/
Author: Харари Ф.
Tags: комбинаторный анализ теория графов математика дискретная математика
Year: 1973
Text
Ф. Харари
Теория
графов
М.: Мир, 1973.
GRAPH THEORY
by
Frank Haiary
PROFESSOR OF MAT HE MAT FCS
UMVERSin OF MICHIGAN
ADDJSON-V, LSLFA PUBLISHING COMT'AM
RF4D1NO MASSACHUSI-’TTS MRNI.O PARК. CALIFORNIA LONDON
DON -MU/lS, ONTARIO
liiciS
Ф. Харари
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Перевод с английского
В П Козырева
Под редакцией.
Г. П. Гавриюва
ИЗДХТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1073
УДК 519Л
В последнее время1 теория графов привлекает вес более присталь-
ное внимание специалистов различных областей знания. Наряду с
традиционным» применениями ее в таких науках, как физика, элек-
тротехника химия, она проникла и в науки считавшиеся раньше
далекими от нее,—экономику, социологию лингвистику и др
Давно известны тесные контакты теории графов е топологией, тео
рией грен л и теорией вероятностей. Особенно важная взаимосвязь
существует между теорией графов и теоретической кибернетикой
(особеннотеорией автоматов исследованием операций, теорией коди-
рования, теорией игр) Широко используется теория графов при ре-
шении различных задач на вычислительных машинах.
За последние годы тематика теории графов стала значитетыю
разнообразней; резко увеличилось количество публикаций.
Предлагаемая книга написана одних! из видных специалистов
по дискретной математике Несмотря на небольшой объем и ко.нспек
дивный характер изложения, книга достаточно полно освещает со-
временное состояние теории графов. Она, безусловно, будет полезна
студентам университетов и технических вузов и, несомненно, заин
тсресует широкие крути научных работников, занимающихся прило
жепиями дискретной математики
Редакция ли/repair у рь<. по математическим наукам
0223-021
X-----------
041(01)-73
© Перевод на русский язык, «Мирз, 1973
Казимиру Ку рато некому,
открывшему К и Кяя для тех
кто думал, что планарность
относится ЛИШЬ К ТОП О ТО ГИИ.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
— I believe if you once made up your
mind to do a thing, you would doit,
no matter how bard if uas wuuidnt
you?
— Well i d — j d make thing* hum
I guess he admitted
F Ncrns, ThtPa ch I 7 l)
Co времени выхода русского перевода книги К Бержа «Теория
графов и ее применения» — первой книги но теории графов на
русском языке— прошло около десяти тет. Это был период бурно-
го развития дискретной математики период ее дальнейшего про-
никновения в самые разнообразные области знания, характерный
мощным, все возрастающим потоком информации, различные сто-
роны которого особенно ярко проявились в теории графой — одном
из разделов дискретной математики Многообразие направлений п
обилие новых работ затрудняют широким кругам математиков и
специалистов в смежных областях знания постоянно следить за
развитием этой теории и чувствовать ее пульс, быть в курсе совре-
менной проблематики и методов Даже специалисту, занимающе
муся другим разделом дискретной математики, по проявляющему
интерес к теории графов, бывает необычайно сложно систематически
следить за литературой в этой области, в основном из за труднос-
тей чисто технического характера статьи по теории графов и се
п рил ожени я м в последнее время можно встретить в самых разных
изданиях, которые к тому же не всегда доступны.
Новые веяния и сдвиги в теории графов нашли отражение в
ряде достаточно интересных работ (отечественных и переводных),
выпущенных за последние годы Средн них следует отметить моно-
графии Оре [41 и Зыкова 121 сборник статей «Прикладная комби-
наторная математика» (изд во «Мир», Ч , 1968) н статью Харари
[231
Предлагаемая вниманию читателя книга естественно вписыва-
ется в этот ряд Она принадлежит перу маститого американского
математика, профессора .Мичиганского университета, видного спе
циалиста по дискретной математике Обладая поистине изумитечь-
1) — Я думаю, раз вы реши in сделать что либо то и сделаете как бы трудно
ни было, не так ли?
— Да как вам сказать мне кажепя что я в цыз: nmoi не ударил бы,—
признался он.
Ф Норрис Омут изд во «Мыспь! 1425
ПРЕДИСЛОВИЕ Р[ ДАКТОРА ПЕРЕВОЗА
7
нои работоспособностью, оп написал огромное чцс ю статей тополо-
гического, алгебраического и теоретико-графового характера,
несколько монографий по комбинаторной математике и ее приложе-
ниям в физике, социологии и экономике Харари активно участвует
во многих конференциях по теории графов и смежным с ней наукам
и неизменно является редактором трудов таких конференций
Несколько лет подряд он читал курс теории графов и комбинатор-
ного анализа в Мичиганском университете Одна из целей (и при-
том весьма нелегкая), которая, как можно судить по характеру
книги, поставлена Харари, состоит в попытке унифицировать
обозначения и хпорядочить терминолснию теории графов. Однако,
как признает сам автор, эта попытка, возможно, не будет очень
удачной из-за большого разнобоя в терминологии и обозначениях
в современной литературе в этой области Следует отметить, что
книга очень популярна среди зарубежных (особенно американских)
специалистов, связанных по своей работе с дискретной математи-
кой, п большинство ссылок в статьях и кратких сообщениях по
теории графов приходится на долю этой книги
К несомненным достоинствам книги следует отнести широту и
полноту охвата методов н задач теории графов Существенно огра-
ниченный объем книги и большая насыщенность ее разнообразными
фактами естественно привели к тому, что мно[ие утверждения
в ней сообщаются без доказательства. Однако это, наверное, наи-
более приемлемый способ, позволяющий создать удобочитаемый и
достаточно полный труд по теории графов в целом. По крайней
мере известные до сих пор попытки дать полное и подробное, со
всеми доказательствами, изложение основных результатов теории
графов нельзя признать удачными Кроме того, как правильно
замечает автор, такая книга очень полезна для думающего читате-
ля, который может самостоятельно анализировать предлагаемые
доказательства, методы и идеи Такое изложение поможет читателю
глубоко освоить теорию графов и свободно ориентироваться в
потоке новых публикаций Этой же цели служат упражнения,
предлагаемые после каждой главы, за исключением первой. Среди
них есть и очень простые, и чрезвычайно трудные Для последних
даются ссылки на литературу, связанную с их решением
Наиболее важные теоремы, содержащие характерные для теории
графов подходы и методы, доказываются автором очень подробно,
остальные либо не доказываются либо для них приводятся только
наброски доказательств, в этих случаях автор дает соответствую-
щие ссылки.
Книга удачно дополняет переведенные на русским язык моно-
графии Бержа [2] и Оре [4]. В отличие от монографии Бержа изло-
жение здесь не является чрезмерно аксиоматизированным. Особый
интерес представляют главы, посвященные вопросам связности,
планарности, раскраски графов, матрицам, группам, реберным гра-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОД}
фам и перечислениям графов (гл 5, 8, 11—15). Большинство ре-
зультатов, включенных в эти главы, ранее в монографиях на рус-
ском языке не встречалось
С тех пор как вышло американское издание книги, прошло
более трех лет, и за эго время опубликовано немало интересных
работ в теории графов Они достаточно полно отражены в обзоре
переводчика (Козырев 11]) Стоит специально отметиль mohoi рафии
Вагнера )4| и Бержа |31 Они появились в 1970—1971 гг и, не
сильно пересекаясь с книгой Ф Харари, существенно дополняют
ipyi друга Обратим внимание также на обзор работ советских
авторов, данный Тёрнером и Каунем 11], в котором приводится
около 250 наименовании Наиболее важные из работ последних
двух-трех лет добавлены в список литературы и отмечены кружоч-
ком. Некоторые новые результаты отражены в дополнительных
у пражнениях, добавленных при переводе Они также отмечены
кружочком.
Ряд несущественных неточностей в изложении нами устранен
без специальных оговорок, другие же снабжены подстрочными при-
мечаниями, так как в противном случае это привело бы к наруше
пню цельности или затруднило бы понимание соответствующего
материала Существенно пришлось исправить только доказатель-
ство теоремы 9.4, в котором содержалось много неясностей.
К недостаткам книги, на наш взгляд, можно отнести отсутствие
алгоритмов решения конкретных задач, а также отсутствие указа-
ний о приложениях различных результатов теории графов. Их вне-
сение в книгу не привело бы к существенному^ увеличению ее объе-
ма, однако привлекло бы значительно более широкий кр\г чита-
телей
Непринужденный, динамичный, занимательный стиль изложе-
ния и насыщенность книги юмором создавали дополнительные
трудности при работе над переводом Переводчик и редактор при-
ложили немало усилий, чтобы сохранить и передать стиль автора
в русском переводе. В книге много эпиграфов, что вполне соответ-
ствует духу изложения основного материала Автор считает нуж-
ным снабдить эпиграфами даже предметный указатель, список
литературы и оглавление! Это вынудило нас обратиться за помощью
к специалистам-филологам, которую нам и оказали сотрудница
ВГБИЛ В Г Торшина и поэтесса О С Астафьева За эту по
мощь мы им весьма признательны
Остается отметить, что книга бхдет полезной студентам универ-
ситетов, педагогических, экономических и технических институтов
Она, несомненно, заинтересует научных работников, занимающихся
исследованиями в тех областях знания, которые соприкасаются
с теоретической и технической кибернетикой
Г П Гаврилов
ВВЕДЕНИЕ
Когда мне было 14 лет, мой отец
был так глуп, что я ед&а вы носил его
Когда же мне стукнуло 21, я пора-
зился увидев, как поумнел старик за
?ти 7 лет
Млга. Теем
Существует несколько причин нарастания интереса к теории
графов Неоспорим тот факт что теория графов применяется в
таких областях, как физика, химия, теория связи, проектирование
вычислительных машин, электротехника, машиностроение, архи-
тектура, исследование операции, генетика, психология социоло-
гия, экономика, антропология и лингвистика Эта теория тесно
связана также со многими разделами математики, среди которых —
теория групп, теория матриц, численный анализ, теория вероят-
ностей, топология и комбинаторный анализ Достоверно и то, что
теория I рафов служит математической моделью для всякой системы,
содержащей бинарное отношение Графы действуют притягательно
и обладают эстетической привлекательностью благодаря их пред-
ставлению в виде диаграмм. Хотя в теории графов много результа-
тов, элементарных по своей природе, в ней также громадное изоби-
лие весьма тонких комбинаторных проблем, достойных внимания
самых искушенных математиков
Ранние варианты этой книги появились в 1936 г , когда на
кафедре математики Мичиганского университета началось регх-
ляриое чтение курсов но теории графов и комбинаторному анализу
Было замечено, что с методической точки зрения нецелесообразно
приводить доказательства всех формулируемых утверждений Это
позволило включить в курс значительно больше известных резуль
татов чем было бы возможно в ином случае Таким образом, книгу
можно использовать как пособие, написанное в традиционной мане-
ре «метода Мора» когда студент умножает свои познания в матема-
тике, стремясь доказать все теоремы, сформулированные без
доказательств Заметим однако, что некоторые из опущенных до-
казательств п трудны и длинны Тот кто овладеет содержанием
этой книги, сможет продолжать изучение специальных гем и приме-
нять теорию графов в других областях.
В предлагаемой читателю книге предпринята попытка предста-
вить различные направления исследований в теории графов в их
10
ЦВЕД E И ИЕ
логической последовательности, дать исторический экскурс и по
яснить изложение при помощи рисунков, иллюстрирующих понятия
и результаты Кроме того, приводятся три приложения с диаграм-
мами графов, ориентированных графов и деревьев. Основное внима-
ние в книге уделяется теоремам, хотя иногда упоминаются и
алгоритмы, и приложения
Предлагаемые в конце каждой гтавы (кроме первой) упражнения
существенно отличаются друг от друга по своей трудности Номера
тех упражнений, которые не являются простыми и не следуют
непосредственно из приводимых ранее результатов, набраны жир
пым шрифтом. Особенно трудные упражнения кроме того помече
ны звездочкой Для усвоения излагаемого в книге материала чита
гелю рекомендуется ознакомиться с каждым упражнением Многие
из «более легких» упражнений могут показаться читателю очень
трудными, если он не изучил материал соответствх ющих i тав
Советуем читателю не увязать в гл. 2 и ее многочисленных
упражнениях, которая сама по себе может быть использована как
сокращенный курс по теории графов для студентов первого курса
или старшеклассников Преподаватель найдет в этой кнше матери-
ал для односеместрового курса по теории графов В то же время
вся книга может служить основой для годового курса Некоторые
из последних глав можно рекомендовать как темы для семинаров
повышенного типа Так как единственным условием для чтения
этой книги в действительности является неуловимое свойство, пазы
ваемое «математической зрелостью», то ее можно использовать в
качестве пособия для дипломников и аспирантов Для понимания
последних четырех глав полезно знакомство с элементарной теорией
групп и теорией матриц
Считаю своим долгом выразить благодарность многим моим
знакомым за их неоценимую помощь и советы в подготовке этой
книги. Ловелл Байнеке и Гари Чартрэпд оказывали наибольшую
помощь на протяжении многих лет!
В течение последнего года мои ученики Деннис Геллер, Беннет
Манвел и Поль Штокмейер с особым энтузиазмом делились своими
замечаниями и предложениями Большая помощь была также ока-
зана мне Стефаном Хедетниеми, Эдгаром Палмером и Майклом
Пламмером В самое последнее время Бранко Грюнбаум и Доминик
Уэлш оказали любезность, тщательно прочитав всю книгу Я лично
отвечаю за все ошибки и за большинство сомнительных мест в
изложении
За последние более чем двадцать jei, посвященных псследова
пням в теории графов, я получал поддержку при публикации со
стороны Научно исследовательскою управления Военно-воздушных
сил США., Национальных институтов здоровья, Национального на
уч нот о фонда, i правления научных разработок Военно-морского
флота и фонда Рокфеллера В' течение этого времени я был рад
ВВЕДШИ!
11
воспользоваться гостеприимством не только Мичшансксно универ-
ситета, но также и других учебных заведений, которые я имел
возможность посетить. Среди них — Институт повышения квалифи-
кации, Принстонский университет, Тавистокскнй институт социоло-
гии в Лондоне, Университетский колледж в Лондоне и Лондонская
экономическая школа Квалифицированно и быстро перепе-
чатали рукопись Алиса .Миллер и Анна Дженн из Научно исследо
вательского центра групповой динамики Наконец, я особенно
бзагодареи издательству Аддисон-Уэсли за проявленное терпение
в ожидании этой рукописи в течение всех десяти лет с момента
заключения контракта, а также за всестороннюю помощь в издании
книги.
Фрэнк Харари
1 лива 1
ОТКРЫТИЕ!
Эврика'
Архимед
Не случайно теория графов «открывалась» независимо много раз
ее с полным основанием можно считать разделом прикладной ма
тематики1) В самом деле, наиболее раннее известное упоминание
этой теории встречается в работах Эйлера, и хотя проблему, кото-
рой он занимался, можно рассматривать как обычную головоломку,
все же она возникла из практики
Последующие переоткрытии теории графов Кирхгофом и Кэли
1акже уходят своими корнями в реальную действительность Изу
чение Кирхгофом электрических цепей привело к разработке им
основных понятий и получению ряда теорем, касающихся деревьев
в графах В свою очередь Кэли подошел к исследованию деревьев,
решая задачи перечисления органических изомеров. Другой под-
ход к графам, связанный с рассмотрением головоломок, был пред-
ложен Гамильтоном. После этого появилась знаменитая гипотеза
четырех красок которая до сих пор пользуется широкой извест-
ностью В наше столетие также было чрезвычайно много переоткры-
тий теории графов Упомянем кратко некоторые из них, придержи-
ваясь хронологического порядка
Задача о кёнигсбергских мостах
Отцом теории графов (так же как и топологии) является
Эйлер (1707—1782) решивший в 1736 i широко известную в то
время задачу называвшуюся проблемой кёнигсбергских мостов
В городе Кенигсберге было два острова, соединенных семью моста-
ми с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на
рис 1 1 Задача состояла в следующем: найти маршрут прохожде-
ния всех четырех частей суши, который начинался бы с любой из
*) Комбинаторная сущность теории графов и ключ к пониманию ее широкой
применимости .хорошо выражены в следующих словах Сильвестра: «Теория отроет
ков (ramification) — одна из теорий чистого обобщения, для нее не существенны
пи размеры, пи положение объекта, в ней используются геометрические .линии, но
они относятся к делу не больше, чем такие же линии в генеалогических таблицах
помогают объяснить законы воспроизведения
14
ГЛ VBA !
ни.х, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по
каждому мосту. Легко, конечно, попытаться решить эту задачу
эмпирически, производя перебор всех маршрутов но все попытки
в
Рис 1 1 Пирк. и юроде Кентпсберге 173о г
окончатся неудачей. Исключительный вклад Эйлера [1] в решение
этой задачи заключается в том, что он доказал невозможность та
кого маршрута.
Для доказательства юго, что задача не имеет решения, Эйлер
обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост —
линиеи (ребром), соединяющей соответ-
ствующие точки Получи лея «граф» Этот
граф 9 показан на рис 1 2, где точки
отмечены теми же буквами, что и четыре
части суши на рис 1.1.
Утверждение о несуществовании «по-
ложительного» решения у этой задачи
эквивалентно утверждению о невоз-
можности обойти специальным образом
граф, представленный на рис 1 2
Отправляясь от этого частного слу-
чая Эйлер обобщил постановку задачи
Рис. 1.2. Граф к задаю о
кенигсбергских мостах
и нашел критерии существования обхода (специального мар-
шрута) у данного (рафа, а именно граф должен быть связным и
каждая его вершина должна быть инцидентна четному числу ре-
бер. Граф, показанный на рис 12, связный, но не каждая его вер
шина инцидентна четному7 числу ребер
Электрические цепи
В 1847 г Кирхгоф [11 разработал теорию деревьев для решения
совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволя-
ющую найти значение си ты тока в каждом проводнике [дуге) и в
') В действительней.Tn это «мультиграф» как мы увидим в it 2
ОТКРЫТИЕ!
15
каждом контуре рассматриваемой электрической цепи. Будучи
физиком по образованию, он подходил к решению задач как ма -
тематик Абстрагируясь от электрических схем и цепей, которые
содержат сопротивления, конденсаторы, индуктивности и т д ,
он рассматривал соответствующие комбинаторные структуры, со-
держащие только вершины и связи (ребра или дуги), причем дтя
связей не нужно у называть, каким типам электрических элементов
они соответствуют Таким образом, в действительности Кирхгоф
заменил каждую электрическую цепь соответствующим ей графом
Рис 1 3 Сеть \ соответствующий ей граф G и остов 7
и показал, что для решения системы уравнений необязательно рас-
сматривать в отдельности каждый цикл графа электрической цепи
Вместо этого он предложил простую, но эффективную методику
(ставшую позднее стандартной процедурой), в соответствии с кото-
рой достаточно ограничиться только независимыми простыми цик-
лами графа определяемыми любым из ею «остовных деревьев»
На рис 1 3 дан пример электрической цепи N, соответствующего
ей графа G и остовного дерева Т
Химические изомеры
Занимаясь чисто практическими задачами органической химии ,
Кэли [11 в 1857 г открыл важный класс графов, называемых деревь -
ями Он стремился перечислить изомеры предельных (насыщенных)
углеводородов С„Нй„+> с данным числом п атомов углерода, не
которые из таких углеводородов показаны на рис. 1 4
Конечно, Кэли прежде всего сформулировал задачу абстрактно
найти число всех деревьев с р вершинами, каждое из которых имеет
16
1 ЛАВА I
вершины со степенями 1 и 4 Ему не удалось сразу решить эту зада-
ча , и он счал изменять ее формулировку таким образом, чтобы можно
было решись новую задачу о перечислении а) корневых деревьев
(в которых выделена одна из вершин) б) всех деревьев, в) деревьев,
Метан Этап Пропан Бутан Изабутан
Рис 1 4 Наименьшие насыщенные углеводороды
у которых степени вершин не превышают 4, и, наконец, г) деревьев,
у которых степени вершин равны I и 4 (постановка задачи «из хи-
мии») (см Кэли [21).
Позже Жордан (1869 г) независимо от Кэчи ввел и изучат де-
ревья как чисто математические объекты, и, как писал Сильвестр
в 1882 г , он сделал это,«со
вершенно не подозревая о зна-
чении своею открытия для
современной химической нау-
ки» (см Кёниг 12, стр 481)
нб «Вокруг света»
В игре, придуманной сэром
Вильямом I амильтоиом ') в
1859 г , используется доде-
каэдр, каждой из 20 вершин
которого приписано название
известного юрода Играю-
щий должен обойти «вокруг
света», найдя такой замкну-
тый путь, идущий по ребрам
многогранника, который про-
ходит бы через каждую вершину ровно один раз. Гамильтон продал
свою идею одному мастеру иг рушен за 25 i иней; это был жестокий
поступок Ибо описанная игра не сулят никакой финансовой удачи.
*) Белее иодное описание см \ Ьочта к Кокеетера [1, стр 262],
ОТКРЫТЦГ
17
На языке теории i рафов задача формулируется так паитн остов-
ный цикл в графе додекаэдра Граф показан па рис. 1 5 Верши-
ны графа пронумерованы числами 1,2, ,20 (вместо названий
городов скажем Амстердам, 4нн-Арбор Берлин, Будапешт, Дуб
дин, Эдинбург, Иерусалим, Лондон, Мельбурн, Москва, Новоси-
бирск, Нью-Йорк, Париж Пекин, Прага, Рио-де-Жанеиро, Рим,
Сан-Франциско, Токио и Варшава) Существование основного цикла
очевидно.
Гипотеза четырех красок
Наиболее известная нерешенная задача в теории графов и, воз-
можно, во всей математике — знаменитая проблема четырех красок
Эту замечательную задачу каждый математик в течение пяти ми-
нут .может объяснить любому прохожему? на улице В конце объяс
нения оба будут хорошо понимать проблему, ио не будут способны
ее решить
В следующей цитате из исторической статьи Мея [1[ формулиру-
ется гипотеза четырех красок и поясняется ее роль
«(Предполагается, что] тюбую карту на плоскости или по-
верхности шара можно раскрасить только четырьмя крас-
ками таким образом, чтобы никакие две смежные страны не
были одного и того же цвета. Каждая страна должна состо
ять из одной связной области, а смежными называются стра
ны которые имеют общею границу в виде линии (а не просто
одной общей точки) Эта гипотеза тесно связана с наиболее
модными направлениями теории графов, а в разделе матема
тики называемом комбинаторной тополо1ией, она действо-
вала подобно катализатору На протяжении более чем по-
ловины столетия многие математики (кое-кто говорит,
что вес) предпринимали попытки решить эту проблему, по
смогли доказать справедливость гипотезы только для отдель
ных случаев... Единодушно признается, что гипотеза спра-
ведлива, но маловероятно, что она будет доказана в общем
случае. Кажется, что ей на некоторое время предназначено
сохранить отличительную черту быть одновременно и на-
иболее простой, и наиболее заманчивой нерешенной пробле-
мой математики»
Гипотеза четырех красок имеет интересную исюрию, но в ее
появлении остается много непонятного Имеются сообщения, что
Мёбихс был знаком с этой проблемой в 1840 г , ио точно известно
только, ню о данной проблеме Гутри сообщал де Моргану примерно
в 1850 ( Первое пз многих ошибочных «доказательств» было дано
Кемпе [11 в 1879 г Ошибкх обнаружил в 1890 г Хивуд [II который
тогда же показал чю гипотеза становится верной, если «четыре»
18
ГЛАВ\ 1
заменить на «пять» Контрпример, если его найдут, обязательно
будет чрезвычайно большим и сложным, поскольку совсем недавно
Оре и Стемпл [1] доказали справедливость гипотезы для всех карт,
содержащих меньше 40 стран
Гипотеза четырех красок является проблемой теории графов,
потому что каждая карта порождает граф, в котором страны (вклю
чая внешнюю область) — это вершины и две вершины соединяются
ребром, если соответствующие им страны смежны Ясно, что такой
граф можно нарисовать на плоскости без пересечения ребер (в точ-
ках, отличных оз вершин графа) Таким образом, если удалось бы
показать, что вершины любого планарного графа можно раскра-
сить четырьмя или меныиим числом красок так, чтобы смежные
вершины имели разные цвета, то гипотеза четырех красок была бы
обоснована
Теория графов в двадцатом веке
В 1936 1 психолог Левин !1| высказал предположение, что
«жизненное пространство» индивидуума можно представить с по-
мощью птанарной карты *). На такой карте области представляют
различные типы деятельности человека, например, то, что он де
тает на работе, дома, или же его хобби
Рис 1 6 Карта и соответствующий: ей граф
Подчеркнем, что Левин фактически имел дело с графами, как
это следует из рис 1.6 Эта точка зрения привела психологов На-
учно-исследовательскою центра групповой динамики к другой пси-
хологической интерпретации графа, в которой люди представля-
ются вершинами, а их отношения — ребрами Такими отношениями
являются, например, любовь, ненависть, общение, подчинение.
3) Предположение Левина о j носится только к планарным картам, поскольку
он всегда рисовал свои рисунки на плоскости
ОТКРЫТИЕ
19
Именно этот подход привел авюра настоящей книги к собственно
му открытию теории графов, благодаря помощи и содействию пси
хологов Фестицгера и Картрайта
Физики-теоретики для «внутренних» нужд своей пауки «откры-
вали» теорию 1рафов не один раз. Занимаясь статистической меха-
никой, Уленбек [1] обозначат точками (вершинами) молекулы, а
сзгежность вершин толковал как взаимодействие наибольшей бли-
зости (соседства) некоторого физического типа например магнитное
притяжение иди отталкивание В подобной интерпретации, пред-
ложенной Ли и Янгом [I], вершинами служат малые кубы лежащие
в евклидовом пространстве, каждый куб люжет быть занят ити нет
молекулой Две вершины считаются смежными, если оба соответ-
ствующих куба заняты гиолекулами Другой аспект использования
теории графов в физике — как изобразительное средство Фейн-
манн fl] предложил диаграмму, в которой вершины представляют
физические частицы, а ребра — пути частиц после столкновении
Учение о цепях Маркова в теории вероятностей (см., например,
Феллер [II) связано с ориентированными графами в том смысле,
что события представляются вершинами, а ориентированное ребро
(дуга), идущее из одной вершины в Другую, указывает на то, что
вероятность прямого перехода от одного события к другому поло-
жительна Этот подход подробно изложен в книге Харари, Нормана,
Картрайта Н стр ,371 f, где цепь Маркова определяется как сеть,
у которой сумма весов всех ориентированных ребер, выходящих
из каждой вершины, равна 1 Подобная интерпретация ориенти-
рованных графов возникает в разделах численного анализа, посвя-
щенных обращению матриц и вычислению собственных значений
Соответствующие примеры можно найти в книге Варги [1, стр 481
Квадратной матрице, предпочтительно редкой (с небольшим коли-
чеством ненулевых элементов в каждой строке) ставится в соответ-
ствие следующим образом ориентированный граф Вершины соот-
ветствуют номерам строк и столбцов матрицы, и дуга идет от
вершины i к вершине ] тогда и только тогда, когда (t, /)-й элемент
матрицы не равен нуглю, Близость двух приведенных интерпрета-
ций очевидна
Теоретико-графовый подход используется также в быстро разви-
вающихся разделах линейного программирования и исследования
операций при изучении потоков в сетях Применение теории гра-
фов дтя таких целей показано в книгах Форда и Фачкерсона [2],
Вайды [11, Бержа и Гуйя-Ури [1] Вершинам графа соответствуют
пункты размещения (или выгрузки) товара, ориентированное ребро,
идущее из одной вершины в другую, указывает на возможность
транспортировки товара из пункта, соответствующего первой вер-
шине, в пункт, соответствующий второй вершине Каждому ребру
приписывается некоторое положительное число — максимальная
пропускная способность ребра Она показывает, какое максималь-
ГЛАВУ. 1
ное количество товара может быть выгрхжено в единицу времени в
соответствующем пункте.
Внутри чистой математики теория графов впервые изучалась
Вебленом |1, стр 1 —35] в его классической книге по топологии
По определению симплициальныи комплекс (или, короче, комплекс)
состоит из множества 3 «точек» и некоторого (заданного) семейства
3 непустых подмножеств множества V, называемых «симплексами»,
V и S должны удовлетворять следующим двум условиям*
1) каждая точка есть симплекс,
2) каждое непустое подмножество симплекса есть симплекс
Размерность симплекса равна уменьшенному на единицу числу
его вершин, размерность комплекса равна максимальной из раз-
мерностей симплексов, содержащихся в данном комплексе В эжх
терминах гриф можно определить как комплекс размерности 1
или 0 Назовем 1-мерный симплекс ребром Заметим, что комплекс
0-мерен тогда и только тогта, когда он содержит некоторое множе-
ство точек но не имеет ни ребер, ни симплексов более высокой раз-
мерности За исключением этих «вполне несвязных» графов, осталь-
ные графы являются одномерными комплексами Именно поэтому
первая книга по теории графов (Кениг [2]) имела подзаголовок
Kombmatorische Topologie der Streckenkomplexe ’)
В дальнейшем мы предпочитаем использовать слова point (точ-
ка) и line (линия), учитывая стожившуюся традицию употреблять
их как неопределяемые понятия в аксиоматических системах для
геометрических структур Всякий раз, когда мы говорим о «геоме-
трических» симилициальных комплексах как о подмножествах ев-
клидова пространства, противопоставляя их абстрактным комплек-
сам, определенным выше мы применяем слова vertex (вершина)
и edge (ребро) 2) Терминологические вопросы будут обсуждаться
в гл 2 вместе с некоторыми основными понятиями и элементарными
теоремами теории графов
’) Комбинаторная топология линейных комплексов (нем) — Прим, пере»
В предлагаемом переводе, чтобы уменьшить расхождение е терминологией,
принятой и отечественной литературе mi,! поступаем как раз наоборот' слова
«вершина» и «ребро» употребляем про рассмотрении «абстрактных комплексов»
а «точка» и «линия» — при рассмотрении «геометрических комплексов»— Прим
ред
Глава 2
ГР4ФЫ
Что значит имя? Роза пахнет розой
Хоть розой назови ее, хоть нет.
Шекспир it
ДжильсттсГ )
Большинство специалистов по теории графов употребляют в кни-
гах статьях н лекциях свою собственную терминологию. На конфе
рснция.х по теории графов каждый выступающий, чтобы избежал,
неправильного понимания, считает необходимым определить прежде
всего язык, коюрым он будет пользоваться. Даже само слово «граф>
не является священным. Некоторые авторы действительно олреде-
тяюг «граф» как граф J), другие же имеют в виду такие понятия,
как мультиграф, псевдо граф, ориентированный гоаф или сеть Нам
кажется, что единообразие в терминологии теории графов никогда
не будет достигнуто, но, может быть, оно и не к чему.
Увы, необходимо сформулировать ряд определений, чтобы в дать-
нейшем иметь возможность использовать основные понятия и тер-
минологию теории графов После этого мы дадим краткое введение
в учение о полных подграфах, в теорию экстремальных графов
(которая изучает графы с запрещенными подграфами), в исследова-
ние свойств графов пересечений ( в которых вершинами являются
множества, а непустые пересечения представляют смежность),
будут определены также потезныс операции на графах
Типы графов
Прежде чем дать определение графа мы покажем на рис 2 1
все 11 графов с четырьмя вершинами. Позже мы увитим, что
1) любой граф с четырьмя вершинами изоморфен одному из них
2) пять графов, которые на рисунке расположены слева от штри
ховой линии не связны,
3) шесть графов, расположенные справа от штриховом линии,
связны;
4) последний граф—потный,
1) Перевод Ь Пастернака акт ‘2 сцепа 2 изд но «Искусство» 19о1 стр У
— Прим, персе
3) Чаще всего это сразу провозглашается стандартным предложением
«В этой статье мы рассматриваем только конечные неориентированные графы без
петель и кратных ребер»
21
ГЛАВА 1
5) первый граф— пустой или вполне несвязный,
6) первый граф с четырьмя ребрами — цикл;
7) первый граф с тремя ребрами — простая цепь
Вместо того чтобы продолжать повествование на ингхитивном
уровне, вводя время от времени различные понятия теории 1рафов,
Рис 2 1 Графы с четырьмя вершинами
V.
мы перейдем к систематическому, хотя и )томитечьному, введению
этих понятий одного за другим. Граф 6 состоит из конечного непу-
стого множества И, содержащего р вершин г). и заданного множе-
ства X, содержащего q неупорядоченных пар различных вершин из
Каждою пару х={ц, о} вершин в X называют ребром графа (7
и говорят что г соединяет и и г Мы
будем писать х=ии и говорить, что и
и и — смежные вершины (иногда это
обозначается uadjy), вершина и и
ребро х инцидентны, так же как v и
х Если два различных ребра х и у
инцидентны одной и той же вершине,
то они называются смежными. Граф с
р вершинами н q ребрами называется
(р, [р-графом (1,0)-граф называется
Рис 2.2 Граф, иллюстрирую тривиальным
щнй понятие смежности Обычно граф представляется диаг-
раммой, и ее-то часто называют гра-
фом Таким образом, \ графа G на рис 2 2 вершины и и v смеж-
ные, а вершины и и ц. нет, ребра г и у смежные а г и г нет
Хотя на диаграмме ребра х и ? пересекаются, их точка пересечения
не является вершиной графа
') Приведем перечень синонимов, которые используются в
теории графов, но не всегда в указанных ниже парах:
точка (point)
линия (line)
соединение (junction)
ветвь (branch)
литературе по
вершина (vertex)
ребро (edge)
О симплекс (О-simplex)
1-симплекс (1-simplex)
(node)
(arc)
элемент (element)
элемент (element)
узел
дуга
ГРАФЫ
23
Имеется несколько типов графов, которые целесообразно при-
вести Отметим, что из определения вытекает, что в графе не может
быть петель, т е ребер, соединяющих вершины сами с собой
В мульпшграфе не допускаются петли, но пары вершин могут сое-
диняться более чем одним ребром; эти ребра называются кратными
Если допускаются петли и кратные ребра, поручаем псевдограф
Рис 2 3 Мультиграф и гпевдограф
На рис. 2 3 приведены мультиграф и псевдограф, в основе которых
«лежит» один и тот же граф — треугольник Ясно, что граф в зада-
че о кёнигсбергских мостах (рис 1 2) является на самом деле муль-
тиграфом
Ориентированный граф, или орграф D состоит из конечного
непустого множества V вершин и заданного набора X упорядочен-
ных пар различных вершин Элементы из X называются ориенти-
рованными ребрами или дугами По определению в орграфе нет
Рис 2 4 Оргрдфы с тремя вершинами и тремя дугами
петель и кратных дуг Направленный граф — это орграф, не имею-
щий симметричных1) пар ориентированных ребер На рис 2 4
приведены все орграфы с тремя вершинами и тремя дугами, два по-
следних из них — направленные графы Орграфам посвящена по-
следняя, 16 глава, но время от времени к ним мы будем обращаться
и в других главах
Граф называется помеченным (или перенумерованным), если его
вершины отличаются одна от другой какими-либо пометками, на-
пример г/j, v2l , vp Графы (jj и G2 на рис. 2 5 помеченные, а граф
Gj нет
Го есть дуг вида (и, м и У. — Лрии иерее.
24
Г Ч ТВ 3
Два графа G и Н изоморфны (записывается G—H или иногда
G=H), если между их множествами вершин существует взаимно
однозначное соответствие, сохраняющее смежность Например
Gj и G., на рис 2 5 изоморфны при соответствии vj^ui и чисто слу-
чайно оказалось, чю граф G3 изоморфен каждому из них. Совершен-
но очевидно, что изоморфизм есть отношение эквивалентности на
графтах
помеченный графы
Инвариант графа G — это число связанное с G, которое при
иимает одно и го же значение на любом графе изоморфном G Так,
числа р и </ являются инвариантами графа Полный набор инвариан-
тов определяет граф с точностью до изоморфизма Например, числа
р и q образуют полный набор инвариантов для всех графов с числом
вершин, меньшим четырех. В настоящее время мы не знаем ни одной
нетривиальной полной системы инвариантов дтя графов
Рис 2 6 Граф и два его подграфа
Подграфом графа G называется граф, у которого все вершины и
ребра принадлежат G Если G,-— подграф графа G, то G называется
подграфом (supergraph) графа G, Оетовный подграф — это под-
граф *) графа G, содержащий все его вершины. Для любого подмно-
жества S вершин графа G порожденным подграфом (Sy называется
максимальный подграф графа G, множеством вершин которого яв-
ляется 3. Таким образом, две вершины из S смежны в <S> тогда и
только тогда когда они смежны в G На рис. 2 6 G2— остовиый под-
граф графа G, a Gi пет; Gr~ порожденный под: раф a G2 нет.
') В ряде монографии используется термин «чпсги тныи граф см. на> ример
Берж |2J.— Прим, перев
ГРАФЫ
25
Удагение вершины vt из графа G приводит к подграф!, G — v;,
содержащему все вершины графа G, за исключением v;, и все ребра
графа G, не инцидентные v;. Другими словами, G — у, есть макси-
мальный подграф графа G, не содержащий ту-. Удаление ребра X; из G
приводит к остовному подграфу, содержащему все ребра графа G,
за исключением х; т е G—есть максима тьиый подграф трафа G,
Рис 2 7 Графы содержащие п не содержащие выделенную вершину или
выделенное ребро.
не содержащий д,. Удаление произвольного множества вершин или
ребер из G определяется как последовательное удаление веек эле-
ментов этого множества С другой стороны, если у, и о, не смежны
в G, то добавление ребра vfij образует наименьший над граф графа G,
содержащий ребро vpj Эти понятия иллюстрируются на рис 2 7.
Рис 2 8 Графы, юдержащяс и не содержащие вершину или ребро
Существуют графы, для которых результат удаления вершины
или ребра или же добавления ребра не зависит от выбора вершины
или ребра. Для графа G, облачающего этим свойством, обозначим
соответствующие графы через G — v G — г и G-*-x; см. рис 2 8
Улам [1] высказал предположение, что набор подграфов G—у,
несет полную информацию о всем графе G
ГЛАВА 2
Гипотеза У та v а1). Пусть граф G и чеет р вершин. vi, граф Н
имеет р вершин иг и р^ 3. Если для каждого i подграфы G;—G—v:
и Н;=Н—ut изоморфны ню и графы G и Н изоморфны
Известна друпая ин[српре1ация этой гипотезы (Харари I20J)
Нарисуем каждый из р непомеченных графов G—v, па карточке
размером 3. 5 В гипотезе говорится что любой 1раф с р верши-
нами, из которого, удаляя каждый раз тишь по одной вершине,
можно получить данные подграфы и только их, изоморфен G
Таким образом, в гипотезе Улама утверждается, что любые два
1рафа с одним и тем же набором карточек изоморфны Кажется
более естественным пытаться доказать (или опровергнуть), что по
любому допустимому' -) набору карточек восстанавливается только
один граф
Маршруты и связность
Одно из наиболее простых свойств, которым может обладать
граф это свойство быть связным. В данном разделе рассматриваются
основные структурные свойства связных и несвязных графов.
Маршрутом в графеG называется чередующаяся последователь-
ность вершин и ребер у0, ,гь у,, , хп, v„; эта последователь-
ность начинается и кончается вер
шиной, и каждое ребро последова-
тельности инцидентно двум верши-
нам, одна из которых непосред-
ственно предшествует ему, а другая
непосредственно следует за ним
Указанный маршрут соединяет
вершины и vH, и его можно обоз
Рис 2 9 Граф для итлихтраппи начить vn ср v? v„ (наличие ре-
бер подразумевается) Эта последо
вателыюсть иногда называется
маршрутов
(по-^п)-маршрутом Маршрут за икнут, если -i\, и открыт в
противном случае Маршрут называется цепыо (hail) если все
его ребра различны, и простой цепью (path), если все вершины
(а следовательно, и ребра) различны. Замкнутая цепь называется
циклом Замкнутый маршрут называется простым циклом если
все его п вершин различны и п^ 3
В помеченном 1рафе G на рис 2 9 —маршрут, который
не является цепью, а — цепь, но не простая цепь, гдпагщ*—
простая цепь и v^v^v^v^,— простой цикл
3 Не советуем читателю заниматься этой пшотезой гюскопкл она представ
л яры я нам очень трудной.
-) То есть (табору, который моано получить лз некоторого графа Другая
трудная задача: как выяснить является ли данный набор допустимым?
ГР \ФЫ
27
Обозначим через С„ граф состоящий из одного простого пикта
с н вершинами, и через Рп простую цепь с п вершинами, С, часто
называют треугольником.
Граф G называется связным, если любая пара его вершин соети-
нена простой цепью. Максимальный связный подграф графа G
называется компонентой связности ити просто компонентой гра
фа G Таким образом несвязный граф имеет по крайней мере две
компоненты. Граф на рис. 2.10 имеет 10 компонент
Длина маршрута v щ. . .v„ равна п, т е количеств;, ребервнем1).
Обхват графа G — обозначается g(G) — это длина кратчайшего про-
стого цикта графа G (если он есть), окружение графа G— обозна-
чается c(G)— длина самого длинного простого цикла графа G.
Эти понятия не определены в случае, когда в G нет циклов
Рис 2 10 I раф с ГО компонентами
Расстоянием d(u, J) между двумя вершинами и и и графа G
называется дпина кратчайшей простой цепи, соединяющей их,
если и и о не соединены, то полагаем d(u, и) = оо В связном графе
расстояние явпяется метрикой, т е удовлетворяет следующим ак-
сиомам (аксиомы метрики), для любых трех вершин и, v и х
1) d(u, 0 и d(u, ц)^0 тогда и только тогда, когда u=v,
2) d(и, v)=d (о, ы);
3) d(u, u)-rd(u, w)^d(u к,).
Кратчайшая простая (п-и)-цепь часто называется геодезической
Диаметр а \Ср связного графа G — это длина самой дчинной геоде-
зической Граф G на рис 2 9 имеет обхват окружение с=4
и диаметр d^2
Квадрат G- графа G имеет то же множество вершин, что и i раф G,
I е V(О’) — V (О), и две вершины и и а в G2 смежны тогда и точько
тогда, когда d(и, о) 2 в G Степени G\ О1, графа G определяются
аналогично Например, Q = и P'i — Ki—х
Степени
Степенью -) вершины щ в графе G — обозначается dr или deg щ—
называется число ребер, инцидентных ъ(. Поскольку каждое ребро
инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое
1) Каждое ребро с ттается столько раз скотько оно встречается в данном
маршруте.— Прим. ре.О.
Иногда илютьзуюдся ырчины «ьалеитиоиы и «токхчьная сгенеиь»
28
ГЛХБ4 2
ребро вносит лвоику Таким образом, мы приходим к утверждению,
которое установлено Эйлером |2[ и является исторически первой
теоремой теории iрафов
Теорема 2.1. Сумма степенен вершин графа G равна удвоен-
ному числу его ребер-
2 deg (2 1)
L
Следетвие 2 1 (а) В чюбом утфе число вершин с нечетными
степенями четно ')
В (р. ср графе ОдД deg р—1 для любой вершины и. Миннмадь
ная степень вершин графа G обозначается через min deg G или
б (G), максимальная — через шах deg G •- Д (G) Если 6 (G)~ Д (G)- г,
Рис 2 II Кубические графы с 6 вершинами
то все вершины имеют одинаковую степень и такой граф G назы-
вается регулярным (ити однородным) степени г В этом случае го-
ворят о степени графа и пишут deg G - г.
Регулярный граф степени 0 совсем не имеет ребер. Если G — ре-
гулярный граф степени 1, то каждая его компонента содержит точно
одно ребро; в регулярном i рафе степени 2 каждая компонента —
цикл и, конечно, обратно. Первые интересные 2) регулярные ipa
фы имеют степень 3, такие графы называются кубическими. На
рис 2.11 показаны два регулярных графа с 6вершинами. Второй из
них изоморфен каждому из трех графов, изображенных на рис 2 5
Следствие 2 1 (б) Каждый кубический граф имеет четное
чисю вершин
Полезно дать названия вершинам с малыми степенями. Вершина
v называется изолированной, если deg у—0, и концевой (или висячей),
если deg о— 1
Задача Рамсея
Широко известна следующая головоломка
Доказать, что среди ъюбых шести человек найдутся либо
трос попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых
') IhiiomiiUBi 'ииагстю (см ввсдслие) что в тексте г t. ни. теоремы доказы-
ваются.
По опоях структурным свойствам — Прич пеоеь
I РАФЫ
24
Указанную ситуацию можно описать графом G с шестью вер-
шинами, представляющими людей; смежность двух вершин соответ-
ствует знакомству Требуется показать, что в G найдутся либо три
попарно смежные, либо три попарно несмежные вершины Допол
нгние G графа G имеет в качестве множества вершин множество
Г (G), две вершины в G смежны тогда и юлько тогда, когда они
не смежны в G На рис 2 12 в графе G hoi iреугольников а в графе
G их ровно два Самодополнительныи граф — это граф, изоморф-
ный своему дополнению. Примеры таких графов приведены на
рис 2 13
Рис 2 И л чиж нытик: нетривна чьяыс асгодопспиитеш ньк । раФы
В полном срафе Кр каждая лара ею р вершин ) смежна Таким
образом граф К имеет (ф ребер и является регулярным степени
/7—1, Граф К5— треугольник Графы ф—еноте несвязные (или
регулярные степени 0)
В этих терминах голове томку можно сформулировать так
Теорема 22 Если G — граф с шестью вершинами, то шбо
G шбо G содержит треугольник
Доказательство П\С1ь и—произвольная вершина графа
G, имеющего шесть вершин Так как вершина v с любой из осталь-
Д Граф(7 на рис. 2 12 являющийся объединением двух треугольников на -
зывается графом Давида.
Д Поскольку И — непустое множество, то р;^1. Некоторые авторы допускают
существование спустого графа» (который мы обозначили бы через АД если бы был н
еог.Ш'иы с его сущестпоЕипптем]. В результате им приходится изучать свойства
пусгого графа, а некоторые теоремы формулировать только для негустых графов.
Поэтому мы не видим не обходи:,! ости вводить это понятие.
30
I Л АБЛ 2
ных пяти вершин смежна или в G пли в G, то, не теряя общности,
можно предположить, что вершины щ, у5, и, смежны с v в G Если
какие-либо две из вершив и1г и,, u-t смежны в G, то вместе с о они
образуют треугольник Если никакие две из них не смежны в G,
товграфе G вершины и} иг, и, образуют треугольник
Обобщая теорему 2 2, естественно поставить вопрос: каково
наименьшее целое число г(т /?), дтя которого каждый граф с
г(т, п) вершинами содержит Кп, или Кд?
Числа г(т, я) называются числа чи Рамсея 1) Ясно, что г(т, п) =
-г(п, т). Задача, связанная с нахождением чисел Рамсея, остается
нерешенной, хотя известна простая верхняя оценка, полученная
Эрдешем и Секерешем {11
<22^
Постановка этой задачи вытекает' из теоремы Рамсея Беско-
нечный граф-) имеет бесконечное множество вершин и не содержит
кратных ребер и петель Рамсей П1 доказал (на языке теории мно-
жеств), что каждый бесконечный граф содержит попарно смеж-
ных вершин ити попарно несмежных вершин
Таб ища 2 1
Числа Рамсея
Все известные числа Рамсея приведены в табл 2 1 (взята из
обзорной статьи Гравера и Якетя ill)
Экстремальные графы
Среди первых результатов в одном из направлении теории гра-
фов — теории экстремальных графов (см. Эрдёш [2]) — можно от-
метить следующу ю известную теорему Турана [ I ] Как обычно, пусть
|т] — наибольшее целое чисто, не превышающее действительного
чиста г а {г}——I—г] есть наименьшее целое число, не меньшее г
1) Доказательство существования чисел г(т п) идя чгобых натуральных т
и п см., например \ Я Холли )[].
Отметим, что по нашему определению бесконечный граф не является гра
фом Имеется обзорная статья о бесконечных графах’ Нэш-Втьямс 14]
ГРАФЫ
31
Теорема 2 3 Наибольшее число ребер у графов, ичеющих р
вершин и не содержащих треугольников, равно ]р2 4]
Доказательство Утверждение очевидно для малых зна-
чений р Доказательство по индукции можно дать отдельно для не-
четных и дтя четных р, здесь будет рассмотрен только случай четных
значений р Предположим, что утверждение справедливо для всех
четных значений р^.2п Докажем его для р=2/?Д 2 Итак, пусть
G— граф с р — 2ft-г-2 вершинами, не содержащий треугольников
Поскольку граф G не является вполне несвязным, то в нем сущест-
вуют две смежные вершины и и о В подграфе G' = G — {и, о} име-
ется 2ft вершин и нет треугольников, так что по предположению
индукции в графе G' самое большее ребер Сколько еще
ребер может быть в графе В графе G нет такой вершины что
вершины и и J одновременно смежны с it1, i е вершины к, v и ev
образуют в >рафе G треугольник Таким образом, если вершина и
смежна с k вершинами графа G', то вершина v может быть смежна
самое большее с 2ft—k вершинами Поэтому в графе G не больше чем
п -г /г-1- (2ft—k)- 1 — ц--I- 2n— 1 — pxA — [p2;4l
ребер
Для завершения доказательства осталось установить, что для
каждого четного р существует (р, р®/4)-граф, не содержащий тре-
угольников. Такой граф можно образовать следующим образом
возьмем два множества Г, и Г2, каждое из которых имеет р’2 вершин,
и соединим каждую вершину из 1Д с каждой вершиной из Га.
Для р~6 соответствующий граф G, приведен на рис 2 5
Рис 2 14 Двмотьиый траф
Двудольный граф (или биграф J)) G — это граф, множество вер-
шин V которого можно разбить на два подмножества К и К та-
ким образом, что каждое ребро графа G соединяет вершины из разных
множеств (будем говорить, что ребра графа G соединяют множества
1\ и Га) Например, граф представленный на рис 2 14 а можно
*) В литературе встречаются и другие термины для .этого понятия, например
бихроматический граф, простой граф, четный граф граф иаросочетаний.
32
ГЛАВА 2
нарисовать так, как показано на рис 2 14, б, чтобы подчеркнуть,
что этот граф — двудольный
Ёст и граф С> содержит все ребра, соединяющие множества и
Иг, то этот [раф называется полным двудольным. Если при этом в
множестве И: имеется т вершин, ав V. имеекя п вершип, то будем
писать G — Кт п~ К(т, п) Звездой1) называется полный двудоль-
ный граф Кип- Понятно, что в графе Кт,п имеется пт ребер По
этому, если р четно, то граф Kip-'2, р,2) содержит д-/4 ребер если
р нечетно то граф К{\р '21, {р-2}) содержит ip/2] {р’2}—[р’.-41 ре-
бер В каждом из таких графов нег [реуготьников, что следует из
теоремы Кёнига [2, стр 170]
Теорема 2.4 Граф является двудольным тогда и только тог-
да, когда все его простые иикчы четны
Доказательство Если G — двудольный граф, то множество
его вершин V можно разбить на два подмножества V) и таким
образом, что любое ребро этого графа соединяет некоторую вершину
из множества 1Д с некоторой вершиной из К? Поэтому каждый про-
стой цикл VtU2.. vnvL графа G содержит вершины из V,, скажем, с
нечетными номерами и вершины из V2 с четными, так что длина п
этого цикла является четным числом
Чтобы доказать обратное, предположим, не теряя общности, что
G — связный граф (поскольку каждую компоненту графа G можно
рассматривать 01делыю) Возьмем произвольную вершину у, g V
и обозначим через V\ множество состоящее из v2 и всех вершин, на-
ходящихся в графе G на четном расстоянии ол пусть V2— V—К
Так как все простые цик 1ы графа G четны, то каждое его ребро сое-
диняет множества 11 и V2. В самом деле, если существует ребро
uv, соединяющее две вершины из множества Уг, то объединение
1 еодезических, идущих из вершины vt к вершине v а также из
вершины I»! к вершине и, вместе с ребром uv образует цикл нечетной
длины, мы пришли к противоречию
Теорема 2.3 является первым примером решения одной из задач
«теории экстремальных графов»: для данного графа Я найти
ех(р, Н) — наибольшее число ребер, которое может быть в графе,
имеющем р вершин и не содержащем запрещенный подграф Н Та-
ким образом, в теореме 2.3 утверждается, что е.х (р, Я:() —[д2/4]
Приведем некоторые другие подобные результаты (Эрдёш 13])
ex(p,CJ-l+^A (23)
е.хф, Я4 —xU- | , (2 4)
Ki,i И)-- |Vj (2
1) В случае п-;3 Гоффман HJ называет К1 „ «лапой» (< law} а Эрдеш н Рсньи
IIJ — «гроздью» (cherry)
ГРАФЫ
33
Туран [11 обобщил доказанную им теорему 2 3, определив зна-
чения функции ех(р, /<„) для всех п^р
ехоткп)- (;) > (2 6)
где pHsrmodfft—1) и 0^г<ц—1 Другое доказательство этого
результата см. у Моцкииа и Штрауса И]
Известно также, что каждый (2/1, /Де!) граф содержит п тре-
угольников, каждый (р, Зр—5) граф содержит два простых цикла
не имеющих общих ребер (для рГг 6) и каждый (Зп, ЗД2-г1)-граф
содержит п* простых циклов длины 4
Графы пересечений
Пусть 5 — множество, a F~{S(, , 5^,} — семейство его раз-
личных непустых подмножеств, объединение которых дает S Граф
пересечений семейства b — обозначается й (F) — определяется мно-
жеством V (l~l (F)) = F и условием «S( и S, смежны тогда и только
тогда, когда (#=/ и S, Л 5,^=0». Граф G называется графам пересе-
чений на множестве S, если существует семейство F подмножеств
из S, для которого GscS.2 (F). Сформулируем теперь один из первых
результатов о графах пересечений (Марчевский (11)
Теорема 2 5 Любой граф есть граф пересечений
Доказательство Для каждой вершины v: графа G — обоз-
начим через 5( объединение {щ} и множества ребер инцидентных щ
Тогда ясно что G изоморфен графу Q (F) где F {Sf}
Определенное выше представление графа приводит еще к одному
инварианту Числом пересечения ®(G) данного графа G называется
минимальная из мощностей таких множеств S, что G есть граф
пересечений на S
Следствие 25 (a) Fciu G связный граф и р"^ 3, то
w (G) Q
Доказательство В этом с 1учае из множеств S,, которые
используются в доказательстве теоремы, можно удалить вершины,
так что S^X(G).
Сл едств ие 2 5 (б) EcwGp q имеет р<, изолированных вершин, то
«(G) < q р0
В следующей теореме приводятся условия, при которых дости-
гается эта верхняя опенка
Теорема 26 ЕслиС?^—связный граф и р> 3, то ы((Ррл}~д
тогда и только тогда, когда sGf/, нет треугольников
2 X ’41
34
( ЛЛВ \ 2
Доказательство Докажем сначала достаточность Так
как (следствие 2.5 (а)), го остается показать, что
со (Gp^y^ q для любого связного графа без треугольников, имею-
щего по крайней мере четыре вершины Из определения числа пе-
ресечения получаем, что G изоморфен графу пересечении Q (F) на
множестве S, в котором (G) элементов Для каждой вершины
ч, графа G обозначим через S, соответствующее ей множество Так
как в G нег треугольников, ю ни один элемент из 3 не может ветре
чаться более чем в двух множествах S/; и S', fbS;yK0 тогда и только
тогда, когда — ребро графа G Таким образом, мы получаем
взаимно однозначное соответствие между ребрами графа G и теми
элементами из S, которые принадлежат ровно двум множествам
S( Следовательно, w (G) —|S10= q
Для доказательства необходимости предположим что G имеет
треугольник Обозначим через Gt максимальный остовиый граф
графа G, не имеющий треугольников Используя доказанную только
чю достаточность, получаем, что w (Gi) =ф =-^= |Х (GJ [ Предположим,
что G] --= £2 (F), где F— семейство подмножеств некоторого множе-
ства S, содержащего ф элементов Пусть х — ребро графа G, не
принадлежащее Gt рассмотрим граф G.2=G1-\-x. Поскотьку Gx—
максимальный остовиый граф без треугольников ю в G2 должен
быть по крайней мере один треугольник, скажем где x—iiiUs
Обозначим через Sb S2, Sc, подмножества в S соответствующие
«!, и2, u-j. Если вершина и. смежна только с иг и и, в Glf то за
меним S2 на произвольный элемент из Si A S3 и добавим этот эле-
мент к S3 Если щ2 смежна ещё с какой-то вершиной, то заменим
S3 на объединение Sj и тюбого элемента из Si AS.,. В каждом из
возможных случаев приходим к такому семейству F' различных
подмножеств множества S, что G-=fi (Fr) Таким образом, w(G2)-^
=ф, вто время как |Х (G«) |--ф +1 Если G.,^G то доказательст-
во закончено
Остался случаи G,^G Обозначим |Х (б)-) — [X (G2) |—q> Из пре-
дыдущего вытекает, что в этом случае G — граф пересечений на не-
котором множестве с щ | q0 элементами Однако — qn=q—I
Следовательно, и (G)< q, и теорема доказана
Число пересечения графа ранее изучалось Эрдешем, Гудманом
и Поша Л] Они получили наилучшую верхнюю оценку числа пере-
сечения для графов с заданным числом вершин
Теорема 27 Дгч. нового графа G ( р^ 4 вершинами o(G)sC
С !/72/4|
Доказательство этою утверждения проводится так же, как и
теоремы 2.3
Для произвольного графа G су-шествует граф пересечений, опре-
деляемый только полными подграфами графа G Клика графа —
это его любой максимальный полный подграф Графом кшк. лан
ГР ХФЫ
35
ного графа 6 называется граф пересечений семейства всех клик гр а
фа G Например, граф G на рис. 2.15 имеет К4 в качестве своего графа
клик Однако неверно, что каждый граф есть граф клик некоторого
графа; так, Хамелинк П I показал, что графСиарис 2 15неявтяется
графом клик никакого графа Робертс и Спенсер [1] дали полное
описание графов клик
Теорема 2 8 Граф G является графом клик тогда и только
тогда, когда он содержит семейство Г полных- подграфов, объеди-
нение которых дает. G, таких, что если любая пара этих полных
подграфов некоторого подсемейства F' имеет непустое пересечение,
то пересечение веек множеств из Г' также не пусто
Рнс 2 15 Граф и его граф клик
Замечание Частный класс графов пересечений был выделен
Бепзером [|| при решении задач генетики Он высказал предполо
жение, что нить генов, представляющую бактериальную хромосому,
можно рассматривать как замкнутый интервал на действительной
оси Хайош [II независимо предположил, что с каждым конечным
семейством Г интервалов 5; можно связать i раф, который в терминах
графов пересечений есть Q (Г) Под графом интервалов понимается
граф, изоморфный некоторому графу Q (F), где F — семейство ин
1 ервалов Графы интервалов изучались Боландом и Леккеркерне-
ром [II, а 1акже Гилмором и I оффманом [1]
Операции над графами
Естественно стремиться представить структуру рассматривае-
мого графа с помощью графов меньшего размера и более простой
структуры Полезно дать краткие обозначения для тех графов,
которые при атом часто встречаются Уже были введены обозначе-
ния дтя полною графа К и его дополнения Кр, простого цикла С„ и
простой цепи Р, а также полного двудольного графа
В этом разделе графы Gt и 6_ имеют пепересекающиеся множс
ыва вершин и Уги пепересекающиеся множества ребер Хг и Х2
2‘
I ПАВЛ j
Объединением G, U G, 1аких графов1) называется граф, множеством
вершин которого является У-]/, и К, а множество ребер есть
А - X, U Х5 Соединение графов, введенное Зыковым [II— обозна-
чайся б, 6?,—состоит из G, и62 и всех ребер, соединяющих V, и
V,. В частности, Лт , Д ц — К,,- Эти операции итлК1С1рируюгея на
рис 2 16, где G^AV- Р2 н G*-- К^-^Р,
Piu ’1о Объединение i соединение двух графов
Если G — связный граф, то через nG обозначается 1 раф с п
компонентами, каждая из которых изоморфнаС Каждый граф мож
но записать в виде и /i(G(-, где G( отличается от Gy для (Харари
и Палмер [ И I) Например несвязный граф представленный на
рис 2.10 ложно записать в виде 47С U ЗЛ'2 tj 2/G U Л'л
Имеется несколько операций над графами Gi и G2, которые об-
разуют граф G с множеством вершин равным декартову произве-
дению KiXV2. Среди них произведение (или декартово произведе-
ние, см. Сабидусси 151), композиция (Харари (12[) (или лексикогра-
фическое произведение, см Сабидусси [61) Другие операции -)
этого типа приводятся в работе Харари и Вилкокса [11
Чтобы определить произведение Gc<G2, рассмотрим любые tee
вершины // — («,, и-Р и Ц“(гг1, цф из V—Vtx.V2. Вершины и и о
смежны в G1xGi тогда и только тогда копа [Ht — и, и и2 adj yj
или !и2 =-и» и и, adj vL] Произведение графов Ох—Р2 и Ga-=/% по
казано па рис 2 17
J) Разумеется, обтедтшеити двух «пересекающихся 1рзфов определяется ана
логичным образом.
:) Например, тенлорпсе проишс-депщ (Вс и jce.o |1|, Мак-Эндрю |1], Харари
я Траут fl], Dpyальди |1[) к другие типы произведений, определенные в работах
Вержа [2] Оре [4] тсха и Яга [1]
ГРлФЫ
37
Композиция G^GJGJ также имеет V^VjXVa в качестве мио
жеслва вершин и вершина и= (th, и2) смежна с t’= (vt, t'?) тогда
и только тогда, когда [wT adj щ) или [й,=н, и щ ad] Уа1 Для графов
G1 и G3, представленных на рис 2 17 две композиции GJGJ и
GJGJ которые, очевидно, нс изоморфны показаны на рис 2 18
Рис 2 18 Две композиции графов
Если GL и G — это (Р), т/,) и (р2 ф2)-графы соответственно, то
для каждой из определенных выше операций можно найти чисто
вершин и число ребер в получающемся графе (см таблице 2 2)
Таблица 2 2
Бинарные операции над графами
Oncpd Т
Чис to ребер
Объединение Gj^UG^
Соединение G; — Сг,
Рроидведение G1xGw
Композиция G![GJ
Pi—Р’
Pi i Pi
Pl Pi
PlPz
<h~<h
?1Д</г -p-lPi
PlQi^PtPl
Pl^P&i
Полный б дольный граф K(pt, /щ , pn) определяется как
последовательное соединение Кр -:\-К! — Ясно, что в этом
графе 1/7, вершин и 2 PiPj ребер
/ < ।
Важный класс графов называемых кубами наиболее естествен-
но описывается с помощью произведений Рекурсивно определяется
/[мерный куб QTl Qi~K2 и Q?! — K->’.\Qn , Таким образом, Qn
имеет 2" вершин, которые можно представлять наборами сусу. а ,
где су равно 0 или 1 Две вершины (или точки) куба Qn смежны,
ес ли их двоичные представления отличаются только в одной
38
1 !МВА
позиции (в очном разряде) На рис 2 19 представлены 2-мерпый
и 3-мерный кубы
Если графы G и Л таковы что отождествление любой вершины
1рафа G с произвольной вершиной графа И приводит к одном} и то-
му же графу (е точностью до изоморфизма) то граф получаемый с
помощью описанного отождествления вершин, обозначим через
GH Например, на рис. 2 16G2=^/C2 Л , а на рис 2 76—ц3^Лг/Сг.
Упражнения х)
2 1. Нарисовать псе графы с пятью вершинами (Затем сравнить с таврам
чачи данными в приложении 1 )
22 Восстановить граф G по его подграфам (7,— G- ц где G,---K4—х,
йг— 7'3(JP\i, 6’3~К1,3. Gh—Kj 3- а
2 .3. Замкнутый маршрут нечетной длины содержит простои цикл
2 4 Доказать или опровергнуть
а) объединение любых двух различных цепеп соедипяющих две верши-
ны содержит простой цикл;
б) объединение любых двух различных простых цепей соединяющих
две вершины содержит простой цикл.
2.5 Граф G связен тогда и только тогда, когда для любого разбиения мно-
жества I на два подмножества V, и Ю. существует ребро графя G соединяющее
некоторую вершину из Р} с некоторой вершиной из 1Л.
2 6 Если d (и, t-1)^ т в графе G, то чему равно d (и, о) в графе 6П?
2 7. Граф Н называется квадратным корнем графа G, если H2^G Граф 6 е р
вершинами имеет квадратный корень тогда и только тогда, когда ок содержит р
’аклх полных годгпафов 6; что
1)
2) тогда и только тогда, когда es£Cit
3) каждое ребро графа G принадлежит некоторому подграфу G,-.
(Мукхоплдхая 1Ф
:) Если в упражнении нс сказано явно, что требуется делать то его надо до
казать. Жирным шрифтам набраны номера более трудных задач а самые трудны
отмечены звездочкой.
2, 8 Конечное метрическое пространство (5, а) изоморфно пространств рас
стояний некоторого графа тогда и только тогда, когда
1) расстояние между любыми двумя вершинами из S есть целое число,
2) если dpt t.'jiTs 2 то найдется такая третья вершина кд что d (и. d fe'.vW
— diu.. t).
(Кей и Чартрлш [ 11)
2,9 , В связном [рафе любые две длинжйшие простые цени имеют общую
Еюршнну.
2.10 Неверно, что в каждом связном графе все длиннейшие простые пени
рмеют общую вершину. Показать, что
граф на рис 2 20 подтверждает это
(Вальтер ]!])
2.11 . Каждою граф с диаметром d
я обхватом 2d-H регулярен
2.12 . Пусть G будет (р ^(-гра-
фом, степени вершин которого равны
k ил it k— 1, Если G имеет рй> 0 вер-
шин степени k it Ph-.i вершин степени
k-\- 1 то Pk-ik+ 1) р - 2q
2.13 . Построить кубический граф
t 2п вершинами (гг.ДмЗ) ие имеющий
треугольников.
2.14 . Если граф G имеет р вершин
и й(0)7й(р—))/2, то он связен.
2.15 Если G— несвязный граф
w G — связный.
Рис 2 20 Пример к упражнению 2 10
2 16 Каждыйсамодопомнительный граф имеет 4п пти 4я—1 вершин
2 17 Нарисовать 4 самодочол нательных графа i 8 вершинами.
2 18 Каждый нетривиа тьиыи самодополнительный । раф имеет диаметр 2 илиЗ
(Рингель [2] Закс |1])
2 19 Числа Рамсея удовлетворяют рекуррентному соотношению
г (т n'^ripn— | n)-rr (т и— 1)
(Эрдёш |3])
2.20 , Найти наибольшее тело ребер а 1рафе с р вершинами, не имеющем ,ет-
ных простых циклов.
2 21 Найти экстремальные 1рафы, не содержащие Kj
((уран Ш)
2.22 . Каждый (р р-*-4) граф содержит два npocibix цикла нс имеющих об-
щих ребер
(Эрдеш [2])
2.23 . Единственным (р, [р2/4]) графом не со уержащим треугольников яв
ляется К (1р/21, {р/2}).
2.24 . Доказать или опровергнуть: единственным графтам с р вершинами и
наибольшим числом пересечения является К ([р/2] {р/2}).
2.25 . Наименьший граф в котором каждое ребро принадлежит по крайней
мере двум треугольникам и пи одно ребро не принадлежит АД имеет 8 вершин и
19 ребер Построить его
(Камерон и Митхэм)
2.2b Найти <й(АД), со (С„- АД. гн (С„- CJ и (1> (С„)
2 27 Доказать пли опровергнуть:
а) число клик графа G не больнн w(G);
б) число клик графа G не меньше (о (О’)
40
ГЛАВУ 2
2.28 Доказать, что наибольшее число клик в графе с [> вершинами разно
2’-53к + л г,е p_4-.3f_LSj s=0 J 2
(Мун и Мозер |1])
2.29. Пропой гшкл длины 4 не может быть порожденным подграфом графа
интервалов
2.30. Пусть s(«) — наибольшее число точек «-мерного куба которые норо
ж дают простой никл. Проверить следующую таблицу
п 12 3 4 5
s (а) 1 4- (> 8 14
(Данцер и Клп [1])
2.31. Доказать пти опровергнуть если GL и G — регулярные графы то та
ковы же графы
т) G, -С2. 6} GjXft, О GJGJ
2 32 Доказать и ти опровергнуть' ести Са и 65— двудочг ные графы то та
ковы же графы
a) G,-Lfi2 6f G1 xG, и) GJGjI
2 33. Доказать или опровергнуть
а)^ЙДЛ-С1 | (>г, б) G^G.^G^'G, в) GJGJ-GJ&J
2 34 а) Подсчитать число простых пиктов в графах С,, '-f(l К? Kmi„
(Харари и Манвел J11)
б) Каково наибольшее чисю не имеющих общих ребер простых циклов в
указанных выше графа
(Чартрэнд Гелчер и Хедетниеми [2J)
2.35 Конъюнкцией Сцл6г называется граф с множеством вершин 1фХ V2,
а вершины и =(«!. и2) и а=(ц1п os) в нем смежны тогда и только тогда, когда
“i adj ь’1 и и-2 adj с2. Соотношение GjX G^GY aG2 выполняется тогда и только тогда
когда G1^G2=C2m^-l
(Миллер | Ц1
2 36 Конъюнкция GjAG2 двух связных графов связна тогда и только тогда
когда Gt ичи О2 имеет нечетный простой цикл,
*2.37. Регулярный граф степени г имеющий г2-'-, 1 вершин и диаметр 2 су-
ществует для 3, 7 и, возможно, Б7
(Гоффман и Синглтон [ 1])
*2.38 Граф G (..р=2п вершинами обладает следующим свойством: для каждого
множества Sen вершинами порожденные подграфы<Х> и <К—S> изоморфны тогда
и только тогда, когда G совпадает с одним из графов К&1. К,;ХК ‘2Кп, 2С4 или
с их дополнениями.
(Келли П и Мерриел Hi)
°2.39. Последовательности ч, и3. . <.т вершив единичного n-мерного куба
Qrt называется цепью, если р (;у с',-ц): = 1 (i=-1. 2 , т — 1). рфр, гф-1 > 1 при
)г--/|>1 где р (г, ;ц) - расстояние Хэмминга .между вершинами о и w в Ql},
Показать, что длина 1(п) максимальной цепи больше С 2П, где С — константа.
(Ьн юкпмов 111)
Г шва 3
БЛОКИ
Нс прост копия отца геям жиьои
отец 1).
Здмунд Берк г)
Некоторые связные графы можно сделать несвязными, удалив
одну вершину, которая называется точкой сочленения Выделение
таких вершин сильно помогает в изучении структуры связного tpa-
фа. Ребра с аналогичным свойством называются мостами. Части
рассматриваемого графа вместе с его точками сочленения —
это его блоки. После определения этих трех понятии будут введены
и изучены два новых графа, связанных с данным графом — граф
его бтоков и граф его точек сочленения
Точки сочленений, мосты и блоки
7очной сочленения графа называется вершина, удаление которой
увеличивает число компонент' ребро с таким же свойством назы-
вается мостом. Таким образом если v — гонка сочленения связного
графа G, то граф G—v не связен. Неразделимым графом называется
связный, непустой, не имеющий точек сочленения граф Блок гра-
фа — это его максимальный неразделимый подграф. Ести G —
неразделимым граф, то часто он сам называется бдоком
На рис. 3.1 v — точка сочленения, а а. нет, х - molt, а у нет
отдельно приведены четыре бдока 1рафа G Каждое ребро графа
принадлежит годно одному из его блоков, так же как и каждая
вершина, не являющаяся ни изолированной ни точкой сочленения
Далее ребра любого простого цикла графа G также принадлежат
только одному блоку Отсюда, в частности, сдедует, чго блоки графа
разбивают его ребра и простые циклы на множества, которые можно
рассматривав как множества ребер. В первых трех теоремах этой
главы устанавливаются несколько эквивалентных условий, обес-
печивающих существование у графа точки сочленения и моста и
не разделимость графа
Ф В opiKHndie идиома ‘т chip of the old block — нссь и отца — Прим
перев.
“) Эдмунд Берк (1729—1797) английский государственный деятель и
шеатеть — Прин пере.в.
42
1 л '.вл
Теорема 3.1. Пустьи— вершина (.вчзнпго графа G Следующие
цтверж ден чя эквивалентны
fl) и — точка сочленения графа G
(2) существуют такие вершины и и от шчные от о, что v
принадлежит любой простой (и-и>)-цен.и'
(3) существует разбиение множества вершин V — ф-} на такие два
подмножества U и IF. что для любых вершин и С П и w g U'
вершина о принадлежит любой простой (и wypenai
Доказательство (1) влечет (3) Гак как v — точка сочле-
нения графа G, то граф G — v не связен и имеет по крайней мерс две
компоненты Образуем разбиение У— ф }, отнеся к 0 вершины одной
из этих компонент, а к IF - вершины всех остальных компонент
Тогда любые две вершины и g U и w £ IF лежат в разных компонен
гах графа G—с Следовательно, любая простая (и w) цепь графа G
содержит л.
(3) влечет (2), Это немедленно стедует из того что 12) — частный
случаи утверждения (3)
(2) влечет (1) Если о принадлежит тюбои просюи цени в G,
соединяющей п ил1, тов G нет простой цепи, соединяющей эти вер
шипы в G— v Поскольку G - v не связен тот — точка соч тенения
графа G
i еорема 3 2 Пусть \ — ребро связного графа G Сгедующие
утверждения эквивалентны
11 ) с — мост графа G;
(2) v не принадлежит ни одному простому циклу графа G,
(3) в G существуют такие вершины и и о, что ребро х принад и-
жит любой простой цепи, соединяющей и и z,
(4) существует, разбиение множества V на такие под множества.
О и. 1F, что для любых вершин и £ lj и к1 £ 1F ребро г принад-
лежит любой простой (u-w)-yenu
43
1 еорема 3.3, Пусть G — связный граф с не менее чем тремя
вершинами Следующие утверждения эквивалентны'
(1) G — блок;
(2) любые две вершины графа G принадлежат некоторому общему
простому циклу;
(3) любая вершина и любое ребро графа G принадлежат некото
рому общему простому циклу;
(4) любые два ребра графа G принадлежат некоторому общему
простому циклу;
(5) с)ля любых двух вершин и любого ребра <щафа 6 существует
простая цепь соединяющая эти вершины и вк иочающяя дан-
ное ребро;
(6) для любых трех различных вершин графа G существует
простая цепь, соединяющая две из них и проходящая через
третью
(7) для каждых трех различных вершин графа G существует про-
стая цепь соединяющая две из них и не проходящая через
третью
Цоказатечьство (1) влечет (2) Пусть и, и — разтич
ные вершины графа G, a U — множество вершин, отличных от и,
которые лежат па простом пикте содержащем и Поскольку в G
по крайней мере три вершины и rrei точек сочленения, то в G нет
также мостов Значит, каждая вершина смежная с и, принадле-
жит U, те U не пусто
Pjk 3.2 Нристьн цели в бюка?;.
Предположим что и не принадлежи! U Пусть w — вершина в
L, для которой расстояние diw v) минимально Пусть Pt — крат-
чайшая простая (it’-v’J-neiib, a PL и Р2 — две простые (п-щ)-цепи
цикла, содержащего и и ы (рис, 3 2, й) Так как <я> не является
точкой сочленения, то существует простая (н-е)-цепь Р не содер-
жащая w (рис 3.2, б). Обозначим через ш' ближайшею к и вершину,
принадлежащую Р', которая также принадлежит Р^, и через и
последнюю вершину («-щ'фподпепи в Р' которая принадлежит
н 1и Ри или Р2 Не теряя общности, вредно южим, что и' принад-
лежит Pi
Пусть <?! — простая (й-да')-цепь, содержащая (и и') подцепь цепи
Pi и (и'-ва')-подцепь цепи Р’, a Q ., — простая (u-w')-подцепь, содер-
жащая Р2 вслед за (ю-ау')-подцепью цепи Pt) Ясно, что (фи Q» —
44
Г"! ММ 1
нспересскающиеся простые (и-вН-цспи Вместе они образую! про-
стой цикл, так что ш' принадлежит U. Поскольку w' принадлежит
кратчайшей цепи, d(w', v)<d(w v) Это противоречит выбору и,
следовательно доказывает что и и v лежат на одном простом пик тс
(2) влечет (3) Пусть w — вершина, v& -- ребро графа 6, a Z —
простой цикл содержащий и и о Простой цикл Z', содержащий и и
та1, можно образовать следующим образом Если те лежит на 7 ю
7' содержит та1 и (ц-щ)-подцепь в Z содержащую и Если аг не ле-
жит на Z, то существует (Х'-н)-цепь Р, нс содержащая с, поскольку
иначе по теореме 3 1 е — точка сочленения Пусть и - первая
веригина цепи Р в 7. Тогда Z’ содержит w вслед за (w-a (-под-
цепью цепи Р и ((/-с1)-цепью в Z, включающей и.
(3) влечет (4) Доказательство как в предыдущем случае.
(4) влечет (5) Каждая из двух вершин графа G инцичентна нс
которому ребру; соответствующие ребра в силу утверждения (4)
лежат иа одном простом цикле Следовательно, любые две вершины
графа G принадлежат одному простому циклу, а отсюда следует (2)
и значтн (3) Пусть « и о — различные вершины, л — ребро гра-
фа 6 Из утверждения (3) получаем, что существуют простой цикл
Zi, содержащий и и л, и простой цикл Z,, содержащий l. и л. Та-
ким образом, нужно рассмотреть только случай когда о нс лежит
на Z,, а и не лежит на Z.2. Начнем идти из и по 7, до тех пор, пока
не достигнем первой вершины ш цикла Z2, затем пойдем по цепи на
Z2, которая соединяет w и и и содержит л' Такой обход образует
простую цепь, соединяющую и и е и содержащую л.
(5) влечет (6) Пусть и t и щ — различные вершины графа G, а
х — произвольное ребро, инцидент-нос ш Из утверждения (5) выте-
кает что существует простая цепь, соединяющая и и v которая
содержит х и, следовательно, должна содержать щ.
(6) влечет (7) Пусть и v и щ — различные вершины графа G
Из утверждения (6) вытекает, что существует простая (п-ш)-цепь Р,
содержащая v Ясно, что (и-е)-подцепь цепи Р не содержит ш.
(7) вючет (1) Используя (7), получаем, что для любых двух
вершин и и l ни одна из остальных вершин не можег прннад
лежать каждой (где)-цепи Следовательно, G должен быть блоком
Т е о р е м а 3 4 В любам нетривиальном селеном графе, на и
дутся но крайней кере де< вершины не яв ж/ощнеся точками сочле
нения
Доказательство Пусть и и v — вершины графа G
максимально удаленные друг от друга, т е такие, что din, v)=
—d(G) Предположим, что v— точка сочленения Тогда существует
вершина и» принадлежащая той компоненте графа G — и, которая не
содержит вершину и. Значит, v тежит на любой цепи, соединяющей
и и w, и поэтому d(u, w)2>d(tt, п) что невозможно. Слсдонате гьно
щ а также и не являются точками сочленения графа G
БЛОКИ
Графы блоков и графы точек сочленения
Известны несколько 1рафов переселений, получаемых на графа
G которые представляют его структуру Возьмем блоки графа G'
в качестве множеств семейства /’ Тогда граф пересечений Q (Г)
называете я графом блоков графа G и обозначается через В i(i') Б токи
графта G соответствуют вершинам графа Л(Ф), и две вершины графта
B(G} смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им блоки
графа G имеют общую точку сочленения. Для иолучения графа, вер-
шины которого соответствуют точкам сочленения графа G возьмем
в качестве множества 5; (из семейства Г) объединение веек блоков
содержащих данную точку сочленения о,. Полученный с использо
ван нем этого семейства Г граф пересечений Q (/*') называется графом
точек сочленении и обозначается С (G). Две вершины графа С (6)
смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им точки
сочленения графта G принадлежат одному блоку. Заметим, что С(G)
определяется только гдя графов G имеющих хоти бы одн\ точк\г
соч тенення
Определенные выше поняти/i введены в работе Харари [1Д
Они иллюстрируются па рис 3 i
Pul J J Граф его граф блоков и его граф югек сочтеиеияя
Т еореша 3.5. Граф Н является графом блоков некоторого
графа тогда и только тогда когда каждый блок графа Н — полный
граф
Д о к а з а I с л ьс тъ о. Пусть Н В((Г), предположим, что в Н
есть блок Я, не являющийся полным графом. Тогда в Я,- найдется
пара несмежных вершин лежащая на одном простом цикле Z,
длина которого не меньше 4 Отсюда следует что объединение блоков
графя G, соотвстствукицих тем вершинам из Hit которые лежал
на Z является связным графом, не имеющим точек сочленения
т. е это объединение содержится в некотором блоке, что противоре-
чит свойству максимальности блока графта
Обратно, пусть Я — граф, в котором каждый блок — полный
граф Образуем граф В (Я), а затем новый 1раф G, добавляя к каж-
Г.1ЛВД i
Чой вершине Н; графа В(Н) некоторое количество концевых ребер,
равное числу тех вершин блока Н,3 которые не являются ючками
сочленения графа Н Четко видеть, что граф В (G) изоморфен Н
Ясно, что подобный критерий справедлив дчя графов точек со-
членения
Упражнения
3.1 Каково наибольшее чисто точек сочленения в )рафе с р вершинами’
3.2 Кубический граф имеет точку сочленения тогда и 'ючько тогда тогда
он имеет мост.
3.3 Наименьшее чисто вершин в кубическом трафе имеющем мост равно К)
3.4 , Если ,. — точка сочленения графа G то не является тс икон сочленения
графа G
(Харари ?6])
3.5 . Вершина а графа G является точкой сочленения тогда и только тогда,
Кейда найдутся такие смежтцте с о верптйны и и се, что о лежит на любой простой
(и-ш)-цепи
3.6 . Доказать или опровергнуть: связный граф] G с вершинами является
блоком тогда и только тогда, когда для любых двух вершин и любого ребра суще-
ствует простая цепь соединяющая эти вершины и не проходящая через данное
ребро
3 7. Связный граф с нс менее чем двумя ребрами является блоком тогда п
только тогда, когда любые дна смежных ребра лежат на некотором простом цикле.
3.8 . Пусть G— связный граф, имеющий по крайней мере три Bi ршниы Сле
дующие утверждения эквивалентны:
(1) н 6 нет мостов:
(2) любые две вершины графа G лежат на некотором общем цикле;
(3) любая вершина и любое ребро графа Ст лежат па некоторо т общем
цикле:
(4) любые два ребра । рафа G лежат на некотором общем цикле;
(5) для любой пары вершин и любого ребра графа (i существует цепь
соединяющая эти вершины и содержащая данное ребро;
(6) для любой пары вершин и любого ребра графа G су [чествует простая
цепь, соединяющая эти вершины и ш содержащая данное ребро;
(7) для любых трех вершин существует цель соединяющая любые две ид
них я содержащая третью.
3.9 . В графе G являющемся блоком с fe.3, cvmeciByei такая вершина у
что граф G - о также является блоком.
(Koi трс)
3.10 Квадриг каждого н< тривиального связней о графа есть блок.
3 И Если G — связный граф имеющий хотя бы одну точку еочщттения то
граф S (В (О) изоморфен С (G).
3 12 Пусть b (o') — число блоков, которым принадлежит вершина ,. связного
графа G Тогда число блоков графа G определяется но формуле
(01-1]
(Харари [13])
3 13. Пусть с (Л) — число точек сочленения связного графа G принадлежа
щих блоку В. Тогда число точек сочленения графа G определяется по формуле
c(G)-l =- S[c(«)-U.
(Галлаи (3J)
3.14 Б Юк 6 называется реберно-критическим, если каждый подграф G- х
не является блоком. Диагональ блока G — это ребро, соединяющее две вершины
цикла п не привад лежащее этому цикт\ ГКсть G — реберно-критический Сток с
Тогда
а) в G нет диагоналей;
б) в G нет треугольников
в) qeZ2р—4;
г} удаление нсек вершин степени 2 1риводит к несвязвдмт графч
при условии что G не является циклом.
(Птаммер | Ц|
Глава #
ДЕРЕВЬЯ
cojjeuot глупцы как и и taw
Ли дереве создать иод силу лишь Тогам
Килмер Длсскс, JepEtiT3)
Существует один простои и важпын тип графов, которому разные
авторы дали одинаковое названиь , это — деревья Деревья важны
не только потому, что они находят приложения в различных об-
ластях знания, но и в силу особого положения их в самой теории
графов Последнее вызвано предельной простотой строения дере-
вьев Часто при решении какой-либо задачи о графах е< сначала
исследуют на деревьях Примером стужит гипотеза Улана приве-
денная в гл 2
Ниже дано несколько определении дерева. Сначала в геометри-
ческих терминах изучается понятие центральности дерева Затем
рассматриваются деревья, естественным образом связанные с про-
извольным связным графом именно деревья блоков и точек сочле
нения Наконец, будет показано как каждый остов графа 6 приво-
дит к набору его независимых циклов и обратно, для каждого ко-
остова можно построить набор независимых коциклов
Описание деревьев
I раф называется ациклическим, если в нем нет циклов Дерево —
это связный ациклический граф Каждый граф не содержащий цик-
лов, называется лесом. Таким образом, компонентами леса являются
деревья. Существуют 23 различных дерева 2) с восемью вершинами,
они показаны на рис. 4 1 Известив! и другие определения дерева
В теореме 4 1 отражены некоторые из них
Теорема 41 Д-щ графа G следующие утверждения эквива-
лентны
(1) G — дерева;
(2) любые две вершины в G соединены единственной простой цепью,
(3) G— связный, граф и p—q' Г
(4) G — ациклический граф и р q— 1 * Ч
Ч Джойс Килмер (1886—1J18) — американский поэт.— Прим перее.
Ч Можно предложить читателю нарисовать деревья с воеск-ью вершинами.
К ж правило, одни деревья забывают рисовать, а другие pncvioT несколько раз
49
(5) G — ациклический граф и если любую пару несмежных вершин
соединить ребром г, то в графе G-\x будет точно один про-
стой цикл;
(6) G — связный граф, отличный от Кр для рфлЗ и если любую
пару несмежных вершин соединить ребром г, то в графе
G-yX будет точно один простой цикл,
(7) G — граф, отличный от KsG Kt и ЯС U Кг, p=q^l и если
иобую пару несмежных вершин соединить ребром х, то в
графе G-\-x будет точно один простой цикл
1 .
1 . . . • 1
Рис 4 I 23 дерева с восемью зернинами
Доказательство (1) влечет (2), Поскольку G — связный
граф, то любые две его вершины соединены простой цепью Пусть Рг
и Р2 — две различные простые цепи, соединяющие вершины и и у,
п п)сть щ — первая вершина, принадлежащая Рг (при переходе
по Pj из и в о), такая, что а принадлежит и Pi и Pt, но вершина
предшествующая ей в Р,, не принадлежит Р, Если w' — следую-
щая за и’ вершина в /К, принадлежащая также Р2, то сегменты (час
ти) цепей Рг и Р2, находящиеся между вершинами ш и к/, образуют
простой цикл в графе G Поэтому, если G — ациклический граф, то
между любыми двумя ею вершинами существует самое большее
одна простая цепь
(2) влечет (3). Ясно, что граф G — связный Соотношение р=-
==<у- г1 докажем по индукции. Утверждение очевидно для связных
графоп с одной и двумя вершинами Предположим, что оно верно
для графов, имеющих меньше р вершин. Если же граф G имеет р
вершин, то удаление из него любого ребра делает граф G несвязным
в сил) единственности простых целей, более того, получаемый
граф будет иметь в точности две компоненты. По предположе-
нию индукции в каждой компоненте число вершин на единицу
больше числа ребер Таким образом, общее чисто ребер в графе G
должно равняться р — I.
50
(3) течет (4). Предположим, чго в графе G гиь простои цикл
длины л. Этот цикл содержит и верпгин и п ребер, а для любой ил
р — я вершин нс принадлежащих циклу, существует инцидентное
ей ребро, которое лежит на геодезической, идущей от некоторой
вершины цикла Все такие ребра попарил различны отсюда г/О-р
т е пришли к противоречию
(4) влечет (5). Так как G— ациклический граф, то каждая его
компонента является деревом. Если всего k компонент то, по-
скольку в каждой из них число вершив на единицу больше числа
ребер, имеем p-q-k В нашем случае должно быть fe=l, так
u-го G — связный граф Таким образом, G—дерево н любые
две его вершины соединяет единственная простая пепь Если к
дереву 6 добавить ребро uv, то ребро вместе с единственной простой
цепью, соединяющей вершины и. и и, образует простой цикл, кото
рый также единствен в силу единственности простой цепи.
(5) влечет (6). Поскольку каждый полный граф Лф дж 3
содержит простой цикл, граф G нс может быть одним из этих гра-
фов Граф G должен быть связным, гак как в ином случае можно
было бы добавить ребро х соединяющее две вершины из разных
компонент графа G, и граф G+x был бы ациклическим
(6) вгечет (7) Докажем, что любые две вершины графа G сое-
динены единственной простой цепью, а тогда, поскольку (2) влечет
(3), получим р- t/ rl Ясно что в графе G любые две вершины соеди-
нены простой цеппю Если какая-то пара вершин графа G соединена
двумя простыми цепями, то из доказательства того, что (1) влечет
(2), следует наличие у графа G простого цикла Z В Z не может
быть более трех вершин так как иначе соединив ребром х две
несмежные вершины в Z, получим i раф G—х, имеющий более одно-
го простого цикла (если же в Z пет несмежных вершин, то и jрафе
G более одного цикла). Таким образом, цикл Z есть Кл, и он дол-
жен быть собственным подграфом графа G, поскольку по предпо-
южепию G не является полным графом Кр с рфх 3 Так как G —
связный граф, то можно предположить что в G есть другая верши
на, смежная с некоторой вершиной подграфа Лф Тогда ясно что
если к графу G добавлять ребро, то его можно добавить так, чтобы
в графе G--x образовались по крайней мере два простых цикла
Если больше нельзя добавить новых ребер, не нарушая для графа
G второю условия из (6), то G есть Кр с 3 вопреки предполо
жен ию
(7) вгечет (1). Если граф G имеет простои никл, го этот никл
должен быль треугольником являющимся компонентой графа G,
что было показано в предыдущем абзаце В этой компоненте соот-
ветственно три вершины и три ребра. Все остальные компоненты
графа G должны быть деревьями, но для тою чтобы выполнялось
соотношение p = q | 1, должно быть не более одной компоненты, от-
личной от указанного треугольника Если эго дерево содержит
[.Kt1 E Bb Я
простою цепь длины 2 то к графу 6 можно гак добавить ребро л,
чтобы образовать в графе G :••% два простых цикла Следовательно
этим деревом может быть или К1( или К>. Значит, i раф G - или
К» U Ку или Кл^К>, а эти графы мы исключили из рассмотрения
Таким образом G — ациклический граф. Но если G — ациклический
граф и /?—£/4-1 то G связен, поскольку (4) влечет (3), а (5) влечет
(6). Итак, G — дерево и теорема доказана
Так как для не]ривиального дерева ЖЛ --Зу (С—1) то в де-
реве должно быгь по крайней мере две вершины со степенями мень-
шими 2
Следе [вне 4 1 (а). В юбом нетривитьно.м дереве имеется
tio крайней мер< две висячи» вершины
Этот резельтаг также слсдсст if теоремы 3 4.
Центры и центроиды
Эксцентриситет е(и) вершины и в связном графе G определяется
как max d(u, и) но всем вершинам н в G Радиусом r(G) называется
наименьший из эксцентриситетов вершин. Заметим, чю наибольший
из эксцентриситетов равен диаметру графа. Вершина v называется
центральной вершиной графа G, сети е (п)--г ((3)' центр 1рафа G —
это множество всех центральных вершин
На рис 4.2 представлено дерево, у которою показан эксцент-
риситет каждой вершины. Это дерево имеет диаметр 7, радиус 4, а
его центр состоит из двух вершин пипс эксцентриситетом 4
Смежность вершин и и о в этом стучае была обнаружена Жор-
даном 1) и независимо Си швестром’ см монографию Кенига
12, стр 64]
Известная теорема о жордановон кртнзон
52
ГЛАВ X 4
Теорема 4 2 Каждое дерево имеет центр, состоящий или из
одной вершины, или из двух смежных вершин.
То к азате л ьс [во Утверждение очевидно для деревьев К,
и АЗ Покажем что у любого другого дерева 7 тс же центральные
вершины, что и v дерева Т, полученного из 7 удалением всех ет о
висячих вершин. Ясно, что расстояние отданной вершины и дерева
Т до любой /'.ругой вершины ч может достигать наибольшего зна
пения только тогда, когда v — висячая вершина
Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева Т'
точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве
Т Отсюда вытекает чго вершины дерева 7, имеющие наименьший
эксцентриситет в Т, совпадают с вершинами имеющими наимень
ший эксцентриситет в Г', т е центры 'деревьев Т и Т" совпадают.
Рве. 1 J Веса нершин дерева
Пели процесс удаления висячих вершин продолжить, то мы полу-
чим последовательность деревьев с тем же центром, что и у 7' В силу
конечности Т мы обязательно придем или к Кт, или к К В любом
случае все вершины дерева, полученного таким способом образуют
центр дерева Т, который, таким образом, состоит ити из единствен
ной вершины или из двух смежных вершин
Ветвь н вершине и дерева Т - это максимальное поддерево,
содержащее «в качестве висячей вершины. Таким образом, число
ветвей к и равно deg и. Вее вершины и дерева Т определяется как
наибольшее число ребер по всем ветвям к и.. На рис. 4.3 указаны
веса невисячих вершин одного дерева Понятно, что вес каждой
висячей вершины равен 14, т е числу ребер.
Вершина v называется центроидной вершиной дерева Т, если и
имеет наименьший все; центроид дерева Т состоит из всех таких
вершин Жордан [П доказал также теорему о центроиде дерева,
напоминающую его результат о центрах.
Теорема 4.3 Каждое дерево имеет центроид, состоящий uvi
из оаной вершины и-ш из двух смежных вершин
[EPEBbfl
Наименьшие ') деревья с одной и двумя центральными и цеч]-
роидными вершинами показаны на рис 4 4
Деревья блоков и точек сочленения
Связный 1раф с большим чистом точек сочленения похож на
дерево. Эту черту 1рафа можно оттенить четче, если сопоставить с
каждым связным графом соответствующее дерево
Для связного графа G с множеством блоков {/?,} и множеством
точек сочленения {с.;} граф блоков а точек сочленения bc(G) опреде-
ляется как граф, v которого множеством вершин служит {В,} IJ
U {гД и две вершины смежны, если одна соответствует блоку В,,
а другая точке сочленения с,, причем с; принадлежит В, Таким
образом, Д (Д| — двудольный граф. Это понятие было введено в
работе Харари и Принса 1-3], а также в статье Галлаи |ЗГ (См.
рис 4 5 )
1 По [НСЛС ребер — [Трим ред
54
I 1 HOT
Теорема 44 G — граф б-юков и точек сочленения некоторого
графа Н тогда и только тогда, когда он является деревом, в котором
расстояние между любыми двумя висячими вершинами четно.
Имея в виде эту теорему мы будем говорить о дереве блоков
и точек сочленения графа
Независимые циклы и коциклы
с графом G
простоты из-
Put. 4.6. Граф для нллю-
страниц граничного и по-
граничного опнрэ’орон
Опишем два векторных пространства связанных
пространство циклов и пространство коциклов. Для
ложения оба эти пространства задаются над двухэлементным колем
Га {0 1}, в котором 1 |-1 — 0 (хотя после-
дующую теорию можно приспособить для
произвольного поля) Так числоеь которое
часто встречается в приводимых ниже
определениях, равно 0 ичи I
Пусть, как обычно, G — граф с верши-
нами а, V], и ребрами л15. , 0-цепь
графа G формально определяется как ли
неиная комбинация 1е;ог- вершин а
1-це/гь— как линейная комбинация Se;rz
ребер. Граничный оператор д относит 1-це
пям 0-цепи в соответствии со следующими
правилами
а) д— типейиыи оператор,
б) ести х—ии, ю dx--u-\-v.
кограничный оператор b
С другой стороны
1-цепи в соответствии с правилами
а) 5 — линейный оператор,
б) fie Уотс.. 1де н; —1 если только ребро
На рис 46 1 цепь о, имеет
относит 0-цепям
ОТ инциденте v
«границу»
до - (ш Ч’2) —(Ш-ГСз)-: (от --от) (ОТ-от) —
а 0-цель от-- сц : от-*-<.< имеет «кограницу»
6О|, (л 2 | \;1 ОТ — -ОТ) (ОТ ОТ1 —
+ (ОТ'1 Л( - от- отД.Дот от) —
—ОТ 1 ОТ-гОТ-гОТ
1-цепь с границей 0 называется циклическим вектором 1) графа
G Циклический вектор можно рассматривать как множество про-
Ч Ьотьшиггство топологов и некоторые епециалг-ц гы но теории графов назы
вают это «циклом». В свою очередь вместо нашего понятия простого цикла они
исиотьзхют термина «контуры» «эпементарные цикты» «полигоны».
стых циклов, не имеющих попарно общих ребер. Множество всех
циклических векторов образует над Т2 векторное пространство,
называемое пространством циклов графа б. Ьазис циклов графа G
определяется как базис пространства циклов графа G, состоящий
только из простых циклов Будем говорить что циклический вектор
Z зависит от простых циклов Z2 Zf если его можно предста-
вить в виде Таким образом можно сказал ч-о базис пиктов
_ 1
графа б явтястся максимальным набором независимых простых
циклов I рафа G или минимальным набором простых циклов, от ко
торых зависят все циклы
Разрез связного графа — эго множесгво ребер, удаление которых
приводит к несвязному графу. Коциклам называется минимальный
разрез. Кограницей графа G называется кограница некоторой его
О цепи. Кограница набора b вершин есть не что иное, как множе-
ство всех ребер, соединяющих вершины из t с вершинами, не при-
надлежащими Ь Очевидно что каждая кограница является раз
резом. Поскольку коцикл определяется как минимальный разрез
графа G, а любой минимальный разрез есть кограница, то всякий
коцикд является минимальной ненулевой кограницей Множество
всех кограниц графа б называется пространством коциклов графа
G а базис этого пространства, состоящий только из коциклов на
зывается базисом коциклов графа б
Перейдем теперь к построению для пространства циклов графа б
базиса, который соответствует остову ’) 7 В связном графе G хор-
дой остова Т называется ребро графа, пе принадлежащее I Ясно,
что подграф графа G, содержащий остов Т и его произвольную
хорду, имеет только один (простой) цикл. Множество Z{T) всех
таких циклов (каждая хорда «порождает» один цикл) независимо,
так как каждый из них содержит ребро не принадлежащее пи од-
ному из остальных циклов Более того, любой цикл Z зависит от
множества Z (71), причел г Z есть симметрическая разность циклов,
которые определяются хордами остова Т, принадлежащими Z.
Поэтому, определяя циклический ранг m (6) как число простых
циклов базиса пространства цикггов графа б можно сформулировать
следующий результат.
Теорема 4.5. Циклический ране (.вязкого ^рафа G ровен числу
хорд гюбого остова в G
Стедствие4 5 (а) Есш G — связный (р ф-граф
-£/—р-М
Счедствие 4 5(6) ЕслиС— мпо(.р ф-графс k комнонентани,
то m(G\ р—p-Tk
G Ociobum называется осговпый подграф, являющийся деревом — При-\ рей
56
Г Л AP A J
Подобные утверждения справедливы также для пространства
коциклов Кодерево Т* остова Т в связном графе G — это остовиый
подграф в G содержащий только те ребра графа G, которые не при-
надлежат Т Под кодеревом графа G понимается кодерево некоторого
остова Т На рис 4.7 показаны остов 1 и его кодерево Т* для
1рафа G, представленного также на рис 4 6 Ребра [ рафа G, не
принадлежащие Т*, назовем ветвями графа G (относительно Г*.—
Персе.). Подграф графа G состоящий из Т* и любой одной ьетви,
содержит ровно один коцикл. Множество всех таких коциклов (каж-
дая ветвь «порождает» один коцикл) является базисом пространства
коциклов 1рафа G
Рис 4 8 Бтзис коциклом для [рафа 6, приведенного на рис 4 7
На рис 4.8 для графа G и его кодерева Т* (рис 4 7) изображены
коциклы, образующие пространство коциклов,— они отмечены
жирными линиями. Кацик шческий ранг m* (G) равен числу коцик-
лов в базисе пространства коциклов графа G
Теорема 4.6. Коциклический ранг св чзного граф i G равен час iy
ребер любого его остова.
Как и в случае циклов, немедленно получаем два следствия
Следствие 4 6 (a) Fem G — связный ip, q) граф, то т* (G) —
-р—1
Следствие4 6 (б) Если G — это (р, д)-граф с k компонентами,
то tn* (G)—p—k
Замечание Из теоремы 4 5 можно полу читъ частное у i вержде-
ние (для одномерного случая) одною важного общею резулыата о
ДЕРЕВЬЯ
57
симплициальных комтексах Для каждого симплициального ком-
плекса имеет место уравнение Эйлера — Пуанкаре
«г,—«1+а>— =Р — ₽!—₽г—
где р,, — числа Бетти а а.п — количества симплексов соответсг-
вуюгцих размерностей. По определению Pfi является рангом век-
торного пространства н-мерных циклов Напомним (гл. 1), что любой
граф есть симплициальный комплекс, вершины соответствуют 0-
симплексам, а ребра соответствуют 1-симплексам, Для графа G имеем
р - k (число его компонент связности) и (G) (число его неза-
висимы к циклов). Поскольку графы не. содержат п симплексов при
и > 1, то а., = 0)1=-'0 для всех п > 1 Поэтому а,—ctI=pt)—pj так что
р q~-k—т (G) и следствие 4 5 (б) дает уравнение Эйлера — Пуан-
каре для графов
Матроиды
Матроиды первым ввел в рассмотрение Уитни Гб] В этой клас
сической работе дан ряд эквиватентных определений матроидов и
изложены их основные свойства
Матроид состоит из конечного множества Д элементов и се-
мейства % — {Ci, С%, .} непустых подмножеств множества М назы-
ваемых циклами, которые удовлетворяют следующим аксиомам.
1) пи одно собывснное подмножество цикла не есть цикл,
2) если хбСтПС., то содержит цикл
С каждым графом G можно связать матроид, если в качестве
множества Л1 взять множество X ребер графа G, а в качестве циклов
матроида — простые циклы графа О Легко видеть, что обе аксиомы
выполнякмея Несколько менее очевидно что граф G определяет и
другой матроид, если в качестве циклов матроида взягь коциклы
графа G Эти матроиды называются соответственно матроида ч
циклов и матроидон коциклов графа G
Дадим другое определение матроида, эквивалентное первому
Матроид состоит из конечного множества 44 элементов и семейства
подмножеств множества М, называемых независичыми чножествачи,
которые удовлетворяют следующим аксиомам-
1) пустое множество независимо;
2) каждое подмножество независимого множества независимо,
3) для любого подмножества ,4 множества 44 все максимальные
независимые множества, содержащиеся в А, имеют одинако-
вое чисто элементов
Для графа G получим магроид в указанном смысле сели в ка-
честве множества 4'1 возьмем совокупность всех ребер графа G,
а в качестве независимых множеств — ациклические подграфы
г рафа G
58
ГЛ YB \ 4
Двойственность (характеризуемая переходом от простых циклов
к коциклам, а от деревьев к кодеревьям), рассмотренная в преды-
дущем разделе, тесно связана с двойственностью матроидов Минти
11 [построил самодвойственную систему аксиом для «графоидов»,
демонстрирующую в четкой форме двойственность матроидов
Графоид состоя г из множества Л1 эле*ментов и двух семейств
Р и 0 непустых подмножеств множества /И, называемых соответ-
ственно циклами и коциклами, которые удовчетворяют следующим
аксиомам-
1) |С П D 1 для любых С £ К3 и Of®,
2) ни один из циклов не является собственной чаегью другого
цикла, и ни один коцикл не является собственной частью
другого коцикла,
3) если раскрасить элементы множества Л1 так, что тон г го один
элемент будет зеленого цвета а остальные — красного ити
синего, то найдется либо
а) цикл С, содержащий зеленый элемент и не содержащий
ни одного красного, либо
б) коцикт D содержащий зеленый элемент и не содержащий
ни одного синего
Простые циклы любого графа образуют лотроид однако, как мы
увидим в гл 14, не каждый матроИД можно получить из графа. Два
достаточно полных обзора по теории матроидов представлены в
статьях Миити [11 и Татта [14]
Замечание Гипотеза Улама для произвольных графов оста-
ется еще не решенной Но П Келли [1 ] доказал ее справедливое!ь для
деревьев. Мы уже знакомы с интерпретацией этой гипотезы, данной
в работе Харари [20] если граф G имеет р^ ,3 вершин и представ
лен р непомеченными подграфами G-^G—V; то сам граф G можно
единственным образом восстановить по G, Результат Келли для
деревьев был обобщен в работе Харари, Палмера [6|, где показано,
что каждое нетривиальное дерево Т можно восстановить по тем
его подграфам щ, которые сами являются деревьями, т е
когда цг — висячие вершины В свою очередь этот результат был
улучшен Бонди [I] доказавшим, что дерево Т можно восстановить
по его подграфам Т—<ц, где о, — периферические вершины, т е
вершины, эксцентриситет которых равен диаметру дерева Т Позже
*Чапвел [1.1 показал, что почти все деревья Т можно восстановить,
если использовать только не изо морфные поддеревья Т—vt. Манвел
12] доказал восстанавливаемость еще в одном классе графов — од-
ноцикшческих графов, т е связных 1рафов имеющих точно один
цикл
*) За исключение! лишь двух пар деревьев
Упражнения
4.1. Нарисуйте nee деревья <. девятью вершина щ За 1ем сравни ie их < деревь
ими приведеннымн в приложении 11.
4.2. Каждое дерево двудонный ' раф Какие дерева являются полными
двудольными графами?
4.3. Следукяцие четыре \тн( рждення эквивалсЕПны
(1) G — лес;
(2) любое, ребро графа G — мост;
(3) любой блок графа G есть Л'.,;
(4) .любое непустое пересечение двух связных ttoti рас} пв графа G связно
4 1 Следующие четыре утверждения экниватептвы
(1) G — одно циклический граф;
(2) G связен и р~-у
(3) для некоторого ребра х графа G граф й— х является деревом,
(К G связен и множество его ребер которые не являются мостами об
разует простой цикл
(Андерсон Хартри [111
4.5. г (6Хd(GX 2r (G} для каждою снязною графа 6
4.6. Построить дерево с непересекающичнся центром и центроидом каждып
из которых состоит из двух вершин
4 7 Центр любого связного графа лежит в блоке
(Харари, Норман |2]1
4.8. Пусть дано дерево блоков и точек сочленения be (G) связного графа 6,
определить граф блоков В (G) и граф точек сочленения С (О).
4.9. Определить циклические ранги для а)^., б) н) связного кубическо
го графа с р вершинами.
4.10 Пересечение простого никла и коцикла содержит четное число ребер.
1 11 Граф является двудольным тогда и только тогда когда каждый простой
цикл в некотором базисе циклов четный.
4 12 В каждом связном графе имеется остов
4.13. Показать как граф блоков и точек сочленения про из воль кого графа
можно определить терез граф пересечений
4.14. Кодерево связного графа является максимальным иощрафоч не со
держащим коциклов
4.15. Диаметр дерева 1 равен 2 тогда и толь ко тогда, когда Т—звезда
4.16. Доказать или опровергнуть
а) если диаметр графа равен 2 ю в нем найдется остов являющийся
звездой'
б) если в граф* & есть остов являющийся звездой то диаметр графа G
равен 2
4.17 Описать вес связные графы G для которых G~bc(G).
*4 18. Максимальное число ребер в графе, имеющем р вершин п радиус г,
равно
(;) если г— I;
[pip—21/2J если г=-2-
1 „
-у(р -1гр-ор-Нл-- 6Ц если
(Впзиттг [2])
4.19. G блок тогда i. только югдщ когда побье ею дна ребра i р:1над..к.'жат
некоторому общему коциклу.
/лави. о
СВЯЗНОСТЬ
Я непременно должны держаться
имеете — иначе каждому из нас
придется висеть поодиночке.
23<? н л -if if ?< Фран гс/i g л1)
Связность графов — понятие в теории графов довольно интуитив-
ное, обобщающее такие ранее введенные понятия, как точка сочле-
нения, д.1Ост и блок При исследовании вопроса о гою, какой из
двух 1рафов «более связен», полезны два инварианта называе-
мые связностью и реберной связностью
Относительно связности получено довольно много результатов
Некоторые из них являются вариантами классической теоремы Мен
гера в которой говорится о числе непересекающихся цепей, соеди-
няющих данную пару вершин графа Мы покажем, что подобные
хтверадения справедливы и в других областях математики, оттич
ных от теории графов
Связность и реберная связность
Связностью г— v (G) графа G называется наименьшее число вер-
шин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному
графу. Из определения следует что связность несвязного графа
равна 0, а связность связного графа, имеющего точку сочленения,
равна 1 Полный граф Л,, нельзя сделать несвязным, сколько бы
вершин из пего ни удалять, а тривиальный j раф получается из
К,, после удаления р— 1 вершин, поэтому х (Лф); ~р~ 1 Иногда л
называют вершинной связностью
Аналогично реберная связность 2=Z(G) графа 6 определяется
как наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к
несвязному или тривиальному графу. Ясно, что и вообще
реберная связность несвязного графа равна 0, а реберная связ-
ность связного графа, имеющего мост равна 1 Связность, реберная
связность и наименьшая степень графа связаны неравенством, паи-
тонны^ Уитни (2!
Теорема о 1 Длч любого граф1 G
х (G) (G)^ б (G).
1) Йенламин Франклин (ПСВ—1790) — американский олитниескиГ; (ея
ion! —брц.н. иерее
СНДЗНОСТЬ
61
Токазатсл ьсI во. 11роверим сначала второе неравенство
Если в графе (1 нет ребер то Z 0. Если ребра есть, то несвязный
граф получаем из данного удаляя все ребра, инцидентные вершине
с наименьшей степенью В любом случае /^’6
Чтобы получить первое неравенство нужно рассмшрегь нес-
колько случаев Если G—несвязный или тривиальный граф то
х-’ л-’О, Если G связен и имеет мост то А, 1. В последнем случае
х 1 поскольку или граф G имеет точку сочленения, инцидентную
ребру г или же (7—АВ. Наконец предположим, что i раф G содер-
жит множество из АЕДт 2 ребер удаление которых де,чает его не
связным Ясно, что удаляя /—1 ребер из этого множества иолу
чаем граф имеющий мост у ни Для каждого из этих / -1 ребер
выберем какую либо инцидентную с ним вершину, отлишхю oi и
и v Удаление выбранных (выделенных) вершин приводит к удале-
нию ? — Е (а возможно, и большего числа) ребер Если получаемый
после такого удаления iраф не связен, то х<(л; если же он связен
го в нем есть мостх и поэтому удаление вершины и или а приводит
либо к несвязному, либо к тривиальному графх В тюбом случае
х</. (см рис 3 I)
Чартрэнд и Харари 12] построили семейство графов с заданными
связностями, а также с данной наименьшей степенью. Полученный
ими результат показывает, что ограничения, налагаемые на х, / и
6 теоремой 5 1, нельзя улучшить
Теорема 5 2 Для любых целых чисел а Ь, с (0<лт^&5фс)
существует граф G у которого x(G) — a. ?.(G) —& и b{G")--c
Чартрэнд fl] установит, что если б тост почно велико го второе
неравенство теоремы т 1 становится равенством
Теорема 5 3 Если граф G имеет р вершин и б(б)Д; \р 21,
то ? (G) б (G)
Например, если G — регулярный граф степени то л(0)-=
= г В частности, -р—1
62
ГЛ АВУ S
5 гвсрждсние для связности, ацикличное утверждению теоремы
5.3 не справедливо Задача определения наибольшей связности
возможной для графа с данным числом вершин и данным чистом ре-
бер, была поставлена Бержем [21 и решена Харари [17!
I еорема 5.4 Среди всех графов t р вершинами и q ребрами паи
большая связность равна 0, если q<Zp— 1 и равна V2q'p\, если д^
>/^-1
Набросок доказательства. Поскольку сумма степеней
любого (р, q)-графа G равна 2g, средняя степень равна 2q!p По-
этому/ 6(G)С [2др| так что х (G)<; [2q/pl в силу теоремы 5 1 Дтя
того чтобы показать, что средняя величина может действительно
достигаться, достаточно построить соответствующее семейство гра-
фов То же самое построение дает также (р д)-графы с наиботьшеп
реберной связностью
Следствие 5 4 (а). Наибольшая реберная связность (р, д)-
графа равна его наибольшей связности
Только совсем недавно стала изучаться задача о разделении
графа с помощью удаления смешанного множества вершин и ребер.
Парой связностей графа G называется упорядоченная пара (а, Ь}
таких целых неотрицательных чисел, что найдется множество, со-
держащее а вершин и b ребер, удаление которых делает граф не-
связным, и нс найдется множества с а—1 вершинами и b ребрами
или а вершинами и b—1 ребрами, обладающего тем же свойством.
В частности, упорядоченные пары (х, 0) и (0, ?) являются парами
связностей графа G, так что понятие пары связностей обобщает оба
понятия вершинной связности и реберной связности графа Легко
видеть что для каждого значения а О^й^х существует един-
ственная пара связностей (а, Ьа], таким образом, граф G имеет в
точности х-|-1 пар связностей
Пары связностей графа G определяют фу нкцию Д отображаюшу ю
множество {0, 1,, , х} в множество неотрицательных целых чисел
и такую, что f(x)=0 (ср с теоремой 5 1) Эта функция называется
функцией связности графа G Она строго убывает, поскольку, если
(а, Ь) — пара связностей и £>>(), го очевидно, что существует мно-
жество, содержащее ар-1 вершин и b—1 ребер, удаление которых
делает граф нссвязнььм или оставляет только одну вершину Сле-
дующая теорема, которая доказывается с использованием конст-
рукции, предложенной Байпеке и Харари [61, показывает, что при-
веденные выше условия являются единственными условиями, ко-
торым должна удовлетворять функция связности
Теорема 55 Любая убывающая функция }, отображающая
множество {0,1 , х} в множество неотрицательных целых чисел
и такая, что f (х) -0 является функцией связности некоторого
графа
tj3
1 раф G называется п-связным, если х (6’)Д- п и п-реберно-связ
ным, если >.(С)Д-- п Заметим что нетривиальный граф 1 связен
тогда и только тогда когда он связен, и 2-связен тогда и только
тогда, когда оп является блоком, имеющим более одного ребра
Таким образом, i раф — единственный блок, нс являющийся
2-связпым. Из теоремы 3.3 поэтому следует, что граф 2-связеп тогда
и тотько тогда, когда каждые две его вершины принадлежат неко
торо.му простому циклу. Дирак Н! распространит что замечание на
п связные графы
Теорема 5 6 Если граф G и-свявен, пфм 2, то уобое множество,
содержащее и вершин графа G принадлежит простому ииклу
Если в качестве 1 рафа G взять сам простои цнк г Сг то ви iho что
обратное утверждение нс верно для п д> 2
Существует также характеризация 3-связпых графов хотя соот-
ветствующую формулировку не так четно тать Чтобы привести
здесь этот результат, нам ну жно
определить понятие «колеса», введен-
ное замечательным специалистом no jS х,
теории графов Гаттом. Для 4 ко «Д'
лесо W-'n определяется как граф Ei~ /
-| С„-1 (см рис 5 2) \ /
Теперь можно сформулировать \ /
теорему Татта, в которой дается ха- * —*
растеризация З-связпых графов Phi 5 > Кми.о
Теорема 5.7. Iраф 'i связен тогда и тогько тогда когда он
или совпадает с колесом, или получается из колеса с помощью после-
довательности операций следующих двух типов
1) добавление нового ребра
2) замена вершины о, имеющей степень по крайней мере 4, на
такие две смежные вершины v', и\ что каждая вершина, которая
раньте была смежна с и, соединяется точно l одной из вершин V1,
v так, чтобы в получаемом графе было deg v'^Gu dego Д-З
Граф G, изображенный на рис. 5.3, трехсвязеп, так как ею можно
получить из колеса ИД описанным в теореме 5 7 способом
Максимальный Д л-связный подграф графа G называется его п-
компонентой В частности 1-компоненты графа G — это его не-
тривиальные компоненты, а 2 компоненты — его блоки, содержащие
по крайней мере 3 вершины Легко видеть, что две различные I-
компоненты не имеют общих вершин, а две различные 2-компоненты
ф По включению — Прим персе
Рис. 0.4. Граф с. двхмя 3 ком
пьнентамн, которые встречаются
в двух вершинах
пересекаю 1ся самое большее по одной
вершине. Эти простые утверждения
были обобщены Харари и Кодамой
[1] (см рис 5 4)
Теорема 5.8 Две различные
п-компоненты графа G имеют, не более
п—1 общих вершин
Графические варианты теоремы Менгера
В 1927 г MeHiep [1! показал, что связность графа имеет отноше-
ние к числу непересекающихся простых цепей соединяющих раз-
личные вершины графа. С тех гор появилось много вариантов и
обобщений результата Монтера, носящих графический характер,
здесь мы рассмотрим некоторые из них. Уделив достаточно внимания
форме записи этих теорем, мы сможем представить их и классифи-
цировать нагтя щым образом.
Пусть и и v-—две различные вершины связного графа G Две
простые цени, соединяющие и и v, называются непересекающимися
(иногда вершинно непересекающимися), если у иих нет общих
вершин, отличных от и и v (и, следовательно, не! общих ребер),
и реберно-непересекающимцся, если v них нет общих ребер Множе-
ство S вершин, ребер или вершин и ребер разделяет и и о, если и и и
принадлежат различным компонентам графа G—S Ясно, что нет
множества вершин, разделяющего две смежные вершины Теорема
Менгера первоначально была сформулирована в «вершинной форме»
Теорема 5.9. Наименьшее число вершин, разделяющих две не-
смежные вершины sut, равно наибольшему чисгу непересекающихся
простых (s-£) цепей.
связность
65
Доказательство. Мы приведем здесь изящное доказательство
Дирака [71 Ясно, что если я вершин разделяют з и t то существует
не более k непересе кающихся простых цепей соединяющих s и t
Осталось показать, чго если k вершин графа G разделяют s и I
то в G существует k непересекающихся (.s-fj-цепей Цтя Л-И это
очевидно. Предположим, что для некоторого чиста Л>1 это не
верно Пусть h — наименьшее среди таких Л, a F — граф l наймет,
шим числом вершин, для которого при указанном /г теорема не
верпа Будем удалять из / ребра до тех пор, пока не получим такой
граф G, что для разделения вершин з и t в G требуется h вершин а
для разделения з и t в С—х, где л — произвольное ребро графа G,
достаточно А—1 вершин. Прежде чем заканчивай, доказатетьство
теоремы, изучим некоторые свойства графа G
Из определения графа G следует что для всякого его ребра у
существует многкество S(x), содержащее Л— 1 вершин, которые в
(j—x оазделякм з и t Далее, граф G—S (х) содержит по крайней
мере одну (з-О-цеш., так как i раф G имеет h вершин разделяющих
с и t в G. Каждая такая (s-z) цепь должна содержать ребро x---itv,
поскольку она не является цепью в G-—г. Поэтому u,v (£S(x\
и если u=^s, /, то S (х) IJ {«) разделяет з и I в G
Речи в G есть вершина up смежная как с з, так и<Д топ графе
С—ш для разделения $ и t требуется h— I вершин, и поэтому в нем
Л — 1 нс пересекающихся (s-/)-цепей Добавляя up получаем в графе
G h непересекающихся (з-/)-цепей, что противоречит пред!(сложению
о графе F Итак, мы показали, что
/I) в графе G пет вершин, смежных одновременно с з и t
Пусть W — произвольный набор h вершин, разделяющих s и t
в G Цепь, соединяющую ь с некоторой вершинок up £ IV и не содер-
жащую других вершин из К, назовем (s-IV)-цепью Аналогично
(1Г-/)-цепью будет называться цепь, соединяющая / с up g W и не
содержащая других вершин из IV Обозначим наборы всех (з IV)
цепей и всех (IV-/) цепей через Р£ и Pt соответственно Тогда каждая
(s-ZJ-ueni, начинается с элемента из Ps, а кончается элементом из
Pt, поскольку любая такая цепь содержит вершину из IV Общие
вершины цепей из Pt и Pt принадлежат набору IV, так как по край-
ней мере одна цепь из каждого набора Ps и Pt содержит (любую!
вершину up, и если бы существовала некоторая вершина, нс при-
надлежащая набору IV. но содержащаяся сразу и в (s-V)-, и в
(IV-/) цепи, ю нашлась бы (з-т)-цепь не имеющая вершин из IV
Наконец выполняется либо равенство Ps—IV={s), либо равенство
/Д—№ {/}, поскольку в противном случае тибо Ps вместе с реб-
рами {up/, up/,. }, либо Pt вместе с ребрами {sup skj2,. } обра-
зуют связные графы с меньшим числом вершин, чем у G в которых
s и t не смежны, и, следовательно, в каждом из них имеется h пепе
ресекающихся (з /) цепей. Объединяя (s IV)- и (IV 0-части этих
3 № 141
ГЛАВА й
цепей, образуем в графе G h непересекающихся (s-0-цепеи Мы
пришли к противоречию. Таким образом, доказано, что
(ID любой набор F, содержащий h вершин и раздетяющии s и /,
является смежным т) ити с s, или с I
Теперь можно закончить доказательство теоремы Пусть Р=-
= {s, го, и,_,. , /}— кратчайшая (sT)-nenr> в G и i/,tt3=x. Заметим,
что в силу (I) u,=£t Образуем, как н раньше, множество S(.v)^=
= {щ, с'з, , vh_т}, разделяющее в G—г вершины s и t. Из (I) следу ет
что Используя (II) и беря (х) U {М, получаем sv; £ G
для всех i Таким образом, опять же в силу (I) v^tfG для всех t
Однако, если выбрать ID -5(г) U {»5} то в ситу (II) получаем £ G
что противоречит выбору Р как кратчайшей (5-/)-цепи Итак мы
показали, что графа G, удовлетворяющего указанным выше гре
бованиям, не существует. Следовательно не существует и графа
для которого теорема не верна
Рис 5 > Граф для нллюстрмши теоремы Тендера
На рис.5.5 показан граф, у которог о две несмежные вершины $ и/
можно разделить, удалив три вершины, но не .меньше Из теоремы
вытекает что наибочьшее чисто непересекающихся (s-0-цепей
равно 3
Хроно тонически второй вариант теоремы Мснгсра бытопубти-
кован Уитни в его статье [2], содержащей критерии «-связности
графа
Теорем а 5 КЗ. Граф п-связен тогда и только тогда, когда любая
пара его вершин соединена по крайней черв п веришнно-непересекаю-
щимися цепчлш
Связь между теоремами 5.9 и 5.10 легко заметить если ввести
понятие локальной связности. Локальной связностью у (и, й) двух
несмежных вершин и и и графа G называется наименьшее число
вершин, удатение которых раздедяет и и v Используя введенное
К Набор W называется слгеусннм е дерыиной ч если каждая веранды набор;
И смежнд cs — Ррии иерее.
t вязность
67
понятие, теорему Менгера можно сформулировать так дтя любых
двух выделенных несмежных вершин и и у справедливо равенство
х(и, и)_р(,(щ v), тде р, (и, и)— наибольшее число вершивно
непересекающихся цепей, соединяющих и и v Очевидно, что для
полных графов выполняются обе теоремы Дтя неполных графов G
соотношение связывающее теоремы 5 9 и 5 10, имеет вид x(G) =
- niinxfw, о), где минимум берется по всем парам несмежных вер-
шин и И V
Довольно странно, что утверждение, подобное теореме 5.9 о
паре вершин, разделяемых некоторым множеством ребер, не было
найдено значительно раньше Результаты такого типа появились
почти одновременно статья Форда и Фалкерсона [II (как частный
случай их теоремы о «максимальном потоке — минимальном раз-
резе»), работа Элиаса, Файнстейна и Шеннона [II и неопублико-
ванная работа Коцига
Теорема 5.11 Для любых двух вершин, графа наибольшее число
реберно-непересекающихся ценен, соединяющих их, равно наимень-
шему числу ребер, разделяющих эти две вершины
Возвращаясь к рис. 5 5, мы видим, что з и t можно разделигь,
удалив 5 ребер и не меньше и что наибольшее число непересекаю-
щихся по ребрам (чД)-цепей равно 5
Даже зная только эти три теоремы, можно понять основу схемы
их классификации Различие между теоремами 5 9 и 5 10 заклю-
чается в гом, что в теореме 5 9 рассматриваются две выделенные вер-
шины, а в теореме 5 10 всевозможные пары несмежных вершин Это
различие, так же как и очевидное различие между теоремами 5 9 и
511, представлено в табл 5 1
Табшца 5 7
Tfopi-Mi Разделяемые обтскты Нанбо ее шее цц то Наименьшее шспо
5 9 Выдстсиные и v пепересекающихся пепеи вершин, разделяющих и V
5 HJ Произвольные и ь непересекающихся цепей вершин, разделяющих и, V
5 И Выделенные и z ркберно-пспсресе- кающихся цепей pefep рлзде т яюших и 0
1 аким образом, сформулировав результат итни в реберной
форме, мы, не затрачивая дополнительных усилий, получаем другой
вариант теоремы Мецгера
з*
68
ГЛАВА 1
Теорема 5 12. Граф п-реберно-связен тогда и только тогда,
когда любая пара его вершин соединена по крайней мере п ребер
но-непересекающамися цепями
В первой статье Менгера посвященной этому вопрос} чается
мкже следующий вариант основной теоремы в котором вместо
отдельных вершин рассматриваются множества вершин
Теорема 5 13. Для нюбых двух ненересекающихся непустые
множеств вершин IT и наибольшее число непересекающихся цепей
соединяющих V, и Т'2 равно наименьшему числу вершин, разделяю-
щих Ты и У'Т
конечно, нужно указать, чю ни одна из вершин множества
не должна быть смежной с вершинами множества У'.3 (по той же
причине, что и в теореме 5.9). При этом две простые цепи соеди
няющие У, н 1Д называются непересекающимися, если они не имеют
общих вершин, отличных от их концевых вершин. Доказательст-
во эквивалентности теорем 5.9 и 5.13 предельно просто — нужно
только заменить множества 1Д и V2 на отдельные вершины
Следующий вариант (теорему 5 14) рассмотрел Дирак [61 Так
как при доказательстве эквивалентности этих вариантов привте-
каются типичные методы, мы приведем его здесь полностью
Теорема 5 14 Граф, имеющим не менее 2п вершин, п-связен
тогда и только тогда, когда для любых двух непересекающихся мно-
жеств Iд и 1Д в каждом из которых по и вершин существует п сое
динчющшс их непересекающихся цепей.
Заметим, что в этой теореме указанные п не Пересе кающихся
цепей совсем не имеют общих вершин, в том числе и общих конце-
вых вершин!
До к а з а те л ьст но Ди я доказащльства необходимости сформу
лированного условия построим из графа G граф (Г добавив две
новые вершины ау и и соединив ыр ребрами с вершинами множе
етва 1Д 1^1,2 (рис 5 6)
Рис 5 6 Построение графа G
I ВЯЗНОСТ1
к9
Поскольку граф G «-связен, граф G' также n-связен и, следова-
тельно ио теореме 5 9 существует п непересекающихся цепей сое-
диняющих it, и о..?. Ясно, какие нхжно наложить ограничения на
аги пели в б. взять п непересекающихся Пф-IA) цепей
Дтя доказательства второй «половины» т е тостаточпости
возьмем множество S, содержащее не менее и—1 вершин и разде-
ляющее граф G на подграфы 6\ и(?2с множествами вершин V, и 1Д
соответственно Тогда, поскольку 1 [К|^1 и Д2 [-j-[НН
IS I-IЯ12s 2n, существует такое разбиение множества S па два
непересекающихся подмножества S( и S.2 (одно из них может бьпь
пустым), что |1д и S, 12^ 11 и I HU $212s и Выбирая любые п-под.мно-
жества 12 и 12 из 1-ц и S2 и И» и S. соответственно, мы получаем два
непересекающихся множества, в каждом из которых п вершин
Каждая цепь, соединяющая 1щ и К?, должна содержать вершину из
множества S, а так как существует п непересекающихся (V2-V2)
цепей то |S|^ п, и граф G н-связен Теорема доказана
Мы определили для графа G два понятия связпоши, и значит,
Ci характеризуется «парой связностей». Аналогично можно ввести
«пару связностей» для двух выделенных вершин и и v. Естественно
попытаться найти смешанный вариант -еоремы Мепгера, используя
оба зтп понятия Один из таких вариантов — теорема 5 15 полу
ценная Байпеке и Харари [61; ее можно доказать так же, как и тео
рему 5 Ч
Теорема 5.15 Упорядоченная пара (а, Ь) является парой связ-
ностей для вершин и и v графа G тогда и только тогда, когда суще
ствуют а вершинно непересекающихся (и-и)-цепей и b реберно-непе-
ресекающихся (и-о)-цепей, не имеющих общих ребер с а предыдущими
цепями, и, кроме того, наибольшие возможные числа таких цепей
равны именно а и Ь.
Вообще все приведенные здесь теоремы имеют соответствующие
«ориентированные» формулировки, и, действительно, Дирак указы
вает, что его доказательство теоремы Менгера пригодно для ориен-
тированных графов Можно было бы добавить в табл 5 I еще 11 тео
рем, а именно теоремы с номерами от 5 12 до 5 15 и «ориентирован
ные» варианты теорем от 5.9 до 5.15 Однако аю было бы бесполез-
ным занятием, поскольку совершенно ясно что таблица все равно
осталась бы далеко не полной. Для того чтобы подсчитать все ва-
рианты которые могли бы здесь возникнуть, заметим, что можно
рассматривать или граф G, или ориентированный граф (орграф) D,
в котором разделяются
1) выделенные вершины и, L
2) произвольные вершины и, t.
3) два множества вершин 12 V2 (как в теореме 5 13).
Это разделение можно произвести, удаляя
1) вершины,
70
ГЛХВЛ 5
2) ребра,
3) вершины и ребра (как в теореме 5 15)
Составляя всевозможные комбинации этих альтернатив нетруд
но сформулировать 2'<3 3- 18 теорем Проверить справсдли
вост всех этих теорем можно было бы предложить читателю (од-
нако это скучная работа!).
Наконец, Фалксрсон [2] доказал следующую теорему, в которой
вместо непересекающихся цепей говорится о непересекающихся
разрезах
Теорема 5 16 В каждом графе наибольшее число реберно-непе-
ресекающихся реберных разрезов, разделяющих две вершины и и v,
равно наименьшему числу ребер простой цепи, соединяющей и и v
т е равно d( и, ф).
Хотя это утверждение ища теоремы Монтера, доказать ею зна-
чительно проще, чем теоре,му .Менгера.
Рассматривая всевозможные варианты этой теоремы, как в случае
теорем о цепях, можно было бы опять увеличить чисто утвержде-
ний типа теоремы Мецгера
Другие варианты теоремы Менгера
В это.м разделе мы сформулируем еще несколько вариантов гео
ремы Менгера; все они найдены независимо друг от друга, и только
позднее была выявлена их взаимосвязь и дана теоретико-графовая
формулировка.
Сеть Л можно определить как граф или орграф, рассматривае-
мый вместе с функцией, приписывающей каждому ребру некоторое
положительное действительное число. Тючные определения «мак-
симального потока» и «разреза с минимальной пропускной способ-
ностью» можно найти в книге Форда и Фалкерсона 12]
Теорема 5.17. Если в сети N существует цепь, идущая из и в и,
то максимальный поток из и в v равен минимальной пропускной
способности разрезов, раздегяющих вершины и и v
Непосредственно, но не совсем прост проверяется что макси-
мальный поток из и в о для сети, представленной иа рис 5 7, равен
7 и минимальная пропускная способность разреза также равна 7
В случае когда все пропускные способности являются положи-
тельными целыми числами как в приведенном только что примере,
сразу получаем эквивалентность теоремы о максимальном потоке
варианту теоремы Менгера, в котором рассматривается ориентиро-
ванный мультиграф Г) и выделены две вершины и и и Преобразо-
вание выявляющее эту эквивалентность, приведено на рис 5 8,
') Ci г11ж Авен ю Ботино |1]— Прин /ъереч
связность
71
где ориентированное ребро из и в и, (см. рис 5,7) с пропускной спо-
собностью 3 преобразуется в три ориентированных ребра, пропуск-
ные способности которых не указаны
Назовем линией матрицы или ее строку, или ее. столбец. Будем
говорить что в бинарной (двоичной) .матрице Л1 набор линий покры-
вает все ее единичные элементы, если каждая единица принадле-
жит хотя бы одной линии набора Две единицы матрицы Л1 назы-
Рис 5 8 Переход от сети кмулыиграфу
ваются независимыми, если они принадлежат разным строкам и
разным столбцам В этих терминах Кениг [11 получит следующий
вариант теоремы Мецгера (ср с теоремой 10 2)
Теорема 5 18. В иобой бинарной матрице наибольшее число
независимых единичных элементов равно наименьшему числу линий,
покрывающих все единицы.
Прош носгрпруем теоремч 5 18 на бинарной матрице
Л'1 =
0 0 10 о о
110 10 1
О 0 10 0 1
0 1 10 10
0 О 1 0 О I 1
Все единичные элементы матрицы Д1 покрываются строками 2
1И 4 и столбцами 3 и 6, ио наборов из трех линий, покрывающих все
Т1
ГЛАВА 5
единицы в матрице Л1, нет В матрице
лг
'001 о о о
10 0 0 0 о
1 0 0 0 0 0 1
. О 1 о о о о
<0 0 0 0 0 0
выделены четыре независимых единичных элемента матрицы Л1;
в 41 нет множеств из пяти независимых единиц.
Если матрицу М рассматривать как матрицу инциденний г,шо~
жеств и элементов, то окажется, что теорема 5 18 тесно связана со
знаменитой теоремой Ф. Холла fl], дающей критерий того, что се-
мейство конечных множеств 53, 5а, . ,Sm обладает системой раз-
личных представителен. Последнее означает такое множество {щ,
е>.,..., cy-jJ различных элементов, что дтя каждого t элемент et при-
надлежит 5/ Приведем доказательство теоремы Холла, принадле-
жащее Радо (11
Теорема 5 19 Семейство конечных множеств 51( , Sm
обладает системой различных представителей тогда и только тогда,
когда дгя всех k Н, . . , т объединение любых k множеств иного се-
мейства содержит по крайней мере k элементов
Доказательство Необходимость очевидна Для доказа-
»ельства достаточности покажем сначала, что если семейство {SJ
удовлетворяет сформулированным выше условиям и юн
Sm существует такой элемент е, что набор множеств 5П 5г,
,Srrt_i, Sm—{/} также удовлетворяет этим условиям Предполо-
жим, что это не так Тогда найдутся такие элементы е f£Smu такие
подмножества J и Д' множества {1,2, , tn—1], что
l(U 5г)и(5т-{е})(<[Т| -1, K(J SJ U (Sm-{/))[<]K|-l.
i с / i е К
Но тог та
mi>i(U ^)и (5rt~W)[-i<U^)u (s„- {/})i >
! К
> I(LK)U l(J SJ >
'nK
Mи/<(- M Un №>UP m,
т e пришли к противоречию.
Достаточность доказывается ичдукциеи по наибольшему из чисел
|5/1. Если каждое множество состоит из одною элемента, то дока-
зывать нечего Шаг индукции осуществляется применением (если
необходимо, то неоднократным) полученного выше результата к
множествам S,, содержащим наибольшее чисто элементов
СВЯЗНОСТЬ
73
На рис 5 9 показан двудольный граф В, в котором вершины
соответствуют или множествам Лц, или элементам щ Две вершины
графа В смежны тогда и только тогда, когда одна из них соответ-
ствует множеству, а другая — элементу, причем этот элемент при-
надлежит множеству. Связь теоремы 5.19 с теоремой Менгера ста
новится понятной, если в граф, например, такой, как ла рис 5 9,
ввести две повые вершины Обозначим эти вершины через и и и и
соединим и с каждой вершиной, соответствующей множеству а
и — со всех!и вершинами, соответствующими элементам щ, Тогда
теорему 5.19 можно доказать применив к полученному графуг ити
теорему о максимальном потоке, или соответствующий реберный
вариант теоремы Менгера
Следующая теорема, принадлежащая Дилворту [1], была сфор-
мулирована для решеток 0> но позже (Мирский и Перфект []])
было установлено, что этот резулвтат эквивалентен теореме Холла.
Два элемента решетки (см монографию Биркгофа [1]) называются
несравнимыми, если ни один из них не доминирует над другим
Под цепью в решетке понимается путь идущий в «диаграмме Хассе»
решетки из более верхнего элемента в более нижний
Теорема 5.20 В любой конечном решетке наибольшее число
несравнимых элементов равно наименьшему числу цепей, содержащих
все элементы решетки
Например, в решетке трехмерного кеба (3-куба) самое большее
три несравнимых элемента Легко покрыть все элементы 3-куба
тремя цепями, но двумя цепями этого сделать нельзя.
В настоящем разделе мы привели несколько результатов типа
теоремы Менгера, не имеющих теоретико-графовой формулировки
Более широкая трактовка подобных результатов содержится в
статье Харари [24] Хороший обзор обширной литературы по ре
зулыатам типа теоремы о системе различных представителей см. в
статье .Мирского и Перфема [11
]) Вообшс аналоги птый результат справедлив дли побито пасти ню мюрню
чешюго множества
74
Г 1ХВА 5
Упражнения
1.1. Связность октаэдра Л’^С\ равна 4 связ гссгь квадрата многоугольника
С,., ггогб также равна 4.
5,2. Каждый «-связный, граф имеет по крайнем мере pti:2 pi бор
5.3. Построить граф с х—3 А--4, 6—5.
34 Теорема 5.3 не верна, если Л(С) заменить на л (G)
5.5 Не существует трехсвязных графов с семью ребрами
5.6. В каждом кубическом графе связность н реберная i нязность рлвны
5.7. Определить какая чара связностей может быть в регулярных графах
степени 4.
5.8. Если 6 — регулярный граф степени г и х=1 ~о Asg |/72]
5.9, Пусть G - полный «-дольный граф отличный от С:1. Тогда каждый ми-
нимальный разрез по ребрам есть кограница некоторой вершины
(П там мер)
5.10 Найти фуптешио связности адя вершин а и I в графе представленном
на рис 5 5
5 11 Построить граф с вершинами ? и t для которого функция связности
равна (0,5), (1,3), (2,2), (3,0).
5.12. Используя теорему Татш 5 7 показать что ] раф являющийся кубом
другого графа, трехсвязен.
5.13, Каждын блок связного 1рафз является колесом тоада и только югда,
когда р—2р— 2 и х (и, г.1) равно I или 3 для любых двух несмежных вершин и, <г
(Боллобаш [1])
5.14 Каждый кубический грехсвязпыи граф можно построить из К, следую-
щим образом: заменяем два различных ребра и сур., (at—ty> допускается)
подграфам с двумя новыми вершинами сгу, ш2 и новыми ребрами «рсу, сеусу,
ц2ыу, кусу, к.уку.
5.15. Пусть даны две разлигпые простые цепи Р3 и А>, соединяющие две вер-
шины н и к трехсвязного графа G. Всегда ли можно найти третью простую цепь,
соединяющую к н v, которая не пересекается пп с Ph ни с А,?
5.16. Сформулировать результат аналогичный теореме 5.9, для наибольшего
числа различных непересеадющихся простых цепей, соединяющих две смежные
вершины графа
*5.17. Если tr(p) — такое наименьшее числа, что для p^.fr(pi каждый
(р, с/)-граф имеет две вершины, соединенные г невересекаюшимися простыми це
ними то /2(/>)=-/К fs(p}-\i3p—1)/2], /4(р)-2р—1.
(Бопобаш [!])
5 18 Если щааетр графа G рчвен d и хдд 1 го рз^хф/ ;-1)—2
(Уоткинс [ 1])
5.19, Пусть £ такое наибольшее число, что каждое множество с вершин в О
принадлежит некоторому простому циклу. Если граф G трехсвязен, то х= ц
тогда и только тогда, когда н (7 имеется такое множество 3 содержащее х вер
шии, но х (G—.8)^зх-1 -1
(Уоткинс [1])
5 20. Если О— связный ,раф то
л (Gl=^ 1 1 ttiin k(('s—о),
eel'
5.21. В любом графе и ап большее чисто непересс кающихся вершинные раз
резов. разделяющих две вершины и и а. равно d (ч с)—1
связность -?5
о.22. л-минимальным трзфом называется такой гр зф (> что я(0—лг)<;;(0)
Дтя каждого ребра х.
al I раф б ‘/.-минимален тот-да и только топа когда у (и (G) для
каждой пары смежных вершин и и с
б) Если граф G ‘/-минимален. то ₽--у.
(Галин |[|)
5.23. Доказать эквивалентность теорем 5 18 и 5.19 (or narrpmiep М Хотт
[7 стр. 72. 73])
5.24. Если граф 6 н-связен; п~лл2 и —1V2 то в G найдется такая
вершина что граф G-v также я-связев,
1Ча[) грэнд, Когарс Чт i [!])
5.25. В каждом наименьшее п реберпо связном трафе G найдется иернтннз
степени я(п^2).
(Лик [1])
Г шва 6’
РЛЗБПЕШ1Я
Галл1ЕЯ го всей своей совокупности
разделяется на три части.
Лай Лрдий j’fljze. *)
Степени rf,t , dr вепшнн графа образуют последовательность
целых неотрицательных чисел, сумма которых равна 2у В теории
чисел разбиение целого положительного числа п обычно определя-
ется как перечень (или неупорядоченный набор) целых положи-
тельных чисел, сумма которых равна п По этому on ре те тению
число 4 имеет пять разбиений
4, 34 1, 2 2, 2 L Р 1,
1 | 1 1,-1
Порядок слагаемых в разбиении не существен. Такое разбиение
числа 2су образуют степени вершин графа, не имеющего изолиро
ванных вершин Для того чтобы включить в рассмотрение все графы,
обобщим определение разбиения, принятое в теории чисел, допуская
существование неотрицательных стагаемых.
Разбиением неотрицательного целого числа п называется конеч-
ный набор неотрицательных целых чисел, сумма которых равна п.
В этом смысле разбиение числа
4 может содержать произволь-
ное конечное число пулевых сла-
гаемых. Разбиение графа — это
представление числа 2q в виде
суммы степеней вершин f рафа
(см теорему 2 1). Толь-
ко два из пяти разбиений числа
t+f+1+t
2 + 1 + 1
Рис 6 1 Графические разбпсиик ”и- 4 на положительные сла!аемые
1"1с! реализуются графами, они при-
ведены на рис 6 1
Разбиение числа п на р частей (слагаемых) называется гра-
фическим, если существует граф, степени вершин которого равный
Ясно что в любом графическом разбиении Ф?Фр—1 и п четно. Но
этих двух условий недостаточно, чтобы разбиение было графичес-
ким: примером служит разбиение 10—3 3—3—1 Возникают два
J) Г .ч и Ю л п й Ц е з а р ь. Записки о войне с галлами, мина 1 комм н
гарии С. И Соболевского ИЛ VI., 1946 стр. 37.— Прим, перев.
Г МзВИГННЯ
вопроса Как определи it, явтяекя ли данное разбиение графиче
сейм? Как построить (раф, реализующий джипе разбиение?
Ответ на первый вопрос (о существовании) был дан Эрдёшем и Гал-
лаи [11 Независимо и в ином аспекте, а именно с конструктивной
точки зрения эточ же вопрос рассматривался Гавелом I П и Какими
111 Заметим, что второй вопрос — чисто конструктивный Приве-
дем снаряда следующий результат
Теорема 6 1 Разбиение 11--=(/Л- ф dfl) четного чисю на р
частей, р—I „ а , - . флд}, является графическим тогда и
только тогда когда графическим является модифицированное раз
биение
IT 1, , d.)^} — 1, dt;-2, , <фд
Д о к а з a i с л ы тв о. Если 11 — i рафическое разбиение то и
П — графическое, поскольку можно построить граф с разбиением И
добавив к ЕГ одну новую вершину, смежную с вершинами, имею
(ними степени Ф>—1, ф—I, ,
Пусть теперь G— граф с разбиением И Если вершина степени
ф смежна с вершинами имеющими степени ф для t от 2 до d u 1
то удаление згой вершины приводы к графу с разбиением 1Г Сле
(овательно, осталось показать, что из G можно получить граф с та
кой вершиной Предположим, что в G нет такой вершины. Пусть в
графе (о, в котором вершины и, имеют степени d,, вершина щ со
степенью dY имеет наибольшую сумму степеней смежных с пей вер
шин. Тогда существуют такие вершины в- и щ со степенями ddj
что VjVj является ребром в G, а пет. Поэто,му найдется вершина
vb, смежная с ту и не смежная с щ Удатение ребер аду и и;1щ п
одновременное добавление ребер vtvt и vhvf приводят к новому гра
фу, имеющему разбиение 1J и отличному от G в котором сумма сте
пеней вершин, смежных с а,, больше чем в i рафе G. Повторяя эту
процедуру, приходим к графу, в котором вершина щ обладает нуж-
ным свойством
Доказанная [еорсма позволяет дать эффективный атгоритм
построения графа с заданным разбиением если такой существует
Если [акои граф не существует, то на некоюром шаге алгоритм
нельзя применить
Следе тв и с 6 1
.. , di), где
(а л I о р и 1 м) Данное разбиение 11 — Ф,
р—1 -т di,
dt„
является графическим тогда и только тогда, когда следующая про-
цедура приводит к разбиению в котором каждое слагаемое равно
нулю
1 Найти модифицированное разбиение J] , определенное в форму-
лировке теоремы 6 1
2 Расположить элементы разбиения 11 в порядке невозрастания
и обозначить новое разбиение через П,.
3 Для Г[] найти кодифицированное разбиение II также, как и
на шаге 1, н получить упорядоченное разбиение Щ.
4 Продолжать ыту процедуру до появления хотя бы одного отри
цательного слагаемого или до получения разбиения, состоя-
щего из нулевые слагаемых
Если на некотором шаге разбиение оказывается графическим,
то нужно остановиться, поскольку эю значит, что разбиение И
также графическое Проиллюстрируем этот алгоритм на примере
разбиения
П = (5, 5, 3, 3, 2, 2, 2)
Имеем
П — (4, 2, 2, 1, 1 2),
Пг-(4, 2, 2, 2, 1, 1)
П"--(1, 1, 1, 0, 1)
Ясно, что П' — графическое разбиение, поэтому П — также
графическое. Соответствующий (раф показан на рис 6 2
Теорема Эрдёша и Гал таи HI есть по своей природе теорема с\
[чествования, но в ее доказательстве используется тот же
Рие 6.2. Г[мф чтя иллюстрации ра-
боть ачгоритмэ нахождения графиче-
ских разбиений
подход, что при доказательстве
теоремы б I
Теорема 62 Разбт н ие
11~№, d2, . , dД чисга 2q на p
частей, dp, яв-
ляется графическим тогда и
только тогда, когда для любого
целого числа г, \^г^р—1,
^d;^Zr({- !)-• У mm {/,</,}•
(6 1)
Доказательство Необходимость условий (6 1) проверяв и. я
непосредственно. В самом деле, если И — разбиение числа 2<? для
графа G, то сумму г наибольших степеней можно разделить на две
части одна соответствует вкладу в эту сумму ребер, которые сое-
диняют соответствующие г вершин между собой, другая получается
от ребер, соединяющих эти г вершин с остальными р—г вершинами
Части не превышают соответственно г{г—1) и 2 mm lr>
i-r+ f
Доказательство достаточности проводится индчкциеи по числу
р Ясно, чго теорема верна щя наборов с одной или двумя частями
РАЗВИТИИЯ
79
Иредпочожим, что опа верна для наборов с р частями, и пусть dit
d,_,. r/p+l — набор, удовлетворяющим условиям (6 1) Обозна-
чим через т и я наименьшее и наибольшее петые числа, дтя кото-
рых
d„hl- =d,! + 1
Образуем новый набор из р элементов, по (ожив
( <Л-ы — 1 для I ог п—dj-pl до п, если щ=0,1, и
е,-- < дня 1 от 1 до т—1 и от п— [di -т) до п, ести w>2,
I й!+] в противном стсчае
Если новый набор et, , („ удовтегворяет условиям (6.1), то по
иредпотожению индукции существует граф, степени вершин кото-
рого равны е, Граф с заданным набором степеней dT можно постро-
ить, добавляя новую вершину степени di, смежную вершинам со
степенями, соответствующими тем в,, которые получаются вычита-
нием 1 из (см. выше).
Ясно что pj>e^e.^ ^ер Предположим чю условие
(6 1) не выполнено, и пусть h — наименьшее из чисет г, пои кото-
ром оно нарушается (очевидно, что h^V) То1да
h р
У е £> h (й—1) 4 % minpiej (6 2)
В ю же время справедливы неравенства
I Т- I Р^- 1
2^<й(й 1) У пип {й—1, t/J, (6 3)
i=l i=/i = 2
h— I p
У < (й— 1) (й—2) — 2 mi11 {fl~~ 1, (6 4)
г - 1 j =; h
2 С(й—2) (/г—3) 4 2 min {A—2, eJ (6 5)
t=i
Обозначим через s число значении дтя которых е, =d)+1—
— I Тоыта неравенства (6 3) — (6 5) вместе с (6.2) дают
di I s < 2й ф 2 (нтin {й -!~ 1, d □ J — итп {h, еф), (6 6)
I = й 4- I
eh 2 (й— 1)—min {й— 1, —
р
’ 2 (ппп (й гг} —шт {й—1, е;}), (6 7)
(- A — 1
еь-л > 4й — 6 — min j/i — 2 О-]} — пни — 2 еЛ} ]
— 2 (1П1П {й, ej —шт {й—2 е,}) (6 8)
;• 1
Отметим, что 1г, поскольку в противном случае неравенство
(6 7) приводит к противоречию Пусть а b и с обозначают «нс. ia
значений Д>6. для которых е,Ой, еу-У и щ<;Л соответственно,
числа таких значений t для которых, кроме тою, е^—йу-,—1,
обозначим через o', b и i Тогда
cL — s а 1 b с (6 9)
Неравенства (6 6)—(6 8) принимают вид
di г <2/i-i a b' с', (6 10)
th^h i «-i-б, (6 11)
1 — (min {«, cj —nun —2,с,}) (6 12)
* — /1 -Г 1
Здесь возникает неско и,ко случаев
Случш 1 е 0 Так как d^e,, ю из (6 И) получаем
Л—г н-г
Но неравенство (6.10) е учетом (6 9) даег 2dL <2/гДй-1 a' l-2b , мы
пришли к противоречию
Случаи 2 т 1>0 и 6,,-, Это означает, что J, 1 е;-Т1 всякий
раз когда тГ(1 , Поэтому s Ли а-—а
Теперь (6.10) и (6.9) дают di-lKZ^Ii a -b -i, -dt Л, мы
опять пришли к противоречию
Случаи 3. т. > 1 и dЛ При этих усювия.х et и д—£--(),
гак что Лы-ю-т Далее так как Л;,.г1, то е}^ 6—1 по крайней
мере для с/ значений Ой Следовательно, неравенство (6 12) чаег
е , Дг Л— I с. Д>Л,
Idb ЧТО С/, ..Ю'-б),— 1
мы пришли к противоречию
Поэтому юНг— 1 и — 1 ю'йДДД 1<<Л
Случай 4 t = 1 п (Л , - h. Опять а п d, — s-Тс Так
какясДЛ—1 то Лю-Пт. Отсюда .м--0 и Л, 1 такч1оЛ;-- 1 для всех t
'Таким образом (6 1) выполняется вопреки предположению.
Поскольку ei-C^-h и dh^^ei,, ясно, чю 6?, + , нс может быть
меньше чем It. Итак все возможные случаи рассмотрены п дока-
зате тьстно закончено
Иногда можно быстро определить является ти данное разбие-
ние графическим и если да, то можно представить структуру гра-
фов имеющих это разбиение. Например, легко привести критерии
тою что разбиение реализуется графом, который является
РАЗБИЕНИЯ
81
деревом Следующая теорема дает ответ на вопрос, поставленный
Оре [41, этот результач независимо доказывался много раз
Теорема 6 3 Разбиение 2<?=2 d, ревизуется деревом тогда а
i -1
только тогда, когда каждое dt — положительное число и q -р—I
Рис 6 3 Два дерева с одинаковым разбиением
В качестве примера рассмотрим разбиение 16—&-[ 3—2-!-1 В
1 1J Н-1-1 — 1. Здесь dj >-0 дтя любсн о I и q 8 Поскольку р=9,
по теореме 6 3 это разбиение реализуется деревом На рис 6.3
приведены два дерева с данным разбиением
Упражнения
6 I Какие кз следующих разбиений являются графическими?
а) 4 1-3 |-3+3-г2+2—2—1-
6} 8-г7-Р6+&Д4+3—2-2^1
в) 5-| Н 5-1 3-| 3- 3 ' 3---3
г) 5—4^3—2—14 i-H—l-I-l l 1 1
6.2 Нарисовать все графы имеющие разбиение. 5-j--5— 3-г-3---2р2
6.3 Разбиение 16= 5—3-42-1-1-1-1—11 14- [ реализуется каждым из
дерены.в, изображенных на рис 6 3 Существуют ти другие деревья с этим
разбиением?
6.4 . Построить все регулярные графы с шестью вершинами.
6.5 . Построить все 5 связных кубических графов с 8 вершинами и вес 20—
с Ю вершинами
(Бадабан [!])
6 6 Нс существуют графические разбиения, в которых все слагаемые раз-
личны. Для любого существуют точно два графа с р вершинами в которых
только два слагаемых разбиения равны и эти графы являются дополнительными.
(Ьсхзтд Чартрэнд |2])
6.7 . Графи lecKoe разбиение называется простым, если существует только
один граф с. этим разбиенн™. Каждое графическое разбиение с четырьмя c.iarai
мыми является простым, и наименьшее число слагаемых в графическом разбш
пни Hi являющемся просты?.!, равно 5.
6 8 Разбиение (d, с1.г .... d?) реализует я j i евлогрифом (от-н тим. что петля
вносит 2 в степень своей Егершипы) тогда и ю :ько тогда ьогта чисто 'Vdi чепю
(Хакнми [11)
82
Г..-I AB T Г
(1.9. Если разбиение четного числа 2q имеет вид П--(dj, d.,. , . dp). где d^-z
d то П реализуется мульти графом тогда и тотько тогда, когда
” ” 7 ' (Хакими [![)
*6.10. Разбиение. П, реализуемое некотором мульти графом (см. предыдущее
упражнение!, реализуется единственным мультиграфом тогда и только тогда,
когда выполняется хотя бы одно из следующих условий'
1) р<3;
Ф dp—d,-;-. . 4 dp,
3) dr; 2^d2— Adj, и d>—;/3- dp,
41 p—4 и d, > dp—1;
5) d,--. — ds = 1
(Сеньор [П, Хаиими [1])
6.11 Доказать или опровергать разбиение дерева реализуется более чем
одним деревом тогда и только тогда, когда хотя бы одно слагаемое больше 2, а
три слагаемых больше 1 причем в случае трех першии не все слагаемые равны
между собой.
6.12 Пусть II—(di d,. dp) d^zd.^ ,^d„ и рДтоЗ — графическое раз
биение Тогда
al П реализуется связным рафом темда н только тогда когда dp>0
11 2 di 2
= 1
р
б) II реализуется блоком тогда и только тогда, когда dp> J и
> 2 (р-14 dj) i-1
6.13 Графическое разбиение П введенное в предыдущем упражнении, реа-
лизуется торебсрио-связным графом с )фй2 тогда н только тогда, когда dpzsn.
для всех I.
(Эдмондс (Ц)
6.14. Для любого нетривиального графа G и .любого разбиения р—pt—р2
существует такие разбиение Е--V, [J 1'4, что |1ф| р/ и A (<V'4))T A (<V3>)s£ A (G)
(Ловац [ 1[)
6.15. Мо1цнастью т(<.) вершины о связною графа 6 называется число коч
поиепт графа G— v.
а) Набор чисел /щ fu,, т} реализуется мощностями вершин сеязното
графа тот и и tohi ко тогд i когда выполняется неравенство /Д; < 2 (f— I)
= 1
В случае равенства получаем Дерево
6} Для реализации этого набора связным графом G с р вершинами и д ребрами
х\ ' е -1-° \
необходимо и лостаточно тгобп д. mi <2 (р—1) и )п"р——2 где^-—
-2(р—1)—У
(Рамачандра Рао Рао [I])
ОБХОДЫ ГРХФОВ
dk»Kh№ снег пройдешь да шзад tie
вернешься.
Одной из особенностей теории графов, которая способствовала
ее популяризации, является ее использование в решении [олово-
ломок и игр Часто головоломку можно сформулировать как графа
вую задачу: определить, существует ли в графе «эйлерова цепь»
или «гамильтонов цикл». Как еже упоминалось в гл. I, понятие
эйлерова графа появилось когда Эйлер решал задачу о кёнигсбер!
ских мостах В настоящей главе даны две характеризации эйлеро
вых ! рафов Затем рассматриваются i амильтоновы графы, дтя
которых приведены некоторые необходимые и некоторые достаточ-
ные условия их существования Однако остается еще нерешенной
задача нахождения простого и эффективного описания гамильто-
новых графов, которое бы отпчачось от завуалированной перефра-
зировки определения
Эйлеровы графы
Как мы уже видели в гл. 1, отрицательное решение Эйлером
задачи о кёнигсбергских мостах привело к первой опубликованной
работе по теории графов Задачу об обходе мостов можно обобщить
и получить следующую задачу теории графов: можно ли найти
в данном । рафс G цикл, содержащим все вершины и все ребра?
I раф, в котором это возможно, называется эйлеровым Таким обра-
зом, эйлеров граф имеет эйлеров цикл — замкнутую цепь содер-
жащую все вершины и все ребра Ясно что эйлеров граф должен
быть связным
I еорема 7 1 Для связного графа ’) G следующие утверждения
эквивалентны
(1) G— эйлеров граф,
(2) каждая вершина графа G имеет четную степень.
(3) множество ребер графа G можно разбить на простые циклы
J) SIlfo что эта теорема сг ранет типа такие и тля мттьтяграфов
Доказательство. (1) влечет (2) Пусть Т —- эйлеров цикл
в G Каждое прохождение данной вершины в 7 вносит 2 в степень
этой вершины и, поскольку каждое ребро графа G появляется точно
один раз в Т любая вершина должна иметь ipthvio степень
(2) влечет (3) Так как G — связный и нецшвиальныи граф
ю степень каждой вершины равна по крайней мере 2. так что G
согержит простои цикт Z Удаление ребер цикла Z приводит к ос
товно.му подграфу Gn в котором также каждая вершина имеет чет
ну ю степень Если в Gi пет ребер, то (3) уже доказано; в прот ивном
случае применим высказанные выше соображения к Gi и получим
граф G2, в котором опять степени всех вершин четны, и т д. Одно-
временно с пустым графом Gri получаем разбиение ребер графа G
на п простых циклов
(3) влечет (1) Пусть Zj — один из простых циклов этого разбие
ния Если G состоит только из этого цикла, то очевидно, что G —
эйлеров граф В противном случае другой простой цикл Z. в G
имеет вершину v, общую с Zj. Маршрут, начинающийся сои со-
стоящий из цикла Zi и следующего непосредственно за ним цикла
72, является замкнутой целью, которая содержит ребра этих двух
циклов Продолжая эту процедуру, мы можем построить замкнутую
цепь, содержащую все ребра графа G стедоватетьно, G — эйлеров
I раф
Например, связный граф, представленный на рис 7,1, и котором
каждая вершина имеет четную степень, обладает эйлеровым пик-
том, а множество рсбер мож-
но разбить па простые пик-
ты
Пз теоремы 7 I следе (.г,
что если в связном iрафе G
nei вершин с нечетными сте
пенями, то в 6 есть замк-
нутая цепь, содержащая все
вершины и все ребра графа
Ряс 7 1 Эй черен [раф
G. Аналогичным результат справедлив тля связных графов, имею
гцих некоторое чисто вершин с нечетными степенями
Следствие 7 I (а) Пусть G — связный граф, в котором 2н
вершин имеют нечетные степени, п фл I Тогда множество ребер
графа G можно разбить ни и открытых цепей
Следствие 7 1 (б). Пусть G — связный граф, в котором две
вершины имеют нечетные степени. Тогда в G есть открытая цепь
содержащая все вершины и все ребра графа G (и начинающаяся в
одной из вершин с нечетной степенью, а кончающаяся в другой)
ОГ.ХОДЫ ГРАФОВ
85
Гамильтоновы 1рафы
Сэр Бил г, ям Га милы он, г троя простые цпмы, содержащие каж
дую вершину додекаэдра, определил класс i рафов носящих те-
перь его имя Если в G имеется простой остовиый цикл 2, то Спазм
вается гамильтоновым графом, a Z — гамильтоновым /циклом. В на-
стоящее время не известно эффективных описаний гамильтоновых
графов, но известно несколько необходимых и несколько чостаточ
пых условий существования гамильтоновых циклов!
Тэта-графом называется блок, содержащий гол ib ко вершины
степени 2 и две несмежные вершины степени 3 Таким образом,
тэта-граф состоит из двух вершин степени 3 и трех непересекаю-
щихся простых цепей, соединяющих эти вершины, причем длина
каждом нт этих цепей не меньше 2
Рис 7 2 Негамилъто,юв
(блок
Теорема 7 2. Каждый гамильтонов граф двусвязен. Каждый
негамичьтонов дву связный граф содержит тэта-подграф
, lei ио найти тэта-подграф в не гамильтоновом бтоже, приведен-
ном на рис, 7 2
Следующая теорема, доказанная Поша [J], даел достаточное
условие того, что граф гамильтонов Она обобщает результаты, по
лученные ранее Оре и Дираком, кото-
рые приводятся здесь в виде следствий
Теорема 7.3 Пусть G инеет рфг ,3
вершин Если для всякого а, 1 п <;
<'др—1)/2, число вершин со степенями,
н? превосходящими п, меньше чем га, и
для нечетного р число вершин степени
[p—\Y2 не превосходит (/?—!) 2, то
G — гамильтонов граф
До к а з а т е 11 с гв о Предположим,
что теорема неверна, и пусть G — мак-
симальный негамильтонов граф с р вершинами, удовлетворяю-
щий условиям теоремы. Легко видеть, что добавление любого ребра
в граф, обладающий указанными в теореме свойствами!, приводит к
графу, который также обладает этими свойствами Таким образом,
поскольку добавление к G произвольного ребра приводит к га-
мильтонову графу, любые две несмежные вершимы соединимы про-
стой остовной цепью.
Покажем сначала, что всякая вершина, сгепен|ь которой не
меньше (р—1)/2, смежна с каждой вершиной со степенью, большей
чем (р—1) '2. Допустим (не теряя общности), что degt-’i> (р—1)2
и degvr,р’2, по вершины и, и v} не смежны Тогда существует
простая остовная день щщ л^, соединяющая щ и к;). Обозначим
вершины,смежные сщ,через д1(, ,и,п, где n^dego, и 23~i± <7i2 <7
Глава
< in. Ясно, что вершина ир не ,може1 быть смежной ни с одной
вершиной из 6 вита v;. , поскольку тогда в G был бы гамильтонов
пик л
С-ЦА. ш/'i
Далее, так как а фт (р—1)/2, то р.'2->. degr^^p — 1—п<р.?2, что
невозможно Поэтому щ и vp юлжны быть смежны
Отсюда следует, что если degy^ р/2 для всех вершин у, toG —
гамильтонов граф. (Ниже это сформулировано в виде следствия
7.3 (б).) В сил\ изложенного выше каждая пара вершин графа G
смежна, т е G — полный граф Мы пришли к противоречию, по
скольку КР — гамильтонов граф для всех р'^ 3.
Таким образом, в G есть вер шипа v с degu<;p/2 Обозначим через
т наибольшую среди степеней всех таких вершин Выберем такую
вершину щ, что degt^m По принятому предположению число
вершин со степенями, нс превосходящими т, не больше чем m<.pi2
поэтому должно быть более чем т вершин со степенями, превоь
ходящими т, и, следовательно, не меньшими чем р/2. В результате
найдется некоторая вершина, скажем vr„ степени по крайней мере
р/2 не смежная с щ Так как уг и не смежны, то существуй! основ-
ная простая цепь tij п;- Каки выше, обозначим через у(], , н
вершины графа G, смежные с оь и заметим, что вершина vf)
не может быть смежной ни с одной из т вершин щ для 1
Но поскольку Vi и ур не смежны, a tp имеет степень не меньше р!2
то, как было показано в первой части доказательства, т должно
быть меньше чем 1)/2 Так как по предположению число вер-
шин со степенями, не превосходящими т, меньше чем т, то хотя
бы одна из т вершин скажем у', должна иметь степень не
меньше р/2. Итак, мы установили, что степени двух несмежных
вершин ър и v' не меньше р/2 Полученное противоречие завершает
доказательство теоремы
Приведенное достаточное условие не является необходимым.
Кубический граф Gi, изображенный на рис 7.3, гамильтонов, хотя
ясно, что он не удовлетворяет условиям теоремы Однако условия
теоремы неулучшаемы, поскольку при их ослаблении новое условие
уже не будет достаточным для тамилыоновости графа Например,
выберем р^ 3 и 1 =С«</(р—0 2 и образуем граф G2 с одной точкой
сочленения и двумя блоками К71 м и Кр-п Этот граф не гамильто-
нов' для него нарушается только одно условие теоремы граф G2
содержит точно п вершин степени п. Это иллюстрируется на рис
7.3, где р = 8 и п= 3 Есчи выбрать р -2п-г 1, п >-1 и образовать граф
G ~Кп, ».тг, го он не будет гамильтоновым; для него нарушается
только одно условие теоремы' в нем (р—1)/2 -1 вершин имеют
степень (р—1)/2. Граф приведенный на рис 7 3, иллюст
рирх е 1 это дл я случая р = 5.
ОБХОДЫ iРУФОВ
87
Ограничивая условия теоремы Поша получаем более простые,
по менее сильные достаточные условия, найденные Оре [2] и Дира-
ком 121 соответственно
Следствие 7.3(a) Если /?> 3 и degft rdegi^/т для любой
пары if t> v несмежных' вершин графа G, то G — гам и штонов граф
Рис 7 3 И л построив и к теореме Поша
С л едет в и с 7 3(6) Если р > 3 и deg с 5- Р- 2 д ля гюбой вершины
t графа G, то G — гамильтонов граф
Кубический гамильтонов граф G,, доказанный на рис. 7,3, имеет
четыре остовпых простых цикла Наименьший кубический гамиль-
тонов граф A'j имеет три остовпых
простых цикла. Эти замечания иллю-
стрируют теорему Смита (см. Татт!!])
3 еорема 7 4 В каждом кубиче-
ском гамильтоновом графе саущшп
врет по крайней мере три остовных,
простых цикла
Тейт 11] высказал нредположе
пие, что каждый трехсвязный пло-
ский граф1) содержит остовный про-
стой цикл Татт ill показал, что это
не верно приведя пример трехсвязно-
го плоского графа с 46 вершинами не
являющегося гамильтоновым (рис 7 4)
I [.лоск не гоафы расс.чатрНЕМЮТс.ч и гл. 11 Сир я не длинен, и, гипотезы Т сита
означала бы справедливость гипотезы чегыр-ч краеок
88
г тли \ г
Наименьший известный в настоящее время негамияьтопов трех-
связный плоский граф, имеющий 38 вершин, был построен незави-
симо Ледербергом Босаком и Барнеттом, эти результаты можно
найти в монографии Грюнбаума [2 стр 3591
Кажущееся отсутствие взаимосвязи между эйлеровыми и га
миfjьтоновыми графами иллюстрируется рис 7 5; здесь каждый
тыоновы трафы
Негамильтоноя
граф — это блок с 8 вершинами Однако в следующей ытаве мы
свяжем эйлеровы и гамильтоновы графы с помощью гак называемых
«реберных графов»
Кстати Птаммер высказал предположение что квадрат гюбого
двусвязного I рафа есть гамильтонов граф ’)
Упражнения
7 1 Ниити эйлеров цикл в i рифе G, приведенном на рЕЦ 7 1 1 также разбие
вне ребер графа G на простые циклы
7.2. Если каждый блок связноро '-рафа G эйлеров и "е ь граф G эйлер ш и
обратно
7.3 В следствии 7 I (а) нельзя найти разбиение, содержащее меньше чем п
цепей, Сформулировать и доказать утверждение, обратное следствию 7.1 (б).
7.-J Граф называется произвольно вычерчиниемым из вершины с(|,еслн следую
щая процедура всегда приводит к эйлерову циклу: начиная с произвольной вер
шины д,, идем по любому инцидентному с ней ребру; достигнув вершины и. ижл
по любому иииндеитпому с ней ребру, по которому еще fie ходили, и продолжаем
этот процесс до тех пор пока не останется неиройденных ребер.
а} Эйлеров граф является произвольно вычерч!:ваемы.м из церишнн тогда
и только тогда когда ТЕобой его простой иткт содержит с1,
(Оре |1|)
Ч Карагаиис 11] о Ееиь просто показа л чти куб л 10601 о i вязного графа явля
етея гамильтоновым графом (доказательство проводится для произвольного остова
данного графа). Наконец, гипотеза Птаймера был;: делСТЕ>лтш:ь'1С 1’одтвсрждена
(см. Флейшнер (1J) — Прим, iiepetf.
Oh ХОДЫ ГРЕФОВ
89
б) Если G - - п роит пол i.но вычерчиваемы и граф из вершины су то у, имеет
максимальную степень.
(Бэбл*.р [1])
в) Если (j — произвольно вычерчиваемый граф из вершины оа, то или с,3—
единственна?; точка сочленения, или в G нет точек сочленения.
(.Харари [8)1
7.5. Доказать или опровергнуть гели i раф G содержит порожденный тэта
но-г раф, го G 1>е гамильтонов
7.8. а) В каждом нетривиальном связном графе G любая пара вершин его
куба G:t соединена остовнои простой цепью. Следовательно, каждое ребро в G1
принадлежит некоторому гамильтонову циклу
(Карагапис [1])
б) Если любая пара вершин ;ртфа G соединена основной простои цепью и
р>^4, то G — трехсвязный граф
7.7. Привести пример нсгамильтонова 1рафа с 10 вертпииами у которого
cleg и- т-deg оДд-.р— 1 для любой пары несмежных вершин и и V.
7.8 Сколько остоврых простых циклов имеется в ночных двудольных iрафах
s 11
7.9. Граф 6 называется произвольно проходимым (произвольно гамильтоновымр,
если основная цепь (гамильтонов цикл) всегда получается с помощью следующей
процедуры: начиняем с произвольной вершины в G, последовательно переходим
в любую смежную вершин) еще не пройденную и продолжаем до тех пор пока
ке исчерпаем все вершины.
я) Граф G с вершинами произвольно проходим тогда и тотько тогда
1огда он произвольно гамильтонов
б) 1 раф G с р;т=3 вер шипами произвольно проходим тогда и только Т01да koi
та он совпадает с одним нз графов Ср, Kf, или при р=2п с К„„.
(Чартрэнд, Кронк [1]}
7.10. Можно считать, что теорема 7.J дает достаточное условие двусвязностн
графа G. Его можно обобщить на n-снязные графы. Пусть G — нетривиальный
граф и !< п<р Следующие условия являются достаточными дтя того, чтобы
граф G был „-связным:
1 . Для каждого k, для которого п— i-^Zk < (рд-п—3)/2, число вер-
шин со степенями, нс превосходящими k, не больше чем
2 Число вершин со степенями, не превосходящими (р-*-п—3)2 не
больше чем р -и
(Чартрэнд Калур, Кронк [1])
7 11 Теорему Поша можно обобщить следующим образом: Пусть С> имеет
рЙгЗ вершин и —2. Если для любого целого (, для которого ЙЧПО
(р4 А’);2; число вершин со степенями, не превосходящими I, меньше чем
T — k. то каждая простая цепь длины fe содержится в некотором гамильтоновом
цикле.
(Кронк [I])
7 12, Напомним, чго дна помеченных графа называются изоморфными, если
между ними существует изоморфизм, сохраняющий пометки. Под е-графом пони-
мается граф, в котором каждая вершина имеет четную степень.
а) Число помеченных графов с р вершинами равно ZPU'-1
6} Чисто помеченных е графов с р вершинами равно числу помеченных гра
фон с р—I вершинами.
(Роби Hl он)
7.13 . Если G есть (р с/) граф у которого р'^з'З и c/5s(p — Зр 6)/2. то G
Iамильтонов
(Ope 13J)
40
ГЛ У в У
7.14 . Если den 1 для любых двух несмел rtijx вершин » и
графа G, то в G существует остовная простая цепь, соединяющая каждую пару
различных вевцтип
(Ope loll
7.1ё Если G — такой граф с р7э=3 вершинами, что удаление множества, со-
щржащего нс более» вершин, приводит к гамильтонову графу, то G р1--2)-сня.здп.
(Чартрэнд, Капур, Кронк |1]1
7.16 Рассмотрим такие не'гамильтоновы графы G, что каждый граф G—<.
гамильтонов. Средн них существует единственный граф с 10 вершинами и нет гра-
фов с меньшим числом вершин
(Годин Геон Росси [1])
7.17 Существу но тп пегамильтонощ’ графы С( готь угодно оолыпоб дит
п ос тою?
'7 18 Квадрат ка?кдого дв;связного графт :ампльтешод
(Флеишлер [ 1ф
Глава 8
РЕБЕРНЫЕ ГРАФЫ
Прямая сеть кратчайшее рассюянне
между двум и точками
Понятие реберного графа для данного графа настолько естест-
венно, нто независимо было введено многими авторами Конечно,
каждый из них давал свое название J) Ope 151 назвал aroi
граф «смежностиым графом», Сабидусси 121 — «графом производ-
ной», Байнеке [41 — «производным графом», Сешу и Рид 11] — «ре-
берно вершинно-двойственным», Кастелейы fl] — «покрывающим
графом», Менон [11 —«присоединенным» («сопряженным»). Были
даны различные описания реберных графов В этой главе вводится
также тотальный граф, который изучался впервые Бехзадом [1] и
поскольку (это очень удивительно!) он был обнаружен единожды,
он не имеет других названий. Мы исследуем связь между реберными
и тотальными графами, удетяя особое внимание эйлеровым и га-
мильтоновым графам
Некоторые свойства реберных графов
Рассмотрим множество X всех ребер графа G как семейство двух-
вершинных подмножеств множества V (G) Реберным графом графа
G — обозначается L (G) — называется граф пересечений Q (X)
Таким образом, вершинами графа L (С) являются ребра графа G
и две вершины графа / (G) смежны тогда и только тогда, когда
смежны соответствующие им ребра графа G Если x=uv — ребро
графа G, то ясно, что степень вершины х в графе L (G) равна deg u-t
n-deg у—2 Два примера графов и их реберных графов приведены
на рис 8 1 Заметим, что на этом рисунке G2=L (GJ, так что £(6'ф^
Запишем L1 (G) = L (G), (G)= Л (L (G)) и в общем случае
опредечим итерированный реберный граф рекуррентным соотноше-
нием L'J(G)-G(M’l(G)), 2
Непосредственно из определения 1рафа L (G) вытекает, что каж-
дая точка сочленения графа L(G) есть мост графа G, не являющийся
концевым ребром, и обратно.
-1) Гоффман [4| использовал термин fine graph (реберный граф), однако при
jtom ребро графа он называл edge, а не fine Уитни [2] первым обнаружил эти
графы по названия нм нс дал.
42
ГЛАВА S
Если определен некоторый класс графов, то полезно знать опенку
числа вершин и ребер в каждом графе данного класса Это легко
стелать для реберных графов.
Теорема 8 1 Если С — это (р, д)-граф t вершинами, имею-
щими степени dt, то L (6) имеет у вершин и qL ребер где
Ul"-—Q' > у ~
Доказательство По определению реберного 1 рафа граф
L (G) имеет q вершин Каждые dt ребер, инцидентных вершине
дают вклад 'j в число ребер i рафа L(G), iaK что
vr” у IL d~ 4 L
Следующий результат вы можете установить многими разными
способами в зависимости от вашего желания
Теорема 8.2 Связный граф 6 изоморфен своему реберному
графу C(G) тогда и только тогда, когда G — простои цикл
Таким образом, для графа G (пе обязательно связного) G^ L (G)
тогда и только тогда когда G — регулярный граф степени 2
Если графы Gi и G-, изоморфны, то очевидно, что графы L(Gt) и
L (62) также изоморфны. Уитни 121 установит, что обратное справед-
ливо почти всегда, и указал при этом единственную пару различ-
ных графов имеющих один и тот же реберный граф Доказательство,
данное здесь, принадлежит Юнгу [1!,
РЕБЕРНЫЕ- ГРУФЫ
93
Теорема 8.3 Пусть G и G'— связные графы, у которых ре-
берные графы изоморфны Графы G и G' изоморфны всегда, кроме
случая, когда один из них есть АТ, а другой
Доказательство Заме!им сначала, что среди связных
графов с не более чем четырьмя вершинами единственной парой
различных Ерафов с изоморфными реберными графами являются
КЛ и К, Кроме юго, нетрудно видеть, что изоморфизм Ер графа G
па граф G индуцирует изоморфизм 4’1 гпафа L (G) на граф L (G )
Докажем более сильный результат, из которого будет слсювать
наша теорема
Если в графах G и G более четырех вершин, то любой
изоморфизм <pi графа 1 (G) на граф L [G) индуцируется точно
одним изоморфизмом графа G на граф G'.
Прежде всего докажем, что др индуцируется не более чем одним
изоморфизмом. Предположим противное, т. е что имеются два та-
ких изоморфизма, скажем ф и ф, и покажем, что ф (у) - ф (г») для побои
вершины v графа G В самом теле, в i рафе G существуют два ребра
г ~и v н у - vw или два ребра х=ии и (/- и а Если у-- pw то обе
вершины гр (у) и ф(с) принадлежат каждому из ребер <pT (х) и q t (у)
Но поскольку у этих ребер только одна общая вершина, то гр (фр-
= ф(ф Аналогично рассматривается случай у~tiw так как ребро
(р, (х) содержит две вершины <р (о) и ф (н)=ф (и), то опять имеем
Ф(ц)^ФФ') Следовательно, <рт индуцируется самое большее одним
изоморфизмом графа G на граф G'
Докажем теперь существование изоморфизма ф, индуцирующего
Ф, Сначала покажем, что ребра x1 = uvl, x2=uv2 и х3 — ищ подграфа
Kit:s графа G должны переходить при отображении (р± в ребра под
графа Ki s । рафа G'. Пусть у — другое ребро, смежное по крайней
мере с одним из ребер xt и такое, что оно смежно или с одним, или
сразу с тремя ребрами xt. 1 акое ребро у существует в любом графе с
р^ 5 вершинами, а для р<Ь теорема тривиальна Если три ребра
Ф, (лу) образуют ве АТ>д, а треугольник, то ребро <р, (у) должно быть
смежно точно с двумя из них Следовательно, Любой подграф ,
ю лжен переходить в /С
Обозначим через S (и) множество ребер, инцидентных v Покажем,
что для каждой вершины v графа G существует точно одна такая
вершина о' графа G, что 5 (и) при отображении переходит в
S (у ) Если degy^ 2, обозначим через //, и у2 ребра, инцидентные с,
и пусть v' — общая вершина ребер ф, {//,) и ((ч (у,). Тогда для каж-
еого ребра v, инцидентного v, вершина у' инцидента ф( (х), и для
каждого ребра с , инцидентного v вершина v инцидентна цу1 (х )
Есле! deg т -1, то пусть х - uv—ребро инциден гное и. Тогда deg нф?
^>2, и следовательно множество S (и) переходит в множество S(h')
и (p^xJ-^nV Поскольку для каждого ребра х', инцидентного у',
94
ГЛАВ X Я
ребра ) и х должны иметь общую вершину, то вершина и
принадлежит ребру цф1(х') а вершина и — ребру х’, т. е х'~
—<pj (х) и degv'^1 Итак S (u)^=S (у) только тогда, когда u—v Сле-
довательно, отображение ф множества V в множество V взаимно
о щозначно
Далее, для данной вершины у из V существует инцидентное ей
ребро хг Обозначим цщ1 (х') через uv Тогда и пи ф , или ф (у)
—v’, так что ф — отображение «на».
Наконец, заметим, что Ф1 (х)=ф (w) <р(н) дтя каждого ребра
c^uv графа G и tpf1 (х')—ф-1 1^1') Для каждого ребра х'--
=ы'и графа G', так что ф — изоморфизм, индуцирующий! изоморфизм
Ф1 Теорема доказана
Характеризация реберных графов
Граф G называется реберным графом, если он изоморфен ребер-
ному графу L(H’) некоторого графа Н Например, /<4—< есть ре-
берный граф (см. рис. 8.1)
Pin. 8 2 Связньк 1рафы с четырьмя рьбрами
Покажем, что звезда Д1(з не является реберным графом. Пред-
положим, что (Я) Тогда граф Н имеет 4 ребра, поскольку в
/Сьз четыре вершины, и, кроме того, граф Н должен быть связным
Все связные графы с четырьмя ребрами приведены на рис 8.2
Так как А(С0^С4 (иотеореме8 3) и A х) ——х(см. рис 8 1),
то И может быть только одним из трех деревьев Но реберными гра-
фами этих деревьев являются соответственно простая цепь Pt, i раф
K:t - Kt и граф Ki- Таким образом Ki я не есть реберный граф. В даль
неишем мы увидим, что граф играет важную роль при установ-
лении основных свойств реберных графов Первый результат о ре
берных графах — утверждение (2) приведенной ниже теоремы —
полученный Крауцем |1] довольно близок к самому определению
реберного графа Существенный сдвиг в изучении свойств реберных
1рафов был сделан ван Роон и Вилфом [11 которым удалось пол\-
РЕБЕРНЫЕ ГР ХфЫ
95
чить (утверждение (3)) структурный критерий того, что данный
граф является реберным. Наконец, Байнеке [4J п Робертсон (не
опубликовано) нашли все подграфы, которые не .могут встречаться
в реберных графах. Напомним, что порожденным под1рафом назы-
вается под[раф, максимальный на данном множестве вершин Тре-
хгол ь ник Т графа G называется нечетным если в G имеется вер-
шина, смежная с нелетным чистом вершин в Т. и четным в иро1мв-
цом случае.
Теорема 84 Следующие утверждения эквивалентны
(1) G — реберный граф
(2) ребра графа G можно разбить на полные подграфы таким
образом, чтобы ни одна из вершин не принадлежа т боле<
чем двум подграфам,
(3) граф G не содержит звезду К1,з в качестве порожденного под
графа, и если два нечетных треугольника имеют общее ребро,
то подграф, порожденный их вершинами, есть К У
(4) ни один из девяти графов, приведенных на рис 8 3 не чеш-
ется порожденным подграфом графа G
Доказательство (1) ечечет (2) Пусть G — реберный граф
некоторого графа Н Не теряя общности, предположим, что в Н
нет изолированных вершин Тогда ребра звезды каждой вершины
графа Н порождают потный подграф графа G и любое ребро графа G
принадлежит только одному такому подграфу. Поскольку каждое
ребро графа Я принадлежит звездам ровно двух вершин графа Я
то ни одна из вершин графа G не содержится более чем в двух таких
подграфах.
(2) влечет (I) Пусть дано разбиение множества всех ребер графа
G на полные подграфы Sb S2, .., Sn удовлелворяющее утвержде-
нию (2) Покажем, как построить граф Я, для которого реберным
I рафом будет граф G Вершины графа п соответствуют объединению
множества 5 всех подграфов 3,, S?, , 3„ и множества U
вершин графа G, причем каждую вершину из U мы относим
только к одному из подмножеств 3,.. Таким образом, объеди-
нение 3 U С является множеством вершин графа Я и две вершины
смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им множества
имеют непустое пересечение, т е Я — граф пересечений Q (S U U)
(2) вчечет. (4) Легко проверить, что ни один из девяти графов,
приведенных на рис 8 3, не допускает разбиение множества ребер
на полные подграфы удовлетворяющее указанному выше условию
Окончательный результат вытекает из того, что каждый порожден
ный подграф реберного графа сам должен быть реберным графом
(4) влечет (3) Покажем, что если граф G не удовлетворяет ут-
верждению (3), то в G найдется порожденный подграф, изоморфный
одному из девяти запрещенных графов Предположим что G со
держит нечетные треугольники abc и abd, причем с иг/ не смежны
9b
I Л4В4 S
В зависимости от того, существует или нет в графе G вершина vt смеж
ная с нечетным чистом вершин обоих треугольников, возможны два
случая,
С ч у ч а и I Пусть вершина и смежна с нечетным числом вершин
треугольников abi и abd Тогда имеются две возможности или м
смежна точно с одной вершиной в каждом треугольнике, или v
Рис 8 3 Девять запрещенных подграфов для реберных графов
смежна с более чем одной вершиной в каждом треугольнике Если
выполняется последнее, то вершина о должна быть смежной со
всеми четырьмя вершинами двух треугольников, и, следовательно,
граф G содержит (см рис 8.3) как порожденный подграф При
осуществлении первой возможности либо вершина v смежна только
с одной из вершин а или b — и тогда получается граф Gu либо v
РГБКРНЫЬ ГР ТФЫ
97
смежна н с вершиной с и с вершиной d и тогда получается
граф С2-
Случай 2 Нет вершины, смежной с нечетным числом вершин
каждого из этих двух треугольников Пусть в этом случае вершины
и a v смежны с нечетным числом вершин треугольников abc и abd
соответственно Здесь могут быть три подслучая*
Случаи 2 1 Каждая вершина и и Д смежна точно с одной
вершиной соответствующего треугольника
Случай' 2 2 Одна из вершин и и и смежна со всеми тремя
вершинами «своего» треугольника, а другая только с одной
Случай 2 3. Каждая вершина и и v смежна со всеми тремя
вершинами соответствующего треугольника
Прежде чем рассматривать эти подслучаи, отметим два факта
Если вершина и или v смежна с вершиной а или К то она смежна так-
же с вершиной с или d, так как иначе в графе G был бы порожденный
подграф Далее, ни «, ни v не могут быть смежны одновременно
с с и d, гак как иначе в графе G был бы порожденный подграф G2
или Gj
Случаи 2 1 Пусть ис, vd Е G В зависимости от юю, принадле-
жит или нет ребро uv графу G получаем 6, или GT в качестве поро-
жденного подграфа Если ub vd с G, то из предыдущих замечаний
следует, что ud £ G, vcf£G; если tiv^G, то вершины {a, d, и, у} поро-
ждаю! Gi, если же uv^G, то вершины {« b, с, d, и, в} порождают Gs
Пусть ub, va Е G, тотда обязательно ud, vc£G Поэтому, если iit-^G,
то порождается граф Gs, а если uv£G, го граф б\ Наконец, если
ub, vh£G то опять nd, vt EG, откуда следует что в зависимости от
того, принадлежит или нет ребро uv графу G, порожденным под-
графом графа G будет G„ или Gj
Сл у ч а й 2.2 Пусть иа, tib ис Е G. Ясно, что если nd £ 6, то Gs—
порожденный подграф графа G, таким образом, ud(rG Далее, вер-
шина v может быть смежной или с d, или с b Если ш С G, то в зави-
симости от того, принадлежит или нет ребро т графх G, порожден-
ным по (графом графа G будет G? или G, Если vb EG то порожденным
подграфом графа G будет G3 или G, н зависимости ог того, смежна
или нет вершина и с обеими вершинами с и и.
Случай 2.3 Если nd, vc или uv принадлежит G то 63—по-
рожденный подграф Оставшаяся сдинывенная возможность при-
водит к порожденному подграфу Gc
(3) влечет (1). Пусть для графа G справедливо у гверждение (3)
Можно считать граф G связным. Далее, должно выполняться точно
одно из следующих двух условий:
1 Граф G содержит два четных j ре\готьчикс имею них общее
ребро
2 Если два треугольника графа G имеют обпще ребро, то один
из них нечетный
4 № Н1
98
ГЛАВА S
Можно показать, что если граф G удовлетворяет первому у f-
ловнго, то он совпадает с одним из графов //, -= Л(Кл,-.]—х) Н.2 —
-=L(HG и ы H.--L (КС) изображенных па рис. 8 4 Поэтому пред-
положим, что G удовлетворяет второму условию Приведем метод
построения такого графа Я, что G-~L(H)
Пусть 1\— семейство всех клик графа G не являющихся четными
треугольниками, прячем каждая такая клика рассматривается как
множество вершин, и /д— семейство вершин графа G (которые бе-
рутся как отдельные элементы), принадлежащих некоторой клике
Рис. 8 " Реберный граф п граф ему гоответетаую.иий
К семейства F{ и не смежных ли с одной верпшнои графа G — Л’
Наконец пусть Fs—семейство ребер графа G (каждое ребро в?ято
как множество, состоящее из двух вершин), принадлежащих одному
п тому же четному треугольнику. Не трудно проверить что граф G
изоморфен реберному графе графа пересечений H—P.fFl и Г U Л)
Теорема доказана
Последнее построение иллюстрируется па рис. 8,3, где семейст
ьами данного графа G определяющими граф пересечений Н, яв-
ляются F- {{I 2 3, 4), {4 5, 6}} F- {{1}, {2} {3}} и Л =
= {{5, 7}, {6,7}}, таким образом G^LtH)
РГБРРНЫЕ I Р \ФЫ
99
Специальные реберные графы
Р атом разделе описываются реберные графЕ,! деревьев, полных
графан и полных двудольных iрафпв
Следующим результат, получсЕ-шый Чартрэндом, пае: возмож-
ность определить когда граф является реберным графом дерева
Теорема 8,5 Граф есть реберный граф дерева тогда и только
тогда, когда он является связным гоафом. блоков, каждая точка
сочленения которого принадлежит в точности двум блокам.
До к аз aiел ьство Предположим, чго G~L (Т) и Т — дерево
Тогда G — граф блоков В ('Г'), поскольку ребра и блоки в дереве
совпадаю!. Каждая точка сочленения к графа G соответствует
мосту из дерева Т и принадлежит тем двум блокам графа G которые
соответствхчот звездам вершин и. и о. Необходимость доказана
Установим достаточность Пусть G — граф блоков, у которого
каждая точка сочленения принадлежит ровно двум блокам. Так
как любой блок графа блоков ест! полный граф, то по теореме 8 2
сушес'вует такой граф Н что L(H)=G Если G—Дн, то можно
взять Н--К},х. Покажем, что для любого другою графа б юков G
I раф И должен быть деревом. Доказываем от противного Пред-
положим, что И не является деревом т е содержит простой цикл
Если граф П сам есть простой цикл, то по теореме 8 3 Ь{Н)—Н, но
единственным простой цикл, являющийся также графом блоков, есть
К>., а этот случай уже рассматривался Следовательно, граф И
должен содержать как собственную часть простой цикл, другими
словами граф И содержит простой цикл Z и ребро х, смежное с двумя
ребрами цикла 7 л не смежное с некоторым ребром у £ Z Вершины х
и у графа 1,(Н) лежат па простом цикле графа L(H) и не смежны.
Это противоречит тому, чго L (И) — граф блоков (см теорему 3 5).
Итак, Н — дерево Теорема доказана
На рис. 8 6 показан граф б юков G, у которого каждая точка
сочленения принадлежит точно двум блокам Дерево Т, для которого
6 — реберный граф строится следующим образом Сначала обра-
зуется граф блоков B(G) а затем добавляются новые вершины в ка-
честве вершин, не являющихся точками сочленения графа 6 и
ребра, соединяющие каждым блок с новыми вершинами,
Реберные графы полных н полных двудольных графов почти
всегда характеризуются с помощью довольно простых утвержде
ний, в которых покорится о смежности ребер в Лф, и Дф,,,,, Случаи
полных графов быт независимо рассмотрен Чангом [II и 1 оффиа-
ном 111 121
Г г of ем 1 8 6 Если рФ-В пе, G — реберный граф графа Лф,
тогда i только тогда, когда
П G имеет (ф) вершин,
2) G — регулярный граф степени 2(0—2),
4*
100
гтлвх i
3) любые Ове несмежные вершины одновременно смежны точно
с четырьмя вершинами.
4) любые. две смежные вершины одновременно смежны точно с
р~2 вершинами.
Очевидно что / (Лф) обламс! этими свойствами Но совсем nt
очевидно чго при р -8 существует ровно ери графа, удовлетворяю
щих укачанным условиям и не явтяющихся L(K.P).
Для полных двудольных графов соответсгв;ющпй оезмтыат
был по тучен Ah ном [1] и Гоффманом |4|
Теорема 87. Если и /гд~4, то G — реберный граф >рафа
Кт>н тогда и только тогда, когда
1) G имеет пт вершин,
2) G— регулярный граф степени т -п -2,
3) любые две несмежные вершины одновременно смежны точно
с двумя вершинами
4) среди смежных пар вершин точно п (Г) пар одновременно
смежны ровно с? т — 2 вершина ми, а другие /п ф) пар —
ровно < л—2 вершинами
При 777-/1—4 существует только один граф, удовлетворяющий
этим условиям и нс являющийся L (Д',,,). Он имеет 1b вершин и был
найден Шрихандом [11 при доказательстве ихг теоремы 8 7 в случае
Ш—п
СЕВЕРНЫЕ ГРАФ:.!
101
Реберные графы и обходы
Исследуем теперь свесь эйлеровых и га ш жтоповых графов l
реберными графами
Пусть X--UV — ребро графа 6 а д' пе является вершшюи в G
Говорят, что ребро л лефь/аб.'/лтд если, оно заменено на ребра /щ; в
гм Если каждое ребро графа G гюдразбиго, то такой граф называ-
ется грифом иидразбчений графа G и обозначается У (б;); см рис 8 7
E‘1!l 8./ Граф 1 ю I раф i одрг.зГчк'ыш
Если обозначить через 5„(G) граф. получаемый из С введением о
новых вершил степени 2 па каждом ребре графа G, гак что S (6'Н
S'то можно определит; новый граф !.,г (G) L (S„ ~L (G)).
Отмстим, то б обще.м случае L„ (G)p^Lr,(G) Здесь L (G) — итери-
рованный реберный граф графа G.
Теорема 8 8 Если 6— эйлеров граф, то граф L{G) эйлеров
и гамильтонов Если G ~~ гамильтонов граф то / (G) — тачжс
гимн илпонов граф
Легко привести контрпримеры к обратным утверждениям. На
пример, граф L(G) изображенный на рис 8.8, эйлеров и гамиль
тонов, в то время как граф G но эйлеров граф /-(G) на рис 8 9
гамильтонов а граф G пет
Второе предложение поромы 8.8 можно усилить Это достгг
гается благодаря следующему результату Харари и Нэш-Вильямса
[1], который легко вытекает из предыдущей теоремы и равенства
L2((j)=^E(S (G)')
102
ГЛАВА 8
Теорема 8.9. Для того чтобы граф L-2((i) был гамильтоновым,
достаточно, чтобы граф 6 был гамильтоновым, и необходимо, чтобы
граф L (G) был гамильтоновым
G
Рис 8 9 Дрхгой контрпример
Графы на рис 8.10 и 8 9 показывают чю первое из условий не
является необходимым, а второе не является достаточным для того,
чтобы £» (G) был гамильтоновым i рафом Отметим также (см
Рис 8 10 Еще один контрпример
рис. 8 11) что L (6)=^ (G) и L,(G) могут быть гамильтоновыми гра-
фами, даже если граф G не будет эйлеровым Однако граф LS(G)
связьвает эти два понятия
G 1(G)
Рис 8 И Ппс.петг>п,зтег(ьи<.>сть 1рафов L„ (G1
Теорема 8 10. Граф G эйлеров тогда и только тогда когда
граф Ls (G) гамильтонов.
PH iil'.rilbU I РАФЫ
>03
Для почты каждого связного графа 6 почты все i рафы У? (G).
как показат Чартрэнд |2[ гамильтоновы
Теорема 8 11 Если G— нетривиальный связный граф с р
версаинами, не являющийся грастой цепью, то граф L-’(G) гамиль-
тонов для всех р — 3
G L(G'i I?(G) L3(G)
Рис Я 1J Г! ос л с до ь а тел ьч ость итсриоока 1шых реберных графов
Из рис 8 12 приведен в качестве примера граф G с 6 вершинами,
а также графы L (G) L2(G') и гамильтонов граф Л ДО)
Тотальные графы
Вершины и ребра графа называются его элементами Два эле-
мента графа называются соседними, если они смежны, или инцидент
вы Тотальным графом Т (G) называется граф, у которого множест
вом вершин является { (G) U X (G) и две вершины смежны тогда и
Рис В Обракжанш тотального графа
только тогда, когда они соседние в графе G На рис 8 13 показано
образование тотадыня о графа Т{Кф. Легко видеть что 7(G) со
держит в качестве порожденных подграфов как G, так и L(G)
Другую характеризацию тотальных графов дал Бехзад [1]
104
ГЛАВУ ч
Тео рем<1 8.12. Тотальный граф Т iG) изоморфен квадрату гра-
фа подразбиении S(G).
Следствие 8 12 (а). Ее.-ш l. —вершина графа G то спипень
вершины v в Т (G) равна 2(icg е Если х ---и~е — ребро <_рафо G то
степень вершины х в Т (G) равна deg и ! deg с
Следствие 8.12 (б) Еуыпь G — это {р, q) граф, веришны ко-
торого имеют степени dt, тогда тотальный граф Г (С) и мест
Pi ~р+я агршин и -Ду ребер
В гт 2 были определены числа Рамсея г [т, и) и было отмечено,
что их вычисление в общем случае остается нерешенной задачей
Бехвад и Раджави [1] сформулировали и решили аналогичную про
б л ему относительно реберных графов Реберным числом Рамсея
г, (т, п) называется такое наименьшее положительное целое число
р, что каждый связный граф с р вершинами содержит или п попарно
несмежных ребер, или звезду ЛЪт. Другими словами, гфт.пу-
таное наименьшее натуральное число р, что для любого графа G
с р вершинами I (G) содержит Etl или Л (С) содержит Д',
Теорема 8 13 Для 1 всегда справедливо равенство /у (2, в) -
-=3 Для всех других значений т и п
rjmpi) (т—1) (п—1) -2
Отметим, что равенство rt(m, п) -х,(п,ш) верно не всегда. К тому
же в противоположность чис лам Рамсея чиста /у im, и) определены
только для связных графов
Упражнения
8.1 При каких условиях ребра реберного графа можно разбить на иолные
подграфы таким образом, чтобы каждая веришиа принадлежала в точности двум
из подграфов?
S.2. Выразить число треугольников в гпзфе [ (G] тер^з число треугош ни
ков графа G и набор его степеней
8.3. Найти услови i пг выполнении которого связный граф имеет рсгуляр
яь:й реберный граф.
8 1 Граф G можно восстаподиш по набору t остовпых потграфон (j— Vj
тогда и только тогда когда сто реперный граф I (б) удовлетворяет нготезе Улама
(с” стр 26).
(Хем.чивджер [1J1
8 3 Если G есть /г-реберио-езязньги граф, то
II граф I. (61 п-связеи;
21 [-раф I. (6) (2н.—2)-реберпо-связов;
3) граф L2 (G) (2п—2)-связен
(Чартрзпч Стю'утг 1 [)
86 а) Построить чвязный граф G с ;’У~4 верцл'нами дтя кото J ого граф
L (G) пе эйлеров, а граф L1 (б) эйлеров
рнп hhi I bit IP3 фы
IO>
6) hi' существует связного графа (j c о вершинами тля ко’горого граф
/2 (6) пе эйлеров, а граф L'-’ (G) эйлеров.
8,7 , Наименьшим блоком с негамкльтоэовым реберным графом является
тэта-граф с 8 вершинами, в котором расстояние между любой парой вершив сте-
пени 3 равно трем,
(Му и)
8,8 Граф / \<7т iамилвтонов тогда и только тогда, когда граф 6 содержит зам-
кнутую цепь, имеющую по крайней мере одну вершину, инцидентную каждому
ребре графа G
8.9 . Граф L2 (G) гамилт,тонов то< та и -^отько тогда тсндт. граф G содержит
замкнутую осговную пень
(Харар 1 Нэш Вильямс [ 11)
8 Ю Следующие утверждения эксшвалеггткы
(I) /. (G) — эйлеров граф;
(2) степени всех вершив графя G имени одинаковою (егиость,
(3) Т (G) — эйлеров граф
8 11 Граф TiKjG изоморфен трафу L (К _ О
(Бехзад Чарт рэп.а. Нордхауз)
8.12 Найти семейство Г таких подмножеств элементов графа 6 до 7(61
- <2 (Г).
8.13. а) Сети 6 — гамильтонов граф то и ipa<p i (G) 1 чмнльтопов Если
G — эйлеров граф), то граф 7(6) эйлеров и гамильтонов.
б) Тотальный гр«ф 7(6) любого нетривиального ы явного графа G
(.одер кит остовный эйлеров подграф.
в) Если нетривиальный граф G содепжи i остовный эйлеров подграсЬ
то граф 7(6) гамильтонов.
г) Если G — нетривиальный свявныи граф то граф T2(G) гамильтонов.
(Бехзад. Чартрэнц [1])
8.14. Для каждого мультиграфа 51 определим реберный граф L(M) как
1 раф с множеством вершин Г (L (51)1- X (51), в котором х ас j у тогда и только тог-
да, когда х и у — различные ребра, встречающиеся в одной или двух вершинах
Граф G являечея реберным грасрсш'о .некоторого ыультигпафа тогда н только тогда,
когда в Н'ТО нет порожденных годграфов вида 6t 6Й и бф, показанных in рис, 8.3.
(Геллер)
''8,15, Граф' 7(6} Йл-снязеи. если грай) 6 г,-еня-:сн (г;’ш2). i 7(G) :2-m ребсрис
спязе.ц если граф' G m реберпо связен (,ш..ш1у
(.Хамада Нонада Ешимура [ IЬ
Глаьа 9
Ф1КТ0РПЗАЦПЯ
Целое равно своих частей
Целое больше съм^ы своих частей
Л1 икс р г> ixa йм £.91)
Одна из проблем, возникающая в разных постановках, заклю-
чается в следующем' выяснить, можно ли данный граф разложить
на основные подграфы, не имеющие общих ребер и обладающие за
данным свойством. Чаще всего 1аким свойством является регуляр-
ность определенной степени В частности, Татт получил критерий
существования в 1 рафе основного регулярного подграфа степени 1
В этой главе приводятся некоторые результаты о разложении пот-
ных графов па остовиые регулярные подграфы степеней 1 и 2
Изучается разбиение ребер данного графа на остовиые леса
что позволяет ввести некоторый инвариант, известный как «дре
вескость». Формулу дтя вычисления древесности графа с исполь-
зованием его подграфов получил Нэш-Вильямс Были предложены
эффективные методы построения наименьшего числа остовных ле-
сов в полных и полных двудольных графах
1-факторизация
Фактором графа G называется остовныи подграф графа G не
являющийся вполне несвязным Будем говорить что iраф G есть
сумма2} факторов 0г, если графы G; не имеют попарно общих ре^
бер, a G — их объединение Такое разложение называется факто-
ризацией графи G, Далее п-фампор — это регулярный остовныи
поД1 раф степени п. Если граф G представляет собой сумму «-факто-
ров, то их объединение называется п факторизацией, а сам граф
G называется п-факторизуемым Если не оговаривается противное,
то результаты этой главы или содержатся, пли легко вытекают
из теорем, представленных в монографии Кенига [2 стр 155—195],
где данная тематика продвинута достаточно далеко
Если в G есть 1-фактор, скажем G,, то ясно что р меню и ребра
графа 6( независимы (взаимно нс смежны). В частности, в АД,; . (
ист 1 фактора а в Ki,,. есть
9 М. а х W er t li с 1 ш е г, Pi. и Active I'hi п fciny.
-) Некоторые авторы называют это произведением, трутне - грямой суммсш
Л л i ОРИЗЛ1111 я
1(Г
Теорема 9 1 Пошыи граф К,, 1 факторизуем
Доказательство Нам нужно только указать разбиение
множества Лг ребер графа Л'2„ на (2/1—1) 1-факторов Для этого
обозначим вершины графа G через к щ, и определим мно-
жества ребер
X, - {.С/Л,} U {щ_7 о, L/, j-1 2
, 2п—1, где каждый из индексов i—/ и t-pj является
одним из чисел 1,2, , 2/г—1; здесь сумма и разность берутся по
модулю 2п—1 Легко видеть, что набор {X,} лает необходимое раз-
биение множества Y а сумма подграфов G,, порожденных множс
ствамп V, является 1 факторизацией графа Д9,„
Например, рассмотрим граф К-,, показанный на рис 9 1 Опи-
санная в ходе доказательства 1 факторизация дает пять 1-факто
ров G,
Хотя потные двудольные графы при т^п пе имеют 1-фак-
торов, графы , 1 фалторизуемы как вилно нз следующею \г
верждепия
Теорема 9 2 Каждый pt гу ирный двудольный сраф \-факта
разуем
Нелегко выяснить, 1-факторизуем ли данный граф, или хотя
бы установить существование какого нибудь 1-фактора. Байнеке
,i Пламмер 111 показали, однако, что многие i рафы либо вообще
не имеют 1 факторов либо х них число 1 факторов не меньше двух
l(ib
r.I.-Vs.A 1
Теорем 9.3. Если двусвязи от граф имеет i фактор то он
tiMcem а') крайней мере два различных {’фактора
Граф G на рис. 9 2 представляет собой блок, у которою я то1
моста тва 1-фактора, причем они имеют одно общее ребро.
Наиболее важный результат о факторизатан получен Т ittom
[21 Он характеризует графы, обладающие 1-факторо.м. Предлагае-
мый при этом способ нахождения 1-фактора совершенно не удобен
для применения фаннос здесь юказательство основано на работе
Гат тан (Il Напомним, что множество попарно несмежных ребер на-
зывается независимым. Под нечетной компонентой графа G пони
мается компонент i с нечетным числом вершин
Тооремн 9.4. Граф G имеет I фактор тогда i ттыт тоеФа,
когда р четно и не существует такого мтжмытт S тушчн граф !,
что число нечетных компонент графа G—S н ргвье.ткт. \S-
Доказало ьспю Четче доказать необходимость. Пусть
S — произвол! ное множество вершин графа G, а И — компонента
графа G — S В любом 1-факторе графа G каждая вершина ! рафа Я
должна бью смехотой или с некоторой другой вершиной из Я, итк
с некоторой вершиной на множества S Если в Н нечетное число вер
шин, то по крайней мере одна вершина i рафа Я смежна (в 1 -факторе)
с какой-то вершиной множества S Пусть ф— число нечетных ком-
п )нет 1рафа G—S Если G имеет 1-фактор то |5')ДАу, поскольку
в 1 факторе каждая вершина о множества S может быть смежной
самое большее с одной вершиной графа G — S и поэтому и смежна
(в I факторе) не более чем е одной нечетной компонентой.
Докажем достаточность. Предположим что у графа G четное
число вершин и нет 1-фактора. Пусть м - произвольное наиболь
шее независимое множество ребер графа G Ребра из множества 4
Ф-'-К Т0РИЗЛШ1Я
ню
будем называть А-ребрами. Обозначим через В множество всех
ребер графа G, нс принадлежащих множеству А. Ребра из множест
на В будем называть /3-ребрами Простая цепь называется альтер-
нирующей (чередующейся) если любые два смежных ребра в ней
принадлежат разным множествам А и В. По определению всякая
цепь длины 1 альтернирующая. Тах как граф G не имеет 1-фактора,
то существует вершина и,,, инцитеитная только 5-ребрам
А (р)-цепью (соответственно 5Щ)-щ:пью) назовем такую аль ер
пирующую (ц0<')-цепь, в которой ребро инцидентное вершине е,
есть 1-рсбро (соответственно 5-рсбро)
Вершина v. отличная от и, называется 0-вершиной, если не су
шествует альтернирующей (ды-гф-ценн. Если любая альтернирую-
щая («а-сфнеиь является А (ц)-цепью (соответственно В (?) цепью),
io вершина v называется А-вершиной (соответственно В вершиной).
Наконец и называется АВ-всрипнюй если существуют и А (у)-
цепь, и В М-цепь.
Очевидны следующие утверждения
(1) всякая вершила смежная с щ, является иди В , иди АВ-вер-
шиной;
(2) всякая вершина, смежная с 0 вершиной, является иди
В-, или 0-вершиной.
(3) всякая вершина, смежная с zl-вершиной, является или В-,
или А В вершиной;
(4) если 4-ребро инцидентно АВ-вершипе, то дрцая вершина
атого ребра также есть 1В-всршнна,
(5) если одна из вершин А-ребра являсн.я А-вершнной (В-вер
шиной) то другая является В-вершиной! (А-вершиной)
Кроме того, справедливо дтвержлепие'
(6) всякая В вершина ипци [епти? какому-нибудь 4 ребру
В самом деле, если бы пекоюрая В-всршина щ была инцидентна
io.li ко В-ребрам, то в В ф'(1)-цепи можно было заменить все А-рсбра
на В ребра и обратно и получить А-ребер в графе G больше, чем
было раныне. что противоречит выбору множества А
Учитывая утверждения (5) н (6), заключаем, что
(7) каждой В-всршинс соответствует единственная А вершина,
соединенная с ней А-ребром (причем разным В-вершипам соответ
ствмют разные А вершин'i)
Обозначим множество всех В вершин через S и рассмотрим граф
G—8 В силу утверждения <2) любая компонента графа б—S, со-
держащая 0 вершину, состоит только из 0-вершин
Покажем, что любая другая компонента графа G—S нечетна и
удовлетворяет только одному из следующих условий:
а) компонента содержит вершину щ и сите быть может, АВ вер
шипы
но
I ллв
б) компонент содержит в точности однх /1-вершину и еще бмь,
м ожс I, /1S вершины.
Если Р — некоторая простая цепь ю ее (п-v}-нотиспь
будем, как обычно, обозначать j«, с]
Пусть Н — компонента графа G—S, содержащая АВ вершину а
и не содержащая вершину и,> В А (иЕцеии рассмотрим подцепь
[on, t] гдегЦТ/, но [t’,1, cl —щ содержит только вершины, принял
лежащие компоненте Н Очевидно что ту, есть S-вершипа и ребро
щк,, цепи [щ, п] есть 4-ребро. Поэтомх (на основании утверждения
(5j) ay, является Л-вершишш.
Далее из утверждений (1) и (3) вытекает, что если существует
компонента И, в которой содержатся либо две /1-вершины, либо
вершина и,, и /1-всршина, то в И найдется по крайней мере одна
4S-вершина. 'Гак как каждая 43-всршина инцидентна какому-
либо (одному) /1-ребру, то в силу-' утверждения (4) в каждой такой
компоненте Н содержится четное число АВ вершин (которые можно
разбить па пары, инцидентные одному и тому же ,4-ребру). Пусти
щ есть А вершина компоненты И, содержащей еще либо вершину и.,,
либо дру тую 4-вершину В Н рассмотрим АВ вершину су, смежну о
с «1 Так как есть 5-ребро и А (щ)-непь Р( проходит через w
(в противном случае существовала бы 5(щ)-цепь, содержащая
В-ребро Hjiy ), то любую вершину v подцепи [«i, щ I цепи В,, отлич-
ную от ut, можно соединить с вершиной ит альтернирующей цепью
тежащей в Я и оканчивающейся А-ребром (А-ребро инцидентно
вершине Д Если в И существуют 4S-вершины, не принадлежащие
[щ, НЕ то среди них найдется вершина v,, смежная с некоторой
вершиной v подцели fw,, t1; I, причем v2P есть В ребро Рассматривая
4 Д,) цепь Р2 (она проходит через вершину щ) и беря подцепь
[и,, со], снова заключаем, что 1юбую из «новых» вершин можно
соединить с вершиной и{ альтернирующей цепью, лежащей в И
и оканчивающейся А-ребром. Продолжая описанный процесс,
мы (через конечное число шагов) получим альтернирующую цепь
!щ, ш1, в которой AS-верш ина ш инцидентна 4-ребру п смежна либо
с вершиной щ, либо с А вершиной отличной от щ. Если ш. смеж-
на < и„, то цепь щда-f-l®, nJ является В (нЛ-цепыо. Эго противоре
чит тому, что иг есть А-вершнна Пусть теперь ел смежна с А-вер-
шиной и.г. Рассмотрим некоторую /1 (щ) цепь. Выберем на ней вер-
шину7 ш' так, чтобы lc. g [и.,, гдй—шгг.,- [щ, u.J и в подцепи [»„, w |
не было тругих вершин, обладающих этим свойством. Тогда либо
|щ(), а? 1 — [к/, nJ, либо [и,,, гд'']4-1а'', щ| есть В (щТ-цепь Это про-
тиворечит тому, что iii и являются 4 вершинами
Итак, если компонента Н графа G—S не содержит 0 вершин, то
она нечетная и содержит (кроме, быть может АВ вершин) или толь
ко одну 4-вершину, или тотько вершину' щ. Таким образом число
нечетных компонент графа G—S превосходит по меньшей мере на
единицу число А-вершин Но тогда, учитывая утверждение (7),
ФАКТОРИЗАЦИЯ
111
закиочаем, что IS|, г е чисто /5 вершин меньше числа нечетных
компонент графи 6—S Теорема доказана
Граф G, представленный на рис 9.3, имеет чешос чисто вершин,
но не содержит 1 факторов; в самом деле если из G удалить мно-
жество г*2}, ю остаются четыре изолированные вершины
(и, следовательно, четыре нечетные ком- •
поненты).
Установив критерий существования / \
1 фактора в данном графе, Татт 15] смог t v\/ Уф t
охарактеризовать графы, имеющие остов- /
ный подграф с заданными степенями
вершин а затем (Tan 161) доказал, что _. п , „ .
v 7 Рие 9 3 Гпаф, не чаюющий
этот результат следует непосредственно ] фактора
из теоремы 9.4.
Перенумеруем вершины графа G и рассмотрим на множестве
V вершин графа G функцию /, принимающую неотрицательные
целые значения П\сть .S и Т — пепересекающиеся подмножества
множества И, Н — компонента графа G — (S U Т), а р (И, Т) —
число ребер графа G, соединяющих вершины компоненты Н с вер-
шинами из Т Обозначим через k, (S, Т) число таких компонент Н
1рафа6—(S U П что сумма q(H, Т) У / (м) нечетна.
«е?7
I еор ем а 9.5. Пусть G — данный граф a f — функция, опре-
деленная на множестве V' вершин графа G и принимающая неотри-
цательные целые значения. Граф G имеет остовный подграф, степени
вершин которого описываются с помощью функции р тогда и только
тогда, когда сушествуют такие несвязные множества вершин S и Т,
что
и с 3 I Е Г
2-факторизация
Если граф 2-фа кто ризу ем то каждый его фактор должен быть
объединением неп пресекающихся (ио вершинам) циклов. Если
2-фактор связен, то он является остовный циклом х). Мы виде ш, что
полный граф 1-фактор из уем тогда и юлько тогда, когда \ него
четное число вершин Поскольку в 2-факторизуемом графе все
вершины должны иметь четные степени, полный граф не яв-
ляется 2-факторизусмым. Нечетные полные графы 2 факторизуемы,
бочее того, справедлива
Тсором 1 9.6 Гроф Кгч+i можно представить в виде суммы п
остовпых циклов.
’1 1с» сстг гампльтсиюлым никлом.— Прим перев
112
ГЛАВ \ J
Доказательство Для тог о чтобы в графе 7<2„пост роить п
остовы ых циклов, непересекающихся по ребрам, пеоенумерусм
сначала его вершины щ, v2, . . . , v< п ч j. На множестве вершин
щ, t-'s, г-2?! зададим л непересекающихся простых цепей
рг— Vt V 1 V 4-! Vi J У,_п
следующим образом; / й вершиной цепи Р; является вершина vk,
где k-i г (—1)7+1 ф'21 все индексы приводятся к числам 1,2,
2п по модулю 2ш Остовный цикл Z, можно потупить соединив
вершину v2^, с концевыми вершинами цепи Р7
Ргк. 9 4 2 фикторизтвня ;рафа К,
Эта конструкция иллюстрируется на графе /ф, приведенном на
рис 9.4 Ребра ценен Р, указаны сплошной линией, два дополни-
те тыдых ребра — штриховой
Существует разложение графа Кф ( как бы юподняющее содер
жание теоремы 9 1
1 ео р ем а 9 7 Полный граф /ф_, можно представить в виде суммы,
некоторого ] фактора и п— 1 остовный циклов.
Конечно, каждый регулярный граф степени 1 есть уже 1 -фак
тор, я каждый регулярный граф степени 2 — это 2-фактор. Если
любая компонента регулярного графа Остепени 2 является четным
простым циклом, то G также 1 факторизуем, поскольку его можно
представить в виде суммы двух 1 факторов Если кубический граф
ФАКТОРИЗАЦИЯ
IB
имеет 1-фактор то в лсм обязательно есть 2-фактор, чо существует
много кубических графов не имеющих 1-факторов.
Граф на рис 9.5 имееттри моста. Петерсен Ш доказал, иго лю-
бой kjбическии граф нс содержащий 1-факторов должен имел мост
Теорема 9.8. Любой кубический граф, не содержащий мостов,
можно представить в виде суммы 1 фактора и ^-фактора
Петерсен показал также, что этот результат нельзя усилить,
приведя кубический граф бед мостов, который нс является суммой
трех 1 факторов Этот хорошо известный граф приведенный на
Pirc. ГГ;. Кубичсскигт граф
не имеющий 1-фактора.
Р тс 9 6 Граф Петер-
сена
рис. 9 6, называется графом Петерсена По теореме 9 8 он представ
тяет собой сумму 1-фактора и 2-фактора. Пятиугольник и пента-
грамм (пятиконечная звезда) образуют вместе 2-фактор, а пять ре-
бер, соединяющих пятиугольник с пентаграммом, дают 1 фактор
Критерий разложимости графа на 2-факторы также быт полу-
чен Петерсеном !П
Теорема 9 9. Связный граф
тогда, когда он регулярный граф
^-факторизуем тогда
четной степени.
только
и
Древесное гь
Мы рассмотрели пока только одни 1ип факторизации, а именно
когда каждый фактор является л-факгором. Исследовались и дру-
гие типы факторизации, один из них мы приведем сейчас, а осталь-
ные в гл. 11. Любой фактор G можно представить г> виде суммы остов
ных лесов, просто положив, что каждый фактор содержит только
одно из q ребер графа G. Естественно вопшкает задача: определить
наИхменыпсе число пенересекающихся ио ребрам остовных лесов
на которые можно разложить граф G. Это число называется древес
ностыо н обозначаете^ Г (б). Например "2 и Г (A’j) -3,
на рис. 9.7 показаны минимальные разложения этих графов на
остовиые чеса
! 14
ГЛЛИ\ ч
Формул} для определения древесности произвольного графа
получил Нэш Вильямс [21
Рис 9 7 Минимальные разложения па остовныс леса
Теорема 9 10 Пусть G— нетривиальный (р,д)-граф,
наибольшее число ребер в подграфах графа Gen вершинами
Г^-шах К!
а q1} —
Тогда
щцм образом Поскольку
Рг'с 9.8. Граф, имеющим пол
ный подграф И
Неравенство Г(GJ^niax {<?п/(л—1)} можно установить стедхю-
н
G имеет р вершин, наибольшее число ре-
бер в остов ных лесах графа G равно
р—1 Отсюда наименьшее возможное
число остовных лесов, необходимое
для заполнения графа G, которое по
определению есть I' (G), не меньше
чем q’(p—1) Но древесносгь графа
G—целое число, так что Г (G)[>
^{q/(p—1)} Доказываемое неравен
ст во вытекает из того, что Г (G)^s Г (Я)
для любого подграфа И графа G.
Средн всех подграфов Н с /г Дд
вершинами max Г (Я) достигается на
тех из них, которые порождаются под-
графами содержащими наибольшее
число ребер. Таким образом, если Н —•
подграф графа G, то I (И) может быть больше — 1)} Это рас
суждение нллюстрирхет граф с р^Ю, <7= 15, приведенный на рис
9 8 Положив и (для // = /(,) получим
2--
ФАКТОР 113 и и 1
Ясно, что для иаибо 1ынее значснш. у wriiraeTcn при и --рг
стнуд-а )' (7ф.) -{/; 2}. Аналопшш для полного двудольною 1рафа
Л наибольшее .значение {</,, (л; - 1)} доетнгается при /г~р---/' ч.
( lejciBiic 9.10(a). Древесноапи полных и полных овудольных
графов вавны --{tx2}ii l' (К{rs.^r , s—1)} соствепгапвенно.
Хотя формула Наш-В иль ямс а дает наименьшее число остовпых
лесов, на которые можно факторизовать произвольный граф, при-
водимое нм доказательство нс содержит метода позволяющего по-
лучать соответствующее разложение Байнскс [11 ликвидирова i
этот пробел для случаев иодных и потных двудольных графов Опи-
шем предложенный им метод разложения полных графов. Для
р — '2п гргф К}, разлагается на п остовных цепей: i срепумеровав
вершины с!, г., . аа,, рассмотрим те же /? цепей
Pl-X-, Ь, , 01 + 5 О, ? а ; у(
которые испочьювалнсь при доказатс тьетве 1еорсмы 9 6 Для
р^2п г 1 древесность графа /(? равна 'Н-1 в силу следствия 9 10 (а)
Л1ы подучим нужное разложение если к каждой из цепей Р, до-
бавим новую вершину ! и построим еще звезду, соединяя д.2„
со всеми 2п вершинами о;. Случай р= 9 показан на рис 9,9. Легко
видеть, что это разложение состоит из звезды одной из вершин
графа ЛХ и основных подлесов соответствующих приведенным выше
четырем остовный простым цепям графа Л’а
Ни
ГЛАЗX ч
Упражнения
9.1 Граф Д4 имеет одянетвелную ]-факгоризалшо Найти шсло [-фактори-
заций графов /<;ЬЯ и К.а.
9.2 Указать Гфакторпзащ.ю i рафа Л4
9.3 Число 1-факторов графа К.>п равно (2л)!..(2'Чг').
9.4 Граф имеет 3-факторизацию
9.5 При п:;-Д граф К4Г1_-1 4-факторизуе.м
9.5 . Используя теорему 9 4 (Тщт) показать что >ртф изображенный нт
ри< 9.5 не имеет 1 фактора
9.7 . Если «-связный граф G с четным чистом верднги является регулярным
графом стенетггг л, то он имеет 1-фактор. (Татт [2])
9 8. Пусть (1 — граф с Гфакгором Г. Ребро графа G содержится не менее
чем в двух 1-факторах тогда и только тогда, когда оно принадлежит простому
циклу, у которого ребра альтернативны в F (т. с попеременно принадлежат и не
принадлежат Г)
(Байнеке и Пламмер ] 111
9 9 Представить граф Д',, в виде суммы (етырех octobi ых простых циклов.
9.10 Является Hi граф Петерсена сами ti тоновым?
*9.11. Для любых целых <fe-3 i Д-лЗ существует i раф G обладающий сле-
тхгощими свойствами
1) G — регулярный граф степени d
2) обхват графа й равен g;
3) граф (J гамильтонов;
4) циклы длины д' не имеют общих ребер и образуют 2-фактор графт (7;
5) Ci можно представить в виде суммы указанного выше 2-фактора к (d—2)
1 факторов
(31Ке 12|)
9.12 . Привести х и ним а ль ней разложение графа Л'5 т на остонные теса
9.13 Найти наименьший связный (р q} граф G для которого
где qr— наибольшее число ребер в тюбом его порожденном подграфе с t вершинами.
7’ 10
ПОКРЫТИЯ
4rp<-F "ИЮУК1 T^-suy. нс нежащую н\
прямом, проходит ТОЛЬКО
одни npui^i.n, пс нмеюп чя абщнх
TO4LK с данной нрямыл
Лдатш
,цп1>5ю точку» н лежащую на
Люгч [ipHMOii, не прохс-днт ни
одн ?й премий, Hl [змечнией н5щих
точек с ханкой прямой.
Через любую точку, нс лежащую на
Дбнипй прямой, проводит более одной
прямой г не имеющей общих точек
с данной прямой.
Бб.гь.тн
Fстественно сказать, что ребро л —ни графа G покрывает вершины
и j. v. Аналогично можно рассматривать каждую вершину как по-
крытью всех инцидентных с ней ребер. С этой точки зрения опрсде
т я юте я два инварианта графа G: минимальное число вершин (ребер)
которые покрывают все ребра (вершины). Два других инварианта —
это наибольшее число несмежных ребер и наибольшее число не
смежных вершин Эти четыре числа, связанные с произвольным гра
фом, >довчетворяют некоторым соотношениям, и их рассмотрение
приводит к изучению особых вершин v ребер, называемых крити-
ческими В свою очередь последние позволяют ввести естественным
образом ша специальных подграфа графа G, называемых реберным
ядром и вершинным ядром. Критерии существования таких под-
графов формулируются в терминах свойств покрытий графа.
Покрытия и независимость
Будем е оворигь что ребро и вершина покрывают, друг друга, если
они инцидентны Множество вершин, покрывающее все ребра гра-
фа G. называется вершинным покрытием графа G, а .множество ребер,
покрывающих все вершины, называется реберным покрытием гра
фа G Наименьшее число вершин в вершинных покрытиях графа 6
называется его числом еершинного покрытии и обозначается ссДБ’)
и in р0. Аналогично наименьшее число см (G), или с4(, ребер в ребер-
ных покрытиях графа G называется чиелс-м реберного покрытия.
Например а(, (7Д)--/?—1 и аДАф)^-[(^ !-1 )-;2] Вершинное покрытие
(реберное покрытие) называется наимсн1шим, сет оно содержит
118
ГЛЛИА ip
ct0 (соответственно аЕ) элементов Заметим, чю вершинное покрытое
может быть минимальным, не будучи наименьшим; на рис ЮЛ
приведено такое множество, состоящее из 6 вершин, не являющихся
точками сочленения То же самое справедливо для реберных покры-
тий; примером служит множество из шести ребер, инцидентных точке
сочленения
Множество вершин графи G называемся независимым, если пи
какие две из них не смежны Наибольшее число вершин в таких
множествах называется вершинным числом незави
самости графа G и обозначается ф;, ( G ) или р,:1 Ап а
логично в независимом множестве ребер -1) i рафа G
никакая пара ребер не смежна, а наибольшее число
ребер в таких множествах называется рёберным
числом независимости и обозначается р (G) или |ф.
Для потного графа [МЛф)--1 и РД/'бр) Др 2] Оче-
видно, что р, (G)-p/2 тогда и только тогда, когда
G имеет 1-фактор Для графа G показанного на
Vs-------— 16 t L> //Ж'. П . О Г1
рис. 10.1, p()(G)-2 и Р, (G)-3
Для этого графа, а также для графа КР легко
Рнс 10.1. Граф
убедиться, что и,—р, =«!—р,=р Галлаи [21 дока-
зал, что это справедливо всегда.
Теорема 10 1 Дгя гюбого нетривиального связного графа G
«о -Ро — р- «J — Р1.
Доказательство Пусть Л10— произвольное наибольшее не-
зависимое множество вершин так что !Л? J — Р(). Поскольку никакая
пара вершин множества Л1(1 ребром не соединена, то оставшееся
множество р —р„ вершин образует такое вершинное покрытие графа
G, что сс^^Др—ро С другой стороны, если Аи—наименьшее вер-
шинное покрытие графа G, то никакую пару остальных р—га(1 вер
шин графа О нельзя соедипть ребром поэтому множество р—Л () не-
зависимо. Отсюда р0 р—а,,. и первое равенство доказано
Для доказательства второго равенства рассмотрим независимое
множество ,МЬ содержащее р, ребер. Тогда реберное покрытие Y но
лучим, если возьмем объединение множества Л-^ и множества тех
ребер графа G, которые шшцдентны вершинам, не покрытым ребра
ми множества И ( Т jk как рИ,; г-11 \--р и op, то ср—р,^p
Для доказательства противоположного неравенства рассмотрим на-
именьшее реберное покрытие А( графа G. Ясно что Ад не может
содержать ребро, оба конца которого инцидентны другим ребрам из
А\. Отсюда следует что Ад есть сумма звезд графа G (рассматривае-
мых как множества ребер) Если в каждой из этих звезд выбрать по
одному ребре, то получится независимое множество И7 ребер. Так
ф В книге Бержа i2.1 независимое мпо^иество нгрншн (сошветствешю pefep)
называется внутренне (соответствен ко внешне) устойчивым,— Прим, переа
119
как (VJ-r iW'T р и IIEI ' и 1, то од р, и доказатьтьство ie
оремы закончено
Хедетннеми 111 заметил, что метод доказательства первого ра
вепства, ал-|-0о—р можно распространить на более общие утвер-
ждения. Свойство Р графа G называется наследственным если каж-
дый подграф графа G также обладает этим свойством. Примерами
наследственных свойств служат такие свойства графа, как вполне
несвязность ацикличность, двудольность. Множество S вершин
графа G называется Р-множествоч, если порожденный подграф
обладает свойством Р и P-множеством, если каждый подграф
графа G, не обладающий свойством Р, содержит вершину из S
Пусть 0О(Р) — наибольшее число Р-множеств графа G н aL(Р) —
наименьшее число вершин в Р-множествах графа G Непосредствен
по из доказательства теоремы К) 1 вытекает
С гедствие 10 1 (а) Если. Р — наследственное свойство графа G,
то а.(,(Р) + 0 (Р)—р
Набор независимых ребер графа G иногда называют паросоче-
танием графа G поскольку такой набор определяет разбиение
множества вершин графа па нары вершин, инцидентных ребрам на
бора По этой же причине множество, имеющее 0] независимых ре-
бер из G, называется наибольшим паросочетанием графа G. /фпя дву
хольных графов можно сказать больше. Следующая теорема, нол\ -
ченная Кёнигом [1], тесно связана с его теоремой 5.18 о системах раз
личных представителей, которая была сформулирована в матричной
форме; на самом дете это один и гот же результат
Теорема 102 Для двудольного графа G число ребер в наиболь-
шем паросочетании равно числу вершинного покрытия, т е 0Х
Задача о нахождении наибольшего паросочетания (так назы-
ваемая задача о паросочетаниях) геспо связана с задачей о нахожде
нии наименьшего вершинного покрытия
Пусть /ИсА (G)— пар ос счет ан не графа G. В альтернирующем
Л1-марш руте точно одно нз двух последовательных ребер принад-
лежит Л1 Совершенным Л1 -маршрутом называется альтернирующий
М-маршрут, концевые вершины которого не инцидентны пи одному
ребру из М Такой маршрут должен быть простой цепью, поскольку
14 — паросочетанне. Если в G нет совершенных И-маршрутов, то
паросочетанпе М называется несовершенным Ясно что каждое на-
ибольшее парос.очстаиие — несовершенное' обратное утверждение
было установлено Вержем 111, а приведенное ниже доказатетьство
принадлежит Норману и Рабин\ III
Теорема 10 3 Каждое нссевершенное пауосочетанце чвляетсч
наибольшим-.
120
Доказательство. Пусть 4-/ — несовершенное иаросочет ainfe;
выберем наибольшее паросочетаиие АГ, для которого число J/W—ЛГ j
ребер принадлежащих А1 и не принадлежащих АГ, минимально.
Если это число равно нулю, ю ./И --ДТ В противном случае по-
строим маршрут IV наибольшей длины, ребра которого попеременно
принадлежат то VI—Л'Г, то Л1 . Поскольку М‘— несовершенное
паросочетанне маршрут IV' не может начинаться и кончаться реб-
рами из 51 У и поэтому имеет одинаковое количество ребер из
У—АГ и А4' Образуем теперь наибольшее паросочетанне Л' из
И , заменив ребра из IV, принадлежащие АГ, ребрами из IV, при
надлежащими А-1—М Тогда )А4—A’|<; |ЛТ—АГ] что противоречил
выбору паросочстания АГ Теорема доказана
Норман и Рабин 11] разработали на основе приведенной ниже
теоремы 10 4 алгоритм нахождения всех наименьших, реберных по-
крытий данного графа. Пусть У — реберное покрытие графа (].
Альтернирующий У-маршрут называется Y-сводимым, сели его
концевые ребра принадлежат У а концевые вершины инцидентны
гем ребрам нз У, которые нс являются концевыми ребрами .злого
маршрута Очевидно, что любое наименьшее реберное покрытие пе
содержит еволимых маршрутов
Теорем а 10.4. Если Y — реберн ое. покрытие, графа G не имею
шее Y-сводимых маршрутов, то Y — наименьшее реберное покрытие
Инварианты покрытий a0(G) и aJG) (рафа G определяют соол
велственно число вершин и число ребер, необходимых для покрытия
всех ребер и всех вершин соответственно Мы можем также рассма
гривать любую вершину как покрывающую себя, а две вершины —
как покрывающие друг Друга, если они смежны; аналогично для ре
бер Тогда сами собой возникают несколько новых инвариантов
Пусть r/,(Ht— наименьшее числе; 1) вершин, необходимых для по
крытия множества |/ и а'1П~- наименьшее число независимых вер-
шин, покрывающих V. Оба этих числа определены для произволь-
ного графа. Аналогично определяются числа и о::1 для покрытий
ребеп ребрами Гупта [ 11 исслетоват взаимосвязи этих инвариантов
Теорема 105 Для чюбого грифа о и — 1Х
Критические вершины и ребра
Очевидно, чло если Н - подграф графа G то (Д) сс(! (G)
В частности, это неравенство справедливо, когда И G—с для лю
бой вершины «, шли H^~-G—уд in любого ребра г Если и ДО—п)<
!1 Г>срж 121 называет c.'cq склм в::е:нг:сй vст'Жи,iвоет11, а р _ atcoo.'-i roiv-
трыюсй устойчивости.
ПОК.Р bITMfl
121.
<сг(, (G), то v называется кршпическш вершиной если atJ (6— х)<
CCiofG), ю v называется критическим ребром графа G Ясно что
если с и с критические, то а;1 (G—ир-орфС—-Л') —— 1 Легко оха-
рактеризовать критические вершины.
Теорема 10.6 Вертина, z является критической о графе G
тогда и только тогда, когда некоторое наименьшее вершинное по
крынше содержит v
Доказательство Если Л1 - наимсныще вершинное иокры-
П!0 0, содержащее у, то Af — {Д покрывает 6 - у; отсюда
гхДб-ДС |Д1 — {Д1 |;Н [—1 (6) — 1 так что г— критиче-
ская вершина в G
Обратно, пусть о — критическая вершина графа G Рассмотрим
наименьшее вершинное покрытие АГ для G - v. Множество ДГ IJ {а}
есть вершинное покрытие для G, и носко шку эземеитов в нем на 1
бо зьше, чем в Л1 , оно наименьшее
Если удаление ребра х- ш из графа G уменьшает число вершин-
ного покрытия, то удаление вершины и или о должно приводить к
графу с меньшим числом вершинного покрытия Таким образом,
если ребро критическое, то оба его конца критические. Если в гра-
фе есть критические вершины, то это еще не значит, что он должен
иметь кри । ичсскис ребра; например, каждая вершина графа С4
критическая, а критических ребер в С( нет
Рж 10.2. Ребергго-критические грзфы
Граф в шпором каждая вершит критическая, называется
вершинно-критическим. Аналогично реберно критическим графом
называется граф каждое ребро которого критическое Таким об-
разом, граф G вершинно-критический тогда и только тогда, когда
каждая его вершина принадлежит некоторому его наименьшему
вершинному покрытию Из предыдущих замечании следует что
каждый реберно-критический граф является вершинно-критиче-
ским. Примерами реберно-критических [рифовсложат полные графы
простые циклы нечетной дтпны и гпафы. показанные на рис 10 2
-1) В этой главе терния «критический;! относится к покрытию, а гл. 12 этот
крчин вводится для раскраски. Смысловое значение ясно из контекста.
1'22
1 Um in
В настоящее время нет конструkthrhdiо критерия, позво шю-
щего определять является ли граф реберно-критическим; од
нако два следствия из теоремы 10.7 принадлежащей Байнеке,
Харари и Пламмер \ [11 дают некоторые необходимые условия для
таких графов
Ры 10.3 I раф 11 ст0 реберное ыро
Теорема 10,7, Любые два смежных критических ребра графа
принадлежат нечетному простому циклу
Следствие 10,7 (а) Каждый ребер но критический граф яв-
ляется блоком, в котором любы/ два смежных ребра принадлежат
нечетному простому циклу
Теорема 10 7 была получена как обобщение след; ющего резуль-
тата Дачмеужа и Мендельсона ?11
Следствие 10 7 (б) Любые два критических ребра двудольного
графа независимы
Реберное ядро
Реберное ядро Ч <Д (G) графа G есть подграф графа G порожден
ныи объединением таких независимых множеств У ребер (если они
есть), что |У |—aQ(G). Это понятие было введено ДалмеджемиМен-
дельсоном [11, которые посвятили ему целую часть разработанной
ими теории разложения двудольных графов Граф необязательно
имеет реберное ядро Однако в силу теоремы 10,2 всякий двудоль-
ный граф, отличный от вполне несвязного, имеет ядро. Пример
графа, не имеющего реберного ядра, дает нечетный простой цикл
СГ. Для него а„ (Сф) — (р~1)'2, а рг (Ср)=(р—1 > 2, гак что в С,, нег
ребер но [-о ядра
Харари и Пламмер 12] нашли критерии, позволяющий выяс-
нить, имеет ли граф реберное ядро Наименьшее вершинное покры-
тие AJ графа G с множеством вершин И называется внешним,
если для любою подмножества /ИДдЛ'1 выполняется неравенство
[АГ \U (7И')[, гце U (АГ) — множество вершин из Г — М смеж-
ных l вершинами из АГ
Б Называемое Далме/,;к.ем и Me;: дел песком 11; Харари и Пламмером С] про
сто «ядром».
ПОКРЫТИЯ
123
Теорема 10.8 Д 1я произвольного графа G следующие утвержде-
нии эквивалентны.
(1) G имеет реберное ядро
(2) G имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие',
(3) каждое наименьшее вершинное покрытие для G является внеш-
ним
В качестве примера рассмотрим граф, изображенным на
рис 10, 3 Этот I раф имеет два наименьших вершинных покрытия
Л7! = {с>2, и„, и Л1г- {v2 е.-,, ц7} Исследуем Л-13 Если Л4Г=Л1!,
то t/(Mt') -{t’( Vi, щ, и7} Далее, U{c;i, гр, и-} где Л4" =
=^{щ, гд} Мы видим, что |ЛД|^ [6ДЛ1,')1 и |Д(ЛД')|» и
это верно для любого потмножества из Л1,. Таким образом, по опре-
делению Л11— внешнее покрытие Очевидно, что И2— также внеш-
нее покрытие
С другой стороны, существуют графы, которые совпадают со сво
ими реберными ядрами Семейство таких графов характеризуется
приведенной ниже теоремой, доказанной в работе Харари и Плам-
мера [21. Следуя гермипотоп-ш Далмеджа и Мендельсона [11, рас
смотрим двудольный граф G, v которого множество вершин V есть
объединение непересекающихся подмножеств S и Т. Будем говорить,
что G — пол у несводимый граф, если G имеет точно одно наименьшее
вершинное покрытие Л1, причем или М П S, или Л1П Т пусто
Далее, G — несводимый i раф, если он имеет точно два наименьших
вершинных покрытия ЛЕ, ЛД, причем или ЛД р| S и Л42Г1 Т пусты,
или Лф р/’и И2П<$ пусты. Наконец G —сводимый граф, сечи он
не является ни по ту несводимым пи несводимым.
Теорема 10,9, Г раф G и его реберное ядро Ct (G) совпадают тогда
и только тогда, когда G явгяется двудольным и не чегнется своди-
мым
Piil 1(J.4 Полу несводимый п несводимый графы
Рассмотрим двудольные графы G, и G.2, изображенные па рис 10.4.
В графе Gr пусть S,-- {щ и 7Д-= {t1,, сд, гд, щ, гД. Этот граф имеет
е'Ш1.-спшы!ое наименьшее вершинное покрытие ЛД— Дь, еД и,
124
г.ТАИХ 10
поскольку AJ( f] / । 0, on ucciy несводимый; слсдоваге.'п.но он
совпадает со обоим реберным ядром, В грифе (ф пусть 5, th, '
и Г,. ~ {п;, п;:, 0;}. В нем два hhi'mchhuihx вершинных покрытия,
rrhteiiiio 1ц, и ‘ и Л'., {<о, щ. (/,:! Так как Л1» П 7V 0
и Л’И15.. —0, то Сд—несводимый т раф и, значит совпадает со
своим реберным ядром
Упражнения
10.1 . Дж;стать н.п] с.прои. ргнуть. гаждсе lk-oii'iijiгос ?юк[и>п:г [раф со.юр-
•киг наименьшее вершинное покрыт не.
10.2 . Доказать tr.ntf опровергнуть, каждое ] коза □ i : с i' г ос ^ношестоо ребер со-
держится в наибольшем иезагшенмом м1ю.кес:не рейто.
liV.'.i. Для лнДыо графа 6 сиракелливы нсраошк-;ва я,- (СД'- Ир, ;G 1 ср iGi г
нФ 0-
И'1.4 Найти не обходимо, н ,wi а гочнос ? елов-ие шго. [то щ (О|—= ф (СО
10.5. Если в графе G inseeiся точкиутая цепь содержащая верши(:пос нокрь
тис, то гр-лф L(G} гамильтонов
10,6. Для любого графа (} ег1раведл11во нераш'.ш тио щ, (G1T0 (6).
10.7. Если G— двудольный граф, тс (тотор,к а рапенс’ви дос: нгиетст-
то 1Ы<о для полным двудольных 1рафоа.
10 8 Если G— нотный 1 до шный граф, го
Я] (Гц'--: (5- z — Л,
61 G - гамильтонов граф тогда 1. только тогда, когда пйСТЗп,,,
в) сели граф У не гамнльтоын!. то сто окружение с раино 2ц,, и он именi
единственное наименьшее вершинное покрытие;
(Чартр.эид. Геллер ’Хгдетшш.ми |2[)
10.9. а । Пусть — наибольшее число перш ни в множествах 5сД {G'i,
для которых графы <.5/ нс связны. Тогда к- р — [0.
б) Если аналогично определить fy, то / -0
(Хедетнисмп 11 ]1
10 К) Найти
а) «п(А0) б) и,„(К,,.,0, в) (Л
10.11. «Граф шахматного ферзя» имеет 04 клетки шахматной доски в качестве
множества вершин, н две его вершины смежны тогда и только тогда, когда клетка
соответствующая одной вершине, достигается ферзем за один ход из клетки, сос,-
встствующси другой вершине; аналогично опредетопотея графы других трех фигур-
коня слона и тадвп Вычистить (ф1П для чтсх четырех графов.
(Решения можно найти в киан Б ер ж а [21)
10 12 Числа ал fl(]) и ст. да связаны еоогиоие.чиями
1'1
<1 для некоторых трафов ц, < о',-.,,,
и) для некоторых графов (Г,-,,-, <
г) для некоторых гржЬов а
10.13. Доказать пли опровергнуть: в графе (j poOpo х критическое тогда г
только тогда, когда существует i:a11м(ч;biiiee реберное- покрытое, содержащее г
10.14. Доказать или опровергнуты каждый двусвязиый реберно-критический
1 р 1ф гамильтонов
[ЮКРЫI ИЯ
125
10.15, Утверждение, обратное следствию 10 7 (al. не справедливо. Построить
блок, не являющийся рсбердо-кретически.и, в котором любые два смежных ребра
при ня да ежат простому циклу нелетной длины.
10.16. Дерепо Т равно своему реберному ядру тогда н ютько таг и когда
Т— черево бтоков и точек сочленения.
(Харари Пламмер Г2])
10 17 Для любого графа G следующие утверждения окпнва гентинг
(1) граф G имеет ребермо^ ядро-
(2)
(3) f"i (Gj
(Харари. Пламмер [2])
10 18 Е ели G — и нзпыи граф, имеющий реберное ядро (Д ((7) то
a} Ct (G’} — ос говн ый подграф графа G,
б) С\(6, (G)l--C, (G):
в) компоненты ядра Сг(С)— двудольные подграфы граф i G nt. яв
ляющисс;) сводимыми
(Харари, Пламмер |2j)
10,19 Если граф G имеет реберное ядро СдО), aS — двудольный подграф
графа G, содержащий С] (G) как собственную часть, то В — сводимый [-раф.
(Харари, Пламмер |2])
10.20, Вершинным .шрам называется подграф графа (1, порожденный
объединением всех независимых множеств S, имеющих «1(G) вершин. Граф G
содер'кнт вершчинею ядро тогда и только тогда когда он имеет реберное ядро.
(Харари, Пламмер [Lji
10 21 Если G—C)(G) то граф G имеет 1 фактор
(Харари Пламмер 11()
10.22 Если G— регулярный граф) степени п, то с.у и чествует разбиение мио
жества его вершин, содержащее не более 1 ;1щ2] таких подмножеств, что каждая
вершина смежна самое большее с одной отличной от нее вершиной того же под-
множества.
(Гс.ренеер [1(1
Глава 11
ПЛАНАРНОСТЬ
Вернемся на время вместе со мной к
равнинам флатлаидни, н я покажи
вам то, о чем вы часто говорили,
о чем думали
J 1 3 ten ftэ)
Топологические аспекты теории графов были впервые выяв-
лены в 1736 г Леонардом Эйлером (V—Е- /•’—2) и затем к ним
не возвращатись в течение 191 года Интерес к этой теме возобно-
вился после того, как Куратовскин нашей критерий, позволяющий
определить является ли граф планарным 1 * 3) Другим пионером в ис
следовании топологических проблем теории графов был Уитни, по-
лучивший некоторые важные признаки ук гадки графов на тонко-
сти
В этой главе приведены все известные критерии планарности
В их число входят теоремы Понтрягина — Куратовского и Вагнера
в которых планарные графы характеризуются в терминах запрещен
пых подграфов, результат Уитни о связи планарности графа с су-
ществованием комбинаторно двойственного графа, данное Мак-
Лейном описание планарности, в котором используется цикличе-
ская структура графа.
Вводятся также несколько топологических инвариантов графа.
Для полных графов и полных двудольных графов определяется род
графа, для «большинства» из этих графов — тодщипа, и только для
некоторых графов — чисто скрещивании
Плоские и планарные графы
Будем говорить что i раф укладывается на поверхности 5 ости
его можно так нарисовать на S что никакие два его ребра не пере-
секаются Как уже отмечалось в гл. I, мы будем использовать тер
мины3) «вершины» п «ребра» дтя абстрактных графов и «точки»
1) Edwin А , Abbott., Г Uliana
-J Л. С. Понтрягин показал рю не опубликовал) критерий планарности еще
В 1927 г. Куратовскин II] (независимо от 11ои1рягина) полупил этот резтлэтат ь
1930 г. Поэтому указанный критерий мы i ты на ем теоремой Понтрягина -- Кура
товского,— Прим иерее.
3) У автора — наоборот. Мы внесли изменения, чтобы нс возникло путаницы.
Кроме того, если из контекста ясно, о каких объектах идет речь -о мы предгючи
таем использовать термины «вершина» и «ребро»,— Прим, иерее.
ПЛАНА! HOCTb
и «линии» — тля ге<эме!ричееких графов (уложенных на некоторой
поверхности) Граф называется планарным, если его можно уложит?-
па плоскости, плоский граф — это граф, уже уложенный на тоско-
сти Например, кубический граф, показанный на рис, 11.1, а, ила
парный, нискольку он изоморфен плоскому графу, изображенному
па рис. II 1, б
а Д
Ри<, 11 1 Пжшар шн граф И его \ гладка
Облает, определяемые плгхжим графом назовем его гранями
(или внутренними гранями); неограниченную область будем пазы
вать внешней гранью Если границей грани плоского графа является
простой цикл, то иногда под гранью будем
Плоский граф, представленный па рис. 11 2,
имеет две внутренние грани /1т Д и одну внеш-
нюю/3. Из этих граней только/. ограничена
простым циклом
Изучение планарных графов было начато
Эйлером в ею исследованиях полиэдров С
понимать этот пикт
каждым полиэдром связан граф состоящий Рис П - Плоский
из точек и линий полиэдра; этот граф на- рРаФ
зывается 1 -скелетом. Например граф Q есть
1-скелет куба, а —эго 1-скелет октаэдра Формула Эйлера
дтя полиэдров — один из классических результатов в математике.
Теорема 11.1 (формула Эйлера для полиэдров). Д1Я нового
полиэдра, расположенного на сфере и имеющего У точек, Е шний
и F граней,
I— Е F = 2 (11 1)
Для 3-куба имеем У — 8, Е—12 и Е-^6 так что равенство (11.1)
выполняется; для тетраэдра Г = Е^4 и Е~ 6 Прежде чем доказы
вать равенство (11 1) в общем случае, переформулируем его в теоре-
тико-графовых терминах Плоской картой называется связный пло-
ский граф вместе со всеми его гранями Уравнение <11.1} для плоской
карты (с р вершинами, у ребрами и г гранями) будет иметь вид
p-qrr=2 (11.1)
Лет ко доказан, эту теорему по индукции Однако сот ношение
(11 Г) было уже доказано в гл. 4, когда мы установили, что цикли-
ческий рант т связного графа G определяется по формуле
т=ц—р- 1
128
ГПУ В X 1 1
Будем считан,, чю iраф G двусвязен, поскольку, кал югло ви-
деть, если соотношение (11 1') выполняется отдельно для блоков
графа G, то оно выполняется также и для графа G Таким образом
каждая грань плоской укладки графа G есть простой цикл.
Мы только что отметили, чю для плоском карты р--\ и q~ Е
Осталось только связать т с I', Покажем, что внутренние грани
тоского графа G образуют базис простых циклов для графа G,
число этих циклов, следовательно, равно пг. Ребра каждого простого
цикла 7 графа G можно рассматривать как симметрическую раз-
ность граней графа G, содержащихся в Z Поскольку внешняя грань
есть, таким образом, сумма по модулю 2 всех внутренних гранен
(рассматриваемых как множества ребер), ясно, что m-=F—I Сле-
довательно соотношение т — q—р—\ переходит в Т — 1— E~V- 1
Из формулы Эи iepa вытекает много следствий
Следствие 11 1 (а) Если G — плоская (р, рукарта. в которой
каждая грань является п циклом, то
Токазатстьство Поскольку каждая грань [рафа G есть
«-цикл, любое ребро в G принадлежит двум граням п ка?кдая грань
имеет и ребер Тогда nr—2q Подставив это в (11 1'), потупим иско-
мый результат
Максима гьным п шнарныч графом называется граф который при
добавлении любого ребра перестает быть та парным Подстановка
в (11 2) п—-3 и даеп
Стедствие 11.1 (б) Ec.utG— максимальный плоский (p,q)
граф то каждая его грань является треугольником и q ~3р—6
Если, G — плоский граф у которого любая грань есть 4 иикч то
q—2p—4
Так как наибольшим числом ребер в плоском графе обладает
граф, у которого каждая грань есть треугольник, го получаем н -
обходимое условие планарности графа в терминах числа ребер
С телств bic 11.1 (в). Если G — произвольный планарный (p,q)-
граф и рфлЗ, то q^.3p—Q Eciu граф G двусвязен и не содержит
треугольников, то qs^ 2/т—4
С[ецствие 11 1 (i) Г рафы К и А.1/( не являются пганарнымч
Доказательство I раф К,., есть (5,10)-граф и по может быт i
планарным, так как <?=10> 9—-Зр— G; для /<3 3 имеем i/=9 и 2<у—4=
= 8
ПТЛН VPIIOCTI
129
Ках мы вскоре увидим, графы и /<я 3 игракн исключи! ел г,и у ю
роль при характеризации планарности графов I 1рнведепныс выше
следствия очень полезны в исследована!! планарных графов в осо
бегшости мшюииальных планарных графов.
Следствие 11 1 (д). Каждый планарный граф G с в-рши
нами имеет по крайней мере четыре вершины со степенями, не ipe
вышающими 5
Ясно, ню траф планарный тогда и только тогда, кота каждая
ею компонента — планарный граф. Унгни 13] показал, что при ис-
следовании планарности [остаточно рассматривать двусвязные гра-
фы
Теорема 11 2 Граф планарен тогда и только тогда, когда
каждый его блок планарен
Интуитивно очевидно, что любой планарный граф можно уло-
?кить на сфере, и обратно. Это замечание позволяет понять, что пла-
нарный rpach можно уложить на плоскости многими различными спо-
собами
Теорема ИЗ Для любой выделенной грани f двусвязного пло-
ского графа G найдется на плоскости изоморфный ему плоский граф,
у которого грань, соответствующая грани f будет внешней
Доказательство Пусть [ — невнешняя грань плоского блока
G Уложим G на сфере п выделим некоторую внутреннюю относи-
тельно f точку (назовем ес «севернььм полюсо,м»). Проведем ка-
сательную плоскость к сфере через «южный полюс» и спроектируем
С на плоскость из «северного полюса» В результате получим пло-
ский граф, изоморфный графу G, в котором / — внешняя грань 1_!
Следствие 113 (а). Для любого выделенного ребра планарного
графа найдется такая укладка этого графа на плоскости, что вы-
деленное ребро будет принадлежать внешней грани.
Уитни также (оказал, что каждым максимальный [ианарныи
граф является блоком Более того, справедлива
Теорема 11 4 (Уитни) Каждый максимальный п шнарный граф,
имеющий вершин, трехсвязен
Существует пять способов укладки фехсвязною колеса 1Д-.
на плоскости один из них изображен па рис. 11.3, а, осталь-
ные четыре — на рис 11.3, б. Однако на сфере, граф 1Гд можно уло-
жить лишь единственны?/! способом Эю относится и ко всем тре.х-
связпым графам (Уитни 141)
Обычно результат описанного проектирования называют стерео рафнческои
проекцией,
S Xs 141
130
Г.71 A [iА !1
Теорема 11.5 Любой трехсвязныи планарный граф единствен-
Р1к 11 3 Птоскш копеса
Дчя того чтобы доказать необходимость трехсвязпости, рассмо-
трим изоморфные двусвязпые графы G, и Ga, представленные на
рис И 4 Граф G: укладывается на сфере так что пи одна из его
областей не ограничена пятью ребрами, в то время как С2 имеет
две области, ограниченные пятью ребрами
Phi II 4 Две Укладки дв\связн<?го графи на плоскости
Полиэдр называется выпуклым, если отрезок прямой, соединяю-
щий две произвольные точки полиэдра, лежит целиком внутри
полиэдра Следующая теорема принадлежит Штенницу и Радема-
херу [11
Теорема II 6 Граф является 1 скелетом выпуклого трехмер-
ного полиэдра тогда и только тогда, когда он планарен и трехсвя-
зен
Одна из наиболее увлекательных областей исследований в те-
ории планарных графов посвящена взаимосвязи между графом
как комбинаторным объектом и графом как геометрической фигу-
рой. Очень часто возникает вопрос о существовании специальной
укладки графа (при тех или иных геометрических ограничениях)
Например, Вагнер [11, фари [I] и Штейн [1] независимо показали,
что каждый планарный граф можно уложить на плоскости так, что
каждое его ребро будет отрезком прямой
Теорема 11.7 Любой планарным граф изоморфен плоскому
графу, у которого все ребра являются отрезками прямых
ПЛАНАРНОСТЬ
131
Внеш не планарные графы
Планарный граф называется внешнепланарным, если его можно
уложить на плоскости так, чтобы все его вершины принадлежали
одной грани Обычно в качестве такой грани мы будем брать внеш-
нюю грань На рис II 5 показан внешнепланарньш i раф (а) и
две — (б) и (в) — его внешнеплоские укладки В случае (в) все вер-
шины графа принадлежат внешней грани
а 5 в
Рис 11 5 Внешней чанарныи граф и две его bhuuhmi чоские укладки
В этом разделе приводятся результаты для внешпепланарных
графов, аналогичные результатам для ппанарных графов Аналог
теоремы 112 получаем немедленно
Теорема 11.8 Граф внешнепланарен тогда и то тько тогда,
когда каждый его б юн внешней ганарен
Внешнепчанарныи граф G называется макеимальным внешне-
планарным, есчи к нему нельзя добавить ни одного ребра, нетеряя
свойства внешнепланарности Ясно, что каждый максимальный
внешпеплоский граф есть триангутяция многоуточьвика а каждый
максимальный плоский граф — триангуляция сферы Три мак-
симальных внешнеплоских графа с 6 вершинами показаны на
рис 1I 6
а 8 в
Рис 11 6 Три мажима тьных внешней тоских графа
Теорема И 9 Пусть G — максимальный внешнеплоский граф
с р^З вершинами, которые все принадлежат внешней грани Тогда
G имеет р—-2 внутренние граней
Доказательство Очевидно, что утверждение справедливо
для р=3 Предположим, чго оно верно для р = п, и пусть G имеет
р~п— 1 вершин и т внутренних граней. Ясно, что граф G должен
5*
132
Г Л1ВА 11
содержать вершину а степени 2, принадлежащую внешней грани
Взяв граф G — v, мы уменьшим число внутренних граней на 1 так
что ш—1 и—2 В результате чисто внутренних гранен графа G
будет т = п—1 ~р— 2
Из этой теоремы вытекает несколько следствий
Следствие 11 9 (а). Любой максима гьный внешней шнарныи
граф G с р вершинами имеет
а) 2р — 3 ребер
б) по крайней лигре три вершины со ыпепенчми, не превышающи
им 3;
в) по крайней uepi две вершины степени 2,
г) и (6)^2
Все плоские укладки графов Л, и Л\.,1 выглядят так, как пока-
зано на рис. 11 7: в каждой из них имеется вершина внутренняя
Рис П 7 Запрещенные 1рафы дчя пнги ней п тн фжк’и
относительно внешнего цикла Следовательно, ни Д4> ни ЛЗ.з не
являете!? впешнепланарным Заметим что они оба базисные (см.
Чартрэнд, Харари [1]).
Два графа называются гюмеояорфнылги, если их можно полу-
пить из одного графа с помощью последовательности подразбиений
ребер Например, два простых цикла гомео-
морфны, на рис 11 8 показан граф, гомео
морфный графу Л4
Теорема 11.10. Г раф от шчныи от
Ki - г, внешнепганарен тогда и только тогда
когда он не содержит подграфов, гомеоморф-
ных Ki U Ш К?
Часто бывает необходимо и важно изучить
Рис. 1 ’.8. Граф, ю дополнение графа обладаю него заданным
иеоморфяый графт А, свойством Баттлу, Харари и Кодаме [1]
принадлежит следующая ниже теорема о
планарных графах, дающая достаточное условие того, что лополне
ние планарного графа планарно Более эффективно этот результат
был доказан Талтон ill]
ПЛАНАРНОСТЬ
J 33
Теорема 11 11 Каждый п. ганарный граф, у которого не меньше
девяти вершин, имеет непланарное дополнение, причем 9 — на-
именьшее число, обеспечивающее данное свойство
Эта теорема была доказана с помощью метода исчерпывания
Изящного или хотя бы достаточно приемлемого доказательства
этого факта пока не известно
Аналогичное исследование в пешие! панарных i рифов было вы-
полнено Геллером [11
Теорема 11 12 Каждый внешнепланарный граф, у которого
не меньше семи вершин, имеет невнешне планарное дополнение,
причем 7 — наименьшее число, обеспечивающее данное свойство
Доказательство Для доказательства первой части доста-
точно установить, что дополнение любого максимального внешне-
пчапарного графа с 7 вершинами не является внешнепланарным
Рис 11 Ч Четыре ми симальных виешнеп.пачарш ix графа с 7 вершинам]
графом Это следует из того что существуют точно четыре мак-
симальных внешнепланарных 1рафа с р~7 (см. рис 11 9) и допол-
нение каждого из них. как легко видеть, не является внешнепла-
нарным. Минимальность вытекает из того, что (максимальный)
внешнепланарный граф с 6 вершинами, изображенный на рис 11 6, б,
имеет внешней тапаргюе дополнение
Теорема Понтрягина - Куратовского
До появления статьи Куратовского [1] характеризация пла-
нарных графов была труднейшей нерешенной проблемой. Приво
димое нами доказательство основано на работе Дирака и Шустера [ 11
Теорема 11.13. Граф планарен тогда и только тогда, когда
он не содержит подграфа, гомеоморфного К-, или
Доказательство Графы К., и Кз,з непланарны (следствие
11 1 (г)) Поэтому, если граф содержит подграф, гомеоморфный лю-
бому из них, он также непланареп.
Доказательство обратного хтверждения (достаточности) значи-
тельно труднее Предположим, что достаточность не имеет места,
1) См. примечание на стр 126 — Прим персе
134
ГЛАВА И
т. е существуют непланарпые графы, не содержащие подграфов,
гомеоморфных или Дэ,;1 Пусть G — такой графе наименьшим чис
лом ребер Тогда G должен быть блоком, у которого б (С)^ 3. Пусть
ха — щи(,— произвольное ребро графа G Граф/?=С — ха обязательно
планарен
Нам понадобятся две леммы
Лемма 11 13 (а) В графе Г существует простои цим, содер-
жащий вершины иа и и»
Доказательство леммы Предположим, чго в F нет про-
стых циклов, содержащих щ и v0 Тогда по теореме 3 3 вершины ип
и у0 принадлежат различным блокам графа F Следовательно, в F
существует точка сочленения а,, принадлежащая каждой простой
(у0-у0)-цепи Образуем граф Fo, добавляя к F ребра и wvn,
если их еще нет в F Вершины щ и ц( в графе Fn также принадлежат
различным блокам, скажем В-. и В2, \ которых общей вершиной
является именно вершина ш. Понятно, чго блоки BL и В<. имеют
меньше ребер, чем граф G, поэтому Д или планарен, или содержит
подграф, гомеоморфный Къ или Л3,3 Если, однако, добавление реб-
ра wu№ приводит к образованию подграфа Н графа Blt гомеоморфного
К5 или то подграф графа G, который потучается заменой ребра
vlu0 на простою цепь, идущую из щ в ьу и начинающуюся ребром
х0, обязательно гомеоморфен графу Н и, значит, гомеоморфеи Л'6
или Дз,а; мы пришли к противоречию Поэтому В< и аналогично
В3— планарные графы В силу следствия II 3 (а) оба графа Вг и
В2 можно уложить на плоскости таи, что ребра wub и ху0 будут при-
надлежать внешней области Следовательно, граф можно уло-
жить на плоскости так, что к'щ, и wv(i будут лежать во внешней об-
ласти Добавление ребра х0 не нарушает планарности графа F^.
Поскольку G—подграф графа он планарен полученное
противоречие показывает, что в F есть простой цикл, содержащий
щ> и Уо
Пусть граф F уложен на плоскости так, что простой пикт Z,
содержащий щ и о0, имеет наибольшее число внутренних (относи
тельно 2) областей Ориентируем ребра цикла Z в одном из направ-
лений по циклу. Обозначим через Z[u, у] ориентированную простую
цепь, идущую из вершины и в вершину у по циклу Z Если v не
следует непосредственно за и по Z, то подцепь цепи Z[u, у1, полу-
чаемую в результате удаления вершин и и у, будем обозначать через
Z(u, v)
Под внешностью простого цикла Z будем понимать подграф в F,
порожденный вершинами, лежащими вне Z, компоненты этого под-
графа называются внешними компонентами цикла Z Внешняя часть
цикла Z — это подграф в F, порожденный или всеми ребрами, ин-
цидентными по крайней мере одной вершине некоторой внешней
П 'LAHAPHOClb
131
и у0, в котором внутренних
Рис 11.10 Разделяющие части и простой
никл Z иллюстрирующие темму
компоненты, или ребром (если 1акое есть), внешним к Z и соединяю-
щим две вершины из Z. Аналогично определяются внутренность
простого цикла Z, внутренняя компонента и внутренняя часть.
Внешняя (или внутренняя) часть называется (и-и)-разделяющей,
если она встречает обе цепи Z(u, v) и Z(u, и) Ясно, что внешняя
(или внутренняя) часть не может быть (/(-гт)-раздечяющеи, если и
и v смежны по циклу Z (г е uv принадчежит Z)
Поскольку F связен, чюбая внешняя часть должна встречать Z,
а так как в 1 нет точек сочленения, любая внешняя часть должна
иметь не менее двух вершин общих с Z Внешние часги не могут
встречать ни Z(un, о0), ни Z(v0, wu), так как иначе существовал бы
простой цикл, содержащий щ
было бы больше, чем в 2 По
той же самой причине ни одна
из внешних частей не может
встретить ни щ, ни а. Следо-
вательно, каждая внешняя
часть встречает Z точно в
двух вершинах и является
(Ио-Оо) разделяющей Отсюда,
поскольку,^ нельзя добавить
к F не нарушив планарно
сти, поручаем, что сущест-
вует по крайней мере одпа
(щ-щ)-разделяющая внутрен-
няя часть
.1 емм а 11 1J (б) Сущест-
вует такая (щ-о^-разделяю-
щач внешняя часть, встре-
чающая Z (щ, щ), скажем в щ,
и Z(v№, иа), скажем в щ, что
найдется внутренняя часть,
являющаяся одновременно и
(щ-о^-разделяющеи, и (щ-щ)-
разделяющей
Доказательство чем-
м ы. П р е д 11 о л ож им, что л ем -
ма не верна Дчя пенима
ния приведенного ниже доказательства будет полезен рис 11 10
Упорядочим («о-и,,)-разделяющие внутренние части, чтобы раз-
местить их на плоскости. Рассмотрим (и,гщ)-разделяющую внутрен
нюю часть F, ближайшую к вершине щ в смысле порядка прохож-
дения вершин внутренних частей при движении по Z из щ По
этому же принципу мы можем упорядочить относительно щ ос-
тальные (щ-щ)-разделяющие внутренние части Л, F и т д
1%
ГТЭВЧ I!
Пусть иг и «з — первая и последняя вершины в /ъ встречающие
Z(w0, су), а у2 и у3— первая и последняя вершины в /, встречающие
Z(ty, и0) У каждой внешней части обе ее вершины, общие с 7,
должны принадлежать и ни Z[u;;, и.,1, или Zl«;i, с21, так как иначе
существовали бы внешняя часть, встречающая Z(«o, су) в «, и
Z(ue, и п) в и,, и внутренняя часть, которая является и (ы<су)-рач-
деляющей, и (гг,-щ)-разделяющей Это противоречит предполо
жению о том, что лемма не верна Поэтому кривую С соединяющую
щ и и-> , можно провести во внешней области так, что она не ветре
гит ребер графа Г (см. рис. 11 10) Таким образом, не нарушая пла-
нарности, можно перевести Л во внешнюю относительно Z область
Аналогично оставшиеся («ь-щ)-разделяющие внутренние части мож-
но перевести во внешнюю относительно Z область, причем так, что
получающийся граф будет плоским. Но тогда ребро ду можно до
бавить, не наручная планарности графа f; мы пришли к противо-
речию Лемма доказана
Доказательство теоремы. Пусть И — внутренняя часть,
которая в силу леммы 11.13 (б) является и (п0 «^-разделяющей, и
(«j-щ)-разделяющей. Далее, пусть wu, асу, ayt п — вершины, в ко
торых Я встречает Z(u0, ий), Z(v,j, ив), Z(uiy cL) и Z(c’1T и,) соответ-
ственно Рассмотрим теперь четыре случая в зависимости от вза-
имного расположения на Z этих четырех вершин.
Случаи 1 Одна из вершин пу и Lv1 лежит на Z(«0, у0), а другая —
на Z(ve, и,-,) Тогда можно положить асу^со, и 1£)’п—в этом случае
G содержит подграф, гомеоморфный Л"3,3 (рис. 1111 а, два множест-
ва вершин отмечены жирными точками н кружочками)
Случай 2 Обе вершины и асу лежат или на Z(«o, су), или на
Z(ry, м„). Не теряя общности, предположим для определенности,
что vl\£.Z(u9, Со) Возникает две возможности' или
или щ^-агу Если то G содержит подграф гомеоморфный
К3,з, расположенный, как на рис. 11.1], б ити 11.11, в, в зависимо-
сти от того, принадлежит вершина ау цепи Z(ub о,) ячи /(с,, nJ
Если &1=®о (Рис П И а), то 77 содержит вершину г, из которой
идут непересекающиеся простые цепи к wr, сеу и су, причем все
вершины этих цепей (за исключением самих концов tcy, и су)
принадлежат И В этом случае G также содержит подграф гомеомор
фнын Лз,;
Случаи 3. ш5— v„ и Не теряя общности, будем считать,
что лежит на Z(n0, су). Тогда снова граф G содержит подграф,
гомеоморфный Кз,я. Если ку тежпт на Z(cy с,), то G содержит под-
граф Лз,т, показанный на рис. 11.11, д. Если же щ' лежит на
Z(ty, г/,(), то также найдется подграф (рис 11 11, <?) — им
будет подграф, полученный в результате отождествления вершил
й?'о и СУ
п л д.н хрность
137
Случаи 4 uL-’j—о0 и к\ = и0 Здесь мы полагаем w^-Ul и
(вес другие ситуации уже встречались в предыдущих случаях)
Выделим два подслучая Пусль 7\ и Р2 — кратчайшие простые цепи в
И, идущие соответственно из и, в у0 и из щ в щ Цепи Pfl и Р1 долж-
ны пересекаться Если Л, и Р, имеют более чем одну общую вер-
шину, то G содержит подграф, гомеоморфный /С3(5 (рис. 11 11, ж),
в противном случае G содержит подграф, гомеоморфный К>
(рИС || 11 3}
Итак, все возможные случаи разобраны. Теорема доказана.
д е ж з
Рис 11 11 Воч\1ожны1 МР1ПНТЫ для неиланарных подграфов
В статье Татта [12] приводится алгоритм, позволяющий у кла
дывать данный граф на плоскости до тех пор, пока это возможно
(без пересечений ребер), и показывается, что если этот процесс не
охватывает весь iраф, то он должен содержать подграф, гомеоморф-
ный К.г, или /ф з Таким образом, алгоритм Татта представляет собой
независимое доказательство теоремы 11 Н.
Элементарное, стягивание в графе G получается отождествлением
(вух смежных вершин и и v, т с удалением и и v и добавлением
новой вершины w, смежной с теми вершинами графа, которые были
смежны или с и, или с v. Граф G называется стягиваемым к графу
Н, если Н можно получить из G с помощью некоторой последова
телыюсти элементарных стягиваний Например, как показано на
рис И 12, а и б, граф Петерсена стягивается к /ф в результате стя-
гивания в новую вершину кд любого из пяти ребер щщ, соединяю-
щих пятиугольник с пентаграммом
Двойственная форма теоремы Понтрягина — Кфратовского (в
смысле двойственности теории матроядов) была найдена независимо
Вагнером 121 и Харари и Таттом [2]
138
I ЛАВА 11
Теорема II |4 Граф планарен тогда и тогько тогда, когда
у него нет подграфов, стягиваемых к ГГ и к Кя,я
Hen тинарность графа Петерсена
Мы только что видели, что граф Петерсена стягиваем к Кг, По-
скольку каждая его вершина имеет степень 3, у него нет подгра-
фов, гомеоморфных К-„ на рис. 11 12, о показан один из его подгра-
фов, гомеоморфных Д’-,,,
Рис 11 13. Плоский
I раф и геометрически
двойственный к нсм\
Другие характеризации планарных графов
Вслед за классическим результатом Понтрягина и Куратовского
были предложены другие критерии планарности Мы уже указали
«двойственную форму» критерия Понтрягина — Куратовского, ис
пользующую понятие стягивания (теорема
11.14). Алгоритм Татта укладки графа на пло-
скости можно также рассматривать как не-
которую характеризацию планарных графов
Уитни [3,51 связал планарность графов с
существованием двойственных графов Для
данного плоского графа G его геометрически
двойственный граф G* строится следующим
образом поместим в каждую область G (вклю-
чая внешнюю) по одной вершине графа G* и,
если две области имеют общее ребро х, сое-
диним помещенные в них вершины ребром
х*, пересекающим только х В результате
всегда получится плоский псевдограф, как, например, на рис 11 13,
где ребра графа G указаны сплошными линиями, а ребра двойствен-
ного графа G*— штриховыми Ясно, что G* имеет петлю тогда и
только тогда, когда в G есть концевая вершина; G* имеет кратные
ребра тогда и только тогда, когда две области графа G содержат по
крайней мере два общих ребра Таким образом, двусвязный плоский
граф имеет всегда в качестве двойственного или граф, или мульти-
граф, в то время как двойственный граф трехсвязно! о л тоского гра-
П МНАРНОСТЬ
139
фа всегда представляет собой граф Другими примерами геометри-
чески двойственных графов являются платоновы графы: тетраэдр —
самодвойственный граф, куб и октаэдр — двойственные, так же как
додекаэдр и икосаэдр
Как следует из определения, геометрически двойственный граф
плоского графа G также плоский, а двойственный к двойственному
графу графа G — это первоначальный граф G Однако абстрактный
граф, допускающий более чем одну укладку на сфере, может дать
более чем один двойственный граф Это иллюстрируется на
Рис 11 14 Различные геометрически двойственные графы к одному и том* же
абстра ктному графу
рис 11 14, где графы G п Н абстрактно изоморфны, а после у «падки
на сфере имеют различные двойственные графы G* и Н* Однако
поскольку трехсвязныи граф допускает только одну укладку на
сфере, как отмечено в теореме 11.5, то у него должен быть единст-
венный геометрически двойственный граф
Уитии дал комбинаторное определение двойственного графа,
которое является абстрактной формулировкой геометрически двой-
ственного графа. Напомним сначала (гл. 4), что для графа G с k ком-
понентами циклический ранг есть чисто — q—p — k, а нецикли-
ческий ранг — число т* (G)—р—k
Относительным дополнением G — Н подграфа Н в графе G
назовем подграф, получающийся из графа G при удалении ребер
графа И Граф G* называется комбинаторно двойственным к графу
G если существует взаимно однозначное соответствие между их мно-
жествами ребер, при котором для любых соответствующих подмио-
140
глав \ и
жесте ребер У и У*
tn* (G—Y)-m*(G)~m( У*))
(И 3)
где<У¥'> — подграф графа G* с множеством ребер У*. Этоопределе
ние иллюстрируется на рис II 15, где соответствие задается прави
лом X/ <-> уг Здесь У-- {у5,-V;), а4> Хи), т* (G—У) -4, in* (G)--o и
т (<У s>)— 1, равенство (11.3) очевидно выполняется Конечно, ис-
пользуя (11 3) , очень трудно определить, двойственны ти данные два
графа, поскольку нужно проверять выполнение равенства (113)
для каждого подмножества ребер графа G.
Phl И 15 Ко 1бинаторно двойственнее ipaepti
В отличие от геометрически двойственных графов комбинатор-
но двоиCIвенные графы планарных графов определяются не обя-
зательно однозначно Однако если два графа комбинаторно двойст-
венны к изоморфным Iрафам. то существует взаимнооднозначное
соответствие между множествами их ребер, сохраняющее простые
циклы, рассматриваемые как множества ребер (т е их матроиды
циклов изоморфны) Соответствие x,^yt для графов G* нН*, пред-
ставленных па рис 11.14 поясняет это утверждение
Уитни доказал, что комбинаторная двойственность эквивалеш-
на геометрической двойственности и дач другой критерий планар
ности
Теорема 11 15 Граф планарен тогда и только тогда, когда
он имеет комбинаторно двойственный
Еще один критерий танарности предложенный Мак-Леином
[II, основан на рассмотрении циклической структуры графа
Теорема 11 1b Граф G планарен тогда, и только тогда, когда
каждый его блок, имеющий по крайней мере три вершины, обладает
таким базисом циклов Zt, Z2, , Zril и таким допо мнительны ч
ПЛЛПЛГПОСТЬ
111
циклом Zt„ что любое ребр) блоке принадлежит гпочн> двум из этих
ту 1 циклив
Мы только наметим доказательство ботес просто"; части этою
утверждения, а именно необходимости. Как указывалось в доказа-
тельстве теоремы ]1.1, все внутренние юани твусвязиою плоского
графа G образуют базис циклов 7,, 7.2, . . Zm, где т — цикличе-
ский ранг графа G Пусть 7(—внешний простой цикл графа G
Понятно, что любое ребро графа G принадлежит точно двум из т I
ЦИКЛОВ Zi
Для доказательства юстаточности нужно построит в плоскую
укладку данного графа G, обладающую определенными свойствами
Все указанные критерии планарности графа G приведены в сте
дующем списке эквивалентных условий'
(1) G — планарный граф,
(2) в G нет подграфов, гомеоморфных К и Лф,3,
(3) в G нет подграфов, с i ягивасмых к /Д и /<313;
(4) G имеет комбинаторно двойственный граф'
(5) каждый нетривиальный блок графа G обладает таки,м бази-
сом циклов Zlt Z-i, ., Zm и таким дополнительным циклом Z,.„
что любое ребро принадлежит точно двум из этих т— 1 циклов
Род, толщина, крупность, число скрещивании
В этом разделе рассматриваю юн четыре топологических ин-
варианта графа G род— наименьшее число ручек, которые нужно
добавить к сфере, чтобы уложить G; толщина — наименьшее число
планарных графов объединение которых есть G- крупность1) —
наибольшее число непланарных подграфов в G, не пересекающихся
по ребрам; число скрещиваний — число пересечений ребер, кото-
рое должно быть при расположении G на плоскости -) Здесь мы
сосредоточим внимание на трех классах графов — на классе пол-
ных графов, полных двудольных । рифов и кубов — и укажем для
них известные значения названных выше ипваришиов
Как заметил Кёниг, любой граф можно уложить на некоторой
ориентируемой поверхности Это четко понять, если нарисовать
произвольный граф G на плоскости, причем некоторые ребра могут
пересекаться, и для каждою (двойного) пересечения добавить к пло-
скости ручку; затем провести одно ребро по ручке, а другое, — под
ней. Например, на рис, 11.16 показана укладка графа /<5 па пло-
скости, к которой добавлена одна ручка Конечно, при таком спо-
-1-) Встречаются также терчины «шсроховагссть», аеь нистосп» — Ирам
верее.
’2) Обзор резулнтагон io толщине s рафюи можно найти в стя.ье Хоббса 11], а
по числам скрещиваний — в статьях Кочана 11] и Гая 12] — Прим, перев
142
ГЛАВ X II
собе уктадки используется, как правило, ботьше ручек, чем на
самом деле требуется. Кёниг также показал, что при любой укладке
графа на ориентируемой поверхности с наименьшим числом ручек
все его грани будут связными областями
Рис И 16. Укладка графа
Kj на ориентируемой по
верхности.
Рис 11 17 1 кладка графа Д7 на
торе
Рис 11 18 Укладка графа Кц на
торе
Уже отмечалось, что планарные графы можно уложить на сфере
Тороидальным графом называется граф, который можно уложить
на торе. Графы /(31 тороидальные На рис. 11.17 ь II 18 по-
казаны укладки графов Ку и K.i;i на торе, представленном здесь
хорошо известным способом с помощью прямоугольника, в котором
отождествлены обе пары противо
положных сторон Пока еще не
найдено ни одной характеризации
тороидальных графов, аналогич-
ной теореме Понтрягина— Кура-
товского Однако Волмерхауз [1]
подтвердил одну гипотезу Эрдёша
доказав, что для гора и любой
другой ориентируемой поверхности
существует лишь конечное число
запрещенных подграфов
Род у (G) графа G определяется
как наименьшее число ручек, кото
рые нужно добавить к сфере, что
бы граф G можно было уложить
на получившейся поверхности
Конечно, y(G)=0 тогда и только
тогда, когда G — планарный граф,
одинаковый род
гомеоморфные графы имеют
Первая теорема этой главы дает характеристическое уравнение
Эйлера Г — b—F-2 для сферических полиэдров Более общо,
определим род полиздра 9 как число ручек, которые нужно до-
Комбинаторную трактовку пюрип полиэдров сч в работе Грюнб.-ума [2]
ПЛАН \PHOCTb
143
бавить к сфере, чтобы получившаяся поверхность содержала этот
полиэдр Обобщение теоремы 111 на полиэдры произвольного
рода также принадлежит Эйлеру. Доказательство можно найти
в работе Куранта и Роббинса [1]
Теорема 11 17 Для пошлдра рода у, имеющего I вершин, Е
ребер и F граней,
Ъ-Е+Г-2—2у (И 4)
Это равенство особенно полезно при доказательстве простых
результатов о роде и толщине конкретных графов. Для этого обыч-
но удобнее использовать даже не само равенство, а его следствия.
Следствие И 17 (а) Если G —связный граф рода у в котором
каждая грань является треугольником, то
q^3(p~2±2y), (П 5)
если же каждая грань — четырехцгогьник то
q=2(p—2-\-2y) (116)
Как указывается в работе Байнеке и Харари [2}, с помощью этих
двух соотношений легко проверить, что род графа имеет следую-
щие нижние оценки
Следствие 11 17 (б) Если G — связный граф рода у, то
(П 7)
если в G нет трсугогьников, то
(118)
Формула для вычисления рода полных графов была уставов
лена в результате долгой, интересной, трудной н успешной борь-
бы В своей двойственной форме это известная гипотеза Хивуда,
которая оставалась нерешенной с 1890 по 1967 г Мы вернемся к
этому в следующей главе Многие исследователи внесли свой вклад
в решение указанной проблемы, и, наконец, coup de grace, гипо-
теза быта подтверждена Рингел ем и Янгсом [11
Теорема 11 18 Для чюбоео положительного целого числа р
род по гного графа равен
нк„) 9'’ '‘Б'' "! (па»
I f
Пегко установить неравенство в одну сторону, что и сделал Хгг
вуд [11 Оно получается подстановкой £/(7<fJ) в неравенство (11 7)
144
ГЛАВА 11
По поскольку ро I любого графа — целое число, го
, (у \ I (р 4 (Р •*) |
? (АД j2 J
Доказательство ioio, чю правая часть является также верхней
оценкой для ?(Лф), можно осуществить только, произведя укладку
графа АД па ориентируемой поверхности указанного рода Сформу-
лировав в 1890 г гипотезу, Хпвуд тогда же доказал, что у(К-) = 1,
это подтверждает и укладка, показанная ла рис И 17, которая
триангулирует тор
Хеффтер доказал равенство (11.9) в 1891 г для р от8 до 12 И толь-
ко в 1952 г Рингель доказал. что (Ц 9) верно и для р-~ЛЗ На этом
этапе было обнаружено, что в соответствии с природой проводимых
доказательств естественно пытаться решать проблему сразу для
всех чисел р. образующих один класс вычетов по модулю 12 На-
пишем р— 12s | г Рингель [11 в 1954 г. доказал равенство (11.9)
для всех полных графов КР с г-5 В течение 1961 —1965 гг он рас-
пространил решение на случаи г—7, 10, 3 и одновременно Янгс
[11 со своими коллегами Густином, Терри и Уэлчем исследова г
случаи г^4, 0 1 9, 6
В 1967—1968 гг Рингель и Яше [1,21, работая вместе, построй
ли соответствующую укладку графа Кр для<=2, 8 11 Оставались
случаи р = 18, 20 и 23, для которых применяемые ранее методы были
непригодны. Доказательство завершил профессор кафедры фран
цузской литературы университета Монпелье Жан Мейер [II, по-
строивший укладку графа /ф для этих трех значений р
Для полных двудольючх графов соответствующий результат,
менее тру доемкий, получил Тинге ль Применение неравенства
(11 8) к графу Кт,г Дает
,, , тп 2 (tn 2)(п 2)
У (А ; ?!) -а 2~~~~ = 4
Противоположное неравенство устанавливается (Рингель [31) с
помощью построения соответствующей укладки графа Кт п-
Теорема 11 19 Род полного двудольного графа равен
-.4A.J {£=*»-*). (1110)
Род куба был найден Рингелем [4J, а также Байнске и Харари [31
Для графа Q„ имеем р^2'! и 2'; -1, гак что в силу7 (11 8) нера
веиство в одну сторону получается легко’
yfQ | (/г-4) 2"~{
Теореча 11 20. Род куба рав'н
уШ-\ | (н-4) 2 -3 (И И)
план грность
145
Отметим теперь некоторые бопее общие нес четок aim я рода
графов Баттл, Харари Кодама и Янгс [1] показали, что род графа
зависит только от родов ei о б юков как это уже выявилось в icope
ме 112
Теорема 11 21 Если граф G имеет блоки Blt В,, , В , то
У(6) = £Ж) (И 12)
( = 1
Этот результат быт несколько обобщен в статье Харари и К°
дамы [1! Напомним (теорема 5 8), что две п компоненты графа име-
ют не более п общих вершин
Теорема 11 22 Пусть п-связный граф G представляет собой
объединение двух (п-1 1)-компонент В и С Пусть ty, . . . , оп— мно-
жество вершин в В П С Обозначим через G.-; граф полученный до-
бавлением ребра к G Есш у (6’м)~у (G)+1 дгч любых 1 С (<1 /
п, то
y{G]^y[B)Gy(C')^n— 1 (11 13)
Мы уже видели в теореме 1111, что любой планарный граф с 9
вершинами имеет непланарное дополнение. Определим толщину
0(G) графа G как наименьшее чисто его планарных подграфов, объе-
динение которых равно G. Тогда теорему 11.11 можно сформулиро-
вать так 0(Д%)>- 2 Действительно, толщина графа Н» равна 3 п
граф Ко — критический относительно толщины, поскольку
0(Еч—х)—2 Поэтому 0 (АД —2 дть р 01 5 до 8 Естественно, 0(G) —
= 1 тогда ц только тогда, когда граф G планарен, Гак как в макси-
мальном планарном графе q—3p—6 ребер, го толщина 6 любого
(р у) графа удовлетворяет неравенств
°>зДт (ИИ)
Эго замечание полезно при формулировании гипотез о толщине
и доказательстве нижних оценок
Толщина полных графов изучатась Баинеке и Харари [51 и
Баинске [2] Применяя (11 14) к Д), находим
Произведя некоторые алгебраические преобразована, иолу чаем
! С(р-1);2П 3(р- 2j-1 I I p-i-71
9 ’) ------- 3(р-2) । - I — |
1сорема1123 Если рФА (mod 6) и р^=9, то толщина отого
графа равна
Р(/<ф HI 15)
146
MAR \ 11
Если p^4(mod 6), то равенство (11 15) не всегда выполняется
Так, 0(Д10) — 3^= [ 17/61, но Хоббс и Гроссман [II построили разло-
жение графа Д2.2 на 4---129'61 планарных подграфа, а Баинеке [21
доказал, что (Дгб)^5~ [35'61 Чуть позже Жан Мейер (снова он!)
нашел построения, показывающие, что 9(XS4)=6 и 9(Д4») = 7.
Единственное значение р^45, для которого 9 (Д',,) еще не известно,
это р = 16 Предполагается что 9 (Дщ)^=4 и что для всех р^4 (mod 6)
и ^^46 равенство (11.15) справедливо
Толщина полных двудольных графов изучалась Баинеке Ха-
рари и Муном II] и Байнеке |3]
Теорема 11 24 Т олщина по того деудо юного графа равна
за исключением, возможно, тех сгучаев, когда т< п, тп нечетно и
существует такое цегое час го k, что n=\2k{m—2)/(/н—2й)]
Следствие 11 24 (а) Толщина графа К,п п равна [(^4-5)41
Соответствующая проблема для куба решена Клаинертом [1].
Теорема 1125. Толщина куба равна
= (П П)
Некоторых успехов добился Эрдёш (устное сообщение), когда
он пытался описать понятие толщины. Говоря о наибольшем числе
Рис 11 19 Четыре нетднарных подграфе! графа К\о
непланарных подграфов, не пересекающихся по ребрам и содержа-
щихся в данном графе G, он сначала определил крупность Ё (G)
Таким образом, как толщина, так и крупность требуют построений,
разбивающих граф на остовиые подграфы (планарные и непланарные
соответственно) в смысле гл. 9 Формулы дчя крупности полного
графа не такие простые, как для других топологических инвариан-
ПЛАНАРНОСТЬ
147
тов Причина кроется в том, что К3,я или граф, ему гомеоморфный,
наиболее удобен для конструкций, используемых в изучении круп-
ности Это подсказывает вид следующего результата, полученного
Гаем и Байнеке Ill На рис 11,19 показаны четыре графа, юмео
морфных Ка,3, не пересекающихся по ребрам и содержащихся в
Кю
Теорема 11 26 Крупность пошьа графов опреде гчется по
фор му гам
( । \ р — 3?г<715,
1 " ' Ш , р- 8н>30,
\ у 2 L 5 | г
2[i], ^g"T71>19- (1118)
Все значения В (К.,,) или вычисляются по форму там (И 18), или
приведены в табл 11 1, или на 1 больше табличных значений,
см Гай, Байнеке [1]
Таблица 111
Предполагаемые значения для | (Кр)
р [3 18 21 24 27 9п-т-7
1^]) 7 15 21 28 36 (Q.3 1 13. 1 2) 2
Для крупности полных двудольных графов результаты Гая и
Байнеке [21 не полны; они включают много случаев.
Теорема И 27 Крупность полного двудольного графа Кт,п
удовлетворяет соотношения w
Жзг а, 35 г)-^ф1Шп ( | т] ’ [~ Wir 2 Sj = rs+ Щ при гф 1 Г8 ПНГ1 ( 1 > rs-pmax При Г 2, } для d - 0 иги 1 и е = 0 или 1, 1; I 2s "1 Г8г-Н lbs — 21 > J ’ 1 3 J 1 L 39 ] ’ s^7,
144
ГЛАВА Н
при r^2s,
Числом скрещивании v(G) графа G называется наименьшее число
попарных пересечений его ребер при расположении графа G на
плоскости. Очевидно, чю v(G)=0 тогла и только тогда когда граф
G планарен. Точное значение числа скрещиваний не известно ни
для одною из рассматриваемых трех классов графов, установлены
только верхние оценки Преобладает мнение, что оценки (11.19) и
(11 20) точны Некоторым авторам удалось убедить себя, что они
доказали эти равенства Подробности см. у Гая [II.
Теорема И 28 Чисю скрещивании полного графа удовлетворяет
неравенству
[i] [ifl| 1^] (11 19)
Теорема 11.29 Число скрещиваний полного двудомного графа
удовлетворяет неравенству
Саати показал, что в (11.19) выполняется равенство дтя /э<[ 10, а
Клейтман доказал равенство в (11.20) для /нЩ.б Таковы извест-
ные результаты для гСЛ;,) и т(Кт „). Для куба нет даже предполо-
жений о том, каково v (Q )
Упражнения
11 1 Если (j\ qL) граф и (о2 г^-граф гомео горфны то
11.2. Каждый плоский эйлеров граф ссержит эйлерова петь не имеющею
самопересечений.
11 3. Трехсвязный граф с вершинами планарен тогда и только тогда
КО1ДТ в нем пет подграфов, i омеоморфпых графу АД;;.
(Д Холл [!))
Ы 1,4 Любой 1 связьын планарный 1раф iа мильтонов
(Татт []])
11.5 . Любой 5-связный планарный граф имеет по крайней мср^. 12 вершин
Построить один из них,
11.6 Не существует 6 связных планарных графов
*11.7. Если G — максимальный плоский граф», в котором каждый тре.уголь
ник ограничивает некоторую область, не содержащую ребер, то граф G гамиль
тонов
(Уитон [}])
118 Не всякий максимальный планарный 1раф гамильтонов
ф итни [3])
ПЛАНАРНОсТЬ
149
11.9. Если н изображении графа G ла ичоскостц каждые два несмежных ребра
пересекаются четное число раз, то граф G гамильтонов.
(Брукс, Смит Стоугг, lanl
П.10 Доказать или онровергнА ть каждый связный неплапариый граф стя
питается к графу или /<3,3.
1 1.11. Доказать и ни опровергнуты граф плапаре.н тогда и только тогда, когда
любой его подграф, имеющий самое большее шесть вершин со степенями не меньше
3, гомсоморфсн подграфу графа Е4.
11,12, Доказать или опровергнуть, базис циклов плоского графа, состоящий
из границ внутренних областей, всегда получается из дерева. (Ср. ь гл 4 )
*11.13 Каждый трехсвязныи планарный граф имеет остов v которого па
ибо щ пая степень равна 3
(Барнетт J1J)
11.11. Плоский граф дпуспязегг тогда и только тогда когда геометрически
двойственный к нему граф двусвязен.
11,15 Все колеса самодвойственны.
11.16. Квадрат связного графа G внешнепланареп тог да i тол г ко тогда когда
G есть или Кд или простая пепь.
11 17 Следующие утверждения jKbiiвалентны
(I) реберный граф L (G) виешнспланарсн;
(2J наибольшая степень A (G) не превосходит 3 и любая вершина сте-
пени 3 есть точка сочленения
(3) тотальный граф Т (G) плоский.
(Чартр.эпд Геттер X слепшем л [2], Бех.за д [ 1])
11 18 Граф G имеет тапарный квадрат тогда и только тогда когда
а) A(G)=^3;
б) каждая вершина степени 3 япляетея точкой сочленения;
в) все блоки графа G. содержащие более 3 вершин, являются четными
простыми циклами
(Харари Карп Та i г [1])
11 19 Граф G имеет планарный реберный граф то; да и толико тогда когда
a) G планарен
б) A(G)<4;
в) каждая вершина степени 4 есть точка сочленения
(Ссдла-тек [1|)
11.20 Найти род и число скрещиваний ’рафа Петерсена
11.21. Доказать или опровергнуть: иеиланарпый граф G имеет о —[ lorj[I
и только тогда, когда для некоторого ребра г граф G—х планарен
11.22. Древеспость любого планарного графа це превосходит 3 Привести
пример планарного графа с дрсвесностыо 3
11.23. Каждый граф гомеоморфе и графе имеющему древескость 1 или 2 и
потому толщину 1 или 2
11.24. Искаженноеггмо (skewness) графа G называется наименьшее число рс
бер удаление которых приводит к планарному графу. Найти искаженность графов
Д Кд б) К,л п в) Q„
(Копит)
11.25. Если G— ннешпеппанарныи [раф нс имеющий треугольников то
|.1р -1 >.'2.
11.26. Если у зрафа G для любых дву ?. нершт к существует не более двух сое
димяющих их простых цепей длины больше 1, не имеющих общих вершин, то
150
ГЛАВА 11
d) G—планарный граф
б) q -i'a 2р—3,
в) если G — неразделимый граф и р:^ 5 то он содержит единс гвениый
гамильтонов цикл.
(Ганг [1ф
11 27 Сложить куб Q4 на поверхности гора
11 28 Род у любого графа G с обхватом g удовлетворяет неравенству
’*?[(' 4)
(Байнеке, Харари [2])
*11 29, у (К„ (“7*)
(Рин! ел 13
1130 Если Gj и <Z>— гомеоморфные графы, то £(<л)=б(б2) п vfGj)—v(G2).
11 31 Наибольшее чисто непересекающихся ло ребрам подграфов К3 g графа
к-“иг»1П
U з 1_з | ’ [з Ь J1J ’
Таким образом, для любого п
£(К..„)>|у [”г|] •
(Гай, Байнеке [2J)
Глава 12
РАСКРАСКИ
Представьте себе коричневого течен-
ка, большого коричневого пса и ху-
дожЕШка который рисует их Он
должен изобразить их так чтобы выт
взглянул на картину, могли сразу
отличить их друг от друга не так
ли'1 Конечно Может, вы хотите
чтобы они оба были у него коричне-
вые? Конечно нет. Тогда художник
сделает одного из них голубым, и
тут уж не ошибешься То же самое с
нартами. Вот почему каждый штат
закрашивают другим цветом.
Oahu гл К Миен*. (Марк
Гипотезу четырех красок можно с полным основанием назвать
еще «болезнью четырех красок», так как она во многом похожа
на заболевание Она в высшей степени заразна. Иногда она проте-
кает сравнительно легко, но в некоторых случаях приобретает за-
тяжной или даже угрожающим характер. Никаких прививок про-
тив нее не существует, правда, люди с достаточно здоровым орга-
низмом после короткой вспышки приобретают пожизненный имму-
нитет Этой болезнью человек может болеть несколько раз, и она
подчас сопровождается острой болью, но ни одного летального
исхода зарегистрировано не было Известен по крайней мере один
случай передачи болезни от отца к сыну, так что, может быть, она
наследственна
Тем не мепее именно попытки обосновать эту гипотезу стимули-
ровали получение ряда результатов по раскраске графов, которые
в свою очередь привели к исследованиям некоторых других разде-
тое теории графов
В этой главе после определения раскраски графа и его хромати-
ческого числа излагается доказательство теоремы о пяти красках,
а затем обсуждается гипотеза четырех красок Далее вводятся одно-
значно раскрашиваемые графы, т е графы, которые можно раскра-
сить единственным образом, а также критические графы (мини-
мальные относительно раскраски) Исследуется тесная взаимосвязь
между гомоморфизмами и раскрасками Глава завершается описа-
нием свойств хроматического многочлена
152
ГЛАВУ 12
Хроматическое число
Раскраской графа называется такое приписывание цветов его
вершинам, что никакие две смежные вершины не потучают одина-
кового цвета. Множество всех вершин одного цвета ян ч я стен неза
висимым и называется одноцветным классом. В п-раскраске графа G
используется п цветов, и, таким образом, эта раскраска разбивает
V на п одноцвei иых классов Хроматическое число '/.(G) графа G
определяется как наименьшее п, для которого граф G имеет п рас
краску. Граф G называется п-раскрашнваемым, если /(G) ^.п, и
п-хроматически м, если x(G)—/г
Поскольку граф G, очевидно, имеет р-раскраск> и /(С)-раскрас
ку, он должен имегь также п раскраску для любого и, удовлетворя-
ющего неравенствам '/ (С)< р. Граф на рис 12.1 явтяется
2-хроматическим. На этом же рисунке приведены /i-раскраски ття
п—2, 3, 4 положительные целые числа указывают цвета
Легко найти хроматические числа некоторых известных графов
X(Aj) Р, *)=р— 1, /ДКД = 1, 7. 2, х(С,„)-2
X (Сф +i)=3 и /(7)^2 для любого нетривиального дерева Г.
Очевидно, что граф является 1-хроматическим тогда и только
тогда, когда он вполне несвязен Описание двуцветных (2-рас-
крашивасмых) графов дано Кёнигом [2, стр 170! и отражено в
теореме 12 1 (см также теорему 2 4)
Теорема 12 1. Граф двуцветен тогда и точько тогда, когда
он нс содержит нечетных простых циклов
Похоже, что пробтема характеризации л-цвешь|Х графов для
3 все еще не решена, поскольку такой критерий даже для ц--3
помо! бы решить гипотезу четырех красок. Не пай цены также .эф
фективные методы определения хроматического числа произволь-
ного графа Однако известно несколько оценок для /(G) в которых
используются различные другие инварианты. Одна очевидная ниж-
няя оценка — это число вершин в наибольшем полном подграфе
графа G Мы рассмотрим сейчас верхние оценки; первая такая
оценка была получена Секерешсм и Вилфом 111.
Р ХСКР Ч Мт
15д
Теорема 12 2 Для гюбого графа G
/ (G) Д 1 max 6 (G ). 112 ।;
где шшп ум берется по всем i врожденным подграфа к О уоафа 6
Доказательство Утверждение очевидно для вполне не-
связных графов. Пусть G—произвольный /ахроматический граф
2 а 7/ - любой наименьший порожденный подграф, для кото
рого Таким образом, уДН—v)—n—1 для всех вериг пн ь
графа И Следовательно, deg п— 1, гак что 6(Н)^ и—1 и по-
тому
п— 1 С 6 (Н) < max б {Н ) A max 6 (G )
где первый максимум берегся по всем порожденным подграфам Я
графа И, а второй — по всем порожденным подграфам G' графа G
Отсюда вытекает, что
/ (G) п Д 1 — max 6 (G )
Следствие 12 2 (а). Для любого графа G хроматическое число
не богьшг чем на 1 превышает максима 1ьную степень
ХСН А (12 2)
Брукс [11 показал, однако что часто эту оценку можно ул у чтить
Т еор с м а 12.3. Если A iG)— hi, то граф G всегда п поспрашиваем,
за исключением следующих двух случаев'
I) п~2 и G имеет компоненту являющуюся нечетным циккм:
2) 2 и Кп J.J— компонента графа G
Нижняя оценка, приводимая в монографиях Бержа 12] п Оре
[4], и верхняя оценка данная в статье Харари и Хедетниемц III,
содержат вершинное число независимости графа G
Теорема 124 Для любого графа G
Р (12 3)
Доказательство Если у (G) = и, то множество V можно раз-
бить на п одноцветных классов И(, 1/.3, Vn каждый из которых,
как отмечалось выше является независимым множеством вершин
Если jТА 1 =/7z io pi Д ро для всех г, так что р=Ер,-^цр.,
Для проверки верхней оценки рассмотрим максимальное неза
висимос множество S содержащее р„ вершин Ясно, что у (G— S i
'Ду(Д)—1. Так как G — 5 имеет р—0() вершин, то у (G—S) Др—Р».
Отсюда /, (G)< y(G—S)-r 1 Др— fVri
Представленные здесь оценки нс так уж хороши в том смысле,
что дтя каждой оценки и нобого положительного целою числа п
154
ГЛ АВТ 12
существ\ет такой граф G, что у (G) отличается от оценки более чем
на н
Исследуя приведенные выше рассуждения, легко проникнуться
верой в то, что все графы с большим хроматическим числом имеют
большие клики и, следовательно, содержат треугольники, И вот
Дирак [3] поставил вопрос, существует ли граф без треугольников,
но с произвольно большим хроматическим числом Положительно
на этот вопрос ответили независимо друг от друга Бланш Декарт J)
111, Зыков [1] н Мыцельский [11. Затем их результат обобщили
Дж и Л. Келли [I], доказав, что для любого п7>- 2 существует
/l-хроматический граф, обхват которого превосходит 5 Они пред
положили, что справедливо следующее утверждение, которое пер
вым доказал Эрдёш [11, используя вероятностные соображения
Позже Ловац [2] дал конструктивное доказательство этой теоремы
Теорема 12 5 Для любых двух положительных цегых чисел т
и п существует п-хроматический граф обхват которого превосходит
т.
Величина x = z(Q=X (Q представляет собой наименьшее пи
ело подмножеств, на которые можно разбить множество вершин
графа G так, чтобы каждое подмножество порождало полный под
граф графа G Ясно, что x(G)^p0(G) Оценки для суммы и про-
изведения хроматических чисел графа и его дополнения были по-
лучены Нордхаузом и Гаддумом [1]
Теорема 126 Для любого графа G сумма и произведение часе г
X и х удовлетворяют неравенствам
2/р^Х-Х^Р- 1. (12 4)
(12 5)
Доказательство Пусть G будет n-хроматическим графом,
a Rj, V%, , К„ его одноцветными классами, Тогда, ра-
зумеется, %pt=p и max рДр pin. Так как каждый класс Vi поро-
ждает полный подграф в G, то у^тах р,'2^р!п, и поэтому 7Л^Р
Но поскольку среднее геометрическое двух положительных чисел
не превосходит их среднего арифметического, io х+х^2[/ р
Обе нижние оценки доказаны
Неравенство Х“Х Р~*~ 1 будем доказывать инду кцией по р,
заметив, что равенство достигается при р^=\ Итак, предположим,
что х (G)+x для всех графов G с р — 1 вершинами Пусть Н
и Н — взаимодополнителъные графы (граф и его дополнение) с р
*) Дама с этим именем есть на самом деле непустое подмножество множества
{Брукс, Смит Стоун Таттф в данном с ту чае {Татт}
РАСКРАСКИ
155
вершинами и и — вершина графа Н Тогда G~H—v и G=H—v
будут взаимодополнительными графами с р—I вершинами Пусть
степень вершины v в Н равна d, так чго ее степень в Н равна р—d—Л.
Очевидно, что
X(//)CX(G) 1 и х(Я)^Х(б) + 1
Если
X (#)< X (Q -1 или х (//)< X (G)+1,
то X (И)+ /(И) у—1 Предположим теперь, что /|'Я1 = /,(ф-1 и
X(//)—X(G)-?-1 Тогда удаление вершины о из И, приводящее к
образованию графа G, уменьшает хроматическое число, так что
d~^ х (G) Аналогично
p—d— 1>X(G)
Таким образом, хСлП^Х (G) —1 Следовательно, всегда
/.(#НХ г1
Наконец, используя неравенство 4/х С(х^х)3> получаем
Теорема о пяти красках
Хотя не известно, все ли планарные графы 4-раскрашиваемы,
все они, несомненно, 5-раскрашиваемы Мы приведем доказатель-
ство этого известного утверждения принадлежащее Хивуду [I].
Теорема 127 Каждый пшнарный граф 5-раскрашиваем.
Доказательство Будем доказывать индукцией по числу р
вершин Для любого планарного графа с вершинами резуль-
тат тривиален, поскольку такой граф р-раскрашиваем
Допустим, что все планарные графыс р вершинами 5) 5 рас-
крашиваемы, Пусть G—плоский графе рт1 вершинами В силу
следствия 11 1 (д) в графе G найдется вершина v степени 5 или ме-
нее По предположению индукции птоский граф G — и 5 раскра-
шиваем.
Рассмотрим приписывание цветов вершинам графа G — а,
при котором получается 5-раскраска, цвета будем обозначать через
с„ 1^(Х5. Ясно что если некоторый цвет, скажем Cj, не исполь-
зуется в раскраске вершин, смежных с и, то, приписав цвет су вер-
шине v получим 5-раскраску графа G
Осталось рассмотреть случаи, когда degc—5 и для вершин
графа G смежных с v, используются все пять цветов. Переставим
номера цветов, если это необходимо, так, чтобы вершины, смежные с
156
ГЛ\В\ 12
Шаг в
доказа-
Рис. 12.2
тельстае теоремЕд
красках
v if окрашенные в цвета съ с2, са, Ct, были циклически упорядо-
чены относительно v Пометим теперь вершину, смежную спи ок-
рашенную цветом гг буквой v(, l^iC5 (рис 12.2)
Обозначим через G(S подграф графа G — и, порожденный всеми
вершинами, окрашенными в один из цветов tL и оа. Если вершины
Ui и t>3 принадлежат различным компонентам графа G|S, то 5 рас-
красит графа G — а можно получить, поменяв друг с другом (су на
сэ и обратно) цвета вершин той компоненты
графа GI3, которая содержит су В этой
5-раскраске уже нет вершин, смежных с и
и окрашенных в цвет ст; поэтому, окрасив
v в цвет су, образуем 5-раскраску графа G
Если же вершины су и Vj принадлежат
одной и той же компоненте графа G1S, то в
G между г?! и существует простая цепь
все вершины которой окрашены в цвета су
и су>. Эта цепь вместе с цепью образует
простой цикл, который обязательно окру
жаст или вершину су, или вершины и
v;,. В тюбом из этих случаев и2 и гц нель-
цепыо, все вершины которой окрашены в
цвета с» и с4. Следовательно, рассматривая подграф графа G — и,
порожденный всеми вершинами, окрашенными в цвета с2 и д1( за-
ключаем, что вершины V, и сц принадлежат различным его компо-
нентам Таким образом, если поменять между собой цвета вершин в
компоненте подграфа G:i, содержащей v.,, получим 5 раскраске
графа G — и, ив ней ни одна из вершин, смежных с у, не будет ок-
рашена в цвет с2 Поэтому, окрасив вершину и в цвет с2, образуем
5-раскраску всего графа G
ла соединить
Гипотеза четырех красок
В гл. 1 уже упоминаюсь, что гипотеза четырех красок, благо-
даря попыткам решить ее, служила катализатором для теории гра-
фов Мы здесь представим теоретико-графовое обсуждение этой бес-
славной проблем!,г Раскраской плоской карты G называется такое
приписывание цветов областям в G, что никакие две смежные об-
ласти не получают одинакового цвета Карта G называется п-рас
крашиваемой, если существует ее раскраска, использующая п
или менее цветов. Первоначальная формулировка гипотезы, упомя-
нутой в гл 1 выглядит так’ каждая плоская карта 4-раскрашиваема
Гипотеза четырех красок Каждый пчанарный граф
^-раскраш иваем
Еще раз подчеркиваем, что под раскраской графа всегда пони-
мается раскраска его вершин, в то время как раскраска карты озиа-
РАСКР\СКИ
157
чает, что раскрашиваются именно ее области Таким образом,
предположение, что каждая плоская карта 4 раскрашиваема, на
самом деле эквивалентно приведенной только что формулировке
гипотезы четырех красок Чтобы убедиться в этом, предположим
что гипотеза четырех красок справедлива, и возьмем произвольную
плоскую карту G. Пусть G*— граф являющийся основой карты, ie-
ометричсски двойственной к карте G Так как две области карты G
смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины
графа G* смежны, то карта G 4-раскрашиваема, поскольку граф G*
4 раскрашиваем
Рис 12 3 Два 4 хроматических планарных графа
Обратно, предположим, что каждая плоская карта 4-раскраши
ваема Пусть Н — любой планарный граф, а Н*— граф, двойствен-
ный к граф\ Н и нарисованный так что каждая ci о область содержит
точно одну вершину графа Я Связный плоский псевдограф Н*
можно перевести в плоский граф Н , добавляя две новые вершины
на каждую петлю графа И* и одну новую вершину на каж юс ребро
из множества кратных ребер Теперь 4-раскрашиваемость графа Н
означает 4-раскрашиваемость графа Н Таким образом эквивалент
ность обеих формулировок доказана
Если будет доказана гипотеза четырех красок, то результат
будет неулучшаем, поскольку легко привести примеры планарных
4-хроматических графов. Таковы графы Кл и 1Ев, изображенные на
рис 12.3. В каждом из этих графов не менее четырех треугольников,
что является в силу теоремы Грюибаума [11 необходимым условием
4-хромэтичности
Теорема 12.8 Каждый планарный граф имеющий меньше
четырех треугольников, 3 раскрашиваем
Отсю щ немедленно вытекает следующее утверждение, перво
начально доказанное Грётшем [1]
Следствие 12.8 (а). Каждый п ганарный. граф, не содержащий
треугольников ^-раскрашиваем
Тюбая плоская карта, которая для своей раскраски потребует
5 красок, должна обязательно содержать много областей Ч. Так
*) Финк н Закс |1| доказали, что побои гиоскии граф содержащий не битее
21 треугольника 4-раскраишваем.
158
ГЛАВА 12
Ope и Стемпл !11 показали, что все плоские карты, имеющие не
более 39 областей, 4-раскрашиваемы, и тем самым увеличили на
4 число областей в более раннем результате такого типа *) Все
эти примеры подтверждают гипотезу четырех красок Как мы сей-
час увидим, эту гипотезу в ее формулировке для плоских карт мож-
но попробовать доказывать для специального класса плоских карт
Теорема 12.9. Гипотеза четырех красок справедлива тогда и
только тогда, когда каждая кубическая плоская карта, не имеющая
мостов, А-раскрашивав ча
Доказательство Мы уже видели, что любая плоская карта
4-раскрашиваема тогда и только тогда, когда справедлива гипотеза
четырех красок В свою очередь это эквивалентно предложению,
что каждая плоская карта, не содержащая мостов, 4-раскрашиваема,
так как элементарное стягивание с помощью отождествления ви-
сячих вершин моста не изменяет числа областей карты и не нарушает
смежности тюбых ее областей
Ясно, что если 4-раскрашиваема всякая плоская карта, не со-
держащая мостов, то и всякая кубическая плоская карта, не со-
держащая мостов, также 4-раскрашиваема Чтобы проверить об-
ратное, предположим, что G — плоская карта без мостов и что все
кубические плоские карты без мостов 4-раскрашиваемы Так как
G не содержит мостов, то в ней нет висячих вершин Бели в G су-
ществует вершина v степени 2, инцидентная ребрам у и г, то произве-
дем подразбиение ребер у и г, обозначая дополнительные вершины
через и aw соответственно. Удалим теперь о, отождествляя вершину
и с одной из вершин степени 2 в некоторой копии графа Kt— х, а
вершину w — с другой вершиной степени 2 в Кг— х Очевидно, что
каждая из новых вершин имеет степень 3 (рис 12 4) Если G со-
держит вершину степени »^4, инцидентную ребрам ду, х2, .
, хТ, упорядоченным циклически относительно п0, то, добавляя
новую вершину о(, подразобьем каждое ребро xt Затем удалим и
добавим новые ребра щг.2, , v„ xvn, Опять каждая
из дополнительных вершин имеет степень 3
Обозначим полученную кубическую плоскую карту, которая,
очевидно, не содержит мостов, через G' Эта карта по предположению
4-раскрашиваема Рассмотрим в карте G произвольную вершину с,
у которой degt'5^3 Если в G' отождествить между собой все до-
бавленные при построении карты G вершины, соответствующие
вершине v (причем сделать это для всех вершин и карты G, степень
которых отлична от 3), то получим карту G. Поэтому, имея неко-
торую 4-раскраску карты G и осуществляя указанное выще стя-
гивание карты G' в карту G, получаем ш-раскраску карты G, где
т<4 Теорема доказана
Результат Орс и Сгемпла также быт улучшен Донец [1J довел чисто об
лас гей до 41 —Прим перев
РАСКРАСКИ
159
Другую интересную эквивалентную форму гипотезы четырех
красок предложил Уитни 17)
Теорема 12 10 Гипотеза четырех красок справедлива тогда
и только тогда когда любой гами. гыпонов планарный граф Грас-
крашиваем
Наряду с эквивалентами гипотезы четырех красок, в которых
говорится о раскраске областей, существует также эквивалент, в
котором рассматривается раскраска ребер1)
*4
Рис 12 4 Переход от графа к кубическому графу
Раскраской ребер графа G называется такое приписывание цветов
его ребрам, что никакие два смежных ребра не получают одинако-
вого цвета. Реберной п-раскраской графа G называется раскраска
его ребер, использующая точно п цветов Хроматическим классом2)
у/ (G) называется такое наименьшее число п, что для графа G су-
ществует реберная zi-раскраска. Очевидно, что для любого графа,
не являющегося вполне несвязным, х' (Q—х(L(G)) Нижнюю и
верхнюю оценки хроматического класса, мало отличающиеся друг
от друга, получил Визинг [1| 3)
*) Наиболее полный обзор различных эквивалентных формулировок (а имен
но 13) проблемы четырех красок дал Саатд [ 1 ]Прим. не рев.
2) В отечественной литературе принят этот термин Автор использует другое
название — «реберно-хроматическое числе» указывая что иногда применяется
термин «хроматический индекс». — Прим, перее
Доказательство можно найти у Оре [6, стр 248]
160
ГЛАВА 12
Теорема 12 11 Для каждого графа G хроматический масс
удов летворяет неравенства и
/'<Д -1 (12 6)
На рис 12.5 показаны два возможных значения у (G) В об-
щем случае не известно, для каких графов —Д
Рис 12.5 Ды значения хроматп геского класса
Теорема 12.12 Гипотеза четырех красок справедлива тогда
и только тогда, когда у/ (G)-—3 для любого кубического п ланарного
графа G, не содержащего мостов
Доказательство В теореме 12 9 уже доказана эквивалент-
ность гипотезы четырех красок утверждению о том, чю любая куби-
ческая плоская карта без мостов 4-раскрашиваема Мы покажем
теперь, что любая кубическая плоская карча без мостов 4-раскра-
шиваема тогда и готько тогда, когча /, (G) —3
Сначала предположим что G — кубическая плоская карта без
мостов, имеющая 4-раскраску. Без ограничения общности можно
считать, что G — связная плоская карта В качестве множества цве-
тов выберем элементы четверной группы Клейна F, в которой сло-
жение определяется по правшам • kt~k$ и ~k-^, где kn—
нулевой элемент группы F
Пусть задана 4 раскраска карш G Определим цвет ребра как
сумму цветов двух различных областей, инцидентных этому- ребру.
Тогда ясно, что ребра раскрашиваются элементами множества
{/ц, Аа, kt} и что ни одной паре смежных ребер не приписывается
один и тот же цвет Следовательно, % (G)-=3.
Обратно, пусть G — кубический плоский граф без мостов, у
которого у' (G) —3, раскрасим его ребра с помощью трех ненулевых
элементов группы F Выберем некоторую облапь 7?0 и припишем ей
цвет /г0. Цвет любой другой области7? графа Gопределим следующим
образом Пусть С — произвольная кривая на плоскости, соединяю-
щая некоторую внутреннюю точку области Го с какой-нибудь вну-
тренней точкой области /? так, что С не проходит через вершины
графа G Цвет области /? определяется как сумма цветов ребер, пере-
секающих кривую С Определение цвета области нс зависит от вы-
бора кривой С, так как сумма цветов ребер, пересекающих любую
РАСКРАСКИ
НН
простою замкнутую кривую, нс прохошшую через вершины графа
G, равна k„. Пусть S — такая кривая а <:>, сг,— цвета ребер,
пересекающих 5 Пусть также d, d,, , d,fi— цвета ребер, находя
щпхея внутри 5 Заметим, чго если обозначить через с’(с') сумму
цветов трех ребер, инцидентных вершине е го с(ф--б„ Следова-
тельно, для всех вершин о, находящихся внутри S выполняется
равенство Vc(и)--!г С другой стороны,
У с (уф- ; "i С Л-г-2 ft?, i . ффф
=-G I с2-г 3-су,
так как каждый элемент группы Г является обратным самому себе
Таким образом, cl :-с21- . =--k0 Теперь уже несложно прове-
рить, что определенная нами раскраска карты G действительно яв-
ляется 4-раскраской Теорема доказана
Поскольку каждый одноцветный класс ребер, определяемый ре-
берной н-раскраской регулярного графа G степени п, явжгя
1-фак'юром графа G, из теоремы 12 12 получаем еще одна эквива
леитную форму гипотезы четырех красок
Следствие 12 12 (а) Гипотеза четырех красок iiipaeed.iti.ee
тогда и только тогда, когда каждый кубический планарный граф
не содержащий мостов, {-факторизуем
В терминах факторизации теорема 12 12 допускает обобщение
(Оре 16, стр 1071)
Теорема 12.13. Дгя того чтобы связная, планарная карта G
была 4 раскрашиваема, необходимо и достаточно, чтобы граф G
можно было представить в виде суммы таких трех подграфов 6^
G, G;t, что для любой вершины v числа ребер из каждого подграфа
G;. инцидентных t, быш либо все четные, шбо все нечетные
Существует несколько других гипотез о раскрасках, по именно
гипотеза четырех красок получила наибольшую известность
Одну из наиболее интересных гипотез о раскрасках сформулировал
Хэдвигер [11; в ней рассматриваются стягивания
Гипотеза Хадвигера Каждый связный п ароматический
граф стягиваем к Кп
Неудивительно, что эта гипотеза связана с гипотезой четырех
красок Гипотеза Хадвигера верна для п<4, этот результат при-
надлежит Дираку [1| Для п—5 гипотеза Хадвигера утверждает
что каждый 5 хроматический граф G стягиваем к К. Но по теореме
II 14 любой такой граф G обязательно неппанареп. Таким образом,
из гипотезы Хадвигера для и--5 следует гипотеза четырех кра-
сок Обратное было установлено Вагнером [31.
6 ь ш
НД!
! ТАВА 12
Теорема 12 14 Гипотеза Хадвигера для п—5 лквивалентна
г и пот вое четыр e.v красок.
Теорема Хивуда о раскраске карт
Пусть S„~ ориентируемая поверхность рода п, значит, S,(
топологически эквивалентна сфере с п ручками. Хроматическим
числом поверхности S„ — обозначается z(5„) — называется наиболь-
шее хроматическое число среди хроматических чисет всех графов
которые можно уложить на 8„ Поверхность S, является просто
сферой, и с проблемой определения числа /(5 ) мы уже сталкива
лись 1 ипотеза четырех красок утверждает что yj5())--4, хотя
известно, что (теорема 12.7) у (Х„) равно 4 или 5.
Хивудх [И удалось показать, что кая тора %(SJ—7 Неравенство
7 вытекает из возможности уложить на торе. Эта ук-
ладка приведена па рис 11 17 Равенство z (ф1) -7 следует из ут-
верждения доказанного также Хнвудом (см. доказательство те
оремы 12 15) Его результат дает верхнюю оценку для хроматиче-
ского числа ориентируемом поверхности положительною рода гг
X(S,)<p—1 *+4йп „ >0 (12 7)
При /г=1 имеем /Д5(К 7, гак что z(Si)^7
Хивуд, обнаруживший ошибку в «доказательстве» Кемпе гипо-
тезы четырех красок, сам оказался небезгрешным Он считал, что
доказат равенство в приведенной выше формуле но уже через год
Хсффтер [11 указал неточности в доказательстве Хивуда, так что
осталось только неравенство (12.7) Сам Хеффтер доказал равенство
для 0<; пфб. В итого утверждение о том, что в формуле Хивуда
выполняется равенство, стало называться гипотезой Хивуда о рас
краске карт Покажем, что из истинности формулы у (ЛГр) -
=-{(р—3) (р—4)-'!2} (теорема 11 18) можно вывести (как это сде-
лали Рип гель и Янгс) справедливость гипотезы Хивуда
Теорема 12 15 (теорема Хивуда о раскраске карт).
Для любого положительного целого числа п хроматическое число
ориентируемой поверхности рода п определяется формулой
у (SJ = [ .L+^+^-j ( п(12 8)
Доказательство Сначала докажем неравенство (12 7) Пусть
G бугдст (р, (/)-графом, сложенным па LS,(. Можно считать, что G —
триангуляция так как, добавляя ребра, любой граф можно топот
нить до триангуляции того же рода, при этом / не уменьшится
Если d — средняя степень вершин в G, то р, q и г (число областей)
packглек 1 f
1W
УДОВЛЕТВОРЯЮТ соотношениям
dp^-- 2q — 3r
(12 9)
Вы ражая 7 и г через р и ис"очь:л я формуле Эйлера (114) толе чаем
Гак как d-^p -1, то
, . 12 (л— 1) , е
р _<;.6
(12 10)
(12 11)
Решая относительно р и выбирая положительный корень, находим
(12 12)
Обозначим через Н (л) правею часть формулы (12 8) Нужно по-
казать, что Н [п) цветов достаточно для раскраски вершин графа G
Если р—Н (п) то, очевидно цветов достаточно Если же р>Н(п),
то подставим Я (л) вместо р п (12 10) и произведем алгебраические
преобразования Тогда
d И = И)” 1 (12 13)
И (п ) '
Гаким обратом, если р>Н(,п), то существует вершина v, степень
KOiOpoii не превосходит Н (п)— 2 Отождествляя и ц люблю смеж-
ную с пей вершину (с помощью элементарного стягивания), полу-
чаем новый граф G' Если р =р~ 1 =Я (/г), го G' можно раскрасить
Н (п) цветами Если р'> Н(п), указанный прием повторяем снова
В конце концов придем к Я («)-раскрашиваемому графу Легко ви
деть что раскраска этого графа порождает раскраску' графа, полу-
ченного на предыдущем этапе Я (п) цветами ит д Таким образом,
сам граф G также Я(га)-раскрашиваем.
Неравенство в обратную сторону доказать очень трудно Для
преодоления этой трудности Ринге ль и Янгс разработали специаль-
ные методы Если иодный граф Лф можно уложить па S„, то в силу
уравнения (119)
n>V(^) = ](P~3)1^~41} (12 14)
Так как функция, заключенная в фигурные скобки, монотонно
возрастает при р .Я 4, то для всякою п найдется наибольшее зна-
чение р, удовлетворяющее неравенству (12.14) Разрешая соотно-
шение (12 14) относительно р находим что
6*
ГЛАВА 1 >
Поскольку z(Arfl).р, граф Афбхдет иметь род п и хроматическое
число И («) Это показывает, что Н (п) — пеулучшаемая нижняя
оценка для Доказательство закончено
Заметим, что формула (12 8) при п -Э) привошг к гипоюзе че-
тырех красок
Однозначно раскрашиваемые 1рафы
крашиваемым пти п
о
Пхсть (} ~ помеченный граф. Каждая сто / (G) раскраска по
рождает разбиение множества его вершин па /. (G) одноцветных клас-
сов Если X (G)--/i и каждая л раскраска графа G порождает одно
п то же разбиение множества 1фто G называется однозначно п-рас
юсто однозначно раскрашиваемым.. Граф пред
ставленный на рис 12 6 однозначно
^-раскрашиваем так как каждая его
3-раскраска чает разбиение {кд}, {и2, «/}
{и;!. щ>) Пятиугольник не однозначно
/ 2 {-раскрашиваем: возможны пять разлнч
них разбиений множества его вершин.
Начнем с элементарных замечаний,
касающихся однозначно раскрашивае-
мых графов Прежде всего, в тюбой
/i-раскраскс однозначно п-раскрашнвае-
мого графа G каждая вершина v смежна
по крайней мерс с одной вершиной каж-
го от цвета, приписанного v Иначе можно
было бы получить другую л-раскраску графа G перекрасив вер
шину с. Отсюда следует, что <8 (<?) м 1. Необходимое условие
однозначной раскрйшиваемости графа найдено Картрайтом и
Харари [21
Теорема 12.16. В п-раскраске однозначно и-раскрашиваемого
графа подграф, порожденный объединением гюбык двух одноцвет
ныс классов, связен
Доказател ь ство Ргссмотрь.м л-расьраску однозначно п
раскрашиваемого графа G и предположим, что существуют такие
два одноцветных класса графа G скажем С\ н С,, что подграф S
порожденный объединением С, IJ С.2, не связен. Пусть SL и Х2—
две компоненты подграфа Л Из приведенных ранее замечаний сле-
дует, что каждая компонента S,; (i—1, 2) должна содержать вершины
как чз С,, так и из С,,. Теперь можно получить ч-раекраску, отлич
ц\ю от дшпгой поменяв цвета ъерншн. из множества С. П .8', с цве-
тами веришь из мнол-ллтва С, Р| Л',. Огсюда следует что G не явль
стоя однозначно д-раскраишваемым графом, что противоречит ус-
ловию.
PACKPЛОКИ
163
Утверждение, обратное теореме 12 16 не верно, В этом можно
убедиться на примере 3-хрематического I рафа G изображенною на
рис 12,7 В каждой З-оаскраске этого графа подграф порожденный
объединением любых двух одноцветных классов связен от,вако
6 не есть однозначно 3-раскрашиваемый граф
Из теоремы 12 16 следует что каждый одно-
значно «-раскрашиваемый граф (пф>’2) связен.
Чартрэпд п Геллер [11 получили более сильный G'
результат:
Теорема 12 17 Каждый однозначн) п-ра-
скрашиваемый граф (и—I)-связен
тт п пример X ТТ-^рЖ-
Доказательство Пусть дана п раскра- обрати спи-
ска однозначно «-раскрашиваемого графи G 12.16. ”
Если 6 — полный Iраф, то он обязательно Кп
(т. е содержит п вершин) и поэтому (п—] (-связен. Предио
чожим что G неполон и ие (п—ф-евязеп Гогта существует мно-
жество К, содержащее п—2 вершины удаление которых делает
G несвязным Имеется по крайней мере два различных цвета ска-
жем С, и С2 не приписанные ни одной верните множества Ь. По
теореме 12.16 вершина цвета С\ соединена с любой вершиной цвета
Ct простой цепью все вершины которой имеют цвета С( или С.,
Следовательно, все вершины графа G, окрашенные в цвета Гг пли
С:, принадлежат одной компоненте графа G — С , скажем Gj Но
этому другую /i-раскраску графа G можно получить, взяв любую
вершину графа G — G не принадлежащую (ф, и перекрасив се или
в цвет Cj, или в цвет С2 А это противоречит тому, что G - одпо-
шачио л-раскрашиваемый граф Таким образом, он (/1—1) связен
Поскольку объединение любых k одноцветных классов одно-
значно «-раскрашиваемого графа, 2;=ф/?ефн порождает однозначно
Л-раекрашиваемый граф, то из теоремы 12 17 вытекает
Следствие 12 17(a) В каждой п-раскраске однозначно п-pat-
краишваемого графа подграф, порожденный объединение и -гюбых k
одноцветных классов 2 , (k — 1) -связен
Легко привести примеры 3-хроматических графов, нс содержа-
щих треугольников. Действительно, в теореме 12,5 говорится что
для любого п существуют «-хроматические графы, не содержащие
треугольников и, следовательно нс имеющие подграфов, изоморфных
Kti. Харари Хедетниеми и Робинсон [11 получили более сильный
результат:
[еорема 12.18 Для каждого /; -л и/ществрет однозначно и
раскрашиваемый граф не содержащий подграфов, изоморфные К»
16G
ГЛАВА 12
Граф О, приведении» на рис 12 8 иллюстрирует теорему для
стучал н=3
Естественно, граф однозначно 1-раскрашиваем тогда и только
тогда, когда он 1-раскрашиваем, т с. вполне несвязен Хорошо
известно что граф G однозначно 2-раскрашиваем тогда н го шко
Рис. 12.8. Однозначно 3 ра-
скрашиваемый граф, ire иче
ющий треугольников.
тогда, когда он 2-хрематический и связ-
ный Как и можно было ожидать, об
однозначно «-раскрашиваемых графах,
3 известно мало Для п ланарных
графов сведений больше, но в силу тео-
ремы о пяти красках достаточно рас
сматривать только значения
Результаты в этом направлении принад-
лежат Чартрэнчу и Геллеру III
Теорема 12 19 Пусть G есть
3-хромагпичвекий плоский граф Есш. G
содержит такой треугольник Т, что
для любой вершины v графа G сущест
вует последовательность Т, Т, Т\
, Т„,. треугольников, в которой соседние
два имеют общее ребро и v£Tm, то
G — однозначно 3-раскрашиваемый граф.
Из этой теоремы немедленно вытекает
Следствие 1219 (а) Если двусвязный Ахроматический пло-
ский граф (j имеет не более одной области, не являющейся треуголь-
ником то G — однозначно 3-раскрашиваемый, граф
Предложение, обратное следствию 12 19 (а), не верно’
однозначно 3-рас крашиваемый планарный граф можел иметь более
одной области, не являющейся тре
угольником (рис 12.9) Однако каж
дый однозначно 3 раскрашиваемый
планарный i раф должен содержать
треугольники
Теорема 12.20. Однозначно А-рас-
крешшваемый планарный граф, имею-
щий не менее 4 вершин, содержит по
крайней пере два треугольника
Р1к 12.9. Однозначно 3 ряскра-
ыиваемый планарный граф.
В случае однозначно 4-раскрашиваемых планарных графов ситу-
ация особенно проста
Теорема 12.21. Каждый однозначно 4-раскрашивав ныи пга-
нарный граф является максима-юным планарным графом
Доказательство. Пусть задана 4-раскраска однозначно
4 раскрашиваемо! о планарного графа G, обозначим его одноцветные
t-УСЪ.РЛСЮ’
ICT
классы через I г 1 t'<4, \VjG~-p,. Так как подграф, порожденный
объединением V, IJ I7Z, связен, ю в G должно быть по крайне!]
мере S Р~ 1) ребер, 1 si. i< i < 4 Однако очевидно, что эта
сумма равна Зр—6.. Поэтому Зр~6, и в силу следствия 11 1 (в)
G — максимальный планарный граф
Хотя вопрос существования 5-раскрашиваемых планарных гра-
фов остается все еще открытым результат Хслетниеми, приведенный
в работе Чартрэнда н Геллера Eli, разрешает проблему однознач
но 5-раскрашпваемостп Доказательство похоже на показатель
ство теоремы 12 21
Теорема 12,22 Ни один из пишарньл графов не чв тетей
однозначно З-раскрашиваемыч
Критические графы
Естн гипотеза четырех красок не верна, то должен существовать
наименьший 5-хроматический планарный граф Такой граф G
обладал бы те,м свойством, что дчя любой его вершины v подграф
G— v был бы 4-хроматпческим. Таким образом, v нас есть естест
венный подход к возможному доказательству ! илотезы четырех
красок в ее обратной постановке. Отсюда возникает основная задача
изучения таких 5 хроматических графов и in, более общо «-хро-
матических графов G, что у (G—Д =п— 1 дтя зюбой вершины о
графа G
Следу я Дираку [1.1, граф G назовем критическим1'), если
X(G—1’)<; /(G) для любой его вершины щ если при этом ^(G)--n,
то граф G называется л-критическим. Очевидно, если G — крити-
ческий граф, то /(G—о) —x(G)—-I для каждой его вершины о.
Ясно что 1 критических графов нет. Единственный 2 крити-
ческий граф — это Kt все 3 критические графы исчерпываются
простыми циклами нечетной длины «-критические графы дтя 4
еще не описаны
Как правило, определить, является ли данный граф критическим,
чрезвычайно трудно Однако каждый п-хроматический граф, 2
содержит /[критический подграф Действительно, если Я — такой
наименьший порожденный подграф графа G, что % (Я)—/(G), то
Н — критический граф
Ясно, что каждый критический граф G связен. Далее, поскольку
/ДО) —max /(В), где макс им уд: берется по всем блокам В графа G,
то G должен быть блоком. Это одно из свойств, которыми обладают
критические графы
Следующее утверждение уже встречалось при доказательстве
теоремы 12 2
Я Если рассматриваются также и дрмгие типы критических графов то граф
критический в VK-азанном смысле будем пазы вам критическим но оаскраске
108
ГЛЛВХ 12
Теорема 12 2? Если G есть п критическим граф то 6{G)^
? и— 1
Приведем теперь результаты, связанные с удаюннем вершин
Теорема 12 24 Критический граф нельзя разделить полным
подграфом
Следствие 12.24 (а). Каждый разрез по вершинам критического
графа содержит две несмежные вершины.
Каждый полный граф критический. Действительно, пя
Ij^V(K2-') справедливо равенство /(КР— U)7=d~КУ]. Для любого
другого критического графа всегда, однако, можно удалить не
менее 2 вершин не уменьшая при этом хроматическое число более
чем на 1 В самом деле, если S — произвольное независимое мно-
жество вершин и-критического ['рафа, то x(G—S)—rt— 1 Отсюда
в свою очередь вытекает что если и и д — любые две вершины
«-критического неполного графа G, то существуюттакая его н-рас-
краска, что и и и принадлежат одному и тому же одноцветному
классу, и такая его rz-раскраска, что и и v принадлежат разным од-
ноцветным классам.
В одном из направлений исследовании своиства критических гра-
фов связывают с длинами циклов, в частности, окружения и обхвата
Если G есть «-критический граф с /7-всрщинами и ps^2n— 1 го в
ситу теоремы 12.23 и следствия 7,3 (б) граф G гамильтонов Дирак
[2| пот учит более общий результат
Теорема 12 25 Если G есть и-критический граф «^3, то
шт G сами гьтонов, иш его окружение нс меньше 2/2—2
Дирак 12] предполагат что каждый 4-критический граф гамить-
тонов Однако Дж и 1 Келли [1] показали, что эта гипотеза не
верна Дирак ]21 также предпо-
лагал, что для любых т и «,
п^ 3 существует достаточно
большое значение р при кото
ром у всех «-критических гра-
фов, имеющих по крайней мере
р вершин, окружение превосхо-
дит т Дж и Л Келли подтвер-
дили это Из теоремы 12 5 выте
Pic. 12.10. Критический гриф. не яв
,1ию1Ш1Йся реберно-критическим.
каст, что для любых т и п су-
ществует «-критический [раф, обхват которого превосходит т
Критический граф G может обладать енц одним свойством
/(G—x) —x(G)—1 для любого ребра .г графа G В этом случае граф
G называется рсберно-крнтическим’, если x(G)~«, ю G называется
// реберно-критическим Хотя каждый реберно-кризический граф
обязательно является критическим, обратное но верно Например,
РАСКРАСКИ
1ЬЧ
граф G, представленным на рис. 12 10, является 4 критическим но
не реберно-критическим, поскольку /Ш—-х)-4
Таким образом, реберно-критические графы об задаю г всеми
свойствами критических графов но в некоторых случаях о первых
графах можно сказать больше, чем о вторых
Теорема 12.26 Если G— связный п-хромапшческий граф, со-
держащий точно одну вершину степени больше п—• ] то G чв гнется
п-реберно-критически w
Доказательство Пусть х— произвольное ребро графа G,
рассмотрим граф G — х Ясно, что 6(0—у) «С «—2 и, более того,
6 (6ф •. и— 2 для любого порожденного подграфа G графа G — х,
Поэтому в силу теоремы 12,2 % (G—х)^п— 1, откуда /ДО— г) --
=н—1 т е G—это н-реберно-критический 1раф
В силе теоремы 12.23, если G есть «-критический граф, ю 2(/Д;
>(п-1) р. Для реберно-критических графов Дирак [31 улучшил
это соотношение:
Теорема 12 27 Есш G—неполный и реберно-аршпический
граф, 4, /по
V!—0 Р и—3.
Гомоморфизмы
В этом разделе мы для удобства будем рассматривать только
связные графы. Элементарным гомоморфизмом графа G называется
отождествление, двух его несмежных вершин Гомоморфизм графа
G — это последовательность его элементарных гомоморфизмов
Put 12 И 1суоморфноге обрачы простои цени
П\сть G'— граф, который получается из i рафа 0 при гомоморфизме
ф. То’да (р .можно рассматривать как функцию отображающую V
на 1" и такую что если и и д смежны в G то цис н ср смежны в
G Заметим что каждое ребро графа G юлжно получаться из не-
которого ребра графа G, т е если и' и v смежны в G , то в G най
дхтся такие вершины w и и что ^/i—u1 и <pci— tO Будем говорить,
что ф — гомоморфизм графа G на граф G , а граф G — гомоморфный
образ графа G, и писать G =(pG Так, в частности, каждый и зол; ор-
физм является гомоморфизмом Простая цепь РА имеет четыре го
моморфных образа, которые изображены на рис 12.11
Гомоморфизм гр графа G называется полным порядка п, если (рб
Л,,.. Отметим, что каждый гомоморфизм <р графа G да потный граф
170
Г i W \ P
соответствует л-раскраске i рафа G, поскольку вершины графа
К7, можно рассматривать как цвета и но определению гомоморфизма
ни одна лара вершин графа G с одинаковым цветом не смежна. Лю-
бая раскраска, определенная полным гомоморфизмом, обладает тем
свойством что тля любых двух цветов в графе G найдутся смежные
вершины и и и, окрашенные в эти цвета R данном случае мы полу-
чаем полную раскраску На рис. 12 12 показан граф с полными рас-
красками порядков 3 и 4, цвета указаны здесь положительными цс
дыми числами Очевидно что наименьший порядок всех полных го-
моморфизмов графа G должен быть равным /(G)
Риг 12 12 Дв! ценные раскржкн графа
Теорема 12 28 (Харари, Хедешиемп, Принс (11) обобщав! более
ранний результат Хаиоша 121, который будв! приведен как ее след-
ствие
Теорема 12 28 Для любого графа G и нового его э гементарного
гомоморфе злю е
/(G)^y(tG)^ 1 /(G) (12 16)
Доказ ателье г в о. Пушьь — о 1емешарныи юмоморфпзм гра
фа G, отождествляющим несмежные вершины и и v Тогда любая
раскраска графа eG порождает раскраску графа G, если и и v ок
рашены в один и тот же цвет; поэтому '/(G)^ x(eG) С другой сто-
роны, раскраска графа tG поддается из раскраски (рафа G когда
новой вершине приписывается цвет отличный от всех цветов, ис-
шльзхемых в раскраске G, гак что /ф0')-<'1 -/(6)
Следствие 12 28 (а) Дгч гюбого гомоморфизма <р графи G
/ (Q Z (фG)
Естественно теперь рассмотреть наибольший порядок всех
полных гомоморфизмов графа G Этот инвариант называется ахро
матическим числом и обозначается i|. (G). Поскольку 6' можно рас
красить р цветами, очевидно, что у (G) Д7 ф (G) дб Р Ни одно из этих
неравенств нс чает хорошей опенки чтя if
Г АС.КГЛСК и
171
Теорема 12 29 Для любого графа G и любого его элементарного
гомомордзцзма t
Т (G)-2<ф (eG)^ ф(С) (12 17)
Пример на рис 12.13 показывает что нижняи оценка дот и
гаегся и следовательно, она пеулучшаема Лет ко проверить чю
4(G) — 5 в то время как ф(еО) —3
Рис 12.13 Гск.соморфазм таепыгиющии i|> in 2
Теорема 12 30, названная в работе Харари, Хедетниемн и
и Принса 111 теоремой об интерполяции гомоморфизмов, сильно за-
висит от опенок (12 16)
Теорема 12.30 Для любого графа G а любого целого числа а
заключенного между у (G) и ф(С), существует полный гомоморфизм
(и, сгедоватегьно, полная раскраска) порядка п
Доказательство. Пусть ф (G) =-1 и ср — гомоморфизм графа
6 на Af. Если у — изоморфизм, го G есть Kt и / :С'; ф (G). Если же
ц нс является изоморфизмом, то <р=епг .едц, где для всех ! есть
элементарный гомоморфизм Положим G,—e,G, G.2 —e.tG:, . . . ,Kt =
—Gm = e.niG!t!_l Из (12.16) имеем 7,(Gl+1)^x(G;) . 1 для любого i
Так как х (О(г1)=ф(О), то для любого числа п, удовлетворяющего
неравенствам х(С)^/т^г- 4(G), в последовательности {GJ най-
дется граф, скажем с хроматическим числом и Но тогда Gs имеет
полный гомоморфизм ср' порядка п Итак, (р'ю в,н,— гомомор
физы графа G па
Многие верхние оценки для х (G) служат также оценками для
4(G). В качестве примера распространим на ф(G) (Харари и Хе
детниеми [11) верхние оценки из (12 3) и (12.4)
1 е о р е м а 12 31 Для нобоео графа G
ф-i /^Р -1
(12 18)
Отсюда и пз неравенства р вытекает
Следствие 12 31 (а) Для гюбого графа G
4<p-|VH (12 Я
Неравенство (12.19) можно доказать непосредственно пспотьзхя
доказательство более тонкого соотношения (12 3).
ГЛАВА Iе*
Хроматический многочлен
Хроматический мноючлен графа введен Ьиркгофон и Чыоисом
111, когда они предпринимали попытки решить гипотезу четырех
красок Пусть G — помеченный граф Раскраской грифа G t цветами
называется раскраска графа 6, использующая t или меньше цветов
Две раскраски графа G / цветами будем считать различными, если
по крайней мере одной помеченной вершине приписываются раз
тчпые цвета.
Обозначим через f(G, 1} число различных раскрасок помеченною
графа G t цветами. Бели Ну/(G), то, естественно /(G, t) -О
11 аименьшсс из чисел I, дтя которых /(G, ?)> есть, очевидно, хро-
матическое число графа G Следовательно, в гипотезе четырех кра-
сок утверждается, что/'(&, 4)> 0 дтя каждою птанарного графа G
Например, любую данную вершину полного графа Д’, можно
окрасить t способами. Для второй вершины можно взять любой из
г—1 цветов, и, наконец третья вершина окрашивается 1—2 спо-
собами В результате
/(ЛЧ /)-/(/-!) (1—2)
Эту формулV можно обобщить па любой потный граф 1)
О- Ф-1) (/-2) (12 20)
Особенно легко найти соответствующий многочлен дтя вполне
несвязного графа АД так как каждую из его р вершин можно окра-
сить независимо t способами
/№, t)-t\ (12 21)
Цсшральную вершину и} графа Д1,4, показан
иого па ряс. 12.14, можно окрасить I способами, а
любую из висячих вершин t— 1 способами. Поэтому
Ж-4, 0 =
Во всех приведенных примерах f{G, /) есть много-
член от переменной t Это всегда так, в чем мы
сейчас убедимся
12.32. Если паи — несли-жныс вершины графа G
а с — элементарный гомоморфизм, отождеств-ткмций ил, то
f(G, /)-f(G-: ни, t) -f(tG, t). (12 22)
Доказательство Это равенство следует непосредственно из
щух замечаний Первое — число способов раскраски графа G t
’} Айтор, тлссчуи Риордану |2| л указывая на зто использует дляубынаю
гннх факториалов (точнее, убт.гпаготних р-факторлалов от 1} обозначение
В русском не реводе книги Риордана [2 стр 11 н !8| вместо / употребляется
обозначение (сф. — Прим рей.
Vj
Рис. 12.14 По-
меченная копия
т-рл-Д /ф 1
I е о п е м а
’АСК РАС.К И
173
цветами, когда вершины и и и окрашиваются в разные цвет, равно
числу способов раскраски графа G : иг I цветами. Второе — число
способов раскраски графа брикетами, когда вершины и и с окраши-
ваются в один цвет гавно числу способов раскраски i омоморфного
образа eG t цветами, где с отождествляет и и и.
Из ат ой теоремы вытекает, что если G неполный ip, pl-гртф
то существуют такой граф Gt с q 1 ребрами и такой граф G., с р—1
вершинами, что f(G Г) -/(G2, I) Соотношение (I2.22J
можно применить к G, и G.. и г. д. до тех нор, пока не получатся
только полные {рафы. Следовательно f(G t) можно представить
в виде суммы чисел/(7\ф, /) Но/(7G, /) (/'), является многочленом
относительно /
Следствие 12.32 (а) / (G I) многочлен <ип ис.рсли иной.
/ для любого срафа G
Назовем / (G I) хроматическим мткючленмм графа G Для иллю-
страции теоремы воспользуемся приемом, предложенным Зыковым
Ц] В соответствии с чтим приемом хроматический многочлен графа,
Рве. 12 15 Оп редело в не \р магического мнет плена
завнеящцц от / обозначается с помощью диаграммы графа. На каж
дом шаге зггото процесса выбираем две несмежные вершины ч, и п
да тьше представляем граф так как щ.еиагаег Р;г; [41
174
(ЛАВА 1
Так, для графа G, показанного на рис 12 15, получаем мною
член
/(G, 0-(*М 7/4-18^-20Г-8/
В частности, граф G можно раскрасить тремя цветами f(G 3)= 6
способами.
Перечислил! некоторые свойства хроматических многочленов,
в впекающие непосредственно из теоремы 12.32
Теорема 12.33. Пусть G— графе р вершинами, qpcuparuu
k компонентами (ц, G,, , Gk Тогда
1) /(G, t) имеет степень р,
2) коэффициент при tp в f(G, /) равен 1
3) коэффициент при. 1Р~Х в f(G, I) равен — q,
4) свободный член многой гена / (G, /) равен О
5) f(G, I);
j=i
6) наименьший показатель у степеней переменной i, входящих в
f(G, i) с ненулевыми коэффициентами, есть k
Совсем не очевиден следующий результат, полученный Уитни
[11 и обобщенный Рота 11] использовавшим свои мощные методы,
в которых привлекается обратное преобразование Мёбиуса
Теорема 12 34 Коэффициенты любого хроматического много-
чгена меняются по знаку Ч
Ясно, что каждые два изоморфных графа имеют один и тот же
хроматический многочлен Однако часто несколько неизомирфиых
графов также имеют один и гот же хроматический многочлен. На-
пример, у всех деревьев с р вершинами один хроматический мно
гочлеп
Теорема 12.35. Граф G с р вершинами является деревом тогда
и только тогда, когда
l(G IK’’
Доказательство Сначала покажем, что хроматический мно
гочлен любого помеченного дерева Тер вершинами есть t(l— l)/i-i
Проведем доказательство Индукцией по числу р Для р— 1 п р—2
результа! очевиден Предположим, что хроматический многочтен
всех деревьев с р~ 1 вершинами имеет вид t(t— 1Д“- Пусть v —
висячая вершина дерева Т а х—uv — его ребро, инцидентное v.
По предположению индукции хроматический многочлен дерева
Т Т—v есть 1(1—Ip-2 Вершине с можно приписать любой цвет,
') Точнее, если/(G р — а .3-о,/2--ор, то последователь поить
коэффициентов о, щ I — иакочередуюшаяся— Прим, ред
Р ДСКРЛСКИ
1 75
отличный (,г цвеча вершины и, ык мо ц можно окрасить 1—1 спо-
собами Таким образом,
КТ, i')^i U-1V"1
Обратно пусть б — граф, у которого /(6 /) — tit— I}*' 1 Так
как коэффициент при I в /(G, /) ненулевой, то но теореме 12.33
(утверждение 6) граф G связен Далее, коэффициент при lfi~' равен
— (р— 1) гак что по теореме 12 33 (утверждение 3), граф G имеет
о—1 ребер Испо (ьзуя теперь теорему 4 1, заключаем, что б — де-
рево
Остается нерешенной задача описания графов имеющих один
и ют же хроматический мноючлен Более общая нерешенная за-
дача состоит в нахождении необходимого и достаточного условия
для того чтобы многочлен был хроматическим. Например, много-
член У—3P-i-3G обладает всеми известными свойствами хромати-
ческого многочлена но не является хроматическим Если бы су-
ществовал граф G с таким хроматическим многочленом го он должен
был бы иметь 4 вершины, 3 ребра и 2 компоненты, так что G=7G U
Однако хроматический многочпеп последнего графа равен
/(G, t
Рид [4] предположил, что абсолютные значения коэффициентов
нобого хроматического мно)очлена сначала строго возрастают,
затем строго убывают п, наконец, не меняются
Упражнения
12 1 Рассмо।рпм соединение двух графов
а) 7,Ф1— G2)~х(<ф)-' уАУУ
б'\ Gy и СР— критические графы тогда и только тогда, когда чх соеди-
нение Gj-^G; является критическим графом
12. 2 Если длина длиннейшего нечетного простого цинчд н графе G равна п
иДе 3, то у (<j)=gl п-р 1.
(Зрдёш Хлипал [1])
]2.3. Если вершины графа 6 перенумерованы ц ь Lj0 так что rf^ct^
Где то /(G)<;iHax mill {1 ф i 1}
(Хэ,дщ Пауэлл 11 ])
12. 4. Если гамильтонов1, циклу графа принадлежат не. нее его pifipra, то
I' i'f/2.
]2.5. Хроматическое число конъюнкции б(ЛЙ, двх х графов 6t и (ф пре
восходит хроматических чисел этих графов
(\еденииеми)
12. 6. Граф Л„ + 1 явтя .гея единственным регулярным tn-\-1) хроматическим
।рифом етененн и РдЗ.
12 7 Верхние оценки в (12.4) и (12.а) достиг потея ri 1 с [еду юших i рафах
и) 1 только для Лф. Кр и Ср,
б* iVS)2] только для Л’, /С, /<-> и С5
(Финк [1])
176
ГД.ЛЕП 12
12 8 а) Ес.лis (м= р (&) — простое чимп, то р тс-лько для А р и А;,.
б) ' •/'—р'2--1 тогда п только тогда, когда Сг—1(} или Кк противном
случае у- -4
(Финк [1]|
12.9 Каждая виегпнептоская карта 3 раскрашиваема
12.19 Каждая 1 сю:зная птос.кая карта 1 раскрашиваема.
12.11 . В любой раскраске реберного графа каждая вершина смежна не более
чем с двумя вершинами одного и того же цвета.
12.12 . Рассмотрим связный граф G не являющийся простым циклом нечетной
длш ы Если все его i ростые циклы имеют одинаковую четность то у' iG}-- Л (G).
(Бонди, Уэлш)
12.13 Найти чромаишеекш. классы графов ц А,л „.
(Бехзад, Чартрзнд, Кунер [1])
12.14 . Для графа Я, полученного из графа G, если положить Г(Я)=Х(О)
н считать две его вершины смежными, если они обе не принадлежат одному пот
ному подграфу графа G, у (Я) сеть наименьшее число полных подграфов, объеди-
ни! ire которых равно V'(JX
(Ганг т [1])
1 *.13 Для любого графа, докускающгго укладке пт торс 6sS26 и иотомс
12.16 Существует 5крцтпюгкик граф е 9 вершинами
12.17 Каков шимеиьшнй огтичнын от полного однозначно 3 раскрашивае
чьц| граф’
12.18 . Каков., иапмепы. ret. чисто р<(х р в однознтчно и раскрашиваемом гра фг
с р веришпахги?
(Картрапт Харари [211
12.19 Хроматическое чисто графа_б не менее (3, = pc(G) Дтя любого
нечетного простого цикла С.2;..нрлД?2) (ф= 2 и у=3. Построить граф, не имею
шип трсуго ьнвков с р„ 2 и / - 4 (Это можно сделать только при /.)?= 11 )
12.20 . Ес.и и у(61--ндг.5, то i раф 6 (.одержит it таких в< риши, чго каждые две
из них соединены по крайней мере четырьмя нйпсрссекающи.мпся (по вершинам)
простыми цепями
(Дирак
12.21 . Для любых целых чисел J и п Ktl<ri. существует п крптл тескнй
граф к которого Г1 <'
(Хауз 11])
12.22 . а । Каждый 3- к ром а гп жт. к и н м а к с и м ал и 1 г ы й г г .а а г г а р н ы й i р аф (п н овна ч
Чо 3-раскраппгвао’.|.
б) Вн1.'1:1неп..танарзыи граф, имеющий но крайней мерс 3 вершины
с днозначно 3-раскрашиваем тогда и только тоста когда он является максимальным
вгеппгеплачарпым.
(Чартрэнд, I сл.'к р [1]>
12.24. н-критичи кпй i раф нельзя разделить i помошг ю множества всех вер
шип однозначно щ - 1 '-раскрашиваемого подграфа.
(Харарп, Хедетнисми Робппсоц 111)
12.24. Для любого независимого множества S гершии критического графа G
с праведтпво равенство у (G— S) — / (67) — 1
( bipai |(ф
PAc KP \СКП
Г7
12.25. Для любого лчемснтарцого сгшивания 1) 1р]ф1 G выполняемся iepa
pciiciBo Д ifi}- -yv (i)G) |e; 1.
(Харари Хсдстнис.чп Прине j 1 |j
]2.2б Определить ахроматическое число графов Р„, CfJ 1Г„ и К,п,..
12.27. ti-хроматическим чис.юм (G) графа G называется наименьшее число
т цветов, необходимое для такой раскраски графа G, при которой не нес вершины
лежащие нт простой цепи длины п, окрашены в один цвет.
а) Для любого и существует такой вцешнсплапарннн траф G ito
, 'Z„(G)-3
б) Для любого п. существует такой плаиариыл графе?, что /,я(б)-_4.
(Чартрэид Геллер, Хедетнисми | 1])
12 2? Если t —длина самоц дтицнии простой пени в графе (7 тП у ((?)«;
(Галлаи [1])
12 29 Для хроматп (еското >пс ia любого графа G справедлива нижняя оцтнка
‘12.30. Если н плана ригА! графе Ci с р вершинами существует г вершин, сумма
степенен гогорых бепьше 2р—12—4г и ге£: 14, то граф G 4-раскра1шгвасм.
(Браун, Джонсон [1])
’12.31. Числом Ла()виеераг\(О) графа G называется такое наибольшее целое
число т], что граф (; стягиваем к полному графу Л'.,. Для (р, </)-графов с числом
Хадвигера 4 справедлив] точная оценка —1) р —
(Зыков [ !]1
12.32. Каждый 7-хромдтпческии граф гомоморфа и графт поттченаому из
Р- удалением произво'1ьной папы несмежных ребт-р
(Якобсен |11)
’12 33 Птанарныс графы с р^41 вершинами и раскрашиваемы
(Донец [1])
Гмьа 1-3
МАТРИЦЫ
R порядку беспорядочном ОНИ
Мертвы и холодны п колонках прозаичных
Поэт? Ты душу R них СТИХОМ нцохни,
Заставь их заиграть в рисунке мозаичя щ 9
7^
Граф полностью определяется или его смежностями или ею
ицциденпиями. Указанную информацию о графе удобно представ
пять в матричной форме. Действительно, сданным графом, помечен-
ным соответствующим образом, связаны несколько матриц, в том
чнете матрица смежностей, матрица инциденций матрица циклов
и матрица коциклов Часто ати матрицы удается использовать при
выявлении определенных свойств графа. Классическим результатом
о графах и матрицах является матричная теорема о деревьях, в ко-
торой дается число остовов любого помеченного графа В данной
главе рассматриваются также матронды, связанные с матрицами
циклов и матрицами коциклов
Матрица смежностей
Матрицей смежностей -) 4 |й;ф помеченного графа G с р
вершинами называется (р /?)-матрица, в которой cz,.1, если вер-
шина у, смежна с и 0 в противном случае. Таким образом
О 1 1 О I [1
10100:
4- 1 1 0 1 1 !
0 0 10 1
10 110:
Pi-ri 13 1 Помеченный rpacf л но ^ятрипа см еж к остей.
существует взаимно однозначное соо1ветствие между помеченными
графами с р вершинами и симметрическими бинарными
матрицамп с нулями на диагонали
Jj Шренод < английского О, Аст,фаевой. - - Прем, ред
Ч В литературе широко используется терм ни «матрица смежности»; нам
кажется более удачным термин «матрица смежностей» но аналогии с «матрицей
иницдешшйк и т г1 — Прим. р<’()
На рис 13.1 показаны помеченный граф G и его матрица смеж-
ностей А. Легко заметить что суммы элементов матрицы Л по стро
кам равны степеням вершин графа G Вообще в силу соответст-
вия, существующего между графами и матрицами, с любым теоре
тико-графовым понятием можно сопоставить некоторый анало:
связанный с матрицей смежностей Например, в гл. 2 было введено
понятие связного графа: граф G называется связным, если не су-
ществует такого разбиения V, IJ 1'3 множества вершин графа
G что ребра графа G не соединяют вершины из I, с вершинами из
V2. В матричных терминах это можно сказать так граф G связен,
если не существует такой нумерации вершин графа G, чю его мат
рица смежностей имеет приведенную форму
где,1Т1 и А22— квадратные матрицы. Если At и Л,— матрицы смеж-
ностей, соответствующие различнььм нумерациям о щого и того
же графа G, то А1—-Р~1А 2Р для некоторой матрицы перестановки Р
Иногда выбор конкретной нумерации вершин графа не существен,
как, например, в следующих результатах, в которых дастся интер-
претация элементов степеней матрицы смежностей
Теорема 13.1 Пусть G— помеченный граф с матрицей смеж-
ностей А Тогда (i, ;)-й эгемент г) патрицы А1 равен числу маршру-
тов длины п из ц, в щ
Следствие 13.1 (а) Для (т, /)-и элемент матрицы Л-
равен числу простых фц-оф-цепей длины 2. Далее, (i i) й элемент
в матрице А2 равен степени вершины о, в матрице А — удвоенному
числу треугольников, содержащих о,
Следствие 13 1 (б) Пели G — связный граф, то расстояние
между V, и щ для 1^=] равно наименьшему из целых чисег п, для кото-
рых (т, ;)-й элемент матрицы А'1 отличен от О
Матрица смежностей помеченного орграфа D определяется
аналогично: Л—4 (D)—11й;ф, гдей;;—1 если дута vtv} принадлежит
D, и «г>=0 в противном случае Таким образом, матрица АДУ)
не обязательно симметрична Некоторые результаты для орграфов
в которых используется А (£)), будут даны в гл. 16 Из определения
матрицы 4 ДУ) следует, что матрицу смежностей данного графа
можно также рассматривать как матрицу смежностей симметриче-
ского орграфа. Воспользуемся этим замечанием и исследуем оире
целитель матрицы смежностей графа, как в работе Харари [181
’) Элемент стоящий в i-и строке и ] м столбце матрицы - Прим п°рев
ISO
ГЛАВ1 11
Линейным подграфом орграфа D называется остовный подграф
в котором v каждой вершины иолустепепь исхода и полустепепь
захода равны 1. Таким образом, такой подграф содержит непере
секающийся остовный набор простых контуров
1 еорема 13 2 Если D — орграф с гинейньша подграфами
D,, t = l, 2, , я, и каждый подграф D, имеет е, простых контуров
четной, дшны, то det A (D) (—1)
Любому графу G поставим в соответствие орграф D, в котором
вершины щ и uj соединены дуга*ми що, и щ-щ только втом случае,
если эти вершины смежны в G При этом соответствии каждый ли-
нейный подграф графа D определяет остовный подграф графа G,
состоящий из непересекающихся по вершинам ребер и простых цнк
нов. Этот подграф называется гинейным подграфом графа G. Ком-
поненты линейного подграфа графа G, являющиеся отдельными реб-
рами, взаимно однозначно соответствуют 2-коптурам л инейного под
графа орграфа D, а компоненты, являющиеся простыми пиктами
графа G, соответствуют дву*м простым контурам орграфа D. По-
скольку Л (0) = Л (D) где (In Е) связаны указанным выше образом,
нетрудно вычистить определитель матрицы A (G)
Следствие 1 > 2 (а). Если G — граф с линейными подграфами
Gt i=l, 2 . , и причем Gt имеет е; четных компонент и про-
стих циклов, то det 1 (б)=У (— 1)'>2Г‘,
i— 1
Матрица инциденции
Другой матрицей, связанной с графом G, в котором помечены и
вершины и ребра является матрица инциденции В Г£дГ- В этой
(p:<q)-матрице 1)^=1, если щ п Xj инцидентны, и Ь^=--0 в противном
случае Как и матрица смежностей, матрица инциденции опреде-
ляет граф G с точностью до изоморфизма На самом деле уже любые
р—1 строки матрицы В определяют G, поскольку каждая строка
равна сумме по модулю 2 всех остальных строк.
Следующая георема связывает матрицу смежностей реберного
графа графа G н матрицу инциденции графа G Обозначим через
Д7' матрицу7, транспонированную к матрице В
Теорема 13 3 Для любого (р, q)-графа G с матрицей инциден-
ции В
А(1 (G))^BTB ~2фр
где 1 — единичная матрица порядка q
Пусть Д1 — матрица, полученная из матрицы—/! заменой
! ю элемента главной диагона-ш на deg гр В классической работе
Кирхгофа [1] приведена
М Л т р И 1.1 [
181
I еорема 1 <4 (ми i р и я н а я теорема о деревья х)
Пусть G— связный помеченный граф с матрицей смезкностеи 4.
Тогда все алгебраические дополнения матрицы Л1 равны между собой
и и\ (бщее значение есть час со остовов графа G
До к 1 в а 1 е а ь с j в о Начнем доказательство t изменения одной
из двух единил на —1 в каждом столбце матрицы инциденций В
графа G, образуя таким образом новую матрицу L (В гл 16 мы
увидим, что это преобразование задает некоторую ориентацию ребер
графа G, и югда матрицу Е можно рассматривать как матрицу ин-
циденций получаемого направленного графа.)
(i, /)-й элемент матрицы ЕЕТ имеет вид с^сц— ~е^еы
Эга сумма равна deg v!t если i-j, равна —1 если вершины оц и
смежны, и равна 0 во всех остачьных стхчаях Следовательно
ЕЕТ~М.
Рассмотрим любую подматрицу матрицы Е, содержащую р—1
стол бцов. Эта ip . I р— 1)) - мат р и ца с оответств у ет остов ном у п од i р а -
фу II графа G в котором р—1 ребер. Удалив произвольную строку,
скажем й-ю, из этой матрицы, получим квадратную матрицу Е
порядка р—1 Покажем, что число |det F1 равно 1 или 0 в завися
мости от того, является И деревом или нет. Пусть сначала И
не церево Тогда поскольку граф Я имеет р вершин и р—I ребер,
он не связен и, значит, существует компонента, нс содержащая
V),. Так как строки, соответствтющие вершинам этой компоненты,
зависимы, то det F—-0
Предположим теперь, что И — дерево В этом случае его вер-
шины, отличные от ?fi, и все ребра можно заново пометить следующим
образом. Пусть и иг— висячая вершина i рафа И (ее существо
ванне гарантирует следствие 4 1 (а)). Обозначим через tp ребро ин-
цидентное вершине сц. Далее, возьмем в дереве Н — щ любую вися-
чую вершину и ребро уг, инцидентное ц2, и i. д Такая нуме-
рация вершин и ребер графа И определяет новую матрицу F',
которую также можно получить перестановкой соответствующих
строк и столбцов в матрице F Таким образом, |det I [= Het F i
Ho F — нижняя треугольная матрица *), \ которой на главной ди-
ш опали стоят элементы, равные +1 или —1 поэтому [clot Fp-l
Нам понадобится следующее алгебраическое предложение, извест-
ное как теорема Бине — Коши
Л ем ма 13.4 (а). Если Р и Q — соответственно (т х рфматрица
и (п кт}-матрици. 1тН~:п), то определитель матрицы PQ равен
сумме произведений соответствующих главных определителей ма
трии Р и Q
Э В ней нс; чле.мыет.т, расположенное иыик павнон дпагонаMi рапин О
— При м смрее
182
Г TABA i
(Глазным определитель матрицы Р (или (?) имеет порядок т, а
выражение «соответствующие главные определители» означает, что
столбцы матрицы Р, входящие в рассматриваемый определитель,
имеют такие же номера и такой же порядок, как строки матрицы Q
входящие в другой определитель )
Применим эту лемму к вычислению алгебраического дополнения
элемента ап матрицы М Пусть Ег будет ((/?—1)Xq)-подыатрицеи,
полученной из Е вычеркиванием первой строки Полагая Р- Ег н
Q^E[ и используя лемму, получаем, что алгебраическое дополне-
ние элемента а1г матрицы М равно сумме произведений соответ
ствующих главных определителей матриц Е± и El Очевидно, что
соответствующие главные определители равны между собой Мы
еже видели, что их произведшие равно 1 если столбцы .матрицы £t
соответствуют остову графа G, и О в противном случае. Таким об
разом, сумма этих произведений есть в точности число остовов
В матрице, в которой все суммы по строкам и все суммы по
столбцам равны ну дю, все алгебраические дополнения равны
Теорема доказала
Чтобы проиллюстрировать матричную теорему о деревьях рас
смотрим какой-нибудь помеченный граф скажем A't—у Этот граф
изображенный на рис 13.2, имеет восемь остовов поскольку,
например, алгебраическое дополнение элемента q23 матрицы
3-1 1-1
1 2—1 О
1-1 3-1
1 0—1 2
равно
- 8
Число помеченных деревьев с р вершинами легко наити, при-
меняя ту же теорему 13 4 к графу Л; Алгебраическое дополнение
м.лтр'.я 1,ы
183
тюбого диагональною элемента есть оире ге штеть порядка /а—1
р—1 —1 —1
—1 р-1 —1
— 1 —1 р— 1
Вычитая первою строку из всех остальных и прибавляя затем
последние р—2 столбцов к первому, получаем верхнюю треуголь-
ную матрицу, определитель которой равен рр^-
Следствие 13 4 (а) Число помеченных деревьев с р вершинами
равно рр~-
Эта формула была доказана столькими разными способами, сколь-
ко раз ее независимо «открывали». Интересное собрание таких до-
казательств представлено в статье Муна [3]
Maipnpa циклов
Пусть G - граф, у которого помечены ребра и простые циклы.
Матрицей циклов С- графа 6 называется матрица, в которой
для каждого простого цикла графа G есть строка и дтя каждого
ребра — столбец, причем <?;^=1, если i-й цикл содержит ребро а,,
с1} 0 в противном случае В отличие от матриц смежностей и ин-
циденций матрица циклов не определяет граф с точностью до изо-
морфизма. Очевидно, что если ребро не принадлежи! ни одному
циклу то по матрице циклов нельзя узнать, принадлежит оно
графу ити нет. Даже если исключить такие ребра, то все равно ма
грица С но определяет однозначно граф G как показано на при-
мере цзу х графов, изображенных на рис 13 3 Оба графа имеют
цпк ты
Z, {X|, т,, Аз}, Z4 {с, А-? Jfj, лу, АД}
Z {.U А, Ю,. X } 7;, {лг, V,, А'.-,. А Т8},
Zj=K, А л8}, Ze-Дц U Ч, А-,-„ к- \s},
184
гллв\ в
и, следовательно, одну и же матриц\ циклов
щ Aj х, х
1 О О О
0 111
О 0 0 1
1111
0 110
1110
2,
2.
Z
Z,
2Й
В теореме 13.5 устанавливается связь между матрицей циклов
и матрицей инциденций. В комбинаторной топологии этот резуль
гат можно выразить так «граница границы любой цепи является
нулевой»
Теорема 13.5 Если граф G имеет матрицу инциденции В
а матрицу ииклов С, то
CB^=G (mod 2)
Доказатетьстцо Рассмотрим i-io строку матрицы С п /-й
столбец матрицы ВТ, который является также /-н строкой матрицы
В Оба r-х элемента этих двух строк не равны нулю тогда и только
тогда, когда ребро хг принадлежит т-му циклу Z, и инцидентно вер-
шине Vj. Если цикл Z} содержит хг, то он содержит и вершину Е.у;
следовательно, в 2( найдутся два ребра, инцидентные уу так что
(;, /)-й элемент матрицы СВТ равен 1 -у1=0 (mod 2)
Аналогично матрице циклов определяется матрица коциклов
СЕ (G) Если G — двусвязный граф, то кажтая его вершина соответ-
ствует коциклу (минимальному разрезу), содержащему инцидент
ные ей ребра Поэтому матрица инциденций б тока содержится в сто
матрице коциклов
Поскольку любая строка матрицы иидидеицик В равна сумме
по модулю 2 остальных строк, ясно, что ранг матрицы В не пр ев ос
ходит р—\ С другой стороны, если ранг матрицы В меньше р—1,
то найдется некоторое множество, содержащее не более р строк, сум-
ма которых по модулю 2 равна нулю По тогда в графе G нет ребра,
которое соединяло бы какую-нибудь вершину, определяемую мно-
жеством этих строк, с вершиной, определяемой строками, не при-
надлежащими этому множеству, так что граф G не может быть связ-
ным. Итак, мы доказали одну часть приведенной ниже теоремы.
Остальные следуют нспосре.чствеппо из результатов гл 1, касаю-
щихся размерностей пространства циклов влространства коциклов
графа G
Теорема 13.6. Для связного графа G ранги матриц циклов, ин
циденций и коциклов соответственно равны с \ Ср ~ у—р 1 и г{В)=-
--^{СД-р-Е
МАТРИЦЫ
185
Принимая во внимание теорем}7 13.6, можно для любых tn —
-q—р \ 1 строк, образующих базис циклов, определить важную
подматрицу мазрццы циклов С связного графа. Каждая какая при
веденная матрица CU(G) есть {ni.<q) подматрица матрицы С Ана-
логично приведенная матрица коциклов С, (G) является (щ* ;•<(?)-
матрицей, где гп?-~р—1 Тогда ио теореме 13 5 СС*Т=В (mod 2)
и, следовательно C:iCJ:7=-.O (mod 2) Приведенная матрица инци-
денты Вг получается из матрицы В удалением последней строки.
В силу сделанного ранее замечания переход к приведенной матрице
Вг не веди к потере информации о графе G
Если циклы и коциклы выбирать специатьным образом, то при-
веденные матрицы инцидепций, циклов и коциклов будут иметь
очень удобную форму. Напомним (гл. 4) что любой остов Т опре-
деляет базис циклов и байте коциклов графа G В частности сети
Yj— {ль л2, , V;-j} — множество ветвей (ребер) дерева Г, а
1, , — множество его хорд, то в G— Х2 1-л;,
p^is^q, существует единственный цикл Zt, а в С— А,— ху,
—1,— единственный коцикл Z*, и эти наборы циклов и
коциклов образуют базисы в соответствующих пространствах На-
пример, у графа G представленного на рис 13 4, циклами ц коцик-
лами, которые определяются указанным на рисунке остовом Т,
являются
Z i={Xi Yt>, Xj} Z,— {Cl, Xj v5},
Z„- {\1( x2, r:!, Y,}, z:,^{x2, Xi .r,},
Z'~\x. _r-,}
Приведенньс матрицы, которые определяются как графом G, так
и выбором остова Т, имеют вид
zX, А,
щ! 1 10 0 (61
Be(GTWi 10 0 1 ]i|,
v... 0 111 0i|
С (G Т)
3! -Z
z.iji^Fo Г oi|
Zj!l 1 1 0 1': ’
глав x ;з
X, A\
ГЛ[|
C’(G ry^zja I (} 1 1
Z’lP 0 1 0 1N
Нетрудно заметши что эти соотношении представляют собой част-
ный случай следующих равенств (все по модулю 2), справедливых
для тюбого связного графа G и любого остова Т:
XL X,
В()- В, (G Г) — i:;B| В?'!,
Xi h
С, C.B.CjT) 1С7 1„.\,
XL V,
c(:-g(’,(G т)~ -Т^ с?,
где С( ~ В11В2- CZ и Сф- В~1В,^ Jm-Ci Из этих равенств сле-
дует, что дтя данных G и Т каждая из матриц В, С и С" опре-
деляет две другие
Обзор дополнительных свойств матроидов
Матрица циклов и матрица коциклов служат одним из способов
представления матроида циклов и матроида коциклов данного гра-
фа, определенных в гл 4 Матроид называется графическим, если
он является матроидом циклов некоторого графа и каграфическим,
если он является матроидом коциклов некоторого графа Татт [71
пашет условия, позволяющие выяснял», является ли данный ма-
троид графическим или кографическим, тем самым он нечаянно
решит одну из проблем теории электрических цепей
Ры. 1,3.5 Ноные иикль в ви\ре колеса W 3
Простейший пример ма1роида, не являющегося ни графическим
ни кографическим, дается самодвойственным матроидом, который
определяется множеством /И =--={1,2 3 4} и циклами всех 3-элемснт
пых подмножеств множества М.
Пример неграфического матроида, связанного с колесом llz„ ^7 =
= Л\ L С,., дан Таттом [141 Pro матроид пиктов содержит п —п-\-1
МАТРИЦЫ
1S7
циклов, I е столько, сколько их в колесе IE' Удалив ш набора
циклов щого матроила цикл Сп, образующий обод колеса, и доба-
вив к матропду все «сцепленные ободы» (множества ребер подгра-
фов, приведенных па рис 13.5) получим новыи матроид, не являю-
щийся ни графическим, пи кографнческим. Этот матроид называется
вихрем (whirl) порядка п, оп порождается и* циклами
Даже если матроид графический, он необязательно кографл-
ческпй Например, матроид циклов полного графа /<г, не кографн-
ческий. На самом деле матроид одновременно графический и когра-
фический тогда и только тогда, когда он является матропдом цик-
лов некоторого планарного графа.
Упражнения
1J 1 <i) Охарактеризовать матриц; смертностей двудольного графа.
б) Граф G двудольный тогда и только тогда, когда для любого нечетного
числа п все диагональные элементы матрицы Д'3 равны О
13 2 Пусть G — связный граф 4 — его матрица смежностей Что ложно
сказать о матрице -1. если
а) о,— точка со ч тенен пя^
б) — мост?
13 3. Если с„ (б) — чисто простых п циклов i рафа G, ; которого Л — ма
трина, смежное той то
а) < s (б) —
б) г1(0) ± |tr(44)—2д—2 У ф/’|
к) ИО- J-Fir (40—51г(Л — > У У (ip-j—2) и/?*]
1 и L 1 г = 1 1
(Харари .Манвел | Ц)
13 4 т) Если G—несвязный, помеченный граф го каждое атгебраичсскос
допои ней не матрицы Л1 равно нулю
б) Если граф б связен то число его остовов равно пронзве (еииео числа
остовов его блоков
(Бр\кс, Смит Стом ThttIU)
13.0. Пусть G—помеченный граф с ребрами л_ Определим
Г; Щ-матрицу Л1Х—||тф! равенствах!!!
т, '-** 1#/>
(0 если и ё’у нс смежны s
ти mf„(
Под словом остова графа б понимается последовательность (как-то упоря-
доченная) всех символов, приписанных ребрам остова. Многочлен деревье/г графа
б определяется как сум?,ia слов его остовов.
.Матричная теорема о деревьях утверждает, что з(-!ачеггие любого анебраи ie
иного долочпе1ЕНЯ ма трицы Мх есть многочлен деревьев графа &
188
ГЛАВА. 13
13 6 Существуют ли два различных графа с одной и топ же матрицей циклов
содержащие меньше вершин, чем графы показанные на рис 13.3?
13.7 Матрица циклов и матрица коциклов действительно тдовктворяют
первому определению матроида, данному в гл. 4.
13.8 Два графа G1 и &> называются мкгиктральными если многочлены
det Й1—и del (А3— 11} равны. Существуют только два различных коспектраль-
ttrту графа с пятью вершинами *)
(Харари Кинг Рид
13.9 . Если все собственные значения матрицы .4(G) различив то ксеждьей
нетождественный автоморфизм графа G имеет порядок 2
(Мондиовшт 11])
13.10 . ПуеТ! j (tj — многочлен наименьшей степени ft ел и такты? вообще су-
ществуют), для которого тообой коэффициент многочлена j (Д) равен 1, где .4 —
матрица смежностей графа 6. 1'раф имеет такой многочлен тогда п только тотдч
когда он связен ц регулярен.
(Гоффман [3])
13.11 Эйкрон магпрои.д донуекает р «биение множества 8 сю элементен на
циклы.
а) Графи теснив магроид Л1 эйлеров тогда и толы е. тотдт кот да 1-1
матроид простых циклов эйлерова графа.
бт Эйлеров матроид не является графическим.
13.12 . В бинарном чатроиде г.ерессчеине любого никла с. любым коит.клом
содержит четное число элементов. Любой коцикл бинарною эйлерова -.штронда
также содержит четное число элементов. Другими словам в. м игрока, двойствен и г. ш
бинарному эйлерову матроиду, является «двудольным м а гр од доч э on редел ясмеям
естественным образом
(Уэли |1]J
1) Полный обзор результатов. , ол \ тчпп ix в с;зядм . г:.:уч:ч ееем ею ктрее,-iьееej ч
свойств графов, с.одг.ртннтшт в статье Сщугковича [1].— Прим, парен.
Глава 14
ГРУППЫ
Тигр, i imp, светло горящий
15 глубине полночной чащи
Кем иадумай огневой
Соразмерный обрат твои?
/5 х)
С момента своего появления теория групп предоставила инте-
ресный и мощный абстрактный метод изучения симметрий различ
пых конфигураций. Не удивительно, чго теория групп необычайно
плодотворно взаимодействует с теорией графов. Для изложения
этой темы нам понадобятся некоторые элементарные сведения из
теории групп. В частности, мы определим несколько операций на
группах подстановок Эти операции шрают важную роль в теории
графов, поскольку они тесно связаны с операциями над графами,
особенно велико их значение при решении задач перечисчения гра-
фов
Любая модель данной аксиоматической системы имеет группу
автоморфизмов, и графы не являются исключением. Выло замечено,
что при определенных условиях группу графа композиции можно
охарактеризовать с помощью групп составляющих графов В на
стоящей главе представтены результаты о существовании графа с
заданной группой и данными структурными свойствами Глава
завершается рассмотрением графов, симметричных относительно
вершин и ребер
Группа автоморфизмов графа
Сначала напомним обычное определение группы Непустое мно-
жество А вместе с заданной на нем бинарной операцией, результат
применения которой к элементам и ct из Л обозначается через
образует группа, ести выполняются следующие четыре ак-
сиомы
4ксиома 1 (замыкания) любых, двух элементов at
и аг, иринадлежащи'с множеству 4, элемент a^at также принадле-
жит Л
]) Ви л ь я у Ь а с и к. Избрашсю. перепал С, Я. Маршака, издаю «X удож.
лпг-ра». М.. Щ(й. Из «Песен опыта: Тигр». Дословный иеренид н тор он фразы:
«Чья бессмертная руна или чей глаз создал твой облик, полный симметрии?»
—Прим, перси.
190
ГЛАВ i u
Аксиома 2 (ассоциативности) Для шбы к трех элементов
cq, сс2, сс3 принадлежащих множеству 4, справедливо равенство
а3 (а2аз)—({Xj.tz»)as
Аксиома 3 (тождественное! и) В множестве 4 суще-
ствует такой элемент i, что ia—ai=a di<t всех элементом с/ из 1
Аксиома 4 (обращения). Если выполняется аксиома 3,
то для иобого элемента а, принадлежащего множеству А суще-
ствует элемент, обозначаемый и-1, такой, что 'ха~1
Взаимно однозначное отображение конечного множества па
себя называется подстановкой Обычная композиция отображений
определяет бинарную операцию для подстановок на одном и том
же множестве Далее, если некоторая совокупность подстановок
замкнута относительно этой композиции, то аксиомы 2, 3 и 4 ав-
томатически выполняются и эта совокупное^ называется группой
подстановок. Если группа подстановок А действует на множестве
объектов X, то число \А | называется порядком группы, а число
|Х[ — ее степенью
Пусть А и В — группы подстановок действующих на множест-
вах X и К соответственно. Будем писать Л^В для обозначения того ,
что А и В — изоморфные группы Запись А^В означает не только
изоморфизм, но и то, что А и В — идентичные группы подстановок
Более точно, группы А и В изоморфны (А^В), если между подста
нов ками групп А и В существует такое взаимно однозначное соот-
ветствие/?: А<г->В, что для любых элементов ап принадлежащих
А, выполняется равенство/г (а(а0/г(а5) Чтобы точно опре-
делить соотношение А—В, введем еще одно взаимно однозначное
соответствие ф между объектами множеств X и Y, при каго-
ром для любого у из X и любого а из А выполняется равенство
/(а.г)-=/г((х) / (л).
Автоморфизмом графа G называется изоморфизм графа G на
себя Таким образом, каждый автоморфизм <х графа G есть подста
повка множества вершин V, сохраняющая смежность Конечно,
подстановка а переводит любую вершину графа в вершину той же
степени. Очевидно, что последовательное выполнение двух авто-
морфизмов есть также автоморфизм; поэтому автоморфизмы графа
G образуют группу подстановок Г (G), действующую на множестве
вершин V(G). Эту группу7 называют группой или иногда вершинной
группой графа G Группа Г (D) ориентированного графа D опреде
ляется аналогичным образом.
Тождественное отображение из К на V, разумеется, всегда есть
автоморфизм графа G Лля некоторых графов это единственный ав-
томорфизм; такие графы называются асимметрическими ф Нац-
У автора такие графы н. иыиы тепдествсииыми (identity).— BptiM серев
I РУППЫ
191
мепьшее нстрпвтта тьлие асимметрическое дерево имеет семь вер-
шин а наименьший асимметрический граф имеет шесть вершин
(см рис 14 1)
чсимме’рп т ее к н х i рафа
X:i, щ, Хг„ вершинная группа
°1 !б
Щ xi Uj
Рис 14.2. Грлф с иомеченнымтт
nepinmiauH и ребрами
Вершинная группа графа G индуцирует другую группу подста-
новок ГД'6), называемую реберной группой графа 6 она действует
на множестве ребер Е(Сй. Лан иллюстрации различил групп Г и Г,
рассмотрим граф К\—х, показанный на рис. 14,2; его вершины по-
мечены о,, с'а, С:;, щ, а ребра .у, ~
Г (Д?(—л) состоит из четырех под-
становок
Л f) (У2) (с 3) (п4) (Г'1) (Из) (н-дц),
(у-2)(ц4)(уд';)) (п^Нл’зЛ)
Тождественная подстановка
вершинной группы индуцирует
тождественную подстановку на
множестве ребер, в то время как
подстановка (щХлХ^'1) индуци
рует подстановку на множестве ребер в которой ребро ,гг, остает
ся на месте меняется с л4, а .г., с г, Таким образом, реберная
труппа Г, (Д',—у) состоит из следующих подстановок, индуцируе-
мых указанными выше элементами вершинной группы
(v1)(v2)(.r8)u1)(x.o, (ху-щ) (лух3Ха); (л щфхлХ-л); (ллКчлХ-л).
Понятно, что реберная и вершинная труппы графа Л,—л изо-
морфны. По они конечно, не могут быть идентичными, гак как сте
пень группы Г[ (/<4—с) равна 5, а степень группы Г (АЛ- л) равна 4
Заметим, что ребро щ остается на месте в каждом элементе ребер
ной группы. Даже группа подстановок полученная из группы
Г, (/Q—я) сужением ее множества объектов до множества лу, х,,
лщ х4, не идентична группе I (/<4—х) поскотьку эти две изоморфные
группы подстановок одинаковой степени имеют различные цикли
ческис структуры Более того можно показать, что даже если две
группы подстановок имеют одинаковую степень и одинаковую цик-
лическую структуру, то они все еще нс обязательно идентичны,
см Пой а [1 стр 1761
192
ГЛАВ\ U
Следующая юорема (Харари и Палмер г 151) дает отвш на во-
прос: когда группы Г (G) и 1\ (6) изоморфны? Сабидусси 11] доказал
достаточность приводимого ни.-не утверждения с помощью теорети-
ко-групповых методов
Теорема 14 1 Реберная и вершинная группы графа G изоморфны
тогда и только тогда, когда граф G имеет не более одной изолиро-
ванной вершины а граф Кг не яв гнется его компонентой
Доказательство Пусть подстановка сс' группы Г । (6) ип
Аудируется подстановкой а группы Г (G) Из определения операции
умножения в группе ГДС) вытекает, чю
а
для любых аир, принадлежащих Г(б) Поэтому отображение
а' является групповым гомоморфизмом группы Г (G) на Г, (G).
Следовательно, Г (Gl^T, (G) тогда и только тогда, когда ядро этого
отображения тривиально
Для доказательства необходимости предположим, что Г (G)^
=Г\ (G) Тогда из неравенства аУм (i — тождественная подстановка)
следует, что ct =£i Если в графе G существуют две раз алчные изо-
лированные вершины о, и о2, то можно определить подстановку
cxgr(G), потожив а(с1)=а2, а(уг)— ь\ »a(v)~v для всех и..
Тогщ a=£t, но a' — i Если Кг—компонента графа G, то, записав
ребро 1рафа Кг в виде x=vlv.i и определив подстановку и g 1 (Q)
точно гак же, как выше, получим a=^=i, но a = t
Чтобы доказать достаточность, предположим, что граф G имеет
не больше одной изолированной вершины и Кг не явтяется его ком
понентой Если группа Г (G) тривиальна, то очевидно что группа
Г1 (G) оставляет на месте каждое ребро и, следовательно, Т\ (G) —
1ривиальная группа Поэтому предположим, что существует подста-
новка a £ Г (G), для которой <x,(ti)=v^4i. Тогда степени вершин « и и
равны Поскольку вершины и и и не изолированы, их степени не
равны нулю Здесь возникает два случая
Случаи 1 Вершины и и v смежны Пусть х—uv Так как Л
не является компонентой графа G, то степени обеих вершин и i
больше единицы Следовательно, существует такое ребро у^=х,
инцидентное вершине и, что ребро а' (у) инцидентно вершине г,
Отсюда а' (у)^=у, и тогда
Случай 2 Вершины и и <? не смежны Пусть г— произвольней
ребро, инцидентное вершине и Тогда <К (х)^г и, следовательно,
се'=И=г
Доказательство теоремы закончено.
I Р^ПП! 1
193
Операции на группах подстановок
Известно несколько важных операции на группах подстановок,
с помощью которых можно образовать новые группы подстановок
Опишем четыре бинарные операции на группах, которые будем
называть сложением, умножением, композицией и возведением в
степень Результаты этих операций назовем соответственно суммой,
произведением, композицией (двух) групп и степенной группой.
Пусть А — I руппа подстановок порядка т~ |Л | и степени d
действующая на множестве A = {r, х2, , xd}, а В — другая груп-
па подстановок порядка п=-~\В[ и степени е, действующая на мно-
жестве ¥ {z/t у.?, , //,,}. Например, пусть Л=С3~ цикличе
ская группа порядка 3, действующая на множестве Х^{1, 2. 3}
Эта группа состоит из трех подстановок (1)(2)(3), (123) и (132)
Если взять в качестве В симметрическую группу S3 порядка 2,
действующую на множестве ¥ -{а, Ь}, то получим две подстановки
(а)(7?) и (ab). Проиллюстрируем на этих двух группах подстановок
действие названных выще 4 бинарных операций.
Сумма ’•) А В — это группа подстановок, действующая па объе
ди нении X и ¥ ней ер ссекающихся множеств X и ¥, элементы кото
рой записываются в виде а~гР и представляют собой упорядоченные
пары подстановок а из 4 и р из В. Каждый элемент г, принадто-
жащий множеству X (J ¥ преобразуется подстановкой а-\ р по
правилу
(аг, z£X,
(К-РЖМ
1рг, г£¥
(14 1)
Таким образом, группа C;i+S2 содержи! 6 подстановок, каждую
из которых можно записать в виде суммы подстановок а Е и
Р Е S2, как, например, (123)(а6)=- (123)+(п6)
Произведение 2) А'/ В групп А и В — эю грхппа подстановок,
действующая на множестве ХхУ, этементы которой записываются
в виде ахр и представляют собой упорядоченные пары подстано-
вок а из А и р из В Элемент (л, у) .множества ХхУ преобразуется
подстановкой а \Р естественным образом
(ахр) (х, у)=(ах, р(/) (14 2)
Произведение C3ZS2 имеет порядок и степень, равные 6, в то
время как степень суммы С>, i- S3 равна 5 Подстановкой в группе
С\ >' S2, которая соответствует подстановке (123)-у-(ab), будет
(la 2Ь За 1Ь 2а ЗЬ), где для краткости символ (1, а) заменен на 1а
’) Иногда называется также произведением. или прямом, произведением (при
этом используется обозначение произведения).
’) Известное также как деиарпю&о произведение см Харари [9]
7 X 1,1
1 I \LS \ Il
Композиция r) /1|#1 группы А относительно группы В также
действует на множестве Х>'1 Для любой подстановки а из 4 и
любой последовательности (р,, р2. РД содержащей d (не обя-
зательно различных) подстановок из В существует единственная
подстановка из A IB], которая записывается в виде (a, Р,, |32, . . ., Pd),
такая, что для всякой пары (хн //,) из ЛгхY выполняется равенство
(a, ₽t, р2, , PJ (хг, гд)-Далу, р?р;) (14 3)
Композиция С,]S21 имеет степень 6 и порядок 24. Любую иод
становку из CJSJ можно записать в таком виде как она действует
на множестве А\У Вводя опять обозначение hi для упорядочен-
ной пары (1,«) и используя формулу (14.3), можно представить
подстановку ((123); (d)(b), tab) (a)(6)) в виде (la 2а 3h 16 21? За)
Заметим, что группа S3 (CJ имеет порядок 18 и поэтому нс нзоморф
на группе Cf IS J.
Степенная группа2) (обозначается В А действует на множестве
У’х всех функций, отображающих А к К Будем всегда предпола-
гать, что степенная группа действует на множестве, состоящем бо-
лее чем из одной функции. Для каждой пары подстановок а из Л и
Р из В существует единственная подстановка из ВА (записываете я
Р1), которая действует на любую функцию f из Vх в соответствии со
следующим соотношением, определяющим образ каждого элемента
X при отображении р’/:
(PV) W=fW) (14 4)
Степенная группа S2 имеет порядок 6 и степень 8. Легко видеть,
применяя (14 4), что подстановка этой группы, полученная из под-
становок а— (123) и р^(ай), имеет один цикл длины 2 и один никл
длины 6
В табт 14 1 собраны сведения о порядке и степени каждой из
четырех определенных выше групп
Табмща 14 1
Операции на группах подстановок
Сумма Произведе- ние К ок пои нм > Степе ini я я ГРУППА
Группа А В А-' -В л> в 5’
Объекты А У XLJ1 XxY ХуУ ГХ
Порядок т п тп гпп тп /г???/
Стене hi, d d-~e de de L_ ed
1) Пона [2] называет эгу операцию «венком группа (Gruppet Kranz) Литтлвт д
[1] и другие — «ггночимм гронзие-.леписм» (wreath product!.
2) Других названий не известно
ГРУППЫ
195
Л1ы сейчас увидим, что три из указанных операций не являются
различными
Теорема 142 Группы А — В, 4 В и ВА изоморфны
Легко показать, что Л -В^А^В. Для того чтобы убедиться
что Л-, В=1В-'\ достаточно определить отображение f- ВА-+ Л-- В
равенством /(с<; (З) сх1 р и проверить, что f— изоморфизм.
Заметим, что все три операции коммутативны Деисшительно,
4- В В--А, 4/.В-ВхЛ, В^Лв
В табл. 14.2 приведены обозначения пяти широко известных
групп подстановок степени р С их помощью можно описать группы
дву!х хорошо знакомых графов с р вершинами
Тиб ища 14 2
Группы подстановок степени р
а челне Порядо Определение
Симмс три 1 сект г 'в Г Все подстановки на множестве {U , р}
Знакопеременная р !/3 Вес четные подстановки на множестве {1 2, .... р}
Циклическая I? Порождается подстаттовкои (12 р)
Днйдральная 2р Порождается подстановками (12 р) ц (1 р) (2 р— 1)...
Тождественная LP 1 (/?) — единственная подста- новка
1 еорема 14 3 а) Группа Г (G) есть Sp тогда и только тогда}
когда G—Kp или
б) Если G — простой цикл д шны р, то Г (G) -Ор
Таким образом, две специальные группы подстановок именно
S;.i и Dp, являются группами графов с р вершинами. Для любою
р'Г?. b существует асимметрический граф с р вершинами, а дтя
р^ 7 существует асимметрическое дерево
Группа графа-композиции
Теперь мы можем приступите к изучению группы, связанной с
графом, образованным из других i рафов с помощью различных опе-
раций Поскольку любой автоморфизм графа сохраняет и смеж-
ность, и несмсжность, то сразу же получаем следующий очевидный,
но важный результат
7+
19b
ГЛ ЛВ \ 14
Теорема 14 4 Граф и его дополнение имеют одну и ту же
группу
•T(G) —Г(С) (14 5)
Граф-композиция получается как результат применения одной
или нескольких операций над нспересекагощимися графами (не
имеющими общих вершин). Группу графа-композиции можно ча
сто выразить через группы составляющих графов. Фрухт [31 опи
сал группу графа nG, состоящего из п непересекающихся копий
связного графа G
Теорема 145 Если G — (единый гриф, то
Г (и G) _SjF(G)] (14 6)
Для иллюстрации зюй теоремы рассмотрим граф G —
группа которого есть SJSJ. Двтоморфи ;м графа G можно получить,
выполняя сначала произвольный автоморфизм на каждом из пяти
треугольников, а затем совершая любую перестановку ыих гре
угольников между собой
Теорема 14.6. Ест О, м G>— пепересекающиеся связные неизо
морфные. графы то
Y(Ga\G:)-Y(G^-T(G^ (14 7)
Любой граф G можно представить в виде G—11,6, и U nrGr
где л, — чисто компонент графа G изоморфных графу G; Применяя
последние две теоремы получаем
Г (6>-5г11[Г (G,)]-S„slT ^SJT(G,)] (14 8;
Следствие 14 6 (а) Группа объединения, двух графив иден-
тична сумме их групп, т е
T^GG^l (GJ —1 (GJ, (14 9)
тогда и только тогда, когда в графе G, нет компоненты изоморфной
компоненте графа G,
Из теоремы 14 4 следствия 14.6 (а) и того факта, чю дополнение
соединения двух графов равно объединению нх допотнениЙ т е
(V-’gWtUG,, (14 10)
вытекает
Следствие 14 6(6) Групна соединения двух графов идентична
сумме их групп, т в.
Г (Gi—G,) --1 (GJ- 1 (GJ, (14 И)
тогда и только тогда, когда е рифе Gt нет компоненты, изоморфной
компоненте графи G.,.
ГРУППЫ
197
Нетривиальный граф G
называется простым, если
разложение G—C^vG-, воз-
можно лишь тогда, когда
или G, или G,— тривиаль
ный граф, граф G называ-
ется составным, если он не
является простым. Сабиду с -
си 15] заметил, чю декар
юво произведение графов
коммутативно и ассоциа-
гивно Он также наше i
критерий идентичности
группы произведения -щух
графов и произведения их
групп Так как он доказал
чго каждый нетривиальный
граф единственным образом
можно представить в виде
произведения простых гра-
фов, то ясно, что такое
взаимно простые графы
Тиб ища 14 з
Группы связных графов с небольшим
числом вершин
Теорема 14 7. Группа произведения двух
произведению их групп, т с
' г(о,
графа! идентична
(14 12)
тогда и только тогда когда G, и G — взаимна простые грасры
Сабидусси Г41 дат также огв^т на вопрос поставленный в раооте
Харари 112], указав, при каких условиях группа лексикографиче-
ского произведения (композиции) двух графов идентична композиции
их групп Окрестностью вершины и называется множество /V (м),
состоящее из всех вершин г, смежных с и Замкнутая окрестность —
это VhHЛ’(ц) и {и}
Теорема 14 8 Если граф G{ нс чвляется вполне несвязным ню
группа композиции двух срифов 6t и (Г идентична композиции их
групп, т с
TlGjGJl^riGj ]Г (G )|, (14 В)
тогда и только тогда когда выполняются следующие два условии
1) если в графе Gt найдутся две вершины с одной и той же окре
стнистью, то граф G2 связен.
2) если в графе G£ найдутся две вершины с одной и той же заик
нутои окрестностью то графО связен
С помощью этих результатов можно записать символически
группы всех графов, имеющих не более 4 вершин (см. табл. 14.3).
198
главу i4
Группа графа Ki— v уже приводилась в качестве примера. В
табл 14 3 не приведены группы несвязных графов но их можно
поахнить, используя юорсму 14.4
Более сложны условия идентичноеш группы тексико:рафи-
ческою произведения двух графов и композиции их групп
Это наводит на мысль, что для реализации i точностью до труп
повою изоморфизма композиции групп можно использовать другую
операцию (на графах)
<п
Ри< 14 ? Два графа и их две короны
Короной G: G двух графов Gj и G2 (см. Фрухт и Харари [II)
называется граф G, который получается следующим образом: возь-
мем одну копию графа Glf имеющего pY вершин, и pL копий графа
G, и последовательно соединим t-ю вершину графа G, с каждой вер-
шиной i й копии графа 0.. На рис 14 3 показаны две различные ко-
роны Gi 62 и G2 Gi графов G, = K« и G2=Kl!t Из определения ко-
роны следует, что 6, имеет pi (1--р2) вершин и q± prfa—pip?
ребер
Теорема 14 9 Группу короны двух графов GT и G-, можно
«явно выразить» черев композицию их групп, а именно
Г(61 6,)—Г(6() Шг-ГО, (14 14)
тогда и тогько тогда, когда в графе G, иш G? нет изолированных
вершин
Применяя следствие >4Ь(а) к слагаемому' £ф в формуле (11 14),
получаем
Следствие 14.9 (а). Грун.па, короны G, - G2 двух графов С2 «. G2
изоморфна композииии Г (Gj [Г (Gjl их групп тогда и только тогда,
когда в графе С1 или О2 нет тегированных вершин
Графы с данной группой
Кениг [2, стр 51 поставил вопрос «Когда данная абсграктЕЕая
группа изоморфна труппе некоторого графа?» Конструктив ное ре
шение этой задачи было даноФрмхтом 111, доказавшим, что каждая
[РУППЫ
группа есть группа автоморфизмов некоторого графа Для ю-
к азател ьства он и (.пользовал понятие «цветного графа группы»,
введенное Кэли (3] Определим это понятие. Пусть ..
• > /п - Л — конечная группа порядка п с единичным элементом Д.
Пусть различным элементам /; из F, отличным от единичного при-
писаны различные цвета
Цветной граф группы Г — обозначается Г) Д ') — эю полный
симметрический ориентированный граф, множество вершин кото-
рого совладает с множество?,! элемсн
тов группы Г Далее, каждой дуге
opi рафа D (F), скажем идущей из вер
шины h в вершину Д, приписывается
цвет, связанный с элементом /~Д
группы F Конечно, на самом деле
мы проста отмечаем как вершины,
так и дуги орграфа D (F) элемента
ми группы F
В качестве примера рассмотрим
циклическую группу порядка 3 С.,—
--{О 1, 2} Цветной граф D (Сф пока-
зан на рис 14 4.
Фрухт получил также следую-
щий простой, но очень полезный
Рр" 14.4. [рЮГГЮЙ ipjl'Jj ЦИКЛ!!
чсскои группы (Д.
результат
Лемма 14.10 (а) Каждая конечная группа Г изоморфна группе
met автоморфизмов орграфа D (F), которые сохраняют цвета дуг
и,
Чтобы построить граф G, группа (автоморфизмов) Г (6) которого
изоморфна F Фрухт заменяет каждую дугу фЦ ср1рафа D (F) не
которым графом с двумя
«корнями». При этом дуги
одного цвета заменяются
одним [I тем werpaqjoM. На
рис. 14 5 приведен граф,
которым заменяется дуга
/уф Обозначим /г1// -/л и
введем новые вершины {и.фг
и {cyj так, чтобы простые
цепи, соединяющие щ с щ и
V; с су-,, содержали соот-
сущпости, в конструкции
Рие 14.5. Граф с двумя корнями, заменяю
шин дугу фф.
гетственно 2k—2 и 2k— 1 вершин
Фрухта с каждой дугой фц сопоставляется цветной неориентпро
ванный огросток Получаемый
it'1 (2п—1) вершин и Г (G)=F.
В
в результате граф G имеет
Теорема 14.10 Для каждой конечной абстрактной группы F
существует такой граф G, что группы Г(б) и F изоморфны.
глава и
Граф полученный указанным выше способом для циклической
группы С , изображен на рис. 14.6. а На примере этого графа долж-
но бьгь ясно что число вершин в любом построенном таким обра-
зом графе избыточно. 1 рафы с данной группой, имеющие меньшее
количество вершин, легко получить сели известно, что эта группа
имеет пг<; /1 образующих Тогда в цветном графе преобразуются
которые соответствуют т об
только те
радующим.
ориентированные ребра,
Таким образом для данной группы можно построить
граф, содержащий п (m—V) С2т । 1) вершин. Поскольку группа С>,
порождается одним элементом, то для C-ri существует граф с 18 вер-
шинами Он показан на рис 14.6, б
Неэффективность и этого способа по-
строения демонстрируется па графе,
представленном на рис. 14 7 Этот граф
является одним из двух графов, имею
тих наименьшее число вершин и цик-
лическую группу автоморфизмов поряд
ка 3. Они состоят из 9 вершин и 15 ре
бср (Харари и Палмер 131)
Позже Фрукт [2| показал, чю можно
Рис 14 - Наименьший граф пилить этот результат, а именно что
t_ группой С3 существует кубический граф и, удовлет
воряющий теореме 14.10 Становится
понятным, что требование наличия у графа G данной абстракт-
ной группы автоморфизмов не налагает жестких ограничений на
структуру 1 рафа Действительно, Сабидусси [2] показал, что
существует много графов с данной абстрактной группой, имеющих
одно из нескольких характерных свойств таких, как связность,
хроматическое чис то, степень регулярности и др
ГРУППЫ
2i)I
Г е о р е м а 14 11 Пусть даны прои мольная конечная абстрактная
нетривиальная группа F и целое число /(1 Тогда существу-
ет бесконечно много негомеоморфных связных графов G, которые не
имеют вершин, неподвижных при действии любого автоморфизма
I [G'}~F, и которые обладают свойствами Р}, определяемыми сле-
дующим образом"
Р1 к (G)^n, п^- 1,
Г.,: X(G)-/j, н>2.
Р-р G — регулярный граф степени п п^З,
Ру граф G имеет остовный подграф, гомеоморфный данному графу
После опубликования этой теоремы Избицкии [11 рассмотрел
задачу построения графа с данной группой, когда граф обладает
одновременно несколькими (более одного) из перечисленных в тео-
реме свойств Используя результаты Сабидусси [21 о произведении
двух графов и найдя некоторые новые конструкции он получил
соответствующий результат для регулярных графов произвольной
степени н с произвольным хроматическим чистом
Следствие 14 11 (а) Дт данных произва -гьной конечной груп
пы F и целых чисел п и т (д^З, 2^ т-Д.п) существует бесконечное
число таких графов G, что r(G)^.F, Z(G) =--т и G — регулярные
графы степени п
Симметрические графы
Изучение симметрии графов было начато Фостером [Ц, соста-
вившим таблицы симметрических кубических графов Две вер-
шины и и и графа G называются подобными, если дтя некоторого
Рис 14 8 Верш и; 11 ю-снмле'1 р и1 их к и и и ребер
но-симметричсскип графы
автоморфизма те этого графа те(н) = р Неподвижная вершина не
подобна ни одной другой вершине Два ребра х^-щщ и хг=-иуи-,
называются подобными если существует такой автоморфизм те
графа G, что те( {щ, ^j}}— {w2, г’Д,
Будем рассматривать сейчас только графы, не имеющие изоли-
рованных вершин Граф называется вершинно-симметрическим
если любая пара его вершин подобна, и реберно-симметрическим,
если любая пара его ребер подобна. Граф называется симметри-
ческим если он вершинно- и реберно-симметричен На рис 14 й
202
ГП \П \ 1
приведены графы с наименьшим числом вершин, один и.! коюрых
вершинно симметричен, но нс реберно-симметричен Преутотьпая
призма /<;1Х/<2), а другой наоборот (звезда /<1 ,)
Заметим, что если сс — автоморфизм графа G, то графы G — и
и G— а (и) изоморфны Поэтому, если вершины н и i подобны, го
G — u^G — v. Удивительно, но утверждение, обратное этому, не
верно Д Примером тому служит граф, изображенный нд рис 14 9
Рис 119 Контрпример е гипшезе
Он имеет наименьшее число вершин из всех графов, у которых су-
ществуют такие неподобные вершины и и v, что G—и = 6 — о (см
Харари и Палмер [51)
Степенью ребра х—щ, называется неупорядоченная пара (dY, d^,
где di.=deg и и d,=^deg у Граф называется реберно-регулярным,
если все его ребра имеют одну
/\\. 11 т- же степснь На рис 14.10
/ \ уху / \ показан полный двудольный
Кгз. / \ граб Ла,а, он реберио-епмметри
/ \ / \ чсн, реберно-регулярен степени
/х"^ \J (2,3), по не является вершинно-
симметрическим
Ри<. 14.10. Ребер но-регулярный ребер Теперь сформулируем гсоре-
но-симметричсскги граф му, доказанную Элейн Добер
В следствиях из этой теоремы
описываются свойства реберно-симметрических графов. Сделаем
очевидное, но важное замечание' любой рсберпо симметрический
граф реберно-регулярен
Теорема 14.12 Ребер но симметрическим граф без изолирован-
ных вершин чвляется или вершинно-симметрическим, иш двудоль-
ным.
Д ок аз ат е тьст во Рассмслрпм ребсрно-симметрическии граф
G без изолированных вершин, имеющий q ребер. Тогда для любого
ребра х существует по крайней мере q автоморфизмов а(,
графа G, отображающих ребро х на множество ребер графа G Пусть
..,^0,)} 11 и,2- {аДо,) По-
скольку в G нет изо тированных вершин объединение множеств
4 Одно из предо а га шлются доказательств гипотезы Удима в сильной степени
зависело от этого обратного утверждения.
ГР ъ пцы
203
и У2 даст I Рассмешим отдельно два случая множества I х н у,,
не пересекаются и множества l-ф и 1-'2 пересекаются
Случаи 1 Если VL и не пересекаются, то G — двудольным граф.
Пусть uL и Uh—любая пара вершин из Ц Если они смежны,
обозначим через у ребро, соединяющее их. Тогда аДл)—т/ для не
которого автоморфизма at Отсюда следует, что одна из этих вершин
принадлежит V,, а другая У, вопреки предположению. Следова-
тельно, подмножества Ух и V2 образуют такое разбиение множества
V, что в каждом из них ист смежных вершин, т е. G — двудольный
граф
Случаи 2 Если Гх и V2 пересекаются, что G — вершинпо-сим
метрический граф
Пусть it и ы — любая пара вершин графа G , Нам нужно пока-
зать, что и и w подобны Если и п ш принадлежат одновременно
или У,, или 1Ф, то рассмотрим два автоморфных отображения' отоб-
ражение а ребра t на ребро, инцидентное и и отображение Р ребра
v па ребро, инцидентное Тогда -го, так что любые две
вершины и и ю, принадлежащие одному множеству, подобны. Если
же и принадлежит V, а щ принадлежит 14, обозначим через г.
вершину, принадлежащую и У2. Так как и подобна и и, и го,
то«и г» также подобны
Следствие 14.12 (а) Если G ~ реберно-симметрическии граф
и степень каждого ребра равна (d2 d2), d,+d. то граф G двудольный.
Следствие 14.12 (б) Если G— реберно-симметрический граф
с нечетным числом вершин и степень каждого ребра равна [dit d>),
d}=d% то граф G вершинно-симметрический
Следствие 14 12 (в) Если реберно-симметрический граф G
имеет четное число вершин и регулярен степени дД р:2, то он вер
шинно-симметри ческий
Сравнивая эти следствия, можно заметить, что из всех реберно-
симметрических графов не описаны лишь ге, которые имеют четное
число вершин и регу лярны степени d< р:2. Примером реберно-
симметрического графа который также вершинно-симметричен и
двудолен, служит многоугольник с шестью вершинами. Икосаэдр
додекаэдр и граф Петерсена дают примеры реберно-симметрических
графов, которые яв ihiotch вершинно-симметрическими но не дву-
дольными, Наконец, как показал Фол киан [II, не все регулярные
реберно симметрические графы вершинно-симметричны
Теорема 14 13 Для гюбого числа /л [>20, делящегося на 4,
существует регулярный граф G с р вершинами, являющийся реберно-
симметрическим, но не вершинно-симметрическим
204
1ЛЛ1Щ 1 +
Графы с более сильном симметрией
Следуя Гатту 1151 определим /i-путь как маршрут длины п
с выделенной начальной вершиной, в котором нет повторяющихся
ребер. Графб называется п-транзитивным, 1, если в нем имеется
н-путь и для любых двух «-путей всегда найдется автоморфизм,
отображающий один из этих путей па другой Очеви що, что утя
любого я простой цикл длины и п-транзитивен и простая цепь длины
п п-транзитивна. Заметим, что не каждый
реберно-симметрический граф 1 транзита
S вен Например, в реберно симметрическом
\ графе Ki,а, представленном на рис 14 8, нет
г у/ \ автоморфизма, переводящего 1-путь ии на
Y l-HVTb та1
/ у Если W есть «-путь щщ су и« —
/ лю^ая вершина, отличная от вп_х и смеж-
“ч Зу ная с х, то п-путь vL vnti называется
* последователем п-пути IF Если IF оканчи-
вается висячей вершиной графа G то оче-
Pjk 14 п граф Хивуда. видно, что IF не имеет последователей
Поэтому в следующих двух теоремах юво
ри/ся о графах без вися шх вершин Сформулируем теперь поста
точное условие (Татт 115, сгр 601) /г транзитивности
Теорема 14.14 Пусть G — связный граф без висячих вершин
Если W' — такой п путь, что существуют автоморфизмы, графа
G, отображающие IF на любой из его последователей, то граф G
н-транзитивен
Имеется тесная связь междх п транзитивностью графа и его об-
хватом 11атт И5 сгр 611)
Теорема 14.15. А. л и связный п-транзитивный граф, не содер-
жащий висячих вершин и отитный от простого цикга имеет об-
хват g то о '._
С помощью теоремы 14 14 можно показать что граф Хивуда
изображенный на рис 14 11, 4-трапзитивен. Более того, как легко
видно из теоремы 14 15 этот граф не является 5-транзитивным.
Существуют регулярные графы, называемые клетками, обла-
дающие в некотором смысле еще более сильной симметрией, чем
//-транзитивные графы. Граф G называется п-унитранзитивным г)
если он связный, кубический и «транзитивный и если для тюбых
дву х «-путей йщ и №% существует точно один такой автоморфизм О'
графа G что olTj —IF2. Кубический граф, имеющий обхват « и на
именынее возможное число вершин, называется п-клетюои, 3
Информацию о клетках (см Татт [15, стр. 71—831) содержит
1) В монографии Татта [15, стр 62] такой граф называется л регулярным
ГРУППЫ
Ж
Теорема 14.16 Для любого 3 существует п-клетка. Для
любого п, удовлетворяющего неравенствам ЗебпгСЙ, существует
единственная п-клетка. Каждая из этих я-клеток для некоторых
t=t(u) является i-унитранзитивным графом: ЦДр-Д, Z(4) = ( (5)-=3,
/(6) ((7)--4 it
1еперь описаны все известные клпки (см ia6i 14 4)
Т аб.юиа 14 4
Известные клетки
Ч-КЛЕ1Т 3 4 •74l ЧСГКЧ
3 Ki (показан i на р ис 2 1) G Граф Хивудч (рис 14.11)
4 з (рис 2 5) 7 Гпаф Мак Джи (pii<- 14.12)
«э Граф Петерсена (рис 9 6) 8 Граф Леви (рис 14.1 3)
Для гс>5 и-транзитивные кубические графы не существуют
следовательно, не существуют и я-унитранзитивные графы (см.
7агт [3]) Однако, кроме указанных выше клеток для п<15 суще-
ствуют и другие «-унитранзптивиые графы В частности 1-унитран-
знтивный граф, имеющий 432 вершины и обхват 12, построен Фрух-
Рис 14 12 I клетка ряппая объединению указанных, ышге подграфов с
соответстнующей нумерацией
том [41, куб Qi и додекаэдр (рис. 1 5) 2-унитранзигивиы, а З-унп
1ранзитивные графы, отличные от 4- и 5-клеток, найдены Коксетс
ром [1] Один из них показан на рис 14 14
206
ГЛАВА 11
Рис 14 13 8 клетка равная лбт^единс-нию указанных- выше тодгпафов с соотвег-
стиу юще й н у ме р а ни ей
Этот граф принадлежит классу графов, введенных ь статье
Чартрэвда и Харари fl], Д^я любой подстановки а из S,, назовем
<у-перестановочным графом для помеченного графа G объединение
двух иепересекающихся копий С7 и G,
графа G, между которыми проведены
<1 /\ ребра, соединяющие веошипы vt гра-
/ I'-yOv'l \ фа GL с вершинами <зо{1) графа Сй. Тик,
У \ на рис 14.14 показан перестановоч-
ный граф для простого цикла С,,, На
V V обложке зтой книги приведены все
у, х / четыре перестановочных графа для
V/ у \/ Упражнения
14.1 Панги группы следующих графов
Рис 14 14 Другой 3 vinrrpan а) ЗЛф б) ЛД nG в) Лфл i г) A1J./62I,
зитивный граф "1
14.2. Если шрафе 6 есть вершина не
принадлежащая простому циклу длины четыре то G— простой граф.
(Сабидусси [2])
14 3 Если G — связный граф с р>3 вершинами, то его реберный граф
L (б) простой тогда и только тогда, когда i раф G не есть Д,л п при т, Жуэ2
(Палмер [1])
14.4. Построить граф с 9 вершинами и 1о ребрами (отли ниц от i рафа, изоб-
раженного на рис. 14.7) у которого группой автоморфизмов является цикличе-
ская группа порядка 3
(Хаоари п Палмор [31)
14 5 Построить связный граф с II вершинами, у которого группой автомор-
физмов является циклическая группа порядка 6
ГРУППЫ
20/
14.6 Построить граф с 14 вершинами у которого группой, автоморфизмов
является циклическая грунт порядка 7
(Сабидусси [ )]1
*14.7. Обозначим через с (т) наименьшее число вершин в графах, у которых
группа автоморфизмов изоморфна группе Ст Тогда значения с(т) при т и''
и п простом равны:
а) с(2)=-2 п с(2,’)=2?-( 6 при r> 1,
б) С — П‘‘'-р2п При
в) с(пт) = /;'ф-м при лрй7.
(Заменапне: е (т) можно также вычислить и тогда когда т не равно степени
простого числа, но соответствующее выражение будет очень сложным.)
(МериЕн.тер)
14.8 Ik существует ъстрипиатьных асимметрических графов имеющих
меньше 6 вершин.
14.9 . Нс существует кубических асимметрических графов имеющих меньше
12 вершин
14.10 . Построить кубический граф, v которого ipyis гои автоморфизмов явчя
ется циклическая группа порядка 3.
14 11 Группа (автоморфизмов) графа Петерсена идеиги ша реберной группе
1 р афа К5
14.12 . Существует граф G, у которого группой автоморфизмов является ди
эдральпая группа Dp, причем граф G отличен от простого цикла и его дополнения
Каково наименьшее значение р для которою это утверждение, справедливо?
14.13 Для рФэЗ не существует таких графов G, что Г (6)=/!^ или Г (G)=
=С р Для р:=>4 не существует таких opi рафов D что Г (D)s4
(КапьоН], Харари и Палмер (10])
14 14 Единственный связный граф 6 v кото] мо группа автоморфизмов изо
морфна группе Ф, /ь-Згй, — это
ч) К, если G имеет п вершин;
б) АД,,, если 6 имеет и ,-1 вершин
в) /<i i-/<i,, если G имеет п— 2 вершин
(Гевпрц н Квннтас И])
14.15 Пусть даны конечная группа F и граф G(F}, полученный по теореме
Фрукта. Тогда каждый нетождественный автоморфизм графа С(Г) не имеет пс
подвижных вершин.
14 16. Каково наименьшее дерево Т (с наименьшим числом вершин), содср
капке такие неподобные веошины и и о что 7—и~'Т~у?
(Харари и Пт1мер |2Ц
14,17 Чюбой связныи вершиино симметрический iраф G является блоком.
14.18 . Звездным многоугольником называется такой граф G, содержащий ос.-
топпый цикл У] д> . . . Vp^i, что если в графе G имеется ребро ср v,Jt то в нем имеются
также все ребра v/Vp где /—i~n—1 (mod р). Связный граф G с простым числом р
вершин вершинно-симметричен тогда и только тогда, когда G — звездный много
х голь ни к
(Тернер ]11)
14.19 . Доказать или опровергнуть следующие, восемь утверждсЕтий: если
два графа вершшпю симмец.шчкьг (реберно-симметричны) то таковы же их сое-
динение, произведение, кодшозшщя к кореша
14.20 Каждый симметрический связный граф печетноп CTin'-Hti 1 трапзигп
вен
(Татг [15 стр 59])
208
ГЛАВ\ Н
14,21 . Каждый сим.метрическнй связный кубический граф п трапзитивеи
для некоторого п
(Татт 115 стр 83])
14 22 Найти необходимые и достаточные условия того что вершинная к рс
берная группы (автоморфизмов) графа идентичны
(Харари и Палмер [1о])
14.23 Если G— связный граф то Г (fi)^F (7 (G)) toi да п тотько тсч да когда
Kis-x Кг—х Кг
(Уитни [2])
14.24. Если граф G вершинно симметричен то его группа Г (G) имеет вид
S2 I s.^ ,-s2
(Мак Эндрю (21)
14.25 Единствен идя 2-транзитнвиая i руппа подстановок степени р которая
является группой автоморфизмов некоторого графа, есть 8р.
14.26 Пусть А и В — две группы подстановок, действующие соответственно
па множествах х2.....л^} и Y Экспонегщирование (ВИ действует на
функции из множества YX. Для любой подстановки а из А и любой последователь
пости flj Р2, , из В существует такая сдинств''ниая подстановка [or
|J2, Pdl из [.ВИ что для х; из А и / из У у
[«' Рм , fU f 1Л)—М Ю
Группой куба Qt. является [$,ls“ а реберной группой । рафа К„ „ является [S,,]5’
(Харари [911
*14.27 Существует единственный наименьший регулярный граф степени 4
имеющий обхват 5, В нем 19 вершин и его группа (автоморфизмов) изоморфна
диэдрапьной группе DJ2
(Робертсон [1]1
14.28 Пусть G — трехсвязный планарный (р ф)-граф, у которого грунта
(автоморфизмов) имеет порядок а. Число 4фз целое, и s— 47 тогда и только тогда,
когда G совпадает с одним из пяти правильных многогранников (или Платоновых
графов).
(Вайнберг |2] Харари и Татт [3])
14.29. Группу автоморфизмов любого дерева можно получить из симмстргще
ских групп с помощью операций сложения и композиции
(Пока |1 tip. 209])
14.30. Набор р—1 транспозиции (иг су), (и3 г.й) .. п объектов порождает
симметрическую группу Sp тогда и только тогда, когда граф имеющий р вершин и
р—1 ребер вида чрр является деревом
(Пойч [1])
14 31. ct- переела побочный граф помеченного двусвязного графа G планарен
тогда и тотько тогда, когда G - внешпепланарный граф и с. помощью циклической
нумерации его вершин можно нарисовать его на плоскости так, чтобы а была
подстановкой из диэдрачьной группы Г)р
(Чартрэнд и Харари [3])
*14.32 Эндоморфизмом i рафа G называется юмоморфизм графа G в себя.
Полугруппой графа называется множество всех его эндоморфизмов Каждая ко-
нечная полугруппа с единицей изоморфна полугруппе некоторого графа
(Хедрлнн и Пу,.'1ь~р []])
"14,33 Наименьший нетривиальный граф пмечощцй только тождественный
щдоморфизм содержит 8 вершин
(Хедрлип и Пз тьтр [2])
“14.34. Для каждого трщ 2 существует един ствол ньш граф с т ] 2 вершинами
группа автоморфизмов которого изоморфна симметрической группе 5ffl. степени т.
(Гевирп. Кщинтас. |2])
Глаьа
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
Как я люблю тебя? Позволь мне псречесиЛ
ипабет Баррет Б раунинг1)
Имеются основания утверждать, что методы перечисления в ком
бииаторном диализе можно рассматривать скорее как искусство а
нс как науку. Будем надеяться, что с появлением и развитием более
общих и более мощных концепций и методик эта ситу ация коренным
образом изменится Первые работы по теории перечисления графов
принадлежат Кэли, Редфилду и Пойа. На самом деле (см Харари
и Палмер [111) все известные в настоящее время методы перечисле
пня графов предвосхищены в уникальной работе Редфилда [1],
которая была опубликована в 1927 г , но не была оценена по достоин-
ству .
Мы начнем с самых простых задач перечисления, а именно с пе
рсчисления помеченных графов Затем приведем классическую те
орему перечисления, принадлежащую Пойа, и применим ее к на-
хождению перечисляющих рядов для деревьев и других видов гра-
фов Будет дано также обобщение теоремы Пойа (так называемая
теорема перечисления степенной группы), полезное при исследова-
нии проблем перечисления, в которых эквивалентные классы зада
ются с помощью двух групп подстановок. Ради полноты мы закон-
чим изложение списками решенных и нерешенных проблем в теории
перечисления графов
Помеченные графы
Все помеченные графы с л ремя вершинами показаны на рис 15 1
Мы видим, что 4 различных графа с 3 вершина,™ приводят к 8 оаз
личным помеченным графам. Цля нахождения чиста помеченных
графов с р вершинами нужно только заметить, что каждог из (ф
возможных ребер либо принадлежит графу, либо нет
Т е о р е м а 15 1 Чис. го помеченных графов с р вершинам и равно 2^.
J) Эти зя бет Ьтррст Бра\шшг (1806—18ЬП — з н м писки я поэтесса. - Нрич
мрев
210
ПАВ *1 И
Следствие 15 1(a) Чисю помеченных (р дрграфов равно
Кэли [51 первым установит соответствующий резу.тыат для де-
ревьев: чисто помоченных деревьев с р вершинами равно рр~
15 1 Поме генные графы с 3 вер л инами
Рис
С 1889 г., ногда появилась работа Кэли, было найдено много раз-
личных доказательств этой формулы Наброски их приведены Муном
[3] один из них дан в следствии 13.4 (а).
Ри< 15 2 Помеченные деревья с 4 вердшнами.
На рис. 15 2 показаны все 16 помеченных теревьев с 4 вершинами
Пометки на этих деревьях следует понимать так как это показано
на первом и последнем деревьях Заметим, что среди этих 16 по-
меченных деревьев 12 изоморфны цепи /ф и 4 изоморфны графу
Порядок группы Г (Рф равен 2, а порядок группы Г (Лнз) ранен 6
Так как здесь р=4, то имеем 12—4' |Г и 4 4! ’[Г (Кл, ) I Ес-
перечщ. пени/
211
тсственное обобщение этих двух равенств справедливо нс юлько
для деревьев, но также для графов орграфов, отношений и т д ,
см Харари, Рид 11] и Харари, Палмер, Рид [II
leopeva 15 2 Данный граф G можно пометить /;!/|Г (G)|
способа ми
Набросок док азатетьства Пусть Л — группа подста но
вок действующая на множестве X Для всякого элемента х из X
орбитой (1 (х) элемента х называется подмножество множества X,
состоящее из всех таких элементов у из X, что ах--у для некоторой
подстановки а из А Стабилизатором А (л) элемента г называется
подгруппа группы А, состоящая из всех подстановок из А, остав
ляющих элемент х неподвижным. Теорема следует из хорошо извест-
ной формулы |0 (д)| Д (Д|~ |Ч | и ее интерпретации в настоящем кон
тексте
Теорема перечисления Пойа
Многие проблемы перечисления формулируются так, что ответ
можно дать, найдя формулу для числа орбит (систем транзитивно-
сти) определяемых группой подстановок Часто орбитам припи-
сываются веса; Пойа [1] показал, как получить формулу, перечис-
ляющую орбиты в соответствии с весами и зависящую от цикличе
с кой структуры подстановок данной группы Обращение теоремы
Пойа связано с обобщением хорошо известной г гереч целитель ней
формулы, принадлежащей Бернсайду [1, стр 191]
Теорема 153. Пусть А — группа подстановок действующая
на множестве X с орбитами 9,, 02, , и w — функция при
писывающая веса каждой орбите (весовая функция) Более того,
щ определяется на X так, что w (x) -w(9j), если х С 0г Тогда сумма
весов орбит равна
И (15 1)
t = l se.4 х-а.х
Доказательство Мы уже видеть, что поря цж |/1[ группы
Л равен | 4 (х) | |0 (х)| для любого у из X, где А (х) — стабилизатор
элемента х Кроме того, поскольку весовая функция постоянна на
элементах данной орбиты, ю
для каждой орбиты 0, Сопоставляя эти факты находим, что
1-4(0] МД
212
ГЛАВА 1
Суммируя по всем орбитам, имеем
фр),
откуда сразу следует (15 1)
Традиционную форму леммы Бернсайда гсперь можно устапо
вить как следствие этой теоремы Пусть для подстановки а, пред-
ставленной в виде произведения непересекающихся пиктов,
обозначает чисто циклов длины k
Следствие 15.3 (а) (лемма Бернсайда) Число ЛДЛ) ор-
бит группы подстановок А равно
л;И) пп (я)
1 I/1.1
Пусть 1 — группа подстановок порядка т и степени d. Цикло
вым индексом Z (Л) называется многочлен от d переменных at, а2, >
.., ud, задаваемый формулой
2(Л)-г4| £ J1 (15 2)
1 1 ttt 4
Так как для любой подстановки а числа = удовлетворя-
ют соотношению
1/t -2/2-j- I df^~d,
они составляют разбиение целою положительного числа d. Обычно
для описания а применяют векторное обозначение (j) (Д, ]2,
, /й) Заметим, что этот метод выражения разбиений отличается or
использованного в гл 6, например, разбиение 5 = 3т 1-L1 соответ-
ствует вектору (]) = (2. О, 1, 0, 0)
Все классические проблемы перечисления к которым применя-
ется теорема Пойа имеют одну н ту же общую форму. Пусть дана
область определения D, множество значений R и весовая функция
ui’, определенная на Я В качестве примера можно взять весовую
функцию ьщ приписывающую каждому r£R упорядоченную пару
и.'2г) неотрицательных целых чисел Объекты, подле-
жащие счету, — это функции, действующие из D в R Для заверше
ния постановки проблемы надо условиться о том, когда две функ-
ции из RD рассматриваются как неразличимые (эквивалентные)
Это достигается указанием группы А, действующей па D, при этом
две функции считаются эквивалентными, когда они принадлежат
одной гг той же орбите из ЕА, где Е — тождественная группа сте
пени |Я]
Задержимся на минуту и проиллюстрируем эти идеи на «проблеме
ожерелья» Рассмотрим ожерелья, скажем, с 4 бусинками, в кото
рых одни бусинки красные, а другие синие Два таких ожерелья
ГГЕРЕЧИСЧЕНИЯ
213
считаются эквивалентными, если их можно сделать «конгруэнтны
ми» с сохранением цветов бусинок. Здесь D — множество ячеек
(мест), в которых могут находиться бусинки, R — множество {крас-
ная бусинка, синяя бусинка}, а функция /' £ — приписывание бу-
синок каждому месту (каждый ячейке) на ожерелье В этом при-
мере группа А—диэдральная группа Z>4, весовую функцию кт
можно определить равенствами кдкрасная бусинка) - -(1, 0) и
цт(синяя бусинка)=(0,1)
Следуя интуитивной терминологии Пойа, элементы области оп-
ределения D будем называть местами, элементы множества зна
чений — фигурами, функции — конфигурациями, а группу подста-
новок А — группой конфигурации Припишем вес IVZ (/) каждой
функции
ичп-п * (15 3)
d с D ' 7
Легко видеть, что все функции из данной орбиты множества
определяемой труппой Е имеют один и тог же вес так что вес ор
биты можно определить как вес любой функции из нее
Предположим, имеются стп фигур с весом (т, и) в R и Стг1 ор
бит (эквивалентные классы конфигураций) с весом в RD Пере-
числяющий ряд дгя фигур
Ф', У) стп (15 4)
нумерхет элементы из R, приписывая нм веса а перечисляющий ряд
для конфигурации
С(х, л'Т (155)
является производящей функциеи для ьчассов эквиваленгности
функций Теорема Пойа (11 даст возможность выразить
С(х, у) через с (л, у).
Если в (15 2) написать 7(A)--Z(A, щ а., , ad), го для любой
функции К (г, у)
Z(A,h(x, y))^Z(A h(x y),h(xs у9-), ,h(xd, г/)) (15 6)
Теорема 154 (теорема перечисления Пойа). Перечис-
гяющий рчд для конфигураций получается подстановкой перечисля-
ющего ряда для фигуре цикловой индекс группы конфигураций, т е
С(г г/)-£(4,ф, у)) (15 7)
Доказательство Пхсть « — подстановка в группе А и
й — соответствующая подстановка в степенной группе ЕД Пред-
положим сначала, что / — конфигурация, остающаяся неподвижной
при действии й, и — цикл длины k в разложении а на нспересе-
катощиеся циклы Тогда f(d)-/(Х> Ддя каждого элемента d в
2(4
ПАВА
представлении гав что все элементы, переставляемые при помо-
щи £, должны иметь один и тот же образ при / Обратно, если эле-
менты каждого цикла подстановки а имеют один и тот же образ
при конфигурации /, то а оставляет / неподвижной Таким образом,
все конфигурации, остающиеся неподвижными при действии й,
получаются с помощью независимого выбора элемента г из R для
каждого цикла £ подстановки а и проверки равенства f(d) = r для
всех элементов d, переставляемых циклом £ Тогда если w(r)=
— (ni, п) где т=а]Г и и £ имеет длину k, то цикл t, вносит
множитель У (сгяу“)Л в произведение задающее сумму весов
У 1У (/) Следовалотьно, так как
2 ^у’У y!t),
nfi
то для каждого а из Д
2 ЧП-П
Суммируя обе части этого соотношения по всем подстановкам а
из /1 (или, что то же самое, по всем « из £ ’) и деля обе части на [41 -=
= |£‘г'|, получаем
тот Е Е"’(/) = тоЕ 1БЫ, !!>)'<•' (158)
у еГА г/ с 11
Правая часть этого равенства есть 2(4, с(х, у)) Чтобы пока -
зать, что левая часть есть С (с у), применим тот вариант леммы
Бернсайда, который дается теоремой 15.3 Сначала заметим, что
для степенной группы ЕА сумма весов орбит равна
2X4“ С(х, у) (13 9)
1 =}
Но, как следует из формулы (15 1), левые части в (15 9) и (15 8)
совпадают, так что 2(4, с(х у)У-С (г, у); теорема доказана
Возвращаясь к упомянутой выше проблеме ожерелья с четырьмя
бусинками, заметим, что цикловой индекс диэдралыюй группы
Оз равен
Z(D4) =-£ (я? + 2аццН Зй! —2aJ, (15 10)
а перечисляющий ряд для фигур имеет вид с(х,у)—х'у**- х':'у1_
^~х- у Подставтяя х—у в (15 10) и учитывая (15 6), находим
?(&,х [ = 2 (х + уУ Ч +у2') ф-
+ 3(^-^)Ч 2(а>то(?)} =
= х* + х*у + 2х2у2-\ ху^ — у* (15 11)
ПЕРЕЧИСЛЕН П Я
215
Коэффициент нри в (15.11) равен числа различных ожерелий
с четырьмя бусинками, из которых т красные и я синие Эти 6 раз-
личных ожерелий показаны на рис 15.3.
Случайно оказывается, что ожерелья можно также перечислить
используя в качестве перечисляющего ряда для фигур 1 -f x вместо
¥—у При злом красная бусинка имеет нес 1, а синяя бусинка —
вес 0 Тогда в многочлене Z(D4 1--\) х‘-|-.гЧ 2№Н л+1 коэффи-
циент при х"1 равен числу ожерелии с т красными бусинками и,
следовательно, с 4—т синими бусинками ср <. (15 II) Как мы
увидим в следующем разделе, перечисляющий ряд для фигур, име-
ющий вид Ц-х, играет важную роль в проблемах перечисления, так
как И означает отсутствие фигуры, а у1 — ее наличие Причина та-
кой важности перечисляющего ряда 1-г\ вскрывается в приводимом
ниже следствии (см. Харари [221) георемы Пойа Булем называть
и-подмножеством множества X подмножество, содержащее ровно
п элементов
Следствие 15 4 (а). Беги А — группа подстановок, действую-
щая на К, то число индуцированных группой /1 орбит п-подмножеств
множества X равно коэффициенту при х'1 в Z (А, Их)
В приложениях теоремы перечисления Пойа часто встречаются
определенные группы подстановок Приведем формулы для цикло-
вых индексов пяти важных групп подстановок, указанных в табл
14.2 В формулах (15 12) и (15 13) суммирование ведется по всем
разбиениям (j) числа р В (15 14) ip (/?) есть ^-функция Эйлера, ее
значение при /?^2 равно числу положительных целых чисел, менъ
ших k н взаимно простых с/? причем по определению <р(1) —1 Итак
1 (S0 “ И S р ар‘"' 05 12;
(J) И
1
216
ГЛАВА 15
~ (15и?
lJ) ft k!‘4kt
k^. ।
= (I5 14>
frip
. ( — Ojajp-Ч/5, p нечетно,
Z(DA~Z (Q f , р:г (15 15)
4 e 2 ' ₽/ i _L(aP,!!—aja‘pp четно, v
Z(£?)^np (13 lb)
Существует несколько очень полезных формул, позволяющих
по цикловым индексам Z (Л) и Z(B) групп А р В вычислить цикловые
индексы суммы Х4-В, произведения ЛхВ композиции А ГВ1 и
степенной группы В4 Эли формулы указаны ниже (см. (15 17) —
(15.22)) и приводятся в работе Харари [22] Под Z(A)IZ(B)1 мы
понимаем многочлен полученный заменой каждой переменкой
rtf! в 7(4) многочленом, который строится нз многочлена Z(B) с
помощью умножения всех индексов переменных из Z1B) на число k
Z(A-B) = Z(A)Z(B), (15 17)
г(^в)=-‘^у п 4'^=1м=-’s(₽) , (15 18)
1 Л 1 1 1 (с- Р) г S=1
где d(r, s) и tn(j, s) обозначают соответственно наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное чисел г и s,
Z(4[B])- Z(4) [7(B)], (15 19)
= (15 20)
! 1 (a; Р1
где (а,Р)-₽’ и
йМ)- П{ 2 ^(Р)'./г,а1, (15 21)
/=1 ч s I л /'
h(a ₽)-xS И ( Tpi (а';₽0, /г>1, (15 22)
S I k J
[I — известная теоретике чистовая функция Мебиуса г)
Перечисление графов
Опишем, как получить мпогочтеп (а), перечисляющий графы
с данньт числом вершин р. Пусть число (р q) 1 рафов н
л7 (15
р По определении! р (/г)--0, если я не является произведением различных пре с
тых чисел /ц. р„, и pi (п)= (—1)т, если " ~р, р1!г где все. р,- — различиве
попетые числа.
ПРРГЧОСЛТНИЯ
21?
Перебрав все 1рафн с 4 вершинами легко проверить, что
g (г) — 1 v j 2v-| 2х'1-гХ!’- '-х‘; (15.24)
ГКсть 1-Х {1,2, . . , р} и R — {0, ]}. Обозначим через D =- Па)
набор подмножеств {Л /) различных элементов .множества I , i е
2-подмножеств множества V. Тогда каждая функция f из D в А>
представляет граф, р вершин которого принадлежат множеству V
п в котором вершина i смежна с вершиной / если f{i Следо-
вательно, образ подмножества {I /'} при отображении / есть 1 н.ти
О в зависимости от тою, существует или нет ребро, соединяющее
t и /. Весовая функция к1 на R определяется соотношениями щ(0)~О
п К’ (1) — 1, так что это тождеств ел н а я ф у н кц и я. Поэ гом у перечне л я -
ющим рядом дчя фигур будет <?(Д--=Н г. Применяя (15 3) в случае
одной переменной, получаем вес функции ft
W(f)=x^(j{i, /}), (15 25)
где суммирование ведется по всем парам {/, /} в П13' Таким обра-
зом, вес ф\ индии [ есть чие чо ребер в графе, соответствующем функ-
ции f
Далее, пусть Е?—тождественная ipynna, действующая на R,
и пусть группа 3,, действует на V Обозначим через SR’ парную
группу, действующую на множестве V*21, у которой подстановки ин-
дуцируются группой т е для каждой подстановки а в SfJ
существует такая подстановка в Зф'1, что сс' {/, /}--Даг я/}.
Применяя теорему Пойа к группе конфигхранни Sfp1, позучаем
следующий резучыат, также принадлежащий Пойа (см Харари
121) '
1 еорема 155 Перечисляющий мноючлгн дгя графов с р вер-
шинами имеет вид
gp(x) = Z(S^', 1+Д, (15 2G)
3<fe 1'5'21
1 Хр') “ 4 S ~~Т~~----' II X
m ]!
X П II ГТ 4((7S’/r,S' (15 27)
i.-O k-г * i < ч Ю Р-1
Вывод формулы (15.27) также приведен в работе Харари [22,
стр 38]. В приложении 1 дана таблица, в которой указывается число
(/?, г/)-графов для pt£.9.
Аналогичные формулы были получены для перечисления графов
с корнем I! связных графов. С. помощью модификаций этою метода
были перечислены различные классы графов Среди них классы
218
ГЛАВА 15
ориентированных графов, цсевдографов и мультиграфов Проил-
люстрируем некоторые из этих перечислительных формул, показы-
вая как они непосредственно получаются из предыдущей теоре-
мы Для того чтобы перечислить графы с корнем, необходимо
зафиксировать корневую вершину и до построения парной группы
считать остальные р—1 вершин неразличимыми *)
Следствие 15.5 (а) Перечисляющий многочлен din графов с
корнем и с р вершинами i мест вид
r^-Z((Si-S;^\ 1-га) (15 28)
Когда существует не более двух ребер, соединяющих каждую
пару вершин, достаточно заменить перечисляющий ряд для фигур
£(.y)=^1 — х (для графов) на lJ-r
Следствие 15 5 (б) Перечисляющий многочлен для мульти-
графов, у которых каждая пара вершин соединяется не более чем
двумя ребрами, имеет вид
pp(x)^Z{S^
(15 29)
В случае перечисления произвотьных мультиграфов, перечис-
ляющий ряд для фигур есть
l-Yi-Х— Xя- =~
Следствие 15.5 (в) Перечисляющий многочлен для мультигра-
фов с р вершинами имеет вид
mp(x^Z\Sf, (15 30)
Перечисление орграфов (Харари [2]) было завершено так же,
как для графов; была найдена формула для циклового индекса при
соответствующей группе конфигураций и затем была применена
теорема Пойа Для орграфов нужно использовать редуцированную
упорядоченную парную группу Sp2-1 Как и прежде, S;, действует на
множестве К={1, 2, . .., р}. Множество k’OJ состоит из упорядочен-
ных пар различных элементов множества V, По определению группа
Sp’1 действ уел на множестве ИИ как индуцированная группой Sp-
каждая подстановка а, нз S; индуцирует такую подстановку а
из Sp2\ что a' (г, /)-(аг, а/) для (i, /) из Применяя теорему
Пойа к цикловому индексу группы получаем многочлен др{х),
в котором коэффициент при хн равен числу орграфов с q ориенти-
рованными ребрами
В оригинале interchangeable Иногда мы будем употреблять термин «од-
нородные» или «взаи?,1озаменяемые» — Прим, перев
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
219
Теорема 15 6 Перечисляющий многочлен дгч орграфов с р
вершинами имеет вид
й?г(л-)-2(£[;], 1 1-М, (15 31)
еде
гда-^ -г*—ГК’1""* *<’' х
ы n>,v*-
я- 1
V II r4^t,S> 115 32)
Разумеется, следствия из этой теоремы анатогичнп следствиях!
из теоремы 15.5
В приложении II приведена таблица дтя чиста орграфов с р^-8
вершинами.
Хотя корневые деревья и деревья были перечислены гораздо
раньше, чем графы, мы рассмотрели сначала перечисление графов,
поскольку их перечисляющий ряд для фигур имеет очень простой
вид, а именно 1 + х Мы увидим, что для перечисления деревьев са-
мый полезный перечисляющий ряд дтя фигур — это производя
щам функция для корневых деревьев
Перечисление деревьев
Для нахождения числа деревьев необходимо начать с поречие
лепия корневых деревьев Корневое дерево имеет одну вершину (его
корень), выдетеплую из остальных. Пусть 7) — число корневых
V Y д
Рн<, 15 4 Корневые деревья с 4 вершинами
деревьев, имеющих р вершин. Из рис 15 4, где корень каждого де-
рева четко отличается от остальных вершин видно что /\=4
Перечисляющий ряд для корневых деревьев обозначим
- X Т,,х? (15 33)
; -3
Аналогично онределяючеч 1^ и /(г) дчя деревьев без корня
220
ГЛАВА 1,
Рекуррентную формулу дтя перечисления деревьев с корнем
нашел Кэли 111
Теорем а 15 7 Перечисляющий ряд для корневых деревьев имеет
вид
7 (х)- Jl(l-<Tr' (15 34)
Г=1
Можно привести (15.341 к виду, где Т(л) выражается само через
себя Для этого надо взягь логарифм от обеих частей и затем про
извести соответствующие преобразования степенного ряда Это
приведет к формуле (15.35) — результату, впервые полученному
Пойа [11 с помощью его теоремы перечисления
Теорема 158 Перечнетяющии ряд для корневых деревьев удов-
летворяет функциональному уравнению
ТДО-дехрХ 17ДлД (15 35)
г = Г
Доказательство Пусть Р"' (г) — производящая ф\ нкцня
для корневых деревьев с корнями степени и так что
7 (х) - £ ДДх) (15 36)
п -- О
Так например, T‘,Ji (л)^л перечисляй тривиальные графы с кор
нем, а деревья с висячими корнями (т. е. деревья, корни которых на
ходится в висячих вершинах) перечисляются с помощью функции
«расщеплении»
Т(1>(л)—х Т(а). В общем случае корневое дерево с корнем степени
п можно рассматривать как конфигурацию, фигурами которой еду
жат п корневых деревьев полученных «расщеплением» первона-
чальною корня Рис 15.5. иллюстрирует это для п=3
Так как эти п корневых деревьев можно переставлять друг с
другом без изменения класса изоморфизма данного корневого де-
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
221
рева, то перечисляющий ряд для фигур есть Т (г), а группа конфи-
гурации есть S,,, откуда
Г'>(х)=х/(5п,Т(х)) (1537)
Множитель а добавляется при удалении корня данного дерева
так как вес дерева равен числу его вершин.
К счастью, существует хорошо известное и легко дифференци-
руемое тождество, которым можно сейчас воспользоваться (где
7(So) по определению равно ])•
Ц Z(S„, /г(г))-скр V J (15 38)
i-O г-1
( опостав 1ня соотношения (15,36) — (15.38), подучаем (15.35).
Кэли [41 был первым, кто дал выражение для через числа
Тп с n<z р Он сделал это, подсчитав отдельно число деревьев с 1 и 2
центрами Пойа [11 получил другое выражение для tTn рассмотрев
отдельно деревья с 1 и 2 центроидными вершинами Оттер [II вы-
вел с помощью производящих функций наиболее изящную из всех
известных формул, выражающих число деревьев через чисто кор-
невых деревьев. Действительно как юказаао в работе Харари
[3], действуя мноюкратнов соответствии с изречением: «Если ви-
дишь два последовательных знака суммирования, поменяй их по-
рядок», можно непосредственно вывести равенство Отгера (15 41)
из выражений для 11 полученных Кэли и Пойа Сам Оттер вывел
соотношение (15 41) из следующего соотношения, представляющего
и самостоятельный интерес; его иногда называют «уравнением ха-
рактеристики неподобия для деревьев». Симметричным ребром
называется ребро, соединяющее две подобные вершины
Теорема 15.9. Пусть /Г и q* для любого дерева Т обозначают
соответственно число классов подобия вершин и число классов подо
бия ребер, a s— число симметричных ребер Тогда s равно О
илч 1 и
p*_(q*—s)-\. (15 39)
Набросок доказательства Если дерево Т имеет одну
центральную вершину или две неподобные центральные вершины
то в нем нет симметричного ребра, так что s—0. В этом случае най-
дется поддерево дерева Т, содержащее ровно по о щой вершине
из каждого класса подобия вершин в Т и ровно по одному ребру из
каждого класса подобия ребер. Так как это поддерево имеет р*
вершин н ребер, то р*—q* - \
При другой возможности дерево Т имеет две подобные центра ib-
пые вершины, и поэтому s— 1 В этом случае найдется поддерево,
содержащее ровно по одной вершине п.з каждого класса подобия
вершин в Г п по одному ребру из каждого класса подобия ребер,
222
Г<1 ABA 15
кроме симметричного ребра Следовательно, это поддерево имеет
р* вершин и р* — 1 ребер и потому р*—(tyh — 1) — 1 Таким образом
в обоих случаях Д5 39) выполняется
Нам также потребуется специальная теорема Пойа [11, пред
назначенная дтя подсчета взаимно однозначных отображений Для
удобства будем употреблять Z(Ar— S,A как сокращение для
Z(4/r) — Z(SJ
Теорема 15.10. Перечисляющий ряд С(х) д?я взаимна одноз-
начных отображений, действующих из множества п взаимозаменяе-
мых элементов в множество фигур, перечисляемых рядом с(х), по
л у чается подстановкой с (у) в Z(A;,~St)'
C(x)=Z(Al,—Sll, c(r)) (15 40)
Хотя мы будем использовать соотношение (15 40) лишь в слу-
чае п~2, оно снабдит нас полезным перечислительным механизмом,
пригодным и в других контекстах (Харари и Принс [11). Это
соотношение позволяет дать очень краткое допалатетьство формулы
Олтера дтя перечисления деревьев
Теорема 15 И Перечисляющий ряд для деревьев можно
представить с помощью перечисляющего ряда дгя корневых деревьев
t(x) = T^-±[T-(x)-T<X)\ (15 41)
Доказательство Пусть р*, q*— числа классов подо
бия для вершин п ребер, a sy— число симметричных ребер для
i го дерева с п вершинами. 1 = 1, 2, .. , ly Так как в силу (15 39)
Pt — (9i’~si)^l для всех f, то суммированием по i получаем
(15 42)
Далее, 3 —д)—это чисто деревьев, имеющих п вершин,
корни которых лежат на ребре, не являющемся симметричным
Рассмотрим дерево 7’и возьмем любое его несимметричное ребро
у. Тогда Т — у можно рассматривать как два корневых черева
которые должны быть нсизоморфными Таким образом, каждое
несимметричное ребро дерева соответствует неупорядоченной паре
различных корневых деревьев Перечисление этих пар деревьев
равносильно перечислению взаимно однозначных отображений,
действующих из множества двух взаимозаменяемых элементов в
множество корневых деревьев. Поэтому, применяя теорему 15,10 с
'Г(\) в качестве перечисляющего ряца для фитхр, находим, что
S 2 (?мм г(п)
1 [ 1=1 J
(15 43)
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
223
Так как Z(42)^a( и Z(S2) —(«{ i-с?5)/2, то
7 (1))—J- Р(л)-7 СЛ] 05.44)
Теперь формула (15 41) слечует из соотношении (15 42) — (15 44)
С помощью формул (15.35) и (15 41) получим чиста корневых и
некорневых деревьев для р -1, 2, . , 12'
7(л) х л-5 -'-2О 4л4 9x0 200 M8v:4 115v“ +
—286V'-|-719л41842л'11—4766л12 — . (15 45)
00^ ЬО-л—-2x0-30-60- 11л- -23л9т
-47О-106О1’ + — (15 46)
Диаграммы для деревьев, перечисляемых первыми 10 слагаемыми в
(15 46), приведены в приложении ПГ там же приведена таблица
значений t}l и Тр для ps^26.
Методы, используемые для юказательства теоремы 15 11 можно
применить для перечисления различных видов деревьев Проил-
люстрируем это на двух видах деревьев: па гомеоморфно несводи-
мых деревьях и на асимметрических деревьях (Харари и Принс
[1]), остальные виды рассматриваются аналогично, например рас-
крашиваемые деревья (Риордан [11), деревья с заданным разбиением
(Харари и Принс [11) и т д Пусть /г(л), Н (х) и Н (х) ~ пере-
числяющие ряды гомеоморфно несводимых деревьев, корневых де-
ревьев и деревьев с висячими корнями соответственно
Теорема 15,12 Все три типа гомеоморфно несеодимых деревьев
перечисляются соотношениями
~LT / \ В (Х?} f 1 Л
нИ = ’ О5 47>
ЛГ(х) - 7Цх)-±[Й (15.48)
h(x) - Н (с)— p|/72(v) -77 (лф] (1о 49)
Чиста гомеоморфно несводимых деревьев, имеющих не более
12 верш! н можно найти из соотношения
Л(ф=-х -лЧ-л4 гД“-(-2Т!—2л 1 4xs ;-5н +
-1-10Т"-’-г14х11 1 26г1-’ | . . (15 50)
Пусть и(х) и L (х)— перечисляющие ряды для асимметрических
деревьев и корневых деревьев, для которых группой автоморфизмов
является тождественная группа.
224
гп\вз и
1 еорема 15 I 4 {симметрические деревья перечиеляютсч соот-
ношениями
L (О-^Р г) 1'^7Г1 ’ (15.51>
! = ]
/Дф^Щг)—[Д2(ч) | Cz (x-j] (15 52)
Числа асимметрических деревьев, имеющих не более 12 вершин,
можно найти на соотношения
и (х)~ <+х’-гх<1+Зх|'-г6х11’-- 15г11 । 29x1J— (15 53)
Теорема перечисления степенной группы
Существует класс задач перечисления, которые можно решить
с использованием степенной группы в качестве группы конфигура-
ций. Рассмотрим степенную группу ВА, действующую на /?"
Число конфигураций (классов эквивалентности функций, определи
емых группой ВА) можно найти из теоремы Пойа (см. Харари и
Палмер 18]), это было сделано де Брейном [ 1J и 12] в иной формули
ровке. Формулу (15.54) можно легко приспособить д 1Я перечне ления
функций в соответствии с их весами
Теорема 15 14 (теорема перечне 1ения степенной
группы). Число классов эквивалентности функций в RD, опреде-
ляемых степенной группой ВА равно
«МР). (15 54)
1 1 р =. в
еде
>МЮ=2Х(₽) (15 55)
S I fe
Для примера рассмотрим еще раз проблему’ ожерелья, проиллю-
стрированную на рис 15 3, но здесь мы допускаем, что дна цвета
а, b бусинок (скажем, красный и синий) взаимозаменяемы Ясно,
что число ожерелий с 4 бусинками двух взаимозаменяемых цветов
равно числу Л (Зз") орбит степенной группы Sf* Цля тождествен-
ной подстановки (a)(6) из 32 в силу (15 55) имеем
mk( (a)(b)} -2
для всех k Для транспозиции (ай) в 32 число mk ((«&)) равно О
для четного k и 2 для нечетного k Применяя (15.54), видим, что чпе-
ю ожере тип с взаимозаменяемыми цветами равно
2, 2, 2, 2) /ДДО, 2, 0, 2)]
ПЕР СЧИСЛЕНИЯ
225
Подстановкой в формулу (15 10) для Z(D ) находим, что .-эго число
равно 4 Этот результат легко проверить, заметив, что последние
два ожерелья на рис. 15.3 эквивалентны первым двум koi да крас-
ные и синие бусинки взаимозаменяемы
Самодопол и тел ьпые графы с 4 и 5 вершинами показаны на
рис 2 13 Результат Рида [31 для чиста sfl самодопол китель пых гра
фов с р вершинами можно вывести из теоремы перечисления сте
пенной группы. Дтя этого определим новое отношение эквивалент-
ности — для графов с р вершинами GL~G2h если G,^cG2 или G} = G2
Пусть Cj.— число определяемых отношением классов эквивалент
пости для графов с р вершинами. Так как мы рассматриваем графы,
\ которых р вершин, то возьмем А~в качестве группы, дей-
ствующей на О1-* Так как граф и его дополнение эквивалентны
будем считать, чго группа B^-~S2 щйствхс” на ₽ — {0,1} Тогда две
функции f, и }2 пз эквивалентны относительно степенной
группы В\ если они обе представляют один и тот же граф или одна
из них представляет граф, являющийся дополнением другого Мы
уже видели результат применения формулы (15.55) к подстановкам
из S» Таким образом имеем
ср -~\Z(S'r; 2 2 2 2 ) 0, 2 0, 2, )1 (15 56)
Но так как зА = 2ф — gp, потхчасм следующую формулу, найденнхю
Ридом:
Теорема 15 15. Число саиодопогнитегьныч графов с р вер-
шинами равно
sp-Z(S}2’, 0, 2, 0, 2, ) (15 57)
Конечные автоматы также были перечислены с помощью теоре-
мы перечне тения степенной группы (Харрисон [1], Харари и Пал-
мер [121) Группы для этой задачи являются подгруппами произ-
ведения двух степенных групп.
Решенные и нерешенные задачи перечисления графов
В литературе \же приводились три списка нерешенных задач
перечисления гоафов Харари (151, [211 и [23, стр 2061 Время от
времени эти списки необходимо обновлять Благодаря тому что
возникают новые задачи п решаются старые, общее количество не-
решенных задач остается примерно постоянным — около 27 задач
Стоит заметить, что крайне невероятно чтобы все эти задачи были
решены в ближайшее время Для обоснования этого замечания до-
статочно сказать, что среди таких решений в результате сравнения
числа планарных графов с числом 4-раскрашиваемых графов было
8 Ха 141
7 aftлица 7 > I
Нерешенные задачи перечисления графов, IV
К .-ITCL OJ ИЯ
Задача
С и;1ьны<. о pi рафтзГ
Односторонние орграф: i
Орграфы с источником
Транзитивные орграфы
Самодополнительвые самообрап ые
орграфы
Обходы
Гамильтоновы графы
Гамильтоновы циклы в данном графе
Эйлеровы цени в данном графе
Топология
Chmi инициальные комплекс! i
((-раскрашиваемые графы
Планарные Л-раскрашивае.Мые 1 рафы
Корневые планарные графы
Плоские карты с корневым ребром
Симметрия
Симметрические графы
Аеиммотривеские: графы
Графы с. данным автоморфизмом
Четные подграфы по мечен нои 3 ре
шот к и
Четные подграфы помеченной 2 ре-
шетки с данной площадью
Четны<. подграфы данного помечен
кого графа
Замощения 2-решетки
Задача о росте клеток
Разнос
Реберные графы
Латинские квадраты
Графы с данным радиусом ит диа-
метром
Графы с данным обхпном иди окрх-
же 11 нем
Графы с данной связностью
Графы с данным родом, толщиной,
.хроматическим числом и т д.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
237
бы получено достаточно информации для того, чтобы реши1ь во-
прос о справедливости гипотезы четырех красок
В табл 15.1 приведен четвертый список нерешенных задач не
речисления графов, который гак и озаглавлен Все эти задачи можно,
конечно, сформулировать и для помеченных графов. Причем неко-
торые из них для помеченных графов уже решены.Чтобы понять эти
задачи, в каждой из которых требуется выразить число конфигу-
раций через подходящие параметры необходимо ввести дополни-
тельные определения Определения связанные с орграфами, можно
найти в следующей главе
Татт [10] изучал задачи перечисления плоских кар।( нводя ко-
рень гаки.м образом, чтобы «разрушить» все епмм^ртщ в каждой
карте Плоская карта с корневым. ребром получается из плоской
карты с помощью ориентации произвольного ребра с Последующим
выделением одной из двух граней инцидентных этому ребру; эта
грань объявляется внешней гранью карты
2-решеткой (двумерной решеткой) называется граф вершинами
которого являются все упорядоченные пары (г, /) целых чисел, где
;--=0, 1, , г.п и / 0,1, , п, две вершины считаются смежными
тогда и только тогда, когда евклидово расстояние между ними рав
но I Аналогично определяется 3-решетка Четный подграф Н
графа G — это подграф в G, каждая вершина которою Имеет четную
степень Таким образом, каждый четный подграф З-рещетки имеет
определенную птощадь — число квагратов, содержащихся в его
простых циклах
Замощением 2-решетки называется покрытие ква фатов этой
решетки заданным числом единичных и сдвоенных (как в домино)
квадратиков. Конечно, можно предложить и более сложные задачи
о замощении решеток большей размерности
Известны три типа задач о росте клеток, а именно для треуго ж
ника, квадрата н шестиугольника, т е для тех единственных пра-
вильных многоугольников, которыми можно покры-гъ плоскость
Связная конфигурация, содержащая данное число треугольников,
квадратов или шестиугольников, называется животном (см Ха-
рари 123, сгр 208—212]).
Приведем сейчас довольно большой список решенных задач
(которым неизбежно будет неполным) в надежде на то, что нежела-
тельные повторные затраты усилий по их решению будут минимизи-
рованы. В списке даются ссылки на статьи, где получены решения
неопубликованные решения отмечаются только именем (возможного)
автора. Эти решенные задачи (табл. ! 5 2) разбиты на четыре группы:
деревья, графы, орграфы и разное
8
Т^.-шца 7>
Решенные задачи перечисления графов
Деревья
Помеченные деревья
Корневые деревья
Корневые деревья е длиной высо
той
Бесконечные помеченные деревья
Плоские деревья
Плоские деревья с данным разом
ением
Гомеоморфно несводимые дерет я
Асимметрические деревья
Деревья с данным разбиением
Деревья с данной группой
Деревья с данным диаметром
Ориентированные деревья
Направленные деревья
Деревья снабженные знаками
Деревья денной мощности
Деревья данного типа
Деревья блоков и точек сочленения
Раскрашиваемые деревья
Леса
Графы
Г рафы
Корченые графы
Реберные корневые 1рафы
Корневые графы е ориентирован-
ным корневым ребром
Связные графы
Мульти г рафы
Графы данной мощности
Графы данного типа
Остовньте подграфы и падграфи
Самодопол и сдельные графы
Графы, снабженные знаками
Грнфы с. од, им простым циклом
Эйлеровы графь
Графы с даш:ым разбиением
Псевдографы с данным разбиением
Пойа 11J Оттер [! [
Кэли |а], Чун [3]
Пойа [1|
Риордан Д]
Харари Човшовиц Риор
дан [11
Харари Принс, I ктт ] 11
Татт [13] Харари, Tarr [1]
Харари Принс |1]
Харари Принс [I]
Харари Принс [1]
Принс 111
Харари, Принс [1]
Харари, Принс [11
Харари Принс |1]
Харари Принс [1]
Харари Принс [1J
Харари Принс [i]
Харари Призе [1[
Риордан |'1|
Харари Палмер 1101
Пойа (Хсрарн [2|}, Дэвис [1]
Харари |2[
Харари \‘22\
Харари Палмер [I]
Риддел, \ тек бек Jl[ Хара
ри [2]
Харари |2]
Харари ]2]
Харари J2]
Харари [4| [Д [10J
Рид j3]
Харари JI] X ipapn Пат
мер 113|
Остин, Фагсн Пенни Риор
дан [1]
(Роб инссш]
Партасарати Ц]
Рид [I]
Составлена ые । рафы
Составленные графы с взанмозаме
няемымп цветами
Кубические графы
Неразделимые графы
/г-раскрашиваемые графы
Б их рематические графы
Триангу,тированные карты с кор
новым ребром
К негусы (деревья Хдсимф
Графы с данными б токами
Графы бгоков
Орграфы
Орграфы
Слабо связные орграфы
Самодополнительные оргр и|>ы
Самообратиые орграфы
Направленные графы
Ориентации данного граф i
['урниры
Сильные турниры
Помеченные транзит ивныс. орграфы
Орграфы с. данным разбиением
Орграфы, у которых по л у степей и
исхода каждой вершины равна 2
Орграфы без контуров
Функциональные орграфы
Эйлеровы пути в данном орграфе
Разнос
\ в то маты
Задачи об ожерельях
Алгебры различных типов
Булевы функции
Помеченные ноеледова ieibtio-iia
раллельныс сети
Периодические последовательности
Уциклические еимп тиниа.ц ные
комплексы
Рид |1]
Палмер Робинсон 11[
(Робинсону
(Робинсон)
Робинсон ||]
Харари, Принс [2]
Татт [9]
Харари, Норман [2] \ipi-
ри, Уленбек |1]
Форд. Норман, Уленбек |1]
Харари, Принс [3]
Ханарн )2| фвис [1]
Харари {21
Рид |3]
Харари, Палме р 19]
Харари Г|
Харари. Иалмеи [4]
(.энис (2]
Мун [4]
Эвант Харари, Ли up 111
Харари Палмер [7]
(Л оэс)
(Робинсон)
Харари [!4], Рид [2|
де Брейн, впи Аардея-Эрен
фест [ 1 ] Смит Татт j ] ]
Харрисон 01 Харари Пз г
мер |12|
X трари |22|
Харрисон [2]
Пойа [1] Слецян 11]
Карлиц Риордан [1]
I ильберт Риордан (I]
Харари Палмер [17], Бай-
неке, Мун [I] Байнеке
Пниiiepr [i ]
230
Упражнения
15 1 Сколькими способами можно пометить графи
а) 7С-/<2 б) /с3<а\ в) К,.,|Л\Р
15 2 Написать выражения для цикловых индексов групп
a) S^4-S2 б) S3aSj, в) S,[Sj] j) S'^, д) S^.
15.3. Существует такое целое число k, что равенство к! (С , 2) — Z(D„ 2) вы
потянется для всех и не выполняется для n>k. Найти k
15.4. Число разбиений числа п на не ботес т слагаемых paniio коэффициенту
при 7‘ в разложении
15.о. Вычислило 7 I! g,(x) Проверить полу тенцыи результат исяотьзуя
приложение 1.
15 6 Найти перечисляю ций ряд для 1 рафов, имеющих о щн простой цикл.
(Остин, Фа ген Пенни, Риордан |1|)
15 7 Пхсп дт(л, И~ У йу(л)г/^—цроизвогящая функция для 1рафов а
11 ~ 1
с (х у) — производящая функция для связных графов Тогда
да
g(Y у)-СХр У — СРГ УГ)
г= 1
Отметим, что это уравнение похоже па уравнение (15.38).)
15 8. Найти числа помеченных деревьев с р вершинами:
а) е висячим корнем, б) с корнехг
15.9 . Пусть С — помеченный граф, получающийся из полного графа К в
резул)=таге удаления г нсзависшшх ребер Число остовов графа G равно
(Ванное pi 111}
15 10 Чисто корневых деревьев удовлетворяет неравенству Тп
Л
scV TJ^-i ;-i Отсюда следуei по
( = 1
7 <- J_ '2П~1 \
'*" п И— 1 }
(Оттер |ij)
15 11. Определит! числа 7?^’ с помощью рекуррентного соотношения Г^-~
— R*/1_1J-7 ч + 1_; Чисто корневых деревьев можно найти используя соотношение
п
лт„_^ 2
А=1
(Отгер [1])
15 12 Определить число s? самодополнительных I рафов дтя р 8ц9-;0спо
мощью формулы (15.57), б) непосредственно строя их.
15.13 Пспучить перечислижтыпю формулу дтя самодоио,тннгелы1ых ор-
1р афов
(Риг И)
ПЕРЕЧИ( ПЕНИЯ
231
15.14 Пусть и s.;— цела самодоптпител! iwx траков it орграфов < оотвег
ствешго Тогда svt':LL<\Jf.
(Рид И)
15.15 . Для любой группы подстановок А с цикловым индексом Z IA) опре-
деляемым по формуле (15.2). число орбит группы .4 равно
2(4)1
| lO ЙГ=1<
П(ыо.1\ число классов подобия вершин данного графа (j (у коюрого [рхппа I (G)
имеет переменные i,\ п представлении циклового индекса) равна
РА ^'Z(l {G)) I
c'?/i 1 1 ci. гц= 1
15.16 . Пусть Ci — связный граф. имеюшпП и классов подобия блоков. Если
р’; — число неподобных вершин графа G а пг> — шело неподобных вершин в бло-
ках й-го класса подобия, то
Р* 1- Ы-1)
/,’= 1
Как следствие получить теорему 15 9
(Харари, Норман [2J)
Г.ш(ш 16
ОРГРАФЫ
Из лук । ввысь взрилжн стрела.
Нс знаю где ила легла.
Jo I т)
В теории ориентированных графов сделано так много, что на
эту гему можно написать целую книгу -) В настоящей главе мы
уделяем особое внимание тем свойствам opi рафов, которые отличают
их от графов. Поэтому мы начнем с введения трех различных типов
соединимости: сильной, односторонней и слабой. Сформулировав
принцип ориентированном двойственности, мы перейдем к изуче-
нию матриц, связанных с орграфами, и затем приведем авалем
матричной теоремы о деревьях в графах Гтава заканчивается
кратким описанием турниров и их свойств
Орграфы и соединимость
Чы уже видели на рис 2 4 все ориентированные графы с 3 ве.р-
чипэмл и 3 дугами Все же для полноты изложения мы начнем
с определений, включая и те, что уже были приведены в п. 2
Орграф D состоит из конечного множества V вершин и набора упоря-
доченных' пар различных вершин Любая такая пара (и, v) называ-
ется дугой, или ориентированным ребром, и обычно обозначается uv.
фуга ио идет из вершины и в вершине v и называется инцидентной
и и о. Будем также говорить, что и смежна к v, а v смежна из и
Нолуетененью исхода od(t') вершины v называется число вершин
смежных из у, а по иртепеныо заюда id(цВ) — число вершин, смеж
них к о
В орграфе (ориентированным) маршрутом называется чередую-
щаяся последовательность вершин и дуг и», х,, г.,, , , и,, в
которой каждая дуга хг есть Длина такого маршрута равна
числу а входящих в него дуг В замкнутой маршруте первая и по
') ,71 о н . ф( л j о Г., Избраннод шд-во «Худож чгьра». М., 1958. «Стрела
песням перевод Б. Томашевского, стр 61. Автор ошибочно приписывает эту
цитату Стгшеисону.— Ррим. rupee.
2) И дсйствит-глюю, это было сделано (см. Харари, Норман и Картоайт |1]).
'1 этой книге приведены доказательства большей части теорем данной главы
Хроме того, Мун [4] наниеал монографию о турнирах.
ф Сокращения от outdegree и indegree — Прим перее
OI П' МРЫ
233
следняя вершины совпадают; остовный маршрут содержи! в._с
вершины Путь — ого маршрут, в котором все вершины различны,
контур—нетривиальный замкнутый маршрут у которого все
вершины различны (за исключением первой и последней) Если
существует путь из вершины и в вершину и то будем говорить, что
с достижима из и расстоянием d(tt v) от и до и называется дтина
такого кратчайшего пути.
Каждый маршрут ориентирован от первой вершины и, к послед-
ней о,,. Нам также понадобится понятие, которое не обладает этим
свойством ориентации и аналогично маршруту в графе. Полумал
трут — эго опять-таки чередующаяся последовательность о,, х ,
щ, .. , ха , otl вершин и дуг но дутой х, гложет быть
как су.. jCj, та!ч и ч. Полупуть полуконтур и другие понятия
определяются аналогично.
Поскольку граф может быть либо связным, либо нет то сущест-
вуют три различных способа определения связности орграфа и
каждый из них имеет свою собственную идиосинкразию [) Орграф
называется сильно связным, или сильным, если любые две его вер
шины взаимно достижимы; односторонне связным, или односторон
ним, если для любых двух вершин по крайней мере одна доели
жима из другой слабо связным, или слабым, если любые две вер
шины соединены полупутем Ясно, что каждый сильный орграф —
односторонний а каждый односторонний орграф — слабый, но
обратные утверждения не верны Орграф называется несвязным
если он даже не слабый. Заметим, что тривиальный орграф состоя-
щий только из одной вершины, является (по определению) силь-
ным поскольку в нем пег двух различных вершин
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия,
обеспечивающие орграфу одну из этих трех типов соедини моты.
Теорема 16,1 Орграф сальный тогда и только тогда, когда
он имеет остовный замкнутый, маршрут; односторонний тогда и
только тогда, когда он имеет остовный маршрут; слабый тогда и
то-гько тогда, когда он имеет остовный полупуть
Для орграфа определены три типа компонент (связности).
Сильной компонентой орграфа называется максима чьими сильны!
подграф односторонней компонентой — максимальный односто
ронпий подграф н слабой компонентой — максимальный слабый
подграф. Легко проверить, что любая вершина и любая дуга оргра ра
D принадлежал’ точно одной слабой компоненте и по крайней мере
ошон олпосторонией компоненте. Более того, каждая вершина пч
ходится точно в одной сильной компоненте а дуга либо лежит в
одной сильной компоненте либо не лежит ни в одной, в зависимо-
сти от того, принадлежит эта тута или нет некоторому контуру.
ф Здесь - нрхпюч-иисльпая тещпню/югия lipin nt;ve.
234
I liBA IB
Сильные компонешы орграфа D наиболее важны Это, в част-
ности, демонстрирует способ построения по сильным компонентам
орграфа D новою орграфа, который хотя и проще D, но сохраняет
некоторые его структурные свойства Пусть S] S». , Sn— силь-
ные компоненты орграфа D Конденсацией r) D* орграфа D назы-
вается орграф, множеством вершин которого служит множество
{St, S2, , S?} всех сильных компопен! ор1рафа D, а дуга идет
из S, к Sj. если в орграфеD имеется по крайней мере отна дуга, иду
щая из некоторой вершины компоненты S( к вершине компоненты
S; (СМ. РИС. 16.1)
Из максимальности сильных компонент след\ел что в конден-
сации D* любого орграфа D цел конлуров. Очевидно, что конден-
сация каждого сильного орграфа есть тривиальный орграф Можно
показать, что орграф является односторонним тогда и только тогда,
когда его конденсация имеет единственный остовный путь
Ориентированная двойственность и бесконгурные орграфы
Орграф D , обратный к данному орграфу D, имеет те же вер-
шины что и О а дута ни принадлежит D’ тогда и только тогда
когда дуга си принадлежит D. Другими словами орграф, обратный
к орграфу D, получается изменением ориентации каждой дуги ор-
графа D Мы уже сталкивались с другими «обратными» понятиями,
такими, как полустепень захода и полустепень исхода Относитель-
но ориентации все эти понятия связаны между собой довольно мощ-
ным принципом. Этот принцип представляет собой классический ре-
зультат в теории бинарных отношений
Принцип ориентированной двойственности. Дгя
побои теоремы об орграфах можно сформулировать соответствую-
В отечественной WiepaTvpe иегючьзуется термин ^фак1орграф» — Прим
герсв
(И ГРАФЫ
235
щую двойственную теорему заменив каждое понятие на обратное
к нему
Проиллюстрируем теперь как этот принцип порождает новые
результаты. Ьееконтурным орграфом называется орграф нс содер-
жащий контуров
Теорема 162 Бесконтурный орграф содержит по крайней мере
одну вершину с нулевой полустепенью исхода
Доказательство Рассмотрим последнюю вершину некото
рого максимального пути орграфа D. Для этой вершины нет вершин
смежных из нее, поскольку иначе или нашелся бы контур, или путь
не был бы максимальным
Применяя принцип ориентирован пой двойственности, сразу по-
лучаем двойственную теорему В соответствии с обозначением D
орграфа, обратного kD, будем также отмечать штрихами двойствен-
ные результаты
Теорема 16.2 Бесконтурный орграф D содержит по крайней
мере одну вершину с нулевой почцетепенью захода
Ранее было указано, что конденсация любого орграфа есть бес-
контурный орграф, а приведенные выше утверждения дают неко-
торую информацию о бесконтурных орграфах Дадим теперь не-
сколько характерпзаций орграфов
Теорема 163 Следующие свойства орграфа D эквивалентны
(I) D — бесконтурный орграф
(2) D* изоморфен D'
(3) каждый маршрут орграфа D есть путь,
(4) вершины орграфа D можно упорядочить таким образом., что
матрица смежностей A ID) будет верхней треугольной ма-
трицей
Особый интерес представляют два двойственных типа бескон-
турных орграфов Источником в оографеЛ называется нершина, из
которой можно достичь все другие вершины орграфа; сток опреде-
ляется действенным образом. Выходящее дерево1}—это орграф
с источником не имеющий пол у контуров’ входящее дерево ~ щой-
ствепный ему орграф (см. рис 16 2)
Теорема 16 4 Счабый орграф является выходящим деревом
тогда и только тогда, когда точно одна его вершина имеет нулевую
почустеиень захода, а у всех остальных вершин пощетепень захода
равна 1
Ч В [лиге 121 оно называется «корневым креном»
23Н
ГЛАВА It,
Г eo p e м d 164 . Слабый орграф является входящим деревом тогда
и только тогда, когда точно одна его вершина имеет нулевую полу-
степень исхода, а у всех остальных вершин полустепень исхода равна 1
Рассмотрим теперь некоторые орграфы, хеспо связанные с опре
деленными выше. В функциональном орграфе каждая вершина имеет
тю.тустепень исхода, равные 1; двойственный к нему орграф назы-
вается контрпфункциональным орграфом (рис 16 3) В следующей
теореме и двойственной к пей дается характеризация структуры
этих орграфов
Теорема 16.5. Для слабого орграфа D с.идующш, утверждения
эквивалентны
(1) D —функциональный орграф
(2) в!) точно один такой контур, что удаление его дуг право
дат к орграфу в котором каждая с 1абая компонента явш-
ется входящим деревом;
(3) в D точно один такой контур, что удаленш иобой его дуги
приведши к образованию входящего дерева
ОРГРАФ11
237
Минимальным набор вершин, из которого достижимы все верши-
ны орграфа D, называете я вершинной базой орграфа. Таким об-
разом, множество 3 вершин орграфа D является вершинной базой
тогда и только тогда когда каждая вершина орграфа D достижима
в некоторой вершины множества S и ни одна из вершин множества
S не достижима из чюбои другой вершины этого множества
Теорема 166 Каждым бесконтурныи орграф имеет единствен-
ную вершинную базу состоящую из всех вершин с нулевыми полу-
степенями захода
С чедствие 16.6 (а) Любая вершинная база орграфа Г) содер-
жит точна одну вершину из каждой сильной компоненты орграфа
D, принадлежащей вершинной базе конденсации D* орграфа D
[-базой называется минимальный набор S таких попарно не-
смежных вершин, что любая вершина орграфа D или принадлежит
5 или смежна из некоторой вершины множества $. Каждый орграф
имеет вершинную базу но не каждый имеет I базу Например,
ни один из контуров нечетной длины не имеет 1 базы Критерий су-
ществования 1-базы з произвольного орграфа еще не найден В те-
ореме Ричардсона 111 обобщается следствие 16 7 (а) полученное фон
Нейманом и Моргенштерном [1| при исследовании ими теории игр
Теорема 167 Каждый орграф,
не содержащий понту ров нечетной
длины, имеет 1-базу.
Следствие 16.7 (а) Каждьш °
бес контурный орграф имеет I базу
Орграфы и матрицы
Матрицей смежностей A (D) ор-
графа D называется ф)-матрица
Церф, \ которой ещ I если сущ — Рис. LG I Пример орграфа
дуга орграфа D и ач—0 в про
тивиом случае. На рис 16 4 изображен орграф, матрица смеж-
ностей которого имеет вил
V-z
4 (D) у,
о,
Сзмма по столбце
! О О О О О
110 1 1 О
И 0 0 0 0
0 0 1 0 0
| 0 0 (J 0 0
2 0 2 10
Сммма по строке
'О
1
1
1
0
Легко проверить, что суммы элементов по строкам матрицы A (D)
равны нолустеиепям исхода вершин орграфа Г) а суммы эчемептов
по столбцам — полустспсням захоча
Как и в случае 1 рафов степени матрицы смежностей 4 орграфа
дают полную информацию о числе маршрутов идущих из одной
вершины в другую
Теорем 1 16 8 it, j)-fi злемент Ci-}- матрицы А' равен числу мар-
шрутов длины ;, идущих из вершины и в вершину Jj
Упомянем здесь вкратце еще о трех матрицах, связанных с орг ра-
фом D — о матрице достижимостей, матрице расстоянии и матрице
обходов В матрице достижимостей /<? элемент равен 1 если
вершина щ достижима из щ, и равен 0 в противном случае В мат
рице расстояний (г,/)-й элемент равен расстоянию из вершины цг в
вершину up, если же из щ в щ пег путей, то соответствующий
элемент полагаем равным бесконечности В матрице обходов (t, /)-й
элемент равен длине наиболее длинного пути из о, в о,, а если таких
путей нет то опять таки полагаем этот элемент равных! бесконеч-
ности Для орграфа Г), показанного па рис 16 4 эти три матрицы
имеют вид
М. атриц J Матрица Матрица
ДСК.1 ижимостеи расстояний обходов
1 0 Г) 0 0 10 ОО ОО ОО оо J 0 оо оо оо оо
.11110 1 0 1 1 оо 3 0 2 I оо
10 10 0 1 ОО 0 ОО ОО I 1 оо 0 ОО оо
-1 1 0 1 1 0 i 2 ОО I 0 ОС ; 2 оо 1 0 оо
i 0 0 0 0 1 i 1 ОО ОО ОО ОО 0 ! оо оо оо оо 0
Следе । ви( 16.8 (а). Элементы матриц достижимостей и рас-
imaiHiu't связаны со степенями матрицы 4 следующими соотноше
пинии
1) лф—1 п djj- б для всех i
2) г;, 1 тогда и толыхо тогда, когда <?.Д> 0 для некоторого п,
3) d йд, су) равна наименьшему из чисел п для которых а‘;Эу> О
и оо ест таких чисел нет
Эффективных методов для нахождения элементов матрицы об-
ходов це существует. Эта проблема тесно связана с некоторыми дру-
гими давно поставленными алгоритмическими проблемами теории
графов такими, как нахождение остовиых циклов и контуров, а
также решение задачи о коммивояжере1)
’) Рассмотрим сеть Д', полученную из сильного орграфа D приписыванием
каждой acre в D некоторого положительного целого числа (стоимости). В задаче
о коммивояжере требуется построить алгоритм для нахождения в сети Д’ мар-
шрута, двигаясь по которому коммивояжер может посетит!, каждую вершину и
вернуться н 11ервоначалы1ую. потратив на прохождение туг минимум суммарной
стоимости.
С-Р ГРАФЫ
239
Поэлементное произведение1) В.\С матриц £С-||£>ж| и С -||с;Д
имеет своим d /)-м элементом Матрицу достижимостей ор-
1рафа можно использовать для нахождения его сильных компонент
Следствие 16 8 (б) Пусть ~ вершина орграфа D Сильные
компоненты орграфа D, содержащие и,-, определяются единичными-)
элементами i-й строки (или t-го столбца) матрицы R ' R1
Формула для числа остовных входящих деревьев данною ор
графа была найдена Боттом и Мейберри Ш а доказана Таттом |4].
Чтобы сформулировать этот результат известный как матричная
теорема о деревьях для орграфов, введем еще матрицы, связанные с
D Обозначим через /Vlod матрицу, полученную из —Л заменой t-ro
элемента главной диагонали на od (yj Двойственным образом сшрс-
тетим матрицу 41L]
Теорем а 169 Для каждого помеченного орграфа D алгебраиче-
ское дополнение любого элемента i-й строка матрицы Л1С1] равно
числу остовных входящих деревьев, у которых вершина щ яв гяется
стоком
Теорема 16.9'. Для каждого помеченного орграфа D алгебраиче
скос дополнение любого элемента реп столбца матрицы Лф(1 равно
числу остовных выходящих деревьев, у которые вершина щ чвлягтсч
источником.
II— fl О
-1 3-1-1
0—1 2—1|
0 0 0 ()1
|( 1 — 1 0 С
1 1 2 -1-1
1 0—1 1-1
|| 0 0 0 2
PliL 1Ь > Осговньк Г1ХОДЯЩ11С И выходящие Xi’peibH
В соответствии с теоремой 16,9 у матрицы 41,)(] ор!рафа, пред-
ставленного на рис. 16 5, все алгебраические дополнения элемен-
тов четвертой строки равны 3. На этом же рисунке показаны
три остовных входящих дерева орграфа D у которых щ—сток
Двойственная теорема 16 9' иллюстрируется вторым столоном
6 Инсгдд оно .-щ.зыЕа'гжя фонд деде:: нем ЗдщьфЩ-'.
2) РАВНЫМИ 1. — Л/,ЩЛ; Щ’/ЩЩ
240
i ч \в \ 1
матрицы Afld и двумя остовпыми выходящими преньями с (, и
качестве источника
Эйлеров контур в орграфе D—зю замкнутый остовный мар-
шрут, в котором каждая дуга орграфа D встречается по одному
разу Орграф называется эйлеровым, если в нем есть эйлеров кон-
тур. Точно так же, как в теореме 7.1 для графов, можно легко ио
казать, что слабый орграф D эйлеров тогда и только тогда когда
у каждой его вершины полустепень захода равна полустепепи исхо-
да. Сформулируем теперь теорему, в которой дается формула для
числа эйлеровых контуров в эйлеровых орграфах. Этот результаi
иногда называют теоремой BEST1) по первым буквам фамилий ц
Брёйна ван Лардена-Эренфеста, Смита и Татта; первые два автора
(см. де Брёйн, ван Аардсн Эренфест IU) и два последние (см. Смит
Татт [1]) получили результат независимо. Эту теорему можно дока-
зать очень изящно с помощью матричной теоремы о деревьях для
орграфов, см Кастелейп [2, стр 76]
Следствие 16.9 (а) В эйлеровом орграфе число эйлеровых кон
туров равно с If (dt—I)', где еД-нДщ), а с — общее значение
всех алгебраических дополнении эгементов матрицы llod
Заметим, что для эйлерова орграфа А40,| Л'1ы и все суммы и по
тронам, и по столбцам равны нулю, так что все алгебраические
дополнения равны между собой. Для орграфа, показанного на
рис. 16 6 с—7; в этом орграфе 14
эйлеровых контуров Тва из пих
та кие; о, тсцщ дугл v;{vt vtvL и
г Матрица 4-Д ।
для этого орграфа равна
3-1-1- 1
М -:“1 2 1 °
л'Р(! =•• -1 о 2- 1 ,
1 — 1 0 2|
Ilian, мы дали некоторые ука
зания ь использованию матриц в
изучении орграфов С другой стороны, можно использовать оргра-
фы в исследовании матриц Любая квадратная матрица М —
порождает орграф D в котором дуга иду существует тогда, когда
в D могхт быть петли Следующий алгоритм (Харари 1161)
иногда хпрощает вычисление собственных значений матрицы /VI,
а также нахождение .матрицы обратной к И (если опа сх-шествует)
) Ilrji слог: best — iiaik-iv-aiiiii -///тал. w
ОРГР Ш1
241
1 Образовать орграф D связанный с М.
2 Определить сильные компоненты орграфа D
3 Образовать конденсацию Z)*.
4 Упорядочись сильные компоненты так, чтобы матрица смеж-
ностей орграфа D* стала верхней треугольной
5 Используя си1ьныс компоненты, переупорядочить вершины
орграфа D так, чтобы привести его матрицу смежностей И
к верхнему треугольному виду,
б Заменить каждый единичный элемент матрицы А соответству-
ющим ему этементом матрицы /И
Собственные значения матрицы Л4 являются собственными зна-
чениями диагональных блоков новой матрицы, а матрицу, обратную
к 44, можно найти, обращая эти диагональные блоки.
Если Л1 — разреженная матрица1) (или, скорее, матрица с таким
расположением нулевых элементов, что в графе имеется несколь-
ко сильных компонент), ю указанный алгоритм может быть весьма
эффективным Вариант этого алгоритма (иногда более эффсктив
ный, но также и более сложный) дтя двудольных графов быт дан
фалметжем и Мендельсоном [21
Турниры
Турнир — это направленный полный граф Все турниры с дву-
мя, тремя и четырьмя вершинами показаны на рис 16.7 Первый
орграф с тремя вершинами называется транзитивной тройкой,
второй — циклической тройкой.
В турнире состязаний данный состав игроков или команд ведет
такую игру, правилами которой запрещен ничейный исход Каж-
дый игрок встречается с каждым другим игроком по одному разх
и точно один из них одерживает победу. Игроки изображаются вер
шинами, и для каждой пары вершин дуга идет от победителя к по-
бежденному; так строится турнир
Из всех полученных когда-либо теорем о турнирах первая при-
надлежит Редей 111; для турниров с малым количеством вершин ее
можно проверить с помощью рис. 16.7
1еорема 16 10 Каждый, турнир имеет остовный путь
фо к аз ат е т ь с т во Утверждение доказывается индукцией по
числу вершин. В каждом турнире с 2,3 или 4 вершинами есть остов-
ный путь в чем убеждаемся, просматривая на рис 16 7 все такие
турниры.
Предположим, чю юорема верпа для всех турниров слвсрши-
нами и рассмотрим турнир Т с пл-1 вершинами Пусть и, — про-
извольная вершина турнира Т Тогда турнир 7' — имеет п вер-
шин п в нем есть остовный п\1Ь Р, скажем е, ц. щ. Отна из др
1) Разрежепнии называют матрицу сботьшцм ыеточ нужных элементы!
242
ГЛАВА 1в
u(li'i или v,u0 обязательно принадлежит Т Если v^GT, то путь
tWif2 t'n в Т является остовным Если же гад,£ Г, то обозна-
чим через Vi первую вершину пути Р для которой дуга v-iiy принад-
лежит Т (если такая вершина есть) Тог ла в Т существует дуга
и, следовательно, щ t'., . vf, l1( v\ . v„— остовный путь
Если такой вершины vt нет, то остовным путем будет v, . ул и.
Итак, в любом случае в турнире существует остовный путь Теоре-
ма доказана
Рис 16 7 Турниры с небольшим чие.лоч вершин
Селе [11 обобщил этот результат, доказав, что каждый турнир
имеет нечетное число остовных путей. Другое обобщение теоремы
Редей дали Галлаи итЧильгрэм [1!, доказавшие что в любом направ-
леннОхМ графе D существует набор из не более чем р0(Г)) непересе
кающихся по вершинам путей, покрывающих множество V(D) его
вершин.
Следующая теорема п р и н адл еж m М озеру (см X ар а р и, Мозер [ 11),
ее следствие, полученное Фолксо.м fl] и Камионом fl], аналогично
предыдущей теореме (о произвольных турнирах) для случая силь-
ных турниров
Теорема 16 11. Каждый си шныи турнир с р вершинами и меет
нонтур длины п дм п^о 4 , р
Доказательство Это доказательство 1акже проводим с по-
мощью индукция, но по длине контуров Если турнир 7 сильный
ю в нем обязательно есть циклическая тройка Предположим, что
Т имеет контур Z=ro, щ о тч длины п<К.р Покажем, что Т
имеет также контур длины /г-|-1 Возникают два случая. 1) сущест
вует вершина и, нс принадлежащая контуру Z и такая, что найдутся
вершины v и аа, принадлежащие контуру Z, первая из которых смеж-
на из и, а вторая смежна к и, 2) такой вершины нет
Случай 1 Предположим, чго существует вершина и не при-
надлежащая контуру Z, и вершины v и ад принадлежащие Z и
такие, что дуги uv и wu содержатся в 71 Нетеряя общности, можно
OPI РАФЫ
243
считать, чго дуга vyt также содержится в Т Пусть — первая вер
шина при обходе контура Z ив i>,, для которой дуга uv^ лринадле
жпт Т Тогда дуга Vi-pc также содержится в Г, а поэтому чсу,
vi^luvl . контур длины и -I
Случай 2 Пусть такой вершины и, как в случае I, нет Тогда все
вершины, нс принадлежащие Z, можно разбить на два подмножества
U и IF, где U — множество вершин смежных к каждой вершине
контура Z, a IF — множество вершин, смежных из каждой вершины
контура Z. Ясно, что эти множества не пересекаются и ни одно из
них не пусто, так как иначе Т не бы и бы сильным турниром.
Далее, существуют такая вершина и С V и такая вершина W,
что дута ври принадлежит Т Поэтому мущ2 у, ^wu — кон-
тур длины я—1 в турнире Т
Таким образом, существование конга ра дтины л4 I доказано
Следствие 16.11 (а) Турнир является сильным тогда и только
тогда когда он имеет остовный контур
Используя терминологию турниров состязаний, назовем коли-
чеством очков вершины ее потустепень исхода Следующая теорема,
доказанная Ландау [1], появилась в результате эмпирического изу-
чения специальных турниров (так называемых «pecking orders»),
в которых вершины представ 1йют кур, а дуги—• ктевки
Теорема 16 12 Расстояние от вершины с наибо 1Ы.ии м. количе-
ством очков до любой другой равно 1 иш 2
Число транзитивных троек можно выразить через котичества
очков вершин; см Харари ц Мозер [11 Как следствие отсюда не-
медленно получается хорошо известная формула Кендалла и Смита
[11 имеющая большое значение в статистическом анализе Она была
также получена Байнеке и Харари [4] с помощью перехода от пиити-
ческих троек к сильным подтурнирам большего размера
Теорема 16 13 Ч нею транзитивные троек в турнире с набо-
ров количеств очков ь,, , s;,) равно
2щ(5,-1)/2.
Следствие 16.13 (а). Наибольшее чисго цикгических троек
среди всех турниров с р вершинами равно
j р2 — р
~т~ PCJU Р нечетно,
t ip, 3)— । ;;S. 4р
—лд— если р четно
2-14
ШВА tt>
Обзор по проблеме восстановления турниров
Для турниров было дано часпшпое обоснование специального
ел \ чая гипотезы Ул ама К джды й т у р и и р 7 с /; вершин ами он р еде л нет
р подтур пироп Т; T—Vf Было доказано1), что можно восстановить
любой несильный турнир, имеющий по крайней мере пять вершин
Однако тля сильных турниров с р- 5 и p=Q гипотеза нс верпа Это
а 5 в $
Рис 16 8 Две пары 1 евосстапавливаемых сильных тхринров
установили Байнеке п Паркер, показав, что две пары турниров
изображенные на рис. 16 8, а, б и й, г, противоречат гипотезе Улама
Но подобных контрпримеров для турниров с большим числом вер
шин пока нс известно, так чго мы предполагаем что их нет'
Упражнения
16.1, Орграф называется строен слабым, если он слабый и не односторонний;
строго односторонним, если он односторонний и не сильный. Пусть £„—• класс
всех неевлзных орграфов, Ct— класс всех строго слабых орграфов, С2— класс
нсех строго односторонних орграфов и С;г- класс всех сильных орграфов. Тогда
максимум и минимум числа q дуг среди всех орграфов с р вершинами, относящихся
но соединимости к категории С\ i—0 1 2 3 можно найти в следующей таблице
К пт 1 бри я I [ц]1М(?:г ыпго число дуг На ибо'll lee число дуг
(} 0 (р— п ш 2)
1 p-i ip— 11 (р — 2)
2 р -1 (/-> Б2
р Р(Р О’
< Картрайт л Харари [!]1
16.2. Орграф, являющийся декартовым произведением Dp' D,, двух орграфов
имеет V’r 1д в качестве множества нернши, и вершина (к,. и2) смежна к вершине
(l'j г1,) тогда и только тогда когда нт и и adj ц>| или и «i adj cj
*) Харари а Палмер [18]
ОРГРТФЫ
245
(В гл. 2 такое же определение дано для графов, только здесь у нас ориентирован-
ная смежность.) Если орграф D относительно соединимости находится в катего-
рии Ct(, то будем писать с(Ь] п. Тогда c{Dj .\ min [с (DtY с (D2)}, да ис-
ключением случая с (Dj когда с(В1',О2)- 1
(Харари Трот |1|)
16.3. Ни один строго слабый орграф не содержит верит и ну, удаление котор он
приводит к сильному орграфу
(Хтрари Рост [1])
* 16.4. Орграф с данными последовательностями полу степеней исхода (Sj,s2, .
s^). где р — Е-Д-S . -. . . -х?.. и полустеиеней захода (/2, t,.!,ф. где
—1. существует тогда и только тогда когда Ssf-=i/( и для любого целого
числа 1г <р
к & р
тлит { k - 1 t } *- у ппп ре f; )
1=1 1=1 1=Л 1
(Райзер [!], Фглкерсон [ 1 ])
* 16.5. Сильный орграф т. данными носледоеателыюс.тямн полус'говеней за
хода н исхода, удовлетворяющими условиям упражнения 16.4, существует тогда и
только тогда когда 1ч/ Ер s.>() t;>0 для всех i н тля любого целого k<p
к к р
2 X < 2 Z' 1 2 rtlin {k }
T--I 1 = 1 t-k 1
(BaiiwJ e Хтрари [1])
16.6 Реберный орграф I (D) имеет множество всех дуг данного орграфа Г) в
качестве множества вершин, и две его вершины хит/ смежны тогда и только тогда,
когда дуги хну порождают' маршрут в орграфе D. Выразить число вершин и число
дуг орграфа L(D) через соответствующие величины орграфа D.
(Харари Норман [3])
16.~, Реберный орграф/_ (D) слабого орарафаД изоморфен самому орграфу D
тогда и только тогда, когда D или D' — функциональный орграф.
(Харари, Норман [3])
16.8. Если D — пес.вязнып орграф то утверждение содержащееся в предыду-
щем упражнении ею верно
*16.9. Пусть S и 7’— петтерееекающиеся множества вершин орграф;! D
I X (.S, Г) — множество всех дуг. идущих из .8 н Т. Орграф D реберный тогда и
только тогда, когда нс существует множеств $ и Т имеющих по две вершины и та-
ких что [X (б> Г)|-== 3
(Геллер Харари Ш Хечен (1|)
16.10. Число эйлеровых путей орграфа Л равно числу ; ампльто новых к.онт\
ров реберного орграфа /.(D).
(Кас.телейи [ 1])
16.1! Пу с гъ орграф Tt состоит из одной нерашЕп i с двумя ориентированными
петлями. Пусть 7'2 ЦТЛ] — реберный орграф (здесь, если быть более точным,
нужно использовать термин «псевдоорграф») орграфа Тф, определенный естест-
венным образом; рекурешшо определяется Тп-- L (D„_1). (Такие орграфы Тtt из-
вестны иод иатеанием «телетайпных диаграмм») Тогда чеюто эйлеровых путей е-
орграфе т ; равно 2‘J?‘ '-1
tщ Брони вин -Vipyci Эренфее'1 ] 111
*16.12 Каждый орграф х которого id (j)Tsp/2, od (рфтер 2 для .любой чер-
пни ы е гампльточон
(Гушя ipn [1])
246
ГЛАВ X !n
16.13. Рассмотрим орграфы, у которых для любой вершины и сумма -1!
расстояний от этой вершины до всех остальных постоянна. Найти среди этих ор
графов орграф не являющийся вершинно-симметрическим.
(Харари | III)
16.14. Орграф Л, его допо шеиие D ц обратный к нему D имеют одну и ту же
грхппу (автоморфизмов).
16.15. Пусть А—матрица смежностей реберного орграфа полного сим> в
трического орграфа Тогда все элементы матрицы .42 А равны 1
(Гоффман [3])
16.16. Два ор|рафа называются коспектральными, если их матрицы смежно-
стей имеют один и тот же характеристический многочлен Существуют в точности
три различных коспектр альных сильных орграфа с четырьмя вершинами.
(Харари, Кинг Рид)
16.17 Орт раф, называемый конъюнкцией D—DypD2 двух орграфов Dj и
D.>, имеет в качестве множества вершин У= KjXК2, и вершинаu—(ut, и2) смеж
га к вершине и-(ед,е.’2) тогда и только тогда когда i/jadjcj в орграфе и
и-, adj гл, в орграфе D2 Матрица смежностей А конъюнкции О—Dj/x.D, есть
тензорное произведение матриц смежностей орграфов D, и D2.
(Харари Трот [1])
10.18. Пусть Dj и Д2—два орграфа, a с!,— наибольший общий делитель длин
всех простых контуров орграфа D; t —1,2 Конъюнкция Dlr\D2 является силь-
ным орграфом тогда и только тогда, когда DL л О2 — сильные орграфы a d, и
da взаимно просты
(Мак Эндрю (1])
16 19. Орграф называется примитивным, если какая-нибудь степень его ма
1рицы смежностей целиком состоит из положительных чисел. Орграф примитивен
тогда и только тогда, когда длины его простых контуров имеют наибольший общий
делитель равный 1
(См Далмед/К и Мендельсон |3, <тр 204!}
*16.20. Пусть D — примитивный орграф
а) Ес ти п— наименьшее из цетых чисел, зля коюрых.4"> 0 то (р—1)а- 1
(Витандт [I])
б) Если п принимает наибольшее значение (р— I)2-'-1 то существует такаг
матрица перестановки?, что Р4?-1 имеет вид где аур-1 если i—1
а„ i~ 1 и fi/у- 0 в остальных случаях.
(Далмсзж и Мендельсон [4 сгр 209]1
16.21 Ориентацией графа G называется приписывание ориентации каждому
ею ребру, Граф имеет сильно связную ориентацию Тогда и тотько тогда когда
он связен и не содержит мостов.
(Роббинс [1])
16 22 Пусть В — матрица инцидент™ размера р>' q произвольной ориеи
тации D данного помеченного графа G, так что ее элемент Ьц равен — 1, если орпен
тированное ребро лу инцидентно к вершине су, равен —1, если лу инцидентно из
вершины а, и ранен 0 в остальных случаях. Тогда det равен числу остовов
графа G (Сравните матрицу ВВТ с матрицей М из гл. 13 )
(Кирхгоф [1])
16.23 Напомним (гл. 5) что X (и ц)— наименьшее число ребео гоафа G
удаление которых разделяет вершины и и и, Аналогично для вершин и и о орграфа
D пусть / (и, с) — наименьшее число дет удаление которых разрывает все пути
ОРГР УФЫ
247
из и в и Дтя каждой ориентации О эйлерова графа G и каждой пары его вершил
и и и
? (и, и)=? (ь и) и)
(Замечание. Гораздо более трудно доказывается обобщение этого утверждения на
произвольный граф G граф G имеет такую ориентацию D что Л (D)^n тогда и
тот ь ко тогда когда Х(0)до2м.)
{Нэш Витьямс [1])
16 24 Любая ориентация п хроматического графа G содержит простои путь
длины и—I
(Галлаи (41)
16 25 Набор всех потустсиенеи ио хода s( турнира удовлетворяет равенству
S4-2 (р—s>-y4.
16,26. Все турниры за исключением двух, имеют остовный путь . ър
замкнутый дутой Исключения представляют циклическая тройка и турнир,
показанный на рис 16 8 а
(Грюнбаум)
16.27.а) Число контуров длины 4 в любом конту ре с р вершинами равно числу
его сильных подтурниров с 4 вершинами.
б) Наибольшее число сильных подтурниров с 4 вершинами в любом турнире с р
вершинами равно t(p 4)=(1/2) (р—3)/ (р 3); см стедствис 16.13 (а).
(Байнеке, -Харари [4])
16,28. Группа изоморфна вершинной [руипе некоторого турнира тогта и
только тогда, когда она имеет нечетный порядок.
(Мун [2])
16 29 Пусть Г.— вершинная группа, а 1\ — «дуговая» группа турнира Т
Группа Г) траизитивпа тогда и только тогда, когда парная группа группы Г
транзптпвна.
(Жан [1])
16 30 Пусть /(,?) и s(x) — производящие функция для ттркнров и сильных
турниров соответственно Тогда
t (с)
НМ- <VhiI t4 88i)
16 31 Рассмотрим последовательное! ь неотр в цате чьи ых целых чисе т
=Sls2< ^Sp
а) Эта последовательность является набором полу степеней исхода некого
р А
poio TxpiHtpa Т тогда и тотько тогда, когда S; — р (р—1)/2 и (k~Y\/‘2
1=1 !=1
дтя всех Ь<р
(Тан lay }!])
k
б) 1урнир Т сильиьш тогда л только тщда, когда 2iT> 4’(fe—1)/2 дтя
i ~ 1
вдох /?<р
(Харари, Мозер [1])
Приложенш I
ДИАГРАММЫ ГРАФОВ
Л\чшС! один раз увидеть,
чем сю раз услышать
Hot ъ&нща
Для накопления фактов, позволяющих выдвигать различные
гипотезы о свойствах i рафов, очень полезно иметь диаграммы гра-
фов. Легко изобразить все графы, содержащие менее 6 вершин.
Диаграммы графов с 6 вершинами, представленные здесь, были
выполнены Кроуэм Он же, по-видимому, был первым, кто изобра-
зил все графы с 7 вершинами. При составлении диаграмм никто еще
не пытался решить задачу канонического упорядочения различных
графов с р вершинами и q ребрами Тем не менее каждому графу G
приписывается индекс п и тот же индекс приписывается дополни-
тельному графу G Таким образом, граф GP q.-ri есть щй (р, ф)-граф
и он отождествляется с диаграммой, имеющей (в естественном по-
рядке слева направо) номер гг кроме того, G„ „ n~G ,,, х
1 Р ( ;, ) ~<1 Г1
Исключена составляю! (4 3) граф и (5,5) ip эф
В качестве дополнения к таблицам подобного типа Хпп напи-
сал программу для электронно вычислительной машины Нацио-
нальной физической лаборатории в Чндлсексе. Эта программа печа-
тает каждый граф с 7 вершинами на отдельной карте Сейчас за
каичивается работа над программой, выдающей на печать графы с
8 вершинами В ходе работы было установлено, что наиболее удобно
задавать графы их матрицами смежностей В преимуществе такого
задания уже убедились исследователи, использующие вычисли-
тельные методы.
Для удобства мы приводим здесь таблицу7 для числа графой
с /js^9 вершинами и <7^18 ребрами (ср Риордан 12 стр 1731)
Указанные в таблице числа были найдены по формуле Пой а (15 47)
ДИАГРАММЫ ГРАФОВ
249
Тиблицг П1
Чшли графов с вершинами и <?-<-Г18 ребрами
(I
1
3
4
6
7
8
9
10
1 I
]2
13
14
1"
16
17
1«
1 1 I
1 1 I
4 1 5
6 9 1D
)> 15 21
6 21 41
4 24 65
2 21 97
1 -I В!
I 1." 148
9 148
Г; 131
2 97
1 65
1 41
21
10
5
I 1
1 1
И Н
24 25
56 63
115 148
221 345
402 771
663 1637
980 3252
1312 5995
1557 10 12(1
1646 15 615
1557 21933
1312 27 987
980 32 403
663 34 040
?=4
□. Lj. И.
и. l:. CJ, к
л- £i / £—1 s 6. Q
р = 6
р = 6 (продолжение)
(проЗйтгсенце)
д=6
?=7
(продолжение)
g=--S
р-6 (продолжение)
9=8
? Л 1 41
Р 6 (прадипукегиле')
1
г продо.Г}>хег<и& 1
14 |
ITриложение. IT
ДИАГРАММЫ ОРГРАФОВ
он вскочил на коня и бешеным
галопом помчался во все стороны
Лркок. < Ч
Здесь представлены ориентированные 1рафы, имеющие не более
4 вершин. Эти 1рафы расположены в соответствии с числом вершин
и числом д)Г, и каждому из них приписываете л индекс так, чтобы
граф, являющийся его дополнением, получит тот же индекс. Исклю
чение составляют (3,3)-орграф и (4,6)-орграф Диаграммы даются
только для орграфов, имеющих не более 4 вершин, потому что вклю-
чение орграфов с 5 вершинами потребовало бы почти столько же
бумаги, сколько пошло на всю книгу. В табл П2 состав1енпой
Обершельпом [1], приведены числа орграфов ср вершинами,
Эти числа вычислены с помощью соотношения (15.30)
Taov.tua П2
Число орграфов с р=С8 вершинами
1 I
2 1
3 16
4 218
5 9 608
6 1 540 944
7 882 033 440
8 [ 793 359 19-'’ 848
1) Стивен Ликок (18Ь9—1944) — канадский тедаго! к юморист — Прим
трее
4!
f- 4
4
< 4 <5 4
Г-! 1! <i <] <
J 4 < < <
1
= I
LJ_____.
L-.__________________________________________________-_________-_____-
i 7 7 7
7 = 0 9=1 9 = 2 9 = 3
р~* * « 1 1 б \ . I 2 . 1 3 ~ т i 4 LJ LJ Li LJ б i ’J U *-1 сл V< 4i. t>-> IV •—1 z] Z1 M \I \j ?\j £ И S S " "
f продал аденил)
= 4 (продолжение)
в р р в в я а р n ы я с j к
'О (X1 *"j СЛ ^л 4* W r-л J— де
S й £ ± £ £ й
И Ы Ы ;:i Н Я Н Я 3 Я 3 Я 2
II
завязая вкв кsи'
ofH -> J> tu h.j М >-* — _• >— _-
<-г“ <Л 4* <,> Г-> н*. о Ч> OQ ‘-J ©ч Vt 4*
P = -i I при^ижени,^
И ’/-''' Xt 4 vz я v 'A1 1 ,z—Л □- Bl Хл !3 1^0^22
zz kZ 4 V^2 kZ] is
V i'\Z* [k Z/i fZ В
_ЧЛ 29 V-k - -'1*4, ^b kzzx LZz J? ХЛ 24
*T“Z Z "/ XZ'i FzB
X - X к i 1 z ' XX
Ж 1 iZzri 4 Z-k11 L-/Z r ZZX 5
*?~x zz. -ii в k__л 34 Z;z w>> 12 19 ж
rz 2. ^^/13 Ж 2
Kx^Z
i X ’3 14
<7 -- 9 -j-10 .J-ll ;-12
Wi Oi i'^^I
Z' Zz zz Z J1 ’SR)
— — ’
f;Z О Bi
X—X *- f H_Xv u
f - ”7". kzFi
k?< liZn ZZ
<0 kZi
Z—X 4 lZ. Zk4
IZ-.! i‘Z X LU 1 Z: ‘
Приложение III
ДИАГРАММЫ ДЕРЕВЬЕВ
Из-за деревьев леча пс видно
//iJ£JCJ6'Uq<3
Диаграммы всех деревьев с рС 12 вершинами были составлены
Принсом и опубликованы как приложение к его докторской диссер
танин (Принс 111) .Мы приводим здесь только диаграммы для
р^ 10; они опубликованы также в работе Харари и Принса [2]
Порядок следования деревьев с данным числом вершин довольно
произволен, по в целом деревья перечисляются в соответствии
с увеличением числа вершин имеющих степень больше 2. В табл. ПЗ
приведены числа деревьев и корневых деревьев с р вершинами для
р26 (см. Риордан [2]), а также числа асимметрических деревьев
и гомеоморфно несводимых деревьев для 12 (см Харари Принс
[1]). Все эти числа получены с помощью формул (15.41) (15.35),
(15 51), (15 52), (15 47) — (15.49)
Таблица
Число деревьев, корневых деревьев асимметрических деревьев
и гомеоморфно несводимых деревьев с р вершинами
р Г; 1; . 1, 1 6 1 j
1 1 1 1 ! i:i 1 30! 12 486
2 1 1 0 1 । 14 3 159 32 973
4 0 О 1 15 7 741 87 811
4 2 4 0 11 1С 19 320 235 381
5 3 9 1 0 1 1 П 48 629 634 ST'7
6 G 2о 1 0 21 1-8 123 867 I 721 159
7 И 48 1 ’ 2 । 19 317 055 4 688 676
8 23 115 . 1 4 । 20 823 065 12 826 228
9 47 286 1 3 5 1 21 2 144 505 35 221 832
10 105 719 ! 6 и I 22 5 623 756 97 055 181
] i 235 ,842 i 15 14 23 14 828 (174 268 282 8,55
12 551 4706 ! ад -6 1 24 39 299 897 743 724 984
1 J и 104 636 899 2 067 174 645
1 i 26 279 793 4,50 5 759 636 510
/>=1
p-2
p=4
• ’ < -X* zг
-Z >н- -л- :•“<
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ »
Они спешат они ползу г
Одна вослед другой.
За Плотником и за Моржо^
Веселою гурьбой
Лбя)^
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Приведенный ниже список литературы содержит такие работы (и только
такие), па которые имеются ссылки в тексте книги Нужно, однако, отметить,
что этот перечень значительно белее выборочный, чем обширная библиография
по теории графов и ее применениям, состав пенная Тёрнером [2]
Хвондо Бодино Дж
“1. Применение в экономике теории графов, нэд во «Прогресс», М 1966,
Андерсон, Харари (Anderson S S Harary F.)
1 , Trees and unicyclic graphs, Math. Teacher 60 (1967) 345—348
Байнеке (Beineke L. W.l
1 . Decompositions of complete graphs into forests Magyar 1 ud Akad Mat
Kuiato (nt Kazl., 9 (1964), 589—594
2 The decomposition of complete graphs into planar s iberaphs, :л 4 о сб
Graph Theory and Theoretical Physics (под ред Hararv F ) Academic
Press, London 1967 pp. 139—154
3 Complete bipartite graphs: decomposition into planar subgraphs, rn 7
и сб. Seminar in Graph Theory (под ред Harary F) New York, 1967, pp
42—53.
4 Derived graphs and digraphs, в сб. Beitrage zui Graphentheorie (под
ред. Sachs H , Voss H Walther H.) Leipzig, 1968 pp. 17—33
Байнеке Мун (Beineke L. W., Moon J XV.)
1 The number of labelled k-trees, в сб. Proof Techniques in Graph Theory
(под ред. Harary IL), Academic Press, New York, 1969.
Ьаннеке Липперт (Beineke L. W., Pippert К. E.)
1 The enumeration of labelled k dimensional trees I Combinatorial Theory
(в печати).
Байнеке Пламмер (Beineke. L. ft., Plummer M D)
I On the 1-factors of a nonseparable graph J Combinatorial theory 2 (1967),
285—289
Байнеке Харари (Beineke L. W.. Harary F.)
1 Local restrictions for various classes oi directed graphs, J London Math
Sx 40 (1965), 87—95
’) гЬггс.рчтера отадсченнчя кружочком, (обавчена при перевода —
Прим перев.
2 ) .1 ьюис Кэрролл, кп 1 «Алиса в счране чудес», кп. 2 «Сквозь
зеркало и что там увидела Алиса», Изд-во литературы на иностранных, язы
ках, София, 19437, стр. 156, перевод Д. Орловской. Дословный перевод по
следт;ей строки: «Их сто и овил ось нее больше, больше и бол ьше». — Прим. перев
2"0
С Г1ИС0К п HTTP А ТУТ! (
2 Inequalities involving the genus of a graph and its thickness. Proc, (1i.asgou:
Math. Assoc 7 (1963), 19—21.
3 'I'lie genus ol the n-cube, Caiiad. J. Matti., 17 (1963), 494- 496.
4 The maximum number of strongly connected 'ubtournaments Canad. Maili
Ball.. 8 (1965), 491—498.
5 . The thickness of the complete giapli, Canad. ,1. Math., 17 (196л). 8л0—8.э9.
6 , The connectivity function of a graph, Mathematina, 14 (1967), 197—209,
Байнеке, Харари, Муи (Beinekt. L, W. Harary F., Moon J W.)
1. On the thickness of the complete bipartite graph. Pm-. Cambridge Philos.
Sac.. 60 (1964), 1—5
Байнеке, Харари, Пламмер (Beineke 1 W, Harary F Plummer M, 0.)
1. On the critical lines of a graph Pacific J Math 22 (1967) 205—212
Балабан (Balaban A. T.)
I Valence-isomerism of cvclopol venes Rm R.uimatrii Chim 11 (1966)
1097—1116,
Барнетт (Barnett D.)
i. Trees in polyhedral graphs Canad J, Math., 18 (196b) 731—736
Баттл, Харари, Кодама (Battle J,, Harary F Kudama Y.)
1. Everv planar graph with nine points has a noriplanar complement Bull
Лат. Math. Soc.. 68 (1962). 569—571
Баттл, Харарн, Кодами, Яше (Battle J Harary F Kodama Y Youngs J. \\ T)
1. Aclditivity of the genus of a graph Bull Amir Math Soc 68(1962)
Бснзер (Benzcr S.)
1 On the topology of tin g( nene fine strLichire Proc \!at Acad Set [ 8Д
45 (1959), 1607—1620
Берк К (Berge C.)
1 Two theorems in graph theory, Proc.Mat.Acad.Set b SB 43(1957). 842—844
2. Теория графов и ее применение, Т1Л, Al 1962
°3 Graphes et hypergraphes, Paris, 1970.
Берж, Гуйя-Ури (Berge C., Ghouila-Houri Aj
1. Programming, games and transportation networks London 19(л
Бернсайд (Burnside W.)
1. Theory of groups ol finite cider (2nd edition) Cambridge Unix Press,
Cambridge, 1911
Бехзад (Behzad M.)
1 A criterion for the planarity of a total graph Proc Cambridge Philos Soc
63 (1967), 679—681.
Бехзад, Раджави (Behzad AL, Radjavi H )
1. The line analog of Ramsey numbers, Israel J Math 5 (1967) 93—96
Бехзад. Чартрэнд (Behzad M., Chartrand G.)
1. 'Total graphs and tiaversabilitv. Proc. Edinburgh Math Soc 15 (196b)
117—120.
2. No graphs is perfect, Amer. Math. Monthly 74 (1967). 962—963
Бехзад. Чаргрэнд, Кунер (Behzad M, Chartrand G , Cooper ,1.)
1. The colour numbers of complete graphs, J London Math Soc 42 (1967)
226—228.
Бехзад, Чартрзпд, Нордхауз (Behzad AL, Chartrand G., Xordhaus I . A )
1. Triangles in line-graphs and total graphs, Indian J Math (r пеяати)
Бпркгоф (Birkhoff G.)
I, Lattice theory, Amer. Math. Soc. Colloq. Ptibl., vol 25 3d cditioi Provi-
dence, 1967, (Русский перевод первого издания Биркгоф 1 Теория
структур, ИЛ, М.., 1932.)
Бпркюф, Льюис (Birkhoff G. В., Lewis В.)
1 Chromatic polynomials, 7'rans. Amer. Alath. Soc 60 (194b) 335—45!
Бо.|3нд, Лек кер к ср imp (Boland J., Lckkerkerker C.)
1. Representation of a finite graph bv a set of intervals on th11 leal hue Fund
Math 51 (1962) 45—64
СПИСОК JUTEPATvpbl
2'1
Ьсшл Коксетер (Ball . W. R., Coxcter U.S. ,4.)
1, Mathematical recreations and essay? New York 1947
Ьоллобаш (Boliobas B.)
1 On graphs with at most three independent paths connecting am two x cr
tices, Stadia Sei. Malh. Hangar. 1 (1966), 137—140.
5 umi (Bondy J. A.)
1 On Kellv’s congruence theorem for trees Proc Cambridge Philos Soc ,
65 (1969), 1 —11
Dorr Мейберри (Bott R , Mayberry J P.)
1 Matrices and trees, веб Economic Activity Analysis ( юд pert Morgen-
stern 0.), New York pp 391—400
bp ay и, Джонсон (Brown L., Johnson L.)
“1. A class of planar four colorable graphs, Israel J Math , 11 (1972) 53—56
де Брёйн (dcBruijn NG)
1 Generalization of Polya’s fundamental theorem in eimmeration combina
tori al analysis, 1 ndagat tones Math 21 (1959), 39--69
2 Теория перечисления Пойа, в сб Прикладная комбинаторная математика
(под ред. Беккенбаха Э.), изд-во «Мир». М„ 1968, стр. 61 — 106.
де Брейи, лап Аарден-Эренфест (deBruijn G , van Aardenne-Ehrerifest Т )
1 Circuits and trees in oriented graphs Simon Stenin 28 (1951). 203—217
Ьруатьди (Brualdi R. A.)
1 Kronecker products of fully indecomposable matrices and oi Mtrastrong
digraphs, J Combinatorial Theory, 2 (1967), 135—139.
Брукс (Brooks R. L.)
1 On colouring the nodes of a network Proc Carnbndgt Philos Sot, 37 (1941)
194—197.
Бруке Смит, Стоун, Татт (Brooks R. L , Smith С A. В , Stone A 11., Tutte W. T )
1 1'he dissection of rectangles into squares, Duke Math, J , 7 (1940), 312—340
Ьэбтер l.Babler E.)
i Uber eine spezieile KJasse Euler Scher Graphen Comment Math Helt1.. 27
(1953), 81—100.
Bamep (Wagner K)
1 Bcmcrkungen zuin Vicnarbctiptoblern Iber Deutsch Math - Verein 46
(.1.936), 26—32,
2 UbcT eil'.e Eigenschaft dcr ebenen Kompkxe Math Min 114 (1937) 570—
590.
3 Beweis eincr Abschxvachung tier Hadwiger-Venuuttnig, Math Ann 153
(1964), 139—141
_4 Grap hen theorie Mannheim — Wien — Zurich 1970
Вайда (Vajda S )
1. Mathematical programming, Addison Wesley Reading 1961
Вайнберг (Weinberg L.)
1. Number of trees in a graph Proc. J PE, 46 (1958); I9a4—1955.
2 On Ute maximum order of the automorphism group of a planar triply con-
nected graph, 5//1Л1 J 14 (1966), 729—738'
Вачь ep (Walther H.)
I On intersections ol paths in я graph 7 Combinatorial Theory (в neraru)
Вирга (Varga R. S.)
1. Matri x iterative analysis Pren hue 1 lai I Englewood Cliffs 1962
Веблен (Veblen O.)
1. Analysis situs, Amer. Math. Sou C olloq Ptibl Vol o Cambridge 1922;
2nd edition New York 1931
Вегтсел (Weichsel P. M.)
1 The Kroneclwr product of graphs pmc Amer Muth.Soc 13(1963) 47—52,
Впзинг В Г
] Об оценке хроматического ктасса р графа Дискретный, анашз 3 (1964)
25-30
272
СПИСОК ЛИТЕРАТОРЫ
2 О чикл? ребер в графе с данным ращу сом, Доклады АН СССР, 173 (1967),
1245-1246,
Вичандт (Wielandt Н.)
1 Unzerlegharc nichttiegatiye Mali izen Math 7 52 (1950) 612—648
Во1мерхауз (Vollmerhaus 11.)
1. Uber die Einbet.t.ung von Graphen in zweidmiensionalc orientierbare Man
nigfaltigkeiten kleinsten Geschlechts, в сб. Beitrage ziir Graphentheorie
(иод ред. Sachs H., Vo'S H., Walther H.) Leipzig, 1968 pp 163—168
Гавст (Havel V.)
1 Замечание по вопросу существования конечных 1рафов (на венгерском
языке), Casopts Post Mat., 80 (1955), 477—480
2 On the completeness-number of a finite graph, в l.6. Beitrage zur Graphen-
theorie (под ред. Sachs H., Voss H., Walther H.) Leipzig. 1968, pp 71—74
Гау (Guy R. K.)
1 The. decline and fall oi Zarankiewicz s theorem в сб. Proof Techniques ni
Graph Theory (под ред Harary F.), Academic Press, Ww York 1969
p2 Latest results on crossing numbers, Recent Trends in Graph Theory, v 186
(Lecture Notes in Mathematics) 1971.
Гаи Байнеке (Guy R K-, Beineke I... W.)
1 The coarseness of the complete graph, Canad J. Math. 20 (19661 888 -894
2 The coarseness of 7(m n Canad. J Math, (в печати).
Галун (Halin R.)
1 A theoiem on n connected graphs J Combinatorial theory 7 (1969) Id)—
154
Галлаи (Gallai T.)
1 On factorisation of griplm Acta Moth Arad S^.i Hitnsar 1 (1950) 133—
153.
2 Uber extreme Punkt-und Kantenmengen 4rm Unit? Set Budapest Eotvos
Sect, Math. 2 (1959) 133—138.
3 Elementare Relationen bezuglich der Glieder end trennenden Punktc von
Grapbcn, Magyar Cud Ahad. Mat Kjitato fnl K.ozl.,9 (1964), 235—236
4 On directed paths and circuits, в сб. Theory of Graphs (под ред. Erdos P.
Katona G.), Akadc.miai Kiado Budapest, 1968 См. также Academic Press
New Ttork, 1968, pp 115—119
Галтаи Мильгрэмм (Gallai T, Milgram A N.)
I Vera Ugemei netting eines graphen theoret iscltcn Saizes von. Redei Acta
Sclent. Math., 21 (1960), 181 —18b
Гсвирц Квиятас (Gewirtz A , Quintas L V.)
I Connected extremal edge graphs having symmetric automorphism group
в сб. Recent Progress in Combinatorics (под ред. Tutte W T) Academic
Press, New York, 1969.
'2. The uniqueness of a certain graph, 7 Combinatorial Theory 11 (1971) 45—53
Геллер (Geller D. P.)
I Outerplmar graphs (в печати).
Геллер Харари (Geller D. P., Harary F )
1 Arrow diagrams are line digraphs / SJAMAppl Math. 16 (1968) 1141 —
1145.
I еренсер (Gerencser L )
1 О проблемах pat краски (на вещ epi ком языке), Mat Lapok 16 (1965),
274—277.
Гичберт, Риордан (Gilbert Е. N., Riordan J.)
1 Symmetry types of periodic sequences Illinois I. Math 5 (1961) 657—665
Гилмор, Гоффман (Gilmore P., Hoffman A. J.)
1 A characterization of comparability graphs and interval graphs, Cinad
J. Math., 16 (1964), 539—548.
Годин Герц, Росси (Gaudin T.. Herz J C., Rossi P.)
1 Solution du probleme № 29, Ren, Crane. Rech. Oner 8 (1964), 214—218
СПИСОК 1ИТЕРА1 РЫ
273
Гоффман (Hoffman Л. J.)
1 On the пл [queries ol the triangular association scheme, Л hi Mahi Statist
31 (I960). 492—497.
2 On the exceptional case in a characterization of the arcs of complete graphs,
IBM J. Res. Bevedop. 4 (I960), 487—496.
3 On the polynomial ol а graph, Amer. Math. Monthly, 70 (J.963), .30 -3b
4 On the line-graph ol the. complete bipartite graph. Ann. Math. Statist. 3a
(1964), 883—885.
1оффман, Синглтон (Ilol'fmari A. J., Singleton R R )
1 On Moore graph" willi diameters 2 anti 3 IВ Al J Res Develop , 4 (1960),
497—504.
I pa вер, Якель (Gravel J. E., Yackel J.)
1. Some graph theoretic results associat'd '.utii Ramsey’s theorem J Coin
blnatorial Theory 3 (1968). 1—51
I рётш (Grolzsch H.)
1 Ein Dreifarbensatz fiir dreikreisfreie Netze aid <kr K’.igG, IVT'.ss. Z. Martin
Luther Univ. Halle-Wittenberg. Math Hatura'iss. Reihe, 8 (1958), 109—
120.
Г рюпбаум (Cininbautti В.)
1 Grotzsch’s theorem or. 3 colorings Michigan Math. J., 10 (1963) 303 310
2. Convex polytopes, Wiley (Interscience). New York, 1E167
ГуНя-Урн (Ghouila-Houri A.)
1 Un resultat relatif a la notion de diametre C R Acad Sci Paris 250 (1960)
4254- 425b
Гупта (Gupta R. P )
1 Independence and covering numbers of 'im graphs and total graphs, в i.o
Proof Techniques in Graph Theory (под ред. Harary F ), Academic Press
New York, 1969.
c 2 Bounds on the chromatic and achromatic numbers of complementary graphs,
в co. Recent Progress in Combinatorics (под ред futle W T ) Acidemic
Press, 1969, pp. 229—235.
Далмедж, Мендельсон (Dtilmage A. 1 ., Mendelsohn S )
1 . Coverings of bipartite graphs, Canad. J. Math., 10 (1958), oI7—534
2 On the inversion of sparse matrices. Math. Comp., Hi (1962), 494—196.
3 Graphs and matrices, гл. 6 в сб. Graph Theory and Theoretical Physics,
(под ред. Harary Г.). Academic Press, London 1967 pn 167—229
Танцор Кли (Danzer L., Klee V.)
1. lengths of snakes m boxes 7 Combinatorial Theory, 2 (1957), 258—265
Декарт (Descartes B.)
1. Solution to advanced problem N 4526, Amer. Math. Monthly, 61 (1954) 352.
Tmiyope (Dilworth R. P )
1 A decomoositioti theorem fo partially ordered sets, Ann Math 51 (1950)
161—165.
(lip а к (Dirac G. A )
1 . A property of 4-chrornatie. graphs and some remarks on critical graohi
J. London Math. Soc., 27 '(1952) 85—92.
2 . Some theorems on abstract graphs, Proc London Math Soc , Sei J, 2 ,1952),
69-81.
3 The structure ol T-chromatic graphs, Band. Math.. 40 (19o3) 42—o5.
4 4-chrome Grap hen und vol Island ige 4-Graphen. Math Hachr. 22 (1060),
51—60.
д In abstrakten Graphen verhandene vol Island! ge 4 Graphur mid ihre t.'ntvr-
tcilunge:i, Math. Machr., 22 (I960), 61—8o.
6 Generalisations du th weenie de Monger,-C R Acad Sei. Parts 250 (19b0)
4252—4253.
7 Short proof of Monger's graph theorem, Alarheniaiika, 13 (1966) 42- 44.
Y On the structure of k chromat'c graphs Proc Cambridge Philos See 63
(1967), 683—691.
274
СПИСОК ЛИТЕР1ТУР11
Дт1рак Шустер (Dirac G. A., Schuster S.)
1 Л theorem of Kuratmvski, XederL Akad Weienscfi Proc Ser \ 57 (1954)
313—348
Донец 1 A
Д О нижней границе тиола вершин плоских критических графов Кобер-
не тика, 4 (1971) 76—'85
Д.ятс (Davis R L.)
1 The number of structines of finite relation-. Proc Amer Math Sac 4
(1953), 486—495.
2. Structures of dominance relaito is Bull Math Btop,kys , 16 (1954) 131—140
Евдокимов A. A
“1 О максимальном длине цели в единичном п-мерном кхбе Иатем. заметки
6 (1969), ,309-319
/Каи (Jean М.)
1 Edge-similar tournaments, в сб, Recent Progress in Combinatorics (шц pej
Tutte W T-), Academic Press \ew York, 1969 pn 265—272
Жордан (Jordan C.)
1 Sur les assemblage- ch ligms J R me Ange®. Math 70 (1869) 18o—190
Закс (Sachs H.)
1 Uber cplbmkornpkrnritare Graphen Publ Math Dibrean 9 (1962) 2’0—
288.
2 Regular graphs with given girth and lesirictcd circuits J London Math
Soc., 38 (1963) 423- 429
Зыков A A,
1 О некоторых свойствах тнейных комплексов Матем сборник 21
№ 2 (1949), 163—188.
2 . Теория конечных графов, т 1, изд-во «Наука», Новосибирск, 1969.
° 3 О количестве ребер графа с числом Хадвнгера не более 4 в сб. Прикладная
математика и программирование, вын, 7 Кишинев, 1972, стр. S2--55.
Иэбннкий (Izbicki И.)
1. Unendliche Graphen endlichen Grades not vorgegebencn Eigcnschaftc 1
Mcmaish. Math 63 (1959) 298—301
Кам ион (Camion P.)
1 Chemie, el circuits hamiltonicns des graphes complets C R Acad ScL
Paris, 249 (1959), 2151—2152
Kaiibo (Kagno 1. N.)
1 Linear graphs of degreeand their groups, Amer J Math 68 (1946)
505—520; 69 (1947); 872; 77 (1955) 392.
Кара [анис (Karaganls J. J.)
L On the cube of a graph, Canad. Math Bint , II (1968) 295 -296
Карлиц, Риордан (Carlitz L.. Riordan J.)
1. The number of labelled two-tcrraiml serics-pai allel network Duke Math
J... 23 (1955), 435—445.
Картрайт, Харари (Cartwright D Harary E.)
1. The number of lines in a digraoh of cadi connectednes c<tegory 8/A If
Rtmtam, 3 (1961). 309—314.
2, On colorings of signed graphs, Clem. Math 23 (1968k 85—89
Кастелемн (Kasteleyn P. W.)
1. A soluble seif-avmduig walk problem, Physica, 29 (1963), 1329—1337.
2 Graph theory and crystal physics, гл. 2 в с'б. Graph Theory and Theme-
licai Physics (под pen. Harare F.) Academic Press, 1 otidon 196’, pp. 14
110.
Кеи Чартрэнд (Kay D. C., Chartrand G.)
1 A characterization of certain plolcmaic graphs Caiutii J Mafi 17 (1965),
342—346.
Келли Дж., Келлн Л. (Kelly J, В., Kelly I M)
I Path 'iitd circuits in critical graphs, Amer J Math 76 (1954), 786—792
< I (ТОК П1ГЕРАТУРЫ
275
Клали П (lully P. J.)
1 X congruence theorem for trees. Pacific J Math.. 7 (1957) % I--968
Кел Ш I].. Menpиc.-i (Kelly P. J., Merriell D.)
I A class of graphs, Trans. Amer. .Math. Sor.. 46 (I960), 188- 492.
Кемпс (Kempe A. B.)
1 Un the geographic il probk n rf tour colours. Amer I Math 2 (1879) 193 -
204.
Кендалл Смит (Kendall 4. G., Smith В В )
1 On the method of paired comparison Biometrika 31 (1940) 324—315
Кёниг (Konig D.)
1. Graphen und Matrizen, diet. Fie. Lapok 38 (19u[), 116—119
2. Theorie der endlichen und uncndlichen Graphen, Leipzig, 1936 ucpene
чатано в Chelsea, New York 1950
Rijpxrcgb (Kirchhoff G.)
1 Uber die A tit lusting der Gleichimgcn. auf wclchc man bJi der Unit.rsuchung
der lincare!! Verteiitmg ga'vauisctier Striime gefilhrt wird, Ann. Pltys.
CMu.. 72 (1847), 497—508
Kiamiepr (I\leinert M.)
1 Die Dicke des m di mens io лак и wiirf d-Grap hr n / Cothbinattrial Thetru 3
(1967), 10—15.
Козырев В. П.
•J. Теория графов, Итога пауки i техники, серия Теории нсроятп, матом,
статист., теорет, кибернетика, 10 (1972) 25—74.
Крксотер (Coxeter II. S. М.)
1 Self-dual configurations aid iegulai graphs Вур Amer Math. Soc 56
(1950), 413—455
Кома t (Roman M.)
°! On the crossing numbem oi graphs, Acta ( niv. Carol Hath el Phys 10
(1969), 9—46."
Копит (Kotzig A.)
1 О некотором разложен ни графа (на стовацксм гзыне|, Л1оГ Fyz CasopiS,
5 (Ю55), 144—15!
Крахи. (Rrausz J.)
1 Demonstration notivellc d’une theorene co Whitnex -> ir les rcscaux, Л-iof
Tiz. Lapitk, 50 (1943), 75—89.
Кронк (Krorik H. Yrj
]. Generalizalion ot n llieoren Pds;i Pric Amer Math Soc (в ое итп)
Rypain P., Роббинс Г.
1. Что такое математика? изд-во Шрссвгтие! не» М. 1967
Куратооскнн (Kuratowski К.)
]. Sur le probleme des combes gaudies en topologic. Fund Math 15 (]93O),
271—283.
Кали (Caylev A.)
1 On the theory of the analytical forms called trees, Philos Afug 13 (1857)
19—39: .Mathematical Papers, Cambridge, 3 (1891), 242—246.
2. Go the mathematical theory of isomers, Philos. Mag., 67 (1874) 444—446,
Mathematical Papers, Cambridge, 9 (1895), 202 --204,
3 The theory of groups, graphical representation, Mathematical Papers Cam
bridge, 10 (1893), 26—28.
4 On the analytical forms called trees. Amer. Math. J , 4 (1881) 266—268
Mathematical Papers Cambridge, 11 (18961,365—367.
5. Л theorem on trees, Quart. ,1. Math. 23 (1889), 376—378, Mathematical
Papers, Cambridge, 13 (1897) 26—28
Ландау (Landau H. G.)
1 On dominance relations and structure ot anima! societies. Ill; the mmdititm
lor a score structure Bull Math Biophys 15 (1955) 143—148
276
СПИСОК ТИТРРАТУРЫ
Левин (Lewin К )
1 Principles of topological psychology. New A ork 1939
.11 Qui (Lee Г. D,. Yang C. N.)
I. .Manv-bodv problems in quantum statistical mechanics, Phys Rev. 113
(1959), 1165—1177
Лик (Lick D. R.)
C1 Minimally n-ljne connected graphs J Reine utid Artgeto. .Me Hi 252 11972"),
178—182.
Литтлвуд (Littlewood J. E )
1. The theory oi group chiracters Oxford 1940
Лопан (Lovasz L.)
1 On decomposition oi graphs, Stadia Sei. Math Hrnigar , 1 (1966), 237—238
2 On chromatic number of finite ^et-svsrems Acta Math Acad Set Hangar
19 (1968), 59—67.
M.a к - Л e й н (M ac L a ire S.)
1 A structural characterization of planar combinatorial gracilis /Juke Math J
3 (1937). 340—472.
МакЭндрю (McAndrew M. H.)
I On the.product of directed graphs, Proc Amer Math.,Soc.,14(1963}, 600—606
2 The polynomial of a directed graph, Proc. Amer. Math. Soc.. 16 (1965)
303—309.
Манвел (.Manvel B.)
1 Reconstruction of trees, Canad. J. Math., 22, № 1 (1970), 55 -CO.
2 Reconstruction of unicyclic. graphs, и сб. Proof Techniques in Graph Theory
(под ред. Harary L.), Academic Press New fork 196^
Мтрчевский (Marczewski E.)
1 Sur deux proprietes des classes d’ensembles. Fund Math 33 (1945), 303—
307.
Meii (.May К. O.)
1. The origin oi the fonr-colo' conjecture Isis 56 (196a) 346—348
Мейер (Mayer J.)
1 Le problems des legions voisincs sur les siiriac s closes onentablcs J Com
binalorial Theory, 6, № 2(1969) ]77—195
Мецгер (Monger K.)
1 Zur allgemeinen Kii'wentl-eoric Fund Math 10 (1927) 96—lie
Менон (Menou V.)
1. On repeated interchange graphs, [rner. Math Monthly td (1966), 986—989
Миллер (Miller D J.)
1, The categorical produ t oi graphs, Canad J Math 20 (1968) 1511 -1521
iMhjith (Minty Q.)
1 On the axiomatic foundations of the theories ol directed linear graphs, ele-
ctrical networks and network-program mi ng, J Math. Meeh 15 (1966)
485—-520.
Мирский, Перфект (Mirsky 1,., Perfect H.)
1. Systems of reprernntatb. os. J. Math Atari Appltc 15 (1966) 520—068
MoBiLormu (Mows how it z A.)
1. The group of a graph whose adjacency matrix has all distinct eigenvalues,
в сб. Proof Techniques in Gmph Theory (под ред. Harary F.) Academic
Press, New York, 1969.
MouKt.H, Штраус (Molzkin T S., Straus E G )
1. .Maxima for graphs and a new proof oi a theorem ot Turan Canad J Math
1 7 (1965), 5.33—540.
Мукхопалхая (Mukhopadhyay A.)
1. The square root of a graph J Combina - rial Thec.ru 2 (1967) -’90—293
Myn (Moon J.)
1 On the Ere graph of 'he complete bigraph, At n Mall Statist. 34 (1963)
664—667
С ПЖ.ОЧ. ЛИТЕРА! 1 РЫ
277
2 Дп extcrision of Landau s theoroin on tournaments Pacific / Math 13
(1963), 1343—1345.
3 Various, proofs of Cayley’s tormula юг counting trees, rot. 11 ri сб. Д Se
rninaг on Graph Theory (non pen. На гагу 1'.). New У ark, 1967. pp. 7(J—78.
4 . Topics on tournumetiis, New Уогк, 1968
Myn .Moaep (Moon J., .Moser L.)
1. On cliques in graphs, Israel J. MtP/i 3 (1465), 21—28
Мынетьский (Mycictski J.}
1. Sur ie coloriagc des graphcs, Colloc/. Meth 3 (1955). 161 — 162
фон Heilman Дж., Моргенштерн О.
1. Теория игр и экономическое поведение, изд-во Ла^ка» М 1970
Нордхауз, Гаддум (Nlordhaus Е. A., Gaddum J. W.)
I. On complementary graphs Amer. Malli Mtmfhly 63 (1956) 175—P7
Норман, Рабии (Norman R, Z., Rabin M.)
1 Algorithm for a minimal cover of a graph Pivc Anter Mata Sot. 10(]9.59),
315—319
Нэш-Вильямс (Nash"Williams C. St J. A)
1 . On oriental ions, connect: vity anti odd-vertex pairings in finite graphs
Canad. J. Math., 12 (I960), 555—567.
2 Edge-disjoitil spantiiiit, trees of finite graphs J I andon Meth Soc 36
(1961), 445—450
3 Infinite graphs — a survey, I. Combinatorial Theory, 3 (1967), 286—301.
-* Hamiltonian lines in iriiinita graphs with few vertices cl small valency,
Actual. Maili., 7 (1971), 59—84.
Обершелъп (Oberschelp Wj
1 Kombinalorische Anzahlbesiiminungen tn Relat onen Math Anil 174
(1967), 53—78
Ope О (Ore. О.)
1 A problem regarding Ihi tracing M giapbs ElcmMie her Math 6 (1951)
49—33.
2 . Note on Hamilton circuits Aine.r. Math Monthly, 67 (I960), .55.
3 . Arc coverings of graphs, Ann. Mat. Рига Appt., 55 (1961), 315—322
4 Теория графов, изд-во «Наука» М 1968.
о Hamilton connected graphs, 7 Math Pares Appl , 42 (1963),
2!- -27
6 The four color problem, Acidemic. Press New Aerie 1967
Ope Стемпл (Ore 0., Stemple G. J.l
1. Numerical methods in the four color problem, в сб. Recent Progress in Com
binatorics (под ред. Tutte W. T.), Academic Press. New York, I960.
Ocnnr Фаген, Пенни. Риордан (Austin T L. Eageri R. E., Pennev W. E. Rior-
dan J.)
1 The number of components i i randorr linear graphs. Afro .Malli Stuiist ,
3(1 (1959). 747 -754
Оттер (Otter R.)
1 The number oi trees. Arm. 0/ Ma h 49 (1948 a83—599
Палмер (Palmer E. M.)
1. Prime line-graphs, Elem. .Math, (n печати).
Палмер. Робинсон (Palmer E. M., Robinson R W.)
1. The matrix group of two permutation groups Bull Anter Mufh Soc , 73
(1967), 204—207.
Партасарати (Parthasarathy R. R.)
’ Enumeration of ordinary graph» with given partition Canad J Math
20 (1968), 40—47
Петерсен (Petersen J )
1. Die hhecrie dec rcgularer Graphen, Acta. .Math 15 (1891) 193—220.
Пламмер (Piummrr M. I).)
1. On line-critical blocks, Trans. Amer Maili Soc (в печати)
2/8
СПИСОК ЧИТЕ? tI УРЫ
Пойа (Piilya G.)
1 Kombinatorisehe Anzahlbestimmungen fiir Grumpim Graphen mid chcmischt
Verbi ridurigen, Acta Math.. 68 (1937), 145—254.
2. Stir les types des propositions composces. St/inb. I ogle, 5 (1040) %—103
Homa (Posa L.)
l.A theorem concerning Hamilton lines, Magyar Tstd Alad ;Mcj Kutato
hit. Kozl 7(1962), 225—226.
Принс (Prins G.)
1 The automorphism group of a tree Doctor rl d isserf 111 on University of
Michigan, 1957.
Радо (Rack; R.)
1. Mote on the transfinite case of Hall’s theo em on representatives / Lot dm
Muth. Soc. 42 (1967), 321—321
Райзер (Ryser H J )
1. .Matrices of zeros and ones, Bull. Amer. Math. Soc 66 (1960) 142—464
Рамачандра Рао, Рао (Ramachandra Rao A , Rao S. B.)
H. On the power sequence of a graph, Israel I Malli 6 (1970) a2- 7]
Рамсей (Ramsey F. P.)
1 On a probl"in of fo.mal logic Pro:: London Ma/h Sic 30 (1930'1 l;64—286
Pcqcn (Redei L.)
1 Ein kombiiiatorischei Sitz- 4c/ti I itt Szeged 7 (1934), 39--4 i
Редфилд (Redfield J H.)
1 The theory ol group reduced d 1st. ibntiom Amer .1 Math 49 (1927), 433—
455.
Ри I (Read R. C.)
I The enumeration oi locally restricted gratihs, I and II J London Math
Soc., 34 (1959), 417-436; 35 (I960), 344—351.
2 . A note on the number oi functional digraphs. Math Ann 143(1961) 109—
110
3 On the number of self-com piemen tarv graphs and digraphs J London Math
Soc., 38 (1963) 99- 104.
4 An introduction to chromate polynomials, J Combinatorial Theory 4
(1968), 52—71.
Риддел, Уленбек (Riddell R. J., Lhlenbeck G E )
1 On the theory of the virhd development of the equation ы state of mono-
atomic gases, J Che.m. Physics, 21 (1953), 2056—2064.
Рингель (Rmgcl G.)
1 Farbutigsprobleme auf Flacher- und Graphen Deutsc.lier Verhe; der Wis
senschaften, Berlin, 1962.
2 . Selbstkornplementarc Graphen, Arch. Math., 14 (1963), 354—358
3 Das Geschlechi des vollslandiger paaren Graphen, Abh. Math. Sem. Uni^.
Hamburg, 28 (1965), 139—150.
4 Uber drei kombinalorische Probleme am n-dimensionaleii Wiirfel mid Wiir-
lelgitter, Abh. .Math. S'em. Univ. Hamburg 20 (1955) 10—19
Рин гель, Янгс (Ringel G., Youngs J. \\. T.)
1, Solution of the Hcawood map-colouring problem. Proc \at Acad Set
USA, bO (1968), 438—445.
2 Remarks on the Heywood conjecture, в сб Proof Techniques in Graph Theory
(под ред. Harare E ) Academic Press New York 1969
Риордан (Riordan J.)
1 The number of labelled coloured and chromatic trees Aha Math 97 (1957)
211—225.
2 Введение r комбинаторный апалив, ИЛ, M., 1961.
3 The enumeration ol trees bv height and diameter, IBM / Res Develop
4 (I960), 473—478.
Ричардсон (Richardson M.)
1 On weakly ordered systctris, Bull Amer. Math Soc , 52 (1946) 113—116
CliHf OK ЛИ ) ЕР У1УРЫ
2.-9
Ройбпнс (Robbins H F 1
1 A theorem on graphs with an application to a prcblen of traffic ccrirrl
4mer. Mailt. Monthly, 46 (1939), 281—283.
Роберте, Спенсер (Roberts F , Speswr J )
= ] Characterization of clique-graph^ J Combinatorial Theory 10 (1971)
102 -108.
Робертсон (Robertson .\.)
1 The smallest graph of girth 5 and valencv 4 Bull Amer Math Soc. 70
(1964), 824—825.
Робинсон (Robinson R W.)
I . Enumeration of coloured graphs J Combinatorial 7 heory 4(1968} 181 — 190
оап Poon, Вилф (van Rooij A., Wilf H.)
1 The interchange graphs of a finite graph Acta Math Acad Sci Hangar
16 (1965). 263—269
Рога (Rota G.-C.)
1 On the foundations of combinatorial theory, I: Theory ol Mobius tunction
Z. Wahmcheinlichekeltstheorle and Verw Gebiete 2 (1961) 340—368
Саати (Saaty T L.)
^ 1. Thirteen colorful variation on Guthrie s four color conjecture Amer. Math
Monthly, 72 (1972) 2—43
Сабидусси (Sabidussi G.)
1 . Loewv-groupoids related fo 1 near graphs Arter J Math, 76 (РЪ4),
477—487.
2 Graphs with given gioup and given granh theoretical propei tics, Canad
J Math,, 9 (1957), 515—525.
3 On the minimum order of graphs with given automorphism group Tloun/sn
Math., 63 (1959). 124—127.
4 . The composition ot graphs, Duke Muth. J., 26 (1959). 693—b96
3 . Graph multiplication, Malh Z., 72 (I960), 446—457-
6 The lexicographic product of graphs, Duke Math. .! 28 (1961), 573—578
7 Graph derivatives, Math. Z., 76 (1961) 385—401
Светкович (Svetkovic Dragoi M.)
C1 Graphs and their spectra, Publ. blektrolehn Fak Univ Belqrada Scr mat
i fiz 354—356 (19711. 1—50
Седлачек (Sedlacck J )
1 Some properties of interchange graphs, в сб. Theory of Graphs and d- Ap-
plications (пол ред. Fiedler M.), Prague 1952' перепечатано a A cane in ic
Press, New York, 1962. pp. 145—1,50.
Секереш. Вилф (Szckeres G Wilf II. S.)
1. An inequality for tlie chromatic number of a graph J Combinatorial iheoty,
4 (1968), 1-3
Селе (Szele T.)
1. Kcmbmatorische Lntersuclumgcn iibcr dcu geric.htcten vol Istandigen -,n
phen, Alai. Fiz. Layok, 50 (1943'), 2'23—256.
Сеньор (Senior J. K.)
1 Partitions and ilien reoresentative graphs Anter J 73 (1931) 663—
689.
Ссшу С., Рид Al.
1. Линейные графы u электрические цепи изд-вс «Высшая школа’ М 1971
Синглтон (Siiiglelon R R.)
1. There is по irregular .Me ore graph Amer. Malli Monthly 75 (1968) 42—43.
Слеп ян (SI ер I an D.)
1 On the number of syrnrnctry types of Boolean functions of n variable-
Canad. J. Math., i (1953). 185—193.
Сорт Tarr (Smith С. A. B., Tulle W. T.)
I On un tours al paths in a network ol degree 4 Amer. Math Monthly 48
(1941) 233—237
280
СПИСОК IHlEP.VJiPbl
Ланг (Tang D. T.)
I Bi-path networks <ind multiconHHoditx flov,^ IEEE Trans. Circuit Theory
И (1964). 468-474.
Татт (Tutte W. T.)
1 On Hamilton circuits. J. London Math. Soo. 21 (1946), 98—101
2 . The factorizations of linear graphs. 7. London Math. Soc., 22 (1947), 107— 111.
). A family of cubical graphs, Proc. Cambridge Philos.Soc., 43 (1947). 459- 474.
4 . 'I'he dissection of equilateral triangles into equilateral triangles, Proc.
Cambridge Philos. Soc., 44 (1948), 463—482.
5 The factors of graphs, Canad. J. Math., 4 (19t>2), 314
6 A short proof of the factor theorem lor finite graphs Canad Л Math 6
(1954). 347--352
7 An algorithm foi determining whether a given binary malioid is graphic.,
Proc. Amer. Math. Soc.. 11 (I960), 905—917.
8 A theory of 3-coinicctcd graphs. Indag. Math. 23 (1961), 441—455.
9 A census of planar triangulations, Ciinud. J Math. 14 (1962), 21 38.
10 5 new branch of cntmieraiive graph theory Bull Amer. Math.. Soc. 68
(1962), 500—504.
11 On the non-biplanar charad.r.r < f the i-omplelc 9-graph Canad. Math Bull
6 (1963), 319 -330.
12 . How to draw a graph. Prix. London Math. Soc 13 (196,5) 743—767.
13 . The number of planted plane trees with a givi_n partition Amer. Math
Monthly, 71(1964), 272—277.
Il Lectures on matroids, J Res. Nat Bur Stand Sect В 69 (1965) I —
—47.
15 . The connectivity of graphs. Tnionto Univ Press, loronto 1967.
Тейт (TaiiP.G.)
1 Remarks on the.colouritigof maps. Pm. Rotial Soc Edinburgh 10(1880) 729
lex Яп (Teh H. H.. Yap H D.)
1 Some construction problems of homogeneous graphs Bull Math Soc.
Nangang Unia. (1964) 164—196
Тёрнер (Turner J.)
1 Point-symmetric graphs with a prime nunibti ot points, J Combinatorial
Theory.' 3 (1967)1 136—115.
2 4. bibliography of graph theory, и (.6. Proof. Techniques m Graph Theory
(под ред. Ilarary p.), Academic Press, Rew York, 1969.
Тернер, Kayn (Turner .1., Kautz W. 11.)
4 A survey of progress in graph tlieort in iht Soviet L.miori A/.I Rec 12
(1970), Stippl., ’1—68
Ту pan (Turan P.)
1 Eine Extremalaufgabe aus der Gwapiimtreorie Wfii Pit. Lawk 48 (194i)
4,36—452.
Уитп i (Whitney H.l
1 The colouring of graphs. Алд. Math, (2). 33 (1932), 688- 718.
2 Congruent graphs and the conneetivitv of graphs. .Imv I Math 54
(1932). 150—168.
3 Non-soparablc mid planar giaplrn, Trais 4msr. Math Six 34 (1932)
339—362.
4 A sei of topological invariants for graph Amer. .] Muih. 55 (1933). 231 —
235.
5 Planar graphs, Ihind. Math., 21(1933), 73-84
6 On the abstract properties of linear dependence, Amer. J Math , 57 (1935),
509—533,
7 . A theorem on graphs, Ann. Math.. o2 (193И 378—»90
Удач C
1 Нсрешенньо математические задачи, изд-no «Наука», Ч 1964
СПИСОК -ПИТЕР IT« РП
281
Уленбек (Uhlenbeck G Е.)
1 Successive approximation ciethod' in classical statistical mechanics, Phy
sica. 26 (1960), 17—27
Уоткинс (Watkins M. E.)
1. A lower bon rni for One л tun her oi vertices of graph Amer Math, Monthly
74 (1967), 297.
Уэлш (Welsh D. .1. A.)
I Euler and bipartite matroids, ./ Combi.naloriai fheort, 6, № 4 (1969)
Уэлш, Пауэлл (Welsh D I A.. Powell M. B.l
1, Ari upper bound for the chromatic, number of a graph arid its application
to limetabliiio problems, Computer 10 (1967), 8,5—87.
Фалкерсон (Fulkerson D, R.)
1. Zero-one matrices with zero trace, Pacific .1. Math., 10 (1966), 8J1—83b
2, Networks, frames and blocking systems, ri co. Mai hemo tics of the Decision
Sciences, vol, II, Lectures in Applied Matl’.Croatic.s (код pc;;. Dar.lzig G. В
Scott Л. Г.), pp 303—334.
Фари (Fary I.)
1 On straight line representation oi planar graphs Acta Sci. Math Steped
11 (1948), 229—233,
Фейнман и (Feyrimarin R P.)
1 Space-time approaches to quantum electrodynamics, Physical NeUeio 76
(1949), 769—789.
Феллер В.
1 Введение, в теорию вероятностей и ее приложения т 1 нзд во яМир>
Ч., 1964
Финк (Finck Н J.)
1 liber die chromatisehen Zahlen ernes Graphen und Seines Koniplcments
Г and 11, Ili’iss. Z. T. H Umeniiit., 12 (1966) 243—251.
Фикк Закс (Finck If. J Sachs IT.)
I IJber einc von H. 3. Wiif angegebene Sc.hranke fur die ch omatische Zahl
endlieher Graphen, Ahtf/i. Nadir. 39 (1969), 373- 386.
Флейшнер (Fleisehner H.)
:'l. The. square of everv notisc pa cable graph is H inil 1 Ionian Pull Amer Math
Soc.. 77 (1971) 1052—1054
Фо ikiith (Folkman J.)
1 Regular 1 ine-svmmetiк graphs .J Combinatorial Theory 3, Л<> 1 (1967),
215 - 232.
Фолкс (Foulkes J. D.)
1 Directed graphs and assembly silked uses, Proe Syn p Ар/1 Mala. Amer
Math. Soc , 10 (I960) 281—289.
Форд Норман, Уленбек (Ford G. W., Norman R, Z., Uhlenbeck G. E I
1 Combinatorial problems in the tlieorv' of graph' If Proc Nat Act d Sci
USA. 42 (19561, 529—535.
Форд 21. P., Фалкерсон Д. P. (Ford L R Fulkerson D R )
1 Maxima! flow through a network, Canad. J. Maid , 8 (1956) 399 -101
2 Потоки в сетях иад-во «Мир», М 1966
Фостер (Foster R. М.)
1 Geometrical circuits of electrical networks, Trans А пег Inst Elu. Lngrs
51 (1932), 309—317
Фруxt (Frucht R.)
1 Hersiellung von Grapher) mil тorgegebener abstrakten Gruppe Compositio
Math.. 6 (1938), 239 -250.
2 Graphs of degree three with a given ahstiact group Canad J Math ,
1 (1949), 365-378.
3 On ihe groups of repeated graphs, Bull. Amer M ilk. Soc., 55 (1949)
4 \ one-regular graph of degree three Canad J Math , 4 (1952), 240—247
282
<. Ill-ГОК. 1И1 tP A 1 s PLI
Фрухг. Харари (Fiuchi R.. Harary Г.)
1. On the corona of two graphs, Aequatioi'.es Math 4, X» 3 (1970).322— 325
XmBiirep.HHadwiger II.}
1 Uber cine Klassifikauon der Sticckenkornplexe. I- lertelftchr .XahirfurscK
Ges. Zilrich. 88 H943), 133—142.
Xaiioui (Halos Cj )
1 Uber cine Art von Graphen, Internal. Math. A'achr., 2 (1957), 65.
2 Uber cine Konstruktion nicht mfarbbarer Graplien, U-'tss. Z. Martin Luther
Univ. Balle-Wittenherg Math.-Katur Reihe, 10 (1461) 116—117.
X жима (Hakimi S.)
I. On the real iza bi I itv ol a -.et of integers as decrees of the vertices of a graph
J SIAM Appt. Math. 10 (1962),' 496-506.
Хамада, Мойала, Ёшимура (Hamada T.: .Xlonada T , Yoshimnra I.)
H . On the connectivity oi total graphs, Math Ач/г 146 0972) JO—38
Хатанги (Наше!ink R. C.)
1 A partial characterization of tlicpie graphs, J Combinatorial Theory. 7
(1969).
Харарi; (Harary p.)
1 . On the notion oi balance of a signed graph, T'lic/i Math J 2 H953' 143 —
146.
2 The number or linear, directed, rooted and connecter! graphs I rai s Amer
Math. Soc. 78 (1955), 445—463.
3 . Note on the Pol va and Otter formulas foi enumerating trees, Much Math J
3 (1956) 109-112.
4 On the number of dissimilar line-subgraphs ol a giyen graph Pacific J Math.,
f> (1956), 57—64.
5 The number ol dissimilar upergraphs of a linear graph Pacific J Math ,
7 (1957), 903—911,
6 . Structural duality. Behavioral Su., 2 (1957) 2o5—26o,
7 The number of oriented graphs, Mich. Math. J., 4 (1957), 221—224.
8 On arbitrarily traceable graphs and directed graphs SeriptaMuth 23 (1957),
37—41
9. On the number of bicobred graphs, Pacific J. Math., 8 (1958), 743—755
10 On the number oi dissimilar graphs between a given graph-subgraph pair
Canad. J. Math.. 10 (1958), 513—516.
11 , Status and contrastatus, Sociometry, 22 (1959), 23—43,
12 . On the group of the composition ol two graphs Duke Math .1 26 (1959)
29—34
13 An elementary theorem on graphs, Amer. Math. Monthly. 6b (19o9), 4u5—16/
14 . The number of functional digraphs, A-lu/ft. Ann., 138 (1959), 203—210.
15 . Unsolved problems in the enumeration ol graphs, Publ. Math Inst. Ilumg
Acad. Set., 5 (1960), 63—95.
16 A graph theoretic approach to matrix inversion by partitioning iXumer
Math., 4 (1962), 128—135.
17 The maximum connectivity of I graph Proc \al Acad Sci LS4, 48
(1962), 1142—1146.
18 The determinant of the adjacency matrix of a graph SIAM Review.', 4
(1962), 202—210.
19 . A characterization ol block-graphs, Canad. Math. Bull., b (1963), I—6.
20 , On (he reconstruction of a graph from a collection of subgraphs, в сб. Theory
ot Graphs and its Applications (под ред. Fiedler M,), Prague, 1964 pp 47 -
52; перепечатано в Academic Press, New York. 1964.
21 Комбинаторные задачи перечисления графов в сб. Прикладная комбина-
торная математика (под ред. Беккенбаха Э) пут-no «Мир*. М., 1968,
стр 107—140
22 Applications oi Polya’s theorem to permutation groups гл. 5 в сб. A Semi-
nar on Graph Theory (под род. Harare F ) Nevv York 1967 pp 25—3.3
СПИСОК ЛИТЕРА'! V Pbl
283
23 . Задачи иеречлслетш графов, УМН 24 LN<? 5 (1969).
24 . Variations on a theorem by Monger. J S7/1Tf Appt Math. (а петати)
Xapapit, Вилкокс (Harare F., Wilcox" G.)
1 Boolean operations on nrapbs. Math. Scmid.. 20 (1967) 41—51
Харари. Kapa. Tan (Harare F., Karp R. M.. Tin re W. T.l
I A criterion tor planarity of the square of a graph J Cimbinaiorial Theory,
2 (1967). 395--405.
Харари, Кодама (Harary f; kpdarna \ .)
1 On the genes of an /[-connected graph Fund Muth 54 (19644, 7—13
Харари Манвел (llarary F.. Manvel 13.1
1. On the number of cycles in a graph, Plath. Casopis, 21, №1 (1971) 55—63
Харар н. Мовшовип, Fnopjian (Harary F.; Move show it z A.. Riordan J.)
1 Labeled trees with tin labeled endpoint J Combinatorial Theory b (1969),
60 -64.
X ipaprn Mosep (Harary F.; Moser L )
1 . The theory of round robin tournaments Amer Math. Monthly 73 (1966),
231—246 '
Харари, Норман (Harary T.. Horman R Z.)
1 The dissimilarity characteristic or Husimi trees, Ann of Math 58 (1953)
134—141.
2 Dissimilarity characteristic theorems for graphs Pror Amer Math Soc
11 (1960), 332—334.
3 Some properties of line digraphs, Rend Ctrc War Palermo 9(1961) 161 —
168
Харари, Норман Картраиг (Harary F , Norman R. Z., Cartwright D.)
1 Structural models: an introduction to the theory of directed graphs, Хеи
York, 19G5.
Харари, Horn-Вильямс (Harary Г,, Nash Williams C. St, J. A )
1 . On Eulerian and Hamiltonian graphs and line-graphs, Canad Math Bull,
8 (1965), 701-709
Харари Палмер (Harary F., Palmer E. M.)
1 The number of graphs rooted at an oriented line, ICC Bull , 4 (1965), 91—98.
2 A note on similar points and similar lines of a graph Rec. Roam. Math.
Pares et Appl.. 10 (1965). 1489-1492.
3 The smallest graph whose group is cyclic, Czech. Math. J 16 (1966), 70-71.
4 On the number of orientations of a given graph, Bull. Acad. Polon Sci
Ser. Sci. Math. Asironom. Phys., 14 (1966) 125—128.
5 On similar points of a graph, J. Math. Meeh., 15 (1966), t>23—630.
6 The reconstruction of a tree from its maximal proper subtrees, Canad
J. Math., 18 (1966), 803—810
7 Enumeration of locally restricted digraphs Canad J Math , 18 (1966),
853—860.
8 The power group crnimeration theorem J Combinatorial Theory 1 (1966)
157—173.
9. Enumeration of self-converse digraphs, Mathemaltka, 13 (1966), 151—157.
10. The groups of the small digraphs, J. Indian Statist. Assoc., 4 (1966), 155—169.
11 The enumeration methods of Redfield, Amer. . Math., 89 (1967), 373—384
12 Enumeration of finite automata. Information and Control, 10 (1967) 499—
508.
13 On the number of balanced signed graphs, Bull Math Biophysics. 29 (1967)
759—765.
14 On the group of a composite graph Stadia Sci. Math. Hangar., 3 (в печати)
|5 On the point-.group and line-group of a graph 4eM Math Acad Sci Hung ,
19 (1968), 263—269.
16 On the niimbei of forests. Mat Casopis 19, № 2 (1969), 110—112,
17 On acyclic simplicial complexes, Mathematiha, 15 (1968), 119—122.
284
СПИСОК 1ИТРРЛТУР1.1
18 On the problem oi reconstructing a tounnment flora =.iibtoijrnarnenta,
Л-fwia/sHfe fitr Math.. 71 (1967),' 14--23
Харари, Палмер, Рид (Harary f Palmer F. M., Read R. Cj
1. The number of ways to label a structure Psycho metrikci 32 (1967) lo5—lo6
Харари, П.лямие.р (Harary F., Plummer M. D )
1, Ou the point-core of a graph. Math- 7 , 94 (1966), 382—386.
2. On the core of a graph, Ргж. London Math. Soc., 17 H967), 3ib- 314
Харари, Ирине (Harary F., Prin.s G.)
1 The number of liomeotnorphicaliv irtidurnble tiees. and din r specie^
Acta Math., 101 (1959). 141--162.
2 . Enumeration of bi colourable graphs. Canad. Л Math., 15 el96,3), 237—248
3 , The block-cu tpoint-tree of a graph, Publ. Math. Debrecen. 13 (1966). 10,3—
107.
Харари, Прпис, Татт (Harary F.; Prins G., 1 utte W. '1 )
1. The number of plane trees, Jndngationes Math., 26 (19641 319—329
Харари, Рид (Harary F., Read R. C.)
1 The probability ot a given ] choice -iructure Pst/chomi triha. 31 (1966’,
271—278.
Харари, Росс (Harary Г., Ross I. C.,
1 . A description of strengthening and weakening gioun members Sociomeiry
22 (1959), 139—147.
Харари. Татт (Harary F., Tutte W. f.)
1 The number of plane trees with a given partition Maihemattha 11 (1964)
99-101,
2 A dual foi n ot Kin atowski’s tbeen in Canad Math Bull 8 (1965) Г—20
37.3.
3 On [he order oHhe group < f a f lanat rtpp J CcmbiriMoria1 Thet.,ry I (191461
594—395.
Харари, Трот (Harary 1 Hauth C. A., Jr,)
1. Connectedness of products of two directed graphs. J MAM Annl Ш/Л
14 (1966). 250—254
Хаоарн Уленбек (Hararv F., Lhlenbeck G F.)
1 On the number of Husimi trees, I Pro,:. Mat Acad Set. USA 39 (1953)
315-322.
Харари, Хедетпиеми (Hatart Г lledetniemi S)
I. The achromatic number of a graph. J Combinatorial Theory 8 (19701
154—161.
Харари, Хедетниеми, Принс (Harary F lieuefnicmi is Prins G.)
1 An interpolation theorem fra graphical homomorph isms. Port Math ,
26 (1967), 453—462.
Харари, Хедетнисмп, Робинзон (Harary F., Hcdetuienai S. T Robinson R. W.)
1 Uniquely colorable graphs, J. Combinatorial Theory 6 (I960), 264--270
Харрисон (Harrison M. A.)
1. A census of finite automata, Canad J. .Math., 17 (196d, 100 -113.
2 Note on the number of finite algebras, J Combinatorial Theory 1 (1966) 394
Хауз (House L. C.)
1 X k-critical graph ot given detimH Arn^r. Math Monthly 74 (1967) 829 —
831.
Хедетпиеми (Hede.tfiiemi S.)
I. On hereditary properties of graphs, Stadia Sei. Math Hunger (в печати)
Хедрлкн, Пультр (Hedrlin Z., Pultr A.)
1. Symmetric relations (undirected graphs) with given semigroup, Monatbh
Math., 69 (1965), 318—322.
2. On rigid undirected graphs, Canad J Math 18 (1966) 1237—1242
Хемминджер (Hemminger R L.)
1 On reconstructing a graph, Proc Amir Math Soc 20 (1969) 183- 187
Хсфс|ггср„(Ilcfffcr L.)
1. Uber das Problem dcr Nachbargobicte Ann Math 38 (1891) 477—508
СПИСОК JimFPITVPbl
285
Хечеп (Heucnenne С.)
1 Siir line certaine correspond we nitre graphes, Suit Soc Roy Sci Liege,
33 (1964), 743--753
Хивуд (Heawood P J.}
1 Map colour theoreiTS Qiart / Math 24 (1893) 332—338
Хоббс (Hobbs A. M.l
C1 A survey of tliickne.ss Recent Progr (otnbniator Кеч York London
1969, pp 255—264.
Хоббс Гроссман (Hobbs A. AY, Grossman J. W.i
I Thickness and connectivity in graphs, J. Res. Nat Bur Stand, B-72,
As 3 (1968) 239-244
Хочч Д. (Hall D. W.)
1 A note on primativc skew curves Bull Amer Math Soc 49(1943) 9h—
937,
Хотч M.
1 Комбинаторика изд-во «Чир: M 1970
Холт Ф (Hall Ph.)
1 On representation.-: ot subsets J Lando t .Math Soo 10 (1935) 26—30
Чанг (Chang L. C.)
1 The uniqueness and non uniqueness of the tuangular association scheme,
Sci. Record, 3 (1959) 604—613
Чартрэнд (Chartrand G.)
I A graph-theoretic approach io a communications problem 7 ‘s/ATl Appl
Math., 14 (1966), 778—781
2 On Hamiitonian line graphs, Trans Mner Mata Sol. 134 № 3 Д968),
559—3G6,
Чартрэнд, Геллер ((..hartrand G., Geller D.)
1 Uninuelv colorable planar graphs. Conbinatorial Theory 6 №3(1969),
271---278.
Чаотрэнд, Геллер, Хедетниеми (Chartrand G , Geller D , Iledetniemi S.)
1 A generalization of th'- chromatic number Ptoc Cambridge Philos Soc ,
64 (1968), 265—271.
2 Graphs with forbidden subgraphs J Combinatorial Theory В-10 АГ 1
(1971), 12—41.
Чартпэнд, Капур, Кронк (Chartrand G Kapoor S h Kronk H A )
1. The Hamiltonian hierarchy (в печати).
Чартрэнд, Когарс, Лик (Chartrand G. Kaugars A., Lick D R )
1. Critically n-connected graphs. Proc. Amer. Math Soc 32 Ao 1 (1972),
63—68.'
Чартрэнд, Кронк (Chartrand G-, Kronk H V.)
1. Randomly traceable graphs, J. SIAM Appt Mctih (в печати}
Чартрэнд, Стюарт (Chartrand G.. Slewart M. J )
1. The connectivity of line-graphs, Math Ann 182 (1969) 170 —174
Чар i рэнд, Харари, (Chartrand G., Harary F.)
1 Planar permutation graphs Ann fust Haul Poincare Sei_ В 3 (19o7),
43,3-438.
2 Graphs with prescribed connectivities, в сб. Theory of Graphs (под ред
Erdos P,, Katona G.), Akademiai Kiado, Budapest, 1968 pp. 61—63.
Шрихаьд (SliTikhamie S. SA
1. On a characterization of the tri angular associahon scheme \lm Math
Statist., 30 (1959), 39—47,
Штепы (Stein S. K-)
I. Convex maps. Proc. Amer. Math. Soc., 2 (19ul) 464—466
Штейниц, Радемахер (St.eiriitz E., Rademacher H.)
1 Vorlesungen fiber die Thcoric der Polyedcr, Berlin, 1934
Эванс Харари, Линн (Evans J. W.. Harary F., Lynn M. S )
1 On the computer enumeration of finite topologies, Comm Assoc Comp
Mach-, 10 (1967), 295—298,
286
СПИ(. OK JUI tSf’ATH bi
-Имопдс (Edn.onds J )
1. Existence oi Л-edge connected ordinary graphs with prescribed de.rgees,
J. Res. Hat Bur Stand Sect В 68 73—74
Эйлер (Euler L.)
I Solntio problematis ad geometriam situs pert inert is. Comment. A'cademine
Sci. 1 Petrooolilunae, 8 (1736'1. t28—140; Opera Omnia Series 1-7 (1766)
1--I0
2 Th Konigsberg bridges, Sci. Arner 18 (1953) 66—70
Эчнас П , Файие.тейп Л. Шеннон К.
1 О максимальном потоке через сеть, в (.6. К, Шеннон, Работы по теории
информации и кибернетике HJI, М. 1963 стр. 729—734.
Эрдёш (Erdos Р.)
1 Graph theory and probability II, Canad J. Muth., 13 (1961), 346—-352,
2 Extremal problems in graph theory, гл, 8 в сб. A Seminar on Graph Theory
(под ред. Harary F.), Mew York, 1967, pp. 54—59.
3 Applications of probabilistic methods to graph theory, гл. 9 в сб A Seminar
on Graph Theory (под ред, Harary F.), Xew York, 1967 pp 60—64.
Эрдёш Галлаи (Erdos P., Gallai T.)
1 Графы с заданными степенями вершип (на венгерском языке ), Mat
Lapok, 11 (1960). 264—274
Эрдёш Гудман, Поша (Erdos Р., Goodman A., Posa L.)
1 The representation of a graph by set intersections, Canad f Math. 18
(1963) 106—112.
Эрдёш, Репьи (Erdos P., Rcnyi A.)
1, Asymmetric graphs Ada Math Acad Sci Hangar, 14 (1963), 295—315
Эрдёш Секереш (Erdos P Szekeres G )
1 A combinatorial problem in geometry Coinpositio Math 2 (1935) 463—470
Эрдёш Хайпал (Erdos P., Hajnal A.)
1 On chromatic numbers of graphs and set-svstems Acla Math Acad Set
Hangar., 17 (1966) 61—99
JOhi (Jung II. A)
1 Zueiiiem Isomorphiesatz x on Whitncv fui Graphen Math Aim , 164 (1966)
270—271
Яi обсей (Jakobsen I. T.)
T. A homomorphism theoren with an application to the conjecture of Had
wiger, Slud. Set Math Hung 6 (1971) lol—160
Яuru (Youngs J. W. T.)
1 The Heawood map colouring conjecture, гл 12 в сб. Graph Theory and The
orctical Phvsics (под ред. Harare F.J, Academic Press, London, 1967,
pp 313—354,
ИМЕННОЙ указатель
Bait Аарден Эренфест (van Aarcbrnn..-
Elicenlest T । 229, 240, 245
Авондо-Бодиио (Avon do-Bo di no G ) 70
Андерсон (Anderson S S.) 59
Байпеке (Beinckc L W.) 10, 62 69,
91, 95, 107, 115, 116 122, 14.3—147,
150, 229, 243 -245 247
Балабан (Balaban A. T ) 81
Барнетт (Barnett D.) 88, 149
Баттл (Battle J ) 132, 145
Бензер (Benzer S ) 35
Бепж (Berge C.) 6—8 19, 24, 36 62,
118—120 124, ЮЗ, 235
Бернсайд (Burnside W ) 21 1
Бехзад (Behzad M.) 8l 91 103—10a,
149, 176
Биркгоф (Birkhoil G.) 73, 172
Боланд (Boiand ,1.) 35
Болл (Ball W. W. R ) 16, 205
Боллобаш (Bollobas В ) 74
Бонди (Bondy J. A.) 58, 176
Босак (Bosak J.) 88
Ботт (Bott R.) 239
Браун (Brown E ) 177
ИМЕПНОП УКАЗ^ЕП)
287
де Ьрёйн (de Bruijn X G) 224 229
240, 24 о
Врмальди (Brualdi R. А ) 36
Брукс (Brooks R. L ) 149 153 1о4 187
Бзблер (Bablcr Г ) 89
Дирак (Dirac G. A.) 63. 65, 08, 64,
85, 8’ 133, 154. 161, 167—169 176
Добор (Dauber E.j 202
Донец Г. A. 158, 177
Дэвис (Davis R L ) 228 229
Вагнер (Wagner К) 8 130 137 161
Ванда (Vajda S.) ] 9
Вайнберг (Weinberg L.) 208 230
Вальтер (Walther Н ) 39
Варга (Varga R. S ) 19
Веблен (Veblen О.) 20
Вейчсел (WeiehseJ Р М ) 36
Визинг В. Г. 59 159
Виландт (Wic-landt Н ) 2-16
Вилкокс (Wilcox G.) 36
Вилф (Wilf Н. S.) 94, 152
Волмерхауз (Vollmerhans bl) i42
Евдокимов A. A. 40
Eiiin.uypa (Yoshimuia I ) 105
Жан (Jean M) 247
Жордан (Jordan C.) 16, 51 52
Закс (Sadis H ) 39, ] 16. 157
Зыков A A 6, 36, 154, 173, 177
Избицкяи (Izbicky H ) 201
Гавел (Нахel V.) 77, 176
Гаддум (Gaddum I W.) 154
Гзй (Guy R К ) 141 147, 148 150
Галин (Halin R.l 75
Галлаи (Galla! T.J 46, o3, 77, 78, 108,
118, 177, 242, 247
Гамильтон (Hamilton W.) 13, 16, 85
Гевирц (Ge.wirtz A ) 207 208
Геллер (Geller D P ) 10 40, 105, 124
133, 149, 165—467 176, 177, 245
Геренсср (Gcrencser L ) 125
Герц (Herz J. C ) 90
Гилберт (Gilbert E X.) 229
Гилмор (Gilmore P) 35
Годин (Gaudin T.) 90
Гоффман (Hollman A J ) 32 35 40
91, 99, 100, 188, 246
Гравер (Graver J. E.) 80
Грётш (Grotzsch II.) 157
Гроссман (Grossman J \V.) 146
Грюнбау.м (Grunbaum В ) Ю 88 142
157, 247
Гудман (Goodman .A.) 34
Гуйя-Ури (Ghouila-Houri A) 19, 245
Гупта (Gupta R P.) 120
Густин (Gustin) 144
Гутрн (Guthrie) 17
Далмедж (Dulmage A L ) 122, 123,
241, 246
Даннер (Danzer I ) 40
Декарт (Descartes В ) 154
Джонсон (Johnson L) 177
Дидуорс (Dilworth R P ) 73
Камерон (Cameron J ) 39
Камион (Camion P.) 242
Каньо (Kagno I N.) 207
Капур (Kapoor S, Г.) 89 90
Караганде (Karaganis J. J ) 88 89
Карлин (Carlitz L.) 229
Карп (Karp R, M.) 149
Картрайт (Cartwright D) 19 164, 176
232, 244
Кастелейн (Kastelevn P W ) 91 240,
245
Kayu. (Kauiz W, H.) 8
Квиптас (Quintas Г V) 207, 208
Кен (Kay D. C.) 39
Келлн Дж (Kelly J. B.l 151 168
Келли JI. (Kelly I M.) 154, 168
Келли IE (Kelly P J ) 40 58
Кейле (Kempe A. В ) 17 162
Кендалл (Kendall M. G) 243
Кениг (Konig D.) 16 20, 32, 51, 71
106 119, 141, 142, 152, 198
Кинг (King C.) 188 246
Кирхгоф (Kirchhoff G) 13—15, 180
246
Клайнерт (Klelnert M.) 146
Клентмаи (Klcitmari D.) 148
Кли (Klee V.) 40
Korapc (Kaugars A.) 46 75
Кодама (Kodarna A’ ) 61 132 145
Козырей В. И. 8
Коксетер (Coxeter Н S V ) 16 205
Кома!! (Koman М ) 141
Коци г (Kotzig А ) 67 149
Крауц (Krausz J.) 94
Кронк (Kronk Н \ .) 89, 90
Кроуз (( rov.e D W.) 248
288
MMFHHOlI УКАЗАТЕЛЬ
Курант (Courant R.) 143
Куратовекий (Kuratowski К ) 5 126,
133
Kvucp (Cooper J.) 176
Кэли (Cayley A) 13, 15 16 199 209
210, 220, 221, 228, 229
Ландау (Landau H G ) 243 247
.Левин (Lewin K.) 18
Ледерберг (Lederberg J.) 88
Леккеркеркср (Lekkerkerkei C ) 35
Ли (Lee T. D ) 19
Лик (Lick D R ) 75
Линн (Lynn M S.) 229
Литтлвуд (Littlewood J E ) 194
Ловац (Lovasz L ) 82, 134
Лоэс (Lowes P ) 229
Льюис (Lewis D) 172
Мак-Лейн (MacLane S.) 126 140
Мак-Эндрю (McAndrew M H ) 36
208 246
Манвел (Manvel B.) 10, 40, 58 187
Марчевский (Marcze.wski E ) 33
Мей (May К О.) 17
Мейберри (Mayberry J P ) 239
Мейер (Mayer J ) 144, 146
Менгср (Monger KJ 64 b8
Мендельсон (Mendelshon N S ) 122
123, 241, 246
Менон (Menon V.) 91
Мериветер (Meriwether R L) 207
Мерриел (Merriclf D.) 40
Мёбиус (Mobius) 17
Миллер (Miller D, J ) 10
Мильгрэм (Milgram 4 К ) 242
Миити (Minty G.) 58
Мирский (Mirsky L) ’3
Митхэм (Meetham A R ) 39
Мовшовиц (Mowshowitz A.) 188, 228
Мозер (Mozer L.) 40, 242, 243, 247
дс Морган (de Morgan) 17
Моргенштерн (Morgenstern О ) 237
Моцкин (Motzkin T S.) 33
Мукхопадхая (Mukhopadhyay A ) 38
Mvh (Moon J AV.) 40, 100, 105 146,
183, 210, 228, 229, 232, 247
Мыцечьский (Mycielskj, J ) 151
фон Нейман (von Neumann I ) 237
Нонада (Nonada T 1 105
Нордхауз (Nordhaus E A.) 105 154
Норман (Norman R Z.) 19 59, 119
120, 229, 231 232 245
Нэш Вильямс (Nash Williams C St
J Л ) 30 101 105 106, 114, 247
Обершельи (Oberschelp AV.) 260
Ope (Ore О ) 6, 7, 18 36,81,85 87—91
153 158, 159 161
Ости н (Austin 1 L.) 228 230
Оттер (Oller R ) 221, 228 230
Палмер (Palmer E M.) 10 36, 58, 192
200, 202, 206—209, 211, 224 225
228 229, 244
Паркер (Parker E. M.) 244
Партасарати (Partliasarathy К R ) 228
Пауэлл (Powell M. B.) 175
Пенни (Penny AV. F.j 228 230
Перфект (Perfect IL) 73
Петерсен (Petersen J.) 113
Птигерт (Pippert R. E.) 229
Пламмер (Plummer M. D ) 10, 47 74
88, 107, 11(5, 122—125
Пона (Polya G.) 191, 194, 208, 209, 211
213, 217, 220—222, 228, 229
Понтрягин Л. C 126
Поша (Posa L.) 34 85
Принс (Prins G.) 53. 17(1 171 177, 222
223, 228, 229. 266
П\'тьтр (Pultr A) 208
Рабин (Rabin M.) 119 120
Радемахер (Rademacher II ) 130
Раджави (Radjavi H.) 104
Радо (Rado R.) 72
Райзер (Ryser H J ) 245
Рамачандра Рао (Rarnachandra R ю A )
82
Рамсей (Ramsey F P) 30
Pao (Rao S. В ) 82
Реден (Retlei L.) 241 24"^
Редфилд (Redfield J H ) 209
Ренеи (Renvi A.) 32
Рид M. (Reed M.) 91
Рид P. (Read R C.) 173 175 188 21!
225, 228—231 246
Риддел (Riddel R. ,1 ) 228
Ривгеть (Ringel G ) 39 143—145 luO
162, 163
Риордан (Riordan I) 1,2, 223 228—
230, 248, 266
Ричардсон (Richardson M.) 237
Роббинс (Robbins H E.) 143, 246
Робертс (Roberts Г.) 35
Робердаоп (Robertson N ) 95 208
ИМЕННО!! УКАЗАТЕЛЬ
2Ь9
Робинсон (Robinson R V\ ) 89 165,
176 *228, 229
ван Роси (van Rooij А) 94
Росс (Ross I С ) 245
Росси (Rossi Р ) 90
Рота (Rota G G ) 174
Саати (Saaty Т ) 148, 159
Сабидусси (Sabidussi G.) 36 91, 192,
197,’ 200, 201, 20G, 207
Светкович (S vet ко vic D ) 188
Седлачек (Sedlacek J ) 149
Секереш (Szekeres G) 30, 152
Селе (Szele Т ) 242
Сеньор (Senior I К ) 82
Сешу (Seshu S.) 91
Сильвестр (Sylvester J J ) 13, 16 5'
Синглтон (Singleton R R ) 40
Слепяп (Slepian D) 229
Смит Б (Smith В В ) 243
Смит К (Smith С X В ) 149 154
187, 229, 240
Спенсер (Spencer J ) 35
Стен пл (Stemple G J.) 18 158
Стоун (Stone А Н) 149 1 54 1 87
Стюарт (Stewart И J ) 104
Танг (Tang D Т) 150
Татт (Tutte W Т.) 58, 63 87 106,
108, 111, 116, 132, 137, 148 149,
154, 186, 187, 204 205, 207 208
227—229, 239, 240
Тейт (Tait Р G ) 87
Терри (Terrv) 144
Тех (Teh Н Н ) 36
Тернер (Turner J ) 8, 207 269
Трот (Trauth С. A Jr.) 36, 245 246
Туран (Turan Р.) 30 33, 39
Уитни (Whitney Н ) 57, 60, 66,91 92,
[26, 129, 138, 139, 140, 148, 159, 174
208
Улам (Clam S MJ 25
Уленбек (Uhlenbeck G Е ) 19, 228 229
Уоткинс (Watkins М Е ) 74
Уэлч (Welch) 144
Уэлш (Welsh D J А ) 10, 175, 176,
188
Фаген (Fagen R. Е ) 228 230
Файнстейн (Feinstein А ) 67
Фалкерсон (Fulkerson D R ) 19, 67,
70, 245
Фари (Fary I ) 130
Фейнманп (Feynmann R Р) 19
Феллер (Feller W.) 19
Фестингер (Festinger L) 19
Финк (Finck Н, JJ 157, 175, 176
Флейшнср (Flelschner Н.) 88, 90
Фолкман (Folkman J ) 203
Фолкс (Foulkes J D) 242
Форд Г (Ford G W) 229
Форд Л (Ford L R ) 19, 67, 70
Фостер (Foster R М) 201
Фрухт (Frucht R) 196 198—200, 205
Хадвигер (Hadwiger Н ) 161
Хайнал (Hajnal А.) 175
Хайош (Hajos G ) 35, 170
Хакими (Hakimi S) 77, 81, 82
Хамада (Hamada Т ) 105
Хамелинк (Hamelink R С) 35
Харари (Harary F.) 6—8, 19, 26 16,
40, 45, 46, 53 58, 59 61, 62, 64 69
73, 89 101, 105, 122, 123, 125 132,
137, 143—146 149,150,153 164,165,
170, 171, 176, 177, 179, 187, 188 192,
193, 197, 198, 200, 202, 206—209,
211, 215—218, 221—225 227—229
231, 232, 240, 242—247, 266
Харрисон (Harrison М А ) 225 229
Хауз (House L С) 176
Хедетннеми (Hedetniemi S ) 10, 40
119, 124, 149, 153, 165, 167, 170,
171, 175—177
Хедрлин (Hedrlm ZJ 208
Хемминджер (Hemminger R L ) 104
Хеффтер (Heffter L ) 144 162
Хёчен (Heuchentie С ) 245
Хивуд (Heawood Р J ) 17, 143, (44,
155 162
Хип (Heap В R ) 248
Хоббс (Hobbs А М.) 141 146
Холл Д (Hall D W.) 148
Холл М (Hall М) 30 75
Холл Ф (Hall Ph ) 72
Чанг (Chang L С) 99
Чартрэнд (Chartrand G ) 10, 39 40,
61, 75, 81,89,90,99 103—105 124
132,149,165—167 176 177,206,208
Шеннон (Shannon СЕ) 67
Шрикханд (Shnkhande S S ) 100
Штейн (Stein S. К) 130
Штейниц (Steinitz E) ]30
Штокмейер (Stockrneyer P ) 10
Штраус (Straus E G ) 33
Шустер (Schuster S ) 133
10 Ao | 41
290
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эванс (Evans J W ) 229
Эдмондс (Edmonds J.) 82
Эйлер (Euler L ) 13, 14, 28, 83, 126,
127, 143
Элиас (Elias Р ) 67
Эрдёш (Erdos Р) 30, 32, 34, 39, 77,
78, 146 154 175
Якель (Jacket J ) 30
Якобсен (Jakobsen I Т ) 177
Янг (Yang С. N.) 19
Янгс (Youngs J W Т) 143—145, 162,
163
Яп (Yap II D ) 36
Юнг (Jung Н А) 92
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Греки это как то называли. .
Эйкинс О
В этой книге использована в качестве симцотов и обозначений большая
часть букв латинского и греческого алфавитов. Здесь приведены наиболее
часто встречающиеся из них Обозначения разделены на три категории: латин
ские буквы, греческие буквы и символы для представления операций над гра-
фами и группами
А матрица смежностей 178,
237
А знакопеременная группа
у 195
В матрица инциденции I85
B(G) граф блоков графа G 45
С матрица циклов 183
С* матрица коциклов 184
С1г цикл длины п 2G
Ср циклическая группа 195
C(G) граф точек сочленения
графа G 43
Ci(G) реберное ядро графа G
122
D орграф 232
D* конденсация графа D 234
D' граф, обратный к D 234
Dp диэдральная группа 195
D(F) цветной граф группы F
199
Ер тождественная группа 195
G граф 22
G—и граф с удалешюй верши
ной и 25
G—х граф с удаленным реб
ром х 25
G-j-x граф с добавленным роб
ром х 25
G- квадрат графа G 27
G* граф, двойственный к G
138, 139
О Зеа Эйкинс
Прим перге
(I 886— 1958) — американская
Л'р полный граф 29
Кр вполне несвязный граф 29
А’/л„ полный двудольный граф
' 32
,р„)полный д-додьный граф
37
I (D) реберный орграф оргра-
фа D 246
£(G) реберный граф графи G 91
Л сет ь 70
цепь 26
R матрица достижимостей
238
«-мерный куб 37
S(G) граф подразбиений графа
G 101
S„ симметрическая группа
195
Sp’ парная группа 217
Зр1 редуцированная упорядо
ченная парная группа 218
Т дерево 52
Т турвир 241
Т* кодерево дерева Т 56
Т(й) тотальный граф графа G
103
V множество вершин 22
W „ колесо 63
X множество ребер 22
Z{A) цикловой индекс группы
А 213
поэтесса н драматург —
10
292
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
MG)
C(G)
d(
d(G)
d (u, t>)
e(u)
f<G, 0
g(G)
id(Et)
k(G)
m(G}
od(y)
P
(P ?)
q
GG)
r{m,n)
r^m n)
u, v, w
X У 2
дерево блоков и точек
сочленения iрафа G 53
окружение графа й 27
степень вершины и, 27
диаметр графа G 27
расстояние между верши
нами и и и 27
эксцентриситет вершины
v 51
хроматический многочлен
172
обхват графа G 27
полустепень захода вер
шины v 232
число циклов длины k 212
число компонент графа G
55
циклический paHi t рафа
G 55
коцяклический рлег гра
фа G 56
полустепень исхода вер
шипы v 232
число вершин 22
р вершин q ребер 22
число ребер 22
число граней 127
радиус графа G 51
число Рамсея 30
реберное число Рамсея
104
вершины 22
ребра 22
«о
а,
Y
P(G)
rjG)
б
Л
е
T](G)
1)
л
П(С)
ф{0)
<р
<р(й)
"4
У
Ф
а>
Q(F)
число вершинного покры
тия 117
число реберного покры
тня 117
вершинное число иезави
симости 118
реберное число пезависи
мости 118
род 142
группа графа G 190
реберная группа графа G
191
минимальная степень 28
максимальная степень 28
элементарный гомомор-
физм 169
число Хадвигера 177
толщина 145
связность 60
локальная связность 66
ребернчя связность 60
число скрещива ний 148
крупность 146
разбиение графа G 77
дренеспость графа G 113
гомоморфизм 169
функция Эйлера 215
хроматическое число 152
хроматический класс 159
ахроматическое число 170
число пересечений 33
i раф пересечений 33
<£> подграф, порожденный
подмножеством S 24
G3UG? объединение графов 36
G|-|-G2 соединение графов 36
Д-f-fi сумма групп 193
GjXG2 произведение 1рафов 36
<4хб произведение групп 193
GJG,1 композиция графов 37
4[Д] композиция групп 194
G-j A.G., конъюнкция графов 40
ЛА степенная группа 194
G, о G, корона графов 198
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
В слонах как в модах, властвует закон
Вее хорошо лишь для своих времен,
Не будь вульгарным модником в науке
Но бойся также рутинерства скуки Ч.
А Поп -)
ав1О\юрфиз’-1 графа 190
базис коциклов 55
— циклов 55
бюк 41
валентность вершины 2'’
вершина графа 22, 126
— изолированная 28
- инцидентная ребр\ 22
— концевая 28
— критическая 121
— неподвижная 201
— орграфа 232
— периферическая 51
— - центральная 51
центроидная 52
вершинная база 237
вершины подобные 201
— смежные 22 213
вес вершины 52
вес функции 213
ветвь 56
— к вершине о2
вихрь 187
внешность цикла 134
выпуклый полиэдр 130
гипотеза Улама 25, 26 48 58 202 244
— Хадвигера 161, 162
— четырех красок 151, lab—162
164, 167, 172
гомоморфизм графа 169
— полный порядка п 169
— элементарный 169
гомоморфный образ графа 196
грапичпый операгор 54
грань 127
— внешняя 127
— внутренняя 127
граф асимметрических 190
- ациклический 48
— базисный 132
— бесконечный 36
— блоков 45
— — и точек сочленения 53
— вершинно-критический 121
— вер шишю-симметрический 201
— внешнепланарный 131
---максимальный 131
— вполне несвязный 28
— гамильтонов 85
— геометрически двойственный 138
— Давида 29
— двудольный 31
— дополнительный 29
— интервалов 35
— клик 34
— комбинаторно двойственны и 139
— критический 167
— кубический 28
— Леви 205, 206
— Мак-Джи 205
— направленный 23
— неразделимый 41
— несводимый 123
— однозначно раскрашиваемый 164
— одноциклический 58
— пересечений 33
— Петерсена ИЗ
— планарный 127
---максимальный 128
— плоский I27
— подразбиений 101
— полный 29
*) Перевод с английского О. Астафьевой — При м ред
Д \ Pope Essay on Criticism,
294
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
граф полный двудольный 32
---п-дольный 37
— пол у несводимый 123
— помеченный 23
— произвольно гамильтонов 89
-проходимый 89
— простой 197
— реберно-критический 121
— реберно-регулярный 202
— реберно симметрический 201
— реберный 91, 94
— — итерированный 91
— регулярный 28
— само до волнительный 29
— сводимый 123
— симметрический 201
— составной 197
— тороидальный 142
— тотальный 103
— точек сочленения 45
— тривиальный 22
— Хиву,ди 204
— эйлеров 83
— «-раскрашиваемый 152
— «транзитивный 204
— п-унитранзитивный 204
— «-хроматический 152
— а-перестановочный 206
граф-композиция 196
графу ид 58
графы гомеоморфные 132
— изоморфные 24 190
— коспектр ал ьпые 188
группа 189
— графа 190
— вершинная 190
— диэлральная 195
— знакопеременная 195
— конфигураций 213
— парная 217
~ — редуцированная 218
— подстановок 190
— реберная 191
— симметрическая 195
— степенная 194
— тождественная |95
— циклическая 195
гр\ппы идентичные 190
— изоморфные 190
дерево 48
— блоков и точек сочтенения 54
— корневое 219
— с висячим корнем 220
— входящее 235
— выходящее 235
диагональ блока 47
«диаграмма Хассе» 73
диаметр 27
длина маршрута 31
добавление вершины 25
— ребра 25
дополнение графа 29
достижимость 133
древесность графа 113
дуга 23, 232
животное 227
замощение 2-рететки 227
звезда (лапа, гроздь) 32
изоморфизм 24
инвариант 24
инцидентность ребра и вершины 22
искаженность графа 149
источник 235
карта п юская 127
-----с корневым ребром 227
квадрат графа 27
квадратный корень графа 38
клетка 204
количество очков 243
клика графа 34
кограница 55
кограпичный оператор 54
кодерево 56
колесо 63
комплекс 20
композиция графов 37, 196
— групп 194
компонента 27
— нечетная 108
— односторонняя 233
— сильная 233
— слабая 233
конденсация 234
контур 233
— эйлеров 240
конфигурация 2|3
конъюнкция 40, 243
корона графов 198
коцикл 55
крупность (зернистость, шероховатость)
146
лемма Бернсайда 212 214
лес 48
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
295
линия матрицы 71
линейный подграф графа 180
------- орграфа 179
маршрут 26
— замкнутый 26
— несовершенный 119
— открытый 26
— совершенный 119
— /-сводимый 120
матрица достижимостей 238
— инциденций 180
— коциклов 184
— обходов 238
— почустепеней захода 239
— — исхода 239
— разреженная 241
— смежностей графа 179
--- орграфа 237
— циклов 183
матричная теорема о деревьях 178,
181 239
матронц 57
— бинарный 188
— графический 180
— кографический 180
— коциклов графа 57
— циклов графа 57
— эйлеров 188
многочлен деревьев графа 187
множество вершин 22
— внешне устойчивое 118
— внутренне устойчивое 118
— независимое 57, 108, 118
— разделяющее 64
— ребер 22
мост 41
мульти граф 23
наследственное свойство 119
надграф 24
независимые единицы матрицы 7!
обхват 27
объединение графов 36
одноцветный к часе 152
ожерелье 212—215, 224 225
окрестность вершины 197
— замкнутая 197
окружение 27
орбита 211
орграф 232
— бесконтурный 235
— контрафункциональныи 236
орграф несвязный 233
— обратный 234
— односторонний 233
— примитивный 246
— реберный 245
— сильный 233
— слабый 233
— строго односторонний 244
---слабый 244
— функциональный 236
— эйлеров 240
ориентация графа 246
остов 55
пара связностей 62
паросочетание 119
— наибольшее 119
перечисляющий ряд для конфигураций
213
— „ — фигхр 213
петля 23
подграф 24
— линейный 180
— остовный 24
— порожденный 24
— четный 227
покрытие вершинное 117
— реберное 117
полиэдр 127
полная раскраска 170
полный набор инвариантов 24
полугруппа графа 208
полуконтур 233
полумаршрут 233
полупуть 233
полустепень захода 232
— исхода 232
порядок группы 190
последователь п-пути 204
принцип ориентированной двойсп си*
ности 234, 235
произведение графов 36
— групп 190
— поэлементное 239
пространство коциклов 55
— циклов 55
псевдограф 23
путь 233
разбиение графа 76
— графическое 76
— числа 76
разрез 55
ранг коцикличсскии 56
— циклический 53
29Н
ПРЕДМЕТНЫЙ > КАЗАТЕЛЬ
размерность симплекса 20
расстояние в графе 27
— — орграфе 233
раскраска графа 152
— плоской карты 156
— полная 170
— ребер 159
— I цветами 172
ребра кратные 23
— независимые 108
— подобные 201
— смежные 22
ребро графа 22
— инцидентное вершине 22
— критическое 121
— подразбитое 101
— симметричное 221
род графа 142
— полиэдра 142
турнир состязаний 245
тэта граф 85
уда 1ение вершины 25
— ребра 25
укладка 1рафа I26
уравнение характеристики неподобия
для деревьев 221
— Эйлера — Пуанкаре 57
фактор графа 106
факторизация графа 106
фигура 213
формула Оттера 222
— Эйлера для иолиэдроп 127
функция связности 62
связность 60
— локальная 06
— односторонняя 233
— реберная 60
— сильная 233
— слабая 233
сеть 70
система различных предсгавшезеи 72
стабилизатор 211
степень вершины 27
— графа 27
— группы 190
— ребра 202
сток 235
стягивание 137
— элементарное 137
сумма графов 37
— групп 193
теорема Бине — Коши 181
— об интерполяции гомоморфизмов
] 71
— о пяти красках 151, 155, 156
— перечисления Пойа 211—215 217
218
----степенной группы 224
— Хиву да о раскраске карт 162—164
— BEST 240
толщина графа 145
точка сочленения 41
транзитивная тройка 241
треугольник 26
— нечетный 9о
— четный 95
турнир 241
хорда 55
хроматический класс I о9
— многочлен 173
цветной граф группы |99
центр графа 51
центроид дерева 52
цепи непересекающиеся 64
— реберпо пспереескающисся 64
цепь 26
— альтернирующая 109
— геодезическая 27
— простая 26
п <кл 26
— гамильтонов 85
— графонда 58
— матроида 57
— простои 26
— эйлеров 83
циклическая тройка 241
циклический вектор графа 54
цикловой индекс группы 212
число ахроматическое |70
— независимости вершинное 118
--- рсбсрпос 118
— пересечения 33
— покрытия вершинного 117
— — реберного 117
— Рамсея 30
— — реберное 104
— скрещиваний 148
- - Хадвигера 177
— хроматическое 152
— ^-хроматическое 177
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
297
экспопеицирование 20b
эксцентриситет 51
элемент графа 10i
элементы соседние 103
эндоморфизм графи 208
ядро вершинное 125
— реберное 122
0 цепь 54
1-база 237
1 скелет 127
I цепь 54
2 решетка 227
3 решетка 227
п клетка 204
«-компонента 03
« куб 37
«-путь 204
«-раскраска 152
— реберная 159
« связность 63
«-фактор 106
«факторизация 106
Р множество 119
ОГЛАВЛЕНИЕ
Я не люблю цитат Скажи, что знаешь сам
Р Эмерсон1)
Предисловие редактора перевода . . 6
Введение 9
Глава I Открытие! . . . , 13
Задача о кёнигсбергских мостах . , . , . , . . . 13
Электрические цепи , . . , 14
Химические изомеры . . 15
«Вокруг света» .................................. , , 16
Гипотеза четырех красок............... . 17
Теория графов в двадцатом веке . . .18
Глава 2 Графы . . 21
Типы графов ... . . . . , , 21
Маршруты и связность 26
Степени ... 27
Задача Рамсея , , 28
Экстремальные графы 30
Графы пересечений .... 33
Операции вад графами . , 35
Упражнения 38
Глава 3 Блоки , .... 41
Точки сочленения, мосты и блоки . 41
Графы блоков и графы точек сочленения , , ... 45
Упражнения 46
Глава 4 Деревья . . . , 48
Описание деревьев ... . . . 48
Центры и центроиды , , . . . 5|
Деревья блоков и точек сочленения . , 53
Независимые циклы и коциклы , , 54
Матроиды 57
Упражнения . 59
Глава 5 Связность ............................... . . . 60
Связность и реберная связность .... ... 60
Графические варианты теоремы Менгера ........................... 64
*) Р Эмерсон (1803—1862) — американским писатель и фи тософ —
Прим перев.
ОГЛАВЛЕНИЕ
29“>
Другие варианты теоремы Менгера 70
Упражнения . . . 74
Глава 6 Разбиения 76
Упражнения , 81
Глава 7. Обходы графов . 83
Эйлеровы графы 83
Гамильтоновы графы . 85
Упражнения . . 88
Глава 8 Реберные графы . ... 91
Некоторые свойства реберных графов , 91
Характеризация реберных графов 94
Специальные реберные графы 99
Реберные графы и обходы 101
Тотальные графы . . ЮЗ
Упражнения 104
Глава 9 Факторизация . , 106
1 факторизации 106
2 факторизация 111
Древеспость 113
Упражнения . 116
Глава 10 Покрытия ... 117
Покрытия и независимость , 117
Критические вершины и ребра 120
Реберное ядро . . . 122
Упражнения ... . 124
Глава II Планарность . . 126
Плоские и планарные графы . 126
Впеншепланарные графы 131
Теорема Понтрягина — Куратовского . . 133
Другие характеризации планарных графов . . 138
Род, толщина, крупность число скрещиваний 141
Упражнения . ....... , . 148
Глава 12 Раскраски 151
Хроматическое тисло 152
Теорема о пяти красках 15о
Гипотеза четырех красок ... 156
Теорема Хивуда о раскраске карт . 162
Однозначно раскрашиваемые графы 164
Критические графы 167
Гомоморфизмы 169
Хроматический мнеиочлен 172
Упражнения . . . 175
Глава 13. Матрицы .
Матрица смежностей
Матрица иппиденции
178
178
180
300 ОГЛАВЛЕНИЕ
Матрица циклов 183
Обзор дополнительных свойств матроидов 186
Упражнения . . .187
Глава 14 Группы 18У
Группа автоморфизмов графа . 193
Операции на группах подстановок 194
Группа графа-композиции 195
Графы с данной группой 198
Симметрические графы 20]
Графы с более сильной симметрией 204
Упражнения 206
Глаза 15 Перечисления 20й
Помеченные графы . . 209
Теорема перечисления Пойа 211
Перечисление графов . . 216
Перечисление деревьев . . . 219
Теорема перечисления степенной группы , , . 224
Решенные и нерешенные задачи перечисления графов 225
i пражнения 230
Глав., 16 Орграфы . . . 232
Орграфы и соединимость . . . 2^2
Ориентированная двойственность и бесконтхрные орграфы . 234
Орграфы и матрицы 237
Обзор по проблеме восстановления турниров 244
J пражнения , 244
Приложение 1 Диаграммы графов 248
Приложение II Диаграммы орграфом 200
Приложение Ш Диаграммы деревьев 266
Список литературы и именной указатель 268
Указатель обозначений 291
Предметный указатель „ 293
Ф X а р ар и
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Редактор 1 Б 'd! тейн пресс
Художник Л П Сиротой
Художественный редактор В И. Шаповалов
Технический редактор Н Д. 'Толстякова
Корректор Л Д Панова
Сдано ц набор 9/11 1973 г
Подписано к печати 21/V1 1973 г
Ьум тпп. № 1 69 X 90*/1а—9,50 бум. л. 19 печ л
Уч.-над. л 18,95 Изд № 1/6962
Цена 1 р 56 к Заказ № 141
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЧИР»
Москва 1 й Рижский игр 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени X А. Жданова Союэполиграфирома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
Москва, М 54, Валовая 28