ГЕРМАН ВЕЙЛЬ
СИММЕТРИЯ
Перевод с английского
Б. В. БИРЮКОВА и Ю. А. ДАНИЛОВА
Под редакцией
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬДА
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1968

513
В 26
УДК 513.1
SYMMETRY
BY
HERMANN WEYL
PRINCETON UNIVERSITY PRESS 1452
PRINCETON NEW JERSEY

СОДЕРЖАНИЕ
От редакции 4
И. М. Яглом
Герман Еейль и идея симметрии 5
Предисловие 33
Первая лекция
Зеркальная симметрия 35
Вторая лекция
Переносная, поворотная и связанные с ними
симметрии 68
Третья лекция
Орнаментальная симметрия 107
Четвертая лекция
Кристаллы. Общая математическая идея
симметрии 138
Приложение А. Определение всех
конечных групп собственных вращений в
трехмерном пространстве 161
Приложение Б. Включение зеркальных
вращений 166
Примечания 168
Б. В. Бирюков
Г. Вейль и методологические проблемы науки 174

ОТ РЕДАКЦИИ
Эта книга — последнее сочинение одного из крупнейших
математиков XX века Германа Вейля (1885—1955). Она излагает
содержание общедоступных лекций, прочитанных автором в 1951 г. в Прин-
стоне(США),и предназначена для самого широкого круга читателей—
для преподавателей и учащихся, для математиков и
нематематиков, для лиц, интересующихся естественными науками, и лиц,
интересующихся гуманитарными науками. Г Вейль был глубоким и
разносторонним ученым, внесшим большой вклад в «чистую»
математику и в облигти ее приложений; в частности его работы сыграли
выдающуюся роль в осознании важности математической идеи
симметрии как для математики, так и для физики. Разумеется, это
последнее обстоятельство придает особый интерес настоящей книге
Г. Вейля.
Перевод книги выполнен с издания: Н. W е у I, Symmetry,
Princeton Univ. Press, 1952. Английский текст сравнивался с немецким
переводом Лулу Бехтольсгейм (Lulu Bechtolshetm): H.Weyl,
Symmetric, Basel—Stuttgart, Birkhauser Verlag, 1955.
Русское издание книги сопровождается помещенными после
текста Вейля примечаниями редактора перевода, содержащими,
в частности, -сойки на русские переводы упоминаемых автором
сочинений и на 6t 'ее позднюю литературу по затронутым в книге
вопросам; ссылки на эти примечания отмечены числами '. 2 и т. д Наряду
с этим настоящее издание содержит очерк жизни и научного
творчества Г. Вейля, а также статью о его философских и
методологических установках.
Орнамент на суперобложке русского издания книги Г. Вейля
заимствован из альбома голландского художника М. К- Эшера
(М С. Escher), «Grafiek en Tekenmgen», Zwolle (Голландия), 1959
(альбом многократно переиздавался)•

ГЕРМАН ВЕЙЛЬ И ИДЕЯ СИММЕТРИИ
И М. Яглом
В Библии, на одной из первых страниц этой древней книги,
рассказана следующая легенда Когда людей стало много, а науки
и искусства достигли значительного развития, решили люди, что
доступно им все И в ознаменование этого построили они город —
его позже назвали Вавилон, — а в центре города — башню И так как
могли люди много, то башню захотели они возвести высокую, до
небес Наблюдал это бог в небе — и испугался а вдр^ г и впрямь
доберутся люди с башней вавилонском своей до неба до бога' И разделил
он языки,— а до этого все тюди говорили на одном языке, — и пере
стали люди понимать друг друга Ни одного мудрого полиглота ко
торый смог бы объяснить всем общий замысел строения, не наш 'ось
на земле, — и рассыпалась башня, ибо нельзя строить что либо
совместно, не понимая др\г др\га
Bl'^oko вознеслась юрдая башня современной математики
В XX веке возведение ее ведется современными методами — вот
уже и электронную технику научились использовать люди
Высоко вознестась красавица башня, и любуются строитепи, и каждый
старае1ся приладить еще одну деталь, еще выше вознести постройку
Но чем выше возносится башня, гем х\же понимают др\г др\га
строители раньше все они говорили на одном языке математики,—
а теперь' Раньше была такая специальность — <математик», потом
удобнее стало говорить про человека «ieovieip» или «алгебраист»,
или «апачитик»,— а сегодня и такое подразтетение представляется
слишком кр\ пным Ибо каждая из основных математических
дисциплин — ге,,\ртрия и алгебра, арифметика ^теория чисел) и анализ —
распа 1ась на ряд школ и направлений, каждое из которых
характеризуется своим подходом и аппаратом своим специфическим «языком»
И вот уже, кажется специачисты по геометрии «в малом»1) раз\чи-
') Исходным пунк ом всей современной дифференциальной
геометрии «в матом» явил 1сь замечательная речь Б Р и м а н а «О
гипотезах, лежащих в основании геометрии», произнесенная еще в
1854 г но оцененнат по достой 1Ству лишь после того как в 1918 г
Г В е и л ь издан ее со своими глубокими комментариями [1|,
раскрывающими на современном языке смысл конструкции Римана
(Цифры в {вг-п? ных скобках отсылают -штателя к списку лшера-
туры на стр. 6i C2 )

лись понимать специалистов по геометрии «в цепом» ') специалисты
по алгебраическом теории чисел -) - снещн шетов по аналшической
теории чисел 3), ученые, разрабатывающие математический аппарат
теории относительности 4),— специалистов по математическим vero
дам квантовой механики 5) Г ;е уж здесь говорить о «полиглотах»,
знающих все < языки», разрабашвающих все направления ко юс-
сально разросшейся и разветвившейся математической нау ки'
И все же ..
Герман Вейль (Hermann Weyl) родился 9 ноября 1885 г в
Германии, в небольшом местечке Эльмсхорн вблизи Гамбурга По окон
чании в 1904 г средней школы он поступил в знаменитый Геттинген-
ский университет, который бесспорно являлся в те годы центром
мировой математической мысли В Геттингене Г Вейль провел ряд
лет, которые были определяющими для становления его как ученого
Окончил он университет в 1908 г и в том же году защитил
диссертацию и получил степень доктора философии С 1908 до 1913 г.
Вейль читал лекции в Гелтингепском университете в качестве
приват доцента, тишь один из этих годов он провел в Мюнхене, где
работал тогда один из любимых учеников геттингенского профессора
Феликса Клейна физик и математик Арнольд Зоммерфельд, научные
интересы которого имели много точек соприкосновения с интересами
Вейля Только в 1913 г Г Вейль покинул надолго Геттинген,
приняв предложенное ему место профессора знаменитого Высшего
технического училища в г Цюрихе (Швейцария)
В Геттингенском университете в годы пребывания гам Вейля
царствовали Феликс Клейн и Давид Гильберт — и учеба у этих
двух крупнейших ученых сыграла огромную роль в жизни Вейля.
Непосредственным учителем Вей .я был Д Гильберт °) ведь
причиной поступления Вейля в Геттингенский университет явилось то
случайное обстоятельство, что тремор средней школы, в которой
учился Вейль, был двоюродным братом Гильберта и направил
одаренного школьника к своему знамениюму кузену (и этой случайности
Гильберт был обязан лучшим из ^воих учеников, а Вейль,—
возможно, всей своей поразительной нау чной карьерой1) В годы учебы Вейля
а) См , например, классическую статью Г В е и л я [2]
2) Одним из лучших изложений алгебраической теории чисел
является глубокая и блестящая по форме книга Г В е й л я [3].
3) В основе весьма многих построений аналитической теории
чисел лежит старая статья Г Вейля [4], также часто относимая
в настоящее время к «математической классике»
4) Может быть, лучшим и по сей день введением в
математические методы теории относительности является замечательная книга
Г В е й л я [5], о которой мы еще скажем в дальнейшем
) Классическим сочинением, посвященным построению
математического аппарата квантовой механики, является монография
Г Вейля [6], впервые раскрывшая все значение идеи
симметрии для современной физики
°) Д Гильберту посвящено нескочько статей Г Вейля, из числа
которых особо надо отметить обширною статью [7], содержащею
выразительный портрет Гильберта как человека и как ученого.

в Геттингене Д Гильберт разрабатывал те вопросы математического
анализа, которые окончательно привели его к глубокой концепции
(бесконечномерного1) пространства, «точками» которого являклся
функции '), сегодня это пространство мы называем «гильбертовым
пространством» К этом\ же кругу идей примыкают первые печат
ные работы Вейля, написанные им еще в студенческие годы,—
основным для этих работ как раз и явилось характерное для школы
Гильберта представление о функциях как о «векторах»
бесконечномерного метрического пространства функций, с выделением (и в этом,
по-видимому, состоит первый самостоятельный вклад Г Вейля
в математическую на)К}) той роли которую играют в пространстве
функции «ортогональные функции», родственные ортогональным (пер
пендикулярным) векторам в обычном пространстве К этому же
кругу идей относятся и докторская диссертация Г Вейля, посвященная
сингулярным (особым) интегральным уравнениям, а также ряд его
важных работ 1910—1911 гг , разрабатывающих вопросы теории
интегральных уравнений и дифференциальных уравнений
(обыкновенных и в частных производных) Однако можно с уверенностью
сказать, что влияние Гильберта на Вейля отнюдь не исчерпывается
этими ранними работами — во многих и многих последующих
работах Г Вейля по дифференциальной геометрии и алгебраической
теории чисел, по математическому анализу в широком смысле этого
слова и по основаниям математики чувствуется школа Гильберта
Да и сама универсальность Вейля, глубокое понимание сущности
«математики в целом», неотделимое от внимания и интереса к самым
разным разделам математики и к конкретным задачам,— во всем этом
можно видеть «научный стиль» Геттингенского университета,
влияние Д. Гильберта и Ф Клейна.
Да — и Клейна тоже Влияние на молодого Вейля знаменитого
Феликса Клейна также проходит красной нитью через всю жизнь и
научную карьеру Вейля Конечно, Г Вейль не мог слушать курса
Ф Клейна по теории римановых поверхностей, относящегося еще
к 90-м годам прошлого столетия, но он, разумеется, был знаком с
литографированной записью этого курса, имевшейся в библиотеке
Геттингенского университета, и в читанных Вейлем в 1911/12 уч.
году в Геттингене лекциях на ту же тему, составивших содержание
его первой книги «Идея римановой поверхности» [8], впервые
увидевшей свет в 1913 г и затем неоднократно переиздававшейся, сразу
чувствуется влияние Клейна Основная идея этой книги состоит
в определенном синтезе развиваемых Ф Клейном идей теории
функций и топологических идей, идущих от появившегося в том же 1911 г
глубокого мемуара голландца Л Брауэра — математика, которого
Вейль очень высоко ценил Эти последние идеи позволили уточнить
общее понятие «поверхности», нетривиальность которого хорошо
иллюстрируется на примере достаточно сложно устроенных (много-
листных') «поверхностей Римана», являющихся областями опре
деления функции комплексного переменного (на обыкновенной
') См замечательную монографию Д Гильберта (D Hil-
bert) «Основы общей теории интегральных уравнений» (Grundzuge
einer aligemeiner Theorie der Integralgleichungen, Leipzig, 1912),
сыгравшмо основополагаюшлю роль в развитии того раздела мате
матики, который мы сегодня называем функциональным анализом»

плоскости не однозначных, а значит — не функциях') х) Но
наряду с Ф Клейном и Л Брауэром «крестным отцом» книги
Вейля является также и Д Гильберт с его дифференциально-
геометрическими исследованиями 2) Для книги [8] характерны
также весьма высокие педагогические и чисто литературные
достоинства, делающие сочинение Вейля замечательным произведением
математической литературы — и можно только сожалеть (не послед
нее сожаление такого рода в настоящей статье1) что книга эта до
сих пор не переведена на русский язык
Однако влияние Ф Клейна сказалось далеко не только в
первой книге молодого Вейля В противоположность Д Гильберту,
гордо именовавшему себя < чистым» математиком, для Ф Клейна
был характерен глубочайший интерес к физике и к физическим
соображениям — недаром одна из первых книг Клейна,
написанная в сотрудничестве с уже упоминавшимся А Зоммерфельдом,
была посвящена теории волчка И для научной карьеры Вейля всегда
был типичен тот сплав чисто математических и физических
увлечений, при котором математические построения являются
фундаментом для содержательных физических теорий, а физические
соображения зачастую являются основополагающими для изящных
математических констру кций Наконец,— и это наиболее интересно
нам в связи с рассмотрением последней книги Вейля' — Ф Клейн
прославился своей общей концепцией геометрии, в основу которой
положено учение об «автоморфизмах» соответствующей
геометрической теории,— геометрических преобразованиях, сохраняющих все
рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур 8) И эта
концепция, по существу связывающая предмет геометрии с идеей
симметрии, была глубоко продумана Г Вейлем и послужила основой для
некоторых из самых интересных его работ (подробнее об этом мы еще
скажем ниже)
Ф Клейну посвящена вдохновенная речь [9] Г Вейля,
прочитанная в декабре 1929 г — через четыре года после смерти Клейна—
на торжественном заседании Геттингенского математического
общества, эта замечательная речь не в меньшей степени характеризует
того, кто ее произнес, чем того, кому она была посвящена В начале
своей речи Вейль цитирует слова Ф Клейна о К Ф Гауссе, который
«соединял величайшие успехи в каждой конкретной области
математики с колоссальной разносторонностью и огромную творческую
й) В области вещественных чисел, скажем, функцию у— V~x (где
£5=0) можно сделать однозначной при помощи условия у^О Однако
в области комплексных чисел такого рода выделение одного из двух
значений функции ш = У г уже невозможно, здесь единственным
выходом (указанным еще Б Риманом) является переход от плоскости
к «двулистной римановой поверхности», на двух «листах» которой
одному и тому же значению г отвечают противоположные по знаку
значения w
2) См , например, известное «Добавление IV» к «Основаниям
геометрии» Д Гильберта (Гостехиздат, 1948, 248—303), по
существу, посвященное понятию «локального пространства»
3) См Ф Клейн, Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований («Эрлангенская программа»), сб «Об
основаниях геометрии», Гостехиздат, 1956, 399—434

силу в чистой математике с практической сметкой в вопросах
применения математики», и говорит, что эта характеристика вполне
может быть отнесена к самому Клейну,— но ведь и для Г Вейля не
в меньшей мере характерно соединение глубины и
разносторонности, владения всем арсеналом средств чистой математики и серьезного
интереса к вопросам математического естествознания и даже техники
Далее Вейль подробно характеризует «научный стиль» Клейна и
затем переходит к определенной критике Клейна как математика
предшествующего периода, эта критическая часть его речи содержит
дорогие для автора мысли об отнсшении «чистой» и <прикладной»
математики и о месте математики в чировой культуре
«В математике особенно велика опасность ограничиться
лишь практической стороной дела, связанной с объективной
реальностью, ибо математики склонны к абсолютизации
Клейну эта односторонность не была свойственна Лекции,
которые он читал во время войны об истории математики XIX века,
свидетельс1вуют об его глубоком понимании духа истории,
он никогда не отрывал факты от их исторического фона Этим
объясняется и его сдержанное отношение к основаниям
математики х), хотя он охотно подчеркивал, что процесс познания
начинается, так сказать, с середины и далее развивается не
только по восходящей, но и по нисходящей линии, теряясь в
неизвестности Однако наша задача заключается в том, чтобы
постараться в обоих направлениях пробиться сквозь туман
неведомого, но, конечно представление о том, что
колоссальный слон науки, несущий на себе груз истины, стоит на
каком-то абсолютном фундаменте, до которого человек
может докопаться, является лишь легендой
Еще и в другом отношении деятельность Клейна
представляется мне имеющей недостаточный размах Он
смотрел на все непредвзято и всячески способствовал
сближению математики с естественнонаучной и технической
сторонами ее приложений Но следует иметь в виду, что,
помимо этого, математика играет весьма существенную роль
в формировании нашего духовного облика Занятие
математикой — подобно мифотворчеству, литературе или музыке —
это одна из наиболее присущих человеку областей его
творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая
сущность, стремление к интеллектуалпьой сфере жизни,
являющейся одним из проявлений мировой гармонии Клейн
сетовал, что «в немецком обществе еще, видимо, не
сформировалась единая культура, включающая точные науки как одну
из обязательных компонент» Если ныне в этом отношении
наметился некоторый перелом, то это, видимо, можно
объяснить возросшим интересом к технике, благодаря чему
широкие массы приобщаются к культуре точного знания, хотя
мой личный опыт общения с подрастающим поколением не
х) Ф Клейн весьма высоко ценил Г Вейля как выдающегося
ученого, однако занятия последнего философией математики и
вопросами оснований (об этом мы еще скажем ниже) оставались
Клейну совершенно чужды так, он до самой смерти не соглашался
признать, что в теории вещественного числа остаются еще нерешенные
вопросы, достойные внимания математика

всегда это подтверждал я неоднократно замечал, что скажем,
увлекающиеся автомобильным спортом молодые люди зачастую
довольно враждебно относятся к теории и отнюдь не склонны
к серьезному изучению механики Во всяком случае мне
представляется очень важным то обстоятельство, что в нашем
обществе вновь ожил тот вид интеллектуального, или —
употреблю здесь слово, которое многие считают
скомпрометированным,— метафизического, мышления, о котором я
говорил выше Эта сторона дела была по природе несколько
более чужда Клейну, чем вопросы приложений математики
Несмотря на всю глубину его философских высказывании,
выражавших опыт человека редкой разносторонности и
творческой силы, он никогда не стремился проникнуть до конца
в смысл основных философских проблем здесь Клейн
оставался верен догмам своего времени, эмпиризму и узко
понимаемой психологии »
Эти общетеоретические расхождения между учителем и
учеником никогда не мешали Вейлю по достоинству оценить место
Клейна в мировой математике
«Таким был Клейн, оставивший печать своего гения на
целой эпохе, сохранивший свою мощь и значение и в
настоящем, первооткрыватель новых путей в теории групп, в
абстрактной алгебре и в топологии Зажженное им пламя не
нуждается в защите унылой традиции оно полыхает под всеми
горшками, под всеми яствами математической кухни и
совершает малую и великую работу на пользу современности Его
творения остаются с нами, и имя его не подлежит забвению»
Вернемся, однако, к хронологической канве жизни и
деятельности Г Вейля Мы уже указывали, что в 1913 г он покинул Геттин-
ген и переехал в Цюрих Можно предполагать, что причины переезда
Вейля в Цюрих коренились не только в соблазнах профессуры и
более высокого оклада (не лишнего для молодого ученого, лишь
недавно обзаведшегося семьей), но и в том интересе, который вызывал
у Вейля научный и человеческий облик некоторых (во всяком
случае одного1) из его будущих коллег по цюрихскому Политехни
куму,— ведь, зная Вейля, нетрудно догадаться, что ему вовсе не
претила мысль оказаться коллегой Альберта Эйнштейна по кафедре1
Правда, сотрудничество Вейля и Эйнштейна продолжалось не
долго, но оно принесло богатые плоды Именно в эти годы А Энн
штейн был занят разработкой основ общей теории относительности,
и этот круг идей сразу же захватил Г Вейля Я позволю себе выска
зать предположение, что поразительный по ясности и стройности
набросок геометрических идей Римана, составляющий вступитеть
ную, «математическую» часть знаменитого мемуара А Эйнштейна
от 1916 г «Основы общей теории относительности» '), несет на себе
J) См \ Эйнштейн, Основы общей теории относительности,
сб «Принцип относительности), ОНТИ, 1935, 231—305 [Внимание
Эйнштейна на замечательную речь Римана обратил цюрихский
математик М Гроссман (М Grossmann), которого Эйнштейн глубоко
ценит, однако трудно предположить, что Эйнштейн не обсуждат
вопросы римановои геометрии и со своим коллегой Вейлем,
явившимся, бесспорно, первым в мире специалистом в этой области.

следы бесед с таким знатоком римаповой геометрии каким являлся
Г Вейль Но несравненно значительнее было влияние Л Эйнштейна
на Г Вейля' Мемуар Эйнштейна вышел в свет в 1916 г ,— а \же в
1917 г Г Вейль читал в цюрихском Политехникуме курс лекции по
общей теории относительности (насчитывавшей в те дни всего год от
роду1) Эти лекции составили содержание книги Веиля (5],вышедшей
в свет летом 1918 г под названием «Пространство, время материя»
Г Вейлю никогда не приходилось жаловаться на недостаток
внимания к своему творчеству,— но ни одна его книга не имела тако
го успеха, как «Пространство время материя» Второе издание этой
кни1и появитесь в 1919 г третье — в 1920 г четвертое — в 1921 г ,
первые английское и французское издания — в 1922 г (а после i
ние, соответственно, в 1952 и 1958 гг ), пятое издание — в 1923 г
При этом каждое издание своей книги Г Вейль дополнял и пере
рабатывал, так что отличие пятого издания от первого — ив объеме
книги и в ее содержании — является уже весьма и весьма
значительным Однако многое меняя в деталях, Г Вейль не менял сб
щего замысла своего сочинения, неизменными оставались также
выразительный язык, обилие впечатляющих примеров, глубина и
продуманность математических конструкций и внимание к общефи
лософским вопросам, выражающееся уже в открывающих книгу
проникновенных словах немецкого поэта Гельдерпина')
Aber ins Mondhcht steigen herauf die zerbrochenen Saulen
Und die Tempeltore, die einst der iurchtbare traf, der geheime
Geist der Unruh, der in der Brust der Erd und der Menschen
Zurnet und gart, der Unbezwungene, der alte Eroberer
Der die Stadte wie Lammer zerreisst, der einst den Olympus
Sturmte, der in den Bergen sich regt und Flammen herauswirft,
Der die Walder entwurzelt und durch den Ozean hinfart,
Und die Schiffe zeischlagt, und doch in der euigen Ordnung
Niemals irre dich macht, auf der Tafel deiner Gesetze
Keine Silbe xerwi^cht, der auch dein Sohn о Natur ist,
Mit dem Qeiste der Ruh aus Einem Schosse geboren
H о 1 d e r 1 l n, Die Musse
Мы не остановимся здесь ни на философских установках Вейля,
ни на его физических воззрениях, однако о чисто математических
особенностях книги (5] хочется сказать несколько подробнее Книга
J) Но в лунном сияньи вздымаются к небу колонны, порталы и
стены,
Снесенные некогда диким, таинственным, страшным
Духом Неистовства, тем необузданным духом,
Что в недрах земных и в душах людских клокочет и бродит
Древле Олимп покорявший, волком он рвег города,
Горы ворочит и пламень из них иссекает,
Ломает леса, смерчем летит в океане
И топит в вотнах корабли, и все ж твой извечный порядок
Ему никогда не нарушить, и со скрижалей твоих
Ни знака ему не стереть, ибо он сын твой, Природа,
Из чрева единого с Д>хом Покоя рожденный
И Хр Ф Гельдерлин, «Часы досуга» (перевод
В Вишняка)

начинается с общей трактовки понятия (евклидова) пространства.
При этом Вейль резко разрывает с существовавшей традицией: если
ранее при аксиоматическом описании геометрии, как правило, в
основу клали следующую евклидовой схеме систему аксиом, которой
учитель Вейля Давид Гильберт придал совершенно законченный
вид '), то Г. Вейль исходит из совершенно других концепций,
порожденных не геометрией, а скорее алгеброй. А именно, во главу угла он
кладет понятие «вектора»: в его аксиоматике геометрии основными
(неопределяемыми) понятиями являются понятия «вектора» и
«точки», а основными (неопределяемыми) отношениями —
алгебраические операции векторной алгебры и операция откладывания вектора
от точки. Сегодня уже нет, кажется, нужды доказывать высокие
научные и методические достоинства этой геометрической схемы, но
значение первой попытки положить понятие вектора в основу
развернутых геометрических конструкций трудно переоценить.
К сожалению, последние слова адресованы скорее
математикам, постоянно встречающимся в своей практике с «векторными
пространствами», но никогда, практически, не имеющими дела с
гильбертовой аксиоматикой, но не педагогам, многие из которых до сих
пор считают гильбертов путь обоснования евклидовой геометрии
если не единственным, то во всяком случае самым лучшим 2).
Учитывая интересы этой группы читателей настоящей книги, быть может,
уместно остановиться на схеме Вейля несколько подробнее.
В основу своего понимания термина «евклидово пространство»
Г. Вейль кладет объекты двух родов: «векторы» и «точки». Связь
между векторами и точками определяется тем, что каждым двум
точкам А и В отвечает единственный вектор А В, а каждым точке А
и вектору a — единственная точка В такая, что АВ=а; кроме того,
при любых точках А, В и С
АВ + В~С = АС.
Далее, для векторов определены операции сложения и
умножения вектора на число, удовлетворяющие всем обычным свойствам;
после этого «прямая» АВ определяется как совокупность всех таких
точек М, что
ОМ=-ОА + ХАВ,
где точки О, А и В фиксированы, а Я — произвольное число;
*) См. книгу Гильберта «Основания геометрии», указанную
в подстрочном примечании2) на стр. 8.
2) До сих пор в курсе геометрии наших средних школ вообще
отсутствовало понятие вектора, и поэтому концепции Вейля не
могли найти там никакого отражения. Не — и это еще печальней! —
также и в курсе «Оснований геометрии» наших педагогических
институтов и университетов, готовящих преподавателей средней
школы, идущая от Вейля идея о возможности «векторного»
обоснования геометрии полностью игнорировалась: прослушавшие этот
курс студенты не получали никакого представления о возможности
строгого построения геометрии на пути, отличном от намеченного
в «Основаниях геометрии» Д. Гильберта.

«плоскость» ABC определяется как совокупность всех таких
точек М, что
ОМ = ОА + ЪАВ + уЖ,
где точки О, А, В я С фиксированы, а числа X и |х произвольны
Наряду с этим множество векторов должно удовлетворять
«аксиоме размерности» каждые четыре вектора должны быть ли
нейно зависимы, но три линейно независимых вектора должны
существовать Наконец, в множестве векторов должно быть
определено «скалярное умножение», сопоставляющее любым двум
векторам а и & число аЪ, удовлетворяющее условиям
коммутативности ab— Ьа для любых векторов а, Ь\
линейности (Х1а1-г>.2а2) &=Х1(я1&)+Я2(а26) для любых
векторов av а2, b и любых чисел А}, /*2,
положительной определенности' а2= аа> О
при а Ф 0 (где 0 — «нуль-вектор», прибавление которого не меняет
никакого вектора) ио'=0 при а— О
Огромным достоинством этой общей схемы является широкая
возможность ее обобщений Можно, во-первых, полностью отказать
ся от понятия скалярного произведения,— и при этом мы придем
к иной геометрической схеме, описывающей «аффинное пространство»
(В книге [5] Вейль определяет сначала понятие «аффинного
пространства» и лишь затем понятие «евклидова пространства» ) Далее,
можно, изменив соответствующим образом «аксиому размерности»,
определить (аффинное или евклидово) пространство любого числа
измерений — бесценная возможность для теории относительности,
оперирующей главным образом с четырехмерным пространственно-
временным континуумом Наконец, можно, отказавшись от аксиомы
положительной определенности скалярного произведения, перейти
от «евклидова пространства» к «псевдоевклидову пространству»
(«пространству Минковского»), столь важному для геометрической
трактовки идей теории относительности
Но сравнительно простая схема евклидова пространства может
быть использована лишь в «специальной» теории относительности,
«общая» же теория относительности требует большего А Эйнштейн
при построении теории относительности существенно опирался на
замечательные построения В Римана, изложенные в его речи «О
гипотезах, лежащих в основании геометрии», приобретшей Широкую
известность благодаря глубоким комментариям Г Вейля [1] J).
Сущность идей Римана заключается в следующем Хорошо известно,
что каждая поверхность в трехмерном пространстве «в малом» (т е.
в окрестности каждой своей точки М) «устроена» как обычная
(евклидова) плоскость,— ее «геометрия» мало отличается от «геометрии»
касательной плоскости к поверхности, именно поэтому мы
воспринимаем малые участки (сферической') поверхности земли как «куски
плоскости» Вся поверхность в целом может быть реконструирована
из отдельных «плоских участков», кривизна поверхности
определяется взаимным расположением их друг относительно Друга
Б Риман предложил таким же образом конструировать из «локаль-
') В конце своей речи Б Риман с гениальной прозорливостью
предсказал значение развитых им конструкций для физики

но плоских» участков любого числа измерений многомерные
«искривленные» пространства, ныне называемые «пространствами Римана»
В книге [5] Г Вейль глубоко развил эту концепцию
Движимый желанием сделать реальный четырехмерный (пространствен
но временной) «мир» возможно более гибким, он предложил
конструировать «искривленные» пространства из (многомерных) «плоских
площадок», устроенных не как обычное пространство Евклида, а
как «аффинное пространство», лишенное всякой метрики Такие
пространства Г Вейль назвал «пространствами аффинной связности»,
их важный частный случай, подробно разобранный в книге [5],
навсегда сохранил название «пространств Вейля» *)
Книга [5] является классическим произведением и физической,
и геометрической литературы, и не удивительно, что вскоре (в 1925 г )
она была награждена одной из самых почетных из имевшихся тогда
международных математических премий — премией имени Н И
Лобачевского, присуждавшейся в те годы Казанским физико
математическим обществом за выдающиеся работы в области геометрии'
Удивительна продуктивность Г Вейля в его первые цюрихские
годы' За период с 1913 по 1923 г он опубликовал 5 книг и 40 статей,
разрабатывающих самые различные разделы математики Из его книг
рядом с книгой [5] прежде всего необходимо упомянуть
«Математический анализ проблемы пространства» [10], излагающий содержание
лекций, прочитанных Г Вейлем весной 1922 г в Барселоне и в
Мадриде Книга [10] состоит из двух частей Первая часть этой книги
содержит тщательно продуманное изложение
дифференциально-геометрических (инфинитезимальных) концепции пространства — как
идей Римана, так и тех обобщений этих идей, на которые натолкнули
Вейля размышления над проблемами общей теории относительности
Однако здесь для нас более интересна вторая часть книги [10]
]) Согласно схеме Клейна, о которой уже говорилось выше,
каждое пространство характеризуется своей «группой
автоморфизмов» — совокупностью преобразований, сохраняющих рассматрч
ваемые в этой геометрии свойства фигур Для евклидовой геометрии
роль таких «автоморфизмов» играют движения, а для аффинной
геометрии—так называемые аффинные преобразования,
характеризующиеся тем, что они переводят прямые линии в
прямые линии Но существует еще одна крайне важная группа пре
образований, «промежуточная» между движениями и аффинными
преобразованиями,— это группа преобразований подо
бия Пространства Вейля как раз и характеризуются тем, что
локально они устроены как «плоское» пространство,
автоморфизмами которого являются преобразования подобия
Заметим еще, что впоследствии Г Вейль еще развил эти
концепции, рассмотрев «искривленные» пространства, в малом
устроенные как плоские «площадки», группа автоморфизмов которых
задается проективными преобразованиями или конформными преоб
разованиями (инверсиями) Эти построения Вейля были глубоко
развиты и усовершенствованы знаменитым французским математиком
Эли Картаном (см , например, книгу Э К а р т а н, Пространства
аффинной, проективной и конформной связности Казань изд
КГУ, 1962 г ), научное творчество которого так тесно связано с
творчеством Вейля, как это редко бывает у двух разных ученых

посвященная теоретике групповому подходу к идее пространства,
основывающемуся на требованиях достаточной подвижности его,
достаточной широты «группы автоморфизмов». Начало этому
подходу к идее пространства положил знаменитый немецкий
естествоиспытатель XIX века Герман Гельмгольцв своей статье «О фактах,
лежащих в основании геометрии» 1), не случайно почти совпадающей
по названию со знаменитой речью Б. Римана. Установки Гельм-
гольца тесно связывают само понятие пространства с идеей о м-
метрии: ведь здесь определяющим для пространства считается tro
«симметричность» — то, что устроено пространство в разных своих
точках и в разных направлениях одинаково, в силу чего в нем можно
свободно «двигать» фигуры. В книге [5] концепции Гельмгольца
также не совсем обойдены: в одном из параграфов этой книги Г. Вейль
с помощью требований «однородности» (можно было бы также
сказать «симметричности»!) выделяет евклидово пространство из ряда
рассматриваемых им (искривленных!) пространств. Но в книге
[10] этому кругу идей уделено несравненно больше внимания, чем
в книге [5], что характеризует существенный сдвиг в интересах
Вейля.
Здесь хочется остановиться на связи установок Г. Гельмгольца
с идеей симметрии. В настоящее время «симметричность» фигуры
характеризуют обычно, указывая группу «автоморфизмов», или
«симметрии», переводящих фигуру в себя: так, буква Т обладает «осевой
симметрией», поскольку она переводится в себя симметрией
относительно (вертикальной) оси; буква О обладает «центральной
симметрией», так как она переводится в себя симметрией относительно
центра; круг (или круговое кольцо) переводится в себя любым
поворотом вокруг центра и, следовательно, обладает (полной)
поворотной симметрией; равносторонний треугольник обладает
«поворотной симметрией 3-го порядка» (он переводится в себя тремя
поворотами вокруг его центра на углы 120°, 240° и 360°); (бесконечная
в обе стороны) последовательность ... ЛЛЛЛЛЛ ... букв Л обладает
определенной «переносной симметрией», поскольку она переводится
в себя некоторыми (параллельными) переносами. Сложной
симметрией обладает и изображенный на суперобложке этой книги орнамент
голландского графика Морица К- Эшера, причем «степень
симметрии» этого орнамента существенно зависит от того, учитываем мы
различие в цвете отдельных частей изображенной на суперобложке
фигуры или нет. Так же и для всего пространства можно ставить
задачу определения его «степени симметрии», т. е. полной группы
автоморфизмов; при этом Г. Гельмгольц требует, чтобы группа эта
была достаточно богатой.
Именно так трактуется понятие симметрии и в настоящей книге
Г. Вейля.
Ряд работ В^йля 1913—1923 гг. продолжает тематику, начатую
в его исследованиях гёттингенского периода: они посвящены
«граничным задачам» теории дифференциальных уравнений, вопросам
распространения электромагнитных волн, вопросам, относимым
сегодня к функциональному анализу. Наряду с этим в его
творчестве возникают новые большие направления. Очень много работ было
посвящено кругу вопросов, связанных с книгами [5] и 110]: общей
*) См. сборник «Об основаниях геометрии», Гостехиздат, 1956,
366-382.

теории относительности Эйнштейна, дифференциальной геометрии
обобщенных пространств, общим концепциям «геометрического
пространства». Несколько исследований было посвящено вопросам
статистической физики, другие относились к области топологии.
В 1923 г. на испанском языке была опубликована статья
«Введение в комбинаторный анализ» [11], которая первоначально не
привлекла особого внимания, поскольку в то время проблемы
комбинаторики казались навсегда ушедшими с магистральной линии
развития математики. Однако в 1951 г. (через 28 лет после появления
работы [11]') американские математики сочли уместным перевести
ее на английский язык,— и это неожиданное внимание к старой
работе Вейля было связано с обстоятельствами, о которых стоит
сказать подробнее.
В 20-х и 30-х годах нашего столетия увлечение
теоретико-множественными конструкциями, связанными с развитым аналитическим
аппаратом теории функций действительного переменного и теории
функций комплексного переменного, достигло, пожалуй, своего
апогея. Понятие непрерывности представлялось самым важным во всей
математике — именно в эти годы знаменитый французский математик
Анри Лебег писал, «если все законченные точные вычисления [т. е.
не связанные с непрерывными функциями и бесконечными
процессами— И. Я], единственные, которые допускались древними, и
сохранили свое математическое значение. ., то их практическое
значение значительно уменьшилось, а порой и совершенно исчезто» 1).
Однако, начиная с 40-х годов, в связи с появлением новых концепций
и точек зрения, сегодня чаще всего связываемых с собирательным
термином «кибернетика», резко возрос интерес к дискретной математике;
весьма важную роль здесь сыграло появление электронных цифровых
вычислительных машин дискретного действия. Вейль,
видимо, давно предчувствовал этот переворот и одним из первых на
него отозвался. При переиздании в 1949 г. своей замечательной книги
«Философия математики и естествознания» [12], ранее содержавшей
два раздела, посвященных обсуждению общих вопросов математики
и математического естествознания, он прибавил к ней ряд
приложений, отражающих сдвиги, происшедшие в науке за последние годы:
математические приложения были посвящены общей структуре
математики и «Ars combinatoria» (искусству комбинаторики), причем
в последнем приложении Вейль апеллирует и к явлениям внематема-
тического порядка, например к установленной исследованиями Гре-
гсра Менделя и Томаса Гента Моргана дискретной природе явлений
наследственности; естественнонаучные приложения были посвящены
новым успехам химии или биологии, причем здесь также оттенялась
«дискретная природа» ряда анализируемых явлений. Роль Вейля
в деле привлечения внимания к новому (точнее, к старому, но почти
забытому) кругу математических идей и методов была подчеркнута
не только переизданием работы [11], но и тем, что, когда в 1964 г.
один из ведущих специалистов в области прикладной математики
Эдвин Беккенбах выпустил обширный (и сразу же вызвавший
большой интерес) сборник написанных в 60-х годах работ по приложениям
комбинаторных методов в математике, технике и естествознании, он
') См А. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, 1960,
42-43.

завершил это издание специальной главой, содержавшей полный текст
четырех приложений к книге [12] Вейля («Ars combmatoria»,
«Квантовая физика и причинность», «Химическая валентность и иерархия
структур», «Физика и биология»)
Наряду с этим необходимо отметить цикл исследований по
«геометрии в целом», начавшийся со знаменитой работы [2], посвященной
так называемой «проблеме Вейля» доказать «существование и
единственность» любой (падкой) выпу клой поверхности, заданной своей
метрикой, т е (измеренным по поверхности1) расстоянием между
любыми двумя точками поверхности Утверждение об «единственности»
означает, что такую поверхность нельзя «изогн\ть», оставляя ее
гладкой разумеется, выпуклую поверхность F можно пересечь
плоскостью Я, а затем отразить отсеченную этой тоскостью «шапочк\»
относительно я, однако потученная таким пмем поверхность F1
обязательно будет иметь острое ребро Работа [2] сыграла
исключительно важною роль во всем дальнейшем развитии дифференциальной
геометрии «в целом», а мимо «проблемы Вейля» не прошел буквально
ни один из исследователей в этой области ею занимались Г Леви
и Л А Люстермк, Г Герглотц и А Д Александров, В Бляшке
и А В Погорелов J)
В том же 1916 г , когда была опубликована работа [2], вышла
в свет и большая статья [4] — одно из первых исследований Вейля
по теории чисел Работа [4] обосновывала использование в теории
чисел так называемых «тригонометрических сумм» (теперь они чаще
называются «суммами Вейля»), имеющих вид
2 e2Klf lrt) = 2 cos [2я/ (n)\ + i 2 sm [2л / (л)],
п п п
где f(n) = a0nkJr a^-1^- +а& — некоторый многочлен с
рациональными коэффициентами, а суммирование распространено по
определенному отрезку натурального ряда Af <n<Af, n цетые
Простейшей суммой такого рода является сумма
т-1 а т—х т-\
п = о п = о п — о '
где акт — целые числа Ясно, что если а делится на т, то каждое
слагаемое суммы S равно 1 и, значит, S=m, если же а не делится i a
J) Первое решение проблемы Вейля о существовании
абстрактно заданной выпуктой поверхности было потучено в 30 х
годах Гансом Леви существенно опиравшимся на идеи статьи Г Вейтя
[2] (см Г Л е в и, Априорное ограничение для решения уравнений
Монжа —Ампера, УМН 3, 2 (1948), 191—215 а также 216—219)
Доказательство единственности впервые дал в 1927 г С Кон
Фоссен, результаты которого впоследствии неоднократно передока
зывались и уточнялись, самые сильные результаты в этом направ
лении получил в 1949 г А В Погорелов

т, то сумма S, как легко убедиться равна 0 ') Таким образом имеем
_ I О, если а не делится на т,
\ т, если а делится на т,
откуда уже видна связь суммы S с теоретике числовыми
характеристиками числа а Разумеется, «сумма Вейля» S является весьма
несложной, в общем же случае мы, как правило, не сможем вычислить
точное значение подобной суммы Однако Вейль указал методы,
позволяющие приближенно оценивать любые суммы такого вида, и
сумел извлечь из этих оценок ряд новых теоретико числовых фактов
С использованием идей работы [4] связаны крупнейшие успехи
аналитической теории чисел в XX веке, включая решение в 1919 г
Г Харди и Дж Литтлвудом «проблемы Варинга», утверждающей
возможность представления любого целого положительного числа
в виде суммы некоторого числа N k-x степеней натуральных чисел,
где N—N(k) зависит отфиксированного целого положительного числа
/г, и «почти решение» в 1937 г И М Виноградовым «проблемы
Гольдбаха», утверждающей возможность представ тения любого четного
числа в виде суммы двух простых члсел 2)
Наконец, в 1918 г (одновременно с книгой «Пространство, вре
мя, материя») вышла в свет небольшая книга Г Вейля «Континуум»
[13], знаменующая еще одно важное направление творчества этого
замечательного математика Для Г Вейля всегда был характерен
глубокий интерес к вопросам обоснования математики, к философии
науки и к проблемам математической логики После того как теория
вещественного числа получила в конце XIX века несколько
обоснований в трудах Р Дедекинда, Г Кантора и К Вейерштрасса, у
большинства математиков начала XX века сложилось впечатление, что
проблемы вещественного числа больше нет, что никакие вопросы
здесь далее неуместны На самом деле положение оказалось совсем
иным — в начале XX века именно здесь были обнаружены
трудности, грозящие разрушением всего тщательно возведенного здания
математики Это обстоятельство вызвало к жизни ряд научных
направлений, ставящих своей целью строгое обоснование основных
математических понятий, составляющих фундамент всей математики
Здесь не место для подробного изложения того из этих
направлений — интуиционизма,— основы которого были заложены Л Брау-
') Ибо по формуле для суммы членов геометрической прогрессии
а 2 а (т - i) a
2Л(— ач< — 2-тг
S=l+e т +е "'+ +е т ^
е2 ,а — 1 1 — 1
= - i = —^—^— ^ О
2) По поводу вклада Г Вейля в аналитическую теорию чисел
см , например, обзорную статью Б И С е г а л,
Тригонометрические суммы и некоторые их применения в теории чисел, УМН 1,
3-4 (1946), 147—193

ороч ii Г Веилем '), заметим только что математические основы
интуиционистской математики разрабатывались многими видными
учеными и никак не могут быть обойдены при обзоре современного
состояния учения об основах математики Укажем еще, что интерес
Г Вейля к вопросам философского обоснования математики и
естествознания был весьма устойчив (этим вопросам посвящены также
книги |12] и [14] — [16]), однако далеко не все его воззрения
разделяются материалистической философией (Г Вейль серьезно \вте-
кался философскими конструкциями видных представителей
идеалистической философии XX века—испанца X Ортега-и-Гассета 2)
и, особенно, основателя «феноменологии» немца Э Гуссерля)
Новое большое направление математического творче-тга, на
долгие годы ставшее для Г Вейля основным, было Нсча-о рядом
публикаций 1924 г Я говорю здесь о теории представлений групп
преобразований (и о теории инвариантов этих групп), а также о
физических приложениях этих теорий В чисто математической теории
представлений групп Г Вейлю бесспорно принадлежит одно из
самых первых мест достаточно упомянуть здесь классическую теорему
Петера — Вейля (см переведенную и на русский язык работу [17]),
составляющую математический фундамент чуть ли не всех
дальнейших построений, или замечательную работу в четырех частях [18],
опубликованную Вейлем в 1925—1926 гг (эта статья также частично
переведена на русский язык) Однако еще больший интерес для нас
представляют физические применения этой теории, на которых
следует остановиться подробнее
Физический аспект теории представлений групп состоит в учете
и использовании соображений симметрии, связанных с различными
физическими процессами Такие соображения симметрии возникают
в физике двояким образом Во-первых, поскольку любой физический
процесс протекает в пространстве (и во времени), при описании
таких процессов приходится использовать ту или иную систему
координат Однако выбор этой « стемы выделяет в пространстве
некоторые направления (отвечающие о~чм координат) что противоречит
«изотропности» пространства, т е равноправности всех его
направлений, поэтому физический смысл может иметь только такое соот
ношение, которое не меняется при повороте осей системы координат
Это обстоятельство (дополняемое учетом «однородности»
пространства, состоящей в равноправии всех его точек, а также учетом
равноправия любых двух моментов времени) весьма сильно ограничивает
возможные «физические законы» (Еще более жесткие «требования
симметрии» накладывает на физические явления теория
относительности, утверждающая, что любой физический закон должен
') Относительно современных концепций обоснования
математики см , например, книгу А Рейтинга «Интуиционизм» («Мир»,
1965), автор которой является видным сторонником точки зрения
Г Вейля [На русском языке имеется также сборник статей самого
Вейля (Г В е й л ь, О философии математики, ОНТИ, 1934), хорошо
отражающих его основные установки ]
2) Жена Г Вейля Елена (Хела) Вейль, являвшаяся большим
знатоком испанской поэзии и философии, перевела на немецкий язык
ряд произведений Ортега и-Гассета

выражаться формулами, не меняющимися при всех так называемые
«преобразованиях Лоренца» четырехмерного пространства-времени )
Во-вторых, сами изучаемые физические объекты (атомы, молекулы,
кристаллы) зачастую обладают некоторой «симметрией», которая
также должна учитываться физической теорией.
Для того чтобы проиллюстрировать сказанное, достаточно
указать на один простейший пример. Единственным выражением,
связывающим координаты ах, ау, az произвольного вектора а и не
меняющим своего значения при любом повороте осей системы
координат, является сумма D квадратов координат вектора
D = al + al + a],
равная квадрату длины вектора а (и любая функция выражения D)
Но хорошо известно, что закон преобразования частных производ-
д д д „ , ,. .
ных -j- , j-, -г- некоторой функции дх, у, г) при повороте осей
системы координат совпадает с законом преобразования координат
й2 <32 и2
вектора, причем вторые производные -^-^ , ^-^, -^-^
преобразуются как квадраты координат! Это обстоятельство определяет роль
в физике так называемого «оператора Лапласа»
дх* +ду* +dz2 '
— простейшие физические законы, удовлетворяющие
накладываемым изотропностью и однородностью пространства «условиям
симметрии», могут записываться лишь одним из следующих трех
дифференциальных уравнений (здесь и = и (х, у, г, 0'—какая-то фун
кция, имеющая инвариантный физический смысл; / (х, у, г, t) и
а= а(х, у, г, I) — известные функции).
Au = f («уравнение Пуассона», при I = О
обращающееся в «уравнение Лапласа»),
ки = а-^- («уравнение теплопроводности»);
Ки = а-^Т2 («волновое уравнение»).
(Заметим, что требованиям инвариантности относительно
«преобразований Лоренца» удовлетворяет одно только «волновое уравнений»)
Развитая теория представлений групп необходима для физики
потому, что интересующие нас физические объекты могут иметь
довольно сложное строение, например могут иметь много компонент,
образовывая, так сказать, «многомерный вектор»,— и при этом
любые такие объекты должны удовлетворять «условиям симметрии»,
определяющимся «симметрией» обычного трехмерного пространства
или четырехмерного пространства-времени.

В настоящее время широкое использование «соображений
симметрии» в физике является довольно обычным ') Однако в 20-х
годах нашего столетия это было еще новостью г),—и во всей истории
науки XX века нелегко указать сочинение, роль которого в
последующем развитии физики можно сравнить с ролью замечательной
книги Г. Вейля «Теория групп и квантовая механика» [6] И сегодня,
когда мы имеем на русском языке целый ряд содержательных и
глубоких книг, развивающих эти идеи Вейля3), трудно удержаться от
сожаления по поводу того, что сама книга [6] на русский язык не
переведена'
Здесь уместно коснуться дальнейшей судьбы главного
«научного детища» Г Вейля, каким бесспорно является теория пред в-
лений групп вместе с ее физическими приложениями. Во вршена
Вейля роль соображений симметрии в физике была несравнима с той,
какую они играют в наши дни В 20-х годах нашего столетия коли-
х) См., например, Л. Д. Л а н д а у и Е. М. Л и ф ш и ц,
Механика, Физматгиз, 1958, § 3. Укажем также, что в одном из лучших
современных курсов классической (нерелятивистской!) квантовой
механики — Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая
механика, «Наука», 1965 — выводу следствий из соображений
симметрии посвящено около трети общего числа страниц; в
релятивистской же (т. е. базирующейся на теории относительности
Эйнштейна) квантовой механике эти соображения играют еще большую роль,
чем в классической квантовой механике (По поводу современной
трактовки роли соображений симметрии в физике см. также Е. В и г-
н е р, Симметрия и законы сохранения, УФН 83, 4 (1964), 72Э—739.)
О широком признании роли соображений симметрии
свидетельствует и тот факт, что вопрос по теории симметрии оказался
включенным в шуточный список из восьми «типовых
экзаменационных вопросов для аспирантов-физиков», составленный в 1959 г.
известным физиком-теоретиком Г. Дж. Липки н ы м и
пародирующий наиболее типичные экзаменационные задания (см. сб. «Физики
шутят», «Мир», 1966, стр. 56)
2) Любопытно, что еще в начале нашего столетия известный
американский физик и астрофизик Дж. Джине (автор некогда
широко популярной космической гипотезы) активно протестовал против
включения в курс физического факультета Принстонского
университета элементов теории групп, утверждая, что «эта-то теория уж
наверное никогда физикам не понадобится».
3) См., например, Э. Бауэр, Введение в теорию групп и ее
приложения к квантовой механике, ОНТИ, 1937; Б. Л. Ван дер
В а р д е н, Метод теории групп в квантовой механике, ДНТВУ,
1938; Г. Я- Любарский, Теория групп и ее применение в
физике, Гостехиздат, 1957; С. Багавантам и т Венката-
р а й у д у, Теория групп и ее применение к физическим проблемам,
ИЛ, 1959; Е. В и г н е р, Теория групп и ее применение к квантово-
механическо1'* теории атомных спектров, ИЛ, 1961; В. X е й н е,
Теория групп в квантовой механике. ИЛ, 1963, М. X а м е р м е ш,
Теория групп и ее применение к физическим проблемам, «Мир»,
1966, М. И ПетрашеньиЕ. Д. Трифонов, Применение
теории групп в квантовой механике, «Наука», 1967, cd. также
Г. Дисафоре и М. Орчин, Симметрия в химии, «Мир», 1967.

чество подлежащих изучению физических феноменов было гораздо
меньшим, чем в настоящее время, в то время «зоопарк элементарных
частиц» только-только начинал наполняться и задача
систематизации свойств и особенностей всего этого множества необычных
физических объектов никак не могла быть поставлена Но сегодня
количество новых физических объектов увеличивается с такой
головокружительной быстротой, 'то только идущая в значительной степени
от Г Вейля «нить Ариадны» в виде соображений симметрии позволяет
сохранить надежду на возможность разобраться в этом необычайном
богатстве новых частиц и необъяснимых фактов При этом за
последние годы были открыты новые «законы симметрии», действмощие
в этом загадочном мире Так, например, в 1956 г американские фи
зики Янг Чжень-нин и Ли Цзян-дао обнаружили, что частицы со
слабым взаимодействием не допускают отражения от плоскости или
от точки (инверсии), т е что зеркальное движение переводит
каждую такую частицу в несуществующую в реальном мире частицу
Это наблюдение разрушало один из основных для всей квантовой ме
ханики «законов симметрии» согласно остроумному замечанию аме
риканскогофизика и популяризатора науки Кеннета Форда ]) из него
следует, что гипотетические «микросущества», на повседневной
жизни которых сказываются слабые взаимодействия, сочли бы
зеркальное изображение некоторых реально протекающих в микромире
процессов столь же явственно нарушающим физические законы, как
сочли бы мы, скажем, процесс поглощения пищи, показанный нам
в кино при условии пропускания киноленты через проектор в
обратном направлении (в таком «кинофильме» человек будет извлекать
пищу изо рта и класть ее на тарелку1). Признанием фундаментального
характера открытия Янга и Ли явилось присуждение им в 1957 г
Нобелевской премии по физике Волнение в среде физиков,
вызванное открытием Янга и Ли (неужели утеряна «ариаднина нить»
принципов симметрии?), несколько утихло после высказанных
одновременно самими Я игом и Ли, с одной стороны, и Л Д Ландау, с
другой стороны 2), предположении о том, что частицы со слабым
взаимодействием выдерживают так называемую «комбинационную
инверсию», т е симметрию относительно плоскости или относительно
точки с одновременным изменением знака заряда,— другими
словами, с переходом от частицы к «античастице»,— таким образом,
в этом случае предполагавшийся ранее справедливым «принцип
симметрии» был лишь заменен другим 3)
1) См превосходную научно-популярную книгу Кеннет Форд,
Мир элементарных частиц, «Мир», 1965, уделяющую весьма много
места соображениям симметрии (без которых сегодня немыслимо
говорить сб элементарных частицах даже в книге для начинающих')
2) См Л Д Л а н д а у, О законах сохранения при слабых
взаимодействиях, ЖЭТФ 32, 2 (1957), 405—406, Ч Я н г, Закон
сохранения четности и другие законы симметрии, УФН 66, 1 (1958), 79—87;
Ц. Л и, Слабое взаимодействие и несохранение четности, там же,
89—97
3) Мы здесь намеренно ограничиваемся изложением положения
дела в том виде, каким оно представлялось в конце 50 х годов В
настоящее время большинство физиков считает, что принцип
инвариантности частиц относительно «комбинационной инверсии» также he

Значение идущих от Г Вейля соображений симметрии для
физики можно проиллюстрировать некоторыми из наиболее впечатляю
щих открытии последнего времени х) Согласно современным квант ово
механическим представлениям семейства элементарных частиц
отвечают «собственным векторам» некоторого оператора Шредингера,
при этом обычно соответствующий оператор Шредингера
удовлетворяет (хотя бы приближенно) довольно жестким условиям симметрии,
из которых вытекают определенные соотношения между свойстваи'н
отвечающих этому оператору элементарных частиц Так, например,
симметрия оператора Шредингера относительно группы О,
вращений трехмерного пространства согласована с наличием тройки ли
неино независимых векторов, которым должна отвечать тройка
элементарных частиц с близкими свойствами, знание стр} ктуры
группы 03 позволяет математически описать свойства этой тройки частиц.
Такое описание было дано на основе отвечающего группе 03
«принципа симметрии» английским физиком Н Кеммером еще в 1938 г ,
—а первая из тройки элементарных частиц, полностью
удовлетворяющих предсказанным Кеммером свойствам («пионов», или «пи
мезонов»), была открыта англичанином С Пауэлом лишь в 1947 г ,
через 9 лет после появления работы Кеммера Существенно при этом,
что оператор Шредингера для пионов оказался зависящим от
некоторой совершенно новой величины («изотопического спина»), которую
можно рассматривать как вектор в некотором трехмерном
пространстве (не имеющем никакого отношения к реальному трехмерному
пространству, в котором мы живем и в котором наблюдаются
элементарные частицы1), и инвариантным относительно вращений в
пространстве этого вектора Характер этого вспомогательного
«пространства» нам совершенно не важен, ибо для применении
соображений симметрии важно лишь знание группы автоморфизмов, не
меняющих вида оператора Шредингера
выдержал экспериментальной проверки, так что вопрос о
«принципах симметрии», которым подчиняются частицы со слабым
взаимодействием, остается открытым, см по этому поводу превосходный
обзор Е В и г н е р, Нарушение симметрии в физике, УФН 89,
3(1966), 453—456 (Вигнер предпослал своему изложению
следующее довольно грустное резюме «Из семи зеркал, изобретенных
физиками для описания симметрии законов природы, три уже
разбились вдребезги, из оставшихся только одно можно'считать полностью
целым» )
г) Одной из наиболее впечатляющих иллюстраций может здесь
также служить история открытия гак называемою
«антинейтрино», теоретически предсказанного Г Вейлем еще в 1929 г ,
когда возможность существования подобной частицы казалась
немыслимой (заметим, что и «нейтрино» было впервые открыто лишь
в 1956 г , т е через год после смерти Веиля) По этому поводу
см , например, § 14 статьи Б Л ван дер Варден, Принцип
запрета и спин, сб «Теоретическая физика XX века», ИЛ, 1962,
279—281 или статью В Паули, К старой и новой истории
нейтрино, там же, 386—412 см также гл 23 «Нейтрино» интересной
научно поп\лярной книги известного американского
популяризатора науки Мартина Гарднера «Этот правый, левый мир», «Мир»,
1967 (книга написана под сильным влиянием «Симметрии» Г Вейля)

Последнее обстоятельство сыграло громадную роль в
дальнейшем развитии теории элементарных частиц Мощное развитие
экспериментальной техники в последние годы, в частности появление
гигантских ускорителей, привело к тому, что новые элементарные
частицы стали открываться десятками — и ученые буквально
растерялись от этого свалившегося им на голову богатства, которым они
не jмели распорядиться и в котором сами не мсгли разобраться
Поэтому с таким энтузиазмом было встречено открытие
американского физика М Гелл Манна и израильского ученого И. Неемана,
которые независимо др>г от друга подметили, что существует целый
ряд семейств из восьми элементарных частиц с близкими свойствами,
совпадающими с теми, которые должны были бы получиться в случае
оператора Шредингера, обладающего симметрией, определяемой
родственной О, группой SUS («группа унитарных преобразований
комплексного трехмерного пространства»), хорошо действующей в
восьмимерном пространстве Это глубокое замечание сразу позволило
«навести порядок» в новом хозяйстве — частицы естественно
распадались в классы из восьми «родственников» (знаменитый
«восьмеричный путь» современной теории элементарных частиц1) При этом
замечательно, ито вид оператора Шредингера (т е динамических
уравнении) для новых элементарных частиц и даже то, от каких
величин этот оператор зависит и в каком пространстве действует, пока
совершенно неизвестны (и даже неясно, как можно подступиться
к решению соответствующих вопросов), «восьмеричный путь»
указывает лишь, что этот неизвестный оператор в неизвестном
пространстве обладает определенной симметрией,— и это уже дает очень
много для изучения элементарных частиц и даже для предсказания
их свойств
В 1961 г М Гелл-Манн присутствовал на конференции по
физике элементарных частиц, на которой было объявлено об открытии
еще одной частицы со свойствами, близкими к свойствам восьми уже
известных частиц, не укладывающихся в схему «восьмеричного пути»
Гелл-Манн сразу же заметил, что теперь частиц уже стало девять и
что если добавить к ним еще одну, то получится семейство из десяти
частиц, полностью соответствующее десятимерному пространству,
в котором также может действовать группа SU3 Тут же он объявил,
что должна существовать эта «десятая» частица — «омега-минус ба-
рион», обладающая строго определенными свойствами И в
действительности в феврале 1964 г американские экспериментаторы У Фа-
улер и Н Сеймиос, исходившие из предсказаний М Гелл-Манна,
открыли элементарную частиц), свойства которой в точности
совпали с описанными Гелл-Манном свойствами «омега-минус бари-
она»' х)
Но ведь группа SU4— это группа преобразований
трехмерного пространства, следовательно, она может действовать и в
трехмерном пространстве И Гелл-Манн смело указывает, что трем
векторам такого трехмерного пространства должны отвечать три частицы
с совсем уж фантастическими свойствами так, например, заряд этих
*) По этому поводу см , например, хорошею научно-популярную
статью известного американского физика Ф Дайсона
«Математика и физика», УФН 85, 2 (1965), 351—364, в этой статье указана
также дальнейшая литерат\ ра

частиц должен равняться '/ч заряда электрона (который всегда
считался наименьшим из возможных зарядов') Никто никогда не видел
таких частиц,—но если они существуют, то они должны быть
«самыми элементарными» из всех новых частиц (так как трехмерное
пространство — простейшее из всех, в которых может действовать
группа SU3< и все остальные пространства можно, в определенном
смысле, построить из векторов трехмерного пространства)
Итак, новые частицы были придуманы (здесь, разумеется, это
слово является более подходящим, чем слово «открыты») —
оставалось только их назвать (и еще, пожалуй, найти) Какое же название
можно предложить для частиц со столь фантастическими свойствами?
В самом непонятном из романов знаменитого ирландского писателя
Джеймса Джойса, вообще-то не отличающихся особенной простотой
(название этого романа по-русски обычно передается словами
«Поминки по Финнегану», хотя никто не может быть уверен, что именно
этот смысл вкладывал автор в английское название «Finnegans Wake»),
в полубредовой сцене пира какой-то голос произносит «Три кварка
для мистера Кларка» Это выражение понравилось Гелл-Манну
разумеется, «три кварка», про которые у Джойса говорит
неизвестно кто и неизвестно почему,— это и есть загадочные частицы И вот
уже целый ряд лет физики-экспериментаторы безуспешно ищут
загадочные «кварки» на своих ускорителях, а астрономы и астрофизики
строят увлекательные теории о роли этих частиц в прошлом и
будущем 1),— а меж тем по сегодняшний день упрямые частицы упорно
не даются ученым, и уж никто, кажется, не в состоянии сказать,
существуют «кварки» где-нибудь во вселенной или нет.
Продолжим, однако, хронологический обзор жизни и
деятельности Г. Вейля. Во второй половине 20-х годов Вейль продолжал
активную работу в старых направлениях; однако все большее место
в его деятельности начинали занимать чисто алгебраические
исследования, вдохновленные интересом к теории групп (именно в эти
годы вышли, например, знаменитые статьи [17] и [18]), и физические
изыскания, связанные с идеей симметрии (см , например, близкие
по времени к книге [6] статьи [19]) Однако в начале 30-х годов
продуктивность творчества Вейля заметно снизилась, что было связано
с тяжелыми событиями в жизни его страны и его собственной
Проживая в Цюрихе, Г. Вейль сохранял связи и с родным ему
университетом в Геттингене; так, например, он охотно печатался
в старинных «Известиях Геттингенского научного общества» (Nach-
richten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen), которые
весь ученый мир называл просто «Геттингенскими известиями»
(Gottinger Nachnchten) В 1923 г Вейль по приглашению Ф. Клейна
ненадолго приезжал в Геттинген для чтения курса лекций; эта
поездка принесла ему много удовлетворения К сожалению, следующий
приезд Г. Вейля в Геттинген оказался гораздо менее удачным
а) См , например, Я. Б. Зельдович, Л. Б. Окунь,
С. Б Пикельнер, Кварки' астрофизический и физико-химиче-
ческий аспекты, УФН 87, 1 (1965), 113—124 Е Л Фейнберг,
Проблема кварков в космических л>чах, там же, 91, 3 (1967),
541—550 В И Манько, Эксперименты по поиску дробно-
заряженных кварков в веществе, там же, 551—553

В 1930 г Д. Гильберту было предложено покинуть маленький
провинциальный Геттинген и перебраться в Берлин, он согласился
на это при условии что возпавляемая им кафедра в Гепингене
(которой некогда руководил К Ф Га} ее1) б\дет передана Вейлю
Кандидатура Вейля на замещение кафедры Гаусса для всех математи
ков казатась весьма естественной, однако жизнь Германии
определяли в те годы ье математики Начало 30-х годов — это годы
прихода к власти в Германии фашистов, меж тем общий облик Вейля
как человека и ученого никак не мог импонировать поклонникам
Гитлера Глубокие общекультурные интересы Г Вейля, его
внимание к истории и философии изобразительному искусству и
литературе разных народов, уважение к умственной и духовной жизни
человечества, которою Г Вейль изучал в самых разнообразных ее
проявлениях,— все те черты личности Вейля, которые хорошо
видны и из книги предлагаемой ныне вниманию русского читателя
(книги, для которой, как нам кажется, достаточно характерны и
цитаты из великого немецкого гуманиста Томаса Манна, и ссылки на
старинные мистические трактаты англичанина Томаса Брауна),
делали из Вейля одного из ярчайших представителей той немецкой
интеллигенции, которой фашизм с самого начала объявил войну Да и
Вейлю тоталитарные, антидемократические, антиинтеллигентские и
антисемитские доктрины фашизма никак не могли прийтись по
вкусу—друг Альберта Эйнштейна никакие мог явиться хорошим
подданным Адольфа Гитлера' Вейль не скрывал своего отношения к
фашизму (ср , например, ниже, стр 93), и фашисты не скрывали своего
отношения к Вейлю,—но силы были слишком неравны' Впоследствии
Г Вейль говорил, что худшего времени, чем три года (1930—1933),
проведенных им в Геттингене времен становления фашизма, в его
жизни не было В 1933 г Гитлер пришел к власти в Германии,—и это
был, кажется, единственный год в жизни Г Вейля, когда он не
напечатал ни одной книги, ни одной статьи в это время ему было
явно не до математики и не до физики
Приход фашистов к власти ознаменовался массовым
увольнением из Геттингенского университета ученых еврейской
национальности, вместе с евреями покинул Геттинген и немец Г Вейль Он
перебрался в маленький американский городок Принстон, знамени
тый своим «Институтом высших исследований» (Institute for Advanced
Study) — замечательным физико-математическим
научно-исследовательским институтом, в котором нашли приют также Альберт
Эйнштейн и Эйген бигнер, выдающийся немецкий физик, независимо
от Вейля пришедший к мысли о возможности использования в
физике идей симметрии и посвятивший всю свою жизнь разработке
этих идей1) Для Вейля, влюбленного в немецкую культуру и в
немецкую речь, переезд в Америку был не легким делом, но наученный
тремя годами жизни в Геттингене он, видимо, предпочитал иметь
между собой и Гитлером океан
Последующие годы в жизни Вейля были довольно спокойными
Он жил в Принстоне, пользуясь всеобщим уважением и продолжая
разрабатывать все научные направтения начатые его предшествую
щими работами, так, например в 1935 г в «Американском математи
') Важность этой тематики была подчеркнута присуждением
Э Вигнеру в 1963 г — через 8 лет после смерти Г Вейля — Но
белевской премии по физике.

ческом журнале» была напечатана его совместная с Р Брауэром
статья «Спиноры в «-мерном пространстве» [20], содержащая полною
теорию столь важных для физики «стшнорных представтении»
группы вращений (комплексного) евклидова пространства. Наряду с этим
в творчестве Вейля неизменно появлялись и новые'темы, так,
например, в 1934 г. и позже он опубликовал несколько важных статей,
связанных с вновь выявившимися возможностями изучения
геометрических свойств многообразий с помощью заданных на этих
многообразиях функций (теория «гармонических интегралов» на
однородных многообразиях).
К 1935 г относится как будто неожиданная для Вейля
небольшая заметка [21] со скромным названием «Элементарная теория
выпуклого многогранника» Эта заметка излагает соображения,
которые Г. Вейль развивал на последнем руководимом им семинаре в Гёт-
тингенском университете по теории выпуклых тел летом 1933 г.,—
в это неспокойное время Вейль находил некоторый отдых от
политических забот, разбирая со студентами вопросы, относящиеся, по
существу, к элементарной геометрии. Содержание этой заметки
достаточно просто. Выпуклый многоугольник на плоскости можно
определить как выпуклую оболочку множества своих вершин
(аналитически — как множество таких точек М, что
rJ,i=Vi + tyV + V*> K^0' ^SsO, XfcSaO, А,,+А,; + Я,А=1,
t, /, k=\, 2, ... , я,
где rv гг, . ., rn— радиусы-векторы вершин Аъ А%> ..., Ач
многоугольника), или как пересечение содержащих многоугольник
полуплоскостей, задаваемых сторонами многоугольника (аналитически —
как совокупность точек (х, у), удовлетворяющих системе линейных
неравенств
а,к-\-Ь1у-\-с1 >:0, 1 = 1, 2 я,
где atx\b{y | с,= 0—уравнения сторон lu lL, ..., ln многоугольника);
эквивалентность этих двух определений выпуклою многоугольника
легко доказать х). Аналогично этому обстоит дело и с выпуклыми
многогранниками в трехмерном или «-мерном пространстве; однако
здесь эквивалентность двух определений выпуклого многогранника
устанавливается вовсе не так просто. Элементарное («конечное»)
доказательство этого факта и составляет основное содержание работы
[21| (ранее было известно лишь очень сложное доказательство,
принадлежащее известному аналисту К- Каратеодори), посвященной
(столь популярному сегодня1) геометрическому истолкованию систем
линейных неравенств
В 1935 г. линейные неравенства не вызывали серьезного
интереса; внимание математика такого масштаба, как Г. Вейль, к
связанным с ними элементарно-геометрическим вопросам (теория
выпуклых многогранников) могло даже показаться чудачеством.
Однако когда в 1950 г. американские математики Г. У. Kjh и
А. У. Таккер напечатали привлекший сразу же большое внимание
том исследований по недавно созданной и весьма важной для
приложений (а в силу этого и весьма модной) «теории игр», они начали
') Ср , например, кн. V «Энциклопедии элементарной малема-
тиы1», «На>ка», 1966, 207-218.

этот том с осуществленного Г У. К} ном перевода старой заметки
[21] Вейля '). (Надо заметить, что работа [21] была не единственной
статьей Г. Вейля в этом томе «Исследований по теории игр» )
В 1939 г вышла в свет одна из значительнейших книг Г. Вейля —
его «Классические группы» [22], в которой он подытожил свои
многолетние занятия теорией инвариантов и представлений групп.
Немец Вейль написал эту книгу по-английски «Боги наложили на
мои писания путы чужого языка, не звучавшего у моей колыбели»,—
писал он в предисловии к этой замечательной книге
«„Was dies heissen will, weiss jeder,
Der im Traum pferdlos geritten" 2)
— хотелось бы мне сказать вместе с Готфрндом Келлером Никто
более меня не почувствует связанной с этим утраты силы, легкости
и ясности выражения» 3). Однако эти сожаления Вейля
представляются не совсем основательными: и по содержанию, и по языку
«Классические группы» — истинно «вейлевская» книга,
соединяющая высокие научные и методические достоинства с
выразительностью и даже художестве! юстью языка, о которой можно судить
хотя бы по следующей цитате из предисловия, объясняющей
основные установки автора J)
«Строгая точность, достижимая математическим
мышлением, привела многих авторов к манере изложения, которая
должна произвести на читателя такое впечатление, как если
бы он был заключен в ярко освещенную камеру, где каждая
деталь выделяется с одинаково ослепляющей ясностью, но
без рельефности. Я предпочитаю открытый ландшафт под
ясным небом с его глубиной перспективы, где обилие
отчетливо очерченных близких деталей постепенно сходит на нет
по мере удаления к горизонту. В частности, горный массив
топологии лежит для этой книги и ее читателя у горизонта,
и поэтому те его части, которые следовало поместить в
картину, даны лишь в грубых чертах. Ог читателя ожидаются
здесь готовность переключаться на точки зрения, отличные
от принятых в алгебраических частях, и добрая воля к
сотрудничеству.
Книга предназначена главным образом для тех, кто
скромно пожелает узнать изложенные в ней новые вещи, а
не для гордых ученых, уже знакомых с предметом. »
В 1938/39 уч. году Г. Вейль читал в Принстоне к^ рс лекций
по алгебраической теории чисел; эти лекции составили содержание
его книги [3]. В 1943 г вышла в свет книга Г. Вейля «Мероморфпые
') Сборник 1950 г. положил начало целой серии подобных же
сборников, выпущенных в разьье годы издательством Принстон-
ского университета. На русский язык переведен один из более
поздних сборников «Линейные неравенства» под редакцией
Г. У. К у н а и А. У. Т а к к е р а, ИЛ, 1959; по нему можно судить
о том грандиозном развитии, которое получило в послевоенные годы
направление, начатое скромной заметкой Г. Вейля [21].
2) «Что jio значит — каждый знает, кто во сне верхом скакал
без коня».
•*) Цитируется по русскому переводу Д А Рзиксва.

функции и аналитические кривые» [231 написанная в
сотрудничестве с сыном Иоахимом Вейлем, она появилась ровно через
30 лет после первой книги Веиля |8], также посвященной теории
функций комплексного переменного Я не могу j держаться от
соблазна процитировать здесь предисловие и к этой книге, достаточно
характерное для стиля Веиля
«Пять лет тому назад мой сын Иоахим и я обнаружили
в первобытном лесу математики побег, который мы назвали
Мероморфной Кривой (Annals of Mathematics 1938) Мы
принесли его домой, он выглядел здоровым и привлекательным,
однако мы не знали, как с ним надо обращаться Позже
появился садовник с Севера, искусный работник с большим
опытом, Л Альфорс 1) быто его имя, он знал, как надо
ухаживать за нашим ростком, и под его наблюдением растение
быстро обратилось в прекрасное дерево (ActaSocietatisScientia-
rum Fenmcae, 1941) Усвоив этот >рок, мы со своей стороны
решили осуществить одну идею, которую раньше представляли
себе довольно смутно (Annals of Mathematics, 1941, Pioceedings
of National Academy of Sciences, 1942), а именно, пересадить
дерево Мероморф с г плоскости в горную местность
произвольной римановой поверхности (я любил этот тандшафт с далеких
дней моей юности) Эксперимент оказался удачным на дереве
стали видны почки, появились листья, однако только
будущее сможет показать нам, какие птоды принесет наше
дерево Тем временем грозная буря войны различила нас с
нашим мудрым садовником»
Работа над книгами перемежалась работой над оригинальными
статьями, посвященными как старым областям (теория групп,
алгебра, физические применения принципа симметрии) так и
некоторым новым темам В 1951 г Г Вейль в большой статье [24] «подвел
итоги» математического полjстолетия,— трудно было бы указать
автора, который имет бы больше прав на подобное выступление и
смог бы осуществить его с большим успехом В том же году Вейль
покинул Соединенные Штаты и переехал обратно в Цюрих, однако
он по-прежнему наезжал временами в Принстон и поддерживал
тесные связи с принстонскими математиками
Возвращение в любимый город, который он оставил больше
20 лет тому назад, в город его молодое и и первых блестящих
успехов, было радостью для Вейля еще и потому, что он снова слышал
на улицах немецкую речь, к которой был страстно привязан—ведь и
в США Вейль ч\вствовал себя немцем Однако жить Гейлю в
Швейцарии оставалось уже недолго Он еще \спет напечатать ряд
интересных статей и одну книгу, перевод которой предтагается ныне
советскому читателю, успел также написать свою автобиографию, которой
он дал название «Познание и сознание» (Erkenntnis und Besinnurg)
и в которой подробно рассказал о своих философских и
общенаучных увлечениях В 1954 г 69-летний Вейль выступил на Межд\
народном математическом конгрессе в Амстердаме с приветствием от
старшего поколения ученых молодым ма»ематикам (французу
х) Известный финский математик Ларе В Альфорс, специалист
по теории функции комплексного переменного.

Ж П Серру и японцу К Кодаире) получившим Филдсовские меда
ли 1),— но это было уже последнее его публичное выступление
В ноябре 1955 г в Цюрихе состоялся большой банкет в ознаме
новаиие 70-летия Г Вейля, все присутствовавшие отмечали, что на
банкете Вейль был оживлен и весел В этот день было принято
решение о выпуске «Избранного» Вейля и образован редакционный
комитет из его коллег по Политехническому институту в Цюрихе
(Б Эккман, X ХопфиМ Планшерель) и Институту высших иссле
дований в Принстоне (М Морз, Дж фон Нейман и А Сельберг)
Это решение также доставило радость Г Вейлю, однако взять в
руки том «Избранного-» ему было не суждено — он скончался в
Цюрихе 8 декабря 1955 г , меньше чем через месяц после своего
торжественно отмеченного юбилея
История математики знает не много ученых, равных Герману
Вейлю по своим заслугам, он принадлежит к числу классиков
математической науки, о которых пишутся исследования 2) и защищаются
диссертации 3) При этом поражает колоссальная разносторонность
Вейля и в арифметику (теория чисел), и в алгебру, и в геометрию и
в анализ этот великий «математический полиглот» внес вклад, который
будут помнить многие поколения ученых после нас4) Однако если
теперь, через 10 с лишним лет после смерти Вейля, попытаться
выделить в его творчестве главную струю, то эту струю, как мне кажет
ся, естественно связать с общей идеей симметрии,—и если сегодня мы
отдаем себе полный отчет во всем значении симметрии для
математики и для физики, то в этом бесспорно есть большая заслуга
') Самые известные из международных математических премий,
присуждаются раз в четыре года, во время международных
математических конгрессов, молодым > ченым
2) См , например, П Беисвангер(Р Beisswanger),
Эволюция взглядов Германа Вейля на математику. Math phys Semesterbe-
nchte 12, № 2 (1965), 132—156 Хочется отметить также болын)ю
статью, принадлежащую крупнейшим французским математикам
К Шевалье и А Вейлю и опубликованною в швейцарском журнале
«Математическое образование» (С С h e v а 1 1 е у, A Weil,
Hermann Weyl, L'Enseitfnement mathematique 3, 3 (1957) 157—187 )
3) См , например, Р Л е у п о л ь д (R Leupold), Исследования
Гер%аиа Вейля в области оснований математики Эта диссертация
на соискание степени доктора философии защищалась в Майнцском
университете им И Гутенберга в 1960 г
4) Г Вейль не быт единственным в истории науки XX века
математиком, отличающимся своей разносторонностью,— напротив,
необычайная разобщенность отде ин >х ветвей математики, по
видимому, как то способствовав i оявчению ряда универсальных
талантов (первым из которых *лч Д Гильберт) Так же и
современные тенденции к уничтожению у\\ в науке и в преподавании)
«китайских стен» между отдельными разделами математики, по видимому,
порождены осознанием тех о асностеи, о которых напоминает
математикам npi тча о вавилоно башне

Вейля С идеей симметрии связаны старые книги Вейля [5] и [10],
ей непосредственно посвящены его замечательные сочинения [6] и
[22] И мне кажется весьма характерным, что также и последняя
книга Г Вейля, которою он сам назвал своей лебединой песнью, но
сит это простое но столь многообъемлющее название СИММЕТРИЯ
ЦИТИРУЕМЫЕ РАБОТЫ Г ВЕИЛЯ
1 Комментарии к речи Римана «О гипотезах, лежащих в
основании геометрии», в книге Б Р и м а н, Сочинения, Гостех-
издат, 1948, 510—526, и в книге «Об основаниях геометрии»,
Гостехиздат, 1956 325—341 (В немецком оригинале
комментарий был приложен к осуществленному под наблюдением Г
Вейля и по его инициативе изданию речи Б Римана, Берлин 1918
(имеются переиздания и переводы) ]
2 Об определении замкнутой выпуклой поверхности ее линейным
элементом, УМН 3, 2(24) (1948), 159—190 (В немецком
оригинале статья вышла в свет в 1916 г и перепечатана в «Избранном»
(Selecta) Г Вейля, Базель — Штуттгарт, 1956, 148—178 )
3 Алгебраическая теория чисел (Algebraic theory of numbers),
ИЛ, 1947 (В английском оригинале книга вышла в свет в 1940 г
в Принстоне, США )
4 О равномерном распределении чисел по модулю единица (Uber
die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins), Math Ann 77(1916),
313—352, перепечатано в «Избранном» (Selecta), 111—147
5 Пространство, время, материя (Raum, Zeit, Matene), Берлин,
1918 (см перечень переизданий на стр 11)
6 Теория групп и квантовая механика (Qruppentheone und Quan-
tenmechanik), Лейпциг, 1928, 2-е изд , 1931, англ пер ,
Нью Йорк, 1932 и Нью Йорк, 1949
7 Давид Гильберт и его математическое творчество (David Hilbert
and his mathematical work), Bull Amer Math Soc 50 (1944),
612—654, португ пер Boletin da Sociedade de Mathematica
de Sao Paulo, 1 (1946), 76—104 и 2 (1947), 37—60
8 Идея римановой поверхности (Die Idee der Rimannschen Flache),
Лейпциг, 1913, 2e изд , 1923, англ пер Нью Йорк, 1951, Зе
перераб изд , Лейпциг, 1955
9 Место Феликса Клейна в математической современности (Felix
Kleins Stellung in der mathematischen Gegenwart), Die Natui
wissenschaften 18 (1930), 4—11
10 Математический анализ проблемы пространства (Mathematische
Analyse des Raumproblems), Берлин, 1923
11 Введение в комбинаторный анализ (Introduction al analisis com-
binatono), Revista Matematica Hispano Americana, 5 (1923),
153—164, англ перев George Washington University Logistics
Research Project 1951
12 Философия математики и естествознания (Philosophie der Mathe-
matik und Naturwissenschaft), Мюнхен, 1926, перераб и дополн
англ изд , Принстон (США), 1949, 2 е англ изд , Принстон, 1950,
2-е нем изд , Мюнхен, 1950 [Отрывки из этой книги вклю
чены в сб «Прикладная комбинаторная математика» (Applied
combinatorial Mathematics), изд Э Беккенбах (Е F Вес-
kenbach), N Y , 1964 (р\сский перевод готовится к печати

издательством «Мир») и в книгу Г В е й л ь, О философии
математики ОНТИ 1934 ]
13 Континуум (Das Kontinuum) Лейпциг 1918, 2 е изд , Берлин,
1932
14 Степени бесконечности (Die Stufen des Unendhchen) Иена,
1931
15 Открытый мир (The open world) Лондон 1932
16 Раз^м и природа (Mind and nature) Филадельфия—Лондон,
1934
17 О полноте примитивных представлений компактной непрерывной
группы (совместно с Ф Петером) УМН 2 (1936) 144—160 [Вне
мецком оригинале статья вышла в свет в 1927 г и перепечатана
в «Избранном» (Selecta), 387—404 ]
18 Теория представлений непрерывных полупростых групп при
помощи линейных преобразований (Theorie der Datstellungen
Kontinuierhcher halbeinfacher Gruppen durch lineare
Transformation)^ I, Math Z 23 (1925), 271—309, ч II там же 24 (1926),
328—376, ч III, там же, 377—395, приложение там же, 789—791,
перепечатано в «Избранном» (Selecta), 262—366 Неполный
русский перевод, УМН 4 (1938), 201—246
19 Сферическая симметрия атомов (The spherical symmetry of atoms),
The Rice Institute Pamphlet 16 (1929) 266—279, Проблема
симметрии в квантовой механике (The probleme of symmetry in
quantum mechanics), J of the Franklin Institute 207 (1929),
509—518
20 Спиноры в я мерном пространстве (Spinors in n dimensions),
совместно с Р Брауэром (R Brauer), Amer J Math 57 (1935),
425—449, перепечатано в «Избранном» (Selecta), 431—454
21 Элементарная теория выпуклого многогранника (Elementare
Theorie der Konvexen Polyeder), Commentarn mathematici
Helvetia 7 (1935), 290—306, англ пер в сборнике «Исследования
по теории игр I» (Contributions to the theory of games I), Прин-
стон, 1950, 3—18
22 Классические группы их инварианты и представления, ИЛ, 1947.
(В английском оригинале книга вышла в свет в 1939 г в Прин-
стоне, 2 е изд , 1946 )
23 Мероморфные функции и аналитические кривые (Meromorphic
functions and analytic curves), Принстон, 1943
24 Полвека математики (A half cetittiry of mathematics), Amer.
Math Monthly 58, № 8 (1951), 523—553

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эти четыре лекции посвящены понятию симметрии.
Сначала, исходя из несколько смутного представления о
симметрии — симметрии как гармонии пропорций,—
в них рассматривается геометрическое понятие симметрии
в различных формах,— таких как зеркальная,
переносная, поворотная симметрия, симметрия орнаментов,
кристаллов и т. д.; это рассмотрение постепенно приводит к
общей идее, лежащей в основе всех этих частных видов
симметрии,— к идее инвариантности некоторой
конфигурации относительно определенной группы
преобразований (группы автоморфизмов), анализом которой и
завершается изложение. Я ставил перед собой две задачи.
С одной стороны, я хотел показать огромное
разнообразие приложений принципа симметрии в искусстве, в
живой и неживой природе. С другой стороны, я стремился к
тому, чтобы постепенно, шаг за шагом, раскрыть фило-
софско-математическое значение идеи симметрии. Для
достижения последней цели оказалось необходимым
сопоставить понятия и теории симметрии и
относительности. Решению первой задачи помогают многочисленные
иллюстрации в тексте.
В качестве читателей этой книги я представлял себе
более широкий круг лиц, чем круг ученых-специалистов.
Это не означает, что в этой книге я обхожу
математические вопросы (такой подход препятствовал бы
достижению поставленных в ней целей); однако детальный
анализ большинства вопросов, затронутых в книге,— и, в
частности, подробное проведение относящихся к ним
математических выкладок,— не входил в мою задачу.
Книга воспроизводит, в незначительно измененной форме, те

лекции, которые автор читал в Принстонском
университете в феврале 1951 г. на чтениях в честь Веньюксема
(Louis Clark Vanuxem); к лекциям добавлены два
приложения, содержащие математические доказательства.
Другие книги, относящиеся к рассматриваемой мною
области, такие, например, как классическая книга Е г е-
р a (F. M. J a e g e г) «Лекции о принципе симметрии и
его приложениях к естествознанию» (Lectures on the
principle of symmetry and its applications in natural science,
Amsterdam and London, 1917) или более поздняя и менее
объемистая книжка Н и к о л я (Jacques Nicolle)
«Симметрия и ее приложения» (La symetrie et ses applications,
Paris, 1950), охватывают только часть материала (хотя
и излагают его более подробно). В великолепном труде
Д'Арси Т о м с о н a (D'Arcy W. Thompson) «О росте и
форме» (On growth and form) (новое издание, Cambridge,
Engl., and New York, 1948) симметрия является
второстепенным вопросом. Общее представление об
эстетическом и математическом аспектах предмета можно
составить по «Теории групп конечного порядка» (Theorie
der Gruppen von endlicher Ordnung, 3-е изд., Berlin,
1937) Ш п е й з е р a (Andreas Speiser) и другим работам
этого автора. Несколько ближе к настоящей книге
стоит книга Хембиджа (Jay Hambidge)
«Динамическая симметрия» (Dynamic symmetry, Yale University
Press, 1920). Ближе всего к ней, по-видимому, июльский
номер немецкого журнала «Studium Generale» за 1949 г.
(т. 2, стр. 203—278; при ссылках просто: Studium Gene-
rale), посвященный вопросам симметрии.
Я хочу выразить горячую благодарность
Издательству Принстонского университета и его сотрудникам за
то всестороннее внимание, которое они проявили в
отношении этой небольшой книги. Не менее искреннюю
благодарность я приношу руководству Принстонского
университета, которое предоставило мне возможность
прочесть эти лекции — мою лебединую песнь — накануне
ухода из Института высших исследований.
Герман Вейль
Цюрих, декабрь 1951 г.

ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Если я не ошибаюсь, в нашем повседневном языке
слово симметрия употребляется в двух значениях.
В одном смысле симметричное означает нечто,
обладающее хорошим соотношением пропорций,
уравновешенное, асимметрия обозначает тот вид
согласованности отдельных частей, который объединяет их в
единое целое Красота тесно связана с симметрией Об этом
говорит, например, в своей книге о пропорциях Поли-
к л е т — ваятель, скульптуры которого служили
предметом восхищения древних за их гармоническое
совершенство, и Д ю р е р следует за ним при установлении
канона пропорций человеческого тела *) В этом смысле
идея симметрии никоим образом не ограничивается
пространственными объектами, ее синоним «гармония» в
гораздо большей степени указывает на акустические
и музыкальные приложения идеи симметрии, чем на
*) См D u г е г , Vier Bucher von menschlicher Proportion,
1528 Собственно говоря, сам Д ю р е р не употребляет слова с и ы-
м е т р и я, но «авторизованный» латинский перевод, выполненный
его другом Иоахимом Камерарием (1582), носит загла
вне «De Symmetna partium» П о л и к л е т, как сообщает Филон
Византийский в книге реЯояоцх? своего сочинения «MriXavw;
aovta^iq», IV, 2, писал что «использование очень многих чисел
почти достаточно для получения правильности скульптуры»
Дильс (Diels) в своих «Fragmente der Vorsokratiker» переводит
это место иначе См также Herbert S e n k, Au sujet de l'expression
av[i,\xerpia dans Diodore, I, 98, 5—9, в журнале «Chromque d'Egypte»
26 (1951), 63—66 Витрувий дает следующее определение
«Симметрия возникает из пропорции Пропорция есть
соразмерность различных составных частей с цетым» Более разработанные
современные взгляды по тому же вопросу изложены в книге Б и р к
г о ф a (George David В i r k h о t f, Aesthetic Measure, Cambridge,
Mass , Harvard University Press, 1933) и в его лекциях («A mathema
tical theor> of aestetics and its applications to poetry and music»
Rice Institute Pamphlet 19 (July 1932) 189—342)

геометрические. В немецком языке хорошим
эквивалентом греческого слова с и м м е т р и я является Е ben-
mass, ибо оно, так же как и слово симметрия,
имеет смысл той «средней меры», к которой согласно «Ни-
комаховой этике» Аристотел я должен в своих
действиях стремиться добродетельный человек и которую
Г а л е н в трактате «De temperamentis» описывает
как состояние духа, равным образом удаленное от
обоих крайностей: a6[inEipov опер гхагерои xwv axpmv-
djT£%El.
Образ весов является естественным связующим
звеном, которое подводит нас ко второму смыслу, в котором
слово симметри я употребляется в наше время:
зеркальная симметрия1, симметрия левого и правого,
столь заметная в строении высших животных и, в
особенности, человеческого тела. Здесь зеркальная
симметрия — строго геометрическое и — в отличие от
рассматривавшегося до сих пор расплывчатого представления
о симметрии — вполне точное понятие. Тело
(пространственный образ) симметрично относительно данной
плоскости Е, если оно переходит в себя при отражении от
плоскости Е. Возьмем
какую-нибудь прямую /,
р' р i перпендикулярную плос-
■—• • кости Е, и на этой
прямой — произвольную
точку р (рис. 1). Тогда
г существует одна и
только одна точка р' на пря-
Рис. 1. мой /, находящаяся на
таком же расстоянии от
плоскости Е, что и точка р, но по другую сторону
от этой плоскости. Точка р' совпадает с точкой р
только в том случае, если она принадлежит плоскости Е.
Отражение от плоскости Е является отображением S:
р^>-р' пространства на себя, переводящим произвольную
точку р в ее зеркальный образ р' относительно Е.
Отображение определено, если установлено правило, по
которому каждой точке р ставится в соответствие ее образ
р'. Другой пример: поворот вокруг перпендикулярной
оси, например на 30°, переводит каждую точку р
пространства в некоторую точку р' и, таким образом,
определяет отображение. Фигура обладает поворотной симмет-

рией относительно оси /, если она переходит сама в себя
при всех поворотах вокруг /.
Зеркальная симметрия, таким образом, выступает
перед нами как первый случай геометрического понятия
симметрии, относящийся к таким операциям, как
отражение или вращение. Пифагорейцы считали на
плоскости — окружность, а в пространстве — сферу, в силу
их полной поворотной симметрии, наиболее
совершенными геометрическими фигурами, а Аристотель
приписывал сферическую форму небесным телам, так как,
по его мнению, всякая другая форма лишила бы их
божественного совершенства. В духе той же традиции
обращается к богу и современная поэтесса:
God, Thou great symmetry,
Who put a biting lust in me
From whence my sorrows spring,
For all the frittered days
That I have spent in shapeless ways
Give me one perfect thing *).
Симметрия — в широком или узком смысле в
зависимости от того, как вы определите значение этого
понятия,— является той идеей, посредством которой человек
на протяжении веков пытался постичь и создать
порядок, красоту и совершенство.
Эти лекции построены следующим образом. Сначала
мы несколько более подробно рассмотрим зеркальную
симметрию и ее роль в искусстве, в живой и неживой
природе. Затем мы постепенно обобщим это понятие в
направлении, указанном нашим примером вращательной
симметрии; при этом вначале мы будем оставаться в рамках
геометрии, но затем выйдем за ее пределы и с помощью
процесса математической абстракции вступим на путь,
который в конце концов приведет нас к математическому
понятию огромной общности, к платоновской идее,
стоящей за всеми частными проявлениями и приложениями
симметрии. Описанная схема в известной степени
характерна для всего теоретического познания: мы начинаем с
*) Anna W i с k h a m, «Envoi» из «The contemplative quarry»,
Harcourt, Brace and Co., 1921. (Русский перевод: «Боже,ты—великая
симметрия, вложившая в меня гложущую страсть, из которой
проросли мои печали. За все растраченные дни, потерянные мной на
путях, не имеющих очертаний, дай мне одну совершенную вещь.»—Ред.).

некоторого общего, но туманного принципа (симметрия в
первом смысле этого слова); затем находим важный
частный случай, рассмотрение которого позволяет придать
нашему понятию конкретный и точный смысл
(зеркальная симметрия); далее, отправляясь от этого частного
случая, мы постепенно вновь поднимаемся к общему,—
причем руководствуемся уже не философскими призраками,
а опираемся на математическое построение и
математическую абстракцию и, если это нам удается, в конце
концов доходим до понятия, носящего не менее общий
характер, чем то, с которого мы начали. Может
оказаться, что при этом мы потеряем значительную часть
эмоциональной окраски исходного понятия, однако новое
понятие будет в области мышления обладать такой
же,—если не большей —силой обобщения и, кроме того,
будет точным, в отличие от первоначального туманного
понятия.
Я начну рассмотрение зеркальной симметрии с
греческой скульптуры четвертого века до н. э.— со статуи
молящегося мальчика (рис. 2),— с тем, чтобы это
прекрасное произведение сыграло для вас роль символа,
выражающего то огромное значение, которое этот вид
симметрии имеет в жизни и в искусстве. Может возникнуть
вопрос, зависит ли эстетическое значение симметрии от
ее значения в жизни. Иначе говоря, в природе ли
художник открывает симметрию,— ту симметрию, которой
творения природы наделены в силу каких-то ее
внутренних законов,— и затем лишь копирует и доводит до
совершенства то, что природа дала в несовершенном виде;
или же эстетическое значение симметрии имеет
независимый источник? Вместе сПлатоном я склонен
думать, что в обоих случаях общим источником является
математическая идея: математические законы,
управляющие природой, являются источником симметрии в
природе, а интуитивная реализация этой идеи в творческом
духе художника служит источником симметрии в
искусстве,— хотя я и готов допустить, что в искусстве
дополнительно сказывается факт зеркальной симметрии
человеческого тела в ее внешнем проявлении.
Из всех древних народов строгая зеркальная, или
геральдическая 2, симметрия была, по-видимому,
особенно излюблена шумерами. В этом отношении типичным
является рисунок на известной серебряной вазе царя

Э н т е м е н ы, правившего в городе Л агаше около 2700 г.
до н. э.; на рисунке изображен орел с львиной головой и
распростертыми крыльями; в когтях у него с каждой
стороны по оленю; на оленей в свою очередь нападают львы
(на нижнем рисунке вместо оленей изображены козлы)
(рис. 3). Перенесение точной симметрии, присущей орлу,
на других животных, заставляло, очевидно, удваивать
изображения. Несколько позже орла стали изображать с
двумя головами, смотрящими в разные стороны, и,
таким образом, формальный признак симметрии полностью

восторжествовал над принципом подражания природе.
Этот геральдический мотив можно затем обнаружить в
Персии, в Сирии, позднее в Византии, а всякий живший
до первой мировой войны помнит двуглавых орлов на
гербах царской России и Австро-Венгерской монархии.
Посмотрите теперь на эту шумерскую картину (рис. 4).
Два человека с орлиными головами почти симметричны
однако их симметрия не полная. Почему' В геометрии на
плоскости отражение от вертикальной прямой / можно
осуществить также и поворотом плоскости в пространстве
вокруг оси / на 180°. Если вы посмотрите на руки
чудовищ, которые изображены на рисунке, то увидите, что
чудовища получаются одно из другого с помощью такого
поворота; эта особенность изображения,
характеризующая их положение в пространстве, нарушает зеркальною
симметрию плоского изображения. Все же художник
имел в виду симметрию, придавая обеим фигурам
полуоборот по отношению к зрителю, а также располагая
соответствующим образом их ноги и крылья: у левой
фигуры опущено правое крыло, а у правой — левое.
Рисунки на вавилонских цилиндрических казенных
печатках часто подчинены геральдической симметрии.
Я вспоминаю, что в коллекции моего бывшего коллеги
покойного Герцфельда (Ernst Herzfeld) я вид&г
экземпляры, на которых у богов для симметрии было

Рис. 5.
Рис. 6.

изображено не две головы, а две нижние быкообразные
части туловища; эти части тела изображались в профиль,
причем у богов оказывалось не две, а четыре задние ноги.
В христианскую эпоху аналогичный мотив можно
проследить на некоторых изображениях причастия.
Например, на византийском блюде (рис. 5) два симметричных
Христа обращены лицом к ученикам. Однако в этом
случае симметрия не полная и имеет не только формальное
значение, так как на одной половине изображенияХристос
преломляет хлеб, а на другой разливает вино.
Между Шумером и Византией поместим Персию. Эти
эмалевые сфинксы (рис. 6) — из дворца Д а р и я в
Сузах, построенного во времена Марафона. Если мы
пересечем Эгейское море, то в Тиринфе мы обнаружим эти
рисунки (рис. 7), украшавшие пол в Мегароне (поздне-
эгейская культура, около 1200 г. до н. э.). Тот, кто
глубоко верит в преемственность и взаимозависимость
исторического развития, увидит в изящных картинках из
жизни моря, в изображениях дельфинов и осьминога
мотивы, прослеживающиеся вплоть до Минойской
культуры на Крите,— влияние восточной, в конечном счете
шумерской, геральдической симметрии. Спустя тысячи
лет мы все еще можем проследить проявление того же
влияния в украшении (рис. 8) на ограде алтаря собора в
Торчелло (Италия) XI века н. э. Павлины, пьющие из
источника в виде пинии среди виноградных листьев,— это
древнехристианский символ бессмертия, но структурная
геральдическая симметрия — восточного происхождения.

Рис 8
Рис 9

В противоположность Востоку, западное искусство,
как и сама жизнь, склонно смягчать, ослаблять,
видоизменять и даже нарушать строгую симметрию. Но
асимметрия в редких случаях состоит просто в отсутствии
симметрии. Даже в асимметричных изображениях вы
ощущаете симметрию как норму, от которой уклоняются под
влиянием неформальных причин. Мне кажется, что
хорошим примером этого являются всадники со
знаменитого этрусского надгробия Триклиния в Корнето (рис. 9).
Я уже упоминал об изображениях причастия, где два
Христа раздают хлеб и вино. Почти идеальной
симметрией обладает центральная группа мозаики «Вознесение
господне» (рис. 10) в кафедральном соборе в Монреале
(Сицилия, XII столетие), представляющая деву Марию с
двумя ангелами по бокам. (Линейный орнамент над
мозаикой и под ней будет предметом нашего внимания
во второй лекции.) Несколько менее заметен принцип
строгой симметрии в более ранней мозаике из собора
Св. Аполлинария в Равенне (рис. 11), изображающей
Христа и почетную стражу ангелов. Если, например, на
мозаике в Монреале дева Мария, благословляя,
поднимает обе руки симметрично, то здесь поднята одна правая
рука. Еще более глубоко заметно вторжение асимметрии
на следующем рисунке (рис. 12), изображающем
византийскую рельефную икону из собора Св. Марка в
Венеции. Это — «Моление», и, конечно, две фигуры,
молящие о милосердии, в то время как Иисус готовится
вершить страшный суд, не могут быть зеркальными
отражениями друг друга; слева стоит Богородица, справа —
Иоанн Креститель.
Можно думать, что Мария и Иоанн Евангелист на
двух сторонах креста на распятиях также являются
примерами нарушенной симметрии.
Ясно, что мы коснулись самого основного именно
здесь, когда точное геометрическое понятие зеркальной
симметрии начинает растворяться в смутном понятии
уравновешенности (нем. Ausgewogenheit3), понятии
гармонического творения, с которого мы начали.
«Симметрия,— говорит Ф р е й (Dagobert Frey) в статье «К
проблеме симметрии в изобразительном искусстве» (Zum
Problem der Symmetrie in der bildenden Kunst) *)—
*) Studium Generate, стр. 276.

означает покой и скованность, асимметрия же, являющая
ся ее полярной противоположностью, означает движение
и свободу Таким образом, порядок симметрии
соответствует произволу асимметрии, закон—случайности, а
с другой стороны, скованность соответствует свободе,
а окостенение — жизни Если бога или Христа
изображают как символ вечной истины или справедливости, их
рисуют не в профиль, а в симметричном виде анфас» По-
видимому, в силу аналогичных причин общественные
здания или места богослужения — будь то греческие хра
мы или христианские базилики и соборы — обладают
зеркальной симметрией Однако верно и то, что нередко

Рис П.
Рис 12.

две башни готических кафедральных соборов бывают
различны, как, например, в Шартре. Но практически
в каждом случае это, по-видимому, имеет свою причину
в истории собора, а именно, происходит из-за того, что
башни строились в разное время. Естественно, что в
более поздний период не удовлетворялись замыслом более
раннего времени; следовательно, в этом случае можно
говорить сб исторической асимметрии. Зеркальные
отражения встречаются там, где есть зеркало, будь то озеро,
отражающее окрестный ландшафт, или обычное зеркало,
в которое смотрится женщина. Природа — подобно
живописцу — тоже пользуется этим мотивом. Думается,
что вы сами легко подберете примеры. Для меня
наиболее близким является «Озеро Сильваплана» Г о д л е р а
(Hodler) 4, потому что во время моих занятий я каждый
день смотрю на эту картину.
Теперь, прежде чем перейти от искусства к природе,
задержимся на несколько минут и поразмыслим над тем,
что можно назвать математической философией левого и
правого. С точки зрения научного мышления между
левым и правым не существует той полярной
противоположности, того внутреннего различия, какое имеется,
например, между мужским и женским или между передним
и задним концами тела животного. Чтобы
определить, что является левым, а что правым, требуется
произвольный акт выбора. Но после того, как этот выбор
сделан для одного тела, понятия левого и правого
определены для всех тел. Мне придется несколько пояснить это.
В пространстве различие между правым и левым связано
с ориентацией винта. Если вы говорите о повороте
налево, вы подразумеваете при этом, что направление, в
котором вы поворачиваетесь, вместе с направлением вверх,
от ног к голове вашего тела, образует левый винт.
Суточное вращение Земли вместе с направлением от Южного
полюса к Северному образует левый винт; если же
вы зададите ось в противоположном направлении, то
это же движение образует правый винт. Существуют
некоторые кристаллические вещества (называемые
оптически активными), которые обнаруживают
внутреннюю асимметрию своего строения, поворачивая
плоскость поляризации пропускаемого через них
поляризованного света влево или вправо; говоря так,
мы, естественно, имеем в виду, что то направление, в

котором совершается поворот плоскости поляризации,
когда свет проходит в определенном направлении,
образует вместе с этим последним, соответственно, левый или
правый винт. Следовательно, когда мы говорили выше —
и повторяем сейчас, пользуясь терминологией
Лейбниц а,— что левое и правое неразличимы, мы хотим
сказать, что внутренняя структура пространства не
позволяет нам отличить левый винт от правого иначе, как с
помощью произвольного выбора.
Я хочу еще более уточнить это фундаментальное
положение, ибо с ним связана вся теория относительности,
представляющая собой не более чем иной аспект теории
симметрии. Согласно Евклиду структуру
пространства можно описать с помощью ряда основных
соотношений между точками,— таких как: точки А, В, С лежат
на прямой, точки А, В, С, D лежат на плоскости, отрезок
АВ конгруэнтен отрезку CD (рис. 13). Быть может,
лучшим способом описания структуры пространства является
способ Гельмгольца (Helmholtz): описание с
помощью единственного понятия конгруэнтности фигур 5.
Отображение 5 пространства относит каждой точке р
точку р': р->- р'. О двух отображениях S, S': р~+р'', р' -> р,
из которых одно обратно другому (так что если S
переводит р в р', то S' переводит р' обратно в р, и наоборот),
говорят как о двух взаимно однозначных отображениях,
или преобразованиях. Преобразование, которое
сохраняет структуру пространства,— если эту структуру мы
определим по Гельмгольцу, что означало бы, что
преобразование переводит любые две конгруэнтные
фигуры в конгруэнтные,— математики называют
автоморфизмом. Лейбниц осознал, что эта именно идея

лежит в основе геометрического понятия подобия.
Автоморфизм переводит фигуру в такую, которая, говоря
словами Лейбница, «неотличима от нее, если каждую
из этих двух фигур рассматривать саму по себе».
Поэтому то, что мы имеем в виду, говоря, что левое и правое
есть, в сущности, одно и то же, заключается в том факте,
что отражение от плоскости есть автоморфизм.
Пространство как таковое изучается геометрией. Но
пространство также служит средой всех физических
явлений. Структура физического мира проявляется во
всеобщих законах природы. Последние формулируются в
терминах некоторых основных величин, являющихся
функциями пространства и времени. Если бы эти законы не
были во всех случаях инвариантными относительно
отражения, то мы заключили бы, что, говоря фигурально,
структура пространства «содержит винт». Max (Ernst
Mach) рассказывает о том духовном потрясении,
которое он испытал, узнав еще мальчиком, что магнитная
стрелка отклоняется в
определенную сторону, влево
n или вправо, если ее подве-
л*^ ;#*/* сить параллельно провод-
;/£' ^^2f нику, по которому в опре-
<rr s^Qr^ деленном направлении про-
3 ^^2^^ ходит электрический ток
^^*0г^ (рис. 14). Так как вся эта
^Qr^ геометрическая и физиче-
^Д0^ екая конфигурация,состоя-
щая из проводника с током
Рис. 14. и северного и южного
полюсов магнитной стрелки, по
всей видимости симметрична относительно плоскости
Е, проходящей через проводник и стрелку, то
последняя должна была бы как будто вести себя подобно
Буриданову ослу между двумя одинаковыми охапками сена
и не делать выбора между правым и левым, точно так же
как чаши весов, на которые положены равные грузы, не
наклоняются ни в ту, ни в другую сторону, а остаются
в горизонтальном положении. Однако видимость иногда
обманчива. Дилемма, перед которой оказался юный Мах,
явилась результатом слишком поспешного
предположения относит\гьно результата отражения от плоскости Е
для системы, состоящей из проводника с током и поло-

жительного и отрицательного полюсов магнитной
стрелки: ведь если мы a priori знаем, что происходит с
геометрическими объектами при отражении, то как ведут себя
физические величины — это мы должны узнать у
природы. И вот что мы обнаруживаем: при отражении от
плоскости Е электрический ток сохраняет свое
направление, но южный и северный магнитные полюсы меняются
местами. Конечно, этот выход из положения, вновь
восстанавливающий эквивалентность левого и правого,
возможен лишь в силу одинаковой природы положительного
и отрицательного магнетизма. Все сомнения рассеялись,
когда обнаружили, что магнитные свойства стрелки
возникают благодаря молекулярным электрическим токам,
циркулирующим вокруг оси стрелки; очевидно, что при
отражении от плоскости Е эти токи меняют свое
направление.
В итоге мы получаем, что во всей физике не имеется
ничего, что указывало бы на внутреннее различие между
левым и правым. Левое и правое эквивалентны так же,
как все точки и все направления в пространстве.
Положение, направление, левое и правое являются
относительными понятиями. Источник этой относительности
был предметом обсуждения на языке, носившем
теологический отпечаток, в известном споре между
Лейбницем и Кларком — священником,
представлявшим точку зрения Ньютона. Ньютон, с его верой в
абсолютное пространство и время, считает движение
доказательством того, что сотворение мира имело своей
причиной вмешательство свободной воли бога, ибо в
противном случае было бы непонятно, почему материя
движется в том, а не в каком-либо другом направлении.
Лейбниц же не хочет возлагать на бога такие решения,
которым недоставало бы «достаточного основания». Он
утверждает: «Следовательно, предполагая, что
пространство является чем-то самим по себе, а не только порядком
тел между собой, невозможно указать основание для
того, почему бог, сохраняя те же взаимные расположения
тел, поставил их в пространстве именно таким образом,
а не иначе, и почему все не было расположено наоборот,
скажем, обращением Востока и Запада. Но если
пространство не что иное, как этот порядок или отношение, и
если оно без тел не что иное, как только возможность
давать им определенное положение, то именно эти два

состояния, первоначальное и обращенное, ни в чем не
отличаются др>г от друга... и, таким образом, вопрос о
том, почему одно состояние предпочитается другому,
является неуместным» *). Именно размышляя над
проблемой левого и правого, Кант впервые пришел к своей
концепции пространства и времени как форм интуиции**).
Мнение Канта, по-видимому, состоит в следующем.
Предположим, что первым актом творения было создание
богом левой руки; тогда эта только что созданная рука,
которою не с чем было еще сравнивать, обладала бы
отличительным характером левого, и этот характер можно
было бы постичь лишь интуитивно, но не с помощью
понятий. Лейбниц думал иначе: не было бы никакой
разницы, если бы бог сотворил сначала правую руку, а потом
левую; согласно Лейбницу, следует проследить
сотворение мира на следующем шаге,— уже после того, как
смогло появиться различие. Если бы бог, вместо того
чтобы сотворить сначала левую, а потом правую руку,
начал бы с правой, а затем создал бы еще одну правую руку,
он изменил бы план вселенной не во время первого, а
во время второго акта творения, создав руку, имеющую
точно такую же ориентацию, что и экземпляр,
сотворенный раньше.
Научная мысль стоит на стороне Лейбница.
Мифологическое мышление всегда придерживалось
противоположного взгляда, что явствует из употребления слов
правый и левый в качестве символов таких
полярных противоположностей, как добро и зло.
Поразмыслите только над двойным смыслом самого слова правый.
На этой детали знаменитого микельанджеловского
«Сотворения Адама» из росписи на потолке Сикстинской
капеллы (рис. 15) правая рука бога, изображенная справа,
вселяет жизнь в левую руку Адама.
Приветствуя друг друга, люди пожимают правые руки.
По-латыни sinister означает л е в ы й, и в
геральдике, употребляя это слово, говорят о левой стороне
поля герба. Но sinistrum в то же время означает
*) См. Q. W. L e i b n i z, Philosophische Werke, Bd 1, herausg.
Cassirer, Felix Meiner Verlag, Leipzig, 1904, стр. 120—241, в
особенности третье письмо Лейбница, раздел 5, стр. 135 в.
**) Кроме его «Критики чистого разума» см. особенно § 13,
его «Пролегомен ко всякой будущей метафизике, могущей появиться
как наука» '.

нечто дурное, и в разговорном английском языке
сохранился только этот смысл латинского слова *).
Из двух злодеев, распятых вместе с Христом, тот,
который последовал за ним в рай, находился справа от
Христа. В 25-й главе Евангелия от Матфея страшный
суд описывается следующим образом: «И поставит овец
по правую Свою сторону, а козлов — по левую. Тогда
скажет Царь тем, которые по правую сторону Его: „при-
идите, благословенные Отца Моего, наследуйте царство,
уготованное вам от создания мира...". Тогда скажет и
тем, которые по левую сторону: „идите от Меня,
проклятые, в огонь вечный, уготованный диаволу и ангелам
его"» 8.
Я помню лекцию Вёльфлина (Heinrich Wolff-
lin)9 «Правое и левое в живописи», прочитанную им
когда-то в Цюрихе; в сокращенном виде эта лекция —
вместе со статьей «Проблема обращения (Umkehrung) в
рафаэлевских этюдах к гобеленам» — опубликована в его
книге «Мысли по истории искусства» (Gedanken zur Kunst-
*) Для меня не был неожиданным тот странный факт, что на
языке римских авгуров слово sinistrum в качестве технического
термина имело противоположное значение — благоприятный.

geschichte) в 1941 г. На ряде примеров — таких, как
«Сикстинская мадонна» Рафаэля и гравюра
«Ландшафт с тремя деревьями» Рембрандт а,— Вёльфлин
пытается показать, что в живописи правое создает иное
настроение, чем левое. Практически все методы
репродукции меняют местами левое и правое, и, по-видимому, в
прежние времена такое обращение ощущалось гораздо
меньше, чем сейчас. (Даже Рембрандт не поколебался
вынести свое «Снятие с креста» на рынок в виде гравюры
с обратным отпечатком.) Если учесть, что нам
приходится читать гораздо больше, чем, скажем, людям XVI века,
то легко принять гипотезу о том, что различие,
отмеченное Вёльфлином, связано с нашей привычкой читать
слева направо. Насколько я помню, сам Вёльфлин отвергал
это, так же как и ряд других психологических
объяснений, выдвинутых во время дискуссии после его лекции.
Печатный текст лекции завершается замечанием о том,
что эта проблема, «по-видимому, имеет глубокие корни,
восходящие к самым основаниям природы нашего
чувственного восприятия». Со своей стороны я не склонен
воспринимать эту проблему столь серьезно *).
В науке убеждение в эквивалентности левого и
правого удерживается даже перед лицом некоторых
биологических фактов, о которых мы сейчас упомянем; последние
наводят на мысль об отсутствии указанной
эквивалентности в гораздо более сильной степени, чем факт
отклонения магнитной стрелки, столь поразивший юного Маха.
Та же проблема эквивалентности возникает и по
отношению к прошлому и будущему, которые меняются
местами при изменении направления времени, а также по
отношению к положительному и отрицательному
электричеству. В обоих этих случаях — и особенно во втором
из них — становится, по-видимому, более ясным (чем в
случае левого и правого), что для решения вопроса
недостаточно априорной очевидности, необходимо
учитывать эмпирические факты. Несомненно, что роль,
которую прошлое и будущее играют в нашем сознании, могла
бы служить указанием на присущее им различие —
*) См. также A. F a i s t a u e r, Links unci rechts im Bilde,
Amicis, Jahrbuch der osterreichischen Qalerie, 1926, 77; Julius
v. Schlosser, Intorno alia lettura dei quadri, Critica, 28 (1930),
72; Paul О р р e, Right and left in Raphael's cartoons, Journal ot
the Warburg and Courtauld Institutes, 7 (1944), стр. 82.

прошлое может быть познано, но его нельзя изменить,
будущее неизвестно, но его можно изменять решениями,
принимаемыми в данный момент,— и можно было бы
ожидать, что это различие основывается на естественных
законах природы. Однако те законы, которыми мы с
полным основанием можем гордиться, поскольку они
содержат определенные знания, инвариантны относительно
обращения времени, точно так же как и относительно
взаимной замены левого и правого. Лейбниц
показал, что модусы времени — прошлое и будущее —
связаны с причинной структурой мира. Даже если верно то,
что точные «волновые законы», сформулированные
квантовой физикой, не изменяются, если заставить время
протекать в обратном направлении, все же метафизическая
идея причинности, а вместе с ней и однонаправленный
характер времени могут войти в физику через
статистическую интерпретацию этих законов в терминах
вероятностей и частиц. Современное состояние наших
физических знаний оставляет еще большую неопределенность
в вопросе об эквивалентности или неэквивалентности
положительного и отрицательного электричества.
Представляется затруднительным придумать физические
законы, по отношению к которым оба эти вида
электричества не вели бы себя аналогично; однако
отрицательный двойник положительно заряженного протона до
сих пор остается неоткрытым 10.
Этот полуфилософский экскурс был для нас
необходим как база для рассмотрения симметрии правого и
левого в природе; мы должны были осознать, что
симметрия этого рода присуща общей организации природы. Не
следует, однако, ожидать, что эта симметрия будет
проявляться в законченной форме в каждом отдельном
объекте природы. И все же удивительно, до какой степени
она распространена. Для этого должна быть какая-то
причина, и ее нетрудно отыскать: состояние равновесия
должно быть, по-видимому, симметричным. Точнее
говоря, при наличии условий, которые определяют
единственное в своем роде состояние — равновесие, к этому
состоянию должна приводить симметрия условий.
Именно поэтому теннисные мячи и звезды имеют сферическую
форму; Земля также была бы сферой, если бы не
вращалась вокруг своей оси. Вращение сплющивает ее у
полюсов, но поворотная, или цилиндрическая, симметрия

относительно оси сохраняется. Особенностью, требующей
объяснения, является поэтому не поворотная симметрия
ее формы, а отклонения от этой симметрии,
проявляющиеся в неравномерном распределении суши и воды и в
слабых морщинках гор на ее поверхности. Именно
поэтому Вильгельм Людвиг в своей монографии о
проблеме левого и правого в зоологии почти ничего не сказал
о происхождении зеркальной симметрии, преобладающей
в животном царстве, начиная с иглокожих, но зато
весьма подробно разобрал все виды вторичной асимметрии,
налагающейся на основной симметричный план *).
Привожу дословно: «Человеческое тело, так же как и тело
других позвоночных, в основе своей построено
зеркально симметрично. Все встречающиеся нарушения
симметрии носят вторичный характер; более важные из них,
затрагивающие внутренние органы, обусловлены главным
образом необходимостью увеличения поверхности
кишечника, непропорционального развитию все-
П П_ го тела; это привело к асимметричным склад-
"—^Ууг кам кишок и к их закручиванию. В про-
j | ru цессе филогенетической эволюции эти пер-
Ху Л вые нарушения симметрии, относящиеся к
/ /QI пиШеваРительн°й системе и связанным с
/ /V не^ °Рганам> вызвали асимметрию других
/ 0 \ систем органов». Хорошо известно, что
/ ) сердце млекопитающих является асиммет-
I ) ричным винтом, как показано на схема-
\ v-ff тическом его изображении (рис. 16).
^^ И Если бы все в природе было закономерно,
то в каждом явлении находила бы отраже-
Рис. 16. ние полная симметрия таких всеобщих
законов природы, как те, которые
формулируются теорией относительности. Уже сам факт, что
дело обстоит совсем не так, доказывает, что случайность
является существенной особенностью нашего мира.
К л а р к в своем спорее Лейбницем допускал лейбницевс-
кий принцип достаточного основания, но добавлял, что
достаточное основание зачастую состоит просто в воле
бога. Я думаю, что рационалист Лейбниц здесь
определенно ошибался, а Кларк находился на правильном
*) W. L u d w i g, Rechts-Links-Problem im Tierreich und beim
Menschen, Berlin, 1932.

пути. Однако было бы более честно в целом отвергнуть
принцип достаточного основания, вместо того чтобы
возлагать на бога ответственность за всё в мире, не имеющее
основания. С другой стороны, Лейбниц в споре с
Ньютоном и Кларком был прав, поскольку он понимал принцип
относительности. Истина — в том виде, в каком она
представляется нам в настоящее время,— состоит в
следующем. Законы природы не определяют единственным
образом тот мир, который действительно существует,—
даже если допустить, что два мира, получающихся один
из другого путем автоморфного преобразования, т. е.
преобразования, сохраняющего всеобщие законы
природы, следует рассматривать как один и тот же мир.
Если для некоторого комка материи вся симметрия,
вытекающая из законов природы, подчиняется лишь
ограничениям, связанным с ее положением Р, носящим
случайный характер, то следует допустить, что этот
комок материи примет форму шара с центром в Р.
Действительно, низшие формы животных — мелкие организмы,
взвешенные в воде,— имеют более или менее
шарообразную форму. Для форм, живущих на дне океана,
направление силы тяжести является важным фактором,
ограничивающим множество автоморфизмов: множество всех
поворотов вокруг центра Р сужается до множества всех
поворотов вокруг некоторой оси. Для животных,
обладающих способностью самостоятельно передвигаться в
воде, в воздухе или по земле, решающее влияние
оказывает как сила тяжести, так и то направление (от заднего к
переднему концу тела), в котором движется животное.
После установления передне-задней, спинно-брюшной,
а тем самым и лево-правой осей произвольным остается
лишь различие между правым и левым, и на этом этапе
никаких более высоких типов симметрии, чем
зеркальная, ожидать не приходится. Действие факторов
филогенетической эволюции, стремящихся вызвать в
организме наследственное различие между левым и правым,
тормозится, вероятно, за счет тех преимуществ, которые
животное извлекает из зеркально-симметричного
расположения своих органов движения — ресничек или мышц
и конечностей: в случае асимметричного их развития
естественно получилось бы винтовое, а не
прямолинейное движение. Это может нам объяснить, почему наши
конечности подчиняются закону симметрии более строго,

чем внутренние органы. В «Пире» Платона Аристофан
поведал иную историю о том, как произошел переход от
сферической симметрии к зеркальной. Вначале, говорит
он, человек был круглым, его спина и бока образовывали
круг. Чтобы смирить гордыню людей и лишить их
могущества, Зевс рассек их пополам, а Аполлон повернул их
лица и детородные члены. При этом Зевс пригрозил:
«А если они и после того окажутся дерзкими и не захотят
жить смирно — я опять разрежу их надвое, чтобы они
ходили на одной ноге»11.
Наиболее поразительным примером симметрии в
неорганическом мире являются кристаллы. Газообразное
и кристаллическое состояния являются двумя четко
разграниченными состояниями вещества, которые физике
удается сравнительно легко объяснить. Состояния,
промежуточные между этими двумя крайностями,— такие
как жидкое и пластичное — труднее поддаются теории.
В газообразном состоянии молекулы свободно движутся
в пространстве, имея независимые случайные скорости
и положения. В кристаллическом состоянии атомы
колеблются около положений равновесия так, как если бы
они были привязаны к ним упругими нитями. Эти
положения образуют стационарную правильную
конфигурацию в пространстве. Что мы понимаем под правильной
конфигурацией и каким образом из правильного
расположения атомов возникает видимая нами симметрия
кристаллов — это будет предметом нашего рассмотрения в одной
из последующих лекций. Хотя большинство из тридцати
двух геометрически возможных систем симметрии
кристаллов включает в себя зеркальную симметрию, все же
не все из них ею обладают. Если зеркальная симметрия
не имеет места, то возможны так называемые энантио-
морфные кристаллы, существующие в левой и правой
формах, каждая из которых, подобно левой и правой
руке, является зеркальным образом другой. Можно
ожидать, что оптически активное вещество, т. е. вещество,
вращающее плоскость поляризованного света влево или
вправо, кристаллизуется в таких несимметричных
формах. Если в природе существует левая форма, то можно
предполагать, что существует также и соответствующая
ей правая форма и что в среднем обе формы встречаются
одинаково часто. В 1848 г. Па стер открыл12, что
если растворенную в воде натриево-аммониевую соль

оптически неактивной виноградной кислоты подвергнуть
кристаллизации при низкой температуре, то из водного
раствора выпадает осадок, состоящий из мельчайших
кристаллов двух родов, причем кристаллы одного рода
являются зеркальными образами кристаллов другого
рода. Эти кристаллы были тщательно отделены друг от
друга, и оказалось, что кислоты, получающиеся из
кристаллов каждого вида в отдельности, обладают тем же
химическим строением, что и виноградная кислота, но
одна из этих двух кислот оптически активна и вращает
плоскость поляризации влево, а другая — оптически
активна и вращает плоскость поляризации вправо. Как
обнаружили, последняя из них совпадает с винной
кислотой, получающейся при брожении виноградного сока, а
первая никогда не наблюдалась в природе. Ф. М.
Е г е р в своих «Лекциях о принципе симметрии и его
приложениях к естествознанию» говорит: «Редкое
научное открытие имело столь далеко идущие последствия,
как это».
Совершенно очевидно, что какие-то случайности
должны определять, какая из форм кристаллов — правая
или левая — возникает в данном месте раствора, и
таким образом, в согласии с симметричным и оптически
нейтральным характером всего раствора в целом и
законом случая, количество вещества, отложившегося в
одной форме, в любой момент процесса кристаллизации
равно, или почти равно, количеству вещества,
отложившегося в другой форме. В то же время природа, поднеся
нам чудесный дар — виноград, столь веселивший когда-
то Ноя 13,— создала только одну разновидность
кристаллов, предоставив Пастеру создать другую. Безусловно,
это странно. Установлено, что большинство
многочисленных углеродистых соединений встречается в
природе только в одной — левой или правой — форме.
Направление, в котором закручена раковина улитки, носит
наследственный характер, точно так же как и
левостороннее расположение сердца и закручивание кишечника у
вида Homo sapiens 14. При этом не исключены случаи,
когда расположение органов обратно обычному;
например, situs inversus 15 кишечника у человека встречается
с частотой 0,02%, к чему мы еще вернемся! Точно так же
более глубокое ознакомление с химическим строением
человеческого тела показывает, что мы «содержим винт»,

направление которого одно и то же в каждом из нас.
Например, наше тело содержит правовращающую форму
глюкозы и левовращающую форму фруктозы. Страшным
проявлением этой генотипной асимметрии является
нарушение обмена веществ, называемое фенилкетонурией,
которое приводит к умопомешательству; болезнь
возникает, когда к пище человека добавляется небольшое
количество левой формы фенилаланина, в то время как
правая форма не вызывает столь печальных последствий.
За счет асимметрии химического состава живых
организмов следует отнести успех пастеровского метода
разделения левых и правых форм веществ посредством энзима-
тического действия бактерий, плесени, дрожжей и т. п.
Например, Пасте р обнаружил, что раствор соли
виноградной кислоты, первоначально оптически
активный, постепенно становился левовращающим, когда на
нем выращивали культуру серо-голубой плесени (Peni-
ciIlium glaucum). Очевидно, что организм отбирал в пищу
ту форму молекул винной кислоты, которая наилучшим
образом соответствовала его собственному
несимметричному химическому составу. Эту особенность
жизнедеятельности организмов обычно поясняют, используя образ
ключа и замка.
Если учесть упомянутые факты, а также провал всех
попыток чисто химическим путем «активировать»
оптически неактивный материал *), становится понятным,
почему П а с т е р придерживался того мнения, что
производство оптически активных соединений в одной-единствен-
ной форме является исключительной привилегией
жизни. В 1860 г. он писал: «В этом и состоит, по-видимому,
единственная четкая разграничительная линия, которую
в настоящее время можно провести между химией живой
и неживой природы». Свой самый первый эксперимент,
в котором виноградная кислота в результате
кристаллизации была превращена в смесь лево-и правовращающих
кристаллов винной кислоты, Пастер пытался объяснить
тем, что на оптически неактивный раствор действовали
бактерии, содержавшиеся в атмосфере. В настоящее
время установлено, что он заблуждался: строгое физичес-
*) В настоящее время известен один точно установленный
случай — реакция нитрокоричной кислоты с бромом, когда свет,
подвергшийся круговой поляризации, производит оптически активное
вещество.

кге объяснение состоит в том, то при низкой температуре
смесь двух оптически активных форм винной кислоты
более устойчива, чем неактивная форма виноградной
кислоты. Если существует принципиальное различие
между жизнью и смертью, то оно кроется не в химии
материального субстрата; это стало вполне очевидным
после того, как В ё л е р (Wohler) в 1828 г. синтезировал
мочевину из материалов чисто минерального
происхождения. Однако даже в 1898 г. Д ж е п п (F. R. Japp) в
известной лекции «Стереохимия и витализм» в
Британской ассоциации придерживался, в несколько
видоизмененной форме, взглядов Пастера: «Подобный результат
(т. е. асимметричные соединения) могут производить лишь
живые организмы или интеллект живых существ,
владеющий понятием симметрии». Неужели он и в самом деле
считал, что Пастер, который придумал эксперимент,
показавший — к величайшему удивлению ученого,— что
кристаллы винной кислоты бывают двоякого рода,
создал их силой своего разума? Джепп продолжает: «Только
асимметрия может порождать асимметрию». Я готов
признать справедливость этого утверждения, однако это
мало что меняет, ибо в устройстве реального мира нет
симметрии — ни в его случайном прошедшем, ни в его
настоящем, из которого возникает будущее.
Однако тут налицо одно существенное затруднение:
почему природа должна производить только одну из
двух разновидностей столь многочисленных энантио-
морфных форм, источник которой, несомненно, кроется
в живом организме? Паскуаль Йордан (Pascual
Jordan) 18 указывает на этот факт как на подтверждение
своего мнения о том, что происхождение жизни связано
не со случайными событиями, которые могут постоянно
повторяться то в одном, то в другом месте, поскольку
достигнута определенная ступень эволюции, а с
событием совершенно особым, которое произошло когда-
то случайно, но привело к тому, что число подобных
случаев стало лавинообразно нарастать за счет того, что
одно событие влекло за собой несколько таких же.
Действительно, если бы асимметричные протеиновые
молекулы растительных и животных организмов возникали в
разных местах и в различное время независимо друг от
друга, то относительное количество их левых и
правых разновидностей должно было бы быть примерно

одинаковым. Дело выглядит так, как будто в мифе об Адаме
и Еве имеется некоторая доля истины, касающаяся,
правда, не происхождения человеческого рода, а
возникновения первичных форм жизни. Именно эти
биологические факты и имелись в виду, когда выше я говорил о том,
что если рассматривать данные биологии с их внешней
стороны, то они наводят на мысль о внутреннем
различии между левым и правым,— по крайней мере,
поскольку речь идет о строении органического мира. Однако
можно быть уверенным в том, что ответ на нашу загадку
кроется не в каких-то всеобщих биологических законах, а в
случайностях возникновения мира организмов. Один
выход указывает Паскуаль Йордан; хотелось бы найти
менее радикальное решение вопроса,— например, на
пути сведения асимметрии земных обитателей к какой-то
внутренней, хотя и случайной, асимметрии самой Земли
или же к асимметрии падающего на Землю солнечного
света. Но ни вращение Земли, ни совместное действие
магнитных полей Земли и Солнца не могут оказать в этом
отношении непосредственной помощи. Другая
возможность состоит в предположении, что развитие на самом
деле началось с равномерного распределения энантио-
морфных форм, но что такое распределение представляет
собой неустойчивое равновесие, нарушающееся при
самом незначительном случайном внешнем воздействии.
От проблем филогенеза левого и правого перейдем,
наконец, к проблемам онтогенеза левого и правого 17. Здесь
возникают два вопроса. Во-первых, фиксирует ли первое
деление оплодотворенного яйца животного на две клетки
плоскость симметрии так, что из одной клетки
развивается левая, а из другой — правая половина тела?
Во-вторых, чем определяется плоскость первого деления? Начну
со второго вопроса. В яйце всякого животного, более
высокого по своему развитию, чем простейшие, с самого
начала имеется некоторая полярная ось, соединяющая
те части яйца, из которых должны развиться анимальный
и вегетативный полюсы бластулы. Эта ось вместе с тем
местом, где сперматозоид при оплодотворении
проникает в яйцо, определяет некоторую плоскость; было бы
совершенно естественно предположить, что это и есть
плоскость, вдоль которой происходит первое деление. И в
самом деле, очевидно, что дело обстоит именно так во
многих случаях. Современные взгляды, по-видимому, кло-

нятся к предположению, что первоначальная полярность,
так же как и последующая зеркальная симметрия,
обусловливается внешними факторами, приводящими в
действие потенциальные возможности, заложенные в данной
наследственной структуре. Во многих случаях
направление этой полярной оси очевидным образом
определяется местом прикрепления яйцеклеткикстенкам яичника,
а точка проникновения оплодотворяющего
сперматозоида является, как мы уже говорили, по крайней мере
одним—-причем часто наиболее важным — из факторов,
определяющих плоскость симметрии. Однако положение
полярной оси и направление плоскости симметрии может
также обусловливаться и другими факторами. У морской
водоросли фукуса на положение полярной оси могут
влиять световое воздействие, электрические поля или
градиент концентрации химических веществ, а у некоторых
насекомых и головоно] их плоскость симметрии
определяется, по-видимому, воздействиями, испытывавшимися
яйцом до оплодотворения *). Основную конституцию, на
которую действуют эти факторы, некоторые биологи
видят в исходной неоформленной структуре, о которой у
нас еще нет ясных представлений. Так, например, Кон-
клин (Conklin) говорит о губчатоплазменном каркасе,
другие — о клеточном скелете, и поскольку у
биохимиков в настоящее время имеется сильная тенденция
сводить структурные свойства к различного рода волокнам,
настолько сильная, что Нидем (Joseph Needham) в
своих лекциях на чтениях в честь Терри «Порядок и
жизнь» (Order and life, 1936) рискнул высказать
афоризм, что биология в основном изучает волокна,—
можно ожидать обнаружения того, что внутренняя
структура яйца является каркасом, состоящим из
*) Геке л и (Julian S Huxley) и де Б е е р (G R. de Beer)
в своих классических «Элементах эмбриологии» (Elements of embry
ology, Cambridge University Press, 1934) утверждают следующее
(гл XIV, резюме, стр 438) «Насамых ранних стадиях развития яйцо
обладает однородной структурой типа градиентного поля, отличаю
щейся тем, что изменения количественных характеристик одного
или нескольких родов простираются в веществе яйца по одному или
нескольким направлениям. Для каждого данного яйца такой
характер строения определяет способность яйца создавать градиентное
поле некоторого частного вида; однако локализация самих
градиентов не предопределена и обусловливается воздействиями, внешними
по отношению к яйцу».

удлиненных протеиновых молекул или жидких
кристаллов.
Несколько больше можно сказать о первом из
поставленных выше вопросов,— о том, приводит ли первый
митоз клетки к разделению ее на левую и правую части.
В силу фундаментального характера зеркальной
симметрии гипотеза о том, что дело обстоит именно так, кажется
достаточно правдоподобной. Однако ответ на этот вопрос
не может представлять собой безоговорочного
утверждения. Даже если эта гипотеза справедлива для случая
нормального развития, мы,— благодаря
экспериментам, которые впервые проделал Д р и ш (Hans Driesch)
над морским ежом,— знаем, что один бластомер,
изолированный от своего партнера на двухклеточной стадии
развития, превращается в целую гаструлу; последняя
отличается от нормальной лишь несколько меньшими
размерами. Я привожу известные рисунки Д р и ш а,
относящиеся к его опытам с зародышем морского ежа: на
рис. 17, а изображены нормальная гаструла и нормальный
зародыш; на рис. 17, б — полугаструла и полузародыш,
которые предполагал получить Дриш; на рис. 17, в —
маленькие, но целые гаструла и зародыш, которые он в

действительности получил. Следует допустить, что так
получается не со всеми видами. Открытие Д р и ш а
привело к различению между действительным и
потенциально возможным ходом развития отдельных частей яйца.
Сам Дриш говорит о перспективном значении (prospek-
tive Bedeutung), противопоставляя его перспективной
потенции (prospektive Potenz); последняя шире первой,
но сужается в ходе развития. Я проиллюстрирую этот
важный момент на другом примере, на опытах по
определению зародышей конечностей у земноводных. Гарри-
сон (R. G. Harrison) проводил эксперименты по
пересадке срезов с внешней стенки тела, являющихся
зачатками будущих конечностей. Согласно Гаррисону,
передне-задняя ось к моменту пересадки была уже определена,
однако спинно-брюшной и средне-боковой осям еще
можно было придать обратное направление; таким
образом, на этой стадии противоположность левого и
правого относится еще к числу перспективных потенций
срезов и зависит от воздействия окружающих тканей, за
счет чего эти потенции и реализуются.
Дерзкое вторжение Дриша в область нормального
развития доказывает, что первое деление клетки может
не фиксировать раз и навсегда левую и правую стороны
растущего организма. Но и при нормальном развитии
плоскость первого деления может не быть плоскостью
симметрии. Первые стадии деления яйцеклетки были
подробно изучены на черве «большеголовая аскарида» (As-
caris megalocephala), нервная система которой устроена
асимметрично. Оплодотворенное яйцо аскариды
сначала разделяется на клетки — / и Р, из которых вторая
отличается меньшим размером; эти клетки, очевидно,
отличаются по своей природе (рис. 18). На следующей
стадии клетки I и Р делятся пополам вдоль двух взаимно
перпендикулярных плоскостей, соответственно, на /' + /"
и Рг+Рг. После этого «рукоятка» Рг+Р2
поворачивается так, что клетка Р2 вступает в соприкосновение либо с
клеткой /', либо с клеткой /". Обозначим ту из этих
последних клеток, которая соприкасается с Plt буквой А,
а другую обозначим буквой В. У нас получился теперь
своего рода параллелограмм, и, грубо говоря, АРг есть
передне-задняя, a BPS — спинно-брюшная ось. Только
следующее деление — вдоль плоскости,
перпендикулярной той, которая разделяет А и В,— расщепляет А и В

на две симметричные половины: А=а+а, В^Ь+Р; это
деление и определяет левое и правое. В дальнейшем
незначительная деформация системы разрушает эту
зеркальную симметрию. Возникает вопрос, является ли
выбор направлений этих двух следующих друг за другом
деформаций тем случайным актом, который определяет
различие сначала переднего и заднего, а затем левого и
правого, или же в структуре яйца уже на его
одноклеточной стадии содержатся некоторые специфические
агенты, определяющие направление этих изменений.
Гипотеза о мозаичном строении яйца, говорящая в пользу
второго предположения, кажется, более подходит для
аскариды.
Известен ряд случаев инверсии генотипа, когда
генетические структуры двух видов находятся в том же
отношении, что и атомные структуры двух энантиоморфных
кристаллов. Чаще, однако, встречается инверсия
фенотипа. Пример этого — человек-левша. Приведу другой,
более интересный пример. Некоторые ракообразные —
например, омар — имеют две морфологически и
функционально различные клешни: большую А и меньшую а.
Допустим, что у нормально развитой особи такого вида

А является правой клешней. Если у молодого животного
вы отрежете правую клешню, то произойдет инверсная
регенерация: левая клешня разовьется в большую форму
А, а вместо отсеченной клешни вырастет маленькая
клешня а. На основании этого и подобных ему фактов можно
заключить о заложенных в протоплазме двойственных
возможностях; я имею в виду то, что все регенеративные
ткани, асимметричные в потенции, могут производить
обе формы, однако при нормальном развитии всегда
развивается только одна из них — левая или правая.
Какая именно — это определяется генетическими
особенностями, однако необычные внешние условия могут
вызвать развитие в противоположном направлении —
привести к инверсии. На базе этого странного явления —■
инверсной регенерации — Людвиг (Wilhelm Lud-
wig) развил гипотезу о том, что решающими в
асимметрии должны быть не такие специфические факторы, как
фактор развития «правой клешни типа А», а два
действующих начала Rut (правое и левое), распределенные в
организме с некоторым градиентом так, что
концентрация одного падает справа налево, а другого — в
противоположном направлении. Какое из этих начал
оказывает большее воздействие — определяется
генетической структурой. Если же вследствие какого-нибудь
повреждения, нанесенного преобладающему началу, другое
начало, до этого подавленное, становится
преобладающим, то происходит инверсия. Будучи математиком, а
не биологом, я с крайней осторожностью говорю об этих
вещах, кажущихся мне гипотетическими. Все же вполне
очевидно, что различие между правым и левым связано с
глубочайшими проблемами, относящимися как к
филогенезу, так и к онтогенезу организмов.

ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
ПЕРЕНОСНАЯ, ПОВОРОТНАЯ И СВЯЗАННЫЕ
С НИМИ СИММЕТРИИ
Перейдем теперь к другим видам геометрической
симметрии. Еще при рассмотрении зеркальной симметрии я
не мог время от времени не упоминать о таких
разновидностях симметрии, как цилиндрическая и сферическая.
Дальнейшее изложение лучше всего, пожалуй, начать с
уточнения того общего понятия, которое лежит в основе
симметрии. Я прошу вашего терпения, так как для
этого потребуется немного математики. Я уже говорил о
преобразованиях. Отображение S пространства ставит в
соответствие каждой точке р пространства в качестве ее
образа точку р'. Частным случаем такого отображения
является тождественное отображение /, переводящее
каждую точку р в самое себя. Если заданы два
отображения S и Т, их можно выполнять одно за другим: если
S переводит р в р', а Т переводит р' в р", то
результирующее отображение, которое мы обозначим через ST,
переводит точку р в точку р". Отображение может обладать
обратным отображением S'— таким отображением, что
SS' = I и S'S=I. Иначе говоря, если S переводит
произвольную точку р в точку р', то S' переводит р' обратно
в р, и аналогичное положение имеет место, если сначала
выполнить S', а затем S. В первой лекции для такого
взаимно однозначного отображения мы употребляли
термин преобразование. Будем обозначать
обратное преобразование через S"1. Очевидно, что
тождественное отображение / есть преобразование и что оно
обратно самому себе. Отражение от плоскости —
основная операция зеркальной симметрии — обладает тем
свойством, что двукратное выполнение этой операции —•
итерация отображений SS — приводит к тождественному
преобразованию; иначе юворя, оно также обратно
самому себе. В общем случае композиция отображений —

их произведение ST — не коммутативна: ST не
обязательно должно совпасть с 75. Возьмем, например,
точку О на плоскости; пусть 5 — перенос в горизонтальном
направлении, переводящий точку О в точку Ot, и пусть
Т — поворот вокруг точки О на ПО" Тогда ST переводит
точку О в точку 02 (рис. 19),
a TS переводит точку О в '
точку 01. Если отображение
S — преобразование,
обратным для которого является
отображение S"1, то S~l
также есть преобразование,и
обратным для него является S.
Произведение двух
преобразований ST есть снова пре- ~^\
образование и (ST)~l равно °—' *
T^S'1 (именно в этом по- " "/
рядке!). С этим правилом — Рис 1Э
хотя, быть может, и не с его
математическим выражением — вы все знакомы.
Когда вы одеваетесь, то отнюдь не безразлично, в каком
порядке вы производите операции. Если при одевании вы
начинаете с рубашки и заканчиваете пальто, то при
раздевании порядок оказывается обратным: сначала вы
снимаете пальто, рубашку же — в самом конце.
Я уже говорил об особого рода преобразованиях
пространства, называемых геометрами подобиями. Я
предпочитаю называть их автоморфизмами, определяя их,
вслед за Лейбницем, как преобразования, оставляющие
неизменной структуру пространства. Пока для нас
несущественно, в чем именно состоит эта структура. Из
самого определения ясно, что тождественное
преобразование / — автоморфизм и что если 5 — автоморфизм, то
и обратное преобразование S-1 также является
автоморфизмом. Кроме того, произведение ST двух
автоморфизмов S и Т — опять-таки автоморфизм. Все это лишь иной
способ выражения того, что (1) всякая фигура подобна
самой себе, (2) если фигура F подобна фигуре F, то F
подобна F', и (3) если фигура F подобна фигуре F', a F'
подобна F", то F подобна F". Для описания такой
ситуации у математиков принят термин группа, и поэтому
говорят, что автоморфизмы образуют группу. Всякая
совокупность, всякое множество преобразований Г

образует группу, если выполнены следующие условия: (1)
тождественное преобразование / принадлежит
множеству Г; (2) если преобразование S принадлежит множеству
Г, то и обратное преобразованиеS-1 также принадлежит
множеству Г; (3) если преобразования S и Т
принадлежат множеству Г, то и их произведение ST также
принадлежит множеству Г 18.
Один из способов описания структуры пространства,
которому отдавали предпочтение Ньютон иГельм-
г о л ь ц, состоит в использовании понятия
конгруэнтности. Конгруэнтные части пространства V и V — это
такие его части, которые можно заполнить одним и тем
же твердым телом в двух его положениях. Если вы
передвинете тело из одного положения в другое, то
частица тела, занимавшая точку р в V, займет положение
некоторой точки р' в V и, таким образом, результатом
движения явится отображение р->р' части пространства V
на часть пространства V. Границы твердого тела можно
расширить — реально или мысленно — так, чтобы оно
охватывало произвольно заданную точку р пространства;
таким образом конгруэнтное отображение р->р' можно
распространить на все пространство. Всякое такое
конгруэнтное преобразование — я называю так это
отображение потому, что для него, очевидно, имеется обратное
отображение р' ->■ р — является подобием или
автоморфизмом; как вы легко можете убедиться, это следует из
самих рассматриваемых понятий. Кроме того, очевидно,
что конгруэнтные преобразования образуют группу,
являющуюся подгруппой группы автоморфизмов. Если
говорить подробнее, ситуация такова. Среди
преобразований подобия существуют такие, которые не изменяют
размеров тела; отныне мы будем называть их движениями.
Движения могут быть либо собственными —
переводящими левый винт в левый, а правый винт в правый,—■
либо зеркальными, изменяющими левый винт на правый и
наоборот. Собственными движениями являются те
преобразования, которые мы только что называли
конгруэнтными преобразованиями,— это преобразования,
связывающие между собой положения точек твердого тела
до и после осуществления некоторого механического
движения, чем и объясняется термин «движение», который
применяется здесь не в кинематическом, а в
геометрическом смысле. Наиболее важным примером зеркального

движения является отражение от плоскости,
переводящее тело в его зеркальное изображение, вследствие чего
зеркальные движения иногда называют отражениями.
Таким образом, мы получаем следующую лестницу:
подобия ^движения —подобия без изменения масштаба ->
-»■ собственные движения. Движения образуют подгруппу
группы подобий; собственные движения образуют
подгруппу индекса 2 группы движений. Указание об
индексе 2 означает, что если В — любое заданное зеркальное
движение, то мы получим все зеркальные движения,
умножая В на всевозможные собственные движения S (т. е.
в виде BS). Следовательно, собственные движения
образуют одну, а зеркальные — другую половину группы
всех движений. Однако только первая половина есть
группа, так как произве- .'
дение АВ двух зеркаль- у^ f
ных движений А и В есть ^^ S*^
собственное движение. s* s^
Движение, оставляю- s^ у*
щее точку О неподвиж- А * ^^
ной, можно назвать ера- g <^
щением вокруг точки Рис 20
О. Таким образом,
существуют собственные и зеркальные вращения.
Вращения вокруг данного центра О образуют группу.
Простейшим видом движений являются переносы. Перенос можно
представить вектором АА', так как если перенос
переводит точку А в точку Л', а точку В в точку В', то отрезок
ВВ' имеет то же направление и ту же длину, что и
отрезок АА' (рис. 20), иными словами, вектор ВВ' равен
вектору А А' *). Переносы образуют группу; в самом деле,
последовательное выполнение двух переносов АВ и ВС
имеет своим результатом перенос АС.
*) В то время как отрезок обладает только длиной, вектор
обладает длиной и направлением. Вектор, по существу, то же, что
перенос, хотя для векторов и переносов применяют различную
терминологию. Вместо того чтобы говорить о переносе а, переводящем точку
А в точку А', говорят о векторе а=АА', а вместо слов «Перенос а
переводит точку А в точку А'» говорят, что точка А' — конец
вектора а, отложенного от точки А. Тот же вектор, отложенный от
точки В, имеет конец в точке .В', если перенос, переводящий А в А',
переводит В в В'.

Какое отношение имеет все сказанное к симметрии?
Оно дает адекватный математический язык для
определения симметрии. Если задана пространственная
конфигурация %, то автоморфизмы, не изменяющие $f,
образуют некоторую группу Г, и эта группа дает нам
точное описание той симметрии, которой обладает #• Само
пространство обладает полной
y^f.""^ч. симметрией, соответствующей
/ \ N. группе всех автоморфизмов,
/ \ ^^-""/\ всех п°Д°бий. Симметрия лю-
/ *-^*\*^/ \ ^°^ фигуры в пространстве
/^^—-" \ / \ описывается некоторой под-
|<^^ о у( группой этой группы. Рас-
I ^\^ /\ I смотрим, например, знамени-
\ ^\ / ТУЮ пентагРаммУ (Рис- 21), с
\ / ^7* помощью которой доктор Фа-
N. / f уст прогонял дьявола Ме-
^4С__—-^^ фистофеля 19. Она
переводится в себя пятью собствен-
Рис' 21- ными вращениями вокруг
г. 360° ,
ее центра О на углы, кратные —=- (включая
тождественное преобразование), и пятью отражениями от
прямых, соединяющих О с пятью вершинами. Эти десять
операций образуют группу, и эта группа говорит нам о
том, какого рода симметрией обладает пентаграмма. Итак,
естественное обобщение, ведущее от зеркальной
симметрии к симметрии в этом более широком геометрическом
смысле, состоит в том, что отражение от плоскости
заменяется любой группой автоморфизмов. Окружность
с центром О на плоскости и сфера в пространстве,
описанная вокруг точки О, обладают симметрией,
характеризуемой, соответственно, группой всех плоских и
группой всех пространственных вращений.
Если фигура # не простирается в бесконечность, то
автоморфизм, оставляющий фигуру неизменной, должен
сохранять масштаб и, следовательно, быть движением,
если только фигура не состоит из одной точки. Приведу
простое доказательство этого утверждения. Если
автоморфизм не изменяет ?~у, но изменяет масштаб, то либо
сам этот автоморфизм, либо обратный к нему
увеличивает (а не уменьшает) все линейные размеры фигуры §=
в некотором отношении а : 1, где а — число, большее

единицы. Назовем такой автоморфизм S. Пусть аир —
две различные точки нашей фигуры jy. Расстояние
между ними есть некоторая положительная величина d.
Произведем итерацию преобразования S:
S = S\ SS = S*, SSS = SS, ...
Преобразование S", т. е. преобразование S, взятое
п раз, переводит точки а и р* в две точки а„ и (5n нашей
фигуры, расстояние между которыми равно da". С ростом
показателя п это расстояние стремится к бесконечности.
Но если наша фигура Jy пространственно ограничена, то
существует такое число с, что расстояние между любыми
двумя точками этой фигуры не превышает с. Таким
образом, как только п возрастает настолько, что dan>c,
возникает противоречие. Это доказательство показывает также,
что любая конечная группа автоморфизмов состоит
только из движений, так как если мы допустим, что
группа содержит некоторое прробразование 5,
увеличивающее линейные размеры в отношении а : 1 (где а>\), то
мы получим, что все содержащиеся в группе итерации
преобразования S: S1, S2, S3,..., которых бесконечно
много, должны быть отличны друг от друга, так как все они
увеличивают масштаб по-разному: в а1, а2, а3,... число
раз. По этим причинам мы будем рассматривать почти
исключительно группы движений, причем будем
поступать так даже в тех случаях, когда нам на самом деле
придется иметь дело с актуально (или потенциально)
бесконечными конфигурациями, такими, например, как
линейные орнаменты.
После этих общих математических рассуждений
рассмотрим некоторые частные группы симметрии, которые
важны в искусстве и природе. Преобразование,
определяющее зеркальную симметрию,—зеркальное отражение,
является существенно одномерным преобразованием.
В случае прямой линии отражение может происходить от
любой ее точки О; это отражение переводит некоторую
точку Р прямой в такую точку Р', которая лежит на
таком же расстоянии от О, что и Р, но по другую сторону от
нее. Для одномерной прямой такие отражения
являются единственно возможными зеркальными движениями,
в то время как переносы являются для нее единственно
возможными собственными движениями. Отражение от
точки О с последующим переносом ОА приводит к отра-

жению от точки Аг, середины отрезка О А. Фигура,
инвариантная относительно переноса t, является тем, что в
орнаментальном искусстве называют «бесконечным
отношением», т. е. представляет собой повторение элементов с
правильным пространственным ритмом. Рисунок,
инвариантный относительно переноса /, будет также
инвариантен относительно повторных выполнений переноса —
его итераций t1, t2, t3,..., а также относительно
тождественного переноса t°=I и обратного переноса t'1 и его
итераций t'1, t~2, t~3,... Если t сдвигает прямую на
расстояние а, то t" сдвигает ее на расстояние
па (где п = 0, ±1, ±2, ...).
Следовательно, если мы охарактеризуем некоторый
перенос t тем сдвигом а, который он производит, то
итерация, или степень, tn этого переноса может быть
охарактеризована кратным па. В этом смысле всякий перенос,
переводящий в самого себя данный узор с бесконечным
соотношением в линейном направлении, является
переносом па, кратным основному переносу а. Эта ритмика
может сочетаться с симметрией отражения В последнем
случае центры отражений следуют друг за другом на
расстояниях -у • Для одномерного узора, или орнамента,
возможны, как это показано на рис. 22, лишь эти два
типа симметрии. (Крестики х отмечают центры отражений.)
Разумеется, реальные линейные орнаменты —
бордюры — не являются строго одномерными, однако в их
симметрии, в той мере, в какой мы ее сейчас описали,
используется только одно измерение — по длине. Вот
несколько простых примеров, заимствованных из
греческого искусства. Первый (рис. 23) содержит изображение
пальмы — весьма часто встречающийся мотив — и
относится к типу I (перенос + отражение). Следующий
пример (рис. 24) не содержит отражений (тип II). Чистый

перенос мы видим на фризе дворца Д а р и я в Сузах
(рис. 25), содержащем изображения персидских
лучников; обратите внимание на то, что основной перенос в
два раза больше расстояния между воинами, так как
одежда лучников чередуется. Вернусь еще раз к
монреальской мозаике «Вознесение господне» (рис. 10).
На этот раз я хочу привлечь ваше внимание к
окаймляющим ее линейным орнаментам. Из них более широкий,

Рис 25.
Рис 26.

выполненный в своеобразной манере, возрожденной
впоследствии семьей К о с м а т и (Cosmati)20, обнаруживает
переносную симметрию только в повторении внешних
очертаний основного мотива изображения; внутренняя
же часть каждого контура, по форме напоминающего
дерево, заполнена различной по характеру двумерной
симметричной мозаикой. Роль переносной симметрии в
архитектуре хорошо видна на примере дворца дожей в
Венеции (рис. 26). Можно было бы привести
бесчисленное множество других примеров.
Как я уже говорил, в действительности линейные
орнаменты представляют собой двумерные полосы,
располагающиеся вдоль центральной прямой и обладающие
поэтому еще и вторым измерением —• по ширине.
Поэтому линейные орнаменты могут обладать и другими
видами симметрии. Узор может переходить в себя при
отражении от центральной прямой /. Мы будем отличать
такое — продольное — отражение от поперечного
отражения: от прямой, перпендикулярной /. В других
случаях узор может переходить в себя при продольном
отражении, сочетающемся с переносом на -к-
(продольное скользящее отражение). Мотивом, часто
встречающимся в линейных орнаментах, являются полоски,
ленты, линии какого-либо вида, расположенные в
пространстве так, что одна лента закрывает часть другой
(и тем самым делает ее невидимой). Если принять такую
интерпретацию, то становятся возможными новые
операции; так, например, отражение от плоскости
орнамента может переводить сторону плоскости над ней в
сторону плоскости под ней. Все это можно подробно
исследовать в терминах теории групп, как это, например,
сделано в одном из разделов книги Андреаса Ш п е й-
з е р а «Теория групп конечного порядка», о которой
говорилось в предисловии.
В живой природе переносная симметрия, которую
зоологи называют метамеризмом, столь же редко бывает
правильной, сколь часто бывает правильной зеркальная
симметрия. Примерами могут служить побеги клена или
ростки Angraecum distichum (рис. 27) *). Во втором
*) Этот и следующие рисунки заимствованы из журнала «Stu-
dium Generale», стр, 249 и 241, из статьи Тролля (W. Troll) «Symmet-
riebelrachtung in der Biologie».

случае перенос сопровождается продольным скользящим
отражением. Конечно, рисунок побега не продолжается
до бесконечности (так же как и в случае линейного
орнамента), но можно сказать, что по крайней мере в одном
направлении он потенциально бесконечен, поскольку с
течением времени каждый новый участок ростка
отделяется от других образующейся почкой. О хвостах
позвоночных Гёте говорил, что они как бы указывают на
потенциальную бесконечность существования живых
организмов. Центральная часть животного, изображенного
на рис. 28,— сколопендры — обладает исключительно
правильной переносной симметрией, сочетающейся с
горизонтальной симметрией; иначе говоря, сколопендра
обладает симметрией, основными преобразованиями
которой являются перенос и продольное отражение.
В одномерном повторении во времени через равные
интервалы состоит музыкальный принцип ритма. Можно
сказать, что в процессе своего роста побег растения
переводит медленный временной ритм в ритм
пространственный. Отражение, обращение времени играет в музыке
значительно менее важную роль, чем ритм. Мелодия в
значительной мере меняет свой облик, если ее исполнять
в обратном порядке. Я плохой музыкант, и мне трудно
узнать такого рода отражение, когда оно встречается в

фуге; безусловно, что отражение в применении к музыке
не обладает такой непосредственной силой воздействия
на слушателей, какая присуща ритму. Музыкант
согласится с тем, что в основе эмоциональной стороны музыки
лежит строго формальный элемент. Вполне возможно,
что этот элемент допускает математическую обработку,
оказавшуюся столь успешной в искусстве орнамента.
Если это так, то мы, вероятно, просто еще не открыли
соответствующие математические средства. И в этом нет
ничего удивительного. Ведь египтяне достигли
выдающегося мастерства в искусстве орнамента за четыре
тысячи лет до того, как математики открыли в понятии
группы тот математический инструмент, который
особенно пригоден для изучения орнаментов и для выведения
возможных для них классов симметрии. Андреас Ш п е й-
з е р, проявлявший особый интерес к
теоретико-групповому аспекту орнаментов, пытался применить
математические комбинаторные принципы также и к
проблемам музыки, связанным с ее формальной стороной. В его
книге «Математический образ мышления» (Die mathema-
tische Denkweise, Zurich, 1932) имеется глава
«Формальные проблемы музыки». В качестве примера он разбирает
Пасторальную сонату для фортепьяно Бетховена
(опус 28); он указывает также на исследования Л о р е н-
ц a (Alfred Lorenz) по формальной структуре основных
произведений Рихарда Вагнера. С этими
вопросами тесно связаны исследования метрики стиха, однако в
этом случае, утверждает Шпейзер, наука проникла
гораздо глубже. Общим принципом в музыке и просодии
является, по-видимому, конфигурация aab, часто
называемая тактом: за темой а, повторяемой дважды,
следует заключение Ь\ пример: строфа, антистрофа и эпод в
греческой хоровой лирике. Однако эти схемы вряд ли
подпадают под общее представление о симметрии *).
Вернемся к симметрии в пространстве. Возьмем
линейный орнамент, в котором каждый отдельный узор,
повторяемый вновь и вновь, имеет длину а, и нанесем
его на круговой цилиндр, длина окружности которого
больше а в целое число раз. Пусть, например, окружность
цилиндра равна 25 а. Тогда мы получим рисунок, который
*) Сравните это с тем, что говорит о математике в поэзии и
музыке Биркгоф в работах, указанных в сноске на стр. 35.

переводится в самого себя поворотом цилиндра вокруг
360
его оси на >гол а—-^- и итерациями этого поворота.
Двадцать пятая по счету итерация, состоящая из 25
поворотов на угол а, даст нам поворот на 360°, т. е.
тождественное преобразование. Таким образом, мы получаем
конечную группу поворотов 25-го порядка, т. е. группу,
состоящую из 25 преобразований. Цилиндр можно
заменить любой поверхностью, обладающей
цилиндрической симметрией, т. е. поверхностью, переходящей в себя
при всех поворотах вокруг некоторой оси. Такой
поверхностью может быть, например, поверхность вазы. На рис.
29 вы видите аттическую вазу геометрического периода,
на которой нанесено довольно много простых
орнаментов этого типа. На этом родосском кувшине ионийской
школы VII века до н. э. (рис. 30) виден тот же принцип
симметрии, хотя стиль его не является более
«геометрическим». Другими иллюстрациями могут служить
капители, такие как древнеегипетские капители, изображенные
на рис. 31 Любая конечная группа собственных
поворотов вокруг точки О на плоскости или вокруг данной оси

в пространстве содержит некоторый элементарный по-
360"
ворот t, угол которого есть целая часть полного
поворота на 360°, и состоит из итераций этого поворота /\
t2,..., t"~l, t"—f (тождественное преобразование).
Порядок п полностью характеризует эту группу. Этот
результат следует из аналогичного факта для группы переносов,
состоящего в том, что всякая группа переносов на прямой,
не содержащая преобразований, сколь угодно близких
к тождественному преобразованию, кроме самого
тождественного преобразования, состоит из итераций va од-
ного-единственного переноса a (v=0, ±1, +2,...).
Примером из области архитектуры внутренних
помещений может служить изображенный на рис. 32
деревянный купол бывшего дворца тунисских беев в Бардо
(Тунис). Следующий пример (рис. 33) переносит вас в
Пизу. Баптистерий (крестильня) с едва видной статуей
Иоанна Крестителя на куполе является центральным
зданием, снаружи которого вы можете различить шесть
горизонтальных поясов, каждый из которых обладает
поворотной симметрией различного порядка п. Эту
картину можно сделать еще более впечатляющей, если при-

влечь к рассмотрению наклонную башню с ее шестью
сводчатыми галереями, каждая из которых обладает
поворотной симметрией столь же высокого порядка, как и
сам собор; колонны и узоры фриза на наружной части
соборного нефа обладают линейной переносной
симметрией, в то время как купол собора окружен колоннадой с
поворотной симметрией высокого порядка.
Совершенно иным духом веет от картины,
открывающейся перед нами с тыльной части хоров романского
кафедрального собора в Майнце (Германия) (рис. 34).
Здесь опять-таки имеются повторение круглых арок
фризов, поворотная симметрия порядка 8 (п~8,— значение
очень небольшое по сравнению со значениями п, во-

площенными в различных поясах пизанского
Баптистерия) небольшой розетки и трех башен,— в то время
как зеркальная симметрия господствует как во всем
сооружении в целом, так и почти во всех его деталях.
Поворотная симметрия проявляется в простейшей
форме в том случае, когда поверхностью полной
цилиндрической симметрии является плоскость,
перпендикулярная оси Мы можем ограничиться двумерной
плоскостью с центром в точке О. Прекрасные примеры такой

поворотной плоской симметрии дают окна готических
соборов в форме роз с красочными витражами Наиболее
богатым примером, который я помню, является розетка
собора Св Петра в Труа (Франция), симметрия которой
основана на числе 3
Цветы, нежнейшие создания природы, также
достойны внимания благодаря своей окраске и поворотной
симметрии Перед вами ирис (рис 35), обладающий симмет
рией третьего порядка Особенно часто среди цветов
встречается симметрия пятого порядка Следующая
страница (рис 36) из книги Г е к к е л я (Ernst Haeckel)

«Красота форм в природе» (Kunstformen der Natur) 21
показывает, что этот вид симметрии не так >ж редко
встречается и среди низших животных Но биологи
предупредили меня, что внешний вид этих иглокожих из класса
офи\ров (Ophiodea) является до некоторой степени
обманчивым,— их личинки построены в соответствии с
принципом зеркальной симметрии Соображения такого
рода не относятся к следующем1* рис\ нк\ из той же
книги (рис 37), который изображает дискомед\зу с
поворотной симметрией восьмого порядка, ибо кишечнополостные
в филогенетическом развитии занимают такое место,
когда поворотная симметрия еще не \сг)пила места
зеркальной Необычный тр\д Геккеля, в котором его

Рис. 36.

Рис. 37.

интерес к конкретным формам организмов находит свое
выражение в бесчисленных рисунках, выполненных с
величайшими подробностями, является поистине сводом
законов симметрии в природе. Для Геккеля как биолога
показательны также тысячи рисунков в его «Челленджер-
ской монографии» (Challenger Monograph), где он впервые
описал 3508 новых видов радиолярий, открытых им во
время экспедиции на судне «Челленджер» в 1887 г. Об
этом вкладе Геккеля в науку не следует забывать при
виде тех совершенно умозрительных филогенетических
построений, которыми нередко увлекался этот
вдохновенный апостол дарвинизма, и его довольно поверхностной
материалистической философии «монизма», сильно
нашумевшей в Германии на рубеже этого века 22.
Говоря о медузах, я не могу устоять от искушения
привести небольшой отрывок из классического труда
Д'Арси Т о м с о н а «О росте и форме» — шедевра
английской научной литературы, автор которого
сочетал в себе глубокое знание геометрии, физики и
биологии с гуманитарной культурой и необычайно
оригинальным даром проникновения в существо научных проблем.
Т о м с о н описывает физические эксперименты с
висящими каплями, которые служили для пояснения, с
помощью аналогии, процесса образования медуз.
«Живая медуза,— говорит Томсон,— обладает настолько
бросающейся в глаза правильной геометрической
симметрией, что это наводит на мысль о том, что в процессе
оформления и роста этих небольших организмов
принимают участие факторы физического или механического
характера. Начать с того, что у медузы имеется вихреоб-
разный колокол, или зонтик, с симметричным стеблем.
Колокол пересекается радиальными каналами —
четырьмя или в числе, кратном четырем; кромка колокола
снабжена щупальцами, гладкими или как бы покрытыми
бисером, отстоящими друг от друга на равных
расстояниях или упорядоченными по величине; симметрично
расположены также чувствительные образования, в том
числе твердые уплотнения, или «отолиты». Едва
появившись, медуза начинает пульсировать, колокол
начинает «звучать». Почки — миниатюрные копии
родительского организма — часто появляются на щупальцах, на
стебле, а иногда на кромке колокола; нам кажется, что
мы видим, как один вихрь вызывает другой. С этой точки

Рис. 38.

зрения развитие молодых медуз заслуживает
специального рассмотрения. Установлено, например, что
небольшие медузы Obeli а отпочковываются и принимают
завершенную форму с необычайной быстротой; это
наводит на мысль об автоматическом и чуть ли не
мгновенном акте образования, а не о постепенном процессе
развития».
Хотя поворотная симметрия пятого порядка
особенно часто встречается в органическом мире 23, она не
обнаружена среди наиболее совершенных по своей
симметрии творений неорганической природы, среди
кристаллов. В мире кристаллов невозможны никакие иные
типы поворотной симметрии, кроме симметрии порядков
2, 3, 4 и 6. Наиболее известными образцами кристаллов
с симметрией шестого порядка являются снежинки. На
рис. 38 представлены некоторые из этих маленьких чудес
из замерзшей воды. В годы моей юности, когда они
падали с неба во время рождества, устилая все вокруг
белым покровом, им радовались и стар, и млад. Теперь они
приносят радость только лыжникам, автомобилисты же
шлют им свои проклятия. Знакомые с английской
литературой помнят ту своеобразную оценку значения
шестиугольной и «квинкунциальной» 2* симметрии, которую
дает сэр Томас Браун (Thomas Browne) 23 в «Саде
Кира» (Garden of Cyrus, 1658); эта симметрия, говорит
он, «ясно показывает, как геометризует природа и как
она наблюдает за порядком во всем». Те, кому ближе
немецкая литература, смогут припомнить, как Томас Манн
в «Волшебной горе» описывает «шестиугольное
бесчинство» (hexagonale Unwesen) снежной метели, от которой
едва не погиб его герой Ганс Касторп, когда он заснул от
усталости, прислонясь к конюшне, и увидел сон о
смерти и любви. За час до того, как Ганс отправился в свою
рискованную лыжную экспедицию, он радовался игре
снежинок. «Среди мириадов волшебных звездочек,—
философствовал он,— с их недоступной зрению, не
предназначенной для глаз человеческих, тайной
микророскошью, ни одна не была похожа на другую. Здесь
наличествовала беспредельная изобретательность,
нескончаемое рвение видоизменять, скрупулезно разрабатывать
одну и ту же основную схему — равносторонний и
равноугольный шестиугольник. Но каждое из этих студеных
творений было в себе безусловно пропорционально, хо-

лодно симметрично, и в этом-то и заключалось нечто
зловещее, антиорганическое, враждебное жизни; слишком
они были симметричны. Такою не могла быть
предназначенная для жизни субстанция, ибо жизнь содрогается
перед лицом этой точности, этой абсолютной
правильности, воспринимает ее как смертоносное начало, как тайну
самой смерти. И Гансу Касторпу показалось, что он
понял, отчего древние зодчие, воздвигая храмы,
сознательно, хотя и втихомолку, нарушали симметрию в
распорядке колонн» *) 26.
До сих пор мы обращали внимание лишь на
собственные вращения. Если же учесть зеркальные вращения,
то мы получим для конечных групп вращений вокруг
центра О в геометрии на плоскости две следующие
возможности (соответствующие двум возможностям,
рассматривавшимся нами для орнаментальной симметрии
на прямой): (1) группа, состоящая из повторных
применений одного-единственного поворота на угол ос, равный
36СР /оч
■—, где п — целое число; (2) группа этих вращении,
взятых вместе с отражениями относительно п осей,
составляющих друг с другом углы -к. Первая называется
циклической группой С„, а вторая — диэдральной
группой Dп. Эти группы являются, таким образом,
единственно возможными видами поворотной симметрии на
плоскости :
^1, С2, С3, • • • ! ь>1) и^, и.А, . . . , ([)
где Сх означает полное отсутствие симметрии, a Dx —
наличие одной зеркальной симметрии.
В архитектуре преобладает симметрия четвертого
порядка. Башни часто имеют симметрию шестого порядка.
Гораздо реже встречаются центральные здания,
обладающие симметрией шестого порядка. Первое такое здание,
построенное после античности,— собор Св. Марии дельи
Анджели во Флоренции (постройка начата в 1434 г.) —
*) Дюрер рассматривал свой канон человеческого тела
скорее как стандарт, от которого необходимо отклоняться, чем как
образец, к которому следует стремиться. По-видимому, тот же смысл
имеют «температуры» (temperaturae) Витрувия, быть может, и
слово «почти» в утверждении, приписываемом Поликлету,
приведенном в сноске на стр. 35, заключает в себе аналогичное
указание.

имеет форму восьмиугольника. Очень редки
пятиугольники. Когда мне в 1937 г. довелось читать лекцию о
симметрии в Вене, я говорил, что мне известен только один
— и то не очень яркий — пример такого рода,
представлявший собой переходную форму от собора Св. Михаила
ди Мурано в Венеции к шестиугольной Эмилианской
капелле. Теперь, разумеется, в нашем распоряжении
имеется здание Пентагона в Вашингтоне27. В силу своих
размеров и исключительной формы оно представляет
собой заметный ориентир для бомбардировщиков. Л е о-
нардо да Винчи систематически занимался
вопросом об определении возможных видов симметрии для
центрального здания, а также о том, каким образом
следует производить пристройку к ним часовен и ниш, не
разрушая симметрии ядра архитектурного ансамбля.
Будучи выраженным в современных абстрактных
терминах, его результат, в сущности, совпадает с приведенной
нами выше таблицей возможных конечных групп
вращений (собственных и зеркальных) для случая двух
измерений.
До сих пор в наших рассмотрениях поворотная
симметрия на плоскости всегда сопровождалась зеркальной
симметрией. Я привел довольно много примеров,
относящихся к понятию диэдральной группы Dn, и ни одного
примера, касающегося более простой циклической
группы С„. Однако это произошло по более или менее
случайным причинам. Перед вами (рис. 39) два цветка —
герань (/) с группой симметрии D5 и Vinca herbacea (//)
с более ограниченной, в силу асимметрии ее лепестков,
грчппой Сь. На рис. 40 изображена фипра, являющаяся,
по-видимому, простейшей из фиг\р с поворотной сим-

метрией,— треножник (п=3). Если желательно
устранить бросающуюся в глаза зеркальную симметрию, то
на ножки треножника можно поместить флажки; так
получится трикветр — древний магический знак.
Например, у греков такой знак с головой Медузы28 в центре
служил символом острова Сицилии, имеющего три угла.
Математики знакомы с ним по эмблеме на обложке журнала
«Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo»29.
Модификацией этого знака, отличающейся от него наличием
четырех, а не трех ножек, является свастика. Этот знак,
приводить изображение которого здесь нет
необходимости,— один из наиболее исконных символов
человечества, бывший достоянием многих, по-видимому,
независимых друг от друга цивилизаций. На своей лекции о
симметрии в Вене осенью 1937 г., незадолго до того, как
гитлеровские орды захватили Австрию, я, говоря о
свастике, добавил: «В наши дни она стала символом ужаса,
еще более страшным, чем змееволосая голова Медузы»,—
и в аудитории разразилась буря аплодисментов и
возгласов негодования. По-видимому, источник представлений
о магической силе этих изображений кроется в
возбуждающем действии неполной симметрии — во вращениях без
отражений. На рис. 41 мы видим изящно выполненную
лестницу кафедры в соборе Св. Стефана в Вене, где
трикветр чередуется со свастикообразным колесом.
Оставим теперь поворотную симметрию на
плоскости. Если рассматривать потенциально бесконечные
узоры, подобные линейным орнаментам, или бесконечные
группы, то окажется, что операция, относительно
которой данный узор остается неизменным, не обязательно
должна быть движением, она может быть и подобием.
Подобие для одного измерения, не являющееся простым

переносом, имеет одну неподвижную точку О и является
растяжением s от точки О в некотором отношении а : 1,
где аФ\. Предположение, что а>0, является
несущественным ограничением. Бесконечная итерация этой
операции порождает группу 2, состоящую из растяжений
s» (л = 0, ±1, ±2, ...)• (2)
Хорошим примером этого рода симметрии может служить
раковина Turritella duplicata (рис. 42). Поистине
замечательно, насколько точно ширина следующих один за

другим витков этой раковины подчиняется закону
геометрической прогрессии.
Стрелки некоторых часов совершают непрерывный
равномерный поворот, стрелки же других передвигаются
скачкообразно с интервалом в одну минуту. Повороты
на целое число минут образуют дискрет- л
ную подгруппу, входящую в непрерыв- А
ную группу всех вращений, и естественно /3
рассматривать вращение s и его итера- /Э
ции (2) содержащимися в этой непрерыв- Шш
ной группе. Этот подход мы можем при- /3&
менить к любому преобразованию подо- J4lf
бия в случае одного, двух и трех изме- £ _ll|
рений, а в сущности — к любому преоб- /к^^Ш
разованию s. Непрерывное движение ве- ск^Зщ
щества, заполняющего пространство,— )^—Щ&
«жидкости» — математически можно опи- J^==~ZlS!k
сывать, задавая преобразование U(t, /')> L~ ~Щ^[
переводящее положения Pt любой точки [ _ЗЁ
жидкости в момент времени t в ее поло- /g?".~gs||§
жение Pf в момент f. Эти преобразова- fj-P^. Г!Д
ния образуют однопараметрическую чЩГ'^Штк
группу, если U(t, t') зависит только ^\!Ш^Щ
от разности значений времени f—t, ^Ш у
U(t,t')=S(t'—^),т.е.если в равные проме- ^—
жутки времени всегда происходит одно Рис- 42.
и то же движение. В этом случае
жидкость совершает «равномерное движение». Простой
групповой закон
S(/1)S(/2) = S(^1 + y
выражает тот факт, что последовательно выполняемые
движения, длящиеся два промежутка времени tu t2,
образуют движение, происходящее в течение времени ^+f2.
Движение, длящееся 1 минуту, приводит к
определенному преобразованию s=S(l), и для всех целых чисел п
движение S(n), длящееся п минут, является итерацией
s": дискретная группа 2, состоящая из итераций
преобразования s, вложена в непрерывную группу с
параметром t, состоящую из движений S(t). Можно было бы
сказать, что непрерывное движение состоит из
бесконечных повторений одного и того же бесконечно малого
движения; эти повторения происходят в последовательные

бесконечно малые промежутки времени равной
длительности.
Эти же рассуждения можно применить к поворотам
плоского диска, а также к растяжениям. Рассмотрим
теперь произвольное собственное подобие s, т. е.
преобразование, не меняющее местами левое и правое. Если, как
мы предполагаем, оно не является чистым переносом, то
оно оставляет неподвижной некоторую точку О и
состоит из поворота вокруг этой точки и растяжения от
центра О. Это преобразование можно получить, если
подвергнуть стадию S(l), достигнутую через 1 минуту,
непрерывному процессу S(t), состоящему из равномерного
поворота и растяжения. Этот процесс переводит точки,
отличные от О, в точки, лежащие на так называемой
логарифмической, или равноугольной, спирали30, т.е.
спирали, пересекающей под одним и тем же углом любую
прямую, проходящую через точку О. Поэтому эта кривая
разделяет вместе с прямой и окружностью их важное
свойство переходить в себя при непрерывной группе
преобразований подобия. Слова, которыми Якоб Вернул-
л и украсил «чудесную спираль» (spira mirabilis) на
своем надгробии в базельском Мюнстере,— «Измененная, я
воскресаю той же» (Eadem mutata resurgo) — не что
иное, как высокопарное выражение этого свойства.
Прямая и окружность являются предельными случаями
логарифмической спирали, получающимися, если в
комбинации «поворот плюс растяжение» одна из двух
компонент оказывается тождественным преобразованием.
Ступени, достигаемые этим процессом в моменты времени
г = п= ... , — 2, —1, 0, 1, 2, ... , (3)
образуют группу, состоящую из итераций (2). С
изумительным совершенством воспроизводит этот вид
симметрии широко известная раковина Nautilus (рис. 43). Вы
видите здесь не только непрерывную логарифмическую
спираль, но и потенциально бесконечную
последовательность секций, обладающую типом симметрии,
описываемым дискретной группой 2. Для каждого, кто смотрит
на это изображение (рис. 44) шляпки гигантского
подсолнечника Helianthus rnaximus, отдельные семена
естественно располагаются по логарифмическим спиралям,
образующим два семейства спиралей с противоположным
направлением закручивания.

Наиболее общим движением твердого тела в
трехмерном пространстве является винтовое движение s,
представляющее собой соединение поворота вокруг
некоторой оси с переносом вдоль этой оси. Под действием
соответствующего непрерывного и равномерного движения
любая точка, не лежащая на оси этого движения,
описывает винтовую линию, которая — с тем же правом, что и
логарифмическая спираль,— могла бы сказать о себе: «я
воскресаю той же». Положения Рп, которые движущаяся
точка достигает через одинаковые промежутки времени
(3), равномерно распределены по винтовой линии,
подобно ступеням винтовой лестницы. Если угол поворота
при операции s представляет собой часть — полного
угла в 360°, выражаемую с помощью небольших целых
чисел |л, v, то каждая v-я точка последовательности Рп
лежит на одной и той же вертикали, и необходимо
совершить \i полных оборотов винта для того, чтобы попасть
из точки Рп в точку P„+v, расположенную над ней. Такое
правильное спиральное расположение часто можно
наблюдать у листьев побега какого-нибудь растения. Гёте
говорил о стремлении природы к спирали, и под названием

филотаксиса это явление со времен Шарля Бон-
н е (Charles Bonnet, 1754) послужило у ботаников
предметом многих исследований, а еще больше —
умозрительных рассуждений *). Обнаружено, что дроби вида —,
соответствующие винтообразному расположению лис-
*) Это явление играет роль также в построениях Хембиджа.
На стр. 146—157 его «Динамической симметрии» приведены
подробные примечания математика Арчибальда (R.C. Archibald)
о логарифмической спирали, золотом сечении и рядах Фибоначчи31.

тьев на стебельке растения, часто являются «числами
Фибоначчи»:
1 ' 2 ' 3 ' 5 ' 8 ' 13 ' 21 ' 34 ' -' - ' ^
которые получаются при разложении в непрерывную
дробь иррационального числа -^ (]/5—1). Это число
является не чем иным, как отношением, известным под
названием «золотого сечения» (aurea sectio), играющим
столь важную роль в попытках сведения красоты
пропорций к некоторой математической формуле. Цилиндр, на
который навит винт, можно заменить конусом, что
равнозначно замене винтового движения s некоторым
собственным подобием — вращением, соединенным с
растяжением. Под эту несколько более общую форму
симметрии в филотаксисе подпадает расположение чешуек у
еловой шишки. Переход от цилиндра к конусу и от него
к диску очевиден,— он может быть продемонстрирован
на примере цилиндрического стебелька растения с его
листьями, еловой шишки с ее чешуйками и шляпки
подсолнечника с его цветками. Числа (4) наилучшим
образом можно проверить на примере расположения чешуек
у еловой шишки, где правильность хотя и не очень
высока, но зато редко встречаются значительные
отклонения от общего правила. Тэт (P. G. T a i t) в журнале
«Proceedings of the Royal Society of Edinburgh» (1872 r.)
пытался дать простое объяснение арифметическим
закономерностям филотаксиса, в то время как Ч ё р ч в
своих многотомных «Соотношениях филотаксиса с законами
механики» *) рассматривает их как загадку живой
природы. Я опасаюсь, что современные ботаники относятся
ко всему учению о филотаксисе менее серьезно, чем их
предшественники.
Помимо отражений, все рассматривавшиеся нами
виды симметрии описываются группой, состоящей из
итерации единственного преобразования s. В одном случае—
и это, несомненно, наиболее важно — группа,
которая при этом получается, конечна; это имеет место в том
* 360°
случае, когда в качестве s берется поворот на угола= •,
где п — целое число. Для случая двух измерений других
*) А. Н. С h u r с h. Relations of phyllotaxis to mechanical laws,
London, Williams and Norgate, 1£01—1901.

конечных групп собственных вращений не существует,
что видно из первой части: С,, С2, С3, ... таблицы (1)
Леонардо да Винчи. Простейшими фигурами,
обладающими соответствующими формами симметрии,
являются правильные многоугольники: правильный
треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т. д.
Тот факт, что для каждого числа п=2>, 4, 5,...
существует правильный многоугольник с п сторонами, тесно
связан с существованием в геометрии плоскости для каждого
п группы поворотов порядка п. Оба эти факта далеко не
тривиальны. В самом деле, в случае трех измерений
положение в корне меняется: в трехмерном пространстве
имеется не бесконечно много правильных
многогранников, а только пять; их часто называют Платоновыми
телами, так как они играют большую роль в
натурфилософии Платона. Это—правильный тетраэдр, куб, октаэдр
и, кроме того, додекаэдр, гранями которого являются
двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр,
ограниченный двадцатью правильными треугольниками.
Можно сказать, что существование первых трех из них
является весьма тривиальным геометрическим фактом.
Но открытие факта существования последних двух было,
несомненно, одним из наиболее выдающихся и
прекрасных открытий, сделанных на протяжении всей истории
математики. С большой долей уверенности знание этого
факта можно проследить вплоть до греческих колоний в
Южной Италии. Было высказано предположение, что
понятие правильного додекаэдра греки абстрагировали,
отправляясь от кристаллов сернистого колчедана 32, часто
встречающегося в Сицилии. Но, как уже отмечалось
выше, симметрия пятого порядка, столь характерная для
правильною додекаэдра, противоречит законам
кристаллографии; действительно, оказывается, что каждый из
пятиугольников, являющихся гранями додекаэдров, в
виде которых кристаллизуется колчедан, имеет по
четыре равных ребра и по одному ребру, отличающемуся по
длине от остальных. Первое точное построение
правильного додекаэдра, по всей видимости, принадлежит Т е э-
т е т у. Имеются свидетельства о том, что игральные
кости в форме додекаэдров применялись в Италии в
глубокой древности и что додекаэдр имел некоторое
религиозное значение в этрусской культуре. Платон в диалоге
«Тимей» связывает правильную пирамиду, октаэдр, куб

и икосаэдр с четырьмя элементами — огнем, воздухом,
землей и водой (именно в этом порядке), а додекаэдр он
рассматривает как форму вселенной в целом 33. А.Шпе й-
з е р отстаивал ту точку зрения, что построение пяти
правильных тел является главной целью дедуктивной
системы геометрии в том виде, как та была создана
греками и канонизирована в «Началах» Евклида.
Однако я должен заметить, что древние греки никогда не
употребляли слово «симметричный» в его современном
смысле. В обычном употреблении слово «о'Зц^етрос;» означало
соразмерный, пропорциональный, ау Евклида оно
было эквивалентно нашему слову соизмеримый: сторона
и диагональ квадрата являются несоизмеримыми
величинами: aa'J\i\iE%pa (леузгтт].
Мы приводим здесь страницу из «Челленджерской
монографии» Г е к к е л я (рис. 45), на которой
изображены остовы различных радиолярий. Рисунки 2, 3 и 5
представляют октаэдр, икосаэдр и додекаэдр
изумительно правильной формы; рис. 4 имеет, по-видимому,
меньшую степень симметрии.
Кеплер в своей книге «Космографическая тайна»
(Mysterium cosmographicum), опубликованной в 1595 г.,
задолго до того, как им были открыты три закона,
носящие ныне его имя, предпринял попытку свести расстояния
между планетами Солнечной системы к правильным
многогранникам, попеременно вписанным в сферы и
описанным около сфер. Вот построение Кеплера (рис. 46), на
основании которого он пришел к выводу, что ему удалось
глубоко проникнуть в замыслы создателя. Шесть сфер,
соответствующих шести планетам — Сатурну, Юпитеру,
Марсу, Земле, Венере и Меркурию,— разделяются
кубом, тетраэдром, додекаэдром, октаэдром и икосаэдром.
(Кеплер, разумеется, ничего не знал о трех внешних
планетах — Уране, Нептуне и Плутоне,— открытых,
соответственно, в 1781, 1846 и 1930 гг.) Он пытался отыскать
причины того, почему создатель избрал именно этот
порядок Платоновых тел, и проводил параллель между
свойствами планет (более астрологического, чем
астрофизического характера) и свойствами соответствующих
правильных тел. Его книга завершается могучим гимном,
в котором он провозглашает свой символ веры: «Верую,
что божественность в мире обширна» (Credo spatioso
numen in orbe). Мы и поныне разделяем его убеждение в

математической гармонии вселенной. Это убеждение
подтверждено критерием беспрерывно расширяющегося
опыта. Но ныне мы ищем эту гармонию не в статических
формах, подобных правильным многогранникам, а в законах
динамики
Подобно правильным многоугольникам, связанным
с конечными группами вращений на плоскости,
правильные многогранники должны находиться в тесной связи с
конечными группами собственных вращений
пространства вокруг некоторого центра 0. Из изучения вращений

на плоскости мы сразу же получаем два типа групп
собственных вращений в пространстве. В самом деле, группу
Сп собственных вращений в горизонтальной плоскости
вокруг некоторого центра О можно истолковать как со-
стоящуюиз поворотов в пространстве вокругвертикальной
оси, проходящей через точку О. Отражение
горизонтальной плоскости от некоторой прямой /,
принадлежащей этой плоскости, в пространстве можно осуществить
поворотом вокруг прямой / на 180°, — полуоборотом.
Вероятно, вы помните, что мы уже упоминали об этом в
связи с рассмотрением шумерского рисунка (рис. 4).
Таким образом, группа Dn в горизонтальной плоскости
превращается в некоторую группу D'n собственных
вращений в пространстве; она содержит повороты вокруг
вертикальной оси, проходящей через точку О, на углы,
пел
кратные -—, и полуобороты (повороты на 180°) вокруг
п горизонтальных осей, проходящих через О и образую-
360D п
щих друг с другом углы, равные -2—. Следует, однако,

заметить, что группа D\, так же как и группа С2, состоит
из тождественного преобразования и полуоборота вокруг
единственной прямой. Поэтому эти две группы
тождественны, и^в полном списке различных групп собственных
вращений в трехмерном пространстве группу D[
следует вычеркнуть, если в нем сохраняется группа С2.
Следовательно, наш список начинается так:
Cj, L2, L3, С4, • • • ,
£>;, d'3, d'4,
где D[ — так называемая четверная группа, состоящая
из тождественного преобразования и полуоборотов
вокруг трех взаимно перпендикулярных осей.
Для каждого из пяти правильных многогранников
мы можем построить группу собственных вращений,
переводящих многогранник в себя. Получаются ли при
этом пять новых групп? Нет, получаются только три
группы, и вот почему. Впишем в куб сферу, а сферу — в
октаэдр таким образом, чтобы
О вершины октаэдра совпали с
точками, в которых грани куба
касаются сферы, т. е. с центрами
квадратов (двумерный аналог
этого построения изображен на
рис. 47). При таком положении
куб и октаэдр оказываются
полярными фигурами
относительно сферы в смысле проективной
геометрии 34. Очевидно, что
всякое вращение, переводящее куб
Рис. 47. в себя, оставляет инвариантным
также и октаэдр, и наоборот.
Следовательно, группа вращений октаэдра в точности
такова же, что и для куба. Точно так же полярны друг
другу додекаэдр и икосаэдр. Фигура, полярная
правильному тетраэдру,— правильный тетраэдр, вершины
которого диаметрально противоположны вершинам первого
тетраэдра. Таким образом, мы нашли три новых группы
собственных вращений: Т, W и Р — это группы,
оставляющие инвариантными, соответственно, правильный
тетраэдр, куб (или октаэдр) и додекаэдр (или икосаэдр).
Порядки этих групп, т. е. число преобразований в
каждой из них, соответственно, равны 12, 24 и 60.

С помощью сравнительно простых рассуждений (см.
приложение А) можно показать, что с добавлением этих
трех групп наша таблица становится полной:
С„ (л=1, 2, 3, ...),
D'n (п = 2, 3, ...); W
Г, W, Р.
Это и есть современный эквивалент того перечня
правильных многогранников, который дали древние греки. Эти
группы, в особенности три последние, весьма интересны
для геометрических исследований.
Какие еще возможности возникают, если в наши
группы допускаются также и зеркальные вращения? Ответ на
этот вопрос лучше всего извлечь из рассмотрения, в
котором используется один весьма специальный вид
зеркального вращения, а именно отражение от точки О; оно
переводит любую точку Р в точку Р', симметричную ей
относительно О, которую можно получить, соединяя Р
с О и продолжая прямую РО по ту сторону точки О на
длину отрезка РО, т. е. ОР' = РО. Эта операция Z
перестановочна со всяким вращением S: ZS=SZ. Пусть теперь
Г — одна из наших конечных групп собственных
вращений. Один из способов включения в нее зеркальных
вращений состоит просто в том, что к ней присоединяют Z,
или, говоря иначе, в том, что к собственным вращениям S
группы Г добавляют все зеркальные вращения вида ZS
(где S принадлежит Г). Очевидно, что порядок
получающейся таким путем группы r=r+ZT вдвое больше
порядка группы Г. Друтй способ введения зеркальных
вращений таков. Предположим, что Г — подгруппа
индекса 2 другой группы Г' собственных вращений, причем
одна половина элементов группы Г' — назовем их S —
принадлежит Г, а другая половина элементов Г' —
назовем их S' — не принадлежит Г. Заменим теперь
элементы S' зеркальными вращениями ZS'. Тогда мы получим
группу Г" Г, содержащую Г, в то время как другую
половину этой группы составляют зеркальные операции.
Например, Г=С„ — подгруппа индекса 2 группы Г' =
=D'n; операциями 5' из D'n, не содержащимися в С„,
служат полуобороты вокруг п горизонтальных осей.
Соответствующими произведениями ZS' являются отражения
от вертикальных плоскостей, перпендикулярных этим

осям. Таким образом, группа D'nCn состоит из вращений
360"
вокруг вертикальной оси на углы, кратные углу , и
из отражений от вертикальных плоскостей, проходящих
через эту ось и образующих друг с другом углы, равные
360э u й
-—. Но это та группа, которую мы раньше обозначали
Dn. Другой пример, самый простой из всех: Т=Сг
содержится в Г' = С2. Единственной операцией S' группы С2,
не содержащейся в С1; является поворот на 180° вокруг
вертикальной оси; ZS'— отражение горизонтальной
плоскости, проходящей через О. Следовательно, С2СХ—
группа, состоящая из тождественного преобразования и
отражения от данной плоскости; иными словами, это —
группа, определяемая зеркальной симметрией.
Два описанных выше способа являются
единственными способами, с помощью которых можно включить
зеркальные вращения в наши группы (доказательство
этого см. в приложении Б). Следовательно, полная
таблица всех конечных групп (собственных и зеркальных)
вращений имеет вид
Сп, £„, С2пСп (п-=1, 2, 3, ...);
D'n, D'n, D'nCn,_D',nD'n (n--=2, 3, ...);
Т, W, P; T, W, P; WT.
Последняя группа WT становится возможной в силу того
факта, что группа Т тетраэдра есть подгруппа индекса
2 группы октаэдра W.
Этот список будет играть важную роль в последней
лекции, когда мы будем рассматривать симметрию
кристаллов.

ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
ОРНАМЕНТАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Эта лекция носит более систематический характер,
чем предыдущая, так как она посвящена одному
специальному виду геометрической симметрии, наиболее
сложному, но зато и наиболее интересному со всех точек
зрения. Этот вид симметрии в применении к двум измерениям
используется в искусстве — в орнаментах на
различных поверхностях; в трехмерном пространстве он
характеризует расположение атомов в кристалле. Поэтому мы
будем называть его орнаментальной или
кристаллографической симметрией.
Начнем с орнаментального рисунка в двумерном
пространстве, который, по-видимому, встречается гораздо
чаще других как в искусстве, так и в природе; это — узор
из шестиугольников, столь часто используемый в
кафельных полах в ванных комнатах. На рис. 48 вы видите его
реализованным в обычных пчелиных сотах. Ячейки этих
сот имеют форму призм, снимок сделан в направлении
этих призм. В действительности соты состоят из двух
слоев призматических ячеек, причем призмы одного слоя
обращены в одну сторону, а призмы другого — в
противоположную. В выяснении того, как подходят друг к
другу внутренние концы этих двух слоев, состоит
пространственная задача, которую мы рассмотрим в дальнейшем.
Пока же займемся более простым случаем плоскости.
Если вы свалите в кучу пушечные ядра или круглые
бусинки, то они естественным образом примут
расположение, представляющее собой трехмерный аналог
шестиугольной конфигурации. В случае двух измерений
задача состоит в том, чтобы уложить на плоскости по
возможности плотно равные круги 33. Начнем с
горизонтального ряда из кругов, касающихся друг друга. Если вы

сбросили сверху еще один круг на этот ряд, то он займет
место между какими-то двумя соседними кругами
нижнего ряда и центры этих трех кругов составят
равносторонний треугольник Таким образом получится второй
горизонтальный ряд, состоящий из кругов, лежащих
между кругами первого ряда, и т. д (рис. 49) Между
кругами останутся небольшие промежутки. Касательные
к кругу в точках, где он соприкасается с шестью
окружающими его кругами, образуют правильный
шестиугольник, описанный вокруг этого круга, и если вы замените
каждый из кругов таким шестиугольником, то получите

правильную конфигурацию из шестиугольников,
заполняющую всю плоскость.
В соответствии с законами капиллярности мыльная
пленка, обтягивающая данный контур из тонкой
проволоки, принимает форму минимальной поверхности, т. е.
поверхности с площадью, меньшей площади любой
другой поверхности, ограниченной тем же контуром.
Мыльный пузырь, если вдуть в него некоторое количество
воздуха, примет сферическую форму, так как сфера
ограничивает данный объем при минимуме поверхности. Поэтому
уже не кажется удивительным то, что пена,
состоящая из двумерных пузырьков равной площади,
образует шестиугольный узор,— ведь среди всех разбиений
плоскости на части равной площади шестиугольный узор
обладает тем свойством, что сеть, состоящая из его
контуров, имеет минимум длины. При этом предполагается,
что задача сведена к двум измерениям, так как мы
рассматриваем горизонтальный слой пузырьков,
например, между двумя горизонтальными стеклянными
пластинками. Если пузырчатая пена имеет границу (слой
эпидермы, как сказал бы биолог), то мы наблюдаем, что эта
граница состоит из дуг окружностей, образующих углы в
120° со стенкой ближайшей клетки и с соседней дугой,—
как это и требуется законом минимальной длины. После
этого разъяснения уже не будет удивительным, что мы

находим шестиугольные узоры в столь различных
структурах, как, например, ткань паренхимы кукурузы (рис.
50), пигмент сетчатой оболочки наших глаз, кремнистые
панцири многих диатомовых водорослей, красивый
образчик которых я здесь показываю (рис. 51), и, наконец,
пчелиные соты. Так как
J4, У/ ^^~ пчелы' имеющие приб-
^ ~n\ /f лизительно одинаковые
^ jV размеры, при постройке
)W -щ( своих сот крутятся в
I/ уь них, соты образуют плот-
// \ нейшую упаковку из
гег- _^}( )к= параллельных круговых
' ^^\ I/ цилиндров, которая в
\^ // поперечном сечении выг-
_^. )Ш- —Щ. лядит так же, как и наш
\^ /' v. шестиугольный узор из
Рис 50. кругов. Пока пчелы
работают, воск находится в
полужидком состоянии и, таким образом, капиллярные
силы, вероятно, большие, чем давление изнутри от
пчелиных тел, превращают круги в описанные
шестиугольники (углы которых все же сохраняют некоторые
остатки круговой формы). Сравните паренхиму кукурузы с
искусственной ячеистой тканью (рис. 52), полученной при
диффузии в желатине капель раствора железистосинеро-
дистого калия. Правильность рисунка оставляет желать
лучшего; кое-где имеются даже места, где вместо
шестиугольника вкрался пятиугольник. Далее (рис. 53 и
54) приведены две другие искусственные ткани
шестиугольного рисунка, взятые наудачу из последнего номера
журнала «Моды» (Vogue) (февраль 1951 г.). На первый
взгляд может показаться, что кремнистый остов одной
из радиолярий Геккел я, названной им Aulonia he-
xagona (рис. 55), обнаруживает совершенно правильный
узор из шестиугольников, но не на плоскости, а на сфере.
Однако, как это следует из одной основной формулы
топологии, шестиугольная сеть, покрывающая сферу,
невозможна. Эта формула относится к произвольному
разделению сферы на страны, граничащие друг с
другом вдоль некоторых ребер. Согласно этой формуле,
число А стран, число Е ребер и число С углов (в
которых сходятся по крайней мере три страны) должны

Рис. 51.
Рис. 52.

Рис. 53.
Рис. 54.

удовлетворять соотношению зв
АЛ-С—£ = 2.
Для шестиугольной сети мы имеем Е=ЗА, С=2А и,
следовательно, Л + С—Е=0\ И действительно, мы
замечаем, что некоторые ячейки костяка радиолярии Aulonia
имеют не шестиугольную, а пятиугольную форму.
Теперь, после того как мы рассмотрели способ
наиболее плотной упаковки кругов на плоскости, мы можем
перейти к рассмотрению аналогичной упаковки равных
сфер или равных шаров в пространстве 37. Мы начнем с
рассмотрения одною шара и некоторой плоскости —
«горизонтальной плоскости», проходящей через его центр.
При самой плотной упаковке этот шар будет
соприкасаться с двенадцатью другими («подобно зернам граната»,
как говорил Кеплер) — шестью в горизонтальной

плоскости, тремя сверху и тремя снизу *). Если при
таком расположении подвергнуть шары равномерному
расширению так, чтобы их центры оставались
неподвижными, то — в случае, если взаимное проникновение
шаров невозможно,— они превратятся в ромбододекаэдры,
заполняющие все пространство. Следует заметить, что
ромбододекаэдр не является правильным
многогранником, в то время как в соответствующей двумерной задаче
получается правильный шестиугольник! Пчелиная
ячейка содержит нижнюю половину ромбододекаэдра, шесть
вертикальных граней которого продолжены таким
образом, что они образуют шестиугольную призму с
открытым краем.
О геометрии пчелиных сот было написано много.
Странные общественные привычки и геометрические
дарования пчел не могли не привлечь внимания и не
вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и
использовавших плоды их деятельности. «Мой дом,—
говорит пчела в «Тысяче и одной ночи»,— построен по
законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы
поучиться, изучая геометрию моих сот». Маральди
(Maraldi) в 1712 г., по-видимому, первый произвел очень
точные измерения сот. Он обнаружил, что три ромба,
образующих дно ячейки, имеют тупой угол а, равный
приблизительно 110°, и что величина угла р\ образуемого ими
со стенками призмы, имеет то же значение. Он задал себе
геометрический вопрос, каков должен быть угол а для
того, чтобы в точности совпасть с этим вторым углом р.
Маральди нашел, что a=j3 = 109°28', на основании чего
предположил, что пчелы нашли решение этой
геометрической задачи. Когда в изучении кривых и в механике
был введен принцип минимума, мысль о том, что
величина а определяется экономичным использованием воска,
не была надуманной; при любом другом значении угла
для построения ячейки того же объема потребовалось бы
больше воска 38. Это предположение, принадлежавшее
Реомюру (Reaumur), было поддержано швейцар-
*) Это расположение определяется единственным образом, если
потребовать, чтобы центры шаров образовывали решетку.
Определение решетки см. на стр. 122. Более полное рассмотрение проблемы
см. в книгах Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен, Наглядная
геометрия, Гостехиздат, 1951, 54—56; Н. Minkowski,
Diophantische Approximationen, Leipzig, 1907, 105—111.

ским математиком К ё н и г о м (Samuel Koenig). Как-то
раз Кёниг взял теоретически найденную Маральди
величину угла вместо той, которую Маральди нашел из
непосредственных наблюдений, и, обнаружив, что
найденная им самим теоретическая величина, рассчитанная на
основании принципа минимума, отличается от этой
величины на 2' (из-за ошибки в таблицах, которыми он
пользовался при вычислении 1/2), заключил отсюда, что
при решении этой задачи на минимум — задачи,
выходящей, по его словам, за рамки классической геометрии и
требующей методов Ньютона и Лейбница,— пчелы
совершают ошибку менее чем в 2'. По этому поводу во
Французской Академии возникла дискуссия, итог которой
подвел Фонтенель (Fontenelle) — непременный
секретарь Академии — в своем знаменитом решении, где
он не признавал за пчелами геометрического мышления
на уровне Ньютона и Лейбница, но считал, что при
использовании высшей математики они подчиняются
божественному указанию и руководству. На самом же деле
ячейки не имеют столь правильной формы, какую
предполагал Кёниг; было бы трудно измерить их утлы с
точностью даже до нескольких градусов. Однако
спустя более чем сто лет Дарвин все еще говорил об
архитектуре пчел как о «самом удивительном из
известных инстинктов» и добавлял при этом: «Далее этой
ступени совершенства в архитектуре естественный
отбор (который теперь заменил божественное
руководство!) не мог вести, потому что соты пчелы, насколько мы в
состоянии судить, абсолютно совершенны с точки зрения
экономии труда и воска» 39.
Если надлежащим образом симметрично отсечь шесть
вершин додекаэдра, то получится многогранник,
ограниченный шестью квадратами и восемью
шестиугольниками. Это тетракайдекаэдр 40, известный еще
Архимеду и вновь открытый русским кристаллографом
Федоровым. Экземпляры этого многогранника,
получаемые при соответствующих его переносах, могут
заполнить все пространство без покрытий и пропусков,
так же как в случае ромбододекаэдра (рис. 56). В своих
Балтиморских лекциях лорд Кельвин показал, каким
образом следует изогнуть грани этого многогранника и
искривить ребра для того, чтобы удовлетворить условию
минимальности поверхности. Если все это выполнено, то

разбиение пространства на равные и параллельные тет-
ракайдекаэдры приводит к еще большей, чем в случае
ромбических додекаэдров с плоскими гранями, экономии
поверхности относительно объема. Я склонен думать,
что конфигурация, предложенная лордом Кельвином,
дает абсолютный минимум, но, насколько мне известно,
это никогда не было доказано.
Вернемся теперь от трехмерного пространства к
двумерной плоскости и займемся более систематическим
изучением симметрии, характеризующейся двойным
бесконечным отношением. Сначала следует уточнить это
понятие. Как уже упоминалось ранее, сдвиги,
параллельные переносы, перемещения плоскости образуют группу.
Перенос а можно полностью описать, указав точку А',
в которую этот перенос переводит данную точку А.
Перенос, или вектор ВВ', совпадает с переносом АА', если
ВВ' параллелен А А' и имеет ту же длину. Композицию
параллельных переносов обычно обозначают знаком +.
Таким образом, а+6 есть перенос, получающийся при
выполнении сначала переноса а, а затем переноса 6.
Если а переводит точку А в точку В, а Ь переводит точку
В в точку С, то с=а+Ь переводит Л в С, и поэтому с
можно отметить с помощью вектора АС, являющегося

диагональю параллелограмма ABCD. Так как
= 6 и DC=AB=a (рис. 57), то мы имеем для
композиции параллельных переносов или — что является лишь
другим способом выражения — для сложения векторов
коммутативный закон
а+6 = 6+а. Это сложе- ^_ Я —£
ние есть не что иное, / ^^^^/
как правило, по которо- . / с^*— /
му объединяют две силы / ^^*^ /*
а, Ь, чтобы получить /^^^ /
равнодействующую силу J^— —j д
о+6=с в соответствии
с так называемым парал- Рис. 57.
лелограммом сил.
Имеется тождественный перенос, или нулевой вектор О,
переводящий каждую точку в себя. Для каждого
переноса а имеется противоположный перенос —а, так что
о+(—о) = 0. Очевидно, что 2а, За, 4а,... означают то же,
что и а+а, а+а+а, а+а+а+а,... и т. д. Общее
правило, по которому определяется кратный перенос па для
каждого целого числа п — положительного,
отрицательного и нуля,— выражается формулами
(п + I) а = (па) + а и 0а = 0.
Вектор Ь=-к а является единственным решением
уравнения 36=а. Отсюда ясно, что означает ка, если К —
дробь — с целыми числителем т и знаменателем п, как,
например, -? или — у^. Аналогично для любого
действительного числа X, будь оно рациональным или
иррациональным, смысл выражения Ка ясен по непрерывности.
Два вектора еъ ег линейно независимы, если не
существует никакой линейной комбинации х1е1+х2е2 этих
векторов, равной нулевому век-юру 0, исключая случай,
когда оба действительных числа хх и хг равны нулю.
Плоскость двумерна, потому что всякий вектор х можно
единственным способом выразить в виде такого рода
линейной комбинации x1e1-\-x2ei с помощью двух
фиксированных линейно независимых векторов ех и е2.
Коэффициенты хъ х% называются координатами вектора х

относительно базиса (ех, е2). После того, как определенная
точка О зафиксирована в качестве начала координат (и
выбраны базисные векторы ех и е2), мы можем каждой
точке X приписать две координаты хх, х2 с помощью
соотношения ОХ=ххехЛ-х.гег. И наоборот, эти координаты
хх и х2 определяют положение точки X относительно
«координатной системы» (О, ех, е2).
Я сожалею, что мне пришлось подвергнуть читателя
мучениям, излагая эти элементы аналитической
геометрии. Цель этого изобретения Декарта — не что иное,
как наделение точек X плоскости именами, с помощью
которых мы могли бы их различать и опознавать.
Наделение именами должно производиться каким-то
систематическим способом, так как точек бесконечно много;
систематичность тем более необходима, что все точки, в
отличие от людей, совершенно одинаковый,
следовательно, мы в состоянии различать их, лишь прикрепив к ним
какие-нибудь ярлыки. Имена, которые мы используем,
оказываются парами чисел (хх, х,).
Помимо коммутативного закона, сложение векторов —
а на самом деле композиция любых преобразований —
удовлетворяет ассоциативному закону
(a^b) + c = a + (b + c).
Для векторов а, &,... при их умножении на
действительные числа к, \i,... имеют место еще один ассоциативный
закон
к (iia) = (k[i) a
и два дгстрибутивных закона
(к-\- ц) а = ка + ца,
k(a + b) = ka + kb.
Следует выяснить, как изменятся координаты (хх, х2)
произвольного вектора х, если мы от одного базиса
(ех, е2) переходим кдругому базису (е'х, е'2). Векторы е[, е2
выражаются через векторы ех, е2 и, наоборот, векторы
ех, е2 выражаются через векторы е[, е2 следующим
образом:
е'х =а11е1+а21р2, ё2 = а12е1 + а22е2, (1)
и
ex = axxe\ + a2Xe\lt ei = dVie\Jf-a'ite\. (Г)

Выражая произвольный вектор х через оба базиса, мы
получим
Подставляя (1) вместо е\, е2 или (Г) вместо е1; е2, мы
находим, что координаты xlt х2 относительно первого
базиса связаны с координатами х[, х'г второй системы с
помощью двух взаимно обратных «однородных линейных
преобразований»:
•^1 = &\\%\ ~Г Й12Х2, Х2 —й2}Хх-\-а22Хг\ \А)
л, — кХ-\лХ-\ 1 Ll-tnXa, Л2 — 6*91*^1 j б/о2*^2' \ /
Координаты л; изменяются вместе с вектором #, но
коэффициенты
/ап, а12\ ^ /йш а;2\
УД21, 022/ \^21! ^22/
постоянны. Легко усмотреть, при каких условиях для
линейного преобразования вида (2) имеется обратное:
это происходит тогда и только тогда, когда так
называемый определитель преобразования апагг—а12а21 отличен
от нуля.
Пока мы используем только те понятия, которые
были введены до сих пор, т. е. 1) сложение векторов а+Ь,
2) умножение вектора а на число к, 3) операцию, с
помощью которой две точки А, В определяют вектор АВ, а
также понятия, логически определяющиеся через них,
мы имеем дело с аффинной геометрией 41. В аффинной
геометрии всякий базис, состоящий из векторов е1 и е2,
столь же удобен, как и любой другой. Понятие длины
\х\ вектора х выводит за пределы аффинной геометрии;
оно является основным для метрической геометрии.
Квадрат длины произвольного вектора х является
квадратичной формой
g11x\ + 2g12x1x2 + g22xl (3)
его координат хг, х2, содержащей постоянные
коэффициенты gn, g12, g22. В этом состоит суть теоремы Пифагора.
Основная метрическая форма (3) является положительно
определенной, т. е. ее значение положительно при любых
значениях переменных ях, х2, исключая случай х1~х2--
=0. Существует особая система координат — декартова
система координат,— в которой эта форма принимает

простой вид х\-\-х\. Эта система координат состоит из
двух взаимно перпендикулярных единичных векторов
е1% е2 равной длины. В метрической геометрии все
декартовы системы координат одинаково допустимы. Переход
от одной из них к другой совершается путем
ортогонального преобразования, т. е. путем однородного линейного
преобразования (2), (2'), которое оставляет форму х\ -\-х\
без изменения, так что x\-\-xl=x'l+x'l.
Если это преобразование подвергнуть лишь
небольшому видоизменению, его можно будет интерпретировать
также и как алгебраическое выражение вращения. Если
при вращении вокруг начала координат О базис
декартовой системы координат elt е2 преобразуется в базис
е\, е2 другой декартовой системы, то вектор х=х1е1+х2е2
переходите вектор х'=x1e\jrx2e2, и если вы запишете х'
в виде х'1е1+х'2е2, снова используя в качестве системы
отсчета первоначальный базис ех, е2, то вы увидите, что
вектор с координатами хъ х2 перейдет в вектор с
координатами х\, х'г, где
хге\ + х2е'2 = х\ех + х'2е2
и, следовательно,
х1 ==а11Л-1 ~Та12Х2> Хг = °21*1~Г022*2 V*)
[формулы (2), в которых пары (xlt х2), (хг, х2) поменялись
местами].
Если вместо векторов рассматривать точки, то
однородные линейные преобразования всюду переходят в
неоднородные преобразования. Пусть (xlt хг), (х\, х2) —
координаты одной и той же произвольной точки X в
двух системах координат (О; eL, e2), (0'\ е\, е2). Тогда
получаем, что
ОХ —х1е1 + х2е2, О'Х = х\е\ + х'2е'2,
и поскольку ОХ=00' + 0'Х, то
х, =а(1х'1+а,2х'2+Ь! (t = l, 2), (5)
где мы положили 00' = b1el+b2e2. Неоднородные
преобразования отличаются от однородных добавочными
членами Ь,. Отображение
А =а,Л + «,2-^2 \-b, {i=l, 2), (6)

переводящее точку (хг, х2) в точку (х[, х'2), выражает
движение, если однородная часть преобразования
х\ =anx1 + ai2x2 (t' = l,2), (4)
задающего соответствующее отображение векторов,
ортогональна. (Разумеется, предполагается, что
координаты взяты относительно одной и той же фиксированной
системы координат.) При этих условиях мы будем
называть и неоднородные преобразования ортогональными
преобразованиями. В частности, перенос на вектор
(bv b2) выражается преобразованием
х\ = хг + blt х'2 ~ х2 + Ь2.
Вернемся теперь к таблице Леонардо групп конечных
вращений плоскости:
I bj, L2, L3, ... ; ._.
\ Dlt Da, D3, ... . V>
Алгебраическое выражение операций ни для одной из
групп Сп не зависит от выбора базиса декартовой
системы координат. Иначе обстоит дело в случае групп Dn.
В этом случае мы приведем алгебраическое выражение к
нормальному виду, принимая за первый базисный
вектор е1 вектор, направленный по одной из осей
отражения. Группа вращений выражается в терминах
декартовой системы координат в виде группы ортогональных
преобразований. Будем говорить, что ее выражения в
любых двух таких координатных системах, связанных
между собой ортогональным преобразованием, являются
ортогонально эквивалентными. Поэтому результат
Леонардо можно теперь сформулировать на
алгебраическом языке следующим образом. Леонардо дал
перечень таких групп ортогональных преобразований, что
1) любые две группы в этом перечне ортогонально
неэквивалентны и 2) любая конечная группа ортогональных
преобразований ортогонально эквивалентна одной из
групп, встречающихся в его перечне. Кратко это можно
выразить так: Леонардо дал полный перечень
ортогонально неэквивалентных конечных групп ортогональных
преобразований. Может показаться, что это излишне
сложный способ описания простой вещи; однако его
преимущества вскоре станут очевидны.

Орнаментальная симметрия связана с дискретными
группами движений на плоскости. Если такая группа
А содержит переносы, то нелепо было бы постулировать
ее конечность, так как итерация переноса а (отличного от
тождественного преобразования 0) порождает бесконечно
много переносов на па (п=0, ±1, з2,...). Поэтому
вместо требования конечности мы введем требование
дискретности, означающее, что в группе не существует
преобразования, сколь угодно близкого к тождественному,
за исключением его самого. Иначе говоря, существует
положительное число е такое, что любое преобразование
(6) нашей группы, для которого числа
/ап — 1, а12, ЬА
\а21, а22 — 1, bj
лежат между —е и +е, является тождественным (в этом
случае все эти числа равны нулю). Переносы,
содержащиеся в нашей группе, образуют дискретную группу Л
переносов. Для такой группы имеется три возможности:
или эта группа не содержит ни одного элемента, кроме
тождественного переноса — нулевого вектора 0, или все
переносы в ней являются итерациями хе одного и того
же базисного параллельного переноса ефО (л;=0, del,
±2,...), или же эти переносы (векторы) образуют
двумерную решетку, т. е. состоят из линейных комбинаций
xlelJrX2ei двух линейно независимых векторов еъ е2 с
целочисленными коэффициентами хх, х2. Третий случай и
представляет собой интересующее нас двойное
бесконечное отношение. В этом случае векторы еъ е2 образуют
то, что мы называем базисом решетки. Если мы выберем
некоторую точку О в качестве начала координат, то те
точки, в которые О переходит при всех переносах
решетки, образуют параллелограмматическую решетку точек
(рис. 58).
Сразу же зададим себе вопрос, в какой мере для
данной решетки произволен выбор ее базиса. Если е[, e't —
другой базис решетки, то мы должны получить, что
ei = a11e1 + aile2, е'2 = а12е1 + а22е2, (1)
где at — целые числа. Но точно так же должны быть
целыми числами и коэффициенты обратного
преобразования (Г), так как в противном случае векторы е[, е2 не
составляли бы базиса решетки. Мы получаем для коор-

динат два взаимно обратных линейных преобразования
(2) и (2') с целочисленными коэффициентами
(ап> aiA и Mi. a[A _ у»)
Математики называют унимодулярным однородное
линейное преобразование с целочисленными
коэффициентами такое, что обратное к нему преобразование
является преобразованием того же типч Легко видеть, что
линейное преобразование с целочисленными
коэффициентами является унимодулярным тогда и только тогда,
когда его определитель апагг— а12 а21 равен+1 или—1.
Для того чтобы найти все возможные дискретные
группы движений, поступим следующим образом. Выберем
точку 0 в качестве начала координат и представим
переносы, принадлежащие нашей группе А, с помощью
решетки L точек, в которые эти переносы переводят точку
О. Всякое преобразование нашей группы можно
рассматривать как поворот вокруг точки О с последующим
переносом. Первая—поворотная—часть операции
преобразования переводит решетку в себя. Кроме того, эти
повороты образуют дискретную и, следовательно, конечную
группу вращений Г={Д}. На языке кристаллографов
это — группа, определяющая класс симметрии
орнамента. Группа Г должна быть одной из групп таблицы (7)
Леонардо
С,„ Dn (л = 1, 2, 3, ...), (8)
обладающей тем свойством, что преобразования этой
группы переводят решетку L в себя. Эта связь между группой

вращений Г и решеткой L накладывает некоторые
ограничения и на группу, и на решетку.
Что касается группы Г, то из таблицы следует
исключить все значения п, кроме п— 1,2,3, 4, 6. Заметьте, что
п, равное 5, оказывается среди исключенных значений!
^__^ Так как решетка допускает
/V ' 7\ поворот на 180°, то наимень-
/ \ / \v ший поворот, оставляющий
/ \ / у„ n. ее без изменения, должен
С^^ \ I/ ^^Y3 быть равен 180°, деленным
^v^ \ 1/^^^ на целое число, т. е. иметь
^^ж^Г вид
^*^^ / \ ^~""\^^ 360°, деленное на 2, 4,6,8,...
\ / \ irA* Нам следует показать, что
\^ / \ / числа 5г 8 невозможны.
N. / \у Возьмем случай л=8. Пусть
д=* А — точка решетки фО, рас-
; положенная ближе всех к О
Рис. 59. (рис. 59). Тогда весь
восьмиугольник А—Ах, A2,AS,...,
получающийся из Л последовательными поворотами пло-
скости вокруг точки О на у полного угла, состоит из
точек решетки. Так как ОА1,ОА.2 — векторы решетки, то
их разность — вектор А^^—также должна принадлежать
решетке, а поэтому точка В, определяемая тем, что ОВ=
= А1А2, должна быть точкой решетки. Однако это
приводит к противоречию, так как В расположена ближе к О,
чем точка A=Alt поскольку сторона АгА2 правильного
восьмиугольника меньше его радиуса О Ах.Следовательно,
длягруппы Г имеются только следующие 10возможностей:
С1( С2, С3, С4, Ce; Dlt D2, D3, D4, D6. (9)
Легко видеть, что для каждой из этих групп и в самом
деле существуют решетки, инвариантные относительно
преобразований соответствующей группы.
Очевидно, что для Сх и Сг такой решеткой является
любая решето, так как всякая решетка инвариантна
относительно тождественного преобразования и
поворота на 180°. Но рассмотрим группу D,, состоящую из
тождественного преобразования и отражения относи-

тельно оси I, проходящей через О. Имеется два типа
решеток, инвариантных относительно этой группы:
прямоугольные и ромбические (рис. 60). Прямоугольная
решетка получается, когда плоскость делится на равные
прямоугольники прямыми, одни из которых
параллельны /, а другие ей
перпендикулярны. Вершины получаю- -i* ^С ${■ -L
щихся при этом прямоуголь- \ /\ /\ /
никое являются точками ре- \У \У \У
шетки. Естественный базис /\ /\ /\
такой решетки образуют две \/ \ / \ / \/
стороны е1( е2, выходящие из /ч /Hlllllllllf \ 7
точки базисного прямоуголь- \ / I 1 \ /
ника, левая нижняя вершина У |,| X
которого есть О. Ромбическая / \ If If / \
решетка состоит из одинако- -^С \ ИЩИ £ ч
вых ромбов, на которые плос- \ А к А к /
кость разделяется диагоналя- \ijj ^kJjj ||k/
ми прямоугольной решетки. /ч||^^BjjjF\
Базисом решетки в этом случае / ^ ¥ j Y \
могут служить две стороны ба- ~/\ ^ч 7f |ч~"
зисного ромба, левая вершина
которого есть О. Точками ре- Рис- 60-
шетки являются вершины о
прямоугольников и их центры •. (Именно такое
расположение деревьев в виде ромбовидной решетки Томас
Браун назвал квинкунциальным, так как считал,
что его элементарной фигурой является квинкункс 42
• , однако на самом деле число 5 не имеет
никакого отношения к этой решетке.) Форма и размеры
базисного прямоугольника и базисного ромба произвольны.
Найдя рее десять возможных групп Г вращений и
инвариантных относительно каждой из них решеток L и
«приклеив» каждую группу Г к соответствующей решетке
L, мы получим полные группы движений. Более
подробное исследование показывает, что хотя для Г имеется
10 возможных случаев, для полной группы Л
существует в точности 17 существенно различных возможностей.
Таким образом, имеется 17 существенно различных
видов симметрии, которыми может обладать двумерный
орнамент с двойным бесконечным отношением. Образцы
всех 17 групп симметрии обнаружены среди декоративных

узоров древности, в особенности среди египетских
орнаментов. Вряд ли возможно переоценить глубину
геометрического воображения и изобретательность,
запечатленные в этих узорах. Их построение далеко не
тривиально в математическом отношении. Искусство
орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю
часть известной нам высшей математики. Нет сомнения
в том, что вплоть до XIX века не существовало
необходимых понятий, с помощью которых можно было бы дать
полную абстрактную математическую формулировку
основной проблемы, а именно, не было математического
понятия группы преобразований. Только на основе
этого понятия можно было доказать, что 17 видов симметрии,
в неявном виде известных еще египетским
ремесленникам, исчерпывают все возможные случаи. Довольно
странно, что доказательство этого факта было дано лишь в
1924 г. Д. П о й я 43 (Georg Polya), в настоящее время
преподающим в Станфордском университете*).
Арабы делали много попыток построения
орнамента, основанного на числе 5, но, разумеется, так и не
смогли ввести в свои орнаменты с двойным бесконечным
отношением настоящую поворотную симметрию пятого
порядка. Правда, они испытывали различные
обманчивые компромиссные варианты. Можно сказать, что арабы
экспериментально доказали невозможность
пятиугольника в орнаменте.
Если наше утверждение о том, что нет других групп
вращений, оставляющих инвариантными решетки,
кроме десяти групп (9), очевидно, то с утверждением о
существовании не более чем 17 различных групп орнаментов
дело обстоит иначе. Это требует некоторых пояснений.
Например, если T—Clt то группа А есть группа,
состоящая только из переносов; однако если при этом
возможна любая решетка, т. е. если базисный
параллелограмм, построенный на двух базисных векторах
решетки, может иметь любую форму и размеры, то мы имеем
возможность выбирать из непрерывного бесконечного
многообразия возможных случаев. Считая, что число
групп равно 17, мы рассматриваем все эти случаи за
один,— однако на каком основании? Здесь мне и потре-
*) См. его статью «t'ber die Analogie der KristaUsymmetrie
in der Ebene», ZeiUchr. fur Kristallographie 60, 278—282.

буется аналитическая геометрия. Если мы будем
рассматривать нашу плоскость с точки зрения аффинной
геометрии, то окажется, что она обладает двумя
структурами: (I) метрической структурой, при которой каждый
вектор х имеет длину, квадрат которой выражается
через координаты с помощью положительно определенной
квадратичной формы (3) — основной метрической формы,
и (II) решеточной структурой, благодаря тому, что
орнамент определяет плоскость с векторной решеткой. При
обычном подходе сначала рассматривают метрическую
структуру и вводят декартову систему координат, в
которой основная метрическая форма имеет единственный
канонический вид х\Л-х\, в то время как при
алгебраическом представлении непрерывного многообразия
инвариантных решеток остается некоторый переменный
элемент. Однако вместо того, чтобы приспособлять наши
координаты к метрике, допуская лишь декартовы
координаты, мы можем сначала ввести решеточную структуру
и приспособить систему координат к решетке, выбрав в
качестве ее базиса векторы еи е2. В результате решетка
окажется теперь нормированной однозначно
определенным образом, если только она будет выражена через
соответствующие координаты хи х2. В самом деле, векторы
решетки становятся теперь векторами, координаты
которых суть целые числа. Вообще говоря, мы не можем
проделать две эти вещи в одно и то же время: иметь и систему
координат, в которой основная метрическая форма
выступает в каноническом виде х\-\-х\, и решетку,
состоящую из всех векторов с целочисленными координатами
хъ х2. Поэтому мы применяем второй подход, который в
математическом отношении оказывается более выгодным.
Я считаю, что такой анализ имеет основное значение
для всех видов учения о формах.
В качестве примера рассмотрим еще раз группу Dv
Если инвариантная решетка прямоугольна и ее базис
выбран описанным вьше естественным образом, то Dl
состоит из тождественного преобразования и
преобразования
Х± = Лj, Л2 ~ Xq.
В этом случае основная метрическая форма может быть
любой положительно определенной формой специального
вида a^xl-j-a^xl. Если инвариантная решетка является

ромбической решеткой и если стороны базисного ромба
выбраны в качестве базиса решетки, то Dv состоит из
тождественного преобразования и еще одной операции
Aj = Х%, л2 = Aj.
Основной метрической формой может служить любая
положительно определенная форма специального вида
а(х\-\-х\)-\-2Ьх1х2. Но вместо Dl мы теперь получаем две
группы Di, Dbx линейных преобразований с
целочисленными коэффициентами, которые, хотя они и
ортогонально эквивалентны, уже не унимодулярно эквивалентны;
первая из этих групп состоит из двух преобразований с
матрицами коэффициентов
(о i)> (о -i)'
а вторая — из преобразований с матрицами
(о i)« (1 о)-
Две группы однородных линейных преобразований
называются унимодулярно эквивалентными, разумеется, в
том случае, если обе они представляют одну и ту же
группу операций, — одну в одном, а другую — в другом
базисе решетки, т. е. если эти группы переходят одна в
другую при унимодулярном преобразовании координат *4.
В приспособленной к решетке системе координат
преобразования группы Г теперь выступают как
однородные линейные преобразования (4) с целочисленными
коэффициентами aij, так как, поскольку каждая из них
переводит решетку в себя, координаты х'и х'г принимают
целочисленные значения всегда, когда хх, х2 — целые
числа. Произвол в выборе базиса решетки выражается
в соглашении рассматривать унимодулярно
эквивалентные группы линейных преобразований как один и тот
же объект. Помимо того, что преобразования группы Г
имеют целочисленные коэффициенты, они обладают тем
свойством, что относительно них инвариантна
некоторая положительно определенная квадратичная форма (3).
Однако на самом деле это обстоятельство не вносит
дополнительных ограничений; действительно, можно
показать, что для любой конечной группы линейных
преобразований с действительными коэффициентами можно
построить положительно определенные квадратичные

формы, инвариантные относительно этих
преобразований *). Возникает вопрос, сколько же существует
различных, т. е. унимодулярно неэквивалентных, конечных
групп линейных преобразований с целочисленными
коэффициентами при двух переменных? Может быть, это
и есть десять наших старых знакомых (9)? Нет,
существуют группы кроме них, так как мы видели, что,
например, Dt распадается на два неэквивалентных случая
D1 и D\. То же самое происходит и с D2, и с D3, откуда
получается, что существует в точности 13 унимодулярно
неэквивалентных конечных групп линейных операций
с целочисленными коэффициентами. С математической
точки зрения это гораздо более интересный результат,
чем таблица (9) из десяти групп вращений с
инвариантными решетками.
На последнем этапе следует ввести переносные части
преобразований. Мы получаем 17 унимодулярно
неэквивалентных дискретных групп неоднородных линейных
преобразований, содержащих все переносы
%1 = -^1 I "1> %2 == -^2 Г ^2>
где Ьг и 62 — целые числа, и только такие переносы.
Этот последний этап представляет некоторую трудность,
и в замечаниях, которые осталось сделать, лучше всего
исходить из случая 13 конечных групп Г однородных
преобразований, которые получаются, если вычеркнуть
их переносные части.
До сих пор мы принимали во внимание только
решетчатую структуру плоскости. Разумеется, нельзя все
время пренебрегать метрикой плоскости. Но тут-то и
возникает тот аспект нашей проблемы, который связан
с понятием непрерывности. Для каждой из 13 групп Г
существуют инвариантные положительно определенные
квадратичные формы
G (Х) =£ll*l + 2gl2*A +#22-*;2•
*) Это — известная теорема Машке (Н. Maschke).
Доказательство ее достаточно просто. Возьмем любую положительно
определенную квадратичную форму, например х\-\-х\, и выполним над
ней все преобразования S нашей группы; сумма получившихся при
этом форм и является инвариантной положительно определенней
формой

Форма такого вида характеризуется коэффициентами
feu. §и> fe)- Форма G (х) определяется группой Г не
единственным образом; например, вместо G (х) можно
взять любую из форм вида c-G (x), где с — постоянный
множитель, являющийся положительным
действительным числом. Все положительно определенные
квадратичные формы G (х), инвариантные относительно
преобразований из группы Г, образуют непрерывный выпуклый
одно-, двух- или трехмерный «конус» 45 весьма простой
природы. Например, для случаев Df и D\ мы получаем
двумерные многообразия, состоящие, соответственно, из
всех положительно определенных форм вида a^l+a^l и
a (xl+xl)Jr2bx1x2- Основная метрическая форма всегда —
одна из многообразия инвариантных форм.
При полном описании групп А симметрии орнаментов
мы теперь четко разграничиваем свойства, носящие
дискретный характер, и свойства, которые могут
непрерывно изменяться. Дискретное свойство проявляется
тогда, когда группу выражают через координаты,
приспособленные к решетке, и оказывается, что она является
одной из семнадцати различных алгебраически
определенных групп. Каждой из этих групп соответствует
некоторое непрерывное многообразие возможностей для
основной метрической формы G (х), из которого следует
выбрать действительную основную метрическую форму.
Преимущества приспособления системы координат к
решетке, а не к метрике становятся очевидными, если мы
учтем, что в этом случае переменный элемент G (х)
принимает значения из простого выпуклого
непрерывного многообразия, в то время как решетка L,
выраженная в координатах, приспособленных к метрике, и
выступающая в этом случае как переменный элемент,
пробегает непрерывное многообразие, которое, как
показывает пример группы Dlt может состоять из нескольких
частей. Это преимущество полностью проявляется лишь
тогда, когда от однородной группы Г={А}- мы переходим
к полной группе А орнаментальной симметрии.
Расщепление на дискретное и непрерывное представляется мне
основным результатом всех видов учения о формах;
учение о формах орнаментов и кристаллов дает нам образец
четкого проведения этого различия.
После всех этих до некоторой степени абстрактных
математических обобщений я хочу показать вам ряд изобра-

жений плоских орнаментов с двойным бесконечным
отношением. Вы встречаете их на обоях, коврах,
кафельных и паркетных полах, на тканях различных видов,
особенно набивных, и т. д. Стоит только открыть глаза, как
мы поразимся тем многочисленным симметричным
узорам, которые окружают нас в повседневной жизни.
Величайшими мастерами геометрического искусства
орнамента были арабы. Богатство лепных орнаментов,
украшающих стены таких сооружений арабского
происхождения, как Альгамбра в Гранаде, просто
поразительно.
Для нашего описания полезно знать, как выглядит
движение в случае двух измерений. Собственное
движение может быть либо переносом, либо поворотом вокруг
точки О. Если такой поворот имеется в нашей группе
симметрии и углы всех содержащихся в ней вращений вокруг
п 360° п
точки О кратны , то мы называем точку и п-кратным
полюсом или просто п-полюсом. Мы знаем, что п не может
принимать никаких других значений, кроме п=2, 3, 4, 6.
Зеркальное движение является либо отражением от
некоторой прямой /, либо сочетанием отражения от / с
переносом а вдоль прямой /. Если такое движение содержится
в нашей группе, то прямая / называется, соответственно,
осью или скользящей осью. В последнем случае итерация
движения приводит к сдвигу на вектор 2а, и,
следовательно, вектор скольжения а должен быть равен
половине вектора решетки нашей группы.
На первом из следующих далее рисунков (рис. 61) вы
видите изображение шестиугольной решетки, с
рассмотрения которой началась настоящая лекция. Она обладает
весьма богатой симметрией. Имеются полюсы кратности
2, 3 и 6, на чертеже отмеченные, соответственно,
точками, треугольниками и маленькими шестиугольниками.
Векторы, соединяющие два 6-полюса, являются
векторами решетки, прямые служат осями. Имеются также
скользящие оси, не показанные на чертеже, они расположены
между осями на равном расстоянии от них и
параллельны им. Число возможных групп симметрии
шестиугольного типа равно пяти. Эти группы получатся, если
поместить одну из простых фигур 6, 6', 3', За или ЗЬ в
каждый из 6-полюсов. Схемы 6 и 6' сохраняют кратность
этих полюсов, равную 6, однако схема 6' приводит к

утрате осей симметрии. Схемы 3', 3aw 3b понижают
кратность этих полюсов до 3, причем в случае 3' оси
симметрии отсутствуют, в случае За оси проходят через каждый
3-полюс, а в случае ЗЬ оси проходят только через те из
полюсов (составляющих треть общего их количества),
которые ранее были 6-полюсами. Однородными группами
являются, соответственно, De, С6, С3, D%, Dbs, где D% и
D\ — две унимодулярно неэквивалентные формы
группы D3 в системе координат, приспособленной к решетке.
Рассмотрим теперь несколько орнаментов
мавританского, египетского и китайского происхождения.
Изображенное на рис. 62 окно мечети в Каире (XIV век)
обладает шестиугольной симметрией класса De. Основной
фигурой является петля в виде трилистника, различные
элементы которой переплетены с исключительным
мастерством. Почти не прерывающиеся лучи, в трех
направлениях пересекающие узор, получаются поворотом
горизонтальной прямой, соответственно, на 0", на 60° и на

120°; между этими лучами, на равном расстоянии от них,
проходят скользящие оси. Прямые, служащие обычными
осями, вы найдете без труда. Такие оси отсутствуют на
орнаменте (рис. 63) из изразцов (azulejos), украшающем
заднюю стену алькова в постельной зале (Sala de Camas)
в Альгамбре (Гранада). Группа симметрии этого
орнамента есть 3' или 6',— в зависимости от того,
учитывается или нет цвет его элементов. Один из тонких приемов
орнаментального искусства состоит в том, что симметрия

геометрического узора, выражаемая некоторой группой
Д, за счет использования цвета понижается до симметрии
более низкого порядка, выражаемой некоторой
подгруппой группы А. Квадратную симметрию класса Di
демонстрирует известная схема клинкерной мостовой (рис.
64);^ особенность состоит в том, что здесь нет обычных
осей, а имеются только скользящие оси, проходящие
через 4-полюсы (один из которых отмечен). Такой же сим-

Рис. 64
Рис. 65.
Г. с Ы.

Рис. 67.
Рис. 68.

метрией обладает и помещенный рядом египетский
орнамент (рис. 65), а также два мавританских орнамента
(рис. 66). Монументальным трудом по интересующему
нас вопросу служит «Грамматика орнаментов» (Grammar
of ornaments) Джонса (Owen Jones), откуда и
заимствованы некоторые из приведенных иллюстраций.
Более специальный характер носит «Грамматика китайской
решетки» (Grammar of Chinese lattice) Д а я (Daniel
Sheets Dye), рассматривавшего решетки, используемые
китайцами в качестве каркаса для их бумажных окон.
Я воспроизвожу здесь два характерных рисунка из этого
труда (рис. 67 и 68); один из них обладает шестиугольной
симметрией, а другой — симметрией типа D4.
Мне хотелось бы детально проанализировать
некоторые из этих орнаментов. Однако предпосылкой такого
исследования должно быть подробное алгебраическое
описание 17 групп орнаментов. С другой стороны, цель,
стоящая перед этими лекциями, заключается скорее в
уяснении общих математических принципов, лежащих в
основе учения о форме орнаментов (и кристаллов), чем в
теоретико-групповом исследовании отдельных
орнаментов. Недостаток времени мешает мне уделить обеим
сторонам вопроса, абстрактной и конкретной, то внимание,
которого они заслуживают. Я старался разъяснить
соответствующие основные математические понятия и
показал вам ряд рисунков^ являющихся мостом, связывающим
те и другие, однако провести вас по нему шаг за шагом
я уже не имею возможности.

ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
КРИСТАЛЛЫ. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИДЕЯ
СИММЕТРИИ
В предыдущей лекции мы рассматривали — для
случая двух измерений — проблему составления полного
списка (I) всех ортогонально неэквивалентных конечных
групп однородных ортогональных преобразований, (II)
всех групп, имеющих инвариантные решетки, (III) всех
унимодулярно неэквивалентных конечных групп
однородных преобразований с целочисленными
коэффициентами, (IV) всех унимодулярно неэквивалентных
дискретных групп неоднородных линейных преобразований,
содержащих переносы с целочисленными координатами и
только такие переносы.
На проблему (I) ответ дает список Леонардо
С„, D„ (п=1, 2, 3, ...);
ограничивая индекс п значениями п=\, 2, 3, 4, 6, мы
получаем решение проблемы (II). Число групп в каждом из
этих четырех списков — обозначим эти числа через
h{, hn, hui, hlv — оказываются, соответственно, равными
оо, 10, 13, 17.
Наиболее важной проблемой является, безусловно,
проблема (III). Те же четыре вопроса можно было бы
поставить не для двумерной плоскости, а для случая
одномерной прямой. Ответы на них получились бы весьма
простыми; оказывается, что в этом случае все четыре числа
hv hu, /г,,,, hw равны 2. В самом деле, в каждом из
случаев (I), (II), (III) группа состоит либо только из
тождественного преобразования х' — х, либо из тождественного
преобразования и отражения х'=-х.
Но не будем спускаться от двух измерений к одному,
а, напротив, поднимемся от двух измерений к трем.
В конце второй лекции были перечислены все конечные

группы вращений в трехмерном пространстве. Я
повторю их здесь.
Список А:
Сп, С_п, С2чСп (л-1, 2, 3, ...);
D'n, D'n, lj\nD-n, UnC2 __ (n- 2, 3, ...);
T, W, Я; 7, №', Я; tt?T.
Пели требуется, чтобы операции группы сохраняли
инвариантность решетки, то допустимыми считаются
только оси вращения, кратные двум, трем, четырем и шести.
При этом ограничении наша таблица даст нам следующий
Список В:
L-i Lo, С з > С 4, с, с, Cj, С 2 > ь3. С 4, Ь q ,
d;, d;, d4, d;; d;, d;, d;. d;;
^2^1, C4C2> {--6^3>
d;d;, о-ео:3,
d-2c2, Djca, d;c4, d;c6;
T. W, T, W, WT.
Он содержит 32 члена. Легко убедиться в том, что
каждая из этих 32 групп обладает инвариантными
решетками. В случае трехмерного пространства числа /г,, /г,,,
/гш, hiv имеют значения
оо, 32, 73, 230.
В своей алгебраической формулировке наша проблема
может быть поставлена не только для двух или трех, но
для любого числа т переменных хх, х2,..., хт, и для этого
случая были доказаны теоремы конечности. Эти
методы представляют огромный математический интерес.
Комбинация «метрика плюс решетка» лежит в основе
арифметической теории квадратичных форм, начало
которой положил Га j ее и которая играла главную роль
в теории чисел на протяжении всего XIX столетия. Это
направление исследований было продолжено Д и р и х-
л е (Dirichlet), Э р м и т о м (Hermite), а позже М и н-
к о в с к и м (Minkowski) и 3 и г е л е м (Siegel).
Исследование орнаментальной симметрии для т измерений
основывается на результатах, полученных этими
авторами, и на алгебраической и белее тонкой арифметической

теории так называемых алгебр, или систем
гиперкомплексных чисел 46, разработке которой посвятили много сил
алгебраисты последнего поколения [в Америке — прежде
всего Диксон (L. Dickson)].
Мы украшаем поверхности плоскими орнаментами;
пространственные орнаменты никогда не использовались
в искусстве. Но они встречаются в природе. Такими
пространственными узорами являются различные
расположения атомов в кристаллах. Геометрические формы
кристаллов с их плоскими поверхностями представляют
собой удивительное явление природы. Однако
подлинная физическая симметрия кристалла проявляется не
столько в его внешнем виде, сколько во внутреннем
строении кристаллического вещества. Допустим, что такое
вещество заполняет все пространство. Его
макроскопическая симметрия найдет свое выражение в некоторой
группе Г вращений. Физически неразличимыми
являются только такие ориентации кристалла в пространстве,
которые переходят в себя при каком-либо из вращений
этой группы. Например, свет, который, вообще говоря, в
кристаллической среде распространяется по различным
направлениям с различными скоростями, будет
распространяться с одной и той же скоростью по любым двум
направлениям, которые получаются одно из другого
вращением из группы Г. Так же обстоит дело в случае
других физических свойств. Для изотропной среды группа
Г состоит из всех вращений, однако в случае кристалла
она состоит из конечного числа вращений, а в
некоторых случаях даже из одного тождественного
преобразования. Из рассмотрения расположения плоских
поверхностей кристаллов на заре кристаллографии был
получен закон рациональных индексов. Это привело к
гипотезе о том, что атомная структура кристаллов подобна
решетке. Эта гипотеза, объясняющая закон
рациональных индексов, в настоящее время с полной
определенностью подтверждена интерференционными картинами
Л а у э, которые, в сущности, являются рентгеновскими
фотографиями кристаллов.
Точнее, эта гипотеза утверждает, что дискретная
группа А движений, переводящих расположение атомов
в нашем кристалле в себя, содержит самое большее три
линейно независимых переноса. Впрочем, эту гипотезу
можно свести к гораздо более простым требованиям. Ато-

мы, переходящие друг в друга при некотором движении
из А, можно назвать эквивалентными. Эквивалентные
атомы образуют правильное точечное множество в том
смысле, что множество переходит в себя при каждом
движении из Л и что для любых двух точек множества
имеется движение из А, переводящее одну из них в другую.
Говоря о расположении атомов, я имею в виду их
положения в состоянии равновесия. В действительности же
атомы колеблются вокруг этих положений. По-видимому,
следует руководствоваться идеями квантовой механики
и вместо точных положений атомов рассматривать
среднюю плотность их распределения; эта плотность
распределения в пространстве выражается функцией,
инвариантной относительно движений из группы А. Группа
Г={А} поворотных частей движений, являющихся
элементами группы А, оставляет инвариантной решетку L
точек, получающихся из точки О — начала координат —•
переносами, содержащимися в группе А. Возникающие
при этом для группы Г 32 возможности перечислены в
списке В в соответствии с 32 действительными классами
симметрии кристаллов. Как уже упоминалось выше, для
самой группыА мы имеем 230 различных возможностей*)47.
В то время как группа Г={А} описывает внешне
проявляющуюся макроскопическую пространственную и
физическую симметрию, группа А определяет скрывающуюся
за ней микроскопическую атомную симметрию. Вы все,
вероятно, знаете, на чем основан успех опыта Л а у э
по фотографированию кристаллов. Изображение
некоторого объекта, начерченное светом определенной
длины волны, будет достаточно точным лишь по отношению к
деталям, размеры которых являются значительно
большими, чем длина световой волны; детали же меньших
размеров смазываются. Длина волны обычного света
приблизительно в тысячу раз превосходит расстояния между
атомами. Но длина волны рентгеновских лучей имеет
как раз требуемый порядок в 10"8 см.Таким образом,
Лауэ убил одним выстрелом сразу двух зайцев: он
подтвердил факт решетчатого строения кристаллов и вместе
стемдоказал то, что до его открытия (1912 г.) было только
робкой гипотезой,—что рентгеновские лучи представляют
*) См., например, Р. N i g g 1 i, Geometrische Kristallographie
des Diskontinuums, Gebriider Borntrager, Leipzig, 1919.

собой излучение с малой длиной волны. Однако даже при
этих условиях изображения расположения атомов на
фотографиях Лауэ (лауэграммах) не обладают сходством с
последними в буквальном смысле слова. При наблюдении
щели, ширина которой всего в несколько раз больше
длины световой волны, вы получите искаженное изображение
этой щели, состоящее из интерференционных полос.
Точно так же и лауэграммы представляют собой
интерференционные изображения атомной решетки. Однако по этим
фотографиям можно вычислить действительное
расположение атомов, причем масштаб определяется длиной
волны рентгеновских лучей. Перед вами две лауэграммы
цинковой обманки (рис. 69 и 70) из статьи самого Лауэ
(1912 г.); снимки сделаны в направлениях, позволяющих
увидеть симметрию относительно осей, соответственно,
четвертого и третьего порядков. Когда я читал лекцию, я
мог продемонстрировать аудитории разнообразные
трехмерные (увеличенные) модели действительного
расположения атомов; в печатном тексте приходится
довольствоваться фотографией одной из таких моделей (рис. 71);
модель изображает структуру куска кристалла анатаза
с химическим строением Ti02; светлые шарики
изображают атомы титана, темные — атомы кислорода.
Несмотря на все искажения в рентгеновских
изображениях, симметрия кристалла воспроизводится верно.
Это обстоятельство является частным случаем
следующего общего принципа. Если условия, однозначно
определяющие какой-либо эффект, обладают некоторой
симметрией, то и результат их действия обнаруживает ту же
симметрию. Поэтому Архимед и сделал априорный
вывод, что равные грузы должны находиться в
равновесии на чашах весов с равными плечами. Действительно,
в этом случае вся конфигурация симметрична
относительно плоскости симметрии весов, и поэтому исключено,
чтобы одно плечо опустилось, а другое поднялось. По
той же причине мы можем быть уверены, что при
бросании кости, имеющей форму правильного куба,
выпадение любой грани происходит с одной и той же
вероятностью, равной -g-. Таким образом, в силу симметрии,
относящейся к специальным случаям, мы иногда можем
делать априорные предсказания, в общих же случаях —
примером служит закон равновесия для весов, имеющих

Рис. 69.
Рис. 70.

плечи различной длины,— результат может быть
извлечен только из опыта или из физических принципов, в
конечном счете также основанных на опыте. Насколько
я могу судить, все априорные утверждения физики
имеют своим источником симметрию.
К этому теоретико-познавательному замечанию о
симметрии я добавлю еще одно. В настоящее время
законы форм кристаллов понимаются в терминах динамики
атомов: если одинаковые атомы действуют друг на друга
с некоторыми силами,— что делает возможным
определенное состояние равновесия для данного атомного ансамбля
в целом,— то атомы в состоянии равновесия
обязательно расположатся в виде правильной системы точек.
Природа атомов, образующих кристаллы, определяет,
при данных внешних условиях, их метрическое
размещение, исследование форм которого, подытоженное 230
группами симметрии А, все еще оставляет возможность
непрерывно изменяться в некоторых пределах
Динамика кристаллической решетки обусловливает физическое

поведение кристалла, в частности, характер его
роста, а это в свою очередь определяет ту специфическую
форму, которую кристалл принимает под влиянием
факторов окружающей среды. Поэтому не удивительно, что
кристаллы, фактически встречающиеся в природе,
обнаруживают возможные типы симметрии в столь
разнообразных формах, приведших в изумление Ганса Кас-
торпа на его Волшебной горе. Видимые характеристики
физических объектов обычно являются результатом
взаимодействия их внутреннего строения и окружающей
среды. Находится ли вода, молекула которой обладает
определенным химическим строением, в твердом, жидком
или парообразном состоянии,— это зависит от
температуры. Температура же по преимуществу является
фактором окружающей среды. Примеры из кристаллографии,
химии и генетики заставляют подозревать, что
двойственность, которую биологи выражают словами «генотип и
фенотип» или «природа и обучение» (английское «nature and
nurture»), каким-то образом связана с различием между
дискретным и непрерывным; мы видели, что такое
расщепление на дискретное и непрерывное для характерных
особенностей кристаллов можно произвести весьма
убедительно48. Однако не буду отрицать, что в целом эта
проблема недостаточно ясна с теоретико-познавательной
(epistemological) точки зрения.
Давно пора было бы закончить рассмотрение
геометрической симметрии, воплощенной в орнаментах и
кристаллах. Главная цель этой последней лекции состоит в
выяснении того, как действует принцип симметрии в
гораздо более важных вопросах физики и математики,
чтобы, отталкиваясь от них и от рассмотренных ранее
приложений, прийти к окончательной общей формулировке
самого принципа.
Каким образом связана с симметрией теория
относительности — кратко разъяснено в первой лекции:
прежде чем изучать геометрические формы в пространстве с
точки зрения их симметрии, необходимо исследовать в
том же аспекте структуру самого пространства. Пустое
пространство обладает весьма высокой степенью
симметрии: любая точка подобна любой другой, и ни в одной
точке нет внутреннего различия между разными
направлениями. Я уже говорил, что Лейбниц придавал
геометрическому понятию подобия следующий философ-

ский оттенок. Лейбниц называл подобными две вещи,
которые неразличимы, если каждую из них рассматривать
саму по себе. Так, между двумя квадратами на
плоскости может быть много различий, если рассматривать один
из них по сравнению с другим, например, стороны
одного квадрата могут быть наклонены под углом в 34° к
сторонам другого. Но если брать каждый из них в
отдельности, то всякое объективное высказывание, сделанное
относительно одного, будет выполняться и для другого;
в этом смысле они неразличимы и, следовательно,
подобны. Каким требованиям должно удовлетворять
высказывание, чтобы быть объективным, я проиллюстрирую
на примере слова «вертикальный». В отличие от Э п и к у-
р з, мы, современные люди, не считаем высказывание, что
прямая вертикальна, объективным, так как мы видим
в нем лишь сокращенную форму более полного
высказывания о том, что данная прямая имеет направление
силы тяжести в некоторой точке Р. Таким образом,
гравитационное поле входит в наше суждение как фактор,
определяемый некоторыми условиями; кроме того, в
рассматриваемое высказывание входит упоминание о
конкретной точке Р, относительно которой предполагается,
что мы можем на нее каким-либо способом указать,
например с помощью таких слов, как «я», «здесь», «теперь»,
«эта». Следовательно, представление Эпикура
провалилось, как только стало известно, что направление силы
тяжести различно здесь, в том месте, где я живу, и там, в
том месте, где живет Неру, и что его можно изменять
путем перераспределения материи.
Мы не будем тщательно анализировать понятие
объективности и удовлетворимся этими краткими
замечаниями. В конкретных рассмотрениях, поскольку речь
шла о геометрии, мы, следуя Гельмгольцу,
принимали в качестве одного основного объективного
отношения в пространстве отношение конгруэнтности. В начале
второй лекции мы говорили о группе движений,
содержащейся в виде подгруппы в группе всех подобий.
Прежде чем идти дальше, я хотел бы несколько подробнее
разъяснить отношение между этими двумя группами. Ибо
тут имеется тревожный вопрос об относительности
длины.
В обычной геометрии длина относительна: здание и
небольшая модель его подобны; растяжения входят в

число автоморфизмов. Но физика обнаружила, что
абсолютный эталон длины содержится в самом строении
атома, точнее, в его элементарных частицах, в частности
в электроне, имеющем определенный заряд и массу. Этот
атомный эталон длины становится доступным для
использования в практических измерениях с помощью длин
волн спектральных линий излучения, испускаемого
атомами. Абсолютный эталон, извлекаемый таким способом
из самой природы, имеет большие преимущества перед
условным эталоном длины — платино-иридиевым
метровым стержнем, хранящимся в подвалах
Международного комитета мер и весов в Париже. Мне кажется, что это
положение вещей можно охарактеризовать следующим
образом. По отношению к полной системе отсчета можно
характеризовать числами не только точки пространства,
но и все физические величины. Две системы отсчета
одинаково допустимы, если в каждой из них все
универсальные геометрические и физические законы природы
имеют то же самое алгебраическое выражение.
Преобразования, устанавливающие связь между такими одинаково
допустимыми системами отсчета, образуют группу
физических автоморфизмов; законы природы инвариантны
при преобразованиях этой группы. Установлено, что
преобразование этой группы однозначно определяется
той его частью, которая относится к координатам точек
пространства. Таким образом, мы можем говорить о
физических автоморфизмах пространства. Их группа не
содержит растяжений, так как атомные законы
фиксируют абсолютную длину, но содержит отражения, так
как ни один закон природы не указывает на внутреннее
различие между левым и правым. Следовательно, группа
физических автоморфизмов есть группа всех собственных
и зеркальных движений. Если назвать две конфигурации
в пространстве, переходящие одна в другую при
некотором преобразовании этой группы, конгруэнтными, то
тела, являющиеся зеркальными отражениями друг друга,
также конгруэнтны. Мне кажется, что этим определением
конгруэнтности следует заменить определение
конгруэнтности, основанное на понятии движения твердого
тела, по причинам, аналогичным тем, которые
заставляют физика заменить обычный термометр
термодинамическим определением температуры. Как только группа
физических автоморфизмов — конгруэнтных отображений

установлена, становится возможным дать определение
геометрии как науки, изучающей отношение
конгруэнтности пространственных фигур; в этом случае
геометрические автоморфизмы являются преобразованиями
пространства, переводящими любые два конгруэнтных тела
е конгруэнтные же тела. И не следует удивляться,
подобно Канту, что группа геометрических
автоморфизмов шире, чем группа физических автоморфизмов, и
содержит растяжения.
Все эти рассуждения страдают одним недостатком:
они не учитывают того, что физические явления
протекают не только в пространстве, но в пространстве и
времени; мир развертывается не как трех-, а как
четырехмерный континуум. Симметрия, относительность или
однородность этой четырехмерной среды впервые были
правильно описаны Эйнштейном. Зададим себе вопрос,
имеет ли утверждение о том, что два события произошли
в одном и том же месте, объективный смысл? Мы склонны
ответить — да; но очевидно, что, отвечая так, мы
понимаем под местом положение относительно Земли, на
которой протекает наша жизнь. Но разве справедливо
утверждение, что Земля покоится? Теперь^аже школьники
знают, что Земля вращается вокруг своей оси и
перемещается в пространстве. Ньютон написал свой
трактат «Математические начала натуральной философии»
(Philosophiae naturalis principla mathematica) для того,
чтобы ответить на этот вопрос — чтобы вывести, как он
говорил, абсолютное движение тел из их различий, из
их наблюдаемых относительных движений и из сил,
действующих на тела. Но, хотя он твердо верил в
абсолютность пространства, т. е. в объективность смысла
утверждения о том, что два события произошли в одном и том
же месте, ему удалось выявить не объективное различие
между состоянием покоя материальной точки и всеми
возможными другими движениями, а лишь отличие
движения по прямой с постоянной скоростью, так
называемого равномерного и прямолинейного движения, от всех
остальных движений. Поставим, далее, вопрос: имеет
ли объективный смысл утверждение о том, чго два
события происходят в одно и то же время (но в различных
местах, например, здесь и на Сириусе)? До Эйнштейна
люди отвечали — да. Основанием такого убеждения
является, очевидно, привычка людей рассматривать собы-

тия так, как б\дто они происходят в тот момент, когда
их наблюдают. Однако основа эюй уверенности была
давно подорвана благодаря открытию Р ё м е р a (Olaf
Roemer), показавшего, что свет распространяется не
мгновенно, а имеет конечную скорость. Таким образом, стали
понимать, что для четырехмерного
пространственно-временного континуума непосредственно проверяемое
значение имеет лишь утверждение о совпадении или о
ближайшем соседстве двух мировых точек, т. е. точек вида
«здесь — теперь». Но описываются ли объективные
свойства структуры мира расслоением этого четырехмерного
континуума на трехмерные слои одновременных событий
и расщеплением его на одномерные волокна — мировые
точки линий, находящихся в состоянии покоя,— это
стало весьма сомнительным. То, что сделал Эйнштейн,
состояло в следующем: подходя совершенно непредвзято,
он собрал все естественнонаучные данные о
действительной структуре четырехмерного
пространственно-временного континуума и нашел подлинную группу
автоморфизмов этого континуума. Эта группа получила
название группы Лоренца, в честь голландского физика
Лоренца (Н. A. Lorentz), Иоанна Предтечи теории
относительности, проложившего путь для «евангелия от
Эйнштейна». Оказалось, что в этой группе нет ни
инвариантных слоев одновременных событий, ни
инвариантных волокон точек покоя. Световой конус —
геометрическое место всех мировых точек, до которых дошел
световой сигнал, посланный из определенной мировой
точки «здесь — теперь» О,— разделяет мир на прошлое и
будущее: на такую часть мира, которую еще можно
изменить теми воздействиями, которые я оказываю из точки
О, и на ту его часть, для которой это невозможно. Это
значит, что никакое действие не может распространяться
со скоростью, большей скорости света, и что мир
обладает некоторой объективной причинной структурой,
описываемой такими световыми конусами, исходящими из
каждой мировой точки О. Здесь не место выписывать
преобразования Лоренца и пояснять, как из специальной
теории относительности с ее представлениями о
неизменной причинной и инерциальной структуре возникает
общая теория относительности, в которой эти структуры
становятся переменными по причине их взаимодействия с

материей *). Я хочу лишь обратить внимание на то, что
теория относительности касается именно симметрии,
присущей четырехмерному пространственно-временному
континууму.
Мы обнаружили, что объективность означает
инвариантность относительно группы автоморфизмов.
Действительность может не всегда давать ясный ответ на вопрос,
что на самом деле представляет собой такого рода группа
автоморфизмов, и для целей некоторых исследований
может быть весьма полезна замена этой группы некоторой
другой, более широкой группой. Например, может
случиться, что в геометрии на плоскости нас будут
интересовать только такие отношения, которые являются
инвариантными относительно параллельного или
центрального проектирования,— тогда появляются аффинная и
проективная геометрии. Чтобы \честь возможные случаи
такого рода, математик формулирует общую проблему,
состоящую в том, чтобы для данной группы
преобразований найти ее инварианты (инвариантныесоотношения,
инвариантные величины и т. д.) и, решив эту проблему
для более важных частных случаев групп, установить,
могут ли эти группы быть группами автоморфизмов для
определенной области явлений природы. Это и есть то,
что Клейн (Felix Klein) назвал «геометрией» в
абстрактном смысле 50. Геометрия, утверждал Клейн,
определяется некоторой группой преобразований и исследует
всякий объект, который инвариантен относительно
преобразований этой заданной группы. Говоря о симметрии,
имеют в виду некоторую подгруппу у всей группы.
Особого внимания заслуживают конечные подгруппы.
Фигура, т. е. любое точечное множество, обладает
специфическим родом симметрии, определяемым подгруппой у,
если эта фигура переходит в себя при преобразованиях
из у.
Два величайших события в физике XX века — это
создание теории относительности и квантовой механики.
Существует ли какая-нибудь связь между квантовой
механикой и симметрией? Безусловно, да. Симметрия
играет огромную роль в образовании атомных и
молекулярных спектров, ключ к пониманию которых дает кван-
*) Ср. мою недавнюю лекцию «50 лет теории относительности»,
прочитанную на мюнхенском заседании Общества немецких
естествоиспытателей (Die Naturwissenschaften 38 (1951), 73—83)4!l

товая физика. Громадное количество эмпирических
данных, относящихся к спектральным линиям, их длинам
волн и закономерностям, определяющим их, было
собрано еще до того, как квантовая физика достигла своего
первого успеха: этот успех состоял в теоретическом
выводе закономерностей, характеризующих так
называемую серию Бальмера в спектре атома водорода, и в
указании того, как связана входящая в него
характеристическая константа с зарядом и массой электрона и
знаменитой постоянной Планка ft. С тех пор истолкование
спектров сопровождает развитие квантовой физики, и новые
свойства — спин электрона и странный принцип запрета
Паули — были открыты именно на этом пути. Как
только были установлены эти основы, обнаружилось, что
симметрия может оказать огромную помощь в
объяснении общих закономерностей спектров.
В первом приближении атом можно рассматривать
состоящим из электронного облака, образованного,
например, п электронами и расположенного в точке О
неподвижного ядра, вокруг которого движутся эти
электроны. Я говорю «в первом приближении»—так как
предположение о том, что ядро неподвижно, является верным
лишь приблизительно; оно даже менее оправдано, чем
допущение неподвижности Солнца как центра нашей
Солнечной системы, так как масса Солнца в 300 000 раз
больше массы планеты, например Земли, а протон — ядро
атома водорода — тяжелее электрона менее чем в 2000
раз. Но даже и при этих условиях наше описание атома —
достаточно хорошее приближение! Для того чтобы
отличать друг от друга п электронов, отнесем им номера
1, 2, ..., п. В законы, управляющие движением
электронов, входят координаты их положения Ри Р2,..., Рп по
отношению к некоторой декартовой системе координат,
имеющей начало в 0. Господствующая здесь симметрия
носит двоякий характер. Во-первых, должна иметь место
инвариантность при переходе от одной декартовой
системы координат к другой; симметрия этого рода
происходит от поворотной симметрии пространства и выражается
группой геометрических вращений вокруг точки О. Во-
вторых, все электроны одинаковы; различие между их
номерами 1, 2,..., п является различием не по существу,
а лишь по названию: два ансамбля электронов,
получающихся один из другого произвольной перестановкой

электронов, неразличимы. Перестановка состоит в
изменении порядка номеров; по существу, она является
взаимно однозначным отображением множества номеров
(1, 2, ..., п) на себя, или, если угодно, отображением
соответствующего множества точек Plt P2, ..., Рп на себя.
Таким образом, для случая, например, п = 5 законы,
управляющие движением электронов, не должны
нарушаться, если вместо точек Ръ Р2, Р3, Р4, Ръ взять точки Ps, Ръ,
Р2, Pj, Р4 (перестановка 1->3, 2->5, 3-> 2, 4->-1, 5-»-4).
Такие перестановки образуют группу порядка /г! = 1 • 2-...
... • п, и второй род симметрии выражается с помощью этой
группы перестановок. Квантовая механика изображает
состояние физической системы вектором в пространстве
многих, фактически бесконечно многих, измерений. Два
состояния, получающихся одно из другого либо
возможным вращением системы электронов, либо одной из их
перестановок, связаны между собой некоторым линейным
преобразованием, соответствующим этому вращению или
перестановке. Следовательно, здесь нужна наиболее
глубокая и наиболее систематическая часть теории групп —
теория представлений групп линейными
преобразованиями. Я вынужден отказаться от более точного изложения
этого трудного вопроса. Но и здесь симметрия еще раз
послужила путеводной нитью для проникновения в
область огромного разнообразия и важности.
Оставим теперь искусство, биологию,
кристаллографию, физику и обратимся, наконец, к математике; этот
переход тем более оправдан, что необходимые нам
понятия, в особенности понятие группы, были впервые
развиты в рамках их приложений в математике, в частности
в теории алгебраических уравнений. Алгебраист — это
человек, имеющий дело с числами; действия, которые он
имеет возможность выполнять над ними, бывают лишь
четырех видов: +, —, X, :. Числа, получающиеся с
помощью этих четырех действий из чисел 0 и 1, являются
рациональными числами. Поле51 F этих чисел замкнуто
относительно операций этих четырех видов; это значит, что
сумма, разность и произведение двух рациональных
чисел представляют собой рациональные числа, и то же
имеет место для частного, если делитель отличен от нуля.
Поэтому у алгебраиста не было бы оснований выходить
за пределы этой области, если бы требования геометрии и
физики не вынудили математиков заняться ужасным де-

лом анализа непрерывности и не заставили их погрузить
рациональные числа в континуум всех действительных
чисел. Эта необходимость впервые появилась, когда
греки открыли несоизмеримость диагонали и стороны
квадрата. Вскоре Е в д о к с сформулировал общие
принципы, на основе которых можно осуществить построение
системы действительных чисел, пригодной для любых
измерений 52. Затем, в эпоху Возрождения, проблема
решения алгебраических уравнений привела к введению
комплексных чисел а-\-Ы с действительными
компонентами (а, Ъ). Тайна, вначале окутывавшая комплексные
числа и входящую в них мнимую единицу i = У—1,
полностью рассеялась, когда было осознано, что эти числа
являются не чем иным, как парами (а, Ь) обычных
действительных чисел, для которых сложение и умножение
определяется так, что сохраняются все обычные законы
арифметики. Действительно, это можно сделать
следующим способом: каждое действительное число а
отождествляется с комплексным числом (а, 0), а квадрат i-i = г'2
числа i = (0, 1) принимается равным —1 или, точнее,
(—1, 0). Таким образом, уравнение х% + 1 = 0, не
разрешимое ни при каком действительном числе х, становится
разрешимым. В начале XIX века было показано, что
введение комплексных чисел делает разрешимым не только
это, но и все алгебраические уравнения: уравнение
f(x) = xn + a1xn-1+atx"-i+...+an_1x + an = 0 (I)
имеет для неизвестного х (при любой степени п и любых
коэффициентах av) n решений или «корней» (как
принято говорить) ftj, Ь2, ..., ■§„ так, что многочлен f(x)
разлагается на п сомножителей:
f(x) = {x-01)(x-bj...(x-i>n).
Здесь х есть переменная, или неизвестное, а уравнение
следует рассматривать как утверждение о том, что
соответствующие коэффициенты в двух многочленах слева и
справа от знака равенства совпадают друг с другом.
Те соотношения между двумя неизвестными х и у,
которые может построить алгебраист с помощью своих
операций сложения и умножения, всегда можно
привести к форме R(x, у) = 0, где функция R(x, у) от двух
переменных х, у — многочлен, т. е. конечная сумма

одночленов вида
avyy" (fx, v = 0, 1, 2, ...)
с рациональными коэффициентами aJ4. Эти соотношения
и являются теми «объективными отношениями», которые
доступны для алгебраиста. Поэтому, если даны два
комплексных числа а, р\ он поставит вопрос, существуют ли и
каковы многочлены R(x, у) с рациональными
коэффициентами, обращающиеся в нуль, если в них подставить
значение а вместо неизвестного х, а f> — вместо у. Вместо
двух можно взять любое число данных комплексных
чисел dj, ..., ■&„. Алгебраист поставит также вопрос об
автоморфизмах этого множества 2 чисел, т. е. о тех
перестановках чисел ■&!, ..., ■&„, которые не нарушают ни одного
алгебраического отношения R(&ly ..., ftj = 0, имеющего
место между ними. Здесь R(xlt ..., хп)—любой
многочлен с рациональными коэффициентами от п переменных
х1( ..., хп, обращающийся в нуль при подстановке вместо
Xj, ...,хп значений ^lt ..., 0П. Такие автоморфизмы
образуют группу, называемую группой Галуа, в честь
французского математика Эвариста Галуа (1811—1832) 63.
Можно сказать, что теория Галуа — не что иное, как
теория относительности для множества Е, множества, с
которым благодаря его дискретному и конечному
характеру связана гораздо более простая система понятий, чем с
бесконечными множествами точек в пространстве или в
пространстве-времени, с которыми имеет дело обычная
теория относительности. Мы целиком останемся в пределах
алгебры, если допустим, что элементы ■&1, ..., Ьп
множества 2 определены как п корней алгебраического уравнения
/(х) = 0 (1)
п-й степени с рациональными коэффициентами av. В этом
случае говорят о группе Галуа уравнения f(x) = 0.
Определение этой группы может оказаться достаточно
трудным, так как для этого требуется рассмотреть все
многочлены R(xl, ..., хп), удовлетворяющие известным
условиям. Выяснилось, однако, что из структуры этой группы
можно извлечь много сведений о тех естественных
приемах, которые ведут к решению уравнения. Идеи Галуа,
остававшиеся на протяжении нескольких десятилетий
книгой за семью печатями, стали впоследствии оказывать
все более и более глубокое влияние на развитие всей
математики; эти идеи содержатся в прощальном письме

Галуакдругу, написанном им накануне смерти,
постигшей его на дурацкой д>эли, когда ему не было еще21 года.
По новизне и глубине идей, выраженных в этом письме,
оно является, вероятно, самым выдающимся творением
из всего, что когда-либо было написано рукою человека.
Приведу два примера из теории Галуа. Первый
пример восходит к античности. Отношение J/2 диагонали
квадрата к его стороне определяется квадратным
уравнением с рациональными коэффициентами
х* — 2 = 0. (2)
Его два корня равны ■&l=Y^ и ft2=—дх——У"2,
х2 - 2 = (х - У'2) (х + V 2").
Как я только что сказал, эти корни иррациональны.
О том глубоком впечатлении, которое это открытие,
приписываемое школе Пифагора, произвело на
античных мыслителей, свидетельствует ряд мест в диалогах
Платона. Именно это открытие заставило греков
выражать общее учение о величинах не на
алгебраическом языке, а на языке геометрии. Пусть R(xlt x2) —
многочлен от х1 и х2 с рациональными коэффициентами,
обращающийся в нуль при хх = dj и хг — д2. Возникает
вопрос, обращается ли в нуль также и /?(д2, г^)? Если
мы сумеем показать, что ответ утвердителен для
каждого R, то транспозиция переменных
дх^#2, §2-^^ (3)
является автоморфизмом, так же как и тождественное
преобразование §1->-{),1, Ф2->- гт2. Доказательство
проводится следующим образом. Многочлен R(x, —х) от одной
переменной х обращается в нуль при х— ■&,. При
делении его на х2 — 2,
# (л-, -- х) = (х1 — 2) • Q (х) +- {ах + Ь),
мы получим остаток ах + Ь, являющийся многочленом
первой степени с рациональными коэффициентами а, Ь.
Подставим §х вместо х; полученное уравнение а^ -f b =-- 0
противоречит иррациональному характеру числа И1 =
=У^2, за исключением случая а = 0, b — 0. Поэтому
R(x, -x) = (x2-2)-Q(x),
и, следовательно, £?(д2> dj) — ^(Ф.,, —0-,) — 0. Таким
образом, тот факт, что группа автоморфпз\;ов содержит,

кроме тождественного преобразования, транспозицию
переменных (3), равносилен иррациональности числа V2.
В качестве другого примера я приведу способ Г а у с-
с а построения правильного 17-угольника с помощью
циркуля и линейки; это построение он нашел еще
девятнадцатилетним юношей. До тех пор он колебался в
выборе между классической филологией и математикой;
успех в решении этой задачи способствовал тому, что его
окончательный выбор пал на математику. Любое
комплексное число z = х + yi на плоскости изображается
точкой с действительными декартовыми координатами
(х, у). Алгебраическое уравнение
zp— 1=0
имеет р корней, образующих вершины некоторого
правильного р-угольника. Одна из вершин — это 2=1.
ПОСКОЛЬКУ (ZP~ 1) = (2— 1) (ZP-1 + ZP~2+ . . . +2 + 1),
остальные вершины являются корнями уравнения
2?-!+ . ..+2+1=0. (4)
Если теперь предположить, что р — простое число, то
эти вершины алгебраически неотличимы друг от друга, и
группа автоморфизмов для р— 1 корней является
циклической группой порядка р — 1. Я описываю ситуацию для
случая р = 17. На рис. 72 изображены два диска.
Окружность левого диска с семнадцатью делениями содержит
обозначения вершин; окружность правого диска с
шестнадцатью делениями изображает 16 корней уравнения
(4), расположенных по окружности в каком-то
загадочном циклическом порядке; поворачивая этот второй диск,

1
т. е. итерируя вращения диска на -^ окружности, мы
получим 16 автоморфизмов в виде перестановок этих 16
корней. Эта группа С16 имеет, очевидно, подгруппу С8
индекса 2; последняя получается посредством поворота
12 3
диска на -.-, -^, -н-,--- полного угла. Повторяя этот
процесс перескока через точки, мы получим цепочку
последовательно расположенных подгрупп (з означает
«содержит»)
которая начинается с полной группы С1в и
заканчивается группой Су, состоящей из одного тождественного
преобразования,— цепочку, в которой каждая
последующая группа содержится в предыдущей в виде подгруппы
индекса 2. В силу этого обстоятельства корни уравнения
(4) можно определить с помощью цепочки из четырех
последовательно расположенных уравнений степени 2.
Уравнения степени 2 — квадратные уравнения —
решаются (как было известно уже шумерам) с помощью
извлечения квадратных корней. Следовательно, решение
нашей проблемы, помимо рациональных операций
сложения, вычитания, умножения и деления, требует еще
последовательного извлечения четырех квадратных
корней. Но указанные четыре действия и извлечение
квадратного корня являются как раз теми алгебраическими
операциями, которые геометрически выполнимы с
помощью циркуля и линейки. Именно по этой причине
правильные треугольник, пятиугольник и 17-угольник, для
которых р = 3, 5 и 17, соответственно, можно построить
с помощью циркуля и линейки; для каждого из этих
случаев группа автоморфизмов есть циклическая группа,
порядок р — 1 которой есть некоторая степень двойки:
3 = 24-1. 5 = 24-1, 17 = 2* + 1-
Любопытно, что, в то время как (явная) геометрическая
симметрия 17-угольника описывается циклической
группой семнадцатого порядка, его (скрытая)
алгебраическая симметрия, определяющая осуществимость
построения этой фигуры, описывается группой шестнадцатого
порядка. Можно с полной уверенностью сказать, что
нельзя построить ни правильного семиугольника, ни
правильных многоугольников с И и 13 сторонами.

Гаусс показал, что только в тех случаях, кегда р есть
такое простое число, что р—1 есть степень двойки, т. е.
что р—1 = 2п, правильный р-утольник может быть
построен с помощью циркуля и линейки. Однако число р =
= 2" -j- 1 не может быть простым числом, если только
показатель степени п не есть степень двойки.
Действительно, предположим, что 2V есть такая степень двойки, что
число п делится на нее, так что п = 2vm, где т —
некоторое нечетное число. Пусть 22'' = а; тогда 2" + 1 = ат + 1.
Но так как т нечетно, число ат+ 1 делится на й-j- 1:
ат+ 1 = (а+ \)(ат-'—ат~*-т- . . . — а+ 1),
и, следовательно, является составным числом, имеющим
делителем а + 1, исключая тот случай, когда m = 1.
Отсюда получается, что следующим после 3, 5 и 17 числом
вида 2"+1, которое может оказаться простым, является
число 28 + 1 = 257. Так как оно и в самом деле простое, то
правильный 257-угольник можно построить с помощью
циркуля и линейки.
Теорию Галуа можно выразить в несколько иной
форме, что я сейчас и сделаю для уравнения (2).
Рассмотрим все числа вида а = а + 6]/"2 с рациональными
компонентами а, Ь. Назовем их числами поля {j/2}.B силу
иррациональности V 2 число из этого поля есть нуль
только в том случае, если а = 0, 6 = 0. Отсюда следует,
что рациональные компоненты a, b однозначно
определяются числом а, так как из того, что
а + Ь\Г2 = а1 + Ьг V~2,
следует, что
(а — а^ + ф — 61)1/Y = 0, a—g1 = 0, b — b1 = 0,
или a = alt b = b± в предположении, что а, Ь и
avbx—рациональные числа. Очевидно, что при сложении,
вычитании и умножении двух чисел из этого поля получается
число из того же поля. Операция деления также не
выводит нас за пределы этого поля. В самом деле, пусть а =
= а+ ЬУ"2 — отличное от нуля число из этого поля с
рациональными компонентами a, b и пусть а' = а—6^2 —
число, ему «сопряженное». Так как 2 — не квадрат
рационального числа, то так называемая норма числа а —
рациональное числоаа'=а2— 262— отлична от нуля, и
поэтому число —, обратное числу а, является элементом

того же поля:
1 _ а' а —6У^2_ а Ь л/If
"а^аа7- а2 — 2Ь2~ ~" а^2р _ а^2Ь2* -
Таким образом, поле {V 2} замкнуто относительно
операций сложения, вычитания, умножения и деления,
конечно, за исключением деления на нуль. Мы можем
теперь поставить вопрос об автоморфизмах такого поля.
Автоморфизмом было бы такое взаимно однозначное
отображение а—>-а* чисел этого поля, что а -f- р и а-р
переходят, соответственно, в а* + р* и а*-Р* для любых а и р
из этого поля. Отсюда сразу же следует, что
автоморфизм такого рода переводит всякое рациональное число в
самого себя, а V 2 — в число ■&, удовлетворяющее
уравнению Ф2—2 = 0, т. е. либо в|/"2, либо в —У 2.
Следовательно, существуют только два возможных
автоморфизма, один из которых переводит любое число а из поля
{УЩ в самого себя, а другой переводит любое число а=
= а+ b V2 в сопряженное ему число а' =а—6]/"2.
Очевидно, что эта вторая операция — автоморфизм, и тем
самым устанавливается группа всех автоморфизмов для
поля {У 2).
По-видимому, поле является простейшей
алгебраической структурой, которую можно придумать. Его
элементы — числа. Эта структура характеризуется
операциями сложения и умножения. Эти операции
удовлетворяют определенным аксиомам, среди которых имеются
аксиомы, обеспечивающие однозначность операции,
обратной сложению и называемой вычитанием, и
однозначность операции, обратной умножению (в предположении,
что множитель отличен от нуля) и называемой делением.
Пространство является другим примером многообразия,
наделенного структурой. В этом случае элементами
являются точки, а структура устанавливается с помощью
некоторых основных отношений между точками, как,
например, точки А, В и С лежат на прямой, пара точек АВ
конгруэнтна паре точек CD и т. п.
Вывод, который мы можем извлечь из всех наших
рассуждений— вывод, ставший руководящим принципом
современной математики, состоит в следующем: всякий раз,
когда вам приходится иметь дело с некоторым
объектом 2, наделенным структурой, попытайтесь определить

группу его автоморфизмов, т. е. группу, элементами
которой являются преобразования, оставляющие без
изменения все структурные соотношения. Вы можете
рассчитывать на то, что на этом пути вам удастся глубоко
проникнуть во внутреннее строение объекта 2. После этого вы
можете приступить к исследованию симметричных
конфигураций элементов, т. е. конфигураций, инвариантных
относительно некоторой подгруппы группы всех
автоморфизмов; при этом может оказаться, что прежде, чем
отыскивать такие конфигурации, целесообразно изучить
сами подгруппы, например подгруппу автоморфизмов,
оставляющих неподвижным один элемент или
оставляющих неподвижными два различных элемента; или
исследовать, какие имеются дискретные или конечные
подгруппы и т. д.
При изучении групп преобразований полезно
сосредоточить внимание на чистой структуре такой группы. Это
достигается тем, что для элементов группы вводятся
произвольные обозначения, и с помощью этих обозначений
для любых двух элементов s, t группы выражается
результат u — st их композиции. Если группа конечна, то
композицию элементов можно представить в виде
таблицы. Получающаяся таким способом схема группы, или
абстрактная группа, сама является объектом со
структурой; эта структура выражается законом или таблицей
композиции для ее элементов, st = u. Тут цепь замыкается,
и это следует, по-видимому, рассматривать как
достаточно явный сигнал того, что необходимо остановиться.
Действительно, относительно некоторой данной
абстрактной группы можно поставить вопрос: что представляет
собой группа ее автоморфизмов, каковы взаимно
однозначные отображения s-+s' этой группы в себя,
которые переводят st в s't', если произвольные элементы s, t
переходят, соответственно, в s', V>
Симметрия является обширной темой, имеющей
большое значение для искусства и природы. У истоков
симметрии лежит математика; для того чтобы показать, как
работает математическое мышление, вряд ли возможно
найти что-либо лучшее, чем симметрия. Я надеюсь, что
мои усилия показать многочисленные разновидности
симметрии и мои попытки провести вас по пути, ведущему
от наглядных представлений к абстрактным идеям, не
оказались совершенно безуспешными.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
СОБСТВЕННЫХ ВРАЩЕНИЙ
В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ср. стр. 105)54
Простое доказательство полноты списка (5),
приведенного во второй лекции, основывается на том факте,
впервые установленном Леонардом Э й л е р о м в XVIII
веке, что всякое собственное вращение в трехмерном
пространстве, если только оно не является
тождественным преобразованием /, есть вращение вокруг некоторой
оси, т. е. оно оставляет неподвижной не только точку О,
являющуюся началом координат, но и все точки
некоторой прямой, проходящей через О,— оси /55. Вместо
трехмерного пространства достаточно рассмотреть
двумерную сферу 2 единичного радиуса, описанную вокруг
точки О, так как каждое вращение переводит 2 в себя и,
таким образом, является взаимно однозначным
отображением 2 на себя. Всякое собственное вращение,
отличное от тождественного, оставляет на 2 две диаметрально
противоположные неподвижные точки, в которых ось /
пересекается со сферой.
Пусть задана конечная группа Г собственных
вращений порядка N. Рассмотрим неподвижные точки N—1
преобразований из группы Г, отличных от
тождественного преобразования /. Назовем такие точки полюсами.
Каждый полюс р обладает определенной кратностью v
(=2, или 3, или 4, или ...): операции S нашей группы,
оставляющие инвариантным полюс р, состоят из итераций
360''
вращения вокруг соответствующей оси на угол —;
следовательно, существует ровно v таких преобразований S.

Они образуют циклическую подгруппу Г^ порядка v.
Одной из этих операций является тождественное
преобразование; поэтому число операций, отличных от / и
оставляющих полюс р неподвижным, равно v—1.
Для любой точки р сферы мы можем рассмотреть
конечное множество С тех точек q, в которые точка р
переводится преобразованиями группы; будем называть их
точками, эквивалентными точке р. Так как Г — группа,
то эквивалентность является отношением типа
равенства, т. е. точка р эквивалентна самой себе; если точка q
эквивалентна точке р, то р эквивалентна q и, наконец,
если как точка qu так и точка q2 эквивалентны точке р,
то q1 и q2 эквивалентны друг другу. Такое множество
точек мы называем классом эквивалентных точек; любая
точка р такого класса может служить его представителем,
так как вместе с точкой р этот класс содержит все
эквивалентные ей точки и только эти точки. В то время как
точки сферы неотличимы друг от друга по отношению к
группе всех собственных вращений, точки,
принадлежащие к одному классу, остаются неразличимыми и после
ограничения этой группы до ее конечной подгруппы Г.
Из скольких точек состоит класс С точек,
эквивалентных точке р? Естественно напрашивающийся ответ:
из N точек — правилен, если тождественное
преобразование / — единственное преобразование группы, при
которой точка р остается неподвижной, так как в этом
случае любые два различных преобразования Sit S2 из
Г переводят точку р в две различные точки qx = pSlt q2 =
— pS2, поскольку из совпадения этих точек qt = q2
следовало бы, что преобразование S^1 переводит точку р в
себя, а это влекло бы за собой, что S^^1 = /, т. е. Sx — S2.
Но предположим теперь, что точка р — полюс
кратности v, так что v преобразований группы переводят точку р
в себя. Тогда я утверждаю, что число точек q, из которых
состоит класс Ср, равно N/v.
Доказательство. Так как точки,
принадлежащие к одному классу, неотличимы даже при
ограничении преобразованиями из данной группы Г, то каждая
из них должна обладать одной и той же кратностью v.
Прежде всего докажем это в явном виде. Если
преобразование L из Г переводит р в q, a S переводит р в р, то
L~1SL переводит q в q. Наоборот, если Т — любое
преобразование из Г, переводящее q в себя, то S —LTL'1 пе-

реводит рври, следовательно, Т имеет вид L"1 SL, где
S — элемент группы Г . Таким образом, если S1=/, a
52, ..., 5V суть v элементов, оставляющих
неподвижной точку р, то
суть v различных преобразований, оставляющих
неподвижной точку q. Кроме того, v различных
преобразований Sj^L, ..., S^L переводят р в q. Наоборот, если U —
преобразование из Г, переводящее р в q, то UL'1
переводит р в р и, таким образом, является одним из
преобразований S, оставляющих неподвижной точку р; поэтому
U = SL, где S — одно из v преобразований Su ..., Sv.
Пусть теперь qv .... qn суть п различных точек класса
С~Ср и пусть L; — одно из преобразований из Г,
переводящих р в qi (i = 1, ..., п). Тогда все nv
преобразований таблицы
"lAl» ' • • ' "v^l»
"1^2> ■ • • > ^у^2>
S1Ln, .. . , SVL„
отличны друг от друга. В самом деле, каждая отдельная
строка таблицы содержит различные преобразования, и
все преобразования, например, второй строки должны
быть отличными от преобразований, например, пятой
строки, так как первые переводят р в q2, а вторые
переводят р в <7в ^ <7г- Кроме того, каждое преобразование
группы Г содержится в этой таблице, так как любое
из них переводит р в одну из точек qlt..., qn, например
в qh и поэтому должно находиться в г'-й строке нашей
таблицы.
Это служит доказательством соотношения N~nv и,
значит, того, что кратность v является делителем числа
N. Обозначим кратность полюса р через v = v^; мы знаем,
что любой полюс р в данном классе С имеет одну и ту же
кратность, поэтому ее можно однозначно обозначить
через vc. Кратность vc и число пс полюсов в классе С
связаны между собой соотношением
ncvc = N.

После этих предварительных замечаний рассмотрим
все пары (S, р), каждая из которых состоит из
преобразования Бф I группы Г и некоторой точки р, остающейся
неподвижной при преобразовании S, или, что то же,
рассмотрим пары, каждая из которых состоит из какого-либо
полюса р и какого-либо преобразования Бф I из группы,
оставляющего неподвижной точку р. Это двоякое
описание пар (S, р) указывает на два способа перечисления
таких пар. С одной стороны, имеется N — 1 преобразований
S в группе, отличных от /, с каждым из них связаны две
диаметрально противоположные неподвижные точки;
следовательно, общее число пар равно 2 (N— 1). С другой
стороны, для каждого полюса р имеется v^ — 1
преобразований из группы, отличных от / и оставляющих
неподвижным полюс р, и, следовательно, число таких пар
равно сумме
2(v„-D,
р
где р пробегает по всем полюсам. Объединив эти полюсы
в классы С эквивалентных полюсов, мы получим
основное соотношение
2(tf-l) = 2Mvc-l),
с
где сумма в правой части берется по всем классам С
полюсов. Принимая во внимание равенство ncvc = N и
разделив обе части этого уравнения на N, мы получим
соотношение
Последующая часть доказательства сводится к анализу
этого равенства.
Самым тривиальным является случай, когда группа Г
состоит только из тождественного преобразования.
В этом случае N = 1 и полюсов нет.
Оставляя в стороне этот тривиальный случай, мы
можем сказать, что N по меньшей мере равно 2 и поэтому
левая часть нашего уравнения не меньше 1, но меньше 2.
Из первого вытекает, что невозможно, чтобы сумма в
правой части состояла только из одного члена.
Следовательно, имеется по крайней мере два класса С. Но их не
может быть больше 3, так как, поскольку каждое из чи-

сел vr не меншье 2, сумма в правой части равенства была
бы не меньше 2, если бы она состояла из четырех или
более членов. Следовательно, мы имеем два или три класса
эквивалентных полюсов (будем обозначать эти случаи,
соответственно, случаями II и III).
Случай II. В этом случае наше основное равенство
принимает вид
2 1,1 „ /V . N
-,, =—— или 2 = .
N vl ' v> Vj v2
Но сумма двух положительных целых чисел пг = — и
п2 = — может быть равна 2 только в том случае, если
каждое из них равно 1:
v1 = v2 = JV, nl = ni = \.
Следовательно, каждый из двух классов эквивалентных
полюсов состоит из одного полюса кратности N. Мы
получили циклическую группу поворотов вокруг
(вертикальной) оси порядка N.
Случай III. Здесь мы имеем
vx ^ v2 ^ v3 ^ N ■
Расположим кратности v в порядке их возрастания: v, ^
^ v2^ v3. Все три числа v1,v2, v3 не могут быть больше 2,
так как в этом случае в левой части получилась бы сум-
ма ^Y'T'T=' что пР0ТИВ0Речит правой части
равенства. Следовательно, vx = 2,
v2 Ч3 2 ^ N ■
Оба числа v2, v3 не могут быть ^г 4, так как в этом случае
в левой части получилась бы сумма ^тг- Поэтому v2 =
= 2 или 3.
Первая альтернатива III^ v1 = v2 = 2,
N - 2v3.
Вторая альтернатива III2: vx = 2, v2 = 3,
J___L i A
v3 — 6 ^ N '
В случае 11 Ia положим v3 — п. Мы получили два
класса полюсов кратности 2, каждый из которых состоит из

п полюсов, и один класс, состоящий из двух полюсов
кратности п. Легко видеть, что этим требованиям
удовлетворяет диэдральная группа D'n и только она.
Для второй альтернативы 1П2 мы, учитывая, что v3 53
5sv2 = 3, имеем следующие три возможности:
v3 = 3, # = 12; v3 = 4, Л^ = 24;
v3 = 5, N =-60,
которые мы обозначим, соответственно, через Т, W и Р.
Случай Т. Имеются два класса, состоящих
каждый из четырех 3-полюсов. Очевидно, что полюсы одного
класса должны являться вершинами правильного
тетраэдра, а полюсы другого класса диаметрально
противоположны им. Мы получаем, таким образом, группу
тетраэдра. Шесть эквивалентных 2-полюсов являются
проекциями середин шести его ребер из центра О на сферу.
Случай f. Один класс состоит из шести 4-полю-
сов, являющихся вершинами правильного октаэдра;
следовательно, это — группа октаэдра. Один класс
состоит из восьми 3-полюсов (соответствующих центрам его
граней); один класс состоит из двенадцати 2-полюсов
(соответствующих серединам его ребер).
Случай Р. Один класс, состоящий из 12 5-полю-
сов, являющихся вершинами правильного икосаэдра;
20 3-полюсов соответствуют центрам 20 граней; 30
2-полюсов соответствуют серединам 30 ребер этого
многогранника.
Приложение Б
ВКЛЮЧЕНИЕ ЗЕРКАЛЬНЫХ ВРАЩЕНИЙ
(ср. стр. 106)
Если конечная группа Г* вращений в трехмерном
пространстве содержит зеркальные вращения, то пусть А —
одно из таких вращений, a Su ..., Sn — собственные
вращения группы Г*. Последние образуют некоторую
подгруппу Г; Г* содержит одну строку собственных
вращений и другую строку зеркальных вращений:
Sls ...,S„, (l)
ASV .... ASn. (2)

Других преобразований группа Г* не содержит, так как
если Т — зеркальное вращение из группы Г*, то А ~х Т —
собственное вращение и, следовательно, совпадает с
одним из вращений первой строки, например с вращением
St, и поэтому T—ASt. Следовательно, порядок группы
Г* равен 2п; половину элементов этой группы
составляют собственные вращения, образующие группу Г, а
другую половину составляют зеркальные вращения.
Будем различать два случая в соответствии с тем,
содержится в группе Г* зеркальное вращение Z или нет.
В первом случае в качестве преобразования Z
выбирается А, и мы, таким образом, получаем, что Г* = Г.
Во втором случае вторую строку можно записать в
виде
ZTV ..., ZTn, (2')
где Г, — собственные вращения. Но в этом случае все
Т1 отличаются от всех S,. В самом деле, если бы T,—Sk,
то группа Г* вместе с ZTt=ZSk и Sk содержала бы также
и элемент (ZSk) Sll=Z, что противоречит нашему
предположению. В этом случае вращения
?}' " •' Ь' ®
образуют группу Г' собственных вращений порядка 2п,
в которой Г содержится в виде подгруппы индекса 2.
Действительно, утверждение о том, что две строки (3)
образуют группу, как легко проверить, эквивалентно
тому, что строки (1) и (2') образуют некоторую группу
(именно, группу Г*). Таким образом, группа Г*
совпадает с тем, что в основном тексте мы обозначали через
Г'Г; тем самым мы доказали, что оба упомянутых здесь
метода являются единственными методами, с помощью
которых можно построить конечные группы,
содержащие зеркальные вращения.

ПРИМБ ЧАНИ Я
1 (36) Общепринятым в русской математической литературе
термином «зеркальная симметрия» переведен термин Вейля «bilateral
symmetry», буквально — «двусторонняя симметрия»
2 (38) Вейль называет строгую зеркальную симметрию
геральдической, т е гербовой, так как такой симметрией часто обладали
гербы феодалов в Западной Европе
3 (45) Термин Ausgewogenheit приведен в английском тексте
книги по-немецки
4 (48) Фердинанд Г о д л е р (1853—1918) — выдающийся
швейцарский художник, прославившийся, в частности, своими
пейзажами Сильваплана — озеро в Швейцарии недалеко от итальянской
границы
5 (49) Имеется в виду работа Германа Гельмгольца (1821—1894)
«О фактах, лежащих в основаниях геометрии» (Uber die Tatsachen,
die der Geometne zu Qrunde hegen) русский перевод А В Васильева
см в сб «Об основаниях геометрии», Гостехиздат, 1957, 366—382 В
переводе Васильева слово «конгруэнтный» (kongruent, от латинского
congruens — «совмещающийся») переведено словом «совместимый»
6 (52) Слова Лейбница приведены по переводу В И Свидер
ского и Г Кребера (Полемика Г Лейбница и С Кларка по вопро
сам философии естествознания (1715—1716 гг), Изд во ЛГУ, 1960,
47) Перед указанными словами в письме Лейбница сказано
«Пространство является чем то совершенно однородным и, если отвлечься
от находящихся в нем вещей, одна его точка абсолютно ничем не
отличается от любой другой точки»
7 (52) Русский перевод «Критики чистого разума» Канта
составляет т 3 его Сочинений («Мысль», 1964), русский перевод «Про-
легомен» опубликован в т 4, ч 1 Сочинений Канта В § 13 «Пролего-
мен» Кант пишет «Что может быть более подобно моей руке или
моему уху и во всех отношениях равно им в большей мере, чем их
изображения в зеркале' И тем не менее я не могу такую руку, какую
видно в зеркале, поставить ьа место ее прообраза Несмотря на все
свое равенство, левая и правая руки не могут быть заключены между
одинаковыми границами (не могут быть конгруэнтными), перчатки
одной руки не годятся для другой Каково же решение' Эти
предметы не представления о вещах, каковы они сами по себе и какими бы
их познавал чистый рассудок, а чувственные созерцания, т е
явления, возможность которых основывается на отношении некоторых
самих по себе неизвестных вещей к чему-то другому, а именно к
нашей чувственности Поэтому мы не можем объяснить различие
подобных и равных, но тем не менее неконгруэнтных вещей
(например, раковины улиток с противоположными по направлению
извилинами) никаким одним понятием, это различие можно объяснить
только с помощью отношения к правой и левой руке, которое
непосредственно касается созерцания» (стр 102—103)

8 (53). Перед указанными словами в Евангелии от Матфея
(гл. 25) сказано: «И соберутся перед Ним все народы; и отделит
одних от других, как пастырь отделяет овец от козлов».
9 (53). Генрих Вёльфлин (1864—1945) — знаменитый немецкий
искусствовед.
10 (55). Отрицательный аналог протона — «антипротон» — был
экспериментально открыт американскими физиками О. Чемберле-
ном, Э. Сегре, К- Вигандом и Т. Ипсилантисом в 1955 г., см. Чем-
берлен, Сегре, Виганд, Ипсилантис, Наблюдение
антипротонов, УФН 58, вып. 4 (1956), 685—692. В настоящее время
почти для всех элементарных частиц найдены «античастицы».
11 (58). В «Пире» Платона рассказывается об ученой беседе
философа Сократа, Аристофана и др. о сущности любви на пиру у
Агафона. От греческого названия этого сочинения Symposium произошел
термин «симпозиум». Слова Зевса приведены по переводу В. П.
Карпова (Платон, Сочинения, т. 4, СПб., 1863, 177). Вейль излагает
легенду не вполне точно: после приведенных слов Зевса Платон
говорит: «Сказав это, разрезал он людей надвое, как разрезывают
ягоды рябинные, когда хотят солить их, или как раздвояют
волосами яйца. И когда кого разрезывал он, тотчас приказывал
Аполлону лицо и половину шеи повернуть назад — к стороне разреза,
чтобы, смотря на свой разрез, человек был скромнее,— и потом все это
залечить. Аполлон лицо повернул и, стянув со всех сторон кожу
в то место, которое ныне называется брюхом, подобно тому как
стягивают кошелек, происшедшее оттого одно отверстие завязал на
середине брюха, что теперь называют пупком... Как скоро природа их была
разрезана надвое, каждая половина, стремяся вожделением к другой
своей половине, сошлась с нею; обнялись они руками, сплелись
между собою и, телом сросшись, умирали от голода и вообще от
бездействия; потому что ничего не хотели делать одна без другой...
Тогда, сжалившись над ними, Зевс придумал еще одно средство,—
детородные их члены перестановил наперед, ибо прежде они были
позади, так что люди зачинали и сообщали семя не друг другу, а
земле, как кузнечики» (стр. 177—178).
12 (58). Знаменитый французский микробиолог Луи Пастер
(1822—1895) начал свою научную карьеру как химик; в этой
области ему удалось сделать несколько весьма значительных открытий.
13 (59). Вейль имеет в виду библейскую легенду о том, как сын
Ноя Хам посмеялся над наготой своего отца, который лежал
обнаженным после того, как опьянел, выпив вина, за что Ной позже
проклял самого Хама и его потомство.
14 (59). Homo sapiens — «разумный человек» — принятое в
биологии латинское наименование вида «человек».
15 (59). Situs (viscerum) inversus (лат.) — обратное расположение
(внутренностей) — аномалия развития человеческого организма,
состоящая в зеркальном отражении всех или части его внутренних
органов от плоскости симметрии организма.
16 (61). Паскуаль Йордан (род. 1902 г.) — выдающийся
немецкий физик XX века (к сожалению, — один из немногих видных
немецких ученых, принявших гитлеровскую доктрину).
17(62). Филогенез (от греческих слов фб^г) — племя и yivoc,—
род) — процесс развития всех органических форм или отдельных
видов; онтогенез (от греческих слов ovxa — сущее и y^vog) —
процесс разэития одного индивидуума от зарождения до гибели.

18 (70) Группа—основное понятие современной алгебры —
может быть определена как множество элементов а, Ь, с, , в котором
орределена операция, ставящая в соответствие всяким двум элементам
группы а, Ь элемент с= а°Ь, причем 1) операция а°6 ассоциативна,
т е (ао6)ос = а°(6°с), 2) существует «нейтральный элемент» е такой,
что для всякого элемента а е°а = а, 3) для всякого элемента а
существует дополнительный элемент атакой, что а°а — е В случае
геометрических преобразований групповой операцией является
последовательное выполнение преобразований, роль е играет тождественное
преобразование /, роль а играет обратное преобразование S-1;
последовательное выполнение преобразований всегда ассоциативно.
См П С Александров, Введение в теорию групп, Учпед
гиз, 1938, о роли групп преобразований в геометрии см , например,
И М Я г л о м, Геометрические преобразования, I—II, Гостехиз-
дат, 1955—1956, введения к частям 1—3 книги, И М Я глом и
Л С Атанасян, Геометрические преобразования,
Энциклопедия элементарной математики, кн IV, Физматгиз, 1963, 98—110
19 (72) Вейль имеет в виду сцену первого посещения Фауста
Мефистофелем в «Фаусте» Иоганна Вольфганга Гете Когда Фауст
говорит Мефистофелю «Ступай В твоем распоряжении окно, и дверь,
и дымоход», тот отвечает «Я в некотором затрудненье Мне выйти
в сени не дает фигура над дверною рамой» — «Ты испугался
пентаграммы?» — спрашивает его Фауст (Гете, «Фауст», перевод Б Пас-
стернака, Гослитиздат, 1957, 94—95) Пентаграмма (от греческих
слов nsvxe — «пять», ураццщ — «линия») — пятиконечная звезда,
служившая символом здоровья еще у древних пифагорейцев, в
настоящее время красная пятиконечная звезда—символ Советской Армии
20 (77) Коемати — семья римских архитекторов,
скульпторов и мозаичистов XIII столетия
21 (85) Русский перевод этой книги Э Геккель, Красота
форм в природе, перевод В М Догель, СПб , «Просвещение», 1907
Приведенные Вейлем рисунки — на таблицах 10 и 28
22 (88) Вейль имеет в виду «Мировые загадки» (Die Weltratsel)
Геккеля (см русский перевод С Г Займовского, М , 1937) В И
Ленин в «Материализме и эмпириокритицизме» писал «Буря, которую
вызвали во всех цивилизованных странах «Мировые загадки» Э
Геккеля, замечательно рельефно обнаружила партийность философии
в современном обществе, с одной стороны, и настоящее общественное
значение борьбы материализма с идеализмом и агностицизмом, с
другой» (Сочинения, т 18, стр 370) Сам Геккель называл себя не
материалистом, а монистом, т е сторонником единого начала мира,
в отличие от дуалистов, считавших, что в мире имеется два начала —
материальное и духовное В И Ленин критиковал непоследователь
ность и «философскую наивность» Геккеля, но высоко оценивал
естественно-исторический материализм Геккеля, «безусловно
выражающего самые прочные, хотя и неоформленные, мнения, настроения и
тенденции подавляющего большинства естествоиспытателей конца
XIX и начала XX века» (стр 372)
23 (89) Один из наиболее впечатляющих примеров симметрии
в органическом мире доставляют морские звезды (см , например,
рис 36), обладающие поворотной симметрией пятого порядка
24 (89). Квинкунциальный (quincuncial) — прилагательное от
слова quincunx, сокращения латинского выражения quinqueunciae —
«пять унций». Quincunx означало дробь 5/12 (унция — 1/и асса) и

расположение по пятеркам наподобие пятерки очков на
игральной кости
25 (89) Томас Браун (1605—1682) — известный английский врач
и писатель XVII века, «Сад Кира» (Garden of Cyrus) — его
мистический трактат
26 (91) Слова Томаса Манна из «Волшебной горы» приведены по
переводу В Курелла и В Станкевич (Т Манн, Собрание
сочинений, т IV, Гослитиздат, 1959, 193—194)
27 (92) Пятиугольную форму имеет также, например, Театр
Советской Армии в Москве
28 (93) Медуза Горгона — легендарное чудовище с волосами
в виде змей, взгляд Медузы превращал того, кто на нее смотрел,
в камень Согласно древнегреческой легенде Медуза Горгона была
убита Персеем, глядевшим во время борьбы с Медузой не на нее,
а на ее отражение в своем щите
29 (93) Издающийся в Сицилии известный математический
журнал «Доклады математического кружка в Палермо»
30 (96) Логарифмическая спираль в полярных координатах
выражается уравнением г = а~, ее название объясняется тем, что
полярный угол (р равен логарифму радиуса вектора г при основании а
31 (98) См также главу «Золотое сечение и филотаксис» книги
ГС М Кокстера «Введение в геометрию», «Наука», 1966
236—252
32 (100) Сернистый колчедан (pyrite), или пирит, — FeS2
33 (101) В «Тимее» Платона утверждается, что атомы четырех
«стихий» (элементов) — огня, воздуха, земли и воды — имеют форму
правильных тетраэдра, октаэдра, куба и икосаэдра «Земле мы
предоставим вид кубический телесный вид пирамиды должен у нас
быть стихиею и семенем огня, второй по рождению вид признаем
стихиею воздуха, а третий воды» (Платон, Сочинения, пер
В П Карпова, т 6, М , 1879, 433—434), «Но так как оставалось
еще одно пятое соединение, то бог употребил его при очертании
вселенной» (стр 432)
34 (104) Фигурами, полярными относительно сферы z2 -f-г/2 -f- г2=
= а2, называются фигуры, переводимые друг в друга «полярным
преобразованием», переводящим точку (х0, </0, z0) в плоскость %*:+ у0у +
+ г0г = а2 Приполярном преобразовании точки самой сферы
переходят в касательные плоскости к сфере в этих точках и вершины
многогранника, вписанного в сферу, переходят в плоскости граней
полярного ему описанного многогранника Ср , например, § 4 гл I
указанной в примечании 18 книги ИМ Я г л о м,
Геометрические преобразования, II, или стр 128—134 указанной там же
статьи И М Яглома и Л С Атанасяна
35 (107) См , например, книгу Л Фейеш Тот, Расположения
на плоскости, на сфере и в пространстве, Физматгиз, 1958, гл III
36 (113) В этом состоит известная теорема Эйлера (см ,
например, Г РадемахериО Теплиц, Числа и фигуры, «Наука»,
1966 гл 13)
37(113) См также гл VII указанной в примечании 35 книги
Л Фейеша Тота
38(114) Ср например, Н М а р а к у е в, Элементарная
алгебра, ч II, М , 1887, 286—288
39 (НЕ) Слова Дарвина из его «Происхождения видов»
приведены по переводу М А Мензбира Ч Дарвин, Происхождение

видов, перевод К А Тимирязева и др , М — Л , 1937, 396 Упрек
Вейля Дарвину совершенно не основателен так как незадолго перед
приведенными словами Дарвин говорит «Я знаю от профессора Уай-
мэна, который сдетал множество тщательных измерений, что точность
пчелиной работы весьма преувеличена так как какова бы ни была
типичная форма ячейки, она очень редко бывает осуществлена, если
только это вообще бывает» (стр 388)
40 (115) Слово «тетракайдекаэдр»означает по гречески
«14-гранный (хьааяра кал беха — 14 ебра — «грань») Тетракайдекаэдр —
один из 13 открытых Архимедом пол\ правильных многогранников
41 (119) Аффинными преобразованиями плоскости или прост
ранства называются взаимно однозначные преобразования плоскости
или пространства, переводящие прямые в прямые (откуда следует,
что эти преобразования сохраняют параллельность прямых)
Аффинная геометрия—раздел геометрии, изучающий инварианты аффинных
преобразований (ср указанную в примечании 18 статью И М Яг
лома и Л С Атанасяна, где названа и другая литература)
42 (125) О квинкунксе см примечание 24
43 (126) Здесь Вейль ошибается все 17 плоских
кристаллографических групп были найдены русским кристаллографом Е С Ф е д о
р о в ы м в работе «Симметрия на плоскости» (СПб , 1891), 16 из этих
групп были указаны еще в 1869 г Камиллом Жорданом (Camille
Jordan) в «Мемуаре о группах движений» (Memoire sur les groupes
des mouvements, Oeuvres, t IV, 1964, 231—302) среди 174 найденных
им плоских и пространственных групп движений Специально пло
ским кристаллографическим группам посвящена работа Леонгарда
Зонке (L S о h n с k e, Die regelmassigen ebenen Punktsysteme,
Journal furreineu angew Mathematik 77 (1874), 47—102), где были
описаны 13 из 17 групп См также Г С М Кокете р, Введение в
геометрию, стр 86 Орнаменты, соответствующие этим 17 группам,
гриведены в статье А И Мальцев, Группы и другие
алгебраические системы, в кн Математика, ее содержание, методы и
значение т 3, Изд-во АН СССР, 1956, 273
44 (128) Унимодулярным линейным преобразованием называется
линейное преобразование (4), определитель (англ modul) которого
аПа22 а12а21 — ± 1
45(130) Конусом с вершиной О в математике называют любое
множество точек, такое, что если точка М принадлежит этому
множеству, то точка N, для которой ON = ХОМ, также принадлежит ему
Выпуклым телом называется такое множество точек, которое
вместе с любыми двумя точками М и N содержит все точки Р
прямолинейного отрезка MN, т е такие точки Р, что (при любой точке О)
OP-=XOM + pON, 0<^<1, A, + |i-=l.
46 (140) Алгебру (систему гиперкомплексных чисел) можно
определить как векторное пространство, в котором определено
умножение ab, ассоциативное, дистрибутивное относительно сложения и
обладающее свойством (Ха) (р.6) — (X\x)ab (см , например, И В
Арнольд, Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1939, гл XII) Вейль
имеет в виду книгу Л Диксона «Линейные алгебры» (русский
перевод Харьков, 1935)
47 (141) Изложение этого результата Е С Федорова имеется
в его работе «Симметрия правильных систем фигур» (Е С
Федоров, Симметрия и структура кристаллов, Основные работы, М,

1949, 345—390), которая вышла из печати (СПб , 1890) почти
одновременно с книгой Артура Шенфлиса (A Schoenfliess, Kris-
tallsysteme und Kristallstructur, Leipzig, 1891), пришедшего к этому
открытию независимо Большое число кристалчографических групп
было найдено в 1869 г К Жорданом в «Мемуаре о группах
движений» (см примечание 43) и в 70-х годах Л Зонке
48 (145) В последние десятилетия была установлена также
фундаментальная роль дискретных структур в генетике (см , например,
сравнительно раннюю статью Ф Крика «Строение вещества
наследственности» в сборнике «Физика и химия жизни», ИЛ, 1959)
49(150) См также например, М Б о р н, Эйнштейновская
теория относительности, «Мир», 1964
50 (150) Вейль имеет в виду лекцию Клейна «Сравнительный
обзор новейших геометрических исследований», прочитанную им
в 1872 г при вступлении на должность профессора Эрлангенского
университета и известную под названием «Эрлангенская программа»,
см сб «Об основаниях геометрии», 1957, 399—434
51 (152) Поле — одно из основных понятий современной
алгебры — может быть определено как множество элементов, в котором
определены операции сложения a -f- b и умножения ab, причем 1) все
элементы образуют коммутативную группу по сложению, 2) все
элементы без 0 образуют коммутативную группу по умножению, 3)
умножение распределительно относительно сложения Поле и алгебра
являются частными случаями понятия кольца (см , например, книгу
И В Арнольда, указанную в примечании 46)
52 (153) В теории Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Е в-
к л и д а, дается определение равенства и неравенства отношений гео-
А С
метрических величин отношение — больше отношения =-. если
существуют такие натуральные числа тип, что тА>пВ, mC<nD;
А С
отношения — и — равны, если нельзя найти таких чисел тип,
В и
А С
чтобы д- было больше или меньше -р- С современной точки зре-
А С
ния, рассматривающей отношения — и — как действительные числа,
В U
определение неравенства отношений состоит в существовании рацио-
га А п С
нального числа — , удовлетворяющего условию — > — > -=-, а
определение равенства отношений состоит в несуществовании рацио-
А С
нального числа между числами — и •=-
В и
53 (154) Жизни Галуа посвящена книга Л Инфельд, Эва-
рист Галуа (любимец богов), «Молодая гвардия», 1965 По поводу
теории Галуа см , например, М М Постников, Теория Галуа,
Физматгиз 1963
54 (162) См также прибавление Н к книге- Ж- А д а м а р,
Элементарная геометрия, ч II, Учпедгиз, 1958
55(162) См , например, стр 113—Неуказанной в примечании
54 книги Ж. Адамара или книгу Д. И Перепелки н,
Курс элементарной геометрии, ч. 2, Гостехиздат, 1949, 162—164

Г. ВЕЙЛЬ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
НАУКИ
Б. В. Бирюков
Во вступительной статье к настоящей книге дан очерк научного
пути Г Вейля в математике и ее приложениях и показано, что тема
симметрии как бы подводила итог научному подвигу Вейля Однако
в ней оставлены в стороне философские, методологические аспекты
работ автора «Симметрии», которым и посвящена эта статья
Когда приходится характеризовать философские взгляды
выдающихся зарубежных ученых современности, придерживающихся
или отдающих дань идеалистическим установкам в методологических
вопросах науки, на ум сами собой приходят слова В И Ленина
из его «Философских тетрадей» о гносеологических корнях
идеализма Эти слова достаточно известны, и мы не будем их приводить Но—
поскольку речь идет о такой науке, как математика, которой
посвятил свою жизнь Г Вейль,— приведем слова Б Рассела,
выразительно раскрывающие смысл этих «корней» в применении к
математическому познанию В книге «История западной философии», в
главе оПифагоре, Б Рассел пишет «Я полагаю, что математика
является главным источником веры в вечную и точную истину, а
гакже сверхчувственный интеллигибельный мир Геометрия имеет
дето с точными окружностями, но ни один чувственный объект не
является то то круглым, и как бы мы тщательно ни применяли наш
циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени
несовершенными, неправильными Это наталкивает на предположение, что
всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим
чувственным объектам Естественно сделать еще один шаг вперед и
доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более
реальны, чем объекты чувственного восприятия Чистая математика
также льет воду на мельницу мистических доктрин об отношении
времени к вечности, ибо математические объекты, например числа
(если они вообще реальны), являются вечными и вневременными
А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы
как мысли бога Отсюда платоновская доктрина, согласно которой
бог является геометром, а также представление сэра Джемса Джинса
о том, что бог предается арифметическим занятиям» ([1J стр 56)
Конечно, сквозящий в приведенном отрывке из Рассела взгляд
на математику как на такую науку, которая сама по себе «льет воду

на мельницу» идеализма и религии, несостоятелен. Математика—как
и любая другая наука — может «лить воду» лишь на такую
«мельницу», которая работает на принципе признания объективности своего
объекта, действительной, материальной реальности того, от чего
математические понятия отвлечены и к чему они — в приложениях
математики — применяются. Но вместе с тем в процитированных
выше словах неплохо схвачена суть тех гносеологических
источников, на которых, в конечном счете, покоится всякое
идеалистическое — и даже мистическое — истолкование математического
познания и его предмета. Это «идеализированный», отвлеченный
характер тех объектов, с которыми имеет дело математика, объектов —
их принято называть «абстрактными объектами»,— которые
являются результатом сложных процессов многоступенчатого
абстрагирования (отвлечения) и идеализации (упрощения, «огрубления», «конст-
руктивизации»). Говоря в самых общих словах, именно эта черта
математики приводит обычно к тем трудностям ее «обоснования» —
т. е. уяснения природы ее исходных понятий и принципов и
построения теорий, уточняющих эти понятия и принципы,— с которыми
математики и философы сталкивались начиная с античности и которые
часто служили непосредственной причиной для тех или иных
несостоятельных философских выводов о природе математического
знания.
Г. Вейль много размышлял и писал о природе математики, о ее
месте в системе человеческого знания и деятельности. Очерченные
в приведенных словах Рассела мотивы наложили определенный
отпечаток на его философские установки в математике.
Вместе с Л. Э. Я. Брауэром и А. Гейтингом Герман
Вейль явился крупнейшим представителем того направления,
которое получило название «интуиционизма». Интуиционизм
как течение в исследовании «оснований математики» — ее
фундаментальных понятий и принципов, в том числе и логических — был
основан Брауэромв начале этого века х). Г. Вейль в своей работе
«О новом кризисе основ математики» (1921 г.) 2) пишет, что в 1918 г.
независимо от Брауэра в сочинении «Континуум» он изложил давно
задуманную им мысль о новом обосновании математического анализа.
Теперь, говорит он, я отказываюсь от своей прежней попытки и
присоединяюсь к Брауэру ([4], стр. 92).
Дать полную и четкую характеристику интуиционизма — не
простая задача; не простая—потому, что многие основные понятия,
которыми оперируют сторонники интуиционизма, интуиционисты,
представляются для ученых, не разделяющих «платформу» интуицио-
J) Мы не говорим здесь о предшественниках интуиционизма
(Л. Кронекер, А. Пуанкаре) или о родственных
интуиционизму концепциях, например о сигнифике Г. Маннури (обо всем
этом подробно говорится, например, в [2]). Как отмечают А. А. Ф р е н-
кельи И. Бар-Хиллел (см. [2], стр. 243—244, 246), Брауэр
для обозначения своей позиции употреблял термин
«неоинтуиционизм». В настоящей статье для обозначения подхода Брауэра (и
Вейля) к математике используется термин «интуиционизм», как это
принято в нашей (и в зарубежной, см., например, [3]) литературе.
4) Опубликована на русском языке в 1934 г. в сборнике работ
Г. Вейля [4J.

низма, недостаточно ясными; во всяком случае, такая характеристика
выходит за рамки настоящей статьи. Ограничиваясь самыми общими
контурами, интуиционизм можно описать как направление,
отказывающееся от использования в математике идеи актуальной
бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую
математике, и рассматривающее интуитивную ясность и
убедительность («интуицию») как последнее основание математики и логики
(ср. статью [5]). Интуиционизм оформился в ходе попыток
математики конца XIX — начала XX столетий преодолеть глубокие,
обнаруженные еще в античности, трудности для науки, связанные
с понятием бесконечности. Известно, что среди отвлечений
(абстракций), используемых в математике при образовании понятий
о ее объектах, абстракции, относящиеся к (математической)
бесконечности, играют особенно важную роль (они, например,
присутствуют при анализе столь существенной для математики идеи
непрерывности в ее отличии от представления о дискретном). Видя в
математике прежде всего «науку о бесконечном» (ср. соответствующие
слова Вейля во многих его работах; см., например, [4] и [6]) и исходя
из представления о принципиальном отличии бесконечного от
конечного, интуиционисты отвергли теорию множеств Г. К а н т о р а,
в которой идея актуальной бесконечности (актуально бесконечного
множества—множества, «данного» сразу всеми своими элементами)—
одна из основных идей классической математики и логики,—
получила наиболее полное выражение. Становление интуиционизма
происходило в своеобразной ситуации, вызванной обнаружением
парадоксов (антиномий) теории множеств х) и получившей
(в частности, в работах Вейля (см. [4])) название «кризиса основ
математики». Интуиционистская критика классической математики
(и классической, восходящей еще к принципам Аристотеля,
логики) исходила из недопустимости практиковавшегося
«классиками» обращения с объектами математики, для которых существенна
идея бесконечности, с помощью средств, отработанных на конечных
совокупностях. Эта критика существенно углубила постановку и
исследование проблем обоснования математики и логики; именно ин-
туиционистам наука во многом обязана тем взлетом исследований
фундамента математического знания, который характерен для нашего
столетия.
Чтобы дать читателю представление о платформе интуиционизма,
приведем то место из книги С. К. К л и н и [7], в которой он
цитирует работу [8] ученика Брауэра, виднейшего современного
представителя интуиционизма, А. Гейтинга: «Согласно Брауэру,
математика тождественна сточной частью нашего мышления... Никакая
наука,— в частности, ни философия, ни логика — не может
служить предпосылкой для математики. Было бы порочным кругом
применять в качестве средств для доказательств какие-либо
философские или логические принципы, потому что в формулировке
таких принципов уже предполагаются математические понятия». Для
математики не остается «никакого другого источника, кроме
интуиции, которая с непосредственной ясностью помещает перед нашими
глазами математические понятия и выводы». Эта интуиция «является
') Подробные сведения о парадоксах теории множеств и логики
см. в [7] и [2].

не чем иным, как способностью рассматривать в отдельности
различные понятия и выводы, регулярно встречающиеся в обычном
мышлении». Анализируя идею натурального ряда чисел, излагает далее
Гейтинга Клини, мы видим, что она может быть основана на
возможности, во-первых, рассматривать какой-либо предмет или опыт
как данный нам независимо от всего остального мира (способность
абстракции — Б. Б.), во-вторых, отличать одно такое
рассмотрение от другого (способность различения объектов рассмотрения —
Б. Б.) и, в-третьих, представлять себе неограниченное повторение
второго процесса (абстракция потенциально-бесконечного процесса —
Б. Б.). «В интуиционистской математике,— цитирует Гейтинга
Клини,— выводы не извлекаются по фиксированным правилам, которые
можно объединить в логику, а каждый вывод в отдельности
непосредственно подтверждается своей очевидностью» ([7], стр. 52).
В нашей логической и философской литературе об
интуиционизме сказано немало. Однако иногда при этом недостаточно
уточнялось, к чему относится «платформа» интуиционизма: к самой
математике (и к ее основаниям), или кфилософским вопросам
этой науки (как нередко говорят, к «философии математики»), или же
к тому и другому вместе. В связи с задачей оценки методологического
аспекта творчества В е й л я этот вопрос имеет принципиальное
значение, так как существует тенденция видеть в интуиционизме
исключительно — или почти исключительно — направление в
философии математики.
Эта тенденция объясняется вполне определенными причинами.
Дело в том, что в пору своего зарождения — «официальной» датой
появления на свет интуиционизма можно считать 1907 г., когда
появилась диссертация Брауэра [9], содержавшая изложение его
концепции,— и первых десятилетий развития, когда интуиционистам
приходилось отвоевывать себе место «под математическим солнцем» в
острых спорах с представителями других направлений в основаниях
математики и когда разработка интуиционистской математики не
была продвинута достаточно далеко, интуиционизм представлялся
прежде всего философским направлением. Такое понимание
интуиционизма подкреплялось тем, что сами интуиционисты — ив
частности Г. Вейль — сопровождали свои новые концепции в математике
соображениями, выходившими за пределы этой науки и
апеллировавшими к понятиям теории познания, коей служили обычно
различные варианты идеализма. Развитие науки, однако, показало, что
в интуиционизме с самого начала имелись две стороны: сторона
общеметодологическая, связанная с философскими установками
основателей интуиционизма, прежде всего Брауэра и Вейля, и сторона
специально-научная, не связанная необходимо с философскими взглядами
отдельных интуиционистов, сторона, имеющая независимое
математическое содержание. В. Ф. А с м у с, специально
исследовавший проблему интуиции в философии, решительно
подчеркивает, что математический «интуиционизм» вовсе не есть философское
направление и тем более не разновидность философского
интуитивизма, характерного, например, для «феноменологии» Э. Гуссерля.
«Он имеет специфическое математическое содержание, независимое
от философии и ни в какой мере не подлежащее ее опеке» ([10],
стр. 277—278). Это содержание интуиционизма является в нем
ведущим, составляет главную его сторону; философский же аспект работ
интуиционистов—бросавшийся в глаза на первой стадии развития

этого направления—под давлением реальных научных задач ныне
отошел на второй план
Математическое содержание интуиционизма отчетливо видно,
если ознакомиться, например, с изложением идей интуиционизма в
упоминавшейся выше книге С К К л и н и [7] или в монографии
А А Френкеля иИ Б а р ■ X и л л е л а [2] ') Здесь не место
для характеристики интуиционистской математики 2) Сделаем лишь
одно замечание об интуиционистской математике, необходимое для
понимания места Г Вейля в исследованиях оснований математики и
в ее философских вопросах Оно касается отношения интуиционизма
к современному конструктивному направлению
в математике Приведем слова А А Маркова и Н А
Шанина, возглавляющих отечественную школу конструктивной
математики — школу, которая возникла на той же критической базе,
что и интуиционистская математика, многое заимствовала у интуи
ционистской математики и имеет ряд общих черт с последней (см [11],
стр 172) В работе «О конструктивном понимании математических
суждений» Н А Шанин пишет «Процесс возникновения
интуиционистской математики представлял собой, по существу, процесс поиска
таких идей и понятий, которые могли бы открыть перспективы
построения математическх теорий без использования абстракции
актуальной бесконечности Необходимо отметить, что этот процесс дал
определенные положительные результаты Среди выдвинутых Брауэром
и Г Вейлем идей имеются такие, которые подготовили почву для кон
структивного направления в математике Сюда относится прежде
всего установка на построение математических теорий без
использования абстракции актуальной бесконечности» ([12], стр 233)
ААМарковв своем кратком предисловии «От редактора» к
книге А Гейтинга «Интуиционизм» отмечает, что многие из взглядов
интуиционистов «были восприняты и усвоены математиками
конструктивного направления, не удовлетворенными господствующим
в настоящее время «теоретике множественным образом мышления»
Эти математики разделяют, в частности, критическое отношение
интуиционистов к закону исключенного третьего» ([3], стр 5 русского
перевода)
Таким образом, рациональная, подлежащая серьезному научному
обсуждению и учету, сторона интуиционизма —• имея ее в виду,
обычно предпочитают говорить об интуиционистской математике или
интуиционистской логике — продолжает питать научную мысль 8)
х) Стоит обратить внимание читателя на статью «Интуиционизм»
во втором томе «Философской энциклопедии» [5],принадлежащую
А С Есенину-Вольпину и В А Козмидиади,
в которой четко выявлена математическая сторона интуиционизма,—
вместе с критикой философских установок его основоположников
2) Для подробного ознакомления с нею может служить
выпущенная в русском переводе книга А Гейтинга [3], подробно
прокомментированная А А Марковым, к которой мы и отсылаем
читателя
3 ) В этой связи можно указать также на так называемую
ультраинтуиционистскую критику математики и соответствующую прог
рамму обоснования этой науки (взгляды А С Есенина Воль
п и н а, см [13], [14]) которая рассматривается ее автором как пос
ледовательное развитие «брауэровского скептицизма»

Когда приходится рассматривать явление в науке, которое— не
переставая сохранять значение для современности—вместе с тем уже
принадлежит истории культуры, естественно опереться на
проверенные временем оценки и документальные свидетельства. Следуя
этому подходу, чтобы показать философские установки Вейля в
рамках интуиционизма (напомним, что работы Вейля по вопросам
оснований математики принадлежат к раннему этапу развития
интуиционизма, когда философский аспект этого направления был особенно
значителен), приведем два места из опубликованного на русском
языке сборника его работ «О философии математики», давно ставшего
библиографической редкостью. Вот как Вейль описывает свое
понимание математики: «Исходным пунктом математики является
натуральный ряд чисел, т. е. закон X, порождающий из ничего первое
число 1 и изо всякого уже заданного числа — число,
непосредственно за ним следующее. Математические теоремы частью относятся
ко всей совокупности натуральных чисел, частью же ко всей
совокупности возникающих в результате актов свободного выбора
становящихся последовательностей натуральных чисел. Они относятся,
следовательно, частью к простирающейся в бесконечность и
порождаемой беспредельным развертыванием управляемого в своем развитии
законом 8 ряда натуральных чисел возможности, частью же к
заложенной в самой сущности становящейся числовой
последовательности бесконечной свободе все новых и новых ничем не
детерминированных актов выбора, которая способна на каждом шагу остановить
на произвольном месте начинающийся сызнова процесс развития
ряда натуральных чисел. В природе самого дела заложено, что то уз-
рение сущности, из которого проистекают общие теоремы, всегда
основывается на полной индукции, на изначальной
математической интуиции. Применение математики в науках
о действительном мире, особенно в физике, в конечном счете также
выражает собой тот факт, что мы в состоянии дать теоретическое
изображение бытия исключительно на фоне возможного
(пример, пустое пространство как среда возможных пространственных
коинциденций). Математика не является окаменелой и приносящей
с собой окаменение схемой, как это часто думают профаны, нет,
здесь мы находимся в том узловом пересечении необходимости и
свободы, которое составляет сущность самого человека» ([4], стр. 26).
И в другом месте: «Общие самодовлеющие суждения математики
трактуют частью о всем целом (Allheit) натуральных чисел, частью
же о всем целом становящихся посредством свободных актов выбора
последовательностях натуральных чисел. Они, значит, относятся
к простирающейся в бесконечность возможности
безграничного, определяемого законом алеф, продолжения развертывания
натуральных чисел, а частью к заключенной в становящейся числовой
последовательности бесконечной свободе новых ничем не связанных
актов выбора, которые на каждом шагу обрывают на произвольном
месте все вновь и вновь начинающийся процесс развития
натурального числового ряда. По самому существу дела интуиция сущности
(Weseneinsicht), из которой проистекают все общие суждения,
опирается всегда на так называемую полную индукцию. Она не
нуждается в дальнейшем обосновании, да и не способна к нему; ибо она
есть не что иное, как математическая первоинтуиция „еще одного

раза"» ([4], стр 109) «Все это определено a priori сущностью
процесса порождения алеф математической первоинтуиции» (там же)
В этих выразительных отрывках трудно не заметить
определенной философской окраски, отражающей влияние идеалистических
теорий познания «Бесконечная последовательность все новых и
новых ничем не детерминированных актов выбора», представление об
«априорности» «математической первоинтуиции» полной индукции,
повторяемая неоднократно во многих работах Вейля брауэровская
концепция континуума как «среды свободного становления»,
противопоставление математики как науки о возможном «наукам о
действительном мире» (к которым Вейль относил прежде всего физику) —
вот конкретные проявления этого Хотя эта окраска и была «мягче»
некоторых субъективистско-волюнтаристических высказываний
Брауэра (который говорил, что есть столько математик, сколько
есть математиков, что математика есть деятельность *) —
деятельность, с помощью которой человек вносит порядок в окружающий
его мир и подчиняет его, в том числе и других людей, своей воле 2)),
она отнюдь не вступала в противоречие с философскими установками
последнего Например, Вейль присоединялся к взглядам Брауэра
на переживание «распада жизненных моментов», разделяемых лишь
временем, но могущих быть снова объединенными в некотором
«двуединстве», как на «первичный факт человеческого интеллекта»
([4], стр 87), лежащий в основе всей математической деятельности
(ср характеристику интуиционизма в [2], стр 251—252)
Надо, однако, сказать, что при всей философски неубедительной
окраске вейлевской «философии математики» ведущим для последней
является другая — вполне рациональная — сторона, а именно,
критика математической идеи актуальной бесконечности и связанное
с этой критикой требование пересмотра некоторых фундаментальных
логических принципов, в частности, роли в математике закона
исключенного третьего Вейль пишет, что определение чисел как
«идеальных объектов»«только тогда становится опасным», «когда
разворачивающаяся в бесконечность и закономерно возникшая
последовательность чисел превращается в замкнутую совокупность
существующих самих по себе предметов» ([4], стр 65) «Брауэр,— цитирует
Клини работу Вейля 115],— открыл нам глаза и показал, как
далеко классическая математика, вскормленная превосходящей
всякую человеческую способность реализации верой в «абсолютное»,
идет дальше таких утверждений, которые могут претендовать на
реальный смысл и истинность, основанную на доказательствах»
([7], стр 50)
Здесь следует заметить, что, усваивая и применяя философскую
терминологию, распространенную на Западе в его время, Вейль
зачастую не умел адекватно выразить свои взгляды на
противоположность классической и интуиционистской установок в математике
(это особенно необходимо иметь в виду нашему читателю,
привыкшему к определенному смыслу философских терминов) Так, он
часто говорит о важности для математики противоположения
«идеализма» «наивному реализму», в нашей литературе эти места из Вейля
нередко истолковывают как выступления против материализма —
3) В [41 Вейль передает слова Брауэра о том, что математика
«есть более деяние (Tun), чем учение» (см стр 106)
2) См [5], стр 301, [2], стр 257—258

«Наивного реализма», на самом же деле ведущим в них был другой
смысл Возьмем, например, следующие слова Вейля «Теоретико-
множественное обоснование представляет собой стадию наивного
реализма, не сознающего содеянного им перехода от данного к
трансцендентному (имеются в вид> актуально бесконечные множества —
Б Б ) Брауэр является представителем идеализма, поскольку он тре
бует сведения всего истинного к интуитивно данному» ([4], стр 90)
Здесь под «наивным реализмом» Вейль разумеет канторовскую
теоретико-множественную установку в математике — непримиримым
противником которой он действительно был,—а под «идеализмом»
(так же как и под «феноменологическим» подходом, о котором он
нередко говорит в аналогичных контекстах) имеет в виду, прежде всего,
позицию в математике, исходящую из приоритета «интуиции» над
осуществляемым путем рассуждений, логическим,
опосредствованным знанием интуиционизм в математике
Об «интуиции» Вейля (и Брауэра) ниже будет сказано более
подробно Пока же отметим, что использование выражения «наивный
реализм» для обозначения теоретике множественной установки
находится в соответствии со смыслом термина «реализм», идущего от
схоластической философии Напомню в этой связи, что и в
современных работах по основаниям математики — особенно за рубежом —
термин «реализм» (наряду с термином «платонизм») применяют в
сходном смысле как обозначение направления в логике и
математике, приписывающего абстрактным объектам некоторый род
самостоятельного — вне сферы чувственно-воспринимаемых объектов —
бытия
С философской точки зрения привлекательным является
настойчивое подчеркивание Г Вейлем содержательного и
конструктивного характера математики «Позиция и
устремления математического «интуиционизма»,— отмечает В Ф Асмус,—
имеют своей предпосылкой отрицательное отношение «интуиционис-
тов» к абсолютизации логических и формальных основ математики»
([10], стр 262) Эта позиция выражена, например, в следующих
словах Вейля «Математика вовсе не состоит в том, чтобы развивать
по всем направлениям логические выводы из данных предпосылок,
нет, ее проблемы ставятся интуицией, жизнью научного духа, и эти
проблемы нельзя разрешить по установленной схеме вроде
арифметических школьных задач Дедуктивный путь, ведущий к их
разрешению, не предуказан, его требуется открыть, и в помощь при этом
нам служит обращение к мгновенно прозревающей многообразие
связи интуиции, к аналогии, к опыту» ([4], стр 53) В духовной
жизни человека Вейль выделял (см , например, [6]) две сферы сферу
творчества (Gestaltung), конструкции, которой посвящают себя
артист, ученый, инженер, и сферу рефлексии, размышления (reflection,
Besinnung) Математика как деятельность, как осуществление
математических конструкций — так же как и физика — относится к
первой области, области «конструктивного действия» (метаматематику
с ее познанием непротиворечивости, а также философию Вейль
относил ко второй области) Можно говорить писал он в [6] (стр 83),
об изначальной «темноте» рассуждения мы не получаем еще истины,
когда просто широко открываем глаза на мир,— истину надо добыть
путем действия, даже в чистой математике или в чистой логике мы
не можем решить вопрос о выполнимости формулы средствами
описательных характеристик, мы должны перейти к действию мы

начинаем с аксиом и практически применяем правила вывода,
произвольно повторяя и комбинируя их.
Особенно важное значение в придании математике
содержательного и конструктивного характера имеет метод полной
(«математической») индукции («метод полной индукции действительно является
основной и пронизывающей всю математику чертой ее»; «с точки
зрения интуиционизма именно полная индукция охраняет
математику от опасности превратиться в чудовищную тавтологию»
([4], стр. 88)). В е й л ь—как и другие интуиционисты—помещает
метод (принцип, правило) математической индукции в самый
фундамент математики. Мы не в состоянии, утверждает Вейль, «свести
определение на основе полной индукции к чему-то более
изначальному. Ряд натуральных чисел и содержащаяся в нем
интуиция итерации составляет последнее основание математического
мышления» ([4], стр. 98); «принцип полной индукции, приведенный
не в виде формулы, а последовательно применяемый in concreto,
представляет собой собственную и единственную силу математики,
математическую праинтуицию» ([4], стр. 77).
В свете современного развития оснований математики и логики—
известно, например, что дедуктивные теории (исчисления,
формальные системы) строятся конструктивно («индуктивно») и что принцип
полной индукции играет фундаментальную роль в конструктивной
математике (см. [16]),— идеи Вейля о «творческой» функции
математической индукции звучат особенно свежо. Конечно, можно спорить,
каким — внелогическим, даже предшествующим логике (как думал
Вейль) или логическим — является этот принцип (как можно —
и нужно — спорить с ним в связи с его попыткой провести жесткую
границу в познании между мыслью и действием). Хотя такой спор и
можно в известном смысле считать «спором о словах» (ведь логику
можно по-разному определять), нам все же представляется
убедительной точка зрения С. А. Яновской1), настаивающей
на логической природе правила полной математической индукции и
показывающей, что введение его в науку означало существенное,
принципиально важное расширение логических средств точного
знания по сравнению с аристотелево-схоластической логикой. Как
пишете. А Яновская, «правило полной индукции прочно вошло в науку
еще в эпоху Декарта и Паскаля, было предметом острых дискуссий
между логицистами 2) и Пуанкаре на рубеже XIX—XX веков и
специально обсуждалось в «Алгебре логики» Шредера как один из
«необходимых мышлению законов» (denknotwendigen Gesetze) общей
логики» ([16], стр. 48). И Вейль следовал этой научной традиции,
когда заявлял, что принцип полной индукции «приносит с собой
в математические доказательства совершенно новый и своеобразный
момент, чуждый аристотелевой логике, и он-то и составляет
подлинную душу математического доказательства» ([4], стр. 61).
Взгляд на математическую индукцию как на логическую по
своей природе во всяком случае более соответствует нашей философ-
х) Она выражена в статье [16], а также в сообщении С. А. Я
невской на Международном конгрессе математиков, состоявшемся
в Москве в 1966 г.
2) То есть сторонниками логицизма — направления в
основаниях математики, связанного, прежде всего, с работами Б.
Рассела. О логицизме см. [17].

ской традиции, согласно которой проблемы выявления исходных аб
стракций научных теории, формулирования принципов расширения
знания и правил вывода относятся к области логики и методо
логии науки Характеризуя познание, В И Ленин писал, что
самые обычные логические «фигуры» суть самые обычные отношения
вещей ([18], стр 159), — отношения вещей, которые познаются нами
путем оперирования с ними и перевода этого оперирования в план
«умственных построений» Именно это является существенным для
понимания природы «умственных построений» (термин, который
употребляет А Гейтинг в книге [3] и который служит у него
часто заместителем «интуиции») на основе полной индукции
Но что же все таки представляет собой «интуиция» (и
«изначальная интуиция») Вейля, наиболее ярко воплощаемая в правиле
полной индукции' Очевидно, что само применение тем или иным ученым
понятия (или, лучше сказать, слова) «интуиция» вовсе еще не
означает какого либо идеализма Все дело в том, какой смысл
вкладывается в это понятие Поэтому иногда встречающаяся слишком
«прямолинейная» критика философских установок Вейля за ту большую
роль, какую он отводил в математическом познании интуиции,
не достигает цели, если не сопровождается выяснением
подлинного смысла вейлевской интуиции
Очевидно, что «интуиция» Вейля — это не алогичная интуиция
в духе, скажем, А Бергсона Это, как выражается В Ф А с-
м у с, «метод непосредственного интеллектуального усмотрения
в математике» Выявляя рациональный смысл интуиции интуицио-
нистов, авторы статьи [5] указывают, что для последних
интуитивная убедительность и интуитивная ясность — это непреложная
умозрительная или наглядная очевидность, присущая элементарным
шагам рассуждения, отдельным суждениям или отдельным понятиям,
примером интуитивно убедительного в этом смысле суждения может
быть суждение «О = 0» или «Из А следует Л» (для данного конкретного
суждения А) До этого пункта в понимании интуиционистами
интуиции в математике мы не видим еще никакого субъективизма
Однако в понятие интуиционистов, и в частности Вейля, об
интуиции как последнем основании математических суждений
вторгается и определенное философское содержание «В работах
интуиционистов,— пишет В Ф А с м у с,— необходимо отличать то понятие
об интуиции, к которому они пришли, исходя из собственно
математических проблем, и которое было необходимо им для освещения
и объяснения математического творчества, от понятия об интуиции,
частично почерпнутого ими из идеалистической философии и не
связанного необходимой связью с содержанием научных теорий» ([10],
стр 260) Философски несостоятельное понятие об интуиции, о
котором здесь говорится, это представление об абсолютно спонтанном
действии и проявлении изначальной свободы человеческого духа
Хотя Вейль часто говорил о значении в познании действия и
творчества, последние для него — во всяком случае в математике —
носили, прежде всего, интеллектуальный характер он не видел в
интуитивной убедительности, в интуитивной ясности простейших «ум
ственных построений» математики (и логики) результат развития
предшествующей («доматематической») практики Но без обращения
к гносеологическому критерию практики «исходное для
«интуиционизма» Брауэра и Вейля понятие интуиции становится шатким
Возникает оправданное сомнение в способности «интуиционистов»

убедить нас в том, что результаты их построений—нечто большее, чем
субъективное творчество, что они составляют науку» ([10], стр 286)
Вейлевская концепция интуиции как последнего основания
математических истин, таким образом, не включала в себя важнейший
элемент научной гносеологии — учет роли практики в
познании, в частности, в познании математическом Современное
отечественное конструктивное направление в математике — которое,
как мы отмечали, в ряде аспектов является развитием идей интуицио-
нистов — в этом отношении решительно расходится с Вейлем Так,
Н А Шанин, указывая на неприемлемость
методологических основ интуиционистской математики, говорит «Интуицио
нисты не признают человеческую практику и опыт источником
формирования математических понятий, методов математических
построений и методов умозаключений» ([12], стр 232) А А
Маркове своих комментариях к книге А Гейтинга «Интуиционизм»
подчеркивает, что умственные построения математики — то, с чем
Вейль непосредственно связывает понятие «интуиции»,— следует
рассматривать в свете абстракции потенциальной осуществимости
и что они имеют в качестве своих прообразов практически
осуществимые материальные построения «Ведь умственные построения, такие,
например, как построения все больших и больших натуральных
чисел, обычно являются слепками с построений материальных, осу
ществляемых в окружающей нас действительности Материальными
прообразами таких построений являются построения все больших и
больших домов, все болеэ сложных машин и т п С другой стороны,
умственные построения оказываются часто проектами построений
материальных Сложнейшие алгорифмы осуществляются сначала
как умственные построения, а потом в наш век кибернетики
воплощаются в работе электронных машин, похожих во многих
отношениях на мозг человека) ([3], стр 162 русского перевода)
Отечественные ученые, представители конструктивного
направления в математике, продолжая критическую линию интуиционизма
в отношении некоторых абстракций математики и принципов логики,
связывают свои исходные посылки не с понятием интуиции (пусть
даже в его рациональном смысле, как наглядной или умственно
наглядной убедительности элементарных шагов математических
рассуждений), а с идеей построения математики на основе специально
разрабатываемых точных «языков» со своей особой конструктивной
семантикой При этом существенное значение имеет точное понятие
алгоритма (алгорифма),— которое в конструктивной
математике играет столь же существенную роль, как понятие множества в
классической математике,— и связанное с ним понятие порождаемого
(перечислимого) множества Это позволяет конструктивному направ
лению в математике исключить как неясные, содержательно
неосмысленные ряд существенно важных для интуиционистов (и
представлявшихся им «интуитивно убедительными»') идей и понятий (прежде
всего, понятие «свободно становящейся последовательности»,
играющее фундаментальную роль в интуиционистской математике)
и вырабатывать принципы конструктивного истолкования
математических суждений (см [11], [12], [19])
w * *
Вейль не был философом «профессионалом», но, как крупный
ученый, он живо откликался на принципиальные проблемы науки,

выдвигаемые ее развитием Размышляя над ними, он часто выходил
в смежные области философии, и тут мы должны констатировать, что
на этих экскурсах явственно сказывались распространенные в его
время и в его социальной среде идеалистические философские
учения В философских высказываниях и рассуждениях Вейля мы можем
заметить влияние и гуссерлианской «феноменологии» (послужившей
одним из источников немецкого экзистенциализма»), и «философии
жизни», и априоризма И Канта (вместе с мотивами агностицизма)
ит д В его работах находят отражение и более древние философские
мотивы, в частности своеобразный «гераклитизм» и пифагореизм.
Многие из этих философских влияний находили отзвук у Вейля
как раз в силу его установок в «философии математики»
«Философия жизни» и экзистенциализм согласовывались с мотивами
волюнтаризма его коллеги по интуиционизму — Брауэра Не
случайными были и ссылки Вейля на авторитет Э Гуссерля, в
философии которого видное место занимало понятие интуиции —
«интуитивной очевидности», «интуитивной самоданности»,— в истолковании
которой мы находим переплетение субъективно-идеалистического
подхода с мотивами объективно-идеалистическими
Общим фоном этих философских «увлечений» Вейля служили
его религиозно-идеалистические настроения, в полной мере
выраженные в такой его философской работе, как «Открытый мир» [6].
В первой главе этой книги, носящей название «Бог и Вселенная»,
обсуждается вопрос о связи между математикой бесконечного и
постижением бога человеком По мнению Вейля, эта связь является
весьма тесной, ибо «мир не есть хаос, он есть космос, гармонически
упорядоченный посредством нерушимых законов математики» ([6],
стр 21), а источником закономерной математической гармонии мира
является бог, именно наука (а не история или этика) — особенно
математика — открывает для мыслящего человека путь к богу, так
как она дает «видение той безупречной гармонии, которая
согласуется с возвышенной причиной» *) ([6], стр 29) «Математика
есть наука о бесконечном, ее целью является постижение человеком,
который конечен, бесконечного с помощью знаков» ([6], стр 7);
при этом завершенное бесконечное как замкнутая сфера
абсолютного существования и есть бог «Осознание мира, как он приходит
к нам от Бога, не может быть достигнуто путем знания,
кристаллизованного в отдельных суждениях, имеющих независимое значение
и относящихся к определенным фактам Оно может быть получено
только путем знаковой <symbohcal> конструкции» ([6], стр 28)
В этих рассуждениях Вейля о боге явственно чувствуются
мотивы пантеизма Вместе с тем не вызывает сомнений общая
религиозно-идеалистическая направленность мировоззрения Вейля
В этом смысле показателен конец его книги [6], в котором он дает,
по его же словам, «теологическую» формулировку ее выводов
Разум, пишет Вейль, есть «свобода в рамьах ограничений
существования, он открыт в бесконечное В самом деле, Бог, как
завершенное бесконечное, не может и не будет постигнут им, ни
Бог не может проникнуть в человека путем откровения, ни че-
г) Ср слова Вейля (из его речи «Место Феликса Клейна в
математической современности») об «интеллектуальной сфере жизни, яв
ляющейся одним из проявлений мировой гармонии» (см стр 9
настоящей книги)

ловек не может постичь Бога путем мистического восприятия.
Завершенное бесконечное мы можем только выражать в знаках
<in symbols). Из этого отношения получает свое полное
освящение и достоинство каждый творческий акт человека. Однако
только в математике и физике, насколько я могу видеть, зна-
ково-теоретическая конструкция приобретает достаточную
основательность для того, чтобы стать убедительной для всякого,
чей разум открыт для этих наук» ([6], стр. 84).
* * *
Обратимся теперь к книге, публикация которой на русском
языке послужила поводом к написанию этой статьи,— к
«Симметрии» Вейля. Читатель согласится с тем, что в ней не очень сильно
чувствуются те философские мотивы вейлевской «философии
математики», критический очерк которых дан в предшествующем
изложении (о некоторых местах книги, на которые стоит обратить в этой
связи внимание читателя, будет сказ'ано ниже); не видно здесь и
проявлений его интуиционистской установки в математике. Чем
это объясняется? Очевидно, тем, что в этой книге находит свое
выражение творчество Вейля как математика и
естественника, а не его размышления о математике, не взгляды
Вейля-ф и л о с оф а.
Философская окрашенность интуиционистской программы Вейля
привела к распространению среди части наших
ученых-нематематиков представления о Вейле как, главным образом, о
представителе идеалистической «философии математики». Но для
математиков, знакомых с математическими работами Вейля,
он всегда был, прежде всего, творчески работающим математиком,
автором многих выдающихся результатов, математиком,
придававшим большое значение приложениям математических теорий,
особенно в физике. Что следует подчеркнуть здесь в связи с «Симметрией»
Вейля, состоит в том, что публикация этой книги показывает мало
знакомую у нас другую — сильную — сторону методологии
Вейля, сторону, которая была связана с его творческой
работой в математике и ее приложениях и которую
не смогли подавить его философские «увлечения».
Это не должно удивлять читателя. Наука знает немало
ученых — яркими тому примерами являются Г. В. Лейбниц и И.
Ньютон, из которых первый разработал идеалистическую
«монадологию», а второй на склоне лет занимался толкованием Евангелия,—
которые, прокладывая новые пути в науке и внося крупный вклад
в развитие ее методологических средств, в общефилософских,
мировоззренческих вопросах стояли на позициях идеализма или религии.
Сказанное справедливо не только по отношению к
ученым-мыслителям прошлого, но и в применении к ряду выдающихся
современных ученых, живущих в буржуазном обществе. Это и делает такими
непоследовательными, внутренне противоречивыми их философские
установки в науке: ведь наука требует от ученого признания
объективности своего предмета, она вырабатывает у него убеждение в
объективной истинности своих теорий, восхищение перед познающей
мощью человеческого разума, господствующая же в обществе
идеология толкает его в направлении поисков «пути к богу»,—что и
пытался сделать Вейль. Поэтому-то оценка философских взглядов
таких ученых оказывается отнюдь не простым делом. Ибо философ-

ски несостоятельная сторона взглядов ученого может подчас помешать
разглядеть методологическую значимость его идей, связанных с
научными интересами и результатами ученого.
В. И. Ленин в свое время говорил — речь шла о «кризисе
физики» на рубеже двух столетий, состоявшем в отступлении
некоторых физиков «от прямого, решительного и бесповоротного признания
объективной ценности ее теорий» ([20], стр. 324),— что
естествознание, а именно физика, лежит в родах: она рождает
диалектический материализм. Прошедшие с тех пор десятилетия дали новый
убедительный материал, показывающий, как наука самим ходом
своего развития, объективной мощью своих открытий определяет
взгляд ученых на предмет своего исследования — даже тех из них,
которые в силу различных причин при философском
осмыслении науки становятся на позиции идеализма или уступок ему — как
на реально, независимо от познающего мышления существующий,
причем весьма сложный, но познаваемый, в поступательном
развитии знания, объект. Объект, для глубокого изучения которого все
более и более неотъемлемым инструментом становится именно м а-
тематика. Убеждение в объективности предмета науки, ценности
ее результатов и достоверности ее истин — при относительности
последних, проистекающей из диалектического характера процесса
познания,— характеризует фактическое творчество всякого
подлинного ученого. Убеждение это (несмотря на несостоятельный
философский «фон» его творчества) характеризует и Вейля. И
подтверждением этому является его «Симметрия». Ибо явление,
описываемое этим понятием, исследуется им не как некое построение
«свободного» человеческого ума, разума математика, по своему произволу
(или по воле бога) творящего конструкции, которые могут не иметь
никакого отношения к действительному миру, а как вполне реальный
феномен, присущий действительности в самых различных ее сферах:
и живой природе, и области химии, и сфере физических процессов,
и миру кристаллов, и явлениям искусства; математические теории
служат средством уточнения понятия симметрии, отражающего
действительные факты.
В настоящее время понятие симметрии превратилось в
общенаучное понятие. Превращение тех или иных понятий,
первоначально возникших в некоторых частных областях знания, в
понятия общенаучного характера и содержания — примерами таких
понятий могут служить и понятие информации, и понятие алгоритма,
и понятие надежности, и многие другие — является одной из
характерных черт развития науки середины нашего столетия. Общей
чертой этих понятий является то, что общенаучность им придает не
только (и, пожалуй, не столько) их применимость в широком спектре
областей исследования (которая действительно весьма существенна),
сколько то, что все они — в определенных пределах, на
определенных уровнях, с разной степенью полноты — уточняются средствами
математики, в определенных математических теориях. И как раз
математика придает им оперативную силу: превращает построенные
для их уточнения или с их существенным участием теории в источник
эвристических принципов, применимых зачастую
далеко за пределами сферы их первоначального генезиса. Когда
Вейль писал свою «Симметрию», эта «эвристическая сила»
исследовавшегося им понятия далеко еще не была ясна. Но посмотрите, что
происходит теперь с понятием симметрии в физике,— да и не только

в ней1 Это понятие прочно вошпо в современные физические теории
и гипотезы, без него теперь, по существ), не мыслим ни один круп
ный шаг в теоретической физике
Как математик, Г Веиль отчетливо понимал эту силу
математики в исследовании тех явлений, которые люди издавна называли
«симметрией» Он активным образом участвовал в создании
математического аппарата, эффективного в их описании Но, характеризуя
на примере «симметрии» процесс математического уточнения
содержательных, имеющих конкретные внематечатические прообразы,
понятий, он вводил в эту характеристику элементы своего
мировоззрения Когда на стр 37 и 38 мы читаем о «платоновской идее, стоящей
за всеми частными проявлениями и приложениями симметрии»,
о том, что «математические законы, управляющие природой,
являются источником симметрии в природе», мы чувствуем в этих словах
отражение общефилософской позиции автора К чести Вейля надо
сказать, что эта его позиция не препятствует ему формулировать
принципиально важное положение о том, что закономерности при
роды (и искусства — искусство неотделимо от идеи симметрии)
получают точное выражение лишь средствами математики Вообще
идеалистические мотивы не получают развития в книге Ссылка
Вейля на «платоновскую идею» служит ему главным образом для того,
чтобы подчеркнуть точный, математический,— а не приближенно-
описательный,—характер понятия симметрии, в отличие от его
«реализаций» в тех или иных сферах природы или искусства,—
мысль, как это очевидно, совершенно правильную Вся книга как
раз и посвящена показу того, что симметрия в природе и искусстве
подчиняется законам, открываемым, формулируемым,
устанавливаемым математиками
Что Вейль достаточно ясно осознавал роль математики в
уточнении содержательных (т е не уточненных еще, опирающихся еще
только на эмпирические наблюдения, на оперирование с
конкретными вещами) понятий, ясно из очерка замысла книги, который он
дает на стр 33 и 37—38 Вот как Вейль характеризует задачи и
построение своих лекций «Я ставил перед собой две задачи С одной
стороны, я хотел показать огромное разнообразие приложений
принципа симметрии в искусстве, в живой и неживой природе С другой
стороны, я стремился к тому, чтобы постепенно, шаг за шагом
раскрыть философско-математическое значение идеи симметрии»
(стр 33) И далее «Сначала мы несколько более подробно
рассмотрим зеркальную симметрию и ее роль в искусствен живой и
неживой природе Затем мы постепенно обобщим это понятие в
направлении, указанном нашим примером вращательной симметрии, при
этом вначале мы будем оставаться в рамках геометрии, но затем
выйдем за ее пределы и с помощью процесса математической
абстракции вступим на путь, который в конце концов приведет нас к
математическому понятию огромной общности, к платоновской идее,
стоящей за всеми частными проявлениями и приложениями
симметрии Описанная схема в известной степени характерна для всего
теоретического познания мы начинаем с некоторого общего, но
туманного принципа (симметрия в первом смысле этого слова), затем
находим важный частный случай, рассмотрение которого позволяет
придать нашему понятию конкретный и точный смысл (зеркальная
симметрия); далее, отправляясь от этого частного случая, мы
постепенно вновь поднимаемся к общему,— причем руководствуемся уже

не философскими призраками, а опираемся на математическое
построение и математическую абстракцию и, если это нам удается, мы
в конце концов доходим до понятия, носящего не менее общий
характер, чем тот, с которого мы начали. Может оказаться, что при
этом мы потеряли значительную часть эмоциональной окраски
исходного понятия, однако новое понятие будет в области мышления
обладать такой же — если не большей — силой обобщения и, кроме
того, будет точным, в отличие от первоначального туманного
понятия» (стр. 37—38). При этом уточненное понятие симметрии нужно
науке, так сказать, не само по себе, но — и эта мысль пронизывает
фактически всю книгу Вейля — для эффективного изучения тех
чувственно-конкретных объектов, с которыми люди сталкиваются в
практике научного познания и иных видов деятельности и от
которых первоначально и было отвлечено представление о симметрии.
Не нужно особой проницательности, чтобы увидеть в
приведенных словах Вейля отображение — в рамках тех задач, которые он
ставит в своем исследовании,— присущего науке пути расширения
ее знаний о мире, пути, который В. И. Ленин охарактеризовал
в известных словах: «Мышление, восходя от конкретного к
абстрактному, не отходит — если оно правильное... от истины, а подходит
к ней» ([18], стр. 152). При этом, конечно,следует иметь в виду
своеобразие терминологии Вейля, выражающего мысль о роли
абстрактных понятий в познании в терминах «платоновской идеи» (которую
можно понять в смысле точного математического понятия, понятия
об «идеализированном», «абстрактном» объекте типа тех идеальных
окружностей, о которых столь выразительно говорит Б. Рассел
в отрывке, приведенном в начале этой статьи).
Рассмотрение методологии вейлевской «Симметрии» дает
возможность на конкретном материале раскрыть известный
философский тезис: всякое познание, поскольку оно есть познание
нового, поскольку оно движет вперед науку, есть познание
диалектическое; естествознание и математика — там, где речь идет о
действительном движении вперед, о преодолении реальных трудностей,
а не о (зачастую философски предвзятом) их абсолютизировании —
с необходимостью порождают материалистические установки и диа-
алектический подход; и это даже у тех ученых, которые, как,
например, Вейль, в сфере общеметодологических и мировоззренческих
вопросов оказываются под влиянием философски неубедительных
точек зрения.
В связи с приведенными выше отрывками из Вейля хочется
подчеркнуть также и ту (получающую теперь все большее признание
даже у представителей «традиционно-описательных» наук, не
пользующихся точными методами) истину, что в движении познания от
объектов чувственно-практического опыта к абстрактным понятиям
и от последних — к более глубокому постижению
чувственно-данной, практически изменяемой трудом человека реальности все
большую роль играет математика. Эту тенденцию
математизации знания давно ощущали наиболее проницательные
мыслители. Можно было бы привести длинную вереницу высказываний
философов и ученых прошлых и нынешнего времен о неизбежности
перехода к математическому описанию объектов на определенной
стадии развития любой (конкретной) науки. Достаточно сослаться
на К. Маркса, который по свидетельству П. Лафарга — и об
этом теперь, в наш век электронной вычислительной и управляющей

техники, вспомнили все! — говорил, что наука только тогда
достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой; и
Маркс долгие годы занимался математикой, имея в виду ее
применение к экономическим проблемам.
Обо всем этом стоит напомнить потому, что книга Вейля
является превосходным — достаточно доступным для нематематиков,
в частности,представителей гуманитарных наук—образцом
применения математических идей и математического аппарата к изучению
явлений, которые издавна и во многих областях (биология,
искусство) рассматривались лишь на эмпирически-описательном уровне.
С этой точки зрения «Симметрия» Вейля, несомненно, вызовет
глубокий интерес ученых-нематематиков различных специальностей.
И еще об одной стороне творчества Вейля, примечательной с
методологической точки зрения, целесообразно сказать. Это —
постоянный интерес Вейля к внематематическим приложениям
разрабатывавшихся им математических теорий. Не говоря уже о связях
его математических результатов с физическими приложениями, он
стоит у истоков некоторых из самых «практических» математических
теорий современности, входящих в теоретический арсенал
кибернетики (ср. вступительную статью к настоящей книге, стр. 16—17 и
26—27). Не удивительно, что изучение математического понятия
симметрии было для Вейля не занятием «чистой» математикой,— нет, он
проницательно предвосхитил значение симметрии для физики, сам
многое сделал для превращения этого понятия в понятие также и
«физическое». В этом отношении книга Вейля являет собой
прекрасный пример труда, воплощающего диалектический путь
познания «от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к
практике», о котором писал В. И. Ленин.
Обрисованные выше методологические черты творчества Вейля—
математика и естественника,— равно как и его гуманистические
взгляды, проникнутые высоким сознанием ответственности ученого
перед людьми (о которых хорошее представление дает вступительная
статья к настоящей книге), и делают его таким близким для нас.
«Симметрия» Вейля — это глубокая книга об одном из
важнейших фрагментов диалектики природы и ее математического описания.
По цельности и гармонии своих частей, по богатству и действенности
заключенных в ней научных и методологических идей, по яркости
и выразительности изложения она принадлежит к классическим
произведениям мировой научной литературы.
ЛИТЕРАТУРА, НА КОТОРУЮ ИМЕЮТСЯ ССЫЛКИ
1. Б. Рассел, История западной философии, сокращ. перев. с
англ., общая редакция и послесловие проф. В. Ф. Асмуса, ИЛ,
М., 1959.
2. А. А. Френкель и И. Бар-Хиллел, Основания
теории множеств, перев. с англ. Ю. А. Гастева под ред. А. С. Есе-
нина-Вольпина, «Мир», М., 1966.
3. А. Н е у t i n g, Intuitionism. An introduction, Amsterdam,
1956 (русский перевод: А. Г е й т и н г, Интуиционизм.
Введение, перев. с англ. В. А Янкова, под ред. и с комментариями
А. А Маркова, «Мир», М., 1965).

4 Г Вейль О философии математики, перев с нем А П
Юшкевича, предисл С А Яновской, Гостехтеоретиздат, М —Л , 1934
5 «Интуиционизм», «Философская энциклопедия», т II, 1962
6 Н W е у 1, The Open World Three lectures on the metaphysical
implications of science New Haven Yael University Press, London
Humphrey Milford, Oxford University Press, 1932
7 С К Клин и, Введение в метаматематику, перев с англ
А С Есенина Вольпина, под ред В А Успенского, ИЛ, М , 1957
8 A Heyting, Mathematische Grundlagenforschung Intuitioms-
mus Beweistheone, «Ergebmsse der Mathematik und lhrer Grenz-
gebiete», В III, № 4, Berlin, 1934 (русский перевод А Г е й-
т и н г, Обзор исследований по основаниям математики
Интуиционизм— теория доказательства, перев с нем А П Юшкевича,
предисл А Н Колмогорова, ОНТИ, М —Л , 1936)
9 L E J Brouwer, Over de grondslagen de wiskunde,
Amsterdam — Leipzig, 1907
10 В Ф Асмус, Проблема интуиции в философии и математике.
(Очерк истории XVII — начало XX в ), 2-е изд , «Мысль», М ,
1965
11 Г С Цейтин, ИД. Заславский и Н А Шанин,
Особенности конструктивного математического анализа В кн
«Международный конгресс математиков Тезисы докладов», М ,
1966
12 Н А Шанин, О конструктивном понимании математических
суждений Труды Математического института им В А Стек-
лова, т 52, «Проблемы конструктивного направления в
математике 1», сб работ под ред Н А Шанина, изд АН СССР,
М —Л , 1958
13 А С Есенин-Вольпин, Le programme ultra-intuitio-
niste des foundements des mathematiques, в сб «Infinitistic
Methods», Proceeding of 1he Symposium on foundation of mathe
matics, Warszawa, 2—9 Sept 1959, 201—223
14 А С Есенин-Вольпин, Современное состояние
обоснования теории множеств, «Тр Четвертого всесоюзного
математического съезда», Ленинград, 3—12 июля 1961 г , т II,
Секционные доклады, «Наука», М —Л , 1964
15 Н W е у 1, Mathematics and logic A brief survey serving as a
preface to a review of «The Philosophy of Bertrand Russell», Amer
math monthly, v 53, 1946
16 С А Яновская, О математической строгости, «Вопросы
философии», 1966, N» 3
17 С А Яновская, Логицизм, «Философская энциклопедия»,
т III, M , 1964
18 В И Ленин, Философские тетради, Полное собр соч , т 29
19 А А Марко в, О конструктивной математике, Труды
Математического института им В А Стеклова, т 67, «Проблемы
конструктивного направления в математике 2» сб работ под ред
Н А Шанина, изд АН СССР, М —Л , 1962
20 В И Л е н и н, Материализм и эмпириокритицизм, Полное собр
соч , т 18

Герман Вейль
СИММЕТРИЯ
М, 1968 г , 192 стр с илл
Редактор В В Донченко
Техн редактор С Я Шкчяр
Корректор 3 В Аетонееза
Сдано в набор 24/VIII 1967 г Подписано
к печати 30/Х 1967 г Бумага 84Х108'/32.
тип JV» 1 Физ печ л 6+1 вкл Условн
печ л 10,18 Уч-изд л 10,95 Тираж
75 000 экз Цена 51 коп Заказ № 1929
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А А Жданова
Главполиграфпрома
Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва Ж-54, Валовая, 28