Сборник задач по геометрии - Скопец З.А., Базылев В.Т., Кузнецова Г.Б., Дуничев К.И., Майоров В.М., Иваницкая В.П.

Author: Скопец З.А. Базылев В.Т. Кузнецова Г.Б. Дуничев К.И. Майоров В.М. Иваницкая В.П.
Tags: геометрия топология задачи по математике задачи по геометрии учебное пособие сборник задач векторная алгебра
Year: 1980
Similar
Энциклопедия элементарной математики. Том 4. Геометрия.
Неевклидовы геометрии
Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы
Основы векторного исчисления. Ч.1. Векторная алгебра. Элементы векторного анализа
Text
                    СБОРНИК
ЗАДАЧ
по
ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК
ЗАДАЧ
по
ГЕОМЕТРИИ
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
студентов физико-математических факультетов
педагогических институтов
ПОД РЕДАКЦИЕЙ В. Т. БАЗЫЛЕВА
МОСКВА
„ПРОСВЕЩЕНИЕ4*
1980

ББК22.151я73
С23
В. Т. Базылев, К. И. Дуничев, В. П. Иваницкая, Г. Б. Кузнецова,
В. М. Майоров, 3. А. Скопец
Рецензенты:
Кгфедра геометрии Пензенского педагогического института (зав. кафедрой доктор
физико-математических наук И. П. Егоров), кандидат педагогических наук
В. А. Г у с е в.
60602-363
103(03)—80
39—80 4309020400
ББК 22.15!я73
512
(g) Издательство «Просвещение», 1980 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Раздел 1.
Элементы векторной алгебры.
Геометрия на плоскости.
Глава I. Векторы , ; 8
§ 1. Векторы. Сложение векторов. Умножение вектора на число в • —
§ 2. Координаты вектора 12
§ 3. Скалярное произведение векторов * 13
Глава II. Метод координат на плоскости , 17
§ I. Система координат на плоскости —
§ 2. Прямая линия. Окружность 20
§ 3. Разные задачи 29
Глава III. Преобразования плоскости 34
§ 1. Отображения —
§ 2. Перемещения * 35
§ 3. Подобия 41
§ 4. Аффинные преобразования 44
§ 5. Группы преобразований 48
§ 6. Разные задачи » 50
Глава IV. Линии второго порядка 53
§ 1. Эллипс —
§ 2. Гипербола 57
§ 3. Парабола 60
§ 4. Общее уравнение линии второго порядка 62
Раздел 2.
Прямые линии, плоскости и квадрики
в евклидовых и аффинных пространствах.
Глава I. Метод координат в пространстве. Векторное и смешанное
произведения векторов 66
§ 1. Метод координат в пространстве . —
§ 2. Векторное произведение векторов 68
§ 3. Смешанное произведение векторов 70
Глава II. Плоскости и прямые 72
§ 1. Плоскость —
§ 2. Прямая линия. Прямая и плоскость 76
§ 3. Разные задачи • 80
Глава III. Поверхности второго порядка 82
§ 1. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка.
Поверхности вращения —
3

§ 2. Эллипсоид - 84
§ 3. Гиперболоиды 87
§ 4. Параболоиды 89
Глава IV. Аффинное и евклидово /г-мерные пространства 90
§ 1. Аффинное /г-мерное пространство* —
§ 2. Евклидово /z-мерное пространство 95
Глава V. Квадратичные формы и квадрики 102
§ 1. Билинейные и квадратичные формы —
§ 2. Квадрики 104
Глава VI. Выпуклые многогранники 107
§ 1. Выпуклые фигуры. Выпуклые многогранники —
§ 2. Правильные и полуправильные многогранники 109
Раздел 3.
Проективное пространство.
Методы изображений.
Глава I. Проективное пространство 112
§ 1. Проективное пространство. Проективные координаты .... —
§ 2. Теорема Дезарга 115
§ 3. Проективные отображения и преобразования 117
Глава II. Основные факты проективной геометрии 119
§ 1. Сложное отношение. Гармонические четверки. Полный четырех -
вершинник —
§ 2. Проективные преобразования прямой и плоскости 120
§ 3. Кривые второго порядка на проективной плоскости 123
§ 4. Проективные модели аффинной и евклидовой плоскостей ... 126
Глава III. Геометрические построения на евклидовой плоскости ... 127
§ 1. Метод пересечений . . , —
§ 2. Метод преобразований 129
§ 3. Алгебраический метод 131
§ 4. Разные задачи 132
Глава IV. Методы изображений 133
§ 1. Параллельное проектирование —
§ 2. Аксонометрия 135
§ 3. Позиционные и метрические задачи 137
§ 4. Метод Монжа 140
§ 5. Перспектива 141
Раздел 4.
Основания геометрии.
Неевклидовы геометрии.
Глава I. Основания геометрии 144
§ 1. Общие вопросы аксиоматики —
§ 2. Система аксиом Вейля. Система аксиом школьного курса
геометрии 145
Глава II. Неевклидовы геометрии 148
§ 1. Сферическая геометрия —
§ 2. Эллиптическая геометрия Римана 152
§ 3. Гиперболическая геометрия Лобачевского 153
Раздел 5.
Элементы топологии.
Линии и поверхности в евклидовом пространстве.
Глава I. Элементы топологии 156
§ 1. Топологические пространства. Гомеоморфизм —
§ 2. Многообразия. Эйлерова характеристика 158
4

Глава II. Линии в евклидовом пространстве
§ 1. Гладкие кривые. Касательная. Длина дуги
§ 2. Канонический репер кривой. Кривизна и кручение
Глава III. Поверхности в евклидовом пространстве
§ 1. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль . . .
§ 2. Первая квадрлтичная форма поверхности
§ 3. Вторая квадратичная форма поверхности
Глава дополнительная. Планиметрические задачи на
вычисление. ,
§ 1 Треугольники.
§ 2. Многоугольники.
§ 3. Окружности и круги.
Ответы и указания
Список использозаннэй литературы
159
162
165
166
169
170
174
176
180
238

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по геометрии для студентов
педагогических институтов содержит около 1900 задач и упражнений,
охватывающих все разделы программы по геометрии для
пединститутов. Он рассчитан на обеспечение задачным материалом
теоретического курса, изложенного в пособии «Геометрия», I и II,
написанном авторским коллективом в составе В. Т. Базылева, К. И. Дуни-
чева, В. П. Иваницкой. Как известно, указанный теоретический
курс значительно отличается от других пособий наличием тесных
внутренних связей со школьным курсом геометрии, а также рядом
других теоретических и методических аспектов. Поэтому
соответствующий этому курсу задачник необходим.
В целях усиления профессиональной направленности в
обучении геометрии будущих учителей математики в задачах сборника,
как правило, использованы фигуры школьного курса геометрии.
Таким образом, не только в соответствующих разделах лекционного
курса, но и с помощью задачного материала студент получает
возможность углубленного изучения того «запаса фигур», с которым
он будет затем иметь дело в школе.
Все задачи распределены по разделам и главам соответственно
программе 1977 г. курса геометрии в педвузе. Дополнительная
глава содержит планиметрические задачи на вычисление, решение
которых предусмотрено объяснительной запиской к программе.
Число задач в главах различное в зависимости от того, какое
место тот или другой раздел программы уделяет решению задач и в
какой мере он связан со школьным курсом геометрии.
Каждая из групп авторов (московская группа: Базылев В. Т.,
Дуничев К- И., Иваницкая В. П., ярославская группа:
Кузнецова Г. Б., Майоров В. М., Скопец 3. А.) подготовила примерно
половину задач, включенных в сборник. Несколько задач представила
Е. М. Белоногова, за что авторы выражают ей признательность.
Отдельные задачи сборника могут быть использованы в работе
студенческого кружка по геометрии или послужить отправным
пунктом курсовой работы.
Авторы.
6

Раздел 1.
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ.
ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ

Глава 1.
ВЕКТОРЫ
§ 1. ВЕКТОРЫ. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
1. Дан параллелепипед АВСРА'ВГС'Р\ Среди направленных
отрезков WD', CD', UW, WW, АСГ,РС, DA,IW, СС, ~DD' указать
отрезки: а) эквиполлентные А В, АС, ВС, ВВ'\ б) параллельные, но
не эквиполлентные АА'.
2. Пусть А, В, С, D — произвольные точки и пусть М, N, Р,
Q — середины отрезков [АВ], [ВС], [CD], [DA] соответственно.
Доказать, что направленные отрезки MN и QP эквиполлентны.
3. Доказать, что отношение эквиполлентности на множестве W
всех направленных отрезков является отношением
эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.
4. Будет ли отношение т на множестве W направленных
отрезков отношением эквивалентности, если
(WBtCD)^ (\АВ\ = \CD\, AB\\W) (VAB,~CD € W).
5. Доказать, что отношение коллинеарности векторов является
отношением эквивалентности на множестве всех ненулевых
векторов. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности
на множестве всех векторов?
-> -»»
6. Дан вектор а, длина которого равна 3. Найти вектор b проти-
—>• —>¦
воположного направления с а, если | Ь\ = 5.
7. Доказать, что если точка М — центр тяжести (точка
пересечения медиан) треугольника ABC, то MA + MB + МС = 0 и
для любой точки О справедливо равенство ОМ = — (ОА + ОБ +
о
+ ОС).
8. Пусть М, N, P, Q — середины сторон [АВ], [CD], [ВС], [DE]
пятиугольника ABCDE, а /С, L — середины отрезков [MN], [PQ].
Доказать, что прямые (АЕ) и (KL) параллельны и \KL\ = — \АЕ\.
4
9. Записать в векторной форме необходимое и достаточное
условие того, чтобы четырехугольник A BCD был параллелограммом.
10. Записать с помощью векторов условие того, что точки А, В,
С, D являются вершинами трапеции ABCD ((AB) \\ (CD)).
8

11. Даны три точки Л, В и С. Построить точку Q такую, чтобы
QA — 2QB — QC = 0.
12. А, В, С и D — произвольные точки пространства, М и N —
середины отрезков [AD\ и (J3CL Доказать, что 2MN = А В + DC.
13. Отражение от точки будем обозначать той же буквой, что
и саму точку. Доказать: для того чтобы точка С была серединой
отрезка [АВ], необходимо и достаточно, чтобы композиция
отражений С о В о С о А = е, где е — тождественное преобразование.
14. Дана замкнутая ломаная ABCD. Точки /С, L, М, N делят
отрезки АВ, ВС, CD, DA в одном и том же отношении X Ф 1.
Доказать, что если KLMN — параллелограмм, то и ABCD —
параллелограмм. Остается ли верным это высказывание при X ~ 1?
15. При каких условиях для ненулевых векторов а и Ь возмож-
-»--*- -»¦-*¦ -* ->
ны следующие равенства: 1) \а + Ь\ = \а — Ь\\ 2) а + Ь =*
= Я (а- Ь); 3) 4- = т^; 4) '* + *' = '*' + '*!'• 5> '« + *1 яв
= IM-I&II; 6) |а-ь|= |а|+ |6|?
16. Доказать, что существует треугольник, стороны которого
конгруэнтны и параллельны медианам данного треугольника.
17. Точка Mt— центр тяжести грани тетраэдра А1А2А~АА,
противолежащей вершине Аь. Доказать, что отрезки [Л,Л4?] (J =*
= 1,2, 3, 4) проходят через одну точку М, такую, что {АЬМ^ М) =*
= 3 и МА1 + МА2 + MAZ + МАА =~б.
18. Точка М — центр правильного многоугольника АгА2 ... Ля.
Доказать, что МАг + МА2 + ... + МАп = 0 и для любой точки
О справедливо равенство:
ОМ = 1 (ОАх + ОА2 + ... + ОАп).
п
19. Доказать, что для каждого конечного множества точек
АЪА2, ... ,Ап (п > 1) существует единственная точка М, такая, что
MAL + МА2 + ... + МАп = 0, и для любой точки О справедливо
равенство ОМ = - (ОЛх + ОЛ2 + ... + ОАп).
п
20. Записать в векторной форме необходимое и достаточное
условие того, чтобы точка М была точкой пересечения медиан
(центром тяжести) треугольника ABC.
21. Отражение от точки будем обозначать той же буквой, что
и саму точку. Доказать, что точка М является центром тяжести
треугольника ABC тогда и только тогда, когда композиция
отражений
М о С о М о В о М о А = е,
где е — тождественное преобразование.
9

22. На направленных отрезках ОА, ОВ, ОС построен
параллелепипед. Доказать, что диагональ [OD] параллелепипеда пересекает
плоскость (ABC) в центре тяжести М треугольника ABC.
23. Доказать-, что центры тяжести четырех граней тетраэдра
являются вершинами тетраэдра, гомотетичного данному.
24. В точках Мг, М2, ..., Мп помещены массы тх, т2, ..., тп.
1) Найти радиус-вектор ОМ центра тяжести этой системы
материальных точек, зная радиус-векторы 0Mt = rt (i = 1,... , п). 2)
Доказать, что сумма ММ± + ММ2 + ... + ММп = 0, если тг =
= пг2 = ... = тп.
25. Точки Р и Q — середины отрезков [АВ] и [CD]
соответственно. Доказать, что середины отрезков [AC], [BD] и [PQ]
принадлежат одной прямой.
26. Дан тетраэдр A BCD и точки Р, Q, такие, что (А В, Р) =
= (CD, Q). Доказать, что середины отрезков [AC], [BD] и [PQ]
принадлежат одной прямой.
27. В пространстве даны две тройки точек А, В, С и Ах, Вг, Съ
причем (АС, В) = (А^С^В^). Доказать, что середины отрезков
[ЛЛХ], [5SJ, [ССг] принадлежат одной прямой.
28. Доказать: для того чтобы точка С принадлежала прямой
(АВ), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число а,
что ОС = аОА + (1 — а) ОВ, где О —произвольная точка.
29. Доказать: для того чтобы точка С принадлежала лучу [АВ),
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое
неотрицательное число а, что ОС = (1 — а)ОА + аОВ, где О —произвольная
точка.
30. Дано: ОС = аОА + РОВ. Каким условиям должны
удовлетворять числа аи|3, чтобы точка С принадлежала: 1) прямой
(АВ); 2) лучу [АВ); 3) отрезку [ЛВ]?_ _
31. Два направленных отрезка АВ и CD разделены точками М
и N в равных отношениях. Доказать, что векторы AC, BD, MN
компланарны.
32. Доказать: для того чтобы четыре точки Аь, А2, Л3, АА
принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы:
а1РА1 + а2РЛ2 + а3РА3 + а4РЛ4 = о)
ах + а2 + а3 + а4 = 0J
где Р — любая точка и хотя бы одно at Ф 0.
33. Через середину ребра [ОА] и центр тяжести грани ABC
тетраэдра ОАВС проведена прямая, встречающая плоскость (ОВС)
в точке D. Доказать, что OD = ОВ + ОС.
34. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая /,
пересекающая прямые (AG) и (BG), где G — центр тяжести тре-
ю

угольника, соответственно в точках Л! и Вг. Доказать, что (ААЪ G)—
+ {BBly G) = 1. Сформулировать и доказать обратное
предложение.
35. Дан треугольник ЛЯС и точки А0? В0, С0, такие, что (ВС, Л о)^
= Ях, (СЛ, В0) = Х2, (ЛВ, С0) = Я3. Доказать: для того чтобы
точки Л0, В0, С0 принадлежали одной прямой, необходимо и
достаточно, чтобы Я^Дз = —1 (теорема Менелая).
36. Некоторая прямая пересекает прямые (ВС), (СА)У (АВ)
соответственно в точках А19 Въ Сх. Доказать, что векторы
ВС + ВА, СА + СИХ, АВ + Аф1 коллинеарны.
37. Доказать: для того чтобы две противоположные стороны
четырехугольника были параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы отрезок, соединяющий их середины, проходил через точку
пересечения диагоналей.
38. Доказать: для того чтобы четырехугольник был
параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы отрезки, соединяющие
середины его противоположных сторон, проходили через точку
пересечения его диагоналей.
39. Точки Вх, В2, В3 принадлежат соответственно сторонам
треугольника АгА2А3, причем центры тяжести треугольников
АгА2А3 и BXB2B3 совпадают. Доказать, что точки Вх, В2, В3 делят
стороны треугольника АгА2А3 в равных отношениях.
40. Через две противоположные вершины параллелограмма
проведены прямые, пересекающие его стороны или их продолжения
в четырех точках. Доказать, что эти точки являются вершинами
трапеции или параллелограмма.
41. Проверить, что множество комплексных чисел а + Ы (i2 =*
= —1? а, Ъ б /?) образует векторное пространство.
42. «Вектором» будем называть одностолбцовую матрицу
высоты п с элементами из данного поля /<", причем
Доказать, что множество таких матриц образует векторное
пространство.
43. Пусть С — множество непрерывных функций / (х),
заданных на промежутке [а\ Ь]. Проверить, что естественные операции
f (x) + g (*)» V (х) (Я €/?,/, g € С) превращают множество С &
векторное пространство.
44. Пусть V и V" — подпространства векторного пространства
F. Доказать, что их пересечение является векторным
подпространством.
«

§ 2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
45. Дана трапеция ABCD (DC = kAB). Точки М и N —
середины оснований [АВ] и [DC], (AC) (] (DB) = Р.
1) Приняв векторы АВ и AD за базисные, найти координаты
векторов СВ, MN, АР, РВ.
2) Приняв векторы РА и РВ за базисные, найти разложения
векторов АВ, ВС, CD, DA.
46. В треугольнике А ВС проведена биссектриса [ AD] угла А.
Разложить вектор AD по векторам АВ и АС.
47. На плоскости даны три вектора своими координатами
относительно некоторого базиса: а (4, —2), Ъ (3, 5), с (—2, —12).
Представить вектор с как линейную комбинацию векторов а и Ь.
-)- ->-
48. Даны неколлинеарные векторы а, Ь. Доказать, что система
-> -»¦-»¦-> ->-»¦->-»- ->-
векторов m = За — Ъ, п = 2а + Ь, р = а + ЗЬ линейно зависи-
мая, векторы п, р не коллинеарны. Разложить вектор т по
векторам п, р.
49. Относительно базиса eL, е2 вектор а имеет координаты (2, 1).
Найти координаты вектора а относительно базиса е[, е'2, если
1) ~е[ = Аег, е[2 = — -е2; 2) е| = Зег — е2, е2 = —2^ + ?2.
-> -*•
50. Пусть ег, е2 — базис пространства V. Доказать, что векто-
-> -> -> -> -+• ->-
ры а = а^х + а2е2, Ь = 6^ + fc2^2 коллинеарны тогда и только
тогда, когда
ага2
= 0.
|*А|
51. Точка М — центр тяжести треугольника ABC. Найти
координаты векторов АВ, ВС, AC, AM в базисе MB, MC.
52. Точка М — центр тяжести треугольника ABC. Разложить:
1) ~МА по векторам ВС, СА; 2) АВ по векторам MB, MC; 3) ОА по
векторам ОВ, ОС, ОМ, где О — произвольная точка пространства.
53. Четырехугольник A^CJ^^ симметричен параллелограмму
A BCD относительно точки О, расположенной вне плоскости (ABC).
Приняв векторы ОА, ОВ, ОС за базисные, найти координаты
векторов AXBU DDX и АР, где Р — середина [Аф^.
54. Среди векторов а1 (0, —3, 0), а2 (—2, 0, 5), а3 (0, 2, —1),
ал (0, 0, 4), а5 (1, 0, 0), а6 (0, 1, —3), а7 (1, —2, 3), а8 (0, 0, 0), за-
12

данных в базисе е1% е2, е3, указать векторы: 1) коллинеарные е2;
2) компланарные с векторами е2 и е3.
55. В базисе е1У е2> е3 даны векторы р (—3, 6, —13), а (1, 0, —2),
b (1, —1, 3), с (—2, 3, 0). Представить вектор р как линейную
комбинацию векторов а, Ь, с.
56. Даны три некомпланарных вектора е19 е2, е3. Пусть А В € ег,
ТС € 72, CD ? е3, ABX € а?, CDX € ае^ (Voc€ /?). Убедиться,
что векторы AC, CD + ВА, B1D1 компланарны.
57. Точка О — середина гипотенузы [АВ] прямоугольного
треугольника ABC. Точка D симметрична вершине С относительно
прямой (АВ). Доказать, что
OD = —ОС — (2 cos 2Л) ОА.
58. Направленные отрезки ОА € а, ОВ ё b отложены от точки
О (atfb). Выразить через а и b какой-либо вектор, коллинеарный
биссектрисе угла АО В.
59. В пространстве даны такие точки А, В и С, что (Л5, С) = А,?
и произвольная точка М $ (ЛВ). Разложить: 1) МС по МЛ и МВ\
2) MB по МЛ и МС; 3) ~АВ по МЛ и МС.
60. Точки Р и Q — середины противоположных ребер [ВС] и
[AD] тетраэдра, G — его центр тяжести. Приняв векторы GA, GB,
GC за базисные, найти координаты вектора PQ.
61. Дана треугольная призма АВСА^С^ Приняв векторы
АВ, АС, ААг за базисные, найти координаты вектора MN, где М —
центр параллелограмма ВССгВ19 N — центр тяжести треугольника
62. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм
ABCD. Приняв векторы SA, SB, SC за базисные, найти
координаты векторов SD, SM, MB, SP, АР, где М — середина отрезка
IAD), (ВС, Р) = 2.
§ 3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
63. Убедиться в том, что векторы р = а [Ь • q) — b (a • q)
и q взаимно перпендикулярны.
64. В ортонормированном базисе даны ЛВ (2, 2, 1) и ВС (1, 4, 8),
Найти cos ABC.
65. Обладает ли скалярное произведение векторов свойствами,
аналогичными следующим свойствам произведения чисел: 1) если
13

ab = 0, то хотя бы одно из чисел а и Ь равно нулю; 2) ab = Ьа\
3) если ab = cb и Ъ Ф 0, то а = с\ 4) (а + Ь) с = ас + te; 5) а (6с) =
= (ab) с.
66. Дан параллелограмм ABCD. Дать геометрическое
истолкование равенств: 1) (ЛВ + ЛБ)2 — (АП — ЛВ)2 = 4AD • ЛВ;
2) (AD + ЛВ)2 -НЛО — ЛВ)2 = 2 (ЛТ)2 + AS2);
3) (AD + АВ) (AD — АВ) = Л~В"2 — АВ2.
-*•—>¦-*¦ -*.
67. Известно, что векторы а, Ь, с ненулевые и вектор а не орто-
—>- ->
гонален векторам Ь, с. При каком условии выполняется равенство
а • Ь — а • с?
68. Доказать, что в треугольнике ЛВС угол ЛВС прямой тогда
и только тогда, когда |ЛС|2 = |ЛВ|2 + |ВС|2.
69. Доказать, что сумма квадратов длин медиан треугольника
3
равна — суммы квадратов длин его сторон.
70. Вычислить длины диагоналей параллелограмма ABCD, если
известно, что АВ = 2а — b, AD = а + 3&, где \а\ = 3, |Ь\ = 2,
(0)=|.
71. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции
равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон,
сложенной с удвоенным произведением длин оснований.
72. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей
четырехугольника равна удвоенной сумме квадратов длин отрезков,
соединяющих середины его противоположных сторон.
73. Доказать, что сумма квадратов длин сторон
четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей и учетверенного
квадрата расстояния между серединами этих диагоналей (теореАма
Эйлера).
74. Дан прямоугольник A BCD. Доказать, что для любой точки
М пространства выполняются равенства:
1) МА2 + МС2 = MB2 + MD2\ 2) MA • МС = MB • MD.
75. Величины плоских углов трехгранного угла равны 45°,
45°, 60°. Найти величины двугранных углов.
76. Даны три взаимно перпендикулярных луча ЮА), ЮВ),
[ОС) с общим началом. Найти угол между биссектрисами углов
ЛОВ и ВОС.
77. В кубе найти величину угла: 1) между его диагональю и
скрещивающейся с ней диагональю грани; 2) между
скрещивающимися диагоналями двух соседних граней; 3) между диагональю куба
и пересекающейся с ней диагональю грани.
78. Найти величину угла ВАС равнобедренного треугольника
ABC, зная, что медианы [ВВ0] и [СС0], проведенные из вершин
основания, перпендикулярны.
14

79. Пусть [ВВ0] — высота треугольника ABC. Разложить
вектор ВВ0 по векторам базиса АС, АВ.
80. Дан вектор а (а1У а2) относительно ортонормированного
базиса /, /. Найти координаты вектора х, такого, что х ± а, \х\ =
= Й.
81. На сторонах [АВ], [ВС] квадрата ABCD соответственно
даны точки Р и Q, такие, что \ВР\ = \BQ\. Пусть [ВН] — высота
треугольника В PC. Доказать, что (HQ) ± (HD).
82. На гипотенузе [АВ] прямоугольного треугольника ABC
построен квадрат, центр М0 которого лежит по разные стороны с
вершиной С от прямой (АВ). Найти |М0С|, зная, что \АС\ = Ь,
\ВС\ = а.
83. В ортонормированном базисе i, j найти координаты вектора
с, определяющего направление биссектрисы угла, образуемого
ненулевыми векторами а = а± i + а2 /, b = Ъх i + Ь2 j.
84. В треугольнике ABC точка D делит отрезок АВ в
отношении Я. __^ „ >
1) Разложить вектор CD по векторам базиса СА, СВ.
2) Найти длину отрезка [CD], зная длины а, Ъ, с сторон
треугольника (теорема Стюарта).
3) Доказать, что если [CD] — биссектриса внутреннего (внеш-
него) угла треугольника, то л = х- (л = —! И.
\СВ\ \СВ\)
4) Пользуясь теоремой Стюарта, найти длину
а) биссектрисы внутреннего угла А треугольника ABC;
б) биссектрисы внешнего угла А;
в) медианы стороны [ВС].
85. Внутри выпуклого м-угольника F дана точка М0. Доказать,
что существует такая сторона многоугольника F, что основание
перпендикуляра, проведенного к ней через точку М0, является ее
внутренней точкой.
86. Пусть АгА2 ... Ап — простой д-угольник (его граница не
имеет самопересечений), в котором | AtAi+1\ = аь и <р? — величина
внешнего угла при вершине At. Доказать, что
ах cos фх + а2 cos (фх + ф2) + ••• + ап cos (Ф1 + Ф2 + ••• +
+ Фл) = 0,
а± sin фх + а2 sin (фх + ф2) + ... + ап sin (фх + Ф2 + ••• +
+ Ф„) = 0.
87. Дана плоскость 2 и точка А ? 2. Найти множество всех
точек Y, таких, чтобы АХ • AY == d2, где X = WF] f| 2-
88. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Решить
относительно л: уравнение: > _+ _+ , , ,
а2+ха • Ь __ b2+ab
\a\\a+xb\ \Т\\Ъ+Т\
15

89. В треугольнике ABC проведена медиана [СМ] и
биссектриса [ССг]. Построена прямая, симметричная (СМ) относительно
(ССг), пересекающая (АВ) в точке С2. Доказать, что | АС2\' I С2В| =
= \АС\2: \ВС\2.
90. Выяснить геометрический смысл решений уравнения
а • х = k, где а — данный ненулевой вектор, k — данное число,
х — искомый вектор.
91. Даны три некомпланарных вектора а, Ъ> с. Найти вектор р,
перпендикулярный плоскости, которая параллельна векторам а и Ь.
92. В треугольнике две медианы конгруэнтны. Доказать, что
тре>гольник равнобедренный.
93. ABCD — квадрат, Е — середина стороны [AD], F € (АС),
F Ф А. Доказать, что, для того чтобы прямые (EF) и (FB) были
взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
(Л С, F) = 3.
94. Точка D — середина основания равнобедренного
треугольника АВС(\СА\ = |СВ|), точка Е — основание перпендикуляра,
проведенного через точку D к прямой (ВС), F — середина отрезка
[DE]. Доказать, что прямые (АЕ) и (CF) взаимно перпендикулярны.
95. В прямоугольном треугольнике ABC (С = 90°) проведена
высота [CD]. Прямая (AM), где М — середина высоты [CD],
пересекает катет [СВ] в точке Р. Доказать, что | СР\ : | РВ\ = cos2 A.
96. В ортонормированном базисе даны неколлинеарные векторы
а (а1э plf Yi) и b (а2, |32, у2). Найти координаты единичных векто-
-> -*¦
ров, перпендикулярных каждому из векторов а и Ь.
97. Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник
ABCD, основанием высоты пирамиды — точка О пересечения
диагоналей этого прямоугольника. Установить зависимость между
косинусами углов AS В, BSC, ASC.
98. Вычислить косинус угла ср между ребром с трехгранного
угла Oabc и его ортогональной проекцией h на плоскость
противолежащей грани, если плоские углы трехгранного угла равны а, р, у.
99. Каково взаимное расположение сферы (О, R) и плоскости,
если ОР • О А = R2, где А — данная точка сферы, Р —
произвольная точка плоскости.
100. К сфере в ее точках Л и В проведены касательные
плоскости Q и 2. Через середину М отрезка [АВ] проведена произвольная
прямая U пересекающая сферу в точках U и У, а плоскости — в
точках X я Y. Доказать, что если MU = kxe, MV = k2e, MX =
= kse, MY = kg, то
.L + J^-L + .L,
где e — направляющий вектор прямой /.
16

101. Вокруг тетраэдра A BCD описана сфера. Прямые (GAj
(GB)y (GC), (GD) (G — центр тяжести тетраэдра) пересекают сферу
вторично в точках Al9 Bl9 С1э Dv Доказать, что
(AAlt G) + (BBL, G) + (СС19 G) + (DDl9 G) = 4.
102. На окружности даны две точки А и В. Найти множество
точек X, таких, чтобы (АА19 X) + (BBlf X) = 2, где А1 и В± —
вторые точки пересечения прямых (АХ) и (ВХ) с окружностью.
103. В сферу вписан тетраэдр ABCD. Прямая, проведенная
через вершину D и центр тяжести G треугольника ABC, nepeceK3tT
сферу вторично в точке М. Доказать, что DA2 + DB2 + DC2 =<
= 3DG - DM.
104. Доказать, что сумма квадратов длин ортогональных
проекций всех ребер куба на плоскость не зависит от взаимного
расположения куба и плоскости.
105. Куб с ребром а спроектирован параллельно прямой I на
плоскость. Вычислить сумму квадратов длин проекций всех ребер
куба на данную плоскость, если / образует с плоскостью угол ср.
Глава II.
МЕТОД КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
В задачах 106—119 система координат аффинная.
106. По координатам трех вершин Р, Q и R параллелограмма
вычислить координаты четвертой его вершины:
1) P(l,4), Q(3,-1), Я (0,2);
2) Р (—1,0), Q(2, 1), R (4,-1).
107. Доказать, что три точки А, В и С принадлежат одной
прямой:
1) А (2, 1), В (0, 5), С (4, -3);
2) Л (-1,0), 5(1,-2), С (3,-4).
Выяснить, какая из трех точек лежит между двумя другими.
108. Записать параметрические уравнения луча [АВ):
1) А (3, 1), В (2, -1);
2) А (1, -1), В (-2, 0);
3) А (0, 1), В (2, -3).
109. Записать параметрические уравнения отрезка [АВ]:
1) А (3, 1), В (-2, 4);
2) А (-1, 0), В (4, -2);
3) Л (1,1), В (3,-1).
110. В произвольном шестиугольнике середины сторон через
одну соединены отрезками. Доказать, что точки пересечения
медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.
17

111. Прямая / лежит в плоскости треугольника ЛВС и не
содержит ни одной из его вершин. Доказать, что если прямая /
пересекает одну из сторон треугольника ABC, то она пересекает и одну
из двух других его сторон и не пересекает третьей стороны
(предложение Паша).
112. Точки К и L — середины сторон [ВС] и [CD]
соответственно параллелограмма A BCD. Найти координаты вершин
параллелограмма в репере (Л, /С, L).
113. Относительно репера R = (О, ег, е2) даны координаты
точек О' (2, —3), А[ (1, 1), А'2 (3, —6), М (5, —1). Найти координаты
точки М в репере R' = (О', А[, Л'2).
114. Дан параллелограмм A BCD. В системе координат (Л, А В,
AD) точка М имеет координаты (ос, (3). Вычислить координаты этой
точки в системе координат: 1) (С, СВ, CD)\ 2) (В, ВС, ВА)\
3) (D,DC,DA).
115. Относительно репера R = (О, Аъ Л2) даны точки Л (2, 1),
В (3, 0), С (1, 4). Найти репер R' = (О', А[, А'2), относительно
которого точки А, В, С имеют координаты Л (1, 6), В (1, 9), С (3, 1).
Написать формулы преобразования координат при переходе от
репера R к R'. Найти координаты точек О, Аг, Л2 в репере R'.
116. Три вершины Л, В и С трапеции ABCD ([АВ] \\ [CD])
имеют целочисленные координаты. Какие целочисленные координаты
может иметь четвертая вершина этой трапеции:
1) Л (1, 1), В (-1,2), С (-2, 3);
2) Л (-1,0), В (2, 1), С (3,4)?
117. Доказать, что если даны пять точек с целочисленными
координатами, то из десяти отрезков с концами в данных точках хотя
бы один имеет середину с целочисленными координатами.
118. Дан параллелограмм ABCD. Прямая а пересекает прямые
(АВ), (AD), (АС) соответственно в точках В, F, G, отличных от
вершин Л, В, С, D. Доказать равенство:
{BE, A) + (DF, А) = (CG, А).
119. Вершины А, В, С треугольника соединены соответственно
с точками Аг, В±, Clf лежащими на противоположных сторонах
треугольника и отличными от его вершин. Доказать, что середины
отрезков [ЛЛХ], [BBJ и [СС±] не лежат на одной прямой.
120. На прямой а заданы точки Л, В, С, а на прямой ах —
точки Аг, Въ Сх так, что {АВг) \\ {АгВ), (fid) || (В^). Доказать, что
(САг) || (СХЛ).
В задачах 121—140 система координат прямоугольная
декартова.
121. При каком значении k треугольник с вершинами в точках
Л (1, 3), В (2, —1), С (4, k) — равнобедренный?
18

122. По координатам вершин А и В равностороннего
треугольника ABC вычислить координаты третьей его вершины:
1) Л (1, 1), В (2,-1);
2) А (О, 0), В (-2, 1).
123. Вычислить координаты вершин равностороннего
треугольника ABC по координатам его вершины А и центра тяжести G:
1) л (2,0), G(b-j);
2) А (-2, 1), G (0, 1).
124. По координатам вершин треугольника ABC выяснить,
будет ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным:
1)Л(1, 1), В (3,-1), С (7,3);
2) Л (4,0), В (1,1), С (5, 4);
3) Л (2, 1), В (3, 2), С (6, 3).
125. По координатам вершин А и С квадрата ABCD вычислить
координаты вершин В и D:
1) Л (1, 1), С (-2, -1);
2) Л (-1,0), С(3, 1);
3) Л (4, 2), С (0, 1).
126. По координатам вершин Л и В квадрата ABCD вычислить
координаты вершин С и D:
1) Л (0, -1), В (-2, 1);
2) Л (3, 1), В (2, 5);
3) Л (0, 1), В (1, 2).
127. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. По
координатам вершин А и В вычислить координаты вершины С:
1) Л (1, 1), В (-2, 3);
2) Л (2, -1), В (3, 1).
128. Дан треугольник ABC координатами своих вершин: Л (3,3),
В (—2, 3), С (0, —1). Вычислить координаты оснований биссектрис
углов этого треугольника.
-»¦ ->
129. В репере (О, г, /) задана фигура Ф уравнением 2х2 + 4х +
+ Зу — 1 ¦= 0 и точка О' (—1, 1). Найти уравнение фигуры Ф в
—>¦ —>¦
репере (О', i, /).
130. В репере (О, i, /) фигура Ф задана уравнением 2ху = 1.
Найти уравнение фигуры Ф в репере (О, Г, /'), где (/, V) = —.
131. Точка С лежит между точками Л и В. На отрезках [ЛС] и
[СВ] как на основаниях построены равносторонние треугольники
ACD и ВЕС так, что вершины D и Е лежат по одну сторону от {АВ).
Пусть М к N — середины отрезков [АЕ] и [BD]. Доказать, что
треугольник MNC — равносторонний.
132. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до
вершин треугольника наименьшая. Выразить эту наименьшую
сумму через длины а, Ь, с сторон треугольника.
19

133. На сторонах произвольного треугольника вне его
построены правильные треугольники. Доказать, что центры последних
являются вершинами правильного треугольника.
134. Доказать, что центры квадратов, построенных на сторонах
четырехугольника A BCD вне его, являются вершинами
четырехугольника, диагонали которого конгруэнтны и перпендикулярны.
135. Отрезки [AD], [AM], [АН] являются соответственно
биссектрисой внутреннего угла, медианой и высотой треугольника
ABC (\АВ\ ф \АС\). Найти отношение К = (ЯМ, ?>), если|Л51 =
= с, \АС\ = Ь, \ВС\ = а. Доказать, что точка D лежит между Н
и М.
136. На плоскости задан ортонормированный репер и точка
М I]/ 2 — 1, —). Доказать, что не существует двух различных
точек с целочисленными координатами, равноудаленных от точки М.
137. Доказать, что никакие три вершины, квадратов клетчатой
бумаги не образуют равностороннего треугольника.
138. На ориентированной плоскости дан правильный
шестиугольник ABCDEF, \АВ\ = а. Найти координаты всех вершин
шестиугольника в полярной системе координат, полярной осью
которой является луч [АВ).
139. В треугольнике ABC \АС\ = |ВС|, высота \СН\ = 3, угол
ВАС ориентирован положительно. Найти координаты точки С,
если А (6, —2), В (4, 0).
140. Доказать, что если отрезок, соединяющий середины двух
противоположных сторон выпуклого четырехугольника, конгруэнтен
полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник —
трапеция или параллелограмм.
§ 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ОКРУЖНОСТЬ
В задачах 141—178 система координат аффинная.
141. Написать уравнения прямых, содержащих медианы
треугольника ABC:
1) Л (1, 1), 5(2,0), С (-1,4);
2) А (3, -1), В (-2, 1), С (0, 0).
142. Даны уравнения трех прямых, на которых лежат стороны
треугольника ABC:
х + 2 = 0,
2х — у + 1 = 0
х + у — 1 = 0.
Написать уравнения прямых, содержащих медианы данного
треугольника.
143. Известны уравнения прямых 1г: 4х — 5у = 0, l2: x —
— Зу = 0, содержащих медианы треугольника ЛВС, и вершина
Л (2, —5). Написать уравнения прямых, содержащих стороны
треугольника ABC.
20

144. Составить уравнения прямых (ВС) и (СА) по данным
координатам вершин А и В и центра тяжести G треугольника ABC:
1) А (2, 1), В (-3, 0), G (0, 1);
2) А (-1, 0), В (2, 1), G (3, 2).
145. В треугольнике ABC : А (—2, 3), В (4, 1), С (6, —5).
Написать параметрические уравнения прямых, содержащих стороны
этого треугольника, и общие уравнения прямых, содержащих его
медианы.
146. По параметрическим уравнениям прямой
х = 2 — П
у = з + 2*;
записать уравнение этой прямой в общем виде.
147. Дана прямая 2х + Зу — 1=0. Написать
параметрические уравнения этой прямой.
148. Даны точки А (2, 5) и В (3, 1). Записать координатное
задание фигур:
1) [АВ)\ 2) \ВА)\ 3) [АВ\.
149. Доказать, что в любой трапеции точка пересечения прямых,
содержащих боковые стороны, и середины оснований лежат на
одной прямой.
150. Написать уравнение прямой, симметричной данной прямой
относительно начала координат:
1) 2х — у + 1 = 0;
2) Зх + 2у — 6 = 0.
151. Даны параллельные прямые:
2х — у + 4 = 0,
6х — Зу + 1 = 0.
Найти координаты середин отрезков, отсекаемых данными
прямыми на осях координат.
152. Даны две параллельные прямые:
1г: х + Зу — 1 = 0,
/2: —Зх — 9у + 2 = 0.
Составить уравнение прямой, проходящей через середины отрезков
[МЬЫ(], если Мь € /i, Nt ? /2.
153. Составить уравнения прямых, содержащих средние линии
треугольника ABC:
1) А (-2, 0), В (-1, 3), С (1, 1);
2) А (-1, 4), В (1, 2), С (3, -1).
154. Даны уравнения прямых, содержащих средние линии
треугольника ABC:
2* — у + 1 = 0,
х + Зу = 0,
—х + у + 2 = 0.
Найти уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.
21

155. Дан параллелограмм A BCD с центром симметрии М.
Составить уравнения прямых (ЛВ), (ВС), (CD), (DA), (AC) и (BD),
если
1) А (2, 1), В (-1, 0), М (-4, 3);
2) А (3, -1), В (1, 2), М (-1, 0).
156. Даны уравнения прямых, которые содержат стороны [АВ]
и [ВС] параллелограмма A BCD:
х + Зу + 2 = 0,
3* — у = 0.
Составить уравнения прямых, на которых лежат его стороны [CD]
и [ОЛ], если М (2, 1) — центр симметрии параллелограмма.
157. Доказать, что прямые /1э /2, /3, заданные уравнениями
/х: Зх — у + 4 = 0, /2: 2* — у + 1 = 0, 13: х — 2у = 0, не
проходят через одну точку. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку А = /2 П ^з параллельно прямой /х.
-> ->-
158. Известны координаты точки Р (3, 2) в репере (О, е1э е2) и
уравнения прямых 1г: Зх — 2у + 2 = 0, /2: Зх + 5у — 12 = 0.
Найти уравнение прямой Z, для которой точка Р является
серединой отрезка [МхмХ гДе м\ = * П *ъ ^2 = * П *2-
159. В параллелограмме ABCD на стороне [ЛО] взята точка Р
так, что | АР\ = -| Л?>1, (ЛС) П (^Я) = Q- Доказать, что
п
\AQ\=*-±-\AC\.
1 + п
160. Доказать, что в любом четырехугольнике,
противоположные стороны которого не параллельны, середины его диагоналей
и середина отрезка, концами которого являются точки пересечения
прямых, содержащих противоположные стороны
четырехугольника, лежат на одной прямой (теорема Гаусса).
161. Доказать, что если прямой принадлежат две точки с
целочисленными координатами, то этой прямой принадлежит
бесконечное множество точек с целочисленными координатами.
162. Даны две точки Л (2, —1) и В (3, 1). Выяснить, разделены
ли эти точки прямой /, заданной уравнением: 1) х + Зу — 5 = 0;
2) Зх — у + 1 = 0; 3) 2х + у = 0.
163. Даны две прямые Зх + у = 0 к 2х — Зу + 1 = 0 и точка
М (—2, 1). Написать аналитические условия, определяющие тот
угол, образуемый данными прямыми, который содержит точку М.
164. Выяснить, является ли четырехугольник ABCD выпуклым:
1)4(3, 1), В (-2, 4), С (-1,0), D(3,-l);
2) Л (2, 1), В (-3, 0), С (4, -2), D (-1, -1).
165. Определить расположение точки М0 (2, 6) и прямой
I : х — Зу — 5 = 0 относительно треугольника ABC, если Л (0, 1),
В (-2, 5), С (4, 9).
22

166. Написать аналитические условия, определяющие полосу,
образуемую прямыми:
1) Зх + у — 1 = 0, 6х + 2у + 3 = 0;
2) х + 2у + 2 = 0, 2х + 4у 7 = 0.
167. Даны три точки А (—4, —2), В (—2, 1) и С (2, 3).
Написать аналитические условия, определяющие параллелограмм A BCD.
168. Даны трехчлены: рх (х, у) = х — Зу — 5, р2 (*> У) =
= 2х — 6у + 1, Рз (*. У) = х + у — 2, р4 (л:, у) = Зх + Зу + 1.
Что представляет собой фигура
Ф = {М (*, у) | Pl < 0, р2 > 0, рз < 0, р4 > 0}?
169. Даны четыре точки А (2, 3), В (3, 1), С (5, 2), D (9, 1).
Доказать, что зти точки являются вершинами трапеции, и назвать
эту трапецию.
* 170. Дан треугольник ABC. Прямые (ВС), (СА) и (АВ)
разбивают не принадлежащие им точки плоскости на 7 областей.
Записать координатное задание той области, которой принадлежит
начало координат, если А (2, 1), В (—1, 4), С (3, —2).
171. Стороны треугольника лежат на прямых:
1) х + у — 4 = б, 2х — у = 0, За: + 2у — 12 = 0;
2) х + 2 = 0, 9х — у = 0, х — у + 3 = 0.
Записать координатное задание этого треугольника.
172. Найти условия расположения точки М0 (х0, у0) внутри
треугольника, если прямые, содержащие его стороны, имеют
уравнения lt : At x + В{ у + Ct = 0 (i = 1, 2, 3).
173. Найти условие, которому удовлетворяют коэффициенты
уравнений двух прямых:
А±х + Вг у + Сг = 0,
А2х + В2у + С2 = 0,
если начало координат принадлежит тупому углу, определяемому
этими прямыми.
174. По координатам концов двух отрезков [АВ] и [CD]
выяснить, имеют ли они общую точку:
1) А (3, 1), В (-2, 0), С (0, 1), D (-3, 2);
2) А (1, 0), В (2, 4), С (3, 0), D (0, 6).
175. Доказать, что лучи [АВ) = {М (х, у) \ х = 1 + /, у =
= 2 — t, t > 0} и [CD) = {М (х, у) \ х = 2 — 3t, у = 4 + 3/,
? ^ 0} одинаково направлены, и написать аналитические условия,
определяющие полуплоскость [(АС), М), которой принадлежат
эти лучи.
176. Написать аналитические условия, определяющие
выпуклый угол ВАС, если:
1) 4(1, 1), В (2,-1), С (3,0);
2) А (1, -1), В (2, 1), С (3, 2).
177. Написать аналитические условия, определяющие
треугольник ABC у если:
1) А (3, 1), В (2, -1), С (0, 2);
2) Л (0, 1), В (-2, 4), С (3, -1).
23

178. Написать аналитические условия, определяющие
параллелограмм ABCD, если:
1) А (О, 1), В (-1, 2), С (1, 3);
2) А (1, 1), В (-2, 0), С (3, -1).
В задачах 179—235 система координат прямоугольная
декартова.
179. Вычислить координаты орта вектора нормали прямой:
1) х + 2у — 3 = 0;
2) х — Зу — 1 = 0;
3) 4х + Зу + 6 = 0.
180. Доказать, что для произвольного треугольника ABC
точка N пересечения медиан, точка Н пересечения высот и центр М
описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера
треугольника ABC) и (МН, N) = —, если М Ф Н.
181. По уравнениям прямых, содержащих стороны [ВС], [СА]
и [АВ] треугольника ABC, составить уравнения прямых,
содержащих высоты этого треугольника:
(ВС): х + у — 1 = 0,
(СА): 2х — у = 0,
(АВ): х — 2у — 2 = 0.
182. Написать уравнение серединного перпендикуляра I
отрезка [АВ]:
1) А (2, 1), В (-1, 3);
2) А (0, -1), В (2, -3);
3) А (1, 1), В (-3,0).
183. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный, и
составить уравнение его оси симметрии:
1) А (2, 1), В (4, 3), С (2, 3);
2) Л (1,-3), В(-1, 1), С (0,-1).
184. Через точку Р провести прямую, равноудаленную от точек
А и В:
1) Р (1, 1), А (3, -1), В (-2, 1);
2) Р(0,-2), Л (1,3), В (-1,2).
185. На луче (х = 2 + 3t f ^ п
найти точку В, расстояние от которой до начала луча равно d:
1) d = 3; 2) d = 5.
186. Дана прямая / и точка А. Вычислить координаты
основания перпендикуляра, проведенного из точки А на прямую /:
1) Зх + 4у - 1 = 0, А (2, -1);
2) х + Зу + 2 = 0, А (—2, 3).
187. Найти координаты точки М2, симметричной точке
Mi (хъ yj относительно прямой Ах + By + С = 0.
24

188. Даны уравнения прямых, содержащих высоты
треугольника, и координаты одной из вершин треугольника. Вычислить
координаты двух других вершин этого треугольника:
1) Зх + 4у — 7 = 0, 2х — у — 1 = О, А (5, —3);
2) Зх + 4у — 2 = 0, 4х — у + 2 = О, Л (0, —1).
189. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Я.
Известны уравнения прямых (АВ): Ах + у — 12 = О, (АН): 2х +
+ 2у — 9 = О, (ВН): 5х — 4у — 15 = 0. Написать уравнения
прямых (ВС), (АС).
190. Дана вершина Л (2, —5) квадрата ABCD и уравнение
прямой (BD): Зх — у + 6 = 0. Найти уравнения прямых,
содержащих стороны квадрата.
191. В равнобедренном треугольнике ABC (\BA\ = \ВС\) даны
координаты вершин Л (4, 3), В (—1, 2) и уравнение прямой
(BD): Зх — 2у + 7 = 0, перпендикулярной (АС). Написать
уравнения прямых (АВ) и (ВС).
192. Треугольник ABC — равнобедренный (| ВА | = |ВС\).
Прямая /: х — у + 1 = 0 содержит биссектрису внутреннего угла
ABC, точки Л0 (1, -1) € (ВС), В0 (0, 3) ? (АВ), С0 (3, 2) € (АС).
Найти уравнения прямых (ВС), (АС), (АВ).
193. Луч света проходит через точку М1 (1, 1) и, отразившись
последовательно от прямых /х: х — у — 2 = 0, /2: 2л; + у — 1 =
= 0, проходит через точку М2 (2, 2). Найти уравнения прямых,
содержащих лучи, падающие на прямые 1Х, 12 и отраженные от них.
194. Через точку пересечения медиан треугольника проведена
прямая d. Найти соотношение между расстояниями вершин
треугольника от этой прямой.
195. Даны уравнения прямых 1г: Ах + By + С\ = 0,
/2: Ах + By + С2 = 0 (Сг Ф С2). Найти расстояние между
прямыми 11у 12.
198. Написать уравнения прямых, симметрия относительно
которых переводит прямую х + у + 1 = 0 в прямую 2х — у = 0.
197. На оси Ох найти точку, равноудаленную от прямых:
1) х + Зу + 2 = 0, Зх — у + 1 = 0;
2) Зх + у — 1 = 0, 4х — Зу = 0.
198. Составить уравнение множества точек, равноудаленных
от двух параллельных прямых:
1) х + у + 3 = 0, 2х + 2у — 1 = 0;
2) Зх + 4у — 1 = 0, Зх + 4у + 4 = 0;
3) 2х — у = 0, 4* — 2у + 5 = 0.
199. Через точки М и N провести параллельные прямые,
расстояние между которыми равно d:
1)М(1,2), N(3, -1), d = 3;
2) М (0,-1), N(2,1), d=l;
3) М (2, 1), ЛГ (6, 4), d = 5.
25

200. Дана прямая / уравнением Ах + By + С = 0 и точка
№0 (Чу Уо») i I- Написать уравнение прямой Г cz [/, M0),
параллельной прямой / и отстоящей от нее на расстоянии к.
201. Составить уравнение множества точек, отношение
расстояний от каждой из которых до двух прямых равно т : п:
1) х + У — 1 = 0, Зх + у = 0, т : /г = 1 : 2;
2) 3* — у + 1 = 0, 2х — у + 2 = 0, m : /i = 3 : 4;
3) 4х — 2у + 1 = 0, х — 2у — 1 = 0, m : п = 4 : 1.
202. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису
того угла, образованного прямыми 1г: х — 2у — 3 = 0 и 12: 2х —
— у + 5 = 0, которому принадлежит точка М0 (1, 1).
203. Дан квадрат, длина стороны которого равна 1. Найти на
плоскости фигуру, для каждой точки которой сумма расстояний
до прямых, содержащих стороны квадрата, равна 4.
204. Начало координат является центром квадрата, уравнение
одной из прямых, содержащих сторону квадрата, имеет вид х +
+ 2у — 1 = 0. Вычислить координаты вершин этого квадрата.
205. Даны вершины Л (—3, 2), В (-, —V С (— -, —\
треугольника ABC. Найти координаты вершин М, N, Р квадрата AMNP,
если известно, что В ? [M/VL, С 6 ШР].
206. По координатам двух вершин А я В ромба ABCD и
уравнению прямой (CD) вычислить координаты двух других его
вершин:
1) А <1, 1), В (—2, 3); (CD): 2х + Зу + 5 = 0;
2) A j[0, 4), В (2, 3); (CD): х + 2у — 3 = 0.
207. Даны уравнения прямых lt: Зх — у — 2 = 0; l2: x —
— Зу + 5 = 0. Написать уравнение прямой Z, содержащей
биссектрисы острых углов, образуемых прямыми 1Х и /2.
208. Даны уравнения прямых (АВ): 2х — у — 3 = 0,
(ВС): х — 2у — 10 = 0, (CD): 2х — у + 5 = 0, проходящих
через соседние вершины ромба A BCD, и то*жа М0 (1, —1). Найти
уравнение прямой (AD) cz [(ВС), М0).
209. Точка М0 (3, —2) принадлежит основанию [ВС]
равнобедренного треугольника ABC. Написать уравнение прямой (ВС),
если даны уравнения прямых (АВ): Зх — 4у — 3 = 0 и
(АС): 4л: —Зу +7 = 0.
210. Даны две пересекающиеся прямые:
Агх + Вуу + Сг = 0, А2х + В2у + С2 = 0.
Доказать, что если
(Агх0 + В1Уо + d) (А2х0 + В2у0 + С2) (А±А2 + В±В2) < 0,
то точка М0 (х0, у0) принадлежит одному из острых углов,
определяемых данными прямыми.
211. В равнобедренном треугольнике ABC (\AB\ = \ВС\)
(АВ): Зх — 2у + 3 = 0, (АС): 2х — у — 5 = 0
и точка MQ (1,1) ? (ВС). Найти уравнение прямой (ВС).
26

212. Даны уравнения прямых 1г: 2х— у— 5 = 0, /2: х +
+ Зу + 7 = 0. Вычислить косинус угла q>, образуемого прямыми
1Ъ l2i которому принадлежит тачка М0 (1, 1).
213. Доказать, что прямые, заданные уравнениями 1г: 7х —
— 5у + И = 0, 12: Зх + 2у — 16 = 0, /3: 4% — 7у — 2 = 0,
образуют треугольник, и вычислить тангенсы внутренних углов
этого треугольника.
214. Составить уравнения прямых, содержащих катеты
равнобедренного прямоугольного треугольника ЛВС, зная координаты
вершины С (4, —1) прямого угла и уравнение прямой Зл; — у + 5 =
= 0, содержащей гипотенузу [АВ] этого треугольника.
215. Луч света направили по прямой 1У уравнение которой
имеет вид: 2х — Зу — 6 = 0. Найти уравнение прямой, которая
содержит луч, отраженный от оси абсцисс.
218. Даны вершины А (1, 2), В I , —1) при основании
равнобедренного треугольника ABC и уравнение х — у + 1 = 0
прямой /, содержащей биссектрису внутреннего угла при основании.
Написать уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.
217. Даны уравнения прямых /х: х + Зу = 0, /2: х — у + 8 =
= 0. Найти уравнение такой прямой /3, чтобы прямая /2 содержала
биссектрисы пары вертикальных углов, образуемых прямыми
218. ABCD — ромб. Известны уравнения прямых (АВ): х +
+ Зу + 12 = 0, (CD): х + Зу — 8 = 0, (АС): х — 2у + 2 = 0.
Найти уравнения прямых (ВС), (AD).
219. Дан треугольник ABC и точка Р. Построены
параллелограммы ВРСАЪ СРАВ1% АРВС^ Доказать, что прямые (ЛЛ^,
(BBi), (CCi) пересекаются в одной точке.
220. Прямая р, параллельная сторонам [AD] и [ВС]
параллелограмма ABCD, пересекает [АВ] в точке /VI, a [CD] — в точке N.
А прямая q, параллельная двум другим сторонам параллелограмма,
пересекает [AD] в точке Р, а [СВ] — в точке Q. Доказать, что
прямые (РМ), (NQ) и (BD) принадлежат одному пучку, а прямые (PN),
(MQ) и (АС) — другому пучку.
221. При каких условиях на коэффициенты atj (f, / = 0, 1,2)
в ортонормированном репере фигура
Ф = {М (х, у) | апх2 + а22у2 + 2а10х + 2а20у + aQ0 = 0}
есть а) окружность; б) точка; в) Ф = 0?
222. Выяснить (без чертежа) взаимное расположение каждых
двух из трех данных окружностей:
х2 + у2 — 6х + 2у + 1 = 0,
х2 + у2 + 2х + 8у + 13 = 0,
х2 + у2 _ Юу = 0.
27

223. Вычислить координаты центра М окружности, описанной
около треугольника ABC, если известны координаты его вершин:
1)А(2, 1), В (-1,4), С (3,-1);
2) А (О, 1), В (-1, 2), С (2, 3).
224. Зная уравнения прямых, содержащих стороны
треугольника ABC, вычислить координаты центра М вписанной в него
окружности:
1) х + 2у = 0, 2) 2х — Зу = О,
2х — у + 1 = 0, 2х + Зу — 1 = О,
2х + у — 2 = 0; Зх + 2у + 4 = 0.
225. Записать, координатное задание кольца, ограниченного
окружностями:
х2 + у2 = 4, л-2 + У2 = 25.
226. Какое множество точек задает неравенство:
х2 + у2 < — 4х + 6у?
227. Найти условие, при котором прямая у = kx + b касается
окружности х2 + у2 = R2.
228. Записать координатное задание меньшей дуги А В
окружности (х — I)2 + (у + 2)2 = 25, если
1)4(4,2), 5(6,-2);
2) Л (1,3), В (4, 2).
229. Окружность и ромб имеют общий центр. Доказать, что
сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до
вершин ромба постоянна.
230. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов
расстояний от каждой из которых до вершин данного квадрата со
стороной 2а постоянна и равна Ь2.
231. Вокруг квадрата со стороной 2а описана окружность.
Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки
окружности до прямых, содержащих стороны квадрата, постоянна и
равна 8а2.
232. Доказать, что если через некоторую точку М провести
прямую, пересекающую окружность в точках А и В, то
произведение iМЛ | • \МВ\ не зависит от выбора этой прямой.
233. В окружность вписан правильный треугольник ABC,
точка М принадлежит меньшей дуге АВ этой окружности. Доказать,
что \МС\ = \МА\ + \МВ\.
234. Из всех треугольников ABC с данным основанием [АВ] и
постоянной длиной высоты [СН] найти треугольник, около
которого можно описать окружность наименьшего радиуса, если I АВ\ =
= 2с, |С#| = Л.
235. Точка М — центр окружности, описанной около
треугольника ABC, радиус которой равен г. Точки Мг, М2, М3
симметричны центру М относительно (ВС), (СА), (АВ). Доказать, что каждая
из окружностей радиуса г с центром Mt (i = 1, 2, 3) проходит через
ортоцентр треугольника ABC.
23

ft 3. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
В задачах 236—245 система координат прямоугольная
декартова.
236. Точки Р (1, 1), Q (—1, 2), С (2, —1) три вершины
равнобочной трапеции. Вычислить координаты четвертой ее вершины.
237. Фигура Ф задана уравнением / (х, у) = 0. Какую фигуру
задает уравнение: 1) f (у, х) = 0; 2) / (*, —у) = 0; 3) / (—у, х) =
= 0?
238. Какие фигуры определяются в репере (О, f, /) сооткоше-
киями:
1) W = lyl;
3) \х\+х= |у| + у;
4) [х] = [у], где Ы — целая часть числа г\
5) х — [а:] = у — [у];
6) х — Ы >у — [yl;
7) х2 — у2 > 0?
239. Составить уравнение множества центров тяжести
треугольников, имеющих две вершины А (хг, ух), В (х2, у2), если третья их
вершина лежит на окружности радиуса а, центр которой — начало
координат.
240. Доказать, что произведение длин любых двух сторон
треугольника равно произведению длины его высоты, выходящей из
общей вершины этих сторон, на диаметр описанной окружности.
241. На прямой 2х — у — 10 = 0 найти точку, сумма
расстояний от которой до точек Р (—5, 0) и Q (—3, 4) была бы наименьшей.
242. Даны точки А (5, 2) и В (2, 1). На прямой х + у — 5 = 0
найти точку М, такую, чтобы АМВ = 45°.
243. Две параллельные прямые х + у — 2 = 0, # + y + 3 = 0
повернуты вокруг начала координат на 90°. Найти координаты
точек пересечения данных прямых и их образов при повороте.
Доказать, что полученные точки являются вершинами квадрата.
244. Две параллельные прямые х — у + 1 = 0, х — у+2 =
= 0 повернуты вокруг начала координат на угол 30°. Найти
координаты точек пересечения данных и повернутых прямых и доказать,
что эти точки являются вершинами ромба.
245. Отрезок постоянной длины движется так, что один его
конец скользит по окружности х2 + у2 = г2, а другой — по
оси Ох (шатунно-кривошипный механизм). Составить уравнение
кривой, которую описывает точка отрезка, разделяющая его на части
а и 6.
246. В репере (О, ?, Т2) даны точки А (2, 5), В (1, 3), С (3, 6),
М (—1, 4). Как ориентирован угол ВАС, если М ? Z. ВАС?
29

247. Прямая d проходит через вершину А и середину медианы
[ВВ0] треугольника ABC и d [\ (ВС) = N. Доказать, что
отношение (ВС, N) = -.
248. Точки Е и К — середины сторон [AD] и [ВС]
параллелограмма ABCD. Доказать, что прямые (BE) и (KD) делят диагональ
[АС] на три конгруэнтные части. Сформулировать и доказать
обратное утверждение.
249. Даны два параллелограмма ABCD и AMNP, гдеМ ? [АВ],
Р ? [AD]. Доказать, что прямые (MD), (ВР), (NC) пересекаются
в одной точке.
250. В треугольник ABC вписан параллелограмм ADEF так,
что вершины D, Е и F принадлежат соответственно сторонам [АВ],
[ВС] и [АС]. Через середину М стороны [ВС] проведена прямая
(AM), (AM) П (DE) = К- Доказать, что CFDK — паралл-елотрамм.
251. В треугольнике ABC проведена медиана [CD], P —
произвольная точка медианы [CD], (АР) П (ВС) = К, (ВР) (] (АС) =
= М. Доказать, что (МК) II (АВ).
252. Дан треугольник ABC и точки Сх € (АВ), Аг ? (ВС),
Вх ? (АС), отличные от его вершин. Доказать, что прямые (ААХ),
(BBJ, (ССХ) принадлежат одному пучку тогда и только тогда, когда
(АВ, Сг) • (ВС, Аг) • (СА, Вг) = 1 (теорема Чевы).
253. Дан треугольник ABC и точки Сх ? (АВ), Аг ? (ВС),
Вг ? (СА), отличные от его вершин и такие, что (ААг) f| (BBt) f]
(1 (CCi) = M0. Доказать, что (AAX, M0) = (AC, Bx) + (AB, d)
(теорема Ван-Обеля).
254. Точки М и N принадлежат соответственно сторонам [DC]
и [СВ] параллелограмма ABCD. Через середины отрезков [DM] и
[АВ] проведена прямая. Через середины отрезков [AD] и [BN] —
вторая прямая, пересекающая первую в точке S. Доказать, что
прямая (AS) проходит через середину отрезка [MN].
255. Дан треугольник ABC. Прямая I пересекает прямые (ВС),
(СА) и (АВ) соответственно в точках Ах, Вг и Сг. На каждой прямой
построены точки А2, В2, С2, симметричные точкам Аг, Въ Сг
относительно середины содержащих их сторон. Доказать, что точки А2,
В2 и С2 принадлежат одной прямой.
256. На прямой р± даны три точки Аъ Вг, С±; на другой прямой—
три точки А2, В2, С2. Доказать, что точки Р = (А^^ [\ (А2Вг),
Q = (ВгС2) П (ЯА), R = (СХА2) П (С2Лх) принадлежат одной
прямой (теорема Паппа).
257. Доказать, что сумма квадратов расстояний всех вершин
квадрата до прямой,, проходящей через его центр, не зависит от
выбора прямой.
258. Доказать, что сумма квадратов расстояний от
фиксированной точки, взятой в плоскости данной окружности, до концов
произвольного диаметра этой окружности есть величина постоянная (не
зависит от выбора диаметра).
30

259. Даны две произвольные окружности. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от концов любого диаметра одной
окружности до концов любого диаметра другой окружности постоянна (н€
зависит от выбора диаметров).
260. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов
расстояний каждой из которых до концов одной диагонали
прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до концов его другой
диагонали.
261. Пусть А0, В0» С0 — основания высот треугольника ABC.
Доказать, что отношение периметра треугольника ABC к
периметру треугольника А0В0С0 равно отношению радиуса окружности,
описанной около треугольника ABC, к радиусу вписанной в него
окружности.
262. Доказать, что сумма квадратов расстояний от
произвольной точки, взятой в плоскости прямоугольника, до вершин этого
прямоугольника в два раза больше суммы квадратов расстояний
от этой точки до прямых, содержащих стороны прямоугольника.
263. Доказать, что периметр треугольника A0BQCQ, вершинами
которого являются основания высот треугольника ABC, равен
удвоенной площади треугольника ABC, деленной на радиус
окружности, описанной около треугольника ABC.
264. Доказать, что если центр некоторой окружности совпадает
с центром тяжести треугольника, то сумма квадратов расстояний
от произвольной точки этой окружности до вершин треугольника
есть величина постоянная.
265. Даны параллельные прямые а и Ь, их центр симметрии М.
Стороны произвольного прямого угла с вершиной М пересекают а
и Ь соответственно в точках А к В. Доказать, что расстояние
прямой (АВ) от точки М не зависит от выбора прямого угла.
266. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов
расстояний каждой из которых до вершин данного прямоугольника
равна квадрату длины данного отрезка.
267. Найти множество точек плоскости, сумма расстояний
каждой из которых до двух взаимно перпендикулярных прямых
равна длине данного отрезка.
268. Дан прямоугольник Л BCD. Найти множество точек, сумма
расстояний каждой из которых до кондов одной, диагонали
прямоугольника равна сумме расстояний до концов его другой диагонали.
269. Найти множество точек, для каждой из которых сумма
квадратов расстояний до двух вершин равностороннего
треугольника равна квадрату расстояния до его третьей вершины.
270. Найти множество всех точек М, для которых
|МЛ|2— \MB\2 = k2,
где А и В — данные точки, k — данное число.
271. Дан квадрат ABCD, \АВ\ = а. Найти фигуру
Ф = {М\\МА\* • |МС|2 + IMB|2 . \MD\2 = л4}.
и

272. Даны две точки А и В (А Ф В) и число b € R, Ь > 0.
Найти фигуры:
1) Ф= {М\\АМ\ = Ь \МВ\}\
2) Ф= {М||ЛМ|2 + |ВМ|2 = Ь2}.
273. Через середину каждой диагонали выпуклого
четырехугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали.
Доказать, что отрезки, соединяющие точку пересечения этих
прямых с серединами сторон четырехугольника, определяют
разложение этого четырехугольника на равновеликие фигуры.
274. Даны прямая / и точка А вне ее. Найти множество точек,
разность квадратов расстояний каждой из которых до точки А и
до прямой / равна d2.
275. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых
расстояние до данной точки вдвое больше расстояния до данной
прямой, проходящей через эту точку.
278. Одна из вершин треугольника неподвижна,
противолежащая ей сторона постоянной длины с скользит вдоль данной прямой /.
По какой линии движется центр окружности, описанной около
этого треугольника?
277. Доказать, что если в четырехугольнике сумма квадратов
четырех сторон равна сумме квадратов диагоналей, то такой
четырехугольник есть параллелограмм.
278. Доказать, что в любом треугольнике расстояние от его
вершины до ортоцентра равно удвоенному расстоянию от центра
описанной окружности до прямой, содержащей противолежащую
вершине сторону треугольника.
279. Два угла XPY и UQV пересекаются по четырехугольнику
A BCD. Доказать, что середины диагоналей этого
четырехугольника и середина отрезка [PQ] лежат на одной прямой.
280. Доказать, что каждая прямая, проходящая через
основания высот, проведенных из двух вершин непрямоугольного
треугольника ABC, перпендикулярна прямой, проходящей через его
третью вершину и центр М окружности, описанной около
треугольника ABC.
281. Пусть [ЛЛ0], [ВВ0], [СС0] — высоты непрямоугольного
треугольника ABC. Доказать, что каждая высота треугольника
ABC принадлежит внутреннему или внешнему углу треугольника
AqB0Cq.
282. Через точку М к сторонам треугольника проведены
перпендикуляры. Найти множество точек М, для которых основания
перпендикуляров принадлежат одной прямой.
283. На сторонах прямого угла АСВ даны две точки А и В так,
что |СЛ|= \СВ\. Найти множество точек М, расположенных
внутри угла, для которых [МС) есть биссектриса угла A MB.
284. Найти множество точек пересечения диагоналей
прямоугольников, вписанных в данный треугольник так, что две
вершины каждого прямоугольника лежат на основании треугольника,
а две другие — на боковых сторонах.
32

285. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество
точек Р, таких, что из отрезков [АР], [ВР], [СР] можно построить
I) прямоугольный треугольник; 2) треугольник с углом 120°.
286. Треугольник задан координатами вершин в репере (О, i, /):
A (*i, yi), В (х2, у2), С (х3, Уз)- Доказать, что
I I /*i У± v
SABC = J det *2 У2 1
I \*3 УЗ Ь
287. На сторонах [ЛВ] и [ВС] треугольника ABC построены
во внешней области квадраты ABMN и BCQP. Обозначим их
центры буквами Оъ 02. Пусть К — середина [AC], L — середина [MP].
Доказать, что 0xL02K — квадрат.
288. Вычислить площадь параллелограмма ABCD по
координатам трех его вершин в репере (О, i, /):
1) А (3, 1), В (-1,0), С (2,-1);
2) А (3, -1), В (2,J)^ С (-3, 0).
289. Дан репер (О, i, /). Вершина С треугольника ABC
принадлежит оси Оу. По площади S этого треугольника и по
координатам двух его вершин А я В вычислить ординату точки С:
1) А (1, 1), В (-2, 4), S = 12;
2) А (3, -1), В (-1, 2), S = 16.
290. Найти отношение площади треугольника ABC к площади
треугольника А0В0С0, вершинами которого являются основания
высот треугольника ABC, если \АВ\ = с, \ВС\ = а, \АС\ = Ь.
291. Треугольник задан координатами вершин в аффинном
репере (О, 7и 72) : А (х19 уг), В (х2, у2), С (х3, у3). Доказать, что
площадь
(х1у1 Г
^АВС ~~ о
det lx2 у2 1
\%Уз Ь
Jo»
где S0 — площадь параллелограмма, построенного на отрезках
Ш1 Сех и ОЕ2 €?2.
292. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Доказать, что
его площадь в 2 раза больше площади четырехугольника,
вершинами которого являются середины сторон четырехугольника ABCD.
293. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Доказать, что
сумма площадей треугольников ВМС и DMA равна сумме
площадей треугольников AM В и CMD.
294. Дан Л ABC. Найти множество точек М, для каждой из
которых треугольники ABM, ACM, BCM равновелики.
295. Дан треугольник ABC. Найти множество точек М, для
каждой из которых площади треугольников АВМ и АСМ равны
между собой.
33

296. Найти множество точек М, принадлежащих треугольнику
ABC, для каждой из которых площадь треугольника АВМ больше
площади треугольника АСМ.
297. Точки А0, Во» С0 делят стороны треугольника ABC в
отношениях: Хг = {AC, BQ), А2 = (ВА, С0), А3 = (СВ, AQ)
(Ах • Я2 » Я3 =7^= —1). Вычислить отношение площади треугольника
А0В0С0 к площади треугольника ABC.
298. Найти такую точку М, принадлежащую треугольнику
ABC, чтобы площади треугольников ACM, ABM, MBC относились
как 2:3:4 (или т : п : р).
299. Даны два отрезка [АВ] и [CD]. Найти множество точек М,
таких, чтобы площади треугольников МАВ и MCD были равны.
300. Дан выпуклый четырехугольник Ф = ABCD, не
являющийся параллелограммом. Найти множество всех точек М € Ф,
для которых сумма площадей треугольников ВАМ и CDM равна
сумме площадей треугольников СВМ и DAM.
301. Диагонали [АС] и [BD] выпуклого четырехугольника
A BCD пересекаются в точке О. Доказать, что противоположные
стороны [АВ] и [CD] этого четырехугольника параллельны, если
Sb:c — Saob • Sdoc-
302. На сторонах прямоугольного треугольника ALA2A2 (A2 —
вершина прямого угла) построены квадраты, внутренность
каждого из которых не пересекает внутренность этого треугольника.
Пусть А\ — центр квадрата, построенного на стороне [ЛуЛА] (i, j, k
различны). Доказать, что
1) \AtA\\ = \A\A'k\, (А^А'д ± (A'fAk);
2) прямые (AtAi), (AjA)), (AkA'k) принадлежат одному пучку.
Глава III.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПЛОСКОСТИ
§ 1. ОТОБРАЖЕНИЯ
303. На плоскости П дан пучок Р (S) прямых с центром S и
прямая d$ S. Доказать, что отображение f: d-> P (S) по закону:
VM € d f (Af) = {SM) € P (S) является инъективным, но не сюръ-
ективным.
304. Пусть прямая / содержит биссектрисы пары вертикальных
углов, образуемых прямыми /1э l2 (l± f| h = О). Доказать, что
отображение /: Ф = 1г U 12 ->- / по закону: V М ? Ф / (Af) =
= М'\М, М' ? d, d J_ / сюръективное, но не инъективное.
305. Привести примеры отображений: 1) сюръективных, но не
инъективных; 2) инъективных, но не сюръективных; 3) биективных.
306. Привести примеры преобразований окружности: 1) не
имеющих инвариантных точек; 2) имеющих две инвариантные
точки.
34

307. Доказать, что существует биективное отображение /
фигуры Ф = [АВ] \ {Л, В} на прямую (АВ).
308. На плоскости П дан открытый круг Ф = {М\ \ОМ\ < г}.
Доказать, что существует биективное отображение f: Ф -> П.
309. На плоскости П дана окружность у = (О, г) и
треугольник ABC. Доказать, что существует биективное отображение /
окружности у на ломаную
у' = [АВ) U [ВС] U IAC].
310. На плоскости П даны два отрезка [АВ] и [CD]. Доказать,
что существует биективное отображение / отрезка [А В] на
отрезок [CD].
311. На плоскости П даны полуокружность 7 и отрезок [АВ].
Доказать, что существует биективное отображение
полуокружности у на отрезок [АВ].
§ 2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
В задачах этого параграфа система координат —
прямоугольная декартова.
312. Написать формулы осевой симметрии плоскости по
координатам двух симметричных точек: А (1, —2), В (3, 4).
313. Написать формулы преобразования осевой симметрии,
если ось задана уравнением у = kx + Ь.
314. Доказать, что точки, симметричные точке М относительно
середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами
параллелограмма.
315. Ось симметрии / задана своим уравнением. Написать
уравнение прямой /п', симметричной прямой т относительно /, если:
1) /: х + у + 1 = 0, т: 2х — у — 2 = 0;
2) I: —х + у = 0, т: х — 2у + 1 = 0.
316. Написать формулы преобразования, представляющего
собой композицию трех осевых симметрии с осями х = 0, у = 0,
х — 2у = 0.
317. На сторонах параллелограмма ABCD вне его построены
правильные треугольники ABM, BCN, CDP, DAQ. Доказать, что
точки М, Ny P, Q являются вершинами параллелограмма.
318. Доказать, что две различные осевые симметрии
перестановочны тогда и только тогда, когда их оси взаимно
перпендикулярны.
319. Доказать, что композиция трех осевых симметрии тогда
и только тогда есть осевая симметрия, когда эти оси проходят через
одну точку или параллельны друг другу.
320. Доказать, что композиция трех осевых симметрии, оси
которых не проходят через одну точку и не параллельны друг
другу, имеет инвариантную прямую, но не имеет инвариантных
(неподвижных) точек.
35

321. Доказать, что если композиции осевых симметрии
удовлетворяют условию ао Ь = с о d, то их оси a, b, cy d принадлежат
одному пучку.
322. Доказать, что если композиции осевых симметрии
удовлетворяют условию а о Ъ о с¦ = с о Ъ о а, то их оси а, Ь и с
принадлежат одному пучку прямых.
323. Доказать, что композиция четного числа осевых
симметрии есть либо поворот, либо перенос.
324. Доказать, что композиция нечетного числа осевых
симметрии есть либо скользящая симметрия, либо осевая симметрия.
325. Даны три конгруэнтные окружности сог, оо2, со3, причем
«1 П Щ = {^12, S12}, Щ П ЮЗ = [А2* S23>, «зП Щ = {Asi, B3l|.
Доказать, что композиция симметрии с осями (Л12в12), (А23В23),
(А я Вы) есть осевая симметрия. Построить ось этой симметрии.
326. В ортонормированном репере R дана точка S (лг0, у0) и дан
угол 0 < а ^ —. Написать формулы поворота / плоскости вокруг
точки S на угол а.
327. Поворот вокруг точки М (2, 1) отображает точку А на
точку В. Вычислить координаты точки В, если 1) а = 45°, А (I, —2);
2) а = 120°, А (1, 1); 3) а = 90°, А (3, —1).
328. Вычислить координаты центра поворота, заданного
формулами:
329. Написать уравнение образа прямой / при повороте вокруг
точки М на угол ф:
1) М(0, 0), Ф = ^-, I: х + у-2 = 0;
2) М(-2, 1), <p=iL l:x-y+l=0;
О
3) М (0, —1), Ф = —, I: х + 2у = 0.
4
330. На прямой mlf заданной уравнением 2л: + У — 1=0,
дана точка Mi (2, —3), а на прямой пг2, заданной уравнением
Зх — у + 2 = 0, дана точка М2 (—1, —1). Написать формулы
преобразования поворота /, при котором / (Мг) — М2, / (гпх) = т2.
331. Даны точка М (5, 1) пересечения медиан равностороннего
треугольника ABC и уравнение прямой (ЛВ): 2х — у = 0.
Написать уравнения прямых (ЛС), {ВС).
332. Доказать, что композиция симметрии /1э /2 плоскости П
относительно двух точек Ох, 02 есть перенос плоскости.
333. Доказать, что композиция трех центральных симметрии
36

с центрами А, В, С есть центральная симметрия с центром D,
причем AB = DC.
334. Доказать, что композиция симметрии относительно точки
—*¦
О и переноса на вектор а есть симметрия плоскости относительно
такой точки О', что 00' = — а.
335. Доказать, что композиция f симметрии ft плоскости
относительно точек 0t (i = 1, 2, ..., п) при четном п есть перенос
плоскости II на вектор
а = 2 (ОА + ОА + ... + 0>Л-2 + ^-~А),
а при нечетном п — симметрия относительно точки О' такой, что
ф = 2 (ад +... + д^рп_2 + o~nZpn).
336. Доказать, что поворот / однозначно задается парой
соответствующих точек Л, В = / (А) и углом поворота.
337. Доказать, что при повороте величина угла между
направлением луча и направлением его образа равна углу поворота.
338. Доказать, что композиция двух поворотов с различными
центрами на угол а и на угол (5 есть поворот при а + Р ф 360°
и перенос при а + J3 = 360° (0° < а < 360°, 0° < |3 < 360°).
339. Доказать, что, для того чтобы композиция двух поворотов
была перестановочна, необходимо и достаточно, чтобы центры этих
поворотов совпали.
340. На плоскости дано нечетное число точек Ot (i = 1, 2, ..., п)
и точка М Ф Ot. Доказать, что точка М, полученная из точки М
при последовательном выполнении симметрии относительно точек
0?, а затем еще раз относительно тех же точек, совпадает с
точкой /И.
341. Точка М принадлежит плоскости треугольника ABC, a
точки А', В', С симметричны точке М относительно середин Л0,
В0, С0 сторон [ВС], [АС], [АВ] треугольника ABC. Доказать, что
существует центральная симметрия /, отображающая треугольник
ABC на треугольник А'В'С.
342. Через центр правильного треугольника проведены две
прямые, угол между которыми равен 60°. Доказать, что
пересечение этих прямых с данным треугольнитм представляет собой два
конгруэнтных отрезка.
343. Вершины правильного я-угольника Фх принадлежат
сторонам правильного /г-угольника Ф2. Доказать, что: 1) каждая
вершина Bt многоугольника Ф2 делит сторону [Л?Л/+11 Э Bl в одном
и том же отношении; 2) центры симметрии многоугольников Ф1э Ф2
совпадают.
344. В окружность вписан правильный (2п + 1)-угольник
ЛХЛ2 ... А2п+1. Доказать, что композиция симметрии с центрами
37

в вершинах Аи Аъ ..., А2пП есть симметрия с центром в точке
пересечения касательных к окружности в вершинах At и А2п+1.
345. Доказать, что множество центров всех поворотов,
отображающих точку А на точку В (А Ф В), есть прямая.
346. Доказать, что если композиция поворота вокруг точки А
на угол а и поворота вокруг точки В на угол р есть поворот вокруг
точки С, а композиция поворота вокруг точки В на угол (J и
поворота вокруг точки А на угол а есть поворот вокруг точки D (А Ф В),
то точки С и D симметричны относительно прямой {АВ).
347. Даны два поворота с различными центрами. Построить
неподвижную точку композиции этих двух поворотов.
348. Написать формулы скользящей симметрии, заданной осью
—>-
/ и вектором а:
1) /: х — 2 = 0, а (0, 3);
2) /: х + у — 3 = 0, я(— 1, 1);
3) /: у + 5 = 0, а (2, 0);
4) /: 2х — у + 1 = 0, в (2, 4).
349. Найти координаты образа точки А при скользящей
симметрии, заданной осью / и вектором а:
1) А (2, 1), /: х + 5 = 0, о*(0, 2);
2) А (0, -3), Л х + у + 3 = 0, а (-2, 2);
3) Л (0, 0), /: х — 2у + 1 = 0, а (6, 3).
350. Написать уравнение образа прямой т при скользящей
симметрии, заданной осью / и вектором а:
1) /: х + 2 = 0, а (0, 3), m: jc — Зу + 1 = 0;
2) /: х — у + 1 = 0, а (5,5), т: х + у = 0;
3) /: х + 2у = 0, а (—2, 1), т: л — 2у + 1 = 0.
351. Найти уравнение инвариантной прямой скользящей сим-
. . , 5 . 12 ... 12 5
метрии, заданной формулами :х = — х -\—у + 4, у' — —х у.
352. Написать формулы перемещения, представляющего собой
композицию трех осевых симметрии с осями я = 0, у = 0, х+у —
— 1 = 0.
353. Доказать, что композиция двух скользящих симметрии
с различными параллельными осями есть перенос.
354. Доказать, что композиция двух скользящих симметрии
с перпендикулярными осями есть центральная симметрия.
355. Доказать, что композиция двух скользящих симметрии
с пересекающимися осями есть поворот. Построить центр этого
поворота.
356. Доказать, что скользящую симметрию а можно
представить в виде следующих композиций:
38

1) а = а о А¦, где а — отражение от прямой а, А — отражение
от точки А у причем точка А не лежит на прямой а.
2) а = и о а, где и — отражение от прямой и, а — перенос,
->-
вектор которого а \\ и.
3) о = с о Ъ о а, где а, ft, с — отражение от прямых а, Ь, с,
не принадлежащих одному пучку.
357. Дан треугольник ABC. Доказать, что композиция двух
скользящих симметрии с осями (АВ) и (ВС) и соответственно
переносами на векторы А В и ВС есть поворот вокруг центра
окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Найти величину угла
этого поворота.
358. Доказать, что композиция отражений плоскости от трех
прямых, принадлежащих одному пучку, есть отражение от прямой
этого пучка.
359. Дан треугольник ABC. Точки Аъ Вг и Сг — основания его
высот. Доказать, что прямая (Л^) является осью скользящей
симметрии а = (СА) о (ВС) о (АВ), где (АВ) — отражение от
прямой (АВ), (ВС) — отражение от прямой (ВС), (СА)—отражение
от прямой (СА).
360. Точки Л, В лежат по одну сторону от прямой /. Доказать,
что на прямой / существует такая точка М, что прямые (АМ)>
(ВМ) образуют с прямой I конгруэнтные углы.
361. На плоскости П даны два отрезка [АВ], [А'В')
одинаковой длины. Доказать, что существует единственное перемещение f
первого (второго) рода такое, что / (А) = А\ f (В) = В'.
362. На плоскости П даны два отрезка [АВ], [А'В']
одинаковой длины, точка М и прямая т. При каком расположении данных
отрезков существует преобразование / |/ (А) = Ar, f (В) = В',
которое является:
1) переносом плоскости (найти его);
2) поворотом плоскости (найти центр и угол поворота);
3) осевой симметрией (найти ось);
4) скользящей симметрией (найти ось и вектор). Построить в
каждом случае точку М' = / (М) и прямую т = / (т).
363. Доказать, что если при перемещении окружность
переходит в себя, то центр окружности есть неподвижная точка этого
перемещения.
364. Даны два конгруэнтных отрезка [АВ] и W^J, лежащих
на различных параллельных прямых. Какими перемещениями
можно один из них перевести в другой? Рассмотреть все возможные
случаи.
365. Перечислить виды перемещений, которые отображают на
себя
1) пучок Р (О) прямых плоскости П с центром О;
2) пучок Р (I) прямых, параллельных /;
3) пучок окружностей плоскости П, проходящих через две
данные точки А, В (А Ф В).
39

366. В ортонормированном репере R преобразование /
плоскости П задано формулами:
i)x> = Lx+Vfy+L, y> = -Vfx+±y+Vf;
оч/ 3,4,8 ,4,3 4
2}X>==--X+Jy+-, y>=-x+-y--
Доказать, что / — перемещение, и определить его вид. Найти
инвариантные точки.
367. Даны два конгруэнтных отрезка [АВ] и [AXB^\. Составить
формулы перемещений, переводящих А в А1$ В в В1у если А (3,4),
В (0, 0), Лх (0, 0), В, (5, 0).
368. Даны координаты точек Л (]/3, 1), В (0, 2), А' (2, j/З — 2),
В' (0, ]/3 — 2). Написать формулы перемещения первого рода,
зная, что / (Л) = A', f (В) = В'.
369. Составить формулы перемещений первого и второго рода,
если известно, что образы точек (0, 1), (1,0) и (1, 1) принадлежат
соответственно прямым у = 0, х = 0, х + у — 1=0.
370. Доказать, что если имеется такая точка Л, что при
перемещении / выполняется / (Л) = Аъ f (А±) = Л, А Ф Аъ то для
любой точки X имеем / (X) = Xl9 f (Хг) = X.
371. На плоскости П даны два ортонормированных репера
R = (О, Аи Л2) и R' = (О', Л1, А'2). Определить вид перемещения
/1/ (R) = R' в каждом из следующих случаев:
1) Щ, = 6%^ ОА2 = OM'2;
2) ОАг = —О'А'и ОА2 = —(ГЛ^
3) реперы одинаково ориентированы, а = (ОЛ1э О'Л|)=?0;
4) реперы противоположно ориентированы, О = О';
5) реперы противоположно ориентированы, О ^= О', Аъ А[ <?
I {OOf) (или_Л2, А'2 i {ОО')):
a) d ± (ОО'); б) d не перпендикулярна (ОО'), где d — прямая,
проходящая через середины отрезков [ОО'] и [Л^j] (или 1Л2Лг]).
372. Плоскость поворачивается вокруг точки S (2, 3) на угол а,
3 4
такой, что cos а = —, sin а = . В какую прямую при этом
5 5
повороте перейдет прямая /: х + 2у — 3 = 0?
373. Даны координаты вершин треугольника ABC и А'В'С\
А (2, -3), В (5, 1), С (0, 1), А' (-3, 1), В' (1, 4), С (~, |
Доказать, что эти треугольники конгруэнтны. Найти формулы
движения, переводящего (Л, В, С) в (Л', В\ С), и определить вид этого
движения.
374. Написать формулы преобразования осевой симметрии,
если ось симметрии задана уравнением: Ах + By + С = 0.
40

375. Дан правильный треугольник ABC и точки Л0, В0, C0,
такие, что отношения (АВ, С0) = (ВС, А0) = (СЛ, В0) = Хф \.
Доказать, что:
1) треугольник A0BQC0 — правильный,
2) треугольник DEF, стороны которого лежат на прямых (АА0),
(ВВ0), (СС0)у правильный,
3) центры треугольников ABC, AQB0C0l DEF совпадают.
376. Доказать, что точки, симметричные точке М пересечения
высот треугольника относительно прямых, содержащих его
стороны, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.
§ 3. ПОДОБИЯ
377. На прямой / даны две пары точек А и В, Ах и Вг.
Построить центр гомотетии, которая точку А переводит в точку Аъ а
точку В — в точку Вг.
378. В репере R даны координаты точек А (2, 1), В (3, —2),
С (1, 0), Л7 (—1, —5), В' (—3, 1), С' (1, —3). Доказать, что
треугольники ABC и A'B'C гомотетичны, и написать формулы
гомотетии h\h (A ABC) = АА'В'С.
379. Найти необходимые и достаточные условия, при которых
данные отрезки [АВ] и [А'В'\ гомотетичны.
380. Доказать, что два неконгруэнтных треугольника ABC и
А1 В'С гомотетичны тогда и только тогда, когда их соответственные
стороны параллельны.
381. Доказать, что две замкнутые ломаные линии АгА2 ...
... Ап^1АпА1 и Л1Л2 ... Ап_\А'пА\ плоскости П гомотетичны тогда
и только тогда, когда существует
й ? #, k Ф 0| АУ11И = Ы~Лт (i = 1, 2, ..., п - 1), A^A[=kA^Av
382. Дана замкнутая ломаная линия А1А2А3А±А1 на
плоскости П. Пусть Mlf М2, М3, Л!4 — центры тяжести соответственно
треугольников А2АЪА±, А3А±Ац Л4Л!Л2, АгА2А3. Доказать, что
замкнутая ломаная М1М2М3М4М1 гомотетична данной и
коэффициент гомотетии k = .
3
383. Два квадрата имеют общий центр, а их стороны
соответственно параллельны. Какими гомотетиями можно один из
квадратов отобразить на другой?
384. Стороны одного четырехугольника параллельны сторонам
другого, а диагонали первого — диагоналям второго. Следует ли
отсюда, что четырехугольники гомотетичны?
385. Доказать, что если центр гомотетии О гомотетичных
треугольников ABC и А'В'С совпадает с центром тяжести одного
треугольника, то он является центром тяжести другого.
386. Доказать, что одна из двух неконгруэнтных окружностей
может быть переведена в другую двумя различными гомотетиями,
причем сумма коэффициентов этих гомотетий равна нулю.
41

387. Две окружности пересекаются в точках А и В. Доказать,
что если М и N — центры гомотетий этих окружностей, то MAN =*
*= MBN = 90°.
388. Доказать, что композиция гомотетии с центром А и
коэффициентом кг и гомотетии с центром В и коэффициентом к2 есть
1) гомотетия при кг • к2ф\\
2) перенос при А Ф В и к^к2 = 1;
3) тождественное преобразование при А = В и k±k2 = 1.
389. Доказать, что две гомотетии с различными центрами и
коэффициентами k± и к2 имеют единственную общую пару
соответствующих точек тогда и только тогда, когда kx Ф k2.
390. Доказать, что если композиция гомотетии с центром А
и гомотетии с центром В есть гомотетия с центром С, то точки Л,
В и С принадлежат одной прямой.
391. Даны три попарно неконгруэнтные окружности. Доказать,
что центры положительных гомотетий этих окружностей
принадлежат одной прямой.
392. Даны три гомотетии, коэффициенты которых различны,
а центры не совпадают. Доказать, что существует единственная
прямая, имеющая один и тот же образ в данных гомотетиях.
393. Дан треугольник ABC и точки Аъ Въ Съ Л2, В2, С2,
такие, что (ЛВ, СО = (ВС, Аг) = (СА, Вг) = fe, (A&, С2) =
= (BiCi, Л2) = (СгА1у В2) = —. Доказать, что треугольники ABC
k
и А2В2С2 гомотетичны. Найти центр и коэффициент гомотетии,
переводящей треугольник ABC в треугольник А2В2С2.
394. Дано преобразование подобия с коэффициентом ky при
котором Л ¦—*• Аг*-*¦ Л2, В »-*" Вг*~* В2. Найти зависимость между
длинами отрезков [ЛВ], МД1, [А2В2].
395. В плоскости П даны ортонормированный репер R =
= (О, Аъ А2) и такой репер #' = (О', А[, А'2), что вьшолняются
условия id^ii = k \0Аг\9 idMii = & iafa|, ом! • d^4i = o(fe>o).
Доказать, что отображение /: П -> П, переводащее точку Atf (х, у)
в репере /? в точку М! (х, у) в репере R', есть подобие с
коэффициентом к.
396. Доказать, что если в треугольниках ABC и А'В"С
выполняются равенства: \А'В'\ = к | ЛВ|, | Л'С'1 = й | ЛС|, ВАС =
= В'Л'С, то эти треугольники подобны.
397. Доказать, что если в треугольниках ABC и А'В'С
выполняются равенства: \А'В'\ = к \АВ\, \В'С'\ = к |ВС|, \А'С'\ =
= ft | ЛС|, то эти треугольники подобны.
398. Доказать, что если в треугольниках ABC и А'В'С
выполняются равенства: ABC = А'В'С, ВСА = В'С'Л', то такие
треугольники подобны.
42

399. В ортонормированием репере R даны координаты
вершин: Л (0,-3), В (4,0), С (1,-1), Л'(-6,-6), В'(0,-2),
J Og О \
С \ , треугольников ABC и А'В'С Доказать, что
треугольники ABC и А'В'С подобны. Найти формулы подобия.
400. Написать формулы преобразования подобия первого рода,
при котором А (1, 2) —¦- Аг (2, 0), В (—2, 3) — Вг (0, 0).
Вычислить координаты инвариантной точки и найти коэффициент подобия.
401. Написать формулы преобразования подобия второго рода,
при котором А (1, 0) — Аг (0,1), б(—2,1)>-* В^—1,1).Составить
уравнения инвариантных прямых подобия и вычислить координаты
неподвижной точки.
402. Доказать, что всякое подобие плоскости, отличное от
перемещения, является либо композицией гомотетии и поворота вокруг
центра гомотетии, либо композицией гомотетии и симметрии
относительно прямой, проходящей через центр гомотетии.
403. Задать два преобразования подобия, такие, чтобы их
композиция была гомотетией.
404. Доказать, что квадрат подобия второго рода есть гомотетия.
405. При каком условии композиция двух преобразований по*
добия есть перенос?
406. В каком случае третья (п-я) степень преобразования
подобия есть гомотетия?
407. При каком условии два подобия имеют бесконечное
множество общих пар соответствующих прямых?
408. Подобие / переводит три точки Л, В, С, не лежащие на
одной прямой, в точки Л', В\ С соответственно. Построить образ
точки М.
409. Построить инвариантные прямые подобия второго рода,
заданного двумя парами соответствующих точек.
410. Сколько существует подобий первого рода и сколько
подобий второго рода, при которых один из двух данных квадратов
переходит в другой?
411. Подобие первого рода задано двумя парами
соответствующих точек. Построить инвариантную точку.
412. Как нужно задать две пары точек {Аъ Л2) и (Въ В2),
чтобы инвариантные точки подобий первого и второго рода, при
которых Ах •-*¦ А 2, Вг*-+ В2, совпали?
413. В треугольнике ABC проведены две высоты [ААг] и [ВВг].
Найти инвариантные прямые подобия второго рода, при котором
А — Лх, В •—* Bv
414. Даны прямая а и точка А € а. Найти множество
инвариантных точек подобий, которые прямую а и точку А преобразуют в
заданную прямую ах и точку Аг.
415. Дано множество подобий с общим коэффициентом подобия
k и общей парой соответствующих точек А и А'. Найти множество
неподвижных точек этих преобразований.
43

416* Две окружности сог и со2 пересекаются в точках А к В.
Доказать, чт» подобием первого рода с инвариантной точкой А
первую окружность можно перевести во вторую. Убедиться в том,
что точка Мг € сах, ее образ М2 € со2 и точка В принадлежат одной
прямой.
417. Найти множество инвариантных точек подобий, которые
одну из двух данных окружностей переводят в другую.
418. Доказать, что четыре инвариантные точки подобий
первого рода, которые один из данных квадратов переводят в другой,
принадлежат одной окружности.
§ 4. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
419. Написать формулы косого сжатия в координатах в
произвольном аффинном репере.
420. Доказать, что косое сжатие однозначно определяется
двумя парами соответствующих пересекающихся прямых при
условии, что точки пересечения различны.
421. Представить сжатие к прямой в виде композиции двух
косых сжатий к этой же прямой.
422. Доказать, что косая симметрия есть эквиаффинное
преобразование.
423. Написать формулы преобразования косой симметрии с
осью х + 2у — 1=0 и направлением, определяемым вектором
p(i.-i).
424. Доказать, что преобразование сдвига является эквиаф-
финным.
425. В репере (О, i% /) написать формулы сдвига, если известны
его коэффициент k и уравнение оси у = 0.
426. Доказать, что композиция двух косых симметрии с
пересекающимися осями есть центроаффинное преобразование. В каком
случае оно будет центральной симметрией?
427. В каком случае композиция двух косых симметрии есть
параллельный перенос?
428. Доказать, что композиция двух преобразований сдвига
с параллельными осями или не имеет неподвижных точек или
имеет их бесконечное множество.
429. Какое преобразование представляет собой композиция
сдвига и переноса параллельно оси сдвига?
430. Перечислить все аффинные преобразования, переводящие
в себя данный треугольник.
431. Дан параллелограмм ABCD. Найти композицию четырех
сдвигов с осями {АВ), (ВС), (CD), (DA), если при этих сдвигах
соответственно С •-*' D, D *-» Л, А »-* В, Б •—** С.
432. Через центр параллелограмма провести две прямые,
рассекающие параллелограмм на четыре равновеликих
четырехугольника. Сколько решений имеет задача?
44

433. Привести аналитическую запись в аффинной системе
координат всех эквиаффинных преобразований.
434. Найти инвариантные пучки прямых эквиаффинного
преобразования
х' = 9* + 4у — 2
у' =2* + у+ 1.
435. Три прямые я, Ь, с пересекаются в точке М, а три другие
прямые аъ Ьъ сг — в точке Мг. Существует ли эквиаффинное
преобразование, при котором а>-*- а±, Ь •—*¦ 6lf с ¦—*• сх?
436. Выяснить, определяется ли эквиаффинное преобразование
заданием двух параллельных прямых а, Ь, их секущей с и образов
аъ &!, сг этих прямых.
437. Доказать, что композиция сдвига и косой симметрии есть
скользящая симметрия или косая симметрия.
438. Доказать, что всякое эквиаффинное преобразование есть
композиция не более трех косых симметрии.
439. Какие два четырехугольника аффинно эквивалентны?
440. Написать формулы аффинного преобразования, которое
точки Л (1, 2), В (3,—1), С(—1,1) переводит соответственно в
точки Л' (—1, 10), В' (6, 6), С (—4, 6).
441. Найти инвариантные точки аффинного преобразования,
переводящего точки Л (—1, 2), В (2, 1), С (1, —1) в точки А' (—3, 0),
В' (6, 2), С (10, -1).
442. Написать уравнения инвариантных прямых аффинного
-»¦ —>¦
преобразования, заданного в репере (О, еъ е2) формулами:
х' = 7х —у + 1
у = 4х + 2у + 4.
-> —>
443. В репере (О, е1э е2) написать формулы аффинного
преобразования, если известно, что прямые 1г: 2х — у + 3 = 0 и /2: х —
— у + 2 = 0 являются инвариантными прямыми этого
преобразования и точка М (—1, 0) переходит в точку М' (1, 2).
444. В репере (О, ех, е2) даны уравнения прямых 1г: х + у — 1 =
= 0, l[: х — у — 3 == 0, /2: х — 2у + 1 = 0, ?: 2* + у + 1 = 0
и точки Мг (0, 0), М[ (1, —1). Написать формулы аффинного
преобразования /, переводящего прямые /х, /2 в прямые l[, U и точку Мг —
в точку М[.
—>• —>
445. Пусть в репере (О, elf е2) даны уравнения прямых /: Ах +
+ By + С = 0, /': А'х + В'у + С = 0. Доказать, что если при
аффинном преобразовании / прямая / переходит в Г, то существует
такое число %у что для каждой точки М (х, у) 6 / и точки / (М) =
= AV (х'9 у') (: V выполняется равенство:
Л V + В'у' + С =Х(Ах + By + С).
448. Аффинное преобразование задано тремя парами
соответствующих точек: А —*- А19 В •-*- Bl9 С >-— Сг.
AS

1) для данной точки М построить соответствующую точку Мх;
2) для данной прямой т построить соответствующую прямую mv
447. Доказать, что любые два параллелограмма аффинно
эквивалентны.
448. Доказать, что для любой трапеции A BCD существует
аффинно эквивалентная ей равнобочная трапеция A'B'C'D'.
449. На сторонах произвольного неравностороннего
треугольника ABC даны точки Л0, В0, С0, такие, что отношения (А В, С0) =
= (ВС, Л0) = (СА, BQ) = k. Доказать, что точки пересечения
медиан треугольников ABC, A0B0C0 и треугольника,
образованного прямыми (ЛЛ0), (ВВ0)У (СС0), совпадают.
450. Точки Mlf ЛГХ делят стороны [АВ], [ВС] треугольника ABC
в отношении (АВ9 Мг) = (ВС, Nx) = Къ а точки М2, N2 делят эти
стороны в отношении (АВ, М2) = (ВС, N2) = Яа. Доказать, что
точка Р пересечения прямых (М^), (MaiV2) делит отрезки Ш^],
[M2N2] в отношении (МгП1% Р) = Я2, (М^2, Р) = Kv
451. Доказать, что при любом аффинном преобразовании /,
заданном в ортонормированном репере формулами:
х — спх + с12у 4~ -^о где д =
У' = С21* + С22У + >V
^11^12
^21^22
^0,
выполняется равенство: S' = |Д| • S, где S — площадь
треугольника ABC, aS' — площадь соответствующего ему при
преобразовании / треугольника А'В'С'.
452. Доказать, что при аффинном преобразовании отношение
площадей двух треугольников (многоугольников) равно отношению
площадей соответствующих им треугольников (многоугольников).
453- Площадь параллелограмма ABCD равна Q. Даны точки Лх,
В1У ClrD±, такие, что отношения (АВ, Ог) = (ВС, Л^ = (CD, Вг} =
= (DA, Сх) = А*. Вычислить площадь S0 четырехугольника Л 050C0D0,
образующегося при пересечении прямых (АА±), (ВВг), (CCj),
(DDX). Рассмотреть случай X = 1.
454. В ортокормированном репере R = (О, Аъ А2) даны
уравнения прямых lt : Atx + Bty + Ct = 0 (i = 1, 2, 3), содержащих
стороны треугольника ABC, Найти его площадь S.
455. Точки Л0, BQt С0. делят стороны треугольника ABC в
отношениях: Кх = (Л С, В0), Я, = (ВЛ, С0), Я3 = (СЯ, Л о), (^ • К X
X А,3 ф —1, Хг - к2 - К3Ф I). Найти отношение площади S'
треугольника А'В'С1, определяемого прямыми (АА0), (ВВ0), (СС0),
к площади S треугольника ABC.
456. Дан треугольник ABC и точки Л0, 50, такие, чтооткоше-
I АС \
ния (АА0, С) = (ВВ0у С) = ¦ -. Доказать, что сумма площадей
I ВС |
параллелограммов AQCBM и B0CAN равна площади
параллелограмма ABPQ, где РВ = CLy L — вершина параллелограмма
A0CB0L.
46

457. Доказать, что при любом аффинном преобразовании /
плоскости П, отличном от подобия, через каждую точку плоскости
проходит единственная пара перпендикулярных прямых,
переходящих при преобразовании f в перпендикулярные прямые.
458. Доказать, что всякое аффинное преобразование /
плоскости П, отличное от перемещения, можно представить как
композицию перемещения и двух сжатий к взаимно перпендикулярным
прямым.
459. Доказать, что каждое аффинное преобразование плоскости,
отличное от подобия, является композицией подобия и косого
сжатия или сдвига плоскости.
460. На плоскости П даны две пересекающиеся б точке L
прямые /1? ?2. Доказать, что композиция f косого сжатия ^параллельно
12 с осью 1г и коэффициентом к и косого сжатия параллельно 1±
с осью 12 и тем же коэффициентом X является гомотетией с центром L
и коэффициентом Я.
461. На данной прямой найти пару точек, соответствующих в
данном аффинном преобразовании плоскости.
462. Через данную точку провести две соответствующие в
данном аффинном преобразовании прямые. Выполнить построения
в частных случаях, когда преобразование есть перемещение,
подобие.
463. Доказать, что при аффинном преобразовании центр
тяжести треугольника переходит в центр тяжести соответствующего
треугольника.
464. Доказать, что если аффинное преобразование переводит
один пучок параллельных прямых в другой, то соответствующие
прямые этих пучков пересекаются в точках, принадлежащих одной
прямой.
465. Найти прямую, которая в данном аффинном
преобразовании переходит в прямую, ей параллельную (если такая прямая
существует).
466. Аффинное преобразование задано тремя парами
соответствующих точек: А *-*• Аг, ?*—> Въ С1-^ Сг, причем точки Л, Аъ В,
Вг принадлежат одной прямой. Найти неподвижную точку этого
преобразования (если она существует).
467. Доказать, что аффинное преобразование можно задать
следующими парами соответствующих элементов: (а, аг)9 (6, &х),
(М, Мг) при условии, что прямая а пересекает прямую Ь, а
прямая аг пересекает прямую Ъх и М Ф a fl 6, Мг Ф аг fl bv
468. Определяется ли аффинное преобразование двумя своими
инвариантными прямыми и 1) парой соответствующих точек общего
положения; 2) парой соответствующих прямых общего положения?
469. Доказать, что если при аффинном преобразовании D *—*- Л,
А >-* В, В*-* С, С*-*- D и ABCD — параллелограмм, то для любой
точки D1 имеем: D1—** А1У А1—*- Въ BL>—> Съ Сг^^ D1hA1B1C1D1 —
параллелограмм (если он существует). Построить инвариантную
точку этого преобразования.
47

470. Доказать, что два аффинных преобразования имеют в
общем случае только одну общую пару соответствующих точек.
Построить эту пару точек.
471. Сколько общих пар соответствующих прямых могут иметь
в общехМ случае два аффинных преобразования?
472. Доказать, что если два аффинных преобразования имеют
две общие пары соответствующих точек, то таких пар бесконечное
множество.
473. Доказать, что множество неподвижных точек всех
аффинных преобразований, переводящих пару параллельных прямых а,
Ь в другую пару параллельных прямых аъ Ьх (tf##i)> есть прямая.
474. При аффинном преобразовании А •—•¦ Аг*-*- А2, В^-^Вх*-—
•~* В2, С *-*¦ Сг »-** С2. Найти зависимость между площадями
треугольников А ВС у AxB-lC-l, АъВгСг.
475. В репере R написать формулы аффинного преобразования /
плоскости П, имеющего единственную неподвижную точку
М0 (х0У у0) и единственную неподвижную прямую /: Ах + By +
+ С = 0, где М0 i I.
476. Доказать, что если при аффинном преобразовании А •—*• В,
В*-*» С, C*-^D, Z)*—»• ?, Е*-^А, то каждая диагональ
пятиугольника ABCDE параллельна одной из сторон пятиугольника.
Построить неподвижную точку этого преобразования.
§ б. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
477. Перечислить все группы перемещений второго порядка.
(Порядком конечной группы называют число ее элементов.)
478. Найти порядок группы симметрии (самосовмещений) двух
перпендикулярных прямых.
479. Назвать две неизоморфные группы перемещений
четвертого, шестого порядка.
480. Доказать, что все переносы на векторы, коллинеарные
вектору а(аф 0), образуют группу.
481. Доказать, что все перемещения с общей неподвижной
точкой образуют группу. Является ли она абелевой?
482. Доказать, что все повороты с общей неподвижной точкой
образуют группу. Назвать несколько ее подгрупп.
483. Доказать, что осевая симметрия т, все скользящие
симметрии с общей осью т и все переносы, направления которых
параллельны оси /п, образуют группу.
484. Доказать, что все переносы и все центральные симметрии
образуют группу. Является ли эта группа абелевой?
485. Доказать, что все переносы на векторы, коллинеарные
вектору а {аф 0), и все симметрии относительно осей,
перпендикулярных а, образуют группу.
486. Доказать, что все скользящие симметрии с общей осью /я,
все симметрии, оси которых перпендикулярны т, все центральные
48

симметрии, центры которых принадлежат т, все переносы,
направления которых параллельны /п, образуют группу.
487. Представить группу переносов в виде прямого
произведения двух ее подгрупп.
488. Доказать, что все гомотетии с общим центром образуют
группу. Является ли она абелевой?
489. Доказать, что все гомотетии и все переносы образуют
группу.
490. Дана группа G всех подобий первого рода плоскости и
группа Я всех подобий первого рода с одной и той же инвариантной
точкой. Каждому элементу g ? G ставится в соответствие элемент
h € Я, такой, что сохраняется коэффициент подобия и угол
поворота. Доказать, что полученное отображение есть гомоморфизм.
491. Пусть G — группа перемещений первого рода, а Я —
подгруппа всех поворотов с неподвижной точкой О. Каждому
перемещению g 6 G отнесен такой поворот h € Я, что у этих
преобразований углы поворота равны. Доказать, что такое отображение есть
гомоморфизм группы G в Я.
492. Представить группу преобразований подобия плоскости
с общей (инвариантной) точкой в виде прямого произведения двух
ее подгрупп.
493. Доказать, что все повороты вокруг данного центра и все
симметрии, оси которых проходят через этот центр, образуют
группу.
494. Доказать, что группа гомотетий с общим центром
изоморфна группе действительных чисел без нуля по умножению.
495. Доказать, что группа переносов плоскости изоморфна
группе комплексных чисел по сложению.
496. Привести примеры 1) конечных; 2) коммутативных
подгрупп группы эквиаффинных преобразований.
497. Доказать, что центральные симметрии образуют смежный
класс группы перемещений по подгруппе переносов.
498. Доказать, что все сдвиги плоскости с параллельными
осями и все переносы, направления которых параллельны осям,
образуют группу.
499. Доказать, что группа аффинных преобразований есть
прямое произведение двух ее подгрупп: подгруппы центроаффинных
преобразований и подгруппы переносов.
500. Доказать, что группа центроаффинных преобразований
есть прямое произведение двух ее подгрупп: подгруппы
центроаффинных преобразований и подгруппы гомотетий.
501. Доказать, что множество всех сжатий и сдвигов с общей
осью образует группу.
502. Доказать, что множество всех косых симметрии и сдвигов
с общей осью образует группу.
503. Доказать, что множество всех сжатий с общим
направлением и переносов с тем же направлением есть группа.
49

§ 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
504. Доказать, что симметрия с осью а и симметрия с центром А
перестановочны тогда и только тогда, когда А ? я.
505. Противоположные вершины параллелограмма A'B'C'D'
принадлежат прямым, содержащим противоположные стороны
параллелограмма A BCD. Доказать, что центры симметрии обоих
параллелограммов совпадают.
506. На сторонах параллелограмма A BCD вне его построены
правильные треугольники ABM, BCN, CDP, DAQ. Доказать, что
отрезки IMP] и WQ] имеют общую середину.
507. Доказать, что в шестиугольнике, противоположные
стороны которого конгруэнтны и параллельны, три диагонали,
соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
508. Точка В лежит между точками А и С Отрезки [АВ1, [ВС]
являются сторонами равносторонних треугольников ABM, BCNy
вершины М и N которых лежат по одну сторону от (АВ), а точки Е
и F — серединами отрезков [AN\ и [МС]. Доказать, что
треугольник BEF правильный.
509. Три конгруэнтные окружности имеют только одну общую
точку. Доказать, что окружность, проходящая через вторые точки
пересечения данных окружностей, конгруэнтна данным.
510. На сторонах параллелограмма A BCD в его внешней
области построены квадраты. Доказать, что их центры являются
вершинами квадрата.
511. Доказать, что сумма расстояний от любой точки М
основания [АВ] равнобедренного треугольника ABC до прямых (АС),
(СВ), содержащих его боковые стороны, есть величина постоянная.
512. Дан треугольник ABC, \AC\ > \АВ\. На стороне [АС]
построена точка D, такая, что \CD\ = \АВ\. Через середины М и
К отрезков [AD] и [ВС] проведена прямая. Доказать, что СМК =
= -CAB.
2
513. В треугольник ABC вписана окружность с центром М.
Прямая (AM) пересекает в точке D прямую, проходящую через
точки касания окружности со сторонами [АВ] и [ВС]. Доказать, что
(CD) JL (AD).
514. Дан поворот плоскости П вокруг точки М на угол а и
точка S. Найти множество точек X, таких, чтобы три точки X, Х1
и S принадлежали одной прямой, где Хг — образ точки X при
данном повороте.
515. Через середины А$, ?0, Со сторон треугольника ABC
проведены прямые а0, Ь0, с0, параллельные биссектрисам внутренних
противолежащих углов. Доказать, что:
1) прямые #0, bQ, c0 проходят через одну точку S;
2) точка 5, точка М пересечения медиан треугольника и центр N
Еппсанной окружности лежат на одной прямой и (SN, М) = 1 ; 2.
516. Пусть М3, М& Л45 — точки пересечения медиан соответ-
50

ственно в треугольниках А±АгАъ, AtA2A4, АХА2АЪ. Доказать, что
точки А з, А 4, А5 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
Л13, М4» Ms лежат на одной прямой и (ASA±, Л5) = (М3М±, Мъ).
517. Доказать, что для произвольного треугольника ABC
середины его сторон, основания высот и середины отрезков,
соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной
окружности (окружности 9 точек — окружности Эйлера), центр
которой является серединой отрезка с концами в ортоцентре Н
и центре О описанной около треугольника окружности, если
ОфН.
518. Две вершины треугольника неподвижны, а третья
перемещается по некоторой линии у. Доказать, что центр тяжести этого
треугольника описывает при этом линию, подобную данной линии у.
519. Дана окружность у и точка А 6 у. Какой является
фигура Ф, состоящая из середин хорд окружности у, имеющих общий
конец Л?
520. Доказать, что подобие второго рода, отличное от движения,
имеет одну инвариантную точку и две взаимно перпендикулярные
инвариантные прямые, проходящие через эту точку.
521. Дана окружность у с центром в точке О радиуса г и точка Л
(А ф О, А # у). Пусть Ы — точка окружности у. Найти фигу*
ру Ф, состоящую из точек пересечения прямой (AN) с биссектрисой
угла AON, если N описывает окружность у.
522. При повороте плоскости квадрата ABCD вокруг его
центра О на угол а (а Ф 180°) получаем квадрат АгВгС^г„ Доказать,
что точки Р = (АВ) П (ЛА), Q = (ВС) П (^Q, Я = (CD) (]
0 (СЛ), S = (DA) П (DiAJ являются вершинами квадрата
PQRS. Вычислить отношение \PQ\ : [АВ\.
523. Даны два подобных параллелограмма ABCD и A^B^CJD^
\АВ\ = т, \AD\ = /г, \А1В1\ = /щ, \А^\ = пх,
\АС\ = р: \BD\=q, 1^1= plf \B1D1\=ql.
Доказать, что т • т± + п • п± = — (р • pt + q • q±).
524. Доказать, что для произвольного треугольника ABC
точки Нх% #2, #з, симметричные ортоцентру относительно прямых,
содержащих стороны треугольника, лежат на окружности,
описанной около треугольника ABC.
525. В прямоугольном треугольнике ABC (С = 90°) проведена
высота [CD]. Доказать, что медиана [AAJ треугольника ADC
перпендикулярна медиане [ССг] треугольника CDB.
526. Точка М — середина основания [АВ] равнобедренного
треугольника ABC. Доказать, что если N — середина
перпендикуляра [МР\ проведенного из точки М на сторону [ВС], то [CN] L
1 [API.
527. Две окружности со и ^ пересекаются в точках А и В. Через
точку X ? о проведены прямые (АХ) и (ВХ), пересекающие окруж-
51

ность щ в течках Хг и Х2. Доказать, что длина хорды [XiX*] не
зазисит аг выбора точки X.
528. В окружность с центром О вписан четырехугольник ABCD.
Поворот плоскости (ABC) вокруг точки О на угол а(аф 180°)
этот четырехугольник переводит в четырехугольник Л^СхО,.
Доказать, что точки Р = (АВ) (] (Л^), Q = (ВС) f] (BiCL)]
R = (CD) П (CxDJ, S = (ОЛ) П C^iA) являются вершинами
параллелограмма.
529. Даны четыре прямые, пересекающиеся попарно в шести
точках. Доказать, что окружности, описанные вокруг четырех
треугольников, стороны которых лежат на данных прямых,
пересекаются в одной точке.
530. Даны точка О и функция <р (р), принимающая
положительные значения на промежутке [0, + оо[. Обобщенной гомотетией с
центром О и коэффициентом ф (р) называется преобразование f
плоскости по закону:
f (М) = М'\Ш' = ф (Р)ОМ, где р = \ОМ\.
При этом преобразовании переходит в себя каждый луч с началом
в точке О, а также и семейство концентрических окружностей с
общим центром О (как и при обычной гомотетии, когда ф (р) = к =
= const). Найти образ прямой d $ О в обобщенной гомотетии с
центром О и коэффициентом ф (р) = р.
531. Найти образ оси абсцисс при сжатии плоскости к линии
у = 2х в направлении оси ординат с коэффициентом сжатия ц
(см. задачу 595).
532. Стороны [ВС], [СА], [АВ] треугольника ABC разделены
точками А19 В1У Сг в равных отношениях: (ВС, Аг) = (СА, Вг) =
= (А В у d) = k. Доказать, что композиция переносов на векторы
AAt, ВВг и ССХ есть тождественное преобразование.
533. У шестиугольника противоположные стороны попарно
параллельны. Доказать, что прямые, проходящие через середины
противоположных сторон, принадлежат одному пучку.
534. Точки Аи Вг, d делят стороны [ВС], [СА\, [АВ]
треугольника ABC в равных отношениях. Доказать, что центры тяжести
треугольников ABC и А^^Сх совпадаюг. Сформулировать и
доказать истинность обратного предложения.
535. Можно ли аффинным преобразованием перевести
произвольный четырехугольник в четырехугольник, у которого диагонали
перпендикулярны и конгруэнтны?
536. Дан параллелограмм A BCD. Прямые р и <?, параллельные
сторонам параллелограмма, пересекают их в точках:
M=pfl IBC], K = P [\[DA\ L = q(\lAB], N = qUlDd
Доказать, что прямые (LM), (KN), (АС) принадлежат одному
пучку.
52

537. Четыре диагонали пятиугольника соответственно
параллельны четырем его сторонам. Доказать, что пятая диагональ
параллельна пятой стороне.
538. В пятиугольнике ABCDE прямые, проходящие через
вершины Л, б, С, D и середины А19 Вг, Cly Dt противоположных им
сторон, пересекаклся в точке S. Доказать, что прямая (ЕЕг) (Ех —
середина [ВС]) также проходит через точку S.
539. Доказать, что если фигура Ф имеет два различных центра
симметрии, то она имеет бесконечное множество центров
симметрии.
540. Пусть две прямые йъ d2 являются осями симметрии
фигуры Ф и dx П d2 = О. Доказать, что:
1) прямая d3 = d2 (d^ — ось симметрии фигуры Ф;
2) если (dl9 d2) = — (п > 1), то фигура Ф имеет п осей сим-
п
метрии;
3) если Ф имеет только две оси симметрии dlf d2, то dx 1_ d2
и О — центр симметрии фигуры Ф.
Глава IV.
ЛИНИИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. ЭЛЛИПС
541. Написать каноническое уравнение эллипса, если его
большая ось равна 2а, а фокусы отстоят от вершин на — ее длины.
5
542. Доказать, что если для точки М (х0, у0)
а2 + б2 ^ lf
х2
то любая поямая, проходящая чеоез М, пересекает эллипс Ь
а2
V2
+ - - 1 в двух точках. Верно и обратное.
543. На прямой Z, уравнение которой в репере (О, /, /) х + 5у +
+ 4 = 0, найти точку, сумма расстояний которой до точек А (—3, 0)
и В (5, 0) равна 10.
-> ->¦
544. В репере (О, /, /) заданы прямая d: \х + Зу + 6 = 0 и
точка F (—1, 3), которые являются директрисой и
соответствующим фокусом эллипса. Написать уравнение второй директрисы и
найти координаты соответствующего ей фокуса, если большая
полуось эллипса а = 6.
545. Точки А (2, 2) и С (4, 6) (в репере (О, lt /)) являются про-
53

тивоположными вершинами эллипса. Определить координаты двух
других вершин В и D и фокусов эллипса, если ось | BD\ = 4 ]/*5.
546. Найти фигуру Ф, состоящую из всех точек плоскости П,
делящих в данном отношении X (К2 ф 1) параллельные хорды
окружности у.
547. В репере (О, f, /) дано уравнение эллипса у:
а2 б2
Найти уравнение окружности, касающейся эллипса 7 в двух
точках, симметричных относительно фокальной оси эллипса, если
абсцисса этих точек равна х0 Ф ±а.
548. Найти фигуру, состоящую из середин всех хорд эллипса 7,
принадлежащих прямым, проходящим через данную точку М0.
549. В репере (О, /, /) даны уравнение эллипса
и точка А (—2, 1). Написать уравнение прямой, содержащей хорду
эллипса, проходящую через точку А и делящуюся этой точкой
пополам.
550. Доказать, что в каждом эллипсе сумма квадратов длин
его хорд, принадлежащих сопряженным диаметрам, есть величина
постоянная.
551. Вычислить площадь парагалелограмма, диагоналями
которого служат хорды эллипса, принадлежащие сопряженным
диаметрам.
552. Найти произведение расстояний от фокуса эллипса до
двух его параллельных касательных.
553. Доказать, что:
1) точка, симметричная фокусу эллипса относительно его
касательной, лежит на прямой, проходящей через точку касания и
второй фокус, и отстоит от него на расстоянии большой оси;
2) основания перпендикуляров, проведенных через фокусы
эллипса к его касательной, находятся на расстоянии большой
полуоси от центра эллипса.
Пользуясь свойством 1), указать способ построения
касательной к эллипсу, проходящей через данную внешнюю точку.
554. Найти фигуру Ф, состоящую из ортогональных проекций
фокуса эллипса на всевозможные его касательные.
555. Найти фигуру Ф, состоящую из точек, симметричных
фокусу эллипса относительно всех его касательных.
556. Написать уравнения прямых, содержащих стороны квад-
-*• —*¦
рата, описанного около эллипса, определенного в репере (О, i, j)
уравнением:
а2 б2
54

557. Найти сумму длин двух хорд эллипса с полуосями а, Ь,
проходящих через фокус и параллельных двум его сопряженным
диаметрам.
558. Касательные к эллипсу у в точках Мо, Мо пересекаются в
точке Т. Доказать, что отрезки [TMQ], [TM'q] видны из фокусов
эллипса под одним и тем же углом.
559. Найти фигуру, состоящую из середин хорд эллипса —Ь
а2
у2
+ — =1, концами которых служат концы сопряженных диаметров.
560. Пусть А, В, С — три различные точки эллипса у, причем
точки В и С принадлежат одному диаметру. Доказать, что
направления прямых (АВ) и (АС) сопряжены относительно эллипса у.
56U Стороны треугольников ABC и А'В'С пересекаются так,
что каждая сторона треугольника ABC точками пересечения
делится на три равные части. Доказать, что все вершины данных
треугольников принадлежат одному эллипсу и все точки пересечения
сторон треугольников принадлежат одному эллипсу.
562. Точка А принадлежит эллипсу у. Доказать, что на
эллипсе у существуют точки В, С, такие, что Точка пересечения медиан
треугольника ABC совпадает с центром эллипса у.
563. Доказать, что площади параллелограммов, построенных
на парах сопряженных полудиаметров эллипса, равны между собой
и равны площади прямоугольника, построенного на полуосях
эллипса.
564. Пусть О — центр эллипса у, вписанного в четырехуголь-
цик ABCD. Доказать, что
565. На сторонах треугольника ABC даны точки At, А2 € [ВС],
Въ В2 € 1АС], Съ С> € [АВ], такие, что (ВА2, А,) = (СА1у Л2) =
= (СВ2, Вг) = (АВи В2) = (АС2, Ci) = (BClt C2). Доказать, что
точки Ах, Л2, В1у В2, Си С2 принадлежат одному эллипсу, центр
которого совпадает с точкой пересечения медиан треугольника А ВС.
566. Найти фигуру Ф, состоящую из точек Н пересечения
касательных к эллипсу у, проведенных в точках пересечения эллипса
с сопряженными диаметрами.
567. Доказать, что
1) прямая /, проходящая через точку М0 эллипса у, является
касательной к эллипсу у тогда и только тогда, когда ее направление
сопряжено с направлением диаметра, проходящего через точку
касания;
2) две касательные к эллипсу у параллельны тогда и только
тогда, когда прямая, проходящая через их точки касания, является
диаметром эллипса у\
55

3) диагонали параллелограмма, стороны которого касаются
эллипса, принадлежат сопряженным диаметрам.
568. В ортонормированном репере эллипс задан уравнением:
2
36 4
Найти направления двух сопряженных диаметров, образующих
между собой угол —.
569. В ортонормированном репере эллипс задан каноническим
уравнением. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами,
из которых один имеет угловой коэффициент k.
570. Доказать, что направления смежных сторон
параллелограмма, вписанного в эллипс, сопряжены.
571. Эллипс у задан каноническим уравнением и М0 (х0> у0) ?
6 у. Доказать, что диаметр, сопряженный диаметру, проходящему
через точку MQi проходит через такую точку Мх (xlf уг) € Y> что
3---± 2». У1 — -+- *°
а Ь * Ь а '
572. Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между
его фокусами есть среднее арифметическое длин осей.
573. Написать уравнение множества эллипсов, имеющих одни
и те же фокусы Fl9 F2.
574. Определить положение точек Мх (1, 2), М2 (6, 1),
Л13 il/X 5l/^.| относительно эллипса — + — = 1.
575. Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в
эллипс, параллельны его осям.
х2 у2
576. Написать уравнения касательных к эллипсу h — =
= 1, параллельных прямой х + у — 1 = 0.
577. Доказать, что эллипс наибольшей площади, вписанный в
треугольник, касается его сторон в их серединах.
х2 у2
578. Доказать, что касательные к эллипсу — + — = 1 от-
а2 Ь*
секают на двух касательных, проведенных в вершинах А и В
эллипса, принадлежащих большой оси, отрезки [AM] и [BN],
произведение длин которых равно Ь2.
579. Плоская фигура Ф перемещается в своей плоскости так,
что две ее точки Л, В движутся по двум пересекающимся прямым
/ и т. Доказать, что точки фигуры Ф, отличные от А и В, описывают
эллипсы.
56

§ 2. ГИПЕРБОЛА
-> —*
580. В репере (О, t, /) задано уравнение гиперболы:
х? у^ _ ,
16 9 ~~
Найти координаты точек пересечения ее асимптот с директрисами.
581. В репере R = (О, i, /) заданы канонические уравнения
эллипса— + — = 1 и гиперболы — = 1. Выберем две новые
а2 б2 ^ а2 ь2 г
системы координат: #' = (Л, i, /) и /?" = (В, it /), где Л (—я, 0)
и В (а, 0). Найти уравнение эллипса в системе координат R' и
уравнение гиперболы в системе R".
582. Дан отрезок [АВ], длина которого 2а. Найти фигуру F =
= (М||ШВ- АШЦ = у).
583. Доказать, что эллипс и гипербола» имеющие общие
фокусы, пересекаются под прямым углом.
584. В репере (О, i9 j) найти координаты_фокусов гиперболы,
если расстояние между фокусами равно 21/40, уравнения
асимптот в этом репере имеют вид: л: + 2у + 4 = 0 и 2х — у + 2 = 0
и одна из ветвей гиперболы расположена в том из углов,
образованных асимптотами, где находится начало координат.
585. Выяснить, подобны ли гиперболы, уравнения которых в
репере (О, /, /) имеют вид:
1) 9%2 —25у2 —18*—100у — 316=0 и *-—?- = 1;
1 у У 50 18
2) ^_^1 = 1 и x2 — 4y2 + Qx + 5 = 0.
' 8 3 J -г »
586. Найти угол между сопряженными диаметрами гиперболы,
один из которых имеет угловой коэффициент k.
—> —*¦
587. В репере (О, f, /) написать уравнение прямой,
проходящей через фокус F (а "^2, 0) гиперболы х2 — у2 = а2 и образующей
при пересечении с ней хорду, делящуюся точкой F в отношении
Я = 2.
588. Вычислить площадь параллелограмма, образованного
асимптотами гиперболы и прямыми, проходящими через точку М
гиперболы параллельно ее асимптотам, если полуоси гиперболы
равны а и 6.
589. Доказать, что асимптоты равносторонней гиперболы
делят пополам углы, образуемые сопряженными диаметрами.
590. Точка М0 гиперболы лежит с ее фокусом F по одну сторону
57

от мнимой оси. Через М0 проведена прямая, параллельная
асимптоте и пересекающая директрису d, соответствующую фокусу F,
в точке D. Доказать равенство: IFMol = \DM0\.
591. Доказать, что произведение расстояний от центра
гиперболы до точек пересечения любой касательной гиперболы с ее
асимптотами равно квадрату половины расстояния между ее
фокусами.
592. Доказать, что точка касания прямой линии с гиперболой
является серединой отрезка, концами которого служат точки
пересечения этой прямой с асимптотами гиперболы.
593. Доказать, что площадь треугольника, образованного
касательной к гиперболе и ее асимптотами, равна произведению
полуосей гиперболы.
594. Доказать, что
1) точка, симметричная фокусу гиперболы относительно ее
касательной, лежит на прямой, проходящей через точку касания
и второй фокус гиперболы, и отстоит от него на расстоянии, равном
вещественной оси,
2) основания перпендикуляров, проведенных через фокусы
гиперболы к ее касательной, находятся на расстоянии
вещественной полуоси от центра гиперболы.
595. Пусть каждая прямая пучка Р параллельных прямых
пересекает линию у в одной точке. Сжатием плоскости к линии у в
направлении Р называется преобразование / плоскости,
удовлетворяющее следующим условиям: 1) / (М) = М, VM ? у, 2) если М ? у,
то / (М) = М' — такая точка, что а) (ММ') ? Р, б) точка
А = (MMf) П У делит отрезок ММ' в одном и том отношении \i
(коэффициент сжатия).
X2 V2
Дана гипербола — = 1. Найти образ оси ординат в сжа-
а2 ь2
тии плоскости к правой ветви гиперболы в направлении оси абсцисс
с коэффициентом сжатия |х = .
598. Доказать, что ортоцентр треугольника, вписанного в
равностороннюю гиперболу, принадлежит той же гиперболе.
597. Найти угловой коэффициент касательной к гиперболе
*2 у2 , / ч
— — L = 1 в точке (*0, у0).
G2 О
X2 V2
598. Дана гипербола — = 1. Найти точки касания ка-
г а2 ь2
сательных, параллельных биссектрисам координатных углов.
599. При каком условии асимптоты гиперболы ^ — -^ = 1
взаимно перпендикулярны?
600. Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы
х2 — у2 = а2, если ее асимптоты принять за оси координат?
601. Написать каноническое уравнение гиперболы, если вели-
58

чина угла между асимптотами равна 60°, а расстояние между
фокусами 4 1/3.
602. Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы
х2 , у2 л 5
с эллипсом Ь — = 1» если ее эксцентриситет е = —,
603. Доказать, что директриса гиперболы проходит через
ортогональную проекцию соответствующего фокуса на асимптоту.
604. Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой
расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между
директрисами.
X2 V2
605. На гиперболе — = 1 найти точку, фокальные
радиусы которой взаимно перпендикулярны.
606. Найти длину стороны квадрата, вписанного в гипербо-
X2 V2
лу — = 1. В какие гиперболы возможно вписать квадрат?
а2 Ь2
У2
607. Написать уравнение касательных к гиперболе лг — ^- =
= 1, проходящих через точку М (1, 4).
X2
608. Написать уравнение той касательной к гиперболе
У2
— — = 1, которая перпендикулярна к прямой 2х + 5у + 11 =
36
= 0.
609. Найти произведение расстояний от фокусов гиперболы
х2 у2 л
JL = 1 д0 касательной.
а2 ъ2
610. Написать каноническое уравнение гиперболы, если дано
ее уравнение в полярных координатах:
Р =
4 — 5 cos ф
611. Зная каноническое уравнение гиперболы в ортонорми-
рованном репере, написать ее уравнение в полярных
координатах.
612. Найти фигуру, образованную ортогональными проекция-
ми какого-либо фокуса гиперболы на касательные к этой
гиперболе.
613. Найти фигуру, образованную точками, симметричными
с каким-либо фокусом гиперболы относительно касательных к
этой гиперболе.
614. Найти фигуру, образованную центрами окружностей,
касающихся данной окружности и проходящих через данную точку
вне этой окружности.
615. Найти фигуру, для каждой из точек которой произведение
расстояний до двух пересекающихся прямых равно данному
положительному числу.
59

616. Найти фигуру, образованную центрами окружностей,
касающихся двух данных неконгруэнтных окружностей, одна из
которых лежит вне другой.
617. Доказать, что точки пересечения касательной к гиперболе
с ее асимптотами и фокусы этой гиперболы лежат на одной
окружности.
618. Доказать, что касательная к гиперболе параллельна тому
диаметру, который сопряжен с диаметром, проходящим через
точку касания.
х2 у2
619. Доказать, что сопряженные гиперболы — =±1
кососимметричны одна другой относительно одной из асимптот
по направлению другой.
620. Написать уравнение гиперболы, принимая за оси
координат два сопряженных ее диаметра.
§ 3. ПАРАБОЛА
-*» ->
621. Написать уравнение параболы в репере (О, i, /'), если в этом
репере заданы координаты фокуса F (4, 2) и уравнение директрисы:
х + Зу — 6 = 0. Определить параметр параболы.
622. Даны отрезки [ОА] и [ЛВ], причем (ОА) _]_ (АВ). Каждый
из них разделен соответственно точками А1у Л2, ... и точками Въ
В2, ... на п равных частей. Проведены лучи [OBJ) и прямые lh
проходящие через точки Аь соответственно и параллельные (АВ).
Доказать, что точки Mt = ЮВ^ f) h принадлежат параболе.
623. На прямой, уравнение которой в репере (О, /, /) 8х — Зу +
+ 6 = 0, найти точку, которая одинаково удалена от прямой
а: х — 5 = 0 и точки А (—3, 2).
624. Найти фигуру F, если ее точки служат центрами
окружностей, касающихся окружности S и прямой /, причем прямая /
касается окружности S.
625. Доказать, что если хорда параболы проходит через ее
фокус, то расстояние от середины этой хорды до директрисы
параболы равно половине длины хорды.
->¦ -*
626. В репере R = (О, i, j) даны уравнения двух парабол
у: ах2 — у — Ь2 = 0 и у': ау2 —х — с2 = 0 (а > 0). Доказать, что
точки их пересечения лежат на одной окружности.
627. Найти фигуру Ф, состоящую из точек плоскости,
симметричных фокусу параболы у относительно всех ее касательных.
628. Доказать, что параболы, имеющие общий фокус, лежащий
между их вершинами, пересекаются под прямым углом.
629. Доказать, что директриса параболы, касающейся
одной стороны треугольника и продолжений двух других его
сторон, проходит через ортоцентр этого треугольника (теорема
Штейнера).
60

630. Пусть хи х2 — абсциссы точек пересечения прямой р с
параболой у = ах2, хг — абсцисса точки Н = р Г) (Ох). Доказать,
что
Х3 Х1 Х2
631. Даны парабола у и касательная t к ней в вершине. Пусть
d — другая касательная к этой же параболе и М = t f) d, (MN) JL
J. d. Доказать, что прямая (MN) проходит через фокус параболы у.
632. Найти образ прямой Ах + 5у + С = 0 в сжатии
плоскости к параболе у = ах2 в направлении оси ординат с
коэффициентом сжатия (х (см. задачу 595).
633. Высота параболической арки равна h, а ширина ее
основания равна 21. Найти параметр параболы.
634. Найти направление тех хорд параболы у2 = 8х, которые
диаметром у = 4 делятся пополам.
635. Дана парабола у2 = 10*. Найти диаметр, делящий
пополам хорды с угловым коэффициентом k = 5.
636. Дано уравнение параболы у2 = 2рх. Написать
уравнение парабол, имеющих с данной параболой общий фокус и общую
ось.
637. Прямая х — Зу + 9 = 0 касается параболы у2 = 2рх.
Найти р.
638. Найти фигуру, образованную основаниями
перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к этой
параболе.
639. Написать уравнение параболы у2 = 8х в полярных
координатах.
640. Написать каноническое уравнение параболы, определя-
6
емои уравнением: р = .
1— coscp
641. Доказать, что прямая, соединяющая фокус F параболы
с точкой пересечения касательных к параболе в двух
произвольных ее точках Мъ М2, содержит биссектрису угла M1FM2.
642. Найти расстояние между параболой у2 = 64л; и прямой
Ах + Зу + 46 = 0.
643. Доказать, что фокус параболы и точки касания двух
касательных к параболе, проведенных из любой точки директрисы,
лежат на одной прямой.
644. Найти фигуру, образованную центрами окружностей,
проходящих через данную точку и касающихся данной прямой.
645. Доказать, что направление касательной к параболе
сопряжено направлению диаметра, проходящего через точку
касания.
646. Доказать, что точка пересечения касательных к параболе
в концах какой-либо ее хорды принадлежит диаметру,
сопряженному направлению этой хорды.
61

§ 4. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
647. Определить коэффициент подобия парабол, уравнения
—>¦ ->
которых в репере (О, i, /) имеют вид:
х% + 2ху + у2 — 8х + 4 = О,
Зх2 + 2х — 6у + 5 = 0.
648. Прямая а, уравнение которой в репере (О, ir j) имеет вид
х + 2у — 1=0, является осью симметрии параболы, а точка
О' (-—, —| — ее вершиной. Написать уравнение параболы, если
она проходит через точку М (—, J.
—»- —»-
649. В репере (О, г, j) написать уравнение гиперболы, если
уравнения ее асимптот в этом репере х + Зу — 6 = 0 и 4х — 5у -f
+ 20 = 0 и гипербола проходит через точку М (1, 3).
650. Определить в репере (О, i, j) координаты вершин линии
второго порядка, если ее уравнение в этом репере имеет вид:
9х2 — 4ху + 6у2 + 6* — 8у + 2 = 0.
651. Найти эксцентриситет эллипса, уравнение которого в
репере (О, i, j) имеет вид: 5х2 + Sxy + 5у2 — 18х — 18у + 9 = 0.
652. Найти уравнение линии второго порядка у в репере
(О, i, /), если известны ее фокус F (3, 0), уравнение соответствук>
25
щей ему директрисы х = — и точка М0 (0, 4) € у.
-> _> 3
653. В репере (О, г, /) заданы уравнение прямой d: Зх — 4у 4-
+ 3 = 0 и координаты точки F (6, —2), которые являются
директрисой и соответствующим фокусом некоторой гиперболы.
Написать ее уравнение, если точка А (2, 1) принадлежит
гиперболе.
-> —>¦
654. В репере (О, t, /) заданы уравнения параболы у2 = 8л;
и прямой х + у = 0. Написать уравнение касательной к параболе,
параллельной данной прямой.
655. В репере (О, ь> /) задано уравнение параболы у2 = 2х
и точки А (8, 5), В (2, 2), С (4, —1). Написать уравнения
касательных к параболе, проходящих через точки 4, Б, С.
656. Определить вид траектории вершины прямого угла,
стороны которого касаются параболы.
657. Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса,
лежат на его осях. _+ _^ х2
658. В репере (О, t, /) задано уравнение эллипса (- у2 = 1
и точка А (3, 2). Написать уравнение касательной к эллипсу,
проходящей через точку А.
62

659. В репере (О, ?, /) заданы уравнения эллипса — + ~ = 1
и прямой Ах + By + С = 0. Вывести необходимое и достаточное
условие касания прямой и эллипса.
660. Каноническое уравнение параболы у2 = 2рх и уравнение
-> ->
прямой Ах + By + С = 0 заданы в репере (О, /, /). Вывести
необходимое и достаточное условие касания прямой и параболы.
X2 V2
66L Каноническое уравнение гиперболы — — т~ = 1 и урав-
нение прямой Ах + By + С = 0 заданы в некотором репере
(О, /, /). Вывести необходимое и достаточное условия касания
прямой и гиперболы.
—> —>¦
662. В репере (О, i, j) заданы уравнения двух эллипсов:
JL + JL^i и i + i = i.
5 Г 4 4^5
Написать уравнения общих касательных к этим двум эллипсам.
663. Доказать, что если из пяти данных точек М19 М2, М3, М4,
М5 плоскости П никакие три точки не лежат на одной прямой,
то существует единственная линия второго порядка, проходящая
через эти точки.
664. Найти центр каждой из линий:
1) х2 — Аху + 5у2 + 20* + 16у + 5 = 0;
2) Зх2 + &ху + 20у2 — 12л: + 4у + 5 = 0;
3) х2 — 2ху + у2 + 6х — 2у+1= 0;
4) 4х2 + Юху + 5у2 — 2х — 4у + 3 = 0;
5) 12х2 + 7ху — 12у2 —1=0;
6) х2 + 2ху + у2 — 6х — 6у + 5 = 0.
665. Написать уравнение диаметра линии Зх2 — бху + у2 +
-г 8* = 0, делящего пополам хорды с угловым коэффициентом
з
686. Написать уравнение диаметра линии:
б*2 — 9л:у + 13у2 + 2х + 4у + 5 = 0,
проходящего через точку К (I,—2).
667. Найти угловые коэффициенты главных направлений каж-
—>¦ —>
дои из следующих линий, заданных в репере (О, i, j) уравнениями:
1) Зх2 + 4ху + 5у2 + 2х — у + 7 = 0;
2) х2 + бху — 7уг + х = 0;
3) х2 + 4ху + 4у2 + 2х + Зу = 0;
4) х2 + у2 — 4х + 6у — 2 = 0.
668. Написать уравнения осей каждой из линий в репере
[О, I J):
1) 5х2 + 24ху + 75у2 — Збх + 6у + 1 = 0;
2) 7х2 + 28ху + 7у2 -f 42х = 0.
63

669. Привести к каноническому виду уравнения линий:
1) # + ху + у2 + х + у = 0;
2) Зл:2 + 4 У~2ху + 5у2 + 6* — 1 = 0;
3) 4ху + Зу2 + 16х + 12у — 36 = 0.
670. Привести к каноническому виду уравнения линий:
1) 4л:2 + 4*у + у2 + 8jc + 6у + 3 = 0;
2) 9л:2 + 12л:у + 4у2 + 8л: + 14у + 3 = 0;
3) л;2 + 6л:у + 9у2 — 12л; + 24у +15 = 0.
671. Доказать, что если линия второго порядка проходит через
вершины треугольника и его ортоцентр, то эта линия —
равносторонняя гипербола.

Раздел 2.
ПРЯМЫЕ ЛИНИИ,
ПЛОСКОСТИ
И КВАДРИКИ
В ЕВКЛИДОВЫХ
И АФФИННЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ

Глава I.
МЕТОД КООРДИНАТ
В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 1. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
В задачах 672—684 система координат аффинная.
672. Точки D, E, F — середины ребер [ВС], [АС], [АВ]
тетраэдра ОАВС. Найти координаты вершин этого тетраэдра в репере
(О, D, Е, F).
673. Даны точки А (2, —1, 7), В (4, 5, —2). Найти отношение,
в котором каждая координатная плоскость делит отрезок АВ.
674. Доказать, что отрезки, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, проходят через одну точку и делятся
ею пополам.
675. Через середину каждого ребра тетраэдра проведена
плоскость, содержащая противоположное ребро. Доказать, что эти
плоскости пересекаются в одной точке.
676. Вершины четырехугольника A BCD не лежат в одной
плоскости. На прямых, содержащих стороны этого четырехугольника,
даны такие точки М, N, М', N' (отличные от вершин), что (AD, M) =
= (ВС, М') = К, (АВ, N) = (DC, N') = Я2. Доказать, что
прямые (ММ') и (NN') пересекаются в такой точке Р, для которой
(ММ', Р) = К (AW, Р) = Ях.
677. Дана точка М (а, Ъ, с) (координаты положительны и
различны). Построить точки:
М1 (а, с, Ь), М2 (Ь, с, а), М3 (с, а, Ь).
678. Даны две точки Мх (ях, Ьъ q) и М2 (ct2, Ь2, с2). Записать
координаты любой точки, принадлежащей отрезку [МгМ2].
679. Известны координаты вершин А, В и С параллелограмма
A BCD. Вычислить координаты вершины D:
1) А (2, 1, 1), В(3, -1, 1), С (0, 2,-3);
2) А (3, 1, -1), В (2, -1, 1), С (-2, 0, 3).
680. Точка О является точкой пересечения диагоналей
параллелепипеда ABCDAiBiCJ^i, точки 01э 02, 03 — соответственно центры
граней ADDtAn ABB^A^ A BCD. Написать формулы перехода от
репера R = (А, В, D, AJ к реперу R' = (О, 01э 02, 03).
681. Дан базис ег, е2, е3 векторного пространства V. Доказать,
что векторы а = а^ + а2е2 + а3е3, Ь — bfa + b2e2 + Ьгег,
66

ki
a2
b2
c%
a3
Cz
с = c^i + c2es + c3e3 линейно зависимы тогда и только тогда,
когда
\ал а<> а*\
0.
682. Доказать, что точки Л, В, С и D принадлежат одной
плоскости:
1) Л (3, 1, 1), В (-2, 1, -2), С (-3,-1,0), D(2;0; 1,7);
2) Л (-2, 1,-1), Б (-1,1,1), С (0,4,-1), D (-2,4,-3).
683. Вектор а является направляющим для прямой I.
Параллельно / построены проекции Ль А2, А3 точки Л (—3, 2, 1) на
координатные плоскости. Вычислить координаты этих проекций, если
1) а (2, 1, -1); 2) а (-1, 1, 2).
684. Даны точки Лх (—7, 3, —2), Л2 (0, 2, 1), Л3 (4, — 1, 0),
Л4 (—1, 0, —3). Доказать, что R' = (Аъ Л2, Л3, Л4) — репер, и
найти его ориентацию, считая исходный репер положительно
ориентированным.
В задачах 685—699 система координат прямоугольная
декартова.
685. Прямая (АВ) параллельна плоскости П, (АВ) qt П. Через
точки Л, В проведены соответственно прямые 11У /2,
перпендикулярные (АВ), и (1Ъ П) = 45°, (72, П) = 30°. Найти расстояние от (АВ)
до плоскости П, если \АВ\ = a, \ЬгЬг\ = Ь, где Lt = П fl // (i =
= 1, 2).
686. Длина ребра куба равна а. Найти расстояние между
непересекающимися диагоналями двух его смежных граней.
687. В правильной треугольной пирамиде, у которой плоские
углы при вершине прямые, вгайти угол между медианой боковой
грани, проведенной из вершины пирамиды, и скрещивающейся с ней
медианой основания.
688. Прямая (ЛВ) пересекает координатные плоскости Оху
и Oyz в точках М и N. Вычислить длину отрезка ШЛП, если
1) Л (2, 1, 1), В (-2, 0,3);
2) Л (-3, 1, 1), В (0, -1, 2).
689. В ортонормированном репере даны вершины Л (4, 1, —2),
В (2, 0, 0), С (—2, 3, —5) треугольника ABC, [AD] — биссектриса
его внутреннего угла. Найти координаты точки D и длину отрезка
[AD].
690. Диагональ [OD] прямоугольного параллелепипеда
образует углы 60° с ребрами [ОА] и [ОВ]. Какой угол она образует с
ребром [ОС]?
691. Вычислить координаты ортогональной проекции Сх
точки С на прямую (АВ):
1) Л (2, -1, 0), В (-1, 3, 1), С (0, 1, -1);
2) Л (3, 1, 1), В (-2, 1,-1), С (1,-1, 2).
67

692. Даны две точки Л и В. Найти множество точек С, для
которых ABC — равносторонний треугольник:
1) А (2, 3, -1), В (-1, 0, 1);
2) Л {-2, 1, 1), В(-1, 1,-2).
693. На прямой (АВ) найти точку, ближайшую к оси 0г\
1) А (1,2,-1), В (3,-1, 1);
2) А (3, 4, 1), В (-2, 1, 2).
694. Вершины треугольника находятся в точках Л (1, 2, —4),
В (4, 0, —10), С (—2, 6, 8). Найти внутренние углы этого
треугольника.
695. Дан ортонормированный репер R = (О, Аг% Л2, Л3). На-
писать формулы перехода от репера R к реперу /?' = (О, ej, е2, е3),
если \е[\ = \е'2\ = \е'3\ = I, е[, е2 — направляющие векторы
биссектрис углов xOz, yOz, ez коллинеарен ОАъ и реперы R, R'
одинаково ориентированы.
696. Найти расстояние между прямой 11У содержащей диагональ
куба, и прямой /2, содержащей ребро куба, скрещивающееся с этой
диагональю. Длина ребра куба равна а.
697. Определить фигуру Ф, если в ортонормироваыном репере
имеем:
1) Ф = {М (х, у, г)\(х - а)2 + (у - Ь)2 + (z -с)2 = г2};
2) Ф = {М(х, у, z)\x2 + z2 = 4};
3) Ф = {М (х, у, z)\x2 + у2 + z2 = 25, z = 2};
4) Ф = {М(х,у, z)\x2 = ±z, у-=3};
5) ф = {М (х, у, z)\x2 — z2 = 16, у < 2};
6) Ф = {М(х,у, z)| |*|<а, |у|<Ь, И<с,а, Ь% cZR\).
698. Прямая / одинаково наклонена к координатным
плоскостям Oxz и Oyz и пересекает их соответственно в точках Л (/я, 0, р),
В (0, s, *). Найти зависимость между координатами этих точек.
699. Доказать, что треугольник ABC равносторонний, если:
1) А (2, 3, -1), В (3, -1, 2), С (-1, 2, 3);
2) Л (т, я, р), В (п, р> т), С (р, га, я).
§ 2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
700. Доказать, что если векторы я, Ь, с не коллинеарны, то
-^¦—»¦—>¦—>• —»¦—»¦ ->^- —>•—»¦
а + Ь + с = 0 фф [а, Ь] = [Ь, с] = [с, а].
—>
701. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если ЛБ =
= 3га — 2/г, ЛС = га + /г, N1 = 5, |я| = 12, СЛ В = 30°.
702. Вычислить расстояние от точки Мх до прямой /, если в
репере (О, U /, k) даны точки Мх {.q, ylf гг) и М0 (*0, у0, z0) ? Z и
направляющий вектор прямой I а = axi + a2j + а3?.
703. Меньшая сторона \АВ] параллелограмма A BCD лежит в
плоскости П, а сторона [CD] удалена от П на расстояние, равное
68

расстоянию между большими сторонами параллелограмма.
Вычислить угол ф между плоскостью П и плоскостью ГГ
параллелограмма.
704. Прямая / параллельна плоскости П, точки А, В € /,
А $ П, Н — ортогональная проекция точки А на плоскость П,
D € П. Известны DAB = -, |AD\ = УЗ • \АН\. Найти угол ф
о
между плоскостями П и ГГ = (Z, D).
705. Дан тетраэдр A1A2AzA/l. Обозначим через [АЬВ^ его
высоты, SL — площадь грани, противолежащей вершине Ait щ — орт
> 4 ^ _^
вектора В-А^ Доказать, что "SS^ = 0.
i=i
706. Измерения прямоугольного параллелепипеда Ф равны
я, Ь, с. Плоскость П проходит через середины трех ребер, имеющих
общую вершину. Найти площадь сечения (о = П f] Ф.
707. В репере (О, i, /, k) даны вершины А (2, —1, 3),
В (1, 1, 5) квадрата ABCD и точка М0 (—, —3, 01, принадлежащая
полуплоскости [(АВ), С). Найти координаты вершин С и D.
—»¦—>• —>¦-*¦ ->•—»-
708. Доказать, что если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а]
компланарны, то они коллинеарны.
709. Даны некомпланарные векторы а, Ъ, с и числа а, р, у ? /?.
->¦
Найти вектор х, удовлетворяющий равенствам:
-> —> -> -> ->- ->
а • д: = а, b • л; = р, с • х = Y-
710. Даны некомпланарные векторы а, Ь, с и числа a, (J, у.
Найти вектор х, удовлетворяющий равенствам:
Ьс, а]& = y, U, Ыс = а, [х, с]а = р.
711. Отрезок [ОН] является высотой тетраэдра ОАВС. Найти
вектор ОН, если известны векторы ОА = а, ОВ = Ь, ОС = cl
712. Доказать, что если вектор т = [а,1)\ + [Ь, с] + (с, а] = ^),
то векторы а, 6, с компланарны.
713. Доказать следующие тождества:
1) [a, bf + (а • Ь)2 = а2~Ь2;
2) [а, [6, с]] = Ь • (а ."с) —с", (а - &);
3) [а, [Ь, с]] + [Ь, \с, а]] + [с, [а, 6]] =0 (тождество Якоби);
I -> -> -*¦ -и
ul'S -L ^ (тождество Лагранжа);
\а • d 6 • dj
69
4) [a, b] • [с, d] =

а •
-*•
b-
->¦
С •
т
—>
т
-»-
т
а
—>
ь
->
С •
п
->
/г
-»¦
га
а • р
-»¦ ->
Ь-р
->¦ -э
с-р
5) ([а, Ь]-с)- ([т, п) ¦ р) =
6) [[а, 6], [с, d]] = ([a, fc]d)c — ([a, 6]-c)d;
7) b{[a, с] • d} —"aflft", с] -d} +"5 {[с, а] -1} — c{[d, a] -15} = 0.
714. Можно ли из условия [а, с] = №, с] и с =^= 0 заключить,
—У —>-
что а — Ь?
715. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках
А (3, 4, —1), 5 (2, 0, 3), С (—3, 5, 4). Система координат
прямоугольная декартова.
->->->- -*¦ ->¦
716. В базисе (i, /, k) даны векторы a (3, 0, —1), Ъ (2, 4, 3),
<Г(— 1, 3, 2), 2 (2, 0, 1). Найти [fa, 6], 3 и [а, 3 - [6, dl.
717. Из одной точки отложены направленные отрезки — пред-
->—>¦—»-
ставители некомпланарных векторов а, Ъ, с. Доказать, что плоскость,
проходящая через концы этих отрезков, перпендикулярна вектору
(а, 6] + [&, 3 + [с, а].
§ 3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
718. Вычислить объем пирамиды ОАВС, если \ОА\ = а, \ОВ\ =
= Ь, \ОС\ = с, АОВ = а, ВОС = р, Л ОС = ?. Рассмотреть
случаи: 1) a = р = y'i 2) a = Р = y = ~; 3) ОАВС — правильный
тетраэдр.
719. На сфере единичного радиуса дан треугольник ABC,
длины сторон которого равны а, р, у и величина внутреннего угла
при вершине В равна 0. Доказать равенство:
sin а • sin у • cos 0 = cos p — cos у • cos a.
720. Объем правильной треугольной пирамиды с длиной ребра
а равен —а3. Найти величину плоского угла при вершине пира-
6
МИДЫ.
721. Точки А', В', С делят ребра [SA], [SB], [SC] тетраэдра
SABC в отношениях: Яг = (SA, Л'), К = (SB, В'), Я3 = (SC, С).
Найти отношение объемов V, V тетраэдров SA'B С и SABC.
722. Точки Ль Л2, Аз, А\ являются центрами тяжести граней
тетраэдра АгА2АгА^ Найти отношение объемов V, V тетраэдров
АгА2АгАА и Л1Л2Л3Л4. Доказать, что плоскости соответствующих
граней параллельны.
70

723. Найти отношение объема параллелепипеда к объему
тетраэдра, вершинами которого являются вершина
параллелепипеда и центры не проходящих через нее граней.
724. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки L
и К являются серединами отрезков [SB] и [SD]. Найти отношение
объема пирамиды SABCD к объему призмы, построенной на
отрезках [Л/С1, [AL], [AS] (AAKL — основание призмы).
725. Найти отношение объема параллелепипеда к объему
тетраэдра, ребрами которого служат диагонали трех граней
параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.
726. В основании пирамиды Ф лежит параллелограмм ABCD.
Через одну из его сторон и среднюю линию противолежащей грани
проходит плоскость П, которая делит пирамиду Ф на
многогранники Ф1э Ф2. Найти отношение объемов многогранников
Ф1Э Ф2.
727. Отрезки [АВ] и [CD] принадлежат скрещивающимся
прямым 1г и 12- Доказать, что объем тетраэдра ABCD не зависит от
положения отрезков [АВ]% [CD] на прямых 1Ъ /2.
728. Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми
1Ъ /2, если в ортонормированном репере (О, ?, /, k) даны точки
М0 (xoi Уо» zo) € 1ь Mo (*o» Уо, z0) ^ /2 и направляющие векторы
-*• -»¦-»• ->-> ->->- ->
a = a±i + a2j + a3k; b = b-J, + b2j + b3k этих прямых.
729. Найти объем тетраэдра ABCD, если известны \АВ\ = а,
\CD\ = 6, (АВ, CD) = ф и расстояние h между прямыми (АВ) и
(CD).
730. Длина диагонали куба равна а. Вычислить расстояние
между непересекающимися диагоналями двух смежных граней
куба.
731. Через каждое ребро правильного тетраэдра проведена
плоскость, параллельная противоположному ребру. Найти
отношение объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.
732. Доказать, что объем тетраэдра можно вычислить по
формуле:
V = — abc У sin о - sin (а — а) sin (а — Р) sin (а — у),
где а, Ь, с — длины ребер, сходящихся в одной вершине; а, р, у —
величины плоских углов при этой вершине иа = — (а+Р + тК
733. Вычислить объем тетраэдра, если противоположные ребра
его имеют длины, равные попарно а, Ь, с.
734. Доказать, что объемы двух тетраэдров или
параллелепипедов с конгруэнтными трехгранными углами при одной вершине
относятся как произведения длин их ребер, сходящихся в вершинах
этих углов.
71

». Доказать тождество:
([а,Ь].с)2=
а2 а • Ь а • с
Ьа Ь2 Ь- с\-
1 ш cb с2 1
Глава II.
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
736. Написать параметрические уравнения плоскости
треугольника ABC, если в репере (О, еъ е2, е3) даны координаты его вершин:
А (2, —5, 1), В (3, 4, —2), С (О, 0, -1).
—>->¦->
737. Изобразить плоскость П в репере (О, еъ е2, е3)у если
известно ее уравнение: 1) Зх — у + 2z — 6 = 0; 2) 2х — Зу + 6 = 0;
3) Зу + 2z = 0; 4) 2х — 1 = 0.
738. В репере (О, еъ е2, е3) плоскость П дана уравнением 5х —
->
— 2у — Зг + 6 = 0. Найти координаты какого-либо вектора я,
параллельного плоскости П.
739. Написать параметрические уравнения плоскости,
проходящей через точку М0 (2, —1, 3) параллельно плоскости 2х —у +
+ 3z — 1 = 0.
740. Написать уравнение плоскости П в репере (0, еъ е2, е3),
если она проходит через точку М0 (xQy y0, zQ) и параллельна
плоскости: Ах + By + Cz + D = 0.
741. В аффинном репере даны вершины А (4, 0, 2), В (0, 5, 1),
С (4, —1, 3), А1 (3, —1, 5) параллелепипеда ABCDA^CJD^.
Написать уравнения плоскостей, содержащих его грани.
742. Доказать, что две плоскости, проходящие через концы
обеих троек ребер параллелепипеда, сходящихся в концах одной
его диагонали, рассекают эту диагональ на три конгруэнтные
части.
743. Даны две плоскости Пг, П2 уравнениями: х — у — z —
— 7 = 0, 2л; + у — 3z + 3 = 0 в аффинном репере. 1) Составить
систему линейных неравенств, определяющих тот двугранный угол,
образуемый плоскостями nlf П2, которому принадлежит точка
М0 (3, —4, 3). 2) Определить расположение точек Мг (2, —1, 3),
М2 (3, —4, —5) относительно двугранных углов, образуемых
плоскостями Ulf П2.
744. В репере (О, е19 е2, е3) даны координаты вершин А (0, 0, 2),
В (3, 0, 5), С (1, 1, 0), D (4, 1, 2) тетраэдра. Определить
расположение точки М0 (2, —, — j относительно этого тетраэдра.
72

745. Даны уравнения плоскостей Пх: х — 2у — 3z + 5 = О,
->->_>
П2: 2х — 4у — 6г + 7 = 0 в репере (О, ех, е2, е2). Определить
неравенствами каждую из трех областей Ф[у на которые плоскости
Пх, П2 делят все не принадлежащие им точки пространства (I =
= 1,2,3).
746. В репере (О, f, /, k) написать уравнение плоскости П, про-
—>
ходящей через точку М0 (х0, у0, 20), перпендикулярной вектору /г =
= аГ+ вТ+ ck.
747. Написать уравнение плоскости П, проходящей через
основание М0 (2, 6, —4) перпендикуляра, проведенного через на-
чало О репера (О, *', /, k) к плоскости П.
748. В треугольной пирамиде ОАВС боковые ребра взаимно
перпендикулярны, их длины равны а, &, с, длина высоты ЮН]
равна h. Доказать равенство:
±=±+±+±
№ а* Ь* с2
749. Написать уравнение сферы, касающейся плоскости За: —
— 6у — 2z + 14 = 0 в точке (2, 1, 7), если ее радиус равен
7 (R = (0,11 к)).
750. Найти уравнение сферы радиуса г = 6, касающейся
плоскости П: л: + 2у — 2<г+ 1 =0в точке MQ (3, 0, 2) и
расположенной по одну сторону с точкой Р (0, 1, 2) относительно П (R =
= (oJJS)).
751. Написать уравнение сферы, лежащей в остром угле,
образованном плоскостями 2х — 4у —3z + 21 = 0, 5х — 2z = 0,
и касающейся этих плоскостей, если ее центр лежит на оси абсцисс
(R = (0,Ц *))¦
752. Даны координаты вершин Л (1, 0, —2), В (2, 1, —1),
С (0, 2, —3), D (—1, —2, 1) тетраэдра ЛВСЯ в репере (О, ?.Д й).
Найти координаты точки D', симметричной вершине D
относительно плоскости грани ABC.
753. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
ML (2, —1, 3), М2 (5, 1, 2) и перпендикулярной плоскости П;
x_3y-2z — 3 = 0 (Я = (0, t\/,fe)).
754. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М0 (2, —3, 1) и перпендикулярной плоскостям Пх: х + Зу — z +
+ 3 = 0, П2: 2* + у —2*+ 1=0(# = (0,?J%
755. Найти центр М окружности, описанной около
треугольника ABC, если Л (1, 2, 3), В (3, 4, 1), С (—1, 0, 1), (R = (О, ? Д)).
756. Через диагональ [AC±] прямоугольного параллелепипеда
AiBCDA1B1C1D1 проведена плоскость П, параллельная диагонали
LSD] грани ABCD. Вычислить площадь S сечения
параллелепипеда плоскостью П, если \АВ\ = a, \AD\ = b, \AA±\ = с.
73

757. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота
конгруэнтна диагонали основания A BCD. Через вершину А
параллельно (BD) проведена плоскость П, касающаяся вписанного в
пирамиду шара. Найти отношение площади сечения пирамиды
плоскостью П к площади основания.
758. Через середину диагонали куба ABCDA1B1C1D1
перпендикулярно к ней проведена плоскость П. Определить площадь
сечения куба плоскостью П, если длина ребра куба равна а.
759. Вычислить косинус того двугранного угла, образуемого
плоскостями Пх: 2а: — у — 2z + 5 = О, П2: х — 2у — 2z + 7 = О,
которому принадлежит точка М0 (2, —3, —1) (R = (О, i, /, k)).
760. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
боковая грань наклонена к основанию под углом |3, точка К —
середина ребра [SB]. Найти угол ср между плоскостями (АКС) и (SAB).
761. Плоскость П проходит через диагонали верхнего и нижнего
оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды
ABCDA^^JDh а плоскость IT проходит через сторону нижнего
и противолежащую сторону верхнего ее основания. Высота данной
пирамиды равна К \АВ\ = а> \ А-^В-^ = Ь. Найти острый угол,
образуемый плоскостями П и П7,
762. В репере (О, i, /, k) даны уравнения плоскостей Щ: Ахх +
+ В±у + CiZ + Dt = 0, П2: А2х + В2у + C2z + D2 = 0 и точка
М0 (х0, у0, z0). Доказать, что точка М0 лежит внутри острого угла,
образуемого плоскостями Пц П2 тогда и только тогда, когда
выполняется неравенство:
(Ах • Л2 + В1 • В2 + d • С2) (Агх0 + ВхУо + C±z0 + Dx) (A2x0 +
+ В2у0 + C2z0 + D2) < 0.
763. В ортонормированном репере дано уравнение плоскости П:
Ах + By + Cz + D = 0 и координаты точки М0 (х0, у0, г0). Найти
расстояние р (М0, П) от точки М0 до плоскости П.
764. Даны вершины тетраэдра А (0, 0, 3), В (1, —'2, 1),
С(0, —2, 2), D (1, 1, 1). Вычислить длину высоты [DH] (R =
= (оЛ7Л)).
765. Через сторону [А В] основания A BCD правильной
четырехугольной пирамиды SABCD проведена плоскость П,
проходящая через середину ребра [SD]. Найти расстояние от вершины S
до плоскости П, если \АВ\ = а и длина высоты [SH] равна h.
766. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости,
данной в репере (О, i, /, k) уравнением 2л:+ у — 4г+5==0 и
касающейся сферы, данной уравнением (л: — I)2 + (у — 2)2 +
+ z2 = 21.
767. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 4. Плоскость П
проходит через диагональ [АС] грани ABCD и пересекает куб по
трапеции ACMN. Найти расстояние от вершины В до плоскости П,
если \AN\ s= 5.
74

-> -» -V
768. В репере (О, /, /, k) дано уравнение плоскости П: Ах +
+ By + Cz + D = 0 и координаты точки М0 (х0, у0, г0) $ П.
Написать уравнение плоскости П' || П, отстоящей от П на
расстояние h и лежащей по одну сторону с М0 от П.
769. Даны уравнения параллельных плоскостей Л±: 4х + 6у +
+ 2г — 7 = О, П2: 2х + Зу + z + 5 = 0 в репере (О, 7, X t).
Написать уравнение плоскости, проходящей посередине между
данными плоскостями.
770. В репере (О, /, /, к) даны уравнения плоскостей Пг: 2х —
— у — л + 3 = 0, П2: Ах — 2у — 2г + 5 = 0. Написать уравнение
плоскости, параллельной данным плоскостям, не расположенной
между ними и отстоящей от Пх в два раза дальше, чем от П2.
771. Найти координаты центра шара радиуса г = 5,
вписанного в тот трехгранный угол, образованный плоскостями Г^:
Зх — 4у + 10 = 0, П2: х — 2у — 2z + 3 = 0, П3: х + 2у + 2г —
— 5 = 0, которому принадлежит точка М0 (1, —1,—1) (R = (О, i, /, &)).
772. Даны уравнения параллельных плоскостей nL: Ax +
+ By + Cz + Иг = О, П2: Ах + By + Cz + ?>2 = 0 {Dx ф D2)
в ортонормированном репере R. Найти расстояние между этими
плоскостями.
773. В репере (О, t, /, k) даны уравнения плоскостей двух
граней куба: х — 2у — 2z + 4 = 0, 2х + 2у — z — 13 = 0 и
координаты его центра УИ0 (1, 1, —2). Найти уравнения плоскостей
остальных граней куба.
774. В кубе ABCDAlB1C1Dl даны уравнения плоскостей
(ABC): 2х — у + 22 + 15 = 0, (АВВг) :x — 2y — 2z + 6 = 0 и
центр М0 (1, —1, 0) грани A1B1C1D1 в репере (О, f, /, /г). Написать
уравнения плоскостей остальных граней куба.
775. Написать уравнение бйссекторной плоскости того
двугранного угла, образуемого плоскостями Ц: х — у + 2z — 1 =0,
П2: 2х — у + z — 3 = 0, которому принадлежит точка М0 (1, 1, 1)
(R = (OjJ,k)).
776. В репере (О, i, /, k) написать уравнение бйссекторной
плоскости того двугранного угла, образованного плоскостями Щ:
х — у + 2z — 5 = 0, П2: 2х — у — 2z + 7 = 0, которому
принадлежит точка М0 (1, —1, 1).
777. Треугольная пирамида задана координатами своих
вершин: Л (1, 1, 0), В (0, 2, 0), С (0, 0, 0), D (1,* 5, 7). Написать
уравнение бйссекторной плоскости двугранного угла В • (AD) • С
(репер R = (О, T,J,~k)).
778. Даны вершины тетраэдра А (—1, —2, 0), В (5, 0, 5),
С (3, 2, 2), D (—1, 0, 2). Написать уравнение бйссекторной
плоскости внутреннего двугранного угла при ребре [АВ] и найти
косинус этого угла (R = (О, /, Д &)).
7$

779. Написать уравнение биссекторной плоскости острого
двугранного угла, образуемого плоскостями Пь П2, если в репере
(О, *, /, k) даны их уравнения:
Зх — 2у — z + 3 = 0, 2х — Зу + г — 5 = 0.
780. Написать уравнение сферы, вписанной в тетраэдр,
образованный координатными плоскостями репера (О, i, /, k) и
плоскостью П: х + 2у — 2г + 8 = 0.
781. В ортонормированном репере даны плоскость П: Ах +
+ By + Cz + D = 0n точка Mx (xl9 уъ гг). Найти координаты
точки М2, симметричной точке ML относительно плоскости П.
782. Доказать, что сферы Фх и Ф2, данные в репере (О, iy /, k)
уравнениями х2 + у2 + z2 — 2х + 4у — 20 = 0 и х2 + у2 + z2 +
+ 2х — 2г — 14 == 0, пересекаются, и найти уравнение плоскости
П =d v, Y = Фх П Ф2.
783. В пространстве Es дана упорядоченная система различных
точек (Ль Л2, ..., Ап) (п ? N, п > 3). Плоскость П пересекает
каждую прямую, проходящую через две данные точки. Пусть П
пересекает прямые (А1А2), (Л2, As), ..., {АпА^) соответственно в
точках Ми М2У ..., Мп и е = (АХА2, М±) (A2ASi М2) ... (АпАи Мп).
Доказать, что если п четное, то е = + 1; если п — нечетное, то е=—1.
784. Доказать, что три плоскости, каждая из которых
проходит через ребро трехгранного угла и через биссектрису его
противоположной грани, принадлежат одному пучку.
785. Доказать, что три плоскости, каждая из которых
проходит через ребро трехгранного угла перпендикулярно плоскости
противолежащей грани, принадлежат одному пучку.
786. В аффинном репере даны уравнения плоскостей,
содержащих грани тетраэдра ABCD: Пг: х + 2у + z + 2 = 0, П>: х —
— у — z = 0, П3: х + у — 1 = 0, П4: Зх + z + 1 = 0. Написать
уравнение плоскости, проходящей через вершину А = Пх П П2 П
П П3> параллельно плоскости П4.
§ 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
787. Определить, какая из точек Мг (—1, 2, —1), М2 (2, 1, 3)
принадлежит прямой /, данной в репере (О, еъ e2t e3) уравнениями:
х = 2 — 3/, у = 1 + /, z = — 3 + 2t.
788. Написать параметрические уравнения прямой /,
проходящей через точку М0 (2, 3, —1) и параллельной прямой Г, данной
в репере (О, elf е2, е3) уравнениями: х — 2у — 3z — 3 = 0, 2х +
+ y—z + 5 = 0.
789. Точка К является внутренней точкой тетраэдра А0АхА2Аг
и прямая (KAt) пересекает грань, противолежащую вершине Ai9
в точке A'i (t = 0, 1, 2, 3). Доказать равенство:
(КА0, А'0) + (КА19 А[) + (КА29 А'2) + (КА3, Аъ) = -1.
76

790. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
М (2, —1,0), перпендикулярной прямой /: х = /, у = —1 — 3/,
->-—»-—»¦
z = —1 — 2/ и пересекающей ее (R = (О, i, /, k)).
791. Найти координаты точки М2, симметричной точке
Мх (3, 1, —4) относительно прямой /, данной в репере (О, /, /, k)
уравнениями: х = —1 + 2/, у = —4 — /, 2 = —1 — /.
792. В репере (О, i, /, /г) прямые 1г и /2 даны уравнениями:
'Х = 2/ + 1, fx —у — 22— 1 = 0,
| у = —/, 1 2* + 2у + z + 3 = 0.
.2 = 3 + 2/,
Вычислять косинус угла между этими прямыми.
793. Определить взаимное расположение прямых /х и /2, данных
в репере (О, ех, е2, е3) уравнениями:
1) (х = 1 + 2/, [х = 6 + 3/, 2) (х = 1 + 2/, (x = —2/,
у = 7 + /, у = -1 - 2/, у = 2 - 2/, у=-5+3/,
U = 3 + 4/, I г = —2 + 2е, 12 = —/, U = 4,
3) /2л:+3у=0, [2—4=0, 4) (х = /, /л: — у—2=0,
{ x+z—8=0, ( 2*+32—7=0, у=—8—4/, [2*—у+22=0,
I г = —3 — 3/,
5) (х = 2 — 3/, (*=—1+6/, 6) /2у —2 + 2 = 0, \х=—2+3/,
| у = 1 + /f у=2—2/, [х-7у+32—17=0, у=—1,
\г = —1—2/, 12=1+4/, U=4—/.
794. Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости,
заданной в аффинном репере уравнением у + 22 = 0, и
пересекающей прямые /jl и /2, уравнения которых:
x = \—t,
y = t,
z = \t,
(x = 2 — t,
\y = 4 + 2t,
U= 1.
795. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
М0 (2, 3, 1) и пересекающей прямые 1Ъ /2, заданные в аффинном
репере ур авнен иями:
к:(х + У = 0, к- U + 3y— 1=0,
1д:-у + 2 + 4 = 0, \у +2-2 = 0.
798. Доказать, что прямые
1» 'з»
данные в аффинном репере
уравнениями
к
[х= 1 + 11/, /2: (2х + 3у + 2 — 7 = 0,
у = —1 — 5/, { х — 2у + 32 + 6 = 0,
U= 1 —7/,
параллельны (/j Ф /2), й написать уравнения прямой /,
проходящей посередине между 1Ъ 1.2.
77

797. Написать уравнения прямой, содержащей высоту [АН]
треугольника ABC, если А (—1, 1, 2), В (1, 1, 0), С (2, 6, —2) в
репере (О, t, /, А).
798. Доказать, что прямые 1Ъ /2, данные в репере (О, i, /, k)
уравнениями
/х: [х = 1 —2/, /2: Г л: = — 1 + *,
у = 2 + *, у = 3 + 2/,
lz = 2/, lz = 2 + 2*f
пересекаются, и написать уравнение прямой, содержащей
биссектрисы острых углов, образуемых прямыми 1Ъ /2.
799. Найти уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся
прямых 1Ъ 12, заданных в репере (О, i, /, k) уравнениями:
l±i (x = 3 + t, l2i (x — 3y + z = 0,
у = -1 + 2/, \x + у - z + 4 = 0.
U = 4,
800. Прямые /х, l2, содержащие непересекающиеся диагонали
двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда,
образуют с плоскостью основания углы, величины которых а и р.
Найти косинус угла между прямыми 1Х и 12.
801. Написать уравнения прямой, содержащей биссектрису
[AD] внутреннего угла треугольника ABC, если в ортонормирован-
ном репере даны вершины А (4, 1, —2), В (2, 0, 0), С (—2, 3, —5).
802. В репере (О, е19 е2, е3) даны уравнения прямой /:
x = 2 — t, у = 3 + 2*, z = —St
и плоскости П: 2х + 2у — 2 — 5 = 0. Написать уравнения
прямой Г, проходящей через точку М± (5, 1, —2), параллельной
плоскости П и пересекающей прямую /.
803. Написать уравнения ортогональной проекции прямой /,
данной уравнениями: х = 1 — 2t, у = 3 + tr z = 3t, на плоскость
П: * — у — 2 — 5 = ^0 (Д = {0,7,1Л))-
804. В репере (О, i, /, k) даны уравнения прямой U
х = 2t, у = 1 — t, 2 = 3 + *
и плоскости П: х + у + 2 — 10 = 0. Написать уравнения
прямой Г с= П, перпендикулярной прямой / и проходящей через
точку М = П П /.
805. В репере (О, i, /, k) даны уравнения прямых
lL: * = 2 + 4*, у = — 1 + t, 2=1 — *,
*2: х = -4 + 2*, у = 2 —2*, 2 = —2 — 3*.
Доказать, что прямые /х, /2 скрещивающиеся. Найти уравнение
плоскости П, параллельной прямым lv 12 и одинаково удаленной
от них.
78

806. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD
является квадрат ABCD, \АВ\ = а. Прямая (SA) перпендикулярна
плоскости основания и | SA | = h. Через вершину А параллельно
прямой (BD) проведена плоскость П, такая, что П П (SC) = М,
(SC, М) = К > 0. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью П.
—>-—>¦—>-
807. Доказать, что прямые 1Ъ /2, данные в репере (О, i, /, k)
уравнениями
1г: х — у — Ъг = 0, х — 2у + г = 0,
12: х = 1 + 4/, у = —2 + 7^, 2=1 — f,
пересекаются, точка Л40 (2, —1, 1) является внутренней точкой
одного из углов, образуемых прямыми /х, /2, и написать уравнения
прямой, содержащей биссектрису этого угла.
808. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны а, Ь, с
(ребро длины с — высота параллелепипеда). Найти:
1) расстояние между диагональю параллелепипеда и не
пересекающей ее диагональю основания;
2) угол между этими диагоналями;
3) отношения, в которых основание общего перпендикуляра
делит эти диагонали. Рассмотреть случай а = b = с.
809. В репере (О, ZJ,~k) даны точки: А (5, —3, 2), В (2, — 1, 0),
С (—1, 2, —2), D (2, 4, —5). Написать уравнения общего
перпендикуляра прямых (АВ) и (CD).
810. В репере (О, i% /, k) дано уравнение плоскости П: х — у —
_2 — 6 = 0 и точки Мх (1, —1, —1), М2 (—I, 2, 0). Луч света
проходит через точку Мг и, отразившись от плоскости П>
проходит через точку М2. Найти уравнения прямых /х и /2, содержащих
соответственно лучи падающий и отраженный.
-»¦-»¦-»¦
811. Доказать, что плоскости, данные в репере (О» i, /, k)
уравнениями:
Пх: 2* —2у + Зг —^11 =0,
П2: 5х + 6у + 22— И =0,
П3: 6л: + 5у — 2z — И =0,
пересекаются в точке; найти уравнение плоскости П, проходящей
через эту точку и образующей равные углы с прямыми, по которым
пересекаются каждые две из данных плоскостей.
812. В репере (О, iy /, k) даны вершины Л (3,4,0), В (Q, —4, —3),
С (0, 4, —3) треугольника. Написать уравнения касательной /
к окружности, описанной около треугольника ABC, при условии,
что прямая I и точка С лежат по одну сторону от (АВ).
813. В ортонормированном репере даны уравнения плоскостей:
Пх: х — 2у — Ъг + 5 = 0, П2: 2х — у — Зг + 5 = 0.
Написать уравнение плоскости П при условии, что плоскость П
является биссекторной плоскостью двух двугранных углов,
образуемых плоскостями Пь П2.
79

814. В репере (О, i, j, k) даны уравнения прямой /:
2х — у — z — 5 = 0, х + у — 2z + 3 = 0
и плоскости П: х —Зу + z— 1=0. Написать уравнения
ортогональной проекции прямой I на плоскость П.
815. Найти уравнение плоскости П, проходящей через
прямую /, заданную в репере (О, еъ е2, е3) уравнениями:
2х — у — 3z — 5 = 0, х + у—z+ 1 =0
и параллельной вектору а (1, 3, —2).
816. В репере (О, е19 е2, е3) даны уравнения плоскостей
Пх: х + 2у + z + 2 = 0, П2: х — у — z = 0,
П3: х + у — 1 = 0, П4: Зх + г + 1 = 0.
1) Доказать, что данные плоскости образуют тетраэдр.
2) Написать уравнение плоскости П, проходящей через
прямую 1Х = Лг П Й2 и параллельной прямой 12 = П3 П П4.
3) Написать уравнение плоскости IT, проходящей через общую
точку плоскостей Пь П2, П3 и параллельной плоскости П4.
§ 3. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
817. Плоские углы BSC, CSA, ASB трехгранного угла SABC
имеют величины соответственно а, (5 и у. Доказать, что необходимое
и достаточное условие того, чтобы а + Р = 180°, является
перпендикулярность ребра [SC) биссектрисе угла ASB.
818. Через вершину О прямого трехгранного угла Oabc внутри
него проведен луч d. Доказать, что
GU) + (О) + (О) < 180°.
819. К сфере проведены две скрещивающиеся касательные а
и Ъ. Найти множество точек касания касательных к сфере,
пересекающих прямые а и Ь.
820. Дан прямоугольный треугольник ABC (С = 90°). Найти
множество таких точек Р, для которых \АР\2 + \ВР\2 = 2 \СР\2.
821. Дан тетраэдр SABC с прямыми плоскими углами при
вершине S. Найти множество точек М, для которых
\МА\2 + \МВ\2 + \МС\2 = 3 |MS|2.
822. Дан параллелепипед ABCDA^^D^ Доказать, что
всякая прямая, пересекающая три из прямых (АВг), (ВСХ), (CDJ,
(ОАг)9 пересекает и четвертую прямую или параллельна ей.
823. Прямая / пересекает плоскости граней тетраэдра ABCD
в следующих точках: Аг = I [\ (BCD), Вг = Z f] (CDА), Ct =
=» I Q {DAB), DL = / П (ABC). Доказать, что середины отрез-
80

ков [ААХ], [BBJ, [CCL], [DDL] принадлежат одной плоскости.
824. Даны два тетраэдра ABCD и Л151С1Д1. Доказать, что если
семь четверок точек {Л, В, С, Dx}, {В, С, D, Лх}, {С, D, Л, BJ,
{D, Л, В, Сг), {Лх, В,, Clf D}, {Si, Clf Dlf Л}, {Clf Dlf Л1? В} при-
надлежат соответственно семи плоскостям, то и четыре точки Du
Ах, Вг, С принадлежат восьмой плоскости. Убедиться в том, что
середины отрезков [ЛЛ^, [ВВ^\, [CCil, [DD^\ также принадлежат
одной плоскости.
825. Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, Ь, с, не
параллельные одной плоскости. Найти множество середин
отрезков [ВС], где В ? Ь, С € с, если прямая (ВС) пересекает прямую а
или параллельна ей.
828. Дана усеченная треугольная пирамида АВСА^-^С^
точки Л0, В0, Со —середины ребер [ВС], [СА], [АВ]. Доказать, что
отрезки [Л^о], [B-lBq], [СгС0] пересекаются в одной точке.
827. Координаты а, Ь, с точки Л различные. Построить еще пять
точек, координаты которых получены из координат данной точки
путем их перестановки. Доказать, что все шесть точек принадлежат
одной окружности (R = (О, /, /, &)).
828. В пространстве даны девять точек с целочисленными
координатами. Доказать, что середина хотя бы одного из отрезков с
концами в данных точках имеет целочисленные координаты.
829. Даны вершины тетраэдра Л (1,1, —1), В (4, 2, 3), С (3, —4,
—2), D (—3, 0, 1). Доказать, что начало координат лежит внутри
этого тетраэдра.
830. Найти координаты центра шара, вписанного в тетраэдр,
образованный координатными плоскостями прямоугольной
декартовой системы координат и плоскостью 2х + Зу — 6г — 4=0.
831. Тетраэдр образован координатными плоскостями
прямоугольной декартовой системы координат и плоскостью 9л; —- 2у +
+ 6z — 22 = 0. Найти центры шаров, каждый из которых
касается всех плоскостей граней тетраэдра.
832. Найти угол между двумя прямыми, из которых одна
дается уравнениями: 2х + Зу + 4z — 9 = 0, Зд: — 5у + z + 1 = 0,
а другая — уравнениями: х + 2у — 3z + 6 = 0, 13л: + Юу +
+ Hz — 22 = 0 в репере (О, ?, /, k).
833. Найти ортогональные проекции прямой: х — Зу -J- z —
— 11=0, 2л; — 8у + 3z — 30 = 0 на каждую из координатных
плоскостей прямоугольной системы координат.
834. Найти расстояние между двумя прямыми (R = (О, i, /, k)):
х — 1 у — 2 2г+ 1 х + 2 __У+1 _ г— 3
2 ~~ 4 ~~ 3 ' 3 ~~ — 2 ~~ 4 "
835. В прямоугольной системе координат дана прямая
уравнениями: 2х — Зу + Az — 12 = 0, х + 4у - 2г — 10 = 0. Найти
уравнения плоскостей, проектирующих эту прямую ортогонально
на координатные плоскости.
81

Глава III.
ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В задачах этого параграфа система координат —
прямоугольная декартова.
836. Написать уравнение конуса вращения, касающегося
плоскостей координат, зная, что его ось проходит через точку, все
координаты которой положительные.
837. Написать уравнение цилиндра второго порядка,
проходящего через точки Мг (1, 0, —1), М2 (2, 0, 2), если плоскости Е^:
х + 2у + z = О, П2: х — z = 0 являются плоскостями симметрии
цилиндра, а прямая / = UL О П2 — его осью симметрии.
838. Написать уравнение конуса вращения, проходящего через
прямые:
/х: х = 2 + *, L: х = 2 + 2/, 13: х -= 2 — t,
у = 2/, у = f, у = 2/,
z = — 1 + 2ty z = — 1 + 2/, г = -1 - 2/.
839. Написать уравнение цилиндрической поверхности
вращения, зная уравнения трех ее образующих:
1г: х = t, l2: х = —1 + t, l3: х = 1 + t,
У = t, у = /, у = —1 + U
z = t9 2=1+/, г = 2 + /.
840. Написать уравнение цилиндра вращения, проходящего
через точку М0 (1, —2, 1), осью которого служит прямая:
х = t, у = 1 -f 2U z = —3 — 2t.
841. Даны уравнения цилиндрической поверхности Ф: ах2 +
+ by2 + 2сх + 2dy + е = 0 и прямой /: л: =¦ х0 + axty у = у0 +
+ я2^ 2 == г0 + a.J. Найти необходимые и достаточные условия
того, что:
1) / П Ф = {Мг, Д42} (Мг Ф Мг)\ 2) / П Ф = {М}; 3) / с= Ф,
4)/ПФ=0.
842. Параболический цилиндр проходит через точки Mi (1, 1, 1),
М2 (1, —1, 1), его образующие параллельны прямой: х = t, у = /,
z = —2/, а плоскость х + у + 2 = 0 является его плоскостью
симметрии. Написать уравнение этого цилиндра.
843. Через две различные параллельные прямые / и V
проходят перпендикулярные плоскости П и П'. Найти фигуру,
состоящую из точек всех прямых П П П'.
844; Линия задана системой уравнений:
82

[2х — z — 1 =0.
Написать уравнения ортогональной проекции этой линии на плес-
кость хОу.
845. Цилиндрическая поверхность дана уравнением: ах2 +
+ by2 + 2сх + 2dy + е = 0 (а2 + с2 Ф 0). Найти сечение этой
поверхности плоскостью Ал: + By + Cz + D = 0.
846. Написать уравнение цилиндра, зная направляющий вектор
а (5, 3, —2) его образующих и уравнения его направляющей:
1) (х2 + у2 = 25, 2) (у2 — z2 = 4, 3) Г х2 = 2г,
\z = 0; [х = 0; 1 у = 0.
847. Написать уравнение цилиндрической поверхности,
образующие которой касаются сферы х2 + у2 + г2 = 1 и образуют
равные углы с осями координат.
848. Написать уравнение конуса вращения, проходящего
через оси координат.
849. Написать уравнение конуса, описанного около сфер:
х2 + у2 + z2 = 4, (х — 2)2 + у2 + z2 = 9.
850. Конус дан уравнением х2 + у2 — г2 = 0. Написать
уравнение плоскости, проходящей через точки Mi (0, — 2, 2),
М2 (—1, 0, 0) и пересекающей данный конус по параболе.
851. Прямые 1Ъ 12 пересекаются в точке О (0, 0, 0) и образуют
угол, величина которого равна а. Найти фигуру
Ф={М(?31Р (М, У = kp (M9 l2)9 k € /?, к > 0}.
852. Найти уравнение фигуры, состоящей из тех центров
шаров, касающихся плоскости yOz и шара (л: — а)2 + у2 + z2 = a2,
которые лежат в полупространстве х ^ 0.
853. Написать уравнение конуса с вершиной S (1, 0, —1),
проходящего через линию:
{ 9 16 4
854. Доказать, что парабола:
х2 + 4у2 + 4ху — 6х — 2у + 3 = 0,
z = 0,
гипербола:
4у2 + 4z2 — 10yz - 2у + 2z + 3 = 0,
х = 0
и эллипс:
л» + 4г2 _ 6х + 2z + 3 = 0,
у = 0
лежат на одной конической поверхности с вершиной S (1, 1, 1),
Найти уравнение этой поверхности.
83

855. При каком условии плоскость Ах + By + Cz = О пере-
X2 V2 22
секает конус г =0 по паре действительных прямых?
а2 ь2 с2 г г
§ 2. ЭЛЛИПСОИД
В задачах эюго параграфа система координат —
прямоугольная декартова.
866. Написать уравнение сферы, описанной около тетраэдра
с вершинами в точках А (2, 1, —1), В (0, 3, —1), С (0, 0, —3),
D (0, -1, -1).
857. Даны уравнения сферы (х — а)2 + (у — b)2 + (z — с)2 =
=;= г2 и прямой /: х = х0 + axt, у = у0 + a2t, z = z0 -j- a3t. Написать
необходимые и достаточные условия, при которых прямая /:
1) пересекает данную сферу в двух точках;
2) касается сферы;
3) не имеет общих точек со сферой.
858. Доказать, что фигура, определенная системой уравнений:
(х — I)2 + (у + 2)2 + (г - З)2 = 25, 2х — у + 2z — 11 = 0,
есть окружность, и найти ее центр и радиус.
859. Доказать, что фигура у, заданная системой уравнений:
/ х2 + у2 + z2 + 6у + z — 22 = 0,
{ 2х + 2у — z — 3 = 0,
есть окружность. Написать уравнение сферы, проходящей через
окружность у и точку М (4, 2, —1).
860. Определить фигуру Ф, заданную уравнением:
х2 + у2 + z2 + 2ах + 2by + 2cz + d = 0,
где а, Ь, с, d — вещественные числа.
881. Дана точка М0 (л0, у0> *о) и сфера х2 + у2 + z2 = R2.
Найти уравнение фигуры, образованной серединами отрезков,
отсекаемых данной сферой на прямых, проходящих через точку М0.
862. Даны сфера Ф и точка А. Пусть прямая а проходит через
точку А и а Л Ф = {Afj, M2}. Доказать, что число Сф — АМгх
х АМ2 не зависит от выбора секущей а (это число называется
степенью точки А относительно сферы Ф).
863. Написать уравнение сферы, проходящей через точку
М (3, 3, —1) и касающейся плоскости 2х — 2у — г + 5 — 0 в
точке М0 (—1, 1, 1).
864. Даны уравнения окружности у:
(х2 Ц-у2 +г2 = R2
\z = 0
и плоскости Ах + By + Cz + D = 0 (А2 + В2 Ф 0). Доказать,
что nnv^0«1q^7<^2.
S4

865. Напирать уравнение сферы, зная, что она касается поямой
х. = 1 + 3*. у = — 4 + 6/, z = 6 + 4/ в точке Мх (1, —4', 6) и
прямой х = 4 + 2/, у = — 3 + /, 2 = 2 — 6/ в точке М2 (4, —3, 2).
866. Написать уравнение сферы, вписанной в тетраэдр с верши-
/ 11 99\
нами в точках S ( ——, 4, — - , А (—2, 1, 1), В (—1, —4, —2),
c(4-f)-
867. Даны уравнения двух окружностей
. f х2 + у2 + z2—4y—2z—28 = О Г*8 + у2 + z2 + 2у+4z—22 = О
Yi: {2* — у — 2z +1 = 0, 7з! \2х + 2у + z +" 4 = 0.
Доказать, что Yi П 72=^= 0> и написать уравнение сферы,
проходящей через окружности у1у у2.
868. Оси симметрии эллипсоида Ф являются осями ортонорми-
рованного репера. Написать уравнение эллипсоида Ф, если
известно, что он проходит через линии
v2 ?2 v2 ~2
?1: у = 0,— + — = 1 и y2:* = 0, Х- + -?- = 1.
ri ' 25 16 r2 9 16
869. Оси симметрии эллипсоида являются осями ортонормиро-
ванного репера. Написать уравнение этого эллипсоида, если он
х2 у2
проходит через эллипс: z = 0, Ь — = 1 и точку М (3, 2, 5).
870. Написать уравнение эллипсоида с полуосями 10'AJ = 4,
\0'Вг\ = 2, 10'СП = 1, если известны уравнения его плоскостей
симметрии IV х + у + г — ! = 0, EU: л: + у — 2z = 0, П3:
х _ у + 1 = 0 и (О'ЛЛ = Пх П П2, (0'ВХ) = Пх П П3, (O'd) =
= п2 п п*
871. Даны вершины эллипсоида Аг (8, 0, 0), А2 (—2, 0, 0).
Написать уравнение этого эллипсоида, зная, что плоскость yOz
V2 Z2
пересекает его по эллипсу: х = 0, - 1 = 1.
872. Доказать, что сумма чисел, обратных квадратам длин
любых трех попарно перпендикулярных радиусов эллипсоида, равна
сумме квадратов чисел, обратных его полуосям. (Радиусом
эллипсоида называется отрезок, один конец которого принадлежит
эллипсоиду, а другой является его центром.)
873. Пусть О — центр эллипсоида Ф. Точка М i Ф называется
внутренней относительно эллипсоида Ф, если М € 1ОМ0] \ {М0},
X2 V2 Z2
где М0 € Ф. Дано уравнение эллипсоида Ф: \--—|— = 1.
а2 Ь2 с2
Доказать, что точка Мг (хи уъ zj является внутренней
относительно Ф тогда и только тогда, когда
а2 Ь2 с2
85

874. Доказать, что каждая прямая, проходящая через
внутреннюю точку эллипсоида, пересекает его в двух различных точках.
875. Доказать, что если две различные точки Мг, М2
принадлежат эллипсоиду Ф, то любая точка Mf лежащая между ML и М2,
является внутренней точкой эллипсоида Ф.
х2 у2 -2
876. Даны уравнения эллипсоида Ф: hL+- =1 и
а2 Ь2 с2
плоскости П: Ах + By + Cz + D = 0. Доказать, что у = П f| Ф
есть линия второго порядка эллиптического типа, и найти ее центр
м0.
877. Найти фигуру, состоящую из центров всех сечений
эллипсоида Ф плоскостями, параллельными данной плоскосги П.
878. Доказать, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу
тогда и только тогда, когда она проходит через внутреннюю точку
эллипсоида.
X2 V2 I2
879. Даны уравнения эллипсоида Ф Ь — Ч = 1 и
а2 Ь2 с2
плоскости П- Ах + By + Cz + D = 0. Доказать, что плоскость П
пересекает эллипсоид Ф по эллипсу тогда и только тогда, когда D2 <
< А2а2 + В2Ь2 + С2с2.
880. Доказать, что плоскость, данная уравнением Ах + By +
X2 V2 Z2
+ Cz + D = 0, касается эллипсоида Ь — Ч = 1 тогда
а2 Ь2 с2
и только тогда, когда выполняется равенство А2а2 + В2Ь2 +
+ С2с2 = D2.
X2 V2 22
881. Даны уравнения эллипсоида Ф: Ь -—|— = 1 и
а2 Ь2 с2
плоскости П: Ах + By + Cz + D = 0 (D Ф 0) Написать
уравнение плоскости ГГ || П, касающейся эллипсоида Ф и такой, что центр
эллипсоида лежит между П и П\
X2 V2 Z2
882. Даны уравнения эллипсоида Ф: Ь — Ч— = lf
о 12 21
прямой /: 2х — у = 01 и точка М0 (—3, 1, 1). Написать уравне-
г-9 = 0 J
ние той касательной плоскости к эллипсоиду Ф, которая проходит
через прямую / и не пересекает отрезок [ОМ0].
883. Даны уравнения эллипсоида Ф: — + — + — = 1,
а2 Ь2 с2
прямой /: х = xQ + axt, у = у0 + a2t, z — z0 + a3t. Найти
необходимое и достаточное условие, при котором
1) Ф П *= {МцМгЬМгфМг;
2) Ф П /= {М};
3) Ф П /= 0.
884. Написать уравнение фигуры Фх, состоящей из точек всех
касательных, проведенных из точки Мг (0, 0, 3) к эллипсоиду Ф:
v2 v2
fL + 2L + z2 = 1.
9 4
86

885. Даны уравнения эллипсоидов
X2 V2 У2
Фх: — + — + — = 1,
а\ Ъ\ с\
а2 Ь2 с2
Написать уравнение фигуры, состоящей из центров всех сечений
эллипсоида Ф2 касательными плоскостями эллипсоида ф1в
§ 3. ГИПЕРБОЛОИДЫ
В задачах этого параграфа система координат —
прямоугольная декартова.
886. Оси симметрии однополостного гиперболоида Ф служат
осями ортонормированного репера и Ф проходит через эллипс
(X2 V2 ( V2 Z2
f- — = 1 и гиперболу у2'- - = 1» Написать урав-
4 16 1 16 5
U = 0 l* = 0.
нение гиперболоида Ф.
887. Оси симметрии однополостного гиперболоида служат осями
ортонормированного репера. Написать уравнение этого
гиперболоида, если он проходит через линию (25х2 — 16z2 = 144 и точку
\х = у
М0 (3, 4, 3).
888. Даны плоскость П, точка F $ П и число е > О, е Ф 1.
Найти фигуру Ф = [м\ Р(Л|^. = е).
[ р (А*, П) J
889. Написать уравнение фигуры, состоящей из точек всех
прямых, касающихся сферы х2 + у2 + & = 1 и пересекающих прямые
1Х и /2, заданные уравнениями:
/ Х= 1, й ( X = —1,
I У = 0, 1г = 0.
890. Даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые lit
12 и число k Ф 1 (/г > 0). Найга фигуру Ф = {М\ р (М, /х) =
= kp (М, /2)}.
891. Доказать, что прямые, данные уравнениями:
1г: (2х + 2у — 32 — 6 = 0, и l2: f 2х — 2у — 3z + 6 = 0,
\2х — 2у + 3z — 6 = 0, \2* + 2у + Зг + 6 = 0,
скрещивающиеся, и найти фигуру Ф, состоящую из точек всех
прямых, образующихся при пересечении перпендикулярных
плоскостей Пг =Э lL И П2 ZD 12.
892. Доказать, что касательная плоскость к однополости ому
гиперболоиду пересекает его по двум прямолинейным образующим.
893. Доказать, что плоскость П, данная уравнением Ах +
+ By + Cz + D = 0 (D Ф 0), является касательной плоскостью
87

X2 у2 Z2
к однополостному гиперболоиду — + — = 1 тогда и толь-
а2 Ь2 с2
ко тогда, когда выполняется равенство: А2а2 + B2b2 — Cli? = D2.
894. Даны уравнения однополостного гиперболоида Ф: — +
а2
у2 z2
+ -*г = 1 и плоскости П: Ах + By + Cz + D = 0. Обоз-
b2 с2
начим у = П П Ф, а = Л2а2 + В2Ь2 — (Ус2. Доказать, что
1) у — линия второго порядка;
2) у — центральная линия тогда и только тогда, когда а Ф 0,
и найти координаты ее центра.
895. Даны уравнения однополостного гиперболоида:
ф: ^г + ^г — — = 1 и плоскости П: Ах + By + Cz + D = 0.
a2 b2 с2
Обозначим 7 = ППФ и а = А2а2 + В2Ь2 — С2с2. Доказать, что
1) (У — гипербола) фф (а > 0, а Ф D2)\
2) (у — эллипс) «=» а < 0;
3) (у — парабола) «=ф (а = 0, D Ф 0);
4) (у — пара параллельных прямых) фф (а = D = 0).
896. Доказать, что касательная плоскость к однополостному
гиперболоиду пересекает его асимптотический конус по гиперболе.
897. Доказать, что касательная плоскость к двуполостному
гиперболоиду пересекает его асимптотический конус по эллипсу.
898. Доказать, что прямые, данные уравнениями:
(х = а (х = —а (х = —at
к \ у = ы* к \ у = — w. к \у = ь
{z = ct {z = ct \ z = ct
{а- Ь-сф0), попарно скрещивающиеся, и написать уравнение
фигуры, состоящей из точек всех прямых, пересекающих каждую
из данных прямых.
899. Доказать, что плоскость П, касательная к
асимптотическому конусу Ф' однополостного гиперболоида Ф, пересекает Ф
по двум параллельным прямым, симметричным относительно
прямой / = ппф'.
900. Найти уравнения прямолинейных образующих
поверхности * L -f — = 1, проходящих через точку М0 (5, 3, 2).
25 9 4
901. Доказать, что ортогональная проекция прямолинейной
образующей однополостного гиперболоида на плоскость его
горлового эллипса касается этого эллипса.
X2
902. Даны уравнения двуполостного гиперболоида Ф:
а2
__ _*? _ zl = 1 и плоскости П: Ах + By + Cz + D = 0. Дока-
b2 с2
зать, что линия v ==П ПФ есть линия второго порядка, и найти
ее центр.
88

903. Определить вид сечения двуполостного гиперболоида,
д-2 у2 ^г
данного уравнением =1, плоскостью П: Ах +
а2 ь2 с2
+ By + Cz + D = 0.
904. Доказать, что плоскость, данная уравнением Ах + By +
х2 у2
4- Cz + D = 0, касается двуполостного гиперболоида -
а2 Ь2
Z2
=1 тогда и только тогда, когда А2а2 — B2b2 — CV = D2.
с2
905. Даны две точки FL, F2, расстояние между которыми равно
2с > 0 и число а > 0. Найти фигуры:
1) Oi = {М|р (М, Л) + р (М, F2) = 2а > 2с}\
2) Ф2 = {Af | |р (М, Л) - р (М, F2)i = 2а < 2с}.
905. Доказать, что двуполостный гиперболоид не имеет
прямолинейных образующих.
§ 4. ПАРАБОЛОИДЫ
В задачах этого параграфа система координат —
прямоугольная декартова.
907. Найти фигуру, состоящую из всех точек, одинаково
удаленных от данной плоскости П и точки F $ П.
908. Даны две скрещивающиеся прямые 1Ъ /2. Найти фигуру
Ф= {М | р (Af. /i) = р (М, /2)}.
909. Найти уравнение фигуры, состоящей из тех центров
шаров, касающихся плоскости yOz и шара (а: — а)2 + у2 + z2 = а2,
которые принадлежат полупространству X ^ 0.
910. Даны уравнения парабол:
fv2 = 2я, (z2 = —2л:,
*:liLo, • ^:Ь = о
и плоскость П: у — z = 0. Найти фигуру, состоящую из точек
всех прямых, пересекающих параболы уъ у2 и параллельных
плоскости П.
911. Доказать, что плоскость П является касательной
плоскостью гиперболического параболоида тогда и только тогда,
когда она пересекает его по двум прямолинейным образующим.
912. Написать уравнение плоскости, параллельной данной
плоскости П: х — у + z — Ъ = 0 и пересекающей параболоид
х2 га
= 2у по двум прямолинейным образующим. Найти
9 4
уравнения этих образующих.
913. Найти уравнения прямолинейных образующих парабо-
х2 у2
лоида — = 2z, параллельных плоскости 6х + ty — 8г +
8 2
+ 1=0.
69

914. Найти фигуру Ф1? состоящую из всех точек параболоида
Ф, данного уравнением х2 — z2 — 2y, через которые проходят
перпендикулярные образующие.
915. Найти необходимое и достаточное условие того, что плос-
#2 v2
кость Ах + By + Cz + D = 0 касается параболоида Ь — =
р я
= 22.
916. Доказать, что у эллиптического параболоида не
существует прямолинейных образующих.
917. Даны уравнения прямых:
/ . f * + z = 0, / . Г х — у — z = О,
^•(у = 0, L*-{x + z — 2 = 0
и плоскости П: # — z = 0. Найти фигуру, состоящую из точек
всех прямых, пересекающих прямые 1Ъ /2 и параллельных
плоскости П.
918. Доказать, что гиперболический параболоид нельзя
пересечь плоскостью по эллипсу.
919. Доказать, что эллиптический параболоид нельзя
пересечь плоскостью по гиперболе.
Глава IV.
АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО
гс-МЕРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 1. АФФИННОЕ л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
920. Доказать, что точки А, В, С принадлежат одной прямой:
1) А (2, 1, -2, 0), В (1, -3, -3, 1), С (4, 9, 0, -2);
2) А (0, -3, 0, 2), В (1, 1, -1, -2), С (-1, -7, 1, 6).
921. Даны две точки А и В. Найти координаты точек
пересечения прямой (АВ) с координатными гиперплоскостями:
1) А (1,3,-1,2), В (-1,-2, 1,3);
2) Л (1,-1,2,-2), 6(3,2,-3, 1).
922. Доказать, что точки Л, В, С, D принадлежат одной
плоскости:
1) Л (2, 1, -3, 4), В (0, I, -2, 17), С (3, -2, -1, 0),
jy ю 5 2 9)*
2) Л (0, -1, 1, 2), В (-1, 4, 0, 1), С (-2, 1, -3, -1),
D(—1, 12,2,2).
923. В аффинном 5-пространстве дана плоскость П = [М0, я, Ь\.
Найти параметрические и общие уравнения плоскости П в репере
R = (О, ?/), если известно
MQ (2, 0,J, 0,_—1), _а = \ + "е^+ 2^з + *Г4 +"е5,
? = ? + 2е2 + ~е3 — 2е4 + &?5-
90

924. Даны три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой,
и еще три точки Аи Blt d> также не принадлежащие одной
прямой:
А (1, -1, 4, -2), В (О, 3, -4, 3), С (2, 1, 0, -1),
Аг (О, 1, -1, 3), Вг (-6, -1, -2, -3), Сг (-4, 0, -1, 0).
Найти координаты точки пересечения плоскостей (ABC) и (Аф^С-^.
925. Принадлежат ли пять точек А, В, С, D, Е одной
гиперплоскости:
1) Л (1,1, -2, 2), В (-3,1,4, 4), С (-1, 2, 3, 6), D (0, 2, -1, 3),
?(-1,0,1,2);
2) А (0, 1, 3, -3), В (-1, 0, 2, 2), С (2,1,0,4),D (-2,-1, 3, 0),
?(-1, 1,2,-2)?
926. Доказать, что прямые (А В) и (CD) параллельны:
1) А (2,1,-1,2), В(-1, 0,3, 1), С (6, 2, 8, -2), D (3, 1,12,-3);
2) Л (0, 1, 2, 3), 5(1,0,3.2), С (2, 4, 3,6), D (-1, 7, 0, 9).
927. Доказать, что плоскость (ABC) параллельна плоскости
№&):
1) А <2, -1, 0, 4), В (-1, 2, 0, 3), С (3, 0, 1, 1),
Л, (1, 1, 1, 1), В, (8, -4, -4, 6), d (-3, 3, 3, 0);
2) Л (1, 2, 0, -1), 5 (2, 1, -1, 0), С (0, 3, -4, 1),
Лх (2, 0, 1, -3), Вх (2, 0, 11, -9), d (3, -1, -5, 1).
928. Даны две прямые (АВ) и (CD). Выяснить их взаимное
расположение:
1) Л (1, 3, 0, —1), В (0, 2, 1,4), С(1,0,—1,0), D(3,2,-3,-10);
2) Л (5,-3, 2, 1), В (2, -1, -3, 0), С (11,-7, 12, 3),
D (2, -1, -3, 0);
3) Л (4, 0,-1, 2), 5(0,3,2,1), С (1,-1,-1,0), D (2, -1,
-4, -5);
4) Л (-2, 2, -2, 2,), В (7, -1, 7, -1), С (-1, 2, 3, -4),
D(5,-l,-3, 11).
929. Даны три попарно скрещивающиеся прямые (АВ), (CD),
(EF), не лежащие в одной гиперплоскости. Доказать, что
существует единственная прямая р, лежащая е каждой из данных
прямых в одной плоскости.
930. В репере (О, eit e2, e3, ej пространства Л4 написать
уравнения плоскости, определяемой точками
М0 (1, -2, 3, —1), Мх (2, 1, 0, 1), М2 (0, -2, 1, 0).
931. В репере (О, еъ et, ег, е±, еь) пространства А5 написать
параметрические уравнения плоскости, определяемой точками
М0 (1,3,-1,4, 5). Мг {2, 3,-1, 4, 5), М2 (—1, 0, 1, -1, 1).
932. В аффинном пространстве Ап дан репер (О, et) {i =1,2, ...,/г).
-¦*" . -*¦
Доказать, что вектор # = а1 ег параллелен гиперплоскости
Пя_1 : b'txl + b = 0 тогда и только тогда, когда а% = 0.
933. В аффинном /г-пространстве даны плоскости Ир =
= [М0, V'\ к Пд = [Af'o, У"! (р < q). Пусть (а,) и (pj) — базисы
91

пространств V и V\ s = ранг (яь ..., а^, Ьъ ..., Ь^), г =
= ранг {аъ ..., ар, bly ...%bg, MQMo) и У = V f] У", dim V = m.
Доказать, что
1) П, П К Ф 0 *=fr = s = p + q — m:
а) П^ П 1Ц = Пт <& г = s < р + q,
б) П, П П; = {M}t=>r = s = p + q;
2) Up [] п; == 0 « г = s + 1 - р + 9 - т + 1:
а) (Пр, п? имеют общее направление) <=$ г = s + 1 <р+<7 +1,
б) (П^ и П^ скрещиваются) ффг = 5+ 1 = р + q + 1.
934. Доказать, что если в аффинном пространстве Ап система
точек общего положения М0, Mlf ..., Мр принадлежит плоскости
Пр, а система точек общего положения В0, В1э ..., BQ принадлежит
плоскости П^, то плоскости Пру Пд скрещиваются тогда и только
тогда, когда система точек М0, Мг, ..., Мру В0, В1э ..., Bq имеет
общее положение в ЛЛ.
935. Доказать, что каждое векторное пространство V над
полем К можно рассматривать как аффинное пространство Е = V,
если отображение а: Е х ? ->- V установить по закону: а (а, Ь) =
= b — aVa, b? V.
936. Прямая m проходит через точку М (10, 3, —9, —13) и
пересекает данную прямую (АВ) и данную плоскость П2. Вычислить
координаты точек т П (АВ) и /nf] П2, если А (—1, 0, 2, 3),
В (2, 1,-1,0),
п . Г*1 + х2 — х* = 0
2* \2х2 + 2х* — х* + 3 = 0.
937. Доказать, что каждая плоскость ПЛ = [М0, V], dim V'=k
аффинного пространства Ап есть й-мерное аффинное пространство
Ак с пространством переносов V.
938. Плоскость П2 аффинного пространства Ап не имеет общих
точек с гиперплоскостью rin-\ • Доказать, что П2 параллельна Пл-i.
939. Даны три гиперплоскости в Л4:
П: 2хх + З*2 — г* + х4 — 1 = 0,
1Г: х1 — 2х2 + х3 — х4 + 3 = 0,
1Г: хх + \2х2 — 5х3 + 5х4 — 8 = 0.
Доказать, что они пересекаются по плоскости.
940. Найти пересечение гиперплоскости П и луча [AM):
1) П: Зх1 + 2х2 + х9 — 2х* + 4 = 0,
1АМ): х1 = 1 + U х2 = — 1 — 2U г* = 3>, х4 = 2 + f, f >0;
2) П: х1 — 2*2 + х3 + х* — 13 = 0,
UM): х1 = /, х2 = 1 — *, х3 = 2 + U х4 = — 1 + 3/, / > 0.
92

941. В аффинном пространстве Ап даны плоскости Пр =
= Ш0, V] и П'^ = Ш'о, V']. Доказать, что в Ап существует
плоскость наименьшей размерности, проходящая через данные
плоскости, и найти ее размерность.
942. Дан симплекс АлАгАъА^Аь. Прямая пересекает плоскости
его граней в точках Въ Въ В3, В4» Въ. Доказать, что середины
отрезков \АxBJ, [Л2?2], [А3ВЯ], [А^В^ААЬВЬ] принадлежат одной
гиперплоскости.
943. Определить взаимное расположение плоскостей П2, ГЬ
в пространстве Л5, если в репере (О, et) {i = 1, 2, 3, 4, 5) даны
их уравнения:
х1 = 1 + 2А,1 — ЗХ2 Х1 = 2 — Х1 + X2
х2 = 1 + X1 — К2 х2 = 4 + 2Х1 — X2
П2: хъ = 2 — X1 + 2Х2 П'2: х* = ЗХ1 + X2
х* = 1 + X1 + 2Х2 х4 = 2 + X1 + 2Х2
х*> = ЗХ1 — Х\ х* = 1 + X1 + X2.
944. Доказать, что через k + 1 точек общего положения в
аффинном пространстве Ап (k < я) проходит единственная &-мер-
иая плоскость и в каждой ^-мерной плоскости пространства Ап
существует максимальная система из k + 1 точек общего
положения.
945. Дана прямая (АВ) и скрещивающаяся с ней плоскость
(PQR). Найти множество середин отрезков [MN], где М (: (АВ),
N <Е (PQR):
А (1, 1, 1, -1), В (2, -1, 0, 0), Р (0, 0, 2, 1),
Q (3,-1,2, 1), /? (-2, 1,-1,3).
946. Доказать, что плоскости П2, П2 пространства Л4, задан-
—»•
мые в репере (О, ez) (i = 1, 2, 3, 4) уравнениями:
п. х1 — Зх2 — 2jc3 + 3 = 0 п\ хх + л-2 — 3^ + ^=0
ll2' Зх2 + 2х? — х4 — 4 = 0, 2* 2*1 + х2 — Зх3 — 1 = О,
пересекаются по прямой, и найти уравнения этой прямой.
947. В аффинном 4-пространстве даны четыре попарно
скрещивающиеся прямые, не лежащие в одной гиперплоскости и не
имеющие секущую прямую. Доказать, что через произвольную точку
можно провести две плоскости, пересекающие все четыре прямые.
948. Определить взаимное расположение плоскостей П2, п! в
аффинном пространстве А4, если в репере (О, ej) даны их уравнения:
х1 = 1 + ЪХ1
п'- х2 = — 1— X1 тт. х1 + х2 — 2х*+ х* — 1=0
Ali' х2 = 2 + X1 il2' 2л:1 + Зх2 + х3 — 2х4 + 7=0.
х* = — 2 + Х\
93

949. Пусть Л, В, С — три различные точки аффинного
пространства Ап, принадлежащие одной прямой. Доказать, что среди
точек Alf В, С существует одна, лежащая между двумя другими.
950. Доказать, что система точек Л0, Аъ ..., Ak (1 < ft ^ п)
аффинного пространства Ап есть система точек общего положения
тогда и только тогда, когда векторы AQAly AQA2, ..., A0Ak линейно
независимы, причем безразлично, какая из данных точек взята
за Л0.
951. В репере (О, et) пространства Л 4 даны точки Л0 (1, 0, 1, 0),
Ах (2, 1, 2, 1), Л2 (0, 0, 1, 2), Л3 (1, 2, 1, —1). Доказать, что эта
система точек имеет общее положение в Л4-
952. Даны пять точек Л, В, С, D, Е общего положения.
Доказать, что гиперплоскость, проходящая через середины отрезков
[АВ], [ВС], IDE], [CD], параллельна прямой (Л?).
953. В аффинном 4-пространстве даны пять точек А, В, С, D,
Е общего положения. Отрезки [АВ], [ВС], [CD], [DE], [ЕА]
разделены точками Р, Q, R, S, Т в отношениях Хг, Х2, К3, А,4, Я5.
Доказать, что необходимое и достаточное условие принадлежности
этих точек одной гиперплоскости выражается равенством:
954. Доказать, что если ft + 1 точек общего положения
аффинного пространства Ап принадлежат двум плоскостям Uk и
п; (* < о, юплс п;.
955. Доказать, что если две различные гиперплоскости Пя_5,
Un—i аффинного пространства Ап имеют общую точку, то
Пп_г П iCi = lC2.
956. Доказать, что через две скрещивающиеся плоскости
Пр = [М0, V] viliq = Ш'о, VI (р + q <n— 1) всегда проходит
плоскость Пр+з-н и не существует плоскости Щ =э Пр, ПГ:э
=> П^, ft < р + q.
957. Точка В аффинного пространства Лл не принадлежит
плоскости Uk = [M0, V'\. Доказать, что существует единственная
плоскость 1Ь-{-1, проходящая через точку В и плоскость ПА.
958. Пусть при аффинном преобразовании гиперплоскость П
инвариантна. Доказать, что если при этом преобразовании точка
X переходит в точку Хгф X и П f| (ХХг) = Х0, т° отношение,
в котором Х0 делит отрезок [ХХг] постоянно для данного
преобразования.
959. При аффинном преобразовании / имеем:
/ (О) = О, / (Л) = Л, / (В) = В, / (С) = С, / (М) = Мх.
Написать формулы этого аффинного преобразования по
координатам указанных точек:
О (0, 0, 0, 0), Л (1,0,0,0), В (0,1,0,0), С (0, 0, 1, 0), М (1, 1, 1,1),
Мх (2, 3, -2, 4).
94

860. Доказать, что если две различные плоскости П^, и Пр
аффинного пространства Ап принадлежат плоскости Пр+1 и
пр п п; ф 0, то пр п п; = п;_,.
961. Доказать, что через точку В, не принадлежащую плоскости
Uh = [М0, V] аффинного пространства Ап, проходит
единственная плоскость Щ, параллельная Uk.
§ 2. ЕВКЛИДОВО «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В задачах 962—971 репер ортонормированный.
962. Вычислить координаты ортогональной проекции Мх
точки М на гиперплоскость П:
1) М (1, 1, 1, —1), П: х1 + х2 — 2х? + х* — 1 = 0;
2) М (0, —1, 2, 1), П: 2ху + х2 + х* — 3 = 0.
963. Вычислить расстояние от точки А до гиперплоскости П:
1) А (1, —1, 2, 1), П: х1 + Зх2 — х3 — х4 + 2 = 0;
2) А (2, 3, —1, 4), П: х1 — х2 + 2х* + х* + 1 = 0.
964. Вычислить координаты ортогональной проекции точки
М (1, —2, 3, —1) на прямую
xi = % _ 2, х2 = —% + 2, х3 = 2К + 1, х* = — ЗЛ.
965. Вычислить координаты ортогональной проекции точки
М (2, —1, 3, 1) на плоскость
f х1 + х2 + Xя — х4 + 1 = 0
{ 2хг + х2 — 2г* + ** + 2 = 0.
966. Вычислить расстояние от точки А до прямой /:
1) А (1, 1, -2, 1),
1:х1 = К, х2 = — % + 1, л3 = X + 2, х4 = 2% — 1;
2) Л (3, 1, -1, 1),
/: хх = _я, г* = X + 2, х3 = —% + 1, х* = 2Я.
967. Вычислить расстояние от точки Л до плоскости П2:
1) А (2, 3, -1, 1), Пг:
2) А (3, -1, 1, 0), П2:
(х1 + х2 — х3 + х4 = 0
[—х1 + 2х2 + х3 — 1 = 0;
Г х1 + 2л:2 + х* = 0
\—2*1 +1 = 0.
968. Вычислить расстояние от прямой (АВ) до плоскости (PQR):
1) А (2, 1,0,0), В (-1,2,3, 1),
/> (0, 0, 0, 1), Q (-2, 1, -1, 0), R (1, 1, 1, -1);
2) А (0, 0, 0, 0), В (-3, 2, 1, 1),
Р(1, 1, 1, 1), Q (2, -3, -1, 1), Я (-1, 1, 2, -2).
969. Вычислить площадь треугольника ABC по координатам
его вершин:
95

1) А (О, О, 1, 2), В (1, -1, 2, -2), С (1, 1, -3, 0);
2) А (0, 1, 1, 1), В (-2, 1, 0, 0), С (-1, 2, 3, -2).
970. Вычислить координаты центра гиперсферы, описанной
вокруг симплекса ABCDE, заданного координатами своих вершин:
А (0, 0, 1, 1), В (-1, 1, 0, 0), С (2, 1, 0, -1), D (1, 1, 2, 3),
Е (-2, 1, 3, -1).
971. Написать уравнения общего перпендикуляра прямой (АВ)
и плоскости (PQR):
1) А (1, 1, 1, 1), В (-2, -1, 1, 3),
Р (2, 1, -1, 0), Q (3, 1, 0, -1), R (0, 0, -1, 1);
2) Л (0,0, 1, 1), Б (2,-1,0,0),
Р (3, 1, 0, -2), Q (-2, 0, -1, 3), R (1, 1, 1, -1).
972. Пусть V — я-мерное векторное пространство над полем
R, V, V" — его подпространства размерности р, q соответственно.
Вектор п € V называется ортогональным (перпендикулярным) про-
—>-
странству V", если он ортогонален Ух € V" (обозначается так:
п JL V"). Пространство Y называется ортогональным пространству
V\ если Vx € Y xl V" (обозначается так V J. V"). Если V±V
и р + q = я, то каждое из пространств У, V" называется
ортогональным дополнением другого.
Плоскость Ир = Ш0, V] евклидова пространства Еп называется
перпендикулярной плоскости Пд = [Мо, V] (обозначается так:
Пр JL Щ), если 3xGV \х±У(хфЪ).
Плоскость lip называется вполне ортогональной плоскости
П^, если V 1 V".
Доказать, что в евклидовом пространстве Еп через любую
точку В. проходит единственная плоскость Пл_р, вполне
ортогональная плоскости Пр и Пл_р П Пр = {М}.
973. Доказать, что любые две различные плоскости Пл_р и
Пд_р евклидова пространства ЕПУ вполне ортогональные плоскости
Пр, параллельны и Пл_р П Пл_р = 0. Перпендикуляром к
плоскости Uk евклидова пространства Еп назовем прямую n[±Ufc
и П1 П Пл = {М}. Доказать, что через точку В евклидова
пространства Еп проходит единственный перпендикуляр к
плоскости Uk J В.
974. Написать формулы преобразования симметрии
относительно гиперплоскости х1 + х2 + jc3 + я4 = 0.
975. Доказать, что fe-мерная плоскость Uk = Ш0, V]
евклидова пространства ?я есть /г-мерное евклидово пространство Ek
с пространством переносов V.
976. Написать формулы преобразования симметрии
относительно оси: х1 = 1 + Я, ,*2 = 2 — К х? = — 1 + 2А,, ** =* — 2К
96

977. В ?4 даны четыре пересекающиеся в одной точке попарно
перпендикулярные прямые. Доказать, что композиция осевых
симметрии относительно этих прямых есть тождественное
преобразование.
978. Доказать, что существует единственный общий
перпендикуляр скрещивающихся плоскостей Пр и П^ пространства Еп.
979. В Ек даны три попарно перпендикулярные гиперплоскости,
пересекающиеся по некоторой прямой /. Доказать, что композиция
симметрии относительно всех этих гиперплоскостей есть осевая
симметрия относительно прямой L
980. В ?4 Дана гиперплоскость П и принадлежащая ей точка
Л. Доказать, что композиция симметрии относительно П и Л есть
симметрия относительно оси /, проходящей через Л
перпендикулярно к П.
-*¦
981. В ортонормированном репере (О, et) евклидова
пространства ?4 Дано уравнение плоскости:
п . (2Х1 + х2 + *? — ** + 5 = 0
2' 1 х1 + х2 — 2х* + 2** — 1 = 0
и точка М0 (1, —3, 2, 5). Написать уравнение плоскости Щ 3 М0,
вполне ортогональной к П2.
982. Доказать, что множество точек, принадлежащих всем
прямым евклидова пространства Еп, проходящим через данную точку
Мо и перпендикулярным данной плоскости Пр, есть плоскость
Пл__р, вполне ортогональная плоскости Лр.
983. В ортонормированном репере (О, et) евклидова
пространства Еп дано уравнение гиперплоскости Т1п^г : btxl + Ь = 0
(I — 1, 2, ..., п). Доказать, что вектор п = > Ърь перпендикуля-
рен Пя-х.
984. Дан симплекс А1А2А3А±А5 в ?4. Вычислить расстояние от
середины ребра [ЛХЛ2] до центра тяжести противолежащей грани
А3А±АЪ, если известны длины всех его ребер.
985. Вычислить расстояние от центра тяжести грани АгА2А3
до центра тяжести грани АгА±АЪ1 если известны длины всех ребер
симплекса А^А^Лъ^аЛь-
988. Доказать, что в евклидовом пространстве Еп через
любую точку В проходит единственная плоскость ЕЦ_Р, вполне
ортогональная плоскости Пр.
987. Доказать, что если высоты [ЛА] и [А2В2] симплекса
АгА2А3АААь пересекаются, то ребро [ЛхЛ2] перпендикулярно
противолежащей грани А3А±АЬ,
988. Через центр тяжести каждой грани симплекса проводится
гиперплоскость, перпендикулярная к противолежащему ребру.
Доказать, что все эти гиперплоскости проходят через одну точку.
97

989. Дан симплекс ЛИИз^Ив» У которого
(АгА2) _L (А3А,АЬ), (А,А3) 1 (А4АъАг),
(Л3Л4) 1 (АъАМ (А,АЪ) 1 (Л1Л2Лз).
Доказать, что и (АЬА^) ± (А2А3А±).
990. Прямой четырехгранный угол Sabcd в ?4 пересечен
гиперплоскостью в точках А, В, С, D. Доказать, что квадрат объема
тетраэдра A BCD равен сумме квадратов объемов четырех
тетраэдров SABC, SBCD, SCDA, SDAB.
991. Даны два симплекса АгА2А3А^Аъ и В^^В^^В^ Доказать,
что если
(ли2) 1 (в3в,вь), (л2л3) 1 (адях),
(А3А,) ± (B&Bj, (ЛИв) JL (ЯАЯв),
то и (ЛИО ± (В2В3Вь).
992. Даны два симплекса в ?4. Доказать, что если прямые,
проведенные через вершины одного перпендикулярно к
гиперплоскостям гиперграней другого, пересекаются в одной точке,
то и прямые, проведенные через вершины второго перпендикулярно
к гиперплоскостям гиперграней первого, также пересекаются в
одной точке.
993. В ?4 даны 17 точек с целочисленными координатами.
Доказать, что хотя бы один из отрезков с концами в данных точках
имеет своей серединой точку с целочисленными координатами.
994. В ?4 дана точка, все ортонормированные координаты
которой различны. Построены все точки, координаты которых
получаются из координат данной точки в результате их перестановки.
Доказать, что указанные 24 точки принадлежат одной сфере.
995. Пусть V — пространство переносов евклидова
пространства Еп, at € V, (et) — ортонормированный базис в V и at = alej
(i\ / = 1, 2, ..., /г). Смешанным (или косым) произведением
(аг, а2, ..., ап) называется определитель det || а\ ||. Говорят, что
базис (et) одинаково (противоположно) ориентирован с базисом
(ei) векторного пространства V, если матрица перехода от базиса
(et) к базису (et) (e't = dej) имеет определитель det || cf ||> 0
(det || d || < 0). Все базисы пространства V можно разбить на
два класса так, что любые два базиса одного класса одинаково
ориентированы, а два базиса, принадлежащие разным классам,
противоположно ориентированы. Каждый из этих классов
называется ориентацией векторного пространства V.
Доказать, что если заменить ортонормированный базис (е/
на другой ортонормированный базис (et), то смешанное произве-
->-»--»- -»¦ -*¦/
дение (аь а2, ...., ап) не изменится, если базисы (et) и (е*)
одинаково ориентированы, и меняет знак, если они противоположно
ориентированы.
98

996. Возьмем в /i-мерном евклидовом пространстве Еп (п > 1)
ортонормированный базис (et) и упорядоченную систему п — 1
векторов %, а2, ..., fl^-i, #а = cCofii (i = 1,2, ..., /г; а = 1, 2, ...,
..., п — 1). Вектор
Ь =: lfllt а2,
a„_i =
,*2„2
й?аЗ.
2
.a„_i
•• aS_i
*7 +
3 3 3
CLlO,2 ... аЛ_!
aja2... a„_i
» и/г-1
?>2 + ... +
ai a2... аЛ_1
я—1 я—1 /г—1
#i (22 ...ая_1
называется векторным произведением векторов aa. Запишем его
в виде символического определителя:
11 1 -*
2 2 2 "*"
aia2...a;i_ie2
а1а2...а/г_1еЛ
Доказать, что если базис (et) заменить на другой
ортонормированный базисе), то векторное произведение сохраняется, если эти
базисы одинаково ориентированы, и меняет знак, если они
противоположно ориентированы,
997. Доказать, что векторное произведение [аъ аъ ..., ап_г]
векторов аа евклидова пространства V ортогонально каждому
сомножителю.
998. Доказать, что векторное произведение [av а2У ..., ая_х] = О
тогда и только тогда, когда векторы а^ линейно зависимы.
999. Доказать, что для любых двух систем векторов (о^),
(bj) (i, j = 1, 2, ..., /г; п > 1) евклидова /i-мерного пространства V
выполняется равенство:
(al9 as, ..., ап) (Ь±, 62, ..., Ьп) =
Если аь = &/f получаем:
(ax, a2, ..., аЛ)2 =
а2 •
"п-
. _>.
->•
«2
1 ""*"
1 CL„
К
-*.
• ах
• аг
_^
• %
—>¦
а2 •
—>•
сх
а2
->
«я
&2 ..
&2 ..
X ..
—>-
• а2 .
• «2 •
->
• а2
—*•
. а% ¦
• ап •
-+
.. а±
.. а2
" _>
4
К
->
ая
• «я
->
99

Зтот определитель называется определителем Грама системы век-
-> ->->-*-
торов (at) и обозначается G (аь а2, •••» а«)- Имеем: G (а15 а2, ...
—»• —>
..., ап) = 0 тогда и только тогда, когда векторы а( линейно зависимы.
Если же векторы щ линейно независимы, то
G (аъ а2, ..., ап) > 0.
-> —*• -»•
1000. Доказать, что для любой системы векторов а1У а2, ..., ап
(п > 1) евклидова пространства V выполняется равенство:
->-> -* -»--*- _> _*.
(ах, а2, ..., ал) = 1аг> а2, ..., a,^] • аЛ.
1001. Доказать, что для любой системы векторов а1э а2, ...., ая
евклидова /г-мерного (/г > 1) пространства V выполняется
равенство:
[%, а2, ... , ал_1]2=С(а1, а2, ... , ап_г).
1002. Расстоянием между фигурами F и Fr евклидова
пространства Еп называется число
р (F, Г) = inf р (М, МЛ) = р (Г, F).
м е ^
Л1' € F'
Доказать, что расстояние между точкой Л11 и плоскостью Пр =
«= Ш0, V] вычисляется по формуле:
р{м1г Пр) = \&?.у*,.мЖ)\
или
P(Aflt пр) = л/а&.$.-,%.>&J t
* G(aly а2, ... , ар)
где ах% а2, ...# я^ —базис пространства V.
1003. В ортонормированном репере R пространства Еъ дана
точка Мг (0, 1, 2, 0, —1) и уравнение плоскости
х1 = 1 + 2КХ — А,2,
х* = 2 — Х1 — А,2,
П2: х* = 0,
*4 = —1 -j- 2?,1 + к\
хь = ?Л
Найти р (Mi, П2).
1004. В ортонормированном репере R пространства ?4 даны
уравнения параллельных гиперплоскостей:
П„,1: аьх1 + сг = 0,
Un-г'. аьх1 + с2 = 0.
Найти расстояние р (Пл_1э П,^).
1005. В -ортонормированном репере R пространства Е4 даны
точка Мг (2, —1, 1, 1) и уравнения плоскости
100

П2: f х1 — х2 + 2х3 — jc* — 5 = О
1 х1 + х2 + 2хп + Зх4 — 1 = О.
Найти расстояние от точки М1 до плоскости П2.
1006. В евклидовом пространстве Е3 даны точки А и В своими
координатами в ортонормированном репере. Написать формулы
отражения от плоскости, в котором точка А переходит в точку В:
1) А (0, 0, 0), 6 (1, 1, 1); 2) А (2, 3, 1), В (0, 1, 3).
1007. Написать формулы отражения пространства Е3 от
плоскости, заданной в ортонормированном репере уравнением:
1) х + у + г—1 =0; 2) 2х — у + г = 0; 3) Ах + By + Cz +
+ D=0.
1008. Написать формулы осевой симметрии относительно
прямой, заданной в ортонормированном репере уравнениями:
1) [х + у = 0, 2) (х + у + 1 = 0, 3) ( х = 2 + 2ty
\х - у = 0; \2х - у - 0; у = -1 +ty
[z = —t.
1009*. Доказать, что композиция четного числа центральных
симметрии есть перенос или тождественное преобразование, а
композиция нечетного числа центральных симметрии есть центральная
симметрия.
1010. Доказать, что если композиция двух осевых симметрии
перестановочна, то оси симметрии пересекаются и взаимно
перпендикулярны.
1011. Доказать, что композиция отражений от трех плоскостей
тогда и только тогда является отражением от плоскости, когда
плоскости симметрии принадлежат одному пучку.
1012. Даны три параллельные прямые а, Ь, с. Доказать, что
композиция осевых симметрии относительно этих прямых есть
осевая симметрия относительно некоторой прямой. Построить эту
прямую.
1013. При каком условии композиция осевой симметрии
относительно прямой а и переноса на вектор т перестановочны?
1014. Доказать, что композиция двух поворотов есть поворот
тогда и только тогда, когда оси поворотов пересекаются или же
когда они параллельны и сумма углов поворотов отлична от 360°.
1015. Доказать, что любое перемещение пространства Е3 можно
представить композицией не более четырех отражений от
плоскостей.
1016. Доказать, что композиция двух гомотетий с различными
центрами есть либо гомотетия, либо параллельный перенос.
* В задачах 1009 —1020 перемещения и подобия рассматриваются вЯ.
101

1017. Доказать, что композиция трех гомотетий, центры
которых не принадлежат одной прямой, есть либо гомотетия, либо
перенос, причем центр гомотетии принадлежит плоскости,
проходящей через данные центры, а направление переноса параллельно
этой плоскости.
1018. Доказать, что всякое подобие пространства, отличное от
перемещения, имеет единственную неподвижную точку.
1019. Доказать, что всякое подобие второго рода, отличное от
перемещения, есть композиция гомотетии, поворота вокруг оси,
проходящей через центр гомотетии, и симметрии относительно
плоскости, проходящей через центр гомотетии перпендикулярно оси.
1020. Доказать, что всякое подобие первого рода, отличное от
перемещения, есть композиция гомотетии и поворота вокруг оси,
проходящей через центр гомотетии.
Глава V.
КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ И КВАДРИКИ
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1021. Доказать, что симметрическая билинейная форма <р (х, у)
-»¦ ->
может быть представлена через квадратичную форму ф (х, х).
1022. Даны матрицы:
1) /1 0\ 2) /0 1 0 К 3) / 1 1 0 Ь
—1 I /10 10 1 /—11 0 0
1 I 01011 00—10
\0 1/ \1 0 1 0/ \—1 0 0 0J
Построить соответствующие билинейные формы, определенные на
векторном 4-пространстве над полем R, и вычислить ранги этих
билинейных форм.
1023. Билинейная форма ф задана матрицей в некотором базисе
векторного пространства У (dim V = 4) над полем R:
1) /0 -1 1 0\ 2) /1 0 0 0^
0 111
0 0 11
\0 0 0 1
'0 -
1
0
>0
-1 1
00
00-
0 1
0'
1
-1
0.
Вычислить ф (х, у), где
У =
t02

1024. Доказать, что билинейная форма, заданная в
конечномерном пространстве, представима в виде произведения двух
линейных форм тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой
билинейной формы равен единице.
1025. Найти условие, при котором билинейная форма ф (х, у)
-> -> ->
обращается в нуль при х = у для всякого вектора х.
-> ->
1026. Если симметрическая билинейная форма ф (х, у)
положительно определенная, то
Ф (Pi> Р2)2 < Ф (Ръ Л) Ф (Р* PJ
—> —>
для любой пары ненулевых векторов рх и р2- Доказать.
1027. Решить систему уравнений относительно К:
Ф (х, х) = 0
-> ->¦ ->•
где а, Ь, л; (К, И Л.
1028. Пусть ф (х, х) — квадратичная форма, заданная в
векторном пространстве, причем ф (а, а) > 0, ф (&, ft) < 0. Доказать,
что 1) векторы а и Ь линейно независимы; 2) в двумерном простран-
-> ->- -> ->
стве с базисом (а, 6) существуют два вектора хъ я2, для которых
Ф (*i> *i) = ф (*2> *г) — 0J 3) векторы хх и л;2 линейно независимы.
1029. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
п п
чтобы квадратичная форма ^саЗ + 2^&л;/л:/.была положительно
i=i i, /=1
определенной.
-> ->• -* -*•
1030. «я-угольником» а билинейных форм фх (х, у), ...., фл (я, у),
определенных на одном и том же векторном пространстве V>
называем п-ку форм
а = (ф1 (?у). .... фя (*,У)).
На множестве «/г-угольников» определим две операции:
1) а+Ъ = (Фх (?5), ..., фя (х, у)) + (ф^ (J у), ..., фл (Я у)) =
= (<Pi (*, у) + Фх &У). •••» Фя &У) + Фя fojO);
2) Ял = Я (фх (^ у), ..., фЛ (? у)) = (Лфх (7, у), ..., tap„ (? у)).
Показать, что множество «/г-угольников» образует векторное
пространство.
1031. Центроидом «я-угольника» билинейных форм
Ф* (*. У) (* = 1> ...» п)9 а = (фх (*, у), ..., фл (х, у))
называем а0 = ф (а:, у) = — V ф^ (л:, у).
t=i
103

Убедиться, что центроид — билинейная форма .
1032. Привести квадратичную форму
(х1)2 + (х3)2 — 2хгх2 + 2хгх3 + 10А8
к нормальному виду.
1033. Привести квадратичную форму
(х1)2 + 4 (х2)2 + 8 (х3)2 — (х*)2 — 4Лс2 + 6Л3 —
— 12А3 + 2х*х* + Л5 — л4*5
к нормальному виду.
1034. Ортогональным преобразованием привести к
каноническому виду квадратичные формы:
1) 2 (я1)2 + (х2)2 + 2 (х3)2 — 2хН2 q- 2А3,
2) 7 (х1)2 + 6 (х2)2 + 5 (г*)2 — 4:Хгх2 — 4х2х*,
3) (х1)2 — 2 (л;2)2 + (х3)2 + 4Лк2 — 8А:3 — 4Л3,
4) (х1)2 + 5 (х2)2 + (х3)2 + 2Л2 + 6Л3 + 2А3,
5) (л;1)2 — 2 (х2)2 + (л:3)2 + 4Л2 — ЮЛ3 + 4А3.
§ 2. КВАДРИКИ
1035. Написать каноническое уравнение основных видов
квадрик в аффинном пространстве Л4.
1036. Проверить, что эллипсоид в Л4, заданный нормальным
уравнением, содержится в координатном параллелепипеде,
построенном на векторах 2еа (а = 1, 2, 3, 4).
1037. Доказать, что конус в Л4 : (х1)2 + (х2)2 + (х*)2 — (х4)2 =
= 0 является объединением непустого множества прямых,
проходящих через одну точку.
1038. Точка (jcq) называется внутренней точкой относительно
п п
эллипсоида "V (х1)2 = 1 в аффинном пространстве Лл, если V (л:о)2<
< 1. Доказать, что множество F внутренних точек относительно
эллипсоида является выпуклым, т. е. Л, В € F=$>[AB] cz F.
1039. Убедиться, что поверхность, расположенная в Л4 и
заданная уравнением:
Л (х1)2 + В (х2)2 + С (х3)2 + D (х4)2 + Е = 0 (*)
обладает следующими свойствами:
1) начало координат является центром симметрии поверхности;
2) эта поверхность симметрично расположена относительно
каждой координатной гиперплоскости;
3) в сечении поверхности (*) гиперплоскостями, параллельными
каждой из координатных гиперплоскостей, получается
центральная квадрика.
1040. Пусть в пространстве Ап дана центральная квадрика:
аух*х* + 2aQl xl + Яоо = 0 (i, j = 1, 2, ..., п).
104

Если, не меняя координатных векторов, перенести начало репера
в центр квадрики, то ее уравнение примет вид:
аих1х* + — = О,
где б = det || аи ||, А = det
аиаю
Доказать.
aoi aQ
1041. Найти центр квадрики, заданной в аффинном репере
пространства А3 уравнением:
1) (х1)2 + (х2)2 + (jc3)2 + 2хгх2 — 2А3 + 6А3 + 2хг — 6х2 —
— 2*3 = 0;
2) Ахгх2 + 4хгх3 — 4х2 — 4л:3 — 1 = 0.
1042. Пусть в пространстве Ап дана квадрика Q, которая в
некотором аффинном репере имеет уравнение:
аих1х* + 2aQixl + %> = 0.
Совокупность старших членов йцХ1х* = ф (х) определяет
квадратичную форму на пространстве переносов V.
-»¦ ->
Два направления, определяемые векторами /, т 6 V\
называются сопряженными относительно квадрики Q, если
-»- ->
ф (/, т) = 0,
->
где ф — полярная форма формы ф. Направление / называется
асимптотическим относительно квадрики Q, если ф (/) = 0.
Доказать, что всякая прямая, не принадлежащая асимптотическому
направлению, пересекает квадрику Q в двух точках (вещественных
различных, совпадающих либо мнимых).
1043. Пусть направление / не является асимптотическим
относительно квадрики Q. Доказать, что середины отрезков,
высекаемых квадрикой Q на прямых данного направления, принадлежат
вполне определенной гиперплоскости (которая называется
диаметральной гиперплоскостью квадрики Q, сопряженной направлению
->
/)•
1044. Доказать, что всякая диаметральная гиперплоскость
квадрики Q содержит место центров этой квадрики.
1045. Доказать, что квадратичная форма ф, входящая в
уравнение квадрики Q, имеет канонический вид тогда и только тогда,
когда координатные векторы репера определяют направления,
попарно сопряженные относительно ф.
1046. Пусть в пространстве Л4 квадрика задана каноническим
уравнением. Проверить, что
1) эллипсоид не имеет действительных асимптотических
направлений;
2) для гиперболоида индекса / прямые, проходящие через его
10$

центр и имеющие асимптотическое направление, образуют конус
индекса /.
1047. Квадрика задана уравнением:
auxlxJ + 2btxl + с = 0.
Доказать, что
1) квадрика является параболоидом, если в некоторой
аффинной системе координат ее уравнение имеет вид:
'apq~xp~xQ + ЪЬпх11 = 0.
2) для того чтобы квадрика была параболоидом, необходимо и
достаточно, чтобы
...a1w | |«u...ai«bi|
0.
.«и-
•
k*
,.aln
.
•*nn
= 0, A =
au.
•
Я/И-
• %« *i
-К с
1048. Доказать, что для центральной гиперквадрики любая
гиперплоскость, проходящая через ее центр, является
диаметральной.
1049. Через данную точку Л проведены всевозможные прямые
асимптотического направления данной квадрики. Написать
уравнения конуса асимптотических направлений, образованного этими
прямыми.
1050. Хорды [АА±], [B5J, [CCJ квадрики auxlxJ —1=0
параллельны вектору т неасимптотического направления. Пусть
точки Л0, BQ, C0 симметричны точкам Л1э Въ Сг относительно
середин отреаков [ВС], [СА], [АВ] соответственно. Доказать, что точки
Л0, В0, С0 принадлежат плоскости, параллельной диаметральной
->-
плоскости, сопряженной направлению т относительно данной
квадрики.
1051. Доказать, что эллипсоид не имеет вещественных
прямолинейных образующих.
1052. Пусть Q — квадрика в евклидовом пространстве Еп.
Направление I называется главным относительно квадрики Q,
если любое направление /п, ортогональное I, сопряжено с /.
Диаметральная гиперплоскость называется главной, если она ортого-
—>¦
нальна направлению /, которому она сопряжена (при этом
направление / будет, очевидно, главным).
Доказать, что главная диаметральная гиперплоскость квадрики
Q является плоскостью симметрии этой квадрики.
1053. Доказать, что в уравнении квадрики Q cz En в ортонор-
мированном репере справедливы равенства aVi ==0 (i Ф j) тогда
и только тогда, когда координатные векторы репера определяют
главные направления относительно Q.
1054. Квадрика Qcz Е3 задана уравнением в ортокормирован-
ном репере:
106

2л:2 + 2у2 — 5z2 + 2xy — 2х — 4у — 4z + 2 = 0.
Найти главные направления.
1055. Квадрика Qcz Е3 задана уравнением в ортонормирован-
ном репере:
х2 + у2 — 3z2 — 2ху — 6xz — 6yz + 2х + 2у + 4г = 0.
Найти главные диаметральные плоскости.
1056. Привести к каноническому виду уравнения квадрик,
заданных в пространстве Е3 уравнениями относительно ортонорми-
рованного репера:
1) бх2 — 2у2 + бг2 + 4xz + 8х — 4у — 8г + 1=0;
2) х2 + у2 + 5z2 — бху + 2xz — 2yz — 4х + 8у — I2z + 14-
= 0;
3) 2х2 + 5у2 + 2z2 — 2л:у — 4хг + 2yz + 2х — 10у — 2z — 1-
= 0.
Глава VI.
ВЫПУКЛЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
§ 1. ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
1057. Дана выпуклая фигура F, три точки А, В, С которой не
лежат на одной прямой. Доказать, что A ABC cz F.
1058. Дана выпуклая фигура F, четыре точки Л, В, С, D
которой не лежат в одной плоскости. Доказать, что фигура F содержит
тетраэдр A BCD.
1059. Пусть Ф — симплекс пространства Еп, Ла (а = 0, 1, .*.,
..., п) — вершины этого симплекса, О — произвольно взятая
точка. Доказать, что Ф = {М € Еп \ОМ = W'OAa }, где № > 0 и
Яа= 1. (Так определенные числа № называются барицентриче-
а
скими координатами точки М € Ф.)
1080. Доказать, что барицентрические координаты точки М
симплекса Ф (см. задачу 1059) не зависят от выбора точки О и для
заданной точки М определяются однозначно.
1061. Доказать, что если симплекс Ф содержит точку М,
отличную от его вершины, то он содержит и некоторый отрезок с
серединой в точке М.
1062. Пусть F — некоторая фигура евклидова пространства
ЕпУ А — точка из Еп. Говорят, что точка А находится в общем
положении к фигуре F, если выполнены два условия: а) А $ F\
б) [АХ] П [AY] = A VX, Y 6 F, X Ф У. В этом случае фигура
A (F) = U IAX)
называется конусом с вершиной А и основанием F. Доказать, что
если фигура F выпуклая, то и конус A (F) — выпуклая фигура.
107
2

1063* Пусть Uk — 4-мерная плоскость пространства Еп, Ф —
симплекс пространства Uk. Доказать, что
1) точка М находится в общем положении к симплексу Ф тогда
и только тогда, когда М $ Пй;
2) kohvc M (Ф) есть симплекс (k + 1)-мерного пространства
П*+1 = (М, ПЛ).
1084. Доказать, что диаметр симплекса евклидова пространства
Еп равен максимуму длин ребер этого симплекса.
1065. В пространстве Еп даны: гиперплоскость П, некоторая
фигура Ф' и точка О ? Ф' (J IL Обозначим через С (О) связку
прямых с центром в точке О (множество всех точек прямых
пространства ЕП9 проходящих через точку О). Пусть
L (Ф', 0) = {М € Ш ? С (О) и I П Ф' Ф 0}.
Фигура L (Ф', О) П П = Ф называется центральной проекцией
фигуры Ф' на плоскость П (из центра проектирования О). Доказать,
что если фигура Ф' — выпуклая, то и фигура Ф — выпуклая.
1086. В пространстве Еп даны: гиперплоскость П, не
параллельная ей прямая d = Ш0, а] и некоторая фигура Ф\ Обозначим
через С (а) связку параллельных прямых, содержащую прямую d
(множество всех прямых, параллельных прямой d). Пусть
L (Ф', 4) = {М € 1\1 € С (а) и / П ф' Ф 0}-
Фигура L (Ф', d) f| П = Ф называется параллельной проекцией
фигуры Ф' на плоскость П по направлению прямой d. Доказать,
что если фигура Ф' — выпуклая, то и фигура Ф — выпуклая.
1067. Связная фигура, все точки которой — внутренние,
называется областью. Телом (/г-мерным) называется замыкание
ограниченной области в Еп.
Пусть F0 — некоторая фигура евклидова пространства En_v
Мы будем считать, что Еп_г— гиперплоскость евклидова простран-
-»»
ства Еп, и обозначим через е орт, не принадлежащий этой
гиперплоскости, / = [0, а] — числовой промежуток. Цилиндром с
основанием FQ называется фигура
F = {М € Еп \ОМ = ОХ + U% X б F0, t? /},
где О — произвольно выбранная точка пространства Еп. Доказать,
что
1) цилиндр F есть тело, если его основание F0 — тело в Еп_г\
2) если основание F0 — выпуклая фигура, то и цилиндр F —
выпуклая фигура.
1068. Цилиндр F cz Еп называется призмой, если его
основанием F0 служит (п — 1)-мерный многогранник. Доказать, что
призма в Еп является л-мерным многогранником.
1069. Конус A (F) cz Еп называется пирамидой, если его сс-
108

нованием F служит (п — 1)-мерный многогранник. Доказать, что
пирамида A (F) является л-мерным многогранником.
1070. Доказать, что конус A (F) с: Еп является л-мерным
телом, если его основание (п — 1)-мерное тело.
1071. Выпуклый многоугольник/7 с вершинами Л^ (I = 1, 2, ... ,
..., /г) лежит в плоскости П пространства Е3, а выпуклый
многоугольник F' с вершинами Ва (а = 1, 2, ..., т) лежит в плоскости П\
причем II Ц Й', П ФТ?. Доказать, что существует выпукдый
многогранник с вершинами Л?, Ва (выпуклый призматоид с
основаниями F и F').
1072. Доказать, что сумма величин всех плоских углов на
поверхности выпуклого многогранника, образуемых его ребрами,
равна 360° • (ах — а2), где аг — число ребер, а2 — число граней
многогранника.
1073. Дан параллелограмм с вершинами Ла (а = 1, 2, 3, 4) и
вне его плоскости даны две точки Въ В2, такие, что (Вф^) II (ЛгА2).
Доказать, что существует выпуклый многогранник с вершинами
Ла, Въ В2 (клин).
§ 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
1074* Дан правильный тетраэдр с вершинами Аа (а = 1, 2, 3, 4).
Пусть Ва — точки, симметричные центру этого тетраэдра
относительно плоскостей его граней. Доказать, что существует выпуклый
многогранник с вершинами Ла, Ва.
1075. Дан куб с вершинами Аа (а = 1, 2, ..., 8). Пусть
Bt (i — 1, 2, ..., 6) — точки, симметричные центру куба
относительно плоскостей его граней. Доказать, что существует выпуклый
многогранник с вершинами Ла, Вь (ромбический додекаэдр).
1076. Через каждое ребро куба F проведена плоскость,
образующая углы в 45° с плоскостями тех граней куба, которые
содержат это ребро. Доказать, что полупространства, ограниченные
этими плоскостями и содержащие куб F, пересекаются по
ромбическому додекаэдру.
1077. Пусть дан правильный многогранник F. Обозначим через
5, V, г, R и ф соответственно площадь поверхности, объем, радиус
вписанной сферы, радиус описанной сферы и величину двугранного
угла многогранника F. Зная длину а ребра правильного тетраэдра,
вычислить S, V, г, R, ср.
1078. Зная длину а ребра правильного октаэдра, вычислить S,
V, г, R, ф (см. задачу 1077).
1079. Зная длину ребра а правильного додекаэдра, вычислить
S, У, г, R, ф (см. задачу 1077).
1080. Зная длину а ребра правильного икосаэдра, вычислить
S, V, г, R, ф (см. задачу 1077).
1081. Если F — выпуклый многогранник в пространстве Е3,
то всякая секущая плоскость П (dim F (] П = 2) определяет
разложение многогранника F на два выпуклых многогранника Р и
109

Q, каждый из которых лежит в одном из полупространств,
ограниченных плоскостью П. О каждом из многогранников Р и Q
говорят, что он получен из многогранника F срезанием части. Доказать,
что срезанием частей из правильного икосаэдра можно получить
правильный додекаэдр.
1082. Доказать, что срезанием частей можно из правильного
додекаэдра получить куб.
1083. Доказать, что срезанием частей можно из куба получить
правильный октаэдр.
1084. Доказать, что срезанием частей можно из куба получить
правильный тетраэдр.
1085. Полуправильным (или архимедовым) многогранником
называется выпуклый многогранник, все многогранные углы
которого конгруэнтны, а гранями служат правильные многоугольники
разных видов. Доказать, что граница архимедова многогранника
составлена не более чем из трех различных видов многоугольников.
1086. Доказать, что каждый многогранный угол архимедова
многогранника имеет не более пяти граней.
1087. Пусть секущая плоскость П определяет разложение
выпуклого многогранника F на многогранники Р и Q (см. задачу
1081).
Если многогранник Q содержит только одну вершину М0
многогранника F, то говорят, что многогранник Р получен из
многогранника F срезанием вершины М0. Если многогранник Q
содержит только одно ребро [АВ] многогранника F, то говорят, что
многогранник Р получен из многогранника F срезанием ребра [АВ].
Доказать, что срезанием вершин правильного тетраэдра можно
получить полуправильный восьмигранник.
1088. Доказать, что срезанием вершин можно из куба получить
полуправильный 14-гранник.
1089. Доказать, что срезанием вершин можно из правильного
октаэдра получить полуправильный 14-гранник (с трехгранными
углами), отличный от многогранника задачи 1088.
1090. Доказать, что срезанием вершин можно из правильного
додекаэдра получить полуправильный 32-гранник.
1091. Доказать, что срезанием вершин можно из правильного
икосаэдра получить полуправильный 32-гранник, отличный от
многогранника задачи 1090.
1092. Доказать, что срезанием вершин и ребер можно из
правильного октаэдра получить полуправильный 26-гранник (с
трехгранными углами при вершинах).
1093. Доказать, что срезанием вершин из правильного
октаэдра или куба можно получить полуправильный 14-гранник с
четырехгранными углами при вершинах (так называемый кубоктаэдр).
1094. Доказать, что срезанием вершин из правильного
додекаэдра или правильного икосаэдра можно получить
полуправильный 32-гранник с четырехгранными углами при вершинах (додека-
эдроикосаэдр).
пЮ

Раздел 3.
ПРОЕКТИВНОЕ
ПРОСТРАНСТВО.
МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Глава I.
ПРОЕКТИВНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
§ 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПРОЕКТИВНЫЕ
КООРДИНАТЫ
1095. Ft — двумерное векторное пространство над полем F2
вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная прямая Р (Fl)
содержит точно три точки.
1096. Доказать, что проективная плоскость Р (V) содержит по
крайней мере 7 точек.
1097. F\ — трехмерное векторное пространство над полем F2
вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная плоскость Р (Fl)
содержит точно 7 точек.
1098. Сколько прямых содержит проективная плоскость Р (Fl)?
1099. Доказать, что на проективной плоскости Р (V)
существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной
прямой.
1100. Доказать, что в я-мерном проективном пространстве Р (V)
существуют п + 2 точек общего положения.
1101. Ft — трехмерное векторное пространство над полем F3
вычетов по модулю 3. Сколько точек содержит произвольная
прямая проективной плоскости Р (Fl)?
1102. /^+1 — (п + 1)-мерное векторное пространство над полем
Fp вычетов по модулю р, где р — простое число. Доказать, что
м-мерное проективное пространство Р (Fp"1"1) состоит из -—^—точек.
р—\
1103. Сколько точек содержит произвольная прямая я-мерного
проективного пространства Р (Fp~l)?
1104. Каково наименьшее число точек проективного
пространства Р3 (К) над полем К?
1105. На модели проективной прямой Рг (R) (в пучке прямых
Р (О) или на расширенной прямой d) задан проективный репер
(Д0, Аи Е). Построить точки М (1, —1), N (—2, 1), L (—2, 2) по
их координатам в этом репере.
1108. На расширенной прямой d задан проективный репер
R = (Ло, Ль ?оо). Построить точки М (—1, 1) и Л^ (1, —2) по их
координатам в репере R.
1107. На расширенной прямой d задан проективный репер
ш

R = (Л0, Л1э ?); Л0, Лх — собственные точки прямой d, E —
середина отрезка [ЛоЛ^. Найти координаты несобственной точки Х^ ? d
в репере R.
1108. На расширенной прямой d даны точки Л0, Лх. Построить
единичную точку ? проективного репера R = (Л0, Ль ?), если
известно, что несобственная точка М.^ прямой d имеет координаты
My, (—1,2) в репере R.
^ 1109. На расширенной прямой d задан проективный репер
R = (Ло, Хоо, ?). Построить точку М (2, 1) с указанными коорди-
натами в репере R.
1110. На расширенной прямой d заданы собственные точки Л0,
Ль ?. В репере /? = (Л0, Лх, ?) собственная точка М ? d (М Ф Л0,
М =т^= Л^ имеет координаты (*°, а:1). Доказать, что
хо = (4Л, ?)
х* (Л<А, М)"
1111. Известно, что для построения точки М (х°, х1) по ее
координатам в проективном репере (Л0, Ль ?) на расширенной прямой
d нужно взять аффинный репер R = (О, а0, а^) на расширенной
плоскости, содержащей d, такой, что О $ 2, а базис (а0, ах)
порождает репер (Ло, Ль Е). Тогда искомая точка М = (ОМ') П ^» гДе
прямая (ОМ') имеет направляющим вектором ОМ' = х°а0 + л:1^.
Доказать, что положение точки М на прямой d не зависит от выбора
точки О.
1112. На расширенной пря- ,
мой d задан проективный репер —« •—•—•—• • *—=-
R = (Л0, Ль ?) и точки М, N, A0 E A, E d
L. Установить, одинаковые или Рис> j
разные знаки имеют координаты
точки М в репере R, и то же для точек N, L и несобственной точки
X ? d (рис. 1). Ту же задачу решить в репере R' = (Л0, Ль ?")•
1113. На расширенной плоскости 2 задан проективный репер
R = (Л0, Ль А2, ?), вершины Ла (а = 0, 1, 2) координатного
треугольника и единичная точка Е — собственные точки. Построить
следующие точки по их координатам в репере R:
М (1, 2, 0), N (0, -2, -1), Р (1, 2, 1), Q (0, -4, 0).
1114. На расширенной плоскости 2 задан проективный репер
R = (Л0, Ль Л2, jE^) с собственными вершинами Ла (а = 0, 1, 2)
и несобственной единичной точкой Е^. Построить точку М (1, 1,2)
по ее координатам в репере R.
1115. Точка Е — центр тяжести треугольника A0AtA2 на
плоскости 2. Построить точку М (1, 1, —1) по ее координатам в
проективном репере R = (Л0, Ль Л2, ?) на расширенной плоскости, 2.
143

1116. На расширенной плоскости 2 задан проективный репер
/Г= (А0, Хсо, К», Е). Построить точки М (2, 4, —1) и N (0, 1, 2)
по их координатам в репере R.
1117. На проективной плоскости задан репер R = (Л0, Лъ Л2, ?).
?а — проекция точки Е из центра Ла на прямую (ЛрЛу) (a, |3f -у =
= О, 1,2 — все различны). Найти координаты точек Ла, ?, Еа и
составить уравнения прямых (АаА$), (Ла?а) относительно
репера R.
1118. Доказать, что на проективной плоскости прямая
a (aQi alt а2) с координатами, заданными относительно репера
R = (Л0, Ль Л2, ?), проходит через вершину Ла тогда и только
тогда, когда аа = 0.
1119. Какова особенность расположения прямой (АВ)
относительно репера R = (Л0, Ль Л2, ?) на проективной плоскости, если
в этом репере первые пары координат точек Л (а0, а1, а2) и
В == (#0^ ^ щ пропорциональны?
1120. Какова особенность расположения точки М пересечения
прямых а (а0, аъ а2) и Ь (Ь0, Ъъ Ь2) относительно репера R =
= (Л0, Ль Л2, ?) на проективной плоскости, если первые пары
координат этих прямых пропорциональны?
1121. Доказать, что точки Л (а0, а\ а2), В (6°, Ь1, Ь2), С (с0, с1, с2)
с координатами в проективном репере R = (Л0, Лх, Л2, ?) лежат
на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель системы
этих точек
(А, В, С) =
а° а1 а2]
Ь° Ь1 Ь2
с° с1 с2
<*о
А
|с0
%
&х
Сх
аг\
к\
с«|
равен нулю.
1122. Доказать, что прямые a (a0t аъ а2), Ь (60, Ьъ 62), с (?0, clf c2)
с координатами относительно проективного репера R имеют общую
точку тогда и только тогда, когда определитель системы этих
прямых
(а, Ь, с)
равен нулю.
1123. Пусть на проективной плоскости заданы две различные
прямые: а : аа^ =0 и 6: Ьаха = 0 (а = 0, 1, 2) своими
уравнениями относительно проективного репера R. Доказать, что
уравнение:
fotaXa + \lbaXa = 0,
где К и |х принимают вещественные значения, не равные нулю
одновременно, определяет пучок прямых на проективной плоскости.
1124. Построить прямую я (1, 2, —2) по ее координатам
относительно заданного на расширенной плоскости проективного
репера R = (Л0, Ль Л2, ?).
114

1125. Какова особенность прямой е (1, 1, I) с указанными
координатами относительно проективного репера R = (Л0, Аъ Л2, Е)
на расширенной плоскости, если единичная точка Е этого репера
является точкой пересечения медиан координатного треугольника
А0АгА2?
1126. В репере R = (Л0, Ль Л2, Е) на проективной плоскости
точки Л, В, С, D имеют координаты: Л (1,0, —1), В (2, 1, 0),
С (0, 0, 1), D (1, 1, 2). Проверить, что эти точки являются точками
общего положения, и найти векторный базис, порождающий репер
R' = (A,B,C,D).
1127. Составить формулы преобразования проективных
координат при переходе от репера R = (Л0, Ль Л2, Е) к реперу R' =
= (AoA,lA'2E,)i если в репере RA'0(l9 0, —1), А[ (2, 1, 0), Лг (0, 0, 1)
1) ?'(3, 1,0),
2) ?'(1, 1,2).
1128. Вершины координатного треугольника и единичная
точка проективного репера R' имеют на расширенной плоскости
следующие аффинные координаты:
Л; (0, 3), Л! (4, 0), А'2 (4, 3), ?' (3, 2).
Найти:
1) проективные координаты точки М, если ее аффинные
координаты М (1, 1);
2) аффинные координаты точки N, если ее проективные
координаты N (4, 3, —6);
3) проективные координаты несобственной точки оси абсцисс;
4) однородные аффинные координаты точки Р, если ее проективные
координаты Р (5, 5, —7).
1129. Единичная точка Е проективного репера R = (Л0, Аъ Л2,
Е) на расширенной плоскости является точкой пересечения медиан
координатного треугольника А0АгА2. Найти координаты
несобственных точек сторон координатного треугольника и координаты
несобственных точек его медиан относительно репера R.
§ 2. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
ИЗО. Пользуясь принципом двойственности, доказать, что:
1) на проективной плоскости Р2 (К)
а) через каждую точку проходит не менее трех прямых;
б) существуют три прямые, не проходящие через одну точку;
2) в трехмерном проективном пространстве Р3 (К)
а) через каждую прямую проходит не менее трех плоскостей;
б) существуют три плоскости, проходящие через одну точку,
но не проходящие через одну прямую;
в) существуют четыре плоскости, не проходящие через одну
точку;
г) через всякие две пересекающиеся прямые проходит
единственная плоскость;
115

д) через прямую и не принадлежащую ей точку проходит
единственная плоскость.
1131. Сформулировать теорему, двойственную теореме Дезарга
по принципу двойственности в пространстве.
1132. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и
пара прямых р и q, пересекающихся за пределами чертежа в
точке В (недоступной точке). Воспользовавшись теоремой
Дезарга, построить доступную часть прямой (ЛВ).
1133. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары
прямых: р, ?, пересекающиеся в недоступной точке Л, и и, v,
пересекающиеся в недоступной точке В. Построить доступную часть
прямой (А В).
1134. С помощью одной линейки через данную точку Л
провести прямую, параллельную двум заданным параллельным прямым
р и q (р ф q).
1135. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары
прямых: р и q, пересекающиеся в недоступной точке Л, и «, и,
пересекающиеся в недоступной точке В; прямая (АВ) недоступна.
Построить часть какой-либо прямой, проходящей через точку
пересечения прямой (Л В) с прямой /, заданной доступной ее частью
(короче, найти точку пересечения доступной прямой с недоступной).
1136. Даны параллелограмм, прямая т и точка Л. С помощью
одной линейки через точку Л провести прямую, параллельную
прямой т.
1137. Трапеция ABCD пересечена прямыми р и q,
параллельными основанию [АВ], р [\ (AD) = М, р f] (АС) = Ру q f] (BD) =
= N, q П (ВС) = Q. Доказать, что точка (MN) f| (PQ) лежит на
прямой (АВ).
1138. Треугольники ABC и
DBC пересечены тремя
параллельными прямыми р, q, г =
= (ЛО);рП(Л5)=М,рП(ЯВ)=
= P9q()(AQ = N,q()(DC) = Q
(рис. 2). Доказать, что прямые
(МАО, (PQ), (ВС) принадлежат
одному пучку.
1139. Доказать, что если
прямые (АА'), (ВВ'), (СС),
соединяющие вершины двух треуголь-
рис# 2. ников ABC и А'В'С\
параллельны и точки (АВ) П (Л'В'),
(ВС) П (В'С), (АС) П (А'С) существуют, то эти точки лежат
на одной прямой. Если (А В) || (Л'В'), (ВС) {] (В'С) = М, (АС) С]
П (А'С) = N, то (MN) Ц (АВ). Если же (ЛЯ) || (А'В'), (ВС) \\ (В'С),
то (АС) || (А'С).
П40# На аффинной (или евклидовой) плоскости даны
треугольник ABC и точка Е, не лежащая на прямых, содержащих стороны
этого треугольника. Проектируя вершины Л, В, С из точки Е на
116

прямые (ВС), (АС), (АВ) соответственно, получим точки Аи Въ Сг.
Проектируя эти точки из той же точки Е на прямые (В^), (Л^),
(АХВ^ соответственно, получим точки Л2, В2, С2. Повторим эту
операцию для треугольника А2В2С2 и т. д.
Предполагая, что точки (АВ) {] (AXBX) = Mt (ВС) [\ (В^) =
= N, (СА) П (CiAJ = Р существуют, доказать, что
1) точки М, N, Р лежат на одной прямой;
2) прямые, содержащие одноименные стороны всех рассмотренных
треугольников, проходят через одну и ту же точку.
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1141. Проективное отображение / : d -+ d' прямой d на прямую
d! задано соответствующими реперами: (Л, В, С) с: dw(A\ В', C')cz
a d'. Построить образ и прообраз точки D = d[)d' в отображении/.
1142. На расширенной плоскости даны две прямые d иТГ.
Проективное отображение f: d ->d' определено реперами (Л, В, С) cz d
и (Л', В', С) с: d'. Построить образ несобственной точки М^ € d.
1143. Проективное отображение /: Р(0)->Р (СУ) пучка
прямых Р (О) на пучок прямых Р (О') задано соответствующими
реперами: (а, Ь, с) с: Р (О) и (а', Ь\ с') с: Р (О'). Построить образ и
прообраз прямой (00') в отображении /.
1144. На прямой d задан проективный репер R = (Л0, Лх, Е)
и три точки Ма (а:?) (а = 0, 1, 2; а = 0, 1) с координатами в
репере R. На прямой d! также задан репер R' = (Ло, А'и Е') и три
точки М'а (у?) с координатами в репере R'.
В проективном отображении f : d-*d\ M'a = f (Ma). Найти
координаты точки М' = f (М) в репере R\ если ее прообраз М € d
в репере /? имеет координаты М (иа).
1145. Проективное преобразование f прямой d задано реперами
R = (Л, В, С) и f (R) = (Л', В', С). Построить образ и прообраз
данной точки М € d в преобразовании /.
1148. Доказать, что композиция двух гиперболических
проективных преобразований прямой с общими инвариантными
точками перестановочна.
1147. Доказать, что если в проективном преобразовании /
прямой d три точки инвариантны, то / — тождественное
преобразование прямой d
1148. Доказать, что если в проективном преобразовании /
расширенной прямой d несобственная точка X^d инвариантна, то
сужение f | d есть аффинное преобразование прямой d = d\ {Xoo}.
1149* Доказать, что если в проективном отображении /: Р (О) ->
->¦ Р (О') пучка прямых Р (О) на пучок прямых Р (О') три пары
соответствующих прямых пересекаются в трех точках, лежащих на
одной прямой, то и любая пара соответствующих (различных) пря-
117

мых этих пучков пересекается в точке, лежащей на той же прямой,
т. е. отображение / — перспективное.
1150. Доказать, что если в проективном отображении/: Р (0)-+d
пучка прямых Р (О) на прямую d $ Р (О) три прямые пучка Р (О)
проходят через соответствующие им точки прямой d, то и любая
прямая этого пучка проходит через соответствующую ей точку
прямой d% т. е. отображение / — перспективное.
1151. Проективное отображение / : d ->- Р (О) прямой d на
пучок прямых Р (О) задано соответствующими реперами (Л, В, С) cz d
и (а, Ь, с) с Р (О). Построить прообраз данной прямой т ? Р (О).
Рассмотреть частный случай, когда О = А, т = d.
1152. Проективное преобразование / : Р (О) ->- Р (О) пучка
прямых Р (О) задано реперами R = (а, Ъ, с) и / (R) = (а!, Ь\ с').
Построить образ и прообраз данной прямой т ? Р (О) в
преобразовании /.
1153. Даны три точки Л, В, С, лежащие на прямой d, и три
точки Л', В', С, лежащие на прямой &' (df Ф d) . Доказать, что точки
К = (ВС) П (В'С), L = (АС) П И'О, М = (ЛБ') П (Л'В)
лежат на одной прямой (теорема Паппа).
1154. Доказать, что если в проективном преобразовании /
плоскости П инвариантны четыре точки общего положения, то / —
тождественное преобразование плоскости П.
1155. Доказать, что если в проективном преобразовании /
расширенной плоскости П несобственная прямая d^ cz П
инвариантна, то сужение /|П есть аффинное преобразование плоскости П =
= П \ 4о.
1156. Проективное преобразование / плоскости задано тремя
инвариантными точками Л, В, С и парой соответствующих точек D
и D' = / (D). (Л, В, С, D —точки общего положения на
плоскости.) Построить образ данной произвольной точки М в данном
преобразовании.
1157. Проективное преобразование / плоскости задано двумя
инвариантными точками Л, В и двумя парами соответствующих
точек: С и С = / (С), D и D' = / (D). (Л, В, С, D — точки общего
положения на плоскости.) Построить образ данной произвольной
точки М в данном преобразовании.
1158. Написать формулы проективного преобразования /
прямой по трем парам соответствующих точек: Ли/ (Л) = В, В и
/(В) = С, С и f(C) = Л, если
1) Л (2,1), В (-2,3), С (1,-1);
2) Л (3, -1), В (-1, 1), С (-2, 3).
1159. Написать формулы проективного преобразования /
плоскости по координатам двух инвариантных точек М и N и двух
пар соответствующих точек Л и Л' = / (Л), В и В' = / (В), если
М~(0, 1,0), # (1, 0, 0), Л (0, 0, 1), А' (я, 0, 1), В (0, Ь, 1),
В' (0, 0, 1).
118

Глава II.
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ
ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1. СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ. ПОЛНЫЙ ЧЕТЫРЕХВЕРШИННИК
1160. Доказать, что в упорядоченной четверке точек прямой
1) перестановка средних или крайних элементов одинаково
изменяет сложное отношение этих точек;
2) перестановка первого и третьего элементов или второго и
четвертого одинаково изменяет сложное отношение этих точек.
Как меняется сложное отношение четырех точек прямой при их
круговой перестановке?
1161. Доказать, что для пяти различных точек Л, В, М, U, V
проективной прямой имеет место равенство:
(АВ, MV) = (АВ, MU) (АВ, UV).
1162. Сложное отношение четырех различных точек (АВ, CD) =*
= /. Найти значения сложных отношений всех четверок точек,
которые можно составить из точек А, В, С, D.
1163. На прямой даны три точки Л, В, С. Построить на этой
прямой точку D, такую, что (ABt CD) = 2.
1164. Даны треугольник ABC, точка М и проходящая через
нее прямая т, пересекающая прямые (ВС), (СА), (АВ)
соответственно в точках Аъ Ви Сх. Доказать равенство сложных отношений:
(МАЪ Bid) = (т, (MA); (MB), (MC)).
1165. А, В, С, D — четыре точки аффинной прямой, точка С
лежит между точками Л и В. Доказать, что (АВ, CD) < 0«=ф (D не
лежит между Л и В), (Пары точек Л, В и С, D разделяют одна
другую.)
1166. Вычислить сложное отношение четырех точек
Л (1,0, 1), В(1, 1,3), С (2, 1,4), D(0, 1,2)
по их проективным координатам на плоскости.
1167. Доказать, что точка D является четвертой гармонической
к упорядоченной тройке точек А, В, С одной прямой тогда и только
тогда, когда координаты (и0, и1) точки D в репере (Л, В, С)
удовлетворяют условию:
ао = _uim
1168. Доказать, что прямая а(\, 1, 1) пересекает стороны
координатного треугольника проективного репера R = (Л0, Ль Л2, Е)
в точках Му, таких, что (АаА$, ЕУМУ) = —1 (а, 0, у = 0, 1, 2;
все различны). Построить прямую а.
1169. Доказать, что середина С отрезка [АВ] и несобственная
119

точка Doo расширенной прямой (АВ) гармонически разделяют
концы отрезка [АВ].
1170. Каковы проективные координаты середины С отрезка
[АВ] в репере R = (Л, Б, D^) на расширенной прямой (Л?)?
1171. Доказать, что прямая (СМ), содержащая медиану [СМ]
треугольника ABC, и прямая (СХ), параллельная стороне [ЛВ],
гармонически разделяют прямые (СА) и (СВ), содержащие две
другие стороны треугольника ABC.
1172. Прямые а и b пересекаются в точке С, прямые с и d
содержат биссектрисы углов, образованных прямыми au b. Доказать,
что (ab, cd) = —1.
1173. Доказать, что прямые, содержащие биссектрисы
внутреннего и внешнего угла С треугольника ABC, пересекают прямую
(АВ) в точках, гармонически разделяющих вершины А и В.
1174. На проективной плоскости задан репер R = (Л0, Ль А2,Е).
Точка Еа — проекция точки Е из вершины Аа на сторону (А$АУ)
координатного треугольника А0АгА2 (а, (3, у = 0, 1, 2; все
различны). Доказать, что три точки Му = (Е0Е§) f] (ЛаЛ|з) лежат на
одной прямой d и являются четвертыми гармоническими к тройкам
(Аа, Л$, ?v). Найти координаты прямой d в репере R.
1175. Доказать, что прямые, содержащие диагонали
параллелограмма, гармонически разделяют прямые, проходящие через
центр параллелограмма параллельно его сторонам.
1176. На аффинной (или евклидовой) плоскости П даны
отрезок [АВ] и его середина С. Через данную точку М $ (АВ) провести
прямую, параллельную прямой (АВ), пользуясь только линейкой.
1177. Даны две параллельные прямые (различные). Пользуясь
только линейкой, построить
1) середину отрезка, заданного на одной из данных прямых;
2) прямую, проходящую через данную точку и параллельную
данным прямым.
1178. Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции,
точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины ее
оснований лежат на одной прямой.
§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1179. Доказать, что композиция двух параболических
проективных преобразований прямой с общей инвариантной точкой есть
либо тождественное преобразование, либо параболическое
преобразование с той же инвариантной точкой.
1180. Инволюция f на прямой d задана точками А, А' = f (Л),
В = f (В) (А Ф Л'). Построить образ данной точки Af (d.
1181. Пусть Л и В —две различные точки проективной прямой
Рг. Преобразование /: Р1 -> Рг определено условиями: f (А) = Л,
/ (В) = В, и если М ф Л, М Ф В, то / (М) = М' \ (АВ, ММ') =
= —1. Доказать, что / — гиперболическая инволюция.
«о

1182. На прямой даны две точки Л и В. Для каждой точки X
прямой, отличной от точек Л и В, строится точка Y, такая, что
пара точек Л, X разделяет пару точек В, Y гармонически. Доказать,
что отображение f данной прямой на себя по закону: / (X) = К,
f (А) = Л, / (В) = В является проективным.
1183. Рассмотрим пучок Р (О) прямых евклидовой плоскости —
модель проективной прямой Р^ Определим преобразование /
пучка Р (О) условием: / (т) ± m, Vm ? Р (О). Доказать, что f —
эллиптическая инволюция на модели прямой Рх.
1184. Выяснить тип инволюции:
Куо = х° — 2а:1,
fcyl = ЗХ° — X1.
1185. Вычислить координаты инвариантных точек инволюции:
у0 == х° + 2л:1,
yi = 4х° — л;1.
1186. Доказать, что композиция двух различных
гиперболических инволюций прямой перестановочна тогда и только тогда,
когда пары инвариантных точек этих инволюций гармонически
разделяют друг друга.
1187. Построить два перспективных треугольника, для
которых центр перспективы принадлежит оси перспективы.
1188. Вычислить координаты неподвижных точек проективного
преобразования плоскости:
Ку° = *°,
Ху1 = х\
Ху2 = хх -Ь х2.
1189. Гомология f задана центром S, осью s и точками Л и
Л' = f (Л). Построить
1) точку f (В), где В — данная точка прямой (АА')\
2) точку /_1 (С), где С — данная точка;
3) точку f2 (D), где D —данная точка.
1190. Гомология / задана центром 5, осью s и точками Л и
Аг — f (Л). Построить образ и прообраз данной прямой d.
1191. Гомология / задана центром S, осью s и точками Л и А' —
= / (Л). На данной прямой р найти точку X, образ которой лежит
на данной прямой q (q Ф f (p)).
1192. Координатные треугольники ABC и А'В'С реперов
R = (Л, В, С, S) и R' = (Л7, В', С, 5) на проективной плоскости
обладают центром перспективы S. Доказать, что проективное
преобразование f плоскости, переводящее репер R в репер R', является
гомологией с центром S, осью которой служит ось перспективы
треугольников ABC и А'В'С.
1193. Гомология f задана тремя точками А, В, С, не лежащими
на одной прямой, и их образами А' = / (Л), В' = f (В), С = f (С),
причем прямые (ЛЛ'), (ВВ'), (СС) проходят через одну и ту же
121

точку S. На данной прямой р найти точку X, образ которой лежит
на данной прямой q(q Ф f (р)).
1194. На расширенной плоскости родственное преобразование /
задано парой родственных треугольников (т. е. соответствующих
в преобразовании f) и даны две прямые р и q Ф f (р). На прямой р
найти точку X \ f (X) ? q.
1195. На расширенной плоскости даны два преобразования
родства /i и jf2 с общим направлением родства и различными осями.
Найти прямую х, такую, что /х (X) = /2 (X) для VX ? х.
1198. На проективной плоскости задан репер R = (Л0, Аи Л2, Е).
Точка Еа — проекция точки Е из вершины Аа на сторону (A$AV)
координатного треугольника ЛоЛ^ (а, р, у = 0, 1, 2; все
различны). Доказать, что точка MY= (EaE$) fl (АаА$) имеет
одинаковые координаты относительно реперов R и R' = (?0, ?1э ?2, ?).
1197. Гомология f задана центром S, осью s и точками Л и Л' =
= f (Л) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s —
собственные. Построить прообразы двух данных параллельных
прямых р и q.
1198. Построить образы двух данных параллельных прямых
в заданном родственном преобразовании расширенной плоскости.
1199. Гомология f задана центром 5, осью s и точками Л и Л' =
= / (Л) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s —
собственные. Построить образ и прообраз несобственной прямой.
1200. Неособая гомология f называется гармонической (или
инволютивной), если
(5Л0,ЛЛ/) = -1, И
где S — центр, s — ось гомологии; А' = f (Л); A, A' is, Л0 =
= (AA') fl s. Доказать, что:
1) гармоническую гомологию f можно задать осью s и парой
соответствующих точек Л, Л', из которых ни одна не лежит на
прямой s и выполняется условие (*);
2) если в гомологии f равенство (*) выполняется для одной
пары точек Л, А1 = / (Л), то оно справедливо и для любой пары
различных точек М, М' = f (M);
3) гармоническая гомология — единственное инволютивное
проективное преобразование плоскости.
1201. Центр инволютивной гомологии имеет координаты
(1, 1, 1), а ось гомологии — уравнение х° + х1 + х2 *=* 0. Написать
формулы преобразования.
1202. Построить образ данного квадрата
1) в данной гомологии;
2) в заданном родственном преобразовании на расширенной
евклидовой плоскости.
1203. На расширенной евклидовой плоскости задана гомология
f с собственным центром и собственной осью и окружность. При
каком условии образом данной окружности в гомологии / будет
эллипс (гипербола, парабола)?
122

1204. На расширенной
плоскости гомологию с собственным
центром и собственной осью
задать так, чтобы образом
данного эллипса была парабола
(гипербола, эллипс).
1205. На расширенной плос- ^
кости гомологию задать так,
чтобы
1) образом данной параболы
была гипербола;
2) образом данной гиперболы
была парабола.
1206. Из точек S и Т проведены прямые, точки пересечения
которых являются вершинами четырехугольников (рис. 3). Доказать,
что:
1) точки А, В, С, ... лежат на одной прямой, проходящей через
точку S; на этой же прямой лежит точка пересечения диагоналей
четырехугольника, вершинами которого служат точки m fl P»
п {] р, m {] q, n {] q\
2) точки ?, В, D, ... лежат на одной прямой, проходящей через
точку Т\ на этой же прямой лежит точка пересечения диагоналей
четырехугольника с вершинами и {\ w, v [\ w, и [\ пу v [\ п.
§ 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ
ПЛОСКОСТИ
1207. На расширенной плоскости И кривая второго порядка Q
задана уравнением аа^х^ =0 (а, р = 0, 1,2) относительно
репера R = (Л0, Аъ А2, Е). Доказать, что собственные точки кривой
Q составляют обычную кривую второго порядка на аффинной
плоскости П.
1208. Доказать теорему:
если A BCD — полный четырехвершинник с вершинами на
овальной кривой второго порядка, то каждая его диагональная
точка является полюсом противолежащей диагонали.
1209. Даны овальная кривая второго порядка Q и точка М.
Построить поляру точки М, если:
1) М — внешняя точка относительно Q;
2) М — внутренняя точка относительно Q;
3) М € Q.
1210. Построить полюс данной прямой d относительно данной
овальной кривой второго порядка Q.
1211. Из данной точки М евклидовой плоскости провести
касательную к данной окружности Q с помощью одной линейки.
1212. Прямая d не имеет общих точек с окружностью Q. Прямая,
соединяющая точки касания касательных, проведенных из точки
А ? d к окружности Q, пересекает прямую d в точке В. Доказать,
123

что прямая, соединяющая точки касания касательных, проведенных
из точки В к окружности Q, проходит через точку А.
1213. Прямая d не имеет общих точек с окружностью Q.
Доказать, что прямые, соединяющие точки касания касательных,
проведенных из любой точки М ? d к окружности Q, проходят
через одну и ту же точку.
1214. Точка А—внутренняя относительно окружности Q с
центром О, А Ф О. Через точку А проведены всевозможные хорды.
Доказать, что точки пересечения касательных к окружности Q
в концах каждой хорды лежат на одной прямой,
перпендикулярной к прямой (АО).
1215. Точка А — внешняя относительно окружности Q с
центром О. Через точку А проведены всевозможные секущие к
окружности Q, отличные от прямой (АО). Доказать, что точки
пересечения касательных к окружности Q в точках ее пересечения с
каждой секущей лежат на одной прямой, перпендикулярной к прямой
(АО).
1216. Через точку Л, не лежащую на окружности Q, проведены
прямые dt (i, / = 1, 2, .,., п\ п ^ 2), пересекающие окружность Q
в точках Mh Nt : dt fl Q = {Mlf Nt}. Доказать, что если точки
Pt, = (MtNj) П (MjNh Qu = (MtMj) П (NtNj) (i ф /) сущест-
вуют, то все они лежат на одной прямой.
1217. В окружности Q проведены параллельные хорды и в их
концах — касательные к окружности. Доказать, что точки
пересечения касательных в концах каждой из хорд лежат на одной
прямой, перпендикулярной этим хордам и проходящей через центр
окружности Q.
1218. Через внутреннюю точку С круга проведены три хорды
[ЛЛ'1, [ВВ ] и [MN]. Точка С является серединой хорды \MN],
которая пересекает отрезки [АВ] и [А'В'\ в точках Р и Q. Доказать,
что точка С — середина отрезка [PQ].
1219. Доказать, что каждая из двух овальных кривых второго
порядка, касающихся друг друга в двух точках, может быть
переведена в другую гомологией.
1220. Две овальные кривые второго порядка касаются в точках
А и В. Касательная к одной из кривых в точке С пересекает другую
кривую в точках Р и Q, а прямую (АВ) в точке D. Доказать, что
пара точек Р и Q гармонически разделяет пару точек С, D.
1221. В точку - А круглой арены поставлен мяч. В каком
направлении следует его послать, чтобы, дважды отразившись от
барьера арены, он вернулся в точку Л?
1222. Овальная кривая второго порядка задана пятью своими
точками. Построить:
1) касательную в одной из данных точек;
2) еще одну точку кривой;
3) касательную в построенной точке.
1223. Овальная кривая второго порядка задана четырьмя
своими точками и касательной в одной из них. Построить:
124

1) касательную в одной из данных точек;
2) еще одну точку кривой.
1224. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими
точками и касательными в двух из них. Построить:
1) касательную в третьей точке;
2) еще одну точку кривой.
1225. Овальная кривая второго порядка задана пятью
касательными к ней. Построить:
1) еще одну касательную;
2) точку данной кривой.
1226. Овальная кривая второго порядка задана четырьмя
касательными к ней и точкой касания одной из них. Построить:
1) еще одну касательную;
2) еще одну точку данной кривой.
1227. Овальная кривая второго порядка задана тремя
касательными к ней и точками касания двух из них. Построить:
1) еще одну касательную;
2) еще одну точку данной кривой.
1228. Прямые (АВ) и (CD) — сопряженные диаметры эллипса
Q; А, В, С, D ? Q. Построить:
1) еще одну точку эллипса Q;
2) касательную к эллипсу Q в найденной точке.
1229. Доказать, что если две различные кривые второго
порядка имеют три общие точки и общую касательную в одной из них,
то других общих точек они не имеют.
1230. Доказать теорему:
если треугольник описан около окружности, то прямые,
соединяющие вершины треугольника с точками касания
противоположных сторон, проходят через одну точку.
1231. Доказать теорему:
если на расширенной евклидовой плоскости дан треугольник,
вписанный в окружность, то точки пересечения прямых,
соединяющих стороны треугольника с касательными в противоположных
вершинах, лежат на одной прямой.
1232. Дан параллелограмм ABCD, Из данной точки М € (АВ)
провести касательную к эллипсу, вписанному в параллелограмм
A BCD и касающемуся его сторон в их серединах (изображение
эллипса не задано).
1233. Дан параллелограмм ABCD. Через середину отрезка [АВ]
проведена прямая /я. Найти точки пересечения этой прямой с
эллипсом, вписанным в параллелограмм ABCD и касающимся его
сторон в их серединах (изображение эллипса не задано).
1234. Даны окружность Q и ее центр О . Через данную точку Р
провести прямую, параллельную данной прямой /, пользуясь
только линейкой.
1235. Даны окружность Q и ее центр О. Через данную точку Р
провести прямую, перпендикулярную данной прямой U пользуясь
только линейкой.
125

1236. Дачы шесть точек овальной кривой второго порядка.
Сколько существует прямых Паскаля для шестивершинников,
вершинами которого являются данные точки?
1237. Даны шесть касательных к овальной кривой второго
порядка. Сколько существует точек Брианшона для шестисторонни-
ка, сторонами которого являются данные прямые?
1238. Дан шестиугольник, у которого противоположные
стороны попарно параллельны. Доказать, что прямые, проходящие
через середины противоположных сторон шестиугольника,
принадлежат одному пучку.
1239. В овальную кривую второго порядка вписаны два
треугольника без общих вершин. Доказать, что шесть прямых, которым
принадлежат их стороны, касаются одной кривой второго
порядка.
1240. Доказать, что шесть вершин двух треугольников,
описанных около овальной кривой второго порядка и не имеющих общих
сторон, принадлежат одной кривой второго порядка.
1241. Даны две пятерки точек: Л, В, С, L, М и Л, Б, С, N, Р,
определяющие две овальные кривые второго порядка, которые в
общих точках не имеют общих касательных. Построить четвертую
общую точку этих кривых.
§ 4. ПРОЕКТИВНЫЕ МОДЕЛИ АФФИННОЙ
И ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТЕЙ
1242. Как истолковать асимптоты гиперболы на расширенной
плоскости?
1243. Даны две асимптоты гиперболы и одна ее точка.
Построить:
1) касательную к гиперболе в данной точке;
2) еще одну точку гиперболы.
1244. Даны две асимптоты гиперболы и касательная к ней.
Построить:
1) точку гиперболы;
2) еще одну касательную к гиперболе.
1245. Даны три точки гиперболы и две прямые, имеющие
асимптотические направления. Построить центр гиперболы.
1246. Даны центр гиперболы, ее асимптота, точка и
касательная к гиперболе в этой точке. Построить вторую асимптоту
гиперболы.
1247. Доказать, что никакие две касательные параболы не
параллельны.
1248. Даны четыре касательных к параболе. Построить:
1) точку этой параболы;
2) еще одну касательную к параболе.
1249. Даны четыре касательных к параболе. Построить один из
ее диаметров.
126

1250. Даны три точки параболы и ее диаметр. Построить еще
одну точку параболы и касательную к параболе в этой точке.
1251. Доказать, что через четыре точки аффинной плоскости
можно провести не более двух парабол.
1252. На проективной модели аффинной плоскости дан отрезок
[АВ]. На прямой (АВ) построить точки С, D, ..., такие, чтобы
точка В была серединой отрезка L4C1, точка С была серединой
отрезка [BD] и т. д.
1253. На проективной модели евклидовой плоскости построить
на прямой (MN) единичный отрезок [KL], если точка К ? (MN)
задана1.
1254. На проективной модели евклидовой плоскости даны
прямая d и точка А. Через точку А провести прямую a JL d.
1255. На проективной модели евклидовой плоскости даны две
параллельные прямые. Построить отрезки с концами на данных
прямых, удовлетворяющие двум условиям:
1) каждый из отрезков перпендикулярен данным прямым;
2) расстояние между каждыми двумя отрезками одно и то же.
1256. На проективной модели евклидовой плоскости построить
биссектрису данного угла.
1257. На проективной модели евклидовой плоскости построить
квадрат с данной стороной [MN].
1258. На проективной модели евклидовой плоскости на
данной прямой / отложить данный отрезок [MN] gt /.
1259. Дать проективное истолкование осевой симметрии.
Глава III.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ
НА ЕВКЛИДОВОЙ
ПЛОСКОСТИ
§ 1. МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЙ
1260. Построить окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и касающуюся данной прямой.
1261. Даны две окружности. Построить такую точку, чтобы
угол между проведенными через нее касательными к одной
окружности был равен а, а к другой — (3.
1262. Построить окружность по трем заданным ее касательным.
1 На проективной модели евклидовой плоскости несобственная прямая d0
и единичная окружность Q предполагаются заданными.
127

1263. Построить треугольник по основанию а, углу при
вершине Л и высоте ha, выходящей из этой вершины.
1264. Построить треугольник по периметру 2р, углу при
вершине Л и высоте ha, выходящей из этой вершины.
1265. Построить треугольник по основанию а, углу при
вершине Л и радиусу г вписанной окружности.
1266. Внутри треугольника ABC найти точку, из которой
стороны треугольника видны под конгруэнтными углами (точка
Торичелли).
1267. Построить треугольник по основанию а, углу при
вершине Л и точке D пересечения основания с биссектрисой внутреннего
угла при вершине Л.
1268. Построить треугольник по основанию а, углу при
вершине Л и медиане ть, проведенной к боковой стороне.
1269. Построить треугольник по основанию а, углу при
вершине Л и отношению боковых сторон: | Ь\ : \ с\ = т : я, где тип —
длины заданных отрезков.
1270. Построить треугольник по основанию а, высоте ha,
проведенной к основанию, и точке D пересечения биссектрисы угла
при вершине с основанием.
1271. Построить треугольник ABC, зная углы при вершинах
В и С и медиану та стороны [ВС].
1272. Построить треугольник по основанию и точкам
пересечения основания с биссектрисой и высотой.
1273. Построить параллелограмм по его сторонам и отношению
диагоналей.
1274. Построить параллелограмм по его диагоналям и отношению
сторон.
1275. Через точку Л, лежащую внутри окружности S, провести
хорду, которая при пересечении с данной хордой [АВ] этой
окружности делится пополам.
1276. Построить треугольник, если даны основание а, угол при
вершине Л и | Ь\2 — | с\2 = | т|2, где т — данный отрезок.
1277. Построить треугольник, зная основание а, высоту ha%
проведенную к основанию, и |&|2— |с|2 = |га|2, где т —- данный
отрезок.
1278. Через данную точку Л провести данным радиусом г
окружность так, чтобы касательная к ней из данной точки В имела
данную длину /.
1279. Построить окружность, делящую данную окружность
(О, R) пополам и касающуюся данной прямой в данной на ней
точке.
1280. Построить треугольник ABC по радиусу R описанной
окружности, углу при вершине Ли | Ь|2 + |с|2 = | /|2, где / —
данный отрезок.
1281. Дана окружность и точка на ней. Провести хорду данной
128

длины / так, чтобы сумма (или разность) квадратов расстояний от
концов ее до данной точки была равна квадрату длины данного
отрезка [PQ].
§ 2. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1282. Построить трапецию по диагоналям и основаниям.
1283. Построить трапецию по высоте, средней линии,
верхнему основанию и углу между диагоналями.
1284. Построить треугольник, зная три его медианы.
1285. Построить трапецию по четырем сторонам.
1286. Даны точки Л, В и прямая (CD). Построить точку X €
(: {CD) так, чтобы разность АХС — BXD была заданной.
1287. Построить треугольник ABC по основанию а, углу при
вершине В и разности (или сумме) боковых сторон.
1288. Дан угол и внутри его — точка Р. Построить
треугольник наименьшего периметра такой, чтобы одна его вершина
совпадала с точкой Р, а две другие лежали (по одной) на сторонах
данного угла.
1289. Дан угол и внутри его — две точки А и В. Построить
ломаную из трех звеньев, имеющую наименьшую длину и такую,
чтобы ее концами были точки Л и В, а две промежуточные вершины
лежали (по одной) на сторонах данного угла.
1290. Даны точки Л, В и прямая d. Построить угол с вершиной
на прямой d, одна из сторон которого проходит через точку
Л, другая — через точку В и биссектриса которого лежит на
прямой d.
1291. Даны две концентрические окружности и точка Л. Найти
на данных окружностях по точке X и Y так, чтобы [XY] и Z. XAY
были данной величины.
1292. Через точку Л пересечения двух данных окружностей
провести секущую так, чтобы хорды [АВ] и [АС] удовлетворяли
условию: \АВ\— \АС\ = |я|, где а — данный отрезок.
1293. Даны две концентрические окружности с центром в
точке О. Провести луч [ОХ) так, чтобы отрезок, высекаемый на этом
луче данными окружностями, был виден из данной точки Л под
данным углом а.
1294. Даны две концентрические окружности и точка.
Построить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся
данных окружностей.
1295. В данную окружность вписать квадрат так, чтобы
прямая, содержащая одну из его сторон, проходила через данную
точку.
1296. Построить треугольник по двум углам при основании и
сумме высоты с основанием.
129

1297. В треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы две его
вершины лежали на основании треугольника, а две другие — на
боковых сторонах.
1298. Дан угол и внутри его — окружность. Построить
окружность, касающуюся сторон угла и данной окружности.
1299. Даны две прямые и точка Л, не лежащая на какой либо
из этих прямых. Провести через эту точку прямую так, чтобы ¦ ' =
*= -L^p где М и N — точки пересечения построенной прямой с
данными, т и п — данные отрезки.
1300. Построить треугольник ABC по углу при вершине Л,
радиусу г вписанной окружности и отношению боковых сторон
\Ь\ : |с| = \т\ : |я|, где т и п — данные отрезки.
1301. Построить треугольник по двум углам и -сумме высоты,
медианы я биссектрисы, проведенных из третьей вершины.
1302. Построить треугольник по отношению трех сторон и
одной из медиан.
1303. Построить треугольник по двум углам и сумме
противолежащих сторон.
1304. Построить треугольник по трем его высотам.
1305. В данный сегмент вписать: 1) квадрат, 2) прямоугольник с
данным отношением сторон.
1306. Построить окружность, касающуюся данной окружности
и сторон вписанного в нее угла.
1307. В данный сектор вписать: 1) квадрат, 2) прямоугольник с
данным отношением сторон.
1308. Даны три прямые, принадлежащие одному пучку, и
точка, не принадлежащая ни одной из них. Через данную точку
провести прямую так, чтобы из трех ее точек пересечения с данными
прямыми одна делила отрезок с концами в двух других точках
пополам.
1309. В данный треугольник вписать две окружности равных
радиусов так, чтобы они касались друг друга и чтобы каждая из
них касалась двух сторон треугольника.
1310. Построить параллелограмм по сторонам и углу между
диагоналями.
1311. В данную окружность вписать треугольник, стороны
которого параллельны сторонам данного треугольника.
1312. Построить окружность, лроходящую через данную точку
и касающуюся двух данных прямых.
1313. Через две данные точки провести две параллельные
прямые так, чтобы они пересекали данную прямую в точках,
расстояние между которыми задано.
130

§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
1314. Через данные точки А и В провести окружность,
отсекающую на данной прямой d хорду, конгруэнтную данному
отрезку.
1315. Зная площадь треугольника и его периметр, построить
окружность, конгруэнтную окружности, вписанной в треугольник.
1316. Внутри треугольника ABC дана точка D. Провести через
нее прямую» которая рассекает треугольник на две равновеликие
фигуры.
1317. Построить отрезок длины х = у abed, где а, Ь, с, d —
длины данных отрезков.
1318. Построить отрезок длины х = ¦ , где а, Ь, с —
длины данных отрезков.
1319. Построить отрезок длины х = а ' 2а , где а, Ь, с —
длины данных отрезков.
а?Ьъ
1320. Построить отр-езок длины х = , где а, ?>, с, d — дли-
c3d
ны данных отрезков.
1321. Дана окружность и точка А вне нее. Через точку А
провести секущую так, чтобы ее внешняя часть была вдвое больше
внутренней.
1322. Построить три попарно касающиеся окружности с
центрами в вершинах данного треугольника.
1323. Через данную точку провести секущую к данной окруж-
ности так, чтобы полученная хорда имела длину]/ а * а4—?4 , где
а и b — длины данных отрезков.
1324. Построить параллелограмм по его сторонам, если
стороны параллелограмма пропорциональны его диагоналям.
1325. Через середину боковой стороны трапеции провести
прямую, рассекающую трапецию на равновеликие
четырехугольники.
1326. Через две данные точки провести окружность,
касающуюся данной прямой.
1327. Построить правильный пятиугольник по заданной его
диагонали.
1328. Через точку, принадлежащую стороне треугольника,
провести прямую так, чтобы она рассекала треугольник на две
разновеликие фигуры.
1329. Прямой, параллельной стороне прямоугольника, рассечь
его на подобные друг другу прямоугольники.
131

1330. Через точку, лежащую внутри прямого угла, провести
прямую так, чтобы точки ее пересечения со сторонами угла
находились на наименьшем возможном расстоянии.
§ 4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1331. Даны две концентрические окружности. Построить
квадрат A BCD так, чтобы вершины А и В принадлежали одной
окружности, а вершины С и D — другой.
1332. В данную окружность вписать прямоугольный
треугольник так, чтобы катет был конгруэнтен данному отрезку и лежал
на прямой, проходящей через данную точку.
1333. Построить прямую данного направления, на которой две
данные окружности, выСекают отрезок, конгруэнтный данному.
1334. Построить треугольник ЛВС, зная угол при вершине В
и медианы та и тс.
1335. Построить трапецию по диагоналям и боковым сторонам.
1336. Около данной окружности описать ромб по заданной его
стороне.
1337. В данный круговой сектор вписать окружность.
1338. Построить окружность, касающуюся двух данных
прямых и данной окружности.
1339. Через данную точку провести окружность, пересекающую
каждую из двух данных окружностей в диаметрально
противоположных точках.
1340. Построить квадрат по четырем точкам, принадлежащим
его сторонам или их продолжениям.
1341. В треугольнике ABC провести (DE) параллельно (ВС)
так, чтобы [AD] & [ЕС] (D € [AB)t E € [АС]).
1342. Дана окружность и на ней три точки В, М, Я. Построить
треугольник, вписанный в данную окружность, для которого три
данные точки служили бы точками пересечения с окружностью
прямых, содержащих соответственно биссектрису, медиану и
высоту, проведенных из одной вершины треугольника.
1343. Построить две конгруэнтные окружности с центрами
в данных точках А и В так, чтобы общая к ним касательная
касалась данной окружности.
1344. Построить треугольник ABC по основанию а, углу при
вершине А и радиусу га вневписанной окружности, касающейся
основания.
1345. На диаметре окружности (О, R) по разные стороны от
центра даны точки А и В. Найти на окружности точку М, такую,
чтобы луч [МО) был биссектрисой угла A MB.
1346. Провести к данной окружности касательную под данным
углом к данной прямой.
132

1347. Построить окружность данного радиуса, касательную к
двум данным окружностям.
1348. Даны точки С и D по разные стороны от данной прямой
(MN). Построить точку X € (MAf), такую, чтобы {MN) содержала
биссектрису угла CXD.
1349. Построить окружность, которая видна из двух данных
точек А и В под данными углами а и (3, так, чтобы центр ее
находился на данной прямой d.
1350. К данной окружности провести касательную так, чтобы
в пересечении с двумя данными концентрическими окружностями
получились две хорды, разность которых известна.
1351. Даны точки Л, В, С. Провести через точку А окружность
так, чтобы одна из точек В и С была видна под данными углами.
1352. Построить окружность, ортогональную к трем данным
окружностям.
1353. Через две данные точки провести окружность,
ортогональную к данной окружности.
1354. Даны две окружности (Ог) и (02) и точка Л. Построить
треугольник, подобный данному, так, чтобы одной его вершиной
служила точка А, а две другие вершины лежали (по одной) на
данных окружностях.
1355. Даны угол ABC и внутри его точка М. Найти
точку X € [ВС), равноотстоящую от [ВА) и точки М.
Глава IV.
МЕТОДЫ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
§ 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
1356. Построить изображения правильного треугольника,
правильной треугольной пирамиды, правильной шестиугольной
призмы в параллельной проекции.
1357. Построить изображения квадрата, куба, правильной
восьмиугольной пирамиды в параллельной проекции.
1358. В параллельной проекции построить изображение
правильного пятиугольника.
1359. Какая фигура может служить изображением в
параллельной проекции равнобочной трапеции, длины оснований которой
относятся как 2 : 3?
1360. Дано изображение окружности в параллельной проекции.
Построить изображения:
1) вписанного в нее правильного треугольника;
2) описанного около нее правильного треугольника.
1361. Построить изображение правильной треугольной приз-
133

мы, вписанной в цилиндр (описанной около цилиндра) в
ортогональной проекции.
1362. Через данную точку провести касательную к данному
эллипсу.
1363. Дано изображение окружности в параллельной проекции.
Построить изображение вписанного в нее правильного
шестиугольника.
1364. Дано изображение окружности в параллельной проекции.
Построить изображения квадрата и правильного восьмиугольника,
вписанных в эту окружность.
1365. Дано изображение окружности в параллельной проекции.
Построить изображения квадрата и правильного восьмиугольника,
описанных около этой окружности.
1366. В параллельной проекции построить изображение
правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус
(описанной около конуса).
1367. Построить в ортогональной проекции изображение
прямоугольного параллелепипеда, вписанного в цилиндр.
1368. Построить эллипс Q, заданный его сопряженными
диаметрами 1АВ] и [CDY.
1369. Эллипс Q, заданный парой сопряженных диаметров [АВ]
и ICD], является изображением окружности Q' в параллельной
проекции. Построить изображение правильного /г-угольника
(п = 3, 4, 5), вписанного в окружность Q'.
1370. Эллипс Q задан его осями [АВ] и [CD]. Построить какую-
нибудь точку этого эллипса и касательную к эллипсу в этой точке.
1371. Эллипс Q задан парой сопряженных диаметров [АВ] и
[CD]. Построить еще одну пару сопряженных диаметров эллипса Q,
не вычерчивая его.
1372. Дано родственное преобразование плоскости. Построить
прямые, проходящие через данную точку и принадлежащие главным
направлениям этого преобразования.
1373. Эллипс Q задан парой сопряженных диаметров [АВ] и
[CD]. Построить оси этого эллипса, не вычерчивая его.
1374. Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
Построить изображение окружности, вписанной в этот квадрат.
1375. Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
Построить изображение окружности, описанной около этого
квадрата.
1376. В параллельной проекции дано изображение квадрата
A'B'CD'. Построить изображение какого-либо квадрата, стороны
которого касаются окружности, описанной около квадрата
А'В'CD'.
1377. Изображение Q окружности Qr в параллельной проекции
задано изображениями [АВ] и [CD] ее перпендикулярных диамет-
1 В подобных задачах предполагается построение нескольких точек эллипса,
позволяющих с нужной точностью вычертить этот эллипс от руки.
134

ров. Дано также изображение / прямой Г, не проходящей через
центр окружности Qr и пересекающей ее в точках Л1\ ЛГ. Построить
изображения М и N этих точек.
1378. Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
Через данную точку плоскости изображений провести касательные
к изображению окружности, вписанной в квадрат.
1379. Дано изображение равнобедренного прямоугольного
треугольника в параллельной проекции. Построить изображение
описанной около него окружности.
1380. В параллельной проекции построить изображение
цилиндра, вписанного в конус так, что нижнее основание цилиндра
принадлежит основанию конуса, а окружность верхнего основания
цилиндра принадлежит боковой поверхности конуса.
1381. Построить изображение правильной треугольной
пирамиды, вписанной в шар, если плоскость ее основания проходит
(не проходит) через центр шара1.
1382. Построить изображение правильной четырехугольной
призмы, вписанной в шар.
1383. Построить изображение цилиндра, описанного около
шара.
1384. Построить изображение правильной треугольной призмы,
описанной около шара.
1385. Дано изображение шара и его экватора. Построить
изображения двух его меридианов, плоскости которых взаимно
перпендикулярны.
§ 2. АКСОНОМЕТРИЯ
1386. Построить изображение правильного тетраэдра в
параллельной проекции.
1387. В параллельной проекции построить изображение
правильной треугольной призмы, боковое ребро которой конгруэнтно
стороне основания.
1388. Построить изображение куба, вписанного в шар.
1389. Построить изображение правильного тетраэдра,
описанного около шара.
1390. В параллельной проекции дано изображение аффинного
репера. Плоскость П' задана аксонометрическими проекциями
М, N% Р трех ее точек и их вторичными проекциями М3, N& Р3
(Мз i (N3PS))- Прямая Г, пересекающая плоскость П'э задана ее
аксонометрической проекцией / и вторичной проекцией /3.
Построить аксонометрическую и вторичную проекции точки X' =5
« П' П V.
1391. На плоскости изображений заданы аксонометрические
проекции точек Л', В', С (А' g (В'С')) и их вторичные проекции
на одну из координатных плоскостей, а также аксонометрические
1 В задачах, связанных с изображением шара, предполагается
изображение в ортогональной проекции на плоскость, проходящую через центр шара.
135

проекции пересекающихся прямых /', т! и их вторичные проекции
на ту же координатную плоскость. Построить изображение линии
пересечения плоскости (А*В'С) с плоскостью, определяемой
прямыми V и т'.
1392. В параллельной проекции дано изображение
(О, А1у А2, Л3) ортонормированного репера R' = (О', Л1, А2, Лз).
Плоскость П' задана ее следами на координатных плоскостях
репера R'. Построить изображение перпендикуляра, опущенного из
точки О' на плоскость ГГ.
1393. В параллельной проекции дано изображение
прямоугольного параллелепипеда A'B'C'D'A'iBlClD'i, измерения которого
относятся как 1:2:3, и плоскости, пересекающей ребра
параллелепипеда, выходящие из вершины С, в точках М\ N\ P'.
Построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки А[ на
плоскость (M'N'P').
1394. Пусть R' = (О', А'и А'2> А'г) — ортонормированный
репер, 2 — плоскость изображений, О' $ 2, At = (0'А\) f) 2,
(/=1,2,3), (OAt)—три различные аксонометрические оси в
ортогональной проекции. Треугольник А±А2А3 называется
треугольником следов. Доказать:
а) аксонометрические оси направлены по высотам
треугольника следов (от основания к вершине);
б) треугольник следов всегда остроугольный; любой
остроугольный треугольник может быть принят за треугольник следов;
в) аксонометрические оси составляют друг с другом тупые
углы; если треугольник следов еще не зафиксирован, то любые три
луча, исходящие из одной точки О и составляющие попарно тупые
углы, могут быть взяты в качестве аксонометрических осей;
г) по заданным аксонометрическим осям можно найти длины
отрезков exi ey, ez (коэффициенты искажения по осям); обратно,
если даны отношения коэффициентов искажения, то могут быть
вычислены углы между аксонометрическими осями.
1395. Доказать, что
а) в ортогональной изометрической проекции коэффициенты
искажения ех = еу = ez = -^- « 0,82; хОу = xOz = yOz = 120°;
б) в ортогональной диметрической проекции
еу = еж = Ц*- « 0,94; ех =±ez = Vf « 0,47;
ydz « 97°11'; хОу = хбг « 131°25'.
1398. Построить изображение шара, вписанного в куб.
1397. Доказать, что в ортогональной проекции
аксонометрические оси направлены по биссектрисам углов треугольника, стороны
которого пропорциональны квадратам коэффициентов искажения
по осям (теорема Вейсбаха).
136

1398. Построить изображение ортонормированного репера в
ортогональной диметрической проекции, пользуясь теоремой Вейс-
баха.
§ 3. ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1399. Дано изображение куба в параллельной проекции.
Построить изображение сечения этого куба плоскостью, проходящей
через точки М', ЛГ, Р', такие, что точки М' и N' лежат в
боковых гранях куба, а точка Р' — на продолжении одного из боковых
ребер.
1400. Дано изображение правильной четырехугольной
пирамиды в параллельной проекции. Построить изображение сечения этой
пирамиды плоскостью, проходящей через точки М', ЛГ, Р\ такие,
что точка М' лежит на одном из боковых ребер пирамиды, а точки
N' иР' — в ее боковых гранях.
1401. В параллельной проекции дано изображение цилиндра
F' и плоскости П', заданной тремя точками на образующих
цилиндра. Построить изображение сечения цилиндра F' плоскостью П\
1402. В параллельной проекции дано изображение конуса F'
и плоскости П', заданной следом на плоскости основания конуса и
точкой на его боковой поверхности. Построить изображение сечения
конуса F' плоскостью IT.
1403. В параллельной проекции дано изображение конуса F'
с вершиной S' и окружностью основания Q[. Секущая плоскость П'
задана точкой ЛГ на боковой поверхности конуса и следом а! на
плоскости основания конуса, пересекающим окружность Q[ в двух
точках. Установить вид кривой, по которой плоскость IT
пересекает боковую поверхность конуса F\ не строя сечения.
1404. В параллельной проекции дано изображение конуса с
вершиной S', секущей плоскости IT, определяемой следом а' на
плоскости основания конуса, и точкой М' на его боковой
поверхности, и прямой &', проходящей через центр 0[ основания конуса
и точку N' на его боковой поверхности. Построить изображение
точки X' = V П П'.
1405. В параллельной проекции дано изображение
четырехугольной призмы и четырех точек, лежащих по одной на ее
боковых ребрах. Установить, лежат или не лежат в одной плоскости
оригиналы этих точек.
1408. Дано изображение шара и его экватора. Построить
изображения точек пересечения прямой Г с поверхностью шара, если
задано изображение прямой V и точки 0[ = /' f| [WS'], где ЛГ, S' —
полюсы, соответствующие данному экватору.
1407. Дано изображение пятиугольника в параллельной
проекции. Построить изображение его ортогональной проекции на
некоторую плоскость.
137

1408. Дано изображение прямой V и пространственной ломаной
A'B'CD'E' в параллельной проекции. Построить изображения
ортогональных проекций вершин ломаной на прямую Г.
1409. В параллельной проекции эллипс Q является
изображением окружности Q', а прямая / — изображением прямой /',
лежащей в плоскости окружности Q'. Построить изображение отрезка,
лежащего на прямой /' и конгруэнтного диаметру окружности Q'.
1410. В параллельной проекции даны изображения окружности
и угла, лежащего в плоскости окружности. Построить изображение
его биссектрисы.
1411. В параллельной проекции дано изображение
треугольника, вписанного в окружность. Построить изображение центра
окружности, вписанной в этот треугольник.
1412. В параллельной проекции дано изображение
треугольника, вписанного в окружность. Построить изображения его высот.
1413. В параллельной проекции дано изображение
треугольника, описанного около окружности. Построить изображения его
медиан, высот и биссектрис углов.
1414. В параллельной проекции даны изображение Q
окружности Q' и изображение [АВ] отреака [А'В'], лежащего в плоскости
окружности Q'. Построить изображение правильного
треугольника А'В'С.
1415. В параллельной проекции дано изображение
треугольника А'В'С, вписанного в окружность. Построить треугольник,
подобный треугольнику А'В'С (иначе: восстановить форму
оригинала по изображению).
1416. По заданному в параллельной проекции изображению
треугольника А'В'С и центра Р' описанной около него
окружности восстановить форму треугольника А'В'С', если Р' не является
серединой стороны треугольника А'В'С.
1417. По заданному в параллельной проекции изображению
треугольника А'В'С и центра О' вписанной в него окружности
восстановить форму треугольника А'В'С.
1418. Дано изображение прямоугольника в параллельной
проекции. Построить изображение квадрата, лежащего в
плоскости прямоугольника, по заданному изображению одной из его
сторон.
1419. В параллельной проекции дано изображение
треугольника А*В*С и вписанной в него окружности. Найти длину радиуса
этой окружности, если известна длина одной из сторон
треугольника А'В'С.
1420. В параллельной проекции дано изображение
треугольника А'В'С известной формы (в частности, правильного). Построить
изображение описанной около него окружности.
1421. В параллельной проекции дано изображение
треугольника известной формы. Построить изображения точек касания
вписанной в него окружности.
1422. Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
138

Построить изображение другого квадрата, лежащего в плоскости
первого, по заданному изображению [АВ] одной из его сторон
lA'B'l
1423. В параллельной проекции дано изображение квадрата
и угла, лежащих в одной плоскости. Найти истинную величину
этого угла и построить изображение его биссектрисы.
1424. Боковое ребро правильной треугольной призмы
А'В'С'А[В[С[ конгруэнтно стороне основания. Из вершины А[
опущен перпендикуляр на плоскость (А'В[С[). Построить
изображение в параллельной проекции.
1425. Дано изображение куба А'В1 С D'A\B[C[D'i в
параллельной проекции. Построить изображение сечения куба плоскостью,
проходящей через вершину А[ перпендикулярно диагонали [А'С\\
куба, и точки X' пересечения этой плоскости с диагональю [А'С{].
1426. Дано изображение куба A'B'C'D'AiBlC'iDi в
параллельной проекции. Построить изображение общего перпендикуляра
скрещивающихся прямых (А'С[) и (B'D'), содержащих диагональ
куба и диагональ его грани. Вычислить расстояние между этими
прямыми, если а — длина ребра куба.
1427. Через центр куба проведена плоскость,
перпендикулярная его диагонали. В параллельной проекции построить
изображение сечения куба этой плоскостью. Вычислить площадь сечения,
если а — длина ребра куба.
1428. Через ребро [A'D'] верхнего основания куба
А'В'СD'A\B'\C\D\ проведена плоскость, пересекающая нижнее
основание по отрезку [M'xN\]. Из точки Р' верхнего основания
опущен перпендикуляр на плоскость сечения. Построить его
изображение в параллельной проекции.
1429. В параллельной проекции дано изображение правильной
четырехугольной пирамиды, высота которой конгруэнтна стороне
основания. Построить изображение сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через сторону основания и перпендикулярной к
плоскости противолежащей боковой грани.
1430. Длина высоты правильной четырехугольной призмы
I Г I I Q
А'В'СD'A\B\GXD\ равна — длины стороны основания. Через
вершину С[ основания проведена плоскость, перпендикулярная
диагонали [А[С] призмы. В параллельной проекции построить
изображение сечения призмы этой плоскостью.
1431. В параллельной проекции дано изображение куба
A'B'C'D'A[B\C[D[ и точек М'9 N\ в которых прямая (M'N')
пересекает боковые грани куба. Построить изображение общего
перпендикуляра прямых (M'N') и (D'D\).
1432. В параллельной проекции построить изображение куба,
139

вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, у которой
боковое ребро конгруэнтно диагонали основания, так, что нижнее
основание куба принадлежит плоскости основания пирамиды, а
вершины верхнего основания куба лежат на боковых ребрах
пирамиды.
1433. В параллельной проекции построить изображение куба,
вписанного в конус, у которого образующая конгруэнтна диаметру
основания, так, что нижнее основание куба принадлежит
плоскости основания конуса, а вершины верхнего основания куба лежат
на боковой поверхности конуса.
1434. Построить изображение правильной четырехугольной
пирамиды, описанной около шара.
1435. Построить изображение конуса, описанного около шара.
1436. Построить изображение куба, описанного около шара.
1437. Построить изображение куба, вписанного в шар.
1438. Построить изображение правильного тетраэдра,
вписанного в шар.
1439. Построить изображение тетраэдра, описанного около
шара.
1440. Дано изображение шара и его экватора. Точка М
является изображением точки М', лежащей на видимой части поверхности
шара. Построить изображение ортогональной проекции точки М'
на плоскость экватора.
1441. Доказать, что изображение сферы известного радиуса
является метрически определенным.
§ 4. МЕТОД МОНЖА
1442. На эпюре дана прямая / (/1э 12). Построить следы этой
прямой на плоскостях IIi и П2.
1443. Построить на эпюре следы 2 П Пх и 2 П П2 плоскости
2, заданной тремя точками А (Ль Л2), В (Въ B2)t С (Сь С2), не
лежащими на одной прямой.
1444. Построить на эпюре точку пересечения прямой / (/1э 12)
с плоскостью 2, заданной тремя ее точками А (Аъ Л2), В (Ви В2),
С (Сь С2), не лежащими на одной прямой.
1445. На эпюре даны проекции А^Сх и А2В2С2 треугольника
ABC. Построить вертикальную проекцию М2 точки М ? {ABC),
зная ее горизонтальную проекцию Мг.
1446. На эпюре даны горизонтальная и вертикальная проекции
тетраэдра ABCD. Построить сечение этого тетраэдра плоскостью,
заданной тремя ее точками М (Ми М2), N (Nu N2), Р (Рь Р2),
не лежащими на одной прямой.
1447. На эпюре найти проекции линии пересечения двух
плоскостей, каждая из которых задана парой пересекающихся
прямых.
140

1448. На эпюре найти истинную величину отрезка [АВ] по его
проекциям MUBJ и [А2В2].
1449. Плоскость 2 задана на эпюре своими следами тх с= П!
и /2 с= П2. Построить основание перпендикуляра, опущенного из
точки А (Ль А2) на плоскость 2.
1450. Плоскость П3, перпендикулярная горизонтальной
плоскости Пх и вертикальной плоскости П2, называется профильной
плоскостью проекций. Ортогональная проекция М3 точки М
пространства на плоскость П3 называется профильной проекцией
точки М. Предполагая, что плоскость П2 совпадает с плоскостью
чертежа, будем рассматривать эпюр, на котором роль плоскости Пх
выполняет плоскость П3.
Пусть на этом эпюре даны вертикальная и профильная
проекции шара и вертикальная проекция [N2S2] его диаметра [NS],
параллельного плоскости П3 и не параллельного плоскости П2.
Используя профильные проекции, построить вертикальную
проекцию
1) экватора, соответствующего полюсам N и S;
2) параллели, касающуюся очертания шара в двух точках;
3) параллели, касающуюся очертания шара в единственной
точке;
4) параллели, лежащую внутри очертания шара.
1451. На эпюре даны вертикальная и профильная проекции
шара. Используя профильную проекцию, построить вертикальную
проекцию конуса, описанного около шара.
§ б. ПЕРСПЕКТИВА
1452. В центральной проекции построить точку пересечения
прямой д! (d, dL) и плоскости, заданной тремя ее точками А' (А, Л^,
В' (В, Вг), С (С, СО, не лежащими на одной прямой.
1453. Каждая из двух пересекающихся плоскостей ГГ и Q'
задана на картинной плоскости перспективами принадлежащей ей
точки и ее основания и линией схода. Построить перспективу
прямой, проходящей через данную точку М' (М, Мг) параллельно
прямой IT П Q'.
1454. В центральной проекции через данную точку ЬЛ! (М, Мг)
провести прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся
прямые о! (я, аг) и Ь' (6, Ьг).
1455. Построить перспективу квадрата, лежащего в
предметной плоскости, по заданной перспективе [Л^] одной из его
сторон.
1456. Построить перспективу прямоугольного параллелепипеда,
основанием которого является квадрат, принадлежащий предметной
плоскости.
1457. Построить перспективу правильной треугольной
пирамиды с основанием на предметной плоскости.
141

1458. В центральной проекции плоскость IT задана точкой
М' (М, My) и линией схода р. Построить церспективу квадрата,
лежащего в плоскости IT, и перспективу его основания, если
известна перспектива [АВ] его стороны [Д'В'1 Э М'.
1459. Найти истинную величину отрезка WjB^ лежащего
в предметной плоскости, по его перспективе [AjBJ.
1460. Найти истинную зеличину отрезка [Л'Б'1 общего
положения по его перспективе [АВ] и перспективе [А^] его
основания.
1461. Построить перспективу куба с основанием на предметной
плоскости по заданной перспективе стороны его основания.

Раздел 4.
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ.
НЕЕВКЛИДОВЫ
ГЕОМЕТРИИ

Гла ва L
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АКСИОМАТИКИ
1462. Доказать, что аффинная прямая над полем К
(одномерное аффинное пространство) содержит по крайней мере две точки.
1463. Доказать, что аффинная плоскость над полем К содержит
по крайней мере четыре точки.
1464. Доказать, что трехмерное аффинное пространство над
полем К содержит по крайней мере восемь точек.
1465. Пусть V — /г-мерное векторное пространство над полем
К. Определить структуру аффинного пространства на множестве V.
1466. Пусть Mtup — множество п х р-матриц над полем /\.
Определить на множестве Мпр структуру аффинного пространства
над полем /\ и указать размерность этого пространства.
1467. Доказать, что аффинные пространства Ап (К) и Ат (К)
не изоморфны при тф п.
1468. Систему аксиом Вейля аффинного пространства можно
сформулировать, состоящей из двух аксиом 1 —2 [1]. Доказать,
что первая аксиома не зависит от второй.
1469. Доказать, что вторая аксиома Вейля из системы аксиом
аффинного пространства не зависит от первой аксиомы.
1470. Пусть А2 (F2) — аффинная плоскость над полем F2
вычетов по модулю 2. Доказать, что на плоскости Л2 (F2):
1) диагонали параллелограмма параллельны;
2) каждая вершина параллелограмма является его центром
симметрии.
1471. Предложение: существуют подобные, но неконгруэнтные
треугольники, эквивалентно V постулату. Доказать (можно
использовать все остальные аксиомы евклидовой плоскости).
1472. Предложение: около всякого треугольника можно описать
окружность, эквивалентно V постулату. Доказать.
1473. Пусть а и Ь — непересекающиеся прямые на плоскости.
Предложение: множество {р (М, а) \ М ? Ь) ограничено,
эквивалентно V постулату. Доказать.
1474. Предложение: через любую внутреннюю точку угла,
меньшего развернутого, можно провести прямую, пересекающую
обе стороны угла, эквивалентно V постулату. Доказать.
1475. Доказать, что всякий треугольник на плоскости А2 (F2)
не имеет медиан.
144

1476. На конечном множестве построить интерпретацию I
группы аксиом Гильберта.
1477. Пользуясь только аксиомами I группы Гильберта,
доказать, что каждой плоскости принадлежат по крайней мере три
точки, не лежащие на одной прямой.
1478. Пользуясь только аксиомами I и II групп Гильберта,
доказать, что множество внутренних точек отрезка не пусто.
1479. Выпуклый четырехугольник ABCD, у которого углы Л и
В прямые и [AD] ^ [ВС], называется четырехугольником Саккери,
[АВ] — нижнее основание, [CD]—верхнее основание. Пользуясь
аксиомами абсолютной геометрии, доказать, что внутренние углы
при верхнем основании четырехугольника Саккери конгруэнтны.
Доказать также, что эти углы не могут быть тупыми.
§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ ВЕЙЛЯ. СИСТЕМА АКСИОМ ШКОЛЬНОГО
КУРСА ГЕОМЕТРИИ
1480. Пусть А — ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей, п — натуральное число (п ^ 1), п-ку (аъ а2у ..., ап) = а
элементов at 6 А назовем /г-вектором над кольцом А. В множестве М
всех n-векторов над А введем сложение по закону:
(аь аа, .... ап) + {Ьъ Ь2, ..., Ьп) = (о,. + bl9 а2 + Ь2> ..., ап + Ьп)
и умножение /г-векторов на элементы из А по закону:
b (at, a2l ..., ап) = (bau baz, ..., Ьап).
Множество М, наделенное указанными внутренним и внешним
законами композиции, называют д-мерным (свободным) унитарным
модулем над кольцом А или свободным Л-модулем, я-векторы:
ег = (1, 0, ..., 0), ..., еп = (0, 0, ..., 1) образуют базис модуля М:
они линейно независимы, и для каждого вектора а = (а19 а2, ...
..., ап) ?М справедливо равенство: а=а1е1 + а2е2 + ... + апеп.
Множество Е Ф 0 называется /г-мерным аффинным пространством над
кольцом Л, если задано отображение:
а : Е х ?->М
(где М — свободный /г-мерный Л-модуль), удовлетворяющее
следующим условиям (аксиомам Вейля):
1) для каждого Л ? Е отображение оА : ?"-> М по закону:
аА (В) = о (Л, В) биективно;
2) а (Л, В) + о (5, С) = о (Л, С), VA, В, С ? Е.
Векторы из М называются переносами пространства ?, а Л-модуль
М-модулем переносов пространства Е.
Доказать, что для произвольного
ассоциативно-коммутативного кольца Л и любого натурального п система аксиом 1—2
непротиворечива.
1481. Доказать, что каждая из аксиом Вейля 1—2 (см. задачу
1480) независима от другой.
145

1482. Пусть Мпф — множество п х р-матриц над
ассоциативно-коммутативным кольцом А с единицей. Определить на
множестве MatP структуру аффинного пространства над кольцом Л.
1483. Пусть А 2 (Z) — аффинная плоскость над кольцом целых
чисел. Доказать, что для любого рационального числа — сущест-
п
вуют прямые с угловым коэффициентом —.
п
1484. Доказать, что каждая прямая на плоскости А2 (Z)
содержит счетное множество точек.
1485. Доказать, что на плоскости Л2 (Z) две прямые могут быть:
1) параллельными; 2) пересекающимися; 3) не пересекающимися и
не параллельными.
1486. Доказать, что на плоскости Л2 (Z) существуют отрезки,
не имеющие внутренних точек.
1487. Пусть М — свободный унитарный /г-мерный Z-модуль
и g : М х М -> Z — билинейная симметрическая форма на
модуле (определение точно такое же, как и для билинейной
симметрической формы, заданной на векторном пространстве над полем /?).
Доказать, что в заданном базисе (et) модуля М форма g вполне
определяется заданием матрицы \\gu\l gbj = gJit где gu =
^g&Ted ?Z.
1488. Пусть на /г-мерном (а ^ 2) Z-модуле М задана билиней-
->- ->
ная форма g (задача 1487). Векторы a, b (i M называются g-ортого-
нальными, если g (а, Ь) = 0.
Доказать, что для всякого ненулевого вектора а ? М
существует (п — 1)-мерный подмодуль М' модуля М такой, что каждый
вектор Ь ? М! g-ортогонален вектору а.
1489. Доказать, что на/г-мерном Z-модуле М нельзя ввести
понятие длины вектора при помощи билинейной симметрической
положительной формы, как это имело место для векторного
пространства над полем R.
1490. Построить интерпретацию I группы аксиом школьного
курса геометрии на конечном множестве.
1491. Пользуясь аксиомами школьного курса геометрии,
доказать, что:
1) каждый отрезок содержит бесконечное множество точек;
2) каждая плоскость содержит бесконечное множество точек,
не лежащих на одной прямой;
3) пространство содержит бесконечное множество точек, не
лежащих на одной плоскости.
1492. Пользуясь аксиомами школьного курса геометрии,
доказать, что:
1) сумма величин внутренних углов любого треугольника
равна я;
2) существуют подобные, но неконгруэнтные треугольники;
146

3) около всякого треугольника можно описать окружность;
4) через любую внутреннюю точку утла, меньшего
развернутого, можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла.
1493. Доказать, что из аксиом Вейля евклидовой плоскости
над полем R следует аксиома подвижности плоскости,
1494. Доказать, что из аксиом Вейля аффинного пространства
следует аксиома параллельности.
1495. Доказать, что углы треугольника на евклидовой
плоскости удовлетворяют равенству:
cos2 A + cos2 В + cos2 С = 1 — 2 cos A • cos В • cos С.
Вывести отсюда, что А + В + С = 180°.
1496. Используя скалярное произведение векторов* доказать
теоремы о плоских углах трехгранного угла: сумма любых двух
плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла,
а сумма всех трех плоских углов меньше 360°.
1497. Доказать, что если точка С лежит между точками Л и В,
то точка С лежит между В и А (использовать аксиомы
принадлежности, расстояния и порядка).
1498. Доказать, что если точка С лежит между точками А и В,
то точка А не лежит между В и С и точка В не лежит между А и С
(использовать аксиомы принадлежности, расстояния и порядка).
1499. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой.
Используя аксиомы принадлежности, расстояния и порядка, доказать,
что через эти точки нельзя провести двух различных окружностей.
1500. Используя аксиомы принадлежности, расстояния и
порядка, доказать, что в данной полуплоскости с границей (АВ) не
существует двух различных точек Р и Q таких, что
\РА\= \QA\, \PB\= \QB\.
1501. Используя аксиомы принадлежности, расстояния и
порядка, доказать, что не существует трех различных перемещений
плоскости, переводящих точку А в точку Лх, точку В — в точку Bi9
где \АВ\= \А1В1\.
1502. Доказать, что всякое инволютивное перемещение
плоскости имеет хотя бы одну неподвижную точку.
1503. Пользуясь аксиомами первых четырех групп, доказать,
что композиция трех симметрии плоскости, оси которых проходит
через одну точку, есть осевая симметрия.
1504. Доказать, что никакая композиция четного числа осевых
симметрии плоскости не может быть заменена композицией
нечетного числа осевых симметрии.
1505. Доказать, что если перемещение плоскости оставляет
инвариантными три точки, не принадлежащие одной прямой, то
это перемещение есть тождественное преобразование.
1506. Доказать, что существует единственное перемещение
147

плоскости, переводящее треугольник А ВС в треугольник Лi5iCb при
условии, что |ЛВ| = \АгВг\, \ВС\=\ВгСг\> \СА\=\СгАг\ и
1507. Луч [ОМ) называется биссектрисой угла Л05, если угол
содержит этот луч, а углы АОМ и ВОМ конгруэнтны. Доказать,
что для каждого угла плоскости существует биссектриса этого угла
и притом только одна.
1508. Доказать, что если точки Л, В, С € Es не принадлежат
одной прямой, то существуют два и только два перемещения/х и
/2 пространства, для которых каждая из данных точек является
неподвижной: fk (A) = A, fk (В) = В, fk (С) = С, (k = 1, 2).
1509. Доказать, что если в пространстве даны два треугольника
ABC и AiB^, причем
\АВ\ = 1ЛА1, |ВС| = IB^J, |СЛ| = |CHil,
то существуют два и только два перемещения /ь f2 пространства,
переводящих первый из этих треугольников во второй так, что
/* (Л) = Al9 fk (В) = В,, fk (С) = Сх, (? = 1,2).
1510. Доказать, что если ABCD и A1B1C1D1—два тетраэдра,
причем
|ЛВ| = \АгВхЪ \АС\ = \АгСг\, \AD\ = \A±Dxl
\ВС\ = IBxCxi, |CD| = IdDxl, IDB| = |DA|,
то существует единственное перемещение пространства В3,
переводящее первый из этих тетраэдров во второй так, что А—+-А1% В^^Вг,
О-Сх, D^DV
Глава II.
НЕЕВКЛИДОВЫ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1511. Каждая сторона сферического треугольника меньше
суммы двух других его сторон, но больше их разности. Доказать.
1512. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма
двух углов без третьего меньше я, а сумма трех его углов
принадлежит интервалу (я, Зл).
1513. Если в сферическом треугольнике две стороны
конгруэнтны, то конгруэнтны и углы, противолежащие им. Доказать.
1514. В сферическом треугольнике против конгруэнтных углов
лежат конгруэнтные стороны. Доказать.
1515. Доказать, что в сферическом треугольнике против
большего угла лежит и большая сторона.
1516. В сферическом треугольнике против большей стороны
лежит и больший угол. Доказать.
148

1517. Вычислить длину дуги параллели земного шара,
содержащей а = 42°15' и проходящей через точку с широтой <р = 37°24\
Радиус земного шара R = 6370 км.
1518. Доказать, что в сферическом треугольнике с длинами
сторон a, by с и величинами противолежащих углов Л, В, С
справедлива следующая «формула пяти элементов»:
а о . с b с . Ь С4
sin — cos В = sin — cos cos — sin — cos A,
r r r r r
где г — радиус сферы, содержащей данный треугольник.
1519. Доказать, что для сферического треугольника справедг
лива следующая «формула пяти элементов»:
sin A cos — = sin С • cos В + cos С • sin В • cos —.
г г
1520. Доказать, что длины сторон сферического треугольника
можно найти, зная величины трех его углов (предполагаем радиус г
сферы известным).
1521. Для сферического треугольника вывести следующую
«формулу четырех элементов»:
sin — • ctg — = sin С • ctg В + cos — . cos С.
г г г
1522. Доказать, что в прямоугольном сферическом
треугольнике (А = — ] справедлива формула:
а Ь с
cos — = cos — • cos —
г г г
(«сферическая теорема Пифагора»).
1523. Доказать, что в прямоугольном сферическом
треугольнике
(*-т>
sin — = sin — . sin В.
г г
1524. Доказать, что если в сферическом треугольнике угол А
прямой, то
tg A = tg - • cos С.
г г
1525. Для прямоугольного сферического треугольника (А = —\
вывести формулу:
tgA. ctg В = sin -.
г г
1526. Для прямоугольного сферического треугольника (А = — ]
вывести формулу:
cos — = ctg В • ctg С.
г
149

1527. Для прямоугольного сферического треугольника (А = —]
вывести формулу:
cos В = sin С • cos —.
г
1528. Доказать, что если в прямоугольном сферическом
треугольнике (А = — j имеют место соотношения: — < —, — < ^>
(^ 6 ^ я с ^ я \ хх ^ я ~ 6 ^ я с ^ я
либо — >-т>—>-К т°-<-г- Если же — <-тг>->-г
г 2 г 2 / г2 /* 2 г 2
(либо->т, -<т), то->т.
1529. Доказать, что если в прямоугольном сферическом тре-
имеют место соотношения: В < —, С < —
±<±. Если же В<?, C>i
г 2 ^2*2
угольнике (Л =
2 '
ТО
/либо В>у, О 2)
(либов>|-, e<f);TOf>f.
1530. Пусть дуга BD большой окружности перпендикулярна
к стороне АС сферического треугольника ABC, причем длина этой
дуги hb < я • г (такая дуга BD называется высотой сферического
треугольника, проведенной из вершины В). Доказать
справедливость равенств:
а
. hb
sin — = sin
г г
sin С
sin — • sin A.
г
1531. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике
справедливы равенства:
а • hn b
sin — • sin — = sin —
г г
hu . с
sin — = sin —
г r
sin -?.
г г г г г г
1532. В прямоугольном сферическом треугольнике (А = —V.
1) дано: -=150°52',
2) дано: - = 80°,
3) дано: - = 38°28',
г
4) дано: - = 37°52',
5) дано: - = 1Ю°46',
г
6) дано: В = 80°11',
г
Ь
= 114°15/;
найти —, В, С;
г
найти —.
г
47°39/;
г
В =56°1';
С - 45с35';
С = 153°58'.
С = 154°58'; найти
150
найти
найти —,
г
найти —
г
В, С;
7-*'
кв;
Г
г г

1533. Доказать, что углы всякого сферического треугольника
можно вычислить по его сторонам, пользуясь формулами:
sin— =
2
/ р_-ь . р — с Г . р р — а
sin • sin ^ / sin — • sin
Т- '-, cos± = l/ -L г
b . с 2 I/ b с '
sin—-sin— w sin—«sin —
r r r r r
где p = a — полупериметр сферического треугольника.
1534. Доказать, что для сферического треугольника
справедливы формулы:
sin-.sin (Л --
sin
sin В • sin С
/\:Jo ±
W*-4У sin(^-f)
2/
sin В • sin С
где е = А + В + С — я— избыток данного треугольника.
1535. Вывести следующие формулы Непера для сферического
треугольника:
а — b a — b
у^ «">. cos ^ ss. s>. sin ^^
, Л +Я 2г С , Л — 5 2г , С
tg ——— = • ctg —, tg = ctg—; (а)
S 2 а + Ь S 2' s 2 а + 6 6 2 W
cos—-— sin
2r 2r
Л—# Л— Я
cos — sin -
tg^-^-^-tg^tg^—^V-tgf:. (P)
Jr Л +S 2r ^r Л +Я lr
cos — sin —
2 2
(Эти формулы используют при решении сферических треугольников
по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум
прилежащим углам.)
1536. Вывести следующую формулу для вычисления избытка
сферического треугольника:
8 ctgg.dg^ + cosC
z sin С
где С — наибольший из углов треугольника.
1537. В сферическом треугольнике ABC:
1) дано: - = 60°32', - = 117°28', - = 78°42';
г г г
151

найти: Л, 5, С;
2) дано: А= 47°59\ 5 = 130°47', С = 56°49';
a b с
найти: —, —, —;
г г г
3) дано: - = 40°29', А = 110°19', С = 56°4Г;
г г
найти: Л, 2J, ~;
г
4) дано: А = 59°32', 5 = 77°18', - = 34°30';
г
Я а Ь
найти: С, —, —-.
г т
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РИМАНА
1538. Доказать, что на эллиптической плоскости 52 симметрия
относительно прямой а и центральная симметрия относительно
точки А совпадают, если точка А является полюсом прямой я.
1539. Доказагь, что композиция двух центральных симметрии
есть поворот. Построить центр поворота и найти величину угла
поворота.
1540. Доказать, что на плоскости S2 всякие две прямые
пересекаются.
1541. В каком случае на S2 окружность является прямой?
1542. Найти расстояние между серединами двух отрезков,
имеющих общие концы.
1543. Доказать, что на эллиптической плоскости существуют
только три типа перемещений: поворот на угол, отличный от я,
центральная (или осевая) симметрия и тождественное
преобразование.
1544. Пусть G— группа и М с: G. Пересечение всех подгрупп
группы G, содержащих подмножество М, есть подгруппа {М} в G.
Она содержит те и только те элементы группы G, которые могут
быть записаны хотя бы одним способом в виде произведения
конечного числа элементов из М. Если {М} = G, то подмножество М
называется системой образующих для G.
Доказать, что множество всех центральных симметрии является
системой образующих группы движений плоскости S2.
1545. Доказать, что угол между двумя прямыми равен
расстоянию между их полюсами или расстоянию между точками
пересечения этих прямых с их общим перпендикуляром (принимая г = 1).
1546. Доказать, что три точки, не принадлежащие одной
прямой, являются вершинами четырех треугольников и для каждого
из них выполняется неравенство треугольника.
1547. Какие прямые инвариантны в центральной симметрии?
1548. Доказать, что через три точки, не принадлежащие одной
прямой, можно провести четыре окружности.
152

1549. Даны две точки А и В и еще две точки Аъ Ви такие, что
р (Л, В) = р 64ь Вх) > 0. Доказать, что при р (Л, В) Ф^
существуют два движения, переводящих А в Агп В в Вг.
1550. Даны две точки А и В, такие, что р (А, В) = —г. Сколько
существует движений, оставляющих точки Л и В инвариантными?
1551. Найти зависимость между сторонами четырехугольника,
чтобы около него можно было описать окружность.
1552. Доказать, что если расстояние между серединами двух
сторон треугольника равно —г, то середина третьей стороны
находится на расстояниях —г от середин первых двух сторон.
1553. Дан треугольник ABC. Доказать, что если р (Л, С) +
+ р (В, С) = яг, то длина медианы ССХ равна —г.
§ 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
1554. Доказать, что на плоскости Лобачевского вписанный в
окружность угол, опирающийся на диаметр, острый.
1555. Доказать, что длина отрезка, соединяющего середины
двух сторон треугольника, больше половины длины третьей
стороны.
1556. Доказать, что в прямоугольном треугольнике величина
хотя бы одного из его острых углов меньше —.
1557. Доказать, что если серединные перпендикуляры двух
сторон треугольника параллельны, то серединный перпендикуляр
третьей стороны параллелен первым двум в одном и том же
направлении.
1558. Построить общий перпендикуляр двух расходящихся
прямых.
1559. Через точку, лежащую вне окружности, провести к ней
касательную.
1560. Через данную точку, не принадлежащую орициклу,
провести касательную к орициклу.
1561. Доказать, что композиция двух центральных симметрии
есть сдвиг. Чему равно расстояние сдвига?
1562. Доказать, что композиция двух осевых симметрии, оси
которых расходятся, есть сдвиг.
Построить ось сдвига и найти расстояние этого сдвига.
1563. Построить орицикл, проходящий через данную точку и
касающийся данной прямой.
1564. Построить четырехугольник Саккери по верхнему
основанию и боковой стороне.
153

1585. Доказать, что катет, лежащий против угла —, больше
б
половины гипотенузы.
1586. Доказать, что сторона правильного шестиугольника
больше радиуса окружности, описанной около шестиугольника.
1567/Доказать, что площадь выпуклого /г-угольника равна
п
я (п — 2) — ywt, где ф; — величины углов /г-угольника (радиус
кривизны равен 1).
1568. Доказать, что если углы одного треугольника
конгруэнтны углам другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
1569. На модели Кэли — Клейна плоскости Лобачевского
построить середину данного отрезка, биссектрису данного угла.
1570. На модели Кэли— Клейна на данном луче отложить от
его начала отрезок, конгруэнтный данному.
1571. На модели Кэли — Клейна для данного острого угла
построить соответствующий ему отрезок параллельности и обратно;
для данного отрезка построить соответствующий ему угол
параллельности.
1572. Возьмем на плоскости Лобачевского какой-либо угол
А'АА\ меньший развернутого. Доказать, что существует прямая
и притом единственная, параллельная в одном своем направлении
прямой (АА')у а в другом направлении — прямой (АА").
1573. Для любых двух различных параллельных прямых (АА')У
(ВВ') существует прямая и единственная, которая в одном своем
направлении параллельна прямой (АА'), а в другом — прямой
(ВВ'). Доказать.

Раздел 5.
ЭЛЕМЕНТЫ
ТОПОЛОГИИ.
ЛИНИИ
И ПОВЕРХНОСТИ
В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ

Глава I.
ЭЛЕМЕНТЫ
ТОПОЛОГИИ
§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
ГОМЕОМОРФИЗМ
1574. Доказать, что пересечение любого семейства топологий
на множестве X является топологией на X.
1575. Если множество X содержит больше двух точек, то
объединение двух топологий на X может не быть топологией на X.
Доказать.
1576. Пусть (X, Т)—топологическое пространство. Для
каждой точки х € X обозначим через Ох семейство всех окрестностей
точки х. Доказать, что:
1) если О ? Ох, то х Z U\
2) если ?/, V б 0Х, то U (] V € 0Х\
3) если U 6 Ох и U с V~, то V ? О/,
4) если U ? Ох, то существует элемент V € Ох, который
удовлетворяет двум условиям: а) V cz U; б) V € Oyt Vy € V, т. е. V
является окрестностью каждой из своих точек.
1577. Пусть каждому элементу х множества X поставлено в
соответствие множество Ох подмножеств из X так, что имеют место
свойства 1—4 задачи 1576. Доказать, что в X существует и
притом единственная топологическая структура, для которой Ох
служит семейством всех окрестностей точки х при любом х € X.
1578. Если (X, Т) — пространство со счетной базой, то каждая
база этого пространства содержит некоторую его счетную базу
1579. Если множество Л плотно в пространстве (X, Т) и U <Е
€ Т, то U cz А [\ U.
1580. Найти внутренность, замыкание, границу различных
промежутков на числовой прямой.
1581. Пусть А — множество в топологическом пространстве
(X, Т) и а (А) = Л", р (А) = Л. Доказать, что:
1)а(а(Л)) = а(Л) и (5 ф (А)) - р (Л);
2) если Л открыто, то Л с а (Л); если Л замкнуто, то Л =э (J (Л).
1582. В евклидовом пространстве открытые шары с
рациональными радиусами и рациональными центрами образуют базу
топологии. Доказать.
1583. Дать примеры множества Л на плоскости ?2, для которого
множества Л, Л, Л", а (Л), Р (Л) (см. задачу 1581) попарно
различны.
156

1584. Доказать, что А (] В с A f) В.
1585. Доказать, что Ъ (А) с= Ъ (А) и Ь (А) с & (Л). Дать
пример, где эти три множества попарно различны.
1586. Доказать, что Ъ (А [) В) с= Ъ (А) [} Ъ (В). Дать пример,
где эти два множества различны.
1587. Доказать, что если А (] В = 0, то
Ь {A U В) = Ь (A) U Ь (5).
1588. Пусть даны множество X и отображение f: R (X) -* R (X),
удовлетворяющее следующим четырем условиям_(в которых
обозначено А = / (А)): 1) 0 = 0; 2) A cz J; 3)Л~ = Л"; 4) ЛЦВ=
= Л (J Bf У A cz X, VS с: X. Доказать, что__в X
существует и притом единственная топология, в которой А — замыкание А
для всякого А а X.
1589. Доказать, что в непрерывном отображении образ
связного пространства связен.
1590. Доказать, что:
1) любые два открытых интервала числовой прямой
гомеоморфны;
2) любые два замкнутых интервала гомеоморфны;
3) любые два полуоткрытых интервала гомеоморфны;
4) открытый интервал не гомеоморфен ни замкнутому, ни
полуоткрытому интервалу; замкнутый интервал не гомеоморфен
полуоткрытому интервалу.
1591. Доказать, что подпространство {(х, у) \х2 + у2 = 1}
евклидовой плоскости не гомеоморфно никакому подпространству
числовой прямой.
1592. Любые два открытых выпуклых подмножества евклидова
пространства Еп гомеоморфны. Доказать. Что можно сказать о
замкнутых выпуклых подмножествах в Еп?
1593. Найти все топологии в множествах, состоящих из двух
элементов.
1594. Приведите пример непрерывного отображения, в
котором образ открытого (замкнутого) множества не является
множеством открытым (соответственно замкнутым).
1595. Доказать, что эллипсоид гомеоморфен сфере.
1598. Однополостный гиперболоид гомеоморфен
эллиптическому цилиндру. Доказать.
1597. Двуполостный гиперболоид гомеоморфен паре
параллельных плоскостей. Доказать.
1598. Каждый параболоид гомеоморфен плоскости. Доказать.
1599. Доказать, что эллиптический цилиндр гомеоморфен
открытому кольцу.
1600. Гиперболический цилиндр гомеоморфен паре
параллельных плоскостей. Доказать.
1601. Параболический цилиндр гомеоморфен плоскости.
Доказать.
157

1602. Невырожденный конус второго порядка гомеоморфен
паре открытых кругов, склеенных в центре. Доказать.
1603. Доказать, что двуполостный гиперболоид и
гиперболический цилиндр гомеоморфны.
§ 2. МНОГООБРАЗИЯ. ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА
1604. Пусть X и Y — топологические многообразия. Для
каждой карты ф (с областью определения U) в многообразии X и
каждой карты ф (с областью определения V) в многообразии Y
определим карту ф х ф с областью определения U х V в X х Y по
закону:
(Ф х ф) (х, у) = (щ (*), ф (у)), V* ? U, У/у € V.
Проверить, что этим законом произведение X х Y наделено
структурой многообразия (оно называется произведением данных
многообразий X и У). Показать также, что эллиптический цилиндр
есть произведение числовой прямой на окружность, а тор является
декартовым квадратом окружности.
1605. Доказать, что гиперболический цилиндр есть
произведение числовой прямой на гиперболу, а параболический цилиндр
произведение числовой прямой на параболу.
1606. Проверить, что однополостный гиперболоид можно
покрыть координатной окрестностью одной карты.
1607. Показать, что двуполостный гиперболоид нельзя
покрыть координатной окрестностью одной карты, но можно покрыть
координатными окрестностями двух карт.
1608. Проверить, что эллипсоид можно покрыть
координатными окрестностями двух карт.
1609. Проверить, что конус второго порядка можно покрыть
координатными окрестностями дзух карт.
1610. Проверить, что сферу х2 + У2 + z2 = 1 в евклидовом
пространстве можно покрыть шестью полусферами z > 0, z < 0,
У > 0, у < 0, х > 0, х < 0, каждая из которых является областью
определения некоторой карты на этой сфере.
1611. Проверить, что тор, полученный вращением вокруг оси
(Oz) окружности (х — 2)а + z2 = 1, можно покрыть двенадцатью
координатными окрестностями.
1612. Показать, что полярные координаты (г, 0),
определенные равенствами х = г cos 0, у = г sin 0 на плоскости (хОу)у
можно принять в качестве локальных координат в любом открытом
круге, не содержащем начата координат.
1613. Проверить, что подпространство X = {(#, у) € /?2|
у ^ 0, х (х2 — у2) = 0} пространства R2 не является
многообразием, тогда как У = {(х, у) (Хд^О} есть многообразие (с краем).
1614. Проверить, что любое открытое подмножество в Rn
является многообразием.
158

1615. Пусть М (/7?, п) — множество всех (т х п) -матриц
(матриц с т строками и п столбцами) над полем вещественных
чисел. Доказать, что М (т, п) — многообразие.
1616. Пусть R (р, V) — множество всех упорядоченных наборов
из р линейно независимых векторов вещественного n-мерного
векторного пространства V (множество R (р, V) называют пространством
р-реперов векторного пространства V). Доказать, что R (р, V) —
многообразие.
1617. Пусть V — вещественное /г-мерное векторное
пространство и G (р, V) — множество всех р-мерных подпространств Vs.
Доказать, что G (р, V) — многообразие размерности р (п — р)
(грассманово многообразие пространства V).
1618. Доказать, что множество G (р, п) всех р-мерных
плоскостей проективного пространства Рп является многообразием
размерности (р + 1) (п — р) (оно называется грассмановым
многообразием с индексами р, п).
1619. Найти эйлерову характеристику замкнутого круга.
1620. Найти эйлерову характеристику замкнутого кольца.
1621. Найти эйлерову характеристику тора.
1622. Вычислить эйлерову характеристику боковой
поверхности я-угольной призмы.
1623. Вычислить эйлерову характеристику боковой
поверхности /г-угольной пирамиды.
Глава II.
ЛИНИИ
В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе мы полагаем в пространстве Е3 заданной
прямоугольную декартову систему координат.
§ 1. ГЛАДКИЕ КРИВЫЕ. КАСАТЕЛЬНАЯ. ДЛИНА ДУГИ
1624. Пусть / = [0, 1), /' = [1, +оо). Доказать
эквивалентность погружений:
/: / ->¦ Е31 х = cos t, у = sin t, z = 2/ + 3,
r, r, , т — 1 . т — 1 5т +1
g: I'-+E3\x = cos , y = sin , z =—-1—.
1625. Пусть / = (2, +oo), /' = (e2, +oo). Доказать
эквивалентность погружений:
f: /->?3U = e' + 1, у = 3^ — 2, 2= In/ + 1,
g: V ->- E3\x = т + 1, у = Зт — 2, z = In In т + 1.
1626. Пусть / = [0, 1], /' = [0, 41. Доказать, что нельзя
подобрать такие непрерывные функции [г (t), f2 (t), gx (т), g2 (т), чтобы
159

погружения
f: I-+E3\x = h(?)f y = h(t), г=/,
g: r->Ed\x = gL (т), у = g2 (t), z = 2x + 1
были эквивалентны.
1627. Доказать, что погружения fug задачи 1624 С°°
-эквивалентны.
1628. Дрказать, что погружения fug задачи 1625 О
-эквивалентны.
1629. Линия 7 задана погружением /: /-> Е3\х = a (cos / +
+ In tg —), у = a sin /, 2 = 0, где / = (0, +оо) (такая линия
называется трактрисой). Определить класс гладкости линии у.
1630. Линия 7 задана параметрическими уравнениями:
х = ef cos t, у = et sin t, z = ef, —oo < t < +oo.
Определить класс гладкости линии 7 и написать уравнения
касательной к этой линии в точке t = 0.
1631. Линия 7» заданная параметрическими уравнениями:
х = a cos t, у = a sin t, z = bt, где а = const Ф 0, & = const ^= 0,
—oo < t < +oo, называется обыкновенной винтовой линией.
Показать, что линия 7 расположена на круглом цилиндре и все ее
касательные образуют один и тот же по величине угол с
образующими этого цилиндра.
1632. Показать, что нормальные плоскости линии х = a sin21,
у = a sin t cos t, z = a cos ty —oo < t < +oo, a = const
принадлежат одной связке.
1633. Написать уравнение нормальной плоскости в
произвольной точке (х0, у0, z0) линии
х2 + у2 — z2 = 1, х2 — у2 — г2 = 1.
1634. Показать, что линия х = a tg t, у = b cost,
z = b sin t, < t < —, a = const, b = const
расположена на гиперболическом параболоиде.
1635. Показать, что линия х = sin 2ф, у = 1 — cos 2ф, z =
= 2 cos ф, 0 <J ф < 2я лежит на сфере. Написать уравнения
касательной к этой линии в точке ф = —-.
1636. Написать уравнения касательной к линии у2 + г2 = 25,
X* + у2 = 10 в точке (1, 3, 4).
1637. Написать уравнения касательной к линии х2 + у2 = г2,
* = у в точке (*0, у0> *0).
1638. Даны гладкая линия 7 и точка С. Обозначим через М'
ортогональную проекцию точки С на касательную (МТ) к линии 7
в точке М ? у. Фигура 7' = {М'\М € 7} называется подэрой
линии 7 относительно точки С. Найти подэру параболы относительно
ее фокуса.
160

1639. Найти подэру эллипса относительно его фокуса.
1640. Найти подэру гиперболы относительно ее фокуса.
1641. Найти длину дуги винтовой линии
х = За cos t, у = За sin t, z = 4at
от точки пересечения с плоскостью хОу до произвольной точки г (f).
1642. Найти длину дуги линии я3 = За2у, 2xz = а2 между
плоскостями у = — и у = 9а.
3 *
1643. Найти длину дуги одного витка линии
х = a (t — sin 0» у = а (I — cos t), z = 4а cos —,
а = const > 0, —оо < t < + оо
жду двумя ее точками пересечения с плоскостью xOz.
1644. Найти длину замкнутой линии х = cos3?, у =* sin3 /,
2 = cos 2U 0 < t < 2я.
1645. Написать параметрические уравнения винтовой линии
(см. задачу 1631), приняв за параметр длину дуги.
1646. Найти длину дуги кривой х = acht, у = ash/, z = at
между точками М0 (0) и Mi (0-
1647. Найти длину астроиды:
х = a cos3/, у = a sin3 /, 2 = 0, 0 <; / ^ 2зх.
1648. Циклоидой называется линия, которую описывает точка
А окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой
(оси (Ох)) и остающейся в плоскости, проходящей через эту
прямую (в плоскости (хОу)). Написать параметрические уравнения
циклоиды. Доказать, что циклоида является простой, но не гладкой
кривой.
1649. Доказать, что часть циклоиды х = a (t — sin f), у =
= а (1 — cos f), 2 = 0, 0 < / < 2я является гладкой линией.
Найти длину одной арки циклоиды (аркой циклоиды называют
ее дугу с концами в точках t = 2nk, t = 2я (k + 1), где& —
какое-либо целое число).
1650. Гладкая линия задана системой уравнений:
F (х, у, 2) = 0 1
Ф (х, у, 2) = 0/.
Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
этой линии в ее точке М0 (х0У у0, 20).
1651. Доказать, что цепная линия у = ach—, 2 = 0 обладает
а
следующим свойством. Пусть М0 — произвольная ее точка, Мо —
ортогональная проекция точки М0 на ось (Оу), [OxAfol —
ортогональная проекция отрезка [OMq] на касательную к цепной линии
161

в точке М0. Тогда длина отрезка Ю^Мо] равна длине той дуги
цепной линии, которая имеет концы в точках А (О, а, 0) (вершина
цепной линии) и М0.
§ 2. КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР КРИВОЙ.
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ
1652. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости
линии у проходят через неподвижную точку, то линия у —
плоская.
1653. Найти координатные векторы канонического репера линии
х = t, у = t2, х = t3 в начале координат.
1654. Найти координатные векторы канонического репера линии
х = a (t — sin 0» у = а (I — cos 0, z = 4а cos /, — оо < t< + оо,
а = const > 0 в ее произвольной точке.
1655. Найти координатные векторы канонического репера
линии х = cos3 t, у = sin3 ty z = cos 2t, 0 ^ t ^ 2я в ее
произвольной точке.
1656. Найти координатные векторы канонического репера
линии
х = t sin /, у = t cos t, z = te*
в начале координат.
1657. Написать уравнения главной нормали линии х = t,
у = /2, z = гг в точке 7 = 0.
1658. Написать уравнение соприкасающейся плоскости линии
х = cos3 ty у = sin3 ty z = cos 2/, 0 ^ ? ^ 2я
в ее произвольной точке.
1659. На бинормалях линии х = cos a cos /,
у = cos a sin tf, z — t sin а, а = const, —оо < / < + оо
в положительном направлении отложены отрезки постоянной
длины, равной единице. Написать уравнение соприкасающейся
плоскости новой линии.
1660. На линии х = —, у = In /, z = — t2y 0 < * < + оо
найти точки, в которых бинормаль параллельна плоскости:
х — y + 8z + 2 = Q.
1661. На бинормалях винтовой линии в положительном
направлении отложены отрезки одной и той же длины. Доказать, что
концы этих отрезков лежат на другой винтовой линии.
1662. Написать уравнение соприкасающейся плоскости каждой
из следующих линий:
1) У2 = Ху х2 = z в точке (1, 1, 1);
2) х2 + z2 = а2, у2 + z2 = Ь2 в точке (а, Ь, 0);
3) х = е', у = е~\ z = t ]/~2~, —оо < / < + оо в точке t = 0.
162

1663. Дана винтовая линия: х = a cos U У = Ь sin /, г = Ы.
Написать уравнения главной нормали, бинормали,
соприкасающейся плоскости, нормальной плоскости, спрямляющей плоскости
и найти координатные векторы канонического репера в
произвольной точке линии.
1664. Дана линия:
х = sin t, у = cos U г = tg U — — < t < ~.
Написать уравнения касательной, нормальной плоскости,
бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и
спрямляющей плоскости в точке t = —. В этой же точке найти
координатные векторы канонического репера.
1665. Доказать, что линия
х = сщР + bxt + съ у = а2Р + b2t + съ г = azt% + b3t + c3t
— oo < i < + °°, flj = const, bt = const, ct = const (i = 1, 2)
плоская, и найти уравнение той плоскости, которая содержит эту
линию.
1666. Вычислить кривизну кривой:
х = t — sin t, у = 1 — cos t, z = 4 sin —, — oo < t < + oo
в точке t = я.
1667. Найти кривизну и кручение линии:
х = ach/, у = ashty z = at, — со < / < + со, а = const > О
в ее произвольной точке.
1668. Доказать, что кривизна и кручение обыкновенной
винтовой линии постоянны.
1669. Доказать, что если кривизна и кручение линии постоянны
и отличны от нуля, то эта кривая — обыкновенная винтовая линия.
1670. Пусть Yi и у2 — гладкие кривые, для которых существует
биективное отображение /: ух -> у2, такое, что для любой точки
М € Ух касательные к этим кривым в точках Ми/ (М)
параллельны. Тогда главные нормали и бинормали в этих точках тоже
параллельны. Доказать.
1671. Доказать, что если неплоская линия обладает одним из
следующих свойств:
1) ее касательные образуют постоянный по величине угол с
некоторым направлением;
2) ее бинормали образуют постоянный по величине угол с
некоторым направлением;
3) ее главные нормали параллельны некоторой плоскости;
4) — = const,
к
то она обладает и остальными тремя свойствами (такая линия
называется обобщенной винтовой линией).
163

1672. Доказать, что линия х2 = Зу, 2ху = 9z является
обобщенной винтовой.
1673. Доказать, что линия х = 2t> у = In /, z = t2, 0 < 2<+оо
является обобщенной винтовой линией.
1674. При каком условии линия х = at, у = bt2, z = ct2,
— оо </<+°°, а, Ь, с — постоянные, будет обобщенной
винтовой?
1675. Доказать, что формулы Френе
dx с* dv г** , "о сф -*
— = fev, — = —kx + ир, — = —hv
ds ds ds
можно записать в виде:
dv r"* -*, dv _-* -* djf .-* -*
— = К г], —- = [со, v], -f- = [со, Р].
ds ds ds
Найти вектор со (вектор Дарбу).
1676. Доказать, что если все нормальные плоскости линии
параллельны одному направлению, то эта линия или прямая или
плоская.
1677. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости
линии (отличной от прямой) параллельны одному направлению, то
линия — плоская.
1678. Доказать, что если все спрямляющие плоскости линии
параллельны одному направлению, то эта линия — обобщенная
винтовая. Доказать обратное предложение и найти вектор, которому
параллельны все спрямляющие плоскости обобщенной винтовой
линии.
1679. Доказать, что если две линии уг и 72 имеют общие главные
нормали (кривые Бертрана), то кривизна и кручение линии ух
(также и линии у2) находятся в линейной зависимости:
ak + Ьк = 1 (а = const, Ь = const).
1680. Доказать, что если кривизна и кручение линии у
находятся в линейной зависимости вида ok + bx = 1 (а = const Ф 0,
b = const Ф 0), то существует линия 7*> имеющая с линией у
общие главные нормали.
1681. Доказать, что линия с кривизной k = const Ф 0 является
линией Бертрана (см. задачу 1679).
1682. Найти эволюту циклоиды:
х = a (t — sin О» У =* а (1 — cos t), z = 0, — сю < t < + °°.
1683. Найти эволюту параболы: у2 = 2рх, 2 = 0.
1684. Найти эволюту трактрисы:
х = — a /cos t + In tg -П» У = a sin /, 2 = 0, 0 < t < + 00.
164

Глава III.
ПОВЕРХНОСТИ
В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
(В пространстве Е3 задана прямоугольная декартова система
координат.)
§ 1. ГЛАДКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
1685. Доказать эквивалентность погружений:
/ : R2 ->- Е3 | х = и1, у = и2, z = и1 и2,
g : R2 -> Е3 I * = v1 + v2, у = vl—v2, z = (v1)2 — (v2)2.
1686. Доказать, что погружения fug задачи 1685 С00
-эквивалентны.
1687. Поверхность F задана погружением
/ : R2 -> Е3 \ х = ри1 cos и2, у = qu1 sin a2, z = — (и1)2,
р = const > 0, q = const > 0.
Определить класс гладкости поверхности F.
1688. В точках гладкой линии р = р (и1) задано векторное
поле е = е (и1). Написать уравнение линейчатой поверхности,
для которой данная линия является направляющей, а вектор
е(иг) — направляющий вектор соответствующей прямолинейной
образующей.
1689. Даны две линии г = г (и1), р = р (и2). Написать
уравнение поверхности, образованной серединами отрезков, концы
которых лежат на данных линиях (поверхностей переноса).
1690. Написать уравнение катеноида — поверхности,
образованной вращением цепной линии у = ach —, z = 0 вокруг оси
(Ох).
1691. Коноидом называют линейчатую поверхность,
прямолинейные образующие которой параллельны заданной плоскости
(направляющей плоскости коноида) и пересекают заданную прямую
(следовательно, у коноида одной из направляющих линий служит
прямая — направляющая прямая коноида). Чтобы задать коноид,
достаточно задать направляющую плоскость, направляющую
прямую и еще какую-либо направляющую линию. Написать уравнение
коноида с направляющей плоскостью z = 0, направляющей
прямой х = я, у = 0 и направляющей линией у2 = 2pz, x = 0.
1692. Доказать, что объем тетраэдра, образованного
пересечением координатных плоскостей и касательной плоскости
поверхности xyz = а3, не зависит от выбора точки касания на поверхности.
1693. Доказать, что сумма квадратов длин отрезков,
отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности
165

_3_
х = (и1 sin и2)3, у =•= (и1 cos u2)\ z = (а2 — (и1)2)2 (а = const > О,
—а ^ м1 < а, 0 ^ а2 < 2л) постоянна.
1694. Прямая g перемещается в пространстве так, что
выполняются три условия:
1) прямая g пересекает ось (Oz) под прямым углом;
2) точка g П (Oz) движется равномерно со скоростью v;
3) прямая g равномерно вращаегся около оси Oz с угловой
скоростью со. Написать уравнение поверхности, которую описывает
прямая g при таком перемещении (эта поверхность называется
геликоидом или простой винтовой поверхностью).
1695. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к геликоиду: х = и1 cos и2, у = иЧт и2, z = аи2 в точке (игуи2).
1693. Поверхность образована касательными к линии у.
Доказать, что касательная плоскость к этой поверхности одна и та
же во всех точках одной прямолинейной образующей (отличных
от точки ребра возврата).
1697. На нормалях к поверхности Ф в положительном
(отрицательном) направлении отложены отрезки постоянной длины. Концы
отложенных отрезков образуют поверхность Ф*, «параллельную»
поверхности Ф. Доказать, что поверхности Фиф* имеют в
соответствующих точках общие нормали.
1698. Доказать, что поверхности
х2 + у2 + z2 = ах, х2 + у2 + z2 = by, х2 + у2 + г2 = cz
пересекаются под прямым углом (углом между поверхностями фх
и Ф2 в точке М € Фх П Фг называют угол между касательными
плоскостями к этим поверхностям в точке М).
1699. Доказать, что касательные плоскости поверхности
переноса
^ = 7(u1) + p(u2)
вдоль каждой линии переноса (и1 = const и и2= const)
параллельны некоторой прямой.
1700. Доказать, что если все нормали поверхности пересекают
некоторую прямую, то эта поверхность является поверхностью
вращения.
1701. Доказать, что если нормали поверхности проходят
через одну и ту же точку, то эта поверхность содержится в некоторой
сфере.
1702. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности
2 = х3 + у3 в точках (а, —а, 0) принадлежат одному пучку*
§ 2. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
1703. Найти первую квадратичную форму сферы:
х == г cos и1 cos и2, у = г sin и1 cos a2, z =? г sin а2.
166

1704. Найти первую квадратичную форму геликоида:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z = аи2.
1705. Найти первую квадратичную форму поверхности:
2 = / (*, у).
1706. Доказать, что поверхность вращения можно
параметризовать так, что ее первая квадратичная форма примет вид:
ds2 = (da1)2 + Giu1) (du2)2.
1707. Сеть линий на поверхности называется чебышевской,
если отрезки линий каждого семейства, высекаемые двумя линиями
другого семейства, имеют равные длины. Доказать, что а) сеть
координатных линий на поверхности является чебышевской тогда
и только тогда, когда
ди2 ди1
—>• -> ->
б) на поверхности переноса R = г (и1) + р (м2) координатные
линии образуют чебышевскую сеть.
1708. Доказать, что на геликоиде:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z = аи2
дифференциальное уравнение (du1)2 — ((и1)2 + a2) (du2)2 = 0
определяет ортогональную сеть.
1709. Найти уравнения линий на геликоиде:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z = аи2,
делящих пополам углы между координатными линиями.
1710. На поверхности
х = (и1)2 + (и2)2, у = (а1)2 — (и2)\ z = ихи2
вычислить длину дуги линии и2 = аи1 между точками ее
пересечения с линиями и1 = 1, и1 = 2.
1711. Дана первая квадратичная форма поверхности:
ds2 = (du1)2 + ((и1)2 + a2) (du2)2.
Найти периметр криволинейного треугольника, образованного
пересечением линий и1 = ±—а (и2)2, и2 =* 1.
1712. На поверхности с первой квадратичной формой
ds2 = (du1)2 + sh2 и1 (du2)2
найти длину линии a1 = и2 между точками Мг (и), ил) и М2 (ик, и\).
1713. Найти угол между кривыми и2 = и1 + 1 и и2 ~ 3 — и1
на поверхности:
х = и1 cos и2, у = иНт и2, z = (и1)2.
167

1714. Найти угол между кривыми и1 + и2 = 0, и1 — и2 = О
на геликоиде:
х = a1 cos и2, у = a1 sin а2, г = аа2.
1715. Найти внутренние углы криволинейного треугольника,
указанного в задаче 1711.
1716. Найти площадь треугольника, образованного
пересечением линий и1 = ± аи2, и2 = 1 на поверхности с первой
квадратичной формой:
ds2 = {du1)2 + ((и1)2 + a2) {du2).
1717. Найти площадь четырехугольника на геликоиде:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z = аи2,
ограниченного линиями и1 = 0, и1 = я, и2 = О, и2 = 1.
1718. Доказать, что на плоскость наложима каждая из
следующих поверхностей:
1) цилиндрическая поверхность;
2) коническая поверхность;
3) поверхность, образованная касательными к гладкой линии.
1719. Поверхность называется развертывающейся, если она
наложима на плоскость. Доказать, что не существует других
развертывающихся поверхностей, кроме указанных в задаче 1718.
1720. Доказать, что если поверхность допускает такую
параметризацию, при которой коэффициенты первой квадратичной
формы постоянны, то эта поверхность локально изометрична
плоскости.
1721. Доказать, что сфера даже локально не изометрична
плоскости.
1722. Доказать, что изометрическое отображение плоскости
на себя есть движение.
1723. Доказать, что существует изометрическое отображение
области на геликоиде:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z = аи2, 0 ^ и* < 2л
на катеноид:
х = v1 cos v2, у = v1 sin v2, z = a arch —,
а
при котором прямолинейные образующие геликоида переходят в
меридианы катеноида.
1724. Пусть ф1э Ф2 — гладкие поверхности. Диффеоморфизм
h : Фх ->- Ф2 называется конформным отображением, если он со-
-> ->¦
храняет величину угла между кривыми. Пусть г = г (и1, а2),
р == р (а\ х)2) — параметризации поверхностей Фх и Ф2
соответственно. Доказать, что:
1) если при этих параметризациях коэффициенты первых
квадратичных форм поверхностей Фх, Ф2 пропорциональны, то
отображение h : Ф± -*- Ф2 по закону v1 =ч и1, v2 =* и2 конформно;
168

2) обратно, если отображение h : Ф, -> ф2 по закону v1 = и1,
V* = и2 конформно, то коэффициенты первых квадратичных форм
поверхностей пропорциональны.
1725. Пусть Фг и Ф2 — гладкие поверхности. Диффеоморфизм
/: ф, -^ ф2 называется эквиареальиым отображением, если он
сохраняет площади квадрируемых фигур. Доказать, что если
отображение / : фх -^ ф2 конформно и зквиареально, то оно
изометрическое.
1726. Доказать, что всякая прямая на поверхности является
геодезической линией.
1727. Дифференциальное уравнение геодезических линий по-
—>¦ -> -*•
верхности г = г (и1, и2) можно записать в виде: (N, dr, d2r) = О,
где N — вектор нормали поверхности. Доказать.
1728. Доказать, что меридианы поверхности вращения —
геодезические линии, а параллель будет геодезической тогда и только
тогда, когда касательные к меридианам в ее точках параллельны
оси вращения.
1729. Найти геодезическую кривизну окружности радиуса г,
лежащей на сфере радиуса R.
1730. Найти геодезическую кривизну винтовой линии и1 = с =
= const, лежащей на геликоиде:
х = и1 cos и2> у = и1 sin a2, z = аи2.
§ 3. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
1731. Доказать, что вторая квадратичная форма плоскости
тождественно равна нулю, вторая квадратичная форма сферы
пропорциональна ее первой форме.
1732. Найти вторую квадратичную форму катеноида:
х = У (и1)2 + a2 cos и2, у = W)2 + я2 sin a2,
г = a In (и1 + У (и1)2 + а2).
1733. Найти главные кривизны поверхности:
х = cosu2 — (и1 + и2) sin и2, у = sin и2 + (и1 + и2) cos и2, z = ul +
+ 2и2.
1734. Найти главные кривизны геликоида:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z =* аи2.
1735. Доказать, что главные направления геликоида (см.
задачу 1534) делят пополам углы между направлениями образующей
и винтовой линии.
1736. Найти линии кривизны параболоида z = cay.
1737. Доказать, что на плоскости и сфере любая кривая
является линией кривизны.
169

1738. Доказать, что только вдоль линии кривизны нормали к
поверхности образуют развертывающуюся поверхность.
1739. Гладкая поверхность отнесена к изотермическим
координатам (тогда первая квадратичная форма имеет вид: ds2 =
= %2 {{da1)2 + {du2)2)). Вычислить полную кривизну поверхности
в точке (и1, и2).
1740. Гладкая поверхность отнесена к пол у геодезическим
координатам (тогда первая квадратичная форма имеет вид: ds2 =
= {du1)2 + V22 {du2)2. Вычислить полную кривизну поверхности
в точке {и1, и2).
1741. Пусть координатные линии на гладкой поверхности
образует чебышевскую сеть. Доказать, что
а) первую квадратичную форму поверхности можно привести
к виду ds2 = {du1)2 + 2 cos со du1 du2 + {du2)2;
б) полная кривизна поверхности /? = ——, где соХо = .
sin со диЧи2
1742. Найти полную и среднюю кривизну геликоида:
х = и1 cos и2, у = и1 sin и2, z = аи2
в точке (и1, и2).
1743. Доказать, что если средняя кривизна поверхности равна
нулю в каждой точке, то асимптотическая сеть ортогональна.
1744. Дана поверхность постоянной средней кривизны Н.
На всех ее нормалях в положительном (отрицательном) направлении
отложены отрезки длины —. Доказать, что концы этих отрезков
2Н
образуют поверхность (параллельную данной) постоянной полной
кривизны.
1745. Поверхность Ф* параллельна поверхности Ф. Доказать,
что линиям кривизны поверхности Ф соответствуют линии
кривизны поверхности Ф*.
Глава дополнительная.
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ
1746. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC,
С = 90°, проведены медианы [A A J и [BSJ. Вычислить косинус
угла между этими медианами.
1747. Длина стороны правильного треугольника ABC равна
а. При повороте на угол ср вокруг своего центра треугольник
переходит в треугольник АхВ^О^ Вычислить площадь пересечения этих
двух треугольников.
1748. Дан правильный треугольник ABC со стороной длины
а и принадлежащая ему точка М. Вычислить сумму расстояний этой
точки до сторон треугольника.
170

1749. Найти зависимость между величинами углов
треугольника, если ортоцентр треугольника является серединой одной из
его высот.
1750. В равнобедренном треугольнике длина высоты,
проведенной к боковой стороне, равна половине длины этой стороны.
Вычислить углы треугольника.
1751. Найти зависимость между длинами сторон треугольника
ABC, если медианы [ААг] и [ВВг] образуют угол 60°.
1752. Дан треугольник ABC, точка Сг — проекция вершины
С на прямую {АВ). Найти зависимость между длинами сторон
треугольника, если |ССгI2 = \СХА| • \СгВ\.
1753. Найти зависимость между углами треугольника ABC,
если биссектриса [ССг] треугольника видна из центра описанной
окружности под прямым углом.
1754. В данную окружность радиуса R вписан равнобедренный
треугольник. Какое наибольшее значение может принимать длина
высоты этого треугольника, проведенной к его боковой стороне,
и при каком значении угла при вершине треугольника?
1755. Дан равнобедренный треугольник ABC с углом 100°
при вершине С. Через вершины А и В проведены лучи [AM) и
[ВАГ) (М € ААВС), такие, что МАВ = 30°, МВА = 20°.
Вычислить величину угла А СМ.
1756. Даны два конгруэнтных отрезка [АВ] и [AiBx]. Каким
должен быть угол между прямыми {АВ) и (АгВ^9 чтобы расстояние
между серединами М и N отрезков [АВ] и [AxBJ было равно
\\AB\7
1757. Касательные в вершинах А и В треугольника ABC,
вписанного в окружность, пересекаются в точке S. Прямая (CS)
пересекает (АВ) в точке М. Вычислить отношение \АМ\ : \МВ\,
если известны длины сторон треугольника.
1758. В треугольнике ABC проведены две высоты [AHJ и
[ВЯ2]. Вычислить величину угла С треугольника, если НгМН2 =
= 90°, где М — середина стороны [АВ].
1759. Найти зависимость между сторонами треугольника ABC,
если его медиана L4AJ, высота [BBJ, биссектриса [СС±]
пересекаются в одной точке.
1760. Дан равнобедренный треугольник ABC (\AB\ = \ВС\)
с углом при вершине 30°. На стороне [ВС] построена точка D так,
что \АС\ : \BD\ = J/2*. Найти величину угла DAC.
1761. Через вершины А и В острых углов прямоугольного
треугольника ABC проведены лучи, пересекающие
противоположные катеты в точках Ах и Вг. D — точка пересечения лучей.
Вычислить углы треугольника AxBxDn если
171

АхАС = \а, ВгВС = ±В.
1762. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна
1, а точка пересечения медиан лежит на вписанной в него
окружности. Вычислить периметр треугольника.
1783. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого
длина основания равна р, а длина боковой стороны равна q, если
рз_зр<?2 + дз|/з = 0.
1764. Зная величину угла при вершине А треугольника ABC,
найти величину острого угла между биссектрисами внутренних
углов при основании [ВС].
1765. Зная величины углов при основании [ВС]
треугольника ABC, найти величину угла между высотой и биссектрисой угла
при вершине Л.
1766. Зная величины углов прямоугольного треугольника,
найти величину угла между высотой и медианой, проведенными из
вершины прямого угла.
1767. Длины сторон треугольника ABC равны а, Ь, с
соответственно. Из вершины А проведены: медиана [AM] стороны [ВС],
высота [АН] и биссектриса [АК] угла ВАС треугольника. Найти
отношение трех точек М, Н, К-
1768. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника ABC,
если \АВ\ = с, \АС\ = Ь, ВАС = А.
1769. В треугольнике ЛВС дано: |ЛВ| = с, \АС\ = Ьита=*
= У^Ьс, где та —длина медианы стороны [ВС]. Найти величину
угла ВАС.
1770. В треугольнике ABC дано: \АВ\ = с, \АС\ = Ъ, [AD] —
биссектриса угла ВАС треугольника, \BD\ = d, \CD\ = b'.
Вычислить \AD\.
1771. Найти площадь треугольника, если даны длины Ь и с
двух его сторон и длина t биссектрисы угла между этими
сторонами.
1772. Точка М лежит внутри треугольника. Расстояния этой
точки до прямых, содержащих стороны треугольника, равны х,
у, z, а соответствующие высоты треугольника имеют длины hx,
h2, h3. Вычислить сумму ^- + %- + -р.
hy h2 h3
1773. На сторонах [BCJ, [СА] и [АВ] треугольника ABC взяты
соответственно точки Р, Q, R, такие, что (ВС, Р) = а,(СЛ, Q) = р,
(АВ, R) = у. Найти отношение площади треугольника PQR к
площади треугольника ABC.
1774. Зная величины углов треугольника ABC, найти величину
угла между медианой и высотой, проведенной из вершины Л.
1775. Прямая, параллельная основанию треугольника площади
S, отсекает от него треугольник площади S'. Найти площадь
четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами
172

меньшего треугольника, а четвертая принадлежит основанию
большего треугольника.
1776. Зная длины Къ /i2, h3 высот треугольника, найти его
площадь.
1777. Зная длины та, ть, тс медиан треугольника, найти его
площадь.
1778. Известны длины а, Ъ, с сторон треугольника ABC. Найти
радиус г вписанной окружности и радиус га вневписанной
окружности, касающейся стороны [ВС].
1779. Зная длины а, Ь, с сторон треугольника, найти радиус
описанной окружности.
1780. Вычислить площадь треугольника, зная радиус г
вписанной окружности и радиусы га, гь, гс вневписанных окружностей.
1781. Дан треугольник ABC. Найти зависимость между
радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей.
1782. Даны три параллельные прямые dt, d2, ds (различные),
причем d2 содержится в полосе, ограниченной прямыми dx, d3i
Р №l> d2)= a, p (d2, d3) = b. Вычислить площадь правильного
треугольника, вершины которого лежат на данных прямых.
1783. Стороны треугольника ABC разделены в отношениях
(ВС, Р) = a, (CM, Q) = Р, (АВ, R) = у. Найти отношение
площади треугольника А*В'С', стороны которого лежат на прямых
(АР), (BQ), (CR), к площади треугольника ABC.
1784. Площадь прямоугольного треугольника равна 6 кв. ед.,
а радиус вневписанной окружности, касательной к одному из
катетов, равен 3. Найти длины сторон треугольника.
1785. Найти величины углов прямоугольного треугольника,
зная, что радиус описанной около него окружности относится к
радиусу вписанной окружности как 5 : 2.
1786. Через середину стороны правильного треугольника
проведена прямая под углом а (0 < а < —) к этой стороне. В каком
отношении эта прямая делит площадь треугольника?
1787. В треугольнике ABC : А = 2В, \АС\ = Ь, \АВ\ = с.
Найти \ВС\.
1788. Треугольник ABC, длины сторон которого 13, 14, 15,
разделен на две равновеликие части прямою (XY), перпендикуляр,
ной к большей стороне. Найти длину отрезка (XY) Г) А А ВС.
1789. В правильный треугольник, длина стороны которого
равна 3, вписан другой правильный треугольник, втрое меньший
первого по площади. Найти расстояние между смежными
вершинами этих треугольников.
1790. Зная длины а, Ъ, с сторон треугольника ABC, найти
длину биссектрисы угла ВАС треугольника.
1791. Известны длины сторон треугольника ABC: \AB\ = с,
\АС\ = Ь, \ВС\ = а. Найти расстояния точек В и С от прямой,
содержащей биссектрису угла ВАС.
173

1792. Дан треугольник, длины сторон которого 36, 29 и 25.
Середина М большей стороны проектируется ортогонально на
боковые стороны в точки N а К- Найти площадь треугольника MNK-
1793. Дан треугольник ABC, длины сторон которого \ВС\ == а,
| АС\=Ь, | АВ\=с. Точка М, лежащая внутри треугольника,
проектируется ортогонально на прямые (ВС), (АС), (АВ) в точки Мъ М2,
М9 соответственно, причем \ММг\=ръ |АШ2|=р2, \ММ3\=р3.
Найти площадь треугольника МгММъ.
1794. Дан треугольник, длины сторон которого равны а, Ь, с.
Найти периметр треугольника, вершинами которого служат
основания высот данного треугольника.
1795. Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены
три прямые, параллельно сторонам треугольника. Зти прямые
разделяют треугольник на шесть частей, из которых три части
являются треугольниками с площадями Sl9 S2, S3. Найти площадь
данного треугольника.
1793. Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC при
повороте около середины одного из катетов на угол 45° перешел
в треугольник А 'В'С. Найти отношение площади фигуры Л Л В'С [\
О ААВС к площади треугольника ABC.
1797. Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC,
длина катета которого равна а, при повороте около вершины
прямого угла на угол 30° перешел в треугольник А'В'С. Найти
площадь фигуры АА'В'С Л &АВС.
1798. Зная длины а, Ь, с сторон треугольника, вычислить
площадь треугольника, вершинами которого служат основания
биссектрис данного треугольника.
1799. Дан треугольник с длинами сторон а, й, с. Центр тяжести
проектируется ортогонально на прямые, содержащие стороны
треугольника, в точки Gu G2, G3 соответственно. Найти площадь
треугольника G-fi^G^.
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
1800. Дан параллелограмм, стороны которого
пропорциональны его диагоналям. Вычислить коэффициент пропорциональности.
1801. Длина стороны правильного пятиугольника равна а.
Вычислить расстояние от вершины пятиугольника до середины
противолежащей стороны.
1802. В квадрат со стороной длины а вписан прямоугольник
так, что на каждой стороне квадрата лежит вершина
прямоугольника. Вычислить длину диагонали прямоугольника, если его
площадь равна 5.
1803. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На сторонах
[АВ\ и [CD] построены соответственно точки М и N так, что
| АВ\: | MB|=|CD | : j ND\ — k. Вычислить отношение площади
четырехугольника AMCN к площади данного четырехугольника.
1804. В трапеции A BCD параллельно ее основаниям [А В)
174

и [CD], длины которых равны а и 6, проведены два отрезка. Концы
отрезков принадлежат боковым сторонам трапеции. Вычислить
длины этих отрезков, если они делят трапецию на три
равновеликие части.
1805. Длина стороны правильного шестиугольника ABCDEF
равна а. Вычислить расстояние |ЛМ|Э где М — середина
стороны [CDL
1806. Вычислить сумму квадратов расстояний любой точки Р
плоскости до прямых, содержащих стороны правильного д-уголь-
ника, лежащего в этой плоскости, если радиус окружности,
описанной около /г-угольника, равен R, а расстояние от Р до центра
окружности равно d.
1807. Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной
длины а. Точки М и N — середины сторон [ВС] и [CD]. Вычислить
расстояние от точки М до середины Р отрезка [AN].
1808. Дан параллелограмм ABCD. Выразить расстояние от
центра окружности, описанной около треугольника ABC, до
вершины D через радиус R этой окружности и длины сторон
треугольника ABC.
1809. Вычислить углы четырехугольника ABCD, если CAB =
= 30°, DBC = 30°, ACD = 45°, BDA = 45°.
1810. Окружность радиуса R проходит через две смежные
вершины квадрата. Вычислить длину стороны квадрата, если
расстояние между центрами окружности и квадрата равно d.
1811. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF попарно параллельны и конгруэнтны. Какую часть
площади шестиугольника составляет площадь треугольника АСЕ?
1812. Найти точку, сумма расстояний которой от вершин
данного выпуклого четырехугольника — наименьшая.
1813. Зная длины а и Ь (а > Ь) оснований трапеции, найти
длину отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.
1814. Зная длины а и Ъ оснований трапеции, найти длину
отрезка, параллельного основаниям, содержащего точку
пересечения диагоналей и имеющего концы на боковых сторонах трапеции.
1815. Зная длины а и Ъ оснований трапеции (а > Ь)у найти
длину отрезка, параллельного основаниям, содержащего точку
пересечения продолжений боковых сторон и имеющего концы на
продолжениях диагоналей трапеции.
1816. [АВ] и [CD] — основания трапеции ABCD. Найти
зависимость между длинами сторон и диагоналей трапеции.
1817. ABCD—параллелограмм, Р — середина [АВ], Q —
середина [ВС], R — середина [DC], S — середина [AD]. Полоса,
ограниченная прямыми (AQ) и (SC), пересекает полосу,
ограниченную прямыми (DP) и (BR), по параллелограмму. Найти
отношение площади этого параллелограмма к площади данного
параллелограмма.
175

1818. Трапеция разделена диагоналями на четыре части.
Найти площадь трапеции, зная площади Sb 52 частей, примыкающих
к основаниям.
1819. Вычислить сумму квадратов длин хорд, соединяющих
произвольную точку окружности радиуса R = 1 с вершинами
правильного вписанного в эту окружность пятиугольника.
1820. Л, В, С, D — четыре последовательные вершины
правильного 7-угольника. Найти зависимость между \АВ\, \АС\и \AD\.
1821. Две квадратные пластинки расположены так, что
центры их совпадают, а величина угла между их диагоналями равна а.
Найти периметр и площадь образовавшейся 8-конечной звезды,
если длина стороны каждой пластинки равйа а.
1822. Дана равнобочная трапеция с длинами сторон:
основаниями 7 см и 1 см и боковой стороной 5 см. Найти площадь
описанного круга.
1823. Два правильных многоугольника имеют конгруэнтные
стороны, а внутренний угол одного вдвое больше внутреннего
угла другого. Найти отношение площадей этих многоугольников.
1824. Зная площади Sx и S2 правильных вписанных
многоугольников с числом сторон п и 2/г, найти площадь правильного
вписанного 4я-угольника.
1825. Правильный шестиугольник F со стороною длины а
разделен прямой d, проходящей через вершину шестиугольника,
на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найти длину
отрезка d {] F.
1826. На сторонах треугольника данной площади построены
квадраты. В каком случае сумма площадей этих квадратов
минимальная?
1827. Известны длины сторон треугольника: 52, 56 и 60.
Параллельно большей стороне проведена секущая так, что
периметр полученной трапеции равен 156. Найти площадь трапеции.
1828. Найти площадь равнобочной трапеции, диагонали
которой взаимно перпендикулярны, а длина высоты равна /г.
1829. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей
трапеции параллельно ее основаниям, разделяет трапецию на две
части. Найти отношение площадей этих частей, если основания
трапеции имеют длины а и Ь.
1830. Известны длины оснований трапеции ABCD: \АВ\ =
= a, \DC\ = Ъ (а > Ь). На продолжении меньшего основания найти
точку М, так, чтобы прямая (AM) разделяла трапецию на две
равновеликие части.
§ 3. ОКРУЖНОСТИ И КРУГИ
1831. В полукруг радиуса R вписана трапеция, в которую
можно вписать окружность. Вычислить радиус г этой окружности.
1832. Точки М и N — центры гомотетий двух
пересекающихся в точках А и В окружностей. Найти величину угла MAN.
176

1833. Найти зависимость между сторонами треугольника ABC,
вписанного в окружность с центром О, если медиана [ССХ]
перпендикулярна радиусу [ОС].
1834. Две окружности пересекаются в точках Л и В, общая
касательная этих окружностей касается их в точках М и N. Найти
сумму MAN + MBN.
1835. В окружность радиуса R вписан правильный п-угольник
/I
АкА2..Лп. Вычислить сумму V |AL4j|a, где М — точка, при-
t=i
надлежащая окружности.
1836. Даны две концентрические окружности. Построен квадрат,
две смежные вершины которого принадлежат одной окружности, а
две другие — другой. Выразить площадь квадрата через радиусы
rt и г2 данных окружностей.
1837. Вычислить проекцию высоты [ААг\ треугольника ABC
на касательную в точке С к окружности, описанной вокруг
треугольника, если известны радиус R окружности и площадь S
треугольника.
1838. Около равностороннего треугольника ABC описана
окружность, Р — произвольная точка окружности. Вычислить суммы:
Si= |РЛ|2+ \РВ\* + \РС\\ S2= |РЛ|4 + \РВ\* + \РС\\
если \АВ\ = а.
1839. В плоскости даны окружность радиуса R и точка Р.
Вычислить сумму \РАI4 + |РВ|4 + |РС|4 + |PD|4, где ABCD —
квадрат, вписанный в данную окружность.
1840. Даны длины а и b хорд окружности радиуса R. Найти
длину хорды, соответствующей сумме дуг, которые стягиваются
данными хордами.
1841. Две окружности, радиусы которых равны а и &,
пересекаются. Расстояние между их центрами равно с. Найти радиус
окружности, касающейся данных окружностей и их касательной.
1842. Прямоугольный сектор радиуса R разделен на две части
дугой окружности того же радиуса с центром в конце дуги
сектора. Найти радиус окружности, вписанной в меньшую из этих
частей.
1843. Вычислить площадь криволинейного треугольника,
ограниченного дугами трех окружностей радиуса г, которые попарно
пересекаются под прямыми углами.
1844. Окружности радиуса г касаются внешним образом три
конгруэнтные окружности, касающиеся попарно между собой.
Найти площади трех криволинейных треугольников,
ограниченных дугами указанных окружностей.
1845. Два круга радиуса R расположены так, что центр каждого
из них лежит на окружности другого. Найти радиус круга, впи-
177

санного в общую часть этих кругов и касающегося их линии
центров.
1846. Найти длину стороны квадрата, вписанного в сегмент
круга радиуса г, если хорда этого сегмента стягивает дугу в а
градусов.
1847. Центры четырех кругов расположены в вершинах
квадрата со стороной длины а. Радиусы всех кругов также равны а.
Найти площадь общей части всех кругов.
1848. Даны длины трех хорд 2а, 2а, 2Ъ трех дуг окружности,
в сумме составляющих полуокружность. Найти радиус этой
окружности.
1849. Две окружности радиусов R и г касаются внешним
образом. Найти радиус окружности, касающейся этих окружностей
и их общей внешней касательной.
1850. Три окружности радиусов Ru R2, Rs попарно касаются
внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей через
точки касания.
1851. Две окружности радиусов R и г пересекаются под прямым
углом. Найти длину их общей касательной.
1852. Пусть С € [АВ], \АС\ = 2а, \ВС\ = 2Ъ, афЪ. На
отрезках [АВ], [АС], [СВ] как на диаметрах построить
полуокружности, расположенные в одной полуплоскости, ограниченной
прямой (АВ). Найти радиус окружности, касающейся всех построенных
пол у окр у жностей.
1853. Три окружности радиусов /?lt R2i R3 касаются попарно
внешним образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей
окружностью от общей внутренней касательной первых двух окружностей.
1854. Через две смежные вершины квадрата проведена
окружность так, что длина касательной к ней из третьей вершины равна
удвоенной длине стороны квадрата. Найти радиус этой окружности,
если площадь квадрата равна 10 кв. ед.
1855. Окружности радиуса R = 2 касается внутренним образом
2
другая — радиуса г = —-. Найти радиус окружности, касающейся
о
данных окружностей и их линии центров.
1856. Две окружности радиусов R и — касаются внутренним
образом в точке Л. Через центр большей окружности проведен
диаметр [ВС], касательный к меньшей. Найти площадь
треугольника ABC.
1857. Две окружности радиусов R и г касаются внешним
образом. Найти расстояние от точки касания до общей внешней
касательной.
1858. Две окружности радиусов R и г касаются в точке С и
к ним проведена общая внешняя касательная (АВ), где А и В —
точки касания. Найти длины сторон треугольника ABC.
1859. На диаметре круга радиуса г построен правильный
треугольник. Найти площадь той части его, которая лежит вне круга.
178

1860. Дан треугольник с длинами сторон а, Ь, с. Построена
окружность, касательная к двум первым сторонам и имеющая
центр на третьей стороне. Найти радиус этой окружности.
1861. Окружность касается большего катета прямоугольного
треугольника, проходит через вершину противолежащего острого
угла и имеет центр на гипотенузе. Найти ее радиус, если известны
длины 3 и 4 катетов.
1862. В равнобочную трапецию с длинами оснований 8 и 2
вписана окружность. Найти ее радиус.
1863. Расстояние между центрами двух кругов радиуса г
равно г. В общую часть этих кругов вписан квадрат. (Вершины
квадрата лежат на границе общей части кругов.) Найти длину стороны
квадрата.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
5->
4. Не будет. 6. b = — -—а.
о
9. Л? = DC, или ОЛ + ОС = 0? + 0D, где О — произвольная точка
или ~АС = ~АВ +~AD.
13. Воспользоваться тем, что композиция симметрии есть перенос.
14. Выразить векторы точек М, jV, К, L через Л, ?, С, D и, учитывая, что
MNKL— параллелограмм, т. е. М + К = N + L, показать, что Л + С =
—>¦ —>
= в + D. При А. = 1 это высказывание ложно.
15. 1) 11 7; 2) ?|| Т; 3) 2\\ ~Ь\ 4) ^ft ? 5) Hi ? 6) ~а \\~Ь.
20. См. задачи 7 и 19.
*• Ш\Г\ "Т" /^2Г2 "Г" ••• "Т" тПГП
24. ОМ = (использовать индукцию по я).
Щ + Щ + ». + Юл
29. Использовать условие сонаправленности векторов АС и Л Б.
30. 1) а +р = 1, 2) а+р = 1, а > 0, 3) а +р = 1, 0 < а < 1.
31. Выразить вектор MN через АС и BD.
32. Если точки Лг, Л2, Л3, Л4 принадлежат одной прямой, см. задачу 28.
Пусть хотя бы три точки Аи Л2, Л3 не принадлежат одной прямой, т. е. векторы
АХА2 и АгАя не коллинеарны. Если точки Аи Л2, Лд, Л4 принадлежат одной
плоскости, то ЛИ4 = ХА^А2 + цЛ^Л3или*РЛ4—^=^(^2—PAx)-\-\i (PAZ—~PA^
Отсюда (X + \i — 1) РЛХ — ЬРЛ2 — цРЛ3 + РЛ4 = а Обозначив ах = Я + И- — 1.
а2 =—\, а3 = —jx, а4=1, получим ах + а2 + <*3 Ч- аа = 0. Обратно: пусть
ОчРЛх + а2^^2 + аз^з + «4^4 = 0, ах + а2 + а3 + а4 = ° и а4 # 0. Тогда
^^41+^р12 + ^Й3 + рл4 = о: м4-Д^-^-^-ЭД,-
а4 а4 а4 а4 а4 а4
—Р^. ЛИ4 = - -Р^2- -^8- ^^^ PAi= - -И,- ~Д,+
а4 а4 а4 а4 а4
, а2 + аз
~PAi А±А2— Л1л3.
w,4 u*4 <л4
Таким образом, АгА^ = Ы1Л2 + \ьАгА3, откуда следует, что точки Al9 Л2,
A3t А^ принадлежат одной плоскости.
180

34. Примем вершину С за начало. G = *-—^*. (Г = "• Чтобы до-
1 +\х 1 +к
казать, что X + \i = 1, достаточно из этих равенств выразить Аг и ?t и учесть,
что~0 = у(Л + В), ^-ЛВ,.
-*• -> ->¦
36. Пусть ЛЯ = "б, 7с = ~с. Тогда J%1 = + lC, 7вг = g , АСХ=*
= —. Учитывая, что по теореме Менелая ^^3= —1, выразить данные век-
1 + л3
торы через bf с и А^ Х2 и убедиться в пропорциональности коэффициентов
полученных разложений.
38. См. задачу 37.
39. Примем общий центр тяжести обоих треугольников за начало. Тогда
Ах + А2 + А9 =* О (I), Bt + В2 + В3 = 0 (2). По условию коллинеарности трех
точек имеем: Bl = kxA2 + (1 — kJA^, B2 = k2A3 + (1 — k2)A г, В3 = kzAx +
+ (1 — k2) ^2- Используя равенство (2), получим:
х,-'-*»+*» %+'+»¦-»'?
kx — k2—\ l^ fcj — А>2 — 1 2
Но согласно разенству (1) имеем: Л3 =—Л, — Л2. Учитывая, что векторы А1 и
Л2 не коллинеарны, приравняв коэффициенты при Лг и Л2 в обоих разложениях,
получим, чго kv = k2 = ?3-
«• ^ - fcrr *тт)J*=(*т? - гЬ>
46. Л?> = -т^-АВ + Т-Т-^С. где 6 = | ЛС |, с = | ЛЯ 1.
47.~с = "а — 2?. 48. /л = 2л*— р!
49. «(|;-|)-. 2Н4;5>-
51. ЛЯ (2; 1), ВсГ(-1; О* ^4С(1; 2), AM (1; 1).
53. ЛА(1;-1;0), dSx (-2; 2;-2), ^Р (-f ;~1;0)'
57. Пусть [CD] П [ЛЯ] = М. Тогда !ю = 20М — ОС, ОМ = *ОЛ,
|0М| = |?|#, где /? — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Так как СОВ = 2Л, k=—cos 2Л (с учетом направлений векторов ОМ и О А).
Следовательно,
OD = —ОС— (2 cos 2Л) • at.
-»- ->
-> a , b
58.с=—+—.
|«| 1*1
181

59. 2) MB = — —MA + -^-МС;
3)^ = -Ц^ЛЙ + Ц^МС.
60. (0;
62
rB(_,|.-i),s?(o.l{).S(-,,If).
64. cos ABC = ——. 65. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) нет.
о
66. 1) Разность квадратов длин диагоналей параллелограмма равна
учетверенному произведению длин двух смежных сторон на косинус угла между ними.
67. пр Jb = np_jT. 70. УТЗЗ; 7. 76. —.
а
я Л п т/2 4
п. 1) —» 2) 7; 3)arccos |/ J- 78# arccos ?*
^ да . да ^ ^
79. Я?0 =———АС—АВ.
АС2
80. (а2 — аг), (—я2, %).
82. ТТк^- 83. См. задачу 58.
-+ б2 4- Яа2 Яс
84. 2) CD2 --¦¦ '
1+Я (1+Я)2'
4) a) j—Ybcp(p--a)9 где
р = -(а + 6 + с);
2 /-
б) у Ьс(р — Ь) (р — с), считая Ъ > с;
6 —с
в) у/2 (б2 + с2)-а2.
85. Пусть Ах А2 ... Ля — данный л-угольник и М0— его внутренняя
точка. Основание перпендикуляра, проведенного через MQt не будет внутренней
точкой отрезка [Л^] тогда и только тогда, когда АгМ0 • АгА2 ^ 0. При этом
|М0Л2| >|М0Л1|. Предположим (вопреки утверждению задачи), что для любой
стороны «-угольника имеем:
А^М0 • AtAi+1 < 0.
Тогда получим:
\М0АХ\ < \М0А2\ < \М0А3\ <... < \М0Ап\ < \М0Аг\.
Получили противоречие: |М0ЛХ| < IM^I, которое доказывает, что сделанное
предположение было неверным.
182

86. Умножить равенство ALA2 + A2AZ + ... + АпАг = 0 скалярно на
орт а0 вектора АпАг или на орт Ь0, ортогональный вектору а0.
87. Пусть (АВ) 1 S, S 62. Примем точку А за начало. Согласно условию,
имеем: X • Y=* d2, X = kY', (X — В) В =0. Исключив k и X, получим уравне-
-> d2-+ -> /-> а2 ->\2
ние К2 — — К • В = 0, которое можно привести к виду: [ Y — —- • В =
Б2 \ 2?2 /
d4 d2
= —. Полученное уравнение определяет сферу радиуса ——р с центром в
4В2 2|Л#|
точке Q такой, что
—*¦ d2 —*¦
AQ = —— . АВ.
2\АВ\2
88. *? —,
гт2
а*
б2 2а . 6 + *
-> ft
90. Ортогональная проекция пр_^ х = —. Следовательно, если от некоторой
\а\ _
точки О пространства отложить направленный отрезок ОА 6 а, то концы направ-
— ->
ленных отрезков ОХ 6 х будут лежать в плоскости, перпендикулярной к прямой
(ОА) и отстоящей от точки О на расстояние —.
91. Можно положить р=аа+$Ь + ус. Далее использовать равенства:
<Г-"р = о, ?. р = о.
96. Если координаты искомого вектора обозначить через (a,p,v)» то
a = |Mik P«l??k Y-I^frk где
I Ра Ya I * IV2 a2 I • r I a2 p2 I '
__ ±1
V I P2 Y2 I 4 Ya <*i I ^ I «2 Pal
97. cos BSC + cos Л SB — cos Л5С = 1.
98. Отложим на ребрах данного трехгранного угла единичные векторы:
—>. -> —*- -*• —>• -»- ->-> -»-» ->¦¦>
ОД = elt OB = е2, ОС = е3; тогда е^ => cos y, ^з = cosp, е2е3 = cos a.
Пусть (CD) 1 (ЛОВ), D 6 (ЛОВ). Тогда OD = ргх + qe2. Используя условия,
что CD • е1= 0, CD • е2 = 0, можно найти значения р и ?, а затем
OD - е~ р cos Р + о cos v
cos ф = ——— = . откуда:
|OD| "Kp2+<72 + 2/?<7Cos(p
cos ф = 1^(1 — cos2 у) (cos2 а 4- cos2 p — 2 cos a cos p cos y).
Ш

99. Плоскость касается сферы в точке Л.
102. Будем считать данную окружность единичной, а ее центр — началом.
АХ • ХАХ = ВХ • XBt = 1 — х2 (по свойству пересекающихся хорд). АХ=
—>. —*- -*• ЛХ2 —* —*
= ХХЛХ, тогда АХ2 = Я (1 — *2), Я = —. Аналогично ВХ = \i XBU
1 —х2
ЮС2 л АХ2 ВХ2
1-х2 1—д? 1 — jc2
Учитывая, что Л2 = В2 = 1, получим уравнение искомого множества точек
v2 /-*¦ ->¦ \ 2
(j_T±?.y_(r±?J
, которое определяет окружность, для которой
отрезок [0Q] является диаметром, где О — центр данной окружности, a Q-
середина отрезка [АВ].
105. 4a2(l +-ГТ-)' m !) 5i(-2» 7>' 5*<4' 0. 5з(2, -3).
\ sin^ ф/
107. Доказать коллинеарность векторов АВ и АС.
108. 1) /*= 3— * />0
!Wll){J=ii«. °<'<к
П2.Л(0,0),в({, -{), c({f{)tD(-}tl).
ИЗ. (11, 14).
114. 1) по условию AM = аАВ +(5Л?). Учитывая, что СМ = С А + ЛЛ4,
СЛ == СЯ + CD, ЛМ* = — aCD*— РС/^ получим: СлГ (1 — р, 1 — а);
2) (р, 1-а); 3) (а, 1-Р).
115. О (-2, 3), А, (-1, 5), Л2 (-1, 2).
116. 1) х= 4— 2у, у ?Z, у <3.
119. Пусть в репере (А, В, С): Аг (1 — 7, у), #i(0,P), Сг (а, 0), причем
0 < а < 1, 0 <р < 1, 0 < у < 1. Обозначив середины отрезков [AAJ, [ВВ^],
ССг\ через Л0, ?0» Со» достаточно доказать, что векторы A0B0t BQC0 не коллине-
арны.
120. Рассмотреть отдельно случаи, когда а ]| аг и a^f^!.
122. 1) *(/*+{; If), С,(-УТ + |; -If);
2) ^(z^bVl; i±|?i), Са(^И: 1^5).
m.,)B(H^,^VI), с(Ц^, .zi+H);
2) В(1,1+УУ), С (1,1-/3).
184

124. Сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух
других сторон: 1) прямоугольный; 2) остроугольный; 3) тупоугольный.
3
125, 126. Воспользоваться задачей 80. 129. х2 = — -—у.
130. х2—у2 = 1. 132. Центр тяжести треугольника; —(а2 + b2 -f с2),
о
135. Выберем ортонормированный репер так, чтобы вершины треугольника
имели координаты: В (0, 0), С (а, 0), А (а, Р), Р > 0. Имеем:
Ь2+а2
(а2 + Р2 = о2, (а — а)2 + Р2 = б2) => а = -
2а
Я( ^-, 0), D(—, О), Af(T, О), (Ш> + ^Ш)=>
(& _l с)2 — а2
=> Я, = 2 . (А, > 0) => (D между М и Я).
136. Предположим, что существуют две точки Р (т, п) Ф Q (p, q) с
целочисленными координатами, такие, что | РМ\ = | QM|. Тогда (У2 — 1 —- т)2 + ( —-
-Л)а = (/2«1-р)2 + ^-^2, о
2
гкуда
чис-
2f2(p-m) = 2(p-m) + (p2-m2)+-(«-.(?)- (/г2 - ф). (1)
Если р-—тФ0, то, поделив обе части равенства на 2(р—т), получим, что
У2 есть число рациональное, что, как известно, неверно. Следовательно, р — пи
Равенство (1) принимает вид: (п — q) I —— п — #1 = 0. Так как (п + q) —
2
ло целое, то-——л — ^т^Ои, значит, п — <7 = 0, п = <?. Тогда Р = Q.
о
137. Провести доказательство методом от противного.
138. (в,0), (аУЗ, y)> (2a> j\ ["УЪ* у)> (а> j)-
139. С (-1,-7).
141. 1) (AAJ: 2* + у - 3 = 0, (B?t): 5* + 4у — 10 = 0, (ССХ): 7* +
-j- 5у — 13 = 0.
142. х— 2у + 2 = 0, 4* + У + 5 = 0, 5х — у + 7 = 0.
143. (ЛЯ): 9х + 1у + 17 = 0, (ВС): 3* + 8у — 17 = 0, (АС): 6х — у —
— 17 = 0.
144. 1) * — 2у + 3 = 0; л: + у — 3=0.
147. (л; = —1 — 3/
(у = 1 + 2L
148. 1) J4* + у — 13 = 0, 2) /4* + у — 13 = 0, 3) (Ах + у — 1
\* > 2; I* < 3; \2 < * < 3.
150. 1) 2х — у — 1 = 0; 2) 3* + 2у + 6 = 0.
151. (-j| oY fo, j\ 152. 6*+18у-5=0.
153. 1) Ъх — у + 2 = 0; * — Зу + 6 = 0, х + у = 0;
185

2) Ъх + 4у — 12 = 0, Зх + 2у — 6 = О, 2х + 2у — 5 = О.
154. 7а: — 7у + 4 = О, * + Зу + 18 = О, 4х— 2у - 7 = О.
155. 1) х— Зу + 1 = 0, Ъх + 9у + 5 = О, л: — Зу + 25 =¦ О,
Ъх + 9у — 19 = О, х + Зу — 5 = О, л: + у + 1 = О.
156. х + Зу — 12 = 0; 3* — у — 10 = 0.
157. 9х — Зу + 5 = 0. 158. 2* + у — 8 = 0.
160. Пусть в репере (Л, В, С) вершина D имеет координаты (а, 6). Найти
координаты точек Р = (ЛЯ) [\ (CD), Q = ^D) f| (ВС) и середин М, N, L
отрезков [BD], [AC]t [PQ] и доказать коллинеарность векторов MN и ML,
162. 1) Да; 2) нет; 3) нет.
163. /3* + y<0 164. 1) Да; 2) нет,
\2х— Зу+ 1 <0.
165. М0 е ААВС, I П ААВС = 0.
166. 1) Г Зд: + у — 1 < 0, 2) Г а: + 2у + 2 > О,
\ 6* + 2у + 3 > 0; \ 2* + 4у — 7 < 0.
167. ( Ъх — 2у + 8 > О,
I За: — 2у < О,
U-2y + 4>0,
U — 2у <0.
168. Параллелограмм. 169. ACDB.
170. ( х + у — 3 < 0, 171. 1) Г а: + у — 4 > О,
За: + у - 7 < 0, 2а: - у > О,
[ Зх + 2у — 5 < 0. I За: + 2у — 12 < 0.
172. См. задачу 171.
173. Сг • С2 • (Л^з + ?i#2) > 0, учитывая, что тупой угол между
данными прямыми характеризуется неравенством
(Агх + В1У + Сх) (А2х + В2у + С2) . (Л^ + BVB2) > О
(см. задачу 210).
174. 1) Нет; 2) да. 175. 2а: — у > 0.
176. 1) (х= 1 + а + 2р,
1у= 1-2а-Р,
ip > о. ^
177. (М 6 Л ЛВС) <=$> (СМ = аСА+$СВ, а > 0, р > 0, а+Р<1).
1) А:=3а + 2р, у=2— а—Зр, а>0,р > О, а+Р < 1.
178. (М 6 ЛЯСО) ФФ (/Ш = а#Л+РБС", 0 < а < 1, 0 <р < 1).
1) *=-—1 + а + 2Р, у=2-а+Р, 0<а< 1, О <Р < 1.
181. 3* — Зу — 2 = О, За: + 6у — 2 = 0, 6* + Зу — 4 = 0.
182. 1) 6а: — 4у + 5 = 0. 183. | СВ\ = | СА\, х + у — 5 = 0.
184. 1) 2*- у- 1 = 0, 2* + 5у-7=0. 185.1)^2-^,1+^
/ 40 6\
186-2)(-п-п}
187. f а: = хх — А • Л
. гле А = 2'*""L '
Л2 +
186
г х = A:t — А • А Ах.+Ву.+С
ty = y1-A.B, где А = 2- * ^ п т

188. 1) (9,-5), (—13,-27).
189. (ВС): х — у — 3 = О, (АС): 4х + 5у — 20 = 0.
190. (АВ): Ъх— 1у — 41 = О, (ВС): 7х + Зу + 59 = О, (AD): 7х + Зу +
+ 1=0, (DC): Ъх - 1у + 17 = 0.
191. (ВС): 5* + у -Ь 3 = О, (АВ): х~ 5у + 11 = 0.
192. (ВС): 2х— у — 3 = О, (ЛВ): х— 2у + 6 = 0. (АС): х + у — 5 = 0.
193. х + 5у + 2 = 0, 5* + у — 6 = 0, 23л: — Ну — 24 = 0.
194. Если В и С — вершины треугольника ABC, лежащие по одну сторону
от прямой d, то
р (В, d)+p(C,d) = p (Л, d).
195. Лв1^=Ш.
196. (/5- 2 /2) * +(/5 + /2) у +К5 = 0, (]/5 + 2 ]/"2) х +(|/"5"—
- /2) у +/5 = 0.
^,о); f-y.oY 198. 1) 4* + 4у + 5=0;
Л 1 \ 4 / з) 8х — 4у + 5 = 0.
199. 1) у = 2, у = —1 или 12а; — 5у — 2= 0 и 12а: — 5у — 41 = 0.
2оо Лх + ЯУ + С^ Л*0 + Ду0+С
201. Объединение прямых:
1) (2 |А5 — 3)* + (2/5 — 1)у — 21/"5=0 и (2 /Г+ 3) * + (2 j/"5"+
+ 1)у-2/5"=0.
202. Зх— Зу + 2= 0.
203. Искомая фигура есть объединение сторон восьмиугольника, вершинами
которого являются те вершины квадратов, построенных на сторонах данного
квадрата (вне его), которые не являются вершинами данного квадрата.
^(-ртНт'-тХ-р-тИт-т)-
205. М (2, 4), N (0, 9), Р (-5, 7).
206. 2) С (1, 1), D (—1, 2). 207. 4х — 4у + 3 = 0.
208. х— 2у— 2=0. 209. х— у— 5= 0.
210. Пусть Fx и Fl— внутренние области острых углов, которые
ограничивают данные прямые, F2k F2 — внутренние области тупых углов. Отложим
отрезки NqN^ 6 n>i (А\> Вх) и N0N2 6 п2 (А2, В2) от точки NQ пересечения данных
-*• —>¦
прямых. Так как пх _L /x и п2 _L /2, то концы этих отрезков будут лежать либо в
F2, либо в F2. Возможны два случая.
а) Точки Nu N2 лежат в одной и той же области, например в F2. Тогда угол
между векторами пг и п2 конгруэнтен острому углу между данными прямыми,
и поэтому пхп2 = А1А2 + В1В2 > 0. Конец отрезка NQNt? n (А, В),
отложенного от любой точки прямой Ах + By + С = 0, расположен в той открытой
полуплоскости, которая характеризуется неравенством Ах + By + С > 0.
Поэтому в данном случае внутренние области острых углов характеризуются
неравенствами*
187

ALx + Bxy + Cx > 0 и A2x + B2y + C2 < 0 или
A\* + Stf + Ci < 0 и Л2* + ?2y + C2 >0.
Следовательно, для всех внутренних точек острых углов имеем:
(Ахх + Вху + Сх) (А2х + В2у + С2) (АХА2 + ВХВ2) < 0.
б) Точки NXt N2 лежат в разных областях F2 и F'2. Тогда угол между векто-
-> —>
рами пъ п2 конгруэнтен тупому углу между данными прямыми, и поэтому
пг- п2= АХА2 + ВХВ2 < 0. Внутренние области острых углов в этом случае
характеризуются неравенствами Ахх + Вху + Сх > 0 и А2х + В2у + С2 > 0 или
А\* + В)У + Сг < 0 и Л2* + 52у + С2 < 0. Таким образом, и в этом случае
для всех внутренних точек острых углов выполняется указанное неравенство.
211. 17*— бу — 11 == 0. 212. cos ф = — —=.
Y 5)^2
.С 29 ± ^ 29 , ^ 29
213. tg4 = -,tgS=-,tgC=-.
214. 2* +у — 7 = 0, х— 2у — 6= 0. 215. 2* + Зу — 6= 0.
216. (АВ): 2х — у = 0, (ЛС): * — 2у + 3 =0, (ЯС): 22л: + 4у + 15 = 0.
2L7. 3* + у+ 16= 0.
218. (ВС): Зх — у — 4 = 0, (AD): 3* — у + 16 = 0.
219. Пусть в аффинном репере (Л, В, С) точка Р имеет координаты (а, 6).
Вычислив координаты точек Al9 Bu CXt составить уравнения прямых (ААг),
(ВВ^), (ССХ) и убедиться, что они пересекаются в одной точке.
2*3. В аффинном репере (Л, Bt D) обозначить координат точек Р (0, а)
и М (Ь, 0); составить уравнение рассматриваемых прямых и убедиться в их при-
н а дне-к нести одному пучку.
222. Первая окружность касается второй и имеет 2 общие точки с третьей
окружностью; вторая и третья окружности общих точек не имеют.
223. 2) М (1 {). 224. 1) М ({. |).
225. /л? + у2<25,
U2 + y2>4.
228. Огкрытый круг, ограниченный окружностью
(х + 2)2 + (у — З)2 = 13.
227. b2 = R2 (1 + ft2).
228. 1) ((*- I)2 + (у + 2)2 =- 25,
—4 < л: < 6,
I -2<у_<2.
230. При Ь > а У"2 искомое множество точек есть окружность радиуса
Уь2 — 2а2, центром которой является центр данного квадрата. При Ь = а У 2 —
центр квадрата, при 6 < а У2 — пустое множество.
234. Выберем систему координат с началом в середине отрезка [АВ] так,
чгобы точки Л и В принадлежали оси Ох: А (—с, 0), В (с, 0), С (а, А). Выясним,
при каком значении а окружность, описанная около треугольника ABC, будет
/ a2+h?—c2\
иметь наименьший радиус. Координаты центра Q I 0, — I описанной ок*
ружности можно найти из условий 1 ^4Q|2= I ?Q|2= | CQ|2. Вычислив R2 = | QB\2t
Ш

можно установить, что наименьшее значение R будет иметь при а = О, причем
h2 + c*
оно равно —;—•
2h
I 16 8\ /8 1б\ „
236. I—•—-, -—1 или I ¦—-, —-—). В третьем случае получается
параллелограмм.
237. 1) Фигуру, симметричную фигуре Ф относительно прямой у — х;
2) фигуру, симметричную фигуре Ф относительно оси абсцисс.
238. 2) Объединение внутренних областей первого и третьего координатных
углов; 3) объединение третьего координатного угла и биссектрисы первого
координатного угла; 4) объединение квадратов, противоположными вершинами
которых являются точки (0, 0) и (1, 1); (1, 1) и (1, 2); (2, 2) и (3, 3) и т. д.; (0, 0)
и (—1, — 1); (—1, —1) и (—2, —2) и т. д., не включая их границы, кроме
указанных вершин; 5) объединение лучей, сонаправленных с биссектрисой первого
координатного угла, имеющих начала в точках (0, 0), (0, 1), (0, 2),..., (1, 0), (2, 0),...
и лучей, сонаправленных с биссекгрисой третьего координатного угла,
имеющих начала в точках (0, —1), (0, —2), ..., (—1, 0), (—2, 0), ...; 7) объединение
внутренних областей всех углов, ограниченных прямыми у = х и у = —х,
которые содержат точки оси абсцисс.
242. Мх (4, I), М2 (I, 4).
243. (0, 2), (0,-3), (_|, -!),(}, _{).
248. Отрицательно относительно данного репера.
253. Используйте теорему Чевы (задача 252).
260. Вся плоскость.
266. Если длина данного отрезка больше длины диагонали прямоугольника,
то искомое множество— окружность с центром в центре симметрии
прямоугольника и радиусом R = -— }Лп2 — (а2 + Ь2)2, где т — длина отрезка, а и Ь —
длины сторон прямоугольника. При т = ]/*а2 + Ь2 — точка (центр симметрии
прямоугольника). При т < У а2 + Ь2 — пустое множество.
267. Объединение сторон квадрата, вершины которого лежат на данных
прямых, а длина диагонали равна удвоенной длине данного отрезка.
268. Объединение двух прямых, проходящих через середины
противоположных сторон данного прямоугольника.
269. Выбрать прямоугольную декартову систему координат так, чтобы
вершины треугольника имели координаты: А (—1, 0), В (I, 0), G (0, У*3). Тогда
множество точек М, для которых | Л4Л|2 +| М?|2 = | Л1С|2, есть окружность, центр
которой симметричен точке С относительно (АВ)9 а радиус равен длине стороны
треугольника.
270. Прямая, перпендикулярная к прямой (АВ) и проходящая через такую
а2 ?2
точку М0 6 (АВ), что (ВА, М0) = , где а = \ АВ\.
271. Выбрать систему координат гак, чтобы вершины квадрата принадле-
189

жали осям координат. Фигура Ф есть окружность, описанная около данного
квадрата.
272. 1) При b Ф\ — окружность с центром на (АВ); при b = 1 — серединный
перпендикуляр отрезка [АВ]; 2) при Y^2 b >\ АВ[—окружность с центром в
середине [АВ]; при У2 b =| АВ\— середина [АВ]; при У"2 b < | АВ\— пустое
множество.
273. Пусть ABCD— данный четырехгранник. Использовать репер (Л, АВ,
АО) и формулу: SNML= -\(MN, Ш)\.
274. В прямоугольной декартовой системе координат, где ось абсцисс
совпадает с прямой /, а точка А имеет координаты (0, а), искомое множество точек имеет
1 а2 — d2
уравнение у = —-х2 Ч , которое определяет параболу.
2а 2а
275. Объединение двух прямых, проходящих через данную точку и
составляющих с данной прямой углы по 30°.
276. По параболе.
283. Объединение биссектрисы угла АСВ (без точки С) и полуокружности с
диаметром [Л?] (без точек А и В).
284. Множество внутренних точек отрезка, концами которого являются
середина основания и середина высоты, проведенной к основанию.
285. 2) Объединение сторон треугольника ABC и внешних по отношению к
треугольнику дуг трех окружностей (исключая вершины Л, В, С). Каждая из этих
окружностей проходит через две вершины треугольника и имеет центром точку,
симметричную центру тяжести треугольника относительно прямой, проходящей
через эти две вершины.
288. 1) 7 кв. ед. 289. 1) (0, —6) или (0, 10).
290. Sabc _ 4oW
$Аов,с0 (я2 - * - с2) (а2 -Ь2+ с2) (а2 +Ь2- с2)
294. Четыре точки: центр тяжести М треугольника ABC и четвертые вершины
параллелограммов АВСМ2, ACBMZt САВМ±.
295. Объединение двух прямых, одна из которых проходит через вершину Л
параллельно (ВС), другая — через А и середину [ВС].
296. Множество внутренних точек треугольника, вершинами которого
являются точки Л, С и середина [ВС].
297. -г = ' !—L"^
5 I (1+^(1+^(1+^)
298. В аффинном репере (Л, В, С) искомая точка имеет координаты
т п \
(!• т>(
m + zi+p' m + rt + p/
299. Если {А В) (] (CD) = О, то искомое множество есть объединение двух
прямых, проходящих через точку О, отношение расстояний точек которых до
(АВ) и (CD) равно \CD\ : | АВ\; из этого объединения точка О исключена.
Если (АВ) || (CD), причем | АВ\ Ф\ CD\ и (АВ) ф (CD), то искомое
множество есть объединение двух прямых, параллельных данным, отношение
расстояний точек которых до (АВ) и (CD) равно \CD\i \ АВ\.
Если (АВ) || (CD)t причем (АВ) Ф (CD) и 1 АВ\=*\CD|, то— одна прямая,
190

параллельная данным, точки которой равноудалены от прямых (АВ) и (CD).
Если (АВ) = (CD) и | АВ\ = \CD\, то— вся плоскость без прямой (АВ).
Если (АВ) = (CD) и \АВ\Ф \ CD\, то — пустое множество.
300. Искомое множество точек есть отрезок без концов, являющийся
пересечением четырехугольника A BCD с прямой, проходящей через середины его
диагоналей.
301. Пусть в аффинном репере (Л, В, С) вершина С имеет координаты (а, Ь).
Вычислив координаты точки О, площади указанных треугольников и записав
данное равенство через координаты вершин четырехугольника, можно доказать,
что 6= 1, откуда следует, что [DC] || [АВ].
-> -»- -> —>¦ ->
302. Использовать репер (Л2, *", /), где i— орт вектора А2А3 и /— орт
вектора А2А±.
313.
2k
+ 1
2
(kx-y + b),
? = У + 7^71 (кх — У + Ь).
симметрии.
k2 +1
320. Пусть а, Ь, с — данные
b о а)2 есть перенос.
322. Используйте равенство а о b о с = (а <
323. Предварительно докажите, что композиция четырех осевых симметрии
равна композиции двух осевых симметрии.
(с
Предварительно докажите, что
b о с)2, вытекающее из данного.
326.
328.
!;•=
х' = *о + (х — х0) cos a — (у — у0) sin а,
Уо + (х — х0) sin а + (у — у0) cos а.
-;о|.
2 '
331. (ВС): (/3 - 2)х + (I + 2|/3)у + 27 — 7 /3 = 0, (ЛС): (2 + УЪ)х +
+ (2 уТ- 1) у — 27 — 7 1^= 0.
335. Воспользоваться задачами 332 и 334.
339. Представьте повороты композициями осевых симметрии и
воспользуйтесь признаком принадлежности трех прямых одному пучку.
340. Воспользоваться задачей 335.
342. Выполните поворот на угол 120° вокруг центра данного треугольника.
343. 2) Воспользоваться поворотом / плоскости вокруг центра «-угольника
2я
Ф2 на угол — и убедиться, что / (Фх) = Фх, / (Ф2) = Ф2.
351.
352.
2х — Зу — 4 = 0.
( х' = у+ 1,
\ / = *+ 1.
357. 180° —р, где Р= ABC.
359. Постройте Л2 =» а (А) и С2 = с (С). Заметьте, что (с о Ь о а) (Л2) :
и (с о Ь о а) (С) = С2, где а = (ВС), b = (ЛС), с = (АВ).
366. 1) Поворот с центром (1,0); 2) симметрия с осью
368.
jf =
= У±Х-1у + К
2 Ъ_ '
369.
Уъ
х +
2х — у -** 2 = 0.
2^ 2 f
1 |/*3 , /3
у = —х — i—у + 1
* 2 2 У^ 2
191

371. 1) Перенос на вектор 00'; 2) симметрия относительно середины
отрезка [OOf]; 3) поворот плоскости вокруг точки 5 = тх [\ т2, где тх и т2 —
перпендикуляры к отрезкам [00'] и [A^J], проведенные соответственно через их
середины; 4) симметрия относительно прямой, содержащей биссектрису угла
AiOAjj 5) а) симметрия относительно d; б) скользящая симметрия с осью d
и вектором ОхО{ , где Ог и 0{ — ортогональные проекции О и О' на d
372. 11*+2у — 3=0.
Ах + Ву + С
у' = у — 2В !——¦—.
385. Пусть О—центр тяжести треугольника ABC, А0—середина [ВС],
А'0— середина [В'С]. (ВС) || (В'С) => ВВ'С'С— трапеция =^Ое (A0A'Q),
(А'А0) = (АА0) => О ? (А'А0). Точка О принадлежит любой медиане
треугольника А'В'С.
387. Используйте композицию гомотетии с центром М и коэффициентом k
и гомотетию с центром N и коэффициентом— —.
k
391. Докажите, что композиция двух данных гомотетий с центрами в
различных точках есть одна из гомотетий с центром в третьей точке.
393. Докажите, что А2В2 = АВ (аналогично и В2С2, CjA^.
395. Обозначим <х= (OAlf (У%\ ), (У fa, у0), М (х, у), f(M)=M' (*', у')
в репере R. По формулам преобразования координат имеем:
Г хг = ? (a* cos а — 8 у sin а) + дг0,
\ у' = k (x sin а + 8 у cos а) + у0,
где 8= ±1. Эти формулы в репере Я определяют подобие с коэффициентом к.
Следовательно, / — подобие с коэффициентом &.
. , 48 14 192
399. |^--ж-йУ-_
, 14 48 6
у = —х 4- —у — —.
у 25 ^25^ 25
400. U-|, _!, + },
13 7 (5» —1)»
5
404. Воспользуйтесь представлением подобия композицией гомотетии и
симметрии с осью, проходящей через центр гомотетии.
409. Используйте свойство: инвариантная прямая подобия делит отрезок
[АгА] в отношении k внутренним (внешним) образом; k — коэффициент подобия,
(Л, At) — пара точек, соответственных при этом подобии.
410. 4 и 4,
192

412. (ALA2) || (ДА), (^ЩДД).
414. Для подобия первого рода: если а \\ а1% то (ААг); если a f| % = М, то
окружность, проходящая через точки Л, М, Лх.
415. Окружность, построенная как на диаметре, на отрезке [PQ], где Р
и Q— точки, делящие отрезок [А'А] в отношении k внутренним и внешним
образом.
417. См. задачу 415.
418. Воспользуйтесь результатом задачи 415.
4 2 1
1 3 3 3'
1 1 1
.'—"Г+Р + Т
425. Если Ох— ось сдвига, то
Г *' = х + ky,
I / = У-
428. Если ось каждой косой симметрии принадлежит пучку инвариантных
прямых другой косой симметрии.
427. Если оси симметрии параллельны. 429. Сдвиг.
432. Любые две прямые (МО) и {N0), если (ЛЯ, М) = (ВС, М, где ABCD —
параллелограмм, О— его центр.
435. Да. 438. Определяется неоднозначно.
440. {$Z*+2$ + k «1.(1,2).
443 f*' = 5x— 2y+6, 444 f*'=* — у+5,
44<5' \/ = 4* — у+6. 444' \/ = -2у-1.
453. Рассмотреть задачу для квадрата и воспользоваться тем, что отношение
площади фигуры и площади ее образа при аффинном преобразовании постоянно
5== «
0 Я2 + (1 + Я)2 '
454. 5 =
АхВгСг
Л2?2С2
АзВ3С$
ла1 Мз^з! Mai
455 ?ee o-*iW
5 | 1+^(1 + Я3)] [1 + Я2(1 Ч-^)] [1 + х3(1 4- Яз)] Г
459. Пусть аффинное преобразование задано тремя парами (Л, Лг), (В, Вг),
(С, Сх) соответственных точек. Построить ДЛ^Со со &АВС. ДЛ^Со можно
перевести в ДЛ^Сх либо сдвигом с осью (ЛА), либо сжатием относительно
оси (ЛА).
460. Записать координатные формулы данных сжатий в репере (L, elt е2),
где elt e2 — параллельны прямым 1г и /2 соответственно.
461. Построить /-* (а) и / (а); М = f~l (а)(\а и М' = a[\f (а) — искомые
соответственные точки в аффинном преобразовании f9 если они существуют.
462. Построить Лх == /-1 (Л) и Л2 = / (Л); (АХА) и (ЛЛ2) — соответственные
прямые, если / (Л) Ф л.
193

467. Провести через точку М прямые, параллельные прямым а и Ь, через
Мг — параллельные а± и Ьг.
468. 1) Да, если инвариантные прямые пересекаются; 2) да.
469. Доказать, что в репере (В, В А, ВС) точка М (х, у) переходит в точку
М' (у, 1 — х). Поэтому Ах (а, Ъ) >-* Вг (Ь, 1 — а), Bt « С, (1 — а, 1 — Ь),
Cit-^D-L (1 — 6, а). Откуда следует, что Л^С^ — параллелограмм, если
точки i4lf Bl9 Clf ?>i не принадлежат одной прямой.
472. Если Д (Л) = /2 (Л) = А' и Д (5) = Д (Б) = Я', то каждая точка
прямой {АВ) неподвижна при преобразовании /J"1 о Д. Следовательно, для каждой
точки М е(АВ) имеем: (Л4, Д (М)) = (Af, Д (М)).
474- SA1Blci = 5лвс ' 5Л2ВА'
476. Для данного аффинного преобразования /: /5 = Е. Значит, /— эквиаф-
финное преобразование 1-го рода и из SABC= SBCD следует, что (ВС) \\ (AD).
509. Обозначьте общую точку окружностей буквой Q, вторые точки
пересечения — Л, В, С. Проведите прямую, например, через точку Л перпендикулярно
прямой (QA). Воспользуйтесь симметриями с осями (QA), (QB)9 (QC).
510. Воспользоваться произведением поворотов плоскости вокруг центров
квадратов, построенных на сторонах параллелограмма ABCD.
512. (КМ) — ось скользящей симметрии, при которой [АВ] отображается
на [DC]. Прямая (КМ) равнонаклонена к прямым (АВ) и (CD).
514. Дуги двух сегментов, из точек которых отрезок [MS] виден под углом
(90°—— 1 (концы дуг исключены).
515. Рассмотрите гомотетию с центром М и коэффициентом — —.
516. Сначала докажите, что точки М3, М4, Мь, — образы точек Л3, Л4,
Лв при гомотетии.
519. Ф — образ окружности у (проколотой в точке Л) в гомотетии с центром Л
и коэффициентом -—.
535. Можно.
636. Рассмотреть следующие две композиции гомотетий:
1) гомотетии с центром К и парой соответствующих точек (Л, D) и
гомотетии с центром N и парой соответствующих точек (D, С);
2) гомотетии с центром L и парой соответствующих точек (Л, Б) и
гомотетию с центром М и парой соответствующих точек (В, С).
х2 у2
543. (—4, 0), (б, — -|]. 544. 4* + Зу — 110 = 0; (7, 9).
545. В (—1, 6), D (7, 2), F (3 — 2 /з; 4 + УЩ, F' (3 + 2 Уз, 4 - УЩ.
546. Часть эллипса.
547. (х — г2х0)2 + у2 = Ь2, где 8 — эксцентриситет эллипса у.
549. 8х— 9у + 25 = 0. 551. 2ab, где а и Ь — полуоси эллипса.
194

552. p (F, У • р (Ft t2) =3 b29 где b — малая полуось.
554. Окружность с центром в центре эллипса и радиуса г = а (большая
полуось).
555. Окружность с центром в фокусе эллипса радиуса, равного большой оси.
, а2 + Ь2
556. ±х±у + Уа2 + Ь2 = 0. 557. 2 ! .
а
х2 у2 1
559. — + — = -— и центр данного эллипса.
а2 Ь2 2
562. Воспользоваться тем, что эллипс аффинно эквивалентен окружности.
564. См. указание к задаче 562.
568. Эллипс, гомотетичный эллипсу у.
567. См. указание к задаче 562.
ООО. Rx = , Rx = - , Я2 , R2 = ^ .
<^2/г2 + Ь2 4
569. tgcp = - -^—. 572. -.
kc2 5
573, S~+^w = 1, va' a>c'2c = |fl/?2'-
574. Mx — внутренняя, Мг — внешняя, точка М3 принадлежит
эллипсу.
576. х + у ± 5 = 0.
579. В репере (О, А19 Л2), где О = I f| m, A1 6 /, Л26т, | 0АХ\ = | 0Л2| =»
= 1 выразите тот факг, чго д^ины | АВ\У | ЛМ|, | ВМ\ постоянны (М {х, у)?Ф).
/16 12\ / 16 12\ / 16 12\ /16 12\
•"¦(ртХ-ртХ-Т'-тХб-'-т
584. (1,—1), (—1,5). 585. 1) подобны; 2) не подобны.
588. —ab. 595. Левая ветвь данной гиперболы.
Ь2 х
597. k = — . 598. Таких касательных нет, если а < Ь. 599. а-
а2 У0 ^
а2 а2
600. ху = — или *у = — —.
х2 у2 х2 у2
601. — — — =1. 602. —-.— = 1.
9 3 16 9
604. -^-. 605. (d=—/34, =Ы,*
z \ о
2а&
606. г а г. Квадрат можно вписать при 6 > а.
У б2 — а2
607. х = 1, 5* — 2у + 3 = 0. 60S. Ъх — 2у ± 9 = 0.
х2 у2 25
609. б2. 610. — — ^- = 1. 611. р = — с
16 9 у 12 —13 cos ф
614. Гипербола. 615. Две сопряженные гиперболы. 616. Гипербола.
620. -^— ТГ= 1. 621. 9х2— бху + у2— 68* — 4у + 164 = 0, р = ^гУ 10.
от Ь* ь
623. (-3, -6), (j, Л
1»

624. Объединение параболы и прямой линии. 627. Директриса данной пара-
I2
болы. 632. Парабола, если В Ф0% данная прямая, если В = О. 633. р = —.
634. k = 1.
635
. у=1. 636. у2 = 2р'. ^~е^-+У; е = ±1; р'>0.
637. р = 2. 638. Касательная к параболе в ее вершине.
639. р= . 640. у2*= 12*. 642. 2.
1 — COS ф
644. Парабола или прямая без данной точки. 647. k = 3 V2.
648. (х + 2у)2 — 6х — 2у + 1 = 0.
649. 4л:2 + 7ху — 15у2 — 4* + 90у — 156 = 0.
л #л , / 9 \ /30 ±/50 — 5^/50 \
650.(0, !),(--, 1),(-_i_f_Jl_).
О l/T *2 У2
653. 8л:2 — 24л:у + 15/ + 22л: — 22у + 4 = 0.
654. х + у + 2 = 0.
655. Для точки А: х — 2у + 2 = 0, л; — 8у + 32 = 0;
для точки В: х — 2у + 2 = 0;
для точки С: нет касательных.
656. Директриса данной параболы.
658. У-2=Ё±р1(*-3).
5
659. Л2а2 + В2Ь2 — С2 = 0. 660. #2р = 2ЛС.
661. А2а2 — Я262 — С2 = 0. 662. * ± у ± 3 = 0,
х ± у 4= 3 = 0.
Л /32 15\
664. I) С (-66, -28); 2) CJjj, --J;
3) кет центре; 4) ci\, ~Т");
5) С (0, 0); 6) прямая центров.
665. 2Sjc — 19у + 24 = 0.
666. 36* + 29у + 22 = 0.
667. l)k=l±fl; 2) ^ = —3, ^2= у;
3) kx = — -—, k2 = 2; 4) /?! и k2 неопределенные (окружность).
668. 1) х -Ь 6у = 0, 6х — у — 37 = 0;
2) 20л: + 20у + 21 = 0, 2х — 2у — 7 = 0.
X2 V2
669. „T + i-«l;
Х2 у2 д2 у2
2>^+ir=1:3)T-ir=L
47
196

670. 1) f-^r, 2) У* = уъ* 3) f = y=*.
672. (0, 0, 0), (-1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1).
7 1 1
673- V V -7-
678. x = аг + / (a2 — ^i)» У = h + t (b2 — bL)t z — cx + t (c2 — cj,
0</<l.
679. 1) (—1; 4; —3), 2) (-1; 2; 1).
1,1 1 , . 1 1,1
680. ,-T* +?| y = -? +7, 2=--;'+-.
684. /?' ориентирован положительно.
685.
/б2 — <
a/3 5
-7-—. 687. —я.
3 6
J/3 ±1
688. 1) /51. 689. D^jj, ~ |), | AD | = ^|™.
690. 45°. 691. 1) СЛ—, 1, — j. 692. Окру
ясность.
/21 14 —5
693' l) (li- 15- U
89
23 - 36
cos С =
694. со.*—-. cosB =77=, «.u-^
695. * = pL.*W, У = у=/. z = frX'+f7Ty'-
696. p (/„ у = y=. 698. m» = s* = (p - 0*.
700. Рассмотреть равенства: [а + b + c, a] = 0, [a + 6 + ct 6] = 0.
701. 150.
702. p(A/x0
1/1*1—*o ai
. " I yt — y0 a2
+
У1 — Уо а2
4 — zp aB
+
4 — zQ a3
xi — xo ai
У a\+4+a23
703. Ф = 4- 704- cos Ф = -^- 706- T ^°262 + &2c2 + c4*'
707. (-1; 2; 3), (0; 0; 1).
[a, 6] • с
1
710. x = ^ _^ _^ (aa + p& + ус).
[a, 6] • с
711. ОЯ = Lm, где m = [a, 6] +[6, c]+[c, a].
m2
712. Учесть, что т = [6 — а, с — 6] = 0.
197

714. Нельзя. 715. ~уг1562. 716. —58f — 20/+6; —80.
718. —-abcY^ + 2 cos a cos {5 cos у — cos2 a — cos2 p — cos2 y.
6
720 *- 721 - = ^ЬЬ
2* V (l+Xt)(l+X2) (l+b3)
723. 12. 724. 4 : 3. 725. 3. 726. 3 : 5.
Xq — X0 di 0j '
722. - =27.
728. p(/lf /2) =
det ( Уо — Уо Ч b2
Zq — *о a3 bzj
l/l aA I2 JL I <hf>2 I2 4. I «3^3 I
V I a262 I ^ I a363 I ^ I flf^ I
729. -—abhsiny. 730. —.
6 3
731. 3.
733.
1
6 vf ^{a*+b*"~c2) (62+c2""a2} {c2+a2 ~~*2)*
736. л: = 2 + a — 2o, у = — 5 + 9u + 5i\ 2 = 1 — 3w — 2a
738. Координаты вектора а образуют решение уравнения: Ъаг — 2a2 — 3a3 ==
в 0. 739. * = 2 + и, у = — 1 + 2и + 3v, z = 3 + v.
740. А (х- х0) + В (у- Уо) + С (г- г0) = 0.
741. х + у + 2 — 6 = 0, 14* + 13у + 92 — 74 = 0, 8х + 7у + 5г — 40 =
-=0, х + у + г— 7 = 0, 14* + 13у + 92— 70 =0, 8* + 7у + 5г — 42 = 0.
743. 1) *—у—г — 7 < 0, 2х + у— Зг + 3 < 0;
2) Мг и M9t — внутренние точки вертикальных двугранных углов.
744. М0 лежит внутри тетраэдра.
745. Фх =» {М (xt у, 2)| х — 2у — Зг + 5 < 0 я 2х - 4у — 6г + 7 < 0},
Ф2 = {М (х, у, 2)| х — 2у — Зг + 5 > 0 и 2х — 4у — 6г + 7 < 0},
Ф3 = {М (*, у, г) |* — 2у — Зг + 5 > 0 и 2*— 4у — 6г + 7 > 0}.
746. А (х- *0) + В (у- у0) + С (2- 2q) = 0.
747. 2* + 6у — 4г — 56=0.
749. (* — 5)2 + (у + 5)2 + (г— 5)2 = 49, (х + I)2 + (у- 7)2 + (г- 9)2=
= 49.
750. (*- I)2 + (у + 4)* + (2- б)2 = 36.
752. D' (4; —2; —4). 753. 7х— 5у + Иг— 52 = 0.
754. х + 2— 3 = 0. 755. М (1, 2, 0). 756. S = —|/"4а262 + W + а?с2.
757. —. 758. Цр^а2. 759. cos <p = — -|.
3 4 9
1—cos2P 2/i
m С05*=уЩтШ- 761-COS4,=F1ftPtp)-
|Лл:0 + 6Уо+Сг0 + Р|
763. р (Мв, П) =
Уа*+в2+с*
2ah
764. |Ш| = 1. 765. p(S, П) = у__.
766. 2* + у — 4z -h 17 = 0, 2х + у — 4г — 25 = 0.
198

767. р(а,П) = ^.
Ax + By + Cz + D Ax0 + ByQ+CzQ+D
уА2 + В2 + С2 = \Ax0 + By0+CzQ+D\ ' '
769. 8л; + 12у + 4г + 3 = 0. 770. 2*— у— 2 + 2 = 0.
/ 5 \ | D2 — Dx I
771. 1, -3, -- . 772 -1—? u—
2 /' ' Уда + В* + С2'
773. л: — 2у — 2г — 10 = 0, 2* + 2у — г + 1 = О,
2х — у + 2г + 10 = 0, 2* — у + 2г — 4 = 0.
774. 2х — у + 2г — 3 = 0, х — 2у — 2г — 12 = О,
2х + 2у — г ± 9 = 0.
775. 3* — 2у + 32 — 4 = 0. 776. Зх — 2у + 2 = О,
4
778. Зл; + у — 42 + 5 = О, cos q> = —.
779. 5* - 5у — 2 = 0. 780. (х + I)2 + (у + I)2 + (г — I)2 = 1.
781. х = jcj_ — Л • Д, у = yL — в . Д, г = гг — С • Д,
гдеД = 2^+^ + Сг1+°.
Л2 + Б2 + С2
782. 2х — 2у — 2 + 3 = 0. 783. Применить метод индукции.
786. Зх + г + 16 = 0. 787. М1 € /, М2 $ /.
783. х=2 + /, у=3 — /, г = — 1 + /. 790. (* — Зу — 2г — 5 = О,
\3х + 5у — 62 — 1 = 0.
19
791. (—1; —11; 0). 792. cos ср = ггтт^.
15 у 2
793. 1) Пересекаются; 2) скрещиваются; 3) скрещиваются); 4)
скрещиваются; 5) параллельны; 6) пересекаются.
794. х = 1 + 4/, у = —2/, г = /. 795. /л; — Зу + Ьг + 2 = О,
\х — 2у — 52 + 9 = 0.
796. а; = 1 + 11/, у = — — 5/, г = —7/.
2
* + 5у — 2г = 0.
с — у + 102—4
+ Зу — 2г + 6 = 0.
800. cos (/lt l2) = sin a * sing . 801. л; = 4 + 32/, у = 1 + /, г = —2 — 5/.
-" \2x + 2y — г — 14 = 0, 803. /2*+ y + 2—5 = 0
\Kk+ lly+ 4г— 53 = 0. \;c— y— 2— 5= 0.
\2x — у + 2 — 20 = 0
I* + У + 2 — 10 = 0.
806. Ял|/~2/г2 + 4А2^ 807. ГЗх— Зу + 2г — 11 = 0,
(1 + X) (1 + 2k) ' U - у - Зг = 0.
abc b2 — a2
808' l) /bV+aV+^ST5 2) C0S(P = /5МГ^ • /a2 + 62 + c2?
3) ^= 2a262 + (a2 + 62) c2 '
809. /54*+32y—49z—76 = 0, 810. lt: x= 1+8/, y=—1+3/, 2=—1+2/
\69a;—42y+412+235 = 0. /2: x=—1+2/, y=2—5/, z=—3/,
199
797. J5x + У + 52 — 6 = 0, 798. x = — 1 — /, у => 3 + 3/, 2=2 + 4/.
799. (2*— у + 102— 47 = 0,
о , _ „, . . ,
802. (2* + 2y — г — 14 = 0, 803. \2x + у + 2 — 5 = 0,
\Kk+ lly+ 4г—53 = 0. \;c— у— г— 5= "
804. [2x — у + г — 20 = 0, 805. x— 2у + 2г + 3 = 0

811. Злт—Зу— 2— ii = 0.
812.
(X — 2— 3 = 0, _
18jc — 6у + 8z + 41 J/2 = 0.
813.
814.
815.
820.
831.
11
3* — Зу — 62 + 10=0 и х + у = 0.
/^ — Зу + г — 1 = 0,
\Злр — 32 — 2 = 0.
7л: — Ну — 13г — 35 = 0. 816. 2) 9* + 6у + 2 + 10 = 0.
c,hr.
8
832.
833.
834.
836.
837.
838.
839.
840.
842.
843.
844.
/2 2 2\
Плоскость. 821. Плоскость. 830. —;—;——.
\ 9 9 9/
CoU' 14f 14J'C4 5' 5' 5>СЧ12' 12' 12/'
11_1I\ r /U _!1 U\
"в' 8Г 43' 3' 3/
СОБф =з
100
3J^22 . j/*273
д:— y —3 =
2=0;
133
0, /2* — г
Ъ=0;
2 + 2=0,
\* = 0.
2 + 8=0,
835. 4*+5y—32=0, l\x + lOz — 78=0, ily — 82— 8=0.
J/741*
2 (a:2 + y2 + 22) — (*.+ у + 2)2 = 0.
(x + 2y + г)2 + 4 (a: — 2)a = 16.
9[2(*-2) + 2y-(2 + 1)]2= 16[(*-2)a + y2+(2+ l)2].
(*_ y_ l)a + (%- z + 1)* + (у- 2 + 2)2 = 6.
8*2 + 5y2 + 522 — 4*y + 4*2 + Syz + 16* + 14y + 22г — 39 = 0.
(x + у + 2)a + 4 (* - у - -|) = 0.
(¦
Цилиндр вращения.
7 ^ 63 *
16
0.
8
846.
1)(х + |г)2+(у + }г)2 = 25;
2)(у-1хЬ(2+Н=4:
3)(.-}yJ-2(2+fy) = 0.
At = |
847.
849.
851.
852.
853.
854.
855.
857.
b
с
(У — z)2 + (2 — *)2 + (* — y)2 = 3. 848. *y + уг + zx = 0.
(x + 4)2 — 3y2 — 3z2 = 0. 850. 4* — 3y — 52 + 4 = 0.
ft Ф 1, Ф — конус; ft = 1, Ф — плоскость x sin a — у cos a = 0.
y* + 22 = 4^ (* ^ 0).
36 (* + у + г)2 + 144 (* + у — l)2 — 25y2 = 0.
x2 + 4y2 + 4га + 4*y — Юуг — 6jc — 2y + 2г + 3 = 0.
A2a? + B2b2 > CV.
Пусть
— Уо ai\ А в*]0 —го °*\ д —If — *o %( Тогда
200

1) Д2 + Д2 + Д2 < #» (а\ + а\ + а23);
2) Д2+Д2+Д2=гЧа? + а2 + й2);
3) Д2 + Д2 +Д f > /» (а2 + а2 + а2).
858. С (3, —3, 1); г = 1-|?.
О
859. (х - I)2 + (У + 2)2 + (2 + I)2 = 25.
850. Пусть а2 + б2 + с2 — d = а. Тогда 1) если а > 0, то Ф — сфера с
центром в точке С (— а, — Ь, — с) и радиуса ]^а; 2) если а = 0, то Ф={С}-?
3} если а < 0, то Ф = 0.
863. (х - З)2 + (у + З)2 + (z + I)2 = 36.
855. (х + 5)2 + (у - З)2 + 22 = 121.
/ 4\2 64
868. (х + 1)2 + (^у + -) +(г + 2)2-~.
867. (а: — 2)2 + (у — I)2 + (z + I)2 = 36.
х2 у2 г2
868. + — + — = 1.
25 ^ 9 ^ 16
х2 у2 z2
869. Ь — + — = 1.
27 ^ 12 ^ 75
С_Л (*-У + 1)2 , (*-y-2z)2 , (x + y+z-l)*
8/0-—&— + —й—+ 5 ~L
871 (Х-З)2 У2 22
25 ^225^100
16 16
/ а2 • Л . D Ь2 • Б . D
876. М0 -
а }
а а
где а = А2а2 + В2Ь2 + С2А
877. Прямая линия.
881. Ах+ By + Cz + D' = 0, где D' = dz/^^T^B^M^C2? и знак D'
выбран так, что DD' < 0.
882. 6х — Зу + 2г— 18 = 0.
883. 1) D > 0; 2) О = 0; 3) D < 0, где
U2 b2 ^ с2 ) \а2 ^ Ь2 ^ с2 )\а2 ^ Ь2 л с2 )'
х2 у2 (z — З)2
884. -— + — — - = 0 — коническая поверхность второго порядка.
У 4 1
888. При е < 1, Ф — эллипсоид вращения; при е > 1, Ф — двуполостный
гиперболоид вращения.
889. х2 ± (у2 — г2) —1 = 0.
201

890. Однополостный гиперболоид. 891. Однополостный гиперболоид.
. АаЮ ВЬЮ СсЮ \ х2 у2 z2
894.1- , , V 898. —+ -fr-—= 1.
900. х___У_ i L _
5 "~ 3 + 2
902. — , , , если а = А2а2 — В2Ь2 — С2с2 ф 0.
/ АаЮ ВЬЮ СсЮ\
\ а ' а ' а /'
903. Эллипс или мнимый эллипс, если а > 0, D2 Ф а; П — касательная
плоскость, если а > 0, D2 = а; гипербола, если а < 0; парабола, если а = 0,
D Ф 0; пара мнимых параллельных прямых, если а = 0, D = 0, где а = А2а2 —-
— В2Ь2 — CV*.
905. 1) Эллипсоид вращения; 2) двуполостный гиперболоид вращения.
907. Параболоид вращения. 908. Гиперболический параболоид.
909. Параболоид вращения. 910. Гиперболический параболоид.
5
912. x-y + z-y=0,
L: /2х — 12у— 3z = 0 , ПОх — 12у + 15г = 0
12* + Зг — 6 = 0, 1»\2х — Зг — 30 = 0.
913. /i: [х + 2у — 2г = О 7 ./х + 2у — 8 = 0
\х+2у — 16=0, 12-\х—2у— 4г = 0.
914. Пара взаимно перпендикулярных прямых.
915. рЛ2 + qB2 = 2CD. 917. Гиперболический параболоид.
«I- I) (о. {. 0, {). (-J. 0. {. f). (5. 13, -5, 0);
'(•-f!-iH}.'.T-'HH*-i>
(!• ¦-!•»)•
923.^=2 + ^ + ^, jb» = Я,1 + 2Я,2, *3=1 + 2^ + ^2, х* = 1Х-2Х\
х5 = —1 + &i+3tf
(Зх1 — х2— х3 — 5= О
или Ux1 — Зх2 — х4 — 8 = 0
I х1 — 2х2 + хб — 1 = 0.
924. М(— 2, 1, 0, 3).
925. 1) Да; 2) нет. 928. 1) Параллельны; 2) совпадают; 3) скрещиваются;
4) пересекаются в точке (I, 1, 1, 1).
929. (1,2,-3,0), (0,-1,1,-2), (-1,-4,5,-4).
930. & = 1 + № — %\ х2 = — 2 + ЗХ1, х3 = 3 — Ш — 2 X2, х4 = — 1 +
+ 2А,1 + X2.
931. х* = 1 + А,1— 2Х2, х2 = 3 - ЗА2, х3 = —1 + 2А2, х4 = 4 - 5Я2, х& =
= 5 - 4АЛ
936. (5, 2, —4, —3), (0, 1, 1, 7). 940. 1) 0; 2) точка (2, —1, 4, 5).
943. П2 и П2 скрещиваются.
202

946. х1 — Зх2 — 2r> + 3 = 0 948. Щ || П2.
Зх2 + 2х? — х4 — 4 = О
х* + х2 — 3х3 + х4=0.
/9 9 3 5\ / 1 3\
•«•««.(у.у.у.-у) JO^i.-.-.a.-).
Т/ЧГ ™ 21/Т / 16 16 43 42\
963. 1,V|-; 2)241. 964. J--,-. -,--).
965. (1, —2, 2, 2). 966. 1) ^1022; 2) j/TB.
967. 1) & 2) ^Ш
¦>/Ш1 геч^ * ^
969. 1) y /402, 2) -|.
л /57 229 149 23'
970. —, —, —с —
\74 74 74 74
971. 1) х1 = 1, х2 = 1 + Я, х3 = 1 + А,, х4 = 1 + JL
976. у1 = — х2 + 2х3 — 2х4 + 5, у2 = —х1 — 2х3 + 2х4 + 1, у3 = 2хх —
— 2х2 + Зх3 — 4Х4 + 4, у4 = —2Х1 + 2х2 — 4х3 + Зх4 — 6.
984. ^ <5 (а*3 + а?4 + 4i) - 2 <*34 + й35 + 4д + 4з + 4а + 4>) ~
— "T«i2 2 , где а/у — длина ребра [Л?Л;-].
985. j (а\2 + а213 + с?14 + а\ъ — а\ъ — а\А - а\ъ — а\А - 4> - я|5)5 .
1002. Пусть (Л^ЛУ ± Пр, ^2€Пр. Тогда р (М1э Пр) = | М^М2|. Обо-
значим V = У + V, где Л^Мз порождает пространство У. Находим 6 =
-*•—»•-> —>¦—»¦
= [аь а2 «pi 6 V', причем 6 _L a/ (i ==з 1, 2, ..., р),
1 [«1» ... > «Р] I
или р
(М,, Пр) = Л/ а&-¦ '°У
^ G (?!, ... , Ар)
1003. Т/"^* 1004. |Ca~Cl1. 1005. —.
У 35 /2^ У*
1006. 1) j^ = — (дс — 2у — 2г) + 1, / «= -г (—2х + у — 22) + 1,
и О
г'=у(-2х_2у + г) + 1;
203

2) x'=^(*-2y + 2z) + -|, у' = 1(_2* + у + 2г)+|,
г' = у(2* + 2у+г) + -|.
1008. 3) *' = — (x + 2y — 22)+2, / = — (2x — 2y — г) — 3,
О «J
2' = _~-(2* + y + 2z) + l.
1012. Рассмотрите сужение данных преобразований на плоскость,
перпендикулярную прямой а.
1021. ф (*, у) = у (ф С* + 7, ?+ У) ~ Ф & *) ~ ф (У, 7))-
1022. 1) 4, 2) 2, 3) 4.
1023. 1) ф (х, у) = —2, 2) ф ?,"у) = 1, 3) ф ?Ло = 2.
1025. ф (л:, у) — кососимметрическая форма.
1028. Воспользоваться неравенством:
ф Он + ьр2, Pi + ад > о, у^ е #.
1027. Дзя решения (действительные, мнимые, совпавшие), если ф (6, Ь) Ф
ф 0; единственное решение, если ф (Ь, Ь) = 0, ф (а, 6) Ф 0 система
решений не имеет, если ф (6, Ь) = ф (а, 6) = 0, ф (а, а) ^ 0; к — любое, если
ф (а, а) = Ф б, Ь) = ф (МО = 0.
1028. Воспользоваться результатом задачи 1027.
1029. а > 0, а — Ь > 0, а + (п — \)Ь > 0.
1032. (i1)2 — (1с2)2 + (х3)2. 1033. б1)2 + Ос2)2 — (?)2 — (?)2.
1034. 1) 3 (х1)2 + 2 (j?)2;2) (^)2 + 2 (х2)2 + ЗЙ2 ;3) (J1)2 + (?)2— 2 (?)2;
4) 3 (?)2 + 6 (72)2 — 2 (х*)2; 5) 3 (?)2 — 3 (х2)2.
1038. Пусть Мх (х\) и М2 (х^) — внутренние точки относительно данного
эллипсоида. Докажите, что
2 (ах{ + (1 — о) х!2)2 < 1, 0 < а < 1,
т. е. каждая точка М ? [М1М2] является внутренней относительно данного
эллипсоида.
1041. 1) С (1, 1,-1); 2) прямая центров х1 = 1, х2 = /, jc3 = —Л
1049. Ф (ЛМ) = 0. 1054. X 7+ /Г Г- /Г
1055. х — у = 0, а: + у — z = 0, 3* + Зу + 6z — 2 = 0.
X2 V2 22
1058- !>т+;«г-т-1:
4 8 2
X2 V2 22
204

3)~+f=l.
1059. Использовать репер (Л0, Л0Ли ..., Л0Лп).
1030. См. указание к задаче 1059.
1062. Доказать, что если X, Y ? F, X Ф Г, то AXAY Е A (F).
1061. Сперва провести доказательства для п — 2, 3.
1065. Использовать тот факт, что если-отрезок [А'В'\ а Ф', то его центральная
проекция на плоскость П: [AB\cz<&.
1063. См. указание к задаче № 1065.
1067. Сперва провести доказательство для п = 2, 3.
1068. Достаточно рассмотреть случай, когда F0 — выпуклый многогранник.
1071. Использовать задачу 1062.
1073. Использовать задачу 1062.
1074. См. задачу 1062.
1077. 5 = /За», V = Щ. а\ г = Y^. я, tf= Y^. а, Ф = arccos -j.
1078. S = 2 /3~а2, У = Щ- а\ г = ij. я, Д = Vj_ а, ср = arcsinlX
о о Z 3
1079. 5 = зК25+Ю/5~а2, У =-f (15 + 7/5) а3> г =— 1/25+11/5" д.
4 2 Г 10
>^3 « . ,/Т
# = — а, ф = 2arcsin "I/ -- .
2/5
1080. 5=5/За', V = ^(3+/5)a», г = ^=Ш-а. Я = ^V W+2/5~а,
-i/"e" i
<р = 2arcsin
2/3
1081. Надо учесть, что центры гранен правильного икосаэдра служат
вершинами правильного додекаэдра.
1082. Использовать тот факт, что границу правильного додекаэдра можно
получить, пристраивая надлежащим образом к каждому ребру куба правильный
пятиугольник.
1095. F2 = {0, Т}, F*= {(0, 0), (1.0), (0, Г), (Г, Г))}. Векторы р, 0) = <С
(ОД) = ^ составляют базис векторного пространства F\ , (0, б) = 1), (1,7) =
= а0 + ах = е. Фактормножество (F%\ {0})/ Л по отношению коллинеарности
состоит из трех элементов: А0 = {а0}, Ах = fa}, Е = {е}. Поэтому Р (F^) =
= {Л0, ^i. ?}•
1096. dim Р (V) = 2 => dim V = 3. Пусть (а0, alf a2) — базис векторного
->—>•->-> —> —*¦ ->—>¦ —»¦->¦ -> ->.
пространства V. Тогда векторы Oq, а1э а2, а0 + ^,00 + а2> ^i + «2» ао + ai + <h
попарно не коллинеарны и порождают семь различных точек проективного
пространства Р (V).
1097. Векторное пространство F\ содержит лишь семь попарно не коллине-
арных ненулевых векторов.
205

1098. Семь.
1099. Точки, порожденные базисными векторами трехмерного векторного
пространства V и их суммой, обладают требуемыми свойствами.
1101. Четыре. 1103. р + 1. 1104. Пятнадцать.
1106. В перспективном отображении прямой d на пучок Р (О) образом точки
?оо? d служит прямая dQ ? Р (О), d^ [| d.
1107. Хоо(— 1, 1).
1110. Пусть (а0, at)—базис векторного пространства, порождающий ре-
—¦>- —у —>
пер Rt и ОЕ => а0 + ах. Тогда
—>- -*¦ —>- -> —>- -> ->
ОА0 = аа0, 0ЛХ = рах, ОЛ4 = у*0^ + ухщ.
(А0Аи ?) = /=^>Л^=/?Л1=>|- = ^ (I)
(А0Аи М) = Я =5> А^М =%№%! => — = J; (2)
1111. Пусть точки Л0, Ль Я — собственные, 0? = а0 + ах и #'=
= (0'*Яо» а2)—аффинный репер, так же связанный с проективным репером (Л0,
Al9 E), как и R, но имеющий другое начало. Прямая, проходящая через точку О' и
имеющая направляющим вектором х?а +хга{, является образом прямой (ОМ') в
аффинном преобразовании f\f (R) = R'. В преобразовании / точки Л0, Л,
инвариантны, поэтому (А0Ах) — прямая инвариантных точек. Следовательно, если
(ОМ') П d = М, то / ((ОМ')) Э М; если (ОМ') || d, то / ((ОМ7)) || d, т. е.
расширенные прямые (ОМ') и / ((ОМ')) проходят через одну и ту же несобственную
точку М ?d.
Отдельно рассмотрите случаи, когда AL или А0 или Е — несобственные точки.
1112. Воспользоваться задачей 1110.
1113. Р= (А2М) П (A0N)-
1115. Проекция точки М из центра Л2 на прямую (А0Аг) является серединой
отрезка [Л0ЛХ], проекция точки М из центра Л0 на прямую (АгАг) является
несобственной точкой этой прямой.
1116. Перейти к аффинным координатам.
1119. Л2 ?(АВ). 1120. М е(АвА1).
1121. Точки Л, В, С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
порождающие их векторы линейно зависимы.
1123. Доказать, что уравнение (taza+u&a)*a= 0 определяет прямую,
проходящую через точку С = а {] Ь, и всякая прямая, проходящая через точку С,
определяется такими уравнениями.
1124. Построить точки пересечения данной прямой с двумя сторонами
координатного треугольника.
1125. /— несобственная прямая.
1126. (—Л, В, С), где /= (I, 0, —1), t = (2, i, 0), С = (0, 0, 1) в базисе,
порождающем репер R,
206

1127. 1) №=*?>+ 2у\ 2) Хх» = — )>0 + 2у\
Ххг=> у\ Хх1^ у\
Хх2 = — у* + у2; Хх2 = у0 + у2.
1128. М (3, 2, —1), N (12, 9), Хх>(5, 0, —3), Р (О, 1, 1). Перейти к однород-
ным аффинным координатам относительно репера R и составить формулы преобра-
/^/
зования координат при переходе от репера R к реперу R .
1129. Хоо(1, —1,0), Уоо (1, 0, —1), Zoo (0, 1, —1) — несобственные точки
сторон координатного треугольника, Моо (—2, 1, 1), Woo(l,—2, 1), Роо(1, 1,—2) —
несобственные точки его медиан.
1132. Построить треугольники MNP и М'N'P'> имеющие центр перспективы
и такие, что М, N ? р, М\ N' ? q> (MP) f] (Mf P') = Л.
1133. Приняв прямые р и q, и и v за соответствующие стороны дезарговых
треугольников, свести задачу к задаче 1132.
1134. См. задачу 1132.
1135. Недоступную прямую (ЛВ) принять за ось перспективы дезарговых
треугольников со сторонами р, и, t одного треугольника и соответствующими им
сторонами q, v, s другого треугольника, где s — искомая прямая.
1136. Свести к задаче 1134.
1137. Применить теорему Дезарга к трехвершинникам DMN и CPQ.
1138. Треугольники AMN и DPQ имеют центр перспективы.
1140. Треугольники ABC и A^B-fi-^— дезарговы, с центром перспективы Е
и осью перспективы (NP). Тот же центр и ось перспективы имеют треугольники
CALBX и СгА2В2. Поэтому прямая (А2В2) проходит через точку (АгВх) (] (NP) =
= М. Значит, прямые (АВ), (А^), (А2В2) проходят через точку М, Аналогично
доказываем, что (А3В3) 9 М, и т. д.
1144. Найти координаты точки М в репере R± = (M0t Ml9 М2). Точка М'
имеет те же координаты в репере R2 = (Mq, Ml9 Mo). Найти ее координаты в
репере R'.
1146. Составить формулы проективного преобразования, поместив вершины
Л0, Л, репера в инвариантные точки.
1148. Проективное преобразование задать реперами R = (Л0, X», Е) и
/(?) = (л; Хоо,?').
1149. Пусть три пары прямых, соответствующих в отображении /,
пересекаются в точках прямой s. Доказать, что перспективное отображение g: P (О) ->
-> Р (О') с осью s совпадает с /.
1150. Перспективное отображение g: P (О) -»¦ d совпадает с /.
1151. Ввести вспомогательное перспективное отображение пучка Р(0) на
прямую d't не проходящую через точку О.
1152. Свести к задаче 1141.
1153. Отображение /: Р (Л) -> Р (С), определяемое реперами R =
= {(АС),{АА'), (АВ')) и #'= ((СА), (СА')> (СВ')), перспективное. Оно индуцирует
перспективное отображение ф: (ВА') -*- (ВС) с центром L, в котором ф (М) = /С.
Значит, L 6 (МК).
1155. Проективное преобразование задать реперами R = (Л0, Хоо, У<», Е)
207

1156. Проективное преобразование / определено реперами R = (Л, В, С, D)
и R' = (Л, Б, С, D'). Построить образы проекций точки М на две стороны
координатного треугольника ABC.
1158. 1) Ху°= 2*° +б*1,
\у\ = х? — 9А
1160. При круговой перестановке различных точек А, В, С, D
(АВ, CD) = t->:—:-**-*
/—1 г— 1
1161. Воспользоваться определением сложного отношения.
t ' ' 1 —*' * ' t— Г
1163. (ЛС, ?D) = —1.
1164. Рассмотреть композицию перспективных отображений /: т-^(АС)
с центром Bug: (АС) ->¦ (ЛВ) с центром Л1.
1166. (Л?, CD) = —1.
1169. Воспользоваться задачами 1107, 1167.
1170. С (1,-1).
1172. Воспользоваться задачей 1171.
1174. Прямая d—ось перспективы дезарговых треугольников А0А1А2 и
?0?,Е2- Рассматривая полный четырехвершинник ЕЕ0Е^А.21 получаем
(А0Аи Е2М2) = —1. В репере R прямая d имеет координаты (1,1, 1).
1175. На расширенной плоскости рассмотреть полный четырехвершинник,
вершинами которого служат вершины данного параллелограмма.
1178. На расширенной плоскости рассмогреть полный четырехвершинник с
вершинами в вершинах трапеции.
1179. Написать формулы проективного преобразования, поместив одну из
вершин репера в инвариантную точку.
1180. Проективное преобразование / прямой d определено парой реперов
Я= (А,А',В) и R' = (Л', Л, В).
1181. Доказать, что преобразование / сохраняет сложное отношение любой
четверки точек.
1182. См. указание к задаче 1181.
1184. Эллиптическая инволюция.
1185. Х(1, 1), У (—1,2).
1187. Построить образ треугольника в особой гомологии.
1188. х1 = 0— прямая инвариантных точек.
1189. 1) Построить образ М' некоторой точки М ? (АА') и гомологию/
задать центром S, осью s и точками М и М'.
1190. Построить образы, (прообразы) двух точек прямой d. В качестве одной
из точек полезно взять точку d f| s.
1191. Х=р П/-Ч?).
1192. Доказать, что гомология g с центром 5 и осью s, переводящая Л в Л',
совпадает с /.
1193. Треугольники ABC и А'В'С удовлетворяют теореме Дезарга. Поэтому
точки (АВ) П (А'В'), (ВС) П (В'С)% (АС) (] (А'С) лежат на одной прямой —
оси s гомологии / с центром S. Построив прямую s, мы сводим эту задачу к
задаче 1191.
2С8

Заметим, что прямую fHq) можно найти без использования оси гомологии:
q{\ (Л'В')=М', q{\ (B'C')= ЛГ;
(SM') П (АВ) = M = f~1 (ЛГ),
(SNf) П (ВС) = N = /-1 (ЛГ);
(MN) = f-i(q);
(MN) flP=X, (SX) [)q=X'=*f (X).
1194. См. указания к задаче 1193.
1195. Для точки М пересечения осей родства
/i (А!) = /2 (М) = М ==> М е х.
Возьмем произвольную прямую п. Точка Л7' = fx (п) (] /2 (п) имеет один и тот
же прообраз N ?п в обоих преобразованиях. Прямая (MN) = д;— искомая.
Если преобразование fx задано парой родственных треугольников ABC и
AYBiClt а преобразование f2 — парой родственных треугольников EFG и E2F2G2,
то прямую а: можно найти следующим образом: построить точки 5 ? (EF) I /i(5) 6
6 (?2F2) и Г 6 (GF) | /х (Г) 6 (G2F2). Тогда прямая (S7) = х— искомая.
1196. Парой (Я, R') реперов определяется гомология, в которой My—
инвариантная точка.
1197. Построить прообраз X несобственной точки ^= р f) q. Прямые (ХР)
и (XQ), где Р = р f| s, Q = <7 П s искомые.
1198. Построить образ несобственной точки данных параллельных прямых.
1199. Построить образ и прообраз какой-нибудь несобственной точки, не
лежащей на оси гомологии. Искомые прямые проходят через найденные точки и
параллельны оси гомологии.
1200. 1) Центр гомологии однозначно определяется условием (*).
2) Построим точку М' = f (М). Перспективное отображение ф: (SA) -*¦ (SM)
с центром Т0 = (AM) f| s сохраняет сложное отношение четырех точек,
следовательно, (SM0, ММ') = (5Л0, А А') = — 1.
3) Пусть/— инволютивное проективное преобразование плоскости и / (А) —
= А' Ф А. Возьмем точку В $ (АА'), тогда / (В) = В' $ (А' А). Возможны два
случая.
а) Пусть В' Ф В. Тогда D = (АА') f| (ВВ'), С = (АВ) (] (А'В'), Е =
= (АВ') f| (А'В), F = (СЕ) П (АА') инвариантные точки и (СЕ) — прямая
инвариантных точек. Поэтому /— гомология с осью (СЕ) и центром D, причем
(DF, А А') = —1. Значит, /— гармоническая гомология.
б) Пусть В' = В. Возьмем точку М ? (АВ), М Ф А, М Ф В. Тогда / (М) =
= М' 6 (А'В) и далее рассуждаем так же, как в случае а).
1201. А,у° = х» — 2л:1 — 2*2,
by1 = — 2х» + я1 — 2*2,
А,у2 = —2*° — 2*1 + х2.
1202. Учесть, что в родственном преобразовании сохраняется параллельность
прямых.
1203. Пусть Q — данная окружность, d<x>— несобственная прямая. Тогда
/-1 (<***) П Q = 0 => / (Q) - эллипс,
/-1 (doo) {] Q= Mz=^f(Q)— парабола,
f"1 (doo) ft Q = {M, #}> M =^ ^ =>/ (Q) — гипербола.
1204. За ось гомологии / принять прямую, параллельную касательной d к
данному эллипсу. Центр гомологии и точки Л, Л'= / (А) выбрать так, чтобы лря-
209

мая d была прообразом несобственной прямой. Для получения гиперболы взять
прямую d, пересекающую данный эллипс в двух точках, а для получения эллипса
прямая d не должна иметь общих точек с данным эллипсом.
1205. См. указание к задаче 1204.
120S. Использовать проективное преобразование расширенной плоскости,
переводящее прямую (SТ) в несобственную прямую.
1207. Перейти к однородным аффинным координатам.
1209. Воспользоваться задачей 1208.
1210. Построить поляры двух точек данной прямой.
1211. Построить поляру точки М.
1212. Воспользоваться теоремой взаимности поляритета.
1214. Точки пересечения указанных касательных лежат на тюляре а точки А.
В частности, на прямой а лежит несобственная точка пересечения касательных к
окружности Q в концах диаметра, принадлежащего прямой (АО),
1215. См. указание к задаче 1214.
1217. Точки пересечения указанных .касательных лежат на поляре а
несобственной точки Лоо пересечения параллельных прямых, содержащих хорды.
Прямая а проходит через середины параллельных хорд (см. 1169).
1218. Доказать, что поляра точки С пересекает прямую (MN) в несобственной
ТОЧКе Loo И (PQ, С Loo) = —1.
1219. Пусть А, В— точки касания данных кривых Q и Q'; М — точка
пересечения касательных к Q и ф в точках А и В; D ? (АВ) — внешняя точка
относительно Q и Q'; d- поляра точки D; С ? Q () d, С ? Q' {) d. Гомология /
с центром М, осью (АВ) и соответствующими точками С и / (С) = С, переводит
Qb Q'.
1220. Поляра точки D одна и та же для обеих кривых.
1221. Пусть Q — окружность с центром О, определяемая барьером арены.
Если А = О, то искомое направление — любое. Если А 6 Q, то задача
сводится к построению правильного треугольника с вершиной А, вписанного в
окружность Q.
Пусть А Ф О, А $ Q. Тривиальное решение: два взаимно противоположных
направления, определяемых прямой (АО).
Если точки В, В1у в которых мяч отражается от барьера, не лежат на (АО),
то /\АВВг— равнобедренный: [АВ] ^ [АВг]. Пусть С= (АО) (] (ВВг).
Проведем хорду [DDJ через точку А перпендикулярно (АО) и рассмотрим точки Е ?
? (DC) [\ Q, Ех 6 (DiQ П Q- Рассматривая полный четырехвершинник ООгЕЕъ
заключаем, что (ВВХ) — поляра точки Т = (DEX) f| (DYE) и, значит, (ТВ) —
касательная к окружности Q в точке В. ((ВА), (ВС); (ВО), (ВТ)) = —1 (см.
задачу 1172). Отсюда (АС, ОТ) = — 1 ==> ((ЕА), (ЕС); (ЕО), (ЕТ)) = — 1 =>
=? (AD, KDJ = — 1, где К= (ЕО) Л (DDX), так как (AD, DJ = — —, то
(AD, К) ~~^Г* Последнее позволяет построить точку К и найти: точку Е ?
6 (OK) fl* Q» Е ? KDDi)> °)> Т0ЧКУ с = (ED) П (AD) и» наконец, точки В, Вх
как точки пересечения прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной
прямой (АО), с окружностью Q.
1222. Воспользоваться теоремой Штейнера или Паскаля.
210

1223. См. указание к задаче 1222.
1224. См. указание к задаче 1222.
1225. Воспользоваться теоремой Брианшона. Точку кривой искать как точку
касания одной из касательных.
1226. См. указание к задаче 1225.
1227. См. указание к задаче 1225.
1228. Касательные к эллипсу Q в точках А и В параллельны диаметру (CD),
а касательные в точках С и D параллельны диаметру (АВ). Воспользоваться
теоремой Паскаля или Брианшона.
1229. Воспользоваться следствием из теоремы Штейнера.
1230. Применить теорему Брианшона.
1231. Применить теорему Паскаля.
1232. Середины сторон параллелограмма принадлежат вписанному эллипсу.
Воспользоваться теоремой Брианшона.
1233. Середины сторон параллелограмма принадлежат вписанному эллипсу.
Воспользоваться теоремой Паскаля.
1234. Используя симметрию окружности относительно центра, построить
параллельные секущие, не проходящие через 0 и пересекающие I в точках А и В,
Затем через точку О провести прямую, им параллельную (см. задачу 1177). Она
пересекает отрезок [АВ] в его середине С. Используя точки Л, В, С, провести
через точку Р прямую, параллельную / (см. задачу 1176).
1235. Построить середину С какого-нибудь отрезка [АВ] с / (см. указание
к задаче 1234). Воспользовавшись этой фигурой, провести через точку О прямую
т || L. Построить поляру п какой-нибудь точки N ? т, внешней относительно Q.
Тогда п _L т и точка NQ= п [] т — середина отрезка [N1N2], где {Nv N2} =
= п f| Q. Наконец, провести через точку Р прямую р \\ п.
1236. 60. 1237. 60.
1238* Вершины шестиугольника принадлежат одной овальной кривой
второго порядка. Прямые, проходящие через середины его противоположных
сторон, принадлежат одному пучку с центром в полюсе несобственной прямой.
1239. Применить теорему Паскаля к шестивершиннику, вершинами
которого служат вершины данных треугольников. Убедиться, что одна из точек
пересечения противоположных сторон этого шестивершинника является точкой
Брианшона для шестисторонника, сторонами которого служат прямые, содержащие
стороны данных треугольников. Применить теорему, обратную теореме
Брианшона.
1240. См. указание к задаче 1239.
1241. В точках А и В построим касательные к данным кривым Q и Q'.
Обозначим через X точку пересечения касательных в точках А, В ? Q, и через Y —
точку пересечения касательных в точках А, В ? Q'- Найдем R = (XY) {] (АВ)
и построим точку 5 \(АВ, RS) =¦—1. Тогда (XY) — поляра точки 5 для обеих
кривых. Обозначим Т = (XY) [\ (SC) и построим точку D \(ST, CD) = — 1.
Тогда D 6 Q П Q'-
1242. Касательные к гиперболе в ее несобственных точках.
1243. На расширенной плоскости асимптота гиперболы является
касательной в несобственной точке- гиперболы. Поэтому условием задачи заданы три
точки овальной кривой второго порядка и касательные в двух из них.
Воспользоваться теоремой Паскаля.
211

1244. См. указание к задаче 1242.
1245. Центр гиперболы найти как точку пересечения асимптот —
касательных к гиперболе в ее несобственных точках.
1246. Точка, симметричная данной относительно центра гиперболы,
принадлежит данной гиперболе. Таким образом, известны три точки овальной
кривой (одна из них несобственная) и касательные в двух из них (одна из них
асимптота). Пользуясь теоремой Паскаля, на несобственной прямой найдем еще одну
точку гиперболы. Эта точка и центр гиперболы принадлежат искомой асимптоте.
1247. Параллельные прямые на расширенной плоскости пересекаются в
точке несобственной прямой — касательной к параболе.
1248. На расширенной плоскости несобственная прямая является пятой
заданной касательной к овальной кривой второго порядка. Воспользоваться
теоремой Брианшона.
1249. На расширенной плоскости несобственная прямая касается параболы
в ее центре. Воспользоваться теоремой Брианшона.
1250. На расширенной плоскости диаметр параболы задает ее центр —
точку касания несобственной прямой. Воспользоваться теоремой Паскаля.
1252. Пусть d0— несобственная прямая на проективной модели
расширенной аффинной плоскости. Точку С6 (АВ) можно найти как четвертую
гармоническую к точкам X = (АВ) f| rf0, Л, В; точку D — как четвертую гармоническую
к точкам С, X, В и т. д.
Это построение упрощается следующими соображениями. Возьмем какую-
нибудь точку Y 6 d0t Y Ф X и проведем прямую (ХМ) Ф (АВ). Пусть
(ХМ) П (AY) = М, (ХМ) П (BY) = N.
Тогда фигура ABNM — параллелограмм на проективной модели расширенной
плоскости. Найдем:
(ВМ) П d0 = Z, (ZN) П (АВ) = С.
Тогда BCNM — параллелограмм и, значит, В — середина отрезка [АС].
Заметим, что это построение точки С — обычное построение четвертой
гармонической точки к точкам В, X, А с помощью полного четырехвершинника MNYZ.
Далее, для построения точки D можно поступать по-разному:
а) (CY) П (MN) = Q, (ZQ) {] (АВ) = D;
б) (CM) [)d0= U, (UN) П (АВ) = D.
Последующие точки прямой (АВ) строятся аналогично.
1253. Через центр С окружности Q провести диаметр [АВ] (| (MN) и через
точки А и В — прямые, параллельные прямой (С/С).
1254. Несобственные точки прямых d и а полярно сопряжены относительно
единичной окружности Q.
1255. См. решение задачи 1252. Точка Z должна быть полярно сопряжена с
точкой X относительно единичной окружности Q.
1256. Пусть Q — единичная окружность с центром С. Построим
равнобедренный треугольник АСВ, боковые стороны которого параллельны сторонам
данного угла, и точку М — середину основания [АВ]. Искомая биссектриса
параллельна прямой (СМ).
1257. Пусть 0 — единичная окружность с центром С. Проведем диаметр
(СХ) || (MN) и построим диаметр (CY), ему сопряженней. На проективной
модели евклидовой плоскости (СХ) X (CY). Через точки М и N проведем прямые т
и п, параллельные прямой (CY). Построим биссектрису прямого угла с верши-
212

ной М и стороной [MN) (см. решение задачи 1256). Она пересекает прямую п в
третьей вершине 5 искомого квадрата MNST.
1258. Построить прямую (MP) (| /, биссектрису угла PMN и перпендикуляр
(NP) к этой биссектрисе.
1259. Инволютивная гомология с несобственным центром, полярно
сопряженным с несобственной точкой оси симметрии относительно единичной
окружности.
1261. Искомая точка лежит на пересечении двух окружностей,
концентрических данным.
1262. Следует рассмотреть два случая: 1) три прямые попарно пересекаются;
2) две прямые параллельны, а третья их пересекает.
1264. Свести к задаче 1263 (построение треугольника по основанию 2р, углу
д
при вершине 90° -\ и высоте ha).
1265. Сперва доказать, что сторона треугольника видна из центра вписанной
окружности под углом, величина которого равна 90° плюс половина величины
угла, противолежащего стороне.
1268. Задача сводится к построению точки D — середины [ЛС], если [ВС]<^>
1269. Использовать окружность Аполлония.
1270. См. указание к задаче 1269.
1271. Достроить искомый треугольник до параллелограмма ABDC и свести
задачу к построению точки В.
1272. Использовать окружность Аполлония.
1273. Задача сводится к построению вершины С треугольника АСА', у
которого [ЛЛ'] ^ 2 [АВ] (В — середина [ЛЛ']), [АВ] и [ВС] — данные стороны
искомого параллелограмма и отношение \АС\ : |Л'С| равно данному отношению.
1274. Пусть A BCD — искомый параллелограмм. Точка С есть точка
пересечения окружности Аполлония и окружности радиуса г = — | АС | с центром в
середине [АС].
1276. Использовать фигуру F = {М\ \BM\Z— \СМ\2 = |т|2}, где В и
С — данные точки и т — данный отрезок.
1278. Ценгр искомой окружности есть точка пересечения окружностей (Л, г)
и (Я, Vi* + /2).
1279. См. указание к задаче 1276.
1280. Зная R и Л, легко построить [ВС]. Далее использовать фигуру F =
« {М\ |?М|2-{- | СМ|2 = |/|2}.
1282. Использовать параллельный перенос одной из диагоналей.
1284. Применить параллельный перенос одной из медиан, свести задачу к
2
построению треугольника, сторонами которого служат — медиан искомого тре-
о
угольника.
1285. Использовать параллельный перенос боковой стороны.
1287. Свести задачу к рассмотрению равнобедренного треугольника и его
оси симметрии.
213

1288. Построить точки Р', Р", симметричные точке Р относительно прямых,
содержащих стороны данного угла. Использовать (Р' Р").
1289. Использовать точки Л', В\ симметричные точкам Л и В относительно
прямой, содержащей одну из сторон данного угла.
1290. Использовать точки Л', В\ симметричные точкам Л и В относительно
прямой d.
1291. Применить поворот вокруг центра данных окружностей.
1292. Повернуть одну из данных окружностей вокруг точки Л на J80°.
1295. Вписать в данную окружность квадрат и затем повернуть его вокруг
центра окружности на надлежащий угол.
1296. Зная два данных угла, построить треугольник, подобный искомому,
определить коэффициент подобия, что и даст возможность построить искомый
треугольник.
1298. Предположив задачу решенной, применить гомотетию -с центром в
вершине данного угла.
\т\
1299. Применить гомотетию с центром в точке А и коэффициентом -—.
И
1304. Пусть hat hbt hc — данные высоты. Используя выражение для
площади треугольника, находим отношение длин сторон:
|e|s,*,:|e,-itl:ibsiii*
Отсюда:
, I.,*,..,, IM-IM 1M-1M _\hg\.\hb\
\т\ \т\ \т\
где т — произвольный отрезок. Строим отрезки а1э bu clt такие, что
Iul l= —ПГ\— • Ibl I= —T^Ti— • ICl I = —ПГ\—'
\m\ \m\ \m\
Строим треугольник по сторонам а1э Ъъ сг. Этот треугольник подобен искомому с
коэффициентом ?= \ha\\ \hai\t что дает возможность построить искомый
треугольник. Задача имеет решение, если существует треугольник со сторонами alt
Ьъ cv
1305. Пусть \АВ\ — основание сегмента, М — середина \АВ]. Строим внутри
сегмента квадрат PQRS, где [PQ] d [АВ], М — середина \РО\. Затем надо
использовать гомотетию с центром М и надлежащим коэффициентом.
1309. Пусть окружности (Ou R) и (02, R) касаются между собой, причем
первая из этих окружностей касается {АВ) и (АС), вторая — {АВ) и {ВС) и Л1э
Л2 — точки касания с (ЛВ). Прямоугольник А^О^А^ имеет отношение
сторон I : 2 и вписан в треугольник ABI, где / — центр окружности, вписанной
в данный треугольник. Используя гомотетию, такой прямоугольник можно
построить.
1310. Пусть ABCD — искомый параллелограмм. Возьмем произвольные
точки Лх, Сх и построим окружность Аполлония {М\ \АХМ\ : \СХМ\= \AD\:
: | CD\}. Пусть Ох— середина [Л^]. Проводим луч ОхХу такой, чтобы /_АхОхХ
был конгруэнтен данному углу между диагоналями. Этот луч пересечет окружность
Аполлония в вершине D1 параллелограмма Л101С1В1. От этого параллелограмма
с помощью гомотетии переходим к искомому.
214

1311. Около данного треугольника описать окружность и с помощью
гомотетии перевести ее в данную окружность.
1312. Если данные прямые пересекаются, то использовать способ решения
задачи 1298 (гомотетия с центром в точке пересечения этих прямых). Если же
прямые параллельны, то построить окружность, касающуюся этих прямых, и затем
переносом перевести ее в окружность, проходящую через данную точку (в
последнем случае данная точка должна принадлежать полосе, ограниченной даи-
ными прямыми).
1313. Пусть Л, В—данные точки, d— данная прямая. Гомотетия с цен-
\SA\
тром 5= d {] (А В) и коэффициентом——позволяет определить точку Q 6 d9
I SB I
где (BQ) — одна из искомых прямых.
1314. Пусть (О) — искомая окружность и d f| (О) = {?>, ?}, d f| (АВ) =
= С. Имеем: | АС\ • | ВС\ = х (х+а), где х = | CD | и а — длина данного отрезка.
1316. Учесть, что расстояния точки D от сторон треугольника известны.
1324. Пусть а, Ъ— длины сторон, е, /— длины диагоналей
параллелограмма. По условию: г = ka, f = kb. Но 2 (а2 + b2) = е2 + /2. Отсюда k = УТ
Зная а, Ь, е = У2 а, построим треугольник, а затем и параллелограмм.
1325. Задача сводится к делению основания трапеции в данном отношении.
1327. Пусть а — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина
i^5~ 1
его диагонали. Тогда d: а = а : (d — а). Отсюда а = / л
2
1333. Применить перенос одной из данных окружностей в данном
направлении так, чтобы длина вектора переноса была равна длине данного отрезка.
1335. Вывести соотношение: ас = — (р2 + ф— Ь2 —d2), где а, с — длины
оснований, 6, d — длины боковых сторон, р, q — длины диагоналей трапеции.
Построить отрезки длины т, п, /, такие, чтобы:
„ /2 а+с т
ас = /2, = —.
а— с п
Найдем:
а т-\- п I2 (m + п)
с т —п т — п
Построив отрезок длины а, можно построить трапецию.
1336. Высота ромба 2/?, где R — радиус данной окружности. По стороне
и высоте строим ромб и вписываем в него окружность. Перемещением переводим
построенную окружность в данную.
1337. Ось симметрии сектора пересекает его дугу в точке М касания
искомой окружности. Находим радиус искомой окружности:
dR
где R — радиус сектора, d — расстояние от точки М до граничного радиуса
сектора.
1338. См. указание к задаче 1312.
1339. Все окружности, пересекающие две данные диаметрально,
принадлежат одному пучку, центры окружностей этого пучка лежат на линии центров
данных окружностей.
215

1340. Пусть Р, Q, R, S — данные точки на сторонах [АВ], [ВС], [CD], [DA]
квадрата ABCD или их продолжениях. Через точку Q проведем перпендикуляр
к [PR] и отложим на нем [QT] И [PR], Тогда [AD] cz (S7*).
1341. Рассмотреть биссектрису угла при вершине А,
1342. Одна из вершин искомого треугольника является точкой пересечения
с окружностью прямой, проходящей через точку И параллельно (ОБ), где О —
центр окружности.
1343. Задача сводится к проведению касательной к данной окружности так,
чтобы она равно отстояла от точек А и В.
1344. Сначала построить центр вневписанной окружности.
1348. Применить окружность Аполлония.
1349. Центр искомой окружности должен лежать также на окружности
Аполлония, которую можно построить по данным задачи.
1350. Свести задачу к построению общей касательной к двум окружностям.
1351. Центр искомой окружности является точкой пересечения двух
окружностей Аполлония, которые можно построить по данным задачи.
1352. Центром искомой окружности служит радикальный центр данной
тройки окружностей.
1353. Считая данные точки окружностями нулевого радиуса, решаем эту
задачу, как и предыдущую.
1354. Повернуть окружность (02) вокруг точки А в направлении к
окружности (Ох) на угол С А'В' {/\А'В'С—данный). К полученной окружности (0'2)
применить гомотетию с центром А и коэффициентом k = t .
1355. Предположив задачу решенной, применить гомотетию с центром В.
1356. Изображением правильного треугольника может служить любой
треугольник. Для построения изображения правильного шестиугольника
воспользоваться его разложением на треугольники.
1358. В правильном пятиугольнике ABCDE точка М — [BD] f| [AC]
делит диагональ [BD] в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»):
\BD\ : |AfD|= \MD\: \BM\.
Для практических нужд воспользоваться отношением
|ЛИ|:|Л«>|= !?^±~2
1360. 1) Построить сопряженные диаметры [А В] и [CD] эллипса Q,
являющегося изображением окружности. Через середину отрезка [ОА] провести прямую
d || (CD), пусть d Q Q = {M, N}. Тогда треугольник BMN— искомый.
2) Провести касательные к эллипсу Q в точках В, М, N. Они параллельны
противолежащим сторонам треугольника.
1361. Воспользоваться решением задачи 1360.
1362. Воспользоваться полярой данной точки.
1363. Удвоить число сторон правильного треугольника, вписанного в
окружность, и воспроизвести это построение на изображении.
1365. В концах сопряженных диаметров эллипса Q, являющегося
изображением окружности, провести касательные к этому эллипсу.
В точках пересечения диагоналей полученного параллелограмма с
эллипсом Q провести касательные к этому эллипсу.
1366. Воспользоваться решениями задач 1364, 1365.
216

1368. Построить окружность Q0 с диаметром [АВ] и перпендикулярный ему
диаметр [C0D0]. В родстве / с осью (АВ) и соответствующими точками С0 и С =¦
= / (С0) эллипс Q является образом окружности Q0.
1369. Построить окружность Q0 с диаметром [АВ]. В нее вписать правильный
я-угольник. Построить его образ в преобразовании родства, переводящем Q0 в Q.
1370. См. указание к задаче 1368. Через прообраз MQ построенной точки М $
6 Q провести касательную к окружности Q0 и найти образ этой прямой.
1371. В родстве, переводящем окружность Q0 в эллипс Q, построить образы
перпендикулярных диаметров окружности Q0.
1372. Пусть родство / задано осью s и точками М $ s и М! = / (М). Через
середину С отрезка [ММ'] проведем прямую (СО) _1_ (ММ'). Пусть (СО) f) s = О.
Окружность с центром О, проходящая через точку М, проходит через точку М$
и пересекает s в точках А и В. Образами перпендикулярных прямых (МА) и (MB)
являются перпендикулярные прямые (М'А) и (М'В). Значит, прямые (МА) я
(MB) имеют главные направления в родстве /. Прямые а и Ь, проходящие через
данную точку N и соответственно параллельные прямым (МА) и (MB), являются
искомыми.
В случае, когда (СО) || s, одно из главных направлений определяется осью s,
другое — ему перпендикулярное.
1373. Построить окружность Q0 с диаметром [АВ] и перпендикулярный ему
диаметр [C0DQ]. Найти главные направления родства Д определяемого осью (АВ)
и соответствующими точками С0 и С = / (С0) (см. задачу 1372). Провести
перпендикулярные диаметры окружности Q0, имеющие главные направления. Построить
их образы в родстве /.
1374. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
параллелограмма, служат сопряженными диаметрами эллипса, изображающего
окружность. Воспользоваться родством, переводящим эллипс в окружность.
Можно также воспользоваться теоремами Штейнера или Паскаля. В этом
случае построение выполняется одной линейкой.
1375. Диагонали параллелограмма служат сопряженными диаметрами
эллипса, изображающего окружность.
1377. Построить прообраз /0 прямой / в преобразовании родства,
переводящем окружность QQ с диаметром [АВ] в эллипс Q, и найти образы точек М0, N0 g
6 /о П Qo-
1379. Свести к задаче 1375.
1380. Пусть точки 5и О— изображения вершины конуса и центра его ос*
нования, точка Ог — изображение центра верхнего основания цилиндра.
Воспользоваться гомотетией с центром «S, переводящей точку О в точку Ох.
1381. Построить изображение правильного треугольника, вписанного в
экватор (соответственно в параллель). Вершина пирамиды изображается полюсом,
соответствующим экватору.
1382. Вершины оснований призмы принадлежат сечениям шара
параллельными плоскостями, равноудаленными от его центра.
1383. Изобразить шар, его экватор и соответствующие ему полюсы.
Основания цилиндра и экватор шара изображаются конгруэнтными эллипсами с
соответственно параллельными осями. Изображениями центров оснований цилиндра
служат изображения полюсов шара.
1384. Построить изображение правильного треугольника, описанного около
217

экззтора. Если точки N и S — изображения полюсов, соответствующих
экватору, то боковые ребра призмы изображаются отрезками, параллельными отрезку
[NS\ и конгруэнтными ему.
1385. Построить изображения N и 5 полюсов, соответствующих экватору.
Провести два сопряженных диаметра [ML] и [HG] эллипса, изображающего
экватор. Эллипсы с сопряженными диаметрами [ML] и [NS], [HG] и [NS] служат
изображениями искомых меридианов. При вычерчивании этих эллипсов от руки
полезно предварительно построить их осп.
1386. Воспользоваться теоремой Польке—Шварца.
1388. Построить изображения вершин куба по их координатам в
ортонормированием репере.
1389. См. указание к задаче 1388.
1390. Воспользоваться задачей 1194.
1391. Построить изображения точек /' fl (А'В'С) и tri Q (А'В'С) (см.
задачу 1390) либо воспользоваться задачей 1195.
1392. Пусть плоскость IT пересекает оси репера R' в точках А' ? (0'А[),
В ? {0'А'2), С ? (0'А'3). Построить изображения единичной окружности с
центром О', лежащей в координатной плоскости (0'А{А2), и основания М'
перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую {А'В'). Аналогично построить
изображение основания N' перпендикуляра, опущенного из точки О' на прямую
(А С). Тогда точка Р = (CM) f| (BN) является изображением основания
перпендикуляра, опущенного из точки О' на плоскость IT.
1393. Свести к задаче 1392.
1394. Считаем, что оси репера R' направлены к плоскости 2« Длины
отрезков ех, еу, ег будем обозначать теми же буквами. Обозначим а = (О'A*v О'О),
Р = ((УА'2,(УО), V= (0'A'z,0'0). Здесь O'OJL^J. Воспользоваться
соотношениями: ех = sin а, еу = sinf*, ez = sin у; cos Ал = ctg{5 • ctg у, cos Л2= ctg а х
Xctg у» cos A3 =s ctg а • ctg#, где A-t— величины углов треугольника следов;
А2ОА3 = 180° — Аи Аг0А3 = 180° — Л2, АгОА2 = 180° — А
я»
г sin /4» . sin A~ * sin A. • sin A~ У si
cos Л о
sini42-sini43 * sin.i41 • sinЛ8 Y smAx- smA2
ex : ey : ez = у sin 2At : у sin 2Л2 : у sin 2Л3
^ + ^ + 4 = 2-
1395. Воспользоваться указанием к задаче 1394.
1396. Построить изображение куба в ортогональной диметрической проекции
(см. задачу 1395). Шар касается плоскостей граней куба в точках пересечения
диагоналей этих граней. По известным сопряженным диаметрам можно построить
эллипс — изображение окружности большого круга шара. Его большая ось дает
диаметр очертания шара.
1398. См. задачу 1397.
1399. Воспользоваться преобразованием родства, определяемым двумя
тройками соответствующих точек (М, Л/, Р) и (Mlt Nlt Рх), где М, Nt Р — изображе-
218

ния точек М', N',Р', a Mly Nlf Рг — изображения ортогональных проекций точек
М', N', Р' на ллоскость нижнего основания куба (см. также задачу 1194).
1400. Воспользоваться гомологией, определяемой двумя тройками
соответствующих точек (М, N, Р) и (Mlt Nlt Рх), где М, Nt P — изображения точек
М\ N'y Р\ a Mlf Nlt Px — изображения центральных проекций этих точек из
вершины пирамиды на плоскость ее основания.
1401. Обозначим Qx — изображение окружности Q[ нижнего основания
цилиндра F\ а— изображение следа плоскости IT на плоскости основания
цилиндра, М— изображение заданной точки М' € IT, лежащей на образующей /'
цилиндра, Мг— изображение точки М1 = /' f) Qv Задача сводится к
построению прообраза эллипса Qx в родстве / с осью а и соответствующими точками М
и м1 = / (М).
1402. Решение аналогично решению задачи 1401, но вместо родства надо
использовать гомологию с центром в точке «S — изображении вершины конуса.
1403. Гомология / с центром S, осью а и соответствующими точками М и
М1 = f (M) переводит изображения точек плоскости П' в изображении их
оснований. Установить количество несобственных точек кривой Q = /_1 (Qj) (см.
задачу 1199).
1404. См. задачу 1191.
1406. Построить изображение меридиана, в плоскости которого лежит
прямая V.
1407. Изображение неполное, поэтому изображения ортогональных
проекций трех вершин пятиугольника можно задать произвольно (даже на одной
прямой). После этого изображение становится полным.
1408. Данное изображение неполное, искомые точки можно выбрать
произвольно на изображении / прямой Г. После этого изображение становится полным.
1409. Изображением искомого отрезка является отрезок, конгруэнтный
диаметру эллипса Q, параллельному прямой /.
1410. Пусть эллипс Q — изображение данной окружности Q' и угол ABC —
изображение данного угла А'В'С. Через центр 0 эллипса Q провести лучи,
параллельные сторонам угла ABC. Пусть А± и Сг — точки пересечения этих лучей
с эллипсом. Тогда луч [/Ш), параллельный медиане [OMJ треугольника АхОС1г
является изображением биссектрисы угла А'В'С.
1411. См. указание к задаче 1410.
1412. Перпендикулярные прямые оригинала изображаются прямыми,
имеющими сопряженные направления относительно эллипса, изображающего
окружность.
1414. Построить изображение MNP правильного треугольника, вписанного
в окружность Q', так, что [MN] !| [АВ] (см. задачу 1360). Провести прямые
[АС] \\ [MP], (BC)\\[NP].
1415. Пусть треугольник ABC, вписанный в эллипс Q, является
изображением треугольника А'В'С, вписанного в окружность Q'. Построить образ
треугольника ABC в родстве, переводящем эллипс Q в окружность.
1417. Пусть треугольник ABC— изображение треугольника А'В'С и
точка О— изображение точки О'. Построить изображения прямых, проходящих
через точку О' и параллельных биссектрисам внешних углов В' и С треугольника
А'В'С (см. задачу 1173). Тогда через точку О проходят две пары прямых,
являющиеся изображениями пар перпендикулярных прямых. Построить точку 0lf
219

такую, чтобы родство / с осью (АС) и соответствующими точками О и Ох = / (О)
переводило прямые, изображающие перпендикулярные прямые, в
перпендикулярные прямые. Найти образ треугольника ABC в преобразовании /.
1418. Пусть параллелограмм ABCD — изображение данного
прямоугольника, отрезок [MN] — изображение стороны искомого квадрата. Заданное
изображение не является метрически определенным, свободными остаются два
параметра. Изображение перпендикуляра к отрезку [М' N'] можно выбрать
произвольно с единственным ограничением: пары прямых, изображающих
перпендикулярные прямые, проходящие через одну точку, должны разделять друг друга.
После такого выбора всякая фигура плоскости, в которой лежит заданный
прямоугольник, определяется изображением с точностью до подобия (свободен
один параметр).
Через какую-нибудь точку О плоскости изображений проведем прямые,
параллельные сторонам параллелограмма ABCD, прямую, параллельную
отрезку [M/V], и прямую, изображающую перпендикуляр к отрезку [М'N']. Задача
сводится к заданию родства, переводящего изображения перпендикулярных
прямых в перпендикулярные прямые (см. указание к задаче 1417).
1419. Построить треугольник, подобный оригиналу (см. указание к задаче
1415). Зная коэффициент подобия, построить треугольник, конгруэнтный
оригиналу, и радиус вписанной в него окружности.
1420. Пусть треугольник ABC — заданное изображение треугольника А'В'С.
Построить треугольник ABC", подобный треугольнику А' В'С\ В родстве / с
осью (АВ) и соответствующими точками С и С" = / (С) построить прообраз
окружности, описанной около треугольника ABC".
1421. См. указание к задаче 1420.
1422. Изображением квадрата определяется изображение вписанной в него
окружности. Это позволяет построить изображения перпендикуляров к отрезку
[А' В'\ в точках А' и В', а также диагонали искомого квадрата (см. задачу 1410).
Построение упрощается использованием родства, переводящего заданное
изображение квадрата в квадрат.
1424. Изображение любой треугольной призмы можно считать
изображением данной призмы.
Перпендикуляр (А[ХГ) к плоскости (AfB[c[) является перпендикуляром к
прямой (Л'?|), где Е[—середина отрезка [#|с|]. Построить треугольник ААгЕ",
подобный треугольнику Л'Л^Ер В родстве / с осью (ААг) и соответствующими
точками Ег и Е" = / (Ех) построить прообраз X точки X" — основания
перпендикуляра, опущенного из точки Аг на прямую (АЕП). Точка X является
изображением основания перпендикуляра (ЛjX'), опущенного из точки Л1 на плоскость
(АГВ[С[).
1425. Форма треугольника A,AlCi известна, поэтому для построения
изображения X точки X' можно воспользоваться общим способом, указанным в
решении задачи 1424.
Однако проще построить точку X, доказав, что (A'Cit Х')= —-, либо
доказать, что плоскость (AtB'D') является искомой.
220

1426. —— (см. указание к задаче 1425).
6
1427. Воспользоваться задачей 1425. Сечением является правильный шести-
31/3" 2
угольник, площадь которого JL— а1.
1428. Искомый перпендикуляр (?'X') параллелен прямой (В'К'),
перпендикулярной к прямой (A'MJ, где К' € (А'АХ), Мг 6 (A^J. Для построения
изображения точки К' воспользоваться родством, переводящим изображение
квадрата А'В'В\а\ в квадрат.
Точку К можно найти иначе. Построим [М^] || [Лх5], L 6 [ВВг]\ [А^]'^
Ш [BiLl, К 6 [АХА\.
Однако наиболее просто строится изображение в кабинетной проекции. Для
этого расположим куб так, чтобы его ребра были направлены по осям координат
и изображением грани А'В'В{ А{ был квадрат. Тогда углы в этой грани
изображаются без искажений.
1429. Построить изображение сечения пирамиды S'A'B'C'D' плоскостью
(S'M'N'), где М', N' — середины сторон [В'С] и [A'Dr] основания. Форма этого
сечения известна. Это позволяет использовать общий метод метрических
построений.
Решение задачи упрощается, если данную пирамиду расположить так
относительно плоскости проекций, чтобы изображение треугольника S'M'N' было
подобно этому же треугольнику.
1434. Построить изображения N и S полюсов, соответствующих выбранному
экватору, и двух меридианов, плоскости которых взаимно перпендикулярны
(см. задачу 1385). Из точки М', лежащей на продолжении отрезка [WS'] за
точку ЛГ, провести касательные к этим меридианам и найти точки их пересечения с
касательной плоскостью к шару в точке S'. Эти точки являются серединами
сторон основания пирамиды с вершиной М\ описанной около шара.
1435. См. указание к задаче 1434.
1436. См. указание к задаче 1384.
1437. Пусть точка О — изображение центра шара, точки N и S —
изображения полюсов, соответствующих выбранному экватору. Построить изображение
квадрата, вписанного в экватор, и подобного ему квадрата с тем же центром и сто-
2 1^3~
роной а= —Л—г (й — длина ребра куба, вписанного в шар радиуса г). В верши-
о
нах параллелограмма, служащего изображением второго (меньшего) квадрата,
провести прямые, параллельные прямой (NS), и на каждой из них отложить по
обе стороны от вершины отрезок длиной Л_— | ON\. Концы полученных отрезков
о
являются изображениями вершин куба, вписанного в шар.
Можно поступить и иначе. Построить изображения двух меридианов,
плоскости которых взаимно перпендикулярны (см. задачу 1385). Эти плоскости
пересекаются по прямой (N'S'). Построить изображения ABCD и A1B1C1D1 квадратов,
вписанных в меридианы так, что отрезки [AD] и [^Dj параллельны прямой (NS).
Тогда отрезки [АВ] и [Л^], пересекающиеся на прямой (NS), являются
изображениями отрезков, соединяющих середины сторон одного из оснований куба,
221

вписанного в шар, а отрезки [DC] и [D^J являются изображениями отрезков,
соединяющих середины сторон другого основания этого куба.
См. также указание к задаче 1388.
1438. Найти отношение, в котором грань тетраэдра делит перпендикулярный
к ней диаметр шара.
1439. Пусть эллипс Q служит изображением экватора. Основание тетраэдра
А'В'CD' изображается произвольным треугольником ABC, оригинал которого
лежит в касательной плоскости к шару в полюсе S'.
Построить изображения меридианов, лежащих в плоскостях П' и Q',
соответственно перпендикулярных к плоскостям граней A'B'D' и В'CD' тетраэдра.
Найти изображения точек Р' = П' f) (A'B')% R' = Q f) {В'С) и касательных
(Р К'), (R'L'), проведенных из этих точек к соответствующим меридианам. Точки
К' и U — точки касания шара с плоскостями граней A'B'D' и B'CD'.
Пусть (Pi?i) и (#ii\) — диаметры эллипса Q, сопряженные направлениям
прямых (АВ) и (ВС) соответственно. Построить точки Р2 = (РгЕг) fl (Р/С),
Д2 = (ДЛ) П (ОД и провести прямые (АгВх) || (АВ), (А,Вг) э Р2; (BjCJ (|
|| (ВС), (ВгСг) Э ^2- Тогда точка В[ = (А[В]) [}(В[с[) принадлежит прямой
(B'D'), что позволяет построить изображение этой прямой.
Аналогично найти изображения прямой (А{С{) пересечения- плоскости
экватора с плоскостью грани A'CD', точек А{С{ ее пересечения с прямыми (A'D'),
(CD') и наконец, изображения прямых (A'D') и (CD').
1440. Построить изображение диаметра шара, перпендикулярного
плоскости меридиана., проходящего через точку М'. Это позволяет построить
изображение линии пересечения плоскости указанного меридиана и плоскости экватора.
1441. Воспользоваться задачей 1440.
1442. Если х — ось проекций и М (М1у М2) = / П ^2, то Мг= 1г [) xt
М2 6 U* (МхМ^ -L х и М — М2~ Аналогично, если N (Nlt N2) = / {] Ult то
# 2 = k П *> NL 6 /i, (NXNJ ± хи N = Nt.
1443. Если x — ось проекций и ф — родство на эпюре, установленное
плоскостью 2» т° 2 n ni = ф"1 w. 2пп2 = ф м-
1444. В родствеф, установленном на эпюре плоскостью 2» найти на прямой
/2 точку Х2, прообраз которой Х1 лежит на /t (см. задачу 1194).
1446. В родстве ф, установленном на эпюре плоскостью (MNP), найти
соответствующие точки на горизонтальных и вертикальных проекциях ребер
тетраэдра.
1447. См. задачу LL95.
1448. Обозначим х = Щ fl Щ, А0 = (АХА2) {] х, ?„ = (ВХВ2) f| x.
Построим прямоугольную трапецию с основаниями [Л^Д'] и [Вф'], соответственно
конгруэнтными отрезкам {Л2Л0] и [В2В0]. Тогда [А'В'] с^ [АВ].
1449. Прямая а(а1$ а2) перпендикулярна плоскости 2 тогда и только тогда»
когда ах JL тъ а2 _1_ /2. Провести такую прямую а через точку А. Построить
точку В2 ? а2, прообраз Вг которой в родстве, установленном на эпюре плоско,
стью У|» лежит на прямой щ. Точка В (BLB2) — искомая.
1450. 1) Профильной проекцией экватора служит отрезок [C%D3] _L [W3S3].
Вертикальные проекции С2, D2 точек С, D определяют малую ось эллипса,
являющегося вертикальной проекцией экватора.
222

2) Профильная проекция параллели— отрезок [K3L^] JL [N3S3].
Вертикальные проекции /<"2, L2 определяют малую осъ эллипса, являющегося вертикальной
проекцией параллели. Его большая осъ конгруэнтна отрезку [Кз^з\- Этот эллипс
касается очертания шара в точках Р^, Q2, профильными проекциями которых
служит точка F3 = Q3 = [E3F3] fl [K3L3], где [?3^3] — диаметр профильной
проекции шара, параллельный отрезку [N2.S2].
3) Профильная проекция этой параллели — отрезок [Е3Н3] JL [NZS3] или
[F3G3] _L [N3S3].
1451. Вертикальную проекцию М2 вершины конуса выбрать произвольно
на прямой (Л/252)» содержащей вертикальную проекцию [Af252] Диаметра шара.
Построить профильную проекцию M3K3L3 конуса,, описанного около шара, а
затем его вертикальную проекцию.
1452. См. задачу 1194.
1453. Параллельные прямые имеют общую точку схода.
1454. Построить перспективу линии пересечения плоскостей, определяемых
точкой М! и прямыми а! и Ъ'.
1455. В центральной проекции выполнить следующие построения. Через
точки А[ и В{ провести прямые а{ и bv перпендикулярные к отрезку \А\В^]. Через
точку В^ провести прямую dv образующую с прямой (А^В^) угол в 45°. Через
точку D[ = d[ f| а{ провести прямую с{ || (Л^) и найти точку Сг = с[ [\ b[.
Четырехугольник AlBlClDl — квадрат.
1458. Построение перспективы квадрата, лежащего в плоскости IT,
аналогично решению задачи 1455, только роль линии горизонта играет линия схода
плоскости ГГ. По найденной перспективе квадрата построить перспективу его
основания.
1459. Если отрезок {AjfiJ параллелен картинной плоскости 2» то €Г0
параллельная проекция на основание-картины конгруэнтна отрезку [Л^].
Случай, когда [Л^] -L^» св°Дится к предыдущему построением
равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами [Л^] и [Л^] (] 2-
В общем случае нужно построить прямоугольный треугольник AlBiDl с
гипотенузой [А[в[] и катетами [A[d[] || 2» t^'i^il -L 2е
1460. Построить прямоугольный треугольник с гипотенузой [А'В'],
катетом [Л'?)'], параллельным предметной плоскости Uv и катетом [B'D'\ А. П1#
Тогда [Л'О'] с^ [ylJDJ] и его истинную величину можно найти (см. задачу 1459).
Истинную величину катета [B'D'] найти как величину его параллельной
проекции на картинную плоскость.
1461. Построить перспективу основания куба (см. задачу 1455); найти
истинную величину стороны основания (см. задачу 1459); построить перспективу одного
из боковых ребер куба (см. указание к задаче 1460) и закончить построение
перспективы куба, используя параллельность соответствующих сторон его верхнего
и нижнего оснований.
1462. Постройте аффинную прямую над полем F^ вычетов по модулю 2.
1463. Постройте Л2 (F2). 1464. Постройте Ля (F2).
-> —>- —»¦—>¦
1465. Рассмотрите отображение а: V X V -*- V по закону: о (х, у) = у — х
и проверьте выполнимость аксиом Вейля аффинного пространства.
223

1466. На множестве Мп, р естественным образом определяется структура
векторного пространства над полем К. Далее поступаем, как в задаче 1465.
Размерность полученного аффинного пространства равна п • р.
1467. Это следует из того, что не изоморфны пространства переносов данных
пространств.
1468. Пусть V— /i-мерное векторное пространство над полем К и Е —
непустое множество. Для отображения а: Е X Е -*- V по закону: а (Л, В) = О,
\/At В 6 Е выполняется аксиома Вейля 2 и отрицание аксиомы 1.
1469. Пусть V— /z-мерное векторное пространство над полем К и Е—
аффинное пространство с пространством переносов V. Следовательно, задано
отображение о*: Е X Е -*• V, удовлетворяющее аксиомам Вейля 1—2. Рассмотрим
новое отображение: а: Е X Е ->• V по закону: а (Л, В) = а (Л, Б) + а, где а—
заданный ненулевой вектор из 7. Отображение а удовлетворяет первой аксиоме
Вейля, но не удовлетворяет второй.
1471. Это предложение эквивалентно тому, что сумма величин углов
выпуклого четырехугольника равна я, что эквивалентно V постулату.
1476. Рассмотреть множество вершин тетраэдра; прямая — пара точек;
плоскость — тройка точек.
1480. См. задачу № 1456.
1481. См. задачи № 1468, 1469.
1482. См. задачу № 1466.
1484. Всякая прямая плоскости Л2 (Z) может быть получена параллельным
переносом из прямой, проходящей через начало репера (О, elt е2). Пусть прямая d
проходит через Точку О и имеет угловой коэффициент — (m, n — целые числа,
п
п Ф 0). Тогда эта прямая содержит точки (/г/, ml), где / — целое число. Если же
d II (Оу), то такая прямая содержит точки (О, /).
1512. Для треугольника, полярного данному треугольнику ABC, имеем
0i + ^i > ci- Переходя от полярного треугольника к данному, получим я — Л +
+ я— В >п— С. Отсюда А + Ъ— С<п.
1517. 3733 км.
1518. По теореме косинусов:
а Ъ с . Ь , с ^
cos — = cos — -cos — + sin — • sin —• • cosA,
r r r r r
b а с а с ^
cos — = cos — • cos — + sin — «sin — • cos B,
г г г г r
с
Умаожим первое равенство на cos — и сложим со вторым, получим:
Ь Ъ в с , . а . с ~
cos — = cos— • cos2 г" sin— -sin — • cos 0 +
Г Г Г Г Г
. • b • c c 7
+ sin — . sin — • cos — • cos A.
r r r
с с
Отсюда, учитывая, что 1—cos2—= sin2—=^0, находим:
224

. а ^ . с Ь с Ь ->
sin — • cos В = sin — • cos — — cos — -sin — • cos A,
r r r r r
что и требовалось.
1519. Использовать полярный треугольник и формулу, полученную в
задаче 1518.
1520. Из теоремы косинусов:
a cos A +cos В • cos С
cos — = — — .
r sin Б • sin С
Отсюда найдем длину а стороны, противолежащей углу А. Аналогично найдем
длины b и с двух других сторон сферического треугольника.
1521. По теореме косинусов:
a be b с ^
cos — = cos — • cos— + sin — -sin — • cos A, (1)
r r r r r
с a b a b —
cos — = cos — -cos — + sin — -sin — • cos C. (2)
г г г г г
Ь
Умножим обе части равенства (2) на cos —, получим:
г
b с а 0 b a b b ^
cos — • cos — = cos — • cos2 — + sin — -sin — • cos — • cos C. (3)
г г г г г г г
По теореме синусов:
. а . -Z
sin— . sin С
с г
sin— = — .
г sin A
Поэтому
b с ^ a b ^- ^
sin — • sin — • cos A = sin — • sin — • sin С • ctg A. (4)
г г r r
Подставив выражения (З), (4) в формулу (1), после некоторых преобразований
получим требуемое.
1522. Применить теорему косинусов.
1523. Воспользоваться теоремой синусов.
1524. Воспользуемся «формулой пяти элементов» (задача 1518):
. с ? . b a b . а ?>
sin cos А = sin — • cos — — cos — • sin — • cos C,
r r r r r
откуда при А = •— находим:
. b a b a <%
sin — -cos — = cos — -sin — • cos С
г г г г
_ a b
Разделив обе части этого равенства на sin —¦ • sin — , получим требуемое.
1525. По «формуле четырех элементов» (задача 1521):
с b ^ <? с
sin— -ctg — = ctg В - sin A + cos Л • cos —,
г г г
*7 я . с . b L ~
откуда при А = — получим: sin — . ctg— = ctg В.
? Г Г
11S

1526. По формуле, полученной в задаче 1525:
^ с Ъ ^ b с
cig В = sin— • ctg —, ctg С = sin — • ctg—.
r r r r
Перемножив эти равенства почленно, найдем:
- - b с
ctg В • ctg С = cos — • cos —.
г г
Применив сферическую теорему Пифагора, получим требуемое.
1527. Воспользоваться теоремой косинусов.
1528. Воспользоваться сферической теоремой Пифагора.
1529. Воспользоваться формулой задачи 1526.
1530. К прямоугольным сферическим треугольникам ADB и BDC применить
формулу задачи 1523.
1531. Имеем:
.К . ь
sin — = sin —
г г
. hb , с
sin — = sin —
г г
• sin С,
• sin Л.
Поэтому
.а, . ha .a . b . ?-
sin — «sin — = sin — sin — • sin C,
г г r r
b . hh b с *?
sin— • sin— = sin— • sin— • sin A.
г г г г
с -^ а ^
Учитывая, что sin—• sin A = sin — • sin С (по теореме синусов), находим:
.a .ha , b . hb
sin — -sin — = sin — • sin —.
г г г г
1532. 1) — =68°58', S = 148°32', С = 102°23';
2)— = 75°5', B = 48°37', C=78°51';
т
3) (—) = 48°37', [—j = 131°23\ [—) = 32°23';
147°37', Cx = 45°34', C2 = 134°26/;
(t).-
4)
5)
6)
r
b
r
a
r
= 48°1\
= 67°7\
= 110°46\
— = 32°4',
r
— = i55°47',
г
b
— = 67°7',
r
В = 55°4Г;
Я = 80°1Г;
— = 155°47'.
г
1533. По теореме косинусов выразим cos А и подставим в формулу
226

sin ~7~= I/ ^—— После несложных преобразований получим тре-
А
А
буемую формулу. Аналогично находим формулу и для cos —
1534. По теореме косинусов находим:
—* ^х -"*»
cos A +cos В • cos С
cos — =
r sin В- sin С
Подставим это выражение cos— в формулу:
а
/ 1— COS —
sinf1 = Т/ —•
2г у 2
После несложных преобразований подучим:
si« = l/ -cosp^cos(p-A) ^ п
2r r sin В- sin С
А+Ъ+С я 8 „ - л //ч е\
где р = = — + — . Поэтому р — А = — — I А — — 1, и фор-
мула (*) принимает требуемый вид. Аналогично получим формулу и для
а
cos -—
2г
1535. Из плоской тригонометрии известна формула:
А В
а+в tg7 + tg7
А В
i-tg?-tg-
что можно записать так:
А С В С
^ ^ tg — • tg — 4- tg — • tg — -^
A+B 8 2 g 2 ^ 8 2 8 2 _ ctg C_ n
Л В 2
1-tg^-tg-
Из формул задачи 1533 находим:
tg
/:
-b p — с
— • sin
Р . Р — а
— • sin
227

Аналогично находим:
р — а р— с
sin • sin
г г
Поэтому
. Р . Р'
sin — • sin —
г
. Р—с
sin^
г
.А В г_
tg —• tg— =
2 ё 2 . Р
sin —
г
Аналогично находим:
. р—Ь . р—а
^ ^ sin ^ ^ sin
tg — . tg — = » tg— • tg — = ~•
2*2 . P 2 2 . P
sin— sin —
г r
Подставив эти выражения в правую часть формулы (**), мы после неслолсных
преобразований получим:
. 2р — а—~Ь а — Ь
^ ^ sin • cos —— ^
л±в= 2^_ 5—del.
2 .с 2р — с 2
sin — • cos —-—
2г 2г
Учитывая, что 2р = а + Ь + с, получим первую из формул (а). Вторую из этих
формул получим, используя формулу плоской тригонометрии для tg —-—.
Формулы (Р) получаются из формул (а) с помощью полярных треугольников.
1536. Используя формулы задачи 1534, находим:
* й —
V
**
sin
sin (iT
sin
8
— ¦
8
~2
• sin (Л
f)
• sin
• sin
,(a
-i)
MY
-i)
b_ _ ~| / 2 V 2 I
\ sin(A-|).sta(c-|
8
sin —
, a . b 2
Поэтому ig-.tg-e—у—^
2
sin 1С —-
Так как С— наибольший из углов, то С — — > 0 (и, значит, sinl С — —) >0J.
В самом деле, если С < —, го и подавно А < —, В < —-, и потому Л + В + С <
228

_3
2
Имеем:
<—е. Отсюда А -г В + С ^ Зл, что противоречит результату задачи 1512.
8
* а * 6 2
tg — • tg -
2г2г ^6 ^8 ^ е ^
sin С • cos — — cos С • sin — sin С- ctg — — cosC
2 2 б 2
8
Отсюда находим ctg—- .
1537. 1) По формулам задачи 1533 находим: А= 47°59\ В= 130°47\
С = 56°49';
2) по формулам задачи 1534 находим: — =60°32', — = 117р28', — = 78°42';
г г г
3) используя формулы (а) задачи 1535, находим: А = 32°57', В = 128° 13';
с
применяя формулы задачи 1534, получим — = 85°58';
а Ь
4) применяя формулы ф) задачи 1535, находим: — = 36с53',— = 42°47';
г г
используя вторую из формул задачи 1533, получим С ?= 54°26\
1538. Воспользоваться сферической моделью плоскости S2.
п к
1541. Если радиус окружности равен —- г. 1542. — г.
1547. Каждая прямая, проходящая через центр симметрии, и поляра центра
симметричны.
1548. См. задачу 1546.
1558. Воспользоваться интерпретацией Кэли — Клейна плоскости Л2.
1563. Учесть, что орицикл касается абсолюта.
1567. Вывести формулу для случая п = 3. В случае п > 3 разложить
данный я-угольник на треугольники.
1576. 1) По определению окрестности точки; 2) воспользоваться
определением окрестности точки и второй аксиомой топологических структур; 3)
воспользоваться определением окрестности; 4) в качестве V достаточно взять открытую
окрестность точки х, содержащуюся в U.
1577. Если такая топология существует, то множеством ее открытых
множеств с необходимостью служит множество Т = {V а Х\ V ? 0Xt Ух ? V}
(см. свойство 4 в предыдущей задаче). Значит, топология единственная, если она
существует. Далее проверяем, что Т удовлетворяет аксиомам топологических
структур и что в топологии Т множество 0Х является множеством всех
окрестностей точки х.
1579. Имеем А = X и, значит, V f| А = V. Но так как U 6 Т, то U П "A cz
czITJ\A.
1580. 1) / = [a, b] (а, b ? R), Тогда / = (а, b), / = /, b (/) = {а, Ь}\
2) / = [а, Ь), /= (а, Ь)% Г= [а, Ы b (/) = {а, Ь};
229

3) / = (а, Ы /= (я, b), I = [а, Ь], Ь (/) = {а, Ь};
4) / = (а, b)t I = /, 7= [а, «, 6 (/) = {а, *};
5) / = [а, +оо), /°= (а, +оо), 7 = /, Ь (7) = {а};
6) / = (_оо, Ь], /-= (-оо, Ь), 7- 7, * (7) = {Ь};
7) 7 = (а, +оо), 7 = 7, 7 = [а, +оо), Ь (7) = {а};
8) 7 = (-оо, Ь), 7°= 7, 7= (-оо, 6], 6 (7) = {Ь};
9) 7=(-оо,+оо), 7°= /,7= /, Ь(1)= 0.
1583. Например,
л f «*.У)!*>0, 0<у <1},
I {(*, у)1* >0, У > U * € Q, У € Q}» где Q — множество рациональных
чисел.
1585. Пример: А — множество рациональных точек единичного квадрата В
о о _
на плоскости Е2. Имеем: А = 0, Ъ (А) = 0, 6 (Л) = Л = В, 6 (Л) = L —
граница квадрата Б.
1586. Воспользоваться тем, что С (Л U В) = С А П СВ. Указанные в
условии множества будут различными, если, например, Л и В — два пересекающихся
открытых круга.
1587. См. указание к задаче Т586.
1588. Назовем множество A cz. X замкнутым, если А — А. Пусть Т* —
множество всех замкнутых подмножеств из X. По свойству 4 Т* обладает
свойством 1Г: объединение любого конечного множества замкнутых множеств
замкнуто. Далее доказываем, чтоТ* обладает и свойством Г: всякое пересечение
замкнутых множеств есть замкнутое множество. Пусть Т = {А ? Р (X)) ]СА ? Т*}.
Тогда (Х9 Т) —- топологическое пространство. Множество Т* определено
однозначно отображением /. Значит, однозначно определена и топология Т в X.
1589. Пусть дано непрерывное отображение /: X -> Y. Рассмотреть основной
случай / (X) = Y (в другом случае можно взять отображение fx: X -*- f (х) —
приведение отображения /). Далее применить метод доказательства от противного.
1591. Воспользоваться тем, что подпространство {(*, у) \х2 + у2 = 1}
связно, компактно и не имеет края.
1592. В Еп существуют негомеоморфные замкнутые выпуклые множества,
например, замкнутая полуплоскость и круг негомеоморфны.
1593. Если Е = {a,b}t то ^ = Р (?), Т2 = {О, ?}, Т3 = {0, {а}, ?},
Т4= {0, {&},?}.
1594. Отображение /: R -> R по закону / (#) = х2 непрерывно, но образом
открытого интервала (—1, 1) служит полуоткрытый интервал [0, 1).
Отображение /: (R \ {0}) ->¦ R по закону / (х) = — непрерывно на замкнутом множестве
[1, +о°), образом которого служит незамкнутое множество (0, 1].
1595. Расположить сферу так, чтобы ее центр совпадал с центром
эллипсоида. Проектировать эллипсоид на сферу из центра.
1606. См. задачи 1596 и 1599.
1607. См. задачу 1597.
230

1608. Сперва рассмотреть задачу для сферы, которую затем аффинным
преобразованием перевести в эллипсоид.
1609. См. задачу 1602.
1611. Рассмотреть ортогональное проектирование частей тора на
координатные Плоскости.
1612. Проверить, что формулы х = г cos в, у = г sin 0 устанавливают
гомеоморфизм указанного открытого круга на открытое множество в R2.
1615. Можно рассматривать М (т, п) как Rmn.
1616. Пусть BQ — фиксированный базис в V. Тогда каждый р-репер
определяется матрицей ранга р из М (/г, р). Далее использовать задачу 1615.
1617. Пусть BQ — фиксированный базис в V. Показать, что каждое р-мерное
подпространство Я из V можно определить системой уравнений ха = t* xla,
где ice принимает р значений, отличных от п — р значений, принимаемых
индексом ia. Следовательно, Н однозначно определяется матрицей \\fy || ? М (п — р, р).
а
1618. G (р, п) можно получить путем факторизации G (р + 1, V), dim V =
= п + 1 по отношению коллинеарности ненулевых векторов. См. задачу 1617.
1619.
1. 1620. 0. 1621. 0. 1622. 0. 1623,
1624. Имеем гомеоморфизм h: I
1.
Г по закону т = такой, что / =
1— *
1629. Линия у класса С°° в каждом из промежутков
ИМ!
= goh.
+ool
1630. О, х = у + 1 = 2.
1633. г0 (х — *ь) + х0 (z — zQ) = 0.
1635. х = 1, У = 1 + 2/, z = /2 (1 — 0.
1636. д; = 1 — 12/, у = 3 + 4/, z=4—3/.
1637. х= х0 + z0t, у = у0 + zQt, г = 20 + 2*ь*.
1638. Касательная к данной параболе в ее вершине.
1639. Окружность, описанная около данного эллипса.
1640. Окружность, проходящая через вершины гиперболы и имеющая
центром цэнтр этой гиперболы.
1641. Sat. 1642. 9а. 1643. 8а |/*2. 1644. 10.
s s bs
1645. х = a cos 77=. . ,» > y=asin
]/~а2+Ь2 ' KSH7^
]/"а2+62 '
1646. aV~2sht. 1647. 6а.
1648. х = a (t — sin t), у = а (1 —• cos /), 2=0, —оо < / < -f oo,
радиус данной окружности.
1649. 8а.
IfIfI
1650. х = х0 +
F' F
ф' ф
Z
Z
X
У
2
*» У=Уо +\
ф,ф.
/, 2 = 20 +
F F
х 1 у
ф' ф'
= 0,
где частные производные функций F и Ф вычислены в точке М0.
231

165а. т = i9 v = /, Р4= k.
1654. T=p= I isin —+/cosy — ft J, v = * cos--/siny,
2- 1 /-»*-** -Л
P=-yrr^etaT+/coey+*J.
-> -> 3 -*3 4 -> -»- ->¦ ->• -> -*- 4
1655. t=— i — cos /+ / ¦— sin / — -rk, v— i sin / + / cos t, f}= i — cos t —
5 5 5 5
-> 4 . 3 -*
!656.т=:р=(7+П v = ^L(2l-7+l), p = ^(T+7-l).
1657. jc = /, у = —At, 2=1 — /.
1658. Ax cos * — 4y sin * — Зг — cos 2t = 0.
1659. x sin a sin (t — a) — у sin a cos (/ — a) + z — / sin a — cos a = 0.
1660. (1, In 2, — 4).
1662. i) 6x — 8y—z + 3=0, 2) ax— by = a? — b\ 3) x —y—V2z=0.
1663. Главная нормаль: х = (a + Я) cos /, у = (a + X) sin /, г = fe/;
бинормаль: x = a cos t + Xb sin t, у = a sin / — bX cos tf, 2=6/ + Xa;
соприкасающаяся плоскость: bx sin t — by cos t -\- az — abt = 0;
нормальная плоскость: ax sin t — ay cos t — bz + 62/ = 0;
спрямляющая плоскость: * cos t + у sin t — a = 0;
-»- 1 -> -> -»-->->-»-
т = r. (— { a-sin t + / a cos / + b k); v =— i cos t— / sin /;
-> 1 -> -> -+
P = -i^fl2 . 62 ('6 sin*— '6 cos/+ aAj )•
1664. Касательная: x = Z7==-(l + ty. У = 77= 0 — ty. z = 1 + 2Л;
нормальная плоскость: д: — у + 2)^2 (z — 1) = 0; бинормаль: х = -т=. (1 — 2Л,),
у= -j= (1 — 6А,), 2 = 1 — X; соприкасающаяся плоскость: 2х + бу+УТг —
—5)/Т= 0; главная нормаль: х = —= (1 — 7Х), у = —= (1 + X), z = 1 + АХ;
спрямляющая плоскость: 1х — у — у 2(4г — 1) = 0; т= -у= (*— / -\-2y2k) ,
v=:p=(-7T+7+ 4/2-I), Р=^7=(— 2?- б7-УТЛ).
1665. \х — сг аг Ьг\
\у — с2 а2 Ь2 = 0.
U — ^з аз h I
1666. -rV*- 1667. ? = г—ГГ. к=7Г-7Г-
4 2ясп2* 2ach2*
1674. 262=±3ac. 1675. оГ= >стГ+$.
1678. Вектор Дарбу.
1682. ? = a (t + sin 0, т] = —а (1 — cos /), ? = 0. Это новая циклоида,
конгруэнтная дайной.
232

1683. Полукубическая парабола 27ру2 = 8 (х — р)3.
х
1684. Цепная линия y=ach — , 2=0.
а
1687. С°°. 1688. 7= р*+ ы2ёГ
1689. R = — (? (г/1) + р (и2)).
1690. д: = и1, у = a cos w-ch — , 2 = a sin w2ch — .
a a
1691. a2y2 = 2/72 (a: — a)2.
9
1692. Объем тетраэдра равен -— a3.
1693. Искомая сумма квадратов равна а6.
1694. х = и1 cos «2, у = и1 sin a2, z = шЛ Здесь и1 — расстояние точки
поверхности от оси (Ог), и2 = со/, где / — время, а = — "
со
1695. Касательная плоскость: ах sin и2 — ay cos и2 + игг — аиги2 = 0,
нормаль: д: = и1 cos и2 + /a sin и2, у = и1 sin ы2 — ta cos w2, z = au2 + tux.
1703. r2 (cos2 w2 (Ж*1)2 + (du2)2).
1704. (da1)2 + ((a1)2 + а2) (Жг2)2.
1705. (1 + p2)dx2 + 2pqdxdy + (1 + <?2Ky2, где p = fXiq = fy.
1709. In (u1 + /(и1)2 + a2) ± u2 = const.
1710. 3]/"2a4+a2+2. 1711. 3—a.
1 1 2
1712. |shw' —shtt} |. 1713. cos q> = —.
о
1 —a2
1714. cos<p=
1 + a2
2
1715. cos a = 1, cos |3 = cos у — —.
«j
1716. a2J|-^ + ln(l+/2)|.
1717. ^\V2 + \n(\ +1/2J].
1724. 1) Пусть ds2 = yijduldu^ и ds\ = gijdvldvJ — первые квадратичные
формы поверхностей Фг и Ф2 соответственно. Если при отображении h: Фг -»- Ф2
по закону vl = и1, v2 = а2 имеем ds2 = Ads ^то для величины угла между
соответствующими кривыми получим одно и то же выражение. Значит, отображение
конформно.
2) Пусть отображение /г: Ф1 ->- Ф2 конформно иг=г (а1, и2) —
параметризация поверхности Фх. Параметризуем поверхность Ф2: р = р (и1, у2), полагая
233

= 0.
Vх = ы\ v2 = и2, если (и1, v2) = h (и\ и2). Пусть ds2 = у?. duldu* и ds\ =
t=gijduidu^ — первые квадратичные формы поверхностей Ф1 и Ф2, Так как
отображение h конформно, то всякая пара направлений (d) и (б), ортогональных
относительно формы ds2 перейдет в пару направлений, ортогональных относительно
формы d$\. Значит, yLjdulbuJ = 0 =$> g^du^u^ = 0. Так как bul не обращаются
в нуль одновременно, то,
У a du* 4i2dui |
fti dut 8i2dul
Так как dul произвольны, то &ц = "куц.
1729. У*?—*. 1730. -г^т.
#r с2+ а2
1732. Ф=- *+ ^ [(^)«- ((«i)2+ а2) (rfu«)«l.
1733.fel = Q,fe2^(^l + ^)T/-.
1784.fcl — ^-^T^-
1736. In {ay + V\ + a2y2) ± In (ax + ]Л+ а2*2) = const.
1 /a2In Я a2In X\
1739. tf ^ ^ (ац1)2 + (^2)2 J.
174o./c=_-L *?-.
Y22 (**)¦
1744. /С* = 4Я2 = const.
1745. Воспользоваться результатом задачи 1738.
1746. cos(p=— 4". 1748. ?УЬ.
5 2
«^ ^>ч У^
1749. tg Л = tg В + tg С (использовать теорему Ван-Обеля).
1754. 8^/?; а = arccos ^-. 1764. ~ —^А
1765. у I S - С\.
31 ^ ^
1766. —— 2Л, где Л — величина меньшего из острых углов данного
треугольника.
1767. (МЯ, /С) = —г5 -. где р=Д(а+6 + г).
4р (/? — а) 2
26с A - 46с — Ъ2— с2
1768. cos —-. 1769. cos Л =
Ь + с 2 26с
1770. |AD|2= 6с — b'c'.
t(b +с) г
1771. V ^ ' Y±b2c2— t2(b+ с)2. 1772. 1.
46с
234

1773.
(1+а)(1+РН1 + у)"
1 sin (Б-—С)
1774. tg*=-r- л ^
sin В- sin С
1775. VS^S7:
1776.
(считая В >С).
[/1 + 1 + lVI + l^lVl + l^lVl+l^lM"
L\Ai Ла й3Д/г2 лз Vy^ h3 ЛаД/ii Ла /i3/J
1 i.
1777. — [(/na+ m6+ mc) (mb+ mc— ma) {ma+ mc — mb) \ma + m_b — mc)f .
S 5
1778. r = — , ra= , где 5 — площадь треугольника, p — его полу-
р р — а
периметр.
abc л , г
1779. —. 1780. Vr.ra.rb- гс-
1781. ra + rb + rc = r + 4R.
1782. -7= (а2 + аЬ + б2).
1783. 1
а2р
1+а 1+р 1+Y (1+а)(1+а + сф)
+
+
P2V
cry*
(1+P)(1+P + PV) 0 + 7)0 +Y + a?)
1784. 3; 4; 5.
п 1 ji 1
1785. у; 2?rctg-; --2arctg-.
1786.
sin а
4 sin [а+ — ) — sin а
1787. Yb*+bc. 1788. 4/7. 1789. 2 или 1.
2
1790.
6+ с
Vbcp (p — a).
1791
. у^(P-b)(p-c), "j/A (,7_&)(p-c).
1792. 88
3208
4205'
1793. te + №+?iP.]5i
\ ab be ac J
8S2
1794. —.
abc
1795. (VTx + KSi + l^)2.
1796. 2* 2""1 . 1797. (2— ]/3) a2.
235

2abcS A(a2+b2 + c2)S3
1798. . 1799. v ¦ —^—^
(a + b) (b + с) (с + а) 9аЧЧ*
. Зя Зя
1801. asm— sin —.
5 10
1312. Точка пересечения диагоналей.
1 2ab , 2ab
1813. ~-{a — b). 1814. -. 1815. .
2 v ' a + b a — b
1816. | AC |2+1 BD |2= | AD |2+ | ВС |2+ 21 A3 | • | CD |.
1817. —. 1818. Wsl + Vsd2- 1819. 10.
1820.
5
1 1.1
\AB\ \AC\ \AD\
sin a -4- cos a e sin a + cos a
1821. 8a- r-1— , 2a2 - ¦
1 + sin a + cos a 1 + sin a + cos a
25я
1822. — см2. 1823. 6.
2
1824. 2 2
1825. Y™a.
10
1826. Данный треугольник должен быть правильным.
(a + 3b) a2
1827. 1260. 1828. h\ 1829. \ ' 0 .
(6 + 3a) 62
1830. I CM | = a ^7 . 1834. я.
a + 0
1840. ^-(ay4R2 — о2 + b V*R2 — u2).
2R
C2 __ (a __ M2 I
1843. ^(я + 21^3"—6).
4
1844. г2 (12+ 7 /3) - яг2 (^ + 2 /3 Y
о о /v \
1845. — Я. 1846. -г- г (/4 +sin2 а — 2 cos — 1.
8 5 2 /
1847. /l+ —я —Кз|оа. 1848. — (b + V& + 8а2).
1849- iFrfvTT ' (/f-Vt)2 • (еслЁ R ф г)-
,852. _?Н?±*)_< I8g3. М.УЯА
аг + а6 + 6а Я,+Я2
236

i 2/?r
1854. 5. 1855. 1. 1856. — R2. 1857. .
3 R + r
1858.
ivw. «у^ьу*
R+
1859. (3/3—я) r2 186a
2S
a + b'
R+
1861.
17
1862. 2. 1863.
j/T—1

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Базылев В. Т., Д у н и ч е в К. И., И в а н и ц к а я В. П. Геометрия, I. M.,
Просвещение, 1974.
2. Базылев В. Т., Д у н и ч е в К. И. Геометрия, И. М., Просвещение, 1975.
3. Б а х в а л о в С. В., Моденов П. С, Пархоменко А. С. Сборник задач
по аналитической геометрии. М., Наука, 1964.
4. Глаголев Н. А. Начертательная геометрия. М., ГТТИ, 1953.
5. Люстерник Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники. М., ГИТТЛ, 1956.
6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.
7. Моденов П. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.,
Учпедгиз, 1949.
8. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной
математики. М., Советская наука, 1957.
9. Никольский А. Полуправильные тела Архимеда. — Математика в
школе, 1940, № 5, с. 5—И.
10. П а н к р а т о в А. А. Начертательная геометрия. М., Учпедгиз, 1959.
11. Попруженко М. Сборник геометрических задач. Планиметрия. Л.,
Учпедгиз, 1939.
12. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. М.—Л., ГИТТЛ, 1948.
13. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии. /Под ред.
В. Т. Боднева. Минск, Вышэйшая школа, 1970.
14. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. М., ГИТТЛ, 1952.
15. Ч е т в е р у х и н Н. Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. М.,
Учпедгиз, 1958,
238

Вячеслав Тимофеевич Базылев
Константин Иванович Дуничев
Валентина Павловна Иваницкая
Галина Борисовна Кузнецова
Владимир Михайлович Майоров
Залман Алтерович Скопец
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Под редакцией В. Т. Базылева
Редактор Л. М. Котова
Художник обл. Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Л. М. Абрамова
Корректор О. С. Захарова
ИБ № 3898
Сдано в набор 24-.07Л9. Подписано к печати 17.01.80. 60X90Vi6. Бум. типограф. № 2. Гарнит.
литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 14,54. Тираж 65 000 экз. Заказ № 3412.
Цена 75 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного
комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского Ордена Трудового Красного Знамени полиграфического
комбината Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59, в
областной типографии управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского
облисполкома, г. Иваново-8, ул. Типографская, 6.

Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие для студентов
С23 мат. и физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В. Т. Базылев, К. И. Дуни-
чев, В. П. Иваницкая и др.; Под ред. В. Т. Базылева. —М.:
Просвещение, 1980. —с, ил.
Задачник охватывает все разделы программы по геометрии для пединститутов.
В основу изложения положено учебное пособие для пединститутов «Геометрия»,
ч. I и II В. Т. Базылева, К- И. Дуничева, В. П. Иваницкой.
Большая часть задач может быть использована учителем математики для
факультативных и кружковых занятий по геометрии.
60602-363 4300020400 ББК22Шя73
103 (03)-80 512