balanced block design") при опытах по выведению
различных сортов пшеницы и что теория, которую мы излагаем
ниже, еще не дает позможкоои ее решить.
Пример 2 (I офман — Кун [5]) Пусть X— конечное множество,
S^, S2t * $„ — некоторые подмножества X, Т}, 7 * , Т —неко-
—некоторые попарно непересекающиеся подмножества X, bv Ь2, ,Ьр
с\ С2 СР ~~ Целые числа @ -< bt 4l ci при всех 0. Найти в X
множество Y—ly^ _у2 _у3> » Уп}> где Ук?$к ПРИ А = Ь 2, ..л,
удовлетворяющее условиям
<^ (t=lM 2, ., р).

gO ГЛ 8 ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Задача сводится ь отысканию наибольшего потока <р по сети,
изображенной на рис. 8—5; множество К образуется теми у, для
которых <р(у у) > 0 Эта задача 6}дет полноегью решена с помощью
теории, которая излатается ниже
ОД
123
Рис 8—4
Начнем с рассмотрения частного случая задачи 1: пусть дана
транспортная сеть с пропускными способностями с (и) ^ 0, су-
ществует ли поток <р° (и), удовлетворяющий условию <р° (и) <^ с (и)
и насыщающий дуги, идущие о выход z?
Положим дтя простоты
z) ее ™
О если
d(y) выражает „потребность" вершины у, которою мы стремимся
) до в л створить, будем также называть „потребностью" множества
ЛсЛ" число
Как обычно, обозначаем через UJ множество дуг, заходящих в Л,
а через Ua — множество дуг, исходящих из А, через F (А) обозна-
обозначим общее количество потока, которое может войти в А /после
удаления дуг множества U
1) Т е F(A) = max 2j ? (°) п0 сети, полученной из исходной соедк-
нснием всех верши» множества Л с выходом г дугами бесконечной про-
пропускной способности — Прим перев

ПОТОК СОВМЕСТИМЫЙ С ^НОЖРСТВОМ ЗНАЧЕНИЙ
91
Наконец, полною пропускную способность произвольно]о мно-
множества V дуг обозначаем
Лемма Пусть A^dX^zX\ (л?0 *), если для любого мно-
множества А, удовлетворяющего условию AoczA<=X, имеет место
Рис 8—5
неравенство
В самом деле, превратим данное множество Ai}aX в выход z0,
удаляя дуги ?/до и все дуги, не принадлежащие никакому пути»
идущему из дг0 в АОу и отождествляя все вершины Ао, для новой
сети наибольшая вечичина потока вследствие теоремы Форда—
Фалкерсона будет
Пусть Wo — разрез (новой сеги) с наименьшей пропускной спо-
способностью, он опредечяется некоторым множеством А (исчодной
сети), где хо^Л ЛэЛ0 z<?a, имеем W0=Ua отк>да
F {Ао) = с (Wo) = с (Ua) >d(A)>d (AQ)

92 ГЛ 8 ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
Теорема I (Гейл [4]). Пусть дана транспортная сеть с про-
пропускными способностями с («)>- 0, поток ср° удовлетворяющий
условию vQ (и) .^ с (и) и насыщающий дуги, идущие в г, существует
в том и только в точ случае, если
A) c(jJ-A)>diA) (A<=X=X\{xQ, z)}.
1° Если существует поток, который насыщает дуги, инцидент -
ные z, то для любого АаХ
Отсюда следует неравенство A).
2° Допустим, чю неравенство A) верно и рассмотрим произ
вольный разрез W, определяемый множеством S, где *0(?S, z
Положим Л = 5\{г), в силу леммы,
— 2 с(х, z)^c(W) —
Таким образом, для любого разреза W
Наибольший поток <р° удовлетворяет тогда условию
р
Следовательно, этот поток насыщает все дуги идущие в выход z.
Следствие (теорема о насыщении) Поток <р> удо-
удовлетворяющий условию ?(u)<^c(tt) и насыщающий дуга, идущие
в z, существует б том и только в том случае, если
B) F(K)>tf(K) (КсГ^).
Надо доказать равносильность неравенства A) предыдущей тео-
теоремы неравенству B)
A) =ф B). так как, в силу леммы
F(A)^-d{A) (A<z.X),
откуда, в частности,
B) =*> (I), ибо если рассмотреть множество ЛсЛГ и положить
Важным обобщением 1еоремы 1 является следующий результат:

поток совместимый с множеством значении 93
Теорема 2 (Гофман1)) Пусть каждой дуге и некоторой
транспортной сети отнесены два целых числа Ь{и) и с (и)
[О -^ b («) .^ с (и)] Пусть oi — семейство тех подмножеств мно-
множества X которые либо не содержат ни хп, ни z, либо содер-
содержат xQ a z одновременно Поток ср, удовлетворяющий условию
Ь (и) -i? з(и) <^ с (и) при всех и, существует в том и то пьо в том
случае, если
Пусть дана сеть О с двумя числами Ь{и) и с (и) для каждой
дуги и, этой сеги следующим образом можно посгавить в соответ-
соответствие сеть О с пропускными способностями с (и) добавим к верши-
вершинам О две точки х0 и z которые будут служить яходом и выходом
сети С/, каждой дуге й=(*, у) из О припишем пропускную способ-
способность с {и) — с {и) — Ь{и), соединим вход д;0 с вершиной у дугой
пропускной способности с(х0 у) = Ь(и), а вершину х соединим
с выходом z дугой пропускной способности с (х z) — b(u).
Наконец, соединим z с д:0 дугой пропускной способности
U \jCt -AQ) —| ¦^¦-J,
1° Докажем равносильность двух утверждений:
A) для сети О существует такой поток у, что
B) для сети О существует поток <р, который удовлетворяет усло-
условию y(u)j^c(u) и насыщает дуги идущие в выход z
A) =} B). В самом деле, если ср существует, то достаточно
определить <р на сети О так
<р (и) = <р (и) — b (и) при
ср(х, z) =2 *(*. У),
, у) хх 2 Ых, у),
{) Этот результат, доказанный Гофманом (Л F Hoffman) в терминах
линейных программ, был перенесен на теорию сетей Л Р Фордом

94 ГЛ 8 ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
функция ср является потоком по G, так как
у (и) = ? (и) — * (и) > & (и)—Ь (а) == О,
2) у\а) = у (и) — b (и) < с (к) — * (д) =
3)
Очевидно, поток 9 насыщает дуги, ид}щие в выход z
B) з^> A) В самом деле, сети ср существуем то о преде ним
функцию у так1
функция ср является потоком по G удовлетворяющим требуемым
условиям, так как
2) ? И = ^ («) Л Ь (и) < с (и) + Ь (и) = с (и),
3) 2 <>(«)— 2 f(«)=0.
2° Теперь осталось най;и необходимое и достаточное условие
лая B). Для любого множества Аа.Х обозначим через V2 множе-
множество дуг сети G, заходящих в Л, а через d (А) — потребность мно-
множества А, определенную для сети G, в силу сказанного выше (тео-
(теорема 1) условие B) равносильно условию
(АаХ).
Если это неравенство верно дтя некоторого множества 5 не
содержащею ни хп, ни z, то оно тем более верно для множества
], так как
Для множеств вида /? = 5и(^о! эт0 неравенство выполняется
всегда, ибо с (V/^) = -f-oo СЬраничимся теперь множествами А се-
семейства <А\ в этом сл)чае рассматриваемое неравенство б) дет
иметь вид
c(x, z)
JA

ПОТОК СОВМЕСТИМЫЙ С ННО/КССТООМ ЗНАЧЕНИИ
и пи (см рис 8—6)
2
м = (х, у)
и ={дг
или окончательно
Алгорифм для задач 1 и 2 в случае, когда множество С (и) —
интервал. 1° Для сети О каждой луге и, которой отнесены два
числа Ь{и) и с (а) } товпетворяющие условию 0 < Ь (и) ^ с (и) на-
находим такой поток <ь, что Ь(и)^_ $ (и) <^с(а), отыскивая, как прежде,
наибольший поток <р для сети G и полагая
9(«) = <? (и) Ч- Ь(а),
2а Полученный таким образом поток f не обязательно является
наибольшим; но процесс аналогичный процессу Форда — Фллкерсона,
позволяет добиться наибольшей келичинъг
помечаем вершин} лг0 коэффициентом 0;
если х} — помеченная вершина, то помечаем коэффициентом -\-1
все те непомеченные вершины у, для которых

9о ГЛ Я TPAHCnOPTIIhlF СЕТИ
если Х{ — помеченная лершина, ло помечаем коэффициентом —I
все те непомеченные вершины у, для которых
U, 1<У xt)>b(y, xt).
Если таким путем мы добьемся того, что вершина z окажется
помеченной, то поток можно увеличить по методу Форда — Фалкер-
сона. Если же для некоторого потока <^ пометить z невозможно,
то лусть А — множество rex вершин которые невозможно пометить.
Имеем xQ(^Ar, z?A, величина г?° равна
Так как, с другой стороны вечичина потока не может превышать
с (иа) — Ь(Уа)> го ^ — наибольший поюк.
Из предыдущего следует
Теорема 3 Ееш для некоторой транспортной сета суще-
существует такой поток у что 0 <^ b (и) <^ <р (и) ^ с (и) для всех
дуг и, то нагбо аьшая величина этого потока равна
<р,=* mm
Бесконечные транспортные сети
Рассмотрим транспортную сеть, определяемую графом (X U)>
с пропускными способностями с (и), в этом параграфе уже не пред-
предполагается, что | Х\ < со Мы обобщим теорему о насыщении
Теорема 4 Пусть У — {yt, у2 . .., уп, . ) — множество
{предполагаемое счетным) вершин, смежных с выходом z бес-
бесконечной сети, если граф регрессивно конечен а Г- конечен
в каждой точке, отличной от z то необходимы \i и достаточ-
достаточным условием существования потока ^° насыщающего все идущие
в z дуги, является выполнение неравенства
F(A)^d(A) (A<zY. \A\ <oo).
Положим Уп := {уг у2 .... уп] и обозначим через Хп множество
таких вершин которые принадлежат по крайней мере одному пути,
идущему or xQ к z через какую-нибудь из точек множесгпа Уп
Граф, получаемый изменением ориентации всех дуг и удалением z,
является Г-конечным и прогрессивно конечным, следовательно в силу
теоремы 2 (гл 3),
|(Г-')у1<оо

БЕСКОНЕЧНЫ? ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ 97
Значит множество
k=\
конечно и порождаемая им подсеть Gn конечна.
Обозначим через Фп множество потоков ол но сети Оп, насыщаю-
насыщающих выходные дуги [и, кроме того, если и — дуга, не входящая в Оп,
то полагаем <рл(и) —0| Так как Gn —конечная сеть, го \Фп\ < со,
далее и силу теоремы Гейла, ФЛ-^0, наконец, каждому потоку
п MO>KriO очевидным образом поставить в соответствие поток
ФЛ_1. удовлетворяющий условию ^п-] <^ <?„, TOr^a ввиду след-
следствия Кёнига (гл 3) существует последовательность (cpj с^р , ^, )»
rie <?д?Ф,4 для всеч «» такая, что
Положим ,р°(и) = sup f^(tt) и покажем, чго эго —поток, сов-
с cejbio G.
Если a J= z, то множество UU Д>г, заходящих в fl, конечно и
существует такое натуральное чисю р что
(и
Так как sp0 — поток по сети Gp, то
Поэтому ^° — поток; он сокмесшм с пропускными способностями, ибо
л> (и; = s up 'fn (a) < с (и) {и ^
Наконец очевидно что этот поток насыщает все выходные
д>[и, следовательно, он является искомым
7 К Берн

ГЛАВА 9
Теорема о полустепенях
Полустепени исхода и захода
Для большей общности мы рассматриваем здесь не графы,
а мучьтиграфы; говорят, что мультиграф (X U) есгь р-граф, если
одна и та же пара рершин может соединяться не более чем р
дугами из U (в каждом направлении)
Рассмотрим теперь р-граф с вершинами xlt x2, хп Назо-
Назовем полустепенью исхода вершины xk число дуг, исходящих из xk, т. е.
dA {xk) = | utk
Точно также полустепень захода вершины хк есть число д}Т\
заходящих в хк т е
d
U
X
к
При d+ (х) = d (х) = 0 вершина х называется изолированной
точкой, при d+ (х) ф 0, d~(x) = 0 — входон при d
d~ (х) Ф 0 — выходо и
Для зааанных целых неотрицательных чисел гт, г2 гв,
sy s2, ... sn можно поставить вопрос: существует ли р-граф, вер-
вершины которого хг х2, . хп удовлетворяют условиям
d~(xk) — sk (fe^=l, 2, п.).
Вот задача, которую мы собираемся здесь решить.
Теорема о пол у степенях Пусть {r{ st), (r2, S2),
(rn sn) —пари целых неотрицательных чисел, причем нумера-
нумерация произведена так что
Пары {гк> sk) образуют полустепени исхода и захода для вер-
вершин некоторого р-графа тогда и только тогда когда
п k
A) y,mm{pk M>2 sj (*=1. 2 «).
B) ? ', = ? *,
i

П01УСТЕПЕНИ ИСХОДА И ^АЛОДА 99
Поставим множеству пар (rk> sk) в со<мветствие транспорт ю
сеть G, об рам ванную вершинам и xv xv . , хп х{, х2 , хп,
входом х0 и выходом z, вершины xt и Хл соединим дугой пропуск-
пропускной способности c{xt, х^ — р, вершииы х0 и х{ — дугой пропуск-
пропускной стюсобиос-ш с(х^ xl) = rl, вершины х} и z — дугой пропускной
способности с(х} z)^=sJ
Каждый поток <р, насыщающий входные и выходные дуги сеш G,
определяет /?-граф (X, U), где вершина х1 соединена с х} дугами
в количестве f(xt, x^ систему иолустепеней этого р-графа обра-
образуют как раз пары (rk, <?ft) Наоборот, каждый /?-граф (X U) с си-
системой полу степеней (rk> sk) определяет погок по G, насыщающий
входные и выходные дуги, В силу теорем и о насыщении {гл. 8),
необходимое и достаточное условие существования такого потока
состоит п гом, чтобы выполнялось равенство B) и чтобы для каждого
множества А = \х. х. х ) наибольшее количество потока,
которое может войти в А было не меньше потребности Ау т. е.
F(xi: xr , x( y>d(xit xh, , X; )(^<^г, h<l2< <f*):
или
п
(Г) 2 Ш1П [М rt)>ftt -\-st -^
I =1
Имеем (lO^Cl)» а так ьак Sj пронумерованы в убывающем
порядке, ю и A)=ф{10
Таким образом, оба сформулированных условия налицо.
При р=\ эта теорема выражает необходимое и достаточное
условие, при котором пары (rk, sk) образуют полустепени исхода
и чахода некоторого графа. Этот результат можно представить
в форме, более удобной для быстрой проверки. Пусть
г—(гг Г2- ¦ ¦)
конечная строчка целых неотрицательных чисет (пронумерованных
в убывающем порядке); поставим ей в соответствие строчку
где г* означает количестно тех г которые не меньше А, строчка г*
называется двойственной для г Тогда имеет место

100 ГЛ 9 ТЕОРЕМА О ПОЧУСТЕПЕНЯХ
Следствие1). Пусть даны пары целых неотрицательных
чисел (rk sk), изменим по отдельности нумерации гк и sft так,
чтобы быw
Образуем, далее, строчку г* — (t\> r*v .), двойственную для
r — (rv г2 ), и добавление ч нулей добьемся того, чтобы
строчки г* и s имела одну и ту же длину т
Аля того чтобы данные пари образовывали систему полу-
степеней некоторого графа необходимо и достаточно чтобы
¦т-V
Это условие сразу получится из предыдущей теоремы если
показать, что для любого натурального k
min {k, rt) = 2 г*
i ;i J
t = l
Последнее равенстпо верно при &=1, с другой стороны,
если оно верно для како! о-ниб^дь k, то оно верно и для k-\-\t
поскольку
п
2 nun {? + 1, г^ ~ 2 m*n i^1 rt! "hf 2 mm (^' ri]
ч и т г
Пример (задача об экскурсии) При поездке на экскурсию надо
распределить т семей по п автобусам, семьи имеют соответственно
г\> Г2> ¦ ' rm членов, а автобусы располагают соответственно slf
s2 . .. , sn свободными местами Можно ли всю группу распределить
так, чтобы никакие два члена одной и той же семьи не попали
в один и тот же автобус? Эта задача сводится к построению простого
графа с заданными по ij степенями, [раф определяется множествами
Х^{х1 х2, .. , хт\ и У={уг, у2, . . у„};
') Этим условием мы, видимо, обязаны Гейлу |1], в свете хорошо из-
известной теоремы Харди — Литтлвуда — Пойя [2] эти неравенства выражают
тот факт, что вектор г* является образом вектора s при линейном бисто-
хастическом преобразовании (см например, Е Т F М , г л 8). (Другой вы-
вывод этого следствия и дальнейшей теоремы, а также некоторые их прило-
приложения имеются \ Райзера |4] —Прим пере в)

ПОЛУСТЕПЕНИ ИСХОДА И ЗАХОДА {01
вершина хк имее! полусгеиени (rk о), а вершина у%— полуае-
пенн @, sk)
Пусть для опредетешюсти
свободные места sk = 5 5, 4 4, 4 3, 2 1 1 1,
семьи гл = 8, 8, 5 5 4
Двойственная строчка образуется числами
Проверяем, разрешима ли задача
5> 5
5^5=10> 3 + 5 — 10
10 —5 = 15 ^> 10 — 4^ 14
> 14 + 4 ^ 18
24 -А- 2 = 2G > 22 -I- 3 ^- 25
26^2 -28>25+2 = 27
28 + 2 = 30 > 27 + 1 =: 28
30 ^=-29 — 1
Значит, задача разрешима, теперь ее можно решать, как задачу
о наибольшем потоке
Допустим, что для данной системы полусгепеней удачось построй]ь
граф G^(X U), рассмотрим такие вершины х, х'\ у, у' что
(х, y
Если дуги (х, у) и (х/, уг) заменить дугами (л:, у') и (л?', у), ю
получится снова граф с той же системой полусгепеней, 1ак>ю замену
мы назовем перемещением; важность этой операции обусловлена
следующей теоремой:
Теорема 2. Сели G = (X, U) и И = {Х V) — dea графа
с соответственно одинаковыми полустепенями исхода и захода
в каждой вершине, то И можно по гуяшпь из G конечным числом
перемещений.

102
ГЛ 9 ТЕОРЕМА О ПОПУСТЕПЕНЯМ
Графу G отнесе»' ьпирицд А = (а'Л с п строками и п столбцами
в коюрой
f 0, если (х., х.)Ф U,
I 1, если (xr xf)? U.
Точно так /ке отнесем граф} И мафии}, B—(bj); имеем
n
1 = 1
< 2 ] ct-1
)Матрина С = А—В, по определению, образована элементах^
А=а1—Ь1.; они равны -|-] 0 или —1, причем суммы этих эле-
элементов по строкам и по столбцам равны н^лю
В случае 2 1 с/ =0 графы О и Я совпадают, в сл>чае 2 е', > О
покажем чго последоватетьными перемещениями на графах О и //можно
гол>чить матриц> С~ А— В =-(с1Х у которой 2 | с\
1Г 1
1аким образом повторение
этой операции дасг в конце
концов графы О и И сов-
совпадающие друг с другом
Пусть с1. — некоторый
элемент, равный -f~l; так
как каждый столбец со-
содержит столько же —-1,
сколько и —1, то в у-ом
столбце найдется Элемент
tb = — 1, точно гак /ке
в k-Pi о роке найдется неко-
неконекоторый
путь с1г ск ckn с
торый этемент г*-=
затем в /-ом сточбце —
^— 1 ит д Тем самым в матрице С определится
, , с*, с1г Если в некоторый момент мы придем
\ >же затронутого ранее
<у-го столбца, то отпранимся далее в еще не встретившуюся точку
с% = — 1 {это всегда возможно ибо ?-Й столбец имеет столько же^-1,
сколько —1), так как матрица конечна, то рано или поздно мы
вернемся в точку с1 и потучим, таким образом элементарный контур.
1г ск ckn с™
в еще не пройденную точку ср =

ПОЧУСТРПЕНИ ИСХОДА И ЗАХОДА ]Q3
Рассмотрим квадрат с1, ск. cft clt (см рис 9—1) Возможны сле-
следующие четыре ел)чая
Случаи 1 с1( — —1, Произведем перемещение
на графе О В полученной матрице С 6vact с1 = с]г = с* = с\ -= О
(остачьные эчементы — прежние), чю соответствуем поставленной дети
Случай 2 cj-^O (xr х^ ? U То же перемещение, что и в пер-
первом сл>час, дас! нам с1 = с* -=: с* = 0, с\ = 1 а зго опять оюечает
це fin.
Случай 3 с\ = 0, (xt, >r?) g t/ Тогда (jcr д-р ^ I7, и перемещение
на |рафе Н приводит к тому же результат для матрицы С, что и
во втором случае,
Случай 4- clt = -\-1 В этом случае найденный элементарный
контур можно заменить более коротким с1г с^, ,.,, clr, clr Повто-
Повторяя для новою копира предыдущие рассуждения мы либо нато ж-
немся на один из случаев 1 2, 3, тибо в копне концов придем
к квадрату с элементами -pi, —!¦ -(-К ^1 н вершинах после
чего достигнем цели очевидным перемещением
Таким образом доказано, что оба графя G и И можно последо-
последовательными перемещениями превратить в один и тот же граф О (= И)
Но операция перемещения обратима, поэтому мы можем: сначала
перенести G в G, а затем G в И (применяя в обратном порядке
перемещения, обратные тем, которые прсобраз>ют И п О). В конеч-
конечном итО1е получи* И из О поередаеом перемещений)
ч и т д
Пример П>сть
Х—{хи х2> .. хп, у{ у2> ._, уп].
d+(yj)= 0, <Tty)=f
Искомый граф отвечает некоторой перестановке индексов
1,2,, , п и теорема 2 дает известный результат
Из данной перестановка (/ь /2, . in) можно получить любую
другую перестановку тех же элементов при помощи конечного
числа транспозиций

ГЛАВА 10
Паросочетание простого графа
Задача о наибольшем паросочетании
Мы будем расошрииать здесь только простои граф (Х> У Г)
•". е, граф, определяемый двумя непересекающимися множествами X
и Y и многозначным отображением Г множества А'в К Те же задачи
мы постапим позднее и для произкочьных графов (см гл. 18) однако
техника их решения буает совсем иной Сначала предполагаем граф
конечным
Назовем паросояетанаем простого i рафа (А' К, Г) такое мно-
множество W его дуг в котором никакие две дуги не смежны, если
паросочетание устанавливает кзаимно однозначное соответствие между
некоторым множеством АаХ и некоторым множеством ЯсК то
говорят что это паросочетание отображает А на В или то оно
отображает А в Y Мы хотим определить наибольшее число
дуг паросочетания
Пример 1 Задача о назначении лиц на должности
В учреждении имеемся р работников a:. jt2 хр и /; должно-
должностей yv y2 у ур К1?алификация каждого работника позволяет ему
занимать некоторые ио должное гей. Возможно ли произвести назна-
назначение таким образом чтобы каждый работник занял должность
в соответствии со своей кватафикацией? Если обозначить через Гх(
множество тех должностей которые может занимать лицо xt> то
задача сведется к рассмотрению простого графа (X, К, Г) и нахо-
нахождению его паросочетания отображающего X на Y.
Пример 2 Задача о воспитанника* и воспитанницах. В сме-
смешанном американском колледже каждая девушка имеет т друзей,
а каждый юноша имеет т подруг, можно ли ro время 1анца сделать
так, чтобы каждая девушка танцевала с одним из своих друзей
а каждый юноша — с одной ил своих подруг^ Как мы покажем
в свое время (следствие 2), ответ на этот вопрос — утвердительный
Теорема Кепи га—Холла D] Паросочетание, отобра-
отображающее X ь К, существует тогда и только тогда, когда
1Г|| для любого множества A<z.X

3\ДАЧА о ПЛИБОПЪШЕ-и ПЛРОСОЧЕТ\ПИИ
105
Рассмотрим транспортную сеть определяемую точками множеан
X и Y, входом v0 и выходом zf соединим х0 t каждой вершиной
Vj?Y дугой пропускной способности с(х0 yj)—l далее соединим
каждую вершину х^Х t z дугой пропускной способности с(х^ z)— 1,
наконец всякий раз, когда y^Txt соединяем у- с xt дугой про-
пропускной способности со (ри^. 10—1) Если АаХ, го полная потреб-
потребность множества Л равна d(A) ^ \А\, наибольшее котичество потока,
которое может поступить в А равно / Г 1
X
Всякий по гок по сети определяет некоторое паросочетлние про-
простою графа, причем точка xt отображается в у К01да по луге
(Уу, Xj) проходит единица потока наоборот, всякое паросочетание
определяет некоторый поток Отобразить X в К возможно тогда
и ioilko тогда, когда наибольший поток насыщает выходные дуги
i e , я ситу теоремы о насыщении (гл 8), когтя
или иначе,
\A\
(АсХ)
ч и г
Итаь, нахождение наибольшего паросочетания преда атлет собой
задачу о наибольшем иоюке, и здесь можно применить алгорифм
Форда — Фа чкерсона (i л Ь)
Стедствие 1 В простом графе G?=(X У Г) у которого
\Х\ = р | V] --— q, проку черуем вершины xt ? X и y;?Y maica м
образоч, чтобы
-pl«
Г
-1. '
!> г-'.

106
ГЛ 10 ПЛРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Тогда достаточное условие существования паросочепшния,
отображающего X в Y выразится так
A)
В самом деле, рассмофим два множества
(A = 1.2. • ../>).
с кочичествами элемешоь соответственно k и k — 1, в силу A),
ГЮэюм} число д}г, исходящих hs А, строго превышает число
дуг, заходящих и В, злачит, ТАфВ, каково бы ни было множе-
множе— 1 и
ство В из k — 1 элементов, отсюда
окончательно
\ТА\>\А\ (АаХ)
Поэтом) X можно отобразить в У требуемым образом
Следствие 2 Fела для простого графа (X Y Г) суще-
существует такое целое число т что \Тх \ ~у>т для любой вершины х ? X
и \^~1у ^,т для любой вершины у ? К, то можно построить
паросочетание, отображающее X в Y
Действительно, условие A) предыд}щего следствия здесь вы-
выполнено
Следствие 3 Пусть (X К, Г) — простой граф, а
m = \пл\ (|Г*|, Г'
П
всегда существует паро сочетание, использующее все те вершины х,
для которых |Гл|=т., и все те вершины у, для которых
у\
V Сначала покажем, что можно построить простой граф (Хг, К', Г'),
все вершины которого имеют полустепень т и который содержит
(X У Г) в качестве подграфа
В самом деле, построим т одинаковых копий графа (X К, Г)-
(ХК К' Г). {X* УЧ Г), ... (Хт, Ут Г),
если вершина х ? X lakona чш т— [Гд;|=А:>0, то рассмотрим
соответственные ючки x1?Xl X2?XJ, . хт(~Хт и каждую hj
них соединим дугами со всеми вершинами нового множества
У
УB,

О ПЛИЪОПЬШЕЧ ГПРОСОЧЕТАНЦИ 107
состоящего из k точек и специачьно построенного для нашей цели.
Проделав это со всеми точками х?Х, возьмем точку y?Y> для
которой Г~ v I < m, nocipoHM вспомогательное множество Х\у) и
все точки этого множества соединим с _v, и т. д.
По.южим
х' - U х' и U х
т
U yJ и U
Простой граф определяемый множеавами Х\ Y! и построенными
ду]ами з'довпстворяет требуемым условиям и содержит (X1, К1, Г)
в качестве подграфа
Заметим что [Л7]— |У"
2а В силу следствия 2 в новом графе можно построить паро-
сочетание, отображающее X' в Р, каждой вершине х1 ^ Х^ для
которой \Гх] \ = т будет отвечать вершина в К1 а каждой вер-
вершине У?К1, для которой Г У =т,—вершина в Л, поэтому
\ 1 Г
р
в 1рафе (Х\ К1, Г), г е » (X, Y, Г), существует паросочетание, ис-
использующее вес эти першины
Следствие 4 Хро чатичеекпй класс простого графа (X У. Г)
есть
Надо доказать, чю д}ги i рафа можно раскрасить в т различных
цветов так, чтобы смежные дуги не были окрашены одинаково.
Перпой краской окрасим все дуги лою паросочетания которое
использует все вершины с полустепенями тТ второй краской окра-
окрасим дуги паросочетания, использующего вершины наибольшей лолу-
степени в том частичном графе, который образокаи не окрашенными
еще дугами, и i д Эти паросочетания существуют в силу преды-
предыдущего следствии и при каждом шаге наибольшая пол>степень вер-
вершин графа уменьшается на единицу Поэтому m красок достаточно
дтя раскрашивания всех д}г графа (X Y, Г)
Пример (латинские квадратыIJ Следствие 4 имсе1 любопытное
применение к теории латинских квадратов, придуманной Эйлером.
Говорят, что дан латинский квадрат порядка л, если клетки квад-
квадрата пуп заполнены буквами yv y2 , уп таким образом» что
ни одна строка и ни один столбец не содержит дп)х одинаковых
буки. Дли выяснения того является ли заданный прямоугольник
с буквами частью некоторого 1атинского квадрата, служит следую-
следующая теорема
Пусть 7 — прямоуго аьник р X Я заполненный буквами
У^ Уз- • Уп maf<> чшо ни одна строка а ни один столбец не
1 В настоящее времи латинские квадраты применяются, например
в биометрии — При tf перев

108
Г Л @ ПАРОСОЧНТ\[ШС ПРОСТОГО ГРАФА
содержат двух одинаковых букв и пусть буква у встречается
в Т т(у) раз Для того чтобы путем добавления п — р строк
и п — q столбцов было возможно превратить Т в латинский
квадрат пуп необхода мо и достаточно, чтобы
м (Ук) > p^q — ti (k = 1 2 . , и)
1° Условие необходимо В самом лете п\сть Г, — множество
из п — q б}кв, не встречающихся в i-V\ строке прямоугольника Т, и
пусть mr (у) — число множеств из
Т{ Г2, . . Тр> которые содержат у
Если можно построить латинский ква-
квадрат, го m'{y)^n—q, откуда
т (у) = р — mf (у) > р — п -A- q
2° Условие достаточно Действи-
Действительно, по южнм /*={!, 2, р\,
1/ = {у1, у2 , уп), определим мно-
множества Г;, как выше, проведем из каж-
каждой вершины i ?Р дуги в те у ? К, для
которых у? Гг и рассмотрим получен-
полученный простои граф (Р, Y, Г), имеем
1
2
I
P
J
•
•
2
¦ •
• •
• •
4
9
•
•
• •
• •
Рис 10—2 Значит, в chi> следствия 4, мы
можем раскрасить дуги графа в п — q
цветов синий, красный и г д Начнем пополнять Т новыми
п— q столбцами первый стоабец образуем из концов синих д>1,
исходящих ия Р, вюрой — из концов красных дуг, исходящих
ш Р, и т д Полученный таким образом прямоугольник Т с раз-
размерами р X «• удовлетворяет уел опию теоремы поскольку m (у) —
= р -=^{р-\- п) — п\ после этого остается повторить аналогичное
рассуждение, переменив ролями столбцы и строки
Дефицит простого графа
Дефицитом простого графа О~(Л\ Y, Г) называется число
0
AZZ.X
Всегда \ ;> 0 (ибо ! 0 | — |Г0 | = 0), поэгому теорему Кеиига —
Холла можно сформулировать еще и так необходимое а доста-
достаточное условие существования паросочетания отображающего X
в Y, состоит в том чтобы Ъ0 = 0 .Мы чдесь ставим целью улуч-
улучшить этот рез} льтат и, точнее, оценить наибольшее число дуг паро-
сочетлгшя.

ДЕФИЦИТ ПРОСТОГО ГРАФА ДОС)
Прежде всего, назовем опорой простого графа G^=(X, У, Г)
всякое такое множество С^Х[}У что каждая дуга имеег ло край-
крайней мере одн> из своих граничных вершия в С\ это понятие важно
и само по себе. Имеют место следующие результаты
Теорема 2. В простом графе G -=-(Х У, Г) наименьшее
количество элементов опоры С равно \Х\—Ьо
В самом деле,
\Х\ -со= |*| —
где В = Х\А
Но множество SUT(A'\S') является опорой, причем всякая
наименьшая опора имеет такой вид, аоэтому справедлив сформули-
сформулированный результат
Теорема 3. Число внутренней устойчивости простого графа
G = (X, У, Г) равно а(О)= |K|-f-V
В самом деле если С — опора то ее дополнение S = (Х{\ У) \ С
является внутренне устойчивым множеством (никакая д>га не может
иметь обеих граничных точек в S), наоборот, если S—внутренне
устойчивое множество, то его дополнение является опорой.
Отсюда
= max\S\ = шах([АГ( + \У\ — \С\) =
S С
Замечание. Теорему 3 можно сформулировать иначе. В произ-
произвольном графе обозначим через Ах = \yjy > х\ множество вершин,
строго следующих за х (см. гл- 2) и будем говорить, что две
вершины хх w х2 несравнимы, если не имеет места ни х1 > х2, ни
х2 > хх В случае простого графа (Л* У, Г), очевидно,
—Г* если
— <2)> если
Теорему 3 сформулируем следующим образом- наибольшее число
попарно несравнимых вершин, которые можно найти в простом
графе, равно

ПО ГЛ 10 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Замечательно, чго в этой формулировке теорема остается в сипе
и для произвольных графов т)
Исследуем теперь взаимосвязь между дефицитом простого графа
и наибольшим чистом дуг паросочетания
Лемма 1, Если для АаХ положить &(Л)=|Л[ — |ГЛ|, то
Ь(А 1 U А2) + В (А т П А2) > Ь {A Y) + Ь (А 2).
В самом деле, справедливы соотношения
А
2
! U Л2) |+ [Г (Л, П Л2) |< [ГА U ГЛ2 [-НГЛ! П ГЛ2 [ = [ГЛТ j + |ГУ121.
Вычитая второе соотношение из первою, пол>чим треб>смую фор-
формулу.
Ле м м а 2 Семейство Л = xAjb (А) = о0, образует структуру
относительно операции (J и П. т е
В самом деле если Л, А2?<А, то, в силу леммы 1,
Ь (Лl U Л2) + Ь(Аг П А2) > Ь (А,) + Ь (Л2) = 2Ь0
') Доказательство можно провести, например, так. если (X, J) — данный
конечный граф, то построим простой граф {X X, Д) указывающий для каж-
каждой першипы все строю последующие, и рассмотрим наименьшею опору
Г Сначала покажем, что индексы этих вершин различны Действительно,
если бы, например, г; =Л, то существовал бы такой индекс k =h iu /$, ...,что
(поскольку множество C\{;r, }, имеющее на один элемент меньше чем С,
не может быть опорой), по гоЙ же причине нашелся бы такой шнеке
h -r= Уь Л* . , что
хк € &х{ ,
но
Xk ^ Xlr Xh < X/2Z^ Xk < Xiu
вопреки тому, что дуга. (xk> л:Л) не имеет своих граничных точек в опоре С
2° Рассмотрич в графе (X, Г) множество S=X\>.x[ x{ ,
,х.лх.у }, все его элементы попарно несравнимы оно — наибольшее
из множеств с этим свойством, и, в силу теоремы 2,
max(l Л [—[^|)| = тач(( Л - \А \)
'J И 1 X

ДЕФИЦИТ ПРОСТОГО ГРАФА
Ш
Так как ни одно из слагаемых S^U^) и b(AjC\A2) не может
быть больше 50, то необходимо 5^ у Л2) — 50. 8 (Л, П Д2) == V чт0
и дока^ыиает утверждение
Лемма 3 Если §0 > 0, то пересечение Ло есел; множеств
семейства хЛ = {Л/5 (Л) = ЬоJ ес/гсь непустое множество этого
семейства
Так как граф конечен, то Ло есть пересечение конечного числа
множеств из Л и в силу предыдущей леммы, Л0?<у?, кроме того,
если бы Ао = 0, то мы имели бы
что противоречит предположению о том, что So > О
Теорема 4 (Кёниг — Оре |9]) В простом графе наибо ъъшее
число дуг паросочетания равно \Х\—50.
Ести ^0^0 то утверждение уже доказано (на основании теоремы
Кёнига — Холла); доиустим ieneph что \ > 0, и рассмотрим пере-
пересечение А[Л (tienyCTOe) тех множеств А для которых 8(,4) = SO
1'' Вела удалить из графа вершину х0 ^ Ло, то дефицит не
изменится В самом деле, дефицит нового графа S^^Sq; а так как но-
новый граф содержит множество Ао для которою ё(Ло)=&о, то So —So.
2° Если удалить из графа вершину х0 ^ Л(), то дефицит графа
уменьшится ровно на единицу. Действительно поскольку удале-
удаление А"о
разр>шае1 все ге множества А дая которых §(Л) = ^0, то
дефицит нового графа So < К, ноэюм} множество Лу^
удовлетворяе! у
отк\да
I IMo I > IГ/10
В си i> Aod Aq справедливо также обратное неравенстзо, значит,
и, наконец.
последнее же ввиду 6О < §о означает что
о° Так же, как и выше, доказывается
что 80 есть наименьшее
чиспо вершин из X которые надо удалить чтобы полученный i раф
обладал дефицитом &о = О т е допускал паросочетание, отображаю-
отображающее множество ею вершин X' в К, отсюда и С1едует сформулиро-
сформулированный результат.

112
ГЛ 10 ПАРОСОЧЕТА.НИЕ ПРОСТОГО ГР\ФА
Следствие (теорема Кенига) В простом графе наименьшее
число вершин опори равно наибольшему числу дуг паросочегпания*
(Сопоставление теорем 2 и 4).
Последний результат дает нам возможность установить новый
алгорифм для определения некоторого наибольшего паросочетаиия;
этот алгорифм более поучительный в применении к аеории графой,
чем алгорифм отыскания наибольшего потока оснонан на работах
Эргевари [2] и Куна [51 и обычно известен под именем „венгерского
алгорифма*.
Венгерский алгорифм
Рассмотрим простой граф (А', У Г) и паросочетание W, лу\ и
которого будем называть сильными и изображать жирными линиями
(остальные дуги называем слабыми и
изображаем тонкими линиями) предпото-
жим что паросочетание W — полное'
каждая спабая дуга смежна по крайней
мере с одной сильной дугой.
Вершину z не являющуюся граничной
ни для какой сильной дуги назовем не-
ненасыщенной Если w ? W, то через Д<ш
обозначим множество тех ситьных дуг,
концы которых смежны с началом дуги W;
обозначим через W+ множество тех силь-
сильных дуг, концы Koiopbix смежны хотя бы
с одной ненасыщенной вершиной, а че-
через W — множество сильных дуг, на-
хотя бы с одной ненасыщенной вершиной
Prc. 10—3
чала коюрых смежны
(см. рис 10—3)
ь'ожно сформулировать теорему
Теорема 5 Следующие четыре условия равносильны
A) в простом графе (X Y Г) паросочетание W — наибольшее,
B) в простом графе (X, У, Г) не существует чередующихся
цепей- (состоящих из поочередно идущих слабых и сильных дуг),
соединяющих две различные ненасыщенные точки;
C) в графе (W, Д) не существует пути, идущего из точки
множества W* в точку множества W ,
D) в графе (W, Д) каждую вершину можно понетить знаком
„Ч-и или „—* так, чтобы все вершины^множестеа W^ получила
знак „т", все вершины множества W" — знак „—а и чтобы ни-
никакая дуга (ориентированная) не шла из „-\-а в „—*
Покажем, что A)гфB)=фC)=фD)=^>A)
A)гфB), так как если бы сущестионала черед}юшаяся цепь ?/0,
соединяющая две различные ненасыщенные вершины то паросочета-

113
пие W z^(W\ Uf) \J(Uq\W) имело бы на одну дугу боаьше чем W,
г. е паросочетание W не было бы наибочьшим.
B)гфC) так как всякому пути графа (W Л) идущем) из № +
в 1^-, отвечает хотя бы одна черед)ющаяся цепь соединяющая две
ненасыщенных точки хо?Х и _уо? У
C) =ф D) Пометим знаком »-\-и все вершшш множества \W h
и знаком „—а все вершины множества W\AW ; имеем W^s*
и U7" с W\ Д^4" (так как не существует пути идущего из
в W7"); поэтому условие D) выполняется.
D)=фA) В графе (X К Г) с паросочетанием W пометим силь-
сильные дуги знаком „ \-* итй и— и в соответствии с условием D) и
обозначим через Х~ множество начальных точек сильных дуг, по-
помеченных знаком „—", а через У — множество конечных точек
сильных дуг, помеченных знаком „ ¦[¦-'
Спучай 1
Стучай 2
Стучай 3
Случай 4
Рис 10—4
Дтя дуги иц = (х0, у0), \дов!етворяющей условию х
У~. рассмотрим четыре случая расположения (см рис 10—4)
Случай 1 вершины Л"о и у0 не насыщены Этот случай невозможен,
так как W — полное паросочетание
Случай 2 вершина \0 не насыщена вершина у0 насыщена Тогда
существует дуга w?W с концом и yQ Поскольку уо^У^ , дуга w
должна быть помечена знаком ^—", Но с другой стороны, по
определению множества W~, она должна принадлежать этому множе-
множеству и поэтому быть помечена знаком »-\-и Таким образом, и этот
случай невозможен.
8 К Берж

114 ГЛ 10 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФА
Случай 3 вершина х0 насыщена, иершина у0 не насыщена Тогда
существует дуга w?W с началом в х0 Поскольку лго(? X ~, дуга w
должна быть помечена знаком „-J-", но с другой стороны <w?W~,
и поэюму она должна быть помечена знаком „—" Таким образом,
и этот спучай невозможен
Случай 4 перши и ы *й и у0 насыщены Рассмотрим дуги w{ и
w2 принадлежащие паросочетанию W первая из которых имеет на-
начало в х0 а вторая — конец в y{J Дуга wl должна быть помечена
знаком -f-" а дуга w2 — знаком „—" Но тогда w2^-\'Wl, вопреки
условию D) по которому никакая дуга не должна идти из „-[-"
в „—" Таким образом, и этот случай невозможен
Тлк как все эти случаи невозможны, го не существует дуги
(хо> Уо)> Ь которой Хц(? Х~ и уо^У^. С 1еюв?1гельно множество
С -^ Х~ U У+ является опорой.
В силу теоремы Кёнига гля любою паросочетания W и любой
опоры С? имеем |\^'|^|С'|, поскольк> в нашем с л) чае |tt/| —jC|
паросочетание W является наибольшим (а опора С — наименьшей)
Алгорифм для построения наибольшего паросочетания. Рас-
Рассматриваем все вершины X и последовательно пробуем отобразить
их в У, когда никакая вершина не может быть более отображена
имеем полное паросочетание W
Образ)см граф (W, А) и ищем путь, идущий из W+ в If
(различные способы чтя этого били указаны и г л 7) Если такой
путь существует го заменяем ларосочетание W паросо^етанием W,
имеющим на один элемент больше и начинаем все сначала
Если такого пути Hei то паросочетание W — наибольшее
Алгорифм для построения наименьшей опоры. Действуя как
выш^ находим какое-нибудь наибольшее пар о сочетание VP
В зрафе (X, У Г) помечаем дуги множества bW~, знаком n-f~u.
дуги множества W \AU^' —знаком ,—", наименьшая опора С
будет состоять из начальных ючек сильных т,уг помеченных зна-
знаком п—", и конечных точек сильных дуг, г^теченпых а паком п-\-и
Следует отметить, чю таким же способом строичея наибольшее
внутренне устойчивое множество (при помощи перехода к дополнению),
Обобщение на бесконечный случай
Некоторые из предыдущих резульгаюв распр0С1раняются на
локально конечные простые графы
Теорема Ь В локально конечном простом графе (X, Y Г)
паросочетание, отображающее X в У, существует тогда а

ОБОБЩЕНИЕ ПЛ БЕСКОНЕЧНЫЙ СЛУЧАЙ
только тогда, когда
|1М|>|Л| (АсХ, \А\<эо).
Эта теорема доказывался анэлсиично 1еореме Кенига — Холла но
только здесь используется теорема о насыщении для бесконечных
транспортных сетей (гл 8).
Теорема 7 В локально конечном простои графе (Ху Г, Г)
наименьшее число вершин, которые надо удалить из X для того,
чтобы можно было найти паросочетание, отображающее новое
множество вершин X' в Y, равно
Sn = max (|Л|-|1М()
|Л1 < jo
Когда Ьо конечно sia теорема доказьшается, как и теорема кё1-
нига — Оре с помощью рассмотрения пересечения Ло множеств
семейства
заметим чю само Л0^,у[ Когда Ьо бесконечно, утверждение
очевиднот*
Теорема 8 Хроматический к. гасс простого графа (X V, Г),
конечный или бесконечный, есть
т
= тах{|Гл:
При т — do теорема очевидна, при т < со она доказывается
точно так же, как в случае конечных графов
Приведем в заключение важную теорему, коюрая в различной
форме встречается в самых разнообразных задачах и зас!уживае1
доказательства точько для бесконечных |рэфов
Теорема Берн штейна Если в бесконечном простом
графе (X К, Г) существуют паросочетание W отображающее
X в К, и паросочета ше W, отображающее У в X, то с помощью
некоторого множества дуг Wq<z.W\}W ложно также взаимно-
взаимнооднозначно) отобразить X на Г.
') Эт> теорем) можно распространить на любые транспортные сети
(Бсрж [I]); получаем: если граф некоторой транспортной сети регрессивно
конечен и 1~1-конечен, то наименьшая общая величина на которую
надо у иеныиить потребности чтобы иметь возможность все их удовле-
удовлетворить, равна
So- sup [d(A)-F(A)]
Л СГ Г 'г

116
Ю ПА? ОСОЧЕТАНИЕ ПРОСТОГО ГРАФ\
Пусть з — однозначное отображение, относящее каждой вер-
вершине х?Х такую вершину у?У> что (х у)^^7, ах —однозначное
отображение, относящее каждой вершине y?Y такую вершину
Рис
что О, y)?W, попожим Л—Л'ЧтКСрис 10—5) Обозначим далее
через <jt = {AJi ?/} семейство подмножеств множества X, удовле-
удовлетворяющих условиям
A) Л^А
B) т(аД)сЛ,.
Это семейство ui непусто, ибо Х? Л, если положив 5 =
то будем иметь
\А, = S
Поэтому
так как
¦; то же верно и для множества A U х (vS) —
Значит,
отсюда, наконец,
х (о50)ст (o5)cz Л U wS = 50.
, с др>юй стороны,
?0 — Л U х (з5)сг Л U *5 ^: 5,
Рассмотрим теперь множество Wo 1аких д)Г (л: у) что
у = ох, если х
у^т^1.*; если х

ПРИПОЖРННЕ К ТЕОРИИ МАТРИЦ
117
Чтобы показать что оно является паросочетамием, отображаю-
отображающим X на У достаточно убедиться в том, что если положить zS = Т.
то бу т.е i
Но это получается срая} так как мохпю написать
\T) -=xY \ A \~J = z
\S = X\S
Ч. И T, Д
Пгимср (планимефия) Рассмотрим плоское множество, и пусть X
и У — его проекции на две взаимно перпендикулярные оси координат
Допустим что для любого х? X существую! дие точки (х. у,) и (х, у2)
множества, которые проектируются
в х, и положим Tx=-[yv у2Ь
joto, допустим, что для каждого
имеются две точки множестиа, проекти-
проектирующиеся в у
Простой граф (X К, Г) локально
конечен и каждой дуге этого графа
отвечает некоторая точка множества
(рис 10 — 0)
Далее имеем
Г'Ч-2
Рис
Поэтому из теоремы 6
что можно отобразить X в У и У &. X
В силу теоремы Бернштейна существует паросочетание W исполь-
использующее все вершины X и все вершины V; следовательно существует
подмножество (на рисунке изображенное жирными пиниями), обладаю-
обладающее свойством всякая прямая, параллельная любой из координатных
осей, пересекает это подмножество в единственной точке Таким
образом доказана весьма тонкая с точки зрения логики теорема
существования
Приложение к теории матриц
Квадратная матрица
р _
\р\
pi
р.

118
ГЛ 10 ПАРОСОЧЕТ\НИЕ ПРОСТОГО ГР^ФА
называется б исто хаотической, если
5 = 1 0<п);
л):
-1 (I
Бисюхастические матрицы нграюг важную роль в раз-шчпых обобще-
обобщениях выпуклых функций (см., например, Е Г F М., гл 8),
Г Биркгоф [2] показал что основные свойства )аких матриц выво-
выводятся из теоремы Кёнига— Xo;i;ia
Теорема 9. Все ч. 1ены определителя произвольной квадратной
матрицы А =; (а'Л порядка п разни нуло тогда а только тогда,
когда в матраце А имеется подма-
подматрица с размерача p'X(n—pJr\)
(где р < п), все элементы которой
равны нулю
В самом деле, положим N =
|Т7|
1 2
Р-ГР
п
n
•
R
•
•
Т
0
S
п) и для i ? V потожич
= {1, 2. .
Тем самым образован простой
граф (N, N, Г).
Чтеиы определи ieля имеки вид
Рис 10—7
и вес они будут равны нулю 101ла,
когда не существует паросочета-
ния, отображающего множество N в /V; поэтом), в силу теоремы
Кёнига — Холла в этом и только в этом ст>час существует такое
множество /d/V что
При jtom в А найдется пулевая подматрица с размерами
Х{п- ,/j-
Теорема 10 Если натрица Р = (р(-\ — бистохастическйч
то по крайней мере один член ее определителя отличен о?п нуля.
В самом дег1е, допустим что это не так и что следовательно,
матрицу Р можно считать состоящей из четырех потматриц ft=^r!.y
S = (slj), T=^=(t]) и н) левой малицы О как noKdjano на рис 10—7.

приложиние к теории матриц
Имеем
Следовательно,
Но это противоречит предположению о том чго ^^>0.
Теорема 11 (Биркгоф—-фон Нейман) Всякая бистохасти-
ческая матрица является центром тяжести матрац подста
новой
Надо показать что если Р — бистохастическая матрица, то суще-
существуют матрицы подстановок Рх Р2 , Pk (у которых в каждой
строке и я каждом столбце ровно один элемент ранен единице,
а остальные элементы —нули) и такие числа А.^, д^, ..,, kk, чго
Поскольку не вес Ч1ены определи гетя матрицы Р = ^*) равны
рассмотрим член «['^з2 • • апп^®> потожим к} =шш |а| , а!/ , </"}
it обозначим через Pi матрицу [голекнопки (t, i2, , , in), положим
наконец
Число элементов равных нулю в матрице /? ботьше, чем в ма-
i рице Р если вес члены определителя матрицы R ралпы нулю то
кы tia этом остановимся, в противном же случае разложим матрицу R
как разложи in P, и т д; в конце концов поручим
где W^ такая матрица, вес члены определителя которой равны нулю
Поэтом} Я ^ 0 (в прогионом сл\чае нашлось бы такое / >0 что
матрица kR была бы бистохастической а все члены ее определителя
равнялись бы нулю что противоречит теореме 10) С другой стороны
Теорема доказана
Отметим здесь эффективность roi о ор)дия, каким яплиегся теория
графов, прямое доказательство георемы Биркгофа—-фон [1еймана
значительно длиннее

Г 1 \В \ И
Факторы
Гамильтоновы пути и гаадилыоновы контуры
Путь
=-[xv х
хп] в графе (X Г) называется гачилъто-
Рис
новым, если on проходит через все вершины графа, притом только
по одному разу, точно так же копт>р р. =- [*0> хх . , хп\ гаииль-
тонов, если он проходит через каждою вершину и притом по одному
разу (с тем лишь искчючением, что
х - х }
Часто бывает важно знать, есть ли
) данного графа гамильтоновы пути и пи
гамильтоиопы контуры.
Примьр 1 Замкнутое кругосветное
путешествие (Гамильтон) Выберем на
земном шаре 20 городов" a, b с , t,
для простоты допустим, что эти города
расположены в вершинах правильного до-
додекаэдра (многогранника с 12 пятиполь-
пятипольными гранями и 20 вершинами), изобра-
изображающего Землю Наша цель — пройги
через каждый город ровно один раз и
вернуться в исходный пункт, причем идги можно только ло ребрам
додекаэдра. Эта задача сводится к нахождению гамильтоноиа контура
дли симметрического графа, изображенного на рис. 11—1
Заслуживает внимания способ решения, который применил Га-
Гамильтон. Путешественник прибыиший в граничную точку дуги, дол-
должен осуществить одну из трех возможностей выбрать дугу, распо-
расположенною справа — эту операцию обозначим через П; выбрать дуг\,
распоюженную слева, — эту операцию обозначим через Л, остаться
на месте—эту операцию обозначим через 1 Чалее определим про-
произведение операций ПЛ есть операция, состоящая в том, чтобы сна-
сначала идти вправо а потом в шво; ЛЛП ипи Л2П — операция, заклю-
заключающаяся в том чтобы два раза подряд идти н 1ево, а затем один
раз аправо; и т и. Наконец дне операции равны, если обе они от
одной и той же начальной точки приводят к одной и той же конеч-
конечной Произведение некоммутативно (например, ПЛ^ТП), по ассо-
ассоциативно [например (Л Л) П = П (ЛЩ

гамильтонопы тти и контуры 121
Имеют место формулы
ЛП2Л ~ ПЛП
Можно палисать
1^0" = П2П3 = (ЛП5Л) П3 = (ЛП3J =г- [Л (Л П8Л) П]2 =
= (Л2П3ЛПJ — [Л2 (ЛП3Л) ПЛП12 == [Л^П3ЛПЛ П]2 =
=лллппплплплллппплплп
Эго произведение содержит 20 букв, причем из него невозможно
выделить отрезок тоже равный 1, поэтому последовательность сомно-
сомножителей потученного произведения задает гамильтонов контур Вто-
Второй контор мы найдем прочитав последовательность в обратном
порядке, другие i амильтоповы контуры получаются в результате
циклических перестановок обеих последовательностей.
Надо заметить однако что путешествие можно начинать в разных
точках указанного кругокого контура Зафиксировав первые 5 горо-
городов (например а Ь, с, d e) которые должен встретить путеше-
путешественник и ограничиваясь точько выборами пути, начинающимися
с ПЛП Гамильтон нашел 4 решения
ПЛПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛПП,
ПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛПППЛ
плплппплллплплпппллл
плппплллплплппплллпл
Пример 2 Незамкнутое кругосветное путешествие Если в пре-
предыдущем примере не требов-ать возвращения н исходный пункт, то
число путешествий значительно возрастет: требуется найти все гамиль-
тоновы пути графа, изображенною на рис 11—1
Ограничимся >казанием тех гамильтоновых путей, которые за-
задаются произведениями с первым множителем П, все остальные
гамильтоновы пути пол>чаогся отсюда ест» поменять рочями буквы
П и Л
ПППЛПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛ
плплллппплплпаллпп плппплллплппплллпл
плллппплплплллпппл п ^пллппплплллпплп ч
гпплллплплппплллпл
П1ПППЛЛЛПЛПЛПППЛЛЛ
ПЛПЛ11ППЛЛЛПЛПЛПППЛ ПГТПЛППЛПЛПЛПЛЛПЛЛЛ

122
гл а факторы
ППЛПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛЛ ПППЛЛПЛПППЛЛЛПЛПЛП
ПЛПЛПЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛ
плллплплппплллплпл
пплллплплппплллплп
ппплллплплплпплппп
плппплллплплпплппп ппплпплплплплллппп
ПППЛППЛПЛПЛЛЛПППЛП
плплплллппплпллппп
плллплпллпплплпппл
плплллпплпллппплпл
плллплпплллппплплп
плллплпллппплплллп
пллпплппплллплпппл
плплппплллпплплллп
ппплллплплплпппллл
плллплпппллп чплллп
(произведения, сгрулпиропаилне вместе опреде глют равные операции)
Пример 3 Ход шахматного коня (Эйлер) Поставим задачу
обойти конем шахматную доску так, чтобы побывать и каждой клетке
ровно по одному раз}. Эта ^дача, сводящаяся к нахождению гамиль-
гонова п}ти некоторого симметрического графа, интересовала многих
Рис 11—2
математиков, особенно Эйлера, де Муаврзт Вандсрмонда и др. Мы
не претендуем на то чтобы дать ксе решения —для этого приме-
применялось неисчислимо много способов. Правило, которое, видимо,
оправдывается на практике, но еще не подтверждено теоретически,
состоит в следующем всякий раз ходим конем туда, откуда он угро-
угрожает наименьшему числу еще не пройденных клеток
Другой способ сосюи! в нахождении маршрута по половинке
доски, симметричном дублировании его и соединении обоих маршру-
маршрутов {рис. 11—2) Это правило основано на специфике самой шахмат-

г \\-шльтоновы плти и конуры 123
пой доски и не переноси юя на более общие графы. Читатель, инте-
интересующийся икими решениями, может обратиться к [1] [4], [6]
В исследовании операций нахождение 1амильтонова пути служит
ключом к многочисленным задачам на составление расписаний, точ-
точнее, когла ищется оптимальный порядок осуществления некоторого
количества действий эти действия изображают точками хх х2 , хп
и рисуюч дугу (хг Xj), есчи осуществление хь перед х} не влечет
никаких потерь, искомое расписание задается, вообще говоря, одним
ил гамильтоновых лутей графа.
Задача о книгах (Джонсон [5]). Печатник, ко«орый
должен изготовить п книг, располагает двумя машинами: печатной
и переплетной Пусть ak — время, необходимое для напечатания /г-й
книги, а Ьк — время, требующееся для ее переплетения Допустим,
что книга должна поступать в переплет только после того, как она
отпечатана и что, следовательно переплетная машина может более
ити менее долго простаивать без дела В каком порядке должен
работать печатник, чтобы закончить всю работу как можно скорее?
Как тегко видеть мы ничего не потеряем, если порядок поступле-
поступления книг в обе машины предположим одним и тем же, оптиматьный по-
порядок 6}д^т следовательно, определяться перестановкой (ij i2, .... /л),
или лоспедовательностью операций xh, x^, xt Кроме того.
можно показать, что при оптимальном порядке i-n книга должна
быть пущена в печать раньше у'-й книги в том и только в том ci}-
чае ее1)?!
mm {a( dj) < гшп {йу, bt)
Всякий раз, когда это неравенство имеет место, мы рисуем дугу
(xi* У/)| в полученном графе ищем гамильтонов п)ть, и если этот
п>ть единственный, то он и укажет нам искомый оптимальный по-
порядок
Теорема 1 (Кёниг). В полном графе (любая пара вершин
которого соединена хотя бы в одном направлении) всегда суще-
существует гамияьтоно» путьх)
Пусть «i^lGp а2, аъ, . ., ар] — путь длины р—1, все вершины
которого различны, и пусть х—першина, не принадлежащая а; покажем,
что можно составить путь виаа ji^ — [ax, а2, .... &k. x, ak.irV .. , ар]
В самом депе, допустим что это не так, т е что не существует
такого целого числа k, заключенного между 1 и р, что
(ak, x)? U. (х ak
*) Граф предполагается конечным На бесконечные графы эта теорема
не переносится как показывают примеры графа рис. 3—2 (гл 3), и графа,
полученного из него изменением ориентации всех дуг. — Прим. перев

P4 гл и факторы
Имеем, следоватетьно для l^k^Cp
Если не с>ществ>ет пути \ьо=[х, ах, а9, , ар\, то {ах, х)? U,
значит {аг>х)?и, [ал, *)??/, , (ар x;)?U и п>ть рр — [а^
а2 , ар> х] существует, вопреки допущению
Таким образом, можно шаг за шагом nociроить путь, содержащий
все вершины графа О
Из згою результата вытекает, чю все1да возможно упорядочить
множество участников турнира таким образом чтобы каждый прея-
шествующий был победителем непосредственно следующего2)
Для выяснения того существует ли гамиль гонок путь в более
общих случаях, как будет показано в следующем параграфе, ладо
обратиться к теории транспортныч сетей
Нахождение фактора
Назовем фактором графа (А", Г) частичный граф (X В), в кото-
котором каждая вершина обладает полустепенями исхода и захода, рав-
равными 1, всякий гамильтонов контур является фактором, но обратное
неверно, ибо фактор может состоять из нескольких контуров
без общих вершин
Теорема 2 Необходимое и достаточное условие существо-
существования фактора у графа (X, Г) состоит в том чтобы |5|^|Г5|
при всех SczX
Действительно, п ситу теоремы Кёнига — Холла это условие вы-
выражает ют факт что в простом графе (X, X ГK) с>щес1В}ет паро-
сочегание, отображающее X на X
Следствие Если граф (X, Г) таьов, что\Тх\ = | Г~1^| —т
для любой вершины х, то дуга этого графа можно распределить
по т непересекающимся множествам WY W2, .. , Wт каждое ud
которых образует фактор 4).
1) Этот резучьтат близок к теореме Дирака [2] которая г1«эсит если.
(XI) — симметрический связный граф без петель и если )Гх \"^-^\ Х\
дш всех х^Х, то существует гамильтонов контур
2) Если, конечно, ни одна из встреч не заканчивается ничьей —Прим
ред
3) Здесь и в дальнейшем простой граф (X, X, Г), соответствующий дан-
данному произвольному граф) (^,1) строится гак- X есть дубликат множества Y,
a Xj^Vxi в (X, Х,Т) тогда и только тогда, когда х} ? ?xt в (X, Г) —Прим
перев
4) Из этого следствия, в частности, вытекает существование фактора
в задаче о .кругосветном путешествия".

НАХОЖДРПИБ ФАКТОРА
125
В самом депе, простой граф (X, X Г) обладает свойством \Гх\=^ту
\1 х\~т, в силу следствия 3 из теоремы Кёнига— Холла, можно
отобразить X на X к тем самым определить Wv в частичном графе,
остающемся после >дашшя д>г Wx, можно отобразить X на X и
тем самым определить W2\ и т д ])
Отыскание фактора яв щется нес южным делом, поскольку эю
есть задача о наибольшем потоке, а метод нахождения гамильтонова
контура состоит в нахождении всех факторов графа и сохранении
только тех из них, которые состоят из единственного контура Чаще
стараются „склеить" друг с другом различные контуры фактора.
Пример Снова рассмотрим задачу о шахматном коне и найдем его
маршрут» который представляет собой гамильтонов контур. Бчагодаря
симметрии шахматной доски непосредственно получается фактор, ука-
указанный на рис 11—3 (где клетки,
помеченные буквой „о", образуют
один контур, клетки, помеченные
буквой „?>*,—другой контур,
Рис 11—3
Рис 11—4
и т д). Два контора можно объединить тогда и только тогда когда
две последовательные вершины одного соответственно смежны с двумя
последовательными вершинами другого Так, можно соединить „а"
и „С" (например, двумя дугами которые на рисунке показаны пункти-
пунктиром), „д" и „Ви и г д Различные возможные соединения показаны
при помощи вспомогательного графа, изображенного нч рис 11—4,
содержащего ребра [а, С], [а В] и т д , вспомогательный граф имеет
очевидный гамнльтонов путь aDbCdAcB, и соединяя последовательно
в этом порядке различные контуры, мы получим, как можно прове-
проверить, искомый гами!ьтонов контур.
]) Это следствие, вместе с теоремой 2, очевидно сохраняет силу для
любых локально конечных графов (см. теорему б гл. 10). Дальнейшие ре-
результаты настоящей главы тоже можно (по крайней мере частично) пере-
перенести на бесконечные графы —Прим перев

126 гл u факторы
Предыдущие результаты мог)т быть paenpociранены следующим
замечательным образом; для данного графа (X, Г) назовем рассече-
рассечением такую соиокупноегь элементарных путей или элементарных
контуров что
Г два пути рассечения не имеют общих вершил;
2° каждая вершина графа принадлежит одному из п>тей рассечения
Среди различных путей рассечения будем разтичать элементар-
ные контуры — их обозначаем символом а'г=[до, а\, , а'р — \
элементарные пути длины ^0 — их обозначаем символом (B-' =
b\, bJq\; пути длины 0 имеющие вид у* — [ck\ Обозначим
через Л1 множество вершин, принадлежащих копиру а1 через
В?—мно/кество вершин, принадпежащих пути Ву, через Ск — мно-
множество [ск] Наконец положим
*(*') = 0,
По определению величина рассечения Л =z (а1, а2, ; (З1
Y2' ) есть
Фактор представляет собой рассечение величины 0. Поставим
целью найти наименьшую величину рассечений заданного графа
Теорема 3. Наименьшая величина рассечения графа (X, Г)
равна дефициту этого графа, т е
В самом дече рассмотрим рассечение о^ —(<?\ а2 ., (З1, р2 .;
•у1, ^2, ) и образуем простой граф (X, X Г). Котуру а1 в про-
простом графе отвечает паросочетание содержащее \А*\ дуг, пути ^
отвечает паросочетание, содержащее 1р'|—1 дуг Обьединяя все эги
дуги, получим паросочетание W с числом дуг
Имеем

НАХОЖДЕНИЕ ФАКТОРА
127
Это соответствие между паросочетаниями W и рассечениями
взаимно однозначно; с тедователыю, принимая во внимание теорем}' 4
(г л 10) будем и четь
mm} {sj?) = n — max \W\ =- n — (n — &0) = Bo
Следствие 1 Если существует гамальтонов контур, то
(Непосредственно )
Следствие 2 Ьсли существует гаиальтонов путь, то
О < \ < 1
(Непосредственно )
Следствие 3 Ьсли ?раф (X, Г) не содержит контуров, то
его дефицит % равен наименьшему числу попарно непересекаю-
непересекающихся элементарных путей {отдельная вершина рассматривается
при этом как путь длины 0).
(Непосредственно )
Следствие 4 Если граф не содержит контуров то необхо-
необходимое и достаточное условие существования галильтонова пути
состоит в том, чтобы So — 1
(Непосредственно.)
Найдем гамильгоноэ путь в графе, изображенном на
рис. Н—5. тремя разными способами
\° Поскольку граф (X Г) — полный су meet so ванне «амильтонова
пути обеспечено (теорема 1), для е« о нахождения можно действовать
<
а
Рис И—6
как при доказательстве теоремы 1; например, после того как найден
путь eacb, получаем решение eadeb.
2° Граф (А", Г), очевидно, не содержит контуров, и его дефицит
sax

128
Г Л И ФАКТОРЫ
Значит ввиду следствия 4 с>ществует гамитьтонов путь, который
лол>чается отысканием наибольшего паросочегания графа (X X, Г),
изображенного на рис 11—б, откуда имеем решение eadeb
3° Граф (X Г) — транзитивный, т е
z ? Ту у ? Гл: =^ z ? Г*
Значит полустепени исхода вершин распочоженных в порядке га-
ми л ьтонова пути убывают Эти почустепени суть
Та\— 3, |Ш~0 |Гс|~1,
Отсюда получаем путь eadeb
1
Нахождение частичного графа
с заданными полустепенями
Непосредственным обобщением задачи отыскания фактора является
следующая задача дан граф (X, Г), построить его частичный граф
с заданными лолустепенямк
вершин. ЕслиЛсЛ', ВаХ, \о
обозначим через ш(Л, В) ко-
количество тех дуг которые исхо-
исходят из Л и заходят в В
Теорема 4. Пусть дан
граф (X, Г) и (для х?Х)
целые числа г(х) и ч(х) Для
того чтобы существовал та-
такой частичный граф (X А),
что \Ах\^=г(х) |Д 1х\~-$(х)
(при всех х?Х), необходимо
и достаточно, чтобы
Рис 11—7
A)
B)
^^ f \Х) —
min {г (л:),
xfX
В самом деле, условие B) иыражает тот факт 1по для транспорт-
транспортной сети изображенной на рис 11—7 существует поток, насыщающий
выходные дуги т е F(S)^.d(S) ал я все\ S^X
При r(x) = s(x)—l получается }словие существования фактора,
при Тх=;Х—теорема о шиустепенях
Обобщение \ Пусть (Л, Л2 . Ар} и ^ lj1
два разбиения множества вершин графа (X, Г), гг, г2,

Н\\ОЖДЕЧИЕ ЧАСТИЧНОГО ГРАФА
129
Sq — целые неотрицательные числа Частичный граф
(X, Д) уд жлетворяющий условиям
р s2, . , sQ
существует тогда и только тогда, когда
0) 2'* =
2
B)
т(Х\А ^
, 2 р), ус{1. 2 <?;,
Для транспортной сети изображенной на рис 11—8 поток насы
щающий выходные дуги будет существовать, когда при любом мно
х г х
Рис 11—8
жеиве 5==
где
2,... р(, Ус {1,2 q\.
имеем
c(Us)>d(S).
Но эго условие в точное»и совпадает с B).
Обобщение 2 Рассмотрим дгя каждой вершины х графа
(X Г) такие целые числа г(х) r'(x) s{x) sr(х),что0^г{х)<^гг(х),
О <^ ь (х) -^ sf (х). Для того чтобы существовал частичный граф
(X, Л) удовлетворяющий условиям
г (х)
$'
9 К

130 гл и факторы
необходимо и достаточно чтобы
A) т(Х\Л.
B) т(Х\Л
Достаточно выяснить сущесгв>ет ли поток по сети изображен-
изображенной на рис II—7, совместимый с множеавами {г(х), г'(х)\ [0 1],
[s(x), s'(x)\
Применение теоремы 2 гл 8 дает
c{Us)>b(Us) Eg^).
Беря множества S = A[)B, где АаХ BczX получаем (I), беря
множества S= A\J B\J {х0} (} \z\, получаем B)

ГЛАВА 12
Центры графа
Центры
П)еть (К Г) — граф (конечный или бесконечный), отклонением
d(x. у) его вершины х or вершины у называется даипа кратчайшего
пути из х в у
При х = у почагаем, но олредеченшо, d (x, x) =
полчгаем d(x у) =
при
Теорема I d(x у) удо~
влетворяет условиям
A)
d(x, x)=^
НИЦЦА
B) d(x y)-\-i
^ d (xy z)
Кроме того, ее га граф
сим метрический то
C) d (х, y) = d(y x)
(Непосредственно )
Сели \ раср симметрический,
то функция d(x у) удовле-
удовлетворяющая условиям A) B), C), является расстоянием в топологи-
топологическом смысле слова
Назовем отклоненностню вершины х чисто
е (х) — max d (x у)
Р и с 12—1
Если наименьшая из отклоненностей является конечным числом,
то вершина, в которой этот минимум достигается, носит название
центра графа, вершина с наибольшей отклоненноегью называется
периферийной точкой графа; граф может иметь много центров и
можег не иметь их совсем
Пример. Первая сеть коммуникаций для почтовых голубей A870)
представлена графом, изображенным на рис. 12—1.

ГЛ 12 ЦЕНТРЫ ГРАФА
Центром здесь служит каждый город коюрый может сообщаться
с остальными без использования большого количества передач (значит,
в кратчайшее время); Париж и Лион являются центрами (с откдо-
ценностью равной двум) Гренобль и Ницца — периферийными юч-
ками (с бесконечной отклоненностью)
Радиус
Если граф имеет центр х0, то отклоненное!ь е(х0) называется
радиусом графа; для радиуса и имеем, следовательно формулу
р = min e (х)
Если у графа нет центров, то полагаем р^=уэ
Теорема 2 Сели в конечном графе (X, Г) поюжить |Л"| = л,
тах|Гл;[=/? и если 1 <^/?<оо то радиус р графа удовлетво-
удовлетворяет условию
1
^
\ogp
При р = о^ теорема очевидна, допустим что р < do и что, сле-
следовательно граф имеет центр х0 Число вершин от которых вер-
вершина х0 отклонена на 1, не превосходит р; число
вершин от которых х0 отклонена на 2, не пре-
превосходит р2, и т д Следовательно
или
H.JVI
п(р— 1> —|— 1 <
log (np — п -\- 1) .< (р
Отсюда и поч) чается требуемая формула
Рис. 12—2
Теорема 3 Если конечный граф (X Г)
является полним (т е если любые две его
вершины соединены хотя бы в одном направлении), то его
радиус р <^ 2 а веяная вершина х0 для которой
служит центром
При р=1 теорема очевидна
Если р^> 1, то рассмотрим как^ю-ниб^дь вершину t0 в которой
величина |Гхо\^ [хо\ | принимает наибольшее значение (такая вершина
существует, так как граф Г-ограничен). Поскольк} е(х)^2 при

133
всех х. то, показав чго <(х;0) —
чю х0— центр и чю
мы тем самым сразу докажем.
Рассуждая от противного допустим, что е(хо)>2, Ю1да най-
найдется такая нсршина у -г- х0 которая не можег быть достигнута из х0
ни по пути длины 1 ни по пути длины 2 (См рис. 12—2) Так
как у ^Fv0 то
(иначе из л:0
имеет место строгое вкчючение
Датее если г — вершина из Г\*о\(^), го
в у вел бы [i}ib длины 2), поэтому z?Vy и
Отсюда
Поскольку
Следова)елыю
И1У \\У)\> !Гл-0 \ ^0) | = max |Г* \ |лг
Мы иринпи «аким образом к противоречию
Стедствис. Ъслп конечный. ?раф (X Г) является тотагъ-
ныл (т е если каждая пара его вершин соединена путем по
крайней мере в одном направлении), то он
имеет ^ентр «Х^
В самом деле, гр^ф (X, Г) — полный и
значит, в силу теоремы 3 имеет центр х,
в графе, (X Г) ючк} л: можно соединить с лю-
любой труi ой вершиной путем конечной алшты.
Следовательно этот граф имеет радиус
< оо и обладает центром
с ^ ^
Примг.р Все участники турнира должны
провести одно и то же количество встреч,
как организовать лет речи, чтобы наиболее
убедительно определить победителя?
Обозначим через X множество участников и положим (х, у) ? U,
если игрок л побеждает игрока у, потупим полный граф {X Г),
например граф изображенный на рис. 12—3. Оюбражсние Г не тран-
зитивно* xt побеждает хг, a jc3 побеждает х2 но хх не побеждает xz,
в этом смысле решения лапаемые так называемыми „отборочными*
турнирами1) oricHb плохи Чувство справедливости еще более не-
неопределенное побуждает нас считать победитетячи тех участников
1) Или турнирами, преходимыми по ,олимпийской системе* —Прим ред

134 ГЛ 12 ЦЕНТРЫ ГРАФА
которые соответств)ют центрам графа (А" Г) если последние суще-
существуют, в датшом счучас, поскольку граф потный, существование
центра обеспечено (теорема 3), и мы находим двух победителей: х{
и х3 Этот подход самый просюй, може-i быть подвергнут критике:
не должен ли победитепь xt одержавший верх над другим победи-
победителем хч> один занимать первое место' заслужил ли последнее мест о
игрок дг2, победивший чемпиона а^? В дальнейшем (гл 14) мы по-
покажем, как учесть псе эти обсгоятельсгпа
Турнир с т встречами определяет частичный i раф {X Г) имею-
имеющий ронно т ребер, если этот частичный граф обладает центрами,
то соответств}ющих участников можно рассматривать как ожидаемых
победителей турнира.

ГЛАВА 13
Диаметр сильно связного графа
Общие свойства сильно связных графов без петель
П>сть О = (X, ir) — сильно связный граф без петель удовлетво-
удовлетворяющий условию \Х\ > 1, каждая его вершина служит началом не-
некоторою пути а также концом некоторого пути, гак что для любой
вершины х^Х имеются по крайней мере дне д>ги, инцидентные х
дуга исходящая Hi х, и чуга, заходящая в х Вершины ипкидент-
ные более чем двум ду1 ам называются узлами а прочие вершины —
антиузлама Путь, \\ котором узлами являются только первая и
последняя иерпшны, называется ветвью. Сильно свяяный граф без
петель и с единственным узлом называется розеткой и имее« весьма
простую структуру: различные ветви начинаются и оканчиваются
в единственном узле
El.jh граф О сильно связен но утрачивает это свойство после
удаления любого ребра то он называется минимально связным;
очевидно розетка — минимально связный граф Говорят, что мно-
множество А а X подвергается стягиванию, если все дуги между точ-
точками Л опускаются, а пес точки А отождествляются При этом по-
получается />-граф который вообще говоря (если р -у= 1), ле является
графом. Следующими результатами мы обязаны главным образом
Кристи Льюсу и Лейси :
Теорема 1 Пусть в минимально связном графе G множе-
множество А <= X вершин порождает сильно связный подграф тогда
в результате стягивания А получается мани на 1ьно связный
граф
1Л Покажем, что сгя1ипание Л приводит к 1-графу Действи-
Действительно иначе существовав бы вершина х^А и две вершины а,
а' ? А, 1акие, что (л: а) (х a')?U [или же, что не меняет доказа-
доказательства, (a, jc), (a', x) ?U] Удалив одну из этих двух дуг, мы
') См [2] Эти результаты получаются более просто из теоремы Pja [4],
которая нам стала известна, лишь когда книга была уже сверстана, и которая
гласит: граф (X Г) сильно связен тогда и только тогда, когда не суще-
существует подмножества А а с X (в строгал смысле), содержащего свой
образ ТА, доказательство опирается, на теорию транспортных сетей

136 Г Л П ДИ\МЕТР ГРАФА
по 1>чили бы все еще сильно связный граф т с граф О не был бы
минимально связным
2° Покажем что стягивание А приводит к минимально связному
графу. В самом деле в результате стягивания получается сильно
связный граф но если из него удалить произвольною дугу и, то
оставшийся граф уже не будет сильно связнььм поскочьку не можег
быть сильно связным граф (X, U \ \и\)
Теорема 2 Пусть G— минимально связный граф a G' —
граф полученный из G стягиванием элементарного контура;
тогда цикло матические числа обоих графов связаны соотноше-
соотношением
v
Контур э чементарен, если он не пересекает сам себя, так как О
минимально связен то стягивание одного элементарного контора |х0
не уничтожает других контуров, поэтому наибольшее число незави-
независимых контуров уменьшается на 1 Графы G и Gf сильно связны
(теорема 1), они имеют соответешенно v@) и v(GO незави-
независимых контуров (ieopeua 5 г л 4); отсюда и следует доказываемое
равенство
Теорема 3 Минимально связный граф О имеет по крайней
мере два антиузла
Имеем v (G) ^ 1 так как по крайней Мере один контур суще-
существует, в сичу предположения о jom что |Л > 1, в случае v (О) — 1
теорема очевидна, так как тогда О состоит и^ одного элементарною
контура.
Допустим, что георема верна для \ рафов с цикломатическим
числом k — 1 и докажем ее для произвольного графа О, у которого
Рассмотрим элементарный kohijp ц графа О, предположим ji
таким что либо его стягивание дае1 узел, шбо 1(у-)^>3 Такой
контур а всегда существует потому что всякий контур длины 2.
дающий после стягивания антиузел, легко заменить элементарным
контуром дчины ^3 (проходящим через обе вершины р и две вер-
шиты инцидентные ja)
Стянем контур [л, тогда получится минимально связиый граф Gf,
у которого v (GO = h — 1; согласно предположению, Qf имеет два
аптиузла: х{) и _у0, хотя бы одна из этих вершин, скажем х0,
является образом \>- (в противном случае утверждение уже было бы
доказано) Значит, в графе G имеем 1(м)^>Ъ, поэтом) путь ji сам
содержит по крайней мере один антиузе.1 20 и граф G имеет уже
два анти)зла yQ и z0.
Следствие [1]. Если сильно связный граф G без петель
имеет хотя бы один узел, то существует ветвь, дуги и анти-

СИЛЬНО СВЯЗНЫЕ ГР\ФГЛ 137
узлы которой можно удалить без нарушения сильной связности
графа G
Действительно если граф имеет единственный >зел то он—ро
зетка и можно рашгь любую ветвь
Если граф имеет несколоко узлеш, го рассмотрим граф G вер-
вершинами которою служа! узлы О, а дугами — ветви G
Граф G сичьно связен, по не минимально скязен поскольку
у него нет антиузлов (см теорему 3); следовательно из него можно
удачнть некоторую дуг) без нарушения сильной связности
Ч И Т Д.
Kpaiчайший путь из х в у где х у?Х х Ф у> называется
трассой от х до у; в ситьно связном графе от любой точки до
любой другой существует трасса, есчи и—дуга, исходящая из х
то обозначим через S(u) множество вершин г, обладающих гем.
св>йпвом, чго от д: можно дойти до z по трассе с начальной
дугой и
Пример Рассмотрим граф почтовых коммуникаций' X—множе-
X—множество городов, (х y)?U, еспи корреспонденция может доставляться
непосредственно из х d у
Для почтового служащего в х множество S(x, у) представляет
список тех мест назначения в коюрые письма нужно доставлять
через у
Нижеследующие теоремы доказаны Брэгтоном [[\
Теорема 4 Трасса есть элементарный путь
По определению, путь из х в у не являющийся элементарным,
проходи! не менее двух раз через какую-либо из своих верщин,
а такой путь всегда можно заменить более коротким
Теорема 5 Если ft = [х} х2, . xf , x t xh\ -
трасса то ji [х( х^\ ~ [л:^ , х}\ — тоже трасса
(Очевидно )
Теорема 6 Путь fi является, трассой тогда и только
тогда, когда
и С р.
Если \i — трасса о г х к у, то пересечение всех S(u) содержит у
И поэтому не пусто
Обратно, пусть существует вершина у, принадлежащая всем S(u),
где и ? [1 ^= [х{ х2, . ., xh]
рели d(xv у) = р то d(x2 у)~р—1 так как y?S{Xl дг2);
по аналогичной причине с1(х^ у)^=р — 2 и т д Значит «. есть
отрезок некоторой трассы, идущей из х} в у и в силу теоремы 5,
сам является трассой

138
Г Л 13 ДИАМЕТР ГРАФА.
Спедс ! зие Ьсли \у — контур то
(Непосредственно
Диаметр
Пусть G — конечный сильно связный граф без петель, назовем
диаметром этою графа длину 8 его наибольшей трассы, иными
словами
х у
Пример. Для каждого из сипьно связных графов изображенных
на рис 13—1 (с п = 5) указаны котичество дуг т радиус р диа-
Зпементаоный контир
Симметричная розетке
т=#р*1 5=2
Элементарный цикл
9Z 8U
т-Б
Розетка с'
и ой ветвью
Розетка с двумя симметрии
Нымо ветвями
тп 7 р-2 S-3
Рис 13—
Полный симметричный
граф
метр 8, центры обнедени кружком, периферийные точки —
тиком
Заметим что при п = 5 всегда Ъ-\-т.^-9 Полный
ский граф — единственный, обладающий диаметром 1,

ДИАМ.ЕТР 139
Для конечного графа 5 < со, сточь же очевидно, что радиус не
превосходи г диаметра, то есть p^S В графе который изображает
возможности непосредственной передачи сообщений межд} различ-
различными членами организации, диаметр играет важную роль поскольку
некоторые сообщения будут доходить до места назначения только
через Ь инстанций, если предположить, что при каждой передаче
сообщение и какой-то мере искажается, то следует выбирать граф
с возможно меньшим диаметром Кроме того, в целях экономии
вообще желательно сводить к минимум> количество дуг.
Теорема 7 В сильно свяшои графе без пете гъ
A) п^т
B) /w<rt(rt—1),
C) &<« — 1,
Действительно неравенство A) имеет место потому что каждой
вершине х можно отнести по крайней мере одну дугу исходящую
Ис* X
Неравенство B) справедливо поюму, что т не мо/кег превышать
числа размещений из и вершин по две
Наконец, неравенство C) справедливо но той причине, что самая
длинная трасса содержит Ь-\-[ различных вершин, откуда п;^>
Замечание Для элементарного контура в A) и F) имеег место
равенство, для полного симметрического графа достигается равенство
в B) Это говори» о том что никакое из неравенств A), B), C),
взятое отдельно не может быть улучшено
Напр 01 и в систему не рак сна в можно улучшить существую г
числа п, т 6, удовлетворяющие условиям A) B), C) и такие что
не может быть сильно связного графа G = (X, U) дня которО! о
|Л"| =/z, \U\=mt B(G) = 5 Эта невозможность проявляется всякий
pai, когда число Ь выбрано слишком малым ])
В связи с этим введем нижнюю грань / (т п) диаметров сильно
связных графов без петель, с п вершинами и т дугами и пополним
систему неравенств еще одним
D) »>/(*, л)
1) Например Льюс B] доказал что если числа п, т, Ь > 1 удовлетво-
удовлетворяют условиям A), B) C) и если
D') 6>2« — т
то существует сильно связный граф G без петель, для которого i X I = п,
\U\~m, Ь(О) = Ь К сожалению, имеется много графов для которых не-
неравенство D') не выполняется (в частности, графы изображенные на
рис 13—2 и 13—3)

140
П 13 ДИАМЕТР ГРА.ФА
&(/», я) =
Хотя это мне io / (т, п) не удалось еще определи [Ь к нему
можно подойти довольно близко, с этой целью докажем с «едующую
теорему
Теорема 8 Пусть q ~~ частное, г — остаток от деления
п — 1 на v = /rc — п~\~ \, Положим
при г =0,
[ при г = \ у
I при г "> 2
Если G—розетка то п т и Ь удовлетворяют неравенствам
A) B) предыдущей теоремы и кроме того условию
Наоборот, если п, т, 8 — числа, удовлетворяющие условия и
A), B), (З7), то существует такая розетка G = (X, U) что
\К\ =п, \U\=;m, S(O)^3,
Достаточно заметить, что розетка с п вершинами и т д^ими
имеет ровно v = /tt — л+1 ветвей и что можно переносить анти-
узел с одной ветви на другую
без изменения числа дуг По-
Помещая по одном) аши>алу на
л /5 т 18 д 8 р
Рис 13—2
Рис 13—3
каждую ветвь, кроме последней где разместим п — v алти}злов, мы
получим наибольший диаметр
&0 = я— ^ —|— i =я — (т — л-|- 1)-|- 1 = 2п^ т
Наименьший диаметр Ь1 достигается распределением насколько
возможно ранномерным, п—1 антиузлов но * ветвям, ч«о дает нам
Ъх = Ь(т, п)
Гипотеза Брэттона Поставим целью при фиксированных т
к п определить сильно связный граф Ctc~a 11етель, с т д)гами и п

ДИАМРТР
вершинами, обладающий наименьшим возможным диаметром Брэт-
тон [1] мог констатировать что графы с диаметром меньшим чем
Ь(т п) редки Однако такие графы существуют: так граф изо-
изображенный на рис 13—3 имеет го же количество вершин и дуг,
что и розетка изображенная на рис 13—2 и и то же времн диаметр
меньший на единиц}
В графах такого типа, как па рис 13—3 каждая кетнь является
трассой меж ту двумя узлами и все ветви имеют одну и ту же
длину, равную нечетном) числу ^> д Можно показать } 1 ] что такие
графы1) всегда имеют диаметр Ь(т п) — 1 \\ что они — единствен-
единственные связные графы со следующими свойствами
1° их диаметр меньше Ь(т, я),
2° каждая ветвь является трассой,
2>° для каждой пары узлов существует ровно одна ветвь идущая
из одного в другой
Эти результаты делают правдоподобным следующее предположе-
предположение, еще не доказанное, у всякого сильно связного графа без
петель, с т дуга ни и п вершинами, диаметр больше или равен
. п)—\
*) С тремя у злами —Прим ред

Г Л А В \ 14
Матраца смежности графа
Применение обычных матричных операций
Рассмотрим здесь для большей общности /?-граф О = (Х, U),
и пусть xlt х2, . , хп — его вершины Обозначим через а1, число
дуг U, идущих из xt в Xj Квадратная матрица Са*Л с п строками
и п столбцами называется матрицей смежности р-графа G, а1,, как
обычно, означает элемент, стоящий на пересечении i-ft строки
и /-го столбца; а* = (о^, а1Т .... al\ обозначает /-ю вектор-строку,
2
a a =(aj а2, апЛ — У-й вектор-столбец
Пример Если G — граф, то все элементы его матрицы смеж-
смежности А—(а1\ равны 0 или 1; так, для графа, изображенного на
рис. 14—1, имеем:
1
0
0
0
0
0
2
1
0
0
1
0
3
0
0
1
1
0
4
I
0
0
0
1
5
1
0
1
1
0
2
3
4
I 5
Рис 14—1
Заметим, что в матрице Л элемент а^ на г!авной диагонали
равен 1 в соответствии с тем, что при вершине х3 есть петля
Пусть А~(а{Л — матрица смежности некоторого р-графа Ее
транспонированная матрица А* = {аУ) является результатом зер-
зеркального отображения матрицы А относительно главной диагонали
и поэтому служит матрицей смежности того р-графа который по-
получается из исходного переменной ориентации всех дуг
Матрица А' =(я/)> дополнительная для А, определяется так.
а/ = р — а* в случае графа (X, Г) она получается из А заменой

ПРИМЕНЕНИЕ ОБЫЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ОПЕРШИЙ 143
всех единиц путями л наоборот эю~ матрица смежности графа
(X Г") где отображение Г' определено следующим образом:
Теорема 1 Пусть G — граф, А — его матрица смежности.
Матрица Л симметрична (А=А* или ai=atj тогда и только
тогда, когда граф G— симметрический. Матрица А антисим-
антисимметрична \А^(А:у, или a'+e/^l] тогда а только тогда,
когда граф G — антисимметрический Матрица А полна
\А^>(А'У или а^ -\-а^^ 1] тогда и только тогда, когда граф
G — полный.
(Непосредственно.)
Теорема 2 Пусть G = (Xy U) и Н~(Х, V) — dea культа-
графа с одним и тем же множество и вершин и соответственно
с матрицами смежности А = (а1\ и В = (Ь1Л\ матраце А -\-В
отвечает мультиграф который получается объединением дуг U
и V, матрице АВ отвечает мультиграф, образованный следую-
следующим образом' из вершины х в вершину у идет столько дуг,
сколько существует различных путей, ведущих из х в у а со-
составленных из овух дуг, первая из которых принадлежит U,
а вторая принадлежит V
1° В мультиграфс (X, U \}V) число дуг, идущих из xt в лгу, равно
но зто не что иное как общий элемент матрицы А~\~В,
2° Число различных путей вида [xt xh x-\, где
равно a'k Ьк., поэтом} общее чмсю путей из х{ в xjt образованных
дугой из множества U и последующей д}гой из множества V, равно
п
ft-1
где (а' Ь;) обозначает скалярное произпедение вектора-строки г!
и иектора-сголбца b/f т е не что иное, как общий элемент мат-
матрицы АВ
Сндствие 1 Ест G —р-граф а А — ею матрица смеж-
смежности, то элемент р\ матрицы Р =АК (полученной возведением
матрицы А в степень X) равен числу различных путей длины К,
идущих из х( в Xj
Утверждение тривиачьно при > = 1, если допустить его спраяед-
ливость при значении к—1 то оно останется справедливым также
при значении л ибо А ~А А выражает в сипу предыдущей

144
Г Л 34 МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
теоремы, число путей длины 1 -|-(Л—1) —^, идущих из вершины xt
в вершину Xj
Следствие 2 В графе G существует путь длины ) тогда
а только тогда, когда A =h G, не существует контуров тогда
и только тогда когда Ак =• О, начиная с некоторого X1)
(Непосредственно, ввиду следствия 1 )
Эти результаты позволяют сводить к матричным задачам некото-
некоторые задачи на р-графы, мы изучим несколько таких затач.
Задачи на подсчет
Практическая выгода описания графа посредством его матрицы
смежности очевидна если требуется подсчитать пути i рафа удовле-
удовлетворяющие некоторым заданным условиям Начнем со следующей
задачи.
Задача 1 В полном антасим метрическом графе {X U) опре-
определить число контуров длины Ъ
Пример B] Собаке предлагают шесть различных видов пищи
с,[ел>ющим образом каждый день кладут перед собякой два мида
пищи и отмечают, как>ю из них она съела нерпой Испытав таким
образом асе возможные Са =-15 пар строят граф (X, V) где
Х = (л?! х2 . , х<.\ состоит из 6 видов пищи и где (xi xj)?U,
если пищу xt собака предпочитает пище х; Этот граф является
полным; он может быть например, гра
фом, изображенным на рис. 14—2, Обо-
Обозначим его матрицу смежности через Л,
имеем
А =
Рис 14—2
о
о
о
1
о
о
I
о
i
о
о
1
1
о
о
о
о
о
о
1
1
о
1
1
1
1
1
о
о
о
1
о
1
о
1
о
Повторим теперь опыт помещая пере т. собакой три вида пищи
вместо двух: если эго лг2»
хА то можно предсказан*, что собака
окаже! предпочтение пище xv но если речь идеч о пище видои хл
х2 х4 являющихся вершинами контура, то для предсказания больше
не будет оснований, вследствие непостоянства собаки и предшествую-
') Взаимосвязь межд> матрицами типа А\ их характеристическими чис-
числами, с одной стороны и геометрическими характеристиками графа (число
путей определенного вида и т п) с другой, подробно исследуется
Л М Лихтенбаумоч и другими авторами (см. дополнительную литературу
к гл 14 и 15) —Прим перев.

ЗАДАЧИ Н4 ПОДСЧЕТ 145
щих опытах Если ? — число контуров длины 3 в графе (X, U),
a g(и) — наибольшее чисчо контуров длияы 3 в потном антисимме-
антисимметрическом графе порядка п то можно считать коэффициентом не-
постоянства собаки отношение —т-у
Легко показать чю
п3 - п
—щ— при п нечетном,
я3 — 4л
—^— при п четном.
В данном сл>чае находим
Остается определить число ?, т е решить задачу 1 для графа
(X U)
Теорема 3 Пусть G — полный антасимметрический граф
и А~{а1^—его матраца смежности, если г{— ^а1 ^сумме
элементов i-й строка, то число контуров длины 3 равно
п
Действительно, число циклов длины 3 равно
Цикл алины 3 не является контуром в том и только том случае,
когда он имеет две дуги, исходящие из одной вершины хп полное
количество тех циклов длины 3, которые не являются контурами,
составляет
X V / J I
V с2 - V I г( г _
Замечая, что
n
получаем
откуда и вытекае1 доказываемая формула.
Ш К Берк

ГЛ 14 МАТРИЦА ГМРЖНОСТИ
Пример, Вернемся к предыдущему пример}, в котором
л = 4 r2=2, rs^4, г4=1, г5 = 2, гь=2
Имеем
^ A6 + 4 + 16 + l+4+4) = -jE5—45)=5.
Boi эти конт>ры
Задача 2. Рассмотрим граф G и три целых неотрицатель-
неотрицательных числа а, ?} -^ говорят что путь \± = [_у0, у: . уЯ1] отве-
отвечает тройяе apf ^c^w «й этом пути имеются две совпадающие
вершины >¦; // у^ («' < /), ^я которых 1(\х. \уд y.J) = а, /{ja [^., у;-]) =^ р
^(И-[>';> V/J) — ? Определить число путей, отвечающих заданной
тройке сфу
Ясно что пречып.зщая задача I есть частый сл)чай задачи 2
при а^=0, [3 = 3, y —0 Если М — произвольная квадратная ма-
матрица, то через d (М) обозначим матрицу, главная лиаюка1ь кою-
оой та же, что у М, а все остальные элеметы )\}лн
Теорема 4 Пусть А — матрица смежности графа G,
a s. — число путей, отвечающих некоторой тройке aSf и иду-
щах из xt в х}\ тогда матрица S — U1.} равна произведению
В самом деле, количество контуров длины C задается диагональ-
диагональной матрицей ^(^') (теорема 2), поэтом) число путей отвечающих
тройке 03-]- выразится матрицей d(A^) A\ а чисто путей, отвечаю-
отвечающих офт —матрицей A" d(A?) /1Т
Этот результат можно применить пя подсчета числа неэлемен-
неэлементарных путей длины k в заданном графе если k не слишком велико:
достаточно пересмотреть по отдельности все возможные тройки аВ*[
(см [1] [4], [7]).
Пример. Подсчитаем различные неэтечептарпые п>ти длины 4
R графе с матрицей смежности А Надо рассмотреть тройки 031,
130. 022, 220 121 и соответствующие матрицы d{A^A, Ad(A\
d(A2)A^, A2d(A2) Ad (А2) А Заметим то некоторые пути длины 4
могут отвечать сраз} двум тройкам, для их подсчета введем э ге-
лентарное произведение двух матриц А = (а)) и В = (bj) в смысле
Адам ар а: А X В-=(а1} X ^у), составим таблицу;

ЗАДАЧА О ЛИДЕРЕ
147
Пути
Тройки
Количество путей
113 Xi В Л";
Матрица
[с, х Ъ с Ь\
[с, bt х, с, Ь]
\с, Ь, с, х> Ь]
[х, с, Ь, с, Ь]
[с, b с, Ь, х]
031,220
130, 031
130,022
121, 220
022 121
{Л X А*) X А*
Теперь в графе без петель количества неэтементарных путей
длины 4 задаются матрицей, которая получится если сложиib ма-
матрицы определенные ранее и вычесть матрицы таблицы
Задача о лидере
С другим случаем, в котором матрица смежности графа играет
важную роль мы сталкиваемся» когда X означает множество лиц,
а (х y)?U выражает превосходство (до панирование) х над у
Говоря что д: превосходит у мы вкладываем и эю слово
весьма широкий смысл, х может быть игроком, победившим в тур-
турнире игрока у, или это депутат, который имеет возможность обе-
обеспечить себе голос депутата у на выборах председателя, это может
быть член некоторого общества, пользующийся уважением др>гого
члена у Задача которую мы
здесь ставим заключается в опре-
определении лидера т е.того лица .г0,
которое следует считать победи-
победителем в турнире или председа-
председателем палаты депутатов, или
наиболее представительным чле-
членом организации
Рис 14—3
Пример. Рассмотрим граф на
рис. 14—3, где вершины изо-
изображают членов общества, а из
х в у идет Д} га, когда лицо х имеет достаточное влияние на у,
такие графы были изучены в социологии под названием „социо-
грамм" (см Морено [61)
Часто стремятся выдвинуть в качестве лидера наиболее влиятель-
влиятельное лицо, в {рафе изображенном на рис. 14—3 лицо у является
непосредственно самым влиятельным, поскольку оно превосходит

148
ГЛ Ч ЧАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
пять лиц, однако сами эти пять лиц не влиятельны Лицо z более
могущественно, оно непосредственно влияет лишь на трех лиц но
эти трое r свою очередь весьма влиятельны Отсюча ^же видна
сложность задачи, которой мы занимаемся
В главе 12 в качестве лидера предполагалось выбирать центр
графа который наверняка является типом могущественным, Однако
во многих сл}чаях это понятие оказывается с тишком грубым можно
еще измерять силу т(х) каждого лица х притом и в счучае отсут-
отсутствия центра Когда эта функция ъ(х) будет точно определена,
лидером мы объявим то лицо xQ, чья сила г.(хп) — наибольшая
Рассмотрим для определенности шахматный турнир с пятью
участниками хх х2, х2 х4 хь, выигрыш xt у х} изображаем двумя
дугами напраиленмыми из х( в х-р если xt и Xj сыграли вничью,
то рисуем од]1у дугу из х( в х} и одну
дугу из Xj в xt Наконец при каждой
вершине строим петлю. Ьхли турнир
завершен то иол} чается 2 графО — на-
например как на рис 14—4 с матрицей
смежности
4 =
1
2
0
0
1
0
1
1
2
2
2
1
1
0
0
2
0
2
1
1
1
0
2
1
1
Рис 14-4
Элеметы матрицы уЗ }довлегворяют условию л'-|-й^ = 2, кроме
того, матрицу А можно представить в виде суммы кососимметриче-
кососимметрической матрицы В и матрицы Е все элементы которой равны 1.
Обозначим через plAk) общий элемент матрицы Лк, т, е. коли-
количество путей длины к, идущих из xt в Xj, и положим
Число р1 F) назовем итерированной силой порядка k игрока хг
оправдаем эту терминологию
Итерированная сила порядка 1 образуется сложением эчемен
тов матрицы А по строкам, т е
A) — 2 -^ 1 -h I -h 0 + U = 4,
= 1 -f- 2 -4- 0 + 1 + 1 -= 5.

ЗА.ДАЧА О ЛИДЕРЕ 149
С точки зрения этой силы pl(\) имеем дв)х победителей xY и х^
каждый из которых превосходит наибольшее число игроков [в тур-
турнире без ничьих ввиду теоречы 3 (гл 12) таким способом полу-
получаются все центры графа]
Сил> порядка 2 каждого трока можно найти путем сложения
очков tl.x игроков с которыми он сыграл вничью, и удвоенных
котичеств очков игроков, у которых он выиграл, в данном примере
X + +
х 4) +B X 5) = 28,
На этот раз игрок х^ занимает один первое место и это обу-
обусловлено тем чго он победит более сильных игроков, чем тс, ко-
которых победил xv
Продолжим итерацию:
р2 C) = B X 31) + 22 + 28 + 0 + 0 г== 112
= 0 + 22 + 28 + BХ 17)+BX23) = 130,
= 0^BX22) + 0+17 + 23-х 84,
^ C) = 31+ BX22) +0+17 + 23 = 115.
Распределение мест здесь то же, чго ив предыдущем случае
xv х%, хь> х2 xit видимо, оно стабилизировав^ И дейсгвигельно,
можно эффективно проверить, что при дальнейшем продочжении
итерации порядок мест остается неизменным
Это побуждает нас определить салу игрока х( как предел при
Аотношения
Вследствие теоремы Перрона — Фробениуса 1) этот предел всегда
существует, более того, он крайне просто вычисляется, поскольку
вектор тсА = (т]^ 77^, ... nty стремится к одному из собственных
векторов матрицы А 2)
') См, например, Гаптмахер Ф Р, Теория матриц, гл 13 —Прим,
перев
2) Это замечание которым мы обязаны Уэю [9], можно сформули-
сформулировать следующим образом
Рассмотрим матрицу смежности Л некоторого р-графа (с петлей
при каждой вершине) а составим определитель
Det (Л — >/)=/(>)
(Окончание сноски на стр 150)

150 п н матрица Смежности
Применение булевых операций
В множеств вещественных чисел ^>0 определим две операция,
которые назовем обобщенным сложением и обобщенным умноже-
умножением. Первая операция относит двум числам ){ и J число ) ^ 0—
их обобщенную с>мм> обозначаемую символом A = /,-J-/2, вторая
операция относит числам X, и А2 их обобщенное произведение X'^ 0.
обозначаемое симвотом //^JjXAj
Рассмотрим теперь две матрицы А=(а1\ и ? = (#), Эчсменты
которых—целые числа ;>-0, обобщенная сумма этих ма1риц есть
матрица 5 = А -\~ В — (s^), где sj — «^ + ^', обобщенное произве-
произведение есть матрица Р=А В = (р1\, где
р< - (а{ X *}) + (^ X Ь)) Н- . + « X й
Таким образом, „обобщенные" операции над матрицами опреде-
определяются в точности так же, как обычные Предположим, что опера-
ции 4~ и X, подобно обычным сложению и умножению, удовле-
удовлетворяю! условиям.
i X ^}
(иначе говоря, имеем „коммутативное кольцо" относительно этих
операций)
Обобщенным операциям над матрицами посвящена обширнейшая
литература, мы укажем только на те свойства, которые имеют непо-
непосредственное приложение к интересующим нас вопросам.
1 Корень характеристического уравнения /(k) ^ 0, обладающий наи-
наименьшей абсолютной величиной, — простой, пусть ?, — этот простой
корень, a t; = (*[, tzv ..,, t*) — вектор, для которого
At, = М„ 4
2J Вектор я^ стремится к tt при неограниченном возрастании к.
1° Эта первая часть утверждения есть не что иное, как теорема Перрона —
Фробелшуса, хорошо известная в теории стохастических процессов
2° Вторая часть получается непосредственно, если надлежащим преоб-
преобразованием координат привести матрицу А к диагональному виду

ПРИМЕНЕНИЕ Б\ЛЕВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Пример Для сети G, каждой дуге и которой отнесена длина 1(и),
рассмотрим матриц} А=-(а'\ где
l(xt, Xj) при (xL, л
схр лри (xlt х})
ПОЮ/КИМ
Эти операции удовлетворяют всей системе A), общим элементов
матрицы А А=А2 служит
это число выражает д-шиу кратчайшего пути из лг; в х; образо-
образованною двумя дугами или одной дугой (ибо а1 л~ aj =^ а1Х
Вообще Ла указывает длину кратчайшего п}ти от одной вершины
до другой составленного не более чем а дугами Существует зна-
значение а0, для которою
Матрица А% указывает кратчайшие расстояния от одной вершины
до другой.
Теорема 5 При обобщенных операциях -\- а X патрицы
удов отворяют условиям
A) А±В = В^АЛ
B)
C)
D)
E) (А . ВТ = В*>А*
Равенства A), B) и D) получаются непосредственно. Д™ дока-
доказательства равенства C) достаточно выписать общий элемент матрицы
Для доказательства равенства E) достаточно учесть, что эле-
элемент pj матрицы {А В)* — Р* равен
Р" = ?,={*'. Ь(> = (а;, Ь > =

152 гл и м\трица с нежности
Заметим, что вообще говоря, А • В -к В • А
Если асе рассматриваемые матрицы являются матрицами смеж-
смежности некоторых графов ло элементами матриц ямляются 0 и 1, и
мы определим операции -\- и X так
1 -Ь 1 = 1 1X1 = 1.
1+0=1, 1X0 = 0,
0 + 0 = 0, 0X0=0
Иначе оворя положим
?>j -j-X2 = max
\ X X2 = min
>
Операции 4~ и Х называются то» да соответственно булевым
сложением и tfyyzeew^f умножением
Теорема б Ее ш А и В — соответственно матрицы смеж-
смежности графов G=(X Г) и Н=(Х, Д) то булева сумма
А-[~В отвечает графу (X ГиД), а булево произведение А В —
графу (X, Л • Г), где, как обычно,
(Г U A) v =
(Д Г)^=
Этот результат аналогичен теореме 2; элемент р\ произведения
— А В равен
Таким образом, если существует п>гь вида \xt xk хЛ где
хк ^ Vxt, х; ? Д*й> то а'к X Ьк} = 1, откуда р1} = 1, в противном
случае у?^ ^= 0 Значит, р1 = 1 тогда и только тогда когда
#у?Д(Гл;4), т е когда от xi к х^ ведет двухзвенная цепь, обра-
образованная д>гой из G и последующей дугой из //
Следствие Пусть А — матрица смежности графа G;
булево произведение А* — А • А • А служат матрицей смеж-
смежности того графа, который содержит дугу (х у) тогда и только
тогда, когда в G существует путь длины а, идущий из х в у
(„граф а-превосходства").
(Непосредственно )
Понятно, что алгебра булевых матриц, которая развивается парал-
параллельно алгебре обычных матриц, позволяет решать такого рода
задачи на графы, как например известен граф а-превосходства,
найти исходный граф
Эта задача аналогична задаче определения корня а-й степени
hj матрицы.

ГЛАВА 15
Матрицы инциденций
Вполне унимодулярные матрицы
Пусть av и2, .... ит — дуги графа G. а хр х2, .... хп — его
вершины, положим
если и; исходит из #,;
если и, заходи г в xt,
— 1,
О,
если Uj не инцидентна хг
^
Матрица S = (sM называется матрицей инциденций для дуг графа.
Если, далее, ир и2 . , пт означают ребра графа, го положим
-J-1, если xt инцидентна и^;
О в противном случае.
Матрица R=(r1.} называется матрицей инциденций для ребер графа
Матрица A = (alj) называется вполне унимодуляркой ес,]И опре-
определитель любой ее квадратной подматрицы равен 0, -\-\ или —1,
Каждый элемент такой матрицы, будучи ее минором лерво| о порядка,
тоже равен 0, -\-\ и.ш —1; нам теперь нужны критерии для опре-
определения является ли заданная матрица с эле-
элементами 0, -+1, и —1 вполне уиимоаулярной
Пример Для графа изображенного па
0 101001
1 01000
-1—10000
0 01111
0 00010
0 00001J
Обе эти матрицы вполне )нимодулярны,
чго можно проверить непосредственно или чго вытекает из нижесле-
нижеследующих теорем,
Теорема 1 (Хеллер—Томпкинс—Гейл [2]). Пусть А — матрица
с элементами 0, -J-1, —1, каждый столбец которой содержит
рис
S =
15—
0
1
1
I
0
1 j
0
0
0
0
0
1
0
—1
0
1
0
0
—1
0
0
0
0
1
—1
0
0
0
1
0
0 0 0 0 0—1
Рис 15—1

154- Г Л 15 МАТРИЦЫ И
не более двух отличных от нуля элементов, А вполне унимоду-
трна в тол и только в том случае, если все ее строки можно
распределить по двум непересекающимся множества и /г и /2 с
соблюдением следующих условий
A) если два ненугевых эгемента одного и того же столбца
имеют одинаковый знак то один аз них принадлежит /
а другой /.,;
B) если два ненулевых элемента одного и того же столбца
имеют противоположные знака, то оба они содержатся или
в 11% или в 12
1° Пусть уЗ — матрица, строки которой можно расп^едепить как
указано, чюбая квадратная подматрица В матрицы Л тоже обладает
Э[им свойством. Для доказательства того, что А вполне ) ни моду-
лярна достаточно показать что Del E)= 0 -|-1 или ~ 1.
Это ) гверждение справедливо для матриц В порядка 1, пред-
предположим, что оно RepHO для матриц порядка q—I и докажем,
что оно остается справедливым Д1Я квадратной матрицы В порядка q>
} которой два непересекающихся множества С}тъ /, и /2
Если каждый вектор-столбец Ь/ имеет розно два нсн\ левых
эчемента. то
Значит, веыоры-строки линейно зависимы и Det (B) = 0
Если какой-либо вектор-столбец, не имеет ненулевых элеченюв,
то также Det (?)~0.
Наконец если существует пек гор-столбец Ь; ровно с одним
непулевым эчементом скажем bj=-\-\, то обозначим через С
квадратную подматрицу, остающуюся после удаления ич В у-го
столбца и i-Й счроки, поскольку георема предполагается верной дли
матриц порядка q — 1, имеем
= ± Det(C) = +l, —1 или О
Во всех случаях предложение доказано
2° Допустим что А—вполне унимодулярная матрица, каждый
столбец, которой имеет не более двух ненулевых элементом и
докажем, что существует разбиение (/lt /2) с указанными выше свой-
свойствами Можно предполагать, что каждый столбец матрицы А содержит
в точности два ненулевых элемента ибо любой столбец, с един-
единственным ненулевым элементом и любой столбец, не содержащий
ненулевых элементов, можно удалить без ущерба для теоремы
Матрице А отнесем граф G (неориентированный и без петель) следую-
следующим образом1 /-Й строке ставим в соответствие вершину х{, у-му столб-
столбцу — ребро Uj\ последнее будет соединять вершины xk и xh, когда
й* ь 0 и ah, Ф 0 Наконец, мы скажем, что ребро \Xj—специальное,
если оба ненулевых элемента вектора-столбца а^ имеют одинаковый

ВПОЛНЕ Ъ НИ МОДУЛЯРНЫЕ МАТРИЦЫ
155
знак, покажем что каждый элементарный цикл графа содержит
четное число специальных ребер
В самом деле, если бы существо вал элементарный цикл, не обла-
обладающий этим свойством, например р=[х1 х2, , xki *\\ =
= <иР и2, ., иД то мы разверн} чи бы определитель соответ-
соответствующей квадратной подмафицы
U,
*2
О
«2
{) О
"к
• Р*
О
о
а
к I
Имеем а, ф 0,
, ф 0, ^ Ф 0, кроме того, ау =
которые соответствуют неспециальным
— ру Д1Я тех индексов у,
ребрам в количестве
Обозначая через
/2
ik) число беспорядков в переста-
перестановке (/,, i2>
'*)¦ мы можем написать
РА-
что матрица
кл
. аЛ = ± 2
вполне уни-
Но это противоречит усювию
модулярна
Итак каждый элементарный цикл содержит четное число спе-
специальных ребер значит, то же справедчиво для любого цикла графа
Еста каждое неспециатъное ребро стянуть в точку, то получится
новый граф без циклов нечетной длины и поэтому бихроматический
(в силу теоремы Кенига, см. гл 4), обозначая через /j множество
индексов вершин хг окрашенных в синий цвет, а через /2 — мно-
множество индексов вершин xL, окрашенных в красный поучим два
искомых непересекающихся множества /j и /2
Следствие 1. Матрица инциденций S = ($l\ для дуг любого
графа вполне у на нодулярна.
В самом деле, вектор-столбец s^ состоит из одного элемента -|-1,
одного элемента —1 и элементов 0 Поэтому можно положить,
, 2, , п\, /2=0
Следствие 2. Матраца инциденцай R = (г') для ребер графа
вполне унимодулярна тогда а только тогда, когда граф бихро-
ллтаческий
Действительно, поскольку все ненулевые элементы в R равны -|~1
матрица R является вполне унимодулярной тогда и только тогда.

156 Г Л [5 МАТРИЦЫ ИНЦНДЕНЦИИ
когда вершины графа можно распределить ло двум непересекаю
щимся вн\тренне устойчиным множествам:
Теорема 2 (Хеллер) Пусть Л — (al.\ — матраца с элемен-
элементами. О + 1 и — 1, для двух векторов-с трок а' а а^ положим
а'^а', когда каждый ненугевой элемент aJk стропа а7 равен
э \сменту alk строки а', стоящему в том же столбце Если
A) alh = а*к =ь О при каком-либо ?
B) я[ ^= — «^ ^ 0 при каком-либо ft =ф а' $- — а^ или а;^ — а'.
матрица А вполне унимодулярна
Отношение $-, как легко понять, является отношением порядка;
например
(О —1 _1, 0 + 1 +1 + 1)МО —10 0 0 0-1-1)
Любая квадражая подматрица В матрицы Л тоже обладает свой-
свойствами A) и B); покажем, что Dei (В) равен 0 —1 или +1
Это предложение верно для матриц В порядка 1; допустив, что
оно верно для матриц порядка q—1 докажем его справедливое!ь
для произвольной матрицы В порядка q
Если В имеет столбец из одних пулей, то Dtt(#) = O если у В
есть столбец с единственным ненуленым элементом го Dot (В) ранен
(с точностью до знака) минору этого элемента т. е равен 0,
-4-1 или —1 Остаюсь разобрать случай когда в каждом столб-
столбце имеется по крайней мере два ненулевых элемента
Пусть #! и д\—два ненулевых элемента неюора-сюлбка Ь,, дчя
опредеченности предположим, что ?|=+1 flf = +l В силу A)
Ы^-Ь2 илк Ь2?-Ы Меняя в случае надобности порядок строк, мы
допустим что Ъ1Ч—Ь2, в матрице В каждую вектор-строк\ Ь' тля
которой b' $- -L Ь2, заменим на Ьг = Ь'~Ь2 в новой матрице В
элементы по-прежнему равны 0, —1 или +1 a Det(B) ~Det(#).
Покажем прежде всего, что В удовлетворяет условиям A) и B).
В самом деде строка Ь' может быть прежней, и тО1да пишем b',
или измененной, и тогда пишем с'
Пусть например с^ = ?? = +!, покажем, что
с1 ?— b ичи
Так как Ьъ — 0, то

^НИЧСШ ПЯРНЫЕ М4ТРИЦЫ 157
откуда Ь1 $- b1 ичи b1 ?- b' Ho
bl $~ b1 =^ b^ b1 ^ b2 =^ P = b' - b2 <- bl — b2 = c1
С другой стороны, при b1 ?- bz не может быть ни Ь? ^- — Ь2
(ибо тогда мы имели бы Ь1 ?-—Ь2, что невозможно), ни Ь2 $- J: Ь/
(так как &i=l, a fr^^Ci), остается рассмотреть диа случая когда
Ьг?—Ь2 и когда ненулевые элементы строк Ь' и Ь2 распредетяются
по двум непересекающимся множествам столбцов Имеем.
b^b'
(первый случай)
\ или
| Ы Ь Ь1 ^ Ь1 ^с1 = Ь1 — Ь2 Ь Ь1 = Ь1
У (второй случай)
В обоих случаях A) доказано, B) доказывается точно так же
Повюряя теперь преобразование Я-^б с другими строками мы
увеличим кочичество нулей в матрице В, будем делать это до тех
лор, пока пе получим в В столбец содержащий не бопее одного
ненулевого элемента Поскольку для матриц порядка q — 1 теорема
предполагается верной
) = Det(S) = 0. +1 или —1
Ч. И Т. Я,
Теорема 3. Пусть А и В—две матрицы, элементами
которых являются 0 и 1 и которые удовлетворяют условию A)
предыдущей теореиы, тогда матраца С, полученная объедине-
объединением строк матриц А и В, вполне унимодулярка
В самом деле рассмотрим квадратную подматрицу С матрицы С,
составленною из почматрицы А матрицы А и подматрицы В мат-
матрицы В и покажем что Det(C)==0, -\-\ или —1 Как и в тео-
теореме 2. будем уменьшать количество ненулевых элементов матрицы А
(и матрицы В) до тех пор пока в каждом столбце останется
не более одною элемежа отличного or нуля, матрица С будет
тогда иметь не более .лвух ненутевых элементов (которые равны -|-1)
в каждом столбце, если один из этих элемснюв принадлежит Л, л о
другой содержится в В, поэтому в сил.) теоремы 1 матрица С
вполне унимодулярна, откуда следует, что Det(C) = O, -\-\ или —К

158
Г Л 15 МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИП
Примеры Непосредственно применяя результаты этого параграфа,
цитате чь может проверить ч»о матрицы
о __
1
— 1
л
+ 1
0
-1
0 +1
Q
о -и
о -hi
Л —1
0
0
1
0
— 1
-hi
0
с
0
—1
— 1
—
1
¦+1
+1
0
0
J-1
+ 1
-11
-и
-hi
впочне унимод}пярны
Вполне унимодулярные системы
Рассмотрим однородную систем} линейных уравнений.
A)
а] л*1 -{-а12х2-\~ , .,
т
= 0,
Полагая \ = (х\ х2, , .,, хт\
можем записать систему в виде
@ 0, , 0) и Л =
Мы исследуем здесь векторы х )дозлетворяюшие этому уравнению,
в случае когда матрица А вло-ше у]1имот.улярна.
Следуя хорошо известному способу решения, рассмотрим наи-
наибольший, отаичный от нуля опредемтель матрицы Л, пусть это,
например,
а\
а
А
п р
Ф0.
а*
п-р

ВПОЛНЕ УНИМОДУЛЯРНЬТЕ СИСТЕМЫ
159
Решаем основную систему
Придадим спачача неосновным переменным х
п p>rl
х
п р+2
хт значения 1, 0, 0,
векюр Cj — (cj, tf
выражается формулой
0, тогда система A") однозначно определит
у i-я. координата которою {i^n-^p)
a
a
— а1
а
п-р+\
a\
а1
. . a[
a'
ап-р
tt-p+l
р
п р
= 0,-\-\ или —1
Итак, координаты вектора с1 равны О, -{-I или —1, кроме
того Cj будучи решением системы A;)» явчяется также решением
системы A) (в силу однородности системы). Это приводит нас к
следующему результату.
Теорема 4!) Если А = {al\ — вполне у ни иодулярная чат-
рица, то уравнение Ах = 0 имеет в качестве решений векторы
линейного пространства т — п~ур измерений, порожденного век-
векторами cl5 с2, . ., ст-п+р see координаты которых равны 0,
— 1 или -f-1.
') Гофман и Краска л [3] доказали разновидность этой теоремы имею-
имеющую приложения к теории линейных программ: пусть А—матриц} с цело-
целочисленными э мментами а Ь Ь а, а' — векторы v целочисленными
координатами, если матрица А вполне унинодулчрна то па каждой
грани выпуклого полиэдра
{х/Ь1 < (АхI < Ь'\ а1 < х* < а'\
найдется точка с целочисленными координатами {л частности, цело-
целочисленными координатами обладают вершины полиэдра которые являются
нульмерными гранями)

160 ГЛ 15 МАТРИЦЫ ИНЦИДРНЦИЙ
В самом деле, придавая переменным (xn~p+l, хп~р+7 . , хт)
последовательно системы значений е!=A, 0, . ,0) е^—@ 1,
0), . . ът-п+р~(® ° -• > 1)« мы определим как показано
выше, векторы cIt с2, • , zm-n+P с координатами 0. -М или —1.
Эти векторы линейно независимы ибо
Поскольку число их равно размерной и пространства решений
уравнения Лх = 0, векторы сА образуют фундаментальную систему
решений.
Ч И Т Д.
Как видно из первого параграфа гл 4, каждом) циклу ^ анти-
симме1рического графа можно поставить в соответствие т мерный век-
вектор (?', с1 . с) следующим образом ее ни при обходе цикла \ь
дуга и проходится г раз в направлении ее ориентации и s раз
в противоположном направлении, то c' = r— s Мы видели также,
что наибольшее число независимых циклов равно v(G) = m—п-\- р,
где т — число дуг, п — число вершин, р — чисмо компонент (тео-
(теорема 2 гл 4)
Теорема 5 (Пуанкаре — Веб тем — Александер [6], [7]) Пусть
G — антисимметрический граф .S = (sj) — его матрица инца-
дещий для дуг, чтобы вектор
Uj °k с—(с1, с1, ,,, ст) с целочисленными
_нн * лучаи координатами представлял цикл или
сумму циклов, необходимо и доста-
« ^ Случаи2 °™°> чтобы 5С=О
°°1 1° Условие необходимо Надо лишь
uk ^ показать, что вектор с. отвечающий
——>¦
показать, что вектор с. отвечающ
Случаи J элементарно чу циклу, удовлетворяет
условию $с — 0 Допустим что
Рис 15—2 „ г Y r Y r 1
— некоторый элементарный цикл, с = (с1, с2, .. ст) — соответ-
соответствующий вектор, и покажем что
A) 8[с* + $*2с2+ -\-slmcm=:Q (/=1,2, , п).
Если цикл |i. не проходит через 1-ю вершину х1 графа, то он
не содержит никакой дуги Uj, инцидентной хг поэтому с^=^0 для
всех тех индексов j для которых 5^ Ф 0, откуда и следует A).
Если цикл jjl проходит через вершину xh то он содержит ровно
две дуги Uj и ин, инцидентные xt\ в отношении ориентации этих

1ШКЛОЧАТИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
161
дуг возможны три случая, указанные на рис 15—2 В случае 1 имеем
Отсюда следует slc; -l-sfkck = 0, т е A).
В сл>чаях 2 и 3 имеем
Отсюда стедует slc] -\- $lkcn = 0, т е ormib A).
Равенагю A) доказано во псел случаях
2° Условие достаточно Всякий век юр с с целочисленными
координатами, для которого 5с = 0, яв яяется тинейной комбинацией
(с целыми коэффициентами) векторов с,, clf , с,й_„ определен-
определенных в теореме 4, нам достаточно дчя каждого й= 1, 2, . , m — n-j-p
построить такую систему циклов, чтобы с>мма (.оотиетствуюших им
векторов была равна cft.
Рассмотрим множество ak тех дуг графа G, которым отвечают
ненулевые координаты вектора с^. Так как s'.c^ может равняться
т.
только 0, -\-\ или —1, а 25/сл"^0 ПРИ Г1[обом i, то s c{ =\ дтя
четного количества индексов у; иными словами каждая вершина xi
инцидентна четному числу дуг из ик Отсюда следует, что из всех
дуг множества uk можно составить систему циклов,
Ч И Т Д.
Эта георема дает аналитический метод для нахождения незави-
независимых циклов графа, однако в следующей главе мы познакомимся
с гораздо более простым геометрическим методом.
Дипломатические матрицы
Пусть Cj=(cr|. c2v , с[п), ... cv = (с],
базы независимых циклов графа G; рассмотрим матрицу
cm-j — векторы
c =
ч
,2
11 К Берж

162
ГЛ 15 МАТРИЦЫ ИНЦИДРНЦИП
(Ха называется цакломатическои чафицеп графа G Пели кек-
торы-столбцы сл выбраны, как в теореме 4 то все элементы
матрицы С равны 0, —1 или -(-1, а сама матрица имеет инд
С =
1
о
о
о о
1 О
о о
>П1 ¦>
о
о
ибо
Произведен vie м.прицы С на матриц) 5 с гева равно матрице О»
SC =
(S2
с,)
1 с2)
2 С2>
я c4)J
О О
О
О
01
О
Саедовате»]ьно, если известна цикаоматическая матрица С, то
можно найти матрицу инцидсниий дли ауг из уравнении SC = Oy дня
нахождения векгоров-сгрок матрицы S достаточно решить линейное
}равнение
C*s = 0.
Это замечание ичее! многочисленные применения в теории рсчейпых
схем 1).
Пример (Окада [5]) Неизвестное электрическое реле составлено
из 8 выключателей ир и2 ..
р 2
обозначать цифрами ), 2,
.. % (которые мы для простоты будем
, 8). Эти выключатели присоединены
к контактам xv х2, х2 лг4> х-, хГ) в иснанесшем порядке. Поставим
целью onpe'iejHTb геометрическою конфигурацию реле; для этого
) стан от* им, при замыкании каких именно множеств выключателей
ре те пропускает ток и лампа горит
Пусть лампа горит при следующих комбинациях 13568, 137,
14567 148, 23458, 23467, 257 268
1) Цикломатическая матрица назыпаемая также второй матрицей шщи-
денций широко применяется не только в теории релейных схем, но и и
теории электрических сетей с заданными физическими характеристиками
звеньев (см, например, [83]) —Прич пврев

ПИКЧО\*А'ГИ!ТЕСКИЕ
16-3
Теперь мо/кно составить яатриц\ С, ее эпементы с iочнойыо
до слагаемо! о кратное 2 будут
u
1
о
1
о
1
1
о
1
1
1
о
1
о
о
о
1
о
1
1
о
о
1
1
1
1
о
1
1
о
о
1
о
о
о
1
1
о
1
1
1
1
о
о
1
1
о
1
I
I
о
1
1
о
с-
I
о
I
о
о
1
о
1
о
1
о
I
о
о
о
1
о
I
«7
Uu
Отбрасывая сготбцы которые яв!яются линейными комбинациями
Лампа
Источник
тока
Рис 1о—3
x1), и траш.поцир\я матрицу О}носиге ibiio гтавной диаго-
диагонали, потучим
С* =
/1 1 0 1 0 1 1 0 1\
О110 11О11
0 0 0 1 10 0 11
\0 О О О О 1 1 11/
!) О [брошены 4-и, 5-и 7-к и 8-й столбцы, ко 2-му 3-му и 6-\s\ стспбцач
прибавлен i-й столбец и столбца переставлены —Прим. ред
11-

164
ГЛ 15 МАТРИЦЫ ИКЦИДЕНЦИЙ
Телерь надо решить сравнение C*t==O (mod 2) т с.
-Мб+^ + '9^° (mod 2),
-Мб-Нв-г-'9*з0 (mod 2),
+'в И"'в "Ко ^ 0 (mod 2),
Н^т'втИ0 (mod 2).
Находим фундаментальную систем} независимых решений, эги
решения будут строками матрицы
1 1 1 О О О О О 01
0 10 110 0 0 0
1 10 0 0 1
0 0 0 10
10 0 10
I О О
10 10
10 0 1
Составляя линейные комбинации строк, добиваемся, чтобы каждый
столбец содержал ровно две единицы, получаем матрицу инциден-
ций R для ребер графа G> изображенного на рис. 15—-3,
"о
I
0
0
0
1
0
I
1
0
0
0
0
щ
1
0
1
0
0
0
Щ
0
1
0
1
0
0
u4
0
I
0
0
0
1
«5
0
0
I
1
0
0
Щ
0
0
1
0
0
1
«7
0
0
0
1
I
0
«8
0
0
0
1
0
1
1
xl
x2
X3
*4
ATg

Г TAB A 16
Деревья и прадеревья
Деревья
Начиная с этого момента, мы б}дем интересоваться павным обра-
образом конечными графами без учета ориентации U= (u,, и2, ., , ит\
обозначает множество всеч ребер, а \)х — множество ребер, инци-
инцидентных вершине л. Вершина х графа называется висячей, если
существует только одно ребро инцидентное х, т е JU^| = 1 вер-
вершина х называется изолированной если не существует ребер,
инцидентных х т е если (UJ=0 Через Гх обозначаем множе-
множество вершин соединенных ребром с вершиной х
Дерево, по определению, есть конечный связный граф без циклов,
имеющий не менее днух вершин Это важное понятие, введенное
Кэли, можно определить совсем иначе, и в дальнейшем мы будем
пользоваться каждым из шести опредетений, равносильность которых
утверждается следующей теоремой
Теорема 1. Пусть И — граф порядка JAr|=«> 1; следую-
следующие хирактеристические свойства дерева равносильны:
A) И священ и не содержит циклов;
B) И не содержит циклов а имеет п — 1 ребер,
C) И связен и имеет п — 1 ребер,
D) И не содержит циклов, но добавление ребра Meoicdy
любыми двумя несмежными вершинами приводит к. появлению
циклов (и только одного элементарного цикга)]
E) И связен, но утрачивает это свойство после удаления
любого ребра,
F) всякая пара вершин соединена цепью и только одной
В самом деле
A) i^ B) ибо обозначив через р число компонент, а через
т — чис ю ребер, будем иметь />—1, ¦> —m — п~\-р=0 откуда
т =^ п — р = п — 1
B) ==> C). ибо если *— 0 и т =п—1 то р = v — т-\-п~ 1
vi И связен
C) :г) D), ибо из р = 1 и т = п — 1 следует \> = /и — я-?-р = О,
т. е И не содержит циклов, далее, если добавить ребро между
двумя несмежными вершинами то ; станет равным 1 значи! появится
в точности один элементарный цикт

166 ГЛ IB ДЕРЕВЬЯ И ПРАЧЕРЕВЬЯ
D) ^ E), ибо если бы И не был связен го у него имелись бы
две вершины х и у не соединенные никакой цепью и такие, что
добавление ребра \х, у] не приводит к появлению циклов, значит,
р = 1, v — 0, откуда т = п.— 1 После ) да пения одного ребра
получим т = п — 2 v = 0 откуда p = v — /w — п. ~ 2 т с И уже
не будет связным
E) ^ф F), ибо дтя шбых двух вершин х и у с) шествует соеди-
соединяющая ич цепь (поскольку И связен), но не существует двух таких
цепей (так как удаление ребра принадлежащего второй цепи и не
принадлежащего первой, не нарушило бы связности графа)
F) ^ф A), ибо если И имеет цикл, то удаление какого-нибудь
ребра из цикла не нарушает связности графа
Теорема 2 Всякое дерево имеет по крайней мере две вися-
висячие вершины
Пусть И — дереяо не имеющее висячих вершин или имеющее
только одну такую вершину Представим себе путешественника,
отправившегося из произвольной вершины (в первом случае) или из
висячей вершины (ио втором стучае) ее пи он решил не проходить
дважды по одному и тому же ребру, то он не сможет дважды ока-
оказаться в одной и той же вершине (ибо И не имеет циклов); кроме
того, прибыв в некоторую вершину х, он всегда сможет покинуть
ее по другому ребрл (так как вершина л: — не висячая и |U^|^>2).
Значит, путешествие буде1 продолжаться без конца, а это невоз-
невозможно, поскольк> граф И конечен
Теорема 3 Граф G — (X U) тогда и только тогда содержат
частичный граф, являющийся деревом, когда он связен
Если G несвязен, то все его чааичные графы несвязны и G не
может содержать частичного дерева
Если G связен, то выясним имеется ли в нем ребро удаление
которого не нарушает связности В случае когда таких ребер нет,
G сам является деревом в силу свойства E), если же такое ребро
есть, ю удалим его и выясним, имеется ли в полученном графе
ребро, удаление которого не нарушает связности и т д
Когда удаление ребер без нарушения связности станет невозмож-
невозможным, получим дерево [см. свойство E)] множеством вершин
которого по-прежцем} служит X,
читд.
Эта теорема дает также апгорифм для построения некоторого
частичного дерева данного графа. Можно обобщить задач} следую-
следующим образом.
Задача 1 Рассмотрим связный граф G = (Xt U), каждому ребру и
которого отнесено число J(u)>«0, называемое длиной этого ребра;

ДЕРЕВЬЯ 167
найти такое частичное дерево Н = (ХУ V) графа G чтобы суи-
марная длана 2 ^ (и) была наименьшей Эта задача очень часто
ц? V
варечастся в технике связи и ro mhoihx другич об частях
. Какова наименьшая дчина кабечя, необходимого гли того,
чтобы соединить между собой а данных городов? Вершинами графа здесь
служат i орола а I (л\ у) выражает в километрах расстояние между
городами а и у Искомая кабельная сеть должна быть связной и,
в силу требования минимальности длины не содержать циклов, т е.
быть деревом Таким образом, ищется кратчайшее" ия дер^кьев
яв тяющихся частичными графами noiHOro графа с п вершинами
Докажем сначала темы у
Лемма Если О =—(Л' U)—полный граф и длины /(и) его
ребер асе различны то задача 1 имеет единственное решение
(X V), множество V~jv, v2 . vn-\} получается следующим
образе и в качестве \1 б ере м кратчайшее ребро, в качестве
v2 самое короткое и? тех ребер, для которых \2ф\ и
V9=--{vlf v2} не содержит циклов в качестве у3 •- самое корот-
короткое из тех ребер для которых v^Vj v3=^v2 и V^^ (Vj v9 v^J
не содержит цик ъов; и т д
Опредетим, как сказано, множества V, = |Vj] V2. V3. • . , Vft и
допустим что к VA ?1евозможно добавить ребро без появления цикла.
В си чу характеристического свойства D) граф {Л\ \k) представляет
собой дерево, а в силу характеристического свойства B) имеем
к = а — 1
(Л" V)—дереьо дтя которого 2 Ки) имеет наименьшее
и
значение покажем чю V —V,,_,,
Если \-j=Vn_: = \vL v2 , , vw_I), то п)сть vk — пероое из
ребер Vj, v2. .. не принадлежащее V.
В силу характеристического сиойства D) ц VU{vftj существует
элементарный цикл притом единственный, на эгом цикле имеется
такое ребро uG, что Ц ^V7, Ьсли попожить W^(V U (vAj)\|uob
то \ раф (Х> W) не будет содержать циклов и б\дс1 иметь п—1
ребер поэтому он представляет собой дерево [свойство {2)]
V*-i U Wo! не имеет циклов (ибо cV) значит, /(u0) > ^(v^)
Леретзо (Л", W), которое полу чае гея из дерева {X V) заменой и0
на vk. имеет поэтому меньшую суммарную длину, чем {А', V), но
эго противоречит предположению о том, что дерево (X V)—„крат-
V)—„кратчайшее"
Алгорифм для задачи 1 (Краскал J6]) Действуем но этапам
выбирая каждый рач кратчайшее ребро, не образующее цикла
с ъыбранными ранее ребрами.

168 ГЛ 16 ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРБВЬЯ
Таким способом окажется выбранным множество Vп^х —
= \\1 vn_lf из и— 1 ребер, и граф {X Vrt_i) будет деревом
с наименьшей суммарной длиной
В самом деле, длины всех ребер всегда можно сделать разными.
если например, 1(щ) = 1 (и2) —/(и3) то произведем изменения*
/(и,) ^Г(и1) = Цц1)^в
и выберем г столь малым, чтобы не произошло изменений в соотно-
соотношениях дчин ребер
Точно так же всегда можно еде итть iраф потным, добавляя
стоть длинные ребра wk чтобь;
u? U
В новом графе существует частичное дерево Н~ ,,
притом единственное обладающее наименьшей длиной; в сил>
теоремы 3 Vn_j не содержит ребер w;c(rU, ибо
Поэтом} И являе[ся чаежчным деревом исходного графа G,
обладающим наименьшей су si мари ой длиной
Заметим, чю если длины всех ребер разтичкы то дерево
И— единстпенное Заметим также, что можно бы.ю бы действовать
двойственным образом; удаляв шаг за шагом самые длинные ребра,
до тех пор пока это удаление не нарушает связности графа
Алгорифм для нахождения базы независимых циклов. Можно
считать граф G — (Л\ U) связиъш (в противном случае мы рас-
рассмотрели бы каждою компоненту о i дел ыю) Сначала построим
как выше дерево (Л", V,,^) Пусть и,, и2, ., um-«+i — рсбрз
множества U, не принадлежаише Уя_2; добавление к дереву
(X, Vn^) любого из этих ребер, скажем uftl приводит к появлению
элементарного цикла ^, притом единственного {свойство D)]
Но циклы »1р ^-2, , . Pm-n+i независимы, потому что каждый
из них содержит ребро, не принадлежащее остальным, к тому же
количество этих циклов т. — rc-f-l=^(G), значит они образуют
баз} независимых цикчов
Заметим еще только, что в случае плоского графа базу независи-
независимых циклов можно находить гораздо проще, как будет показано
впоследствии (теорема 1 гл. 21).
Hphmfp. Рассмотрим симметрическую транспортную сеть {X U)
с входом х§ и выходом zy соединим вход с выходом ребром [х0, z\
и произвольно ориентир)ем все ребра Поток ср(и) по ребру U 6} дет

ДЕРЕВЬЯ
169
тогда !>0. если его направление совпадает с ориентацией ребра ц,
и <10 в противоположном случае, счедоватетьно,
J (р(ц) = 0 (х ? Л).
Займемся решением следующей задачи
Опреоелитъ потоки <р принимающие на ребрах иг, и2 . , ц^
заданные значения {рГи1) = Х1,
Рис 16—1
Допустим, например чюо графе О изображенном на рис. 16
требуется noiv-чить
— 1,
Здесь можно выявить дерево (показанное жирными линиями) удаляя
ребра Uj u2r , U6 <- предписанными значениями с, а также ребро и7;
каждое ребро и{ (с i-^ 6) определяет вместе с этим деревом некоторый
элементарный никл \1(. притом единственный, по которому должен
циркулировать замкнутый поток, равный s(u.) = A{ [по ^7 будет
циркулировать замкнутый поток с произвольным значением <p(uj) — M
Складывая эти потоки отдельно д™ каждого ребра, мы получим
искомый поток (который в данном случае будет зависеть от пара-
параметра X). Поток <p(u) по каждому ребру дается следующей таблицей
ПОТОК ПО (J-i
по ^.2.
ПО u.j
ПО а4
ПО (J-5-
по р-е'
по ji7.
+G
6
«2
1
1
и4
4-2
2
+2
2
и?
+2|
2
и»
Щ
—6
+2
2
Л—G
—1
2
-2
u,ft
+6
—1
— 1
о-.
—1
5
Ul2
4-2
+2
_2
2
^6
2
—2
Ь^
4

170 Г Л tfi ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕрЕВЬЯ
Если удатение ребра с предписанным значением ср нар}шает связ
графа, то задача вообще говоря, не имеет решения
Аналитическое исследование
Рассмотрим матрицу А — (а<\ с т строками и а столбцами и
положим /V={1, 2 , п\ М = {1, 2 . , т\ Члсто бывает
удобно записывать матриц} А в вще а^\ при этом если IczM, JcV
то а] обозначает подматриц) полученную из А вычеркиванием тех
сточбцов, номера которых не принадлежат /, и тех строк номера
которых не принадлежат J Напомним пре/кде всего две форму ты
из теории определитечей
Ф о р к > л а Лапласа1) Пусть Од' — квадратная матрица
порядка п, а кисло k ^ я, тогда
(при /г=^1 получается формула разюжения определителя по первой
строке)
Формула Бинэ — Коши2) Пусть а^ а b^—две квадрат-
квадратные матрицы п-го порядка /С= A, 2, .. , к], к<^п, тогда
'/CjV
При & = л пол>чается форм>ла дтя определи!ели лроизпедения двух,
квадратных матриц
Рассмотрим теперь i раф Gen вершинами и т ребрами (т ^ п),
произнольно ориенгировав ребра составим матрицу инциденций для
д^г S = b^ Квадратная матрица s™ соответс[вуе1 лершинам х{>
Х2> ' хт и Д>»а^ «1 и2» • ит> паРа' образованная такого рода
мнОАесгвами sepiunH и дуг, называется гиней ко и конфигурацией И
Она вообще говоря, не будет графом так как ребро может ихо-
дить в И без своих гра*шчны\ точек („плавающее" ребро) или
1) См например Ш и i о в Г Е Введение в теорию линейных прост-
пространств. — Прим. перев
г) См., например Гаитмахер Ф Р Теории матриц —Прии

АНЛТЛТИЧЕСКОР MCCJTFIORAHMF
171
только l одной из двух граничных точек („боттакпцееся" реоро)
Имеет место
Теорема 4 Пусть шиеиная конфигурация И составлена
из т вершин xv х2, , хт и т дуг яр и2, ат, если И
содержит дуги некоторого цикла то Def(sJj) = O
Действительно допустим, что uv и2 . . uk образуют пикт и
Mi о иершины И ла этом циктс имеют нумерацию хх, \2 \t
(где I ^ k), можно написать
м
О
По формуле Лапласа
Если i = k, то
Det D) =
1
1
0
0
1
1
0
0
1
—1
о
о
о
О 0 ., —1
¦=0
(поскольку с)мма векторов-строк равна нутеБом} вектору) Далее,
если I < k то Det($?) = O потому, что ?-я строка состоит из одних
н> аей Таким образом всегда Det (s^) =2 О
Теорема 5 Граф О с гах 1 вершинами гл, х2, . , лтш + 1
и т ребрами и{ и2, . , ит является дерево w тогда и только
тогда когда определитель квадратной матрицы s^r полученной
из матрицы инциденций $^ вычеркиванием (т-|-1)-й строка,
равен 4-1 ила —1, во всех остальных сгучаях этот определи-
определитель равен ну гю.
1° Пусть О — граф порядка п — т -\- 1 для которого Detfsjn^O,
в силу теоремы 4, G не содержит циклов, так как кроме того О
имеет п— 1 ребер то он представляет собой дерево [теорема 1,
свойство B)]
2е П>сть О — дереио с вершинами х{ х2, ... xm+v не тро-
трогая хт+1, будем менять нумерацию дуг и оаальных т вершин [чю
может измениib только знак Det/s^j так как такое изменение
нумерации означает перестановку строк и сто1бцов в определите те]
В сту теоремы 2 дерево G имеет висячую вершину, отличною
oi хт+[\ эту вершину обозначим через ху а инцидентное ей ребро —

172
ГЛ 16 ДЕРЕВЬЯ И ПРЛДЕРРВЬЯ
Uj, удалив х1 и u;, опять найдем висячую вершину х2 и инци-
инцидентное ей ребро и2 и т д . . В новой нумерации будем иметь
Det (SM\ ^=
±1
0
1
0
0
~ 1
0
0
0
ч и т д
Теорема 6 (Цоказатетьство Трента [8]) Я графе G без петель
число различных деревьев представ гпющих собой частичные
Рис 16—2
графы G равно минору любого из элементов главной диагонали
квадратной матрицы {Ь1\ порядка п, где
при /^=у,
при i i= j
при I -? у,
[x(

ПР^ДЕРЕВЬЯ
173
Придадим ребрам G произвольную ориентацию и образуем матрицу
инцидеиций S = s^ для дуг Общий элемент матрицы SS* равен
|Г*,|
—1
0
при
при
при
i
1
i
—¦
J,
J
J,
[*/
Таким образом (s1,
то минор элемента
bljy ести положить К = [1, 2
yk = n — 1J,
в силу формулы Бпнэ — Коши равен
/I
ZM
>n-i
M
На основании теоремы 5 последняя сумма как раз выражает
число деревьев с п вершинами которые можно
получить из G
Пример Граф, изображенный на рис 16— 2а,
имеет 16 частичных деревьев, таково значение
минора
3 —1 —1
— 1 3 ~1
— 1 —1 3
= 16
Рис 16—2а
Так как граф полный, то этот же результат можно было бы
получить более прямым путем замечая, что общее число различных
деревьев с л. = 4 вершинами равно га2 2 6
л~2 =
= 16
Все 16 частичных деревьев приведены на рис. 16—2.
Прадеревья
Конечный граф (X U) есть прадерево с корнем х^Х если
1° е каждую вершину ?ху заходит одна-единственная дуга;
2Э в лг, не заходит ни одна дуга,
3° (X, U) не содержит контуров.
Теорема 7. Всякое прадерево является деревом.
Пусть Я—прадерево с корнем xv в силу 3° оно
столько же дуг. сколько ребер. Если п — число вершин, т -
ребер то
т~п— 1.
имеет
число

174
ГЛ 16 ДЕРЬВЬЯ И ПР\ДЕРЕПЬЯ
Кроме того И не содержит циклов ибо в нем нет контуров,
а всякий цикл, не являющийся контуром имеет вершину, в которую
заходит не менее двух дуг.
Поэтому И—дерево
Внешний вид ирадерева представить себе четко это дерево,
каждое ребро KOiopoiо однозначно ориентировано и для тюбой
вершины х которого существует путь от х, к х (поскольку путе-
путешественник, находящийся в х и желающий проходить дуги графа
в направлении, противоположном ориентации, не будет вынужден
остановиться пи в одной вершине кроме л^)
О
Рис 16—3
Прнмьр 1 (шшшмехрия) Рассмотрим на тоскости п—1 попарно
непересекающихся окружностей Каждый случай взаимного расположе-
расположения этих окружностей можно представить прадеревом с п вершинами
(имеющим и качестве корня лс: , окружность бесконечного радиуса").
При it—4 возможны четыре
случая распочожения KOiopbie,
как показано на рис 16—3,
п соответствуют четырем праде-
IJ'<7 ревьям
Примкр 2 Теория скобок
Лукасевича (J Lukasiewicz)
Рассмотрим множество А —
= \а, Ъ 6, } и операцию
й нем которая коммутативна,
но не ассоциативна например
а (р с)=?-(а Ь) с В алгебре
некоторое числа ^тих операций
/)] g). Этому моноиду мы лоста-
а
Рис
называют моноидом результат
например и ~ \{а Ь) с] ([d (e
вим и соответствие изображенное на рис 16—4 прадерсво являющееся
„бифуркантом". дтя каждой вершины х имеем |Гд:| —0 или 2
В случае некоммутативной операции надо испочь ковать то по то-
гический юаф, то есть граф, эффективно лревставленный в ориен-
ориентированной плоскосш Л}касевич предложил задавать ^foнoнд и

ПРАДЕРЕВЬЯ
175
последовательностью abodefg, за которой идет посчедовательносгь
1110001101000 (полученная заменой висячих вершин символом 0,
невисячих — символом 1 и записью этих символов в порядке, кото-
который ясен из приведенною примераI)
Мы поставим для прадсревьев такие же задачи, как и для
деревьев, в частности: сколько у данною (ориеншрованного) графа G
имеется частичных графов представляющих собой прадеревья? Пусть
А = (а1\ — матрица смежности i рафа G, образ) ем диагональную
мафиц\ D — ^dl\ где
0 при i -f- j
г-1*
Матрицу
^ Ф.
при t = J
al\ можно записать в виде
а\
_а2 У. ai __ tf
— а'
— а-1
а
Ее опредечитель равен 0 (так как су мча ее векюров-строк есть
н)ль-векгор)
Минор этой ма1риды пол}ченный вычеркиванием А-й строки и
&-го сточбиа обозначим через Aft^Afe(ar а2> , ., ад), он не зависич
от вектора ай
Замечание A^(alt a^ ад) есть линейная функция от век-
векторов столбцов а; т е
Au(/aP а2? , ай) ^
Доказывается непосредственно
У а2,
., ад)
Теорема 8. Пусть А — матраца смежности графа G без
петель имеющего т = п — 1 дугу, граф G является прадеревом
с корне и хг тогда и только тогда, когда Дх = 1, во всех ос-
остальных случаях Л,=0
1) Из этого замечания легко вывести, что количество различных праде-
ревьев-бифуркашов с п висячими вершинами равно
2/1
Bп + \\
1 \ л I

176 ГЛ 16 ДЕРЕВЬЯ И ПРАДЕРЕВЬЯ
1° Если О — прадерево с корнем хг> то элементы d\ равны
(Г^! = 1 (при i — 2, 3, .-., п); перен}меруем вершины так,
чтобы при следовании вдоль любою пути индексы шли в возрастаю-
возрастающем порядке (это Bcei да возможно поскольку G — прадерево), тогда
Л 1 J
0 0 1 —а
0 0 0 1
2° Допустим что Aj -? 0 и покажем то G — прадерево с кор-
корнем х1 В каждого вершину хк (при k4 1) заходит по крайней мере
одна ду| а графа G (в противном случае (k — 1)-й сточбец в &! бьы
Сы нулевым и мы имели бы Ai = 0)
Так же, как в теореме 5 доказывается что граф О — связный
и антисимметрический (иначе имели бы \ -= 0) Но связный граф
l «-1 ребрами еегь дерево [свойство CI Во всякую отличную
or хг вершину заходит ровно однл д>га (ибо существует ровно
л—1 дуг); поэтому О — прадерево с корнем ху
Теорема Щ> (Тат), Ботт) Пусть Л — матрица смежности
графа G без петель, количество прадеревьев с корнем хх, являю-
являющихся частичными графами G, равно Лт
В самом деле, обозначим через ek = @, 0, 1,0 , 0)
л-мерный вектор, k-n координата которого раина 1, а остальные —
нулю. Положим
Имеем
Aj {а2 а2 ,. , аа) = Д
Но, в силу георемы, 8 минор Д} (е^, ^,. . ^ ) равен 1, когда
я — 1 дуг (xkl x2) (xki хъ), ... образуют прадерево с корнем хг,
и равен 0 во всех остальных случаях. Отсюда и следует сформули-
сформулированный результат
Замечание 1. Проведенные выше рассуждения в действительности
доказывают более сильный результат который можно выразить
следующим образом, рассмотрим сеть, образованную графом G без
петель, с пропускными способностями с (и), и пусть С—(с(Л — „об-
„обобщенная матрица смежности", у которой с^=с(х^ Xj) Образуем

ПРАДЕРЕВЬЯ
177
диагональную матрицу D, где dt ==¦ 2 с(хи xi)> и составим опре-
опрела
делитель A = Det(D—С), если
.Н~(Х. Г>— ярадерево с корнем xv
то положим
с(И)= П с(х у).
Тогда минор А, определила л я Д
равен сумме чисел с (И) где И
пробегает, все прадеревья с кор-
корнем #!, являющиеся частичными
графами G.
Этот результат был установлен
Боттом и Мейберри [2J при вы-
вычислении определителей некоторых матриц, встречающихся в эконо-
экономике
'.if
Т*ч
с (И)-2
X
с(И)-2
%
У
с (И) ~8
(•* у /
Рис 16—6.
Пример. Рассмотрич определитель
4 — 1
— 1 6
-2 —2
— 2
5
12 К Берж

178
ГЛ 16 ДЕРЕВЬЯ И ПРЛДЕРЕВЬЯ
Ему соответствует мафйца
— 1
4
— i
_ 2
0
— 1
3
— 2
— 2
— 2
— 1
5
~ г<г
\ cl
j которой только первый столбец произволен; отсюд! получается
сеть, изображенная на рис 16—5
Складывая все значения с(Н), указанные в таблице на рис. 16—6,
получим 29, читатель может проверить, что этому числу как раз
и равен определитель Лг
Замечание 2 Пусть Л — матрица смежности симметрического
графа G без петель, число симметрических деревьев, являющихся
частичными графами G равно числу прадеревьев с корнем хк или,
в силу теоремы 9, равно
Таким образом мы сьова пол}чаем утверждение георемы б

ГЛАВА 17
Задача Эйлера
Эйлеровы циклы
Одна кч наиболее старых задач Геометрии Положения
Эйлером, может быть сформулирована следующим образом:
назовем эйлеровой цепью (соответственно эйлеровым циклом) цепь
(соответственно цикл), содержащую все ребра графа и притом
только по одному разу, как узнать, обладает ли данный граф
эйлеровой цепью или эйлеровым циклом?
Пример 1 Рассмотрим граф изображенный на рис 17 1;
можно ли нарисовать этом граф не отрывая пера от бумаги и не
проходя по уже нарисованной линии
вторично^ Перепробовав множество
комбинаций, читатель, даже неосве
Рис 17—1
Рис 17-2
домлецный, в конце концов вынужден будет предпочО/кить что эта
задача неразрешима Напротив граф, изображенный на рис 17—2,
можно нарисовать одним росчерком; почему?
Примгр 2 (Эйлер) Через город Кенигсберг протекает река Прс-
голь, омывающая остров Киейпхоф, на реке имеется семь мостов
расположение которых показано на рис 17—3 Может ли пеше-
пешеход обойти все мосты, пройдя по каждом} из них точько о чип
раз?
Эта задача )влекааа жше.дей KeHHicOepia в
Эйчер не доказал ее неразрешимость.
Рассматривая 2-граф G, изображенный па рис
которого соответствуют районам а Ьу с d, а каждое ребро изо
•Сражает мое г, мы видим, что задача сводится к нахождению эйле-
эйлеровой цепи.
173G юл), пока
17—4, вершинп

180
ГЛ 17 ЗАДАЧА ЭЙ ТЕЛА
Теорема 1. Мулътиграф G обладает эйлеровой цепью
тогда и только тогда когда он связен и число вершин нечетной
степени 1) равно 0 и ш 2
1° Условие необходимо ибо если эйлерова цепь \з. существует,
то граф G очевидно связен, далее, нечетной степенью могу; обла-
обладать только начальная и конечная вершины |i (если они не совпа-
совпадают), поэтому вершин нечетной сте-
JL^l пени может быть только 0 или 2.
2° Условие достаточно. Мы
докажем бопсс точное утверждение;
а
Рис 17—3
если имеются две вершины а и Ь нечетной степени то суще-
существуем эйлерова цепь начинающаяся в а и оканчивающаяся в Ь,
если вершин нечетной степени нет, то существует эйлеров цикл
Допустим, что это утверждение справедливо для графов, имею-
имеющих менее т ребер, и докажем его справедливость для графа G
с т ребрами. Для определенности предположим, что G имеет дне
пер шины нечетной степени, а и Ь.
Путешественник, который отправляется из a v, тюбом направле-
направлении с намерением не проходить по одному и тому же ребру дважды,
определит своим движением цепь у Если путешественник пришел
в некоторую вершину х Ф Ь, то количество ребер, пройденных им
и инцидентных х нечетно при х ф а и четно при л: =- а и по-
поэтому он может покинуть х по еще не пройденному ребру, если же
путешественник не имеет возможности идти дальше то это означает,
что он находится в Ь Однако при этом произвольном маршруте от
а к Ъ могли быть пройдены не все ребра, в частичном графе G\
образованном оставшимися ребрами, все вершины имеют четную
cieneHb
Пусть С[у С2, ., , Ck—компоненты Gf, содержащие хотя бы по
одному ребру, согласно предположению, все эти компоненты обла-
обладают эйлеровыми циклами \хи \х2, ... ; так как граф G связен, цепь \i
1) Степенью вершины называется число ребер инцидентных этой
шине —Прим. ред
вер'

эйпрробы циклы
встречает все Ct доп\стим чю первые встречи происходят в вер-
вершинах vL?Cj, х2?С2 vftG^s C указанном горядке)
Рассмотрим теперь цепь
р.[а аг€1 —|— **•! —h-[*¦ [-^1 х2\-^*2+ ~^МЧ b\
Это и еегь эйчерова цепь графа G и^щая из а в b
Ч И Т. Д
Читатель может теперь одним взглядом >6еаиться в неразреши-
неразрешимости задачи о кенигсбергских мостах (пример 2)
Замечание Так^м же способом доказывается, что если связный
мультиграф имеет 4 вершины нечетной степени, ю ею можно нари-
нарисовать двумя росчерками, и вообще при наличии 2</ вершин нечет-
пой пепени — q росчерками
Алгорифм для непосредственного выявления эйлерова цикла
[Флёри (FieШ})] Рассмотрим связный мультиграф G, ксе вершины
которого имеют четную степень и постараемся нарисовать его од-
одним росчерком, не прибегая, в процессе построения к исправле-
исправлениям уже начерченной части траектории. Достаточно при держи -
вагься следующего правила
1° Выходим из произвольной вершины а каждое пройденное
ребро зачеркиваем
2° Никогда не идем по такому ребру U которое в рассмат-
рассматриваемый момент является перешейком (т е при удалении
которого граф, образованный незачеркнутьши ребрами, распадается
на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру')
Соблюдая это правило мы всегда будем находиться в благо-
благоприятно н. положении, потом} что когда мы находимся в х ф а,
граф (из незачеркнутых ребер) имеет две вершины нечетной степени.
х и а; если отбросичь изолированные вершины, то останется связ-
связный граф который в силу теоремы 1 имеет эйлерову цепь начи-
начинающуюся в х.
Осталось доказать, чю всегда возможно соблюдать это праияю,
то есть что путешественник, придя на перекресток х, наверняка
имеет в своем распоряжении непройденное ребро, не являющееся
(в данный момент) перешейком. Действительно, если бы все инци-
инцидентные л: ребра были перешейками, то их было бы по меньшей
мере два (так как в случае j?/r| = l ребро, инцидентное х, можег
быть только висячим), два перешейка вели бы в две не связанные
др>г с другом компоненты каждая mj которых содержит хотя бы
одну вершину нечетной степени Но это невозможно, так как а —
единственная вершина нечетной степени (отличная от х)
') И, разумеется не выбираем ребра, идущего в а, пока есть чругне
возможности —Прим пере в

182
ГЛ 17 ЗАДАЧ\ ДИЛЕРА
а 0000
Эйлеровы контуры
Рассмотренные выше поияшя интересно распространить на ориен-
ориентированные графы, эйлеров контур в ориентированном графе
{X, U) — эю контур, содержащий все д\ти, и только по одному
раз\ Каковы те графы, которые обла-
обладают эйлеровыми контурами?
Граф насыпается псевдоси ч иетрп*
tfft^&^P^ ческим если в каждой его вершине
число исходящих дуг равно числ> за-
ходяших т е
Эта терминология опрашивается
тем, что всякий симметрический граф
является в то же время
<i, три ческим, имеет место
псевдосиммо
Теорема 2 Граф обладает
эйлеровым коптуро и тогда и только
тогда когда он является связным
и псевдосимметрическим.
Доказательаво точно 1акое же как
для теоремы 1
Примы* [Постум}с (Posthirmus)]
Какова самая длинная круговая после-
последовательность из цифр О и 1, в кото-
которой никакой огрезок из к цифр не повторяется0 Так как различных
строчек из 0 и 1 существует 2А такая последовательность не может
иметь более 2* цифр, покажем с помощью теоремы 2 что чожио
эффективно построить искомую круговую последовательность
из 2* цифр
Рассмотрим граф О, вершинами которого спужат всевоз'чолппс
[k—1)-строчки из 0 и 1, и соединим л.)гой каждую вершину
m--Wl
Р и с 17—5
вершинами
а
и
аз « aft^i- О Граф G— исевдосимметрический. поэтом} он и.мест
эйлерои копт>р Если (^ х2 , ctfr,5) первая вершина этого
сс
—третья и г
контура, (с^, а3, . , лА) — вторая, C
то искомая пос1едовательность будет а^сцец
При ^^=^4 граф изображенный на рис 17—5„ дает нам iie-
сколько KpyiomiA последооательностей пз 21—16 цифр, а именно
abcdefghijklmtipq =- 0000101001101111,
abcdkijejghlmnpq -=0000101101001111,
abcdkipghlmnjefg = 0000101100111101,

эйлеровы конторы 183
abcjglujedklmnpq = 0000100110101111
abhijklmnpgcdejq = 0000110111100101,
abhijedklmnpgcjq = 0000110101111001
abhijefgcdklmnpq = 0000110100101111,
abhipgcdklmnjefq — 0000110O1O111101
(\1ы опустили остапьные круговые последовательности, которые
получаются перестановкой i и 1тп ) Найдено 16 решений1)
Некоторые авторы усиленно занимаются подсчетом различных
эйлеровых контуров пссвдосимметрического графа; эта задача тесно
связана с задачей подсчета ирадеревьев, решенной выше (гл. 16)
Взаимосвязи между эйлеровыми контурами и прадеревьями являются
весьма тесными и мы прежде всего отметим следующий результат
Теорема 3 Пусть О — связный псевдосимметрический граф
лгт — одна из его вершин; О допускает в качестве частичного
графа некоторое прадерево Н с корнем хх которое можно по-
построить следующим образом проходи ч все дуга G отправив-
отправившись из х,, и составляем И из всех тех дуг, которые привели
нас в ту или иную вершину впервые
И действительно есть прадерево с корнем xv гак как
1 всякая вершина ^= х1 является концом одной-единственной
Л) >-и;
2' х} не является концом никакой дуги,
3 //не содержит контуров (ибо если из л: в у идет некоторый
щть образованный дугами И то вершина х пройдена раньше у и
в Я не существует путей из у в л:)
Теорема 4 (\арден-Эренфсст, дс Брёйн [1]) Пусть О^
связный и псевдоса чметрический граф \ — число прадеревьев
с корнем х{ являющихся частичными графами G и rk — полу-
степень исхода (ила захода) вершины хкш Тогда час но различ-
различных эй герое их контуров графа G равно
к 1
где п — число вершин графа О.
Заметим, что два эйлеровых контора не считаются различными,
если один можно полечить из другого круг on ой пере стан о \\к ой. За-
Заметим также, что число \ тнестно из теоремы 9 (п 16)
1) Элл задача применяется и технике связи для отыскания положения
барабана, градуированного двумя видам и делений, с помощью читающей
голоьки, способной за один раз прочесть к делений. Аналогичная задача
встречается в криптографии в следующем виде: найти слово, в котором
каждое размещение к букв iid алфавита фигурирует один и только о тин раз.

184 ГЛ 17 ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Рассмотрим прадерево И с корнем xlt являющееся чааичным
графом для О, и покажем, что существует ровно
П
таких эйлеровых контуров у которых каждая дуга, приводящая нас
в любую вершину впервые принадлежит И Пронумеруем чиспами
от I до rk дуги, заходящие в хр\
4
нумерацию произведем так, чтобы ик(гк) быта дугой прадерсва //,
заходящей в хь (если fer 1) Предполагая дуг} ихA) раз навсегда
фиксироьашюй, будем imeib и ючносли
возможных нумераций Каждой нумерации соответствует один и
только один контур по следующему закону начиная с и,A), об-
обходим все дуги графа в направлении противоположном их ориен-
ориентации; всякий раз, находясь и хк выбираем ту еще не пройденную
дугу из Vх , которая обладает наименьшим номером
Таким способом будет определен контур ибо процесс обхода
может оборваться только в точке хх (во всякой другой вершине,
в которую мы приходим, всегла остается ребро, по которому можно
снова выйти так как граф псевдосимметрический) Покажем что
полученный контур является эйлеровым
Действительно если бы это было не так то имелась бы не-
пройденная дуч a uk (у); поскольку гк ^> у дуга ик {гк) тоже не могла
быть пройдена; в ее начало хр в свою очередь заходит некоторая
непройде иная дуга а (г А и т д Все эти не пройденные дуги при-
принадлежат прадереву И, поэтому мы а конце концов доберемся до
корня х]3 но это невозможно ибо раз мы в свое время оказались
в JCj и не смогли оттуда выйти, то Бее дуги инцидентные хг были
уже пройдены
В итоге каждой нумерации отвечает свой эйлеров контур, окан-
оканчивающийся фиксированной дугой «т A) и такой что каждая ею
дуга приводящая в свою конечную вершину впервые, принадлежит
прадереву. Тем самым теорема доказана ])
') Когда чцс;ю дуг графа /я!>2н-Ь1, при исследовании эйлеровых кон-
контуров обнаруживается любопытное комбинаторное свойство, недавно сформу-
сформулированное шющенбергером (М. P. Schiitzenbcrger). Именно будем рассмат-
рассматривать зйлеров контур ,j. как подстановку дуг графа и говорить, что jj- —
четный или нечетный, смотря по тому, четко или нечетно число беспо-
беспорядков подстановки- тогда в графе G порядка п с числом дуг т^2п-\~\

ЭЙЛЕРОВЫ КОНТУРЫ 135
Следствие В псеадосимметрическом графе число праде-
ревьев с корнем xk> являющихся частичными графами, не зави-
зависит от выбора вершины хк
В самом деле, теорему 3 можно с таким же успехом сформули-
сформулировать для вершины хк BtkfecTO xx% так как число эйлеровых конту-
контуров от этого не изменится ю Д,=Д/р
(Читатель может таким способом проверить что число эйлеровых
контуров графа изображенного на рис 17—5Т равно 16 )
среди эалеровых контуров начинающихся с данной дуга, имеется
столько же четных, сколько нечетных.
Заметим, что при т ^2п это утзерждение неверно как показывает
следующий пример: составим граф с дугами аи «й, . и„ элементарного
контура проходящего через п вершин, и с петля?>1и ип^_1г ип+2< ¦¦-, *Нп во
всех этик вершинах; для каждой заданной дуги существует только один
эйлеров контур начинающийся этой дугой к утверждение уже поэтому
неверно.
Можно показать что ^помян>тое свойство графов порядка п равно-
равносильно одному свойству матриц n-ю порядка, имею где иу важное значение
б алгебре (а именно теореме Амицура и Левицкого см [д])

ГЛАВА 18
Паросочетание произвольного графа
Теория чередующихся цепей
Мы обозначаем здесь через О граф (неориентированный) с пер-
перши нами a xv х2 х1г. В О б>д.ем различать две категории
ребер- силоные ребра, обозначаемые жирными линиями и слабые
ребра обозначаемые тонкими линиями. Наконец мы предполагаем,
что все ребра, инцидентные точке а называемой начало ч графа G, —¦
сильные.
Чередующейся цепью называется такая цепь ^ = (v, v2 . , vA)
графа О, что
1° из двух последовательных ребер v^ и \ п непременно одно
сильное, а другое слабое/
2° цепь и —простая, т е никакое ребро не встречается в ji более
одного раза
Ести существ>ет чередующаяся цепь и, соединяющая першипу а
с х> то последнее ребро этой цепи мы пометим стрелкой напра-
направленной к х, таким образом, каждое ребро графа О може* оказаться
ориентированным в обоих направлениях или только в одном напра-
dпении или остаться неориентированным
Если з вершину х заходит хотя бы одно ориентированное силь-
сильное ребро, но не заходит ни одно ориентированное слабое ребро,
то вершину х назовем сильной; множество всех сильных вершин
графа О будем обозначать через Е
Если в вершину jc заходит хотя бы одно слабое ребро, но не
заходят сильные ребра то вершину х назовем слабой, множество
слабых вершин будем обозначать через F
Если н вершину х входят как сильные так и слабые ребра то
навовем <.е смешанной) множество смешанных вершин будем обо-
обозначать через М
Наконец, если в вершину х вообше не заходит ни одно ориен-
ориентированное ребро, то ее назовем недостижимой] множество недо-
недостижимых вершин будем обозначать через /
Несколько по-иному мы распространяем эту терминологию на
вершину й, которую мы выделяем среди остачьных как начало

TFOPHfl ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ
187
графа О, мы считаем аершину а слабой если не существует чере-
чередующейся цепи ид) щей иэ а обратно в а и с иешанной в протиз-
ном случае
Гак как всякая зершина О является или слабой или сильной,
или смешанной или недостижимой, то Е J F U M U / -=~ Х- непосред-
непосредственно замечаем
Теорема 1 Две сильные вершины могут быть соединены
только сальным ребром, две слабые вершины могут соединяться
только слабым ребро м; смешанная вершина не может со-
соединяться с недостижимой никаким ребром сильная вершина
может соединяться с недостижимой только сильным ребром,
слабая и недостижимая вершины могут быть соединены тогъко
слабы и ребром
Подытожим сказанное цри помогци таблицы
t
t
м
I
L
сильное
сильное
/
слабое
слабое
U
X
/
сильное
слабое
Подграф графа О, порожденный множеством вертиин М1), имеет
компоненты связности которые мы обозначим через Мг М2, .. ,
будем говорть что цепь jx заходит в М^ по ребру [а, Ь\ если ^
имеет вид
= b Ьг
где
a av az
Лемма 1 Пусть а^Мх, х?Мх, если некоторая чередую-
чередующаяся цепь р. [а, х] заходит в М{ по ребру [а>Ь\ и оканчивается
сильным {соответственно слабым) ребром то существует также
чередующаяся цепь jj/ [а. х] заходящая в М{ по ребру [а Ь] и
оканчивающаяся слабым {соответственно сильным) ребром.
') При этом предполагается М ¦=}= 0. — Прим перев

188 ГЛ 1Я ТТАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФ\
В самом деле, поскольку х—смешанная вершина, существует
чередующаяся цепь v[#, x], которая оканчивается слабым ребром.
Так как а <? /VI1, х ? Мг то в v [а, х] существуют ребра у которых
одна из граничных точек принадлежит Х\М1ч а другая принад-
принадлежит Mv пусть [с> d] — последнее ребро этого типа
Пусть наконец, у — первая точка цепи ja, принадлежащая v[d, x]
(такая точка всегда существует). Если ji [b у] и vjrf, у] оканчиваются
ребрами одной и той же категории, то теорема доказана, так как
искомой чередующейся цепью будет
[а' = ;а[й( _у] —f— v [у х]
Поэтому можно предполагать, чго это не так, но тогда [а, Ь\ =
=-\с, d] потому что в противном случае цепь [i\a, ^]+v[y c\
была бы просюй чередующейся цепью
#,• значи! точка с была бы смешанной и
принадлежала М] Отсюда заключаем
t что цепь
является чередующейся и удовлетворяет
поставленным условиям
рис is—1 Лемма 2. Пусть
а [а, Ь\ — ориентированное ребро, за-
заходящее в Ми тогда существует чередующаяся цепь \х[а, х) из
а в х, заходящая в Мх по ребру \аУ Ь]
В самом деле пусть Y — множество тех вершин из Mv которые
достижимы с помощью чередующихся цепей заходящих по [а, Ь\
и пусть Z—множество остальных вершин М^ Имеем Уф0 (ибо
b?Y), и если бы Z^=0 то существовало бы ребро [у z\, у кото-
которого у? К, z?Z Покажем, что это приводит к противоречию
В силу леммы I точка у достижима посредством двух чередую-
чередующихся цепей ijlj |й, у] и ;х2[а, у], заходящих н /И, по ребру \а, Ь\,
причем последние ребра этих цепей явпяются соответственно силь-
сильным и слабым; но тогда точка z достижима посредством чере-
чередующейся цепи заходящей и М} по [а д] что невозможно гак
как ?Z
Теорема Петерсе н а—Г а л л а и A6), [3]). Пусть М} —ко w-
понента подграфа, порожденного сметанными точками, если
й^М{> то существует одно а только одно ребро, заходящее
в Mv Если же а^Мх, то не существует ребер^ заходящих

частичный граф с заданными степенял 189
1° Если й^/VIj, ю пусть [i—чередующаяся цепь, идущая из а
в My, и пусть Ь—первая ее вершина принадлежащая М^ Чередую-
Чередующаяся цель \i [а, Ь] заходит в М} по ребру \ау Ь]
Пусть [с, d]—друюе ребро, заходящее в Мх В силу леммы 2,
точка d?My достижима посредством чередующейся цепи заходящей
по [я, Ь]у и в ситу леммы 1 можно предполагать что эта цепь окан-
оканчивается ребром не юй категории, к которой принадлежит [с, d]3
но тогда точка с—смешанная, что невозможно, так как с&М{
Следова1ельно, [а, Ь\~~ единственное ребро, заходящее в М{
2° Случай а ? /VI, можно свести к предыдущему, добавляя вер-
вершины д0 и Ьо сильное ребро [aQ />0] и слабое ребро [?0 а] Если
считать началом а0 вместо а> то ребро [Ьо. а] окажется еаинствен-
еаинственным заходящим в Мх, значит, у первоначального графа совсем
нет ребер заходящих в Мх
Ч И Т Д.
Эта теорема, в частности, показывает, что чередующаяся цепь,
которая пересекла М{ (и вышла из нее), не может вторично встретить
Эту компоненту, ниже мы поянакомимсяс применениями этого свойства
Нахождение частичного графа
с заданными степенями вершин
Пусть G = (X, U) — неориентированный граф каждой вершине х
которого отнесено целой число f(x) не превосходящее степени ^(U),
поставим сейчас задачу о построении частичного графа (X, W), у ко-
которого степень вершины х была бы rf^ (W) = / (я) Говорят, чго
множество ребер WczU совместимо с функцией f (х), если
Для заданного множества W ребра из W б>дем считать силь-
сильны ми * а остальные ребра U — слабими, задача сводится к нахо-
нахождению множества сильных ребер, совместимого с функцией /(х)
и обладающего наибольшим числом элементов
Эта новая задача имеет некоторою аналогию со след>ющей за-
задачей уже рассмотренной в гл. 11 для заданного ориентирован-
ориентированного графа найти частичный граф с наперед заданны ни полу-
степеняма вершин Однако на этот раз мы не станем применять
теорию наибольшего потока а воспользуйся другим средствоv
каким является теория чередующихся цепей
Замечание Задача, которой мы занимаемся, представляет собой
линейную программу В самом деле, положим bi=^f(xl) и обозна-
обозначим через (г*.\ матрицу ипциденций л^я ребер Ищутся такие целые

190 Г Л IS П\РОСОЧЕТЛПИП ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
числа lj, равные единице дчя сильных ребер и; и путю для слабых
ребер что
0<?,< 1 О-1, 2, , т),
т
2 К;,</>, (/ = 12, . , п),
т
с принимает наибольшее значение
Однако эта линейная программа требует решения о целых числах,
а еаинственное средство которым мы располагаем,—а люрифм Го мори
(см. сноску в п 4) — едва ли можно считать удобным Напротив,
необычайно простой „графический" атгорифм позволяет нам легко
находить решения.
Образуем мутыиграф О (W) С1роя сперва О добавляя затем
начато а и соединяй его с каждой ненасыщенной топкой х г е. с такой
вершиной х для которой rf^(W)</(x), при этом а с х соединяем
сильными ребрами в количестве /(х) — tf^-(W) штук Ести построен-
построенный мультиграф O(W) содержит черед}ющ>юся цепь идущую из а
образно в а, ю достаточно сделать слабые ребра этой цепи силь-
сильными, а си 1ьные—слабыми, чтобы получи и, новое совместимое мно-
множество, более многочисленное чем предыдущее Ниже мы увидим,
что совместимое множество W которое иетьзя более увеличить
таким способом, явчяется наибольшим
Лемма, Пусть 7/ —се чейство совместимых множеств для
которых не существует чередующихся цепей, иоущих из а в а,
если U?^ ?73P, a W2 — произвольное сов мести иое множество, та-
такое, что WtcW2 то W, =^ W2
Действительно к случае VJ2z>zd\Mx сущеивовало бы ребро
[х >']^W2\Wj и, очевидно в G (Wx) вершины х и у были бы не-
ненасыщенными, поэтому вершина а была бы достижима по чередую-
чередующейся цепи [а, х\-\-[х у] -Ь [у, «] что невозлюжно так как Wj?#\
(Отметим, что это рассуждение сохраняет сипу и при х = у)
Теорема Бержа— Нормана — Рсйбина Совместимое
множество Wo является наибольшим тогда и только тогда,
когда не существует чередующейся цепа, идущей из а обратно
е а1)
1) Приведенное здесь общее утверждение включает одновременно как тео-
теорему Бержа [1] так и теорему Нормана — Рэйбина [5]; идея настоящего до-
доказательства принадлежит Рэйбину

частичный граф с заданными степенями 191
Достаточно доказать что ее пи совмесчимос множеово Wo при-
надтежит определенному выше семейству W ю это множество —
наибольшее С этой целью рассмотрим наибо |ьшее ювместимое мно-
множество Ww и выберем его таким чтобы чисто IWqXW^I было
как можно меньше; если IWqXW^I—O to WccWw откуда в силу
леммы W0 = W^ и наша цечь достигнута. Поэтому предположим
| Wo \ WAJ | > 0 и покажем что это предположение приводит к про-
противоречию
1е Среди ребер графа О инцидентных данной вершине х,
имеется не меньше принадлежащих W^ \ Wo, чей принадлежа-
принадлежащих W0\WAJ. Действительно, в лрояивном случае мы имени бы
Если и = [ v у] ? Wo\ WM> то существ}ет ребро v~[>>, z\? WM \ Wo
(иначе WWU[«* У\ было бы совместимым множеством, более много-
многочисленным чем Ww), множество W/ = (WjW \ (v) )U (u[ —совмести-
—совместимое ибо
Поэюму оно является наибольшим совместимым множеством
(так как |W/|^JWAI|), wo аго невозможно, поскольку
2е Не существует простых циклов четной длины, ребра (Со-
торы v попеременно принадлежали бы Wo \ WvW и WM \ Wo, ибо
если рь — такой цикл, то множество W = (W^ U u) \ (W^, П р-) со-
совместимо и в силу равенства |W'| = |WM| нвляется наиботьшим
совместимым множеством, что невозможно, так как
|W0\W'|<|Wd\W,,tl
3° П}сп, |x^(u,, u2, . , ил) — самая длинная простая цепь,
ребра которой попеременно принадлежат W^XW^ и WM \ Wo,
и пусть х0 и xk — крайние точки этой цепи, допустим сначала, что
х0 Ф xk Бвид> 1° оба крайних ребра и, и ий принадлежат W^ \ Wo,
Откуда

192 ГЛ 18 ПАРОСОЧЕтАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
Следовательно, в O(W0) есть чередующаяся цепь {a, xQ] ~f-
-j-pi[*0, хк]-]-[хк, а] идущая из а обратно в а. вопреки предпо-
предположению.
4° Б случае xo^xk из 2° ясно, что крайние ребра jj. не могут
принадлежать к разным категориям, значит оба они входят
в W^XWp1), следовательно,
dx, {Wo)< d Л Wjm) — 2 < / (дго) - 2
Поэтому существует не менее двух сильных ребер, соединяю-
соединяющих ас хо> и значит имеется чередующаяся цепь, идущая из а
обратно в а, вопреки предположению
ЧИТЯ
Алгорифм для нахождения наибольшего совместимого мно-
множества. Отнеся к числ} сильных возможно больше ребер строим
некоторое совместимое множество W, для построения наибольшего
совместимого множества выясняем имеется ли в G{W) чередующаяся
цепь, идущая ни в й; процесс состоит в следующем отправившись
из а, идем по чередующейся цепи как можно дальше отмечая стрел-
стрелкой каждый шаг этого путешествия Когда его невозможно более
продолжать возвращаемся (стирая стреми) к ближайшему развет-
разветвлению и выходим в y овом направлении
Пример 1 В тюрьме города Ny план которой помещен ниже,
каждый часовой обходя коридор [х. у\, должен все время иметь в поле
зрения две камеры х и у располо-
расположенные в концах коридора, какое
наименьшее количество часовых не-
необходимо для того чтобы каждая
камера находилась под набчюде-
нием?
Если, следуя Норману, назвать
покрытием графа (Л", U) такое мно-
Рис 18—2 жество ребер VcU, что каждая
вершина х?Х инцидентна хотя бы
одному ребру из V, то задача сведется к нахождению наименьшего
покрытия Множество V является покрытием тогда и только тогда,
когда множество W = U \ V удовлетворяет условию
Определяя указанным выше способом наибольшее множество W,
совместимое с этим неравенством, мы найдем наименьшее покрытие
1) В противном случае, как легко показать, мы вернулись бы к случаю
—Прим пере в

ЧАСТИЧНЫЙ ГРАФ С ЗАДАННЫМИ СТЕПР-ЦЯЧИ
V = U\W, для ;рафа, изображенного па рис 18—2, наименьшее
покрытие содержит 5 ребер т е достаточно пяти часовых
ьр 2 (Pot [7]) Задача о нахождении наименьшего покрытия
возникает еще когда для какой-нибудь ретейной системы или кон-
контрольного устройства желательно составить наиболее гростую экви-
эквивалентную схему. Более конкретно рассмотрим электрическое реле,
управтяемое тремя кнопками Л, В и С,
причем положения реле описываются 1ремн
переменными гА> вв гс: полагаем гл = 1
когда кнопка А нажата, и s,4~0, когда
она не нажата и т д Каждом} вектору JG
9=.(sA, гв, сс) с координатами 0,1 (то
есть каждой вершине единичною куба
в трехмерном пространстве R3) поставим
в соответствие число
- (е) — ? (г
«с)»
равное 1 ее пи реле пропускает юк и
равное 0 в противном случае Ищется
такая последовательно-параллельная схема
вляечыми кнопками Л, В и С, что
В
Л
000
Рис
с выкчючатегшми упра-
Рис 18-4
1° схема эквивалентна данном) puic т. с, она проводит ток,
когда ф(?4 сд гс)^1, и не проводит при f(s^ eB, sc)--0;
2° каждая иетвь содержит два выключателя;
Зи число петвей насколько возможно мало 5)
Задача с подите я к изучению графа О образованного вершинами г,
для которых j(s)= 1 прячем две такие точки соединены, когда они
*) Эту задачу можно nocrauiiih в гораздо более общем вмлс в терминах
б>левой алгебры- она известна под именем „задачи Куайна" (см. GJ)
YS К Fop)!

1у4
П Ib ПАРОСОЧЕТАНИБ ПРОИЗВОЛЬНОГО I РАФА
являются соседними вершинами единичного к}ба, ищется наименьшее
покрытие (рис. 18 — 3) Допустим что ток проходит при е —000,
010, 011 111 101 100, граф О обладает наименьшим покрытием
из ребер ( 00), A 1), @1 ), откуда получается искомая схем<1
(рис 18—4)
(Читатель может проверить, что в шести дапныч по-юлениях юк
проходит, а в остальных не проходит )
Совершенное паросочетание
Пусть G = (X, U)—граф, в котором как прежде ребра делятся
на сильные и слабые причем множество сильных ребер обозначается
через W Говорят что W есть паросочетание ести никакие два
сильных ребра не смежны.
Вершину х на^оием ненасыщенной, если она не инцидентна ни-
никакому сильному ребру, а случае когда ненасыщенных вершин нет,
17аросочетапие называется совершенным Первая задача которую мы
можем поставить, состоит в выяснении дчя каких i рафов наибольшее
паросочетание являося совершенным
Пример 1 Задача об урезанной шахматной доске Из шахмат-
шахматной доски 8 X 8 удалены две противоположные угловые клетки,
как показано на рис 18—5 (слева^ Допустим кроме того чго у нас
. —
\
-
1 ,
t
> <
Ьрезаниоя шахматная доска
Максимальное аоросочвтание
соответствующего графа
Рис 18—5
ccib 31 кость домино каждая из которых может покрыть ровно
клетки шахматной доски Задача состоит в следующем- можно -си
покрыть 31 костью все 62 клетки урезанной шахматной доски?
Эта задача сводится к нахождению наибольшего паросочетания
графа, вершинами которого служат клетки урезанной доски, причем
соединены те пары вершин, которые отвечают соседним (по гори-

COBEPLUEHHOF ПАРОСОЧЕТАНИС 195
зоптали или по вертикали) к теткам (рис 18—5 справа), легко виде!ь
что это паросоче:аиие не является совершенным, поэтому покрыть
урезанною доску ненозможно Го же можно доказать простым и
изящным рассуждением, новее не пользуясь теорией ларосочетанни
окрасим клетки попеременно в белый и черный цвета (как у обыч-
обычной шахматной доски) и заметим, что обе удаленные клетки имсЮ1
одинаковый цвет, каждая кость домино необходимо покрывает одну
белую и одну черную клетку, поэтому 31 кость вместе должна по-
покрыть 31 бе чую и 31 черною клетки, что противоречит нашему за-
замечанию
Пример 2 Известную задлчу названною Люка (С Lucas) „про-
гут кой молодых, девушек", можно сформулировать так если известны
взаимные симпатии воспитанниц женского коллежа то как органи-
организовать прогулку парами, чтобы каждая пара состояла из симпати-
симпатизирующих друг другу девушек^ В каких случаях задача разрешима?
Если Х= {х1г х2, , xaf обозначает воспитанниц, a \xi Xj) ? U
тогда, когда девушки х{ и х( испытывают взаимную симпатию то
задача сводится к выяснению вопроса о том, с)ществ)ет ли > графа
(X U) совершенное паросочетание,
П}сть G — данный граф, W — наиботьшее паросочетание обра-
образованное сильными ребрами, определим как в предыдущих парагра-
параграфах, граф G(W) добавляя к G точку а и соединяя се сильными
ребрами со всеми ненасыщенными вершинами G
Как прежде если существует чередующаяся цепь, идущая из а
в данною вершину х то на последнем ребре этой цепи рисуем
стрелку направленною к х Вершину х, которая служит концом
некоторого ориентированного сильного ребра, но не является кон-
концом никакого ориентированного слабою ребра называем сильной
и пишем х?Ь, если х является концом ориентированного слабого
ребра, но не является концом ориентированного сильно! о ребра, то
называем х слабой и пишем x?Ft если х служит концом как ориен-
ориентированного си,1ьного ребра, ^ак и ориешированного слабого ребра,
то называем х смешанной и пишем х?М, наконец, вершину х не
являющуюся концом никакого ориентированного ребра называем
недостижимой и пишем х?/ Таким образом, всякая ненасыщенная
точка б)дет сильной или смешанной В G (W) точку а следует рас-
рассматривать как слабою вершину в самом деле, если W — наиболь-
наибольшее паросочетание то из теоремы Вержа^ Нормана — Рэйбина
следует, что вершину а нельзя считать смешанной
Теорема 2 Паросочетание графа G является наибо гыиин
тогда а только тогда, когда не существует чередующейся цепа,
соединяющей две различные ненасыщенные вершины.

196 ГЛ 18 ГТАРОСОЧГТЛНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ГРАФА
Это сраз> след>е1 из теоремы Бержа—Нормана — Рэйбина, ука-
указанное выше )словие выражает, что в графе (/(W) нет чередую
щихся цепей, ид)щих из а обратно в а.
Теорема 3, Пусть W— наибольшее паросочетание, М}—ком-
М}—компонента подграфа порожденного с нешанны ни точка ни 1° В графе
G (W) имеется сильное ребро заходящее в М{ {и то гько заходя
щее), 2° все остальные ребра, инцидентные Мх,—слабые и ис-
исходят из Мх {и только исходят)
1° Так как а—слабая вершила, то а ? /И1 и в сил} теоремы Петер-
сеты— Галлаи, существует одно и юлько од ею ребро, заходящее в Mv
скажем |<\ х0], где с^М} х0 ? /И{
Допустим, чго \с> хо\—-слабое ребро, 1ак как ^ — смешанная
вершина, го существует чередуюиияся цель р идущая hj а а х0 н
оканчивающаяся сильным ребром, эта цепь ;j. необходимо содержит
ребро [с х()] (единственный вход а М{), за которым с лелеет неко-
некоторое сильное ребро, инцидентное х0 причем оканчивается j.t другим
сипышм ребром, инцидентным х0 Но это иевозможио, поскольку
не существует бо.пее одного сильною ребра, инцидентного хь Зна-
чи{ ребро [с хо[ должно быть сильным
2° Пусть [у Ь\—другое ребро инцидентное М1 а такое чю
у?Мг, 6(?Л1Ь в силу теоремы Петерсена — Галлаи, оно необходимо
является ориентированным и исходит из А\{ Далее это исходящее
ребро не может быть сильным, ибо иначе нерщина у, будучи сме-
смешанной, достигалась бы по чередующейся цени, оканчивающейся
сильным ребром
Следствие 1. Если W — наибольшее паросочетание, а Мх —
ко чпонента подграфа, порожденного множеством М смешанных
ьершин то \МХ\^% а \МУ\ нечетно
В самом деле, пусть [с jrD]—сильное ребро инцидентное Мг
1де *0?AJj Имеем \М1\^3" иначе вершина Л"о не бы па бы до-
достижима по чередующейся цепи, оканчивающейся слабым ребром
Так как Mt состоит ин точки л*0 и гзких пар в которых обе точки
соединены сильным ребром, то число |Л1,| печегно
Следствие 2 Если W — наибольшее паросочетание, то
каждая вершина которая смежна с некоторой с мешанной точ-
точкой, но сача не является смешанной, необходимо есть слабая
&ерш,ина.
Действительно если [с д:0] —сильное ребро инцитентное ком-
компоненте М]у причем с^Му х^Мх то, очезщшо, с ^ /, с^Н, i ^ Л1,
значит с ? F.

COrJPPIJlFHHOF ПАРОСОЧЕТ^НШ 107
Точно так же если [х у]— слабое ргбро, инцидентное Мл при-
причем
то х^1, х^Е, х^М и, следовательно,
Счедствне 3 Бели W — наибольшее паросочетание то
всякая вершина г нежная с сильной вершиной является слабой
Ести е^Е и ее пи [х е\—сильное ребро ю х?/ (как гранич-
граничная точка ориешироилтого ребра), x(J^b (иначе вершина е была бы
смешанной^, х ^ М (в си-iy стедсюия 2), поэтом} х ? Г
Ьсгш же [хг ^[ — слабое ребро то х^-I х ^Ь, х ? М (в сит>
слетствил 2), значит а:
Теорема 4 Пусть W - наиб о 1ъшее паросочетание, а /, —
компонента подграфа порожденного недостижимыми точками
Тогда все робра инцидентные 1]у—слабые и неориентированные,
всяыия тояыа t^lv с иежнал с некоторой точкой из i{ является
слабой вершиной \/{\ четно и ^|^>2
1° Есш [с, х] — ребро шщииентное /:, причем x^f^ то с^М,
с(^1, c(rll (ввиду следствия 3), поэтому с?/ и ребро [с х]—слабое
2° 1{ не содержит ни а ни ненасыщенных ючек значит это мно-
множество образовано парами в которых обе вершины соеаин-сны силь-
сильным ребром- поэтом} число |/:| четно и не меньше 2
Теорема 5 (Татт [8[ в общем виде, Берж [2]) Пусть даны
связный граф G = (X, U) а некоторое множество S его вершин,
обозначим через р{ (S) число компонент нечетного порядка у под-
подграфа порожденного мноэ1сеством X\S, тогда количество не-
ненасыщенных вершин при наибольшем паросочетанаи графа G
равно
1= max ip (S)—IS|1
Sczx
Г Рассмотрим множество 5с:А' и пусть С1 С2, Ср — ком-
понеН1ы нечетною порядка ) подграфа порожденного множеством
X\S Если компонента Ск не содержит ненасыщенных вершин, то
(тзе^ как |СЛ| нечетно) существует сильное ребро, один коней
которого находится в Ck, a другой — в некоторой точке sk ? 5,
двум различным компонентам Ск соответствуют две разные вер-
вершины sk, поэтому, обозначая через п0 число ненасыщенных вершин,
будем ичегь pi(S) — % < (числу компонент Ск не содержащих
ненасыщенных 1Очек)<^(«$| Отсюда
Т Покажем что для надлежащим образом выбранного мно-
множества S имеет место равенство р(($) — |S|^/iy Тем самым тео-
теорема б)де! доказана.

193 Г Л 18 ПАРОСОЧЕТАНИЕ ПРОИЧПОПЬНОГО ГР^Ф\
Пусть W — наибольшее паросочетание, F — множество слабых
вершин графа G В сил} теоремы 3 и следствий 1,2 3
pt (F) = (числу компонент Л1,)-г-|?|.
Далее сильные ребра графа О устанавливают взаимнооднознач-
взаимнооднозначное соответствие ме^кду множеством F с одной стороны и множе-
множеством компонент Mj, не содержащих ненасыщенных точек, и мно-
множеством насыщенных сильных точек —с друюй, поэтому
F | ¦=* (чис лу компонент Mj) -\* \Е\ — п0
Отсюда
Следствие 1. Число ребер наибольшего паросочетания
в точности равно
\ in — I),
где
Л
SCZ.X
(Непосредственно).
Следствие 2 (теорема Татта) Для того чтобы граф допу-
допускал совершенное паросочетание необходимо и достаточно,
чтобы
pt(S)^\S\ Ec/)
(Непосредственно,)
Пусть h — целое неотрицательное число, граф называется одно-
однородны ч графом степени h если каждая его вершина имеет сте-
степень h, в случае когда О — однородный граф, получаем гораздо
более iipocibie предложения
Теорема б Fcau связный однородный граф степени ft не
содержит такого множества 5сс/ кто |05|<А—1 то
существует совершенное паросочетание 1)
Действительно пусть «S — подмножество X (в строгом смысле),
и пусть компонента Сл полграфа порожденного множеством X\S,
обладае! нечетным числом элементов Согласно предположению
|Uc,|^>u—1, но не может быть | Uc, | = Л — 1, так как в против-
противном случае число ребер в Сг было бы
') Через U^ обозначается множество ребер инцидентных S, ) каждого
из которых одна грапнчлая точка не принадлежит 5 —При-и ред

СОВЕРШЕННОЕ ПАРОСОЧЕТАНИЕ
т. е., поскольку |Cj| нечетно оно в* было бы целым числом Следо-
Следовательно | Ue, I >¦ Л откуда
|
ft
Таким образом, pt(S) ^.\ S\ для веек ^ссА' это неравенство
имеет место и при S — X следовательно в силу теоремы Татта,
граф допускает совершенное паросочетание
Лемма [Эррера (\ Епега)] Fciu однородный граф нечетной
степени h — 2k -\- 1 не содержат множеств SczaX для кото-
которых | Vs | < 2k и ест W — наибольшее паросочетание образо-
образованное сильными ребрами, то каждое ребро и0 принадлежит не*
которому простону циклу состоящему поперемрнно из сильных
и слабых ребер
Вследствие 1еоремы 6 паросочетание W — совершенное, доста-
достаточно показать, что каждое слабое ребро принадлежит чередую-
чередующемуся цикл) (так как toi т,а сильное ребро б)дет принадлежать
тому циклу; на i<oiopo\i лежит смежное с ним слабое ребро)
Допустим что слабое ребро и0 не принадлежит никакому чере-
чередующемуся циклу если стянуть и0 в точку я то в полученном
графе G не б)дет чередующихся цепей, идущих из а обратно d at
и вершина а б) дет поэтом} саабой
Далее, в сил\ теоремы 3, дня компоненты Mf подграфа порож-
порожденного смешанны ми точками имеются одно заходящее и нее силь-
сильное ребро и исходящие из нее слабые ребра причем число послед-
последних четно (ибо после удаления сильных ребер каждая компонента
связности HOBOi v графа будет обладать эйлеровым циклом), так как,
согласно предположению | U/ц | ^ 2k, то чожно тзкже утверждать
что имеется по крайней мере 2k слабых ребер, искочящих из Мг
Если каждую компоненту Mf стянуть в ситьную вершину, то
полученный граф уже не будет содержав ребер, ориентированных
в двух накрав тениях, количество слабых ребер, исходящих из силь-
сильной вершины будет > 2Л, а количество слабых ребер, заходящих
в слабую вершину, будет .^ 2k Подсчитывая теперь число сильных
ориентированных ребер полученного графа О в зависимости о г
числа |Я| его ситьных кершин а затем от числа ' FI его слабых
вершин пайЧем
\F —|— 1 ^ (чис ту ориентированных сильных ребер) =i | ?|.
Поступая ючно гак же с ориентированными слабыми ребрами
получим
— 1К> (чиспу ориентированных слабых ребер j ^ 2k\E\
Но эти два неравенства несовместимы, поэтому лемма доказана

2D0 it is и\росочртание произвольного граф\
Теорема 7. Ьсли связный однородный, граф нечетной сте-
степени h=~ 2k-\-l не обладает множеством SacX для которого
\US\ < 2& то существует совершенное паросочетание, содержа-
содержащее произвольное наперед заданное ребро uD.
Действительно в силу теоремы 6 смцрств^ет совершенное ларо-
сочетание W; еспи ребро и0—сильное то теорема аоказана Рели
и0 —слабое, го рассмотрим чередующийся цикт |1 проходящий че-
через щ\ наличие такого цикча обеспечивается предыдущей леммой.
Заменив сильные ребра цикла ja слабыми, а слабые сипьными,
пол>чим ноное совершенное паросочетяние, содержащее и0
Ч. И Т Д.
Приложение к числу внутренней устойчивости
Теори{ паросочетания дает нам алгорифм д |Я построения внут-
внутренне устойчивоз о множества 5 с наибольшим числом элеметов !),
Л?1Я краткости вместо „внутренне устойчивое" будем здесь говорить
просто „устойчивое"
Лемма 1 Пусть О — граф W—наибольшее паросочетанае,
если гриф О не имеет других вершин кроме сильных и слабых,
то сильные вершины составляют его наибольшее устойчивое
множество
Рассмотрим множество Е сильных вершин (оно содержит нена-
ненасыщенные вершины) и множество /-' слабых вершил. Множество
С с: А' служит опорой графа G ее ш каждое ребро имеет по край-
крайней мере одн> граничную точку в С, дополнение опоры есть устой-
устойчивое множесто и паоборО! Сели W — некоторое наросочетание,
С — некоюрая опора, то всегда
Поэтому сети данное паросочетапие W и данная опора С }ло-
метьоряют условию jW| —jC|, то паросочетание — наибольшее,
а опора — наименьшая Так как в О две сильные вершины не могут
быть смежны (следствие 3) то множество F служит опорой Раз
W — наибольшее паросочетание, то всякая точка из F является гра-
граничной для некоторого ситьного ребра идущего в F, значит \F \ — | W|
и F — наименьшая опора.
Следовательно дополнение E — X\f* представляет собой наи-
Сотьшее \стойчивое множество
Лемма 2 Пусть W— наибольшее паросочетание графа G,
при котором нет других вершин кроме сильных и слабых^
в графе О', полученном из G удалением сильной вершины е вместе
!) Для нахождения числа внутренней устойчивости и других связанных
с ним характеристик t рафа существует еще рекуррентный способ (сп [9]) —
Прим пере в

чисчо
устойчивости
201
F
с инцидентными ей ребрами множество Е\\е\ яв гяется наи-
наибольшим устойчивым множеством
В самом деле F служит опорой подграфа G' полученного >да-
лением сильной вершины е, покажем, 4H зло — наименьшая опора
(тем самым будет доказало, что В \ [е\ =^ К' \ F ннчяегся наиболь-
наибольшим устойчивым множеством гра-
графа G)
Доп)С1Им сперва ito точка е— на-
насыщенная и пусть [е, /]—сильное
ребро, инцидентное i, тогда W\[? /j
представляет собой паросочетание С
но уже не наибольшее &нид\ теоремы 2
так как имеется чередующаяся цепь
идущая из начала а в ненасыщенную
точк\ / Поэтому наибольшее паро-
паросочетание W графа G' ^удовлетворяет
условию jW'l --^ |W]
(Если точка е— ненасыщенная го ? *¦
W— наибольшее паросочешше и снова р п с jg ^
Так как для паросочетания W и опоры F имег* место равенство
[W'| =^ \F\ то F —наименьшая опора графа G'.
ч и т д
Лемма 3 Пусть граф G' получен из G добавлением новых
ребер, тогда числа внутренней устойчивости этих графов
удовлетворяют условию a(G')<^a(G)
В самом деле, пусть 5 —семейство устойчивых множеств гра-
графа G, а §;—ana.ioi ичпое семейство для Gf Так как SrczS, то
a.(G')= maxiS]
Теорема 8 (Бсрж [lj). Пусть S(A) обозначает наибольшее
устойчивое множество подграфа, порожденного множеством АаХ,
для наибольшего паросочетания W обозначим через /И,, М2
ко ипоненты подграфа порожденного смешанны чи вершинами,
о. через 1Х /2 — ко ипоненты подграфа, порожденного недо-
недостижимыми вершинами, и положим
Fciu имеется не более одной, ко ипоненты подграфа, поро-
порожденного смешанными вершинами, то S — наибольшее устойчи-
устойчивое множество графа О =(Л\ U)
В самом деле, каждая вершина смежная с сильной вершиной,
является слабой (следствие 3) как и любая вершина, счежная с воз-
возможной компонентой Мх (следствие 2), и как всякая вершина смеж-
смежная с компонентой /^ (теорема 4), позтому S — устойчивое множество

202
П 18 ПАРОСОЧНАНИЕ [И'ОИЧНО ИНОГО ГРАФА
Дааее ести )далить «се ребра соединяющие слабую вершину
со смешанной или с недостижимой то i раф О распадается на ком-
компоненту
M, L 12
М,
Рис 18—7
Е представляет собой наибольшее устойчивое множество компо-
компоненты E\}F, потому что если из G удалить все Ik и стянуть ком-
компоненту М{ в одну точку e]f то ноешй граф не будет иметь других
точек, кроме слабых и сильных, и можно применить лемму 2 Та-
Таким образом <? является наибольшим устойчивым множеством не-
несвязною графа Восстанаялиная теперь ребра удаленные при преоб-
преобразовании графа О мы не увсли-
ef чим числа пнутренней устойчивости
,' (лемма 3), но 1ак как 5 остается
устойчивым и в О, то оно — наи-
наибольшее устойчивое множество
Замечание 1 Это утверждение
х сохраниет силу и при наличии не-
', скольких компост нодтрафа по-
; рожденного смешанными точками,
Рис 18—8
если только никакая компонента Mt
не достижима по такой чередую-
чередующейся цепи, которая предварительно
>же пересекла некоторую компо-
суще-
поки-
покин MJ}
ненту Mk. В случае когда
ствуст чередующаяся цепь |j
дающая Мк до вступления
надо посмотреть может ли увеличиться устойчивое множество S от
замены сильных точек |1 слабыми
Например, в графе изображенном на рис 18 — 7, между компо-
нентами Л12 и
А12 имеется слабая точка, и, очевидно, можно путем
добавления ее к S образовав большее устойчивое множество (вер-
(вершины которого на рис 18 — 7 обведены кружками)
Замечание 2 Для определения наибольшего >стойчивого мно-
множества в компоненте /IL или /к можно также с пользой применить
теорему 8 и предшествующие леммы. Достаточно добавить ненасыщен-
ненасыщенную точку целесообразно соединив ее. или разбить подходящим
образом выбранное слабое ребро как видно m следующего примера.

ЧИСПО ВШИТЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ 203
Примср Рассмотрим граф О, изображенный на рис 18 — 8 с наи-
наибольшим паросочетанием W Замечаем, что этот граф не имеет
ненасыщенных точек поэтому все ею вершины недостижимы Тем
не менее добавим точку г и ребро \е, а] и положим К — Л'и \е\
Подграф порожденный множеством К \ М{, не имеет других
точек кроме сильных и слабых, значит вершина е вместе с тремя
нершинами „?"" образ\ег наибольшее устойчивое множество В any
леммы 2 подграф, порожденный множеством Х\МГ имеет в ка-
качестве наибольшего устойчивого множества три вершины „?""; по-
поэтому граф состоящий из двух не связанных между собой компо-
компонент Х\А/11 и М] имеет четыре обведенные вершины в качестве
наибольшего усгойчивого множества В сил> леммы 3 эт же вер-
вершины образуют наибольшее )стойчивое множество графа О.

Г Л \ В Л 19
Фактороиды
Гамильтоновы циклы и фактороиды
В конечном графе G га чи гьтояоба цепь — это цепь проходящая
через каждую его вершину один и только один раз; гамильтонов
цикл — это цикл проходящий через каждую вершину (за исключе-
исключением начальной в&ршипы которая совпадав с конечной), один и
только один раз
Заметим, что если каждое ребро графа ориентировать в депх
налратениях превратив тем самым О в симметрический граф, то
каждая гамиитонова цепь будет опредечять гамильтонов путь и
наоборот, а каждый гамильтонов цикт
определи г гамильтонов конт>р, и наоборот
Задача нахождения гамильтоновой цепи
и in гамильтонова цикла была изучена ра-
ранее (гл 11), и мы можем к ней не возвра-
возвращаться Напротив ми сталкиваемся с но-
новой задачей когда ищем и графе О -^ (X, U)
некоторый фактороид. г е частичный
Рис. 19—1 граф (X V) все вершины которого имеют
степень 2 (и который следовательно со-
состоит из одного ити нескольких непересекающихся циклов) Сим-
Симметрический граф ииеющай факторы, может в то же время
не обладать фактороидами> чтобы в этом убедиться 1остаточно
рассмотреть iраф. изображенный на рис 19—1 дуги, проверенные
жирными -шниями образуют фактор а фактороидов ) графа нет.
Поиски фактороила ведутся как указано в гл 18 посредством рас-
рассмотрения чередующихся цепей ю сичьныхи слабых ребер межд} двумя
ненасыщенными вершинами; мы ограничимся установлением простых
критериев для непосредственного выяснения существуют ли факто-
фактороиды. Займемся также определением наибольшего числа фактороидов
без общих ребер которые можно выявить в заданном графе Сначала
ограничимся однородными графами степени h
Пример 1 [Киркман (Knkman)J Одиннадцать министров ежедневно
садятся за круглый стол; как ик рассаживать если желательно
чтобы каждый из них имел на каждом совещании новых соседейjj
Сколько аней може-i эю цродочжаться?

ГАМГПЫОНОВЫ ЦИКПЫ И ФАКТОРОМ
Задача сводится к ошскапию наиботьшего числа гямильтоновых
циклов без общих ребер в полном графе с одиннадцатью вершинами
а Ь с , i j, k В данном случае, как легко вилсть суще-
ciByer только пять циклов без общих ребер например
abcdefghijka,
acebgdifkhja,
aegcibkdjfha
agiekcjbhdfa,
aikgjehcfbda
Эти циклы пол} чаются вращением липни, проведенной на рис. 19-2,
в направлении стре юк В более общем случае 2п -j- 1 вершин можно
найти п гамитмонозыч циктов без общих ребер.
2 [Люкй (Е, Lucas)] Шесть юношей a b с d e f
v шесть девушек а Ь, с, d, e, f водя! хоровод взявшись за руки
Сколькими способами могут они
стать в круг, если каждый юноша
хочет ташшшь рядом с кажаой из
J
с
Рис 19—2
Рис 19—3
девушек только один раз и не хочет ни раз) оказаться рядом
с другим юношей?
Задач! сводится к нахождению наибольшего числа гамильтоновьх
циклов без общих ребер у некоторого бихроматического графа
с двенадцатью вершинами Имеется три цикла без общих ребер:
aabbceddeeffa
acbdcedfeafba
aebfcadbecfda
Эти циклы получаются вращением линии, npoReпенной на рис 19—3,
вместе с буквами ннешней окружности теория покажет нам, что
ни гамичьтоновых циклов без общих ребер, ни факторомдов без
общих ребер больше найти нельзя

206 Г Л 19 ФАКТОРОМ ДЫ
Пример 3 Aильберг) Рассмотрим начальные чииаа р^у где
* <С п> J ^C n> t <С J и образуем функцию п комплексных переменных
f(zv z2 , t гя) = Ц (zt - z/iJ
В теории инвариантов Гильберт) понадобилось раяложить /
в произведение примитивных сомножителей каждый из которпч
можно предстапшь п пиле
где (i] i2, . , Ln) — некоторая перестановка ^исет A,2, . п).
Чтобы выяснить возможно чи такое разложение образуем муль-
тиграф О с л вершинами хх х2 . хп соединяя вершины
xt и Xj (где i < j) ребрами в количестве р^ шт>к; задача сводится
теперь к разложению О на фактороиды без общих ребер
Теорема 1 [Петерсен (J Petersen)]. Однородный граф четной
степени h — 2k ее егда можно разложить на к фактороидоз без
общих ребер
Действительно мы можем считать граф связным (в противном
случае нужно было бы рассмотреть каждую компоненту отдельно),
в силу теоремы 1 (г л 17), граф об via дает эйлеровым циклом Ориен-
Ориентируя каждое ребро в направлении обхода мы получим псевдосим-
ыетрический граф G', у которого пол^степени исхода и захода каждой
рершины равны k В силу следствия из теоремы 2 (гл 11), G' можно
разложить на k факторов, которые и будут фактороидами первона-
первоначального графа
Теорема 2 [Бэблер (Baebler)J Однородный граф нечетной
степени п = 2k -\- 1 содержит k фактороидоъ без общих ребер
если
min
Это условие достаточно, но не необходимо1)
В самом депе, в этом случае граф допускает потное паросоче-
тание (теорема 6 гл 18). Ребра не участвующие в паросочетании,
образуют однородный частичный граф степени 2k который, в силу
теоремы 1, может быть разложен на k факюроидоз беч общих
ребер
Ч И Т Д.
') Обобщая этот результат, Бэблер доказал [1] однородный, граф не-
нечетной, степени h = Ik -J- 1 содержат q фактороидов 6ej общих ребер
{где q ^ к), если
rain
la

ГА^НЛЬТОНОВЫ НИКЛЫ И ФАКТОРОМ 1Ы 207
Пример. Сколькими способами 2? ^f 2 детей могут составить один
и.ш несколько хороводом так, чтобы никакие дети не были соседями
более одного раза? Эта задача сводится к отысканию количества
факюроидов без общих ребер у полного однородного графа сте-
степени Ik -р-1 Так как н данном счучае |U5J ^2k го имеется k воз-
возможных способов
Нас в особенное ги бучут ишересовагь фактороидц однородных
графов степени 3 (нвиду той исключительной роли, которую они
играют в „задаче о четырех красках") Прежде всего заметим, что
однородный граф G степени 3 без петечь является 4-хроматическим,
потом} что будучи симметрическим графом, О допускает функцию
Грашш g (х) причем
тач g (х) <^ max |Гл; | =-3
Теорема 4 (гл 4) показывает тогда, чю ею хрома 1ическос
число f (G)<3+1 =4.
Л что можно сказать о его хроматическом ьласее? Огзсг с\ще-
стветю зависит от наличия факюроии. Всякий раз, koi д.а G имеет
факторои i V он допускает также соиершенное паросочетание
W = U \ V (и наоборот); будем считать ребра V слабы ии, а ребра
W — си 4ьны ми Назовем перешейком связного графа всякое такое
ребро удачение которого приводит к появлению днух компонент
(каждая из которых содержиз хогя бы от.но ребро) Имеет место
Теорема 3 Рассмотрим однородный град) О степени 3 без
перешейков, 1° его ребра можно распределить по фактороид). V
и совершенному паросочетанию W, 2" через каждое ребро и0
проходит некоторый чередующийся цикъ четной длины (ребра
которого принадлежат попеременно V и W)
Первое утверждение сразу следует из теоремы 2, второе—из
леммы Эррера (гл 18)
Прямое доказательство утверждения 2° (для памяти)
Рассмотрим сначала слабое ребро и() = [х0 у0] ? V и построим,
отправляясь от G новый граф G поместив в середину рьбра [х0 yoj
новую вершину «0 и соединив ее сильным ребром с началом а. Если
ориентировать ребра в направлении чередующихся цепей, исходящих
из а то около точки #0 граф G будет иметь вид показанный на
рис 19-4 (так как по предположению, и0 не иходиг ни и какой
четный чередующийся цикл) Каждая вершина графа С/ принадлежит
к одному из 7 типов изображенных на рис 19^—4, обозначим
через пк число вершин типа к В силу теоремы 3 (гл. 18) я, равно
числу компонент М- смешанны к точек; ввиду отсутствия перешеикои
каждая компонента /И, имеет хотя бы один выхог Число слабых
ребер, инциденты к Л1;1 четно (потому что, войт.я по какому-нибудь
из этих слабых ребер н не проходя других ребер, кроме еии. не

208 1Л to ФЛКТОРОИТ.Ы
пройденных стабых мы наверняка выскочим' m \] ) Поэтому
число п7 компонент М; удовлетворяет условию
(О
Сосчитаем чисто Слабых ребер G ориентированных только r одном
направлении
B) п2 -^ 2я6 = 2пА +п- + 2
Сосчитаем число сильных ребер G, ориентированных юлько
IS OT.HOM НсШрТВЛСНИИ
C) 1 -L- пп -1- п^ = 1 -|- пА -1- п7
Вели 1ч ({) прибалть B) умноженное па —1 и C) }множенное
на 2 то получим п2 -С — 2 чго невозможно
П2
->-*-
Рис 19 -4
2 Сильное ребро их необходимо принаалслиг нскоюрому черс-
чуготемуся циклу, ибо ввщу Г через ребро, смежное с Uj проходит
чередующийся цикл (содержащий ребро и,)
Следствие Если G — однородный граф степени 3 и без
перешейков, то. 1° существует совершенное паросочетаяие,
содержащее произвольно выбранное ребро, 2° существует факто-
фактора ид, содержащий два произвольно выбранных ребра
1° Бели и0 - слабое ребро при некотором паросочетании W, то
рассмотрим чередующийся цикл и проходящий через и0, тогда
W = (W \ a) U (ji \ W) представляет собой соаершенное паросоме-
танис содержащее ребро иц.
2J Рассмотрим дна произвольно заданных ребра щ и и2 и пре-
превратим граф G в G{, добавляя вершину а, и середине и,, вершину а2
в сере тине щ и соединяя а} с а2 ребром и0 Тогда G'—однород-
G'—однородный граф степени 3 без перешейков поэтому он облагает совер-

1ЛМИ>11эЮН0ВЫ 1ДИКНЫ И ФАКТОРОИДЫ 209
шеиным ттаросочсгапнем содержащим и0 С тбые ребра образую!
тогда фактор о ид, со держащий u, и и2
Теорем з 4 (Пстерсен—Эррера) Сели в однородном графе G
степени 3 все перешейки расположены на одной и той же эле-
элементарной цепи, то существует фактороид
Действительно, при удаления в сел перешейков граф G pic па дается
на непересекающиеся компоненты С, D и т д, каждое из множеств
l)L Up, . > состой i ну одною или п.в\х перешейков G
Допустим что Uc состоит из двух перешейков v и w и рас-
рассмотрим подграф порожденный множеством С, оба ребра dioio
подграфа смежные с v соединим в одно удалив при этом их
обш\ю вершину; то ас проделаем с дпумя ребрами, смежными с w
Новый граф будет однородным степени 3, и в силу предыдущего
следствия можно построить его факторен т. содержащий составные
ребраl) Таким способом мы образуем фактороиды г$сех компонент
С, D . и ноаучим фактороид графа G.
Теорема 5. Однородный граф степени 3 относится к хро-
хроматическому классу <^5, этот, класс ^4 если не существует
перешейков или если все перешейки принадлежат одной и той
же элементарной цепи он < 3, если существует гамигьтонов
цикл.
В самом деле рассмотрим однородный граф G степени 3 и на-
наибольшее паросочьтапие ребра которого окрасим в первый цвет
Если имеются ненасыщенные точки то т.ля каждой такой точки вы-
выберем некоторое инцидентное ей ребро и окрасим оыбранные ребра
do второй иве г После этою останутся неокрашенными только ребра
непересекающихся элемента pi ibix путей и циклов для окраски кото-
которых очевидно, достаточно трех цветов
Если все перешейки лежат на одной элементарной цепи го,
в силу предыдущего результата, не с>ществ)ег ненасыщенных точек
поэтому достаточно 4 цветов
Ьсли имеется гампльтонов цикл то он обладает четной длиной
(потому что число ребер равно Зл/2 и поэтому число вершин п
необходимо четно)? таким образом двух цветов достаточно для
окраски ребер гамильтонова цикла, а трех-—дчя окраски всех ребер
графа
{) При соединении двух ребер в одно граф переходит, вообще говоря,
в мультиграф (см рисунок) Однако вес утверждения, па которые опирается
доказательство теоремы 4 справедливы и для мультиграфов.—Прим перев.
14 К

210
Г Л 19 ФАКТОРОМ ДЫ
Слетуе» отметить, что произиолышй однородный граф степени 3,
даже если он не содержит перешейков не всегда обладает 1амиль-
тоновым циклом: см например граф. изображенный иа рис 19 — 5
(который относится к хроматическому классу 3)
Следствие [Смит (С.Л.В. Smith)) В однородном графе
i те пени 3 число гамильтоновых циклов, начинающихся произ-
произвольно выбранным ребром четно
Если гамильто1'Овых циклов нет, то теорема доказана, если
ravnтьтонош циклы есть, то граф относится к хроматическому
классу 3 и не имеет перешейков
Будем рассматривать, l одной сто-
стороны, множество всевозможных раскра-
раскрасок тс (г. е. разбиений множества ребер U
на три множества несмежных ребер) и,
с друюй стороны, множество фактором-
дов ja, не имеющих циклов ire чет ной длины
Всякой раскраске тс соответствуют три
фактороида \i{ (тс) ^2 (тс) и [л3(тс) окра-
окрашенных каждый Д!зумя цветами, причем
0)
2)
Рис 19—5
Наоборот всякому фактороиду р имею-
имеющем) k^ элементарных циклов четной
длины без общих ребер, можно отнести
ровно 2 ^ различных раскрасок ^ Суммируя сравнения A) по всем
раскраскам тс, получим
Следовательно,
s= 0 (mod 2)
2 р-^0 (mod 2),
откуда и вытекает доказываемый результат.
Необходимое и достаточное условие существования
фактороида
В предыдущем параграфе мы установили простые достаточные
условии существования фактороида, теперь будем искать более силь-
сильные условия
Пусть G — граф в котором треб)ется найти фактороид а(/~
граф, полученный из G следующим образом, кажную вершину л:
из G, дтя которой например
^ju^ u
2,
uk\ з?мепяы\ доумя

УСЛОВИЕ CyiUFCTROBMliiq ФАКТОРОИД\
211
множествами (.оогиегсгвенно из k и к—2 элементов
Y{x)= f^j y2
каждую вершину х( соединяем ребром с каждой вершиной
а каждом\ ребру ul=^[x x;] стаким в соответствие ребро Uy
соединяющее х- ? Х{Х) с некоторой вершиной х' ^ Х(х') (см
рис, 19—6)
и,
G
Рис 10—6
Исключим спучай, когда С? имеет вершину степени 1 так как
в этом случае, очевидно фактороидов не существуем исключим
также случай, когда G имеет вершины степени 2, так как все такие
вершины можно } да лить (соединяя при этом соответственные пары
смежных ребер в одно ребро). Иначе говоря, мы б)дем считать,
что лля любой вершины х
Тогда каждое совершенное паросочетание графа G определяет
некоторый фактороид в G и, наоборот, каждый фактороид графа О
определяет некоторое совершенное паросочетание в G Мы прихо-
приходим к известной задаче охарактеризовать графы G допускающие
совершенное паросочетание
Лемма Обозначай через X множество вершин графа О
и через pi ($) число компонент нечетного порядка у подграфа,
Н*

212 Г Л 19 ФЧКТОРОПДЫ
порожденного множеством X\S, тогда существует множе
ство S, удов отворяющее условиям
@) p.(S)—\$\ = шах^Д/7) — Ifl),
A) Х(а) П S-h 0=ф У(й; с 5.
B)
C)
Мы покажем чго среди множеств $, \доваетворяюишх усло-
условию @), те для которых число |5| — наименьшее удовлетворяют
также усювиям A) B) C).
Имеет место A) допустим, то Х{а)ф8, X(a)[\Si=<Z) Для
некоторой вершины а?Х и рассмотрим какую-нибудь вершину
xo?X(a)[\S, поножия 50=:
Ее пи К {a) a S то
Р,
Ecw же К(а)<^5. то Pi(bn) = pt(S) — l или ^ E0) = р, E)
в ч^висимости от того соединяются или не соединяются а точке х0
две непересекающиеся компоненты подграфа порожденное множе-
множеством X \ S Окончательно 1)
откуда
pt (Sn)—{S0\ > р,(S) — 1 - \S\ т- 1 = max (j»; [I) ~ \E\)
Ho iio про«иворечит тому что UVy I < \S\
Имеет меаго B): допустим что У(Ь)(]ЗФ0 и У (Ь) ф S тля
не к о горой вершины b ? X, и рассмотрим множество T—-S \ {Y (b) f| 5);
очевидно,
\T\<\S\
Fcih X(*)cz5 то
') Поскольку jp.(S) и р (S.) —числа не компонент вообще а компонент
нечетного порядка соответствующих подграфов, то при У (a) cz S возможен
и случай р( (SQ) — pf (S) — 1, а при У (a) c?~S~n случай p. (SQ) - /?. (S) + 1
Но так или иначе, всегда выполняется неравенство р (Sn)>/> (S) — 1 —
Прим ред

СУЩЕСТВОВАНИЯ ФАКГОРОИДА
Если же X(b)c?$ то ')
Поэтому ко всех ст^чаях p^^^p^S) и
pt (f) — j T\ > /7Д5) - |S| ¦+• 1 -> шахц?, (В) - iB\)t
Но это невозможно
Имеет место C) допустим что X(a)cz.S Y(a)czS для неко-
некоторой вершины а?Х, п>сть vof К(а), потО/ким 7^=5 \ {>'й]. Тогда
Отсюда
Л@-|^1=-^(^)-|^|+2Ъ max гЛ
А это невозможно
Теорема Таття Пусть А и В — два непересекающихся
множества вершин графа G, т(А В) — число ребер соединяю-
соединяющих А с В\ q (А В) - число тех ко ипонент С подграфа порож-
порожденного чножествои Х\А для которых т(С В) нечетно
Необходииое и достаточное условие существования фактороида
у G состоит в тон чтобы каждая вершина, х имеш степень
d (x) ^> 2 и для любой пары непересекающихся множеств А а В
выполнялось неравенство
q(A, В)— 2 rf(?) —2|Л|~2 |Я|>0,
Б сил} теоремы 5 (п IS) искомое условие равносильно том},
чтобы ччя опредепенного выше графа О было
В сил) чеммы можно ограничиться рассмотрением множеств 5
>довлетворяющи\ условиям A) B), (i) Рассмотрим некоторое мно-
множество 5 1акого типа и поаожим
B={b/Y(b) czSs
') И здесь при X (Ь) ф Ь возможен случаи р {Т) — p. (S) — 1 Но этого
достаточно гак как тогда pt(f) — | Т \ > пгах^ (р1 (?) — • Е \), «по прогиво-
_ _ Ъ'ах
речиI неравенств} \7 <\S\ —Прим ре<)

214 г л i<> фактором
Так как Л и В не пересекаются, то
\$\= 2 <*(*)+2 (<*(*) —2) =
Подсчитаем теперь pf(S), компоненты С пересекающиеся с У (А),
имеют вид С=\у\, где у?К(а), а?А и число таких компонент
равно
2 2 \A
Если С — компонент не пересекающаяся с К (Л), то лолозкнм
имеем СП/1 = 0 а чист т(С, В) и |С| обладают одинаковой
четностью Поэтому количество компонент С нечежого порядка не
пересекающих К (Л), равно q (Л, В), откуда окоцчатечьно
— 2 |Л|.
Искомое условие будет тогда
0 = тах</>,E)—|5|) = тах1>(Л, 5)— 2 [А\ +2 |5| — 2 d
s а в I ьс_в
Отсюда и нытекает утверждение теоремы.
Ясно, что совершенно аналогичным образом получается условие
существования частичного графа с заданными степенями г).
1) Это условие, которым мы обязаны Татту, к сожалению, слишком
сложно для того, чтобы его применять Пусть /(к) — степень, которую надо
получить для верш инь? х, a rf (х) — степечь х в подграфе, порожденном
множеством X \ Л, условие Татта есть
A) *(*)>/(*)
B) 2f(x)>q{A,B)+'?[f(x)~d [х)] (А
Заметим, что таким же способом получается дефицит наибольшего мно-
множества W, совместимого с /(л)
(См также [6J — Прим парев )

Г TAB A 20
Связность графа
Точки сочленения
Говорят что вершина х связно! о графа (X, U) является точкой
сочленения если подграф, получаемый }далением х, несвязен, если,
кроме юго вершина х соединена с каждой из компонент этого
подграфа только одним ребром, ю х называют точкой простого
сочтецепия
Пример 1 В дереве каждая неконцевая точка является точкой
простого сочленения В противоположность этому граф обла iato«
щйй гамичьтонойым циклом не имеет точек сочленения
Fiphmfp 2 (сеть коммуникаций) П>сть А' — множество лиц, при-
принадлежащих некоторой оршшзации, и пусть [х, у] ? U, если лица
х и у имеют возможность сообщаться Точками сочленения служат
связные, эти лица — особо уязвимое звено так как их утрата нару-
нарушает единство и сплоченность организации
Теорема 1 Вершина xQ связного графа тогда и только
тогда яе гнется точкой сочленения когда существуют две такие
вершины а и д, что каждая цепь соединяющая а с Ь проходит
через х0.
\J Если подграф, порожденный множеством Л"\{л:0), несвязен,
ю он содержит по крайней мере цне компоненты С и С, пусть
а— некоторая вершина из 6' a b — некоторая вершина из С, в пер-
первоначальном связном графе любая цепь, соединяющая а и Ь необ-
необходимо должна пройти через х0.
2° Ее in любая цепь соелиняюгдаи дне «ер шины а и Ь. проходит
через х$, то под!раф порожденный множеством Х\{х0}, не может
быть связным, и поэтому *0 является точкой сочленения
Понятие точки сочленения тесно связано с другими понятиями,
аналогичными рассмотренным в тл 12 В связном графе назовем
расстоянием между двумя вершинами х и у длину d (л*, у) самой
короткой цепи, идущей из х в у, а удаленностью вершины
х — число
d (х) =¦ max d (x, у)
К*

216 гл го связность грлф\
Вершина наименьшей удаленности называется центроидом, а вер-
тин а наибольшей удаленности — перифероидной точкой У симмет-
симметрического графа эти понятия совпадают с понятиями центра и пери-
периферийной точки Почожим
p=mind(Jt) {ненаправленный радиус, или радиоид')
Если ЛаХ то полагаем
r^ max d(x v) (уда генноетъ х относите гъно А)
УСА
Теорема 2 [Жордан (С Jordan)} Сели в связной графе G
точка простого сочленения xQ служит центроидом то множе-
множество всех центроидов графа G сводится к единственной вершине
и ги к двум с меж: ним вершинам
Гу D подграфе порожденном множеством Х\ '.г0} имеется по
крайней мерс одна компонента Л дщ которой
Кроме того cymeciRyer такая компонент В что
В ^ А; <1в(х0)^ъ и ш р — 1.
В самом деле если бы для любой компоненты В ?А бьпо 6в(х0) <
<^ р — 1 го вершила а, смежная с jc0 и принадлежащая А, удовле-
удовлетворяла бы усювию
й(а) — {,— ] < р = min d (x)t
но это
2" Пусти х, —центроид ^ х0 (если таковой существует), и пусть
Cj — га компонента подгр1фа, порожденного множеством A'Xjx^J,
которая содержит хг Не существует компоненты C=^CL для кото-
которой dc(x0)r^p; если бы «акай компонента име 1ась то, обозначая
через с вершину из С с паибочьшим расстоянием от лг0, мы полу-
получили бы
но эю невозможно, так как лг, -центроид.
Ъ Итак доказано что С,=.Л и «по компонента В определен-
определенная в 1°, удовлетворяет условию ds(^) —о—U но Ю1да xf есть
не то иное как вершина а смежная с х0 и принадлежащая А, гяк
как в противном случае, обозначив через Ъ вершину из В с наиболь-
наибольшим расстоянием oi x0, мы получили бы
а л о невозможно, потому чго х: — целгрокд

ГРЛФЫ БЕЗ СОЧЛРНЬНИП 217
С те 1ствие Дерево всегда имеет шбо один-единственный
центроид, шбо роено два центроида, притом смежник между
собой
В самом деле каждый центр он д дерена является в то же время
точкой простого сочленения
Теорема 3 Перифероидная точка никогда не может быть
точкой сон имения
Действигечьно и)сгь ги — перифероидная точка рассмофим та-
кую точку z что
d (z() г) = max d (х у)
х
Если бы zf) была точкой сочленения то подграф порожденный
множеством Х\ Jz0}, имел бы несколько компонент, беря точку к
в компоненте, не содержа шей z мы получили (in
d(x, z) = d{x, zt)-\-d(z{) z)>maxd(A у)
v, у
4io невозможно
Графы без сочленений
Граф G назьшастся графом без сочленений если он свячен и на
имеет ючек соч те нения. Основные свойства таких графой нырл-
жаются тонкими теоремами, и читатель может при пер ном чтении
опустить доказа ге ткства
Теорема We и г ер а |4] (допотненная Дираком [1]) В графе О
без сочленении д in каждой э ieментарной цепи [i ^ [a[V ax а^\
соединяющей две раз шчные вершины а0 и ak существуют две
такие элементарные цепи и/ и у." что
A) крайними вершинами обеих цепей и/ и »/ являются а0
и аь
B) \)! а р.' не имеют общих вершин, кроме aQ и ak,
C) при движении по [V (или [л') от а(] к, ak индексы встре-
встречающихся вершин цепи а идут в возрастающем порядке
Теорема С[;ра«едтива дтя цепи \х — [а0, а:] длины 1 потому что
если ап не япляется точкой соч.ченения, то существуе* цепь а, иду-
и\ая hj п) в аг и не содержащая ребра [ау, aj. Эта цепь вместе
l •)/= [«0, aj, ^довле[воряет поставленным условиям.
Претпотожим, что теорема верна для элементарных цепей
д шны k и аокажем что ona верна для произвольной, у
цели
(л *=\аь а{ , ак «А|1]
длины k -J- 1

218
гп in связность гр\ф\
Обозначим через jj/ и ;j;;/ две непересекающиеся цепи соединяю-
соединяющие а0 с ok и удовлетворяющие условиям A) B) C), требуется
докачагь что между а0 и аК[Х существуют две цепи а^ \\ ^ с aEia-
логичными свойствами
Существует элементарная цепь ч=^[яа, afe+I] соединяющая я0
с а^, и не проходящая через а1г (в противном случае ап в силу
теоремы 1 была бы точкой сочленения) Обозначим через х послед-
последнюю вершину цепи > принадлежащую а [а0 ak\ U и/ [а0, «л) и
у \^г\а^, ак] Рассмотрим несколько сл\чаев
а
a
p и с 20—1
Первый сгучай х — а{) Искомыми цепями являются
Второй случай х — ак]1 Так как x^\i[a0, ak], то либо
либо x?jjb", если, например а-?;¦>•', ^о полагаем
Третий случай х
|х//, если, например
^ В этом сл}чае имеем или
а'7, го полагаем
К
x-J=ak+l Можно написать
Четвертый случай:
— aq где q < k; пусть ар — вершина ix с р ^д ближайшая к aQ
у." (см рис 20—1),
q
и принадлежащая также |j/U [/'; еети например,
то положим
ak+l\

ГРАФЫ БЕЗ СОЧЛЕНЕНИЙ
219
Поскотьку эти четыре сп)чаи охвагыгшен исе возможности, тео-
теорема доказана
Лемма В связном графе без петель для любых двух ребер
и и v существует элементарная цепь которая начинается
ребром и и оканчивается ребром v
В самом деле, если и —[а, х)
и v=[?. у], то ввиду связности
\ рафа вершины ей можно соеди-
соединить элементарной цепью а = [а, а^
Если v ^ jj
цепь будет
1*0 = 1*
Если х (? [.
цепь 6}дет
Если х ? j.
цепь б) дет
Ее.«и х ? |
цепь будет
а) -+- j* 4
•ю
-\ь
Ю
то
то
искомая
У]
искомая
(У *]
искомая
V>, у]
искомая
(Z,
Теорема 4 В графе без со-
сочленений а без петель через лю-
любые два ребра u a v проходит некоторый элементарный цикл.
В самом деле пуаь а=[а0, al7 . ., ak\ — элементарная цепь,
у которой [а0, а:]:=и, [ak-.i, cftj = v такая цель существует в силу
пеммы Рассмотрим две непересекающиеся элементарные цели \хг
и р.", соединяющие а0 с аЛ. существование которых утверждается
теоремой Менгера Обозначим через х первою вершину цели (Л
(после aQ), принадлежащую ji/ у [j.^, а через у — последнюю вершину
цепи [J- (перед ak), принадлежат,) ю a7 U \x/f.
Первый случаи. x = ak у^а0. В этом сл>чае (рис. 20 — 2,
наверху) искомым циклом явлнется
В эгом случае
Второй случай- хФак, y-^aQ ?{ ^бР
рис, 20 — 2, посредине) искомым циклом является

220 Г Л 20 СВЯЯНОСтЪ ГРА.ФА
Iрешай случай: x^ak y + a^ *?u/, _у?уЛ Этот случай ана-
аналогичен предыдущему
Четвертый случай: \;Фак> уфа$, ^ё^'. >?и". В этом сл)чае
(рис. 20—2, инизу) искомым циклом является
Пятый случай х^ак, у у= aQ я^у", У^р' Эют случай ана-
аналогичен предыдущем)
Рассмотренными пятью случаями исчерпываются все возможности,
и теорема доказана
Теорема 5 Для графа Q без петель и изолированных вер-
вершин следующие условия равносильны
A) через два произвольных ребра всегда проходит элечентар*
ный цикл;
B) через две произвольных вершины всегда проходит элемен-
элементарный цикл,
(<3) граф не имеет сочленений
Покажем, что A)=фB)=фC)=фA)
A)гг^>B), потому что две [гроизио.чьные вершины х и у служат
1 раничными точками двух ребер (граф G не имеет изолированных,
вершин), а через эти два ребра проходит элементарный цикл, кото-
которому и принадлежат верш ил ы х и у
B)^C), потом) что, в силу B), граф связен, если бы он имел
точку сочленения, то две вершины х и у, разделяемые этой точкой,
не могли бы принадлежать одному элементарному цикчу, вопреки B).
C)гфA) в си чу предыдущей теоремы.
Рассмотрим теперь произвольный граф О, если х—одна из его
ючек сочпенения, а С — одна из компонент, отделяющихся после
удаления х, то подграф G, порожденный множеством С U [х'\,
представляет собой, по определению, кусок графа G. К}сок при-
прикреплен к остальной час1И графа точкой сочленения Каждый кусок
может содержать другие, меньшие куски, кусок не содержащий
меньших кусков называется минимальным куском
Это понятие позволяет установить проаой критерий для выясне-
выяснения того, проходит ли через две данные аершины какой-нибудь
элементарный цикл. Именно, если а и b — две различные вершины
элементарного цикла то можно ощипать граф постедоватсльно
отделяя от него куски, не содержащие одновременно а и Ъ и при
этом всегда будет оставаться подграф более чем с одним ребром.
Наоборот если посте ощипывания остается подграф более чем
с одним ребром то этот подграф не имсе! сочленений и содержит
обе вершины а и Ь следовательно в сил) теоремы 5 с) шествует
элементарный никл, проходящий через а и b Таким образом
необходимое и достаточное условие существования э гементар-

h СВЯЗНЫЕ ГР4.ФЫ
221
ного цикла, проходящего через две данные вершины, состоит
в том чтобы пос ге ощипывания получален подграф более ч&м
с одним ребром
Примьр Задача о Коне Лтти ш" На шахматной доске находятся
белый конь („конь Атгиты") и черный король как показано на
рис. 20—3 (слева), заштрихованные клетки считаются „горящими"
Треб>ется дойти конем до к четки с королем и вернуться в исход-
исходную клетку, перемещая^ обычными ходчми шахмалною коня, при
Р н с 20—3
этом нельзя становиться ни на горящую клетк), ни на кле1К> уже
пройденную (потом} что как хорошо известно, конь Аттилы под-
поджигает все на своем пути)
Эта задача сводится к определению в графе изображенном на
рис 20 — 3 (справа) элементарного цикла, проходящего через дие
данные вершины and, ощипывание удаляе) некоторое количество
кускоп (обозначенных пунктиром), а остающийся граф (обозначенный
сплошными линиями) имеет более одного ребра, поэтому задача
разрешима
Л-связные графы
Рассмотрим связный граф О ~(Х, U) порядка п=\Х] непустое
множество A<z.X называется множеством сочленения, если под-
подграф, порожденный множеством .«YX^ несвязен. В случае когда А
сводится к единственной вершине, мы снова получаем точку соч-
сочленения.
Если граф несвязен, то пустое множество 0 рассмафивается тоже
как множество сочленения Наконец, назовем множеством изоля-
изоляции графа порядка п. любое множество из /I—-1 его вершин
Число связности графа G определяется как наименьшее число
элементов множества яктяющегося множеством сочпенеьия и аи

222
I T ?0 СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
изоляции ллл О, и обозначается через to(G) Го1Юряг что граф G
является h-связныи ее чи u> (О) ~> /г !де/г— данное целое чисто ^> 0.
Пример 1 Турнирная диаграмма Понятие связности очень
важно когда надо организовать встречи между п игроками, участ-
участвующими в турнире ограничивая общее количество встреч чисюм т.
Турнир будет справедливым если
небольшая группа игроков не мо-
может „изолиронать" одно*о или
Рис 20—4
р и с 20—5
нескольких соперников, то есть если соответствующий граф с п вер-
шинзми и т ребрами обладает достаточно большим числом связ-
связности Например, при 5 игроках и 9 встречах следует принять граф,
изображенный на рис 20—4 который является 3-связныы, множество
сочленения состоит из трех игроков отмеченных пунктирными круж-
кружками. При 9 игроках и 20 встречах следует принять граф изобра-
изображенный на рис 20—5 и являющийся 4-связным, и т д
Примы 2 Бомбардировка путей сообщения Обычно счшаегся,
что экономическая и военная мощь вражеской страны существенно
парализована, если в результате бомбардировки коммуникаций уда-
удалось полностью изолировать один или несколько районов Задача
состоит в следующем какое количество (наименьшее) путей сообще-
сообщения надо разрушить для достижения этой цели? Построим граф (X U),
вершины которого изображают районы с богатыми и удачно рас-
расположенными внутренними коммуникациями, а ребра — уязвимые
пути сообщения (например мосты тоннели, железные дороги и
т п.), связывающие эти районы между собой Задача сводится
к нахождению наименьшего числа ребер, удаление которых нару-
нарушает связность графа
Можно обратиться к теории связности, строя вспомогательный
граф (U А), вершинтзш коюрого с чу жат ребра in U причем
U ? A.V когда ребра и и v смежны Если, например сгавтея за-
задача бомбардировки моеior изображенных на рис 20—6 (слеоа) то
получается граф, изображенный справа коюрый является 3-связным,

h СВЯЗНЫЕ [РЛ&Ы
223
множеству сочленения [г v n\ отвечают три mqctj разр\шения ко-
тортмх достаточно д 1Я достижения поставленной цели
В дальнейшем везде h будет обозначать натуральное чисто,
говоря, что некоторый ) раф О порядка и является „Л-свшным" мы
будем иметь ь виду следующее
AH спязен
B) h < п
C) О не имеет множеств сочленения А с числом элемен-
элементов |Л|<Л Граф О явтяется 2-связным Ю)да и только тогда.
и
к
J
Рис 20 Ь
когда он не имеет точек сочленения, те свойава /г-связных графов,
которые мы теперь будем рассматринагь представляют собой обобще-
обобщения изложеиппх выше теорем о графах без сочленений
Теорема б В h-связном графе степень каждой вер-
вершины ^>h.
Действительно пусть G—произвольный Л-соячпый граф Д"о —
одна из его вершин Допустим, что х0 является граничной точкой
не более чем h — 1 ребер, и рассмотрим множество А составленное
вторыми граничными точками этих k—1 ребер Так как i раф
Уг-связен то
h I <(rt— 1) — 1 =л—2
Поэтому в О найдется вершина, оттичная от хп и не принадлежа-
принадлежащая А, значит А есть множество соч те пения Ввиду того что

221 I Л 20 СВЯ^НОПЬ ГРАФА
j/lj—/? — 1 ^ h 1раф не является /z-связным вопреки }сювню
георемы
Теорема 7 Подграф G' полученный из h-связного графа G
уда гением одной вершины, является (Л— 1)-связны ч.
В самом детс из h < n вытекает
h - 1 < п — 1 ~ п'
Кроме того, для нарушения связности графа О' необходимо }да-
льть по меньшей мере И — 1 вершин поэтом} Gf явчяется {h — 1>
связным
Теорема У и г н и \Ъ] Для косвязности графа необходимо
а достаточно чтобы гюбые две его вер мины а0 a z нож но было
соединить h различными эле чентарны ни ценя ни не амеющн ми
общих вершин, кроче а0 и z
Условие достаточно В самом депс, если две произвольные
вершимы соединены h различными цепями, го граф О связен
Среди h цепей соединяющих дье вершины а0 и z имеется не более
одной дпины 1 а остальные h ¦¦— \ цепей вместе содержат не менее
й —1 paз^ит^ны\ вершин (отличных от а0 и z) значит
> h
Наконец у О hci множества соч 1енения А с чистом элементов
|Л|<Г/г потом) что если бы такое А имелось, то выбрав две
точки а§ \\ z в двух рачличныч компонентах подграфа порожден-
порожденного множеством ХХ^Л, мы не смопи бы провести h цепей без
общих вершин так чтобы эти цепи соединяли а{] с z и проходили
через А
Условие необходимо. Надо показать что если граф О яв тяется
h-связным, то 1Юбые две его вершины можно соединить h непере-
непересекающимися элементарными цепями При // = 2 утверждение уже до-
доказано (теорема Медгера); допустим, что теорема справедлива для
всех (h—1)-свя<шых графов и докажем ее справедливость для
произвольного Л-сяязного графа 6 Иначе гоиоря .мь. рассмотрим
две вершины а0 и z графа О и покажем, что их можно соединить h
элементарными цепи ми без общих вершин
Поскольку G не имеет точек сочленения (так как h ^> 2) а0 и z
можно соединить двумя непересекающимися цепями \\ъ которых
хотя бы одна, скажем
|А = [а0 ах а2 aq z\
имеет длин} #s 2
Вершит г ci§ и д2 соединены h непересекающимися цепями, и са-
самом дече, еои разрешить цепь [а0 а1 а2]. удалив из графа пер-

h СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ 225
шин) av то оставшийся граф будет (а—1)-связным {уеорема 7)
и е нем л0 будет соединена с а2 посредством /г— 1 непересекаю-
непересекающихся цепей. Теперь надо показать что если а0 и ай можно сое-
соединить !г непересекающимися цепями, то можно также соединить а0
с «?.,., посредством h непересекающихся цепей Обозначим цепи,
соединяющие а0 с ah, через \ь1 и2. ., uft
1° Сначала предположим, что накакан аз цепей |ij, |i2, ..
.., [xh не содержит п]г^х Так как граф, полученный >дале-
нисм ak, «паяется (h— 1)-связиым го вершины а0 и ak+l соединены
непересекающимися цепями ^,, v2, . , v/{_,, не проходящими через ak
При помощи |jLt [j.^, . , \х1г jj v2. vA_j мы будем составлять
непересекающиеся цепи соединяющие aQ и ak+i, Со1едую[гшм про-
процессом
1) Идя по цепи tL от ak+l к а0 обозначим через Ьх первую
h
точку встречи с М \xt (OTiHHHira от tffc+Д допустим, например что
bl ^ а} и но
2) Идя по цепи v2 от дйт1 к а0, обозначим через &2 первою
встречи с ^ U (J^, (оттичн>ю от uft+1); рассмотрим два ел)-
чая Если t?2 ^ 1-1., где />1, ю пото/ким как прежае
Есш же & ?fi1 (см рис 20—7) то анн> тируем операцию 1) и
положим
при этом мы скажем чго цепь ^ перевоплоти <гась, и в дачьней
шем переставим индексы 1 и 2 > >, ц \1
К

226 ГЛ 20 СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
3) Если перевоплощение не произошло то идя по цепи v3
от дЛ+1 к а0 мы обозначим через Ь^ первую точку встречи
с {JbJ U J*J U U !^л» это приведет либо к определению некоторой
цепи \h' либо к перевоплощению одной из целей ^ (х^; и т д
[Если в 2) произошю перевоплощение то идем по новой
цепи v2 еще не использованной ]
Этот процесс повторяем, пока возможно Так как каждое пере-
вотощение укорачивает одц> из цепей р^, |х2 \xh (длины кото-
которых конечны), то наступит момет, когда дальнейшее перевоплоще-
перевоплощение невозможно и мы окончательно получим h — 1 целей вида
Эти цепи попарно не имеют общих вершин, ибо если бы, например,
jij \a0, bl)) и >2[^2> о^+11 имели общую вершину (отличную от ай
и сЛ+1), то оставалось бы произвести перевоплощение Кроме того,
ни одна из цепей ^ [bir ak+l], ч2\Ь} , ak+x\y ^lt.{\bih_v ak + \\
не имеет вершины принадлежащей цепи ^д(за исключением вер-
вершины ak+] и, быть может, вершины а0, ec^и с ней совпадут какие-
либо из вершин bh, ..., 6,^,), iaic как каждая цепь pt которая
была в некоторый момент изменена нашим процессом, в дальней-
дальнейшем остается измененной Следовательно никакая из цепей и.'
V-2> • • •« \y'h-\ не встречает цепь
Цепи [J-J. [J-2 ..., р.^ образуют искомую систему Л цепей
2° Теперь допустим что ak+l принадлежит одной из це-
цепей \it, пусть, например, Лд+1 € I1* Заменим тогда \ih на }Aft[«o» ^t+J
и будем действовать, как выше
Следствие 1. Граф О', полученный из 1г~сзязного графа G
удалением одного ребра, является (ft —1)-связным.
В самом деле, две любые вершины в G можно соединить по
крайней мере h непересекающейся цепями, поэтому в С их можно
соединить h — 1 непересекающимися цепями
Следствие 2 Граф G'', порученный из к-связного графа G
удалением к ребер (?< й), является (Л — к)-связным
(Непосредственно )
В заключение след>е1 отметить что для того, чтобы не нару-
нарушить связность п-связного графа, нужно удалить из него ло меньшей
h ребер.

ГЛАВА 21
Плоские графы
Основные свойства
Говорят, что граф ^ или мультиграф) G — плоский если его
можно изобразить на плоскости так, чтобы вершинам отвечали раз-
различные точки ребрам — простые дуги и чтобы никакие два ребра
не имели общих точек, отличных от их границ. Изображение О на
плоскости, удовлетворяющее этим условиям называется плоским
топологическим графом, и мы будем обозначать его той же бук-
буквой О; плоские графы, которые можно преобразовать друг в друга
непрерывной деформацией плоскости, не считаются различными
Пример. Задача о трех городах и трех источниках снабже-
««я1). Имеются ip» города а, Ь, с и три источника снабжения: водо-
водонапорная башня d, газовый .завод е,
электростанция / (см рис 21 — 1),
каждый из городов связан с каждым
источником снабжения соответ-
соответственно водопроводом, газопрово-
газопроводом линией электропередачи Можно
ли начертить (на плане) три города
три источника и все линии передачи
таким образом чтобы никакие две
линии не пересекались между собой
в некоииевых точках? Непосред-
Непосредственные попытки гюкаяывзют что
всегда можно нарисовать 8 линий
а девятая обязательно пересече! хотя бы оли>
Мы познакомимся с об ьяснеиием этого факта
f8QCG)
W8Q)
Рис 21—1
этих восьми Ниже
Пусть О — плоский топологический граф; его гранью называется
область плоскости ограниченная ребрами и не содержащая внутри
себя ни вершин, ни ребер; будем обозначать грани буквами г. s /,
а множество граней—буквой R Край грани г —это цикл образо-
образованный граничными ребрами г Две грани г и 5 называются смеж-
1) Эта задача хорошо известна у нас как задача о трех домах ц трех
ко юдцах" — Прим пере а.

225
Г Л 21 ПЛОСКИ F ГРАФЫ
ними если их края имеют хогя бы одно общее ребро, грани сопри-
соприкасающиеся только в отдельных вершинах смежными не считаются
Пример I еографическая карга (при условии что нет основных
стран) предхтапляет собой плоский топологический граф, этот граф
имеет ту особенность чю сте-
степени всех его иершин ^> 3.
Грань можег примыкать к ка-
какой-либо др)ЮЙ грани в не-
нескольких местах Заметим что
на рис 21 —2 грани d и g не
смежны, хотя именщ общую
вершину. Строю i оворя, граф,
изображенный на рис 21—2,
является мультиграфом Нако
ней., отметим что } всякого
тоскою графа имеется одна,
притом единственная неогра-
Рис 21—2
бесконечной гранью (на рис
{с, d, /, g, h, iy /) — конечные
ничейная грань называемая
21 — 2 грань е), остальные грани
Теорема 1 В плоском топологическом графе G края раз-
различных конечных граней образуют базу независимых циклов
Теорема очевидна, когда О имеет 2 конечные [рани, предполо-
предположим ее справедливой для псех графов с числом конечных гра-
граней / — 1 и покажем что она верна для произвольною илоского
топологического графа Ос/ конечными гранями
В самом деле, >дачяя из G некоторое ребро и мы получим
граф С имеющий /—1 конечных граней края которых согласно
предположению, образую! базу независимых циклов Восстановив
ребро и получим новую конечную грань край которой является
циклом, не зависимым от предыдущих (поскольку он содержит ребро,
не принадлежащее ни одному из них) Так как добавление одного
ребра не может увеличить цикломатическое число более чем на еди-
единиц.) то конечные i райи графа О определяют базу независимых циклов.
Следствие 1 Если связный паоскии mono логический граф
имеет п вершин, т ребер и / граней то
п — т -\- f = 2
(формула Эй гера).
Действительно, число конечных граней равно цикломатическому
числу /, поэтому
2.
=(т — п-\-\) -pi =т — п
Отсюда и нол>чается доказываемая формула

0Г710ВП11Е (ВОЙГТВ\ 229
Стедствие 2 В любоч пгоском графе (не являющемся
му гьшиграфом) хотя бы одна вершина х имеет степень d{x) <^ 5
В самом деле у соответствующего плоского топологического
графа каждая грань окаймлена по меньшей мере тремя разпичными
ребрами, если образовать просюй граф инциденций грани — ребра1),
то чисао его луг бучет ^ 2/и с одной стороны и ^> 3/ с другой,
поэтом> / •.>, -т— Если бы в исходном графе каждая вершина была
о
инцидентна не менее чем шести ребрам, то таким же образом 2) мы
пол}чили бы л<С'~й~» значит, в сил} формулы Эйлера,
чго невозможно
*-— m + -o-—О,
С педствие 3 Географическая карта обладает по крайней
М"ре одной такой гранью край которой содержит не более
б ребер.
Действие.{ьно в гео1рафической карте каждая вершина янляется
граничной точкой не менее чем трех ребер, образуя просюй граф
яцциденций вершины — ребра получим, что число ребер с одной
стороны, -^2т а с др>юй сюроны, ^> 3/г откуда п ^—т- Если
допустить, чго каждая грань обладает краем но меньшей мере
с 6 ребрами и образовать простой граф инциденций грани — ребра,
то получим, чю число его дуг ^ 2w и в то же время J>0/, зна
чи i, / ^. —з- Отсюда
2 = п — т-\- f 4^-^ - т 4- — = О,
чго невозможно
Формула Эйлера, доказанная в следствии 1, имеет многочислен-
многочисленные применения
Примет 1 (Эйлер) Рассмофим в трехмерном пространеще
ный mhoi 01 ранник с п першинами. т ребрами / гранями Его,
очевидно можно изобразить на сфере таким образом, чтобы никакие
два ребра не пересекались в точках, отличных от граничных; произ-
произведя jaTCM стереографическое проектирование с центром внутри
одной из граней получим изображение на плоскости дхо изобра-
изображение бутеi плоским графом, поэтому имеет место оснокное соот-
соотношение для связных многогранников п — т -*- / -^ 2
') Т е граф, состоящий из множества X точек, изображающих грани,
множества Y точек, изображающих ребра и из дуг соединяющих х ? X
с у ^ У всякий раз когда грань л инцидентна ребру у
*) Рассмотрев простой граф ннциденций вершины — ребра — Прим ред

230 ГЛ 21 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
Пример 2 С помощью формулы Эйлера покажем, что граф,
рассматриваемый в задаче о трех городах и трех источниках снаб-
снабжения (рис 21 — 2) не может быть плоским Допустив, что он пло-
плоский, мы имели бы
Край каждой грани содержит не менее 4 ребер (так как если бы
край какой-либо грани имел только три ребра то граничными
точками этих ребер были бы три вершины, ич которых две принад-
принадлежат к одной и той же категории города или источники снабжения;
но две вершины одной и той же категории не смежны) Образуя
простой граф инциденций грани — ребра мы получим, что число
дуг <^ 2/W и в то же время ^> 4/ следовательно,
41 о невозможно.
Пример 3. Таким же образом покажем, что полный граф с 5 вер-
вершинами не является пноским Предполагая его плоским, мы полу-
получили бы
/=2— п -Ь т = 2 — 5 4-10 = 7.
Каждая грань имеет на своем крае Ете менее 3 ребер Образуя
простой граф инциденций грани — ребра найдем, что число ду! ~
и в то же время ;>3/, откуда
что невозможно
Граф рассматриваемый в задаче о трех городах и трех источ-
источниках снабжения, а также полный i раф с пятью вершинами позво-
позволяют определить целое семейство неплоских графов как видно из
(Тип!) (Тип 7)
^ис 21—3
рис 21—3, достаточно поместить на каждое ребро сколько угодно
вершин и таким образом определить новый неплоский rpatb типа 1
или типа 2. Эгот результат можно обратить, что даст нам трудную

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 231
теорему, принадлежащую К>ратовскому *), доказательство которой
мы собираемся здесь привести Предварительно договоримся в отно-
отношении языка если \ь — некоторый элементарный цикл (на котором
мы произвольно задаем направление) и если а, Ь?\ь то через
\ъ[а Ь\ будем обозначать последователыюсть вершин, встречающихся
при движении от а к b в положительном направлении (включая а и Ь),
а через \i] а, д [— ту же последовательность, но без а и b Далее,
если G — граф с множеством сочленения А то куском графа О
(относительно А) назовем всякую связную компоненту С подграфа,
порожденного множеством Х\А, к которой добавлены ребра,
инцидентные С (вместе со своими граничными точками)
Теорема Поитрягина—Куратовско10 Необходимое
и достаточное условие, при котором граф G является плоским.,
состоит в том, что граф не должен содержать частичных
подграфов типа 1 и типа 2
Ясно, чго I раф содержащий частичный подграф типа 1 или шла 2,
не может быть плоским, покажем, что и наоборот ест граф не
содержат частичных подграфов типа 1 и 2, то он. плоский.
Утверждение 1ривиально для iрафов О с одним, двумя или тремя
ребрами; далее будем рассуждать по индукции допустим, что утвер-
утверждение верно для всех графов имеющих менее т ребер, и докажем
его для произвольного графа Gem ребрами
Пусть О — граф с т ребрами, не имеющий частичных подграфов
типа I или 2 и в то же время не гкюский. Этот i раф связен, ибо
в противном случае все его компоненты были бы плоскими, а зна-
значит и он сам был бы плоским. Далее, О —граф без сочленений,
иначе ею куски относительно точки сочленения а были бы пчоскимк,
но эти к)ски можно изобразить на плоскости так, чтобы точка а
оказалась на бесконечных гранях ^тих изображений (при помощи
надлежащего стереографического проектирования), значит, граф G
гоже был бы тоским
1° Покажем что после удаления из G произвольного ребра
[а, Ь] сохранится некоторый элементарный цикл »i, проходящий
через а и b Действительно в противном случае граф Gr, получае-
получаемый из О удалением ребра [а, I?], имел бы точку сочленения (в силу
теоремы Менгера, гл 20), вершины a w b прииадчежали бы двум
различным кускам Са и Сь относительно точки сочченения с 2).
] раф С„, полученный из Са присоединением ребра [а, с\, — пло-
плоский, так как он не содержит подграфов гши 1 и 2 (как граф,
J) Эта теорсча была установлена (но не оп>блнкована) в 1927 году
Л С Пошрягиным, а в 1930 году, независимо от него, вторично доказана
Кураювским [4J. В дальнейшем мы называем ее теоремой Понтрягича^
Кураторского. — Прим п ере в
2) Иначе с была бы точкой сочленения исходного графа О —Ирин,
иерее

232 гл >\ пюские графы
образ}емый из О посредством аягиваний) Поэтому можно при
помощи стереографического проектирования изобразить Са на пло-
плоскости гаким образом, чтобы ребро [а с] оказалось на крае бесконеч-
бесконечной грани По гой же причине граф Ch полученный из Сь присое-
присоединением ребра [о, с] можно изобразить на плоскости так, чтобы
\Ь, с] оказалось на крае бесконечной 1раки Соединяя затем а с Ьу
получим плоский топологический i раф содержащий О, что невоз-
невозможно в сил) предположения относительно О
2° В плоском топологическом i рафс G', полученном в результат
\ даления ребра [а, Ь] рассмотрим элсмеьтарный цикл ;х, проходя-
проходящий через а я Ь и охватывающий наибольшее возможное количество
I ранен, Придадим циклу (л, произвольную ориентацию, <л разделяет
тоскосгъ на две области лсякий кусок относительно а графа С,
вершины которою тежат во внутренней (соответственно внешней)
области назовем внутренним куском (соответственно внешним кус-
куском) ]) Никакой внешний кусок не может содержать более одной:
вершины последовательности р\а, д] (иначе можно бы то бы по-
построить никл р. охватывающий большее чиспо граней), гак как то
же самое справедливо и д™ jj. \p а\ то внешний кусок может пере-
пересекать \i только в одной или в двух точках Кроме того, суще-
существуют по крайней мере один внешний и один внутренний кусок,
каждый из которых пересекает как а] а Ь\ так и р] b а [(ибо поме-
поместить на плоскости ребро [а Ь\ невозможно)
3° Покажем, что существуют внутренний кусок С и внешний
ьусок D кажоый из которых пересекает как р.]д Ь[ так и
{>.]/?> а[, причем эти куски таковы, что точка cud пересече-
пересечения D с >j. и точки е и f пересечения Сер расположены на ^
6 чередующемся порядке, с, е, d, /.
В самом деле допустим, что это не так. пусть Cj — некоторый
внутренний кусок пересекающий [j.] a, b[u ^.]b а[, пусть е1 и
/, — соответственные точки пересечения на \х. Можно начертить не-
прерыкн>ю линию ч соединяющую /1 и е{ преходящ)ю но внеш-
внешней области по отношению к р. и не пересекаюш>ю никакого ил
наличных ребер (поскотьк) согласно предположению не существует
внешних кусков, встречающих как \i\el> f}[, tik и ji] fx ex\)
Всякий внутренний кусои, имеющий общие точки только с \i-[flt ex]
можно переместить во инешшою область n ipa»b, содержащую
линию *\ именно это| случай имеет место для куска Сх Но обяза-
обязательно останется хотя бы один внутренний кусок С2 который не-
иозможно так переместить {иначе а и Ь можно было бы соединить
и плоскости) и этот К}сок имеет с {i.[Jl e{] две нос 1едовательные
1> Кроме того внутренним (соотлетстаекко внешним) к>ском следует
назо5вать всякое ребро которое проходит вэ внутренней (соответственно
внешней) области и обе граничные точки которого принадлежат ^ —Прим.

OCHOBHblF СВОЙСТВА
233
точки пересечения е2 и /2 из которых хотя бы одна принад-
принадлежит jjl] /] е^ [
Проделаем с С2 то же. что мы продев л и с С, и т д
этот процесс никогда не окончится вопреки конечности графа
Рис 21—4
Рис 21—5
Обозначим теперь через е, /, g h такие ючки пересечения С
Н |i, 410
a b[
±\b% a\
Очевидно, e 4- f и g 4- h, но может случиться, что е = g e = h
и 1 п
4° Если одна из вершин ей/ расположена на а) а Ь [ а дру-
другая—на (i] Ь, а\ то можно положить например, e~g f — h;
Рис 21-6
Рис 21—7
непосредс!ненно ясно (рис 21—4), что О содержит граф типа I,
вопреки предположению
Ьу Если обе вершины е и / находятся па uj a b\, го можно
предположить, что h = c (ибо при h=hcs /г?[ь мы вернемся
к фигуре, исключенной в п. 4°). Полеченная фигура (рис 21 — 5)
содержит граф типа 1 что невозможно По той же причине отпа-
отпадает случай когда обе иершины е п f принадлежат [х)Ь, а[

234 ГЛ 21 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
6J Если е = а, /Фд (например, пусть /?|J.]a, Ь[) то полу-
получается граф изображенный на рис 21—6 и содержащий граф типа 1,
что невозможно
7° Если е = а, j' =-by то можно предположить, что g = d и
й = с (в противном случае мы возвращаемая к одной из фигур,
иекпючеиных в п 4° и п 6°) Мыс пимы две ситуации: если цепи
1рафа С. соединяющие cd и е/ имеют более одной общей вершины,
то мы получаем граф изображенный на рис 21—7 который содержит
граф типа I, чго невозможно, если же цепи С, соединяющие cd
и е/ не имеют двух общих вершин то
мы получаем граф изображенный на
рис 21—8, который содержит (рафтипа 2,
что опять невозможно
_ Поскольку все мыслимые случаи рас-
w положения ей/ рассмотрены, то описан-
описанный выше |раф О существовать не может.
Теорема доказана
Теорема 2 Всякий плоский граф
является 5-хроматичесгсим
Теорема заведомо справедлива для
плоских графов с 1,2 3, 4 Ь вершинами; допустим, что она верна
для плоских графов с п—] вершинами, и докажем ее для произ-
произвольного плоского графа Осп вершинами
Действитечьно, в сту следствия 2, в О имеется вершина х,
смежная с О, 1, 2, 3, 4 и™ 5 вершинами Подграф получаемый
>далением х, является 5-хроматяческим, раскрасим его вершины
пятью цветами, а, C, ;, Ъ> е. Вершин) х легко окрасить всегда,
кроме случая, когда она смежна с пятью различно окрашенными
вершинами
В этом случае пусть а, Ь. с, d, e — пять смежных с а; иершин
(в порядке обхода вокруг х) и пусть i, р. -(. S, е — их цвета
Обозначим через Оа> р подграф, порожденный множеством вершин
цвета а И1И цвета C и т п
1° Есчи а и с принадлежат различным компонентам связности
графа Gatl то в компоненте содержащей а перекрасим вершины
цвета а в цвет у, и наоборот. Новая окраска совместима с графом G.
а вершину х которая окружена теперь вершинами с окраской ^. р.
-4 S, г, можно окрасить в цвет *
2° Если а и с принадлежат одной и той же компоненте
грзфа 0Д| г то вершины b \\ d нельзя соединить в графе Gp 5
Переставляя цвета (j и Ь в той компоненте графа G^5. которая
содержит вершину ft, мы получим возможность окрасить х о цвет C
Этот результат по-видимом\ может быть >лучшей, так назы-
называемая гипотеза четырех красок состоит в следующем не дока-

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
235
заииом до сих пор утверждении всякий плоский граф является
А-хроматическим ').
Гипотезу четырех красок можно сформулировать иначе обра-
обратившись к понятию двойственности Рассмотрим связный плоский
Рис 21—9
топологический граф G без изолированных вершин, ему можно по-
поставить в соответствие плоский топологический граф О* следующим
образом.
') При доказательстве теоремы 2 индукцию по числу вершин графа G
можно провести еще и так [См.. например, Дынкип Е Б и Успен-
Успенский В А Математические беседы, ГТТИ, 1952}
Пусть х смежна с пятью вершинами а Ь с, d, e \даляя х и отожде-
отождествляя асе как показано на рисунке полупим граф Gr с меньшим числом
вершин, допускающий (в силу предположения индукции) раскраску 5 цве-
цветами, при этом дли четырех вершин а = с, Ь, d e будет использовано не
более 4 красок и в исходном графе можно окрасить х пятой краской.
h
а
О rf
Здесь индукция носит локальнып характер лтя получения рр
графа G из раскраски G' не надо перекрашивать тех вершин которые не
затрагиваются преобразованием G -> G'
В случае четырех красок, вместо пяти конкретные примеры показывают,
что для получения раскраски графа G из раскраски графа is' отличаю-
щегося от G только в одном месте, требуется вообще говоря, тотальное
перекрашивание. В этом, видимо, заключается причина неизмеримо большей
трудности ироблемы четырех красок по сравнению с задачей пяти красок.
Доказательство теоремы 2 в книге без необходимости использует тоталь-
тотальную индукцию и поэтому не способствует иыннлению глубокой лринцшшал*
ной разницы между случаями 4 и 5 красок — Прим аерев.

236 гл г\ плоские
Внутри каждой [рани s графа О поместим вершин} лг* iрафа G*;
каждому ребр} и графа О отнесем ребро и* графа О*, соединяющее
те вершины д:* и у\ которые соответствуют граням $ н t но обе
стороны от ребра и Определенный таким образом топологический
i раф G* якляется плоским (см. рис. 21—9), связным и не имеет изо-
•шрованных вершин; Он называется двойственным для О Заметим, что
V Граф двойственный дтя О*, есть О, цикломатические числа
обоих графов одинаковы.
2У Каждой петле графа О отвечает висячее ребро i рафа G* и на-
наоборот.
<3° Если G имеет точк> сочленения, ю О* тоже имеет такую
ТОЧК} 1)
4° Ьсли G имеет пары вершин, соединенных несколькими ре-
ребрами то О* имеет нершины степени дна (ант-иузлы)
Примнр. Рассмотрим тоскую транспорту сеть (неориентиро-
(неориентированную) О каждое ребро и которой обладает пропускной способ-
способностью ?(и)~>0 и ) которой вход jc0 и выход z расположены на
одной горизонтали Образуем двойственный граф О*, причем беско-
бесконечной 1раии графа О отнесем две различные кернгины нижней йоту-
плоскости — вершину xq, верхней полуплоскости — вершин} z*.
Ребру и* (отвечающему и) приписываем длину Z(u*) = c(u) Р^ссмо-
1рим теперь след)юии!е задачи
Задача I. В О найти разрез V с наименьшей пропускной спо-
способностью, то есть минимизировать
vf V
Задача 2. В Оу найти кратчайший путь Vs из х* е z*t
то есть мини визировать
Задача 1 равносильна задаче о паиботьшем потоке, а задача 2 —
задаче о кратчайшем пути, и ясно что для ллоского графа эги две
задачи сводятся одна к другой
Гипотеза четырех красок в двойаценной форме гласит грани
плоского графа О можно окрасить четырь ня цвета ми так,
чтобы никакие две с иежные грани не были окрашены в один,
и тот же цвет
Желая фактически окрасить граф О, мы можем ограничился слу-
случаем связного графа Оэк как ничто не «emaei нам окрашшшь
1) Взаимоотношения мсжт.у связностью G и связностью G* оыли изу-
изучены Уитны [9]

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 237
каждою компонент} отдельно), а также считать О графом без со-
сочленений Можно предлопожить, что v графа нет вершин степени 0,1
или 2 Можно ограничиться рассмотрением однородных графов сте-
степени 3 ибо каждую вершину х степени > 3 можно на время рас-
раскрашивания покрыть новой гранью достаточно малой и имеющей
общее ребро с каждой из граней, соприкасающихся и х. Получен-
Полученный граф будет однородным степени 3 без перешейков (так как он
не Hweei точек сочленения) и, б силу теоремы 5 (гл. 19), принад-
принадлежал, хроматическому класс} ^ 4
Лемма В я госком графе каждо чу ребру и придадим неко-
некоторую ориентацию и поставич в соответствие натуральное
число г (uY, д in любой цепи |х и любого ребра u?ja положим
г (и) — -4- ъ (и) если при движении по jx ребро и проходится
в направлении его ориентации, и хДи)=^ — тс (и) в противополож-
противоположном случае be ли кран и. каждой грани удов яетворяет условию
2% 00 = 0 (mod 4),
то граф является 4-хроматическим
Всегда можно предполагать граф связным, кажд}Ю вершину х
пометим некоторым коэффициентом р(х) определяя эги коэффи-
коэффициенты шаг за шагом
Д1Я некоторой произвольно выбранной вершины хп положим
р(х0) = 0,
для еще не помеченной вершины у, смежной с уже помеченной
вершиной х находим р(у), образуя р(х) —|— тх:(а: у) в случае если
ребро ориентировано от х к у, или р{х) — г. (х у) если ребро
ориентировано от у к х и добавляя или вычитзя число, кратное
четырем с icm чтобы оставшееся число было ^> 0 и ^ 3
Таким образоя, функция р(х) может принимать только значе-
значения 0 -f-1 -J-2, -L-d и будет определена дчя всего графа (так
как он связен), значение р(х) для каждой вершины х определится
однозначно, ибо если при определении р(х) взяты два различных
ПуТИ <1, — Р! [АГ0, X] И JJ-2 = 1^2 1л0» ХЪ ТО ^икл ^1 ~ а2
краев некоторых граней (в силу теоремы 1); значит
2 %.(и)=зО (mod 4),
ИЛИ
2 т:[Ч (и) =: 2 ^j.,(u) (mod 4)
Приладим вершине х цвет t = p (х), тогда все вершины окажутся
окрашенными четырьмя различными цветами, причем никакие две
смежные вершины не бул>т окрашены в один и тот же цвет
Ч И Г. Д.

238 ГЛ 21 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
Теорема 3 (Тэт[7]) Пусть О — плоский однородный граф сте-
степени 3 без перешейков, необхиди ное и достаточное условие воз-
возможности такого раскрашивания граней графа 4 цветами, ара
котором никакие две смежные грани не окрашиваются в одина-
одинаковый цвет, состоит в том, чтобы G принадлежал к хромати-
хроматическому классу 3
1° Ьслм грани G можно окрасить четырьмя цветами а р у, о\
то пометим цифрой 1 ребра разделяющие 1рани а и (J или грани у
и 8, цифрой 2 — ребра разделяющие грани а и 7 или грани р и 8;
цифрой 6 — ребра, разделяющие i рани аи? или граьи C и у Ява
смежных ребра никогда не могут оказаться помеченными одной и
той же цифрой (иначе имелись бы две смежные одинаково окрашен-
окрашенные грани); следовательно, граф G принадлежит хроматическому
класс} 3
2° Ьсли граф О принадлежат к хроматическому классу 3 ю
каждому ребру и* двойственного графа G* отнесем коэффициент тс (и*),
равный 1, 2 пли 3, смотря по тому имеет ли ребро и цвет 1, 2
или 3 Как показывает исследование однородных графов (гл. 19),
всегда можно ориентировать ребра в соответствии с условиями леммы
Тогда, в силу леммы, граф О* б}дег 4-хрома1Ическим, и тео-
теорема доказана
Обобщение
Предыдущие поияшя можно повторить и обобщить, обратившись
к более продвинутым топологическим теориям выходящим за рамки
настоящей клиги ]). Мы ограничимся лишь кратким очерком
Любой граф G можно предстанигь в трехмерном пространстве так,
чтобы никакие дна ребра не пересекались, такое представление будем
называть топологическим графом и обозначать снова через О Если
? — некоторая поверхность в пространстве R3 и если существует
взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение з
графа и в 5, то как известно никакие два ребра в zG не пере-
пересекаются; по определению <зО есть S-топологический граф В слу-
случае, когда ? — плоскость, мы возвращаемся к понятию плоского
топологического графа
Чтобы не затруднять интуитивного понимания, ограничимся здесь
конечными, замкнутыми и ориентируемыми поверхностями2); для па-
') См., например, Lefschetz Ь, Introduction to Topology Princeton
University Press, Princeton, 1949.
2) Напомним, что топологическое пространство i есть поверхность, если
каждая точка х ?S обладает окрестностью, гомеоморфной внутренности круга;
если все эти окрестности могут быть ориентированы когерентно то поверх-
поверхность 6' называется ориентируемой. Наконец, если -S — компактное про-
пространство, то говорят, что поверхность S замкнута] так, сфера является
замкнутой поверхностью, плоскость —незамкнутой. Результаты аналогичные
упоминаемым здесь, можно установить и для неориентируемых поверхностей
(см. |5]).

ОБОБЩЕНИЕ
1239
кой поверхности 5 Nfo>KHO определить ее род g как наибольшее ко-
количество замкнутых попарно непересекающихся кривых, начерченных
на поверхности и не разбирающих ее Так, сфера имеет род 0. тор
(автомобильная камера)—род 1 и т д
Из общих теорем (см ]1]), следует, что каждый конечный граф
можно представить на поверхности 5 достаточно большого рода,
далее S-топологическому графу О можно поставить в соответствие
S-топологический граф G* точно так же как был определен двой-
двойственный граф в плоском случае Если y(G) означает хроматическое
число графа О, то положим
т (S) — max {7 (O)/G является 5-топологическим},
¦у' (S) = max {л/полный граф порядка п является S-топологическим)
Очевидно т' (S) < 7 (SJ)
Для поверхности *S рода g положим
ng— целой части (y
1 )
Тогда
= 0 (сфера)
= 1 (тор)
= 2 (крендель)
и т. д.
Как показал Хедвуд2), для поверхности S рода g > 0 (т. е от
личной от сферы) y/Ci ^ -
V
1) Риигель показал [11] что для любой замкнутой поверхности 5 (ори-
(ориентируемой или неориентируемон) рода g =t 0 имеет место равенство
Y' (S) = y (S)- — Прим иерее.
2) ^оказательсгно см., например, в книге Гильберт Л. и Кон-
Ф о с с е п С , Наглядная геометрия, ГТТИ, 1951

240 IЛ 9! ПЛОСКИЕ ГРАФЫ
Обратимся теперь к числ} /(S) Ринге ib показа"! [Ь] что на но
? рода g > 0
ng— 2<T
Хедв)д высказав предположение, чю нсетда r'(«S)=*z ^!a гипо-
гипотеза была проверена Хефтером (Hcffter) 'ии ^/^1, 2 7 и Рнн-
гелем для ^-^8 9, а также для весьма большого количества других
?начений Д;гя тора Т например где #—1, имеем f'{T) = 7, и пол-
полный i раф с 7 неришнами можно поместить на торе, как показывает
ряс 21 — 10 кроме того "[(Т)^7 (вс!едствие формулы Хедвуда) и
f G") ^> "|' G) — 7 откуда окон чате чьи о
') Подробную библиографию по вопросам раскрашивания карт (и графов)
можно найти в статье Кокстера [10] —Прим перев

Добавления
16 К Ьерл

L Об общей теории игр
В главе б мы дали общее определение игры с полной информа-
информацией; если не ограничиваться рассмотрением только той информации,
которую дает игрокам положение игры то определение игры услож-
усложнится, но граф, задаваемый правилом игры, может по-прежнему
изучаться на основе тех же общих принципов
Для двух игроков (А) и (В) определена игра, если заданы:
1° Абстрактное множеово X, элементы которого представляют
собой положения игры
2° Отображение Г множества X в себя, называемое правилом
игры.
3° Разбиение (Хо, ХА Хв) множества X, при этом
Хо= [х(Гх = 0};
говорят что в любом положении из ХА ход (или право играть)
принадлежит игроку (Л), а в любом положении из Хв ход принад-
принадлежит игроку (В)
4а Разбиение U = {UX U2, ...) множества ХА и разбиение
y3z=(Vv V2, •.) множества Хв, У называется схемой информации
игрока (A), U?U — множеством информации игрока (Л), пред-
предполагается, что мощности множеств Vx при всех положениях х из
одного и того же множества информации одинаковы.
5° Для каждого множества информации U—семейство {<Й/Л ? Нц\
таких однозначных отображений U в X, что
(i)
B) vW
если у = vhx то говорят, что h есть индекс положения _у относи-
относительно х
6° Для множества Z= {^/Г~1х=0)—основной вероятностный
закон, tcd = {л0 (z)(z ? Z|
7° Две числовые ф>нкции fix) и g(x) определенные на X и
называемые функциями предпочтения игроков (А) и (Б).

244 ДОБАВЛЕНИЯ
Партия протекает следующим образом: начальное положение х^
выбирается в Z наудач), в соответствии с известным вероятностным
законом ~3> если множество информации U, содержащее х0 принад-
принадлежит Ц, то игрок (А) будет знать не положение хп а только
содержащее его множество информации U, Имеем
Гогда игрок (А) выбирает в Я^ некоторый индекс h определяя
I6M самым положение игры jc^—v^q Если Х\^Хв то игрок (В),
не знающий всего происходипшего до этого и информированный
лишь о том, что положение игры принадлежит множеству V? Т\
яыбирае] индекс к в Hv> это приводит к новому положению игры
х2 — vv'i> и т д Игра окончена если положение х таково что
Г* = 0
Стратегией з игрока (А) называется однозначное отображение
относящее каждому множеству U из // такой индекс h^alJ, чго
oU^Hfj, множество этих индексов обозначим через 2л» говорят,
что (А) придерживается стратегии о, если каждый раз, когда по-
положение игры принадлежит множеству U ?U, он обязательно выби-
выбирает индекс h^^U
Пели два игрока придерживаются соответственно стратегий а и т,
то множество положений, получающихся из исходного -Vo, полностью
определено, и это множество мы обозначим через (jc0, а, т), выигрыш
игрока {А) по определению есть
*г ^ = sup
Ожидание выигрыша тл\ рока (Л) есть
Точно 1ак же ожидание выигрыша игрока (В) есть
Цель каждого игрока coltovit в выборе такой стратегии при ко-
юрой ожидание его выигрыша будет Е1аибольшим с учетом возмо/К-
ностей выбора у противника
Как и в главе б, назовем пару (а0 т0) точкой равновесия, если
Если игроки придерживаю [Ся страте1ИЙ. представляемых парой
(з0. -0) то ясно, что ником) из них не выгодно независимо от дру-
другого менять стратегию

общая теория hip 245
Ситуация в которой оба щрока (А) и (В) выбирают одновре-
одновременно точки о и х и в которой игроку (А) приписывается выигрыш
F {о т). а игроку (В) — выигрыш О (с -) тоже есть игра, называе-
называемая норма гьной формой первонача 1ьной игры
Пример 1 Каждая игра с полной информацией ее j ь hi pa схемой
информации которой служит дискретное разбиение
Таковы, например, шашки, шахматы и др
Примьр 2 Игра в бридж Представим себе партию в бридж
посте объявления „Юги „раскрывает карты" Ьсли (А) означает
лагерь Север—Юг, (В) — лагерь Восток — Запад то подучается
игра днух лиц, будучи рассматриваем как один игрок, (В) тем
не менее состой i из двух агентов не передающих др>г другу све-
сведений, но имеющих общую цель Z есть множество различных воз-
возможных „данных" Обозначим через С Ю В, 3 множества карт
находящихся в данный момент в соответственных руках, череа
R— множество карт, уже сброшенных, с указанием кому они при-
принадлежали и в какую взятку входили череч Т—множество карт,
разложенных па стопе во время очередной взятки с указаниеьт,
кому они принадлежат (если это множество пусто ю 7 указывает,
чей. ход)
Положение игры лг будет опредечяться множеств л м и С 10 В, 3
и „направпенными" множествами R и Т
Имеем f (х} = hi(R), g(x) = h2(R), где h{ и /z2 — возрастающие
функции, зависящие от применяемой системы обозначений Например
для игрока Запад множеством информации Uo, содержащим поло-
положение игры xQ—-(С^ /О0 Во, 3g Rq 70), будет множество положе-
положений (С 10 Л, 3 R, Т) д!я которою
/о=ю0
вис == я0 и с,
Пример 3 Игры с совершенной информацией об игройе (В)
Говорят, что некоторый игрок имеет совершенную информацию
об игроке (В)г если а данный момент игры ему известны множества
информации, с которыми сталкивался игрок (В) в прошлом а также
индексы, которые он выбирал

246 добавления
Говорят, что игра является напоминанием для (А), ее та игрок (А)
имеет совершенную информацию о самом себе Игра в бридж ecib
напоминание для Севера — Юга но не для Востока — Запада.
Комбинированные стратегии
Чтобы исключить роль хитрости при принятии решения, Э Борель
ввел понятие комбинированной стратегии Для определенности
предположим, что стратегии игрока (А) образуют конечное множество
2д— {о1, а2, . ., ош}» и рассмотрим некоторое распределение вероят-
вероятностей s={sA/?=lr 2 m, в 2а, имеем.
sJ>0 (&= 1, 2, ..., т),
т
2 «5 = 1;
Jfes=l
по определению, вектор s —($г, s2, .. , $т) есть комбинированная
стратегия игрока (А). Простая стратегия такая как ik, предста-
представляет собой комбинированную стратегию вида @, 0 О, 1,
0 0).
Говорят, что игрок (А) придерживается комбинированной стра-
стратегии s = C$l, s2, •«., sm), если он выбирает наудачу прост)ю стра-
стратегию в 2U» приписывая стратегии ofe вероятность sk
Теперь ясно, что такое поведение игрока (Л) полностью сводит
на нет проницательность противника ибо наилучшее средство поме-
помешать игроку (А) состоит в том чтобы самом) не считаться с тем,
что он собирался делать но принятия решения Как мы у вили м.
имеются и другие, еще более важные преимущества
Если (А) и (В) придерживаются соответственно комбинированных
стратегий s и t, то ожидание выигрыша игрока {А) б)
F (s t) =* 2
Обозначая через S и 7" множества комбинированных стратегий
обоих игроков, можно доказать основные результаты
Теорема Фон Неймана — И э ш а. В комбинированных
стратегиях всегда существует точка равновесия (s0 tG):
G(s0 t)<G(s0 to) (
Теорема К>на — Бёрча Fcau игрок (Л) располагает
совершенной информацией о своем противнике, то существует
точка равновесия вида (з0, t0), где so?2^> t&€ 7

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЖР
247
Наибольшее ожидание выигрыша для игрока (А) которое можно
гарантировать при комбинированной стратегии есть
mm
s т
При простой же стратегии можно гарантировать
ctj = max min F (с, т).
Так как
то ao^>af, причем имеется много случаев, когда
б
а0 ^ а, поэтому выбор комбинированной стратегии позволяет
гарантировать больше, чем выбор простой стратегии Более того,
никакой способ игры не позволяет гарантировать больше, чем
позволяет гарантировать комбинированная стратегия (как пока-
показывает теорема Фон Неймана—- Нэша при G= — F).
Пример (К}н) Рассмотрим игру, определяемую рис 1: граф
(X Г) здесь представляет собой прадерево /(лг)~—g(x) и значе-
значения функции f(x) в различных концевых вершинах равны 0, 1, —1 2
и —2 как показано на рис>пкс [значение /(х) в остальных верши-
на\ можно считать равным —со и это не помешает так как игра
конечна] Принимаем h = 1 или 2. смотря по тому, идем мы вправо
или вчево
Основной вероятностный яакон есть «0 = \ -<г у ^ \ t а выбираемая
наудачу с одной и той же вероятностью вершина есть гЛ или z2.
Конкретно эта игра описывается следующим образом Игрок (Л)
состоит из двух лилов {А{) и (ЛО не имеющих права непосред-
непосредственно сообщаться а игрок (В) представляет собой одного-един-
ственпою агента Две карты, на одной из которых написано „старшая",

248
ДОБАВЛЕНИЯ
а на другой— „младшая* наудач> распределяются между агентом (Л')
и агентом (В) агент, обладающий старшей картой получает один
франк от обладателя .младшей карты и может тибо продолжить, либо
лрекрашть игру. Если игра продолжается, то (Л7/) не зная данных
может либо взять карту у (Аг) аибо взять карту у (В) а ему отдать
карту, принадлежавшую (Л') Снова владелец старшей карты поту-
чает один франк от обладателя младшей карты
Ожидание выщрыша игрока (А) есть
Значения этой функции для разтичных возможных стратегий даны
в счедуюшей табчице*
(В)
(А)
a*U' = U *{U =1
U' = 2,
•=2
- 1
= 2
0
i)
1
2
1
2
1
0
0
Есш «lpok (Л) придерживается простой стратегии то он до ы<ен
выбирать а2 ют ^, гарантирующие ему нулевой выш рыш In io время
как а2 и а1 гарантируют только —-о)* Допустим теперь что он
прпдержявае1ся комбинированной стратегии so^@ -^ -^ 0)
т е.
что он механически выбирает между с2 и а3 с о^шнаковь^щ вероят-
вероятностями, это гаратирует — вместо 0 ибо
4 '
I
1 1
Нельзя )арантиро»ать больше пак как если (В) будет придержи-
придерживайся стратегии to^=('o*' ~>)> то ожидаемый выигрыш окажется
— —

ОБШЛЯ ТЕОРИИ Т[ГР
249
Замечание Определение наилучшей стратегии (комбинированной)
есть не чго иное как чиненная программа В самом дече игрок (Л)
ьожст гарантиролать по меньшей мере о. тогда и только тогда когда
вектор s = (sn* s2 sm) такок что
' > 0 (/ = 12
т).
т
Есчи по.южи1ь
то пот>чим
2*'=i.
i = i
f (s x/)>G G=1 2 п)
\ xJ) — alr — — х, и допустить что а > О,
т),
^i 2
V Г 1
т
Ищется наибольшее число а для которого эти соотношения
совместны, задача сводится к нахождению таких х( что
(i= 1, 2 /и),
л:, >0
гк
G = 1. 2 .
я).
имеет наименьшее значение.
i=\

//. О транспортных задачах
„Транспортной задачей" называют всякую задачу, которая анали-
аналитически выражается следующим образом даны целые числа at* b*
с) и d'j (где i^Cm, y^n), ищутся гакие целые числа *}, что
A)
171
2 3
m n
B) 2 2^/^j имеет свое наибольшее значение.
Задачи такого типа встречаются особенно часто при планирова-
планировании поставок, распределении товаров между потребителями и т. д т
а также в вопросах, имеющих более теоретический интерес
Транспортную задачу приписывали последовательно Хичкоку [7],
который сформулировал ее в 1941 году, Купмансу [9], независимо
изучавшему ее несколькими годами позднее; Л В. Канторовичу [8],
который исследовал непрерывный случай В действительности Монж [11]
сформулировал ее еще в 1781 году, и его исследования, веи>ма гео-
метричкые, были продолжены в 1928 году АппелемA]
Замечание 1. Если система вида A) и B) имеет решение су, то,
очевидно,
Кроме юго екчадывая нее \), получаем
и т
*, = 2«,.
Наконец, привлечем вспомогательную транспортную сеть с верши-
вершинами х1$ х2, . . хт, yv >'2, уп> х0, z, у которой вход хп

ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ 251
соединен с каждой точкой х( дугой пропускной способности a t
каждая точка х{ соединена с каждой точкой yf дугой способности с\
а каждая точка у} соединена с выходом z дугой способности ?-. Если
задача разрешима, то в силу теоремы ГеЙла (гл. 8)
E) 2тахК 2*;1>2*, УсA,2 я)).
Услоаия C), (А), E), будучи необходимыми, в то же время доста-
достаточны для существования решения задачи
Замечание 2 Можно считать, что все d) ^. 0; действительно,
в противном сл>чае, полагая
h = — mind1, > 0,
будем иметь
Новая задача состоит в том, чтобы максимизировать 2 2е) lj*
Это замечание показывает что замена требования максимизации
требованием минимизации не меняет характера задачи.
Пример I (Хичкок). Требуется назначить маршруты нефтеналивных
судов зная, что имеется т портов погрузки х^ х2, ., хт и я портов
разгрузки У], у? • Уп, допустим, что стоимость рейса из xt в yf
сос[авляет dj и что порт погрузки xt располагает д* судами, а порт
разгрузки уу нуждается в Ь^ судах
Если мы обозначим через tj число судов, которое следует отпра-
отправить ш порта xt ь порт yf и будем стараться минимизировать пол-
полную стоимость 2^/^ то ПОЛУЧИМ аналитическое выражение, указан-
hol выше (где с'=-h оо)
Пример 2 Задача о котловане и насыпи (Мотк) Даны две
поверхности 5 и 7, на первой поверхности 6 распределены массы,
которые нужно перенести на вторую поверхность 7 таким образом,
чтобы полная стоимость транспортировки была наименьшей
Полагая ;/ — I koi да единица массы переносится из точки х, ? S
в точку yf ? 7 к обозначая через d) расстояние от х, до yf мы
придем к задаче минимизации выражения
2

252 ДОБАВЛЕНИЯ
(В действите гьности ввиду непрерывного характера зацачи сум-
суммирование надо заменить интегрированием )
Чисто геометрическими рассуждениями легко показать что
\° Оптимальная траектория единицы массы из xt ?S в ^g Г есть
отрезок прямой ¦*,>'/> причем никакие два таких отрезка не пере-
пересекаются в точках, отличных ог их концов
2 Отрезки xt\fj образуют оптимальною систему если существует
вь! пук лая поверхность R, для ко юр ой все отрезки xiyJ служат нор-
норма чям и
\налогичная задача возникает когда некогоро*. количество веще-
вещества надо перенести гпо чайной ножке" из одного хранилища
в др\гое
Пример 3 Оптимальное назначение лиц на должности (Вото
и Орден! 13]). Имеется п рабочих хг х2, , хп которых надо
распределить по я машинам у^ у2> У и* Производительность
рабочего xt на машине у выражается числом d} которое легко
находится посредством испытаний Положим </= 1 есчи предпола-
предполагается прикрепить рабочего xL к машине у}, и \) — 0 в противном
с 1учае, задача состоит в максимизации потной производительности
y^d'j^j при )счовиях
п п
Zi Чf = 1 Zi Ч -"¦'¦ !
Значит, мы имеем здесь чело с транспортной за чачей
Примьр 4 Распределение товара, по транспортной сети
(Ордем [121) Рассмотрим граф (ориентирова){ный) с. п вершинами
х1 х^у , хп и пропускными способностями cj =^ с (х х\ его дуг.
4 также некоторое целое число р ^ nt допустим что в каждой вер-
вершине хг где i^p имеется в избытке некоторое количество at товара,
& в каждой вершине xf п.е i ^ р имеется потребность размера Ь,
в этом товаре
Допустим еще, qio
i Ср j>р
Если (х( хЛ—дуга графа то можно перевели iu x( в х- неко-
юрое количество l)]^i) товара причем стоимость перевозки единицы
товара равна d) Требуется удов штворцть все потребности миними-
II П
зир>я полную стоимость перевозок

ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
253
Для приведения эюй задачи к каноническом) виду б}дем искать
такие числа rfr чтобы
т .
при i -±- j
¦((. =- U при i = у
Э 5 и числа т? удов чел поряют условиям
0)
я
.' =- а а =--1 2
о <
о <
Требуется минимизировагь
0
-ьг а у
; {^ -а у)
0 ^= л
п
гле
при i =- у
< )фи i- J ,
-j-oo при i-tj, {х^ x
Мы полечили искомую каноническую форму
Пример 5. Задача о екгаде (Каи |2]) Pai-смотрим наличные коли-
чеелва некоторого товара ил складе в разтичные моменты времени
12, , п и допустим что известны
k — полная вместмость склада,
/0—начальное количество хранящегося товара,
pt — стоимость продажи (за единицу) во время i
qt стоимость покупки (за единицу) во время i
гг— стоимость хранения (за единицу) во время i
Будем в течение промежутка времени от \ но п производить
куплю и продажу товара так чтобы в конце количество его оказа-
оказалось раиныч первоначальном) ?0 При этом ищутся ^дтя каждого О
а, — количество товара проданное но время i
^ — количество товара, приобретенное ш время i,

254
ДОБАВЛЕНИЯ
Т*
V
¦ количество хранящегося товара после продажи старого;
количество хранящегося товара после покупки новою.
п
Залача состоит в максимизации полной прибыли У] (P^i—9$t~
при >словнях
i^i
(О
— а,.+\ —7/-»-! = 0 (г = 1, 2, ... п—1);
—*' —0
О
0
О
О
= 1, 2, .... л— 1);
со;
< со;

ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ 255
Э\ъ задача сразу сводится к задаче распределения товара по
транспортной сети (пример 4), при ti = 4 соответствующая сеть и
потоки по ее дугам показаны на рис 1, если, товар нормирован, то
полное количество, которое можно купить во время л есть данное
число г0 и мы получаем граф, изображенный на рис 2.
Венгерский метод
Как читатель смог уже }видеть из условий A) и B), фанспорт
ная задача является частным случаем „линейной программы", как та-
таковую, ее можно решить при помощи симплекс-метода (Данциг [3) ),
а теория графов дает заметные упрощения обычного процесса (см [6]).
Ми изложим здесь вкратце совсем иной метод, непосредственно опи-
опирающийся на теорию транспортных сетей (гл. 8), который оказы-
оказывается значительно эффективнее симплекс-метода Эгог метод, раз-
развитый вначале Куном [10] был затем обобщен Фордом и Фалкер-
соном [5], Фладом [41 и др
§ 1 Здесь нет необходимости обращаться к аналитическим мето-
методам, и мы, не уменьшая надежности останемся на более интуитивной
точке зрения теории графов
Рассмотрим некоторую транспортную сеть G с дв^мя непересе-
непересекающимися множествами вершин Х^=- \х^ х2 , хт\ и Y= \yi> Уо> -•¦
. ., уд] Соединим вход х0 с каждой из вершин Х{ д^гой пропуск-
пропускной способности г(дг0 х^^а^ каждую вершину yj соединим с вы-
выходом z дугой пропускной способности с {у. z)^bj, наконец,,
соединим каждую вершину xL с каждой вершиной у} д>гой пропуск-
пропускной способности c(x[t у}) = с1. Ищется поток о(«), насыщающий
выходные дуги, т. е. такой что
Работа этого потока, по определению, равна
m n
Общая транспортная задача как она была определена выше, со-
состоит в нахождении потока <р» насыщающего выходные дуги и
производящего наибольшую работу
Наряду с этой основной задачей мы рассмотрим двойственную
задачу, которая ставится следующим образом, назовем бюджетом
функцию ^(и)^-0, заданную на дугах транспортной сети G и га*
кую, что
B) 7 (хо> xi) ~Ь Т (xi* У/) ~Ь Т (>'/ z) ^ ^) (' ^ т» J ^С Ю«

25в добавления
можно толковать как денежн}ю сумм), которую надо уплатить
за все транспортные средства при перевозке по луге и, транспорт,
курсирующий по пути [xQ. xr уг z] оценивается наибольшей полной
стоимостью работы й) которая при этом будет совершена
По ножи м для краткости
Способность бюджета у определим как
rt т а п
г 1 V V "V г / г V ; о
с ({\ =^ 2j atat ~^ 2j 2j с, Т - "^ 2d bjpj
Поставим задач> найти бюджет ^ с наи меньшей способностью
Лемма Для любого бюджета у и любого потока <•
В самом деле, можно написать
отк\да
in п т п т п
а и =_ v 2 "у, < 2«,2 ?;•
т т та п
чю и требовалось
В си iy этой геммы если существ>ют поток •& и бюджет у»
BJIeтвopяюш^тe условию d [cpj r= ^ [-у] то ^ — искомый поток
§ 2 Для ) прощения вькладок чоп^стим, что вес с1 бесконечны,
тогда все "{1. равны ну 1Ю Двойственная задача состоит теперь в на-
нахождении таких шеел ot/^-O и 8;^>0. что
a/ + Py>rf; (i^b 2 , т, ;—I, 2 . , /t)
Наряду с основной и двойственной задачами рассмотрим я^яо-
могагпе гьную задачу которая ставится с 1едующим образом каждому
бюджету у отнесем вспомогательною транспортную сеть G(, получае-
получаемою из G }датением тех jiyi {x{ у,), Аля которых
Требуется теперь найти наибо чьший поток по транспортной
сети О

ТРАНС ПОРТПМН WIA4H 25?
Теорема 1 Если при бюджете ^ граф 07 допускает по-
поток f насыщающий выходные дуги то ^ - бюджет с наимень-
наименьшей способностью а с — поток по G производящий наиболь-
наибольшую работу.
Очевидно о есть поток по сети О. и он насыщает выходные
д>ги О Его работа равна
Tin П\ П
Значит, в силу леммы у явтяется потоком по О производя и in м
наиботыиую работу а т —бюджетом с наименьшей способносчью
Теорема 2 Гели при бюджете у сеть О. «? допускает
потока, насыщающего ее выходные dvzu, то можно найти новый
бюджет [' со способностью с\-\']<с\^]
Действительно, пусть <р — наибольший поюк, не насыщающий
выходных д>г сети Оу а силу георемы Форла и Фалкерсона значе-
значение этою потока равно протсклой способности того разреяа UJ\,
который он насыщает Пусть
А^ JjCj, x2 xr yv у2 . у, z\
Поскольку Uа—разрез с наименьшей пропускной способностью,
он не содержит д>г пропускной способности с>о; значит ил / > г
j ^s следует что (х{ у) не ятяется дугой графа От г е что
а, 4- ^ > dlr
, можно считать, что все х, > 0 или псе р;. > 0 ибо в про-
с чу час для некоторой пары (I у) имело бы место равенство
riycib например
a, > 0 U = 1 2, . ет)
Положим
д, при i < г,
а = 1
л( — 1 при I > /•;
ру Г[рМ / < 5,
р; -f 1 При / > 9
Покажем что велимм'ы а^ я 0' образуют бюджет у', если / > л
у'4« то ах -f- p^ > ^/J, значит
] 7 К Вер к

258
Кроме того, есчи i > г, то <х1 > 0, поэтому
Способное!ь нового бюджета равш
т п т. п
i=l l l JT\ } } i-r-] ' j-i-
О (сюда
т /г п \ т
t e способноеib нового бюджета меньше Ч1.м первоначального.
Ч И Т Д
Алгорифм дпя нахождения потока производящего наибольшую
работу можно теперь описать так отправляясь от бюджета -f, опре-
определяемого условиями
at =- max d},
ищем наибольший поюк iio сети От Если этот поток не насыщав!
выходных дуг, то определяем новый бюджет у' и повторяем все сна-
сначала, ест и же этот поток насыщает выходные дуги то он \\ дает
решение
^ 3. Сели не предполагать более, чго все с\ бесконечны, то надо
6}дет учитывать числа ~1 и всегда можно считать
~j = max (О, dl} — ai - ^
Надо поэтому рассмотреть три сцчая
° } ; (т е
Определим, как прежде, транспортного сеть Gv с теми жед^ами,
чю и О но обладающими теперь пропускными способностями.
ci 0 = 1. 2, , /я)
с\ при 0,
1 0 при (t у ? Q U Я»

трхнспоиные задачи 259
Теорема Г Lt ш при бюджете ^ cemb Q допускаешь по-
поток f насыщающий все выходные дуги, пю -* __ бюджет с паи-
меньшей способностью; кроне того, для сети G nomoit <p, произ-
производящий наибольшую работу определится следующий образом,
Vj при (I, j
I с1; при (г, j){. R
В самом дс-ie
;/7
m л
-2^ S 4-2 tM-l- S («,-иР/н-f;)^ =
Значит d[^) — c[-[] и в силу чем мы ср-. искомый
Теорема 2/ he ли при бюджете у сеть G не допускает
потока ф, насыщающего выходные дуга т0 можно на Яти новый
бюджет у' со способностью f [y'j <. с |у]
Действительно пусть ^^ наибольший поток ло G^\ согласно
предположению он не насыщает выходных ДуГ рассмотрим такое
множество
А= {х1 х2, , хг уЛ у2, . л у^
что
т
Можно считать как и в leopewe 2, что все а > 0. Пою эким теперь
f I 1,— 1
T/ = j 7J+1 "Р« *>'. J<s (i у)
/'' в остальных ст
Сперва покажем, что новые числа опять определяют нскоюрый
бюджет; HMteM xj ?> 0 ^>-0 "f'K^^» Чтобы про верить ''Т(> зна-
значение ае- —^ ^ -*- \}—dL) остается ^-0, изучив с помощью
изченение А этой величины.

2C0
TOE АНЛЫНИЯ
Таблица 1
р
l > г
! > •
т1
0
0
i
J
Q
< г
< s
0
0
0
0
Q
t >т
! < s
-1
0
0
—1
Q
i > г
— 1
0
0
R
1 < Г
} < ¦"
0
0
0
I?
i -< г
j > S
0
-\ 1
—1
0
I > Г
> г
-1 '
О
-1
о
—1
1
о
о
Едгшсшенный сл>чай когда Л ==-=
(Л У)€^ имеем
— 1 нас не затрудиии ибо ири
Теперь убедимся чго спосо6рос[ь бюджета )меиышмась, именно,
= е [7] - 2 о, + 2 *, - S с -\ 2 «; + 2
г>г />« |<г i>r J i>r
пли, окончательно,
Теорема полностью доказана
Замечание Если даны числа с"! ^ сг > 0 го можно обобщить
задачу, налагая условия
a
Мы пруиодим 1ч классической транспортной задаче д.1Я вспомо-
тательной сети G, определенной в главе 8 (up. 93), во всех слу-
случаях процесс, который следует осуществлять будет icm же, что и
(стр 258)

I/I. Об использовании понятия потенциала
в транспортных сетях
Зададим связный граф G = (X U) и дяя каждой вершины
зададим целое чисто д(х) (оно может быть и отрицательным) кото-
которое назовем избытком в вершине х Б}деч говорить что функ-
функция f(w), определенная на всех дугах ы??/ представляет собой
поток, совместимый с избытками q{x) если
Г
S «(и)- 2 v(u)^qix) {x?X)
(В транспортных сетях, рассмотренных в главе 8, избытки равны
нулю везде, кроме входа х{) и выхода z, где они неизвестны.)
Если [х— (ар uv .)—некоторый цикл 1рафа, то обозначим
через V (\l) множество дуг а направленных в сюрон} обхода цикла,
а через ^"(jx) — множество дуг р противоположного направления
Функция г(и) определенная на всех дугах u?U называется раз-
разностью потенциалов если для любого цикла \х имеет место
aCV'ya) u?V"(u)
Зачечание i Ec.in соотношение A) выполнено Д1я всех циклов
некоторой фундаментальной базы, то оно выполняется и для любого
цикла графа
Замечание 2 Если с} шествует разность потенциалов тс (и) то
на А' можно определить такую функцию р(х), что длт каждой ду! и
а = (х у) б) дет
B) 1г(я)-1с{х У)=
В самом деае, достаточно в произво »ьно выбранной вершине
\0?Х положить /?(ло)^0 затем определить значение р(у) Д1Я
всех вершин х смежных с х0, потом для вершин смежных с рас-
рассмотренными, к т д Так как iраф связен, р(х) определится шаг
за шагом для Htejo X. В сил) (I) полученное значение з каждой
вершине х б)дет единственным.

262
ДОБАВЛЕНИЯ
Обратно, ести р(л:) — функция определенная на X то, очевидно
т(х, у) = р(х)—р(у) есть разность потенциалов Функция р(х)
называется потенциальной функцией графа
В ботьшинстве задач которых мы здесь коснемся задается функ-
функция г(и) определенная на каждой из дуг к?(/ и называемая со-
сопротивлением этой ауги, функция c(u)——j-r, по определению,
есть проводи иость д}ги и
Задача Дирихле. В данном графе определить поток ср. со-
совместимый с заданными избытками и такой, чтобы к(и) =
= r(tf)cp(tt) являгась разностью потенции гов
Задача Дирихле — Неймана. В данной графе определить по-
поток у для которого к (и) = г (и) у (и) есть разность потенциалов
если в некоторых вершинах х заданы избытки q(x) а в осжагь-
ных вершинах — потенциал р х)
Эти заяачи первоначально возникли при изучении электрических
цепей но их меж но поставить {акже во многих областях чистой
математики или в исследовании операций. Поэтому мы считаем
нужным привести здесь несколько простых и ;»ei ко прияожимых
результатов
Пример 1. Разбиение прямоугольника на квадраты. Данный
прямоугольник аребуется разбить на п квадратов из которых никакие
(а ,
3D
30
16
1 л ±
2
14
S6
8
20
28
Рис 1.
не обладают одинаковым размером Прямоугольник, допускаю-
допускающий такое разбиение» назовем совершенным прямоугольником по-
порядка п Долгое время считалось что совершенных прямоугольников
не с)щсств}ст, первый пример был построен в 1925 г. Мороном

ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАГН
(Moron) а общая теория намечена Спрагом [6] и лачее Бруксом
Смитом, Стоуном и Таттом [2J
Заметим, что с каждым совершенным прямоугольником можно
сопоставить, как показано на рис 1 и 2 некоторый граф О (вер-
(вершинами которого служат [Оризонтальные стороны квадратов) Эгот
граф обладает замечательными свойствами он плоский, связный и
не имеет точек сочленения; кроме того, на G существуют поток f (и)
и разнссть потенциалов iz(а)--= s (и), причем значения ~ па разных
дугах различны
Нахождение совершенного прямоугольника порядка п вводится
к отысканию в полном графе с k вершинами такого частичного
а
2s-
, d ,
W
b.
9 .
.'Л
7
5
2S
Гё l
33
Рис 2
графа для которого задача Дирихле с сопротивлением г (У) з= 1
имеет решение с попарно различными значениями координат
При #<9 совершенных прямоугольников порядка п не ^ше-
^шествует; при «™9 имеется ровно два таких прямо>гольника, они
изображены на рис 1 и 2
Пример 2 (экономика) Рассмотрим следуют} ю у прощен нш
экономическ}Ю модель пусть точки изображают промышленные
предприятия
x2
xk и виды продукции у1? у2
если
предприятие xf использует продукты yY в у2 для производства про-
продуктов Уз и у4, то чертим л> ги.
Если (>-., х{)? U, то проводимость этой дуги будет с1, < 0, !Де
с1 \ — количество продукта у потребляемое предприятием хи когда
интенсивность рабо!ы последнего равна единице, если же (xt у})(~ U
то проводимость б) дет с > 0 где cj — количество продукта уг
производимого предприятием х( при единичной интенсивности работы
Для каждого У пехотный запас продукта у, равен Яу, а коти-
чес]во ^того продукта, которое требуется получить, равно

264 ДОБАВЛЕНИЯ
с какой интенсивностью должны paOoiaib предприятия чтобы до*
биться эюго результата?
Положим
Если с)|дествуе! поток ф, удовлетворяющий этим условиям при
проводимостях с\ то pix^ выражает искомую интенсивность для х1
Если а^(у,, x()?Lf то количество проаукта ytj, потребляемого
преднрия1ием хг, будет
f (У, *,)~РК«,) (-'{) = с) [Р (У,) - Р (*,)]
Если (Xf, y,)^_U то количество продукта у}, изготовляемого
предприятием xt б
Л\ы прцшаи таким образом к задаче Дирихле—Неймана
Задача Дирихле с сопротивлениями г(«)^> О
Положим для простоты r(Uj) = rj, c(ur)=Cj р{хг)=Р, ^
у) = ^;, %(uj)=r.)\ рассмотрим векторы р=(/?1 р2, .., рп),
и
Будем по1ыоваться матрицей инциаснций 5^^') дгги д}г где
О, если х{ не является граничной точкой д>ги aJt
-j-1 если х( есть начало дуги а
— 1, если xt есть KOHeii ду»и и}
использ}ем также диагональную ма»рицу С = (с'Х \ де
0 лри i + J,
<;; при < = ./
Если Му^^(д:р л:2) — д>га графа то можно написагь
;/^ = (s; Р).
Поэтом)
те =
= Сп.

ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛА 265
Теорема 1 Задача Лирихле с сопротив ченияча г(и)^О
имеет решение у притом единственное
1° Единственность Пусть о и у'—два потока удокте»воряю-
щие условиям задачи; потоку у' соответствуют избыток q разность
потенLi.иа 10н я' и (ютенииалъная функция р', имеем q' — q откуда
Так как Cj > 0 при нсех у. ю л=т; и следователю,
? = ?'•
2° Существование Задача состоит в следующем дан вектор
(#lP q2, .... qn); ищется такой вектор р~(/? , р2 .. рч) чтобы
q = Sy = SCn =
Эта система а лилейных )раинений с п неизвестными такова,
что ее решение если оно существует, единственно значит, разре-
разрешимость имеет место тогда и только тогда когда
Det (SCS*) -f= О
Последнее же соотношение непосредственно вытекас] из теоремы
Ольги Та усеки об определителях [7] v)
В задаче Дирихле — Неймана с избытками q (x), заданными
на множестве АаХ, и потенциалами р(х) заданными на Х\А
единственность показывается точно так же как выше; что же ка-
касается существования, го оно было доказано Даффином [3] другими
методами
Теорема 2 Пусть Ф — множество потоков ф совмести-
совместимых: с избытками q^ q2 qn и пусть гх г2 , г,п >¦ О,
поток 9 ^ Ф, для которого 2 г> (?;J достигает своего паи мень-
меньшего значения, — единственный и представляет собой решение
задачи Дирихле (о которой идет речь в теореме 1)
Обозначим через ^р решение задачи Дирихле, через ср' — произ-
произвольный поток из Ф и положим у' (и) = у (и)-J-г (и) Имеем
S г, МУ - S {',<?, + 2W, -+ ',')) = 2 'ft (?/ + ^,) +
+ 2 г, (Е/J = 2 V/ + 2 S ^ (?) - fj) + 2 г,(еу)"
1) Эффективное решение системы является классическим в электро-
1ех1шке, и здесь можно успешно применять теорию графов в сочетании
с методом Крона (см., например, \8]). (Теорема Таусски имеется также в
книге Пароди М., ^1окализация характеристических чисел матрицы и ее при-
применения. ИЛ, Москва, 1960 г л И § 1 —Прим перев.)

266 ДОБАВЛЕНИЯ
Но
2 V/ = 2 ?, B ^ л)=2 ад
Точно так же
7 ^Т П ^—
±J Y/
Отсюда окончате1ьно
Из эюй формулы видно, что наименьшее значение достигается
при с^О. г е. при ^р' = ф.
Задача Купманса
Рассмотрим множество портов x]t х2, , хп и множество линий
морских перевозок их %, . , ит Пусть dj = d (u^) — время за-
затрачиваемое грузовым судном на холостой рейс по линии а и пусть
qt=q(xt) — средний избыток пустых судов в порту л;,; dit qt > 0,
порт xt шюзит больше, чем вывозит, и излишек надо распределить
по порожним кораблям идущим в другие порты Пусть <ру-= <р (#/)—
ко шчество пустых судов которое предполагалось отправить по ли-
линии а Задача состоит в определении потока ф совместимого
с избытками qt и минимизирующего полную стоимость перевозок,
равную (с точностью до постоянного множителя)
2/?,
Поставленная задача относится к общей категории транспортных
задач, для которых выше был дан алгорифм (см Добавление И.
пример 4) Тем не менее применение потенциальной функции и
анато^я с электрическими сетями позволяют получить несколько
иную процедуру
Итак пусть U — множество bcqx рассматриваемых линий морских
перевозок (с указанием направлений) а (X, U) — соответствующий
граф
Мы скажем что частичный граф (X V) является оптимальной
опорой если существует поток ^р, совместимый с избытками qit
минимизирующий (d, ^p) и такой, что
9(«)^> 0 при
= 0 лри

ПОНЯТИЯ ПОТЕНЦИА14
Теорема 3 Если (Х> V) — оптимальная опора то для
каждой вершины х?Х существует такое число р(х) что
— р{х)\ при (x,y
\ d {х. у) = р(у) — р (х) при (х, у) ? V
П}сгь (X V) —оптимальная опора qf—соответствующий опти-
оптимальный поток. Граф (X V) можно считать связным (& противном
случае мы рассмотрим каждою компоненту отдеаьно) Выберем
в этой опоре произвольную вершин) х0 и положим p(\-0) = Qt при
(х> х$) ? V положим
р(х) = р(х0) — d(x, xQ),
при (xQ, у)?V Потоцким
Р(У) ^/К-^ + ^Оо У)
Всякий раз, определив р в некоторой вершине графа мы можем
определить э\у функцию во всех смежных вершинах где она еще
не опредепена и таким образом, шаг за шагом определить р
на всем X
Допустим, что существует дуга и = (х y)?Ut дчя коюрой
и покажем что это допущение приводит к противоречию. Дуга (х, у)
входит в состав некоторого проходящего через х0 цикла вида
I1 = 1-^0' х\' > Х1-\^Х> xi = У> •• 1 xk—хо\>
где
(*t* x<-\) HqH (xi-]< xd?V (t^l, t^Ck).
Обозначим через V («л) множество дуг |i, ориентированных
в направлении обхода, через V" (р)—множество дуг ^ ориентиро-
ориентированных в противоположном направлении, и опреде!им поток <]> сас-
дуюишм образом:
^(и) + 1 при
u)~y(u)~l при
при
Этот поток ф заведомо совместим с избытками и более вы точен,
чем «5, ибо экономия стоимости составляет
d(u) = — d(x,
Но это противоречит отимальности ^
Таким же способом доказывается что не с^ществ^ег дуги
у = (х y)?V, для которой
d(x, у)> р(у) — р{х)
Следовательно, имеет место A),

268 добаплрния
Те op км а 4 Если (X, V)—опора'1) некоторого потока <?,
совместимого с заданными избытками, и если, существуют
числа р(х) удов гетворяющие условию A), tno поток <р— опти-
оптимальный
Имеем
Дня проичвочьного потока ф, совместимого с избы»нами, имеем
п / т \ п
Поэтому ср является оптима1ьным потоком, а (X. V) — оптималь-
оптимальной огюрой
На Э1их результатах основан весьма общий метол решения задач
рассмотренного типа Задавшись возможно более правдоподобной
антисимметрической транспортной сетью (А' V), выясняем является ли
тс (jc, yi)=^ — d{x у) разностью потенциалов дпя этой сети В произ-
произвольно выбранной «ершине хо?Х полагаем p(xQ) ~ Q, с помощью
и»ерационного процесса определяем чначепне р(х) в каждой вер-
вершине следующим образом если в хх значение р уже oпpeдe^e]Ю>
то а вершине у (еще не имеющей значения) полагаем
р{у)= p{x{)-\-d{3sv у) при (*, y)?V,
l)—d(xi у) при (у x{)?V
Если существует такая д>га (х, y)^V, что р(у) — р(х) < d(x, у),
то удаляем ее из нашей транспортной сети Если ж^ имеется дуга
(х y)^U для которой р(у)~ p(x)>d(x, у), то улучшаем кон-
конфигурацию сети по способ) „круговою потока" (см. теорему 3).
Таким образом рано или поздно полечим
у) при (* у) ? У,
р(у)-p(x)<d(x, у) при (х y)?U\V
Новая транспортная сеть (X V) как легко ироверщь допускает
поток, совместимый с избытками, а общий способ нахождения такого
потока был дан выше (гл 16, стр. 168)
!) Определение опоры естественным образом содержится в опре млении
опти нальной опоры, данном выше —Прим перев

ПОНЯТИЕ ПОГЫШИАЛ\
Следуя Купмансу и Рейтер} [4] применим а качестве примера
это г алгорифм к морским путям между портами ^регистрированным
в 1913 голу Получается схема изображенная ка рис 3
:tv J Сингапур/-} . . .
J\ -! /'
S2
„Л'
Рис З Граф оптимальных холостых рейсов судов в 1913 г
— на пунктирных линиях: прололжителыюсти d (x у) рейсов в десятых
долях месяца; к (х, у) — ~ d (x, у) прецстапляст собой разность потенциалов,
— обведено кружком: значение р(х) для порта х,
— в скобках: ежемесячный избыток порожних транспортных средств q
в миллионах тонн
Эта карта заимствована иэ |4] с разрешении
Здесь транспортЕгая сеть яс 1яе»ся дереном Она содержит в силу
теоремы 2 (гл 16) висячую дугу, а так как поток по такой дуге
определяется однозначно то ее можно удалить (соответственно испра-
исправив избытки в ее граничных точках), то же самое проделаем с по-
полученным деревом Таким путем шаг за шагом находим
(f (Иокогама, Сидней) -- 170
^ (Сан-Франциско, Сидней) = 20
ср (Дурбан, Сидней) — 50
<f (Дурбан. Ла-Плата) = 50
<р (Лагос, Ла-Плата) =* 120
V (Афины Ла-Плата) -= ПО
<f (Афины Одесса) — 9C0
^ (Афины Бомбей) -* 290
9 (Афины Сингапур) = 20
cf (Афины Н!»ю-Йорк.) — 150
<f (Сент-Томас Нью-Йорк) = 350
<? (Лиссабон Нью-Йорк) =г 780
ср (Лиссабон, Роттердам) = 460
q (Сидней) ^ — 240 [- 170 =— — 70
q (Сидней) =. - 70 -f 20 = - 50
q (Дурбан) - = 100 — 50 г- -f 50
q (Ла-Плата) = ~ 300 -f 50 - - 250
q (Ла-Плата) = — 250 4- 120 - — 130
q (Афины) ^ 1550—130 — -^ 1420
q Афины) == 1420 — 900-= -} 460
q (Афины) = 400 — 290—4- 170
q (Афины) = 170 — i0 = -f- 150
q (Нью-Йорк) = — 1280 J- 150 — — ИЗО
q (Нью-Йорк) - ИЗО — 350 - + 780
q (Лиссабон) « 1240 — 780 = -f 460
q (Роттердам) =0
Следова]ельно, поток v минимизирует стоимость порожнего
транспорта, конечно в задаче предполагается чго все суда имеют
один и тот ас тоннаж.

/V. Нерешенные задача
а недоказанные предположения
Нижеследующий список содержит нерешенные проб темы которые
представ чяютсн нам особо важными
1 1 лав* 4 Задача о пятнадцати девушках (стр 14) прикодит
к другой задаче не решенной до сих пор несмотря на усилия Силь-
Сильвестра Кэли и многих современных алгебра и стон замечая что число
троек равно 7 X 5 X 13 Опьвсстр поставил Ronpoc можно ли водить
воспитанниц на проулки в течение 13 недель (аким образом, чтобы
1° каждую неде^тю всякие две девушки оказывались вместе один
и юлько один раз;
2е в течение 13 недель всякие три дсв}шки оказывались вместе
один и только один раз
Рс.ш рассмотреть граф G. вершинами которо) о служат 455 воз-
возможных троек и а котором ребро соединяет всякие дне тройки, раз-
различающиеся не более чем одной девушкой то задача сведется к до-
казательству юго чт хроматическое число графа О рл шо в точно-
точности 13 оно никак не может быib больше 13 аналсмичное утверждение
было доказано в „задаче о 9 девушках' С помощью алгорифма
Гомори нашего замечания на стр. 42 и современной вы чистительной
машины мы, без сомнения можем подтвердить иди опровергнуть
предположение Сичьвестра в том виде как оно сформулировано выше
Укажем что задача о тройках важна в теории ^планирования
опытов" и обобщается счеаующим образом если p^k^tn» то
назовем системой [/г р, т] семейстьо $> множеств, содержащихся
в некотором множестве Е из т элементов имеющих по k элементов
и таких что всякое Pet для которого |Р|=/?, содержится точно
в одном S?&. Известно (Штейнер), что системы [4, 3, tn\ суще-
тогда и только тогда, когда
w = 2 или 4 (mod 6)
Извеано также [М)р (Е. Н Чооге) и Рейсе (Д\. Rebs)], чю
системы [3, 2. т] сул1еств>юг тогда и то и.ко »О1ла, когда
т == \ щи 3 (mod 6)

ЗАДАЧИ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ 271
Конструктивное доказатечьство без помощи индукции было недавно
дано Ханани |1]
2 Можьо показать что если G — конечный граф, io числа
Уol(G") имеют конечную верхнюю грань, видит эта верхняя
грань всегда получается преде гьным переходом, но предложение
это не доказано Также очень важно было бы покачать что если
Q(G)=/- а (О), то la(G"+1)~ V а(О")>0 для бесконечного мно-
множества значений п
[Предположение, высказанное Шющепбергером (М. Р Schut-
g) ]
Ъ Какова емкость О (G) графа G изученного Шенноном (см.
рис 4—8)?
4 Гчава 5 Обладает ли ядром сум на двух графов, каждый
из которых имеет ядро} Это было доказано только для случая,
когда каждый из графов-слагаемых допускает функцию Гранди ])
5 \ ;iaua б Если игры Ним (Xv V ), (Х2, Г2), (Хп Гл) допу-
допускают функции 1 рапди, то их произиетеине не всегда лоп>скает
функцию Гранди, однако можно доказать с}ществоиание »акой ф}нк-
ции в случае КО1Д» 1^ = 1^ (при г ^ 1. 2 п) Очень важно
было бы улучшать это условие, мало пригодное дчя фактического
испочьзования
6 Глава 10 Когда в простом графе задано наибольшее паро-
сочетание W (образованное сильными ребрами) каждая чередующаяся
цепь ji позволяет определи!ь новое наибольшее паросочетание
То же имеет место когдл и является чередующимся циклом чет-
четной длины, vi такую операцию мы называем „перемещением" Важная
и не решенная еще задача состоит 8 следующем даны два наиболь-
наибольших паросочетания W и Wr простого графа, можно ш пору-
поручать W из W конечным числом, перемещений'?
Если каждая вершина х?Х смежна с каждой вершиной у?К,
го справедпив более сильный результат, именно всегда можно полу-
получить W' из W надлежащими перемещениями в циклах дчины 4, см.
теорему 2 (»ч 9)
1) Самые npocibic примеры показывают, ч.го с}мма дв)\ графов, имею-
имеющих ядро может ядра не иметь Это будет например выполняться для
графов G» = (XJt I ,) и О2=: {Х2 12) где X. = {я, Ь> с, d), X2 ^ {е, />,
Г,л = {й J}, l\b^{cyd}t Г,с={Й, dj, 11 0 !>/ Г/ 
Прим ред.

272 ДОВ\ВЛЕПИЯ
7 Гллн* П. Задача о книгах (см. стр 123) не решена для слутя
трех илатепьских операций вместо двух
8 Удивительно что до сих пор мы не располагаем систематическим
графическим алгорифмом для нахождения га ми Леоновых контуроп
графа; едина пенный известный алгорифм является аналитическим и.
видимо, може» быть улучшен Его можно описать следующим обра-
образом каждому фактору отнесем чиста с,, где *ij = 1 если фактор
содержш т.угу (xt Xj) и %)< = 0 в противном случае. Имеем тогда
систему соотношений
Я
Ести решение системы A), получаемое симплекс-методом не обра-
образует гамильтонова контура то оно со те ржи г некоторый элементарный
контур [Xtr Х[ 1 где \ix i2, . .)-¦--/ — множество состоящее
менее чем из п индексов Каждый гамилыонов контур удовлетворяет,
кроме A), >стО1зию
B) 2 2 ?}>!
Ищем затем с помощью симплекс-метода решение системы A)
и B) которое, очевидно будет отличаться о» уже найденного Ест и
новое решение опять не образует гамильтонова контура, то выводим,
как иыше некоторое неравенство C) и ищем спмптскс-мстодом ре-
решение системы (!) B), id) и г. л. Таким способом мы через конеч-
конечное число шаго[$ получим гамильтомов контур (если он существует)
Можно ли пронести эту идею в тер чинах транспортных
9 Глава 13. Пока не доказано следующее гфедчожение если
G — сильно связный ?раф с циклоиатическим числом -ч (G) > I
то существует такое множество тросе что каждая вершина
принао гежит по крайней пере двум из этих трасс Это предло-
предложение очевидное для розеток тривиа еьно в случае *{G)~^n, так
что можно ограничиться рассмотрением случаи 1 < v (G) <.'rt Ею
важность обусловлена тем что можно доказать неравенство
* {О) > ~ - \

ЗАДАЧИ и ПРЕДПО-ЮЖЕ^ИЯ /73
{Предположение Ьрэттона (D Bratton) J
10 Ijiaha 14 Метод Уэя —Келдалла (Wei Kendall) (стр 149)
заключается в состаплении регулярной матрицы D с нулями на глав-
главной диагонали и н нахождении ее собственного вектора у, отвечаю-
отвечающего наибольшем) характеристическом) qncij, /, координаты у по-
позволяют тогда квалифицировать я игроков
Рассмотрим теперь игр} со стратегией (см стр 248), отмечающей
матрице у/—D между игроком выбирающим строку и игроком,
выбирающим сто1бец, Томлсон показа т [2J чго искомый вектор у
выражает также оптимальную иратегию (необходимо единственную)
игрока, выбирающего столбцы, доказательства требует следующее
предпоюжение оптимальная стратегия игрока выбирающего
столбцы в игре f D выражается той же классификацией
которую дает вектор у
(Предположение Томпсона )
11 1 лава 20 Какова наибольшая связность графа с п вер-
шинами и т ребра ии? Эга задача представляет такой же интерес,
как и задача о нахождении наименьшего диаметра графа
12. Глава 21. Теорема о четырех красках может оказаться след-
следствием одного весьма общего предложения, которое удаюсь прове-
проверить для многочисченкых семейств графов
Пусть X—множество вершин связного неориентированного
графа Я буд> >ciobho [олорить что некоторое разбиение Л" является
„вполне связным" если каждый класс или обьединение классов поро-
порождает связный подграф Далее я обознач> через JTft множество раз-
разбиений X w k классов. Теорема которую треб)ется доказать, фор-
формулируется следующим образом если при каждом разбиении ^?П„
существуют две смежные вершины одного и того же класса, то
в Пй.ч имеется вполне связное разбиение
Эта теорема очевидна при п=\ и fi-2 и довольно просто
доказывается при п=Ъ Ьсли бы }далось доказать ее при п = \,
то гем самым бъма бы доказана и теорема о четырех красках, по-
поскольку у плоского графа не существует пяти попарно смежных
вершин
[Предположение Креверас (G Kreweras) 1
13. Др>гос предположение, не доказаЕшое и не опровергнутое,
ю которого вытекала бы теорема о четырех красках, состоит в сте-
д\гющем: всякий плоский однородный граф степени 3 без перешей-
перешейков обладает фактороидом все циклы которого — четной длины
(Предположение Тэта (P. G. Tail) ]
18 К

274 ДОБАВЛЕНИЯ
14 Наконец
Пусть S — поверхность G — S-топологический граф с хрома-
хроматическим числом k, при помощи отождествления смежных вер*
шин (т е стягивания ребер) можно получить полный граф с k
вершинами
Это предположение доказано но многих. час»ных случаях Дираком
(G. Dirac); если доказать его для k = 5 го отсюда будет вытекать
теорема о четырех красках
[Предположение Хадвигера (Hadwiger) J 4j
1) Так как S-топологическии граф после стягияания любого ребра
остается 5-топологическим, то из формулировки предположения Хадвигера
можно вовсе исключить упоминание о поверхности Получим высказывание:
всякий граф с хроматическим числом А* .можно при помощи стягивании
ребер превратить в полный к-вершинный граф, из справедливости этого
предположения при k = 5 по-прежнему вытекает теорема о четыре* крао
ках —Прим. nepev.

V. О некоторых основных принципах
подсчета
Ри?е (J Riguet)
Гсти дня данного графа G н>жно подсчитать число различных
типов подграфов или частичных графов, удовлетворяют^} опреде-
ченным условиям то задача требуея алгебраического аппарата, ми
ставим здесь целью изтожшь в весьма общей форме наиболее суще-
существенные принципы
Подстановки множества
П\сть Х~ конечное множество назовем подстановкой множе-
множества X всякое взаимнооднозначное отображение X на X Например,
такое отображение е, что е(х) — х при нюбом х?Х является под-
подстановкой называемой единичной подстановкой Если g— подста-
подстановка X, то обратное отображение g~l также есть подс»ановка X
Если g и h — две подстановки X то результирующее отображе-
отображение gh определяемое как gh(х) — g[fi(x)\ является подстановкой X
Если g — подстановка X а п — натуральное число, то отображе-
отображение gn по определению равное
?*{*) = ggg • g(*)>
ес»ь подстанов]са X, называемая п-й степенью подс1ановки g, Ото-
Отображение g n равное но определению
также предстапляет собой подстановку X называемую минус ге-й
степенью подстановки g. Часто по^гают ^=rf.
Если Для двух элементов х у^Х сущестнует такое цеюе
чис ю я что y=^gn(x) то мы напншем y~g*- Отношение т есть
экптчапептность ибо
x~g^(x) (рефлексивность)
у ~ ga {х) =ф л- ^g п{у) (симметрия),
у — gn {х), z =^ gm (у) гф z = gm n (х) (транзитивность).
О»ношение zg называется транзитивной этевава гентностью для
подстановки g KcJk известно, каждое ошошение эквивалентности

276 ДОБАВЛЕНИЯ
на множестве X определяет разбиение X на попарно непересекаю-
непересекающиеся классы эквивалентности; классы эквивалентности чля g назы-
называются классами транзитивности подстановки g.
Циклом подстановки g называется венкая подстановка коюрал
пол>чится, если область действии g ограничить одним из ее классов
транзитивности сама подстановка g представляе» собой произведение
циклов взятых в любом порядке
Примы? П>аь Х= (а, bc.de) а подстановка g определена
1ак
а (/т\ // гг (h \ г f (/ \ h о (/}\ & а (р\ ^-= п
S v1*/ и* 6 \l J с * S \сJ " с> V**/ с» S Vе/ и
Обычно пишут
'abed
// С Ь €
Классами тран^итирности g сл>ж^т подмножества [a d, е] я \Ь с\,
а соответственные циклы суть подстановки
'a d e b с\ /Ь с a d e*
е a b с/ \с Ь a d e
обозначаемь»е также более просто через {ade) и (be). Таким образом,
можно написати
g —(ade) {be).
Если о — эквивалентность на множестве X. то множество классов
эквивалентности называют фактор- ииожеством X по р и обозна-
обозначают симвочом XJp Рели все классы эквивалентности C^XJ'j обла-
обладают одим и тем же числом элементов, то говорят, что отношение
эквивалентности р регулярно
Подстановка g множества X называется регулярной, если т —
регулярная эквивалентность, в этом случае из x = gn(x) для неко-
некоторого х?Х счедует y = gn(y) для всех
Транзитивная эквивалентность группы подстановок
Говорят, что множество G подсиновок множества X образ)ет
группу, если
Г
2 g
Например, множество Sx всех погстановок X является группой,
называемой симметрической группой множества X. Множество
[е, g gJ g* ...; g~\ g~2t ..

ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТ\ 277
составтсннос всеми цечыми аепенями одной и той же подстановки g,
образует группу называем} ю циклической группой порожденной
подстановкой g
Пусть G — некоторая группа подстановок .множества X есчи
для двух элементов х у^Х существует такая подстановка g?G
что y~g(x). то мы напишем yiGx Отношение xG есть эквива
ность ибо
(рефлексивность);
х —g-Hy), g~l?G (симметрии),
z = h(y) urrL\—r- ~o v-.. ¦-* v - (транзитивность)
О iношение iQ называется транзитивной эквива гентностью
группы G, а соответственные классы эквивалентности -— классами
транзитивности группы G
Если имеется только один класс транзитивности то он совпадает
со всем множеством X. в этом случае говорят что группа G тран-
зитивна
Если g— подстановка X, a G — циклическая группа, порожден-
порожденная g то, очевидно транзитивная эквивалентность g совпадает с тран-
транзитивной эквивалентностью G, подстановка g состоит из одного-
едипственного цикпа тогда и только тогда ко|да циклическая группа
порожденная g, транзитивна
Подсчет числа классов транзитивности
Пусть g—некоюрая подстановка X положим
{, g(x) =
Для произвольной группы G подстановок X и проичвотьного
элемента х ? X положим
Непосредстиенно проверяется, что Gx образует подгруппу i руппы G
Поставим задачу о подсчете числа элементов фактор-множества j
в зависимости от различных \Xg\ г»ри ^G
Лемма 1 Пусть G—некоторая группа подстановок множе-
множества X Gx — подгруппа G образованная теми подстановками G
которые оставляют неизменным некоторый элемент х ? X, тогда
где ?G(x) означает тот класс транзитивности группы G кото-
который содержит элемент х

278
Определим однозначное отображение ъх 1руппы G и множество X
следующим образом.
Имеем f V(G) -=-Q(x), кроме того
Иначе говоря, ^ есть взаимнооднозначное соошетствие
',r и О/О,.
Но, как иявестио, само Gjy~lf находится во взаимнооднозначном
соответствии с fx(G) = xo(jc), тем самым лемма доказана
Лемма 2 ?"^^и х и у — два э гемента одного и того же
класса транзитивности группы G, то
Действительно, для y = g(x), g?G можтю написать
Далее,
i i существует такое &?Gr, что Л =^ g~lkg] =
Значит, имеем окончательно Gy^g-G^, но. как извесшо, если
Л—любое подмножество групгщ G a^ h?G, то |#Л/г| = |Л), ибо
Таким образом, лемма доказана.
Основная теорема Пусть G — группа подстановок мно
жества X, тогда
В самом деле, подсчишвая дв}мя способами такие пары (g, x)
для которых g(x)~x. находим
x| , CD
Но
S|OX|= S 2|О«|. B)

ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА 279
Рассмотрим некоторый ктасс транзитивности C^XJIq и некото-
некоторый элемент х?С, ь силу леммы 2
В сил) леммы 1
\~G(x)
Следовательно,
|
и равенство B) можно записать так:
B')
Сравнивая A) и B'). поi>чаем требуемую форм>л>
Разбиение, связанное с эквивалентностью
Назовем разбиением (п смысле теории чисел) однозначное ото-
отображение а множества {А,, Х2, , А5) натуральных чисел в множе-
множество всех натуральных чисел; разбиение относящее числам Xt, Х2, . ., л^
соответственно числа alt a2, a^ удобно обозначать череа
V- К2' '" V)
Ясно чю 9Ю гюняхие нельзн смешивать с тем понятием разбие-
разбиения (в смысле теории множеств), которое было определено в i/i I.
но последнее нам здесь не понадобится Будем называть весом раз-
разбиения а целое число
Назовем размерностью разбиения число
Пример. Разбиение (I3 32, 4) имеет вес 13 и размерность б, ему
отвечает следующее разложение числа 13 в сумму натуральных чисел:
+ 1_|_з+1+1.
Пус»ь р — отношение эквивалентности на множестве X, а ср —
взаимнооднозначное отображение X на множество Y, тогда много-
многозначное отображение <fp^~L множес»на У в себя определяет эквива-
эквивалентность на К, классы которой ^ру~1(у) являются образами классов
эквивалентности р
Два отношения эквивалентности р и а, определенные соответ-
соответственно на множествах X и Yt называются сопряженными если су-
существует такое взаимнооднозначное отображение ср, что з —

280 ДОБАВЛЕНИЯ
Разбиение связанное с отношением эквивалентности р, — это
разбиение
причем ровно а{ классов содержат по Xj З1ементов, а2 классов--
по Х2 эчементов и т д. Вес р[р] равен \Х\, а размерность равна
|Х/| Легко доказывается
Предложение 1 Отношения эквивалентности р и о, опре-
определенные соответственно на множествах X и У, сопряжены
тогда и то гысо тогда когда связанные с ними разбиения оди~
наковы.
Примьр Х=: [а Ь, с d e / g), о опредечено классами экви-
эквивалентности
\а.Ь с]. \d.e), {/), \g\
При подстановке •*> = (adg)(be)(cf) эквива1ентноеть а =
имеет кчассы.
\d, е, /), [g Ь}. {с}, {а)
Ясно поэтому, что 1>[р] = р[а]=^02' 2-
Циклический индекс
Понятие разбиения, связанного с данной эквивалентное1ЬЮ по-
позволяет по-иовом} сформулировать основную теорему. Сначала вве-
введем понятие индекса, принадлежащее Пойа
Пусть G — группа подстановок множества X а а — некоторое
разбиение с весом w(a)=\X\ обозначим через ао(л) число таких
подстановок g ? О что р [xg] = a
Назовем циклическим индексом группы G функцию qG, коюрая
каждому разбиению д о»носит число
hr (л)
Лемма Если g?G то
где ^1^]A) — число классов эквивалентности xgy сводящихся
к одному элементу, то есть таких кчассов, каждый из которых по-
порожден некоторым элементом X, инвариантным относительно g\
Новая формулировка основной теоремы. Если
G — группа подстановок нножества X, то
2

Принципы подсчы \ 281
ДеЙсгвитепьно,
Сопряженные однозначные отображения
Пусть /—однозначное отображение множества А' в некоторое
множество К; отображение / / определяет отношение эквивалент-
эквивалентности на X, причем класс f'lf(x) представляет собой множество
тех элементов X, которые имею! тот же образ, что и х, мы ска-
скажем, что / есть отображение типа а. ест a=vl/~Vl
Пусть /1 — однозначное отображение некоторого множества Хх
в некоторое У1 а /2 — однозначное отображение некоторого Х2 в
некоторое Уъ будем говорить, чго fx и /2 сопряжены есчи сущест-
существуют га кие взаимнооднозначное отображение <р множества Х} на Х<2
и взаимнооднозначное оюбраженис ty множества У{ на Y2, что
Предложение 2. Л^л однозначных отображения fl и /2
сопряжены тогда и только тогда, когда p[/I~1/1j = [1]
Предложение 3 Для сопряженности двух однозначных
отображений Д и /2 множеств Хх и XL в Y достаточно чтобы
существовало такое взаимнооднозначное отображение ср
жества Хх на Х2, что
Степень однозначного отображения
Пусть / — однозначное отображение конечно] о множества X на
множество К, назовем степенью отображения / такое отображе-
отображение Ь/ которое каждом) у ? У относи j количество элементов мно-
множества /" (у)
Предложение 4 Два отображения /1 и /2 множеств Хх
и Х2 8 У имеют одну и ту же степень тогда и только тогда,
когда существует такое взаимнооднозначное отображение ср
множества Хх на Х2 что А-?=Л-
В частное!» из bfi^bf^ следует, чю /, и /2 имею! один и
rot же образ и сопряжены.

282 ДОБАВЛЕНИЯ
Оiсюда, как и прежде вытекает что отображение / есть ото-
отображение типа л тогда и только тогда кем да 8§/~а» т е когда л
есть разбиение связанное с Ь/
Пре ц то же и не 5 Если отображение f-^ntuna а, то ото-
отображение Ь/ — типа &а
Действительно, из ЬЬ/ — о с чедуег Ш/ = Ъъ
Пусть v — однозначное отображение некоторого конечного мно-
множества X в множество натуратьных чисет, назовем размерностью ^
чис чо
(в случае, когда * представ тяет собой разбиение, мы снова пол.}чаем
понятие „размерности разбиения").
Предложение б Имеем:
d(v) = w{bv)% \Х\ = d(fo)
Отсюда счед^ет что ее пи / —однозначное отображение X в Y
шла сг то
|= да (а),
Слова и абелевы слова
Будем называть с гоеом всякую конечную последовательность
элементов заданного множества ^V Типоч стока m назовем разбие-
разбиение а =()?' ^?« <••> м)> которое \казывае1, что имеется я, эле-
элементов X фйг)рир)юших в m ровно }} раз. о^ элементов фигури-
фигурирующих \2 раз и т д Таким образом число элементов X фигури-
фигурирующих в от будет d{<\), в то время как дтина слова равна w(a).
Когда с л око рассматривается независимо от порядка расположе-
расположения в нем элементов X говорят что это абелево слово
Пример Ести Х=[а с р q r, t\y то слово trcpaccaqtr имеет
тип (V2, 23 3) Если это слово абелено, то оно тождественно напри-
например слову aacltrrpqcc, весьма часто его отождествляют с отобра-
отображением X в множество натуральных чисел именно
Если слово trcpaccaqtr не является абелевым го его отожде-
отождествляют l отображением интервал /Х1 = {1, 2, 3, 4, .. , 11} на X,
именно
123456780 10 Н\
trcpaccaqt г /

ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА 283
Поэтому его степень представтяет собой абелево стово
fa с р ц г i\
Ы =' 2 i 1 I 2 2
Eiо тип есть разбиение
1 2
з iH^ 23
В дальнейшем мы через М(Х) будем обозначать множество слов,
содержащих каждый из элементов X хотя бы один раз; через
М^(Х) — множество слов М{Х) типа а, через МУ(А') — множество
тех слов М (X), для которых абелеко слово есть v, через Mt(X)~ мно-
множество слов М (X) а1ины / Через 1{ обозначаем интервал {1,2, . ., /J
Наконец, пусть G — rpvnna подстановок множества 1Х и пусть
1 S^l
Обозначим через g подстановк} множества Mj(X), олреде
С1едую]иим образом*
Предложение 7 Множество О подстановок g образует
группу, называемую продолжениеч G па М{{Х)
Действительно если g и h — две любые подстановки множе-
множества It то
Если 0—заданное разбиение то множество Мл (X) слов гипа а,
образованных из X и содержащих все элементы X является объ-
объединением попарно непересекающихся подмножеств, образованных
из MV(X), где V— степень л:
Но существует и другой способ разложения ЖЛ (А') Именно,
расем01 рим отношение эквивалентности р на множестве целых чисел
A2, s—1 s) it обозначим через М0(Х) множество тех
т^М(Х), для которых т~1т = р Тогда Л'^(Х) б)дет обьедине-
нием попарно непересекающихся пол1множес[н образованных из Ai,(XO
в которых р снязано с разбиением л:
^WftW= U М/Х) B)
Из диух способов разложения A) и B) сраз\ поучается более
мелкое
Мл {X) = U М (X) П М? {X) C)
О'. = 1.1

284 добавления
Обозначим через MV)g(X) множество таких слов т^М^(Х) для
которых
о
Через Mg(X) обозначим объединение множеств М^(Х) для всех
эквивалентное гей р }дов.)етиоряющи\ \».ловию р^т^.
Имеем
Предложение 8 Ееш g — подстановка интервала
/,=Ч1, 2, .
то множество слов т^м^Л) инвариантных относительно
подстановки g есть М (X)
В самом деле,
— т фг:=^ mg = т ^^ nig (i) = т (i) для всех
1~1тA) при всех /^/7фг:^
при всех t? 1{ и всех целых л
г) при всех / ? /7
А это доказывает предтожение
С тедствие Для заданной подстановки g интервала ft мно
жество слов из МЧ.(Х), инвариантных относительно g, есть
Предпожение 9 Пусть v — абелево слово из элементов X,
имеющее длину rf(v)=r/, и пусть G — группа подстановок интер-
интервала 1г. Пусть G — продолжение G на Л1Ч (X) Тогда
В силу предложения 4 множество тех отображений / множе-
множества X в Y, которые имеют одн) и ту же степень и удов '[етворяют
условию /^]/ор 1де р — данная эквива!ентность, получается умно-
умножением одного из таких отображений справа на подстановки <?,
>акие что да = р
Это замечание показывает, что \М, (А')| зависи1 только о^ S>
и У [р] Поэюму но тжим

ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА 285
Предложение 10 Пусть v — абелево слоео над X дшны
d(y) = l и пусть G — группа подстановок интервала 1г Пусть,
далее, 6— продолжение G на MV(X) Тогда
Дейстлигельно,
S
Прежде чем показать каким образом на этом предложении осно-
основываются процессы подсчета рассмотрим несколько частных случаев
Назовем многочленный коэффициентом функцию б, относя-
относящую каждом) разбиению a = (Xj'« • > 'у*) число
С (д) =
Легко видеть что число тех оюбражений множества X на мно-
множество У которые и^еют заданную степень v, равно с (Sv) Но это
число совпадает с числом таких слов т степени <, для которых
х ?т~1т{х). Поэтому
Ф(а, iw) =
Так как М,(Х) П М?(Х) = 0 при tf(v) > rf(p [pj), то матрица
Ф(а, Ь) — треугольная (см. рис 1).
Введем функцию разбиения k(&), полагая
Легко видеть что k (a) выражает как раз число абелевых слов
cienemi a
Введем также функцию разбиении е(а) полагая
_ (а^ +-f- *М]
Легко ииде]ь, что е(\\) выражает как ра^ чтао таких си ноше-
ношений эквивалентности р, для которых ^[pj^a

286
ДОВАЦ1ЕНИЯ
2
0
H
I
1
2
о
о
[ Г v
о
\2
12
24
0
0
0
0
V
и
2
0
0
0
12,2
6
2
2
0
0
)
4
2
0
1
0
1J
1
1
1
1
i
i
4
22
f
1 3
4
\ ь
120
0
0
0
0
0
0
60
ь
0
0
0
0
0
Н2
30
6
2
0
0
0
0
122
20
Ь
0
2
0
0
0
КЗ
10
4
2
1
I
0
0
2,3
5
3
1
2
0
1
0
U
1
i
l
l
i
i
1
I
5
132
122
123
23
1,4
5
\ Ь
Р не 1
Пример
Дано шесть шаров. 3 красных 2 черных и 1 белый, причем
шары о знакового цвета считаются неразличимыми, сколькими спо-
способами можно разместить эти шлры по вершинам свободного окта-
октаэдра в пространстве?
Допустим сначала, во треки условию, что октаэдр фиксирован
в пространстве Пусть Х = - ха Ь с] где а означает черный цвег,
Ь — белый, с-—красный Тснда существует взаимнооднозначное

ПРИНЦИПЫ ПОДСЧЕТА
2S7
соответствие между разшчными размещениями шаров и словами сте-
(а Ь с\
пени м где v — абелено слоно ; = ( 1 Поэюму ответ на
«опрос в случае когда оюаэдр фиксирован будет
\М,(Х)\ =с(Ч=^сA 2, 3) =
1! 2! 31
=-60
Рассмотрим юперь свобоаный окчаэдр в пространстве Зт.есь
существует взаимнооднозначное соответствие между различными
размещениями шаров и классами транзитивности слов степени * отно-
относительно группы 0 различных движений октаэдра Ответом на
вопрос на этот раз б\дст
\М
<7л«0Ф[A 2, 3), а].
«.
Теперь надо найги циклический ин ickc qQ дтя группы О октя-
здра Пронумеруем пер шины октаэдра цифрами от 1 до 6, как
показано на рисунке 2, и пересчитаем элемешы G
для которой \> [х?] — (Iе),—
Имеется одна подстановка
и ж нио тожд1ственпая подстановка.
Имеется б подстановок ??G, таких что р["^]^A
образованы шестью вращениями ла 90° вокр>| диагонали,
D516), F154), A243), C421), B536), F352).
4), они
именно

Имеются 3 подстановки i*?G, такие что Hxff] =09» 29), ohvi
образованы тремя вращениями на 180° вокр)г диаюнати,—именно
D1)E6) A4)B3), B3) E6)
Кмеек,я б подстановок g?O, кчких, чго р[т^) = B1)> они образо-
образованы шестью вращениями ил 180° вокруг прямой, проходящей через
середины противоположных ребер, — именно
A2)C4)EЪ) A3) B4) E6). A4) B5) C6),
A4) C5) B6), A5) D6) B3), A6) D5) B3).
Имееюя 8 подстановок gt~G, для которых y[7J=C2), они
образованы восемью вращениями на 120 вокруг прямой проходят-
щей через центры противоположных i раней
Эти Ь0 по т,сыновок образуют группу октаэдра О. Следова-
гетыю
М16) (У 4> *<12 22)
24*
остальнпе 3HaiieJ«vifl qo равны пулю.
Кроме того, нам известно, что
Ф[A 2, 3) A«,1=сA, 2, 3) —60,
^[A 2, 3) (I2. 4I^0, так как абслепо слово а^Ьс1 не со-
содержит ни одного элемента в четвертой степени,
Ф[A 2, 3), (I2 22)] =i 4 1ак как абелево слово a2bc* можно
записать четырьмя разаичнычк способами.
(Ь)(с)(а>)(с2)
Ф[A, 2 \) B^)|^0, поскольку абслево слово а2Ьсъ не со-
содержит никакой степени трижды;
Ф[A, 2, 3) C2)]=^-0, посколы<> абелево слово а2Ьсй не со-
содержит трех квадратов в качестве сомножителей
Итак
Спеаонагсльно otbci на поставлсиымо яатачу такой имеется
только три различных способа размещения 3 красных 2 черных и 1
белого шаров на свободном октаэдре v пространстве Ж рис 2 эти
1ри размещения показаны в одном горизонтатьноч ряду (крестиком
помечены красные шары). Под октаэдром с размещением acbacc
изображен октаэдр с размещением ссЬсаа Э\к два размещения,
омел иди о эккиизлептны, ибо первое можно перевести во «торое вра-
вращением октаэдра вокруг диагонали 2, 3, т е. подстановкой D516),

VL Дополнения к русскому переводу
А А Зыков и Г. И Кожу хин
Непосредственные следствия из теоремы Радо
В ряде спучаев 1еорема Радо (ivi 3) позволяет заключи!ь о на-
наличии у 1окально конечного графа G некоторого свойства если
известно, чго этим свойством обладает каждый конечный подграф О.
На таком принципе построено обобщение 2 1еоремы Ричардсона
(п 5) Мы приведем еще дна примера
1 Пусть О - локально конечный сим четрический граф а
пусть каждый его конечный подграф является р-хрочатическии,
тогда и сач граф G — р-хроматаческии.
Для доказательства достаточно а теореме Paio поаожить
?0=[1 2, , р). Е(/)=Ей\1
2 Пусть G—локально конечный граф и пусть каждый его
конечный подграф допускает функцию Гранди, значения кото-
которой не превышают числа q, тогда и весь граф G допускает
функцию Гранди со значениями, не превосходящими q
Это cieiyei из теоремы Радо ести положить
?q -^ (Ui 1» Ал . >» Q\*
\ [п\ 1де я пнп [х ^g?\/), при
Взвешенная окраска вершин графа1)
Пусть О = (X, U) — конечный симметрический граф, \Х\=п
U \ =ir m Как HsneciHo (г,1 4), иронерка того является ли данный
граф jp-хроматическим, сводится к проверке разрешимости в целых
числах системы чиненных неравенств 1°, 2 , 3° (стр 41) Желая
найти этим способом хроматическое число данного графа О мы
вынуждены посаедоиатегуьно задавать значения р и для каждого из
них выяснять разрешима л\\ система.
Можно, однако составить такую пинейную программу, которая
всегда разрешима r целых числах и решение которой даст одн>
из окрасок вершин графа G наименьшим количеством цветов С этой
') Излагаемый зчесь результат принадлежит 1 И
19 I

290
допоачнния к PNcckom
отнесем его n
H3TV-
целью каждом\ цвет> <у—1, 2 3,
ратьное чис.ю а{п\ причем веса подберем так чтобы при веек
— \ 2
/г выпочня [Ось неравенство
<7
т е
q~.
— f/) a<f — (a —
это неравенство гарантирует, что „самая легкая" окраска вершин
графа с помощью q-t- 1 цветов все-таки „тяжелее', чем „самая тя-
тяжелая u окраска q цветами Неравенство (*) наверняка выполняется,
ести
aiqli М*- Я)
по та га я а^>^1, мы по лу чаем
откуда находим постедоватечьно
(с двойным входом) значений коэффициентов а(п) можно
составить раз навсегда независимо от графа О
Задача раскраски вершин заданного графа G наименьшим числом
цветов сводится тепер,-> к нахождению „самой легкой' раскраски,
тек решению в детых числах линейной программы
0
я
A—U 2
^ 1 2
«7-1
2 г% <
I =1 <7- 1
=-1 2
принимает наименьшее значение
. п),
Пос ie тою как чиста V найдены хроматическое чис со графа G
вычисаяется без 1руда
f (О) = У

ДОПОЛИЬНИЯ К РУССКОМ*
291
Обоснование алгорифма нахождения наибольшего потока
по #0.г-плоской транспортной сети
лг^-тоская гр<шспортпая сегь О расположена на плоскости
в соответствии с Г (стр 85) Если и— произвольный элементарный
путь из хп в z, то вместе с вспомогательной дугой (z, xt)) он обра-
образует элементарный конт\р, обаасть плоскости, ограниченную этим
контуром (вкчючам границу), будем обозначать через D(\*.). Из 1°
ясно, что наинысший путь jjll hi х0 в z явтяется элементарным и
характеризуется следующим свойслкгч нсикий элементарный п>1Ь
из х{) к z целиком принадлежит О\\1{)
Поток по сети О (при конкретном расположении се в плоскости),
находимый описанным в I3 2 , Зи процессом, будем кратко назы-
называть FF-потокоч Докажем, что это наибольший поток Доказа-
Доказательство будем вести индукцией по величине потока oz
Утверждение тривиально при <iz -~ 0 Допустим, но оно спра-
справедливо для всех xoz-плоских сетей (при исеоозможных расположе-
расположениях), обладающих /^-потоком величины п Рассмотрим произволь-
произвольную jCqZ-плоскую сеть G, дчя которой FF-поток j имеет величину
ср2 — я-j- 1; млдо доказать, что поток >э— наибольший
Предположим противное что поток <р не является наибольшим
и что следовательно, возможен такой поток ^ по О, для которо|О
уг = п~-\-2 Можно считать, что О не содержит контурон с поло-
положительными значениями ср' на всех дугах, ибо иначе мы ^иквидиро-
вати бы все контурные потоки, вычитая из значений <*/(и) на чугах
каждого такою контора наименьшее значение (дтя данного контура) —
эта переделка потока J не меняет его величины ср^. Поэтому мы
можем предполагать поток о' 1аким чго всякая д>га и сети G,
несущая потожигечьный поток у'(и) принадлежит некоторому эае-
ментарному пути, который идет т х(} в z и на всех Д)гах кото-
которого У > О
М,
<р О
<р'>0
Рис 1
П\сть |а1 — наивысший (элементарный) путь сети О Не мскег
быть ъ' (и) > 0 на всех дугах и ? |Xj ибо и паче, уменьшив пропускные
способности пут зтого пути на единицу (без изменения способностей
остальных д\г сети), мы получили бы сеть, О' которая с одной
стороны доп\ екает поток величины п-\-\ и для которой с друюй
стороны FF'jioiOK имеет величину п (как следует из опреде;)ения

292 4OTIO4HFHHH К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
FF потока и из того, чго для сети О он облагает величиной я-t- П,
а это противоречит преадючожепию индукции
Пусть теперь v — наивысший из тех элементарных путей сети Q,
идущих из х() в z на всех дугах которых ©' > 0, так как ни одна
дуга сети несущая положительный поток у' не может лежать вне
области D{v) (иначе существоват бы этементарный путь, несущий
положительный поток у из х^ в z и не лежащий целиком в D (v),
т е. v не бьп бы наивысшим), то путь / наверняка содержи! все
те дуги пути jj^, на которых <р' > 0 (см рис 1)
Уменьшим на единицу поток по тем дугам пути ^, которые
не принадлежат y,v а вместо ^того пропустим единичный поток но
дугам р.р ие принадлежащим ¦" Полученный такой переделкой из у'
поток <?'' по сети О будет по-прежнему обладать величиной ©J = п -\ 2
и будет положительным иа всех дугах пути {^, а это как мы уже
видели не к оз можно
Ч И 1. Д.

Л ИТ ЕРАТУРЛ1)
Гл 1 Основные опреде 1ения
[1] Berge С, Espaces (.opologiques et Functions multivoqueb, Pans, Dunodr
1959, XI 272 p., ilH)
[2] Berge C, Sur risovalence et la Regularite des Transformateurs, С R
Aiad Sciences 231 A950), сто 1404.— Sur mie Theorie Ensetnblistedes
Jeux Mternatifs, С R Acad Science* 232 A951), e?p 294
[Я] К о n i g D , Thearic der Endlichcn и ml Uncndlicuen Graph en, Leipzig 1936
(Akari Verl M. B.H), Ne% York, 1050 (Chelsea)
[4] R i g u e i Г, Relations binaires fermcfitures corr^sponddncfs de Galojs
Bull Soc. Math, de France, 70 A9-18) стр 114.
[5] S a i n t e - L a g u с Л. Les Res^atix (on Graphen) Mem de Sciences Math
18 A926) Paris.
Гл 2 Предварительное изучение квазиупорядоченности
[1] CroisotR Dubreil-JacotinM L et Lesieiir L Lemons sur la
Theorie des freillis (Oauthier — Villars ed ) Paris 19S3
*[2] Б л рк г о ф Г Теория структур ИЛ М, 1952.
[3] Richardson M., Relstivization and Extension ol Solutions of Reilextve
Relations Pacific J of Math 5 A95^стр 551
Гл З Порядковая функция а функция Гранди дтя бесконечного графа
[1] Berge С La Fonction de Ciruiid> d un Grapht Inlmj, С R Acad Sciences,
242 A956) стр. 1404
[2] Berge C, A Problem on Infinite Graphs Conference ли Colloquium Har-
Harvard—M M rnai 1%7.
[3] D e В г u i j n N. G ErdosP A Colour Problem for Infinite Graphs and
a Problem in the Theory ot Relations Proc of the Nederl Ak. W.y 34
A951) стр 371
[41 GoHschaik W И Choise Functions and Tjchonoff's Theorem, Proc
Amer Math. Soc 2 П951), стр 172
1) Работы помеченные звездочкой, добавлены в русском переводе
2) В тексте эта книга обозначается Е Т Г. М.

294 ЛИТЕРАТУРА
[5] R a d о R , Axiomatic Treatment of Rank jn infinite sets Canad J of Math,
1 A949), стр 337
Гл 4 Основные числа теории графов
[1] Bcrge С Two theorems m graph theory, Proc !\/at Ac Sc, 43 A957),
стр 842.
[2] К r a i t с h i к М., Lc Probleme des Remcs, Bruxellcs, 1926
[3] Kreweras Q Peut-on former un reseau donne avec des parties fimes
d'un ensemble denombrabW C. R. Acad Sciences 222 A946). с г p. 1025.
[4] P о 1 у л G, Sur le nombre des isometres de certains composes chimiques,
С R Acad Sciences 202 A936), стр. 1554
[5] S h a n n о п С Е^ The zero error capacity ol a noisy channel Compostum
on Information Theory, 1 R. E Transactions, 3 A956) стр 3
*[Ь| ЗыковЛ А О некоторые свойствах линейных комплексов, Матем сб t
24 Fb) 2 A949), стр 163
*[7] Зыков А А., Функции от графой, определяемые линейными ^равне
нинми Сообщение 3 Язв Сиб отд. АН СССР, ]2 (I960), стр 13
5[6] Зп ков А. А.т Реберло-иершиспые функции и распределительные свой-
свойства графов, ДАН СССР. 139, № 4 A961), стр 787. — Цикломаткче
скис и распределительные сцойсгва мучыиграфов (печатается в ДАН
СССР)
*[Щ Gomory R E Ontline of an algorithm for integer solutions to
linear programs, Bull Am Math Soc 64 A958) V° 5 стр 275
Гл 5 Ядра графа
[1] В ergo С Theone generate des jeux a n personnes chap 5 Coalitions
стр 82, Mem. de* Sciences Math., 138, Paris, 1957 (Gauthler — Villars,
ed.) Есть р>сский перевод Берж К Общая георля игр несколь
ких лиц Фиэматтиз, 1961
[2] G u 11 b a u d G Г , La theone des Jeux, Ёсоп Appl 1949- crp 18
[3] \ о и Neumann F. and Morgenstem O., Theory of Garner and
Economic Behavior, Princeton 1944, 1947 et 1953 (Princeton university
Press)
|4J R j с h а г d s о п М , Solutions of irreilexive relations, Annals of Math 58
A953) стр. 573. — On Weakly ordered systems, Bull, of the Amer Math
Soc 52 A946), стр 113 Extensions theorems for solutions of irrefle
xi\e relations Proc of the Nat Acad of Sciences, 39 A953) стр 649
Гл 6 Игры на графе
[lJAdamsb U BensonD C Nim Type games Carnegie Inst of Techno
logy, Techn Report 13 A956).
[2] Bergc C, Topoiogieal games with Perfect Information (Contributions to
the theoi} of Games 3), Annals of Math studies, 39A957) стр 165 —
рерж К, Общая теория игр нескольких лиц Физматгиз, 1961

ра 295
[3] В е г g e С et S i h u tz <? n b e r g e г М. P „ Jcux de. Nim et Solu'iorib
С R A(dd Sciences, 242 A956), tip 1672.
[4] Grttndy P M., Mathematics and Games, Eureka 2 A439) стр 6
[51 G г u л d у P M., S m i t h С. Л. В Disjunctive games with the last player
loosing Proc Cambridge Phil. Soc, 52 A956), стр 527
[6] ПоЦНзу Ь С Cartesian Product of termination Games (Contributions
to the" theory of Games 3), Ann of Moth. St., 39 A957), стр. 189
|7] *Л о о г e E H, A generalization oi the game called Mm, Ann of Math It
{1909) стр. 93
[8] Sprague R. Bemerktingea ubcr eirie spezielle Abelsche Gruppe Math I.,
51 A947), стр. 82 —Obej mdthematibchc Kampfspicte, Tokoku I (f
Math 41 (Ю36), crp. 438
[9] U e 11 e г С Р , The theory of a class of games on a sequence of squires
n terms of the advancing operation m a spec al g^oup, Proc K,on
Nederl Akad Л (serie A) 57 A954), стр 194
Гл 7 Задача о кратчайшем пути
[1] В е с k m a n n M McGuire С В С В ty. j м s t е п, Studies tn the < со
nonucs of transportation New Haven, I9o6 (Yale university press)
[2] Бел^чан Р Динамическое программирование ИЛ М 1959
[3] Ford f R Network flow theory, Rand Corp. paper P 923 l%f>
[4] L и с a s L Recreations matcematiques 1, Paris, 1921, стр. 47 е^ть рус-
русский перевод см Л ю к а с Э, Математические разв1еченин> СПБ
1883
\г<\ Tarry G Le ргоЫеше Jes Labyrmthes, Nouvettes Annales de Math 14
A89^) стр. 187
Гл 8 Транспортные сети
[lj Berge С, Sur ia rieficitnee dun reseau mfirii, С R A cad Sciences 245
A%7), crp 1206
[2] Ford L R F-ulkersonD R Maximal flow through a network, Сапа
dia* J of Math. 8 A956) c^ 349.
[3]borriL R FulkersonD R, Dynamic Network Flow Rand Corp pa-
paper P9C7, 1966
[4] Gale D \ theorem oti flows m networks Pacific J of Math 7 A9>7),
стр 1073
\5] Hoffman A J., Kuhn H W.s On systems of distinct represcntati\e*
(Linear inequalities and related systems) Ann oj Math Studies, 38
A95G), стр 199, есть русский перевод: Гофман Л. Дж, К У н Г. У.,
О системах различных представителей сб. Линейные мераненспзя,
ИЛ, М 1959
[Ь] Kreweras G, Extension dun thtoreme sur les. repartitions en classes
С R. Acad Sciences. 222 A946) стр 431.
[7] M a r с 7. e \v s k i J, Guilbaud Q. T, Essai d analyst graphique dune
comptabilite nationale Economie appliquee 2 A949), стр. 138.

296 ЛИГГРАТУРА
Г.{ 9 Теорема о полустепенях
[I] Gale D, A theorem on flews m network Pacij J of Math, 7 A957),
cip 1073
[2} X a p д и Г I Литтпьвуд Дж L П о ч и а Г Неравенства ИЛ М,
1948
[3] М и i r h e a d R F , Some methods applicable to identities and inequalities
of symmetric algebraic fu net cons oi n letters Proc Edinburgh Vlath
Soc, 21 A903) стр. 144.
*[4] Ryser H J Combinatorial properties of matrices of ?eros and ones,
Cunud J Math 9, №3 A957), стр 371
Гл 10 Паросочетание простого
[1] Berge С. Sur Id deficience dim reseau infmi, С R Auid Sciences 245
A957) стр 1206
[2] В з г к h о f I G.t Tres observaciones sobre el algebra 1ты\ Rev bnu пас
Tucuman, Scrie A, 6 A941), стр. 147
[3] Ergcvary J, Matri.xok kombinatorius tulajdonsagairol, Mat Fiz Iapokt
1931. стр 16
[4] Hall P On representations of subsets / London Math Soc, 10 A934),
стр 26
[5] H a 1 га о s P R VaughanH С The marriage problem Am J of Maik ,
72 A950) стр. 26
[6] Ко nig D Valko S.. Ober mehideiitige Abbildim^en von Mengen Math
Ann »5 A926) стр. 135.
[7] Kuhn H. W The Hungarian Method for the assignement problem h'aval
research Quaierly 2 A953) стр 83
[8] M. a n п Н В Ryser II J., Systems of distinct iepresentati\es, Am Math
Monthly. 60 A953) стр. 397
[9] Ore O, Gtaphs and matching theorems Duke. Math J 22 A955) стр. (>25
[10] R a d о R Factorlzalion of even graphs Quat J of Math 20 A949),
стр 95
Гл il Факторы
[Ij Ahrens W 4afhematJSche Laterlialtungcn ut*6 Spiele Berlin 1910.стр.319
[2] D i г а с G A The structure of Achromatic graphs Fund Math. 40 П&53),
tn p 50.
[3] E tiler, Commcntationes Anthmeticae Collcctae, St. Peterbiirg, 176b, стр 337
[4] F 1 у e S a i n t с Marie. Note sur un problemc re! at if a la marche du ca«
\alier sur i'ecliiquier Bull Soc. Math, de France, 5 A876) стр 154
[5] J о h л s о п S. Optimal 2 and 3-stagc production schedules wiih set up li-
limes included. Naval Res. Quaterly, 1954
[6] К г a 11 ch i k M La Malhematique ties jeux, Bruxellcs 1930, стр. 357
[7] Ringei G., Ober drei kombinalorische Probl&me am n dim. Wiiricl uud
Wurfelgiltcr, Abh Math. Sem. Univ Hamburg, 20 A955), стр, 10.
[8] S a i n t e Lagiie Л Avec rie^ nonibrcs et ties ligncs, Paris 1943 (Vuibert
ed ) стр

297
Гл 13. Диаметр сильно связного графа
[I] В rat ton D Efficient i-OTriinitnication Networks Cobles Comm Disc Pa-
Paper 2W9 A965)
[2] Christie L S. Luce R D Часу J Communication and Learning
jh л taskoriented group M. I T Res Lab of eiectr technical Report
231 A452), стр 238.
[3] Ratlner R., Tritter A Communication in Networks Cow'es Comm pa-
paper 2096 A964)
[4] R о} В Sttr quelques proprietes des graphes fortement connexes, С R
Acad Sciences 247, № 4 A958) стр 399
Гл 14 Матрица смежности графа
[]] Katz L. An application of matrix Algebra to the study of human relations
mim Univ. of North Carolina, (9M0.
[2] Kendall M D Rank Correlation methods, Lori d res 1948 (Griffin ed )—
Further contributions to the theor} of paired comparisons Biometrics,
2 A955), crp 43
[3] Levi Strauss C, Les structures element a ires de la parents Paris 194?
(Presses universitaires)
[4] Luce R. D Perry A D., \ method of matrtx aaalvsis of group structure,
Psychometrika 14 A949) стр. 9<S
[5] I lice R D Л note on Boolean matrix theory Pioc Am Math Soc 3
A952) «p 382
[6j jM о r e n о J L Fundaments de la Souometnc (ti ad Lesage ^аисогрь>,
Paris 19^4 (Pi esses universitnircs).
[7] R о s s I С H a r а г у F.T On the detenuination of redundancies in socto
metric chains, Psychometrika, 17 A952) стр. 195
[8] Wei T. H., The algebiaic foundaiions of ranking theory tbes° Cambridge
1952
Гл 15 Матрицы инциденции
[1] С h \) a r d J Questions d inalysis sitUb Rend Circ Palermo, 46 A922)
стр 185
[2] Hcllei I, Tomp-kins С В, \n extension of a theorem of Ddntzigs,
Ann of math, studies, 38 A956) стр 2*17, Xeuep И, Точп
кипе Ч Б, Обобщелие одно& теории Данцига, сб Линей чые не
раве-нова ИЛ, М 1949
[3] Н о f f m d n Л J., Kruska! J В Integral boundary points of convex
polyhedra Ann of Math Studies 38 A95G) стр 223 есть русский
перевод: Гофман А Дж., К р а : к а л Дж D , Целочисленные
граничные точки вып^кчых многогранников сб Линейные неравен
ства, ИЛ М 1959.
[4] Ю г с h И о f Г G , Poggendorj Annaten, 72 A847) cip 497

298 Л НТК РА ТУ РА
|5] О к a d a S , Algebraic and topologicai inundations of network synthesis,
Proc Symp on Modern Network synthesis, New \ork, 1955, стр 283.
[6] Poincare H, Complement a l1anal>sis situs, Rend Circ Palermo 13
A899), с р 285
[7] V e b 1 e n О , Alexander J U , Wamfoldb of n dimensions A.nn of
Math., 14 A913), стр. 163
*[8] Кудрявцев Л Д, О некоторых математических вопросах теории
электрических цепей, Успехи матем наук 3, М*° 4 A948), стр 80
* Дополнительная литература к гл 14 и 13
[1] Л и х те и б а у si Л М., Характеристические числа неособенного графа,
Труды 3 го Всес матсм. съезда, том. 1, 195G, стр 135
[2] Лихтенбаум Л. М, Теорема двойственности для неособенных графов
Усп. матем наук, 13, № 5 A958), стр 185
[Ц Л и х т е и б а у м Л. М., Следы степенен матриц соседства вершин и ребер
неособенного графа Изв высш. учебн эавеоений математика 5
A959) стр 154
[4] Л и х т е и б а у м Л. М, Новые теоремн о графах (печатается в Сибир-
Сибирское математическом журнале)
[5] С о 1 I a t 7 L, Stnogowitz U Spektren endhchcr Grafen Abhandl
Math Seminar bniv Hamburg 21, Ж 1—2 A957), стр 63
Гл 16 Деревья и прадеревья
[1] \ a n Aardenne Ehrenfest Т., de В г u i j n N G.. Circuits and
trees in oriented linear graphs, Simon Stevin, 28 A951), стр. 203
[2] В о 11 R , M а у b erry J P., Matrices and trees, hconomic Activity ana
lysis. New York 1954 (Wiley, ed.), стр. 391
[3] С d у 1 с у A., Collected mathematical pdpers Cambridge 3, стр 242 13,
стр 26 л ! д
[4] J о г d a n С Sur lcs assemblages dc lignes, J fur die reine and angew.
Math 70 A869), crp. 185
[5] Kell} P J A congrtifnee theorem ior trees, Pacific J of Math 7
A957), стр 961
[б] К г u s k a I J. В , On the shortest spanning subltce of a graph, Proc Am
Math. Sac, 7 A956), стр 48
[7] dc P о 1 i g л а с С Theorie des ramifications, Bull Soc Math France 8
A880) стр 120
[8] Trent II. M.t A. note on the enumeration and listing of all possible trees
in d connected linear graph, Proc \'at. Ac Sciences 40 A954) 1004
*[Щ Weir berg L, Number of trees n a graph Proc IRE 46, ЛГи 12
A958) стр 1954
lutie W 1 ¦ A contribution to the theory of chromatic polynoiriinals,
Canad i Math , 6, № 1 A954), стр 80

литература 299
Гл 17 Задача Эйлера
[1] v а п 4 а г d е п п е EhrenfestT deBruijnN G, Circuits and tiees
ш oriented linear graphs Simon Stevin 28 (J951), стр 203.
[2\ dc Br ,u j n N G A combinatorial problem, Proc Mederl Akad Wetensvft.
49 (J946), стр 758
[3] Good 1 J Normal recurring decimals Bull Am Math Soc 40 iI947),
[4] Martin M. H A problem in arrangements, Bull Am Math Soc 40
(Ш4) стр 859
[5] Amitsur A. S. Lc\itzki J, Proc Am Math Soc 1 A950) стр 449
Гл 18 Паросочетание. произвольного графа
[1] В с i g e С Two theorems in graph theor> Proc Nat Ac Sciences 43
A957) стр 842
[2] Berge C, Stir le coitplage maximum dun grdphe С Д Acad Sciences
247 (Ш58), стр 258
C] Gal la i T, On factorisation of graphs, Ada Math Hunganiae I A950),
crp 133
[4] M a un s e 1 1 Г. G \ note on Tutte s paper / London Math Soc 27
A952) стр 127
E] Norman R Z Rabin ?Л О An algorithnie for a minimum cover of
a graph (abstract), Notics of the Am Math Soc 5, fe\rier A958)
стр 36
[6] Peter sen J, Die Theone der regularen Graphen Ada Math 15 A891)
стр 193
[7] Roth J. P, Combinatorial topological methods in the synthesis of switching
circuits / B. M. Res Report, RC-11, Poughkeepsie 1957
[8] T и 11 e W T The factorcsation of linear graphs, / London Math Soc 22
A<Ч7),стр 107.
*[Я] 1 ы к n в А А f Функции от графов опредетяемые линейными уравне-
уравнениями Изв Сиб отд АН СССР 5 A959) стр 3 9 A%0) стр 17,
12 A960) стр 13
Гл 19. Факторонды
[1] Baebler F Ober die Zerlegung rcgularen Slreckcnkomplexe ungerader
Ordnung, Comment. Math Helvetia, 10 A938) стр 275.
[2] Belck H B, Regu'are Taktoren von Graph?n / Retne Angefc Math, \HH
A950), стр. 228
[3] Samte LagiieA Les reseanx umcursau^ et bimrsaiu С R Acad
Sciences 182 A926), стр 747.
HJTutteW T The factors of graphs, Canad. J of Math 4 A957) стр 314
A short proof of the factor theorem for finite graphs Canad. J. of Math.T
6 A954) стр 347.
[5] Tutte W T On hamiltonian сц-сшН London Math Soc J 21 A946)
стр 99

300 Л1 ИГРАТЬ PA
*[61 Wagner К, Faktorklassem in Graphen Math inn HI, № i (i960).
стр 49
Гл 20 Связность графа
[1] D i r a i G Л., The structure of Ar-chtomatic graphs Fund Math. 40 A953),
стр 42 -- Some theorems on abstract graphs Proc London Math
Soc, 2 A952), стр. 69.
[2] H a j о s C, Zuin rnengerschen Graphenoatz, Ada hit ac Sc (Math) 7
A934) стр 44
[3] К е 11 у J- В , К е 11 у L M, Paths and circuits in critical graphs, Am J.
of Math, 76 A954), crp. 790
[4] Menger K, Zur altgcmcinen Kur.ventheone bund Math 10 A^26),
crp %
[5]Whitiiev H., Коп separable and planar graphs, Trans. Am. Math Soc,
34 (J932), стр. 339. — Congruent graphs and tlic connectivity of graphs,
Am J of Math, 54 A932), стр 150
Гл 21 Пюские «рафы
[1} Djrac G Л, Map colour theorems related to the Heauood colour for-
formula / Lo"don Moth Sor, 31 A956), стр 460
[2] D ]: а с G A. Schuster S, Л theorem oi Kuratowski, Proc of bhe
Nederl Ak W 57 A954), стр 343
[3] Err era J., Du coloriage des cartes these Bruxclles, 1921 Mathesis ,16
A922) стр. 56
[4] Kuratowski G, Sur le probleme des courbes gauches en topologic,
Fund. Moth. 15—16 A930). стр. 271
[5] Ringel G, Bestimmung- der Maximalzahl der Kachbargebiete auf nichlo-
nenl>erl>an?n Fiachen Math. Ann., 127 A954), стр. 181
[6] R j n g e 1 G Farbensatz fiir orientierbare Fiachen vorn Geschleehte p > 0,
J Relne Angpii\ Math., Ш, У\Ь 1'2 A954) стр. li
[7] T a 11 P G. Note on a theorem in geometry of position Trans Royal Soc
of Edinburgh 29 A880), стр 657
[S] Whitney H Planar graphs, Fund Math 21 A933), стр 73
[9] Whitney H, Congruent graphs, and the connectivity of graphs Am L
of Math., 54 A932), стр. 150
*[1OJ Coxeter H S M Map colouring problems Scnpta Math 23, No 1—4
A958) стр. 11.
*[П] Ringe] G. Farbungsprobleme auf Fiachen uud Graphen, Berlin, V E В
Dtscht Verl Wiss ,1959 132 S . ill
Добавление 1 Об обшей теории игр
[1] Berge Г, Theone generdle des jeux a n personnes, Mem des Sc Math,
138, Paris A^57). Есть русский перенод (см стр 295).
[2] К u h п Н Ех1елэ1\ге games and the problem of informaljon Ann of
Muth St, 28, Princeton 1953 стр 193.

ЛИТБРАТУГИ 301
[3] Vilie I Trai tc du Calcul des Probability ct de ses applications
(E Boiel), 4, Pans, 1938, стр 105
Добавление II О транспортных задачах
[I] \ р р е 1 1 A Le probleme geometnque des dcblais et rcmb'ais Mem des
Sciences Math., 27, Paris. 1928 (Gauthier Villas e<J )
[2] Cahn A S The Warehouse Prob em Bull A. M. S., 54 A948), стр 1073.
[3] D d n ( 7. i g G. В., Application of the simplex method lo a transportation
problem, Activity Analysis, Cowles Com Monograph 13, New York
1951 (Wiley and Sons, ed )
[4] Г 1 о о d M. VI., On the Hitchcock distribution problem Pacific J o/ Math
3 A953) стр %9
[5] Ford L R Fulkerson D R, Solving the lrdiibportahon problem
Management Sci., 3 A956) crp 24, A primal dual algorithm for the
capacited Hitchcock problem Rand Res. Mem P-827 Santa-Monica 1956
[6] Г u I к e r s о n D. R Hitchcock transportation problem, Rand paper, P 890
Santa-Monua 1056
[7] H 11 с h с о с К F L, The distribution of a product from se\eral sources
to numerous localities / Math Ptys 20 A941), стр 224
[8] Канторович Л В О трлнетокации масс, ДЛИ СССР 37 A942),
стр 99
[9]KoopmansT С, ReiterS., A model of transportation, Activity Ana
lysis Cowles Com Monograph 13, New York 1951 (Wiley and Sons
ed) стр 222
[10] Kuhn H W The Hungarian method for the assignment problem t\aval
Res Quat., 2 A955).
[11] Monge Deblai et remblai. Memoires de I'Ac des Sci 1781
[12] Or den A The transshipment problem, Management Sci 2 A956)
[13] Votaw D К, О г d e ti A., The personnel assignment problem, Scoop
Symposium on Linear Inequalities and Programming Washington 1962,
стр 155.
Добавление 111 Об использовании понятия потенциала в транспортных сетях
[1] d Auriac A A propos de Tunicite dc solution dans les problemc-s de
reseaux mailles La Houille Blanche 2 A947), стр 209
[2] Brooks R L, Smith С А В Stone A H.t Tutte W Г The dis-
dissection of rectangles into squares Duke Math J 7 A940), стр 312
[3] Duflin R J Non liner networks П, Bull A M b., 53 A947) стр 963
[4] Koopmans T C, Reiter S., A model oi transportation Activity Ana
lysis ot Production and Allocation 2-d ed., стр 222 New York
[5] P a r о d i M, Sur Insistence des reseaux electriques С R Acad Sc 223
A946) стр 23
[6] S p i a g u e R., Zur Absehalzung der Mmdistzihl inkongrutiitcr
Math ZeitJ 46 A940), стр 160

302 ЛИТЕРАТОРА
[71 Tans sky O, A rtuirnng theorem oei determinants Am Math Montkly,
56 A949) стр 672
[8] Le Corbeiller P АпаКье m^trkielk des reseaux elcctngues (Dinod,
cd) стр 33
Добавление IV Нерешенные задачи и недоказанные предположения
[1] Hanani H On Sterner s triples and quadruples, Abstr Short lommins
Intern Congress Math, in Edinburgh Edinburgh, Uni\ Edinburgh
1958 стр 2Q—30
[2] I h о m p s о ч L. L Lectures on Game Theory Markov Ch,i:r»s and relate!
Topics Sandia Corp Monograph IQS8
Добакпение V О некоторых основных принципах подсчета
(А Риге)
Для справок
[1] Davis Tlis niimbei of structures of unite relations Proc 4 VI S 1953
стр 48b.
[2] Г о г d G W.r H ii a r > Г , M о r m a n R Z I h le n b с с k G E Com
biuatorial problems in the theory of graphs, Proc A at Ac Sc, 42
A95G). стр 122, 42 A956) пр. 203 42 ()95fi), стр 529 43 A957),
LTp. 163
[3] forsle1" R M The numbe- of j>enes-parallele networks P/ov fnt
Congres a} Math., 1950, стр 646
[4] H <i l a r v F Note on the Polya and Otter formulas loi enumerating Irees,
Michigan Main. J 3 A955) стр. 109' The number of dissimilar super
graphs of a linear graph Pacific J of Math 7 A957) стр 903 The
number of linear directed rooted and connected graphs, Trans Л V! S,
78 П9Г>5), стр 44<5
[5] Hdiary F., Norman R. Z.r Theorv of Graphs (a p^raitre) The dissi-
dissimilarity characteristic of linear graphs Proc A M S., 5 (I954),
стр I3l, The dissimilarity characteristic of Husirni trees, Ann of Math,
58 A953), стр. 134.
[6] Otter R, The number of trees, Ann of Math., 49 A948), стр 583
[7] Polva П Kombinatorische Anzahlbeslimmungen fiir Gmppen, Graphcn
und chernische Verbindtmgen Acki Math, 6S ^^7), стр J45
Дня дополлнтстьных зааач и справок
[I] I/bicki H., RegulaTe Graphen 3 4 und 5 Grades mit \orgcgebenen
abstrakten Automorphism en gruppen, Farbenzahlen und Zusamraen^
hangen Monat. fur Math, 61 A957), стр 42
[2] R1 о r d a n J., Introduction to Lombinalorial anal>sis (Wiley) New York,
1958, русский перевод Риордап Дж Введение в комбипаторныЛ
анализ, ИЛ М (в печати}
[3] 5 a b i d u s s i G Graphs with given group and given giaph
properties, Canad J Math 9 A957) стр 515

ТЕОРИЯ ГРАФОВ И КНИГА К. БЕРЖА
(ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЬВОДУ)
В самых различных областях человеческой дея!етьностн нередко
возникают математические задачи комбинаторно!о характера, приво-
приводящие к исследованию графов Наиболее старце задачи на графы
насчитывающие столе шюю и даже двухсотлетнюю данность, обычно
оформлялись как чисто развлекательные (кенигсбергские мосты, рас-
расстановка ферзей ход коня, прогулки девушек и т. п.), по к мач1л\
XX века в этой области появилось немало задач имеющих теорети-
теоретический и практический интерес. Так, если знаменитая проблема
четырех красок, предтоженная Кэли чаепам Лондонского Географи-
Географического Общества в L879 году едва ли актуальна для географии
(да и сама математика о г попыток решения этой проб!емы обога-
обогащалась то!да горачдо меньше, чем, например, от попыток доказа-
доказательства Великой Теоремы Ферма) ю нажность задачи о подсчете
числа изомеров химических соединений щи задачи о выделении наи-
наименьшей совокупности контуров электрической сети для сое :автения
полной системы уравнений Кирхгофа не вызывает сомнении
В XX веке вопросы прямо ити косвенно связанные с графами,
стали возникать в большом количестве не г о л i ко и химии физике
электротехнике биочогии социологии и t д но и в таких областях
чистой математики, как алгебра, тополо1ия, теория множеств Графы
фигурировали в самых различных представлениях и под разными назва-
названиями- карта лабиринт, схема, сеть диаграмма комплекс, дискрет-
дискретное пространство н смысле Линфилда и др Термин «граф' стал
общепринятым после выхода в свет в 1936 г монографии Кен ига
(см. [3] к г л I) где представлен значительный материал и где 1рэфы
рассматриваются в абстрактной форме как самостоятельные матема-
математические объекты В книге имеются наряду с тривиальными интерес-
интересные и глубокие теоремы изучаются не гочько конечные но также
и бесконечные графы, однако название „Теория графов" бы по топп,
пожалуй несколько преждевременным, ибо в зтой области не суще-
cтlЮDaлo сколько-нибудь общих методой и для решения каждой
задачи использовалось свое особое рассуждение, основанное либо на
переборе случаен, в отдельности не интересных, либо на и j,ee, заим-
заимствованной из других областей математики
Цельное и оригинальное направление в теории графов обры-
обрывается в J937 i. фундамента тыюй работой Пойа (см [7] к Доба-

304 ПОС Л EC 1O В ИЬ К Р\ С Г КОМ У ППРГВОТЛ
и тению V) Основная теорема этой работы, опирающаяся на весьма
простые понятия производящей функции, считающего ряда и цикли-
циклического индекса группы подстановок даст общий метод подсчета
ко л и чес ги различных графов с теми или иными свойствами Во мно-
многих конкретных случаях ^гог метод весьма эффективен, и сам Пойа
примени; его дтя определения числа изомеров в химии, а впослед-
впоследствии появи!ись десятки работ Харари Нормана, Уленбъка, Риор-
дапа, Рида и др>гих авторов, посвященных математическим и физи-
физическим приложениям
Другим кажным общим методом в теории t рафов следует считать гео-
мстрическ\ю теорию транспортных сетей созданную в 1956—1957 гг.
Фордом Фалкерсоном и Гейлом. Эта теория позволяет решать не
i oil ко „собственно 1раиспортные", но и многие другие прикладные
и даже чисто математические задачи в том числе из самой теории
t рафов Простой и наглядный алгорифм нахождения наибольшего
потока по сети с заданными пропускными способностями звеньев
настолько эффективен, что для сетей с сотнями вершин и тысячами
д}г легко осуществляется „вручную", без обращения к быстродей-
быстродействующим вычислительным машинам. В то же время к задаче о наи-
наибольшем потоке сводятся многие (жаль что не все') линейные про-
программы, причем не позликает никаких усложнений в iex случаях,
когда искомое решение должно быть целочисленным
Ьте одним общим методом, объединившим целый ряд разнород-
разнородных задач и позволяющим эффективно решать многие из них, является
1еория чередующихся цепей с основанным на ней „венгерским алго-
алгорифмом"' Будучи заложен Эргевари еще в тридцатых i одах, этот
метод получил дальнейшее мощное развитие четверть века спустя
в работах Га л л аи, Куна, Бержа, Нормана и Рэйбина С помощью
метода чередующихся ueattt можно, и частности, находить наибольшее
внутренне устойчивое множество, а также наибольшее паросочетание
в заданном графе; обе эти задачи играют важную роль в теории
информации, теории автоматических устройстп и при решении сугубо
практической задачи о наилучшей раскраске проиодников в сложных
электрических схемах
Упомянем также о предпринятой переводчиком попытке система-
систематического изучения рекуррентных свойств графов (см [9] к гл 18
и [8] к гл 4) Речь идет о функциях Ф(О) определяемых уравне-
уравнениями вида
Ф(О) = /(Ф(О1), Ф(О2), . ., Ф(ОЯ)).
где Gv G2 Gn — графы, получаемые из исходного графа G при-
применением некоторой операции Г и в каком-то смысле более простые,
чем О Для некоторых типов операций Г удается исследовать соот-
ветств\юш,ие функции Ф единым методом Таким путем выведено,
в частности, несколько новых соотношений между различными чисто-
чистовыми харак1ермстиками графоя

поел ЕС по вне к р^сскомъ пнрыют- 305
Наряду с общими методами в теории i рафов имеюкя „очаги
конденсации" в ниде отдельных трудных проблем.
Очень мною исследований посвящено классической проблеме
четырех красок. Наиболее интересные результаты, относящиеся как
к самой проблеме, так и к различным ее обобщениям можно раз-
разделить на две группы Первую группу составляют критерии и при-
признаки, позволяющие по чисто комбинаторным свойствам абстрактного
графа судить о возможности реализации его в виде плоского топо-
топологическою комплекса (или, в более общем случае, о возможности
в южен и я его в поверхность с заданными то по л ot и чес к и ми свойствами),
сюда относился например теорема Поитрягипа — Куратовскою За-
Задачи этой группы в настоящее время важны в связи с техникой
печатных электрических схем, но к сожалению удобных алгорифмов
ыя их массового решения пока нет Ко второй группе относятся
иселедонания графов в связи с их хроматическими свойствами (хрома-
(хроматическое число, количество способов разбиения на заданное число
внутренне устойчивых множеств). Во многих работах (Г. Дирак,
Дж Келчи Л Келли и др ) изучается структ\ра „критических"
графов т е таких, что сами они не допускают разбиения на за-
заданное чис1О внутренне устойчивых множеств, но все графы noiy-
чаемые ня них }дааением любой вершины (или любого ребра),
доаускают такие разбиения Наконец, в программировании сейчас
остро стоит проблема построения удобного ал1 орифма (который был бы
существенно проще перебора) для нахождения хроматического числа
грзфа с большим количеством вершин и ребер, она возникла в сиязи
с задачей наиболее экономejoiо использования ячеек памяти машины
В случаях когда для нахождения и потного исследования той или
иной чистовой функции от графа нет удобных способов, на практике
часто пользуются различными оценками и асимптотическими характе-
характеристиками этой функции Вопросам такого рода посвящены работы
Пойа. Шеннона Джшберта Г. Н Поварова О Б. Л>панова,
Р Е Кричевского, Ф Я- Ветухновского, В А Трахтенброта,
А П Ершова, Г. И Кожухина и других авюров
Знаменитая задача Эйлера о кенигсбергских мостах оказатась
связанной с рядом интересных пробле\г (нахождение факторов, гамйль-
тоновых путей и циклов и т. т. а в более общем случае — нахож-
нахождение в заданном i рафе подграфов того или иного вида), Э1и проб-
проблемы имеют при1оже{ЩЯ в физике, химии, биОлО1ИИ, исследовании
операций теории игр и даже и некоторых вопросах теории чисел
Интересной характеристикой графа, обобщающей свойства сим-
симметрии в самых различных смыслах, является гр\ппа его автомор-
автоморфизмов (взаимно однозначных преобразований множества нершин на
себя, сохраняющих, бинарное отношение этого графа); в частности,
автоморфизмы графов тесно связаны с задачами подсчета» решаемыми
на основе теоремы Пойа И здесь по тучен ряд отдечьных резуль-
результатов (Сабидусси, Фр>хт, Избицкий и др ) Вообще имеется очень
20 к

306 nOC/ll'CTOBHL К РЪСГКО'ЛУ ПЕРЕВОДУ
много самых различных характеристик грифа, важных к юм или
ином отношении и изучаемых и .литературе: радиус и диаметр цикло-
матичсексе число, „сила" скизлости (наименьшее число вершин после
удаления {которых граф перестае i быть связным) и др
Значительная титература моспящена графам того и аи иного enz-
циатьного пи да Тли, систематическое изучение деревьев начатое
еще К эли, продолжается и сейчас (Оттер, П Келли, Лндреоли,
Краскал и др ); большой интерес проявляется к однородным графам
и плоским графам (Уитни Биркгоф Льюс I реши). Проблема син-
синтеза, т с построения iрафа с наперед катанными свойствами является
одной из центральных в теории 1рафов а ее прикладное значение,
например для синтеза автоматических устройств очевидно, к сожа-
сожалению никакого общего подхода к этой проблеме пока нет, i связям
ные с ней вопросы (теоремы существования и единственности, удоб-
удобные алгорифмы построения и преобразовании 1рафов с заданными
свойствами) решены чишь r некоторых весьма частных случаях
Отметим наконец что сам язык теории i p 1фов делает изложе-
изложение ряда дисциплин, могущих развиваться и без нес более удобным
и наглядным. Таковы например, теория игр, математическая линг-
лингвистика, некоторые разделы математической эконом» к t. теория алго-
алгорифмов (определение алгорифма по А Н Колмогорову и В А Успен-
Успенскому, 1раф-схема Л А. Калужнина), а и особенности теория элек-
электрических сетей (см., например, [8] к гл 15), изложение которой
без понятия „граф" было бы противоестественным
Этот не прочепдуюший на почнот) перечень общих методов и
отдельных проблем теории *рафон показынаег, что теперь в се лице
мы действительно имеем деао с теорией которая интересна сама по
себе и имеет разнообразные и многочисленные приложения Особенно
не.] и к к ней интерес \ ши. занимающихся кибернетикой и разра-
разработкой новых вычислительных \стройств Однако до 1958 г в лите-
литературе не было сколько-нибудь полного и систематического изло-
изложения теории графов, если ие считать ныне уже устаревшей книги
Кёнига Поэтому выход в спет монографии К Бсржа и перевод ее
на русский язык имее-i большое значение, несмотря на то что и
в этой книге современная теория 1рафов предс1авдена далеко не
полностью
Из общих методом теории графов в книге подробно излагаются
и неоднократно используются два: теория транспортных сетей и теория
чередующихся цепей К сожалению, метод Пойа, который moi бы
cocxauHib прекрасною пав), дан только в добавлении и без всяких
приложений, этот пробел в нашей литературе будет восполнен гото-
готовящимся к печати переводом на русский язык mohoi рафии Риордана.
(Riordan I , Ли introduction to combinational analysis, New York-
London, 1958).
Из отдельных проблем, перечисленных нами, в кнше затронуты
в той или иной степени почти все, ничего не сказано шшь о группе

ПОСЛЕПОВИР К РУССКОМ} Г1ЕРЕВО 1Л 307
автоморфизмов графа об асимптотических харагаеристиках графов
и о критических хроматических графах. .Много ннимания уделено
понятиям, важным для теории игр (функция Гранди. ядро, сумма
if произведение графов и др ). и изложению самой теории игр на
основе теории графов Остальные приложения даются в виде отдеи-
ных примеров, нередко забавного содержащий, но таких, что вдум-
вдумчивый читатель сумеет придать многим из них другое, отнюдь не
развлекательное толкование
В подлиннике имелись опечатки, неточные формулировки и не-
некорректные доказательства, внося при переводе исправления, мы как
лравию, н„ снабжали их примечаниями. Значительную помощь при
обнаружении иеточностей оказали переводчику участники семинара
по теории графов в Институте математики Сибирского отделения
Академии наук СССР, среди них в первую очередь хочется побла-
поблагодарить Л В Канторовича, А. И Фета, В Г. Визинга, А V Верса,
М И Кратко и Н М. Сыче в). Ряд исправлений еде тал редактором
перевода И А В аи и штейном
Л А Зьисо$
20*

УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
(, К обозначают множества, Л В — подмножества X, jc у, г — эле-
элементы множества X; Г, Д — многозначные отображения; k — целое число ~> 0)
X 1 1^)- ^\х г\ 1
U
^В 8 U-
, A\JB АХВ А\В 8 *' ~^ t1 ^ 1А 35
?Л 55 О = (А, К Г) 104
! А 1 23 f? (W) 190
R, R* 9 G* 235
07 О X С , С ^ <? 30
170 Р (G), v (^) 34
¦'2> 3i
А 4-й' 31 «@L7
to + k 21 ri (О) 49
f, I ГД 10 ь>@) 222
iA 12 P(G) 132
« = (jc, y) 12 *(<7) 138
f/ 12 d<x> » ^И 13i
i/f 6^7 б^л 13 ^"(-*) ^^(Jc) 98
,r /r- on d(^ >'}' d(^> 21j
^x . Ux 8i ^(U) 189
(i = (a, u2 . ) = [л у, , z\ 13

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аардеп-Эренфест (van Aardene Eh-
rcufest T ) 183
Аламар (Hadamard J ) 146
Адаме (Adams h W ) 67
Айзеке (Isaacs R) 62
Апександер (Alexander F W.) 160
Амицур (Amiisur A. S) 185
Arm ель (Appel P ) 250
Беблер (Baebler F) 206
Бсллман (Bellman R ) 79
Ьеисоп (Benson D С ) 67
Берж (Berge С) 53 115 190 195—
197, 201
Бернштейн (Bernstein F) 115 117
Бёрч (Bircli) 246
Бинэ (Btnet) 170
Биркгоф (Birkhoff G) 118 П9
Борсль (Borcl E.) 246
Ботт (Bott R) 176, 177
де Брёйтт (de Bruijti N G) 183
Брукс (Brooks R L ) 263
Брэттон (Bratton P) 137, 140 141,
272
Вандермонд (Vdndermonde) 122
Веблен (Veblen О ) 166
В ото (Votaw D F) 252
Галл аи (Gallai T) 188. 1
Гамильтон (Hamilton W) 120, 121
Гаусс (Gaubs К F ) 43
Гейл {Gale D.) 92 100
Гильберт (Hilbcrt D) 206 239
Гйльбо (Guilbaud G T) 53
Гомори (Goraory R E ) 42 190
Гофман (Hoffman A F) 89 93 159
Гранд и {Grundy P M.) 23, 29—33
38 40 42 59—65 207 271
Данциг (Dantzig G. В ) 42 25*i
Даффин muffin) 26-
Джонсон (Johnson S ) 123
Дирак (Dirac G. A) 217
Дирихле (Dirichlei L) 2Ы 264 2G5
Дынкил Е Б 2.35
Жордаи (Jordan С) 2Ib
Калмар (Kalmar F) 70
Kan (Kahn A. S.) 253
Канторович Л В. 250
Кендалл (Kendall) 273
Кёниг (Konig D.) 24 39 104 111,
112 114 115 118 123, 124
Киркман (Kirkman) 204
Коксетср (Coxeter H S M.) 240
Кон-Фоссен (Kon-Vossen S.) 239
Коши (Cauchy О ) 170
Краскйл (Kruskai J B) 159 167
Креверас (Kreweras G.) 273
Кристи (Christie L S.) 135
Крон (Kron) 265
Куайн (Quine) 193
Kvh (Kuhn \V H > 70 Я9 112 246
247 255
Купманс (Koopmans T С) 250 266
269
Куратовский (Ku r alow ski G ) 231
Кэ.'1И (Cailey A ) 44
Лаплас (Laplace P) 170
Левицкий (Levitzki I) 185
Лефшсц (Lefschetz S ) 238
Литтлвуд (Littlewood I E) 10O
Лихтенбяум Л М. 144.
Лукасевич (Lukasiewicz I) 174
Льюс (Luce R. D) 135, 139
Люка (Lucas E.) 75 195, 205
Мейберри (Mayberry J P) 177
Мейсн (Macy J ) 135
Менгер (Menger К) 217, 224

310
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Менделеев Д И 34
Монж (Monge G) 250, 251
Моргенштсрн (Morgenstern О )
Морено (Moreno J L ) 147
Морон (Moron) 262
Муавр (de Aioivres) 122
Мур (Moore Е Н ) 64 270
Нейман (Neumann) 262 264 265
фон Нейман (J von Neumann) 53
70 119, 24G, 247
Норман (Norman R 2 ) 190 192
195, 190
Нэш (Nasli) 246 IM
Окада (Okada S.) 162
Орден (Orden A ) 252
Ope (Ore O)lil
Перрон (Perron О ) 150
Пстерсеи (Petersen J) [88 196 206
209
Пойа (Polla G ) 34 100 280
Понтрягин Л С. 231
Постумус (Posthumus) 182
Пуанкаре (Poincare H ) 160
Радо (Rado О ) 2,>, 59 290
Райзер {Ryser H J.) 100
Рейсе (Reiss M.) 270
Рейтер (Reiter S ) 269
Риге (Riquct J.) 275
Риигель (Ringel G ) 105 240
Ричардсон (Richardson M } 56 э9
Рот (Roth J P.) 193
Руа (Rov В.) 135
РэЙбин (Rabin M О) 190, 195 196
Тарри (Тапу G ) 77
Татт (Tufte W Г) 176 197, 198 213
214, 263
Таусски (Taussky О) 265
Томпсон (Thompson G L ) 273
Трент (Ttent Н М.) 172
Тэт (Tatt P G) 238 273
Уигни (Whitney H ) 224 236
Успенский В. А 235
У эй (Wei Т Н ) 149 273
Фалкерсон (Fulkerson D R) 85—87,
89 10ft, 255. 257
Фишер (Fisher R A ) 89
Флёри (Fleury) l8l
Флад (Flood M M) 255
Форд (Ford I. Ц) 79 85 86, 87 89,
105, 255, 257
Фробениус (Frobenius) 150
Хадвигер (Madviger) 274
Ханани (Hananl) 271
Хард и (Hardy О Н ) 100
Хсллср (Heller J.) 156
Хедвуд (Headwood) 239 240
Хофтер (Ilcffter) 240
Хичкок (Hitchcock F L } 250 251
Холл (Hall P.) 104 115, 118, 124
Цермело (Zermelo F ) 70
Цорн (Zorn) 20 21
Шеннон (Shannon С Е) 46—48 271
Штейнер (Sleiner J.) 270
Шютцснбергер (Schutzenberger M P )
184 271
Сильвестр (SiKcstre) 270
Смит (Smith С. А В.) 210, 263
Cnpar (Spraguc R ) 263
Стоун (Stone A. H )
Эйлер (Euler L) 107 122, 179 228,
229
Эргеварн (Ergevar^ J) 112
Эррера (Errera J.) 199 209

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеле во слово 282
Абсолютное равновесие 70
Активный игрок 67
Ачгорифм 50
— нахождения кратчайшего дерева
167
_ пути 78, 79
— наибольшего паросочетапия
(венгерский алгорифм) 112
потока 85, 86, 292
— сон местимогу множества 192
— — наименьшего внешне устойчи-
устойчивого множества 51
— — — потока 89
— — потока, производящего паи
большую работ} 258
¦—¦ — -— совместимою с интсрсалом
значений 95
пути выхота и^ пабирпнта 76
77
базы независимых циклоп 1ЬЯ
¦— непосредственного выявление эй-
эйлерова цикла 181
— построения наибольшего паросо'И-
тания 114
— — наименьшей опоры 114
Антисимметрический траф 14
Антиузел 135
База векторного пространства %
— графа 19
Бержа—Нормана—Рэибина теорема
190
Бернштейна теорема 115
Бесконечная грань плоского графа 228
— транспортная есть 96
Бесконечный граф 23, 24
Бинэ — Коши формула 170
Бистохастнческая матрица 118
Б ахроматический граф '№
Благоприятная (оптимальная) стра-
стратегия 72
Брэттона гипотеза 140
Булево сложение 1о2
— умножение 152
Бюджет транспортной сети 255
Вектор цик 1 35
Векторное подпространство Зэ
Величина потока 82
— рассечения 126
Венгерский алгорифм \12
Верхняя грань ]9
— структура 19
Вершина (точка) графа 12
Вес разбиештя 279
Ветвь 135
Вещественное трехмерное нрострап
стпо 9
Висячая вершина 165
Внешне устойчивое множеелко 48
Внутренне устойчивое множество 4S
Вполне индуктивный граф 20
— упимодулярная матрица 153
— упорядоченное множество 27
Вход 98
- транспортной сети #2
Выигрыш игрока 68, 244
Вь;ход 93
— транспортной сети 82
Гамильтон он путь 120
¦— контур 120
— цнг<1 204
испъ 204
Генеалогическое (родосювное) дере
во 11
Географическая карта 38
Гипотеза Брэттона 140
— четырех красок 234, 236
Гракди функция 29
Граничные вершины дуги 12
Грань 227
Гр^ф (определение) II 12
— антисим метрический 14
— без контуров IS
— _- сочленений 217
— бесконечный 23
— бихроматический 39
— вполне индуктивны ii 20

312
предметный \казагетъ
238
Граф, двойственный чанному 236, 239
- индуктивный 20
— конечный 23
— локально конечный 23
-•- минимально связный 135
— однородный 198
— плоский 38 227, 238
— полный 14
— прогрессивно конечный 23
— — ограниченный 23
— простой 51, 88, 104
— псевдосим метрический [82
— регрессивно конечны» 24
— — ограниченный 24
— связный 15
сильно связный 14
— симметрический 14
структурный 19
— типологический 227
— тотальный 18
— транзитивный 18
— частичный 12
— ай-плоский 76
— I -конечный 22
— Г~' конечный 22
— I -ограниченный 22
— fc-связиый 223
— р-хроматический И
— S топологический 236
Группа подстановок 276
Двоичная запись числа 31
Двойственная строчка 99
Двойетнепяып граф 236, 239
Декартово произведение Я
Дерево 165
Дефицит простого графа 108
Диаметр графа 138
Динамические программы 79
— сети 83
Дирихле задача 262
Дирихле—Неймана задача 262
Длина дуги графа 78
— пути графа 13
— ребра графа 166
Дополнительная матрица 142
Дуга (графа) 12
Емкость графа 47
Задача Куаина 193
— Купманез 266
- D бомбардировке прей сообщения
222
Зада
—
104
/а о волке, козе и капусте 76
воспитанниках и нос пита кницах
имжиосш
195
на
восьми ферзях 43
— — кёнигсбергскнх мостах
— книгах 123
— копе Аттилы 221
котловане и насыпи 251
— — лидере 147
— — назначении чпц н
104
— — нахождении наименьшего по
крытая 192, 193
— — прогулке молодых девушек
пяти ферзях 49
— — пятнадцати девушках 44
— — разбиении прямоугольника
квадраты 262
— — распределение TOBapd по транс
портной сети 252
— — складе 253
— — трех городах и трех источниках
снабжения 227. 230
урезанной шахматной доске
144
— — ходе шахматного копя 122
часовых 49
— — шести красных дисках 49
— об информационной емкости мно
жества сигналов 46
— — оптимальном назначении лиц
252
— — экскурсии 100
Замкнутая поверхность 238
Замкнутое кругосветное п>тешестние
120
Заходящая (в всршин\ в множе-
множество) дуга 13
— (в множество вер пин) цепь 187
Игра 61, 67, 243
п бридж 245
— Ним 61, 68
порядка р 64
— с полной информацией 67, 245
— — совершенной информацией 245
Игрок 67
Избыток 261
Изолированная вершина (ючка) 98
165
Индекс положения игры 243
Инцидентность 13
Исходящая (из вершины и^ множе
ства) дуга 13
Квааинорядок 17
— определенный графом 17

ПРЕД ЧЕТНЫЙ
313
Кенига—Орс теорема 111
Кёнига теорема о бихроматичсских
графах 39
Кёнига—Холла теорема 104 108
Класс эквивалентности 9
Классы транзитивности 276 277
Клика 44
Код 46
Комбинированная стратегия 246
Композиция отображений 10
Компонента {связности) IS
Конец дуги 12
Конечная грань плоского графа 228
Конечный граф 23
Контур 13
Край, грани 227
Куна—Бёрча теорема 24Ь
Кусок графа 220, 231
— — внешний 232
— — внутренний 232
Лабирииг 75
Лапласа формула 170
Латинские квадраты 107
Пемма Цорна 20
- Эррера 199
Линейная конфигурация 170
Линейно зависимые некторы 36
— независимые векторы 35
Линейные программы 41, 81 84 190
249 250
Мажораьта 17
Максимальный элемент 20
Матрица лнциденций тля T,vr 153
— ребер 153
-- смежности р графа 112
Менгсра теорема 217
Минимально сЬязпыи граф И5
Минимальный кусок 220
— элемент 20
Минор знта 18
Многочленный коэффициент 2S',
Множество 7
— изоляции 2^1
— информации 243
— сочленения 221
Моноид 174
Мультиграф 34
Наибольший элемент множеств 18
Наименьший элемент множества 18
Напоминание 246
Насыщенная дуга 86
Начало графа 186
— дуги 12
Недостижимая вершина 186 !95
Независимые циклы 35
Незамкнутное кругосветное путеше-
путешествие 121
Ненасыщенная вершина 112 190 194
Неприводимая нершипа 66
Несравнимые вершины 109
Нижняя грань 19
— структура 19
Норматьная форма игры 245
Обобщенная сумма матриц 150
Обобщенное произведение матриц 150
— сложение чисел 150
— умножение чисет 150
Образ 10
Обратное отображение 10
Объединение 8
Однородный граф 198
Ожидание выигрыша 214 216
Опора 200, 268
— оптимальная 2Ьб
— простого графа 109
Ориентируемая поверхность 238
Основной вероятностный яакоп (в иг-
игре) 243
Отклонение И1
Отклоне»шость 1^1
Отношение порядка 13
Отображение многозначное 10
— однозначное 10
Ощипывание графа 220
Паросочетанне произвольного
194
— простого графа 301
Пассивный игрок 67
Перемещение 101
Пересечение 8
Перешеек. 207
Периферийная точка 131
Перифероидпая точка 216
Петерсена—Галл аи теорема 188
Петерсена—Эр рео а теорема 209
Петля 13
Планирование неполных блоков 89
Плоский граф 38, 227
— — топологический 227 238
Поверхность 238
Погоня 69
Подграф 12
Под игр а 68
Подмножество 7
Подстановка 275
— единичная 275
Поединок 72

314
ПРЬДЧЫНЬШ \'
Покрытие графа 88, 192
По.:шое паросочетание \[2
Полный граф 14
— поток 8(i
Положение игры Ь7, 243
Полустепень захода вершины 98
— исхода вершины 98
Понтрягика—Куратовского теорема
23]
Порядковая функция графа 28
Порядковое (трансфинигное) число 27
Порядок 18
— вершины графа 28
Поток 82
— совместимый с тбь,тками 261
— множеством значении 89
Потенциальная функция графа 262
Потребность вершины множества 90
Правило Тарри 77
— игры 67, 243
Пр а дерево Ц>, 173
Предшествующая вор шин а 17
Проводим ость дуги 262
Прогрессивно конечный граф 23
— ограниченный граф 23
Произведение графов 30, 46
Пропускная способность д>ги 82
разреза 85
Простая цепь 15
Простой граф 51 88 101
— путь 13
— цикл 1э
Псевдосшчетрнч&иКИИ /раф 182
Пустое множество 7
Путь (в графе) 13
Работа потока 255
Равновесие (и игре) 70 214
Радиус графа !32
— -— ненаправленный («фадиоид»)
215
Радо теорема 25
Разбиение (множества) 9
— в смысле теории чисел 27е!
Размерность отображения 282
— разбиения 279
Разность потенциалов 261
Разрез (транспортной сети) ?5
Рассечение графа 12G
Расстояние 131
— между вершин iMij 215
Ребро графа 14
— мулы игр а фа 34
Регрессивно-конечный граф 24
Регрессивно ограниченный граф 24
Регулярность отношен ил 27Ь
— подстановки 276
Результат игры 72
Рейни проблема 18
Ричардсона теорема 56
Розеткя 135
РодосlOBtroe (генеалогическое) дере-
дерево 11
Род поверхности 249
Связней граф 15
Сеть коммуникации 21S
Сигналы 4Ь
Сила игрока 149
— — итерированная порядка р 148
Сильно связный граф Н
Сильные вершины 136, 195
— дуги J12
~ ребра 186, \Ю, 207
Симметрическая группа 277
Симметрический граф 14
Симплекс-метод 42, 85
Слабые вершитш 186, 195
— дуги: 112
— ребра 186, 189 207
Следующая вершина 17
Сг.очо 282
Смежные вершины 13
— грани 227 228
— дуги 12
Смеша гита я вершина 186 195
Совершенная информация 245
Совершенное паросочетание 194
Совершенный прямоугольник 262
Совместимость множества ребер с
данной функцией 189
Сопротивление дуги 262
Сопряженная экиивалентность 279
Сопряженное отображение 281
Составная цепь 1;>
Составной путь 13
— цикл 15
Сохранное отображен е 47
Социо граммы 147
Способность бюджета 256
Старшинство 14
Степень вершины 180
— отображения 281
Стратегии 69, 244
Строго предшествующая вершина 17
— следующая першина 17
Структурное отношение порядка 19
Структурный граф 19
Стягивание множества вершин 135
Сvmmа графов 30
— порядка р игр Ним 64
Схема информации 183
— коммуникации 14
) теорем i 213

ПРЕДМЕТНЫЕ \KA3VTEJTb
Теорема Аа рденз -3pei i феста — дс
Брёйна 183
— Амицура — Левицкого 185
Теорем а Бсржа—Нор м аи а—Рэибин а
190
— Бержа о бесконечных транспорт
ных сетях 115
— наибольшем внутренне }С
гойчином множестве 201
— Берн штейна 115
— Биркгофа —фон Нсимтна 119
— Бэблера 206
— Гейла 92
— Гофмана 93
— Дирака 124
— Жордана (о центроидах гр^фа)
216
— Кенига 112
— — о бихроматическнх графах 39
— гамилътоновеш п>тн 123
— — — последовательностях 24
— Кен ига—Ope 111
— Кёнига—Холла 104, 108
— Куна—Бёрча 246
— Менгера 217
— фон Неймана—Нзша 246
— о полустепенях 98
— Перрона—Фробениус а 149, 150
— Петерсена 206
— Петсрсена—Галл аи 188
— Петерсена—Эррера 209
— Понтрлгйна—Куратовского
— Пуанкаре—Веб асна—Л
ра 160
— Радо 25
— Ричардсона 56
— Руа 135
— Татта 213
— о совершенном паросочетанин
198
— Гатта—Ьержа 197
— Татта—Ботта 175
— Таусски 265
— Тэта 238
— Уитни 224
— Форда—Фалкерсона 87
— Хард и— 1иттчвут,а—Пой а 100
— Хсллера 156
— Хеллера—-Томпкинса—Гейла 153
— Цермсло—фон Нейманj 70
Тип отображения 281
— слова 282
Топологический граф 227 238
Тотальный граф 18
— квазипорпдок 18
Точка 7
— (вершина) графа 12
Точка простого сочленения 215
— сочленения 215
— равновесия (в игре) 244
1ран;*итиннан группа 277
••••- эквивалентность 275, 277
Транзитивное заглыканпе <отобрале
ния) 10
ТранаитивноС1Ь 17
Транзитивный граф 18
Транспонированная матрица 142
Транспортная задача 250
— сеть 82
Ipacea 137
Турнирная диагрлмма 222
Удаленность вершины 215
Узел 135
Уиткн теорема 224
Фактор графа 124
Фактор множество 276
Фактороид 204
Фан Тан (простая игра Ним) 63
Форда—Фалкерсола теорема Й7
Функция предпочтения 67, 243
Х^зрактерисгическая функция множе-
множества 55
Xdcce диаграмма 18
Ход (в игре) 67, 243
Хроматический класс графа 38
Хроматическое число графе] 38
Центр графа 131
Центроид 216
Цепь 15
Цермело—фон
Цикл графа 15
— подстановки 276
Циклическая группа 277
Циклический индекс 2Й0
Цикломатическая матрица
матрица инцидетшй) 162
Циклом атичеекое число 34
теорема 70
'вторая
Частичная игра 68
Частичный граф 12
— подграф 12
Чередующаяся цепь 185
Число внешней устойчивости 49
— внутренней устойчивости 43
— связности 225

316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шахматы Ь8
Эйлера формула 228
Эйлерова цепь 179
Эйлеров цикл 179
— контур 182
Эквивалентность 9
Эквивалентные nepmmiы 17
Элемент множества 7
Элементарное произведение
146
Элементарный kohtvp 13
— путь 13
— цикл 15
матриц
Эффективное предпочтение
Ядро графа 53
ab плоский граф 1Ь
1-конечный граф 22
Г-конечный граф 22
^-ограниченный граф 22
rf-сумма 31
— трансфипитных чисел 32
р-граф SB
р-хроматический граф 37
h-связный граф 223
S топологический граф 238
2 граф, 3-граф 34

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ... . . . 5
Глава 1 Основные определения . . . 7
Множества н многозначные отображения 7
Граф Пути и контуры . . 11
Цепи и циклы .... . 14
Глава 2 Предварительное изучение квазиупорядоченности 17
Квазипорядок, определяемый графом 17
Индуктивный граф i< базы . 19
Глава 3 Порядковая функция и ф>нкция Гранди для бесконеч-
бесконечного графа 23
Общие соображения огноапельно бесконечных графов . 23
Порядконая функции . . 27
Функции Гранди 29
Операции над графами 30
Глава 4 Основные числа теории графов 34
Цикломэтическое число 34
Хроматическое число ... 37
Число внутренней устойчивости 46
Число внешней устойчивости 48
Глава 5 Ядра графа . .... 53
Теоремы существования и единственности 53
Приложение к функциям 1 ранд и . 59
Глава б Игры на графе . 61
Игра Ним . , . . . . 61
Общее определение игры (с полной информацией) 67
Стратегии . . 69
. , , ,
Глава 7 Задача о кратчайшем п\ти
Процессы по этапам . 75
Некоторые обобщения . 78
Глава 8. Транспортные сети . 82
Задача о наибольшем потоке 82
Задача о наименьшем потоке ... . . 88
Задача о потоке, совместимом с множеством значений , S9
Бесконечные траьспортцьзе сети . 9д

318 ОГ.ПАВПГНИГ
Глава 9 Теорема о полустепенях 98
Пол} степени ис\ота и захода 98
Глава 10 Паросочетанке простого графа 104
Задача о наибольшем иаросочетании 104
Дефицит простого графа 108
Венгерский алгорифм . 112
Обобщение на бесконечный случаи 114
Приложение к теории матриц . . 117
Глава 11 Факторы . 120
Гамильтоновы пути и гамильтоиовы контуры 120
НахождёгШе~с?Гактора ... 124
Нахождение частичного графа с заданными пол>ста$ек>ши 12
Г л а в а 12 Центры графа 131
Центры 131
Ради}с 132
Глава 13 Диаметр сильно связного графа . 135
Общие свойства сичьно связных графой ба петель 135
Диаметр 138
Глава 14 Матрица смежности графа 142
Применение обычных, матричных операции 142
Задачи на подсчет 144
Задача о лидере . . 147
Применение булевых операций 150
Глава 15 Матрицы инциденций 153
Вполне унимодулярные матрицы 153
Вполне улимодулярные с кете мы 158
Цикломатические матрицы . . 161
Глава 16. Деревья и прадеревья 165
Деревья 165
Аналитическое исследование 170
Прадеревья 173
Глава 17 Задача Эйлера 179
Эйлеровы циклы 179
Эйлеровы контуры 182
Глава 18. Паросочетание произвольного графа 185
Теория чередую пихся цепей 185
Нахождение частичного графа с заданными степенями вершин 189
Совершенное паросочетание . . 195
Приложение к числу внутренней }стойчинос1И 200
1 лака 19. Факторомды 204
Гамильгоповы циклы и факторомды 204
Необходимое и достаточное условие существования фактором па 211
Глава 20 Связность графа 215
Точки сочленения 215
Графы без сочленений 217
/{-связные графы . . . . 221

ОГЛАБЛЕНПЬ 319
Г 1 а в а 21 Плоские графы 227
Основные свойства 227
Обобщение 238
Добавления 241
/ Об обще а теории игр 243
II О транспортных задачах 250
III 06 использовании, понятия потенциала а транспорт-
транспортных сетях ... . 261
IV. Нерешенные задачи и недоказанные преопололсепия . 270
V. О некоторых основных принципах подсчета (Ж Риге) 275
V/ Дополнения к русскому переводу (А А Зыков и
Г Я. Кожvхин) ...... 289
Литература 293
1сория графой и книга К Берлса (поаеслоте к русскому пе-
переводу) . . .... 303
Указатель символов 308
Именной указатель 309
Прет четный указагеяь 311

К Бе р ж
ТЕОРИЯ ГРЕФОВ \\ ЕЕ ГГРИУЦГШ-НИИ
Художник В. П. Заикин
Хуюжестоенпьгй редактор В И.
Технический редактор А Г t
ч и[]<)и;55одство 27/Vl-l%I i
Подписано к печати И/V-1962 г
Бумага 60x#J'.¦',.;— Ю буи. л.
20 печ. л
i-4'Илд. л. 18, Изд. № 1 .'0245
1 р. 46 к. Зак. 2<338
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1 й Рижский пер., 2
Типография № 2 им.
УПП ЛелсО[*пр
1онинг1>ад. Иямайлоискнй up -0.