Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Томский государственный университет
Московский институт электроники и математики
В. Г. Багров, В. В. Белов,
В.Н. Задорожный, А.Ю. Трифонов
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основы комплексного анализа
Элементы вариационного исчисления
и теории обобщенных функций
Рекомендовано Министерством образования Российской
Федерации в качестве учебного пособия для студентов
инженерно-физических специальностей высших учебных
заведений
Томск 2002

УДК 581
Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В.Н.,
Трифонов А.Ю. Методы математической физики: I. Основы
комплексного анализа. II. Элементы вариационного исчисления и
теории обобщенных функций. — Томск: Изд-во НТЛ, 2002.—
672 с.
Настоящее учебное пособие посвящено изложению методов
теории функций комплексного переменного, основ
вариационного исчисления и теории обобщенных функций. Оно
содержит теоретический материал в объеме, предусмотренном
ныне действующей программой курса высшей математики для
инженерно-физических и физических специальностей
университетов. Теоретический курс дополнен индивидуальными
заданиями (30 вариантов) для самостоятельного решения по
разделу «Теория функций комплексного переменного» курса
«Высшая математика и математическая физика».
Пособие предназначено для студентов и аспирантов
физических и инженерно-физических специальностей.
Рецензенты: академик РАН, профессор В.П. Маслов
кафедра математики физического факультета
Московского государственного университета
Издание осуществлено при финансовой поддержке Томского
политехнического университета и фирмы «КонсультантЪ».
© В.Г. Багров, В.В. Белов, В.Н. Задорожный, А.Ю.
Трифонов, 2002
© Издательство научно-технической литературы, 2002

Содержание
3
Содержание
От авторов 7
Часть I. Основы комплексного анализа 11
Глава 1. Введение в теорию функций комплексного
переменного 11
1. Комплексные числа и действия над ними 11
2. Множества на комплексной плоскости 20
3. Последовательности комплексных чисел.
Бесконечно удаленная точка 23
4. Ряды комплексных чисел 26
5. Понятие функции комплексного переменного.
Непрерывность 35
6. Степенные ряды комплексных чисел 38
7. Элементарные функции комплексного переменного 40
7.1. Степенная функция 40
7.2. Показательная, тригонометрические и
гиперболические функции 43
7.3. Логарифмическая функция 48
7.4. Общая степенная функция 50
7.5. Обратные тригонометрические функции 51
8. Дифференцирование функций комплексного
переменного 53
9. Гармонические функции 61
10. Кривые в комплексной плоскости 68
11. Интегралы от функций комплексного переменного 70
12. Теорема Коши 74
13. Интеграл Коши 83
14. Интеграл типа Коши 87
15. Некоторые следствия из интегральной формулы Коши 89
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения 92
16. Ряд Тейлора 92
17. Ряд Лорана 99
18. Изолированные особые точки аналитических функций 115
18.1. Классификация изолированных особых точек . . 115
18.2. Устранимая особая точка 117
18.3. Полюс 118
18.4. Существенно особая точка 121
18.5. Бесконечно удаленная точка 124
19. Аналитическое продолжение 126
20. Римановы поверхности 135
21. Теория вычетов 138

4
Содержание
22. Логарифмический вычет и его приложения 153
22.1. Логарифмический вычет 153
22.2. Принцип аргумента 155
22.3. Основная теорема алгебры 158
22.4. Задача Рауса-Гурвица 160
23. Приложения теории вычетов 162
23.1. Интегралы, содержащие рациональные функции
от тригонометрических функций 162
23.2. Несобственные контурные интегралы 165
23.3. Несобственные интегралы
от дробно-рациональных функций 170
23.4. Несобственные интегралы
от осциллирующих функций 174
23.5. Интегралы Бромвича-Вагнера 176
23.6. Несобственные интегралы
типа интегралов Эйлера 180
23.7. Другие несобственные интегралы 193
23.8. Представление функций контурными
интегралами 202
23.9. Целые и мероморфные функции 205
23.10.Разложение мероморфной функции на
простейшие дроби 211
23.11.Суммирование рядов 218
23.12.Разложение целой функции в бесконечное
произведение 221
Приложение. Несобственные интегралы.
Сходимость и главное значение 229
П 1.1.Интегралы на неограниченных промежутках . . 229
П 1.2.Интегралы от неограниченных функций 234
П 1.3.Несобственные кратные интегралы 241
Глава 3. Введение в теорию конформных отображений 247
24. Геометрический смысл производной аналитической
функции 247
24.1. Геометрический смысл аргумента производной . 248
24.2. Геометрический смысл модуля производной . . . 249
24.3. Понятие конформного отображения 251
25. Линейная функция 253
26. Инверсия 255
27. Дробно-линейная функция 261
28. Степенные функции 269
29. Показательная и логарифмическая функции 274
30. Функция Жуковского 278
31. Тригонометрические и гиперболические функции 283

Содержание
5
32. Основная задача теории конформных отображений 288
33. Интеграл Кристоффеля-Шварца 301
Глава 4. Элементы операционного исчисления 306
34. Преобразование Лапласа 306
35. Изображения простейших функций 312
36. Свойства преобразования Лапласа 315
37. Приложения операционного исчисления 336
37.1. Интегрирование линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами 336
37.2. Интегрирование линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами 336
37.3. Интеграл Дюамеля 340
37.4. Интегрирование линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами 343
37.5. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами 345
37.6. Вычисление несобственных интегралов 347
38. Гамма-функция 349
39. Обобщенные оригиналы 362
40. Бета-функция 372
41. Биномиальные коэффициенты 382
42. Интеграл ошибок 384
Глава 5. Методы асимптотических оценок 386
43. Простейшие асимптотические оценки несобственных
интегралов 386
44. Простейшие асимптотические оценки интегралов 388
45. Асимптотические ряды 394
46. Метод Лапласа 402
47. Метод стационарной фазы 408
Часть П. Элементы вариационного исчисления
и теории обобщенных функций 416
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
в классической механике 417
1. Функционалы. Вариация функционалов 417
2. Уравнение Эйлера 421
3. Уравнения Эйлера-Лагранжа (многомерный случай) 426
4. Канонические уравнения Гамильтона 436
5. Первые интегралы системы Гамильтона.
Скобки Пуассона 445

6
Содержание
6. Канонические преобразования 447
7. Теорема Лиувилля 450
Глава 2. Основы теории обобщенных функций 454
8. Основные и обобщенные функции 455
9. Действия над обобщенными функциями 463
10. Дельта-функция Дирака и ее свойства 466
11. Дельтообразные последовательности 472
12. Примеры обобщенных функций 477
12.1. Тета-функция Хевисайда 479
12.2. Характеристическая функция отрезка 480
12.3. Обобщенные функции, порождаемые главными
значениями несобственных интегралов 481
12.4. Псевдофункции Адамара 482
12.5. Формулы Сохоцкого 482
13. Некоторые представления основных функций 483
14. Дифференцирование обобщенных функций 489
15. Преобразование Фурье обобщенных функций
медленного роста 501
16. Свертка обобщенных функций 508
17. Дельта-функция Дирака и ортонормированные
системы функций 513
18. Классические и обобщенные решения
дифференциальных уравнений* 529
19. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов* 537
20. Построение фундаментального решения линейного
дифференциального оператора* 539
21. Функция Грина краевой задачи для дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами* 545
22. Другие методы построения функции Грина* 553
23. Краевая задача для линейных дифференциальных
уравнений с параметром* 556
23.1. Функция Грина краевой задачи с параметром . . 558
23.2. Краевая задача для уравнения Бесселя 565
23.3. Нормальная разрешимость краевых задач .... 569
24. Обобщенная задача Коши* 579
Задания для самоконтроля 583
Теоретические вопросы 583
Индивидуальные задания 590
Список литературы 664

22 октября 1900 года в
Томском технологическом
институте профессором В.Л.
Некрасовым была прочитана первая
лекция. Это была лекция по
аналитической геометрии. Столетию
этого события и посвящается
настоящая книга
От авторов
Еще одна книга по математической физике? Какую цель
преследовали авторы, какие ставили задачи? Попробуем
объяснить это.
Курс математической физики для физиков и инженеров в
том или ином виде читается в вузах практически с начала
прошлого века и имеет устойчивую традицию, вполне себя
оправдавшую. В последние лет пятьдесят математическая
физика оформилась в виде общеобразовательного курса, с
которым студенты всех физических и инженерно-физических
специальностей знакомятся на 2-3 году обучения. Этот курс
вобрал в себя достаточно разнородные сведения из различных
разделов математики, которые, с одной стороны, необходимы
для завершения общего математического образования
физиков и инженеров и являются базой для изучения
специальных разделов математики и физики и, с другой стороны,
выходят за рамки стандартных курсов математического анализа,
обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной
алгебры и аналитической геометрии, образуя математическую
основу для изложения общеобразовательных курсов теоретической
физики.
По отдельным разделам курса математической физики есть
хорошие пособия различного уровня [10, 14, 22, 34, 38, 42, 43,
49, 50, 54] и др. (правда, большинство их издано не менее
десяти лет назад). Но, как ни удивительно, нет книги, где бы под
одной обложкой были изложены все (достаточно разнородные)

8
От авторов
разделы математики примерно на одном уровне строгости и
в объемах, соответствующих содержанию того курса
математической физики, который в последние десятилетия
сформировался в вузах. Существует несколько книг [20, 32, 39, 45,
46], написанных известными математиками, которые могли
бы претендовать на такую роль. Однако книги [45] и [46] по
своему уровню рассчитаны на физиков-теоретиков - для
инженеров и физиков-экспериментаторов содержание этих книг
малоинтересно, а книги [20, 32, 39] изданы столь давно, что
являются сейчас библиографической редкостью, да и уже не
полностью охватывают содержание современного курса.
Следует отметить высокие методические достоинства всех этих
книг и, если имеется возможность ознакомиться с ними,
также рекомендовать их читателю, изучающему математическую
физику.
Целью авторов было собрать воедино весь материал,
который составляет (в разных вузах в разном объеме)
общеобразовательный курс математической физики. Объем каждой части
всегда превышает необходимый минимум, предоставляя тем
самым всем желающим возможность получить
дополнительные сведения, а преподавателю — свободу маневра.
Другой, на наш взгляд, важной особенностью
предлагаемого издания является сопровождение каждой части курса
набором задач с детальными решениями и задач (без решений)
для самостоятельной работы. По некоторым отдельным
частям курса есть неплохие сборники задач [4, 6, И, 15, 17, 29, 31,
48, 59, 62], но не было осуществлено сопровождение задачами
всего курса в едином комплексе. Задачи с решениями несут и
самостоятельную нагрузку — они демонстрируют
практические приемы математической техники. Задания для
самоконтроля собраны в тридцать приблизительно равноценных
вариантов. Использование типовых индивидуальных заданий
отражает специфику методики преподавания в технических вузах,
а подбор задач - особенности применения математического
аппарата в курсах по специальности. Читателю мы рекомендуем
прорешать один из вариантов типовых индивидуальных
заданий, поскольку, как хорошо известно, «математику учат,
решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие» (М. Рид,
Б. Саймон [45]).
Таким образом, авторы попытались собрать вместе все
достаточно разнородное содержание общеобразовательного
курса математической физики и дать к нему сопровождение в виде
задач (с решениями и без них). Сколь успешно это нам удалось
— судить читателю.

От авторов
9
Сам характер курса и его место в системе высшего
инженерно-технического образования обусловливают и
некоторые другие его особенности. В курсе не следует искать
новейших достижений математики: с научной точки зрения
содержание курса — это математика, достаточно прочно вошедшая
в повседневный обиход всех физиков и инженеров (ее
новейшие разделы — это предмет спецкурсов последних лет
обучения) . Общеобразовательный курс математической физики
имеет устоявшиеся и оправдавшие себя традиции методики его
изложения и уровня математической строгости. Особо
следует отметить уровень строгости изложения. Авторами принят
так называемый физический уровень строгости (как
правило, его персонифицированными носителями являются физики-
теоретики и профессиональные математики, занимающиеся
сугубо физическими проблемами). Такой уровень предполагает
во всех случаях математически корректную постановку задач
и методы доказательства в каждой конкретной проблеме,
однако в некоторых общих вопросах (типа существования
решений, априорного определения области сходимости ряда,
который будет представлять еще не полученное решение)
отступления от идеальной математической корректности
допускаются (существование решений доказывается фактом их
предъявления; область сходимости разложения определяется после его
фактического получения и т.д.). Иногда этот уровень
строгости вызывает раздражение у «чистых» профессиональных
математиков. Однако он общепринят в физических и
инженерных исследованиях и всегда, если уж возникает такая
необходимость, может быть доведен до идеала (что, как правило,
требует больших затрат времени и сил).
Учитывая различную математическую подготовку
читателей, авторы включили в каждый раздел материал различной
трудности, от простого до сложного. Материал повышенной
сложности отмечен в тексте звездочкой или набран мелким
шрифтом. Читатель, пропустивший этот материал, не будет
испытывать затруднений в понимании последующего текста.
Для удобства читателя, которого могут интересовать
отдельные разделы книги, мы старались излагать материал
одинаково подробно, вне зависимости от того, применялись ли
используемые приемы в предыдущих разделах.
Авторы приложили максимум усилий для устранения
опечаток и ошибок, неизбежных в работе такого объема, однако
они отдают себе отчет в том, что отдельные ошибки и
неточности в тексте могли остаться, и будут признательны всем,
Кто укажет на них.

10
От авторов
В тексте пособия используется сплошная нумерация
параграфов в каждой части. При нумерации формул, теорем и лемм
из данной части первое число указывает номер параграфа, а
второе — порядковый номер формулы, теоремы, леммы. При
ссылке на формулы из другой части перед номером параграфа
римскими цифрами обозначается номер части. При нумерации
следствий из теорем и лемм первое число указывает номер
параграфа, второе — номер теоремы или леммы в этом
параграфе и третье — номер собственно следствия. Для обозначения
определений и замечаний нами используются символы ♦ и 0,
соответственно.
Авторы признательны А.Р. Данилину, A.M. Ильину,
М.Р. Куваеву, Б.Ф. Назарову и особенно прочитавшим
рукопись в полном объеме (за исключением позднейших
вставок) СП. Гулько и В.В. Кравцову за критические замечания,
которые стимулировали работу над рукописью. Авторы
признательны также всем сотрудникам кафедры высшей
математики и математической физики Томского политехнического
университета и кафедры прикладной математики Московского
института электроники и математики, кафедр теоретической
физики и квантовой теории поля Томского государственного
университета и особенно А.Г. Давтяну и В.Ф. Зальмежу за
полезные обсуждения и замечания. Авторам удалось опробовать
отдельные части книги в преподавании курса
математической физики студентам ТПУ, ТГУ и МИЭМ. Мы благодарны
всем студентам, особенно В.Д. Баранову, В.А. Долгушеву и
Г.Н. Сережникову, обратившим наше внимание на
неточности и опечатки.

ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
Данный раздел посвящен теории функций комплексного
переменного и основным методам этой теории, широко
используемым в приложениях.
Этот раздел отнесен к курсу математической физики,
поскольку сама теория функций комплексного аргумента и, в
частности, центральный ее объект — аналитическая
(голоморфная) функция, возникли и развивались на основании
физических представлений, связанных с математическими
моделями плоских течений жидкости и тепловых потоков. С другой
стороны, математический аппарат этой теории позволил
разработать новые методы построения и исследования решений
задач математической физики в гидро- и аэродинамике,
электростатике, теории упругости и квантовой теории.
Материал, включенный авторами в этот раздел курса,
определяется следующими учебными целями. Первая — дать, по
возможности, полное и строгое изложение основ
комплексного анализа. Вторая — выработать практические навыки
использования математического аппарата теории функций
комплексного переменного на большом количестве подробно
разобранных учебных примеров и задач. Третья —
продемонстрировать работу ряда методов комплексного анализа, широко
используемых в инженерных и физических расчетах
(операционное исчисление, вычисление интегралов). И, наконец, —
ознакомить с асимптотическими методами оценки интегралов,
зависящих от параметра (метод Лапласа, метод стационарной
фазы), играющими важную роль в современной теоретической
физике.
ГЛАВА 1
Введение в теорию функций
комплексного переменного
1. Комплексные числа и действия над ними
♦ Комплексным числом z называется упорядоченная
пара действительных чисел z — (х,у) с определенными ниже
операциями над ними. Первое число пары х называется
действительной частью комплексного числа z и обозначается х =

12 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Re z\ второе число пары у называется мнимой частью числа
z и обозначается у — Im z.
0 Два комплексных числа z\ — (#1,2/1) и Z2 — (#2,2/2) Рав"
ны тогда и только тогда, когда равны их действительные и
мнимые части.
Множеству комплексных чисел z можно взаимно
однозначно сопоставить точки плоскости (хОу) с декартовыми
координатами ж, у. Такую плоскость в дальнейшем будем называть
комплексной плоскостью, ось абсцисс - действительной, а ось
ординат - мнимой осью комплексной плоскости.
у\ В свою очередь, каждой точке (ж, у)
1 z = (x,y) соответствует вполне определенный век-
~^| тор — радиус-вектор этой точки, а каж-
Ту/ ! дому радиус-вектору, лежащему в плос-
У\р ! кости, — вполне определенная точка —
—Y— *- J—y его конец.^Поэтому будем в дальнейшем
01 . комплексные числа представлять также
ис* в виде векторов на плоскости (рис. 1).
Геометрическое представление комплексных чисел
показывает, что при сравнении двух комплексных чисел z\ и z^
понятия «больше» и «меньше» теряют смысл, и наглядно
иллюстрирует, что равенство двух комплексных чисел z\ — Z2 всегда
подразумевает два равенства действительных чисел: х\ — Ж2,
У\ - У2-
Операции над комплексными числами
1. Сложение
♦ Суммой комплексных чисел z\ — (ж 1,2/1) и Z2 — (ж2,2/2)
называется комплексное число
z - (ж! + ж2,2/1 + 2/2). (1.1)
Данное определение сводит операции сложения комплексных
чисел к операции сложения двух действительных чисел. Из
определения вытекают следующие законы сложения:
а) коммутативность z\ + Z2 — 22 + 21,
б) ассоциативность (z\ + Z2) + 23 — z\ -f (^2 + 23)-
О Сложение допускает обратную операцию: для двух
комплексных чисел z\ — (ж1,у1) и Z2 — [х2->Ут) можно найти такое
число z, что Z2 + z — z\. Такое число z называется разностью
чисел z\ и Z2 и обозначается символом z — z\ — 22. Очевидно,
что
z = z1-z2 = {x1- ж2, 2/i - у2). (1.2)

2. Комплексные числа и действия над ними
13
Z1 + Z2 |
'V
/ \ Ч
^2X^-~V-
У
Гк
X
Рис. 2
Можно показать, что существует единственное
комплексное число 0 = (0,0) такое, что для любого комплексного числа
z выполняется z + 0 = Zv
Геометрический смысл операций
сложения и вычитания комплексных чисел
совершенно ясен: сумма и разность комплексных
чисел z\ и Z2 изображаются,
соответственно, векторами, направленными по
диагоналям параллелограмма, построенного на
векторах 2i И Z2 (рИС. 2^
2. Умножение
♦ Произведением комплексных чисел
z\ — (#i,yi) и 22 = (^2,2/2) называется комплексное число
z — zi * z2 = z\Z2 = (ж, у) такое, что
Х = Х1Х2~У1У2, У =3/lS2 +2/231. (1.3)
Из определения вытекают следующие законы умножения:
а) коммутативность z\ • z2 — z2 • z\\
б) ассоциативность z\(z2zz) = (ziz2)zz;
в) дистрибутивность (zi + z2)zz = z\Z3 + z2z$.
Любое действительное число х можно считать
комплексным числом (ж,0). Точнее, подмножество комплексных чисел
вида (ж, 0) взаимно однозначно соответствует множеству
вещественных чисел (с сохранением арифметических операций).
В дальнейшем будем отождествлять эти числа и записывать
х — (ж, 0).
Умножение на действительную единицу 1=(1,0) не меняет
комплексного числа 1 • z = z.
Комплексное число вида z = (0,1) называется мнимой
единицей и будет обозначаться символом г = (0,1). Несложно
убедиться, что г • г = i2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0) = -1.
Комплексное число вида z = (0, у) называется чисто
мнимым числом. Легко установить, что чисто мнимое число (0, у)
можно рассматривать как произведение мнимой единицы г =
(0,1) и действительного числа у = (у, 0), т.е. (0, у) = гу.
Мнимая единица позволяет придать прямой
алгебраический смысл так называемой алгебраической форме записи
комплексных чисел. Действительно,
z = {х, у) = ж(1, 0) + у(0,1) = х + гу. (1.4)
В результате операции сложения и умножения комплексных
чисел можно проводить по правилам алгебры многочленов, не

14 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
обращаясь каждый раз непосредственно к определениям (1.1)
и (1.3).
Пример 1.1. Найти z\+Z2 и Z1Z2, если z\ — 1—Зг, Z2 = — 5+2г.
Решение. Воспользовавшись алгебраической записью, полу-
zi + z2 = {l- Зг) + (-5 + 2г) = -4 - г,
ziz2 = (1 - Зг)(-5 + 2г) = -5 + 15г + 2г - 6г'2 = 1 + 17г.
ОздМ/w)
Для удобства работы с комплексными числами введем
операцию комплексного сопряжения.
♦ Комплексное число w называется
комплексно сопряженным числу z = х +
гу, если w = х — iy, и обозначается w =
z\
О В литературе для обозначения
комплексно сопряженного числа иногда
используется символ z = х — iy.
Геометрически точки z и z*
симметричны относительно вещественной оси
(см. рис. 3), причем zz* — x2-\-y2.
Соотношение z = z* равносильно тому, что
z - вещественное число.
Умножение также допускает
обратную операцию. Пусть z2 ф О, тогда можно найти такое число
2, ЧТО
Z2- z — z\. (1.5)
Для этого, согласно (1.3), нужно решить систему уравнений
(1.6)
z*-
Рис. 3
х2х-у2у = яь
х2у -г У2Х = 2/1.
♦ Число z (1.5) называется частным двух чисел z\ и z2 и
обозначается z — z\/z2. Из системы (1.6) при условии z2 ф О
получим
_ 2^ _ ziz2
*2 ~~ «2^2
Ж1Ж2 + У1У2 , .У1Х2-Х1У2
+ 1-
х\ + у\
х\ + у\
(1.7)
О Без труда можно установить, что операция комплексного
сопряжения удовлетворяет следующим свойствам:
(21± „,. = «* 4, (-»• = «, ©

1. Комплексные числа и действия над ними
15
Пример 1.2. Найти действительную и мнимую части числа
1-Зг
w — -;—^*
-1 + 2г
Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на
число —1 — 2г, сопряженное знаменателю дроби, и получим
_ 1-Зг _ (1 — Зг)(—1 — 2г) —1 + Зг — 2г — 6 _ -7 + г
W ~ -1 + 2г' " (-1 + 2г)(-г - 2г) ~ (-1)2 + 22 " 5 '
Следовательно,
7 т 1
Re w = — -, Im w = -.
5 5
Наряду с алгебраической формой комплексных чисел (1.4)
удобно использовать и так называемую тригонометрическую
форму. Для этого напомним, что точку на плоскости можно
задавать не только декартовыми, но и полярными координатами
(/?, (р) (см. рис. 1). Причем х = pcosy?, у = psin<p. Подставив
ж, у в (1.2), получим
z ■= p(cos (p + isiiap). (1-8)
Такая форма записи называется тригонометрической.
Показательная форма записи комплексных чисел будет введена
позднее [см. выражение (7.5)].
4 Число р в (1.8) называют модулем, а <р — аргументом
комплексного числа z и обозначают
р— \z\ — \Jx2 + у2 — y/zz* > 0, (р = Arg z.
Модуль комплексного числа z равен нулю тогда и только
тогда, когда z = 0.
Непосредственно из рис. 2 видно, что для модуля
комплексного числа z справедливы неравенства
\х\ - |Re z\ ^ |z|, \y\ = |Im z\ ^ \z\.
Поскольку длина стороны треугольника не больше суммы длин
двух других его сторон и не меньше абсолютной величины их
разности, то из рис. 3 с очевидностью следует неравенство
|Ы-Ы|<|*1 + *2|^Ы + |*а|. (1-9)

16 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Величина Arg z неоднозначна и определяется с точностью
до любого слагаемого, кратного 27г. Наряду с символом Arg z,
обозначающим всю совокупность значений аргумента, будем
употреблять символ arg z, называемый главным значением
аргумента и обозначающий одно какое-либо значение Arg z, т.е.
а ^ arg z < а + 27Г, а = const. Величину argz, если не
оговорено особо, будем рассматривать в пределах О <С argz < 27Г,
когда a = 0 (или —7Г ^ argz < 7г, когда а = —7г). Тогда
Arg z — arg 2 -f 27Г&, где k — любое целое число, а из рис. 1
следует, что
<Ро
7Г -<ро
7Г + ^о
27Г- (ро
х > 0,
ж<0,
х < 0,
х > 0,
</>0
*/>о
2/<0
У<0
^ = arg* = { г» '* ^ п' ?, ^ П ' <Po = arccos i-i, (1.10)
причем для всех действительных положительных чисел <р =
0, а для отрицательных <р = 7Г. Соответственно, для чисто
мнимых чисел, лежащих в верхней полуплоскости (у > 0), <р =
7г/2, а для лежащих в нижней полуплоскости (у < 0) <р = 37г/2.
Введение полярных координат и, соответственно,
тригонометрической формы комплексных чисел (1.8) позволяет
записать некоторые операции с комплексными числами в
более удобной форме. Пусть z\ — pi(cos<pi + isiiapi) и zo =
p2{cos(f2 4- isin^)- тогда равенство двух комплексных чисел
z\ — Z2 эквивалентно условиям
Pi = Р2) <Pi = <Р2 + 2кк, к = —оо, сю.
Из соотношений (1.3) и (1.7) с учетом тригонометрических
формул cos(<pi ± <р2) = cos^>icosy?2 T sin y?i sin y>2 и sin(y?i ±
(р2) = sin (pi cos ^>2 =Ь sill (f2 cos (pi непосредственно следуют
формулы умножения и деления комплексных чисел
z = zxz2 = piP2[cos((pi + <р2) + isin(v?i + (Р2)],
zi ztfl Pi г , \ , • • / м (1,П)
* = — = 1 jf = — [C0S(^i - У?2) + *Sin(pi - V?2)J.
*2 |^2 Г Р2
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются, а при делении их
модули делятся, а аргументы вычитаются (см. рис. 4).
3. Возведение в целую степень
♦ Произведение п равных комплексных чисел z называется
n-ой степенью числа z и обозначается zn.

1. Комплексные числа и действия над ними
17
Рис. 4 Рис. 5
Аналогично вводится понятие возведения в целую
отрицательную степень
z~n = — = rlr{z*)n.
zn |z|2nV /
Операцию возведения в целую положительную степень с
помощью (1.11) и метода математической индукции можно
определить формулой
zn = fjn (cos rap + i sin тир), (1-12)
которая называется формулой Муавра и остается
справедливой и для отрицательных целых п. Геометрический смысл
формулы Муавра иллюстрирует рис. 5.
О Из формулы Муавра (1.12), в частности, следует, что
(z*)n = {z11)* ' и |sn| = |s|n. (1.13)
Пример 1.3. Представить в алгебраической форме 23, z~3,
если z — 1 + г.
Решение. Первый способ. Воспользуемся алгебраической
формой числа z:
z3 = (1 + г)3.= 1 + Зг + Зг2 + г3 = -2 + 2г,
z~3 = (Гн)5 = -2(1-г) = "4(1 + i]'
Второй способ. Представим число z в тригонометрической
форме
z = 1 + г = v2 f cos — + г sin —).

18 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Тогда, согласно формуле Муавра (1.12),
3 Л /К( 37Г . . 37Г\
z = 2 V 21 cos — + г sin — J,
1 / Зтт . . Зтгч
—= cos — г sin —- .
J2\ 4 4 /
2^2
Легко проверить, что
= 2V2(- -^ + г-:^-)
_ л/2 .л/2
2^ 2
2лМ
2 + 2г,
4. Извлечение корня
/ X
' ?Х
\ зМ
\ /
\ /
ч /
У yz
1^ШЪ \ ,
J 1 х
-^ Т /
♦ Комплексное число ги
называется корнем n-й степени из
комплексного числа z, если z = wn, и
обозначается го = \/^ = г1'71.
Если обозначить z — p(cos (p +
isin</?), w = r(cos0H-zsin0), то,
согласно операции возведения в
степень, имеем
Рис. 6
г = tfp, в =
Следовательно.
У? + 2&7Г
ОС, ОС.
Wfc
= Vw(«
cos h г sin
)• (1.14)
Первое соотношение показывает, что модули всех корней
одинаковы, второе — что их аргументы различаются на
значение, кратное 2тг/п. Функции cos <p и sin (p имеют период 27г.
Поэтому, хотя формула (1.14) справедлива для всех целых &,
она определяет различные значения корня n-й степени из z
лишь для к = 0,п— 1. Отсюда следует, что корень n-й
степени из любого комплексного числа z ф 0 имеет п различных
значений и что эти значения располагаются в вершинах
правильного n-угольника, вписанного в окружность \w\ = \/\z\
(см. рис. 6, где п = 3).

1. Комплексные числа и действия над ними
19
Пример 1.4. Найти все значения-корня \^8.
Решение. Имеем х = 8, у = 0. Найдем модуль и аргумент
числа z
р = \z\ = л/82 + О2 = л/85" = 8.
Число z = 8 лежит на положительной части действительной
оси, следовательно, (р = 0. По формуле (1.14) при п = 3
получим.
wk = ^в(.
0 + 2тг& . . 0 -Ь 2тгА:>
cos h г sin —-
3 3
2тгЬ
\ _/ 27Г/С . . Z7T/C\
J = 2(^cos — + zsin — J,
где А: = 0,2. Придадим индексу k значение к = 0. Тогда
w0 - 2(cos-^-+isin-^—) = 2(cos0+isin0) = 2(l+i-0) = 2.
V 3 3 /
Пусть теперь k — 1. Имеем
/ 2тг- 1 . . 2тг- 1\ / 2тг .
t^i = 21 cos — И sin —-—1 = 2 (cos ——И
siny)
-1+iy/Z.
Наконец, когда к = 2,
/ 2тг-2 . . 2тг-2
W2 = 2 (COS — И SHI —-—
\ о о
)-'(■
Изобразим найденные значения
корней в комплексной плоскости.
Для этого воспользуемся рис. 6, где
положим (р = 0. Полученный
рисунок дает наглядное представление
о расположении корней в плоскости
хОу. Они лежат в вершинах
правильного треугольника, вписанного
в окружность радиуса 2 (см. рис.
7). Одна из вершин треугольника
— точка wq = (2, 0).
Рис. 1.
Пример 1.5. Найти все значения корня у/—1.
Решение. Имеем z = — 1. Следовательно, х = — 1, у — 0.
Найдем модуль и аргумент числа z

20 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Число z = — 1 лежит на отрицательной части
действительной оси, следовательно, <р = 7г. Совокупность корней
определяется формулой (1.14), в которой положим п = 4, а к = 0, 3:
wk = л/ГГ
7г 4- 2тгк . . 7Г + 2ттк
cos : h г sin
4 4
Придадим индексу /г значение к = 0. Тогда
ги0 = cos — + г sin — = ——(I -f г).
4 4 2
Положим теперь & = 1, 2, 3. Получим
Зтт
)•
W\
Wi
У
1
№
)l X
Wz
... . . Зтт л/5. „ ..
г»1 = cos — + isin — = -^-(-1 + г);
5тг 5тт V2
ад2 = cos — + asm — = -«-(-I - *);
ги3 = cos —— + г sin —- = -т-(1 — г).
4 4 2
Изобразим найденные значения корней
^ис- ° в комплексной плоскости. Все
значения корня tf—[ лежат в вершинах квадрата, вписанного в
окружность единичного радиуса (рис. 8), причем одна из
вершин квадрата — точка г^о = (V2/2, \/2/2).
2. Множества на комплексной плоскости
Приведем основные определения и свойства множеств
комплексных чисел, которые необходимы нам для дальнейшей
работы.
♦ Множество точек на комплексной плоскости,
удовлетворяющих условию \z—zq\ < e, называется е-окрестностью точки
zo и обозначается C(zo,e).
0 Нетрудно заметить, что геометрически множество C(zo, e)
содержит все внутренние точки круга радиусом е с центром в
точке О = (ж0,2/о) (zo = %о + iyo).
♦ Множество Е называется ограниченным, если
существуют такие zo и е > 0, что Е С C(zo, e).
♦ Точка zq называется предельной точкой множества £",
если для любого е > 0 множество C(zo,e) f]E содержит по

2. Множества на комплексной плоскости
21
крайней мере одну точку, принадлежащую множеству Е и
отличную от zq.
♦ Множество Е' называется производным множеством
множества Е, если оно состоит из всех предельных точек
множества Е.
♦ Точка 2о называется изолированной точкой множества Е,
если существует окрестность точки 2о, не содержащая других
точек множества Е.
♦ Точка zq называется внутренней точкой множества Е,
если существует такое е > О, что C(zo,e) С Е.
♦ Точка zq комплексной плоскости называется граничной
точкой множества Е, если любая окрестность C(zq,e)
содержит, кроме самой точки zo, также точки, принадлежащие
множеству Е, и точки, не принадлежащие множеству Е.
♦ Совокупность всех граничных точек множества Е
называется границей этого множества и обозначается 7я> ^Е или
дЕ.
♦ Множество, состоящее только из внутренних точек,
называется открытым.
♦ Множество Е = Е' |J E называется замыканием
множества Е.
♦ Множество Е называется линейно связным (или
связным), если две любые его точки можно соединить непрерывной
кривой, целиком лежащей в Е.
♦ Множество Е называется односвязным, если его граница
*)е — связное множество.
4 Открытое связное множество называется областью.
Пример 2.1. Определить, какое множество на комплексной
плоскости определено условием
|argz| < -.
Решение. В полярных координатах неравенство
принимает вид
7Г 7Г
и определяет угол между биссектрисами первого
и четвертого координатных углов (рис. 9),
причем сами биссектрисы не включаются.
Щ
Рис. 9

22 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Пример 2.2. Какое множество на комплексной плоскости
определяется условием
\z- 1| ^ 2\z-i\.
Решение. Положим z = х + г?/. Тогда
\x-l + iy\ ^2\x + i{y-l)\
{x+lY+(y-tY^
^{х - l)2 + у2 ^ 2^х2 + {у - l)2.
Избавившись от квадратных корней, получим
х2 - 2х + 1 + у2 ^ Ах2 + 4?/2 - 8у Ч- 4;
О ^> Зж2 + 2ж + Зу2 - 8у + 3;
/ 1\2 1 / 4\2 16
°*3(*+з) -з + 3(^"з) "У + 3-
Окончательно получим
3^ ^ 9
Последнее неравенство задает круг радиуса 2л/2/3 с центром
в точке 0(-1/3,4/3).
Пример 2.3. Какое множество на комплексной плоскости
определяется условием
|s + 3| + |z-3| = 10. (2.1)
Решение. Первый способ. Аналогично примеру 2.2 находим
— 4-^1 = 1
25 16
Таким образом, уравнение (2.1) определяет эллипс с центром
в начале координат и полуосями a = 5, b = 4.
Второй способ. По определению, модули |z+3| и \z—3|
определяют расстояние от произвольной точки z до точек z\ — — 3,
z2 = 3. Согласно (2.1), их сумма постоянна. Следовательно,
уравнение (2.1) определяет, геометрическое множество точек,
сумма расстояний которых до точек z\ и z2 постоянна и равна
10, т.е. эллипс с фокусами в точках z\ — — 3, Z2 = 3 и с
с = 3, 2а =10, а = 5, 6 = \Ja2 - с2 - 4.

3. Последовательности комплексных чисел
23
3. Последовательности комплексных чисел.
Бесконечно удаленная точка
♦ Если каждому натуральному числу п (п = 1,оо)
поставлено в соответствие некоторое комплексное число zn, то
говорят, что на множестве комплексных чисел задана
последовательность, которая отображает множество N в С и
обозначается {zn}. Комплексные числа zn, образующие
последовательность, называются ее элементами.
Заметим, что поскольку комплексное число zn = xn+iyn
характеризуется парой вещественных чисел, то
последовательность комплексных чисел определяется двумя вещественными
последовательностями {zn} = {хп} + г{уп}.
♦ Число z — x+iy называется пределом последовательности
{zn} = {xn} + г{уп) и обозначается
z — lim zn,
П—¥00
если для любого е > 0 существует N£ такое, что для всех
n > N£ справедливо \z — zn\ < е.
♦ Последовательность комплексных чисел {zn} называется
сходящейся, если она имеет конечный предел и расходящейся
в противном случае.
Теорема 3.1. Последовательность комплексных чисел {zn}
— {хп} + i{Vn} имеет своим пределом число z = x + iy тогда
и только тогда, когда
х— lim xny< у— lim yn. (3.1)
п—юо n—юо
Доказательство. 1. Пусть последовательность {zn} сходится
к точке z. Тогда, по определению, для любого е > О существует
N£ такое, что для любого n > Ne справедливо \z — zn\ < е. Из
неравенств \х - хп\ ^ \z - zn\ и \у - уп\ ^ \z - zn\ следует, что
формулы (3.1) справедливы.
2. Аналогично из сходимости последовательностей {хп} и
{уп} и из неравенства
\z-zn\ = \/(х-хп)2 + {у-уп)2 ^\х-хп\+\у-уп\
следует сходимость последовательности {zn}.
О Поскольку определение предела последовательности
комплексных чисел дословно повторяет определение предела
последовательности вещественных чисел, то для предела комплекс-

24 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
ных последовательностей справедливы доказанные в курсе
математического анализа основные свойства предела
вещественных последовательностей. В частности, если {zn} и {wn} -
последовательности комплексных чисел, а а и /3 - комплексные
постоянные, то выполняются соотношения
lim (azn -\- fiwn) — a lim zn + ft lim wn\
n—юо rc-»oo ?г->оо
lim znwn — lim zn lim wn\ (3-2)
П—YOQ П—)• OO П—УОО
~ lim zn
lim — = — , wn ф 0, n = 1, oo.
n->oo гуп lim wn
n—юо
Соотношения (3.2) справедливы при условии, что в их правых
частях не возникает неопределенностей.
♦ Последовательность {zn}, п — 1,оо называется
ограниченной, если существует такое положительное число R > 0,
что для всех п справедливо неравенство \zn\ < R. В
противном случае последовательность называется неограниченной.
♦ Пусть дана последовательность комплексных чисел {zn}
такая, что для любого R > 0 существует 7V#, такое что для
всех n > Nr справедливо \zn\ > Д. В этом случае пишут
lim zn = оо и говорят, что последовательность стремится к
71—ЮО
бесконечности z —>■ оо.
Проведем следующие рассуждения.
Рис. 10
Рассмотрим сферу 5, касающуюся комплексной плоскости
в точке О (рис. 10). Обозначим через Р точку сферы,
диаметрально противоположную точке О. Каждой точке z
комплексной плоскости поставим в соответствие точку М, которая

3. Последовательности комплексных чисел
25
является точкой пересечения сферы S с прямой, проходящей
через точки Р и z (рис. 10). Очевидно, что
последовательности {zn}, стремящейся к бесконечности, соответствует
последовательность точек сферы, сходящаяся к точке Р. Поэтому
добавим к комплексной плоскости так называемый бесконечно
удаленный элемент — точку z = оо и поставим ему в
соответствие точку Р.
♦ Комплексная плоскость называется расширенной, если
она состоит из обычной комплексной плоскости и
единственного бесконечно удаленного элемента z = оо.
О Соответствие между точками расширенной комплексной
плоскости и точками сферы S является взаимно однозначным
и называется стереографической проекцией, а сфера S —
сферой Римана.
Аргумент комплексного числа z = оо не определен, так же
как и его действительная и мнимая части.
Пример 3.1. Найти пределы последовательностей {wn}, n =
1, оо, если
^ n+1 к\
a) wn = г, б) wn =
п — г
г
в) wn =arg—.
n
Решение, а) Найдем действительную и мнимую части числа
wn = Un +ivn:
n+1 n2 + n + ni + i n2 +n .n + 1
n — i n^ + 1 n^ + 1 nJ + 1
Найдем пределы вещественных последовательностей
n2+n 1 + 1/n
hm un = hm 2 = hm , 2 = 1,
п-юо п-юо nz + 1 n-voo 1 + 1/n^
n + 1 1/n + 1/n2
hm vn = hm = hm = 0.
п-коо n-+oo nz + 1 n-)-oo 1 + ±/n*
Следовательно, по теореме 3.1 lim wn = 1 + г0 = 1.
n-foo
б) Последовательность wn = \zn\ - вещественная.
Следовательно,
lim wn = lim — = 0.
n-foo n—юо n
в) Представим число zn = in/n в тригонометрической
форме
zw = - (■
n V
7ГП . . 7ГП\
. cos —— + г sin —— .
n V 2 2 /

26 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Следовательно,
( 0 n = 4k
arg2n = <
тг/2 п = Ак + 1 , _ ^
тг n = 4fc + 2 ' /с-и'°°'
Зтг/2 n = 4fc + 3
и последовательность {wn} имеет вид
7Г 37Г 7Г 37Г
"'г'*'У0'2'*'У"
и предела не имеет.
О Таким образом, если lim zn = 0, то последовательность
п—юо
arg zn может расходиться. Покажем, что если lim zn = zq ф О,
п-юо
то последовательность arg zn также может расходиться.
Пример 3.2. Найти пределы последовательностей {wn}, n =
1, оо, если
a) wn = zn, б) ги„ = argzn
при zn = 1 + г(—l)n/n.
Ре1пение. а) В силу линейности
(~1)п
lim zn = lim 1 + i lim = 1.
n—юо n—юо n-*oo n
б) Согласно формуле (1.10),
arg zn = <
1 «, Л
arccos —==, n = 2fc + 2;
v^^^w; ' fc=o^.
27Г — arccos —. :, n = 2k + 1;
vTTW
Следовательно, последовательность имеет две предельные
точки: 0 и 27Г и поэтому расходится.
4. Ряды комплексных чисел
4 Пусть дана некоторая последовательность комплексных
чисел {wn} с общим элементом wn = un + гг>п. Тогда
выражение вида
£>„ (4.1)
П = 1

4. Ряды комплексных чисел
27
называется бесконечным рядом с комплексными членами.
Величину wn называют n-м членом ряда. Выражение
п
Sn=YsWk (4'2)
k=l
называется п-частичной суммой.
♦ Ряд (4.1) называется сходящимся, если существует
конечный предел последовательности его частичных сумм
lim Sn = 5.
П—ЮО
Число S называется суммой ряда.
Теорема 4.1. Ряд (4.1) сходится тогда и только тогда,
когда сходятся оба ряда
оо оо
11=1 11=1
оо
Доказательство. Пусть ряд ^2 wn сходится. Обозначим
п = 1
Re Sn = Un, Im 5„ = Vn. Тогда
lim Sn = Hm Un + i lim Vn —U -\- iV,
n—юо n-*oo n—юо
OO OO
т.е. оба ряда: X) un и ]j^ -un сходятся в силу теоремы 3.1. Ана-
n = l n=l
ОО (Х>
логично из сходимости рядов J2 ип и S ^п следует сходи-
п = 1 п = 1
оо
мость ряда £) w„.
п = 1
Теорема переносит основные свойства рядов с
вещественными членами на ряды с комплексными членами.
Теорема 4.2 (необходимый признак сходимости). Если
ряд (4.1) сходится, то lim wn = 0.
n-юо
Доказательство. Действительно,
lim tun = lim un -f i lim -yn,
n—юо n—юо n—юо

28 Глава 1, Введение в теорию функций комплексного переменного
оо оо
и ряды ^2 un и £ vn сходятся. Следовательно, по НеобхОДИ-
nzzO п=0
мому признаку сходимости ряда с вещественными элементами
lim un = lim vn = О, т.е. lim wn = О + гО = 0, что и требо-
п—юо п—юо п—юо
валось доказать.
Аналогично доказываются все остальные свойства рядов с
комплексными членами.
♦ Ряд (4.1) называется сходящимся абсолютно (или
безусловно), если сходится ряд, составленный из модулей его
элементов
оо
£W- (4-4)
п = 1
♦ Сходящийся ряд (4.1) называется условно (неабсолютно)
сходящимся, если ряд, составленный из модулей его элементов,
расходится.
Теорема 4.3. Если ряд (4.1) сходится абсолютно, то он
сходится.
Доказательство. Так как \un\ ^ |iun|, \vn\ <C |iun|, то из сходи-
оо
мости ряда Yl \wn\ на основании первого признака сравнения
п=1
оо
знакоположительных рядов следует сходимость рядов J2 \ип\
п = 1
оо оо оо
и 5^ \vn\. Следовательно, ряды ^2 \ип\ и £] |t;n| сходятся аб-
п=1 п=1 п=1
оо оо
солютно, а ряды ^ ип и ^ vn сходятся. Тогда из теоремы
п=1 п=1
4.1 следует сходимость искомого ряда.
Теорема 4.4. Если оба ряда (4.3) сходятся абсолютно, то
ряд (4.1) также сходится абсолютно.
Доказательство следует непосредственно из неравенства
треугольника (1.9):
k«l = Vul + vl ^ Kl + KI
и первого признака сравнения для знакоположительных рядов.
О В качестве достаточного признака абсолютной
сходимости можно использовать любой достаточный признак
сходимости знакоположительных (вещественных) числовых рядов.

4. Ряды комплексных чисел
29
Приведем формулировки основных достаточных признаков
сходимости, которые мы будем использовать для исследования
комплексных рядов.
Пусть
оо
£>п, (4.5)
п = 1
оо
5>п (4.6)
п = 1
- знакоположительные числовые ряды.
1. Первый признак сравнения. Если существует такое JV,
что справедливо неравенство
и если ряд (4.6) сходится, то ряд (4.4) также сходится, а ряд
4.1) сходится абсолютно. Если же ряд (4.5) расходится, то ряд
4.4) расходится.
2. Второй признак сравнения. Если существует конечный
и отличный от тождественного нуля предел
U I
lim —^- = а, 0 < а < ос,
п-юо ап
то ряды (4.5) и (4.4) сходятся или расходятся одновременно.
3. Признак Даламбера. Если существует предел
lim n+1 = q,
7W00 \wn\
то ряд (4.4) сходится [ряд (4.1) сходится абсолютно] при q <
1 и расходится при q > 1. При q = 1 вопрос о сходимости
остается открытым.
4. Признак Коши. Если существует предел
lim y/\wn\ =q,
п—юо
то ряд (4.4) сходится [ряд (4.1) сходится абсолютно] при q < 1,
Расходится при q > 1, а при q = 1 вопрос о сходимости ряда
(4.4) остается открытым.

30 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
5. Интегральный признак Коти. Если |гоп| = /(п), где
функция f(x) монотонно убывает и непрерывна при х ^> а ^ 1,
то ряд (4.4) и интеграл
оо
Jf(x)dz
сходятся или расходятся одновременно.
6. Признак Дирихле. Ряд
/]апЬп
п = 1
сходится, если частичные суммы ряда (4.6) ограничены, т.е.
существует такое М > 0, что
5>
< М, п = 1, оо,
а последовательность {ап} монотонно стремится к нулю.
Пример 4.1. Исследовать на абсолютную сходимость ряд
ои
П = 1
Решение. Рассмотрим ряд из модулей. С учетом соотношения
(1.13) получим
ои ои
п = 1
п = 1
Применим признак Коши сходимости знакоположительных
рядов:
п->о у 3n v ; 3
<1.
Здесь мы воспользовались известным предельным
соотношением lim ^/n = 1. Следовательно, искомый ряд сходится аб-
п—юо
солютно.

4. Ряды комплексных чисел
31
Пример 4.2. Исследовать на сходимость ряд
у> sin3n
^ Зп + 2пг*
п = 1
Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Рассмотрим ряд
sin3n
п=1
3n + 2пг
составленный из модулей. Из ограниченности функции sin ж
для вещественных переменных следуют неравенства
\wn
sin3n
3n + 2ni
<
1
3n + 2пг
1
V32n + 22n 3n
1
Следовательно, исходный ряд мажорируется рядом
ОО °° 1
п=1 п=1
Применим к нему признак Коши
lim ^Г= lim (/— = - < 1.
n-юо п-юо у 3 3
Следовательно, ряд ^ ап сходится. Тогда в соответствии с
п=1
первым признаком сравнения сходится и ряд, составленный
из модулей, а исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 4.3. Исследовать на сходимость ряд
ОО
£2-»/2(1 + г)".
П = 1
Решение. Найдем действительную и мнимую части ряда. Для
этого представим zn в виде
гп = [-1(1 + г)]" = (1±^)П = (cos\ + isin J)".

32 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Согласно формуле Муавра (1.12)
7Г . . 7Г\П
4+"m4) =t" 4 ■—■4
/ 7Г . 7Г\П 7ГП . . 7Г71
cos —h г sin — = cos —— + г sin ■
V 4 4/ 4
Следовательно,
П7Г . . П7Г
zn = cos — + г sin — = un + ivn,
где
П7Г . П7Г
глп = cos —; vn = sin —.
4 4
Проверим выполнение необходимого признака сходимости
ряда. Пределы
lim un, lim vn
n—юо n-*oo
не существуют. Следовательно, необходимый признак не
выполняется и ряд расходится.
Пример 4.4. Исследовать на сходимость ряд
" {-l)nn + i
п2 '
п = 1
£
Решение. Исходный ряд сходится, так как сходятся ряды
71 = 1 П = 1
являющиеся его действительной и мнимой частями. Исследуем
ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд,
составленный из модулей
~ |(-1)"п + г| у, y/1+l/n2
^1 п2 I ^ п
п=1 п=1
Согласно первому признаку сравнения, в силу неравенства
у/1 + 1/п2 1.
п п
и расходимости гармонического ряда3 ряд, составленный из
модулей, расходится. Следовательно, исходный ряд сходится
условно.

4. Ряды комплексных чисел
33
Пример 4.5. Исследовать на сходимость ряд
оо
У^ an (cos <p + i sin y?)n, (4.7)
71 = 1
где знакоположительная последовательность {an}, n = 1,оо,
монотонно стремится к нулю, а <р - вещественная постоянная.
Рассмотреть два частных случая:
-=■, б) ап = -.
a) an = -j, б) ап = -.
Решение. 1. Обозначим n-ый член ряда через wn. Тогда по
формуле Муавра (1.12)
Re wn — an cosny?, Im wn = an sinn^>, |it>„.| = an.
Таким образом, ряд (4.7) сходится абсолютно, если сходится
ряд
оо оо
£Ы = £а«- (4.8)
71 = 1 71 = 1
2. Пусть ряд (4.8) расходится. Исследуем ряд (4.7) на
условную сходимость. Обозначим
Сп{<р) = ^2 cos k(pK Sn{<p) = У^ sin kip
*=i fc=i
и с учетом соотношений
2 sin ktp sin — = cos (к — -) <p — cos ( к + - j <p\
2 cos k<p sin — = sin f к + - J y? — sin ( к — -Jip
получим
_ coB[(n+l)y/2]sin(ny/2)
sin tp/2
sin[(n+1)^/2] sin(ny?/2)
sin ip/2

34 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Если (р ф 2itm, m— —00,00, то справедливы неравенства
|einp/2|' i^vr/.^ |8in^/2|'
и по признаку Дирихле ряды
оо оо
2_. Re wn и V^ im wn
n = l n = l
сходятся. Если <р = 27rm, то cosntp = 1, sinny> = 0, п = —оо, оо.
Таким образом, ряд
оо оо
YJ Ini wn = YJ dn sin ny> (4.9)
n=l n=l
сходится для всех y>. Аналогично ряд
оо оо
у] Re wn — \\ an cos ткр (4.10)
n=l n=l
сходится при (р ф 27гт, га = —оо, оо [ряд (4.7) сходится
условно] и расходится в противном случае.
3. Рассмотрим частные случаи.
а) Ряд (4.8) при an = 1/п2 сходится, так как
оо 1
п=1
— обобщенный гармонический ряд, показатель которого
больше единицы. Следовательно, ряд
(cosy? + isiny>)n
1 ^
n = l
Е
сходится абсолютно. .
б) Если an = 1/п, то ряд (4.8) расходится, так как
°° 1

5. Понятие функции комплексного переменного. Непрерывность 35
гармонический ряд. Таким образом, ряд
E(cos(p + 2sin^>)n
71 = 1
сходится условно при (р ф 27гт и расходится при (р = 2тгт,
771 = -ОО, ОО.
5. Понятие функции комплексного
переменного. Непрерывность
♦ Пусть даны две плоскости комплексных чисел z — х + г?/,
w — u + iv. Рассмотрим некоторое множество Е в плоскости
z и множество G в плоскости w. Если каждому числу z из
множества Е поставлены в соответствие одно или несколько
комплексных чисел w из множества G, то говорят, что на
множестве Е задается функция комплексного переменного,
отображающая множество Е в G. Символически это обозначается
w
я*),
(5.1)
при этом точку w G G называют образом точки z E Е, а точку
z - прообразом точки w.
♦ Множество Е называют областью определения функции
/(г), а множество всех комплексных чисел вида f(z) E G, где z
пробегает все множество Е, — множеством значений функции
f(z) (см. рис. 11).
♦ Если каждому числу лГ из множества Е соответствует
только одно число w из множества G, то функция w = f(z)
называется однозначной, в противном случае — многозначной.
♦ Однозначная функция f(z) называется однолистной в
области Е, если для всех z\ и 22, лежащих в области #, из усло-
вия f(zi) ф f(z2) следует, что z\ ф z2, а из условия z\ ф z2,
х о|
Рис. 11

36 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
— что f{z\) ф /(^з)- В противном случае функция называется
многолистной.
♦ Функция f(z), однолистная в некоторой окрестности
точки zo, называется однолистной в этой точке.
О Очевидно, что функция w = f(z), однозначно
отображающая область Е в область G, будет однолистной, если
обратная функция z = <p(w) будет однозначна в области G.
О Заметим, что суперпозиция однолистных отображений
также является однолистным отображением. Другими
словами, если функция £ — f(z) взаимно однозначно отображает
область Е в область £>, а функция w = <р(£) взаимно
однозначно отображает область D в область G, то сложная
функция w — <p(f(z)) взаимно однозначно отображает область Е в
область G.
О Смысл терминов «однолистная» и «многолистная»
функции мы поясним позднее.
Функцию f(z) можно записать в виде
f(z) = u(x, у) + iv(x, у), z = (ж, у) е Е,
где
и(х, у) = Re f(z), v(x, у) = Im f(z).
Перейдем к понятию непрерывности функции. Как и в
случае вещественных функций, для этого дадим сначала
определение предела функции.
♦ Комплексное число а называется пределом функции f(z)
в точке 2о, если для любого е > 0 существует 8 > О, такое что
для всех z £ Е, таких что \Az\ = |^ — ^о| < $, выполняется
\f(z) — a\ < е. Для обозначения предела функции используется
символ
lim f(z) = a. (5.2)
Z —)-Zo
'О Поскольку определение предела функции комплексного
переменного дословно повторяет определение предела функции
вещественного переменного, то для первого предела
справедливы все основные свойства второго, доказанные в курсе
математического анализа и полностью аналогичные свойствам
предела последовательности комплексных чисел [см.
соотношения (3.2)].
Пример 5.1. Вычислить
a) lim : ; б) lim f ).
г-)--»' Z + г z-+0\z* Z/

5. Понятие функции комплексного переменного. Непрерывность 37
решение, а) Числитель и знаменатель дроби, стоящей под
знаком предела, стремятся к нулю. Для устранения
неопределенности сделаем замену z == w — i. Тогда если z —> —г, то
z2 + Ziz - 2 tu(tfl + i) ,.,,., .
lim : = hm = lim (w + г) = г.
z-¥-i z -f- г to-»-о гу w-»-o
б) Пусть г = />(cosy> + г sin у?). Поскольку z -» 0, то р -> О
и, соответственно,
/ z г*\ _ / />(cos у? + г sin р) />(cos у? — г sin у?) \ _
z-+o\z* z/ p^o\p(cos<p — ishi(p) p(cos <p + isin (p) J
= lim 2г sin 2^ = 2zsin2u?.
Из полученного равенства следует, что пределы различны для
различных направлений, по которым произвольная точка z
стремится к z = О и, следовательно,
z-M\Z* Z /
не существует.
Заметим, что такой же результат получается, если
произвольную точку z устремить к z = 0 по произвольной прямой
у = кх. Действительно,
Г f z z*\ _ г /aj(l + zfe) ж(1-г&)\_ Aik
*™V?" ~ Т/ .rX-?oU(l-ifc) " s(l-Hfc)/ ~ 1 + fc2'
Отсюда в силу произвольности углового коэффициента к
следует, что предел не существует.
♦ Функция f(z) непрерывна в точке zq E Е, если
выполняется равенство
lim f(z) = f(z0), zeE. (5.3)
Z—¥Zq
Равенство (5.3) эквивалентно двум равенствам
v »зи-Ца?0,Уо) (х,у)-).(хо,уо)
(5.4)
Пример 5.2. Доказать, что функция f(z) = zn непрерывна в
каждой точке комплексной плоскости.

38 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Решение. Рассмотрим функцию f(z) = zn при п = 1.
Выберем оОи положим S = e. Тогда из выполнения неравенства
\z — zo\ < S следует
|/(*)-/Ы1 = |*-*о|<* = е.
Тогда
lim Aw = 0,
Z-¥Z0
и функция f(z) = z11 при п = 1 непрерывна на всей
комплексной плоскости в силу произвольности zq. Но тогда и функция
f[z) эс zn при произвольном целом п непрерывна как
произведение п непрерывных функций.
♦ Функция f(z) называется непрерывной на множестве Е,
если она непрерывна в каждой точке множества Е.
Достаточно очевидно
Утверждение 5.1. Если непрерывная в области Е функция
w = f(z) однозначно отображает эту область на
множество G, то обратная функция w = (p(z) также является
непрерывной, а множество G - областью,
доказательство которого мы оставляем читателю.
6. Степенные ряды комплексных чисел
♦ Функциональный ряд
оо
£G.(z-«,)*, (6-1)
п=0
где Сп - комплексные числа, zq - фиксированное комплексное
число, z - независимая переменная, называется степенным
рядом.
♦ Областью сходимости степенного ряда называется
множество Е, состоящее из точек z, в которых ряд (6.1) сходится.
Теорема 6.1 (Абеля). Если степенной ряд (6.1) сходится в
точке z\, то он сходится абсолютно в круге \z — zq\ < \z\ — zq\
и равномерно в любом круге \z — zq\ <^ R, R < \z± — zq\. Если
ряд (6.1) расходится в точке Z\, то он расходится для всех
\* - *о| > \Z\ - Zq\.

в. Степенные ряды комплексных чисел
39
Доказательство повторяет доказательство теоремы Абеля
для вещественного ряда.
ф Число R = sup \z — zo\ где Е - область сходимости ряда
(6.1), называется радиусом сходимости ряда (6.1), а круг \z —
zq\ < R - кругом его сходимости.
О Аналогично вещественному случаю из признаков
сходимости Коши и Даламбера для радиусов сходимости степенных
рядов нетрудно получить соотношения
R= — j==, R= lim
hm y/Cn n-*°°
n-foo
Cn
c„
+1
(6.2)
Соотношения (6.2) написаны в предположении, что пределы,
стоящие в их правых частях, существуют. В противном случае
для определения радиуса сходимости следует применять
признаки Коши и Даламбера непосредственно, как это делается в
примере 6.2.
Пример 6.1. Найти область и радиус сходимости степенного
оо
ряда J2 zn/n\.
n=l
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей
^ I n! I ^ п! '
п=0 п=0
где z - произвольная фиксированная точка. Здесь мы
воспользовались соотношением (1.13). Применим к этому ряду
признак Даламбера
Ия+1 п! 1- И
lim ' ' ,,,7-т- = lim -^Лг = 0.
п-юо [п + 1)! \z\n n-юо П + 1
Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно для всех
конечных z. Таким образом, областью сходимости является вся
комплексная плоскость, а радиус сходимости равен
бесконечности.
Пример 6.2. Найти область и радиус сходимости ряда

40 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Решение. Обозначим через wn = (z + l)n/(n2n) общий член
ряда и вычислим предел
r К+1[ |* + l|n+1 п2я |* + 1|
lim -: г- = lim
пчоо \wn\ n-юо 2П + 1(П+ 1) |г + 1|п 2
Тогда по признаку Даламбера ряд (6.3) сходится, если \z +
1|/2 < 1, и расходится, если \z + 1|/2 > 1. Радиус сходимости
ряда (6.3) равен двум (R = 2).
Исследуем вопрос о сходимости ряда (6.3) на границе
области сходимости. Сделаем в (6.3) замену
z + 1 = 2(cos^ + i sin <p).
Получим ряд
cos у> + г sin <p
п = 1
Ecos у> + г sin <p ГЛ Л ,
II II, у>е[0,2тг[.
п.
В примере 4.5 показано, что последний ряд сходится при <р ф О
и расходится при <р = 0.
Таким образом, область сходимости ряда (6.3)
представляет собой круг \z + 1| ^ 2 с выколотой точкой я = 1.
7. Элементарные функции
комплексного переменного
По аналогии с вещественным анализом определим
функции комплексного переменного, которые будем называть
элементарными.
7.1. Степенная функция
Понятие степенной функции
w = zn, n = l,oo (7.1)
естественным образом вытекает из определения операции
возведения в степень (1.12), а функции
z = tfb (7.2)
- из определения операции извлечения корня (1.14). Для
заданного п их можно рассматривать как пару обратных друг

7. Элементарные функции комплексного переменного
41
другу функций. Общий вид степенной функции и
отображение, осуществляемое ей, будут рассмотрены позже. Здесь же
мы на простом примере w = z2 поясним введенные выше
понятия однозначности, многозначности, а также однолистности и
многолистности функции.
Пусть (р, (р) и (г, в) - полярные координаты точек в
плоскостях z и w, соответственно. Тогда из (7.1) следует
г = Л
9 = lip.
(7.3)
Согласно (7.3), верхняя полуплоскость />>0,0<^<7г
функцией w = z2 однозначно отображается на всю комплексную
плоскость w (лист комплексной плоскости) с разрезом по
положительной части действительной оси: г>О,О<0<27г (рис.
12). Для того чтобы пояснить появление разреза, рассмотрим
более подробно отображение границы полуплоскости -
действительной оси Im г = 0, обход которой совершается в
направлении от точки Л, соответствующей числу z\ — 1 (pi = 1,
Pi = 0), к точке В, соответствующей числу z2 = —1 {рг = 1?
(р2 — 7г) (см. рис. 12,а). Оба комплексных числа =Ы
отобразятся в одно число w — 1. Однако, как это следует из рис. 12,6,
точке A (z — 1) будет соответствовать точка A! (w = 1, р = 1,
0 = 0), а точке В (z = — 1) - находящаяся как бы «под точкой
Л'» точка В' (w = 1, р = 1, в = 27г). В таких случаях принято
считать, что положительная действительная полуось
плоскости w состоит из двух «частей»: «верхнего берега» и «нижнего
берега». «Верхний берег», обход которого совершается от А! к
нулю, является образом положительной действительной
полуоси плоскости z, а «нижний берег», обход которого
совершается от нуля кБ', - образом отрицательной действительной
полуоси плоскости z. Комплексную плоскость, изображенную
на рис. 12,6, принято называть комплексной плоскостью
(листом) с разрезом по положительной части действительной оси.
Покажем, что рассматриваемое отображение является не
только однозначным, но и взаимнооднозначным, или однолист-
Jg(p=l,y?=7t)
У (*)
Л(р=1у<р=0)
>>У,Ж,,,/,,,
>>}>>///
Л'(Г = 1,0=О)
верхний берег
-в'(г=1,0=2тс)нижний берег u
б
Рис. 12

42 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
ным. Действительно, хотя функция z = y/w, обратная к
рассматриваемой, двузначна (за исключением точек z = О, z —
оо), т.е. заданному значению w соответствуют два значения
z и —z, таких что г2 = (—z)2 = w, лишь одно из них
принадлежит верхней полуплоскости. Последнее и означает, что
отображение в рассматриваемой области является
взаимнооднозначным.
Поскольку точки z и —z симметричны относительно
начала координат, областью однолистности может служить любая
полуплоскость, которая получается при рассечении плоскости
z любой прямой, проходящей через начало координат. Если
граница полуплоскости образует с действительной осью угол
<р (рис. 13,а), то образ этой полуплоскости - плоскость w с
разрезом, образующим с осью Ои угол О — 2(р (рис. 13,6).
2
лНИЖНИЙ
верхний^еРег
/ W = Zl
/
/
б
k$?fz' /
X
a
Рис. 13
Нетрудно видеть, что полуплоскость является
максимальным множеством, в котором w = z2 осуществляет однолистное
отображение, и любое его расширение нарушает это свойство.
Действительно, если рассматривать функцию w = z2 на всей
комплексной плоскости 2, то она отобразит эту плоскость на
комплексную плоскость ги, пройденную дважды, или на два
листа плоскости w.
В этом случае обратная функция z — л/w уже не является
однозначной, так как одному значению w соответствуют два
различных значения z и — z, принадлежащих
рассматриваемой области. В этой ситуации можно поступить следующим
образом: во-первых, указать, какое из двух значений следует
иметь в виду. Если рассматриваемая точка w принадлежит
некоторой кривой L (не проходящей через z = 0, z = оо, рис.
13), то выбор одной точки из двух осуществляет, как говорят,
выбор однозначной ветви Z(z) {l(-z)) двузначной
(многозначной) функции. Во-вторых, вместо одного листа комплексной
плоскости w можно рассматривать два, соединенных
определенным образом в так называемую риманову поверхность, на

7. Элементарные функции комплексного переменного
43
которой функцию z = л/w можно считать уже однозначной.
Более подробно задача выбора однозначных ветвей
многозначных функций и построение римановых поверхностей будет
рассмотрена позже.
7.2. Показательная, тригонометрические и
гиперболические функции
♦ Функции комплексного переменного ег, sinz, cosz, sh z,
ch z определяются как суммы следующих рядов:
с ■ -?
со8г = £(-1Г
?i=0
(2n)!'
г2п + 1
ji/ -—-"- = В-1)"(^тт)!; (7-4)
1 _ v^ z2n
n=0 v '
1 ~ z2n+l
Нетрудно показать, что ряды, определяющие функции (7.4),
сходятся абсолютно во всей комплексной плоскости (см.
пример 6.1), а при вещественном аргументе [z — х) совпадают с
соответствующими функциями вещественного переменного.
Теорема 7.1. Для любого комплексного числа z справедливо
соотношение
elz = cosz + isinz. (7-5)
Формула (7.5) является обобщением известной из курса
математического анализа формулы Эйлера на случай
комплексных z и также называется формулой Эйлера.
Доказательство. Формулы (7.4) справедливы для любого z.
Например, для exz получим
п ... — ,*. 2-г (2*)! +2^ (2*+1)! '
n=0 n=0 fc=0 V ; fc=0 V ;
\%Z) _ V"^ l Z — ST^ l Z i Y^

44 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Поскольку i2k = (i2)k — (—l)fc, то
СО 9£ CO
fc=0
fe=0
s2fe + l
(2* + l)!
= cosz + tsmz,
что и требовалось доказать.
В дальнейшем нам понадобится правило замены индексов
суммирования в двойных суммах. Поэтому рассмотрим ряд
примеров.
Пример 7.1. Показать, что
* = J2 X) -f (n' m) = ]С ]С ^п + т'т)*
(7.6)
п=От=0
т=0 п=0
О'
^
ST\f
J Ы Ы
ж±
ж
Решение. Рассмотрим функцию
f(x, у) в области 0 ^ у ^ х. Тогда
оо п
?1=0 тп=0
О 123456789а?
Рис. 14
есть сумма значений функции
/(ж, у), взятых в точках х — п,
у = т, 0 ^ га <С п, где пит —
целые числа. Сначала
проводится суммирование по га при
фиксированном п, а затем по п. Такой
порядок вычисления суммы
можно проиллюстрировать графически следующим образом:
значения /(ж, у) вычисляются в точках пересечения
горизонтальных и вертикальных линий (рис. 14). Вертикальные линии
нумеруются значениями п, горизонтальные — значениями га.
Суммируются по га значения /(п, га) при фиксированном п,
что графически соответствует нахождению конечных сумм по
точкам пересечения при движении по вертикальным линиям
снизу вверх. Каждой вертикальной линии номера п
соответствует своя сумма
о-п = Yl Яп>т)-
т=0

7. Элементарные функции комплексного переменного
45
Затем вычисляется бесконечная сумма «по горизонтальным
линиям»
<r = Y,crn.
71=0
Предположим, что все возникшие двойные ряды сходятся
абсолютно, т.е. сг не зависит от порядка суммирования. Поэтому
сначала просуммируем по точкам, лежащим на каждой
горизонтальной линии (фиксированного номера га), двигаясь по ней
слева направо, а затем просуммируем «по вертикальным
линиям», т.е. по га
оо оо оо оо
n=m m=0 m=0n=m
Заменив индекс суммирования поп (n —> n + m) в последнем
выражении, получим правило (7.6).
Пример 7.2. Доказать соотношение
n k n п—т
a = Е Е Л*, "О = £ Е Я* + т, т). (7.7)
Ь0га=0 т=0 к=0
Решение. Рассуждения, аналогичные рассуждениям примера
7.1, дают
п к n n
££/(*,т) = ££/(*, ™).
k=0m=0 r т=0 к=т
Заменив к на А: + га, получим
n n n п — т
Е Е /(*'то) = Е Е /(*+то' то>-
т=0к=т гп=0 к=0
Следствие 7.1.1. Справедливо соотношение
eZleZ2 =e2l+z\ (7.8)
Доказательство. Из определения показательной функции
(7.4) с учетом бинома Ньютона получим
n=0 n=0fc=0

46 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Воспользовавшись определением биномиальных
коэффициентов С*, запишем
n=Ok=0 v ;
Поменяв порядок суммирования аналогично примеру 7.1,
получим
«■■~=Е£^г=•■■«■■.
ЬОга=0
что и требовалось доказать.
О Из формулы (7.8), в частности, следует, во-первых, что
(eiz)n = einz,
а во-вторых, что
Последнее равенство означает, что на комплексной плоскости
функция е3 становится периодической с чисто мнимым
периодом Т = 27гг.
Следствие 7.1.2. Справедливо соотношение
(cos z + г sin z)n = cos nz + г sin nz. (7.9)
Формула (7.9) является обобщением формулы Муавра (1.12) на
случай комплексных z и также называется формулой Муавра.
Доказательство. Из формулы Эйлера (7.5) следует
(cos z + isinz)n = (etz)n = elzn = cosnz + isinnz,
что и требовалось доказать.
Следствие 7.1.3. Справедливы соотношения
sins = ^{eiz -e""), cos* = I(e" +e""); (7.10)
2г 2
sh zz = г sin z, ch гг = cos z,
ег = ex4"*y = exety — e*T(cosy -f isiny).

7. Элементарные функции комплексного переменного 47
Доказательство. Эти соотношения нетрудно получить из
формулы Эйлера.
О Из формул (7.11) следует, что на комплексной плоскости
функции cosz и sin z по-прежнему остаются периодическими
с периодом Т = 27Г, однако уже не являются ограниченными,
поскольку выражаются через гиперболические функции. Сами
гиперболические функции, так же как и показательная
функция ez, становятся периодическими с чисто мнимым периодом
Т = 2тгг.
О Используя формулу Эйлера, из тригонометрической
формы комплексного числа (1.8) получим так называемую
показательную форму комплексного числа
z — pe%lp, где p=|z|, y> = Argz, (7.11)
удобную для возведения в степень и извлечения корня.
Пусть v — произвольное вещественное число. Тогда
zv = {\z\e^Y = (\г\е^+2к^У =>
zv = \z\v eitev+2k*v). (7.12)
В частности, v может быть равно 1/п.
Для функций (7.4) справедливы все основные соотношения,
полученные для вещественных функций.
Пример 7.3. Доказать соотношение
sh z\ ch z2 = — [sh.{zi + z2) + sh (zi - z2)].
Доказательство. Из определения гиперболических функций
(7.4) можно записать
sh Zl = ^[е21 - е"г1], ch z2 = i[e*2 + e"*3].
Следовательно,
sh zx ch z2 = -(eZl - e"2l)(eZ2 + e~Z2) =
— ire*i+*2 _ e-(zi+z2) __ e-(zi-z2) , eZi-z2-\ _
4
= -[sh (zx + z2) + sh (zi - z2)].

48 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Пример 7.4. Представить число
» = tg(J-iln2)
в алгебраической форме.
Решение. По определению
sinz
tg z = .
cosz
С учетом формул (7.11) получим
.е" -e~iz .e2iz -l
tg z = —i— — = —i—z-. -.
Следовательно,
/7Г i \_ x2iMe-iln2/2)_1 _
tgU 2 )~ l€2i(n/e-iin2/2) + 1-
ei*/3ein2_1 ^ д + гл/З-! _ ^3 _ 2у/3-3г
-"ге*тг/зе1п2 + 1 -~z1 + ix/3+1 - г + гу^" 7
Окончательно получим
р 2V3 3
Re гм = ———, Im га = -.
7 7
7.3. Логарифмическая функция
♦ Функция, обратная функции z = ew, называется
логарифмической и обозначается Ln z = w.
Пусть w = Ln z = u + iv. Из (7.11) z = \z\e% Arg 2. С другой
стороны, z = е1**"', т.е. |z|e,Arg2 = euetv. Отсюда v = Arg z,
ew = |z|, т.е. u = ln \z\. Таким образом,
Ln z = ln \z\ + г Arg 2; (7.13)
Arg z - arg z -f 27rfe, 0 ^ arg г < 2?r, (7.14)
где /г = — oo, 00.
♦ Значение логарифма числа z (z ф 0), равное In \z\+i arg z,
называется главным значением Ln z и обозначается
lnz = In \z\ + iargz. (7.15)

7. Элементарные функции комплексного переменного 49
С учетом (7.14)
Ln z = In z + 27г&г, /г = — оо,оо. (7.16)
Свойства логарифма Ln z: .
1. Ln (2122) = Ln zi + Ln 22,
2. Ln — — Ln 21 — Ln 22.
О Функция Ln z является многозначной, поэтому
указанные равенства (если иное не оговорено особо) следует
рассматривать с точностью до 27г&г или как равенства множеств,
состоящих из одних и тех же чисел. Естественные для
действительных чисел равенства In ж + In ж = 2 In ж, In ж2 = 2 In ж
на комплексной плоскости некорректны, т.е., вообще говоря,
Ln z + Ln z ф 2 Ln г, Ln z2 ф 2 Ln z, поскольку правые и
левые части представляют собой разные множества. Так, для
последнего соотношения 2 Arg z — 2(argz + 2irk) = 2 arg 2 + 47Г&,
тогда как Arg z2 — 2argz + 27rfe. В качестве иллюстрации
рассмотрим также множество М = {0,1}, состоящее из двух
элементов: нуля и единицы. Множество М + М состоит из трех
элементов: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, тогда как множество
2М состоит только из двух элементов: 2-0 = 0и2-1 = 2.
Пример 7.5. Представить в алгебраической форме число
a) w = Ln (1 + гуЗ), б) w — 1п(—а), а > 0.
Решение, а) Согласно (7.13)
Ln z — In р + i(<p + 27Г&),
где р — |z|, (р = arg 2 (см. рис. 15).
Запишем число z = l + г \/3 в виде
показательной функции:
z = peitp+2ink,
р = V^*~ = \f(l + гл/3)(1 - г\/3) = 2
Поскольку Re z = 1 > 0 и Im 2; = \/3 > 0, число z находится в
первой четверти комплексной плоскости. Согласно (1.10), <р —
¥>о, где
|ж| 1 7Г
<Ро = arccos — = arccos - = —.
Y p 2 3
х/3
\У
1 ж
Рис. 15.

50 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Тогда
Re w = Re Ln (1 + iy/i) = In p = In 2,
Im w = Im Ln (1 + i>/3) = т- + 27rfc.
о
Окончательно получим
гу = Ln (1 -f г\/3) = ln 2 + г ( — + 2irk), fc = — oo, oo.
б) Аналогично
ln(—a) = ln \a\ + 7гг = ln a + 7гг, a > 0.
В частности, ln(—1) = in.
7.4. Общая степенная функция
♦ Общей степенной функцией называется функция вида
w = zQ =eaLnz, (7.17)
где a - заданное комплексное число.
Пример 7.6. Представить в алгебраической форме число
ti> = (-12 + 5t)-f".
Решение. По определению (7.17)
zl* =eLnzi2 =e*aLn*1,
где z\ — —12 + 5г, ^г = —г. Запишем
Ln zi = Ln(-12 + 5i) = 1пр+г(^ + 27гА).
Найдем модуль и аргумент числа z±: p— \z\\ — 13. Поскольку
Re z\ — —12 < 0, Im z\ — 5 > 0, число z\ находится во П-ой
четверти. Согласно (1.10),
12
(р = тг - (ро, ipo = arccos —
Тогда
12
(р — 7г — arccos —.
J. о

7. Элементарные функции комплексного переменного 51
Следовательно,
/ 12 \
Ln z\ — Ln(-12 + 5г) = In 13 + г(тт - arccos — + 2тгк).
Тогда
w = e-iLn^-12+5t) = exp l-i [in 13 + iU - arccos ^ + 27г*)|| =
= exp < — i ln 13 + I 7Г — arccos — -f 2тгк I > =
f 12 I
= exp < 7Г — arccos — + 2тгк > exp(—iln 13).
С учетом формулы Эйлера (7.5) получим
/ 12 \
w = ехр ( 7Г — arccos — + 2тгк J (cos In 13 — i sin ln 13).
7.5. Обратные тригонометрические функции
♦ Функция, обратная функции z — cos iu, называется
арккосинусом и обозначается w = Arccos z.
Из формулы Эйлера следует, что
z=i(ei"+e-'-).
Следовательно, е2гу} — 2zetw + 1 = 0. Отсюда получаем elw —
z + \Jz2 — 1, т.е.
w — —г Ln (z + у z2 — 1) = Arccos г. (7.18)
В отличие от вещественного случая знак ± перед корнем не
ставится, так как л/z2 — 1 уже является многозначной
функцией.
Аналогично записываем
Arcsinz = -zLn (iz + y/l - z2);
Arctg z = — - Ln ;
& 2 г + z
Arsh z = Ln (z + >Л2 + 1); (7.19)
Arch z = Ln (z + л/z2 — 1);

52 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Arth z = - Ln .
2 1-z
О В вещественном анализе основными элементарными
функциями принято считать полиномы, показательные,
логарифмические, тригонометрические и обратные
тригонометрические функции. Все остальные элементарные функции
получаются из основных с помощью четырех
арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и
суперпозиций (построения сложных функции), применяемых
конечное число раз. Из проведенного выше рассмотрения
видно, что в теории функций комплексного переменного
основными элементарными функциями являются только
полиномы, показательные и логарифмические функции.
Пример 7.7. Представить в алгебраической форме число
w — Arcsin —.
Решение. Согласно формуле (7.19),
w
= -iLn(ii+v1"?) = "iLn(li±!i)-
В результате получим
1пЗ+ —+ 2i7rfcJ = - + 2тг&-г1пЗ,
w2 - -гЬп - - -г(1п- + — + 2mk\ = - + 2тг& + г1пЗ.
Объединим полученные результаты в одну формулу
w\- = Arcsin - = 7г(2&+-)±г1пЗ, к — — оо,оо.
Пример 7.8. Представить в алгебраической форме число
w = Arth(-l + 2i).
Регпение. Согласно формуле (7.19), для к — —оо, оо
1 l + (-l + 2t) 1 -1 + t
-=2LnrrpiT2i) = 2Ln^- =
1/. у/2 Зтг. Л. \ 1 Л /3 ,\.
= 2( Т" + Т* + 2 ) = --1п2 + тг(- + А;]г.

8. Дифференцирование функций комплексного переменного 53
8. Дифференцирование функций
комплексного переменного
♦ Функция f(z) называется дифференцируемой в точке z,
если при Az —У 0 существует конечный предел отношения
Af(z) f(z + Az)-f(z)
~Az~ = Az ' (8Л)
не зависящий от способа стремления Az к нулю. Этот предел
называется производной функции f(z) в точке z и обозначается
!'{')■■
гм=т=аш*№. (8.2)
dz д*-ю Az v y
О Если функция f(z) дифференцируема в точке z, то она и
непрерывна в этой точке.
Теорема 8.1. Если функция f(z) = и(х,у) + iv(x,y)
дифференцируема в точке z — x-\-iy, то в точке (х,у) существуют
частные производные функций и(х,у) uv(x,y) no переменным
х,у, причем имеют место следующие соотношения:
ди{х,у) __ dv(x,y) ди{х,у) _ dv(x,y) .
дх ду ду дх
Соотношения (8.3) называются условиями Коши-Римана.
Доказательство. Так как -функция f(z) дифференцируема,
то существует конечный предел
Az-+0 Az
который, по определению предела, не зависит от способа
стремления Az к нулю.
а) Пусть Az — Ах. Тогда
v у д*-+о Ах дх дх
б) Пусть Az = iAy. Получим
r// v . Г ,. An . .. Аул .ди dv
f (z) — —м hni -: h г lim ~z— r = — ^ h ТГ--
I Ay-+o Ay Ay-+oAyJ ду ду

54 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Но, по определению предела, результаты, полученные в
случаях а) и б), должны быть равны, что и доказывает теорему.
О Не представляет особого труда показать, что если
функция f(z) дифференцируема в точке zo, то функции и(х,у) и
v(x,y) не только имеют частные производные в точке жо?Уо?
но и дифференцируемы как функции двух переменных в этой
точке. Ответ на вопрос о дифференцируемости функции f(z) в
точке zo, если ее реальная и мнимая части дифференцируемы
как функции двух переменных в точке хо,Уо, дает следующая
теорема:
Теорема 8.2. Если каждая из функций и(х,у), v(x,y)
дифференцируема в точке ж, у как функция двух переменных, а
их частные производные удовлетворяют условиям Коши -
Римана (8.3), то функция f(z) = и(х,у) + iv(x,y) является
дифференцируемой функцией комплексного переменного z =
х + iy.
Доказательство. Поскольку функции и(ж, у) и v(x, у)
дифференцируемы в точке (ж, у) G Е, то
Д-ф, у) = -^Дж + -^-Ау + £i(Az, Ay)Ax + е2(Ах, Ау)Ау,
ох оу
Av{x, у) = -^-Ах + -^-Ау + £з(Дж, Ау)Ах + е4{Ах, Ау)Ау,
ох оу
где lim £&(Дж, Ду) = 0, к = 1,4, а р = у/(Ах)2 + {Ау)2. Следо-
вательно,
л л/ ч л -л OU А OV А ./OVA Oil . \
Д/(ж = Au + zAv = -^-Ах- —-Ау + г (—Дж + "н-Ду +
ох оу \дх оу /
+ei(Ax, Ду)Дж + е2(Дж, Ау)Ду +
+г[ез(Дж,Ду)Дж + £4(Дж,Ду)Ду] =
= (ir + *1г) (Аж + iAy) + ЫАж> А2/) + ^з(Аж, Ду)] Аж +
v ох оу /
+ [е2(Аж, Ду) + ге4(Аж, Ay)] At/.
Из последнего соотношения с учетом неравенства
|[ei(As, Ay) + ie3{Ax, Ay)]Ax +
+[е2(Аж, Ду) 4- ie4{Ax, Ау)]Ду| ^

8. Дифференцирование функций комплексного переменного 55
<С [\е1(Ах,Ау)\ + \е3(Ах,Ау)\]\Ах\ +
+[\е2(Ах,Ау)\ + \е4(Ах,Ау)\] \Ау\ <С
^ [\е1{Ах,Ау)\ + \е3(Ах,Ау)\ +
+\е2(Ах, Ау)\ + \е4{Ах, Ау)\]р.
следует существование предела (8.2), что и доказывает
теорему.
Пример 8.1. Показать, что условия Коши-Римана (8.3)
эквивалентны условию
1т = °- (8-4)
Решение. Функцию f(z) = u(x,y) 4- iv(x,y) с учетом
соотношений
z + z* z — z*
формально можно рассматривать как функцию двух
переменных гиг*, т.е.
., . fz + z* z-z*\ . /z-\-z* z-z*\
f(x)=u{-r-,-jr-)+tv(-j-,-jr).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
df _ ди дх ди ду лди дх ди ду ~\ _
dz* дх dz* ду dz* Idx dz* ду dz* 1
_ 1/ди .ди\ i/dv .dv\ _ 1/ди dv\ i/ди dv\
" 2V^ + *<V + 2\дх+%ду) " 2\дх~ду) + 2V% + ^J*
Отсюда следует, что если функция f(z) удовлетворяет
условиям Коши-Римана (8.3), то
и наоборот.
Из рассмотренного примера вытекает удобное в
практических приложениях замечание.
О Если функция f(z) в точке z удовлетворяет условию (8.4),
то функция дифференцируема в этой точке, причем
# = д£
dz dz

56 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
и, следовательно, производные для дифференцируемых
функций можно получать формальным дифференцированием f(z)
по переменной z.
Пример 8.2. Исследовать на дифференцируемость функцию
f(z)=z*.
Решение. Первый способ. Для данной функции имеем
Af(z) Ах - iAy
Az Ах-г iAy'
(8.5)
Рассмотрим два случая:
а) Ау = 0, т.е. Az — Ах ф 0, тогда Af/Az = 1;
б) Ах = 0, т.е. Az = iAy ф О, тогда Af/Az = -1.
Следовательно, отношение (8.5) при Az -» 0 предела не
имеет и функция f(z) = z* не дифференцируема.
Второй способ. Так как и(х,у) = ж, v(x,y) = —у, то
ди ди _ dv _ ди _
дх ' ду дх ду
и условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке
комплексной плоскости.
Третий способ. Поскольку
dz*
на всей комплексной плоскости, то функция f(z) = z* не
дифференцируема ни в одной точке комплексной плоскости.
О Условия (8.3) иногда называют условиями Даламбера-
Эйлера, что более правомерно с исторической точки зрения,
так как они впервые были исследованы Даламбером и в
особенности Эйлером в работах, посвященных приложениям
функций комплексного переменного к гидромеханике, картографии
и интегральному исчислению.
♦ Функция f(z), определенная в области Е,
называется аналитической (регулярной или голоморфной) в
точке zo Е. Еу если она f(z) дифференцируема в
некоторой окрестности точки zo, целиком лежащей в Е.
О Поскольку определение производной в бесконечно
удаленной точке zq = оо теряет смысл, условимся считать функцию

8. Дифференцирование функций комплексного переменного 57
f(z) аналитической в этой точке, если функция <p(z) = f(l/z)
аналитична в точке zq = 0.
♦ Точка zo, в которой функция f(z) является
аналитической, называется правильной точкой этой функции, в
противном случае она называется особой.
♦ Функция f(z) называется аналитической в
области 2£, если f(z) аналитична во всех точках области
Е.
О Подчеркнем, что определение аналитической функции
предполагает ее однозначность в области Е, поскольку только
в этом случае понятия предела и производной имеют смысл.
Понятие аналитичности будет распространено позднее на
многозначные функции.
Из условий Коши-Римана (8.3) следует, что для
производной функции f(z) справедливы следующие представления:
, _ ди(х,у) ^у(х,у) _ ди(х,у) ^и(х,у) __
дх дх дх ду
_ dv(x,y) .dv{x,y) _ ду(х,у) .ди(х,у)
ду дх ду ду
Следствие. В полярной системе координат х = pcos<p, у =
psin (р условия Коши-Римана (8.3) для функции f(z) = и(р, (р) +
iy(p, (р) имеют вид (z = ре%{р)
(8.6)
Доказательство. Перейдем в полярную систему координат:
и(х,у) — u(pcos(p, psiny?), у(я,у) = y(pcos<p, psimp);
ди ч ди ди . ду ду .
-к- = -д" cos ср + -к- sin (р = — cos (р - — sin <p;
др дх ду ду дх
ди ду ду
dj = tep{-sm(p) + dipcos'p-
Сравнив последние два соотношения, получим
ди _ 1 dv
dp p д(р
ди 1 ди
др р д(р'
1 ди
рд(р~
dv
дР
Аналогично доказывается второе соотношение в (8.6).

58 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Так как определение производной (8.2) дословно повторяет
определение производной функции одной действительной
переменной, то в комплексной плоскости сохраняются все
правила дифференцирования, справедливые для функции одной
вещественной переменной:
1. [f(z)±g(z)]' = f'(z)±g'(z),
2. [Cf(z)]' = Cf'(z), С = const,
3- [[f(z)g(z)]' = f'(z)g(z)+f(z)g'(z),
'f(z)\>_f'(z)g(z)-f(z)g'(z)
\a(z))
9{z)' 92{z)
0(p \<p=<p{z)
6- V'i™) = 777T' *" = /(*)» z = <p(w) и т.д.
J \z)
Отметим, что функции /(z), g(z) и <p(z) предполагаются
дифференцируемыми, причем последнее равенство, определяющее
производную обратной функции, справедливо в области ее
однолистности.
Сформулируем утверждение, имеющее важное
практическое значение, справедливость которого вытекает из теоремы
5.1.
Утверждение 8.1. Если функция f(z) аналитична в
некоторой области Е и не является постоянной, то при
отображении, осуществляемом функцией w = f(z), образом
области Е является множество G. Тогда множество G также
является областью.
Пример 8.3. Показать, что функция f(z) = ez аналитична
во всей комплексной плоскости.
Решение. По формуле Эйлера f(z) — ez = ех cos у + iex sin у.
Следовательно,
и(х, у) = ех cos t/, v(x, у) = ех sin у,
Найдем
ди _ dv ди dv
-=е cosy=-; j- = -е «шу=-^.

8. Дифференцирование функций комплексного переменного 59
Условия Коши-Римана выполняются на всей комплексной
плоскости. Следовательно, функция f(z) = ez — аналитическая на
этой плоскости. Вычислив производную из (8.5), получим
du 3v
(ezY = — + г— = ех (cos у + г sin у) = е2,т.е.(ег)' = ez.
ох ох
О Так как функции е±2 и е±|2 — аналитические, то
являющиеся их линейными комбинациями функции cosz, sin г, ch г,
sh z также аналитичны.
Пример 8.4. Показать, что функция f(z) = lnz аналитична
в комплексной плоскости, кроме точки z = 0, при условии -7Г <
arg z ^ 7Г.
Решение. Рассмотрим функцию /(z) = lnz. Положим и(р,<р)
— lnp, v(p,(p) = (р. Из условий Коши-Римана в полярной
системе координат (8.3) найдем
ди _ 1 __ 1 dv 1 ди _ _ сЬ
Зр /? р ду>' р д(р др'
т.е. функция f(z) = lnz — аналитическая всюду, кроме .точки
z = 0.
Найдем производную функции f(z) = Inz. По определению,
z = еЛ Дифференцируя это равенство, получим 1 = е* f или
/' = е"' = 1/г, т.е.
"-»'=?
О Так как функция In г — аналитическая в области — 7г <
arg г ^ 7Г, функции arcsinz, arccosz, и arch 2, arshz также
аналитические всюду, кроме точек z = ±1 и z = =Ьг,
соответственно.
Пример 8.5. Найти производную функции f(z) = arcsinz
(z не принадлежит лучу [—1,оо[).
Решение. С учетом (7.19) и правил дифференцирования
сложных функций получим
(arcsinz)' = — г(1п(г;г + у/\ — z2))' —
= ~* (г - Z ) =
iz + Vl-z2 V у/Г^И* '
y/l-z2 + iz 1 1
iz + VT^z* VT^2 VT^2"1

60 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
т.е.
f'(z) = (arcsinz)' =
vT-T?
Теорема 8.3. Действительная и мнимая части
аналитической функции f(z) = и(х,у) -\-iv{x,y) связаны соотношениями
.,„,= "f'\.^M)dx+^y}dy)+C; (8.7)
(*о,Уо)
»<*•»> = 7\^*-^»)+с' <8-8>
(*о»Уо)
г<?е интегрирование ведется по произвольному пути,
соединяющему (х*о,2/о) и (Х)У) и принадлежащему области
аналитичности.
Доказательство. Из курса математического анализа
известно, что
и функцию v(x,y) можно представить криволинейным
интегралом
(*о,Уо)
который не зависит от кривой, соединяющей точки (хо,уо) и
(ж, у). С помощью соотношений Коши-Римана
dv(x,y) _ ди{х,у) , dv(x,y) _ ди(х,у)
дх ду ' ду дх
получим
«■•»>=Т (£*+«*)+*- Т (-£*+£*)+а
(*о,Уо) (^о,Уо)
Доказательство соотношения (8.8) аналогично.

9. Гармонические функции
61
9. Гармонические функции
О Мы установили соотношения (8.7) и (8.8),
связывающие функции и(х,у) и v(x,y) в предположении, что функция
/(я) = u + iv - аналитическая. Возникает вопрос: любая ли
непрерывная вместе со своими частными производными функция
двух переменных может являться действительной или мнимой
частью аналитической функции? В общем случае ответ
отрицателен.
Пример 9.1. Найти аналитическую функцию f(z) = и[хьу) +
iv(x, у), если v(x, у) = х2 + у2 и /(0) = 1.
Решение. Функция и(хуу) должна удовлетворять условиям
Коши-Римана, т.е.
du _ dv __
дх ду
Следовательно,
и(х,у) = 2ху + <р(у).
Из второго условия Коши-Римана найдем
— = 2х + <р'{у)=-— = -2х.
ду дх
Таким образом, <р'(у) = —4ж, что невозможно, т.е. исходная
задача некорректна. Следовательно, не всякая функция двух
переменных может являться действительной и (ж, у) или
мнимой и (ж, у) частью аналитической функции. Такие функции
должны удовлетворять дополнительным условиям, а именно:
быть гармоническими.
♦ Функция Ф(х,у) называется гармонической в области Е,
если она непрерывна в области Е вместе со своими частными
производными до второго порядка включительно и
удовлетворяет в этой области уравнению
Уравнение (9.1) называется двумерным уравнением Лапласа.
В дальнейшем мы покажем, что аналитическая в области
Е функция имеет в этой области непрерывные производные
любого порядка.

62 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Теорема 9.1. Действительная и мнимая части
аналитической в области Е функции f(z) = u(x,y) +iv(x,y) являются
в этой области гармоническими функциями, если они имеют
непрерывные вторые частные производные.
Доказательство. По определению аналитических функций,
функции и(х, у) и г>(ж, ?/) во всех точках Е удовлетворяют
условиям Коши-Римана
ди{х,у) _ dv{x,y) t ди(х,у) __ dv(z,y) ,g ^
дх ду ду дх
Продифференцируем первое равенство по ж, а второе — по у
и сложим полученные выражения. Получим
д2гс(х,у) д2и(х,у) _ d2v(x,y) _ d2v(x,y) _ Q
дх2 ду2 дхду дудх '
т.е. функция и(х,у) — гармоническая. Теперь первое
тождество (9.2) продифференцируем по у, а второе — по ж и вычтем
из первого второе, тогда
*%& + »%&=1 (9.4,
Таким образом, теорема доказана.
♦ Две гармонические в области Е функции и(ж, у) иф,у),
связанные в этой области условиями Коши-Римана,
называются сопряженными.
О Действительная и мнимая части аналитической функции
являются сопряженными гармоническими функциями.
Теорема 9.2. Для любой функции и(х,у), гармонической в
односвязной области Е, существует сопряженная к ней
гармоническая функция v(x, у), определяемая соотношением
v{x,y)= J\_^^dx + ^yldy)+cons^ (9.5)
(*о,Уо)
где интегрирование проводится по произвольной
кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки (жо, уо) и (ж, у) и целиком
лежащей в Е.

9. Гармонические функции
63
Доказательство. Поскольку функция и(х,у) -
гармоническая, то из теоремы Грина следует, что значение
криволинейного интеграла, стоящего в правой части соотношения (9.5),
не зависит от пути интегрирования. Выберем в качестве
кривой, соединяющей точки (жо, Уо) и (ж, у), ломаную с отрезками,
параллельными осям координат. Тогда
J\j^iAdx+d^yldy)+const =
(хо,Уо)
ди(х,у0) . t f du(x,y)
xo Уо
dy + const = v(x, y).
Продифференцируем полученное соотношение по ж. Получим
у 9
dv(z,y) du(x,yo) , [ д~и(х,у)
j д2и(х,
J дх2
дх ду
_ ди(х,у0) f д2и(х,у)
+ —^^dy =
Уо
У
I
dy-
ду J ду2
Уо
_ ди{х,ур) ди(х,у)\У _ ди(х,у)
~ ду ду \Уо ду
Аналогично доказывается справедливость первого
соотношения Коши-Римана.
О Из теорем 9.1 и 9.2 вытекает, что действительная и
мнимая части аналитической функции f(z) = u(x, у) + iv{x, у)
связаны соотношением
.(.,„ = _/«^21*+ ^*fcfl* +С. (М)
;г0 у о
Уо
если ломаная ABC лежит в области аналитичности f{z). Здесь
А = (ж0, Уо), В = (ж, уо), С = (ж, у).

64 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Пример 9.2. Найти аналитическую функцию f(z) =u(x,y) +
iv(x,y) по известной мнимой части
v(x, у) - х3 + 6ж2у - Зжу2 - 2у3,
если /(0) = 0.
Решение. Проверим, является ли функция v(x,y)
гармонической. Для этого найдем
dv 9 2 d~v
— = ЗаГ + 12жу - Зу , -т-^ - бж + 12у,
— = бж - бжу - бу . -— = -6ж - 12у.
^У <7у~
Таким образом, функция г>(ж, у) является гармонической и
существует сопряженная ей функция и (ж, у). Применив формулу
(9.7), получим
и(х, у) — / (бж2 — бжу — 6y2)dx + (-Зж2 - 12ху + 3y2)dy =
{хо,Уо)
х у
= J[Ы2 - Ыуо - 6yl)dt + П-Зж2 - 12xt + U2)dt.
о о
Здесь/ мы положили жо = 0, у$ = 0. Получим
/
м(ж, у) = 2ж3 — Зж2у - бжу2 + у3 + С.
Из условия /(0) = 0 находим С = 0. Тогда
/(*) = (2ж3 - Зж2у - бжу2 + у3) + г(ж3 + 6ж2у - Зжу2 - 2у3),
и окончательно получим
f{z) = 2z3 + iz3.
Пример 9.3. Найти аналитическую функцию f(z) по
известной действительной части
п(ж, у) = -у3 + Зж2у + 2ж,
если /(1) = 2 - 4г.

9. Гармонические функции
65
Решение. Функция Цж, у) - гармоническая, так как
д2и д2и
Из первого условия Коши-Римана находим
^- = ~^- = -Зу2 4- Зж2.
оу ох
Следовательно,
v(x, у) = Ъу2х - х3 + у>(у).
Подставим функции и (ж, у) и г; (ж,?/) во второе условие Коши-
Римана и получим
6ху+<р'(у) = 6жу + 2.
Следовательно,
у/(у) = 2 и <р(у)=2у+С.
Тогда
Постоянную С определим из условия /(1) =2 — 4г. Поскольку
Re 1 = 1 и Im 1 = 0, то
/(1) = м(1,0) + и>(1, 0) = 2 + t(-l + С) = 2 - 4г
и С = -3. Тогда
«(ж, 2/) = 3t/2z-z3 + 2t/-3.
Окончательно получим
f(z) = -iz3 + 2z- Зг.
Пример 9.4. Найти аналитическую функцию f(z) по
известной мнимой части
v(x, у) = i/cosysh x + zsinych ж,
если /(0) = 0.

66 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Решение. Проверим функцию v(x,y) на гармоничность:
— — у cos у sh ж + sin y[ch x + х sh ж],
—^ = у cos t/ sh ж + sin у sh ж + sin y[ch x + x sh ж];
cb _ r . , .
— = sh ж[сов у — у sm y\ + x ch ж cos y,
jr-j = — sh ж sin у — ж sh ж sm у — sh ж|81п у Л-у cos t/j.
Таким образом,
d2v d2v _
дх2 + ду2 ~ °'
т.е. функция v(x,y) - гармоническая, и для нее существует
сопряженная функция и (ж, у). Из первого условия Коши-Римана
находим
— = sh ж[со8 2/ — у sin yj + ж ch ж cos у.
ох
Следовательно,
X
u(X)y) = ch x[cosy — ysiny] + cosy / tch tdt + <p(y).
о
Вычислим интеграл '
/
t ch t dt.
Для этого проинтегрируем один раз по частям, положив U = t
dU = dt, dV = ch t dt, V = sh t. Тогда
J tch tdt = tch t - I ch tdt = tch t - sh t + C.
Следовательно,
ii(x,y) = ch x[cosy — ysiny] -f cosy^ch ж — sh ж] + (p(y).

9. Гармонические функции
67
Воспользуемся вторым условием Коши-Римана. Для этого
найдем частные производные
— = ch ж[— sin у — (sin у -f у cos у)] — sin у [ж ch ж — sh ж] + <р'(у),
ду
— — = —у cos у ch аз — sin ysh x — xsh x sin у.
дх
Следовательно,
и(ж, у) = х sh ж cos у — у ch x sin у + С
Из условия /(0) = 0 находим, что С = 0.
Рассмотрим второй способ решения задачи. Найдем
функцию и(ж, у) из соотношения (9.7). Запишем
ui(e, у) = / {sh tf [cos у — у sin у] +t ch £ cos y}dt =
о
= ch t[cos у - у sin у] -\-cosy tcht dt.
0
Возьмем интеграл по частям, положив, как и ранее, U = t,
<#/ = dt, dV = cht dt, V = sh t. Тогда
Ui (ж, у) = ch t[cos у - у sin у] |* + cos y[tf sh * - ch *] |*.
Запишем теперь
у
и2(ж,у) = / {tcostch ж + sin£[ch ж + ssh ж]}с?2.
о
Возьмем интеграл по частям, положив теперь U = t, dU = dt,
dV = costdt, V = sin*. Тогда
и2(ж,у) = ch x[tsint -f cost]|^ — cost[ch ж -f жзп ж]|^.
Следовательно,
и(ж> J/) = 1*1 (ж? 0) -f U2(x, у) = x sh ж cos у — у ch ж sin у

68 Глава 2. Введение в теорию функций комплексного переменного
и
/(г) = (ajsh ж cos у — ych. ж sin t/) +i(y cos у sh ж + a;sint/ch ж).
Окончательно получим
/(z) = (l + 2z)sh z.
О Переход от переменных ж, у к комплексной переменной z
в более сложных выражениях может быть осуществлен с
помощью соотношений
z + z* z — z*
Ж = -2-' У=^Г-
10. Кривые в комплексной плоскости,
♦ Если каждому значению t из интервала а < t < Ь
поставлено в соответствие комплексное число
z(t) = x(t)+iy(t), (10.1)
где x(t) = Re z(t), a y(t) = Im z(i), то мы будем говорить,
что на интервале ]а, Ь[ задана комплексная (комплекснознач-
ная) функция действительного переменного t.
♦ Для комплекснозначной функции действительного
переменного определим понятия предела, производной и интеграла
при помощи соотношений
lim z(t) = lim x(t) + i lim y(t),
t—yto t—>to t—tto
z'{t) = z'{t) + ij/(t)y (10.2)
b b b
jz(t)dt= J x(t)dt + i I y{t)dt.
a a a
♦ Пусть дана комплекснозначная функция z(t),
непрерывная на отрезке [а, 6]. При этом отрезку [а, 6] отвечает некоторое
множество в комплексной плоскости. Это множество вместе с
указанием порядка, в котором проходятся его точки,
называется непрерывной кривой Г, а уравнение z = z(t) = x(t) + iy(t)
— параметрическим уравнением этой кривой Г.
4 Точка z называется точкой самопересечения кривой, если
z = z(ti) = z(t2) при ti ф t2>

10. Кривые в комплексной плоскости
69
ф Простой кривой, или кривой Жордана, называется
непрерывная кривая, не имеющая точек самопересечения.
♦ Простую кривую, у которой конец совпадает с началом,
называют замкнутой кривой.
♦ Кривая Г называется гладкой, если существует
параметрическое уравнение z — z(t), a ^ t $C 6, с функцией z(t),
имеющей на отрезке [а, Ь] непрерывную и отличную от нуля
производную.
♦ Непрерывная кривая Г называется кусочно-гладкой
кривой, если ее можно разбить на конечное число частей, каждая
из которых является гладкой кривой.
♦ Замкнутый контур без самопересечений, лежащий в
комплексной плоскости, будем называть положительно
ориентированным, если обход совершается против часовой стрелки, и
обозначать Г+. В противном случае контур будем называть
отрицательно ориентированным и обозначать Г".
О Если это не приводит к недоразумениям, индекс '+' у
положительно ориентированных контуров может быть опущен,
т.е. Г = Г+.
Рис. 16
Пример 10.1. Выяснить, какие линии определяются
уравнением
z = 2е''* + е~*\ t G [0, 2тг[.
Решение. Найдем действительную и мнимую части
комплексного числа z. По формуле Эйлера (7.5) получим
х = 3cost, у = sintf.
Исключив t, получим
х2 2
Это уравнение эллипса с полуосями а = 3, Ь = 1. С учетом
изменения параметра t видим, что точка z делает полный
оборот по эллипсу от точки z = 3 против часовой стрелки (см.
Рис. 16). у v

70 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Пример 10.2. Написать в комплексной форме уравнение
окружности
х2 + у2 -2y-S = 0. (10.3)
Решение. Имеем х2 + у2 = zz*, 2y = i(z — z*). Подставив эти
выражения в уравнение (10.3), получим
zz*. - 2iz* + 2iz - 8 = О
или
(z-i)(z*+i)-9±=0.
Окончательно получим
|*-г|2 = 9.
11. Интегралы #т функций
комплексного переменного
♦ Интеграл от функции комплексного переменного f(z) =
u(x,y) + iv(x,y) вдоль кривой Г определяется следующим
соотношением:
/ f(z)dz = I (u + iv)(dx + idy) =
Г г
= / u(x, y)dx - v(x, y)dy + i I v(x, y)dx + u(x, y)dy, (11.1)
г г
0 Таким образом, интеграл от функции комплексного
переменного определяется как сумма двух криволинейных
интегралов второго рода от функции двух вещественных
переменных.
Пусть z(t), a ^ t ^ Ь, — параметрическое уравнение
гладкой кривой Г, z(t) = x(t) + iy(t). В этом случае интеграл от
функции комплексного переменного может быть преобразован
в интеграл от комплекснозначной функции действительных
переменных (10.2)
ь
j f(z)dz = f f(z(t))z'(t)dt. (11.2)
Г а
Если Г - кусочно-гладкая кривая, то в правой части (11.2)
будет стоять сумма определенных интегралов, каждый из
которых соответствует гладкому участку кривой.

11. Интегралы от функций комплексного переменного 71
Пример 11.1. Вычислить интеграл
/
dz
—, п=-оо,оо,
zn
г
где Г — окружность радиуса R с центром в начале координат.
Решение. Параметрическое уравнение окружности имеет вид
х = Л cost, у = Rsint. Тогда z = х 4- iy = Де1', dz = [ж'(£) -f-
ij/(<)]ctt = R(— sint + icost)dt = iR(cost + isint)dt — iRe%tdt.
1. Пусть n=l. Тогда
2jt
/ dz /" гДе*'^* л .
Г О
2. Рассмотрим случай, когда пф 1. Получим
fdz_ JiRe»dt _ J_ 2[eit(n-i)dt _ 0
Легко увидеть, что если окружность обходится к раз, то для
71=1
dz
— = 27ггк,
z
rk
тогда как для п ф 1 интеграл по-прежнему равен нулю.
Следовательно,
/
у
Z
\z\=R
dz
— = 27гШ1)П, (11.3)
гДе <^in - символ Кронекера, /г — количество обходов
окружности \z\ = R.
Отметим, что результат интегрирования зависит от п и fc,
но не зависит от радиуса окружности Д, что станет очевидным
после того, как мы докажем теорему Коши.
Пример Ц.2. Вычислить I = f z2dz, где Г — отрезок пря-
г
мои, соединяющей точки z\ = 1 и 22 = *•

72 Глава I. Введение в теорию функций комплексного переменного
Решение. Параметрическое уравнение отрезка z\Zi имеет вид
x(t) = 1-t, y(t) = М € [0,1], т.е. z = (l-t) + it, dz = z'(t)dt =
(~l + i)dt. Тогда
l
/ = fz2dz = A(l -1) + it]2(-l + i)dt =
г о
= (-! + *)< /[(1 - *)2 ~ *2}dt + 2» /*(1 - t)dt \ =
,(-1+o{(.-..)+*(^-j)}|;B
-(-1+'«М5.-|)в-5(1 + <)-
Пример 11.3. Вычислить интеграл
J = / z\z\dz
по контуру Г : {\z\ ~ 1, Re я ^ О, Im г ^ 0}.
Решение, Контур Г можно представить в параметрической
форме следующим образом:
/ ж = cost [Зтг J
z(t) = cost + isint = e,e, |z| = 1
dz = ie%tdt.
Тогда
Следовательно,
2тг
2тг
J = /" 1 • ie'VA = г f e2itdt = |е2"
2тг
гв4лч „Зтгп
Зтг/2
Зтг/2
Зтг/2 2L ■
- [cos 47г -f г sin 47Г — cos 37г — г sin 37г] = - [2] = 1.

12. Теорема Коши
73
Непосредственно из определения (11.1) вытекают
следующие свойства интеграла от функции комплексного
переменного:
1. Линейность
J[C1fi{z)+C2f2{z)]dz = CiJf1{z)dz + C2Jf2{z)dz. (11.4)
г г г
Здесь и в дальнейшем fi(z) и /2(2) непрерывны, кривая Г —
кусочно-гладкая, а С\ и С2 — произвольные постоянные.
Доказательство этого свойства непосредственно следует из
свойства линейности криволинейного интеграла второго рода.
2. Ориентированность. Пусть Г+ и Г" — один и тот же
путь, проходимый в прямом и обратном направлениях. Тогда
f f{z)dz = - f f{z)dz. (11.5)
г+ г-
Доказательство непосредственно следует из зависимости
криволинейного интеграла второго рода от направления на
кривой.
3. Аддитивность. Пусть Г состоит из кусочно-гладких
кривых ГЬ...,ГП. Тогда
Jf{z)dz-=^2jf{z)dz, (11.6)
причем направление обхода кривых Г&, к = 1,п, совпадает с
направлением обхода Г.
Доказательство следует из свойства аддитивности
криволинейного интеграла второго рода.
4. Оценка интегралов*
jf(z)dz\^j\f(z)\\dzl
гДе \dz\ = dl — длина дуги, а в правой части стоит
криволинейный интеграл первого рода.

74 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
12. Теорема Коши
Теорема 12.1 (Кошй). Если функция f(z) аналитична в од-
носвязной области Е, то интеграл от этой функции по
произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру Г С Е
равен нулю.
Доказательство проведем при дополнительном
(упрощающем) предположении, что функции и(х, у) и v(x, у) непрерывно
дифференцируемы в области Е. По определению интеграла в
комплексной плоскости
J = <b f(z)dz = Ф u(x,u)dx—v(x,y)dy+i Ф v(x,y)dx+u(x,y)dy.
г г г
Подынтегральные функции в криволинейном интеграле
удовлетворяют условиям теоремы Грина. Следовательно,
3=//(£+d£)dxdy+*//(£- SW*
где Dr С Е — область1, ограниченная контуром Г. В силу
условий Коши-Римана J = 0 и теорема доказана. Доказательство
для общего случая см., например, в [38].
Следствие. Пусть Е — односвязная об-
ri/ j 2 ласть zi,Z2 Е Е, а 14, Гг С Е — две про-
У\
I /р изволъные кривые с началом в z\ и концом
У J 2 в Z2 (см. рис. 17). Тогда для аналитичес-
z\— кой в области Е функции f(z)
справедливо
Рис. 17. [ f{z)dz = f f(z)dz. (12.1)
Гг Г2
Доказательство. Рассмотрим разность интегралов от
функции /(z), вычисленных по контурам Ti и Г2:
/ f(z)dz - j f{z)dz = f f(z)dz + f f(z)dz = f f{z)dz = 0,
Г1 Г2 I\ r- Г
что и требовалось доказать.

12. Теорема Коши
75
4 Аналитическая функция F(z) называется первообразной
функции f(z) в области Е, если F'(z) = f(z) для всех 2,
принадлежащих области Е.
О Если F(z) — первообразная функции f(z) в области i£,
то функция Ф(г) = F(z) + С, где С — произвольная
комплексная константа, также является первообразной функции f(z) в
области i£.
♦ Совокупность всех первообразных функции f(z)
называется неопределенным интегралом от функции f(z) и
обозначается f f(z)dz. При этом, если F(z) — какая-либо
первообразная функции /(z), то
[ f(z)dz = F{z) + C.
Теорема 12.2. Если функция f(z) аполитична в односвяэной
области Е, а точки z\ и Z2 принадлежат Е, то для любой
кусочно-гладкой кривой Г, соединяющей точку z\ с точкой
Z2, целиком лежащей в Е, справедливо соотношение
J f(z)dz = F{z)\zz\ = F(z2) - F(zi), (12.2)
г
где F(z) — произвольная первообразная функции f(z) в
области Е. Соотношение (12.2) называется формулой Ньютона-
Лейбница.
Доказательство дословно повторяет доказательство
аналогичного свойства криволинейных интегралов второго рода.
Пример 12.1. Вычислить J z2dz, где Г — кривая, соединяЪо-
г
щая точки z\ = 1 и Z2 = г.
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
F'(z) = z2, где F(z) = z3/Z + С. Поскольку функция f(z) = z2
аналитична во всей комплексной плоскости, то
/,»*=£|' * (,*-!») = -1 + ».
J 3 li 3V ; 3
г
Пример 12.2. Вычислить
J y/i'
Г

76 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
где Г: |^:| = 4, Im z ^ 0. Для д/z выбирается однозначная ветвь,
на которой \/4 = —2 (см. параграф «Степенная функция»).
Решение. Первый способ. Искомый интеграл можно
вычислить непосредственно по формуле (11.2), положив z = pet(f', где
аргумент <р меняется от нуля до 7г. Согласно (1.12),
v^=VJ5ef'(^+2**)/2, * = 0,1-
Так как интегрирование проводится по окружности \z\ = 4, то
z = 4е*>, d* = 4ief><fy>, a
откуда в силу условия д/4 = — 2 следует, что & = 1 и,
соответственно,
J лД J 2е«(*/2+») У ^
го о
- 4е*(*,/2"1Г) Г = 4(e-iir/2 - eiir) = 4(1 - г),
lo
Второй способ. Так как точки z = 4 и z = — 4 принадлежат од-
носвязной области аналитичности подынтегральной функции,
то применение формулы Ньютона-Лейбница (12.2) дает
Г 4
Согласно выбору ветви, для которой y/i = —2, т.е. к = 1,
находим
V^=4 = 2е,'('/2+*1Г)|4=1 = 2е37Г|'/2 = -2г,
откуда
/ = 2(-2t + 2)=4(l-i).
Теорема 12.1 допускает важное обобщение (доказательство
мы не приводим, см. [38]).

12. Теорема Коши
77
Теорема 12.3 (Коши, основная). Если функция f(z) ана-
лцтична в односвязной области Е и непрерывна в
замкнутой области Е = Е + Г#, то интеграл от функции f(z) no
границе этой области равен нулю:
I
f{z)dz = 0.
До сих пор рассматривались только односвязные области.
Для выяснения роли связности области рассмотрим функцию
f(z) = 1/z. Эта функция аналитична в кольце г < \z\ < Д,
которое является двусвязной областью. Положим для
определенности г = 0,1, Д = 10 и сравним результаты интегрирования
/
dz
(12.3)
по контурам Г = Ti: \z — 5| = 1 и Г = Г2: \z\ = 5, целиком
лежащим в рассматриваемом кольце ОД < \z\ < 10 (рис. 18).
Очевидно, что интеграл
по первому контуру Ti равен
нулю:
/
dz
= 0, (12.4)
1*-5| = 1
так как в дву связной
области 0,1 < \z\ < 10 можно
выделить односвязную область,
например \z — 5| ^ 2,
полностью содержащую внутри
себя контур интегрирования
\z — 5| = 1. Что касается
интегрирования по контуру Гг,
то, согласно примеру 11.1, в
этом случае интеграл будет отличен от нуля:
Рис. 18
/
dz
= 2тгг.
(12.5)
1*1=5
Сравнение формул (12.4) и (12.5) позволяет сделать вывод, что
^орема 12.1 остается справедливой только для тех контуров

78 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
в многосвязной области, для которых удается выделить одно-
связную подобласть, полностью содержащую этот контур. В
противном случае теорема 12.1 в многосвязной области
неверна.
Отметим различие между рассматриваемыми выше
контурами: если контур \z — 5| = 1 путем непрерывной деформации
можно стянуть в точку, не выходя при этом за границу
области, то для контура \z\ = 5 это оказывается невозможным.
Именно этот факт может служить критерием применимости
теоремы 12.1 для контура, расположенного в многосвязной
области.
Теорема 12.4 (Коши для многосвязной области). Если
функция f(z) аналитична в области Е и непрерывна в
замкнутой области Е = Е + Ге, то интеграл от функции f(z) no
границе этой области равен нулю, если область Е во время
обхода границы все время остается с одной стороны:
[ f{z)dz = 0. (12.6)
гЕ
Доказательство. Пусть Г, Ti,..., Гп — внешняя и
внутренние части границы области Те • Проведем разрезы 7i»• • •»7п
(рис. 19), превращающие многосвязную область Е в односвяз-
ную с границей
Г = Гя+71++7Г+... + 7п + 7,7-
Рис. 19

12. Теорема Коши
79
Тогда, согласно теореме 12.3 и с учетом того, что разрезы
проходятся дважды в противоположных направлениях, имеем
jf(z)dz= J
f{z)dz = О,
что и требовалось доказать.
Следствие 12.4.1. Если обход замкнутых контуров Г, Гх,...,
..., Гп в формуле (12.6) считать положительным (против
часовой стрелки), то она может быть записана в виде
J f(z)dz = J2j f^dz- (12-7)
г *=1г„
Другими словами, интеграл по внешнему контуру равен сумме
интегралов по внутренним контурам.
Доказательство. Согласно (12.6), имеем
J f(z)dz + J2J f(z)dz = 0.
г fc=1r-
Изменение направления обхода контуров 1\. непосредственно
приводит к формуле (12.7).
Следствие 12.4.2. Для двусвязной области интеграл по
внешнему (внутреннему) контуру равен интегралу по любому
замкнутому контуру, расположенному в этой области и
охватывающему ее внутреннюю границу.
Доказательство очевидно.
О Утверждение следствия 12.4.2 хорошо иллюстрируется
примером 11.1, в котором результат интегрирования не
зависит от радиуса окружности, по которой ведется
интегрирование.
Пример 12.3. Вычислить
/
г
dz
—, п=-оо,оо,
Zn
гДе Г - произвольный замкнутый контур, охватывающий
точку z = 0.

80 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Решение. Первый способ. Рассмотрим двусвязную область,
внешней границей которой является контур Г, а внутренней
— окружность Го : \z\ = R с радиусом, меньшим кратчайшего
расстояния между началом координат и контуром Г (рис. 20).
В такой области функция z~n аналитична при любых
значениях п и согласно следствию 12.4.1 можно записать
/dz _ С dz
V\~~ J ~z~»'
Г |*|=Л
откуда с учетом результата примера 11.1 получаем
/
dz
— = 2тгг^,п.
Второй способ. Обозначим (см. рис.
Г = Г + Г++ГГ+Го+Г+,
где Го — окружность радиуса Л, a R
Рис. 20 меньше кратчайшего расстояния между
началом координат и контуром Г; Гх -
произвольная жорданова кривая,
соединяющая контуры Го и Г. Знаки + и — определяют направление
обхода контура против и по часовой стрелки, соответственно.
Тогда
/dz f dz f dz f dz f dz
r+
r+
где n = —oo, oo. Здесь мы воспользовались результатом
примера 11.1, а также теоремой 12.4 для контура f.
Пример 12.4. Вычислить интегралы
7*
где Г& — произвольный замкнутый контур, а 7* —
произвольный контур с началом в точке z\ = 1 и с концом в точке z% = я.
По обоим контурам точка z — 0 обходится к раз.

12. Теорема Коши
81
Решение, а) Случай к = 1 рассмотрен в примере 11.1.
Рассмотрим случай к = 2, т.е. замкнутый контур Гз обходит
начало координат два раза (рис. 21). Трудность, возникающая в
этом случае, заключается в появлении точки самопересечения
5, в результате чего контур Гз перестает быть простым. Эту
трудность можно преодолеть введением разреза АВ,
разбивающего контур Гз на два простых: ACDSBAn ABEGSA,
проходимых в этом же направлении (рис. 21), причем разрез АВ
обходится дважды в противоположных направлениях. Тогда
/dz f dz f dz
т = f - + f т
z J z J z
ACDSBA
Далее так же, как и в примере 11.1,
находим
ABEGSA
■/
dz
- 2тгг + 2ттг = 4ттг. (12.9)
Изменив в (12.9) направление
обхода, получим
dz
— = —47гг.
z
(12.10)
Из (12.9) и (12.10) следует
"достаточно очевидный результат для произвольного к;
/
dz
= 2жкг, к = —оо, оо,
(12.11)
где положительным значениям к соответствует
положительное направление обхода Г^, отрицательным — отрицательное,
б) Поскольку функция f(z) = 1/z аналитична в
комплексной плоскости с вырезанной отрицательной частью
вещественной оси —7Г < argz < 7г и (In г)' = 1/z, то
z
— = / — = In z — In 1 = In z,
z J z

82 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
где 7 — простой контур, соединяющий точки z\ — 1 и z<i —
z, не проходящий через начало координат и не пересекающий
отрицательную часть действительной оси.
Рассмотрим теперь контур 71, который один раз пересекает
отрицательную часть
действительной оси при обходе точки z — О в
положительном направлении (рис.
22).
Контур 7i? в отличие от
контура 71 не является простым, так как
имеет точку самопересечения S.
Введем разрез AD, разбивающий
контур 7i на два простых: замкнутый
ASCDA и незамкнутый ADSB, про-
D
Рис. 22
ходимых в том же направлении, причем сам разрез AD
обходится дважды в противоположных направлениях.
Тогда
/dz С dz С dz
z J % J z
ASCDA
ADSB
Учтя, что
/dz Л . f dz f dz .
— = 27гг, / — = / — = lnz,
ASCDA
ADSB
найдем
/
dz
= Inz + 2m.
(12.12)
Изменив в (12.12) направление обхода, получим
dz
— = In z — 2m.
(12.13)
Из (12.12) и (12.13) следует достаточно очевидный результат
для произвольного k^
I
dz
— = In z + k2m = Ln z,
z x
(12.14)
где положительным значениям к соответствует
положительное направление обхода 7*, отрицательным — отрицательное,

13. Интеграл Коши
83
а для к = О контур 7 не пересекает отрицательную часть
действительной оси.
Подводя итог, можно отметить, что интеграл (12.14)
представляет собой многозначную функцию, однозначные ветви
которой определяются выбором контура 7л- •
13. Интеграл Коши
Теорема 13.1. Пусть функция f(z) аналитична в односвяз-
ной области Е. Тогда для ecexz, принадлежащих Е, и кусочно-
гладкого контура Т, целиком лежащего в Е, справедливо
2m J С-я Ч \
/(«) г€ДГ
О z£Dr
(13.1)
где Dr - область, ограниченная контуром Г (рис. 23).
Интеграл, стоящий в правой части равенства (13.1),
называется интегралом Коши (интегральной формулой Коши), а
функция /C(z, С) =. 1/(С'"~ z) — ядром интеграла Коши.
Доказательство. 1. Запишем
/(С) - f(z) +■/(*)
2т J С-•г 2-ттг У
С-*
dC = Ji + Л,
где
Л
Ж)-/(*)
= 1 //(0-
2тгг У С -
<*С, h
= № [J_
2т J С -
•dC.
2. Рассмотрим интеграл 7з- Пусть z £ £>г> тогда
подынтегральное выражение - аналитическая функция ( и по теореме
Коши J2 = 0.
Рис. 23.

84 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Пусть теперь z E £>г> тогда, поступая так же, как и при
решении примера 12.3, получим J2 = f(z).
3. Рассмотрим интеграл J\\
а) z ф. £>г- В этом случае подынтегральное выражение
является аналитической функцией и, следовательно, Ji = 0.
б) z G #г- Рассмотрим двусвязную область, получаемую из
Dr удалением круга \( — z\ < е. В полученной области
выражение [/(C)-/^)]/^""2) аналитично и, следовательно, согласно
следствию 12.4.1 можно записать
Ji
I
dC
-I
lc-*i=«
C-z
dc.
Последний интеграл, согласно теореме Коши 12.1, не зависит
от е. Заметим, что предел
|С-,|=в->0 (,-Z
существует и ограничен в силу аналитичности функции /(г),
а следовательно, и функции [/(С) — f{z)]/(С ~ z)- Тогда
1Л1 =
lim
I
\C-z\=e
< lim
£-*0
/
\<-*\=*
Я0-№
C-z
<*<
<
С
К1 =
1С-*1=«
Таким образом, Ji = 0, что и доказывает теорему.
О Для заданных z и f(z) существует бесконечное
множество контуров Г, охватывающих точку z и целиком лежащих в
односвязной области Е, для которых
-[1
2m J С,
Ж)
<К = f(z).
Формула Коши допускает обобщение формулы (13.1) на
случай неодносвязных областей.

13. Интеграл Коши
85
Теорема 13.2. Пусть f(z) аналитична в области Е и
непрерывна на границе этой области. Тогда для всех z £ Е
справедливо
где Те — граница области Е (см. рис. 19). При обходе кон-
тура область Е всегда должна находиться слева.
Интеграл (13.2) называется интегралом Коши для
многосвязной области.
Доказательство. Пусть область Е (см. рис. 19) — (n -f 1)-
связная, а Г, Гх,..., Гп — внешняя и внутренние части
границы Те этой области. Рассмотрим (п + 2)-связную область,
полученную из Е удалением круга |£ — z\ < е. Функция /(С)/(С~
z) аналитична во внутренних точках полученной области и
непрерывна на ее границе. Значит, согласно следствию 12.4.1,
справедливо равенство
* гж* * / mdC, (13.з)
Те |С-а|=е
причем при обходе Г^ слева остается область 2£, а при обходе
окружности - внутренняя часть круга |С-г| < е. К интегралу
в правой части применима теорема 13.1, в силу чего
Те *
и формула (13.3) переходит в (13.2), что и требовалось
доказать.
О Теорему 13.2 в случае односвязной области можно
рассматривать как обобщение теоремы 13.1, когда контур
расширяется до границы области Е.
О Для двусвязной области с внешней границей Г и
внутренней Ti формула (13.2) принимает вид
Г Г!
Обход этих контуров положителен относительно области, ими
ограниченной.

86 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
О Интегральная формула Коши (13.2) показывает, что
многие свойства аналитических функций определяются
свойствами простейшей из них K(z,Q = 1/(£ — z) — ядра Коши.
Пример 13.1. Вычислить интеграл
Г cosz
Решение. Исходный интеграл можно представить в виде
cosz
dz.
|2-,|=1
Обозначим
, . cosz
tW = 7Т7-
z + г
Функция <p(z) аналитична в области \z — i\ < 1 и непрерывна
на ее границе. Тогда с учетом интегральной формулы Коши
(13.2) получим
/ ¥>(*) i Л • /.х Л COS* • 1 л
I — ф у dz — 2m<p(i) = 2mr—- = ttcosz = 7гсп 1.
J Z *-i~ % % ~\~ l
u—1=1
Пример 13.2. Вычислить интеграл
= f ^T;
I — <b -T——dz.
1*1 = 1/2
Решение. Поскольку z(z + 1) = (2 — 0)(z + 1), обозначим
<p(z) =
z+1
Функция <p(z) аналитична в области \z\ < 1 и контур
интегрирования \z\ = 1/2 целиком лежит в этой области. Тогда
/(p(z) e°
-t-^dz = 2тгш>(0) = 2тгг = 2тгг.
z -О rw 0-hi
1*1 = 1/2

14. Интеграл типа Коши
87
О Отметим, что интеграл в формуле Коши (13.2)
определяется лишь значениями f(z) на границе Г# области Е.
Таким образом, значения функции внутри области
аналитичности задаются ее значениями на границе. Формула Коши
позволяет вычислять значения функции во всех точках
области, если известны граничные значения этой функции.
Теорема 13.3 (о среднем). Если функция f(z) аналитична
в круге \z — zo\ < R и непрерывна на его границе \z — zq\ = R,
то значение этой функции в центре круга (точка zq) равно
среднему арифметическому ее значений на окружности:
/ы
12 7Г
= ^Jf(z0 + Rei^)dlp. (13.5)
Доказательство. Формула (13.5) следует непосредственно из
(13.2) после замены £ = zo -f Re%(p.
14. Интеграл типа Коши
♦ Пусть Г - произвольная кусочно-гладкая
ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и (p(z) - непрерывная
функция, определенная вдоль Г. Выражение
г
называется интегралом типа Коши.
Теорема 14.1. Интеграл типа Коши есть аналитическая
функция F(z) для всех z, не принадлежащих Г и
Г
Доказательство. Если выполняется соотношение (14.2), то
функция F(z) аналитична для всех z, не принадлежащих Г.
Докажем справедливость соотношения (14.2). Для этого
рассмотрим выражение
F{z + Az)-F{z) _ 1
Az 2niAz
г
lM^hx-z~chh-

88 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
2«У (С-*)2 С+2«У (С-^)2 С~
Г Г
= SZs/(t-«)■(?-.-А.) [К -)* - К -Ж — А,) -
г
Г
J_ Г y(QAz 1. f y(C)
2тгг У (C-z)2(C-z-Az) ^2тггУ (С-*)2 Ц*
Г Г
Перейдем к пределу Az —>• 0 и получим (14.2), что и
требовалось доказать.
Следствие 14.1.1. Производные п-oro порядка функции
(14.1) F(z) определяются путем n-кратного
дифференцирования по z подынтегральной функции
г
Доказательство следует из соотношений (14.1) и (14.2) при
использовании метода математической индукции.
Следствие 14.1.2. Функция /(z), аналитическая в области
Е и непрерывная на границе Г# этой области, бесконечно
дифференцируема во внутренних точках области, и ее производная
n-ого порядка находится по формуле
'""'-йг/к^г* " = I^ (14'4)
ТЕ
Здесь Те — граница области Е.
Доказательство. Из формулы (13.1) следует, что
т.е. аналитическая в области Е функция представляется
интегралом Коши. Формула (14.4) следует из (14.3) как частный
случай.

15. Некоторые следствия из интегральной формулы Коши 89
Следствие 14.1.3. Производные аналитической в области Е
функции f(z) также являются аналитическими в области Е
функциями.
Доказательство. Аналитическая функция бесконечно
дифференцируема. Следовательно, функция (p(z) = f^n\z)
является дифференцируемой, а ее производная — непрерывной, т.е.
функция (p(z) — аналитическая, что и требовалось доказать.
Пример 14.1. Вычислить
/COS Z _
IS"*.
г
где Г — окружность радиуса R с центром в точке z = 0.
Решение. Из (14.4), в частности, следует
Г
Подставим в формулу (14.5) f(z) = cosz, n = 2, z = 0. Тогда
fcosz 2тгг „,
r
15. Некоторые следствия
из интегральной формулы Коши
В этом разделе мы рассмотрим несколько теорем,
полезных не столько в практических, сколько в теоретических
приложениях.
Первой мы рассмотрим теорему Морера, являющуюся
обращением теоремы Коши.
Теорема 15.1 (Морера). Если функция f(z) непрерывна в
области Е и
<f> f(z)dz = 0
г
для любого кусочно-гладкого замкнутого контура Т, целиком
лежащего в Е (Г С Е), тогда функция f(z) аналитична в
области Е.

90 Глава 1. Введение в теорию функций комплексного переменного
Доказательство. Рассмотрим функцию
Z
F(z) = Jf(QdC.
Согласно условию теоремы, ее значение не зависит от пути
интегрирования и
z+Az
F{z + Az) - F{z)
Az
f(*) = ^-z J [/(0-/(*)№,
где в качестве пути интегрирования можно выбрать* отрезок
прямой, соединяющей точки z и z + Az. Предельный переход
Az —> 0 в полученном равенстве дает
z+bz
F(z + Az)-F(z) „, * ,. 1 f rr/>4 „ ч1 f>
откуда в силу непрерывности функции f(z) получим
Л. F(z + Az)-F(z) ^ ч Л <Шг)
lim — т-^ — - /Ы = 0 и —r^ = Hz).
Таким образом, функция F(z) является аналитической и ее
производная есть функция f(z). Но, как следует из следствия
14.1.3, производная аналитической функции также
аналитическая функция, что и требовалось доказать.
Теорема 15.2 (принцип максимума модуля). Если f(z)
не равна тождественно постоянной, аполитична в области
Е и непрерывна на границе Гя, то ее модуль может
достигать наибольшего значения только на границе области Е.
Доказательство. Пусть zo - произвольная фиксированная
внутренняя точка области Е. Согласно утверждению 8.1,
точка wo = f(zo) принадлежит множеству значений функции f(z)
вместе с некоторой окрестностью |tu — wo\ < S. Выберем в этой
окрестности некоторую точку гох, такую что \wi\ > \wo\. Точке
w± соответствует точка z\ E JS7, такая что w\ = f{z\).
Обозначим \z\ — zq\ = е. Если 8 —>0,то£—^ 0 в силу аналитичности

15. Некоторые следствия из интегральной формулы Коши 91
функции f{z). Следовательно, в любой окрестности точки zq
существует точка zi, такая что |/(zi)| > |/(го)|, т.е. точка
zq не может быть точкой максимума. В силу произвольности
zo |/(2)| не может достигать наибольшего значения во
внутренних точках области Е. Следовательно, он достигает его на
границе, что и требовалось доказать.
О Минимальное значение модуля функции \f{z)\ также не
может достигаться внутри области Е, что доказывается
аналогично.
Теорема 15.3 (Лиувилля). Функция, аналитическая и
ограниченная на всей комплексной плоскости, есть постоянная.
Доказательство. Пусть zq и z\ — любые две точки,
расположенные внутри замкнутого контура Г. Используя формулу
(13.2), можно записать
/Ы_/Ы = _1.|[_1___1_]ЛС)
\<К.
Выберем в качестве контура интегрирования окружность |£| =
R с радиусом R, большим обоих чисел |zo|, |zi|. Тогда оценка
интеграла дает
1/Ы-/(*)! =
1_ Г (ZQ-Z1)f(0 ^
™ J (C-*o)(C-*i)
2тгг
1С1=л
Учтя, что |/(С)| < -Л^? даже когда |£| —> со, найдем
\t/ \ и \\ / \zo-zx\MR
1/ы-/ык(д.Ы)(д_|21|).
Устремим R к бесконечности (R —>• со), сохранив zo и z\
неподвижными. Тогда ясно, что f\z\) — f(zo) = О, так как предел
правой части неравенства равен нулю. В силу произвольности
z0 и z\ заключаем, что функция f(z) есть постоянная.
Отметим, что эта теорема допускает несколько очевидных
обобщений. Одно из них заключается в том, что если условие
ограниченности заменить условием возрастания модуля \f(z)\
не быстрее, чем М|г|п, то f(z) — полином степени не выше
п. Еще одно обобщение мы приведем позднее, после того, как
рассмотрим ряд Лорана.

ГЛАВА 2
Теория вычетов и ее приложения
Эта глава посвящена изложению основных положений
теории вычетов. Теоретический материал иллюстрируется
примерами. Глава снабжена приложением, где в удобной для
использования в теории вычетов форме приведены необходимые
сведения из теории функций вещественной переменной,
касающиеся несобственных интегралов.
16. Ряд Тейлора
♦ Функциональная последовательность {un(z)}, п = 1,оо,
z G Е, называется равномерно сходящейся к функции u(z),
если для любого е > 0 существует 7У"е, не зависящее от z и такое,
что для всех п > N£ и для всех 2, принадлежащих области Е,
справедливо
\u(z) -un(z)\ <e.
♦ Функциональный ряд
оо
Y,un(z) = f(z), ZEE, (16.1)
называется равномерно сходящимся к /(z), если для любого
е > О существует Ne, не зависящее от z и такое, что для всех
п > N£ и для всех z, принадлежащих области Е, справедливо
/(*)-]£**(*)
&=1
<е.
Теорема 16.1 (признак Вейерштрасса). Если для всех z,
принадлежащих области Е,
1) \u(z) — un(z)\ <^ ап, п = 1, оо и числовая
последовательность {ап} сходится к нулю, то последовательность {un(z)}
сходится равномерно в области Е;
2) |un(z)| ^ Ьп, п= 1,оо и числовой ряд ^ Ьп сходится,
п=1
то ряд (16.1) сходится равномерно в области Е.

16. Ряд Тейлора
93
Последовательность {ап} называется мажорирующей для
оо
♦ последовательности {un(z)}, а ряд ]Г) 6„ - мажорирующим
п=1
оо
для ряда ^2 un(z).
n=i
Доказательство дословно повторяет доказательство
соответствующей теоремы для вещественных функциональных рядов.
Теорема 16.2 (Вейерштрасса). Пусть un(z), п = 1,оо, —
аналитические в области Е функции. Тогда, если ряд (16.1)
сходится в Е равномерно к функции f{z), то
1. f(z) — аналитическая в Е функция;
2. ряд можно почленно дифференцировать любое число раз:
оо
/(*>(z) = £4fc>(z), k = T^; (16.2)
П = 1
3. ряд (16.2) сходится равномерно в любой замкнутой подо-
бласти G области Е;
4- ряд можно почленно интегрировать:
Jf(z)dz = f2Jun(z)dz (16.3)
г п=1г
для любого контура Т, лежащего в Е.
Доказательство этой теоремы приведено, например, в [49], стр.
62.
Теорема 16.3. Всякий степенной ряд
оо
£С„(*-«,)- = /(*) (16.4)
71=0
внутри его круга сходимости сходится к аналитической
Функции и
оо
f'{z) = YjnCn{z-z0)n-\
П = 1

94 Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Доказательство. Согласно теореме Абеля, внутри круга
сходимости степенной ряд сходится равномерно, что в силу
теоремы Вейерштрасса является доказательством сделанного
утверждения.
Теорема 16.4. Функция f(z), аналитическая внутри круга
\z — %о\ < R, разлагается в этом круге в степенной ряд
оо
/(i) = Y,Cn(z-z0)n, (16.5)
n=0
где
/(п)ы
Сп = 7, п = 0, оо; (16.6)
ТЫ
г
а Г — произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур,
целиком лежащий в круге \z — zq\ < R и охватывающий точку
ZQ.
Ряд (16.5) называется рядом Тейлора функции f{z).
О Из формулы (14.4) следует, что (16.6) является
следствием (16J).
Доказательство. Пусть z принадлежит открытому кругу
радиуса р (р < R) с центром в точке zo, а £ лежит на окружности
радиуса р с центром в точке zq. Тогда
-J_ = li = _1_(^_у
C-z C-z0-{z-z0) C-zo\l-*E%J
Но '
С-*о
< 1 и, следовательно,
C-z t'oC-zoKC-zoJ V '
Ряд (16.8) сходится равномерно по £ для |г — zq\ < p, так как
он мажорируется рядом
уЧ« - *о\п
2s рп + l '
п=0 y

16. Ряд Тейлора
95
т.е. его можно почленно интегрировать. Домножим (16.7) на
/(С)/(27гг) и проинтегрируем по окружности \z — zq\ = р. Тогда
хЫ_ 1 Г ЖК
\z-z0\=p
С другой стороны, с учетом разложения (16.8) получим
\z-z0\=p
< \z-zo\-p
Обозначим
°п-2тгг У (C_Zo)n+i^-
|г-20|=р
Под интегралом стоит функция, аналитическая в кольце 0 <
\z — zo\ < R- Заменив здесь окружность \z — zq\ — р любым
кусочно-гладким замкнутым контуром Г, целиком лежащим в
круге \z — zo\ < R и охватывающим точку 2о, получим формулу
(16.5), (16.7), что и требовалось доказать.
О Круг сходимости степенного ряда (16.5) \z — zq\ < R
является максимальным кругом, в котором функция /(г), пред-
ставимая этим рядом, является аналитической. В силу этого
радиус сходимости R ряда Тейлора (16.5) определяет
кратчайшее расстояние от центра разложения zq до ближайшей особой
точки.
О Отметим, что теорема 16.3 является следствием
определения аналитической функции как функции,
дифференцируемой в окрестности некоторой точки z, т.е. удовлетворяющей
условию Коши-Римана. Однако такой подход не единствен.
Аналитическую функцию f(z) можно определить выражени-
ем (16.4), тогда условия Коши-Римана становятся следствием
такого определения. В этом случае очень часто (хотя и не
всегда) вместо термина «аналитическая» (в смысле «однозначная
аналитическая») используют термин «голоморфная функция».
Выражение «голоморфная» в переводе с греческого имеет
значение «подобная целой», что соответствует явному виду (16.4),

96
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
представляющему собой сумму слагаемых, содержащих (z—zo)
в целой степени.
Обобщение понятия голоморфной функции приводит к
понятию аналитической функции, что в нашем случае
соответствует термину «многозначная аналитическая» (полная
аналитическая) функция (подробнее см. разд. «Аналитическое
продолжение»).
Следствие. Разложение аналитической в области Е функции
f(z) в ряд Тейлора единственно.
Доказательство этого утверждения для более общего случая
(ряда Лорана) приведено в следующем разделе.
Соотношения (7.4), посредством которых были определены
элементарные функции, с учетом теоремы 16.3 можно
рассматривать как разложения этих функций в ряд Тейлора,
сходящиеся на всей комплексной плоскости. Из формулы (16.6) следуют
дополнительные тейлоровские разложения в круге \z\ < 1
00 п
ln(l + *) = V(-l)n+1—, (16.9)
^—' п
п = 1
(1 + гГ = 1 + ±а{а-1)---\а-П + 1К». (16.10)
71.
п = 1
Разложения (16.9) и (16.10) написаны для тех однозначных
ветвей, на которых функции равны нулю и единице,
соответственно, при z — 0. Для того чтобы получить ряды Тейлора
для других значений многозначных функций, например Ln (1 +
z), следует к ряду (16.9) добавить слагаемое 2п7гг,
соответствующее выбранной однозначной ветви.
В формуле (16.10) в общем случае а — произвольное
комплексное число, так что для многозначной функции (1 + z)a —
ехр[а Ln (1 + z)] выбрана однозначная ветвь
(l + z)a = exp[aln(l+z)].
В частных случаях, когда
а) a = 7i, 7i = 1,оо, функция (1 -f z)a однозначна и
разлагается по биному Ньютона в полином, сходящийся на всей
комплексной плоскости;
б) a = — 1, функция представляет собой сумму бесконечной
геометрической прогрессии с показателем q = — z, \z\ < 1:
1 °°
— = £(-l)nz". (16.11)
n=0

16. Ряд Тейлора
97
Пример 16.1. Разложить в ряд Тейлора по z — г функцию
f(z) = z3. Найти радиус сходимости полученного ряда.
Решение. Перейдем в функции f(z) к переменной w = z — i.
Тогда z = w + г и
f(w) — z3\2- ,. ,• — {w H~ ^)3 = tt?3 + Зггу2 — Згу — г.
Возвращаясь к исходным переменным, получим
Я*) = Я«)!«=,_< = (* - *)3 + 3(г - i)2i - 3(z -i)-i.
В силу единственности разложения в ряд Тейлора это и есть
искомое разложение. Областью сходимости этого ряда
является вся комплексная плоскость, за исключением бесконечно
удаленной точки z = оо и радиус сходимости R = сю.
Пример 16.2. Разложить в ряд Тейлора по степеням z — m/2
функцию f(z) — ez. Найти радиус сходимости полученного
ряда.
Решение. Введем новую переменную w — z — т/2, т.е. z —
w + т/2 и
00 п
Я«0 = ег| х ./9 = е^1"''2 = е-'/2 V ^-.
71=0
Здесь мы воспользовались известным разложением функции
f(w) = ew в ряд Тейлора. Возвращаясь к исходным
переменным, получим ряд
П = 1
сходящийся на всей комплексной плоскости, за исключением
бесконечно удаленной точки z = сю, радиус сходимости
которого R — сю.
Пример 16.3. Найти первые три члена разложения функции
f(z) = ez /z в ряд Тейлора по степеням z —1/2 и указать радиус
сходимости этого ряда.

98
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Решение. Найдем первые две производные этой функции
ezz — ez ez ez
А
z
f"(z) = 2+2-3-"T-
z zl z6 zz
В точке z — 1/2 получим
/(1/2) = 2^, /'(1/2) = -2vG, /"(1/2) = Юл/е.
Следовательно,
00 1
п=0
Для определения радиуса сходимости ряда отметим, что
ближайшей к центру разложения zq = 1/2 особой точкой является
точка z\ = О, в которой функция f(z) не определена.
Расстояние между этими точками определяет радиус сходимости,
равный R = \zi — zo\ = 1/2. Таким образом, областью сходимости
ряда Тейлора является круг |z-l/2|<l/2.
Пример 16.4, Функцию
1
/м
3-2^
разложить в ряд Тейлора в окрестности точки zq = 1 + г и
указать радиус сходимости.
Решение. Преобразуем аргумент функции, выделив
выражение [z — 1 — г):
3 - 2z (1 - 2г) - 2{z - 1 - i)
Вынесем множитель (1 — 2г) и воспользуемся разложением
(16.11). Тогда
1 °° 2П
3-2, [х _ М^Ц] £j (1 - М)"+*

17. Ряд Лорана
99
Радиус сходимости можно определить как расстояние от
центра разложения zq — 1 + i до ближайшей особой точки z — 1 =
3/2, т.е.
R =
--i-i
л/5
2
или из условия сходимости разложения (16.11)
2(z - 1 - i)
1-2*
Пример 16.5. Функцию
< 1, \z-l-i\<
у/Ь
/(*) =
(1 + z)3
разложить в ряд Тейлора по степеням г. Указать радиус
сходимости.
Решение. Заметим, что
+ z)3 \l + z)
(1+*)
и учтем возможность почленного дифференцирования ряда
Тейлора в круге его сходимости. Тогда из (16.11) двукратным
дифференцированием находим
й^ = ©-'^)"=В-1Г«-^- =
fc=0
17. Ряд Лорана
Определение. Ряд вида
J2 Cn(z-z0)n = f(z)
(17.1)
называется рядом Лорана. Здесь zq — фиксированная точка
комплексной плоскости, z — переменная, а Сп, п = — со, оо,
— некоторые константы.

100
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Ряд (17.1) сходится в точке z, если в этой точке сходятся
ряды
оо
y>(Z) = £Cn(Z-z0)n (17.2)
71=0
И
П = 1 V '
т.е. областью сходимости ряда (17.1) является общая часть
области сходимости рядов (17.2) и (17.3).
♦ Ряд (17.2) называется правильной частью ряда Лорана,
а ряд (17.3) — его главной частью.
Областью сходимости ряда (17.2) является круг \z — zo\ <
R, где R — радиус сходимости этого ряда. Внутри круга ряд
сходится к аналитической функции (p(z). Вопрос о сходимости
ряда на границе круга решается индивидуально для каждой
ее точки.
Рассмотрим теперь ряд (17.3). Сделаем в нем замену
переменных
1
z — .
z - z0
Тогда получим степенной ряд
оо
п = 1
Обозначим его радиус сходимости 1/г, тогда
со
#г)=£с_„гп, |2|<1/г.
11 = 1
Возвращаясь к исходным переменным, получим
оо п
ф(г) = У , °-\ .
ti(2-z°)n
Таким образом, ряд (17.3) вне круга \z — zq\ < г сходится
к аналитической функции ф(г). Если г < Я, то существует
общая область сходимости рядов (17.2) и (17.3) — круговое

17. Ряд Лорана
101
кольцо г < \z — zo\ < Л, в котором ряд (17.1) сходится к
аналитической функции
оо
/И = ^) + ^)=^Ся(«-«о)я, г<|*-г0|<Д. (17.4)
Теорема 17.1. Функция f(z), аналитическая в круговом
кольце г < |z — zo\ < R, представляется в этом кольце рядом
оо
Лорана f(z) = £) Сп(я —2о)п с коэффициентами
п = — оо
c-=eilx^r*^ (17-5)
г
г<?е Г — произвольный замкнутый контур, целиком лежащий
в кольце г < \z — zo| < R и охватывающий точку zq.
Доказательство. Согласно теореме Ко-
ши 12.4 (для многосвязной области),
справедлива формула
1 //И^
2т J и — z
где -у = 17 + г£, а Гь Г2 —окружности
радиусов />i и />2 (г < pi <>2 < Л),
соответственно, с центром в точке zo (см.
рис. 24). Тогда, согласно (13.4),
Рис. 24
Am J и) — z 2тгъ J и — z
\z-z0\=p2 \z-20\=pi
где z £ D^: p± < \z — zo\ < />2- Рассмотрим дробь
-i- = -i l_ = _i_f flZ^V (17
6)
ЯД (17.6) сходится равномерно, так как для всех \z - z0\ < R
выполняется
г-zn
Ш-Zn
< 1 для и £ Г2.

102
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Аналогично для и Е 14
— = -— -4^ = "—Е^^У- (17.7)
U-Z Z-ZQ 1- ^f- Z - Z0 ^f \z - Z0 J
n=0
Ряд (17.7) также сходится равномерно по w. Подставим ряды
(17.6) и (17.7) в выражение для f(z). Получим
2Ш J U - Z0 ^ \(л) - ZoJ
\z-ZQ\=p2
2m J z - z0 ^q \ z - z0 J
\z-z0\=Pl
*■-£ u; 2тп J (w-z0)"+1
n=0 i , '
|г-г0|=р2
°° 1 1 Г
+ Е(Г^ртт55 / /M(«-*)•*- =
|z-z0|=pi
oo oo ^
где обозначено
1 f /M , *
|г-г0|=р2
Заметим, что подынтегральные выражения в
коэффициентах С„ и С-п являются аналитическими функциями в кольце
г < \z — zo\ < R, поэтому значения соответствующих
интегралов не изменится при произвольном деформировании контуров
в области аналитичности. Можно положить ро — Р\ и,
деформируя контур, получить
2тгг J
/И
(ш - z0)n+1
Г
div, n = — оо, оо,

17. Ряд Лорана 103
где Г — произвольный замкнутый контур, целиком лежащий
в кольце г < \z — zo\ < R и охватывающий точку zq. Таким
образом, теорема доказана.
Следствие 17.1.1. Ряд Лорана (17.1), (17.5) сходится
равномерно в кольце г/к ^ \z — zo\ <С к Л, где 0 < к < 1.
Доказательство. Правильная часть ряда Лорана, согласно
теореме Абеля, сходится абсолютно в круге \z — zo\ < R и
равномерно в замкнутом круге \z — zo\ ^ kR. Главная часть
представляет собой степенной ряд по переменной £ = l/(z — zo)
и, следовательно, также равномерно сходится в области |(,"| <
&/г, т.е. всюду вне круга \z — zq\ > г/к.
Следствие 17.1.2. Разложение в ряд Лорана единственно.
Доказательство. Пусть во всех точках z внутри некоторого
кольца одновременно имеют место два разложения v
оо оо
/(*)= £ Cn(z-z0)n= £ C„(z-z0)n.
п = —оо п = — оо
Умножим оба разложения на (z — zo)~k~x и проинтегрируем
вдоль окружности радиуса />о с центром в точке zq, лежащей
внутри кольца, в которой оба ряда сходятся равномерно. Тогда
с учетом
(z-z0)n-k-1dz = 2mSnik
\z-z0\=po
получим
2-K-iCk = 27riCfc, или Си = C'fe? к = —оо, оо.
Таким образом, следствие доказано.
Аналогично доказывается единственность разложения в ряд
Тейлора.
Следствие 17.1.3. Коэффициенты Сп (17.5) удовлетворяют
неравенству Коши
где
М = max |/(w)|, Г0 : |w - z0\ = Л0, г < R0 < R.
и>ЕГо
/

104
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Доказательство. Из формулы (17.5) в силу произвольности
Г следует
\u-z0\=Ro
м
2/kR(\
|о;-г0|=Яо
ДЛЯ П = —ОО, ОО.
Следствие 17.1.4. Если функция f(z) аналитична в
многосвязной области Е, ограниченной внешним контуром Г и
внутренними Гь Гз, ..., Гп, а точка zq расположена внутри (или на
границе) одного из контуров Гп,
например Ti (рис. 25), и можно указать
такие г < Д, что
г = max 1С — ^о I <
С6Г! IS
< R = min |C -
<€Г+Г3+...+Гп
Zq ,
Рис. 25
то функция f(z) может быть
представлена рядом Лорана (17.1) с
коэффициентами (17.5) в кольце г < \z — zq\ < Л.
Доказательство очевидно.
0 Следствие остается справедливым, если контуры Гп
вырождаются в особые точки zn.
Пример 17.1. Функцию
/м =
(z2 - I)2
разложить в ряд Лорана по степеням (z — 1).
Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точ-
ки zq = 1, z\ = — 1. Поскольку точка zq = 1 является
центром разложения, то согласно следствию 17.1.4 для кольца
аналитичности г < \z — 1| < R имеем г = |1 - 1| = О, R =
| - 1 — 1| = 2, и, следовательно, областью сходимости
является кольцо 0 < \z — 1| < 2, представляющее собой в данном
случае круг \z — 1| < 2 с выколотым центром z = 1.

17. Ряд Лорана
105
Если из комплексной плоскости удалить круг \z — 1| ^ 2,
то получится еще одно кольцо: \z — 1| > 2, в котором функция
f(z) аналитична. Рассмотрим последовательно обе области.
I. 0< |z-l|<2.
Первый способ. Чтобы найти коэффициенты Сп,
воспользуемся непосредственно формулой (17.5). Тогда
J_ fl/(z2-!)2 1 f dz
n 2ш] (z-l)»+i 2тггУ (z+l)2(z-l)"+3'
где Ti — произвольный замкнутый контур, целиком лежащий
в кольце 0 < \z — 1| < 2.
Если п <С — 3, то подынтегральная функция аналитична
во всех точках внутри контура Ti, включая точку zq = 1, и,
следовательно,
dz
= 0.
7п " 2тгг У (z +
2f~ 1\п+3
1)2(*-1)
Если же п > —3, то, согласно (17.5), для функции l/(z + I)2,
аналитической внутри Гх, имеем
J_ М/(г2-1)2 1 <Г+2 г 1 1.
п 2тгг У (г-1)"*1 (n + 2)!dz»+2L(*+l)2JL=i
1 (-l)"(n + 3)!| = (-l)"(n + 3)
(n + 2)! (z + l)"+4 L=i 2n+4
Таким образом, ряд Лорана для рассматриваемой функции
в кольце 0 < \z - 1| < 2 будет иметь вид
р^Пр- 2^ сЛг~1) - Ъ —^+*—(2-1) •
' п=-оо п = -2
Второй способ. С учетом того, что функция l/(z2 — l) прос-
То разлагается на элементарные дроби
*2-l (z-l)(z+l) 2\z-l z + l)'

106
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
функцию f(z) можно записать как
(z2-l)2 \-2\z-l z + l/J
4Uz-:
+
.(z-1)2 (z-l)(z + l) (z+1)2 J
или с учетом предыдущего разложения
1 1Г 1 11
_1г__1 1_ _J_ 1 I
— 4 L f ж" — 1)а 2-1 + z + l + (z+l)2J
(z2-l)2 4L(z-l)2 z-1 z + 1 (z + 1)
Два первых слагаемых уже имеют нужный вид, являясь
степенями разности (z — 1), а два последних связаны соотношением
hi)2 Vz + 1/
Таким образом, с помощью тождественных преобразований
вся задача свелась к разложению функции 1/(1 + г) в ряд
Лорана. Для этого представим ее в виде
1 1 1
1 + z 2 + (z-1) 2[1 + (*-1)/2)]'
позволяющем воспользоваться разложением (16.11), так как
\z - 1|/2 < 1 (или \z - 1| < 2), откуда
1 + z 2 ^ ' \ 2 / ^2И
п=0 п=0
и, следовательно,
чп=0
п=0 п=0
Тогда
1 , у _fM-i)y п»,
l + z + (1 + z)2 ~ ^ 2-+1 l ; +
v ' п=0
п=0 п=0

17. Ряд Лорана
107
и, соответственно,
1 1
4
2_ ^\2
(*2 - 1)
LV ' • п=0
Объединив выражение в квадратных скобках в одну сумму,
окончательно имеем разложение
1 °° С—Пп
(^T)i=E2Wr("+3)(Z-ir,
совпадающее с тем, которое мы получили ранее.
И. |z-l|>2
Первый способ. Воспользуемся непосредственно формулой
(17.5). Тогда
1 fdz/[(z2-l)2]
Сп-ьнГ
(Z - 1)» + !
2т J
dz
{z+l)2(z-l)n+3'
где Г2 — произвольный замкнутый контур, целиком лежащий
в кольце \z — 1| > 2 и охватывающий точки zq = 1 и z\ —
— 1. Если 7о и 7i — произвольные непересекающиеся контуры,
охватывающие точки z$ = 1 и z\ — — 1, то, согласно (12.7), для
коэффициентов С„ имеем
:n~2mJ
dz
1 \fdz/[(z+l)2] f
2m[J (z-l)"+3 + J
(z + l)2(z-l)"+3
21 t dz/[{z - l)n+3]
(z + l)2
70 71
Первый интеграл уже вычислялся:
_1_ f dz/[(z+l)2] _ / 0, n ^ -3;
2тгг У (г - 1)»+з ~ \ (-1)п(п + 3)/2"+4, п > -3.
7о
Аналогично вычисление' второго интеграла дает
J_ [ dz/[(z-l)n+3} Г 1 VI
2-niJ (z + 1)2 l(z-l)»+3J l,=-i
7l
n + 3 | _ (-!)»(»+3)
(z-l)»+«l«=-i
2П+4

108
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
С учетом этого коэффициенты Сп можно записать
(-!)»(»+3)
Сп = <
2"+•* '
(-1)"(п + 3) (-1)»(п + 3)
или
2п+4 2П+4
(-!)•> +3)
п^ -3;
= 0, п>-3
Сп =
2П+4
О,
, п <С -4;
п > -4.
Таким образом, в кольце \z — 1| > 2 получим разложение
-П2 Z^
(-l)»(n + 3)(s-l)n
(*2-1)
2П+4.
(-1)»(-п + 3)
9.-*+4f* - П» ^ 9.-»
(-1)»(п-3)
Z-r 2"n+4(2: - 1)" *-J 2~n+*(z - l)n '
n=4 v ' n=4 ч '
которое после изменения индекса суммирования примет вид
(*2 " 1)
1 °°
п=0
(-l)w(n+l)2w
[z - 1)*+4 '
Второй способ. Как и в предыдущем случае,
воспользуемся соотношениями
1 _ 1 г 1 1_ 1 1 1
(z2-l)2 ~~ 4L(z-l)2 z-\ + z+l + (z + l)2J'
(z+1)2 \z + lJ-
Однако для того чтобы воспользоваться разложением (17.1) в
кольце \z — 1| > 2, представим l/(z -f 1) в виде
z + 1 2 + (z-l) {z-l)[l + 2/{z-l)Y
откуда
z +
- = — У(-1)" (—Г = f ("1)П2" =
n=0 v '
[ ~ (-l)"2n
n=0
2
+
z-1 (*-l)2 (*-l)3 ^(^-1)n+1*

17. Ряд Лорана
109
Поменяв индекс суммирования п — 3 —> п, получим
1 _ 1 2 4 у, (-1)»2"+3
z+l z_l (z_l)2 (z_1}3 £j(*-l)
и, соответственно,
1 _ /у, (-1)"2" у_
(* + i)2~ V^0(*-i)"+V "
1 4 ^ (-l)n(n+l)2n
_1\з + 2^
(г - 1)2 (Z - 1)3 JU (z- l)n+2 '
или после замены индекса суммирования (п — 2 —> п)
1 _ 1 4 ^(-l)n(n + 3)2n+2
п=0
(Z+1)2 (z-l)2 (г-1)3+Е (г_1)«+4
Таким образом, получим разложение
1 1 2
+ —-Г-/.. «л, +
(z2_!)2 41(г-1)2 z-1 х + 1 (z-1)2
4 _ ^ (_i)n2"+3 1 4__
+ (г-!)3 ^о^-1)""'4"1"^-1)2 (z-!)3 +
A (-l)»(n + 3)2"+2i J1 ^ (-1)"2"+2 «.„,-
+ L, (, _ 1)..+4 J " 4 2-г (* - 1)-+* ("2 + " + 3) ~
n=0 v ' n=0 v '
" (-1)»(п+1)2"
^ (z - 1)та+4 '
n=0 v '
совпадающее с разложением, полученным первым способом.
Пример 17,2. Разложить в ряд Лорана в окрестности нуля
Функцию f(z) = е1/г.
Решение. Используя известное разложение
00 ,,*
и"
п=0

110
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
получим
^-1 n\zn
п=0
Этот ряд сходится для всех z, кроме z = 0, т.е. в кольце |z| > 0.
Кольцо |z| > 0 представляет собой всю комплексную плоскость
с выколотым началом координат.
Пример 17.3. Разложить в ряд Лорана функцию
№ = 1
(*-1)(*-3)
в кольце 1 < \z\ < 3.
Решение. В этом случае
1
- = iU L-V
(*-l)(z-3) 2V*-3 z-1/'
*_3~ 31-Z/3" 3^-13»' и ;
n=0
-z-1 zl-l/z «^i*»' |Z|>
7 П=0
Таким образом,
1 1 °° 1 — *
(s-l)(z-3) = "2 V ^ З^1 ^ + _^__ *" J"
n=0
Пример 17.4. Найти и построить области сходимости ряда
Лорана
5>+о(ш)"+££ <17-8>
п=0 п=0
Решение. 1) Рассмотрим ряд
х>+*>Ш" (17-9)
п=0

17. Ряд Лорана
111
и исследуем его на сходимость методом Даламбера
(п+1+ »)[*/(!+ i)]w+x
limn_
*n + l
lim
n—юо
1 + t
(n + *)[z/(l + »)]n
\/2
Следовательно, ряд (17.9) сходится в круге \z\ < \/2-
2) Рассмотрим ряд
ОО о
^2"
(17.10)
п=0
Применим признак Даламбера
lim |2=±i
п-юо| tZn
= lim
П-ЮО
(n+ l)2z
2 „n
znzn2
<1.
Следовательно, ряд (17.10) сходится вне круга единичного
радиуса |з| > 1.
3) Область сходимости ряда (17.8) пред- л4У^
ставляет собой пересечение областей схо- //УУ$$&>
димости рядов (17.9) и (17.10), т.е. 1 < W } <&-
\А < у/2. ^Мгх
4) Исследуем сходимость ряда на гра- vb>
нице кольца. В параметрической форме ^
внешняя граница кольца определяется
уравнением
z = V2ei<py у?е[0,2тг[.
Исследуем на сходимость ряд
Рис. 26
' = »»+0(7+7) =
n=0
ОО {& ОО
n=0 n=0
Здесь мы воспользовались соотношением
1 + « = л/2е,7Г/4.
Проверяем выполнение необходимого признака
&"»=„wn+iHcos[(^- ?)]+iain[(*'- J)]}=«>•

112
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Следовательно, внешняя граница кольца не входит в область
сходимости. Аналогично сходимость ряда (17.8) на внутренней
границе кольца определяется сходимостью ряда
оо з °°
У^ —— = 2_, n2{cosnip — isinn^>). (17.11)
n = l n=l
Проверим выполнение необходимого признака
lim n2 (cos тыр — г sin тир) = оо,
т.е. ряд (17.11) расходится. Окончательно для области
сходимости получим 1 < \z\ < у/2 (см. рис. 26).
Пример 17.5. Найти все лорановские разложения функции
z
/W
z2 + l
по степеням z — zq, где zq = 3 — г.
Решение. 1) Разложим функцию f(z) на элементарные
дроби, применив метод неопределенных коэффициентов.
Поскольку знаменатель дроби имеет корни zi?2 = ±г, то
z . А В
z2 + 1 z + г ' z — г
Приведя правую часть к общему знаменателю
z - A(z-i) +B(z + i)
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях z
z1
z°
1 = А + В,
О = - Ai + Bi,
из второго уравнения получим равенство А = В, подставив
которое в первое уравнение системы, найдем А = 1/2, В = 1/2.
Следовательно,
+
г2+ 1 2{z + i) 2{z-iY

17. Ряд Лорана
113
В дальнейшем воспользуемся известным разложением (16.11).
2) Преобразуем первую дробь к виду
1
1/3
z + i (г-3) + 3 + г 1 + (* + г-3)/3
П=0 71=0
|г + г-3|
<1.
Аналогично
1
1
l/(g + t-3)
2 +г (г + г-3) + 3 1 + 3/(* + *-3)
3
п=0
г + г-3
<1.
3) Аналогично преобразуем вторую дробь
1 1 11
: - г (* +1 -' 3) - 2* + 3 3 - 2*1 - ^jtjj*
1 °° 1 П
n=0
iz + г-З
z-i z + i-31+^^
= 7тЬВ^-зг(7тЬз)П'1
»i=0
j 2г — 3
\z + г — 3
<1.
Рис. 27
4) Полученные разложения
определяют функцию в разных
областях:
n=0 v ' п=0
Разложение справедливо в области I: \z + i — 31 < 3 (см. рис.
27). .

114
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
2-'м = 2?1тЪч£<-3>"(;тЪ)"+
п=0
оо
I * fv згГ 2i~3 Г
2(z + i-3) ^ < ' Vz + t-3/ '
7 п=0
Разложение справедливо в области III: |г + г — 3| > vl3 (см.
рис. 27).
1 °° 1 п
п=0
i x fv згГ 2i~3 V1
+ 2(« + t-3)^Jl ' U + t-3/ '
Пересечение областей сходимости рядов, стоящих в правой
части, пусто, т.е. z E 0.
оо
1 ^^ 1
4''W = 2PT733)£H>)"(jT73l) +
v ' п=0
1 ^/2 + г-3\Л
+ ;
., Л 2г-3 У '
2(3-2г) ^Л 2г-3
п=0
Разложение справедливо в области II: 3 < \z + г — 3| < \/ГЗ
(см. рис. 27).
Пример 17.6. Разложить функцию
sinz
/(*) =
z*
в ряд Лорана в окрестности точки zo = 0.
Решение. Перепишем функцию /(z) в виде
/(*) = Z2SiliZ
Z
и воспользуемся разложением функции sin z в ряд Тейлора.
Получим
/м = ^Е(-1)"(^тт)У = В-1)П(2^й)1-
n=0 v ' n=0 v '
Область сходимости полученного ряда — кольцо \z\ > 0.

18. Изолированные особые точки аналитических функций 115
Пример 17.7, Установить связь между рядами Лорана и
рядами Фурье.
Решение. Ряд Фурье функции /(£), интегрируемой на отрезке
[О, 27г], в комплексной форме определяется соотношением
со
/(<)= £ Спеш, (17.12)
п = —оо
где для коэффициентов Фурье справедлива формула
2тг
Сп = ^- f f(t)e-intdt, n = -оо,оо. (17.13)
о
Положим e%t = z, f(z) = f(t). Тогда формула (17.12) примет
вид
со
J2 с**п- (17Л4)
п = — со
Учтем, что, во-первых, dt = dz/(iz) и, во-вторых, при
изменении t от нуля до 27Г переменная z пробегает замкнутый контур
\z\ = 1 в положительном направлении. Тогда коэффициенты
(17.13) можно записать
о И=1
Сравнив (17.14), (17.15) с (17.1), (17.5), можно сделать вывод,
что ряд Фурье (17.12), (17.13) функции f(t) на отрезке [0,27г]
является рядом Лорана функции f(z) = /(£), если z = e%t. Об
интегралах (17.15) см. также разд. 23.1.
18. Изолированные особые точки
аналитических функций
18.1. Классификация изолированных особых точек
♦ Точка zo £ Е называется правильной точкой функции
/(г), если существует сходящийся степенной ряд
оо
£Cn(2-Z0)*\
п=0

116
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
который в общей части области Е и своего круга
сходимости \z — zq\ < R сходится к функции f(z). Точки z G Е, не
являющиеся правильными для /(г), называются ее особыми
точками.
Это определение эквивалентно определению правильных
точек, данному нами в первой главе с использованием понятия
аналитичности функции f(z). Такая формулировка более
удобна для целей данной главы.
♦ Особая точка zq аналитической функции f(z) называется
изолированной особой точкой, если существует ^-окрестность
точки zo, не содержащая других особых точек функции f{z).
О В дальнейшем мы ограничим рассмотрение
изолированными особыми точками, классификацию которых будем
проводить в зависимости от вида лорановского разложения (ряда
Лорана) функции f(z) в окрестности точки zq.
Разложим функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности
изолированной особой точки zq\
оо
/(*)= 2 Cn(z - z0)n = ф(х) + <p(z); (18.1)
n = —oo
оо оо
ф) = ]Г Cn(z - z0)n, i>(z) = £ С-„(* - z0)-n.
n=0 n=l
ф Особая точка zq называется устранимой особой
точкой функции f(z)y если в разложении (18.1) функции f(z) в
ряд Лорана нет слагаемых с отрицательными степенями, т.е.
ф(г) = 0.
♦ Особая точка называется полюсом порядка m
функции f(z), если в разложении функции f(z) в ряд Лорана
содержится конечное число слагаемых с отрицательными
степенями (z — zo). Здесь m — старшая отрицательная степень z — zo,
C-m ф 0. При m = 1 полюс называется простым, а при га > 1
- кратным.
♦ Точка zo называется существенно особой точкой
функции f(z), если в разложении функции f(z) в ряд Лорана
содержится неограниченное число отличных от нуля слагаемых с
отрицательными степенями (z — zo).
♦ Функция f(z) называется целой, если она представима
степенным рядом
оо
/(*) = £c„(*-*,)", (18.2)

18. Изолированные особые точки аналитических функций 117
радиус сходимости которого равен бесконечности.
О Из определения целой функции следует, что функция,
аналитическая во всей комплексной плоскости за
исключением, может быть, бесконечно удаленной точки, является целой.
Очевидно, что функции ег, sh z, ch z, siiiz, cosz, а также
полиномы от них — целые функции.
♦ Функция f(z) называется мероморфной, если ее можно
представить в виде
/М = 9£-у (18-3)
где g(z) и <p(z) — целые функции.
О Нетрудно заметить, что функции tg z, ctg z, th z, cth z,
а также полиномы от них — мероморфные функции.
Более подробное и полное рассмотрение свойств целой и
мероморфной функций будет проведено в разделе «Приложение
теории вычетов».
18.2. Устранимая особая точка
Рассмотрим простейшие свойства устранимых
изолированных особых точек.
Теорема 18.1. Если точка zq — устранимая особая точка
аналитической функции f(z), то существует конечный
предел
lim f(z) = Со, |Со| < ос. (18.4)
Z-¥Zq
Доказательство. Так как правая часть равенства (18.1)
является степенным рядом, сходящимся в круге \z — z0\ < Д,
то, по теореме Вейерштрасса, его сумма аналитична в круге
и, следовательно, непрерывна в точке zq, поэтому при z —> zq
сумма ряда имеет предел, который равен Со.
Справедлива и обратная
Теорема 18.2. Если для функции f(z), аналитической в
окрестности изолированной особой точки zq, справедливо
соотношение (18.4), то zq — устранимая особая точка этой
функции.
Доказательство. В силу существования предела (18.4) и
аналитичности функции f(z) можно указать некоторую
окрестность \z — zo\ < R точки го, в которой эта функция
ограничена, т.е. \f(z)\ < М, и, кроме того, может быть разложена в

118
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
ряд Лорана (17.1) с коэффициентами (17.5),
удовлетворяющему неравенству Коши в силу следствия 17.1.3, т.е.
Сп<МЛоП.
Согласно (17.5), До может быть выбран сколь угодно малым.
Но тогда из неравенства Коши следует, что коэффициенты
Сп = 0 для всех п < 0. Это означает, что главная часть ряда
Лорана полностью отсутствует и точка zq является
устранимой особой точкой.
Пример 18.1. Показать, что точка z — 0 является
устранимой особой точкой функции
sin*
/(*) = —■
Решение. Функция f(z) не определена при z = 0. При z ф 0
ее можно представить рядом
т.е. точка z — 0 — устранимая особая точка. Из разложения
следует
Вт =^ = 1.
Если положить /(0) = 1, то функция f(z) будет
аналитической и в точке z = 0. Именно поэтому особая точка называется
устранимой. В силу этого свойства при необходимости в
дальнейшем будем рассматривать эту точку как правильную.
18.3. Полюс
Теорема 18.3. Если точка zq является полюсом порядка т
аналитической функции f(z), то
lim f(z) = оо,
Z—VZq
где 0 < |С„| < оо.

18. Изолированные особые точки аналитических функций 119
Доказательство. Если z$ — полюс порядка m аналитической
функции, то, по определению,
ИЛИ
/(*)= £ Cn{z-ZQ)\
причем \С-т\ ф 0.
Рассмотрим функцию
Ф(г) = (z-z0)mf(z) = ]Г Cn(z-z0)n+m = J2Ck-m(z-z0)k.
ii=0
Таким образом, для функции Ф(г) точка zq является
устранимой особой точкой и, следовательно, согласно предыдущей
теореме,
lim *(z) = lim (z - z0)mf{z) = C_m.
Z —tZo Z—¥Zq
Так как lim (z—zo)m = 0 и |C_m| ^ 0, |C_m| < oo, то получаем
Z — Zq
lim /fz) = hm г r— = oo,
z->z0 z^z0 (Z — Zo)m
что и требовалось доказать.
Справедлива также обратная
Теорема 18.4. Если для функции f{z), аналитической в
окрестности изолированной особой точки zq, справедливо
соотношение (18.5), то точка zq — полюс этой функции
порядка га.
Доказательство. Согласно теореме 18.2, точка zq является
устранимой особой точкой для произведения f(z)(z — zo)m,
которое по этой причине может быть разложено в ряд Тейлора
оо
/(z)(z-zo)ro = X>n(z-zo)n,
п=0

120
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
причем a.Q = C_m ф О, поскольку
lim f(z)(z - z0)m = С_то = а0.
Разделив указанное разложение на (z —zo)"\ для функции f(z)
получим лорановское разложение
р ОО
определяющее точку z$ как полюс порядка ?п.
♦ Точка zq называется нулем функции f(z) порядка ?п, если
z^z0 (z - Zq)
f(z0) = 0, lim j^——rj = 0, к = 1, m - 1,
lim , /(Z\CT ^ 0 < oo.
*-»*<> (z - Z0)m ^
Кроме того, для практического решения задач нужно
напомнить, что если точка zq является нулем порядка m функции
/(z), то
/Ы = ГЫ = ... = f^-l\zQ) = 0, flm)(zo) ф 0,
а сама функция f(z) в окрестности точки zq может быть
представлена в виде
f(z) = (z-z0)m9(z), дЫФЪ.
С учетом сказанного из теоремы 18.4 вытекает
Следствие 18.4.1. Если точка zq является нулем порядка m
функции f(z), то она является полюсом порядка га функции
!//(*)•
Доказательство. Действительно, функцию l/f(z) можно
записать как l/[{z — zo)mg(z)], откуда следует
lim (z-zQ)m- \—— = -Ц = С_ш ф 0, |CLm| < ос.
z-+z0y (z-z0)mg(z) g(z0)

18. Изолированные особые точки аналитических функций 121
Пример 18.2. Показать, что для функции \/{smz — z) точка
zq — 0 является полюсом третьего порядка.
Решение. Достаточно показать, что zq = О есть нуль
третьего порядка для знаменателя sin z — z. Для этого найдем (sin z —
z)\z=Q = О, (smz-Z)'\2=0 = (cosz-l)|z=0 = 0, (einz-z)"|x=0 =
sin^l = 0, (sinz — z),n\ = cosz| = 1. Так как
производная третьего порядка отлична от нуля, точка zq = 0 — нуль
третьего порядка.
Следствие 18.4.2. Если точка z$ является нулем порядка га
функции <p(z) и порядка к функции ф(г), то для функции f(z) =
(p\z)/i/>(z) точка zq является
а) нулем порядка п, если m — к = п > 0;
б) устранимой особой точкой, если га — к = 0;
в) полюсом порядка п, если к — га = п > 0.
Пример 18.3. Показать, что для функции z2/(sinz — z) точка
z — 0 является простым полюсом.
Решение. Так как z — 0 есть нуль порядка m — 2 для
числителя и порядка к — 3 для знаменателя (см. предыдущий
пример), то п — к — га = 1, т.е. z = 0 — простой полюс.
18.4. Существенно особая точка
Теорема 18.5 (Сохоцкого-Вейерштрасса). Предел
функции f(z) в ее существенно особой точке не существует.
Другими словами, для любого наперед заданного комплексного
числа А существует последовательность {zn}, сходящаяся
к существенно особой точке zq, такая что
lim f(zn)=A. (18.6)
Доказательство. 1. Пусть А — оо. Очевидно, что в этом
случае существует, по меньшей мере, одна последовательность
{zn} —>• 2о> для которой справедливо соотношение (18.6).
Действительно, если такой последовательности не существует, то
функция f(z) будет ограниченной в окрестности точки 2о» а
сама точка в соответствии с теоремой 18.2 и вопреки условию
доказываемой теоремы будет устранимой особой точкой.
2. Пусть А ф оо. Будем снова исходить из противного.
Пусть соотношение (18.6) не выполняется. Тогда должны
существовать окрестность 0<|z — zo\ < S и число е > 0 такие,
что \f(z) - А\> е при 0 < \z - z0\ < S.

122
Глава 2, Теория вычетов и ее приложения
Построим функцию
f(z)-A
Эта функция является аналитической в окрестности 0 < \z —
zo\ < S и, кроме того, удовлетворяет неравенству
Последнее означает, что функция <p(z) в окрестности 0 < \z —
zo\ < S является ограниченной. Поскольку точка zq —
изолированная особая точка для функции /(г), то такова же она и
для функции ip(z). Ограниченность функции <p(z) позволяет
утверждать (теорема 18.2), что существует предел
lim <p(z) = В < оо.
Z —¥Z0
Определив зависимость f(z) от (p(z)
f(z)=A+-—, 0< \z-z0\<8
<p(z)
и вычислив предел
шм = {£1/в- ВфЩ
?:,"■'>-\ ос, в = о,
приходим к заключению, что точка z$ — либо устранимая
особая точка, либо полюс функции /(г), что противоречит
условию теоремы и доказывает ее справедливость.
Из доказанных теорем 18.2 и 18.4 непосредственно вытекает
Теорема 18.6. Если для функции f(z), аналитической в
окрестности изолированной особой точки zq, предел lim f(z)
Z-+Z0
не существует (даже бесконечный), то точка zq —
существенно особая точка функции f(z).
О Таким образом, если в изолированной особой точке
1. lim f(z) = С, \С\ < оо,
z-+z0

18. Изолированные особые точки аналитических функций 123
то zq — устранимая особая точка функции f(z);
2. lim f(z) = oo, lim f(z)(z-z0)m = C_m, 0 < \C.m\ < oo,
Z—¥Zq Z—yZo
то zo — полюс функции f(z) порядка ?п;
3. lim f(z) не существует, даже бесконечный,
Z-¥Zq
то zo — существенно особая точка функции f(z).
Значение предела функции f(z) в особой точке zq можно
положить в основу классификации изолированных особых точек
функции f{z).
Пример 18.4. Показать, что функция
имеет существенно особую точку z = 0.
Решение. Первый способ. Рассмотрим lim f{z).
1. Пусть z — х. Тогда
lim/Ы = lime"1/*2 =0.
z-+0 v x-уО
2. Пусть z = iy, тогда
lim f(z) = lim ег'у = oo.
Следовательно, lim f(z) не существует и точка z = 0 —
существенно особая.
Второй способ. Разложим функцию f(z) в ряд Лорана в
окрестности точки z = 0. Воспользуемся известным
разложением
00 п
е" = £^
^ п!
71=0
и получим
п=0
Полученное разложение содержит бесконечное число
отличных от нуля слагаемых с отрицательными степенями z.
Следовательно, точка z = О — существенно особая.

124
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 18.5. Найти изолированные особые точки функции
и определить их тип.
Решение. Первый способ. Особые точки определяются
условием ez = 1, или
z = Ln 1 = In 1 + i Arg 1 = 0 + i27rfc, к = —оо, оо.
Достаточно определить тип одной точки, например при к = 0.
Представим ег в виде ряда. Тогда можно записать
00 п °° п — 1
или
В этом разложении существует только одно слагаемое с
отрицательной степенью z. Тогда z = 0 - полюс первого порядка,
а функция f(z) имеет простые полюса в точках z = 0 -f г27г&,
& = —оо, оо.
Второй способ. Особые точки определяются условием ег —
1, или
z = Ln 1 = In 1 + г Arg 1 = 0 + г27г&, к = — оо, оо.
Так как точки z& = 2nik являются простыми нулями функции
f(z) = ег — 1, то они являются простыми полюсами функции
Заметим, что 2 = оо также является особой точкой
функции f{z). К рассмотрению таких особых точек мы и переходим.
18.5. Бесконечно удаленная точка
Пусть функция f(z) аналитична в некоторой
окрестности бесконечно удаленной точки z = оо, т.е. она аналитична в

18. Изолированные особые точки аналитических функций 125
кольце R < \z\ < оо. Рассмотрим функцию
<р(и) = /(-), где и=-.
\и/ z
Функция <р{и) - аналитическая в кольце 0 < \и\ < 1/R кроме,
может быть, самой точки и — 0. Разложим функцию у?(о>) в
ряд Лорана
оо
ф)= J2 Спшп, 0<И<1/Л (18-7)
71 = — ОО
Возвратившись к переменной г, получим
f(z) = *>(-) = 2 C»z*> Л < l*l < оо. (18-8)
11 = — ОО
где Сп — С-п.
♦ Разложение (18.8) называется разложением функции f(z)
в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
♦ Бесконечно удаленная точка является изолированной
особой точкой функции f(z), если существует R > 0 такое, что
функция f(z) вне круга \z\ > R не имеет особых точек,
находящихся на конечном расстоянии от точки z = 0.
О Будем классифицировать особенности в бесконечно
удаленной точке в соответствии с классификацией точки и = О
функции (р(ш) (18.7). В результате приходим к следующему
определению.
♦ Точка z = оо функции f(z) называется
1) устранимой особой точкой, если разложение (18.8) не
содержит отличных от нуля слагаемых с положительными
степенями z;
2) полюсом порядка га, если разложение (18.8) содержит
конечное число ?п отличных от нуля слагаемых с
положительными степенями z;
3) существенно особой точкой, если разложение (18.8)
содержит бесконечное число отличных от нуля слагаемых с
положительными степенями z.
♦ Если точка z = оо является устранимой особой точкой
функции /(г), то говорят, что функция f(z) - аналитическая
в точке z = оо и полагают /(оо) = lim f(z).

126
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 18.6. Найти особые точки функций
a) /i(z) = -^i-e1/**-1»; б) f2(z) = ^—^ -;
е* — 1 sin [7г/(г — 1)J
») ЛМ = ^
Решение, а) Особые точки функции /1(2;) определяются из
уравнений z—1 = 0, ег —1 = 0, т.е. z = 1, Zfc = 27гЫ, fc = —00, 00.
Так как lim e1^*-1^ не существует, то точка z — \ является
существенно особой. Так как точки zj. = 27г/гг — простые нули
функции ег — 1, то они являются простыми полюсами функции
fi(z). Точка z = оо, будучи предельной точкой полюсов г*, не
является изолированной особой точкой.
б) Аналогично точки zu = 1 + 1/&, будучи нулями функции
sin[7r/(2 — 1)], являются полюсами второго порядка функции
/2(2). Точка z = 1 является предельной точкой полюсов Zk
(неизолированной особой точкой). Точка z = 00 в силу
эквивалентности
7Г 7Г
sin ~ —, z —> оо
2—1 Z
является полюсом третьего порядка функции /2(2) ~ г;3 при
z —> ос.
в) Точка z = оо является устранимой особой точкой
функции /з(г), так как
1- Z — 1
lim —г— = О,
2-ЮО Z*
а точка z = О — полюсом второго порядка.
Теорема 18.7. iftvm функция f(z) аполитична в
расширенной комплексной плоскости, то она постоянна.
Доказательство. Рассмотрим окружность \z\ = R. Из
аналитичности функции f(z) в точке z = 00 следует ее
ограниченность вне круга \z\ > R. С другой стороны, из аналитичности
функции в замкнутом круге \z\ ^ R следует ее ограниченность
в этом круге. Но тогда функция ограничена во всей плоскости,
т.е. она постоянна.
19. Аналитическое продолжение
Теорема 19.1 (о единственности). Если две
аналитические в области D функции f(z) и g(z) совпадают на множес-

19. Аналитическое продолжение
127
mee E С D, имеющем хотя бы одну предельную точку,
принадлежащую D, то они тождественно совпадают в D.
Доказательство. 1. Рассмотрим функцию
*(z) = f(z) - g(z).
2. По определению предельной точки, существует
последовательность различных точек {г*}, к = 1,оо, такая что
Zk Е Е С D для всех к = 1, со, и lim Zk = zq, причем z0 G D.
fc-юо
По условию теоремы, f(z) = g(z) при z £ Е, следовательно,
f(*k) =g(zk), к = 1,сои Ф(гк) = 0, к = 1,оо.
3. Разложим функцию Ф(г) в ряд Тейлора по степеням z —
оо
zo, причем радиус сходимости R данного ряда Ф(г) = ]Г] Cn(z—
п=0
zq)11 не меньше расстояния Ro от точки zq до границы области
Е. По условию теоремы Со = 0 и Ф(го) = 0. Следовательно,
разложение функции Ф(г) в окрестности точки z0 имеет вид
оо
Ф(я) = (z - z0)&i(z), где Фх(г) = ^ Cn+1{z - z0)n.
n=0
4. Поскольку точки ^ различны и Ф^я*) = 0 для всех к =
1,оо, то
lim $i(zk) = 0.
к—юо
Следовательно, по свойству непрерывных функций Ф^о) = 0
и коэффициент С\ = 0, и
оо
Ф(г) = (г - г0)2Ф2(г), W Ф2(г) = £ Сп+2(г - «,)».
п=0
Аналогично предыдущему, получим Фг^о) = 0, т.е. Сг = 0.
Продолжая этот процесс, получим, что все коэффициенты Сп
в разложении функции Ф(г) в ряд
оо
*(z) = Y,Cn(z-zo)n
п=0
в окрестности точки zq равны нулю. Следовательно, Ф(г) = 0
внутри круга \z — z0\ < R0.

128
' Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Рис. 28
5. Докажем, что функция $(z) тождественно равна нулю
во всей области D. Пусть z — произвольная точка области D,
лежащая вне круга | ^ — ^о | < До- Соединим точку zq с точкой z
простой непрерывной кривой 7 (см. рис. 28), целиком лежащей
в области D и отстоящей от границы области D на расстояние
d > 0. Пусть Ci — точка пересечения кривой 7 с окружностью
\z — zo\ — Rq. Рассмотрим разложение функции Ф(г) в ряд
Тейлора по степеням z — (д:
оо
Ф^^с^-аг. (i9.i)
71=0
Поскольку Ф(г) = 0 в круге \z—zq\ < До, то аналогично пункту
4 данной теоремы С}г = 0, п = 1, оо. Обозначим через Дх
радиус сходимости ряда (19.1). Тогда $(z) = 0в круге |^ —Ci| < Ri-
Пусть (^2 — последняя по направлению к z точка
пересечения кривой 7 с окружностью \z — Ci| = Ri (см. рис. 28).
Разложим функцию Ф(г) в ряд Тейлора по степеням z — (^о-
оо
b{z) = Y,Cl(z-d2)n. (19.2)
п=0
Аналогично (19.1) находим С% = 0, п = 1,оо, и Ф(г) = 0 в
круге |*-<2| < Дг-
Совершая подобные построения достаточно большое
число раз, получим круг \z — Q\ < Д/, содержащий точку z, для
всех точек которого $(z) = 0. Следовательно, Ф(5) = 0. Из
произвольности z следует, что Ф(г) = 0 для всех z Е D.
Следовательно, f(z) = g(z) для всех z Е D, что и требовалось
доказать.

19. Аналитическое продолжение
129
♦ Функция F{z) называется аналитическим продолжением
функции f(z) с множества Е в область G, если:
1. функция f(z) определена на множестве Е\
2. функция F(z) — аналитическая в области G, причем
ECG-
3. F(z) = f(z) при z e E.
Теорема 19.2 (принцип аналитического продолжения).
Пусть множество Е имеет предельную точку z$,
принадлежащую области G. Тогда аналитическое продолжение с
множества Е в область G единственно.
Доказательство. Допустим, что функция /(г), определенная
на Е, имеет два аналитических продолжения Fi(z) и -Рг(^) в
область G. Так как Fi(z) = ^г(^) при z £ Е, то по теореме о
единственности F\(z) — ^2(2) при z E G, что и требовалось
доказать.
Следствие 19.2.1. Пусть даны функция /1(2),
аналитическая в области Gi, и функция /з(^), аналитическая в Сг (см.
рис. 29). Пусть Gif]G2 = g ^ 0 и множество g содержит
предельную точку 2о, в которой /i(zo) = /2(^0)- Тогда существует
единственная функция
аналитическая в области G =; Gi U G2 функция F(z) (19.3),
совпадающая с fi(z) в Gi и c-/2(z) в G2.
Доказательство. Рассмотрим функцию /(г), определенную
на множестве g = G\ f] G2 и совпадающую на этом
множестве с функциями fi(z) и /2(2). Аналитическим продолжением
J2/ W
Рис. 29 Рис. 30

130
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
функции f(z) на область G\ является функция /1(2), а на
область G2 — функция /2(2). Аналитическое продолжение
функции f(z) на область G = G\ [j G2 единственно и определяется
соотношением (19.3), что и требовалось доказать.
♦ Функция F(z) (19.1) называется аналитическим
продолжением функции fi(z) (/2(2)) на область G = G\ U G2.
♦ Функцию /2(2) {f\{z)) также называют аналитическим
продолжением функции fi(z) (/2(2)) на область G2 (Gi).
Пример 19.1. Пусть
оо
ЛМ = ЕЛ Gi:N<l,
п=0
п=0
В области # = Gif]G2 (см. рис. 30) функции '/1(2) и Д(г)
совпадают. Функции Д и Д являются аналитическими
продолжениями друг друга и элементами одной функции F(z) =
1/(1 — я), аналитической в области G = Gi U G2.
Рассмотрим некоторые специальные случаи множества д.
Пусть множество д является общим участком границ областей
Gi и G2.
0 Функция /2(2) называется непосредственным
аналитическим продолжением функции Д(з) в область G2 через дугу
д, если существует аналитическая в области G\ UgUGo
функция F(z)i удовлетворяющая условиям (19.3).
Теорема 19.3 (принцип непрерывного продолжения).
Если д является общей частью границ областей G\ и G2,
в которых функции fi(z) и Д(г) аполитичны, а кроме
того, непрерывны в G\ U g, G2 U д и равны на границе д, то
Д(я) [Д(я)] является непосредственным аналитическим
продолжением функции fi(z) [/2(2)] на область G2 (Gi).
Доказательство. По условиям теоремы существует
непрерывная в области Gi U g U G2 функция
( Д(г), zeGx;
F(z) = { h(z) = f2(z), zeg; (19.4)
I /2(*), z в G2.

19. Аналитическое продолжение
131
рассмотрим произвольный замкнутый контур Г = 7i~ + 72~ >
составленный из дуг ryi и 72» целиком лежащих в Gi, G2 и
отсекающих от общей границы g одну и туже дугу jg (рис.
31).
Рассмотрим далее интеграл
= f F(z)dz.
Для вычисления этого интеграла
добавим к нему слагаемые, сумма
которых тождественно равна нулю
Рис. 31
J= f F{z)dz+ I F(z)dz+ f F(z)dz.
Г 79+ 7."
Согласно определению функции F(z) (19.4), интеграл i" можно
записать в виде
I=f fx{z)dz + f f2(z)dz + J Mzjdz+'f f2(z)dz
Ч9
или
1= J h(z)dz+ J M
z)dz.
7x++7*+
7?+75
Поскольку контуры 7* -f 7J~ и 72" +7" —
лежат, соответственно, в Gi и Сг, то
замкнутые и целиком
= f F(z)dz =
0.
Отсюда в соответствии с теоремой Морера и в силу
произвольности контура Г заключаем, что функция F(z) аналитична в
^i U g U (?2, а это и означает, что /2(2) является
непосредственным аналитическим продолжением fi(z) через дугу д.
Таким образом, если существует аналитическая функция
J2{z), являющаяся непрерывным продолжением
аналитической функции /i(z) через дугу #, то она является и
аналитическим продолжением этой функции, причем единственным.

132
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Рассмотрим теперь следующий специальный случай, когда
д = gi U.^2- Пусть fi(z) аналитична в области Gi, a /2(2) — в
G2 (см. рис. 32). Пусть Gif]G2 = g, причем д\ и #2 такие, что
h(z) = f2{z), zegu
h{z)^fi{z), zeg2-
Рассмотрим область G = G\g2,
G = G1IJG2. Согласно
следствию, определена единственная
аналитическая функция F(z),
являющаяся аналитическим
продолжением функции fi{z), z G Gi\g2,
в область G,
Рис. 32
F[Z} ~ { h(z) z e G2\g2.
Функция F может быть аналитически продолжена в область
д2 двумя способами:
I /2(2), zeg2.
Равенства (19.5) определяют двузначную аналитическую в
области G функцию F(z), принимающую различные значения
в одних и тех же точках области д2 С G.
В общем случае алгоритм построения аналитического
продолжения был предложен Вейерштрассом и заключается в
следующем.
Метод Вейерштрасса
Пусть в области Е задана аналитическая функция f(z).
Выберем произвольную точку zq и разложим функцию f(z) в
точке zo в ряд Тейлора
П*) = 'Е—1г1(г-г°У'- (19-6)
п=0
Пусть Rq — радиус сходимости ряда (19.6). Возможны два
случая.

19. Аналитическое продолжение
133
Случай 1. Радиус сходимости ряда Ro не превосходит
расстояния от точки z0 до 7 — границы области Е. В этом случае
круг сходимости ряда не выходит за границу области Е.
Случай 2. Радиус сходимости ряда Ro больше расстояния
от точки zq до границы 7 области Е. В этом случае область
C?i, представляющая собой круг \z - 201 < До? уже не является
подобластью области Е. В области G\ ряд (19.6) определяет
аналитическую функцию Д(г), совпадающую с f(z) в области
G\ П Е. Функция fi(z) является аналитическим продолжением
функции f(z) в область Е\ = Gi (J E.
Выберем произвольную точку z\ € Е\ и разложим функцию
в степенной ряд
сю .
п=0
Проводя для функции jPi(2:) рассуждения, аналогичные тем,
что проведены для функции /(г), получим аналитическую
функцию
ftW-\ f2(z), zeG2.
где G2 — область сходимости ряда (19.7).
Повторяя этот процесс, мы получим аналитическое
продолжение функции f(z) вдоль цепочки областей Е, Gi, #1, G2,...,
Gn, ...
Понятие аналитического продолжения естественным
образом приводит к понятию полной аналитической функции,
которая, вообще говоря, многозначна.
♦ Функция F(z), полученная путем аналитического
продолжения вдоль всех возможных цепочек областей, выходящих из
области Е первоначального определения функции /(г),
называется полной аналитической функцией. Ее область
определения называется естественной областью существования полной
аналитической функции.
О Отметим, что аналитическое продолжение функции F(z)
через границу Г ее естественной области существования
невозможно. При этом все точки границы Г являются особыми
точками функции F(z). В противном случае ее можно было бы
аналитически продолжить методом Вейерштрасса.

134
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 19.2 Исследовать возможность аналитического
продолжения функции
>м = 1+£у*.
k=i
Решение. Очевидно, что z = 1 — особая точка функции /(г),
поскольку
lim f(z) = оо,
г-)-1
НО
оо оо
/(г) = 1 + г2 + $>2'+1 = *2 + 1 + ЕЙ2' = *2 +'(*2)>
к=1 к=1
и поскольку
lim f{z2) = оо,
г2-)-1
то имеем уже две особые точки: zi?2 = >/Г = ±1.
Аналогично
оо
fc = l
оо
= 22 + *4 +1 + 5>4)2' = *2 + *4 + /(А
fc=l
lim /(г4) = оо,
z4-+l
и получаем уже четыре особые точки 21,2,3,4 = \/Г = ±1, ±г. В
общем случае
f(z) = z2 + z* + ... + 22n + f(z2n),
lim f(z2n) = oo,
и, следовательно, имеем 2п особых точек VI. Но все эти
точки лежат на окружности \z\ = 1, и при п -^ оо на любой сколь
угодно малой дуге их число неограниченно. Таким образом,
возможность аналитического продолжения отсутствует ввиду
существования этой сплошной линии особенностей, через
которую невозможно пройти. Сама окружность \z\ = 1 является
естественной границей рассматриваемой функции.

20. Римановы поверхности
135
Аналитическое продолжение методом Вейерштрасса в
практических приложениях малоэффективно. При продолжении
конкретных функций мы будем использовать и другие приемы,
например интегральные представления функций.
О Обобщение понятия аналитических функций на
многозначные функции порождает новый тип изолированных
особых точек - точки ветвления (разветвления) аналитической
функции.
♦ Точка Zo называется точкой ветвления (разветвления)
многозначной аналитической функции /(г), если в любой ее е-
окрестности нельзя разделить регулярные (однозначные)
ветви этой функции.
♦ Точка ветвления zq многозначной аналитической
функции f(z) называется алгебраической точкой ветвления
порядка п, если после п обходов вокруг этой точки по замкнутому
контуру 7? не охватывающему других особых точек, функция
f(z) принимает исходное значение (возвращается к исходной
ветви). Если такого конечного п не существует, то точка zq
называется логарифмической (или трансцендентной) точкой
ветвления.
20. Римановы поверхности
0 Оперировать с многозначными функциями неудобно.
Удобнее рассматривать функцию F(z) как однозначную, но
определенную на более сложных множествах, чем комплекс-
ная плоскость.
Рассмотрим теперь двузначную аналитическую функцию
(19.5) и склеим области G\ и Сз в области #i, где функции
/i(z) и /2(2) совпадают, а два экземпляра области #2>
принадлежащие областям Gi и Gi, оставлены свободными.
Тогда на полученном множестве, представляющем собой
объединение областей Gi и G2, склеенных по </i, функция F(z)
является однозначной аналитической функцией.
♦ Построенное таким образом множество называется рима-
новой поверхностью аналитической функции F(z),
являющейся аналитическим продолжением функции /i(^), а отдельные
экземпляры повторяющихся областей — различными листами
римановой поверхности W.
Пример 20.1 Показать, что функция f(z) = zlln = y/z
является многолистной.

136
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Решение, Согласно правилу извлечения корня,
f(z) = ^№^+27Г*)Л\ * = 0,n-l;
p=\z\, <p-a,vgz; 0^><2тг.
Выберем ту ветвь функции f(z) = y/z, которая является
аналитическим продолжением функции и = >/ic, х > О, т.е.
tn = /х(«) = tfpjvl», (О ^ р < 2тг).
Область определения Gj является плоскостью z, разрезанной
по положительной части действительной оси (разрез можно
провести по любому лучу, соединяющему точки z\ = 0 и Z2 =
оо, в которых функция f(z) = гх/п является однозначной).
Областью W± значений функции Д является сектор
27Г
О ^ argw < —; w € W.
Рассмотрим теперь область (?2 — ту же плоскость z с
разрезом по положительной части действительной оси Ож, но
27г ^ arg z < 47г. Рассмотрим в (?з функцию
/3(z)= ^е'^2*^1, (0<^<2тг).
Областью значений W% функции fz{z) является сектор
27г ^ 4тг
— ^ arg w < —
п п
плоскости w G W. _
Заметим, что C?jpjG2 — 14 — луч arg z = 27г, на котором
совпадают функции /i(z) и /г(я). Поскольку функции /i(z) и
/з(;г) в одной и той желточке z имеют различные значения, то
ДЛЯ ТОГО ЧТОбы ФУНКЦИЯ
fl(z)-\ Л(*) ^G2
была однозначной в R± = (?xUG2, будем считать -Ri римановой
поверхностью, склеенной из листов G\ и G2 по общей границе
14 — лучу arg z = 2тг, или, как принято говорить,
склеивают нижний берег разреза листа G\ с верхним берегом разреза
листа Go- Аналогично
fk(z) = ^ре«*+3**>/», (0 < р^ 2тг)

20. Романовы поверхности
137
F(z) = {
( h{z), zed;
/2 («), « G <?2;
— однозначная аналитическая функция, определенная на ри-
мановой поверхности
R = G1\jG2{J...[jGn,
Рис. 33.
склеенной из п листов. Отметим, что
нижний берег разреза листа Gn склеен с
верхним берегом разреза листа G\.
Естественно, что в трехмерном пространстве при
последнем склеивании нельзя избежать
самопересечений. Однако мы не будем
отождествлять принадлежащие разным
листам Gfc, к = 1,п точки луча, по
которому происходит самопересечение. Существуют лишь две точки
z\ — О и 22 = со, называемые алгебраическими точками
ветвления (разветвления), которые принадлежат всем листам G*,
соединяя их между собой. На рис. 33 изображена риманова
поверхность функции f{z) = \fz.
Пусть f(z) = Ln z. Риманова поверхность логарифма
w = Lnz (20.1)
бесконечнолистна. Ее устройство показано на рис. 34. Мы опять
берем область D — плоскость С с разрезом вдоль
отрицательной полуоси — ив ней главную ветвь логарифма
w = fo(z) = In \z\ + iargz (—7r < argz < 7r).
Эта функция однолистно отображает D на полосу
Dq = {—7Г < Im w < 7г};
соответствие берегов разреза и границ полосы указано на рис.
34.
Логарифм имеет в области D бесконечно много ветвей
w — fk(z) = fo{z) + 2Ьгг (к = -со, со),
отображающих D на полосы jDJ, сдвинутые по отношению к
■^о на целое, кратное 27гг. В соответствии с этим мы берем

138
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
1 J3K3J
tzZ^ZiO Оэкз./
1 "'"' ~>0 -1экз.1
1 In
Я:
-%■
-ЗЯ
Рис. 34.
счетное множество экземпляров области D и склеиваем
верхний берег разреза на нулевом экземпляре с нижним берегом
разреза на первом экземпляре, а нижний берег разреза на
нулевом экземпляре — с верхним берегом разреза на первом
экземпляре и т.д. Точки zi = О и z2 = оо являются
логарифмическими точками ветвления. Поскольку в этих точках функция
f(z) = Ln z не определена, считается, что ее риманова
поверхность не содержит точек над точками z\ — О, z2 — оо (см. рис.
34).
21. Теория вычетов
♦ Комплексное число, которое обозначено Res f(z) и равно
Z=Zo
значению интеграла
Вл» f(z) = ± f f(u>)du, (21.1)
z=z0 zm J
называется вычетом аналитической функции f(z) в
изолированной особой точке zq. Здесь 7 ~ произвольный кусочно-гладкий
контур без самопересечений, лежащий в области
аналитичности функции f(z) и охватывающий только одну особую точку
zq функции f{z), который при интегрировании обходится в
положительном направлении (против часовой стрелки).
Теорема 21.1 В изолированной особой точке справедливо
равенство
. Res f(z) = CLi, (21.2)
Z-Zq
где C-i — коэффициент при (z — zq)'1 в разложении функции
f(z) в ряд Лорана в окрестности точки zq.

21. Теория вычетов
139
Доказательство. Так как в окрестности изолированной
особой точки zq функцию f(z) можно разложить в ряд Лорана
где
/(*) = ]Г Cn(z-z0)n,
п = — оо
Тогда, по определению,
оо
/ А Г А
п = -оо п = -оо
Поскольку (см. пример 12.3)
== 27гг, и ф (z — zo)ndz — О, если п ф — 1,
г-2о У
7
то, следовательно,
Res f(z) = C-i,
что и требовалось доказать.
О Из равенства (21.2) следует, что вычет в правильной и
устранимой особых точках равен нулю.
Теорема 21.2 (Коши, основная). Если функция f(z)
аполитична в односвязной области Е, то интеграл от функции
f(z) no границе этой области равен нулю:
( f(z)dz = 0.
Теорема 21.3 (основная теорема теории вычетов).
Пусть функция f(z) аполитична в области Е и непрерывна
в замкнутой области Е = Е + 7# за исключением
конечного числа изолированных особых точек Zk (к = l,n, Zk tf- 7#)-
Тогда
I f{u)du = 2ттг Vs Res f(z). (21.3)

140
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Здесь контур 7je? ~ граница области Е - обходится в
положительном направлении.
Доказательство. Пусть Г* — окружность достаточно малого
радиуса (т.е. внутри Ти не содержится особых точек,
отличных от Zk) с центром в точке 2*, ориентированная в
положительном направлении. В силу теоремы Коши
Ф f(w)dw = Ф f(u)du + ^2f f{w)du> = О,
7 IE * = Y"
n
где 7 = 7# + £ (7jf + 7^ + Г£) (см. рис. 35). Следовательно,
fc=i
Ф f(cv)du = 2_] Ф f{w)du =
IE к-ХТи
2ni 7 Res f(z),
fc=l
_ Л^ что и требовалось доказать.
Рис. 35
Теорема 21.4 (простой полюс). Пусть zq — простой
полюс. Тогда вычет функции f(z) в точке z = zq определяется
выражением
Res f(z) = C-i = lim [z - z0)f(z). (21.4)
*=So 2-420
Доказательство. В случае простого полюса справедливо
следующее разложение: ,
оо
/(*) = d(z - zo)-1 + J2 C„(z - z0)n.
п=0
Следовательно,
оо
(z - zo)f(z) = С-г + Y, Cn{z - zo)n+1,
n=0
т.е.
C_i = lim (z - zo)f{z).
Z-+ZQ
В силу (21.2) теорема доказана.

21. Теория вычетов
141
Следствие 21 АЛ. Если Zq — простой полюс функции f(z) =
<p(z)/il>(z) и <p(zo) ф 0, a zq - простой полюс функции ф(г) (т.е.
V^o)=0,-0'(zo)^O)/to
Res
z=z0
(p(z) I _ <p(z0)
1ф(г)1 ф'{г0)
Доказательство. Согласно (21.4),
les
= 20 L
<p{z)
lim <p(z) /
Z-+ZQ I
<p{z)
= lim
z-*z0 ф[х)
/ z - zq
Z - Zq
что и требовалось доказать
= <p(z0) / lim
V>(z) - V>(Z0) _ (p(zp)
Z- Zq ~~* ф'^У
Теорема 21.5 (кратный полюс). Пусть zq — полюс
аналитической функции f(z) кратности т. Тогда вычет
функции f(z) в точке z = zq определяется выражением
Н-ГМ-С-И», ' ^'"'/.Т*'"- (21.5)
z=z0 v ' *-+го (га-1)! ck™"1 v '
Доказательство. Так как zq — полюс кратности га, то
/(*) =
с_.
(^ - *о)г
т.е.
/(г)(г-гоГ = С_га + ...+С_1(г-го)т-1 + Х)Сп(«-го)п
+т
п=0
Продифференцируем полученное равенство га— 1 раз. Получим
gy^[f{z){z-z0r) _
&zm-^
= C_i(m - 1)! + ]Г Cn(z - z0)n+1(n + m) - • - (n + 2).
n=0
Перейдя в последнем равенстве к пределу, получим (21.5), что
и требовалось доказать.

142
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 21.1. Найти вычет функции
f(z) = A^if
относительно точки zq — г и zq = 0.
Решение. Точка zq = г для функции f(z) — полюс второго
порядка, так как для функции l/f(z) =■ z(z — г)2 она — нуль
второго порядка. Следовательно,
Res 1 = lim * d (z~i)2 = lim — (-)=- lim - = 1.
z=i z(z — i)2 z-+i 1! dz z(z — i)2 z->idz\z) z-ti z2
Для точки zq = 0, являющейся простым полюсом, из (21.4)
имеем
z-% z(z — г)1 \—ь)
Пример 21.2. Найти вычет функции f(z) = cth z в точке
zo = 0.
Решение. Так как точка zq = 0 является простым полюсом
функции cth z, то, согласно следствию 21.4.1, имеем
_ ch 2 ch z
Res cth z = Res
= 1.
z=0
z=o ' z=o sh z ch z I
Пример 21.3. Найти вычет функции /(z) = е1/2 в точке zq = 0.
Решение. Разложение функции /(z) = e1!2 в окрестности
точки г = 0 содержит бесконечное количество слагаемых с
отрицательными степенями z (см. пример 17.2).
Следовательно, точка z = 0 — существенно особая точка. Разложим f(z)
в ряд Лорана
оо 1 1
el/z = У) с-»—» гда с-п = -г-
п=0
Следовательно, C_i = 1. Таким образом,
Rese1^ = 1.
z=0

21. Теория вычетов
143
Пример 21.4. Найти вычет функции
z3-l
/w =
(z + l){z-2iy
в изолированной особой точке zo = 2г.
Решение. Определим тип особой точки. Поскольку
lim f(z) = lim (г - 2i)f(z) = lim (г - 2i)2f(z) = oo
г—v2i z-¥2i z-+2i
И
lim (z — 2i)3f(z) = lim = — ф oo,
z-+2iK } J v ; *-+2t 2 + 1 2г + 1
то точка zo = 2% является полюсом третьего порядка (см.
также пример 21.1). Следовательно,
z3-l 1"
53'<*> = *,1&[<'-И>'<м:
2*-»2iL z + 1
(z + l)(z-2i)3l
з_1л» 53 -4»
25
Пример 21.5. Найти вычет функции
/(*)=» Зехр(1)
\z*
в изолированной особой точке zq — 0 и определить тип этой
точки.
Решение. Согласно (21.2),
t Res f(z) = C_i.
' г=г0
Найдем разложение функции /(z) в ряд Лорана в точке z$ = 0.
Получим
з^7п 1 ^ 7П 1 з п 49
71=0 П=0
Поскольку в разложении присутствует бесконечное
количество слагаемых с отрицательными степенями z, то zq -
существенно особая точка. Из явного вида разложения находим
49
Resf(z) = C-1=-.
z=o 4

144
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 21.6. Найти вычет функции
е*2 - 1 - z2
/(*) =
sinz — z + z3/6
в изолированной особой точке zq = О, определив тип этой
точки.
Решение. Первый способ. Представим функцию f(z) в виде
оо
£ £z2" - 1 - z2
п=0
/(*) =
EH"S-2 +
n=0
п=3
*-* + *+Ез(-1)-^йгр-*+1г
\ п=3 /
Следовательно,
lim f(z) = оо, limfc/Ы] = 60,
т.е. zo = 0 - простой полюс. Тогда
Res f(z) = lim[zf(z)] = 60.
z=0 v ' z-+0l v /J
Второй способ. Обозначим
2 9 .г3
y>(z) = ег — 1 — г-, ^(я) — si112 ~~ я + тг«
Так как, с одной стороны,
р'(*)|жЫ, = 2«(е'>-1)|,шО = 0,
^"(z)|z=o = 2[(l + 22V2-l]L=o = 0,
У(3)(^)к-=о=4г(3 + 2г)ега|г=о = 0,
*»(4)(*) L=o = 4(3+4г +6г2+4*VS L=o = 12>

21. Теория вычетов
145
z2
= 0,
z=0
а с другой,
<к*)|,=0 = о,
^(z)\2=o = cosz-1 + y
<n*)L=o = -sin2+*L=o = 0'
*(3)(*)|,=o = -coe* + 1L=o = 0'
*(4,(*)L=o = -in*l,=o = 0.
*(B,ML=o = «»*l,=o = l.
мы заключаем, что точка zq = 0 — нуль четвертого
порядка для (p(z) и пятого для ф(г). Следовательно, эта точка —
простой полюс функции f(z). Согласно (21.4), имеем
= 1.m^)(,) + 5^)(,)= (4) 5.12 = б0.
z-+0 COSZ 1г=0
Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались
правилом Лопиталя. Второй способ более удобен при малых п
и к.
Понятие вычета распространяется и на случай бесконечно
удаленной точки.
ф Вычетом аналитической функции f(z) в точке z = оо
называется комплексное число, равное значению интеграла
^т j> f(u>)du = -^ j> /(w)dw = Res /(z), (21.6)
г- г+
где г+(-) — произвольный замкнутый контур, обход которого
совершается в положительном (отрицательном) направлении
и вне которого функция f(z) является аналитической и не
имеет особых точек, отличных от точки z — оо.
Теорема 21.6. Для вычета функции f{z) в бесконечно
удаленной точке справедлива формула
Res f(z) = -C_i. (21.7)

146
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Доказательство. Так как по определению изолированной
бесконечно удаленной точки функция f(z) является
аналитической в кольце R < \z\ < со, то ее можно разложить в нем в ряд
Лорана, сходящийся в этом кольце,
оо Л Г 7
п = -оо р
где Г - произвольный кусочно-гладкий контур, лежащий в том
же кольце. Следовательно,
Res /(*) = -С_1,
z=oo
т.е. теорема доказана.
Следствие 21.6.1. Пусть функция f(z) аналитична в точке
z = сю. Тогда справедливо соотношение
Res f(z) = lim z(/(oo) - /(«)). (21.8)
2=00 Z—fOO
Доказательство. Поскольку f(z) аналитична в точке z = оо,
то в окрестности бесконечно удаленной точки функция f(z)
представляется рядом Лорана
/(z)=/(oo) + ^- + ^ + ...
Следовательно,
С_1 = lim [/(*) - /(oo)]z.
Z—ЮО
В силу (21.7) следствие доказано.
Следствие 21.6.2. Пусть для функции f(z) точка z = оо
является нулем порядка к > 1, тогда
Res /Ы = 0.
z=oo
Доказательство очевидно, поскольку разложение функции в
окрестности точки z = оо, являющейся нулем порядка fc > 1,
имеет вид
и в этом разложении отсутствует слагаемое C-i/z.

21. Теория вычетов
147
Следствие 21.6.3. Пусть функция f(z) имеет в бесконечно
удаленной точке полюс порядка га. Тогда справедливо
соотношение
^ /(г) = (ЁГТ)! Л [*ГО+2/<™+1)М] • (21-9)
Доказательство. По определению полюса m-ого порядка, в
бесконечно удаленной точке имеем
П = 1
Продифференцируем это соотношение га + 1 раз по z. Домно-
жим полученный результат на zm+2 и перейдем к пределу при
z —>> со. Тогда
lim [zm+2/(m+1)(*)l =(-l)w+1(m+l)!C-i-
В силу (21.7) следствие доказано.
Пример 21.7. Найти вычет функции f(z) = \/z в точке 2о =
оо.
Решение. Функцию /(2;) можно представить в виде
/(*) =' £ с-»*-,
п = —оо
где Cn = rfn,-i- Тогда, согласно формуле (21.7), получим
Res - = -С-1 = -1.
z=oo z
О В рассмотренном примере
lim f{z) = 0.
z-*oo
Следовательно, точка z = 00 есть устранимая особая точка.
Тем не менее, вычет в этой точке отличен от нуля.

148
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 21.8. Найти вычет функции
в бесконечно удаленной точке zq — оо.
Решение. Первый способ. Поскольку
lim f(z) = О,
Z-ЮО
то функция f(z) аналитична в точке z = оо. Следовательно,
по формуле (21.8)
Res f(z) = lim z[f {оо) - Hz)] = 0.
Второй способ. Так как точка 2 = оо является нулем
второго порядка функции f(z), то, согласно следствию 21.6.2,
2z + i . / * + 3\
Res — sin 7г = 0.
2=00 2^+4 \ Z /
Пример 21.9. Найти вычет функции
2 . 2тг + г
f(z) = г sin
z
в бесконечно удаленной точке zo = оо.
Решение. Первый способ. Найдем разложение функции f(z)
в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки
2 . 2тт + г 2А (-1)п ,л .4211+1/!\2n+1
/(z)■= z2 sin = s2 > -^ ^тт7(2тг + z)2n+1 -
w z ^(2n+l)!v y \z/
]\ 2n-l
n=0
n=2 v '
Следовательно,
С_1 = -1(2,т + г)3.
Согласно (21.7)
Res /(z) = -C_i = ^(2тг + i)3.

21. Теория вычетов
149
Второй способ. Так как точка z = ос является простым
полюсом функции /(z), то, согласно формуле (21.9),
2 . 2тг + г 1 3/ 2 . 2тг-Н\"
Res z sin = — - hm z I 2 sin 1 =
z=oc z 2 z-+oo \ z /
— - lim z3
2 г-кх>
Л . 2тг + г 2(2тг + г) 2тт + г
2 sin cos
z z z
(2тг + г)2 . 2тт + г
z sin
z' z
= -5U{ (M; -1 =
= -2^{[Ч^-С08-7-]/(-?)} = б(27Г + г) ■
Теорема 21.7. Если функция f(z) является аналитической
на расширенной комплексной плоскости за исключением
конечного числа изолированных особых точек zu {k = 1,JV),
включая и z = оо (z/v = 00), mo
5^RjB8/(*) = 0. (21.10)
fc=i
Доказательство. Рассмотрим круг |z| < R радиуса Д
такого, что \zjs\ < Я, к = l,iV — 1. Тогда по основной теореме о
вычетах имеем
ф f(z)dz = 27гг Y^ Res /(z
Ы=Я fc"1
или
h f /w^ = E.%/w = Si//w^
1*1=л *=1
где Г принадлежит кольцу i? < \z\ < 00 и охватывает точку
z = 0. Тогда
Res /(z) = — —т Ф f(z)dz
г=оо 27Г2 /

150
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
или
N-1
Res f(z) = - У" Res Я*)'
fc = l
что и требовалось доказать.
Пример 21.10. Вычислить интеграл
/ "Мт)'
J = / rcos( — )dz.
1*1=2
Решение. Согласно основной теореме теории вычетов,
/ = 2тггУ^ Res/(г),
*-^ z=zk
fc=l
где Zk - все изолированные особые точки внутри контура \z\ =
2. В контур интегрирования попадает одна изолированная
особая точка z = 0. Найдем разложение функции f(z) в ряд
Лорана в окрестности точки zq = О
n=0 v '
2V ; 24z ^Ч (2n)! \zJ
Следовательно,
С^Л и Rg/(«) = f.
Окончательно получим
2 4
' J = 27гг- = -7гг.
3 3
Пример 21.11. Вычислить интеграл
[ e2z-cos9z
J zch (z7ri)
1*1 = 1/4

21. Теория вычетов
151
Решение. Первый способ. Согласно основной теореме теории
вычетов,
N
I =:2тггУ^ Res f(z),
k=l
где Zk - все изолированные особые точки внутри контура
интегрирования. В круге \z\ — 1/4 находится одна изолированная
особая точка: z — 0. Определим ее тип. Для этого представим
функцию f(z) в виде
Е Ч- - Е Ш9*)2"
/(Z) = 2=9 "=Р_^ =
z ch 7ггг
_ n=3 n=2 _
z ch 7riz
2 + f*+ E ^n"1- E ^э2"*2"-1
_ n=3 n=2 v ;
ch mz
Тогда
lim /Ы = 2.
z-+0 V '
Следовательно, точка z = 0 - устранимая особая точка
функции f(z). Поэтому ее разложение в ряд Лорана не содержит
отрицательных степеней z. Следовательно,
Res/(z) =0
и
1 = 0.
Второй способ. Так как точка z = 0 является простым
нулем числителя
(е2* - cos9z)f\z:=0 = {2e2z + 9ein9z)|i=0 = 2^0
и знаменателя
(zch Z7r^y\2=0 —< (СЬ гтгг + Z7rzsh ^7гг) |г_0 = 1^0,
то, согласно следствию 18.4.2, точка z — 0 является
устранимой особой точкой функции /(г), и, следовательно, I = 0.

152
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 21.12. Вычислить интеграл
1*1 = 1
Ре1ыение. Представим подынтегральное выражение в виде
оо / оо \
/(2) = _^о = _Л »=з / :
Z Z
оо
2^ ^—'' П.! Г "г ^ь—' 7).!
Следовательно,
2z ^—' n! z 2z *-** п\
п=3 . п=3
Поскольку в круг \z\ < 1 попадает одна изолированная особая
точка z = О, то
/ = 27гг Res /(z) = 2iri I — - ) = —7гг.
Пример 21.13. Вычислить интеграл
J 210 + 1
N1=2
Реп1ение. Внутри контура интегрирования \z\ = 2
подынтегральная функция имеет десять особых точек
-(2к + 1)тгл
= ехр[( " + )?Гг], * = 0,9,
10
являющихся простыми полюсами, лежащими на единичной
окружности. Вне контура особых точек нет, следовательно, по
теореме 21.7
9
ERes f(z) = - Res f(z).
zz=zk V ' z=oo V '
fc=0

22. Логарифмический вычет и его приложения
153
Поскольку точка z = оо является нулем десятого порядка
функции /(г), можно записать Res f(z) = О, откуда
г=оо
9
/dz
-^—- = 2ттг V Res f(z) = -2ттг Res f(z) = 0.
2 +* 7^nz=Zk z~°°
|*|=2 *~°
22. Логарифмический вычет
и его приложения
22.1. Логарифмический вычет
♦ Логарифмической производной функции f(z) называется
функция (p(z), определяемая выражением
*>(*) = ^ = [ь/(*)Г- (22Л)
4 Логарифмическим вычетом аналитической функции f(z)
в точке 2 = zq называется вычет в этой точке логарифмической
производной функции f(z)
z=z0 f(Z)
Теорема 22.1. Если точка zq является нулем
аналитической функции f(z) порядка т, то логарифмический вычет этой
функции в точке zq определяется выражением
f'lz)
Res <p(z) = Res ^-f-f = m. (22.2)
z=z0 z=z0 f(Z)
Доказательство. Так как zq — нуль функции f(z) порядка
m, тов окрестности этой точки
оо оо
/(*) = £ Ck(z - zo)k и /'(*) = Y, kCk{z - zo)"-1-
k=m k=m
Следовательно,
оо
f(z) =(z- z0)m J2 C"(z ~ zo)"-m = (z- z0)mi>(z);
k=rn

154
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
f'(z) = (z- zo)™-1 £ кС*(* - zo)k-m = (*- zo)m-l9(zh
k=m
где ф(г0) ф 0, g(z0) ф 0. Тогда
oo
„, , 1 £ kCk{z - zo)k-m
^)= /'(*)_ 1 ь_=т _..J_M
f(z) z-zo £Cfc(z_,o)*-™ z-zom
k=m
Из полученного выражения следует, что zq — простой полюс
функции <p(z). Действительно,
lim (z - zo)tp(z) = m = m.
z^z0 Cm
По формуле (21.4) получим
Res (p(z) = Res ——!- = lim (z - z0)—— = m,
2=Z0 Z=20 f[z) Z-^Zo f(z)
что и требовалось доказать.
Теорема 22.2. Если точка zq является полюсом
аналитической функции f(z) порядка п, тогда логарифмический
вычет функции f(z) в точке zq определяется выражением
Res i-ff = -п. (22.3)
z=z0 f(Z)
Доказательство. Функция f(z) имеет в точке zq полюс
порядка п. Тогда функция g(z) = l//(z) будет иметь в точке
zq нуль порядка п, и [ln/(z)]' = —[\ng(z)]f. Поэтому согласно
теореме 22.1, утверждение доказано.
♦ Логарифмическим вычетом функции f(z) относительно
замкнутого контура Г называется комплексное число, равное
значению интеграла
hf'-M*-
2тгг J f(z)
г

22. Логарифмический вычет и его приложения
155
Теорема 22.3. Если функция f(z) мероморфна внутри
замкнутого контура Г, то ее логарифмический вычет
относительно этого контура равен разности между числом нулей
и числом полюсов функции f(z) внутри Г
^J^ = t^-in, = N-P, (22.5)
причем каждый нуль и каждый полюс считается столько
раз, какова его кратность.
Доказательство. Обозначим f'(z)/f(z) = <p{z). Интеграл от
<p(z) по контуру Г может быть вычислен по основной теореме
теории вычетов. Поскольку все особые точки функции ip(z) —
это нули и полюсы функции f{z), а вычеты в этих точках
определяются соотношениями (22.2) и (22.3), то
i /• М к р
— Ф (p(z)dz = ]Г Res <p(z) = J2mJ ~Ylni = N " P'
r j=i J i=i /=i
что и требовалось доказать.
О Отметим, что если вместо нулей функции f(z)
рассматривать так называемые а-точки, т.е. корни уравнения f{z) =
а, то формула (22.5) примет вид
и//EPS* = "■-'• (22-6)
Г
где Na — общее число а-точек функции f(z) внутри контура
Г. Для доказательства (22.6) достаточно заменить в наших
рассуждениях функцию f(z) выражением [f(z) — a].
22.2. Принцип аргумента
Геометрический смысл формул (22.5), (22.6) раскрывает
следующая
Теорема 22.4 (принцип аргумента). Пусть справедливы
условия теоремы 22.3. Тогда разность между числом нулей
N и числом полюсов Р функции f(z) внутри Г равна числу
оборотов точки w при обходе кривой Г;, являющейся образом
кривой Г при отображении w = f{z)f или, что то же самое,
приращению аргумента ArArg f(z) функции f(z) при
положительном обходе замкнутой кривой Г, деленному на 27Г.

156
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Доказательство. Отметим на кривой Г произвольную точку
2о, которую будем считать начальной и конечной точкой пути
интегрирования (см. рис. 36).
Рис. 36
При обходе кривой Г значение Ln f(z) будет непрерывно
меняться и после возвращения z в точку zq его значение,
вообще говоря, будет отличаться от значения Ln zq. Это
различие при одном значении f(zo) может осуществляться только
за счет разных значений аргумента, приписываемых Ln f(z):
Ф0 = Arg(/(z0)) до и Фх = Arg(/(^o)) после обхода. Теперь,
если воспользоваться формулой (22.5), то с учетом сказанного
ее можно записать
Ф1-Ф0 ArArg f(z)
— = П0б =
2тг
2тг
(22.7)
что и требовалось доказать.
Если вместо нулей функции f(z) рассматривать ее а-точки,
то выражение (22.7) примет вид
Na- P = тьоб =
ArArg[/(z) -a]
2тг
(22.8)
Теорема 22.5 (Руше). Если аналитические внутри Г и не-
прерывные на Г функции f(z) и <p(z) удовлетворяют
неравенству
|/(*)|г > И*)|г, (22.9)
то функции f(z) и f(z) + <p(z) имеют внутри Г одинаковое
количество нулей.

22. Логарифмический вычет и его приложения
157
Доказательство. Из соотношения
arg(/(*) + <?(*)) = arg [/(*) (l + 2|fl) ] =
= arg/(z)+arg(l+^|)
и в силу принципа аргумента имеем
Ararg(/(z)+ ?(*)) = Ararg/W + Ararg(l+^). (22.10)
Последнее слагаемое в (22.10) определяет приращение
аргумента для функции w = l+<p(z)/f(z)i но так как при движении
г по Г
\Ф)\
\w- 1 =
<1,
то точка ш не может обойти начало координат w = 0. И,
следовательно,
Агаг8(1+тШ=0
и
Ararg(/(2) + р(г)) = Ararg/(*).
Последнее равенство, согласно принципу аргумента, означает,
что функции f(z) + ^(я) и /(г) имеют внутри Г одинаковое
число нулей, что и требовалось доказать.
Пример 22.1. Найти число корней уравнения z9+6z^+z+l s=
0 а) в круге \z\ ^ 1; б) в круге \z\ ^ 2.
Решение, а) В круге \z\ ^ 1 положим f(z) = 6z5 4- 1, р(г) —
29 + z. Так как для точек окружности \z\ — 1, имеем \f(z)\ =
|б^5 + 1| ^ 6|z|5 - 1 = 5 и, соответственно, \<p(z)\ = |z9 + z| ^
|*|9+|*| = 2,то
l/(*)lw=i > И*)
М=ь
и по теореме Руше число корней исходного уравнения
совпадает с числом корней уравнения 6г5 + 1 = 0, т.е. равно пяти,
б) Найдем число корней в круге \z\ <^ 2. Положим f(z) =
z9 + 1, <р(г) = 6jz5 -f г. Так как для точек окружности \z\ = 2,

158
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
имеем \f(z)\ = \z9 -f 1| ^ |z|9 — 1 = 511 и, соответственно,
И*)|^бН5 + И = 194,то
\f(z)\\z\=2 > M*)|W=2,
и по теореме Руше число корней исходного уравнения
совпадает с числом корней уравнения z9 + 1 = 0, т.е. равно девяти.
22.3. Основная теорема алгебры
Теорема 22.6 (основная теорема алгебры). Полином
степени п им^ет на комплексной плоскости роено п нулей (с
учетом их кратности).
Доказательство. Пусть
п
л=о
— полином степени п. Найдем логарифмическую производную
функции Pn{z):
п() £<*** z
fc=0
где
n
£ {kak/nan)zk~n oo
£(«*/«n)**-n 1=1
fc=0
Здесь мы воспользовались разложением
1 °°
г^ = Ем) V- \я\ < 1,
^ п=0
положив в нем
an_i 1 ап_2 1 а0 1
q = q(z) = + j + ••• + п

22. Логарифмический вычет и его приложения
159
Условие \q\ < 1 будет выполняться при \z\ > Д, где R
определяется из уравнения \q{R)\ = 1. Из вышесказанного и формулы
(22.11) следует, что коэффициент С-\ в разложении функции
в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки z — оо
определяется соотношением
С_1 =71.
Следовательно,
Res ^>(z) = — С-i = —п.
Z—OO
Выберем контур Г так, чтобы все особые точки функции (p(z)
(кроме z = оо) содержались внутри контура. Тогда по теореме
21.7
h f ^z)dz = sb / W)dz = ~ й£ ^ =n-
г г
В силу (22.5) последний интеграл равен разности между
числом нулей и числом полюсов функции Pn(z) с учетом их
кратности. Однако полином n-ой степени не имеет полюсов, что и
доказывает теорему.
<0 Отметим, что доказательство теоремы можно упростить,
если использовать теорему Руше. Действительно, разобьем
полином Pn[z) на два:
71-1
Pn{z) - anzn и Qn-i(z) = ]PafcA
k=o
Легко видеть, что при любых заданных коэффициентах а&
всегда найдется такое #, что на окружности \z\ = R будет
выполняться неравенство
Q<\Qn-l{z)\
1ЗД1
\z\=R
поскольку
■1М=я
п-1
fc=0

160
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
и Дп при больших R растет быстрее, чем любой полином
степени (п —1). В силу установленного неравенства и теоремы Ру-
ше заключаем, что число нулей полинома Pn{z) в круге \z\ = R
равно числу нулей полинома Pn(z) = anzn в этом круге. Но
полином Pn(z) = anz11 на всей комплексной плоскости имеет
единственный n-кратный нуль: точку z — 0. Следовательно,
такое же число нулей имеет и полином Pn{z), что и
требовалось доказать.
22.4. Задача Рауса-Гурвица
Широкий класс физических задач (например задач о
механических или электрических колебаниях) сводится, в конечном счете,
к решению дифференциальных уравнений, причем особую роль
играют уравнения с постоянными вещественными коэффициентами,
соответствующими различным физическим характеристикам
процесса, т.е.
-— + ai г + о.-! -Л т + ... + a>nu = 0. (22.12)
Характер общего решения уравнения (22.12), как известно,
определяется нулями так называемого характеристического полинома
Рп(р) или, что то же самое, корнями уравнения
Рп(р) = рп + aip""1 + a2pn"2 + ... + a„ = 0. (22.13)
Из основной теоремы алгебры следует, что на комплексной
плоскости уравнение (22.13) имеет п корней. Пусть р* — /г-ый простой
корень этого уравнения, т.е.
Рк = Sk + ггк-
Частное решение Uk(t), соответствующее этому корню, имеет вид
uu(t) = е'к (cosrjkt + sinrjki).
При этом экспонента с показателем Sk = Re р* характеризует
амплитуду колебаний соответствующей гармоники, а гu = Im р* —
его частоту.
Естественно, что при зь < 0 колебания являются
затухающими, а при Sk > 0 амплитуда колебаний неограниченно возрастает
с течением времени. Если мы хотим ограничиться устойчивыми
колебаниями, не допускающими неограниченного возрастания
амплитуды, мы должны потребовать, чтобы все Sk были нулевыми
или отрицательными. Другими словами, все нули полинома Рп(р)

22. Логарифмический вычет и его приложения
161
должны лежать в левой полуплоскости Re pk ^ О (включая
мнимую ось). Таким образом, мы приходим к задаче, называемой
задачей Рауса-Гурвица, смысл которой можно сформулировать
следующим образом: найти условия, при которых все нули полинома
(22.13) лежат в левой полуплоскости.
Существует несколько методов решения этой задачи. Мы
ограничимся одним, сформулированным самим Гурвицем в теореме,
которую мы приведем без доказательства (см. [34]).
Теорема 22.7 (Гурвица). Для того чтобы все корни полинома
(22.13) лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно
выполнение следующей системы неравенств:
Аг > 0, А2 > 0,
An >0,
(22.14)
где
Ь =
ai 1
аз 02
ai 1
аз аг
as 04
СЧп-
-1 а2п-2
, Аз =
0
ai
а3
агп-з
ai 1
аз 02
Об 04
... 0
... 0
... 0
... ап
0
а3
ч
ai,
Д„ =
в предположении, что а* = 0 при к > п.
Пример 22.2. Установить характер нулей полинома:
а) Ps(p) = Р3 + 2р2 + Зр + 1; б) Р3(р) = р3 + 2р2 +р + 3.
Решение. Согласно теореме Гурвица, вычислим /лГ):
i) Ai = 2,
А2 =
2 1
1 3
= 5,
Дз =
2 10
13 2
0 0 3
Так как все А„ > 0, то корни полинома лежат в левой
полуплоскости. *■■
б) Ai =2, А2 =
= -1, Аз =
2 10
3 12
0 0 3
= -3,
и, следовательно, хотя бы один корень лежит в правой
полуплоскости или на мнимой оси. Для проверки последнего выберем один
из корней в виде р = is и подставим в уравнение
(is)3 + 2(isf + is + 3 = 0.

162
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Отсюда следует, что
(3 - 2s2) - is(s2 -1)#0.
Таким образом, исходный полином не имеет мнимых корней и хотя
бы один его корень расположен в правой полуплоскости.
В заключение отметим, что в более общей постановке задачи
Рауса-Гурвица речь идет не только о полиномах, но и об общих
видах мероморфных функций.
23. Приложения теории вычетов
Теория вычетов может быть успешно использована для
вычисления определенных интегралов, разложения функций в
ряды, суммирования рядов и др. В этом разделе мы
рассмотрим ряд задач, которые можно решить с помощью теории
вычетов.
23.1. Интегралы, содержащие рациональные функции
от тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы вида
2тг
h = R(cos (р, sin <p)d<p. (23.1)
о
где R — рациональная функция от sin <p, cos (р. Схему
вычисления интегралов (23.1) удобно задать следующим
утверждением.
Утверждение 23.1. Пусть R(u,v) —рациональная функция.
Тогда справедливо следующее соотношение:
У N
Ii—l R(cos<p, sin (p)d(p = 27гг V^ Res f(z), (23.2)
о *=i
где Zk — особые точки функции
><■>--;*(* hil-тИ])
в круге единичного радиуса, причем на границе этого круга
функция f(z) не имеет особых точек.

23. Приложения теории вычетов
163
Действительно, проведем под знаком интеграла замену
z = ег<р, dz — iet<pd(p — izd<p,
тогда
dip = —i
dz
Кроме того,
cosy? = -(etlp + e %<p), shup =—letlp — e Xip).
2 2%
Следовательно,
C0S^=i(z+I), siny,= Zi(z_I).
Если <р изменяется от нуля до 27Г, то z пробегает замкнутый
контур — окружность \z\ — 1 в положительном направлении.
Таким образом,
h = -i
.*([«+]
' 2
1
z
z.
\ dz
) z
1*1=1
В силу общих свойств аналитических функций
подынтегральное выражение представляет собой аналитическую функцию
внутри круга \z\ — 1, за исключением конечного числа точек,
являющихся нулями знаменателя, что и доказывает
утверждение.
Пример 23.1. Вычислить интеграл
2тг
h
-1т--
dip
2а cos (p + а2 '
где 0 < а < 1.
Решение. Сделаем в интеграле замену переменных cosy?
(z - z~1)/2, dip = -idz/z. Тогда
h = -1 f z[l-«(s+Vi)+a*r-*/
1*1 = 1
dz
(1 — az)(z — a)

164
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Функция/(2) = (—i)/[(l—az)(z—a)] имеет внутри круга \z\ < 1
один простой полюс z = а (функция l/f{z) имеет в этой точке
простой нуль). По формуле (21.4) находим
—г
Res f(z) = \im(z -a)f(z) = г-.
z=a ' z-¥a I — (Z
Тогда
2тг
/ 7j Ti T = 2mResf{z) =
J (1 — az)(z — a) z=a
Окончательно получим
I-a?
Пример 23.2. Вычислить интеграл
2тг
= [ L_
J 6 + \/35sir
I = / ?=— dt.
>sintf
0
Решение. Сделаем в интеграле замену
cos t= -Izl— J, dz — ie%tdt,
Тогда
1= J f(z)dz= j
1*1=1
—idz
-г
«[6 + V35(«-l/«)/(2t)}
z| = l |z| = l
■/
6z + \/35г7(2г) - л/35/(2г)
l*l=i
= 2 / т==Ц 7= = 4ттг V Res /(г)
l*l=i "-1
Найдем корни знаменателя
\/35г2 + 12i* - \/35 = 0.

23. Приложения теории вычетов
165
Поскольку дискриминант D = — 144 4- 4 • 35 = —4, то
-12г + 2г %
z\ — =— = —5-
2^/35 V35'
-12г-2г „ г
= -7-
2\/35 V35*
Точка z = ^2 не попадает в круг \z\ < 1. Точка z = z\ является
простым полюсом функции f(z). Следовательно,
1 г
Res f(z) = lim -? г- = — -.
Окончательно получим
/ = 4тгг(-^) = 2тт.
23.2. Несобственные контурные интегралы
В курсе математического анализа (см. также Приложение
Ш) было введено понятие несобственных интегралов от
функции действительного переменного, содержащих либо особые
точки на контуре (области) интегрирования, либо
неограниченные контуры (области) интегрирования. Аналогичные
понятия можно ввести для функции комплексного переменного
и, более того, это можно сделать в более компактной форме.
Поскольку на комплексной плоскости бесконечно удаленная
точка единственна, то оба типа интегралов можно объединить,
дополнив в случае необходимости конечные особые точки
аналитической функции f(z) на контуре 7 бесконечно удаленной
точкой. Ясно, что в силу аддитивности контурного интеграла
(см. (11.6)) достаточно определить несобственный интеграл с
особой точкой, расположенной в одном из концов контура,
например в точке а, независимо от того, является а конечной или
бесконечно удаленной точкой.
Несобственным интегралом от функции f(z) по контуру 7
с особенностью в точке а называют
f f(z)dz = lim / f(z)dz, (23.3)
где 7е — часть контура 7, лежащая вне произвольной
окрестности точки а, характеризуемой максимальным диаметром е.

166
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Если предел (23.3) существует и конечен, несобственный
интеграл называют сходящимся, в противном случае —
расходящимся. Так же как и для функций действительного
переменного (см. формулу (П1.7)), интеграл (23.3) называется
абсолютно сходящимся, если сходится несобственный криволинейный
интеграл первого рода
j\f(z)\\dz\=limj\f(z)\\dz\.
В тех случаях, когда точка a — внутренняя точка контура 7>
его можно разбить на два: 7 и 7 так, что 7 = 7 + 7> а точка
z — a является граничной для каждого контура. В результате
несобственный интеграл можно представить в виде суммы
/ f{z)dz = lim / f(z)dz + lim / f{z)dz. (23.4)
J ei-*Oy e2^-0 J
Интеграл (23.4) будет сходящимся, если
существуют оба предела, стоящие в правой части, и
расходящимся, если хотя бы один из пределов не
существует. Если интеграл (23.4) расходится,
когда е\ и£2 стремятся к нулю независимо друг от
друга, может оказаться, что сумма этих пределов
конечна, когда Е\ — €2 = £ (см. рис. 37). В этом
случае несобственный интеграл называют
сходящимся в смысле главного значения (по Коши) и
обозначают
V.p. f f{z)dz = lim | / f{z)dz + f f(z)dz\ = lim / f(z)dz.
7 7* 7* 7*
(23.5)
Здесь 7e = 7e +7е - часть контура 7, лежащая вне окружности
\z — a\ = е (или \z\ = 1/е, если a = оо).
Из теоремы П1.2 очевидно, что значение сходящегося
интеграла (23.3) совпадает с его главным значением (23.5).
Введение несобственных интегралов позволяет
существенным образом расширить область применения теоремы 21.3
(основной теоремы о вычетах).
Пусть, как и в теореме 21.3, Е — область, ограниченная
кривой 7 и z — a £ 7? обозначим через *ур часть контура 7?
лежащую вне круга \z — a\ ^ р (или \z\ ^ 1/р, если a = оо),

23. Приложения теории вычетов
167
а через ^р — часть границы этого круга, принадлежащую
области Е, т.е. 7 = 7р +7р- С помощью введенных обозначений
сформулируем одно из обобщений теоремы 21.3.
Теорема 23.1. Пусть функция f(z) аналитична в области
Е за исключением конечного числа изолированных особых
точек Zk (к = 1,п) и одна из особых,точек, например zn, при-
надлежит контуру 7- Тогда, если
iml [ f(z)dz\ = 0, (23.6)
lim
р-»о|
7р
mo интеграл в смысле главного значения существует и
/п-1
f(z)dz = 2тгг ]£ Res f(z). (23.7)
Доказательство. Если несобственный интеграл (23.7)
существует, то, согласно (23.5),
V.p. / f(z)dz = lim f f(z)dz. (23.8)
7 1p
С другой стороны, с учетом 7 = 7р +7р и теоремы 21.3 можно
записать
/(z)d« + / /(z)ds = 2тгг V Res /(z). (23.9)
ip i p
Предельный переход при р —>• 0 в формуле (23.9) с учетом (23.6)
приводит к (23.7). Таким образом, теорема доказана.
Естественно, что если границе принадлежит т особых
точек, удовлетворяющих условию (23.6), то суммирование в
правой части (23.7) ведется до п — т вместо п — 1.
Аналогично теоремам П1.1, П1.2 рассмотрим требования
к функции f(z), необходимые для выполнения условия (23.6).
Пусть
М(р) =max|/(z)|. (23.10)
Тогда справедлива

168
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Лемма 23.1. Функция f(z) удовлетворяет условию (23.6),
если
limM(p)/~(p) = 0, (23.11)
где 1(р) — длина контура jp.
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы об
оценке интеграла. Действительно, согласно (23.6),
liml ff(z)dz\ < lim / \f(z)\ \dz\ ^ lim M(p)f(p) = О.
P-+01J I P-+0J p->0
1p 1p
Для практических целей условия (23.11) можно расписать
в зависимости от того, является особая точка а конечной или
бесконечно удаленной. Так как для а ф оо, 1(р) ^ 2тгр, то из
* lim/>M(/>) = 0 (23.12)
следует (23.11). В свою очередь, для а — оо, l(p) ^ 27г/р,
соответственно
lim-М(р) = 0 (23.13)
или, если обозначить 1/р = #, М(1/р) = e(R) = тах2€7л |/(з)|,
lim RelR) = 0. (23.14)
Я-юо
Отметим, что если подынтегральную функцию можно
представить в виде f(z)etaz, то условие (23.14) можно заменить
более мягким условием, которое определяет
Лемма 23.2 (Жордана). Если функция f(z) в
полуплоскости Im z ^ 2/о (см. рис. 38) удовлетворяет условию
lim e(R) = 0, (23.15)
Я-юо
то
lim f eiazf(z)dz = 0, (23.16)
l-+oo J
7я
если а > 0 и 7л — дуга окружности \z — iyo\ = R, лежащая в
полуплоскости Im z ^ уо-

23. Приложения теории вычетов
169
/ъ
а>0 J
а<0 \
\lmz^y0
Уо ]
/ х
Рис. 38
Доказательство. Непосредственное вычисление интеграла
(23.16) проведем заменой z = Retip + iyo*.
к
feia:f(z)dz = feia^Reiv+i^f{Rei,fi + iy0)Rieilfid<p. (23.17)
1R
Оценка интеграла (23.17) по модулю дает
\feiazf{z)dz
£
7к
£
7Г
/
Ja[R cos <p+i(Rsin <p+yo)]
\f(Re^ + iy0)\Rdip^
л-/2
^Re(R)e-ay°[e-aRsin*d<p = 2Re(R)e-ay°[e-aR (23.18)
о о
поскольку функция sin <р симметрична относительно <р = 7г/2.
В силу очевидного на [0,7г/2] соотношения sin у? ^ 2<р/тг
оценку (23.18) можно записать
тг/2
I f eia2f(z)dz\ ^ 2Re(R)e~ay° f e-2aR(fi/Kd<p =
7 о
= -e(R)e-ayo(l - e~aR). (23.19)
a
Если а > 0, то предельный переход в (23.19) при R —> оо
приводит к утверждению (23.16), что и требовалось доказать.

170
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Rgz^Xq
Ь<0
Рис. 39
При повороте системы координат из леммы Жордана
нетрудно получить очевидные следствия.
Следствие 23.2.1. Пусть f(z) удовлетворяет условиям
леммы Жордана в полуплоскости Im z <C уо. Тогда формула (23.15)
остается справедливой, если а < 0 и 7 _ Дуга окружности
\z — гг/о| = Д, лежащая в полуплоскости Im z<^yo (см. рис. 38).
Следствие 23.2.2. Пусть а
случае преобразуется к виду
—гб. Формула (23.15) в этом
lim febzf(z)dz = 0 (23.20)
Ы-ОО J
Rt+
1R
и остается справедливой, если функция f(z) удовлетворяет
условиям леммы Жордана:
1. в полуплоскости Re z ^ #о> причем Ь < 0 и 7я ~ дуга
полуокружности \z — хо\ = Д, расположенная в этой
полуплоскости;
2. в полуплоскости Re z ^ хо, причем 6 > 0 и 7я _ дуга
полуокружности \z — хо\ = .R, расположенная в этой
полуплоскости (см. рис. 39).
23.3. Несобственные интегралы
от дробно-рациональных функций
Рассмотрим интегралы вида
оо
h= n(x)dx, ,o
(23.21)

23. Приложения теории вычетов
171
где И(х) - дробно-рациональная функция. Схему вычисления
таких интегралов сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 23.2. Пусть функция И(х), заданная на
действительной оси ] — оо, оо[, может быть аналитически
продолжена на верхнюю полуплоскость Im z ^ 0, за исключением
конечного числа изолированных особых точек Zk, k = 1, JV, не
лежащих на действительной оси. Тогда, если существуют
M>0,e>0uR>0 такие, что
\K(z)\$
М
Im z J> 0, \z\ > R.
(23.22)
то
/ K(x)dx = 2тгг У] Res K(z), (23.23)
J k-iz~Zk
-oo K —L
где z^. — особые точки функции TZ(z) в верхней
полуплоскости.
Доказательство. Пусть H(z) —
аналитическое продолжение функции 1Z(х) на
верхнюю полуплоскость Im z > 0.
Рассмотрим замкнутый контур Г, состоящий
из кривой 7 — лежащей в верхней
полуплоскости части окружности радиуса R
с центром в начале координат и
диаметра этой окружности, являющегося отрезком оси Ох (см. рис.
40). Выберем радиусе таким, чтобы внутри контура Г
лежали все особые точки функции 1l(z), находящиеся в верхней
полуплоскости Im z > 0, т.е. чтобы выполнялось неравенство
(23.22). Согласно основной теореме теории вычетов, имеем
Рис. 40
Л N
Ф H{z)dz - I K(x)dx + / 7l(z)dz = 2тгг^ Res Щ
Согласно четвертому свойству интегралов от функции
комплексного переменного %{z) по кривой 7
J =
fn{z)dz\ ^ f \Щ
, , . 7ГМ _
\dz\ < д^Д.

172
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Здесь мы учли, что \dz\ = Rd<p на контуре <у и (р € [0,7г].
Перейдя в последнем равенстве к пределу R -» со, получим
lim J = 0.
R-too
Следовательно,
lim
Я-юо
/ K(z)dz =
0.
Приняв во внимание, что в силу (23.22)
R
lim / H(x)dx = / H(x)dx,
R-юо J J
-R -oo
в пределе R —> oo получим
h= H{x)dx = 2m^2 ?ies Я(*Ь
*=i
что и требовалось доказать.
Пример 23.3. Вычислить интеграл
оо
/
dx
1 + х2
Решение. Нетрудно Заметить, что аналитическое
продолжение подынтегральной функции удовлетворяет условиям
теоремы 23.2. С одной стороны, для любого R > 0 существует
М > 0 такое, что для всех \z\ > R справедливо
1
1-М2
£
м
N
2*
С другой стороны, представление
1
/W =
1
z2 + l {z + i)(z-i)

23. Приложения теории вычетов
173
говорит о том, что функция f(z) имеет два простых полюса:
z\ — г и 22 = -г, не лежащих на действительной оси. Полюс
z\ = г принадлежит верхней полуплоскости. Поэтому
оо
——г = 27riRes/(z).
1 + х2 гЫ
оо
/
Для вычета функции f(z) в простом полюсе z\ = г получим
Res/(z) = lim = --.
z=iJK J z-+i 1 + z2 2г
Следовательно,
с»
dx
= я\
/
1 + ж2
что совпадает с результатом, известным из курса
математического анализа.
Пример 23.4, Вычислить интеграл
оо
i= I *! .
J ж4 + 10я2 + 9
— CO
Решение. Аналитическое продолжение
^= z4 + 10z2 + 9
подынтегргшьнои функции удовлетворяет условиям теоремы
23.2. Действительно, для любого R > О существует Af > О
такое, что для всех |z| > R справедливо
I/WI =
<м
lz4 + l(b2 + 9l ^ |z|4'
Биквадратное уравнение z* + 10z2 + 9 = 0 имеет корни
«1,2 = ±», «з,4 = ±3г,

174
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
которые не лежат на вещественной оси и являются простыми
полюсами функции f(z). Следовательно, функцию f(z) можно
представить в виде
/(*) =
1
(z-i)(z + i)(z-Zi)(z + 3i)
Найдем вычеты функции f(z) в полюсах z\ — i^z^ — Зг,
лежащих в верхней полуплоскости:
Res f(z) = lim f I z)(z - i) =
z—i z-+\
lim
1
г
16'
z-±i (z -i)(z + i)(z - Zi)(z + Зг) 1бг
Аналогично
1 i
Res f(z) = lim f(z)(z,— Зг) = lim -, —: ^- -— = — •
z=3ijy ; z-+3iJ v n ; z->&(z-i)(z + i)(z + 3i) 48
Окончательно получим
-h
dz
+ 10z2 + 9
= 2?™[Res f(z) + Res f(z)]
2=3» '
Рис. 41
Л .Г г г 1 7Г
= Mis - id = 12'
где контур Г выбирается аналогично тому, как это сделано в
предыдущем примере (см. рис. 41).
23.4. Несобственные интегралы
от осциллирующих функций
Рассмотрим интегралы вида
оо
h= f eiaxf(x)dx, a > 0.
(23.24)
Схему вычисления таких интегралов удобно сформулировать
в виде следующей теоремы.

23. Приложения теории вычетов
175
Теорема 23.3. Пусть функция f(x), заданная на всей
действительной оси — оо < х < оо, может быть
аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z ^ 0 за
исключением конечного числа изолированных особых точек z*
(k = l,iV), не лежащих на действительной оси, и
удовлетворяет в этой полуплоскости условиям леммы Жордана, Тогда
<? N
/ eiaxf{x)dx = 2тгг ^ Дев eiazf(z), (23.25)
-оо к —1
где Zk — особые точки функции f(z) в верхней
полуплоскости.
Доказательство с учетом леммы Жордана полностью
аналогично доказательству теоремы 23.2.
Пример 23.5. Вычислить интегралы
оо оо
f созаж _ _ f ж sin ж ,
Jl = / 2 ; иоdx> 72 = / 2 , 2dx,
J x2 + Ъ2 J x2 + a2
-оо О
где а > О, Ь > О, а > 0.
Решение. 1. Из формулы Эйлера следует, что
/е%ах
где аналитическое продолжение подынтегрального выражения
удовлетворяет условию теоремы 23.3 и в верхней
полуплоскости имеет только одну особую точку z^ — ib — простой полюс,
так как
z — гЬ __ 1
z™bz2 + b2 " 2i6*
Следовательно,
оо
h = Re J J?X,2dx = Re Ь** Res f{z)eia2 j .

176
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Поскольку
eiaz _ eiQ2(z-ib) _ ei2ab
то
Г е-а6I
h = Re < 2тгг—— } =
\ 2гЬ /
тте-аЬ
6 '
Окончательно получим
0-аЬ
_ /* cos ах . 7ге Л
2. Аналогично с учетом четности подынтегральной
функции
[ х sin ж 1 /*
О
1 Г ^
= - Im 27гг Res -г :
2 L *5=ta zz + a
же**17
dx =
ж2 + а2
0 i = Im in lim г- = тге а«
+ crJ z-+iaz + ta 2
Окончательно получим
oo
/* Ж Sin Ж _ 7Г _a
h = J x*TJdX = Г ' a>°-
0
23.5. Интегралы Бромвича-Вагнера
Рассмотрим интегралы вида
a+too
h= f eb'f(z)dz, 6>0. (23.26)
a-ioo
О Контур интегрирования, соответствующий прямой
Re z = a, —oo < Im z < oo,
называют контуром Бромвича, а интеграл (23.26), в котором
все особые точки функции f(z) расположены слева от контура

23. Приложения теории вычетов
177
Бромвича и а > 0, 6 > 0, — интегралом Бромвича-Вагнера.
Если все особые точки функции f(z) лежат левее оси Оу, то
за контур Бромвича принимают ось Оу.
Отметим, что интегралы вида (23.26) имеют важное
значение в приложениях, использующих интегральные
преобразования (Лапласа и др.). Схему вычисления таких интегралов
удобно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 23.4. Если функция f(z) допускает аналитическое
продолжение с прямой Re z = а на полуплоскость Re z <С a,
за исключением конечного числа изолированных особых точек
Zk, k = 1, N, не лежащих на прямой Re z — а, и
удовлетворяет в этой полуплоскости условиям леммы Жордана, то при
6>0
а+»оо
а-t-ioo N
J4=_L / f(z)eb*dz = У" Res f(z)ebz, (23.27)
где Zk - особые точки функции f(z) в полуплоскости Re2<a.
Доказательство. Рассмотрим контур
7я, представляющий собой окружность
радиуса R с центром, лежащим на
прямой Re z = а, содержащую внутри
себя все особые точки Zk функции f(z)
(рис. 42). Обозначим через 7д левую
полуокружность 7л и через Sr диаметр
окружности 7д> совпадающий с
прямой Re z = а. Выберем
положительное направление обхода контура 7д +
Sr и рассмотрим интеграл
У
1
ц
•Z2
\zN
0
—\ 0
X
Sr Пп
Rez=a x
Рис. 42
±.(Jf(z)eb4z+Jf(z)eb*dzy
(23.28)
it
Согласно основной теореме теории вычетов (теорема 21.3),
имеем
±~. (J f(z)ebz dz + J f(z)eb> <fc) = £ Res f(z)ebz. (23.
29)

178
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Из (23.29) предельным переходом R —> оо с учетом следствия
23.2.2 леммы Жордана приходим к формуле (23.28), что и
требовалось доказать.
Пример 23.6. Вычислить интегралы
а-И'оо
m = h I Tdz> a >0;
a —too
a+ioo
, 1 Г e<*-r>*
(23.30)
(23.31)
/(<,Tbr2) = — J е** dz (23.32)
a — ioo
При T\ < T2.
Решение, a) При t > 0, согласно (23.27), имеем
a+t'oo
J(t) = Res— = 1, t > 0.
2=0 Z
(23.33)
При tf < 0, выбрав замкнутый контур в виде Sr + 7д (рис. 42)
и используя следствие 23.2.2 леммы Жордана и свойство
аналитичности функции ezt/z в полуплоскости Re z > а, имеем
/et2 Г etz
—dz + / —cte = 0,
откуда при Л —>• оо получим
/(*) = 0, t < 0.
(23.34)
f^-r)
Рис. 43
Рис. 44.

23. Приложения теории вычетов
179
Таким образом, формулы (23.33) и (23.34) задают
интегральное представление единичной функции 6(t) (рис. 43)
a+ioo
""^/т^ "<" = {»:
t > О
t < о
(23.35)
б) Из (23.35) непосредственно следует (рис. 44)
а-И'оо
I^ = hSrildz = e{t-T) = {li '?'• (23-36)
а —ioo
О Формула (23.36) соответствует теореме запаздывания в
операционном исчислении (см. разд. «Свойства преобразования
Лапласа»).
1
t0(*-ri)-0(*-r2)
П т2 t
Рис. 45
в) Из (23.36) непосредственно следует (рис. 45)
a+ioo
0-ZTy _ p-ZT2
dz =
( 0, t < ti;
= 0(t-T1)-e(t-r2) = { 1, r1<t<T2- (23.37)
I 0, r2 < t.
Функцию 7(t,ri,T2) называют характеристической
функцией отрезка [ti,T2] и обозначают /i(£,ti,T2).
Пример 23.7. Вычислить
a+ioo
1 f e*Z j
1=ы J l?TTdz> a>

180
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Решение. Аналогично предыдущему примеру
a-f»co
1 [ etz
1=ЬЫ J ^TIdZ =
а — too
eu
[ 0, t < 0
= 6(t) sint.
23.6. Несобственные интегралы
типа интегралов Эйлера
Рассмотрим интегралы вида
со
/5= f xQ-1n(x)dx, (23.38)
о
оо
/6 = /V-1ft(aO(lns)mdx1 (23.39)
о
1
17 = / (т^—) e^(»)d», (23.40)
где 7£(ж) — рациональная функция, а а £]0,1[. Ниже будет
показано, что интегралы /б, /? сводятся к интегралу /5» который,
заметим, является преобразованием Меллина функции %(х).
Теорема 23.5. Пусть функция *Я(х), заданная на
действительной полуоси [0, оо[, допускает аналитическое
продолжение в комплексную плоскость, за исключением конечного
числа полюсов Zk, к = lyNj функции H(z), не лежащих на
указанной полуоси. Тогда, если интеграл (23.38) существует,
то он равен
со
/
2жг N
xa-1H(x)dx = ^_-]Г Неф^ВД]. (23-41)
k=i

23. Приложения теории вычетов
181
Доказательство. Напомним, что интеграл (23.38) сходится,
если
lim |ж|а|7г(ж)| = lim Иа|7г(ж)| = 0. (23.42)
ar-fO
В силу условий теоремы подынтегральная функция (23.38)
допускает соответствующее аналитическое продолжение в
виде ха~1Щх) -+ za~17l(z). В этом случае условия (23.42) в
комплексной плоскости принимают вид
lim Иа|ВД| = lim Ыа|ед| = 0.
2-*0 Z-+OQ
(23.43)
Не ограничивая общности задачи, будем считать, что точка
z = 0 не является ни нулем, ни полюсом функции %{z). В
противном случае, выделив из H(z) множитель zn (n — целое
число), мы получим подынтегральную функцию вида za+n7£i(;z),
где T^i(0) ф 0; ос. Отсюда с помощью соответствующих
переобозначений приходим к функции, удовлетворяющей
высказанному предположению.
С другой стороны, для рациональной функции TZ(z) спра-.
ведлива следующая асимптотическая оценка:
вд
Z-4QO, к — целое.
(23.44)
Такое поведение функции H{z) позволяет удовлетворить
условиям (23.43) только для a>0nfc — a>0, т.е.
0 < a < к.
(23.45)
Далее в комплексной
плоскости проведем разрез вдоль
действительной полуоси [0, оо[ и
рассмотрим контур 7 (рис. 46). Он
состоит из отрезка [/>, R], проходимого
вдоль верхнего берега (в.б.)
разреза, затем в положительном
направлении вдоль окружности 7я
радиуса R с центром в начале
координат (\z\ = R), затем вдоль
нижнего берега (н.б.) разреза по
отрезку [Я, р] и, наконец, в
отрицательном направлении вдоль окружности *ур радиуса р с центром в
начале координат (\z\ = p). Контур 7 замкнут и не
охватывает начало координат. Подобный контур необходим затем, что
Рис. 46

182
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
функция z01"1 неоднозначна в области, содержащей начало
координат (z = О — точка разветвления), а, следовательно, к
контуру, охватывающему точку z = 0, не применима теорема
о вычетах.
Разрез и выбранная конфигурация контура 7 позволяют
выделить однозначную ветвь функции 2а-1, если задать
значение аргумента z в какой-либо точке плоскости. Будем
считать, что на верхнем берегу разреза argz = 0. При обходе по
замкнутому контуру 7 вокруг начала координат мы с
верхнего берега разреза попадаем на нижний, при этом аргумент z
получает дополнительное слагаемое 27Г, и, следовательно, на
нижнем берегу разреза arg z = 27г.
Обозначив \z\ = г, будем иметь
на верхнем берегу: z = х + г0
а—1 а—1.
7 — «С, Z — «С, Z — X ,
на нижнем берегу: z = х — г0
г = х, г = же'2*, za~l = /-'e''2™;
(23.46)
(23.47)
на 7д: |z| = г = Я, z = Яе1^, 0 < <р < 2тт;
на 7?: Н = т = р, z = petv>, 0 < <р < 2-к.
Рациональная функция 7£(;г), содержащая только целые
степени, как на верхнем, так и на нижнем берегах имеет вид lZ(x).
Рассмотрим интеграл
{ za-1H{z)dz,
1
который с учетом (23.46), (23.47) и согласно основной теореме
о вычетах 21.3 можно записать
я р
f xQ-1H{x)dx + f za-17l{z)dz + [ei2™1l(x)dx+
Р 1r R
Г N
+ / zQ-1H{z)dz = 2ttzV Res[za-1n(z)dz]. (23.48)
^ k-iz~2k
Предельный переход p —у 0, R -» со в (23.48) дает
oo
(1 - ei2'Q) f xa-1Tl(x)dx + lim f za-1K(z)dz+
io

23. Приложения теории вычетов
183
Г N
+ lim / zQ-1n(z)dz = 2iri V Res [zQ"1H{z)dz].(23.49)
Я-ЮО J ^—' zzzzk
7H * = 1
Покажем, что оба предела в левой части (23.49) равны нулю.
Действительно, предел
lim f za-1Tl{z)dz (23.50)
равен нулю, если, согласно формуле (23.12), обращается в нуль
предел
YimpM(p) (23.51)
где
М{р) = тах^-Ы^)] = />а_1Д(р). (23.52)
Подставив (23.52) в (23.51), находим с учетом (23.43), (23.45)
limpMlp) = lim раЩр) = 0\
р-*0 р-+0
откуда и следует равенство нулю предела (23.50).
Утверждение, что
lim [za~l1l{z)dz = 0, '- (23.53)
Я-юо J
7я
доказывается аналогично с использованием формулы (23.14).
Таким образом, из (23.49) с учетом (23.50), (23.53) следует
(23.41), что и требовалось доказать.
Перейдем к рассмотрению интегралов (23.39)v (23.40).
Легко заметить, что интегралы (23.39) можно получить из (23.38),
продифференцировав последний по параметру а.
Действительно,
со со
/ x^KixKlnx^dx = -^ I ха-1Щх)&х. (23.54)
о о
В свою очередь, интеграл (23.40) можно свести к (23.38)
заменой
j^- = у. (23.55)
I — X

184
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Действительно, после замены (23.55) интеграл (23.40)
принимает вид
оо
/
yaK(y)dy, (23.56)
где
ад = (1 + 2/)-^(г|-).
Поскольку для функции И(у) справедлива асимптотическая
оценка
А
Щу) ~ ~2 » 2/ -» оо,
У2
то интегралы (23.56), а соответственно, и (23.40) будут
сходиться, согласно (23.45), только для 0 < a + 1 < 2 или —1 <
a < 1.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 23.8. Вычислить интеграл Эйлера
ОО
I=Ir^dx- * (23,57)
О
Решение. Прежде всего отметим, что для функции H(z) =
1/(1 + 2) справедлива асимптотическая оценка
1 А
z -> оо,
1 + Z Z*
и, следовательно, согласно (23.45), интеграл (23.57) будет
сходиться при 0 < a < 1. С учетом того, что функция 1/(1 + z)
имеет простой полюс в точке z = — 1 = е,7Г, по формуле (23.41)
находим
оо
/
2™
-dx = 7^— Res
1 + х 1 - е'2™ ,=в<« 1 + z
о
27гг
,iira(e-«jra _е«тга) г=(
lim z""1 =
^e'T"1 =
(ei7ra _ е-»>а)/2г1 J sin7ra

23. Приложения теории вычетов
185
Таким образом,
j-?»"1*.- *
J l + i sin 7ra
0
Пример 23.9. Вычислить интеграл
оо
Г еах
1= / -Z dx.
J 1+e*
-00
Решение. Заменой ех = у интеграл приводится
J l + v
0
откуда, согласно (23.58),
i= * .
(23.58)
(23.59)
к виду
81П7Га
Пример 23.10. Вычислить
оо
Tdx. (23.60)
х"-1
J (1 + х)2>
о
Решение. Для аналитического продолжения
подынтегральной функции
(23.61)
условие сходимости (23.45) выполняется при 0 < а < 2.
Функция (23.61) имеет в точке z = — 1 единственный полюс второго
порядка. Тогда по формуле (23.41) имеем
00 1
х"'1
I
dx = : Res rj. (23.62)
(1 + Х)2 Sin 7Га z=eiir (1 + z)2
Вычислим вычет в правой части (23.62):

186
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
= (а - 1) lim zQ~2 = (а - 1)е,л
Подставив (23.63) в (23.62), найдем
оо
/Ха~
от
-а~1 . тг(1-а)
— С1Х = —; .
ху
8Ш7Га
(23.63)
(23.64)
Из (23.64), например, для а = 1/2 получим
оо
/da __ 7г
V»(l + ж)2 ~ 2"'
о
Пример 23.11. Вычислить интеграл
, оо
f—
У?(1 + x)
;dx.
(23.65)
Решение. Согласно соотношению (23.54), исходный интеграл
можно записать в виде
оо оо
( ln* dx= d I
J ^(l + x)* da J
Be_1«fa
(1 + s)2
0=1/2
(23.66)
Воспользовавшись соотношением (23.64), выражение (23.
перепишем как
оо
Г _Jnx_& = d /тг(1-а)\
J у/х(1 4- ж)2 da V sin7ra /
a=l/2
= —s [7г(а — 1) cos 7га — sin 7ral I i ,„ = — 7Г.
7Г
sin2 7ra"
Пример 23.12. Вычислить интеграл
i
dx
r f /1-х d:
I = J V —(2T
x)2
(23.67)

23. Приложения теории вычетов
187
Решение. Сравнив (23.67) с (23.40), найдем а = —1/2.
Отсюда следует, что интеграл сходится, так как а удовлетворяет
неравенству — 1<а<1. Заменой переменной (23.55) исходный
интеграл сводится к виду
= / dy = 1 7
J л^(2 + 3у)2 9 У
dy
о о
Из (23.68), согласно (23.41), найдем
2тгг
Vy(2/3 + y)2
(23.68)
1 =
ттг d
—- hm —(z
9 2->(2е^)/3 dz
Res
:(2e{
-1/2ч
1
9(1 - e»*) ,=(2е-)/з L^(2/3 + z)2 J
' 18V3 /
18 V3
Пример 23.13. Вычислить интеграл
■/г
с^-1
+ ^
с/х.
Решение. Интеграл сходится, если 0 < /3 < 1/3. Замена
переменной х = 2/3 приводит интеграл к виду (23.38)
У 1 + 2/
о
Положив в (23.58) а = 3/3, получим
Зтг
1 =
sin 37г/3
О До сих пор в интегралах (23.38)-(23.40) мы
рассматривали нецелые а. В случае целых а формула (23.41) перестает
«работать», так как ее знаменатель обращается в нуль. Не
излагая общих методов и приемов вычисления интегралов такого
типа, мы их проиллюстрируем на ряде конкретных примеров.
Начнем с интегралов вида (23.40).
Пример 23.14. Вычислить
т f 1ПЖ »
J х2 + а2
0.
(23.69)

188
Глава 2, Теория вычетов и ее приложения
Решение. Рассмотрим интеграл
lnz
/
z2 + a<
dz,
(23.70)
, г% .
р
Рис. 47
R х
где контур 7 изображен на рис. 47.
Такой контур позволяет обойти
точку z = 0, являющуюся
логарифмической точкой разветвления, и
выделить однозначную ветвь логарифма,
принимающего действительные
значения для z = ж > 0. Внутри конту- -д * -р
ра 7 расположена точка z = га,
являющаяся простым полюсом
подынтегральной функции.
Используя свойство аддитивности контурных интегралов
и основную теорему о вычетах 21.3, интеграл (23.70) можно
записать в виде
Л -р
/In ж . f In г . f lux . f In г
= 2тгг Res ,П* ,. (23.71)
z=ia Z2 + a2
С учетом того, что
-р Л Л
/In ж , /* 1п(-ж) . flnx + iir.
2 , 2<fc = / 2 V 2<fa= / о , 2 <fa,
ж2 + a2 J х2 + а2 J ж~ + а2
-л р р
предельный переход р —> 0, Л —> оо в (23.71) дает
ОО 00
л /* In ж [ dx f hiz .
2J ^T^dX + l4 ^T*+J * + **+
0 0 Ip
+/^P*-:(b"+'j)- (2"2)
7Л
Следуя формуле (23.12), вычислим
lim/>Af(/>),
р-*Ю

23. Приложения теории вычетов
189
где
М(р) — max
Легко видеть, что
lnz
z2+a2
| In р| + тг
p-*or v ' ^ p->o a2 - p2
а это, согласно лемме 23.1, означает, что
f In 2 .
hm / -т-—т-dz = 0.
P-j-o у я2 + a2
Аналогично доказывается, что
(23.73)
(23.74)
2a'
(23.75)
i. f mz i
hm / -=——^dz = 0.
д->оо у zl + or
1R
Подставив (23.73) и (23.74) в (23.72), получим
оо оо
. f In ж . [ dx 7rlna .1
2 / ~2~1 2 dx + Ш / 2 , 2 = + * г
J xl + a1 J xl + a* a \
о о
Сравнив действительные и мнимые части (23.75), найдем
оо оо
/1пж 7rlna f dx 7г , .
^T^dx = "5Г' У ^7^ = й- (23,76)
о о
Отметим, что для вычисления интегралов общего вида
оо
f{\nx)mn(x)dx,
где m — целое, следует рассмотреть контурный интеграл
(23.77)
[ (In z)m+1K(z)dz,

190
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
контур 7 которого изображен на рис. 46. Правда, если 1Z(х) —
четная функция, вместо (23.77) можно рассматривать более
простой интеграл
1 {\nz)mH{z)dz
/<
7
с более простым контуром 7? изображенным на рис. 47.
Вычисление интегралов (23.38) с целым а
проиллюстрируем следующим примером:
Пример 23.15. Вычислить
* оо
dx
J 1 + s3'
о
(23.78)
Решение. Рассмотрим интеграл
Inz
I
l + zc
dz, (23.79)
где контур 7 изображен на рис. 46. Такой контур позволяет
обойти точку 2 = 0, являющуюся логарифмической точкой
разветвления, и выделить однозначную ветвь логарифма,
принимающего действительные значения на верхнем берегу z = x и
значения z = хег2п на нижнем берегу. Внутри контура 7
расположены три особые точки z\ — е,7Г/3, 22 = е,я" и z$ = e*5*/3,
являющиеся простыми полюсами подынтегральной функции
(23.79).
Используя свойство аддитивности контурных интегралов
и основную теорему о вычетах 21.3, интеграл (23.79) можно
записать
R . р
/In ж . Г Inz . [ In ж . f lnz ,
1 + ж3 J 1 + z3 J Hi3 J 1 + z3
P 1R R Ip
= 2тгг Vs Res т-^Цт. (23.80)
fe=i
Учтем, что на нижнем берегу
р R
/In х _ Г In х + 2ni .
-dx — — I — —dx.
l + ж3 J 1 + ж3

23. Приложения теории вычетов
191
Тогда предельный переход р -> О, R —>■ со в (23.80) дает
,• 7 d* у г ь*, ,. /• I»,,
О 7р 7л
= 27гг hm , . /0 . w . /0 .g /оч +
Lz-+e*«y» (е,7Г/3 - e,7r)(et7r/3 - е,5,г/3)
In 2;
+ Ami —: :—тт- : —7ГГ +
x-+ein (et7r - е,7Г/3)(е,7Г - е,57Г/3)
+ lim , ., ,_ . ,?* .- ,_ r-r]. (23.81)
С помощью леммы 23.1 легко показать (см. предыдущие
примеры), что
lim / Л UZ^dz = lim / л UZ^dz = 0. (23.82)
p->oJ 1 + z3 ' R^ooJ 1 + z3 v '
Тогда формула (23.81) примет вид
оо
dx inr 2 10 i 27Г
Г dx _ in г 2 10 i
У 1 + ж3 ~ """"З^у^З + Vbi) ~~ л/3г(3 - уДг) + -I "" ЗуТ
Отметим, что интеграл (23.78) можно было вычислить
проще с помощью замены переменной ж3 = у. Тогда, согласно
(23.58),
оо оо
Г dx _ 1 Г у1/3"1 _ тг _ _2тг_
У 1 + ж3 ~ 3 У 1 + у У~ 3sin(7r/3) ~ зТГ
о о
О Следует отметить, что для интегралов (23.38) от четных
функций с целым а можно использовать формулу (23.23), так
как в этом случае
оо , оо
/ H{x)dx = - I K(x)dx.
В заключение рассмотрим интегралы типа (23.38) с
комплексным показателем.

192
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Пример 23.16. Вычислить
оо оо
/cos(lnx) , /'sinflnz) , Л /ЛЛ ЛЛч
rfW*' /tfW*' a>°- (23'83)
о о
Решение. Интегралы (23.83) можно рассматривать как
действительную и мнимую части интеграла
gi In х
dx.
J a2 + x2
о
Рассмотрим контурный интеграл
-dz, (23.84)
/
ei\nz
a* + z>
7
где 7 — контур, изображенный на рис. 47 и содержащий
внутри себя точку z — ш, являющуюся простым полюсом. Выберем
однозначную ветвь логарифма так, чтобы In z = In х для х > О
и lnz = In ж + in для х < 0 на действительной оси z = ж. Как
и в предыдущих примерах, распишем (23.84)
00 •• °
/е% In а: /» ei In 2 Л et In x
a*T^dX + JSS, / JF+** + У * + **+
О 7л -оо
/е« In г е% In г
-т ~dz = 2ттг Res -^ т. (23.85)
а2 + z2 **="* а2 + z2 v '
1р
С учетом того, что
О оо
gtlnar /• et(lna:+«7r)
/e*lnar /• et(lna:+«7r)
^т^ж=У -^т^*'
-оо О
/е» In z p e% In z
-~——«cfe = ^m / "Т^—9^2 = 0,
а2 + z2 р-ю у а2 + z2
7л 7р
формулу (23.85) можно переписать
(1 + е"') f 4^4d* = -е^а**'2\
J a? + x2 a

23. Приложения теории вычетов
193
откуда
Них -p-nl2J\na ^tlna
/
е , 7ге -/-е— те*
^ = ТЙ-^Г^Г = о^-;о- (23'86)
а2 + ж2 afl + e-*) 2ach тг/2
о
Приравняв действительные и мнимые части (23.86), найдем
cos(ln х) 7Г cos(ln a)
-ах =
J а2 + х2 "" 2асЬтг/2'
о
sin(lnz) 7rsiii(lna)
/
(23.87)
а2 + х2 2асптг/2*
о
23.7. Другие несобственные интегралы
Здесь мы рассмотрим обобщение предыдущих теорем на
интегралы, содержащие конечные особые точки на контуре
интегрирования.
Теорема 23.6. Пусть функция И(х) удовлетворяет
требованиям теоремы 23.2 при условии, что часть простых
полюсов Ni из общего числа N особых точек лежит на
действительной оси 7х • Тогда
7 [N~Nl 1 Nl
V.p. / R(x)dx = 2т\ Y* Res R(z) + -V Res R(z)
J L f^ z=zktix 2 r^iz=Zke~fx
_oo ft —1 ft —1
(23.88)
Доказательство. Если мы докажем равенство (23.88) для
Ni = 1, то доказательство для произвольного Ni ^ N
очевидно. Итак, для функции 7£(z), имеющей на действительной
оси полюс z — xi, рассмотрим интеграл
/
K(z)dz,
по контуру 7? изображенному на рис. 48.
Радиусы полуокружностей 7р и 7л выбраны так, чтобы все
особые точки, не принадлежащие действительной оси,
находились внутри контура 7- Используя свойство аддитивности

194
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
| хг-р хг хг+р х
Рис. 48
контурного интеграла и основную теорему о вычетах, получим
xi-p R
/ H(z)dz + / K{x)dx + / n(z)dz + / K(x)dx =
1R
-R iP
N-l
xx+p
= 2тгг Y] Res K(z)
f—' *=г**7
(23.89)
k=i
Предельный переход p -> 0, R —> oo в (23.89) дает
Л-)-
.(< 1 l*J
lim / H(z)dz + Hm / H{z)dz + I H(x)dx + / H{x)dx =
(23.90)
7p -oo
N-l
27ri V] Res ft(z).
* = !*=** *7'
При доказательстве теоремы 23.2, было показано, что
lim
Д-юо
I K{z)dz = 0,
тогда (23.90) можно записать
00 JV-1
/ H(x)dx + lim / H(z)dz = 2тгг V4 Res Я(г). (23.91)
-oo 7P ft —1
Рассмотрим более подробно интеграл
/ K(z)dz.
(23.92)
7р

23. Приложения теории вычетов
195
Так как точка z = х\ является простым полюсом, то в кольце
О < \z — xi\ < pi, не содержащем других особых точек,
функцию *R{z) можно разложить в равномерно сходящийся ряд
Лорана, если р\ > р и сколь угодно близко к р. Тогда интеграл
(23.92) можно записать
fn(z)dz = C1 f ~^— + ^1Ск f{z-Xl)kdz.
1P 1p *~U 7p
Положив z — x\ — рег<р, получим равенство
0 oo °
f K{z)dz = iC-г fd<p + Y,Cki f pk+1e^k+1^dip =
J I *=o I
1p
o^ + l
= -w-»+E(ibi1-^
k=0
предельный переход в котором дает
lim / lZ(z)dz = —inC-i
1p
или
lim- / H(z)dz = -гтг Res ll(z) (23.93)
1p
с учетом того, что
C-i = Res ll{z).
Z=Xi
Подстановка (23.93) в (23.91) приводит к
/JV-1 -
ll(x)dx = 2тгг[]Г Res- H(z) -f - Res H(z)
k=i
(23.94)
В случае произвольного числа полюсов JVi, лежащих на
Действительной оси, формула (23.94) очевидным образом
переходит в (23.88).

196
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Теорема 23.7. Пусть функция %(х) удовлетворяет
требованиям теоремы 23.3 при условии, что часть простых полю-
сов Ni из общего числа особых точек N лежит на
действительной оси 7а; • Тогда
7 rN~Ni
V.p. / etaxK{x)dx = 2тгг _Г _R.es K{z)etaz +
k = l
N,
fc=i
(23.95)
Доказательство аналогично доказательству предыдущей
теоремы с необходимыми извлечениями из доказательства
теоремы 23.2.
Теорема 23.8. Пусть функция И(х) удовлетворяет
требованиям теоремы 23.5 при условии, что а — некоторое
комплексное число, а часть простых полюсов Ni из общего числа
особых точек N лежит на луче <ух :]0, оо[. Тогда
2тгг
N-Ni
k = l
V.p. f xa-1H{x)dx = Л 2™ \ У Res Tl(z)za'1+
0
l+e«ira "l
' ZZ=Zkei;
+ -
ERes n(z)zQ-1
fe=l
(23.96)
Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.6 с
необходимыми извлечениями из доказательства теоремы 23.5.
7* ю
Рис. 49

23. Приложения теории вычетов
197
Отметим лишь, что замкнутый контур выбирается как
комбинация контуров, изображенных на рис. 46, 48, и изображен на
рис. 49.
Пример 23.17. Вычислить
1 = V-P- / /_g , ™r- n» a > °- (23*97)
dx
(z2 + a2)(z-b)'
Решение. Функция
во-первых, при z —> oo справедливо
lim —г-^- = Л, Л = const, \А\ < ос,
а во-вторых, имеет три простых полюса z\ — ш, 22 = —га и
ж3 = 6, из которых zi расположен в верхней полуплоскости, Z2
— в нижней, а^з — на действительной оси. Вычислив согласно
(23.88)
ResH(z) = lim 7 —7 гт = irr-r- гг>
z-%a z-tia [z + ta)(z — 6) 2га(га — о)
и подставив в (23.97) найденные вычеты, получим
1 1
V.P./
dx л .
2ттг
(ж2 + а2)(ж - Ь) l2ia{ia - Ъ) 2{Ь2 + а2)
— оо
= --ГГГ72Г (23-")
а(а2 + Ь2)
Отметим, что вычисление интеграла (23.97) обычным
способом гораздо более громоздко. Действительно, разложим (23.98)
на простейшие дроби:
Щг) =
{х2 + а2){х-Ъ)

198
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
1 г х Ь 1 "I
= РТ^г^Т^~^Т^ + ^г (23Л0°)
Тогда
оо оо оо
1 Г [ xdx , [ dx f dx 1 /лл ЛЛЧ.
В предыдущих примерах и Приложении Ш показано, что
первый и последний интегралы в (23.101) сходятся в смысле
главного значения к нулю, а второй интеграл сходится в обычном
смысле
оо
Ь2 + а* J
dx
х2+а2
а(Ь2 + а2)
Ьтг
arctg
а{Ъ2+а?)
.2 Г
Заметим, что при а —> +0 значение J -> — оо, т.е. интеграл
(23.97) расходится, так как два простых полюса z = ±ia
сливаются в один двукратный z = 0. Такой же результат следует
из (23.101) приа = 0:
оо оо оо
1 г f dx [ dx [ dx Л
I=»CJ ^-bJ ^+ J ~bh
— бЪ —оо —оо
так как второй интеграл (см. пример П1.7) содержит четную
степень жив смысле главного значения расходится.
Пример 23.18. Вычислить
оо
Г ешх
' = **•]—*>•
— оо
Решение. Заметим, что аналитическое продолжение
подынтегральной функции при а > 0 удовлетворяет условиям
теоремы 23.8 и имеет один простой полюс z = 0, лежащий на
действительной оси. Следовательно, согласно (23.95) имеем
оо
ах etaz
dx = m Res = 7гг.
x z=o z
(23.102)

23. Приложения теории вычетов
199
Для а — — \а\ < 0 заменой х -> — х получим
оо оо
/е»ааг /• et|a|a:
Ас = - / dx = -7Ti. (23.103)
— оо —оо
В примере П1.8 показано, что при а = 0
оо
v.,/f = o.
— оо
Таким образом,
1 °Г eiax [ */2' «> 0;
V.p.— / dz=<{ 0 а = 0; (23.104)
_£> Ж I -1A а<°-
Пример 23.19. Вычислить
с
'-/
— оо
Решение. Воспользуемся результатом предыдущей задачи:
оо оо
I = j s—dx = Im (v.p. f — dx\ = 1т(гтг) = тт. (23.105)
— ОО —ОО
Пример 23.20. Вычислить интеграл
оо
оо
sin ж
dx.
х
-dx.
х
о
Решение. Для функции H(z) = 1/(1 — z) справедливо
предельное соотношение
hm — = 0,
*-Юо Z(l — Z)
и, следовательно, согласно (23.45), исходный интеграл
сходится для 0 < а < 1. Функция H{z) имеет единственный простой

200
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
полюс z = 1, принадлежащий лучу ]0, оо[, и удовлетворяет
условиям теоремы 23.8. Вычислив
Res- = -1,
z = l 1 - Z
согласно соотношению (23.96) найдем
па-1 1 i Л|2тга
/Ха~ 1 + €
- dx = —7гг- 7z— = 7rctg а7г. (23.106)
1 — х 1 — е'3*а
о
0 В заключение отметим, что сформулированные выше
теоремы охватывают достаточно узкий класс интегралов.
Поэтому интерес представляют не только сами теоремы, но также
приемы и методы, использованные в доказательствах этих
теорем, которые нередко позволяют вычислять интегралы более
широких классов.
Пример 23.21. Вычислить
. 1 - cos ax .
I = / s dx.
Ч1
о
Решение* Рассмотрим контурный интеграл
/1 - eiaz
5—dzy a > О, (23.107)
7
где контур 7 изображен на рис. 48 при условии х\ = 0.
Внутри такого контура подынтегральная функция не имеет особых
точек. Тогда, с одной стороны, согласно теореме Коши 7 = 0,
а с другой — согласно- свойству аддитивности контурных
интегралов
~fi^ei«* [l-eiaz .
I=j —r-dx + j—r-dz+
-R ip
R
——2—dx + / —^ dz = 0. (23.108)

23. Приложения теории вычетов
201
Предельный переход р —> О, R —У оо в (23.108) с учетом
равенства
-р
J X2 J X2
-dx
дает
I
2 - (eiax + e~iax)
dx -f- lim
p-»0
. f 1 - etaz
im / -—
>^oJ z2
dz+
+ lim
im / —
-+oo J Z"
1R
Согласно лемме 23.1^при а > О
lim
R-too
f 1 - €ic
J ~^~
1p
-dz = 0.
-dz = 0.
(23.109)
(23.110)
1R
Для вычисления интеграла по контуру jp воспользуемся тем,
что точка z = 0 для подынтегральной функции (23.107)
является полюсом первого порядка с вычетом, равным
Л 1 - eiaz
Res «— = —га,
z=o z2
и, следовательно, в окрестности точки z = 0 может быть
разложена в ряд Лорана
1-е1
= -= + £«.•■.
п=0
Тогда
(23.111)
dz. (23.112)
iim / L_fldz = Ит f L™ + у Cnzn
P-+0J Z2 p->0J I Z *-±
Ip Ip n
Если z E 7P, то z = pettp, dz = ipet(pd<p, 0 <Z. (p <C. тг, и выражение
(23.112) можно записать
о ^
lim / 1"f"dz =. lim / Г—^?- + У" CnpneinA ipei(*d<p =
p-+oJ z2 p-+oJ [ ре"? ~ J

202
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
и
— a I dip =
-атг.
(23.113)
Подставив (23.110), (23.113) в (23.109) получим
1- {ешх + е-ш*)/2
■/■
-dx = сек
или
оо
/
1 — cosaa; an
"2 dx= "9--
(23.114)
23.8. Представление функций
контурными интегралами
Рассмотрим подробней интегралы от функции
- /(*) =
o%tz
по контурам /, 1+, /_, изображенным на рис. 50.
i
(*)
75
V+ '
"* -ТЙ ^ л) х-дг
7л/
(23.115)
4"Ч W
7*\
ть/
Рис. 50
Первый контур / (рис. 50,а) представляет собой всю
действительную ось Ох. Простой полюс z = х = 0 функции (23.115)
принадлежит контуру интегрирования, и, следовательно,
соответствующий интеграл можно рассматривать в смысле
главного значения на неограниченном промежутке от —ос до оо
вдоль действительной оси Ох
V.p.
00
/
0itx
-dx.
(23.116)

23. Приложения теории вычетов
203
Контуры /+, /_ выбраны так, что они обходят полюс z = О
по окружности радиуса е сверху и снизу, соответственно,
совпадая вне этой окружности с контуром Z, т.е. действительной
осью Ох. В этом случае вместо интеграла (23.116)
рассматриваются сходящиеся интегралы
dz / dz. <23.117)
Если ввести две разрывные функции: знаковую (signature)
*&*={ -1; III: (2зл18)
и единичную функцию Хевисайда
*w={S: l<l (2з-ш)
то для трех интегралов (23.116), (23.117) можно
сформулировать следующие леммы.
Лемма 23.3, Для функции sign t справедливо следующее
интегральное представление:
оо
s^t=v*;{hleitxdi} (23Л20>
— оо
Доказательство следует непосредственно из решения
примера 23.18.
Лемма 23.4. Для функции Хевисайда 0(t) справедливо
следующее интегральное представление:
т
= 1 />!Ё = _ 1 /е-«.*. (23.121)
2т J z 2т J z v J
Доказательство. Пусть t > 0. Рассмотрим контур 7>
состоящий из двух контуров 1+ц и 7д • Контур /_|_д представляет
собой часть контура 1+ на отрезке [—Л, Л], а 7д — верхняя часть
окружности радиуса Л (рис. 50,6). Проинтегрируем функцию

204
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
(23.115) по составленному таким образом замкнутому контуру
7, используя свойство аддитивности контурных интегралов и
основную теорему о вычетах 21.3,
27гг [J z J z \
l+R > 7j
itz
Res . (23.122)
z=0 Z V '
Предельный переход R —у оо в (23.122) с учетом того, что
второй интеграл удовлетворяет лемме Жор дана и,
следовательно,
eitz
Res = 1,
г=0 Z
2ттг J (
дает
eitz— = l. (23.123)
'+
Пусть теперь t < 0. Рассмотрим интеграл от функции
(23.115) по контуру 7 = 1+R + 7д (рис. 50,6). По теореме Коши
Jj*'±=Jjf*± + Jj**jL = 0, (23.124)
так как точка z = 0 находится вне контура *у.
Предельный переход R —»• оо в (23.124) дает
/>'^+ lim />^ = 0.
J z R->oo J z
1+R 7
л
Из следствия 1 леммы Жордана имеем
lim feit2—=\
I-+OO J Z
и, следовательно,
ef"**y =0. (23.125)
/■

23. Приложения теории вычетов 205
Совокупность (23.121), (23.125) и доказывает утверждение
(23.119).
Доказательство для контура Z_ проводится аналогично,
следует лишь учесть, что обход контура 7д (рис. 50,в)
совершается в отрицательном направлении.
Соотношения, аналогичные (23.119), были получены
ранее с помощью интегралов Бромвича-Вагнера и если
последние связаны с приложениями, использующими преобразование
Лапласа, то соотношения (23.119) связаны с преобразованием
Фурье.
В заключение отметим, что интегралы (23.117) иногда
удобно записывать в виде
оо оо
/>^f= />'_*L_, />^£= / ««■-£-. (23.126)
J z J ж-гО'У z J x + iO v ;
/+ -oo /_ -оо
Поясним эти обозначения. Поскольку значение е может быть
сколь угодно малым, интегрирование в (23.117) идет
фактически по действительной оси О ж за исключением сколь угодно
малой окрестности точки z = 0. Если полюс функции (23.115)
сместить на величину е по мнимой оси вверх (так, чтобы он
находился над осью Ож), то интегрирование можно
распространить на всю действительную ось с последующим
предельным переходом е —> 0. Такая процедура будет полностью
соответствовать правилу обхода полюса z = 0, предписываемого
контуром Z+, т.е.
оо оо
/>*—= f e"f-^r = lim f e«*-^-. (23.127)
J z J x — г0 e-*o J x — ie
f+ -oo —oo
Аналогично, смещение полюса в точку — ie соответствует
правилу обхода полюса 2 = 0, предписываемого контуром /_ (под
осью Ох).
23.9. Целые и мероморфные функции
Теория вычетов может быть успешно использована не
только для вычисления интегралов, но и в других приложениях, к
рассмотрению которых мы и переходим. Напомним
предварительно некоторые понятия.

206
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
♦ Однозначная аналитическая функция, не имеющая
особых точек в конечной комплексной плоскости, называется
целой.
Согласно приведенному определению и утверждению
теоремы 16.4, целая функция f(z) может быть разложена в ряд
Тейлора
оо
f{z) = J2ckzk (23.128)
к=о
в круге \z\ < R сколь угодно большого радиуса R. С другой
стороны, это разложение можно рассматривать как лоранов-
ское разложение функции f(z) в окрестности z = оо,
позволяющее классифицировать все целые функции по их поведению
в бесконечно удаленной точке. Действительно, если
а) С\ — Со = • • • = Ck = .. • = 0, то f(z) = Co, а это
означает, что целая функция является постоянной, для которой точка
z = оо — правильная (в полном соответствии с теоремой Ли-
увилля);
б) Сп ф 0, Cn+i = Сп+2 = ... = 0, то
п
f(z) = J2ckzk,
к=0
а это означает, что целая функция является полиномом
степени п, т.е. f(z) = Pn{z), для которого точка z = оо — полюс
порядка п;
в) разложение (23.128) содержит бесконечное число
слагаемых. В этом случае целая функция называется
трансцендентной, а точка z = оо является для нее существенно особой, как,
например для функций е2, cosz, sin jz.
Что касается полиномов, то основная теорема алгебры
позволяет представить любой полином в виде конечного
произведения
п
Рп(г) = (z - zx)(z - z2) • • • (z - zn) = l[(z - zk). (23.129)
k = l
Возникает вопрос: возможно ли получить разложение типа
(23.129) для целой трансцендентной функции в виде
бесконечного произведения, т.е. заменить сумму
к-0

23. Приложения теории вычетов
207
произведением
оо
я*) = П (*-**)' (23ЛЗ°)
что в некоторых приложениях оказывается более удобным.
Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим еще один
класс функций.
♦ Функция w(z), которую можно представить в виде
отношения двух целых функций f(z) и <p(z), т.е.
w(z) = М (23.131)
<p(z)
называется мероморфной.
Из (23.131) с учетом определения целых функций следует,
что в конечной комплексной плоскости мероморфная функция
не может иметь других особых точек, кроме полюсов.
Из общего класса мероморфных функций можно выделить
функции, называемые рациональными или
дробно-рациональными.
♦ Мероморфная функция называется рациональной, если
f(z) и <p(z) являются полиномами, т.е. f(z) = Fn(z), (p(z) =
«ад-
Представление (23.131) х учетом (23.129) в виде
П (*-*»)
Щ*) = 1
позволяет сделать вывод, что рациональная функция имеет на
всей расширенной комплексной плоскости ограниченное число
полюсов. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 23.9. Если мероморфная функция w(z) имеет
конечное число полюсов zn, п = 1,АГ, и, кроме того, zjv+i =
оо является либо правильной ее точкой, либо полюсом, то
эта функция представляется в виде суммы постоянной Со и

208 Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
главных частей wn ее лорановских разложений в
окрестностях точек zn и zjv+i = оо
iV+l
w(z) = C0+J^wn{z) (23.132)
n-l
и, следовательно, рациональна.
Доказательство* Рассмотрим функцию
ЛГ+1
C(z) = w(z)-J2w"W> (23Л33)
п = 1
где
*=1
есть главная часть ряда Лорана функции w(z) в точке z =
оо, которая присутствует в том случае, если z = оо является
полюсом, а
"»(*) = £, "' >,. п = СТ, (23.135)
— соответственно, главные части рядов Лорана в полюсах zn.
Функция (23.133) является аналитической в любой точке
расширенной комплексной плоскости, ибо все главные части
устранены вычитанием сумм (23.134), (23.135) и в силу
теоремы Лиувилля есть некоторая постоянная Со, тогда
N+1
Со = w(z) - Y, WnW- (23.136)
n = l
Значение Со можно найти из (23.136) предельным
переходом z —> оо. Учтя, что
lim «„(*) = lim *£, , и = 0.
найдем
C0 = \im[w(z)-wN+1(z)]. (23.137)

23. Приложения теории вычетов
209
Формула (23.132) доказана, а из нее после приведения всех
дробей (23.135) к общему знаменателю вытекает, что w(z)
является отношением двух полиномов, т.е. рациональной функцией.
Заметим, что в процессе доказательства мы попутно
установили известную из математического анализа формулу
разложения любой рациональной функции на целую часть Со +
wjsr+i(z) и простейшие дроби (23.135).
Пример 23.22. Рациональную функцию
ч" = дат ,25Ш)
разложить на простейшие дроби, т.е. записать как сумму
главных частей лорановских разложений и постоянной.
Решение. Функция (23.138) имеет два конечных полюса: z\ =
О — двукратный и ^2 = 2 — простой. Точка z-$ = оо также
является простым полюсом. Для нахождения главной части
лорановского разложения в точке z — О
С_1 С_2
г»1 = Ь —2-
Z Z1
воспользуемся формулой (17.5)
(z*-z3-4)/[z2{z-2)]
1п " 2ттг j
2тггУ
~n+1
г
(*4 _ 2з _ 4)/(ж - 2)
zn+3
dz =
dz, (23.139)
где контур Г можно выбрать, например, в виде \z — 2| = 0,1.
Как следует из (23.139), если п + 3 ^ 0, т.е. п ^ —3, то
подынтегральная функция аналитична во всех точках,
лежащих внутри окружности Г, в том числе и в точке z = 0. В этом
случае
fcb = 0,
_1_ /* г4-
2тггУ (z-2)zn+3
г
т.е. Сп = 0 при п = —3, —4,... Если п > —3, то, использовав
следствие 14.1.2, получим
с_9 = ±.[ (^-^-4)/(ж-2) = ^-^-4)
2тгг У г \ z - 2 /
г
= 2,
г=0

210
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
c- = 55 /! ?i/L-^ = (-ТГГ-) L
Г
_ (4z3 - 3z2)(z - 2) - (z4 - z3 - 4) |
(z-2)»
Таким образом,
2=0
Wl(z) = l+* (23.140)
Аналогично найдем главную часть лорановского разложения
функции (23.138) в точке z — 1
, л CLi 1
w2(z
z-2 z-2
Для нахождения w$(z) — главной части лорановского
разложения функции в точке z = оо — преобразуем (23.138) к
виду
*4 - z3 - 4 / 4\ 1
™(*} = ,»(*-2) =lZ"1"?J 13271-
Отсюда следует, что в любом круге \z\ > 2 функцию w(z)
можно представить лорановским разложением
оо
^)=(-1-^)(1 + ^ + | + ...)=г + £а„1. (23.141)
71=0
Из (23.138) следует, что главная часть
w3{z) = z.
Для нахождения постоянной Со воспользуемся выражением
(23.136)
70 = Нт -
z-юо L
i.
z2(z-2)
Подставив найденные выражения wi(z), №2(г), wz(z) и Со в
(23.132), найдем
w^ = ^W = l + z + l + i + 7h- <23Л42>
Подчеркнем, что мы намеренно не воспользовались
известной и многократно примененной (см. примеры 17.3-17.5)
процедурой разложения дроби на простейшие для того, чтобы на

23. Приложения теории вычетов
211
конкретном примере проиллюстрировать смысл слагаемых в
(23.132) как главных частей соответствующих лорановских
разложений.
В формуле (23.132) важно то, что фигурирующая там
сумма содержит конечное число слагаемых, соответствующих
конечному числу полюсов рациональной функции. Здесь, как и
для целой функции, возникает вопрос: возможно ли
обобщение формулы разложения рациональной функции на полином
и простейшие дроби (23.132) на мероморфную функцию,
имеющую бесконечное число полюсов. Оказывается, что в случае
счетного множества числа полюсов такое обобщение возможно
и основная трудность состоит в том, чтобы обеспечить
сходимость ряда, возникающего в (23.132) вместо конечной суммы
ЛГ+1
^2 wi> когда число по/посов бесконечно.
1=1
23.10. Разложение мероморфной функции
на простейшие дроби
Итак, мы переходим к рассмотрению мероморфных
функций, имеющих счетное число полюсов
Nil ^ |*21 ^ •-^ \*п\ ^ •••
Покажем, что при некоторых дополнительных условиях
рациональная функция 1Z{z) на множестве так называемых
правильных контуров 7п может быть представлена бесконечным
рядом, являющимся обобщением (23.132).
♦ Последовательность замкнутых
контуров 7т п= 1? сю, содержащих
внутри себя начало координат z =
О и таких, что всякий последующий
контур 7n+i содержит внутри
себя предыдущий 7п ? называется
правильной, если отношение длины
каждого контура 1п к кратчайшему
расстоянию dn от него до точки z =
О остается ограниченным при
неограниченном расширении контуров
7п по всем направлениям, т.е.
\-R-n
Рис. 51.
\R±n
lim -^- <^ L при lim dn — ос.
п—юо dn п—уоо
(23.143)

212
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Так, например, последовательность окружностей \z\ = Rq+
п является правильной, ибо выполняются все указанные
требования, причем
lim dn = lim \z\ = lim (Ro + n) = oo, lim — = 2тг.
n—юо n—too n—too n—too .Дд -|- n
Правильные последовательности будут образовывать также
периметры правильных многоугольников, вписанных в
указанные окружности или описанных вокруг них (рис. 51).
Перейдем к доказательству теоремы Миттаг-Леффлера,
обобщающей разложение (23.132). Остановимся на наиболее
часто встречающемся в приложениях случае — мероморфнои функ
ции с простыми полюсами.
Теорема 23.10 (Миттаг-Леффлера). Если мероморфная
функция f(z), аналитическая в точке z — 0, а в точках
Ы^\г2\^...^\гп\^...
имеющая простые полюсы и не имеющая других особых
точек, ограничена на некоторой правильной системе контуров
/у
|/(*)UM, (23.144)
то она может быть представлена в виде ряда
№ = /(°) + E(rV + г) Res /(z)' (23Л45)
T^\Z - Zk Zk/ z=zk
k=l
который сходится равномерно в любой ограниченной
области с выколотыми в ней точками Zk-
Доказательство. Рассмотрим функцию
П^) = 7^Г1-у (23-146)
U)(U) — Z)
для которой переменная z принадлежит некоторой области £>,
полностью расположенной в некотором круге \z\ ^ R, а через ш
обозначены значения z, принадлежащие некоторому
правильному контуру, содержащему внутри себя все полюсы zi, 22,
..., zn (рис. 52).
Выбор функции F(z,u>) в виде (23.146) не случаен и
обусловлен тем, чтобы при вычислении интеграла

23. Приложения теории вычетов
213
/
7п
F(z,u)dw
с использованием основной теоремы
о вычетах получить выражение,
совпадающее с (23.145). Это — с одной
стороны, а с другой — тем, что
lim
п—юо
/ F{z,w)du
= 0. (23.147)
Рис. 52.
В этом нетрудно убедиться, используя условия теоремы.
Действительно, поскольку
\J w(w-z) I J \w\\w-z\ J |w||w-
7n In 7n
A
и приняв во внимание, что \z\ <^. Я, \ш\ J> dn, \ш — z\ £ dn — Я,
получаем оценку интеграла
lim / F(u,z)dw
п-юо1/
< RM lim
In
n-юо dn(dn — R)
<
< RML lim
n-x» dn — Я
= 0.
(23.148)
Возвратившись к выражению (23.147), отметим, что
функция F(z,u>), наряду с полюсами zn функции f{z), содержит еще
два простых полюса и = z и о> = 0 (если /(0) ^ 0). Поэтому
применение основной теоремы о вычетах дает
lim
п—юо
Ы)
ResF(z,u) + ResF(z,w) + У* Res F(z,u>)
u>=0 w=s ^-^и>=**
= 0, (23.149)
где суммирование ведется по всем полюсам, расположенным
внутри контура <уп •
Вычисление вычетов в простых полюсах не вызывает
затруднений
zflw)
Res П } =-/(0),
ы=0 Ш{Ш — Z)

214
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Res */(fa,) ч = f(z), (23.150)
ы=г u\U — Z)
Res ,M ' = — Res /(u>).
(in)
Соотношение (23.149) с учетом (23.150) можно записать в виде
равенства
(7п)
/(*) = /(0) - lim £ —{ ч Res /И>
к Ы)
которое с помощью очевидного тождества
———— --(—— —)
Zk(zk-z) \z-Zk zkJ
г (Zk ~ Z)
принимает вид
(7п) /1 1 \
f(z) = /(0) + lim V( + —) Res Да;). (23.151)
п-юо ^—' \z — Zk Zk' ш=*к
к
Строго говоря, суммирование в (23.151) предполагает
соединение в одно тех слагаемых, которые относятся к полюсам,
лежащим между 7п и 7п+ь Если ряд сходится и без такой
группировки, то вместо (23.151) можно рассматривать
обычный ряд
00 1 1
/М = Л») + £( + -) ^s /И. (23.152)
^^Z-Zk Zk/"=Zk
Теорема доказана.
Если вместо условия (23.144) функцию f(z) для всех zG7n
подчинить более мягкому условию
/(*)
^ М, р —- целое,
z*>
то вместо (23.152) будем иметь разложение вида
(23.153)

23. Приложения теории вычетов
215
Разложения (23.152), (23.153) обычно называют
разложениями мероморфных функций на простейшие дроби, но иногда
их называют миттаг-леффлеровскими разложениями по имени
шведского математика, первым их получившего.
Возвращаясь к теореме Миттаг-Леффлера, отметим, что
она может быть обобщена на случай кратных полюсов z*.
Пример 23.23. Разложить функцию ctg z на простейшие
дроби.
Решение. Функция f(z)= ctg z имеет счетное число полюсов
Zf. = &7Г, к = —оо,оо, которые являются решениями уравнения
sin z = 0. Вычисление вычетов в точках zu = ктг дает
cos z
Res ctg z = lim , . w = 1. (23.154)
z=kn z-tk* (sin г)'
Покажем, что функция f(z) = ctg z является ограниченной
по модулю на всей комплексной плоскости, за исключением
внутренних частей кругов \z — 7г&| < е, к = —оо, оо, где е -
произвольное положительное число. Для этого в силу
периодичности этой функции достаточно рассмотреть замкнутую
полосу 0 ^ Re z ^ 7г с удаленными внутренними частями
полукругов радиуса е с центрами в точках z = 0hz = tt. В
указанной полосе конечной длины f(z) = ctg z является
непрерывной и ограниченной. Оценка | ctg z\ при
неограниченном удалении по полосе вверх или вниз дает
|ctgz| =
.eiz -f e"
г-г—т—
в" - ег
е*
+ е""|
е" - е~
£
причем
^ ||е»|-|е-«|| < l-e-2\vV
Ц-с"2'у1
lim I ctg z\ < lim rp-г = 1.
Последнее неравенство и позволяет сделать вывод об
ограниченности функции ctg z.
Выберем в качестве правильной последовательности
контуров окружности \z\ = 7г(п +1/2), п = 1, оо. Если принять во
внимание, что эти окружности не проходят через внутренние
части вырезанных кругов \z — тгк\ < е, например при е < 7г/4,
то в силу доказанного выше на этих окружностях функция

216
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
ctg z будет ограниченной по модулю. То же самое можно,
очевидно, утверждать и относительно функции
<p(z) = ctg z - -, (23.155)
z
так как
hm - = 0.
z-too Z
Функция (23.155), в отличие от функции ctg z, в точке z —
0 уже не имеет полюса, и к ней можно применить теорему
Миттаг-Леффлера. Учитывая, что
<р(0) = lim <p(z) = limfctg z ) =0,
v ' z-+o v ' z-*o\ z/
а также (23.154), из (23.145) находим
*-;=£'(пЪ + с)' <23156>
где штрих означает, что к ф 0.
В силу нечетности функции <p(z) из уравнения
м = (£+*)*
следует, что между соседними контурами 7* и 7fc+i
располагаются два полюса: z* = &7Г, z_* = —/?7г. Объединив в (23.156)
слагаемые, соответствующие этим полюсам, получим
1 J_ 1 _ J_ _ 2z
z — ктг ктг z + ктг ктг z2 — к2тг2 '
Таким образом, функцию ctg z можно представить
разложением
ct^ = J + £^W- (23-158)
fc = l
Пример 23.24. Разложить на простейшие дроби мероморф-
ные функции
1 1
a) ctg az, б) cth az, в) -—^ , г)
€2kz _ 1 *

23. Приложения теории вычетов
217
Решение, а) Заменив в (23.158) z —> az, получим
1 °° 1
ctgaz = - + 2a*£ (23.159)
a*2* — &27Г2
б) Используя тождество cth г = г ctg iz и формулу (23.159),
найдем
с&аг=± + 2а,£ 'l (23.160)
fc=i
в) Продифференцировав (23.159) по z или а, получим
1 1 п^ aV + Г-тг2 /001Л1Ч
5^ = ^ + 2Е(,^-^)»- (23Л61)
г) Так как
1е-« _в« +е« _в-« 1
= = - cth ttz — II,
то с учетом (23.160) найдем
1 1 1 Z v—л 1 ,_ _ . ллЧ
^3i=-2+2^+^i:^tf- (23лб2)
Пример 23.25. Просуммировать ряды
ОО - ОО -
a)^FT^' б) E(fc2 + a2)2-
к=1 к=1 V '
Решение, а) Из (23.160) при z = 7Г получим
00 1 1
У -5 =■ = 7Г \cth <™ 1' (23.163)
^fc2+a2 2a L a?rJ v '
б) Дифференцирование (23.163) no a дает
0 ^ 1 7ГГ 2 1 _ 7Г 1
~2al. (*2 + а2)2 = j К " rf cth a7r" a^T^J'
fc=i v

218
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
откуда
f-> (к2 + а2)2 4а4
23.11. Суммирование рядов
В примере 23.25 мы нашли сумму ряда с использованием
разложения (23.145). В общем случае такой подход неудобен,
поскольку по известной сумме подбирается нужный ряд, тогда
как в приложениях требуется, как правило, найти сумму ряда
по его общему члену. В таких случаях полезной оказывается
следующая
Теорема 23.11. Если R(z) — рациональная функция с
полюсами zn (n = 1, JV), отличными от целых чисел, а степень ее
числителя ниже степени знаменателя не менее, чем на две
единицы, то
оо N
^2 R{k) = -*Y1 Res[R{z) ctg ttz]. (23.165)
k = — оо n = l
Доказательство. В примере 23.23 было показано, что
функция ctg 7rz является ограниченной на всей комплексной плос-
кости с выколотыми е-окрестностями точек Zk = fc, к = — оо, оо.
Выберем в качестве правильной последовательности контуров
последовательность окружностей \z\ — п + 1/2. Принимая во
внимание, что по условиям теоремы
ITW М М
|г|=п + 1/2 (П + 1/2)-
заключаем, что
ММ
max:\R(z) ctg ttz\ $ , . ' 2- (23.166)
|*|=n + l/2 (П-f l/iy
Рассмотрим контурный интеграл
R{z)ctg nzdz. (23.167)
/
|*|=n + l/2

23. Приложения теории вычетов
219
С одной стороны, его можно вычислить с помощью теоремы о
вычетах:
/
(|S|=n + l/2)
R(z) ctg nzdz = 2iri V" Res[R(z) ctg nz]. (23.168)
|*| = n + l/2 A
Выражение (|z| = n+l/2), стоящее над знаком суммы,
означает, что суммирование ведется по всем полюсам, находящимся
внутри контура \z\ = п + 1/2. Так как совокупность всех
полюсов подынтегральной функции состоит из полюсов функции
R(z), равных zn (п = 1, ЛГ), и полюсов Zk (к = — оо, оо)
функции ctg 7гг, то предельный переход п -» оо в (23.168) дает
lim / R(z) ctg 7tz dz =
п-юо J
|z|=n + l/2
• oo N n
= 2?rJ Y^ Res[R(z) ctg тгя] +У^ Res \R(z) ctg 7rz]>.(23.169)
I *—' z=zk *-~'z=zn )
vfc = -oo n = l '
Учтя, что
nlim J \R(z)\.\ctg,z\dz^2,(n+\)JJ^f2=0,
|*|=n + l/2
а также что
Res R(z) ctg 7tz = 7r i£(n),
выражение (23.169) можно записать
оо 1 N
^2 R(n) = ]Р Res [R(z) ctg тгг],
n = —оо n = l
что и требовалось доказать.
Для знакопеременных рядов справедлива
Теорема 23.12. Если рациональная функция R(z)
удовлетворяет условиям теоремы 23.11, то
EH^J^^tojM]. (23Л70)
к = — оо п = 1

220
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Доказательство аналогично доказательству предыдущей
теоремы.
Пример 23.26. Для нецелого а найти суммы рядов
(-i)fc
оо
а)
(a + fc)2' ' ^ к2+а2'
fc = -oo v ' fc = -oo
Решение, а) Согласно (23.165), имеем
1
R(k) =
(a + fc)2
Функция R(z) = l/(a+tz)2 имеет в точке z = — а полюс второго
порядка и, следовательно,
_ Ctg 7TZ .. , , ч/ 7Г
Res 7—■—— = Iim (ctg nz) = ——z .
z=-a [z + a)1 *-+-a snr 7ra
Подставив найденное выражение в (23.165), получим
оо 1 2
У /, ч, =-т^—- (23.171)
^ fc + a)2 sin27ra v ;
fc = — ОО
б) Согласно (23.170), имеем
1
R{k) =
к2-ha2
Функция R(z) = l/(z2 -fa2) имеет два простых полюса ziy2 =
±ia, и, следовательно,
1 ,. 1
Res 7-5—■—st-: = Iim
=ia (z2 + a2) Sin 7TZ z-+ia [z + id) sill 7TZ
- 1 _ 1
2msin27ra 2a sh 7ra'
1 ,. 1
Res 7— rr—: = Iim
z = -ia [z2 + a2) sin 1TZ z-t-ia (z — ia) sin 7Г2
- 1 _ 1
2iasinz7ra 2a sh 7ra*

23. Приложения теории вычетов
221
Подставив найденные выражения в (23.170), получим
^ К } k2+a2 ash*)
. + az ash па
к = — оо
Расписав полученную сумму как
-1
Ei-'iVb + p+p-tfirh1"
„ , _ .. , „ jsh 7га
fc = —ОО & = 1
и учтя четность выражения 1/(к2 + а2), окончательно найдем
,.1 1 / 7га
^ ; fc2 + a2 2a2Vsh7ra V
23.12. Разложение целой функции
в бесконечное произведение
Мы переходим к обобщению формулы (23.129) для
полиномов на целые функции.
Рассмотрим конечное произведение
Рп = С1С2..Сп = 1[С^ (23Л72)
kzzl
где Си — некоторые комплексные числа, отличные от нуля.
Если число сомножителей неограниченно возрастает, то такое
произведение называется бесконечным
оо
Ci-C2---Cn...= И С*. (23.173)
fc = l
Как и для рядов, для бесконечных произведений
существенным является вопрос сходимости.
♦ Если при п —> оо Рп стремится к конечному, отличному
от нуля пределу Р ф 0, то бесконечное произведение (23.173)
называется сходящимся, а число
п
Р = lim Pn = lim TT Ск ф 0 (23.174)
к = 1

222
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
— значением этого произведения. В противном случае
бесконечное произведение называется расходящимся.
4 Бесконечное произведение (23.173), содержащее
множители Си, равные нулю, называется сходящимся, если после
удаления всех этих множителей оно остается сходящимся в
указанном выше смысле (23.174).
О Для того чтобы сходящиеся бесконечные произведения
обладали обычными свойствами конечных произведений,
будем считать, что бесконечное произведение обращается в нуль
только при наличии хотя бы одного сомножителя Ck = 0.
Пример 23.27. Исследовать на сходимость бесконечные
произведения
Л\ П (1 + fe) ,, fr I . „ 1 , 1 1
а) II (1 + A:)2_i' 6)IIfc. в)2-2'3-з'"П'п
fc=i ч ' fc=i
Решение. Рассмотрим конечные произведения
22 З2 п2 (п+1)2
а) Р„ =
22-1 32-1 п2-1 (п+1)2-1
22 З2
(2-1)(2 + 1) (3-1)(3 + 1)
п2 (п+1)2 _ 2(п+1)
'" (п-1)(п + 1) ' п(п + 2) ~ п + 2
Примем во внимание, что
lim Р„ = lim 2(п+д1) = 2 ф 0.
п—юо п—юо П + 2
Согласно определению, бесконечное произведение а) сходится.
„ 111 1 1
12 3 п п!
В силу
lim Р„ = lim —- = 0
n-уоо п—юо п!
делаем заключение, что бесконечное произведение б)
расходится.
4.-{i
для четных п,
в) Рп = { *п + 3
1 для нечетных п.

23. Приложения теории вычетов
223
Предел (23.174) в этом случае не существует и произведение
в) расходится.
Теорема 23.13 (о сходимости произведения). Для
сходимости бесконечного произведения
со
Р=ЦСк, (23.175)
где Ck Ф 0 для всех к, необходимо и достаточно, чтобы
сходился ряд
со
S = 5^ In С* (23.176)
к=1
при надлежащем выборе значений In С*. При этом Р — е5.
Доказательство. Рассмотрим n-частичную сумму
п
Sn = J2\nCk
ряда (23.176) и конечное произведение
п
Рп = П С*
бесконечного произведения (23.175). Они связаны
соотношениями
п п
1пР„ =\пЦск = £>С* = 5„, Рп = е5». (23.177)
fc=i k=i
Положим, что при некотором выборе значений логарифмов ряд
(23.176) сходится. Тогда
lim Sn = S,
п—юо
но отсюда следует, что
lim Рп = lim eSn = es = P. (23.178)
n—>oo n—юо

224
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Таким образом, из сходимости ряда (23.176) следует
сходимость произведения (23.175), причем из необходимого
признака сходимости ряда
lim In С* = 0
следует необходимый признак сходимости бесконечного
произведения
lim Ck = 1. (23.179)
п—юо
Положим теперь, наоборот, что произведение (23.175)
сходится, т.е. существует' отличный от нуля предел
lim Рп = Рф 0. (23.180)
П—ЮО
Выбрав в (23.177) главное значение логарифма, имеем
Sn = In |Pn| + targP„ = InPn, -7Г < argPn ^ тг. (23.181)
Предельный переход n —> oo в (23.181) при условии (23.180)
дает
lim Sn = lim In Pn = In P = S.
n—юо n-yoo
Таким образом, из сходимости произведения (23.175) следует
сходимость ряда (23.176). Отметим, что при необходимости
условие на аргумент Рп в (23.181) может быть заменено на
0 ^ arg Pn < 27Г и т.д.
♦ Бесконечное произведение (23.175) называется абсолютно
сходящимся, если абсолютно сходящимся является ряд (23.176).
Теорема 23.14. Величина абсолютно сходящегося
бесконечного произведения не меняется при произвольном изменении
порядка сомножителей.
Доказательство очевидно в силу определения абсолютной
сходимости и справедливости предыдущей теоремы.
Рассмотрим теперь бесконечные произведения,
сомножители которого являются функциями от z, т.е.
оо
P(*) = l[Uk(z). (23.182)
♦ Бесконечное функциональное произведение (23.182)
называется сходящимся в области £>, если оно сходится в каждой

23. Приложения теории вычетов
225
точке этой области после удаления конечного числа
множителей, обращающихся в нуль (если они существуют).
♦ Бесконечное функциональное произведение (23.182) с
отличными от нуля в области D множителями Uk(z) называется
равномерно сходящимся в этой области, если
последовательность конечных произведений
п
Р„(*) = ЦВД (23Л»3)
fc=l
сходится в области D равномерно.
Теорема 23.15. Если бесконечное функциональное
произведение (23.182) равномерно сходится в области D к функции
P(z), то эта функция является аналитической в области
D и выполняется правило дифференцирования, аналогичное
правилу дифференцирования конечного произведения (23.183)
P'(z) = P(2)£^J. (23.184)
Доказательство. Аналитичность функции P(z) вытекает
непосредственно из теоремы Вейерштрасса.
Продифференцировав равномерно сходящийся ряд
ад = £>%(*),
k=i
найдем
s'b) = £
ЕВД
Но
Р{г) = е5(*>
и, следовательно,
P'(z) = es^S'(z) = P{z)S'{z)
или

226
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Теорема 23.16. Если мероморфная функция
^) = Ж = ^[1п/(2)] (23Л85)
удовлетворяет условиям теоремы Миттаг-Леффлера, то
целую функцию f(z), имеющую только простые нули, можно
представить равномерно сходящимся бесконечным
произведением
оо
f(z) = f(0)ezFW Д (l - —\ez'z\ (23.186)
fc=i Zk
если /(0) ф 0.
Доказательство. Так как функция F(z) имеет простые
полюсы в точках г*, то для функции f(z) эти точки являются
простыми нулями, причем точка z = 0 в число указанных
нулей, согласно условию теоремы, не входит. С учетом того, что
f(z) f(z)
Res F(z) = Res Ш = lim Ш = 1,
z=zk z-zk j\z) z^tzk J'[Z)
формула (23.145) для F(z) примет вид
Проинтегрируем этот равномерно сходящийся ряд по любой
кривой, соединяющей точки z = 0 и z, не проходящей через
нули функции f(z) (т.е. точки zu) и лежащей на выбранной
ветви функции In f(z) (23.185). Такое интегрирование дает
оо
hi f(z) - ln/(0) = F(Q)z + £[ln(z - **) - H-*k) + -]
fc=i Zk
Отсюда
оо
In f(z) - In /(0) = F(0)z + J^ [b(l - ^) + J],
fc = l

23. Приложения теории вычетов
227
и после потенцирования получим формулу
оо
/(г)=/(0)е^<0>П(1--У/г',
fc = l ^
полностью совпадающую с (23.186), что и требовалось
доказать.
О Отметим, что если точка z = О является нулем
функции f(z) кратности р, то для получения формулы, аналогичной
(23.186), достаточно применить указанные выше рассуждения
для функции f(z)z~p.
Пример 23.28. Найти представление целых функций
a) sin г; б) ez — 1; в) cos z
бесконечными произведениями.
Решение, а) Поскольку функция sin z среди всех своих нулей
содержит точку z — О, рассмотрим функцию
f(z) = ——»
ДЛЯ КОТОРОЙ НУЛЯМИ ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ Zk — /г7Г, к = ±1,±00.
Учтя, что
до) s 5£f ^ = i,
из формулы (23.186) получим
fc=l k=l
или
einz = zn(l-r|lj). (23.187)
fc = l

228
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
б) По аналогии с примером а) рассмотрим
f(z) = ——.
Так как z* = 2kiir, к = ±1, ±оо, то
ег - 11
/(0) = ^—- =1,
Z \z=0
Г<о) = (=^)'| „4
FW=fm-1
ДО) 2
Следовательно,
ег-1 = гег/2П(1+4^)- (23-188)
fc = l
в) Воспользуемся известным тригонометрическим
соотношением
sin 2z
cos z =
2sinz
Из разложения (23.187) нетрудно получить выражение
2z
00 Л 2
Щ1 ~ (21)2ж2) V ~ {21 - 1)2тг2/'
разделив которое на sin z, представленный в виде (23.187),
найдем
4*
— =П(1"(2^)^)- (23Л89)

Приложение. Несобственные интегралы.
Сходимость и главное значение
П1.1. Интегралы на неограниченных промежутках
Пусть функция f(x) определена на промежутке [а, оо[ и
интегрируема в любой его конечной части [а, А], т.е. интеграл
А
I f(x)dx (П1.1)
а
существует.
Предел интеграла (П1.1) при А —>■ оо называют несобственным
интегралом функции f(x) в промежутке от а до оо и обозначают
Л оо
Km / f(x)dx = / f(x)dx. (П1.2)
а а
Если предел (П1.2) существует и конечен, то несобственный
интеграл называют сходящимся.
Если предел (П1.2) бесконечен или не существует, то
несобственный интеграл называют расходящимся.
Пример П1.1. Исследовать на сходимость интеграл
оо
J 1+*2
О
Решение. По определению,
А
/——т = ^т / ^ г = ^т arctg j
1+Ж2 A-+ooJ l + X2 A-+00 Ь
О О
= Ит (arctg А - 0) = £, (П1.3)
A—f оо 2
и, следовательно, интеграл сходится.
Пример П1.2. Исследовать на сходимость интегралы
оо оо
т [ dx f
11 = / —, Ii—\ cosxdx.

230
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Решение, а) По определению,
А
—- = lim / — = lim (In ж I ) =
X Л-юо J X A-too v n '
l l
= lim (In A — lnl) = lim In Л = oo,
А—юо A-¥oo
и, следовательно, интеграл 1\ расходится,
б) Аналогично
(П1.4)
СО А
/cos xdx = lim /
л-юоУ
cos xdx = lim sin x
A-too
= lim (sin A — sin 1) = lim sinA
Ачоо A-i-oo
Последний предел не существует, и, следовательно, интеграл h
расходится.
Пример П1.3. Исследовать на сходимость интеграл
оо
■-/.-
cosbajGto, a > 0.
Решение. По определению,
6 sin Ьх — a cos Ъх -aJA
1= lim - е аг
а-* оо а? + б2
о a?+W
Следовательно,
./.-
cos Ьх dx =
а? + б2 '
а > 0.
(П1.5)
Наряду с интегралом (П1.2), рассмотрим несобственный
интеграл вида
J\f(x)\dx.
а
В силу очевидного для любого а > 0 неравенства
оо оо
j\f{x)\dx>\ ff(x)dx\
(П1.6)
(П1.7)

П1. Приложение. Несобственные интегралы
231
можно утверждать, что если интеграл (Ш.6) сходится, то
сходится и интеграл (Ш.2), который в этом случае называется абсолютно
сходящимся. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно,
поскольку из расходимости интеграла (Ш.6) не следует
обязательная расходимость интеграла (Ш.2). В тех случаях, когда интеграл
(Ш.6) расходится, а сам интеграл (Ш.2) сходится, последний
называют условно сходящимся несобственным интегралом.
Не останавливаясь подробно на признаках сходимости,
излагаемых в курсе математического анализа, напомним основной
критерий сходимости для абсолютно сходящихся интегралов.
Теорема Ш.1. Интеграл (HI.6) сходится, если функция f(x)
обращается на бесконечности в нуль порядка выше первого, в
противном случае интеграл (Ш.6) расходится.
Доказательство. Условие теоремы означает, что если
lim x"\f(x)\ = N<oo, N^ 0, (П1.8)
то интеграл (Ш.6) при и > 1 сходится, а при v ^ 1 —
расходится. Из определения предела (П1.8) следует, что для любого е > О
существует такое L > О, что
|*"|/(*)| - tf| < e
для всех х > L. Не уменьшая общности, будем считать, что е < N.
Тогда
оо L оо
J \f(x)\dx = J \f(x)\dx + J \f(x)\dx. (П1.9)
a a L
Первый интеграл в (П1.9) существует как обыкновенный, а из
второго с учетом очевидного неравенства
(N-e)J^<J\f(x)\dx^(N + e)J^
и значения интеграла
7—= lim [±
J XU Л-++ОО J XU
= <
1
r A
lim — = oo,
A-*oo L
——-.— lim —— , ,
— lim
Д-+00 Av
Ll
-1/-1'
= oo,
v> 1;
v < 1;
i/ = 1

232
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
следует утверждение теоремы.
Пример Ш.4. Исследовать на сходимость интегралы
оо
/ = / <fa
1 У ViT^yiH^'
h = jV*L±ldx, h = jx*e-**dx.
о о
Решение. Согласно (П1.8), имеем
V V
1. lim = lim -=г = 1
х-Юо VI + Ж2 V1 + Ж3 *-+«> Ж3
при v = 2 > 1, следовательно, интеграл сходится.
ж" у/х1 + 1 ж"
2. lim = lim —777 = 1
х-ю© Ж х-юо Xх <Л
при ^ = 1/3 < 1, следовательно, интеграл расходится.
3. lim xuх*е'х = О
х-юо
при всех 1 < i^ < со, следовательно, интеграл сходится.
О Аналогично (П1.1), (П1.2) определяется несобственный
интеграл от функции f(x) на промежутке ] — оо,а]
а а
lim I f(x)dx= J f(x)dx. (П1.10)
-В —оо
Естественным обобщением (П1.2), (П1.10) является
несобственный интеграл от функции f(x) на промежутке от — оо до оо
А оо
lim I f(x)dx= I f(x)dx, (П1.11)
bZZJ J
Я-+оо_в _QO
поскольку в этом случае, выбрав произвольно любое а, можно
положить
А а А
[ f(x) dx= J f(x) dx+ I f(x) dxy (П1.12)
-В -В а

III. Приложение. Несобственные интегралы
233
и существование предела (П1.11) равносильно существованию
пределов (П1.2), (П1.10) (случай оо —оо исключается). Другими
словами, несобственный интеграл (П1.11) будет сходиться только в том
случае, когда предел (П1.11) будет существовать при независимом
стремлении А и В к бесконечности.
Как следует из (Ш.11), (Ш.12), для «двусторонних»
несобственных интегралов возникает возможность доопределить понятие
сходимости следующим образом. В тех случаях, когда интеграл
(Ш.11) расходится, т.е. не существует как предел при независимом
стремлении А и В к бесконечности, может оказаться, что
существует предел, отвечающий условию А = В (одинакового стремления А
и В к оо). В этом случае несобственный интеграл (Ш.11) называют
сходящимся в смысле главного значения, или просто главным
значением несобственного интеграла, и обозначают V.p. (Valeur princi-
pale)
оо А
V.p. J f(x)dx= lim I f(x)dx. (П1.13)
— оо — А
Связь интегралов (Ш.11) и (П1.13) раскрывает следующая
Теорема Ш.2. Если несобственный интеграл (П1.11) сходится в
обычном смысле, то его значение совпадает с его главным
значением (П1.13).
Доказательство. Предел (Ш.11) можно рассматривать как
предел функции двух переменных F(A,B), т.е.
ОО А
[ f(x)dx= lim F(A,B)= lim f f(x)dx.
^ В-юо В-юо D
— oo —a
Если этот предел существует, то он не зависит от пути, по
которому А и Б стремятся к бесконечности, и, следовательно, совпадает с
пределом, который можно получить, устремляя А и В к
бесконечности по прямой А = В, что и требовалось доказать.
В качестве примера рассмотрим интеграл
оо
/
dx
1 + ж2
Легко убедиться, что этот интеграл, вычисленный по формулам

234
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
(П1.11) и (Ш.13), дает одно и то же значение
оо
/
dx
1 + ж2
hm
A-+QG
В-юо
lim
Л-foo
/dx
——- = lim (arctg A + arctg B)
1 + X" Л-Юо
7Г 7Г
2 + 2="'
/da; _
lim 2 arctg -A = 2— = 7Г.
Л-чоо 2
Поэтому в тех случаях, когда это не приводит к недоразумениям,
символ V.p. опускается.
П1.2. Интегралы от неограниченных функций
Пусть функция f(x) определена, непрерывна и ограничена во
всех точках отрезка [а, 6], за исключением особой точки х = а, в
которой
lim f(x) = оо.
х-ю+О
Если вместо отрезка [a,b] рассматривать отрезок [a -f а, 6], где 0 <
а < b — а, то на этом отрезке функция в силу наложенных на нее
требований будет интегрируемой. Это означает, что интеграл
/
a-j-a
f(x) dx
(П1.14)
существует.
Предел интеграла (П1.14) при a —У +0 называют несобственным
интегралом функции f(x) в интервале от а до Ъ и обозначают
ь ъ
lim / f(x)dx= f(x)dx. (П1.15)
«-►+° J J
e+a о
Если предел (П1.15) существует и конечен, то несобственный
интеграл называют сходящимся, в противном случае —
расходящимся. Так, например, интеграл
Г dx_
J V?

П1. Приложение. Несобственные интегралы
235
будет сходящимся, так как
1 1
/dx f dx I1
—= = lim / -— = lim 2л/х\ = 2 lim (1 - л/а) = 2,
\JX аЧ+О J yjx а-++0 |а а-»+0
О
а интеграл
расходящимся, поскольку
1 1
1
f dx
J *2
о
/ — = lim / — = lim ( ) = - lim (1 ) = оо.
X2 ач + Oj X1 а-*+0 \ Ж/1а а-f+O \ О.)
О а
Отметим, что определение (П1.15) очень похоже на определение
(Ш.2). И действительно, интеграл (Ш.15) прямо сводиться к
интегралу (П1.2) с помощью подстановки х — а = 1/у. Поэтому все,
сказанное относительно несобственных интегралов (Ш.2) (понятие
абсолютной сходимости, критерий сходимости и т.д.), можно
достаточно просто переформулировать для интегралов типа (П1.15).
В силу этого мы ограничимся некоторыми сведениями,
существенными в приложениях.
Аналогично (П1.15) определяется несобственный интеграл на
промежутке [а, 6], если особой точкой является точка х = Ь:
lim J f(x)dx= J f(x)dx. (П1.16)
Если обе точки а и 6 оказываются особыми, то определение
несобственного интеграла является обобщением (Ш.15), (П1.16) и дается
равенством
ь-/з ь
lim J f(x)dx= [ f(x)dx, (П1.17)
а-> + 0 J J
/?-»-+o
а+а
аналогичным равенству (П1.11), поскольку и в этом случае можно
положить
Ь с Ь
J f(x) dx= J f(x) dx+ J f(x) dx, (П1.18)
а а с
выбрав произвольно любое а < с < 6.

236
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
ъ с-р ь
ff(x)dx = lim J f(x)dx+ J f(x)dx
Рассмотрим еще один случай, когда особой точкой является
внутренняя точка с отрезка [а,Ь]. В этом случае вместо
интегралов (Ш.17), (П1.18) имеем несобственный интеграл
mc-fi
(П1.19)
а-++0% с+а
который будет сходиться, если будут сходиться оба несобственных
интеграла в правой части (Ш.19). В тех случаях, когда интеграл
(Ш.19) расходится, т.е. не существует как предел при
независимом стремлении а и /3 к +0, может оказаться, что существует
предел, отвечающий условию а = /3. Такой несобственный
интеграл (Ш.19) называют сходящимся в смысле главного значения, или
просто главным значением, и обозначают (см. формулу (Ш.13))
с—а Ь
(П1.20)
— оо а с+а
Для (П1.19), (П1.20) справедлива теорема, аналогичная теореме П1.2.
Пример Ш.5. Исследовать на сходимость интегралы
2 2 2
оо с—а Ь
V.p. J f(x)dx= lim J f(x)dx+ f f(x)dx
*-/£. *-/* *-/*
dx
«J'
l
Решение. Для всех подынтегральных выражений точка х = 0
является особой. Следовательно, согласно (Ш.15), (Ш.16), (Ш.18),
1) интеграл сходится:
2
J $/х /3-++0 2L »-i !aJ
_j a-f+0
a-++0
2) интеграл расходится в обычном смысле:
J xs /э-++о\ 2/ La;2 |_i x2 \
_! а-*+0
= 1 + Ь"1?о(^-^)'
а-*+0

Ш. Приложение. Несобственные интегралы
237
но сходится в смысле главного значения:
/2=/%=нт(-1)[4Г+4
J х3 а->-+о\ 2/LaH|-i х1
-l
3 1,. ( 1 1 \ 3
3) интеграл расходится во всех случаях:
h = / — = lim —
J X" 0-*+O
..ПИ-
_! Q-++0
0-h-oL /3 2 aj 2 0-H.o\j0 a/
a-»-+0 a-^+0
Рассмотренный выше случаи легко обобщается на любое число
особых точек как на конечном промежутке [а, 6], так и на
бесконечном [а, оо[ или ] — со, оо[. В последнем случае особых точек может
быть бесконечно много при условии, что в каждом конечном
промежутке [а, А] ([—В, А]) их должно быть конечное число, которое
может расти до бесконечности вместе с А или В.
Очевидно, что все сказанное выше справедливо и для точек, в
которых функция не определена.
Пример П1.6. Вычислить интеграл
2/я-
/('
• 1 Х ХЪ
sin cos — ax.
ххх/
Решение. Подынтегральная функция в точке х = 0 не определена.
Тем не менее, согласно (П1.10), имеем
2/тг 2/п
I (sin cos - \dx = lim / (xsin — ) dx =
J \ X X X/ a-*+0 J \ XJ
0
( • X\\V
x sin —
>V zJ\Q
v l • - \\Vn 2 r .12
= lim I xsin - ) = hm asm — = —.
a-f+O \ Xj\a 7Г a-f+O a 7Г
Критерий сходимости для несобственного интеграла (П1.15)
дает следующая

238
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Теорема Ш.З. Интеграл (Ш.15) сходится, если функция f(x) в
особой точке х = а обращается в бесконечность ниже первого
порядка, в противном случае интеграл (Ш.15) расходится.
Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы
Ш.2. Результаты примера Ш.5 полностью соответствуют
указанному критерию сходимости.
Рассмотренный критерий сходимости справедлив и для
интегралов (Ш.16), (П1.17), (Ш.19). Что касается интеграла
(Ш.20), то здесь дело обстоит несколько иначе. Рассмотрим
Пример П1.7. Вычислить интеграл (а < с <Ь)
ь
'=v-p-/(^P »-^- (ш-21>
Решение. Согласно (П1.20), имеем
при п = 1
ь
V.p. / —— = lim fln(c-a:)|C~Q -Цп(ж-с)|\ 1 =
J X-C о-Ц-0 L V ''<» V 'Ic+oJ
a
Ь-С
= lim [In a — ln(c — a) -f ln(b — c) — In a] = In ;
a-f+O C — a
при n = 2k + 1, k = 1, oo
ь
V f dx -
P'J (*-c)**+i "
a
= «!?+o\2fc/ l(x-c)2*|« + (ж - с)3* L+eJ =
_J_ ,• [J_ _ i , i _ _i_l
2Jk Л?о La2* (o - c)2* + (b - c)2* a2fc J
2fcL(a-c)" + (b-c)2*.
при n = 2k, k = 1, oo
ь
v-/<^
dx

П1. Приложение. Несобственные интегралы
239
al™o(l-2k)[(x-c)*'<-4a +(X-C)2*-4C+J
lim
Г 1 1 2_1 _
L(b-c)2*-1 (а-с)2*"1 a2*"1] °°'
1 - 2fc a-»+o L (b - c)2*-1 (a - c):
Из рассмотренного примера следует, что интеграл (П1.21) в
смысле главного значения может сходиться для некоторых
значений п ^ 1, а именно нечетных.
Пример Ш.8. Исследовать на сходимость интеграл
ос
Г dx
J (z-ci)ni •••(ж-с*)"* '
— оо
для случаев
-оо < а < ... < ск < оо (П1.22)
а) с\ = О, ,щ = 1, к = 1;
б) ci = с, ,ni=n = 2,oo, к = 1;
в) щ = пг = 1, А; = 2;
г) niF=2,oo, П2=2,оо, к = 2.
Решение, а) Интеграл
-/9 Л
/ ^ = Ит [ [ *Е + /
У Ж Л,В^оо[У Ж J
Г \~Р \А
= lim In ж -f- In x\
а,/3->-+0 *'
= lim [1п/3-1пВ + 1пЛ-1па]= lim [in ^1 (П1.23)
a,0-++O a,0-f+O
расходится в обычном смысле, но сходится в смысле главного
значения (а = /3, А = В). Из (Ш.23) следует, что интегралы
с оо
Г dx Г j
У ж-с' У ж
о!ж
с
всегда расходятся.
б) Интеграл
ОС
/
dx -
г~, ?г = 2,оо
(ж — с)п

240
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
в обычном смысле расходится, однако, как следует из примера Ш.5,
сходится в смысле главного значения для нечетных п.
в) Интеграл
У
dx
(х-а)(х -с2)
сходится при |ж| -> оо, а для внутренних точек, будучи
разложенным на простейшие дроби
ос оо оо
I 1 V г = л/-^- + в/-^-,
J (X — Ci)(x — С2) J X — С\ J X — С2
— оо —оо —оо
сводится к случаю а),
г) Интеграл
оо
V.P./
dx
«1 > 1, П2 > 1,
(х ~ci)ni(i -с2)П2'
заведомо расходится, если хотя бы один из показателей степени п\
или по четный.
Рассмотрим еще один интеграл
6
[Ж,
J х-с
f^dx. (П1.24)
Будем говорить, что функция /(ж) удовлетворяет в некотором
промежутке условию Липшица (или Гельдера-Липшица) с показателем
0 < р ^ 1, если для любых значений х\ и х-ъ из этого промежутка
выполняется условие
|/Ы - /Ы1 ^ Ь|яо - *i|p. (П1-25)
Легко видеть, что условие (П1.25) является более сильным, чем
условие простой непрерывности, поскольку из (П 1.25) вытекает
условие непрерывности, а из условия непрерывности, вообще говоря, не
следует, что функция удовлетворяет условию Липшица.
Возвращаясь к интегралу (Ш.24), предположим, что на отрезке
[с — а, с + а] функция f(x) удовлетворяет условию Липшица, а в
остальной части промежутка ]а,Ь[ является непрерывной или даже
только интегрируемой. Тогда
'*/^-v*[/^^M* + /,.,/:
dx
(П1.26)

Ш. Приложение. Несобственные интегралы
241
В силу условия (Ш.25) для оценки первого интеграла (П1.26) имеем
/(*) - №
х — с
< jT^F?' (ш-27)
и, следовательно, этот интеграл будет абсолютно сходящимся в
обычном смысле, а второй интеграл равен (см. пример Ш.5)
' /<«»■£•
Таким образом, интеграл (Ш.26) сходится.
В заключение отметим, что в некоторых случаях существуют
замены переменных, позволяющие свести несобственный интеграл
к обычному.
Пример Ш.9. Вычислить интеграл
1
о
Г dx
~ J vr=^'
Решение. Сделаем в интеграле замену переменных х = sin (p.
Тогда
7Г
dx = cos tpd<p, xi = 0, (pi = 0, X2 = 1, <P2 = -zi
L
и исходный интеграл примет вид
ж 12
I
о
1tf£
Ш.З. Несобственные кратные интегралы
I. Интеграл по бесконечной области
Пусть дана функция
/(£), х € Rn, (П1.28)
определенная и непрерывная внутри некоторой ограниченной или
неограниченной области D (бесконечно удаленная точка
причисляется к границе области).
♦ Последовательность ограниченных областей Dk (к = 1,оо)
называют исчерпывающей область D, если все эти области
содержатся в D и любая замкнутая частичная область, лежащая внутри
D, при достаточно больших к лежит также внутри £>*.. Если при

242
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
этом £>*+1 содержит в себе Dk для любых &, то последовательность
называют монотонной.
Например, последовательность кругов с радиусами Rk = к,
является монотонной и исчерпывает плоскость R2.
Пусть для функции (П1.28) и некоторой монотонной
последовательности интеграл
/•
f(x)dx (П1.29)
существует.
Предел интеграла (П1.29) при к -» оо называют несобственным
интегралом функции f(x) по бесконечной области D и обозначают
lim I f(x)dx= I f(x)dx. (П1.30)
Если предел (П1.30) существует, конечен и не зависит от выбора
последовательностей областей £>*, то несобственный интеграл
называют сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Определение (П1.30) несобственного интеграла по бесконечной
области является обобщением определения (П1.11) одномерного
несобственного интеграла. Аналогично ему вводится понятие
абсолютной сходимости, критерий абсолютной сходимости и др. Кроме
того, из определения (П1.30) следует связь между кратными
несобственными интегралами и повторными интегралами с
бесконечными пределами, которую задает
Теорема Ш.4. Пусть х € Kn, a D совпадает с Rn и интеграл
(П1.30) сходится. Тогда
оо оо
J f(x)dx =[...[ f(x)dx. (П1.31)
D , —оо —оо
Доказательство. Поскольку интеграл (П1.30) сходится, то предел
(П1.30) существует, конечен и не ^зависит от последовательности
.Djk, которую можно выбрать в виде п-мерных кубов (квадратов) с
центром в начале координат и сторонами, параллельными
координатным осям и равными 2,4,..., 2fc,... Отсюда и следует (П1.31).
Пример П1.10. Вычислить интегралы
оо оо оо
а) / f e~x2-y2dxdy, б) fe'^dx.
о

П1. Приложение. Несобственные интегралы
243
Решение, а) Согласно формулам (П1.30), (П1.31), запишем
1=1 J e-°2-y2dxdy= lim 11 e-^'^dxdy, (П1.32)
— оо —оо Dk
а в качестве последовательностей Dk выберем круги с центром в
начале координат и радиусами г* = к. Тогда
2* к
I = lim I d<p I e~r rdr = n lim (1-е- ) = ж.
fc-ЮО J J k-¥<X>
0 0
С другой стороны,
оо оо оо оо
//.--■**- (/•-"*)(/ .-'*) =
— оо -
= U I e-*2dx] =тг,
— оо —оо —оо —оо
О
откуда и следует случай
б) /е—dx = ^.
О
Пример П1.11. Вычислить интеграл
оо
/■
оо оо ^
sinfx" + У )dx dy
—оо —оо
или установить его расходимость.
Решение. Вычислим предварительно интеграл
h *= / sin(z2 +y2)dxdy,
где область Dk представляет собой круг с центром в начале
координат и радиусом rk. Тогда
2п гк
1к = I dtp I sin(r2)rdr = тг[1 — cos(ffc)].
о о

244
' Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
Перейдя к пределу к —> оо, найдем
[7г lim (1 — cos27rfc) =0, r2k = 2жк;
1 -cosf27rfc + ^J
lim Ik =
k-yoo |тг lim
v fc->oo
, (П1.33)
7Г, rk = 2тгк + -.
Из (Ш.ЗЗ) следует, что существуют две различные монотонные
последовательности кругов, исчерпывающие плоскость хОу и дающие
два различных значения интеграла (Ш.ЗЗ) и, следовательно,
существуют две последовательности квадратов с центром в начале
координат и сторонами, параллельными координатным осям.
Отсюда следует, что двойной и повторный интегралы расходятся.
II. Интегралы от неограниченных функций
Рассмотрим подынтегральную функцию (Ш.28) с одним
дополнительным условием: функция обращается в бесконечность в
единственной точке М(хо) конечной области интегрирования D или не
определена в этой точке.
Несобственный интеграл
/
f(x)dx (П1.34)
в этом случае определяется формулами (П1.29), (П1.30) с той лишь
разницей, что последовательность замкнутых областей I?*,
исчерпывающих область .D, определяется как Dk = D — Uk, где Uk —
некоторые окрестности точки М, которые можно выбрать
различными способами, например как шары (круги) с центром в точке М
и радиусами г* = 1/&, к = 1,оо.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример П1.12. Вычислить интеграл
= [\пу/х2+у2
/ = / In \Jx2 4- y2dx dy,
D
где D: x2 + y2 ^ 1.
Решение. Пусть Uk —'произвольная окрестность точки М(0,0),
в которой подынтегральная функция обращается в бесконечность.
Любая окрестность £/*, диаметр которой меньше г*, наверняка
лежит внутри крута такого же радиуса с центром в начале координат
Urk. Рассмотрим область Dk = D — Urk, где перейдем к полярным

Ш. Приложение. Несобственные интегралы
245
координатам. В полученном кольце г*^г^1,0^^< 2тг,
исходный интеграл можно записать
2тг 1 '
/= lim / / (In r )rdr = lim7rr2(lnr ) =
k-+ooJ J ft-too \ rj\rk
0 rk
= 7r[-i- lim rl(\nrk-—)}. (П1.35)
L 2 *-»oo \ rjb/J
Если радиусы кругов Urk выбрать равными г к = 1/&, тогда
последовательность Dk = D — Urft и тем более Dk = D — tlk исчерпывают
область D, а предел (Ш.35) дает
2
Сходимость исходного интеграла можно также установить, если
вместо (Ш.35) записать сразу интеграл
2»г 1
/ = I dip I (In г)rdr,
о о
который в силу соотношения
lim r In r = 0
г->-0
становится обыкновенным (собственным), так как функция г In г
становится непрерывной и ограниченной на отрезке [0,1], если в
точке г = 0 приписать ей значение, равное нулю.
Пример П1.13. Исследовать на сходимость интеграл
/,=/|р f = (x,y)€R2. (П1.36)
D
Решение. Рассмотрим круг радиуса JR. Произвольная область J9,
расположенная внутри круга, представляет собой несобственный
интеграл от неограниченной в начале координат функции
1*1° (у/х*Ту*)а'
тогда как неограниченная область, лежащая вне этого круга,
представляет собой несобственный интеграл по неограниченной
области. При переходе от декартовой системы координат к полярной
имеем

246
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
2 , ..2 ^ г.2.
а) D: ж2 + у2 < Я
У |х|о у У r°D(r,V)
D 0 0
2»г Я Я
0 0 0
Интеграл (П1.37), как указывалось ранее, сходится, если а — 1 < 1
или а < 2, и расходится, если а — 1 ^ 1, т.е. при а ^ 2.
б) D:x2 + y2^R2;
£> Я
Интеграл (П1.38) расходится, если a $J 2, и сходится при а > 2.
Несложно установить, что для произвольного Rn интеграл 1\
(Ш.36) внутри ограниченной области D сходится при а < п и
расходится при а ^ п, а вне этой области сходится при а > п и
расходится при а ^ гс.
Понятие несобственного кратного интеграла, обращающегося в
бесконечность в некоторой точке, можно обобщить на случай,
когда подынтегральная функция обращается в бесконечность (либо не
определена) вдоль некоторой кривой 7> целиком лежащей в области
D. В этом случае в последовательности Du = D — С/*,
исчерпывающей область £), под Uk подразумевается произвольная окрестность
не точки, а соответствующей кривой 7-

ГЛАВА 4
Элементы операционного исчисления
34. Преобразование Лапласа
♦ Преобразованием Лапласа заданной функции f(t)
действительного переменного t называется преобразование,
ставящее в соответствие функции f(t) функцию (р(р)
комплексного переменного р с помощью равенства
оо
<p(p) = fe-"№dt. (34.1)
О
Интеграл (34.1) называется интегралом Лапласа.
О Интеграл Лапласа (34.1) является несобственным
интегралом, зависящим от комплексного переменного р = s + icr как
от параметра. Несобственный интеграл (34.1) сходится не для
всех функций f(t) и не при всех значениям параметра р.
Поэтому определим класс функций /(£), для которых преобразование
(34.1) имеет смысл.
♦ Функция f(t) называется оригиналом, если она
удовлетворяет следующим условиям:
1. f(t) = О при t < 0;
2. при t > 0 функция f(t) на любом конечном участке оси Ot
имеет не более чем конечное число точек разрыва первого
рода;
3. при t —>• оо /(£) имеет ограниченную степень роста, т.е.
существуют такие М > 0 и s > 0, что справедливо
неравенство
|/(*)| ^ Me'*. (34.2)
♦ Точная нижняя грань (inf s = so) тех значений s, для
которых имеет место соотношение (34.2), называется
показателем степени роста функции f(t).
О Отметим, что неравенство (34.2) выполняется при s =
sq + е для любого е > 0, а при s = so оно может и не
выполняться.
Пример 34.1. Определить показатели степени роста
следующих функций:
a) f(t) = tn, n = 0~оо; 6) f(t) = e3t sint, в) f(t) = tg t.

248 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Поскольку
f'(z) = Jimo f(z + A£-f(z) = Их(я!|tf) + йх(!В)^
то условие (24.2) эквивалентно условию (24.1), что и
доказывает утверждение.
О Заметим, что из однолистности функции f(z) в
окрестности каждой точки области Е, вообще говоря, не следует ее
однолистность во всей области. Например, функция f(z) = z3
однолистна в каждой точке кольца 1 < \z\ < 2, поскольку
f'(z) = 3z2 ф 0, но она не однолистна во всем кольце.
24,1. Геометрический смысл
аргумента производной
Пусть zo — произвольная точка области Е и 7 — гладкая
кривая, целиком лежащая в Е, zq G 7- Тогда при однолистном
отображении области Е в область G, осуществляемом
функцией /, кривая 7 отображается кривой Г (см. рис. 53).
У
Xq
w~f(z) v
<P=argz%)
«о
х о
Рис. 53
O = argiir(/0)
щ
Если 7 задается параметрическим уравнением z(t), то Г
задается уравнением w(t) = f(z(t)). Следовательно,
w'(t) = f'(z(t))z'(t)tO,
и в точке zq = z(to), соответствующей значению параметра
t = to, можем записать
Arg wk(t0) = Arg (f'(xo)z'{t0))
или
Arg f'fa) = Arg tii'(io) - Arg z'fo). (24.3)
О Таким образом, в геометрический смысле Arg f'(zo) есть
разность между углом Arg w'(to), который составляет
касательная к кривой Г в точке wq = f{zo) с осью Ои, и углом

24. Геометрический смысл производной
249
Arg z'(to), который составляет касательная к кривой 7 в
точке zo с осью Ох.
Теорема 24.1 (свойство сохранения углов). При
отображении, осуществляемом аналитической функцией f{z),
удовлетворяющей условию f'(zo) ф О, угол <р = <pi — <Р2 между
любыми кривыми 7i и 72> пересекающимися в точке zq,
равен углу Ф = Фх — Фз между их образами, пересекающимися
в точке wq = f(zo), с тем же направлением отсчета.
Доказательство. Пусть ip = (7I72) и Ф = (Г1Г2). Тогда
(р — (рг — <р2, ф — фг — ф2.
Согласно (10.2)
Фх = Arg f(z0) + <pi, Ф2 = Arg f'(zo) + ч>2-
Таким образом,
Ф = Фх — Фг = (pi — <р2 = <Р = /3,
что и доказывает теорему (см. рис. 54).
24.2. Геометрический смысл
модуля производной
Выясним геометрический смысл модуля производной
аналитической функции f(z). Для этого из точки zo = z(to)
перейдем в точку z вдоль кривой 7 (в заданном направлении).
Обозначим хорду, соединяющую эти точки, через Az (рис. 55).
На плоскости w точкам zq и z будут соответствовать точки wq

250 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
X 0|
Рис. 55
и ги, принадлежащие кривой Г - образу кривой у, а хорде Az
отвечает хорда Aw (см. рис. 55).
Согласно определению производной, имеем
f (z0) = lim • —- = hm , гЕ7
z-+z0 z — Zq z-¥z0 Z — Zq
или
\f'(zo)\= lim
\w -w0\
z->z0 \z - Zq\ '
z e 7.
(24.4)
Особенностью этого предела является то, что точка z
стремится к точке zq не произвольным образом, а по кривой 7- Однако
аналитичность функции w = f(z) позволяет утверждать, что
этот и аналогичные пределы по любым другим кривым,
проходящим через точку zq\ существуют и равны между собой.
Поэтому соотношение (24.4) можно записать в виде, в
котором предел не зависит от способа стремления z к zq:
1/'Ы1
lim ^-^i = lim 1^1.
z->z0 \Z — Zq\ \Az\->0 \Az\
0 Геометрически \Aw\ - длина вектора Aw, a \Az\ - длина
вектора Az. Поэтому геометрический смысл последнего
соотношения заключается в том, что при отображении,
осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей
условию f(zo) ф 0, бесконечно малые элементы преобразуются
подобным образом в любом направлении, причем \f{zo)\ -
коэффициент подобия. Это свойство означает постоянство
растяжения (сжатия) отображения в точке zq.
Пример 24.1. Найти коэффициент подобия к и угол поворота
а кривых, проходящих через точку zq = г, при отображении
*„ — ^2
Решение. Точка zo = г отображается в точку wq — г2 = — 1.
Поскольку w' = 2z, значение производной в точке zq = г равно

24. Геометрический смысл производной
251
wf(i) = 2г — 2е,7Г/2. Отсюда следует, что к = 2, а — п/2. Таким
образом, окрестность точки zq = % при отображении w = z2
переходит в окрестность точки wo = —1с радиусом, в два
раза большим исходного. При этом все кривые, проходящие
через точку z$ = г, поворачиваются на угол 7г/2 против часовой
стрелки.
24.3. Понятие конформного отображения
♦ Отображение, осуществляемое функцией w — f(z),
называется конформным в точке zq, если оно обладает свойством
сохранения углов и постоянством растяжений.
♦ Однолистное отображение w = f(z) области Е на область
G называется конформным в области Е, если оно конформно
в каждой точке множества Е.
Теорема 24.2. Если функция f(z) — однолистная и анали*
тическая в области Е, то отображение w = f(z)
конформно.
Доказательство следует непосредственно из
геометрического смысла модуля и аргумента производной аналитической
функции и определения конформного отображения.
Справедливо и обратное утверждение.
Отсюда вытекают два очевидных следствия.
Следствие 24.2.1. Отображение, обратное к конформному в
некоторой области, конформно.
Следствие 24.2.2. Суперпозиция конформных отображений
является конформным отображением.
Если рассматривать функцию w = f(z) в замкнутой
области, то справедлива
Теорема 24.3 (принцип соответствия границ). Пусть Е
uG — односвязные области, ограниченные жордановыми
кривыми 7 и Т, соответственно. Тогда функцию w = f(z),
конформно отображающую Е на G, можно непрерывно
продолжить на границу 7 г* продолженная функция w = f(z)
отображает взаимно однозначно кривую j на кривую Г с
сохранением ориентации.

252 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Сформулированный выше принцип соответствия границ
имеет важное практическое значение. Действительно, в тех
случаях, когда этот принцип применим, для отыскания
области G, на которую функция w = f(z) отображает конформно
заданную область Е с границей 7» достаточно найти образ
Г границы 7 и установить соответствие направлений обхода
прообраза j и образа Г — границы области G. Тогда, если
обход границы 7 был таким, что область Е оставалась слева
(справа), то искомой областью G будет та, которая остается
слева (справа) при установленном направлении обхода
границы Г.
Последние рассуждения мы проводили в предположении,
что существует функция w = f{z), реализующая конформное
отображение областей Е в G. Перейдем теперь к
определению условий, обеспечивающих существование такого
отображения. Соответствующая теорема — теорема Римана —
является основной теоремой теории конформных отображений.
Однако прежде чем перейти к теореме Римана, докажем
теорему о так называемых «исключительных» областях.
Теорема 24.4. Вся расширенная комплексная плоскость или
вся комплексная плоскость с одной выколотой точкой не
может быть конформно отображена на ограниченную область.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для
расширенной плоскости с одной выколотой точкой, которую без
ограничения общности можно считать бесконечно удаленной (см.
разд. «Дробно-линейная функция»). Предположим, что
конечная плоскость (точка z = оо выколота) функцией w = f(z)
отображается на какую-либо ограниченную область. Но
тогда f(z) — целая функция, ограниченная на всей плоскости,
и по теореме Лиувилля такая функция является постоянной,
что и доказывает невозможность подобного конформного
отображения (f'(z) = 0).
Теорема 24.5 (Римана). Каковы бы ни были односвязные
области Е и G с границами, состоящими более чем из одной
Шочки, существует функция w = f(z), конформно
отображающая области Е на G, причем эта функция единственна,
если
f(z0) = <ш0, arg/'(z0) =ct,
где zqj wo — заданные точки областей Е и G,
соответственно, а а — заданное действительное число.

25. Линейная функция
253
Отметим, что теоремы 24.3 и 24.5 приведены без
доказательств. Строгое их доказательство (см. [16, 34]) выходит за
рамки нашего курса, для практических же целей этих
формулировок вполне достаточно.
О Заметим, что теорема Римана, гарантируя
существование конформных отображений, не указывает способ их
отыскания. Поэтому следующим нашим шагом будет
исследование отображений, осуществляемых элементарными
функциями, среди которых мы выделим функции, осуществляющие
конформные отображения некоторых стандартных областей.
25. Линейная функция
Отображение, осуществляемое линейной функцией
w = az + b.y (25.1)
можно рассматривать как композицию трех простейших
отображений. Действительно, положим w\ = \a\z, W2 = е* argaiui,
wz = W2 -f b. Тогда нетрудно видеть, что w = ^3(1^2(^1 (z)))»
Из геометрического смысла произведения и суммы
комплексных чисел ясно, что отображение w\ есть отображение подобия
(сжатие при \а\ < 1, растяжение при \а\ > 1); отображение wi
представляет поворот всей плоскости (wi) относительно
начала координат на угол arga и, наконец, отображение wz есть
параллельный перенос' плоскости (гиг) на вектор,
изображающий комплексное число 6.
Так как w'(z) = а ф 0,.то отображение, осуществляемое
линейной функцией (25.1)г конформно во всей расширенной
плоскости, причем оно имеет две неподвижные точки z\ — с =
6/(1 — а) (при а ф 1) и 22 = оо.
Следовательно, классификацию отображений,
осуществляемых линейной функцией, можно провести иначе. Так, при
а = 1 отображение сводится только к параллельному
переносу на вектор, изображающий комплексное число 6, с одной
неподвижной точкой z = 00. При а = \а\ега ф 1 функцию (25.1)
можно записать
w — c = a(z — c), b = c — ac,
откуда следует, что каждый вектор z — с, выходящий из точки
с, в результате отображения поворачивается на угол, равный
a = arga и подвергается растяжению в \а\ раз, превращаясь в
вектор w — с, выходящий из той же точки. Это означает, что

254 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
отображение сводится к повороту всей плоскости как целого
вокруг точки с = 6/(1 — а) на угол a = arga и растяжению
относительно этой точки в \а\ раз. Обратная функция
1 6
Z = —W
а а
тоже линейна.
Пример 25.1. Найти,функцию, отображающую
равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами Л, J5, С,
соответствующих числам 3 + 2г, 7 + 2г, 5 + 4г, лежащих в плоскости
г, на равнобедренный прямоугольный треугольник с
вершинами в точках Л', В', С" в плоскости го, соответствующих числам
О, -2г, 1 - г.
,5+4/ (г)
'3+2/
7+2/
х
Рис. 56
л'
-2/
v (го)
Ус
V
Решение. Поскольку треугольники подобны, то отображение
может быть осуществлено с помощью линейной функции.
Первый способ. Отображение можно разложить на
следующие:
а) параллельный перенос, смещающий точку А в начало
координат. Этот сдвиг производится вектором АО,
соответствующий числу — (3 -Ь 2г), и, следовательно, осуществляется
функцией (см. рис. 56)
wi = я-(3 + 2*);
б) поворот около начала координат на угол — 7г/2,
соответствующий преобразованию
W2 = e ,7Г/2г£>1
или
<Ш2 = —21/71;
в) преобразование подобия с центром в начале координат
и коэффициентом подобия, равным 1/2. Это преобразование
осуществляется функцией
w = -w2.

26. Инверсия
255
Таким образом,
w = --i[z- (3 + 2*)]
или окончательно
w = -l-z+fy-l). (25.2)
Второй способ. Пусть искомая функция есть w = az + 6,
где а и 6 - пока неопределенные константы. Поскольку точки
zi = 3 + 2г и Z2 = 7 + 2г должны перейти, соответственно, в
точки г^1 = 0 и W2 = — 2г, получаем систему для вычисления а
и 6
О = а(3 + 2г) + 6,
-2г = а(7 + 2г) + 6,
откуда а = — г/2, Ь = Зг/2 — 1.
В заключение заметим, что точка
Ь 4 4.
1 - а 5 5
остается неподвижной. Из явного вида линейной функции (25.2)
легко убедиться, что указанное отображение треугольников
можно получить поворотом всей плоскости вокруг этой
неподвижной точки на 7г/2 по часовой стрелке и преобразованием
подобия с коэффициентом подобия Ь = 1/2.
26. Инверсия
Как указывалось ранее, любую прямую на комплексной
плоскости можно рассматривать как окружность
бесконечного радиуса. Дополним понятие симметрии двух точек
относительно прямой (окружности бесконечного радиуса)
понятием симметрии двух точек относительно окружности конечного
радиуса R.
ф Две точки А и В будем называть взаимно
симметричными относительно окружности Cr, если они лежат на одном
луче, выходящем из центра окружности, а произведение их
расстояний до центра окружности равно квадрату радиуса R
окружности, т.е. О А • О В = R2.
О Можно показать, что любая окружность или прямая,
проходящая через точки А и 5, ортогональна данной окружности.
Естественно, что если точка А будет приближаться к
окружности, то точка В также приблизится к ней. Следовательно,

256 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
всякая точка, лежащая на окружности, симметрична самой
себе. В свою очередь, точкой, симметричной центру окружности,
является бесконечно удаленная точка. Рис. 57 достаточно
наглядно иллюстрирует сцособ построения симметричных точек
А и В.
Если центр окружности
Cr совпадает с началом
координат комплексной
плоскости, а точка А сооветствует
комплексному числу z, то
симметричная ей относительно
окружности Cr точка В
будет соответствовать числу
R2/z*. Действительно,
Рис. 57
OAOB = \z\
R2
R2
и, кроме того, числа z и R2/z* изображаются точками,
лежащими на одном луче, выходящем из начала координат, так
как
Arg — = — Arg z* = Arg z.
z
В частности, точки z и 1/z* взаимно симметричны
относительно окружности единичного радиуса с центром в начале
координат.
♦ Инверсией называется переход от точки z к точке w =
1/z*. ..
Перейдем к отображению, осуществляемому функцией
1
w - -,
(26:1)
аналитической на полной комплексной плоскости, кроме точки
z — О, в которой она имеет полюс первого порядка. В
полярных координатах z — |z|earg2 = pe'^, w = \w\etAT%w = re%e
отображение (26.1) перепишется в виде
1
Р
е = -<р.
(26.2)
Удобно рассматривать отображение (26.2) как составленное из
двух, геометрически более наглядных
Гг
1
Р
0г = (р, г = гь 0 = -01.

26. Инверсия
257
£)»(и>1).Ш|
1/2*
(г=г1=1/р;0=-01=-у?)
Рис. 58
Первое отображение есть преобразование симметрии
относительно единичной окружности, а второе - преобразование
симметрии относительно действительной оси (см. рис. 58).
Таким образом, преобразование, осуществляемое
функцией (26.1), состоит из двух симметричных отображений
относительно единичной окружности и действительной оси.
Так как при инверсии единичная окружность \z\ = 1
отображается в единичную окружность \w\ = 1, а действительная
ось плоскости z отображается в действительную ось плоскости
ш, то обе плоскости можно разбить на четыре области,
изображенных на рис. 59.
Рис. 59 наглядно иллюстрирует взаимно однозначное
соответствие областей; осуществляемое функцией \/z (образы
и прообразы обозначены одной римской цифрой и одинаковой
штриховкой).

258 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Теорема 26.1. Функция w = \jz преобразует любую
окружность полной комплексной плоскости снова в окружность.
Доказательство. Напомним, что любую прямую мы
условились рассматривать как окружность радиуса R = оо.
Очевидно, что уравнение любой прямой или окружности можно
представить в виде
А(х2 + у2) + 2Вх + 2Cy+D = 0, (26.3)
причем при А = 0, В2 + С2 ф 0 уравнение (26.3) описывает
прямую, а при А ф 0, В2-\-С2—AD > 0 - окружность конечного
радиуса. С заменой х2 + у2 = zz*, 2x = z + z*, 2iy '= z — z*
уравнение (26.3) примет вид
Azz* + {B- iC)z + (В + iC)z* + D = 0. (26,4)
Чтобы получить образ кривой (26.3) при отображении w =
1/z, заменим в (26.4) z на 1/ги, где w = и + iv. Получим
' 1- + (B-iC)- + (B + iC)-^ + D = Q
fl* ' 4Л Г 1*»*
шгу гу гу
или
D{u2 + Ь2) + 2Ви - 2Cv + А = 0. (26.5)
Уравнение (26.5) имеет тот же вид, что и уравнение (26.3),
с заменой А на D и С на —С. Отсюда следует, что образом
прямой или окружности при инверсии является снова прямая
или окружность.
О Заметим, что прямые и окружности, проходящие через
начало координат (D = 0), отображаются только в прямые.
Прямые, не проходящие через начало координат (А = 0, D ф
0), преобразуются в окружности, проходящие через начало
координат (оо -> 0). И, наконец, окружности, не проходящие
через начало координат, преобразуются снова в окружности.
Для исследования конформности рассматриваемого
изображения нам нужно ввести понятие угла в бесконечно удаленной
точке, причем можно, очевидно, ограничиться определением
угла между двумя прямыми.
♦ Под углом в бесконечно удаленной точке между дйумя
прямыми понимают взятый с противоположным знаком угол
во второй (конечной) точке пересечения этих прямых (на рис.
60,а угол в бесконечности между прямыми I и II отрицателен).

26. Инверсия
259
Теорема 26.2. Функция w — 1/z осуществляет
однолистное конформное отображение полной комплексной плоскости
z на полную комплексную плоскость w.
Доказательство. Отображение, осуществляемое функцией w —
1/z, однолистно, так как. обратная функция z = 1/w является
однозначной во всей комплексной плоскости, включая и точку
w = 0, которой соответствует z = оо. Производная
\z) =~z~*
существует и отлична от нуля во всех точках, за исключением
z = 0, z = оо. Остается показать, что отображение w = l/z
сохраняет углы в точках z = 0, z = оо. Но это видно
непосредственно из рис. 60 и принятого нами определения (при
отображении w = l/z, прямая argz = <p переходит в прямую
argty = — <р). Следовательно, отображение конформно на всей
расширенной плоскости.
Теорема 26.3 (свойство сохранения симметрии).
Функция w = l/z преобразует любую пару точек z\ и Z2,
симметричных относительно произвольной окружности 7> в пару
точек wi и W2, симметричных относительно окружности Г
- образа окружности 7."
Доказательство. Пусть w\ и W2 - образы точек zi и гз. Так
как zi и Z2 симметричны относительно окружности 7, то
любая окружность или прямая, проведенная через них,
ортогональны 7- Поскольку преобразование w — l/z обладает
круговым свойством и свойством конформности, то их образы,
проходящие через точки wi и W2 также будут окружностями,
причем перпендикулярными окружности Г, являющейся образом

260 Глава 3. Введение в теорию конформных отображении
7 в силу конформности отображения, Но это и означает, что
wi и W2 симметричны относительно Г.
Пример 26.1. Найти образ окружности \z\ = 2 при
отображении w = 1/z.
Решение. Первый способ. Из равенства w = 1/z имеем \w\ —
l/|z|, откуда для \z\ — 2 получаем \w\ — 1/2 и, следовательно,
образом окружности \z\ — 2 является окружность w = 1/2 (см.
рис. 61).
Л
<vj
У.
-^
V|=2
)г х
w=\
■ф
v (w)
И=1/2
1/2 и
Рис. 61
Второй способ. Запишем z и w в показательной форме
z = petlp, w = гегв. Согласно (26.2) г = 1/2, 0 = — <р и,
следовательно,
ги = -е *\
2
Поскольку 0 ^ у? < 27г, то образом окружности |г| = 2
является окружность |гу| = 1/2 с центром в начале координат,
обход которой совершается по часовой стрелке, когда исходная
окружность обходится против часовой стрелки.
Третий способ. Запишем уравнение окружности \z\ = 2 в
координатах ж, у
, х2 + у2 = 4. (26.6)
Это уравнение является частным случаем уравнения (26.3) с
А = 1, В = О, С = О, D — —4. Отсюда, согласно (26.5),
получим уравнение в переменных u, v
-4(u2 + v2) + l = 0
или
2 , 2
гг + v
1
4'
что соответствует окружности \w\ = 1/2.

27. Дробно-линейная функция
261
27. Дробно-линейная функция
♦ Дробно-линейной функцией называется функция вида
Q>z + b /Л„ . ч
С2 + а
где а, Ь, с, d - постоянные, удовлетворяющие условию ad —
ЬсфО.
О Если условие ad — be ф 0 не выполняется, то функция
(27.1) сводится к постоянной в силу а/с = b/d.
Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией (27.1).
Эта функция определена на полной плоскости z, причем
считается, что w\^__d/c= сю, а
гу(сю) = lim w = —.
z-+oo с
Так как производная
., ч ad — be /л„ лЧ
w '<*> = j^tw (27-2)
существует всюду при z ф —d/c, то функция (27.1) анали-
тична всюду на полной плоскости г, кроме точки z'= —d/c,
в которой она имеет полюс первого порядка. Уравнение (27.1)
однозначно разрешимо относительно z:
< —dw 4- b ,
(27.3)
cw — a
причем функция (27.3) тоже определена на полной плоскости w
и выполняются условия z(a/c) = сю, z(oo) = lim z(w) = —d/c.
w-too
Поэтому дробно-линейная функция осуществляет однолистное
отображение полной плоскости z на полную плоскость w.
Дробно-линейная функция - единственная функция,
обладающая таким свойством. Справедлива следующая
Теорема 27.1. Если функция f(z) однолистна и аналитична
всюду в полной комплексной плоскости z, кроме одной
точки, то эта функция - дробно-линейная.
Доказательство. Пусть такой точкой является точка zq. Эта
точка не может быть существенно особой точкой функции f(z),

262 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
ибо по теореме Сохоцкого f(z) была бы заведомо
неоднолистной. По теореме Лиувилля zq не может быть и устранимой
особой точкой. Следовательно, zq есть полюс, причем первого
порядка, ибо в окрестности полюса высшего порядка
функция опять-таки неоднолистна. Если zq ф оо, то главная часть
разложения функции f(z) в ряд Лорана в окрестности zq
имеет вид A/(z — zq). Вычтя эту часть из /(г), получим
функцию <p(z) = f(z) — A/(z — zo), не имеющую особенностей в
полной плоскости. Следовательно, <p(z) = const, и функция
/(2) = const + A/(z — zq) является дробно-линейной, поскольку
исходная формула (27.1) всегда может быть переписана в виде
a be — ad 1 /л„ л.
tu=- + 5 —jj-. (27.4
с cz z + d/с
Если zq — оо, то главная часть функции f(z) имеет вид Az, и
точно таким же образом доказывается, что f{z) — Az -\- const.
Ясно, что сложная функция, составленная из
дробно-линейных, также является дробно-линейной функцией.
Заметим, что теорема справедлива для zq = 0, zq = ос, т.е.
для линейной функции w = az + b и w = 1/z, что
совершенно естественно, поскольку эти функции являются частными
случаями дробно-линейной функции. С другой стороны, очень
важно то, что в общем'виде дробно-линейная функция,
согласно (27.4), может быть представлена суперпозицией линейной
функции и функции w = 1/z. Действительно,
w{z) = A + BT, T=i, t = z+*> (27-5)
где
a _ be — ad
с el
Тогда справедлива
Теорема 27.2. Произвольная дробно-линейная функция
az + b
w = -, ad— ЬсФ О,
cz-\- d
осуществляет однолистное конформное отображение
полной плоскости z на полную плоскость w, обладающее
круговым свойством и свойством сохранения симметрии.

27. Дробно-линейная функция
263
Доказательство. Сформулированная теорема для линейной
функции очевидна, а для функции w = \/z доказана в
предыдущем параграфе и, следовательно, в силу (27.5) справедлива
для дробно-линейной функции.
Рассмотрим несколько свойств дробно-линейной функции,
важных для практических задач.
Теорема 27.3. Существует одно и только одно
дробно-линейное отображение полной плоскости z на полную
плоскость w, переводящее три произвольных точки Zk в три
произвольных точки Wk-
Доказательство. Так как хотя бы один из коэффициентов
формулы (27.1) отличен от нуля, то разделив на него
числитель и знаменатель, получим, что дробно-линейное
преобразование фактически зависит от трех комплексных или шести
действительных параметров. С учетом сказанного выберем на
плоскостях z и w точки 2i, ^2, z3 и W\, w2, w3, соответствую-
щие друг другу при рассматриваемом отображении. Введем
вспомогательную плоскость Т и построим дробно-линейные
отображения плоскостей гигина эту плоскость, переводящие
заданные тройки в 0, 1, оо. Такими отображениями будут
z-zxz2-z3 w-wiw2-w3
Z — Z3 Z2 — Z\ ' W — W3W2 — W\
Исключив из этой системы Т, получим дробно-линейное
отображение плоскости z на плоскость w
w-wi w2 - w3 _ z-zi z2- z3
w — w3 w2 — wi z — z3z2 — z\
переводящее точки z\, z2, z3 в точки гих, w2, w3,
соответственно. Мы не будем останавливаться на доказательстве
единственности формулы (27.6), а отметим другое. Формула (27.6)
остается справедливой и в том случае, когда одна из точек Zk
и и)^ есть бесконечно удаленная, если только в этой формуле
заменить единицей числитель и знаменатель отношения, в
котором участвует эта точка. Пусть, например, w2 = 00, z2 = 00,
тогда (27.6) имеет вид
w — wi z — z\
w — w3 z — z3
Из предыдущей теоремы вытекает достаточно очевидная

264 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Теорема 27.4. Любой- круг полной плоскости z с помощью
дробно-линейной функции можно преобразовать в любой круг
полной плоскости w.
Пример 27.1. Найти функцию, осуществляющую
отображение единичного круга на единичный круг (рис. 62).
Рис. 62
Решение. Найдем общий вид функций, осуществляющих
такое отображение. Отобразим произвольную внутреннюю
точку а единичного круга на плоскости z в центр единичного
круга на плоскости ги, совпадающий с началом координат. Тогда,
согласно принципу сохранения симметрии, симметричная ей
относительно окружности \z\ = 1 точка 1/а* должна
отобразиться в бесконечно удаленную точку плоскости w. Дробно-
линейная функция, удовлетворяющая таким условиям, имеет
вид
, z — а . л z — а
w = к —— = —ка
z - 1/а*
1- za*
к'
1-za*'
(27.7)
где к' = —ка* - произвольная комплексная постоянная и
должна быть определена из условия |ги| = 1, когда \z\ = 1. Тогда,
согласно (27.7),
И = 1''1^1| = 1. (".8)
откуда с учетом того, что (1 — za*) = (1 — z*a)* и,
следовательно, |1 — za*\ = |1 — г*а|, при условии \z\ = 1 имеем
|1 - za*\ = |1 - z*a\ \z\ = \z - z*za\ = \z - a\
или
\z-a\
|1-га*|
= 1.

27. Дробно-линейная функция
265
Равенство (27.8) принимает вид \k'\ = 1, откуда к' = eta,
где a - произвольная действительная величина. Как и
следовало ожидать, существует бесконечное множество дробно-
линейных функций
(27.9)
1-za*
отображающих единичный круг на себя и содержащих три
действительных параметра.
Пример 27.2. Найти функцию, осуществляющую
отображение верхней полуплоскости на круг единичного радиуса (рис.
63).
Решение. Отобразим произвольную точку а верхней
полуплоскости в центр единичного круга с центром в начале
координат. Тогда, согласно принципу сохранения симметрии
симметричная ей относительно оси Ох точка а* должна
отобразиться в бесконечно удаленную точку плоскости w. Дробно-
линейная функция, удовлетворяющая таким условиям, имеет
вид
« = */££, (27.10)
где к - произвольная комплексная постоянная и должна быть
определена из условия |го| = 1. Тогда, согласно (27.10),
= 1*1
\z-a*\
1,
откуда с учетом \z — a\ = \z — a*| (\x — a\ = \x — a*| при
вещественных z) имеем \к\ = 1, и, следовательно, к = е,а, где а —
произвольная действительная величина. Как и следовало
ожидать, ввиду произвольности точки а существует бесконечное

266 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
множество дробно-линейных функций, осуществляющих
требуемое отображение
w = e*°±Z^m (27.11)
Каждая из этих функций определяется значениями трех
действительных параметров: параметра а и двух параметров,
определяющих комплексное число а.
Пример 27.3. Найти функцию, осуществяющую
отображение верхней полуплоскости на верхнюю полуплоскость.
Решение. Найдем общий вид таких функций.
Воспользуемся формулой (27.6), задав две тройки соответствующих точек
Zk = xj*, Wk = Щ. действительных осей х и и. Так как числа zi
и Wk действительны, то после преобразования формула (27.1)
примет вид
az + Ь /Л„ „ЛЧ
w = —— 27.12)
cz -f a
где а, 6, с, d - действительные числа. Наоборот, любая
функция (27.12) с действительными коэффициентами преобразует
ось Ох в ось Ои и, следовательно, полуплоскость z в одну из
полуплоскостей ги, верхнюю или нижнюю. Мы получим
верхнюю полуплоскость,, если потребуем, чтобы производная w'(z)
на действительной оси была положительной, т.е.
, , ad — be
откуда ad — be > 0. Таким образом, формула (27.12) при
действительных коэффициентах, удовлетворяющих условию ad —
be > 0, дает общий вид линейных функций, отображающих
верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость.
Пример 27.4. Найти образ G области Е : \z + 1| ^ 3 при
отображении
z + 3
w = -.
2+1
Решение. Исходную дробно-линейную функцию можно
представить в виде следующей суперпозиции отображений:
w = 1 + = 1 + р; р = 2Т; Г = -; t = z + 1. (27.13)
z + 1 t

27. Дробно-линейная функция
267
С*) -—»>
/ Е
\ -1
V+l|=3
3/
^3/
f
а
Г=1//
Ет
(Г)
|3-| = 1/3
-i/зфш
в
t = z+l
-4
'Et
Ш=3
3/
-ЗУ
х tt)
г
б
р=гт
-213
И =2/3
Рис
(Р)
w=p+l
г
64.
(w)
\w-l\=2/3
щл
5/3
д
Первое отображение t — z -f 1 переводит окружность |z + 1| =
3 в окружность \t\ — 3 простейшим параллельным
переносом. Направление обхода сохраняется. Прообраз Е и образ Et
представляют собой внутренние части указанных
окружностей (рис. 64,а,б). Следующее отображение переводит
окружность \t\ = 3 в окружность \Т\ — 1/3. Направление обхода
меняется. Согласно принципу соответствия границ, образом Ет
является внешняя часть окружности \Т\ — 1/3 (рис. 64,6",в).
Продолжая в соответствии с (27.13), окончательно получим
G: |'ш-1|^2/3.
Пример 27.5. Найти образ G области Е : \z — 2| <С 1 при
отображении
1
Решение. Окружность \z — 2| = 1 и ось Ох в точках
пересечения образуют углы, равные 7г/2. Функция w — l/(z — 3)
действительную ось Ох переводит в действительную ось 0u, a
окружность \z — 2| = 1 — в прямую, так как -ш(З) = со.
Уравнение прямой имеет вид Re w = u — —1/2, так как w(l) = —1/2
и прямая должна быть перпендикулярна оси Ои. Вычислим
дополнительно значение w в точке z = 2 — г, т.е.
w(2-i) =
1
2-г-З
^>
г).

268 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений/
a
Рис. 65
_ 1
л
G \
-id
1—Г
III
/72
Движение от точки г = 1 к точке я = 2 — г таково, что область
Е остается слева. Тогда искомой областью G, согласно
принципу соответствия границ, является полуплоскость Re w ^
— 1/2, так как именно она остается слева при движении от
точки w = —1/2 к точке w = —(1 — г)/2 (рис. 65). Это
можно было установить и иначе. Вычислим значение функции в
точке z = 2, принадлежащей области Е. Получим w{2) = — 1.
Точка w = — 1 принадлежит полуплоскости Re w ^ —1/2, что
и требовалось доказать.
Пример 27.6. Найти образ G области Е : \z — 1/>/2| ^ 1 П
|г + 1/л/2| ^ 1 при отображении
w =
уДг-%
\/2z + i'
%(z)
,
,Т,(Жк
у
V
(Ш)
U
б
Решение. Точки пересечения дуг окружностей
соответствуют числам z\ = г/л/2, Z2 = —г/л/2. Дробно-линейная функция
w = (\/2z — %)j[\f2z + г) отображает точку z\ в точку wi = О,
так как w(i/y/2) = 0, а точку Z2 в точку г^ = оо, так как
w(—i/\/2) = оо, и, следовательно, исходную область Е в угол
с вершиной в точке W\ — 0. Этот угол равен 7г/2, поскольку

28. Степенные функции
269
радиусы, проведенные в точки пересечения окружностей,
взаимно перпендикулярны (см. рис. 66,а). Для того чтобы
выяснить, как расположен этот угол, достаточно определить хотя
бы одну точку на одной из его сторон. Выясним, например, в
какую точку отобразится точка z = 1 — 1/\/2. Находим
/ _ \_\ = \/2-1-г = (1-л/2)(1+г)
\ л/2/ V2-1 + * 2-V2
Эта точка расположена в третьей четверти на биссектрисе
координатного угла. Следовательно, дуга окружности
1 отображается в луч, идущий из начала координат по
биссектрисе координатного угла третьей четверти. Так как дробно-
линейная функция сохраняет углы не только по величине, но и
по направлению, дуга окружности \z — 1/\/2| = 1 отобразится
в биссектрису координатного угла второй четверти, что
соответствует повороту на угол 7г/2 против часовой стрелки. Так
как при движении от точки Z\ — i/\/2 к точке z = 1-1/\/2
область Е остается справа, то искомой областью G будет
внутренняя часть угла 57г/4 ^ argtu ^ 37г/4, поскольку именно
она остается справа при движении от точки w\ — О к точке
w = (1 - х/2)(1 + t)/(2 - у/2) (рис. 66).
28. Степенные функции
Функции w — zn и w = $/z для целых положительных п
определены в п. 1., там же было установлено, что первая из
этих функций однозначна, "а вторая n-значна, за исключением
точек z = 0 и z = оо.
Функция
w = zn (28.1)
- аналитическая на всей комплексной плоскости, за
исключением точки z = оо, являющейся полюсом n-го порядка. В точке
z = О производная (z11)' = nzn~r обращается в нуль.
Если в плоскостях z и w ввести полярные координаты (/>, (р)
и (г, 0), соответственно, то соотношения (28.1) можно
переписать
г = рп, 0 = гкр. (28.2)
Пусть z описывает окружность радиуса р в положительном
направлении, тогда образ ги, согласно (28.2), будет описывать
окружность радиуса г = рп в том же направлении. При этом
если точка z опишет полную окружность (0 ^ (р < 27г), то

270 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
^..
/ •
.' (
\ \
\ \
\ \
\ ч
\ ч^
\
у /\f)\x
— —• / Ч^ хч ^ч.
даХ/\
^лЛЧа
/Pi \9г х
i
/
У /
—■■* /
У
Рис. 67
точка w опишет окружность п раз. Заставим теперь точку z
пробегать луч argz ='(p от нуля до со. Согласно (28.2), образ
w тоже будет пробегать луч arg w = в = п<р в том же
направлении от нуля до оо, т.е. образ исходного луча повернется на
угол (п — 1)(р (рис. 67).
С учетом сказанного заключаем, что, во-первых, любой
сектор с углом раствора <р (О ^ (р < 2тг/п) отображается в сектор
на плоскости w с углом раствора 0 = п<р, в п раз большим
(поэтому функцию w — z11 используют каждый раз, когда нужно
отобразить один угол на другой, больший угол). Во-вторых,
осуществляемое отображение конформно во всех точках, за
исключением точек z = 0 и z = оо, поскольку углы с
вершинами в этих точках увеличиваются при таком отображении в п
раз. И, в-третьих, точки z\ и z<z, имеющие равные модули и
различающиеся аргументами на целое кратное 27г/п, и только
такие точки переходят при отображении w = zn в одну
точку. Следовательно, для однолистности отображения w = zn
в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы
область D не содержала никаких двух точек z\ и zo, связанных
соотношениями
1*11 = 1*2 К
arg zi = arg z2 +
2тг&
n
(28.3)
где k — 1, n - целое.
Этому условию удовлетворяют, например, секторы
, 2тг ,_ 1Ч2тг
к— <<р < (* + 1) —,
п п
к = 0,п — 1,
(28.4)

28. Степенные функции
271
каждый из которых функцией w = zn однолистно и конформно
отображается в плоскость w с исключенной положительной
полуосью (рис. 67).
Как уже упоминалось, функция
w
= tfz~, (28.5)
обратная функции z = wn, n-значна во всех точках, за
исключением z = О, z = со, в которых w = 0 и w = со. Из формулы
z = wn или х + %у = г11 (cos nO -f г sin n0),
которая равносильна (28.5), следует, что прямым х = хо, У —
у о в плоскости z соответствуют кривые, в полярных
координатах задаваемые уравнениями
~ Vcosnfl' Г" V
2/о
sin пв
При п = 2 эти кривые вырождаются в гиперболы. Как
вытекает из определения, значение корня \fz определяется
значением аргумента, выбранным для точки z (что соответствует
выбору одной из вершин правильного многоугольника, в
которых расположены корни). Обозначим через argzo одно из
таких значений. Заставим точку z описывать, начиная с zo,
некоторую непрерывную линию 7» не проходящую через начало
координат. В силу непрерывности argz и \z\ значение w = yfz,
которое вполне определяется сделанным выбором аргумента,
также будет изменяться непрерывно.
Предположим, что кривая 7 замкнута и не содержит
внутри себя точку z — 0. Тогда при полном обходе контура j точка
w — %/z описывает некоторую замкнутую кривую Г,
возвращаясь к своему первоначальному положению, ибо arg z
возвращается к начально выбранному значению argzo (рис. 68).
Значения корня, определяемые другим выбором
начального значения argzo (отличающимся на целое кратное 27г) при
полном обходе 7? очевидно, также описывают аналогичные
замкнутые кривые Г*, отличающиеся от кривой Г только
поворотом на угол 2&7г/п, к = l,n— 1 (для п — 3 см. рис. 68,
сплошные линии). Рассмотрим теперь случай, когда 7 ~
замкнутая линия, по-прежнему проходящая через 2о, но
содержащая внутри себя точку z — 0. Тогда при полном обходе 7
не возвращается в свое первоначальное положение, а
занимает новое положение w^ = гУое,2л"/п. Это объясняется тем, что

272 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Рис, 68.
arg z при обходе кривой получает приращение 27г. К своему
начальному положению точка w = ^fz возвратится лишь после
n-кратного обхода кривой 7 (для п = 3 см. рис. 68, штриховая
линия).
Таким образом, в любой области Z?, не содержащей ни
одной замкнутой кривой, обходящей z = О, можно выделить п
непрерывных и однозначных функций, каждая из которых
принимает одно из значений tfz. И, как было показано выше, эти
значения в каждой фиксированной точке отличаются друг от
друга множителем e%2knln. Очевидно, что каждая такая ветвь
будет осуществлять однолистное отображение области Z),
причем функция, осуществляющая это отображение, будет
аналитической, ибо существует вполне определенное значение
производной, равное
(z^ny = i*1/"-1.
Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую
кривую, обходящую точку zo, то в такой области ветви y/z нельзя
отделить друг от друга. Следовательно, в такой области мы
не можем, как в предыдущем случае, рассматривать функцию
yfz как совокупность отдельных и однозначных
аналитических функций. Точка z — О в любой окрестности которой
нельзя разделить п отдельных ветвей функции yfz (ветви как бы
соединяются в этой точке), согласно определению, является
алгебраической точкой ветвления порядка п.

29. Показательная и логарифмическая функции
273
Очевидно, точка z = ос также является алгебраической
точкой разветвления порядка п функции \fz, так как каждый
обход вокруг нее вдоль окружности сколь угодно большого
радиуса с центром в начале координат является вместе с тем
и обходом вокруг начала координат. Таким образом, функция
у/z имеет две алгебраические точки разветвления порядка п:
z = 0 и z = оо.
Возвращаясь к обсуждаемым выше областям D, отметим,
что в качестве примера области D первого типа можно
рассматривать плоскости z с вырезанной прямой линией L,
идущей от z — 0 в бесконечность. Если L совпадает с
положительной полуосью, то ветви функции \/~z отображают область D
на секторы
к— < argw < (к -f 1) —.
п п
Эти отображения обратны к рассмотренным выше
отображениям функции w — zn. Область D заведомо является областью
второго типа, если она содержит внутри себя точку z = 0.
Соотношения (28.4) задают условия однолистности
функций w — zn и z — \fw\ Для того чтобы получить взаимно
однозначное соответствие между точками z и w, можно
воспользоваться римановои поверхностью, построение которой было
рассмотрено в разд. 20.
Пример 28.1. Найти
а) образы декартовой координатной сетки плоскости z\
б) прообразы декартовой координатной сетки плоскости w
при отображении w = z2.
Решение, а) Рассмотрим прямые х — а. Их образами будут
линии, определяемые уравнениями и — а2 — у2, v = 2ay.
Исключая переменную у, находим
Следовательно, образами прямых х — а являются параболы
и — а2 — (v/2a)2. Аналогично получаем, что образами прямых
у = b являются параболы и = (v/2b)2 — b2.
б) Пусть и = Л, v = В — прямые, параллельные
координатным осям On, Ov. Тогда х2 — у2 = Л, ху = В/2, т.е.
прообразами прямых являются два семейства гипербол,
ортогональных друг другу, за исключением тех кривых, которые
проходят через точку z = 0 (u/(0) = 0), где они пересекаются
под углом 7г/4.

274 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
29. Показательная и логарифмическая
функции
Воспользуемся соотношением (7.11), согласно которому
показательную функцию можно записать в виде
w — ez- ехегу = ех (cos у + г sin у). (29.1)
Отображение, осуществляемое функцией (29.1), конформно
в каждой точке комплексной плоскости, так как производная
этой функции существует и отлична от нуля в любой конечной
точке плоскости z. Выражение ехр(оо) будем считать
лишенным смысла, так как предел
lim ez
z-too
не существует. Действительно,
lim ех = оо, lim ex = О,
а?-юо х—у — оо
хотя и в том, и в другом случае z —>■ оо. Отсюда, в
частности, следует, что expz не совпадает ни с одним полиномом,
так как всякий полином, не равный постоянной, стремится к
бесконечности при z —> оо, т.е. для ez точка z — оо является
существенно особой. Легко выяснить особенности
отображения, задаваемого показательной функцией, если в плоскости z
ввести декартовы, а в плоскости w - полярные координаты,
т.е. положить z = х + iy, w = рег<р. Согласно (29.1), получим
\w\ = p = ex, axgw = 0 = y. (29.2)
Заставим z описывать прямую, параллельную мнимой оси z —
£o H- W {xq = const). Тогда образ ги, согласно (29.2), будет
находиться в плоскости w на окружности радиуса \w\ — р — ех°
с центром в начале координат. При этом, когда точка z
описывает прямую однократно так, что ордината этой точки
непрерывно растет от минус бесконечности до бесконечности, то
w описывает соответствующую окружность бесконечно много
раз в одном и том же (положительном) направлении.
Если же точка z описывает прямую z — x+iyo (yo = const),
параллельную действительной оси, то ги, очевидно, пробегает
луч, выходящий из начала координат и образующий с
положительной частью действительной оси угол О = уо. При этом,
когда точка z описывает прямую однократно так, что ее
абсцисса х непрерывно растет от — оо до оо, то и w описывает

29. Показательная и логарифмическая функции
275
соответствующий луч однократно так, что расстояние от
точки до начала координат непрерывно растет от нулю до оо (оба
предельных случая, конечно, исключаются). Отсюда следует,
что любая полоса 0 < у < уо на z (уо < 27г) конформно
отображается функцией w = ez на сектор 0 < в < уо с вершиной
в начале координат на плоскости w.
О Показательную функцию используют, когда нужно
конформно отобразить некоторую прямолинейную полосу на
внутреннюю часть угла.
В частности, полоса 0 < у < 7Г конформно отображается на
верхнюю полуплоскость w, а полоса 0 < у < 2-к - на всю
плоскость w с разрезом по положительной действительной полуоси
О < О < 2тг (рис. 69).
2л/
§§§
х=-1
У Ю
1
1
4 У=
1
Х = 1 X
Рис. 69
Из сказанного выше (а также периодичности
показательной функции с периодом 2-кг) следует, что отображение,
осуществляемое показательной функцией, будет взаимно
однозначным в любой полосе шириной h <J 27Г, параллельной
действительной оси плоскости z. С другой стороны, для того чтобы
область плоскости z отображалась функцией ez взаимно
однозначно на соответствующую область плоскости ш,
необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никаких двух точек,
связанных соотношением Z2 — z\ — 2тгЫ (к = — оо, оо). Такому
условию однолистности удовлетворяет всякая область,
заключенная в полосе 2ктт + у0 < У < 2(к + 1)тг + у0. Для того
чтобы отображение было взаимно однозначным не только
внутри полосы, но и на всей комплексной плоскости z, необходимо
вместо одного листа плоскости w построить
бесконечномерную риманову поверхность (см. рис. 34) склеиванием нижнего
края разреза каждого листа с верхним краем разреза листа,
лежащего под данным листом. Тогда если точка z движется
параллельно оси Оу вверх, то точка ги, вращаясь против
часовой стрелки вокруг начала координат, как бы «поднимается»
.-0=2/0

276 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
на римановой поверхности по спирали, переходя с одного листа
на другой. Таким образом обеспечивается взаимная
однозначность отображений, задаваемых показательной функцией, на
всей плоскости z.
Логарифмическая функция была определена как
обратная показательной:
Ln z = In z + г2ктг = In \z\ -f i(arg z + 2kn) = In \z\ + i Arg z.
(29.3)
Как и для рассмотренных выше многозначных функций,
значение Ln z определяется значением аргумента, которое
приписано точке z. Предположим, что точка z, начиная от
положения zo ф 0, описывает некоторую кривую 7^ не проходящую
через начало координат. Как и раньше, через arg z обозначим
однозначную и непрерывную вдоль 7 ветвь функции Arg z,
определяемую каким-либо фиксированным начальным
значением argzo- Аналогично через lnz обозначаем значение Ln z
при выбранном значении argz. Очевидно, функция In 2, в
отличие от Ln я, будет однозначной и непрерывной вдоль 7-
Ti(
/
г<
IV
1
^0
•
^
у
^
^>:
. г
<Х>" и
тО«ое1)
-2Ж1^~7 и
Рис. 70.
Предположим, что кривая 7 замкнута и не содержит
внутри себя точку z — 0. Когда z описывает 7? точка ги = In z
пробегает некоторую замкнутую кривую Г. Другие значения
логарифма, определяемые другим начальным значением argzo,
опишут кривые Г*, отличающиеся от Г сдвигом на вектор
27гг&, к — — со, оо (рис. 70, сплошные линии).
Если теперь 7 ~ замкнутая кривая без точек
самопересечения, содержащая z — 0 внутри себя, то при полном ее обходе
(
1 N
\
т*
\
V
Vo
\
J)

29. Показательная и логарифмическая функции
277
точкой z в положительном направлении точка w = In z не
вернется к своему первоначальному положению, а займет новое
положение w$ ' = wq -Ь 27гг (рис. 70, штриховые линии).
Отсюда следует, что в любой области £>, которая не
содержит замкнутых кривых, обходящих точку z = 0, можно
выделить бесконечное множество непрерывных и однозначных
ветвей многозначной функции w = Ln z, значения которых в
каждой фиксированной точке отличаются друг от друга
слагаемыми 2&7гг. Каждая такая ветвь In г будет осуществлять
взаимно однозначное отображение области D и, следовательно,
по теореме о производной обратной функции будет обладать
производной
(Ln z)' = j^j = — = -,
Причем производная одна и та же для всех ветвей. Таким
образом, все такие ветви функции Ln z будут аналитическими
функциями.
Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую
кривую, охватывающую точку z — 0, то в такой области ветви
функции Ln z нельзя отделить друг от друга. Точка z = 0, в
которой как бы «соединяются» все ветви Ln я, называется
логарифмической точкой разветвления этой функции (хотя Ln z
в точке z = 0 не определен).
Точка z = оо — также логарифмическая точка
разветвления, так как каждый обход вокруг нее является также обходом
вокруг начала координат z = 0.
Риманова поверхность логарифма бесконечнолистна. Бе вид
показан на рис. 34.
Пример 29.1. Найти образ области Е (рис. 71,а) при
отображении w = ez.
27Г-
7Г-
У
VI lIV
Е I,
1
(А
JH
а
II
г
X
Рис. 71.

278 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений^
Решение. Согласно (29.2), декартова координатная сетка
отображается в семейства концентрических окружностей и лучей.
Рис. 71,6 совместно с принципом соответствия границ дает
наглядное представление об образе области Е.
Пример 29.2. Найти образ комплексной плоскости z с
разрезом по отрицательной части действительной оси при
отображении w = In z.
\У ' w(z) = \nz
(z) гу(1) = 1п!=0
|0 1 х
a
=„ h (ад).
G
о u
-/7Г б
Рис. 72
Решение. При рассмотрении функции w = ez мы установили,
что любая полоса уо < У < Уо+27г отображается этой функцией
на полную плоскость с разрезом по лучу argtuo = 2/о- Положив
2/о = —тг, можно утверждать, что полоса — 7г < у < 7Г
отобразится на всю плоскость с разрезом по отрицательной части
действительной оси. Отсюда следует, что функция w = lnz,
обратная к w = ez, отобразит область Е (рис. 72,а) в область
G : -7г < Im w < 7г (рис. 72,6).
30. Функция Жуковского
♦ Функция
W
=;ю
(30.1)
называется функцией Жуковского. Функция Жуковского (30.1)
определена и аналитична на всей комплексной плоскости, за
исключением точек z\ — 0 и Z2 = оо, которые являются
простыми полюсами. Так как
w
&-*)•
то отображение, осуществляемое функцией (30.1), конформно
во всех точках области однолистности и аналитичности, за
исключением точек z = ±1, в которых w' = 0.

30. Функция Жуковского
279
Найдем области однолистности. Для этого предположим,
что z\ и 22 переходят в одну точку ги, т.е.
*1 +
Zl
1
%2
откуда
Следовательно,
<г':^(1-^)=
Zx = *2
21^2 = 1.
Таким образом, отображение, осуществляемое функцией
Жуковского (30.1) в области D будет однолистным, если область
D не содержит двух точек, связанных соотношением z\Z2 = 1.
Очевидно, что этому условию удовлетворяет круг единичного
радиуса \z\ < 1 или кольцо \z\ > 1.
Выясним, как функция (30.1) отображает окружность \z\ =
р и лучи arg z = (р. Для этого положим
z = pet<p, w = u + iv.
Тогда из (30.1) имеем'
U = 2 V + ~) C°S ^' V = 2 V " ") Sln ^' ^30'2^
Исключив из (30.2) параметр у?, приходим к уравнению
которое определяет эллипс с полуосями
си
s(>+;)-
•>=!
1
(30.4)
и фокусами в точках w = — 1 и to = 1. Следовательно,
концентрические окружности \z\ = р отображаются в софокусные
эллипсы с фокусами в точках w = — 1, tu = 1 и с полуосями
ар и Ьр (30.4). При возрастании р от нуля до единицы
полуоси этих эллипсов монотонно убывают от бесконечности до
значений а\ = 1, 6i = 0. При р — 1 эллипс вырождается в
отрезок действительной оси [—1,1], проходимый дважды. При

280 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
дальнейшем возрастании радиуса р от р = 1 полуоси эллипсов
начинают монотонно возрастать, так как каждый эллипс
возникает второй раз. Если направление обхода рассматриваемых
окружностей выбрать положительным, то направление обхода
соответствующих, им эллипсов будет также положительным
для радиусов р > 1 и противоположным для радиусов р < 1,
что непосредственно следует из второй формулы (30.4).
Рис. 73.
Таким образом, круг \z\ < 1 отображается на
комплексную плоскость w с вырезанным отрезком [—1,1]
действительной оси, причем верхняя полуокружность \z\ = 1 отображается
в нижний берег разреза, а нижняя - в верхний. Кольцо \z\ > 1
также отображается на эту плоскость с вырезанным отрезком,
с той лишь разницей, что верхняя полуокружность переходит
в верхний берег разреза, а нижняя - в нижний (рис. 73).
Аналогично, исключив из уравнений (30.2) параметр /?,
приходим к уравнению
u2 v2
cosJ <p sinz <р
которое задает семейство гипербол, софокусных с эллипсами
(30.4) и ортогональных с семейством этих эллипсов. Эти
гиперболы являются образами лучей arg z — (р при отображении
(30.1). Формулы (30.2) позволяют достаточно просто
определить направление движения точки w по гиперболам (30.5),
если задано направление движения точки по лучу arg z = <р (см.
рис. 73).
Обратная к (30.1) функция
z = w + yw2 — 1
(30.6)

30. Функция Жуковского
281
двузначна. Эта двузначность обусловлена наличием в формуле
(30.6) квадратного корня y/w2 — 1. Взаимно однозначным
образом всей плоскости z при отображении (30.6) является
двулистная риманова поверхность, которая склеивается из двух
экземпляров плоскости w с разрезом по отрезку [—1,1]
следующим образом: верхний берег разреза первого листа
склеивается с нижним берегом разреза второго листа, а нижний берег
разреза первого - с верхним берегом разреза второго (см. разд.
«Аналитическое продолжение» и свойства функции z = w1!4).
По построению римановой поверхности видно, что точки w — 1
и w — — 1 являются для этой функции алгебраическими
точками ветвления второго порядка (это видно, впрочем, и прямо
из формулы (30.6)).
О В заключение отметим, что функция
*ю
сводится к функции w(z) = z2 с помощью дробно-линейных
преобразований, поскольку
w =
w(z)
w(z)
+ 1 \z + l)
Пример 30.1. Найти образ круга \z\ < 1 с разрезом 1/2 <
х < 1 по действительной оси Ох при отображении,
осуществляемом функцией Жуковского.
w = 2{z+z) iv
-1
(w)
5/4
1 u
Рис. 74
Решение. Внутренняя часть круга \z\ < 1 (рис. 74,а) с
помощью функции Жуковского отображается на всю комплексную
плоскость с разрезом по действительной оси On от —1 до 1.
Отрезок 1/2 < х < 1 действительной оси Ох отобразится в
отрезок 1 < и < 5/4 действительной оси Ои, так как
'(гМ(И =

282 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Таким образом, исходная область отображается на всю
комплексную плоскость w с разрезом по действительной оси от — 1
до 5/4.
Пример 30.2. Найти образ области Е, заданной условиями
0<|;г|<1и0< argz < 7г/4, при отображении
Рис. 75
Решение. Обозначим стороны кругового сектора Е через I,
II, III (рис. 75,а). Согласно (30.2), линия I отобразится в V
— часть действительной оси О и от оо до единицы, так как
и = (1/2)(р + 1/р), v = 0 и и(0) = оо, ti(l) = 1 (рис. 75,6).
Направление обхода от 2 = 0 к г = 1 соответствует направлению
обхода от w — оо к w = 1 на плоскости w. Дуга единичной
окружности II отобразится на часть действительной оси II' от
единицы до 1/\/2, так как и(р, (р) = (1/2)(р + 1/р) cos <р, и = О,
причем w(l,0) = 1, и(1,7г/4) = 1/\/2 с тем же направлением
обхода. Наконец, луч aigz = 7г/4, согласно (30.5), отобразится
в нижнюю половину правой ветви гиперболы 2u2 — 2v2 = 1.
Таким образом, сектор Е отобразится в область G, заключенную
между прямыми I', II' и частью гиперболы III'. Отметим, что
углы между II и I, III — прямые как углы между
окружностью II и радиусами I, III. Угол между И' и III' также прямой,
а угол между II' и V равен 7г, т.е. в два раза больше. Этот
факт объясняется тем, что z = \j\/2 — точка конформности,
а в точке z — \ конформность нарушается.

31. Тригонометрические и гиперболические функции 283
31. Тригонометрические и гиперболические
функции
Тригонометрические и гиперболические функции были
определены в разд. 7.2. Из соотношений (7.11)
eiz - e~iz eiz + e~iz
sinz = — , cos z =
2i ' 2
вытекает, что они аналитичны всюду, за исключением z =
оо, являющейся существенно особой точкой, и подчиняются
обычным формулам дифференцирования
(sin z)' = cos z, (cos z)f = — sin z.
Изучим отображение, осуществляемое функцией w = sinz.
Положив
z\ = iz, z2 = eZl, z3 = -iz2, /w=-(z3-] ), (31.1)
I v z3/
видим, что это отображение можно рассматривать как
суперпозицию уже изученных отображений, переводящих область
D в Di, Di в 1)з, ^2 в/Дз и Дз в D±. Первое и третье
отображения, будучи линейными, однолистны всюду. Для
однолистности второго и четвертого необходимо и достаточно, чтобы
D\ и Дз не содержали ни одной пары точек z[ — z" = 27г/гг и
z'3z'3' = ! (см- РазД- 29- и 30.).
Следовательно, для однолистности суммарного
отображения w = sin z в области D необходимо и достаточно, чтобы
область D не содержала ни одной пары точек z\ z", для
которых
а) z' - z" - 2Ьг, (к ф 0 целое)
б) z' + z" = (2k + 1)тг (k - целое).
Этим условиям удовлетворяет, например, полу полоса — 7Г <
х < 7г, у > 0. На рис. 76 границы указанной полуполосы
обозначены 1 => х = -7г, у^0;2=>у = 0, -7г^ж^7г;3=>ж = 7г,
.7 ^ 0, а соответствующие им отображения - 1', 2', 3', которые
легко получить, если функцию w = sin z = sin(aj + iy)
представить в алгебраической форме w = u + iv, где
u = sin ж ch у, v = cos ж sh у. (31.2)

284 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
Более детальную информацию об отображении w = sinz
можно получить, применив последовательно отображения
(31.1). Действительно, отображение z\ поворачивает пол у
полосу на 7г/2 против часовой стрелки. Отображение Z2
полученную полуполосу — гж < Imzi < г*7г, Re z\ < 0 переводит в
круг единичного радиуса |гз| < 1с разрезом по —1 < Re zo < 0.
Преобразование z$ поворачивает эту область на 7г/2 по часовой
стрелке. И, наконец, функция Жуковского переводит
полученную область в комплексную плоскость w с вырезанным
отрезком — 1 <С Rew ^ 1, Im iu = 0 и вырезанной отрицательной
полуосью Re w = 0, Im w <C 0 (см. рис. 76).
Аналогичным образом
можно установить, что вдвое
более узкая полу полоса — 7г/2 <
Re z < 7г/2, Im z > 0
отображается на верхнюю
полуплоскость Im w > 0. И в том, и в
другом случае семейство лу-
Рис. 76. чей х = хо и. отрезков у = у0
переходят, соответственно, в семейство софокусных гипербол
эллипсов:
и2
sin2 xq
"2 -1
COS^ Xq
2 2
гг v
ch 2y0 sh 2y0
= 1,
(31.3)
которое легко получить из формул (31.2) с учетом основных
тождеств для тригонометрических и гиперболических
функций.
II
-7Г/2Г4
♦2/ .
[ш
10 Ш х
1'_
II'
♦ ^
-1
Рис. 77
«и»
1П;
1
Рассмотрим более подробно отображение полуполосы
—7г/2 < Re z < 7г/2, Im z > 0 с помощью функции w = sin z,
обозначив части ее границы через I, II, III (рис. 77,а). Тогда,
согласно (31.2), полупрямая I (0 < у < со, х = — 7г/2)
отобразится в полупрямую V (v — 0, —со < и < со), так как и =
— ch у. Направление обхода на плоскости zoTy = ooKy = 0
определяет направление обхода от w(oo) = —со к ги(0) = —1
на плоскости w (рис. 77,6). Отрезок II (—7г/2 < ж < 7г/2, t/ = 0)
отобразится в отрезок II' (—1 < w < 1) действительной оси On,

31. Тригонометрические и гиперболические функции 285
поскольку u = sin ж, v = О, причем w(—7r/2) = — 1, w(tt/2) = 1.
Наконец, в силу нечетности sinz (sin(—7г/2) = — sin7r/2)
полупрямая III перейдет в ИГ с тем же направлением обхода, что
и для Г, 1Г.
Таким образом, согласно принципу соответствия границ,
исходная полу полоса отображается на верхнюю полуплоскость,
которая остается слева при движении по оси Ои от —ос к сю.
Теперь легко получить отображение всей полосы — 7г/2 <
Re z < 7г/2. Обозначим продолжения прямых I и III,
проходимых в том же направлении, через IV и V, соответственно.
Отрезок II теперь отсутствует (см. рис. 78,а). Согласно (31.2),
прямая IV отобразится в прямую Г, проходимую в обратном
направлении, а прямая V — в III', проходимую также в
противоположном направлении (см. рис. 78,6).
Рис. 78,
Таким образом, исходная полоса отображается на всю
комплексную плоскость w с двумя разрезами по действительной
оси: ] — ос,— 1[и]1,оо[. При этом верхняя полу полоса
отображается на верхнюю полуплоскость (правая штриховка) так,
что верхним берегам разрезов соответствуют полупрямые I
и III. Соответственно, нижняя полуполоса отображается на
нижнюю полуплоскость (левая штриховка) и нижним берегам
разрезов IV, V соответствуют полупрямые IV и V. Ниже мы
покажем, что решение'этой задачи можно было упростить,
использовав так называемый принцип симметрии конформных
отображений.
В силу периодичности функции
sinz очевидно, что полосы —7г/2 +
2&7Г < Re z < 7r/2 + 2fc7T, k == —ос,оо,
также будут отображаться
аналогичным образом. Расположенные
между ними полосы —7г/2 + &7Г < Re z <
7г/2 + ктг осуществляют
отображение, обусловленное соотношением sin(z-f 7г) = —sinz. Области
с правой штриховкой (рис. 79) отображаются на верхнюю
полуплоскость, с левой — на нижнюю.
Отображение, осуществляемое функцией cos z, в силу соот-

286 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
ношения
cos z = sin f z -f — j
отличается от только что рассмотренного лишь сдвигом.
Тригонометрические функции-tg z, ctg z определены
соотношениями (см. разд. 7.2.)
sinz .e2iz - 1 1 1ЛЛ л,
tg z = = -г ; ctg z = —. 31.4)
COS Z в"51* +1 tg Z
Поскольку ctg z - инверсия функции tg z, ограничимся
исследованием некоторых отображений, реализуемых этой
функцией. Отметим, что функция tg z аналитична всюду, за
исключением точек z = 7г/2 -f k-к (к = — со, +оо) и может быть
представлена суперпозицией следующих отображений:
7 1
z\ — 2iz, z2 = eZl, w = —г— -. (31.5)
Z2 + 1
Согласно соотношениям (7.11), гиперболические функции
сравнительно просто выражаются через тригонометрические
sh z — —isiniz, ch z — cosiz,
thz = —г tg iz, cthz = г ctg iz
и поэтому несущественно от них отличаются.
Согласно соотношениям (7.19), обратные
тригонометрические и гиперболические функции можно выразить через
логарифмические. Так, например, функция
w = Arcsin z = — Ln (iz -f у 1 — z2)
осуществляет взаимно однозначное и непрерывное
отображение всей конечной плоскости w на бесконечнолистную рима-
нову поверхность с точками ветвления второго порядка над
z = ±1 и логарифмической точкой разветвления над z — сю,
составленную из листов, изображенных на рис. 78.
Аналогично функция
2 2 Z
w — Arctg z = — - Ln
ь 2 г + z
взаимно однозначно отображает всю комплексную плоскость w
на риманову поверхность, аналогичную римановой
поверхности логарифмической функции, но имеющую логарифмические
точки ветвления над точками z = г и z = — г.

31. Тригонометрические и гиперболические функции 287
Пример 31.1. Найти образы полосы Е : — 7г/4 < Re z < 7г/4 и
расположенных в ней прямой Re z = 7г/6 и отрезка Im z = 7r/4
при отображении w = tg z.
Решение. Согласно формуле (31.5), имеем р = 2iz, R — ер,
s — (Д—1)/(Д+1), ш ='—is. Первое линейное отображение р =
2iz = 2einl2z поворачивает исходную полосу Е на 7г/2 против
часовой стрелки и расширяет ее в два раза, т.е. переводит в
полосу Ер : —7г/2 < Im р < 7г/2. При этом прямая Re z = 7г/б
переходит в прямую Im р = 7г/3, а отрезок Im 2 = 7г/4 — в
отрезок Re р = —7г/4 (рис. 80,а,б).
правую полуплоскость #я : Re Д > 0, так как |Д| меняется
от нуля до оо, a arg Д — от — 7г/2 до 7г/2. Прямая Im р = 7г/3
отображается в луч arg-Д = 7г/3, отрезок Re р = — 7г/4 — в
полуокружность |Д| = е_7Г/4
Er.
Следующее отображение Д = ер переводит полосу Ер в
лежащую в правой полуплоскости
\Уй p^2iz^2^l2z\
Рис. 80
Дробно-линейная функция s = (Д— 1)/(Д+ 1) конформно
и согласно круговому свойству свернет полуплоскость Er во
внутреннюю часть единичного круга Е$ : \s\ < 1. Это
объясняется тем, что з(0) = —1, а(оо) = 1, а прямые Re Д = 0 и
Im Д = 0 перпендикулярны, следовательно, и их образы
должны быть перпендикулярны. Но тогда отрезок — 1 < Re s < 1
является диаметром окружности |з| = 1. По этой же причине
луч arg Д = 7г/3 перейдет в часть дуги окружности,
проходящей через точки 5 = ±1 под углом в 7г/3 к действительной оси.
Наконец, полуокружность с центром в точке Д = 0
отобразится в часть дуги окружности с центром в точке s = — 1 (точка

288 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
R = О переходит в то,чку s = — 1) и перпендикулярной всем
линиям, которые она пересекает (рис. 80,в,г).
Последнее отображение w — —is — e~%n/2s соответствует
повороту круга на угол 7г/2 по часовой стрелке. Рис. 80,<?
дает наглядное представление о положении образа G исходной
области Е при отображении w = tg z.
Подводя итог, можно сказать, что полоса Е : — 7г/4 < Re z <
7г/4 отображается в единичный круг G : \w\ < 1, при этом
прямая Re z = 7г/6 отображается в «меридиан» этого круга,
проходящий через точки w = ±i и w = tg 7г/б = 1/\/3, а отрезок
Im z = 7г/4 — в «параллель» этого круга, проходящую через
точку w — tg (г7г/4) = г th 7г/4.
В заключение отметим, что в общем случае декартова
координатная сетка, расположенная внутри полосы — 7г/4 < Re z <
7г/4, отобразится в соответствующие «параллели» и
«меридианы», расположенные внутри круга \w\ < 1.
32. Основная задача
теории конформных отображений
Перейдем теперь * основной задаче теории конформных
отображений, которая заключается в построении функции w =
/(г), осуществляющей конформное отображение одной
заданной области Е на другую заданную область G. Алгоритм и
структура решения этой задачи существенным образом
определяется видом областей Е и G. Начнем с некоторых
классов задач, для которых достаточно использования изученных
уже отображений, осуществляемых элементарными
функциями. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 32.1. Найти функцию, конформно отображающую
область между окружностями |z| = 1, \z — 1| = 2на единичный
круг |гу| < 1.
Решение. Обозначим- заданные окружности через 71 и 12,
а область между ними через Е (рис. 81,а). Дробно-линейная
функция р = (z + l)/(z — 1), согласно круговому свойству (см.
пример 27.5), отображает область Е в полосу Ер : 0 < Re p <
1/2, так как р{1) = оо, р(-1) = 0, р(-3) = 1/2, р(-2) = 1/3
(рис. 81,6). Линейная функция R = 2рпе*к/2 = 2ipn
поворачивает полосу Ер на угол 7г/2 против часовой стрелки и
расширяет ее в 27Г раза, т.е.' переводит в полосу Er: 0 < Im jR < 7г
(рис. 81,в). Следующее отображение s = eR переводит полосу

32. Основная задача теории конформных отображений 289
/ Е
1-3 -2
"':- '
V
У
0 Jl ж
/ а
у 2-1
(р)
Я=Шр* i*(R) s=e* «
£r
?=е*
(s) ™ =
5*
а* г
-еш
s-a
s-a*
{g
\
V
-i
(w)
flu
d
Рис. 81
Er в верхнюю полуплоскость E$: Re s > 0, так как |s|
меняется от нуля до бесконечности, a arg s — от нуля до 7Г. Наконец,
дробно-линейная функция (27.11)
w = е
а*
отображает верхнюю полуплоскость Е$ на область G —
внутреннюю часть единичного круга \w\ < 1.
Таким образом, имеем цепочку преобразований, которую
можно объединить в функцию
w — е
, exp[2z7r(z + I)/(z -I)]-a
ехр[2гтг(;г + l)/(z - 1)] - а* '
(32.1)
дающую решение задачи с точностью до произвольных чисел:
действительного а и комплексного а.
Существует одно частное решение задачи, которое можно
получить, если вместо отображения R = 2шр взять функцию
R = 7г(р — 1/4). Эта функция отобразит полосу Ер на полосу
Eft: —7г/4 < Re Efi < 7г/4, которую функция
W
' ~ /Z + 1 1\
tg л = tg .(____)
(32.2)
сворачивает во внутреннюю часть единичного круга \w\ < 1
(см. пример 31.1. Отображение (32.2) является частным слу-

290 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
чаем (32.1) при a = — 7г/2, а — г. Действительно,
Отображение полуплоскости на единичный круг
осуществляется стандартным представлением (27.10), поэтому для
заданной области достаточно найти функцию, осуществляющую
отображение на полуплоскость, а затем воспользоваться
функцией (27.11).
Пример 32.2. Найти функцию, отображающую область,
принадлежащую двум единичным кругам с центрами в точках 0
и 1 (рис. 82,а), на верхнюю полуплоскость.
Рис. 82
Решение. Из центров окружностей в точку их пересечения
проведем радиусы. Полученный треугольник является
правильным с углами 7г/3. Тогда один из углов между
касательными тоже равен тг/3, а другой, соответствующий углу между
окружностями, равен 2тг/3 —-к — 7г/3.
Воспользуемся дробно-линейной функцией
_ z - (1/2 - гУЗ/2) _ 2г - 1 + г\/3
Р ~ z - (1/2 + п/3/2) ~ 2z - 1 - гУз'

32. Основная задача теории конформных отображений 291
переводящей точку z\ — 1/2 — i-y/Z/2 в точку pi = 0, а точку
22 = 1/2 + г\/Ъ/2 в точку р2 = оо. При таком отображении
дуги окружностей перейдут в лучи, расположенные, как и их
прообразы, под углом 27г/3 друг к другу. Чтобы выяснить,
как этот угол расположен на плоскости р, достаточно найти
хотя бы одну точку на одном из его лучей. Поскольку р(1) =
— 1/2 + гл/3/2, то правая дуга окружности отобразится в луч,
выходящий из начала координат плоскости р под углом 27г/3.
А так как при движении от точки z\ — \j2 — i\fbj2 к точке z —
1 область Е остается слева, то ее образом будет область Ер,
остающаяся слева при движении от р = О к р = —1/2 + гуЗ/2
(рис. 82,6). Линейная функция R = е-*Р2л73 повернет угол Ер
на угол 27г/3 по часовой стрелке так, что верхний луч совпадет
с действительной осью плоскости R (рис. 82,в), а степенная
функция w = Д3/2 развернет этот угол до величины 7г, что и
соответствует верхней полуплоскости G: Im w > 0.
Таким образом, функция, осуществляющая требуемое
отображение, имеет вид
w{z) = e-'V72 =
2z- 1 + г\/313/2
2z - 1 - n/3 J
Пример 32.3. Найти функцию, отображающую верхнюю
полуплоскость Im z > 0 с разрезом по мнимой оси от z = 0 до
г = i/i на верхнюю полуплоскость Im -ш > 0.
-77777
ЕР
WAV*
X
a
-h2
(P)J
R=P+h4 (H) ttl=>/g-
Рис. 83
tv
(w)
г
Решение. Функция р = 'z2 отображает исходную область Е
на всю комплексную плоскость с разрезом по действительной
оси от — h2 до оо, так как она удваивает аргументы прообразов
(рис. 83,а,б). Функция R = р+ h2 сдвигает этот разрез вправо
на величину h2 так, что областью Er становится вся
плоскость R с разрезом по положительной части действительной
оси (рис. 83,в). Наконец, функция w = л/R сворачивает Er в
полуплоскость G: Im w > 0. Тогда w(z) = yjz2 + h2 (рис. 83,г).

/
292
Глава 3. Введение в теорию конформных отображении
Пример 32.4. Найти функцию, отображающую единичный
круг Е: \z\ < 1 с разрезом по действительному диаметру от
z = 1/4 до z = 1 на верхнюю полуплоскость Im w > 0.
(z)
1У
ИИ) \ ад R=^
^ 17/8
р-17/8
СТО
s=etnR=-Rk
(s)
w=y/§ kv
>/s////s////\
(v>)
///////////// /•
Рис. 84
Реи1ение. Функция Жуковского р = (z + l/z)/2
отображает область Е (см. пример ЗОЛ) на всю комплексную
плоскость с разрезом от р = — 1 до р = 17/8, так как р(1/4) =
(4 + 1/4)/2 = 17/8 (рис. 84,а,б). Дробно-линейная функция
R = (р+ 1)/(р_ 17/8) отображает точки pi = — 1 в Ri(—1) =0,
Р2 = 17/8 в Д2(оо), Рз = 0 в Лз(0) = —8/17. Это означает, что
область i£p отобразится в область Er, представляющую собой
всю плоскость R с разрезом по отрицательной части
действительной оси (рис. 84,в). Функция s = et7rR — —R переводит
разрез с отрицательной части действительной оси плоскости
R на положительную часть действительной оси плоскости s
(рис. 84,г). Наконец, отображение w — y/s свернет область Es
на верхнюю полуплоскость G: Im w > 0 (рис. 84,г, д).
Таким образом, функция, осуществляющая требуемое
отображение, имеет вид
' z2 + 2z + l
17г/4-*2-1'
Пример 32.5. Найти функцию, отображающую внешнюю часть
единичного круга \z\ > 1 с разрезом на действительной оси от
z = — 2 до z = — 1 на верхнюю полуплоскость.
Решение. Функция р — 1/z переводит внешнюю часть
единичного круга Е (рис. 85,а) во внутреннюю часть единичного
круга |р| < 1, а разрез на действительной оси от z = —2 до

32. Основная задача теории конформных отображений 293
т
iL & *=i Л^{р)
п х
a
Рис. 85
z = — 1 - в разрез по действительному диаметру от р = — 1
до р = — 1/2 (рис. 86,6). Задача отображения области Ер на
верхнюю полуплоскость рассмотрена в предыдущем примере.
Следуя алгоритму его,решения, найдем
){z
-ё
2z2 + 5z + 2
z2 + 2z-l
Пример 32.6, Найти функцию, отображающую круг Е: \z
2| < 1 на круг G: \w — 2г| < 2 так, чтобы w(2) — г, argtu'(2) :
тг/2 (рис. 86,а,б).
22 = 00
1
\G
■2/ )
wj
U
w2 б
Реп1ение. При решении примера 27.1 нами было получено
соотношение (27.7). Непосредственное применение этого
соотношения в данном примере невозможно, однако метод его
получения, использующий свойство сохранения симметричных
точек (теорема 27.2), позволяет решить задачу.
Действительно, если центр круга z\ — 2 отображается в
точку wi(z) = г, то точка 22 = 00 должна отобразиться в точку
W2, симметричную точке w\ = г относительно окружности \w—
2г| = 2, т.е. точку w2 = —2г.
Еще одну точку можно найти, если воспользоваться
геометрическим смыслом аргумента производной. Из равенства
argtt/(2) = 7г/2 следует, что радиус, проведенный из точки
z\ — 2 в точку 2з = 3, при заданном отображении повернется

294 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
на угол 7г/2 против часовой стрелки, т.е. его образом будет
отрезок от w\ = г до гУз = 4г, и, следовательно, образом точки
z3 = 3 будет точка г^з = 4г.
Поскольку известны три точки z\, 22, Z3 и их образы гих,
к>2, мз> то можно воспользоваться формулой (27.6). Тогда
(•ш-г)(-2г-4г) _ z - 2
(™-4г)(-2г-г) ~~ ^-3'
Отсюда после упрощений находим
ги = 2г -.
z - 4
Решение этого примера целиком основано на принципе
сохранения симметрии точек при дробно-линейном
отображении, который, вообще говоря, можно рассматривать как
частный случай более общего принципа — принципа симметрии
конформных отображений, формулировку которого дает
следующая
Теорема 32.1 (принцип симметрии). Пусть граница
области Ei содержит отрезок действительной оси 7 (конечный
или бесконечный), а функция w = fi(z) реализует
конформное отображение этой области на, область Gi такое, что
7 переходит в отрезок действительной оси Г, являющийся
частью границы G\. В этих условиях функция fi(z)
допускает аналитическое продолжение /2(2) = fi(z*) через дугу 7
в область Е2, симметричную относительно j, причем
функция w = /2(2) реализует конформное отображение области
2?2 на область G2, симметричную относительно Т, а
функция
7 fi{z), zed;
w = F{z) = { fi(z).= f2(z), zev
l Л(*), zeG2
реализует конформное отображение области Ei -f 7 + Е2 на
область Gi + Г + G2-
Доказательство. Обозначим через z произвольную точку,
принадлежащую области Е2 и симметричную точке z* Е Ei
относительно 7 (рис. 87,а). Обозначим соответственно через
/2 (z) точку, принадлежащую области Сг и симметричную
точке /1(2*) относительно Г (рис. 87,6). Но точкой,
симметричной точке /i (z*) относительно Г, является и точка fi(z*) (рис.

32. Основная задача теории конформных отображений 295
Рис. 87
87,6). Отсюда и следует, что
(32.3)
Покажем теперь, что функция /2(2) аналитична в
области Е2 и конформно отображает ее на область G2, т.е. функция
f2 (z) в каждой точке области Е2 имеет отличную от нуля
производную /2(2)- Действительно,
m = 'lim /»(«+**)-/»(») =
#(** +А**)-£(**)_
= lim
lim
д*-»о
Az
fi(z*+Az*)-f2{z*)
Az*
]* = [Й(**)Г- (32.4)
Поскольку, по условию теоремы, функция fi(z) конформно
отображает Е\ на Gi, то существует отличная от нуля
производная /{(г*), а следовательно, в силу (32.4) и производная /2(2)
для всех z £ Е2.
Докажем следующее утверждение теоремы о том, что /2(2)
является аналитическим продолжением fi(z), т.е.
выполняется равенство fi{x) = /2(ж), означающее совпадение функций
/i(z) и /2(2) на границе 7-
Действительно, согласно теореме 24.3, существует предел
lim A(*') = Д(х),
2* —fa:
но, согласно (32.3),
f2(x) = lim f2(z) = lim /J(z*) = /Г(х).
Z-+X Z*-¥X

296 Глава 3, Введение в теорию конформных отображений
Таким образом, /2(ж) = fl (ж), а с учетом того, что fi(x)
принадлежит границе Г, лежащей на действительной оси, имеем
/Г(ж) — Л(ж)> откуда и-следует /г(ж) = /i(z). Последнее
равенство по принципу непрерывного продолжения означает, что
/2(2) является аналитическим продолжением функции fi(z).
Все сказанное выше доказывает последнее утверждение
теоремы: о том, что функция F(z) (32.1) реализует конформное
отображение Е± + 7 4- £"г на G\ + Г + Сг-
О Принцип симметрии остается справедливым и в том
случае, если в его формулировке отрезки действительных осей
заменить на отрезки произвольных прямых и, более того, на
части дуг некоторых окружностей. Справедливость такого
замечания вытекает из кругового свойства дробно-линейной
функции, позволяющего отобразить указанные линии в отрезок
действительной оси. Таким образом, в тех случаях, когда
отображаемая область симметрична относительно одной из линий,
указанных выше, основная задача теории конформных
отображений может быть упрощена в «два раза» - отображением
одной из ее «половин».
Помимо этого, принцип симметрии можно рассматривать
еще и как исключительно простой метод построения
аналитического продолжения функции f(z) через границу 7-
Действительно, если Г совпадает с действительной осью,
справедлива формула (32.3); если Г совпадает с мнимой осью, то
/2(2:) = ~fi(z*)\ если Г совпадает с биссектрисой первой
четверти, то f2(z) = if 1(2*) и т.д.
Сказанное выше можно интерпретировать и как условия
для функции /1(2), допускающей указанные аналитические
продолжения. Так, в первом случае условием является
Im fi(z)\x€l = Im /i(2)l*€* = О
(так как Г П v = 0); во втором случае -
Re /i(«)U6-y = Re /i(«)U€* = 0
(так как Г П и == 0), и в третьем -
Re /i(*)l*ey = Im Л(*)1*€7
или Re fi(x) = Im fi(x) (так как Г G и = v).
Приведем ряд примеров, использующих принцип
симметрии. Однако перед этим вернемся к задаче отображения
функцией sinz полуполосы —7г/2 < Re z < 7г/2, Im z > 0 и всей

32. Основная задача теории конформных отображений 297
полосы — 7г/2 < Re z < 7г/2. В предыдущем разделе эти задачи
решались независимо друг от друга. Использование принципа
симметрии позволяет достаточно просто найти решение
второй задачи, если известно решение первой.
Действительно, fi(z) = sin z отображает указанную
полуполосу на верхнюю полуплоскость, при этом отрезок /у: —7г/2 <
х < 7г/2, у — 0 отображается в отрезок Г: — 1 < и < 1, v = 0.
Принцип симметрии дает выражение для аналитического
продолжения fi(z) = sinz через отрезок 7 в виде (32.1), т.е.
/2(z) = (sin «*)*=(
JIZ „ — I*
2г
)•
2%
2г
Sill 2.
Таким образом, аналитическим продолжением sin г снова
является sin z. Но тогда нижняя полу полоса отобразится на
нижнюю полуплоскость, а вся полоса функцией sinz отобразится
на всю комплексную плоскость с разрезами по действительной
оси от —оо до —1 и от 1 до оо (рис. 78).
Пример 32.7. Найти функции w(z), конформно
отображающие внешнюю часть креста (рис. 88,а) на
а) верхнюю полуплоскость Im w > 0;
б) внешнюю часть единичного круга |ги| > 1.
Решение. Поскольку рассматриваемая область обладает
симметрией относительно действительной оси, проведем по ней
вспомогательный разрез и рассмотрим верхнюю полуплоскость
с разрезом по мнимой^ оси от z = 0 до z — г. Как показано в
примере 32.3, функция s = \Jz2 + 1 отобразит ее на верхнюю
(z) Щв(0 p=z2
кУ
W
Л(-1)
R=p+1
Ж-1)
(Р)
44Щ^М444^/^А^^/*
(й)
Л(Х)
zy/R
'<&W//S////////////y////.<r<:
уяяя
5(0) Л(2) С(5) A(-V2)
в
Рис. 88
С(4)
(s)
^т^УтУт-И»
в(о) сЫ5)
г

298 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
полуплоскость плоскости 5, причем точки А,В,С отобразятся
в точки действительной оси с координатами, соответственно,
->/2, 0, у/Ь (рис. 88).
Функция s — V'z1 + 1 удовлетворяет условиям принципа
симметрии Im s(x) = Im \/х2 -f 1 = 0 и, следовательно,
допускает аналитическое продолжение
V^TT, Im z > 0;
ВД = х/г2 + 1 = I л/^ТТ, lmz = 0; (32.5)
( V*2 + 1, Im z < 0,
которое полную (верхнюю и симметричную ей нижнюю)
внешнюю часть креста отображает на комплексную плоскость s с
разрезом по действительной оси от точки А(—у/2) до точки
С[у/Ъ). Причем в (32.5) выбирается та ветвь корня, для
которой F(x + г0) > 0 при х > 0. Далее в случае
rp_s±V2_
V5-s
аЩ
(Т) w=y/f iv №
B(V2l5) C(oo)
В(Ш)
Л(0) С(оо)
Рис. 89
а) функция Т = (v/2 + з)/(л/5 — s) превращает конечный
разрез плоскости .5 в бесконечный разрез по действительной
оси плоскости Т (рис. 89,а), а функция w = л/Т сворачивает
плоскость Т с разрезом в полуплоскость Im w > 0 (рис. 89,6).
Таким образом, искомая функция w имеет вид
б) функция Т = (2s+y/2 — V5)/(V2+y/b) преобразует
конечный разрез плоскости s (рис. 88,г) в конечный разрез плоскости
Т по действительной оси от точки Т\ — —1 до точки Т% = 1
(рис. 90,а), а функция w = Т + VТ2 — 1 (ги(оо) = оо),
обратная функции Жуковского, переводит внешнюю часть отрезка
плоскости Т во внешнюю часть единичного круга плоскости
w (рис. 90,0). Окончательный вид функции w дает выражение
, ч 2 ГуД-у/Ь г-

32. Основная задача теории конформных отображений 2.99
9
п. (iPf
(01)
г/
7
■^х
\i-)v
//
(Х)Э
ZZZZZZZZ21
XSCSSpOCa
Рис. 90
-Ь^2 + 1 + (л/2-л/5)ч/?ТТ].
Пример 32.8, Плоскость z с разрезом, изображенным на рис.
91, а, отобразить на верхнюю полуплоскость.
|c(oL d&L
С(оо)
5(0)
(Я)
К^Е»Л
5(0)1
ей)
T=Vs 1
цУ/ЛУЛ^а
Л(5/9)
л(-У5/з)
(T)Lrz_lz2L
Ш
W3+T
ей) .
Рис. 91
(L)
1
W-VL
kv
С(0) Л(оо)
\Wft,WAW&.
Wr/Wr/VY/VY* — ///////\
ЖзМ)
(tl»
Решение. Функцией р = e~tn/2z — —iz повернем разрез на
7г/2 по часовой стрелке (рис. 91,6) так, чтобы рассматриваемая
область была симметрична относительно действительной оси,
по которой мы проведем вспомогательный разрез. Рассмотрим
верхнюю полуплоскость. Функция Жуковского R = (р+1/р)/2
верхнюю полуплоскость отображает на всю плоскость R с
разрезом по действительной оси от — оо до —1 и от 1 до -foo.
Разрез по дуге единичной окружности, лежащей во второй
четверти, удлинит левый разрез от —1 до нуля (рис. 91,в). Дробно-
линейная функция s — R/(R — 1) отобразит плоскость R с
указанными разрезами на плоскость s с единственным
разрезом по положительной части действительной оси, которую
функция Т = у/з (выбираем однозначную ветвь, для которой

300 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
у/2 = 1), в свою очередь, свернет на верхнюю полуплоскость
Im Т > 0, причем точки Л, J9, С отобразятся, соответственно,
в точки с координатами — \/5/3, 0, 1.
Функция Т = \Jp2 + 1/(р— 1) удовлетворяет условиям
принципа симметрии
v^limp=o L Rep-1
= 0
и, следовательно, допускает аналитическое продолжение F(x) =
ур2 + 1/(р — 1), которое полную (верхнюю и симметричную
ей нижнюю) плоскость р с повернутым разрезом
отображает на комплексную плоскость Т с разрезом по
действительной оси от точки А(— \/5/3) до точки С(1). Далее функция
L = (1 — Т)/(->/5/3 + Т) преобразует его в бесконечный
разрез по положительной части действительной оси плоскости L.
И, наконец, функция w = л/Z отображает плоскость L с
бесконечным разрезом в верхнюю полуплоскость Im w > 0. Собрав
все промежуточные обозначения, найдем явный вид функции
w(z)
w(z)
-i-y/z2
iy/z*~^l + y/b{z-i)/3'
Пример 32.9. Найти .функцию, конформно отображающую
область, изображенную на рис. 92,а, на круг \w\ < 1.
-Z3/2
Л 7
(Р)
R=p+y/p^l . w=R2/3ei2*/5 k
б
i
%
(w)
J A it
G2 г
Рис. 92
Решение. Всю плоскость z лучами 7: arg2 = 0, 7i: argz =
е-2гтг/з и ^2« arg^ — e-4i7r/3 разобьем на секторы Е, Е\, i£2-
Рассмотрим сектор Е (рис. 92,а). Функция р = —z3/2
отобразит его на верхнюю полуплоскость Re p > 0, которую
функция R = р + \Jp2 — 1, обратная функции Жуковского,
отобразит в нижний полукруг \R\ < 1, Im R < 0 (выбирается ветвь

33. Интеграл Кристоффеля-Шварца
301
Д(оо) = 0). Наконец, функция
w(z) = е''2*/3Д2/3 = ei2"/3(~zV2 + sfz^l)2'*
отобразит этот полукруг на сектор G (рис. 92,б,в,г).
Следующий сектор Е\ можно получить из Е поворотом на
угол 27г/3 по часовой стрелке и, соответственно, сектор G\ из
сектора G поворотом на угол 27г/3 против часовой стрелки.
Тогда
w^^e^^w^^z), z£Eu
и, поскольку
w1(z) = w(z), ztfu
то wi(z) можно считать аналитическим продолжением w(z)
через луч 71 •
Аналогично
w2{z) = e^/3™^4*/3*), z e E2,
w2(z) = wi(z), z G72,
и, следовательно, w2(z) — аналитическое продолжение W\(z)
через луч 72-
Таким образом, функция
F(z) = {
w(z), z e E;
w1(z) = w(z), zG7i
wi(z), z e J5i;
w2(z) = wx{z), z G71;
w2(z), z e E2\
w(z) = w2(z), z G 7
является аналитическим продолжением функции
w{z) = e2,7r/3(-z3/2 + v^^T)273
на всю комплексную плоскость и конформно отображает
заданную область на круг \w\ < 1.
33. Интеграл Кристоффеля-Шварца
Рассмотрим еще один класс основной задачи теории
конформных отображений: отображение полуплоскости на
заданный многоугольник. Зададим для определенности на
плоскости z верхнюю полуплоскость Im z > 0, а на плоскости w —

302 Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
kV
ax a2
(Z)
(1г о>4
A^rt^
лУа\7г
%&&
A2
\V
{Wls^<\
^^^ап-к
a37r
Г\ a47T
<^vc
<An
*
*
*
*
'< u
/
\ б
A4
Рис. 93
n-угольник с вершинами в точках А\, Лг, ..., Ап с углами
ai7r, а2к< ..., ап7г (рис. 93).
Если положительное направление обхода n-угольника
соответствует возрастанию порядкового номера к точек АьУ то
их прообразы а*,-, расположенные на границе полуплоскости
Im z = О, согласно принципу соответствия границ,
пронумерованы в порядке возрастания самих величин а*.
Напомним, что сумма углов n-угольника равна 7г(п — 2).
Отсюда для значений aj. вытекает условие
k=i
п-2,
из которого, в свою очередь, получаем условие —2 ^ а& <J
О, ограничивающее значение угла <*&, если его вершина А^
является бесконечно удаленной точкой.
Как правило, рассматриваемое отображение не
осуществляется с помощью элементарных функций. Тем не менее,
можно получить интегральное представление функции w = /(2),
определяющей это отображение.
Теорема 33.1 (Кристоффеля—Шварца). Если функция w =
f(z) реализует конформное отображение верхней
полуплоскости на внутреннюю часть ограниченного п-уголъника с
углами а*7г (к = 1, п) в вершинах Ak с прообразами а& (—ос < а\ <
6t2 < • • • < Q>n < °°Ь то она представляется интегралом
w
Z
= f(z) =cj[z- ахГ-Ч* - аз)"-1 ■
■ ■ ■ (z - а„)а"-Чг + d,
(33.1)

33. Интеграл Кристоффеля-Шварца
303
где zo, С, С\ — некоторые постоянные. Интеграл (33.1) на^
зывается интегралом Кристоффеля-Шварца.
Перейдем сразу к обсуждению формулы (33.1), опустив
доказательство вследствие его громоздкости (см. [34]). Интеграл
(33.1) задает функцию w — f(z) только в том случае, если
известны прообразы otfc вершин Aj.. В противном случае точки
а&, как и постоянные С, Ci, должны определяться по ходу
решения задачи, что и составляет основную трудность
использования формулы (33.1).
Справедливости ради следует заметить, что три точки ai,
ci2, аз можно задать произвольно, а остальные доопределить,
например, из условий
Lk = |Afc+i - Л*|,
где Lk — длина стороны между вершинами Ak+i и Аи, а
ak
Ak=f{ak) = C J(z-a1)ai-l{z-a2)Q*-1---(z-an)a»-4z+C1.
Кроме того, если положить zq — ai, то С\ = А\.
Существуют частные случаи формулы (33.1) —
комбинации таких, когда бесконечно удаленной точкой является, во-
первых, вершина Лп, во-вторых, — прообраз ап точки Ап. В
первом случае формула (33.1) оказывается справедливой, если
под ап понимать данное ранее определение угла между
прямыми в бесконечно удаленной точке. Во втором случае формула
(33.1) упрощается к виду "
z
w = f(z) =C f(z- ai)*1"1^ - a2)a2-x • • •
•••(*- anLi)"*-1-1^ + d. (33.2)
Формула (33.2) отличается от (33.1) отсутствием множителя
(z — ап)ал-1, относящегося к бесконечно удаленной точке ап.
Приведем несколько простых примеров построения
функции w = /(г), отображающей полуплоскость на простейший
многоугольник - треугольник.
Пример 33.1. Найти функцию, отображающую верхнюю
полуплоскость Im z > 0 на внутреннюю часть треугольника
А1А2-Аз, изображенного на рис. 94.

304 Глава 3, Введение в теорию конформных отображений
Решение. Так как три прообраза вершин Ak допускают
произвольный выбор, положим а\ = 0, tt2 = 1, аз = оо. Кроме
того, выберем zq = a\ = 0. Тогда, согласно (33.2), имеем
w = f(z) = C f га>-г{г - l)"3"1^ + d
о
Из равенств
(33.3)
1
А2 = f(a2) = С f z°x~x(z - \)Q*-ldz + Ci,
находим С\ = 0 и
С=-ч
I z«x-l{z-l)«*-ldz
е-17г(аэ-1)
B(ai,a2) '
(33.4)
где
Я(аг,а3)= /'жв,-1(1-*)в,,"1Л
(33.5)
- так называемая бета-функция, которая будет рассмотрена
позднее (см. разд. «Бета-функция»). Подставив (33.4), (33.5) в
*v Лз
И
съя
Ai-0
И
чАз=«
Ш_
'тЩ,
Аг-\ и
Ai«~6 i42»l w
Рис. 94
Рис. 95

33. Интеграл Кристоффеля-Шварца
305
(33.3), найдем
Z
М = ш Л , Iz^-\\ - z)^-Uz. (33.6)
B(ai,a2) J
о
Пример 33.2. Найти функцию, отображающую верхнюю
полуплоскость Im z > 0 на внутреннюю часть неограниченного
треугольника Л1Л2Л3, изображенного на рис. 95.
Решение. Из (33.б) при а± = 1/4, <*2 = 7/6 найдем

ГЛАВА 4
Элементы операционного исчисления
34. Преобразование Лапласа
♦ Преобразованием Лапласа заданной функции f(t)
действительного переменного t называется преобразование,
ставящее в соответствие функции f(t) функцию <р(р)
комплексного переменного р с помощью равенства
оо
ф) = j е~* f{t)dt. (34.1)
О
Интеграл (34.1) называется интегралом Лапласа.
О Интеграл Лапласа (34.1) является несобственным
интегралом, зависящим от комплексного переменного р — s + га как
от параметра. Несобственный интеграл (34.1) сходится не для
всех функций f(t) и не при всех значениям параметра р.
Поэтому определим класс функций /(£), для которых преобразование
(34.1) имеет смысл.
ф Функция f(t) называется оригиналом, если она
удовлетворяет следующим условиям:
1. f{t) = О при t < 0;
2. при t > 0 функция f(t) на любом конечном участке оси Ot
имеет не более чем конечное число точек разрыва первого
рода;
3. при t —У оо f(t) имеет ограниченную степень роста, т.е.
существуют такие М > 0 и s > 0, что справедливо
неравенство
l/WI ^ Ме'К (34.2)
♦ Точная нижняя грань (inf s = so) тех значений s, для
которых имеет место соотношение (34.2), называется
показателем степени роста функции f(t).
О Отметим, что неравенство (34.2) выполняется при s =
so + е для любого е > 0, а при s = s0 OHO может и не
выполняться.
Пример 34,1. Определить показатели степени роста
следующих функций:
a) f(t) =tn, n = (Too; б) f(t) = e3t sin*, в) f(t) = tg t.

34. Преобразование Лапласа
307
Решение, а) Для всех s > 0 имеем
lira
t-юо
£>St
lira —-.
t->oo es
По правилу Лопиталя
tfn n!
lim —г = lim — 0.
*-voo e5t t-юо sne
Следовательно, для всех t E [0, oof справедливо
tn
откуда
\tn\<Me"
для всех 8 > 0. Здесь s — произвольное положительное число.
Следовательно, точная нижняя грань inf s = 0 и sq = 0, хотя
при 8 = 0 соотношение (34.2) для п > 0 не выполняется.
б) Так как для любого М ^ 1 справедливо
|e3tsmt| ^ Me3*, t -> ос,
то показателем степени роста является so = 3.
в) Так как прямая t = 7г/2 есть вертикальная асимптота
функции f(t) — tg £, то для нее показатель степени роста не
существует.
♦ Пусть для заданного оригинала f(t) и для Re p > so
существует интеграл (34.1). Тогда интеграл (34.1) определяет
функцию (р(р) комплексного переменного р
оо
<pb>) = ff(t)e-ptdt, (34.3)
О
называемого лапласовским изображением (изображением по
Лапласу) функции f(t).
Связь между функциями f(t) и <р(р), осуществляемую с
помощью преобразования Лапласа (34.3), будем обозначать

308
Глава 4. Элементы, операционного исчисления
Теорема 34.1. Интеграл (34.3) сходится абсолютно в
области Re р > б*о, где so — показатель степени роста
функции f(t). Причем в области Re р ^ а > so интеграл (34.3)
сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Выберем произвольное е > 0. Для всех р =
s + ia и Re р = s > $о + £ справедливо неравенство
|e-^/(t)| = |e-(—^)'||/(t)|^
Здесь мы воспользовались тем, что для всех s > so
справедливо равенство \е~(*~г(7)г\ = е~**, и определением показателя
степени роста функции /(£), т.е. условием \f(t)\ < Ме^8о+е^*.
В силу этого неравенства интеграл
оо
/■
e'pt<p{t)dt
о
мажорируется абсолютно сходящимся интегралом
оо
М re-(s-s0-e)tdt= М_ ^
s — so — e
о
Следовательно, по признаку сравнения для сходимости
несобственных интегралов он тоже сходится абсолютно, причем
справедливо
Ш\ ^ -^-. (34.4)
S — Sq
Исследуем теперь интеграл (34.3) на равномерную
сходимость. В случае Re р ^> а > sq аналогично получим
Следовательно,
оо оо
Ш\ $ J \f(t)e-pt\dt ^MJe-^-^dt = -*-.
о. - «о
о
Таким образом, интеграл (34.3) при Re р ^ а > so сходится
равномерно, так как он мажорируется сходящимся
интегралом, не зависящим от р (признак Вейерштрасса равномерной
сходимости интегралов). Следовательно, теорема доказана.

34. Преобразование Лапласа
309
Теорема 34.2. Функция <р(р), определяемая равенством (34.3),
является аналитической функцией комплексного
переменного р в полуплоскости Re р ^ а > so, где 8q — показатель
степени роста функции f(t).
Доказательство. Действительно, согласно теореме 34.1, при
Re р ^ а > so интеграл (34.3) сходится равномерно.
Поэтому его можно почленно дифференцировать, если интеграл от
производной подынтегральной функции сходится:
I °°
- ftf(i)e~ptdt
I о
Следовательно, интеграл сходится равномерно, что и
доказывает теорему.
Теорема 34.3. Еслир стремится к бесконечности так, что
Re p = s неограниченно возрастает, то имеет место равен-
ство
lim p(p) = 0. (34.5)
Re р-юо
Доказательство. Действительно, из равенства (34.4) имеем
Мр)1< -—; т. Rep =з.
s — sq — е
Переходя к пределу 8 -> со, Получим соотношение (34.5).
Следствие. Если бесконечно удаленная точка является
устранимой изолированной особой точкой функции <р(р), то
lim <p{p) = 0. (34.6)
р—юо
Доказательство. По определению устранимой
изолированной особой точки р = ос имеем
Отсюда
lim <p(p) = Со
р-юо
00
< [Mte-(Q->°»dt= . M „.
У (а - *о)2
о

310
Глава 4. Элементы операционного исчисления
вне зависимости от способа стремления р к бесконечности. В
частности,
lim <р(р) = Со = О
Re p-yoo
в силу (34.5). Следовательно, Со = О, что и требовалось
доказать.
Теорема 34.4 (обращения). Если функция j'(t) является ори
гинолом, а (р(р) - ее лапласовским изображением, то для всех
t, где оригинал непрерывен,
a+ioo
m = 1kl I *>&)***?> <34-7)
причем интегрирование производится по всей прямой Re p =
а > So, где so — показатель степени роста функции f(t), и
интеграл понимается в смысле главного значения (23.3), т.е.
a-ftoo
a+i\R
/<p(p)eptdp= lim / <p(p)eptdp.
R-+oc J
a-iR
Формула (34.7) называется формулой Меллина.
Доказательство. Рассмотрим функцию ф(р),
у являющуюся преобразованием Лапласа функ-
Д/\я ции/(*) (34.7)
оо Г a+too
*(Р)=2^/ / ^>И^
Рис. 96
О la —too
~ptdt,
где <p(p)-^f(t) и so < a < оо. Теорема будет
доказана, если мы покажем, что ф(р) = <р(р).
В силу равномерной сходимости последнего интеграла
можно изменить порядок интегрирования
a+ioo оо
ф(р) = -L j du f dte^-p^<p(u)

34. Преобразование Лапласа
311
В полуплоскости so < ol ^ Re p рассмотрим контур 7я (см.
рис. 96), являющийся частью окружности радиуса R с центром
в точке (а, 0). Тогда
a+ioo
()= 1 ' Г ^)_duj+
УУ' 2т | J ы-р
Кос —too
J U — р Я-юо J U — р
+ lim
Я-юо
'Л
1
2тг7
hm / z^—-— + Jim
J u-p
Я-юо
Гя
+ lim /^<Д
Я-*оо J W — p I
где Гд состоит из полуокружности 7я и диаметра этой
окружности, лежащего на оси Re p = а. Обход этого контура
совершается в положительном направлении. Так как
lim <p(w) = 0,
lim
1
ы-»оо CiJ
о,
ТО
1;т
Я-ЮО
J w -p
-Ун
и, следовательно,
^=ы^=^
поскольку функция (р(р) аналитична в полуплоскости Re p J> a
(см. интегральную формулу Коши (13.1)). Здесь Г = lim Гд.
Я-юо
Таким образом, теорема доказана.
Теорема 34.5 (единственности). Если две непрерывные
функции имеют одно и то же изображение, то они
тождественно равны.
Доказательство. Пусть {f{t)-rHp(p), g(t)-&(p(p)}. Рассмотрим
функцию Ф(£) = f(t) —g(t). В силу линейности интегралов
получим
Ф(0-*р(р)-р(р)"=0.

312
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Следовательно, по формуле Меллина
a+i'oo
Ф(*) = -L [ 0.eptdt = 0,
2m J
a —too
что и требовалось доказать.
35, Изображения простейших функций
Пример 35.1. Найти изображение 0-функции Хевисайда
*> = {}!?!■
Решение. Нетрудно заметить, что показатель степени роста
^-функции равен нулю: so = 0. По определению,
0(t)-s> fe-pt0(t)dt = f €~ptdt = -ie~pt
о
Таким образом,
oo _ 1
о р
0(*)-г>-, Rep>0. (35.1)
Р
Пример 35.2. Найти изображение функции f(t) = 0(t)ext.
Решение. В этом случае sq = А. Тогда
°° °° (А-
0{t)eM-» [e~pteMdt= f e^'^dt = ^~
€{*-p)t
P
о Р- A'
так как Re p > А, где А — показатель степени роста функции
ext. Следовательно,
вЮе*'-»-^. (35.2)
р-А

35. Изображения простейших функций
313
Пример 35.3. Найти изображение функций fi(t) = 0(t)cost,
f2(t) = 0(t) sin* и f3(t) = 6(t) tg t.
Реи1ение. Так как |cos*| < 1 и, следовательно, So = 0, то
оо
0(t)cost^>ip(p)= J coste-ptdt.
о
Проинтегрируем по частям, положив e~pt = {/, dV = costdt,
dU = —pe~ptdt, V = sin*. Получим
оо
.оо Г
ф(р) = e-ptsint\ + / р smte~ptdt.
о
Проинтегрируем еще раз по частям, полагая e~pt = С/, dV =
shitdt, dU = —pe~ptdt, V = —cos*. Получим
оо
.оо f
ф(р) = -pcoste~pt\ -P2 coste~ptdt =
о
oo
— p — p2 I coste~ptdt = p — р2ф(р)-
о
Окончательно имеем
/!(*)=*(*) cost-*-* (35.3)
1 + V
Аналогично
f2(t)=e(t)smt^-^-I. (35.4)
1 +P
Функция /з(*) = 0(t) tg * не является оригиналом (см.
пример 34.1) и, следовательно, не имеет изображения.
Пример 35.4. Найти изображение степенной функции /(*) =
9(t)tn', п — целое, п— 1, оо.

314
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Решение, Заметим, что so = 0. Тогда
оо
0{t)tn-»<p{p) = fe'Tdt.
о
Проинтегрируем по частям, положив U = tn, dV — e~ptdt,
dU = ntn-1dt, V = -е-**/р. Получим
оо
<p(p) = -tn- + - / e-*4n-ldt.
p lo pj
0
Проинтегрировав еще n — 1 раз по частям, получим
*>(?) = £/
оо
e~ptdt = Ul
рп + l"
Таким образом,
*(')«"-^- (35.5)
О В математической литературе функция 0(t) зачастую
опускается. Тогда соотношения (35.1)—(35.5) примут вид
1н>-; (35.6)
Р
eXt^J—; (35.7)
Р- А
cost-fr, P • (35.8)
1 + р2
sint-r>- г; (35.9)
1 + р2 v '
В дальнейшем там, где это не приводит к недоразумениям,
функцию 0(t) будем опускать.

36. Свойства преобразования Лапласа
315
36. Свойства преобразования Лапласа
Свойство 1. Линейность преобразования Лапласа
Если
f{t)-»<p{p), g(t)-»rp{p),
то для любых комплексных постоянных С\ и С2
[Cif(t) + C2g(t)MCMp) + С2ф(Р)]. (36.1)
Доказательство. По определению имеем
Сг№ + C2g(t)^ J e-P'idfit) + C2g{t)]dt =
о
оо оо
= CXJ е~*'№<Н + C2J e-*g{t)dt = Сгф) + С2ф(р),
о о
что и требовалось доказать.
Пример 36.1. Найти изображение функций fi(t) = sh t и
f2(t)=cht.
Решение. В этом случае so = 1 и поскольку
с* - в"' , е' + е~*
sh tf = ,, ch £ =
ев'н>- 1
p— a
sh t = -el - -e -г»
2 2 " 2p-l 2p+l р2-Г
Таким образом,
sh t-&-
p2- 1*
Аналогично
p2^l"
Свойство 2. Теорема подобия

316
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Если f(t)-&<p(p) и a > О, то
/(«*)-» V?). (36.2)
Доказательство. Действительно,
оо
/И-^(р)"= [e-*f{at)dt.
о
Сделаем в интеграле замену переменных at — x. Тогда
оо
*(*>) = - fe-**'af(z)dz = ±<p{p/a),
a J a
о
что и требовалось доказать.
Пример 36.2. Найти изображение функции f(t) = sinatf, где
a> 0.
Решение. Известно (см. формулу (35.9)), что
1
Sin£-7>-
V + i'
Следовательно, по теореме подобия
1 1 a
sin at-&— -
a p2/a2 + 1 p2 + a2'
т.е.
sin at-fr
p2-\-a2'
Свойство З. Теорема запаздывания. Первая теорема
смещения для оригиналов
Если f{t)-&(p(p) и a > 0, то
f(t-a)-»e-ap<p(p). (36.3)
При этом f(t — a) = 0 для £ < а.

36. Свойства преобразования Лапласа
317
Доказательство. Действительно,
оо a оо
/(*-a)-s> fe-ptf{t-a)dt = f e~pt f(t-a)dt+ [ е~г* f{t-a)dt.
0 0a
Первый интеграл равен нулю, так как f{t—a) = О при tf—a < 0.
Положив во втором интеграле т = t — a, получим
оо оо
f{t - a)-» / e'ptf(t - a)dt = /" e-^+<0 /(r)dr -
a 0
oo
OO
-ap
= e
о
что и требовалось доказать.
Пример 36.3. Найти изображение функции
f(t -*) = (*- тг)20(* - тг)
и сравнить с изображением функции
g(t) = (t-*)4(t).
Решение. Для функции f(t\ = t26(t) имеем
2_
№=t'e{t)*-s.
По теореме запаздывания (свойство 3) для функции f(t ~ 7г)
найдем
/(* - тг) = (t - ir)20(t - тг)-**-**-^.
Р
Согласно свойству линейности, для функции g(t) получим
О 27Г ТГ2
</(*) = (t2 - 2тГ* + 7Г2)в(^)ч>4 - % + —'
р3 р2 Р
Пример Зв.4. Найти изображение ступенчатой функции,
график которой приведен на рис. 97.

318
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Решение. Согласно графику, функция f(t) имеет вид
оо
/(<) = A{0(t) + 6(t -r) + e(t-2r) + ...} = A^2 0(t - пт).
n—0
Следовательно, по теореме запаздывания
11 1 А °°
№-»А{=- + -е~^ + -е~2^ + ...} = - У" е-пт*.
V V
п=0
Поскольку
оо
п=0
1-9
то, положив q = е гр, с учетом \е тр\ < 1 для Re р > 0, т > О
получим
w pi- е~Рт 2р\ 2 /
t/W
4Л
за
2Л
2т Зт 4г <
Рис. 97
2р'
О
-Л
!/(<).
I •. I / i \ i
I \i/ I
-.1
■ч-
-4-
г 2т Зт 4т ^
i i i i
i i i i
Рис. 98.
Пример 36.5. Найти изображение периодической функции
f(t + T) = f{t) (см. рис. 98).
Решение. Согласно (34.1), для изображения <p(p)<-i-f(t) имеем
выражение
оо
9(p) = Je-'>tf(t)dt =
О
Т 2Т (п + 1)Т
= [e-*f(t)A+ /V*/(i)* + ...+ f e-"/(t)A + .--,
nT

36. Свойства преобразования Лапласа
319
которое заменами тп = t — nT, n = 1,оо, можно привести к
виду
т
<р{р) = (1 + е-^т + ... + е"п*т + ...)/ f{t)e-"dt.
о
Учтя, что рТ > О, |е~рТ| < 1, как и в предыдущем примере,
получим
т
О
Если ввести функцию
то в силу равенства •
Т оо
fe-*f(t)dt= [e~ptg{t)dt
о о
изображение <р(р) можно записать еще и как
где h(p) - изображение функции g(t).
Пример 36.6. Найти изображение прямоугольного импульса
/(<), график которого задан сплошными линиями на рис. 98.
Решение. Так как функция /(£), изображенная на рис. 98,
периодическая с периодом Т = 2т, причем
f(f\ - / А 0 < t < т;
TV) ~ \ -А, т < t < 2т,
то
2г г 2г
/e-ptf{t)dt = A fe-**dt - A f e'^dt = -(1 - e"r*)2,

320
Глава 4. Элементы операционного исчисления
откуда
/ч А(1-е-Рт)2 А1-е~Рг А Лрт
(р(р) = — —'— — = — th—-.
ruv p 1-е-2*"" pl + e-Pr p 2
С другой стороны, g(t) можно записать как
f{t) = A[6{t) - 20{t - т) + 0(t - 2т)}.
Тогда
h(p) = -[1 - 2е~тр + е-2тР] = -(1 - е~гр)2
Р Р
А(1- е-Р')2 ' А рт
Г(Р) = ~ х . €-2Рг = -thy.
Свойство 4. Теорема смещения для изображений
Если f{t)-&<p(p)y то при любом комплексном а
e~atf{t)-»<p{p+a). (36.4)
Доказательство. Действительно,
оо оо
e-atf(t)^> f е-**е-°*/(г)<Н = f e~^+e)« f(t)dt = *>(р + а),
о о
что и требовалось доказать.
Пример 36.7. Найти изображение функции e~at cos bt.
Решение. Так как cos bt-&p/(p2 + &2), то
е-*'с6вМ-» /*" ■
(р + а)2 + 62
Пример 36.8. Найти изображение функции

36. Свойства преобразования Лапласа
321
Решение. Функция f(t) является оригиналом с показателем
степени роста so = —5. Согласно (35.6),
Тогда по теореме смещения (свойство 4)
/(<) = t*e-"*<p(p) =
4!
(Р + 5)5'
Пример 36.9. Найти оригинал функции
*W = ]^47Т5-
Решение. Разложим функцию у>(р) на элементарные дроби
<р{р) =
Р + 4
Р + 2
+
(р+2)2-4 + 5 (р + 2)ЧГ(р + 2)2 + 1'
По теореме смещения (свойство 4) найдем
Р+2 -2« ,
fee cos г,
(Р +2)2 + 1
2
«-2е 2'sin*.
(р+2)2 + 1
Окончательно получим
¥>(?)**/(*) =e~2'(cos* + 2smt).
Свойство 5. Вторая теорема смещения для оригиналов
Если f(t)-&<p(p), то
f(t + a)-t*e*
Vip)-fe-"f{t)dt
О
a>0.
(36.5)
Доказательство. По определению,
с»
/(* + a)-»V'(P) =//(* + «)«""*, « >
0.

/
322 Глаэа 4. Элементы операционного исчисления
Сделав в интеграле замену переменных т = t + щ получим
оо a
ф(р) = [/(т)е-*{г—Ыт + еа* ff(r)e-pTdr-
a 0
a oo a
-e*r I e-vTf(T)dT = e»a f e~»T f{r)dr - caP /e^T' f(r)dr,
0 0 0
что и требовалось доказать.
Свойство в. Теорема дифференцирования для
оригиналов
Если функция f(t) — оригинал, причем f(t)-&<p(p) и
существует (по крайней мере при t ф 0) производная /'(£)»
являющаяся оригиналом, то
f'(t)-#p<p(p) - /(0), Re p > *0, (Зб.б)
где sq — показатель степени роста функции /(£), а
/(0)=Дт/(<).
Доказательство. При Re р = a > so
00
f'(t)^(p) = je-i"f'(i.)dt.
О
Проинтегрируем по частям, положив U = e"~pt, dV = /'(£)di,
dU = -pe-P{dt, V = f(t). Тогда
oo
ф(р) * e-'m^+pJe-tWdt = MP) - /(0),
0
что и требоэалось доказать,
Пример 36.10, С помощью теоремы дифференцирования для
оригиналов найти изображение функций f(t) = sin* и g(t) =
cwt.

36. Свойства преобразов,ания Лапласа
323
Решение. Обозначим через (р(р) лапласовскре изображение
функции /(£), т.е.
f(t) =sin<-*^p(p),
тогда
/'(/,) = cos t-&p<p(p) — sin 0 = ptp(p);
f"{t) = — sint-&p2<p(p) — cosO = p2<p{p) — 1.
С другой стороны,
fit) = -т.
Следовательно,
откуда
Аналогично
р2<р(р) - 1 = -у>(р),
_1_
1+р2
Ир) = 1 , а*1"8"1*'
р
cost-&
1+р2
Свойство 7. Теорема дифференцирования для
изображений
Если /(/.)-*>у>(р), то для Re p = s > sq
-tf(t)-»<p>(P),
^)^): (36.7)
(-1)»*"/(*)-»у>(»>(р)
Доказательство легко получить путем дифференцирования
под знаком интеграла. Последнее возможно, так как интеграл
определяет аналитическую функцию от р.
Пример 36.11. Найти изображение функции t^mt.
Решение. Так как
1
smf.-*>:
1+р2'
то
d 1 2р
t sin *-*►(-!)
dpl+p2 (1+p2)2'

324
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Таким образом,
t sin t-&
2р
(1 + Р3)2'
Свойство 8. Теорема интегрирования для оригиналов
Если функция f(t) является оригиналом и f{t)-&<p(p), то
t
функция g(t) = J f(r)dr — также оригинал, причем
о
9(t) = ff(T)dr-*.
<f{p)
(36.8)
Доказательство. Функция J f(r)dr удовлетворяет первому и
о
второму условиям определения оригинала. Для третьего
условия при a > so [где «о - показатель степени роста функции
f(t)] имеем
[ f(r)dr\ <С f \f{r)\dr < f MeQtdt = ^-(eQt - 1) < Meat.
Далее
I f(r)dr^4>(p) = Je-* \jf(r)dT
dt.
Интегрируем полученное выражение по частям, обозначив
t
U = [ f(T)dr, dV = e~ptdt, dU = f{t)dt V = —е-".
J P
Тогда
Ф(Р) = —e-pt
P
ff(r)dr\\ +i[e-*fm=m,
J Mo pJ p
что и требовалось доказать.

36. Свойства преобразования Лапласа
325
Свойство 0. Теорема интегрирования для изображений
Если f(t)/t — оригинал с показателем степени роста so и
если f(t)-&<p(p), то
/(<)
Н
<p(p)dp, Re p > а0. (36.9)
Доказательство. Обозначим через ф(р) изображение
функции f(t)/t, т.е.
Тогда по правилу дифференцирования
/(<)-* - ф'(р) т.е. <р(р) = -tf'(p).
Проинтегрировав последнее равенство от р до ос, получим
оо
-[ф(оо) - ф(р)] = / <p(v)cfo,
V
что и требовалось доказать.
Пример 36.12. Найти изображение функции
Решение. Так как siri21 = (1 — cos 2£)/2 и
--^—, cos2t-»>-
2 2р' р2+4'
то из свойства линейности следует
sin2 *-*>►- ^ —
2р 2(р* + 4) р(р2+4)
Следовательно,
оо оо
siirt Г 2cip _ Г 2<ip
* "*/ Р(Р2 + 4) ~ У р3(1 +
4/Р2)
~Н'+?)СЧ-^

326
Глава 4. Элементы операционного исчисления
При выборе ветви логарифма мы воспользовались
результатами примера 12.4. Окончательно запишем
sin21 L p2 + 4
t 4 pl
Пример 36.13. Найти лапласовское изображение
треугольного импульса #(£), показанного пунктиром на рис. 98.
Решение. Поскольку
t
g(t) = J f(t)dt и №-»<р(р) = £th^,
0
где f(t) — ступенчатая функция (рис. 98), то по свойству 8
(теорема об интегрировании оригинала) имеем
*w р р 2 Iй р2 2
Свойство 10. Теорема умножения изображений
(теорема Б орел я)
Если f(t)-&<p(p) и g(t)-i¥il)(p), тогда
t
Ф(*) = J f(T)g(t - т)<1т-щ>(р)ф(р). (36.10)
о
Доказательство. Пусть si — показатель степени роста
функции /(<), а s2 — показатель степени роста функции g(t). Тогда
если si ф з2, то
J =
t
I f(r)g(t - r)dr\ ^ MXM2 f e^e^^dr =
0 | 0
= M1M1{e,ii_e,3t)^2M1MLe#l)
Si-S2 \Si - 821
где s = max{*i, «2}- Если же si = s2 = * ф 0, то

36. Свойства преобразования Лапласа
327
т.е. показатель степени роста функции Ф(*) также равен з*
Аналогично для si = 82 = 0. Нетрудно убедиться, что Ф(£)
удовлетворяет и остальным условиям существования
изображения. Для вычисления изображения воспользуемся
определением (34.1). Получим
оо t
F(p) = I e-"dt J f(r)g(t - r)dr.
о о
Изменив порядок интегрирования, найдем
оо оо
F(p) = j f(r)dr J e-#g(t - r)dt.
0 r
В последнем интеграле сделаем замену переменных t — т = t/.
Получим
оо оо
F(p) = j'e""f(r)dr J'e-*'g(t')dt' = <р(рЩр),
что и требовалось доказать.
♦ Функция вида
t
*(t) = j f(r)g(t - r)dr (36.11)
0
называется сверткой функций f(t) и g(t) и обозначается f(t) *
9{t), т.е.
t
/(<) * g(t) = / f(r)g(t - r)dr. (36.12)
0
О Можно показать, что f(t) * g(t) = (7(2) * /(t).
Пример 36.14. Найти оригинал функции
1
Р(Р):
(р_1)(р-2)"

328
Глава 4, Элементы операционного исчисления
Решение. Так как
1 t 1 о*
-<+е\ -+*-е ,
р-1 ' р-2
то из (36.10) получим
t t
<P(p)«r fere2{t^dr = e2t fe"rdr =
о о
= e2'(l-e-') = e3'-e'.
Пример Зв.15, Найти изображение функции
t
Ф(*):= J T2 C08(t - T)dT.
Решение, Функция Ф(2) - оригинал с показателем степени
роста sq = 0. По теореме умножения изображений (свойство
10)
*М = J f(r)g(t - т)(1т-*р(р)ф(р),
о
/(г)н^(р), д(*)-»Ф{р).
о
где
Положив
/(*) = *2^. ffW = coS^^qn,
получим
2р
Ф(*)"МрМр) =
Р3(р3 + 1) Р2(Р2 + 1)'
Пример 36,16. Показать, что если f(t) - оригинал, то
справедливо соотношение
t *i
fdtx f dt2-< J f(tn)dtn =
о о

36. Свойства преобразования Лапласа
329
= ^YyJ{t-T)n~lf{r)dT' (36ЛЗ)
о
Соотношение (36.13) называется формулой Коши.
Решение. Обозначим через <р(р) изображение функции f(t).
Тогда, согласно (36.10), с учетом теоремы Бореля получим
t
j^l(t-r)^f(T)dr^<p(P).
о
С другой стороны, из теоремы интегрирования для оригиналов
(см. формулу (36.8)) следует
jdb1jdA2---j f(tn)dtn^^
В силу теоремы о единственности изображения соотношение
(36.13) доказано.
Свойство 11. Теорема умножения оригиналов
Если f(t)-&<p(p) (Re p > si), g{t)^&ip(p), Re p > $2, то
произведение f{t)g(t) также является оригиналом и
га+*оо
/(%(<)^ / <РШ(Р-Я)Ф1, (36.14)
а —too
где Re q = а > si, Re p > si + $2-
Доказательство. Произведение оригиналов f{t)g(t),
очевидно, удовлетворяет условиям 1-3 и является оригиналом. По
определению
оо
f(t)g(t)^F(p) = f f(t)g(t)e-*dt.
О
Возьмем а, удовлетворяющее условиям а > si, а > вг, где S\
и s2 — показатели степени роста функций f(t) и g(t), соответ-

330
Глава 4. Элементы операционного исчисления
ственно. Тогда по формуле Меллина (34.7) для /(£) получим
оо / a+ioo \
m9{t)^iS\ I <p{q)e9tdq \9^'Ptdt =
0 Va —too /
a+г'ор ( оо "\
= 2^ / \<p{q) J g^e-^dtUq.
a —too \ 0 /
Положим Re p > $2 4-a. Тогда Re (p — g) > $2, так как Re q = a
и внутренний интеграл можно заменить на ф(р — q), что и
требовалось доказать.
Свойство 12. Первая теорема разложения
Если функция <р(р) регулярна в бесконечно удаленной
точке и равна в ней нулю и если ее лорановское разложение в
окрестности бесконечно удаленной точки (|р| ^ R) имеет вид
оо г
*р) = Е §3?. <36-15)
n=0 F
то функция
оо ^
/(*) = Е ^т1*"' * > °' (36Л6)
^—* п!
п=0
является оригиналом, имеющим изображение ^>(р), /(*)-^(р),
причем ряд (36.15) сходится для всех t.
Доказательство. Положим р — 1/q и обозначим <p(l/q) =
оо
il>(q). Функция ^{q) = Yl Cn+iqn+1 аналитична в круге \q\ ^
п=0
1/R. Согласно неравенству Коши (которое непосредственно
следует из (16.7)), \Cn\ < MR11. Следовательно,
l/(t)K E \Cn+№ < Mllf: Ш. = MRe*K
п=1 п=0
Из полученного неравенства следует, что
1. ряд сходится для всех комплексных £;
2. для положительных t справедливо условие \f(t)\ < CeRt,
т.е. функция f(t) является оригиналом. В силу равномерной
сходимости ряда (36.16) в любом конечном круге его можно

36. Свойства преобразования Лапласа
331
умножить на e~pt и почленно проинтегрировать по t от нуля
до ос для Re p > R. Воспользовавшись соотношением (35.5),
получим (36.15), что и требовалось доказать.
Пример 36.17. Найти преобразование Лапласа функции f(t) =
Jo(t), заданной абсолютно сходящимся рядом
где
(-i)fc
С2к =
22к{к\)2'
О Функция Jo(t) называется функцией Бесселя первого
рода нулевого индекса. Свойства функций Бесселя подробно
рассматриваются в главе «Цилиндрические функции» части III.
Решение. Согласно первой теореме разложения (свойство 12)5
(2*)!
/(i)^(p) = £c2Jt-
,2fe + l-
*=0 г
Рассмотрим (2fc)! = (2k)V.(2k - 1)!! = 2fcfc!(2fc - 1)!!. Тогда
С»(2*)!= 2^2**1(2*-1)!!
и, следовательно,
f, (-l)fc(2fc-l)!! 1 1
Ь 2"W P2k+1 V^'
Таким образом,
1
Jo(t)-f>-
Пример 36.18. Найти изображение функции
f(t) = J0(2V^),
где функция J0{t) определена формулой (36.17).

332
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Решение. Из (36.17) следует
(-1)***
fc=0 V '
f(t) = J0(2Vi) = £
Согласно первой теореме разложения,
я*)-» = Е
fc=0
Таким образом,
(-1)* =l„-i
= -е-1'?.
Jo{2s/i.)^-e-1^. (36.18)
Р
Свойство 13. Вторая теорема разложения
Пусть <р(р) - изображение функции f(t). Тогда, если (р(р)
допускает аналитическое продолжение на всю комплексную
плоскость, за исключением конечного числа изолированных
особых точек р&, к = 1,га, и это аналитическое продолжение в
полуплоскости Re p < а удовлетворяет условиям леммы Жор-
дана (в полуплоскости Re р > а функция ср(р) аналитична),
то для t > О
п
/(*) = V Res у>(рК\ (36.19)
к^1Р~Рк
Доказательство. В силу формулы Меллина (34.7) для
любого а из области аналитичности функции <р(р) имеем
а+г'оо
m = id J r(pytdp-
Согласно теореме 23.4 и лемме Жордана, вычисление этого
интеграла дает
a+ioo
Л«) = Л / <p(p)e»tdp = e(t)y£Res[<p(p)e'>%
27гг J £^ р=рк
а —too
откуда для t > 0 и следует (36.19).
fc=i

36. Свойства преобразования Лапласа
333
Пример 36.19. Найти оригинал f(t) функции
<р(р) = 2. 2> Re p > 0.
р1 + иг
Решение. Функция (р(р) аналитична во всей комплексной
плоскости за исключением полюсов pi,2 = rfcia; и удовлетворяет
условиям леммы Жордана. Тогда по формуле (36.19) имеем
/(*) = Res ——j + Res
рЫш p2 -|- u>2 p=-tw p2 + (J2
wept u;ept
= lim : h lim — = sin wt
p-yiu p -\- IU p-f —tw p — IU
(см. также пример 23.7).
О Формула (36.19) допускает обобщение на случай
бесконечного числа особых точек, т.е. на случай, когда
аналитическое продолжение является мероморфной функцией.
Действительно, если в доказательстве теоремы Бромвича-Вагнера
23.4 под 7я понимать правильную систему окружностей 7п
(см. разд. «Разложение мероморфной функции на простейшие
дроби»), то
(7т)
f(t) = lim У Res[<p(p)ept]. (36.20)
к
Здесь суммирование проводится по всем особым точкам,
лежащим внутри 7п-
Пример 36.20. Найти изображение функции
\ sh ар
Решение. Функция ф(р) - мероморфная функция с полюсами,
расположенными на прямой Re p = 0. Согласно (36.20),
/(*)= lim V Res е*-^ГТГ-
n-юо ^ р=рк psh Ьр
Точки pk = ±irki/b являются простыми полюсами функции
Ф{р). Поэтому при pk = 7гЫ/Ь, к — 1, со, получим
Res ф(р) = lim (p - рк)Ф(р) =
Р=Рк р->Рк
tsh app-pk ei*kt/b жка
= lim epi = sin——.
Р-+Рк p Sh p 7Г«( — 1)Л 6

334
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Аналогично при р* = —7г/гг/6, к = 1, оо, получим
e-iwkt/b ^
Res щр) = ———-гт- sin ——.
p=Pfc ^' 9Г*(—1)* Ь
Точка р = О также является простым полюсом функции ф(р).
Следовательно,
_ , ч , ч «*sn аР а
RestMp) = hm рт/чр) = hmey , , = т.
р=о ^ p-KTrviv р-»о sh 6р 6
Тогда
fc 7rfca
sin
Ф)«№ = f + £ ^(в""/ь + e"*'*w/*)!
Окончательно получим
sh ар а 2 ^—ч (—1)* 7г/г* . тгка /ЛЛ Л„ч
fc=i
Свойство 14 (формула Дюамеля)
Пусть f{t)-&<p(p) (Rep > si) и #(£)-^(р) (Rep > s2), а
функция ^'(t) является оригиналом. Тогда справедливо
соотношение
t
p<p{p)4>{p)<+f{t)g{0)+[ f{r)g'(t-T)dT, Re p > max{au з2}.
(36.22)
Соотношение (36.22) называется формулой Дюамеля.
Доказательство. По теореме умножения изображений (36.10)
найдем
<р(р)ф(р)«- J f(r)g{t - r)dr = *(t).
о
Применим к последнему соотношению теорему
дифференцирования оригинала (36.6). Найдем
t
р<р(р)ф(р)^Ф'М + Ф(0) = f(t)g(0) +ff{r)g'(t - r)dr,

37. Приложения операционного исчисления
335
что и требовалось доказать.
В заключение приведем ряд свойств, полезных при
использовании операционного метода.
Свойство 15*. Предельные соотношения
Пусть f{t)-&(p(p) и функция f'(t) также является
оригиналом. Тогда
lim f(t) = lim pp(p), | argp| < £ - J, S > О, (36.23)
t-t+O р-юо 2
lim f(t) = lim p(p(p) (36.24)
t-+oo p-+0
при условии, что пределы, стоящие в левых и правых частях
равенств (36.23) и (36.24), существуют.
Доказательство. Пусть lim f(t) — /(0). Из теоремы о
дифференцировании оригинала следует, что функция ф(р) — р<р(р) —
/(0) является изображением функции /'(£), т.е. f'{t)-&i>(p).
Тогда, согласно (34.3),
lim ф(р) = 0
Re p—too
и, следовательно, lim р<р{р) — /(0). Таким образом, соот-
Re р—юс
ношение (36.23) доказано.
2. Пусть существует предел lim f(t) — /(ос). Тогда функ-
t-¥00
ция f(t) ограничена и ее показатель степени роста .$о — 0-
Следовательно, функция (р(р) определена в полуплоскости Re p >
0. Тогда по теореме о дифференцировании оригинала
оо
[ f'{t)e-ptdt = рр(р) - /(0), Re p > 0. (36.25)
о
Перейдем в соотношении (36.25) к пределу р —> 0 в секторе
I argp| < тг/2 - S, S > 0 и получим
оо
///(t)A=limW(p)-/(0).
о
Таким образом, соотношение (36.24) доказано.
О Мы продолжим рассмотрение свойств преобразований
Лапласа после того, как введем понятие обобщенного
оригинала.

336
Глава 4, Элементы операционного исчисления
Таким образом, соотношение (36.24) доказано,
О Мы продолжим рассмотрение свойств преобразований
Лапласа после того, как введем понятие обобщенного
оригинала.
37. Приложения операционного исчисления
37,1. Интегрирование линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
anxW + an„ix{n~x) + ... + ахх' 4- aQx = f(t), (37.1)
a;(n-1H0) = ... = ic'(0) = Jc(0) = 0.
Пусть f(t)-&<p(p) и x(t)-&y(p). По теореме о
дифференцировании оригинала
x'(t)~#py(p) - х{0) = ру(р),
х"{у)~»р2у(р) - ж'(0) = р2у{р),
xW-#pny{p) - в'п-х)(0) = рпу{р).
Тогда уравнение примет вид
п
]£а*р*з/(р) = ?(?)•
Следовательно,
У(Р) - -/^- (37.2)
Для нахождения функции x(t) необходимо найти оригинал
функции у(р).
37.2* Интегрирование линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
x"(t) + az'(t) + bx{t) = f(t), (37.3)

37. Приложения операционного исчисления
337
х(0) = «о, я'(0) = хо-
Обозначим f(t)-&<p(p), x(t)-fry(p). Тогда
x'(t)-*py(p) -ж(0),
*"{t) = jtx'{t)-*v\py{p) ~ х0] - х'0.
Уравнение (37.3) после умножения на e~pt и интегрирования
по t от нуля до бесконечности примет вид
р2у - рх0 -х'0 + а(ру - х0) +Ьу = <р(р)
или
у(р2 + ар + 6) = (р(р) + х0(а + р) + ж'0.
Следовательно,
= У(Р)+хо(аН-р)+х^
р^ + ар 4- о
Пример 37.1. Проинтегрировать уравнение
ж" + 4ж = 2, ж0 = а?о = °-
Реп1ение. По формуле (37.4) получим
V{j>) = р(р2+4) = 2 Vp " ^Т4/'
Так как оригиналом функции 1/р является единица, а функции
р/(р2 + 4) — cos 2t, окончательно получим
1 1
z(t) = - - -cos2tf, t > 0.
Пример 37.2. Проинтегрировать уравнение
ж"-2ж' + ж = 4, ' ж'(0) = я?о = 2, ж(0) = жо = 4.
Решение. По формуле (37.7) получим
4/р + 4(-2 + р) + 2 4 - 6р + 4р2
2/(р)
р2-2р+1 р(р-1)2
2 4
■ + -.
(Р-1)2
Оригиналом последнего выражения является функция
x(t) = 2te* + 4, t > 0.

338
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Пример 37.3. Операторным методом найти решение задачи
Коши
х" + 2х = 2 + е', х(0) = -1, х'(0) = -2.
Решение. Обозначим
x{t)-#y(p).
Тогда
x'(t)^py(p) - ж(0) = ру(р) + 1,
x"(t)^p\py(p) + 1] - ж'(0) = р2?/(р) + р + 2
и
/W= 2+ в'^(р) = ? + -!-.
Р Р- 1
В результате исходное уравнение преобразуется к виду
2 1
Р2</(р)+Р+2 + 2у(р) = - +
1 1»
Р Р~ 1
t/(p)[p2+2] = - + г-р-2.
Р Р- 1
Следовательно,
У{Р) = №Т2) + (р-1)(р2 + 2) _ ^Т2- (37-5)
Из теоремы подобия (3.6.2) следует
:«*- cos л/2*, -= «-5- —р sin л/2 *.
р2 + 2 * ' р2 + 2 ' v^ '
С учетом теоремы об интегрировании оригиналов (36.8) имеем
- ——-<+—т= / sinV2rdT = -7=(cos\/2*- l).
рр2 + 2 у/2 J V2
о
С учетом (35.7) из теоремы умножения изображений (36.10)
следует
. р - 1 р2 + 2 ^/2 У

37. Приложения операционного исчисления
339
= -^re'^-f-sinv^r- \/2cos\/2r)
\/2 3
лД г 1 г Л t
= —- sin у It— -г cos v 2 £ + -е .
6 3 3
В результате для оригинала функции (37.5) найдем
л/2 /-
y(p)<rt-x(t) = y/2cos\/2t- у/3- —-sinv2t-
6
--cos\/2tf + -e' - cos л/21- \/2sin\/2*.
о о
Окончательно получим
x(t) = ie* + (\/2 — |) cosy/2t - ^sin V21 - \/2.
Пример 37.4. Решить задачу Коши
х" + 4ж = t[0{t) - 0(t - 1)] + (2 - t)[0(t - I) - 0(* - 2)],
ж(0) = х'{0) = О,
где 0(£) - 0-функция Хевисайда.
Решение. График функции f(t) имеет вид 2
Найдем лапласовское изображение функции 1
/(*) _
1 2
ОО
№-»<p{p) = Je-"f(t)dt =
О
ОО
= / e-pt{t[9(t) - 9{t - 1)] + (2 - t)[0{t - 1) - 0(t - 2)]}А -
1 2
[ e-pttdt+ f{2-t)e
)e ~ptdt.
о l
Проинтегрируем по частям, положив
17 = t, dU = dt, dV = e~ptdt, V = —e~pt.
V

340
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Тогда
ф) = -t-e-"
Р
1 1 Г
о V J
-ptdt -
2-t
о-Р
1
-^е-"\ +-е-г +
-р*
1
МЛ
1 Р J
-ptdt :
-pt\
ю р р'
V Р
В результате исходная задача преобразуется к виду
Р2У(Р) 4- 4у(р) =
1
р-
+
е-2р _ е-1>
Р2
е-Р-1 е-2? - е~* _ -2е~* + е~2г + 1
У(Р) ~ "р2(р2+4) + р2(р2 + 4) " р2(р2+4) '
Проведем разложение на элементарные дроби
1 А В Cp+D
= 1 1— .
р2(р2 +'4) р2 р р2 + 4
Вычислив стандартным образом коэффициенты Л, В, С, D, с
учетом соотношения
1 2 < 1 . Л
-<-ь- - -sin2t
4р2 8(р2 + 4) ' 4 8
и теоремы запаздывания окончательно получим
1
yW=-(2e-*-l-e-*)[^
■\
4р2 4(р2 + 4)
t-1 ..«n(2*-2)left_n_i
<н-
■2'V~X"8 "И*-1)-? +
+-
sin 2* r<-2 sin2(<-2)
8
-[
8
6(t - 2).
37.3. Интеграл Дюамеля
Отметим особо роль интеграла (формулы) Дюамеля. Пусть
требуется решить уравнение (37.1), если известно решение

37. Приложения операционного исчисления
341
уравнения
(n) i (n_1) i i / i 1
4n"1)(0) = ... = a:/1(0) = xi(0) = 0 l ' }
с той же левой частью и правой частью, равной единице, при
нулевых начальных условиях. Интеграл Дюамеля позволяет
записать решение уравнения (37.1) достаточно просто.
Действительно, решения соответствующих операторных
уравнений имеют вид
У(Р) = ^- и Ш{Р)= 1/P
П 1
Е °*р* Е a*pfc
fc=0 fc=0
где 2/i (p) - изображение функции 2?i(tf). Отсюда
У(Р) =W(p)2/i(p)»
и по формуле Дюамеля получим
t t
о о
ф) = [ /{т)х'г{Ь-т)(1т = I xi{T)f(t-T)dr. (37.7)
Пример 37.5. Решить уравнение хп—а?х = Ье~* с нулевыми
начальными условиями.
Решение. Предварительно рассмотрим уравнение а?'/—a2»i ~
1 с теми же начальными условиями. Решение этого уравнения
имеет вид
Согласно (37.7) искомое решение x(t) определится
соотношением
Ь Г з
x(t) = - / e"r sh a(tf - г) dr,
о
которое после простых преобразований принимает вид
«*>-¥*•»{<•* ю-
-е-°* erf (< - |) - 2 erf (|) ch a*}.

342
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Здесь через erf z обозначена функция вероятности или
интеграл ошибок, определяемый выражением
erf z =
А
I"
dr.
Более подробно свойства функции erf z рассмотрены ниже в
разд. «Интеграл ошибок».
Пример 37.6. Найти решение задачи Коши
1
X + X =
«(О) = »'(0) = 0.
(1 + е«)»'
Решение. Решим вспомогательную задачу
я# + Я1 = 1, ял(0) = х[{0) = 0.
Обозначим
si(<)-*tyi(p),
»iW-J>pyi(p) + ж0 = pyi(p),
aJi-s*ppyi(p) + х'0 = p2</i(p)
и получим
р
' 2 1
P^t/i + 2/i = -,
р
2/1 (р) =
р(р2 + 1)'
Разложим функцию t/i (p) на элементарные дроби
1 А Вр + с 1 р
Решение исходной задачи найдем по формуле Дюамеля
t t
5(i) = A xi(r)/(< - r)dr = f sin т
1
I
— I sinr
(l + eVe*-)
r^2
(1 + в*-»-)»
dr.
dT =

37. Приложения операционного исчисления
343
<> Если начальные условия (37.6) ненулевые
з(0) = хо, -.., ^-^(О) = 4"-1\
то сделаем замену
z(t) = z(t) -xo-tx'o-...- 4n_1) J^ZJy/ (37-8)
Выразим из (37.8) x(t):
n-l
x(t) = z(t)+y, ^4'
(*)
k=0
и подставим в уравнение (37.6). Тогда для функции z(t)
получим задачу Коши с нулевыми начальными условиями, и,
следовательно, для определения функции z(t) можно
использовать интеграл Дюамеля.
37.4. Интегрирование линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами
В заключение отметим, что операционный метод может
оказаться полезным и при решении линейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, лапласов-
ское изображение которых проще исходных уравнений.
Действительно, пусть x{t)-fry{p). По теоремам дифференцирования
оригиналов и изображений имеем
x{t)-#ytp), z'(t)-#py{p) ~ «(0), (37.9)
а/'(*)^р2у(р)-рж(0)-х'(0);
*&(*)-*>-у(р), t2x(t)^y{p), ...;
tx'(t)-# - j-\py(p)] = -РУ(Р) ~ У(Р),
d2
t2x'{t)^—\py{p)] = ру{р) + 2у(р), ...;
**"(*)-*- ^Ь2у(р)]+ *<°) = ~р2у№ ~ 2*у(р) + *(0),
d2
t2x"(t)-»—\p2y(p)] = р2у{р) + 4ру{р) + 2у(р),

344
Глава 4. Элементы операционного исчисления
и т.д. Здесь обозначено у — dy/dp. Переход к
изображениям позволяет иногда упростить дифференциальные
уравнения, содержащие слагаемые подобного вида.
Пример 37.7. Найти общее решение уравнения
tx" - 2(3* + 1)х' + (9* + 6)х = 0. (37.10)
Решение. Обозначим
x(t)-»y(p), х(0) = »о, x'{Q) = х'0.
Тогда согласно формулам (37.10)
х'-яру - ж0,.
х"^р2у - рх0 - х'0)
tx-i¥-y,
tx'-& - —\ру - so] = -У - ру,
tx"-& - -г\р2У - РХо - х'0] = -2ру - р2у + ж0.
Тогда для операторного уравнения, отвечающего (37.10),
получим
Решение уравнения (37.11) будем искать методом Бернулли
у(р) — u(p)v(p). Тогда для функций и(р) и v(p) получим
уравнения с разделяющимися переменными
.4 2х0 1
р — о (р — д)1 v
Следовательно,
1 2
v№ = (p-w u№ = - зж°(р ~3^3 + с'
где С = const, и решение уравнения (37.11) имеет вид
у(р) = о:—о +
Зр-3 (р-3)4'

37. Приложения операционного исчисления
345
Обозначим С\ = -Зжо/2, Сг = 3!С. Тогда с учетом теоремы
смещения (36.4) для общего решения уравнения (37.10)
получим
x(t) = de3t + С2*3е3'.
Пример 37.8. Решить уравнение
*ж" - (1 + t)x' + х = 0, ж(0) = 0.
Решение. Аналогично предыдущему примеру, для
изображения у(р) получим дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющимися переменными
Его общее решение имеет вид
,(p) = _c(i_l_J_),
\р р- р— 1/
где С - произвольная постоянная, а соответствующий
оригинал определится соотношением
а>(*) = -С(1-*-е').
37.5. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть дана система линейных дифференциальных
уравнений
S(t) + Ax(t) = /(*), з(0) = So, (37.12)
где
/ *i(*) \ , / Л(*) \ _ f an ... «»i \
*(*) = ..... ,/(*) = .... , A =
V ^nW / \ fn(t) / \ aln ... ann )
и afcj = const, k,j =,T~n. Пусть f(t)-&<p(p), x(t)-&y(p). Обе
части уравнения умножим на e~pt и проинтегрируем от нуля
до ос. Получим
\ру(р) - S0] + Ау(р) = <р(р). (37.13)

346
Глава 4. Элементы операционного исчисления
♦ Система (37.13) называется системой операторных
уравнений
{А + р)у(р) = <р{р) + х0. (37.14)
Разрешив систему (37.14) относительно у(р), получим
изображение искомой функции у(р) = Ф(р), по которому находим
оригинал x(t)-&y(p).
Пример 37.9. Операторным методом решить систему
дифференциальных уравнений
{х'х — 2х\ — 4жз = cost,
#2 + х\ -f 2x2 = sin<
с нулевыми начальными условиями.
Решение. Найдем изображения левых и правых частей обоих
уравнений системы. Получим систему линейных
алгебраических уравнений
( V
yi(p-2)-4y2 =
Р2 + 1'
У1 + (2 + р)у2 = -г-^.
Найдем определитель матрицы системы
Д=(р-2)(р+2) + 4=р2.
Так как определитель не равен тождественно нулю, система
имеет единственное решение. Из первого уравнения выразим
Подставив полученное соотношение во второе уравнение
системы, найдем
р-2 р 2
^Ti-^Ti = py2-
откуда
У2(р) = 2, 2 , 1Х.
р2(р2 + 1)

37. Приложения операционного исчисления
347
Следовательно,
У1 [Р) " р2Ь2 +1) р2(р2 +1) " р2(р2 +1)'
Разложив полученные выражения на элементарные дроби,
получим
' 4 2 2р+3
Vi(P) = т + ГТ7'
2 2
Ыр) = —т +
р2 р* + Г
Возвратившись к оригиналам, запишем решение исходной
системы
xi(t) = 4* + 2-2cos*-3sin*,
x2(t) = -2t + 2sint.
37.6. Вычисление несобственных интегралов
Теорема 37.1 (формула Парсеваля). Пусть f(t)-**<p{p),
g(t)-&il>(p) ti несобственные интегралы
оо оо
f f(t)if>(t)dt и fg(t)tp{t)dt
о о
сходятся. Тогда справедливо
оо
У" f(tWt)dt = f g(t)<p(t)dt. (37.15)
о о
Соотношение (37.15) называется формулой Парсеваля.
Доказательство. Действительно,
оо оо оо
f f(t)if{t)dt = fdtf(t) fdue'utg(u) =
О 0 0
оо оо оо
= J dug(u) J f{t)e-utdt = J g{u)<p{u)du,
о о
что и требовалось доказать.

348
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Пример 37.10. Вычислить интеграл
/cosat — cosЫ .
at.
t
о
Решение. Положим
/(/.) = cos at — cos bt, ф(р) = 1/p;
p* + aA p -f о
Следовательно, по формуле Парсеваля (37.15) получим
оо оо
/cosat — cos6* , f ( t t \ ,
i * = / (iq^-injiy)* =
о о
1. /t2+a2\\°° 1, a2 .6
с2
+'
Пример 37.11. Вычислить
OS
/sinerf ,
a>0.
о
Решение. Обозначим
/(*) = sin at, ф(р) = 1/p;
Тогда по формуле Парсеваля (37.15)
оо оо
/sinat .fa. t |°° ж
—r-dt = / л-;—2dt = arcts ~ = ?•
f. J t2 + a2 a lo 2

38. Гамма-функция
349
38. Гамма-функция
О Для изучения некоторых свойств преобразования
Лапласа нам потребуется ввести гамма- и бета-функции. Гамма- и
бета-функции являются представителями класса специальных
функций, и их применение не ограничивается только
приложением к преобразованиям Лапласа.
♦ В области Re z > 0 гамма-функция (или эйлеров
интеграл второго рода) определяется абсолютно сходящимся
интегралом
Г(*)= fe'H'^dt. (38.1)
о
Здесь для функции t2~г = ez~l Ln t выбирается однозначная
ветвь, такая что Ln /. = Int.
О Характер аналитического продолжения функции (38.1)
в область Re z < 0 будет исследован ниже (см. свойство 4).
Поведение функции Г (г) для действительного аргумента
иллюстрирует рис. 99, а поведение модуля Г-функции для
комплексных z - рис. 100.
О Следует отметить, что иногда в качестве определения
гамма функции вместо (38.1) используют интегральное
представление вида
Г{г) = 2 [е-г9т2*-Чт. (38.2)
Кроме того, Вейерштрассом было показано, что все свойства
Рис. 99

350
Глава 4. Элементы операционного исчисления
0 2
Рис. 100
гамма функции, вытекающие из (38.1), (38.2) могут быть
получены представлением T(z) в виде бесконечного произведения
г(*)
г!2
оо
П(1+^)е-г/\ (38.3)
П = 1
где
^=-5я^—/•-h«*-.'fe(ti-1") <•">
о к-г
- постоянная Эйлера, приближенное значение которой равно
0,5772...
Если эквивалентность определений (38.1), (38.2) очевидна,
поскольку переменные интегрирования связаны соотношением
y/f. = г, то их эквивалентность представлению (38.3) будет
показана ниже.
0 Набор определений Г(г) в виде (38.1), (38.2), (38.3) удобен
в конкретных приложениях, использующих гамма-функцию.
Свойства гамма-функции
Свойство 1. Функция T(z) аналитична в области Re z > 0.
Доказательство. Представим интеграл (38.1) в виде
T(z) = P(z) + Q(z),

38. Гамма-функция
351
где
1 ОО
P(z) = fe'H'^dt, Q(z) = f е-Ч2-г(И.
о 1
Так как в полосе 0<a<Re£^j4 функции |Р(г)|, \Q(z)\
мажорируются сходящимися интегралами
1 ОО
\P(z)\ ^ Jt^dt, \Q(z)\ <С Je^t^dt,
о 1
то интеграл T(z) также сходится, причем равномерно.
Пусть С - произвольный кусочно-гладкий замкнутый
контур в полуплоскости Re z > 0. Рассмотрим интеграл
J = fr(z)dz = / I /V'V J cfc.
с с \o /
Изменение порядка интегрирования возможно, так как интег-
оо
рал J tz~1e~tdt сходится равномерно в области Re z ^ а > 0.
о
Тогда
J= fe-* I Jtz-xdz\ dt.
По теореме Коши интеграл в скобках равен нулю, поэтому
J = 0.
Интеграл f T(z)dz не зависит от пути интегрирования. Сле-
с
довательно, по теореме Морера 15.1 T(z) аналитична в
полуплоскости Re z > 0, что и требовалось доказать.
О Следует отметить, что свойство 1 с достаточной
очевидностью вытекает из определения (38.3).
Свойство 2 (основное функциональное соотношение).
Для всех г, таких что Re z > 0, справедливо
T(z+l) = zT(z). (38.5)

352
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Доказательство. Действительно, воспользуемся
определением (38.1)
оо
Г(* + 1) = ft2e~fdt,
о
которое проинтегрируем один раз по частям, полагая U = t:,
dU = zt*-4t, V = -е"*, dV = e-*dt. Тогда
T{z + 1) = -<se-'|~ + z[tz-1e-tdt = zT(z),
о
что и требовалось доказать.
Основное функциональное соотношение можно получить,
если воспользоваться определением (38.3). Действительно,
если z ф —j, j = 0, оо, то
r(l + z) k=1
Т№ (1 + z)e^+*) П [1 + (1 + z)/n]e-(*+i)/«
n=i
= •: lim TT « т. 71-z lim ТТ т+ тттт- =
1 + z n-+oo 1А 1 + (1 + z)/n дг-юо А1 (1 4-1 к)г
n=l v " Л-=1 v '
= _L_ lim Д (1+!/")('+ ")=, lim /+1 = ,,
l + SJV-юо" £ + 71 + 1 ЛГ->оо iV + 1 -f 2
n=l
что и доказывает эквивалентность определений (38.1) и (38.3).
Свойство 3. Для натуральных п справедливо соотношение
Г(п + 1) = п! (38.6)
Доказательство. Положим в (38.5) z = п. Тогда
Т(п+1) = пГ(п) = ... = п!Г(1).
Поскольку
оо
Г(1)= /V'<tt=l,

38. Гамма-функция
353
соотношение (38.6) доказано.
Свойство 4. Функцию T(z) можно аналитически продолжить
на всю комплексную плоскость z, кроме точек z = —п, п =
О, ос, в которых Г (г) имеет полюсы первого порядка с
вычетами, равными
(-1V1
Res ГЫ = К—{-. (38.7)
Доказательство. Действительно,
1 оо
T(z)= Jе-Ч2~1сИ+ fe-ttz-1dt = P(z)-bQ(z).
о 1
Функция Q(z) — аналитическая, так как t ф 0.
1 оо *
P(z) = fe-H^dt = £ Ь^ ft'-^dt =
о п=0 ' о
_ у> (-l)w tz+n |1 _ ул (-1)" 1
^ n! z + nlo *-** п\ z + n'
п=0 п=0
Следовательно, функция имеет простые полюсы в точках z =
—п, причем
(-D71
lim (z + n)P(z) = i-f-,
откуда следует справедливость соотношения (38.7).
Свойство 5 (формула дополнения). Справедливо
соотношение
г(*)г(1-*) = -Д-. (38-8)
Sill 7Г£
Доказательство. Достаточно доказать справедливость
формулы (38.8) для z = х и произвольного интервала a < х < 6,
откуда по теореме о единственности аналитической функции
получим требуемое утверждение.
Согласно формуле (38.2)
Т(х) = 2 f е-и\2х-Ыщ
о
оо
Г(1-*) = 2 fe—'vl-2'dv.

354
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Следовательно, при 0 < х < 1
Г(ж)Г(1 - х) = 4 [и2*-ге-?'<1и fyi-^e-^dv =
о о
оо оо
О О
Перейдем в полярную систему координат: u = /?cos^>, v =
psiny?, dudv = pdpdp. Тогда
оо тг/2 тг/2
Г(ж)Г(1 - х) = 4fe-p2pdpf(ctg ipf^dip = 2 /(ctg р)2*"1^.
О ' О О
Последний интеграл заменой tg 2<p = т приводится к виду
т/2 1
1 = 2 J (ctg p)2*-1^ = у -j^r-rfr,
о о
соответствующему интегралу (23.58) с а = 1 - ж, и,
следовательно,
7Г 7Г
sin[7r(l — х)] sin7rx'
что и требовалось доказать (см. также пример 40.4).
О Формулу дополнения можно доказать проще, если
воспользоваться определением (38.3). Действительно, для всех z ф
n, n = —оо, оо, имеем
гмч-.|.4П[(' + ;И"'П[('-|И
п = 1 * = 1
*-?Ц('-5) •
п = 1
С помощью формулы (23.187) для разложения целой функции
в виде произведения
Sill 7TZ
оо о
-П(1-;0
7гг
п=1

38. Гамма-функция
355
найдем
Г(*)Г(-г) = Д-,
Z Sill 7Гг
откуда с учетом основного функционального соотношения
-гГ(-г) = Г(1-г)
приходим к (38.8).
Свойство в. Функция Y(z) не имеет нулей, т.е. для всех z
Г(г) ф 0. (38.9)
Доказательство. Проведем доказательство от противного.
Пусть го — нуль функции Г(г). Тогда г0 ф —j, j = 0, оо, так
как в этих точках Г (г) имеет полюсы 1-го порядка, и го ф j,
j = 0, ос, так как Г(п + 1) = п!. Рассмотрим предел
7Г 7Г
lim Г(1 - г) = lim ^, , . = ——- = 00,^
2-+2о :->zo Г(г)81П7гг sin7T2o lim Г(г)
z->z0
поскольку sin7rzo Ф 0. Следовательно, Г(1 — г) имеет в точке
го полюс, что противоречит свойству 4. Полученное
противоречие и доказывает свойство 6.
Свойство 7. Справедливы соотношения
Г^2п_И^ = ^(2п_1)!!А (38Л0)
/1-2пч _(-!)"y/i2«
Т\Г^-) ~ (2п-1)Н • (38Л1)
для п = 0, оо.
Доказательство. Положим в соотношении (38.5) z = (2п —
1)/2. Тогда
r(^i)-S^ir(Sii-i)-
2п-1 /2(п-1) + 1\
2 V 2 /
_ (2n-l)(2n-3)_/2(n-2) + l
/2(п-2) + 1\ _
= ir(2n-l)(2n-3).--3-l.r(i).
22
I
2

356
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Положив в (38.8) z = 1/2, получим
\2/ sin7r/2
или
Г
(|)=Л
т.е. соотношение (38.10) справедливо. Подставив в (38.8) z =
n-f- 1/2, с учетом (38.10) получим
гЙ-)-
Г(1/2 + п)8ш(п7гН-?г/2)
(-1)П7Г (-1)П7Г2П
Г(1/2 + п) (271-1)!!^'
что и требовалось доказать.
Следствие. Справедливо соотношение
Доказательство. Воспользовавшись соотношениями (38.10)
и (38.11), получим
что и требовалось доказать.
Свойство 8 (формула Эйлера). Для натуральных п
справедливо соотношение
rШг©•••г(^V>=>*>,"-,",• <з8-13>
Соотношение (38.13) называется формулой Эйлера.
Доказательство. Обозначим
я-'= '(;)■■(!)-r(:ri)
и напишем это произведение в обратном порядке
'<»> = r(^i)r(^)...r(i).

38. Гамма-функция
357
Составим
Применим формулу Г(г)Г(1 — z) = 7r/sin7rz, тогда
/2(п) = *
.«-1
sin(7r/n) sin(27r/n) sin[(n — 1)7г/п] n~1
Ц sm(«7r/n)
*=i
Числа e2l7rfc/n, fe = 0,n— 1, - корни п-ой степени из единицы.
Поэтому можно записать
zn _ i _ (z _ 1)(z _ е21"*/")^ - е4,>/п) ...(*- et—1)*'*/»).
Отсюда
^£-1=П(г-е2^/»).
fc = l
Перейдя к пределу при z —>■ 1, найдем
п-1
п=П(1-€'^)-
fc=i
Но
п-1
Па—"*)
fc=l
п-1
=nii-^i=
fe=l
п-1
п-1
= П |е***||в—"** - е'**| = 2-1 П sin
fe=i k=i
Приходим к равенству
п-1
&7Г
п
fc=i
откуда
n = 2-1TTein —,
п-1
П
. &7Г П
sm — =
*=i
п 2й-1'

358 Глава 4, Элементы операционного исчисления
Тогда
—n-l9«~l 1
/»(») = ^J_, /(„) = 4=(2т)(п-1)/2.
что и требовалось доказать.
Свойство 9 (формула удвоения). Справедливо
соотношение
r(*)r(z + l/2) = ^jr(2*).
Доказательство проведем позднее, используя свойства бета-
функции [см. формулу (40.8)].
Свойство 10. Пусть z удовлетворяет условию 0 < Re z < 1.
Тогда для гамма-функции справедливо следующее
интегральное представление:
оо
) = eiw9'2 /V-V"*. (38.14)
Г(*
Доказательство. Рассмотрим интеграл от
/(£) = С*""1е"^ вдоль замкнутого контура,
-~ =-^ изображенного на рис. 101. Согласно теореме
' 1П1 Коши, он равен нулю. Имеем
1Г
in iR
R
7r
Перейдем в этом равенстве к пределу при Л —> оо, г —> 0.
Тогда по лемме Жордана
lim
Д-юо
fc~1e'cdC = 0.

38. Гамма-функция
359
Действительно, 1С*""1! ^ R, С € 7я и ПРИ условии 0 < Re z < 1
стремится к нулю при R —У оо. Оценим интеграл
Л
Имеем
= fc^e^dC
\Jr\=\jC-le-<d<;
^ 2 2
7г
Следовательно, limJr = 0, если х > 0. Переходя к пределу,
r-fO
получим
оо tr
f x2"1e-itdx+ ton /с""1е"СйС = 0
О Я-*оо,я
ИЛИ
О оо
Г(«) + ij(iyy-1e-i*dy = 0, Г(ж) = г* [ у'^е-'Чу,
оо О
оо
Г(*) = е1""/2 / yz-le~iydy, 0 < Re 2 < 1,
о
что и требовалось доказать*
Следствие. Справедливы соотношения
оо
-rf-) sin-^- = / s\\\tndt,
п \nJ 2n J
о
оо
-т(т-) cos -^ = / cosfctt.
п \п/ 2п J
(38.15)
Доказательство. Положим в (38.14) z = п"1 (п > 1) и
сделаем замену переменных £*/п = t/. Тогда dt = nyn~1dy и
оо
оо
"""а.
О

360
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Отделяя действительные и мнимые части, приходим к
равенствам (38.15).
0 При п = 2 из (38.15) получим соотношения
оо оо
/sint2dt = -Л-, / cost2dt = -rW —
2V 2 У 2V 2
о о
или 5(ос) = С(оо) = 1/2, где
X X
COS* ,
at
Hid
о о
- интегралы Френеля. Подстановка £ = и2 дает
>/* ,_ V*
S(x) = у — / sinu2dw, С(#) = у — / cosw2da.
о о
Пример 38.1. Показать, что гамма-функцию можно
определить интегралами
1
T(z) = f [ln-]*~\ft, Re z > 0. (38.16)
о
Решение. Сделаем в интеграле (38.16) замену переменных /. =
е~и. Тогда dt = —e~udu, In j = и и и будет пробегать значения
от оо до нуля, в то время как t меняется от нуля до единицы.
Следовательно,
10 оо
/,[ln-]*~\tt= [uz-1{-e~u)du= [е~ии2-Чи = Г(г),
О оо О
что и требовалось показать.
Пример 38.2. Показать, что
оо
Je-**dx = rfy. (38.17)

38. Гамма-функция
361
Решение. Сделаем в интеграле (38.17) замену переменных
х4 = и. Тогда .г- = и1/* и dx = \u~zl*du. Следовательно,
оо оо оо
0 0 0
что и требовалось показать.
Пример 38.3. Используя гамма-функцию, показать, что
1
о
Решение. Подстановка In х = £ дает
1 о
[ xk'lnxdx=: f te(k+1)tdt.
о
Полагаем (& + l)tf = —п. При А; + 1 > О получим
1 оо
/xklnxdx = — — гт^ /we "du =
(fc + 1)2 У
о о
1 ггр)- '
" (fc + l)2iv'~ (* + 1)»'
что и требовалось показать.
Пример 38.4. Вычислить интеграл
с»
2пЛ—ах
е"ах dx, a > 0.

362
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Решение. Используем четность подынтегральной функции и
положим ax2 = t (а > 0). Тогда
J == 2 [ x2ne*-a*2dx = —Jttt [г-^е-'Я =
о , о
1 _/ 1\ (2п-1)!! -
= Z?+i72rin+2J= 2»а«+1/^'
Пример 38.5* Доказать соотношение
со
lim / е"* da; = 1.
н—юо у
О
Доказательство. Сделаем в этом интеграле замену
переменных х = t*-ln и dx = ^t1ln~1dt. Получим
со со
/'e-*"da! = i/,e-**1/»-1d«=irfi)=rfi + i).
J n J n \n/ \n /
о о
В силу непрерывности гамма-функции Г (ж) при х > 0 найдем
со
lim [ e-*"dx = lim г(- + l) = Г(1) = 1.
п-¥со J n-^co \П /
0
39. Обобщенные оригиналы
Определение функции f(t) как оригинала можно обобщить,
если во Втором условии определения конечные разрывы
заменить бесконечными, йо такими, чтобы интеграл (34.1) по-
прежнему оставался сходящимся. К числу таких обобщенных
оригиналов можно отнести все функций /(*)> которые в точке
to Удовлетворяют критерию сходимости интеграла (34.1) (см.
Прйложеййе «Несобственные интегралы. Сходимость и
главное значение»):
' \im(t-toYf{t)=0 (39.1)
при некоторых v < 1, а вне точки t0 удовлетворяют остальным
условиям^ йрй которых их можно считать оригиналами.

39. Обобщенные оригиналы
363
На практике наиболее важными обобщенными
оригиналами являются степенная функция f(t) = t**, р. > — 1,
логарифмическая функция f(t) = hit и некоторые другие.
Начнем со степенной функции. Для нее справедлива
Теорема 39.1. Изображение степенной функции
определяется соотношением
«^. ,>-..
(39.2)
Здесь и в дальнейшем, выбирается однозначная ветвь
функции р**+1, например такая что 1м+1 = 1.
Доказательство. По определению
оо
Т(/а + 1)= [fe-'dt.
о
Ь R
Пусть р = pe%ip — произвольное
комплексное число в правой полуплоскости —7г/2 <
(р < 7г/2. Сделаем в интеграле замену t = pg, где р и q —
комплексные числа. Тогда
T(jx+l)=f+1 [e-**q"dq,
(39.3)
где S — луч arg</ = — <р, так как qp = t. Рассмотрим интеграл
/ e~pqqildq^ где 7я - дуга окружности радиуса R, лежащая в
7л
секторе — <р < argg < 0 (см. рис. 102). В этом случае q = Reta
и справедливо
/■
-ряпр
q»dq
£
€
<R»+1
J e-pRcos(<p+a)da
-9

364
Глава 4. Элементы операционного исчисления
так как cos(a + (р) > 0, -7г/2 < <р < 7г/2, -(р < a < О. Поэтому
lim
Л-foo
fe-Wq^dq
UR
= 0.
Следовательно,
lim /V*V<ty = 0.
Я-юо
7я
Рассмотрим контур 7 = ^ + 7л + ^ (см- Рис- ^2), на
котором
[e~pqqfldq = 0,
так как внутри контура подынтегральное выражение не
содержит особых точек. Здесь St - отрезок [0, R] оси Ох.
Следовательно,
оо
[ c-Ptt*ldt = - f e-pqq'ldq- lim / e'pqq^dq = /' e'^q^dq.
s-
1r
Подставив полученное соотношение в (39.3), получим
оо
Г(/х-Ь 1) =2У'+1 fe-ptt'ldt.
о
Следовательно,
J p"+1
О
О Доказательство теоремы 39.1 можно упростить, если
воспользоваться теоремой о единственности аналитического
продолжения. Действительно, в интеграле
оо
f-**¥>(р) = fe-P*t"dtt Re р > 0, р>-1 (39.4)

39. Обобщенные оригиналы
365
будем считать р действительным и положительным. В этом
случае замена pt = г дает
Но функция, определяемая соотношением (39.4), аналитична в
области Re p > 0 и принимает на положительной части
действительной оси значения, задаваемые равенством (39.5). Тогда
в силу единственности аналитического продолжения для
функции <р(р) в области Re р > 0 при \х > — 1 справедлива формула
(39.5) и, следовательно, (39.2).
Формулу (35.10) можно рассматривать как частный случай
формулы (39.2) при рь = 7i, поскольку
Г(|х+1) = Г(п+1) = п!.
Пример 39.1. Найти изображения функций у/i и 1/лД.
Решение. Согласно (39.2) и (38.10), получим
1 _,-1/2.Г(1/2)
б) -=Г1/2^.
Г(1/2) /*
pl/2 ур'
Пример 39.2; Найти изображения функций
а) Д(<) = sin 2 Vat, б) /2(<) =
cos2Vo<
Решение, а) По определению (7.4), функцию Д(<) можно
представить в виде
Согласно (39.2) и (38.10),
\ 2 Jpk+3/2- 2k + 1 р*+3/2'

366
Глава 4. Элементы операционного исчисления
откуда аналогично тому, как это делалось в доказательстве
первой теоремы разложения, получим
A (-l)*(4o)*+1/a(2t + l)!! г-
/lW"*£j (2* + l)!2*+i р»+з/з V?r-
/^г^ (-1)*а* /™L-«/p
у рз Z-f *!«* У р3
Таким образом,
/i(t) = sin2y/al.-»J—e-a/p. (39.6)
V Р
б) Аналогично
cos 2 Vat /5F
Теорема 39.2. Изображение функции Int определяется
соотношением
]n^-I±b£, (39.8)
Р
г<?е 7 ~ постоянная Эйлера.
Доказательство. Продифференцировав выражение
соответствия (39.2) по параметру /г, найдем
t" lni-fr-i-irV + 1) - rOi + 1) lnp]. (39.9)
Положив здесь /г = 0, с учетом того, что Г(1) = 1, Г'(1) = —7
(см. разд. «Гамма-функция»), получим
. . 7 + 1пр
Лп*-*>- -,
Р
что и требовалась доказать.
Пример 39.3. Найти изображение функции
t»eatlnt

39. Обобщенные оригиналы
367
Решение. Согласно (39.9), имеем
t"]nt a 1 ГГУ + I) I
r(/i + i)Vb(^i) npr
Отсюда с учетом теоремы смещения для изображений получим
*"1п« в( . 1 ГГ'(М+!)
Г(/х
Т1у^(^^гтг[т^П)-1п(р-а)]'
Изучив обобщенные оригиналы, продолжим рассмотрение
свойств преобразования Лапласа.
Свойство 16*. Обобщенная теорема умножения
оригиналов (теорема Эфроса)
Теорема 39.3 (Эфроса). Пусть f(t)-&<p(p) и пусть ф(р) и
q(p) — аналитические функции, такие что
Tl>(p)e-Tq^<^g(t,T). (39.10)
Тогда
оо
<рШЖр)<+ J f(T)g{t, r)dr. (39.il)
Доказательство. Рассмотрим изображение правой части
соотношения (39.11)
оо оо- / оо \
J f(T)g(t,r)dT^J"e-^ ljf(r)g(t,T)dr\ dt.
о о \о /
Изменим порядок интегрирования (мы предполагаем, что
функции /(т) и g{t,r) таковы, что это можно сделать) и получим
оо оо оо
j f(r)g(t, r)dr^ j dr f(r) J e-»g{t, r)dt =
0 0 0
oo
= JdTf(T)1>(p)e-^ = ф(р)<рШ)-
0
Здесь мы воспользовались соотношением (39.10). Таким
образом, соотношение (39.11) доказано.

368
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Следствие 39.3.1. При q(p) = p теорема Эфроса переходит
в теорему умножения оригиналов.
Доказательство. Положим q(p) = р. Тогда по теореме
запаздывания g(tyr) = g(t — т)-*>е~гр,0(р) и соотношение (39.11)
примет вид
оо t
Ф)Ф(Р)« J f(r)g(t - r)dr = J f(r)g(t - т)йт. (39.12)
Здесь мы воспользовались свойством 1 оригиналов, т.е. g(t —
г) = 0 при г > t.
Для дальнейшего изложения нам потребуется изображение
следующей функции.
Пример 39.4. Найти изображение функции
Л«>-^~*.
Решение. По определению,
оо
-^е-а/*'-»<р{р)= [е-*у>е~а'*М.
о
Сделаем в интеграле замену переменных t = х2. Тогда
оо
ф) = 2 f e-px2-a/x*dx.
о
Воспользовавшись известным значением интеграла (см.,
например, [1] стр. 508)
оо
Je-aV-p'/,'^ = ^е-^, (а > 0,/3 > 0),
О
получим
<р(р) = 4е"w-

39. Обобщенные оригиналы
369
Следовательно,
yft VP
В частности, положив а = г2/4, получим
\fni s/p
(39.13)
Следствие 39.3.2. Пусть f{t)-&<p(p), тогда справедливо
соотношение
о
Доказательство. Положим в соотношениях (39.10) и (39.11)
ф(р) = —, q(p) = V^,
тогда, выбрав левую часть формулы (39.13) в качестве
функции g(t,r), найдем
1 •>,. р~гу/р
g(t,T) = -j=e-r-/«*——. (39.15)
Подставив (39.15) в (39.11), долучим (39.14).
Следствие 39.3.3. Пусть f(t)-fr<p(p). Тогда справедливы
соотношения
1 /1\ f sin2y/tT ,, х_ /ЛЛ _
^(ph J-v*rf{T)dT> (39,16)
о
OO
\/P<P - ИН ;= / COS 2V5r/(r)dr. (39.17)
0
Доказательство. Представим соотношение (39.6) в
следующем виде:
sin2y/ir 1 _г/
8Ш'У*7 :) х с"г/>>

370
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Правую часть этого соотношения можно принять за функцию
g{t,r), положив
я{р) = -, Ф(р) =
Тогда из (39.11) получим (39.16). Аналогично из (39.7) при
q(p) = -, ф(р) = у/р
получим (39.17).
Следствие 39.3.4. Пусть /(t)-j»y>(p), тогда справедливо
соотношение
оо
-p(-W (f(r)M2y/ir)dT. (39.18)
р \р/ J
о
Здесь Jq(z) - функция Бесселя нулевого порядка (36.17).
Доказательство. Положим в условии теоремы Эфроса ф(р) =
1/Р> (l(p) = Vp- Тогда с помощью теоремы подобия из
соотношения (36.18)
Ie-i/p^j0(2V?)
Р
получим
g{t, г) = М2лД^)^-е-т/р. (39.19)
Р
Подставив (39.19) в (39.11), получим (39.18).
Следствие 39.3.5. Пусть f(t)-&(p(p). Тогда справедливы
следующие соотношения:
t
J_Wp2 + l)e- [ f(T)J0(y/t2-T*)dT; (39.20)
VР2 + 1 {
t
iy>(p+i)^|/(r)J0(24/^r^))dr; (39.21)
О
оо
-^ir(l)* J f(r)Qn/2M*Vi;)dT; (39.22)

39. Обобщенные оригиналы
371
t
_1_^(р + I)^ j /(т) (*_1^)п/2Л(2ч/7(Г^))^9.23)
О
Здесь функция Jn(z) определяется рядом
и-л -V (~1)fc П2*+"
ь=0 *!(»+*)!
абсолютно сходящимся для всех конечных z. Функция Jn(z)
называется функцией Бесселя индекса п ( см. разд. Функции
Бесселя части III).
Доказательство аналогично доказательству соотношений
(39.14) - (39.18) и основывается на соотношениях
1 6-гу/РчГ^0^ _ г)70(у^2_г2) (39.24)
VP2 + 1
(в этом случае д(р) = ^/р2 + 1, Ф{р) = 1/vV + 1);
^e-(p+i/i>)^_^ (39.25)
(тогда д(р) = р+ 1/р, V(P) = 1/Pn+1);
^гге"г/>(7)П/2л(2^:) (39*26)
(тогда д(р) = 1/р, Ф(р) = l/pn+1).
Здесь 0(£ — г) — тета-функция Хевисайда (подробнее см.
раздел, посвященный обобщенным функциям).
О Частные случаи теоремы Эфроса (см. формулы (39.14),
(39.18), (39.20)-(39.23)) могут оказаться полезными, если
известен оригинал функции <р(р) и требуется найти оригиналы
функций р(1/р), 4>{л/р), <р(р+ 1/р), (fiy/i+P2)-
Пример 39.5. Вычислить интеграл
t
= JmV*
g{i) = / MVt2 - r*)dr.

372
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Решение. Найдем изображение функции g(t). Согласно
частному случаю теоремы Эфроса (см. формулу (39.20)), получим
Поскольку в нашем случае надо положить
/(*) = 1, ф) = -, vWv2 +1) =
следовательно,
V + 1
Таким образом, g(t) = sint.
О Примеры применения частных случаев теоремы
Эфроса будут рассмотрены в разд. «Интегральные преобразования
бесселевых функций» части III и в главе «Интегральные
уравнения» части IV.
40. Бета-функция
♦ Бета-функцией (или эйлеровым интегралом первого
рода) называется интеграл
1
В(«,с;)= /V-^l-t)"-1*, Rez>0, Re о; > 0. (40.1)
о
Наряду с определением (40.1) достаточно распространенным
является представление бета-функции в виде
яг/2
B(z, tn) = 2 f (sinT^-^cosr)21"-1^, (40.2)
о
следующем из (40.1) заменой t = sin2 т.

40. Бета-функция
373
Свойства бета-функции
Свойство 1. Справедливо соотношение
в^ = т(Щ- (40-3)
Доказательство. Вместо (40.1) рассмотрим интеграл
г
<р(т) = [?-1(тГ:г)ш-1Я=Х7»-1*тж-1), (40.4)
о
который является сверткой функций г2"1 и т^"1 и при г = 1
совпадает с (40.1). Проведем преобразование Лапласа правой
и левой частей равенства (40.4). По теореме о свертке
*-i -. _.-i* .^ - ЕМEW = Г(«)ГИ
<р(т) = {тш-1*т*-1)^Ф{р) =
найдем оригинал правой части
Tu>+z-l
Ф(р)^Г(г)Г(«)-
T(w + z)"
Таким образом,
г
(г-1 * г*"1) = /VV - i)"-1* = рМт^+|-1.
V J T{u> + z)
о
Положив г = 1, получим (40.3).
О Свойство 1 достаточно очевидно вытекает из формул
(38.3) и (40.2). Действительно, используя представление (38.3),
запишем произведение
оо оо
T{z)T(w)=4 f f e-b*+x'W*-lzto-4ydx
о о
в виде двойного интеграла по первой четверти плоскости хОу
в полярной системе координат у = г sin <р, х = г sin <p
оо т/2
Г(*)Г(ы) = 4 f e-r3r2<*+w)-1dr /(sin^)2*-1(cos^)2,l,-1d^

374
Глава 4. Элементы операционного исчисления
m+n — 1
Отсюда с учетом (38.3) и (40.2) найдем
T(z)T(lj) = T{z+u>)B(z,u>),
откуда и следует (40.3).
О Если z и w - целые положительные числа (z = п, о; = т),
то формулу (40.3) можно записать в виде
Г(п)Г(т+1) /г (n + m-1)!]
B(n, ?n) = V^ г1 = 1/ т—; г:—:~ =
v ' ' тГ(п + т) /L (n-l)!m! J rnC;
где
' 11(8-1)1
- биномиальные коэффициенты.
Таким образом, если гамма-функцию можно рассматривать
как обобщение факториала на случай произвольного
аргумента, то бета-функцию - как обобщение биномиальных
коэффициентов (см. также разд. «Биномиальные коэффициенты»).
Свойство 2. Справедливо соотношение
B(z,v) = B(v,z). (40.5)
Доказательство следует непосредственно из (40.3).
Свойство 3. Справедливы соотношения
B(*,w + 1) = -B(z + l,w) = -^— B(z,w); (40.6)
z и -\- z
B(z,i) = i; (40.7)
B(z,z) = 21-2>b(±,z); (40.8)
SHITTZ
Доказательство следует из соотношений (38.5) и (40.3).
Легко увидеть, что соотношение (40.7) является аналогом
основного функционального соотношения; (40.8) — аналогом формулы
удвоения, а (40.9) — аналогом формулы дополнения.
Проведем доказательство формулы удвоения, так как ранее
она не была доказана. Рассмотрим интеграл
1 1
B(z,z) = Jt*-\l-ty-ldt = J[±-(±-t)2]"1dt.

40. Бета-функция
375
Так как парабола у = £ — (| — t) симметрична относительно
прямой t = 1/2, можно записать
1/2
о
Сделаем замену 1/2 — i = y/u/2 и получим
1
О
Переходя к гамма-функции, найдем
T(z)T(z) = 1 Г(1/2)Г(*)
Г(2«) г22"1 Г(* + 1/2)'
откуда
Г(г)Г(г + 1/2) = ^гГ(2г).
Пример 40.1. Показать, что
Решение. По определению преобразования Лапласа
оо
е
-"' /* _/^.л* А
Р^/
е
(р+/Ф.
(!_e-6t^-i • J (l-e-bt)1-"'
о
Сделав в интеграле замену переменных
Xi л ldr
г = — - In r, at = — - —,
6 6 г
получим
'/,«.».„. rr.t = !<(£+£„).

376
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Пример 40.2. Вычислить интеграл
1
/dx . ..
u п>1.
VI - xn
Решение. Сделаем в интеграле замену переменных х = t1^1
(t > 0) и получим
J tfl - х11 nj < v n \n n)
о о
n \n/ \ n/ Г(1) nsin(7r/n)
Здесь мы воспользовались формулой дополнения.
Пример 40.3. Доказать соотношение
1 1
/dx f x2dx 7г /„Л „«ч
О О
Решение. Подстановкой ж4 = £ преобразуем интегралы к виду
/ * = \ /,-'/М -*)-/»«* = VI, \) = Щ^-,
J s/T^* 4/ у ' 4 \4'2/ 4Г(з\
0 0 \4/
Перемножив интегралы, получим формулу (40.11).
Пример 40.4. Вычислить интеграл
тг/2
J = I tg axdx, афп, n = —оо,
оо.

40. Бета-функция
377
Решение. Сделаем в интеграле замену переменных tg х = уД
(t > 0) и получим
2 J 1 + 1. 2 I 2 ' 2/
о
= J-T(SL±l)T(i - £1+1) = 1 .
2Г(1) V 2 / V 2 / 2соз(тга/2)
Заметим, что этот результат также можно получить
непосредственно из формулы (40.12).
Пример 40.5. Показать, что
тг/2
J= /8inro«coewajd»= ^в(^^,^^). (40.12)
о
Решение. Положим sin ж = лД (t > 0). Тогда
I/t«-^(i-*)(-«/>*= ^(12+1, !i+i).
О
Пример 40.6. Вычислить интеграл
1
J = /(1 + ж)°(1 - ж)6^, а > -1, 6 > -1. (40.13)
-1
Решение. Подстановкой 1 — х = 2t интеграл преобразуется к
виду
1
J = 2a+b+1 f tb{l - t)adt = 2a+6+1B(a + 1, b + 1).
0 Можно сделать в интеграле (40.13) замену переменных х =
cos 2<p.

378
ГлАва 4. Элементы операционного исчисления
Пример 40.7. Вычислить интеграл Дирихле
J= ( j x*tf<kr,
D
где D - треугольник, ограниченный полуосями и прямой х +
у= 1, р> -1, q > -1.
Решение. Перейдем от двойного интеграла к повторному
1 1-гг
J = I dx I xpyqdy.
о о
Так как q ф — 1,
1
J = ^~ J х"(1 - z)*+ldx = ^ЩР +1,9 + 2) =
о
1 Г(р+1)Г{9 + 2)= Г(р+1)Г(д+1)
9+1 Г(р+д + 3) (p + q + 2)T(p + q + 2)
_B(p+l,g + l)
p + g + 2
Пример 40.8. Вычислить интеграл
а
J = ft2ny/a2-t2dt, a > 0.
о
Решение. Полагаем ?. = asiiiz, a > 0. Получим
*/3
J2n+2 / • 2п 2 j
= а т / sm ж cos xdx.
о
Воспользовавшись соотношением (40.12), найдем
J = q*+»Vn+l,i) =а^2Г(п + 1/2)Г(3/2)
2 V ^2' 2/ 2Г(п + 2)
_ (2п - 1)!!а2
2Г(п + 2)
- П!!«2»+2
-7Г.
2»+2(п + 1)!

40. Бета-функция
379
Пример 40.9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
\х\п + Ып = ап (п > 0, а > 0).
Решение. Ввиду центральной симметрии кривой
относительно начала координат будем рассматривать только ее часть,
расположенную в первом квадранте (х ^ 0, у ^ 0). В этом
случае у = (а11 — х11)1/11, 0 ^ х ^ а. Тогда для площади
фигуры получим
а а
5 = 4 fydx = A f{an - xn)1/ndx.
о о
Сделаем в интеграле замену переменных
х = at1/n, dx = (а/п)*1'"-1*.
Получим
5=^/(1_().М1./»-.Л=^В(1 + 1,1) = ^Ш^.
п J v ; n \n n/ n Г(2/п)
о
Пример 40.10. Вычислить интеграл
7Г
J = f sinQ (pei/3*d<p, Re a > -1, /3 > 0.
(40.14)
Решение. Рассмотрим интеграл
(40.15).
где 7 - замкнутый контур, состоящий
из кривой 7 ~ верхней
полуокружности \z\ = 1 - и ее диаметра с
вырезами в точках —1, 0, 1, имеющими ради- _^
ус е (рис. 103). Очевидно, что интеграл -1
(40.15) равен нулю, так как подынтег- Рис. 103
ральная функция аналитична внутри области, границей
которого является контур 7. Устремив е к нулю, получим
1 х
l(l-zyzp-idz =

380
Глава 4. Элементы операционного исчисления
1
7 -1
Проведя в первом интеграле замену z = е%{р, найдем
1Г 1
i
о -1
-1
1
= - /,(l-t2)at/,-°f-1A. (40.16)
-1
В последнем интеграле интервал интегрирования разбиваем
на два ] — 1,0[ и ]0,1[ и на интервале ] — 1, 0[ делаем замену
t —У —t. Тогда из (40.16) получим
7Г
i(-2i)Q /*sina <ре{Р*<1<р =
о
1
= [(-1)^а - 1] /(1 - t2)0^"0-1*. (40.17)
о
Проведя в последнем интеграле замену t = у/х и учтя
равенства
(-t)e = е-"0*/2, (-l)"-a = ef>W-a>,
(-l)Z'-a - 1 = et*{P-<*) - 1 =
_ ci(/3-a)ir/2 Jct(j8-a)ir/2 __ c-t(/5-a)ir/2J _
= 2te-'^-e)*/28in|(i9-a),
окончательно из (40.17) получим
2а fsinatpei<}'fid(p =
о
1

40. Бета-функция
381
= еW sin £(/? - а)В (а + 1, ^) =
,/3)c/2sm(7r^ - а]/2)Г(а + 1)Г([/? - а]/2) =
Г(1 + |)9 + а]/2)
.-^/2 Г(а + 1) «in W - а]/2)Г(|)9 - а]/2)Г(1 - р8 - а]/2) =
Г(1 + &9 + а]/2)Г(1-&3-а]/2)
Г(1 + [а + Я/2)Г(1 + [а-Д/2)'
На последнем этапе преобразований мы использовали формулу
дополнения. Итак, для Re а > — 1 окончательно имеем
7Г
.fdna<pjfivdp =
1. Г(а-Ц) е^1г (40 18)
2«Г(1 + [а + /3]/2)Г(1 + [а-/3]/2) ' { °>
Отсюда вытекают простейшие следствия
Я"
/ sina cp cos (3<p d<p =
•Т(су+1)со8/?7г/2
2° Г(1 + [a + /3]/2)Г(1 + [a - /3]/2)' ^ '
/ sina ipsxaptpdtp =
о
_ 7Г r(a + l)siii/97r/2
2°Г(1 + [а + /3]/2)Г(1 + [а-/3]/2)-
Разбив в (40.18) интервал интегрирования на два
л/2
/ g(<p)d(p= у p(y?)d^+ у flf(p)<fy>
О О ^/2
(40.20)

382
Глава 4. Элементы операционного исчисления
и заменив в первом интеграле (р на 7г/2 — у?, а во втором <р на
7г/2 + <р, найдем
тг/2 тг/2
et/Jr/2 Г / coga pe-i^fy + f cosa tpe^dJ =
о о
тг/2
= 2е*Рк'2 [ cosa <p cos/3<p dip.
0
С учетом этого соотношения из (40.18) получим
к/2
I cosa (p cos /fy d^> =
о
Г(а + 1)
2«-1Г(1 + [а+Д/2)Г(1 + [а-Д/2)в
(40.21)
41. Биномиальные коэффициенты
Для исследования некоторых свойств специальных
функций удобно использовать биномиальные коэффициенты.
ф Биномиальными коэффициентами называются
выражения вида
Г(а+1)
W Г(1/+1)Г(а-1/
Г(1/ + 1)Г(а - г/ + 1) (а + l)B(i/ + 1, а - I/ + 1)'
(41.1)
О Биномиальные коэффициенты определены при любых v и
а, когда правая часть имеет смысл. В частности при v — —п,
п = 1, оо биномиальные коэффициенты равны нулю.
Пример 41.1. Найти явный вид биномиальных
коэффициентов при целых I/ = n, n = 0, 1.
Решение. Из свойств Гамма-функции вытекает, что Г(п +
1) = n!, T(z + 1) = zT(z). Тогда
(S)-'. (?)=«• (;) = "»-"■ ,'°-+1>. (41.2,

41. Биномиальные коэффициенты
383
Рассмотрим некоторые полезные свойства биномиальных
коэффициентов.
Свойство 1. Справедливо соотношение
Доказательство. С учетом свойств гамма-функции получим
V у У Г(а+1)Г(1/+1) "
_ Г(а 4- v + 1)Г(-а - u)T(-a) _
~~ Г(а + 1)Г(-а)1> + 1)Г(-а - I/) ~~
_ —7г — sina7r Г(—а)
"" sin(a + i/)7T 7г Г(1/+ 1)Г(-а - !/) ""
_ sina7T /-1 - a\
sin(a + ^)тг V v /
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если п — целое, то справедливо соотношение
(«;•)=<-«• (Л- ')• <"•*>
Доказательство. Положим в(41.3)|/ = п,п = 0, оо. С учетом
формулы приведения sin(y? + tn) = (—l)n sin <p получим (41.4).
Свойство 3. Справедливо соотношение
£(жли°:'3)- и"»
fc=0
Доказательство. С помощью биномиальных коэффициентов
разложение функции /(ж) = (1+ж)а в ряд Тейлора по степеням
х (справедливое при \х\ < 1) можно записать в виде
оо оо
(! + *)" = £(*)**' (1 + *)'=£(m>m; (41-6)
fc=0 m=:0
оо
(l + *)e+' = £(aJ/3)*" = (l + *)e(l + *)/'- (41.7)
n=0

384
Глава 4. Элементы операционного исчисления
Подставив (41.6) в (41.7), найдем
ECI'V-tEG) (£)■**-■
п=0 ЬОт=0
Сделав замену индексов суммирования к + ?Н = п,
окончательно получим
п=0 п=0к=0
откуда с учетом того, что
(ЛН
при к > п, следует (41.5).
Наряду с биномиальными коэффициентами для
компактной записи коэффициентов рядов Тейлора и Фурье зачастую
используются символы Похгаммера.
♦ Символом Похгаммера называется величина
(а)» = а(а + 1)(а + 2) • ■ • (а + п - 1) = Г("ДП), (41.8)
где а - комплексная постоянная, а п = О, оо.
О Используя свойства гамма-функции, нетрудно получить
основное функциональное соотношение для символа
Похгаммера
Wn+i = (a + n)(a)n. (41.9)
42. Интеграл ошибок
♦ Интегралом (функцией) вероятности или интегралом
ошибок называется функция
$(t)=evf(t)
Z
= -4= f e~x'dx. (42.1)
V тг у

42. Интеграл ошибок
385
Непосредственно из определения следует, что функция erf (/.)
непрерывна и монотонно возрастает от нуля до erf (оо) .= 1,
так как
«f<»> = £/'"',* = 7Sr(i) = 1-
(42.2)
Наряду с функцией erf (t)
рассматривают функцию
Рис. 104
t Erf(t) = l «rf(*) = ^
или с учетом (42.2)
2
dx
со t сю
Erf (!) = -?=| f e-^dx - /e-^dJ = -?= f e'^dx. (42.3)
Функция Erf (2) непрерывна и монотонно убывает от Erf (0) =
1 до Erf (ос) = 0 (см. рис. 104).
Пример 42.1. Для интеграла ошибок найти представление в
виде ряда по степеням t.
Решение. Согласно (42.1), имеем
erf(t)
Заметив, что
со
£(-i)14
fc+1
t
2fc-l
~ (_1)V ~ 2Ч2, + 1
получим
DC*-1)» & й £(* + i>"'

ГЛАВА 5
Методы асимптотических оценок
43. Простейшие асимптотические оценки
несобственных интегралов
♦ Пусть функции f(z) и g(z) определены на множестве Е,
a zq — предельная точка множества Е. Тогда, если
lim ^4 = 1, (43.1)
то функции f(z) и g(z) называются асимптотически равными
(эквивалентными) в точке zq и обозначаются
f(z)~g(z), {z^z0,zeE). (43.2)
ф Бели
lim Щ- = О, (43.3)
*-**о g(z)
то функция f(z) называется бесконечно малой по сравнению с
функцией g(z) в точке zo и обозначается
f(z) = o(g{z)), (z -+z0,ze E). (43.4)
(читается: f(z) есть о малое от g(z) при z, стремящемся к zo).
♦ Если для двух функций f(z) и g(z), определейных йа
множестве Е, существует постоянная С > О, такая что
выполняется неравенство
\f(z)\ ^ C\g(z)\ (43.5)
для всех z G Е, то функция f(z) называется ограниченной по
сравнению с функцией g(z) на множестве Е и записывается
f(z) = 0(g(z)) (zeE)
(читается: f(z) есть О большое от g(z) на Е).
♦ Если неравенство (43.5) выполняется только в некоторой
окрестности точки 2о, т.е.
|/(*)| ^ C|er(*)|, zeC(z0ie)f]E, (43.6)

43. Простейшие асимптотические оценки несобственных интеграловЗ&7
то говорят, что функция f(z) ограничена по сравнению с
функцией g(z) в ^-окрестности точки zq и записывается
Пример 43.1. Показать, что
a) sinz ~ z (z —У 0),
(43.7)
б)
1 + ж2
Решение. Действительно,
~ ж2 (ж -^ 0).
sin z
a) Inn = 1,
z-*0 Z
б) lim
х"
1
1.
<г-*0 1 -j- X*2 X'2
Следовательно, согласно (43.1) и (43.2) получаем требуемые
утверждения.
Пример 43.2. Показать, что
In ж = о(ха) х —> 4-оо а > 0.
Решение. Пусть f(x) = In ж, </(ж) = жа. Тогда
lim = lim - -
1
х-+оо Xu
.г-юо х ах
а-1
1 ,. 1
= - hm — = 0.
а *-юо ха
Пример 43.3. Показать, что
а) sins = 0(1), хеШ.;
б) 1 = 0(^) 2_0;
В) ?=°Й) г^°°-
Решение. Действительно, в силу очевидных неравенств
а) | sin ж| ^ 1 при х £ К;
б)
в)
111
Z \
1
\z2
$|
<
1 I
о
2" I
|1
\ Z
при |z| < 1;
при \z\ > 1
и определения символа 0(g(z)) (43.5) и (43.6.) получаем
требуемые утверждения.

388 Глава 5. Методы асимптотических оценок
Теорема 43.1. Справедливы следующие соотношения:
1. o(f(z))+o(f(z))=o(f(z)), (z^z0)
2. o(f(z))-o(g(z))=o(f(z)-g(z)), (z -+ z0)
3. o(o(f(z)))=o(f(z)), (z->zo) (43.8)
4. o(/(z))+0(/(z)) =(?(/(*)), (z->zo)
5. 0(o(/(z))) = o(/(*)), o(0(f(z))) = «,(/(*)).
Доказательство. 1. Пусть gi(z) = о(/(г)), #2(2) = °(f(z))
при z -> zo. Тогда gi(z) + #2(2) = o(/(z)). Действительно,
hm -rr-T = hm -jTT-Y- + hm -77-7- = 0.
2. Пусть y>(z) = o(/(z)), V>(z) = o(flf(z)) при 2 -> 20. Тогда
^>(^)'0(г) = o(f(z)g(z)) при 2 —У z$. Действительно,
вш фт = ш„ 5J4 am 44=o-
z->zo f(z)g(z) 2-+Z0 f(z) z-^zo g(z)
3. Пусть <p(z) = o(g(z)), g(z) = o(f(z)) при z ->• z0. Тогда
y>(z) = o(f(z)). Действительно,
lim *W = lim Щф-= lim 44 lim QP- = 0.
Доказательства свойств 4 и 5 аналогичны.
О Первые три соотношения в (43.8) останутся
справедливыми, если символ о заменить на О.
♦ Соотношения вида
/(*) ~ g(*h /(*) = o(g(z)), f(z) = 0(g(z)), z -> z0
называются асимптотическими формулами или
асимптотическими оценками.
44. Простейшие асимптотические оценки
интегралов
Рассмотрим интеграл
ь
Jnt)dt

44. Простейшие асимптотические оценки интегралов 389
от непрерывной функции f(t). Согласно свойству
аддитивности, его можно представить в виде
Ь х b
J f(t)dt = J f(t)dt + j f(t)dt. (44.1)
a a r
Если интеграл
о
Jf(t)dt =
A<oo
сходится, то при х -> b справедливы следующие
асимптотические оценки:
6 х
j f{t)dt ~ о(1), / f{t)dt ~ 0(1), х -+ b.
В случае расходящихся интегралов (как первого, так и
второго рода)
6
ff№ =
ОО
a
асимптотические оценки играют исключительную роль.
Позволяя сохранить основные .свойства и отбрасывать
второстепенные, они содержат много полезных сведений о поведении
этих интегралов.
Сформулируем условия, при которых асимптотические
оценки подынтегральных функций можно распространять на
интегралы (44.1), т.е., другими словами, - условия, при которых
асимптотические оценки можно интегрировать.
Теорема 44.1. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны, д(х) >
О для всех х Е]а, Ь[ и пусть
о
/ g(x)dx =
оо a < е < 6.
е
Тогда

390
Глава 5. Методы асимптотических оценок
1. если /(ж) = 0(</(ж)) (ж -> Ь), то
j f(t)dt = О ljg{x)dx\ (z->b); (44.2)
2. если f(x) = о(<дг(ж)) (ж —> Ь), то
jf(t)dt = oljg(x)dx\ (*-+&);
(44.3)
3. если /(ж) ~ </(ж) (ж -> Ь), то
ь ь
[ f(x)dx ~ / g(x)dx (ж -> 6). (44.4)
Доказательство. 1. Так как /(ж) = 0(д(х)) и #(ж) > 0 (ж —>
Ь). то существует С > 0, такое что при |/(ж)| ^ Сд(х)
справедливо
0 10 О О
[ f(t)dt\ ^[\f(x)\dx ^ fcg(x)dx = cfg(x)da
2. Так как /(ж) = о(<7(ж)) (ж -* Ь), то
Рассмотрим предел
lim 44 = °.
*-+Ь-о д(х)
Jf(x)dx
lim i7 »
Jg(x)dx
который по правилу Лопиталя равен
lim 44 = 0.

44. Простейшие асимптотические оценки интегралов 391
3. Так как f(x) ~ д(х) (х —> 6), то
х-*Ь-о д(х)
Рассмотрим выражение
}f(x)dx
lim ^ ,
Jg{x)dx
X
которое по правилу Лопиталя равно
ton M = i,
*-+б-о дух)
что и требовалось доказать.
О Утверждения теоремы останутся справедливыми и при
6 = оо.
Теорема 44.2. Пусть функция д(х), непрерывная и
положительная при х ^ 0, удовлетворяет условию
о
ОО.
Тогда
1) если функция f(x) непрерывна при х ^ 0 и f(x) = 0(g(x))
(х —у +Ь), то
f f(t)dt = 0П g(t)dt J (x -> +6); (44.5)
2) если функция f(x) непрерывна при ж^0« f(x) = о(</(ж))
(х -» +Ь), то
ff(t)A = oljg{t)dt\; (44.6)

392
Глава 5. Методы асимптотических оценок
3) если функция /(ж) непрерывна при ж ^ 0 и /(ж) ~ д(х)
(ж -» +&), то
Т .Г
Г f(t)dt~ fg(t)dt. (44.7)
а а
Доказательство аналогично доказательству теоремы 44.1.
Пример 44.1. Показать, что для непрерывной на интервале
а ^ ж < оо функции /(ж) при ж -> оо справедливы следующие
асимптотические оценки:
Г ( ga + 1 ^ _1
если /(ж) - жа, то / f(t)dt ~ I а + 1 ' '
J I 1пж, а = —1;
я:
л.) = о(,«),™ //(*)* = { З^ ;>:}:
а
/(х)=о(х«),то //(«)*={ g^* s>:J:
если
если
Решение. Положим в условии теоремы 44.2 (/(ж) = жа и 6 = оо
и получим требуемые утверждения.
Пример 44.2. Показать, что для непрерывной на интервале
а ^ ж < оо функции /(ж) при ж -> оо справедливы следующие
асимптотические оценки:
оо
/Жа + 1
f(t)dt ~ —, а < — 1;
а + 1
X
оо
если /(ж) = о(жа), то / /(<)А = о(жа+1), а < -1;
X
оо
если /(х) = 0(ха), то / /(t)A = 0(xa+1), a < -1.
Решение. Положим в условии теоремы 44.1 # (ж) = жа и 6 = оо
и получим требуемые утверждения.

44. Простейшие асимптотические оценки интегралов 393
Пример 44.3. Доказать, что
j y/F+ldt = у + 0(1), (х -> оо).
о
Решение. Рассмотрим разность
,.з
Jy/F+idt- у = / (\/^ТТ-t2)dt =
1 1
.г
1
= |*2{l+£-l + 0(r8)}«tt =
\
= /(i+oe-^)*=o(i).'
1
1
У'(^?г+Т-<2)л = о(1).
о
Следовательно,
X 1
J у/*+Ш-£= [ (V*tt-t2)dt +
о
.г
/ (04 + 1 - t2)dt = 0(1) + oQ) = 0(1).
i
Пример 44.4. Доказать, что
/§2 1
V*2 + 1Л = у + - In г + 0(1), z -> ос.
о
+
1

394
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Решение. Рассмотрим выражение
1 1
t2 + ldt-- + ---\nx =
1
X
= /{^4l-t-I}* =
1
1
1
1
/ \/*2 + ldt = 0(1), (ж -> оо).
о
Следовательно,
М
ж2 1 1.
+ Ш-Т + 2-21па; =
о
ж2 1 1
J y/t2 + Id* + / V^2"
+ !*__ + ___!„« =
1
1
0(1)+о(—) =0(1), ж-юо,[-.2ея]
что и требовалось доказать.
45. Асимптотические ряды
ф Последовательность {<pn(z)}, z G Е, n — Loo,
называется асимптотической при z —> zq (по Пуанкаре), если для
любого целого n ^ 0 справедливо
<pn+i{z) =o(<pn{z)), (z -Л z0, z£ E), (45.1)
где zq — предельная точка множества Е.

45. Асимптотические ряды
395
О Если ясно, о каком множестве Е идет речь, то
записывается просто z —> zq.
Пример 45.1. Показать, что последовательность
{(ж-ж0)п}, (ж->ж0)
является асимптотической при ж, стремящемся к жо.
Решение. Действительно,
lim^=lim(-*o)"+1=0,
;г-ке0 (рп\Х) х-¥х0 (ж — Ж())П
т.е.
(х - ж0)Л+1 = о((х - жо)п)? (ж -+ жо).
Пример 45.2. Показать, что последовательность
{*-"}, (*-»оо)
является асимптотической при z, стремящемся к бесконечно
удаленной точке.
Решение. Действительно, <pn(z) = я~п, z = x + iy = pe,v?,
lim^#^limi=lim^ = 0.
z-юс <pn(Z) z-+oc z P-+oq p
О Последовательности, рассмотренные в этих примерах,
называют степенными асимптотическими
последовательностями.
Пример 45.3. Показать, что последовательность
{ехх~п}у (ж-юо)
является асимптотической при ж, стремящемся к бесконечно
удаленной точке.
Решение. Решается аналогично.

396
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Свойства асимптотических последовательностей
Свойство 1. Пусть f(z) отлична от нуля в некоторой
окрестности точки z$ G Е< а {^>п(^)} - асимптотическая
последовательность при z —¥ Zq, z G Е. Тогда последовательность
{f(z)<pn(z)} также является асимптотической
последовательностью при (z —У zq, z G Е).
Доказательство. Рассмотрим предел
Km Z^LtiM = lim *+!<«) = о,
•Г-КГ0 f(z)(pn(z) *->*«, <pn(Z)
следовательно,
f(z)<pn+i(z) = o(f(z)(pn(z)), (z -> z0, ze E)<
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Пусть последовательности {^«(я)} и {фп(*)} ~
асимптотические (при 2 —¥ z$% z G Е). Тогда
последовательность {<Pn(z)i-}n(z)} является асимптотической при z -> ^о-
* G #.
Доказательство. Так как последовательности {^»(г)} и
{Фп(я)} — асимптотические при z —¥ Zq, to
hm — , ч =0, и hm . , х = 0.
s-ffio <pn(z) г~*~о V'nl*)
Рассмотрим предел
Hm Vn+i{z)1>n+i(z) = Ит p»+i(*) Цш V^iU) = 0
Следовательно,
y>№ + l(z)V»n + l(*0 = 0{(pn(zW>n{z))
при 2: —>■ zq, z G i?, что и требовалось доказать.
♦ Пусть {<Ptx(z)} — асимптотическая
последовательность при z —* zoi z G Е. Тогда говорят, что функция
/(*), z G £?, разлагается в асимптотический ряд
со
/(*)~£<ММ*)> (г-> «о, г € £). (45.2)
п=0

45. Асимптотические ряды
397
an = const, если для любого N ^ О
N
f(z) - Y^<*n<Pn(z) = o[<pN(z)), (z -> zih z e E). (45.3)
n=0
Ряд (45.2), даже если он расходится, называется
асимптотическим разложением функции f(z) по
асимптотической последовательности {<£>n(z)}.
О Соотношение (45.3) позволяет записать
последовательность асимптотических формул при z —> zq:
Ro(z) = f(z) - a0<p0(z) = o(tpo(z)),
Ri{z) = f(z) - a0<p0(z) - aiy>i(z) = o(<px(z)),
N
Rn(z) = f(z) - ^2on<pn(z) = o((pN(z)),
n=0
так что каждая последующая формула для остаточного члена
ряда Rn(z) уточняет предыдущую. Поскольку определение не
оговаривает поведения Rn(z) при фиксированном z и N —> оо,
не исключено, что асимптотический ряд (45.2) расходится.
Более того, термин «асимптотический ряд» применяется в
основном к расходящимся рядам или рядам, сходимость которых
установить не удается.
Теорема 45.1. Асимптощичсское разложение (45.2)
единственно.
Доказательство. Допустим, что имеются два
асимптотических разложения функции f(z)
оо оо
n=0 n=0
(z —> zq, z G E). Покажем, что an = bn для всех п. По
определению
f(z) - a0(po(z) = o((p0(z)), f(z) - b0(po{z) = o(<p0(z)).
Вычтя одно равенство из другого, получим (ao — bo)(po(z) =
°(Ро(г)). Разделив последнее равенство на (po(z)< получим (ao—

398
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Ь0) = о(1) и, переходя к пределу z —У z$, получаем ао = Ьо-
Покажем, что а\ —Ь\. Имеем
f{z) - a0(p0{z) - ax(pi{z) = o{(pi(z)),
f(z) - aQ(p0{z) - biipi{z) = o((pi(z)).
Следовательно, (ai — bi)<pi(z) = o(<px(z)) и поэтому ai = b\.
Аналогично доказывается an = bn для всех п.
О Обратное утверждение неверно: две различные функции
могут иметь одно и то же асимптотическое разложение.
О Таким образом, асимптотический ряд функции f(z)
может
1) сходиться к функции f(z);
2) сходиться к функции g{z), отличной от f{z)\
3) расходиться.
Пример 45.4. Показать, что функции f(x) = 0 и д(х) = е~х
имеют одно и то же асимптотическое разложение при ж,
стремящемся к бесконечности.
Решение. Очевидно, что
О ~ 0ж° + Ох'1 + ... + ОаГп + ... (а? -> оо),
еГ* ** 0х° + Ох'1 + ... + Ох'11 + ... (х -> ос),
поскольку
е~х
a0 = lim —тг = О,
е-* - Ох°
ai = lim : = О
х—юо а? х
и т.д., что и требовалось показать.
Пример 45.5 (Эйлера). Исследовать поведение функции
оо
f(x) = /Vv-'cfe, x >0
я:
при ж —»■ оо.

45. Асимптотические ряды
399
Решение. Проинтегрируем по частям и получим
оо * со
/(«)= - Л-Це*"') = - - /"rV-'Л.
;Г .Г
Повторяя интегрирование по частям, получим
/(*) = Е i^ + (-1)"+1(« + 1)!/«-'*—"Л =
Для 7*п(ж) имеем следующую оценку:
Ы*)\ =
^
(-lV+^n + l)! [<f-*t—3dt\
£
(45.4)
Здесь мы воспользовались тем, что ех е ^ 1 при ж ^ t. Из
(45.4) следует, что при х —» оо
п-1
«,* у* Mr*1 , n/ I \
(45.5)
и оценка
fc=0
fc=0
nn + l
Правая часть неравенства достаточно мала при больших х.
Например, при х ^ 2п имеем
,<*>-£<-"'"
fc=0
Bfc+1
<
1
n2n
Поэтому при больших а; и больших п функция f(x) может быть
вычислена с большой точностью.

400
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Функции f(x) можно сопоставить ряд
п=0
Этот ряд расходится при любом ж, поскольку
,. (-1)"п!
hm —— = ос
n-юо жп + 1
для всех х- и не выполняется необходимый признак сходимости.
Тем не менее, этот ряд может служить для приближенного
вычисления функции /(ж).
Если в формуле (45.2) в качестве асимптотической
последовательности использовать степенную, то получим
степенной асимптотический ряд - простейший из асимптотических
и наиболее часто встречающийся в приложениях.
♦ Асимптотические ряды вида
оо
f(z) ~YlanZ~n> (*->°°);
п=0
оо
]Pan(z- z0)'\ (z-> z0)
n=0
называются степенными.
0 Степенные асимптотические ряды, порождаемые
непрерывными функциями, можно складывать, вычитать,
перемножать и делить, причем для коэффициентов разложения
справедливы формулы, полученные нами для сходящихся
степенных рядов.
Доказательство этого утверждения не вызывает
затруднений, как, впрочем, и возможность почленного интегрирования
асимптотического ряда
оо
f(z)~J2anz-n, (*->oo)
в виде
I f(z)dz~Yl Пп_1 ' (*->«>)■ И5'6)
. n=2

45. Асимптотические ряды
401
Что касается почленного дифференцирования
асимптотического ряда, то эта операция в общем случае некорректна.
Например, е~х sine1' ^ 0 при ж —У оо, однако производная
(е~'т sin е*У = — е~х sin ет + cos ёх
не имеет асимптотического разложения, поскольку не
существует ее предел при ж —> оо. Но если /(ж) разлагается в
асимптотический ряд при х —> оо, то это разложение можно
получить формальным дифференцированием асимптотического
ряда функции /(ж), т.е.
оо
ЛаО-Еи-пК-!*-, (*->оо). (45.7)
п=2
Формула (45.7) вытекает непосредственно из (45.6).
0 Можно показать, что если функция /(г), аналитическая
при \z\ < i?., a < argz ^ /3, разлагается в асимптотический
ряд
оо
/(*) ~ ]£ Cz" (z-+0, |z|<*,a<argz^/J), (45.8)
Л=0
то коэффициенты этого ряда можно представить в виде
С„=Д lim /(n)(*)- (45.9)
0 Если мы имеем для функции f(x) асимптотическое
разложение по некоторой асимптотической последовательности
функций \<Рп(х)} при х —»■ хо (45.1), (45.2), то это еще не
дает никаких сведений о значении /(ж) при фиксированном ж,
отличном от жо. Например, если известно, что функция /(ж)
хорошо аппроксимируется выражением ао -Ь адДж — жо),
когда ж —^ жо, то нам неизвестно, насколько «мало» отклонение
между /(ж) и «о + а\(х — жо) при достаточно «малых» ж — жо
lim /(ж) - [а0 + ах(х - ж0)] = 0.
:г—кг о
Поэтому в приложениях асимптотических разложений,
например при построении рядов теории возмущений в
квантовой механике (см. [45]) используют следующее более сильное в
смысле сходимости понятие.

402
.Глава 5. Методы асимптотических оценок
со
♦ Формальный асимптотический ряд ]Г) an<pn(x) называ-
п=0
ют сильным асимптотическим рядом для /(ж) при х —> жо,
или асимптотическим приближением к функции /(ж), и пишут
со
f(x) ~ ]С ап^п(ж), если для любого га справедлива оценка
и=0
m—l
f(x) ~ ]С an<Pn(x) = 0(<pm) при ж -* ж0. (45.10)
n=0
m — l
Иными словами, частичные суммы ]Г] с*му>,,(ж) являются при-
п=0
ближенными значениями функции /(ж) с ошибкой 0(у>т(ж))
при ж -> жо, т.е. ошибка приближения имеет величину
первого отброшенного слагаемого. Можно показать [30], что если
существует асимптотическое разложение в указанном сильном
смысле, то оно единственно и его коэффициенты определяются
последовательно по формулам
m — l
/(ж) - £ an<pn(x)
am= lim —*=? , m = 0,oo. (45.11)
.т-fco ¥>m(a)
Из определения по Пуанкаре асимптотического разложения /(ж)
по асимптотической последовательности у?(ж), ж —>• жо,
следуют, в частности, формулы (45.10) и (45.11) асимптотического
приближения к функции /(ж) [66]. Для степенных
асимптотических рядов, когда <рп(х) = жп, понятия асимптотического
ряда и сильного асимптотического ряда эквивалентны.
46. Метод Лапласа
♦ Интегралы вида
ь
F(\)= [ /(ж)еА5<г)с*ж (46.1)
называются интегралами Лапласа. Здесь Л > 0 — большой
параметр, a S(x) и /(ж) — вещественные функции, такие что
f(x) ф 0, S(x) ф const при ж G [а, Ь].

46. Метод Лапласа
403
0 Идея метода Лапласа весьма проста. Пусть S(x) имеет
на отрезке [а, Ь] один максимум в точке #о> который тем резче,
чем больше Л. И поэтому при больших Л основной вклад в
значение интеграла вносит окрестность точки максимума. Далее
в окрестности точки а,*о функции f(x) и S(x) можно
приближенно заменить по формуле Тейлора, и мы получим интеграл,
асимптотика которого легко вычисляется. С учетом этого
исследование интегралов (46.1) начнем с леммы, определяющей
асимптотику «эталонного» интеграла с фазовой функцией
вида S(x) = —\xQ.
Лемма 46.1 (Ватсона). Пусть дан интеграл
а
jm
F{\) = / f(z)e'A* <fa, (46.2)
о
где 0 < а ^ ос, а > 0, а функция f(x) при \х\ < е
представляется сходящимся рядом
оо
f(x) = x^Cnxn, /3>-l. (46.3)
п=0
Причем если существуют Ао и 0 < М < ос, такие что
а
FW~± £"г(£+Л±1)Л-«*8", (46.4)
\f(x)\e-XoxQdx<M,
о
то имеет место асимптотическое разложение
п=0
Г — гамма-функция Эйлера. Разложение (46.4) можно
дифференцировать по А любое число раз.
Доказательство. Пусть Л > Ло, тогда можно записать
[ f(x)e-Xx"dx.
о
е а
f f{x)e-Xx"dx + J f(x)e-Xx"dx = Ji + J2.

404
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Оценим второй интеграл:
\ a la
Ш = \ f f(x)e-x*adx\ <£ f e-(x-x°)*"e-Xn*"\f(x)\dx.
I e | e
Поскольку е""^А""Л°^г" <С е"^А~А°^ , его можно оценить как
a
Ш ^ е-<А-А">е° fe~XaX" \f(x)\dx ^ Me.-lx-Xo)e".
Таким образом,
ш =
e-x*adx
= 0(с-,А'"А»)'").
//We
\е
Рассмотрим теперь первый интеграл
J1= f(x)e-Xx°dx = Y,C» x"+ne-x*adx
n=0
и сделаем замену Ах° = т, dr = axa 1dx, т.е. x — r1'°A 1/,a,
dx = ±{T/X)-^-lVadr. Тогда
A£°
*=s| (D'(i)'v*-
n=0 0
oo Af"
ttA(Wa)/a[7 r " e dr +
n-0 0
oo oo
+ I т « e dr — I т <* e ar .
Заметим, что
r * xe Tdr — e A£ / r « xe lr A£
Mr.

46. Метод Лапласа
405
Снова сделаем замену г — \еп = u, dr = d*u, т = u -f Aea.
Получим
оо
,/з = е-А-'а Л« + Аеп)й±5±1-1е-"'г/и =
о
(\е«) ~ 1J (1 + —) с %1.и =
о
оо
= е-А*
^е-^-А*^-1
Несобственный интеграл в квадратных скобках сходится.
Следовательно,
./з
Таким образом,
оо
J „_П «Л or J
п=0 '
+О(с-Ле°)+О(е-1Л-Ао,в°) =
= £-^М<^)+0,л-^,.
л=паА ч а 7
Дифференцирование соотношения (46.2) по Л приводит к
интегралу того же вида, откуда и следует возможность
почленного дифференцирования разложения (46.4), что и требовалось
доказать.
Перейдем к общему случаю оценки интегралов (46.1).
Точка з;0, в которой функция S(x) достигает максимума, может
либо быть внутренней точкой отрезка интегрирования, либо
совпадать с его границей. В первом случае тейлоровское
разложение функции S(x) в окрестности точки хо имеет вид
S(x) = S(x0) + C2{x - х0)2 + ...,
Ci = 5/(«o) = 0, C2 = S"(x0)^Q,

406
Глава 5. Методы асимптотических оценок
а во втором, если хо — а, -
S(x) = S(a) + Cx(x - а) + ..., Ci = S'(a) ф 0.
В связи с этим и основываясь на лемме Ватсона, можно
показать (см. [55]) справедливость следующих двух теорем,
определяющих асимптотические разложения (46.1) в каждом
из этих случаев.
Теорема 46.1 (вклад от внутренней точки максимума).
Пусть интеграл (46.1) сходится абсолютно для некоторой
точки А = Ао, т.е.
ь,
f\f(x)\eXoS^]dx^M (46.5)
а
и S(x) достигает максимума только в точке жо, а < хо < 6,
а функции f(x) и S(x) бесконечно дифференцируемы при х Е
[а,6] tiS"(so)^0.
Тогда при А —> оо асимптотическое разложение
интеграла (46.1) имеет вид
оо
F(X) ~ exp[AS(*0)] Y^ С»Л~П~1/2> л "> оо. (4<>-6)
п=0
где
(2п)! *-*х0 oten Гv ' V (х-хо)2 / J v 7
О Главный член асимптотического разложения интеграла
(46.1) при А —> оо имеет вид
ъ
F(X)= f f(x)exsWdx~
а

46. Метод Лапласа
407
Теорема 46.2 (вклад от граничной точки). Пусть
максимум функции S(x) достигается только в точке х <^ а и
выполняется условие (46.5). Тогда если функции f(x) и S(x)
бесконечно дифференцируемы на [а, Ь] и S (а) ф 0, то при А —> оо
справедливо асимптотическое разложение
оо
F{\) ~ ехр[А5(а)] £ СА"""1, (46.9)
71=0
где
*=-.ы(-^£)"1Ш- {4бло)
Разложения (46.6) w (46.9) можно дифференцировать по А
любое число раз.
Пример 46.1. Показать, что справедлива формула Стирлин-
га
Г(А + 1) = \/2^А(-)Л(1 + 0(1/Л)), Л -^ оо.
Решение. По определению Гамма-функции
оо
Г(А+1)= f xxe~xdx.
о
Сделаем замену переменных х = Atf, dx = Xdt. Получим
оо оо
ла+1 Лле-л*л = Ал+1 f€-Mt-mt)dt
о о
Таким образом, приходим к теореме 46.1, где f(t) — 1, S(t) =
- (t - In t), причем S'{t) = -1 + 1//, = Опри* = l.S"{t) = -1/t2
и S"'(l) = —1. Применяя теорему 46.1, получим
Г(А + 1) = АА+1е-А-^(Со + 0(\-1)),
где
с» = Е4^!й("^Г)"2 = ^"« = #

408
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Таким образом,
Г(А+1) = у^а(-) (l + OfA-1)).
Пример 46.2. Показать, что
оо
I e-^r-ln(l+t+tr)dt=^^(l + 0(l/\)). ^
— оо
Решение. Интеграл удовлетворяет условию теоремы 46.1, где
f{t) = ln(l+*+/.2), S(t) = -*2, S'{t) = -2/., S"{t0) = -2. Тогда
CO
J e-A''/Jln(l + * + t?)dt = eA0-^(Co + Щ- + 0(A"2)),
— OO
где
= §ВД2> ИЗ ШТ? = 5r(1 +1/2) = ?r(1/2> = X-
47. Метод стационарной фазы
♦ Интеграл вида
ъ
F(\) = f f(x) exp[i\S(x)]dx, (47.1)
где S(x) и f(x) — вещественные функции, а А — большой
положительный параметр, называется интегралом Фурье.
Будем считать, что функция S(x), которую принято
называть фазовой (или фазой) не является постоянной, т.е. S(x) ^
const, а /(ж) =£ 0.
♦ Точки ж, для которых S'(х) = 0, называются
стационарными, или критическими.

47. Метод стационарной фазы
409
Интеграл (47.1) будет мал при Л —»• ос за счет быстрых
колебаний ехр[гА5(ж)]. Ясно, что основной вклад в
асимптотику интеграла (47.1) должны вносить стационарные
(критические) точки фазовой функции S(x) (отсюда название метода),
так как вблизи них колебания замедляются. В тех случаях,
когда фаза S(x) не имеет стационарных точек,
асимптотическую оценку (47.1) можно найти интегрированием по частям.
Начнем, например, с оценки Фурье-коэффициентов.
Асимптотика коэффициентов Фурье
0 Часто требуется найти асимптотику интегралов,
возникающих в теории интегрального преобразования Фурье
F(\)
О
= f f(x)eiXxdx, A-+OG, (47.2)
где функция f(x) непрерывно дифференцируема бесконечное
число раз, с\ S (х) — 1.
Теорема 47.1. Если интеграл (47.2) сходится абсолютно,
т.е. существует М > О, такое что
ь'
J \f(x)\clx <^ М < оо,
а
тогда
Fw = е*'Ао Е £г/(п-1)и - е*'АЬ Е £г/(п-1) w+°(А~")-
11 = 1 П = 1
(47.3)
Доказательство. Действительно, проинтегрируем F(\) по
частям, полагая U = /(ж), dU = f(x)dx, dV = eiXxdx, V =
j^etXxdx. Получим
F(\) = ff(x)eiX*dx = f(*)^-\[ - ^j f'(x)eiX*dx.

41G
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Снова проинтегрировав по частям, получим
ь
F(A) = -1-е^[Пх) + !/'(*)][ - Q2 Jf"(x)e^dx.
Продолжая аналогично, приходим к формуле (47.3).
О Формула (47.3) верна и для а = —оо либо b = оо. В
этом случае соответствующая сумма равна нулю, поскольку
из абсолютной интегрируемости функции f(x) следует, что
/<п)(±оо) = 0.
Когда у функции S(x) отсутствуют стационарные точки,
справедлива
Теорема 47.2. Пусть S'(x) ф О, х £ [а,Ь], а /(ж)
удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Тогда при А -* оо
справедливо
'w=£<«)--i[(^i=)"^]-'
п=0 ' ' '
t'AS(x)
+ o(X-N).
(47.4)
Доказательство. Действительно, сделаем в интеграле (47.1)
замену
y = S(»), dy=S'(x)dx, x = x(y), A = _L_^.
Получим
Ь х(Ь)
F(X) = J/(z)e«A5<*>dx = f ЩШ-^dy. (47.5)
« x(a)
Воспользовавшись соотношением (47.3), получим формулу (47.4).
Следствие. Если
оо оо
F(X) = f f(x)eiXS^dx, и / \f(x)\dx <$ М,

47. Метод стационарной фазы
411
a S'(x) ф 0 х G] - оо, оо[, то F(X) = 0(\-°°), Л -> ос.
Доказательство непосредственно следует из (47.3) и (47.5).
Исследование интегралов Фурье, содержащих фазовые
функции, имеющие стационарные точки, начнем с так называемого
принципа локализации (см. [55]).
Теорема 47.3 (принцип локализации). Пусть производная
функции S(x) имеет конечное число нулей S'(xk) = О, эд Е
[а, Ь], k = 1,j/V. Пусть все нули - изолированные. Тогда
F(A) = ]T / /(Ж)е,А5(гМЖ + 0(Л-°°),
г А?
* = 1**-е
2е= min [zfc,zfc+i].
fc=l,JV
Принцип локализации по сути является математической
формулировкой высказанной ранее идеи о том, что основной
вклад в асимптотику интеграла (47.1) вносят именно
интегралы по малым окрестностям стационарных точек.
Далее, как и в методе Лапласа, сформулируем основную
лемму для «эталонного» интеграла со степенной
зависимостью для фазовой функции.
Лемма 47.1 (Эрдейи). Пусть функция f(x) на отрезке [а, Ь]
представлена рядом
/(х)=х^Спхп.
п=0
Тогда при А —> оо справедливо разложение
а
I
О
fWe^dx ~ £ А-^^Г(^Щ) х
Л=0
х ехр
(Щк+£ + 1)). (47.6)
Разложение (47.6) можно дифференцировать по А
бесконечное число раз.

412
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Доказательство аналогично доказательству леммы Ватсона.
Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов (47.1),
как лемма Ватсона для интегралов (46.1). Как и в методе
Лапласа, исходя из леммы Эрдейи, можно показать (см. [55])
справедливость теоремы, дающей асимптотическую оценку (47.1).
Теорема 47.4. Пусть функция S(x) имеет на отрезке [а, Ь]
единственную стационарную точку хо, т.е, £'(жо) = 0,
причем S"(xq) ф 0. Тогда если
о
/
\f(x)\dx ^ М < оо,
то при А —> ос
где
ix ~
F(X)= f f{x)eiXSWdz
а
оо
exp{«[AS(so) + jsgnS"(x0)] 2°ьА"*~1/2. (47-7)
fc=0
ajt = exp
wr
(2fc + l)egnS"(*o)
r(fc + l/2) t+1/3
(2fc)!
X }^0{(s'(x xn)db)' /W5(a;,xo)};
•••"•PO v V aJ ^«t/, «*/0/ ****'
S(x,x0) = y/2[S(x) - 5(x0)]sgn5"(x0)^y.
О Для главного члена асимптотики (47.6) справедлива
формула
2ir
fw = dxi^^\f(X0)[1+o{x'1)]eiXSiX0)+lfs,inS <xo)"
(47.8)

47. Метод стационарной, фазы
413
Пример 47.1. Получить асимптотическое разложение
интеграла
1
feixt'dt = Г(4/3)е,'7Г/6А-1/3(1 + С^А"1))
о
при А -> оо.
Решение. Воспользуемся леммой Эрдейи, где (5 — 0, a = 3, и
получим искомое утверждение.
Пример 47.2. Вычислить асимптотику интеграла
1 Г
Jn(X) = — / cos(Asinaj — nx)dx, A —у оо,
о
где п — фиксированное число.
Решение. Имеем
7Г
Jn(A) = Re i f е*1х™*-пх)(1х.
о
Функция S(x) = sin ж имеет на [0,7г] одну стационарную
(критическую) точку, так что S(n/2) = 1, S"(n/2) = — I ^ 0.
Воспользовавшись формулой (47.8), получим
А(А) = Re {I^[,-'"/V»-'"« + 0(A-')] } =
■Vn[~(*-j-f)+0(*-,i]-
Пример 47.3. Найти асимптотику интеграла
к
J(X) = — / cos(—\t&mx + \x)dx
о
при А —у оо.

414
Глава 5. Методы асимптотических оценок
Решение. Аналогично предыдущему примеру,
J(A) = Re i feiXS^dx.
о
Функция S(x) = —fsinz + х имеет одну стационарную точку
жо = arccost"1, S"(xo) = \/t2 — 1, S(#o) = arccosf.-1 — y/t2 — 1.
В результате
J(A) = W I [cos (Aarccoer^AV^-l + JJ+OtA"1)].
О Рассмотренные выше асимптотические методы вычисления
интегралов могут быть обобщены на случай интегралов Лапласа
вида
F{\) = I f(z)exs{z)dz (47.9)
при А —У оо. Здесь 7 кривая в комплексной плоскости, f(z) и S(z)
- функции, аналитические в окрестности кривой у.
Для этого интеграла асимптотическое разложение может быть
найдено методом перевала, предложенным Риманом и Дебаем.
Подробное рассмотрение метода перевала выходит за рамки нашего
курса (см., например, [55]), поэтому мы введем лишь основные
понятия, изложим идеологию метода и проведем его рассмотрение на
качественном уровне.
О Идея метода перевала состоит в том, что контур нужно
деформировать так, чтобы можно было применить метод Лапласа или
метод стационарной фазы. Такая деформация возможна, поскольку
по теореме Коши интеграл, содержащий аналитическую функцию,
не зависит от пути интегрирования.
♦ Точки Zk, в которых S'(zk) = 0, называются точками
перевала, или нулевыми точками. Порядком точки перевала называется
кратность нуля S'(zk) = 0. Точка перевала называется простой,
если S"(2fc)^0.
0 Концы контура 7 также являются точками перевала и им
присваивается нулевой индекс.
О Название «точка перевала» объясняется тем, что если
отождествить поверхность u = Re 5(z) с изображением горной
местности, то точки S'(z) = 0 будут седловыми, так как гармонические
функции не могут иметь ни максимумов, ни минимумов.
♦ Кривые, для которых Re S(z) имеет постоянное значение,
называются линиями уровня. Линии, вдоль которых

47. Метод стационарной фазы
415
Im S(z) сохраняет свое значение, называются линиями
наибыстрейшего спуска, или линиями стока.
О В точке перевала z = с порядка р пересекаются р + 1 линия
Re S(z) = Re 5(c), которые разбивают достаточно малую
окрестность точки z = с на 2р + 2 сектора. В р + 1-ом секторе Re S(z) <
Re S(c), в следующем Re S(z) > Re S(c), и при обходе по кругу
такие секторы чередуются.
В каждом секторе, где Re S(z) < Re 5(c), проходит ровно одна
линия наибыстрейшего спуска.
О Вдоль линий уровня модуль функции сА5**' сохраняет
постоянное значение, а вдоль линий наибыстрейшего спуска модуль
функции eAS^' меняется быстрее всего (эти линии являются
градиентными линиями рельефа).
О Метод перевала состоит из двух частей
I. Топологическая часть: деформация контура у в наиболее
удобный для получения аналитических оценок контур у*.
П. Аналитическая часть: асимптотическое вычисление
интеграла по контуру 7*«
О Аналитическая часть содержит трудности того же порядка,
что и методы Лапласа и стационарной фазы. В большинстве
случаев можно использовать готовые асимптотические разложения,
полученные этими методами.
Топологическая часть вызывает значительные трудности и в
общем случае не решаема.
О Метод перевала состоит в том, что при интегрировании
контур должен деформироваться так, чтобы он, насколько это
возможно, состоял из дуг линий наибыстрейшего спуска. На каждой из
этих дуг можно применить метод Лапласа или метод
стационарной фазы, соответственно.
Если контур выбран, то Re' S{z) должен быть таким, чтобы в
точке z = с выполнялось
F(A)~ A\mexs{e).
Это значит, что, имея деформированный контур, мы не можем
получить новый контур, на котором Re S(z) был бы меньше, чем
Re S(c).

ЧАСТЬ II
Элементы вариационного
исчисления
и теории обобщенных функций
Эта часть курса посвящена изучению разделов
математики, исходным понятием для которых является функционал -
величина, зависящая от выбора одной или нескольких
функций, которые играют для функционала роль аргументов.
Вариационное исчисление - метод отыскания экстремумов
функционалов - широко используют в различных областях
физики. Фактически все законы природы, формулируемые
обычно на языке дифференциальных уравнений, допускают вывод
из так называемых «вариационных принципов», согласно
которым истинное движение физической системы можно
выделить из всех допустимых тем, что оно минимизирует
некоторые функционалы.
Важный класс функционалов - это линейные функционалы
или обобщенные функции. Понятие обобщенной функции
является обобщением классического понятия функции, задаваемой
поточечно. Это обобщение, впервые введенное Дираком в его
работах по квантовой механике, дает возможность выразить
в математически корректной форме такие идеализированные
понятия, как плотность материальной точки, плотность
точечного заряда или диполя, интенсивность мгновенного точечного
источника, интенсивность силы, приложенной к точке, и т.д.
Авторы в этом разделе курса ставят следующие основные
учебные задачи. Первая - ознакомить с техникой
исследования задач на экстремум функционалов на примере простейшей
одномерной вариационной задачи с закрепленными концами.
Вторая продемонстрировать, как из вариационного
принципа «наименьшего действия» выводятся уравнения движения
механической системы с конечным числом степеней свободы в
фазовом пространстве и изучить общие свойства этих
уравнений, составляющие важную часть гамильтонова подхода в
классической и квантовой механике. Третья - дать достаточно
полное и строгое изложение теории обобщенных функций
одной переменной и на основе подробно разобранных примеров
выработать практические навыки в использовании основных
операций над обобщенными функциями, часто
встречающимися на практике. И, наконец, - рассмотреть некоторые
применения этой теории к решению задачи Коши и краевых задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений.

ГЛАВА 1
Элементы вариационного исчисления
в классической механике
1. Функционалы. Вариация функционалов
ф Переменная величина v называется функционалом,
определенным на некотором классе функций /С, если каждой
функции у(х) из класса К ставится в соответствие определенное
число v G Ш (v G С). Для значений функционала v на элементе
у = у(х) Е /С используется символ v — v[y(x)].
В качестве функционального пространства /С в этой главе
мы рассматриваем пространство Cfe([a, &]), состоящее из всех
функций, определенных на отрезке [a, b] и имеющих
непрерывные производные до А:-ого порядка включительно. Здесь
к ■■- некоторое фиксированное число. При к = 0 пространство
C°([aJ)]) = C([a,/>]) есть пространство всех непрерывных на
[а, 6] функций.
Пример 1.1. Приведем примеры функционалов:
а) Функционал
1
v[f(x)} = Jf(z)db f(x)€C([0,l])
ставит в соответствие функции /(ж), непрерывной на отрезке
[0,1], площадь под кривой у — f{x).
б) Функционал
7Г
•фу(.т)] — — j y(x)cosxdx, y(x) €С([0,7г])
я" J
ставит в соответствие функции у(ж), непрерывной на
отрезке [0,7г], первый коэффициент разложения функции у(х) в ряд
Фурье по косинусам кратных дуг.

418
Глава 2. Элементы вариационного исчисления
в) Функционал
S = v[y(z)) = JF(x,y(x),y'(x))dx, y(x)GC1([a,(3]) (1.1)
ex
называется действием, a F(x, t/, yf) - функцией Лагранжа (или
лагранжианом). Каждой траектории у = у(х) ставится в
соответствие действие S = v[y(x)]. Здесь F(x,y,y') - непрерывная
функция вместе со всеми своими частными производными до
второго порядка включительно. Свойства именно этого
функционала мы и будем изучать в данной главе.
♦ Приращением, или вариацией, «аргумента» у(х)
функционала у[?у(ж)] называется разность между функциями у(х) —
yi(x), у(х),уг(х) е/С.
Для обозначения используется символ
8у = у(х) - yi(x), у(х) Е /С.
О Поскольку функционалы являются «функциями», в
которых роль независимого переменного играет функция у(х) Е /С,
то для исследования функционалов на экстремум нам
потребуется понятие «расстояния» («близости») между функциями
— элементами пространства Ck([a, b]). В качестве
«расстояния» между элементами выбирается, например, норма
разности функций 1/1 (ж) и у(х). В этом разделе, если не оговорено
противное, под нормой будем понимать норму в Ск([а, 6]).
♦ Нормой элемента у(х) Е Ск([а, 6]) называется
неотрицательное число
к
\\y(x)\\ck=Y,™™JyU)(x)l (1-2)
где 2/(0)(ж) = у(х).
О Таким образом, близость функций у(х) и у\(х) в
пространстве С*(£а, Ь]) с заданной точностью S > О означает, что
\\у(х) — 2/i(ж)||с* < <5, т.е. что близки не только сами функции,
но и их производные до А;-ого порядка включительно. Такие
функции у(х) и г/1 (х) близки в смысле близости к-ого порядка.
♦ Функционал v[t/(x)] называется непрерывным в точке
у(х) = уо(х) Е Ск в смысле близости k-ого порядка, если для

1. Функционалы. Вариация функционалов 419
любого е > 0 существует S > 0 такое, что для всех у(ж),
удовлетворяющих условию \\у{х) — yo(x)\\Ck < J, справедливо
Нз/(з)] -t>[</o(s)]| <б.
В противном случае функционал называется разрывным.
О Поскольку непрерывность функционала определяется не
только его свойствами, но и функциональным пространством,
на котором он задан, то один и тот же функционал может быть
непрерывным на одном пространстве и разрывным на другом.
♦ Функционал L[y(x)] называется линейным, если для
любого Л £ Ж (A G С) и любых yi{x), У2{х) Е /С справедливо
L[Xy(x)] = XL[y(x)),
L[yi{x) + »(»)] = b[yi(x)] + £[%(»)].
Пример 1.2. Показать, что функционал, определенный на
множестве С1 ([а, 6]) формулой
ь
1>Ы*)] = /{*>(*)!/(*) + ^(*)«/(*)}<**, (1-3)
где у>(ж) и ^(ж) — непрерывные на [а, Ь] функции, является
линейным и непрерывным.
Решение. 1. Линейность функционала непосредственно
следует из свойств определенного интеграла.
2. Пусть \\у(х) — yi(x)\\c\ < S. Поскольку функции <р(х) и
'ф(х) непрерывны на [а, 6], то они ограничены, т.е. существуют
постоянные Mi и Mi такие, что |<р(ж)| < Mi, \ф{х)\ < Мо для
любого х £ [а, 6]. Оценим модуль разности:
И!/(з)]-w[yi(s)]| ^
^ / {\Ф)\ \v(x) - vi(*)\ + \Ф{х)\ \у'(х) - iA(x)\}dz <:
a
<С (Mi + М2)(Ь - a)5.
Выбрав 8 = e/[(Mi + Мо)(Ь — а)] для каждого е > О, получим,
что функционал (1.3) непрерывен на множестве С1 ([а, 6]).
О Аналогично примеру 1.2 можно показать, что
функционал (1.1) непрерывен на множестве С1 ([а, 6]).

420
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
♦ Обозначим через
Av = v[y(x) + Sy] - v[y(x)]
приращение функционала ^(ж)], отвечающее приращению Sy
независимой переменной у(х) Е /С. Если у(х) фиксировано, то
Ли представляет собой функционал (вообще говоря,
нелинейный) от Sy £ /С.
♦ Вариацией, или дифференциалом, функционала г>[у(ж)],
отвечающей вариации <fy, называется главная, линейная по
отношению к Sy часть приращения функционала, т.е.
Av = v[y(x) + Sy] - v[y(x)] = L[y(x),Sy] +P{y{x), Sy)Sy,
где L[y(x),Sy] - линейный по отношению к Sy функционал, а
для функции /3(y(x),Sy) справедливо соотношение
lim /3(у(х),6у)=0.
\\*V\\c-*0
Функционал v[2/(x)], имеющий вариацию при у = Уо(х),
называется дифференцируемым при у = уо(х). Для обозначения
вариации функционала используется символ Sv = L[y(x),Sy].
0 При исследовании функционалов на экстремум их
вариация играет такую же роль, как дифференциал при
исследовании функций конечного числа переменных на экстремум.
Теорема 1.1. Если функционал v[y(x)] дифференцируем в
точке у = у(х) Е К, то при любом Sy функция <р(а) = v[y(x)+aSy]
как функция числа а (при фиксированных у(х) и Sy)
дифференцируема по а при а = 0. Причем справедливо равенство
Я Я
Sv = _^(a)|Q=o = -^v[y(x) +aSy]\a=0. (1.4)
Доказательство. По определению производной,
mv[y(x)+aSy}-v[y(X)} =
г v /|а=0 а_>0 а
_ ,. Цу{х),aSy] + (3(y(x),aSy)aSy _
a-fO a
= L[y{x),Sy] + Sy limip(y{x),aSy) = L[y{x),Sy].
a—*0
Здесь мы воспользовались свойством линейности функционала
L[y(x),Sy] no Sy. Таким образом,
^'(a)|a=o = L[y(x)isv\ = Sv>

2. Уравнение Эйлера
421
что и требовалось доказать.
О Если функционал t>h/(a;)] всюду дифференцируем, то
функция ip(a) = L[y(x) + aSy] дифференцируема при всех а и
фиксированных у(х) и 6у.
♦ Функционал и[у(ж)] достигает при у = уо(%) максимума
(минимума) на множестве Ск([а, Ь]), если существует S > О
такое, что для всех у(х), удовлетворяющих условию ||2/(ж) —
у0(ж)||с* < <^ справедливо неравенство
Av = v[y(x)] - v[y0(x)] ^ 0 (Av ^ 0).
Теорема 1.2 (необходимое условие экстремума). £?сли
функционал v[y(x)], имеющий вариацию, достигает максиму-
ма или минимума при у = уо(х), то при у = уо{х)
<Ь = 0.
Доказательство. При фиксированных уо(х) и 8у
v[yo{x) + aSy] = <р(а)
- функция от а, которая при а = 0, по предположению,
достигает максимума или минимума. Отсюда следует у>'(0) = 0
или
faV[yo(x)+<*Sy]\Q=o = 0,
т.е. 8v = 0, что и требовалось доказать.
О В зависимости от функционального пространства, на
котором мы ищем экстремум функционала, достаточные
условия существования экстремума будут различными. Так,
экстремум в пространстве С([а, Ь]) называется сильным
экстремумом, а в пространстве С1 ([а, Ь]) - слабым. Нетрудно
показать, что каждый сильный экстремум является и слабым,
тогда как обратное не всегда справедливо. В силу громоздкости
обоснований достаточных условий существования экстремума
функционала (см., например, [63, 65]) мы не будем их
рассматривать.
2. Уравнение Эйлера
О Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие
находить максимальные и минимальные значения
функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на

422
Глава I. Элементы вариационного исчисления
максимум или минимум, называются вариационными. Мы
будем рассматривать следующую задачу.
Задача. Исследовать на экстремум функционал
ь
«[*(*)] = / *Ч*> !/(*)> t/(*)№, (2.1)
a
считая, что у(а) = А, у(Ь) = 5, 2/(я) G Сх([а, &]), а функция
-Р (ж, у, ?/) непрерывна вместе со всеми своими частными
производными до второго порядка включительно.
Лемма 2.1 (основная лемма вариационного исчисления).
Если для любой непрерывной функции п(х) справедливо
ъ
Jf(x)n(x)dx = 0, (2.2)
а
где f(x) непрерывна на [а, 6], mo f(x) = О на [а, 6].
Доказательство. Пусть существует жо € [а, Ь] такое, что
/(жо) т^ 0. Тогда, согласно свойствам непрерывной функции
существуют х\ и Х2 Е [а, 6] такие, что для всех х G]jbi, жг[
функция /(ж) сохраняет знак. Выбрав в качестве п(х)
функцию, также сохраняющую знак на ]х\, X2[ и обращающуюся в
нуль вне этого интервала, получим
Ь а?з
J f(x)rj(x)dx = I f{x)rj{x)dx > 0,
так как функции f(x) и т/(х) имеют одинаковый знак на
интервале ]«i, жг[. Полученное противоречие доказывает лемму.
Лемма 2.2 (Дю Буа-Реймонда). Если для любой функции
п{х), непрерывной на [а, Ь] вместе со своей производной и
такой, что п(а) = rj(b) = 0, справедливо соотношение
ь
f f(x)r)'{x)dx = 0 (2.3)
а
где f(x) - непрерывна на [а, 6], то f(x) - постоянная функция.

2. Уравнение Эйлера
423
Доказательство. Предположим противное, т.е. что
существуют две точки xi и жз такие, что f(xi) < /(жз). Покажем, что
в этом случае существует функция rj(x), которая
удовлетворяет условиям леммы и для которой равенство (2.3) не имеет
места. Пусть С - произвольное число, такое что f(x\) < С <
/(жз). В силу непрерывности функции /(ж) существуют не
пересекающиеся интервалы ]а,/3[ и ]а',/3'[, такие что для любых
ж Е]а,/3[ и х' £]а',/3'[ справедливо
/(*) < С < /(*')•
В качестве функции rj'(x) выберем любую непрерывную
функцию, положительную на интервале ]а,/?[, отрицательную на
интервале ]а',/3'[ и равную нулю вне этих интервалов и
такую, что
6 - /J /*'
I rj,(x)dx = / r}'(x)dx + / r)'(x)dx = 0.
а а а'
Функцию т)(х) можно определить формулой
х
ф) = f T)'{x)dx. (2.4)
а
Очевидно, что функция rj(x) удовлетворяет условиям леммы.
Тогда
о
J{f(x) - C}r,!(x)dx =
/»'
= /{/(*) - C}r,'(x)dx + /{/(as) - C}rf{x)dx < 0,
or a'
поскольку оба слагаемых отрицательны. Следовательно,
6 6 6
f f{x)r}'(x)dx = f[f(x) - C]rj'(x)dx + С f r)'(x)dx =
а а а
6
= f[f(x) - C]r)'(x)dx < 0.

424
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Полученное противоречие доказывает лемму.
Лемма 2.3. Если для любой функции 7)(х) Е С1 ([а, Ь]), такой
что 7](а) = г)(Ъ), справедливо
ь
[Ы*Ы*) + Ф{х)г1'{х)]<1х = 0, (2.5)
то ф(х) — дифференцируемая функция и ф'{х) = (р(х).
Доказательство. Обозначим
X
Ф(х) = J <p(y)dy.
Проинтегрируем в первом слагаемом (2.5) по частям, положив
U = г)(х), dV = y?(z)cte. Тогда dU = т)'{х), V = Ф(х) и
V V
/ <p(x)7](x)dx = — $(x)rf{x)dx
а а
Следовательно,
ь
П-Ф(ж) + ^{x)]r)'(x)dx = 0.
В силу леммы 2.1 Ф(х) = ф(х) и ф'{х) = Ф'(ж) = <р{х), что и
требовалось доказать.
Теорема 2.1. Если функционал (2.1) достигает экстремума
на функции у(х) Е С1 ([а, Ь]), то она удовлетворяет уравнению
f -тЛ = °> *«> = * у^ = в- ™
Уравнение (2.6) называется уравнением Эйлера или Эйлера-
Лагранжа.

2. Уравнение. Эйлера
425
Доказательство. Предположим, что экстремум достигается
на функции у = у(х). Возьмем близкую к ней функцию у =
у(х), такую что у(а) = Л, у(Ь) = В. Обозначим
у(х, а) = у(х) + а{у{х) - у(х)} = у(х) + абу, (2 ~
у(х,0) = у(х), у(х,1)=у{х). {'}
Будем рассматривать значения функционала только на
функциях семейства у — у (ж, а). Тогда
v[y(x,a)] = <p(a).
Эта функция достигает экстремума при а = 0. Следовательно,
р'(0) = 0,
где
ь
(р{а) = / F(x,y(x,a),i/X(x,a))dx,
а
тогда
6
а
Поскольку
—у(ж, а) = ^-(у + а£у) = <fy,
получим
ъ
<p'(a) = J(F;Sy + F^Sy')dx.
а
Из условия <р'(0) = 0 следует, что
ь

426
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
В силу произвольности функции 6у(х) из леммы 2.3 следует
утверждение теоремы.
О Уравнение Эйлера (2.6), вообще говоря, представляет
собой дифференциальное уравнение второго порядка вида
Ш _ JPJL _ i!^y _ _^Ly" = о. (2.8)
ду дхду' дуду1 ду'ду'
Его решение зависит от двух произвольных постоянных,
которые определяются из граничных условий у (а) = Л, у(Ь) = В.
♦ Функция у = у(х), которая является решением уравнения
Эйлера-Лагранжа (2.6), называется экстремалью
функционала (2.1).
0 Теорема 2.1 дает только необходимое условие
существования экстремума функционала (2.1). Зачастую
существование экстремума следует из физической постановки задачи. В
этом случае решения уравнения Эйлера-Лагранжа полностью
определяют экстремум функционала.
Пример 2.1. Найти экстремали функционала
к/2
*Ы*)] = J МП)2 ~ V2H]dx, у(0) = 0, у(*/2) = 1.
о
Решение. В нашем случае F(x,y,y') = (у')2 — у2 и
Уравнение Эйлера имеет вид у" + у — 0, его общее решение
у(х) — С\ cos х + Сг sin x.
Из граничных условий найдем С\ = 0, С2 = 1, т.е. у(х) = sin x.
3. Уравнения Эйлера-Лагранжа
(многомерный случай)
О До сих пор мы рассматривали функционалы v[y(x)],
зависящие от одной функции у{х). Для удобства интерпретации
решений уравнения Эйлера в классической механике в
качестве аргументов функционалов будем рассматривать функции

3. Уравнения Эйлера-Лагранжа (многомерный случай) 427
#(£), где переменная t играет роль времени, a x(t) — роль
координаты частицы в момент времени t. Пусть теперь х -
вектор п-мерного координатного пространства Е", х € Rn, a
^ — {£, х : х = x(t),t G [*o>*i]} _ кривая п + 1-мерного
координатного пространства М х 1п и £(£, ж, t) - непрерывно
дифференцируемая функция 2п + 1 аргументов. Тогда справедлива
следующая теорема:
Теорема 3.1. Если функционал
v[x]= J C{x,'x,t)dt (3.1)
to
достигает экстремума на кривых х = x(t)f то кривые
удовлетворяют системе уравнений
дС d дС Л / \ п / \ 1 1 ^—
(3.2)
Система уравнений (3.2) называется системой уравнений
Эйлера-Лагранжа или Лагранжа.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1.
О Систему уравнений Эйлера-Лагранжа (3.2) можно
записать в векторном виде
C's - —Си = 0, x{t0) = ж0, x(tij = xi.
О Система (3.2) - система п уравнений второго порядка.
Следовательно, ее решение зависит от 2п произвольных
постоянных.
♦ Число величин, задание которых необходимо для
однозначного определения' положения механической системы,
называется числом степеней свободы.
О Например, для определения положения системы N
материальных точек в пространстве нужно задать N радиус-
векторов, т.е. 3iV координат. Следовательно, число степеней
свободы равно ZN.
♦ Любые 71 величин Qi,..., Qn — (jf £ -£? С Mn, полностью
задающих положение механической системы с п степенями
свободы, называют ее обобщенными координатами, а
производные qj, j = l,n, - ее обобщенными скоростями. Пространство
Кп называют конфигурационным пространством.

428
Глава 2. Элементы вариационного исчисления
О Положение частицы на плоскости можно задавать
декартовыми координатами х = (жь^з) или полярными
координатами q — (г, (р), х\ = г cosy?, ж 2 = rsiny>. И те и другие
являются обобщенными координатами частиц.
Пример 3.1. Найти общее решение уравнений Эйлера-Ла-
гранжа для гармонического осциллятора — одномерной
механической системы с функцией Лагранжа
(3.3)
где га, к =
Решение.
const.
Цх,
x,t) =
. Вычислим частные
дс _
дх
mi,
rnx2
~2~"
кх2
производные
дС
дх
= — кх.
Тогда при п = 1 система уравнений (3.2) примет вид
тх + кх = 0.
Общее решение этого уравнения хорошо известно:
x(t) = C\ coswt + Сз sin a;t,
где с*> = у/к/т, a Ci, Сг — произвольные постоянные.
Пример 3.2. Записать уравнение Эйлера-Лагранжа для
нерелятивистской классической частицы во внешнем
потенциальном поле С/(ж,*), iGln.
Решение. Функция Лагранжа такой системы имеет вид (см.
[35])
• ТПХ
£(£,£,<)=—-tf ОМ), (3.4)
где га — масса частицы.
Найдем частные производные
<)£__<№_ дС __ •_
дх 7 дх" дх
Тогда уравнения Лагранжа примут вид
и совпадут с уравнениями Ньютона,

3. Уравнения Эйлера-Лагранжа (многомерный случай) 429
Пример 3.3. Записать уравнение движения для
нерелятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Решение. Функция Лагранжа такой системы имеет вид (см.
[36])
С(х,x,t) = — + -(A(x,t),x)- еФ(х,t), (3.6)
где ж G I3; e и m - заряд и масса частицы, соответственно;
с - скорость света в вакууме; Ф(ж, £) и А(х, t) - скалярный и
векторный потенциалы электромагнитного поля, а символом
(, ) обозначено евклидово скалярное произведение векторов.
Найдем частную производную
дС е -
— = -grad(^(s,*),5>-egrad *(x,t). (3.7)
ох с
С учетом известной формулы векторного анализа
grad(A,J§) = (A,V)jB + (J5,V)A + Bxrot A + jfxrot В, (3.8)
где х обозначает векторное произведение векторов, из
формулы (3.7) получим
ОС € — С • -♦
— = -(ж, V)A{x, t) + -х х rot А{х, t) - еУФ(ж, t) (3.9)
и для частных производных по переменным х найдем
—г- = тх Н—A(x,t).
дх с
Тогда
С d г u e •=• fj
z = тг тж + -*4(М) =
в a* L с J
d* дх
= т£+ \Щ^- + <*, V)^C(*,t). (3.10)
Следовательно,
■ьт^—^ = ™*+ ^-^--zxrot Л(ж,*) + еУФ(ж,*) = 0.
at дх ох с оъ с

430
Глава 2. Элементы вариационного исчисления
Обозначим через
H(x,t) = rot A(x,t), E(z,t) = -—£$. - ^M (3.11)
напряженности магнитного и электрического поля,
соответственно. Тогда уравнения Эйлера-Лагранжа примут вид
mS=eE(x)t) + -£ х H(x,t). (3.12)
с
Уравнения (3.12) называются (нерелятивистскими)
уравнениями Лоренца, а выражение, стоящее в их правой части, - силой
Лоренца.
Пример 3.4. Записать уравнение движения релятивистской
заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Решение. Соответствующая функция Лагранжа имеет вид
(см. [36])
£(ж, £,t) = -mc2\/l - % + -(S„A(x,t)) - e*(z,t). (3.13)
у ее
Производная дС/дх определяется выражением (3.7), а
ОС mx e Т/_ .
-г- =, . + -Л(г,<).
af ЛГП?г: с
s yji - г2/с2
Тогда аналогично предыдущему примеру система Эйлера-Ла-
гранжа примет вид
d тпх -* в • -*
= еЯ(ж, t) + -ix Я (ж, <). (3.14)
dt
yjl - &/с
Домножим это уравнение скалярно на ж и получим
I u d х \
= та <*■*> (i + -^-) = .<*, Ё(х, *)>

3. Уравнения Эйлера-Лагранжа (многомерный случай) 431
или
d ™ = е(£, £(£,<)>• (3.15)
* Jl - £2/с
Уравнения (3.14) описывают изменение импульса системы, а
уравнения (3.15) — изменение ее кинетической энергии.
Система уравнений (3.14), (3.15) называется системой уравнений
Лоренца.
Пример 3.5. Разрешить систему уравнений
Эйлера-Лагранжа (3.14) относительно старшей производной.
Решение. Продифференцируем левую часть системы (3.14)
по t. Получим
d mx mx ^d 1
+ гпх-
dt Jl - £2/с2 y/l - k2/c2 dt yjl - &/c
С учетом (3.15) запишем
x - —\
in
'l- ^{i(x,t) + ifx^(x,t)-^£(£,i(f^))}. (3.16)
Нетрудно заметить, что в пределе с —> оо эта система
переходит в систему (3.12).
Пример 3.6. Найти общее'решение уравнений Лоренца (3.12)
для частицы в постоянном и однородном электрическом поле.
Решение. В постоянном и однородном электрическом поле
уравнения Лоренца (3.12) примут вид
т£ = еЁ, (3.17)
где Е — постоянный вектор. Проинтегрировав левую и правую
части этого уравнения по i, найдем
x(t) = T^Et2 + x*0t + s0. (3.18)
Пример 3.7. Найти общее решение уравнений Лоренца (3.12)
для частицы в постоянном и однородном магнитном поле.

432
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Решение. В постоянном и однородном магнитном поле
уравнения Лоренца (3.12) примут вид
£= —ххН. (3.19)
тс
где Н — постоянный вектор. Обозначим
Н ч
п = —— = (cos ip sin 0, sin <p sin 0, cos в),
|#|
<?# = (cosy>cos0, sin v? cos в, -sin 6/), (3.20)
ёф = (sin (p, cosy?, 0).
Здесь 0 и у? — углы сферической системы координат,
задающие направление вектора Н. Векторы (3.20) есть единичные
ортогональные векторы, удовлетворяющие условиям
п.хе^ = ёв, fix ее — —ёу> (3.21)
Решение системы (3.19) будем искать в виде
x(t) = nu(t) + eBv(t) + e^ti»(<). (3.22)
Подставив (3.22) в (3.19), с учетом (3.20) получим
nu + eev + е^й = —{e^v - ё^гЬ}, Я = |Я|.
тс
В результате для определения функций u(t), v(t) и w(t)
получим следующую систему уравнений:
й = 0, г) = — Mow, w — uo'v, (3.23)
где u>o = eH/(mc) - циклотронная частота. Из (3.23) найдем
u(t) = u0t + n0, (3.24)
где г/о и йо - произвольные постоянные. Обозначим
«"=U) •
Тогда систему уравнений (3.23) можно представить в виде

3. Уравнения Эйлера-Лагранжа (многомерный случай) 433
где (72 - матрица Паули. Тогда
q(t) = ехр{-ги;о<Т2ф7о + Чо- (3-26)
Здесь
— постоянные векторы. С учетом соотношения а\ = П, где I -
единичная матрица соответствующей размерности, получим
со 1
ехр{—гс^о^з^} = / —\{~ iuoffot)11 =
^—' п!
п=0
СО - СО -
— V^ &kJ2kt.t ,\2fc • V^ -1 .;2A?„2fc/,. ,\2fc + l _
тг , . . / coscj0* —sinwot \
u ,w V sinwo^ coso^o^ J
Следовательно,
v(t) = v0cosu0t - tbosinwof. 4- v0, ,„ 27\
w(t) = vo sin uot +wo cos u>ot +wo- * * '
Пример З.8. Найти общее решение уравнений Лоренца (3.16)
для частицы в постоянном неоднородном магнитном поле.
Решение. В постоянном и однородном магнитном поле
уравнения Лоренца (3.16) примут вид
с / х2 •
х= —\ l-'—xxH. (3.28)
тс у с-
Домножим левую и правую части уравнения (3.28) скалярно
на ж и получим
<г, г> = о.
Следовательно, ж2 = const. Обозначим
есН тс2 -
wo=-—, g= > . =, Н=\Н\.
е ^1 - */с'

434
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Тогда система (3.28) примет вид
S=^r£xH (3.29)
и с точностью до обозначений совпадет с нерелятивистской
системой (3.19), решение которой дается соотношениями (3.22),
(3.24), (3.27).
О Свойство кривой быть экстремалью функционала не
зависит от выбора системы координат.
Пример 3.9. Пусть функционал и [£(*)] - длина кривой 7-
Найти экстремали функционала.
Решение. В декартовой системе координат длина кривой
равна
vi[xi,x2]= / \Jx\(t) + xj(t)dt.
to
Система Эйлера-Лагранжа для функционала v± имеет вид
дСл хъ дСл
1 = к 1 — 0, к = 1,2.
d*k у/х\ + х\' дхк
Следовательно,
d &k
' dt y/i\ + х\
или
Хк
л/xl + х
Cfc, к — 1,2.
2
f = % (cl)2 + (CD2 = i
х2 С£
xi = ж$ = const, x'2 = X® = const .
Окончательно
Xl(t) = zfy + x°x, x2(t) = x%t + ж?,
т.е. экстремалями функционала vi являются прямые линии.
О Каждая механическая система с п степенями свободы
характеризуется определенной функцией координат и скоростей

4. Канонические уравнения Гамильтона
435
которая называется функцией Л агранжа, или лагранжианом,
а функционал
5 = S[q(t)} = JC(q(t),№,t)dt, (3.30)
to
определенный на траектории q = q(t), — действием системы.
Принцип Гамильтона (принцип наименьшего
действия). Движения механической системы на промежутке
времени от to до ti совпадают с экстремалями функционала
S= IC{x,'x,t)dt.
to
Теорема 3.2. Пусть q G Е С К - обобщенные координаты
механической системы с п степенями свободы. Тогда
функции q, определяющие движение механической системы
являются решениями уравнения Эйлера-Лагранжа (3.1)
дС d дС _
dxk dt dxk
Доказательство непосредственно следует из определения и
теоремы 3.1.
О Для системы N материальных точек с функцией Лагран-
жа
£(<l,<l,t) = ~2 У{Ч)> Я= (вь---,9злг),
где V(q) — потенциальная энергия, уравнения Эйлера-Лагранжа
имеют вид
•и dV
inq = -—_;
dq
и, следовательно, совпадают с уравнениями Ньютона.
По аналогии с рассмотренным примером величины dC/dqj,
3 = 1,п, называют обобщенными импульсами и обозначают
ОС
Pj = «г-,
а величины дС/dqj = Fj — обобщенными силами.
♦ Переменные z — (q,p) называют каноническими, а
величины qj и pj называют сопряженными друг другу. 2т1-Мерное
пространство E^n = ]R" x M" называют фазовым.

436
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
4. Канонические уравнения Гамильтона
О Во многих задачах теоретической и математической
физики оказывается полезным гамильтонов формализм,
основанный на описании механической системы в канонических
переменных и уравнении Эйлера-Лагранжа в так называемой
канонической форме.
Рассмотрим задачу о нахождении экстремалей
функционала действия
ъ
S[q\ = Jc(q,j,t)dt, qem1'. (4.1)
а
Система уравнений Эйлера-Лагранжа для этого функционала
имеет вид
дС ¥d ОС _ .
dqj dt dqj
Эта система есть система п обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка относительно п неизвестных
функций q(t) = (gi(<),..., qn(t)).
Рассмотрим обобщенные импульсы этой системы
дЦд,дЛ) . -л— (А ^
Pj = rz , 3 = 1,п- (4.3)
Будем предполагать, что систему уравнений (4.3) можно
разрешить относительно обобщенных скоростей q — q(p,q,t).
О Из теоремы о неявных функциях следует, что систему
уравнений (4.3) можно разрешить относительно <f (по крайней
мере, локально), если
Э2С
det
Ф 0. (4.4)
\dqidqj
♦ Функция, задаваемая равенством
Щр,я,*) = [&&-с(яЛ,*)]1 w_ - (4-5)
называется функцией Гамильтона, отвечающей функции Ла-
гранжа C(q, <f, t). Переход от переменных (f, qn функций C(q, q, t)
к переменным р,q и функции ii{p,q,t) по правилу (4.3) и (4.5)
называется преобразованием Лежандра.

4. Канонические уравнения Гамильтона
437
Теорема 4.1. Система уравнений Эйлера-Лагранжа (4.2) эк-
вива.аентна системе 2п уравнений первого порядка
или в координатной форме
дп . дн . т—
Р> = -да~' qi = dp~< J = 1'n'
где 'H(p,q,t) - функция Гамильтона (4.5). Система (4.6)
называется системой Гамильтона, или канонической формой
системы уравнений Эйлера-Лагранжа.
Доказательство. Найдем полный дифференциал функции
Гамильтона. По определению,
^ = (^*> + \W><lg)+erA (4J)
С другой стороны, из соотношения (4.5) следует
ш=({*- f И+&<® - (f ^> - f *• <4-8>
Считая, что канонические переменные (p,q) mt независимы и
что р — dC/dq, получим
dp ~q' dq "" a? ~ dA ^v p' at ar
Здесь мы воспользовались уравнениями Лагранжа (4.2).
Последние уравнения эквивалентны системе уравнений
Гамильтона (4.6).
Таким образом, если q(t) удовлетворяет системе
уравнений Эйлера-Лагранжа, то (p(t),q(t)) удовлетворяет системе
уравнений Гамильтона. Доказательство обратного
утверждения аналогично. Системы Лагранжа и Гамильтона
эквивалентны, что и требовалось доказать.
Пример 4.1. Найти функцию Гамильтона гармонического
осциллятора (см. пример 3.1).

438
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Решение. Найдем обобщенный импульс
дС
Р = -7ГГ = fTlX.
дх
Следовательно, х — р/т. Тогда функция Гамильтона имеет
вид
Щр, ж, t) = \рх- С(х, ж, t)]
Окончательно получим
х=р/т
2 I. 2
ЩР,х)=%- + ^г, *>0, т>0. (4.9)
Im I
Пример 4.2. Найти функцию Гамильтона классической
системы с функцией Лагранжа (3.4)
~*2
C(x,S,t) = '^--U{x,t), xGK4. (4.10)
Решение. По определению
7*(p,»,*) = {<p,5)-jC(*,£,<)}L ,
\x=x(x}p,t)
где x(x,p,t) неявно определяется уравнением
дС •_ _
—г- = ?71Ж = р.
дх
Следовательно, х = р/?п. Окончательно получим
np,$,t)=^ + U(x,t). (4.11)
Пример 4.3. Найти функцию Гамильтона нерелятивистской
заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Решение. Функция Лагранжа системы имеет вид
С(х,'хЛ) = ^у-- -{£,A(x,t))-e$(x,t), ж€М3. (4.12)

4. Канонические уравнения Гамильтона
439
Обобщенный импульс системы определяется соотношением
w дС •_ е з- i4
р = —т- = mx + -A(x,t).
дх с
Следовательно,
\p--AS,t)] = -P, (4.13)
L С J 771
:. l
ж = —
га
где "Р — кинетический импульс системы. Тогда
+ -(£<МёЛ)) + еФ1хЛ)Ь\. .
Окончательно получим
{. ТПХ G • -* II
<Р,х)--—+ -<£,Л(х,*)) + еФ(:М)Н. .
Щр,х,г) = ^+еФ(х,г), V = p--A(S,t). (4.14)
2?п с
Пример 4.4. Найти функцию Гамильтона релятивистской
заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Решение. Функция Лагранжа системы имеет вид
C(x,£,t) = -mc2Jl- ?j + -(S,A{x,t))-e9(x,t), х е М3.
Найдем обобщенный импульс частицы
1з.
(4.15)
дС mx е т,_ ,. ,, . „,
p=-z = -T=== + -A(2,t). (4.16)
дх sjl - &/<? с
Тогда
щр, х, t) = {(р, 5> - с(г, г, t)}\i=kp,ty (4.17)
где х(р, ж, *) неявно определяется соотношением (4.16).
Подставив (4.15) и (4.16) в (4.17), получим
7TLC
Щр, х, t) = + еФ(х, t). (4.18)
у/1 - £2/с2

440 Глава 2. Элементы вариационного исчисления
Заметим, что
т°2 I т2Я2 , * 2 (Л Л(\\
+ т2с2. (4.19)
Из соотношения (4.16) найдем
тх =V = p--A(S,t). (4.20)
С
\/l - 57
С учетом (4.19) и (4.2Q) из (4.18) найдем
Щр, ж, t) = с\/^2 + т2с2 + еФ(ж, *). (4.21)
Пример 4.5. Найти решение системы Гамильтона для
гармонического осциллятора с функцией Гамильтона (4.9).
Решение. Система Гамильтона, отвечающая гамильтониану
(4.9), имеет вид
dp m' дх
Найдем
.. 1 . к
х = —р = х
т т
или
х + ш2х = 0, u = J—. (4.22)
V ?7l
Уравнение (4.22) - линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Следовательно,
x(t) — Acoscvt -f Bsinwt, м 9i\
p(t) = ?nx = — тш A sin ut -f mwB cos wt. * ' '
Пример 4.6. Записать уравнения Гамильтона для
нерелятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном
поле.

4. Канонические уравнения Гамильтона
441
Решение. Функция Гамильтона системы имеет вид
Я(р,г,*) = ^+еФ(г,*), Р = р-£,*0М). (4.24)
Am с
Найдем частные производные
^ = -, -£ = ^-У7>2+еУФ = --V(x, A(x,t))+eV<k(x,t).
op m ox 2m с
Окончательно получим
2 = —, j>= -У(^Л0М))-еУФ(2,*). (4.25)
rn с
Пример 4.7* Записать уравнения Гамильтона для
релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном
поле.
Решение. Функция Гамильтона системы имеет вид
Щр, z,t) = c\fv2 + m2c2 + еФ(ж,*). (4.26)
Аналогично примеру 4.6 получим
£= —V, 'р= -У(2,Л(2,*))-еУФ(ж,*), (4.27)
где обозначено
е = е{р, х, t) = \Jc2V2+m2c*. (4.28)
Пример 4.8. Показать, что система уравнений Гамильтона
(4.27) эквивалентна системе уравнений Лоренца (3.14).
Решение. Функция Гамильтона системы имеет вид
V2 е -
U{p,x,t) = — +еФ(2,*), V = р- -.4(2,*). (4.29)
Z771 * С
Заметим, что с учетом (4.19) и (4.20)
*™2

442
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Тогда из первого уравнения системы (4.27) следует
d mx •_ е d ? _ _
dt L i>0, о с dt
y/i-¥/
= -V(£,A(x,t))-eV*(x,t) - ldJ*gA - e-(k,V)A(x-,t) =
с с ut с
= t$ x rot A(S,t) - eV*(*,<) - ldA{fot]-
чЗдесь мы воспользовались соотношениями (4.27) и (3.8). С
учетом формул (3.11) окончательно получим
d mx д, _ . е •_ -*,_ ч
Т. t = eE(z,t) + -х х Я(М),
at ^1 - f2/c2 С
что и требовалось показать.
Пример 4.9. Найти общее решение системы Гамильтона с
гамильтонианом
Я(р, ж, *) = £- - е(Еу £>, ^ G К3, (4.30)
где Я - постоянный вектор; е и m - заряд и масса частицы,
соответственно.
Решение. Система Гамильтона имеет вид
£=—, £=ei (4.31)
771
и описывает движение заряженной частицы в постоянном и
однородном электромагнитном поле. Исключив переменную р =
гаж, получим систему
г = —я,
771
решение которой имеет вид
е
2тп
ж(*) = -£-Et2 + £0 + «о-
Тогда
р(£) = е#?. + mxo.

4. Канонические уравнения Гамильтона
443
Пример 4.10. Найти общее решение системы Гамильтона с
гамильтонианом
ВДж,t) = е(р,х,t) = Jc2V2 + m2c*, V = p-~Hxx, (4.32)
2c
где Я — постоянный вектор; е и m — заряд и масса частицы,
соответственно; с — скорость света.
Решение. Система Гамильтона имеет вид
2
£=—7?, ^Г= ~V(£,J?x ж)= |~£хЯ. (4.33)
с «С ZC
Поскольку гамильтониан (4.32) не зависит от времени, е =
const. Следовательно,
ж = — р- г-Я х ж .
е \^ 2с /
С учетом второго уравнения из (4.33) получим
.. g/> • -*
х = — ж х Я. (4.34)
Уравнение (4.34) — уравнение Лоренца для частицы в
постоянном и однородном магнитном поле, решение которого дано
в примере 3.8.
Переформулируем принцип Гамильтона для описания
механической системы в канонических переменных.
Соответствующий функционал действия примет вид
«2
»),*(*)] = S[x(t)] = JW),№) -n(p(t),№,t)}dt, (4.35)
где q(t) определяется уравнением
Pi, = Щ, j= l^. (4.36)
Функционал (4.35) определен на функциях z(t) — (p(t)^q(t)) в
2п-мерном фазовом пространстве.

444
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Теорема 4.2. Экстремали функционала (4.35), (4.36)
являются решениями системы Гамильтона (4.6).
Доказательство. Пусть q и р - независимые переменные.
Тогда, варьируя функционал
при условии Sqll* = Sp^ = 0 и учитывая, что
Hj - лГ^-р
найдем
*2
/ pjSqjdt = / pj—Sqjdt = PjSq^ - / pjSqjdt.
Следовательно,
*2 t2
/ (Pj^4j)dt = (ft, Sqj) - / (Pjjq^dt
ti , ti
Тогда
«-/{<(*-g).*H(*+£WH
Следовательно, условие <J5 = 0 эквивалентно равенствам
•.. дН п -^ дП п
q-w=0 и p+w=0'
что и доказывает теорему.

5. Первые интегралы системы Гамильтона, Скобки Пуассона 445
5. Первые интегралы системы Гамильтона.
Скобки Пуассона
♦ Функция А(р, q, t) называется первым интегралом
движения системы Гамильтона (4.6), если она постоянна на
любых решениях системы Гамильтона p(t)y q(t), т.е.
A(t) = Л(р(*),<Г(*М) = А(Я*о),Й*о),<о). (5.1)
♦ Скобкой Пуассона функций А(р, q, i), B(p, q, t) называется
выражение
{A,B}={Afaq,t),B{p,q,t)} =
- v (—— _ '——\ - [дЛ dJL\ _ 1дЛ 0Е.\
" fr[ W dpk 8pk dqj~\ dq* Op/ \ dp* dq №' j
ф Иногда определение скобки Пуассона отличается от
приведенного знаком.
Из определения вытекают следующие свойства скобки
Пуассона:
{А,В} = -{В,А}; (5.3)
{А,А,} = 0; (5.4)
{aA,B} = {A,ctB} = a{A,B}, a = const; (5.5)
{А, {В, С}} + {В, {С, А}} + {С, {А, В}} = 0; (5.6)
{А,В + С} = {А,В} + {А,С}; (5.7)
{АВ,С} = А{В,С} + В{А,С}. (5.8)
Соотношение (5.6) называется тождеством Якоби.
Теорема 5.1. Функция А = A(p,q,t) является первым
интегралом движения еистемы Гамильтона тогда и только
тогда, когда
дЛ(™'*] + {A(p,q,t),<H(p,q,t)} = 0, (5.9)
8de7i(p^q^t) - функция Гамильтона рассматриваемой
системы.
Доказательство. Рассмотрим функцию A(t) = A(p(t), q(t), t)
на траекториях системы Гамильтона (4.6) и вычислим произ-

446
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
водную
dA(t) [/дА 1\ /дА -л дА]
P=p(t)
q=q(t)
идА / 9Н\\ /дА дП\ дАл
l\0p'V dq)f +\dq" др/+ ft J
= [£ + <**>]
p=p(t)
q=q(t)
P=P(t)
q=q(t)
Тогда, если A(t) = const, т.е. Л(р,q,t) - интеграл движения,
то dA/dt — О на фазовых траекториях z(t) = (p(tf),<f(tf)).
Поскольку через каждую точку фазового пространства проходит
только одна траектория, то справедливо (5.9). Наоборот, если
справедливо уравнение (5.9), то в силу предыдущих выкладок
dA/dt = 0, а следовательно, A(t) = const и A(p,q,t) - интеграл
движения. Таким образом, теорема доказана.
О Соотношение (5.9) есть уравнение в частных
производных первого порядка относительно функции Л(р, q, t) при
заданной функции %{р, q, t). Методы интегрирования таких
уравнений рассмотрены в разд. «Уравнения Гамильтона - Якоби»
части IV.
О Уравнение Гамильтона (4.6) с помощью скобок Пуассона
можно записать в виде
£={£«}, q={q,1l}.
(5.10)
Теорема 5.2 (Пуассона). Если функции A(p,q,t) uB(p,q,t)
являются интегралами движения, то функция C{p,q,t) =
{А(р,fit), B(p,q,t)} также является интегралом движения.
Доказательство. Пусть
^+{А,Ю = 0, и ^+ {£,?£} = 0.
Тогда

б. Канонические преобразования
447
{С.Ч} = {{А.В],И) = -{Н, {А,В}} =
= {А,{В,-Н}}-{В.{А,П}}.
Здесь мы воспользовались тождеством Якоби
{Н, {А.В}} + {А, {В,Ч}} - {В, {А,Н}} = 0.
Следовательно,
= {^.в} + {л^} + {-«,{в,«))-{в,м,«)) =
= {*•(£♦<».*>)}+{(£♦<**>)■*}=•■
В силу теоремы 5.1 C(p,q,t) = const на любых траекториях
системы Гамильтона, что и требовалось доказать.
♦ Фундаментальными, или каноническими, скобками
Пуассона называются скобки Пуассона канонических переменных
6. Канонические преобразования
♦ Преобразование координат фазового пространства z —
(р, q) к координатам и = (Р, Q), называется каноническим,
если для любых функций А (я, £) и B(z, t) сохраняются их скобки
Пуассона, т.е. справедливо равенство
{А,В}Х={АУВ}ЫУ (6.1)
где A(u,t) = A{z,t)\zzzz{u).
О Там, где это не приводит к недоразумениям, будем писать
A(P,Q,t) вместо A(P,Q,t).
♦ In x 2п-матрица S называется симплектической, если
справедливо соотношение
S*JS = J, (6.2)
где J единичная симплектическая матрица
т _ ( 0 -Ппхп \

448
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
Теорема 6.1. Преобразование координат фазового
пространства z —> и = w(z,t) будет каноническим тогда и только
тогда, когда матрица Якоби du/dz этого преобразования
ди
~dz~
диь
дгь
будет симплектической.
/ дш ди
2пх2п \dzi' ' dz\
2п'
(6.3)
Доказательство. Скобку Пуассона двух функций A(z,t) и
B[z,t) с помощью матрицы J можно представить в виде
г . г,-. /дА ТдВ\
{Л,В}Я = {Ж,1Ж). (6.4)
При преобразовании фазового пространства ш = w(z) частные
производные и дифференциалы преобразуются по правилу
д _ дш д
dz dz ди>
Следовательно,
(6.5)
_ /дА дВ\ _ /ди дА дидВ\
- /НА (дшУ тди)дв\
\dw\dz/ dz ди /'
С другой стороны,
"*>.-<£•'£>• <«>
Следовательно, если преобразование и> = w(z) каноническое,
т.е. выполняется соотношение (6.1), то необходимо, чтобы
выполнялось условие
(£)''£-'• <«>
т.е. матрица ^ была симплектической. Наоборот, если
матрица ^~ симплектическая (справедлива формула (6.8)), то из
(6.6) и (6.7) следует, что
{А,В}Х={А,В}Ы,
т.е. преобразование ш — u(z) будет каноническим. Таким
образом, теорема доказана.

6. Канонические преобразования
449
Следствие 6.1.1. Пусть и = ш(г) - каноническое
преобразование фазового пространства и пусть вектор z = z(t) -
решение системы Гамильтона
Z = J-dz-
Тогда вектор u = u(z(t)) удовлетворяет уравнению
. гдП
r№>.n(u,,t)=1{(z,t)\z=z(uy
Доказательство. Найдем полную производную функции
w = ^<«М*) Н*) ™'=•
\dz) dz ди> ди'
что и требовалось доказать.
♦ Оператором сдвига вдоль траекторий системы
Гамильтона (4.6) за время t — to называется преобразование фазового
пространства
g(t,t0) : z0 -> z = Z(t,z0,t0),
где Z(t, zo,to) — решение задачи Коши для системы
Гамильтона
z = JdzH(z,t), z\t=to = *o- (6.9)
Следствие 6.1.2. Преобразование фазового пространства,
задаваемое оператором сдвига g(t, to) по траекториям гамильто-
новой системы, т.е.
g(t,to)A{z0,t0) = A(z{t),t), (6.10)
является каноническим.
Доказательство. Для доказательства утверждения
достаточно показать, что матрица dZ(t,zojto)/dzo - симплектическая.
1. Очевидно, что матрица dZ(t, zo,to)/dzo при t = to
симплектическая, так как dZ(to,zo,to)/dzo = ПзпхЗп-

450
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
2. Пусть z = Z(t, zo, to) — решение задачи Коши (6.9).
Тогда
Z(t,zo,to) = Jdn{Z{t,z0,to),t)
для любого zq £ М2п. Продифференцируем это равенство по
2оъ • • •» z02n- Тогда для определения матрицы
ли\ ли 4 \ dZ(t,z0,t0)
A(t) = A(t,zo,t0) = ^ '-
OZq
получим уравнение
A(t) = JH';z(Z(t,zo,t0),t)A(t), A(t0) = I2„x2n. (6.11)
3. Рассмотрим, как изменяется со временем матрица М(t) =
A\t)JA(t). Найдем
М = A1 J А + A1 J A = A'U^J'JA + /£jJU"zxA = 02nx2».
Следовательно, M(t) = М(to) = I • J • I = J. Таким образом,
матрица A(t) = dZ(t,zo>to)/dzo - симплектическая, что и
доказывает теорему.
Следствие 6.1.3. Преобразование фазового пространства,
обратное каноническому, является каноническим.
Доказательство следует из того факта, что матрица,
обратная симплектической, также является симплектической.
7. Теорема Лиувилля
Рассмотрим область Go фазового пространства с гладкой
границей. Пусть zo — точка фазового пространства,
принадлежащая области Go- Из каждой точки zo E Go выпустим
траекторию системы Гамильтона
z = JU2, *|,=to=*b 2oGG0. (7.1)
Обозначим через Z(t, zo, to) решение задачи Коши (7.1). В
фиксированный момент времени точки zt = Z(t,zo,to), zo G Go,
занимают некоторую область фазового пространства, которую
обозначим через Gt- Обозначим через Го и Г* фазовый объем
областей Go и G*, соответственно:
Г0= J dz0, Tt= J dz. (7.2)
G0 Gt

7. Теорема Лиувилля
451
Теорема 7.1 (Лиувилля). Фазовый объем сохраняется, т.е.
Tt = Г0, t > t0. (7.3)
Прежде чем перейти к доказательству теоремы,
рассмотрим вспомогательное утверждение.
Лемма 7.1. Если квадратная матрица C(t) удовлетворяет
матричному уравнению
С = A(t)C, C\t=0 = Co, (7.4)
то для определителя матрицы C(t) справедливо
det C(t) = det C(0) exp I f Sp A{t)dt 1. (7.5)
Соотношение (7.5) называется тождеством Якоби.
О Здесь через Sp А обозначен след матрицы Л, т.е.
SpA=Y,Akk. (7.6)
fc=i
Доказательство. Продифференцируем определитель
матрицы C(t) = (Ci,C2,.. .,СП) и воспользуемся уравнением (7.5).
Получим
^detC(t)==^det(Ci,...,Cfe-1,CJb,Cfc+i,...,C„) =
fc=i
n »i
= z2a2 det(Cit,..., Cfc_i,t-, AkjCji, Cfc+i,,-,..., Cm) =
k=ij=i
Y,Akk det C(t).
k=i
Здесь мы воспользовались свойствами определителей, а
именно: определитель не изменяется, если к элементам какого-либо
столбца прибавить элементы другого столбца, умноженные на

452
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
произвольную постоянную, и общий множитель столбца
можно выносить за знак определителя. Следовательно,
^ = SpA(«)dctC.
at
Отсюда следует утверждение леммы.
Перейдем к доказательству теоремы Лиувилля.
Доказательство. 1. 2n x 2п Матрица
dZ(t,z0,t0)
A(t) =
dz0
— симплектическая, а- значит, невырожденная, поэтому в
интеграле (7.2), определяющем фазовый объем Г*, можно сделать
замену переменных z —> zq. Получим
Tt= fdz= fv(t)dz0, (7.7)
Gt Go
где V(t) = det A(t) -■--■ якобиан преобразования.
2. Поэтому для доказательства теоремы достаточно
показать, что функциональный определитель V(t) не зависит от
времени, т.е. V(t) = V(t0) = 1.
3. Согласно тождеству Якоби (7.5) из системы (6.11)
следует
V(t) = V(Q) exp I f[SpJn'^{t)]dt \ ,
Вычислим след матрицы J%"z {t) .
2n
i=i
Переобозначим индексы суммирования j —>■ к, к —> j. Получим
2n 2n
sp jH„{t) = J2Jjkn4:„(t) = YJJkin-.k4{t) = -Sp.mlz(t)-
к=1 fc = l
j=l j=l

7. Теорема Лиувилля
453
Здесь мы воспользовались тем, что матрица J
антисимметрична, т.е. Jkj — —Jjk-
Следовательно,
Sp JU"zz{t) = -Sp JV!'Z2{t) = 0
V(t) = V(t0) = 1. (7.8)
Тем самым теорема доказана.

ГЛАВА 2
Основы теории обобщенных функций
При описании физических явлений часто приходится
использовать идеализированные понятия, такие как
материальная точка, точечный заряд, мгновенная сила, сила,
приложенная к данной точке, точечный источник, создающий некоторое
поле и т.д. Такие понятия, хотя и не вполне адекватно
описывают физическую реальность, поскольку всякое тело имеет
определенный объем, источник - определенные размеры, а
сила действует в течение некоторого промежутка времени и т.д.,
удобны и находят широкое применение. Оказывается, что для
математического описания таких идеализированных объектов
недостаточно «классических» функций. Характерной
особенностью физических объектов, допускающих подобную
идеализацию, является то, что физический смысл, в первую очередь,
имеют не вводимые для их описания функции, а некоторые
интегралы от них. Так, например, если р(х) - плотность тела,
то его масса связана с плотностью соотношением
т = rp(x)dx,
v
где V - объем тела. Идеализированное тело - материальная
точка имеет нулевой объем, а понятие плотности утрачивает
«классический» смысл и для его описания необходимо
привлечение иного математического аппарата - обобщенных
функций. Тем не менее, масса тела (интегральная характеристика)
- вполне определенная величина.
Обобщенные функции возникли в результате обобщения
свойств определенных интегралов и первоначально были
введены в работах П. Дирака, посвященных проблемам квантовой
теории. Строгое математическое обоснование теория
обобщенных функций получила в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца.
С математической точки зрения, обобщенные функции
обладают рядом замечательных свойств, расширяющих
возможности математического анализа, например, любая
обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой и т.д.
Это расширение имеет тот же характер, что и расширение
множества рациональных чисел до множества вещественных
чисел.

8. Основные и обобщенные функции
455
8. Основные и обобщенные функции
♦ Вещественную функцию у>(ж), определенную при х 6
] — со, со[, называют основной функцией, если
1) функция <р(х) непрерывна и имеет производные любого
порядка;
2) функция <р(х) - финитная функция, т.е. <р(х) = О вне
некоторого конечного отрезка.
Пример 8.1. Показать, что функция («шапочка») (рис. 105)
[О, |ж| > а
является основной.
х а
Рис. 105
Решение. 1. Функция <р{х,а)
асимптотически стремится к нулю при \х\ —>
а—0 и тождественно равна нулю (у>(ж, а) =
0) при \х\ ^ а. Следовательно, она
является финитной.
2. Рассмотрим первую производную функции у>(ж,а).
Получим
^а)=((^^ехР(~^)^ W^'
[0, |ж|>а
Очевидно, что функция <р'(х,а) непрерывна при х ф ±а.
Найдем правосторонний и левосторонний пределы функции у?'(ж, а)
в точке х = а:
lim и/(ж, а) = 0,
x-ta+O v '
2ха2
ЬтУ(х,а) = Jim^^^2exp(--^:^) = 0.
х-+а—0
>а-0 (а2 — Ж2)2
Следовательно, функция у/(ж, а) непрерывна в точке х = а.
Непрерывность у?(*)(ж,а) (к = 2, со) доказывается аналогично.
Аналогично можно показать непрерывность функции <р'(х,а)
и ее производных в точке х = —а. Таким образом, функция
у?(ж, а) является бесконечно дифференцируемой и финитной,
что и требовалось показать.

456
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
♦ Если функция <р(х) обращается в нуль вне некоторой
области G С К (х G G), то она называется сосредоточенной в
области G.
ф Носителем функции (р(х) называется замыкание
множества всех точек ж, для которых (р(х) ф О, и обозначается
символом supp (р.
О Следовательно, носители всех функций <р{х),
сосредоточенных в области G, являются подмножествами области G
(supp <p С G).
О Множество всех основных функций обозначим через V =
V(Rl). Сходимость функциональных последовательностей в
пространстве V определим следующим образом.
♦ Последовательность функций {<рп(х)} из V сходится к
функции <р(х) из V (<р1г(я) —> <f{x)i п ""*■ °°)> если
1) для всех натуральных ?п последовательность {<Рп (х)}
сходится к (р(т\х) равномерно по х £ К при п —> оо;
2) существует такое Д > 0, что supp <рп с] — #, R[ для всех
п = О, оо.
Под обычной функцией f(x) будем понимать любую
локально и абсолютно интегрируемую (по Риману) функцию, т.е. та-
ь
кую, для которой существует J \f(x)\dx при любых конечных
а
а и Ь.
Сопоставим каждой обычной функции f(x) функционал
f[<p(x)], определенный на пространстве V по формуле
оо
f[ip(x)) = (ДаОМ*)) = J f(x)<p(x)dx, <р(х) € Р. (8.1)
— ОО
Интеграл в правой части - это обычный риманов интеграл
(собственный, так как <р(х) финитная функция).
Пример 8,2. Показать, что функционал f[<p(x)] (8.1),
определенный на D, является линейным и непрерывным.
Решение. 1. Линейность функционала следует из линейности
определенного интеграла, т.е.
оо
f[\i<pi(x) + Х2(Р2(х)] = / f(x)[\1<pi(x) + \2<p2(x)]dx =
— оо

8. Основные и обобщенные функции
457
оо оо
= Ai / f(x)<p1(x)dx + \2 I f(x)<p2(x)dx =
— оо —оо
= А1/Ь1(яО] + А2/[Ы*)],
где Аь А2 G М, ^(ж), у>2(ж) е V.
2. Докажем непрерывность функционала. Рассмотрим
произвольную последовательность {^>п(ж)} из £>, которая сходится
к функции <р(х). Тогда, по определению, во-первых,
существует такое R > 0, что supp (рп с] — R, R[ для всех п = 0, оо
и, во-вторых, {у>п(ж)} сходится к у?(ж) равномерно. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы существовала числовая
последовательность {ап} такая, что для п > N (где N > О -
некоторое число), справедливо
тах|<рп(ж) - (р(х)\ ^ an, lim an = 0.
.т€Ж п-юо
Обозначим через
R
М= f \f(x)\dx.
-R
Тогда справедлива следующая оценка:
|/И*)]-/Ы*)]|
/
[-R
R
I f{x){<p(x) - <рп{х)}&
-оо
f(x){(p(x) -ipn{x)}dx\
J \f(x)\\<p(x) - <pn(x)\dx
£
£
< max
Таким образом, последовательность {/[у>(ж)] — /[^п(я)]}
сходится к нулю при п —>• ос и
lim f[(fn(x)] = f[<p(x)],

458 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
что и требовалось показать.
С функционалами (8.1) связано важное понятие слабой
сходимости функций.
4 Последовательность локально интегрируемых функций
{/п(ж)} сходится в V слабо к локально интегрируемой
функции f(x), если для любой функции <р(х) Е V справедливо
lim (fn(z)\<p(z)) = </(*)М*)>, ф) € V. (8.2)
♦ Функция f(x) называется ядром линейного функционала
f[(p (ж)], если его можно представить в виде
оо
/И*)] = / f(*M*)dx. (8.3)
— ОО
О Таким образом, любую обычную функцию f(x) можно
рассматривать как ядро линейного непрерывного
функционала (8.1) на V. Следующий пример показывает, что
представление (8.1), где f(x) - локально интегрируемая функция,
существует не для любого линейного и непрерывного функционала на
V.
Пример 8.3. Показать, что функционал <5[у>(ж)], ставящий в
соответствие каждой функции <р(х) число у?(0), не допускает
представления в виде (8.3)
оо
8[<р(х)] = <р(0) = f 6(x)ip(x)dx, (8.4)
— ОО
где 8(х) - локально интегрируемая функция.
Решение. 1. Функционал £[у>(ж)] линеен и непрерывен на V.
Действительно, пусть ipi(x) и ^2(ж) _ основные функции, а С\
к С2 - произвольные постоянные. Тогда
*[Ci?i(«) + С2<р2{х)] = {Cipi(aO + С2<р2(х)}\х=0 =
= Cipi(0).+ СзЫО) = CxSfyiix)] + С26[<р2(х)Ъ
поскольку £[^*(ж)] = ¥>fc(0), k = 1,2. Из сходимости <рп(х) к
(р(х) в V следует, что в точке х = 0 значения функции ^»(0)
сходятся к v>(0), т.е.

8. Основные и обобщенные функции
459
2. Предположим противное, т.е. что существует локально
интегрируемая функция £(ж), для которой соотношение (8.4)
справедливо при любой основной функции <р(х). Выберем в
качестве <р(х) функцию у?(ж, а) «шапочка», показанную на рис.
105 (см. пример 8.1), для которой <р(0) = 1/е. Тогда по
определению
оо
I 6(x)<p(x, a)dx = у>(0, а) = 1/е. (8.5)
— оо
С другой стороны,
00 а
1 6(x)(p(x,a)dx\ ^ / 5(x)<p(i),a)da.
— оо —а
а
- f \6(x)\dx. (8.6)
£
е
— а
Согласно предположению, функция 6(х) абсолютно
интегрируема. Следовательно,
а
lim f\8(x)\dx = 0
— а
и в силу (8.6)
оо
lim / 8(x)<p(x,a)dx = 0,
— оо
что противоречит (8.5). Полученное противоречие и
доказывает сделанное утверждение.
О Попытка представить 6(х) как обычную, поточечно
заданную функцию приводит к следующей формальной записи:
Л( ч Г оо при х = 0; ,й 7ч
<НЖ) = | П ппи * 4 О (8-7)
0 при ж/0,
лишенной прямого математического смысла, но широко
используемой в физической литературе при дополнительном
условии
оо
/ 6{x)dx = 1.

460
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Соотношениям (8.4) и (8.7) можно придать строгий смысл
в терминах обобщенных функций:
♦ Обобщенной функцией f называют любой линейный
непрерывный функционал на V.
Значение этого функционала на элементе <р(х) Е V
обозначим через
ПФ)] = (№Ш).
Из определения следует, что не существует значения
обобщенной функции / в точке ж. Поэтому в последнем равенстве
/(ж) есть формальная запись, в которой под х понимается
аргумент функции <р(х), на которую действует функционал /.
♦ Обобщенная функция /, которая допускает
представление в виде (8.1), где /(ж) - обычная (локальная и абсолютно
интегрируемая) функция, называется регулярной обобщенной
функцией; в противном случае обобщенная функция /
называется сингулярной.
Таким образом, обобщенная функция, рассмотренная в
примере 8.3, является сингулярной.
0 При решении задач теоретической физики иногда
приходится проводить некорректные в смысле данного выше
математически строгого определения Соболева-Шварца операции
с обобщенными функциями и получать при этом физически
правильные ответы. Для физических приложений теории
обобщенных функций оказывается полезным представление
линейного функционала 'f[<p(x)] как «интеграла с ядром /(ж)»:
оо
/И*)] = (№Ш) = J f(x)<p(x)dx. (8.8)
— ОО
Однако это представление является формальным, поскольку
не для всякого функционала / его значение корректно
определено (см. пример 8.3) интегралом от произведения основной
функции <р(х) на обычную функцию функцию /(ж), заданную
всюду (или почти всюду). Таким образом, под знаком
интеграла в (8.8) стоит «нечто», что лишь с натяжкой можно
назвать функцией. Тем не менее, в литературе по теоретической
физике часто используется определение обобщенных функций,
основанное на формальном представлении (8.8).
♦ Обобщенной функцией называется ядро /(ж) линейного
непрерывного функционала (8.8), определенного на
пространстве основных функций <р(х) £ Х>.

8. Основные и обобщенные функции
461
Последнее определение имеет ряд методических
преимуществ и именно оно использовалось в работах П. Дирака.
Поэтому, если это не приводит к недоразумению, мы и будем
использовать его в дальнейшем наряду с приведенным выше
строгим определением.
• ♦ Множество всех обобщенных функций, определенных на
пространстве £>, обозначим V' и будем называть
пространством обобщенных функций.
Понятие слабой сходимости обычных функций можно
перенести на обобщенные 'функции.
♦ Последовательность обобщенных функций {/п(ж)}
сходится к обобщенной функции f(x) в V, если для любой
основной функции <р(х) Е V числовая последовательность
{(fn(x)\(p{x))} сходится к числу (f(x)\<p(x)), т.е.
]im(fn(z)\<p(z)) = (f{z)\<p(z)). (8.9)
П—ЮО
Пример 8.4. Показать, что последовательность {/п(я)}, п =
О, оо, где /n(s) = sinnx в пространстве V1 сходится к функции
/(*) = о.
Решение. Согласно формуле (8.9), имеем
оо
lim (sinnx|^>(ж)) = / <р(х) sinnx dx.
П—УОО J
— оо
Проинтегрировав по частям, получим
оо
lim (sinnx\(p(x)) = lim — / <р'(х) cosnxdx = 0.
n-юо пчооп J
— оо
Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует тот факт, что
хотя последовательность {sinnx} не имеет поточечного
предела при х ф 7Г&, к ='—оо,оо, она сходится в пространстве V
(как последовательность обобщенных функций).
О Если /п (п = 1,оо) - регулярные обобщенные функции,
то сходимость последовательности {/п} в V означает
слабую сходимость обычных функций /п(ж) к обобщенной
функции f(x) - ядру функционала /. Поэтому определенную выше
сходимость последовательностей в ТУ называют также слабой
сходимостью функционалов и записывают
/(*) = lim /„(*).
n—foo

462 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
О Если мы рассматриваем только основные функции у?(ж),
сосредоточенные на интервале ]а,Ь[, то будем использовать
следующее обозначение:
б
fM*)]= If(x)<p(x)dx. (8.10)
О Соотношения (8.8) и (8.10) .являются определением
символов
оо b
/ f(x)<p(x)dx и / f(x)(p(x)dx.
— оо а
Ниже мы покажем, что обозначенные таким образом
«объекты» обладают рядом свойств, присущих определенным
интегралам от обычных функций.
Важную роль в теоретической физике играет расширение
пространства V - пространство Шварца S.
♦ Говорят, что функция <р(х), определенная при
х Е] — оо, оо[, принадлежит пространству Шварца «S, если
1) функция (р(х) непрерывно дифференцируема вместе со
всеми своими производными;
2) при |ж| -> оо функция (р{х) вместе со всеми своими
производными стремится к нулю быстрее любой степени |я|~п,
т.е. для любого к и /, к J = 0,оо, существует постоянная Сы
такая, что
|*У>(*)иан.
Сходимость функциональных последовательностей в
пространстве S определяется следующим образом.
♦ Последовательность функций {<рп{х)} из S сходится к
функции <р(х) из S (<Рп{я) -* ¥>(ж)> п —> оо)? если Для всех
натуральных кит последовательность {xk<ph'(x)} сходится
к хк<р(т)(х) равномерно по х £ К при п —> оо.
♦ Ядро линейного непрерывного функционала f[<p(x)] (8.3),
определенного на пространстве Шварца S, называется
обобщенной функцией медленного роста.
♦ Множество всех обобщенных функций, определенных на
пространстве Шварца <S, обозначим S'.
О Если не оговорено противное, то все определения,
которые даны нами ниже для обобщенных функций, сохраняются и

9. Действия над обобщенными функциями
463
для обобщенных функций медленного роста, но пространство
основных функций V заменяется пространством Шварца S.
О Очевидно, что V есть подмножество пространства S (V С
<S), однако S не совпадает с V. Например, функция f(x) =
е~х~ принадлежит пространству Шварца «S, но не
принадлежит пространству основных функций V. Заметим, что из
сходимости элементов в V следует сходимость в S. Обратное,
вообще говоря, неверно.
Из того, что V С <S, следует, что <S' С V (см. [9]).
Например, обычная функция f(x) = ех принадлежит
пространству V', но не является обобщенной функцией медленного роста
(ех £ <S'), так как интеграл
оо
/ ех <p(x)dx
— оо
сходится при <р(х) Е 2), но может расходиться для некоторых
<р(х) Е S, например для <р(х) = е~х Е S.
9. Действия над обобщенными функциями
Многие операции, которые применимы для обычных
функций, можно применять и к обобщенным.
Так, из основной леммы вариационного исчисления
следует, что две непрерывные функции f(x) и д(х) (х £ [а, Ь])
совпадают, если совпадают значения функционалов f[<p(x)] и <7[у>(я)],
вычисленных для каждой непрерывной функции <р(х),
сосредоточенной на [а, 6]. Поэтому равенство двух обобщенных
функций естественно определить следующим образом.
♦ Две обобщенные функции f(x) и д(х) называются
равными, если для любой функции <р(х) £V справедливо равенство
</(*)И*)> = ШШ). (9.1)
Если существует хотя бы одна функция (р(х) Е V такая, что
соотношение (9.1) не имеет места, то обобщенные функции
f(x) и д(х) называются различными.
О Из определения равенства обобщенных функций следует,
что если две обычные функции различаются в конечном числе
точек Хк {к = 1, N) и совпадают для всех остальных х Е IR, то
как обобщенные функции они равны. Более строго регулярную

464
Глава 2, Основы теории обобщенных функций
обобщенную функцию можно рассматривать как класс
эквивалентных обычных функций, причем любые две функции из
этого класса отличаются друг от друга на множестве меры
нуль, т.е. множестве G С R, которое можно покрыть
интервалами и сумма длин этих интервалов произвольно мала. В
частности, поэтому нельзя говорить о значении обобщенной
функции в конкретной точке ж0.
Аналогично определяются арифметические операции над
обобщенными функциями.
ф Обобщенная функция f(x) называется суммой
обобщенных функций fi(x) и /з(ж) и обозначается f(x) = Д(ж) + /2(2),
если для любой функции <р(х) £Т> справедливо соотношение
Ш\ф)) = <Л(*)Их)> + (Л(*)И*)>. (9-2)
♦ Обобщенная функция д(х) называется произведением
обобщенной функции f(x) и вещественного числа С и
обозначается д(х) = С/(ж), если для любой функции <р(х) £ V
справедливо соотношение
(д(х)\ф)) = C(f(x)\<p(x)). (9.3)
Можно определить также произведение обобщенной
функции f(x) на бесконечно дифференцируемую функцию а(х).
ф Обобщенная функция д(х) называется произведением
обобщенной функции /(аз) на бесконечно дифференцируемую
функцию а(ж), если для любой основной функции <р(х) £ V
справедливо соотношение
Ш\<р(х)) = (a(x)f(x)\<p(x)) = (f(x)\a(x)<p(x)). (9.4)
О Для обобщенных функций медленного роста а(х) должна
удовлетворять дополнительному условию - расти при \х\ —>
оо не быстрее любой степени х (т.е. а(х)<р(х) £ S для любой
функции <р(х) £ S).
О Коммутативная и ассоциативная операция умножения
двух обобщенных функций в общем случае не определена.
Действительно, если бы она была определена, то,
пользуясь свойствами функций 6(х) и?| (см. разд. «Примеры
обобщенных функций»), можно было бы записать противоречивую
цепочку равенств
О = 0 • V- = [zS{x)]V- = [S(x)x]V- = S(x) (zP-) = 6{x).
X X X \ X/

9. Действия над обобщенными функциями
465
Ситуация, когда произведение двух функций из одного
класса не принадлежит этому классу, наблюдается и для
«обычных» функций. Иллюстрацией может служить пространство
локально интегрируемых функций, в котором произведение
двух функций не обязано быть локально интегрируемым
(например, (И"1/2)2 = И-1 в м).
♦ Обобщенная функция f(x) обращается в нуль в области
G С 1R (/(ж) = 0, ж G G), если для любой основной функции
у>(ж), сосредоточенной в области (?, справедливо
(f(x)\<p(x)) = 0.
♦ Объединение всех областей, в которых обобщенная
функция f(x) равна нулю (f(x) = 0), называется нулевым
множеством обобщенной функции /(ж) и обозначается О/. Дополнение
множества О/ до К - множество Ж\£)/ - называется носителем
обобщенной функции f(x) и обозначается supp /.
♦ Обобщенная функция f(x) называется локальной и
сосредоточенной в точке х — хо, если
(f(x)\<p(x)) = 0
для любой основной функции <р(х), носитель которой не
содержит точку хо-
Напомним, что обозначение обобщенной функции через f(x)
является символическим и не имеет отношения к ее значению
в точке х. Поэтому две обобщенные функции f(x) и д(х)
нельзя сравнивать в конкретной точке, т.е. нельзя сказать, что
/(ж0) = д(хо) или f(xo) > д{хо). Тем не менее, можно придать
точный смысл операциям сравнения обобщенных функций на
заданном интервале ]а, Ь[.
♦ Обобщенные функции f(x) и д(х) называются равными
на интервале ]а, b[ (f(x) = д\х), х €\a,b\), если для любой
основной функции у?(ж), такой что supp (p С]а, Ь[, справедливо
</(*)М*)> = Ш\<р(х)).
♦ Говорят, что обобщенная функция f(x) больше (не
меньше) обобщенной функции д(х) на интервале ]а, Ь[, и
обозначают f(x) > g(x) (f{x) ^ </(ж)), ж €]а, 6[, если для любой
положительной основной функции у?(ж), такой что supp <p С]а, 6[,
справедливо
(f(x)\<p(x)) > (g(x)\f{*)), (</(*)M*)> > Ш\П*)))-

466
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
О Можно придать смысл обобщенным функциям сложного
аргумента f(a(х)) при условии, что а(х) (как и для
обычных функций) бесконечно дифференцируема, уравнение у =
а(х) имеет единственное бесконечно дифференцируемое
решение х — /3(у) (например, а'(х) ф 0) и для любой основной
функции <р(х) справедливо
(f(a(x)Mx)) = Ш\№У)ШУ)))- (9-5)
Введенные выше операции над обобщенными функциями
наделяют «интегралы» (8.8) и (8.10) некоторыми
свойствами интегралов от обычных функций. Так, например, если
основная функция <р(х) сосредоточена на интервале ]а, Ь[ и а(х)
- бесконечно дифференцируемая на этом интервале функция,
удовлетворяющая указанным выше условиям, то из (9.5)
следует, что
ъ d
Jf(aiz)Mx)dz = Jf(y)$MLdy, (9.6)
а с
где d — а (6), с = а (а). Соотношение (9.6) - аналог формулы
замены переменных в определенном интеграле.
10. Дельта-функция Дирака и ее свойства
Важным примером обобщенной функции является S
функция Дирака.
Рассмотрим функционал £[^>(ж)], ставящий в соответствие
каждой функции (р(х) число ^(0), т-е-
оо
<£[^>(ж)] = / S(x)(p(x)dx = (р(0).
— оо
♦ Ядро 6(х) линейного функционала <5[^(ж)] (8.4)
называется дельта-функцией Дирака.
Аналогично функция 5(х — xq) определяется как ядро
функционала
оо
/ 6(х — xo)<p(x)dx = <р(хо). (ЮЛ)
— оо

10. Дельта-функция Дирака и ее свойства
467
О Соотношение (10.1) можно рассматривать как результат
действия единичного оператора I на функцию <р(хо) (хо £ К).
В линейной алгебре матричный элемент единичного оператора
есть J-символ Кронекера Sij. Именно в силу такой аналогии
Дирак назвал ядро функционала (8.4) дельта-функцией.
Рассмотрим простейшие свойства дельта-функции.
Свойства дельта-функции
Свойство 1. Дельта-функция S(x — хо) является локальной и
сосредоточенной в точке жо, т.е.
8(х — хо) = 0 при х ф хо. (10.2)
Доказательство. Рассмотрим произвольную основную
функцию <р(х), носитель которой не содержит точки х = жо. В этом
случае <р(хо) = 0 и, следовательно,
(6{х-хо)\ф)) = 0.
Тогда, по определению, S(x — хо) локальна и сосредоточена в
точке жо.
Свойство 2. Функция 6(х) - четная, т.е.
6(х) = 8(-х). (10.3)
Доказательство. Рассмотрим произвольную основную
функцию. Из соотношения (9.6)"при замене переменной у = а(х) =
—ж получим
<*(-*)М*)> = I - 1|<*(*)М-*)> = № = (б(х)Ш),
что и требовалось доказать.
О Очевидно, что функция <р(х) = 1 не является основной, а
также не принадлежит пространству Шварца. Тем не менее, в
дальнейшем мы будем использовать обозначение (/(ж)|1), где
/(ж) - обобщенная функция, которое будем понимать в
следующем смысле:
оо
</(*)|1> = / f(x)dx = lim </(*)Ы*)>. (Ю.4)
— оо

468
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Здесь {щ(х)}, k = 0,оо, - последовательность основных
функций, сходящаяся к единице.
♦ Последовательность основных функций {щ(х)}, к = 0,оо
{Vk{x) Е £>) называется сходящейся к единице, если
1) для любого интервала ]a, b[ существует N > 0, такое что
щ(х) = 1 для всех х €]а, Ь[ и к > N;
2) функции щ(х), к = 0,оо равномерно ограничены в М
вместе со всеми своими производными, т.е. для любых k,j =
О, оо существует постоянная Cjk, такая что
\-dxT-\<C*k'
Заметим, что последовательность функций, сходящаяся к
единице, всегда существует, например щ{х) = (р(х/к), где
<р(х) - произвольная основная функция, такая что <р(0) = 1.
Свойство 3. Справедливо соотношение
оо
(<*(ж)|1)= f S(x)dx = l. (10.5)
Доказательство непосредственно следует из соотношения
(10.4) и определения последовательности, сходящейся к
единице.
Свойство 4. Справедливо соотношение
f{x)S{x - х0) = f{x0)S(x - х0), (10.6)
где f(x)- бесконечно дифференцируемая функция.
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию <р(х) Е
V. Очевидно, что д(х) = f(x)<p(x) также является основной
функцией. Тогда
(f{x)S(x - х0)\<р(х)) =
оо
= / f(x)(p(x)S(x - x0)dx = f(x0)(p(x0).
— оо
С другой стороны,
(f{x0)6{x-x0)\<p(x)) =
оо
= / f(xo)<p{x)6(x - x0)dx = f(xo)<p{x0),
— оо

20. Дельта-функция Дирака, и ее свойства
469
В силу произвольности <р(х) соотношение (10.6) доказано.
В определении локальных и сосредоточенных в одной точке
обобщенных функций сложного аргумента (9.5) и (9.6)
можно ослабить условие на функцию а (ж). В частности, дельта-
функцию Дирака сложного аргумента можно определить
следующим образом.
♦ Пусть а(х) - бесконечно дифференцируемая функция,
имеющая только простые и изолированные нули в точках ж&,
к = 1, ЛГ, т.е. a(xk) = 0, а'{хь) Ф 0. Тогда ядро линейного и
непрерывного функционала
называется дельта-функцией Дирака аргумента а (ж) и
обозначается 6 [а (х)].
0 Из определения (10.7) следует соотношение
*(aw)=i;fe^' «'(**) *о. (Ю.8)
fc=i 1а1х*Л
Формула (10.8) справедлива и в случае счетного числа (N =
оо) простых нулей функции а(х) (например, а(х) = sin ж).
Тогда функция S(a(x)) корректно определена на любой основной
функции <р(х) £Т> в силу ограниченности ее носителя.
О В физической литературе часто дельта-функцию 6(х—хо)
определяют не на пространстве основных функций, а в каком-
либо классе «обычных» функций. Как мы покажем в
дальнейшем, такой взгляд на дельта-функцию имеет и
математическое обоснование с точки зрения свертки обобщенных функций
[см. соотношение (16.7)]. Кроме того, дельта-функцию
определяют через ее представление полными и ортонормирован-
ными в классе Л (например, в 2^г([а, 6],р(ж), £)), где Del
или D С С) системами функций (17.30). При таком подходе
можно показать, что для дельта-функции и любой «обычной»
2/-периодической функции <р(х) Е Lo, удовлетворяющей
условиям Дирихле, справедливо соотношение (17.41):
б
/ 8(х — xo)<p(x)dx =
а

470
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
<р(х0 + 0) + <р(х0 - 0)
х0 е\а, Ь[;
= { 0 х0£[а,Ь]; (10.9)
y>(q) + у>(Ь)
г ж0 = а, х0 = о.
Здесь 21 = b — а.
Пример 10.1. Показать справедливость соотношений
а) (х2 + 1)6(х + 2)=55(х + 2)',
6M(2*-6) = fc^;
в) (ж - 1)8(х2 - 6х + 5) = 6{х - 5);
ОО
г) <J(sin х) = 6(х) + J2 6(х2 - * V).
fc=i
Решение, а) Согласно (10.6), имеем
(х2 + 1)8(х - (-2)) = (х2 + 1) I 6(х + 2) =
= [(-2)2 + Щх + 2) = Щх + 2).
б) Воспользуемся соотношением (10.8). Поскольку а(х) =
2х — 6, то корнем уравнения а (ж) = 2х — 6 = 0 является хо = 3.
Находим а'(ж) = 2, а'(ж0) = а (3) = 2, тогда
лог м s(x -3)
д(2ж-6) = .
в) Согласно соотношению (10.8), имеем
а(х) = ж2 -6ж + 5 = 0,
1
х1?2 = 3±->/36±20 = 3±2, aji = 5, ж2 = 1;
о'(ж)=2в-в, |а'(5)| = |10-6| = 4, |а'(1)| = |2-6| = 4,
откуда
(,-l,*(,»-te + 5) = («-l)[*^ + 3^] =
= i[(* - l)J(x - 5) + (* - l)<J(x - 1)] =
= i(5 - l)S(x - 5) + 0 = S(x - 5).

20. Дельта-функция Дирака и ее свойства
471
г) Аналогично случаю в) найдем
sin ж = 0, хи = &7Г, к = —оо, ос, (sin ж)' = cos ж;
|o.os*||x=br = |cosbr| = |(-l)fe| = l;
J (sin ж) = 2_] Нх ~~ кп) =
fe = — оо
оо
= six) + 2 W* - **) + six + к7Г)] =
fc=l
оо
= S(x) + ^28{x2-k2*2).
к=1
Пример 10.2. Вычислить интегралы
оо
а) J х26(х + 2)dx;
—оо
оо
б) I х26{х2 - 6х + b)dx;
— оо
оо
в) [ е~х6(х2 -Gx + b)dx;
2
т/2'
г) / cos жс$ (sin x) di
г) I coszcMsmEjdE.
-w/2
Решение. Согласно результатам предыдущего примера,
оо
= 4.
х=-2
а) / х28(х + 2)<&с =
— оо
оо оо
б) f хЧ{х2 - 6х + b)dx = ^ f x2[S{x - 5) + (J(x - l)]di
— oo —oo

472
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
со со
в) / е~Ч{х2 - бж + 5)dx = J f e~x [S(x - 5) + S(x - 1)] =
2 2
1 _...! . е-5
= те"а:
4
тг/2
+ 0 = ——-, так как х — 1 ^]2, оо[;
х—ъ 4
г) / cos£(J(sin£)d# = cosx'l _ = 1,
-i/2
так как ж^- = ктг £ — —, — , при & ^ 0.
11. Дельтообразные последовательности
Помимо рассмотренного выше функционального подхода к
определению обобщенных функций существует и
секвенциальный, определяющий обобщенную функцию как слабый предел
последовательности обычных функций по аналогии с
определением иррационального числа как предела последовательности
рациональных чисел. Рассмотрим некоторые элементы
секвенциального подхода [2] на примере дельтообразных
последовательностей.
♦ Последовательность {Sn(x)} абсолютно интегрируемых
функций называется дельтообразной и обозначается
lim 8п(х) = <J(z),
п-юо
если
со
1
/ Sn(x)dx =
и для любой основной функции <р(х) EV существует предел
]im(5n(x)\<p(x)) = <p{0). (11.1)
п—юо
О Соотношение (11.1) означает, что последовательность
{^п(^)} слабо сходится к обобщенной функции 6(х) Е V, и
дает часто используемый в физических приложениях
практический рецепт вычисления интегралов, содержащих дельта-
функцию. Аналогично замена обобщенной функции f(x)
последовательностью локально интегрируемых функций {/п (ж)},

11. Дельтообразные последовательности
473
сходящейся к ней в смысле (8.9)
Ит(/„(»)И*)> = </(*) И*)>,
11—ЮО
позволяет вычислять интегралы, содержащие «обобщенные»
функции.
Пример 11.1. Показать, что если функция д(х) непрерывна
и такова, что
/
g(x)dx = a < оо,
то функции
8(ху(т) = —д(-), ^>0, (11.2)
era \(т/
6{x,L) = -g(xL), £>0, (11.3)
ci
являются дельтообразными последовательностями при a —> О
или L —> оо, т.е.
lim S{z, <т) = 8fr), lim 6{x, L) = S(x). (11.4)
<r-+0 L-юо
О Здесь и в дальнейшем запись сг —> О (L —> оо) означает,
что последовательности {сгп} ({Ln}) произвольны, но таковы,
что
Нщ сгп = 0, ( lim Ln = оо) .
п—юо \п—юо /
Решение. Легко видеть, что для всех a > О
/ 6(x,cr)dx = 1.
— оо
Тогда для любой функции <р(х) £ 2>
оо оо
J*= I 6(x,<r)<p(x)dx= — / g\--)ip(x)dx.

474
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Сделаем в интеграле замену переменных х — at:
оо
— оо
Если а —> 0, то
оо
lim J, = Jo = ¥>(0)- / g(t)dt = р(0),
<r-»o a J
— оо
и <$(ж,<т) - дельтообразная последовательность.
Аналогичным способом нетрудно показать, что
последовательность S(x, L) также дельтообразная.
Пример 11.2. Показать, что функции
<5(ж,сг) =
1
СГу/п
~2 /„2
6(x,L) =
sin xL
1ГХ
являются дельтообразными последовательностями при а —> О,
L -> оо (<т > О, Z > 0) (см. рис. 106).
2 4 ж -6
Рис. 106.
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
оо оо
[ S(x,<r)dx = f -±-e-**/a'dx = 1
— ОО —ОО
и
ОО ОО
/5(x, L)dx = / dx = 1,
J 7TX
— оо —оо
что в силу предыдущего примера и доказывает утверждение.

11. Дельтообразные последовательности
475
Пример 11.3. Вычислить слабый предел (в V) функции
7г(а,- + е-)
при г: -» +0, е > 0 (см. рис. 107).
Решение. Формально
т £/ \ ( ОО Ж = О,
(11.5)
и не имеет прямого математического смысла. Рассмотрим
произвольную функцию ^>(ж), принадлежащую V - пространству
основных функций. Вычислим предел
1 = lim
е-4+О
оо
J Ц
-(p(x)dx.
r(z2+e2)'
— ОО
Сделаем замену переменных х = ye, dx = edy и получим
оо . оо
/= lim 7-J¥@>dy= lim I r *^Ldy=
e-»+0j 7г(?/2£2 + £2) 6-++0 7Г J J/2 + 1
— oo —oo
= >[? + §]=*•>•
= -y>(0) arctg у
Следовательно,
1 = lim
£-4+0
OO
h
(s2 + e2)
^(z)cta = <p{0). o,
Поскольку <5[у>(ж)] = <p(0) и в
силу произвольности функции
<р(х) получим
lim
= 6(х).
2 4
Рис. 107.
е->+0 7г(ж2 -he2)
Пример 11.4. Вычислить слабый предел функции
при е —► +0 (см. рис. 108)
1/2е
0
>е
б > 0

476
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
V,
-е
1№с
Ш_ J L
£=1/3
6 = 1
—I
6=2
J L
Рис. 108.
Регпение. Формальный поточечный предел при е —> 0
приводит к записи (11.5). Заметим, что площадь прямоугольника
ABCD (см. рис. 108,а) равна
S = ^-2е = 1.
2е
Тогда для произвольной функции <р(х) Е £> получим
ОС
/= lim / f(x,e)(p(x)dx =
е-++о J /т^
— оо
Г — £ е оо
= lim / 0 • (p(x)dx + / — <p(x)dx + / 0 • <p(x)dz
Сделаем в интеграле замену переменных х = ye, dx = edy,
xi — £> 2/i = 1< ^2 = —е, уз = —1 и получим
[ I 1 I1
-1
Следовательно,
оо
lim /
lim / f(x,e)<p(x)dx = у>(0),
и в силу произвольности функции у?(ж) получим
lim f(x,e) = Six).

12. Примеры обобщенных функций
477
12. Примеры обобщенных функций
Мы уже отмечали, что любую абсолютно и локально
интегрируемую функцию можно рассматривать как регулярную
обобщенную функцию. Рассмотрим эту связь более подробно.
♦ Регулярную обобщенную функцию f(x) называют
постоянной и обозначают /(ж) = С, если для любой основной
функции (р(х) справедливо
со
(f(x)\<p{z)) = J C<p(x)dx, ф) G V.
— СО
Например, обобщенная функция единица действует по
формуле
со
(1\<р(х)) = J <p(x)dx, <p(x)€T>.
— СО
По аналогии с обобщенной функцией /(ж) = С любую
локально и абсолютно интегрируемую функцию можно
рассматривать как некоторую обобщенную функцию, действующую по
правилу
со
(Пх)\ф)) = j f(x)<p(x)dx (12.1)
— со
для любой основной функции у?(ж) Е V. Отметим, что в правой
части (12.1) стоит обычный" риманов интеграл.
Таким образом, локально интегрируемые функции можно
отождествлять с регулярными обобщенными функциями.
Все сказанное можно распространить и на сингулярные
функции, имеющие неинтегрируемые особенности в точке xq
(например, /(ж) = 1/х при х = 0), если доопределить их так,
чтобы они совпадали с функциями f(x) всюду, кроме точки
♦ Обобщенная функция д(х) называется регуляризацией
функции /(аз), имеющей особенность в точке х = жо, если для
любой основной функции у>(ж), носитель которой не содержит
точку жо, справедливо
Ш\ф)) = (Пх)\<р(х)) (12.2)
и записывается д(х) = /(ж) при ж ф жо-

478
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
♦ Особенность функции f(x) в точке хо называется
алгебраической порядка ?п, если существует ?п > О, такое что
функция (х — xo)nlf(x) ограничена в точке жо, & функция (х —
#о)т_1/(ж) не ограничена.
В качестве одной из возможных регуляризации функции
/(ж) можно выбрать функцию д{х), такую что
(д(х)\<р(х)) = / f(x)(p{x)dx+
\х-х0\>е
/тп -
/(ж) [ф)с1х - J2 u<Pik)m* - *o)fc], (12.3)
|.т-.т0|<е k=z0
где е > 0 - некоторое фиксированное число. Очевидно, что
функция д(х) удовлетворяет условиям (12.2).
О Регуляризация (12.3) не единственна. Действительно,
добавив к д(х) любую локальную функцию ф(х),
п
Ф{*) = ^2aj6{j)(x-x0),
j=o
сосредоточенную в точке жо, для любой функции <р(х) € V
получим
п
шм*)) = <д*)и*)> - £(-i)4-pwW
j=0
где 6^)(х) - j-ая производная дельта-функции (см. разд.
«Производная обобщенной функции». Таким образом, условие (12.2)
выполнено.
♦ Обобщенная функция д(х) называется канонической
регуляризацией функций /(ж), если
1. регуляризация суммы f(x) + %(ж) есть сумма
регуляризации функций f(x) и х{х) в точке жо;
2. регуляризация (обычной) производной /'(ж) есть
производная д'(х) в смысле производных обобщенных функций;
3. регуляризацией произведения а (ж) /(ж), где а (ж) -
бесконечно дифференцируемая функция, есть функция а(х)д(х).
О Можно показать, что каноническая регуляризация
функции /(ж) единственна.
В этом разделе мы рассмотрим некоторые наиболее часто
используемые обобщенные функции.

12. Примеры обобщенных функций
479
12.1. Тета-функция Хевисайда
Рассмотрим обычные функции
Г 0 х < О Г ° х < °'
Ь(х) = { 1 *>0 ' **(*) = < 1/2 3 = 0, , (12.4)
заданные поточечно. Эти функции локально интегрируемы и
различаются только в точке х = 0. Нетрудно заметить, что
оо
(В1(х)\ф)) = (02{х)\<р{х)) = J<p{x)dx
для любой функции (р(х) £ V. Следовательно, обобщенные
функции 0\{х) и 02(я) как обобщенные функции равны, т.е.
0i{x) = 02(х) = 0(х).
♦ Обобщенная функция 9(х) называется тета-функцией
Хевисайда, если для любой основной функции у?(ж) справедливо
оо оо
х)\(р(х)) = e(x)<p(x)dx = <p(x)dx, (p(x)eV. (12.5)
W
Пример 12.1. Показать, что последовательность функций
{/n(s)}, где
/•W-l+T^' (12'6)
при п —> оо сходится (поточечно) к функции 02 (х).
Решение. На любом конечном отрезке [а, Ь] С] — оо, 0[
последовательность (12.6) равномерно сходится к нулю, тогда как на
любом конечном отрезке [а, 6] С]0, оо[ она равномерно
сходится к единице и при х = 0 сходится к 1/2, так как /п(0) = 1/2.
Следовательно,
lim fn(x) = 02(x).
п—юо
О Функцию 02 (х) можно было определить как поточечный
предел последовательности {/п(я)} (12.6).
♦ Функция f(x) называется знаком числа х и обозначается
f(x)= sign ж, если для любой функции <р(х) Е V справедливо

480
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
соотношение
(f(x)\<p(x)) = [<p{x)dx- f <p(x)dx. (12.7)
Пример 12.2. Показать, что sign х = 0(х) — 0(—х).
Решение непосредственно следует из определения функций
0(х) и sign x.
12.2. Характеристическая функция отрезка
♦ Функция Л (ж, а, 6) называется характеристической
функцией отрезка [а, 6], если для лк)бой функции <р(х) £Т>
справедливо
ь
(h(x,a,b)\(p(x))= (p(x)dx. (12.8)
0 Регулярную обобщенную функцию h(z,a, b) можно
определить соотношением
h(x,a,b)= I 0
х е
a, b]
О х £ [а, Ь).
Пример 12.3. Доказать справедливость соотношения
h(z, a, Ь) = 6(х -а)- в(х - Ь). (12.9)
Решение. Пусть <р(х) - произвольная функция из
пространства V. Тогда
(Щх-а)-в(х-Ь)]\<р(х)) =
= (6(х-а)\<р(х))-(в(х-Ь)\у(х)) =
ОО ОО 6
= / (p(x)dx — I <p(x)dx = / (p(x)dx.
aba
В силу определения (12.8) соотношение (12.9) доказано.

12. Примеры обобщенных функций
481
12,3. Обобщенные функции, порождаемые главными
значениями несобственных интегралов
♦ Функция V ^ называется регуляризацией функции £,
если для любой функции <р(х) Е 2> справедливо соотношение
<*i|rf.)>-v»/*i*-
= ,im{ [&U +
— со
оо
(12.10)
Здесь символ V.p. обозначает главное значение интеграла.
Пример 12.4. Показать, что
х
(12.11)
Реп1ение. Пусть <р(х) Е V, тогда х
(xV-\<p{x)} = (v-\x<p(z)} = J <p{x)dx = (l\<p{x))J
— ОО
В силу произвольности функции (р(х) соотношение (12.11)
доказано.
♦ Функция Vjs называется регуляризацией функции ^,
если для любой функции <р(х) EV справедливо соотношение
оо
(4h*)> = v.P./to(2W (ни)
Пример 12.5. Показать, что
х27>Л = 1-
(12.13)
Решение. Действительно,
00
(х2Р^|у>(х)) = (v^\x2<p{x)) = j <p(x)dx = (1\<р(х)).
В силу произвольности функции (р(х) соотношение (12.13)
доказано.

482
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
12.4. Псевдофункции Адамара
Существуют иные правила вычисления расходящихся
несобственных интегралов, содержащих функции 1/жи 1/ж2. Им
соответствуют другие регуляризации этих функций.
♦ Функция Pfj? называется псевдофункцией Адамара 4j-,
если для любой функции <р(х) £ Х> справедливо соотношение
-СО £
Аналогично определяются функции
со
/p/^L(s)\ = lim( [&.dx + (p(0)lne\ (12.15)
\ Ж I / е->0 I J X )
£
И
Пример 12.6. Самостоятельно доказать тождество
V- = Pf-^-1 + Pf— -.
X X X
12.5. Формулы Сохоцкого
♦ Функции ^jq называются функциями Сохоцкого, если
для любой функции (р(х) £V справедливо
/—— \<р(х))= lim [ *Щ-<1х. (12.16)
\х*±гОГ v V е-+±о J x±ie v ;
Более подробно о смысле символов ^^ см. также (1.23.126) и
(1.23.127).

13. Некоторые представления основных функций
483
Теорема 12.1. Справедливо соотношение
-17г5(х) +Р-,
' + * ' (12-17)
= мг£(ж) + Р-.
ж — гО ж
Соотношения (12.17) называются формулами Сохоцкого.
Доказательство. Пусть <р(х) EV. Тогда
оо со
I = lim / —dx = lim / —z -(p(x)dx =
е->+о J х + ге e-^+o J x2+e2
— CO —CO
CO CO
/2» -l с- Г X %E
-r-—-dx + lim / -r-—5-[^(ж) - <p(0)]dz =
— CO —CO
CO
/xdx x |°°
-=——5--t^(0) lim arctg - +
x2 + e2 v e-n-o ° cl-00
CO
-CO
CO
+
-co
Поскольку первая подынтегральная функция нечетна, а
пределы интегрирования симметричны, то
со
I = -i7r<p(0) + V.p. / ^-dx.
В силу произвольности функции (р(х) первое соотношение в
(12.17) доказано. Аналогично доказывается второе
соотношение в (12.17).
13. Некоторые представления
основных функций
Ниже мы рассмотрим некоторые специальные свойства и
представления основных функций (р(х) £ £>, используемые в
теории обобщенных функций.

484
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Лемма 13.1. Для того чтобы основная функция ф(х) была
производной-другой основной функции Ф(ж), необходимо и до-
статочно, чтобы она удовлетворяла условию
оо
[ ф(х)а*х = 0. (13.1)
Доказательство. Пусть ф(х) и Ф(ж) принадлежат множеству
V и связаны соотношением
<№(х)
ф{х) = "ST'
Проинтегрировав это соотношение, получим
оо оо
[ ф(х)йх = f ^^-dx = Ф(а?)
ОО
= 0
в силу финитности основных функций, т.е. Ф(—оо) = Ф(оо) =
0.
С другой стороны, если условие (13.1) выполняется, то
положим
х
ад = J фшу. (13.2)
— оо
В этом случае Ф(ж) бесконечно дифференцируема и в силу
условия (13.1) финитна, что и требовалось показать.
Лемма 13.2. Для любой основной функции <р(х) £Т>
существуют основные функции <ро(х), <pi(x), такие что справедливо
представление
оо
<р{х) =Vo(s) / <РШУ + ?i(*) (13-3)
при условии
оо
/ (po(x)dx = 1.

13. Некоторые представления основных функций
485
Доказательство. Рассмотрим разность
оо
Ф(ж) = <р(х) — <ро(х) / <p(x)dx.
Из приведенных выше соотношений видно, что функция Ф(ж)
является основной функцией, удовлетворяющей условию
/
$(x)dx = 0.
Тогда в соответствии с леммой 13.1 соотношение (13.3)
справедливо.
Лемма 13.3. Если функции <р(х) urj(x) принадлежат V,
причем г)(х) = 1 в окрестности точки х = 0, то функция
ф{х) = —
fc=0
(13.4)
- основная.
Доказательство. Очевидно, что функция ф(х) финитна и
бесконечно дифференцируема при х ф 0. Осталось показать,
что ф(х) является бесконечно дифференцируемой в точке х =
0. Выберем е > 0 и такое, что 7;(х) = 1 для всех |ж| < е.
Обозначив
получим
•0(0) = lim ф(х) = lim =
. /(*) _ /(n)(Q) _ y>(n)(Q)
аг->0
Соответственно,
яг-^О ЯГ
п!
П!
^(0) = lim *(х) " ^(0) - «- /(Я;) - *"f{n)/W
= lim
я:-►О
аг-)-0 X х-+0 хп + 1
_ /<п+1>(0) _ р<п+1>(0)
" (п+1)! " (п+1)!

486
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
и т.д.
Таким образом, ф{х) бесконечно дифференцируема для всех
a; G 1, и, следовательно, является основной.
Лемма 13.4. Если функции (р(х) wq{x) принадлежат!),
причем г;(ж) = 1 в окрестности точки х = 0, а д(х) - бесконечно
дифференцируемая функция, имеющая единственный простой
нуль в точке х = О, то функция
«,) = р(*>-;»(Г)у(0) (13.5)
9(х)
- основная.
Доказательство. Пусть |ж| < е, тогда т/(ж) = 1, а функция
д(х) в окрестности точки х = О может быть представлена в
виде д(х) = ж</(ж), где <7(ж) ф 0. Тогда
1 y>(s) " У(0)
Пж) = —-^г .
0(Ж) Ж
С другой стороны, из леммы 13.3 при п = 1 следует, что
функция
, / ч _ ¥>(и) - р(0)
ж
является основной. Отсюда в силу соотношения
Ф(х) = -t-t^iOc)
заключаем, что ф(х) также является основной.
Лемма 13.5. Для любого интервала ]а, 6[= G и любого числа
е > 0 существует основная функция rj(x) такая, что
п(х) = 1, жеСе, Ge =]а- б, Ь + е[,
1 > ?;(ж) > 0, ЖЕ G3e\G£,
77(ж) = 0, жЕМ\С3е, {x£G3e).
Доказательство. Пусть h(x, G2e) - характеристическая
функция множества <?2е и и)е(х) - основная функция
«нормированная 'шапочка'»
Л) ~ \ 0, г * V(e), (
:\ti]: (»••)

13. Некоторые представления основных функций
487
где постоянная С£ определяется из условия
оо
/ ue(x)dx = I w£(x)dxdx = 1.
-оо V(e)
Тогда функция
оо
7)(х) = / h(x',G2e)u£(x — x')dx'
-оо
обладает требуемым свойством (рис. 109).
h(G2s,x) MrUe(x-x')
(13.7)
и
0,5
Г)(х)
./_
0 a-ъе а-ге а-е а
6 Ь+еЬ+геЬ+ъе
1
0,5
а-Зб а-2£а-£ а
а_^—^
6 6+е 6+2£&+3£
1
0,5
0 а-ъе а-ге а-е а Ь Ь+еЬ+геЬ+Ъе
Рис. 109
Действительно, обозначив supp и£(х — х') = V(xie), имеем
т](х) — / /i(z', G2e)o;e (x - x')dx' =
G2cnV(a;,£)
/ h(x',G2£)w£(x — x')dx' = 1, жЕ<Зе;
V(.r,e)

488
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
1>ф) = J h{x',G2£)u>s(x-x')dx' >0, xeG3e\G£;
C?2*nV(ar,e)
ф) ■= / h(x',G2e)We(x - Xf)dx' =
G2€nV(x,e)
= J h(x',G2€)ue{x-x')dx' = 0, e€R\(j3e--
По сути дела, формула (13.7) определяет численное
значение функции 7i(x), равное площади под «шапочкой»,
обрезаемой характеристической функцией.
Пример 13,1. В пространстве обобщенных функций V
найти общее решение уравнений
а) хи(х) = 0;
б) д(х)и(х) = 0, где д(х) - бесконечно дифференцируемая
положительная функция;
в) (sinx)u(x) = 0;
г) хи(х) = 1.
Решение, а) Поскольку и(х) 6 V, то
(хф)\ф)) = (и(я?)|»^(я?)) = 0 (13.8)
для всех <р(х), принадлежащих V. Найдем (и(х)\(р(х)),
используя тождественные преобразования и основную функцию т/(ж),
определенную леммой 13.5,
(гг(х)Мя)) = (и(х)\[<р{0)ф) + ф) - p(0)q(s)]> =
= Ы*)№Ч(*)) + (Ф)\*^
Согласно лемме 13.3, функция
ф) - <р{0)ф)
ф(х) =
является основной. Тогда (u(x)\x^(x)) = 0 в силу (13.8). С
учетом этого, обозначив (и(х)\т](х)) = С = const, имеем
<и(*)М*)) = С?(0) = (С*(*)М*)>,

14. Дифференцирование обобщенных функций
489
откуда
и(х) = С6(х).
Подставив это решение в исходное уравнение, получим
тождество
xCS(x) = Cx\x=06(x) = 0.
б) Поскольку д(х) ф 0 для всех х £ IR, то и(х) — 0.
в) Аналогично примеру а) с учетом результатов примера
10.1 получим
L(x) = Yl C*S(X " fc7r)'
k = — oo
где Си - произвольные постоянные.
г) Рассмотрим произвольную основную функцию <р(х) £V.
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
(х \и(х) ^(я)) = 0
Аналогично примеру а) получим
u(x) = CS{x)+V~,
где С - произвольная постоянная.
О Из последнего примера следует, что функция
иХ0(х) = С6(х - х0) (13.9)
является решением уравнения
xuXo(x) = х0иХо(х), (13.10)
т.е. функция иХо(х) - собственная функция оператора L — х
(оператора координаты в ж-представлении). Этот факт
находит широкое применение в квантовой механике.
14. Дифференцирование
обобщенных функций
Рассмотрим функционал (/[^>(ж)], <р(х) £ V, определяемый
соотношением
д[<р(х)] = (д(х)\ф)) = -</(*)И*)>,

490
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
где f(x)- заданная обобщенная функция. Нетрудно убедиться,
что д[<р{х)] есть линейный и непрерывный функционал,
определенный на пространстве основных функций.
♦ Обобщенная функция /'(ж) называется производной
обобщенной функции /(ж), если для всех функций ip{x) £V
справедливо соотношение
(f'(x)\<p(x)) = -</(*)И*)>. (14.1)
Свойства производных обобщенных функций
Свойство 1. Если fi(x) и /г(х) - обобщенные функции, а С\
и Со - постоянные, то
{Cih(x) + С2/2(х))' = СхЛ(х) + C2f'2{x). (14.2)
Доказательство. Пусть <р(х) £ V. Тогда
((с1Мх) + с2ы*))'Ш) =
= -<(сШ*) + <Ш*))И*)> =
= -Cr{h{x)W(x)) - C2(f2(x)\<p'(x)) =
= С1<Л(*)И*)> + С2<Я(*)М»)>.
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если а(х) - бесконечно дифференцируемая
функция, а /(ж) - обобщенная функция, то справедливо
соотношение
{а(х)Нх))' = a'(x)f(x) + <x(x)f'(x). (14.3)
Доказательство. Пусть (р(х) £ V. Тогда
<(а(*)/(*))'И*)> = -(a(x)f(x)W(x)) = -(f(x)\a(x)<p'(x)) =
= -(Пх)\{а{х)ф))') + (f(x)\a'(x)<p(x)) =
= (f'(x)\a(x)<p(x)) + </(*)|а'(*М*)> =
= ([a{x)f(x)+a'(x)f{x)]\<p{x)).
В силу произвольности выбора <р(х) соотношение (14.3)
доказано.
Свойство 3. Любая обобщенная функция f(x) бесконечно
дифференцируема.

14, Дифференцирование обобщенных функций 491
Доказательство. Пусть (р(х) Е V. По индукции из (14.1)
получим
</<»>(*)Hz)> = (-1П/(х)М">(*)>, ф) € Р. (Н.4)
Поскольку функция <р(х) - основная, то <р(пЦх) также
принадлежат классу V. В силу произвольности <р(х) свойство 3
доказано.
Формула (14.4), аналогично формуле (14.1), определяет
высшие обобщенные производные.
Пример 14.1. Доказать соотношение
#(z-a) = 8{x-a). (14.5)
Решение. По определению, для любой функции <р(х) Е V
справедливо
((У{х-а)\ч>(х)) = -(в(х-а)\<рГ{х)) =
ОО
= — / (p'(x)dx = —<р(оо) + ф(а) = <р{а) = (S(x — а)\<р(х)).
а
В силу произвольности <р(х) соотношение (14.5) доказано.
Пример 14.2. Найти производную функции f(x) = sign ж.
Решение. По определению,
((sign z)'Ms)) = ~(signx\<p'(x)) =
оо О
= — / (p'(x)dx+ I <p'(x)dx =
О -оо
= -р(оо) + <р{0) + <р(0) - р(-оо) = 2у>(0) = 2(<$(ж)Иж)>.
Следовательно, в силу произвольности функции (р(х) Е V
(sign ж)' = 2S(x).
Пример 14.3. С помощью определения производной
обобщенной функции найти производную функции /(ж) = ж sign ж.

492
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Решение. По правилу дифференцирования
x<pf(x) = [х<р(х)У — <р(х).
Тогда
/ (ж sign x)f<p(x)dx = — / (ж sign x)<p'(x)dx =
-оо -оо
оо О
= -/*№+/**№ =
О О
О О
+ / (ж sign x)'dx — I (p(x)dx =
— оо —оо
оо
/IOO IOO
sign x<p(x)dx — х<р(х)\ + х<р(х)\ —
10 Ю
— оо
оо
= / sign xcp(x)dx — О -f 0.
Следовательно,
(ж sign x)' = sign ж.
Последнее соотношение можно также получить
непосредственно из предыдущего примера и (14.3).
Свойство 4. Пусть /(ж) вместе со своей производной
непрерывна везде, за исключением точки ж = жо, которая является
точкой разрыва первого рода с односторонними пределами
/(я0 + 0) = Л(ж0), Джо - 0) = /2(ж0),
тогда
/'(*) = {/'(*)} + [f]X0S(x - х0),
[/]*о = /(*о+0)-/(*о-0),
(14.6)

14. Дифференцирование обобщенных функций
493
где f'(x) - обобщенная производная обобщенной функции /(ж),
a {/'(ж)} - непрерывная при х ф хо функция, равная обычной
производной функции f(x) в тех точках, где производная
существует, и нулю в тех точках, где производная не существует.
х о
Рис. ПО.
(14.7)
Доказательство. Пусть (см. рис. ПО)
/(s) = fi(x)6(x0 -x) + f2{x)6(x - хо),
тогда
f'(x) = /[(хЩхо -х) + /2{х)в(х - х0) +
+fi(x)ffl(x0 - х) + Н{х)в'{х - х0) =
= {f'(x)} ~ h(xo)S(x0 - х) + f2(x0)S(x - хо) =
= {/'(*)} + [/зЫ - ЛЫЖ* - *о) =
= {/Ч*)}+ [/]..*(*-*о),
что и требовалось доказать.
♦ Обобщенную функцию, соответствующую функции
{/'(ж)} по формуле (14.6), будем называть регулярной частью
обобщенной производной /'(ж).
Пример 14,4. Найти производную обобщенной функции
f(x) — sin ж.
Решение. По определению, для любой функции <р(х) £ V
справедливо
оо
((sinx)f\(p(x)) = -(sinx\<p'(x)} = - / (sinx)<p'(x)dx = I.
-оо
Проинтегрируем по частям, положив U = sin ж, dV = <p'(x)dx.
Тогда dU = cos ж с?ж, V = <р(х) и
/ = — (sinx)<p(x)
оо
/
(cosx)(p(x)dx = (cosx\(p(x)).

494
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Следовательно, (sin ж)' = cos ж.
Пример 14.5. Найти производные первого, второго и
третьего порядка обобщенной функции /(ж) = \х\.
Решение. Согласно (14.6), имеем
|ж|' = {|ж|'} + 0 • 6(х) = sign x
( -1, х < О
= \ О, ж = 0 ;
{ 1, ж>0
|*|" = (\х\'У = (sign ж)' = {(sign х)'} + [1 - (-1)]<$(ж) =
= 0 + 2ф) = 2ф);
\z\'"=(\z\")' = 26'(z).
Пример 14.6. Доказать, что
■> (£--•) [*■>*:=]='<■>. •*••
Решение. Согласно (14.3) и (14.5), имеем
a) -f-[e-A*0(x)l = в'{х)е~Хх - Щх)е~Хх =
ах
= е-х*6(х) - Щх)е~Хх = 6(х) - \6(х)е~Хх,
следовательно,
4-[е-Ххв(х)) + Щх)е~Хх =
ах
= *(з) - Ав(я?)е-А* + \0(х)е-Хх = 6(х).
d г sin wan , sinws
б) — \0(х) - = в (ж)—— + 0(ж)со8о>ж =
ах I ш j ш
sin а;ж е, ч Л/ ч Л/ ч
= о (ж) -f 0(ж) cos а>ж = 0(ж) cos а;ж,
= 0'(ж) cosшх — 0(ж)а> sin шх = £(ж) — ив(х) sin ц>ж,

14. Дифференцирование,обобщенных функций
495
откуда
/ ^2 2\ ГЛ/ х sin а; ал
= <J(x) — а;^(ж) sinwaj +a;^(a;)sina;a; = 5(x).
в) доказывается аналогично случаю б).
Пример 14.7. Доказать справедливость соотношения
р(х)8'(х) = -р'(<№) + р{0)6'(х), (14.8)
где р(ж) - бесконечно дифференцируемая функция переменной
х (х еЩ.
Решение. Пусть <р(х) £ V. Тогда
{p(x)S'(x)\<p(x)) = -(6(х)\[р(х)<р(х))') =
= -/(0)^(0) - р(0У (0) =
= -p'(Q)(6(x)\<p(x)) - р(0)(ё(х)\<р'(х)) =
= ([-р>(0)6(х) + р(0)6(х))\<р(х)).
В силу произвольности функции <р(х) соотношение (14.8)
доказано.
Пример 14.8. Показать, что
п
p(x)8W(z) = ^(-l)i+nCJp(»-^(0)*tf,(*)i
i=o
где р(ж) - бесконечно дифференцируемая функция переменной
х (х еШ).
Решение следует непосредственно из формулы Лейбница и
предыдущего примера.
Пример 14.9. Показать, что
<*<"Ч*)И*)> = (-i)Vn)(0).

496
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Решение. Положив в (14.6) f(x) = 6(x), получим
(5^(хМх)) = е-1п%)|р<»>(*)> = (-i)v(n)(o).
♦ Обобщенная функция f(x) называется логарифмической
и обозначается f(x) = In |ж|, если для любой основной функции
<р(х) справедливо
(In |ж||^?(ж)) = V.p. / ln\x\<p(x)dx.
— оо
Пример 14.10. Найти производные обобщенных функций
а)1п|х|, б)Т~.
х
Решение, а) Согласно (14.1), для любой функции <р(х) £ V
имеем
1^(\п\х\)\р(х)} = -{Ы\х\\<р'{х)) =
ОО
= —V.p. / In \x\<pf(x)dx = — lim / In \x\<p'(x)dx =
-oo |a?|>e
{\~£ |°° Г (p(x) 1
1п|ж|р(ж) + 1п|жЫж) - / Z±-Ldx> =
l-oo \e J X )
\x\>e
= Шп / ^dx=/V%(x)),
e-fO J X \ X\ I
|;r|>e
В силу произвольности функции <р{х) получим
. б) Аналогично случаю а) запишем

14. Дифференцирование обобщенных функций
497
-й» /
■т^=lim <*)+и-«)
|.т|>е
-lim р(0) / 4 -Цт /
^0*0 - р(о)
йж =
|*|>е.
|*|>е
= lim
откуда
\ х/ х2
dx
Пример 14.11. Вычислить интеграл
2тг
I — I Sf(x — 7г) cos — dx*.
Решение. По определению производной обобщенной функции
получим
2тг
1=1 5(х — 7г) - sin — dx.
•J 4 4
Согласно (10.9),
г J у>(жо) x0e]a,&[
/ S(x - x0)<p{x)dx = <
J I 0 жо ? [a, 6]
Найдем
4 2 8 '
Свойство 5. Пусть {fn{x)} - последовательность обобщенных
функций (fn{x) G V', n=l, oo) такая, что
lim fn(x) = f(x). (14.9)

498
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Тогда
lim /» = f'(x).
Доказательство. Последовательность обобщенных функций
{/п(я)} сходится к функции /(ж), т.е., по определению, для
любой основной функции <р(х) G 2> справедливо
lim </„(*)№*)> = </(*)И*)>-
п—Юо
Поскольку производная основной функции есть основная
функция (<р'{х) G V, если <р(х) G V), то
lim (fn(x)\<p{x)) = - lim </„(*)И*)> =
71 —У ОО 71 —>■ ОО
= -(f(x)\<p>(x)) = (f'(x)\<p(x)),
что и требовалось доказать.
Пусть {/а:(ж)} _ последовательность обобщенных функций
(Л (ж) G £>')• Рассмотрим ряд
ОО
£/Ф) (14л°)
fc=l
и обозначим через
п
я (ж) = 5^Л0В)
fc=l
частичную сумму ряда (14.10).
♦ Ряд обобщенных функций (14.10) называется сходящимся
в Т>\ если последовательность его частичных сумм {Sn(x)}
сходится, т.е.
lim Sn(x) = S(x).
n-юо
Обобщенная функция S(x) называется суммой ряда (14.10) и
обозначается
ОО
S(*) = £/»(*)• (14.11)
71 = 1
Свойство в. Сходящийся ряд обобщенных функций можно
дифференцировать любое число раз, т.е.
со
S<m>(x) = £/<"*> (x), т = Т^Б.
71 = 1

14. Дифференцирование обобщенных функций
499
Доказательство следует непосредственно из свойства 5.
О Формула (14.6) естественным образом обобщается на
любое число точек разрыва первого рода:
п
f'(x) = {/'(*)} + £ [f].tJ(x - хт). (14.12)
m=0
Пример 14.12. Найти n-ую производную обобщенной
функции f(x) = [ж], где [х] означает целую часть х.
Решение. Согласно (14.8)
оо оо
[*г = {[х]'} + £ *(х - к) = y, % - *). (14ЛЗ)
fc= —oo k = — oo
откуда для п > 2 получим
оо
[х]<">= ]Г S^-^x-k).
fc = —оо
Пример 14.13. Вычислить производную обобщенной 27г-пе-
риодической функции /(ж), заданную на периоде [0, 27г]
соотношением
'<*> = *-£• (14Л4)
Решение. Поскольку функция имеет разрывы первого рода в
точках xj; = 27Г&, к = —оо, оо и
И.. = И-5) = 1«
2 V 2>
то согласно (14.12) имеем
Л*)=-^+ £ *(*-2**). (Н.15)
fc = —ОО
Пример 14.14. Доказать соотношения
- оо - оо
а) - £ cos &х = —£-+ Y^ Н*-Ы*). (14.16)
fc=l к = -оо
оо оо
б) 2 е™** = 2 *(*-*). (14.17)
fc = —ОО fc = — ОО

500
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Решение, а) Рассмотрим периодическую функцию (14.14). Ее
можно представить сходящимся рядом Фурье
f(x) = 7Г + z2 an cos пх + Ьп si
1 n=l
Функция f(x) (14.14) - нечетная, поэтому коэффициенты ап =
О, п = О, оо. Для коэффициентов Ьп получим
2л
2тг
1 /* 7Г — X . .
—— sin пж аж =
2тг
о
2тг
7Г — Ж COS ПЖ
2" 1 /• 1
— -— / совпжаж = —.
О 27ГП J 7ГП
о
27Г П
В результате
СХ)
_, ч 7Г — Ж v-^ 81ППЖ ГЛ _ г ,„ . „ЛЧ
' * = -*г = Е -^г- ж € °»2* • 14Л8)
Z7T *—' 7ГП
п=1
Продифференцировав соотношение (14.18), имеем
оо
cosnx.
п=1
С другой стороны, производная периодической функции (14.14)
определена соотношением (14.15). В результате приходим к
(14.16).
б) Воспользовавшись формулой Эйлера, из (14.16) найдем
- оо оо
_£(«*•+«-«•) + _ = £ *(«-2Ьг)
fc = l fc = -oo
и, следовательно,
fc = —оо fc = — оо

15. Преобразование Фурье обобщенных функций
501
Сделаем в последнем соотношении замену переменных х =
27П/. С учетом (10.8) получим соотношение
£ е«**= £ %-*),
fc = —оо & = — оо
совпадающее с (14.17).
15. Преобразование Фурье обобщенных
функций медленного роста
Приведем основные определения, связанные с
преобразованием Фурье функций, принадлежащих пространству Шварца
(<p(x)es).
♦ Преобразованием Фурье функции <р(х) £ S называется
функция <р(у), которая ставится в соответствие функции <р(х)
по правилу
ф{у) = -L<e-'*Xx)> = -~ J vWe-b'dz. (15.1)
Для операции преобразования Фурье будем использовать
обозначение
Ф(у) = Fx^y[<p(x)] = F[ip](y).
Функция <р{у) называется Фурье-образом функции <р(х).
♦ Функция <р(х), которая ставится в соответствие функции
(р(у) по формуле
00
ф) = -L<e**|v»M> = ^== J ftvW'dV (15.2)
называется обратным преобразованием Фурье функции <р(у) и
обозначается
Лемма 15.1. Преобразование Фурье функции из
пространства Шварца также принадлежит пространству Шварца.

502
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Доказательство. Функция <р(у) (15.1) бесконечно
дифференцируема по у. Для подынтегрального выражения,
получающегося в результате /-кратного дифференцирования, справедлива
оценка
\{-{х)^(х)е-{»'\ < \х1<р(х)\,
и интеграл
оо
/ |ж'у>(ж)|(йс
\Х
-оо
сходится, так как <р(х) принадлежит пространству Шварца.
Рассмотрим выражение
\ymP{,)(y)\ = \(iy)m<P{'Hy)\ =
= -^=|У [(-ix)V(x)](ro)e->*dx
— ОО
ОО
< JL / \[xl<p(x)]{m)\dx<oo
л/2тг J r j I
Следовательно, <p(y) вместе со всеми своими производными
стремится к нулю при \у\ -> оо быстрее любой степени у, т.е.
<р(у) Е «S, что и требовалось доказать.
0 Из общей теории преобразования Фурье следует, что оно
определено для абсолютно интегрируемых функций. Для того
чтобы определить преобразование Фурье обобщенных
функций, воспользуемся равенством Парсеваля, которое играет
существенную роль в теории интегральных преобразований. В
частности, оно справедливо и для квадратично
интегрируемых функций.
Теорема 15.1. Пусть ф(у) = Fx-+y[ip(x)], f{y) = Rv-+y[f(x)],
f(x),<p(x) E S. Тогда функции <р(х), <р(х), f(x), f(x) связаны
соотношением
оо
<7(*)M*)> = J №p(x)dz =
— оо
оо
= J <p(x)f{x)dx = (f(x)\<p(x)). (15.3)

15. Преобразование Фурье обобщенных функций
503
Соотношение (15.3) называется равенством Парсеваля.
Доказательство. Пусть f(x) Е S и ip(x) Е 5. В курсе
математического анализа (см., например, [24]) доказывалось, что
прямое и обратное преобразования Фурье взаимно обратны.
Тогда
оо
</»И*)>= J f(xMx)dx =
-оо
оо оо
= J K*){j= J <p(y)e^dy}dx =
— ОО —ОО
оо оо
= /{^ / №eiy*dx}<p(y)dy =
— ОО —ОО
оо
= J /ШШу = ШШ) = </(*)И*)>,
-оо
что и требовалось доказать.
ф Преобразованием Фурье обобщенной функции медленного
роста f(x) называется обобщенная функция f(y) = Fx^¥y[f(x)]1
которая определяется соотношением
<*Uf[/(*)]My)> =if(x))F,-„[V(v)]), *»(»)€ 5. (15.4)
Это определение корректно, поскольку правая часть
соотношения (15.5) представляет собой линейный и непрерывный
функционал на пространстве Шварца «S, что непосредственно
следует из линейности преобразования Фурье и леммы 15.1.
Для преобразования Фурье обобщенной функции
медленного роста f(x) будем также использовать формальную запись в
виде интеграла
оо
/(») = *■,-,[/(*)] = -g- J /(*)e-""*>, (15.5)
— оо
аналогичного определению (15.1) преобразования Фурье
функции из пространства Шварца.

504
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Рассмотрим некоторые свойства преобразования Фурье
обобщенных функций медленного роста.
Свойство 1. Преобразование Фурье F[f] обобщенной
функции медленного роста f(x) Е Sf также является обобщенной
функцией медленного роста, т.е. Fx-+y[f(x)] Е <S'.
Доказательство. Рассмотрим функционал (15.4).
1. Покажем, что этот функционал линеен. Действительно,
для любых функций <р(х) и -0(ж), принадлежащих «S, и f(x) Е
S' справедливо соотношение
(F^9[f(x)]\{\My) + ^i>(y)}) =
= (f(x)\Fy^[\My) + W>(y))) =
= \i(f(x)\F9^x[<p(y)]) + \2Ш\Ъ-+*Ш]) =
= \i{Fe^x\f{x)]\<Piv)) + \2(Fy^[№}\1>(y))-
2. Покажем, что функционал (15.4) непрерывен.
Действительно, пусть f(x) E «S, а {<рп(х)} - последовательность
функций пространства S таких, что lim <pn{%) = ^(ж). Тогда
п—>оо
lim (F^y[f(x)]\<pn(y)) = Hm {f{z)\Ff^,[<pn{y)]) =
n—too n-+oo
= </(*)|*U,My)]> = (F„9[f(x)]\<p(y)).
Таким образом, функционал (15.4) линеен и непрерывен и
определен на пространстве Шварца S. Следовательно, Fx-+y[f(x)]i
f{x) E S' - обобщенная функция медленного роста.
Пример 15.1. Найти преобразование Фурье единицы.
Решение. Очевидно, что единица - обобщенная функция.
Получим
<^.[1JM*)> = <l|Fx_>f [*>(*)]> =
оо оо
— оо
оо
= -L= f dy J y>(«)e''<'-*)»da
t=o
= V2^f(t)\t=o = V2^{6(x)\<p{x)).

15. Преобразование Фурье обобщенных функций
505
Здесь мы воспользовались соотношением
f(t)=-F-1[F[f]] = F[F-1[f]) =
оо оо
= т~ fdx Idy f(x)ei(t~x)t>'■ (15-6)
— оо —оо
Таким образом,
6(х) = -j=Ft^x[l].
(15.7)
Воспользовавшись обозначениями (15.5), полученный
результат можно записать в виде
оо
8{х) = -!- / e~ixtdt. (15.8)
27Г J
Последнее соотношение часто используется в физической
литературе при работе с дельта-функцией Дирака.
<) Заметим, что классическое преобразование Фурье
единицы не существует.
Свойство 2. Пусть f(x) £ <S;. Тогда справедливы
соотношения
.™ d"
dy"
-^l]={iyrFx^[f(x)}; (15.9)
■F*^y[f(*)] = Fx^y[xmf(x)}. (15.10)
F*^y{<p(y)l) =
Доказательство. 1. Пусть <р(х) € S, тогда
i rdro/(x)i| , д /dmf(x)
И-1Г(/(*)|^(*.-«Иу)])) =
= (-ir(f(x)\Fy^x[(-iyr<p(y)}) =
= (Fx^y[f(x)]\(iyr<p(y)) = ЦхуГЪ^ШМу))-
Отсюда в силу произвольности <р(у) следует (15.9).

506
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
2. Аналогично для <р(х) Е S:
-(-г<я.)|^да> =
= (-гГ(/(*)|(«в)т1!;-»,Иу)]) =
= (xmf(x)\F^x[<p(y)}) = (J?,-, [*"7(*)]M»)>-
Пример 15.2. Найти преобразование Фурье обобщенной
функции f(x) = х.
Решение. По определению,
/(у) = *и,[х] = F„v[x • 1] = i(iTF^[l])' = iV^S'(y).
В частности, получим
оо
8'(ху=~ [ te~ixtdt. (15.11)
Z7T J
Пример 15.3. Найти преобразования Фурье обобщенных
функций
a) f(x) = 5(х - ж0), б) д(х) = 8'(х — ж0).
Решение, а) Для любой функции ip(x) Е S справедливо
(F„,[S(z - хоШу)) = (6{х - x0)\Fy^x[<p(y)]) =
Следовательно, в силу произвольности <р(х)
Fx^y[S(x - х0)} = -7^e~iX"y- (15-12)
Аналогично
<*•,-,[*'(* - *o)]Mv)) = (S'(x - xo)\F„-„[<p(y)]) =
= F,^0[(-iv)<p(y)] = _|L<(-iy)e-*-«Hi,)).
V27T

16. Свертка обобщенных функций
507
Окончательно получим
Fx^y[6'(x - so)] = -±==(-1у)е-{У*\ (15.13)
у27г
♦ Обратным преобразованием обобщенной функции f(y) E
Sf называется обобщенная функция /(ж), определяемая
соотношением
Ш\ф)) = {F£,tf(y)M*)) = (f(y)\F-J>y<p(x)). (15.14)
Для обратного преобразования Фурье будем использовать
формальную запись
оо
/(*) = F~l[?\(z) = F-4,[/(»)] = -^= J fWdy, (15.15)
аналогичную определению (15.2) обратного преобразования
Фурье для функций из пространства Шварца.
Свойство 3. Для любой обобщенной функции медленного
роста /(ж) справедливо представление
/(*) = *£.tfr-»»[/(*)]] = ^->*[*7-УД*)]]- (15.16)
Соотношение (15.16) называется представлением обобщенной
функции /(ж) интегралом Фурье и формально записывается в
виде
оо оо
/(*) = ± J dy J e,'»<*-f)/(«) dt. (15.17)
— ОО —ОО
Доказательство. По определению, для любой функции <р(х)
из пространства Шварца S можно записать
<F-4X[JW/(*)]]M*)> = {F~,\f(*W~M*)]) =
= </(*)|JW*r-i,M*)]]> = </(*)М*)>.
что и требовалось доказать.

508
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
16. Свертка обобщенных функций
В некоторых разделах классического анализа используется
такая операция, как свертка функций f(x) *g(x). Определим
аналогичную операцию для обобщенных функций,
предварительно напомнив определение и основные свойства обычной
свертки.
Пусть /(ж), д(х) - ограниченные и абсолютно
интегрируемые в Ш функции.
♦ Функция Л (ж), определяемая выражением
оо
h(x) = (/ * д)(х) = j f(y)g(x - y)dy. (16.1)
— ОО
называется сверткой ^функций f(x) и д(х) и обозначается
(f*g)(x) = f(x)*g(z).
Лемма 16.1. Интеграл (16.1) равномерно сходится для всех
х еШ.
Доказательство. Действительно, так как функция д{х — у)
ограничена, то существует М > О такое, что
\f(y)g(x-y)\^M\f(y)\.
Отсюда с учетом абсолютной сходимости интеграла от
функции f(y) и признака Вейерштрасса следует равномерная
сходимость интеграла (16.1).
Лемма 16.2. Функция h(x) ограничена и абсолютно
интегрируема.
Доказательство. Ограниченность функции h(x) следует из
неравенства
оо оо
И*) I ^ / \f(vM*-v)\dv ^M J \f(y)\dy,
— оо —оо
а абсолютная интегрируемость - из соотношения
оо оо
j \h{x)\dx ^ j dx J \f(y)g(x - y)\dy
— ОО —ОО —ОО
ОО ОО ОО ОО
^ / dy\f(y)\ J \g(x-y)\dx = j dy\f{y)\ j \g(t)\dt
< oo.

26. Свертка обобщенных функций
509
Изменение порядка интегрирования возможно,так так
интеграл (16Л) сходится равномерно.
Из определения (16.1) и свойств интеграла непосредственно
вытекают достаточно очевидные свойства.
1. Линейность свертки
Если f{x) = Cifi(x) + C2/2(z), то
if*g){*) = (Cifi+C2f2)*g{x) = Ci[fi*g)(x)+c2{f2*g)(x)
при условии, что (/i *д)(х) и (/з * д)[х) существуют.
2. Коммутативность свертки
Если свертка (f*g)(x) существует, то существует и
свертка (д * f){x) и они равны: (/ * д)[х) = (д * /)(#).
3. Дифференцируемость свертки
Пусть /(ж) и д(х) - бесконечно дифференцируемые и
абсолютно интегрируемые функции. Если свертка (/ * д)[х)
существует, то существуют свертки
(з?")м " ('•£)<■>• (1М)
причем
|r(/'f)(.)-(g.f)(.)-(/.£f)w-
4. Сдвиг свертки
Если свертка {f*g)(x) существует, то существует и
свертка f(x -fa)* flf(aj), причем. f{x + a) * p(») = (/ * #)(ж + a),
т.е. операции сдвига и свертки коммутируют»
5. Ассоциативность свертки
Если свертка (Д * /г *#)(ж) существует, то она не зависит
от порядка выполнения операции
(Л * /2)(я) * д(х) = Л (ж) * (/2 * flf)(a?) - (Д * /3 * #)(ж).
♦ Сверткой обобщенной функции f(x) E V и основной
функции ^?(ж) £ 2Э называется функция
(/*р)(*) = (/ММ* + у)>. (16-3)
♦ Сверткой обобщенных функций д(х) и /(ж) называется
обобщенная функция (д * /)(ж), которая является ядром
линейного функционала
<(р*/)(*)М*)> = <*(*)!(/**>)(*)> =

510
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
= <</(*)</М И*+ </)»• (16-4)
Нетрудно заметить, что в случае «обычных» (абсолютно
интегрируемых) функций соотношение (16.4) определяет свертку
(16.1).
0 Можно показать, что правые части соотношений (16.3)
и (16.4) корректно определены (детали см., например, в [64]).
Здесь мы лишь сформулируем достаточные условия
существования свертки (16.4).
0 Свертка обобщенных функций f(x) и д(х) существует,
определяется формулой (16.4) и удовлетворяет свойствам 1-
4 (свойство ассоциативности может быть нарушено, что мы
обсудим позднее), если одна из них имеет ограниченный
носитель или носители обеих функций ограничены с одной и той
же стороны, например / = 0 при х < а, д = О при х < b
(свертка (1.36.11)), используемая в операционном исчислении,
соответствует случаю, когда а = b = 0).
Покажем, что свертка любой обобщенной функции f(x) с
дельта-функцией или ее производной определена всегда.
Действительно, согласно определению, имеем
оо оо
((6 * /)(*)М*)> <= f dy J 6(y)f(x)<p(x + y)dx =
— ОО —ОО
CO
= f f(vMv)dv = (f(*M*)),
— CO
откуда в силу произвольности (р(х) можно записать
(**/)(*) = /(*). (16.5)
Аналогично в случае дифференцируемой функции f(x)
справедливо
(S'*f)(x) = f'(x). (16.6)
0 Смысл формулы (16.5) состоит в том, что всякую
обобщенную функцию можно разложить по дельта-функциям, что
формально записывается в виде
оо
/(*) = / fW(x ~ y)dy- (16.7)

16. Свертка обобщенных функций
511
Именно эту формулу имеют в виду, когда говорят, что
материальное тело состоит из точечных масс, что всякий источник
состоит из точечных источников и т.д.
О Отметим, что существования сверток (/' * д)(х) и (/ *
д')(х) недостаточно для существования свертки (/ * д){х) и
справедливости равенств (f * д)(х) = (/ * д'){х) — (/ * д)'(х).
Например, (0'*1)(ж) = (Ы)(ж) = 1, но (0*1')(ж) = (0*0)(х) =
О, поскольку (0 * 1)(ж) содержит функции, не
удовлетворяющие достаточным признакам существования. В таких
случаях может нарушаться и свойство ассоциативности, например
[(«**')* 1](а?) = (0'*1)(ж) = 1, но [в*(6'*1)]{х) = (0*О)(ж) = 0.
Пример 16.1. Пусть f(x) и д(х) - локально интегрируемые в
М функции, такие что f(x) = 0, д(х) = 0 при х < 0. Показать,
что
X
(/ * д)(х) = в(х) J f(y)g(x - y)dy. (16.8)
Решение. Согласно условию задачи
f(x) = 0(z)f(z), g(x) = в(х)д(х)
и определению (16.4) имеем
оо оо
{(/ * д){х)\<р(*)) - / / КуМх - v)dV
— оо L-bo
оо Г оо
= / / 9W(v)4* - УЩ* - У^У
— ОО L-00
О Г оо
= / / /М*(ж - уМж - 2/)rf2/
-оо |_0
оо Г оо
+ / / ЯуЩх - у)д(х - y)dy
о Lo
оо Г оо
= / / f(y)g(* - y)dy
<p(x)dx =
(p(x)dx =

512
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
ОО X
= j Wx) J f{y)g{x-y)dy
(p(x)dx =
= ( e(x) / f{v)9(x ~ y)dy\f(x)
Отсюда в силу произвольности функции (р(х) Е V и следует
(16.8).
Пример 16.2. Показать, что если свертка (/ * 1)(ж)
существует, то она равна постоянной.
Решение. Пусть несобственный интеграл
ОО
/ f(y)dy
— ОО
сходится к величине А, тогда
оо оо
<(/*1)(*)И*))= J \J f(y)dy
— оо L-oo
<p{x)dx = (А\(р(х)),
что соответствует определению обобщенной функции,
являющейся постоянной А.
Пример 16.3. Показать, что
б(п)(х - х0) * д{х) = д<<п\х - х0)> п = 1,оо.
Реы!ение. Согласно правилу дифференцирования свертки (16.2),
имеем
8^п\х - хо) * д(х) = («(») * д)(х - х0) = д^Цх - х0)
и т.д.
Пример 16.4. Показать, что
8(х — а) * 6(х — b) = S(x — а — Ь).

17. Дельта-функция и ортонормированные системы
513
Регыение. Из решения предыдущего примера при п = О это
утверждение очевидно.
Пример 16.5. Вычислить
а) 0(х) * 0{х)\ б) 0(х) * в{х)х2.
Решение. Из решения примера 16.1 имеем
X
а) 0(х) * 0(х) = 0{х) J dy = 0(х)х;
о
х
Г х3
б) 0(х) * 0{х)х2 = 0(x) I xfdy = в(х)'—.
о
17. Дельта-функция Дирака и
ортонормированные системы функций
В курсе линейной алгебры и ее приложениях решение
многих задач существенно упрощается с введением такого
понятия, как евклидово пространство. Не менее полезным
оказывается обобщение и распространение этого понятия на
бесконечномерный случай, когда элементами пространства являются
функции, а само это пространство - функциональным.
Начнем с определения элементов предполагаемого
функционального пространства.
♦ Вещественнозначная функция v(x) называется
квадратично интегрируемой на отрезке [а, 6] с весом р(х) > 0, х Е
[а, 6], если существует интеграл
ъ
[ p{x)v2(x)dx. (17.1)
a
Множество всех таких квадратично интегрируемых на [а, Ь]
функций будем обозначать L2([a,b],p(x), D) = /^([а, 6],р(ж))
или просто j&2. Здесь Del- множество значений функции
v(x).
Множество Lo наглядно характеризуется следующим
утверждением.

514 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Утверждение 17.1. Если vi(x),V2(x) E Хз([а, 6],р(ж)), то их
линейная комбинация Ai^i(ic) + XoVii^) также принадлежит
множеству ЬоЦа, Ь],р(ж)), причем
б
/ p(x)vi(x)v2(x)dx\ ^
а
Ь
[f p(x)vl(x)dx]1,2[f p{x)vl(x)dx\1/2. (17.2)
b
£ г
Неравенство (17.2) называется неравенством Коши-Буняковского
или неравенством Шварца.
Действительно, первая часть утверждения доказывается в
стандартных курсах математического анализа (см., например, [24]),
а для доказательства (17.2) воспользуемся тем, что при любых
вещественных А для линейной комбинации vi(x) + \v2(x)
справедливо
ь ъ
/ p(x){\v1(x)\ + X\v2(x)\ydx- / p{x)v\{x)dx +
а а
Ъ Ь
а а
Будем рассматривать полученное выражение как квадратное
неравенство относительно действительного А. Тогда его
дискриминант должен удовлетворять условию
ь ь ь
I p(x)vi(x)v2(x)dx\ — I p{x)v\(x)dx I p(x)v\{x)dx ^ 0,
a a a
из которого и следует неравенство (17.2).
Продолжая аналогию с линейной алгеброй, определим на
множестве Хз([а, 6],р(х')) скалярное произведение.
♦ Скалярным произведением двух функций vi(x) и г>2(х)
будем называть число (vi(x)\v2(x)), определяемое равенством
ь
(vi\v2) = (vi(x)\v2(x))p = / p{x)v1(x)v2(x)dx. (17.3)

17. Дельта-функция и ортонормированные системы
515
Скалярное произведение обладает очевидными свойствами
<[Ait;i(x) + A2ti3(a;)]|ii3(a:)>p = (17.4)
= Ai(wi(x)|t>3(a;))p + b2(v2(x)\v3(x))p =
= \i(v3(x)\vi(x))p + \2(из(х)\у2(х))р =
= (y3(»)|[Ai^i(aj) + \2v2(x)])p.
С помощью скалярного произведения определим норму
функции v(x).
♦ Нормой функции v(x) будем называть число
IMI = 1М*)Н = \Д»ММ*)>, =
У.
О
f p(x)v2(x)dx^0. (17.5)
Неравенство Коши - Буняковского в терминах скалярного
произведения и нормы можно записать в виде
\Ых)Ых))\^\Ых)\\\Ых)\\. (17.6)
Из (17.6) вытекает весьма полезное и достаточно очевидное
неравенство - неравенство Минковского
IMaO+M*)IUIM^II + IM*)ll- (17.7)
Так же как и в линейной алгебре, функции Vi(x) и v2(x)
будем называть ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю, т.е.
ь
Ы*)Ы*))р = J p(x)v1(x)v2(x)dx = 0. (17.8)
a
Заметим, что ортогональность функций vi(x) и v2(x)
зависит не только от их явного вида, но и от промежутка [а, Ь] и
от весовой функции р(х), т.е. функции, ортогональные на
одном промежутке, могут быть не ортогональны на другом или
ортогональные с одной весовой функцией не ортогональны с
Другой.
♦ Конечная или бесконечная система линейно независимых
функций {г)к(х)} называется ортогональной, если
Ых)]ч{х)) = 0 для кф1. (17.9)

516
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Пример 17.1. Показать, что система тригонометрических
функций
{1, cosnz, sin где;}, n=l,oo (17.10)
ортогональна на отрезке [—7г, 7г] с весом р(х) = 1.
Решение. Ортогональность различных функций следует из
интегралов
7Г Я"
/ 1 • cos nxdx = I 1 • sin nx dx = 0,
7Г
/
. sin" nx
cos nx sin nx ax =
In
= 0, n — l,oo.
С помощью соотношений
sin a cos /3 = -[sin (a -f /3) — sin (a — /3)],
z
sin a sin/3 = -[cos(a — /3) — cos(a -f /3)],
z
cos a cos/3 = -[cos(a — /3) — cos(a -f /3)]
нетрудно убедиться, что при пфт, п,т= 1, оо
Я" 7Г
/ sin пж cos mx dx = / sin пж sin ?пж dx =
— 7Г — К
7Г
= / cos nx cos mx dx = 0.
— 7Г
Найдем интегралы от квадратов функций системы:
l2 dx = 2тг.
/
С помощью соотношений
cos2 a = -(1 + cos 2a), sin2 а = -(1 — cos 2а)

17. Дельта-функция и ортонормированные системы 517
получим
/e„W=/si»^ = „, n,U ,1,..,
-Я" -7Г
что и требовалось показать.
♦ В части III «Специальные функции» мы подробно
рассмотрим ортогональные системы специальных функций:
• функции Бесселя {7„(а£ж)}, к = 1,оо ортогональны на
отрезке [0,1] с весом р(х) = х (здесь а£ - k-ык положительный
корень функции Бесселя «Л/(а) = 0;
• полиномы Лежандра Рп(ж), п = 0,оо ортогональны на
отрезке [—1,1] с весом р(х) = 1;
• полиномы Эрмита Нп(х), п = 0, оо ортогональны на
интервале ] — оо, оо[ с весом р(х) = е~х~;
• полиномы Лагерра ££(ж)> п = 0,оо ортогональны на ин-
тервале [0, оо[ с весом р(х) = хае~х~ (а > —1);
• функции Эрмита Un(x), n = 0,оо ортогональны на
интервале ] — оо, оо[ с весом р(х) — 1;
• функции Лагерра /а+п,п(я), п = 0, оо ортогональны на
интервале [0, оо[ с весом р(х) = 1 (а > —1-).
Кроме того, мы рассмотрим некоторые основные свойства
ортогональных систем, образованных собственными
функциями задачи Штурма - Лиувилля, а в части IV «Уравнения
математической физики» — систем, образованных собственными
функциями симметричных- ядер интегральных уравнений.
♦ Ортогональная система функций {vk(x)} называется ор-
тонормированной, если ||г;&|| = 1.
О Любую ортогональную систему функций {vk(x)} можно
превратить в ортонормированную {и* (ж)}, положив
Мх)=ш-
Пример 17.2. Ортонормировать тригонометрическую
систему функций (17.10).
Решение. С учетом соотношения (17.11) получим
/11 1-1
< . , —7=COSn«, —т=81ППЖ > ,
п = 1, оо.

518 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
♦ Ортогональную систему функций {vk(x)}, к = 1,оо,
будем называть полной, если в £2([а, Ь], р(х)) не существует
отличной от нуля функции /(ж), ортогональной всем функциям
1)к(х) этой системы.
По аналогии с обобщенными функциями функцию, равную
нулю на [а, 6] всюду, кроме конечного числа точек, будем также
считать нулем.
Полную ортогональную систему функций {vu(x)}, к = 1, ос,
Можно рассматривать как ортогональный бесконечномерный
базис в пространстве £г([а> Ч>/Кж))> так что любая функция
из этого пространства может быть представлена разложением
оо
/(*) = £<W*), (17.12)
к = 1
в котором постоянные Си играют роль «координат» функции
f(x) относительно базиса {vu(x)}. Значения этих
коэффициентов можно определить, умножив скалярно правую и левую
части (17.12) на функцию vn(x) и использовав соотношения
(17.5), (17.8). Тогда
</(*)1М*)> = £с*Ы*)Ы*)> =
* = 1
оо
= £Ct||t»»(*)||2**» = C„|K(*)||a,
fc=l
откуда
Сп~ \ы*)\\> ' п-1,0°- (17ЛЗ)
♦ Разложение (17.1,2), в котором коэффициенты Си опреде^
ляются формулой (17.13), называется рядом Фурье по
ортогональной системе функций {vu(x)}> а сами коэффициенты Си
- коэффициентами Фурье функции f(x) относительно базиса
Н(я)}-
Для исследования сходимости ряда Фурье (17.12)
рассмотрим величину
1/(1) - х;^«*(*)| = / р(*)[/(«) - Y,c"v^]'dx=

17. Дельта-функция и ортонормированные системы - 519
О О
= [р(х)/2(х)с1х-2^2ск f p(x)f(x)vk(x)dx+
Г
+ Е CkCj I p(x)vk(x)vj(x)dx =
= ll/(*)lla-EC7ta|M*)||a^0.
k = l
Из (17.14) следуют сходимость ряда
Ec2lM*)ll2
и так называемое неравенство Бесселя
оо
Ес*1К(*)11Чн/(*)112-
(17.14)
(17.15)
(17.16)
i=i
О Для ортонормированных систем (||ui.(x)|| = 1)
неравенство Бесселя примет вид
E<^ii/(*)u2.
♦ Ортогональную систему функций {^л(ж)} называют
замкнутой, если для любой функции /(ж) £ L2([a,b],p(x))
неравенство Бесселя (17.16) обращается в равенство:
£с,2|К.(х)||2 = ||/(Ж)||2
(17.17)
Л = 1
Равенство (17.17) называют равенством Парсеваля, или
формулой замкнутости.
Формула замкнутости позволяет записать (17.14) в виде
lim
п-юо
f(x)-Y,Ckvk(x)
к = 1
= 0.
(17.18)

520 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Она отражает тот факт, что при замене функции f(x) ее п-
частичной суммой ряда Фурье среднеквадратичная
погрешность стремится к нулю при неограниченном возрастании п,
т.е. ряд (17.12) «сходится» к функции f{x). Отметим,
однако, что сходимость ряда Фурье, определяемая соотношением
(17.18), отличается от сходимости ряда в обычном
(поточечном)
lim
п—юо
/(aO-]£<W*)
k=i
= 0
смысле и представляет собой пример сходимости в среднем
или среднеквадратичном [так называемая сходимость по
норме в пространстве Ьо([а, Ь], р(х))].
♦ Последовательность vjt(x) E £з([а> b]iP(x))i k = l»o°»
будем называть сходящейся к функции f(x) из £з([о, Ь],/?(ж)) в
среднем [или среднеквадратичном, или по норме в
пространстве Хгз([а, Ь],р(ж))], если
lim ||/(a)-i>fc(*)|| = 0. (17.19)
к-¥оо
♦ Ряд
Y^Mx)i vk{x) e L2([a,b],p{x))
fc=i
будем называть сходящимся к функции f(x) из Хз([а, Ь],р(ж))
в среднем [по норме в пространстве Хз([а, 6],р(ж))], если
последовательность его п- частичных сумм сходится в среднем к
функции f(x).
0 Из сходимости в среднем не следует сходимость в
обычном смысле, поскольку в некоторых точках отрезка [а, Ь] функ-
оо
ция /(ж) и ряд ]Г) vJ. (х) могут достаточно сильно отличаться
k=i
друг от друга, что невозможно при обычной (поточечной)
сходимости. Заметим к тому же, что из поточечной сходимости
также, вообще говоря, не следует сходимость в среднем, что и
проиллюстрируем следующим примером.
Пример 17.3. Исследовать последовательность
<рп(х) = n/^W-""*2/2, п = Т^5, х £ [0,1]
на сходимость.

17. Дельта-функция и ортонормированные системы
521
Решение. Очевидно, что у>п(0) = 0 и для любого
фиксированного х Е]0,1] справедливо
' у/Ш ^2х~ (-2)
lim <Рп(%) = иш ттг = Ami —т=—т—тт^ = и.
п_юо r tv ' пчоо епх-/2 „^оо 2^ х2епх~/2
Здесь мы воспользовались правилом Лопиталя.
Следовательно,
lim <рп{х) = 0, жЕ [0,1].
п-юо
Исследуем теперь вопрос о сходимости в среднем
последовательности {<Рп{%)} к функции (р(х) = 0. Рассмотрим интеграл
1 1
Jn = f[(pn(x) - Q]2dx = / 2пж е-яя?3с1ж = 1 - е"п,
о о
из которого следует, что
lim J„ = 1
п—юо
и последовательность {^>п(я)} не сходится по норме
пространства £з([0,1]) к функции <р(х) = 0.
Выяснив характер .сходимости в среднем и возвращаясь к
разложению функции в ряд Фурье, сформулируем следующее
утверждение:
Утверждение 17.2. Замкнутая ортогональная система
функций {vk(x)} Е Lo([a^ Ь], р(х)) является полной в £з([а, Ь],р(ж)).
Действительно, предположим, что система {^.(ж)} не
является полной, т.е. существует функция у>(ж), ортогональная
всем Vk(x) системы {vk(x)}. Но тогда все ее коэффициенты
Фурье равны нулю и формула замкнутости принимает вид
б
\\<р(х)\\2 = Jp(x)<p2(x)dx = 0. (17.20)
а
Если функция <р2(х) непрерывна на [а, 6], то, приняв во
внимание, что р(х) > 0, можем записать <р2(х) = 0 и, соответственно,
р(ж) = 0 для всех х Е [а, Ь]. Таким образом, функция,
ортогональная всем Vf: (ж), есть тождественный нуль, а это и означает
полноту системы {^(ж)}.

522
Глава 2, Основы теории обобщенных функций
Если функция <р2(х) на [а, Ь] кусочно-непрерывна, то из
(17.20) следует, что она будет равна нулю всюду, кроме
конечного числа отдельных точек, являющихся границами
интервала непрерывности. Такую функцию, по принятой ранее
договоренности, мы считаем нулем, а следовательно, и в
данном случае замкнутая система {и*(ж)} является полной.
Ответ на вопрос о, сходимости ряда Фурье функции f(x)
дается следующим утверждением:
Утверждение 17.3. Если {vk(x)} - ортогональная
замкнутая система в ЬоЦа, 6],/>(ж)), то любая функция f(x) из
пространства L2([a, 6],р(ж)) может быть единственным образом
разложена в ряд Фурье, сходящийся к ней в среднем.
Действительно, из ортогональности системы вытекает
возможность разложения функции в ряд Фурье, из замкнутости
следует его сходимость к функции /(ж), а заодно и полнота
{*>л(ж)}, которая, в свою очередь, обеспечивает единственность
этого разложения.
Пример 17.4. Показать, что среднеквадратичное отклонение
Ах) -]£«***(*)
Л = 1
(17.21)
будет наименьшим, если произвольные вещественные
коэффициенты ак принять равными коэффициентам Фурье Си
функции /(ж) из Li по ортогональной системе {ок(х)} 6 £з-
Решение. Рассмотрим величину
/(*)-£; а* га-(*) |Г = \\f(x)-J2Ckvk(x)-J2(ak-Ck)vk(x)
*=1 fc=l
которую с помощью обозначений
п
Л=1
/(ж) = /(ж) - ^ С*и*(ж), ак = ак - Ск
к=1
можно записать в виде
/(ж)--^а,^(ж)|Г = |/>)
к = 1
Х^а^(ж)|| =
Л = 1

17. Дельта-функция и ортонормированные системы
523
v fc=i fc=i '
n n
= \\f(*)\\2 - 2$>Ы*)1/(*)> + 5>2lk(*)||2.(17.22)
Л = 1
fc=l
Приняв во внимание, что
Ы*)1/>)> = (Мх)\/(х) - £C,t>/(*)) =
l-i
= с*|К(*)||3-с*|К(*)||2 = о,
из (17.22) находим
f(x) - Safcnfc(*)|2 = \\f(x)\\2 + £>|М*)
Л = 1
*=i
или
и 0
|/(«) - 5>*«*(*)|" =
n ^ • n
fc=l
fc=l
откуда и следует, что (17.21) примет минимальное значение
при ак = Ск.
'О Сказанное выше можно распространить на случай комп-
лекснозначных функций вещественного аргумента. В
линейной алгебре такой переход соответствует переходу от
евклидовых пространств к эрмитовым.
♦ Комплекснозначная функция v(x) называется
квадратично интегрируемой на отрезке [а, Ь] с весом р(х) > 0, t Е [а, ft],
если существует интеграл
о
Jp{x)\v(x)\:
dx.
(17.23)
Множество всех квадратично интегрируемых на [a, ft] комп-
лекснозначных функций будем обозначать Lo([a, ft], р(ж), С) или
ПРОСТО 1,2-

524
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Аналогично определяются скалярное произведение и норма
в пространстве £з([а, Ч> р(х)< Q-
♦ Скалярным произведением двух комплекснозначных
функций vi(x) и ib(z) будем называть число (vi(x)\v2(x)),
определяемое равенством
ь
Ы^з) = (М*)\Ы*))р = I p(x)v{(x)v2{x)dx, (17.24)
а
где v„(x) - функция, комплексно сопряженная функции vn(x).
♦ Нормой комплекснозначной функции v(x) будем называть
число
IMI = ||«МН = ^<«М1»(«», =
N
f p(x)\v(x)\2dx > 0.
(17.25)
Пример 17.5. Установить свойства скалярного произведения
(17.24), аналогичные свойствам (17.5).
Решить самостоятельно.
♦ Система комплекснозначных функций {ип(х)}
называется ортонормированной на интервале а < х < Ь< если
ь
/ Un(x)Un{x)dx = Smn, (17.26)
а
где м* (х) функция, комплексно сопряженная функции ип(х).
Пример 17.6. Показать,что система комплекснозначных
функций
является ортонормированной с весом р(х) = 1 на отрезке [—7Г, 7г].
Решение. При п ф ?п, ?п, п = — ос, оо
я- тг
Jnm = / i-^^e1^ = i- / е''*»-"1^ =
У V27r \Дж 2тг у
— тг —тг
~г e%(n-m)xVr _ q
27г(п — га)

2 7. Дельта-функция и ортонормированные системы
525
Аналогично при n = m
п
-Я"
что и требовалось показать.
Ортонормированные системы функций обладают рядом
замечательных свойств, которые будут изучены позднее. Здесь
же отметим, что коэффициенты Фурье С« разложения
функции f(x) (17.12) по полной ортонормированной системе комп-
лекснозначных функций вычисляются по формуле
ь
Сп = JЯуЬСШу, (17.27)
a
которая с очевидностью вытекает из (17.12) с учетом (17.26).
Подставив (17.27) в (17.12), запишем
г
/(*) = 2и„(х) / f(y)K(y)dy, a<x<b. (17.28)
,«=о {
Формально изменив в (17.28) порядок интегрирования и
суммирования, получим
Г
/И = / f(v)G(x,y)dy\ G(x,y) = £>,(*K(j/); (17.29)
a < х < 6, a < у < 6.
Сравнив ядро функционала (17.29) с определением дельта-функции,
видим, что функция G(x,y) в пространстве Lo играет роль
6(х - у).
♦ Соотношение
оо
6{х -y) = Y^ Un(x)K(y)> a<x<b, a<y<b, (17.30)
n=0
справедливое для любой функции f(x) E L2, называется
условием полноты для ортонормированной системы {ип(ж)} в
классе L2.

526
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Таким образом, полные ортонормированные системы
функций {tin(ж)} порождают представление дельта-функции в виде
(17.30).
Соотношение (17.30) широко используется в физической
литературе, где его часто принимают за определение полной в
пространстве Lo системы функций и называют условием
полноты. Заметим, что ряд в (17.30) может в обычном смысле
расходиться. В этом случае сходимость ряда (17.30) понимается
в обобщенном смысле. Опишем один из наиболее
используемых методов суммирования расходящихся рядов - метод
Абеля (см., например, [58]). Название метода восходит к теореме
Абеля 1.6.1, из которой следует непрерывность суммы
степенного ряда. Рассмотрим вспомогательный степенной ряд
G(x, у, г) = £ un(x)u*n(y)zn, (17.31)
п=0
а < х < 6, а<у <b, \z\ < 1.
Если ряд (17.31) сходится в обычном смысле, то равенство
(17.30) понимается следующим образом. Для любой функции
ь
UFL / ^ЫС(Ж> V> z)dV = Р(ж)' (17.32)
а
О Если в соотношении (17.31) z комплексное число, то
предел при z-)1b (17.32) вычисляется по любой кривой в
комплексной плоскости, не касательной к единичной окружности.
Пример 17.7. Показать, что на множестве 27г-периодических
функций, удовлетворяющих на отрезке [—7Г, 7г] условиям
Дирихле (т.е. кусочно-монотонных и имеющих конечное число
точек разрыва первого рода), справедливо соотношение
1 1 °°
S(x — у) = -—|— у^ (cos nx cos ny + sin nx sin ny). (17.33)
27Г 7Г ^—'
н = 1
Решение. Ряд, стоящий в правой части (17.33), расходится в
обычном смысле, так как для него не выполняется
необходимый признак сходимости. Просуммируем его методом Абеля.
Рассмотрим вспомогательную функцию
1 1 °°
G(x, у, z) = -—I—•) zn (cos nx cos ny H- sin nx sin ny) =
27Г 7Г ^—'
n = l

17. Дельта-функция и ортонормированные системы
527
1 1 ж ^
= — + - У^ zn cos п(х - у).
п = 1
Но при \z\ < 1 и произвольном а справедливо соотношение
- + ^z»cosna=-[l + X;^(e''an+e-''a'l)] =
71 = 1 71 = 1
_1/ ze'a ze-tQ I _ 1 - z2
~~2\ + 1 - *e,a l-ze-,aJ " 2{l-2zcosa + z2)'
т.е.
1 °° 1 - z2
- + V/ cos na = — rr-. (17.34)
2 ^-J 2(l-2zcosa + z2) v ;
71 = 1 V
Следовательно,
G(W) = 27r(l-2zco^2-y)+^)- (17-^
Рассмотрим произвольную 27Г-периодическую функцию у>(ж),
удовлетворяющую на отрезке [—7г, 7г] условиям Дирихле.
Обозначим через
7Г
(р(х, z) = / С(ж, t/, z)<p(y)dy =
— 7Г*
7Г —X 7Г
= / G(x,t +x,z)(p(t +x)dt = I G(x,t +x,z)4>(t + x)dt.
— 7Г —.Т — ТГ
Здесь мы воспользовались периодичностью функций <р(х) и
G(x,y,z). Разобьем последний интеграл на два:
о
(p(x,z)= G(x,x + t,z)<p(x + t)dt +
— 7Г
7Г
+ / G(x, ж + *, z)<p(:c + t)dt =
о
тг
= / [G{x,x + t,z)(p(x + t) + G(x,x-t,z)<p(x-t)]dt.

528 Глава 2, Основы теории обобщенных функций
С учетом явного вида функции G(x,y,z) (17.35) получим
О
где обозначено
g(x + t}= £ [р(я+ *)+¥>(«-*)].
Заметим, что для всех z выполняется
тг
~ / i ^—^1 ldt = 1 (17-37)
тг У \-2zcost + z2 v ;
о
и для любого е Е]0,7г[ справедливо
lim - / ;v ^ м £<Й = 0, 17.38
е
так как в этом случае знаменатель дроби положителен, а
числитель стремится к нулю.
Для любого числа р > О выберем такое е £]0,7г[, чтобы для
всех t £ [0, е[ выполнялось неравенство
\g(t)-9(+0)\<P- (17.39)
Тогда в силу (17.37) и (17.39) справедлива следующая оценка:
тг У l-2zcost + z2 УУ^ }
17Г
о
<
с|1 fW)-g{^)]{l-z2)dt
\7Г J 1 - "
2^ cos t + z2
о
1 Ш<)-<7(+0)|(1-г2)
<ft <
= _1 ng(<)-g(+Q)|(l-.
7Г У 1 — 2Z COS f. + 22
о
if l-z2
^ ктг У l-2zcos* + *2 ^'

28. Классические и обобщенные решения ОДУ
529
т.е. справедлива оценка
a(t)(l-z2) i
< Р,
|i/."'"'-'l!.«-.i+o,
17г У 1 - 2z cos а + г-
не зависящая от z. Отсюда с учетом (17.38) и определения
функции G(x,y,z) получим
lira [ G(x,y,z)<p{y)dy = Ьф + 0) + ф-0)], (17.40)
л,—у 1 — 0 J t Z
— 7Г
что и тождественно (17.33).
О В части «Специальные функции» мы в явном виде
покажем справедливость условия полноты (17.30) для полиномов
Лежандра Рп(х), функций Эрмита Un(x) и функций Лагерра
■* i/+n,»*(•&)•
О Соотношение (17.40) можно рассматривать как одно из
обоснований формулы (10.9), а именно, для 27г-периодических
функций, удовлетворяющих условию Дирихле, справедливо
к
J 6(х - y)<p(y)dy = 1-Ых + 0) + <р(х - 0)]. (17.41)
— 7Г
18. Классические и обобщенные решения
дифференциальных уравнений*
Понятие обобщенных функций и правила действия с
ними позволяют сформулировать понятие обобщенного решения
дифференциального уравнения
Lu(x)=f(z), (18.1)
где
11 ifc
L = L{x, D) = J2Pk(x)D\ Dk = —^ хеШ, (18.2)
fc=o х
Pk(x) - заданные бесконечно дифференцируемые функции, а
и(х) и f(x) - обобщенные функции.

530
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
♦ Обобщенным решением уравнения (18.1) называется
обобщенная функция и (ж), удовлетворяющая этому уравнению в
обобщенном смысле, т.е.
(L(x, D)u{x)\<p{x)) = (f(x)\<p(x)) (18.3)
для любой <р(х) Е V,
Соотношение (18.3) можно переписать в виде
(ф)\Ь* (х, D)V{x)) = {f(x)\<p(x)), (18.4)
где L* (ж, D) — оператор, формально сопряженный к оператору
L (18.2)
11
£>(*) = L'{x',D)<p{x) = J2(-VkDkpk(xMx).
k=Q
Как и классические решения, всякое обобщенное решение
уравнения (18.1) можно представить в виде суммы его
частного решения и общего решения соответствующего однородного
уравнения.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
L(x,D)u(x)=0, (18.5)
и простейшее из них
Щ = 0. (18.6)
ах
Лемма 18.1. Дифференциальное уравнение (18.6) не имеет
иных решений в пространстве обобщенных функций, кроме
классических.
Доказательство. В пространстве обобщенных функций
уравнение (18.6) эквивалентно соотношению
<и'(*)И*)> = -<«(*)И*)> = 0 (18.7)
для любой <р(х) &V.
Лемма будет доказана, если мы покажем, что общее
решение этого уравнения в классе обобщенных функций есть
постоянная, т.е. и(х) = const.

18. Классические и обобщенные решения ОДУ
531
Воспользуемся представлением (13.3) основной функции <р(х)
оо
<р(х) = <р0(х) J <p(y)dy + *>;(*), (18.8)
— ОО
где <ро(х) и <рг(х) принадлежат пространству V, причем
/ <po(x)dx = 1.
-оо
Тогда
оо
(u(x)\<p(x)) = (u(z)\\<po{x) J <p(x)dx + <р'х(х)\ =
— оо
оо
= {u(x)\<p0(x)) I <p(x)dx + (u(x)\fp'1(x)).
-оо
Согласно (18.7), на множестве производных основных функций
для функции и(х) справедливо соотношение (u(x)\(pf(х)) = О,
а поскольку <Pi(x) также принадлежит этому множеству, то
(u(£)|^i(2)) = 0, а (и(х)\(ро(х)) = С = const. С учетом этого
получаем
оо оо
(u(x)\(p(x)) =C J (p(x)dx = J C<p(x)dx = (С\<р(х)),
что соответствует определению обобщенной функции и (я),
являющейся постоянной С.
Пример 18.1. В пространстве обобщенных функций найти
общее решение уравнения
mdu(x) _п
х—- = U.
dx

532
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Решение. Решение уравнения должно быть постоянной
величиной как при х > 0, так и при х < 0. Отсюда следует, что
уравнение имеет два линейно независимых решения
щ(ж) = 1, ио(х) = 0(х),
и, следовательно, общее решение
u(x) = d + С20{х)
содержит две произвольные постоянные.
Пример 18.2. Найти общее решение уравнения
2x3u'(x) + u(x) = 0
в пространстве обобщенных функций.
Решение. Если классическим решением этого уравнения (при
х ф 0) является функция
и(х)=Сег'*\
где С - произвольная постоянная, то в пространстве
обобщенных функций существует единственное решение и(х) = 0.
Действительно, при х ф 0 обобщенное решение должно совпадать
с классическим, что возможно только, если С = 0, так как
интеграл
/ e1lx\{x)dx,
где <р(х) €V, не допускает регуляризации.
Запишем однородное уравнение n-ого порядка (18.5) в виде
однородной системы п дифференциальных уравнений первого
порядка с матрицей А
d-^- = Au(x), (18.9)
что, как известно, всегда можно сделать. Систему (18.9) мы
для удобства записали в векторной форме й = (ui, -uo,..., u„).
Пусть U(x) - фундаментальная матрица однородной
системы (18.9). Перейдем от неизвестной й(х) к неизвестной v(x),

18. Классические и обобщенные решения ОДУ
533
используя соотношение u(x) = U(x)v(x). Тогда система (18.9)
преобразуется к виду
Поскольку
dU(x) _ rr/ xdv АГТ/ ч_
ax • ax
dU(x)
dx
AU(x),
TO
№,f=».
С учетом того, что матрица U(x) является обратимой,
умножение этого уравнения на U"1 (х) приводит к системе
распавшихся уравнений
^ = 0.
dx
Согласно лемме 18.1, v является постоянным вектором.
Отсюда следует, что u = U(x)v есть вектор, являющийся
линейной комбинацией векторов классической фундаментальной
системы. А так как система (18.9) эквивалентна уравнению
(18.5), то мы доказали следующую теорему:
Теорема 18.1. Дифференциальное уравнение (18.5) не имеет
иных решений в пространстве обобщенных функций, кроме
классических.
Несоответствие, возникающее между классическим и
обобщенным решениями в приведенных выше примерах, может
быть устранено, если обобщенное решение искать в виде
в(х)и{х).
♦ Множество обобщенных функций, для которых и(х) = 0
при х < 0 (или supp и = М+, х > 0), будем обозначать V+.
Это множество является подпространством пространства V.
Действительно, если решение уравнения хи' = 0 искать в
пространстве 2^, то его общее решение есть и(х) = С9(х),
совпадающее с классическим и(х) при х > 0.
О В математической физике пространство Т>'+
естественным образом возникает из самой постановки задач, поскольку
решения краевых задач, как правило, ищут на положительных
интервалах ]0, /[, ]0, оо[, а решение задачи Коши - для
положительных моментов времени х > 0.

534
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Пример 18.3. В пространстве обобщенных функций V
найти общее решение уравнения
xmu(x) = 0, ?п=1,оо. (18.10)
Решение. Предварительно отметим, что для m = 1 решение
известно и приведено в примере 13.1. Для произвольного m
найдем решение двумя способами, каждый из которых имеет
свои преимущества.
Первый способ. Поскольку и(х) £ V1, то
(х1Пи(х)\(р(х)) = (и{х)\х1П<р(х)) = 0 (18.11)
для всех <р(х) £ V. Найдем (и(х)\<р(х)), используя
тождественные преобразования и свойства функции ф(х), определенные
леммой 13.3:
(п(х)\<р(х)) =
—jj—х +т}(х) 2^ ™
fc=0 ' *=0
= Е Ы)к<Р{к)(0)ШЫ*)) + H*)|*"V(*)>, (18-12)
m-1
ib=0
где функции
щ(х) = (-l)*|j.,(x);
(18.13)
*=0
являются основными согласно лемме 13.3 и определению (11.3).
Обозначив Си = (и(х)\щ(х))^ с учетом (18.11) можно
записать (18.12)
m-l
(ч(х)\<р(х)) = Е Cfe(-l)Vfc)(0) =
fc=0
= (Т,Ск№(х)\г{х)). (18.14)
а=о

18. Классические и обобщенные решения ОДУ 535
Здесь использован результат примера 14.8. В силу
произвольности функции (р(х) из (18.14) получим
т —1
u(x) = £ CkS^(x). (18.15)
л=о
Второй способ. Представим (18.10) в виде
ф™-1^)] = 0. (18.16)
Тогда, согласно решению примера 13.1,
[zm-lu(*)] = Cn-xSiz), (18.17)
где Cm-i - произвольная постоянная. Представив (18.17) по
аналогии с (18.16) в виде
ф--3«(*)] = Cn-i6(x),
получим
х[хт-2и(х)] - Ст-г6(х) = 0. (18.18)
Из примера 14.8 при р(х) = х следует весьма полезное
соотношение
Slr)(x) = Ц-ж($(г+1)(ж), г = б^, (18.19)
которое позволяет записать (18.18) при г = 0в виде
*{[«т-3«(*)]'+С'ж_1*'(х)}=0|
откуда
[*"-3«(*)] + Ст-!6'(Х) = Ст-26(Х).
Аналогично
*{[*"-3«(*)] - Qf±6"{z) + Ст-г6'(х) - Ст-36(х)} = 0.
Продолжая по индукции и переобозначив С7т в соответствии
с (18.15), получаем
m-l
и(х) = £ СкМкЦх).
*=0

536 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Пример 18.4. В пространстве V1 найти общее решение
уравнений
а) хгь'(х) = 0;
б) х2а'{х) = 0;
в) хи"(х) = 0;
г) х2и"(х) = 0.
Решение, а) Согласно (18.15), при m — 1 получим и'(х) =
CiS(x) или uf(x) — С\8(х) = 0. Так как 8(х) = 0'(х), то [и(х) —
Ci0(x)]f — 0, откуда в силу леммы 18.1 и(х) — Ci0(x) = С2 и,
следовательно,
и(х) = С2 + Сгв(х).
б) Согласно (18.15), при ?п = 2 получим u'(x) = CiS(x) +
С2£'(ж) или гс,(х)-С16(х)-С26'{х) = 0. Тогда [и{х)-С1в{х)-
С2<$(ж)]' = 0, откуда следует и(х) — С\в{х) — С2£(ж) = Сз и
и(ж) = Сз + Cod» + Сгв(х).
в) При ?тг = 1, согласно (18.15), и"(х) — С\&(х), [и'(х) —
d0{x)]' = 0, u' - d0{x) = C2. Поскольку
[хв{х)]' = 6{х), (я)' = 1, (18.20)
то
[и(х) - dx0(x) - dx]' = 0
и
и(ж) — С\хв{х) — dx = Сз,
откуда
и(х) = Сз + С2я + Ci^(x).
г) При га = 2, согласно (18.15), и"(ж) = Сх(!>(ж)4-С2£'(ж) или
[u'(x)-d0(x)-dS{x)]f = O.Torna.u'(x)-dO{x)-dS(x) = С3
или, согласно (18.20) [и(х) - dx9(x) - С20(ж) - dx)' = 0,
откуда а(ж) — Cix0(x) — С20(я) — Сзж = С±, и, следовательно,
м(ж) = С4 + С3я + С20(ж) + Ciz0(:c).

19. Фундаментальные решения линейных операторов 537
19. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов*
Рассмотрим уравнение (18.1), в котором оператор L (18.2)
- дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами (рк(х) =рк, т.е.
Lu{x)=f(x), (19.1)
где
L = L(D) = J2l»<Dk> D=di' (19-2)
к=0
♦ Фундаментальным решением (или функцией влияния
точечного источника) дифференциального оператора L(D) (19.2)
(дифференциального уравнения (19.1)) называется
обобщенная функция д{х), удовлетворяющая уравнению
L(D)g(x) =6(x), ХЕШ. (19.3)
О Естественно, что фундаментальное решение не является
единственным и определяется с точностью до слагаемого #о(я),
являющегося решением однородного уравнения
L(D)g0(x) = 0. (19.4)
Действительно,
L(D)[g(x) + д0(х)] = L(D)g(x) + L(D)g0(x) = S(x),
а это означает, что обобщенная функция д(х) + до(х) - также
фундаментальное решение оператора L = L(D).
Неоднородное уравнение (19.3) со специальной правой
частью f(x) = 5(x) является выделенным в том смысле, что
фундаментальное решение д(х) позволяет находить частные
решения уравнения (19.1) с произвольной правой частью f(x) по
формуле
оо
и(х) = д(х) * f(x) = / g{x-y)f(y)dy (19.5)
— оо
при условии, что свертка д(х) * f(x) существует. Это
утверждение легко проверить, если воспользоваться правилом
дифференцирования свертки и равенством (19.3). Действительно,

538
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
при условии, что свертка д(х) * f(x) существует. Это
утверждение легко проверить, если воспользоваться правилом
дифференцирования свертки и равенством (19.3). Действительно,
п
L(D)u(x) = L{D)[g(x) * /(*)] = X>D*(</(*) * /(*)) =
k=0
* f{x) =
U=o J
= [L(D)g(x)] * /(*) = 6(x) * f(x) = f(x).
О Второе название - функция влияния точечного источника
- становится понятным, если неоднородность f(x) представить
в виде «суммы» точечных источников, согласно (16.5),
=/
f(x) = 6(х) * f(x) = / 8(х - y)f(y)dy,
В силу (19.1) f(y)S(x — у) определяет влияние точечного
источника, расположенного в точке х = у т\ решение, поэтому
оо
и(х) - д(х) * f(x) = g(x- y)f(y)dy
есть наложение, или суперпозиция, этих влияний.
О Интересно отметить, что решения а) и б) примера 18.4
позволяют определить фундаментальное решение оператора L
как частное решение более общего уравнения
xL(D)g(x) = 0, (19.6)
поскольку, согласно (18.15), (19.6), можно записать
L(D)g(x) = dS(x),
откуда при С\ = 1 получаем (19.3).
Пример 19.1. Показать, что функция д(х) = в(х)е(х)
является фундаментальным решением оператора
n dk

19. Фундаментальные решения линейных операторов 539
если е(х) - решение задачи Коши
£»e<*>(*) = 0, (19.7)
е(0) = е'(0) = ... = е(Л-2)(0) = 0, е*""1^) = —.
Рп
Решение. Необходимо убедиться, что функция д(х)
удовлетворяет уравнению
Y,pkgM(x) = 6(x). (19.8)
fc=0
Вычислим производные д^(х) с учетом (14.6), (19.7)
д(х) = 9{х)е(х);
д'{х) = [9(x)e(x))f = 9,{х)е{х) + 0(х)е'(х) =
= 6{х)е(0) + 9{х)е'{х) = 9{х)е'(х);
д(п~1\х) = 9(х)е(п-1\х);
дМ(х) = #{z)eln-V{z) + 9(х)е^пЦх) =
= 8(z)— + e<x)eW{x).
Рп
Подставив найденные производные в уравнение (19.8),
получим соотношение
9(x)Y/Pheik)(x)+Pn-S(x)=S(x),
fc=o Pn
являющееся тождеством, так как

540
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
20. Построение фундаментального решения
линейного дифференциального оператора*
Теорема 20.1. Если е(х) есть классическое решение задачи
Коша
L(D)e(x) = 0, (20.1)
е(0) = е'(0) = ... = е(п"2)(0) = 0, е^п'г\0) = —, (20.2)
Рп
то единственным фундаментальным решением д(х)
оператора L(D) (19.2) в пространстве Vf+ является функция
д{х)=0{х)е{х). (20.3)
Доказательство. Если д(х) - фундаментальное решение
оператора L(D), то она удовлетворяет уравнению (19.3), т.е.
L(D)g(x) =6(x), хеШ,
которое во всех точках, за исключением точки х = 0, можно
рассматривать как однородное
L(D)g(x) =0, хе М\{0}, (х ф 0). (20.4)
Пусть и(х) = {ui(x), U2(x),.. . ,un(cc)) - фундаментальная
система решений однородного уравнения, т.е.
L{D)u(x) = 0.
Тогда функцию д(х) можно искать в виде
9(х) = { ф) = (е,5(х)) l>i (20<5)
где произвольный вектор е(х) = (ei,e2,.. .,еп) следует
подобрать так, чтобы функция д(х) и ее производные вплоть до
(п —2)-го порядка были непрерывными. Производная (п— 1)-го
порядка должна испытывать скачок 1/рп- В результате
производная n-го порядка должна содержать функцию 6(х),
фигурирующую в правой части части уравнения (19.3), т.е.
е(*)(0)=0, * = 0,п-2,
e(»-i)(0) = —.
Рп

20. Построение фундаментального решения
541
Это условие совпадает с (20.2) и представляет собой
линейную неоднородную алгебраическую систему для
составляющих е^ вектора е
.(*>/irt_L ^. „(*)
ешГ(О) 4-... + епи)гУ(0) = 0, к = 0, п - 2;
ei^i (Q) + -.' + enuh (0) = —.
Определитель системы (20.6) есть вронскиан
фундаментальной системы решений й(х) и, следовательно, нигде не
обращается в нуль. Это означает, что существует единственное
решение системы (20.6), определяющее вектор ей, соответственно,
функции е(х) и д(х) = 9(х)е(х). Теорема доказана.
О Условия (20.2), определяющие однозначное
фундаментальное решение оператора L(D) в пространстве D+, задают
нулевое решение до(х) = 0 однородного уравнения (19.4).
Пример 20.1. Найти единственное в пространстве V'+
фундаментальное решение оператора
L-— -4— г
dx2 dx
Решение. Требуется найти решение уравнения
Gi?-4s+5><*> = '<•>• (20J)
Находим общее решение однородного уравнения с
постоянными коэффициентами
е" - 4е' + 5е = 0.
Поскольку корни характеристического уравнения
к2 - 4А + 5 = 0
комплексны
*1,2 = 2 ± г,
то
е(х) = е2х (с\ sin x + С3 cos ж)
и, соответственно,
е'(ж) = e2,T[2(ci sin ж + сз cos ж) + с\ cos ж + сз sin ж].

542
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Так как согласно (20.2), (20.7) начальные условия имеют вид
е(0) = 0, е'(0) = 1,
то для определения произвольных постоянных имеем систему
е(0) = с2 = 0,
е'(0) = ci = 1.
Таким образом,
е(х) = e2iFsinx,
и фундаментальное решение
д(х) = д(х)е2* sin ж.
Пример 20.2. Найти единственное в пространстве V+
фундаментальное решение операторов
а) il = ^-w; б) ь = &+ы-
Решение.
а) Корни характеристического уравнения А:2 — ш2 = 0
действительны и различны: k\ = w, к2 = —w. Следовательно,
е(х) = с\ sh u>x* + c2 ch u>x*
и
е'(х) = шс\ ch а;ж -f WC2 sh а>ж.
Отсюда
е(0) = с2 = 0,
е'(0) = ысх = 1, ci = —.
Таким образом,
е(ж) = —sh wx
и
и фундаментальное решение
д(х) =в(х) .

20. Построение фундаментального решения 543
б) Корни характеристического уравнения к2 +о;2 = 0
мнимые kiy2 = dtiw, следовательно,
е(х) = с\ sinwx + со cosa;»
и
е'(х) = шс\ qosljx -f ШС2 sin еде.
Отсюда
е(0) = с2 = О,
е'(0) = uci = 1, ci = —.
и
Таким образом,
е(х) = — sin еде,
и
и фундаментальное решение имеет вид
k sin еде
g{x) = 0{x)-
u
Пример 20.3. Найти единственное в пространстве V+
фундаментальное решение* оператора
dn
dxn
Решение. Характеристическое уравнение fcn = 0 имеет один
п-кратный корень к = 0. Следовательно,
е(х) = ci + с2х + ... + сп_1Жп-2 + спхп"г
и
е'(ж) = с2 + 2с3я + ... + (п - 2)с„-1Жп"3 + (п - 1)спх11'2;
е<п-*(х) = (п - 2)!сп_! + (п - 1)!сЛх;
e<n-1)(x) = (n-l)!cn.
Отсюда
е(0) = ci = 0,
е/(0)=с2=0,
е<»-2Н0)=-(п-2)\сп-1 = 0,
е^-1){0) = (п-1)!сп = 1, с„ =
(п-1)!

544
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Таким образом,
е(х) = l -"-1
(п-1)!
и фундаментальное решение
д\х)=0(х) ""
(п-1)!
Пример 20.4. Для «обычной» финитной функции /(ж), х Е
К, найти решение уравнения
L(D)u(x) = f(x),
если
а) ЦП) = А; б) ад = *_.
Реииение. Согласно (19.5), решение можно записать в виде
сю со
и(х) = (д * f)(x) = / g(x-y)f(y)dy= / g(y)f{x - y)dy,
— CO —CO
где д(х) - фундаментальное решение оператора L(D).
а) Пусть u'(x) = /(ж). Из решения предыдущего примера
при п = 1 следует, что #(ж) = 0(ж). Отсюда
оо со .т
и(х) = У в(г - y)/(y)dy = У %)/(* - y)dy = J f(y)dy.
— со —со —со
б) Пусть u"(x) — f(x). Тогда д(х) = в(х)х. Отсюда
со
и(х) = I 6{х - у)(х - y)f(y)dy
— со
или с учетом того, что [0(х)х]" = 6(х) (см. пример 20.3 при
п = 2) и (\х\/2)" = 6(х) (см. пример 14.5),
со
*Ф0 = I ^\x-y\f(y)dy,

21. Функция Грина краевой задачи
545
что аналогично известной формуле Коши (1.36.13) для
вычисления n-кратной первообразной
х
Хо
21. Функция Грина краевой задачи
для дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами*
Понятие краевой задачи и задачи Штурма-Лиувилля для
обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка вводится в стандартном курсе высшей математики. Более
подробное рассмотрение этих задач будет проведено в
разделе «Задача Штурма-Лиувилля» части III. Ниже мы
покажем, что использование обобщенных функций, в частности
дельта-функции Дирака, позволяет упростить решение
некоторых классов краевых задач.
В общем случае краевая задача представляет собой
нахождение классического решения дифференциального уравнения
(19.1) на интервале ]0,/[, т.е. функции и(х) £ Cfc([0,/]):
L{D)u(x) = /(ж), х €]0, /[С К, ^ = —,
удовлетворяющего краевым (граничным) условиям
Vk(u) = Ak(u)+Bk(u) = 0, k = 1~£, (21.1)
где Vfe(u) - линейные формы от tz(0),..., u^n_1^(0),
n-l
Л*(и)=5>*го«(т)(0), (21.2)
m=0
hotu(J),...,u("_1)(0,
n-l
Bfe(u)=£4fcmw<m>(0, (21.3)
m=0
являются линейно независимыми.

546 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Решение неоднородного уравнения (19.1) может быть
найдено с помощью фундаментального решения оператора L(D).
Однако для того чтобы решение удовлетворяло одновременно
и краевым условиям, необходимо, чтобы и фундаментальное
решение удовлетворяло этим же краевым условиям.
Таким образом, мы приходим к понятию
фундаментального решения, удовлетворяющего краевым условиям, которое
будем называть функцией Грина краевой задачи или функцией
Грина оператора L(D) на интервале ]0, /[.
♦ Функцией Грина краевой задачи (19.1), (21.1) называется
обобщенная функция G(x,y), удовлетворяющая уравнению
L{D)G(z, у) = 6(х - у), D = А (21.4)
и граничному условию (по переменной ж)
%(С(*,У)) = 0, *=1^ (21.5)
при каждом фиксированном у.
Теорема 21.1. Краеваязадача(19.1), (21.1) имеет одну и
только одну функцию Грина С?(ж, t/), если соответствующая
однородная задача имеет лишь тривиальное решение и(х) = 0.
Доказательство. Поскольку функция Грина удовлетворяет
уравнению (21.4), ее можно искать в виде
G{z,y)=g(x-y)+g0{z), (21.6)
где д(х) - фундаментальное решение оператора L(D) (19.3), а
Уо(ж) - решение однородного уравнения (зависящего от у как
от параметра), порождаемого оператором L(D) (19.4)
L(D)g(x) = S(x),
L(D)g0(x) = 0.
Действительно, подставив (21.6) в (21.4), получим
L(D)\(,(x -у) +д0(х)} = L{D)g(x -y) + L(D)g0(x) =
= L(D)g(x-y)=6(x-y),
где D = d/d(x — у). Таким образом, функция Грина в виде
(21.6) удовлетворяет уравнению (21.4). Осталось подчинить

21. Функция Грина краевой задачи
547
ее граничным условиям (21.5). Для этого выпишем функции
g(x)i Уо(х) в явном виде. Так, согласно (20.3),
д(х-у) = в{х-у)е(х-у), (21.7)
g0(x) = (c,u(x)), (21.8)
где u(x) = (ui(z),...,tin(z)) - фундаментальная система
решений однородного уравнения (19.4); с = (ci,...,cn) -
произвольный постоянный вектор, подлежащий определению из
граничных условий.
Подставив (21.6) в (21.5) с учетом (21.7), (21.8), получим
Vk(G) = Vk({c,5)) + Bh(e(l - у)) = 0
или в силу линейности Vk (21.2), (21.3)
ciVtim) + c2Vk(u2) + ... + cnVk(un) = -Bk(e(l - у)). (21.9)
Полученная система является неоднородной и линейной
относительно величин сд. - координат вектора с. Определитель
системы отличен от нуля
ViM ... Vn(un)
^0 (21.10)
в силу условия теоремы о линейной независимости форм Vk
и существовании только тривиального решения однородного
уравнения (наличие нетривиального решения позволяет
выразить Vj(um) с заданными j и т через остальные, вследствие
чего определитель (21.10) равен нулю).
Таким образом, система (21.9) имеет единственное решение
относительно с= (ci,.. .,с„). Тем самым доказано
существование и единственность функции Грина С(ж, у) и одновременно
дан метод ее построения.
Теорема 21.2. Если G(x,y) - функция Грина краевой задачи
(19.1), (21.1), то ее решение задается формулой
l
и(х) = J G(z,y)f(y)dy. (21.11)

548 Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Доказательство. Непосредственной подстановкой (21.11) в
(19.1) убеждаемся, что функция и(х) в виде (21.11)
удовлетворяет уравнению (19.1). Действительно,
/ /
Lx(D)u(x) = JLx(D)G(x,y)f(y)dy = JS(x - y)dy = f(x).
Выполнение граничных условий (21.1) следует из выполнения
аналогичных граничных условий для G(x,y) (21.5), так как
Vk(u) = fvk(G)f{y)dy = 0.
о
Таким образом, теорема доказана.
О Формула (21.11) означает, что функцию Грина можно
рассматривать как ядро интегрального оператора i>,
обратного дифференциальному оператору L = L(D), т.е.
L^Luix) = u(x) = Ь-г/(х) (21.12)
(см. более подробно разд. «Интегральные уравнения» части
IV). Таким образом, требование существования
тривиального решения в теореме 21.1 можно рассматривать как условие
существования обратного оператора L .
Пример 21.1. С помощью функции Грина найти решение
краевой задачи
^>=*>; (.1.1.)
м(0) = м(1) = 0. (21.14)
Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина
задачи (21.13), (21.14). Для этого выпишем общее решение
однородного уравнения
dx°-
Очевидно, что
до{х) = сг + с2х,

21. Функция Грина краевой задачи
549
откуда, согласно (21.14),
ffo(O) " С! = О,
fifo(l) - С2 = 0.
Таким образом, однородная задача имеет только тривиальное
решение уо(я) = 0, поэтому функция Грина существует.
Из решения примера 20.4 следует, что фундаментальное
решение оператора d2/dx2 (уравнения (21.13)) имеет вид
- у(х) = 0(х)ж.
Поэтому, согласно (21.6), функцию Грина ищем в виде
G(x, у) = в{х - у)(х - у) + ci + с2х. (21.15)
Подставив (21.15) в граничные условия для G(x,y),
аналогичные (21.14), получаем
G(0,y)=ci=0,
G(l, у) = (1 - у) + С! + Со = 0, С2 = у - 1,
откуда
G(x, у) = 0(х - у)(х - у) + (у - 1)х, (21.16)
и в силу теоремы 21.2 имеем
1
u(x) = J G(x,y)ybdy =
о
1
= J[9(x - у)(х - у) + (у - l)x]y5dy = ^(х6 - 1).(21.17)
о
Функция Грина (21.16) может быть записана в более
привычной форме
G(x, у) = 0(х - у)(х -у) + (у- 1)х =
{(у - 1)х 0 < х < у
(21.18)
(х-1)у 1>х>у
Как следует их (21.18), функция Грина является
симметричной по аргументам х и у.

550
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
В случае задания функции Грина в виде (21.18)
интервал интегрирования ]0,1[ приходится разбивать на два: ]0, х[
и]я,1[
1
гь(х) = / G{x,y)y5dy =
о
X 1
= J(x - l)yy5dy+J(y - \)хуЧу = ^(х6 - 1).
О х
Пример 21.2. С помощью функции Грина записать решение
краевой задачи
^=л«), да.»)
u(0) = u'(0) = u(l) = t*'(l) = 0. (21.20)
Решение. Однородная задача (21.19), (21.20) с
фундаментальной системой 1, ж, ж2, х3 имеет только тривиальное решение,
следовательно, функция Грина существует.
Из решения примера 20.4 следует, что фундаментальное
решение оператора d4/dx* имеет вид
g(x) = e(x)j.
Поэтому, согласно (21.6), функцию Грина ищем в виде
(х — у)э
G(x, у) = в(х - Уу—-^- + с0 + cix + с2х2 + сэх3. (21.21)
Поскольку
d ' (х — v)2
—G(x,у) = в(х - у)к 2У/ + ci + 2с2х + Зсзж2, (21.22)
то, подставив (21.21), (21.22) в (21.20) и заменив « на G,
получим систему для определения с,
G(0,j/) = co = 0, (21.23)
dG(0,y) _
-dx—-Cl-Q'

21. Функция Грина краевой задачи
551
или
G(l,y)=g(l-y)+c2+c3 = 0,
^-G(h У) = \(1 - 2/)2 + 2с2 + Зсз = О
ax I
cq = ci = О,
c2 + c3 = --(l-j/)31
2с2 + Зс3 = --(1-з/)2.
(21.24)
Решение (21.24) ищем методом Крамера. Так как
Д =
1 1
2 3
3-2=1^0,
то
-6(i-vf 1
= 5*1-у)2,
сз =
1 -jU-if)»
2 4(1-У)2
= --(1 + 2у)(1-2/)2.
Подставив найденные значения с, в (21.21), находим явный вид
функции Грина
1
G(xty)=0(x-y)^-^-+
1
+£у(1 - у)3*3 - 1(1 + 2у)(1 - у)2*3 =
|»(1 - У)2*2 ~ J(l + 2у)(1 - у)2*3, 0 < х < у,
1-х(1 - а;)У - 1-{1 + 2jb)(1 - s) V, 1 > х > у,
(21.25)
Тогда
1
и(х) = J G(x,y)f(y)dy,
где G(x,y) определено одним из выражений (21.25).

552
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Пример 21.3. С помощью функции Грина найти решение
краевой задачи
d?u о
- -ш~и = ж, х G]0,/[;
dx
«(О) = u(l) = 0.
(21.26)
(21.27)
Решение. Отметим основные моменты. Фундаментальная
система решений однородного уравнения может быть записана в
виде sh их, ch их. Однородная краевая задача имеет лишь
тривиальное решение, а фундаментальное решение оператора
f s
2
записывается как (см. пример 20.2)
. sh их
д(х)=в(х)-
Функцию Грина ищем в виде
и
G(x,y) zz9(x-yf 'Ш^Х—yi + ash ux + c2diux. (21.28)
и
Подставив (21.28) в граничные условия для G(x, у),
аналогично (21.27) получим
С(0,!/)=с2 = 0,
^/, 1 , , sh и(у — I)
G(l, y) = - sh и{1 - у) + a sh ul, cx = г—г1,
и и shut
откуда
^/ ч Л/ x&hu(x — y) sh u(y — l) , /Л„ ЛЛЧ
G х», у = 0 х - у) i У- + Y—J-+- sh еде Ц21.29
и и sh a;/
( sh их sh и(у — I)
и sh w/
uysh u(x — /)
0 < х < у,
У < х < 1,
w sh а;/
поскольку
sh а;(х — у) sh u>/ + sh и(у — Z) sh их = sh а>у sh и(х — I).

22. Другие методы построения функции Грина
553
Таким образом,
/* ГЛ/ v sh и>(ж — у) sh u>(?/ — /) , "I ,
ф= / №х-у) * ^ + yf—r^shwx\ydy =
J l ш wshwt J
о
/ rsh a; ж ал
u2 L sh a;/ / J
22. Другие методы построения
функции Грина*
В предыдущем параграфе мы рассмотрели возможность
построения функции Грина краевой задачи, если известно
фундаментальное решение оператора (19.2), порождающего эту задачу. Если
коэффициенты р* оператора (19.2) являются функциями х [р& =
Pk(x)]i то функцию Грина можно построить следующим образом.
Пусть
L*(x,D)u{x) = f(x), xe]0,l[,
14(и) =0, k = T^,
- краевая задача, где L(x, D) - оператор, определенный формулой
(18.2), а Vjfc(u) - граничные условия (21.1). Тогда функция Грина
удовлетворяет уравнению и граничным условиям
L*(x, D)G{x, у) = 6(х-у), х €]0, J[, f
V*(G) = 0, Л: = Т77Г. К11Л)
Не обращаясь к выражению (21.6), функцию Грина будем искать в
виде
G{x, у) - | е{х) = (е. Д(я))) i>x>y, (22.2)
где й(х) = (ui (я), ко (я),..., tin (я)) - фундаментальная система
решений однородного уравнения
L£(x,D)u(x) = 0.
Форма (22.2) обусловлена тем, что G(x,y) является решением
однородного уравнения во всех точках, за исключением точки х = t/,
Lx{x,D)G(x,y) = 0, хфу,
а произвольные векторы с, е следует подобрать так, чтобы функция
G(x.y) и ее производные до (п — 2)-го порядка были непрерывны.
Производная (п — 1)-го порядка должна испытывать скачок 1/р„.
В результате производная n-го порядка будет содержать функцию

554
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
S(x), фигурирующую в правой части части уравнения (22.1). Эти
условия будут выполнены, если
ft м|%) + ftui%) + ... + SntWiy) = О,
ft^-%) + s^rl)(y) + • • • + snu\rl)(y) = -4т (22'3)
Кроме того, должны выполняться граничные условия (22.1),
которые после подстановки в них (22.2) принимают вид
с, Vi(tii) + c2Vk(u2) + ... + cnVk(un) = -Bk(c(l - у)), (22.4)
полностью совпадающий с (21.9).
Как уже отмечалось, система (22.3) имеет единственное
решение, определяющее величины ft = е; — о,-, а система (22.4)
однозначно определяет величины с,-. Таким образом, две системы (22.3)
и (22.4) однозначно определяют два вектора сиеи, следовательно,
функцию Грина, согласно (22.2).
Поскольку в рассматриваемом случае коэффициенты оператора
L = L(x.D) являются функциями от ж, необходимо, чтобы рп{х) ф О
для всех х € [0,Z]. Если же на одном из концов отрезка [0,1]
функции Рп(х) все-таки обращаются в нуль, то часть граничных условий
(22.1) заменяется естественным граничным условием -
ограниченности решения в этой точке. Эти условия также позволяют
построить G(x,y) и найти и(х) (см. пример 21.2).
Изложенный выше метод построения функции Грина может
применяться и для оператора (19.2) с постоянными коэффициентами.
При этом не требуется привлекать фундаментальное решение этого
оператора.
Пример 22.1. Найти функцию Грина краевой задачи из примера
21.1, не используя фундаментальное решение оператора.
Решение. Функцию G(x,y) согласно (22.2) и с учетом
фундаментальной системы решений однородного уравнения ui(x) = 1, и>(:л) =
х ищем в виде
<3(ж,у)={
= [ С(х) = сх + сох, О < х < у,
~~ е(ж) = ei + е-2Ж, 1 > х > t/.
(22.5)
Подставив (22.5) в условия «сшивания» (22.3) и граничные условия
£2(0,2/) = <2(li2/) = 0» получим две системы для нахождения «i, со и
ei, eo*.
Г С{ = 0, Г (в, - Cl) + (с2 - со)у = 0,
\ ei + ео =0, 1 ео — со = 1,
откуда найдем
ci =0, с2 = у - 1; ei = -jy, r?o = у

22. Другие методы построения функции Грина
555
и, соответственно,
G(x v) - / (у " 1)Ж' 0<Х<У
И*.У)-^ (*-1)у, 1>*>у,
совпадающую с найденной ранее (21.18).
Пример 22.2. С помощью функции Грина найти решение краевой
задачи
xu"(x) + u'(x) = x, x€]0,l[; (22.6)
|ш(0)| < оо, ti(l) = ti'(l). (22.7)
Решение. Найдем сначала общее решение однородного уравнения
хи" + и = 0. (22.8)
Нетрудно заметить, что уравнение (22.8) можно представить в виде
(*«')' = о,
откуда после двукратного интегрирования имеем
и(х) =ci + с21пж. (22.9)
Функция (22.9) удовлетворяет граничным условиям (22.7) только
при ci = С2 = 0. Таким образом, однородная задача имеет
только тривиальное решение и, следовательно, функция Грина задачи
(22.6), (22.7) существует.
Согласно (22.5), ищем (7(ж,у) в виде
<?(*,у) = ( Ъ+ъЪх, О
v ' \ ei + е21пж, 1
Из условий «сшивания» (22.3) и граничных условий для G(x,y)
< х < у,
> х > у.
lim \G(x,y)| < оо, \g(x, у) - -i~G(x, у)]
х-+о L ax J
О,
следующих из (22.7), получаем систему для определения ci, C2,
ei, е2
(ei - ci) + (е2 - c2)lny = 0, (22.10)
(е2-с2)-= -, \рп(у) =у],
lim |ci +c2lnz| < оо, (22.11)
ar-Ю
e\ — e-i = 0.

556
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Из третьего уравнения этой системы следует, что сз = 0, а из
оставшихся уравнений находим d = е? = 1, с\ = Ц-1пу и,
соответственно,
G(x,y)-^ 1+ln^ 1>х>уч
откуда
1
и(х) = / G(x,y)ydy =
о
1
= f(l+]nx)ydy+[(
(l+bi)ydy+ / (1+In y)ydy = j(x--f 1).
23. Краевая задача для линейных
дифференциальных уравнений
с параметром*
Рассмотрим подробнее одну из наиболее распространенных в
математической физике задач
[Lo(x,D) + \р(*)М*> А) = f(x), х €]0,1[, (23.1)
Ух КО, Л)) = %(«(!, А)) = 0, (23.2)
где Л - вещественный параметр, а
Li(ztD)=-£k(z)-£-q{z), (23.3)
Vi («(О, А)) = а0г*(0, Л) - am'{0, А),
V9(«(Z,A))=j8o«(I,A)+ft«'(J,A).
(23.4)
функции &'(:п), д(ж), /ФО непрерывны, причем к(х) > 0, (/(ж) ^ О,
О < /9(х) < оо для всех х £ [0,/], а числа а,, /3; удовлетворяют
условиям
ао ^ О, ai ^ 0, ао + «i > 0:
(23.5)
/?о ^ fr, /3i ^ 0, А) + ft > 0.
Отметим, что самосопряженная форма оператора (23.3) но
ограничивает общности рассмотрения задачи, поскольку любой
оператор (18.2) второго порядка может быть записан в виде (23.3). В
свою очередь, многочисленные требования к фигурирующим в
задаче функциям и коэффициентам являются разумными
ограничениями, вытекающими из физической постановки задач. Естественно,

23. Краевая задача для уравнений с параметром 557
что некоторые из них могут варьироваться, тогда это будет
специально оговорено. Наконец, условия (23.5) обеспечивают линейную
независимость граничных условий (23.4) так, что
ranS [о О Л рг ) ~ 2'
Оператор (23.3) и граничные условия (23.2) порождают задачу
Штурма-Лиувилля
[L2(x, D) + \np(x)]u„(x) = 0, (23.6)
Vi(u„(0)) = V3(u„(J)) = 0,
соответствующую краевой задаче (23.1), (23.2). Решение краевой
задачи с параметром (23.1), (23.2) существенным образом зависит
от соотношения между параметром Л и собственными значениями
А„.
Лемма 23.1. Решение краевой задачи (23.1), (23.2) существует и
является единственным, если значения параметра А отличаются
от собственных значений А„ задачи Штурма-Лиувилля, т.е. при
Доказательство. Пусть
и(ат, А) = d t*i (ж, А) + C2t42(:c, A) (23.7)
— общее решение однородного уравнения
[L2(x, D) + \р(х)]и(х, А) = 0, (23.8)
подстановка которого в граничные условия (23.2) приводит к
системе
Vl(ti(0,A)) = CiVi(t4i(0,A)) + C2Vi(ti3(0,A)) = 0, ,9- Q.
V2(u(l, А)) = Ci V3(«i(Z, А)) + C2Vo(u2(Z, A)) = 0. ^J,J)
Согласно теоремам 12.1 и 12.2, существование и единственность
решения краевой задачи (23.1), (23.2) обусловлено существованием
тривиального решения уравнения (23.8), т.е. условием
det V(X) =
Vi(tn(0,A)) Vi(ti2(0,A))
V2(tii(«,A)) V2(ti2(Z,A))
Ф 0. (23.10)
Условие (23.10) противоположно условию существования
нетривиальных решений задачи Штурма-Лиувилля, определяющему спектр
собственных значении Л п
detWA \-\ ^(«"1(°'Л»)) Vi(t»„2(0,A„))
d IA„)_| V>(unl(l,\„)) К2(«„2(/,А..))
= 0, (23.11)

558
Глава 2. Основы теории обобщенных функции
где ti„i, ti„o - фундаментальная система решений уравнения (23.6).
Таким образом, определитель (23.10) будет отличен от нуля
только при условии Л ф А„, значения которых находятся из
решения уравнения (23.11) и'составляют спектр собственных значений
А„ задачи (23.G), что и требовалось доказать.
Заметим, что поскольку обычная краевая задача является
частным случаем краевой задачи с параметром Л = 0, то для нее
условие существования и единственности решения, заключающееся в
существовании тривиального решения однородной задачи, может
быть сформулировано как отсутствие значения Л = 0 в спектре
собственных значений Ап, т.е. А„ ф 0.
23.1. Функция Грина краевой задачи с параметром
Перейдем к решению задачи (23.1), (23.2) при условии, что Л ф
А„. Пусть wi(a:,A), и2(ж,А) — фундаментальная система решений
уравнения (23.8), a vi(x,\) и ^2(ж,А) — их линейные комбинации,
удовлетворяющие граничным условиям
Vi(vi(0, A)) = Vo(v2(l, A)) = 0. (23.12)
Известно, что такие отличные от нуля решения всегда
существуют и являются линейно независимыми. В противном случае, если
v\(x) = Сг>2(ж), то
det V(X) =
Vi(«i(0,A)) ViM0,A))
%(vi(l,A)) VbMU))
= 0,
а это, вопреки предположению, означает, что vi(x) является
собственной функцией с некоторым собственным значением А = Ап.
Решение неоднородного уравнения (23.1) будем искать методом
вариации произвольных постоянных
u(x,\) = Ci(:c,A)vi(:n,A) + С2(ж, А)г;2(ж, А), (23.13)
в соответствии с которым функции С[(х,\< С2(х,Х) должны
удовлетворять системе дифференциальных уравнений
Cl(x,\)vi(x,\) + C2(s,A)v2(a:,A) = 0,
пч \\ ч w , пч w ч \\ Дж) ж € [СМ] (23.14)
k(x)
с дополнительными условиями
Ci(J,A) = C2(0,A) = 0, (23.15)
вытекающими из (23.2), (23.4), (23.12) и (23.14), поскольку
Vi (u(0, А)) = Сх (0, A)Vi (щ(0, А)) + С2(0, A)Vi МО, А))-
-a1[C1,(0,A)t;i(0,A) + C4(0,A)t;2(0,A)] = 0,
V2(u(Z,A)) = C1(/,A)V2(l,1(Z,A)) + C2(Z,A)V2(t;2(Z,A))+ (23'16)
+А [С[ (I,A)vi(l,A) + C^(l, A)t>2 (J, A)] = 0.

23. Краевая задача для уравнений с параметром
559
В (23.16) первые слагаемые равны нулю согласно (23.12), последние
— согласно (23.14), а оставшиеся уравнения записываются в виде
(23.15).
Так как определитель системы (23.14) представляет собой
вронскиан линейно независимых решений, то
W(yi,vi) =
для всех х G [ОЛ], и, следовательно,
v[ V2
7*0
гЧ .v f(x)v2(x,X)
ОЦЖ,Л) — - , чт- г,
CS(«.A)»-,f(*fc("'A)r
k(x)W (vi,V2)
Бели воспользоваться формулой Лиувилля
k(x)W{vi{x,\),v2(x,\)) =
= fc(0)W(tn (0, Л), из(0, Л)) = fc(0)W(0, Л),
то интегрирование (23.17) с учетом (23.15) дает
/
(23.17)
Д)/''
Cl (Ж'Л) = k(0)W(Q " I /'fob*»' A)d»' Cl <*' Л> = 0;
c^X) = k(0)W(0A)If'{y)My'X)dy> с^ = °<
откуда
/
ц(ж'Л) = цо)Що,Л) [^(g^)//to)^(y^)rfy +
+г>2(ж,А) / f(y)vi(y,X)dy
о
или
«(*, Л) = / G(s, у, A)/(y)dy, (23.18)

560
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
где
r(r т, м_ l ft>i(g,A)tia(y,A), 0<х<у;
°^'^^- *(0)W(0,A) Ь(у,АЬ(я,А), у < х < I. ^'Щ
Таким образом, доказана
Теорема 23.1. Если параметр А не является собственным
значением Ап оператора Li{x, D), то решение краевой задачи (23.1),
(23.2) существует, является единственным и задается
формулами (23.18), (23.19).
Используя полученные формулы, можно показать, что функция
G(x,y, А) удовлетворяет краевой задаче
[L2{x,D) + Ap(x)]G(x,y, A) = S(x - у), (23.20)
Vi(G(0,y, A)) = V2(G(l4z,\)) = 0. (23.21)
Действительно, из выполнения (23.21), согласно (23.18), следует
(23.2). Положив f(x) as S(x) и воздействуя на (23.18) оператором
£2(ж, #) + Ар(х), получаем (23.20).
С другой стороны, непосредственно из (23.18), (23.19) вытекает,
что
1) функция G(x,yyА) вещественна и непрерывна в квадрате х £
[0,4, у € [0,4;
2) производная G*(x, у, А) также непрерывна в указанном квадрате
за исключением диагонали х = у, где она имеет скачок
<?*(у + 0,2/,А)-С*(у-0,у,А) = щ;
3) вне диагонали х — у функция G(x,y, А) как функция х
удовлетворяет однородному уравнению
[L2(x, D) + Ap(x)]G(x,у, А) = 0, х =£ у,
с граничными условиями (23.21);
4) функция G(x,y, А) симметрична, т.е. G(x,y, A) = G(y,x,A).
Таким образом, для функции G(x, у, А), которую называют
функцией Грина краевой задачи с параметром, мы имеем два
эквивалентных определения: во-первых, как решения краевой задачи (23.20),
(23.21); во-вторых, как функции, удовлетворяющей совокупности
свойств 1-4, не использующих понятия обобщенных функций. И,
наконец, формула (23.14) означает, что функцию G(x,y, Л) можно

23. Краевая задача для уравнений с параметром
561
рассматривать как ядро интегрального оператора (Lo + Ар) ,
обратного к Lo(x. D) + Ар(ж), т.е.
(L2 + \p)~l(U + Xp)u(x) = u(x) = (li + АрГ7(*).
Таким образом, требование А ф Ап в теореме можно рассматривать
как условие существования обратного оператора (L? 4- А/?)"~ .
Естественно, что при А = 0 мы возвращаемся к обычной краевой
задаче и обычной функции Грина G(x,y).
Пример 23.1. Найти решение краевой задачи с параметром
(^+ *)«(*) = /(*)> (23-22>
Vi(ti(0)) = u(0) = 0, V2(u(l)) = u(l) = 0.
Решение. Следуя изложенному выше методу, найдем решение
однородного уравнения
и" + Хи = 0. (23.23)
Так как корни характеристического уравнения fei.o = ±\Л~^* то
фундаментальная система имеет вид
щ(х) = ev/=Xx, йз(я:) = e"v/ZXx.
Удобнее, однако, в качестве фундаментальной системы выбрать
функции
W~A (23.24)
«2(x) = i(e^X'+e-^Xa!).
Такой выбор становится понятным, если учесть, что при А —>• 0
получим
tii(x,0) = lim tti (ж. A) = ж, ii2(x,0) = 1,
которые образуют фундаментальную систему решений уравнения
(23.23) при А = 0. Таким образом, система (23.24) справедлива при
любых А.
В качестве функции vi(x,y), удовлетворяющей первому
граничному условию (23.22), можно выбрать функцию tii(sc,t/), т.е.
vi (ж, А) = щ (ж, А), (23.25)
так как
гл(0,А) =гл(0,А) =0.

562
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Для определения 1>з(#,А) положим
va(l, А) = Сип (х, А) + C2U2(x, A)
и потребуем
v2(J, A) = Cmi(J, A) + C2ii2(l, A) = 0.
Отсюда
'4i(*,A)
и
Со
vi(x.\) = —=-—-[t4i(Z, A)tii(x,Л) -tii(J,A)u2(a:,A)].
Выбирая С-2 = —tti(Z, А), с учетом (23.24) имеем
v2(x, A) = —L^e^***-'* _ e"^^^"0]. (23.26)
По (23.24), (23.25) и (23.26) вычислим вронскиан
W(vi,v2)= (23.27)
2л/=Л1 J 2x/=AL J
[ev-A'-e"v-AI]
Так как А:(ж) = 1, a W(vi, V2) не зависит от ж, то G(:c,t/, А), согласно
(23.19), запишется в виде
°<**Л>%^-,-</=» i75?x (23-28)
Г [е^* - e-V=A*][ev/=A<y-D _ е-ч/=А(у-П] о < ж < у;
Х \ [ev^X» _ e-,/=3i,][eV=X(.-i) _ е-^=Х(-0] у < х < /.
Для конкретных А выражение (23.28) можно записать
а) А = -ш2 < 0, \/-А = о;,
ГЧ-г ♦, \ъ - l i sh wxdl Ш(У " О» ° < * < У5 /оо оол
G(l'y'A)-^Wlsh,yshW(x^), y<x</. (23*29)
б) А = ш = 0,
^.o)=Ht!|: J^<1? <23-30>

23. Краевая задача для уравнений с параметром
563
в) Л = и!2 > 0, у/—\ = ш,
Легко заметить, что промежуточный случай б) (23.30) может
быть получен из а) (23.29) и в) (23.31) предельным переходом при
Л = ±и2 -> 0. Действительно, например,
lim —; sin их sin и (у — I) =
, .. «iimmr sinujy-l)
iy-Ч,. a>* u,(y-/) *(*/-*)
= : lim : ; = ;
w/
и т.д.
Для всех трех случаев решение задачи (23.22) определяется
выражением
/
и(х,\) = IG(x,y,\)f(y)dy. (23.32)
о
Однако если для случаев а) и б) решение (23.32) существует и
однозначно, то для случая в) при Л = (тгп//)2 (и = тт//), п = 1,оо,
решение (23.32) может не существовать, поскольку
последовательность (nn/l)", п = 1,оо, представляет собой спектр собственных
значений А„ задачи Штурма-Лиувилля
t^ + A„u„ = 0, u„(0) = un(l) = 0, ж £ [0,/], n = l,oo
с собственными функциями (см. пример 2.1 разд. «Задача Штурма-
Лиувилля» части III)
tx„(ж) = С„ sin ^^-. (23.33)
По поводу решения задачи (23.22) при А = (irn/l)~ см. пример
23.4.
Пример 23.2. Для задачи Штурма-Лиувилля (23.6) найти
условия, при которых А = 0 является собственным решением задачи, а
также соответствующую ему собственную функцию.
Решение. Пусть ио(х) - собственная функция, соответствующая
собственному значению А = 0, т.е.
L2(x,D)u0(x)=0. (23.34)

564
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Тогда, согласно (23.3) и (23.34), выражение
i
(\nUn(x)\un(x)) = / Xnp(x)u^(x)dx =
о
/
= - [L2(x,D)un(x)]un(x)dx
о
для «о(ж) и Л = 0 принимает вид
i
J {[к(х)щ(х)]' - q(x)uo(x)}u0{x)dx = 0. (23.35)
о
С учетом того, что
[k(x)u'0(x)]'uo(x) — [u0(x)k(x)uo(x)]' - и'0(х)[к(х)щ(х)]'
выражение (23.35) можно записать
/
- J' {k(x)[u'0(x)f + q(x)ul(x)}dx+
о
+fc(x)«o(z)iii(:c) =0. (23.36)
Поскольку из (23.2) имеем
«i(0) = £!1„(о), «'(«) = - ^«(1),
«1 /*1
то (23.36) примет вид
1
- / {Чх)[и0(х)]2 + q(x)tio(x)}dx-
0
-fc(0)^V(0) - k(l)—u2(l) = 0 (23.37)
Pi «i
(последние слагаемые при сц = /9i =0 отсутствуют). Из (23.37) в
силу предположения, что для всех х £ [0,Z] величины к(х), </(ж), а,-,
/3/ не могут быть отрицательными, а к(х) еще и отлична от нуля,
приходим к заключению, что
к(х)[и0(х)]2 = 0, q(x)u20(x) =0, а0=ро= 0,

23. Краевая задача для уравнений с параметром
565
откуда следует, что для uo = const ф О необходимо выполнение
условия q(x) = ао = Ро = 0. Покажем, что эти условия являются и
достаточными.
Пусть q(x) = a0 = 0о = 0. Тогда в силу (23.5) ах > 0, /3i > 0, и
задача (23.6) превращается в следующую:
[k(x)vt>(x)]'+ \p(z)u(z) = 0,
ti'(0) = u'(l) = 0,
для которой г*о = const'есть собственная функция,
соответствующая собственному значению Л = 0.
Таким образом, мы показали, что необходимыми и достаточны-
ми условиями, при которых Л = 0 есть собственное значение задачи
(23.6), являются равенства
q(x) = ао = /Зо = 0, (23.38)
причем собственная функция ио(х)) соответствующая собственному
значению Л = 0, является постоянной.
23.2. Краевая задача для уравнения Бесселя
Рассмотрим краевую задачу (23.1), (23.2) для конкретных
функций к(х) = р(х) = ж, a q(x) = v~ /x. В этом случае
lim к(х) = 0,
«-►о
и первое граничное условие (23.2) следует заменить условием
ограниченности функции в точке х = 0. Таким образом, мы приходим к
задаче
(т-я-г-- — +Xx)u(x,\) = f(z), х G]0,/[; (23.39)
\ах ах х. /
|и(0)| < оо, /МО + Piu'(l) = 0. (23.40)
Уравнение (23.39) при f(x) = 0 является уравнением Бесселя с
индексом v и имеет следующую фундаментальную систему
решений (см. разд. «Функции Бесселя второго рода» части III)
mi (ж, А) = Jy{V\x), и2(ж,А) = Ny(V\z), (23.41)
определитель Вронского которой равен
W[ju(y/\x),Nl/(\rXx)] = —.
Поскольку при к(х) = х
k(x)W[jv(y/\x),Nr(V\xj\ = — (23.42)

566
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
не зависит от ж, то для построения функции Грина G(x, у, Л) задачи
(23.39), (23.40) можно воспользоваться формулой (23.19).
Для этого т(ж, А) можно выбрать в виде
vi(ж,Л) = J^y/Xx), v ^ 0, (23.43)
так как
lim |.7|/(>/Ля:)| < оо,
а и2(ж, Л) положить
v2(x,\) = С,Л(У^ж) + С2ЛМ\/Ла:) (23.44)
и потребовать выполнения второго граничного условия
At*(Z,A)+j0|t>i(J,A) = O.
Отсюда
и2(ж, А) = -С2[А^„(^\х) - N„(V\x)l (23.45)
где
А = PoN^VXl) + ft У^АЛГЛ y/AQ
Выбрав С2 = -1, с учетом (23.19), (23.42), (23.45) и
Ж(и1(ж,А),г12(ж,А)) =
= И^(Л(ч/Аж), Л,Л(\/Аж) - tf„(vbc)) = -—,
ттж
G(x,y,A) = - —х (23.46)
7ГЖ
^ f Л(Ч/Аж)[А„Л(л/Ау) - ЛМл/Ау)], 0 < ж < у;
откуда
и(ж, А) = / £(ж, у, A)/(y)dy. (23.47)
о
Найдем теперь функцию Грина краевой задачи (23.39) при А =
0.
Для уравнения Эйлера
v1
[жи'(ж)]' и(х) = 0 (23.48)
ж

23. Краевая задача для уравнений с параметром
567
вместо стандартной системы ж", ж " выберем функции
щ(х) = ж", и2(х) = -^(ж" - яг""), v > О, (23.49)
которые образуют фундаментальную систему решений и при v = 0.
Действительно,
lim wi (ж) = 1, lim «2 (ж) = lim -Цж" - ж"""") = In ж, (23.50)
т.е. функции (23.49) при v = 0 удовлетворяют уравнению (23.48) и
линейно независимы. В качестве функции vi(x), удовлетворяющей
условию (23.40), можно выбрать функцию
vi(x) =ul(x) = x". (23.51)
Для определения ги(ж) положим
^2 /_" _-"\
и потребуем
Отсюда
Vb(x) = Cix,'+ ^-{xu -x~u)
/W0 + /W) = 0.
/v C/2 / |/ -|/v
где
* e'"(/W+fti/)' l '
Выбрав Сз = 1, имеем
ti2(x) = £-(a„xv - ж"1'). (23.53)
По функциям (23.51) и (23.53) вычислим определитель Вронского
W(vi(x),V2(x)) = w[x\ ^(а„*" - *"")) = ~.
Тогда
fe(^(t'iW,t'2(x)) = l,
и, согласно (23.19), функция Грина принимает вид
2" t l/ [а„аг -х v\s у < х < I.
Формула (23.54) справедлива и при v = 0, так как
lim — (а„ж" - ж"~") = --L+]n-
*>-м> 2f /?о/ *

568
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
и, следовательно,
( -fr+lnf- °<*<j«
C(*.¥.°)L. = i А , * , (23,55)
Таким образом, решение задачи (23.39), (23.40) при Л = 0 по-
прежнему определяется формулой (23.47), где функция G(x< у, А)|а=о
G(x,y,Q) задается выражением (23.54) или (23.55) (при v = 0).
Решение краевой задачи (23.39), (23.40), определяемое функцией
(23.47), однозначно и существует для всех А, не являющихся
корнями уравнения
АЛЫ + у7-Ш = 0, 7 = V\L (23.56)
так как корни 7п уравнения (23.56) образуют спектр собственных
значений А = (7п)" задачи Штурма-Лиувилля для уравнения
Бесселя с собственными функциями
Un(x)='CnJ„(l2-xy
п = 1,оо
(см. разд. «Задача Штурма- Лиувилля для уравнения Бесселя»
части III).
При v = 0 из (23.56) следует, что спектр собственных значений
включает и значение А = 0 с собственной функцией, являющейся
постоянной, если /Зо = 0 (из примера 23.2 следует аналогичный
результат: если А = 0, то и = /Зо =0).
Таким образом, в тех случаях, когда А = (7п/02 и А = 0 (/у =
(Зо =0), решение краевой задачи (23.39), (23.40) неоднозначно и
существует для узкого класса функций f(x). К исследованию этих
случаев мы и перейдем, рассмотрев следующий пример.
Пример 23.3. Найти решение краевой задачи
хи"(х) + и'(х) - —и(х) = х2 - 2х + \\ (23.57)
х 3
|ti(0)|<oo, 0ot*(l) = O, A>#0, ж€]0,1[.
Решение. Так как /Зо Ф 0, то А = 0 не является собственным
значением соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, и,
следовательно, решение задачи (23.57) существует, является единственным и
определяется формулами (23.47), (23.54)
к

23. Краевая задача для уравнений с параметром
569
1
+ '£ [Ы" - У-") (у2 - 2у + fjdy. (23.58)
При v ф 1,2,3 интегрирование в (23.58) дает
и(х) = **Г- -- (fl_2fl + ?.fl) Г ^33.59)
v/ 2i/ \3 + z/ 2 + i/ 31 + i//lo
+ ^Га (У**" 2у2+У I 2УД+^Г
2fy L Чз + i/ 2 + 1/ 31 + I//L
\3-i/ 2-t/ 3 1-I//U
з .
9 — i/J 4 — i/J 2i/
где
_ 3(а„ - 1) - //(а„ + 1)
9 — и-
2(а„ - 1) - i/(qy + 1) 2 (а„ - 1) - i/(oy + 1)
4-1/2 3 1 - */2
При // = 1 в (23.60) слагаемое yl~v j(\ — //), естественно,
заменяется величиной Int/. Аналогично находится и(х) при i/ = 2 и ^ = 3.
23.3. Нормальная разрешимость краевых задач
Каждая краевая задача (23.1), (23.2) порождает две
вспомогательные задачи (23.6) и (23.2Q), (23.21) со специальными правыми
частями, равными нулю и 6(х — г/), соответственно. Выпишем их
еще раз, положив для простоты р(х) = 1,
[L2(x,D) + \n)un(x) = 0,
Vi(«») = Vr3(«„) = 0 ( ' '
[L2(x,D) + \]G(x,y) = S(x-y)t
V,(G) = V2(G) = 0. (23,62)
Задача Штурма-Лиу вилл я (23.61) определяет значения
параметра Л (Л ф Л„), для которых существуют однозначные решения
исходной краевой задачи. А задача (23.62) определяет явный вид
этих решений
i
«(ж, Л) = / G(x, у, \)f(y)dy. (23.63)

570
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Покажем, что, наряду с уже полученным представлением
функции Грина в виде (23.19), справедливо представление в виде
разложения по собственным функциям ип(х) задачи (23.61) (см. главу
«Интегральные уравнения» части IV)
G(x, у, А) - ^ ГЛ_Л . (23.64)
»=i
(А-А„)||и„(*)||2
Система функций ип(х) полна (см. разд. «Задача Штурма-Лиувил-
ля» части III и разд. «Дельта-функция Дирака и ортонормирован-
ные системы функций»), и, следовательно, дельта-функцию 6(х — у)
в (23.62) можно представить в виде
un(x)u„(y)
с/ ч V^ U'AX
(*)ll3
Функцию С?(ж, у, Л) будем искать в виде разложения по собственным
функциям задачи Штурма-Лиувилля
СЗ?(ж,у,Л) = 5^С?„(у)м„(я:).
Подставив полученное выражение в уравнение (23.62), получим
un(x)un(y)
— i n_i
Un(y)
откуда следует
G„(y) =
(A - A„)|M*)|P
и, соответственно, (23.64).
Подстановка (23.64) в (23.63) также позволяет получить
решение краевой задачи в виде разложения по собственным функциям
ип(х) («разложение по главным колебаниям»)
где
«(«)=Y, лтс'''^' (23,65)
п= 1
f f(x)un(x)dx
; = ° — = vw^j*». (23.66)
Как следует из (23.64), собственные значения Л„ являются прос-
тыми полюсами функции G(.T,y, А). Это означает, что при Л = Л„

23. Краевая задача для уравнений с параметром
571
краевая задача для произвольных функций f(x) решения не
имеет. Однако можно указать условия, которым должна удовлетворять
функция /(х), чтобы решение краевой задачи существовало.
Пусть Л совпадают с некоторым собственным значением А*, т.е.
Л = А*. Тогда u(x,Afc), согласно (23.65), можно записать
, х Ч ,. fkUkjx) УГ-У /„tin (ж) ,0 г7,
t*(a;,Aft)= hm -г — + > —. (23.67)
\->\к А — А/ь ^-^ Ад. — Лп
Если предположить, что решение (23.67) существует, то это будет
возможно при условии fk = 0. Другими словами, справедлива
Лемма 23.2. Необходимым условием существования решения
краевой задачи (23.1), (23.2) приХ = А* является условие
ортогональности
1
(/(
x)\uk(x)) = I f(x)uk(x)dx = 0. (23.68)
о
Доказательство. Условие (23.68) очевидным образом вытекает из
условия fk = 0 и формулы (23.66). Напомним лишь, что для А =
At = 0 собственная функция но = const.
0 Краевые задачи, имеющие решение при выполнении условия
23.68. называют нормально разрешимыми. В этом случае
решение задачи неоднозначно и определено с точностью до
слагаемого Сип(х)< где С - произвольная постоянная, а ип(х) -
собственная функция задачи Штурма-Лиувилля, отвечающая собственному
значению Ап.
0 Аналогичная проблема возникает в линейной алгебре при
решении систем Lu — /, где и,/ £ М", a L — квадратная матрица
размера п х п. Если матрица L обратима (det L ф 0), то и = L"1 /;
если же матрица L необратима' (det L — 0), то система, как правило,
не имеет решении, за исключением векторов /, удовлетворяющих
условию ортогональности / _L KerL*. где Кег L* —
подпространство R", состоящее из решений сопряженной однородной системы.
Такие системы называются нормально разрешимыми.
Для краевой задачи (23.1) условие А = A* (detV(A„) = 0),
согласно (23.11)), делает оператор L,2(x,D) + А* необратимым, так
как его интегральное ядро G(x,y, А*) не определено, поскольку А*
является полюсом функции £(ж,у, А). Если краевая задача (23.1)
при А = Ап нормально разрешима, то ее решение можно
представить формулой (23.63) с помощью модифицированной (обобщенной)
функции Грина Gn(x,y).
♦ Функция Gn(x.y) называется модифицированной функцией
Грина краевой задачи (23.1), если она удовлетворяет уравнению
[l*(x,D) + A„]G„(x,y) = S(x -у)- t'"j.a:)""(y) (23.69)

572
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
с граничным условием
Vi(G„(0,y)) = V2(Gn(Ly)) = 0. (23.70)
где А„ — собственные числа, а ип(х) — отвечающие им
собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (23.61).
Легко проверить, что решение задачи (23.1), (23.2) и(ж,А„)
имеет вид
/
t*(*,A„) = /Gn{x,y)f{y)dy. (23.71)
о
Действительно, из выполнения граничных условий (23.70) следует
выполнение условий (23.2), а действие оператора Ln(x^D) — Хп на
(23.71) обращает его в тождество
i
[La(«,D) +A„]t*(a?,A„) = /[L2{x,D) + \]Gn{x,y)f(y)dy =
о
о
Поскольку функция u(XyXn) определена с точностью до
слагаемого Сип(х), С = const, являющегося решением однородного
уравнения (23.6), то для однозначного определения этой постоянной
модифицированную функцию Грина Gn(x^y) можно подчинить
условию
/
I Gn(x,y)un{x)dx = 0. (23.72)
о
Уравнение для Сгл(х,у) отличается от уравнения для
С?(ж, у, А) наличием дополнительного к 5(х — у) слагаемого, равного
Un(x)un(y), т.е. кроме точечного источника присутствует
дополнительный непрерывно распределенный источник.
Физически это означает, что для собственных (резонансных)
частот (струны или стержня) конечное статическое отклонение
невозможно при наличии только сосредоточенной силы и необходима
непрерывно распределенная сила. Другими словами,
«статического» резонанса можно избежать с помощью специальной
непрерывно распределенной силы, обеспечивающей отсутствие резонансных
гармоник в разложении (23.67).
Все сказанное справедливо и для случая А = 0, что
соответствует резонансу на нулевой частоте.

23. Краевая задача для уравнений с параметром
573
Решение задачи (23.69), (23.70) при условии (23.72) может быть
найдено методом, аналогичным изложенному в разд. «Другие
методы построения функции Грина». Действительно, обозначив через
9п{х*У) любое частное решение уравнения (23.69) при х ф у, а
через йп(х) — линейно'независимое с un(x) решение уравнения (23.6)
(tin (я) не удовлетворяет граничным условиям, которым
удовлетворяет и„(ж)), функцию Gn(x,y) ищем в виде
п (~ *л ,. <~ *л J- fCiun(x) + Сзи»(ж), 0 < х < у; (t)r^ 7q,
Gn(x,y) = </„(*, у) + (Сайп(^ + c4un(x), у < я < J. <23'73)
Повторяя затем совместно с (23.72) все выкладки разд. «Другие
методы построения функции Грина», приводящие к однозначному
определению коэффициентов С, и, следовательно, функции Сг„(;п,у),
можем утверждать, что справедлива
Теорема 23.2. Необходимым и достаточным условием
нормальной разрешимости краевой задачи (23.1), (23.2) является условие
(23.68). При этом решение выражается в виде (23.71), где
модифицированная функция С7п(ж,у) определяется формулами (23.69),
(23.70), (23.72).
0 Функция (23.71) определена с точностью до слагаемого Си„(;п),
где С - произвольная постоянная. Однозначный выбор решения
можно осуществить, подчинив функцию Gn{x,y) условию
(ti(a:)|ti„(a:)>=0,
которое эквивалентно условию (23.72).
О Несложная, но громоздкая задача построения Суп (х,у) (см.
пример 23.4) может быть заменена корректным предельным
переходом в формулах (23.63) и ($3.67). Действительно, раскрытие
неопределенности в первом слагаемом (23.67) позволяет получить
решение и(х,Хп) задачи (23.1) при Л = Лп в виде
i
)= lim u(rc,A) = lira / G(x,y,A)/(y)dy, (23.74)
A-+An A-»An J
0
что мы и проиллюстрируем следующими примерами.
Пример 23.4. Найти решение краевой задачи
и"(х) + {^pj u(x) = х(1-х)ц х €]0,/[, (23.75)
«(0) = и(1) = 0.

574
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Решение. Задача (23.75) характеризуется тем, что решение
однородной задачи совпадает с собственной функцией
t \ /г". 2тг
^2{х) = Wyan—ж,
соответствующей собственному значению Лг = (2тг//)2, т.е.
задача (23.75) имеет не единственное решение. Легко проверить, что
задача является нормально разрешимой, так как
' Г '
/ x(l — x)u-2(x)dx = \/ - I х(1
27Г
ж) sin— dx = 0. (23.7C)
Обозначив для удобства А„ = u;?,, wn = тгп/Z, f(x) = х(1 — х)
рассмотрим возможные методы решения задачи.
I. Найдем модифицированную функцию Грина Go(x,y). Для
этого нам необходимо любое частное решение уравнения
/ d2 Л 2
( -j-j + <*>2 )92(х,у) = - j smw2x sin ш2у. (23.77)
Применив к (23.77) метод неопределенных коэффициентов, получим
9п{х,у) = — 0 (sina/2x — 2u^cosu^)sinu;2y. (23.78)
Поскольку ii2(x) = cosubx, то С?2(ж,у), согласно (23.73), имеет вид
Ci (ж, у) = — n(siviu)ix — 2u>ix cos о^ж) sin u>iy+
2(0^2
{Ci cosu^-f C3 sin a/2 ж, 0 ^ x < y,
C2 cos о;2Ж -f C4 вти^ж, у < x ^ /,
где постоянные С, должны быть определены из условий (23.69),
(23.70), (23.72).
Граничные условия (23.70) дают
G2(0,y) = C, =0,
Cl (1-, У) —, Sin W2t/ COS ш1 -f Со COS 0/2^ = 0,
U*2
откуда следует
С,=0, СЬ = -=^^. (23.80)

23. Краевая задача для уравнений с параметром
575
Условия непрерывности функции Gi(x< у) и ее производной OGi (х, у)/Эх
при х = у приводят к уравнениям (см. разд. «Другие методы
построения функции Грина»)
(Со — Ci) cos ш>у + (С* — Сз) sin ufjy = 0,
—(Со — С\ )ш2 sinu^y -f (Ca — Сз)и>2 coswoy = 1,
которые с учетом (23.80) вырождаются в одно, имеющее решение
СЛ-СЯ = С^^. (23.81)
U72
Выразим Ci через Сз и перепишем (23.73) в виде
G2(x,y) = — O(sino;oa; — 2a;oa:cosa;oa:)sina;oy-f
{"О, 0 < х < у,
sinayo(g--y) . (23.82)
» J/ *ч х ^ t.
W2
Оставшуюся постоянную Сз можно найти, подставив (23.82) в (23.72).
Такая подстановка дает
— 2 sina>2У / sin2 ш^х dx — 2a; / а: cos и>2Ж sin w^x dx
о
/ /
/•2 , , /si
sin u/2icax+ / —
о
+C3 / sir? w2xdx+ J slnu,2^x " y> sm(jj2xdx = 0. (23.83)
Учтя, что
/ • > * /
/ sin" а»2жс&с = —, / arsin2a>2a:ckc =
I
'2u>2'
о
/
sinu>2(:n -y) . , 1 . 1-У
smwixdx = sin ш2у + — cos a>2y,
из (23.83) находим
^з = ^7~o- sinш2у - -r— cosa»2y.

576
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Подставив найденное значение С$ в (23.82), получим
окончательное выражение для (?2(я,2/):
1 I — У
G2 (я, У) = -,— sinwal/coso^JC ; cosubysino^a: + (23.84)
ia/2 1ь>2
Г:
\ sir
* 0 < x < у,
+ <j «nq»(«-y) у<ж</
0/2
Решение задачи u(x,u)2), согласно (23.71), дает интеграл
/
u{x,u%) = / G(x,y)y(l - y)dy.
о
Из явного вида функции G2{x,y) в форме (23.85) с учетом
соотношений
f
/
о
х
2 Z2
y(y-l) cosu2ydy = 2",
[sinU72 (у - x)]t/(Z -y)dy =
1 Г /, ч * . 2 /, ч1
= \-Xll — Ж) Н Sinu^E т(1 — COSO>2#)
W2 L a>2 w; 'J
находим решение задачи
2 ж(^-ж) 2
Ця,^) =,——о—- H г(^ "~ сови^ж) =
= (_L)2[I(z:x)+4(^.)2sin^]. (23.85)
II. В случае в) Л = ш2 > 0 примера 23.1 получена функция Грина
G,(.,yV) - -^-у J8!0^8Ь^ - J)' ° < • < * (23.86)
w sin он ^sma;ysina;(x — Z), t/ < x ^ Z.
Покажем, что выражение (23.85) для G2(x,y) может быть
достаточно просто получено из (23.86) предельным переходом
G2(x,y) = lim —: -х
w-¥W2 ю email

23. Краевая задача для уравнений с параметром 577
sinu>xsinu(y-l)]l, 0^x<y,
sino/y sino/(:n — 1)]'ш-> у < х ^ I,
/[si
х (и
где штрих обозначает производную по параметру о/.
Действительно, выполнив в (23.87) операции
дифференцирования, получим
1
^2 (ж, у) = lim
w-fu>2 sin o/Z -f о/ cos o/Z
(x cos их sin o/(y — I) + (y — I) sin о/я cos o/(y — Z), 0 ^ ж < у,
(j/cos о/у sin о/(ж — I) -f (y — Z) sino/y cos о/(ж — Z), у < ж 3j Z,
откуда с учетом sino^Z = 0, cosu7o/ = 1 имеем
G2(x,y) = ^-x (23.88)
O/2Z
{Ж COS
у cos
COS W2Ж Sin 072У + (У — J) Sin 0/2 2; COS U72У, 0 ^ X < y,
cos o/2у sin o/2x + (y — Z) sino/y cos0/2ж, у < x ^ Z.
Выражение (23.89) легко приводится к (23.85), если представить
(23.89) в виде
С?2(х,у) = —г Kccosobxsinoby + (у — Z)sino/22ccoso/2yl+ (23.89)
< х < у,
Г О, О
1 G, у
+ <1 ^ у<х^1,
где
G = у COS О/2У Sin 0/2Ж + (у — Z) Sin 0/2У COS Ш2Х —
—ж cos 0/2 ж sin 0/2 у — (у — Z)sino/2xcoso/2y.
Упростив это выражение, найдем
G = Zsino/2(x — у)
и сводит (23.90) к (23.85).
III. Покажем, что решение и(ж,о/2) (23.85) можно получить
предельным переходом
i
и(ж,о/2) = lim и(ж,о/2) = lim / <3(ж,у,о;2)/(у)<*у, (23.90)
0

578
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
где f(y) = y(l — у) согласно условию задачи, Ст(ж,у,а/-) определено
выражением (23.86) (см. пример 23.1).
Действительно,
/
и(х,ш2)= / G(x,y,w2)y(l-y)dy =
о
х
= —: - < sin о>(ж - /) / y(l - у) sin wy dy+
о/ sin ul [ J
0
I
-f sin о/ж / у (I - t/)sinu>(t/ - l)dy >. (23.91)
X
А поскольку
X
I V'{l - У) sin vydy =
0
1 Г „ l-2x . 2 ,ч Л
= — \x(l — ж) cos а/ж H smu/ж H—r-(l — cos а/ж) ,
u/ L a; a»- J
2/(Z — y) sin u/(2/ — l)dy = — < ж(/ — ж)со8а/(ж — Z)~
a/ I
sinu/fx —I) ^-[1 — cosu/(x — /)] >,
a/ a/2 J
то (23.91) принимает вид
м(ж,аГ) =
= —: -\ — -[sina^cosa/ta — I) — cosu/xsina/(a: — I)] +
a/sina// L a/
+ — {(1 — cos и/ж) sin о/(ж — /) — [1 — сова/(ж — I)] sin а/ж} >.
Воспользовавшись известными тригонометрическими
соотношениями, это выражение можно записать как
В результате, согласно (23.90) и с учетом cos(u/2//2) = cos7r = —1,
приходим к (23.85):
и(ж,0>2) = Ит — ж(/ — ж) Ч -(1 — СО8 0/2Ж) =
w-fw2 a/2 L ш~ J
/■

24. Обобщенная задача Коши
579
Пример 23.5. Найти решение краевой задачи
[хи{х)]' = ж - 2ж + |, | lim u(x)\ < оо, ti'(l) = 0. (23.92)
3 х-+о
Решение. Имеем частный случай задачи (23.39), (23.40) при и =
/?о = 0. Следовательно,, Ао = 0 является собственным значением
однородной задачи (23.92) с собственной функцией t*0 = 1. Для
выяснения разрешимости задачи (23.92) проверим ортогональность
функций «о и х1 — 2х •+■ 2/3. Поскольку
/(■
хА - 2а; + -Л&Х = 0,
заключаем, что задача является нормально разрешимой. Для
нахождения решения вместо громоздкой процедуры построения
модифицированной функции Грина воспользуемся решением (23.60)
примера 23.3, положив /?0 = 0.
При /?о = 0 наша задача (23.92) является частным случаем
задачи (23.57) с решением
так как а„ = — 1, А„ = 0. Искомое решение и(х) получаем из (23.93)
предельным переходом
хг х2 2
и(х) = lim t«(i,i/) = — - — + -х.
х-+о У Z 6
24. Обобщенная задача Коши3"
Среди краевых условий общего вида (21.1) рассмотрим те,
которые соответствуют нулевой матрице b*m = 0 и единичной матрице
акт = Sum, т.е. условия
Vl(n) = u(0) = 0,
V2(u) = u'(0) =0,
VM(u) = w(,-l>(0) = 0, J
V Vfc(ti) = ti,*"1,(0) = 0, fc = l,n, (24.1)
задаваемые в одной точке х = 0 интервала ]0, /[ (или ]0, оо[), в
котором определено дифференциальное уравнение (18.1) (или его
частные случаи).

580
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Граничные условия (24.1), как известно, называют условиями
Коши, или начальными условиями, когда независимая переменная
имеет смысл времени, а соответствующую задачу (18.1), (24.1) —
задачей Коши. Краевые условия Коши (24.1) выделены среди
прочих (21.1) тем, что однородное уравнение (18.1) всегда имеет только
тривиальное решение. А это влечет за собой существование
единственного решения неоднородного уравнения (18.1) (по крайней мере,
в пространстве обобщенных функций).
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (19.1) с
неоднородными начальными условиями вида (24.1)
L(D)u(x) = /(ж), х ф,1[ Гили х €]0,оо[), (24.2)
u{k) (0) = ил, k = 0,n-l. (24.3)
Напомним, что аналогичная задача рассматривалась нами
методами операционного исчисления (см. разд. И.37.1.). Покажем, как
решение задачи (24.2), (24.3) может быть получено с помощью
формализма обобщенных функций.
Продолжим функции и(х) и f(x) нулем на х < 0, обозначив
продолженные функции через й(х) и /(ат), соответственно. Теперь
понятие обобщенных производных, естественным образом
учитывающих скачки u^(0) = Uk в точке х = 0, позволяет свести задачу
о нахождении решения уравнения (24.2) с начальными условиями
(24.3) к одному уравнению, в обобщенном смысле свободному от
каких-либо дополнительных условий.
Действительно, пусть u(x) = 9(x)u(x), f(x) = 0(x)f(x),u(x), f(x) (
D+. Согласно (14.6), имеем
u(x) = 0(x)u(x) + u(0)S(x)
или с учетом начальных условий (24.3)
u(x) = 0(x)u(x) +ио6(х).
По индукции находим
uik) (х) = 0(x)u{h) (х) + Y, t*«*(*"TO-1) (s), к = ТЯ (24.4)
т=0
Из (24.2) с учетом (19.2) и (24.4) получаем
п-1
{L(D)u(x)} = L{D)u(x) - J2 CkSW (x) = /(«), (24.5)
k = 0

24. Обобщенная задача Коти
581
где {L(D)u{x)} = e(x)L(D)u(x) — регулярная часть производной
L(D)u(x) = L(D)0(x)u(x)i а Си выражаются через пи следующими
соотношениями:
Pit*o +patii +...+Pn~-i«n-2 +pnti«_i = Co, (24.6)
Patio + ... + p»-i ti#,-a + prttth-2 = C7i,
Pn-itio +p««i = С„_2, (24.7)
p«tio *= CV»-i«
Таким образом, функция й(ж) в обобщенном смысле удовлетворяет
уравнению
L(D)u(x) = />) + ]Г С*<*(*> (в), * € R. (24.8)
*t±0
Пусть </(ж) - фундаментальное решение оператора L(D)^ тогда
согласно (19.5), (16.5), (16.6) решение уравнения (24.8) определяется
сверткой
Ч*) = *(*) * (/(*) + J2ck6<k)(x)\ =
п-1
= </(*) * /(*) + ]Г <W> (*), (24.9)
*=о
которая существует и является единственной в силу
единственности д(х) в V\. Согласно теореме 20.1 д(х) = в(х)е(х) и с учетом
(16.8) решение (24.9) можно записать
й(х) = в(х) е(х - y)f(y)dy + в(х) £ Ckew (*), (24.10)
*=0
где е(х) есть решение задачи (20.1), (20.2), а С* определены
формулами (24.7).
Формула (24.10) при х > 0 дает искомое решение задачи Коши
(24.2), (24.3)
Г
и(х) = / е(х - y)f(y)dy + ^ Ске{к) (*)• (2*-И)
о *=°
Таким образом, справедлива

582
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
Теорема 24.1. Если /(ж) € V\, mo решение обобщенной
задачи Кохии (24.8) существует, единственно и задается формулой
(24.10).
Пример 24.1. Решить задачу Коши
и" - 4u' + 5ti = е2а\ (24.12)
ti(0) = 2, ti'(O) = 3.
Решение. Согласно обозначениям, принятым в разд.
«Фундаментальные решения линейных операторов», дифференциальный
оператор уравнения (24.12) имеет вид
L(D)=p0+Pi^+p2^J,
где
р0 =5, pi = -4, Р2 = 1. (24.13)
В примере 19.1 показано, что фундаментальным решением этого
оператора в 2>+ является функция
д(х) = 0(х)е(х)1 е(х) = е"х sinrc.
Из (24.7) с учетом (24.13) и начальных условий (24.12) имеем
Со = (-4) • 2 + 1 • 3 = -5, Сх = 1 • 2 = 2.
Тогда из (24.10) или (24.11) находим решение задачи:
X
и(х) = £e2i*-y) sin(x - y\ydy - 5е2* sins + 2(e2ar sinrc)' =
о
= e2*(l 4- cos ж — sin ж).

Задания для самоконтроля
Теоретические вопросы
Часть I. Основы комплексного анализа
Глава 1. Введение в теорию функций комплексного
переменного
1. Комплексные числа и действия над ними
2. Алгебраическая и тригонометрическая формы
комплексного числа. Геометрическая интерпретация операций над
комплексными числами
3. Основные понятия множеств на комплексной плоскости.
Геометрический смысл
4. Предел последовательности. Бесконечно удаленная точка.
Расширенная комплексная плоскость
5. Ряды комплексных чисел. Необходимый и достаточные
признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость
6. Понятие функции комплексного переменного и ее
геометрическая интерпретация. Однозначные и однолистные
функции
7. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного
8. Функциональные и степенные ряды. Теорема Абеля.
Равномерная сходимость
9. Степенная и общая степенная функции
10. Тригонометрические и гиперболические функции, связь
между ними
11. Логарифмическая функция. Обратные тригонометрические
и гиперболические функции
12. Дифференцирование функций комплексного переменного.
Условия Коши-Римана. Понятие аналитической функции
13. Гармонические функции. Связь аналитических и
гармонических функций. Сопряженные гармонические функции
14. Интеграл от функции комплексного переменного и его
свойства
15. Теорема Коши для односвязной области. Понятие
первообразной. Формула Ньютона-Лейбница
16. Теорема Коши для многосвязной области
17. Теорема Коши и теорема Морера

584
Задания для самоконтроля
18. Теорема Коши и теорема Лиувилля
19. Интеграл Кощи для односвязной области. Теорема о
среднем
20. Интеграл Коши для многосвязной области
21. Интеграл Коши и принцип максимума модуля
22. Интеграл Коши для производных аналитической функции
23. Интеграл типа Коши
Глава 2. Теория вычетов и ее приложения
1. Область сходимости функционального ряда на
комплексной плоскости, Равномерная сходимость. Признак Вейер-
штрасса
2. Теорема Вейерштрасса для равномерно сходящихся рядов
3. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля.
Круг и радиус сходимости. Теорема о сумме степенного
ряда
4. Ряд Тейлора. Единственность разложения функции в
ряд Тейлора. Неравенство Коши для коэффициентов ряда
Тейлора
5. Ряды Тейлора элементарных функций
6. Ряд Лорана, Кольцо сходимости. Единственность
разложения функции в ряд Лорана. Неравенство Коши для
коэффициентов ряда Лорана
7. Изолированные особые точки аналитических функций и их
классификация. Определение целых и мероморфных
функций
8. Устранимая особая точка
9. Полюс, порядок полюса. Связь нулей и полюсов функций
10. Существенно особая точка.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса
11. Бесконечно удаленная изолированная особая точка.
Обобщение теоремы Лиувилля
12. Аналитическое продолжение, Теорема о единственности
аналитического продолжения
13. Непосредственное аналитическое продолжение через дугу
и принцип непрерывного продолжения
14. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей
15. Аналитическое продолжение методом Вейрштрасса.
Полная аналитическая функция

Теоретические вопросы
585
16. Понятие римановой поверхности. Точки ветвления
17. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах в конечной
области
18. Вычеты в устранимой и существенно особой точках
19. Вычисление вычета в полюсе
20. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о вычетах в
расширенной комплексной плоскости
21. Вычисление вычета в бесконечно удаленной особой точке
22. Понятие логарифмического вычета. Логарифмические
вычеты в нулях и полюсах аналитической функции
23. Логарифмический вычет мероморфной функции
24. Принцип аргумента и теорема Руше
25. Основная теорема алгебры
26. Задача Рауса-Гурвица
27. Вычисление определенных интегралов, содержащих
рациональные функции от тригонометрических функций, с
помощью вычетов
28. Несобственные интегралы в комплексной плоскости.
Критерии сходимости и главное значение
29. Вычисление несобственных определенных интегралов от
дробно-рациональных функций с помощью вычетов
30. Лемма Жордана
31. Вычисление несобственных определенных интегралов от ос-
цилирующих функций с помощью вычетов и леммы
Жордана
32. Лемма Жордана и интегралы Бромвича-Вагнера
33. Вычисление несобственных интегралов типа интегралов
Эйлера с помощью вычетов
34. Вычисление несобственных интегралов, имеющих
особенности на контуре интегрирования, с помощью вычетов
35. Суммирование рядов с помощью вычетов
36. Целые и мероморфйые функции. Теорема о разложении ме-
роморфные функции с конечным числом полюсов на
простейшие дроби
37. Теорема Миттаг-Леффлера для мероморфной функции
38. Бесконечные произведения, критерий сходимости.
Абсолютная и равномерная сходимость
39. Разложение целой функции в бесконечное произведение

586
Задания для самоконтроля
Глава 3. Введение в теорию конформных отображений
1. Производная функции комплексного переменного.
Геометрический смысл модуля производной
2. Понятие конформного отображения. Принцип соответствия
границ. Теорема Римана
3. Отображение, задаваемое линейной функцией
4. Отображение, задаваемое функцией w = 1/z. Круговое
свойство и свойство сохранения симметрии
5. Отображение, задаваемое дробно-линейной функцией
6. Отображение, задаваемое степенной функцией
7. Отображение, задаваемое показательной и
логарифмической функциями
8. Отображение, задаваемое тригонометрическими и
обратными тригонометрическими функциями
9. Отображение, задаваемое гиперболическими и обратными
гиперболическими функциями
10. Отображение, осуществляемое функцией Жуковского
11. Принцип симметрии в конформных отображениях
12. Принцип симметрии как метод аналитического
продолжения
13. Интеграл Кристоффеля-Шварца
Глава 4. Элементы операционного исчисления
1. Преобразование Лапласа. Оригиналы и обобщенные
оригиналы. Изображения: существование и аналитичность
2. Теорема обращения и формула Меллина. Единственность
обращения
3. Изображение простейших функций
4. Свойства преобразования Лапласа: линейность, подобие,
теоремы смещения
5. Дифференцирование оригинала и изображения
6. Интегрирование оригинала и изображения
7. Свертка функций. Теоремы умножения оригиналов и
изображений
8. Отыскание оригинала по заданному изображению. Теорема
единственности. Первая и вторая теоремы разложения
9. Формула Дюамеля
10. Теорема Эфроса

Теоретические вопросы
587
11. Интегрирование систем дифференциальных уравнений с
помощью преобразования Лапласа и интеграла Дюамеля
12. Интегрирование некоторых дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами операционным методом
13. Вычисление некоторых несобственных интегралов
операционным методом. Формула Парсеваля
14. Основные определения гамма-функции. Аналитичность
15. Аналитическое продолжение гамма-функции в область
Re z < 0. Полюсы гамма-функции
16. Основные свойства гамма-функции: основное
функциональное соотношение, формулы дополнения и удвоения
17. Бета-функция, связь бета- и гамма-функций. Основные
свойства бета-функции
18. Биномиальные коэффициенты й бета-функция
19. Интегралы Френеля и ошибок
Глава 5. Методы асимптотических оценок
1. Простейшие асимптотические оценки несобственных
интегралов
2. Асимптотические последовательности и их свойства.
Степенные асимптотические последовательности
3. Асимптотические ряды. Единственность
асимптотического разложения
4. Метод Лапласа. Лемма Ватсона. Вклад от внутренней и
граничной точек максимума
5. Метод стационарной фазы. Асимптотика фурье-образов.
Асимптотическая оценка интегралов Фурье, не имеющих
стационарных точек
6. Метод стационарной фазы. Принцип локализации. Лемма
Эрдейи. Асимптотическая оценка интегралов Фурье в
общем случае
Часть II. Элементы вариационного исчисления
и теории обобщенных функций
Глава 1. Элементы вариационного исчисления
в классической механике
1. Функционал, линейный функционал. Вариация и
экстремум функционала

588
Задания для самоконтроля
2. Основная лемма вариационного исчисления и следствия из
нее
3. Уравнение Эйлера
4. Система уравнений Эйлера
5. Принцип наименьшего действия (Гамильтона). Фазовое
пространство
6. Канонические уравнения Гамильтона
7. Первые интегралы системы Гамильтона. Скобки Пуассона
8. Канонические преобразования координат фазового
пространства
9. Тождество Якоби и теорема Лиувилля
Глава 2. Основы теории обобщенных функций
1. Пространства основных и обобщенных функций.
Сходимость в пространстве обобщенных функций
2. Пространства Шварца и обобщенных функций медленного
роста. Сходимость функциональной последовательности в
пространстве Шварца
3. Действия над обобщенными функциями
4. Дельта-функция Дирака и ее свойства
5. Секвенциальный подход и дельтообразные
последовательности
6. Обобщенные функции: постоянная, функция Хевисайда,
характеристическая функция отрезка
7. Обобщенные функции, порождаемые главными значениями
несобственных интегралов. Регуляризация
8. Некоторые представления основных функций
9. Производная обобщенной функции и ее свойства
10. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного
роста
11. Свертка обобщенных функций
12. Пространство квадратично интегрируемых функций.
Скалярное произведение, норма, ортогональность
13. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье. Полнота и
замкнутость ортонормированных систем
14. Дельта-функция Дирака и ортонормированные системы
функций
15. Классические и обобщенные решения дифференциальных
уравнений*

Теоретические вопросы
589
16. Фундаментальные решения линейных дифференциальных
операторов*
17. Функция Грина краевой задачи
18. Краевая задача для линейного дифференциального
оператора с параметром*
19. Функция Грина краевой задачи с параметром*
20. Краевая задача и функция Грина для уравнения Бесселя*
21. Нормальная разрешимость краевых задач.
Модифицированная функция Грина краевой задачи*
22. Обобщенная задача Коши*

590
Задания для самоконтроля
Индивидуальные задания
Вариант № 1
1.1. Найти все значения корня
а) ^2; б) УГ^7.
1.2. Представить в алгебраической форме
a) cli(3 + 7гг'/4): б) arccos(—Зг).
1.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать | cos z\ = у ch 2у — sin2 х.
1.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
у- ?
^ 5»-1 + п - \
1.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
z0 = г + 1 при отображении w = 1/z .
1.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + ги по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(zo)
а) v = х3 - Зху2 + Зх2 - Зу2, /(г) = 1 - Зг.
б) г* = — (cos ж sh у — 2жу), /(0) = 0.
1.7. Вычислить
(Re z + Im z)dz,
/<
r
где Г - ломаная с вершинами в точках z\ = 0, zo = 1, 23 = 1 + 2г.
1.8. Вычислить
dz
I
z3(z-2i)2'
r
где Г: a) \z\ = 1, б) |г - 2г| = 1, в) \г\ = 3.
1.9. Найти и построить область сходимости ряда
Е^'^'-Е^г
4"
п= — оо п=0
1.10. Найти первые три члена разложения функции f(z) = ez/z
в ряд по степеням (z — 1/2).
1.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
а) z*+z^-2z» Z0=0;
в) sm , zo = 1.
2 — 1

Индивидуальные задания
591
1.12. Для данной функции f(z) = thz найти изолированные
особые точки и определить их тип.
1.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
e?iz - 1 1
а) , 2 = тг; б) — -, 2 = 0;
2 + 7Г 23 — 26
ч ^3 + 1 1/- Л ч «** -1-5г
в) •—е '\ -2=0; г) —: , 2 = 0,
Z 81112 — 2
Ч 5i /1 , / ч Ч 112+24 x/iz-4)
2 = оо; 2 = оо.
1.14. Вычислить интегралы
а> / (. + »#.-IV б) / * + *1"**
|х|=3 |*|=1/3
оо <г+»оо
0 <г—»оо
2* 2ir
J 4V2smt + 6 У (1 +
о о
о , dz, a > 0;
2- + 1
y/lO/llcoet)2"
1.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) D:{\z\>7}, "=^±4;
б) D : {0 < Re z < тг}, to = cos z;
в) JD : {|«| = 1, 0 <arg2 ^ тг/4}, w = z4.
1.16. Конформно отобразить область .D : Uz\ < 1} на область
D* : {\w\ < 1} при условиях w([l +1]/2) = О, «Г([1 +1]/2) = a.
1.17. Найти изображение указанных функций
а) e5tsin2i; ' б) (I - cos t)/t.
1.18. Найти оригинал по заданному изображению
е"р р3
а) Я^ту б) (Р~тр-
1.19. С помощью формулы Дюамеля найти решение
дифференциального уравнения
х - х = tht, ж(0) = ж(0) = 0.
1.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + х = cos fc, ж(0) = 0, х(0) = 2;
б) x + 4:c = 4e2t +4fc2, ж(0) = 1, ж(0) = 2;
"> *+* = { £ ?>2,<2' .(0)=*(0)=0.

592
Задания для самоконтроля
1.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
$ + (2*-1)ж-Н*-1)ж = 0.
1.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Вариант JVe 2
2,1. Найти все значения корня
а) УП=~7; б) >/-2 + 2«\/3.
2.2. Представить в алгебраической форме
a) sh(2-7r$); б) ai'cth(i~il).
2.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать | sh z | — \/ch 2x — cos3 у,
2.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
п + Ъг g л/^'
2,6, Найти угол поворота а и коэффициент растяжения h в точке
2о ж 2г при отображении w = I/*3.-
2.6. Найти аналитическую функцию f{z) = u + *v по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(«о)
а) г» =; 2(ch х siny - жу), /(0) = 0;
б) г* ss ж2 - у3 4- ж» ' /(0) = 0.
2.7. Вычислить
!•
Г
где Г - ломаная с вершинами в точках *i = 0, *з = 1, «з = 1 + «•
2.8. Вычислить
dz
I
z{z + i)(z-2iY
г
где Г: a) \z\ == 1/2, б) |« + г\ = 1/2, в) \ж\ « 3.
2,9. Найти и построить область сходимости ряда
3n+i Z^ (* + 2)n"
ii = 0 n=l

Индивидуальные задания
593
2.10. Найти первые три члена разложения функции f(z) = exp(es)
в ряд по степеням 2.
2.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
5* - 50
V \z* + 5г2 - 25*'
20 =0;
-v 42 + 8 .
б) 7 ТТ7—ГТй *о = -3-г;
(2-1)(2 + 3)
в) sin——т, го =-2.
2 + 2
2.12. Для функции f(z) = (sinz)/[z3(l — cos2)] найти
изолированные особые точки и определить их тип.
2.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
1 e2z
a) cfcg z ,2 = 0; б) — :, z = 7гг/2;
.1.1 cos72-l-49*2/2
В) ;? + ИП£' * = °; Г) А«-«-,»/6 - 2 = °;
ч , .х 7Г 72 + 1 . 7Г2 - 1
д) (2-г) cos-, е) ^-р^; ^ sm
2 = 00;
2.14. Вычислить интегралы
98 + 72 - 22 " 22 + 4 '
2 = ОО.
а) / t%(irz)dz; т б) A c1/(s_1)8in—^-d«;
1-4=1 l*-l|=l/2
ОО l-f*00
в) / wfwx г) I *&+
—dz, t > 0;
0 ■ 1—»'oo
•J»r
Д) /-—^ db; e) / -L A.
У 4v/2sinfc + 6 J (1 + W6/7cost)2
о о
2.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е
б) Е
в) Я
{Re 2 = тг/4}, ад = cos 2;
{|*|2<2, |*-1|>1}, « = */(*-2);
{|2| < 1, Re г > 0}, ад=| + ^-
2.16. Конформно отобразить область D : {Ы < 1} на область
D* : {|io| < 1} при условиях w(l/3) = -г/2, argw (1/2) = о.
2.17. Найти изображение указанных функций
a) cos t; б) •

594
Задания для самоконтроля
2.18. Найти оригинал по заданному изображению
еГ'р р
а) т^гу 6) тп-
2.19. С помощью формулы Дюамеля найти решение
дифференциального уравнения
ж - 2ж -Ь ж = , ж0 = ж0 = 0.
* L -\- v
2.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + х = 2 cos fc, жо = 0, жо = l;
б) х{4) - 5ж + Юж - 6ж = 0;
хо = 1. жо = 1, жо = 6, жо= —16;
ч .. Л Го. 0 ^ t < а, .
в) ж + 4ж=| 5e_(t_a)^ ^ ж0=жо=0.
2.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx — ж = 0.
2.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
{i:L+-t+9, —«.—••
Вариант JVa 3
3.1. Найти все значения корня
а) У=Т; - б) у/Г+i.
3.2. Представить в алгебраической форме
a) sin(ir/3-2t); б) arth(4 + 3t)/5.
3.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать | sin 2;| = -^/ch 2y — cos2 ж.
3.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
3.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
zd = 1 при отображении w = z3 — 6z.
3.6. Найти аналитическую функцию f(z) = м + it» по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(*о)
а) и = 28тжсп у — ж, /(0) = 0,
б) v = ж2 - у2 - ж, /(0) = 0.

Индивидуальные задания
595
3.7. Вычислить
/>'<**,
где Г - ломаная с вершинами в точках z\ = 1, яз = 0, гз = 1 + г.
3.8. Вычислить
/
COSZ _
dz,
z2 +4
г
где Г: а) \г - 2%\ = 2, б) \г\ = 3, в) \г + 2%\ = 2.
3.9. Найти и построить область сходимости ряда
,£:(7)"+£(ЧТ
7 ^. »»=о
3.10. Найти первые три члена разложения функции tg z в ряд
по степеням z,
3.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
4z - 64
г, 20=0;
' z4 + 4z3 - 32z2
б) («Д^-З)' * = "1-2^
52
в) г sin :, zo = 2г.
2 — 2г
3.12. Для функции (ez — l)/sin7rz найти изолированные особые
точки и определить их тип.
3.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
е*-1 - 1 ~5
а) —, z = 1; б)
z-1 ' *-х' "; (1 + *2)3' '
.//-4-п ч sin Sz — 82
в вя'<*+1>, * = -1; г 0/ , 2 = 0;
cos 2 — 1 + Z-/2
ч , 2 - 7гг z + 3 nz
д) г cli , z = 00; е) — ch - - -
Z ' ' ' Z2 + 1 2z2 - 1
3.14. Вычислить интегралы

596
Задания для самоконтроля
а)
R)
1
|;-2тг|=1
./ *2-
— оо
2тг
г
J у/21
dt
siu t + 5
б) I е'^-^сов—^-dz;
|*-'i|=i
-3 + 13a:) sin x
f*
+ 13ж2 + 36
■dx;
— oo
27Г
e) / _ -1" <fc.
о r о
3.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е:{|* + 1| = 1}, W = l/«;
б) Я : {0 < Im z < 7г}, w = ch 2;
£7 :{|г| < 1; -Зтг/4 <argz < -ir/4h ^=- 2+-1
в
3.16. Конформно отобразить область D : {Im z > 0} на область
£>* : {|зд| < 1} при условиях ги(—г/2) = 0, argi0'(l/2) = a.
3.17. Найти изображение указанных функций
a) te3tcost; б) tsh It.
3.18. Найти оригинал по заданному изображению
, 1 б) Р2-1
J P2(p+1)3' ; (р2 + 1)2'
3.19. С помощью формулы Дюамеля найти решение
дифференциального уравнения
х — х = th"t, .то = хо = 0.
3.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х -f х = е ; .то = Ёо = 0, Хо = 2;
б) ж + 4ж = sin2t; хо = 0, £о = 1;
{0, 0 ^ t < a,
1, а ^ £ < 6, жо = 0, £о = 2.
0, *^Ь,
3.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx + 2х = 0.
3.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г х = 2ж + 5у,

Индивидуальные задания
597
Вариант № 4
4.1. Найти все значения корня
а) л/Г+7; б) V^i.
4.2. Представить в алгебраической форме
a) sh(l-™/3); б) arctg (zl^Lti!^.
4.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
. I _ /ch 2y — соз2ж
' g *' " у cli 2у + cos 2х'
4.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
гс2 + 2
п5 + sin 2n + in'
4.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
zo = 1 — г/2 при отображении го = ln(2z — г).
4.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u -f iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) V = ln(z2 + 2/2), /(1) = 0;
б) и = х2 -у2 -2у, /(0)=0.
4.7. Вычислить
/ (Re z + Iixi г)с£г,
г
где Г - отрезок прямой z\ = 0, го = 1 + 2г,
4.8. Вычислить
/
sin $z .
rdz,
(з - ir/2)(* - тт/4)
где Г: a) \z - 2| = 1, б) \z\ = 1, в) \z\ = 2.
4.9. Найти и построить область сходимости ряда
У — + У--
n=l nsl
4.10. Найти первые три члена разложения функции 1п(1 + ег) в
ряд по степеням z.

598
Задания для самоконтроля
4.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
. 17z - 242
а) 2*з + 11,"-121*' Z0=°;
б> .(2+1кЛз)' *0 = 3 + *;
2z
Zq = 1.
z-V
4.12. Для функции /(г) = е'г(ег — 1)_1(1 — z)3 найти
изолированные особые точки и определить их тип.
4.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
sin* - z . ег
ч -i 1 л sh 6* — 62
D) 2 cos -, 2 = 2; r - —, 2 = 0;
2 — 2 . Cll 2 — 1 — 2-/2
.22 2 = 3 ч2.7Г"**
д) -г cos , 2 = oo; e) z sin , 2 = 00.
2- +4 2 2
4.14. Вычислить интегралы
a) / (3 + 7r)3d*; 6) / (ein^ + e*"co8*)<k;
1*1 = 4 |x|=2/3
00 00
A f x + 1 , ч f xsm3x
D> / (д2+4)(а;2+9)^ г> J тт^;
2тг 2тг
д) [* . е) / * Д.
У 2V2sint + 3 У 2V3 + \/TTcosfc
0 о
4.15. Найти образы указанных множеств при заданных ояюбра-
жениях
а) Я:{1< |*|<2}, w = z/{z-l):
б) £ : {0 < Im 2 < тг}, го = cli 2;
в) Е : {Re 2 = 1}, ли = 22.
4.16. Конформно отобразить область D : {Im 2 > 0} на область
D* : {\w\ < 1} при условиях ги(—Зг) = 1/3, argw'(—Зг) = а.
4.17. Найти изображение указанных функций
1 1- "at
а) — sh at sin at; б)
2 — , -, fet
4.18. Найти оригинал по заданному изображению

Индивидуальные задания
599
4.19. С помощью формулы Дюамеля найти решение
дифференциального уравнения
1
хо = £о = 0.
1 + е*
4.20. Операционным методом решить задачу Коши
1М
а) ж +ж = -t~e , хо = жо = жо = 0;
б) ж — 2ж — Зж = 2£, жо = 1, хо = 0;
ь) ж + ж-| 2bj ,>Д)
Ь, 0 ^ t < о,
жо = 1, х = 0.
4.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx- (£-5)ж + Зж = 0.
4.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = -2ж + 5у + 1, _п __9
U = * + 2t/+l, Жо = °' У°-2'
Вариант № 5
5.1. Найти все значения корня
\ »/-* *\ -»/l + tv/3
а) л^б ^ б) y-g-
5.2. Представить в алгебраической форме
a) sin(7r/6-3i); б) arth(8 + ^3t).
5.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать ch "z — sh ~г = 1.
5.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
У" ^L_ .
^—' п — cos2 6п + »п2
5.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
«о = * при отображении w = z3 — z.
5.6. Найти аналитическую функцию f(z) = и + tt> по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) и = 2$шжсп у — ж, /(0) = 0;
б) v = ж2 - у2 - ж, /(0) = 0.

600
Задания для самоконтроля
5.7. Вычислить
/ z2 Im zdz,
г
где Г - ломаная с вершинами в точках z\ = 0, zn = 1, 23 = 1 + г.
5.8. Вычислить
ez - 1
/
г
*3(* ~ 1)
dz,
где Г: а) |г| = 1/2, б) |* - 1| = 1/2, в) \z\ = 2.
5.9. Найти и построить область сходимости ряда
Z-^ 2»s + 1
5.10. Найти первые три члена разложения функции ch(l — z) в
ряд по степеням z — (1 4* 7гг/2).
5.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
7z - 196
zo = 0;
24 + lzz - 9822 '
42-8
б) 7 777 ^ 20 = 2-2г:
; (* + 1)(*-3)"
z — 3
в) (z — 3)cos7r , zo = 0.
5.12. Для функции
Z" Z"
найти изолированные особые точки и определить их тип.
5.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
ч 1 + cos z ч sin2 z .
й) ^ТГ' * = *'> б) («-«/2)»' Z = W/2;
\ • * '7 * п ch 52 - 1
в) 12 cos е' , г = 0; г) , z = 0;
2 е* — 1 — z
\ 1 . -\2 [2-iMz \ ^2 . 2 1TZ — I
д) (s + t)-e<- »" ,2=00; е) -J—^sin 57^7' 2 = 00.
5.14. Вычислить интегралы

Индивидуальные задания
601
Z
t> 0:
|z-3| = 2 1*1=1/2
ОС 1 + IOO
— со 1—#оо
2ir 2»г
Д) /-f-^ Л: е) / ^= dt.
J \/5sint4-3 J (3\/2 + 2\/Зсо8*)2
о о
5.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Re z > 0}, w = 1/z;
б) Д:-{М = 2}, tn=i(z + i);
в) Я : {1< \z\ < 2}, w,= 2/(* - 1).
5.16. Конформно отобразить область
Я:{М>0,*£[-2,-1],*£[1,2]}
на область D* : {Im w > 0}.
5.17. Найти изображение указанных функций
a) e~at cos~/3t: б) -(cos t — cos2fc).
5.18. Найти оригинал по заданному изображению
(р + 1)3(р + 3)' ; (р2 + 1)(р-..+4)-
5.19. С помощью формулы Дюамеля найти решение
дифференциального уравнения
х — х = ——, хо = жо = 0.
ch £
5.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + 2х Н* х = £, ат0 = ж0 = 0;
б) 2ж + 5:с = 29 cos t, xq = —1, io = 0;
в) ж - ж = <{ п ' .Л- ^ ' ж0 = ж0 = 0.
7 | 0, fc$> тг;
5.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - 2(t + 1)ж + (t + 2)x = 0.

602
Задания для самоконтроля
5.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Вариант № 6
6.1. Найти все значения корня
a) y/\-iy/Z б) sfi
6.2. Представить в алгебраической форме
a) sh(3 + 7rt/6); б) arctg (—^V
6.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать cos" z -f- sin" z = 1.
6.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
сю
Е-—= —= arctg —т=
Vri-iJn ь 4л/п
у/п 4у/п
6.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
zq = тгг/2 при отображении ги = ch z.
6.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) tt = 2(sh x sin j/ + жу), /(0) = Зг;
. х
x2+t/2
б) » = ЬпЬг + *> /U) = 2.
6.7. Вычислить
л: Re z2dz.
/■
где Г - полуокружность |г| = 2, Im z ^ 0.
6.8. Вычислить
У z2(4z + iir)
г
е гт*.
где Г: а) |* + t| = 1/2, б) \z\ = 1/2, в) \z\ = 2.
6.9. Найти и построить область сходимости ряда
J2 2l"l2".
6.10. Найти первые три члена разложения функции 1/(5 -f е х)
в ряд по степеням 2.

Индивидуальные задания
603
6.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
б) / ,1ч/ ^' *o = -2-t;
(* + 1)(*-3)
ч Z
в) ^cos —г, «о = — 2г.
' г + 2г
6.12. Для функции ехр[1/(;г + 1)] найти изолированные особые
точки и определить их тип.
6.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
v sin2 ;г п 1
а) __, г = 0; б) 1^гт^, г = 2г;
1 j2 — 1 — 2
в) (*-l)3cos-, г = 0; г) , « = 0;
2 sm г — г + гг/6
д) en -J, 2 = 00; e) гсп-ехр-, г = oo.
z1 + I \z — 3/ z z
6.14. Вычислить интегралы
a) / -?—dz; 6) / (z + 2)e2/zdz;
J sin г у
|*-«|=5 1-1=1/2
ос. оо
v f xdx f ж sin ж ,
D) J (** + 4х + 13)*; Г) У х*+4х + 20 Х;
— oo —oo
2»r 2ir
Д) / v^sin* + 4dt; ' e) / (4 + Зсо8^Л-
0 0
6.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {0 < Im z < тг/2, Re z > 0}, w = ё2х;
б) Д:{|*| = 2}, w = */(* + l);
в) Д:{|*|<1,**[0,1]}, ™=j(* + j)-
6.16. Конформно отобразить область JD : {—оо < Im z < oo, —оо <
Re z < оо; 2 £ [*i3t]} на область D* : {Im w > 0}.
6.17. Найти изображение указанных функций
i
a) te^sinfc; б) I cos(t-r)e2rdr.

604
Задания для самоконтроля
6.18. Найти оригинал по заданному изображению
* р2 + 1 ' б) Р
' Р2(Р2-1У ' р*+5р2 + 4'
6.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
J
жо = Жо = 0.
1 + е<
6.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х — х — 6х = 2, жо = 1, хо = 2;
б) х{4) + ж(3) = cos t, хо = хо = хо = 0, х(03) = 1;
v .. , Г cos t, 0 < £ < тг; . _
°) * + * = { о, от; *о = *, = о.
6.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx- (£ + 5)£ + Зж = 0.
6.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г х = -ж + Зу + 1,
Вариант JVs 7
7.1. Найти все значения корня
a) \A/3-i б) ^t
7.2. Представить в алгебраической форме
a) cos(7r/2 — г); б) arcsin4.
7.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
Im(ctg2) = - »h2;/ , .
v ь ' ch 2y - cos 2x
7.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
*-** п(п - i)
7.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
20 = г Н- 1 при отображении ад = е*.

Индивидуальные задания
G05
7.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u -f iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f{zo)
а) и = 2х~у-у3+у, /(0) = 0;
б) г» = е~у cos ж + ж, /(0) = г.
7.7. Вычислить
(г- \z\)dz,
/<
где Г - полуокружность |з| = 1, Re z ^ 0.
7.8. Вычислить
zdi z
I
4*3 + *3
г
dz}
где Г: a) \z - 1| = 1, б) |г + *| = 1, в) |*| = 4.
7.9. Найти и построить область сходимости ряда
± Ц^ + Ё £&<•-«■.
п= —сю пявО
7.10. Найти первые три члена разложения функции f{z) = j sin *
в ряд по степеням я — 1.
7.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
\ 2* + 16
а) вж»*2.»-,«' "°=0;
б) ■ ,v ■, ■, zo = —1 — 3»;
• z- -f 4
в) sin г, «о = г,
z — ?.
7.12. Для функции соб(1/;г) найти изолированные особые точки
и определить их тип.
7.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
а) (*~x)fcS*' 3 = */2? б) --сое*, * = 0;
в) г е /l ', г = 1; г) —— 3/ , 3 = 0;
cos* - 1 + г**/2
«'^"(Й)- .)(-« + 4b(.-i).
z = оо; 2 = оо.

606
Задания для самоконтроля
7.14. Вычислить интегралы
Г 1
-dz\
а) / ctg zdz; б) / -г^-
J J em-
Ms 1 |r|=2
оо ос
В) J (^ + 1)^+4)' Г) J x' + l**'
— оо —оо
2 я- 2»г
Д) I —А dt; е) /- -dt.
' J 3sin* + 5 ; J (4 +cost)2
о о
7.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е: {Re 2 = 1}, w = z/(l + z);
б) Е : {0 < Im z < 7г/2, Re z > 0}, w = c3s;
в) E : {\z\ >hz$ [-2, -1], * £ [1, +oo]}, w = \ (z + ±).
7.16. Конформно отобразить область D : {Re z > 0, 0 < Im z <
a] на область D* : {Im w > 0}, a > 0.
7.17. Найти изображение указанных функций
t
a) e~'sin2fc б) / -shrdr.
о
7.18. Найти оригинал по заданному изображению
с
-->/>
») 77—^ б)
(l+p)3' ' р2 + 2р + 5*
7.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
- • c'2t • п
ж + ж= ——Г» ж0=жо=0.
7.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) x + x = %smti хо = 1, жо = — 1;
б) «г- Зж + 2ж = 12e3t, хо = 2, ж0 = 6;
v - . Г 1 - i. 0 ^ t < 1; . п
7.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - (1 + fc)£ + 2(1 - t)x = 0.

Индивидуальные задания
607
7.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
/ х = -Зх - 4у + 1,
Вариант № 8
8.1. Найти все значения корня
*) у/Т^1 б)
e/i vf
V2"?-2"
8.2. Представить в алгебраической форме
a) sh(l + 7ri/2); б) (-1+ /Уз)3\
8.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
ч sin2z
Refctg z) = -г— —-.
v ь ' ch 2y - cos 2х
8.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
V^ Зп - 2г
2—* п(п -г)(тг + 2)'
»=1
8.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения & в точке
zo = i при отображении w = Зе*~'~ + 2z~.
8.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u -f iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) ti = ж3 - Зху2 + 2ж, /(0) = г;
б) v = ex(ycosy -f a; sin у), /(0) = 0.
8.7. Вычислить
z2 Im zdz,
/■
где Г - отрезок прямой 2i = 0, zi = 1 — 2г.
8.8. Вычислить
гаг,
J"z(z-l){z + 3y
г
где Г: a) \z\ = 1/2, б) |г - 1| = 1/2, в) \z\ = 2.
8.9. Найти и построить область сходимости ряда
$>(*+•!-;)" + £
(« + 1 - i)n
nssl

608
Задания для самоконтроля
8.10. Найти первые три члена разложения функции е1'*1-^ в
ряд по степеням 2.
8.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
. 72 + 98
• 2z
б) .-=-—, *о = -3 + 2г:
z1 + 4
в)^ 2ехр ( —-J, 20=2.
8.12. Для функции (1 — sin z)/cosz найти изолированные особые
точки и определить их тип.
8.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
23 z
а) - cos 2, 2=0; б) 0 , * = t;
Sill 2 — 2 (Z~ + 1)"
\ Z 1 . COS 22 - 1
в) гехр -, 2 = 1; г) — —, 2 = 0;
2 — 1 Sh 2 — 2 — 23/6
. 2 — 1 llltZ — 2\ ч , л.ч о / Я" \
д) (JTIpcos U+э?)' е) (* + fc)0-"(s)*
2 = оо; 2 = оо.
8.14. Вычислить интегралы
|г-3| = 3/2 1*1=1/2
ОО 1 + IOO
/1С / tj ch it*
(«» + а»)^; Г) У ^2*+ 10^
— оо 1 —*оо
2тг 2тг
Д) ( —7=^ dt; # е) / Д Л.
У 3>/7siiifc + 8 У (3+v/5cosfc)2
о о
8.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Re z = тг, Im z > 0}, го = eix;
б) Я : {|2| < 1, Im 2 > 0}, w = (1 - г)/(1 + 2);
в) Я : {\z\ < 1, Im 2 < 0, 2 g [-г, -t/2]}, ги = i (z + i).
8.16. Конформно отобразить область
».{-5<b..«j}

Индивидуальные задания
609
на область D* : {Im w > 0}.
8.17. Найти изображение указанных функций
t
a) t2ch2t; б) f^-^ldr.
о
8.18. Найти оригинал по заданному изображению
p2+Q2 , . P2+1
' (р2-а2)2' ' р(р+1)(р + 2)'
8.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
1
хо = хо = 0.
1 + ch*'
8.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + 4х + 4 ;= £ е , жо = 1, жо = 2;
б) 2х — 2х + х = t — sin fc, жо = хо = 0;
{*, 0 ^ t < 1;
2 - t, 1 ^ £ < 2,
0, t > 2;
ж0 = 0, хо = 1.
8.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - 2(t + l)x + (t + 2)ж = 0.
8.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г £ = 2ж + Зу+1, _ - _п
\ у = 4ж-22/ *о = -1, Уо-0.
Вариант № 9
9.1. Найти все значения корня
а) ^-1-г; б) л/^8г.
9.2. Представить в алгебраической форме
а) зифг/З + г); ' б) arctg('"2^+ 3*).
9.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать Re (ch z) = ch x cos y.
9.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
^ 9n2 + 12т - 5
п=1

610 Задания для самоконтроля
9.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в точке
20 = iit/2 при отображении w = z ch z.
9.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + гг» по известной
Действительной (или мнимой) части и значению /(го)
a) ti = 2cosa:sh у+ 2у + 1, /(0) = 1;
б)
9.7. Вычислить
б) v = хг - Зху2 + 1, /(0) = г.
/
2 Re z~dz,
где Г - отрезок прямой z\ = 1, 20 = г.
9.8. Вычислить
ch г2 ,
/
(•-ж)*'1
где Г: а) \г\ = 1/2, б) |«| = 3/2, в) \г - t| = 1/2.
9.9. Найти и построить область сходимости ряда
E(i)"-EG)"-
9.10. Найти первые три члена разложения функции f(z) = sh (1—
z) в ряд по степеням (z — I — iri/2).
9.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
1z
z2+47
a) 72-Г7' *o = 2 + 3i;
. bz + 100
б) 50ж» + Б*»-*<* *° = 0;
22
в) sin -, zo = 4.
2 — 4
9.12. Для функций f(z) = 2/(1 — sin2 2) найти изолированные
особые точки и определить их тип.
9; 13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
в С08- + -, 2 = 0; г —-— Т7-, 2 = 0;
z z ch 2 — 1 — 2-/2
^ 22 . 2 + 1 ч з, Л 2г\
д) ^щ8111"""^' * = bot е> * \ 7/' * = 00i

Индивидуальные задания
611
9.14. Вычислить интегралы
а
/ (J^Wdz; б) / (*«jr «"*)*'
z-2|=2 M=l
оо об
/dx f a;sin(—2х)
х^ + х + 25 Г) / «>+4 *"
— ОО
2»г
д) / _ * eft; e) / ■ v rffc.
У 4\/3sint-7 У (2>/2 + a/7cos*)2
о о
9.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Re 2 = 1}, w = г2;
б) Е : {0 < Im z < 2тг, Re 2 > 0}, w = ez;
в) Я : {тг/4 < urge < Зтг/4, 2 £ [0,г]}, го = - (г + -).
9.16. Конформно отобразить область £> : {а < Re z < fe} на
область D* : {Im го > 0}, а < 6.
9.17. Найти изображение указанных функций
a) sh fccos2fccos3£; б) - sin2 t.
9.18. Найти оригинал по заданному изображению
Р + 2 .. ^ Р3
а) (р+1)(р-2)(р + 4); б) (р2 + 1)3*
9.19. С помощью формулы Дюамеля найти решение
дифференциального уравнения
х - 4х + 4ж = , жо = жо = 0.
ch J2t
9.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х — х = te*, хо = 1, #о = 0;
б) х — х = t", хо = 0, £о = 1;
{0, 0 < t < 1;
0, t ^3
9.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx- (£+5)ж + Зж = 0.

612
Задания для самоконтроля
9.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = 2ж+Зу + 1,
\ y = 4z-2y, *о--1, Уо-0.
Вариант № 10
10.1. Найти все значения корня
а) ^Т; б) у/2 + 2г\/3.
10.2. Представить в алгебраической форме
.)*(*+=*); б) «*(»±М).
10.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
г. 1 sin2a;
Re {tg г) =
cos 2x + ch 2у'
10.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
6
^ 9п2 + 6т -
8
10.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке 2о = 1 + г при отображении w = ln(z — 1).
10.6. Найти аналитическую функцию f(z) = t* + tv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) и = 2 cos х ch у, /(0) = 2;
б) Ъ = 2жу + ж, /(0) = 0.
У w
10.7. Вычислить
' dz_
W
Г
где Г - отрезок прямой 2i = 1, z? = i.
10.8. Вычислить
sh z
/
где Г: a) \z - 2г| = 2, б) |* + 2г| = 2, в) \z\ = 2.
10.9. Найти и построить область сходимости ряда
±№Г+±Ш'-

Индивидуальные задания
613
10.10. Найти первые три члена разложения функции [sin(32 —
l)]/z в ряд по степеням [z + 1).
10.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
1z
_. 13ж + 338
б) 169* + 13*'-2ж«' г0=°;
в) exp(,-(^=^F> *0 = L
10.12. Для функции /(г) = г2(cosя — 1)~3 найти изолированные
особые точки и определить их тип.
10.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
а>^' *=з^ 6)e:/(i+i,+(^w- —*
\ z л \ sin Az — 4z
в) г cos -, 2 = 2: г) , 2 = 0;
7 2-2 ' е* - 1-*
2 = oo; 2 = oo.
10.14. Вычислить интегралы
a) / l6^TId2; 6> / ПЙ
— COS3 2 .
u2;
»)
* sin 5тг
1*1=1 1*1=0,1
oo oo
/ (^Tij^; ' Г) / z*™+2d**
1
(л/б + y/bcost)2*
— oo —oo
2тг 2w
Д) [ A .\ t dt; e) /—7= ^= dt.
J 4sint + 5 - ' J ' ^ ^
о о
10.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Im z = 7г/4}, w = cos 2;
б) £:{7r/4<arg2<37r/4}, w=\{z^\):>
в) Е : {\z\ < 2, \z - 1| > 1}, ™ = 2/(2 - 1).
10.16. Конформно отобразить область D : {\z\ < 2, |г — 1| < 1}
на область D* : {Im w > 0}.

614
Задания для самоконтроля
10.17. Найти изображение указанных функций
t
б) /sir
a) t2 sin at: б) / sin rdr
о
10.18. Найти оригинал по заданному изображению
Зр.+ 1 1
' (P^ + I)3' j P(P+1)'
10.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
ж + ж = -r-jTi ж0 = ж0 = 0.
10.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) ж — ж = Г, жо = 0, жо = 1;
б) ж + 4ж = 8 sin 2£, жо = 3, жо = — 1;
| 1, 0<*<1;
в) ж + ж = < 0, 2 ^ t; хо = жо = 0.
I -1,1<*<2;
10.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
Ьх - 2(t + 1)ж + (t + 2)ж = 0.
10.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = 2ж - 2у, 0 Л
Вариант № 11
11.1. Найти все значения корня
a) VV8; б) V».
11.2. Представить в алгебраической форме
a) sin(ir/4+'2»); б) (-l-i)4\
11.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать Re (sh z) = sh ж cosy.
11.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
^ 4n2t + 8n + 3
п=0
11.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке 2о = 2 + t при отображении w = z/(;s + i).

Индивидуальные задания
615
11.6. Найти аналитическую функцию f(z) = tt + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) и = е2х cos 2у, /(**) = 1?
б). v = 2xy-2y, /(0) = 1.
11.7. Вычислить
exp(|2j|2)Re 2dz,
/•
где Г - отрезок прямой 21=0,22 = 1/2 + г\/3/2.
11.8. Вычислить
cos z
I
z(z - тт/2)3
dz,
где Г: a) \г\ = 1/2, б) |* - 2| = 1, в) \г\ = 2.
11.9. Найти и построить область сходимости ряда
£ (5n + 6)Z2" + 2^"4-"-'.
11.10. Найти первые три члена разложения функции (1-fcos z)~l
в ряд по степеням z.
11.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
. js-18 _n
a) 2*» + 3*'-9*' *°~°;
2z
б -^ -, zo = 2 + 2г;
г2 — 4
ч 7Г2
в) zexp , zo = тт.
11.12. Для функции /(2) = (г — 7r)/sin2 2 найти изолированные
особые точки и определить их тип.
11.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
1 - е22' 4
а) , z = 7г; б) z cos -, z = —2;
z — ir ' z + 2
д) 5тг А (тЬ)* *= °°? е) *3ехр (;?)'* = °°-

616 Задания для самоконтроля
11.14. Вычислить интегралы
во
п—3»аг
а) У (27T3Fd". б) У *'-2s + 5da!;
|i+3|=J -во
в) У !4Td* г) У «ч-цьч-И"8
М-3/2 -оо
2* 2*
д) /_—1 dt\ е) / _ l dt.
J 4\/5вИ1* + 3 У \/2T + sin*+5
о о
11.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {|* - 1/2| « 1/4}, «> = 1/*;
б) £ : {0 < Im * < 7г, Im * > 0}, w = cfch*;
в) Я:{|*|<1,-3ir/4<apg*<-ir/4}l ws=5(*+*)'
11.16. Конформно отобразить область D : {О < arg(* - 1 - i) <
7г/2} на область D* ; {Re w > 0}.
11.17* Найти изображение указанных функций
a) ch at t cos at; 6) -e~a* sin3 fc.
11,18. Найти оригинал по заданному изображению
яч 1 ' д, Р3 + 2
j (Р + 1)(Р + 2)3' °J p'+p' + l'
11.ID, Решить дифференциальное уравнение
а: + 2да 4- ш в? —■—-, дао = дао = 0.
11.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) да <+ 4да = sin t, да0 = да0 s= 0;
б) да + & + х = £3 + fc, дао = 1, дао =-3;
ч .. , Г 1, 0 < t < 1; . п
в) * + * = ( о! *>1; *о = яо=0.
11.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
да - 2*да 4- (б* - 13)да = 0.
11.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г да?=да + Зу + 2, „ _ о

Индивидуальные задания
617
Вариант № 12
12.1. Найти все значения корня
а) ^7; б) у/\ + »>/3.
12.2. Представить в алгебраической форме
/3 4- 4г\
a) cos(7r/6 + 2i); б) arctgf ——J.
12.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать Im (sh z) = ch x sin y.
12А. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
оо
Е3 + 7ге
5П + п1'
п=1
12.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения /с в
точке 2о = 2 + i при отображении гу = (z + 1)/(г — г).
12.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) u = exsiny + 2y, /(0) = г;
б) г; = х2 - у2 - 2ж, /(0) = 1.
12.7. Вычислить
z*dz,
!•
г
где Г - полуокружность \z\ = 2, Im z ^ 0.
12.8. Вычислить
У (2-1)(г + 1)
г
cte,
где Г: а) |* - 1| = 1/2, б) \z + 1|'= 1/2, в) |*| = 2.
12.9. Найти и построить область сходимости ряда
v^ 2n - 1 v™^ z2n
?i = l n=0
12.10. Найти первые три члена разложения функции ln(l + cosz)
в ряд по степеням z.
12.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
2z
-, zq = -1 + 3г;
z
2-4'
З2-З6
б) *'+Зж»-18ж" "° = 0;
В) ZCOS7T , Zq = 1.

618
Задания для самоконтроля
12.12. Для функции ctg (1/г) — 2zz найти изолированные особые
точки и определить их тип.
12.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
v 1 — sin z /Л . zez
ч z — 1 „ ч cos З2 — 1
в) zexp ——, z = -1; г) , z = 0;
2 + 1 sin 2 — 2 4- 2/6
. z-2i . *z + 2 3. / 2t + l\
Д)5Г^281П^П)^ = ^ e)* ln^l--—J,s = oo.
12.14. Вычислить интегралы
a) J ^r^dz; ■ ' 6) J [izcos(l/z)-ei/z]dz;
|x-W|=4 . |*|=1
OO 1+fOO
в) / -5 « г; г) / -r -dz, t > 0;
1—too
2тг
д) / r- l dt; e) / __ 1 dt.
J 2y/6smt-b J (\/2 + cos£)2
о о
12.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {0 < Re z < 1}, w = \jz\
б) Е : {0 < Re z < тг, Im z > 0}, w = e*z;
в) E : {|г| < 1, -Зтг/4 < arg 2 < -тг/4}, го = - (z + - J .
12.16. Конформно отобразить область .D : {\z\ < 1,1m 2 > 0} на
область D* : {Im w > 0}.
12.17. Найти изображение указанных функций
f ear - е^т
a) sint — tcost; * 6) / dr.
0
12.18. Найти оригинал по заданному изображению
1 е^73
а) (р-1)(р-2); б) р(р2+1)'
12.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
1 .
X — X = ——г—, Хо = Жо = О.
eh dt
12.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) лН-ж = 6е~', хо = 3, £о = 1;

Индивидуальные задания
619
б) х — 2х + х = t — sin t, жо = io = 0;
в) Н 2ж + а: = j J t>2- ' ж0 = жо = 0.
12.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
t'x - 2(t + 1)ж + (t + 2)s = 0.
12.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = За; + 5у + 2,
\ у = 3* + у+1, Ж°-°' У°-2-
Вариант № 13
13.1. Найти все значения корня
а) ^256 б) {/-1/8
13.2. Представить в алгебраической форме
а) сп(2 + тгг/2); б) arccos(-5).
13.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
sh (z\ + 23) = sh 21 ch 22 + sh z-2 ch 21.
13.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
~ 2п + 1
Е2?г + 1
п2 (?г + г
13.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zq = 3 + 2% при отображении го = (г 4- 1)/(г — 1)-
13.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) w = e~ycosa:, /(0) = 1 + г;
б) v = y-2xy, /(0) = 0.
13.7. Вычислить
/
(z'fdz,
где Г - окружность единичного радиуса.
13.8. Вычислить
/
dz,
z2 + 1
г

620
Задания для самоконтроля
где Г: а) \г - г\ = 1, б) \г + г\ = 1, в) \z\ = 3.
13.9. Найти и построить область сходимости ряда
°° " .'.1 °° / ч .-.
v е'» v (г + 1)-
Z-* (з + i)n "*" Z-/ е'^1/2 '
п=1 • п=0
13.10. Найти первые три члена разложения функции exp(cosz)
в ряд по степеням z.
13.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) — -, zo = 3 - 2г;
zm — 4
_ 9z - 162
б) 2^+9^-81,' Z0 = 0;
г2 — 1z
в) 2sin? -rf, zq = 1.
13.12. Для функции l/sinz найти изолированные особые точки
и определить их тип.
13.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
N 1 — cos z . z
а) —т-2 , 2=0; б) —; -ту, 2 = 2;
snr z (z— l)(z — 2)г
ч 1 2 л . sh 2z — 2z
в) —« exP —~ > 2 = 2; r) « , 2/0^ * = 0;
z — 2 2 — 2 cos z — l + z2/2
Д^ «а^- 2 Sb (1 - IV»' * = oo; e) (*'* + 2)sh(l/*), 2 = 00.
13.14. Вычислить интегралы
/ -1—dz; б) / zV/zdz;
J sm 2 У
|z| = 8 |r|=l
oo oo
B) jUri)'^ r) /^TWT
0 —oo
2тг 2tt
Д) / V35siL-6*; e) / W+Z
¥)dx;
COS fc)2
13.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) £:{Rei = l}, w = z/(z - 1 + г);
б) Е : {0 < Re z < тт/2, Im z > 0}, w = ieiz;
в) E :{1< \z\ < 3, Im z > 0}, w=\{z+^)'

Индивидуальные задания
621
13.16. Конформно отобразить область D : {0 < Im z < 7г, Re z >
0} на область D* : {Im го > 0}.
13.17. Найти изображение указанных функций
a) e~4t sin3fccos2i; б) -sinfc.
13.18. Найти оригинал по заданному изображению
а) ZJTZ—ТТТТГГ^ б)
Р2(р-1)(р + 2)' У (р2+4)(^+9)'
13.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
ж + 2ж + ж =
* + 1
13.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х — х = £е , жо = жо = 0;
б) ж — 9ж = sin fc — cos fc, жо = —3, жо = 2;
х- . Г 1 - fc, 0 < t < 1; . n
в) ж — ж = < q fc > 1- жо = жо = 0.
13.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
ж + Ьх + Зж = 0.
13.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
{ЩИ --I. Vo=0.
Вариант №14
14.1. Найти все значения корня
а) л/^г; б) y/-l+iy/Z.
14.2. Представить в алгебраической форме
a) cos(7r/4+i); б) Arctg\/3.
14.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
cos(zi + 22) = cos z\ cos Z2 — sin z\ sin 22.
14.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
£
\/п5 + 5т
14.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения А; в
точке zo = — 2г при отображении -ш.= 1/г.

622
Задания для самоконтроля
14.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) и = х4 - 8х3у - 6жV + 8я2/3 + у4, /(0) = 0;
б) w = (e*+c~*)cosy, /(0) = 2г.
14.7. Вычислить
J(*m)2dz,
г
где Г - отрезок, соединяющий точки z\ — 1, z<i = z.
14.8. Вычислить
z
I
22-l
г
dz,
где Г: a) \z - 1| = 1/2, 6) |* + 2| = 2, в) |г| = 3.
14.9. Найти и построить область сходимости ряда
п=0 п=1
14.10. Найти первые три члена разложения функции exp(2cos2)
в ряд по степеням 2.
14.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) — —, 2о =2 -3t;
z(z-l)
. 6z - 144
б) ^+6,3-72,^ *0 = 0;
В) 2 COS --, 2о = 2.
2 — 2
14.12. Для функции sin(ir/(z + 1)) найти изолированные особые
точки и определить их тип.
14.13. Для данных функции найти вычеты в указанных особых
точках
а) -, 2 = 0; б) -—-, z = 2г;
; z ех -1 ; z(z-2%)2
v . 1 , ч ch 2z - 1 - 222
B)zsln__, г = 1; Г)———^, г = 0;
*> / Zw2 1^'/(l-3), e) «'/* cos bi,
(2 — %)(Z — 1) 2
2 = oo; 2 = oo.

Индивидуальные задания
623
14.14. Вычислить интегралы
а)
/ ihidz' б) /zexp4rd*;
|i-H=l l>l=2
в) / WTW*7*)dx> г) / <*+?)<?+2)*''>0;
—оо —»оо
2тг 2тг
д) / -=Л dt; е) / ——!: -Л.
У v/3sinfc-2 У (v/3 + cosfc)2
о о
14.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Re z > 0, Im z = тг/2}, w = е2х;
б) Я : {|z -1| > 1, Im * > 0}, w = 1/*;
в) Я:{|*|<1, 0<argz<7r/4}, w=z\(z^\)'
14.16. Конформно отобразить область D : {а < Re z < a + h} на
область D* : {0 < Re w < 1} при /г > 0.
14.17. Найти изображение указанных функций
a) cos2*; б) fc+ -е.
14.18. Найти оригинал по заданному изображению
> р3_5р2+4р> °J (P6-1)*
14.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
shfc .
ж — ж = , жо = жо = О.
ch 2t
14.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х — х = iel 1 жо = 1, жо = 0;
б) ж — ж = cos3fc, жо =0, жо = 1;
( t, 0 ^ t < 2;
в) ж + ж = < 2-t, 2 < t < 4, жо = хо = 0.
{£, 0 ^ t < 2;
2-t, 2 < * < 4,
0, t> 4;
14.21. Операционным методом найти общее решение дифферен*
циального уравнения
tx - (1 + t)x + 2(1 - t)x = 0.

624
Задания для самоконтроля
14.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнении
Г х = 2х + 2у + 2, п 1
I У = 4у + 1,
Вариант № 15
15.1. Найти все значения корня
a) v^I; б) y/T^Yu
15.2. Представить в алгебраической форме
а) сЬ(Х~1гг); б) arctg ( ^Lt!i).
15.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функции, доказать
sin(«i + z%) =5 sin3i соягз + cos^i sin яз.
15.4. Исследовать на* абсолютную и условную сходимость ряд
v^ 1 п + 3
15.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения /г в
точке го = 1 + г при отображении w — l/z.
15.6. Найти аналитическую функцию /(я) = и + гг; по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) и^\ф2+ у2) + х-2у, /(1) = 1;
б) г; = e~v cos я? -f ж, /(0) = г.
15.7. Вычислить
Im zcte,
/■
где Г - отрезок, соединяющий точки z\ = 1„*а = г.
15.8. Вычислить
ch г ,
rcte,
г
где Г: а) |z| = 1, б) |« - Зг| == 1, в) \z\ = 4.
15.9. Найти и построить область сходимости ряда
5»(1 + in) 2^i (z + 1 + г)п '

Индивидуальные задания
625
15.10. Найти первые три члена разложения функции л/cosz в
ряд по степеням z.
15.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) —( -г, 20 = -2 + г;
z(z-l)
. 152 - 450
б) 2^3 + 15^-225^ 20==°;
в) 2вХр -, Zq = 5.
z — 5
15.12. Для функции — ехр( — l/z2) найти изолированные особые
точки и определить их тип.
15.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
, COS Z — 1 . ехр 7Г2
а) : , 2 = 0; б) —, z = г;
z sin z (z — гу
л -22
\ / н \ 2 • 1 -. \ Sin % ~ %
в)(* + 1) sm^—^,^-1; Г) ______ г = 0;
42 + 24 2 .ч /.. , -Ч2 2~*
3222 +42-1 2 - 5 '
2 = оо;
15.14. Вычислить интегралы
cos , е) (2 + 1) ехр :
а) / — —т -dz; б) / 2 sin -dz;
} J Z4 + 222 + 1 J J 2-1
|*-i|=l I* —11=1/2
; J x6 + l ' ; у ж2 + 2ж +
2 '
д) / _ l dt; e) [—== Ц= dt.
J A/l5sint-4 J (vT3 + 2\/3cost)2
о о
15.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е: {Re 2 = 1}, w = z/(z + 1);
б) Е : {0 < Re 2 < 27Г, Im 2 > 0}, w = sin2;
в) i? : {0 < Re 2 < 7Г, Im 2 > 0}, w = exp(i2).
15.16. Конформно отобразить область
i>;{M<l,.«g,l]}
на область Z>* : {Im го > 0}.

626
Задания для самоконтроля
15.17. Найти изображение указанных функций
a) sin4 t; б) tch at cos at.
15.18. Найти оригинал по заданному изображению
е-р е-зр 1
Р2 Р4 ' ' (р2 + 1)2(р2 - 4)
15.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
ехр(—fc)
х + 2х + х = ———гА хо = хо = 0.
1 + tJ
15.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) x + x = 2sinfc, хо = 1, хо = —1;
б) ж + ж — 2х = — 2(t -f 1), хо = 1, хо = 1;
{*, 0 < t < 2;
2 - *, 2 < t < 4,
0, t > 4;
хо = хо = 0.
15.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx-{l + t)x + 2(l-t)z = 0.
15.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г х = -2х + у+2,
\ у = Зх, Жо ~ Х' ** " °*
Вариант № 16
16.1. Найти все значения корня
4/-1 - гл/3
У""Г—
а) ^^27?; б)
16.2. Представить в алгебраической форме
a) cos(tt/4 - 2г); б) (-i)5'.
16.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
Z\ -\~ Z2 Z\ — Z2
Sin Z\ + Sin Z2 = 2 Sin COS .
16.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
оо
*■—* п2 — г In n

Индивидуальные задания
627
16.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке 2о = 1 — г при отображении w = — iz2.
16.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f{zo)
а) и = 2(:с2-2/2), /(1 + г) = 0;
ж3 +у
б) v = 1-:^nbr> /U) = i + '-
16.7. Вычислить
z*dz,
/■
где Г - полуокружность |г| = 1, Re z > 0.
16.8. Вычислить
dz,
/
*2(*2 + 1)
где Г: а) |*| = 1/2, б) \z - i\ = 1/2, в) \z\ = 3/2.
16.9. Найти и построить область сходимости ряда
Y^(z- 2г)п2п(п + 1) + ]Гп2 + Цг - 2г)п.
16.10. Найти первые три члена разложения функции exp(sin^)
в ряд по степеням z.
16.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
v z — 1 .
а) ———г, zo = 2 -г;
2(z + l)
б) Я2+Ж*-Я*у 20=0;
. Зг
в) cos :, Zo = г.
16.12. Для функции
1 . 1
(г-h г)3 z
найти изолированные особые точки и определить их тип.

628
Задания для самоконтроля
16.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
\ z r\ sin7T2
a) z , 2 = 0; б) - -rj, 2 = 1;
1 — cosz (z — I)3
•> 1 v sin 6z — 6z
в) z" exp , 2 = 1; г) — г-т-, z = 0;
z
l' ' sh z — z — 23/6'
2 = oo; 2 = oo.
16.14. Вычислить интегралы
'> / (.-!)(*-2)^ 6) / (z' + l/lnz-i)^
1*1 = 3 1*1 = 3/4
oo oo
B) У *«.+ 6s*+25** Г) У „'-4*+ 5*"
— oo —oo
2jt 2tt
Д)/б-Д81пЛ Л) J (3 +2co.tr *
0 0
16.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Я : {\z\ <HmO0}, w = * + ^ ;
б) Я: {|*| = 1}, «>= (» + *)/(*-*);
в) Е : {0 < Re z < 7Г, Im Z < 0}, w = cos 2.
16.16. Конформно отобразить область
D : {\z - 1| > 1, |* + 1| > 1, Im s > 0}
на область D* : {Im го > О}.
16.17. Найти изображение указанных функций
a) cos4 t; ш б) i(e'+ ch *).
16.18. Найти оригинал по заданному изображению
а) -1 • ^ Р
р3+2р2+р' у (р3-1)(р3+4)'
16.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
а) х + х + а; = te , жо = а?о = 0;
б) ж -+■ 2£ = sin(£/2), жо = —2, £о = 4;
2 Г t, 0 < t < тг/2;
Ж + Ж = — < 7Г — г, 7г/2 ^ t < 7Г,
* I 0, тг < t;
жо = хо = 0.

Индивидуальные задания
629
16.20. Операционным методом решить задачу Коши
е~ь
х + 2х -+- х = —-——, хо = хо = 0.
ch 2t
16.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - (1 + t)x + 2(1 - t)x = 0.
16.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г х = х - 2у + 1, n 1
Вариант №17
17.1. Найти все значения корня
а) \/-1-п/3; б) {/г/27.
17.2. Представить в алгебраической форме
а) сп(1 + тгг/3); б) arthf^-^V
17.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать | ch z\ = у ch 2x — sin2 у.
17.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
оо
Е1 . 1
-77=== Sin-т=
tyn + i л/п'
17.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zq = — г при отображении w = — iz .
17.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv no известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) u = y + x/(x2 + y2)> /(1) = 1;
б) v = 3x2y-y\ /(0)=0.
17.7. Вычислить
/
(2 Re г -3ilm *)ete,
г
где Г - полуокружность |г| = 2, Im г < 0.
17.8. Вычислить
ехрг
J z*(z-2)
Г
dz,

630
Задания для самоконтроля
где Г: а) \г\ = 1/2, б) \z\ = 3, в) \г - 2| = 1.
17.9. Найти и построить область сходимости ряда
00 п °°
2-j 2n+1 ^ г""
nssO n=l
17.10. Найти первые три члена разложения функции f(z) =
exp(cos(2 + 1)) в ряд по степеням 2 + 1.
17.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) , 2о = -2-Зг;
z(z + l)
52 + 50
б) 252+ 52*-22*' 20=°;
в) sin :, 2о = — г/3.
у 32 + г '
17.12. Для функции
7 л^ехР-
(2 - г)- 2
найти изолированные особые точки и определить их тип.
17.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
.2
е* — 1 1
а) zz _ iz2 ' * = °? б) ^з cos(2 ~ Х)' * = °5
w 1 \2 1 Л Sh 42 - 62
в) (2 - 1) ехр _, 2 = -1; г) eZ_x_z, * = 0;
ч 1 2/7Г22 + 22\ з v. 21
д) -cos I—- --),2 = оо; е) 2 sh -,2 = 00.
2 — L \ Z -~ £1 / 2
17.14. Вычислить интегралы
a) J tg7r*d2; б) I (г_3)^2_1);
1*1=1 1*1=2
оо »оо
/х2 _ ж + 2 f e2z
E< + 10g2+9rfa:;. г) у ?зтЛ;
—оо — too
2ir 2тг
д) / ^ ^<ft; e) [—=r-^ dt.
J Z-2y/bsmt J (vTo + 3cost)2
0 °
17.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Re 2 = 7г/2}, w = sin2;

Индивидуальные задания
631
б) Е : {\z\ < 1, Im z > 0}, w = г(1 - z)/(l + z);
в) Е : {0 < Re z < 0, 0 < Im z < а}, го = г2, a > 0.
17.16. Конформно отобразить область
D:{\z\ <1,1тг>0 z$[i/2,i]}
на область D* : {Im w > 0}.
17.17. Найти изображение указанных функций
а) sin2 t; б) -e~°'sinb£.
17.18. Найти оригинал по заданному изображению
1 .-р. «ч Зр2
б)
-' Р2-Г ' "; (р2-1)2'
17.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
_1_
chV
ж -f 2ж = , 0 , жо = хо = 0.
17.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х -+■ а; = t" + 2£, Жо = жо = —2;
б) ж + ж = £е* + 4 sin fc, жо = жо = 0;
f 1, 0<ft<l;
в) ж + 2ж + ж = < -1, 1 < t < 2, жо = жо = 0.
{ 0, 2<t;
17.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx — х = 0.
17?22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
ж = ж + 4г/+1, ^__п „ _ i
у = 2ж,+ 3гу, *«-0' уо-1.
Вариант JVs 18
18.1. Найти все значения корня
а) {/Т/8; б) {/-128+128*^3.
18.2. Представить в алгебраической форме
а) cos(7r/3 + 3t), б) arch(-2).
18.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать sin 2z = 2 sin z cos г.

632
Задания для самоконтроля
18.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
оо
2 г + cos n
EL г -+- cos n
Зп + г sin n"
18.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zq = г при отображении w = z2 + 22.
18.6. Найти аналитическую функцию /(-z) = u-\-iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) и = спя sin у, /(0) = 0;
б) v = х3 - Зху2 - ж, /(0) = 0.
18.7. Вычислить
(z*)2dz,
/<
Г
где Г: {у = ж2, 2Х = 0, z2 = 1 + г}.
18.8. Вычислить
/
2(1 -*)3
-С?2,
где Г: a) \z\ = 1/2, б) \z\ = 2, в) \z - 1| = 1/2.
18.9. Найти и построить область сходимости ряда
£<*>-+ES-
2т/
п=0 »=1
18.10. Найти первые три члена разложения функции cos z в ряд
по степеням z + 7г/4.
18.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
7^-196 0 .
а) ,4+7ж»-88*»' * = 3-»5
_. 4z + 64
б) 32**+4*3-2*' Z0=0;
в) z sin , zo = 1.
z — 1
18.12. Для функции l/[(z + 7г/2) cos z] найти изолированные
особые точки и определить их тип.

Индивидуальные задания
633
18.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
sin(z-l) . ч 1 ,•-
а) —— cos(2 - 1), z = 1; б) „ е , z = t;
2 — 1 (z~ H- lj-
.1 . COS22-l
в) 2 cos -, z = l; г) — r-j-, z = 0;
2 — 1 sh z — г — г3/6
9Z + 16 . 7Г2 \ / i i\3 U/1 / \
Д) SH-ft-to»"»^' е) (Z + 1) 8h(1/2)'
2 = oo; г = oo.
18.14. Вычислить интегралы
a) / ztgirzdz; 6) / ^TZldz;
|z| = l |x-3,|=l
oo oo
B) / ,« + 1*0»'+»^ ; r) / ?vidz'
— oo —oo
2тг 2тг
Д) / \= dt; e) /—= ]= dt.
J 4-2V3sint J (a/7 + \/3cos*)2
о о
18.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е
б) Е
в) Е
{\z\ = R}, w = z-l/z;
{О < Re z < тг/2}, w = cosz;
{|*-1|> 1, |* + t| >1}, w = l/«.
18.16. Конформно отобразить область
Z> : {0< Im z < тг, Re z > 0}
на область D* : {Im w > 0}.
18.17. Найти изображение указанных функций
a) cos3 t; б) -sin7fcsin3fc.
18.18. Найти оригинал по заданному изображению
а) ^^4е_2Р; 6) рТз^Тб-
18.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
e~2t
х + Ах + Ах = , жо = io = 0.
18.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х Н-ж + х = 7e2t, xq = 1, жо = 4;

634
Задания для самоконтроля
б) х —2х 4- х = 4, хо = 1, жр = 0, хо = —2;
в) 5 + 2х + я: = { J' ?Ji;<1; *o=xo=0.
18.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - 4(£ + 1)ж + (4* + 8)х = 0.
18.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Вариант № 19
19.1. Найти все значения корня
а) д/-г/4; б) У-128 - 128^3-
19.2. Представить в алгебраической форме
а) сп(2-тгг/6); б) arctg^i^iiV
19.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
Im(tgz) = **
cos 2x + sh 2y
19.4.-Исследовать на< абсолютную и условную сходимость ряд
n2-f 3
En" + 3
n5 + tln4n*
19.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zo = 2г при отображении w = ln(z + 2).
19.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u-fit; по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
б) v = e*(xcosy — у sin у), /(0) = 1.
19.7. Вычислить
Im z3dz,
/■
г
где Г - отрезок прямой z\ = 0, zi — 2 -f 2t.

Индивидуальные задания
635
19.8. Вычислить
-dzy
I
z(z* + 2)
г
где Г: a) \z\ = 1/2, б) \z + t| = 1/2, в) \z\ = 4.
19.9. Найти и построить область сходимости ряда
ЁШ'*Ё(Ф)"
19.10. Найти первые три члена разложения функции l/(2 + sin;s)
в ряд по степеням z,
19.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
а) jr+Zp *o = -2-2t;
_v llz + 242
б) 121* + 11ж»-2*^ "°=0;
В) 2 81П7Г , Zo = 0.
19.12. Для функции tg(l/z) найти изолированные особые точки
и определить их тип.
19.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
ч 1 — ez Л . cos 7rz
а) *=Ъ' z = 0; б) оГГ!)»' ^
в) (г + 1)ехр(2/*), * = 0; г) ^^Iil^ * = °?
д) — г ехр , г = оо; е) г2сп2(тг/;г), 2 = оо.
2- — 1 z + i
19.14. Вычислить интегралы
(z-l)2cos(l/*)d2;
1*1=1 1*1=1/2
1*1=1 |х|=1/
оо too
в) /j^; г) | -£!*,* «h
—оо —*оо
2w 2ir
Д) / i= Л? е) /—7= \= -dt.
y/2 cost)2
зад1
a) E:{1< \z\ < 2}, ад = (* + l)/(* + 2);
19.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях

636
Задания для самоконтроля
б) Е :{Re 2 + Im z = 1}, w = l/z;
в) £7 : {0 < Re z < 1, О < Im 2 < тг/2}, ги = exp z.
19.16. Конформно отобразить область D : {Re z < 1} на область
Dm : {Im w > 0}.
19.17. Найти изображение указанных функций
t
a) -(ch fcsint-f sh tcost); б) / (t — r)2 cos 2r dr.
о
19.18. Найти оригинал по заданному изображению
P2(P2-1)' ' (р* + 1)(р*+9)'
19.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
е'
х — 2х + х = -, хо — яо = 0.
1 "Г С
19.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) x + x = tcos2t, хо = жо = 0;
б) 2ж — Зж + 2х = е', жо = 1, жо = 0;
ft, 0 ^ t < 1;
в) х - 4ж = < 2 - *, 1 < £ < 2, ж0 = ж0 = 0.
{*, 0 ^ t < 1;
2 - t, 1 < * < 2,
0, 2 ^ t;
19.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx + 2ж = 0.
19.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Вариант № 20
20.1. Найти все значения корня
\у/г
а) ^256; б) ^Д±^
20.2. Представить в алгебраической форме
a) cos(ir/6-t); б) arch(3i).
20.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать Im (ch z) = sh ж sin у.

Индивидуальные задания
637
20.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
оо
у^ 1 . 1
> —== 81П-.
20.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке 2о = —г при отображении w = (1 — iz)/(l -f гя).
20.6. Найти аналитическую функцию /(г) = г* + п> по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
a) u = 2sy + y, Д1) = 0;
20.7. Вычислить
/
(z'fdz,
где Г - отрезок прямой z\ = 0, z<i = 1 4- *.
20.8. Вычислить
/
*(s2 + 14)
г
где Г: а) \х - г| = 3/2, б) |г| = 1/2, в) |*| = 6.
20.9. Найти и построить область сходимости ряда
Г-L + V I"1) .
20.10. Найти первые три члена разложения функции z tg z в ряд
по степеням 2.
20.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
а) ТТТ' жо = -1-2»;
«3 + 1
б),98*'+7*'-**' *°"°?
v z2-4z
в) со8^-_' -0-2.
20.12. Для функции cfcg(l/«) найти изолированные особые точки
и определить их тип.

638
Задания для самоконтроля
20.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
, sin 22 —22 Л _ч cos 2
а) sh3z-3,' г = 0; б) («-«)(* +О3' ;
. 1 . .. . г ч sin 42 — 4z
в) -г-Ь(Ц-г), 2 = 0; г) —^ -, z = 0;
23 ехр(2-) -1 — 2-
ч 22 + 16 . / 1 + 5: \ N , Л.Ч1 ,„ /0ч
2 = оо; z = оо.
20.14. Вычислить интегралы
, f cos22-l, ,-ч /* cos32- 1 + 922/2 .
а) У —^~d2; б) У s<sh(9*/4) dZl
в) / :^ГТ«Ь; г) / -j-^^d,:
Д)
— оо —оо
2ir 2тг
/ ]= dt; е) / -—^ dt.
J 3-Vbsmt J V7 + cost
20.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Я:{1:|?|<2}, t* = 3/(* - 1);
б) Е : {Re z < 1}, w = (z - 3 + i)/(z + 1 + i)?
в) £7 : {Im 2 = тг}, го = cth2.
20.16. Конформно отобразить область
D : {6 <arg(Z-l -<)< J}
на область D* : {Im ад > 0}.
20.17. Найти изображение указанных функций
а) Ь3е~1: б) (1-И) sin 2fc.
20.18. Найти оригинал по заданному изображению
(р-2)(р-1)' } р2+2ар + 6*
20.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
х — х =
х = ——-, хо = жо = 0.
2 + е*
20.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + 4х '= sin 2£, ат0 = 0, £о = 1;

Индивидуальные задания
639
б) х + 2х = 2 + е , жо = 1, жо = 2;
в) ж + ж = | 2 2 < £• ж0 = ж0=0.
20.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx — х = 0.
20.22. Операционным Методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г х = х + Зу, 1 п
Вариант №21
21.1. Найти все значения корня
a) V^Ti; б) У=Ц££.
21.2. Представить в алгебраической форме
a) sin(7r/2 - 5t); б) arctgf -J.
21.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать sh 2z = (ch 2z — l)/2.
21.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
У J: .
^—' п — i cos2 (6п)
21.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения А: в
точке zo = i при отображении tw = (z + 1)~2.
* 21.6. Найти аналитическую функцию /(2) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(zo)
б) v = ж2 - у2 - 4жу - 2ж - у, /(0) = -2.
21.7. Вычислить
/
z*z *dz,
где Г - граница области {1 < \z\ < 2, Re z > 0}.
21.8. Вычислить
/sin Зж ,
г

640
Задания для самоконтроля
где Г: а) \г - 3| = 1, б) \z\ = 1, в) \z\ = 6.
21.9. Найти и построить область сходимости ряда
^(-1)»(2-п2)г" + ^(-1)"|г
21.10. Найти первые три члена разложения функции tg z в ряд
по степеням z -f1.
21.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
zq = -3 - 2г;
*2 + Г
б) 2/+Л«' *°=0;
В) 2 Sin -, Zq = 3.
2 — 3
21.12. Для функции (2—-тт)-1 ctg 7Г2 найти изолированные особые
точки и определить их тип.
21.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
ч *+1 __, g4 2^ + 1 __.
а; sh(2 + l)+sin(2 + l)' 2" ^ 6)^ + l'Z- г;
ч/,л 1 ч ch 32 - 1
в) (2 + 1)ехр :, z =г; г) — , 2 = 0;
z — г sin 2 — 2
Д) ml П^ а..'"'""' - = e)>ln(1 + l/2),, = oo.
ос;
21.14. Вычислить интегралы
/• ехр(1/2) + 1 /• «у+1
; У 2 ' ' J (22 + 4)sin7r/3
1*1=3 * |х-1|=2
оо оо
. / ж-1 . /* (x3 + l)sins j
в) У (^TiF ' Г) У x"+5x^+4d:C;
— оо —оо
2тг 2»г
Д) / \= dt; е) / —= \= dt.
J 3-2\/2sin* J (V3 +л/2 cost)2
о о
21.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
б) Е
в) Е
{0 < Im 2 < 7г, Re 2 > 0}, w = cth2;
{—7г/4 < Re 2 < тг/4}, w = tg 2;
{|*| = 2}, w = 2/(*-l).

Индивидуальные задания
641
t
а)
21.16. Конформно отобразить область D : {Im z > 0} на область
D* : {Im w > 0} при условиях w(l + *') = —3 4- 2i, arg w'(l + г) = а.
21.17. Найти изображение указанных функций
t
[rW-r)dT; б) I(e'-i-t).
о
21.18. Найти оригинал по заданному изображению
•л l *\ P
р-(р--1) р3-1
21.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
х + А = г 9 жо = жо = 0.
1 4" в'
21.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) ж 4-ж = е" , жо = жо = ж = 0;
б) 2ж — ж = sin3£, жо =2, жо = 1;
в) ж-|-4ж = /(£), жо = жо = 0.
21.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
*ж-(2*-1)ж4-(£~1)ж = 0.
21.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = -2ar + 6j/ + l, п п
Вариант № 22
22.1. Найти все значения корня
а) фТ; б) V-1-t.
22.2. Представить в алгебраической форме
a) sin(7r/4 4- *); б) arcthf ] .
22.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать ch 2z = (ch 2z 4-1)/2.
22.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
^ Зп
2-r (n-h2)!4-t4n*
22.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zq = — 2г при отображении w = ехр(Зг).

642
Задания для самоконтроля
22.6. Найти аналитическую функцию f(z) = и + й> по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) u = (cx+ e~x) sin t/, /(0) = 2г;
б) v = 2ж2 - 2ут - 2ху - х + 2у + 1. /(0) = 2 + г.
22.7. Вычислить
\z\z*dzi
/-
Г
где Г: {|г| = 4, Re z ^ 0}.
22.8. Вычислить
/cos я + 2
4г2 + тг2
г
где Г: а) |* + 1| = 1/2, б) \z\ = 1/2, в) |*| = 6.
22.9. Найти и построить область сходимости ряда
dz,
Е ^(*-1)" + £(-1)"2"(г-1Г.
22.10. Найти первые три члена разложения функции thz d ряд
по степеням 2 + 1.
22.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
v 4^ + 8
*> (,-l)(,+3)' ^ = 1-Зг;
22-16
г, 2о =0;
б* z4 + 223 - 8г2
В) eXPfe)' "°=3-
22.12. Для функции (sm7rz)/(z-\-l)4 найти изолированные особые
точки и определить их тип.
22.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
. sh 3z — sm3z Л . z2 + sinz + 2
а) ,- 2=0: б) — , 2 = -7г;
22 Sh 22 ' Z2 + 7Г2
ч 1 /1 Л Л . е* —1 —sin 42
в -ехр - + 1), 2=0; г) ^-г-— , 2 = 0:
Z \Z ) ZA Sh 16ТГ2
Д) go , г sb (jT^)' е) (« + *)sb(e/2)exp(-l/2),
2 = оо; 2 = оо.

Индивидуальные задания
643
22.14. Вычислить интегралы
а) / Z^n2z^dz; б) / shl^z')d^
|s-l| = 2 1*1 = 3
оо со
Г 1 /• (ж + 1)мп2а;_,
— со —со
2тг 2»г
Д) / \= dt; е) / )= dt.
J 7 + 4\/3smt J (3 + 2v/2cost)2
0 0
22.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {О < Im z < 7г}, w = cth z;
б) Е : {Re я = C\ Im я ;= C}, w = es;
в) E : {0 < argz < a}, w=ki2, a ^ 27Г.
22.16. Конформно отобразить область .D : {\z\ < 1} на область
D* : {\w\ < 1} при условиях iu(l) = 1, w(-l) = -1, w(t) = (3t-4)/5.
22.17. Найти изображение указанных функций
t
а) sh 3£; б) / те1~т s\n(t — r)dr.
о
22.18. Найти оригинал по заданному изображению
р=-4' ' fr> + 4)>
22.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
ж - 4ж = , ж0 = ж0 = 0.
ch J2fc
22.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) 2ж + 3ж + ж = 3е', ж0 = 1, ж0 = 0;
б) х +6х + Их + 6х = 1 + t -f Г, хо = хо = жо = 0;
в) х -f 9ж = /(ж), ж0 =0, жо = 1.
22.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx + 2х = 0.
22.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
{ у = 2*'+Зу+1, Xo=2' »to-1-

644
Задания для самоконтроля
Вариант № 23
23.1. Найти все значения корня
a) {/-i/8; б) y/-S + Siy/Z.
23.2. Представить в алгебраической форме
a) sh(l-irt/2); б) arctgf2^3 + 8М.
23.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
, , , 0 , Z\ + Z2 , «1 — 22
sh «i + sh «2 = 2 sh — ch
2 2
23.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
У 2! .
^ (Зп)! + 2т
23.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения А: в
точке zq = 1 при отображении ад = exp z + 2z.
23.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(яо)
а) « = 3ж2у-у3-тл /(0) = 0;
б) v = ехр( —5y)(2cos5x + sin5а:), /(яг) = — 2 — 2г.
/-
23.7. Вычислить
|г| Re 2"d2,
г
где Г: {\z\ = 1, Im * < 0}.
23.8. Вычислить
"" sina 2 — 2
/
22 + 27Г2
Г
dz,
где Г: a) \z + 1| = 2, б) |* + 6| = 1, в) |г| = 8.
23.9. Найти и построить область сходимости ряда
Ё(Й)"+В-т(Ш)"-
23.10. Найти первые три члена разложения функции ехр(г +
cos z) в ряд по степеням z.

Индивидуальные задания
645
23.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
% + 1 - , «♦
а) "7 7\' *° = 1 + 2»?
751-98
б) 2.»+7.»-40*' *° = 0;
г4 -4г
в) sin{^W Zo = 2-
23.12. Для функции (sinz)/(exp2 — 1) найти изолированные
особые точки и определить их тип.
23.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
ч е~г — cos9z n -ч sh(iriz/2)
а й-= ' * = 0; б 7 iv>/ . it» * = 1?
sh 7тгг (г - l)-(z + 1)
ч . г _ ч е3* — 1 — sin3;s
D)28in7T2' 2 = 2; г) *&р„) ' z = 0;
Д)^1)85п(б^т)' .)(.-»)In(l-ir/8.).
2 = оо; г = оо.
23.14. Вычислить интегралы
. [ z2 + cos z [ 1
а) / - dz; б) I 2 cos dz:
J z J 2-4
1*1 = 3 |*-3| = 2
oo oo
f x2 + 1 , ч /* cos 22
в) У (^+« + i)»<b5 г) у (^rwd*;
— oo 0
2w 2тг
д) / ]=-7—dt; e) / ]= dt.
J 4-V7sint * У 4+v/7cost
о о
23.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {0 < Re z < тг/4}, w = tg z;
б) E :{lm z = kRe z + Ъ}, w = ex;
в) E : {\z\ < 1, 0 < arg2 < a}, w = ln*, a ^ 27Г.
23.16. Конформно отобразить область D : {\z\ < 1} на область
D* : {\w\ < 1} при условиях w(t) = t, w(i/2) = 4г'/5.
23.17. Найти изображение указанных функций
t
а) sh4t; б) Ht-rfchTdT.
о

646
Задания для самоконтроля
23.18. Найти оригинал по заданному изображению
а) 7 T^TZ £Т' 6)
(р-1)*(р-5)' У (р2 + 3)(р2+4)'
23.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
.. . ' е'
х + ж = ■- -, хо = хо = 0.
1 + е*
23.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + х = cos t, жо = 2, жо = 0;
б) ж + ж — 2ж = е', жо = — 1, жо = 0;
в) ж + 4ж = | 5е1_е^ 1<t; ж0 = жо=0.
23.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx + (2* - 1)ж + (t - 1)ж = 0.
23.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = 4ж + 3; 1 п
Вариант JVs 24
б) 5/27.
24.1. Найти все значения корня
jT
24.2. Представить в алгебраической форме
а) с11(тгг/4 - 2); б) 12\
24.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
ch z\ -f ch zo = 2 ch ch .
2 2
24.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
00 i
- ^—: sin г- •
1 + 2т 2»
24.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zo = 1 — г/2 при отображении w = ехр(Зг).

Индивидуальные задания
647
24.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) и = 2:с2 - 2у2 + 2жу + х - 2у + 1, /(1) = 4 + 4г;
б) v = ey(cos:n — sin ж), /(0) = 1 + г.
24.7. Вычислить
г Re 22<i2,
г
/■
где Г: {|*| = 1, Im 2 <$ 0}.
24.8. Вычислить
/
z2(z + 2i)
dzy
где Г: a) \z - 1 - i\ = 6, б) |г| = 1/2, в) \z + 3i/2| = 1.
24.9. Найти и построить область сходимости ряда
^ {z + i)n V^ 2П ,
24.10. Найти первые три члена разложения функции sec 2 в ряд
по степеням z,
24.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) —.—-—-, 20 = -3-2г:
52 - 100
б) ж'-5ж»-50ж»' "° = 0;
в) ж ехр ( ) , жо = а.
\2 — а/
24.12. Для функции [exp(l/z)]/(z4 — 1) найти изолированные
особые точки и определить их тип.
24.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
ч ехрбг — cos 82 * Л . cos(nz/3)
sh 42 (г — 3)-(2 — 5)
\ 1, 2 1/*2 „ ч ch Зж — cos4t2
в) -(z-el/s -1), 2 = 0; г) ^— , 2 = 0;
г' ' 2-sm52
v 22-1 о ч , Л.ч о """" - 1
д) , ■ .2 cos 7Г2 - 232 + Зг, е) (z + 2г) cos'
(2 + I)2 -."-т.,., w v~ ■ / 2z
2 = 00; 2 = 00.

648
Задания для самоконтроля
24.14. Вычислить интегралы
а) I zch -dz\ б) / г 7^ -&z>
J z-2 'J ехр(тгг/2) - г
|z-2|=2 |r-»|=2
/X" I Я1П 2^7*
(^TTIFdx; r) I («»-« +В'&;
0 -oo
2»r 2ir
Д) / ^ Л? e) f-= 1: -Л.
У 5 + 2л/бзт£ У л/5 + >/3cost)2
о о
24.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {0 < Re z < 7г}, w = tg z\
б) Я : {0 < Re 2 + Im 2 < 2тг}, w = er;
в) i? : {Re z = С, Im z = С}, to = cos2.
24.16. Конформно отобразить область D : {Ы < 1} на область
D* : {\w\ < 1} при условиях м(1/2) = 1/2, argw (1/2) = тт/2.
24.17. Найти изображение указанных функций
а) е* sh t; б) t cos t.
24.18. Найти оригинал по заданному изображению
v еГ"'3 ■ р-1
а) P(P2-1)' ' (р* + 2)(р*+3)-
24.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
xq = хо = 0.
*-(1 + е«)3'
24.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) 'х — х = te , хо = io = 0;
б) ж - Зж -f 2ж = 2е* cos(i/2), ж0 = 1, х0 = 0;
{2£, 0 < fc < 1;
4 - 2fc, 1 < t < 2,
0, 2 < t;
в) х + 4ж = <{ 4 - 2fc, 1 < t < 2, жо = i0 = 0.
[О, 2 < t;
24.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
Лх - (2t + 8)ж + (* + 8)ж = 0.
24.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений

Индивидуальные задания
649
Вариант № 25
°>У?4
25.1. Найти все значения корня
•> \^
} у 256'
25.2. Представить в алгебраической форме
a) Ln(-l-t); б) t3'.
25.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
Z\ + ^2 , ^1 — 22
ch 2i — ch Z2 = 2 sh — sh — .
L L
25.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
00 1
У" I .
^—' (2n-i)ln2n
п=1
25.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения А: в
точке zq = — 5 -f г при отображении w = z/(z + 4г).
25.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + w по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) и = 9х2у-3у3 + ж + 1, /(l) = 2 + 2i;
б) v = ey cos ж + у, /(тг/2) = 1.
25.7. Вычислить
/
(exp |z|2) Im zdz,
где Г - отрезок прямой z\ = 1 + h z? = О*
25.8. Вычислить
У *2(* + 2i)
г
2 + sin z _
—02,
где Г: а) |*| = 1, б) \z + 2*| = 1, в) |*| = 3.
25.9. Найти и построить область сходимости ряда
(z - 2г)п ^ t-3"
(Зп + t)n ^ (* " 2t)n
25.10. Найти первые три члена разложения функции ln(cosz) в
ряд по степеням z.

650
Задания для самоконтроля
25.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
\ z — 1 „
а) ———р-, 20 = 1 + Зг;
z{z + 1)
132 - 338
б) , го = 0:
' 2zs + 12г2 - 1692:'
v . 2 + 2
в) zsinTr -, zq = — 1.
2 + 1
25.12. Для функции '(costtz)/[(4z2 — l)(z2 + 1)] найти
изолированные особые точки и определить их тип.
25.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
ч с32— 1 — sin 32 Л . sh(wiz)
2sh(37T2) ' (г + г^2
'£•-:
ч . 1 Л ч sh 22 — 2г
в) zch ——, 2 = -2; г) , 2 = 0;
2 + 2 COS 2 — 1 + 2^/2
д) 4~ГТ sh ~~~~Ч' ^ = оо; е) (2 + l)2 sh(e/t), 2 = 00.
2 + JL Z -~ О
25.14. Вычислить интегралы
а) / Zdz\ б) / — г" <**?
1*-*|=2
/1 / l"*0€J ^fT"
(x* + 9)(xi+A)*dx; Г) У (Ж2 + 1)2(а:2+4)^;
— ОО —ОО
2тг 2тг
д) Л ^т—Л; е) / ,_ Х Л.
А; У 5-3sin* ' У (V6 + cost)2
о о
25.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Ё : {0 < Re 2 < тг}, w = cos 2;
б) Я: {Re 2 = 1}, w = (2-3 + г)/(2 + 1 + г);
в) £ : {0 < Re 2 < тг, Im 2 > 0}, w = tg 2.
25.16. Конформно отобразить область £> : {Im 2 > 0} на область
D* : {|го| < 1} при условиях w(0) = г, гу( —1) = 1, гу(оо) = —1.
25.17. Найти изображение указанных функций
а) Ье ' sh t; 6) / е* ^sinrdr.
о
25.18. Найти оригинал по заданному изображению
а) Ям^' б) 7ТГ

Индивидуальные задания
651
25.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
е<
2*-ж= (1 + е*/2)^ *о=*0=0.
25.20. Операционным методом решить задачу Кошй
а) х -f х = е , хо = х = 0, xq = 2;
б) ж + 4х = 10cos3t + 3sinfc, хо = — 2, хо = 3;
{t, 0 ^ t < 1;
2 - t, 1 < £ < 2, жо = хо = 0.
0, 2 <$ *;
25.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
*5 + (2fc+l)£ + (*+l) = 0.
25.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г £ = 3г/+ 2, - -
Вариант № 26
26.1. Найти все значения корня
26.2. Представить в алгебраической форме
a) Ln6: б) (-l)4i.
26.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать cos2 z = (1 + cos 2z)/2.
26.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
Е
(Зп — i) Inn
n=2
26.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zo = 1 + г\/3 при отображении го = l/z2.
26.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) it = ey(cosa; + sin ж), /(0) = 1 -f г;
б) v = Зж2 - 9жу2 - у + 2, /(г) = 1 + г.

652
Задания для самоконтроля
26.7. Вычислить
/
\2dz,
где Г: {|*| = 1, Re z ^ 0, Im z ^ 0}.
26.8. Вычислить
[ е' + 1
J *(*-!)
Г
dz,
где Г: a) \z - 1/2| = 1, б) \z\ = 1/2, в) \z - 1| = 1/2.
26.9. Найти и построить область сходимости ряда
J[2-t)n ^(2-г)п*
26.10. Найти первые три члена разложения функции ехр(л +
sin z) в ряд по степеням 2.
26.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
2-1
а) , го = -l + 2t;
2(js + 1)
. 82 ~ 256
б) *'+8*»-128*'' *°=°;
2 . 2 + 3
В) 2 Sin -, 20 = 1.
26.12. Для функции (sin3 2)/[22(1 — cos2)] найти изолированные
особые точки и определить их тип.
26.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
а) 7Т2sm(2"3t)' 2*Зг; б) (,-2-o»(i-i)' z = °;
х о 4 . . ch 2 — cos З2
B)zeXP(J^F'/ = ,; Г) Zsin(5^) 'Z = °;
д)^т4ехрзгп'г=оо; e)2zsin2£' 2=o°-
26.14. Вычислить интегралы

Индивидуальные задания
653
а) I , 'Г!,* 6) /^ехр(1/^)-1
J {z-n)$m2z 'J z
v f 1 ч f Ж COS Ж
B) У (ж2 + 4)(ж2 + 9); rj J x2-2x + 17rf:C;
Д) / S-3V7sintdt; 6) / (7U
2w
1
dt.
V5cost)2
о о
26.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {О < Im z < тг}, w = cli 2;
б) £7 : {arg z = а}, го = In г;
в) £ : {9 < Re 2, 0 < Im z}) w = arcsinz.
26.16. Конформно отобразить область D : {Im z > 0} на область
^* : {\z\ < 1} при условиях го(0) = —г, ги(2г) = г/3.
26.17. Найти изображение указанных функций
t
a) e2tsh t; б) I (t - r)3e"rdr.
о
26.18. Найти оригинал по заданному изображению
1 е"р/2
P3-l' ' (р2 + 1)(р2+2)'
26.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
.. . . п
Ж — Ж = — -, Хо = Жо = 0.
2 + е*
26.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + х = be + 4sinfc, жо = жо = 0;
б) ж —ж = £", жо = 1, хо = 0;
в) ж + 4ж =/(£), жо = жо = 0.
26.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - (2t + 6)ж + (t + 6)ж = 0.
26.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений

654
Задания для самоконтроля
Вариант № 27
27.1. Найти все значения корня
б)
з/\/3 г
V250 ~ 250'
27.2. Представить в алгебраической форме
a) Ln(l + z); б) (4-Зг)\
27.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать sin2 z = (1 — cos 2z)/2.
27.4* Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
^ (2m-3)ln(3n + l)
27.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zq = 3 + 2г при отображении w = ехр(2г + 1).
27.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
а) u = e"2y(3sin2a;-cos2:c), /(0) = -1 + Зг;
б) v = 2х3 - бху2 -2/4-1, /(1) = 3 + Зг.
27.7. Вычислить
/
z\dzj
г
где Г: {|*| = у/2, */4 < arg* ^ 5тг/4}.
27.8. Вычислить
Г rrvo 9 Л- \
-dz,
I
COS2 2 + 1
Z' -7TJ
Г
где Г: а) \г - 2| = 3, б) \z\ = 4, в) \г + 2| = 3.
27.9. Найти и построить область сходимости ряда
£
3|п,гп.
п= = — оо
27.10. Найти первые три члена разложения функции ez*1+sm *' в
ряд по степеням z.
27.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) — -, г0 = 2 + г;
Z' — 1
• ч Зг - 18
б) 9ж + Зж»-2*' "0=0;
в) Z COS -, Zq = 3.
г — 3

Индивидуальные задания
655
27.12. Для функции cos -^h^ найти изолированные особые точки
и определить их тип.
27.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
,22-1 w о.Л п. _ etz
а) — sh (z - 2г), z = 2г; б) - —, z = 7г;
22 + 4 v " ' ' (2-тг)
*2'
ч • 6 ч exp 23 - 1
в) 2sin—, 2 = 0; г) -г- ^Т^, z = °5
ch2-l-22/2'
ч 2^ + 1 . тг2-г 2 /2-г\2
27.14. Вычислить интегралы
/* sin2 2 . /* з 2г
а) / d2; б) / 2 cos —02;
У 2 cos 2 J 2
1*1 = 2
— оо — оо
2тг 2ir
д) /dsi* e) /(vi4i
(аГ - 2) cos ж/2 , .
аа:;
(я2 + I)2
— dt.
2 cost)2
о о
27.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {\z\ < 1Лт 2 > 0}, w = (1 - г)/{1 + z);
б) £ : {0 < Re 2 < тг, 1т 2 > 0}, ги = cos 2;
в) Е : {Re 2 < 0, 0 < Im 2 < a}, w = е% а < 2тг.
27.16. Конформно отобразить область X? : {Im 2 > 0} на область
JD* : {|ги| < 1} при условиях w(l + г) = 0, argtu'(l -f i) = тт.
27.17. Найти изображение указанных функций
t
a) ch2tcos2fc; б) / т2 ch (t - r)dr.
о
27.18. Найти оригинал по заданному изображению
1 е~р
а) (р + 1)(р2+4р + 5); б) JT^l'
27.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
27.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) 2х + 5£ = 29 cos t, жо = 1, жо = 0;

666
Задания для самоконтроля
б) 2ж + 4я + 29а: = е 3\ х0 = 0, я0 = 1;
в) ж — £ = /(£), жо = #о = О.
27.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx- (*4-5)я + Зж = 0.
27.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г х я 2х + 8у + 1, 0 -
4 Вариант № 28
28,1. Найти все значения корня
а) {/г/126; б) у/-1-гт/§.
28.2. Представить в алгебраической форме
а) Ьп(\/3 + г); б) (-\/3 + i)-e\
28.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать sh z\ sh *з = [ch («i + «з) - ch (si - *з)]/2.
28.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
00 1
^ (n + 3i)lna(2n)'
28.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения k в
точке *о = 1 + 2г при отображении го = 1/(я + I)3.
28.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(го)
4да
б) ti = ж3 - у2 « 2о;у + 2ж 4- у, /(1) = 3 + Зг.
а) и^у--^—, /(1) = -4;
28.7. Вычислить
где Г: {\z\ к у/2).
28.8. Вычислить
/■
/
г
sin3 « + 2 ,
ая,
*8 - 4тг3
г
где Г: а) \г - 6| = 1, б) |* - 2тг| = 1, в) |я| =в 8.

Индивидуальные задания
657
28.9. Найти и построить область сходимости ряда
оо оо
yrzn + yj_,
Z-j Z-/ 3nzn
n=0 n=l
28.10. Найти первые три члена разложения функции 4ег+ехрг в
ряд по степеням z.
28.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zo
ч 2 + 3 Л Л.
а) -г -, 20 = -2 + Зг;
г2 — 1
ч Зг-18
б) 18ж»+3*»-*'' 2° = 0;
в) ^cos -, 2о = 5.
2 — 5
28.12. Для функции (z — I)-1 ехр(г — г)~2 найти изолированные
особые точки и определить их тип.
28.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
a)LI3T'z = i; б)(« + 2){(«-1Г' = 1;
\ / .\ *» / 4 \ Л. ч cos г2 — 1
в)(г + г)со8-(_-)^ = 2Ц Г)____,г = 0;
Д) 08 + 7,-«» 8Ь 1Ы' е) (2 " ^)2 ""^
2 = оо; 2 = оо.
28.14. Вычислить интегралы
J (7r + 2)sin2: У 2
— sin I/2 .
-аг;
оо оо
ч /* 1 , ч [ (х - l)sina:^
в) J (^+4)»(^ + 1б)Л?; г) У i^r^)2" ;
— оо —оо
2тг 2»г
д) / \= dt; е) [- г=-Л.
j У 9-4^5sin* ' ' J (2 +cos*)2
о # о
28.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Re z > 0, Im z = тг/6}, w = ez;
б) E : {Re 2 > 0, Im z > 0}, w = arshs;
в) Я : {0 < Re 2 < тг, -h < Im z < h}, w = cos z, /1 > 0.

658
Задания для самоконтроля
28.16. Конформно отобразить область D : {Im z > 0} на область
D* : {Im w > 0} при условиях w(—1) = 0, iy(0) = 2, го(1) = ос.
28.17. Найти изображение указанных функций
о
28.18. Найти оригинал по заданному изображению
(р-2)(р*-2р + 3)' ' р^+Зр + З)"
28.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
« о-в* . п
ж — 2ж + ж = - _. жо = Жо = 0.
СП 2t
28.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) ж + ж — 2ж = е~ , Жо = —1, жо = 0;
б) ж — ж = 4sin£-b 5cos2£, жо = — 1, жо = —2;
в) x-x = 0(t- 1)0(3 - £), жо = жо = 0.
28.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx +i2t + 2)ж + (t + 2)ж = 0.
28.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = ж + 2у, Л -
Вариант JVs 29
29.1. Найти все значения корня
а) У-г/125; б) \/в - 8tV5.
29.2. Представить в алгебраической форме
a) Ln(-l-t); б) (1-г)41-
29.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать
1<*М=М/ТГ'С°8?/-
w -u °- - сов2ж
_ /ch 2ж + <
"" у ch 2ж - <
29.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
5>и"
Чп П + 1

Индивидуальные задания
659
29.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения к в
точке zo = 1 -f 2t при отображении w = l/(z + 1).
29.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению f(zo)
а) и = ж2 — у2 + 2жу — 2у — ж — 2, /(г) = —5 — г;
б) v = e~3y(3cos3:c -2sin3z), /(тт) =-2 - Зг.
29.7. Вычислить
/
zlm z dz,
где Г - отрезок прямой z\ = 0, z-i = 1 + i.
29.8. Вычислить
/
COS2 2 + 3
dz,
2з2 + тг2
г
где Г: а) |* + 3/2| = 1, б) \z\ = 1/2, в) \z\ = 3.
29.9. Найти и построить область сходимости ряда
п=0 п=1
29.10. Найти первые три члена разложения функции 2/(2 + sin ^)
в ряд по степеням 2.
29.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
а) ^Г[' ло =2 +г;
. 9г - 162
б) 81«+9«»-2ж" *0=°;
ч . 7Г2
В) ,2 Sin , 2о = О.
z — a
29.12. Для функции (sin l/z)/(z+i) найти изолированные особые
точки и определить их тип.
29.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
а) -г—, :т, 2 = г; б) 7—■—гу-, 2 = 0;
81П(2 — t) ' (Z +7Г)32
ч / .4i2l Л . ч COS 72 — 1 _
в)(*-1)<*2^,* = -2<; г)1ь73Т'г = 0;
. . 2 - 7rii ч 2г +1 , tz
д)г8Ш__, z = oo; e) ^-j^-ch^p—tj-, 2 = 00.

660
Задания для самоконтроля
29.14. Вычислить интегралы
z — sin z
г i^Adz; б) Г
J shitt* J
2z4
|x-l/2| = l |z|=2
dz;
/1 / x" cos ж
i TTdx; r) / / 2 , *i4o<fa;
xJ — x + 1 у (ж'5
r2 + l)2^
2тг
д) / 7=^7-dt; e) /- ^-
У l + VT5sint J (2 + n/3c
{cost)2
о о
29.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {Im z > 0}, w = arcsinz;
б) Е : {Re z > 0, Im z = 7г}, w = cli z\
в) E :{1< |*| <3, z £ [1,3]}, ™ = lnz.
29.16. Конформно отобразить область jD : {\z — 1 — i| < 2} на
область £>* : {|г| < 1} при условиях w(i) = 0, arf*w'(i) = 7г/2.
29.17. Найти изображение указанных функций
a) -e~3tsm2t; б) / (t - г)2 cos2 rdr.
о
29.18. Найти оригинал по заданному изображению
2р+1 , 2-Зр
' (р + 1)(р2+2р + 3)' °> (р-2)(р2-4р + 5)-
29.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
х — Ах = th22fc, жо = %о = 0.
29.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) х + 4х = 8 sin 2fc, жо = 3, жо = 0;
б) х + ж = sh t, жо = 2, жо = 1;
в) ж + 2ж + ж = 0(fc)0(l - t) - 0(t - 1)0(2 - t),
жо = жо = 0.
29.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - 2{t + 3)ж + (t + 6)ж = 0.
29.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
г £ = -ж - 2у + 1, , п

Индивидуальные задания
661
Вариант № 30
30.1. Найти все значения корня
а) {/г/256; б) \/500д/3 - 500г.
30.2. Представить в алгебраической форме
а) Ьп(1+гл/3); б) (-12 + Ы)~*.
30.3. Исходя из определения тригонометрических и
гиперболических функций, доказать sh z\ ch zq = [sh(zi -f z<i) + sh(*i — ^)]/2.
30.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
3" + 2»г'
nal
30.5. Найти угол поворота а и коэффициент растяжения А; в
точке zq = — 2 + Зг при отображении г/; = 1/(г — I)1.
30.6. Найти аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной
действительной (или мнимой) части и значению /(*о)
а) ti = -у3 + ЗаГу + 2ж, /(1) = 2 + 2г;
б) v - х2 - у3 + 4жу - у - 2sc, /(г) = 1 - 2г.
30.7. Вычислить
/-
г
где Г: {|*| = 1, Re z ^ 0, Im z < 0}
30.8. Вычислить
cos z ,
/
Z(Z - 7Г)
Г
где Г: а) |* - 3| = 1, б) \z\ = 3, в) |я| = 4.
30.9. Найти и построить область сходимости ряда
во оо о
S>+o(m) +Sf-
30.10. Найти первые три члена разложения функции f(z) =
ехр(со8 2г) в ряд по степеням z + тг/4.
30.11. Найти все лорановские разложения данной функции по
степеням z — zq
*ч 6* - 144 п
б) • 72,2 + *,._,«• *0^0'
ч «« — 1 о
в) zsm7r -, «о = ^.
7 jz — 2

662
Задания для самоконтроля
30.12. Для функции 1/(е2 +1) найти изолированные особые
точки и определить их тип.
30.13. Для данных функций найти вычеты в указанных особых
точках
а) ЙТ Sin(2 + {)> Z = "i; б) (, + 'l)(I-2t)»' * = 2i;
z2 2
в) z3 ехр(7/*2), 2 = 0; г) .* " ~* » « = °5
sin z — z + 23/б'
2*+t_.__2 + 3 _ч„2._27Г + *
д) о , . sin7r ——, ^ = оо; е) 2 sin
2- -f 4 2z *
30.14. Вычислить интегралы
а) I z cos(2i/z)dz; б) /
J J Zi
1*1=1/4
— cos 9z .
СП (7T12)
ч / 1 ^ ч / ж sin ж/2 л
B) J ^ + 10^+9^ Г) У (я' + ^+О)**5
— CX) —OO
2тг 2тг
д) / .- 1. Л; е) /"—7= ^= Л.
У 6+v/35sin* У (\/7 + л/2соз^)2
о о
30.15. Найти образы указанных множеств при заданных
отображениях
а) Е : {0 < Re z < тг/2, Im's > 0}, w = cos2;
б) Я : {|z| = 2, Im 2 < 0}, w = \nz;
в) £:{Re*>l}, to = (z - 3 + t)/(* + 1 + i).
30.16. Конформно отобразить область D : {Re z > —1} на
область D* : {\w\ < 1} при условиях w(0) — 0, argw'(O) = 7Г.
30.17. Найти изображение указанных функций
t
a) t4e~5t; б) А т2 cos (ft - r)dr.
о
30.18. Найти оригинал по заданному изображению
- _^-. б) Р + *
р3 - 8' 7 р2 + Ар + 5 *
30.19. С помощью формулы Дюамеля найти частное решение
дифференциального уравнения
Хо = жо = 0.
"-(1+««)»'
30.20. Операционным методом решить задачу Коши
а) ж + 2ж = ее, я?о = 1, хо = 2;

Индивидуальные задания 663
—-.—_^ 7—__
б) ж 4- Зж — 10ж = — sin 3^, '.з;о=3, жо = — 1; '
в) ж + 4ж = *0(*)0(1 - *) + (2 - i)0(t - 1)0(2 - fc),
жо = жо = 0.
30.21. Операционным методом найти общее решение
дифференциального уравнения
tx - 2(3fc + 1)ж + (9t + 6)ж = 0.
30.22. Операционным методом решить систему
дифференциальных уравнений
Г ж = Зж + 2у,
1 у = 5ж/2-у + 2, *0==0' И»"1'

664
Список литературы
Список литературы
1. Анго А. Математика для электро и радиоинженеров. - М.:
Наука, 1964. - 772 с.
2. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных
функций. Секвенциальный подход. - М.: Мир, 1976. - 311 с.
3. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эстгольц Л.Э. Функции
комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория
устойчивости. - М.: Наука, 1965. - 288 с.
4. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической
физике. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.
5. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т.
4: Функции комплексного переменного (теория и практика). -
М.: Изд-во УРСС, 1997. - 352 с.
6. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по
математической физики. - М.: Наука, 1972. - 688 с.
7. Буслаев B.C. Вариационное исчисление. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
- 288 с.
8. Вазов В. Асимптотические разложения решений
обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968. - 464 с.
9. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической
физике. - М.: Наука, 1976. - 280 с.
10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.:
Наука, 1981. - 512 с.
11. Владимиров B.C. Сборник задач по уравнениям
математической физики. - М.: Наука, 1981. - 270 с.
12. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник
задач по теории функции комплексного переменного. - М.: Наука,
1975. - 320 с.
13. Гельфанд И.М., Фомин СВ. Вариационное исчисление. - М.:
ГИФМЛ, 1961. - 228 с.
14. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия
над ними. - М.: Физматгиз, 1959. - 440 с.
15. Грищенко А.Е., Нагнибеда Н.И., Настасиев П.П. Функции
комплексного переменного. Решение задач. - Киев: Вища школа,
1986. - 334 с.
16. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. - М.: Наука, 1968. - 618
с.
17. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. Т. 2. - М.: Наука, 1980. - 366 с.
18. ДеБрейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. - М.: Изд-
во иностр. литературы, 1961. - 248 с.
19. Дёч Г. Руководство к практическому применению
преобразования Лапласа. - М.: Наука, 1965. - 288 с.
20. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. —
М.: Мир, 1969 (Т. 1) - 424 с; 1970 (Т. 2) - 352 с; 1970 (Т. 3) -
344 с.

Список литературы
665
21. Диткин В.А. Прудников А.П. Интегральные преобразования и
операционное исчисление. - М.: Наука, 1974. - 544 с.
22. Евграфов М.А. Аналитические функции. - М.: Наука, 1968. -
472 с.
23. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. -
М.: Наука, 1976. - 202 с.
24. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы):
Ч. I. - М.: Высшая школа, 1980. - 280 с.
25. Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М.
Математический анализ (специальные разделы): Ч. II. - М.: Высшая
школа, 1980. - 296 с.
26. Зельдович Я.В., Яг лом И.М. Высшая математика для
начинающих физиков и техников. - М.: Наука, 1982. - 512 с.
27. Канторович М.И. Операционное исчисление и процессы в
электрических цепях. - М.: Сов. радио, 1975. - 320 с.
28. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций
с приложениями в технике. - М.: Мир, 1978. - 518 с.
29. Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Функции
комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория
устойчивости. - М.: Наука, 1981. - 302 с.
30. Компсон Э. Асимптотические разложения. - М.: Мир, 1966. -
160 с.
31. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные
уравнения. - М.: Наука, 1976. - 216 с.
32. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. В
2-х т. — М.-Л.: Гостехиздат, 1951. - Т. 1, 476 с; Т. 2, 544 с.
33. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного
исчисления. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 296 с.
34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.
35. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕЖ Механика. - М.: Наука, 1965. — 204
с.
36. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1960. —
400 с.
37. Левинштейн М.Л. Операционное исчисление и его приложение
к задачам электротехники. - М.-Л.: Энергия, 1964. - 466 с.
38. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. — В 2-х т.
— Т. 1 М.: Наука, 1967. — 488 с; Т. 2 М.: Наука, 1968. — 624 с.
39. Морс Ф.М., Фешбах Т. Методы теоретической физики. — М.:
Мир, 1958 (Т. 1) - 930 с; 1960 (Т. 2) - 886 с.
40. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы.
М.: Наука, 1971. - 632 с.
41. Олвер Ф. Асимптотики и специальные функции. - М.: Наука,
1990. - 528 с.
42. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных.
- М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

666
Список литературы
43. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного
переменного. - М.: Наука, 1984. - 432 с.
44. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. - М.:
Наука, 1973. - 460 с.
45. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической
физики: Т. 1. Функциональный анализ, —■ М.: Мир, 1977. 358 с;
Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. - М.: Мир.
1978. 400 с; Т. 3. Теория рассеяния. --■ М.: Мир, 1982. 448
с; Т. 4. Анализ операторов. — М.: Мир, 1982. 432 с.
46. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики.
— М.: Мир, 1982 (Т. 1) - 488 с; 1984 (Т. 2) - 384 с.
47. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и
специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука,
1964. - 304 с.
48. Сборник задач по теории аналитических функций / Под ред.
М.А. Евграфова. - М.: Наука, 1972. - 387 с.
49. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного
переменного. - М.: Наука, 1974. 320 с.
50. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по
математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993. 352 с.
51. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 408 с.
52. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - Т. 3, ч. 2. - М.:
Наука, 1969. - 672 с.
53. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа
в математической физике. - М.: Наука, 1988. - 336 с.
54. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.
55. Федорюк М.В. Асимптотика интегралы и ряды. - М.: Наука,
1987. - 544 с.
56. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352
с.
57. Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977. - 368 с.
58. Харди Г.Х. Расходящиеся ряды. - М.: ИЛ, 1951. 504 с.
59. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам
высшей математики (типовые расчеты). М.: Высшая школа,
1983. - 112 с.
60. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. 1. - М.: Наука,
1985. 336 с.
61. Шварц Л. Математические методы для физических наук. - М.:
Мир, 1965. - 412 с.
62. Шелковников Ф.А., Тайкашвили К.Г. Сборник упражнений по
операционному исчислению. - М.: Высшая школа, 1976. - 184 с.
63. Шилов Г.Е. Математический анализ (специальный курс). - М.:
Физматгиз, 1960. - 388 с.

Список литературы
667
64. Шилов Г.Е. Математический анализ (второй специальный курс).
М.: Изд-во МГУ, 1984. - 208 с.
65. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. - М.: НгСука, 1969. - 424 с.
66. Эрдейи А. Асимптотические разложения. - М.: Физматгиз,
1962. - 128 с.

Предметный указатель
аналитическое продолжение, 129,
130
берег
верхний, 41
нижний, 41
вычет, 138
логарифмический, 153
единица
мнимая, 13
задача Коши
обобщенная, 582
изображение
по Лапласу, 307
интеграл
Бромвича-Вагнера, 177
Коши, 83
для многосвязной
области, 85
Лапласа, 306, 402
Фурье, 408
типа Коши, 87
контур
Бромвича-Вагнера, 177
ориентированный
отрицательно, 69
положительно, 69
кривая
Жордана, 69
гладкая, 69
кусочно-гладкая, 69
лемма
Ватсона, 403
Дю Буа-Реймонда, 422
Жордана, 168
Эрдейи, 411
основная
вариационного
исчисления, 422
матрица
симплектическая, 447
метод
Абеля, 526
Вейерштрасса, 132
множество
граница, 21
замыкание, 21
ограниченное, 20
открытое, 21
производное, 21
связное, 21
неравенство
Бесселя, 519
Коши-Буняковского, 514
Минковского, 515
Шварца, 514
норма функции, 418
область
односвязная, 21
оригинал, 306
осциллятор гармонический, 428,
437
отображение
конформное, 251
оценки
асимптотические, 388
плоскость
комплексная
расширенная, 25
с разрезом, 41
поверхность
риманова, 135
показатель
степени роста, 306
последовательность
асимптотическая, 394
дельтообразная, 472
комплексных чисел, 23
неограниченная, 24
ограниченная, 24
предел, 23
668

Предметный указатель
669
сходящаяся, 23
постоянная Эйлера, 350
преобразование
Лапласа, 306
Фурье, 501
каноническое, 447
признак
сравнения
второй, 29
первый, 29
сходимости
Даламбера, 29
Дирихле, 30
Коши, 29
необходимый, 28
пример
Эйлера, 398
принцип
аналитического
продолжения, 129
локализации, 411
максимума модуля, 90
наименьшего действия, 435
производная
логарифмическая, 153
пространство
Шварца, 462
основных функций, 456
псевдофункция Адамара, 482
равенство
Парсеваля, 503, 519
разложение
асимптотическое, 397
регуляризация функции,* 481
решение
дифференциального
уравнения
обобщенное, 529
фундаментальное, 537
ряд
Лорана, 99
главная часть, 100
правильная часть, 100
Тейлора, 94
асимптотический, 397
сумма, 27
сходящийся, 27
абсолютно, 28
условно, 28
свертка функций, 327, 508
символ
Похгаммера, 384
система
Гамильтона, 437
оператор сдвига, 449
первый интеграл, 445
скобка Пуассона, 445
каноническая, 447
сфера
Римана, 25
сходимость
слабая, 461
теорема
Абеля, 38
Бореля, 326
Вейерштрасса, 93
Гурвица, 161
Коши, 74
для многосвязной
области, 78
основная, 77, 139
Лиувилля, 91, 451
Миттаг-Леффлера, 212
Морера, 89
Пуассона, 446
Руше, 156
Сохоцкого-Вейерштрасса,
121
Эфроса, 367
дифференцирования, 322,
323
единственности, 311
запаздывания, 316
интегрирования, 324, 325
о единственности
аналитической функции, 127
о среднем, 87
обращения, 310
основная
алгебры, 158
теории вычетов,. 139
подобия, 315
разложения, 330, 332, 334

670
Предметный указатель
свойство сохранения
симметрии, 259
углов, 249
смещения, 316, 320, 321
умножения, 326, 327, 329,
367
тождество
Якоби, 445, 451
точка
бесконечно удаленная, 24
ветвления
алгебраическая, 135 .
логарифмическая, 135
внутренняя, 21
граничная, 21
изолированная, 21
особая, 116
изолированная, 116
полюс, 116
существенно особая, 116
устранимая, 116
правильная, 115
предельная, 21
уравнение
Эйлера-Лагранжа, 424, 426,
427
условия
Даламбера-Эйлера, 56
Коши-Римана, 53
формула
Дюамеля, 334, 341
Коши, 329
Меллина, 310
Муавра, 46
Ньютона-Лейбница, 75
Парсеваля, 347
Сохоцкого, 483
Эйлера, 43, 356
дополнения, 353
функционал, 417 -
вариация, 420
линейный, 419
непрерывный, 418
функция
Дирака, 466
Хевисайда, 479
аналитическая
полная, 133
бета-функция, 372
гамма-функция, 349
гармоническая, 61
комплексного
переменного, 35
аналитическая, 56
гиперболическая, 43
голоморфная, 56
интеграл, 70
логарифмическая, 48
многозначная, 35
многолистная, 36
непрерывная, 37
обратная
тригонометрическая, 51
общая степенная, 50
однозначная, 35
однолистная, 36
показательная, 43
предел, 36
регулярная, 56
степенная, 40
тригонометрическая, 43
мероморфная, 117
носитель, 456
обобщенная, 460
медленного роста, 462
регулярная, 460
сингулярная, 460
основная, 455
финитная, 455
целая, 117
функция Грина
краевой задачи, 546
число
комплексное, 12
корень, 18
произведение, 13
сопряженное, 14
ядро
интеграла Коши, 83
функционала, 458

Багров Владислав Гавриилович,
Белов Владимир Владимирович,
Задорожный Валерий Николаевич,
Трифонов Андрей Юрьевич
Методы математической физики
Основы комплексного анализа*
Элементы вариационного исчисления
и теория обобщенных функций
Учебное пособие
Научный редактор профессор, д.ф.-м.н. СП. Гулько
Технический редактор В.Н. Романенко
Набор и верстка выполнены на компьютерной технике
в издательской системе TfeX - I^IfeX
с использованием семейства шрифтов Computer Modern
ОГУП «Асиновская типография».
Заказ № 1700. Тираж 800.