Text
                    А.В. ШУБНИКОВ, В. А. КОПЦИК
ММ ЕТРШ
В ПЛЖЕ II 11СКМХ7ГВЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО*НАУКА


АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена Трудового Красного Знамени Институт кристаллографии
А. В. ШУБНИКОВ, В. А. КОПЦИК СИММЕТРИЯ В НАУКЕ И ИСКУССТВЕ Издание 2-е, переработанное и дополненное ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1972
1 p. 91 к. Уже на заре своей культуры человечество имело представле- представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Симметрию, дословно — сораз- соразмерность, древнегреческие фило- философы рассматривали как частный случай гармонии — согласования частей в рамках целого. Совре- Современная наука определяет сим- симметрию как закон строения структурных объектов, точнее — как группы допустимых преобра- преобразований элементов, сохраняющих качественную целостность рас- рассматриваемых систем. Методы си- системно-структурных исследова- исследований, опирающиеся на моделиро- моделирование и математический аппарат теории групп, доминируют в со- современном естествознании. Эти методы применяются теперь и к анализу продуктов духовного творчества человека — произве- произведений науки, литературы и ис- искусства, поскольку последние об- мдают определенной структурой. Книга выдающегося советского ученого академика А. В. Шубни- кова н его ученика профессора В. А. Копцика может служить введением в изучение теории сим- симметрии. Отличаясь шириной и глубиной подхода, она удачно со- сочетает научную строгость с яс- ясным и доходчивым стилем изло- изложения. Работа богато иллюстри- иллюстрирована примерами применения принципов и методов симметрии в физике, химии, биологии, кри- кристаллографии, архитектуре, поэ- поэзии, живописи, музыке. Книга рассчитана на широкие круги научно-технической и художест- художественной интеллигенции. Ее можно рекомендовать в качестве допол- дополнительного учебного пособия сту- студентам и аспирантам естествен- естественнонаучных и художественных факультетов. Много новых ре- результатов и идей обнаружит в этой работе и специалист.
ПРЕДИСЛОВИЕ За годы, прошедшие со дня выхода в свет первого издания A940 г.), классиче- классическое учение о симметрии обогатилось обширными новыми разделами, такими, как антисимметрия, цветная симметрия, симметрия многомерных пространств и т. д. Расширилось и углубилось использование методов теории симметрии в естественных науках — физике, химии, биологии — и в их многочисленных ответвлениях. Метод симметрии приобрел философское значение и стал одним из наиболее общих и эффективных методов теоретического исследования в совре- современном естествознании вообще. Столь общее значение этого метода определяет- определяется его способностью выявлять инварианты преобразований, описывать внутрен- внутреннюю структуру материальных и идеальных систем — объектов научного и художественного исследования. Происшедшие изменения потребовали существенного расширения содержа- содержания книги, объем которой в настоящем издании увеличился вдвое. Научную подготовку нового издания по просьбе А. В. Шубникова осуществил В. А. Коп- цик. Им был частично переработан и обобщен первоначальный текст, отно- относящийся к классической симметрии, и добавлены три новые главы, освещаю- освещающие дальнейшее развитие, современное состояние и приложения теории симмет- симметрии. В рамках этой теории рассматриваются и эффекты диссиметризации (по- (понижения симметрии), поэтому слово «диссимметрия» в заголовке книги подра- подразумевается. С предыдущей новая работа авторов связана единством замысла. Отметим некоторые особенности в построении и содержании книги. Прежде всего — об определении понятия симметрии. Это понятие содержит два противоречивых момента: преобразования (изменения) и сохранения (инварианта). Сохраняю- Сохраняющееся при изменении есть инвариант; совокупность преобразований, сохра- сохраняющих нечто инвариантным, есть его группа симметрии. Теория симметрии принимает, что все преобразования совершаются на уровне элементов, экви- эквивалентных в том или ином отношении. Сохраняется же целое, совокупность элементов и их структурных связей, образующих целостную систему. Различное выделение структурных подуровней у одного и того же объекта приводит к различному определению его групп симметрии. Поэтому мы опре- определяем симметрию как закон строения структурных объектов, точнее — как группы автоморфизмов, сохраняющие качественную целостность рассматривае- рассматриваемых систем. Настоящая книга о симметрии, если угодно,— та же целостная система, состоящая из подструктур различного рода, и читать ее можно по-разному.
Это и популярное введение в предмет и монография, учебник и справочник. Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первую— девятую главы и конец заключительной главы. Указанная часть книги рассчи- рассчитана на широкие круги читателей, начиная от старших школьников и студентов и кончая представителями научно-технической и художественной интелли- интеллигенции, желающими расширить свой кругозор. Этой категории читателей мы рекомендуем пропускать доказательства (если они покажутся трудными) и не задерживать внимания на формулах и таблицах групп симметрии, носящих справочно-иллюстративный характер. Пропуск соответствующей информации компенсируют рисунки, органически связанные с текстом, которые можно рассматривать, как таковые, выискивая в них те или иные симметрические за- закономерности. Учебный уровень книги, ее математический и справочный аппарат, так же как и заключительные 10—12 главы, предназначены другой категории читателей — для всех желающих изучить теорию симметрии и применить ее в практике научного исследования, технического конструирования или специали- специализированного анализа «языка» искусства (именно анализа, ибо никакая теория не может дать рецептов для создания подлинно художественных произведений). Ознакомившись по этим разделам с принципами и примерами применения симметрии, заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии. Наконец, монографический уровень книги адресован специалистам, которые найдут в ней немало нового. Обобщенное определение симметрии позволило, например, впервые включить в рассмотрение объекты содержательного ис- искусства. Оригинально изложена схема теории расширений, позволяющая по- получать новые группы симметрии на базе уже известных групп. Впервые осуществлен вывод предельных групп цветной симметрии и дано определение «цветных» тензоров. Известный принцип диссимметризации Пьера Кюри объеди- объединен с вновь открытым принципом симметризации в единый принцип симметрии со- составных систем. Сформулированы законы сохранения стационарной симметрии для изолированных материальных систем и т. д. Для обозначения групп симметрии в книге на равных правах используются две системы — бескоординатная, предложенная одним из авторов, и так назы- называемая международная (координатная), широко применяющаяся в специаль- специальной литературе. Инверсионные и зеркальные оси и соответствующие им опера- операции симметрии различаются в работе знаками прямой черты и тильды, поме- помещаемыми над символами, как gag", Некоторые усовершенствования внесены в символику групп антисимметрии и цветной симметрии. Авторы выражают глубокую благодарность Я. И. Шубниковой за большую работу но подготовке книги к изданию, Е. И. Балабан и В. Ф. Парвову за подготовку иллюстраций, работникам издательства «Наука» и всем лицам, способствовавшим улучшению книги своими советами и замечаниями. А. В. Шубников, В. А. Кощик 1970 г.
1. ВВЕДЕНИЕ. ОТ ИНТУИТИВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СИММЕТРИИ Понятие равенства как основа геометрической закономерности и учения о симметрии Для всего учения о симметрии основное значение имеет понятие относи- относительного равенства предметов. Два предмета мы будем называть равными в отношении того или иного признака, если оба предмета обладают этим признаком. Приведем несколько примеров относительного равенства. Вершины квадрата равны друг другу в том смысле, что в каждой из них сходятся по два ребра, образующих прямые углы; но они не равны друг другу в смысле различной их ориентировки в пространстве. Все стороны косоугольного треугольника относительно равны друг другу, так как каждая из них есть отрезок прямой. Правая рука равна левой по всем количественным признакам, хотя правую руку и нельзя сов- совместить с левой простым наложением, т. е. без предварительного отражения одной из них в зеркале. Грани куска каменной соли, выбитого по плоско- плоскостям спайности и имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, не равны друг другу в обычном геометрическом смысле, но равны в отношении физических свойств. Грани картонного куба, выкрашенные в разные цвета, равны друг другу геометрически, но не равны по окраске. Из приведенных примеров мы видим, во-первых, что в природе нет и не может быть абсолютного равенства двух разобщенных в пространстве или вре- времени предметов, и, во-вторых что в реальпом или относительном равенстве требуется указапие критерия или, лучше сказать, меры равенства. Вводя меру равенства для каждого из признаков, мы вместе с тем вводим и представ- представление о более или менее широком равенстве двух предметов. Например, мы можем сказать, что вершины квадрата более равны друг другу, чем вершины параллелограмма, так как вершины квадрата сходны друг с другом большим чис- числом признаков, чем вершины параллелограмма.
Рис. 1 Квадрат построен геометрически закономерно, так как он может быть разделен без остатка на восемь равных частей Р и с. 2 Архимедова спираль обладает правильностью строения, так как представляет собой геомет- геометрическое место точек, равных друг другу в том смысле, что все они удовлетворяют одному уравнению г = а<р Обращаем внимание читателя на то, что при установлении равенства между двумя предметами мы оцениваем не только количественные их при- признаки, но и качественные. Отсюда и получается, что мы, например, можем говорить о равенстве и разли- различии точек: для нас все точки окружности, равные друг другу по положению, отличаются от центра окружности; материальная точка отличается от геометрической. Таким образом, за термином «отно- «относительное равенство» мы закрепляем конкретный смысл равенства в отношении данного признака (или их совокупности), подразумевая, что мера равенства определена или может быть определена. В этом отношении наш термин отличается от близких по значению слов «сходство», «подобие», «равноцен- «равноценность», «равнозначность» «гомологичность» и т. д., которые мы оставляем для обозначения более широ- широких понятий *. В дальнейшем, говоря о разных предметах, мы будем помнить, что речь может идти только об относительном равенстве. При этом при- признак, по которому предметы считаются равными, может не указываться, если он ясен по содержанию излагаемого. Геометрическая закономерность Второе понятие, которое для нас будет весьма полезным,— это понятие о геометрической законо- закономерности. Мы будем говорить, что вещь построена геометрически закономерно или правильно, если ее можно разделить без остатка на равные части отно- относительно некоторого геометрического признака. Приведем ряд примеров фигур, обладающих гео- геометрической закономерностью. Квадрат построен геометрически закономерно, так как он может быть разделен без остатка на восемь геометрически рав- равных прямоугольных треугольников (рис. 1). Указан- Указанный способ деления квадрата на равные части не единственный. Иное деление (например, на четыре малых квадрата или на два прямоугольника) обна- обнаружит и иную закономерность. * Исключение сделаем для слова «эквивалентность», которое будем употреблять в смысле относительного равенства при описании сим- симметрических совокупностей точек (см. стр. 64, 115). У читателя не вызовут недоразумения также и такие обороты речи (в гл. И, 12), как «равенство подобия» или «антиравенство», поскольку мера равен- равенства (геометрическое подобие фигур или соответственно сравнение свойств материальных объектов по знаку) в этих случаях определена.
Окружность построена геометрически правильно, так как зта фигура целиком может быть составлена из бесконечного числа точек, равных друг другу в том смысле, что каждая из них удалена па одно и то же расстояние от центра окружности. Архимедова спи- спираль представляет собой геометрически правильно построенную фигуру, так как она состоит из беско- бесконечного числа точек, удовлетворяющих уравнению Г = Яф, которое говорит нам, что расстояние точки спирали от начала О пропорционально углу ф, образуемому радиус-вектором г с начальной осью О А (рис. 2). Таким образом, точки спирали равны друг другу в том смысле, что для каждой из них отношение г/ф имеет одно и то же значение а. Пусть нам дан равнобедренный треугольник, разделенный на две части медианой угла между рав- равными сторонами. Обе части треугольника выкра- выкрашены в разные цвета. При физическом различии частей фигура построена геометрически правильно, так как она состоит из двух частей, равных друг другу по геометрическим признакам (зеркальное равенство). Возьмем бесконечную систему кружков, распо- расположенных по вершинам примыкающих друг к дру- другу равных квадратов (рис. 3, а). Полученная фигура построена геометрически правильно, так как все ее элементы удовлетворяют одному и тому же пра- правилу построения. Представим себе теперь не отвле- отвлеченную геометрическую фигуру, а реальное физи- физическое тело, например газ водород, заключенный в замкнутый сосуд. Такой газ, как известно из фи- физики, сотоит из «одинаковых» беспорядочно движу- движущихся молекул, при этом плотность газа во всех местах сосуда остается одинаковой. Если бы можно было снять мгновенную фотографию некоторого слоя такого газа и достаточно увеличить ее, то мы получили бы картину вроде той, которая изображе- изображена на рис. 3, б. Несмотря на так называемую идеаль- идеальную беспорядочность расположения точек в этой фигуре, она тем не менее построена геометрически правильно, и вот почему. Во-первых, вся фигура целиком может быть разложена на части, равные между собой, потому что каждая из них есть моле- молекула водорода; во-вторых, всю фигуру можно мыс- мысленно разбить, например, на квадратные участки, о о о о о о о о о о о о о о о о о о о в о Рис. 3 Узлы кпадратной сетки (а> образуют правильную фигуру, так как каждый из них занимает одинаковое положение среди дру- других узлов. Система точек, рас- расположенных беспорядочно, но- с одной и той же средней плот- плотностью (в), есть правильная фигура, так как се можно раз- разделить без остатка на участкиv содержащие приблизительно- одно и то же число частиц
Р и с. 4 Слева — две совместимо рав- равные фигуры, справа — две зер- зеркально равные фигуры равные в том смысле, что в каждом таком участке в силу одинаковой плотности газа заключается приблизительно одно и то же число молекул. Из приведенных примеров видно, что понятие гео- геометрической закономерности, так же как и понятие равенства, очень широко. Совершенно ясно, что плодотворное применение столь широкого понятия возможно лишь при фиксировании характера этой закономерности для каждого конкретного случая. Рис. S В симметричной фигуре, кроме ¦геометрического равенства час- частей (а), необходимо и одина- одинаковое их расположение (б) Р и с. в Окружность, нарисованная «от руки » и циркулем Симметрия как особый род геометрической закономерности Мы будем называть симметричным такой предмет, который состоит из геометрически и физически рав- равных частей, должным образом расположенных отно- относительно друг друга; должное расположение тре- требует, чтобы упорядоченность была в опрэделенном смысле одинаковой для всех частей. Под геометрическим равенством в данном случае подразумевается либо совместимое равенство {конгруэнтность), либо зеркальное равенство. Две статуэтки, гипсовая и чугунная, отлитые в одной форме, совместимо равны, но неравны зеркально и физически. Правая и левая руки равны физически и зеркально. На рис. 4 представлены две пары сов- совместимо и зеркально равных тетраэдров. Одинако- Одинаковыми буквами отмечены соответственные вершины фигур. Буквой т обозначен след воображаемой зеркальной плоскости, переводящей «левую» фи- фигуру в «правую». Необходимость особого расположения равных частей фигуры для того, чтобы она стала симмет- симметричной, показана на примере фигуры (рис. 5, а), состоящей из шести равных правильных треуголь- треугольников. Фигура становится симметричной после того, как все ее части будут расположены, например, так, как это показано на рис. 5, б. В дальнейшем мы (О
детально разберем различные случаи симметричного расположения, а в конце главы 6 дадим и точное определение самого понятия симметрии. Симметрия никогда не осуществляется в изделиях человека и в природных объектах — кристаллах, растениях, животных — с математической точностью. Если отклонения от безукоризненной симметрии невелики и носят несистематический характер, пред- предмет воспринимается нами как симметричный даже тогда, когда мы ясно видим эти отклонения; ок- окружности, начерченные циркулем или «от руки» (рис. 6), принимаются нами одинаково за симметрич- симметричные фигуры. Если отклонения увеличиваются, то пропадает и симметрия. Если изображенные на рис. 7 цветы рассматривать как плоские фигуры, то среди них мы найдем наряду с явно симметричными и асимметричными формами также и формы проме- промежуточной, сомнительной симметрии. Изучение не- несовершенств симметрии оказывает большую услугу при разработке вопросов симметрии: в кристалло- кристаллографии оно вылилось в особое учение о «реальном» кристалле, который противопоставляется «идеаль- «идеальному» кристаллу или, вернее, теоретической модели кристалла, построенной математически точно. Р и с. 8 Соединение в одной фигуре двух противоречивых симметрии Р и с. 9 Формальное противоречие между геометрической и симметрией Рис. 7 Симметрия цветков, осущест- осуществленная с разной точностью 11
Рис. 10 «Кляксография» приводящая к фигураи с одной плоскостью симметрии (рисунок слева) Рис. 11 Две кляксы, расположенные по иноиу закону Существуют и другие отклонения от совершен- совершенной симметрии, которые мы могли бы назвать со- соединением в одном объекте двух противоречивых симметрии, как это показано, например, на рис» 8Г изображающем квадрат внутри пятиугольной звез- звезды. Рассматриваемая в целом составная фигура асим- асимметрична, так как ее невозможно разделить на равные в указанном выше смысле части, но порознь обо составляющие фигуры — квадрат и пятиуголь- пятиугольная звезда — симметричны. В природе нередко встречается соединение противоречивых симметрии; например, морской организм на рис. 18 (см. при внимательном рассматри- стр. 20) снаружи имеет симметрию квадрата, а внутри — симметрию правильного пятиугольника. Бывают еще случаи смешения геометрического и физического равенства частей симметричной фигуры. Примером может служить рис. 9. С точки зрения геометрии изображенная на ном фигура обладает «четверной» симметрией, т. е. может быть разделена на четыре равные части; с физической точки зрения фигура имеет «двойную» симметрию. Рис. 12 Часть бесконечного плоского орнамента вании чертежа можно обнару- обнаружить в нем целый ряд законо- закономерностей Симметрия, красота форм и гармония Симметрия является одним из важных факторов красоты форм. Другие, хотя бы и более важные, факторы красоты нас в этой книге интересовать не будут. Чернильная клякса некрасива. Стоит нам, одна- однако, перегнуть лист бумаги пополам, пока клякса 12
еще не высохла, и мы получим картину (рис. 10), которая уже производит приятное впечатление. Здесь определяющим фактором красивого является правильное взаимное расположение частей фигуры — ее симметрия. Смысл эстетического воздействия симметрии (и всякой иной закономерно- закономерности), по нашему мнепию, заключается в том психическом процессе, который связан с открытием ее законов. Если закон очень прост и сразу схватыва- схватывается, как в только что приведенном примере, оп перестает быть привлекатель- привлекательным, надоедает. С этой точки зрения пара клякс, показанная на рис. 11, интереснее кляксы, изображенной на рис. 10. Предоставляем читателю самому установить закон их расположения. Примером еще более сложной симметрии может служить фигура на рис. 12, где изображена небольшая часть бесконечного плоского орнамента. Вгляды- Вглядываясь в чертеж, зритель начинает искать в нем разные закономерности. Он может, например, подчинить всю композицию паралельно расположенным квадратам, разбив весь чертеж на систему зигзагов, образованных чередующи- чередующимися квадратами и ромбами, вытянутыми вдоль системы параллельных пря- прямых; можно разложить всю фигуру на части, напоминающие детские бумаж- бумажные вертушки (квадраты, окруженные ромбами), и т. д. Симметрия, рассматриваемая как закон строения структурных объектов, сродни гармонии. В способности ощущать ее там, где другие ее не чувствуют, и состоит, по нашему мнению, вся эстетика научного и художественного творчества. 13
2. СИММЕТРИЯ ОДНОСТОРОННИХ РОЗЕТОК Мы начнем рассмотрение различных случаев симметрии с простейших ее видов, часто встречающихся в хорошо всем известных фигурах и предметах. Этим фигурам и предметам мы дадим наименование односторонних розеток. К точному определению понятия розетки мы придем постепенно, разбирая симметрию наших объектов на конкретных примерах. Плоскость симметрии. Симметрия животных, растений, машин и т. д. Рассмотрим фигуру, показанную на рис. 19. Ее симметрия состоит в том, что две отраженно равные половинки фигуры расположены относительно друг друга как предмет и его изображение в зеркале. Среди представителей жи- живого мира этот случай симметрии встречается тогда, когда для особи по усло- условиям ее жизни направления вверх и вниз, а также вперед и назад сущест венно различны, в то время как движения вправо и влево совершаются оди- одинаково часто. С такой ситуацией, очевидно, имеют дело животные, жизнь кото- которых протекает на поверхности земли и одна из главных функций которых — прямолинейное движение. Воображаемая плоскость, которая делит такие фи- фигуры на две зеркально равные половины, называется плоскостью симметрии и обозначается символически буквой т *. Тело человека, млекопитающих, ракообразных, рыб, птиц, насекомых обладает плоскостью симметрии. В при- природе симметрия го осуществляется, конечно, только приблизительно, что нико- никоим образом не может служить основанием для ее отрицания. Человек в своей деятельности весьма часто подражает тому, что его окружает. Этим мы объ- объясняем, почему изготовляемые человеком вещи, будь то произведения искус- * От английского слова mirror — зеркало. 14
ства (рис. 13), предметы быта или орудия произ- производства, имеют так часто симметрию го. Во многих случаях этот вид симметрии вытекает сам собой из способа применения человеком его изделий. Так, например, симметрия кресла или кровати явно вы- вызывается симметрией тела человека. В других слу- случаях она вызывается эстетическими соображения- соображениями, плохо увязанными со способом употребления изделий; сюда в первую очередь относятся инстру- инструменты, рассчитанные на работу определенной рукой: молоток, рубанок, музыкальные инструменты (на- (например, скрипка) и т. д. Симметрия этих предметов явно нерациональна. Показательным примером рациональной сим- симметрии является автомашина, которая должна быть всегда обращена одной своей стороной вниз, дру- другой — вверх, должна двигаться вперед лучше, чем назад, и одинаково хорошо поворачиваться направо и налево. Как видим, технические требования, предъявляемые человеком к автомашине, сходны с теми условиями, которым подчинено движение перечисленных выше видов животных, имеющих одну плоскость симметрии. Немудрено, что и ав- автомашина оказалась обладателем той же симмет- симметрии. С другой стороны, у мотоцикла с прицепной коляской плоскости симметрии нет; это объедине- объединение с точки зрения симметрии предназначено скорее для кругового движения, чем для езды по прямому направлению. Надо полагать, что в этой форме мотоцикл сохранится недолго. В так называемой неживой природе разбираемый нами случай симметрии встречается довольно часто, однако доминирующего значения он не имеет. На рис. 14 изображена схематически идеальная форма кристалла водного метасиликата натрия, выявляю- выявляющая симметрию го. Плоскость симметрии показана на рисунке штриховой линией; грани кристалла, рав- равные по форме и по физическим свойствам, обозна- обозначены одинаковой раскраской или штриховкой. С понятием «плоскость симметрии» мы связываем воображаемую операцию совмещения фигуры с ней самой, которое происходит при отражении фигуры в плоскости симметрии; при этом предполагается, что плоскость отражает обеими своими поверхно- поверхностями. Совмещение с помощью отражения, а также и другие способы совмещения фигур будем в дальней- дальнейшем называть симметрическими преобразованиями. Вспомогательные геометрические элементы (точки, Рис. 13 Стенная консоль как образец фигуры с симметрией т Отклонения от симметрии, на- наблюдающиеся в деталях, не- несколько оживляют эту сухую статичную композицию Рис. 14 Кристалл водного метасиликата натрия как образец фигуры с одной плоскостью симметрии 15
линии и плоскости), с помощью которых осуществляются симметрические пре- преобразования (в нашем случае — плоскость симметрии), будем называть эле- элементами симметрии *. Симметричен по определению всякий предмет, обладаю- обладающий хотя бы одним элементом симметрии. Этим определением, требующим еще перечисления и истолкования всех элементов симметрии, мы будем поль- пользоваться, пока не придем в главе 6 к более общей и простой формулировке. Ось симметрии. Принцип вращения и симметрия процессов, протекающих во времени Симметричными в обиходе принято называть только такие фигуры, у которых есть плоскость симметрии. В новом виде симметрии, о котором сейчас будет идти речь, плоскостей симметрии нет, но есть ось симметрии: линия, при полном обороте вокруг которой фигура несколько раз приходит в совмещение сама с собой. Число совмещений при полном обороте называется порядком оси; наименьший угол поворота, при котором фигура совмещается сама с собой, называется элементарным углом поворота. На рис. 20 изображена дискомедуза, обладающая осевой симметрией (порядок оси равен четырем). Ось проходит через центр фигуры перпендикулярно к плоскости рисунка; элементарный угол поворота равен 90°. При полном обороте на 360° фигура, следовательно, должна четыре раза совместиться сама с собой. Оси симметрии могут быть любого порядка — от 1 до °о . Для краткости в дальнейшем оси симметрии будем обозначать одпим целым числом, указывающим порядок оси; таким образом, ось симметрии четвертого порядка обозначается просто 4. Обратим внимание на то, что фигуры вроде изображенной на рис. 20 не могут быть совмещены сами с собой путем отражений в плоско- плоскостях. Совмещение возможно только путем вращения. Легко сообразить, что всякая, в том числе любая «асимметричная», фигура обладает бесконечным множеством осей симметрии первого порядка 1, так как после полного поворота на 360° вокруг произвольной прямой всякая фигура приходит в совмещение сама с собой один раз. Этот элемент симметрии мо- может иметь лишь теоретическое значение и в дальнейшем изложении будет нами часто игнорироваться. Большой интерес представляет рассмотрение другого предельного случая симметрии — оси бесконечного порядка оо. Фигура, обладающая такой осью, может совмещаться сама с собой нри любом угле поворота, так как элемен- элементарный угол поворота бесконечно мал. Представим себе диск, который вращается вокруг центра в своей плоско- плоскости с некоторой постоянной угловой скоростью. Нетрудно заметить, что диск имеет ось симметрии бесконечного порядка, но лишен плоскостей симметрии, проходящих через центр перпендикулярно к его плоскости, так как в таком диске направления по часовой стрелке и обратно пе равны друг другу * Строго говоря, элементом симметрии фигуры называется геометрическое место точек, остающихся иа месте при выполнении данного преобразования симметрии и при всех его последующих повторениях. Совокупность таких преобразований образует циклическую группу, которую мы связываем с элемен- элементом симметрии (см. стр. 112). 16
Мы видим, таким образом, что сообщение предметам новых физических ка- качеств может изменять их симметрию. Так как движение — процесс, разви- развивающийся во времени, в вопросах симметрии необходимо учитывать и фактор времени. Ось симметрии бесконечного порядка может быть единственным элементом симметрии не только во вращающихся, но также и в покоящихся телах. Представим себе деревянный конус, боковая поверхность которого оклеена сук- сукном. Если такой конус привести во вращение вокруг его оси (зажав в пат- роп токарного станка) и хорошо «причесать» на ходу щеткой, то после об- обработки конус потеряет все свои плоскости симметрии, так как ворс сукна будет иметь вполпе определенное направление. В зависимости от направления вращепия токарного станка мы получим либо правый, либо левый конус. Мы не будем здесь возвращаться к вопросу о точности, с которой в данном случае осуществляется симметрия; напомним только, что в природе идеальной сим- симметрии нет. Для полного приближения к ней следует представить себе сук- сукно с бесконечным числом бесконечно тонких и бесконечно близких друг к другу ворсинок. Поверхность вращающегося или «ворсистого» конуса анизо- анизотропна, т. е. обладает по разным направлениям разными свойствами. Когда мы проводим рукой по поверхности сукна, то испытываем различное трение в зависимости от направления движения руки. То же можно сказать и про поверхность вращающегося конуса: если мы будем проводить по ней рукой по направлению вращения или против него, то испытаем неодинаковое со- сопротивление движению руки. Из всех плоских фигур только диски и системы концентрических окружностей могут обладать осями симметрии бесконечного порядка при одновременном присутствии или отсутствии плоскостей симмет- симметрии (в зависимости от вращения и других причин, вызывающих анизотропию фигур). Из фигур пространственных ось симметрии бесконечного порядка могут иметь все тела вращения или токарные формы. Для дальнейшего полезно иметь в виду следующее. Когда мы говорим, что данная фигура имеет такую-то симметрию, например осевую симметрию п*, то это означает, что в фигуре нет иных элементов симметрии; в нашем примере фигура пе имеет никаких других элементов симметрии, кроме единственной оси симметрии порядка п. Если же мы говорим, что фигура имеет ось симмет- симметрии п, то это означает, что наряду с последней фигура может иметь и другие элементы симметрии, например плоскость симметрии. Авторам пришлось просмотреть большое количество всевозможных форм организмов, прежде чем удалось разыскать образец неприкрепленной формы, симметрия которой исчерпывается одной осью гращения (см. рис. 20). Сравнительную редкость осевой симметрии мы объясняем следующим обра- образом. Если для большинства высших организмов симметрия т связана с выгодами поступательного движения при разыскивании пищи, то симмет- симметрия п (одна ось симметрии порядка п) может быть обусловлена выгодами привычного вращательного движения в одну сторону для улавливания пищи**. * п — любое целое число, указывающее порядок оси симметрии. ** Осевая симметрия встречается чаще среди растительных и животных форм, ведущих прикрепленный образ жизни. Примером может служить симметрия многих цветков, лепестки которых, как в склад- складном веере, одним краем накрывают друг друга по закону правого или левого винта (см. Урманцев, 1970). 2 А. В. Шубников, В. А. Копцик 17
Рис. 15 Детская бумажная вертушка как пример вращающегося иеха - низма с одной осью симметрии Р и с. 16 В результате переплетения двух треугольных фигур в составной фигуре пропадают плоскости симметрии и остается только одна ось симметрии Мы не беремся объяснять, почему принцип вра- вращения получил в биологических формах столь ма- малое развитие. В человеческой деятельности, осо- особенно в технике, этот принцип находит широчайшее применение; вместе с тем и симметрия п занимает весьма почетное место среди других видов симметрии. Всякая машина или ее деталь, вращающаяся вок- вокруг определенной оси, по обоим концам которой гос- господствуют различные условия, принимает симмет- симметрию п. На рис. 15 изображена бумажная детская вертушка, назначение которой — вращаться при ветре. Когда она функционирует, то одна ее сторона, вмес- вместе с тем и один конец ее оси направлены против ветра, а другая сторона и другой конец оси — по ветру. Колесо ветряной мельницы имеет также симметрию п, всякая другая симметрия для него технически нецелесообр а зна. В орнаменте симметрия п имеет также большое распространение; часто она возникает благодаря применению принципа переплетения, который при- приводит к выпадению плоскостей симметрии, пересе- пересекающихся по оси симметрии. Поясним это на примере переплетения двух тре- треугольных фигур, вырезанных из бумаги (рис. 16). В целом фигура представляет собой шестиконечную звезду с шестерной осью симметрии. Плоскостей симметрии в фигуре нет. В этом нетрудно убедиться, если провести через противоположные вершины звезды прямые, которые с первого взгляда можно принять за следы плоскостей симметрии, и обратить внимание на то, что для некоторых отрезков кривых, расположенных справа от предполагаемой плоскости симметрии, нет соответствующих зеркально равных отрезков слева. То же можно сказать и про вообра- воображаемые плоскости, рассекающие фигуру по противо- противоположным вершинам ее входящих углов. В разо- разобранном примере плоскости симметрии выпали не потому, что художник (фигура взята из книги Я. Чернихова «Орнамент») сознательно к этому стре- стремился, а потому, что он воспользовался для компо- композиции рисунка принципом переплетения. Энантиоморфизм. Правизна и левизна фигур Здесь уместно остановиться еще на одном важном понятии, вытекающем из симметрии п. Мы говорим о так называемом энантиоморфизме. Сравнивая между собой две фигуры, показанные на рис. 17, 18
РИС. 17 Прииер энантиоиорфизма — ораваи (вверху) и левая фигуры (по Чериихову) 19
Рис. 18 Пример соединения четверной и пятеряой симметрии в Pedla' elrum elegans (по Геккелю) Рис. 19 Sacculina carcini — пример фигуры с одной плоскостью сим- симметрии (по Геккелю) 20
Рис. 20 Aurelia Insulinda — пример организма! обладающего осью симметрии четвертого порядка (по Геккелю) Р и с. 21 Морская звезда Ophiotrix ca- pillaria — пример фигур с од- одной вертикальной осью и пересе- пересекающимися по ней плоскостя- плоскостями симметрии. Символ симмет- симметрии 5.»» 21
легко видеть, что они имеют одинаковую симметрию 8, т. е. элементы симмет- симметрии обеих фигур исчерпываются восьмерной осью симметрии. Плоскостей симметрии в фигурах нет. Обе они зеркально равны, но несовместимы одна с другой, т. е. относятся друг к другу, как правая рука к левой. Поэтому целе- целесообразно одну из этих фигур (безразлично какую) называть правой, а дру- другую — левой. Существование зеркально равных форм одной и той же симмет- {рии и называется энантиоморфизмом. Так как обе формы геометрически 'равны друг другу, их часто называют энантиоморфными модификациями одной формы. Вернемся к симметрии т и рассмотрим для примера рис. 14. Построив зеркальное изображение показанной па нем фигуры, не найдем между ним и исходной фигурой никакого различия *. Обе фигуры будут одновременно и зеркально и совместимо равны друг другу; для фигур с симметрией т энан- тиоморфизм невозможен. Невозможность построения энантиоморфных моди- модификаций вызывается в разбираемом случае тем обстоятельством, что фигуры с симметрией т сами состоят из зеркально равных частей. Таким образом, речь может идти лишь об энантиоморфизме этих частей, но не фигур в целом. При отражении фигуры в зеркале правая ее часть преобразуется в левую, левая — в правую; вся же фигура останется такой, какой она была до отражения. Выражаясь фигурально, формы с симметрией т потому пе имеют энантиомор- фных модификаций, что «правизпа» и «левизна» содержатся в самих формах. Иначе обстоит дело с симметрией п. Фигуры, отвечающие этой симметрии (см., например, фигуру с симметрией 4 на рис. 20), состоят только из совмес- совместимо равных частей — скажем, только из левых частей. При отражении в зеркале все части фигуры преобразуются в правые, отчего и вся фигура перей- перейдет в другую энантиоморфную модификацию. Комбинация оси симметрии с плоскостями симметрии До сих пор мы рассматривали фигуры, имеющие либо одну плоскость сим- симметрии (символ симметрии — иг), либо одну ось симметрии (частные символы — 1, 2, 5,..., оо; общий символ для всего ряда — п). Теперь нам предстоит рас- рассмотреть такие фигуры, в которых ось симметрии комбинируется простей- простейшим образом с несколькими плоскостями симметрии. В дальнейшем будем на- называть полную совокупность всех элементов симметрии фигуры ее видгм симмет- симметрии, а полный набор преобразований симметрии, осуществляемых с их по- помощью,— группой симметрии фигуры (определение группы будет дано в главе 10). В настоящем параграфе нас будут интересовать такие виды симметрии, которые характеризуются одной осью симметрии и проходящей по ней плос- плоскостью симметрии. Эти порождающие элементы симметрии мы и введем в символ вида. Например, символ 5-т, который читается «пять точка эм», означает, что в качестве порождающих элементов симметрии взяты пятер- пятерная ось и плоскость симметрии; точка условно обозначает параллельность * Не следует смешивать понятие зеркала с понятием плоскости симметрии. Зеркало в разбираемом слу- чзе может быть поставлено где угодно; плоскость симметрии занимает в данной фигуре определенное положение. 22
Рис. 22 Альпийский цветок Gent iana pu.milа с симметрией 5-т (или совпадение) оси и плоскости. Другие элементы симметрии, вытекающие из существования порождающих элементов, в символ не входят. Полная сово- совокупность всех элементов симметрии вида 5- т состоит из одной пятерной оси и пяти пересекающихся по ней плоскостей симметрии. Этот вид симметрии имеет широкое распространение в органическом мире и наблюдается, напри- например, у некоторых морских звезд (рис. 21). Эти животные состоят из десяти совместимо и отраженно равных частей; каждая часть может быть совмещена со всякой другой, а вся фигура — сама с собой поворотами на пятую часть окружности G2°) вокруг оси, прохо- проходящей через центр фигуры перпендикулярно плоскости рисунка, и отраже- отражениями в пяти плоскостях, проходящих через ось и образующих между собой углы 36°. Вид симметрии 5-т часто встречается у плодов растений. Яблоко, лимон, апельсин в поперечных резрезах отчетливо выявляют эту симметрию; многочисленные ее примеры можно наблюдать у цветков розоцветных (рис. 22). 23
Рис. 23 Euaalrum apiculalum — при- пример организма с симметрией 2--ш (по Геккелю) Р и с. 24 Archidia pyloniscun—пример организма с симметрией 3-т (по Геккелю) 24
Рис. 25 Dicranaalrum' bifurcatum — пример организма с симметрией 4 •т. (по Геккелю) Р и с. 26 Astrocyath-as paradoxus — пример организма с симметрией- 6-т (по Геккелю) 25.
F и с. 27 Gentiana glaeialis — пример цветка с симметрией 4.т В противоположность этому в мире кристаллов пятерная ось симметрии ни в роли единственного элемента, ни в какой-либо комбинации с другими эле- элементами симметрии не встречается и, как показывает теория, встречаться не может. В равной мере в кристаллах не могут встречаться и все оси симметрии порядка выше шести, за исключением, впрочем, оси симметрии бесконечного порядка, которой могут характеризоваться в отдельных случаях оптические и некоторые другие физические свойства кристаллов. Такой теории, которая не допускала бы возможности появления тех или иных элементов симметрии в организмах, пока не существует, хотя некоторых элементов симметрии мы в них и не находим. Симметрия 2-т, 3-т, 4-т, 6-т весьма распространена в растительном и животном мире, а также и среди кристаллов. Соответствующие примеры даны на рис. 23—28. Примеры симметрии с осями порядка выше шести, невозмож- невозможной для кристаллов, но возможной для организмов, приведены на рис. 29 и 30. Разбираемый тип симметрии, характеризуемый одной осью и пересекающи- пересекающимися по ней плоскостями симметрии, имеет значительно большее распростра- 26
Рис. 28 Lili-um pkiladelphicum — пример цветка с симметрией 6-т нение в орнаменте, чем тип симметрии с одной осью, но без плоскостей симметрии. Читатель может при желании найти тысячи примеров этой симмет- симметрии в архитектурных деталях, розетках, заставках, виньетках и т. д. Огром- Огромное количество «стоячих» предметов, в которых мы четко должны различать верх и низ, обладает симметрией п-т. Сюда относятся архитектурные пост- постройки, всевозможная посуда (стаканы, горшки, кувшины, вазы), лампы, столы, табуреты и т. д. Рассмотренный нами вначале случай симметрии т формально может быть причислен также к категории п-т, если п положить равным единице; сим- символ I'm, очевидно, тождествен символу т, так как ось первого порядка всег- всегда предполагается существующей во всех фигурах. В качестве примера розет- розетки с симметрией 8-т приводим чертеж из книги Я. Чернихова «Орнамент» (рис. 31). В пределе, когда порядок оси становится бесконечно большим, сим- симметрия п-т переходит в оо-лг. Такую симметрию имеют многие токарные формы после шлифовки, если не принять особых мер для устранения плос- плоскостей симметрии (вращение, причесывание ворса и т. д.). Из плоских ро- 27
Рве. 29 Fistularia cliinensis — пример Организма с симметрией 7-т (по Геккелю) Р и с. 30 liolrylluH policyclиi — пример приближенной симметрии 9-т (по Геккелю) 28
Рис. 31 Розетка с симметрией 8-т (по Чернихову) зеток этой симметрией обладает только обыкновенная неподвижная окруж- окружность или система концентрических окружностей. Сравнивая между собой фигуры с плоскостями симметрии и без пих, нетрудно подметить разницу между обеими категориями фигур по тому впечатлению, которое они произ- производят на зрителя. Фигуры с плоскостями симметрии спокойны, статичны (см. рис. 13, 24); фигуры без плоскостей симметрии (рис. 15, 20) динамичны, вызывают представление о вращении. Вырезывание симметричных розеток из бумаги. Роль физических процессов, обусловливающих образование симметричных розеток До сих пор мы говорили о симметрии как о чем-то присущем фигурам или телам и лишь вскользь упоминали о связи симметрии с физическими явле- явлениями. Сейчас нам хотелось бы более подробно остановиться на роли самих процессов или явлений, которые обусловливают симметрию фигур. Вспомним, что симметрия фигуры, получаемой из размазанной чернильной кляксы, це- целиком определяется процессом перегибания бумаги. Перегибание бумаги может быть использовано также и для вырезывания симметричных фигур. Обычно это делается так: лист бумаги, чаще всего квадратной формы, складывается вдвое 29
Рис. 32 Фигура, вырезанная из папи- папиросной бумаги, перегнутой один раз. Перегибу отвечает плос- плоскость симметрии т Р.и с. 33 Фигура, вырезанная из папи- папиросной бумаги, с симметрией 4т Рис. 34 Фигура, вырезанная из папи- папиросной бумаги, навернутой после надреза на конус по одной из диагоналей квадрата; полученный в результате перегибания бумаги равнобедренный прямоугольный треугольник складывается пополам по высоте; новый треугольник той же формы скла- складывается пополам еще раз и т. д. В сложенной бумаге вырезывается ножницами узор так, чтобы одновременно были прорезаны все слои бумаги. Форма вырезанного узора может быть совершенно произвольной и асимметричной. Из со- сочетания таких узоров в развернутой бумаге полу- получается симметричная фигура. Легко сообразить, что при однократном перегибании бумаги получаю- получающаяся фигура будет иметь одну плоскость симмет- симметрии (рис. 32). При двукратном перегибании сим метричная фигура будет иметь две плоскости сим- симметрии и соответственно одну ось симметрии вто- второго порядка 2-т. При трехкратном перегибании получим фигуру с четырьмя плоскостями симметрии и одной осью четвертого порядка (рис. 33). Словом, каждое новое перегибание листа бумаги увеличивает вдвое число существующих плоскостей симметрии и порядок оси симметрии. Чтобы получить фигуру с произвольным числом плоскостей симметрии и соответствующей осью симметрии порядка р, чер- чертим на бумаге окружность, делим ее на 2р частей, через точки деления проводимр диаметров, склады- складываем по ним бумагу в любом порядке и начинаем вырезывание. Для фигуры с осью симметрии третье- третьего порядка нужно, следовательно, разделить ок- окружность на шесть частей. Вместо обыкновенной бумаги рекомендуется употреблять папиросную. Этот материал допускает вырезывание очень тонких полосок при большом числе слоев бумаги. Мы видели, что метод вырезывания розеток путем перегибания бумаги обусловливает обязательное появление в фигуре плоскостей симметрии. Чтобы получить фигуры только с одной осью симметрии без плоскостей симметрии, нужно сложить бумагу в несколько слоев, не перегибая ее. С первого взгля- взгляда задача кажется невыполнимой. Решение ее, од- Вако, очень просто. Следует вырезать из бумаги круг и сделать в нем прорез по одному из радиусов; далее нужно свернуть из круга конус так, чтобы оба края прореза пришлись точно один под другим. Та- Такое сворачивание может быть осуществлено в два, три, четыре слоя бумаги и более. Чем больше слоев бумаги будет иметь конус, тем меньше будет его телесный угол. Чтобы конус не развертывался, ска- 30
лываем его булавкой в одном месте или осторожно приклеиваем несколькими капельками клея отхо- отходящий край бумаги. После этих приготовлений мож- можно приступить к вырезыванию. Когда оно закончено, разворачиваем конус и получаем в окончатель- окончательном результате розетку с одной осью симметрии, порядок которой равен числу слоев конуса (рис. 34). Для облегчения техники сворачивания конуса мож- можно предложить несколько приспособлений. Напри- Например, можно наворачивать бумагу с прорезом на деревянный конус, выточенный так, чтобы его обра- образующая была в целое число раз больше радиуса ос- основания; это число будет равно порядку оси розетки. Само вырезывание лучше производить в этом слу- случае не ножницами, а острым ножом или ланцетом. Вместо деревянного копуса можно взять кусок кар- картона, вырезанный углом. Величина угла должна быть равна целой доле окружности (вернее, чуть мень- меньше, с учетом влияния толщины картона). При вырезы- вырезывании фигур ножом картон вынимать из навернутой на него бумаги нельзя, иначе будет прорезано двой- двойное число слоев бумаги, что повлечет за собой воз- возникновение в розетке плоскостей симметрии. Обра- Обратим еще внимание на узоры, которые получаются при совершенно произвольном складывании бума- бумаги. В таких узорах всегда присутствует одна нлос- кость симметрии, относящаяся ко всему рисунку в целом; наряду с ней в фигуре можно найти и дру- другие плоскости, которые являются плоскостями симметрии только для отдельных частей фигуры (рис. 35). Другим примером процессов, приводящих к сим- симметричным фигурам, может служить завязывание узлов, например завязывание бумажной ленты простым узлом. Возникающая при этом фигура (рис. 36), если от нее отрезать оба конца, представляет собой правильный пятиугольник. Более сложные случаи проявления симметрии в результате физических процессов наблюдаются в хорошо известных из элементарной физики фигурах Хладни. Для получения этих фигур берут какие- нибудь упругие пластинки, например стеклянные или металлические, правильной геометрической формы. Закрепив пластинку в одной точке в горизонтальном положении, насыпают на пластинку небольшое количество песка и проводят по ее краю сильно па- тянутым смычком, одновременно прикладывая один Р и с 35 Фигура, вырезанная пз папи- папиросной бумаги при произволь- произвольном складывании Присутствуют одна плоскость симметрии, относящаяся ко всей фигуре, и четыре плос- плоскости, которые являются плос- плоскостями симметрии только для частей фигуры Рис. 36 Завязывание бумажной леиты приводит к образованию пра- правильного пятиугольника, если от ленты отрезать оба свобод- свободных конца 31
или два пальца к определенным точкам пластинки. Во время звучания пла- пластинка разделится на части узловыми линиями, в которых собирается песок, сброшенный колебаниями пластинки с пучностей. Симметрия фигур Хладни в значительной мере определяется симметрией взятых пластинок; выражаясь математически, можно сказать, что симметрия песочной фигуры является под- подгруппой группы симметрии пластинки или проще: в песочных фигурах могут содержаться только те из элементов симметрии, которые содержатся в пла- пластинке *. Поэтому, например, круглые пластинки, обладающие осью симмет- симметрии бесконечного порядка, а следовательно, и осью симметрии любого порядка, могут давать песочные фигуры с осью симметрии шестого или четвертого порядка; квадратные же пластинки пе могут давать фигуры с тройной осью симметрии (рис. 37). Замечательные фигуры, совершенно аналогичные фигурам Хладни, образуются на поверхности кварцевых пластинок, посыпанных каким- нибудь легким порошком, если в них возбуждены колебания. Роль смычка в данном случае выполняет переменное электрическое поле, заставляющее пластинки в известных условиях «звучать» сверхвысокими, неслышимыми для человеческого уха, но видимыми по пыльным фигурам звуками A00 000 — 1 000 000 колебаний в секунду) (рис. 38) **. В акустике и механике имеют большое значение симметричные фигуры, известные под названием фигур Лиссажу; они описываются точкой, совер- совершающей колебания по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Форма фигур Лиссажу определяется амплитудами слагающих колебаний и их ча- частотой. На рис. 39 показаны фигуры Лиссажу, полученные от двух колеб- колеблющихся камертонов отражением света от приклеенных к ним зеркалец. Если мы впишем эти фигуры в прямоугольник, то окажется, что отношение чисел точек касания фигуры на сторонах прямоугольника равно отношению час- частот колебаний в одном и другом направлениях. Интересно, что фигуры Лис- Лиссажу могут и не иметь плоскостей симметрии, как это мы видим, например, на рис. 40, где симметрия исчерпывается только наличием одной оси сим- симметрии второго порядка. Приведем еще примеры образования симметричных розеток оптическим путем. Каждый из нас в детстве любовался красотой и многообразием фигур в калейдоскопе, но немногим известно, что идея этой игрушки может быть положена в основу теоретического вывода всех случаев пространственной и плоской симметрии. Простейший калейдоскоп состоит из двух зеркал, А и В, поставленных под углом, равным целой части окружности. В угол, обра- образуемый зеркалами, помещают какие-нибудь блестящие и цветные предметы- кусочки стекол, обрезки жести и т. д. Отражаясь в зеркалах, эти предметы и их изображения в зеркалах образуют фигуру с симметрией п-т, если угол между зеркалами равен 360°/ге. Построение таких фигур слишком просто, и мы на нем не будем останавливаться. Очень интересные геометрические фигуры можно получать с помощью двух зеркал, ставя их па лист бумаги с начерченными на нем произвольными * Ото утверждение справедливо лишь для изотропных в упругом отношении пластин. Подробнее вопрос рассматривается с применением принципа суперпозиции групп симметрии (см. гл. 12). ** Человеческое ухо слышит звук, если число колебаний в секунду не превышает 20 000. 32
\ "Ч ¦v / / 1 < ( \ P и с. 37. Песочные фигуры Хладнн, об- образующиеся при звучании по сыпанных песком металличе- металлических пластинок Рис. 38 Пыльные фигуры на колеблю- колеблющихся пьезокварцевых плас- пластинках Рис. 39 Фигуры Лиссажу, образующие ся при сложении затухаюаца колебаний двух камертонов 33
Р н с. 40 Фигура Лиссажу без плоскостей симметрии Р н с. 41 Простой калейдоскоп нз двух зеркал А и В для получения фигур с симметрией 3 т Калейдоскоп ставится на лист бумаги с начерченными на нем прямыми или кривыми линия- линиями 34 линиями. Рис. 41 поясняет, что при этом происходит. А и В — два зеркала, образующие угол 60°; отра- отражающие поверхности зеркал обращены внутрь уг- угла. Отражаясь друг в друге, зеркала образуют ви- видимую фигуру из шести зеркал, пересекающихся по одной прямой, проходящей через центр фигуры. В разбираемом примере внутрь угла, образован- образованного зеркалами А и В, попало четыре отрезка пря- прямых, образующих вместе со своими изображениями в зеркалах своеобразную звезду. В дальнейшем нам придется встречаться с более сложными калейдос- калейдоскопами. Другой пример выберем из кристаллооптики. Бели сходящийся пучок поляризованного света при соблюдении ряда условий (наблюдение в «скрещенных» николях) пропустить через две плас- пластинки, вырезанные определенным образом из пра- правого и левого кварца (двух энаптиоморфных моди- модификаций кристалла), то на матовом стекле, постав- поставленном на пути лучей, можно получить картину, изображенную на рис. 42 и носящую название спи- спиралей Эри. В зависимости от того, какой кварц лежит внизу, правый или левый, спирали оказы- оказываются закрученными по часовой стрелке или про- против нее. Одного взгляда на фигуру достаточно, чтобы возник вопрос о каком-то «вращении», ле- лежащем в основе физического процесса, вызываю- вызывающего интересующее нас оптическое явление. И это действительно так: спирали Эри обусловливаются тем, что в физике называется вращением плоскости поляризации. В заключение упомянем еще о так называемых фигурах травления, которые получаются на гранях кристаллов при действии на них различных раство- растворителей. Эти микроскопические фигурки, ямки и холмики, играют в кристаллографии большую роль для определения симметрии кристаллов и для выяв- выявления дефектов их структуры, так называемых дис- дислокаций (рис. 43). Выше мы уже говорили о том, что в кристаллах невозможны оси симметрии пятого, седьмого и более высокого порядка (за исключением оси симметрии бесконечного порядка, характер- характерной, например, для оптических явлений в некоторых кристаллах). Не следует думать, что в данном случае наука ставит природе какие-то свои «пре- «пределы». В действительности здесь речь идет примерно о такой невозможности, какую мы имеем в виду, когда говорим, что треугольник не может иметь четыре
.V :Ч" Рис. 42 Спирали Эри, наблюдаемые при прохождении сходящегося по- поляризованного света через две прозрачные пластинки правого и левого кварца Нииоли скрещены 3* 35
у at Рис. 43, a Структура дислокационной сетки в кристаллах Zn, выявленная с помощью электронной микро- микроскопии высокого разрешения т Ш Рис. 43, б Фигуры травления выявляют выходы одиночных дислока- дислокаций на поверхности A00) кри- кристалла NaCl (оптический микро- микроскоп, ув. 400Х). стороны. В кристаллах атомы, ионы, молекулы расположены по узлам сеток и так называемых пространственных решеток (см. гл. 9). Такому строению кристаллов по чисто геометрическим причинам противоречит существование «запрещенных» осей симметрии. На этом основании и для фигур травления из бесчисленного множества видов симметрии остаются только десять видов симметрии: 1\ 2; 3- 4; 6; т; 2-т; 3-т; 4-т; 6-т. Фигуры травления обыкновенно бывают очень малы и видимы лишь в лупу или в микроскоп. Если же взять плоскопараллельную пластинку какого-либо прозрачного кристалла, одна поверхность которой протравлена, а другая глад- гладко отполирована, и пропустить сквозь пластипку тонкий пучок параллельных лучей света, то па поставленном на пути лучей после их прохождения через кристалл экране можно получить своеобразную звездчатую световую фигуру, обладающую симметрией отдельных микроскопических фигур травления. Обра- Образование таких световых фигур, или, как их называют, фигур астеризма, объ- объясняется правильным преломлением света в микроскопических гранях фигур травления и дифракцией света. На рис. 44 показана фигура астеризма, которую можно наблюдать при прохождении света через пластинку кварца, одна сто- сторона которой была протравлена плавиковой кислотой. 36
Понятие о полярных и неполярных плоскостях и осях Заканчивая главу о симметрии розеток, мы хотели бы дать точное определение понятия розетки с точки зрения учения о симметрии. Чтобы подойти к этому определению, необходимо предварительно познакомиться с двумя другими понятиями, имеющими чрезвычайно важное значение для всего учения о симметрии. Мы имеем в виду, во-первых, понятие о полярности плоскостей и осей и, во-вторых, понятие об особенных точках, прямых и плоскостях. Поляр- Полярной мы называем такую плоскость, в которой обе ее поверхности физически не равны друг другу; употребляя житейские термины, мы могли бы ска- сказать, что полярная плоскость имеет «лицо» и «изнанку». Совершенно анало- аналогично мы называем полярной такую ось или такую прямую, в которой физически различаются направления вперед и назад. Приведем примеры полярных плоскостей и осей. Лист бумаги, выкрашен- выкрашенный с обеих сторон в разные цвета, представляет собой образец полярной плоскости в отношении окраски. Воображаемая геометрическая плоскость, разделяющая спокойную поверх- поверхность воды и воздух, полярна, так как одна ее сторона соприкасается с воздухом, а другая — с водой. Вертикальная линия полярна в отношении силы тяжести: перемещать груз вверх труднее, чем вниз. Для точного определения полярности необходимо вспомнить, что симмет- симметрическое преобразование, отвечающее тому или иному элементу симметрии (мы знаем пока только два преобразования: отражение и вращение), переводит фигуру в новое положение или состояние, не отличимое от исходного. После сказанного можно принять такое определение полярности осей (направлений) Рис. 44 Световые фигуры,'наблюдаемые при прохождении света черев пластинку кварца, протравлен- протравленною с одной стороны плави- плавиковой кислотой 37
>v О О ^ч О У / ° О / / О Ч. о О ^ч Р н с. 45, а Эквивалентная система точек общего положения Рис. 45, б Эквивалентная система точек частного положения и плоскостей: ось (плоскость) полярна, если оба ее конца (стороны) не могут быть приведены в совме- совмещение симметрическими преобразованиями, входя- входящими в группу симметрии фигуры. Возьмем лист бумаги, отметим на нем проколом иглы точку. Считая ее за центр, начертим на обеих сторонах листа две равные окружности. Глядя на первую окружность, как обычно, с той стороны листа, на которой нарисована окружность, припи- припишем ей «правое» вращение, что и отметим на чертеже соответствующей стрелкой. Перевернем чертеж и, приписав второй окружности «левое» вращение, от- отметим его новой стрелкой. Рассматривая окружности в проходящем свете, «на просвет», убеждаемся, что они обе вращаются в одну сторону. Это означает, что с плоскостью бумаги совпадает плоскость сим- симметрии. Плоскость бумаги в данном случае неполяр- на, так как обе ее поверхности преобразуются друг в друга симметрическим преобразованием (отраже- (отражением в плоскости симметрии). Рассмотренный пример имеет большое значение для правильного решения многих вопросов электромагнетизма, о чем у нас еще будет идти речь (см. гл. 3). Особенные точки, прямые и плоскости. Кратность точек Особенными мы будем называть такие точки, пря- прямые и плоскости, которые не имеют себе эквивалент- эквивалентных (или равных) в данном симметричном предмете или фигуре. Центр квадрата — особенная точка, так как других центров в фигуре не имеется. Все точки оси усеченного конуса особенные, так как никакими симметрическими преобразованиями, при- присущими элементам симметрии усеченного конуса (поворотами вокруг оси и отражениями в плоскос- плоскостях симметрии), мы из данной точки на оси не можем вывести других эквивалентных точек. Центр эл- эллипсоида вращения есть особенная точка, но все другие точки, расположенные на оси, не особенные, так как для каждой такой точки найдется эквивалент- эквивалентная точка, выводимая из данной отражением в плос- плоскости симметрии, перпендикулярной к оси враще- вращения (оси симметрии бесконечного порядка). Четверная ось симметрии квадрата, бесконечная ось симметрии усеченного конуса являются особен- особенными прямыми в данных фигурах, так как других таких же осей у них нет. Всякая плоскость, пер- 38
пендикулярная к бесконечной оси усеченного конуса, особенная; в эллипсои- эллипсоиде вращения есть только одна особенная плоскость, перпендикулярная к бесконечной оси и проходящая через центр фигуры. На особенные точки симметричных фигур можно смотреть как на точки наивысшей кратности. Возьмем для примера квадрат; выберем внутри него произвольную точку; вместе с эквивалентными ей точками она образует систему из восьми точек (рис. 45, а). Если мы станем перемещать исходную точку к центру квадрата и потребуем, чтобы симметрия фигуры при этом не изменялась, то и вся система эквивалентных точек будет перемещаться туда же; все точки сольются в одну, когда исходная точка совместится с центром квадрата или вообще с особенной точкой. Число эквивалентных точек, слившихся в особенной точке, мы будем называть кратностью осо- особенной точки или кратностью вырождения *. Другими словами, величина симметрии квадрата (на полярной плоскости) и кратпость его центра равны восьми. Если бы мы стали двигать нашу исходную точку не к центру фигуры, а к одной из ее плоскостей симметрии, то и все другие точки, эквивалентные исходной, стали бы передвигаться к соответствующим плоскостям симметрии. В момент совпадения исходной точки с плоскостью симметрии произойдет совмещение каждой из восьми точек с ее зеркальным изображением в соот- соответствующей плоскости. Общее число эквивалентных точек при этом умень- уменьшится ровно вдвое, кратность же каждой из них возрастет, именно вместо единицы станет равной двум (рис. 45, б). Итак, произведение из кратности эквивалентных точек на их число всегда равно величине симметрии фигуры,. В асимметричной фигуре все точки особенные, однократные. Точное определение понятия односторонней розетки Теперь, когда мы рассмотрели все виды симметрии односторонних розеток и ознакомились на конкретных примерах с их свойствами, можно привести и точное определение понятия розетки. Односторонней розеткой ми называем фигуру, в которой имеется хотя бы одна особенная полярная плоскость и хотя бы одна особенная точка. Этому определению отвечают все приводившиеся выше примеры фигур, если их рассматривать как плоские рисунки, выполненные на одной стороне бу- бумаги, которая играет роль полярной плоскости. Рассмотрим для примера вертушку (рис. 15). Этот предмет имеет различные «лицо» и «изнанку». Все плос- плоскости, параллельные плоскости рисунка, для данного предмета полярные и вместе с тем особенные, все точки на четверной оси особенные и сама ось поляр- на. Полярность оси — следствие полярности особенных плоскостей, поэтому в определение односторонней розетки признак полярности оси симметрии не вхо- входит, тем более что осей (порядка выше единицы) у односторонних розеток мо- может и не быть. Односторонним розеткам мы противопоставляем двусторонние розетки — фигуры с двусторонней особенной плоскостью (см. гл. 3). * Кратность вырождения особенной точки совпадает с числом равных частей, на которые можно рав- делить конечную симметричную фигуру; это число называется, по Б. С. Федорову, величиной симмет- симметрии фигуры. Величина симметрии фигуры равна порядку группы симметрии, т. е. числу различных пре- преобразований, которое входит в ее группу симметрии (см. гл. 10). 39
3. СИММЕТРИЯ ФИГУР С ОСОБЕННОЙ ТОЧКОЙ Как показывает само заглавие, в этой части мы будем рассматривать симметрию таких фигур, которые имеют но меньшей мере одну особенную точку. Отме- Отменяя второе условие, которое было обязательным для розеток (иметь хотя бы одну особенную полярную плоскость), мы расширяем круг интересующих нас симметричных фигур, которые, кроме плоскостей и осей симметрии, вслед- вследствие отмены второго условия могут иметь новые элементы симметрии: зер- зеркально-поворотные оси и центр симметрии. Зеркально-поворотная ось симметрии и ее частный случай — центр симметрии. Значение этих элементов для изучения симметрии кристаллов. Параллельность и антипараллельность ориентированных отрезков и плоскостей Вырежем из картона какой-нибудь правильный многоугольник с четным числом сторон, например квадрат, впишем в него косо (рис. 46) другой квад- квадрат и отогнем углы по очереди вниз и вверх, как это показано на рис. 47. Из знакомых нам элементов симметрии новая фигура обладает только осью симметрии второго порядка 2, проходящей через центр квадрата перпендику- перпендикулярно к его плоскости, так как фигура при полном обороте вокруг этой оси два раза приходит в совмещение сама с собой. Важно убедиться, что в фигуре нет плоскостей симметрии; в частности, плоскость внутреннего квадрата пе есть плоскость симметрии, так как углы, отогнутые книзу, и углы, отогнутые кверху, не являются зеркальными изображениями друг друга в этой плоскости. 40
Если мы возьмем нашу фигуру в руки и будем сначала рассматривать ее, скажем, сверху, т. е. с какой-либо одной стороны квадрата, а затем снизу, т. е. с про- противоположной стороны квадрата, то мы не найдем никаких различий между «низом» и «верхом» фи- фигуры. Это наводит на мысль о том, что в фигуре есть какой-то новый элемент симметрии, который совме- совмещает * отогнутые кверху части фигуры с отогну- отогнутыми книзу и делает плоскость квадрата неполяр- неполярной. Этот новый элемент есть зеркально-поворотная ось симметрии п, совпадающая по направлению с имеющейся в фигуре двойной осью **. Если мы повернем нашу фигуру вокруг этой оси на четверть оборота, то новое положение фигуры будет отно- относиться к исходному так же, как предмет и его изоб- изображение в горизонтальном зеркале. При этом углы квадрата, отогнутые вверх, расположатся по отно- отношению к фигуре в старом положении как раз над углами, отогнутыми вниз. Вспомогательная зер- зеркальная плоскость, очевидно, располагается пер- перпендикулярно к оси поворота и совпадает с плоско- плоскостью неотогнутой части квадрата. После отражения в зтой плоскости повернутая фигура придет в поло- положение, не отличающееся от исходного. Итак, в ре- результате последовательно произведенных поворота на 90° и отражения фигура приходит в совмещение сама с собой. Порядок оси симметрии, которая приво- приводит фигуру в совмещение с ней самой после поворо- поворота на угол 360с/и и последующего отражения в плос- плоскости, перпендикулярной к оси, совпадаэт, очевидно, с порядком п простой поворотной оси. В нашем примере мы имеем дело с зеркально-поворотной осью четвертого порядка. Так как поочередное отгибание углов можно осуществить только при четном их числе, то в разбираемом нами типе фигур возмож- возможными оказываются лишь четные зеркально-поворот- зеркально-поворотные оси симметрии (порядка 2и). Р и с. 46 Картонный квадрат для полу- получения фигуры с симметрией  Рис. 47 Фигура, обладающая зеркаль- но-поворотной осью симметрии четвертого порядка 4 (по Вульфу) * Совмещение, конечно, производится не элементом симметрии, а отвечающим ему симметрическим преобразованием. Это только со- сокращенный способ выражения; подобными выражениями мы будем пользоваться и впредь. ** Зеркально-поворотные оси обозначаются целыми числами, указы- указывающими порядок оси, и тильдой наверху. Зеркально-поворот- Зеркально-поворотная ось четвертого порядка получает обозначение 4. Инверсион- Инверсионные оси симметрии (см. далее) обозначаются целыми числами е чертой наверху, например 4. Символы элементов и операций сим- симметрии (кроме символа 1) набираются в этой книге курсивом. 41
Рве. 48 Картонный параллелограмм Дли получения фигуры с центром симметрии 1 Рис. 49 Фигура с зеркально-поворотной осью второго поридкц, экви- эквивалентной центру симметрии JiT = 1 (по Вульфу) Особый интерес представляет частный случай зеркально-поворотной оси, когда п = 2. Примером фигуры, обладающей только этим элементом сим- симметрии, может служить параллелограмм с отогну- отогнутыми в разные стороны противолежащими края- краями (рис. 48 и 49). Замечательным свойством таких фигур является то, что все прямые, проходящие через точку пересечения поворотной оси и отражающей плоскости, пересекают фигуру в равноудаленных эквивалентных точках. Особенная точка фигуры называется ее центром симметрии. Наличие центра симметрии равносильно наличию зеркально-пово- зеркально-поворотной оси 2, поэтому пишут: 2 = 1*. Сложную операцию поворота на 180° и последующего отра- отражения в плоскости, перпендикулярной к оси пово- поворота, можно заменить, следовательно, более прос- простой операцией, называемой инверсией и заключаю- заключающейся в замене всех точек фигуры диаметрально противоположными по отношению к центру симмет- симметрии; в результате такой операции фигура приходит в совмещение сама с собой. Возьмем для примера параллелепипед (рис. 50, а). Эта фигура обладает центром симметрии, так как каждая вершина фигуры имеет эквивалентную диаметрально противоположную вершину, каждая точка на любом ребре или грани имеет себе равную на противоположном ребре или на противополож- противоположной грани. Выберем на верхней грани параллеле- параллелепипеда две произвольные точки, соединим их отрез- отрезком прямой и припишем ему определенное направле- направление (рис. 50, а). Если (по условию) фигура обладает центром симметрии и стрелка на верхней грани направлена вправо, то на противоположной грани должна существовать равная и параллельная стрел- стрелка, идущая влево. Две параллельные прямые, у которых равные направления смотрят в противо- противоположные стороны (j2), называются антипарал- антипараллельными. Антипараллельность направленных пря- прямых — одно из характерных свойств предметов, обладающих центром симметрии. Если тем или иным способом удается доказать, что два равных и про- противоположных отрезка какой-либо, симметричной фигуры или предмета односторонне параллельны (ZJ), то это означает, что фигура или предмет ли- лишены центра симметрии. ~i международное обозначение соответствующего элемента и опе- операции инверсии в центре симметрии.
Возьмем теперь на грани нашего параллелепипеда, который представим себе сделанным из картона, три произвольные точки, определяющие некоторый треугольник. Выкрасим этот треугольник снаружи в черный цвет, оставив поверхность, обращенную внутрь фигуры, неокрашенной (рис. 50, б). Если фигура обладает центром симметрии, то на ее про- противоположной грани должен существовать равный треугольник, также окрашенный только снаружи. По аналогии с отрезками прямых назовем выкра- выкрашенные треугольники антипараллельными и рас- распространим понятие антипараллельности также и на параллельные плоскости. Как видно из рис. 50, б, антипараллельные плоскости направлены равными сторонами в разные направления. Нам останется еще рассмотреть свойства оси п в другом предельном случае, когда п = сю. Исходя из определения зеркально-поворотной оси, мы долж- должны принять, что фигура, обладающая осью оо, долж- должна совмещаться сама с собой после поворота на бес- бесконечно малый угол и отражения в плоскости, пер- перпендикулярной к оси поворота. Из этого следует, что фигура может быть совмещена сама с собой только отражением в названной плоскости или что фигура имеет обыкновенную плоскость симметрии. Это, в свою очередь, означает, что фигур, имеющих только ось оо и не обладающих другими элемента- элементами симметрии, не существует. Можно также легко показать, что наличие оси оо вызывает появление и центра симметрии, поэтому справедливо следующее условное равенство: оо = оо = оо : т (см. далее). В этом символе две точки означают, что ось беско- бесконечного порядка оо перпендикулярна к плоскости т. Типичным представителем фигур, симметрия ко- которых исчерпывается наличием одного центра сим- симметрии I, служит косоугольный параллелепипед. В природе этот случай симметрии распространен, пожалуй, только среди кристаллов; сюда, между прочим, относятся и синие, великолепно вырастаю- вырастающие из раствора кристаллы медного купороса (рис. 51, а). Так как «косые» формы почти не встре- встречаются ни в архитектуре, ни в скульптуре, то и симметрии 1 мы почти не находим в зтих областях человеческой деятельности. В орнаментике эта сим- симметрия также не находит применения хотя бы уже потому, что живопись имеет дело только с одной лицевой стороной плоскости, а центр симметрии требует двух (отраженно) равных ее сторон. Еще Рис. 50 Фигуры с центром симметрии о — каждому произвольному отрезку прямой отвечает дру- другой отрезок, равный и антипа- антипараллельный первому; б — каж- каждой плоскости или ее выде- выделенной части (треугольнику) отвечает равная и антипарал- антипараллельная плоскость (треуголь- (треугольник) 43
Рис. 51 Кристалл медного купороса (о) обладает только ^одним цен- центром симметрии Я = I; кри- кристалл драгоценного камня фе- фенакита^ F) обладает симмет- симметрией в Рис. 52 Фигуры с симметрией в.т меньше распространены высшие представители раз- разбираемого типа симметрии: 4 и 6. Интересно, что в больших учебниках физики середины XIX — начала XX в., в которых учению о симметрии отво- отводилась иногда особая глава, почти всегда встреча- встречалась одна и та же ошибка; а именно: при перечисле- перечислении элементов симметрии кристаллов пропускалась зеркально-поворотная ось. Симметрия 4 была встре- встречена у кристаллов алюмосиликата кальция Ca2Al2-Si07; симметрией 6 обладают кристаллы драгоценного камня фенакита (рис. 51, б). Ось симметрии с перпендикулярной плоскостью. Вращающиеся части машин. Кристаллы. Симметрия электрического вольтова столба и цилиндрического магнита Этот тип симметрии характеризуется осью симметрии п и перпендикулярной к ней плокостью т. Первый члец ряда при п = 1, очевидно, совпадает с разоб- рапным ранее видом симметрии т; следующие члены ряда имеют обозначения 2 : т, 3 : т и т. д. Симмет- Симметрия п : т наиболее естественна у предметов, пред- предназначенных для вращения. В технике это требо- требование встречается довольно часто; например, сим- симметрию п : т имеют наливные мельничные и махо- маховые колеса (рис. 52). Обращаем внимание на разли- различие между типами симметрии п : т и п; в последнем ось симметрии полярна, в первом — не полярна. Предметы, обладающие полярной осью, предназ- предназначены, например, для вращения вокруг осей, у ко- которых направления «вперед» и «назад» существен- существенно различны (гребные винты, турбины); у наливного же колеса и вообще у предметов, обладающих сим- симметрией п : т, правая и левая стороны равны друг другу. Так как симметрия п : т свойственна вра- вращающимся пространственным предметам, у нее, очевидно, мало шансов найти себе применение в ор- орнаменте, скульптуре и архитектуре. В кристаллах симметрия 6 : т встречается, например, у апатита (рис. 53). Шестерная ось симметрии и плоскость симметрии обозначены на рис. 53 штриховой линией. Разбираемый тип симметрии переходит в предель- предельном случае в тип <х> : т. В качестве иллюстрации фигуры с такой симметрией приведем биконус (рис. 54), вращающийся вокруг своей оси. Здесь- уместно вспомнить, что мы говорили выше про связь. 44
симметрии с движеиием и временем. К нашим рас- рассуждениям об зтом предмете добавим еще следующее. На примере простого конуса с боковой поверхностью, обтянутой сукном с ворсом, причесанным в одну сторону, мы видели, что ось симметрии без пере- пересекающихся в ней (продольных) плоскостей сим- симметрии может осуществляться и при отсутствии вращения. С другой стороны, вращение вообще невозможно при существовании продольных плос- плоскостей симметрии. Поэтому, если мы констатируем отсутствие плоскостей симметрии, параллельных оси, есть основание искать вращение. Замечательной иллюстрацией сказанному служит цилиндрический магнит. Для определения истинной симметрии магнита полезно сравнить магнит с его электрическим аналогом — вольтовым столбом. На- Напомним, что вольтов столб представляет собой элек- электрическую батарею, составленную из чередующихся кружков цинка, сукна, пропитанного слабой серной кислотой, и меди. Если обозначить составные части вольтова столба буквами А, В, С, их че- чередование в батарее можно изобразить рядом — ... АВСАВСАВСЛ... +. При чтении этого ряда слева направо и наоборот чередование букв оказывается различным. Если при обыкновенном чтении весь ряд может быть разложен на повторяющиеся группы ABC, то при обратном чтении такие группы выделить невозможно. Это указывает на то, что ось вольтова столба полярна. Полярность оси сказывается не только в чередовании составных частей столба, но и в разноименности электрических зарядов по концам батареи. Поляр- Полярность батареи сохраняется даже и тогда, когда на обоих ее концах окажутся одинаковые кружки, например цинковые; таким образом, полярность батареи зависит не от материала концов, а от ха- характера чередования составных частей. Если ось вольтова столба полярна, то перпендикулярная ей поперечная плоскость, проходящая через центр батареи, не является плоскостью симметрии, а центр батареи — не центр симметрии. Так как поворот батареи на любой угол вокруг ее оси не вызывает никаких изменений в свойствах, ось батареи можно принять за ось симметрии бесконечного порядка. Кроме того, все продольные плоскости, пересекаю- пересекающиеся между собой по оси, можно принять за плос- плоскости симметрии, так как такое предположение не противоречит всему тому, что мы знаем о вольтовом Рис. 53 Кристалл апатита с симмет- симметрией 6 : т. Ось и плоскость симметрии обозначены на ри- рисунке пунктиром Рис. 54 Вращающийся биконус обла- обладает симметрией <я : т
Рис. 55 Взаимодействие тока и магнита столбе. Применяя принятый нами способ обозна- обозначения видов симметрии, можно сказать в итоге, что вольтов столб имеет симметрию оо-то. С первого взгляда может показаться, что цилин- цилиндрический магнит имеет такую же симметрию, как и вольтов столб, поскольку и магнит имеет так называемые полюса. Посмотрим, в какой мере такое предположение соответствует действительности. Для выяснения истинной симметрии магнита можно ис- использовать многочисленные явления электромагне- электромагнетизма, магнетооптики и т. д. Мы ограничимся раз- разбором только одного явления. Возьмем цилиндри- цилиндрический вольтов столб, полюса которого замкнуты проводником (рис. 55). Вдоль оси батареи течет электрический ток, направление которого можно условно принять от минуса к плюсу. Поднесем к ба- батарее подвижной цилиндрический магнит. Опыт показывает, что при отсутствии мешающего трения цилиндр всегда повернется так, что его ось будет перпендикулярна оси батареи; при этом если бата- батарея поставлена вертикально и положительный ее конец направлен вверх, то южный полюс S цилинд- цилиндрического магнита повернется влево по отношению к наблюдателю, для которого магнит представляется помещенным перед батареей. Словом, дело будет обстоять так, как это изображено на рис. 55. Если бы ось магнита была полярна, т. е. оба «полюса» маг- магнита были бы не равны друг другу, они не могли бы расположиться зеркально по отношению к одной из плоскостей симметрии батареи, след которой изо- изображен на рисунке штриховой линией *. Наблюдаю- Наблюдающееся расположение скорее может быть объяснено существованием в самом магните плоскости симмет- симметрии, перпендикулярной к его оси, совпадающей с осью симметрии оо.Это предположение подтверждает- подтверждается всеми изученными до сих пор свойствами магнита. Итак, цилиндрический магнит (рис. 56) имеет симметрию оо : т, т. е. ту же симметрию, которая свойственна вращающемуся биконусу (рис. 54). Именно эта симметрия магнита и заставляет пред- предположить в нем вращательные движения; гипотеза Рис. 56 Цилиндрический магнит обла- обладает симметрией оо : т S — южный полюс, N — север- вый полюс, т — плоскость сим- симметрии магнита Очевидно, вольтов столб с протекающим вдоль него током и маг- магнит, ориентированный перпендикулярно, образуют единую физиче- физическую систему, для которой продольные плоскости являются плос- плоскостями симметрии. Предположение об утрате этих плоскостей сим- симметрии в результате взаимодействия магнита с током противоречит принципу сохранения стационарной симметрии для изолированных физических систем (см. гл. 12) и не подтверждается опытом. 46
Ампера об элементарных электрических круговых токах, текущих и в северном и в южном концах магнита в одном и том же направлении, служит моделью этого движения. Мы видим, что истинная симметрия магнита не дает ни малейшего повода называть зеркально равные концы магнита полю- полюсами. Полюсов в принятом значении этого слова у магнита нет; силовые магнитные линии не полярны, а аксиальны. Если же мы хотим продолжать поль- пользоваться привычным термином, следует говорить о полярных и аксиальных полюсах. Для читателей, знакомых со свойствами поляри- поляризованного света, заметим, что ту же симметрию оо : т в отношении оптических свойств приобретает и стеклянный стержень, помещенный внутрь соле- соленоида, по которому пропускается сильный электри- электрический ток. У поляризованного луча света, направ- направленного вдоль оси стержня, поворачивается плос- плоскость поляризации: она закручивается вправо или влево в зависимости от направления тока. Связь симметрии с движением выступает еще отчетливее. Комбинация главной оси с продольными и поперечными плоскостями симметрии. Снежинки, детали машин, предметы быта Несмотря на большое количество элементов сим- симметрии в этом типе, фигуры, принадлежащие к не- нему, кажутся нам особенно простыми. Можно, по- пожалуй, сказать, что простота их как раз и обуслов- обусловлена высоким порядком группы симметрии. Мы не будем долго задерживаться на симметрии т-п : т, так как ею обладают многие хорошо знакомые нам из элементарной геометрии фигуры: прямые призмы с правильными многоугольниками в основании, ди- пирамиды, бинокус, цилиндр, эллипсоид и т. д. (рис. 57). Все эти фигуры характеризуются нали- наличием особенной (главной) оси порядка п\ по ней пе- пересекаются п продольных плоскостей симметрии. Еще одна (поперечная) плоскость симметрии рас- расположена перпендикулярно к главной оси. От пе- пересечения поперечной плоскости с продольными образуется п осей второго порядка, параллельных поперечной плоскости (рис. 58). У видов симмет- симметрии с главной осью четного порядка появляется центр симметрии, который лежит на пересечении осей и перпендикулярных плоскостей симметрии. В других случаях центра нет. Рис. 57 Различные фигуры, обладаю- обладающие симметрией т-п : т Квадратная призма т-4 :т, пентагональвая призма т-5 : т триговальная дипирамида т ¦ г :т, биковус, цилиндр- и эллипсоид moo : m 47
Р и с. 58 Расположение элементов симмет- симметрии в виде симметрии т-3 : т По вертикальной оси третьего порядка, отмеченной черным треугольником, пересекаются три плоскости симметрии т; перпендикулярно оси прохо- проходит горизонтальная плоскость ¦симметрии т; линии пересече- пересечения горизонтальной и верти- вертикальных плоскостей — оси сим- симметрии второго порядка. На ¦чертеже оси 2 отмечены малень- маленькими черными двуугольниками Рис. 59 Фотографии снежинок из атласа Бентлн и Хамфри. Снежинки обладают симметрией т-6 : m Рассматриваемый тип симметрии наиболее целе- целесообразен для таких предметов, у которых нет надоб- надобности различать верх и низ, правую и левую, ли- лицевую и тыльную стороны. В природе он встречается в плодах, семенах, гальках камней и очень широ- широко — в кристаллах. В частности, к этому типу сим- симметрии принадлежат кристаллы льда — снежинки (рис. 59). Разнообразие их форм поистине безгра- безгранично: в атласе, составленном Бентли и Хамфри, содержится более тысячи фотографий снежинок. Эта симметрия широко применяется в массовых тех- технических изделиях: ящиках, плитах, кирпичах, ва- валах, трубах, гайках, коробках, монетах, каранда- карандашах и т. д. Мы обозначили рассмотренный тип симметрии сим- символом т-п : т, указывающим на то, что в качестве порождающих элементов симметрии могут быть взяты: главная ось га-го порядка, перпендикулярная ей плоскость симметрии т (знак двоеточия) и одна параллельная плоскость симметрии (знак одной точки). В предельном случае, когда п = оо, символ симметрии приобретает вид т-оо:т. Комбинация главной оси с поперечными осями второго порядка. Скрученные формы. Вращение плоскости поляризации Если в предыдущем типе симметрии удалить все плоскости и центр симметрии, то оставшиеся оси симметрии образуют новый тип симметрии п : 2. В отличие от предыдущего этот тип более труден для непосредственного восприятия; для сознательного употребления его на практике требуется некоторая подготовка. Этим, очевидно, объясняется меньшая распространенность нового типа симметрии по срав- сравнению с только что рассмотренным. Удаление плос- плоскостей и центра симметрии из фигур, изображенных на рис. 57, можно осуществить скручиванием фигур вокруг главной оси на небольшой угол. При таком скручивании главная ось останется на месте, так как поворот частей фигуры производится по условию именно вокруг главной оси. Боковые оси также остаются на своих местах, так как они лежат в сред- средней (перпендикулярной к главной оси) плоскости, не испытывающей д >формации. Скрученная на ма- малый угол призма, потерявшая все свои плоскости 48
49
Рис. 60 Квадратная призма, потеряв- потерявшая вследствие закручивания все вертикальные и горизон- горизонтальную плоскости симметрии и сохранившая только оси сим- симметрии. Символ симметрии 4 : Я Рис. 61 Кристаллы левого (а) и пра- правого (б) кварца, ве обладающие плоскостями симметрии вслед- вследствие наличия маленьких (чер- иых) граней трапецоэдра 50 симметрии, изображена на рис. 60. В зависимости от направления закручивания (вправо или влево) по- получаются правые или левые энантиоморфные фи- фигуры. Симметрия этого типа нередко встречается среди кристаллов; классический ее пример мы на- находим в кварце (рис. 61). В кварце имеется главная ось симметрии третьего порядка и три перпенди- перпендикулярные к ней оси второго порядка; последние образуют между собой углы в 60°. На рис. 61 глав- главная ось расположена вертикально, а двойные (бо- (боковые) оси проходят через середины вертикальных ребер гексагональной (шестигранной) призмы. По расположению граней трапецоэдра, выкрашенных на рисунке в черный цвет, можно убедиться в том, что в кристалле нет ни вертикальных, ни горизон- горизонтальных плоскостей симметрии. Отсутствие плоскос- плоскостей и центра симметрии допускает построение пра- правых и левых форм кварца. В природе встречаются обе энантиоморфные модификации кварца. Если рас- расположить кристалл кварца гранью R к наблюдателю, то в правом кварце грани трапецоэдра будут на- находиться справа, а в левом — слева от R. В соот- соответствии с принятым нами способом обозначения симметрия кварца может быть отмечена символом 3 : 2, который указывает, что для полной характе- характеристики данного вида симметрии достаточно задать одну ось симметрии третьего порядка и одну пер- перпендикулярную ей ось симметрии второго порядка; две другие двойные оси выводятся из первой пово- поворотом вокруг тройной оси на угол 120°. Энантиоморфизм кварца находится в тесной связи со способностью кристаллов давать скрученные пра- правые и левые формы (рис. 62) и с их впутренним атом- атомным строением. Рассматриваемые виды симметрии мы обозначили общей формулой п : 2, которая указывает, что лю- любой конкретный вид вполне определяется генерато- генераторами: одной (главной) осью и-го порядка и перпен- перпендикулярной ей двойной осью. В технике симметрия п : 2 встречается в тех же случаях, что и симметрия п. Если в символе п : 2поло- 2положить п равным бесконечности, то мы будем иметь дело с предельным видом симметрии оо : 2, Такой симмет- симметрией обладает луч линейно поляризованного света, пропущенного через кварцевый цилиндр, вырезан- вырезанный параллельно главной оси кристалла. Поляри- Поляризованный луч «закручивается» в кристалле вправо (по левому винту) или влево (по правому винту)
в зависимости от того, взят ли правый или леьый кварц. Знак кручения, однако, остается без изме- изменения при перемене направления луча на противо- противоположное. В этом состоит главнейшее различие между вращением плоскости поляризации света в кристаллах и магнитным вращением, которое на- наблюдается в стекле, помещенном в магнитное поле (эффект Фарадея). Другая комбинация главной оси с плоскостями и осями второго порядка Этот тип симметрии определяется заданием зеркаль- зеркально-поворотной (главной) оси четного порядка 2л (она же — простая поворотная ось порядка п) и системы п продольных пересекающихся по главной оси плоскостей симметрии. В качестве производных элементов появляется п поперечных двойных осей, которые делят углы между плоскостями симметрии пополам. Если принять главную ось 2п и одну из плоскостей т за порождающие элементы симметрии, то общим символом всех видов симметрии рассмат- рассматриваемого типа будет 2п'тп. В частном случае, когда главной является ось 6, расположение элементов симметрии иллюстрируется рис. 63, а. На этом чер- чертеже оеь 6 условно обозначена контурным шести- шестиугольником, а совпадающая с ней ось 3 — треуголь- треугольником, закрашенным в черный цвет; двойные оси по- показаны в виде отрезков прямых, заканчивающихся черными «двуугольниками» (линзами). Рис. 63, а изображает не фигуру с симметрией 6-тп, а элементы симметрии. Пример фигуры, обладающей симмет- симметрией 6-пг, приведен на рис. 63, б. Это ромбоэдр, который может быть получен из куба растяжением или сжатием вдоль какой-либо одной из его телесных диагоналей. Хорошо известный двупреломляющий минерал исландский шпат образует кристаллы в форме ромбоэдра; при раскалывании их молотком они легко распадаются на спайные осколки с плос- плоскими гранями, параллельными граням ромбоэдра. Такую же симметрию имеют кристаллы натриеиий селитры, применяющиеся, как и исландский шпат, в оптике для изготовлении николей (приборов для получения поляризованного света). В предметах искусства и бытовых изделиях тип симметрии 2п • ш, как и предыдущий, распространен значительно реже Рис. 62 Кварц, закрученный влево и вправо Рис. 63 Элементы симметрии вида 6-и» (а) и ромбоэдр, обладаю- обладающий симметрией в-т(бу А* 51
к Рис. 64 Правильные многогранники : те- тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр отчасти из-за слабого знакомства художников и конструкторов с теорией симметрии. В качестве примера назовем бумажные молочные пакеты, ко- которые имеют форму удлиненных тетраэдров с сим- симметрией 4-т. Правильные многогранники Все предыдущие типы симметрии характеризовались наличием одной особенной (главной) оси симметрии. В фигурах, обладающих симметрией правильных многогранников, каждая ось имеет несколько рав- равных себе осей, поэтому в данном случае нельзя говорить об особенных осях. Если из правильных многогранников исключить шар, который мы будем рассматривать отдельно, то их симметрия может быть сведена к трем видам: 3/2-т — 3/4, 3/4-т = = 6/4 и 3/5'in = 3/10; косая черта, разделяющая символы осей, показывает, что оси пересекаются не под прямым углом. Каждой формуле отвечает бесчисленное множество фигур; простейшими из них будут сами правильные мпогогранники и произ- производные многогранники с небольшим числом граней. На рис. 64 приведены все пять правильных много- многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр имеет симметрию 3/4. Производные двойные оси симметрии, совпадающие с осями 4, проходят через середины противоположных ребер тетраэдра. Тройные оси соединяют вершины тетра- тетраэдра с серединами противоположных граней. Каж- Каждая тройная ось образует равные углы с ближайшими осями 4 B) (косая черта в символе). Плоскости сим- симметрии проходят по двойным осям и ребрам тетра- тетраэдра (точка между т и 2). В существовании в тетра- тетраэдре зеркально-поворотных осей четвертого поряд- порядка легко убедиться, поворачивая тетраэдр вокруг двойных осей на четверть оборота и отражая фигу- фигуру в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. Куб имеет симметрию 614. Три (координатные) плоскости симметрии проходят через центр куба па- параллельно его граням, шесть плоскостей симметрии — через противолежащие ребра, рассекая грани куба по диагоналям. Четверные оси соединяют середины противоположных граней. Тройные оси (они же зеркально-поворотные оси 6) совпадают с диаго- диагоналями куба и соединяют его противоположные вер- 52
шины. В символ 6/4 не входят плоскости, двойные оси, проходящие через середины противоположных ребер, и центр симметрии. Наличие центра симмет- симметрии обнаруживается тем, что в кубе каждой грани соответствует равная параллельная грань. В тетра- тетраэдре центра симметрии нет, так как для каждой его грани нет параллельной грани. Октаэдр имеет ту же симметрию, что и куб. Анти- Антипараллельность граней октаэдра выступает очень отчетливо. Треугольные параллельные грани окта- октаэдра направлены вершинами и разные стороны. В кубе параллельные грани одновременно и анти- параллельны {^)- В октаэдре четверные оси проходят через вершины, тройные — через середи- середины граней, двойные — через середины ребер. Додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковую сим- симметрию 3/10. В додекаэдре пятерные, тройные и двойные оси проходят через середины граней, вер- вершины и середины ребер. Мы рассмотрели симметрию обыкновенных пра- правильных многогранников, описываемых в элемен- элементарной геометрии. Наделяя грани правильных многогранников определенными физическими свой- свойствами, легко показать, что число видов симметрии правильных многогранников может быть увеличено с трех до семи. Покажем, например, что может существовать пять кубов различной симметрии. Возь- Возьмем пять одинаковых картонных кубов и расчертим их грани пятью способами, как показано на рис. 65, так, чтобы в каждом кубе сохранились тройные оси; при этом все грани куба будут иметь одинаковую штриховку. Из рисунка видно, что первый куб после обработки сохранил свою симметрию 6/4; во втором все плоскости симметрии выпали, и куб приобрел симметрию 3/4; в третьем (символ 312 : т — = 6/2) четверные оси заменились двойными и вы- выпали диагональные плоскости симметрии; четвер- четвертый куб приобрел симметрию тетраэдра 3/4; пятый потерял плоскости симметрии, а его четверные оси заменились двойными (символ симметрии 3/2). Обращаем внимание читателя на то, что во всех пяти случаях куб остался все же кубом, т. е. шестигранником с равными квадратными гранями. Можно доказать математически, что никакая дру- другая раскраска или штриховка граней не приведет к новому виду симметрии, если только мы желаем оставить куб кубом. Р и с. G5 Пять возможных штриховок граней куба, приводящих к фигурам различной симметрии 53
Рис. 6G Изоздры (равногранники), обла- обладающие осями симметрии пра- правильных многогранников, но не имеющие плоскостей симмет- симметрии: певтагов-тритетраздр, пен- тагон-триоктаэдр, Пентагон- триикосаадр Если, например, выкрасить одну грань куба в черный цвет, а остальные грани — в белый, то куб с физической точки зрения перестанет быть кубом, так как теперь не все его грани равны друг другу. Если в качестве исходной фигуры взять октаэдр или тетраэдр, то никаких новых, сверх уже выве- выведенных шести видов симметрии не получается. Однако из додекаэдра или икосаэдра удалением всех плоскостей симметрии можно получить еще один вид симметрии 3/5. Итак, правильные многогран- многогранники могут иметь семь видов симметрии: б'14; 3/1; в]2; 3/4; 3/2; 3/10; Щ5. Симметрию правильных многогранников могут иметь не только правильные многогранники, но и другие фигуры. На рис. 66 показаны изоэдры (равно- гранпики), обладающие симметрией правильных многогранников. Первый изоэдр имеет симметрию 3/2; второй — 3/4, третий — 3/5. Два вида симметрии шара. Оптически вращающие жидкости. Сферолиты Всякий, кто изучал геометрию, несомненно испыты- испытывал наибольшие трудности при необходимости до- доказывать то, что и без доказательства казалось со- совершенно ясным. Так именно и обстоит дело при рассмотрении симметрии шара. Шар — одна из самых простых фигур— обладает наиболее сложной симметрией. Обыкновенный шар, сделанный из сплошного изотропного вещества, т. е. такого мате- материала, в котором все направления друг другу рав- равны, имеет бесконечное количество осей симметрии бесконечного порядка, проходящих через центр по всем диаметрам шара. В каждой из таких осей пересекается бесконечное множество плоскостей симметрии. С центром шара совпадает центр симмет- симметрии. Кроме того, в шаре содержится уже вследствие наличия перечисленных элементов симметрии бес- бесконечное множество осей симметрии любого поряд- порядка — простых и зеркально-поворотных. Чтобы полу- получить полный комплекс элементов симметрии шара, достаточно взять в качестве порождающих элемен- элементов две бесконечпые оси под любым углом и одну плоскость симметрии оо/оо-т. 54
Центр шара есть его особенная точка. Каждой произвольной точке, взятой внутри или на поверх- поверхности шара, отвечает бесконечное множество экви- эквивалентных точек, находящихся на одинаковых рас- расстояниях от центра. Для конечных групп порядок группы, т. е. число входящих в нее различных преобразований симметрии, определялся произведе- произведением числа эквивалентных точек на их кратность (в каждой симметричной системе). Для определения соответствующих величин в случае бесконечных групп (их сводку см. па рис. 74) придется исполь- использовать более сложные методы из теории групп и тео- теории множеств (см. гл. 10 и указатель символов). Для бесконечных групп понятие порядка заме- заменяется понятием мощности. Если бесконечная груп- группа G разложена в ряд по смежным классам по беско- бесконечной подгруппе Я, G = Ug^ IJ Hg2 U ••• U Bf>a, то мощность G равна мощности В, умноженной на s. Если группа представлена в виде произведения сомножителей, ее порядок (мощность) равен произ- произведению порядков сомножителей. Предельные груп- группы Кюри расщепляются в прямые (g) и полупрямые (s) произведения следующим образом^ оо/т = оо 0 I, оо 2 2 = оо (s) 2, оо/т mm = (оо ® 1) (§) т, оо оо т = = оооо© т (подробнее об этом см. гл. 10). Обозначая знаком ф, стоящим перед символом группы, ее мощность, получим: ф оо/т = 2 оо, =#= оо т т = .2 оо, Ф оо 2 2 = 2 оо, ф оо / т т т = 4 оо, ф оо оот= = 2 ф оо оо, где через оо обозначена мощность одномерного континуума эквивалентных точек, образующих круговое сзчение конуса, реализую- реализующего группу оо (см. рис. 74, д). Все точки этого сечения в группе оо однократны, но в группе оо т т (рис. 74, а) они уже двукратны, так как через каждую из этих точек окружности проходит плоскость симметрии т. Аналогичным образом находим, что точки средних круговых сечений цилиндров (рис. 74, в, г, б) двукратны в группах оо/т и оо 22 и четырех- четырехкратны в группе оо/т mm, так так каждая из них сохраняет свое положение иод действием преобразо- преобразований групп т, 2 или mm2. В группах оо оо и оо оо т эквивалентные точки образуют двумерный сферический континуум мощности оо2; произведение «числа» этих точек на их кратность оо и 2 оо опрз- деляет мощность интересующих нас групп: ф оо оо = = оо2. оо = оо3, ф оо оо т = х>2-2 оо = 2<х>3. Мы уже знаем, что каждому виду симметрии отвечает вообще бесконечное множество самых разно- Р и с. 67 Три шара оо/оо-т и видов симметрии оо/оо а — с плоскостями симметрии; б, в — без плоскостей (правая и левая модификации); запя- запятые располагаются на поверх- поверхности шаров 55
образных фигур. Шаровая симметрия в этом отношении является исключе- исключением, так как виду оо/оо-т соответствует только шар, или, вернее, система концентрических шаров произвольного радиуса. На примере куба мы видели, что число видов симметрии правильных многогранников увеличивается с трех до семи, если наряду с геометрическим равенством (конгруэнтность, зеркальность) принимается во внимание и фи- физическое равенство граней фигур. По аналогии можно ожидать, что и шар, т. е. фигура, обладающая равными по всем направлениям радиусами, может иметь несколько видов симметрии. Чтобы составить себе представление о симметрии шаров, вообразим, что поверхности трех мячей покрыты асиммет- асимметричными чешуйками, имеющими форму запятых (рис. 67). Чешуйки распределе- распределены совершенно произвольно, но с равномерной плотностью. На поверхности первого шара содержится поровну правых и левых запятых; чешуйки вто- второго шара состоят только из правых запятых; третьего — только из ле- левых. Если мы положим первый мяч на руку и будем вращать его сначала вправо, а затем влево, то никакой разницы в силе трения при правом и левом вращении мы не заметим, так как в обоих случаях число чешуек, кото- которые будут особенно сильно царапать руку, одинаково. Иначе будет обстоять дело со вторым и третьим тарами: для них трение при вращении по часовой стрелке и обратно будет различным. Читатель может возразить нам, что наши чешуйчатые мячи не могут считаться настоящими шарами, и потому все то, что верно для мячей, не обязательно должно быть верным для идеаль- идеальных шаров. На это мы ответим еще раз, что «настоящими» шарами могут быть только материальные шары, которые лишь с известной точностью удовлетворяют тем или иным идеальным закономерностям; кроме того, и идеальные шары могут быть чешуйчатыми, если чешуйки бесконечно малы. Другим примером шаров без плоскостей симметрии могут служить стек- стеклянные прозрачные сферы, заполненные водным раствором какого-либо орга- органического вещества, вращающего плоскость поляризации лучей света вправо (сахар) или влево. При пропускании поляризованного света через такие шары происходит закручивание лучей вправо или влево в зависимости от свойств растворенного вещества. Итак, мы видим, что теоретически и практически могут существовать два вида шаровой симметрии. В первом виде (оо/оо-т) содержится бесконечное множество плоскостей симметрии, бесконечное множество осей симметрии бесконечного порядка и центр симметрии; во втором виде оо/оо отсутствуют плоскости и центр симметрии. Как и всякий иной вид симметрии, в котором нет никаких других элементов симметрии, кроме осей, второй вид шаро- шаровой симметрии оо/оо может быть реализован в двух энантиоморфных моди- модификациях. Правый и левый шары являются, следовательно, энантиоморф- ными модификациями фигур, обладающих симметрией оо/оо. Заметим, что все шары изотропны, так как у всякого шара все радиусы равны между собой. Шары различной симметрии встречаются в природе в форме так называе- называемых сферолитов. Возникноиение и рост сферолитов можно легко наблюдать под микроскопом в искусственных препаратах различных веществ, которые для этой цели расплавляются в небольшом количестве между предметным и покровным стеклами; при охлаждении препарата часто возникают сферо- литы (рис. 68). Особенно хорошо удается опыт с серой. Сферолиты, или 58
сферокристаллы серы, состоят из радиальных тон- тонких, может быть молекулярно тонких, волокон. Бели наблюдать сферолиты в поляризованном свете ' при скрещенных николях, то всегда виден черный крест, который сохраняет свою неподвижность и при вращении столика микроскопа. Это оптическое явление служит доказательством радиальной струк- структуры сферокристаллов. Бывают сферолиты, у кото- которых волокна закручены; при наблюдении их в поля- поляризованном свете можно видеть чередующуюся концентрическими слоями интерференционную ок- окраску. В зависимости от характера кручения, очевид- очевидно, можно различать правые и левые сферолиты; сферолиты с незакрученными волокнами обладают симметрией обыкновенного шара. Полный обзор видов симметрии фигур с особенной точкой. Сферические и стереографические проекции элементов симметрии Мы рассмотрели все виды симметрии фигур с осо- особенной точкой. Если фигура обладает центром сим- симметрии, то он должен совпадать с особенной точкой. Иначе особенная точка имела бы эквивалентную (диаметрально противоположную по отношению к центру симметрии) точку и потому не была бы осо- особенной. Если фигура обладает осями и плоскостями симметрии, то они должны пересекаться в особен- особенной точке, так как в противном случае особенная точка была бы повторена элементами симметрии и перестала бы быть особенной. Если принять осо- особенную точку за центр шара, то оси симметрии будут пересекать его поверхность в двух диаметрально противоположных точках. Плоскости симметрии бу- будут пересекать поверхность шара по дугам больших кругов (меридианам), а центр симметрии всегда будет совпадать с центром шара. Если условиться обо- обозначать точки пересечения простых поворотных осей с поверхностью шара маленькими черными много- многоугольниками с числом сторон, равным порядку оси *, Р и с. 68 Сферолиты малонампда с закр>- чениыми радиальными волок- волокнами (по Попову) (а) и сферо- сферолиты трифенилметаиа (-) Идеальная симметрия этих поликристаллических опразона- ний оо/оо и оо/оо • т соотпет- ствешю * Двойные оси симметрии обозначаются «двуугольниками», имеющи- имеющими форму линзы, зеркально-поворотные оси — белыми контурными многоугольниками. 57
-толстыми дугами —линии пересечения плоскостей симметрии, а белым ма- маленьким кружком— центр симметрии, то полученное таким образом изображе- изображение образует сферическую проекцию элементов симметрии фигуры. От объ- объемной сферической проекции удобно перейти, в свою очередь, к плоской сте- стереографической проекции, проектируя на экваториальную плоскость шара, выбираемую по определенным правилам, выходы элементов симметрии на сфе- сферу. Такое проектирование осуществляется, как в картографии, лучами, про- проведенными из северного или южного полюса к данной точке на сфере. Точка пере- 58
•Р и с. 69 Стереографические проекции и символы видов симметрии фигур с особенными точками Тонкие окружности, совпадаю- совпадающие с плоскостью чертежа, ограничивают экваториальные плоскости стереографических проекций (см. текст). Толстые окружности, совпадающие с плоскостью чертежа, изобра- изображают горизонтальные плоско- плоскости симметрии. Толстые мери- меридиональные дуги являются проекциями наклонных плос- плоскостей симметрии, толстые пря- прямые — проекциями вертикаль- пых плоскостей симметрии. Черные маленькие двууголь- двуугольники, треугольники, четырех- четырехугольники и т. д. изображают на проекциях выходы осей симметрии второго, третьего, четвертого и т. д. порядков. Если черный многоугольник помещен в центр круга, ему отвечает вертикальная ось симметрии. Если он помещен в другое место, ему отвечает наклонная ось. Горизонталь- Горизонтальные оси пересекаются с эква ториальным кругом проекции в двух точках. Белые контур- контурные многоугольники изобра- изображают зеркально-поворотные оси четного порядка. В сим. волах симметрии п — поворот- поворотная ось порядка п; 2п — зер- зеркально-поворотная ось порядка 2п; m — плоскость симметрии; I — центр симметрии; мню — простая и зеркальная оси бес- бесконечного порядка. Знаки двое- двоеточия, точки и наклонной чер- черты указывают на взаимную ориентировку (перпендикуляр- (перпендикулярную, параллельную и наклон, ную) соответствующих элемен- элементов симметрии. Виды симметрии с зеркально-поворотными ося- осями нечетного порядка распо- располагаются в третьем столбце таблицы (графические символы втих осей на проекциях не изображены). Подробнее о пост- построении стереографических про- проекций см. кристаллографиче- кристаллографические руководства сечения луча с экваториальной плоскостью, очевид- очевидно, и будет служить стереографическим изображе нием (проекцией) соответствующей точки на сфере, а дуга или прямая линия — изображением соответ- соответствующей плоскости симметрии. Стереографические проекции элементов симмет- симметрии дают возможность непосредственно из чертежа определить, сколько и каких элементов симметрии содержится в том или ином виде симметрии и как эти элементы симметрии расположены друг относи- относительно друга (рис. 69). Во всяком случае, такие диа- диаграммы имеют преимущество наглядности перед сим- символами, которыми мы пользовались для обозначе- обозначения видов симметрии и которые вновь воспроизво- воспроизводятся в соответствующих клетках рис. 69. Сопос- Сопоставляя формулы с изображениями, внимательный читатель еще раз обнаружит, что в формулу вида симметрии входят символы не всех, а одних лишь порождающих элементов симметрии (см. стр. 22), достаточных для того, чтобы, применяя симметри- симметрические преобразования, найти все другие {производ- {производные) элементы симметрии данного вида. На основа- основании соотношений эквивалентности 2 = 1, 2-т = 2 : т, 314-т = 6/4, 315-тп = 3/10, 312: m = 6/2, 3/2-m = 3/4 (последние два случая различаются ориентировкой плоскостей m по отношению к осям 3) шесть видов симметрии и один предельный вид оо/оо-тга = оо/х> представлепы в таблице правыми (более употреби- употребительными) формулами. По формальным соображе- соображениям четыре простейших вида симметрии, имеющих по два равноправных обозначения (см. рис. 70), 2 = 1 : 2, 1 : m = 1-m, 2 : m = 2-тп,2тп — m-1 : m повторены на рис. 69 дважды соответственно двум различным ориентировкам элементов симметрии по отношению к плоскости чертежа. Эти формальные соображения играют большую роль при рассмотре- рассмотрении видов симметрии односторонних и двусторон- двусторонних розеток, о чем будет идти речь в следующем параграфе. Все виды симметрии фигур с особенными точ- точками в кристаллографии называют видами симмет- симметрии конечных фигур, а соответствующие наборы симметрических преобразований — точечными груп- группами. Рис. 69 показывает, что все эти виды укла- 59
Рис. 70 Четыре простейших вида сим- симметрии розеток изображены на стереографических проекциях в двух различных ориентировках Черные и белые треугольники, повторяемые элементами сим - метрии, изображают асиммет- асимметричные точки. Черные треуголь- треугольники обращены лицевой сторо- стороной к наблюдателю; у белых треугольников лицевая (чер- (черная) сторона смотрит вниз. В треугольниках, отмеченных точкой, лицо не отличается от изнанки. Три проекции опи- описывают симметрию односторон- односторонних розеток, остальные — сим- симметрию двусторонних розеток 1 ¦ m = 1 : m 2-m =т : т дыпаются в таблице в восемь столбцов. Каждый из первых семи столбцов представляет собой бесконечный ряд возрастающей симметрии, заканчиваю- заканчивающийся предельным видом симметрии, обозначенным внизу соответствующим символом. Интересно отметить, что предельные виды для второго и треть- третьего столбцов, а также для шестого и седьмого оказываются одинаковыми. В восьмом столбце таблицы приведены проекции элементов симметрии пра- правильных многограппиков и указаны символы двух предельных видов шаро- шаровой симметрии. Два типа фигур с особенной точкой. Односторонние и двусторонние розетки Все фигуры с особенной точкой могут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными плоскостями. Куб, икосаэдр, шар принадлежат к фигурам первой категории; любой плоскости, проведенной в этих фигурах, найдется другая равная; особенных плоскостей в этих фигурах нет. На рис. 69 отвечающие фигурам этой категории виды сим- симметрии изображены в восьмом столбце. Фигуры, принадлежащие ко второй категории, мы называем розетками. Итак, розетки — это фигуры с особенной точкой и особенной плоскостью. Если особенная плоскость нолярыа, то ро- розетка называется односторонней. Если особенная плоскость неполярна, то мы имеем дело с двусторонней розеткой. Цветные витражи, колеса, кольца, платки с одинаковым рисунком с обеих сторон — все это примеры двусто- двусторонних розеток. При рассматривании розеток мы проектируем их мыслен- мысленно на особенпую плоскость, принимаемую за основную, или картинную плос- плоскость. Возможны случаи (виды симметрии 2\ т; 2-т), когда розетка имеет и полярные и неполярные особенные плоскости. Тогда вопрос о причислении розеток к односторонним или двусторонним решается выбором картинной плоскости: фигура коня в профиль —двусторонняя розетка; та же фигура головой вперед — односторонняя розетка. Виды симметрии односторонних ро- розеток показаны на рис. 69 в первом и четвертом столбцах, виды двусторонних розеток — во втором, третьем, пятом, шестом и седьмом столбцах. 60
Сопоставление симиетрии кристаллов и организмов. Координатные и бескоординатные обозначения видов симметрии К интересным результатам приводит сопоставление симметрии кристаллов и организмов. Выше мы говорили, что в кристаллах, если речь идет только об их естественной внешней форме, из бесконечного множества осей симметрии могут существовать только оси симметрии порядка 1, 2, 3, 4 и 6 *. В соот- соответствии с этим требованием из бесчисленного множества видов симметрии фигур с особенной точкой для кристаллов оказываются возможными только 32 вида симметрии, символы которых представлены в табл. 1 в том же поряд- порядке, который был принят на рис. 69. Применяемые нами обозначения видов симметрии можно было бы назвать «бескоординатными», поскольку в формуле вида указывался лишь взаимная ориентировка порождающих элементов (осей и плоскостей симметрии). Если ввести систему кристаллографических осей а, Ъ, с (косоугольных —для одних Таблица 1 Сопоставление бескоординатных и координатных (международных) обопначений 32 видов симметрии кристаллов 2п п : 2 2п ¦ т п/п или п/п 1 2 2 3 3 4 4 в 6 ~2 I 1 1 ~6 3 т те 2: т 2 т 3:т 6 4 : те 4 т 6: те 6 т (те) (те) 2-т тт2 3-т Зт 4-т 4тт 6-т 6 т т B) B) 2:2 222 3:2 32 4:2 422 6-2 622 B:т) 'т/ 4-т 42т 'в-т Зт B-т) (тт2) т-2 : т 2 2 2 т mm т-3 : т Ы2 т-4 : т 4 2 2 ттт т-6: т 6 2 2 ттт 3/2 23 3/4 432 6/2 тЗ 3~4 Urn в/4 теЗт Примечание. Расположение видов в таблице соответствует рис. 69. Еескоординатные и координат- координатные обозначения видов записываются соответственно в верхней и нижней строчках в каждой клетке. Повторяющиеся формулы заключены в снобки. * Ювелирным изделиям из кристаллов искусственной ограпкой может быть придана симметрия с осямн 5, 7, 8 в т. д. Такая симметрия не согласуется с внутренней атомной структурой кристаллов н оказыва- оказывается бесполезной при изучении их физических свойств. 61
видов и прямоугольных — для других) и связать эти оси определенным обра- образом с элементами симметрии кристалла, то символ вида симметрии можно будет записать и в «координатной» форме, указав ориентировку осей и плоскостей симметрии по отношению к осям координат, а также к их биссектрисам, если оси координат симметрически эквивалентны. В этом случае мы приходим к си- системе так называемых международных обозначений, в которой зеркальные оси симметрии заменены эквивалентными им инверсионными осями, а и s раз- разделительных знаков сохранен лишь знак черты, указывающий на перпенди- перпендикулярное положение оси по отношению к плоскости симметрии. Сопоставляя международные обозначения со стереографическими проекциями видов сим- симметрии (см. рис. 69), можно установить, каким образом ориентированы оси а, Ь, с по отношению к чертежу и с какими именно осями или биссектрисами сов- совпадают оси симметрии или нормали к плоскостям симметрии, которые входят в символ вида симметрии (подробнее об установке осей см. рис. 149 и 217, а также специальные кристаллографические руководства). Если речь идет не о внешней форме, а о каких-либо других свойствах кристаллов, например об упругости, электропроводности, пироэлектричест- пироэлектричестве и т. д., то число видов симметрии кристаллов в отношении этих свойств будет вообще иным. Так, симметрия упругих свойств кристаллов исчерпы- исчерпывается всего восемью видами симметрии, симметрия пироэлектрических свойств — десятью и т. д. Для некоторых свойств кристаллов большую роль играют виды предельной симметрии, символы которых приведены на рис. 69 в последней строке. Например, каменная соль по оптическим свойствам принад- принадлежит к виду шаровой симметрии "Зс/оо, а по внешней форме — к виду 6/4. Однако до сих пор не удалось найти таких свойств кристаллов, в сим- симметрию которых входили бы оси симметрии пятого, седьмого и иного порядка, кроме предусмотренных рядом 1, 2, 3, 4, 6, оо. Теоретические соображения, развиваемые кристаллографией, учат, что такие свойства кристаллов, по-ви- по-видимому, и не могут существовать. Что касается организмов, то для них еще не имеется теории, которая могла бы ответить на вопрос, какие виды симметрии совместимы и какие не сов- совместимы с существованием живого гещества *. В то же время нельзя еще раз не обратить внимания на тот в высшей степени замечательный факт, что у представителей живой природы встречаются как раз те виды симметрии (с осями пятого порядка), которые невозможны для затвердевшего окрис таллизованного «неживого» вещества. Калейдоскопы Федорова для воспроизведения фигур с особенной точкой Калейдоскопы, с которыми мы уже имели дело, состояли из двух зеркал и предназначались для наблюдения односторонних розеток с плоскостями сим- симметрии. Калейдоскопы Федорова составляются из трех зеркал, образующих трехгранный угол; они позволяют воспроизводить большее число видов * Можно лишь сказать, что и в этом случае особенности симметрии связаны с особенностями молеку- молекулярной структуры живого вещества (см. далее стр. 309 н след.) и симметрией среды. 62
симметрии фигур с особенной точкой. Зеркалам обыкновенно придают форму секторов круга (см. рис. 71). В собранном виде калейдоскоп имеет вид трех- трехгранной воронки; раструб ее ограничен тремя дугами окружности, образующими сферический треугольник. Так как зеркала калейдоскопов играют роль плоскостей симметрии, то в основу расчета калейдоскопов могут быть положены только такие сферические треугольники, которые на проек- проекциях (рис. 69) образованы следами плоскостей симметрии (толстые прямые линии или дуги мери- меридианов и кругов). Сюда относятся все сфери- сферические треугольники с двумя прямыми углами, представленные на рис. 69 в седьмом столбце (вид симметрии 2-т исключается, так как плоскости симметрии в нем образуют не треугольник, а дву- двуугольник). Образец такого калейдоскопа показан на рис. 71. Кроме этих однотипных калейдоскопов, существуют еще только три калейдоскопа, опреде- определяемые сферическими треугольниками видов сим- симметрии 3/4, 6/4 и 3110. Длины сторон соответствую- соответствующих треугольников, измеряемые округленно в гра- градусах, приведены в табличке на полях страницы: Такими же должны быть и двугранные углы между зеркалами калейдоскопов. Всякие другие комбина- комбинации зеркал приведут к «размазыванию» фигур вслед- вследствие их наложения друг на друга. Если внутрь трехгранного угла калейдоскопа по- поместить какой-нибудь предмет, то увидим симметрич- симметричную фигуру, составленную из этого предмета и его изображений в зеркалах. Для получения многогран- многогранников Е. С. Федоров рекомендует наливать в калей- калейдоскоп ртуть; можно также вкладывать туда картон- картонные треугольники, надлежащим образом вырезанные, или кусочки проволоки, приклеивая их концы к по- поверхности зеркал пластилином. При пользовании жид- жидкостью можно, наклоняя калейдоскоп, изменять форму многогранников и заставлять их переходить друг в друга. Например, с помощью калейдоскопа с углами 55, 45 и 35° можно воспроизвести семь многогран- многогранников: куб (гексаэдр), октаэдр, ромбододекаэдр (двенадцатигранник, грани которого — ромбы), тетрагексаэдр (пирамидальный куб), тригонтри- октаэдр (пирамидальный октаэдр с треугольными гранями), тетрагонтриоктаэдр (то же, но с четырех- четырехугольными гранями), гексоктаэдр (сорокавосьми- гранник). При помощи кусочков проволоки очень удобно воспроизводить многогранники с входящими 00' 00° 1180° Р и с. 71 Калейдоскоп Федорова (зеркаль.. ный трехгранник) Если поместить внутри калей- калейдоскопа какой-нибудь пред- предмет, то вместе с отражениями, его в зеркалах получается симметричная фигура с осо- особенной точкой 70° (для вида 3/7), 55°, 45*, 35° (для вида- !>14), 37°, 32°, 21° (для вида З/То). 63
Р и с. 72 Экнпвалентиые системы точек возникают из одной точки в ре- результате повторения ее элемен- элементами симметрии Коли исходная точка находится в частных положениях (на эле- элементах симметрии), число то- точен соответствующей эквива- эквивалентной системы уменьшается в целое число раз по сравнению с числом точек в общей систе- системе. На рисунке показаны че- четыре различные эквивалент- эквивалентные системы (а — г) для вида симметрии в т. Точки, изоб- изображенные на проекциях круж- кружками и крестиками, на самом деле имеют симметрию тех эле- элементов, на которых они нахо- находятся. Кружки отвечают поло- положению точек над, крестики — аод плоскостью чертежа углами иди койлоэдры, имеющие вид очень сложных пространственных звезд. Калейдоскопы дают также возможность вопроизводить симметричные системы эквивалентных точек; в качестве исходной «точки», размножаемой в плоскостях симметрии, удобно взять лампочку от карманного электрического фо- фонаря. Симметричные системы эквивалентных точек. Молекулы Возьмем на рис.69 вид симметрии 6-т и мысленно перзйдем от стереографической (плоской) к сфери- чезкой проекции его элементов симметрии, представ- представляя, что все они (кроме центра) нанесены на поверх- поверхность шара (рис. 72). Отметим маленьким кружоч- кружочком произвольную точку на поверхности верхней, обращенной к зрителю, половины тара. Отражая точку в вертикальных плоскостях симметрии, легко получить симметричную совокупность точек, также иаображенных кружочками и находящихся на верх- верхней половине шара. Повернем теперь шар на пол-обо- пол-оборота вокруг одной из двойных осей симметрии, ле- лежащих в плоскости чертежа. В результате все вы- выведенные нами точки перейдут на нижнюю поло- половину шара и займут новые положения, отмеченные крестиками. Легко проверить, что повороты вокруг других осей не создадут других эквивалентных то- точек сверх двенадцати, изображенных на рис. 72,а кружками и крестиками. Если перемещать исходную точку по поверхности шара, то будут двигаться и все остальные точки. Число их останется неизменным до тех пор, пока перемещаемая точка не попадет на один из элементов симметрии. Если она попадет на плос- плоскость симметрии, общее число эквивалентных точек сократится вдвое (рис. 72,6). Если она будет нахо- находиться на оси второго порядка (рис. 72,в), общее число точек будет также вдвое меньше первоначаль- первоначального числа. Наконец, если исходная точка окажется одновременно на оси третьего порядка и на трех плоскостях симметрии (рис. 72,г), общее число экви- эквивалентных точек уменьшится в шесть раз. До сих пор мы перемещали исходную точку по по- поверхности шара. Полученные при этом расположе- расположения эквивалентных точек будут возникать и в тех случаях, когда исходная точка движется внутри шара. Новым здесь будет только то, что при ее про- прохождении через центр шара вся совокупность точек 64
сольется в одну точку. Итак, в разбираемом виде симметрии эквивалентные системы могут состоять лишь из одной, двух, шести и двенадцати точек. Если вспомнить, что мы назвали кратностью точки число эквивалентных точек, слившихся в данной, то для выведенных симметричных систем кратно- кратности точек изобразятся тем же рядом чисел, но написанным в обратном по- порядке, причем окажется, что произведение кратности точки на число точек в данной системе всегда будет равно двенадцати (табл. 2.), Таблица 2 Числа точек в симметричных систе- 1 2 6 12 мах вида ~6-т Кратности точек 12 6 2 1 Произведение чисел точек в системе 12 12 12 12 на их кратность Обратим внимание на то, что положение исходной точки жестко фиксиро- фиксировано лишь тогда, когда она находится на пересечении осей симметрии, т. е. в центре шара. Только в этом случае мы можем получить для рассматриваемо- рассматриваемого вида симметрии систему, состоящую всего иэ одной точки. Во всех дру- других случаях исходная точка может занимать бесконечное число положений и без изменения числа точек в системе. Другими словами, существует бесконеч- бесконечное множество эквивалентных систем из двух, шести и двенадцати точек. При построении симметричных систем точек, показанных на рис. 72, мы исходили из предположения, что вид симметрии остается для всех систем точек одним и тем же. Сравнивая между собой системы бив, мы видим, од- однако, что они различной симметрии: система б имеет, например, тройную ось, а система в — шестерную. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что мы пока игнорируем симметрию самих точек, которые во всех случаях не- неправильно изображаются нами кружками. На самом деле точки во всех че- четырех системах обладают совершенно различной симметрией. На рис. 72, о они вполне асимметричны, так как не лежат ни на одном из элементов симметрии; кратность их равна единице. Точки системы б двукратны, лежат на плоско- плоскостях симметрии и имеют каждая симметрию т; точки системы в имеют сим- симметрию 2 и т. д. Ниже нам придется подробнее остановиться на вопросе о симметрии точек. На примере рис. 72 мы показали, как строятся простые системы точек, возникающие в результате повторения одной надлежащим образом выбранной точки. От простых систем нетрудно перейти и к сложным составным системам. В последнем случае на шаре или внутри него имеется несколько сортов точек; каждый сорт образует свою систему эквивалентных точек; точки же, принадлежащие к разным системам, друг другу не равны. При описании со- составных систем боль'пую роль играют относительные числа точек. Поясним на примере, как эти числа могут быть получены. Пусть мы имеем составную систему, состоящую из трех простых систем с числами точек 2, 6, 12. Относи- Относительные числа получатся после сокращения на общий множитель, равный 5 А. В. Шубников, В. А. Копцик 05
Тл блица 3 Относительные числа точек для составных систем вида симметрии ~6-т Для системы из двух сортов точек 1 1 1 1 \ 1 2 3 6 12 1 1 1 1 1 1 Для системы сортов точек 1 1 1 1 1 2 1 2 3 6 12 12 1 1 1 1 1 из трех 3 3 6 6 12 3 6 6 12 12 1 1 1 1 1 1 1 1 Для \ 1 1 1 1 1 1 1 системы 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 6 12 2 6 12 из 1 1 1 1 1 1 1 1 1 четырех 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 6 6 12 2 2 2 6 3 6 6 12 12 2 6 12 6 сортов 1 1 1 1 1 1 1 1 1 точек 2 2 3 3 3 6 6 6 12 6 12 3 3 6 6 6 12 12 12 12 3 6 (> 6 12 12 12 Примечание. Число точек наименьшей поде! стемы, входящей в составную систему, принимается за единицу (левые колонки цифр). двум; в результате будем иметь 1, 3, 6. Можпо заранее вычислить относитель- относительные числа точек для сосоставных систем каждого вида симметрии. Эти числа, как мы увидим далее, играют большую роль в химии, так как всякую моле- молекулу можно рассматривать как сложную оимметричную систему эквивалент- эквивалентных атомов или ионов, принимаемых в математическом приближении за «точ- «точки». Для рассматриваемого вида симметрии вычисления приводят, например, к табл. 3, в строках которой приведены относительные числа для составных систем, содержащих точки двух, трех и четырех неэквивалентных сортов. Симметричные пучки прямых и многогранники. Простые формы Любую точку на поверхности тара можно однозначно определить радиус- вектором, соединяющим центр тара с данпой точкой. Симметричной системе точек, простой или составной, будет отвечать простой или составной пучок прямых. Такими пучками очень удобно пользоваться, например, для изобра- изображения комбинации с сей симметрии, координатных осей и т. д. От пучков прямых легко перейти к симметричным многогранникам, образованным систе- системой плоскостей, касающихся шара в точках выхода соответствующих радиус- векторов. При этом простым пучкам отвечают многогранники, называемые простыми формами (рис. 73), а для составных пучков получаются комбина- комбинации простых форм. В простых формах все грани равны друг другу. В частном случае простая форма может состоять всего из одной грани (моноэдр), двух параллельных граней (пииакоид), двух пересекающихся граней (диэдр). Про- Простые формы, состоящие только из граней, параллельных какой-либо одной оси симметрии, и в нернендикулярпом сечении к этой оси образующие симмет- 66
ричпый многоугольник, называются призмами. В пирамидах все грани пере- пересекаются в одной точке. Призмы и пирамиды, о которых здесь идет речь, не имеют оснований; вместе с перечисленными выше простыми формами, состо- состоящими из одной или двух граней, они принадлежат к открытым формам. К закрытым формам принадлежат, например, куб, октаэдр, двойные пира- пирамиды (дипирамиды) и т. д. Подробно учение о простых формах развивается в курсах кристаллографии. Представление о комбинациях простых форм мож- можно составить по кубооктаэдру, который получается из куба притуплением всех восьми его углов плоскостями октаэдра. Кристаллические многогран- многогранники, образующиеся в природе или в лаборатории при кристаллизации из растворов, обычно имеют вид простых форм или не очень сложных комбина- комбинаций простых форм; при кристаллизации из расплава кристаллы могут прини- принимать форму кривогранных фигур. Симметрия и структурные формулы молекул Хорошо известно, что вещество состоит из молекул, молекулы — из атомов, ионов, радикалов *. Почти с момента возникновения научной химии было принято считать, что одинаковые по своим свойствам части химических мо- молекул имеют в ней и одинаковое (симметричное) расположение. Особенно пло- плодотворной оказалась эта идея в органической химии, которая имеет дело обычно с небольшим числом химических элементов и вынуждена в одной и той же молекуле иногда отождествлять, а иногда и различать между собой атомы одного и того же элемента. Так, например, в молекуле уксусной кислоты, формула которой имеет вид СН3СООН, различие между двумя атомами углерода подчеркивают тем, что символ углерода С повторяют в формуле два раза. То же относится и к двум атомам кислорода О. Иначе обстоит дело с атомами водорода Н. Изучение свойств уксусной кислоты приводит к заклю- заключению, что в каждой молекуле содержится четыре атома водорода: три из них по своим свойствам равны друг другу, по отличаются от четвертого. В формуле уксусной кислоты это отмечено тем, что символ Н употреблен дваж- дважды, причем при одном Н поставлена внизу цифра 3. После открытия Лауэ явления дифракции рентгеновских лучей и разработ- разработки методов структурного анализа кристаллов и молекул предположение о симметричном расположении структурных единиц в молекуле и в кристал- кристаллической решетке подтверждено экспериментально. Появились широчайшие возможности применения учения о симметрии в структурной химии и в кристаллохимии. Если условиться обозначать атомы, а иногда и их совокупности (ради- (радикалы) точками (или лучше фигурами), то молекула представится в форме сим- симметричной (простой или составной) системы точек (фигур). Если вид сим- симметрии молекулы известен и известно число сортов одинаковых по своим свойствам атомов, то заранее можно вычислить, какие химические форму- формулы совместимы с существованием данного вида симметрии. * Внутренняя структура атомов или нонов нас не будет сейчас интересовать. 5* 07
Пусть, например, известно, что химическая мо- молекула состоит их двух различных по своим свой- свойствам сортов атомов А и В и что ее симметрия 6-т (см. рис. 72). Необходимо найти все химические формулы, которые допускаются данным видом; дру- другими словами, нужно вычислить все возможные коэф- коэффициенты п и m в формуле бинарного соединения ЛпВт. Предположим, что одинаковые атомы зани- занимают в молекуле одну простую систему точек, тогда коэффициенты пит будут относительными числами точек простых систем, входящих в сложную совокуп- совокупность. Обращаясь к таблице относительных чисел (табл. 3), нетрудно сразу написать все формулы для интересующего нас случая: A1B1; '12' Эти формулы усложнятся, если химически эк- эквивалентные атомы будут структурно неэквивалент- неэквивалентны; иными словами, если атомы сорта А и атомы сорта В разобьются на подсорта А„„ А„„... An., Bmi, Вщ» • ••» Вт., занимающие каждый свою простую правильную систему. В этом случае структурная формула бинарного соединения примет вид Ап Ап ... АП{ Вт, Вт, . . . Bmj. Симметрия направленных величин. Векторы и тензоры Величины, с которыми приходится иметь дело фи- вику или математику, бывают двух родов. Одни ве- величины могут быть определены только числом, дру- другие — требуют еще указания направления в про- пространстве. Первые называются скалярами, вторые — векторамии тензорами. Такие, например, величины, как масса, температура, плотность, представляют со- собой скаляры; перемещение точки, сила, скорость, нап- напряжение электрического поля — векторы. Чтобы су- судить о массе тела, нужно знать, сколько единиц массы в нем содержится; для суждения о темпе- температуре, например, по шкале Цельсия нужно знать число градусов и знак температуры (+ или —). Чтобы иметь представление о перемещении тела, нужно знать и число сантиметров, пройденных телом, и направление, по которому произошло 68 Р н с. 78 47 простых форм, возможных длн кристаллов 1—7— пирамиды; ромбическан, тригональная, дитригональная, тетрагональная, дитетрагональ- ная, гексагональная, дигексаго- нальная; 8—14 — дшшрамиды тех же наименований; IS—21 — прнзмы тех же наименований; 22, 23, 25 — тетраэдры: ромби- ромбический, правильный и тетраго- тетрагональный; 24, 2в, «« — трапе- трапецоэдры: тригональный, тетра- тетрагональный, гексагональный; 27 — ромбоэдр; 83, 3S — скале- ноэдры: тетрагональный и дит- ригональный; 81 — диэдр (осе- (осевой или безосный); 32 — пнна- коид; 23, 29, 30, Зв —47 — про- простые формы кубической синго- нии: 23 — тетраэдр, 29 — гек- гексаэдр (куб), 30 — октаэдр, 31 — тригон-тритетраздр, 37 — тетра- гон-тритетраадр, 38 — пентагон- тритетраэдр, 39 — ромбододе- ромбододекаэдр, 40 — пентагон-додекаэдр, 41 — тетрагексаздр, 42 — генса- тетраэдр, 43 — дидодекаэдр, 44— тетрагон-триоктаэдр, 4Ь — три- гонтриоктаэдр, 4в — пентагон- триоктаэдр, 47 — гексоктаэдр. В среднем сечении всех фигур, помещенных выше разделяю- разделяющей таблицу ступенчатой ли- линии, образуются правиль- правильные многоугольники, показан- показанные на рисунне в верхнем ряду
47 Рис. 7».
перемещение; мы можем поэтому изобразить перемещение стрелкой, дли- длина которой равна числу сантиметров, пройденных телом, а направление сов- иадает с направлением перемещения. От векторов обычно требуется еще, чтобы они могли складываться геометрически по правилу параллелограмма. Указанные примеры векторов на самом деле удовлетворяют этому правилу; действительно, если пойти из вершины параллелограмма по одной его сторо- стороне, а затем продолжить путь по другой стороне, то придем в ту же точку, в какую приводит и диагональ параллелограмма. Мы не будем связывать себя этим требованием и наряду с векторами рассмотрим более широкий класс направленных величин, задаваемых системами чисел и направлений. Мы увидим впоследствии (гл. 12), что число независимых (внутренних) пара- параметров, определяющих направленную величину, существенным образом свя- связано с ее симметрией. Какую же симметрию может иметь отрезок прямой, которым изображается данная направленная величина? Мы уже гшаем, что на подобные вопросы можно дать много различпых ответов и все они будут правильными в зависи- зависимости от условий, которые при этом предполагаются. Например, главная ось квадратной призмы имеет симметрию цилиндра, если рассматривать эту ось изолированно от окружения, в котором она находится; и этот же отрезок оси будет иметь симметрию самой призмы, если оп рассматривается вместе с нею как единое целое. Из приведенного нримера видно, что направленные вели- величины вообще могут иметь -любую симметрию, которая совместима с сущест- существованием в фигуре особенных направлений. Другими словами, направленные величины могут иметь любую симметрию, разрешенную для фигур с особенны- особенными точками, за исключением видов симметрии правильных многогранников (восьмой столбец на рис. 69). Для нас особый интерес представляют направленные величины, обладаю щие предельной симметрией, так как именно с такими величинами чаще всего приходится встречаться в физике; поэтому мы остановимся на них несколь- несколько подробпее. Например, вектор скорости материальной точки, движущейся в пустоте, имеет симметрию одной полости покоящегося круглого конуса (оо-тге); эта величина может быть изображена отрезком прямой с односто- односторонней стрелкой (рис. 74, а), так как для полной ее характеристики нужпо: 1) задать числовое значение скорости (длину отрезка), 2) указать положение от- отрезка в пространстве (определив, например, его углы с координатными осями), 3) отметить различие в движении вперод и назад вдоль отрезка и безразлич- безразличное отношение движения ко всем направлениям, ему перпендикулярным. Век- Векторы, которые могут быть изображены таким образом, называются полярными. Напряжение электрического поля, очевидно, будет также полярным вектором. Величина «полярного > тензора механического напряжения в направлении оси растягиваемого или сжимаемого цилиндра у.ке не может быть изобра- изображена односторонней стрелкой, так как растяжение или сжатие всегда на- направлено в обе стороны. Такие направленные величины, изображаемые отрез- 70
о ф ф о оо /оо Р и с. 74 Направленные (а — в) и не- ненаправленные (е, ж) величины н их симметрия а — полярный вектор; б —«по- —«полярный» тензор второго ранга; в — аксиальный вектор; г — аксиальный тензор второго ранга; д — комбинированный полярно-аксиальный вектор; е — «полярный» скаляр; ж — аксиальный скаляр Ж ком прямой с двумя стрелками, устремленными в разные стороны (рис. 74, б), обладают симметрией покоящегося цилиндра т-оо : т*. Перейдем теперь к направленным величинам, которые носят название аксиальных. Допустим, что нам нужно, например, изобразить равномерную угловую скорость вращения цилиндра вокруг своей оси. Значение скорости и положение оси могут быть uo-прежнему обозначены отрезками прямой, но направление вращения теперь уже нельзя изображать прямолинейной стрел- стрелкой, так как такое изображение замаскировало бы действительную симметрию вектора. Поэтому направление вращения мы условимся изображать обтекаю- обтекающей стрелкой, указывающей на характер вращения (рис. 74, е). Симметрия таких величин будет оо : т; мы встречались с ней в цилиндрическом маг- магните. Напряжение магнитного поля внутри магнита представляет собой акси- аксиальный вектор: «полюса» же магнита па самом деле не являются (поляр- (полярными) полюсами, как об этом уже говорилось на стр. 47. Если обтекающие стрелки направить у концов отрезка в разные сторо- стороны, то получим новую направленную величину (аксиальный тензор) с сим- симметрией оо : 2 (рис. 74, г). Так как в данном случае отсутствуют плоскости и центр симметрии, то следует различать правую и левую модификации ве- величин (с обратными направлениями обтекающих стрелок). Примером ве- величин этого рода может служить величина кручения проволоки, задаваемая направлением оси, углом кручения, пропорциональным длине отрезка, и направлением закручивания, определяемым направлением обтекающих стрелок. К таким же величинам может быть отнесено вращение плоскости поляризации в кристаллах и растворах. Совмещение полярной и аксиальной стрелок приводит к образованию ком- комбинированного полярно-аксиального вектора, обладающего симметрией вра- вращающегося конуса оо (рис. 74, д). Например, скорость вращения корабель- корабельного винта, вентилятора, пропеллера определяется не только величиной от- * Отметим условность применяемой в физике терминологии: двусторонние отрезки, характеризующие величину полярных тензоров, строго говоря, неполярны (или двусторонне полярны), поскольку группа симметрии m • те; m содержит центр и поперечные плоскости симметрии, обменивающие местами концы отрезков (рис. 74, б). 71
резка, пропорциональной скорости, и направлением стрелки, показывающей направление вращения, но и направлением «переднего» конца оси вращения; отсутствие последнего качественного признака вращения не дает возмож- возможности знать, работает машина прямым или обратным ходом. Пятью указанными предельными группами (рис. 74, а—д) исчерпывается симметрия направленных физических величин, которые могут быть изобра- изображены направленными отрезками. Еще двумя предельными группами (оо/оо чп и оо/оо) описывается симметрия полярных и аксиальных скалярных (нена- (ненаправленных) величин (рис. 74, е, ж): любой диаметр у полярного шара, рав- равный по длине величине скаляра, является двусторонней стрелкой типа изоб- изображенной на рис. 74, б, а у аксиального скалярного шара — двусторонней крутильной стрелкой типа изображенной на рис. 74, г. Напомним (см. рис. 69), что подгруппами семи предельных групп, най- найденных впервые Пьером Кюри, являются все кристаллографические (а также и некристаллографические) ортогональные группы. Заключительные замечания Рассмотрением симметрии фигур с особенной точкой мы закончили изложение той части учения о симметрии, разработка которой была завершена в третьей четверти XIX столетия. Мы связываем этот этап развития нашей науки с име- именами Гесселя, Гадолина, Пьера Кюри, Бравэ, Федорова. Последний называет симметрию фигур с особенной точкой «симметрией конечных фигур», что не может считаться вполне удачным потому, что симметрией фигур с особенной точкой могут обладать также и бесконечные фигуры: гиперболы, параболы и т. д. 72
4. СИММЕТРИЯ БОРДЮРОВ С этой главы мы приступаем к изучению симметрия фигур без особенных то- точек. Понятие особенной точки (прямой или плоскости) мы ввели в свое время, рассматривая определенный класс преобразований конечных фигур (см. рис. 69). По отношению к другим преобразованиям фигуры (конечные или бесконеч- бесконечные) могут и не иметь инвариантных точек. Простейшим преобразованием, приводящим к бесконечным фигурам, не имеющим особенных точек, является параллельный перенос прямой вдоль нее самой на отрезок конечной длины. Каждая точка прямой повторяется этим преобразованием в эквивалентных точках бесчисленное множество раз. Сама прямая (ось переносов) становится при этом особенной. Если помимо особенной прямой у фигуры имеется и осо- особенная односторонняя (полярная) плоскость, переходящая в себя при парал- параллельном переносе, фигура называется бордюром. Само собой разумеется, что понятие «бордюр», как и ранее встречавшееся понятие «розетка», употребляет- употребляется здесь не в обычном житейском смысле, а как вполне определенный науч- научный термин. Ось переносов как необходимый элемент симметрии бордюров. Декорирование подземных переходов и проходов метро Представим себе бесконечный ряд равных фигур — плоских или трехмерных, расположенных 'друг относительно друга так, как это показано на рис. 75 и 76. Если весь ряд фигур без изменения их взаимного расположения пере- переместить вдоль прямой АВ на расстояние а таким образом, чтобы одна из фигур совместилась с соседней, то вся совокупность фигур займет новое положение, ничем не отличающееся от исходного. Прямая АВ носит название оси пере- 73
носов. Поскольку перемещение па расстояние а не вносит никаких изменений, его можно повторить сколько угодно раз. Перемещение фигур может проис- происходить в направлении АВ или в обратном направлепии ВА с тем же ре- результатом. Так как для рисунков существенна не сама линия АВ, а ее на- направление, за ось переносов (трансляций) можно принять любую прямую, параллельную прямой АВ. Совокупность всех параллельных переносов обра- образует новый вид симметрии, или группу переносов, для нашей бесконечной фигуры. Наименьший путь а, который должен быть пройден рядом фигур, прежде чем произойдет совмещение, называется элементарным переносом, или периодом. Ось трансляций, обозначаемая той же буквой а, образует элемент симметрии, встречающийся только у бесконечных фигур *. Рас- Рассмотренные ранее конечные или бесконечные фигуры с особенными точками не могут обладать осью переносов, так как при наличии оси особенные точки фигур повторяются переносами бесчисленное множество раз и пере- перестают быть особенными. Мы привели примеры бордюров, обладающих единственным элементом симметрии а; составные части бордюров были взяты поэтому асимметрич- асимметричными. Предполагается также, что плоскость бумаги, на которую спроектиро- спроектированы бордюры, не является плоскостью симметрии рассматриваемых линей- линейных орнаментов. Чтобы лучше оттенить это обстоятельство, образцовый бор- бордюр, показанный в первой строке рис. 75, полезно представить сделанным из картонных треугольников, одна сторона которых выкрашена в чзрпыч цвет, а другая — в белый. Если все треугольники обращены к зрителю черной стороной, то картинная плоскость не может быть плоскостью симметрии. В дальнейшем мы будем часто прибегать к схемам с такими треугольни- треугольниками. Рассмотренный тип бордюров интересен тем, что в нем ось переносов поляр- на. Это означает, что свойства таких бордюров в направлепии АВ иные, чем в обратном направлении ВА. Например, следуя вдоль верхнего бордюра (см. рис. 75) слева направо, мы будем всегда встречать черные треугольники с острого угла, а при обратном движении — со стороны малого катета. Поляр- Полярностью оси переносов обусловливается впечатление поступательного движе- движения, которое мы невольно испытываем при рассматривании бордюров с сим- симметрией (я). Здесьнапрашивается аналогия с тем, что говорилось при описании односторонних розеток, обладающих осью симметрии, но не имеющих плоско- плоскостей симметрии,— розеток, вызывающих впечатление вращения. Представле- Представление о движении в обоих случаях подкрепляется томи симметрическими преоб- преобразованиями (перенос, вращение), которые мы склонны мысленно производить с симметричными фигурами. Известную роль играет при этом и то обстоятель- обстоятельство, что перенос можно представлять как предельный случай вращения вок- вокруг бесконечно удаленной оси. Описанный тип бордюров часто встречается в прикладной живописи и архитектуре и может быть особенно рекомендован в тех случах, когда расположением фигур нужно подчеркнуть поступатель- ноедвижение в одном направлепии, например для декорирования подземных • Группу трансляций вдоль оси а обозначают символом (о) или р (см. на стр. 160 сопостав 1ение употребляемых здесь бескоордипатныт обозначений с международными). 74
в Рис. 75 Бордюры с одной осью пере- переносов. Символ симметрии (а) Периоды переносов у всех го- горизонтальных бордюров раз- различны 'ZTtlTtTtltlirrtrt 11 rtrtT7Trf'/T///J it tlJTTTtTrni Рис. 76 Бордюры с симметрией (а) 75
переходов или проходов метро, предназначаемых для потока людей по од- одному направлению и т. д. На примере конечных фигур мы видели, какой интерес могут представлять предельные виды симметрии. Для рассматриваемого вида симметрии (а) пре- предельным будет тот случай, когда элементарный перенос становится бесконеч- бесконечно малым, т. е. когда одна составная часть фигуры непрерывно переходит в другую. Соответствующий этому случаю элемент симметрии мы будем назы- называть осью непрерывных переносов и обозначать а0. Представим себе бесконечно длинную ленточную пилу, обе стороны кото- которой выкрашены в разные цвета; пила вытянута вдоль прямой и движется па- параллельно себе, не закручиваясь. Исследуем симметрию этой фигуры. Так как обе поверхности пилы окрашены в разные цвета, в ней нет продольной плоско- плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью пилы. Нет также и другой про- продольной плоскости, параллельной оси бордюра и перпендикулярной к пло- плоскости пилы, так как ребра полотна пилы отличаются друг от друга: одно может пилить, другое не может. Пусть пила движется, и притом так быстро, что зубцов не видно: полотно ее выглядит сплошной лентой. Из того, что пила пилит лишь при движении в одном направлении, следует и отсутствие у полотна поперечных плоскостей симметрии, перпендикулярных оси бордюра. Из этих наблюдений следует окончательно, что движущаяся пила обладает единствен- единственным элементом симметрии — осью непрерывных переносов а0. Плоскость скользящего отражения Кроме оси переносов, в бордюрах встречается еще один элемент симметрии, невозможный для фигур с особенными точками. Назовем его плоскостью скользящего отражения и обозначим символом а, совмещая направление сколь- скольжения с осью переносов а. Преобразование, осуществляемое новым элемен- элементом симметрии, состоит в том, что фигура (рис. 77 и 78), состоящая из бес- бесконечного числа равных частей, приходит в совмещение сама с собой после последовательно произведенных переноса на расстояние а/2 и отражения в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа; след ее изображен на рис. 77 штриховой линией. Взятые отдельно перенос и отражение в плоско- плоскости не приводят фигуру в совмещение с ней самой и не являются порознь операциями симметрии; поэтому, как сказано, необходимо проводить эти опе- операции одну за другой. Порядок, в котором выполняются обе составляющие комбинированной операции, очевидно, не имеет значения. Двукратное пов- повторение операции скользящего отражения а. эквивалентно, как показывают примеры бордюров, операции чистого переноса фигуры вдоль оси переносов па отрезок а*. Если бордюры с единственным элементом симметрии — осью переносов — пригодны для изображения поступательного движения в одном * Поэтому новый вид симметрии мы будем обозначать (а)-а (или ра), указывая вслед за символом транс- трансляционной группы (а) символ плоскости скользящего отражения а. Точка в символе означает, что ось переносов а лежит в плоскости а. Уместно заметить, что у вида (а) любая из параллельных осей пе- переносов особенна; у вида (а) •'а особенна лишь линия пересечения картинной плоскости с плоскостыг скользящего отражения. Эту ось удобно называть осью бордюра и выбирать за ось переносов. 76
Рис. 77 Бордюры с одной плоскостью скользящего отражения Комбинированное симметриче- симметрическое преобразование фигур состоит в их переносе на отре- отрезок а/2 и последующем отра- отражении в плоскости. Символ сим- симметрии — (а) И. Точка в сим- символе означает, что плоскость "а проходит через ось а 1> и с. 78 Бордюры о симметрией 77
направлении с «шагом» а, то бордюры с осью и плоскостью скользящего от- отражения вызывают представление о волнообразном движении, напоминающем передвижение змеи. Из всех видов симметрии линейных орнаментов вид (а)-а наиболее труден для понимания закономерности, лежащей в основе построе- построения бордюров. В пределе, когда элементарная трансляция становится бес- бесконечно малой, дискретная группа (а) переходит в непрерывную группу (а0), плоскость скользящего отражения а — в обыкновенную плоскость симметрии т и символ симметрии становится (ао)-т. Комбинация оси переносов с поперечными осями второго порядка. Декорирование проходов для встречного движения Если фигура, подвергаемая элементарному переносу, сама состоит из двух частей, переходящих одна в другую при поворотах на 180° вокруг оси, перпрп- дикулярной к особенной плоскости, получается новый вид симметрии бордю- бордюра, обозначаемый символом (а) : 2. Бордюры этого вида представлены на рис. 79 и 80. В образцовом бордюре из треугольников (верхпяя строка рис. 79) элементарная фигура переноса состоит из пары соседних треугольников, вы- выбор которых, очевидно, может быть осуществлен двумя способами; выход осей 2 обозначен, как обычно, маленькими двуугольниками. На приведенном примере можно видеть, что всякий бордюр с симметрией (а) : 2 может быть разделен осью бордюра на два конгруэнтных (вследствие существования двой- двойных осей) ряда фигур или на два первичных бордюра с симметрией (а). Поляр- Полярные оси первичных бордюров наложены антипараллелыю друг другу, вслед- вследствие чего особенная ось интересующего нас составного бордюра с симметрией (а) : 2 становится неполярной. Если два описанных ранее вида бордюров (см. рис. 75—78) могут с ус- успехом применяться для декорирования проходов, предназначенных для одно- одностороннего потока людей, то новый вид симметрии бордюров, составленных из двух направленных в разные стороны рядов фигур, может быть более при- пригоден для украшения, например, пола таких проходов метро, в которых одна сторона отведена для прямого, а другая — для встречного движения. Очень интересно несколько подробнее остановиться на предельном ни с симметрии, который может быть получен из рассматриваемого вида в пред- предположении, что элементарная трансляция становится бесконечно малой. Мы обозначаем этот вид симметрии символом (а0) : 2. Чтобы показать, что такой вид симметрии может реально существовать, представим себе две параллель- параллельные ленты конвейера, лежащие в одной горизонтальной плоскости и движу- движущиеся в разные стороны. Вертикальная плоскость, разделяющая обе ленты, не будет в данном случае плоскостью симметрии, так как тогда оба конвей- конвейера должны были бы двигаться в одну сторону; поперечные вертикальные плоскости также не являются плоскостями симметрии вследствие движения полотен. Между тем любая вертикальная линия, проходящая между полотнами конвейера на равных расстояниях от них, есть ось второго порядка, так как мысленный поворот на 180° вокруг этой оси приведет нашу систему в сов- совмещение с ней самой. 78
Рис. 79 Бордюры с осями второго по- порядка, перпендикулярными к плоскости чертежа. Символ сим- симметрии (а) : 2 Двоеточие в формуле означает, что ось переносов а перпенди- перпендикулярна к оси 2 Другие виды симметрии бордюров Сравнивая между собой бордюры различной симметрии, нетрудно устано- установить некоторые характерные особенности этих фигур, отличающие их от фи- фигур с особенными точками и от всех прочих фигур, речь о которых будет идти далее. Прежде всего мы должны отметить отсутствие в бордюрах особенных точек. Всякая точка этих фигур повторяется бесконечное множество раз. Всякий бордюр, кроме известных нам элементов симметрии, обладает обяза- обязательно единственной осью переносов. Бордюры иногда причисляют к плоским фигурам. Это неверно, так как они могут быть, например, лепными. Важно то, Р и е. 80 Бордюры с гикметрпсп (о): 3 79
Р и с. 81 Бордюры о поперечными пло- плоскостями симметрии. Символ симметрии (а) : т Ось переносов а перпендику- перпендикулярна к плоскости т л Рис. 82 Бордюры с симметрией (а) : т
Рис. 83 Предельный вид симметрии («о) •' »» Ось непрерывных переносов и, перпендикулярна к плоскости симметрии т с симмеТрией (а) Ось а параллельна плоскости Рис. 85 Бордюры с симметрией (а) т Повернутые на 90° бордюры осо- особенно пригодны для декорирова- декорирования архитектурных вертикалей 6 А. В. Шубников, В. А. Копцик 81
Р и с. 86 _ Бордюры с симметрией (о):г-в= = (о) о : т что с бордюрами мы связываем существование некоторой особенной полярной плоскости (вернее, серии параллельных плоскостей), всегда повернутой к зри- зрителю одной своей стороной, скажем лицом. Мы могли бы поэтому опре- определить бордюры как фигуры без особенных точек, но с особенной полярной плоскостью и особенной осью переносов. На всех рисунках бордюров полярная плоскость совмещена с картинной. Исходя из этого определения, можно доказать математически, что, кроме трех перечисленных видов симметрии бордюров, могут существовать еще четыре вида. Комбинируя ось переносов а с поперечной плоскостью симмет- симметрии т, получим вид симметрии (а) : т (рис. 81 и 82). Бордюры этого вида встречаются довольно часто и особенно пригодны для украшения горизон- горизонтальных карнизов, так как оба направления оси бордюров в данном случае Рис. 87 Бордюры с симметрией (а): Зт= = (а)т : т 82
Рис. 88 Примеры бордюре и с снимет рией (а) : 2-т В нижнем бордюре из-за при- применения принципа переплетения симметрия понижается до вида (а): г 6* 83
Рис. 89 Калейдоскопы дли образования бордюров а — два параллельных зерка- зеркала служат для образования бордюров вида (а) : т; б — три зеркала, расположенных буквой П, служат для образо- нания оордюрон с Симметрией (а) : 2т Л Ч Ч ч \ зеркально равны друг другу, а направления вверх и вниз по плоскостям симметрии т различны. Предельный вид симметрии (а0) : т нет необходимо- необходимости связывать с движением и временем; простая сплошная лента с «лицом» и «изнанкой» (рис. 83), если одно ребро ленты чем-либо отличается от дру- другого, может служить иллюстрацией этого случая. Если ось переносов комбинировать пе с поперечной, а с продольной пло- плоскостью симметрии т, получим нятый вид симметрии бордюров (а)-т (рис. 84 и 85). В отличие от предыдущего вида симметрии новый вид особенно пригоден для украшения пилястр, колонн и вообще частей сооружений, про- простирающихся вверх. Предельный случай этого вида симметрии осуществляет- осуществляется в простом ленточном конвейере, находящемся в движении. Из недвижу- Р и с. 90 Проекции элементов симметрии бордюров на картинную нло- екость Тонкие горизонтальные линии обозначают оси переносов а- штриховые линии — плоскости скользящего отражения (Г; горизонтальные толстые ли- линии — обыкновенные плоскос- плоскости т, проходящие перпенди- перпендикулярно к чертежу. Вертикаль- Вертикальные отрезки прямых изображают следы поперечных плоскостей симметрии; маленькие черные двуугольники — перпендику- перпендикулярные к чертежу оси второго порядка. Двоеточие в символах означает перпендикулярность, одна точка — параллельпость. Сопоставление бескоордииат- пых с международными обозна- обозначениями видов симметрии бор- бордюров см. на стр. 100 А л щ щ 9 У \ л Г Щ 9 У \ а (а) (а).щ (а):т h—-}-- -|- -ф (а):2
щихся предметов симметрию (а0) • т имеет, например, лента сукна с ворсом, направленным в одну сторону по длине ленты. Шестой вид симметрии (а) : 2-й может быть получен в результате комби- комбинирования плоскости скользящего отражения а с осью 2 (оба эти элемента симметрии перпендикулярны картинной плоскости) (рис. 86). Из этих порож- порождающих элементов как следствие возникают ось переносов и поперечные плоскости симметрии т *. Предельный случай этого вида ничем пе отличает- отличается от предельного случая последнего, седьмого вида симметрии. Седьмой вид симметрии бордюров (а) : 2-т возникает при комбинирова- комбинировании оси трансляций с поперечной и продольной плоскостями симметрии (рис. 87 и 88). Это самый распространенный и вместе с тем самый скучный вид симметрии бордюров. Предельный случай этого вида симметрии (а0) :2-т осуществляется, например, в сплошной полосе, обе стороны которой выкра- выкрашены в разные цвета. Калейдоскопы для образования бордюров Два вида симметрии бордюров (а) : т и (а) : ?• т можно получить калейдо- калейдоскопически с помощью зеркал. В первом случае достаточно взять два па- параллельных зеркала т (рис. 89, а), обращенных отражающими сторонами друг к другу. Исходная фигура А, помещенная между зеркалами, повторя- повторяясь в них, создает бордюр с симметрией (а) : т. Три зеркала т (рис. 89, б), расположенных буквой П отражающими сторонами внутрь, дают возмож- возможность получить бордюр с симметрией (а) : 2-т. Обзор семи видов симметрии бордюров Мы рассмотрели на конкретных примерах все виды симметрии бордюров. Общее число непредельных видов равно семи. В заключение приведем гра- графическую таблицу элементов симметрии для непредельных видов (рис. 90). Эта таблица в руках художников-орнаменталистов может служить для сопо ставления бордюров различной симметрии и для построения новых бордю- бордюров; она имеет для них такое же значение, какое для фигур с особенной точкой имела таблица, изображенная на рис. 69. На проекциях (рис. 90) оси переносов показаны тонкими линиями, плоскости симметрии — толстыми, плоскости скользящего отражения — штриховыми, двойные оси — двууголь- двуугольниками. Ось переносов — обязательный элемент симметрии всякого бордюра, но для четырех видов ((а)- а, (а)- т, (а):2-а, (а):2-т) оси переносов не выде- выделены, так как тонкая линия у них должна совпадать с толстой или штри- штриховой. Общее число предельных видов симметрии бордюров равно пяти: (а0), (ао)-т, (п0) : т, (п0) : 2, («<,) : 2-т. * Поэтому тот же вид симметрии можно определить и формулой (а)' о : то= (a)^T-i©m (cjj. табл. 9). 85
5. СИММЕТРИЯ ЛЕНТ Бордюры являются частным случаем лент — бесконечных периодических фигур с особенной плоскостью и лежащей в ней особепной осью переносов. У бордюров особенная плоскость полярна: ее «лицо» отличается от изнанки. У лент особенпая плоскость может быть неполярной, т. е. допускаются пре- преобразования, совмещающие обе ее стороны с собой. Увеличение списка допу- допустимых преобразований расширяет и число видов симметрии линейных орнаментов: к известным семи видам симметрии бордюров присоединяются 24 вида симметрии лент с неполярными особенными плоскостями. В этих видах мы встречаемся с новыми элементами симметрии — двойными винто- винтовыми осями. Винтовая ось симметрии второго порядка Представим себе, что у нас имеется бесконечное множество одинаковых кар- картонных прямоугольных треугольников, выкрашенных с одной стороны в чер- черный, а с другой — в белый цвет; треугольники расположены вдоль прямой так, как показано на чертеже (рис. 91). Легко заметить, что три фигуры, изображенные на рисунке, обладают осью переносов с периодом переноса, равным расстоянию а менаду ближайшими треугольниками, повернутыми к зрителю одинаково окрашенными сторонами. Кроме этого элемента симмет- симметрии, фигуры обладают еще двойной винтовой осью симметрии. В верхней фигуре эта ось проходит по большим кадетам треугольников, в средней и нижней фигурах она проходит на равных расстояниях от катетов. Каждая из трех фигур может совмещаться сама с собой в результате комбинирован- комбинированной операции, состоящей из поворота па 180° и последующего перепоса вдоль оси на расстояние я/2. Так как нам важна не сама операция совмещения, а ее результат, то оба движения можно представить себе происходящими
в любой последовательности или одновременно. Такое движение, очевидпо, будет винтовым, поэтому и ось названа винтовой. Нетрудно убедиться, что для двойной винтовой оси результат останется тем же, будем ли мы произво- производить винтовой поворот вправо (по часовой стрелке) или влево (против часо- часовой стрелки). Последнее свойство отличает винтовую ось второго порядка от винтовых осей высшего порядка, о которых будет речь впереди. Мы на- назвали винтовую ось двойпой или осью второго порядка потому, что при пол- полном обороте вокруг нее (вместе с соответствующими перемещениями) бесконеч- бесконечная фигура два раза приходит в совмещение сама с собой. Обратим внимание на различие симметрических преобразований, отвеча- отвечающих двойной винтовой оси и плоскости скользящего отражения. Верхний бордюр рис. 77, построенный посредством скользящего отражения, состоит из треугольников, каждый из которых зеркально равен двум ближайшим тре- треугольникам; все треугольники обращены к зрителю одинаково окрашенными сторонами. Ленты рис. 91 сконструированы из совместимо равных треуголь- треугольников, обращенных к зрителю поочередно то черпой, то белой стороной. Если бы обе стороны треугольников были окрашены одинаково, мы не сумели бы отличить в указанных примерах плоскость скользящего отражения от двойной винтовой оси. Двойную винтовую ось мы будем обозначать символом 2Х (частное от деления индекса на порядок оси дает величину переноса (V2)a, комбинирующегося с вращением 2). Тридцать один вид симметрии лент Мы не будем останавливаться на описании видов симметрии лепт, а приве- приведем для каждого вида образцовые фигуры, составленные из прямоугольных тре- треугольников по знакомому из примеров принципу (рис. 92). В табл. 4 чита- читатель найдет сопоставление бескоординатпых и координатных обозначений всех видов симметрии и необходимые пояснения. Заметим, что бесконечные сово- совокупности преобразований, отвечающих каждому виду симметрии лент, назы- называют в отличие от точечных групп (см. рис. 69) одпомерными пространствен- пространственными группами. Рис. 91 Винтовая ось симметрии вто- второго порядка 2, Симметрическое преобразова- преобразование, осуществляемое этой осью, состоит из поворота на угол 180" и переноса вдоль оси на половину периода переноса а. Показанная на рисунке беско- бесконечная фигура состоит из рав- равных треугольников, одна сторо- сторона которых выкрашена в чер- черный цвет, а другая — в белый. В результате поворота на 180" каждый треугольник поворачи- поворачивается к наблюдателю по оче- очереди черной и белой стороной 87
Таблица 4 Сопоставление бсекоординатиых и координатных (международных) обозначений 31 вида симметрии лент •Ne п/п i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Символ бсскоординятн ы й (а). 2., (a)-2i:2 (а)-т± (а)-а (e).2i-m. (a)-2i:m (я): 2± : а (а): 2, -то («)-2 ' (я): 2± (а)-1 (а)-2-т (е)-2-о (я): т симметрии координатный р121 }2Х22 plml plal р2\та 2\ р— 11 r m 2 рП ~а рт2т рт2а р211 р112 р2тт р2аа pm.ll »пп 17 18 19 20 21 22 23 2't 25 26 27 28 29 30 31 Символ бескоординатный (а) Л±:т (а):2±.а (а)-т-2: т (а)-а-2 : т (а) • т | • 2\ : т (а)-2! (а)-2:2 (а)'тц (а)-а ц (a)-2i-m , (а)-2:т (а) Л,, :т II (а): 2±-т (а): 2,, :о (а)•т ^ - 2\ : ;п симметрии | координатный 9 ^ m рта2 рттт 1 таа ртта p2xll р222 pllm plla р2\ат я!» 2 pi — 1 ТПг pmm2 pi — 1 а pmam Примечание. Порядковый помер формул соответствует номзру лепты на рис. 92. Ось а направлена вдоль лепты, перпендикулярная к ней ось Ь лежит в плоскости чертежа, ось с перпендикулярна черте- чертежу; знаками || и J. отмечено параллельное или перпендикулярное положение элементов симметрии по отношению к картинной плоскости. В международном символе одномэрной пространственной группы после символа трансляционной группы р указано совпадение осей 2 и 2, или нормалей к плоскостям т и а с осями координат в последовательности а, Ь, с (первая, вторая н ^третья позиции символа после бук- буквы р); по международной системе плоскости скользящего отражения а обозначаются без знака тильды той же буквой я; если с осью координат названные элементы симметрии не совпадают, на соответствую- соответствующей позиции символа ставится единица; если с осью координат совпадают одновременно ось симмет- симметрии и нормаль к плоскости симметрии, на соответствующей "позиции символа указываются оба элемента симметрии, разделенные знаком черты. На рис. 92, помимо треугольников, окрашенных с обеих сторон в разные цвета (черный и белый), встречаются и треугольники, окрашенные одинаково с обеих сторон; они условно обозначены точкой в центре грани. Каждая об- образцовая фигура отвечает определенному виду симметрии. Всего существует 31 вид симметрии лент; один из них для примера мы рассмотрим. В ленте № 15 легко обнаружить обязательную ось переносов с периодом переноса а, равным расстоянию между ближайшими треугольниками, обращенными к на- наблюдателю черными сторонами. С осью а совпадают по направлению но- 88
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 ориентировка осей координат Р и с. 92 Геометрическая реализация 31 вида симметрии лент фигурами, составленными из треугольни- треугольников Черные треугольники обраще- обращены лицевой стороной к наблю- наблюдателю, белой — от наблюда- наблюдатели; белые треугольники — на- наоборот. В треугольниках с точ- точкой обе поверхности одинаковы 89
СПШШ) Рис. 93 Мотииы, используемые в лен- ленточных орнаментах: цепочки, составленные из монет, пластин и переплетающихся колец штш Рис. 94 Вырезывание симметричных леит из бумаги Лента а перед вырезыванием перегибается поперек; лента б перегибается вдоль и поперек; лента в навертывается на ци- цилиндр лупереносы а/2, входящие в состав двух плоскостей скользящего отражения: одной, совпадающей с плоскостью чертежа, и другой — ортогональной. С осью переносов совпадает также двойная ось симметрии, так как фигура совмещается с собой поворотами на 180° вокруг этой оси: треугольники, обращенные к зрителю черными сторонами, после таких поворотов займут положение треугольников, обращенных к наблюдателю белыми сторонами, и наоборот. Вот и все элементы симметрии ленты № 15; ее символ симметрии будет (а)-2-а, если вклю- включить в него лишь порождающие элементы *. Анализируя рис. 92 и табл. 4, можно заметить, что все виды симметрии лент порождаются незави- независимыми комбинациями шести элементов симметрии: а, 2, 2г, т, а, 2 ~ Т. Двойная ось, центр и плоскость симметрии встре- встречались нам в фигурах с особенной точкой, три дру- других элемента симметрии (плоскость скользящего от- отражения, ось переносов и двойная винтовая ось) воз- возможны только для бесконечных фигур. Для лент характерно отсутствие осей симметрии порядка вы- выше двух. Это объясняется тем, что такие оси привели бы к появлению либо нескольких равных осей пе- переносов, либо нескольких особенных плоскостей, что противоречит принятым условиям. Некоторые из лент таблицы имеют одинаковые элементы симметрии, но отличаются друг от друга положением картинной плоскости. Сравним для при- примера ленты № 6 и 26. Обе ленты имеют ось перено- переносов, двойную винтовую ось, плоскость скользящего отражения и плоскость симметрии. Но в № 6 кар- картинная плоскость совпадает с плоскостью скользя- скользящего отражения, а в № 26 она ортогональна к ней. Если не проводить различия по ориентировке кар- картинной плоскости к элементам симметрии, число видов симметрии лент сократится с 31 до 22 (по- (попарно совпадут формулы видов 2 и 12, 4 и 24, 5 и 25, 6 и 26, 8 и 30, 9 и 29, 10 и 18, 17 и 28, 21 и 31). С выбором необходимого вида симметрии лент художнику и конструктору приходится встречать- встречаться при проектировании ленточных украшений всевозможных оград, барьеров, садовых решеток, лентопротяжных механизмов и т. д. Так как подоб- * Строго говоря, ими будут лишь элементы 2 и а, так как ось пере- переносов а порождается плоскостью а*. Эту оговорку следует сделать и для видов, в символ которых входят винтовые оси st. 90
ного рода задачи встречаются на практике значительно реже, чем односто- одностороннее орнаментирование, подобрать примеры 31 случая лент среди готовых образцов двусторопних бордюров довольно трудно. Может быть, эта задача невыполнима вообще, так как едва ли все эти случаи симметрии действительно существуют среди предметов человеческой деятельности. Мы ограничимся несколькими примерами применения распространенных мотивов в лэнточных орнаментах (рис. 93). Вырсзывапие лент из бумаги Для вырезывания симметричных лент берут длинную полоску бумаги, склады- складывают ее «гармошкой» в два, четыре, восемь и т. д. раз. Линии перегиба при этом будут отвечать следам поперечных плоскостей симметрии фигуры (рис. Я4, а). Если, кроме многократных поперечных складок, сделать одну про- дольпую, то в фигуре возникает продольная плоскость симметрии (рис. 94, б). Для получения лент только с одной осью переносов без других элементов симметрии полоску бумаги сворачивают в многослойный цилиндр или просто навертывают ее на плоскую линейку или картон. В последнем случае выре- вырезывание следует проводить острым ножом, не вынимая картона, иначе будет прорезано двойное число слоев и в фигуре возникнут плоскости симметрии (рис. 94, в). Можно комбинировать наворачивание с продольным перегибом, что приведет к образованию лент с одной продольной плоскостью симмет- симметрии и осью переносов. В принципе можно получить и другие виды симметрии лент, но для этого придется делать довольно много поперечных и других надрезов, а также брать бумагу с различной окраской «лица» и «изнанки». Заинтересовавшийся читатель, имея перед глазами таблицу видов симметрии лент (или бордюров), сам сообразит, как следует делать надрезы в каждом конкретном случае. 91
6 СИММЕТРИЯ СТЕРЖНЕЙ Идя по принятому в этой книге пути последовательного усложнения видов симметрии фигур за счет расширения числа допустимых преобразований, от- откажемся от требования сохранения у периодической фигуры особенной плос- плоскости, но сохраним инвариантность единственного особенного направления. Фигуру без особенпых точек и плоскостей, но с единственным особенным направлением будем называть стержнем, а выделенное в нем направление — осью стержня. С этим особенным направлением стержня, кроме оси перено- переносов, могут совпадать простые поворотные, зеркально-поворотные и винтовые оси симметрии любого порядка. Примерами стержней могут служить: трубы, винты, цепи, плетеные канаты, шнуры, нитки бус, стебли растений, лучи света простого и поляризованного, звуковые лучи, всевозможные силовые линии, математические векторы и тензоры (в узком смысле) и т. д. Рациональные и иррациональные винтовые оси симметрии. Винт Если бесконечная фигура приходит в совмещепие сама с собой после произ- произведенных последовательно друг за другом (или одновременно) двух операций: поворота на угол а и переноса па расстояние t вдоль оси поворота, то говорят, что фигура обладает винтовой осью симметрии at. Для симметричных стерж- стержней угол не обязательно должен быть равен целой части полного оборота. Если это равенство имеет место, т. е. если а = 360с/п, то винтовую ось на- называют осью порядка п и обозначают rij*. Приведем пример фигуры, облада- * Но определению индекс j — п ((/а), где а — элементарный перенос вдоль оси а. Отношение Цп = t/a определяет (в долях а) величину винтового переноса t вдоль оси п-. 92
ющей винтовой осью. Пусть мы имеем стержень (рис. 95) с перпендику- лярпыми отростками, расположенными в одной плоскости на равных рас- расстояниях друг от друга. При закручивании такого стержня концы отростков сместятся с прямой линии, на которой они находились, и расположатся по винтовой кривой. В зависимости от степени кручения стержня угол а, на который поворачиваются друг относительно друга два соседних отростка, будет различен; в частном случае он может оказаться равным целой части оборота. Если, например, этот угол был бы равен 60°, то винтовая ось стала бы осью шестого порядка 6Х или 6Ъ в зависимости от направления угла кру- кручения. Так как закручивание можно производить «вправо» и «влево», то и винто- винтовые оси вообще бывают правыми и левыми, и лишь в частном случае, для винтовых осей второго порядка, правая ось не будет отличаться от лепой. Всякая винтовая ось характеризуется не только элементарным углом а, но и винтовым переносом t, в нашем примере равным расстоянию между от- отростками, измеренному по оси стержня. Перенос t винтовой оси следует от- отличать от элементарного переноса а вдоль оси а. В важном частном случае, когда элементарный угол а является рациональной частью полного оборота, винтовая ось содержит в себе и ось переносов а, так как при этом условии под каждым отростком располагается точно такой же отросток в параллель- параллельном положении на расстоянии а = (n/j)t. Величины а и t, в свою очередь, нельзя смешивать с ходом h винтовой оси, который равен расстоянию между двумя ближайшими точками винтовой линии, расположенными как раз одна под другой. Для однозаходных осей величины а и h между собой равны. Если элементарный угол а представляет собой иррациональ- иррациональную часть полного оборота, то винтовая ось не содержит в себе оси переносов или, формально говоря, имеет ось трансляций с бесконечпым элементарным переносом. Для теории симметрии особый интерес представляют винтовые оси симметрии бесконечного порядка с бесконечно малым элементарным углом (а-> 0) и конечным t или бесконечно малым переносом (t-^-О). Мы будем обозначать такие оси символами °°t, °°1, °°о , °°о, различая ниж- нижними индексами конечные (t) или бескопечно малые (t -*- 0) переносы, и верх- верхними индексами правые (+) и левые (—) винтовые оси. Символами оом оо0 будем обозначать оси безразличного (право-левого) вращения. Всякий винт представляет собой фигуру, обладающую наряду с другими элементами симметрии также и} винтовой осью симметрии бесконечного порядка. Общая идея вывода всех видов симметрии стержней Всякий симметричный стержень можпо рассматривать как бесконечную совокупность равных друг другу фигур, определенным образом «цанизанных» на ось стержня. Размещенные вдоль оси стержня фигуры могут обладать различными элементами симметрии, но не могут иметь наклонных осей и плоско- плоскостей симметрии, которые вызывали бы существование нескольких осей стер- стержня, так как стержень по условию может иметь только одно особенное 93
E Ряс. 05 При закручивании стержня а с боковыми отростками возни- возникает правая фигура 6 с винто- вой осью а(+ или левая фигу- фигура в с винтовой осью а.~ направление. Поэтому для вывода всех видов симмет- симметрии стержней пригодными могут оказаться только семь типов симметрии фигур с особенной точкой (см. рис. 69); восьмой же тип (тип правильных мно- многогранников), содержащий косые оси, должен быть исключен из рассмотрения. Размещение фигур по оси стержня производится с помощью элементов симметрии бесконечных фигур (оси переносов, вин- винтовой оси, плоскости скользящего отражения; в ка- качестве производных при этом возникают дополни- дополнительные элементы симметрии (центры симметрии; плоскости и двойные оси, проходящие через сре- срединную точку между фигурами перпендикулярно оси стержня; продольные плоскости и зеркально- поворотные оси, совпадающие с осью стержня). Стержни, составленные из элементарных фигур с одной осью симметрии Пусть у нас имеется большое количество равных фигур с симметрией п> например много надлежащим образом раскрашенных картонных треугольников (рис. 96, а). Раскраска должна быть сделана так, чтобы в правильных треугольниках исчезли все четыре плоскости симметрии (три продольные и одна поперечная) и все три двойные оси симметрии; «лицо» фигуры, таким образом, должно отличаться от «изнанки». Если мы расположим все фигуры в па- параллельном положении, то получим стержень, где, кроме тройной оси симметрии 3, будет содержаться еще и ось переносов а. Перенос а вдоль этой оси бу- будет равен расстоянию между фигурами, «нанизан- «нанизанными» на ось стержня, как это показано на чертеже (рис. 96, а). Полученный таким образом вид сим- симметрии можно обозначить формулой (й)-3 или в об- общем случае (а)-п. Если бы мы стали складывать или нанизывать наши треугольники так, чтобы каждый следующий треугольник был повернут относительно предыду- предыдущего на угол а = 60°, то получили бы стержень с винтовой осью симметрии шестого порядка 63, с которой совпадает и обыкновенная тройная ось 3. Символ симметрии этой фигуры будет (а)-63 или в об- общем случае (а)-2пп (рис. 96, б). В этом виде сим- симметрии присутствуют ось о конечных переносов с элементарным переносом 2t, равным удвоенному 94
Рис. 96 Стержни тригоивльной, гексо- гональной и предельной сим- симметрии Стержень а с симметрией (я) -3 образован стопой параллель- параллельных треугольников, у которых лицевая сторона отличается от изнанки, а оси з совпадают по направлению с осью переносов а. Стержень б — с симметрией (а) 6,; винтовая ось 63 совпа- совпадает на фигуре б с простой осью симметрии 3. Правая в и ле- левая г фигуры с симметрией (aooVdj и @.^H.1 соответствен- соответственно; винтовая ось с иррациональ- иррациональным углом поворота а совпадает по направлению с простой осью симметрии з. Стержень д с симметрией (а)-3-а; три плос- плоскости скользящего отражения пересекаются меж!у собой по оси третьего порядка расстоянию между соседними треугольниками. Из рассмотрения чертежа следует, что один и тот же результат получится независимо от того, про- производится ли поворот на 60° по часовой стрелке или против нее. Иначе будет обстоять дело в том случае, если угол поворота а будет вполне произвольным (даже иррациональным); тогда поворот по часовой стрелке приведет к правой фигуре (рис. 96, в), а поворот против часовой стрелки — к левой (рис. 96, г). Для того чтобы отличать правые винтовые оси от левых, условимся считать угол а положительным для правых фигур и отрицательным — для левых. При рациональных углах поворота a = 360еIn в символы соответствующих ви- видов симметрии входит, как известно, ось конечных переносов, и мы получим формулы: (а)-П] (/ = 1, 2, ..., п/2—1) — для видов симметрии с правыми осями (в частности, (a)-2nj (J = 1, 2, ..., п — 1) — для видов с осями четного порядка, например, 6и 62); (a)-nj (j = п/2 + 1, ..., п — 1) — для видов симметрии елевыми осями (в частности, (a)-2n;- (/ = п + 1, ... 2п — 1) — для видов с осями четного порядка, например, 64, 65). У видов (a)-nn!i ((a)-2nn) оси п„/2 Bпп) являются одновременно и правыми и левыми. При иррацио- иррациональных углах поворота а бесконечная фигура апериодична и содержит (фор- (формально) ось бесконечных переносов а«,; символы видов симметрии с иррацио- иррациональными винтовыми осями (правыми щ и левыми о^) примут соответствен- соответственно вид (««,) • at и (Як,) • а< ¦ Закапчивая рассмотрение симметрии типа (а)-п], отметим еще раз, что все сказанное про стержни из треугольников с симметрией 3 целиком может быть * К одному типу относятся виды симметрии, обозначаемые общей формулой, в которой порядок оси может быть произвольным. Например, виды (а)-т, (а)-2-т, (а)-3-т, (а)-4-т и т. д. принадлежат к типу (a)-n.m. 95
перенесено на стержни, составленные из любых фигур с симметрией п. Во всех фигурах типа (a)-nj винтовая ось щ и совпадающая с ней ось переносов а полярпы; что касается существования двух (правой и левой) или одной модификации данного вида, то это определяется каждый раз величиной угла а. Возьмем за исходные две энаптиоморфные фигуры с симметрией п, например два картонных треугольника, раскрашенных, как показано на рис. 96, д, с лицевой стороны и не раскрашенных с обратной. Наложим правую фигуру на левую так, чтобы центры обеих фигур оказались точно один под другим, т. е. на перпендикуляре, проведенном через центр одной из фигур; угол поворота одной фигуры относительно другой может быть совершенно произвольным; фи- фигуры должны быть ориентированы «лицом» в одну сторону. Повторяя наложе- наложение фигур так, чтобы в проекции вдоль оси стержня правые фигуры сов- совпали с правыми, а левые— елевыми (как показано па рис. 96, д), получим стержень с симметрией (а)-п-а. Появившиеся вследствие указанного располо- расположения фигур плоскости скользящего отражения а проходят через ось стержня и делят углы поворота фигур пополам. Число плоскостей скользящего от- отражения равно порядку оси, т. е. в нашем примере трем. В стержне содер- содержится, конечно, и ось переносов а с элементарным переносом а = 2t, но нет никаких других элементов симметрии. Можно убедиться непосредствен- непосредственно па опыте, что от изменепия угла поворота фигур симметрия стержня не изменится; это остается справедливым даже и для угла, равного нулю гра- градусов. Если бы мы стали складывать треугольники, ориентируя их «лицом» в разные стороны вдоль оси стержня, то пришли бы к новым видам симметрии стержней; но, так как к тем же видам симметрии можно проще прийти иным путем, находить их символы мы здесь не будем. В самом деле, складывая два треугольника друг с другом «изнанками», мы составляем из них одну фигуру более высокой симметрии; поэтому для выводов новых видов симмет- симметрии стержней лучше сразу взять в качестве исходпых готовые фигуры выс- высшей симметрии. Итак, подводя итог всему изложенному в этом параграфе, можно сказать, что фигуры с симметрией п порождают три типа симметрии стержней с конечным периодом: (а)-п, {a)-rij, (a)-n- а и два типа стержней ¦с бесконечным периодом: («ос)*ос(+ и (a^-aj. Стержни, порождаемые фигурами с одной зеркально-поворотной осью На этот раз в качестве исходной фигуры, размножаемой переносами вдоль ¦оси стержня, возьмем фигуру с симметрией 2п (второй столбец таблицы на рис. 69). За образец берем картонный квадрат с симметрией 4. Чтобы при- придать квадрату симметрию 4, впишем в него с лицевой и оборотной сторон два косо расположенных квадрата так, чтобы их ребра были параллельны друг другу и квадраты располагались точно один под другим; половину образую- образующихся прямоугольных треугольников выкрасим с лица и изнанки в серый цвет так, чтобы серому цвету лицевой стороны отвечал белый изнанки, и наоборот (рис. 97, а). Лицо и изнанка квадрата энаптиоморфны друг дру- другу (зеркально равны), хотя плоскость самого квадрата не есть плоскость сим- «6
Рис. 97 Стержни тетрагональной сим- симметрии Лицевая и оборотная стороны элементарной фигуры а с сим- симметрией 4; фигура ориентире" вана так, что при повороте ле- левого рисунка вокруг диаго- диагональной двойной оси получается правый рисунок. ^Стержень б с симметрией (а)-4; зеркально- поворотная ось совпадает по направлению с осью перено сов. Стержень в с симметрией (a)-4t : m; винтовая ось симмет- симметрии четвертого порядка совпа- совпадает по направлению с зеркаль- зеркально-поворотной осью четвертого порядка. Стержень г с симмет- симметрией (а) -1[^а\ две плоскости скользящего отражения пре- преходят вдоль зеркально-повс- ротной оси симметрии четвер- четвертого порядка метрии. Накладывая квадраты друг на друга в параллельном положении «лицом» в одну сторону, получим стержень с симметрией (а) -4 или в общем случае (а)-2п (рис. 97, б). В такого рода стержнях ось переносов а не будет полярной, так как в полярных осях направления «вперед» и «назад» долж- должны быть существенно различны; здесь же оба эти направления «эпаптиоморф- ны», т. е. отличаются друг от друга не больше, чем правая рука от левой. Переходим теперь к новому типу симметрии, который можно получить пе- периодическим повторением повернутых квадратов; каждый следующий вдоль оси стержня квадрат повернут относительно предыдущего на угол 90° и все квадраты по-прежнему смотрят в одну сторону лицом (рис. 97, в). По способу образования новый вид симметрии мог бы быть обозначен символом (а)-42-2 или в общем случае (а)-2пп-2п. Нетрудно убедиться, однако, что в получен- пом стержне, кроме винтовой оси .симметрии 2пп, содержится бескопечное множество поперечных плоскостей симметрии (обозначенных на рис. 97, в штриховыми линиями), расположенных между квадратами на равных расстоя- расстояниях от них, и бесконечное множество центров симметрии, расположенных по оси стержня в серединах между квадратами. Поэтому найденный вид мы будем обозначать (а)-42 : т или в общем случае (а)-2пп : т. Нам остается рассмотреть еще антипараллельное расположение квадратов, при котором лицо и изнанка соседних квадратов чередуются вдоль оси стер- стержня (рис. 97, г) Такое расположение вызывает появление двух взаимнопер- пендикулярных продольных плоскостей скользящего отражения, проходящих по средним линиям квадратов, и бесконечного множества осей симметрии второго порядка, параллельных диагоналям квадратов и пересекающих ось стержня в серединах между квадратами. В соответствии со способом получе- получения найденного типа симметрии можно обозначить его символом (а)-2п-а. 7 А. В. Шубников, В. А. Копцик ду
Можно доказать, что все другие мыслимые размещения квадратов по оси стержня не могут привести к новым видам симметрии; таким образом, фигура с симметрией 2п вызывает существование стержней трех типов симметрии: (й)-2п, (а)-2пп : т и (а)-2п-а. Стержни, порождаемые фигурами с симметрией п: т (ось п и поперечная плоскость симметрии) Пусть исходная фигура имеет симметрию п : т (третий столбец таблицы на рис. 69). На лицевой и оборотной сторонах образцового картонного квад- квадрата вписываем параллельно друг другу два косо расположенных квадрата точно один под другим; если бы картон был прозрачным, то оба косых квад- квадрата при просвечивании совпадали бы между собой (рис. 98, а). Полученная фигура обладает осью симметрии четвертого порядка и плоскостью сим- симметрии, совпадающей со средней плоскостью самого картона. Возьмем беско- бесконечное множество таких фигур и нанижем их центрами на ось стержня пер- перпендикулярно ей, оставив равные промежутки между фигурами и расположив их параллельно друг другу лицевой стороной в одном направлении; тогда мы получим стержень с симметрией (а)-п : т (рис. 98, б). Нетрудно определить, что, кроме оси переносов а, в которой элементарный перенос равен рассто- расстоянию между квадратами, в промежутках между соседними квадратами лежат центры симметрии и поперечные плоскости, т. е. такие же элемепты симметрии, которыми обладают и сами квадраты. Если квадраты будут ориентированы лицевой стороной поочередно то в одну, то в другую сторону стержня (рис. 98, в), то в стержне возникнут четыре плоскости скользящего отражения, проходящие через ось стержня и пересе- пересекающие квадраты по их диагоналям и средним линиям. Наряду с плоско- плоскостями скользящего отражения появятся поперечные оси симметрии второго порядка. По способу образования нового типа симметрии его следует обо- обозначить символом (а)-а-п : т. Можно доказать, что другие мыслимые распо- расположения не приводят к новым типам симметрии. V Рис. 98 Элементарная фигура симмет- симметрии 4 : т и выводимые с ее помощью стержни а — лицевая (слева) и оборот- оборотная (справа) стороны элемен- элементарной фигуры; оборотная сто- сторона изображена так, как она была бы видна при повороте фигуры на 180° вокруг отмечен- отмеченной на рисунке диагонали; 6 — стержень симметрии (а)-4 :т; в —стержень симмет- симметрии (а) а-4 : т. 98
Стержпи, порождаемые фигурами с симметрией п-т (ось п и продольные плоскости симметрии) Возьмем за исходную фигуру картонный треуголь- треугольник с симметрией 3-т (рис. 99, а); лицевая его сто- сторона отличается от оборотной только окраской. Подвергая треугольник переносам с помощью оси а, получим стержень с симметрией (а)-3-т или в об- общем случае (а)-п-т (рис. 99, б); никаких других элементов симметрии в данном типе пе содержится, если не считать плоскостей скользящего отраже- отражения, совпадающих по положению с продольными плоскостями симметрии, и винтовых осей с перено- переносом, равным расстоянию между фигурами а. Поворот каждой следующей фигуры относительно предыдущей на угол 60° (или, что то же, на угол 180°) приводит к новому типу симметрии с винто- винтовой осью 2г, которая вместе с осью 3 вызывает су- существование оси #3- Из чертежа (рис. 99, в) видно, что эта ось обладает одновременно и правым и ле- левым вращениями. С такого рода явлением мы встре- встречались и ранее. Описанная группировка треуголь- треугольников обусловливает также появление трех плоско- плоскостей скользящего отражения, делящих углы пово- поворотов треугольников пополам. Новый вид симмет- симметрии, очевидно, можно обозначить символом (а)-63-т = (а)-63-а или в общем случае (а)-2пп-т = = (а)-2пп-а. Двумя полученными типами исчер- исчерпываются все случаи симметрии, выводимые из фи- фигур с симметрией п-т; рассматривать расположе- расположения чередующихся антипараллельных фигур нет надобности, так как каждая пара таких фигур эк- эквивалентна одной фигуре высшей симметрии. Фи- Фигуры же с высшей симметрией далее будут исполь- использованы самостоятельно. в V Рис. 99 Элементарная фигура симмет• рии 3 т и выводимые с ее помощью стержни а — лицевая (белая) и оборот- оборотная (черная) стороны элемен- элементарной фигуры; б — стержень симметрии (,а)'3т; в — стер- стержень симметрии (a)-6j-m; вин- винтовая ось 6, совпадает по нап- направлению с осью з Стержни, порождаемые фигурами с симметрией п:2 (ось п и поперечные оси второго порядка) Переходим к рассмотрению стержней, порождаемых фигурами с симметрией п : 2 (пятый столбец таб- таблицы на рис. 69). Такие фигуры могут быть двух сортов: правые и левые. Для примера выберем опять правые и левые картонные квадраты (рис. 100, а), на лицевой и оборотной сторонах которых начер- 7* 99
Рис. 100 Элементарная фигура симметрии 4 : 3 и выводимые с ее помощью стержни а — элементарная фигура: пра- правая — справа, левая — слева; 6 — стержень симметрии (а)-4: г', в — стержень симметрии (а)-п- : г; приобретает симметрию la)-St : 2, если угол поворота соседних фигур равен 45°; г — стержни с симметрией («»)•« Г-2:г и (а^-а^-г : г; при иррациональном угле пово- поворота а и конечном шаге t период переноса становится бесконечно большим чены совершенно одинаковые косо расположенные квадраты. Если бы кар- картон был прозрачным и мы рассматривали фигуры на просвет, то увидели бы, что оба косых квадрата не совпадают друг с другом. Каждая из наших фигур обладает одной осью четвертого порядка, перпондикулярпой к плоскости квадрата, и четырьмя осями второго порядка, совпадающими с диагоналями и средними линиями квадрата. Параллельный перенос фигур одного сорта осью трансляций (рис. 100, б) приводит к симметрии типа (а)-п : 2. Кроме оси переносов, в этом типе симметрии содержатся поперечные оси симметрии вто- второго порядка, пересекающие ось стержня в точках, делящих расстояния между квадратами пополам. Поворот каждой фигуры относительно соседней на 45° влечет за собой появление винтовой оси восьмого порядка и четырех новых промежуточных поперечных осей второго порядка, делящих угол поворота фигур пополам. Соответствующий символ симметрии стержня будет (а)-54 : 2 или в общем случае (а)-пп/2 : 2 (рис. 100, в). Винтовая ось симметрии пп/2 имеет в дапном случае безразличное вращение. При / Sg; nil возникают энаптиоморфные виды (а)-и, : 2. Существенно новые типы симметрии получатся, если угол поворота а будет произвольным (рис. 100, г). В этом случае также можно различать между собой правую и левую винтовые оси. Подробнее о предельных видах сим- симметрии стержней будет сказано в соответствующем разделе. Как и в пред- предшествующих параграфах, чередование правых и левых фигур вдоль оси стер- стержня мы здесь не рассматриваем. Стержни, порождаемые фигурами с симметрией 2п-т (ось 2п и продольные плоскости симметрии) Для вывода всех типов симметрии стержней, порождаемых фигурами с сим- симметрией 2п-т (шестой столбец таблицы на рис. 69), выберем картонный квадрат, на лицевой и оборотной сторонах которого начерчено по одной диа- диагонали; последние расположены под прямым углом друг к другу (рис. 101, а). 100
Такая фигура имеет симметрию 4-т, т. е. две диагональные плоскости сим- симметрии, две оси симметрии второго порядка, совпадающие со средними линия- линиями квадрата, и одну зеркально-поворотную ось четвертого порядка 4. Па- Параллельное расположение квадратов вдоль оси стержня приводит к типу сим- симметрии {а)-2п-т (рис. 101, б). Поворот каждого следующего квадрата на угол 90° относительно предыду- предыдущего приводит к симметрии (а)-2пп' 2п-т. Но нам уже известно (см. стр. 97), что комбинации порождающих элементов симметрии (а)-2гап-2га и (а)-2пп:т отвечают одному и тому же виду. Поэтому, произведя соответствующие замены, будем обозначатыювый вид симметрии символом (а)-т-2пп : тп. Элементы симметрии точечных подгрупп тп-п-тп пересекаются у этого вида в средних точках между фигурами по оси стержня (рис. 101, в). Стержни, порождаемые фигурами с симметрией m • п: m (ось п, продольные и поперечные плоскости симметрии) Заканчивая рассмотрение всех типов симметрии стержней, выводимых из конечных фигур, обратимся к седьмому столбцу таблицы на рис. 69. Примем за исходную фигуру обыкновенный квадрат с присущей ему симметрией тп-4 : m (рис. 101, г). Параллельный перенос таких квадратов приводит к типу симметрии (a)-mn : m (рис. 101, д). Предоставляем читателю убедиться в том, что другие комбинации всех рас- рассмотренных выше фигур, в том числе чередование вдоль оси стержня правых и левых фигур или фигур в антипараллелыюм положении, не приведут к образованию новых видов симметрии стержней. к™ 1 Рис. 101 Элементарные фигуры симмет- симметрии 2"-т и м»4:т и выводи- выводимые с их поиощью стержни а — элементарная фигура сим- симметрии 7-тп; штрихом обозна- обозначена линия, начерченная на оборотной стороне фигуры; б—стержень сииметрии (а)- ¦7-т; в — стержень симметрии (а)т-4, : т\ г — элементарная фигура сим* метрии т-4 : т; д — стержень симиетрии п)-т • 4:т «01
Обзор типов симметрии стержней с Конечными и бес-конечными переносами Принятый в предыдущих параграфах метод вывода видов симметрии стерж- стержней основывался на комбинировании преобразований точечных групп (описы- (описывающих симметрию фигур с особенной точкой) с преобразованиями одномер- одномерных (линейных) пространственных групп: параллельными переносами, кото- которые сами по себе образуют группу переносов (с); винтовыми переносами вдоль осей И/, at и at и зеркальными переносами, связанными с плоско- плоскостями скользящего отражения а. Этот метод не единственный. Для стержней с конечными переносами можно предложить и другой путь. Вначале мы комбинируем, как и выше, преобразования групп трансляций с преобразованиями точечных групп и получаем так называемые симморфные пространственные группы: (а)-п; {а)-2п; (а)-п : т; (а) : 2 : т; (а)-п-т; (а) : 2-т; {а)-п : 2; {a)-!in-m; (a)-m-n : m. В симморфные группы входят в качестве подгрупп * точечные группы симмет- симметрии размножаемых трансляциями фигур, что и поясняет смысл термина: форма исходной конечной фигуры в пространственной группе сохраняется неизменной. Сама бесконечная фигура (стержень) представляет в этом слу- случае периодическое повторение конечных фигур. Для получения песимморфных групп мы заменяем в символе симморфной точечной группы порождающие элементы симметрии соответствующими ком- комбинированными элементами симметрии, включающими перенос: оси симмет- симметрии п заменяются винтовыми осями П}, плоскости симметрии m — плоскостями скользящего отражения а. Такая замена производится поочередно или попарно для всех порождающих элементов, а затем повторяющиеся или недопустимые комбинации, противоречащие переносам группы (а), отбрасываются. В резуль- результате фигура уже не обладает симметрией симморфной точечной группы, а только симметрией одной из ее возможных подгрупп. В табл. 5, в первом столбце, мы приводим список всех типов симметрии стержней с конечными переносами. Перечисление групп каждого семейства начинается с симморфных групп и заканчивается несимморфными группами. Во втором столбце для каждого типа симметрии перечисляются для иллю- иллюстрации кристаллографические группы симметрии стержней, для которых допу- допустимы лишь оси симметрии третьего, четвертого и шестого порядков **. Всего кристаллографических групп симметрии стержней оказывается 53. В третьем столбце приводится символ порождающей симморфной группы, общей для всего семейства. Хотя несимморфную пространственную группу мы можем рассматривать как подгруппу симморфной, между операциями симморфной точечной группы и операциями так называемой группы по модулю, полученной из нее опи- * Точное определение этого понятия будэт дано на стр. 209. ** Стержни с осями симметрии ие выше второго порядка имеют особенную плоскость и относятся к лентам. Сопоставление бескоординатных и координатных обозначений кристаллографических видов симметрии стержней и лент приводится в табл. 6. 102
Таблица 5 Типы симметрии стержней с конечными переносами Типы симметрии стержней с конечными переносами (а)-ге (а)-п,(/< и/2) (а)'пп/2 (а)-л,-(/>я/2) (а)-2п (а)-п : т (а).Bп)п:т (а)-п-т (а)-п-а (а)-Bп)п-т = (а)-Bп)п-а (а)-п:2 (а).п3-:2(/<ге/2) (а)-геп/2: 2 (a).nj:2(/>n/2) (а) -2п-т (а)-2п-а (a)'rti-n : m (а)-пг-2пп: m (a)-d-n : m Виды симметрии (одномерные пространственные группы) кристаллографических (а).З; (а).*; (а)-6 (a)-3i\ (a)-4i; (a)-6i; (а)-6ъ (а)-42; (а)-63 (а)-3г; (а)-4з; (а)-6г, (а)-6ъ (а) .7; (а) .6 (а)-3:т; (а)-4:т; (а)-6:т (а)-4г : т; (а)-6з : т (п)'3*т\ (a)'^*wzj (а)>6>//1 (а)-3-а; (а)-4-а; (а)-6-а (п)'4ъ>т = (а)*42'd', (а)»6з*?^ (а).3:2; (а)-4:2; (а)-в:2 (a)-3i:2; (a)-4i:2; (a)-6i:2; (а).42;2; (а)-ба : 2 (a)-32:2; (a)-43:2; (a).6t:2; (а)-4-т; (а)-6-т (а)-7-а; (а)-в'-а (а)-т-3:т; (а)-т-4: т; (а) (а)-т-4г:т; (а)-т-6з:т (a)-d-3:m; (a)-d-4: m; (a)-c стержней = (а)-6з-а (a)-6i:2 (а).6ъ:2 т-6 : т 1-6: т Сходственные виды симметрии конечных фигур ге Тп п : т п -т п :2 2п -т т-п : т Примечание. Сопоставление принятых в таблице обозначений пространственных групп кристалло- кристаллографических стержней с международными обозначениями производится в табл. 6. санными выше заменами, можно установить взаимно однозначное (или, как говорят, изоморфное —см. стр. 203) соответствие. При таком соответствии про- произведению (последовательному выполнению) преобразований симморфной группы отвечает произведение соответствующих преобразований несимморфной группы. Если результат двух последовательно выполненных преобразований в плоскости скользящего отражения а и результат р последовательно выпол- выполненных преобразований винтового поворота вокруг оси пу (где р — порядок оси nj) приравнять по модулю единичному преобразованию (аа = 1 (mod a), nVj = I (mod а)) (равенство по модулю означает равенство с точностью до пе- периода переноса а), то и точечные симморфная и несимморфная группы (с опи- описанными выше заменами) будут изоморфны, а их порядки будут равны. По- Полученный результат (изоморфизм групп или «сходственпость» точечных видов симметрии для симморфных и песимморфных пространственных групп) имеет важное зпачение в теории пространственных групп *. Подробнее об этом будет идти речь в главе 10. 103
Таблица 6 Сопоставление бескоординатных и координатных (международных) обозначений пространственных групп симметрии кристаллографических стержней и лент Л> п/п 1 * 2* 3* 4 5 6 7* 8* 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22* 23* 24* 25* 26* Символ симметрии бескоординат- бескоординатный (а)-1 (а): 2 (а). 2 (а)-3 (а). 4 (а). 6 {а)-2\ {а).3, (а)-32 («Mi (а)-4, (а)-43 (а)-б! (а)-6г (а)-в3 (а)-6, {a)-6i а) .7? а)~1 а)-3:т а)-т а): т а)-а а):2:т а)-2:т коор- динат- динатный Pi р112 }211 рЗ р4 /0 Pi p2i p3i p3i p4i ph p43 /6i рвг рбз p6i f6o p3 pl pB pllm pmll plla „ 2 pll — 2 tL. n/n 27 * 28 * 29 30 31 32 33* 34* 35* 36* 37* 38 39 40 41 42 43 44 45 46* 47* 48* 49 50 Символ симметрии бескоординат- бескоординатный (a) • 2\ '. тп / \ . л z (a) . d : a (a)-4:m (a)-4% : m (a)-6:m (a)¦ 63 : m (a):2-m (a)-2-m {a).2.a {a)-2i-m (a): 2-a (a)-3-m (a)-3-d (a)-4.m (a).4.a (a)-42-m (a)-6-m (a)-6.a (а)-6з-т (a)-m-2: m {a)-a-2: m (a)-m-2i: m (a)-4-m (a).7-a коорди- координатный 2l ртП 2 p ~a pi/m p4i/m рб/т рвз/т pmm2 p2mm p2aa p2\ma pma2 p3m p3a p4mm p4aa p4^ma рбтт рбаа рвзпга pmmm pmaa pmma pi2m p42a a/a 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61* 62* 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 4 5 Символ симметрии бескоординат- ПЫЙ; (а)-т-3: т (а)-а-3: т (а)*тт1»4 \ m (а)-а-4 : m (а) • m • ^2 * w (a)-m-6: m (a).a-6 : m (a) • m • 63: m (a) •?• m (а) ¦в'-a. \a)-2:2 (a).2i:2 (a). 3:2 (a)-3i:2 a)-4:2 a)-4i:2 a).4% ; 2 аМз: 2 a)-6:2 a)-6i:2 а)-6г:2 a)-63:2 a)-6,:2 а)-6ъ:2 координат- координатный p6m2 рба2 pi/mmm p4fmaa р4г[тта p6/mmm p6/maa рвз/mma p3m p3a p222 P2i22 p32 p3±2 Do%2 p422 p4i22 p4&2 p4322 p622 p6i22 p6222 рвз22 rfi22 p6s22 Примечание. Ось а направлена вдоль оси стержня, оси Ь, с ортогональны к ней и образуют между собой прямой или косой угол в зависимости от вида симметрии стержня. В международном символе пространственной группы после символа трансляционной группы р на первой, второй и третьей позици- нх символа указывается совмещение тех или иных элементов симметрии с осями координат в последова- телыюсти а, Ь, с (для младших видов при п = 2,2,) кли с осями а, Ь и биссектрисой угла в, с (для стар- старших видов при п>2, п->2 0. Если с осями координат не совпадают оси или нормали к плоскостям сим- симметрии, на соответствующей позиции символа ставится единица или эта позиция оставляется незапол- незаполненной. Звездочкой отмечены 22 вида симметрии лент, различающихся элементами симметрии, но не их ориентировкой к особенной плоскости. Остальные 53 вида описывают симметрию стержней (фигур без особенных плоскостей).
Предельные типы симметрии стержней. Валы со шкивами. Винты. Одномерные континуумы и дисконтинуумы Ранее нам уже встречались предельные виды симметрии стержней, которые содержали винтовые оси с произвольным углом поворота а (рис. 100, г). Чтобы описать типы предельной симметрии стерж- стержней, необходимо комбинировать преобразования трансляционных групп, порождаемых конечными (а), бесконечно малыми (а0) и формально бесконечно большими (ато) переносами, с допустимыми преобра- преобразованиями точечных групп при включении в рас- рассмотрение и предельных точечных групп (см. рис. 69). Несмотря на то что предельные виды симметрии стержней встречаются довольно часто, теоретиче- теоретически они изучены недостаточно. Мы познакомимся вначале на примерах с некоторыми предельными видами симметрии, а в конце параграфа приведем сводную таблицу всех возможных предельных ти- типов симметрии стержней. На рис. 102 изображен вал с надетыми на него ступенчатыми шкивами. Если вал и шкивы равно- равномерно и вместе вращаются в одну сторону, возни- возникает симметрия (а)-оо; если механизм покоится — вид (а)-оо-т; если вал не вращается, а каждый стержни с осями конечных пе- шкив вращается в противоположном направлении по сравнению с вращением ближайших соседних шкивов, симметрия механизма будет (а)-оо-а. Если заменить ступенчатые шкивы обыкновенными, по- получим в случае покоя симметрию (а)-пг-°о; т\ при вращении шкивов в одну сторону — симметрию (а)-оо; т; в случае поочередного вращения шкивов в обе стороны — симметрию (а)-а,-°° : т. Если рас- расположить шкивы так, чтобы расстояния между ними чередовались (рис. 102, ж), и предположить, что в каждой паре шкивов вращение происходит в противоположных направлениях, получится сим- симметрия (а) • оо : 2. Мы получили семь видов симметрии стержней комбинированием преобразований предельных то- точечных групп с преобразованиями конечных пе- переносов а и зеркальных переносов а. Посмотрим те- теперь, какие виды симметрии могут быть получены при комбинировании бесконечно малых переносов с преобразованиями непредельных порождающих Рис. 102 реносов и предельной симмет- симметрией а — (а)-ео-т; б — (а) ¦ оо; в — (а) ¦ оо 1Г; г — (а)-т оо : т; 9 — (а)-оо : т; е — (а)-а-оо : т; ж—(а)-оо : 2 105
л \ А в о и Рис. 103 Стержни с осями бесконечно малых (а — и) и конечных (ж, э) переносов и предельной сим- симметрией а — (oo)m-a : m; 6 — (аоМ-m; в — (а„)-3:т\ г — (по).3^ в— (ао)-4; в — (а„)-4 : г; ж— (а)-ос„+-4 : г; з — (а)-оо0+ -4; точечных групп. Представим себе, например, бес- бесконечно длинную призму (рис. 103, а), поперечное сечение которой представляет собой правильный треугольник. Эта фигура обладает симметрией обык- обыкновенной конечной призмы и, кроме того, имеет ось переносов а0 с бесконечно малой элементарной трансляцией а-И). Символ фигуры будет (ао)-т-3:т или в общем виде (ао)-т-п ¦: т. Если призма (рис. 103, б) равномерно движется вдоль оси а0, то пропадают поперечные двойные оси и поперечные плоскости симметрии и возникает новая симметрия типа (ао)-п-т. Покоящаяся фигура, изображенная на рис. 103, в, имеет симметрию (ао)п : т, та же фигура, движущаяся вдоль оси, обладает симмет- симметрией (ао)-п. Фигура, показанная на рис. 103, д, состоящая из четырех сложенных особым образом призм, обладает симметрией (ао)-2п в том случае, если одна пара противолежащих призм переме- перемещается вдоль оси в одну сторону, а другая — в другую. На рис. 103, е показан пример симметрии (ао)-п : 2. Эта фигура состоит из восьми труб, рас- расположенных вдоль сторон квадратной призмы; по трубам, изображенным белыми кругами, течет вода, скажем, к наблюдателю; по четырем другим трубам, условно показанным на чертеже черными кругами, вода течет от наблюдателя. Подобным же образом получается и вид (ао)-4-т (рис. 103, и). Новые виды предельной симметрии, содержащие подгруппы конечных переносов, получаются от раз- размножения фигур с симметрией п и п : 2 с помощью винтовых осей бесконечного порядка оо0, оо0 и оо0 (определение соответствующих операций см. на стр. 109). Примером симметрии (а)-оо0-п : 2 могут служить закрученные вправо призмы (рис. 103, ж); отвечающие тому, что в технике называется много- заходными винтами. Число ниток в таком винте равно числу ребер закручиваемой призмы; это зна- значит, что из шестигранной призмы, например, полу- получается шестизаходный винт, из двугранной призмы (ленты) — двухзаходный (рис. 104, а), из «одно- «одногранной» призмы, т. е. из прямой линии, закру- закручиваемой вокруг некоторой оси, возникает одно- заходный винт (рис. 104, б). Едва ли многие отдава- отдавали себе отчет в том, что многозаходные винты обла- обладают наряду с винтовой осью бесконечного порядка также одной простой осью порядка, равного числу ниток винта, а неполярные винты — также по- 106
перечными двойными осями симметрии. Винты мо- могут быть «правыми» и «левыми» в зависимости от способа закручивания стержней. Энантиоморфизм стержней существенно отличается от энантиомор- физма фигур с особенными точками. В то время как энантиоморфные фигуры с особенными точками об- обладают одинаковой симметрией (правых и левых простых осей симметрии нет), правые и левые винты отличаются друг от друга наличием правой или ле- левой винтовой оси (в теории групп энантиоморфные группы считаются изоморфными). Существованием двойных поперечных осей сим- симметрии, между прочим, обусловливается тот хо- хорошо известный факт, что винты входят в свои гай- гайки обоими концами. Если мы лишим симметрию винта ее двойных осей, то получим вид симметрии (а)оо0+п (рис. 103, з). Простейший пример фи- фигур этого рода мы имеем в трубчатом змеевике (рис. 104, е), по которому пущена вода; винтовая ось симметрии бесконечного порядка — единствен- единственный элемент симметрии этой фигуры. Нам остается еще рассмотреть несколько наибо- наиболее интересных предельных видов симметрии, полу- получающихся от сочетания бесконечно малых перено- переносов с преобразованиями предельных точечных групп. Простейший по непосредственному восприятию вид симметрии этого рода мы имеем в обыкновенном бес- бесконечно длинном цилиндре или цилиндрической трубе (рис. 105, а). Символ этой симметрии (ао)-т- оо • т. Если пустить по трубе воду (рис. 105,6), то выпадут поперечные плоскости, двойные оси и центры симметрии, и мы получим вид симметрии (а0) -оо-т. Вращающаяся труба имеет симметрию (а0)-оо : т (рис. 105, в); та же вращающаяся труба, внутри которой по цилиндрическому неподвижному сердечнику проходит постоянный электрический ток (рис. 105, г), имеет симметрию (а0)-оо. Закрученная труба или цилиндрическая нить (рис. 105, д), обла- обладающие упругими натяжениями, имеют симметрию (а0) ¦ оо : 2. Если по закрученной трубе пустить В0ДУ (рис. 105, е), то выпадут двойные оси, и мы снова будем иметь симметрию (а0)-оо. Приведем в заключение таблицу типов предель- предельной симметрии стержней (табл. 7). За основу возь- возьмем табл. 5, в которой были перечислены типы симметрии стержней, содержащие подгруппу ко- конечных переносов (а). Заменяя подгруппу (а) под- подгруппой бесконечно малых переносов (а0), пере- Р и с. 104, а—в Стержни с предельной симмет- симметрией а — скрученная лента — при- пример двухзаходного винта; б — однозаходный винт; в — змеевик с текущей водой, навитый на цилиндр ¦ft Рис. 104, г—о. Графические символы ортогональных чертежу винтовых осей симметрии, встречающихся у кристаллогра- кристаллографических стержней. г—2Ь- 0—3t; е—3»; ж—i\ з—i,; и-4,; к—6t; л—вг; м—6г; н—««; о—S. 107
Рис. 105 Стержни с осями бесконечно малых переносов и предельной симметрией а — Ы-я» : т; б — (а0)-оо.т; в — (а„)-со : т; г — (а0)°о =(а0)(оо : т П сот); д — (а„).оо :2; е — (а,)-оо = (а0) со : 2f|°° • т). Знаком скобы П обозначено пе- пересечение — общая подгруп- подгруппа объединяемых скобой групп симметрии пишем результаты в первом столбце новой таблицы: при этом типы симметрии, содержащие плоскости скользящего отражения а, сольются с типами сим- симметрии, содержащими соответствующие зеркальные плоскости т (а -*¦ т); подобным же образом при а —*- 0 произойдут замены щ -> п и (а) • га; -v -^(ао)-л. Ко второму столбцу новой- таблицы перейдем предельным переходом л->оо, сохраняя в типах симметрии табл. 5 подгруппу конечных переносов (а); при этом конечные точечные группы заменяются предельными группами. Заметим, что под символом типа (а) • оо0+ - п : 2 и т. д. мы объединяем бесконеч- бесконечный ряд групп с различными п. Это будут несим- морфные подгруппы групп типа (а) • оо : 2. Типами симметрии первого столбца описываются симметричные линейные континуумы (стержни, вы- выполненные из сплошной среды), обладающие осями дискретных поворотов (см. рис. 103, а — и). Ти- Типами симметрии второго столбца описываются ли- линейные дисконтинуумы, обладающие непрерывны- непрерывными поворотами и дискретными переносами вдоль оси а (см. рис. 102 а — ж; 103, ж, з). Остальные типы предельной симметрии мы полу- получим деформациями сжатия и растяжения стержней, формулы симметрии которых записаны во втором столбце нашей таблицы. При деформации сжатия подгруппа конечных переносов (а) заменяется под- подгруппой бесконечно малых переносов (а0), и мы переходим к типам симметрии третьего столбца. Эти типы описывают симметрию одномерных кон- континуумов (стержней, выполненных из сплошной сре- среды), отличающихся от континуумов первого столб- столбца произвольными (в том числе бесконечно малыми) поворотами вдоль главной оси. Заметим, что все типы третьего столбца допускают наряду с а0 также и конечные переносы а, а типы, не содержащие пло- плоскостей симметрии, допускают преобразования оо0+, оо0~ или оо0. Деформациями растяжения стержней, символы ко- которых помещены во втором столбце, перейдем к апе- апериодическим структурам, содержащим оси беско- бесконечных переносов (а^,). Неясно, имеется ли физи- физический смысл рассматривать такие типы (не сводя- сводящиеся к предыдущим), которые перечислены в чет- четвертом и пятом столбцах таблицы. Во всяком случае, формально их можно получить. Стержни четвертого- и пятого столбцов различаются между собой как 108
Таблица 7 Типы предельной симметрии стержней Типы, порожда- порождаемые подгруппой (ао) и конечными точечными группами (ао)-2п (ао)-я -гп (ао)-п :2 (ао) ¦2п-т (ао) • т ¦ п :т Типы, порожда- порождаемые подгруппой (а) и предельны- предельными точечными группами (а).сю (а)-оо+-и (а)-сюо-га (а)-оо-.п (а)-сю :т (а)-оо-а (а).ос :2 (а)-оо+.я:2 (а)-ооо-га : 2 (в).оо-.и:2 (а)-т-оо : т (а)-а-со : т Типы, порождае- порождаемые подгруппой а„) а предельны- ми точечными группами (а)о («о) (ао) (ао) (ао) оо • оо : т ¦ оо-т • сю : 2 ¦ т-оо : т Типы, порождае- порождаемые подгруппой (ago) и группами конечных ирра- иррациональных поворотов <х( («ooW* (О-«Г (aj.*-.n:2 — Типы ;мые 'аоо) ными порожда- подгруппой л предель- группами с осями оо( («со) («со) (««=) («со) («ос) («со) 4- • сю 7^*п ¦ осгп t — — — • ос+.га : 2 • осгтг: 2 ¦ сори : 2 — Сходственные виды предель- предельной симмет- симметрии исходных конечных фигур сю оо 1 ТП оо-т оо : 2 т-оо : т Примечание. Полагая в формулах симметрии второго, четвертого и пятого столбцов п = 1,2 п, получаем типы симметрии для однозаходных, двузаходных и многозаходных винтовых стержней, при- принадлежащих одному семейству. дискретные винтовые дисконтинуумы, допускающие преобразования at и оо, с иррациональным конечным и бесконечно малым винтовым поворотом (при конечном поступании t) соответственно. Примером фигур с симметрией (а,») • at • 2 ¦: 2 и (аоо) • аГ • 2:2 являются стержни, показанные на рис.100, г. Всего, таким образом, имеется бесконечное число типов предельной сим- симметрии стержней, распределенных среди конечного числа семейств. 109
Некоторые обобщения. Единый принцип построения симметричных фигур в трехмерном пространстве Прежде чем приступить к описанию более сложных видов симметрии беско- бесконечных фигур, необходимо подвести итог всему изложенному. Мы рассмотрели множество видов симметрии, сознательно откладывая до более позднего вре- времени обсуждение математически строгих определений. Нам хотелось сначало показать на примерах разнообразие форм проявления симметрии и только потом, после ознакомления читателей с конкретным материалом, делать те или иные обобщения. Кроме того, мы стремились отразить в нашей книге тог действительный путь, которым шло развитие учения о симметрии. История этой дисциплины показывает, что содержание понятия симметрии даже в чисто геометрическом аспекте претерпевало в течение времени значи- значительные изменения. Сначала исследователи под симметрией геометрических форм понимали исключительно их свойства, сводимые к преобразованиям зеркального отражения в плоскостях. При таком понимании фигуры, обла- обладающие осями симметрии, но не имеющие зеркальных плоскостей, считались несимметричными. Когда к плоскостям симмет рии были добавлены простые поворотные оси симметрии, в категорию симметричных фигур не попали фи- фигуры с зеркально-поворотными осями. Но и всех этих элементов, из кото- которых конструируются виды симметрии конечных фигур (Гессель, 1830; Гадо- лин, 1867), оказалось недостаточно для описания симметрии бесконечных фигур. Пришлось вводить преобразования переноса, винтового поворота и скользящего отражения и соответствующие этим операциям новые элемен- элементы симметрии. Такое значительное расширение понятия симметрии породило диаметрально противоположное течение —исключить из учения о симметрии все преобразования второго рода (отражения в плоскостях симметрии, зер- зеркальные повороты, скользящие отражения в плоскостях). Представителями этого течения были ЖорданA869) и Зонке A879). При этом Жордан включил, а Зонке исключил из рассмотрения бесконечно малые переносы и повороты. Были и компромиссные попытки обойтись в учении о симметрии одними плос- плоскостями, простыми поворотными осями и осями конечных переносов (Бравэ, 1850). Федоров A891) и Шёпфлис A891) объединили наконец все симмет- симметрические операции, но отказались рассматривать введенные Жорданом бес- бесконечно малые движения (переносы и вращения). Этим ученым казалось, что такие операции якобы противоречат симметрии кристаллов, которой только и были посвящены их работы. В нашей работе мы стремились устранить и этот пробел, уделяя особенное внимание предельным видам симметрии. После того как в понятии симметрического преобразования объединились операции первого и второго рода, казавшиеся столь различными, многие исследователи, которым такое объединение конгруэнтности и зеркальности представлялось слишком искусственным, сосредоточили усилия на нахож- нахождении единого принципа построения симметричных фигур. Наиболее простое решение вопроса дали Вульф A897) и Виола A904). Для этого им приш- пришлось вернуться (как часто бывает в истории науки) к первоначальной идее использования плоскости в качестве основного элемента симметрии. Оба уче- ученых доказали, что все симметрические преобразования конечных фигур 110
в трехмерном пространстве сводятся к последова- последовательно проведенным отражениям не более чем в трех плоскостях, которые могут и не быть плоско- плоскостями симметрии. Распространяя идею Вульфа и Виола также и на бесконечные фигуры, можно по- показать (Болдырев, 1907), что любое симметрическое преобразование (из допускаемого нами класса пре- преобразований) может быть заменено последовательным отражением фигур максимально в четырех плоско- плоскостях, которые сами по себе могут и не быть пло- плоскостями симметрии. (Кстати говоря, этот путь ис- использован Н, В. Беловым в «классном» методе вы- вывода 230 пространственных (федоровских) групп (см. Н. В. Белов, 1951). Так, поворот на угол а вокруг некоторой оси эк- эквивалентен последовательно проведенному отра- отражению в двух плоскостях, проходящих через дан- данную ось и образующих между собой угол а/2 (рис. 106). Перенос а равносилен двум последовательно про- произведенным отражениям в параллельных плоско- плоскостях, расположенных на расстоянии а/2 друг от друга (рис. 107). Зеркальный поворот, состоящий, как известно, из поворота и отражения, эквивалентен, очевидно, отражению в трех плоскостях: двух пересекающихся вдоль оси и одной поперечной к пей. Скользящее отражение, состоящее из переноса и отражения, эквивалентно отражению в трех плоско- плоскостях: двух параллельных и одной к ним перпенди- перпендикулярной. Винтовое движение, которое, как известно, мо- может быть разложено на два движения (вращение и перенос), очевидно, эквивалентно отражениям в че- четырех плоскостях: двух пересекающихся по оси вра- вращения под половинным углом и двух параллель- параллельных плоскостях, к ним поперечных. Нетрудно показать, что большее число отражений по своему результату не будет отличаться от пере- перечисленных операций (в их число входит и един- единственное отражение в плоскости симметрии). Мож- Можно также убедиться в том, что последовательные отражения в плоскостях переводят прямые линии в прямые, сохраняя углы между ними и длины масштабных отрезков, выбранных на прямых. Это в свою очередь, означает, что при всех перечислен- перечисленных выше преобразованиях фигуры преобразуются в себя, как твердое тело без деформаций. Рис. 106 Два произведенных последова- последовательно одно ва другим отраже- отражения фигуры в плоскостях, обра- образующих угол а[2, равносильны повороту фигуры на угол а вокруг лияин пересечеияя пло- плоскостей Рис. 107 Два отражения фигуры в па- параллельных плоскостях, отстоя- отстоящих друг от друга на расстоя- расстояние а/2, равносильны переносу фигуры по перпендикуляру к плоскостям иа расстояние а 111
Таблица 8 Элементы симметрии трехмерных фигур и соответствующие этим элементам операции симметрии1 Элемент симметрии Ось симметрии порядка п Плоскость симметрии Зеркально-поворотная ось сим- симметрии (четного порядкаJ Инверсионно-поворотная ось 2 порядка 2ге порядка п Оси конечных переносов8 Винтовая ось порядка п с ко- конечным переносом t = —— • / и рациональным углом поворота Винтовая ось с конечным пе- переносом t и иррациональным углом поворота а Плоскости скользящего отра- отражения с переносами а/2, Ь/2 и с/2 соответственно8 Символ элемента п т п п п а Ъ с ni at а с Определяющеэ уравнение пп = 1 пп = 1 nin=l ~пп — 1 ап = nn=l(moi ria) Ъп = nb=2(mod rib) с" = пс=1 (mod ric) n" = т = 1 (mod x) о* = а = 1 (mod a) 5» = Ь = 1 (mod Ь) c'J= с = 1 (mod с) Примечания и примеры 1, 2, 3 оо 2, С, 6~..., So" T — l, 3=7j, Ъ=То, ..., оо 2 = т., 4=*, б^о, ..., оо В пределе ао и а^ » » 6j И 6^ » )) СО И Сд, Правые оси при /< ~2" ^'' 4i, 5i, 52, ... п Левые оси при />-2-:<32, ^з, 5s, 54, ... Оси безразличного вращения п при i = —~-\2\, 4i, 63, ... Ось а^" правая; aj~ — левая; at — безразличного вращепия' в пределе оо0 = оо или оо^~, оо-, со, Примечания. 1 Элементом симметрии называется геометрическое место точек, сохраняющееся неподвижным при всех преобразованиях циклической группы G, порождаемой степенями произвольной операции симметрии g (см. стр.203). Степень gn операции ? есть п раз повгореяяая операция g. Определяющее уравнение gn = 1 определяет порядок п операции g и число различных элементов циклической группы G = •={il,g*,..-, gnl- Элементы симметрии и порождающие их операции обознзчаются одним в тем же символом^. « По определению ti = тип = птп, п = Тп = ni, т. е. комбинированная операция п (или п) есть последо- последовательно выполненные поворот п и отражение в воображаемой перпендикулярной плоскости m (или инверсия 1). * Для бесконечной периодической фигуры n-е степени перенозов на периоды а, Ь, о можно приравнять по модулю операции отождествления 1 при любом п= I, 2, ..., оо « В качестве оси переносов т у бордюров, лент н стержней выбиралась ось о (т = а; см. гл. 4—Ь). и случае трехмерно-периодических фигур (гл. 9) всегда можно выбрать три оси переносов а, р, с таким образом что произвольный перенос х будет линейной комбинацией переносов а, Ь, о: х = -p& + РгЪ + рзо (Р., Рг, Р, = 0, ±1, ±2, ...). _ ., ~__ » Для плоскостей скользящего отражения d и п, встречающихся у трехмерно-периодических дискон- дисконтинуумов (см. гл. 9), переносы в диагональных иаправлениях могут быть равиы р (а + Ь + с), р (а +В), Р(а + с) или р(Ь + с) при Э = 'Л (для ^плоскостей И) и Э = V* (для плоскостей п). Определяю- Определяющие уравнения: ?< = а-1-Ь + си т. д., п*==а 4-Ь+с и т. д. По международной системе плоскости скользящего отражения обозначаются буквами а, о, с, d, n без верхнего знака тильды.
Преобразования, обладающие таким свойством, называются изометрическими.От- раничиваясь классом изометрических преобразований, дадим теперь следующее простое и исчерпывающее определение симметрии геометрических фигур в трехмерном пространстве. Симметричной называется всякая (конечная или бесконечная) фигура, которая может совмещаться сама с собой в результате одного или нескольких после- последовательно произведенных отражений в плоскостях. Заканчивая общие замечания, напомним читателю, что свойство симмет- симметрии есть свойство относительное. Любой объект может иметь или не иметь специфическую симметрию в зависимости от выделенных свойств или той внутренней структуры, которую мы в данный момент рассматриваем. Но и при фиксированном уровне структуры объекта остаются еще два аспекта оп- определения симметрии — внешний и внутренний. Представим себе наблюдателя, жестко связанного с исследуемой фигурой и испытывающего изометрические преобразования вместе с нею. Любое пере- перемещение (движение) фигуры в пространстве будет служить с точки зрения внутреннего наблюдателя преобразованием симметрии фигуры, так как оно сохраняет все внутренние свойства объекта: в каждый момент движения фи- фигура, как целое, совпадает с собой. В то же время для внешнего наблюдателя, жестко связанного с какой-либо неподвижной системой отсчета, преобразо- преобразование симметрии фигуры помимо сохранения относительного расположения частей должно сохранять первоначальное положение и ориентировку фигуры в целом в фиксированной области пространства. Говоря о симметрии фигур в этой книге, мы всюду молчаливо подразумеваем именно внешнюю симметрию: группа внешней симметрии фигуры определяется совокупностью преобразо- преобразований (изометрических или ортогональных), под действием которых части фигуры обмениваются местами, а фигура в целом совпадает в первоначаль- первоначальном положении с собой. Изометрические преобразования бесконечных фигур называются иначе движениями. Движения, сохраняющие у фигур по меньшей мере одну точку инвариантной, относятся к классу ортогональных преобразований. Все встре- встречавшиеся нам до сих пор группы симметрии бесконечных и конечных фигур— пространственные и точечные — относятся, следовательно, к группам движе- движений и к их ортогональным подгруппам. В табл. 8 мы приводим список элементов симметрии фигур и выполняемых с их помощью изометрических преобразований в трехмерном пространстве. Позднее (гл. 11 и 12) мы снимем ограничение изометричности при переходе к более широким классам симметрических преобразований геометрических и негеометрических величин. 8 А. В. Шубников, В. А. Копцик ИЗ
7. СИММЕТРИЯ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ. ДВУМЕРНЫЕ КОНТИНУУМЫ И СЕМИКОНТИНУУМЫ Мы закончили рассмотрение фигур с особенной точкой и фигур без особенных точек, но с особенным направлением, т. е. стержней, лент и бордюров. С особенным направлением у этих фигур совпадала и особенная ось перено- переносов. Далее нам предстоит остановиться на фигурах с двумя непараллельными осями и на фигурах с тремя не лежащими в одной плоскости осями перено- переносов. В этом случае каждой оси будет соответствовать, как увидим, беско- бесконечная система эквивалентных параллельных направлений. В соответствии с размерностью пространств, в которые погружены наши фигуры, и характером их особенных элементов (зависящим от числа осей переносов) мы будем различать симметрию нуль-мерных, одномерных, дву- двумерных и трехмерных фигур в пространствах такого же или большего числа измерений. Например, повышая размерность «объемлющего» пространства с двух до трех, т. е. разрешая производить геометрические преобразования в трехмерном пространстве, мы переходим от бордюров (фигур с особенной полярной плоскостью и особенным направлением в ней) к лентам (фигурам с особенной двусторонней плоскостью и особенным направлением). В этой и следующей главе речь будет идти о симметрии сетчатых орнаментов и слоев, находящихся в таком же отношении друг к другу, в каком бордюры отно- относятся к лентам. Всякий сетчатый орнамент характеризуется отсутствием особенных точек, наличием особенной полярной плоскости и двух осей переносов. У слоя, при сохранении двух условий, особенная плоскость становится двусторонней, ненолярной. Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. И в более сложных случаях всегда можно обнаружить сотку, узлы которой составляют вполне определенную систему эквивалентных точек орнамента. Более того, как увидим, любая точка орнамента может 114
быть принята за начальную при построении такой сетки. Сетчатые орнаменты широко применяются в производстве обоев, тканей, ковров, в кирпичной кладке стен, при укладке кафельных полос, брус- брусчатых мостовых. Они встречаются также в биоло- биологических тканях животных и растений, в чешуе рыб, пчелиных сотах и т. д. Плоские сетки Начнем рассмотрение симметрии орнаментов с про- простых плоских сеток. Чтобы построить плоскую сет- сетку в общем виде, поступаем следующим образом. Выбираем произвольную точку А1 и подвергаем ее переносам вдоль оси трансляций а; в результате получаем линейный ряд равноотстоящих друг от друга точек Аг1, А21; А^... (рис.108). Если использо- использовать затем переносы вдоль оси Ъ, получим беско- бесконечное множество рядов точек, образующих в сово- совокупности параллелограмматическую систему эк- эквивалентных точек. Соединяя точки прямыми, па- параллельными осям переносов, получим плоскую сетку. Легко заметить, что в результате сочетания двух неколлинеарных осей переносов в системе то- точек возникает бесконечное множество новых осей переносов; любая прямая, соединяющая два произ- произвольных узла системы, может быть принята за ось переносов. Совокупность всех возможных пере- переносов, задаваемых осями переносов а, Ь, мы будем называть группой трансляций и обозначать симво- символом (bid) при косом наклоне осей, или (Ь : а), если оси Ь, а взаимно ортогональны, или буквой р (по международной системе). Одной и той же системе точек, полученной описанным выше образом, отве- отвечает бесчисленное множество плоских сеток и одна трансляционная группа, если оси переносов у но- новых сеток проведены так, что все точки первоначаль- первоначальной системы получаются без пропусков. На рис. 109 изображены три сетки, построенные для одной и той же системы точек. Интересно отме- отметить, что в зависимости от способа соединения узлов и той симметрии, которую мы приписываем размно- размножаемым переносами точкам, изменяется и симмет- симметрия составной фигуры, состоящей из системы узлов и соединяющих их прямых линий. Предположим, например, что точки, изображенные на рис. 109 условно в виде черных плоских кружков, па самом деле имеют симметрию предельных групп оо-т. Рис. 108 Построение плоской сетки с помощью осей переносов о и 6 Р и с. 109 Одной и той же системе узлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от спосо- способов соединения узлов 8* 115
Иными словами, мы предполагаем, что поворот на произвольный угол во- вокруг оси, проходящей через точку ортогонально чертежу, и отражение в любой плоскости, проходящей через эту ось, совмещают фиксированную точку с собой. Симметрия системы точек зависит от вааимного расположения точек и может не совпадать с симметрией изолированной точки. Легко видеть, что взаимное расположение точек для всех трех систем на рис. 109 одно и то же и характеризуется симметрией 4т: при поворотах на 90° вокруг осей, проходящих через точки, и соответствующих отражениях в вертикальных плоскостях как фиксированная точка, так и система в целом совпадают с собой. Однако только квадратная сетка (рис. 109, о) будет иметь ту же симметрию, что и положенная в основу ее построения система точек, а имен- именно: и сетка, и система узлов обладают вертикальными четверными осями, проходящими через узлы и середины квадратов, вертикальными двойными осями, проходящими через середины сторон квадратов, вертикальными плос- плоскостями симметрии и т. д. Другие сетки (рис. 109, б, в), построенные на той же системе узлов, имеют уже другую симметрию; например, у них нет чет- четверных осей и вертикальных плоскостей симметрии. В дальнейшем мы будем предпочитать строить лишь такие сетки, симметрия которых совпадает с сим- симметрией заданной системы узлов. Если соединение узлов производится так, что в каждом из них пересека- пересекаются две (и только две) прямые, и если прямые не имеют иных точек пере- пересечения, кроме заданных узлов, то независимо от способа соединения полу- получаемые параллелограммы имеют одинаковую площадь: значит, на рис. 109 площади квадратов равны площадям параллелограммов. Построенные таким /\ образом параллелограммы, задаваемые длинами сторон а, Ъ и углом а = а, Ъ между сторонами, мы будем называть элементарными ячейками сеток, а ве- величины а, Ь, а — параметрами ячеек. Существует только пять параллелограмматических систем, отличающихся друг от друга по симметрии и (или) параметрам ячеек. 1. Квадратная система узлов (а:а). Имеет расположение узлов, которое позволяет построить сетку с элементарной ячейкой в форме квадрата. Оче- Очевидно, в этом случае Ъ = а, а — 90° (рис. 110, а). Симметрия квадрата на полярной плоскости 4•т. 2. Правильная треугольная система узлов (а/а) (косая черта между одина- одинаковыми буквами обозначает здесь наклон осей под углом 60°). Элементарная ячейка может быть выбрана в форме ромба, составленного из двух правиль- правильных треугольников: Ъ = а, а = 60° (рис. 110, б). Симметрия ячейки 2-т не отражает в данном случае максимально возможной симметрии 6-т пра- правильной системы точек. Такую симметрию будет иметь ячейка в форме пра- правильного шестиугольника, составленная из трех ромбов. 3. Ромбическая система узлов (а/а). Элементарная примитивная ячейка имеет форму произвольного ромба : Ъ = о, а Ф 90°, а ф 60°. Вместо прими- примитивной ячейки (а/а), не содержащей уэлов сетки внутри параллелограмма, для той же системы узлов можно выбрать центрированную ячейку, задавае- задаваемую ортогональными переносами (Ъ: а) и центрирующим переносом на вектор с = (Ь -J- а)/2. Соответствующую группу трансляций будем обозна- обозначать символом (с/Ь : а) или буквой с по международной системе (рис. 110, г). 116
f Рис. 110 Пять параллелограмматичееких систем точек а — квадратная система узлов с симметрией (о : а) : 4-т; б — правильная треугольная система узлов с симметрией (а/а) : 6-тп; в — прямоуголь- прямоугольная система узлов с симметрией (Ь : а) : 2-т; г — ромбическая система узлов с симметрией (а/а) : 2-т или (с/Ь : а) : 2-т; в — косая параллелограмма- тическая система узлов с сим- симметрией (Ь/а) : 2. Приводятся символы максимально высо- высокой пространственной симмет- симметрии, совместимой с существо- существованием параллелограмматиче- параллелограмматичееких сеток При любом выборе ячейки (ромб или центрированный прямоугольник) ее симметрия 2-т. 4. Прямоугольная система узлов (Ъ: а). Имеет элементарные ячейки в фор- форме прямоугольников: Ъ ф а, а = 90° (рис. 110, в). Заметим, что точечные группы максимально возможной симметрии сеток B-т) у ромбической и прямоугольной систем совпадают, трансляционные же группы с = (с/Ь : а) и р = (Ь : а) различны. 5. Косая параллелограмматическая система узлов (Ь/а). Имеет элементар- элементарную ячейку общего вида : Ь =ф= а, 0=^=90° (рис. 110,3)- Симметрия произ- произвольного параллелограмма на полярной плоскости—2. У всех рассмотренных систем точек, кроме осей переносов, содержатся также и другие элементы симметрии. Их возникновение в данном случае объясняется тем, что в качестве фигуры, подвергаемой переносам, была взята точка, которой мы интуитивно склонны приписывать наивысшую для ко- конечных фигур симметрию. Если бы вместо геометрической точки мы взяли «материальную» точку с иной симметрией или подвергли переносам какую- либо асимметричную фигуру, например асимметричный тетраэдр, то симмет- симметрия системы понизилась бы. В частности, для системы асимметричных тетра- тетраэдров, расположенных по узлам квадратной сетки (рис. 111), мы не имели бы осей симметрии четвертого порядка и плоскостей симметрии, а только систему осей переносов (а : а). В кристаллографии это обстоятельство часто упускают из вида, полагая, что наличие прямых углов в ячейке или кристал- кристалле уже гарантирует принадлежность его к высокосимметричной системе. Из сказанного ясно, что полной группой симметрических преобразований для бесконечной параллелограмматической системы фигур будет так на- называемая пространственная группа симметрии. В эту группу входят транс- трансляции, образующие подгруппы (Ь/а), преобразования точечных групп, ха- характеризующие симметрию размножаемых конечных фигур, а также комби- комбинированные преобразования — винтовые повороты вокруг винтовых осей rij, отражения с переносом в плоскостях скользящего отражения ~У и а и т. д. Как и всюду в книге, мы будем обозначать пространственные группы ком- 117
Рис. Ill VB результате переносов асим- асимметричной фигуры (тетраэдра) по осям квадратной сетки не возникает никаких новых эле- элементов симметрии Пространственная группа си- системы — (а : а) 1 =(Ь/а) 1 \* \* \* \* \ Рис. 112 Плоский орнамент с симмет- симметрией (Ь/а) 1 а — элементарные фигуры ра- разобщены и каждая состоит из одной части; б — фигуры разобщены и каждая состоит из Двух отдельных частей бинировапным символом, записывая после символа трансляционной группы символ точечной группы (для симморфных групп, см. стр. 209) или символ изоморфной ей «точечной» группы по модулю, со- содержащий винтовые оси или плоскости скользящего отражения (для несимморфных групп). При такой записи две пространственные группы, (а/а) : Зт и (а/а) ;2-т, будут относиться к различным систе- системам, несмотря на внешнее сходство символов тран- трансляционных подгрупп. Заметим, наконец, что, если речь у нас будет идти не о преобразованиях, а об элементах симметрии, мы будем называть их полный набор (отвечающий пространственной группе) видом симметрии параллелограмматической системы или соответственно сетчатого орнамента. Возвращаясь к рис. 110, запишем символы пространственных групп максимально высокой симметрии, совмести- совместимой с существованием рассмотренных параллело- грамматических сеток: а—(а:а):4-т; б—(а/а):6-т; в — (Ь: а) : 2т; г — (а/а) ¦: 2т или (с/Ъ : а) : 2-т; д - (Ь/а) : 2.
Если узлам параллзлограмматичэских плоских соток приписать симмзтрию подгрупп стар;цих то- точечных групп, обладающих сзойством сохранять то же самые сетки, получим нозыо пространственные группы, вывод которых предоставляем читателю. Семнадцать видов симмзтрии сэтчагых орнаментов. Примеры народных орнаментов Чтобы получить простейший орнамент с простран- пространственной симметрией (Ь/аI, воспользуемся порож- порождающими переносами любой из пяти трансляцион- трансляционных групп (рис. 110) и размножим с их помощью произвольную ассимметричную фигуру подобно то- тому, как это мы делали на рис. 111с тетраэдром. Так как симметрия 1 не накладывает на параметры а, Ъ, а никаких ограничений, в общем случае a =j= b; a =f= =f= 60° или 90°. Повторяемые переносами равные фигуры могут быть совершенно отделены друг от друга (рис. 112, а), сами могут состоять из разоб- разобщенных частей (рис. 112, б), могут пересекаться друг с другом (рис. ИЗ, а) и, наконец, могут при- примыкать друг к другу, заполняя плоскость без про- промежутков (рис. ИЗ, б). Чтобы построить сетчатый орнамент из частей, заполняющих плоскость без промежутков, поступаем следующим образом. Бе- Берем параллелограмматическую систему (рис. 113, б), Рис. ИЗ Плоский орнамент с симмет- симметрией (Ь'а) 1 а — элементарные фигуры пере- пересекаются друг с другом; б — фигуры заполняют плоскость без промежутков и перекрытий Р и с. 114 Образец орнамента с симметрией (Ь/а) 1 119
Рис. 115 Персидский орнамент с симмет- симметрией (Ь/а) 1 (по Оуэну Джойсу) Рис. Ив _ Орнамент с симметрией (Ь [ а)^а а — общий случай; б — рав- равные фигуры заполняют плос- плоскость без промежутков и пере- перекрытий соединяем точку 1 с точкой 2 произвольной кривой, не пересекающей себя и не выходящей за пределы одного из параллелограммов, смежных отрезку 1, 2; точки 1 и 3 соединяем другой кривой, соблюдая те же условия, и следим за тем, чтобы новая кривая не пересекла уже проведенную кривую. Повторяя это построение в каждой ячейке, разделим всю пло- плоскость на равные части без промежутков. Условие расположения обеих кривых в пределах одного параллелограмма не является необходимым, но оно гарантирует отсутствие пересечений в системе на- наших кривых в точках, не совпадающих с узлами. При несоблюдении этого условия такие пересечения могут появиться при параллельных переносах ячеек; в этом случае в периодической фигуре возникнут неравные друг другу области, а нашей задачей было разделение плоскости на равные части. Образ- Образцы орнаментов с симметрией (Ь/а) 1 даны на рис. 114 и 115. Если элементарная фигура орнамента сама по себе сложна и если дан небольшой участок орна- орнамента, то разобраться в его симметрии иногда бывает довольно трудно. Предлагаем читателю убедиться в том, что изображенный на рис. 114 орнамент дей- действительно имеет симметрию {ЫаI. Образец чрез- чрезвычайно простого орнамента той же симметрии при- приводим на рис. 115. Второй вид симметрии сетчатых орнаментов мож- можно получить переносом бордюров (а) а в направ- направлении, перпендикулярном его оси, или, что то же самое, переносами (Ъ : а) асимметричной фигуры и последующими отражениями в плоскости скользя- скользящего отражения а. Этот новый вид симметрии мы могли бы поэтому обозначить символом (Ь : а) а. Рассмотрим пример орнамента, отвечающего най- найденному виду симметрии (рис. 116, а). Выделим верх- верхний зигзагообразный ряд прямоугольников (напо- (наполовину черных, наполовину белых), вытянутый вдоль горизонтальной прямой. Эти прямоугольники образуют бордюр с симметрией (а) ¦ а (ср. рис. 77 и 78). Переносом по вертикальной оси Ь бордюр преобразуется в орнамент {Ь : а)-а. Для построения орнамента той же симметрии из частей, заполняющих плоскость без промежутков (рис. 116, б), берем вспомогательную (координат- (координатную) прямоугольную сетку, не интересуясь ее соб- собственной симметрией. Соединяем узлы 1, 2 и 2, 3 произвольными кривыми, не выходящими за пре- пределы соответствующих прямоугольников и не обра- 120
зующими петель. Точки 2, 4 соединяем кривой, веркально равной кривой 1, 2; точки 4, 5 соединяем кривой, полученной из кривой 2, 3 скользящим отражением в плоскости а, проходящей посередине между точками 2, 3 и 4, 5. Переносами построенных кривых по горизонтали на расстояние 1—4, равное двойной горизонтальной стороне прямоугольника, получаем бордюр с плоскостью скользящего отра- отражения а. Переносами бордюра по вертикали на рас- расстояние 2-3, равное одной стороне прямоугольни- прямоугольника, получаем весь орнамент. Трансляционная сет- сетка этого орнамента, очевидно, состоит из петель, равных прямоугольнику 1, 4, 5. Третий вид симметрии сетчатых орнаментов может быть получен из бордюров (а) : 2 переносом их в об- общем случае в косом направлении вдоль оси Ь, или, что то же самое, из фигуры, с симметрией 2 пере- переносами (Ь/а) в плоскости, перпендикулярной оси 2; символ вида симметрии будет (Ь/а) ¦: 2. Пример та- такого орнамента дан на рис. 117. В этом орнаменте двойные оси симметрии проходят через центры за- завитков. Если бы все поля, имеющие форму ромбов с двумя искривленными сторонами, были выкра- выкрашены одинаково, то в орнаменте возникли бы еще двойные оси в серединах промежутков между цент- центрами завитков. В данном примере перенос по оси Ъ происходит не по косому по отношению к гори- горизонтальной оси бордюра направлению, как это долж- должно было быть в общем случае, а по вертикали, чтэ не изменяет симметрии орнамента (Ь/а) : 2. Инте- Интересно отметить также, что для построения этого египетского орнамента неизвестный автор выбрал квадратную координатную сетку и расположил центры завитков в узлах сетки, совершенно не счи- считаясь с собственной симметрией сетки, вследствие чего выпали, например, перпендикулярные черте- чертежу оси симметрии четвертого порядка и петли сет- сетки с точки зрения симметрии перестали быть квад- квадратами (ср. рис. 65). Для получения орнамента, состоящего из запол- заполняющих плоскость равных частей, поступаем сле- следующим образом. Произвольную точку А (рис. 118), взятую внутри одного из параллелограммов косой сетки, соединяем с тремя узлами параллелограмма произвольными линиями, четвертый же узел В соединяем с одним из смежных ему узлов С того же параллелограмма, соблюдая, как всегда, условие непересечения кривых. Разместив перпендикулярные Рис. 117 Припер египетского орпамепта с симметрией (Ь/а) : 2 (по Оуэну Джойсу) В общей случае орнаментов этого вида оси второго порядка располагаются по вершинам косого параллелограмма. В дан- данной рисунке они располагаются по вершинам квадрата, отчего не возникает никаких новых элементов симметрии Рис. 118 Орнамент с симметрией F/а) : 2 Плоскость заполнена равными фигурами без промежутков и перекрытий. Элементарная ячейка орпамепта образована объединением четырех смежных ромбов, сходящихся в одной вершине 121
Рис. 119 Обраэец персидского орнамента с симметрией F : а) : Т> : а = = F : а) : г ©'а (по Оуэну Джонсу) Р и с. 120 Орнамент с симметрией (Ь : а): : (Г: а =>F : а) : ? © 'а Плоскость заполнена равными фигурами без промежутков и перекрытий Р и с. 121 Египетский орнамент с симмет-- рией F : а): (Г: m — F : а): Я-Ь (по Оуэну Джонсу) Ось а направлена вертикально. чертежу двойные оси симметрии по узлам коорди- координатной сетки, повторяем сделанное построение, пользуясь поворотами на 180° вокруг этих осей. Четвертый вид симметрии получаем повторением бордюра (а) : 2 с помощью плоскости скользящего отражения Ь, перпендикулярйой оси бордюра, или повторением бордюра (Ь) : 2 с помощью плоскости а. Соответствующий символ симметрии будет (Ь : а) : : Ъ : а. Пример такого орнамента приведен на рис. 119. Как видим, этот орнамент состоит из ром- ромбов, заштрихованных по двум направлениям. В го- горизонтальный бордюр (а) : 2 входят только одина- одинаково заштрихованные ромбы, расположенные це- цепочкой. Весь орнамент строится скользящим пере- переносом этой цепочки по вертикали. Двойные оси рас- располагаются в центрах ромбов и в их вершинах. Пло- Плоскости скользящего отражения проходят через се- середины смежных сторон ромбов по горизонтальным и вертикальным направлениям. Как и в трех пре- предыдущих случаях, в формулу вида симметрии (b:a): b : а входят только порождающие элементы симметрии. Можно заметить, что «точечная» груп- группа Ъ : а изоморфна по модулю группе 2 те, поэтому ееможно обозначить как 2 Q a,Tiini2Qb, имея в виду, что плоскости a, b проходят не через оси 2 (как в группе 2-пг), а посередине между двойными осями (подробнее о группах по модулю см. стр. 208—210). Для построения орнамента с равными частями, заполняющими плоскость без промежутков, исхо- исходим из прямоугольной координатной сетки (рис. 120). В узлах этой сетки мысленно располагаем двойные оси симметрии. Через точки 1, 2, 3 проводим про- произвольные линии с соблюдением правил, изложен- изложенных выше применительно к аналогичным случаям заполнения плоскости равными фигурами. По- Построение повторяем, пользуясь поворотами на 180° вокруг двойных осей. Трансляционная сетка (Ь : а) орнамента, очевидно, образована прямоугольни- прямоугольниками, составленными из четырех малых прямоуголь- прямоугольников координатной сетки. Пятый вид симметрии возникает из повторения вертикального бордюра (а) • m скользящим отра- отражением в направлении горизонтальной оси Ь. Сим- Символ симметрии будет поэтому (Ь : а) : b : m. При- Пример орнамента этой симметрии приведен па рис. 121. В этом орнаменте следует обратить внимание на 122
завитки, имеющие форму букв s и г. Производные двойные оси симметрии проходят через середины этих букв и соответствующих им завитков, плоско- плоскости симметрии проходят вертикально между завит- завитками. Специфику рисунку придают пучки остроко- остроконечных листочков (венчики лотоса, обычные для еги- египетского орнамента); при этом одни пучки располо- расположены остриями листочков вверх, другие — острия- си вниз. За образующий бордюр (а) ¦ т принимаем вертикальный ряд элементарных фигур с листочка- листочками, направленными в одну сторону (например, толь- только вниз). Н орнаменте имеются горизонтальные пло- плоскости скользящего отражения Ъ, проходящие через двойные оси, поэтому формулу симметрии можно записать и так: (Ь : а) : 2Ъ *. Подвергая образую- образующий бордюр скользящему отражению вдоль пло- плоскости Ъ, получаем весь орнамент. Для построения орнамента из равных частей, за- заполняющих плоскость без промежутков (рис. 122), используем прямоугольную координатную сетку. Произвольно выбранную внутри прямоугольника точку Л соединяем произвольными линиями с дву- двумя узлами В ж С сетки и с произвольной точкой D на стороне, противоположной стороне ВС. Че- Через точку D проводим в направлении вертикальной оси а прямую. Расположив мысленно перпенди- перпендикулярные чертежу двойные оси в углах прямо- прямоугольников вдоль линии ВС, а плоскости симмет- симметрии — по ближайшим параллельным прямым, по- поворотами вокруг двойных осей и отражениями в пло- плоскостях симметрии построим весь орнамент. Тран- Трансляционная сетка его, очевидно, состоит из восьми прямоугольников: четырех, показанных на рисунке, и четырех, которые нужно себе представить распо- расположенными справа. Шестой вид симметрии сетчатых орнаментов полу- получается из фигуры с симметрией т повторением ее двумя осями переносов, образующих произвольные равные косые углы с плоскостью симметрии. Сим- Символ этого нового вида симметрии соответственно методу его построения будет (а/а)/т. Пример орна- орнаментов, имеющих эту симметрию, приведен на рис. 123. Элементарная фигура орнамента, имею- * «Группа» по модулю 2-Ь изоморфиа'грунпе 2-т, по, так как плоскос- плоскости b проходят через оси 2, мы не используем новый разделительный знак ©, связывающий параллельные, но не пересекающиеся элементы симметрии. Рис. 122 Орнамент с симметрией (Ь : а) .- ; о : т =» (Ь ; а) :2-о Плоскость заполнена равными фигурами без промежутков и перекрытий Ось а направлена вертикально Рис. 123 Мавританский орнамент с еим- метрнен (а а)/т ¦-* (е/Ь : а) : т (по Оуэну Джонсу) 123
Рис. 124 Китайский орнамент с симмет- симметрией (а/а)/т (по Оуэну Джонсу) Рис. 125 Орнамент с симметрией (а/а)'т = (с/Ъ : а): т Равные фигуры заполняют плос- плоскость без промежутков и пере- перекрытий щря 13 Рис. 126 Индийский орнамент с симметри- симметрией F ; а); т (по Оуэну Джонсу) w—v Рис. 127 Орнамент с симметрией (Ь:а):т Равные фигуры заполняют плоскость беэ промежутков и перекрытий 124 щая форму сердечка, обладает плоскостью симмет- симметрии и иных элементов симметрии не имеет. Символ симметрии элементарной фигуры — т. Орнамент об- обладает горизонтальной и перпендикулярной к ней осями переносов (Ь : а). Однако обеих этих осей недостаточно, чтобы из одной элементарной фигуры получить весь орнамент, так как при построении бу- будут пропущены фигуры, расположенные в середине трансляционного прямоугольника. Чтобы этого не произошло, необходимо использовать центрирующий перенос с = (а 4- Ь)/2 *. Итак, один и тот же ор- орнамент получает символы симметрии (с/b : а) : т — — (а/а)/т при различном выборе групп переносов. На рис. 123 оси переносов хорошо видны. Предла- Предлагаем читателю убедиться, что и орнамент, показан- показанный на рис. 124, имеет ту же симметрию. Для построения орнамента из равных фигур, за- заполняющих плоскость без промежутков, исходим из ромбической координатной сетки, которая на этот раз будет и трансляционной сеткой (рис. 125). Элементами построения служат: произвольная ли- линия АВ (на рисунке это дуга окружности) и прямая линия ВС. Подвергая линию А В отражению в пло- плоскости симметрии ВС и образовавшуюся фигуру — переносам по косым параллельным сторонам ромба осям, построим весь орнамент. Седьмой вид симметрии показан на рис. 126, который при рассмотрении следует повернуть так, чтобы черные полосы расположились параллельно одному из ребер книги. Элементарной фигурой ор- орнамента служат зубчатые эллипсы с симметрией т. Весь орнамент может быть построен переносами по • Заметим, что переносы а в группе (а/а) можно положить рав- равными с = (а + Ь)/2. Изменение базисных векторов, однако, не изменяет трансляционной группы (а/а) = (е/Ь : а); мы различаем лишь ее примитивный и центрированный аспекты.
Рис. 128 Индийский орнамент с сим- симметрией {а,а): 2-т. =¦ =(е/Ь:а):2.т (по Оузиу Джонсу) Рис. 129 Орнамент с симметрией (а/о).-г.т Фигуры заполняют плоскость без промежутков и перекрытий осям а и Ь, ориентированным параллельно и перпен- перпендикулярно к плоскости т. Символ симметрии орна- орнамента — (Ь : а) : т. Орнамент из равных фигур, заполняющих пло- плоскость без промежутков, строится на прямоуголь- прямоугольной координатной сетке (рис. 127). Короткие сто- стороны прямоугольников совпадают с плоскостями симметрии. Во всех случаях, когда в орнаменте есть плоскости симметрии, элементарные фигуры, за- заполняющие плоскость, имеют прямолинейные сто- стороны, совпадающие с плоскостями симметрии. То же имеет место и в рассматриваемом случае. Линия, соединяющая точки А и В, произвольна. Восьмой вид симметрии (рис. 128) может быть получен переносами фигур с симметрией 2 -т по косым осям а, образующим произвольные равные углы с плоскостями симметрии. Символ симметрии — (а/а) : 2-т. В приведенном для примера орнаменте плоскости симметрии проходят по диагоналям чер- черных криволинейных ромбов, косые оси переносов — через центр фиксированного ромба и центры бли- ближайших соседних с ним ромбов, расположенных в двух горизонтальных рядах, ближайших к вы- выбранному. Орнамент обладает также вертикальны- вертикальными плоскостями скользящего отражения, располо- расположенными параллельно между простыми вертикаль- вертикальными плоскостями симметрии, а также идущими вдоль диагоналей ромба осями переносов (Ь : а), по- поэтому символ симметрии можно записать и так: (clb:a):2-m. Для построения орнамента с равными фигурами, заполняющими плоскость без промежутков, исхо- исходим из ромбической координатной сетки (рис. 129). Двойные оси располагаем в середине ромба, в уз- узлах сетки и в серединах сторон ромба. Плоскости Рис. 130 Египетский орнамент приобре- приобретает симметрию F : о) : 2-т, если завитки спиралей заме- заменить концентрическими окруж- иостнми (по Оуэиу Джонсу) Принцип переплетения понижа- понижает эту симметрию до (Ь : а) : S — = (Ь/а) : 2 Рис. 131 Заполнение плоскости в случае симметрии (Ь ; а) .2-т. 125
Рис. 132 Египетский орнамент противо- противоречивой симметрии: без полос имеет симметрию (а : а) : 4, с полосами — симметрию (о : а) : 2 = F/а) : Я Рис. 133 Египетский орнамепт приобре- приобретает симметрию (а : а) : 4, еелн десятилепестковые розетки за- заменить кругами (но Оуэну Джойсу) Р и е. 134 Заполнение нлоскоетн в елучае симметрии (а : а) : 4 симметрии проводим по диагоналям ромба. Эле- Элементарная фигура строится проведением прямых по плоскостям симметрии. Оси симметрии А и В соединяются произвольной линией. Все построение ясно из указанного рисунка. Девятый вид симметрии возникает в результате переносов фигуры с симметрией 2-тп по двум осям а и Ь, параллельным ребрам книги. Орнамент (рис. 130), отвечающий этой симметрии, обладает с оговорками вертикальными и горизонтальными плоскостями симметрии, параллельными осям а и Ъ; по линиям пересечения плоскостей проходят двой- двойные оси симметрии. Символ симметрии — (Ъ : а) : : 2-тп. В приведенном орнаменте при учете всех де- деталей его структуры рассматриваемая симметрия не выполняется. Например, плоскости, проходящие че- через центры спиралей и между ними, строго говоря, не являются плоскостями симметрии и становятся ими только при условии, если завитки рассматри- рассматривать как концентрические окружности. Орнамент из равных фигур, заполняющих пло- плоскость без промежутков, для данного вида симмет- симметрии представляет собой простую прямоугольную сетку (рис. 131). Стороны прямоугольников прохо- проходят по плоскостям симметрии. Десятый вид симметрии образуется простым пе- переносом фигуры с симметрией 4 по двум взаимно- перпендикулярным осям (а : а). Символ симмет- симметрии — (а : а) : 4. Образец этого вида симметрии показан на орнаменте рис. 132. Этот орнамент со- состоит из квадратов с завитками по углам, системы светлых параллельных полос и розеток внутри квад- квадратов. Разбираемому виду симметрии отвечает не весь орнамент, в котором мы наблюдаем типичный случай смешения симметрии, а только система квад- квадратов с завитками. С учетом белых полос симметрия орнамента будет (а : а) : 2 или в общем случае (b/а) : 2, так как ось 2 не накладывает ограничений на параметры а, Ь, а. Выбор квадратной сетки (а : а) : 4 определяется осями 4, выходящими в цен- центрах квадратов. Второй пример орнамента этого вида симметрии дан на рис. 133, который при бли- ближайшем рассмотрении оказывается видоизменением предыдущего. В этом орнаменте также наблюдаем смешение симметрии. Взятые отдельно розетки, рас- расположенные между завитками, как видно из рисун- рисунка, имеют оси симметрии пятого порядка, противо- противоречащие симметрии главной фигуры орнамента. 126
Для заполнения плоскости равными фигурами соединяем произвольной замкнутой кривой четвер- четверные и производные двойные оси симметрии, распо- расположенные по вершинам квадратной координатной сетки (рис. 134). Образующаяся при этом фигура повторяется соответствующими осями 4 и 2 и осями переносов. Так как данный вид симметрии не со- содержит в себе плоскостей симметрии, то всякий ор- орнамент, отвечающий этому виду, может существо- существовать в двух энантиоморфных модификациях — пра- правой и левой. Для получения второй модификации орнамент следует рассматривать па просвет с об- обратной стороны. Одиннадцатый вид симметрии, как и в предыду- предыдущем случае, может быть образован фигурами с сим- симметрией 4, но эти фигуры повторяются в плоскости не осями пероносов, а двумя равными и взаимно- перпендикулярными плоскостями скользящего от- отражения а. Символ симметрии этого несимморфного вида (а : а) : 4-а показывает, что вертикальные плоскости а, параллельные ребрам книги, проходят через четверные оси и что «точечная» группа по модулю 4-а изоморфна группе А-т; у вида имеются также и вертикальные плоскости т, проходящие через двойные оси параллельно плоскостям а. При- Пример орнамонта, обладающего симметрией (а : а) : : 4-а, показан на рис. 135. Элементарной фигурой в данном случае следует считать спираль с четырьмя ветвями, а не прямоугольник с завитыми углами, как это может показаться с первого взгляда. Бла- Благодаря наличию простых плоскостей симметрии данный вид орнамента не может встречаться в двух энаптиоморфпых модификациях. Заполнение плоскости равными фигурами производится про ведением прямых линий но плоскостям симметрии (рис. 136). В вершинах образующейся при этом квадратной сетки располагаются двойные оси сим- симметрии, а в центрах квадратов — четверные оси. Соединяя четверную ось с ближайшей двойной про- произвольной кривой и повторяя эту кривую имеющи- имеющимися элементами симметрии, разбиваем всю пло- плоскость на равные, заполняющие ее без промежутков фигуры. Двенадцатый вид симметрии наиболее прост для восприятия и наиболее распространен. Он возни- возникает в результате простого переноса фигур с сим- симметрией 4-т вдоль двух взаимно-перпендикулярных осей с равными периодами (а : а). Символ этого Рис. 135 Египетский орнамент с симмет- симметрией (а : а) : Ла (по Оуэну Джонсу) Рис. 136 Заполнение плоекостн без про- промежутков jb случае симметрии (а : а) •¦ 4-а. Повернутый па 45° квадрат изображает элементар- элементарную ячейку в международной установке осей Р и с. 137 Египетский орнамент с симметрией (а : а) : 4т (но Оуэну Джонсу) 127
Рис. 138 Заполнение плоскости в случае симметрии (а : а): 4т Рис. 139 Орнамент с симметрией (а!а) : 3 Рис. 140 Заполнение плоскости в случае симметрии (о/а): 3 Элементарная ячейка образо- образована объединением двух пра- правильных треугольников вида симметрии будет (а : а) : 4-т. Образец соот- соответствующего орнамента приведен на рис. 137. Элементарной фигурой в этом орнаменте служит розетка, вписанная в квадрат. В этом виде симмет- симметрии заполнение плоскостей равными фигурами про- производится проведением прямых по плоскостям сим- симметрии (рис. 138). Тринадцатый вид симметрии (рис. 139) получает- получается из фигур с симметрией 3 с помощью двух равных осей переносов (а/а), образующих между собой угол 60°. Соответствующий символ вида будет {ala): 3. Заполнение плоскости равными фигурами показа- показано на рис. 140. Элементом построения служит разомкнутая кривая, выходящая из центра и про- проходящая через три вершины правильного треуголь- треугольника координатной сетки. Ее повторение при пере- переносах {ala) и решит поставленную эадачу. Четырнадцатый вид симметрии (рис. 141) может быть построен из фигур с симметрией 3-т переноса- переносами по равным осям {а/а), которые образуют между собой угол 60° и проходят параллельно плоско- плоскостям симметрии т. Символ этого вида симметрии — {а/а)-т-3. Заполнение плоскости равными фигу- фигурами производится построением треугольной сетки, повторением произвольной кривой, соединяющей центр треугольника с его вершиной (рис. 142), отражениями в плоскостях т. Пятнадцатый вид симметрии (рис. 143) отличает- отличается от четырнадцатого только направлением осей {а/а), которые в данном случае не совпадают с пло- плоскостями симметрии т, а перпендикулярны к ним, т. е. делят угол между соседними плоскостями по- пополам. Соответственно сказанному символ этого вида симметрии будет {а/а) : т-3. Заполнение плоско- плоскости равными фигурами производится в данном слу- случае единственным способом — равносторонними треугольниками (рис. 144). Шестнадцатый вид симметрии возникает в ре- результате переноса осями {а/а) фигур с симметрией 6 (рис. 145). Символ этого вида — {а/а) : 6. Запол- Заполнение плоскости равными фигурами производится с помощью вспомогательной треугольной сетки и двух произвольных кривых, из которых одна сое- соединяет две вершины треугольника, а другая — центр смежного треугольника с его вершинами (рис. 146). Последний, семнадцатый вид симметрии полу- получается из фигур 6-гп в результате переносов их ося- осями {а/а) (рис. 147). Символ этого вида можно запи- 128
141 Рис. 141 Китайский орнамент с рией (а'а)т-3 Рис. 142 Заполнение плоскости в случае симметрии (а'а)т-3 Рис. 143 142 Орнамент с симметрией (о 'о): т ¦ 3 1/,.'! Ш 145 147 146 i i к ft f X к us Рис. 144 Заполнение плоскости в случае симметрии (o'o):«i-3 Для совмещения с установкой рис. 143 треугольную сетку следует повернуть на 30е вок- вокруг оси з Рис. 145 Персидский орнамент с симмет- симметрией (о/а) : 6 (по Оуэну Джон- Джонсу) Для совмещения с установкой рис. 146 орнамент следует по- повернуть па 30° вокруг оси в. Симметрия выполняется приб- приближенно Рис. 146 Заполнение плоскости без про- промежутков в случае симметрии (о/о): 6 Элементарная ячейка образо- образована объединением четырех ром- ромбов Рис. 147 Орнамент с симметрией (о'о)п»в Симметрия выполняется приб- приближенно Рис. 148 Заполнение плоскости без про- промежутков и перекрытий в случае симметрии(о/о) тв 129
сать эквивалентным образом: (а/а)-т-6 или (а/а) : : т-6. Заполнение плоскости возможно единствен- единственным, указанным на рис. 148 способом. Следует полагать, что более полное использование законов симметрии поможет художникам разнообра- разнообразить мотивы создаваемых еми орнаментов. Рис. 149 Сводная таблица 17 видов пло- плоских орнаментов В таблице приведены проекции элементов симметрии всех дву- двумерных пространственных групп и символы этих групп, записан- записанные по международной си- системе. Ориентировка осей ноор- динат показана лишь .тля пер- первой прозкции (см. пояснения в тексте) Проекции элементов симметрии для сетчатых орнаментов. Координатные и бескоординатные обозначения видов симметрии Приведем сводную таблицу всех 17 видов симмет- симметрии сетчатых орнаментов (рис. 149). В ней мы совер- совершаем переход от бескоординатных к координатным обозначениям двумерных пространственных групп, указывая ориентировку элемептов симметрии по от- отношению к осям координат. В таблице приведены проекции элементов симмет- симметрии всех двумерных пространственных групп и сим- символы этих групп, записанные по международной сис- e(Z) b(Y) P2(p112) pm(pm11) pg(pb11) 1 < \-H-H 4 4—>S- p4mm шт p4gm(p4bm) p3 P3m1 p31m p6 p6mm 130
Таблица 9 Сопоставление бескоордииатныг и координатных (международных) обозначений видов симметрии сетчатых плоских орнаментов Междуна- Международный символ pi р2 рт Pg (pbll) cm (cmll) pmm2 pmg2 (pma2) Pgg2 (Pba2) Бе екоординатный символ (b/a)l (b/a) : 2 [b : a) :m или (a : b): m (b:a):!) (a/a)/m или (c/b : a):m или (с/а :b):m (b:a): 2-m (b: a): m : а или (b : a): 2-1 (b:a):b:~a _ или (b : a): 2Qa Примечания и примеры Рис. 112—115 Рис. 117, 118 Рис. 126, 127 Выбор осей на рис. 116 соответ- соответствует установке plal = (b : а)^а = = (а:Ъ):~а Рис. 123—125, перенос с = -у (а + Ь) Рис. 130, 131 Выбор осей па рис. 121, 122 со- соответствует pbm2 — (Ь : а): Ъ.т = (Ь:а):2."б Рис. 119, 120 Междуна- Международный символ стт2 Р( pi mm plgm (p4bm) рЗ p3ml p31m рб рбтт Бескоординатный символ (a/a) :2-m или {c/b: a) :2-m (a : a): 1 (a: a) : 4 : m (a: a): 4®a~ _ или (a : a): 4Qb (a/a) : 3 (a/a) : m-3 (a/a)-m--3 (a/a): 6 (a/a) :m-6 Примечания и примеры Рис. 128, 129, перенос 1 с = -2"(а-|-Ь) Рис. 132-Ш Рис. 137, 138 Установка рис. 135, 136 отличает- отличается поворотом на 45° от междуна- международной Рис. 139, 140 Рис. 143, 144, 3-т в ориентиров- ориентировке Зт1 Рис. 141, 142, 3-т в ориентиров- ориентировке 31т Рис. 145, 146 Рис. 147, 148 Примечание. Координатные и бескоординатные символы согласованы с установкой осей на рис. 149. Изменение символов, связанное с изменением осей, отмечено в примерах. Знак © связывает непересекающиеся- параллельные элементы симметрии. В бескоординатной записи следующий за символом трансляционной группы (b/a), (b : а) или (с/Ь : а) элемент симметрии всегда перпендикулярен плоскости осей b, a и одновременно перпендикулярен или параллелен ближайшей в символе оси а в зависимости от использованного разделительного знака (: или •)• теме. Черные и-угольники изображают оси симметрии 2, 3, 4 и. 6, идущие перпендикулярно чертежу; сплошные толстые линии — плоскости симметрии то; штриховые толстые линии — плоскости скользящего отражения (а, Ь). Тонкие контурные линии (если они не совпадают с толстыми) определяют эле- элементарные ячейки орнаментов. С ребрами ячеек совпадают оси координат: по левому ребру сверху вниз идет ось а (X), по верхнему ребру слева направо — ось b (У); из точки пересечения осей a, b по нормали к чертежу идет ось с (Z). 9* 131
. Л Л л Рис. 150 Правильные системы асимметричных фигур (треугольников), соот- соответствующие 17 видам симметрии плоских орнаментов (по Бюргеру) Международный символ плоских пространственных групп конструируется следующим образом: на первом месте символа стоит символ трансляционной подгруппы р (р = (b/a), b Ф a, a =j= 90° для двух групп косоугольной системы; р = (b : a), b ф а, а = 90° для пяти и р — с = (У2 (а + b)/b : а) для двух центрированных групп прямоугольной системы; р = (а : a), b = а, а = 90° для трех групп квадратной системы; р = (а/а), b = а, а = 60° для пяти групп правильной треугольной (гексагональной) системы). Последующие три пози- позиции символа для младших групп (не содержащих осей ^> 2) заняты симво- символами осей симметрии, идущих вдоль X, Y, Z или плоскостей симметрии, пер- перпендикулярных X, Y, ?; при этом плоскость g обозначается буквой а или b (без знака тильды сверху) соответственно направлению вектора скользящего переноса по оси а или Ь. Для старших видов после буквы р указывается сим- символ оси п = 3, 4, 6, совпадающей с осью Z; далее идет символ плоскости, пер- перпендикулярной оси X; последним следует символ плоскости, перпендикуляр- перпендикулярной биссектрисе угла между соседпими эквивалентными осями X, связанными операциями п. Если указанные выше элементы симметрии отсутствуют, на соответствующих позициях символа ставятся единицы. В табл. 9 приведено 132
сопоставление международных обозначений с бескоординатными, которые мы использовали до сих пор и будем продолжать употреблять и далее. Рис. 149 может быть использован для составления по заданной симметрии любого сетчатого орнамента. Помимо проекций элементов симметрии, каждый вид можно однозначно охарактеризовать заданием правильной системы асим- асимметричных фигур, получаемой из одной фигуры, находящейся в общем поло- жепии, под действием всех преобразований группы. Для построения эквива- эквивалентных систем общего положения на рис. 150 у всех видов в качестве исход- исходной взята одна и та же элементарная фигурка в форме черного прямоуголь- прямоугольного треугольника. Во избежание путаницы отметим, что расположение пра- правильных систем на рис. 150 не соответствует расположению проекций видов симметрии на предыдущем рисунке. Для читателя, рассчитывающего при- применять на практике полученные из этой книги сведепия, было бы полезно про- провести сопоставление обоих рисунков и самому установить расположение элементов симметрии на проводившихся выше примерах орнаментов. Сетчатый орнамент в природе, технике и искусстве Бесконечный плоский орнамент широко применяется человеком в самых раз- разнообразных случаях: при изготовлении бумажных обоев, укладке паркетных и керамических полов и черепичных крыш, облицовке стен керамикой и декоративным камнем, в кирпичной и каменной кладках, при мощении улиц и площадей, в процессах окраски тканей, в коврах и вязаных трикотажных изделиях, при плотной укладке и упаковке одинаковых предметов, штамповке большого количества стандартных предметов из металла или пластмассы, для декоративной живописи и т. д. В природе бесконечный орнамент встречается в расположении чешуи рыб, клеточек в биологических тканях, ячеек в пчелиных сотах, чешуек в шишках хвойных деревьев. Особый интерес представляют плоские орнаменты кри- кристаллических граней, т. е. плоские сетки из атомов, ионов или молекул. Мы, конечно, не видим непосредственно это расположение, но можем судить о нем на основании структурного рентгенографического или электронографического анализа или растровой микроскопии. Анализируя те впечатления, которые мы получаем, рассматривая сетча- сетчатые орнаменты, можно установить несколько закономерностей, позволяющих художнику сознательно выбирать тот или иной вид симметрии для получения определенного зрительного эффекта. Например, орнаменты с косыми осями пе- переносов и без плоскостей симметрии (см. рис. 112, 113) особенно пригодны в тех случаях, когда рисунком желательно подчеркнуть движение по косым направлениям. С такой задачей художник встречается при декорировании стен лестничных клеток, вестибюлей, экскалаторов, наклонных тоннелей мет- метро, оград мостов, имеющих форму арок и т. д. Орнаменты без вертикальных плоскостей симметрии, обладающие горизон- горизонтальной осью переносов, (см., например, рис. 115, 117), подчеркивают движе- движение по горизонтальной плоскости в каком-нибудь одном направлении и могут с успехом применяться для декорирования горизонтальных проходов метро и коридоров. Плоскости симметрии как бы затормаживают движение в перпендику- 133
лярном к ним направлении; поэтому, например, орнаменты, показанные на рис. 121, 123 и т. д., кажутся неподвижными по горизонтали. Наличие двой- двойных осей у рис. 121 создает представление о двустороннем движении вниз и вверх, а отсутствие их на рис. 123 вызывает впечатление движения только вверх или вообще в одну сторону по вертикали. В соответствии с этим рис. 121 подходит для украшения горизонтальных потолков и полов коридоров, а рис. 123 — для полов и потолков на подъеме или спуске, например, в на- наклонных проходах метро. Наличие нескольких систем плоскостей симметрии, горизонтальных и вертикальных (см. рис. 128, 130, 137, 147), создает впечат- впечатление покоя, монументальности, неподвижности, тяжести; соответствующие виды симметрии наиболее подходят для декорирования стен и потолков таких помещений, которые предназначены для спокойного в них пребывания (биб- (библиотеки, аудитории). Интересно, что виды симметрии типа (Ь : а) : 1-т (см. рис. 128 и 130) издавна применяются для обоев, а более симметричные виды, осуществленные на рис. 137 и 147,— для паркетов, плафонов, оконных вит- витражей из цветных стекол и т. д. Своеобразное беспокойное впечатление произ- производят орнаменты, у которых главную роль играют плоскости скользящего отражения (см. рис. 116, 120). Не находя более подходящих слов, мы могли бы сказать, что фигуры в этих орнаментах шевелятся, ворочаются, ползают, если угодно — «кишат». Эти случаи симметрии встречаются реже других, так как они более трудны для построения и восприятия; они могут найти примене- применение, например, для оформления ярмарочных помещений, мест для гуляний и т. д. Большой интерес представляют орнаменты, характеризуемые тройными, четверными и шестерными осями без плоскостей симметрии (см. рис. 132, 139, 145). Большая динамичность таких орнаментов позволяет рекомендовать их для полов и потолков танцевальных и других помещений, предназначенных для больших скоплений беспорядочно движущихся людей. Наряду с орнамен- орнаментами типа рис. 116 их можно использовать для декорирования площадей в парках культуры, арен цирковых павильонов, развевающихся полотнищ и т. д. Своеобразное впечатление покоя в целом и движения в деталях производят орнаменты, в которых обычные плоскости симметрии чередуются с плоскостями скользящего отражения (см. рис. 12, 135, 142). Доминирующее впечатление покоя или движения в данном случае в сильнейшей степени зависит от ориен- ориентировки орнамента по отношению к его рамке или к вертикальной и горизон- горизонтальной линиям. Например, рис. 12 при той ориентировке, какая ему придана в книге, производит преобладающее впечатление движения; плоскости симмет- симметрии при невнимательном рассматривании орнамента ускользают от наблюдения. С другой стороны, рис. 135, имеющий ту же симметрию, что и рис. 12, ско- скорее производит впечатление покоя, чем движения, так как в этом случае пло- плоскости симметрии орнамента проходят параллельно рамке, совпадая при нор- нормальном положении книги с вертикальной и горизонтальной линиями. Об эф- эффекте ориентировки плоскостей симметрии мы будем говорить еще на стр. 156. Мы остановились довольно подробно на роли симметрии в формировании того впечатления, которое возникает у зрителя при рассмотрении сетчатых ор- орнаментов. Само собой разумеется, что симметрия отнюдь не единственный фак- фактор возпикновения эстетического чувства. Определяя закон строения орна- орнамента, симметрия в декоративном искусстве играет ту же роль, какую играет перспектива в живописи. 134
Суперпозиция сетчатых орнаментов и ее технические применения. Формула Вульфа — Брэгга. Биения Если взять два небольших A0 X 10 см) куска тонкой материи (нейлон, кап- капрон, шелк), наложить их друг на друга так, чтобы волокна пересекались под малыми углами E —10°), зажать сложенные куски между двумя пластинками стекла и наблюдать препарат в проходящем свете, мы увидим то, что принято называть муаром,— явление, широко распространенное в природе и использу- используемое в науке и технике (рис. 151). Несимметричность рисунков муара вызыва- вызывается несовершенством интерферирующих между собой сеток; если бы последние были построены более правильно, то вместо расплывчатой фигуры муара воз- возникла бы правильная вторичная картина. G этим явлением постоянно встреча- встречаются в полиграфии лица, занимающиеся фотографированием через растры, т. е. через очень мелкие черные сетки, нанесенные на пластинках стекла, с целью репродукции картин в печати. Не всегда, однако, «растр-эффект» является помехой для работы. В известных случаях он может быть использован для соз- создания великолепных орнаментов для тканей, обоев и т. п. Чтобы понять, как возникает при суперпозиции двух бесконечных плос- плоских орнаментов вторичная картина, разберем простейший случай наложения друг на друга двух тождественных систем параллельных полос. Рис. 152 пока- показывает, что в результате взаимодействия, или интерференции двух первич- первичных систем полос возникает вторичная система более широких полос с ббль- шим периодом повторяемости, чем у первичных полос. В действительности эти Рис. 151 Муар, наблюдаемый при нало- наложении друг на друга двух кус- кусков шелковой ткани 135
вторичные широкие полосы представляют собой не что иное, как зигзаги, образованные первичными по- полосами. Уменьшая щели между первичными поло- полосами до размеров (порядка 0,1 мм и менее), не позво- позволяющих различать простым глазом отдельные полосы, можно получить такой рисунок, в котором будут вид- видны только вторичные полосы, воспринимаемые как увеличенное изображение одной из первичных картин. Простые математические выкладки приводят к следующей зависимости, связывающей размер А. пер- первичного периода (равного ширине одной полосы, сло- сложенной с шириной промежутка между полосами), размер d вторичного периода и угол 20, под которым пересекаются первичные системы полос между собой, Иными словами, величина первичного периода равна удвоенному произведению вторичного периода на синус половинного угла, под которым первичные системы полос пересекаются между собой. Получен- Полученное выражение полностью совпадает с известной фор- на друга двух первичных систем муЛОЙ Вульфа — БрЭГГЭ, объясняющей ЯВЛвПИе полос Рис. 152 Возникновение вторичной структуры при наложении друг Рис. 153 При наложении друг на друга правильных квадратных сеток возникает вторичная увеличен- увеличенная сетка той же формы 136
i 1 A i i Рис. 154 Сетиа из косоугольных тре- треугольников для получения"вто- ричных структур, изображен' ных на рис. 155 и 156 Рис. 155 Результат интерференции двух сеток из косоугольных треуголь- треугольников (рис. 154) при малом угле поворота ±20 137
дифракции рентгеновских лучей при их прохождении через кристаллы. Вели- Величина Я, в формуле Вульфа — Брэгга соответствует длине волны рентгеновских лучей, d — расстоянию между атомными плоскостями кристалла, отражаю- отражающими лучи, 0 — углу падающего луча с нормалью к отражающим плоско- плоскостям. Эта аналогия позволяет свести всю геометрическую рентгенографию кристаллов к явлению муара (см., например, книгу Больмана A970)). Если теперь заменить обе системы параллельных полос двумя одинаковыми квадратными' сетками, то при достаточно малом угле 20 получим вторичную картину, которая снова будет простым увеличенным, несколько размытым изо- изображением первичных сеток (рис. 153). Величину сторон первичных квадра- квадратиков можно вычислить по углу поворота первичных сеток относительно друг друга и по размерам петель вторичной сетки, пользуясь приведенной выше ¦формулой, которая оказывается справедливой и для этого случая. В обоих предыдущих случаях было безразлично, накладываем ли мы фигу- фигуры друг на друга под малым углом ±20 или под углом 180° ± 20, так как взятые нами фигуры имели перпендикулярные к ним оси симметрии второго порядка. Существенное различие в результатах для обоих углов поворота по- получится, если мы в качестве первичного возьмем орнамент, не обладающий осями второго порядка, например систему косоугольных треугольников (рис. 154). Как показывает рис. 155, при малом угле поворота 29 вторичная картина представляет собой нечто вроде системы эллипсов, в то время как при угле по- поворота 180° ± 20 вторичный орнамент (рис. 156) состоит из косоугольных Р п с. 156 Результат интерференции двух сеток из косоугольных треугольников (рис. 154) при угле поворота 180° ±2Э Вторичная структура состоит из мозаичных косоугольных тре- треугольников той же формы, какую имеют элементарные треуголь- треугольники исходных сеток . . \ V \ * » V \ \ \ V » » % Ч V v \ V Ч >¦ , V V \ V Ч » \ \ V Ч s » % Ч N v \ \ \ V \ V Ч N v \ \ ч I \ \ \ Ч • » % V V » \ \ V Ч » » Ч Ч ч • • Ч v ч \ Ч V N Ч S ч ' \ V V v v \ * Ч х \ \ \ \ » » Ч \ i \ \ Ч Ч » % Ч Ч ч 138
Рис. 157 Сетка из равнобедренных тре- треугольников для получения вто- вторичной структуры, изображен- изображенной на рис. 158 Рис. 158 Вторичное увеличенное мозаич- мозаичное изображение сетки из равно- равнобедренных треугольников (рис. 157) при угле поворота 180° ±29 » • » # » < I I I '111 > t • * w 1 I t I > «III» I I | I ' 139
Рис. 159 Результат интерференции двух систем колец, расположенных по узлам ромбической сетки При малых углах вращения вторичная мозаичная структу- структура напоминает первичную сис- систему колец; по мере увеличе- увеличения угла вращения размеры элементарных ячеек и диаметр колец уменьшаются 140
Рис. 160 То же, что и на рис. 159, только при еще больших углах вра- вращения Вторичная структура уже не может считаться увеличенным изображением первичной. Од- Однако симметрия вторичных се- сеток остается неизменно ромби- ромбической при любом угле пово- поворота одной первичной сетки относительно другой 141
треугольников и может рассматриваться как увеличенное изображение пер- первичной картины. Подробное рассмотрение показывает, что всякий бесконечный симметричный плоский орнамент может быть получен в увеличенном виде при суперпозиции двух одинаковых орнаментов под углом 180° ± 20, если угол 20 достаточно мал и если первичный орнамент имеет достаточное количест- количество периодически повторяющихся маленьких элементарных фигур. На прак- практике часто бывает трудно осуществить эти условия, поэтому опыт сравнитель- сравнительно хорошо удается только с элементарными фигурками простейшего вида (рис. 157 и 158). Посмотрим теперь, что произойдет в результате интерференции двух оди- одинаковых орнаментов при всевозможных углах поворота. Для примера возьмем систему колец, расположенных по узлам ромбической сетки (рис. 110, г). Как видно из рис. 159 и 160, при малых углах 20 вторичная фигура может быть с известной оговоркой (вследствие недостаточности числа элементарных фигур) названа увеличенным изображением первичной. По мере роста угла 26 степень увеличения падает. Далее орнамент начинает существенно изменять свой вид, сохраняя, однако, неизменной симметрию ромбической сетки. При- Приведенный ряд рисунков показывает, какой богатый ассортимент орнаментов, подходящих, например, для обоев и тканей, можно получить чисто механи- механическим наложением друг на друга под разными углами двух тождественных периодических структур. В связи с такой возможностью возникает целый ряд вопросов. Можно, например, спросить: какой эффект получится от суперпози- суперпозиции негатива и позитива одной и той же периодической фигуры? Опыт, про- проделанный уже встречавшимся нам рисунком, состоящим из колец, расположен- расположенных по узлам ромбической сетки, показывает, что в центрах вторичной системы шестиугольников возникают темные круглые пятна (рис. 161). Очень интересны вопросы взаимного влияния симметрии накладываемых друг на друга фигур, суперпозиции общих и частных эквивалентных систем, от- относящихся к одному и тому же виду симметрии, взаимодействия правых и ле- левых орнаментов или фигур, окрашенных в разные цвета, и т. д. (рис. 162). Все Рис. 161 В результате интерференции позитивной и негативной си- систем колец возникает вторич- вторичная структура типа пчелиных сот с теиными пятнами, распо- расположенными по узлам ромбиче- ромбической сетки, лежащей в основе первичных орнаментов 142
Рис. 162 Интерференции правого и левого позитивов из асимметричных треугольников (рис. 154) при- приводит к повышению симметрии Во вторичной периодической структуре присутствуют плос- плоскости симметрии Рис. 163 Интерференция левого пози- позитива с правым негативом На рисунке четко выявлены ьторичные узлы квадратной сетки, на основе которой пост- построены структуры первичных ор- орнаментов 143
Рис. 164 «Биении» при интерференции двух параллельных систем полос Длины первичных волн Д., = = 1,191 мм, к, = 1,60 мм, длина вторичной волны L = = 9,86 мм (приближенно) Рис. 165 Вырезывание орнаментов из бу- бумаги При многократном складыва- складывании прямоугольного листа бу- бумаги но линиям, параллельным сторонам листа, получаются орнаменты с плоскостями сим- симметрии и осями второго поряд- порядка. Следы плоскостей симметрии проходят по линиям сгибов; оси симметрии выходят в точ- точках пересечения плоскостей эти вопросы почти совершенно пе изучены, но их можно исследовать с применением принципа симмет- симметрии для составных систем, с которым мы познакомим- познакомимся в заключительной главе. Несмотря на огромное разнообразие вторичных форм, получаемых в результате наложения бесконеч- бесконечных орнаментов друг на друга, формула Я, = 2d-sin 6 остается справедливой во всех случаях, когда в ос- основе двух взятых орнаментов лежит одна и та же сет- сетка и когда угол 20 не слишком велик. Так, на рис. 163 (суперпозиция позитивного левого орнамента с негативным правым) можно видеть, как ясно выраже- выражена во вторичной картине квадратная сетка, лежащая в основе первичных орнаментов, состоящих из рядов маленьких косоугольных черных (в позитиве) и бе- белых (в негативе) тругольников. Определенные по чертежу коэффициент увеличения сетки (т. е. величи- величина d/A.) и угол 20 хорошо коррелируют друг с другом, что показывает полную применимость формулы для данного случая. В заключение остановимся еще на случае наложе- наложения друг на друга в параллельном положении двух систем полое с различными периодами (рис. 164). Этот случай интересен тем, что он геометрически иллюстрирует явление биения, известное из акусти- акустики, оптики, радиотехники и других областей волно- волновой физики. Это явление состоит в том, что при рас- распространении в одном направлении двух систем пло- плоских волн, немного отличающихся по длине волны, возникают вторичные более длинные волны, вос- 144
принимаемые в случае акустики как периодическое усиление и ослабление звука (биения). Такие биения легко осуществить, заставляя звучать одновременно два камертона, настроенные почти на один тон. На практике для этого опыта берут два одинаковых ка- камертона и один из них слегка расстраивают кусочком воска, приклеенным на одну из вибрирующих ножек камертона. Геометрически биения, возникающие при наложе- наложении друг на друга двух систем параллельных полос, представляются в виде сгущений и разрежений. В конкретном случае расстояния между ближайшими полосами первой системы, продолженной па рис. 164 влево, равны Ах = 1,91 мм; во второй системе полос, продолженной вправо, соответствующие расстояния равны Я2 = 1,60 мм. Обе величины можно назвать длинами первичных интерферирующих волн. Рассто- Расстояние /- = 9,86 мм между ближайшими сгущениями можно отождествить с длиной вторичной волны или волны биений. Более подробное рассмотрение зависимости между этими величинами приводит к формуле, которая дает возможность вычислить длину вторичной волны L, если известны длины Ях и Я2 интерферирующих волн: Рис. 166 Вырезывание орнаментов из бумаги. Орнамент с плоскостями симметрии и осями 4, 2 Вырезывание сетчатых орнаментов из бумаги Для вырезывания сетчатых орнаментов можно взять лист бумаги в форме прямоугольника, квадрата, пра- правильного треугольника или шестиугольника. Если исходная форма листа — прямоугольник, то в резуль- результате многократного складывания его пополам по ли- линиям, параллельным сторонам прямоугольника, и дальнейшего вырезывания получим узор с плоско- плоскостями симметрии и осями второго порядка (рис. 165). Если исходить из квадрата и перегибать его пополам не только в направлении сторон, но и по диагоналям, то придем к орнаменту с плоскостями симметрии и четверными осями (рис. 166). Из правильного тре- треугольника или шестиугольника, если первый склады- складывать по биссектрисам, а второй — по направлениям, параллельным сторонам вписанного треугольника, можно получить узор с плоскостями симметрии и тройными осями (рис. 167); если в шестиугольнике перегибы делать также по биссектрисам углов исход- Р и с. 167 Вырезывание орнаментов из бу- бумаги. Орнамент с плоскостями симметрии и осями 3. Оси симметрии выходят в точках пе- пересечения трех плоскостей 10 А. В. Шубников, В. Л. Копцнк 145
P iTc. 168 Вырезывание орнаментов из бу- бумаги. Орнамент с плоскостями симметрии и осами 6, 3,2 Рис. 169 Сетчатый орнамент получен наклеиванием на черный фон одинаковых белых фигур, выре- вырезанных из стопы бумаги ной фигуры, то возникнут и оси шестого порядка (рис. 168). Указанные приемы вырезывания приводят к (голоэдрическим) фигурам, наиболее богатым эле- элементами симметрии, совместимыми с существованием определенных сеток. Вырезывание одним приемом узоров без плоскостей симметрии или с уменьшенным их числом (по сравнению с разобранными случаями) представляет известные трудности. В этих случаях целесообразно сначала вырезать из стопки бумаги достаточное число разрозненных розеток, а затем на- наклеивать их на бумагу или картон иного цвета, как на фон, руководствуясь законами симметрии плоских орнаментов или законами симметрии слоев (см. ни- ниже). В последнем случае приходится считаться не- нетолько с лицевой, но и с оборотной стороной бума- бумаги. На рис. 169 показан образец плоского орнамента, вырезанного этим способом. Калейдоскопы для сетчатых орнаментов С помощью калейдоскопов можно построить только четыре голоэдрических вида орнаментов; те же орна- орнаменты получаются из бумаги после надлежащего ее- складывания и вырезывания. Призматическое рас- 146
положение зеркал по сторонам прямоугольника от- отражающими поверхностями внутрь приводит к орна- орнаментам типа (Ъ : а) : 1-т (рис. 170, а). Исходный предмет помещается внутри призмы. Зеркала, рас- расположенные по равнобедренному прямоугольному треугольнику, приводят к орнаменту типа (а : а) : : А-т (рис. 170, б). Калейдоскоп из зеркал, располо- расположенных по сторонам правильного треугольника, да- дает возможность получать орнаменты типа (а/а) : т-3 (рис. 170, в). Наконец, калейдоскоп из трех зеркал, расположенных по сторонам прямоугольного тре- треугольника с острыми углами 30° и 60°, позволяет получать орнаменты типа (а/а):т-6 (рис. 170, г). Практически описанные калейдоскопы склеиваются из полосок зеркал; дпо призмы делается из матового стекла. В калейдоскоп рассматривается картина, начерченная непосредственно на матовом стекле, или какой-либо предмет, прикладываемый к матовому стеклу с внешней стороны или помещаемый внутрь калейдоскопа. В первых двух случаях калейдоскоп держат горизонтально, направляя его на сгет; в по- последнем калейдоскоп приводят в i ертикалыюе поло- положение, освещая снизу. Параллелогоны и плапигоны, их использование для паркетов Мы ужо неоднократно встречались с вопросами заполнения плоскости равными фигурами без пропус- пропусков и промежутков. Если эти фигуры при заполне- заполнении плоскости располагаются иараллельно друг другу и представляют собой многоугольники, то их на- называют параллелогопами. Параллелогопами могут быть только параллелограммы всех видов или шести- шестиугольники, в которых каждой стороне есть равная и параллельная. Других параллелогонов быть но Р и с. 170 Четыре калейдоскопа для полу- получения плоских орнаментов Рис. 171 Параллелогоны — фигуры, за- заполняющие плоскость без пере- перекрытий и промежутков при па- параллельных переносах Получаются деформациями рас- растяжения и сжатия квадрата и правильного шестиугольника 10s 147
Рис. 172 Все способы деления параллелого- нов на равные части (планигоны) может. В соответствии с этим можно различать следующие восемь типических параллелогонов: четыре параллелограмма (квадрат, прямоугольник, ромб, косой параллелограмм) и четыре шестиугольника (правильный шестиугольник; ше- шестиугольник, вытянутый по медиане противоположных сторон; шестиугольник, вытянутый по биссектрисе противоположных углов; косой шестиугольник) (рис. 171). Чтобы перейти от параллелогонов к планигонам, т. е. к равным многоуголь- многоугольникам, заполняющим плоскость без пропусков и промежутков в положениях, различающихся поворотами вокруг осей или отражениями в плоскостях симмет- симметрии, достаточно разделить каждый параллелогон на равные части в соответствии с предполагаемой симметрией планигона. Например, квадрат (в обычном смы- смысле) может быть разделен на равные части восемью способами (рис. 172, 19—26). Если мы принимаем его за асимметричную фигуру, то он не может быть разделен более чем на одну часть, т. е. остается без изменения {19), будучи одновременно и параллелогоном и планигоном. Если мы приписываем квадрату симметрию 2-т, то он может быть разделен на части двумя способами B0, 21); в предположении симметрии 2 он делится на два трапециевидных четырехуголь- 148
ника B2); при симметрии 4»т квадрат делится двумя способами на четыре части B3, 25) и одним способом — на восемь частей B6), а при симметрии 4 делится одним способом на четыре части B4). Совершенно аналогично мож- можно разделить на равные части и все планигоны. Как показывает рис. 172, су- существует всего 48 способов деления параллелогонов на планигоны; однако при заполнении плоскости некоторые из этих 48 разделенных на части параллело- параллелогонов приводят к одинаковым результатам: например, параллелогоны 19 и 23 образуют простую квадратную сетку; параллелогоны 21, 25, 26 дают паркет разного рисунка, составленный из равнобедренных прямоугольных треуголь- треугольников и т. д. Вопрос о заполнении плоскости планигонами, очевидно, является частным случаем более общей задачи о заполнении плоскости равными фигурами, ко- которой мы занимались выше. Этот частный случай имеет практическое значе- значение при создании рисунков паркетов для покрытия полов, улиц и т. д. Правильные системы точек. Закон Сохранения произведений кратности точек на их относительные числа Мы уже встречались с понятием симметричных (правильных) систем точек для конечных фигур. Это понятие нетрудно перенести и на бесконечные плоские фигуры. Пусть нам дан какой-либо бесконечный плоский орнамент (рис. 173). Возьмем в нем одну произвольную точку (на рисунке — любой черный кружо- кружочек) и отметим все другие точки, эквивалентные выбранной; тогда вся полу- полученная совокупность точек образует простую правильную (или эквивалентную) систему точек. Если прибавить к ней вторую, третью и т. д. системы (белые кружки, двойные кружки), получим сложные (составные) системы точек. Если исходная точка простой системы не лежит на оси или плоскости симметрии и не находится в центре симметрии, то полученная совокупность называется системой эквивалентных точек общего положепия (черные кружки); в противном случае получаются частные системы (белые и двойные кружки). Число точек каждого сорта в бесконечном орнаменте равно бесконечности, но в пределах элементарной ячейки этих точек, связанных друг с другом операциями симмет- симметрии, конечное число. Исследование рис. 173 показывает, что на каждую изображенную двойным кружком точку приходится по три точки, изображенных белыми кружками, Рис. 173 Правильные системы точек для вида симметрии р 31 т = = (а/а)т-3 Показана лишь часть элемен- элементарной ячейки, полностью при- приведенной на рис. 149. Сплош- Сплошные линии — плоскости сим- симметрии, штриховые — плоскос- ми скользящего отражения. Оси симметрии а на рисунке не показаны 149
и по шесть точек, изображенных черными кружками. Кратность черных точек равна единице, кратность белых — двум, кратность двойных кружков — шести. Бели бы мы стали перемещать черную точку в другое положение, то в момент пересечения ею плоскости симметрии две черные точки слились бы в одну. При пересечении ею оси и одновременно трех плоскостей симметрии — шесть точек слились бы в одну. Отсюда следует, что взятые в расчете на ячейку относитель- относительные числа щ точек различных сортов относятся друг к другу как обратные величины соответствующих кратностей s{: 1 1 1 щ: пг: г>3: ... ^-- — : — :—:... Во всяком орнаменте можно найти точки с кратностью s — 1; обозначая относительные числа этих точек через п, предыдущее отношение можно запи- записать следующим образом: 1 1 п :«j :пг: . . . — 1: — : — :..., или " = "r-V Иными словами, произведение относительного числа точек данного сорта на их кратность для данного орнамента — величина постоянная. Так, для рас- рассматриваемого орнамента произведение кратности па относительное число точек всегда будет равно шести, где бы ни выбрать исходную точку для построе- построения симметричной системы; для черных кружков это произведение равно 1x6, для белых — 2x3, для двойных кружков — 6x1. Для вывода симметричных систем точек нот необходимости строить весь плоский орнамент. Достаточно задать только совокупность элементов симмет- симметрии на некотором его участке, например, на элементарной ячейке (см. рис. 149). Помещая точку в то или иное положение по отношению к заданным элемен- элементам симметрии и размножая ее последпими, легко построить любую систему эквивалентных точек, отвечающую данному виду симметрии. Плоские изогоны и изоэдры. Паркеты Изогоно.ч называется такой многогранпик, в каждой вершипо которого сходит- сходится одинаковое число ребер. Мы будем интересоваться только типическими изо- изогонами, в которых пучки ребер, сходящихся в каждой вершине, совместимо или зеркально равны друг другу. Примерами типических изогопов могут слу- служить все правильные многогранники. Чорез все воршипы любого типического изогона мождо описать сферу. Если радиус сферы становится бесконечно большим, то поверхность сферы переходит в плоскость. Типический изогон, отвечающий шару с бесконечно большим радиусом, называется плоским. В об- общем случае плоский изогон состоит из нескольких сортов многоугольников (граней плоского изогона), заполняющих плоскость без промежутков. В каждой вершине илоского изогона сходятся геометрически равные (копгруэнтные или зеркальные) пучки ребер изогона (стороны многоугольников). Для построения плоских изогопов выбираем один из 17 видов симметрии сетчатых орна- орнаментов. Пользуясь рис. 149, наносим на бумагу расположение элементов сим- симметрии, отвечающих выбранному виду симметрии. Затем берем произвольную 150
л < X < л X X X 1 X X Л А X ) X X X ) XXX) V v V v б 10 Р и с. 174 Полные плоские изогоны 1—12 1 17 Р и с. 175 Полные плоские мяогоны 13—24 21 и \ \ \ \ - / - 22 23 24 151
6 27 / A \ I/ / / \ \ / у y\ - ллл A A A 31 Рис. 176 Полные плоские изогоны 25—35 неполный изогон 36 Рис. 177 Неполные плоские изогоны 37—48 ш 38 39 <у-<>-^ 46 152
л \ \ \\ \ \/ \ \ \ у л /4 56 \ \ \ > \ \ \ К v к \ \ \\ \ \ \ \ v\ 60 P н с 178 Неполные плоские изогоны 49—60 точку и размножаем ее симметрическими преобразованиями, соответст- соответствующими имеющимся элементам симметрии. Полученную систему эквивалентных точек и кладем в основу построения изогонов. Для этого во всех случаях поступаем следующим образом. Соединяем отрезком прямой каждую точку системы с ближайшей точкой. Продолжаем процесс до тех пор, пока это оказывается возможным, не допуская пересечений прямых в каких-либо иных точках, кроме данных. Если имеется несколько равных кратчайших рассто- расстояний, то проводим все отвечающие им прямые, если они между собой не пере- пересекаются, и не проводим ни одной, если они взаимно пересекаются. На рис, 174— 176 под номерами 1—35 даны построенные этим способом плоские изого- изогоны для различных видов симметрии. Разберем для примера, как был построен изогон 2, изображенный на рис. 174. Для построения простой эквивалентной системы точек взят вид симметрии (а/а): т-6 (см. рис. 149). Исходная точка А выбрана на плоскости симметрии между шестерной и тройной осями симметрии. Поворотами на соот- соответствующие углы вокруг шестерных и тройных осей из точки А выводятся все прочие точки эквивалентной системы. Точку А соединяем с двумя ближайшими к ней точками; то же делаем со всеми другими точками системы. В результате вычерчиваются все показанные на рисунке шестиугольники. Далее точку А и все другие точки нашей системы соединяем со следующими по близости к ним точками, в результате чего возникают все треугольники. На этом процесс 153.
Рис. 179 Построение плоского изоадра (толстые линии) для заданного плоского изогона (тонкие линии) построения плоского изогона заканчивается. В самом деле, если бы мы соединили точку А со следующей ближайшей точкой, расположенной на про- противоположном конце прямоугольника, то нам пришлось бы провести и вторую диагональ, отчего возпикла бы новая точка, не припадлежащая к простой системе, а именно точка пересечения диагоналей прямоугольника, что по условию недопустимо. По окончании построения изогона все вспомогательпые точки и линии, изображавшие оси и плоскости симметрии, убираются. При построении плоских изогонов одинаковые результаты могут получиться и в тех случаях, когда исходные виды симметрии различны. Например, пло- плоский изогон 6 на рис. 174 может быть построен при надлежащем выборе исход- исходной точки из вида симметрии (а/а)-т-6 или из вида (а/а) : яг-3 (см. рис. 149). Получается кажущееся противоречие: плоский изогон может иметь не ту симметрию, которая была положена в основу его построения. В данном случае мы встречаемся с тем же явлением, которое было подробно рассмотрепо на примере пяти кубов различной симметрии. Мнимое противоречие возникает потому, что при построении изогонов игнорировалось физическое равенство фигур и направлений; оно может быть целиком устранено надлежащей обра- обработкой (раскраской, штриховкой) рисунка. Построенные выше изогоны мы будем называть полными в отличие от неполных, которые можно получить из них, исключая те или иные отрезки с условием, чтобы остающиеся отрезки разбивали плоскость па выпуклые многоугольники. На рис. 176—178 под номерами 36—60 показаны примеры неполных плоских изогонов, полученных таким способом. Например, неполный плоский изогон 36, показанный на рис. 176, получается из полного изогона 8 (см. рис. 174) путем исключения диагоналей параллелограммов; изогон 40 (рис. 177) получается из изогона 19 (рис. 175) при удалении коротких диаго- диагоналей ромбов и т. д. 154
Рис. 180 Смешение стилей симметрии. Орнамент состоит из трех ри- рисунков разной симметрии Штриховой линией выделена элементарная ячейка общей для всех рисунков группы р2 = = (Ь/а) : 2 От типических плоских изогонов легко перейти к типическим плоским изо- эдрам, т. е. к таким плоским бесконечным фигурам, которые состоят из равных многоугольников, заполняющих плоскость без пропусков и промежутков. От рассмотренных выше плоских многоугольников (планигонов) эти многоугольни- многоугольники отличаются тем, что они необязательно должны быть частями параллело- параллелотопов (многоугольников с параллельными сторонами). Для построения пло- плоских изоэдров берем плоские изогоны и проводим через середины их ребер прямые, которые после взаимного пересечения образуют выпуклые многоуголь- многоугольники плоских изоэдров. Рассмотрим для примера рис. 179. На нем тонкими линиями показан один из встретившихся нам изогонов A9). Толстые линии проходят через середины топких, перпендикулярно к последним, и в совокуп- совокупности образуют систему равных гаэзтиуголышков. Смешение стилей и особенности восприятия вертякаишых плоскостей В самом начале этой книги мы уже говорили о составных фигурах, части которых характеризуются в известном смысле противоречивой симметрией. К таким фигурам можно отнести квадрат, внутри которого вписан правиль- правильный треугольник. Рассматривая эту фигуру по частям, мы должны признать ее симметричной; в целом же она асимметрична, если пе принимать плоскость чертежа за плоскость симметрии. Явление смешения стилей можно часто наблюдать в бордюрах и сетчатых орнаментах. Интересно, что это явление может и не вызывать неприятного впечатления у зрителя, а, наоборот, за- заставить его более активно рассматривать рисунок и искать в нем замаски- замаскированные закономерности. В этом можно убедиться, сравнивая между собой рис. 179 и 180. 155
Первый из них характеризуется только одним видом симметрии. При всей сложности композиции рисунка расшифровка скрытых в нем закономерно- закономерностей благодаря наличию плоскостей симметрии производится очень быстро и легко. Во втором рисунке можно различить три вида симметрии. Тонкие линии образуют орнамент с симметрией (а : а) : 4. Толстые линии, разделяющие плос- плоскость на шестиугольники, составляют орнамент с симметрией (с/b : а) : 2-т. Наконец, толстые зигзагообразные линии образуют орнамент с симметрией (Ь/а) : 2. При внешнем различии узоров и их групп симметрии согласование орнаментов обеспечивается нетривиальной общей подгруппой р2 = (Ь/а) : 2, элементарная ячейка которой выделена на рис. 180 штриховой линией. Под действием преобразований все три орнамента одновременно совпадают. На первом рисунке можно проверить еще одну особенность вертикальных плоскостей симметрии. Если повернуть рис. 179 так, чтобы его плоскости сим- симметрии заняли косое положение, то орнамент сразу «оживает», становится беспо- беспокойным; плоскости симметрии перестают играть роль элементов симметрии, определяющих первое впечатление от рисунка, и уступают в этом смысле место осям симметрии. При попытке объяснить это явление невольно появляется мысль о том, что вертикальная плоскость симметрии человека, вернее, симметрия его зрительного аппарата, как бы вносится в симметрию наблюдаемого объекта. В свое время Мах иллюстрировал более легкое восприятие вертикальных плоскостей симметрии по сравнению с горизонтальными тем, что дети очень часто путают латинские буквы р и q или d и Ь, связанные между собой верти- вертикальной плоскостью симметрии, но никогда не смешивают букв ри Ьилияий, О том, что между этими четырьмя буквами существует более тонкая симмет- симметричная связь по оси второго порядка (р и d; q иЬ), Мах, по-видимому, не знал. Односторонние плоские континуумы До сих пор мы рассматривали только дискретные двумерно-периодические фигу- фигуры (сетчатые орнаменты), которые обладали односторонней особенной плоско- плоскостью; изнанкой этих фигур мы не интересовались, предполагая, что она от- отличается от лицевой стороны и не может быть совмещена с нею симметричес- симметрическими преобразованиями. Переходя к непрерывным двумерным пространствам -^ континуумам, т. е. к обычным плоскостям, мы и среди пих должны различать, плоскости двусторонние, у которых обе стороны равны друг другу, и плоскости: односторонние, или полярные, у которых «лицо» отличается от «изнанки» или, если угодно, у которых есть только лицевая сторона, а изнанки нет совсем. С первого взгляда кажется, что все эти рассуждения надуманны и что сам воп- вопрос о непрерывных бесконечных плоских фигурах (или пространствах) являет- является нелепым, так как, кроме привычной нам евклидовой плоскости, никаких других плоскостей представить себе нельзя. На самом же деле можно не только, представить, но и осуществить бесконечное множество плоскостей, отличаю- отличающихся друг от друга своими свойствами, в частности симметрией. Для этого, нужно отказаться от привычного элементарно-геометрического рассмотрения фигур вообще и плоскостей в частности и принять, что всякая реальная по~ верхность есть прежде всего граница, разделяющая два тела, обладающих в. общем случает различными комплексами физических свойств. Для удобства математического рассмотрения можно как угодпо идеализировать эту границу,, 156
не забывая, однако, о том, что и она обладает физи- физическими свойствами. Наиболее простым для понимания и вместе с тем наиболее симметричным является однородное одно- одностороннее двумерное пространство, представление о котором дает кусок плоского картона, лицевая сто- сторона которого выкрашена равномерно одной крас- краской, а изнанка так же равномерно другой. Легко про- проверить, что все точки такой «фигуры» обладают сим- симметрией оо • т, т. е. через каждую точку по нормали к поверхности проходит полярная ось симметрии оо с бесконечным числом продольных плоскостей т. Символ симметрии однородной односторонней пло- плоскости можно записать в виде (а0 : а0) : оо • т, так как такую плоскость можно построить непрерыв- непрерывными переносами (<z0 : а0) точки с симметрией оо • т. Другой вид симметрии однородной односторонней плоскости получим тем же способом, т. е. непрерыв- непрерывными переносами точки с симметрией оо. Эта мате- материальная точка не имеет плоскостей симметрии. Что- Чтобы составить понятие о новом плоском пространстве, достаточно представить себе, что все точки плоского картона, выкрашенного с обеих сторон в разные цве- цвета, вращаются равномерно в одну сторону. В зави- зависимости от направления вращения точек можно раз- различать две энантиоморфные модификации таких про- пространств — правую и левую. Хорошей моделью но- новой плоскости может служить совокупность дисков, беспорядочно, но с равномерной плотностью распо- расположенных на плоскости рис. 181 лицевой стороной к наблюдателю. Все диски вращаются в одну сторону. Если диски и расстояния между ними настолько ма- малы, что наблюдатель не может никаким способом выделить роль отдельного элемента и вынужден изу- изучать только суммарный эффект действия многих эле- элементов, то исследуемый объект может быть принят за идеальную однородную плоскость с найденной вы- выше симметрией (а0 : а0) : оо. От рассмотренных примеров односторонних пло- плоскостей легко перейти к пространствам меньшей сим- симметрии. Для этого достаточно взять бесконечное множество равных фигур с симметрией односторон- односторонней розетки пт или п и расположить их на плоскости параллельно друг другу беспорядочно, но с одинако- одинаковой средней плотностью. Устремляя к нулю размеры фигур и расстояния между ними, получим «в пределе» однородную плоскость с симметрией (а0 : а0): п-т или (а0 : а0) : п*. Если в качестве исходной фигуры взять oo°o° о о ^о Р н с 181 Модель двумерной среды с сим- симметрией (а„: а,): оо Точки на плоскости из-за вра- вращения не имеют вертикальных плоскостей симметрии * Не следует отождествлять по- понятия однородности1 и изо- изотропии. Однородность тре- требует трансляционной эквива- эквивалентности всех точек кнонти- нуума, изотропия—ортогональ- изотропия—ортогональной эквивалентности всех на- направлений, проходящих через фиксированную точку. Моде- Модели плоскостей с симметрией (о0 : оо) : пт или (о0 : о0) : п одновременно однородны и анизотропны: фик- фиксируя на плоскости какое-либо направление (полярный вектор) и применяя к нему преобразова- преобразования ортогональных групп пт или п, получим в каждой точке связку (или «звезду») эквивалентных направлений, состоящую соответственно из 2п или п векторов. Группы симметрии анизотропных пло- плоскостей являются подгруппами фундаментальной или охватыва- охватывающей группы (а0:а0):оотп (см. стр. 158, 279). 157
Р и с. 182 Дне структуры, переходящие при уменьшении взаимных рас- расстояний и размеров элементар- элементарных частиц в континуумы сим- симметрии (а» : an) :2т односторонпийпрямоугольникилиромб.тогда моделью соответствующей среды будет служить картина, изо- изображенная па рис. 182. Для наблюдателя, неспособ- неспособного различать отдельные элементы этой структуры, каждая произвольно выбранная точка О будет иметь симметрию прямоугольника 2 т, так как поворот обеих картин на 180° вокруг точки О или отражение в плоскостях т1 и т% переводит структуру в целом в себя. В то же время всякий другой поворот или от- отражение пространства могут быть обнаружены по изменепию свойств пространства вдоль фиксировап- ного направления измерения. Приведем еще один пример непрерывной односто- ронней двумерной среды. Представим себе выкрашен- выкрашенный с обеих сторон в разные цвета картон, движущий- движущийся в СЕоей плоскости прямолинейно и равномерно. Для наблюдателя извне картон будет казаться не- неподвижным; исследуя его симметрию, нетрудно убе- убедиться в существовании бесконечного множества взаимно параллельных плоскостей симметрии, пер- перпендикулярных картону и направленных по его дви- движению. Никаких дополнительных элементов симмет- симметрии, кроме всегда присутствующих в двумерных кон- континуумах осей переносов, в данной среде нет. Нам остается сказать теперь несколько слов о тех реально существующих плоскостях или по- поверхностях, к которым в той или иной мере (идеаль- (идеальных плоскостей ведь не существует в природе) прило- жимы изложепные представления. Гладкая поверх- поверхность воды, если речь идет, например, об ее способ- способности отражать световые лучи, вполне изотропна и, очевидно, обладает симметрией (а„ : а0) : °° 'т- По- Поверхность сахарного раствора, который, как извест- известно, способен вращать плоскость поляризации, имеет симметрию (а0 : а0) : оо. Поверхность кристалличе- кристаллических граней можно рассматривать или как плоский орнамент прерывистого строения, если речь идет о расположении отдельных атомов (ионов, молекул), или как однородную плоскую среду — при изучении оптических и механических свойств. 13 противоположность плоскому орнаменту, име- имеющему 17 видов симметрии, число случаев односто- односторонних плоских континуумов бесконечно велико. Символы симметрии этих континуумов можно выпи- выписать в виде двух бесконечных рядов: (ао:а0):1-т (ао:а0):1 («о'- («0 = (<V «о) «о) ч) : 2-т : Зт : оо-т (<V- ("о ао) «о) '¦ ао) :2 :3 : с 158
Только последние члены рядов отвечают вполне изо- изотропным плоскостям: обыкновенной плоскости и двум ее энантиоморфным формам (правой и левой). Все остальные формулы относятся к анизотропным пло- плоскостям; формула (а0 : <z0) : 1 отвечает «асимметрич- «асимметричной» плоскости в том смысле, что ни одна из ее точек не имеет никаких элементов симметрии, кроме осей первого порядка: сама же плоскость имеет только оси переносов. или (Ь0:а):2-ш '. или (Ь0:а):т: Односторонние плоские семиконтинуумы В разряд семикоитипуумов мы объединяем такие бес- бесконечные фигуры, которые построепы прерывно в одних направлениях и непрерывно — в других. Примером простейшего одностороннего плоского се- миконтинуума может служить система начертанных на бумаге параллельных полос (рис. 183). Средние точки поперечных сечений полос, очевидно, имеют симметрию односторонней розетки 2 • т. Весь се- миконтинуум может быть получен непрерывным пе- переносом одпого такого сечения вдоль горизонталь- горизонтальной оси Ьо и конечными переносами вдоль оси а, перепепдикулярной к первой. Символ всей фигуры можно поэтому записать в виде (Ьо : а) : 2-т. Ту же симметрию имеет фигура, в которой роль одной полосы играет пара полос. Если все равноотстоящие полосы направлены в од- одну сторону, получим фигуру с симметрией (Ьо : а) : т. Придать полосе направление можно различными способами; можно, например, представить себе по- полосы движущимися равномерно вправо или изго- изготовленными из анизотропного ворсистого материа- материала, приглаженного в одну сторону, и т. д. Ту же сим- симметрию имеет система направленных двойных полос. В следующем виде семиконтинуума элементом структуры служит поперечное сечение лепты, состо- состоящей из широкой и узкой полос. Симметрия этого се- сечения — т, как и в предыдущем случае, только плоскость симметрии теперь перпендикулярна, а не параллельна ленте, в соответствии с чем и символ симметрии всей картины меняется и приобретает вид F0 : а)-т. Напоминаем, что знак точки или двоето- двоеточия означает параллельность или перпендикуляр- перпендикулярность элемента симметрии (перпендикулярного осо- особенной плоскости) к ближайшей в символе оси пере- переносов. P,u Iml или (V-»)-n Рт 1 или (Ь0/аI ".о112 « *.« lal s или "* (Ь„.а)-а Р,„ та2 (Ь0:а).а:т -* * ^ Рис. 183 Односторонние плоские семи- семиконтинуумы и их виды сим- симметрии Ось 60 направлена горизон- горизонтально, ось а — вертикально. Пояснение обозначений см. в примечании к табл. 10 15»
Таблица 10 Сопоставление формул симметрии, записанных беокоординатпом и координатном видах Для плоских однородных ссмиконтинуумов ро1 = (Ьо/а) pilal = F0: а)-"а рЛ12 = (Ьо/а): 2 pnmll = (bo: a):m pnlml = (bo : a)-m рота2 = (Ьо: а) -"а : т = = Fо: а): 2-а Putnm.2 = (Ьо : а): 2-т (аI (а) (а) (а) (а) (а) (а) Для бордюров а :2 : т ¦ т li:m = (a): 2-а :2т Для плосних орнаментов pi = (Ь/аI plal = (b: а)- р112 = (Ь:а) рт 11= (Ь: а) plm 1 = (Ь : а) рта 2 =(Ь : а) •ртт.2 = F : а) односторонних а .2 : т т а : т=(Ь : а) :2-а :2-т Примечание. Международные обозначения видов симметрии бордюров совпадут с формулами для плоских орнаментов, если горизонтальную ось о бордюра (рис. 90), сохраняя ее наименование, совместить с осью Ь (рис. 149). Индекс 0 в символе трансляционной группы семиконтинуума р0 отмечает наличие -одной оси непрерывных переносов; совпадение этой оси с осью Ь можно отметить специально, поместив индекс 0 на вторую позицию, а на первой индексом 1 отметить коаечпость переносов («единичной» длины а) вдоль оси переносов а (po=»pto), как ото сделано на рис. 183. Четвертый вид симметрии можно составить из двойных направленных лент различной ширины, благодаря чему из структуры выпадают как продоль- продольные, так и поперечные плоскости симметрии. Символ симметрии у этих лент — (Ьо : а) : 1 или более общий — (Ь0/аI. В пятом виде симметрии двойные смежные односторонние ленты связаны между собой осями симметрии второго порядка. Символ симметрии этого ви- вида — (Ьо : а) : 2 или более общий — (bola) : 2. В шестом виде симметрии двойные смежные ленты связаны между собой плоскостями скользящего отражения а (на рисунке — вертикальными). Символ симметрии можно написать так: (Ьо : а)-а. Последний, седьмой вид симметрии плоских односторонних семиконтину- умов получается из пятого вида добавлением в символ вертикальной плоско- плоскости скользящего отражения а или из шестого вида добавлением горизонталь- горизонтальной плоскости т. (Заметим, что в получившейся структуре плоскости т про- проходят через оси 2). Соответствующий символ симметрии будет (Ьо : а)-а:т или (Ъо : а) : 2Qm = (Ьо : а) : 2-а,. Если выписать в табл. 10 все формулы симметрии плоских односторонних семиконтинуумов и отбросить в них символ непрерывной оси переносов Ьо получим известные формулы симметрии бордюров (см. рис. 90); удаляя же индекс «нуль» у оси Ьо, получим символы симметрии плоских орнаментов (см. рис. 149). Отсюда следует вывод, что плоские односторонние семиконтинуумы представляют собой не что иное, как обыкновенные бордюры, вытянутые в ширину до бесконечности, или плоские орнаменты с одной осью непрерыв- непрерывных переносов. 160
8. СИММЕТРИЯ СЛОЕВ Слои находятся в таком же отношении к сетчатым орнаментам, как ленты к бордюрам. Чтобы перейти от сетчатого орнамента к слою, необходимо осла- ослабить требование обязательной полярности особенной плоскости. Для харак- характеристики слоя достаточно двух условий: наличия особенной (односторонней или двусторонней) плоскости и двух осей переносов (для определенности ориентировки будем всегда представлять себе особенную плоскость слоя гори- горизонтальной). Если принять такое определение, то понятие сетчатого орнамен- орнамента войдет в понятие слоя, причем из определения будет следовать и требо- требование отсутствия у слоя особенных точек. Полный вывод всех видов сим- симметрии слоев осуществлен в тридцатых годах нашего столетия немецкими уче- учеными Германом, Вебером, Александером и Германном. Учение о симметрии слоев применяется в кристаллографии — при изучении структуры жидких кристаллов, поверхностей раздела доменов, двойников и эпитаксиальных сростков; в физической химии при изучении мономолекулярных слоев и тон- тончайших пленок; в биологии — при изучении структуры мембран и других био- биологических тканей; его можно применять и в архитектуре — при проектирова- проектировании ажурных решетчатых конструкций, оболочек, оград, вывесок и т. д. Элементы симметрии слоев В силу односторонности плоских орнаментов у них, как известно, отсутствуют «переворачивающие» элементы симметрии, с помощью которых элементарные фигуры переводятся с одной стороны плоскости на другую. В слоях эти эле- элементы симметрии могут присутствовать; к ним принадлежат центры симмет- симметрии, горизонтальные (т. е. лежащие в основной плоскости) оси симметрии 11 А. В. Шубников, В. А. Копцик 161
второго порядка (простые поворотные и винтовые), горизонтальные плоскость симметрии и плоскость скользящего отражения. Если оставаться в пределах классического учения о симметрии, то каких-либо новых, не встречавшихся еще в нашей книге элементов симметрии в слоях быть не может. Однако далее мы увидим, что именно изучение симметрии слоев натолкнуло ученых на мысль о возможности расширения самого понятия симметрии и на вывод групп антисимметрии слоев и трехмерных (конечных и бесконечных) фигур. Общая идея вывода, изображения и обозначения симметричных слоев Идея вывода всех видов симметрии слоев, кроме полученных ранее 17 видов симметрии орнаментов, основана на попарном комбинировании одинаковых сетчатых орнаментов из числа этих 17 или на присоединении к числу порож- порождающих орнаменты элементов добавочных «переворачивающих» элементов сим- симметрии. Так, при дополнительном введении в каждый вид горизонтальной плоскости симметрии получаются 17 двусторонних видов симметрии слоев. В результате введения новых элементов симметрии число элементарных фи- фигур, приходящихся на единицу поверхности особенной плоскости, очевидно, удвоится, если только фигуры при этом ле сольются и не переплетутся между собой, что может дать повод принять за элементарную новую фигуру, состав- составленную из нескольких старых. Для изображения видов симметрии слоев мы несколько видоизменим спо- способ, применявшийся ранее для лент. Черные треугольники на чертежах будут изображать такие фигуры, которые, кроме черной стороны, обращен- обращенной к наблюдателю, имеют еще и невидимую наблюдателю белую сторопу. Наоборот, белые треугольники обращены своей черной стороной от наблюда- наблюдателя, а белой — к наблюдателю. Треугольники с точкой в середине представ- представляют фигуры, у которых «лицо» и «изнанка» одинаковы. Бескоординатные символы пространственных групп симметрии двусторонних слоев конструируются таким же образом, как символы пространственных групп односторонних слоев (см. рис. 149). Для получения символов симметрии симморфных групп группу двумерных переносов {alb), (а: Ъ) или (° "Г /а : Ь, «умножают» на группу симметрии соответствующей конечной фигуры (см. рис. 69); при зтом элементы симметрии точечной группы «размножаются» с помощью трансляций в плоскости слоя и возникают некоторые производные элементы симметрии. Между символами группы трансляций и точечной группы ставятся знаки (• и :), показывающие относительное положение элементов симметрии этих групп; во всех случаях (кроме слоев 70—72, 74, изображенных на рис. 187) элемент симметрии точечной группы, записанный в ее символе первым слева, одновременно параллелен (или перпендикулярен) плоскости слоя (а, Ъ) и той из осей переносов, которая в символе трансляционной группы стоит на последнем месте справа (в скобках). При этом условии символ точечной группы иногда записывается не в стандартном виде, необязательно с теми же разделительными знаками, как на рис. 69: т : 2 = 2 : т, т-2 = 2-т, т : 2 т = т-2 : т, т : 4т = т-4 : т, т-3 = 3-т,т : Зт = тЗ : т, 2 : 3 = 3 : 2, тб = 6 т, т : 6 = 6 : т, тб = 6-т, т : 6-т = т-6 : т. В символах симметрии не- 162
7 10 C^ 13 ^ 16 ^| l^Z 11 ^ 14 ^j Ib, 20 ^1 6 9 22 23 Рис. 184 Элементарные ячейки слоев 1—2<к (по Веберу) Для всех слоев (рис. 184— 187) приведены правильные си- системы фигур общего положения симморфных слоевых групп происходит частичная или полная замена пово- поворотных осей 2 на винтовые оси Я, и^шоскостей симметрии т на плоскости скользящего отражения a, b, ab = п, (у последней плоскости перенос (a -f- 6)/2 направлен по диагонали элементарной ячейки). Всего существует 80 пространственных групп симметрии слоев, из них 45 — симморфных и 35 — несимморфных. 11* 163
fe. 2б ^ ^^ 28 31 C^ 34 -^ 37 40 Рис. 185 Элементарные ячейки слоев 25—is (по Веберу) "^ [^ 26 ^] 29 32 ^3 Р^ 1^ 35 ^ 38 ^ 41 с^ ^ ь^ 44 ^ ^3 ^3 ^3 -- -=^ IP' W4^ 27 Р^ ^3 30 ^' Р" ^ ^1 33 36 ^^ fc. 39 ^ 46 47 48 Восемьдесят видов симметрии слоев Мы не будем подробно описывать каждый вид симметрии слоев, так как все существенное можно видеть непосредственно из проекций правильных систем фигур (рис. 184—187). На этих проекциях элементы симметрии не указаны совсем; существенным в них является только взаимноэ расположение фигур (треугольников). Тонкими линиями на рис. 184—186 выделены элементарные ячейки слоев; на рис. 187 они должны быть составлены из двух смежных по 164
49 50 31 JL. 52 53 54 55 56 1 57 58 ^ 1 59 61 62 63 p ^ 64 Рис. 186 Элементарные ячейки слоев 49 —вл (по Веберу) любому ребру треугольников. Для построения слоя достаточно параллель- параллельным повторением ячеек заполнить плоскость без пропусков и перекрытий. Далее в табл. 11 приводится сопоставление бескоординатных и координат- координатных (международных) обозначений пространственных групп симметрии слоев в установке осей, соответствующей рис. 149. Для читателя будет полезным упражнением нарисовать на проекциях расположение элементов симметрии для двусторонних слоев, пользуясь в качестве пособия изображениями групп на рис. 149 и 69. 165
Рис. 187 Элементарные ячейки слоев вб—80 (по Веберу) 71 79 Двусторонние плоские континуумы и семиконтинуумы Для нахождения видов симметрии двусторонних непрерывных плоскостей (континуумов) поступим аналогично тому, как это мы делали в случае одно- односторонних континуумов, а именно, возьмем произвольную материальную точ- точку с симметрией двусторонней розетки и подвергнем эту точку непрерывно- непрерывному переносу вдоль оси а0, перпендикулярной к главной оси симметрии розетки; образовавшуюся прямую линию подвергнем затем непрерывному переносу вдоль оси Ьо, также перпендикулярной к главной оси розетки и наклонен- наклоненной под произвольным (например, прямым) углом к оси переносов а0.
Таблица 11 Бескоординатные и координатные (международные) обозначения 80 видов симметрии слоев № п/п 1 * 2 3 4i 5* 6 71 8* 9 10* 11 ло * 1- 13 14 15 Л О ±О 17 18 19 20 21 22* 23 24* 25 26* 27 28* Бес координатный символ {а/Ъ)-т {а/Ь}-1 [а/Щ-Ъ {alb) : 2 (a[b)-m : 2 (a/b)-V: 2 (a:b):m (a : b)-m-2 (a : b): a" (a :b)-m-2i fa -i- 6 \ e) I a . b . m \ f / t - ?i 1 in ° v 2 / (я:6)-2 (a:6).2x /a+ 6 N; 2 \. 2 1 (a:b)-2:m (a:b)-2i:m ! —л—j Q, : & 1 • 2 '. Vtl (a:b)-2-a (a: b)-2i:7 (a:b):2-m (a : b)-m : 2-m (a:b): 2-H (a: b)-m :2-b {a:b):~a:b (a :b)-m: a : b la + b A ' f n ' i ii Л i p fu ,0: : ГП • ? Международ- Международный символ pi pllm pi pllb pU2 р11т 2 plml p2mm plal p2\am clml c2mm pl21 pl2\l r191 pl ~~ J- 2i 9 cl — 1 m 2 P2a2 2\ pmm2 pmmm pbm2 pbmrn pba2 pbam cmm.2 tNs n/n 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4o 49 50* 51 52* ! 53 54 . 55 1 56 ; 57 5S2 59 *2 603 Бескоординатный символ (a A- b [ 2 >a- b j-m : 2-m (a:b):m-2i (a:b)-'a-2 (a:b)-T-2 (a: b)l>: a (a:b)-ab-2 (a : b)-ab-2i (a + b [ 2 /a- bj-V-2 (a:b):2:2 (a : b): 2 : 2i (a:b)-2i:2i la -'- b \ I ' fn [ 2 /a bj:2:2 (a: b)-d: 2-d (a:b)-ab:2-d (a : b)-d : 2-m (a : &)• ab '. 2-b (a:b)-d-2-/b (a: b)-b~2-d (a : b)-ab: 2-m /a + b A ~ \ 2 1а-"/-а-4-т (a : a) :~4 (a (a (a (a (a (a (a (a (a a a): 4 a) : 4 a): 4. a)-m a): 4 a): ¦/ a):-I a): I m m 4-m о 2 2i ab a)-m : 4-b a) : 4®~b : a) ~4{ 32i Международ- Международный символ cmmm p2\ma p2aa p2mb p2iab p2an p2\mn c2mb p222 p2j22 p2i2i2 C444 pmaa pban pmma pbmn pbaa pmab pmmn cm yy\ n. pi pi pf/m plmm pl/mmm pi2m p!22 p!2i2 pt/n pl/mbm pibm pi2\m
Таблица 11 (окончание) № П/11 61 622 63 641'2 65* 66 67 68* 69 7О'D) Бескоординатный символ (а: а): 4-т (я : а): ab : 4Qb (я : a)-ab : 4-т (я : я): 4~®Ъ (а/а): 3 (а : а): 3 : т (я/я):? (а/а): т-3 (а/а): т»3 : т (а/а)-т-3 Международ- Международный символ р4т2 p/inbm р4/птт р1Ъ2 рЗ рЗ p3ml р$т2 р31т "W ТТ ТТ JX» П, П 71D) 72(« 73 74<4> 75 76* 77 78* 79 80 Бескоординатный символ (а/а)-т : 3-т (а/а) :2:3 (а/а)-2:3 (а/а)'ГП'6 (а/а): т-6 (а/а) : 6 (а/а)-т : 6 (а/а) :т-6 (а/а)-т : 6-т (а/а).2:в Международ- Международный символ р&2т р312 р321 рЪ1т рЪт1 рб р/вт рбтт рб/ттт р622 Примечания: Порядковый номер символа соответствует рис. 184—187. Установка осей в символах такая же как на рис. 149. Зведочками (•) отмечены символы односторонних слоев; для согласования их с символами се.чатых орнаментов (табл. 9 на стр. 131 и рис. 149) в ряде случаев необходимо осущест- осуществить переименование осей а, Ь. 1 У слоев 4, 64, за ось Ь выбраны диагонали ячеек, изображенных на рип. 4, 7, 61, 64. 'У слоев SS, 69, 62,64 плоскости Ь параллельяы осям 4 или 7, но не проходят черв! них. 1 У слоя 60 оси ?> перпендикулярны осям 4, но не проходят через них. • У слоев 70, 71, 74 первые плоскости т в символах т-3, те и последняя — в символе т : з-т перпенди- перпендикулярны картинной плоскости (а/а) и проходят через оси о. • У слон 72 оси 2 лежат в плоскости (а/а) перпендикулярно н осям а. Если симметрия исходной точки равна п : 2, то символ континуума будет (ао/Ьо) •: п : 2 или (а0 : Ьо) : п : 2. Так как число видов симметрии двусто- двусторонних розеток бесконечно велико, то и число видов симметрии двусторонних плоских континуумов, будет также бесконечно велико. Примером двусторонней плоскости с симметрией (ao/bo) m : оо-т может служить тонкая, равномерно растянутая во все стороны резиновая пленка. Взятая отдельно каждая точка такой пленки имеет симметрию тоо ; т — ось бесконечного порядка, вертикальные и горизонтальные плоскости симметрии и горизонтальные двойные оси. Та же пленка, растянутая в одном направ- направлении, обладает симметрией (а0: Ь0)т : 2 т. В такой пленке каждая точка имеет симметрию т-2 : т, т. е. симметрию прямоугольного параллелепипеда. Двусторонний плоский семиконтинуум можно получить, подвергая непре- непрерывному переносу прямую линию, обладающую симметрией двусторонней ленты, в направлении, лежащем в плоскости ленты под прямым или косым углом к ее оси. Так как число видов симметрии лент равно 31 (см. рис. 92), то столько же будет и видов симметрии плоских семиконтинуумов. Система тонких натянутых параллельных проволок, расположенных в пло- плоскости на равных расстояниях друг от друга, может служить примером семи- континуума, образуемого из ленты с симметрией рттт (рис. 92,19). Каж- Каждая точка на оси проволок имеет симметрию птт — т-2:тн, одинаковую с симметрией отдельной фигурки ленты 19. 168
Расстояние между проволоками отвечает расстоянию между фигурками лен- ленты. Если по проволокам идет в одну сторону электрический ток, то симмет- симметрия семиконтинуума будет отвечать симметрии ленты рт2т (рис. 92, 9). Магнитное поле рассматриваемой системы проволок обладает симметрией семиконтинуума, отвечающего симметрии ленты 28 {pl2/ml). Систематика групп симметрии Подготавливая переход к симметрии трехмерных пространств, включим в единую схему все типы до сих пор изученных групп. Обозначим символом Gr,t,...,t группу (изометрической) симметрии r-мерного геометрического пространства, если она одновременно преобразует в себя его (периодические или непериодические) подпространства размерности s, . . ., t {r ^> s^>... > t)- В этих обозначениях точечные группы симметрии односторонних розеток (гл. 2) получат символ G3,2,o (или G3,i,o)> так как они преобразуют в себя осо- особенную плоскость и нормаль к ней, одновременно сохраняя инвариантной особенную точку. Точечные группы симметрии конечных (или бесконечных) фигур (г3,о (гл. 3), преобразуя в себе трехмерное пространство, сохраняют инвариантной лишь особенную точку @-мерное подпространство). К группам ^з,г,о можно прийти от групп G3,o, рассматривая различные плоские сечения трехмерных фигур, или найти их как подгруппы пространственных групп симметрии стержней G3I (гл. 6). Сечения стержней двухсторонней плоскостью определят симметрию ленточных групп G3Jil (гл. 5); от последних методом проектирования трехмерного пространства на одностороннюю плоскость пе- перейдем к группам симметрии бордюров G2tl (гл. 4). Подобным же образом переходим от слоевых групп G3,2 K пространственным группам сетчатых ор- орнаментов G2 (гл. 7). Все эти группы и выводимые из них группы симметрии плиток G3B)lt0; G2tl,0, розеток G2,0, прямой Gv отрезка Guo и точки Go связаны друг с другом и с группами симметрии трехмерного пространства Ga (гл. 9) следующей схемой: 230G» . 80G, .75G 3,2 3,1 1 16G 10G, 3,2,1.0 2,0 2G 5Г, • IGo 2,1,0 Односторонняя стрелка на схеме означает переход в подгруппу; двусторон- двусторонняя — сечение или проектирование. Цифры перед символами соответствуют числу дискретных кристаллографических групп. 169
СИММЕТРИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ - ДИСКОНТИНУУМОВ И КОНТИНУУМОВ Под симметричным трехмерным дисконтинуумом мы подразумеваем бесконеч- бесконечную совокупность равных фигур, распределенных по законам симметрии в пространстве; при этом «равенство» понимается в том смысле, какой вклады- вкладывается в это понятие с самого начала книги. Как уже было отмечено, при ограничении классическим учением о симмет- симметрии мы не найдем в трехмерных пространствах никаких новых элементов симметрии сверх тех, которые уже встречались в предыдущих главах. Сим- Симметрия трехмерных пространств целиком описывается трехмерно-периодиче- трехмерно-периодическими совокупностями осей симметрии (простых, зеркально- или инверсион- инверсионно-поворотных; частные случаи двух последних — центр и плоскости симмет- симметрии), плоскостей скользящего отражения, винтовых осей и осей переносов. Совокупность параллельных переносов всегда образует подгруппу переносов, входящую в полную пространственную группу симметрии континуума или дисконтинуума (см. табл. 8 на стр. 112). У дисконтинуумов эти переносы всегда конечны. В симметричных континуумах элементарные фигуры и расстояния между ними бесконечно малы. Изучение симметрии трехмерных пространств имеет большое теоретическое и практическое значение потому, что к симметричным пространствам относят- относятся кристаллы, из которых, как известно, состоит большинство твердых тел, и все без исключения однородные физические поля: электрическое, магнит- магнитное, гравитационное и т. д. Изучение структуры кристаллов немыслимо без знания законов симметрии трехмерных пространств. Объем настоящей книги не позволяет подробно остановиться на описании всех 230 видов симметрии дисконтинуумов (пространственных групп) и всех типов симметрии контину- континуумов, объединяющих соответствующие виды симметрии в бесконечные серии. Мы ограничимся приведением сниска бескоордипатпых и координатных (междуна- 170
родных) символов пространственных групп и небольшим количеством примеров, отсылая читателя за подробностями к специальным руководствам по мате- математической кристаллографии. В данной главе мы будем более свободно поль- пользоваться терминологией теории групп, подготовляя переход к следующей главе, где будут приведены соответствующие определения. Калейдоскопы для образования трехмерно-периодических дисконтинуумов наивысшей симметрии Пусть мы имеем прямоугольную призму (рис. 188, 1), составленную из шести зеркал, обращенных внутрь призмы отражающими сторонами. Если такую приз- призму тем или иным способом осветить изнутри, то зеркала, отражаясь друг в друге бесчисленное множество раз, разобьют пространство на ячейки, равные исходной призме. Полученное разбиение образует симметричный дисконтинуум. В этом примере дисконтинуум, кроме плоскостей симметрии, совпадающих с плоскостями зеркал и их изображениями, имеет оси симметрии второго порядка, совпадающие с линиями пересечения плоскостей симметрии, а также центры симметрии, совпадающие с вершинами призм; оси переносов идут вдоль пря- прямых, проходящих через любую пару вершин. Если внутри исходной призмы поместить асимметричную фигуру, то в результате ее отражения в зеркалах, в каждой ячейке дисконтинуума окажется по одной фигуре, равной исходной. Совокупность всех таких фигур образует эквивалентную систему фигур, т. е. новый дисконтинуум с той же симметрией, какую имел исходный, составлен- составленный из призм дисконтинуум. Представление о такой совокупности фигур можно получить, если вообра- вообразить себя находящимся внутри освещенной комнаты, все степы которой по- покрыты сплошь зеркалами. В этом случае исходной фигурой для получения дисконтинуума будем мы сами. Если в каждой из фигур нашего пространства отметим по одной точке так, чтобы все эти точки были равны друг другу, то их совокупность образует правильную, или эквивалентную, систему точек. Все различные системы точек, не связанные операциями симметрии в одном и том же дисконтинууме, образуют ансамбль правильных систем. Всякий кристалл представляет собой в общем случае ансамбль эквивалентных систем структур- структурных единиц (атомов, ионов, радикалов или молекул). Мы увидим далее, что в структуре «идеального» кристалла физически или химически различные сорта структурных единиц всегда относятся к симметрически различным системам, а одинаковые (в химическом смысле) сорта единиц могут принадлежать как одной, так и нескольким правильным системам. На рис. 188, 1 мы имели дело с калейдоскопом ромбической (прямоугольной) симметрии. Калейдоскоп для получения структуры квадратной (тетрагональ- (тетрагональной) системы, у которой из трех взаимио-перпепдикулярных направлений два симметрически и физически равны друг другу, представляет собой призму с осно- основанием в форме равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 188, 2). Для гексагональных структур, имеющих тройку эквивалентных направлений, лежа- лежащих в одной плоскости и переходящих друг в друга при поворотах, можно по- построить два калейдоскопа: призму с равпосторошщмтреугольником в основании 171
Рис. 188 Семь калейдоскопов для обра- образования дисконтинуумов наи- наивысшей симметрии Каждая из семи комбинаций зеркальных плоскостей порож- порождает единственную простран- пространственную группу: 1 — Рттт, 5 — Р4/ттт, 3 — Рот2, 4 — Рб/ттт, S — Ртэт, 6 — Fk3m, 7 — Fm3m. Обозначения пространственных групп поясняются на рис. 191, в табл. 12 и в тексте (рис. 188, 3) и призму с основанием в форме прямоугольного треугольника с углами 90°, 60° и 30° (половина равностороннего треугольника; рис. 188, 4). Все четыре типа калейдоскопов (рис. 188, 1—4) можно получить из калейдо- калейдоскопов для плоских фигур (см. рис. 170) с добавлением к ним зеркального «дна» и «покрышки». Совершенно новую форму имеют калейдоскопы для структур кубической си- системы, допускающих выбор трех взаимно-перпендикулярных эквивалентных направлений. Теоретически могут быть построены три калейдоскопа этой си- системы (рис. 188, 5—7). Каждый из них представляет четырехгранник особого рода, сочетающий в себе одновременно свойства калейдоскопов для бесконеч- бесконечных плоских фигур и свойства калейдоскопов Федорова для многогранников (см. рис. 71). Такое объединение свойств характерно и для четырех некубиче- некубических калейдоскопов. Это означает, что двугранные углы пространственных ка- калейдоскопов могут быть равны лишь 90°, 60°, 45° и 30°, а трехгранные углы могут быть образованы только следующими семью комбинациями плоских углов: 1 2 3 4 90° 90° 90° 90° 90° 90° 90° 90е 30° 45° 50° 90е о 6 7 55° 55° 37° 55° 45° 32° 70 35 21 Первые четыре комбинации встречаются у всех калейдоскопов, остальные — только у калейдоскопов для кубических структур. Калейдоскоп, (рис. 188, 5) получается в результате разрезания куба на 48 равных частей по всем плоско- плоскостям симметрии (рис. 189, а). При внимательном рассмотрении каждой такой доли легко обнаружить, что она представляет собой четырехгранник с дву- двугранными углами: 90°, 90°, 90°, 60°, 45°, 45° — и наборами плоских углов при каждой вершине: E5°, 45°, 35°), E5°, 45°, 35°), (90°, 90°, 45°) (90°, 9и°, 45°). Это легко проверить, если нарисовать отдельно расположение какой-нибудь одной 172
выделенной доли внутри элементарного кубика из числа восьми, на которые разделяется куб своими тремя координатными плоскостями (рис. 189, б). Калейдоскоп (см. рис. 188, 6) может быть состав- составлен иэ двух предыдущих калейдоскопов — правого и левого, сложенных вместе по грани, имеющей форму равнобедренного прямоугольного треугольника (разбиение фигуры на равные части показано на рисунке штриховой линией). Такие четырехгранники получаются от деления куба на 24 части шестью его плоскостями симметрии, за исключением трех координатных плоскостей (рис. 189, в). Двугранные углы в этом многограннике равны: 90°, 90°, 90°, 60°, 60°, 45°, а плоские углы при каждой вершине образуют комбинации: (90°, 55°, 35°), (90°, 55°, 35°), (90°, 45°, 45°), G0°, 55°, 55°). По отношению к двум составлен- составленным вместе элементарным кубикам такие четырех- четырехгранники располагаются так, как показано на рис. 189, г. Третий, последний калейдоскоп для кубических структур может быть построен из двух только что описанных тетраэдров, если их сложить по грани, име- имеющей форму прямоугольного равнобедренного тре- треугольника (на рис. 188, 7 линия соединения тетраэдров показана штриховой линией). В новом калейдоскопе имеются двугранные углы 90°, 90°, 60°, 60°, 60°, 60° и четыре одинаковые комбинации углов при вершинах G0°, 55°, 55°). Расположение одного из таких четырехгранников по отношению к восьми смежным элементарным ку- кубикам показано на рис. 189, д. Итак, для трехмерного пространства получаем в ито- итоге семь калейдоскопов: три для кубических структур и четыре для остальных. Для демонстрации их дейст- действия в калейдоскопах, изготовленных из обыкновен- обыкновенных зеркал, необходимо оставить отверстия для наб- наблюдения отражений. В качестве размножаемой эле- элементарной фигуры можно взять электрическую лам- лампочку от карманного фонаря, которая вставляется внутрь калейдоскопа. Пространственные решетки и группы параллельных переносов С помощью описанных семи калейдоскопов можно получить множество правильных систем фигур, ис- исходя из одной асимметричной фигуры, помещаемой в у. "К У У / Р и с. 189 Вспомогательные к калейдоскопам чертежи 173
Рис. 190 Пространственная решетка как система равных параллелепипе- параллелепипедов, сложенных равными гра- гранями • Иначе гоноря— лишь одну из пространственных групп сим- симметрии, международные симво- символы которых указаны в подписи под рис. 188, 1 — 7. Частные эк- эквивалентные системы, состоящие из симметричных фигур, также определяют однозначно соответ- соответствующие пространственные группы, если симметрия фигур совпадает с симметрией положе- положении, занимаемых ими на элемен- элементах симметрии. При несоблю- несоблюдении этого условия эквивалент- эквивалентные системы могут приобрести пространственную симметрию более высокую, чем та, преоб- преобразования которой использова- использованы для построения систем. Сим- Симметрия положения определяет- определяется при этом совокупностью тех преобразований (из числа вхо- входящих в пространственную груп- группу), которые сохраняют особен- особенную точку фигуры на месте, пе- переводя фигуру в себя. общее положение (не на элементах симметрии) и раз- размножаемой отражениями в зеркальных гранях ка- лейдосконов. Каждый калейдоскоп при этих условиях несмотря на разнообразие возникающих эквивалент- эквивалентных систем фигур, порождает один вид симметрии дискретных трехмерно-периодических пространств *. Все другие пространственные группы симмет- симметрии, полное число которых было установлено Е. С. Федоровым и А. Шёнфлисом в 1891 г., получа- получаются как подгруппы этих семи калейдоскопических групп (их можно найти, удаляя из эквивалентных си- систем те или иные подсистемы фигур) или комбини- комбинированием между собой элементов симметрии по оп- определенным правилам. При выводе пространственных групп симметрии существенную помощь оказывают инвариантные геометрические образы, играющие роль элементов симметрии. Одномерпой группе параллельных пе- переносов, состоящей из всех повторений (степеней) пе- переноса а соответствует инвариантный образ — ось переносов а с отмеченным па ней дискретным рядом точек (ср. рис. 75). Элементом симметрии, соответ- соответствующим двумерной трансляционной группе, слу- служит плоская сетка или система ее узлов (ср. рис. 108). Трехмерной группе параллельных переносов будет соответствовать, очевидно, трехмерная сетка (или система ее узлов), называемая пространственной решеткой. Во всех трех случаях выбор этих элементов сим- симметрии однозначно не фиксирован: мы можем го- говорить о бесконечных семействах параллельных эле- элементов симметрии или, что более удобно, свободном выборе места проведения данного элемепта. В случае трехмерного пространства можно выде- выделить уже не пять сеток или параллелограмматиче- ских систем точек (как на рис. 110), различающихся по симметрии и (или) параметрам ячеек, а 14 беско- бесконечных фигур, называемых решетками Бравэ. Ана- Аналогично плоским сеткам пространственные решетки Бравэ можно рассматривать или как систему равных параллелепипедов (ячеек), смежных по целым гра- граням и заполняющих пространство без пропусков и перекрытий (рис. 190), или как эквивалентную парал- лелепипетидалъную систему точек (узлов решетки), состоящих только из вершин этих параллелепипедов (рис. 191). Последняя интерпретация оказывается 174
ь 7 S—: с ZA W ' A \ \ t \ i, X. ' I \ 1 \ с ч Га 11 Рис. 191 Четырнадцать решеток Брав» Если допустить сферическую симметрию узлов, то простран- пространственными группами 14 реше- решеток Бравэ будут: l — Pi; 2 — Рг/т; 3 — Сг/т; 4 — Рттт; 5 — Сттт; 6 — Immm, 7 — Fmmm; 5 — Ре/ттт; 9 — RSm; 10 — Р4/ттт; 11 — I 4/mmm; 12 — Ртзт; 13 — Im7m; 14 — FmSm. Прописные буквы обозначают трансляционные группы: Р, R — примитивных решеток; С — решеток, центрированных по грани, секущей ребро с; F — гранецентрированных реше- решеток; I — объемоцентрированных решеток. Метрические парамет- параметры решеток: J — триклинной: афЪфс, а ^[р #Т; 2,3 — моноклинных: а Ф Ьф с, а ф у = 90° Ф р j. 60°; 4—7 — ромбических: а фЬ Ф с, а=р=у = 90*; * — гексагональной: а = I ф с, а=р = 90°, V = 120*; 9 — -григональной (ромбоэдрической) '• а-— Ъ = с, а = р = V ф 90°; 10, 11 — тетрагональных: а ^-- Ъ ф с, а, = р = V = 90е; 12—14 — кубических: а = Ь = с, а — Р = V = 90° 12 13 14 более общей. Она позволяет соединять между собой узлы решетки отрезками прямых линий, так как этого требует, в частности, симметрия; при этом по- получаются не только иараллелепииеды исходной формы, ио и всевозможные дру- другие фигуры. На рис. 191 изображены элементарные ячейки для всех 14 реше- решеток Бравэ *. Параллельным переносом этих ячеек по трем цаправл.ениям мож- • Совокупности всех трансляций, допускаемых решетками Бравэ, образуют 14 трансляционных групп, различающихся по симметрии и (или) параметрам ячеек. Буквенные символы трансляционных групп стоят на первом месте в международном символе любой пространственной группы. 175
но построить сами решетки неограниченных размеров. Узлы на чертежах со- соединены прямыми отрезками так, чтобы наилучшим образом выявить макси- максимальную симметрию решеток, а отнюдь не с целью выделения примитивных элементарных параллелепипедов, не содержащих дополнительных узлов в объ- объеме или на гранях. Поэтому в решетке 13 (объемоцентрированный куб) примитивным элементарным параллелепипедом является не куб, а косой параллелепипед, построенный, например, на ребрах, выделенных на рисунке стрелками. В других случаях C; 5 — 8, 11, 14) переход к примитивным параллелепипедам (ячейкам) также всегда легко осуществим. Решетки Бравэ играют огромную роль в кристаллографии, так как любой кри- кристалл представляет собой, вообще, систему трансляционных решеток, встав- вставленных друг в друга в параллельном положении. Узлы этих решеток зани- занимают в нем вполне определенные группы атомов (ионов, молекул,) связанных в пределах решеток трансляциями. В частных случаях на элементарную ячейку кристалла может приходиться один атом или ион. Если взять два произволь- произвольных узла тип решетки, провести через них прямую, то она пройдет через ряд узлов т, п, р, q...\ при этом будет иметь место равенство отрезков (периодов переноса) тп=пр — pq = .... Любой ряд узлов есть возможное ребро кри- кристалла. Во всякой решетке можно провести бесконечное множество равных параллельных ребер с одинаковыми периодами. Двумя пересекающимися ряда- рядами определяется та или иная из известных нам плоских сеток. Любая плоская сетка пространственной решетки есть возможная грань кристалла. В решетке существует бесконечное множество равных параллельных возможных граней кристалла. Рост кристаллов сводится к последовательному параллельному наслоению на существующие грани кристалла новых плоских сеток. Несколь- Несколько пересекающихся плоских сеток образуют возможную форму кристалла. Из бесконечного множества возможных форм природа осуществляет обычно весь- весьма немногие, самые простые типы форм, отвечающие в условиях термодинами- термодинамического равновесия минимуму свободной энергии. Существенно, что среди 14 решеток Бравэ, построенных для сферически сим- симметричных узлов, нет двух, имеющих одинаковую пространственную группу симметрии; если же в узлах решеток поместить асимметричные точки, то у всех решеток будет одна пространственная группа симметрии, а именно Р1 (ср. рис. 111). С этой точки зрения все трансляционные группы, отвечаю- отвечающие решеткам Бравэ, абстрактно неразличимы, или, как говорят, изоморфны друг другу (см. стр. 202). Группу Р можно назвать абстрактной трансляцион- трансляционной грушюй, остальные — ее конкретными геометрическими реализациями. С другой стороны, решетки можно отличать друг от друга по метрическим свойствам — величинам элементарных переносов а, Ъ, с вдоль соответствующих координатных осей — и по углам а, {$, у наклона осей друг к другу *. Этот критерий приводит к делению всех кристаллов на семь метрических систем, или сингоний. Мы не будем, однако, сейчас подробнее останавливаться на этом вопросе. * В кристаллографии в качестве осей а, Ь, с выбирают обычно pefipa изображенных на рис. 191 паралле- ^ч ХЧ ^N лешшедов. Углы а = Ъ,с, 0 = а, с, Y = о, Ь (подробнее об этом см. стр. 262). 176
Двести тридцать пространственных групп симметрии дисконтинуума. Структура кристаллов Решетки Бравэ дают лишь самое общее представле- представление о внутренней симметрии и строении кристаллов. Они выделяют в структуре кристалла трансляционно- эквивалентные системы частиц (а также любых точек дисконтинуума) таким образом, что кристалл в целом представляется в виде совокупности под решеток, вставленных в параллельном положении. Вместе с тем нам известно, что кристалл, рассматриваемый как идеально развитый многогранник или как однород- однородная сплошная среда, допускает операции симметрии конечных фигур. Следовательно, любая операция сим- симметрии, взятая ии соответствующей точечной группы, должна быть и операцией симметрии кристалличе- кристаллического дисконтинуума. Полная совокупность всех воз- возможных для бесконечного дисконтинуума операций симметрии {движений) образует его пространствен- пространственную группу симметрии. Все трансляции данного дисконтинуума образуют лишь часть (подгруппу) возможных операций симметрии дисконтинуума; другую часть составляют комбинированные опера- операции, состоящие из преобразований точечных групп и трансляций: это будут винтовые переносы, переносы с отражением в плоскостях скользящего отражения, а также чистые и зеркальные (инверсионные) вращения вокруг соответствующих осей или отражения в обыч- обычных плоскостях симметрии. Поскольку траыеляциоп- но-.жпивалентные точки и (фигуры) обладают одина- одинаковой точечной симметрией, бесконечное мпожество элементов симметрии, характеризующих простран- пространственную группу, можно наглядно представить себе разбитым на подсистемы трансляционно-эквивалент- ных элементов симметрии, пересекающихся в эквива- эквивалентных точках. Очевидно, трансляционно-эквива- лептпые оси и плоскости симметрии взаимно парал- параллельны/ Со строением пространственных групп мы позна- познакомимся на примерах структур кристаллов кварца, каменной соли, алмаза и на плотнейших упаковках шаров. Внимательное рассмотрение структуры низко- низкотемпературного а-кварца (рис. 192) позволяет, на- например, выделить трансляционно-эквивалентную сис- систему винтовых осей третьего порядка (одновременно только правых или только левых), выходящих в соответствующих точках перпендикулярно черте- Р и с. 192 Расположение атомов кремния в структуре а-кварца отвечает пространственным группам Р 3,31 и Р3221 для правого и левого кристаллов соответ- соответственно На рисунке представлен лишь фрагмент бесконечной струк- структуры, слизанный с гексаго- гексагональной ячейкой. Треуголь- Треугольниками <; продолженными сто ронами отмечены выходы экви- эквивалентных винтовых осей л2, перпендикулярных чертежу (определение винтовых осей см. на стр. 92, 10'). Двусторонние стрелки на полях изображают оси S, проходящие параллель- параллельно чертежу на уровнях 0, -т-.'/з, —7з вертикального пере- переноса с. Черно-белые кружки — атомы Si в плоскости чертежа, черные — над плоскостью чер- чертежа, белые — под плоскостью чертежа на высотах +'/з эле- элементарного переноса вдоль вертикальной оси с. Атомы кис лорода на проекции не изобра- изображены 12 А. В. Шубников, В. А. Копцик 177
л г ~Z? / Y Рис. 193 Структура каменной соли а — элементарная ячейка; чер- черные кружки — ионы натрия, белые — ионы хлора; б — проекция структуры NaCI вдоль ребер элементарной ячей- ячейки на горизонтальную плос- плоскость (на проекции изображена лишь одна плоская сетка ио- ионов); в — проекция на ту же плоскость части элементов сим- симметрии пространственной груп- группы Fmim (пояснения см. в тексте) жу. Идея представления пространственной группы в виде конечного набора трансляциошю-эквивалент- ных систем, каждая из которых состоит лишь из оди- одинаковых элементов симметрии, может быть проиллю- проиллюстрирована также на примере структур алмаза и ка- каменной соли. На рис. 193, а изображена элементарная ячейка структуры NaCI. Эквивалентные частицы этой струк- структуры (ионы натрия и хлора) обмениваются местами при переносах на отрезки а —¦ Ъ = с вдоль ребер куба и на отрезки {а + ЪI2, (а + с)/2, {Ъ + сI2 вдоль диагоналей граней таким образом, что струк- структура в целом (ее следует рассматривать бесконечно протяжепной) совпадает с собой. Это означает, что трансляционная группа структуры будет гранецен- трировашюй кубической группой, обозначаемой буквой F (рис. 191, 14). Помимо трансляций, структура NaCI совмещается с собой и всеми операциями точечных групп 6/4 (в международных обозначениях это будут группы тЗт; см. сопоставление бескоординатных и междуна- международных обозначений в табл. 1 на стр. 61). Совокупно- 178
^У у' У у* ¦ \ 'J \ \ \ у у у^ \ \ \ у* У \ у у У у \ \ \ 6 ' у У1 У сти элементов симметрии, характерные для этих групп (см. рис. 69), пересекаются в центрах всех ионов нат- натрия и хлора. Например, через центр ячейки (рис. 193, а), обозначенный черным кружком, проходят все элементы симметрии группы тЗ>т, совмещающие ячейку с собой. В целом пространственную группу симметрии NaGl можно обозначить комбинированным символом FmSm. Проекция части элементов симметрии группы Fm3m на верхнюю грань куба приведена на рис. 193, в. Помимо порождающих элементов симметрии точеч- точечных групп тЗт, на проекции изображены также и некоторые из производных элементов симметрии (возникающих от комбинирования преобразований группы тЗт с переносами группы F), а именно: верти- вертикальные плоскости скользящего отражения с пере- переносами а/2 и Ь/2 (штриховые линии) и переносами (a jz Ь)/4 ± с/2 (штрих-пунктир); вертикальные винтовые оси 2Х и 42 (черные линзы и квадраты с дву- двумя хвостиками); центры симметрии (белые кружки; цифры у кружков показывают, что часть центров сим- симметрии расположена над плоскостью чертежа на вы- Р и е. 194 Структура алмаза а — олементарная ячейка; реО- ра куба выбирается за оси а, Ь, с; б — две грансцентриро- ваиные кубические подрешетим, смещенные вдоль пространст- пространственной диагонали куба на вектор (а + Ь + с)/4; по уз- узлам этих подрешеток в струк- структуре алмаза размещаются ато- атомы углерода двух сортов; в — проекция, на горизонтальную плоскость части элементов сим- симметрии пространственной груп- группы Fd'im (см. пояснения в тек- тексте) 12* 179
соте V4 элементарного переноса с). Подобные же системы производных элемен- элементов симметрии, идущие вдоль горизонтальных осей а и Ь, на проекции не изображены. Итак, структура NaCl будет полностью описана, если мы скажем, что в пространственной группе ГтЪт ионы натрия и хлора занимают в шахматном порядке положения с точечной симметрией m'Sm. Можно сказать также, что структура ЛтаС1 состоит из двух гранецептрированных кубических подреше- ток, вставленных в параллельном положении: нодрешетки ионов натрия и лодрешетки ионов хлора. Другим простым примером, который мы здесь рассмотрим, может служить структура кристалла алмаза (рис. 194, а, б). Ее можно описать как совокуп- совокупность двух грапецептрированных кубических нодрешеток F, сдвинутых друг относительно друга на V4 пространственной диагонали куба. Два сорта атомов углерода занимают в структуре алмаза узлы этих подрешеток, обладающие точечной симметрией \3т — 3/4 (в обозначениях рис. 69). Поэтому в структуре алмаза мы можем обнаружить элементы симметрии двух пространственных групп F 4<? т, вставленных друг в друга в параллельном положении. Они по- получаются размножением с помощыо_ группы трансляций F элементов симмет- симметрии двух исходных точечных групп 43/п, отстоящих друг от друга на V4 про- пространственной диагонали. Полной группой симметрии алмаза будет простран- пространственная группа Fd3m, включающая в себя преобразования обеих подгрупп FA3m и дополнительно к ним еще некоторые преобразования связи. Проекция части элементов симметрии групны FdEm на верхнюю грань куба показана на рис. 194^ в. На чертеже легко обнаруживаются элементы симметрии одной из групп F^3m: основные ее элементы изображены стереографическими проекциями групп 43т по углам и в центре квадрата, производные — такими же проек- проекциями в серединах его сторон и штрих-пунктирными линиями, параллельными диагоналям квадрата. Эти линии являются следами вертикальных плоскостей скользящего отражения, которые переводят вершины куба в центры его вер- вертикальных граней. Из элементов второй подгруппы Fi3m на чертеже показа- показаны лишь вертикальные инверсионные оси 4 (белые контурные квадраты с лин- линзами двойных осей) и вертикальные плоскости симметрии (они же производные плоскости предыдущею) подгруппы F%3 т). Все остальные элементы, изо- изображенные на проекции, являются элементами симметрии связи, переводящи- переводящими узлы одной гранецентрированной решетки в узлы другой. К их числу от- относятся: вертикальные правые и левые винтовые оси 4^ и 43, изображенные чер- черными квадратиками с продолженными сторонами; центры симметрии (белые кружочки на высотах V8 и 3/8 переноса с над плоскостью чертежа); вертикальные «алмазные» плоскости скользящего отражения d с наклонными к чертежу пе- переносами типа ± (Ь -}- с)/4, ± (а + с)/4 (штрих-пунктирные линии со стрел- стрелками). Подобные же системы элементов симметрии связи, идущие вдоль гори- горизонтальных осей а и Ь, на проекции пе изображены. Группы FmEm и FdSm структур NaCl и алмаза находятся в родственных от- отношениях: они имеют общую подгруппу Fi3m, а их точечные группы т'&т и «группы по модулю» dim изоморфны (подробнее об этом мы будем говорить в следующей главе). Сейчас лишь заметим, что группа Fd3m получается из Fm'Sm заменой координатных плоскостей симметрии т плоскостями скользящего от- отражения d и смещением последних на 1/9 вдоль ребер куба а, Ь, с. В связи 180
Таблица 12 Бескоординатные и координатные (международные) обозначения пространственных групп симметрии трехмерных дисконтинуумов зная а? J! S о К се а ы Трикл к сб КЛИН! оно № ев Й о в4 а \о Символы симморфных (а/1 (а/1 (с: fa \ (с: /а { (<-¦¦¦ С- (с- /а (а { \ {с (а /Ь \ 1а (- (с пространственных бескоординатные )-1 )•! (а/6)) : 2 — 2 с \ (а/Ь)).т + 2 -в/с:(в/Ь)).|» (а/Ъ))-т: 2 + 2 а "" _1~ i а + 2 j_ 2 4- 2 + а с\ \ -j/c:(a/b)J-m :Ъ):2:2 b Ъ^ 2 с Ъ + с а + Ъ Ъ + с :Ъ):т-2 Ъ \ - :с:а:Ъу. т-2 - /с : а:Ь): т-2 с Ъ — с а 4- Ъ 1 2 ' 2 2 /-•»•*-; : Ь) • m : 2 • m. 2 2 с : а : b\ : 2 : 2 2:2 с:а:Ъ);т-2 то.2 групп междуна- международные Р1 Р\ РП2 В112 РПт ВПт Р11 — 2 D m Р222 С222 F222 1222 Ртт2 Стт2 Атт2 Fmm2 Imm2 Рттт Точечные «группы по морфных пространств — 2х — Ь =Ь V-b т:2,^ 2i/n Ъ:2-.2/Ъ, 2\ : 2 = 222i, = 2i2i2i 2, ¦ 2 229, ь,Ъ:2- 2:2, с.2i = rnc2\, с-2 = 7 ¦ 2i = са2\, 7®2 = Ьа2, 7- 2\ = тс2\ at*2~b'Ji 1 ~ -2-ас©2^- *** **^ с -2 а-2\ ab : 2© ас -- ab:2®a--- 7: 2© ас — 7с-2 = o"©2i- С-4 — ,Ът2, dd2 ~ Ьа2, модул иных = 2/6, сс.2, ~а --сп2, - па2\ сс2 7-2 -.-. а-2 ^ nnn, m: 2- с ban, a nna, a : 2-т : 2\-ас ю» несим- -рупп b:2i=--2i/b 2, 2i:2i- • 2 —-та.2, ас-2\=тп2\. ас®2 = пп2 та2, та2 -- ест, = тта, = тпа, Л ЧИСЛО Г в серии 1 1 2 1 2 2 4 2 4 Я 1 о 10 3 4 2 3 16 181
Таблица 12 (продолжение) а- я = S Символы симморфных пространственных групп Оеокоординатиые междуна- международные а Точечные «группы по модулю»» несим- u s морфных пространственных групп о ^ i - w 15° [а\-Ъ i : с : а : Ъ)-т : 2-т (a -J- с Ъ -\- с a -~ b ; —п—/—о—/—2— '¦ г '¦ а'¦ Ь)-т : 2-т :а-\-Ъ+с \ о /г : а :Ь :-т : 2-т \ * I Cm mm Fmmm Immm a:2-c=-cca, m :2© a = bam, ab : 2 • с ccn , m : 2\ © с - - bem, m : 2 ©яс = nnm, ac : 2-m = mmn, ac : 2\ ©c = ben, a : 2\ © с =bca, a : 2j©m = nma m : 2\ • с = mem, a • 2\ • с = тося, m: 2-е— ест, а : 2-m=mma, a.2:c=cca 4-аЬ:2 1 m : 2- с = bam, a : 2-е = Ься, a : 2-m = mma (c : a : a) : 4 'a -f 6 -l- с ^ 2 /c:a:aj:4 (c : a : a) : + b+c, /c : a : a I : / (c : a : a)¦m : 4 faJ-Ъ + г \ ! о /'' '¦ a : a)-m: 4 (c:a:a):4:2 fa -'- b -- с [—-Y— ' (c : a : a) : m ¦ ¦/ а — b 4- с a:a):4: 2 -[с : а : а !: т- / (с : а : а): 7: 2 (<;: я : а) : 4 ¦ т / а 4- 6 + с \ ~ ( о /с ; а ¦ а): 4 -т a -\-b + с ¦a:a)'-4 '¦ 2 P4 Ui Pi 14 P4/m I4/m 1422 1122 Pimm 14mm P42m РЫ2 Iim2 I\2m m ;4i = h/m, ab : 4 = 4/n, аЬ:4г=4%/п a:4\ = 4i/a , 41:2 = 4122, 4r.2i = 2х = 4^2x2, = 4x2x2, 4г:2=4г22, ii: 2 -r 4x22 /© a = 4brn, -it- с = 4%гт =-/глто, 4- с = 4cc, 4®ac = 4nc, 4г-т = -^mc, 4-2-a = 1фс 4-c = 4tm, !\®m = 4\md, 4\-a = 7 , l-ab = 42xm, 7 -abc = ©"a = 462, jqoc = -Tn2 Q - 42ic 1S2
Таблица 12 (продолжение) cs К о о в Ii ев s ш laroi F- Ен се til .е к g К Он н СО U ее о к ш Символы симморфных пространстпепных бескоординатные (с : а:Ь)-т :4-т (а + Ь -Ь с , \ \ р /с *. а '. а 1*171 '. ?*тп (с : (а/а)): 3 (а/а/а)/3 (с : (а/а)) :6 (а/а/а)/в (с : (а/а)) : 2 : 3 (с:(а/а))-2:3 (а/а/а)/3: 2 (с: (а/а)): т-3 (с : (а/а))-т-3 (а/а/а)/3-т (с : (а/а))-га- 6 (с: (а/а)): т.'б (а/а/а)/'в-т (с : (а/а)) : 6 (с : (а/а)) : 3 : то (с: (а/а))-т. : 6 (с:(а/а))-2:6 (о: (а/а)) : т-6 (с : (а/а)): т-3 : т групп междуна- международные Pi/mmm 14/ттт РЗ R3 РЗ R3 Р312 Р321 R32 Р3т1 Р31т R3m Р31т Р3т1 R3m Р6 Р6 Рб/т Р622 Рвтт Р&т2 Точечные «группы по модулю» несим- морфных пространственных групп т: 4- с = 4/тсс, ab : 4Qb — 4/nbm, ab : 4-ас = 4/ппс, т : i© b = 4/mbm, т: 4Qac — 4/тпс, ab : 4-т= i/nmm, ab : !• c = 4/пес, т: iz-m = 4i/mmc, m : 42- с = li/mcm, ab : 4%Qb = 4^1 nbc, аЪ:4ъ®7с^4ь/ппт, т: 4,®b = 4i/mbc m : iiQac = 4г/тпт, ab '. 4%-m —• = 4i/nmc, ab: 4% • с = 4г/пст m : 4.с = 4/mcm, a : 4i©m = 4\/amd, a : 4i(j)c= 4\/acd 3i, 3* — — — 2 : ¦?! = 3,12, 2 : ,3a = 3*12 (оси 2 ле- лежат в плоскости (а/а) _[_ осям 3) 0 • Ч Чч 01 0 • 3 4 01 — 7-з ,^3с1 с • 3 = 31с (плоскости т J_ плоско- плоскости (а/а) и проходят через оси а) 3-7= Зт с • 6 = 32с (плоскости m J_ плоскости (а/а) и проходят через оси а) 7-6~=3ci ~в.7=Ъс 6i, 62, 63, 64, 65 — то : 63 = бз/т О /? fiiQQ О ft /? рО Р Л ^— ft.n92 2-6, = 6,22, 2-6ъ = 6ъ22 7 -6 = бес, 7-б3 = 6зст, т.бз = бзтс с -3: т = 6с2 рупп| ^ a 0 в §& 3" 16 4 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 6 1 2 6 4 2
a a s о ¦о e -a ' a" го ^. a j_ a a Чч 3 3_ з' чч \( g <: с a 1 to to —•% a .1. cs ta- tars a to -j- a a a ¦»4 OS) 3 <4 *k A» ' . « ! i °! 1 s !¦ 3 '1 & &l 3 V ^:l 3 'a' a a 4ч 3 Pm'im ?* 1 3 a* 4 OS) 3 СЛ 3 to a -.- + cs s a a •4 оз r to to _l_ -—— o- ) T a to _u o- a a a *;! оз 3  r ^) ^! ~оз "=» з ; ii * ^1 ^! *.) \ и CO кубическая "a" a a ¦^! оз 1° 4ч( X Оз li Оз s ю a to с + + a a «4 оз 4ч Оз *ч II Чч to to —ч а ¦Ь CS О- + а to + о- а а а Хч Со •ч & to 4 Оз И Оз to ю ^~ а а 4ч Оз Р432 \ Оз i Оз Л Оз 1 С Со | ы *О "¦^ а + + а а 3 "oSj 3* Oil а. II II а to to "Г" + а to + а а а 3 "os) cbi to а_| с: ; с. i. с — й) •о 1 а а 3 OS, 5_ ^) OS) 3_ o-I) 1 1 Col W ^-— го С ч а + + CS а а to Оз 123 to \ Со II йо to ,— to to —%* а ь \Ъ+с а to \- а а а to Оз ¦ч Оо "а" а а to Оз Р23 to \ II to Гексагональная 'а" а 3 OS 3 Рб/ттт 3 3 3 "! :! ^ I"" п г! «! II с^ ta 3 я -а пходят ч о ¦а ш a в g мволе m Оз 3 1- и Я ;кости ^-^ a 3 Оз 3 I 3 7 х "а g едние ] о § ст: з to Метрическая система си <ъ гъ О о S !НИ [ые междуна- международные Чис о S а § о рф! а | тра HCTI s >ix групп 11 || и а ? в а я? и чо групп в серии
с этой заменой находятся и другие отличия обеих групп, которые можно усмотреть, сравнивая проекции (рис. 1_93, в и 194, в). lJo E. С. Федорову, группы типа Fm3m называются симморфными, а группы типа Fddm — несимморфными; последние отличаются от первых заменой отдельных элементов симметрии порождающих точечных групп соответствую- соответствующими им плоскостями скользящего отражения или винтовыми осями. Ком- Комбинируя 32 точечные группы (см. рис. 69) с 14 трансляционными группами (см. рис. 191), можно получить 73 симморфные пространственные группы. Ос- Остальные 157 групп будут песимморфными пространственными группами, по- получаемыми из симморфных групп описанными выше заменами. Несимморфные группы можно рассматривать так же, как сверхструктурные подгруппы симморфпых пространственных групп. Соответствующую таблицу подгрупп читатель может найти в монографии одного из авторов «Шубников- Примечание. Пространственные группы симметрии можно рассматривать как произ- произведения трансляционных групп да точечные группы или па «группы по модулю», полу- получающиеся из них заменой части осей и плоскостей симметрии винтовыми осями и плоскос- плоскостями скользящего отражения. В соответствии с этим символ пространственной группы состоит из символа трансляционной группы и следующего за ним символа точечной или изоморфной ей группы по модулю. Во втором столбце таблицы приведены символы снм- морфных нрострапственных групп. В соответствии с рис. 191 в круглых скобках записаны порождающие перепосы трансляционной подгруппы; для центрированных групп, помимо прнмитпиных переносов а, Ъ, с вдоль ребер ячеек Бравэ, указаны дополнительные векторы центрирующих переносов; при этом запись с: (а/Ь) озпачает, что векторы а, Ь наклонены под косым углом и что вектор с ортогонален к плоскости (а/Ъ). Символы точечных групп составлены в соответствии с рис. 69, но не всегда в стандартном порядке. Разделительные знаки между символами трансляционной и точечной групп указывают ориентировку сосед- соседнего в записи элемента симметрии точечной группы по отношению к плоскости, заданной последними двумя векторами и символе трансляционной группы; одновременно указанный элемент точечной группы связан с последним вектором базиса трансляционной группы тем же разделительным знаком. Для кубических /""-групп а : а : а = с : а : Ь. В третьем столбце таблицы приведены международные обозначении снмморфных групп: круглая скобка заменяется проипсной латинской буквой, а бескоордннатная запись точеч- точечной группы — координатной записью в соответствии с принятым выбором осей [сопоставьте эти обозначения с символами сетчатых орнаментов (рис. 149) и двусторонних слоев (табл. 11 на стр. 167)]. Каждая спмморфная группа порождает серию неснмморфных групп. Все группы огой серии имеют общую с снмморфной группой трансляционную подгруппу л различаются преобразо- преобразованиями винтовых поворотов и отражений в плоокосгях скольжения. Соответствующие сим- символы точечных песимморфных «групп по модулю», изоморфных точечным снмморфным группам, прннедепы в четвертом столбце таблицы. Плоскости скользящего отражения по бескоординатной и координатной системам обозначены символами: а - a, b -Ъ, с -с; ab, ас, be, abc - - п; ^j-iab, '/2 ас, 1/гЬс, х/г abc — d; у плоскости аЬ перенос равен (а -|- 6)/2 и т. д ; у плоскости 7> аЬ перенос равен (а + b)//i и т. д. Знаки ©, ©, // означают, что соответствую- соответствующие элементы симметрии параллельны, перпендикулярны или наклонены под косьм углом, но не пересекаются друг с другом. 185
«кие группы» A966). Например, составив вместе в форме куба восемь ячеек группы Fmcim и приняв эту увосьмеренную ячейку за ячейку группы FdSm, можно убедиться в том, что все преобразования Fd3m находятся среди преоб- преобразований FmSm, т. е. что Fd'Sm a FmSm. С другой стороны, несимморфные пространственные группы можно рас- рассматривать как падгруппы_своих симморфных подгрупп. Для структуры ал- алмаза, например, FdSm гэ F^3m. Повышение симметрии в этом случае произо- произошло за счет добавления к объединению (системе) двух подгрупп Fi3m «внешних» элементов симметрии связи, множество которых {1, 4^, 43, d} незамкнуто, т. е. не образует само по себе подгруппы группы Fd5m, и не принадлежит подгруп- подгруппам Fi'Sm. Такого повышения симметрии при объединении двух гранецентри- рованных подструктур у NaCl не происходит, так как эти подструктуры физи- физически различны (состоят из различных сортов ионов) и внешнее множество элементов симметрии связи является пустым. Все соответствующие элемен- элементы симметрии обеих подструктур NaCl при объединении совпадают, определяя для составной системы ту же группу симметрии Fm3m, которая характеризует и симметрию ее частей. Приводим в табл. 12 полный список координатных и бескоординатных символов всех 230 пространственных групп. Плотнейшая укладка шаров. Ее значение для кристаллографии и строительной техники Вопросами симметрии дисконтинуума в настоящее время интересуются глав- главным образом кристаллография и структурная физика твердого тела, поскольку всякий кристалл можно рассматривать как дисконтинуум. В меньшей мере эти вопросы интересуют другие области знания и техники, в частности строительное искусство, которое и сейчас находится в стадии решения «плоских задач», так как расчета пространственных конструкций мы до настоящего времени делать не умеем. Впрочем, одна из задач теории симметрии дискон- дисконтинуума уже нашла себе применение в строительной технике. Мы имеем в ви- виду задачу о илотнейшей упаковке тех или иных фигур, имеющую прямое отно- отношение к укладкам кирпичей или других строительных блоков. Мы очень по- подробно останавливались на этой задаче для плоских фигур, описывая всевоз- всевозможные способы деления плоскости без промежутков и перекрытий. В этом параграфе мы опишем только способы илотнейшей упаковки шаров, частично следуя при изложении вопроса II. В. Белову A947) и Тоту A958). С первого взгляда может показаться, что способ плотнойшей укладки шаров в пространстве может быть только один; в действительности их существует ¦бесконечное множество. Чтобы это понять, расположим одинаковые шары в одном слое, так, чтобы каждый шар касался шести других (рис. 195, а). Извест- Известно, что такое расположение будет самым плотным на плоскости. Второй слой шаров может быть расположен па первом цри условии самой плотной укладки единственным способом: один из шаров второго слоя может занять позицию 2 или 3. Это приводит к одному и тому же результату: оба варианта не будут от- отличаться друг от друга. Третий слой может быть наложен на систему из двух слоев уже дпумя способами: его шары могут оказаться или в позиции 1, т. е. над шарами первого слоя, или в позиции 3, если шары второго слоя занимают 186
позиции 2. Полученные системы из трех слоев раз- различаются теперь по положению шаров третьего слоя, совпадающих или не совпадающих в проекции с ша- шарами слоя 1. Оставляя от шаров только их центры и проекти- проектируя последние на плоскость (рис. 195, б), найдем, что других позиций гааров, кроме трех указанных на проекции, при любом число слоев быть не может. Поэтому всякую плотпейпгую упаковку шаров можно изобразить символом, составленным из цифр 1, 2, 3 таким образом, чтобы в конечном или бесконечном ряду этих цифр нигде рядом не стояли две одинако- одинаковые цифры (иначе шар нового слоя не будет касаться трех шаров предыдущего слоя и упаковка не будет плотнейшей). Очевидно, что из трех цифр можно сос- составить бесчисленное множество рядов, удовлетворя- удовлетворяющих этому условию. Поэтому плотнойших упаковок шаров существует бесконечно много. Если в беско- бесконочном ряду цифр будет периодически повторяться некоторая одинаковая и конечная их комбинация, то это означает, что мы имеем дело с симметрич- симметричным дисконтинуумом. В противном случае при одинаковой плотной укладке шаров мы получим, по крайней мере в направлении, перпендикулярном к слоям, асимметричное расположение шаров. На- Например, рядом 12312 12312 12312... определяется симметричная пятислойная структура, так как в нем комбинация цифр 12312 периодически повторя- повторяется. Если же в этот ряд мы вставим хотя бы одну лиш- лишнюю цифру куда-нибудь между двумя и.меющимися цифрами, трансляционная симметрия структуры сей- сейчас же нарушится. Отметим попутно, что в симмет- симметричных (периодических) укладках не все шары при равенстве их радиусов равны друг другу по положе- положению в структуре (последнее справедливо лишь для двуслойных структур). Каждому шару в многослой- многослойных укладках отвечает бескопечное множество транс- ляционно-эквивалентных шаров, находящихся в разных, но не во всех слоях структуры. В «асиммет- «асимметричной» укладке равные по положению шары могут быть только в одном и том же слое. Посмотрим, какие группы симметрии возможны для плотнейших упаковок шаров. Возьмем ряд цифр, отвечающий той или иной симметричной укладке. Если чередование цифр в этом ряду одинаково, не- независимо от того, будем ли мы читать этот ряд слева направо или справо налево, в структуре будут со- содержаться горизонтальные плоскости симметрии, сов- Р и с. 195 При плотнейшей укладке шаров последние могут занимать толь- только три позиции: 1,2,3 а — способы укладки шаров; б — проекция центров шаров на плоскость слоя 187
Рис. 196, а Симметрии гексагональной плот- нейшем упаковки шаров Двуслойная уиаковка 12 сейм" метрией Рва/ттс; шары слоя 1 изображены сплошными линия- линиями, слоя 2 — штриховой линией падающие по направлению с плоскостями слоев. Например, в ряде 1213121312... плоскости симметрии проходят по слоям 2 и 3. Если чередование цифр при прямом и обратном чтении окажется различным, то в структуре горизонталь- горизонтальных плоскостей симметрии нет. Все структуры, в которых содержатся гори- горизонтальные плоскости симметрии, имеют одну и ту же гексагональную сим- симметрию Р631ттс. Такую симметрию будет иметь, например, гексагональная двуслойная упа- упаковка 12 (рис. 196, а). На рисунке совмещены проекции элементов симметрии и упаковки шаров; шары слоя 1 изображены сплошными линиями, слоя 2 — штриховыми. Переход от слоя 1 к слою 2 может быть осуществлен поворотами вокруг вертикальных винтовых осей 6'3 и 21 (точки выхода этих осей на про- проекцию элементарной ячейки изображены соответственно черными шестиуголь- шестиугольниками и линзами с продолженными сторонами), или отражениями в цент- центрах симметрии (белые кружки на расстояниях с/4 под плоскостью чертежа), или отражениями с переносом на величину с/2 в гертикальных плоскостях скользящего отражения (точечный пунктир). Кроме этого, на проекции показаны вертикальные и горизонтальные плоскости симметрии (последняя совпадает с центрами шаров слоя 1). Горизонтальные оси 2 и21, проходящие между горизонтальными плоскостями симметрии, па проекции не изображены. Все шаровые укладки без горизонтальных плоскостей симметрии (за ис- исключением кубической трехслойной упаковки) обладают тригональной симмет- симметрией. Например, тригональная_пятислойная упаковка 12132 имеет простран- пространственную группу симметрии Р3т1 (рис. 196, б). На приводимой проекции шары слоев 1, 2, 3 изображены длинным и коротким штрихом и сплошными линиями соответственно. Шары слоя 4 совпадают в проекции с шарами слоя 1, 188
\ P и с. l!l(i б, п Симметрия тригоналыюй и ку- кубической плотнейишх упаковок шаров б — тригональная пятислойная упаковка 12 3 12 с сим- симметрией Р3т1; шары слоев 1,2,3 изображены длинным и коротким штрихом, и сплош- сплошными линиями соответственно; в — кубическая трехслойная упаковка 1 2 .4 с симметрией h'm'<m\ в отличие от рис. 193, в элементы симметрии этой группы спроектированы на плоскость чертежа вдоль вертикальных осей з; с центрами шаров слоев /, 2, 3 совпадают центры стерео- стереографических проекций точеч- точечных групп т.\т на уровнях О, '/з и 2/3 периода переноси с 189
Р и е. 197 Плотневшие упаковки шаров а — кубическая трехслойная ; б — гексагональная двухслой- двухслойная. I) кубической упаковке ллотнейшие слои идут перпен- перпендикулярно пространственной диагонали изображенного на ри- рисунке куба. а шары слоя 5 — с шарами слоя 2. Центры симметрии (маленькие белые кру- кружки), лежащие в плоскости чертежа, совпадают с центрами и точками каса- касания шароп слоя 3; в этих же центрах шары слоя 4 (над плоскостью чертежа) отображаются в шары слоя 2 (под плоскостью чертежа), а шары слоя 5 — в ша- шары слоя 1. Кроме центров симметрии, на проекции показаны вертикальные плоскости симметрии (сплошные линии), плоскости скользящего отражения (с соответствующими переносами в направлении штрихов) и вертикальные про- простые и инверсионные оси 3 и 3. Горизонтальные оси симметрии 2 и 2t на про- проекции не изображены. На рис. 196, в представлена проекция трехслойной структуры, имеющая сим- симметрию кубической гранецептрированной решетки FmEm. В отличие от рис. 193, в элементы симметрии этой группы спроектированы на плоскость чертежа вдоль вертикальных осей 3; с центрами шаров совпадают центры стереографи- стереографических проекций точечных групп тЗт. Центр шара слоя 1 лежит в центре ри- рисунка в плоскости чертежа; переход от шаров слоя 1 к шарам слоев 2 и 3 (ог- мечены цифрами на чертеже) может быть осуществлен поворотами вокруг вер- вертикальных винтовых осей 5, и 32 (их выходы па проекцию изображены в виде маленьких черных треугольников с продолженными сторонами), а также от- отражениями в центрах симметрии (маленькие белые кружки на уровнях с/6 и С/3). Центры шаров слоев 2 и 3 лежат на уровнях с/3 и 2с/3, как это указано на проекции соответствующими цифрами. Дополнительно на проекции показа- показаны центры симметрии на уровнях с/2, связывающие шары слоев 2 и 3, и вер- вертикальные плоскости скользящего отражения (с соответствующими переноса- переносами вдоль штрихов). Часть элементов симметрии группы Fm'dm на проекции не изображена. Объемные модели кубической и гексагональной плотнейших упаковок изо- изображены на рис. 197, а, б. В двуслойных упаковках позиции 3 (см. рис. 195, а) не заняты шарами и перпендикулярно слоям идут структурные каналы, со- совпадающие по направлению с трехходовыми винтовыми осями шестого по- порядка 6'3. В кубических упаковках структурных каналов нет. Обе описан- описанные упаковки отвечают строению кристаллов большинства химических эле- элементов и укладкам анионов в структурах многих неорганических соедине- соединений и минералов. 190
Параллелоэдры и стероэдры Федорова Задачу заполнения плоскости без промежутков рав- равными многоугольниками, примыкающими друг к другу равными сторонами и сохраняющими при этом взаимную параллельность, можно поставить и для трехмерного пространства. Роль параллелогонов для пространства играют многогранники, называе- называемые параллелоэдрами. Существует пять типических параллелоэдров: куб, гексагональная призма с двумя основаниями, ромбододекаэдр, вытянутый ромбо- ромбододекаэдр и кубооктаэдр (рис. 198). Прикладывая друг к другу равные параллелоэдры так, чтобы гра- грани смежных фигур целиком совпадали, заполняем пространство без перекрытий и промежутков при па- параллельном положении всех параллелоэдров. Из пяти типических параллелоэдров можно получить беско- бесконечное множество производных параллелоэдров пу- путем их растяжений и сдвигов. При деформации фигур из куба получаются параллелоэдры в форме прямо- прямоугольных, прямых и косых параллелепипедов, из гексагональной (правильной прямой) призмы —косые шестигранные призмы и т. д. Приписав паралле- лоэдру определенную симметрию, можно разделить его на равные части, ориентированные в общем слу- случае непараллельно. Такие части называются сте- реоэдрами. Стереоэдры в пространстве — аналоги планигонов на плоскости. Стереоэдр представляет наименьшую неделимую часть дисконтинуума: его нельзя уже разделить на более мелкие равные части, совмещаемые друг с другом ортогональными преоб- преобразованиями. Мы не будем составлять каталог всех стереоэдров и ограничимся приведением несколь- нескольких примеров. Так, если параллелоэдр представляет собой косой параллелепипед без центра симметрии (предполага- (предполагается, что его противоположные грани выкрашены неодинаково), фигуру нельзя разделить на равные части: она сама будет стереоэдром. Если с центром па- параллелепипеда совпадает центр симметрии, фигуру можно разделить на два стереоэдра. Куб можно раз- разделить по плоскостям симметрии на 48 стереоэдров (см. рис. 189, а). Стереоэдры сыграли большую роль при выводе Е. С. Федоровым 230 видов симметрии дисконтинуума. Задача о плотнейших укладках раз- различных фигур, например шаров, может быть частич- частично сведена к задаче о заполнении пространства сте- реоэдрами и параллелоэдрами (см. Б.Н. Делоне, 1934). Рис. 198 Параллелоэдры Федорова При параллельных переносах заполняют пространство без промежутков а — куб; б — гексагональная призма; в — ромбододекаэдр; г — вытянутый ромбододекаэдр; в — иубооктаэдр 191
Закон кратных отношений в структурной кристаллографии и химии При рассмотрении свойств конечных и бесконечных плоских фигур мы уже встречались с понятиями эквивалентных систем точек, кратности точек и их относительных чисел. Мы установили закон, согласно которому произведение кратности точки на относительное число точек данного сорта есть величина постоянная для данной симметричной фигуры. Естественно ожидать, что то же правило будет справедливым и для пространственного дисконтинуума. Действи- Действительно, рассуждая и на этот раз так же, как это мы делали применительно к плоским совокупностям точек, легко установить, что произведение кратности Sj точки на относительное число ni таких точек в элементарной ячейке есть величина постоянная для всех дисконтинуумов данного вида симметрии. Это произведение равно относительному числу асимметричных точек ф ikgh;>oван- ikgh;>oванного сорта в той же элементарной ячейке: " --'"rs'i. Рассмотрим конкретный пример применения этой формулы к структуре кри- кристаллов берилла. Структуру берилла можно описать как двухслойную упаков- упаковку [Si6Oi;] — колец, образованных объединением по общим кислородным вер- вершинам шести ISiOJ-тетраэдров, как это показано на рис. 199 для одного из сло- слоев. На проекции выделена гексагональная ячейка пространственной группы Рв/тсс, составленная из трех призматических элементарных ячеек с ромбиче- ромбическим основанием. С плоскостью рисунка совпадает плоскость симметрии (ус- (условно изображенная угловой скобкой справа снизу чертежа). В этой плоскости лежат ионы кремния, находящиеся в центрах заштрихованных [ЭЮ^-тетразд- ров, а также ионы кислорода сорта О', объединяющие тетраэдры п шестичлеп- ные [SisO^j-кольца. Ионы кислорода сорта О занимают внешние вершины тетраэдров над и под плоскостью чертежа (в проекции эти вершины совпада- совпадают). Ионы алюминия занимают положения с симметрией 32 в точках пересече- пересечения вертикальных осей 3 и горизонтальных осей 2 (последние изображены услов- условно стрелками на полях чертежа; цифры у стрелок показывают, что оси 2 лежат на Таблица VI и кратность iibix положений в проотрпнетвенной группе Р б/тсс Симметрия поло- положения точки ; 2 3 2 in B : т) 222 B : 2) Кратность ТОЧКИ Sj 1 2 2 3 4 4 Относительное ЧИСЛО ТОМСК П; 24 G2) 12 C6) 12 C6) 8B4) 6 A8) 6A8) Сидшетрия поло- положения точки в Р,{3:т) 32C:2) 6/т F: т) 622 F : 2) Кратность ТОЧКИ Sj 6 6 6 12 12 Относительное число точек п\ 4 A2) 4A2) 4A2) 2D) 2D) • Псрппп цифра дает число точек в расчете па злементарную ячейку, выбранную в форме рпмсический призмы, нторая — число эквивалентных точек п гексагональной ячейке, составленной из трех ромби- ромбических прням. 192
Рис. 199 Структура берилла BPeAl,[SI,Oe'O,«b С проекцией части элементов симметрии пространственной группы Р в/тсс совмещена про- проекция структурных элементов кристалла (см. пояснения п тек- тексте) высоте V4 переноса спад плоскостью чертежа). Ионы бериллия занимают поло- положения 222 в точках пересечения горизонтальных и вертикальных осей 2. Кро- Кроме показанного на проекции слоя [Si6Ol8]-Konen,, в элементарной ячейке со- содержится и второй слой таких колец на высоте 1/2 переноса с; к нему можно перейти поворотами колец первого слоя вокруг горизонтальных осей 2 или от- отражениями в вертикальных плоскостях скользящего отражения, изображен- изображенных на проекции пунктиром. Часть элементов симметрии группы Р6/тсс на проекции не изображена. Л1ы указали симметрию эквивалентных положений, занятых атомами в струк- структуре берилла, и можем приступить теперь к нахождению структурной формулы соединения. В табл. 13 указаны кратности точек, занимающих в простран- пространственной группе Рб/тсс положения различной симметрии. Во всех случаях кратности точек равны порядку соответствующих точечных групп, т. е. числу различных преобразований симметрии (из числа входящих в пространственную группу ), сохраняющих данную точку па месте. Пользуясь таблицей, находим кратности s ве ~ 4 (симметрия 222), sA, — 6 (симметрия 32), ssi — 2, sQ, = 2 (сим- (симметрия т), sQ — 1 (симметрия 1). Подставляя полученные кратности в формулу симметрии, будем иметь или --=1.п 0 откуда для относительных чисел атомов получается выражение 11111 пВе : nAI: nSi: ПО' : "о "= -j- : -ь- : "у : — '¦ — • 13 Л. В. Шубников, В. А. Копцик 193
Приводя правую часть равенства к общему "знаменателю и отбрасывая послед- последний, получим окончательно "lie : nA! : nSi : "О': "О = 3 : 2 : 6 : 6 : 12> что отвечает как обычной химической формуле BegALjSieO^, так и струк- структурной формуле Ве6А14 [81вОв'О1г]2, более дифференцированно учитывающей сортность атомов и их число в элементарной ячейке. Из рассмотренного примера следует, что между химическими и структур- структурными формулами кристаллических веществ и их симметрией существует тес- теснейшая связь и что закон кратных отношений в химии есть простое следствие более общего закона симметрии. Пользуясь соотношением п = щ-si, можно за- заранее вычислить все возможные химические формулы для бинарных, тройных, четверных и т. д. соединений. Пространственные семиконтинуумы с двумя осями непрерывных переносов. Примеры семиконтинуумов первого рода Изучение симметрии односторонних и двусторонних плоских семиконтинуумоь представляло для нас в основном теоретический интерес: пространственные се- семиконтинуумы благодаря своей распространенности в природе должны инте- интересовать нас в значительно большей степени. Следует различать пространст- пространственные семиконтинуумы двух родов. Грубое представление о пространственных семиконтинуумах первого рода дает нам стопа бумаги или колода карт. В соот- соответствии с этим примером пространственные семиконтинуумы первого рода мо- могут быть получены из плоских континуумов (плоскостей) конечными переноса- переносами плоскостей в направлении перпендикулярной оси. Все способы чередова- чередования фигур вдоль прямой, будь то конечные фигуры или плоскости, были уже рассмотрены (ср. табл. 7) при изучении симметрии стержней; число видов симметрии при этом оказалось бесконечно большим; отсюда следует, что и число видов симметрии пространственных семиконтинуумов первого рода бесконечно велико. Приведем несколько примеров. Система равноотстоящих изотропных двусто- двусторонних плоскостей (стопа бумаги) обладает вертикальной осью конечных переносов с. Так как сама изотропная плоскость имеет симметрию (ао:ао) m:oom или роо оо/пътт (в международных обозначениях два нулевых индекса отме- отмечают наличие у трансляционной группы р двух осей непрерывных переносов), то символ симметрии всего семиконтинуума будет (с : а0 : а0) ¦ т : оо т или р00оо/тпът (рис. 200, а). Если бы плоскости были односторонними, то соответ- соответствующий семиконтинуум имел бы симметрию (с : а0 : а0):оолг или/>00эо тт. Такой семиконтинуум мы получили бы в стопе бумаги, сложенной из листов, имеющих «лицо» и «изнанку», таким образом, чтобы во всех листах лицевая по- поверхность была обращена в одну сторону. Если эти листы будут располо- расположены чередуясь «лицом» то вверх, то вниз, возникает семиконтинуум с той же симметрией р00 оо/ттт, но с удвоенным переносом вдоль оси с (рис. 200, б). Если допустить, что соседние плоскости семиконтинуума движутся в одном или 194
Р и е. 200 Примеры пространственных се- семиконтинуумов первого рода а, б — симметрии (с : а0 : а,,). • т : со т = Роо оо/ттт; в — симметрии РОо п- или Роо*с+ в зависимости от рациональ- рационального или иррационального угла поворота вдоль винтовой оси в противоположных направлениях вдоль параллельных прямых, лежащих в са- самих плоскостях, получим новые виды семиконтинуумов первого рода. Большой теоретический интерес представляют семиконтинуумы с винтовыми осями. Их можно построить из «ворсистых» «причесанных» плоскостей при условии, если направление ворса при переходе от верхней плоскости к ниж- нижней будет поворачиваться на один и тот же угол. Этот угол может быть совершен- совершенно произвольным, т. е. составлять как рациональную, так и иррациональную часть окружности (рис. 200, в). В природе такие семиконтинуумы встречаются в спиральных спиновых структурах магнитоупорядоченных соединений; маг- магнитные моменты атомов этих структур поворачиваются на один и тот же угол при переходе от слоя к слою. Они наблюдаются у жидких кристаллов так назы- называемой смектической фазы. Эти образования построены из пленок толщиной в одну-две молекулы; пленки расположены друг на друге, как листы в стопе бумаги. Молекулы в пленках ориентированы параллельно друг другу только одной своей осью; две другие оси располагаются произвольно. Еще одним примером природных семиконтинуумов первого рода может слу- служить поле стоячих ультразвуковых волн, которое можно получить в жидкостях с помощью колеблющейся кварцевой пластинки. Это поле образовано сгуще- сгущениями и разрежениями жидкости. При подходящих условиях плоскости сгу- сгущений и разрежений могут быть видимы и само поле использовано в качестве дифракционной решетки для оптико-спектральных исследований. Однородное световое поле можно также рассматривать как семиконтинуум из плоских волн. Изучение симметрии природных объектов, наделенных внутренней структурой, может предостеречь исследователей от неверных выводов, неизбежных в тех случаях, когда симметрия явлений не установлена точно или ею пренебрегают. Семиконтинуумы с одной осью непрерывных переносов Возьмем плоский орнамент, состоящий из шестиугольных планигонов, и подверг- подвергнем его непрерывному переносу с0 в направлении нормали к основной плоско- плоскости орнамента (рис. 201, а). Возникающая вследствие этого система бесконечно длинных шестигранных призм, заполняющих пространство без промежутков, 13* 195
б Р и с. 20) Примеры пространственных се- семиконтинуумов второго рода а— симметрии (Со:а/а) : тв : т— «= Роб/ттт; б — симметрии (Со '. а : а) ! тп-4 : m — Р04/тптптп или Pj^mm (в последнем слу- случае через стержни пропускает- пропускается электрический ток) может служить простейшим примером семиконтину- семиконтинуумов второго рода. В общем случае для получения та- таких семиконтинуумов следует подвергнуть непрерыв- непрерывному переносу в должном направлении любой нло- ский дисконтинуум, вернее любую из односторонних или двусторонних плоскостей, обладающих симмет- симметрией бесконечных слоев. Так как для бесконечных слоев известно 80 видов симметрии, такое же число видов симметрии можно получить и для семиконти- семиконтинуумов второго рода (обозначение этих видов будет начинаться с символа трансляционной группы Ро). Остановимся на одном интересном примере семи- континуума второго рода. Представим себе бесконеч- бесконечную систему бесконечно длинных, расположенных параллельно друг другу металлических стержней (рис. 201, б). В поперечном сечении оси стержней об- образуют ту или иную бесконечную эквивалентную сис- систему точек. До тех пор пока эти стержни остаются для нас чисто геометрическими фигурами, семикон- тинуум, образованный ими, имеет поперечные пло- плоскости симметрии, но стоит представить, что по всем стержням в одном направлении течет электрический ток, как эти плоскости симметрии пропадают. Мы не можем задерживаться здесь на перечислении всех видов симметрии семиконтинуумов и ограничимся указанием па то, что с простейшими семиконтинуума- ми приходится постоянно встречаться в вопросах ук- укладки или размещения стержней (пачек карандашей, связок свай и бревен, при рассадке леса и т. д.). В природе семиконтинуумы второго рода, по-видимому, имеют место у жидких кристаллов так называемой нематической фазы. Симметрия трехмерного континуума На протяжении всей книги мы старались не упустить практического подхода даже при рассмотрении отвле- отвлеченных математических вонросов. Наиболее доступ- доступной для наблюдений и ощущений материальной сре- средой является, конечно, обыкновенное вещество (в фор- форме газообразных, жидких и твердых тел), состоя- состоящее из атомов химических элементов периодической таблицы Менделеева. Более сложным структурным объектом является плазма «элементарных» частиц. Но наряду с этой дискретной материей в нашем реаль- реальном мире существуют и не дискретные (непрерывные в известном пока приближении), но столь же мате- 196
риальные в физическом и философском смысле объек- объекты, которые мы не можем обойти молчанием. Мы име- имеем в виду однородные физические поля—электромаг- поля—электромагнитное, гравитационное и т. д. * Возьмем для при- примера электрическое поле, которое легко может быть получено между двумя параллельными металличес- металлическими пластинками, заряженными противоположным электричеством. Такое поле в принципе может быть совершенно однородными непрерывным; оно симмет- симметрично, по симметрия его отличается от симметрии «пустого» евклидова пространст. а. Последнее в каж- каждой точке имеет симметрию шара; это значит, что через каждую точку евклидова пространства про- проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. В электрическом поле мы различаем направле- направление «вперед», вдоль вектора напряженности электри- электрического поля, и направление «назад», в противополож- противоположном направлении. Это означает, что в нашем поле нет поперечных плоскостей симметрии. То обстоятель- обстоятельство, что все направления в однородном электричес- электрическом поле, проведенные перпендикулярно «электри- «электрическому» вектору, нельзя отличить друг от друга, го- говорит в то же время о существовании бесчисленного множества продольных плоскостей симметрии, парал- параллельных направлению поля. В целом это означает, что электрическое поле в каждой точке имеет такую же симметрию, которой обладает обыкновенный кру- круговой копус. Мы могли бы поэтому представить себе электрическое поле,— если речь идет только об его симметрии,— как бесконечную непрерывную сово- совокупность (континуум) точек с конической симметрией при условии, что все точки расположены в простран- пространстве параллельно друг другу (рис. 202). Такой кон- континуум, очевидно, можно было бы получить, подвер- подвергая произвольно взятую точку (обладающую симмет- симметрией конуса оо ¦ т) трем непрерывным переносам вдоль взаимно пересекающихся осей а0, Ьо, с0. Символ сим- симметрии получаемого континуума мог бы быть в этом случае изображен формулой (а0 : Ьо : с0) • оо • т или ^"ооо °°tnm. Очевидно, при любой симметрии исход- исходной точки из нее можно получить симметричный (симморфный) континуум с помощью одних непре- непрерывных переносов. Так как число видов точечной симметрии (симметрия фигур с особенными точками) бесконечно велико, то и число видов симметрии кон- континуумов оказывается бесконечно большим. Как и конечные фигуры, континуумы подразделя- подразделяются на два сорта. Континуумы первого рода допуска- Р п о. 202 Пример пространственного кон- континуума симметрии (<•„ : а, : о,) : пс т Г0@а * Материальным физическим но- нолям отвечает математическан конструкция — функциональ- функциональное (или материальное) про- пространство. Вводя дополни- дополнительные координатные оси для описания изменений фи- физических свойств, такие прост- пространства можно трактовать как многомерные (простейший пример — четырехмерное фи- физическое пространство «собы- «событий» ,хи х2, х3, зс41 с допол- дополнительной четвертой коорди- координатой времени). В другой интерпретации эти простран- пространства остаются трехмерными, но абстрактные геометричес- геометрические точки заменяются мате- материальными, например,«цвет- например,«цветными», где цвет моделирует значения некоторой функции, приписанной точке. Свойства симметрии таких пространств описываются обобщенными (в частности, «цветными») группами, соответствующими представлениям классических геометрических групп (под- (подробнее об этом ем. гл. 11,12). 197
ют лишь преобразования первого рода — чистые вращения, переносы и комби- комбинированные операции (винтовые переносы). Континуумы второго рода содержат обязательно и операции второго рода — инверсионные или зеркальные пово- повороты (в том числе плоскости и центры симметрии). К континуумам первого рода относятся, например, пространства, получающиеся в результате переносов то- точек с симметрией п, п : 2 и п/п по двум осям а0, Ьо и винтового движения ooq по третьему направлению, перпендикулярному к обеим осям. Чтобы составить себе представление о таких пространствах, вообразим стопу из параллельных «ворсистых» плоскостей, «причесанных» в одном и том же направлении, причем расстояние между соседними плоскостями бесконечно маяо. Если такое про- пространство мы закрутим вокруг перпендикуляра к плоскостям, то симметрия «фигуры» изменится и мы будем иметь дело с одним из исследуемых видов симметрии. Можно привести достаточно много примеров реально существующих физиче- физических полей, обладающих симметрией континуума. Мы уже установили симмет- симметрию однородного электрического поля. Однородное магнитное поле обладает другой симметрией: Р0Hоо/т. Для исследователя один и тот же материальный объект, например кристалл, будет иметь различную выделенную симметрию в зависимости от исследуемого свойства или явления. Так, изучая расположе- расположение ионов в структуре каменной соли, мы должны рассматривать кристалл как пространственный дисконтинуум вполне определенной симметрии Fn&m. Тот же самый кристалл по симметрии оптических свойств ничем не отли- отличается от воды, воздуха и «пустоты», а потому должеп быть причислен к кон- континуумам шаровой симметрии Р000оооот. Если вместо каменной соли взять кристалл хлорноватокислого натрия NaC108, который обыкновенно имеет ту же форму куба, что и кристалл каменной соли, но другую внутреннюю струк ТУРУ> то окажется, что в отношении оптических свойств новое вещество будет иметь другую симметрию Роаооооо, так как поляризованные лучи света, прохо- проходя через кристалл по всем направлениям с одинаковой скоростью, при этом еще «закручиваются» (явление вращения плоскости поляризации). В данном слу- случае нам приходится иметь дело с изотропным континуумом, но уже без плоско- плоскостей симметрии. Приведенных примеров достаточно, чтобы у читателя возникла мысль о том, что наш мир диалектически сочетает в себе одновременно два противоречивых и на первый взгляд исключающих друг друга свойства: прерывность и непре- непрерывность. В настоящее время в физике не создано еще единой непротиворе- непротиворечивой теории поля. Как будут синтезированы эти противоречия в будущих теориях, мы пока не знаем, но можем быть уверены, что решение вопроса будет найдено и для наиболее глубокого структурного уровня организации материи, — уровня структуры поля, исследуемого в физике в настоящий момент. * Определение осей оо0 , со0, оо0 см. в табл. 8 на стр. 112. 198
10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП. КЛАССИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 13 предыдущих главах элементы классического учения о симметрии геомет- геометрических и материальных фигур были изложены без привлечения сложного математического аппарата. За последние годы учение о симметрии обогати- обогатилось обширными новыми разделами, а ее приложения охватили многие новые области. Чтобы рассказать об этом, нам придется несколько расширить запас математических сведений п более последовательно использовать некоторые идеи и представления из теории групп. Читатель в первом чтении может про- пропустить трудные места в этой и следующей главах, ограничиваясь рассмот- рассмотрением рисунков и примеров. Определение понятия группы. Группы преобразований геометрических и физических объектов. Абстрактные группы Понятие группы в современной математике и физике имеет такое же фунда- фундаментальное значение, как понятие числа, множества, функции. Частично мы уже знакомы с ним, поскольку неоднократно говорили о группах симмет- симметрических преобразований фигур (соответствующих видам симметрии), под- подразумевая под этим конечные или бесконечные совокупности симметрических преобразований, под действием которых части (конечной или бесконечной) фигуры обмениваются местами, а фигура в целом совпадает с собой. Требо- Требование инвариантности (сохранения преобразованием структуры объекта)может быть положено в основу определения самого понятия группы, симметрических преобразований фигуры. 199
В соответствии с характером допустимых преобразований фигур мы раз- различаем изометрические и неизометрические (аффинные, проективные, тополо- топологические и т. д.) группы. Ортогональные группы, такие, как группы вращений (преобразований первого рода), вращений и отражений (преобразований вто- второго рода), а также группы движений (параллельных переносов, скомбини- скомбинированных с преобразованиями первого и второго рода,) сохраняют метричес- метрические свойства фигур (т. е. длины произвольных отрезков и углы между ними). Именно с ортогональными группам преобразований фигур без деформаций и группами движений мы и имели дело до сих пор. Аффинные группы, состоят из совокупностей преобразований однородных деформаций (растяжений, сжатий и сдвигов), допускаемых бесконечными фигурами и средами. Изотропное однородное пространство аффинно-симмет- рично. В известном приближении группы, преобразований подобия (частный случай афинных групп) описывают симметрию строения и роста некоторых растений и животных; симметрия подобия обнаруживается в деталях архи- архитектурных сооружений, в рисунках, построенных по законам перспективы, и т. д. Важный пример неортогональных групп — группы произвольных переста- перестановок эквивалентных частей фигуры, при которых фигура совпадает в целом с собой (например, группы всех допустимых перестановок эквивалентных ато- атомов в структуре кристалла, перестановок нуклонов в структуре атомного ядра и т. д.). Специальные случаи групп перестановок, как увидим далее, изоморф- изоморфны ортогональным группам. Понятие преобразования может быть определено не только для геометри- геометрических объектов (конечных фигур, континуумов, дисконтинуумов), но и для физических объектов (материальных носителей физических свойств), таких, как материальные фигуры, скалярные, векторные, тензорные и иные физичес- физические поля. Такие объекты, помимо групп ортогональных преобразований, мо- могут допускать и более общие группы преобразований — группы антисиммет- антисимметрии и цветной симметрии, применяющиеся в кристаллофизике и в структур- структурном анализе кристаллов (мы познакомимся с этими группами в следующей главе); унитарные (в том числе унимодулярные) группы, используемые в тео- теории элементарных частиц; однородные и неоднородные линейные группы; группы Лоренца и Пуанкаре, применяющиеся в теории относительности, и т. д. С каждой из этих групп связан в соответствующем пространстве свой набор инвариантов (сохраняющихся величин). Однако, какова бы ни была природа объекта, допускающего некоторую группу преобразований и каков бы ни был характер самих преобразований, у всех групп преобразований име- имеются некоторые общие свойства, которые могут быть положены в основу ак- аксиоматического определения абстрактной группы *: Некоторое множество элементов произвольной природы gu g2,.. образует группу {gu g2,...} = G, если в этом множестве определена ассоциативная операция «умножения», ставящая в соответствие любой паре элементов gt, gj из G (пишут: gu gj ?= G) элемент gh €= G, называемый их «произведением», Stgj = gk, и если выполнены дополнительно два условия: а) существования в множестве G единичного элемента е такого, что gxe = egi = gi для произволь- * Популярное изложение основ теории групп см., например, в книге П. С. Александрова A951). 200
ного gi Er G; б) существования для произвольного g{ обратного элемента такого, что gigi1 = g~xgi = e. Всего получаем четыре условия: I- gigj = gic e G, если gu gj е G, III. ^e = ед = gu IV. gjg^ = g?gi = e. Выписанные выше соотношения, определяющие абстрактную группу, назы- называются соответственно аксиомами принадлежности, ассоциативности, суще- существования единичного и обратного элементов. В случае конкретных групп опе- операцию умножения приходится (для каждого типа групп) соответствующим образом определять. Пример кристаллографической группы 2/т. Группы перестановок и ортогональных матриц, изоморфные группе 2/т Под произведением однородных ортогональных преобразований, определяю- определяющих точечную группу симметрии конечной фигуры, будем понимать после- последовательное выполнение этих преобразований. Используя это определение, проверим выполнимость в множестве 2/т четырех групповых аксиом. Симметрией кристаллографической точечной группы 2/т обладает, напри- например, фигура деформированной спичечной коробки (прямая призма, в основа- основании которой лежит параллелограмм). Занумеруем грани фигуры, как пока- показано на рис. 203 и запишем перестановки цифр, осуществляемых преобразо- преобразованиями симметрии фигуры: 7 /123456\ о /123456\ т /123456\ /12345(>\ В верхних строчках каждой перестановки ряды цифр следуют в натуральном порядке, в нижних — в том порядке, который устанавливается после выпол- выполнения преобразования симметрии. Непосредственно очевидно, например, что после поворота на 180° вокруг оси 2 грань 1 переходит в положение грани 3, грань 2 — в положение грани 4 и т. д. Соответствие между операциями сим- симметрии 1, 2, 1, т (мы их обозначаем теми же символами, что и элементы сим- симметрии) и подстановками взаимно однозначно, что мы и отразили в записи знаком двусторонней стрелки. Используя найденное соответствие, определим операцию умножения пере- перестановок. Найдем, например, произведение 1 2, выполняя первой ту опера- операцию, которая записана справа: /123456\/123456\ /123456\ [) = \123465J ~ т' 201
Под действием поворота 2 грань 1 переходит в положение грани 3, а под дей- действием инверсии 1 грань 3 переходит в положение грани 1; следовательно, произведение преобразований 1 2 переводит грань 1 в грань 1. Подобным же образом найдем, что произведение i 2 переводит грани 2, 3, 4 в себя, грань 5 переходит в грань 6, грань 6 — в грань 5. Результат, который нас интересует, гласит: произведение преобразований 12 эквивалентно преобразованию т, что можно записать в виде уравнения 12 = т. Продолжая нахождение парных произведений gtgj (в последовательности справа налево), можно записать результат в форме таблицы умножения груп- группы 21т: 1 2 I т 1 1 2 1 т 2 2 1 т Г т т т 1 2 т т Т о 1 по схеме • 0-0 • 616; Эта таблица показывает, что аксиома принадлежности в множестве симмет- симметрических преобразований, допускаемых исследуемой фигурой (рис. 203), вы- выполнена: произведение любых двух преобразований принадлежит тому же множеству. Нетрудно проверить и выполнимость аксиомы ассоциативности: в тройном произведении gigjgh можно любым образом расставлять скобки, сохраняя последовательность умножений справа налево. Роль единицы группы выполняет в нашем множестве тождественное преобразование 1. Таблица показывает также, что для каждого элемента в группе 21т существует обрат- обратный, так как каждый элемент gi обратен самому себе: gigi = 1. Рис. 203 Элементарная ячейка в форме деформированной спичечной ко. робки обладает метрическими параметрами а Ф Ь ф с, а = р = = 90° Ф у " симметрией ЯШ Боковые грани призмы зану- занумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, основания — цифрами 5,6. Помимо кристаллографических (косоугольных) осей а, Ь, с введена | кристаллофизическая (пря моугльная) система коор- координат Xi, Xt, Xt и показано ее преобразование в положение Xt', Xt', Х'а, под действием по- поворота на 180° вокруг оси X,. Элементы симметрии г т и 1 группы 2/т изображены услов- условно двуугольниками, плоскостью и кружком соответственно Х„.Х ¦'* 202
С помощью таблицы можно найти и результат многократного повторения операции. Найдем, например, что третья степень операции 2 равна операции 2: 23 = 2-2-2 = 222 = 2, так как 2г = 2-2 = 7. Условившись считать одинаковыми степени операций, приводящие к одина- одинаковому результату, найдем, что группа 21т является группой четвертого порядка, так как она содержит четыре различные операции: 21т = {1, 2, Г, т). Заметим, что за порождающие элементы (генераторы) группы 21т может быть принята любая пара элементов, не включающая единицу 1. Записав для генераторов {2, т} определяющие уравнения 22 = 1, тг = 1, 2т = т2, можно с их помощью построить всю таблицу умножения группы 21т, пере- перемножая элементы т, 2 и 2т = 1. Соответствие между операциями симметрии и перестановками шести цифр, которое мы установили выше, приводит к изоморфизму группы симметрии ' 21т и группы четырех перестановок. Вообще, группы G = {glt g2,---} и F = = {/и fa---} называются изоморфными, если их таблицы умножения совпадают при установлении взаимно однозначного соответствия между элементами, т. е. если из ?,<-->/i> gj^-fi следует gigj^-hfj. Установление изоморфизма групп позволяет перенести все результаты, относящиеся к законам умножения и следствиям из них, известные для одной группы, на множество изоморфных групп, т. е. существенным образом огра- ограничить объем исследований. Для конечных групп, например, справедлива теорема Кели: всякая конечная группа изоморфна некоторой группе переста- перестановок. Поэтому исследование конечных групп можно свести к исследованию групп перестановок. Множество групп перестановок, очевидно, шире множества ортогональных кристаллографических групп. Например, циклическая группа пятого поряд- порядка, порождаемая степенями перестановки , . . .. . /123456\ 1 Т-е- ГруППа 1Р'Р*'Р*'Р%'Л> гДе * = (] 7 неизоморфна ни одной из кристаллографических групп. С другой стороны, кристаллографические группы могут быть изоморфны не только группам подстановок. Рассмотрим важный для кристаллофизичес- ких приложений нример групп ортогональных трехмерных матриц, изоморф- изоморфных ортогональным преобразованиям. Свяжем с кристаллографическими ося- осями а, Ь, с нашей фигуры систему прямоугольных осей Хи Х2, Х3, как показано 203
на рис. 203. Всякому преобразованию симметрии фигуры отвечает преобразо- преобразование жестко связанных с ней осей координат; например, поворот 2 переводит оси Хг, Х2, Х3 в положение Х[, Х2, Х'3. Определяя матричные элементы Dif как косинусы углов между штрихованными и нештрихованными осями, D{j = cos (Xi , Xj), найдем, что трехмерная матрица u D12 D13\ /-1 0 D2l D22 D2t 1, описывающая поворот 2, примет вид I 0 —1 0 v?>3i D32 DSSJ \ 0 0 Подобным же образом установим соответствие матриц и симметрических пре- преобразований: Определяя далее закон умножения матриц известным правилом («строка ле- левой матрицы умножается на столбец правой»: Di} = DiJDy) + Ог.2Ог] + Di3D3j), найдем произведение матриц, соответствующее произведению операций: '—1 0 0\/—1 0 0\ /10 0 0-1 0 0-1 0 = 01 0 0-1/V 0 0 1/ \0 0—1 и т. д. Следовательно, соответствие матричной группы и группы 21т будет изоморфным. Роль матричных групп заключается в том, что с помощью матриц записы- записываются преобразования координат точек трехмерного пространства или коор- координат соответствующих радиус-векторов. Например, линейные однородные преобразования записываются в виде системы уравнений и в матричном виде так: Di2x2 - D22x2 - D3ix2 - h D13x3 - D23x3 h ^33X3 или U/^ ~"~ Л-/ n-tUs' Обозначив через D матрицу (Di}) и через г вектор с координатами xlt x2, х3, те же уравнения можно записать еще более компактно в тензорном и опера- операторном видах: х\ = Ал- (г, / = 1, 2, 3) или г' = Dr (по повторяющемуся в тензорном уравнении индексу ; подразумевается сум- суммирование от единицы до трех: х{ — D^x^ + Di2x2 + Di3x3, где i = 1,2, 3). 204
Некоторые свойства групп. Подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфное соответствие групп Подгруппой // = {hl, h.,,...} группы G = {gu g2,...} называется подмноже- подмножество Н a G, обладающее свойствами группы по отношению к операции умно- умножения, действующей в G. Такими свойствами, например, обладают подгруппы кристаллографической группы 21т: 1 = {1}, 2 = {1, 2), 1 = {1, 1}, т = {1, т), в чем можно убедиться непосредственно или с помощью таблицы умножения группы 21т. Все подгруппы конечных групп легко находятся с помощью тео- теоремы Лагранжа, утверждающей, что порядок подгруппы Н конечной группы G есть делитель порядка G. Элементы подгруппы // = {hl, h2,...} служат одновременно элементами группы G = {#!, gi,..}, только они переобозначены другими буквами; при этом обязательно группа и подгруппа содержат общий единичный элемент, пусть это будет элемент hx = gt = е. Установив подгруппу Н группы G, мы можем определить системы левых или правых смежных классов giH = {gihugih2,...} или где hx = е и элемент g\ не принадлежит подгруппе H(gi =f= e, gt {? II, g{ ez- G)- Можно показать, что все элементы, входящие в фиксированный смежный класс, различны, как различпы и элементы смежпых классов giH vigjll, если g{ -j=gj. Используя это обстоятельство, можно произвести разложение группы по подгруппе, т. е. перечислить элементы группы по их принадлежности к смеж- смежным классам. Если группа G конечная, порядка п, то подгруппа Н a G име- имеет конечный порядок т <^п. Следовательно, разложение группы G, например, по системе левых смежпых классов закончится на конечном числе шагов: и ... и Sjh = {>'i. h2 hm) u {gj^ •••U В частности, разложение группы 21т по нодгруппе 2 будет иметь вид 21т = 1{1, 2}[jl {1, 2} = {1, 2} U {I, т}. Число смежных классов ; в разложении группы по подгруппе называется индексом подгруппы. Очевидно, индекс подгруппы 2 = {1, 2} группы 21т ра- равен двум. Подгруппа II о^ G называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем групны G (пишут II <] G), если правые и левые смежные классы по этой подгруппе совпадают: Подгруппа 2 группы 21т инвариантна, так как 1 {1, 2} = {1, 2}1. Используя 205
условие коммутативности Hgi = g{ll, определим теперь группу новой при- природы, называемую фактор-группой и обозначаемую символом GUI. Элемен- Элементами фактор-группы являются левые (или правые) смежные классы; закон умножения (например, левых) смежных классов устанавливается формулой gtH-gjH = gkH, если g?j = Условие коммутативности использовано в формуле для переноса сомножителя gj из правого в левое положение по отношению к символу Н. Полагая g1 = e, построим таблицу умножения фактор-группы GlH по подгруппе конечного индекса /: g\H H gjg.2H . . . gfll В частности, таблица умножения фактор-группы 2lml2 по подгруппе 2 будет иметь вид {1,2} {1,т} {1*2} {1,2} Понятие фактор-группы играет первостепенную роль в теории групп и находит многочисленные применения. Другое важнейшее понятие теории групп — понятие гомоморфного отображения элементов большей (по по- порядку или мощности) группы G = {gj, g2,--.} на элементы меньшей группы F = {fu /2,...}. Это отображение одностороннее, такое, что из gi—>fi>gj—>fj следует gigj-> fifj. Гомоморфизм групп изображается символом G ~+ F. Можно показать, что фактор-группа G/H по инвариантной подгруппе Н есть гомоморфный образ группы G, т. е. G —> G/H. Гомоморфизм этих групп устанавливается односто- односторонним соответствием элементов gi группы G элементам g{H фактор-группы G/H: Односторонность такого соответствия следует из того, что на один и тот же смежный класс g^H отображается несколько элементов группы G, а именно все ее элементы g\ = #А, Si = giK •••. g*m = gihm (h, h2,..., hm e H<\ G, gi€?H, gi G= G), принадлежащие данному классу giH. Установление гомоморфного соответствия позволяет свести изучение зако- 206
нов умножения в группе G к исследованию законов умножения для меньшей (по порядку или мощности) группы GIH. С гомоморфными отображениями свя- связаны так называемые неприводимые представления групп G, использующиеся в физических приложениях. Чаще всего это группы операторов или матриц, сохраняющие закон умножения той группы G, которую они представляют при гомоморфном отображении. Расширения групп с помощью прямых, полупрямых и условных произведений. Кристаллографические группы как расширения групп вращений Любая группа G, содержащая заданную подгруппу Н, называется ее расшире- расширением. Пусть G = Hgl U Hg% U - U Hga = {hlt К hm}gl U {*!, А,, ..., hm}g2 U ... ... (J {*!,*.. ...,Am}g. A) — разложение группы по подгруппе (для определенности — по правым смеж- смежным классам). Из разложения следует, что расширение G группы // сущест- существует в общем случае тогда, когда элементы {&, g2,..., gs} образуют систем]/ представителей смежных классов. Это означает, что: 1°. Элемент gt = hx = е является общим единичным элементом для G и для Н и, следовательно,— единицей системы {gu g2, ..., gs}. 2°. Все элементы системы {gu gi,...,gs} различны в том смысле, что смеж- смежные классы Hg} =j= Hgi для g} ф glt т. е. h,gj Ф hhgi для любых hu hk e Я. 3°. Произведение элементов higj ЕЕ Ilgj и hkgi e Hgl лежит в некотором смежном классе IIgq, принадлежащем разложению A) группы G. Условиям 1°, 2°, 3° удовлетворяют разнообразные наборы представителей,, взятых по одному из каждого смежного класса. Все такие наборы, приводя- приводящие к одному и тому же расширению G группы Н мы будем считать эквивалент- эквивалентными. В математической теории расширений групп * разработаны особые приемы нахождения неэквивалентных систем представителей {gt, g%,..., ga} для построения неэквивалентных расширений G. Мы познакомимся здесь лишь с некоторыми из них. Прежде всего заметим, что условия 1°, 2°, 3° будут удовлетворены, если смежные классы Hgj разложения A) рассматривать как элементы некоторой группы {Hg^ Hg2,...,Hgs}, определяемой законом умножения HgrHgl = Hgq (Hg^Hg,, Hgh если gt, gl^gl^e). B) В общем случае неинвариантных расширений (когда подгруппа // не образует нормального делителя группы G) это может быть группа подстановок смежных классов. В случае инвариантных расширений представители смеж- • Ее изложение'можно найти в книгах А. Г. Куроша A967) и М. Холла A962) по общей теории групп, а также в работах Цассенхауса A948), Яипера и Ашера A965—1969) по расширениям кристаллографи- кристаллографических групп. Относительно неинвариантных расширений си. работы Ван дер Вардена, А. М. Замор- заеваA967), В. М. Вусаркина и Ю. М. Горчакова A968) я В. А. Копцика A967). 207
ных классов, кроме условий 1°, 2°, 3°, должны удовлетворять дополнительно- дополнительному соотношению коммутации: 4°. gjH = Hgj или gjHg]1 = Н, т. е. gjhkg]1 = i;Sff для любых hk e H, gj ЕЕ G. В этом случае подгруппа Я является инвариантной или нормальным делителем G, а система {Hgx, Hg2,...,Hgs] образует фактор-группу G/H, для которой закон умножепия B) принимает вид HgrIIgl = Hgjgl. C) Предположение о том, что набор смежных классов образует группу отно- относительно закона умножения B) или закона C), усиливает наше условие 3°; теперь мы имеем Hgq или ^Hgjgi, где higj Дальнейшие следствия вытекают отсюда для случая инвариантных расши- расширений. Сопоставляя смежным классам Hgj элементы gj, найдем, что при про- произвольном выборе представителей, взятых по одному из каждого смежного класса, система {glt g2,-.-,gs} образует группу, изоморфную фактор-группе GIH: Hgi <-> gy Bgi <-+ gi, Hgjgi <-> gjgt. Условие изоморфизма требует, чтобы произведение элементов gjgt = gn, най- найденное по законам умножения группы G, принадлежало бы смежному классу Hgn, что осуществляется, если положить gjgi = ^jl.ngn ЕЕ Hgn, hj{<n = hv ft2,...,/imEff, gn ЕЕ {gi, g2- ¦ • • > ?«}• В общем случае при hjUn ф К элемент hJUngn ф {glf ^2,...,^8}- Вводя закон приведенного умножения т. е. приравнивая элемент hjitngn элементу gn (uo модулю hjijn) найдем, что система {glt g2,---, gs} замкнута относительно этого закона, т. е. образует группу по модулю G (mod H). В понятии группы по модулю объединяются все наши требования к системе представителей смежных классов. Условие существования инвариантных рас- расширений мы можем сформулировать теперь так: расширение G группы Н <] G существует, если набор представителей смежных классов образует группу по модулю G (mod H), изоморфную фактор-группе GIH. Проблема эквивалентности наборов {gu g2,---, gs) сводится теперь к проблеме изоморфизма соответству- соответствующих групп. Из-за различий в законах умножения группы G(mod H) вообще не подгруппы G. В частном случае, если возможен выбор системы предста- представителей такой, что для них все модули сравнения hji%n = /^, группа по модулю превращается в обычную группу G* = {gv g2,...,gs} — подгруппу G. Груп- 208
па G называется в этом случае симморфной. Если такой выбор невозможен, группа G несимморфная. Расширение G можно практически построить как «произведение» групп Я и G (mod Я), умножив попарно все элементы hx, h2 ,...,hm ЕЕ Я на элементы ?i> ёът-чёз ?= G(mod H) и объединив в множество G полученные результаты: G = {Kg\,KS\, ¦•¦ ihrng^h^^higz, ... ,/im^a, ... , &х?з, u2gs, ... , hmg^}. D) Напомним, что у групп, используемых для построения расширений, должен быть единственный общий элемент — пересечение Н П G(modH) = ht = g1 = — е i= G. Так как G (mod Я) не подгруппа G, расширение D) мы будем назы- называть условным произведением и символически обозначать G = Я © G(modЯ), Я < G, G (mod HKzG,H [\G (mod Я) = е еб. E) Для симморфных групп G условное произведение E) заменой группы по мо- модулю на обычную группу G* = {glf ?2,...,gs} — инвариантную или неинва- неинвариантную подгруппу G — приводится к более простому случаю прямых или полупрямых произведений. Прямое произведение двух групп G = H®G*, Я О G, G* О G, H (\G* = e(=G определяется законом умножения бинарных элементов higj CE G: = hihkgjgi, hnhk eE H, gj,gt e G*; F) полупрямое G = H&G*, H<\G, G*czG, H (\G* = e<=G — законом tf 4} 1 e Я, y,-, ft g G*. G) Прямое произведение законом F) вполне определено для любых двух групп Я и G*; полупрямое — определяется в соответствии с G) заданием преобра- преобразований автоморфизма gjh^g]1 — hf для всех hk e= Я, gj GE G*. Вообще во всех случаях E) — G) G(mod H) или G* — группы автоморфизмов для Я, сохраняющие инвариантность Я <| G : gjHg'j1 = Я при любых hk C= H, gj ЕЕ G. Представляя элементы G* в виде h^gj, h^gi, убеждаемся в том, что оба закона F), G) сохраняют замкнутость умножения в подгруппах G* с G: KgrKgi = Kgjgi, так как hfi = gjKg? ~ \. Несимморфные группы G строятся по модели прямых и полупрямых произ- произведений заменой части элементов g} ce G* элементами новой природы gf =<*jgj = gi = ocxgi = gx (mod atj), gf = aag2 = g2 (mod a2),... , gf = a8g, = g, (mod a,). (8) 14 А. В. Шубников, В. А. Копцик 209
В общем случае аг = hlt остальные величины из первой системы модулей срав- сравнения а-, ф Н, однако {a.jg])m = afgf = h^, ocj" = ^ e H, где т — порядок элемента g,-. Замена (8) превращает вновь группу G* в изоморфную ей груп- цу по модулю G11 — {g! , gi ,..., gs } с известным уже нам законом приведен- приведенного умножения * gfgf = fy.* g% = g» (mod Л,-,,п), АЛ„ ЕЯ, ^ или rn) = (angn) (mod /ty>n) , (9a) = «j*fj aul (angn) = (an?n) (mod ftjU) (96) соответственно случаям прямых и полупрямых произведений. Из (9а) и (96) находим модули сравнения второй системы .; a-1, где aj'i == gjCLig'j1 = аи — автоморфизмы модулей at такие, что afcgt. = gf E= ЕЕ <?я и afj = а; (по определению). Роль единицы в группах GH играет эле- элемент g" = /ijg-j. Обратные элементы определяются по формулам (a*,) = a^gji и (a^;)-1 = (ост*) "/gji соответственно. Заметим, что система величин aj сама образует группу но модулю Ан = {<*!, otjj,...,ote}, изоморфную группе GH = {g", g",..., gsH}npnec- тественном сопоставлении элементов: &.)¦<-* gj , otj <-> gj и а;-аг = hjiinan = an (mod /ij7>n) <^ g» (mod /ij7>n) — /ty.ng^ = gf gf . Это делает законным использование обозначений обратных элементов в при- приводившихся выше формулах: a/xj1 = x^aj = аг = hx. Изоморфизм групп GH <-> G* *-> G/H, следующий из соответствий gngii = hjitng» = gH (mod hji<n) <-> gn = gjgi <-> Hgn = Hgjgi, гарантирует существование несимморфных расширений. Несимморфную груп- группу построим как условное произведение двух групп G = #OGH = {Ai (a^), А, (а^х),., ., /im(aigi) ,K («rf.). К (aeg8),. .. . ...Лт(ад.)}. A0) различая законы прямых и полупрямых условных произведений: h {a.jgj)QhK (aigi) = hh\ {а-jgj) (a;^j) = hh^h^n (angn), hjhn = * Группы по модулю G (mod H) для несимморфных расширений G обозначаем символами 210
(angn), A2) где pa'1 e Я, A<a* = hf E= H для всех Сопоставляя формулы A1), A2) и F), G), найдем, что несимморфные группы A0), построенные по модели симморфных групп D), неизоморфны им. Это сле- следует из появления в законах умножения A1), A2) величин /&я,п> нарушающих изоморфизм. Практическое построение носимморфных групп по заданным симморфным сводится к определению первой и второй систем модулей сравнения (соответ- (соответствующие методы рассмотрены в литературе, цити- цитировавшейся на стр. 207). Для групп невысокого порядка G11 таблицу модулей Ад,„ легко определить Рис. 204 Гомоморфные (-») и изоморф- изоморфные (<->) соотношения между группами в схеме нормальных (инвариантных) расширений Симморфные расширения С — ~ Н ® G* или G = Н фС* Строим по схеме G* +* GIH +- G принимай произвольную груп- группу G* = {#,, g, gs) за модель фактор-группы G/H = = [Jig,, Hg2 , Ha's) и U = (Л,, Л?,..., ftml — за ядро гомоморфизма G* »- G, в ко- котором все элементы Л,, Л2>... ...,ftm€= H отображаются на еди- единичный элемент |, е С*. Заме- Заменяя в G/H элементы fig. систе- системами элементов {hvg^, Л2<?;,... •••1 ftm<Mi получаем искомое Расширение G V' в s в котором необходимые соот- соотношения между группами обес- обеспечиваются отображениями Л,- 'j (» = 1,2 г») -* П:>. « л',- U = 1,2 s) и законами умножения F), G) для G и C) для G/ff. Несим- Несимморфные группы G = И О gH получим заменой G'«GH= G.*c, LI Gi где С* = jgi, ft,. общая подгруппа и элементы Н групп н G* р+1 = e/i — индекс подгруп- подгруппы Gi* в разложении группы по модулю GHuoG,*. Замена G***GH меняет симморфную группу D) на несимморфную A0) и законы умножения F), G) ца A1), A2) соответственно. На диаграмме элементы групп G* и G" обозначены для краткости одними и теми же символами hj?j', соответствию элементов h.gj -* Hgj*-> gj отвечает одно- одноименное соответствие секторов кругов; так как gt = hx = e, группа 5* = {htg,, h,gu... ¦¦¦higs) отождествлена с G*, группа Ъ = {hxgu h,g,,.. •..\„*1 - с Н 211
подбором, если известна таблица умножения изоморфной группы G* и вели- величины <Xj предварительно определены: Таблица умножения G* g1 . . . gt. . . gs Таблица модулей й^п | gf • • • gf • • • g^ gi H i. . .hl. . .hi gi- ¦ -gi- • • gs gy • -gn- • -gp —> g,- ¦ • gq. ¦ • gr g. Появление в таблице величин hx — следствие «безмодульного» умножения на единичный элемент: (а^) (А,^) -= h]U] (cijgj) = (ujg-), (hxgi) (ctjgj) = = hu,j (<*jgj) = (<*jgj), откуда hn,} = hu,j = hl7 j = 1,2,...,s. Величины Aj будут появляться также в таблице на пересечении соот- соответствующих строк и столбцов при перемножении «безмодульных» элементов gf 5 gi, g" = gk (все такие элементы вместе с единичным gf =з gx образуют подгруппу G\ моделирующей группы G*). Оставляя в стороне теорию неинвариантных расширений, приведем таб- таблицу расщеплений в прямые, полупрямые и условные произведения 32 кри- кристаллографических групп, рассматривая их как расширения групп вращений. Табл. 14 показывает, что все кристаллографические группы можно получить попарным перемножением восьми генерирующих групп Н = 1,2, 3, G* = 2, т, I, GH = 4 (mod 2), 5 (mod 2), где группы по модулю определяются таблицами умножения 4 {шо& 2Ц1 4" 1 (той 2)\1 4Н 1 4н 1 4Н 4И 2 = 7 (mod 2) 1" 2==l(mod2) Элементы gf = a^gj этих групп DН = 4 2 и 4Н = 41) перемножаются по формуле (9а): {4~12){4~12) =- 4~Ч~122 = 21 == 1 (mod 2), D1) D1) = 441Г = = 21 =2l (mod 2). В дальнейшем мы убедимся и на других примерах, что метод перемножения генерирующих групп служит эффективным средством вывода новых групп. Заканчивая параграф, проследим еще раз путь построения инвариантных рас- расширений по схеме гомоморфных и изоморфных соотношений, связывающих исходные и конечные группы (рис. 204). 212
Таблица 14 Кристаллографические точечные группы как расширения групп вращений Группы вращений 1 2 3 _ 4 = 2®4 (mod 2) — 6 = 3®2 222 = 2®2 32 = 3©2 422 = 4©2 = 222©2 622 = 6^J = 32®2 23 = 222 JK 432 = 23®2 Инверсионные группы I = J®I 2/т = 2®1 3 = 3®1 4/от = 4®i mmm = 222 ®1 Зт = 32®1 4/ттт = 422®1 6/ттт = 622® I тЗ = 23® J тоЗто = 432®! Зеркальные группы т = i(g)m тт2 = 2®т б = 3®т Зт = 3®т 4 = 204 (mod 2) 4тптп = 4^s)tji 6mm -— 6^s)m 42m = 222 S)m 6m2 = 3255/тг — — 4m = 23 J)m — Примечание. Среди звриальных в таблице перечислены группы, не сводимые к инверсионный и пс имеющие центра симметрии. Пространственные (федоровские) группы Ф как расширения трансляционных групп Т с помощью кристаллографических групп G и изоморфных им групп по модулю GT Довольно абстрактные рассуждения предыдущего параграфа мы поясним подробно на конкретном примере, который послужил отправным пунктом при разработке общей теории. А именно, покажем, что пространственные (федо- (федоровские) группы Ф трехмерного дисконтинуума являются_ инвариантными расширениями трансляционных групп Т с помощью кристаллографических точечных групп G или изоморфных им групп по модулю GT. Выберем в трехмерном дисконтинууме примитивный векторный базис {а, Ь, с), в общем случае косоугольный, и свяжем с осями переносов а, Ь, с оси координат Х1г Х2, Х3. Тогда пространственная решетка определится как трансляционно-эквивалентная система точек с целочисленными координатами. Любому параллельному переносу, совмещающему решетку с собой, будет отвечать перемещение начала координат @00) в некоторый узел с целочислен- целочисленными координатами (щ, тг, ms). Иными словами, любой перенос может быть описан вектором х = t = а, а2 = Ь, а3 = с, = 1, 2, 3; mlc = 0, ±1, +2,...). 213
Бесконочная совокупность Т = {гпк&ъ) таких векторов образует для па- шого дисконтинуума группу в математическом смысле, называемую группой трансляций. Принимая за групповую операцию операцию сложения векторов, легко проверить выполнимость в множестве Т четырех групповых аксиом (см. стр. 201). I. Два последовательно проведенных переноса т4 и Xj эквивалентны пере- переносу решетки на вектор т{ + Т; — ха; вектор т& принадлежит множеству Г, если хь Xj€eT. II. Операция векторного сложения ассоциативна: (т4 + т^ +тл — = X; + (X, + Т*). III. Роль единицы группы играет нуль-вектор: т4 + 0 — 0 -j- т4 = т4. IV. Для каждого вектора т{ в множестве Т определен обратный вектор т!1 = — Tj, так как т4 + (—т4) = — т4 + т4 = 0. Для доказательства теоремы, указанной в заголовке параграфа, нам будет удобно перейти от векторных групп Т к изоморфным им группам операторов, сопоставляя кажому вектору хг EH T оператор параллельного переноса Ш|т4], а «произведению» векторов т, + Xj— произведение операторов [?|т4][/?|т;] — -= \E\xi + т,]. Нуль-вектору при этом соответствует оператор отождествле- отождествления \Е\0], обратному вектору — обратный оператор [^Itj] — [Е\ — т4]. По определению под действием оператора [Е\х\ любой вектор г = х1а1 + х2а2 -|- х3а3 трехмерного пространства переходит в вектор г' = xl'a1, + хг'&2 -{- х3' а3, а точка с координатами (xlf хг, xs) переходит в точку (xt', х2', х3'), Xi = хх -\- т1, хг' — х2 + tn2, х3' = х3 + Щ, где т1, т2, т3 — целочисленные координаты вектора т. Охарактеризовав таким образом трансляционную группу Т, мы и для точеч- точечной группы симметрии решетки G построим изоморфную ей группу ортого- ортогональных операторов, или группу, матриц, сопоставляя каждому преобразова- преобразованию g GE G квадратную ортогональную матрицу D(g) с матричными элемента- элементами Оц — cos(Xj', Xj), подобно тому как мы это делали па стр. 203 для кристал- кристаллографической группы 21т. Для построения ортогональных матриц D{g) используется декартова сис- система координат Xlt X2, Х3 с ортогональным базисом [е1, е2 е3}, связанная с косоугольными осями Х1 — Xj, Х2 — Хг, Х3 = Xs по определенным прави- правилам (см. табл. 20). В ортогональных осях уже не все узлы решетки имеют це- целочисленные координаты. Если т = тгех + т2е2 -г т3е3, то преобразования параллельного переноса запишутся в виде хх' ~— хх -\- хх, х2' = х2 + т2, ха — хг + тз- При совпадении осей Хг = Х4 и ортов е; = а4 координаты Т; --- ть i = 1,2,3. Под действием операторов [D(g)\0], которые мы сопоставляем матрицам D(g), или более кратко [Z?|0], любой вектор г = х1е1 + х2е2 + х3е3 перейдет в вектор г' = iCj/Oi -+- х2'е2 + х3'е3 = [Z>|0]r =Z)r, а точка (хи х2, х3) — в точ- точку (Xi, х.,', х3'), координаты которой получаются умножением столбца коорди- 214
^, х2, х3) на матрицу D. Заметим, что столбец базисных векторов умножается при преобразовании [D|0] на транспонированную матрицу D, получающуюся из D заменой строк этой матрицы на столбцы: е'3- = D^e^, если xt' = DyXj. Симморфная пространственная группа симметрии дисконтинуума ФСИм объединяет в себе нреобразования Т- и G-групп, а также допускает комби- комбинированные преобразования. Если произвести последовательно друг за дру- другом «поворот» дисконтинуума [Z)|0], а затем параллельный перенос [/?|т], то комбинированному преобразованию — движению — будет отвечать оператор [Z))t] = [# |т]Г.О|0], описывающий линейные неоднородные преобразования координат трехмерного пространства: х\ = Dnxt + D12xa + DUix3 + тх x2 = D2lxl + D22x2 + D23x3 + t, или x3 = D3lxv + D32x2 + D33x3 + т3 В операторной форме при замене столбцов координат векторами система ли- линейных неоднородных уравнений запишется так: г' = lD\x]r = Dr + 4. A3) Произведению (последовательному выполнению) двух движений будет отве- отвечать произведение операторов: [Dj | т,] [Dt | tfc] = [ D}Di | Djxk + n] . A4) В справедливости этой формулы можно убедиться геометрически, сделав чер- чертеж решетки и наблюдая за перемещениями любой отмеченной точки: при умножении операторов движений обе части правого сомножителя («поворот- («поворотная» и трансляционная) умножаются на матрицу Dj левого оператора и к трансляционной части произведения добавляется вектор т? левого сомножи- сомножителя (порядок следования матриц DjDl существен!). Чтобы убедиться в том, что пространственная группа Ф0Им образует иско- искомое расширение группы Т с помощью группы G, достаточно установить изо- изоморфизм наших конкретных групп с абстрактными группами предыдущего параграфа. Легко обнаружить, что все преобразования (операторы) группы Фен = {[A I til- [Я. | tj [Ds | tj, [D, | т2], [D21 т,Ь ..., [Ds |t2], .. ., [D, | тт], [Dt\ xm], . . . ,[D.\ rm], . . .} получаются по схеме D) путем попарного комбинирования ([Я|тг] [ZK-|0] = = [Dj\Xi]) операторов двух групп: T = {[E\xl],[E\xt),...,lE\xm],...} и G = {[Z>l|Ol,l-D»|O] (^Plb изоморфных соответствующим трансляционным и кристаллографическим груп- группам; при этом обе генерирующие группы Т и G имеют единственный общий 215
элемент — оператор отождествления [Я|0], получающийся (для определен- определенности) при тх = 0, Dt = Е. Группы ФСим> Т и G можно назвать конкретными геометрическими реализациями групп предыдущего параграфа G, Н и G*. Их изоморфизм устанавливается соответствием элементов | тг] = [Е|т,] [?>,-10] +-> hg^<= G, [Я | Xi) <- ht <=H, [D,| 0] ~gjeG* и законов умножения A4) и G). Записывая A4) по схеме G) Я | т,] [D; 10]) © ([Е | тк] [А 10]) = [?¦ |т,] [Е \ xk]lDi|0] [?>,-10] [Д10] и вычисляя автоморфизмы [E\xh][Dtm = [Я^^^ |, находим, с одной стороны, что группа Г образует инвариантную подгруппу пространственной группы Фсим (при любых [Z);|0] Еби [Е\тн]?= Т группа Т преобразуется в себя: [Dj^TIDJ1^] = Т, [Е\О}%к] е Т), и, с другой сто- стороны, что закон A4) действительно соответствует полупрямому умножению операторов движений (подставляя [E\xh]lD^0] = [E\DjXh] в правую часть уравнения и перемножая операторы по правилам умножения в группах Гиб, получаем тождественно [E\DjTk + x^IDjD^O] = [DjDt\DjXh + т{]). Итак, мы установили, что симморфные пространственные группы суть полупрямые произведения групп трансляций Т на точечные группы автоморфизмов решетки G (или их подгруппы): ФСим = Т © G. Учитывая, что каждую метрическую систему (решетку Т) сохраняют, по- помимо старшей группы, также и подгруппы G (ср. табл. 20) и что в семи случаях произведение Т (s) G зависит от взаимной ориентации элементов симметрии сомножителей *, методом полупрямого умножения 14 трансляционных групп Т (ср. рис. 191) и 32 кристаллографических групп G (ср. рис. 69) получаем 73 симморфные группы Фсим = Т (s) G, т. е. уже известный нам по табл. 12 ре- результат. В соответствии с основной теоремой теории расширений (см. стр. 208 и рис. 204) само существование пространственной группы Фсим = Т (s) G есть простое следствие соотношений изоморфизма и гомоморфизма между группами |0} Осуществив для примера разложения симморфной группы P2lm на смежные классы по подгруппе трансляций Р = {[/?|т{]}, U{lE\Xi]}lD(m)\0], или в более простых обозначениях ** P2lm = PI + Р2 + PI + Pm, найдем, * Различающиеся ориентировкой пары групп:_Сттпг, Amm2; Pi2m, P~m2; ilim, IimZ; P312, P321; P3mi, P31m; P31m; Paml; P6m2, P62m. • Операторы ID (g) | oj обозначены здесь просто через g, смежные классы {IE | т{]> [?> (g) | 0] — через Pp. Напоминаем закон умножения смежных классов C): P2-Pl~= P2i = Pm и т. д. 216
что таблицы умножения смежных классов (элементов фактор-группы Ф/Т) и операций 21т имеют одинаковую структуру: Р2/тп/Р | PI P2 Pi Pm 2jm\l 2 Г m PI P2 PI Pm PI P2 Pi Pm P2 PI Pm PI PI Pm Pi P2 Pm Pi P2 PI 1 2 I m 1 2 I m 2 1 m I 1 m 1 2 m 1 2 1 Очевиден также и гомоморфизм P2lm —* 2/m, при котором бесконечные семей- семейства трансляционно-эквивалентных («параллельных») элементов симметрии 2, m, T, составляющие структуру пространственной группы Р2/т, отобра- отображаются на элементы 2, т, I фиксированной точечной группы 21т, выбранной за порождающую (все трансляции т ?Е Р отображаются при этом на единицу 1 е 21т). Несимморфные группы Фнес находим по модели симморфных групп Фсим = = Т © G, заменяя точечную группу G изоморфной ей группой по модулю GT. Группы Фнес состоят из систем элементов (операторов) полученных попарным комбинированием ментов двух групп: T = {[E\x1),[E\x2l...,[E\rm],...} и GT= [Z)j|<Xj] = [Dj\ctj + TJ) эле- элеlD.\at]}. Закон умножения операторов движений в несимморфных группах явля- является обобщением закона A4) | a, + тк] = [ВД A5) Относительно этого закона множество Ф„ес образует группу. Единицы [D^ + тх] = [?"|0J и обратные элементы [Dj\a.j + tj] = ID]1] —D^a} — О]\] в группах Фдес определены. Инвариантность подгруппы Т с Фнео следу- следует из преобразований автоморфизма [Dj\aj + Т{][?"|тк] [D]1]—D^a, —D]1 т/] = — [E\DjXjf]. Изоморфизм групп GT и G обеспечивается сопоставлением эле- элементов * ...lD.\a.]='lE\a.\lDt\O\~lDt\Q] ' Первые i элементов образуют общую подгруппу G»*= {tDt | 0], [Dt | 0],.., [Dj|0]} групп GT и G. Элементы №|ai+1] и следующие образуют первую систему модулей сравнения: [Dj\Oj] s [D^O] (mod [E\a-]). 217
и введением в множестве GT закона приведенного умножения ,¦/,»]), A6) где величины [Е\хл1П] образуют вторую систему модулей сравнения, а опера- операторы \E\aUl],...,[E\as] 0 Т. Записывая операторы групп GT в виде [EJa7-][Z);|0] и сопоставляя их с эле- элементами gf — oijgj групп GH предыдущего параграфа, находим, что A6) со- соответствует (96). Подобным же образом из сопоставлений элементов[Dj\aj-\-xi] = —- [E\Ti][D]\aj] *-f hi(a}g}) следует, что A5) соответствует A2), т. е. что Фнес-группа образует геометрическую реализацию абстрактпой группы GUcc = II О GH. Конкретизация треугольника (см. рис. 204) в виде Ф/Т = {Т / \ показывает, что несимморфные пространственные группы суть условно-полу прямые произведения Фиас = Т Г) GT. Несимморфпые группы Фнес = Т О ^т» выводимые из данной симморфной Фсим = Т (s) G заменой группы G группами по модулю GT, образуют серию родственных групп, в которой фактор-группы изоморфны одпой и той же кристаллографической группе G. Выбрав для рассмотрения серию 2/т, запи- запишем стандартные разложения несимморфных групп Р211т, Р21Ь и P2Jb в ряд по смежным классам: P2jm = PI -т Р2Х + PI + Рт, Р21Ь = Р1 + Р2 + Pi + РЬ, P2xlh = PI + Р2г + i>l + РЬ. Таблицы умножения фактор-групп этих групп по подгруппе трансляций, т. е. групп P2JmlP, P2/b/P, P2jblP, PI Р2, Pi Рт PI P2V Pi Pm PI P2y Pi Pm P2t PI Pm Pi Pi Pm PI P2i, Pm Pi P2X PI PI P2 Pi Pb PI P2 Pi Pb PI P2 Pi Pb P2 PI Pb Pi Pi Pb PI P2 Pb Pi P2 PI PI PI Pb Pi Pb P1P21 Pi Pb P2X PI Pb Pi Pi Pb P1P2X Pb Pi P2X PI действительно имеют ту же структуру, что и таблица умножения группы 2/т. Для доказательства заметим, что в стандартных разложениях Ф-групп опе- операциям gt — представителям смежпых классов Tgt — соответствуют элемен- элементы симметрии, принадлежащие фиксированным элементарным ячейкам. У симморфной группы Р2/т в стандартный набор входят элементы симметрии одной из точечных групп 2/т, пересекающиеся, например, в ловом верхнем углу элементарной ячейки, принятом за начало. Для носимморфных групп 218
P21lm, P2lb, P2jb эти элементы, не пересекающиеся вообще в одной точке, удобно выбирать как можно ближе к началу (проекции названных групп сов- совпадут с проекциями изоморфных им цветных групп, если на рис. 213 все эле- люнты симметрии изобразить одним цветом). Фиксировав таким образом выбор представителей gf в разложениях несимморфных групп, сопоставим им опе- операторы [Dj\%j\ = [E\Zj\[Dj\()\. Ортогональные части [D}\0] этих «базисных» операторов выберем так, чтобы они совпадали с операторами [Z);|0] стандарт- стандартного набора симморфной группы Р2!т. Иными словами, мы договариваемся и в носимморфных группах выполнять ортогональные преобразования [Dj\Q] с помощью действительных или воображаемых плоскостей и осей симметрии, занимающих в несимморфпой ячейке такое же положение, как и у симморф- симморфной группы, дополняя их затем преобразованиями [Е\л}]. Заменяя еще для сокращения письма символы Dj операторов [.D^oc,-] на gj, запишем смежные классы PgJ = {\E]Ti]}[Dj\<Xj] интересующих нас разложений в явном опе- операторном виде: = Р[2|0], Р2г = = P[7|OJ, P2 = Р1~РЦ\0], Р2, = Pi =P[1\O], Рт = Р\т = Р[1\0], РЬ = yj для P2Jm, для Р2/Ь, P2jb, где через а, в, с обозначены базисные векторы трапсляционной группы Р. Яв- Явный вид базисных операторов [Dj\aj] = [E\aj] Wj\Q] фиксирует определенный выбор модулей сравнения [Е\а}-] первой системы. Используя A5), A6) и пере- перемножая смежные классы по закону C) Р \Dj\a-\-P\Dt\ax\ = Р [D}\a}] lD,\<x,] = Р [Ор + аД = --=P\E\xil<n][Dn\an\, A7) убеждаемся в правильности нахождения таблиц умножения фактор-групп и одновременно находим модули сравнепия [Е\тц,п\ второй системы. Напри- Например, для произведений Р2Х-РЬ смежных классов — элементов фактор-группы Р2г1ЫР — найдем , 6 ~- с = Р [1 \е] = Р [1\с] [1|0] = Р1 и т. д. Здесь 2-^—^—1 = —~—, так как при операции поворота на 180° вокруг оси с вектор с сохраняется, а вектор в изменяется на противополож- противоположный. Произведение 2^Ъ = [1|с] не принадлежит базисному набору операто- 219
ров — представителей смежных классов {1, 2У, I, Ь) = \[110], [ [Г | 0], \пг |—2~^ If, но приводится к нему по A6) с помощью модуля сравнения [1\с] : [1\с] = [1\с] [1|0] = [1|0] (mod [l\c]). Следовательно, в на- нашем случае \E\xJUn] = lE\rib-) = [l\c]. Подобным же образом находятся и остальные модули сравнения второй системы. Мы выписываем в отдельной таблице трансляционные части модулей сравнения [E\T]ltn], находим по A6) с их помощью таблицу умножения группы по модулю 2Jb = {I, 2lf I, b} и убеждаемся в том, что группа 2Jb изоморфна группе 21т: 2/т\ 12 1т ty.n 1 2, Г b 1 0 0 0 - 0 2, 0 с b I 0 0 -cH - 0 b 0 с [6 +с) b 2jb 1 2г Г Ъ 1 1 2, 1 Ъ 2, 2, 1 Ъ 1 I Г ъ 1 2i Ъ b г 2, 1 1 2 1 т 1 2 Г т 2 1 т Т I 1 2 т 1 1 Как видим, нахождение модулей сравнения для известных групп не дос- доставляет большого труда. Обратная задача построения несимморфной группы Фнес по заданным генерирующим группам Т и G требует несложного перебора вариантов. Фиксируя, например, в G = 21 m = {1, 2, 1, тп) сохраняющуюся подгруппу G\ = {1, I}, находим, что с остальными операторами 2 и m могут быть связаны лишь такие модули [51а], которые при возведении в степень, равную порядку элемента [Z)|0], дают минимальные трансляции в группе Т. Этому условию удовлетворяют лишь три следующие комбинации: соответственно в группах Р21/т, Р21Ь и Р21/Ь. Явный вид операторов [D]\acj] позволяет фиксировать базисные наборы групп по модулю 2Jm = {1, 2г, I, т}, 21Ъ = {1, 2, 1, Ъ) и 2-Jm = {1, 2и 1, Ь} (см. рис. 213), подобрав из условия изоморфизма этих групп с группой 21т соответствующие модули сравнения [#|т,-;)П]. Аналогичными методами могут быть найдены все 157 несимморфных пространственных групп, распределяю- распределяющихся (см. табл. 12) по 60 сериям *. Группы одной серии тесно связаны, но (за исключением 11 энантиоморфных пар) неизоморфны между собой. Это следует из того, что в законе умножения A5), записанном по схеме A2), появляются факторы — модули сравнения второй системы [Е\тц^п\: * Помимо описанного метода подбора модулей сравнения, несимморфные группы можно вывести с помощью алгоритма Цассенхауса A948), требующего решения так называемых конгруэнции Фробениуса, или ме- методами теории когомологий— специального раздела теории групп (см. Ашср, Яннср, 1965—1969). 220
Для симморфных групп (при oij = ot( = ап = 0) все величины [E\xjltn] = = [Е\0] (ср. стр. 208); для несимморфных групп, составляющих серию, не все факторы, появляющиеся перед соответствующими элементами [?„|а„], об- обращаются в [#|0]; для различных групп серии они различны. Определяя по новому операцию приведенного умножения одноименных операторов |Dl Dt = \Е\ ID, любым двум несимморфным группам , Фнес серии поставим в соответствие группу Ф^о той же серии: Ф^ес = Фнес-Фнес- Легко убедиться в том, что вве- введенная операция ассоциативна; обратные операторы определяются соотно- соотношением \Di\cLi\~1 = [D,|—<хг]; единичными операторами являются операторы [/),|0] симморфной группы Фсим. возглавляющей серию: [Z)j[O][Z)j|aJ — [/>,|оц]. Следовательно, сами группы Фсим = Т (s) G, Фнео = Т Q GT и т. д. могут быть приняты за элементы некоторых групп по модулю, изоморфных группам G <-> GT. Например, | P2/m . P2/b Р2/тп P2jm P2/b P2/mP2i/mP2/bP21/b P2JmP2lmP2jbP2ib P2/b P2Jb P2/m P2jm P2JbP2lbP2JmP2im I Pmm2 Pmc2Y Pma2 Pmn21 ¦ 2/m, Pmm2 Pmc2l Pma2 Pmn2x Pmm2 Pmc21 Pma2 Pmn2x Pmc2l Pmm2 Pmn21 Pma2 *-> mm2 Pma2 Pmn2l Pmm2 Pmc2l Pmn21 Pma2 Pmc2l Pmm2 Одномерные пространственные группы симметрии бордюров, лент и стержней и двумерные пространственные группы сетчатых орнаментов и сло- слоев можно также рассматривать как расширения соответствующих трансля- трансляционных групп Т с помощью точечных групп или изоморфных им групп по модулю GT. Так как символы симметрии содержат всю необходимую инфор- информацию, конкретизируя вид групп Т, G и GT, мы не будем подробно останавли- останавливаться на этом вопросе. 221
ГРУППЫ ОБОБЩЕННОЙ СИММЕТРИИ. АНТИСИММЕТРИЯ И ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯ Точечные кристаллографические гругшы антисимметрии как расширения классических кристаллографических групп с помощью групп 1, 3', т', Т, 4' (mod 2), к' (mod 3) Все типы групп обобщенной симметрии мы будем рассматривать в этой главе как расширения соответствующих классических групп с помощью некоторых новых групп. К таким новым группам принадлежат указанные в заголовке группы антисимметрии. С идеей антисимметрии, выдвинутой независимо Хеешем A929) и Шубниковьш A945), мы познакомимся на следующем при- примере. Пусть нам дан кусок кожи, окрашенный с одной стороны в черный и с дру- другой стороны в белый цвет. Требуется изготовить из такой черно-белой кожи перчатку с отворотом. Ясно, что эта задача имеет четыре решения (рис. 205). Можно изготовить: 1) правую белую перчатку с черным отворотом, 2) левую белую с черным отворотом, 3) правую черную с белым отворотом и 4) левую черную с белым отворотом. Отмстим, что правая перчатка при желании может быть вывернута наизнанку и надета на левую руку, а левая перчатка таким же путем может быть надета на правую руку. Следовательно, каждая перчатка является и правой и левой и черной и белой. Отсюда возникает вполне естествен- естественная мысль считать симметрично равными пе только правые и левые перчатки одного цвета, но и равными в обобщенном смысле (иначе — антиравиыми) перчатки различных цветов. Обозначая буквами П, Л правые и левые перчатки, а знаками «плюс», «ми- «минус» их белый или черный (с лица) цвет, попытаемся найти операции симмет- симметрии или антисимметрии, преобразующие перчатки друг в друга. Несложный 222
анализ показывает, что преобразования Л —> II, Л —> П могут быть осуществ- осуществлены отражением в воображаемой вертикальной плоскости т, проходящей на рис. 205 между перчатками, или инверсией!в произвольной точке (ири этом преобразованная перчатка займет иное положение, не показанное на чертеже). Преобразования Л •-»• Л, П —> II могут быть осуществлены операцией пере- перекрашивания с сохранением перчаток на месте; эту новую операцию мы будем называть антиотождествлением и обозначать символом V'. Наконец, преоб- разования Л —> П, Л -> П могут быть осуществлены комбинированными (пос- (последовательно осуществляемыми) операциями отражения в вертикальной пло- плоскости и перекрашивания или инверсии в произвольной точке и перекраши- перекрашивания; эти новые операции мы будем называть соответственно антиотраже- антиотражением и антиинверсией и обозначать т' = ml' — I'm и Г = 1-7' = 1'\\ от- отвечающие этим операциям элементы симметрии будем называть плоскостью и центром антисимметрии и обозначать теми же символами т' и 1'. На рис. 206 изображены фигуры, составленные из асимметричных тетра- тетраэдров, обращенных к наблюдателю своими трехгранными вершинами или ос- основанием. Если рассматривать белый и черный цвет фигур как дополнитель- дополнительное внегеометрическое свойство, например как положительный и отрицатель- отрицательный заряд или как положительный и отрицательный знак некоторого физичес- физического оператора (папример, оператора магнитного момента), то эти материаль- материальные фигуры будут служить представителями («материальными инвариантами») указаппых в заголовке параграфа циклических групп антисимметрии, т. е. групп, порождаемых степенями одной операции. Группа 1' = {1, 1'} второго порядка порождается степенями операции антиотождествления V. Определяющее уравпешю группы, следовательно, записывается в виде (I'J = 1. Все другие степени операции Г не отличимы по результату от двух, записанных выше в фигурных скобках. Так как группа содержит операцию антиотождествления, изображающая ее фигура должна быть одновременно и черной и белой (или физически нейтральной); но этой причине реализующие группу правые и левые тетраэдры окрашены в условно нейтральный (серый) цвет. Группы т' = {1, т'}, 2' — {1, 2'} и 1' — [1, 1'} порождаются степенями операций отражения в плоскости антисимметрии ((та'J = 1), поворота на 180° вокруг оси аптисимметрии (B'J = 1) и инверсии в центре антисимметрии ((Т'J— = 1). Все эти группы абстрактно изоморфны группе 1' — {1, Г], но pea- Р и с. 205 Четыре антисимметричные пер- перчатки: правая белая (II), левая белая (Л), пранги! черная (II), ленин черная (Л) Псрчатни одного цвета преобра- преобразуются друг в друга с помощью операций симметрии, перчатки различного цвета — с помощью операций антисимметрии 22а
Р и с. 206 Геометрическая реализация фи- фигурами из асимметричных тет- раадров групп антисимметрии /', т', 2', 1', 4', 4', с помо- помощью которых производится рас- расширение классических кристал- кристаллографических групп Группе антиотождествления 1' сопоставляются нейтральные по цвету (серые) тетраэдры, осталь- остальным группам — фигуры из чер- черных и белых тетраэдров. Опера- Операциям антисимметрии отвечают геометрические преобразования, сопровождающиеся изменением цвета (перекрашиванием) тетра- тетраэдров. Тетраэдры обращены к наблюдателю своими трехгран- трехгранными вершинами или основа- основаниями Для построения расширений вместо групп 4' и 4' достаточно взять группы по модулю V(mod ?), i'(mod ?) (см. поясне- пояснения в тексте) лизующие их фигуры физически различаются по свойствам. Читатель сам со- сообразит, где на рис. 206 следует провести соответствующие элементы антисим- антисимметрии. Группы по модулю 4'(mod 2) = {1, 4'} и 4' (mod 2) = {1, 4'} порождаются степенями операций поворота на 90° вокруг простых и зеркальных (инверси- (инверсионных) осей антисимметрии. Эти группы изоморфны группам 4(mod2) = {1, 4} HD(mod2) = {7, 5} при соответствии элементов 4' <-> 4, 5' <-» \ (см. стр. 212). Все другие кристаллографические группы антисимметрии получаются рас- расширением классических кристаллографических групп с помощью описанных выше групп (см. табл. 15). 32 нейтральные группы G1' получим, присоединяя к генераторам кристал- кристаллографических групп операцию антиотождествления, или, что то же самое, «умножая» группу G = {gx, g2,---,gn} на группу 1' = {1,1'}. Умножение на операцию 1 сохранит все операции g? умножение на операцию V приведет к образованию комбинированных операций g( = g^V == l'g\, которые мы на- зываем антиоперациями. Таким образом, порядок расширенной] группы G1' ¦будет вдвое больше порядка исходной кристаллографической группы G, высту- выступающей сомножителем в прямом произведении Gl' = G (х) 1', Gl' ^{gi,g%, — ,gn,gug'i, ¦¦¦,g'n} = {gi,g2, ...,gn}<2> {l,i'},(gi = l',g'i = T). 58 двуцветных (черно-белых) групп G', не содержащих операции антиотож- антиотождествления Г, получим, присоединяя к генераторам кристаллографических подгрупп G*CZ G индекса 2 операции J', 2', т', 4', 4', или, что то же самое, умножая все операции групп G* последовательно на операции групп анти- антисимметрии 1', 2', т', 4'(mod2), 4'(mod2). Поскольку зти группы второго по- порядка содержат поровну операций симметрии и антисимметрии, в обобщенной 224
группе антисимметрии G' сохранится кристаллографическая подгруппа G* = = {?i> gz>---,gn} индекса 2, выступающая сомножителем в прямом, полупрямом или условном произведении: G' — {gi,ga,... ,gn*gig1,gtg' gng'} = {gi, g2, ... ?nHL g'}< гДе Si — 1 и через g' обозначена операция, с помощью которой производится расширение. Легко видеть, что черно-белые группы G' изоморфны кристаллографическим группам G одинакового с ними порядка. Если для каждой группы G' указать изоморфную ей кристаллографическую группу G и классическую подгруппу G* индекса 2, то получим так называемый двучленный символ группы антисим- антисимметрии G' — GIG*. Этот символ содержит всю необходимую информацию о группе, позволяет осуществить ео разложение т. е. сгруппировать по смежным классам операции симметрии и антисимметрии, построить двуцветные стереографические проекции групп антисимметрии и т. д. В табл. 15 58 групп G' представлены в виде прямых (®)» полупрямых ((§)) или условно-прямых (О) произведений G' — G*-B, где В — группы, 1', 2', т', 4'(mod 2), 5'(mod2). В прямых произведениях каждый сомножитель G* и В выступает как группа автоморфизма для другого, иными словами, элементы симметрии группы G* переводят элементы симметрии группы В в себя (и нао- наоборот). В полупрямых произведениях такую роль играет только сомножитель/?. Международные символы групп G, изоморфных группам G', получаются из G' стирапием штрихов. На рис. 207 представлены для примера двуцветные стереографические проекции элементов симметрии _и эквивалентных систем асимметричных фигур для групп 4'тт' — 4тт/2т1, 42'т' — %2m/Zll, \'Ъп' — 52W221, \'т2' — Ат2/2т1. Во всех случаях группы G* в двучленном символе GIG* задаются в ориентировке группы G, т. е. на соответствующих позициях символа G* ставятся единицы, если с соответствующими направлениями в груп- группе G' совпадают оси или нормали к плоскостям антисимметрии. На проекциях групп элементы классической симметрии обозначены черным цветом, а эле- элементы антисимметрии — красным; соответственно этой интерпретации опе- операции антисимметрии отвечает некоторое геометрическое преобразование фи- фигур и перекрашивание тетраэдров из черного в красный цвет (и наоборот). Для читателя будет полезным упражнением построить по этому образцу двуцветные проекции остальных групп антисимметрии, используя стереогра- стереографические проекции классических групп (см. рис. 69), выделяя на них черным цветом символы классических подгрупп G* и закрашивая остальные элементы в красный цвет. Полностью двуцветные проекции и двучленные символы групп антисимметрии приведены в монографии «Шубниковские группы» (Коп- цик, 1966). Здесь же содержится теоретико-групповое описание этих групп в связи с их физическими приложениями. 15 А. В. Шубников, В. А. Копцик 225
Тригональная COI СО) COI II с» to 0 Coi 2" il Co 2 to to I3 0 COI 2, II CO' te) 2 Co 3 Kl II 1! Сю 3. Сю COI Сю Сю Col Сю ^ Ы к Сю СО* Г" *" за ® z, to - 2 2 2_ 2 2 2 to to 1' to to to to to 2 to 3.1*5 2 Xk to К) if 2 to Тетрагональная ги ги 2 ги ги ги 2„ 2^ to to *. to to to to II to К) 0 g ft*. *• 2 2 to to 2 АЛ 09 2_ 2_ 2 *; to to 3 9 f 1 It to' К II to 2_ JNI 1! to to 2 ii to g 2 42) to 2 2 2 3^ 4m'm ¦» и и to 2 "*. 2" 1 (a) 2^ 2 x |f II 0 X 1 0 _to © f Q 422 to to to to II to to x^ to to if to to to to to - n to © 4'(mo •iS X. i; © ? о o- ¦3 Ромбическая ги ги 2 ш ги ги т . 2 3. to 3 0 3 *3 ] li ? 2 to " 0 - 2 3 2^ к, 3 К. fo to к, 2 a № ?0 to "• to| м к to 'I A 2 ! 1 K.C "¦ to *5 :i to to ® 3 2 to 0 2, з' 2 to to to 1 to to to to to to tS to 1! to 0 to Триклип- ная to 2 to to i to >-*[ to 3" II 2 "? II ¦19 - II 0 Ю 2 M 3 J2 2 >5 if l Моноклин- Моноклинная Kl II 0 k. Метриче- Метрическая си- система © if * to II >ti го ? а. ^э с о а.
Таблица 15 (окончание) Б s f 5е sg§ ее В s гон eg ё ф u. екая ф g К Всего G 6 6то2 622 6/т 6mm 6 2 2 т то то 23 «2 2 4 2 5 mm 32 G -3 2' «' 6J' 6to2-?' 6221' 6/тГ 6mm Г ±1±г то т то 23J' 432.Z' I32' 4"Зте.Г 4 2 те ' т 32 С = G'-K; B = V, 2 6' = 3®2' 6' = 3®т' 6'то'2 = 32<gm', 6m'2' = 6 JJ = Зто ® то' б'22' = 32®2', 62'2' = 6 ® 2' б/те' = 6®то' = 6155I', б'/w' = 6'mm' = Зт®т', бт'т! = б ( 6 2 2 6 2' 2' —/ —; —, = 622 Л 1'. —;¦ = то то та то то те б' 2 2' _ 4'32' = 23 J) 2' 2 v f 4'Зто' = 23®т' 4 2 4' 2' 5/ — 432 5?) 1' — 3' — ^= те' /га' 'тот =|-3® то' т', 4' (mod 2), V (mod 2) = 6 i) то', 6'то2' = Зте ® 2' = ¦ 3 ® т', б'/то = 6 ® 1' s) то' б' 2' 2 = 6то/га®1 , — — —-, =6т2®1', б 2' 2' б б 4' 2' 2 43те®1\ — 3 —; = — 3 ® 2' = 58 (нсего 122 группы антисимметрии, включая 32 классиче- классические) Заметим, что группы антисимметрии, построенные в настоящем разделе, описывают свойства симметрии материальных двуцветных фигур (или объем- объемлющих их трехмерных двуцветных пространств). Внегеометрическое качество, приписанное точкам этих пространств, абстрактно моделируется цветом или любой функцией, принимающей два значения. Точки общего положения ок- окрашиваются при этом каждая в один цвет; точки частных положений — в два цвета в соответствии с симметрией положения. В другой интерпретации (ср. стр. 197) те же группы можно трактовать как группы симметрии G}ii0 неоднородных четырехмерных пространств, у которых внегеометрическая координата (верхний индекс в символе) принимает лишь два фиксированных значения + х4. Для однородных четырехмерных пространств число точечных групп симметрии увеличивается с 58 6?з,0 Д° 227 G4,0 (см. литературу в конце главы). 15» 227
Пространственные (шубниковские) группы антисимметрии Ш как расширения классических (федоровских) групп Ф или как расширения трансляционных групп Т Пространственные группы антисимметрии находятся в таком же отношении к классическим федоровским группам, в каком находятся кристаллографические группы антисимметрии по отношению к точечным кристаллографическим группам. В шубниковских трехмерных группах мы встречаемся со всеми клас- классическими операциями движений фг (= Ф и дополнительно — с антиопера- антиоперациями гиг е= Ш, которые определяются как комбинированные преобразования Выпишем все эти операции в явном виде: Операции движений 1 I Т 2 т 2г а Ъ с d п 3 5 3i 3t 4 5 4Х &г 4г 6 В 6i 62 63 6, 6Ь Операции Г V х' 2' т' 2[ а' Ь' с' d' п' антидвижений 3' 3' з[ 4' V 4\ 4'г 6' В' 6г б'й ft °з Напомним, что в табличках операций цифрами с нижними индексами П] мы обозначаем винтовые повороты вокруг винтовых осей, буквами а, Ъ, с, d, п — отражения с переносами в плоскостях скользящего отражения вдоль указанных направлений (осей а, Ь, с или их диагоналей), буквой г — произ- произвольный вектор из подгруппы параллельных переносов т ?Е Т,3' = 31' — ТЗ. Соответственно расширению списка операций пространственные группы антисимметрии можно рассматривать как расширения федоровских групп с помощью циклических групп, второго порядка порождаемых степенями one- раций Г, V, т'; 2', 2,', т', а', Ъ', с', d', n'; 4', V, 4,', 42', 43'*. С идеей расширения мы начнем знакомиться на примере одномерных шуб- шубниковских групп — групп антисимметрии односторонних бордюров. На рис. 208 в первом столбце воспроизведены международные символы семи класси- классических пространственных групп и дана их геометрическая реализация в форме одноцветных фигур (асимметричных треугольников и их объединений), по- повторяющихся вдоль оси переносов а (ср. рис. 90 и табл. 10 на стр. 160). * Операции, содержащие поступание, порождают группы по модулю удвоенного поступания: т' (тоA2т) = {I, x'),li (mod t) = {l,lt'),a't в', с', п' (mod т) = {1, х), d' (mod n) = {l,d'}, 4t' (mod 2t) =• =(I, 4,'}, 4'г (mod [2 | t]) = {l, 4Z'), 4,' (mod ?i)=_(i, 4'„), где х =_а, в, с, п; teT. Кроме того, к группам по модулю принадлежат 4' (mod Я) = (I, 4'), 4' (mod г) — (I, 4'). 228
Группы антисимметрии односторонних бордюров Одноцветные pm11=(a):m p1m1=(a)-m р1а1=(а)-7 pmm2=(a):3m pma2=(a):2-a' P112=(a):2 Нейтральные (серые) pii' p1a11 parni21 pma21' Двуцветные без антипереносов (черно-белые) антипереносами направление осей pm'm2'=pm®2' pmm'2'=pm®2' pm'»2'=pa®m' pm»'2'=pm0»' рш'»'2=»р20«' Р112'=р1в2' p,.mm2 ра-ша2 Р.-112 Рис. 208 Международные обозначения и геометрическая реализация групп антисимметрии односто ронних бордюров, составленных из асимметричных треугольни- треугольников Во втором столбце приведена реализация семи нейтральных групп с помо- помощью соответствующих серых фигур. Группы этого типа можно рассматривать как прямые произведения классических групп на группу Г = {1, Г}. В третьем столбце приведены символы групп антисимметрии, не содержа- содержащих антиотождествления 1' и антипереносов т'. Группы этого типа можно рас- рассматривать как расширения классических групп с помощью групп 2', т\ а' и реализовать в форме двуцветных черно-белых фигур. (Символами ® и © на рис. 208 обозначены прямые и условно-прямые произведения двух точеч- точечных групп или точечной группы на группу помодулюа'(тос12); соответствую- соответствующие пространственные группы будут полупрямыми или условно-полупря- мыми произведениями.) Наконец, в последнем столбце рис. 208 приведены геометрическая реали- реализация и символы пространственных групп бордюров, содержащих антипере- 229
Таблица 16 Шубииковские группы слоев, изображенных на рис. IH'i—187 Одноцвет- Одноцветные груп- группы pllm р2тт р2\ат с2тт рттт рЪтт pbam сттт pt/m р4/ттт р l/mbm Нейтральные («серые») группы pllml' B) р2ттГ(Щ p2iaml'(il) c2mmV A3) pmmmV B3) pbmmV B5) pbaml' B7) cmmml' B9) pf/ml' E1) pljmmml' E3) pl/mbml'E&) Двуцветные пространственные группы антисимметрии не содержащие антипереносов pllm'= рЩт' A) 2' 2 р2'тт'= plml(&2' (8), рт'2т' = рШ^т1 A4) />2i'am'= plal®m' A0), pb'2im' -= — pl2ilQim' A5) с2'тт'=с1тЩ2'(Щ, ст'2т' = = cl21®m' A6) pm'mm' --= pi — i J) то' A7), pmmm'= pmm2$$ 1' B2), pm'm'm' = p222®l' C7) pb'mm' = pi— lQm' A8), 2 pm'am' = pi — l&m' B0), pbmm'= pbm2®l' B4), pm'a'm' = p2i22®I' C8) ^ Pa \ )> pbam' = pba2 ® I' B6), pb'a'm' — p2\2\2 ® I'C9) 2 cm'mm' — cl — i g)m' A9), emmm' — — стото2$5Г B8), pi'[m'=pl®V D9), р(/т'=р1®1' E0) pt'fm'mm' = pim2 0 1' F1), pi/m'mm = pimm®l' E2), p4'/m'm'm= pi2m<g)i' E4), pt/m'm'm' = pt22®V E5), pi/m'b'm' = p*2i2-g>I'E5), pf/то'бто = р№тоЭ 1'E9) с антиперсносами pb, 7Л> = p^.llm' D) pc.2an = pr,2m'm' C&\), pb,2mb = pb,2'wm' C2), pc,2\mn = pc,2'mm' C5), pa,2ima --¦- pa.2'mm' C0), pb,2,ab - pb.2ia'm' C3) cb,2mb ¦-¦- cb,2mm' C6) pa,maa = pa,mm'm' D1), pG,mmn = pc,mmm' D7), pa,mma - - pa.mmm' D3) pc,bmn — pc,bmm' D4), pa,baa =pa,bm'm' D5) PQ.ban = pc,bam' D2), pb,mab = pb,b'am' D6) с ,тотоа —с ,mwn'D8) pc,4/n = pc,4/m' E7) pc,4/nmm = = pc,4/m'mm F3) pc,4/nbm = = pc,4/m'bm F2) 230
Таблица 16 (окончание) Одноцвет- Одноцветные груп- группы рб рбт.2 р%2т рб/т рб/тпип Нейтральные («серые») группы р&Г(№) pbm2V F9) р62тГ G1) рв/ml'G7) рв/tnmml' G9) Двуцветные пространственные группы антисимметрии не содержащие антипереносов pi'lm'b'm r, p I2im%, 1' FЭ), pi'fm'bm' = р\Ъ2\ <& Г F4) рВ' -.- рЗ®т' F5) рб' т2' = рАге © 2' F8), рб'т'2 = Р32(Э тг G2) р6'2'т = ^Зт©2'G0), рЬ'2т' = р32®т' G3) рЪ'1т'—рЪ®т' F7), />б/т' — ¦--= рб®т' G6) рб'/т'т'т —. рЗ ?» s) то'G4), рб'/т'тт' — рЪт © т' G5), рб/т'mm =- рбтт^У G8), рв/т'т'т'= р622®1' (80) с антипереносами Примечание. Но поводу установки олвй см. примечание к табл. И пространственных групп сим- симметрии слоев (стр. Ш); знаками ©, (?) и © обозначены [прнмые, полупрнмые и условные произведе- произведения групп; произведения точечных групп берутся из табл. 15 на стр. 22ti; в скобках приведен номер соответствующего графика на рис. 184—187. носы. Поскольку группа, порождаемая антипереносом т', содержит и чистый перенос удвоенной длины (т' + т' = 2т), соответствующую группу трансля- трансляций и антитрансляций мы обозначаем символом рх-, указывая при символе р в качестве подстрочного индекса тот генерирующий антиперенос т', с помо- помощью которого производится расширение группы трансляций р. Читателю рекомендуется найти подобным же образом одномерные шубни- ковские группы лент и стержней, проверяя себя но спискам символов групп, опубликованным в литературе (Шубпиков, 1959, 1962; Белов, и др., 1956, 1962). Мы не будем останавливаться на зтом вопросе, а перейдем непосредст- непосредственно к шубниковским группам антисимметрии слоев. Всего известно 528 таких групп (Неронова, Белов, 1961). В качестве иллю- иллюстрации мы рассмотрим лишь 80 групп антисимметрии слоев, отвечающих черно-белым графикам Вебера (см. рис. 184—187). Именно эти графики на- натолкнули Хееша и Шубникова на мысль рассматривать операции перекра- перекрашивания как операции антисимметрии и вывести независимым образом точеч- точечные кристаллографические группы антисимметрии конечных фигур. Результаты нашего рассмотрения приведены в табл. 16. В первом ее столбце записаны символы 17 классических пространственных групп Ф для одно- 231
цветных слоев, у которых лицевая и оборотная поверхности выкрашены в один (черный или белый) цвет. Во втором столбце приведены символы нейтральных серых) групп, полученные присоединением операции антиотождествления 1' к генераторам классических одноцветных групп, и в скобках указан номер соответствующего графика Вебера на рис. 184—187. Все нейтральные груп- группы Ш1' = Ф ® 1' можно рассматривать, следовательно, как расширения классических групп с помощью группы V. В третьем столбце таблицы приведены символы двуцветных шубниковских групп Ш, изоморфных указанным в первом столбце таблицы федоровским груп- группам Ф. Эти группы Ш, не содержащие антипереносов, можно рассматривать как расширения классических подгрупп Ф* С Ф индекса 2 с помощью точеч- точечных групп антисимметрии G' или групп антисимметрии по модулю GT', т. е. как прямые, полупрямые и условные произведения *, ДГ = Ф*©С или Ш = Ф Наконец, последняя категория двуцветных шубниковских групп, содер- содержащих антипереносы т', получается из классических федоровских групп при- присоединением к генераторам трансляционных групп Т С Ф дополнительного генератора антипереноса т' (который указывается в качестве подстрочного индекса у символа трансляционной группы Т). Группы этого типа, обозначае- обозначаемые Ш = T-t'G, можно рассматривать, следовательно, как расширения клас- классических групп Ф* = Т G с помощью группы по модулю т'(тоA2т) = {!,%'}. Заметим, что группы Ж = TV G изоморфны классическим группам Ф = TXG, имеющим с группой Ж общую трансляционную группу Т и дополнительный вектор переноса т, равный по длине вектору х'(х *-+ т'). Группа Ф* = TG является общей подгруппой (индекса 2) изоморфных Ж- и Ф-групп. Кроме того, группы Ш = 2V G допускают (при ином выборе генераторов) представ- представление Ж = ZV G'у где G'— точечная группа антисимметрии или группа по модулю (для симморфных и несимморфных Ж-групп соответственно); группы G' изоморфны классическим точечным группам G или соответственно группам по модулю GT, указанным в первом столбце таблицы. По этой причине шуб- никовские группы Ж = 2%/ G можно рассматривать так же, как расширения шубниковских подгрупп без антипереносов Ж* = TG' d Ш == IV G с по- помощью группы по модулю x'(mod2x) = {1,%'}. Мы рекомендуем читателю построить проекции элементов симметрии и ан- антисимметрии 80 шубниковских слоевых групп, аналогичные проекциям групп симметрии плоских орнаментов (см. рис. 149), различая элементы симметрии и антисимметрии черным и красным цветом соответственно. Сами мы построим такие проекции для трехмерных шубниковских групп, к рассмотрению кото- которых и переходим. Среди шубниковских трехмерных групп (Заморзаев, 1953, 1957; Белов, Неронова, Смирнова, 1955) различают: 230 нейтральных групп типа Ф1' = Ф ®.1', получаемых расширением 230 федоровских групп Ф с помощью группы 1'; * Трансляционные подгруппы шубниновсних групп связаны с ортогональными группами антисимметрии и группами по модулю только в полупрямые и условно полупрямые произведения Щ = Т $Gr и Ш = = Т О GT'. Знаки (?, © и ©, идущие вслед за символом Ф-группы, указывают лишь на способ расшире- расширения ее ортогональной части, например: Ш = Ф* ® G' = TG* © G' и т. д. 232
Pj/4/mmm lc/4/nrnim R,/3m * р,/тЗт * F$/m3m r, Рис. 211 22 трансляционные решетки- "' трехмерных шубниковских групп, содержащие антипере- антипереносы и обладающие максималь- максимально высокой симметрией, совме- совместимой с метрикой данной pe- pern еткн Получаются из 14 решеток Бра- вэ (рис. 191) «цветной» центри- центрировкой по ребрам в =а' Ь', С, граням А', В', С и объему V ячеек. Индексы центрировок указаны в международных сим- символах соответствующих шуб- и "овских групп. В группе ;{(.¦ Зт исходный ромбоэдр вы- п глен штриховой линией
674 группы типа Ш =- T&G', или Ш = Т Q GT\ не содержащие антипе реносов т' и антиотождествления Г; эти группы можно рассматривать как расширения трансляционных подгрупп Т с помощью точечных групп анти- антисимметрии G' или изоморфных им групп по модулю G7" (соответственно для симморфных и несимморфных Ш—групп); 517 групп типа Ш = TV (s) G или IV О GT, получаемых расширением фе- федоровских подгрупп Ф* = TG или TGT с помощью группы антипереносов т' (mod2t) = {2, т'}. Присоединяя к этим группам формально 230 федоровских групп, получим всего 230 + 230 + 674 + 517 = 1651 шубниковскую группу антисимметрии. На рис. 209 (цв. вклейка) приведены для примера двуцветные проекции трех симморфных шубниковских групп, не содержащие антипереносов: Ш\1 - P2'lm = Pm®V (P2/m/Pm), Zffjjj - P2/m' = Р2&Г (Р2/Ш/Р2), ШЦ- P2'/m' = Pi (x) то' = Pi (x) 2'(P2/m/Pl) (цифровые обозначения соответствуют номерам групп по справочнику <<Шуб- никовские группы» (Копцик, 1966); в скобках приводится так называемый двучленный символ, определяющий изоморфную федоровскую группу (числи- (числитель) и федоровскую подгруппу индекса 2 (знаменатель), общую изоморфным Ш- и Ф-группам). На рис. 210 (цв. вклейка) приведены двуцветные проекции трех шубни- шубниковских групп, содержащие антипереносы: tf'io — Pa-2/m = P2/m О а' BР2/пг/Р2пг), Я/io — Pc'2/m = P2lm Q с' BP2/m/P2/m), ЛГИ — Pir2/m = P2/m О у (а + СУ (В2/т/Р2/т) (подстрочный индекс указывает направление вектора антипереноса; вектор гЛа -\- с)', центрирующий грань В элементарной ячейки, обозначен подстроч- подстрочным индексом В'; О— символ условного полупрямого произведения; смысл цифр в двучленном символе поясняется в примечании к табл. 17). Само построение проекций Ж-групп осуществляется следующим образом. Используя теоремы об умножении трансляций на ортогональные преобразо- преобразования (или кристаллографические справочники), намечаем карандашом про- проекцию элементов симметрии изоморфной федоровской группы Ф; наносим на эту проекцию черным цветом элементы симметрии классической подгруппы Ф*; остальные элементы, не принадлежащие подгруппе Ф* (это будут элемен- элементы антисимметрии), окрашиваем в красный цвет. Рядом с проекциями эле- элементов симметрии и антисимметрии указываем на отдельных чертежах рас- расположения асимметричных фигур (тетраэдров) в элементарных ячейках Ш- групп. Построение шубниковских групп, содержащих антипереносы, в принципе легко осуществить, если предварительно построить двуцветные решетки, ана- аналогичные решеткам Бравэ. На рис. 211 мы приводим изображения 22 таких 234
Таблица 17 Расширенные векторные базисы трансляционных групп антисимметрии и их трансляционных классических подгрупп Международные символы изоморфных пространствен- пространственных групп Расширенный векторный базис трансляционной группы антисимметрии 7V T Векторный базис классической подгруппы Двучлен- Двучленный символ тт/т* {2а, Ь, с, а1) {2а, Ъ, с) 2Р/Р Рс,2/т Ра,2/т Рн.2/т Вь,2/т Рс2/т Ра2/т В2/т Въ2/т Ва2/т {а, Ъ, 2с, с') {2а, Ь, с, а'} {„, m%e, 1+1, ь- \ {2а, Ь, 2с, а + с, а'} {а, Ь, 2с) {2а, Ь, с} {а, Ь, с} [а, 2Ь, с, — {2а, Ъ, 2с, а -|- с} 2Р/Р 2Р/Р В/Р 2В/Р 4PJP Pc,mmm Pg.inmm P j.mmm Сс,ттт Са,ттт3 F .,ттть 5 ,.,mmm Реттт Сттт Immm Саттт Fmmm Fsmmm Icmmm {а, Ъ, 2с, с') \а,Ъ.с. (-i-i ±±Ъ±с\' I I a r Ь \ \а, Ъ, 2с, —2—' с'\ {2а, 2Ъ, с, а + Ъ, а') I ' а+Ъ (Ь -г с V Iй- Ъ> с> "I*' [-2~J {2a, 2b, 2c, a-j-b,a+c, b + c, a') a--b+2c , а, Ь, с, % , <: {а, Ъ, 2с) {а, Ъ, с) {а, Ъ, с) а -! а,Ь,2с, —2 {2а, 2Ъ, с, а \-Ь) , , а±±\ {2а, 2Ь, 2с, а \-Ъ,а -f- с, Ь + с} | а + Ъ-\-2с\ [а, Ъ, 2с, ?— \ 2Р/Р С/Р I/P 2С/С 4Р/С F/C 8P/F 2C/I Р с.4/ттт Рс,4/ттт Р j,4/mmm Ic,4/mmm Рс4/ттт 14/ттт 1с4/ттт {а, Ъ, 2с, с') I а-г [а,Ъ,2с, {a, b, 2c) {a, b, c) {a, b, c) {а, Ь, 2с, п-± 2Р/Р 4Р/Р1 I/P 8P/FS 235
Таблица 17 (окончание) Международные символы изоморфных пространст- пространственных групп Расширенный векторный базис трансляционной группы антисимм