Author: Пратусевич М.Я. Столбов К.М. Головин А.Н.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа анализ алгебра школьная алгебра
ISBN: 978-5-09-016552-5
Year: 2009
Text
М. Я. Пратусевич
К. М. Столбов |
А. Н. Головин
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
АРХИМЕД
(287-212 до н.э.)
Б. ПАСКАЛЬ
(1623 - 1662)
П. ФЕРМА
(1601 - 1665)
Р. ДЕКАРТ
(1596-1650)
Ж. ЛАГРАНЖ
(1736-1813)
К. ГАУСС
(1777- 1855)
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
(1821 - 1894)
Н.АБЕЛЬ
(1802-1829)
А. Н. КОЛМОГОРОВ
(1903-1987)
А. А. МАРКОВ
(1856-1922)
М. Я. Пратусевич
К. М. Столбов
А. Н. Головин
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
10
класс
Учебник для
общеобразовательных
учреждений
Профильный уровень
Допущено Министерством
образования и науки
Российской Федерации
Москва
«Просвещение»
2009
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я72
П70
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106-5215/514 от 23.10.08)
и Российской академии образования (№ 01—5/7д-124 от 07.07.08)
Условные обозначения:
□ — начало обоснования, доказательства или вывода
Ш — окончание обоснования, доказательства или вывода
* — задача повышенной трудности
О — обратите внимание
— необязательный материал
— теоремы, определения, свойства, утверждения, правила
Группа А — задачи и упражнения на непосредственное применение
понятий и теорем, аналогичные разобранным в тексте
Группа В — задачи и упражнения, требующие привлечения знания
пройденного материала, но не требующие неизвестных идей для
решения
Группа С — задачи, требующие для своего решения новых, не
разобранных в тексте идей, методов, приемов
Пратусевич М. Я.
П70 Алгебра и начала математического анализа. 10 класс :
учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень /
М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М. :
Просвещение, 2009. — 415 с. : ил. — ISBN 978-5-09-016552-5.
Учебник предназначен для классов с профильным уровнем изучения
математики, в которых на изучение алгебры и начал математического
анализа отведено не менее 4 часов в неделю.
Содержание учебника полностью охватывает все разделы и темы,
предусмотренные Государственным стандартом профильного уровня и
требованиями к подготовке выпускника. Выделен материал, пригодный для
изучения в рамках элективных курсов.
Основное внимание уделяется изучению методов решения задач.
Впервые введены новые типы и классы задач по всем разделам курса.
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я72+22.161я72
ISBN 978-5-09-016552-5 © Издательство «Просвещение», 2009
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2009
Все права защищены
Введение
Особенностью данной главы является отсутствие строгих
определений, а также большое количество обращений к здравому смыслу
и жизненному опыту. Это неудивительно, ибо речь идет о понятиях
и отношениях, лежащих в самых основах математики. Для строгого
описания и введения соответствующих понятий требуется уровень,
далеко выходящий за рамки школьного.
С)1- Высказывания и предикаты
1. Понятие высказывания
Высказыванием будем называть повествовательное предложение,
про которое имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Предыдущее предложение является описанием того, что такое
высказывание, а не определением.
Примеры высказываний: «2 + 2 = 8» — ложное высказывание,
«Волга впадает в Каспийское море» — истинное высказывание,
«Всякое натуральное число, заканчивающееся четной цифрой, четно» —
истинное высказывание.
Истинность или ложность высказывания называют его
истинностным значением. Если высказывание истинно, то ему
приписывают истинностное значение «Т» (от английского слова true — истина),
если ложно — «F» (от английского false — ложь).
А вот примеры предложений, не являющихся высказываниями:
«Да здравствует труд!», «Да здравствует солнце, да скроется тьма!»,
«Иди сюда!», «Кто звонил?», «Ученик 10 класса».
Более сложными примерами предложений, не являющихся
высказываниями, будут следующие: «Он пошел в кино»,
«Четырехугольник является параллелограммом», «Мы подрались».
Особенностью этих предложений, очень похожих на
высказывания, является неопределенность подлежащего: кто такой «он»,
который пошел в кино? Какой четырехугольник является
параллелограммом? Кто эти «мы», которые подрались? В зависимости от ответов на
эти вопросы предложения могут оказаться истинными или ложными.
Изначально же эти предложения не имеют истинностного значения.
4 М~лава I. Введение
2. Понятие предиката
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Предложение с переменными, которое при замене
переменных какими-либо их значениями становится
высказыванием, называется предикатом.
Пример 1. «х2 + у2 = 1» — предикат, так как при подстановке х = 1,
у = 0 предложение «х2 + у2 = 1» становится истинным высказыванием,
а при подстановке х = —, у = ложным высказыванием.
«Некто пошел в кино» — также предикат, в котором
обозначением переменной служит слово «некто».
«х2 ^ 0» — предикат. Это предложение становится истинным
высказыванием при подстановке любого вещественного значения х.
«Для всех вещественных х выполнено х2 ^ 0» не является
предикатом. Щ
Таким образом, наличие переменной в предложении
необязательно делает это предложение предикатом. Нужно всегда смотреть на то,
какие предложения получаются при подстановке конкретных
значений переменной, а именно — будут ли они высказываниями.
В предикат можно подставлять вместо переменных не все
значения, а лишь взятые из какого-либо множества. Множество всех таких
значений называется областью определения предиката.
Например, областью определения предиката «Некто пошел в
кино» может служить совокупность учеников какого-либо класса или
жителей какого-либо города. Но будет бессмысленным пытаться
подставлять в этот предикат вместо переменной, например, число 2.
Обычно область определения предиката задают заранее.
Например, область определения предиката х2 + у2 = 1 — множество
упорядоченных пар чисел. Если рассматривать этот предикат на множестве
натуральных чисел, то предикат не будет принимать значение
«истина», если на множестве целых чисел, то предикат будет истинным
высказыванием при подстановке пар (0; 1), (0; -1), (1; 0), (-1; 0), на
множестве рациональных чисел предикат станет истинным, например,
3 4
при подстановке х = —, у = —, на множестве вещественных чисел пре-
5 5
дикат будет истинным для пар чисел, являющихся координатами
точек окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
Таким образом, набор значений переменных, при которых
предикат становится истинным, существенно зависит от области его
определения.
Предикат, который при всех значениях переменных из области
определения принимает значение «истина», называют
тождественным предикатом (или тождественно истинным).
§ 1. Высказывания и предикаты
О Важно подчеркнуть: тождественный предикат не является
истинным высказыванием (поскольку не является высказыванием)
точно так же, как функция, равная константе 1, не является числом 1.
Это объекты разной природы, подчиняющиеся разным законам!
Например: любое алгебраическое тождество является
тождественно истинным предикатом. Формула а2 - Ъ2 = (а - Ь)(а + Ь) — предикат
от двух переменных, истинный при всех вещественных значениях а и Ъ.
3. Операции над высказываниями и предикатами
(логические связки)
Из нескольких данных высказываний можно получать новые
путем употребления различных логических связок, т. е. операций над
высказываниями. Важно подчеркнуть, что в ходе всего изложения нас
практически нигде не будет интересовать суть высказываний, а будет
существенным лишь, истинны высказывания или ложны. Поэтому мы
можем обозначать высказывания строчными латинскими буквами
и рассматривать результат применения логических операций в
зависимости только от истинностного значения исходных высказываний.
Таким образом, возникает своеобразное «исчисление
высказываний», являющееся частным случаем так называемой булевой
алгебры.
Операция «не», или отрицание
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Отрицанием высказывания а называется новое
высказывание «не а», имеющее истинностное значение,
противоположное значению исходного высказывания.
Таким образом, если исходное высказывание было истинным, то
его отрицание будет ложным. Если же исходное высказывание было
ложным, то его отрицание будет истинным.
Обозначение: -ia — отрицание высказывания а (читается «не а»).
Иногда отрицание высказывания а обозначают а или ~а.
Логические операции удобно задавать таблицей истинности,
которая ставит в соответствие истинностным значениям исходных
высказываний результат логической операции.
Справа приведена таблица истинности для операции
отрицания.
В рамках формальной логики нас интересует не смысл
высказываний, а лишь их истинностные значения и
операции над ними. Поэтому в самой структуре
высказывания а мы не разбираемся, воспринимая его как единое целое.
а
F
Т
-•а
Т
F
6 Глава I. Введение
сторическии комментарии
Джордж Буль (1815—1864) — английский математик, основоположник
математической логики. Самостоятельно изучил высшую математику,
работая учителем в пригороде Лондона. Работу Буля, представленную для
присвоения звания профессора колледжа, едва не отклонили от публикации,
а через 2 года эта работа была удостоена Королевской золотой медали.
Основной труд Буля — «Исследование законов мышления» — издан в 1854 г.
Интересно, что одна из пяти дочерей Буля Этель Лилиан (Войнич) —
известная писательница, автор романа «Овод».
Важно уметь распознавать высказывания в предложениях
обыденного языка.
Пример 2, Рассмотрим высказывание «Я ходил сегодня в кино».
Можно построить как отрицания данного следующие
высказывания: а — «Не я ходил сегодня в кино», Ъ — «Я не ходил сегодня
в кино», с — «Я ходил в кино не сегодня», d — «Я ходил сегодня
не в кино». В
Все эти высказывания вполне допустимы с точки зрения
русского языка. Однако логическое отрицание всегда ставится перед
сказуемым.
Таким образом, логическим отрицанием исходного
высказывания будет именно высказывание Ь.
Этот пример показывает, насколько внимательно нужно
относиться к попыткам математической формализации обыденного
языка.
Обычно из контекста или интонации ясно, что именно
утверждается во фразе. Например, если в исходной фразе с «нажимом»
произнести слово «сегодня», то ясно, что утверждается, что поход
в кино был сегодня, а не вчера и не позавчера. При этом сам факт
похода в кино под сомнение не ставится. В этом случае логичным
будет за отрицание данного высказывания принять высказывание с.
Если высказывание имеет вид «а есть Ь», то его отрицание имеет
вид «а не есть Ь».
Логическое «и», или конъюнкция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Конъюнкцией двух высказываний называется
высказывание, истинное, если истинны оба исходных высказывания,
и ложное в противном случае.
Обозначение конъюнкции: а л Ъ или a & Ъ (читается: «а и Ь»).
§1. Высказывания и предикаты
Справа приведена таблица истинности
для конъюнкции двух высказываний.
Следует отметить, что в обыденной речи
союз «и» употребляется часто в смысле
конъюнкции. Например, если было обещано пойти
в кино и съесть мороженое, а мороженого не
было, то мы сочтем себя обманутыми.
Пример 3, Высказывание а л (2 • 2 ^ 3)
истинно. Определим истинность высказывания а.
D Имеет место конъюнкция двух
высказываний. Конъюнкция истинна в том и только в том случае, когда
истинны оба высказывания. Значит, высказывание а истинно.
Если бы второе высказывание было ложным, условие задачи стало
бы некорректным. В
Вместо записи вида (х > 1) л (х < 2) часто применяется запись
\х>1,
a
F
F
Т
Т
ь
F
Т
F
Т
а л b
F
F
F
Т
вида
х < 2.
Логическое «или», или дизъюнкция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дизъюнкцией двух высказываний называется высказывание,
истинное, если истинно хотя бы одно исходное
высказывание, и ложное, если оба исходных высказывания ложны.
Обозначение дизъюнкции: avb (читается «а или Ь»).
Таблица истинности для дизъюнкции
двух высказываний а и Ъ приведена справа.
В обыденной речи союз «или», кроме
смысла дизъюнкции (например, во фразе:
«Мы встретились в семь или в восемь часов»),
может иметь смысл так называемой строгой
дизъюнкции, которая, в отличие от обычной,
ложна, если оба высказывания истинны
(например: «Выбирай — или кот, или я»).
Строгая дизъюнкция выражается также
союзом «либо».
Пример 4. Высказывание a v (2 • 2 ^ 3) истинно. Определим
истинность высказывания а.
□ Имеет место дизъюнкция высказываний, одно из которых
истинно. Тогда результат дизъюнкции — истинное высказывание
независимо от истинности высказывания а. Значит, истинностное значение
высказывания а может быть любым. Ш
а
F
F
Т
Т
b
F
Т
F
Т
avb
F
Т
Т
т
8 I Глава I. Введение
II II I ', ш
Пример 5, Пусть имеются следующие высказывания: а —
«Компьютерная игра „Кряка" дорогая», Ь — «Я куплю компьютерную игру
„Кряка"», с — «Я смогу заработать деньги летом». Запишем в
символической форме такие высказывания:
а) Я не смогу заработать денег летом и не куплю компьютерную
игру «Кряка».
б) Я не смогу заработать денег летом и компьютерная игра
«Кряка» дорогая, или я куплю компьютерную игру «Кряка».
в) Компьютерная игра «Кряка» весьма дорогая, и я ее не куплю,
или компьютерная игра «Кряка» недорогая, и я ее куплю.
□ а) В данном высказывании мы видим отрицание высказывания с,
отрицание высказывания Ъ (не должно смущать отсутствие после
союза «и» местоимения «я», оно уже было в этой фразе), соединенные
союзом «и». Поэтому в символическом виде высказывание
записывается так: (—\с) л (—■&).
б) Аналогично предыдущему: ((-ic) л a) v b. Здесь следует
обратить внимание на знак препинания, показывающий, что союз «или»
соединяет все предыдущее высказывание, как единое целое, с
последующим.
в) Приведем ответ: (а л (-ib)) v ((-ia) л Ъ). Расстановка скобок,
т. е. порядок совершения операций, диктуется смыслом фразы и
расстановкой знаков препинания. Ш
Дизъюнкция часто записывается в ином виде: вместо записи
(х < 2) v (х > 3) можно записать
Импликация
Пусть некто сообщил одному ученику: «Если ты закончишь
четверть без троек, я куплю тебе часы». В каком случае некто солгал?
Если четверть закончена без троек и часы куплены, этот некто сказал
правду. Если четверть закончена с тройками, а часы куплены все
равно, можно считать, что некто очень щедр, но, наверное, нельзя
сказать, что он солгал. Если четверть закончена с тройками и часы не
куплены, то все справедливо, и опять-таки некто сказал правду. А вот
если четверть закончена без троек, а часы не куплены, у ученика есть
повод обижаться и говорить, что он обманут.
Таким образом, высказывание вида «если а, то Ь» можно счесть
ложным, только если а — истинное, а Ъ — ложное высказывание.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ————
Гх<2,
[х>3.
Импликацией двух высказываний а и b называется
высказывание, ложное в случае, когда а истинно, а Ь ложно,
и истинное в остальных случаях.
Обозначение импликации: a —> Ъ (читается: «Если а, то Ь»).
§ 1 Высказывания и предикаты
а
F
F
Т
Т
b
F
Т
F
Т
а->Ь
Т
т
F
Т
Справа приведена таблица истинности
для импликации высказываний а и Ь.
В отличие от предыдущих операций,
значение импликации зависит от порядка
высказываний. Истинностные значения a —> Ь и Ъ —> a
при истинном Ъ и ложном а различны (первая
импликация истинна, а вторая — ложна).
В импликации a —> Ъ высказывание а
называется посылкой, а высказывание Ъ —
заключением импликации.
Если посылка ложна, то импликация истинна вне зависимости от
истинностного значения заключения. Это выражается поговоркой «Из
лжи следует все что угодно».
Имеется шутливое стихотворение на ту же тему: «Если мы
поднимем дом / И положим на носилки, / Мы его перенесем / В силу
ложности посылки».
В обыденном языке можно усмотреть причинно-следственный
характер истинности импликации (а — причина, Ъ — следствие).
Однако в формальной логике высказывания а и Ъ могут быть никак не
связаны между собой. Например «Если 2 + 2 = 4, то Волга впадает в
Каспийское море» — истинное высказывание, несмотря на то, что
посылка и заключение никак не связаны между собой.
Пример 6, (Клятва как импликация.) Рассмотрим достаточно
стандартный риторический прием. Если мы хотим убедить собеседника в том,
что говорим правду, можем сказать фразу вида: «Да провалиться мне на
этом месте, если я вру!», предлагая счесть это восклицание истинным
высказыванием.
Это высказывание с сохранением смыслового значения можно
переписать так: «Если я вру, то провалюсь на этом месте». Итак,
имеется импликация: я вру —► я провалюсь на этом месте. Собеседник
видит, что никто никуда не провалился, т. е. заключение импликации
ложно. Если вся импликация истинна, то посылка ложна (см. таблицу
истинности для импликации). Значит, я говорю правду.
Таков подсознательный механизм действия этого риторического
приема. В!
Ясно, что перечисленные логические операции могут быть
применены не только к высказываниям, но и к предикатам. Например, если
дан предикат/?(х), зависящий от переменной х, его отрицанием
служит предикат ~>р(х), ставящий в соответствие каждому значению х
истинностное значение отрицания высказывания р(х).
Аналогично, например, если имеются два предиката, заданные
на одной и той же области определения, их конъюнкцией будет
служить предикат, ставящий в соответствие каждому значению
переменной (либо набору значений переменных) истинностное значение
конъюнкции высказываний, получающихся при подстановке этих
переменных в исходные предикаты.
Ш Глава I. Введение
Обратим внимание на то, что вопрос выяснения того, истинны
или ложны исходные высказывания, лежит за пределами
изучения логики. Логика показывает, как из одних высказываний
составлять другие и каким будет их истинностное значение, если
известно истинностное значение исходных высказываний.
Однако, представление об основных операциях над
высказываниями помогает лучше уяснить, о чем идет речь, разобраться,
истинность каких высказываний уже известна, а каких — требует
доказательства.
Пример 7. Выясним, при каких вещественных х предикат
(х2 - 5х + 6 = 0) —► (х2 -4 = 0) становится ложным высказыванием.
□ Имеем импликацию двух предикатов. Импликация ложна тогда
и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно. Посылка
(т. е. предикат х2 - 5х + 6 = 0) истинна при х = 2 или х = 3.
Заключение (т. е. предикат х2 — 4 = 0) истинно при х = 2 или х = —2. Таким
образом, импликация будет ложной лишь при х = 3. 11
Пример 8, Представим сложное высказывание «Если летом мы
поедем в Париж и у нас будет достаточно денег, то мы посетим Версаль
или Лувр» в виде результата логических операций над простыми
высказываниями, обозначив каждое простое высказывание буквой.
□ Прежде всего вычленим импликацию, на которую указывает
сложный союз «если..., то...». Имеем два высказывания: «Мы
поедем в Париж, и у нас будет достаточно денег» — посылка
импликации, и «Мы посетим Версаль или Лувр» — заключение импликации.
В каждом из полученных высказываний имеющийся союз указывает
на возможность дальнейшего расщепления на высказывания. Имеем:
а: «Мы поедем в Париж»,
Ь: «У нас будет достаточно денег»,
с: «Мы посетим Версаль»,
d: «Мы посетим Лувр».
Исходное высказывание становится таким: (а л Ъ) —► (с v d). Ш
При анализе сложных высказываний обыденного языка с точки
зрения их состава следует иметь в виду, что союзы, соединяющие
простые высказывания, могут быть разнообразными. Так, вместо союза
«и» может употребляться «а также» либо просто «а» (например: «Петя
пошел в кино, а Вася — в театр»), а вместо «если..., то...» — слово
«следовательно» и т. д. Более того, соответствующие союзы могут
вообще отсутствовать!
Пример 9, Известно, что на вопрос «Кто из трех учеников отличник?»
получен верный ответ: «Если Андрей — отличник, то и Вася —
отличник, но неверно, что если Борис — отличник, то и Вася — отличник».
Кто отличник?
IT I § 1. Высказывания и предикаты
□ Запишем простые высказывания:
а: «Андрей — отличник»,
Ь: «Боря — отличник»,
с: «Вася — отличник».
Тогда высказывание (ответ на вопрос) выглядит так:
(а -> с) л—i (Ь —> с) (обратите внимание, что здесь конъюнкция
обозначена словом «но», а не «и»). Так как данное истинное высказывание
представляет собой конъюнкцию двух высказываний, то оба
высказывания а —> с и —i(b —> с) должны быть истинными. Тогда
высказывание Ъ —> с должно быть ложно. Импликация ложна, если Ъ истинно,
а с ложно. Но если с ложно и а —> с истинно, значит, а ложно. Таким
образом, отличником является только Борис. В!
4. Свойства операций над высказываниями
Объединим свойства операций над высказываниями в следующую
теорему:
ТЕОРЕМА
Пусть а, Ь и с — произвольные высказывания. Тогда:
1. (а л to) лс = а л (to л с) (сочетательный закон конъюнкции).
2. (a v to) v c = a v (Ь v с) (сочетательный закон дизъюнкции).
3. а л (Ь v с) = (а л Ь) v (а л с) (распределительный закон
конъюнкции относительно дизъюнкции).
4. a v (Ь л с) = (a v b) л (a v с) (распределительный закон
дизъюнкции относительно конъюнкции).
5. а л b = b л а (переместительный закон конъюнкции).
6. a v b = b v а (переместительный закон дизъюнкции).
7. a v (-.а) = Т (закон исключенного третьего).
8. i(-ia) = a.
9. -л (а л to) = Ьа) v (-.Ь).
10. -1 (a v Ь) = (-,а) л (-ib).
11. a-* to = (-ia) v to.
12. -,(а--*Ь) = ал(-,Ь).
13. a->to = (-,to)-> (-.a).
Знак равенства в формулировках свойств означает, что при одних
и тех же истинностных значениях высказываний а, Ъ и с
истинностные значения правой и левой частей равенства будут одинаковыми.
Доказательство всех приведенных свойств может быть проведено
построением таблиц истинности для левой и правой частей.
□ Докажем, например, свойство 3. Построим таблицу истинности
высказывания в правой и левой частях равенства согласно
определениям конъюнкции и дизъюнкции. Видно, что столбцы таблицы,
соответствующие левой и правой частям равенства, совпадают.
12 Глава I. Введение
а
F
F
Т
т
F
F
Т
Т
b
F
Т
F
Т
F
Т
F
Т
с
F
F
F
F
Т
Т
т
т
a a (bv с)
F
F
F
Т
F
F
Т
Т
(a a b)v {а а с)
F
F
F
Т
F
F
Т
Т
Докажем, также свойство 12, располагая свойством 11. Для этого
достаточно применить к обеим частям равенства 11 операцию
отрицания, затем использовать равенства свойств 10 и 8. Ш
Все свойства логических операций над высказываниями можно
перенести на предикаты. Знак равенства (а точнее тождественного
равенства) в этом случае означает, что при подстановке одинаковых
значений переменных истинностные значения получающихся
высказываний в левой и правой частях равенства будут одинаковыми.
Множества и операции над ними
1. Понятие множества
Множества окружают нас повсюду. Да и мы сами находимся
внутри множеств. Например, ученик класса может являться элементом
следующих множеств: множество учеников своего класса, множество
учеников своей школы, множество жителей своего населенного
пункта, множество граждан России, множество людей, множество
млекопитающих и т. д.
Понятие множества, будучи одним из центральных понятий
математики, не определяется (точно так же, как в геометрии не
определяется, например, понятие точки). Таким же образом не определяется,
что означает «элемент принадлежит множеству». Можно воображать
себе множество как «сумку с элементами». Те элементы, которые
«находятся в сумке», принадлежат множеству, остальные не
принадлежат.
13 §2. Множества и операции над ними
Таким образом, задать множество означает определить, какие
элементы принадлежат множеству. Тем самым множество — это
совокупность элементов, рассматриваемая как единое целое.
Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами:
А, В, .... Тот факт, что элемент х принадлежит множеству А,
записывается так: х е А (читается: «х принадлежит А»). Соответственно, если
элемент у не принадлежит множеству А, запись будет такой: у € А.
В обыденной жизни мы достаточно часто определяем,
принадлежит элемент данному множеству или нет. Например, является юноша
учеником нашего класса или нет, является ли батарейка подходящей
для часов, принадлежит книжка к множеству интересных или нет
(при этом представление о множестве интересных книжек у каждого
свое, поэтому данная книжка может входить в множество книжек,
интересных одному человеку, и не входить в множество книжек,
интересных другому. Несовпадением таких множеств и вызваны
дискуссии об «интересности» данной книги. Хотя давно уже сказано: «О
вкусах не спорят»).
Интересно отметить, что зачастую мы не знаем, принадлежит ли
элемент данному множеству, и это незнание нас беспокоит. Например,
является ли купленный нами подарок элементом множества вещей,
нравящихся человеку, которому мы его дарим?
Специальным случаем множества является пустое множество,
т. е. множество, которому не принадлежит ни один элемент. Оно
обозначается 0.
Пустое множество одно. Нет отдельно пустого множества
натуральных чисел, пустого множества людей и т. д. Множество без
элементов одно и то же, независимо от того, какие элементы
рассматриваются.
Как и все достаточно общие понятия математики, понятие
множества, как таковое, начало изучаться существенно позже, чем стало
использоваться.
2. Способы задания множеств
Существуют два основных способа задания множеств (напомним,
что задать множество означает указать способ для определения,
принадлежит произвольный элемент данному множеству или нет):
Перечисление списка элементов данного множества
Таким способом задается множество учеников вашего класса
(списком в журнале),
Решив уравнение х2 — 1 = 0, вы задаете множество его решений
перечислением — это множество, состоящее из чисел 1 и —1.
14 , Глава I. Введение
Задавая множества перечислением, элементы множества
записывают в фигурных скобках. Например: {-1; 1} — множество
решений уравнения х2 - 1 = 0, или {Иванов, Петров, Сидоров} —
некоторое множество людей, состоящее из трех человек.
О Валено подчеркнуть, что каждый элемент множества
считается один раз, независимо от того, сколько раз он упомянут в
списке элементов. Например, запись {—1; 1; 1} обозначает то же
множество, что и {-1; 1}, т. е. множество из двух элементов.
Задание множества характеристическим свойством
Ясно, что задавать множество перечислением его элементов
можно, если этих элементов не слишком много. А задать перечислением,
например, все вещественные числа невозможно. Поэтому в основном
множества задают указанием характеристического свойства,
т. е. такого предложения с переменной, которое становится истинным
высказыванием при «подстановке» вместо переменной элемента
множества, и становится ложным высказыванием при подстановке
значения, не являющегося элементом множества.
Таким образом, характеристическое свойство множества — это
предикат, который обращается в истинное высказывание при
подстановке вместо переменной любого элемента данного множества и
обращается в ложное высказывание при подстановке любого элемента, не
принадлежащего данному множеству.
Пример 10, Множество {-1; 1} может быть задано характеристическим
свойством х2- 1 = 0, или (х - 1)2(х + 1) = 0, или (*~1)(^+2)(:х:+1) = О,
X 4
а также многими другими характеристическими свойствами. Каждое
из этих равенств становится истинным при «подстановке» вместо х
элементов множества и ложным в противном случае. Ш
Пример 11. Множество параллелограммов на плоскости задается
характеристическим свойством «объект х является четырехугольником,
у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам». Таким
образом, чтобы выяснить, является ли данный объект элементом
множества параллелограммов, достаточно проверить, является ли он
четырехугольником, диагонали которого делятся точкой пересечения
пополам. Ш
Необходимо еще раз подчеркнуть, что характеристическое
свойство данного множества — это свойство, присущее элементам данного
множества, и только им. Оно позволяет отделить элементы,
принадлежащие данному множеству, от элементов, не принадлежащих ему.
Таким образом, при подстановке в характеристическое свойство
произвольного элемента любой природы должен получаться ответ «да», если
элемент принадлежит множеству, и ответ «нет» в противном случае.
§2. Множества и операции над ними
Обычно предполагаемые «кандидаты в элементы множества»
выбираются не из любых мыслимых объектов, а из некоторого
множества, называемого универсумом.
В примере 10 универсумом являлось множество вещественных
чисел (вряд ли кто-нибудь захотел бы проверить, удовлетворяет ли
данному характеристическому свойству, например, джинн из сказок
«Тысяча и одна ночь»). В примере 11 универсумом являлось множество
геометрических фигур на плоскости (хотя могло быть и множество
всех четырехугольников на плоскости).
Особо отметим, что одно и то же множество может
рассматриваться в различных универсумах. При этом свойство, бывшее
характеристическим для данного множества при рассмотрении его в одном
универсуме, может перестать быть характеристическим при рассмотрении
в другом универсуме.
Пример 12, Пусть универсумом служит множество натуральных
чисел. Тогда свойство 16 < х2 ^ 25 будет характеристическим для
множества А = {4; 5}. В то же время при рассмотрении в качестве
универсума множества целых чисел указанное свойство будет
характеристическим для множества В = {-5; -4; 4; 5}. 11
При необходимости универсум, в котором рассматривается данное
множество, определяют заранее.
Например, записав А = {х е N: х — 5 > 0}, мы показываем, что
универсумом в данном случае является множество натуральных
чисел, а для множества В = {х е R: х - 5 > 0} универсумом является
множество вещественных чисел,
Пусть М(х) — некоторое характеристическое свойство.
Задаваемое им множество принято записывать так: {х: М(х)} (читается:
«Множество х, таких, что М(х)»). Например: {х: х2 - 1 = 0} — это
множество, состоящее из чисел 1 и —1, а {х: (0 < х < 20) л (х ■ 5)} —
это множество чисел {5; 10; 15}.
Пример 13. (Парадокс Рассела.) Пусть имеется полк солдат и в
составе этого полка парикмахер. Командир полка издал приказ
«Парикмахер бреет тех и только тех воинов полка, кто не бреет себя
сам». Может ли этот приказ быть выполнен?
□ Если этот приказ можно выполнить, то полк разобьется на 2
множества: тех воинов, кого бреет парикмахер, и тех, кого он не бреет.
Попробуем выяснить, в какое множество входит парикмахер.
Если он входит в первое множество, то, по определению этого
множества, он бреет себя сам и, тем самым, нарушает приказ. Если же
парикмахер входит во второе множество, то, по определению этого
множества, он себя не бреет и, опять-таки, нарушает приказ.
Таким образом, приказ командира полка невозможно выполнить. В
Следовательно, даже самые простые выражения с переменными
могут не быть характеристическими свойствами.
16 Глава I. Введение
торическии комментарии
Бертран Рассел (1872—1970) — английский философ, математик,
логик, социолог и общественный деятель, внук премьер-министра
Великобритании времен правления королевы Виктории, граф, лауреат Нобелевской
премии по литературе (1950), один из основателей формальной логики,
автор всемирно известных трудов «Принцип математики» (1901), «Основания
математики» (1910—1913). Несколько раз оказывался в тюрьме за свои
пацифистские убеждения. Среди нематематических трудов Рассела известны
«История западной философии» (1945), «Философия и политика» (1947),
«Власть и личность» (1949), «Влияние науки на общество» (1952),
«Автобиография» (1967—1969).
Для любого множества А существует хотя бы одно
характеристическое свойство. Это свойство х g А. Таким образом, всегда можно
записать А = {х: х g А}. Эта запись верна, но абсолютно не
информативна.
Примером задания множества его характеристическим свойством
является также следующая запись: А = \—: пе n\. Здесь задано
множество чисел, обратных натуральным. А так: В = {х2: х g [0; 2]} —
задано множество квадратов чисел отрезка [0; 2], т. е. отрезок [0; 4].
3. Подмножества и надмножества. Равенство множеств
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1 Мне
ты
Множество А содержится в множестве 6, если все
элементы множества А принадлежат множеству 6.
Обозначение: А с Б (читается: «А содержится в Б»).
Знак cz, а также саму запись A <z В называют включением и
говорят, например, что необходимо доказать включение A cz В.
Если A cz Б, то говорят, что А является подмножеством В,
а В — надмножеством А.
Пример 14. Пусть А = {х: х2 - 1 = 0}, Б = {у: у3 - у = 0}. Тогда А с Б. 11
О Здесь важно отметить, что разные обозначения переменных
в характеристических свойствах, задающих данные множества, не
означают различного состава этих множеств. Элементами обоих
множеств являются числа, удовлетворяющие соответствующим условиям,
при этом не имеет значения, одной и той же буквой обозначена
переменная в этих условиях или разными.
17 j §2. Множества и операции над ними
Отметим, что пустое множество лежит в любом множестве (его
несуществующим элементам можно приписать любое свойство, в том
числе лежать в данном множестве).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два множества называются равными, если каждый элемент
одного множества является элементом другого множества
и наоборот.
Обозначение: А = В.
Заметим, что А — В тогда и только тогда, когда A <z В и В <z A.
Пример 15, По определению треугольник — это некоторое множество
точек плоскости (в одних учебниках — замкнутая трехзвенная
ломаная вместе с ограниченной ею частью плоскости, в других — сама эта
замкнутая трехзвенная ломаная). Под равенством двух треугольников
мы, формально говоря, должны подразумевать равенство двух
множеств точек плоскости, т. е. тот факт, что эти множества состоят
из одних и тех же точек. Однако такое понятие равенства
треугольников не имеет больших практических применений. Существенно более
важным является свойство двух треугольников совпадать при
наложении. Именно это свойство и называется равенством
треугольников, хотя не совпадает с равенством треугольников как множеств.
Поэтому в некоторых книгах свойство треугольников совпадать при
наложении носит другое название, нежели равенство (например,
конгруэнтность). Ш
Чтобы доказать, что A <z J3, нужно взять любой элемент
множества А и доказать, что он принадлежит множеству В. Поэтому такое
доказательство обычно начинается словами: «Возьмем произвольный
элемент х е А», а заканчивается словами: «Таким образом, х е В».
Пример 16. Пусть А = {х: х + 1 > 0}, В = {х: х > 0}. Докажем, что
В с А. Возьмем любой элемент х g В. По определению множества В
имеем х > 0. Тогда х + 1 > 0, откуда х е А. Ш
Конечно же, доказательство данного включения очевидно, однако
показывает схему проведения такого доказательства в общем случае.
В следующем пункте мы встретим такие доказательства.
Замечание. Не следует путать знаки еис. Первый из них
ставится между элементом и множеством, а второй — между двумя
множествами. Запись 1 е А правильная, равно как и запись {1} <z A
(смысл обеих записей один и тот же).
Зачастую, особенно в геометрии, можно ошибиться, записав a e ос
(здесь а — прямая, а — плоскость). Ведь и плоскость, и прямая —
множества точек, поэтому прямая не является элементом плоскости,
а является ее подмножеством. Правильная запись: аса.
Глава I. Введение
Вообще говоря, множества могут быть элементами других
множеств. Однако с рассмотрением множеств, элементами которых
могут служить другие множества, нужно быть крайне
осторожными.
Можно показать, что не существует множества, состоящего из
множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Если такое
множество содержит себя в качестве элемента, то по определению
его элементы — это множества, не содержащие себя в качестве
элемента. Если же оно не содержит себя в качестве элемента, то
должно входить в себя как элемент опять-таки по определению (не
правда ли, напоминает парадокс Рассела?!).
4. Операции над множествами
Рассмотрим два множества А и В. Введем операции над
множествами, тесно связанные с изученными логическими операциями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Объединение множеств — это множество, состоящее из
элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных
множеств.
На рисунке 1.1 два овала
изображают множества А и Б, а закрашено
объединение множеств А и Б.
Обозначение объединения множеств
А и Б: A U Б.
Объединение множеств удобно
задать характеристическим свойством:
A U Б = {х: (х е A) v (х e Б)}.
Таким образом, операция
объединения множеств соответствует операции дизъюнкции их
характеристических свойств.
Пример 17. Пусть
XU{1; 2;3}= {1; 2; 3; 4; 5}, (1)
XU{2; 4; 5} = {2; 3; 4; 5}. (2)
Найдем множество X.
□ Рассмотрим равенство (1). Так как объединение множеств — это
множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному
из данных множеств, а числа 4 и 5 не принадлежат множеству
{1; 2; 3}, то 4 е X и 5 е X.
Кроме этих элементов, в множестве X могут содержаться какие-то
из чисел 1, 2 или 3. Никакие другие элементы в множестве X сод ер-
19 | § 2. Множества и операции над ними
жаться не могут, так как они должны содержаться в объединении
множества X с произвольным множеством.
Обратимся теперь к равенству (2). Из него рассуждением,
аналогичным предыдущему, следует, что 3 е X, а также элементом X может
быть число 2.
Таким образом, может быть два различных множества X,
удовлетворяющие данным равенствам: X = {3; 4; 5} и X = {2; 3; 4; 5}.
Проверкой убеждаемся, что оба этих множества удовлетворяют данным
равенствам. Ш
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пересечением множеств называется множество элементов,
принадлежащих каждому из множеств.
Обозначение пересечения
множеств А и В: А П В.
На рисунке 1.2 два овала
изображают множества А и J5, а закрашенная
часть — их пересечение.
Пересечение множеств задается
конъюнкцией характеристических свойств:
А П В = {х: (х е А) л (х е В)}.
Пример 18, Докажем, что А П В <z А. Действительно, возьмем любой
элемент х е А П В. Тогда (х е А) л (х е В). Конъюнкция истинна, если истинны
оба высказывания. В частности, х е А. Итак, любой элемент А Г) В
является элементом множества А. Это и означает, что А П В <z А. Ш
Пример 19, Пусть А = {х е R: f(x) = 0} и В = {х е R: g(x) = 0} (т. е.
А и В — множества корней соответствующих уравнений), где f(x) и
g(x) при вещественных х принимают вещественные значения. Тогда
множество А П В является множеством корней уравнения f2 (x) +
+ g2(x) = 0, т. е. А П В = {х е R: /2(х) + g2(x) = 0}. И
Пример 20, Найдем множество X, если
ХП{1;2;3;4} = {1;2} (1)
XU{2;3;4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. (2)
D Из равенства (1) следует, что 1е!и2еХ. Кроме этих элементов,
в множестве X могут содержаться еще элементы, отличные от чисел
3 и 4 (иначе числа 3 и 4 содержались бы в пересечении). Из
равенства (2) следует, что элементами, содержащимися в множестве X, могут
быть, кроме чисел 1 и 2, еще числа 5 и 6. При этом обязательно 6еХ,
иначе числу 6 неоткуда взяться в объединении. Таким образом, для
множества X имеется два возможных варианта: X = {1; 2; 5; 6} и
X = {1; 2; 6}. При их подстановке в условие вместо X получаем верные
равенства, поэтому оба множества удовлетворяют условию. SI
20 Глава I. Введение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разностью множеств А и В называется множество,
состоящее из всех элементов множества Л, не принадлежащих
множеству В.
Обозначение разности множеств А
и В: А\В.
На рисунке 1.3 два овала
изображают множества А и Б, а закрашенная
часть — разность А\В.
Характеристическое свойство
разности множеств выражается через ха-
рактеристические свойства исходных
р 1 3 множеств: А\В = {х : (х е А) л (х <£ В)}.
Особо выделяют случай разности
множеств, когда «уменьшаемое»
является универсумом. Тогда разность универсума и данного множества А
называют дополнением данного множества и обозначают А.
Таким образом, дополнение множества — это множество всех не
принадлежащих ему элементов из некоторого изначально выбранного
множества (универсума). На языке характеристических свойств
дополнению множества соответствует отрицание его
характеристического свойства.
5. Свойства операций над множествами
Свойства операций над множествами повторяют свойства
логических операций. Основные из них объединим в теорему.
ТЕОРЕМА
Пусть А, В и С — произвольные множества. Тогда:
1. А П В = В П А (переместительный закон (коммутативность)
пересечения).
2. AU В = Ви А (переместительный закон (коммутативность)
объединения).
3. (А п В) П С = А П (В п С) (сочетательный закон
(ассоциативность) пересечения).
4. [A U В) U С = A U (В U С) (сочетательный закон
(ассоциативность) объединения).
5. А П (В U С) = (А П В) U (А П С) (распределительный закон
(дистрибутивность) пересечения относительно объединения).
6. A U (В П С) = (A U В) П (A U С) (распределительный закон
(дистрибутивность) объединения относительно пересечения).
7. А\(В П С) = (А\В) U (А\С).
8. А\(ВиС) = (А\В)П(А\С).
21 , §3. Кванторы. Структура теорем
Q доказательство. Доказательства всех этих свойств аналогичны.
Докажем, например, равенство 7.
Пусть х е (А\(В П С)), тогда, по определению, (хеА)л(х^(ВП С)).
Что значит х <£ (В Г\ С)? Это — отрицание того, что х g (В П С), т. е.
-i(x g (В П С)) <=> —i((x g В) л (х g С)). Отрицание конъюнкции есть
дизъюнкция отрицаний. Поэтому -i ((х g В) л (х е С)) <=>(-« (х g В)) v (-. (х g С)) <=>
<=> (х £ В) v (х ё С). Итак, имеем:
(х е А) л (х € (В П С)) <=> (х е А) л ((х ё В) v (х ё С)) <=>
<^ ((х еА)л (х ^ Б)) v ((х g А) л (х е С)) <=> (х е А\Б) v (x e А\С) <=>
<=> х g (А\Б) U (А\С).
Таким образом, А\(В О С) а ((А\Б) U (А\С)). Проведя рассуждения
в обратном порядке, получим, что и А\(В П С) z> ((А\Б) U (А\С)),
откуда А\(Б П С) = (А\Б) U (А\С). 11
Пример 21. Пусть А, Б и С — некоторые множества. Докажем, что
если (A U Б) cz С, то Б с С.
□ Нужно доказать, что В cz С. Для этого возьмем любой х е Б.
Коль скоро х g Б, то х g (A U Б). Так как по условию (A U Б) cz С, то
х б С. Итак, взяв произвольный х е Б, мы показали, что х g С.
Значит, В cz С, В
(?)3, Кванторы, Структура теорем
1. Кванторы в предикатах с одной переменной
Напомним, что предикат — это предложение с одной или
несколькими переменными, становящееся высказыванием при подстановке
вместо переменных конкретных значений. Отсюда следует, что один
из способов превратить предикат в высказывание — подставить
вместо переменных конкретные значения.
Однако существует и другой способ. Рассмотрим предложение:
«Для всех вещественных х выполнено х2 < 1». Оно является
высказыванием, причем ложным. Тем самым, несмотря на то, что в этом
предложении есть переменная, оно является высказыванием, а не предикатом.
Смысл этого высказывания в том, что предикат принимает
значение «истина» для всех значений переменной. Понятно, что после этого
конкретное значение переменной подставлять уже бессмысленно.
Таким образом, переменная перестала быть «свободной», про нее у лее все
сказано, она «связана» соответствующим выражением (в данном
случае словами «для всех»).
Существуют два основных выражения, «связывающие» переменную:
1. «Для всех значений...» и его синонимы («Для любых
значений...», «Каковы бы ни были значения...», «Для каждого значения...»
и т. п.), обозначаемое значком V (перевернутая прописная буква
22 1 Глава I. Введение
А — начальная буква английского слова all — все). Рассмотренное
нами предложение символически записывается так: Vx х2 < 1.
2. «Существует значение...» и его синонимы («Найдется...»,
«Для некоторого...», «Хотя бы при одном...» и т. п.)? обозначаемое
значком 3 (перевернутая прописная буква Е — начальная буква
английского слова exists — существует). Высказывание Зх: х2 < 1
(читается: «Существует х, такой, что х2 < 1») является истинным.
Действительно, такой х существует, например, равный О,
Эти выражения называются кванторами: V — квантор
всеобщности, 3 — квантор существования.
Итак, предикат от одной переменной можно превратить в
высказывание, снабдив эту переменную квантором всеобщности или
квантором существования.
Пусть Р(х) — предикат. Чтобы установить истинность
высказывания вида Зх: Р(х), достаточно предъявить какое-либо значение х, при
подстановке которого в Р(х) он примет значение «истина».
Чтобы установить истинность высказывания вида VxP(x), нужно
взять произвольный х из области определения предиката Р(х) и
каким-либо образом проверить, что значение предиката для этого х
будет истинным. Поэтому доказательство утверждений вида VxP(x)
обычно начинается словами: «Возьмем произвольный х»,
© Отметим, что истинность высказывания VxP(x) означает, что
предикат Р(х) является тождеством.
Важно также отметить, что один и тот же по форме предикат
может быть задан на разных областях определения. Чтобы подчеркнуть,
на какой области определения рассматривается предикат,
«снабженный» квантором, эту область можно записать возле переменной.
Например: Vx g [0; 1] х2 < 1 — истинное высказывание.
Пример 22. Установим истинностное значение высказывания:
Vx ((х2 - 5х + 6 ^ 0) v (х2 + 5х + 6 < 0)).
□ Предикат представляет собой дизъюнкцию двух предикатов.
Первый из них истинен при х е (-оо; 2] U [3; +оо), а второй — при х е (-3; -2).
При х = 2,5 оба предиката становятся ложными высказываниями,
следовательно, дизъюнкция их будет также ложной. Таким образом,
предикат (х2 - 5х + 6 ^ 0) v (х2 + 5х + 6 < 0) истинен не при всех
значениях х, т. е. высказывание Vx ((х2 - 5х + 6 ^ 0) v (х2 + 5х + 6 < 0))
ложно. И
Рассмотренный пример показывает, что высказывание VxP(x)
ложно, если истинно Зх: —iP(x). Точно так же, высказывание Зх: Р(х)
ложно, если для всех х значением предиката Р(х) будет ложь, т. е.
значение предиката —iP(x) — истина.
Таким образом, имеет место правило отрицания высказываний
с кванторами:
-.(Vx Р(х)) = 3х: -.Р(х), -н(3х: P(x)) = Vx -.Р(х).
§3. Кванторы. Структура теорем
Пример 23. Приведем пример множества А, такого, чтобы
высказывание Vx е А ((х2 - 5х + 6 ^ 0) v (х2 + 5х + 6 < 0)) было истинным.
П Из рассмотрения предыдущего примера ясно, что в качестве
множества А можно взять, например, интервал (-3; —2), или отрезок
[5; 7], или луч [3; +оо). 11
2. Кванторы в предикатах с несколькими переменными
Рассмотрим предикат Р(х, у) с двумя переменными, состоящий
в том, что у2 — х2 = 4. Чем является предложение Vx Р(х, у)?
Подставим у = 0. Получаем Vx 0 - х2 = 4 — это высказывание (причем
ложное). Подставим у = 1. Получим Vx 1 — х2 = 4 — тоже ложное
высказывание.
Таким образом, при подстановке различных значений у
получаются различные высказывания. Значит, предложение VxP(x, у)
является предикатом от одной переменной у.
Итак, если связать одну из переменных квантором в предикате,
зависящем от нескольких переменных, получится предикат,
зависящий от оставшихся переменных.
Следовательно, можно связать кванторами оставшиеся
переменные и получить высказывание.
Ясно, что каждую из п переменных молено связать двумя
возможными кванторами, поэтому только за счет выбора кванторов имеем
уже 2п вариантов получения высказывания из предиката. А ведь
важен еще и порядок «связывания» переменных.
Обратимся вновь к предикату Р(х, у). Рассмотрим предикат:
Зу: у2 — х2 — 1. Свяжем переменную х квантором всеобщности.
Получаем высказывание: \/хЗу: у2 - х2 = 1 (читается: «Для любых
значений х найдется такое значение г/, что у2 - х2 = 1»).
Установим истинностное значение полученного высказывания.
Для этого возьмем произвольное значение х. Проверим, существует
ли у, такой, что у2 — х2 = 1, т. е. у2 = 1 + х2. Такой у существует! Это,
например, у =
Итак, взяв произвольный х, мы нашли для него г/, такой, что
предикат стал истинным высказыванием при подстановке в него
взятого х и найденного у. Таким образом, высказывание УхЗу: у2 — х2 = 1
истинно.
Рассмотрим теперь предикат Vx у2 — х2 — 1. Свяжем переменную у
квантором существования. Получаем высказывание Зу: Vx у2 - х2 = 1.
Установим истинностное значение этого высказывания.
Если это высказывание истинно, то при каком-то значении у
(обозначим его у0) истинно высказывание Vx у\ — х2 — 1. Однако ясно, что
для х Ф ±д/г/о ~ 1 равенство у% - х2 = 1 не выполнено. Таким образом,
24 Глава I. Введение
высказывание Ух у\ — х2 = 1 будет ложным при любом взятом у0.
А тогда высказывание Зу: Ух у2 — х2 = 1 ложно.
© Итак, при перестановке порядка разноименных кванторов
истинностное значение высказывания может меняться!
Особенно хорошо это видно на примере обыденного языка.
Рассмотрим, например, высказывание: «В нашем кафе каждый столик
обслуживается официантом». Переписав в более формализованном
виде, получаем: «В нашем кафе для любого столика существует
официант, который обслуживает этот столик». Переставив кванторы,
получаем: «В нашем кафе существует официант, который обслуживает
любой столик». Согласимся, что смысл высказываний различен
(особенно с точки зрения официанта).
Пример 24. Установим истинностное значение высказывания: \/сЗЬ:
Ух х2 + Ъх + с > 0.
□ Попробуем доказать истинность данного высказывания. Для этого
возьмем произвольное значение с. Обозначим взятое значение через с0.
Итак, верно ли, что ЗЬ: \/х х2 + Ъх + с0 > 0?
Мы знаем из курса средней школы, что неравенство х2 + Ъх +
+ с0 > 0 выполнено при всех х, если дискриминант квадратного
трехчлена в левой части неравенства будет отрицателен. Следовательно,
можно переформулировать вопрос так: верно ли, что ЗЬ: Ъ2 — 4с0 < 0?
Очевидно, что ответ на этот вопрос отрицательный. Ведь при со< 0
такого Ъ не существует! Таким образом, исходное высказывание ложно. В
Правило отрицания работает и в случае нескольких переменных,
«снабженных» кванторами.
Чтобы получить отрицание высказывания, полученного из
предиката связыванием нескольких переменных кванторами, нужно
заменить кванторы всеобщности на кванторы существования,
кванторы существования заменить на кванторы всеобщности,
сохранив порядок переменных, а сам предикат заменить его
отрицанием.
□ Это правило следует из правила отрицания для одного квантора.
Пусть, например, имеется высказывание УхЗу: Р(х, у). Его можно
рассматривать как предикат Зу: Р(х, у) относительно переменной х,
которая связана квантором всеобщности. Тогда
^(УхЗу: Р(х, у)) = Зх: ^(Зу: Р(х, у))
согласно правилу отрицания с одним квантором. Теперь еще раз
применяем правило отрицания с одним квантором для внутреннего
предиката и окончательно получаем: -.(VxBy: Р(х, у)) = Зх: Уу -iP(x, у). Ш
25 | §3. Кванторы. Структура теорем
Пример 25. Построим отрицание высказывания:
Ve>0 35 >0: Ухх <е[0; 1] \/х2 е [0; 1] \хх- х2\<д~* \xf - х| | < е.
П Меняем все кванторы на противоположные в соответствии с
правилом отрицания:
Зг > 0: V6 > 0 Зхг е [0; 1]: Зх2 е [0; 1]: ^(\хг - х2\ < 8 -* \х2 - х\ \ < е).
В соответствии со свойствами логических операций (свойство 11,
п. 4 § 1) отрицание импликации — это конъюнкция посылки и
отрицания заключения. Таким образом, окончательно имеем:
Зе > 0: V5 > 0 Зхг е [0; 1]: Зх2 е [0; 1]: (|х2 - х2\ < 5) л (|х* - xf | > е). И
3. Следование и равносильность. Структура теорем
Пусть на одной и той же области определения заданы два
предиката. Будем использовать для записи их аргументов одинаковые буквы
(для простоты изложения и краткости обозначений без потери
общности рассуждений в дальнейшем будем рассматривать предикаты от
одной переменной). Особую роль в математике играют высказывания
вида \/х (Р(х) —> Q(x)). Для таких высказываний имеется специальное
обозначение: Р(х) => Q(x). Если это высказывание истинно, то
говорят, что Q(x) следует из Р(х).
О Еще раз важно подчеркнуть, что P(x)-+Q(x)— предикат,
а Р (х) => Q (х) — высказывание!
Пример 26. Пусть Р(х) — предикат «х — четное натуральное число»,
Q(x) — предикат «х2 — четное число». Тогда Р(х) => Q(x).
□ Действительно, нужно доказать, что \/х(Р(х)-+ Q(x)). Для этого
возьмем произвольное значение х. Если х не есть четное натуральное
число, то импликация Р(х) —> Q(x) истинна в силу ложности посылки.
Если же х — четное натуральное число, то по определению четного
числа 3k e Z: х = 2k. Тогда х2 = (2k)2 = 2(2fe2). Таким образом,
существует целое число (а именно число 2/г2), такое, что х2 в 2 раза больше
его. Значит, по определению х2 — четное число. SI
На практике допускается меньшая степень подробности
доказательства. В частности, при доказательстве высказывания Vx(P(x)—* Q(x))
можно опустить рассмотрение тех х, при подстановке которых в
предикат Р(х) он становится ложным высказыванием.
Что означает высказывание Р (х) => Q (х) на языке множеств?
Рассмотрим А = {х: Р(х)}, В = {х: Q(x)}. Тогда, если х <£ А, импликация
Р(х) —> Q(x) будет истинна. Чтобы эта импликация была истинна при
х g А (т. е. когда Р(х) истинен), нужно, чтобы Q(x) также был
истинен, т. е. х е В. Таким образом, получаем А с: В.
26 j Глава I. Введение
Наоборот, если АсВ, то при истинном Р(х) будет истинным
и Q(x), а при ложном Р(х) импликация истинна в силу ложности
посылки. Итак, доказана следующая теорема:
ТЕОРЕМА
Высказывание Р(х) =» О(х) истинно тогда и только тогда, когда
А с В, где А = {х: Р (х)}, B={x:Q (x)}.
Пример 27. (х2 -1 = 0)=>(|х-1|(х2 - 5х + 4) = 0) — истинное
высказывание (так как все решения уравнения х2 — 1 = 0 при подстановке
в предикат (х - 1)(х2 - 5х + 4) = 0 обращают его в истинное
высказывание). Ш
Большинство теорем имеют структуру следования предикатов.
Правда, формулировки не позволяют увидеть это в явной мере.
Например, теорему «Четырехугольник с парой равных и параллельных
сторон — параллелограмм» можно сформулировать в виде следования
предикатов: «Для любого четырехугольника если в нем существует
пара равных и параллельных сторон, то этот четырехугольник —
параллелограмм» .
Обычно в формулировки теорем не включают квантор
всеобщности, а формулируют только импликацию. Например, «В
прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату
гипотенузы» вместо «Для любого треугольника если он
прямоугольный, то сумма квадратов его катетов равна квадрату
гипотенузы». На самом деле даже последняя формулировка не совсем
точная, поскольку понятия «катет» и «гипотенуза» относятся к
прямоугольным треугольникам. В то же время предикат-посылка
«он прямоугольный» задан на множестве всех треугольников,
значит, предикат-заключение тоже должен быть задан на множестве
всех треугольников, а к сторонам произвольного треугольника
понятия «катет» и «гипотенуза» неприменимы. Поэтому уточненная
формулировка может быть такой: «Для любого треугольника если
он прямоугольный, то квадрат наибольшей стороны равен сумме
квадратов двух других сторон».
Иногда в утверждениях теорем импликация «запрятана»
довольно глубоко. Например, Vx e R х2 ^ 0. Как записать эту теорему в виде
импликации? Например, так: Vx (х е R —► х2 ^ 0), т. е. х е R =>
=э х2 ^ 0.
Если истинны оба высказывания Р => Q и Q => Р, то говорят, что
предикаты Р и Q равносильны и обозначают этот факт: Р <=> Q. На
языке множеств равносильность предикатов означает совпадение
множеств тех значений переменной, при которых эти предикаты истинны.
27 | §3. Кванторы. Структура теорем
Пример 28. Пусть имеется уравнение f(x) = О, где f(x) — некоторое
выражение (например, квадратный трехчлен, или частное двух
линейных выражений, или выражение любого знакомого нам вида). Оно
представляет собой предикат. Чтобы решить уравнение, мы
преобразуем этот предикат двумя способами: заменяя либо на равносильный
(например, добавляя число к обеим частям равенства), либо на
следствие (с возможным риском приобретения новых корней, а значит,
необходимостью проверки).
Пусть f(x) = х2 - 2х - 3.
Пример первого пути — решение уравнения х2 — 2х — 3 = 0.
Действительно:
х2 - 2х - 3 = 0 <=> (х - I)2 - 4 = 0 <=>
<=> (х - 1 - 2)(х - 1 + 2) = 0 <=> Г _ 3*
Iх ~ -*-•
Все переходы, кроме последнего, являлись просто
тождественными преобразованиями, а законность последнего перехода
мотивирована свойством множества вещественных чисел: произведение равно
нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен
нулю, а другие не теряют при этом смысла. Ш
4. О формулировках теорем. Система теорем
Пусть теорема имеет вид Р => Q. Ее стандартная формулировка
с опущенным квантором всеобщности: «Если Р, то Q». Однако в речи
и записи импликации та же теорема имеет большое количество
различных форм. Вот лишь некоторые из них:
Р достаточно для Q;
Р — достаточный признак Q;
Q необходимо для Р;
Q — необходимый признак Р;
Р только тогда, когда Q,
Q тогда, когда Р;
Q следует из Р;
Q вытекает из Р.
При доказательстве теоремы важно уметь извлекать из ее
формулировки, что дано, а что следует доказать. С этой целью важно
научиться переводить формулировки теоремы из одного вида в другой.
С одним утверждением вида Р => Q (назовем его прямым
утверждением) связаны еще три теоремы:
Q => Р — утверждение, обратное исходному;
-iP => —iQ — утверждение, противоположное прямому;
-,Q => —,Р — утверждение, противоположное обратному.
Ясно, что истинностные значения прямого и обратного
утверждений могут быть разными (например: «Если углы вертикальны, то они
Глава I. Введение
равны» — истинное утверждение, обратное исходному, «Если углы
равны, то они вертикальны» — ложное утверждение). Вместе с тем
свойство 13 (с. 11) показывает, что прямое утверждение и
противоположное обратному истинны или ложны одновременно. Именно на этом
основан метод доказательства от противного: вместо доказательства
теоремы Р => Q мы доказываем теорему -.Q =>
Пример 29. Забавный лингвистический пример. Известна
поговорка: «Кто не рискует, тот не пьет шампанского». Сформулируем ее
в форме следования: «Для любого человека если он не рискует, то
не пьет шампанского». Сформулируем теперь теорему,
противоположную обратной: «Для любого человека если он пьет шампанское,
то он рискует». Иначе говоря: «Кто пьет шампанское, тот рискует»!
Зерно этого парадокса в том, что смысл данных высказываний
в обыденном языке не совпадает с их смыслом в языке формальной
логики. 11
С)4. Метод математической индукции
В этом параграфе мы познакомимся с методом математической
индукции — мощным методом, который позволит нам доказывать
многие утверждения.
1. Аксиома индукции. Метод математической индукции
Для начала решим известную задачу о Ханойской башне.
Пример 30. Ханойская багиня представляет собой п дисков,
нанизанных в порядке уменьшения их размеров на один из трех колышков.
Докажем, что возможно переместить всю башню на один из других
колышков, перенося каждый раз только один диск и не помещая
больший диск на меньший.
Рис. 1.4
29 [ §4. Метод математической индукции
Рис. 1.5
П Пусть изначально диски нанизаны на первом стержне (рис. 1.4),
а переложить их мы должны на третий. Если п = 2, то мы можем
действовать следующим образом: переложить меньший диск на второй
стержень, потом больший диск на третий, а затем меньший поверх
большего (рис. 1.5). Задача решена для п = 2.
Для п = 3 можно было бы так же подробно описать процедуру
перекладывания дисков, но мы попробуем воспользоваться тем, что уже
умеем перекладывать башню из двух дисков. Временно забудем про
нижний, самый большой диск. Тогда останется башня из двух
верхних дисков. Переложим ее на свободный стержень. Теперь переложим
третий диск на третий стержень (рис. 1.6), а потом башню из двух
верхних дисков со второго стержня на третий (третий диск не мешает
проведению операций, так как он самый большой). Аналогично можно
поступить и для четырех дисков: сначала переложить башню из трех
дисков на второй стержень, потом самый большой диск на третий,
а затем башню из трех дисков со второго стержня на третий. И так
далее.
Рис. 1.6
Глава I. Введение
Ж
Ж
Ж
Рис. 1.7
Башню из k дисков можно переложить аналогично: сначала
переложить башню из k — 1 дисков на второй стержень, потом k-u диск на
третий стержень, а затем башню из k — 1 дисков на третий стержень.
Понятно, что таким образом мы можем поступать с башней из любого
числа дисков (рис. 1.7).
В этой задаче мы сначала научились решать задачу для п = 2,
а потом объяснили, как, умея перекладывать башню из k дисков,
переложить башню из k + 1 дисков. Сделаем вывод: мы сможем
переложить башню из любого числа дисков, Щ
На самом деле, если говорить более формально, сделать такой
вывод нам позволяет следующая аксиома математической индукции.
Аксиома математической индукции
Если известно, что некоторый предикат, заданный на множестве
натуральных чисел, верен для п = 1 и из предположения, что он верен
для произвольного п, вытекает его справедливость для п + 1, то этот
предикат верен при всех натуральных числах.
Можно переформулировать аксиому следующим образом.
Пусть у нас есть бесконечная последовательность утверждений А19
А2, ..., Ап, .... Тогда если мы знаем, что верно утверждение Аг и из
справедливости утверждения Ап для произвольного п следует
справедливость утверждения Ап + 19 то верны все утверждения в этой
последовательности.
Таким образом, чтобы доказать цепочку утверждений, зависящих
от натуральной переменной п (иначе говоря, доказать тождественную
истинность предиката А(п)), можно:
§4 Метод математической индукции
1. Доказать первое утверждение, т. е.
2. Доказать, что если утверждение справедливо для
произвольного я, то оно справедливо и для п + 1. Тогда по аксиоме индукции
можно будет сделать вывод о справедливости всех утверждений в цепочке.
Такой метод доказательства называется методом математической
индукции. Утверждение А(1) называется базой индукции, а
утверждение А(п) => А(п + 1) — индукционным переходом.
Обратим внимание, что для доказательства индукционного
перехода мы должны установить истинность импликации А(п) —> А(п + 1)
для всех натуральных п, а не истинность утверждения А(п + 1).
Предположение об истинности утверждения А(п) для доказательства
истинности импликации делается потому, что в случае ложности
утверждения А(п) импликация уже истинна.
Идею метода математической ин- ►
дукции можно пояснить с помощью
следующего наглядного примера.
Выстроим в ряд бесконечное число костей
домино так, чтобы п-я кость, падая,
роняла п + 1-ю (индукционный переход).
Если теперь мы уроним первую кость
(база индукции), то за ней последует
вся цепочка (рис. 1.8).
Рис. 1.8
О Аксиома индукции следует из утверждения о том, что у
любого множества, элементами которого являются натуральные
числа, есть наименьший элемент.
В самом деле, если считать, что у любого множества
натуральных чисел есть наименьший элемент, то аксиому индукции можно
легко доказать следующим образом. Пусть имеется бесконечная
последовательность утверждений А19 А2, ..., Ап, .... Рассмотрим
множество номеров всех неверных утверждений. Пусть оно непусто.
Тогда среди этого множества есть наименьший. Пусть он равен k.
Он не равен 1 (первое утверждение верно), значит, можно
рассмотреть утверждение с номером k — 1. Оно верно (ведь k наименьший
из номеров неверных утверждений), но тогда и утверждение с
номером k верно — противоречие.
Заметим, что при применении метода математической индукции
важна как база индукции, так и индукционный переход.
В самом деле, если пропустить базу индукции, то можно доказать
с помощью метода математической индукции, например, что соседние
натуральные числа равны. Пусть известно, что число п равно числу
п + 1 (верно утверждение с номером п), т. е. п = п + 1. Прибавив по 1
к обеим частям этого «равенства», получим, что п + 1 = п + 2
(доказали, что верно утверждение с номером п + 1).
32 Глава I. Введение
В то лее время, не доказав индукционного перехода, нельзя
сделать вывод о справедливости всех утверждений в цепочке, даже
проверив большое количество этих утверждений. Например, если бы мы
проверили утверждение «п2 + п + 41 — простое число» для первых
тридцати девяти чисел, то оказалось бы, что это утверждение верно,
однако сделать вывод о том, что число п2 + п + 41 простое при всех
натуральных п, было бы неверным (это неверно, например, при п = 41).
2. Применение метода математической индукции
Теперь покажем некоторые стандартные примеры применения
метода математической индукции при доказательстве тождеств,
неравенств и задач, связанных с делимостью.
Пример 31. Докажем, что при любом натуральном п выполняется
тождество 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ = (п + 1)! - 1.
□ база индукции. Пусть п = 1. Тогда утверждение выглядит так:
1 • 1! = (1 + 1)! — 1, что верно, т. е. база индукции доказана.
индукционный переход. Пусть верно утверждение с номером п,
то есть мы знаем, что 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ = (п + 1)! - 1.
Докажем, что тогда верно утверждение с номером п + 1.
В самом деле, воспользовавшись индукционным предположением,
можно записать
1-1!+ 2-2!+ ... + n-n! + (n+l)-(n+l)! = (n + l)I- 1 + (п+ 1) • (п+ 1)!
(мы заменили сумму 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ на выражение (п + 1)! - 1,
так как знаем, что эти выражения равны, — это и есть
утверждение с номером п). Преобразуем полученное выражение: (п + 1)!-1 +
+ (п + 1) • (п + 1)! = (л + 1)1 (л + 2) - 1 = (л + 2)! - 1, т. е. мы получили,
что верно равенство 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п! + (п + 1) • (п+ 1)! = (п + 2)!- 1,
а это и есть утверждение с номером п+1, что и требовалось доказать. 1
Замечание. Базу можно проверять не только для п = 1, но и для
п = k9 где k любое натуральное число (или даже 0, если у нас есть
нулевое утверждение). Тогда метод математической индукции позволяет
сделать вывод о справедливости всех утверждений, начиная с номера k.
Пример 32, Докажем, что при любом натуральном п число
lln + 2+ 122n + 1 делится на 133.
П база индукции. Для п = 0. II2 + 121 = 133 делится на 133.
индукционный переход. Пусть верно утверждение с номером п,
т. е. 11"+ 2 + 122/г + 1 делится на 133. Докажем, что верно утверждение
с номером п + 1, т. е. ll(* + D + 2 + 122<* + D + * = 11*+ з + 122п + 3 делится
на 133. В самом деле, 11"+ 3 + 122" + 3 = 11*+ 2 • 11 + 122" + 1 • 144 =
= 11" + 2 • 11 + 122" + 1 • (11 + 133) = 11 • (11" + 2+ 122" + 1)+ 133 • 122" + 1.
Оба слагаемых делятся на 133 (так как Цп + 2 + 122n + 1 делится на 133
по индукционному предположению), значит, и сумма делится на 133,
что и требовалось доказать. HI
33 §4. Метод математической индукции
Рассмотрим примеры использования метода математической
индукции при доказательстве неравенств.
Пример 33. (Неравенство Бернулли.) Докажем, что (1 + х)п ^ 1 + пх
при любом натуральном п и х > -1.
Q база индукции. При п=1 неравенство превращается в
(1 + х)1 ^ 1 + х, что, очевидно, верно.
индукционный переход. Пусть верно утверждение с номером п,
т. е. (1 + х)п> 1 + пх при х>-1. Докажем утверждение с номером п + 1.
Имеем (1 + х)п > 1 + пх. Домножим обе части неравенства на 1 + х
(по условию 1 + х > 0). Получим (1 + х)п + г ^ (1 + пх)(1 + х). Раскроем
скобки в правой части: (1 + пх)(1 + х) = 1 + (п + 1)х + пх2.
Заметим, что 1 + (п + 1)х + лгх2 ^ 1 + (п + 1)х в силу того, что х2 ^ 0. Таким
образом, (1 + х)п + 1 ^ 1 + (п + 1)х. Индукционный переход доказан. Щ
орический комментарий
Бернулли — династия швейцарских ученых и государственных деятелей,
давшая миру более двух десятков первоклассных ученых. Наиболее известны
Якоб I Бернулли (1654—1705), один из основателей математического анализа,
а также теории вероятностей; Иоганн I (1667—1748), брат Якоба I, он указал
многие методы интегрирования, способы подсчета длин кривых, раскрытия
неопределенностей; Даниил (1700—1782), кроме математики, прославлен
исследованиями в физиологии и медицине, по приглашению Петра I работал
в Петербургской академии наук, ему принадлежат исследования по
астрономии, анализу, теории чисел и теории вероятностей, тригонометрическим
рядам, динамике жидкости и газа и т. д.
При доказательстве неравенств с помощью метода математической
индукции часто удобно пользоваться следующими утверждениями.
Утверждение 1
Пусть имеются две последовательности положительных чисел.
Если для некоторого натурального числа т справедливо
неравенство ат^ Ьт и для всех к ^ т справедливо неравенство
ак+1 ~ ак ^ ьк+1 ~ ьк> то ПРИ всех п ^ т справедливо неравенство
а„ > Ь„.
П доказательство. Докажем утверждение по индукции.
база индукции. Неравенство am ^ Ът верно.
индукционный переход. Пусть ak ^ bk. Известно, что ak + г - ak ^
^bk + l - bk. Сложим эти два неравенства. Получим ak + 1 ^ bk + 1, что и
требовалось доказать. В
34 , Глава I. Введение
Замечание. Можно аналогичное утверждение сформулировать
и для строгих неравенств (например, если вместо одного из неравенств
ат ^ Ът или ak + 1-ak^ bk + 1 - bk будет соответствующее строгое, то
можно сделать вывод, что при всех п > т справедливо неравенство ап > Ьп).
Утверждение 2
Пусть имеются две последовательности положительных чисел.
Если для некоторого натурального числа т справедливо
неравенство ат ^ Ьт и для всех к ^ т справедливо неравенство
^ , то при всех п ^ /г? справедливо неравенство ап ^ Ьп.
а Ь
Замечание. Фактически эти утверждения означают следующее:
если в какой-то момент одна последовательность не меньше другой
(т. е. am ^ Ът для некоторого т) и растет потом не медленнее (мы
сравниваем то на сколько или во сколько раз быстрее растет
последовательность в первом и втором утверждениях соответственно), то эта
последовательность с этого момента будет не меньше другой.
Пример 34. Докажем, что для всех натуральных п выполняется
неравенство —== + -= +... + —== ^ 4п.
D Рассмотрим две последовательности: ап = — + — + ... + -= и
VI V2 у/п
Ъп = 4п. Нам нужно доказать, что для всех натуральных п
выполняется неравенство ап ^ Ьп. Воспользуемся утверждением 1.
Докажем, что аг ^ Ьх. В самом деле, ах — —= ^ VI = Ъх.
л/1
Докажем теперь, что последовательность ап растет не медленнее
последовательности Ьп, т.е. ап + 1 - ап^ Ьп + 1 - Ьп (в данном случае
удобнее рассматривать на сколько растут последовательности). В
саЬ Ъ / + 1 — у[п,
мом деле, ап + 1 — ап = , Ьп + 1- Ъп = у/п + 1 — у[п, т. е. достаточно
V^+ 1
доказать, что —== ^ y/n + I — -Jn, что очевидно, если заметить, что
V71+ 1
у1п + 1 — 4п = -=— . Неравенство доказано. Ш
Пример 35. Докажем, что для всех натуральных п выполняется нера-
1. 3 • 5 .... (2т? - 1) 1
венство
2- 4-6. ....2/1
_ _ 1 • 3 • 5 • ... • (2/г - 1)
□ Пусть ап = — —^——-, Ъп = и ^. В данном примере удоб-
нее воспользоваться утверждением 2.
Ц|_§4. Метод математической индукции
Неравенство справедливо для п = 1. аг= - < -= = Ьг.
п h **^
Докажем, что п+ ^ п+ при любом натуральном п, т. е.
< , что равносильно неравенству (2n + I)j2n + 3 <
] ), т. е. д/2п + 1д/2п + 3 < 2п + 2, что для натуральных п
равносильно (возведем в квадрат) (2п + 1)(2гс + 3) < (2п + 2)2, т. е.
4гс2 + 8лг + 3 < 4п2 + 8п + 4, что, очевидно, верно. Неравенство доказано. В
О Иногда удобно использовать другую форму доказательства по
индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для всех чисел, меньших
либо равных некоторому п, вытекает его справедливость для п + 1, то
это утверждение верно для всех натуральных чисел. Воспользуемся
этим замечанием при решении следующего примера.
Пример 36. Число х таково, что число х+ целое. Докажем, что
при любом натуральном п число хп н целое.
хп
П база индукции. Утверждение очевидно для п = 1. Проверим
1 ( 1Л2
утверждение для п = 2. х2 н—- = \ х + — - 2, т. е. целое число. База
доказана.
индукционный переход. Пусть верны утверждения с номерами
меньшими либо равными п (т. е. все числа вида xk н—- — целые при k < п).
хк
Докажем, что тогда и число хп+1-\——j- будет целым. Рассмотрим число
хп + — \\ х + — . Это число целое по индукционному предположению
(произведение двух целых чисел), и оно равно (раскроем скобки) числу
хп +1 + + хп -1 + Таким образом, число xn + 1 + равно чис-
хп+ хп~ хп +
лу \хп н h^H— -х/г"1ч —г , т. е. разности целых чисел (число
t хП )\ х) У * )
хп~1 л zrr целое опять же по индукционному предположению) и, зна-
хп
чит, является целым числом, что и требовалось доказать. Щ
Замечание. Обратим внимание на один важный момент. В
индукционном переходе при доказательстве утверждения с номером
п + 1 мы использовали справедливость утверждений с номерами п
и п - 1. Это означает, что если бы мы проверили базу только при п = 1,
36 j Глава I. Введение
то не смогли бы перейти от я = 1 к п = 2, используя рассуждения
индукционного перехода, ведь в процессе рассуждения у нас появилось
бы утверждение с номером 0 (х° + —- — целое число), которое мы не
х°
доказывали (хотя оно, конечно, верно).
Следующий пример показывает, что неаккуратные рассуждения
могут приводить к неправильным выводам.
Пример 37. Докажем, что любые п чисел равны, т. е. если а19 а2, ...,
ап — произвольные числа, то а1 = а2 = а3 = ... = ап.
□ база индукции. При п = 1 утверждение, очевидно, верно: у нас
есть одно число и оно равно самому себе.
индукционный переход. Пусть утверждение верно для номера
п, т. е. если а19 а2, ..., ап — произвольные числа, то а1 = а2 = as =
= ... = ап. Докажем утверждение с номером п + 1. Пусть у нас есть
п + 1 число: а19 а2, ..., ап, ап + 1. Рассмотрим первые п чисел. Они
равны по предположению индукции. Осталось доказать, что им равно и
число ап + 1. Для этого рассмотрим числа а2, ..., ап, ап + 1. Их ровно п,
и, значит, по индукционному предположению они равны, т. е. ап + 1
равно первым п числам, что и требовалось доказать. Щ
Попробуйте самостоятельно найти ошибку в приведенном
рассуждении.
Метод математической индукции настолько мощный, что
применяется часто. Однако не так много задач, где он применяется в чистом виде,
без длинных рассуждений или вычислений. Вот пример такой задачи.
Пример 38, Докажем, что квадрат 2п х 2п с вырезанной угловой клет-
ь.
кой можно разрезать на фигурки вида
□ база индукции. При п = 1 квадрат 2п х 2п с вырезанной угловой
клеткой представляет собой фигурку
нужного вида, так что никаких
разрезаний не требуется.
индукционный переход. Пусть
существует разрезание квадрата 2п х 2п
с вырезанной угловой клеткой на
фигурки нужного вида. Рассмотрим квадрат
2п + 1х2п + 1с вырезанной угловой
клеткой (рис. 1.9). На рисунке показано,
что, если вырезать фигурку указанного
вида в центре квадрата, оставшаяся
часть представится в виде объединения
четырех квадратов вида 2п х 2п с
вырезанной угловой клеткой, которые
разрезать на данные фигурки возможно в
Рис. 1.9 силу индукционного предположения. Ш
|_§4. Метод математической индукции
Для формулировки следующего определения нам понадобится
понятие корня п-й степени из числа, которое мы подробно обсудим в
главе V. Пока лишь отметим, что корнем п-й степени из
неотрицательного числа а (п е N, п ^ 2) называется такое число Ь, что Ъп = а.
Обозначение: л[а = Ь. Корень п-й степени из любого неотрицательного
числа существует, и притом единственный (см. гл. V). Например:
S/I = 1, л/32 = 2, «/I 000 000 = 10.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть хь х2, ..., хп — положительные числа. Тогда
средним арифметическим этих чисел называется число
— — -, а их средним геометрическим — число
• х2- ...• х
п '
Докажем с помощью метода математической индукции еще одно
важное и часто используемое неравенство — так называемое
неравенство Коши или неравенство о среднем арифметическом и среднем
геометрическом.
ТЕОРЕМА КОШИ (о среднем арифметическом и среднем геометрическом),
| Для любых положительных чисел xv x2, ..., хп их среднее
арифметическое больше их среднего геометрического либо равно ему, т. е.
верно неравенство
хЛ + х2 + ... + хп i
При этом равенство достигается только в случае х1 =х2 = ... =хп.
□ доказательство. Докажем сначала следующую лемму с
помощью метода математической индукции.
Пусть произведение п положительных чисел xv x2, ..., хп равно 1.
Тогда наименьшее значение, которое принимает их сумма,
равно п и достигается при х1 = х2 — ... = хп = 1.
база индукции, п = 2. Пусть произведение двух положительных
чисел равно 1.
Обозначим одно из чисел через а. Тогда другое число равно —. Нам
нужно доказать, что а -\— > 2. После переноса числа 2 в левую часть
и приведения к общему знаменателю получим равносильное неравен-
а2 - 2а + 1 л
ство > 0, которое очевидно, верно, так как в числителе сто-
Глава I. Введение
ит полный квадрат (а — I)2. При этом равенство достигается лишь при
а = ! = 1.
а
индукционный переход. Пусть данное утверждение верно для
всех натуральных k < п. Докажем справедливость утверждения для k = п.
Итак, у нас есть п положительных чисел х19 х2, ..., хп9
произведение которых равно 1. Либо все эти числа равны 1, и тогда их сумма
равна п (и утверждение доказано), либо среди них есть число
больше 1, но тогда среди них есть и число меньше 1 (если бы все числа
были больше либо равны 1 и хотя бы одно из них было при этом строго
больше 1, то и их произведение было бы больше 1). Не умаляя
общности, можно считать, что хг < 1, а х2 > 1.
Рассмотрим следующие числа: (хг • х2), х3, ..., хп. Их количество
равно п — 1, а произведение равно произведению чисел х19 х2, х3, ..., хп> т. е.
равно 1. Тогда можно воспользоваться индукционным предположением,
записав: (хг • х2) + х3 + ... + хп^ п - 1. Заметим, что при выбранных х^
и х2 верно неравенство (1 - хг)(х2 - 1) > 0, откуда хг + х2 - 1 > хх • х2.
Значит, хг • х2 + х3 + ... + хп < хх + х2 - 1 + х3 + ... + хп = хг + х2 +
+ х3 + ... + хп - 1, откуда получаем п - 1 < хх + х2 + х3 + ... + хп - 1,
следовательно, хх + х2 + х3 + ... + х„ > п. Индукционный переход
доказан, а вместе с ним доказана и лемма.
Докажем теперь саму теорему.
Обозначим я1хг • х2 • ... • хп = s и рассмотрим числа —, —, ..., —-.
* S S S
Их произведение равно
Х1 Х2 Хп Х1' Х2' ••• ' Хп _ Хх- Х^- ... • Хп Хг - Х2 - ... • Хп _
По доказанной лемме можно сделать вывод, что — + — + ...+
S S
хп
+ — ^ п, причем равенство достигается только в случае, когда
s
— = — = ... = —- = 1, т. е. когда хх = х2 = ... = хп. Домножим обе части
S S S
неравенства на s и поделим на п, получим равносильное неравенство
х2 + ... + хп I
— ^ s = щхх • х2 •... • хп , которое и требовалось доказать. Ш
п
id5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
В этом параграфе мы познакомимся с простейшими комбинаторными
задачами. Комбинаторика — часть математики, наука, занимающаяся
решением задач о комбинациях и перестановках элементов некоторого
множества. Современная комбинаторика нашла применение во многих
разделах математики, в том числе таких, как теория вероятностей,
статистика, криптография.
§5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
1. Разбор случаев и правило умножения
Начнем с примеров.
Пример 39, У Светы 30 различных карандашей и 40 различных ручек.
Сколько у нее есть способов выбрать ручку и карандаш?
D У Светы есть возможность выбрать к каждому карандашу одну из
40 ручек. Карандашей всего 30. Поскольку с каждым карандашом
можно выбрать одну из 40 ручек, то всего вариантов 30 • 40 = 1200. 11
Пример 40, Сколько существует чисел, все цифры которых нечетны,
если каждое из них: а) двузначное; б) шестизначное.
□ а) Двузначные числа, у которых обе цифры нечетны, могут
начинаться с цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В каждом случае на втором месте мы
можем поставить одну из 5 нечетных цифр, т. е. существует 5
двузначных чисел, удовлетворяющих условию, начинающихся с 1; 5
двузначных чисел, удовлетворяющих условию, начинающихся с 3, и т. д.
Всего вариантов 5 • 5 = 25.
б) На первое место можно поставить любую из 5 нечетных цифр,
на второе место любую из 5 нечетных цифр, таким образом вариантов
расстановок цифр на первые два места у нас 25 (как в пункте а). К
каждому из этих 25 вариантов на третьем месте мы можем поставить одну
из 5 цифр, т. е. вариантов расстановок цифр на первые три места
25 • 5 = 125. Аналогично, вариантов расстановок цифр на первые шесть
мест (т. е. шестизначных чисел) у нас 5-5-5-5-5-5 = 15 625. В
Пример 41- У мамы есть 4 сына и много одинаковых фломастеров,
одинаковых ручек и одинаковых карандашей. Каждому сыну она
хочет дать либо фломастер, либо ручку, либо карандаш. Сколькими
способами мама может раздать по одному предмету каждому?
□ Аналогично решению предыдущих двух задач: первому сыну
мама может дать фломастер, ручку или карандаш. Всего три варианта.
В каждом из этих трех вариантов есть три варианта дать предмет
второму сыну. Итого 3-3 = 9 вариантов раздать фломастеры, ручки и
карандаши двум сыновьям. В каждом из этих девяти вариантов есть
три варианта выбрать предмет для третьего сына, и т. д. Получаем
3 • 3 • 3 • 3 = 81 способ. В
Попробуем обобщить решения этих примеров. В них мы
фактически воспользовались общим интуитивно понятным правилом, которое
называется правилом умножения.
Правило умножения
1
Если в множестве АЛ содержится п^ элементов, в множестве А2
содержится п2 элементов и т. д., в множестве Ак содержится пк
элементов, то число способов одновременно выбрать один
элемент множества/^, один элемент множества А2 и т. д., один
элемент множества Ак в указанном порядке, равно п1 • п2 • ... • пк.
Глава I. Введение
Замечание. Иногда это правило формулируют следующим
образом: число всевозможных упорядоченных комбинаций вида
(а19 а2, ..., ak)9 где ах — элемент множества А19 а2 — элемент множества
А2 и т, д., aft — элемент множества Ak9 равно \АХ\ • \А2\ • ... • \Ak\, где
\At\ — количество элементов в множестве Аь.
2. Правило сложения
Разберем еще одну задачу.
Пример 42, У мамы есть 5 разных карандашей, 6 разных ручек, 4
разных фломастера. Сколькими способами она может выбрать для сына
два предмета с разными названиями?
□ У мамы есть три возможных варианта (три выбора). Мама дает
сыну карандаш и ручку, в этом случае у мамы есть 5 • 6 = 30 способов.
Мама дает сыну ручку и фломастер, в этом случае у мамы есть 6 • 4 = 24
способа. Наконец, мама может дать сыну карандаш и фломастер, в этом
случае у мамы есть 5 • 4 = 20 способов. Для того чтобы подсчитать
общее количество способов, нужно сложить количество вариантов для
всех случаев. Итого получается 30 + 24 + 20 = 74 способа. 11
В этой задаче мы встретились с приемом разбиения всех вариантов
на несколько случаев. Для того, чтобы подсчитать общее количество
вариантов в таких решениях, следует подсчитать количество вариантов
в каждом случае, а потом сложить полученные числа. Нужно только
внимательно следить, чтобы случаи не пересекались (иногда один и тот
же вариант может попасть в два рассматриваемых случая
одновременно, и тогда мы подсчитаем его 2 раза и получим неправильный ответ)
и каждый вариант попал в какой-либо из рассматриваемых случаев.
Замечание. Иногда этот прием формулируют в виде правила
сложения.
Правило сложения (разбор случаев)
Если множества Av A2i ..., Ак не имеют общих элементов, то
количество элементов в их объединении равно сумме количества
элементов в каждом из множеств.
Пример 43. Сколько существует шестизначных чисел, в записи
которых все цифры одинаковой четности?
□ Рассмотрим два случая: все цифры нечетны и все цифры четны.
Для случая всех нечетных цифр мы уже подсчитывали количество
вариантов — оно равно 15 625 (см. пример 40, б). Рассмотрим случай,
когда все цифры четны. В этом случае на первом месте может стоять
любая из 4 четных цифр (кроме 0), на втором — любая из 5 и т. д.
По правилу произведения общее количество вариантов в этом случае
равно 4-5-5-5-5-5 = 12 500. Общее количество вариантов равно
15 625 + 12 500 = 28 125. 11
Решим задачу посложнее.
41 | §5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Пример 44. Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга?
П Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако
количество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его
расположения. Поэтому необходимо рассмотреть три случая:
а) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьет
3 поля и на одном поле стоит сам, и остается 60 полей, на которые
можно поставить черного короля;
б) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких
полей — 24), то он бьет 5 полей и на одном поле стоит сам, и для черного
короля остается 58 возможных полей;
в) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей 36),
то он бьет 8 полей и на одном поле стоит сам, и для черного короля
остается 55 возможных полей.
Таким образом, всего есть 4 • 60 + 24 • 58 + 36 • 55 = 3612
способов расстановки королей так, чтобы они не били друг друга.
Как изменится ответ, если мы будем выставлять на доску двух
белых королей (т. е. короли не будут отличаться)? Н
3. Размещения и перестановки
Рассмотрим два часто встречающихся типа комбинаторных задач
и введем специальные обозначения для их ответов.
Пример 45. В фирме с 10 сотрудниками надо назначить директора
и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
□ Директора можно выбрать 10 способами и в каждом варианте
заместителя можно выбрать из 9 оставшихся людей. Всего 10 • 9 = 90
вариантов.
Обратим внимание, что в данном случае также использовано
правило умножения. IS
Пример 46. Сколько существует способов выбрать 3 человек из 7 и
расставить их в ряд?
П Эта задача похожа на предыдущую. На первое место можно
выбрать любого из 7 человек, на второе место — любого из 6 оставшихся
человек, на третье место — любого из 5 оставшихся человек. Всего
существует 7 • 6 • 5 = 210 вариантов. SI
Обобщим эти задачи и ответы в них.
Пример 47. Сколько существует способов выбрать k человек из п
человек и расставить их в ряд?
□ На первое место мы можем выбрать любого из п человек, на второе
место — любого из п - 1 человека и т. д., на k-e место — любого из
n + k - 1 человека. Всего получается п • (п - 1) • (п - 2) • ... • (п - k + 1)
вариантов. IS
Глава I. Введение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
А* = п • (п - 1) • ... • (п - к + 1) называется числом
размещений из п предметов по к и обозначается А* (читается: «а из
эн по ка»).
Число размещений показывает, сколько существует способов
поставить в заданном порядке k выбранных элементов из п данных.
Формулу для Ак можно привести к виду Ак — '-—.
(п - k)l
Напомним, что п\ — это произведение всех натуральных чисел от
1 до п. По определению считается, что 0! = 1.
Пример 48. Сколько существует способов выстроить в ряд 5 человек?
□ На первое место можно поставить любого из 5 человек, на второе
место — любого из 4 человек и т. д., на предпоследнее место —
любого из 2 человек, на последнее место остается один человек. Всего
5 • 4 • 3-2-1 = 5!= 120 вариантов. Ш
В этом примере мы встретились с числом перестановок.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Количество способов переставить п различных предметов
называется числом перестановок и обозначается Рп.
Рассуждая, как в примере 47, легко понять, что
Рп = п • (п- 1) • ... • 2 • l = nl.
Обратим внимание, что Рп = А% в силу одинакового
комбинаторного смысла величин, стоящих по обе стороны знака равенства.
Пример 49. Сколько различных слов можно получить, переставляя
буквы слова «эллипс»?
□ Если бы буквы «л» в слове «эллипс» были бы разные (например лх
и л2), то количество перестановок букв слова «эллипс» равнялось бы 6!.
Однако, например, варианты «л1л2эипс» и «Л2Лхэипс» на самом деле
представляют собой один и тот же вариант, а мы подсчитали его 2 раза.
Таким же образом дважды мы подсчитали каждый вариант, и,
значит, мы подсчитали удвоенное количество вариантов. Ответ: — = 360. Ш
Пример 50, На полке стоит 10 томов. Сколько существует таких
расположений книг, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 1 и 2 не
стояли рядом?
□ а) Мысленно объединим тома 1 и 2 в один (раз они стоят рядом),
тогда у нас будет 9 томов и число перестановок будет равно 9!, но в
каждом варианте у нас есть два способа: поставить том 1 левее тома 2
или правее, таким образом, общее количество вариантов равно 9! • 2.
43 §5 Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
б) В этой задаче встречается прием, часто используемый в
комбинаторных задачах. Если трудно подсчитать число перестановок, когда
тома 1 и 2 не стоят рядом, подсчитаем число перестановок, когда они
стоят рядом (а это мы уже сделали в первой задаче), и вычтем его из
общего числа перестановок, равного, очевидно, 10!. Ответ: 10! - 9! • 2. Ш
Пример 51- Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых
есть хотя бы одна шестерка?
□ И здесь удобно «перейти к дополнению». Всего трехзначных чисел
9 • 10 • 10 = 900 (на первом месте не может стоять 0), чисел, в которых
нет шестерок 8*9-9 = 648. Таким образом, чисел хотя бы с одной
шестеркой 900 - 648 = 252. 11
Вообще говоря, при решении комбинаторных задач бывает
(иногда) легче найти количество комбинаций, не удовлетворяющих
условию, если в формулировке имеются слова (или смысл) «хотя бы», «не
больше» и т. д.
4. Сочетания. Простейшие свойства сочетаний
Рассмотрим примеры.
Пример 52, Сколько существует способов выбрать 3 человек из 7?
□ Рассуждение, аналогичное предыдущим (см. пример 46). Сначала
мы можем выбрать любого из 7 человек, на второе место — любого из
6 человек, на третье место — любого из 5 человек, всего 7 • 6 • 5 = 210
вариантов. Но! Заметим, что для трех человек А, Б и В мы подсчитали
эту тройку не один раз, а целых шесть: АБВ, АВБ, БВА, БАВ,
ВАБ, ВБА. И так мы сделали с каждой тройкой, значит, чтобы
получить правильный ответ, нам нужно 210 разделить на 6, т. е. ответ:
35 способов.
В предыдущих рассуждениях (когда мы расставляли трех
выбранных людей в ряд) все эти 6 вариантов были различны, а в данном
случае порядок людей в тройке нам неважен! В
Обобщим эту задачу.
Пример 53. Сколько существует способов выбрать k человек из п (без
учета порядка)?
□ На первое место мы можем выбрать любого из п человек, на
второе место любого из п — 1 человека и т. д., на k~e место — любого из
п + k - 1 человек. Всего получается п • (п - 1) • (п - 2) • ... • (п - k + 1)
вариантов. Рассмотрим набор из k людей. Заметим, что каждый такой
набор мы подсчитали Ы раз (так как порядок людей нам неважен, то
все варианты, отличающиеся лишь перестановками этих k людей, —
это один и тот же вариант, а таких перестановок k\). Таким образом,
г г- 1 71- (71- 1)- ...-(71- k+ 1) г-,
число способов выбрать к человек из п равно . ш
kl
44 Глава I. Введение
Полученное число называется числом сочетаний из п предметов
по k и обозначается Скп (читается «цэ из эн по ка»). Итак,
Пример 54. Пусть в n-символьной последовательности из нулей и
единиц имеется k нулей (а значит, п — k единиц). Подсчитаем число таких
последовательностей.
IS Для этого пронумеруем места, где стоят цифры, от 1 до п. Места,
где стоят нули, можно выбрать Ckn способами, а после выбора мест, где
стоят нули, последовательность восстанавливается однозначно.
Таким образом, количество п-символьных последовательностей из нулей
и единиц, содержащих ровно k нулей, равно Скп. Ш
Замечание. В решении мы могли выбирать места, где стоят не
нули, а единицы. Ответ тогда был бы С"~к. Поскольку мы подсчитали
одно и то же количество последовательностей, только разными
способами, можно сделать вывод: Скп = С„~к. Тот же вывод можно получить
и прямым сравнением выражений для Скп и С"~к.
Этот способ рассуждений часто встречается в комбинаторике. Для
того чтобы доказать некоторую формулу, можно придумать задачу,
ответом в которой будет и левая и правая часть формулы (и значит,
они равны).
Домножив числитель и знаменатель на (п - k)U можно получить
более короткую форму записи:
k _ 71 -(71-1)- ...-(71- fe+ 1) _
С»~" *! "
_ 71 - (71 - 1) • ... • (71 - fe + 1)(П - k)\ _ П\
kl(n-k)l ' '
Пример 55. Сколько существует способов выбрать из полной
колоды карт 10 карт, чтобы среди них было ровно два короля, две дамы
и один туз?
О Выбрать двух королей из четырех мы можем С\ способами,
выбрать двух дам из четырех тоже С\ способами, одного туза — 4
способами, оставшиеся 5 карт мы выбираем из 40 карт (без королей, дам
и тузов) С|о способами. Всего способов, согласно правилу умножения,
Cf.Cf.4.C!0.il
Пример 56, Сколько существует способов выбрать из 20 человек 3 пары?
D Выбрать первую пару можно С\§ способами, вторую пару — С\ь
способами, третью пару — Cf6 способами. Всего существует Cf0 • Cf8 • Cf6
способов. Но порядок пар нам неважен! Обозначим первую пару
через А, вторую — через Б, третью — через В, тогда набор пар АБВ (как
§5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
и каждую другую тройку) мы подсчитали 3! = 6 раз, т. е. правильный
ответ:
^20 '
6
Замечание. Ответ С\§ • С\ъ • С\б был бы правильным, если бы мы
не только выбирали пары, но и, например, первую пару отправляли
бы в Амстердам, вторую — в Париж, а третью — на уборку картошки.
В этом случае порядок пар — какая первая, какая вторая, какая
третья — был бы важен (особенно для людей из этих пар).
В следующем примере мы вновь встретимся с приемом, который
назовем переходом к дополнению.
Пример 57, Сколько существует способов выбрать 19 человек из 20?
П Выбрать 19 человек — это все равно, что не выбрать одного
человека, а не выбрать одного человека можно 20 способами. Это и есть
ответ задачи. 11
Докажем еще одно важное свойство чисел сочетаний, которое
пригодится нам в следующем пункте.
Пример 58. Докажем, что Скп + Ckn~l = С* + 1.
□ Попробуем придумать комбинаторную задачу, ответом в которой
будет и левая, и правая часть равенства. Для правой части равенства
задачу придумать легко: сколько существует способов выбрать k
человек из п + 1?
Осталось понять, почему ответ в этой задаче не только С* + 1, но и
Ckn + С*"1. Для этого выберем из п + 1 человек одного, например Петю
Васечкина, и разобьем все варианты на два случая: 1) Петя входит
в число выбранных; 2) Петя не входит в число выбранных.
В первом случае, кроме Пети, нам нужно выбрать k — 1 человек,
но уже из п человек (без Пети). Это можно сделать Chn~x способами.
А во втором случае нам нужно выбрать k человек из п человек. И это
можно сделать Скп способами. Итого, окончательный ответ по правилу
суммы С* +СГ\ т. е. С* +C*~1= C* + 1. Ш
Замечание. Легко было доказать это свойство, используя
явную формулу для числа сочетаний. Попробуйте это сделать
самостоятельно.
5. Бином Ньютона
Биномом Ньютона называется формула:
-1b + ... + Cknan~kbk + ... + C%bn. (1)
В этой формуле п — натуральное число, а и Ъ — любые числа или
алгебраические выражения.
Глава I. Введение
я/ Исторический комментарий
Исаак Ньютон (1642(1643)—1727) — великий английский математик
и физик. В одном из основополагающих трудов «Математические начала
натуральной философии» (1687) описал законы, позже названные в его честь,
и закон всемирного тяготения, являющиеся фундаментом классической
механики. Он открыл теорию рассеивания света, выяснив, в частности, причину
образования радуги. Построил зеркальный телескоп. Примерно в одно
время с немецким ученым Г. В. Лейбницем, Ньютон создал дифференциальное
и интегральное исчисление.
Будучи назначенным директором Монетного двора Англии,
реформировал монетную систему, в частности, придумал наносить рифление на ребро
монеты (что предотвращало порчу монеты путем спиливания ее металла
вокруг контура). Исаак Ньютон являлся одним из основателей Лондонского
Королевского общества — аналога академии наук.
Интересно, что Ньютон значительную часть времени занимался
вопросами богословия, в частности, исследованием хронологии библейских
событий.
Благодаря литературе (например: «Тоже мне бином Ньютона», —
говорит Бегемот из романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита»)1,
наряду с теоремой Пифагора бином Ньютона является одним из самых
известных математических понятий.
□ Докажем эту формулу по индукции.
база индукции, п- 1. а + Ъ = С\а + С\Ь = а + Ь.
индукционный переход. Пусть верна формула
(a + b)n = C%an +C1nan~1b + ... +Cknan~kbk + ... +C%bn.
Тогда
(а + b)n + 1 = (а + Ъ)п(а + Ь) =
= (С%ап +С\ап-1Ъ + ... + Cknan~kbk + ... + C%bn)(a + Ъ).
Последнее равенство верно по индукционному предположению.
Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим
1 Интересно, что в рассказе «Последнее дело Холмса» А. Конан Дойль,
характеризуя профессора Мориарти, говорит, что тот потряс ученый мир
Европы своим трактатом о биноме Ньютона. Однако в то время (вторая половина
XIX в.) ничего нового и потрясающего про бином Ньютона доказать было
невозможно! И Булгаков, и Конан Дойль используют понятие «бином Ньютона»
как синоним некоторого сложного недоступного знания, что, как вы
убедитесь, отнюдь не так!
§5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Так как С\ + Ckn~x = Ckn + 1 (см. пример 58) иСпп = С£+1, то
(а + Ь)п + 1= С°п + 1ап + 1 + С1п + 1апЪ + ... + Ckn + 1an~k + 1bk + ... +C% + 1bn + 1.
Следовательно, равенство (1) верно. IS
Данную формулу можно доказать и по-другому.
Рассмотрим процесс перемножения п скобок (а + Ъ) • (а + Ъ) • ... х
х (а + Ъ) до приведения подобных слагаемых. Каждое слагаемое
получается так: из каких-то k скобок берем множитель а, а из оставшихся
п - k скобок — множитель Ъ. В результате получается слагаемое вида
akbn~k. Ясно, что таких слагаемых будет несколько, а именно столько,
сколько способов выбрать из п скобок те k скобок, в которых берется
множитель а. А это число способов и равно Ckn. Поэтому в итоговую
сумму слагаемое вида akbn~k входит с коэффициентом С^, и так для
всех целых k от 0 до п.
Пример 59, Чему равна сумма С° + С\ + ... + С% ?
□ Подставим в формулу бинома Ньютона значения а-\ и Ь=1.
Получим 2п = (1 + 1)" = С°1* + C^l"-1! + ... + Cknln~klk + ... + C%ln =
= С® + С\ + ... + С%, таким образом, ответ: 2п.
Эту формулу можно было бы доказать, придумав комбинаторную
задачу, ответом в которой будет как левая, так и правая часть.
Примером такой задачи может служить следующая: сколько существует
последовательностей 0 и 1 длины п?
Вычислить количество n-символьных последовательностей из
нулей и единиц можно двумя способами:
1. Сложить найденные в примере 54 количества п-символьных
последовательностей, в которых имеются 0 нулей (их будет С^), 1 нуль
(их будет С^), 2 нуля (их будет С^), ..., п нулей (их будет С£).
Получим, что всего n-символьных последовательностей из нулей и единиц
будет C£+Ci +C2n + ...+Q.
2. На каждом из п мест в последовательности может стоять нуль
или единица, т. е. имеется два варианта заполнения каждого места.
Варианты заполнения разных мест независимы. Поэтому, применив
правило произведения, получаем, что количество n-символьных
последовательностей из нулей и единиц равно 2п.
Поскольку полученные два выражения имеют один и тот же
комбинаторный смысл, то они равны. 11
Пример 60, Какое слагаемое в разложении выражения (1 + V3)100 по
формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
П Рассмотрим отношение (k + 1)-го члена разложения бинома
Ньютона к fe-му члену. Оно равно
1 = 100!/г! (100- k)\ jg = (100- /г)Уз
Cfoo • (V3)fc (* + I)* (ЮО - k - 1)! 100! V k + 1
Если это отношение больше 1, то (k + 1)-й член разложения
больше k-ro.
48 , Глава I. Введение
о (100 -/г)л/3 1 . 100л/3-1 ло nQ
Решив неравенство — > 1, получим k < 7=— ~ 63,03,
*+1 1+л/3
т. е. при значениях k от 1 до 63 включительно следующее слагаемое
больше предыдущего, таким образом, наибольшее слагаемое будет при
k = 64. Ответ: С|& • (л/3)64. 11
Пример 61- Какой коэффициент будет в разложении выражения
(х + у + 2)566 при х5О(у°256?
□ Раскроем скобки и не будем приводить подобные слагаемые.
Степень каждого одночлена будет равна 566, при этом нам нужно
подсчитать, сколько одночленов вида х5ООг/1Ог56 у нас получилось. Но при
раскрытии скобок одночлен х5ООг/1Ог56 будет получаться, если мы из
500 скобок выберем х, из 10 скобок выберем у и из оставшихся 56
m r ^,500 ^ю (500+10+56)! 566! ._,
выберем г. Таким образом: С™ • С*° = 5Q0, 1Q, 56/ = 500! 10! 5бГ ®
Об. Особенности множества вещественных чисел
1. Представление о множестве вещественных чисел
С натуральными числами вы сталкивались еще до поступления
в школу. Практически все умеют считать, и могут находить сумму или
произведение натуральных чисел. Натуральные числа появились так
давно, что кажется, что с человечеством они были всегда. Недаром
немецкий математик XIX в. JI. Кронекер сказал: «Натуральные числа
создал Бог, все остальное — дело рук человеческих».
сторический комментарий
п
Леопольд Кронекер (1823—1891) — немецкий математик. Один из
основоположников линейной алгебры (в части теории решения систем
линейных уравнений), классик теории чисел. Считал, что только арифметика
обладает подлинной реальностью. После окончания Берлинского
университета он занялся финансовой деятельностью и весьма преуспел. Любовь
к математике привела к тому, что Кронекер преподавал без вознаграждения
в Берлинском университете в течение многих лет.
Естественным образом в жизни человека появляются также и
дроби. Каждому известно, что такое четверть яблока или половина пирога.
Наконец, отрицательные числа также возникают в реальной практике
(например, в средневековой Индии отрицательное число
интерпретировали как долг).
Таким образом, то числовое множество, которое сейчас
называется «Множество рациональных чисел», давно и хорошо знакомо челове-
49 I §6. Особенности множества вещественных чисел
честву. В частности, еще в Древней Греции получали результаты,
относящиеся к рациональным числам.
Однако, тот факт, что отношение длины диагонали квадрата
к длине его стороны не является рациональным числом, привел к
кризису древнегреческой математики, распаду школы Пифагора и даже,
по легенде, к убийству ученика Пифагора, обнародовавшего этот факт.
Мы не будем в нашем учебнике строить теорию вещественного
числа (то, как вещественные числа получаются из рациональных),
удовлетворившись имеющимся у каждого из вас представлением о
вещественных числах и о том, что они складываются и умножаются по
тем же законам, что и рациональные числа, и таким же образом их
можно сравнивать по величине.
Как известно, каждое вещественное число можно изображать
точкой на числовой оси. Рациональные числа заполняют ось не целиком
(хотя между двумя рациональными числами всегда есть еще хотя бы
одно, например, их полусумма). На оси есть «дырки». Должно быть
некоторое свойство множества вещественных чисел, описывающее,
как заполнены эти «дырки». Таким образом, с помощью этого
свойства можно получить множество вещественных чисел расширением
множества рациональных чисел.
Напомним следующие стандартные обозначения числовых множеств:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел,
Q — множество рациональных чисел,
R — множество вещественных чисел.
О Предостережение. Некоторые учащиеся путают, принимая
множество рациональных чисел за R (видимо, считая, что R — первая
буква слова «рациональный»). R — первая буква французского reele
и английского real — вещественный, реальный, действительный.
2. Ограниченные числовые множества.
Точные верхние и нижние границы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -—"———-—■———-—^
Числовое множество А называется ограниченным сверху,
если ЗМ: \/х е А х ^ М. Число М называется верхней
границей множества (рис. 1.10).
| ' Ъ
А М Х
Рис. 1.10
Пример 62, Любой отрезок является ограниченным сверху
множеством. Также множеством, ограниченным сверху, является множество
А = {х g Q: х2 ^ 3}. Его верхней границей является, например, число
100 (ясно, что все рациональные числа, квадрат которых меньше 3,
будут меньше 100). SI
50 | Глава I. Введение
Если М — верхняя граница множества А, то любое число,
большее М, также верхняя граница множества А.
Отметим, что у множества всех натуральных чисел, меньших 100,
есть верхняя граница, принадлежащая самому множеству, — это
число 99. В то же время у множества чисел вида < -—: neN> такой
верхней границы нет. Также нет верхней границы, принадлежащей
самому множеству, у множества А из предыдущего примера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -~--------------------------------------------------------
Верхняя граница числового множества, принадлежащая
самому этому множеству, называется максимальным
элементом или максимумом множества.
Обозначение максимального элемента множества A: max А.
Таким образом, у множества натуральных чисел, меньших 100,
есть максимальный элемент, а у множества чисел вида <—: jigj
а также у множества А = {х е Q: х2 ^ 3} максимального элемента нет.
Аналогично определяются понятия числового множества,
ограниченного снизу, нижней границы и минимума множества.
Обозначение минимального элемента множества A: minA.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Числовое множество, ограниченное сверху и снизу,
называется ограниченным.
Ограниченное множество содержится в некотором отрезке
числовой прямой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ——~—~~~——~^^
Пусть А — непустое ограниченное сверху множество. Пусть
МА — множество его верхних границ. Если в МА есть
наименьший элемент, то он называется супремумом
множества А.
Обозначение: sup А. С помощью введенных обозначений
определение супремума множества записывается так: sup A = minMA (рис. 1.11).
X
1У1А
Рис. 1.11
А МА
Таким образом, чтобы найти супремум множества, согласно
определению нужно найти множество верхних границ данного множества,
а затем взять его наименьший элемент (если он есть).
§6. Особенности множества вещественных чисел
Аналогично инфимумом ограниченного снизу непустого числового
множества В называется наибольший элемент в множестве нижних
границ (если он существует).
Обозначение: inf В.
Если В — ограниченное снизу множество и тв — множество его
нижних границ, то inf В = тахАПБ.
Супремум и инфимум множества также называются точной
верхней границей и точной нижней границей множества
соответственно.
Пример 63. Пусть А = {х е R: О ^ х ^ 1}. Тогда множество верхних
границ А — луч [1; +оо). Число 1 — наименьший элемент в множестве
верхних границ. Поэтому sup А = 1. IS
Пример 64, Рассмотрим А = {х g Q: х2 < 1}. Докажем, что множество
всех его верхних границ — [1; +оо) и найдем sup А.
□ Действительно, если у ^ 1, то у2 ^ 1, а тогда Vx g А у2 ^ х2.
Неравенство у2 ^ х2 равносильно неравенству |у|^|х|, откуда, с учетом
того, что у — положительное число, получаем у ^ \х\. В свою очередь,
\х\ ^ х. Итак, у ^ х.
Таким образом, все у ^ 1 являются верхними границами
множества А.
Пусть теперь у < 1. Тогда Зх g Q: (у < х < 1) л (х > 0). Но х2 < 1,
поэтому х g А. Итак, поскольку нашелся элемент А, больший г/,
взятый нами у не является верхней границей для А.
Теперь видно, что наименьшей границей среди верхних границ
является число 1, значит, sup A = 1.
Итак, в данном случае множество А, состоящее из рациональных
чисел, имеет своим супремумом также рациональное число. В
Пример 65, Пусть А = {х g Q: х2 < 3}. Это множество ограничено
сверху, однако рационального супремума оно не имеет. Ш
Итак, если ограничиваться рассмотрением множества
рациональных чисел Q, то его ограниченные сверху подмножества могут как
иметь супремум в Q, так и не иметь его.
Пример 66, Рассмотрим пустое множество. Разумно считать его
ограниченным. Ведь, например, определение ограниченности
сверху множества А можно записать так: ЗМ: \/х ((х g А) -+ (х ^ М)).
Если А = 0, то посылка импликации будет ложной, а значит, вся
импликация — истинной. При этом истинной эта импликация
будет при всех М. Таким образом, верхней границей пустого
множества служит любое вещественное число. Пустое множество не имеет
супремума. Иногда, впрочем, полагают для записи sup 0 = —оо.
Аналогично записывают inf 0 = +оо, отмечая тот факт, что среди
нижних границ пустого множества нет наибольшей. Ш
52 | Глава I. Введение
3. Аксиома полноты
Для множества вещественных чисел принимается верной аксиома
полноты, выражающая тот факт, что изображения вещественных
чисел на оси заполняют ось целиком, не оставляя «дырок». Она имеет
несколько равносильных формулировок, каждая из которых может быть
принята за аксиому, а тогда остальные будут уже теоремами. В нашем
изложении полноту прямой будет задавать следующая аксиома.
Аксиома супремума
Любое непустое ограниченное сверху множество вещественных
чисел имеет супремум. Иначе говоря, множество верхних границ
любого ограниченного сверху множества имеет наименьший элемент!
Это и есть та недостающая аксиома, которая отличает
вещественные числа от рациональных. А именно, множество
вещественных чисел есть множество супремумов всевозможных
ограниченных сверху подмножеств рациональных чисел.
Утверждение ■■
Любое ограниченное снизу числовое множество имеет инфимум.
D доказательство. Пусть В — числовое множество,
ограниченное снизу. Пусть т — одна из нижних границ множества В. Тогда
\/х s ^ у *> т Умножая неравенство на (-1), получаем Vx e В
-х ^-т. Иначе говоря, число -т является верхней границей
множества А = {—х: х е В}. Обратно: если М — верхняя граница
множества А, то \/у е А у ^ М, что после умножения на (-1) дает \/у g A
—у^—М. Однако -у g В, причем если у принимает все значения из А,
то -у принимает все значения из В. Итак, Vx е В х ^ —М (рис. 1.12).
1 1 1 ►
A sup А 0 infB В х
Рис. 1.12
Таким образом, каждая нижняя граница множества В
является числом, противоположным соответствующей верхней границе
множества А, и наоборот. Но в множестве верхних границ
множества А есть наименьший элемент. Тогда ему противоположный будет
наибольшим в множестве нижних границ множества J5, т. е. infB. Ш
Утвержден ие
Пусть А и В — два непустых числовых множества, причем Vx e A
Vy е В х^у. Тогда sup/\ ^ inf В (рис. 1.13).
A sup A infB В ~*
Рис. 7.73
53 , §7. Мощность множеств
Q доказательство. Множество А ограничено сверху (его верхней
границей является, например, любой элемент из множества В).
Значит, существует sup А, являющийся наименьшей из верхних границ
множества А. Но поскольку любой элемент из множества В является
верхней границей множества А, то У у е В sup A ^ у (по определению
супремума). Тогда sup А является нижней границей множества В
(по определению нижней границы), a inf Б, являясь наибольшей из
нижних границ, будет больше либо равен любой нижней границы,
в том числе и sup А. Итак, sup A ^ inf Б. 11
О7. Мощность множеств
1. Как установить, равны ли количества элементов
в двух множествах
Представим себе бал, на котором присутствуют юноши и девушки.
Распорядитель бала хочет узнать, поровну ли юношей и девушек,
а если нет, то кого из них больше?
Естественно, первый способ узнать это — просто сосчитать
количество тех и других, а затем сравнить числа между собой. Однако
в случае большого количества участников бала этот способ займет
слишком много времени.
Есть и другой способ: объявить вальс, призвать всех танцевать и
посмотреть, все ли разбились на пары. Если да, то юношей и девушек
поровну. Если нет, то тех, кто остался, больше и можно даже узнать,
на сколько больше.
Это простое соображение и лежит в основе общего подхода к
проблеме подсчета «количеств элементов» в различных множествах.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два множества называются равномощными, если между
этими множествами существует взаимно-однозначное
соответствие1.
Например, все множества из трех элементов равномощны, так как
можно сопоставить первый элемент одного множества первому
элементу второго, второй элемент первого множества второму элементу
второго множества и, наконец, третий элемент первого множества
третьему элементу второго.
Очевидны следующие естественные свойства равномощных
множеств:
1. Два множества, равномощные третьему, равномощны между
собой.
1 Подробно о взаимно однозначном соответствии см. главу IV.
54 Глава I. Введение
2. Если множество А равномощно множеству J3, то и множество В
равномощно множеству А.
3. Множество равномощно самому себе.
Эти свойства напоминают свойства равенства, параллельности,
равенства фигур в геометрии и т. п.
2. Счетные множества
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество, равномощное множеству натуральных чисел,
называется счетным.
Казалось бы, что здесь удивительного? Но здесь нас и
подстерегают неожиданности.
Пример 67. Множество натуральных чисел, больших 2, счетно.
□ Пусть А = {п е N: п > 2}. Рассмотрим следующее
взаимно-однозначное соответствие: числу п g А поставим в соответствие число
п - 2. Ясно, что при этом каждому числу из множества А будет
поставлено в соответствие натуральное число, разным числам из А будут
соответствовать разные натуральные числа и каждое натуральное
число будет соответствовать какому-то числу из множества А. Ш
Итак, оказалось, что в множестве натуральных чисел столько же
элементов, сколько в его подмножестве, образованном выкидыванием
двух элементов! Невозможно, чтобы при выкидывании из конечного
множества двух элементов в нем осталось столько же элементов,
сколько было!
Пример 68. Объединение двух непересекающихся счетных множеств
счетно.
□ Пусть А и В — два счетных непересекающихся множества.
Тогда существует взаимно-однозначное соответствие /, ставящее в
соответствие элементы множества А всем натуральным числам, и
взаимно-однозначное соответствие g, ставящее в соответствие элементы
множества В всем натуральным числам. Пусть f(x) = п. Поставим в
соответствие элементу х е А натуральное число 2п. Если g(y) = m,
поставим в соответствие элементу у е В натуральное число 2пг — 1. В
результате элементам множества А поставлены в соответствие все четные
натуральные числа, а элементам множества В — все нечетные
натуральные числа. Следовательно, объединение множеств А и В счетно. Ш
Итак, в одном множестве столько же элементов, сколько в двух
таких же!
Но и это еще не все.
Пример 69, Множество рациональных чисел счетно.
□ Расположим рациональные числа в виде бесконечной
пирамидальной таблицы:
§ 7. Мощность множеств
1
2
3
4
5
6
1
3
2
"Т
2
3
_5
1
1>
1
1
2
1
1
4
1
5
0
/
^ '
_^
1
1
2
3
1
1
5
т
т
2
т
2
т
В строке таблицы с номером п стоят рациональные числа,
представленные в виде несократимых дробей, у которых сумма модулей
числителя и знаменателя равна п. Ясно, что в каждой строке, кроме
первой, не более 2п - 2 чисел (где п — номер строки). Теперь будем
обходить числа, начиная с 0, по маршруту, показанному на рисунке,
и присваивать натуральные номера встречающимся числам.
Приведем номера нескольких первых чисел, записав под номером
соответствующее ему число в таблице:
п
1
0
2
1
1
3
1
1
4
2
1
5
1
2
6
1
2
7
2
1
8
3
1
9
1
3
10
1
3
11
3
1
12
4
1
13
3
2
14
2
3
15
1
4
16
1
4
17
2
3
18
3
2
19
4
1
20
5
1
Ясно, что таким образом все рациональные числа будут
пронумерованы, а это и есть искомое соответствие между множеством
рациональных чисел и множеством натуральных чисел: каждому
рациональному числу соответствует его номер. В!
3. Несчетные множества
Может показаться, что все множества счетны. Однако это не так.
ТЕОРЕМА КАНТОРА (1874 г.) тр
Множество вещественных чисел отрезка [0; 1] не является
счетным. Ь
56 Глава I. Введение
□ доказательство. Пусть утверждение теоремы неверно и
множество чисел отрезка [0; 1] счетно. Это значит, что их можно
занумеровать, т. е. каждому числу присвоить натуральный номер.
Запишем числа в столбик по порядку номеров. При этом каждое
число запишем бесконечной десятичной дробью и не будем допускать
числа с «хвостом» из одних девяток. Например, вместо 0,19999999...
будем писать 0,200... .
Получилась следующая запись:
0, а1а2аг...
0, ЬгЬ2Ь3...
0, сгс2с3...
Сконструируем теперь десятичную дробь по следующему правилу.
Запишем 0, а после запятой на первое место поставим цифру,
отличную от аг и от 9, на второе место — цифру, отличную от Ъ2 и 9, на
третье — отличную от с3 и 9 и т. д. В результате получится десятичная
дробь, которая не упомянута в списке дробей, так как с каждой из
написанных различается хотя бы в одной цифре! Получили противоречие
с тем, что все числа отрезка [0; 1] были пронумерованы. Ш
Самостоятельно подумайте, зачем нужно было выбирать цифры,
отличные от 9.
рический комментарий
Георг Кантор (1845—1918) — немецкий математик, основатель
современной теории множеств. Ввел понятие равномощных множеств, доказал не-
равномощность множества точек отрезка и множества натуральных чисел,
сформулировал аксиому непрерывности, занимался теорией рядов и другими
вопросами. Из соображений о мощностях доказал, что существуют числа, не
являющиеся корнями многочленов с целыми коэффициентами. Работы
Кантора оказали революционное влияние на математику. Как сказал великий Д.
Гильберт: «Никто не изгонит математиков из рая, созданного для них Кантором».
Можно показать, что множество точек отрезка [0; 1] равномощно
множеству всех вещественных чисел, которое, в свою очередь, равно-
мощно множеству точек плоскости, а также получить много других
удивительных и захватывающих дух следствий.
Однако завершим параграф следующим определением:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ —-~-~~-—--—~—-~^^
Множество называется бесконечным, если оно
равномощно некоторому своему подмножеству, отличному от себя
самого.
Именно потому, что множество натуральных чисел равномощно,
например, множеству четных чисел, можно сказать, что оно
бесконечно!
§8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование
Уравнения с одной переменной.
Равносильность и следование
1. Понятие уравнения и его корня
С понятиями уравнения и неравенства мы постоянно имели дело
в курсе основной школы.
Пусть задано множество М. Уравнением с одной переменной
будем называть равенство вида f(x) = g(x), где f(x) и g(x) —
выражения, имеющие смысл при подстановке значений переменной х из
множества М.
На протяжении нашего курса множество М обычно будет
числовым множеством.
X + 1
Пример 70. а) —:— = х — уравнение, обе части которого имеют смысл
при подстановке вещественных х, не равных 0, т. е. М = R\{0}.
б) НОД (х; х + 3) = НОД (3; х) — это уравнение, выражения в
обеих частях которого имеют смысл лишь при целых значениях
переменной х, т. е. М = Z. Ш
Таким образом, уравнение — это предикат специального вида
с одной переменной, заданный на некотором числовом множестве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Значение переменной, при подстановке которого в
уравнение получившееся равенство будет верным, называется
корнем уравнения.
Решить уравнение означает найти все его корни или
доказать, что их нет.
Следовательно, ответом в уравнении является множество всех его
корней. Это множество должно удовлетворять двум требованиям:
1. Все его элементы являются корнями уравнения.
2. Никаких других корней, помимо указанных, уравнение не имеет.
Нетрудно видеть, что решить уравнение означает найти
множество истинности соответствующего предиката.
Мы знаем два способа задания множеств: перечислением и
характеристическим свойством.
Например, множество корней уравнения 1 из примера 70
можно задать так: <хе R: - = х>. Ясно, что этот ответ абсолютно вер-
I х )
ный, но никому не нужный. Поэтому понятие решения уравнения
нужно уточнить, наложив ограничение на способ описания множества
корней.
58 i Глава I. Введение
Сформулируем это ограничение следующим образом:
Решить уравнение означает представить множество его корней
в виде объединения промежутков (отрезков, интервалов,
полуинтервалов и лучей) и множеств, состоящих из отдельных точек
Обычно ответ уравнения выписывают «слева направо» — в
порядке следования корней на числовой оси.
Например, ответ уравнения \х\(х + 1) = х(х + 1) — множество
{-1} U [0; +оо).
Иногда множество корней уравнения представляет собой хорошо
известное множество (например, множество корней уравнения 2
примера 70 — это множество всех целых чисел). Естественно, что нет
смысла перечислять по отдельности все целые числа для записи ответа
в данном уравнении. Можно просто записать в ответе Z.
Конечно же, не всегда ответ уравнения можно записать в
требуемом виде. Например, некоторые уравнения могут иметь ответом
множество всех рациональных чисел, больших 5. Однако подавляющее
большинство решаемых нами уравнений допускают запись ответа
в требуемом виде.
2. Область определения уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
(Естественной) областью определения уравнения (иногда —
областью допустимых значений уравнения) называется
множество всех значений переменной х, при которых обе части
уравнения одновременно имеют смысл.
Для краткости мы будем использовать аббревиатуру ООУ для
записи области определения уравнения.
В дальнейшем если не указывается множество М, на котором
задано уравнение, то подразумевается, что уравнение задано на
естественной области определения.
Возникает вопрос: насколько это понятие необходимо и нужно ли
начинать решение уравнения с поиска ООУ? Безусловно, знание ООУ
полезно, поскольку среди значений переменной, не входящих в
область определения, заведомо нет корней уравнения. Тем самым
сужается круг поиска, и задача может упроститься.
В то же время, далеко не всегда стоит начинать решение
уравнения с нахождения его области определения. Может случиться, что
нахождение области определения уравнения никак не облегчает отбор
корней, да и само по себе может оказаться слишком сложной задачей,
даже сложнее, чем само уравнение.
59 §8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование
Гораздо важнее следить за изменениями области определения
при преобразовании уравнения, которые могут привести к потере
корней (в случае сужения ООУ) или приобретению посторонних корней
(в случае расширения ООУ).
Вот несколько интересных примеров, связанных с понятием ООУ:
Пример 71. Решим уравнения:
а) — = 0. Левая часть этого уравнения равна 0 всюду, кроме х = 0.
Число 0 не входит в ООУ. Поэтому множеством корней этого
уравнения является (-оо; 0) U (0; +оо).
х2
б) — = 0. У этого уравнения нет корней.
х2 — Зх + 2
в) = х — 2. Сократив дробь в левой части уравнения, по-
х - 1
лучим х — 2. Равенство х — 2 = х — 2 выполнено при всех значениях х.
Таким образом, если не учесть ООУ, можно получить неправильный
ответ — множество вещественных чисел. С учетом ООУ получаем
ответ (-оо; 1) U (1; +со).
г) у[х — у[х = 0. Множество корней уравнения: [0; +оо). Щ
При стандартных преобразованиях уравнений примера 71
(например, при сокращении дроби) происходит расширение области
определения, которое может повлечь появление «лишних корней». Таким
образом, в уравнениях данного примера нахождение ООУ было
полезным.
Пример 72. Рассмотрим уравнение - = -.
1 о
1 +
1 +
1 +
1+ X
Решив его, не обращая внимание на ООУ, получаем х = 1.
Очевидно, что найденное значение х принадлежит ООУ, поскольку при
положительных х все знаменатели получающихся дробей будут
положительны, а никаких других причин для сужения ООУ, кроме
возможного деления на 0, нет.
В то же время нахождение ООУ данного уравнения довольно
громоздко (можете найти его самостоятельно).
Таким образом, в данном случае поиск ООУ нецелесообразен. В
Пример 73. Рассмотрим уравнение у/х — 1 + V3 — Зх = х2 — 1. ООУ этого
уравнения состоит из одного числа х = 1. Подстановкой убеждаемся,
что это число является корнем уравнения.
Таким образом, в этом примере поиск ООУ явился ключевым
моментом решения. SI
60 Глава I. Введение
Пример 74, Рассмотрим уравнение д/х3 - х - 1 = д/х3 + х - 4. Здесь
найти ООУ в приемлемом виде просто невозможно. В то же время,
из необходимости для равенства радикалов равенства подкоренных
о
выражений получаем х = —. Непосредственной подстановкой убежда-
3
емся, что подкоренное выражение левой части уравнения при х = -
положительно. Проверять положительность подкоренного выражения
о
правой части нет необходимости, поскольку при х - - оба подкорен-
ных выражения равны. Коль скоро одно из них положительно при
о
данном значении х9 то другое тоже. Ответ: х = -. Ш
Другие примеры, связанные с необходимостью поиска ООУ, будут
рассмотрены далее.
Итак, единого рецепта по поводу необходимости отыскания ООУ
нет. Всякий раз, решая конкретное уравнение, нужно отдельно
решать вопрос о необходимости отыскания ООУ.
3. Равносильность и следование
Пусть даны два уравнения: f1(x) = g1(x) (1) и /2 (х) = g2 (x) (2).
Обозначим множество корней уравнения (1) через М19 а
множество корней уравнения (2) через М2.
Поскольку уравнения являются предикатами, то можно
рассмотреть следование уравнений как следование предикатов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ———~~—~~-—--~--—^^
L
Если М) а М2, т. е. если каждый корень уравнения (1)
является корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется
следствием уравнения (1) (запись: (1) => (2)).
Например, уравнение х2 — 4 = 0 является следствием уравнения
х — 2 = 0, т. е. х-2 = 0=>х2 — 4 = 0. Действительно, множество
решений первого уравнения Мх = {2} содержится в множестве решений
второго уравнения М2 = {-2; 2}. Заметим, что обратного следствия нет.
Следствием уравнения, множество решений которого пусто,
является любое другое уравнение.
Точно также понятие равносильности предикатов может быть
применено и к уравнениям:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если множества решений уравнений МЛ и М2 совпадают, то
уравнения (1) и (2) называются равносильными.
Замечание. Если уравнения равносильны, то каждое из них
является следствием другого.
61 I §8. Уравнения с одной переменной Равносильность и следование
Эти определения естественны, но иногда расходятся с нашими
обычными представлениями: когда мы говорим о следовании или
равносильности, мы невольно (опираясь на привычный опыт)
представляем себе какую-то связь между формами записи уравнений,
«получение» одного уравнения из другого какими-то
преобразованиями.
Равносильны ли уравнения = 0 и — = 0? Да!
Множестве - 2 х6 + х + 1
во решений каждого уравнения пусто, поэтому они равносильны. При
этом одно уравнение никак «не получается» из другого.
Наличие следования или равносильности между двумя
уравнениями зависит, в том числе, и от областей определения этих уравнений.
Напомним, что в определение уравнения входит множество М, на котором
рассматривается это уравнение. В связи с этим говорят о
равносильности уравнений на каком-то множестве чисел. Например, уравнения
х2-4 = 0их-2 = 0 равносильны на множестве всех положительных
чисел (или, например, на множестве натуральных чисел), но не
равносильны на множестве R.
Обычно (кроме специально оговариваемых случаев) мы будем
рассматривать уравнения на естественной области определения и
говорить, что уравнения равносильны, опуская слова «на естественной
области определения».
4, Логика решения уравнения. Преобразования уравнений
Рассмотрим несколько способов решения уравнений.
Использование равносильных преобразований
Этот метод состоит в приведении уравнения к простейшему
уравнению х = а или совокупности уравнений такого вида (или к системе
уравнений или неравенств или даже к совокупности таких систем, для
каждой из которых ответ получается стандартным образом).
Особенность метода состоит в том, что на каждом шаге в цепочке
преобразований не происходит изменения множества решений
исходного уравнения, т. е. нет ни потери корней, ни приобретения
посторонних корней.
Осталось понять, какие преобразования будут заменять уравнение
равносильным ему (такие преобразования будем называть
равносильными).
Например, в курсе основной школы мы пользовались тем, что
множество решений уравнения не меняется, если:
1) к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число;
2) обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же
отличное от нуля число.
62 , Глава I. Введение
Оказывается, если слово «число» заменить на слово «выражение»
или «функция», ситуация усложняется. Имеют место следующие
утверждения:
Утверждение 1 ' ' ' '
; Пусть дано уравнение f(x) = д (х). Если функция ср (х) определена
при всех значениях х из области определения этого уравнения,
то f(x) = д (х) <=> f (х) + ф (х) = д (х) + ф (х).
Комментарий. Здесь существенным является условие: «функция
ф(х) определена при всех значениях х из области определения этого
уравнения». Если это не так, может произойти потеря корней.
Действительно, если х — а — корень уравнения f(x) = g(x), — не входит в
область определения функции ф(х) (т. е. если ф(а) не определено), то
число а не является корнем уравнения f(x) + ф(х) = g(x) + ф(х), т. е.
произошла потеря корня.
Пример 75, Уравнения х + 3 = 2 и х + 3 + л/х = 2 + л/х не равносильны!
Единственный корень первого уравнения (х = -1) не является корнем
второго уравнения, которое вообще не имеет вещественных корней. 11
Пример 76. После упрощения уравнения х2 + х + л/х - 1 = л/х - 1 + 2
получим х2 + х — 2 = 0, откуда х = 1 или х = -2. Но при этом х = —2 не
является корнем исходного уравнения! Корнем исходного уравнения
является 1. Щ
Ситуации примеров 75 и 76 стали возможными благодаря тому,
что в процессе преобразований изменилась область определения
уравнения. В частности, в примере 76 уравнение, равносильное исходному,
может быть записано так: х2 + х - 2 + л!х - 1 - л!х - 1 = 0. Знаки
радикалов в записи этого уравнения «напоминают» о том, что ООУ
является луч [1; +оо). Можно также записать систему, равносильную исход-
Гх2+х-2=0,
ному уравнению:
Таким образом, даже такие безопасные с виду действия, как
приведение подобных слагаемых или взаимное уничтожение одинаковых
выражений в обеих частях уравнения, могут расширять область
определения уравнения и, соответственно, вести к приобретению
посторонних корней.
Утверждение 2
Пусть дано уравнение f(x) = g (x). Если функция ф (х) определена
при всех значениях х из области определения этого уравнения и
не обращается в нуль ни в одной точке этого множества, то
f(x) = g(x)^> f(x) • ф (х) = д (х) • ф (х).
§8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование
Комментарий. Условие «функция ф(х) определена при всех
значениях х из области определения этого уравнения» играет ту же роль,
что и раньше (в противном случае уравнение f(x) • ф(х) = g(x) • ф(х)
даже не является следствием исходного уравнения), а условие «ф(х) не
обращается в нуль ни в одной точке области определения исходного
уравнения» предохраняет от появления посторонних корней.
Пример 77, Решим уравнение + - = -. Если умножить обе
2-х 2 2х - хг
части уравнения на 2(2х - х2), получим 4х + 2х - х2 = 8, откуда х = 4
или х = 2. Однако х = 2 не является корнем уравнения, так как не
входит в ООУ. Ответ: {4}. 11
Здесь так же, как в предыдущем примере, в записи полученного
уравнения нет «напоминания» о том, что его область определения не
содержит точек 0 и 2.
Таким образом, решая уравнение с использованием равносильных
преобразований, нужно внимательно следить, чтобы каждое
следующее уравнение действительно было равносильно предыдущему.
Этот подход оправдывает себя при работе с технически
несложными и стандартными уравнениями.
Использование уравнений-следствий. Цепочки следствий и проверка
Весьма часто бывает трудно следить за равносильностью
преобразований, особенно когда речь идет о технически сложных уравнениях.
В таких случаях имеет смысл выстроить цепочку следствий, т. е.
проследить, чтобы по пути не произошло потери корней. При этом как
правило появляются посторонние корни, которые можно потом
отбросить проверкой — но проверка при этом является обязательной
частью решения! Например, имеет место следующее утверждение:
Утверждение 3
Пусть дано уравнение f(x) = д (х). Тогда уравнение f2 (х) = д2 (х)
является его следствием.
П ри м е р 78, Рассмотрим уравнение 4х + 1 = \1х- 2 + ^2х - 5. При
возведении в квадрат обеих частей данного уравнения может расшириться
область определения уравнения, могут также появиться посторонние
корни, но наверняка не происходит потери корней. Значит,
получившееся уравнение будет следствием исходного. Возводим в квадрат:
После преобразований получим у] х- 2у/2х - 5 = 4 - х. Еще раз
возводим в квадрат: 2х2 - 9х + 10 = х2 - 8х + 16.
Следовательно х2 - х - 6 = 0, откуда х = -2 или х = 3.
64 ■ Глава I. Введение
Проверка (это действие обязательно!): х = 3 подходит
(является корнем исходного уравнения); х = -2 — посторонний корень.
Ответ: {3}. 11
Замечание. Непосредственная проверка (подстановка
полученных значений переменной в исходное уравнение) может оказаться
трудоемкой, а иногда и вовсе невыполнимой задачей (например, если
ответом будет целый промежуток). В каких-то случаях будет
действительно выгоднее воспользоваться равносильными преобразованиями;
тогда, конечно, проверка уже будет не нужна.
О9. Неравенства с одной переменной
Базовые понятия, относящиеся к неравенствам, родственны
аналогичным понятиям, введенным для уравнений.
Пусть задано числовое множество М. Строгим неравенством с
одной переменной на множестве М будем называть предикат вида
f(x) > g(x) или f(x) < g(x), где f(x) и g(x) — выражения,
принимающие числовые значения при подстановке значений переменной х из
множества М. Задача решения неравенства состоит в нахождении всех
значений х, при подстановке которых неравенство обращается в
верное числовое неравенство. Такие значения называются решениями
неравенства.
Общий вид нестрогого неравенства: f(x) ^ g(x) (f(x) ^ g(x)).
Множество решений нестрогого неравенства, очевидно, является
объединением множества решений соответствующего строгого неравенства
f(x) > g(x) и уравнения f(x) = g(x).
Любое неравенство может быть записано и в таком виде: F(x) > О
(F(x) ^ 0). Это тоже равноправная (и для нас более удобная) форма
записи неравенства в общем виде.
Таким образом, неравенства с одной переменной являются
предикатами специального вида.
Ответом в неравенстве является множество всех решений этого
неравенства. Уточним: как и в случае уравнения, это множество должно
удовлетворять двум требованиям:
1) все указанные в ответе значения переменной являются
решениями неравенства;
2) никаких других решений, помимо указанных, неравенство не
имеет.
Так же, как в случае уравнений, ответ в неравенстве обычно
представляется в виде объединения промежутков (отрезков,
полуинтервалов, интервалов, лучей) и множеств, состоящих из отдельных точек.
Как и в случае уравнений, некоторые неравенства могут иметь ответ,
не записываемый подобным образом. Однако ответ в подавляющем
большинстве встречающихся неравенств может быть представлен в
требуемом виде.
ШШ §9. Неравенства с одной переменной
1. Область определения неравенства
Понятие области определения неравенства полностью аналогично
понятию области определения уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ——--■---—~-~--------~--^^
(Естественной) областью определения неравенства
(иногда — областью допустимых значений неравенства)
называется множество всех значений переменной х, при которых
обе части неравенства одновременно имеют смысл.
Для краткости будем использовать аббревиатуру ООН для записи
области определения неравенства.
2. Равносильность и следование
Пусть даны два неравенства: f1(x)>g1(x) (1) и f2(x)>g2(x) (2).
(Знаки неравенств здесь могут быть любыми: >, <, ^, ^.)
Обозначим множество решений неравенства (1) через М19 а
множество решений неравенства (2) через М2.
Поскольку неравенства являются предикатами, то можно
рассмотреть следование неравенств как следование предикатов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ———-----—-—--—--■---—-—^^
Если М^ с /W2, т. е. если каждое решение неравенства (1)
является решением неравенства (2), то неравенство (2)
называется следствием неравенства (1): (1) => (2).
Например, неравенство х2 — 4 > 0 является следствием неравенства
я - 2 > О, т. е. х — 2>0=>х2-4>0. Действительно, множество
решений первого неравенства Мг = (2; +оо) содержится в множестве
решений второго неравенства М2 = (-оо; -2) U (2; +оо). Заметим, что
обратного следствия нет.
Точно также понятие равносильности предикатов может быть
применено и к неравенствам.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если множества решений уравнений М^ и М2 совпадают, то
неравенства (1) и (2) называются равносильными.
Замечание 1. Если неравенства равносильны, то каждое из них
является следствием другого.
Замечание 2. Как и в случае уравнений, понятие
равносильности неравенств зависит от области определения неравенства. Обычно
будем рассматривать неравенства на естественной области
определения и говорить, что неравенства равносильны, опуская слова «на
66 , Глава I. Введение
естественной области определения». Неравенства, не имеющие
решений, также считаются равносильными!
Еще раз отметим, что все до сих пор сказанное выглядит
абсолютно одинаково для уравнений и неравенств: мы только поменяли знак
равенства на знак неравенства и заменили слово «уравнение» на слово
«неравенство», что неудивительно, ибо уравнения и неравенства суть
предикаты, и понятия следования и равносильности для них являются
частными случаями соответствующих понятий для предикатов.
А вот дальше начинаются различия. Логика решения неравенства
сложнее, чем уравнения; кроме того, стандартные преобразования,
применяемые при работе с уравнениями, имеют свои особенности в
применении к неравенствам.
Например, вам известно, что умножение обеих частей неравенства
на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный
(при умножении уравнения на число нужно было следить только за
тем, чтобы оно не было равно нулю, а здесь приходится обращать
внимание еще и на знак числа). Многие преобразования, в случае
уравнения расширяющие ООУ и ведущие к приобретению посторонних
корней (умножение на знаменатель, возведение в квадрат и др.) при
работе с неравенствами могут привести к потере решений и вообще
принципиально неверному ответу. К тому же, в отличие от уравнений,
в неравенствах, как правило, невозможна проверка всех решений. Это
означает, что схема, использующая цепочку следствий с последующей
проверкой найденных решений, столь удобная для уравнений, для
неравенств непригодна.
И все-таки многие приемы и методы аналогичны приемам и
методам решения уравнений (равносильные преобразования, разложение
на множители, замена переменной). Однако главное замечание состоит
в том, что решение практически любого неравенства при помощи
«метода интервалов» можно свести к решению одного или нескольких
уравнений! Это, собственно, и будет нашим основным методом в работе
с неравенствами. (При этом корни соответствующего уравнения
доставляют нам часть граничных точек для включаемых в ответ
промежутков.)
Рассмотрим теперь вопрос о равносильных преобразованиях
неравенств.
В курсе основной школы мы пользовались тем, что множество
решений неравенства не меняется, если:
1) к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число;
2) обе части неравенств умножить (разделить) на одно и то же
положительное число;
3) обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное
число и изменить знак неравенства на противоположный.
Эти утверждения меняются, если слово «число» заменить на слово
«выражение» или «функция». Мы будем пользоваться следующим
набором утверждений:
67 1 § 9. Неравенства с одной переменной
Утверждение 1
Пусть дано неравенство f(x) > g (х). Если функция ф (х)
определена при всех значениях х из области определения этого
неравенства, то f(x) > д (х) <=> f(x) + ф (х) > д (х) + ф (х).
Комментарий. Как и в случае уравнений, существенным
является условие «функция ф(х) определена при всех значениях х из области
определения этого неравенства». Если это не так, может измениться
множество решений. Действительно, если х = а — решение
неравенства f(x) > g(x), — не входит в область определения функции ф(х) (т. е.
если ф(а) не определено), то число а не является решением
неравенства f(x) + ф(х) > g(x) + ф(х).
Пример 79. Неравенства х + 3<2их + 3 + л/х<2 + л/хне равносильны!
(Множество решений первого неравенства есть открытый луч (—оо; -1),
а множество решений второго неравенства 0.) Ш
Значит, для неравенств, как и для уравнений, даже такие
безопасные с виду действия, как приведение подобных слагаемых или
взаимное уничтожение одинаковых выражений в обеих частях неравенства,
могут изменять область определения неравенства и, соответственно,
множество решений.
Дальше мы не будем повторять все комментарии, которые уже
были сделаны при рассмотрении примеров на решение уравнений.
Просто кратко сформулируем оставшиеся утверждения.
Утверждение 2«
Пусть дано неравенство f{x) > д (х). Если функция ф (х)
определена при всех значениях х из области определения этого
неравенства и положительна на этом множестве (ф (х) > О для всех х из
области определения неравенства), то
f (х) >д(х)<=> f(x) • ф (х) > д (х) • ср (х).
Утверждение 3-
Неравенства f(x) > д (х) и -f(x) < -д (х) равносильны, т. е.
f(x)>g(x)^-f(x)<-g(x).
Следствие. Если функция ф(х) определена при всех значениях х
из области определения неравенства f(x) > g(x) и отрицательна на
этом множестве (ф (х) < 0 для всех х из области определения
неравенства), то
f(x) > g(x) « f(x) • ф(х) < g(x) • Ф(х).
Мы пока ограничимся этим набором преобразований с тем, чтобы
расширить его при необходимости позже. В частности, пока мы не
обсуждаем возведение неравенства в степень и применение некоторых
формул.
68 I Глава I. Введение
И последнее: все эти преобразования мы будем стараться
использовать в минимальном объеме, а именно для приведения неравенства
к виду, удобному для применения метода интервалов. Метод
интервалов мы считаем главным методом решения алгебраических
неравенств.
Пример 80. Как решать неравенство вида (f(x))2 > (g(x))2? Здесь
фактически идет речь об извлечении корня из обеих частей неравенства.
Но можно попросту воспользоваться формулой разности квадратов:
(/(х))2 > (g(x))2 <* (/(х))2 - (g(x))2 > 0 « (/(х) - g(x))(f(x) + g(x)) > 0.
Таким образом мы естественным путем приходим к методу
интервалов. Ш
3. Метод интервалов
В общем случае метод интервалов основывается на следующем
рассуждении.
Пусть имеется неравенство вида f(x) > 0. Предположим, что
f(a) > 0, a f{b) < 0. Тогда для непрерывных функций естественно
предположить, что где-то между а и Ъ левая часть неравенства принимает
значение 0 или не определена. Тем самым, если на каком-то
промежутке числовой оси непрерывная функция f(x) не имеет корней и
определена при всех х из этого промежутка, то знак этой функции на
данном промежутке будет постоянным.
Замечание. Конечно же, то, что мы «естественно
предположили», выполнено далеко не для всех функций. Однако функции,
фигурирующие в подавляющем большинстве неравенств, которые мы
будем решать, непрерывны и такому предположению удовлетворяют.
Таким образом, для применения метода интервалов к решению
неравенства f(x) > 0 достаточно отметить на числовой оси все решения
уравнения f(x) = 0, а также точки, в которых функция f(x) не
определена. Обычно отмеченными точками числовая ось разбивается на
интервалы, в каждом из которых левая часть неравенства принимает
значения одного знака. Достаточно выбрать из этих интервалов те, на
которых функция имеет нужный знак, и при необходимости (если
неравенство нестрогое) добавить в множество решений корни функции.
Рассмотрим несколько примеров, решающихся с помощью метода
интервалов.
Пример 81- Решим неравенство Xs - 2х2 — 5х + 6 ^ 0.
□ Решим сначала уравнение Xs - 2х2 - 5х + 6 = 0:
Xs - 2х2 - Ьх + 6 = (х - 1)(х - 3)(х + 2).
Корнями уравнения являются числа -2, 1, 3. Отметим их на числовой
прямой.
Заметим, что если х > 3, то все сомножители положительны
(х-1>0, х + 2>0, х-3>0) и произведение будет положительно.
. Неравенства с одной переменной
Если 1 < х < 3, то х - 1 > О, х + 2 > О, х - 3 < 0 и произведение будет
отрицательно. Если -2<х<1, тох-1<0, х + 2>0, х-3<0и
произведение положительно; наконец, если х < -2, то все сомножители и,
следовательно, произведение отрицательны. Заметим также, что сами
корни в данном случае неравенству удовлетворяют, так как
неравенство нестрогое. Получаем ответ: х е [-2; 1] U [3; +оо) (рис. 1.14).
Рис. 1.14
Можно было рассуждать и по-другому. Заметив, что во всех
точках между соседними корнями функция принимает значения одного
знака, на каждом промежутке можно было взять одну (любую) точку,
чтобы определить знак во всех точках этого промежутка.
Например, взяв х = 4 на промежутке (3; +оо), заметим, что
(4 - 1)(4 - 3)(4 + 2) > О и, значит, (х - 1)(х - 3)(х + 2) положительно
при всех х > 3. Аналогично для промежутка (1; 3) можно взять х = 2,
чтобы определить, что выражение (х - 1)(х — 3)(х + 2) отрицательно
при 1 < х < 3 и т. д.
Наконец, возможно следующее рассуждение: можно заметить (в
данном случае), что при переходе через корни ровно один сомножитель
меняет знак и, значит, все выражение меняет знак. Таким образом, если
при х > 3 выражение положительно и при переходе через корень х = 3
(т. е. при движении по оси справа налево после точки х = 3) выражение
знак поменяло, то при 1 < х < 3 выражение отрицательно, далее при
переходе через корень х = 1 выражение еще раз меняет знак и,
следовательно, положительно при -2 < х < 1. Наконец, выражение меняет знак
при переходе через х = -2 и, следовательно, отрицательно при х < -2.
На картинке удобно отмечать положительные участки «верхней
волной», отрицательные участки «нижней волной» (рис. 1.14), а
корни уравнения рассматривать отдельно, выделяя их «жирной точкой»,
если они включаются в ответ и «незаштрихованной» точкой, если они
не включаются в ответ. Ш
Пример 82. Решим неравенство (х - 1)3(х + 2)2(х + 3)п(2 - х) > 0.
D Отметим на числовой прямой корни уравнения
(х + 1)Цх + 2)2(х + 3)п(2 - х) =0 (рис. 1.15),
т. е. -3, -2, 1, 2:
70 | Глава I. Введение
Если х > 2, то множитель 2-х отрицателен, а остальные
сомножители положительны, таким образом, все выражение отрицательно.
При переходе через точку 2 сомножитель 2-х меняет знак, а знаки
остальных не меняются, таким образом произведение меняет знак и
становится положительным, т. е. выражение положительно при 2<х<1.
При переходе через точку 1 сомножитель (х — I)3 меняет знак
(если х > 1, то (х — I)3 положительно, если х < 1, то (х — I)3
отрицательно), остальные сомножители знак не меняют, таким образом
произведение меняет знак и становится отрицательным при -2 < х < 1.
Обратите внимание, что линейный множитель (х — 1) входит в
разложение на множители в нечетной степени и произведение меняет
свой знак при переходе х через точку 1. Другой случай у нас
встретится при переходе х через точку (-2).
В самом деле, сомножитель (х + 2)2 положителен как при х > -2,
так и при х < -2, таким образом при переходе через точку (-2) ни один
из сомножителей знак не меняет, значит и произведение не меняет
знак и остается отрицательным при -3 < х < — 2. Особо отметим, что
линейный множитель (х + 2) входит в разложение на множители в
четной степени и свой знак при переходе через точку (-2) не меняет,
как и все произведение.
Наконец, при переходе через точку (-3) меняет знак сомножитель
(х + З)11, (11 — нечетная степень) и, следовательно, все произведение
положительно при х < -3.
Отдельно рассмотрим точки, нанесенные на числовую прямую.
Так как неравенство нестрогое, а нанесенные точки — корни
уравнения (х - 1)3(х + 2)2(х + 3)п(2 - х) = 0, то все они удовлетворяют
исходному неравенству и их нужно включить в ответ. Таким образом,
итоговый ответ: х е (-оо; -3] U {-2} U [1; 2].
В ответе точка х = -2 получилась изолированной, не входящей ни
в один интервал. При решении неравенств про такие точки часто
забывают. Поэтому мы рекомендуем отдельно рассматривать точки,
которые наносятся на числовую прямую (корни соответствующего
уравнения и точки, в которых функция (выражение) не определена — см.
примеры 83 и 84). Ш
Замечание. Еще раз обратим внимание на следующее возможное
решение. После того, как мы отметили точки —3, -2, 1, 2 на рисунке,
можно взять по одной точке из каждого промежутка (конечного или
бесконечного) на которые разбивают числовую прямую эти точки и
определить знак выражения в этих точках. Например, можно взять
точку х = 3, и, заметив, что при этом значении выражение отрицательно,
сделать вывод, что выражение отрицательно при всех х > 2. Заметив,
что выражение положительно при х = 1,5, можно сделать вывод, что
выражение положительно при всех 2 < х < 1, и т. д.
В двух следующих примерах мы отмечаем на числовой прямой не
только корни соответствующего уравнения, но и точки, в которых
рассматриваемое выражение не определено.
Э. Неравенства с одной переменной
Пример 83. При каких значениях х определено выражение
/(*) = J — г^г; — ?
V X уХ — О) уХ ~г о)
П Данное выражение определено при тех и только тех значениях х,
(х - I)2 (х + 2)3 (3 - х) . n ,
которые удовлетворяют неравенству — ^ О (подко-
ХуХ — 5) уХ + 3)
ренное выражение должно быть неотрицательно). Решим данное
неравенство методом интервалов. Для этого отметим на числовой прямой
(х — I)2 (х + 2)3 (3 — х)
корни уравнения —-—_ = 0 и точки, в которых это выра-
х(х - 5)3(х + 3)
жение не определено. Это точки -3, -2, 0, 1, 3, 5. При этом корни
уравнения обозначены закрашенными точками, а точки, где
выражение не определено — незакрашенными (рис. 1.16).
Если х > 5, то все сомножители положительны, кроме 3-х,
значит все выражение отрицательно. При переходе через точку 5
множитель (х - 5)3 меняет знак (степень нечетна!), а остальные нет, поэтому
все выражение меняет знак и становится положительным при
3 < х < 5. При переходе через точку 3 множитель 3-х меняет знак и
вместе с ним все выражение меняет знак и становится отрицательным,
(х - I)2 (х + 2)3 (3 - х) Л о л _. 1
т. е. — < О при о > х > 1. При переходе через точку 1
х(х - 5)3(х + 3)
никакой из множителей знак не меняет (может менять знак только
множитель (х — I)2, но он этого не делает — он положительный как
при х > 1, так и при х < 1 — степень множителя четна), поэтому
выражение отрицательно при 0 < х < 1. Далее, выражение меняет знак при
переходе через точки 0 и —2 (степень соответствующих множителей
нечетна!) и точку -3, таким образом, выражение отрицательно при
-3 < х < -2 и положительно при -2<х<0 и х<-3.
Отдельно рассмотрим нанесенные на прямую точки. Точки 1, —2
и 3 входят в множество решений (при этих значениях выражение
равно 0), а точки 0, —3 и 5 не входят (при этих значениях выражение не
определено). Таким образом, ответ (его удобнее всего «считать» по
рисунку 1.16): х <е (-оо; -3) U [-2; 0) U {1} U [3; 5).
Заметим, что, как и в предыдущих примерах, для того, чтобы
определить знак выражения на промежутках, можно было из каждого
72 1 Глава I. Введение
промежутка взять по точке и посмотреть какого знака значение
выражения в этой точке. Щ
Наконец, рассмотрим еще один пример.
„ (5jc + 4)(3л: - 2) ^ (Зх - 2)(х + 2)
Пример 84, Решим неравенство -^- ^ — -.
х + 3 1 — х
□ В левой и правой части данного примера мы видим один и тот же
сомножитель Зх - 2, однако сократить на него было бы ошибкой, так
( 2\
как он может быть как положительным при х > — , так и отрица-
3
тельным при х < — и во втором случае мы должны были бы изме-
V s)
нить знак неравенства. Поэтому при таком способе решения нужно
( 2 2 2 ^
было бы рассмотреть три случая х > —, х < —, х = — , но удобнее пе-
у^ о о /
ренести все в левую часть, разложить на множители и воспользоваться
методом интервалов:
(5л: + 4)(3л: - 2) . (Зл: - 2)(л: + 2) (5л: + 4)(3л: - 2) (Зл: - 2)(л: + 2) ^ л
л: + 3 1-л: л: + 3 1-л:
^ л: + 3 1 - x ) (x + 3)(1 - л:)
Здесь удобно поделить неравенство на -2, изменив знак на противопо-
. ,-г (Зл: - 2)(3л:2 + 2л: + 1) ^ л
ложный. Получим равносильное неравенство — ^ 0.
Заметим, что Зх2 + 2х + 1 > 0 при любом х (а значит этот множитель не
меняет знак выражения). Таким образом наше неравенство равносиль-
Зл: - 2 ^ п т,
но неравенству ^ О. Решаем
его методом интервалов (рис. 1.17).
Ответ: х е | -3; § U (1; +оо). Ш
О Ю- Уравнения и неравенства с модулем
1. Элементарные уравнения и неравенства с модулем.
Интерпретация на числовой прямой
Напомним определение, известное из курса основной школы:
с, если х ^ 0,
-х, если х < 0.
§ 10. Уравнения и неравенства с модулем
Кстати, заметим, что нам удобнее будет немного другая форма это-
{х, если х ^ 0,
-х, если х ^ 0.
На числовой прямой модуль числа х есть расстояние от точки
А(х) до начала отсчета. Это удобно использовать для решения
уравнений и неравенств вида |х| = а, |х| < а, |х| > а и т. д. (здесь и далее мы
пока обсуждаем только случай а > 0).
Уравнение
или
неравенство
\х\=а
(а>0)
\*
(а
< а
>0)
I*
(а
> а
>0)
Геометрический
смысл
Расстояние от
точки с координатой х
до нуля составляет
ровно а единиц
Точка с
координатой х удалена от
нуля на расстояние,
меньшее а единиц
Точка с
координатой х удалена от
нуля на расстояние,
большее а единиц
Интерпретация
на числовой прямой
-а 0 а х
~%////%////,а *
///л~£ ? ?////.£
Решение
[х = а,
[_х = -а
-а <х < а,
т. е.
х е (-а; а)
х > а или х < -а,
т. е.
х е (-оо; -а) U
U (а; +оо)
Заметим сразу, что решение любого из приведенных неравенств
связано с решением соответствующего уравнения, а именно: корни
уравнения являются границами интервалов в ответе для неравенства.
Рассмотрим общий случай уравнений и неравенств такого вида.
На координатной плоскости сразу видно, что уравнение |х| = а
имеет следующие решения (рис. 1.18):
если а > 0, то решений два: хх = -а,
х2 = а;
если а = 0, то единственное решение х = 0;
если а < 0, то решений нет.
На этом же рисунке видно, что
неравенство | х | < а имеет следующие
решения:
если а > 0, то х g (-а; а);
если а < 0, то решений нет.
Для неравенства |х| > а:
если а > 0, то х е (-оо; -а) U (а; +со);
если а ^ 0, то решением является
любое число: х е R. Рис. 1.18
У,
\ a
\
-a 0
/
Л
a
y-
V
у
>0)
X
= a (a < 0)
74 ; Глава I. Введение
Следствие. При а > О неравенство |х| < а равносильно двойному
II Гх > а,
неравенству —а<х<а, а неравенство \х\ > а — совокупности
А теперь легко видеть, что те же подходы годятся для уравнений
и неравенств вида \f(x)\ = а, |/(х)| < а, |/(х)| > а и т. д.: они сводятся
к уже рассмотренным с помощью замены f(x) = t.
Пример 85, Решим уравнение \2х - 3| = 5. Уравнение \t\ = 5 имеет два
решения t = 5 или t = —5; соответственно, 2х - 3 = 5, откуда х = 4; или
2х - 3 = -5, откуда х = -1 (рис. 1.19). Ответ: {-1; 4}.
-14 -1
Рис. 7.79 Рис. 7.20 Рис. 7.27
А теперь решим неравенство 12х — 31 < 5. Отметим на числовой оси
корни уравнения \2х - 3| = 5: значения хх = -1 и х2 = 4. Ответом в
неравенстве будут все точки корневого промежутка, т. е. интервал (-1; 4)
(рис. 1.20).
В случае же неравенства 12х - 31 > 5 ответом будет вся внешняя
часть корневого промежутка, т. е. объединение открытых лучей
(_оо; -1) U (4; +оо) (рис. 1.21). В
ВЫВОД
В общем случае неравенство \f(x)\<a равносильно систе-
{f (х) < а, л -
: ' или, в случае а > 0, двойному не-
/ (х) > — а,
равенству -а < f (х) < а.
Неравенство |f(x)|>a равносильно совокупности
неравенств , с
f(x) < -a.
2. Операция снятия знака модуля.
Перебор случаев, метод интервалов
Пример 86. Решим уравнение \х — 11 = 2х + 1.
Если мы попробуем (аналогично решению уравнения \f(x)\ = а) на-
х-1=
писать совокупность то, peniHB ее, получим два кор-
\_х — 1 — — (Zx + 1),
ня: х = 0 или х = -2. При этом х = 0 будет корнем данного уравнения,
§ 10. Уравнения и неравенства с модулем
а х = -2 корнем не является, что можно
проверить прямой подстановкой. Причины этого
видны на рисунке 1.22.
Решим это уравнение другим способом.
Для этого раскроем модуль по
определению:
— 1, если х — 1 ^ О,
II — х, если х — 1 ^ О,
У
: - 1, если х
— х, если х
1,
1.
х
рис. 1.22
1), а
поРассмотрим два случая.
1) х ^ 1. В этом случае уравнение
приобретает вид х - 1 = 2х + 1, откуда х = -2. Но
х = -2 не подходит условию рассмотрения данного случая (х
тому корнем не является.
2) х ^ 1. В этом случае уравнение приобретает вид 1 — х = 2х +1,
откуда х = 0. Это значение удовлетовряет условию х < 1, поэтому
действительно является корнем данного уравнения.
Удобно записать это решение в следующей форме:
1
X
— х
X
X
< 1 1
= 2х+1
= 0
= 0
L х>1
*-1=2*Н
х = -2
0
X
hi
Ответ: {0}.
Пример 87, Построим график функции у = \ 2х — 31
+ х.
*>§
х
= 3-2х +
I/ = 2л: - 3 + х
у = 3х-3
График показан на рисунке 1.23. В
Если модулей в уравнении
(неравенстве, функции) несколько, то поступаем
следующим образом.
Сначала отмечаем на числовой прямой все
корни и точки разрыва выражений под знаком
модуля. Они разбивают прямую на интервалы,
Рис.
0
1.23
76 Глава I. Введение
-1
3-
О
Зх-1
X
Рис. 1.24
на которых все «подмодульные выражения»
имеют постоянный знак. Знак этот
определяется, например, при помощи подстановки
какого-либо значения («контрольной точки») из
соответствующего интервала.
После этого остается только решить
получившееся уравнение или неравенство, в
котором уже не будет модулей, и выбрать
решение, принадлежащее данному промежутку
(пересечь полученное множество решений с
промежутком, в котором работали).
Пример 88. Построим график функции
у = 2\х- 1| + |х+ If.
J 1 < v < "I I X ^> \ X
= -Зх+1
\х-1\ = 1-
у=3-х
у = 2(х - 1) + х + 1
у = Зх-1
График показан на рисунке 1.24. В
Пример 89. Решим уравнение 2|х-1| + |х+1| =
-2(х-
2
3
1)
X
-(*+1) =
2
3
-ОО; -1]
0
-1 0
3
_O/^ 1\ 1 v 1 1
£а\^шЛ/ Л. j i А, 1 Л.
х = 0
0е[-1;1]
х = 0
]
= 3
1 3
2(х-1
1'
)
X
н
X
X
^л:+1 = 3
4
3
1;+оо)
4
~ 3
Очевидно, сама операция снятия знака модуля нисколько здесь не
изменилась. Далее, решая полученные уравнения, отбираем корни,
принадлежащие выбранным интервалам.
Это можно пронаблюдать с помощью графика, показанного на
рисунке 1.24. г 4^|
Ответ: <0; -L Ш
Пример 90. Решим неравенство 2|x-l| + |x+l|<3.
х
0
Ответ: | 0; - |.
3
л:>0
-
i
И)
Задачи и упражнения
Видно, что отличий в ходе решения не слишком много. Нужно
лишь отобрать в каждом промежутке те значения х, которые
удовлетворяют неравенству, «работающему» на этом промежутке.
Граничные точки промежутков (х = -1 и х = 1) лучше включать в оба
промежутка: это даст нам возможность контролировать правильность
вычислений. Например, точка х = 1 обязана одновременно входить в
решения обоих неравенств
-2х + 2 + х+1<3 и 2х-2 + х+1<3. И
О Если в условии присутствует двойной модуль (модуль в
выражении под знаком модуля), то лучше сначала снять знак внутреннего
модуля, а потом, сохраняя уже полученные граничные точки,
заняться снятием внешнего модуля.
Пример 91. Решим неравенство |3-|х-2||^|х-7|.
2 х
|3 - х + 2| < I* " 7|
\5-х\<\х-7\
ш
-х
X
'ЖШ
-1<7
-1<7
6(-оо;
- #
-1]
ш
х +
X G
\<Д - х
х<3
= [-1;2]
5
— л:
5
ш
<1
<7
[2;
-
5]
X
х -
X
5<7
х<6
е[5;
г
- л:
6]
Г
л:
— 5 < х —
-5<-7
0
л:
7
Ответ: (—оо; 6]. В
Задачи и упражнения
Понятие высказывания и предиката
Группа А
1.1. Укажите среди предложений высказывания, для найденных
высказываний укажите их истинностные значения:
а) Который час?
б) Число 2 есть наименьшее простое число.
в) Если х = 5, то х — 1 = 4.
г) Вычислите х2 при х = 5.
д) Долой войну!
е) Территория России — самая большая среди всех государств мира,
ж) Не нужно сушить волосы над газовой плитой.
з) Число 5 является корнем уравнения х2 — 25 = 0.
и*) Утверждение пункта и*) ложно.
78 i Глава I. Введение
1.2. Укажите какое-либо значение а, чтобы предикат стал тождеством:
а) х ^ ах - 1; б) а2 + х2 ^ 2х; в) (Vx)2 = ах.
Логические операции над высказываниями и предикатами
Группа А
1.3. Найдите истинностное значение высказывания:
а) ^((7- 5 ^6) л (2 • 2 = 0));
б) (-,(2 - 3 < 4)) v (2 - 3 = -1) л (5 • 8 < 48);
в) -,((2 -3<4)v(2-3 = -1)) л (5 • 8 ^ 48);
г) (-,(2 - 3 < 4)) v ((2 - 3 = -1) л (5 • 8 < 48));
д) ((22<4)v(7>5))^^(5>8);
е) (22<4) v((7>5)^^(5>8));
ж) -,(2 + 2 = 8) -^ ((3 = 5) -* (7 < 9));
з) Ь(2 + 2 = 8) - (3 = 5)) — (7 < 9);
и) (-,((2 + 2 = 8) — (3 = 5))) - (7 < 9).
1.4. Докажите, что при всех истинностных значениях высказываний
а, Ь, с и d:
а) (а л (а -+ Ь)) —► & истинно;
б) (b v с) v (а л —ic) = (а v b) v с (т. е. истинностные значения
выражений (b v с) v (а л —ic) и (а v b) v с одинаковы);
в) (п(ал5Ь(Н)ла) = о;
г) ((а —► Ь) л (-ib)) —► -«а истинно;
д) (а л (а —► (b v с)) л (Ь -► d) л (с -► d)) —► d истинно.
1.5. Приведенные ниже сложные высказывания представьте в виде
результатов логических операций с простыми высказываниями,
обозначив последние буквами:
а) Если мы напишем контрольную работу раньше, то пойдем
в кино или в парк.
б) Вы пошли в буфет во время урока, значит, вы пропустили урок.
в) У ваших ботинок оплавлены подошвы, значит, вы промочили
ноги и, придя с улицы, грели их у камина.
г) Не поехав в город и не работая на приусадебном участке, мы
проведем выходной день, читая книгу или играя в футбол.
1.6. Придумайте предложение о ваших планах после окончания
школы, в котором встречались бы:
а) две импликации и конъюнкция; б) импликация и две
дизъюнкции; в) три импликации, отрицание и конъюнкция.
Постарайтесь придать этим предложениям как можно более
естественную форму с точки зрения русского языка.
1.7. Найдите истинностное значение высказывания а, если:
a) a v (2 + 2 = 5) — ложно; б) (-.а) л (2 • 2 = 4) — ложно;
в) -п(а v 3 • 3 = 8) — истинно; г) а —► (2 + 4 ^ 6) — ложно;
д) (2 + 4 ^ 6) —► а — истинно; е) а —► (-ia) — истинно;
ж) (a v (2 • 3 ^ 7)) -^ (а л (2 • 3 ^ 7)) — истинно;
з) а л (—\а —> а) — ложно;
и) (a-+(av (-.a))) v ((а л (3 • 7 = 21)) -^ Ьа)).
Задачи и упражнения
1.8. Известно, что если Петя не видел Колю на улице, то либо Коля
ходил в кино, либо Петя сказал правду; если Коля не ходил в
кино, то Петя не видел Колю на улице и Коля сказал правду; если
Коля сказал правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солгал.
Выясните, ходил ли Коля в кино.
1.9. На острове живут рыцари, говорящие всегда правду, и лжецы,
которые всегда лгут.
а) Б сказал А: «А, ты лжец!». Какие из следующих утверждений
заведомо истинны:
а — «А — лжец»; Ъ — «Б — лжец»; с — «А и Б разных типов»;
d — «Б — рыцарь, А — лжец»; е — «Если А — рыцарь, то Б —
лжец»; / — «Если Б — лжец, то А — рыцарь»?
б) Известно, что если А — рыцарь, то и Б — рыцарь. Какие из
следующих утверждений заведомо верны:
а — «А — рыцарь»; Ъ — «А и Б — одного типа»; с — «Если А —
лжец, то и Б — лжец»; d — «Если В — рыцарь, то и А —
рыцарь»; е — «Если Б — лжец, то и А — лжец»?
в) А сказал: «Если я лжец, то и Б — лжец». Какие из
следующих утверждений заведомо верны:
а — «Если А — лжец, то и Б — лжец»; Ъ — «А — лжец»; с —
«Если А — рыцарь, то Б — лжец»; d — «Если А — рыцарь, то
и Б — рыцарь»; е — «А и Б — лжецы»; / — «А и Б — одного
типа»; g — «Если Б — рыцарь, то А — рыцарь»; h — «Если А —
рыцарь, то о Б ничего нельзя сказать»; i — «Если А — лжец, то
В — рыцарь»; у — «А — рыцарь или Б — лжец»?
1.10. При каких х предикат обращается в истинное высказывание
(изобразите полученные значения х на числовой оси):
а) (-.(х2 - 2х - 3 ^ 0)) v (х2 + 2 < 0);
б) (х2 - 2х - 3 ^ 0) л (х2 + х < 0);
в) (х2 - 2х - 3 > 0) л ^(х2 + х < 0);
г) (i(x2 - 2х - 3 ^ 0) v (х2 + х < 0)) л (|х| ^ 2);
д) (2 > х) ^ (2 > 1); е) (2 < х) ^ (4 < 5); ж) (х > 5) -^ (х > 3);
з) (х > 4) -^ (Зх < 6); и) ((х > 5) v (х < 3)) -^ (х2 < 4);
к) ((х > 5) — (х < 3)) ^ (х2 < 4);
л) (х > 5) ^ ((х < 3) ^ (х2 < 4));
м) (х2 < 4) -^ ((х > 5) -^ (х < 3))?
Группа В
1.11. При каких вещественных а предикат является тождеством:
а) (х < a) v (х > 2);
б) ((х - 1)(х - а) < 0) v ((х - 1)(х - 2) > 0);
в) ((х - 1)(х - 2) ^ 0) v ((х - 1)(х - а) > 0);
г) ((х - 1)(х - а) ^ 0) v ((х - а)(х - 2) > 0);
д) ((х - 2)(х - а) ^ 0) -> ((х - 3)(х - 1) > 0);
е) ((х - а)(х - 2) < 0) -* ((х - 1)(х - 2а) ^ 0);
ж) ((х - а)(х - 2а) ^ 0) v (а + 1 ^ х ^ а + 2)) -^ (х g (2; 15));
Глава I. Введение
з) ((х - а)(х - 2а) ^ 0) v (а + 1 ^ х ^ а + 2)) -^ (х е (2; 15));
и) (3 ^ х < 6) -^ ((х - а)(х - 2а) < 0 -^ а - 1 ^ х ^ а + 1);
к) ((3 ^ х ^ 6) -* ((х - а)(х - 2а) ^ 0)) -* (а - 1 ^ х ^ а + 1)?
1.12. Изобразите на координатной плоскости множество точек, при
подстановке соответствующих координат которых данный
предикат обращается в истинное высказывание:
а) х - у = 1; б) (х ^ 3) v (х + у = 2); в) (-.(х < 3)) л (х
г) ((х > 3) л (у > 1)) л ((х < -3) v (у < -2));
д) ((х > 3) v (у > 1)) л ((х < -3) v (у ^ -2));
е) (х > 2) - (у < 3);
ж) ((х + у = 1) л (х ^ 3)) — (х > у);
з) (х + у = 1) л ((х ^ 3) — (х > у)).
Понятие множества. Способы задания множеств
Группа А
1.13. Задайте множество характеристическим свойством:
а) {-1; 0; 1};
б) {2; 1; 0; л/2};
в) множество четных натуральных чисел;
г) множество чисел вида 12/г + 7, где k — целое.
1.14. Задайте множество перечислением:
а) {х <е N: 5 < 2х + 1 < 28}; б) {х е Д: (х- I)2 + (х2 - I)2 = 0};
в)
г) |х е N:
1.15. Верно ли, что:
а) 1 <е {х: У у ху + 1 > у}; б) 2 е {х: Vy ху + 1 > у};
в) 2 <е {у: Vx х2 + 1 > у}; г) -2 е {у: Vx х2 + 1 > у}?
1.16. В верхней строке таблицы записаны некоторые элементы, а б
нижней — некоторые множества. Запишите все возможные
соотношения принадлежности элементов верхней строки таблицы
множествам нижней ее строки:
{0;
0
-1;
1}
{{-1;
{0}
;1>
{-1
{{0;
Ы;
; 1}
-1};
И;
-1
-1;
{0}}
Н;
{-1;
1;
1;
2}
2}
{0;
-1;
1}
;0;
1}
1};
1.17. Какие элементы х удовлетворяют условию:
а) х е 0; б) х е {0}; в) х е {0; {0}; {0; {0}}}.
1.18. Приведите пример множеств A, J5 и С, таких, что А е Б, В е С, но
А е С.
1.19. Выпишите все множества, являющиеся подмножествами
множества {1; 2; 3; 4}.
Задачи и упражнения
1.20. Приведите пример возможного универсума для:
а) множества всех ромбов;
б) множества всех равносторонних треугольников;
в) множества всех правильных многоугольников;
г) множества всех кругов и многоугольников.
Приведите пример общего универсума для множеств пунктов а—г.
1.21. Приведите пример универсума для множеств задачи 1.13.
Группа В
1.22. Найдите все хей, такие, что:
а) — е {-1; 1; 3}; б) х + 1е\х; 2х-\\ — >; в) х- 1 е \ 1; -1; —>.
х+1 [ х-2\ [ х)
1.23. При каких вещественных х в множестве {х; х2; х - 3; 2х — 1}
будет меньше четырех элементов?
Подмножества и надмножества. Равенство множеств
Группа А
1.24. Докажите, что если A cz В и В cz С, to А с С (транзитивность
включения).
1.25. Выберите такие попарно различные подмножества A, В, С, £>, Е
множества {1; 2; 3; 4; 5}, чтобы одновременно выполнялись
следующие условия:
а) A cz В, В с С, В cz Е, С cz D, E cz D;
б) A cz £, £ с С, £> cz Б, С cz Б.
1.26. Докажите, что не существует попарно различных подмножеств
А, Б, С, £>, Е множества {1; 2; 3; 4}, чтобы одновременно
выполнялись следующие условия:
а) 1 g А, А с С, Б с Д £ с Б, С с £;
б) 2 е D, 3 е Б, В cz С, A cz Б, С cz £>, D cz £.
Покажите, что в пунктах а и б отсутствия любого из данных
условий достаточно для существования подмножеств,
удовлетворяющих оставшимся условиям.
1.27. Приведите пример попарно различных множеств А, Б, С, D, £,
чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
а) A cz С, С <z Б, Е cz Б, D cz Б;
б) В cz А, С cz £>, С cz E, A cz £>;
в) D cz £, С cz D, A cz Б.
Группа В
1.28. а) Докажите, что попарно различных множеств, одновременно
удовлетворяющих условиям пунктов а и б предыдущей задачи, не
существует.
б) Какое условие из пункта а или б предыдущей задачи нужно
вычеркнуть, чтобы нашлись попарно различные множества А, Б, С,
D, Е, удовлетворяющие оставшимся условиям пунктов а и б?
82 j Глава I. Введение
в) Найдите множества А и Б, если попарно различные множества
А, Б, С, D, Е удовлетворяют условиям пунктов айв предыдущей
задачи и являются подмножествами множества {1; 2; 3; 4}.
1.29. Верно ли, что:
а) {1; -1; 3} с {х: х4 - х3 + х - 1 = 0};
б) {х: х < 3} с {х: х2 < 9};
в) {х gN: х2 > 16} c{jcgZ:x> 4};
г) ^ х: 3/г е Z х = '
k+
д) {х: х2 + х Z 12} с {x: х2 - 25 > 0}?
1.30. Найдите все х е R, такие, что:
а) {x2; 2 - x; x + 3} = {1; 4};
б) {x; x + 1; 2x - 1} с {3 - x; x2 - 1; 2 - x};
в) jx; x2 - 1; 2x + 1} с [0; 17];
1.31. При каких а выполнено:
a) {x: ax2 + ax + 1 = 0} = 0;
в) {z: az - 1 ^ 0} с [2; +oo);
б) {у: ау>1}Ф 0;
г) {^: a*2 + at > 0} с [-2; 2]?
Операции над множествами. Свойства операций
Группа А
1.32. Докажите, что не существует такого множества X, что:
а) X U {1; 2; 3} = {1; 2; 4; 5; 6}; б) X П {1; 2; 3; 4} = {3; 4; 5; 6};
в) Х\{1; 2; 3; 4} = {4; 5; 6}; г) {1; 2; 3; 4}\Х = {3; 4; 5}.
1.33. Пусть: а) А П В = А; б) A U Б = А; в) А\В = А. Что можно сказать
о связи множеств А и Б?
1.34. Найдите все множества А, для которых А\А = А.
1.35. Докажите, что:
а) если Б <z С, то (А П Б) с С;
б) если С cz (А П Б), то С с А;
в) если С cz (А\Б), то С П Б = 0;
г) если А\Б = С, то (А П С) cz A;
д) если A U Б = С, то С П А = А;
е) если А П Б = С, то Б U С = Б.
1.36. На рисунке 1.25 изображены множества
А, В и С. Закрасьте на таком же рисунке
множество:
а) А П (В\С); б) В U (А П С);
в) (С U А)\(В П С); г) (А\Б) U (Б\А);
д) (A U В)\(А П Б); е) ((A U С) П Б)\С. Рис. 1.25
В
Задачи и упражнения
Рис. 1.26
1.37. Сравнив результаты пунктов г и <9, а также пунктов а и е
предыдущей задачи, сформулируйте и докажите соответствующие
свойства операций.
1.38. На рисунке 1.26 изображены множества А, В и С. Выразите
закрашенные части через множества А, Б и С с помощью операций
объединения, пересечения и разности.
1.39. Пусть А = {х: х2 - 5х + 4 ^ 0}, Б = {х: Юх - х2 - 24 > 0}, С = [1; 6].
Изобразите на числовой оси и задайте уравнением или
неравенством множество:
a) A U Б; б) (С\А) U (С\В); в) А\В; г) А\(С\(А U Б)).
1.40. Выразите множества А и Б с помощью операций объединения,
пересечения и разности через:
а) А\В; В\А; А П Б; б) A U Б; А П Б; AVB;
в) (А\Б) U (В\А); А Г) В; В\А.
1.41. Пусть А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Задайте множество X
перечислением, если:
а) Х\А = {9; 10}, А\Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6};
б) -ХЛА = {9} А Г\ X = {1* 2}#
в) A U X = {1; 2; 3; 4; 5;'б; 7; 8; 9; 10}, А П X = {3; 4; 5};
г) А\Х = {3; 4; 5}, A U X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Группа В
1.42. Пусть Аа = [а; 2а — 1] (например, А2 = [2; 3], Ах = {1}, Ах = 0, по-
2
скольку левый конец отрезка должен быть меньше правого),
Ва = [а — 1; 10 - а]. При каких а выполнено:
а) Ва Ф 0; б) Аа = 0; в) 3 е Аа П Ба;
г) 3 е Аа\Ва; д) 3 е Ба\Аа; е) 4ПВа^ 0;
ж) Аа\Ба Ф 0; з) АаПА2а_2с [5; 10]; и) Аа П Ба2 Ф 0?
Кванторы
Группа А
1.43. Установите истинностное значение высказывания:
а) Зх: х - 1 = х + 1; б) Зх: х2 - 2х + 3 = 0;
в) Зх: х2 - 2х - 3 = 0; г) Vx х2 + х + 1 ^ 0;
84 1 Глава I. Введение
д) Эх: (х2 - 2х = 0) л (х2 + 5х - 4 ^ 0);
е) Vx (х2 - 4х + 3 ^ 0) v (х2 - 5х + 6 ^ 0);
ж) Vx (х2 - 4х + 3 > 0) v (х2 - 5х + 6 > 0);
з) Зх: (х е [1; 3] ^ х е [0; 2]);
и) Vx ((х е [2; 3] -^ (х2 - 4) < 0)) v (х2 + х - 1 < 0).
1.44. Подберите такой предикат Р(х, у) от двух переменных х и г/, чтобы:
а) высказывание Зх: Зу: Р(х, у) было истинным, а при всех
остальных расстановках кванторов получались ложные
высказывания;
б) высказывание VxVi/P(x, у) было ложным, а при всех
остальных расстановках кванторов получались истинные высказывания;
в) при всех расстановках кванторов получались истинные
высказывания;
г) высказывания \/хЗу: Р(х, у) и Зх: \/у Р(х, у) были
истинными, а высказывание Зу: Vx P(x, у) — ложным;
д) высказывания Зх: My P(x, у) и \/уЗх: Р(х, у) были
истинными, а высказывания Зу: VxP(x, у) и Vx3y: P(x, у) — ложными.
1.45. Запишите высказывание в виде формул с кванторами, обозначив
предикаты и переменные буквами:
а) Ночью все кошки серы.
б) По крайней мере одно двузначное число является четным.
в) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
г) Если кто-то нашел клад, то и мы найдем.
д) Ни одна селедка не умеет рычать.
е) Пока гром не грянет, мужик не перекрестится.
1.46. Пусть Р(х), Q(x), R(x) — предикаты, А = {х: Р(х)}, В = {х: Q(x)},
С = {х: i?(x)}. Используя в записи только обозначения
предикатов, логические связки и кванторы, запишите высказывание,
утверждающее, что:
а) А П В = 0; б) В П С Ф 0; в) А\В = 0;
г) А\В Ф0; д) A U В а С; е) A U В = Б\С.
1.47. Получите с помощью кванторов всевозможные истинные
высказывания из предикатов:
а) \х\-у=1; б) \х\-\у\ = 3; в) \х\^х + \у\.
1.48. Пусть А = {п2: п g N}. Задайте множество А характеристическим
свойством, т. е. в виде А = {х: Р(х)}, где Р(х) — предикат.
Группа В
1.49. При каких вещественных а истинно высказывание:
а) Эх: х2 + ах + 2 = 0; б) Vx х2 + ах + 2 > 0;
в) Эх: ах2 + ах + 1 ^ 0; г) Vx ах2 + ах + 1 > 0?
1.50. Найдите множество значений свободной переменной, при
которых будет истинным предикат:
a) Vx (х ^ 2) v (х + у > 10); б) \/у х2 - у2 = 1; в) Зу: х2 - у2 = 1;
г) Эх: (а2 - 1)х = а + 1; д) Vx (а2 - 1)х = а + 1;
85 1 Задачи и упражнения
е) Зх: (х + \у\ > 2) -» (х + у > 3); ж) Vx (х + \у\> 2)-+ (х + у > 3);
з) Зу: (х + \у\ > 2) -^ (х + у > 3); и) Vy (х + |у| > 2) -+ (х + у > 3).
1.51. Докажите, что (Зх: \/у Р(х, г/)) —> (Vi/Зх: Р(х, г/)) — истинное
высказывание при любом предикате Р(х, г/).
1.52. Выясните истинностное значение высказывания:
a) Va Зх: х2 - ах - 2 = 0; б) Зх: Va х2 - ах - 2 = 0;
в) Vx За: х2 — ах — 2 = 0; г) За: Vx х2 - ах - 2 = 0;
д) За: Vb Зх: х2 - ах + b = 0; е) Vb За: Зх: х2 - ах + Ъ = 0;
ж) Va Vb Зс: Зх: ах2 + Ьх + о 0; з) Va Зс: Vb Зх: ах2 + Ьх + о 0;
и) За: Зс: Vb Зх: ах2 + Ьх + с > 0.
Следование и равносильность
Группа А
1.53. Выясните для каждого из условий, является оно необходимым
или достаточным для выполнения неравенства х2 - 6х + 8 ^ 0:
а) х = 3; б) х ^ 1; в) х ^ 3; г) х ^ 3 л х < 5; д) 2 ^ х ^ 4.
Сформулируйте соответствующие теоремы.
1.54. Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
а) Для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы оно
заканчивалось 0.
б) Для того чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно
делилось на 3.
в) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом,
необходимо, чтобы две его противоположные стороны были параллельны.
г) Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо,
чтобы его стороны были равны 3, 4, 5.
1.55. Поставьте в предложении вместо многоточий одну из связок:
«необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «не
необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» так,
чтобы получились верные высказывания:
а) Для того чтобы число было меньше 6, ..., чтобы оно было
меньше 5.
б) Чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..., чтобы он
был ромбом.
в) Равенство произведения нулю ..., чтобы первый сомножитель
был равен нулю.
г) Условие делимости числа на 8 является ... для делимости этого
числа на 24.
д) Для того чтобы две прямые на плоскости были параллельны,
..., чтобы они не имели общих точек.
е) Чтобы сумма двух положительных чисел была больше 8, ...,
чтобы каждое из них было больше 4.
ж) Чтобы сумма шести чисел была больше 240, ..., чтобы хотя бы
одно из них было больше 40.
86 ! Глава I. Введение
з) Для того, чтобы корни уравнения х2 + х + Ъ — 0 имели разные
знаки, ..., чтобы Ъ < 0.
и) Для того, чтобы корни уравнения х2 + х + Ъ были одного
знака, ..., чтобы Ъ > 0.
х2 — 4
к) = 0 ..., чтобы х = —2.
X — с*
л) Чтобы прямая у = kx + Ъ пересекала вторую и четвертую
четверти, ..., чтобы k < 0 (запишите это высказывание в форме
импликации предикатов с кванторами).
1.56. Сформулируйте и докажите теорему вида:
а) А\В = В только тогда, когда...;
б) А\В = A U В тогда, когда...;
в) A U В = А\В тогда и только тогда, когда... .
1.57. Сформулируйте теорему в форме «Если..., то...», «Всякий...
есть...», «...необходимо для...», «...достаточно для...», «Если
не..., то и не...»:
а) Вертикальные углы равны.
б) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
в) Отрезок короче ломаной, соединяющей его концы.
г) Сумма углов треугольника равна 180°.
д) Около треугольника можно описать окружность.
е) Перпендикуляры к параллельным прямым параллельны.
ж) Площади подобных треугольников относятся как квадраты
коэффициентов подобия.
Группа В
1.58. Постройте отрицание высказывания:
а) Р(х) => Q(x); б) Ve > 0 35 > 0: (\х - 1| < 5) => (|х2- 1|<е);
в) Ve > 0 Зп е N: Vm > n Vk е N -\ - -^
г) Ve > 0 Зп е N: Vx е [0; 1] Vy е [0; 1] Vk>n VI >п \xk - yl\ < е.
Метод математической индукции
Группа А
1.59. Известно, что для последовательности {ап}:
а) выполняется соотношение ап + г = Зап — 2ап_ 1? а также а0 = 2,
ах = 3. Докажите, что ап = 2п + 1; б) выполняется соотношение
ап + 1 = Зап — 2ап_ 19 а также ао = О, аг = 1. Докажите, что ап = 2п-1.
1.60. Последовательность Фибоначчи определяется следующими
условиями: ип + 2 = ип + ип_ 19 их — 1, и2= 1. Докажите, что верны
следующие соотношения:
а) и2п + 1 = и2+ и4 + ... + и2п;
б) ипиГ{
87 Задачи и упражнения
1.61. Даны натуральные числа хг, ..., хп. Докажите, что число
(1 + х\) (1 + х\) •... • (1 + х\) можно представить в виде суммы
квадратов двух целых чисел.
1.62. Докажите тождество:
а) 1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) = п2;
б) 12 + 2* + 3* + ... + п2
в)
|
' 1-2 2-3 3-4 (n-l)n
1-3 3-5 '" (2ra - 1) • (2n + 1) 2(2n+l)'
2»-1 " 2»"1'
1. 2 • 3 2 • 3 • 4 п • (п + 1) • (п + 2) 4(л + 1)(/г + 2)
1.63. Докажите, что для любого натурального п:
а) 25л + 3 + 5П • Зп + 2 делится на 17;
б) 52" + х • 2Л + 2 + 3" + 2 • 22п + г делится на 19;
в) 32/г + 2 + 8п - 9 делится на 16;
г) 4П + 15п — 1 делится на 9;
д) 10" + 18п - 1 делится на 27;
е) 22п~г + Зп + 4 делится на 9.
1.64. Докажите, что для всех натуральных п число, записываемое Зп
единицами, делится на Зп.
1.65. Докажите, что для всех натуральных п, начиная с некоторого,
выполняется неравенство:
а) —!— + —— + ... + —>-; б) Зп>п;
п+1 п + 2 2п 5
г) 2л/п > -^ + -т^ + ••• +-?= > 2(Vn + l - 1); д) гс" + 1 > (п + 1)";
Vl V2 л1п
е) 2п>п2; ж) п\ > 2п; з) 1 + -л + - + ... + \ < 2- -;
4 9 /г2 л
и) ^ > ^; к) 2! • 4! • 6! • ... . (2/г)! > ((/г + 1)!)".
1.66. Докажите, что д/5 + у5 + д/5 + ... + V5 < 5 при любом
корней
, д уд/ р количестве
корней.
1.67. Докажите, что \хг + х2 + ... + лг„| ^ |л:х| + |лг2| + ••• + \хп\* ГДе xi>
х2, ..., хп — любые вещественные числа.
]_Глава I. Введение
1.68. Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число
квадратов, начиная с шести.
1.69. Докажите, что любую сумму, начиная с 8 рублей, можно
уплатить только монетами в 3 рубля и 5 рублей.
Груп па В
1.70. а) На сколько частей делят плоскость п прямых «общего
положения», т. е. таких, что никакие две не параллельны и никакие три
не проходят через одну точку?
б) Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета в
шахматном порядке, т.е. так, чтобы любые две части, граничащие по
отрезку или лучу, были покрашены в разные цвета.
1.71. У каждого из п человек появилась новость. Два человека в
разговоре передают друг другу все известные им новости. Докажите,
что п человек (при п > 3) могут за 2п — 4 разговора передать друг
другу все новости (т. е. чтобы каждый знал новость каждого).
1.72. Докажите, что в разложении числа (п + 1)(п + 2) • ... • 2п на
простые множители ровно п двоек.
1.73. На сторонах выпуклого многоугольника
наружу его растут волосы. Проводится
несколько прямых так, что никакие три
из них не проходят через одну точку и ни
одна из них не содержит сторон
многоугольника. На каждой прямой по одну
сторону от нее растут волосы.
Докажите, что среди частей, на которые
многоугольник делится этими прямыми, будет
часть, все волосы которой торчат наружу
(рис. 1.27). Рис. 1.27
1.74. В стране п городов, между каждыми двумя из которых
проложена дорога с односторонним движением. Докажите, что можно
выбрать маршрут, проходящий по всем городам ровно по одному
разу (включая начальный и конечный пункты маршрута).
Разбор случаев и правило умножения
Группа А
1.75. Сколько существует способов выбрать по одному шахматисту из
двух команд по 10 человек в каждой?
1.76. Сколько существует способов выбрать 2 карты различных мастей
из колоды в 36 карт?
1.77. У двух коллекционеров по 15 картин и по 8 скульптур. Они хотят
обменять либо скульптуру на скульптуру, либо картину на
картину. Сколькими способами можно это сделать?
1.78. Сколько различных натуральных делителей имеет число 2п • Зт?
Задачи и упражнения
1.79. В магазине есть 6 разных видов ручек и 4 разных видов тетрадей.
Сколькими способами можно купить ручку и тетрадь?
1.80. В том же магазине (см. задачу 1.79) есть еще 5 различных видов
карандашей. Сколькими способами можно купить комплект из
тетрадки, ручки и карандаша?
1.81. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы
из слова «комбинаторика»?
1.82. Наташа хочет подняться в гору и спуститься обратно. Сколько
у нее способов это осуществить, если на гору ведет 8 дорог?
1.83. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи
которых использованы только цифры 1, 2, 3, 4, 5?
1.84. В киоске продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок.
Сколькими способами можно купить конверт с маркой?
1.85. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 3
прилагательных. Нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей
речи. Сколькими способами это можно сделать?
1.86. Монету бросают пять раз. Сколько разных последовательностей
орлов и решек можно при этом получить?
1.87. Сколько существует способов расставить 20 разных книг по 5
полкам (порядок книг на полке не важен, на полке может не быть ни
одной книги)?
1.88. Надо послать 10 срочных писем. Сколькими способами это можно
сделать, если для передачи писем можно использовать четырех
курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?
1.89. Гоша закрашивает таблицу размером 6x6. При этом каждую
клетку он красит в один из 3 цветов. Сколькими способами он
может это сделать?
1.90. Сколько существует различных последовательностей нулей и
единиц длины 10?
1.91. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску
белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
[.92. Сколькими способами можно поставить белого и черного ферзей
на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?
1.93. Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых
имеют одинаковую четность?
1.94. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить
в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной
книги) если а) порядок книг в стопке не важен; б) порядок книг в
стопке важен?
1.95. Алфавит племени «Мумбо-Юмбо» состоит из трех букв. Словом
является любая последовательность, состоящая не более чем из
четырех букв. Сколько слов в языке племени «Мумбо-Юмбо»?
1.96. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно
выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?
90 Глава I. Введение
1.97. Сколько натуральных делителей у числа р^1 • р%2 • ... • р^п, если
числа р19 р2-> ..., рп — простые, ах, а2, ..., ос„ — натуральные?
1.98. Сколько существует семизначных чисел, у которых любые две
соседние цифры разные?
Размещения и перестановки
Группа А
1.99. В классе 27 человек. Сколькими способами из них можно
выбрать старосту, помощника старосты и заместителя старосты?
1.100. Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг
с четырьмя горизонтальными полосами из семи цветов радуги?
1.101. Сколько существует способов выложить в ряд 5 разноцветных
шаров?
1.102. Сколько существует способов расставить 8 одинаковых ладей на
шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
1.103. Сколькими способами можно построить в ряд 8 учеников, среди
которых есть Петя и Вова, если:
а) Вова не должен стоять с краю;
б) Петя хочет стоять рядом с Вовой;
в) Петя не хочет стоять рядом с Вовой;
г) Петю нельзя ставить первым, а Вову — последним?
1.104. Сколько существует способов распределить комплект наград
(золотую, серебряную и бронзовую медали) среди 16 команд?
1.105. Сколько можно составить из букв слова «комета» таких
перестановок, в которых гласные и согласные буквы чередуются?
1.106. За длинным столом сидят 8 мужчин и 8 женщин. Сколькими
способами их рассадить, чтобы они чередовались?
1.107. Сколько различных упорядоченных наборов букв можно
получить, переставляя буквы слова: а) пилот; б) мама; в) парадокс?
1.108. Сколько существует шестизначных чисел, у которых все цифры
различны?
1.109. Сколько существует семизначных чисел, у которых есть хотя бы
две одинаковые цифры?
1.110. В алфавите племени «Амба-Мамба» шесть букв. Словом является
любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы
две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени «Амба-
Мамба»?
1.111. Игральный кубик бросают трижды. Среди всех возможных
последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один
раз встречается шестерка. Сколько таких последовательностей?
1.112. Сколько существует способов расставить в ряд 10 учеников,
среди которых есть одна Mania и один Витя, если известно, что
Mania должна стоять после Вити?
Задачи и упражнения
1.113. Сколько существует перестановок 10 различных цифр, в
которых цифра 1 стоит между цифрами 0 и 2 (между цифрами 0 и 1
и между цифрами 1 и 2 могут быть еще цифры)?
1.114. Сколько существует способов выбрать двух дежурных в классе из
20 человек?
Сочетания. Простейшие свойства сочетаний
Группа А
1.115. В стране 20 городов, каждые 2 из которых соединены
авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?
1.116. Сколько существует способов выбрать из 8 мальчиков и 7 девочек
2 мальчиков и 1 девочку?
1.117. Сколько существует способов из 10 преподавателей, 11 завучей и
12 директоров выбрать 4 преподавателя, 3 завуча и 2 директора?
1.118. Сколько существует способов из 10 яблок и 6 груш выбрать 4
яблока и 3 груши?
1.119. У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4
одинаковых апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она
дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами
это может быть сделано?
1.120. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в 3 комнаты:
одноместную, двухместную и четырехместную?
1.121. Сколькими способами можно поставить на полку 3 книги одного
вида, 5 другого, 8 третьего?
1.122. Валя переставляет буквы слова «обороноспособность».
Сколькими способами он может это сделать?
1.123. Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали
шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две
ладьи, два слона и два коня)?
1.124. Сколько диагоналей в выпуклом п -угольнике?
1.125. Сколько существует способов выбрать из полной колоды карт
4 карты так, чтобы среди них было ровно 2 туза?
1.126. Школьник к экзамену подготовил ответы на 10 из 20 вопросов.
Билет состоит из 3 вопросов. Школьник сдает экзамен, если в
билете, который он вытащит, по крайней мере 2 подготовленных
вопроса, которые он знает. Сколько существует билетов,
вытащив которые школьник сдаст экзамен?
1.127. Сколько существует способов разбить команду из 12 человек на
3 команды по четыре человека в каждой?
1.128. Сколько существует способов выбрать из 12 человек 2 команды
по 4 человека?
1.129. Сколько существует шестизначных чисел, у которых 3 четные
и 3 нечетные цифры?
Глава I. Введение
1.130. Есть 3 собрания сочинений трех разных
авторов. Каждое содержит по 5 томов. Сколькими
способами можно их расставить на полке, если
тома одного автора должны стоять рядом?
1.131. Сколькими способами можно прочитать
слово «треугольник» (рис. 1.28)?
1.132. Сколькими способами можно разбить 14
человек на пары?
ТРЕУГОЛЬНИК
РЕУГОЛЬНИК
ЕУГОЛЬНИК
УГОЛЬНИК
гольник
ольник
льник
ьник
ник
ик
к
Группа В
1.133. Сколько существует семизначных чисел, в
записи которых каждая последующая цифра больше Рис. 1.28
предыдущей (первый разряд — разряд единиц)?
1.134. Сколько точек пересечения диагоналей в выпуклом: а)
восьмиугольнике; б) л-угольнике, если никакие 3 диагонали не
пересекаются в одной точке?
1.135. Сколько существует способов выбрать из колоды карт (52 штуки)
6 так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?
1.136. Сколько существует способов из 100 человек выбрать 4 пары?
1.137. Сколько существует способов выбрать 4 пары для танца из 16
юношей и 5 девушек?
1.138. Сколько слов можно составить из четырех букв А и не более чем
из двух букв Б?
1.139. Докажите двумя способами (используя формулу Скп и с помощью
комбинаторных рассуждений) формулу:
k-Ckn = n-Ckn~_\.
Бином Ньютона
Груп па А
1.140. Разложите с помощью бинома Ньютона: а) (1 + v2) ; б) (v3 + V5) ;
по формуле бинома
?
в) (х + 2у)6; г) (2х - 0,5у)5.
1.141. Найдите член разложения (1 + 2х)10 с наибольшим коэффициентом.
1.142. Какое слагаемое в разложении (l + \[2j
Ньютона будет наибольшим?
1.143. Сколько рациональных слагаемых в разложении бинома u/2 +
1.144. Найдите: а) коэффициент при х5 в стандартном виде многочлена
(1 - 2х + х2)6; б) сумму коэффициентов этого многочлена.
1.145. Найдите коэффициенты при: а) х1ООг/5О230; б) x200yS0z9 в
разложении (х + у + г)239.
1.146. Найдите коэффициенты при х17 и х18 после раскрытия скобок
и приведения подобных членов в выражении (1 + хъ + х7)20.
1.147. В каком из выражений после раскрытия скобок и приведения
подобных членов коэффициент при х17 больше: у выражения
(1 + х2 - х3)1000 или у выражения (1 - х2 + х3)1000?
ШЯ Задачи и упражнения
1.148. Вычислите:
а) 1 + 2С\ + 22 • С2п + ... + 2" • С£;
б) 1 + ЗС1п + З2 ■ С2 + ... + Зп ■ С%;
в) l-CJ+C2-...+(-l)»-C».
Группа В
1.149. Докажите тождество:
О П"1
б) 1С\ +2-С2 +... + п-С£ = п-2"-1;
в) (С°)2 + (С*)2 + ... + (С-)2 = С?„.
1.150. На окружности отмечены 11 точек. Сколько существует
выпуклых многоугольников с вершинами в отмеченных точках?
1.151. Докажите, что число способов выбрать четное число предметов из
п равно числу способов выбрать нечетное число предметов.
1.152. Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1 х 30 и за ход
может сдвинуться на любое количество полей вправо. Сколькими
способами она может добраться до крайнего правого поля: а)
ровно за 7 ходов; б) вообще?
Ограниченные числовые множества. Точные границы
Группа А
1.153. Сформулируйте определение: а) множества, ограниченного
снизу; б) нижней границы; в) минимума множества. Приведите
примеры множеств, имеющих минимум и не имеющих минимум.
1.154. Сформулируйте отрицание утверждения о том, что число М —
верхняя граница множества А.
1.155. Запишите задание множества верхних границ множества А
характеристическим свойством.
1.156. Пусть А — непустое ограниченное сверху множество, МА —
множество его верхних границ. Докажите, что МА ограничено снизу.
1.157. Докажите, что если А — непустое ограниченное множество, то:
а) inf A ^ sup А;
б) inf A = sup А тогда и только тогда, когда А состоит из одного числа.
1.158. Пусть А — числовое множество, ограниченное сверху:
а) докажите, что В = {—х: х g А} ограничено снизу;
б) верно ли, что С = {х2: х g А} ограничено сверху?
1.159. Пусть А — ограниченное множество. Докажите, что ЗК > 0:
\/xg А \х\^К. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
1.160. Пусть A d В и В ограничено сверху. Докажите, что А также
ограничено сверху. Сформулируйте и докажите аналогичное
утверждение для множеств, ограниченных снизу.
1.161. Докажите, что максимальный элемент множества является его
супремумом.
94 j Глава I. Введение
1.162. Пусть А * 0, A cz В и В ограничено сверху. Докажите, что
sup A ^ sup J3. Сформулируйте и докажите аналогичное
утверждение для множеств, ограниченных снизу.
1.163. Пусть А, В — два непустых числовых множества, причем
Vx е А Зу g В: х ^ у. Докажите, что если В ограничено сверху, то:
а) А ограничено сверху; б) sup A ^ supJS.
Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для
ограниченных снизу множеств.
1.164. Докажите, что если А и В — непустые ограниченные сверху
множества, то:
a) A U Б ограничено сверху; б) sup A U В = max {sup A; sup В}.
Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для
множеств, ограниченных снизу.
Группа В
1.165. Пусть sup A = M, inf A = т. Найдите супремум и инфимум
множества:
а) В = {-х: х е А}; б) С = {х + 5: х е А};
в) D = {2х - 7: х е А}; г*) Е = {х2: х е А}.
1.166. Пусть А и В — непустые ограниченные снизу числовые
множества и пусть С = {х + у: х е А, у е В}. Найдите inf A, inf Б, С
и inf С, если:
а) А = [6; 7]; В = (2; 4); б) А = U: neivj, В = {0; 1};
в) А = [0; 1], В= Ц: tign\.
г) Сформулируйте и докажите результат о связи inf С с inf A
и inf В для произвольных множеств А и В.
1.167. Найдите супремум и инфимум множества:
а) А= \~: neN>; б) \(-1)п\ 1-- I: пеЩ; в) А = J —: п gN\.
[п \ { { п) \ [nl J
1.168. Найдите супремум и инфимум множества:
а) А = <— -: т, neN>; б) А= < : т, neN>.
[т2 + п2 J [m+ n J
Область определения уравнения
Группа А (1.169—1.194)
1.169. Решите уравнение:
а) х + 1 = х + 1; б) х + 2 = х + 1; в) —— = —!—;
^ *>
Задачи и упражнения
и) 4-х = 1;
ж) у/х + 1 = Vx + 1; з) х + 4х = 4х - 1;
к) л/х-1 = у/х—х*; л) у/-х2 = 1.
1.170. Может ли оказаться так, что какое-то значение переменной х:
а) является корнем уравнения, но не принадлежит ООУ;
б) не является корнем уравнения, но принадлежит ООУ?
Для соответствующих примеров используйте задание 1.169.
Равносильность и следование
L171. Выясните, равносильны ли уравнения:
(х - 2)(х - 3)
а) х2 - 2 = 0 и х4 - 4 = 0;
g\ ~ _ _ 1 тт у 2=1*
б)
= 1их-2 =
х-3
х2 - 4
г) = -4 и х - 2 = -4;
Д) хз _ 2^ = 0 и хз _ 2х = 0; е) х3 - — = 0 и х3 - 4х(х + 2) = 0;
X a. JC ~Н ^
six) д/Х ~г 4х т 4 — JL И X i Сл — X*
1.172. Выясните, равносильны ли уравнения:
а) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + —^—г = 2х + 4 +
б) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 +
- 1
1
= 2х + 4 +
х-1'
1
- 16;
-3 "" " х - 3
в) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + д/х2 -4 = 2х + 4 + д/х2 - 4;
г) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + д/х2 - 16 = 2х + 4 +
д) х + 3 = 2и(х + 3)(х - 1) = 2(х - 1);
е) х + 3 = 2 и (х + 3)(х + 1)2 = 2(х + I)2;
ж) Vx + Зл/х - 4 = Зл/2 и J(x + 3)(х - 4) = Зл/2;
з) х + 3 = 0 и (х + З)4 = 0;
ч о о л: + 3 2
к) х + 3 = 2 и ——- = ——
м)
и) х + 3 = 1 и (х + З)4 = 1;
л) х + 3 = 2 и 4±4 = —?-
7 х+1 х+ 1
1.173. На каком множестве следует рассматривать уравнения, чтобы
они оказались равносильными?
= _4 и х - 2 = -4;
б) х + 3 = 1 и (х + З)4 = 1;
в) Vx + Зл/х - 4 = Зл/2 и д/(х + 3)(х - 4) = Зл/2;
г) Vx + Зл/х - 4 = Зл/2 и х2 - х - 12 = 18.
1.174. Решите уравнение, используя цепочку следствий с последующей
проверкой:
х2 + Зх + 2
а) х2+ 4х + 5
= 0; б)
+ 4
#3 - Зх2 + х + 2
= 0;
96 I Глава I. Введение
в) (9 - х2)л/2 - х = 0;
(х2 - 36) (х + 10)
г) л/4-х • д/х2 - 49 • (х + 4) = 0;
= 0; е) л/х + Зл/х - 4 = Зл/2;
Равносильность неравенств
1.175. Выясните, равносильны ли неравенства:
а)
х
2
> 0 и х > 0; б) — > 0 и х > 0; в) — ^ 0 и х ^ 0;
> -1.
ч X2 -, - ч X2 л Х(Х - 2)
г) — > -1 и х > -1; д) — > -1 и -^ -^
X JL X — Z
Равносильные преобразования неравенств
1.176. Выясните, равносильны ли неравенства:
а) х+1>Зих + 1 + ->3 + -;
XX
б) х+1>Зих + 1 + —^— > 3 + —-—;
3-х 3-х
в) х2 > х + 1 и х2(*2 + 1) > (х + 1)(х2 + 1);
г) х > 2 и х(х - 3) > 2(х - 3);
д) х > 2 и х(х - 2)2 > 2(х - 2)2; е) х > 2 и х(х - 2) > 2(х - 2);
ж)
и)
JC
и (х- 1)(3-х)>0;
з)
к)
л)(«-?(*-2>'>Ои«-
3-х
< 3 и 1 < 3(х + 2);
0 и (х-1)(3-х)^0;
> 0; м)
3- х
3-х 3-х
н) — > и х - 1 > 2х;
2х х - 1
п) Vx + 2 <2их + 2<4;
с) Vx + Зл/х - 4 < Зл/2 и д/(* + 3)(х - 4) < Зл/2;
т) Vx + Зл/х - 4 > Зл/2 и Мх + 3)(х - 4) > Зл/2;
> 0 и
3-х
> 0;
и (х-1)2>4х2;
У)
> 2 и
- 1 Vх"1
Уравнения и неравенства с модулем
1.177. Решите уравнение:
а) |5х + 3| = 7;
в) |2х2-х| = 0;
1.
б) |9-2х| = 5;
г) |х3-л/^|=-2;
Шй Задачи и
упражнения
х2 -
= 0;
д) |2х-х2-3| = 1; е) |х2 + 5х + 4|
ж) |х2н- 5х + 4| + |х2- 16| + |2х2 + х- 11 = 0.
1.178. Решите неравенство:
а) |х|<3; б) \х\>4; в) |2лг — 1| < 3; г) |5-2х|>3;
д) |>/2х- 2|< -2; е) |3 - 4х| ^-1; ж) \х + 3| > 0;
з) 2 < |3х - 5| < 7; и) 0<|Зх + 2|<1; к) |3-|*-2||<1.
1.179. Решите уравнение, используя снятие знака модуля по
определению:
а) \х\ = \2х + 3| + х- 1; б) \х + 1| = 2\х - 11 + х;
в) |х+ 1| + |2 - х| + \х + 3| = 6; г) |*-1| - \х\ + |2х + 3| = 2х + 4;
д) \х + 1\ - \х\ + 3\х - 1\ - 2\х - 2\ = \х + 2\;
е) \х2-Зх + 2\ = \х\-х2 + 4; ж) х2 = \1-2х2\;
| JC2 - 11 X2 - 1 + | X + 11
3) — X} Hj j j ~~ ^ /U) KJ \\ /иХ У. ОI ~г ЛС —■ IО X \»
х-2 \х\ • (х - 2)
1.180. Решите уравнение аналитически и, по возможности, графически:
а) |х| = х+1; б) |х+1| = х + 3; в) |3х-1| = 3-х;
г) |Зх+1| = 5 + 6х; д) |х| + |х-1| = 1; е) |1 - |х|| = 14;
ж) х2 - |х| - 6 = 0; з) |х2 + 2х - 3| = 3 - 2х - х2;
и) |4 + Зх - х2| = х2 - Зх - 4; к)
= х-1.
|х-1|
1.181. Реп1ите неравенство, используя снятие знака модуля по
определению:
а) |х+1| + 4>2|х|; б) \2х + 3| > \х\ - 4х - 1;
в) |х-2| + |3- х\>х + 2; г) \х - 11 > \х + 2| - 3;
д) \х- 6| ^ \х2 - 5х + 9|; е) |х3 - 1| > 1 - х;
1л -у \ 9 <v t\ I v 9 I
K.. _± £i ^ o. «\ ^^ ~ о ^ -i. „\ \x a\ ^ ъ
х + 6
л:2 - Ъх + 6
|*2-
х- 2
1.182. Решите неравенство аналитически и графически:
а) |х-4
б)
3>|х
в)
е)
Xs Н
Зх-
л: ■+
h 1
1- 2
1
2.
1.183. Дана функция f(x) = \ х + 1|-|х-2|.
а) Решите уравнение f(x) = 3.
б) Решите неравенство f(x) < 3.
в) Постройте график функции у = f(x).
г) Сколько решений имеет уравнение f(x) = а в зависимости от
значения а?
98 Глава I. Введение
Метод интервалов
Решите неравенство (1.184—1.189).
L184. а) х(х2 + 2х - 3) > 0; б) (х - 1)(х2 - 5х + 6) < 0;
в) (х2 - Зх - 28)(3х2 - х + 2) < 0; г) (х2-6х + 9)(х2 - Зх - 4) > 0.
1.185. а)
1.186. а)
1.187. а)
в)
1.188. а)
1.189. а)
2х - 1
<0; б)
1- Зх
3-5* " " "' 1-4ж
л:3 + 4л:2 — х - 4 _
л:3 - Зх2 - л: + 3 > '
jc2 + 3x-13
X2 + X - 6
2л:-3 ^ х-2
х + 2 < л: - 2 а
л:2+ 2лт- 3 ^ л:2- I3
2л: + 4 > 3 - 2х т
1 -Ъх " Ъх-19
0; в)
б)
г)
б)
б)
л:2 - 4л: - 5
-2л:2 + х + 6
л:2 - 6л: - 1
х4 - 7х2 + 12
<0; г)
0.
-х2+ х + 6
- 4л:- 4
л:2+ 2
2-х
х3- 4х
х2 - 7х + 10
л:2+5л: + 6 л:2-2л:-15*
(5л: + 4)(3л: - 2) . (Зл: - 2)(* + 2)
ж-З
1- л:
1.190. При каких значениях х определено выражение:
\2х- 1
а)
г)
J
Зл:
л:
(X
:
+
+
9
4'
1)(х
б)
)2 '
в)
Д)
(л--1)3(л-+1)(л--5)
(х - 5)2 (х - 2)
1.191. Придумайте неравенство, в котором ответом являлось бы множество:
а) (-оо; -2) U (-2; +сх>); б) [2; +оо); в) (2; +оо); г) (2; 3) U (3; +сх>);
д) (-оо; - 1) U (-1; 0); е) {-2} U (0; 1) U [3; +оо).
1.192. Решите неравенство:
a) Vx-l(x2 - 2х - 3) < 0;
0;
б) (х2 - 5х + 4)^x2-7x4-10
в) (х2 - 5х + V
- Зх - 5 ^ 0.
1.193. Решите неравенство:
а)
в)
х-
|
х-3|(-х2
3x-4)«S0;
б)
г)
- 1|(х2
+ б|(х2
3х- 10)3*0;
5х + 4)>0.
1.194. Решите неравенство:
а)
в)
г)
д/б + л: - л:2 ^ д/б + х - л:2 # д/12 - л:
2л: + 5 л:+ 4 ' ^ " 2л: - 7
2 | 1 2 +1>0.
2л:2 + л: - 3 л: - 1 2л: + 3
40 24 > 7 4
Х2 _ 9 л:2 - 4 ^ л:2 - 5л: + 6 л:2 + 5л: + 6 "
- v2
д/12 - х - х2
Целые числа
- Деление с остатком целых чисел
1. Деление с остатком
Деление с остатком целых чисел было изучено вами на
предыдущих ступенях образования. Однако с целью систематизации и
расширения ваших познаний в этой области напомним некоторые
определения и факты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть а и b ф О — два целых числа. Разделить число а на
число b с остатком — это значит найти такие числа q иг,
что будут выполнены следующие условия:
1) а = bq + г; 2) 0 ^ г < \ b |.
При этом число q называется неполным частным, а число г —
остатком от деления а на Ь. Число а именуется делимым, а число
Ъ — делителем.
Равенство 1 (при соблюдении неравенства 2) называют записью
деления с остатком. Широко употребительным является также
выражение а дает при делении на Ъ остаток г.
О Остаток не может быть отрицательным числом! Кроме того,
он не может быть больше или равен \Ь\.
Таким образом, от деления на Ъ может быть не более |b|
различных остатков. В то же время числа 0, 1, ..., |b| - 1 как раз и дают
ровно \Ъ\ различных остатков. Итак, можно сформулировать следующее
утверждение:
Утверждение ———————--_-_--—___-_-------—--_——-—.
При делении на b все целые числа дают ровно | Ь
остатков.
различных
Глава II Целые числа
Пример 1. Является ли запись 1998 = —11 • (-182) - 4 записью
деления с остатком числа 1998 на -11?
П Ответ: нет, так как отрицательное число —4 не может служить
остатком.
Как верно записать деление с остатком числа 1998 на -11?
Преобразуем неверную запись деления с остатком следующим образом:
1998 = -11 • (-182) - 4 = -11 • (-182) - 11 + 7 = -11 • (-181) + 7.
В записи 1998 = -11 • (-181) + 7 выполнены оба условия из
определения деления с остатком. Щ
О Обратите внимание на деление с остатком отрицательных
чисел! Проще всего разделить с остатком модули чисел, а затем
«подогнать ответ».
Пример 2, Разделим с остатком -2006 на 13.
П Разделим с остатком 2006 на 13 (например, уголком). Имеем
2006 = 154-13 + 4. Чтобы в левой части равенства получить -2006,
домножим равенство на —1. В результате получим
-2006 = 13 ■ (-154) - 4.
Но последнее равенство не является записью деления с остатком.
Поступаем с ним так же, как в предыдущем примере, и получаем
-2006 = 13 • (-155) + 9. В
Замечание. Выясним, почему нельзя делить с остатком на 0?
Конечно, можно сказать, что условие 2 из определения деления с остатком
не выполнено ни для какого г при Ъ = 0. Однако почему не дать другое
определение деления с остатком? Здесь следует отметить, что деление
с остатком служит естественной цели: выяснить, сколько раз число b
«помещается» в числе а и сколько еще остается. Этот вопрос наиболее
естественен для натуральных а и Ъ. А соответствующее определение для
целых чисел получается обобщением (хотя, может быть, с точки зрения
обыкновенного здравого смысла» удобнее считать в примере 2, что,
откладывая в отрицательном направлении по 13, мы «шагнем» 154 раза
и останется пройти еще 4 единицы, нежели что нужно пройти 155 раз,
а затем вернуться на 9 единиц). В любом случае задача узнать, сколько
раз «помещается» число 0 в ненулевом числе а, выглядит полной
бессмыслицей! А на вопрос «Сколько раз помещается число 0 в числе 0?>>
ответом может служить любое число. Поэтому отсутствует и деление
на 0 как арифметическое действие.
Отметим еще раз, что деление с остатком мы рассматриваем лишь
для деления целого числа на целое, отличное от нуля, и не говорим,
например, о результате деления с остатком числа 2,5 на число л/2.
После того как определяют представление какого-либо объекта
в конкретном виде, встает вопрос о существовании и
единственности такого представления. Наличие ответа на этот вопрос есть
неотъемлемое требование математической культуры. Например, тео-
1011 § 11. Деление с остатком целых чисел
рема о существовании и единственности разложения вектора по двум
неколлинеарным векторам есть пример ответа на вопрос о
существовании и единственности представления вектора в виде линейной
комбинации двух неко л линеарных векторов.
Докажем соответствующую теорему.
ТЕОРЕМА (о делении с остатком)
Для любых целых чисел а \л ЬфО можно разделить с остатком
число а на число Ь, т. е. представить число а в виде а = bq + г,
где Q, г е Z иО< г < Ь, причем такое представление единственно.
П ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
существование. Рассмотрим все неотрицательные числа вида
a - Ьх при различных целых х (подумайте, почему будет хотя бы одно
неотрицательное число такого вида; почему их будет бесконечно много).
Согласно аксиоме минимальности (см. с. 31) в этом множестве
существует наименьший элемент. Назовем его г. Итак,
г = min {a - bx: a - Ъх ^ 0, х е Z}.
Тогда существует число q e Z, такое, что г = a — bq. По
определению, г есть наименьший элемент в множестве неотрицательных чисел,
следовательно, г само неотрицательное число. Докажем, что г < \b\.
Пусть г ^ \b\. Тогда число гг = г — \b\ = a — b(q ± 1) (знак + или -
берется в зависимости от знака числа Ь) будет неотрицательным числом
вида a - bx, меньшим г, что противоречит выбору г как наименьшего
числа такого вида. Наше предположение о том, что г ^ \b\9 оказалось
неверным, значит, г < |Ь|. Тогда a = bq + г, где 0 ^ г < Ь.
Замечание. Схема приведенного доказательства весьма
поучительна и будет неоднократно использована в дальнейшем. Стержнем
этой схемы является так называемый «принцип крайнего»:
рассматривается самое меньшее, самое большее, самое левое, самое нижнее и т. д.
Использование «принципа крайнего» в данном доказательстве
позволяет сократить следующее естественное доказательство.
Возьмем число а и будем прибавлять или вычитать (в зависимости
от знаков а и Ь) число b до тех пор, пока полученное число не станет
первый раз неотрицательным (если а было отрицательным) или
последний раз неотрицательным (если а было положительным). Если эта
разность была не меньше |Ь|, можно произвести прибавление или
вычитание b еще раз, что противоречит выбору момента «остановки».
единственность. Пусть существуют два представления: a = bqx + гг
и a = bq2 + г2, где 0^г1<|Ь|и0^г2<|Ь|.
Приравняв их, получим: гх - r2 = b(q2 - <?i), откуда 1^-^! =
= 1&Н?2 ~ 9il- Если обе части равенства ненулевые, то \q2 — #il ^ 1, так
как q2 - qx — целое число. Тогда \r2 - rx\ > \b\9 откуда ясно, что одно
из чисел гг и г2 больше \Ь\9 что противоречит исходному
предположению. Ш
102[ Глава II. Целые числа
Ранее мы видели, что при самых простых действиях с числами
остатки от деления ведут себя достаточно сложным образом.
Например, при умножении делимого на -1 остаток не умножается на -1,
остаток от деления суммы чисел на число далеко не всегда равен
сумме остатков слагаемых и т. п. Отсутствие такого рода свойств — плата
за возможность однозначно определить неполное частное и остаток от
деления двух целых чисел. Поэтому теоремы об остатках от деления
сумм и произведений удобно формулировать на языке сравнений, что
будет сделано в следующем параграфе.
2. Делимость
Особенно важным случаем деления с остатком является случай
остатка, равного нулю. Тогда говорят, что число а делится на число Ь.
Иногда подчеркивают отсутствие положительного остатка, говоря:
число а нацело делится на число Ь.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Будем говорить, что целое число а делится на целое
число Ь, отличное от нуля, если существует целое число с,
такое, что а = be.
Отметим, что понятие делимости на 0 не определено.
Приняты два основных обозначения того, что а делится на Ъ\
а\Ь и Ь\а. Последнее обозначение обычно читают как «Ъ делит а».
ТЕОРЕМА (основные свойства делимости) .--------------—-«----•-—•—■--
Пусть а,
1.
2.
3.
4.
5.
Если
Если
Если
Если
Если
ь,
а
а
а
а
а
с
Ь
ь,
с
с
Ь
и
целые числа, причем Ь, с ф 0.
Ь : С,
то при
и
и
и
Ь ; с,
Ь : d,
а*0,
то а • с.
всех целых к выполнено ка • Ь.
то (а + b) \ с.
то ab \ cd.
то | а | ^ Ь\.
П доказательство. Докажем свойство 1. По определению
делимости если а • Ь, то существует целое число х, такое, что а = хЬ.
Аналогично существует такое целое число у, что Ъ = ус. Подставив это
значение в равенство, получаем а = х(ус) = (ху)с. Итак, нашлось целое
число ху, такое, что а = (ху)с. Значит, по определению делимости а ■ с.
Аналогично доказываются свойства 2, 3 и 4. (Докажите их
самостоятельно!)
Докажем свойство 5. Если а • Ь, то существует целое число с,
такое, что а = be. Тогда \а\ = \b\ • \с\. Если а * 0, то и с * 0, а тогда
\с\ ^ 1. Домножив это неравенство на положительное число |Ь|,
получим \а\ = \b\ • \с\ ^ |&|. И, следовательно, \а\ ^ \b\. Ш
]Q3| § 11. Деление с остатком целых чисел
Замечание. Из свойства 2 для k = — 1 и свойства 3 получаем, что
если а • с и Ъ • с, то (а - Ъ) • с.
В дальнейшем мы не будем подробно доказывать такие очевидные
следствия из основных свойств делимости.
Пример 3. Докажем, что дробь несократима (п — натуральное
число). Зп + 2
□ Пусть дробь сокращается на некоторое натуральное число d > 1.
Это означает, что ее числитель и знаменатель делятся на d, т. е.
(2/г + 1) • d и (Зп + 2) ■ d. Домножим данные соотношения так, чтобы
коэффициенты перед п стали одинаковыми. По свойству 2 получаем
3(2/г + 1) • d и 2(3м + 2) • d. Тогда разность полученных чисел тоже
делится на d, откуда 1 • d, но по предположению d > 1, что противоречит
свойству 5. Ш
Пример 4. Докажем, что (ab - ba) \ 9, где abc... означает число,
записанное цифрами а, Ь, с, ... в том же порядке.
□ Имеем ab = 10а + Ь, Ьа = 106 + а, откуда ab - Ьа = 9(а - Ь). По
определению делимости (afe — &а) • 9. В
Иногда полезным при решении задач является следующее
утверждение.
Утверждение
Среди п подряд идущих целых чисел есть ровно одно, делящееся
на п.
□ доказательство. Пусть данные числа а19 ах + 1, ах + 2, ...,
ах + п - 1 и пусть ах имеет остаток г при делении на п. Если г = 0, то
утверждение доказано. Пусть г > 0. Тогда число ах + п — г входит в
множество рассматриваемых чисел, так как г < п. При этом, так как
аг = nq + г, то аг + п - г = n(q + 1) • п. Итак, существование числа,
делящегося на /г, среди данных чисел доказано.
Докажем, что среди п подряд идущих целых чисел нет двух
различных чисел, делящихся на п. Если среди данных чисел есть хотя бы
два числа, кратных п, то разность между ними кратна п,
следовательно по модулю не меньше п. Однако среди п подряд идущих чисел
выбрать два с разностью, модуль которой не меньше п, не удастся
(наибольший модуль разности равен, очевидно, п - 1). Щ
Пример 5. Докажем, что при всех целых п выполнено утверждение
(я3 + Зп2 + 2п)\3.
П Разложим выражение на множители: пг + Зп2 + 2п = п (п+ 1) (п + 2).
Значит п3 + Зп2 + 2п представимо в виде произведения трех подряд
идущих целых чисел, среди которых есть делящееся на 3, а тогда их
произведение делится на 3. Щ
104i Глава II. Целые числа
, Сравнения. Перебор остатков
1. Определение сравнимости
Известно, что есть числа четные и нечетные. С точки зрения
данных определений четные числа — это делящиеся на 2, а нечетные
числа — это числа, дающие при делении на 2 остаток 1. А других
остатков при делении на 2 нет. Таким образом, естественно объединить
в одну группу числа, дающие один и тот же остаток от деления на
данное целое число.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть т — ненулевое целое число. Два целых числа а и b
называются сравнимыми по модулю т, если (а - b) \ т.
Обозначение: a = Ь или a = b (mod m). Сама запись называется
сравнением (аналогично тому, как запись 2-3 = 6 называется равенством).
Пример 6. 25 = 15 (mod(-lO)), 213 =-5. В
109
Замечания. 1) Поскольку на 1 делятся все целые числа, то
сравнимость по модулю 1 не несет никакой информации (по модулю 1
сравнимы все целые числа).
2) Два числа сравнимы по модулю т тогда и только тогда, когда
при делении на т они дают одинаковые остатки.
3) Ясно, что числа, сравнимые по модулю т, будут сравнимыми
и по модулю -га, поэтому при исследовании сравнений в качестве
модулей можно рассматривать лишь натуральные числа, большие 1.
Этого соглашения мы и будем в дальнейшем придерживаться.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество всех чисел, сравнимых между собой по
модулю т (т. е. имеющих одинаковый остаток от деления на ш),
называется классом вычетов по модулю т.
2. Свойства сравнений
Напомним основные свойства равенства вещественных чисел:
I. Свойства равенства как отношения
(верные для равенства чисел, фигур, векторов, множеств и т. д.)
1. Число равно самому себе.
2. Если а = Ь, то Ь = а.
3. Если а = Ь и Ь = с, то а = с.
Ш51 § 12. Сравнения. Перебор остатков
II. Свойства равенства в приложении к арифметическим действиям
1. Если а = Ь, то для всех чисел с выполнено а + с = Ь + с(к обеим
частям равенства можно прибавлять одно и то же число).
2. Если а = Ь, то для всех чисел с выполнено ас = be (обе части
равенства можно умножать на одно и то же число).
Обе части равенства можно делить на одно и то же число,
отличное от нуля.
3. Если а = b и с = d, то a + c = b + d (равенства можно почленно
складывать).
4. Если а = Ъ и с = d, то ас = bd (равенства можно почленно
умножать).
Свойства для деления и вычитания чисел здесь не
формулируются, так как деление есть умножение на обратное число, а вычитание
есть сложение с противоположным числом.
Обратимся теперь к свойствам сравнений.
ТЕОРЕМА (свойства сравнений) --------------------------------------
Пусть а, Ь, с, m е N и m > 1.
I. Свойства сравнения как отношения
1) а = а (modm).
2) Если а=Ь, то Ь=а.
m m
3) Если а=Ь и Ь = с, то а = с.
mm m
II. Свойства сравнений в приложении к арифметическим
действиям
1) Если а=Ь, то для всех целых с выполнено а + с = Ь + с.
/77 /77
2) Если а=Ь, то для всех целых с выполнено ас=Ьс.
/77 /77
3) Если а=Ь, то для любого ненулевого целого /с выполнено
m
ка s kb.
km
4) Если для некоторого ненулевого целого к выполнено ка = kb,
то а= Ь.
/77
5) Если а= b и c = d, то а + c = b + d.
mm m
6) Если а=Ь и c = d, то ac = bd.
mm /77
□ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Свойства равенств из группы I дословно переносятся на свойства
сравнений из группы I в силу того, что сравнимость двух чисел по
модулю m есть равенство их остатков от деления на число т.
Все свойства группы II удобно доказывать, исходя из определения
сравнения. Докажем, например, свойства 3 и 4.
Так как а = Ь, то (а — Ь) • т, откуда, используя свойство 2 делимо-
т
сти, имеем, что к {а - b) \ km, а это и означает ka = kb.
km
1061 Глава II. Целые числа
Обратно, пусть ka = kb, т. е. (ka - kb) ! га, откуда по определению
km
делимости найдется целое число с, такое, что k(a — b) = ckm, а тогда
а — b = era, т. е. (а — Ь) • га, что и означает а = Ь.
т
Аналогично доказываются свойства 1, 2 и 5.
Докажем теперь свойство 6. Так как а = Ь, то ас=Ьс по свойству 2.
т т
Аналогично, bc=bd. Осталось применить свойство 3 группы I. Ш
т
Замечание. Рассмотрим верное сравнение 6 = 2 (mod4). Если
сократить обе части сравнения на 2, получим неверное сравнение
3 = 1 (mod4). Поэтому утверждение, обратное свойству 2, без
дополнительных условий неверно! О дополнительных условиях будет
рассказано в примере 13 § 14.
Непосредственно из свойства 6 сравнений следует, что обе части
сравнения можно возводить в натуральную степень.
Теперь можно сформулировать свойства остатков от деления на
языке сравнений (с учетом того, что число сравнимо по модулю т со
своим остатком от деления на т).
1) Остаток от деления суммы чисел на число т сравним с суммой
остатков от деления слагаемых на число т.
2) Остаток от деления произведения чисел на число т сравним
с произведением остатков от деления сомножителей на число т.
Эти свойства остатков позволяют находить остатки от деления
больших степеней чисел, а также последние цифры (ведь последняя
цифра числа — это остаток от деления этого числа на 10).
Пример 7. Докажем, что квадраты натуральных чисел не дают
остатка 2 при делении на 3.
□ Натуральное число п может давать при делении на 3 остатки 0,1,2.
Если п = 0 (mod 3), то п2 = 0 (mod 3), если п = 1 (mod 3), то п2 = 1 (mod 3).
Наконец, если п = 2 (mod3), то п2 = 4 (mod3), а 4 = 1 (mod3). Таким
образом, если число п кратно 3, то п2 \ 3, в противном случае
п2 = 1 (mod3). И
Предложенный в доказательстве метод называется методом
перебора остатков. Выбирается необходимое для решения задачи число,
по модулю которого перебираются все остатки. Например, если число
при делении на 3 дает остаток 2, то оно никак не может быть
квадратом натурального числа.
Пример 8. На какую цифру заканчивается число 132007?
□ Последняя цифра числа — это остаток от деления числа на 10.
Можно переформулировать задачу так: с каким однозначным числом
107| §12. Сравнения. Перебор остатков
сравнимо по модулю 10 выражение 132007? Заметим, что так как 13= 3,
то по свойству сравнений 132007 = З2007. 10
ю
Рассмотрим, с чем могут быть сравнимы степени 3 по модулю 10.
З1 = 3, З2 = 9, З3 = 7, З4 = 1, З5 = 3,.. (каждое последующее сравнение
10 10 10 10 10
получается умножением обеих частей предыдущего на 3, а не
возведением в степень!). Ясно, что дальше правые части сравнений будут
повторяться через четыре шага. Следовательно, остаток от деления
степени на 10 зависит от того, какой остаток при делении на 4 дает
показатель степени. В нашем случае этот остаток от деления равен 3,
следовательно, искомая последняя цифра равна 7. Ш
Рассмотрим на основе выведенных свойств сравнений некоторые
признаки делимости.
Одними из наиболее известных признаков делимости являются
признаки делимости на 3 и на 9: число делится на 3 (на 9), если
сумма его цифр делится на 3 (на 9).
Мы докажем более общее утверждение: число сравнимо по
модулю 9 со своей суммой цифр десятичной записи, т. е.
апап_1...а1а0 = пп + ап_х + ... + а0.
□ Для доказательства рассмотрим разность левой и правой частей
сравнения и докажем, что она делится на 9. По правилам десятичной
записи натуральных чисел имеем:
апап_1...а1а0 = ап • 10п + ап_1 • 10я"1 + ... + а0.
Поэтому
апап-1-~а1а0 ~ (пп + ап-1 + ••• + ао) =
= ап-10п + ап_1-10»-1 + ... + ао-{ап + ап_1 + ... + а0) =
= ап(10п- 1) + ап_1(10п~1 - 1) + ... + а1(101- 1).
п
Заметим, что 10=1, а тогда и 10Л =1 при натуральных k (обе час-
9 9
ти сравнения можно возводить в натуральную степень). Поэтому все
выражения в скобках будут кратны 9, и, следовательно, вся
последняя сумма ап(10п - 1) + an_1(10n~1 - 1) + ... + ^(Ю1 - 1) будет
также кратна 9. II
Рассмотрев остатки от деления степеней числа 10 на 11, можно
получить аналогичным образом признак делимости на 11.
Если в десятичной записи числа сумма цифр, стоящих на
нечетных местах, сравнима с суммой цифр, стоящих на четных местах, по
модулю 11, то число делится на 11.
Например, число 23 451615 кратно 11, так как 2 + 4 + 1 + 1 =
= 3 + 5 + 6+5. Более того, разность указанных сумм цифр (если места
считать с разряда единиц) будет сравнима с самим числом по
модулю 11 (например, 123 457 = (7 + 4 + 2) - (5 + 3 + 1) = 4).
108; Глава II. Целые числа
Также докажем признаки сравнимости по модулю вида 2п и 5п:
Число сравнимо по модулю 2п и Ъп с числом, записанным п
последними цифрами данного числа в том же порядке (например,
123 457=457).
8
□ Этот признак очевидно следует из того, что при вычитании из
исходного числа его «хвоста», состоящего из п последних цифр,
полученная разность будет заканчиваться на п нулей, т. е. делиться на
10", которое, в свою очередь, делится на 2п и на 5Л. В
013- Наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное двух целых чисел
1. Определение наибольшего общего делителя
С понятием наименьшего общего кратного чисел мы сталкивались
в основной школе при приведении дробей к общему знаменателю.
Тогда же находили и наибольший общий делитель целых чисел. Изучим
эти понятия подробнее и установим их основные свойства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ——————-^^^^-^--—^^^^^^^^—^^•^^'
Наибольшим общим делителем двух целых чисел, хотя бы
одно из которых не равно 0, называется наибольший из их
общих натуральных делителей.
Обозначение: НОД (а; Ъ) — наибольший общий делитель чисел а и ft.
Часто НОД опускают и пишут просто (а; Ь), если из контекста
ясно, что речь идет именно о наибольшем общем делителе двух чисел,
а не о чем-либо другом (например, координатах точки).
Замечания. 1) Поскольку у двух целых чисел, хотя бы одно из
которых не равно нулю, всегда есть общий натуральный делитель
(число 1), то множество общих натуральных делителей непусто.
Поскольку оно конечно, то в нем есть наибольший элемент. Тем самым
доказано существование наибольшего общего делителя любой пары
чисел. (В этом замечании мы следуем требованию математической
культуры: определил объект — докажи его существование.)
2) Вопрос о том, что считать наибольшим общим делителем двух
нулевых чисел, будет обсуждаться после доказательства теоремы о
линейном представлении наибольшего общего делителя.
2. Нахождение наибольшего общего делителя.
Алгоритм Евклида
ТЕОРЕМА
Пусть a = bq + c, Ь * 0, а, Ь, с, q e Z, тогда (а; Ь) = (Ь; с).
109j §13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел
□ доказательство. Докажем, что множества общих натуральных
делителей для чисел а и Ь и для чисел Ъ и с совпадают. Тогда совпадут
и их максимальные элементы.
Чтобы доказать равенство двух множеств, возьмем любой элемент
одного и проверим, что он принадлежит другому, и, наоборот, взяв
любой элемент второго множества, проверим, что он принадлежит первому.
Итак, пусть d — общий натуральный делитель чисел а и Ь. Тогда,
так как с = a- bq, то с \ d. Тем самым d является общим натуральным
id id
делителем чисел Ь и с.
Аналогично доказывается, что если d есть общий натуральный
делитель чисел Ь и с, то d есть общий натуральный делитель чисел а и Ь. Ш
Следствия. 1) Наибольший общий делитель двух чисел
совпадает с наибольшим общим делителем одного из них и остатка от деления
другого числа на первое.
2) (а; Ъ) = {а + Ь; Ъ) = (а - b; b).
С помощью утверждения теоремы и следствий нетрудно получить
алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида
Чтобы найти (а; Ь), можно применять следующий алгоритм:
1. Поделить с остатком а на Ь, т. е. а = bqx + гг (0 ^ гг < \b\). При
этом (а; Ъ) = ф; гг) согласно следствию.
2. Поделить с остатком Ъ на rl9 т. е. Ъ = rxq2 + г2 (0 ^ г2 < гг). При
этом (Ь; гг) = (гг; г2).
3. Поделить с остатком гг на г2, т. е. гг = r2q$ + г3 (0 ^ г3 < г2).
При этом (гг; г2) = (г2; г3).
И т. д. (пока не получим rk = 0).
□ Поскольку остатки образуют строго убывающую
последовательность неотрицательных целых чисел, то эта последовательность
конечна. Значит, после какого-то шага мы не смогли произвести деление
с остатком. Но деление с остатком нельзя произвести, только если
делитель равен 0. Значит, на предыдущем шаге у нас получился нулевой
остаток, на который мы и не смогли поделить. Итак:
Но в таком случае ясно, что (rk_2; rk_1) = (rk_1;O) = rk_1. Таким
образом, получили (а; Ъ) = (Ь; гг) = (гг; г2) = (г2; г3) = ... = (rk_2; гк_г) = гк_г.
Итак, наибольший общий делитель двух чисел равен последнему
ненулевому остатку в цепочке «последовательных» делений в
алгоритме Евклида. Ш
На основании следствия 2 можно реализовать более «медленный»
алгоритм Евклида, производя вместо делений с остатком вычитания
(понятно, что это то же самое, ведь деление с остатком можно
произвести последовательными вычитаниями делителя из делимого).
IIQj Глава II. Целые числа
Пример 9. Найдем (2576; 154).
П Вот «быстрый» алгоритм Евклида:
1) 2576 = 154 • 16 + 112; 3) 112 = 42 - 2 + 28;
2) 154 = 112 ■ 1 + 42; 4) 42 = 28 - 1 + 14.
Так как 28 ! 14, то (2576; 154) = 14. Ш
Пример 10. Найдем (112; 42).
П Вот «медленный» алгоритм Евклида:
1) 112 - 42 = 70; 4) 28 - 14 = 14;
2) 70 - 42 = 28; 5) 14 - 14 = 0.
3) 42 - 28 = 14;
Итак, искомый наибольший общий делитель равен последнему
ненулевому числу в правых частях равенств, т. е. 14. Ш
Замечание. Ясно, что при нахождении наибольшего общего
делителя целых чисел их знаки можно отбросить и находить
наибольший общий делитель их модулей (поскольку наборы натуральных
делителей чисел а и -а одинаковы).
Вы, наверное, привыкли находить наибольший общий делитель
по-другому: разложить числа на простые множители и выбрать
минимальный набор простых множителей, включающий в себя (с
учетом повторений) наборы каждого из чисел. Однако если для
небольших чисел этот способ действует успешно, поскольку их нетрудно
разложить на простые множители, то для больших натуральных
чисел задача нахождения их разложения на простые множители
занимает очень много времени. В этом случае алгоритм Евклида
работает гораздо быстрее!
Кроме того, полученные результаты позволят нам доказать
возможность и единственность разложения любого натурального
числа, большего 1, на простые множители (основную теорему
арифметики).
3. Линейное представление наибольшего общего делителя
ТЕОРЕМА (о линейном представлении НОД) ————————
Пусть (а; Ь) = d. Тогда существуют такие целые х и у, что
выполнено равенство: d = ax + by (это равенство называется линейным
представлением наибольшего общего делителя чисел а и b с
коэффициентами х и у).
П доказательство. В случае Ь = 0 утверждение теоремы очевидно
(ибо d = a = a - l + fc-0).
Для ненулевых Ь рассмотрим последний шаг алгоритма Евклида,
примененного при поиске d: rk_s = rk_2qk- i + d. Тогда
d = rk_s-rk_2qk_1. (1)
jUlj § 13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел
Но, в свою очередь, rk_4 = rk_sqk_2 + Гн-2-> откуда
rk-2 = rk-4 ~ rk-sQk-2- (2)
Подставим равенство (2) в равенство (1). Получим
d = rk_s- (rk_4- rk_zqk
откуда
d = rk_s(l + qk-2qk-i)-rk-4qk-1. (3)
Обозначим 1 + qk_2qk- i = ai> ~Qk-i = &i- Очевидно, что числа ах и
Ъх — целые. Тогда
d = a1rk_s + blrh_A. (4)
Аналогично из предыдущего шага алгоритма Евклида мы знаем,
чтогЛ_5 = rk_4qk_3 + rk_3, откуда rk_3 = rh_b- rk_4qk_3. Подставив это
равенство в равенство (4), получим
d = a1(rk_5- гк_^к_3)+Ьггк_49
откуда
d = ахгк_ь + (Ьг - а^к_3)гк_4.
Обозначив Ъх - axqk_3 = а2, ах - Ь2, получим
d = a2rk_4 + b2rk_5, (5)
где а2, Ь2 — целые числа.
Итак, в равенстве (5) мы получили выражение d через остатки
с меньшими номерами, нежели в равенстве (4), с целыми
коэффициентами.
Ясно, что, последовательно выражая остатки (из записей деления
с остатком в алгоритме Евклида) через предыдущие, мы на каждом
шаге будем получать выражение d через предыдущие остатки со все
меньшими номерами. Последним получится выражение d через аиЬ.Ш
Приведем другое доказательство теоремы о линейном
представлении НОД.
□ Пусть имеется последовательность (а, Ь, г2, ..., гп) целых чисел,
где Ъ * 0, первые два числа заданы произвольно, а каждое следующее
есть остаток от деления двух предшествующих. Тогда существуют
целые хну, такие, что rn = ax + by.
Доказательство проводим индукцией по п.
база индукции, п = 2. Тогда г2 = а - bqx. Обозначив х = 1, у = -Ь,
получим требуемое соотношение.
индукционный переход. Пусть для всех индексов k, меньших п,
существуют целые xk и yk, для которых rk = xka + ykb. Докажем, что
найдутся целые хп и уп, для которых гп = хпа + ynb.
По условию rn = rn_2 - qnrn_1 (*). Но для гп_г и гп_2 выполнено
утверждение индукционного предположения. Поэтому существуют
целые хп_2 и у„_2, хп_г и уп_19 для которых гп_ г = хп_ га + уп_ гЬ
112J Глава II. Целые числа
и rn-2 = хп-2а + Уп-Ф- Подставив эти значения в равенство (*),
получим:
= (хп_2- xn_iqn)a + (уп_2 - yn-Xqn)b.
Обозначив хп _ 2 - хп _ xqn = хп, уп _ 2 - уп _ xqn = уп, получим
требуемое представление для гп. Ш
Однако при таком оформлении оказывается непонятным способ
нахождения коэффициентов х и у, описанный в первом доказательстве.
Пример 11. Найдем линейное представление (2576; 154).
□ Из примера 9 известно, что (2576; 154) = 14. Будем использовать
равенства из примера 9. Имеем
14 = 42 - 28 - 1 = 42 - (112 - 42 • 2) - 1 = 42 • 3 - 112 • 1 =
= (154 - 112 • 1) • 3 - 112 • 1 = 154 • 3 - 112 . 4 =
= 154 ■ 3 - (2576 - 154 • 16) • 4 = 154 - 67 - 2576 - 4.
Итак, 14 = 2576 • (-4) + 154 • 67.
Согласимся, что подобное равенство трудно получить подбором! 1
Существует еще одно, принципиально другое доказательство
теоремы о линейном представлении наибольшего общего делителя.
Рассмотрим наименьшее натуральное число вида ах + by, где х
ну — всевозможные целые числа (сравните это начало доказательства
с началом доказательства теоремы о делении с остатком!). Назовем это
число d (постарайтесь понять, почему при любых целых аи Ь, хотя бы
одно из которых не равно 0, существует хотя бы одно натуральное
число указанного вида).
Докажем, что d = (а; Ь).
Заметим, что если а • с и Ь \ с, то при любых целых хну
выполнено (ах + by) l с. Поэтому d кратно любому натуральному общему
делителю чисел а и Ь. А поскольку d ^ 0, то d не меньше любого
натурального общего делителя чисел а и Ь. Если доказать, что d само является
общим делителем чисел а и Ь, то d окажется наибольшим среди их
общих делителей!
Докажем, например, что aid. Пусть это не так. Тогда при
делении с остатком а на d получается ненулевой остаток r< d. Имеем
a = dq + r, где г — натуральное число, меньшее d. Но тогда г — а - dq-
— а — (ах + by)q = a(l — qx) + (-qy)b. Мы получили, что г = ахх -V Ьух
(здесь хг = 1 — qx, ух — —qy). Но это противоречит выбору d как
наименьшего числа такого вида! Значит, а • d. Аналогично bid, т. е.
d — общий делитель чисел а и Ъ. Ш
Комментарий. Утверждение, обратное теореме о линейном
представлении, неверно! Действительно, если существуют целые числа х
и у, такие, что d = ах + by, то d вовсе не обязано быть наибольшим
общим делителем чисел а и Ь. Однако ясно, что d будет кратно наи-
US) §13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел
большему общему делителю. Соответствующий пример можно
получить, просто умножив линейное представление наибольшего общего
делителя на произвольное целое ненулевое число.
Из теоремы о линейном представлении следует, что наибольший
общий делитель двух чисел кратен любому общему делителю этих чисел.
С другой стороны, если натуральный общий делитель таков, что он кратен
любому общему делителю, то он, естественно, не меньше любого из общих
делителей. Поэтому наибольшим общим делителем двух целых чисел,
хотя бы одно из которых не равно 0, можно назвать натуральный общий
делитель этих чисел, делящийся на любой их общий делитель. Можно
также сказать, что наибольший общий делитель — это наименьшее
натуральное число, делящееся на любой общий делитель данных чисел.
В случае, когда оба числа равны 0, в множестве натуральных
общих делителей нет наибольшего элемента, ибо оно состоит из всех
натуральных чисел. В то же время есть число, которое делится на все
общие делители двух нулей. Это число 0. Правда, 0 не может быть
ничьим делителем, поэтому применять к нему термин «наибольший
общий делитель» кажется несколько странным. Тем не менее из
соображений, о которых сказано выше, а также из других соображений,
в некоторых книгах по определению полагают наибольший общий
делитель двух нулей равным 0.
Отметим также, что определение наибольшего общего делителя,
а также все его свойства могут быть распространены на большее
количество чисел, нежели два. При этом определение наибольшего общего
делителя п чисел может быть дано тремя способами:
1. Наибольшим общим делителем п целых чисел, хотя бы одно из
которых не равно 0, называется наибольший общий натуральный делитель
этих чисел.
2. Наибольшим общим делителем п целых чисел, хотя бы одно из
которых не равно 0, называется их общий натуральный делитель,
делящийся на все общие делители данных чисел (при использовании этого
определения нужно будет доказывать существование такого делителя).
3. Определение по индукции. Наибольший общий делитель двух
чисел определен выше. Далее, (аг; а2; ...; ап) = ((аг; а2; ...; cin_1); an).
При этом необходимо доказательство корректности данного
определения (т. е. что наибольший общий делитель п чисел не зависит
от того, какое число «уединить»).
Для доказательства корректности проще всего из определения 3
получить теорему о линейном представлении наибольшего общего
делителя п чисел через эти числа. Из этой теоремы вывести (аналогично случаю
двух чисел) то, что наибольший общий делитель кратен любому общему
делителю, откуда получить, что он не меньше любого общего делителя.
Из последнего заключения выводится корректность определения 3!
Однако в дальнейшем изложении и в задачах понятие
наибольшего общего делителя более чем двух чисел встречаться практически
не будет.
114i Глава II. Целые числа
4. Наименьшее общее кратное двух чисел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Наименьшим общим кратным двух ненулевых целых чисел
называется наименьшее натуральное число, делящееся на
эти числа.
Обозначение: [а; Ь\ — наименьшее общее кратное чисел а и Ъ
(зачастую произносят «НОК а и &»).
Очевидно (как следствие свойства минимальности множества
натуральных чисел), что у любых двух натуральных чисел существует
(и притом единственное) наименьшее общее кратное.
В отличие от наибольшего общего делителя наименьшее общее
кратное не занимает в нашем изложении существенного места.
Ограничимся лишь следующим примером доказательства свойства
наименьшего общего кратного.
Пример 12. Докажем, что любое общее кратное ненулевых целых
чисел а и Ь делится на их наименьшее общее кратное.
□ Пусть S • a, S • Ь. Предположим, что S/[а; Ь]. Тогда разделим S
на [а; Ь] с остатком. Имеем S = [а; Ь] • q + г, где 0 < г < [а; Ь].
Так как S • а и [а; Ь\ \ а, то и г • а. Аналогично rife. Итак,
получили, что г — натуральное число, являющееся общим кратным чисел а
и Ь, причем меньшее, чем [а; Ь]. Но [а; Ь] — наименьшее среди всех
натуральных общих кратных чисел а и Ъ. Полученное противоречие
доказывает утверждение примера. (Где ранее использовалось
аналогичное рассуждение?) Ш
Утверждение примера 12 позволяет сформулировать определение
наименьшего общего кратного двух чисел как такого общего
кратного, на которое делятся все общие кратные этих чисел. Решение
примера 12 является частью доказательства равносильности этих
определений (проведите это доказательство целиком!).
Определение наименьшего общего кратного п чисел можно дать
следующими способами:
1. Наименьшим общим кратным нескольких ненулевых целых
чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на
каждое из этих чисел.
Замечание. Поскольку, например, модуль произведения
ненулевых целых чисел делится на каждое из них, то множество общих
кратных нескольких ненулевых целых чисел есть подмножество
натуральных чисел и непусто, значит, среди них можно выбрать наименьшее.
Таким образом, доказана корректность введенного определения.
2. Можно дать определение наименьшего общего кратного п
целых не равных нулю чисел как такого общего кратного этих чисел, на
которое делятся все их общие кратные.
ДД §14. Взаимно простые числа
3. Можно также ввести определение наименьшего общего
кратного нескольких чисел отличных от нуля по индукции. Именно: понятие
наименьшего общего кратного двух чисел введено ранее. По
определению полагаем [аг; а2; ...; ап] = [[аг; а2; ...; о>п-{\\ #л].
Замечание. При этом, так же как и в случае с наибольшим
общим делителем, необходимо доказать корректность данного
определения (наименьшее общее кратное п чисел не зависит от того, какое
именно из них «уединить»).
Наблюдаемую определенную «параллельность» свойств
наименьших общих кратных и наибольших общих делителей можно
иллюстрировать следующим наблюдением: наименьшее общее кратное п
чисел есть наибольший общий делитель всех общих кратных этих
чисел. В свою очередь, наибольший общий делитель п чисел есть
наименьшее общее кратное всех общих делителей этих чисел.
014. Взаимно простые числа
1. Определение и критерий взаимно простых чисел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два целых числа называются взаимно простыми, если их
наибольший общий делитель равен 1.
Очевидным и часто используемым следствием этого определения
является то, что у взаимно простых чисел нет общих натуральных
делителей, больших 1.
ТЕОРЕМА (критерий взаимной простоты двух чисел) щ
П Целые числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда
существуют целые х и у, такие, что ax + by= 1.
D ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
необходимость. Необходимость условия взаимной простоты
следует из теоремы о линейном представлении наибольшего общего
делителя.
достаточность. Пусть 1 = ах + by (*) и d — какой-либо общий
делитель чисел а и Ь. Тогда в силу равенства (*) 1 • d. Отсюда d = ±1.
Итак, множество общих делителей чисел а и Ь, связанных
между собой равенством (*), состоит из 1 и -1. Тогда наибольший
общий делитель этих чисел равен 1, что и означает их взаимную
простоту! Ш
Замечание. Полезно сравнить условие теоремы с текстом
комментария к теореме о линейном представлении НОД (с. 112).
П6 Глава II. Целые числа
2. Свойства взаимно простых чисел
Ряд естественных свойств делимости (например, чтобы число было
кратно 12, достаточно его кратности 3 и 4) следует из весьма глубоких
свойств взаимно простых чисел.
ТЕОРЕМА (свойства взаимно простых чисел) |g
Пусть а, Ь, с, р, q е Z, с ф 0, р ф 0, q ф 0.
1. Если ab \ с и (а; с) = 1, то b • с.
2. Если (а;с)=1 и (Ь;с)=1, то (аЬ; с) = 1 (в частности, если
(а; с)= 1, то (ал; с) = 1).
3. Если с ; а, с i Ь и (а; Ь) = 1, то с ! аЬ, при а, Ь * 0.
4. Если (а; Ь) = 1 и а : р, Ь ; д, то (р; д) = 1.
П доказательство. 1. Если (а; с) = 1, то существуют целые х и у,
такие, что 1 = ах + су. Умножим обе части этого равенства на Ъ.
Имеем Ъ = аЬх + cby. Но в правой части этого равенства оба слагаемых
кратны с. Значит, и сумма их кратна с, т. е. Ъ • с.
2. Вновь используем линейное представление единицы. Имеем для
некоторых целых х и у равенство 1 = ах + су, а для некоторых целых и
и v — равенство 1 = Ъи + cv. Перемножим эти два равенства. Получим:
1 = (ах + су) (Ьи + cv) = abxu + Ьсуи + acxi; + c2yv = ab (xu) + с (byu + axi; + cyv).
Итак, нашлись такие целые р и q (р = хи9 q = byu + axv + cyv), что
1 = abp + eg. По критерию взаимной простоты получаем, что (ab; с) = 1.
3. Разделим с на а. Имеем с = асг. Нужно доказать, что сг • Ъ.
Пусть это неверно. Поделим сг с остатком на Ь:
cx = bq + r, (*)
где 0<r<\b\. Умножим обе части равенства (*) на а. Получим
с = abq + га. Так как с • b и abq I b, то га = (с - abq) I b. Так как
(а; Ь) = 1, то по свойству 1 получаем г • Ъ. Так как г Ф 0, то г ^ |Ь|, что
противоречит тому, что г есть остаток от деления на Ь.
Полезно сравнить данное доказательство с доказательством
единственности деления с остатком.
4. Пусть q • d и р • d, где d — натуральное число. Тогда а • d
n b • d, как делящиеся на числа, кратные d. В силу взаимной простоты
а и b имеем d = 1. Итак, общим натуральным делителем чисел р ид
может быть только 1, а тогда эти числа взаимно простые. Ш
Обычно свойства взаимно простых чисел доказываются исходя
из существования и единственности разложения на простые
множители. Однако в этом случае доказательство самой этой теоремы
обычно опускают либо оно весьма затруднительно.
Кроме того, как мы увидим далее, все указанные доказательства
дословно переносятся на другие совокупности объектов, где
определено деление с остатком! В частности, для таких совокупностей
объектов будет верным и существование и единственность
разложения на «простые» сомножители!
1Т7, §14. Взаимно простые числа
3. Примеры использования свойств взаимно простых чисел
Укажем несколько примеров использования свойств взаимно
простых чисел.
Пример 13. Докажем еще одно свойство сравнений (в дополнение
к утверждениям теоремы о свойствах сравнений, см. с. 105).
Если ka = kb и (k; т) = 1, то а = Ь (обе части сравнения можно раз-
m m
делить на число, взаимно простое с модулем).
□ Так как ka = kb, то (ka - kb) \ m, т. е. k(a - b) ; m. Так как
m
(k; m) = 1, то по свойству 1 взаимно простых чисел имеем (а — Ь) • пг,
что и означает а = Ь. Ш
Пример 14. Пусть натуральные числа a, b и с таковы, что
(а; Ь) = 1 и аЪ — с2. Докажем, что а и b являются квадратами
натуральных чисел (т. е. существуют такие натуральные числа ах и bl9
что а =а{ и b = b2).
П Пусть (а; с) = р, (Ь; с) = q. Так как (а; Ь) = 1, то по свойству 4
взаимно простых чисел (р; q) = 1. Пусть а = ра19 с = рсх, Ъ = qbx, с = qc2.
Подставив это в исходное равенство и разделив обе части
полученного равенства на pq, получим
Согласно результату задачи 11.86 имеем (ах; сх) =1 и (Ьх; с2) = 1. Так
как axbx • сх и (ах; сх) = 1, то из свойства 1 взаимно простых чисел
имеем Ьх • сх, откуда Ьх ^ сг. В то же время схс2 • Ь19 причем
(Ьх; с2) = 1, откуда сх • Ьх, т. е. сх ^ Ьх. Окончательно сх = Ьх, откуда
после подстановки в равенство (*) получим с2 = ах.
Итак, а = рах, с = pbx, Ъ — qbx и с = qax.
Рассмотрим равенство pbx = qax. Так как (р; q) = 1, получаем из
свойства 1 взаимно простых чисел, что Ьх • q. Аналогично ах • р.
Заметим, что так как ах является делителем а, Ьх является
делителем Ъ, причем (а; Ь) = 1, то (ах; Ьх) =1 по свойству 4.
Тогда, применяя свойство 1 к соотношению pbx • ах, получаем
р • ах. С учетом предыдущего получаем р — ах. Аналогично q — bx.
Окончательно получаем a = af и b = Ь2. Ш
Из доказательства следует, что числа ах и Ьх являются
наибольшими общими делителями чисел а и Ъ и числа с соответственно.
Пример 15. Докажем, что при всех целых п справедливо утверждение
(п3 + Зп2 + 2n) \ 6 (см. пример 5, с. 103).
□ Имеем ns + Зп2 + 2п = п(п + 1)(п + 2). Так как среди
сомножителей, являющихся тремя подряд идущими числами, есть ровно один,
кратный 3, то все произведение кратно 3.
Так как среди двух соседних чисел п и п + 1 одно является
четным, то все произведение является четным.
Так как числа 2 и 3 взаимно простые, то если число делится на 2
и на 3, то оно делится и на 6 по свойству 3 взаимно простых чисел. Ш
118] Глава II. Целые числа
015. Простые числа- Основная теорема арифметики
1. Определение и свойства простых чисел
С понятием простого числа вы сталкивались еще в начальной
школе. Известно, что попытки учащихся дать определение простого
числа с первого раза обычно успеха не приносят (можете попробовать
дать определение простого числа, не заглядывая дальше в текст).
Поэтому приведем здесь определение простого числа и рассмотрим
некоторые свойства простых чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Натуральное число, большее 1, называется простым, если
оно не имеет других натуральных делителей, кроме самого
себя и 1.
Если натуральное число имеет делитель, отличный от себя
и 1, оно называется составным.
Замечание. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным
(причины этого мы обсудим после изучения основной теоремы
арифметики).
Простые числа представляют собой «кирпичики», из которых
с помощью умножения строятся все натуральные числа, большие 1.
Как ищут простые числа? Со времен эллинистического Египта
известен алгоритм, называемый «решето Эратосфена». Он состоит в следующем.
Чтобы найти все простые числа от 2 до тг, нужно выписать все
натуральные числа от 2 до п. Далее, первое выписанное число является
простым. Вычеркиваем все числа, кратные найденному. Первое невычерк-
нутое число вновь простое. Затем вычеркиваем все числа, кратные ему.
Первое невычеркнутое число — простое и т. д. (можете попробовать
написать программу поиска простых чисел и оценить, сколько времени
она работает для различных значений п). Проиллюстрируем работу
алгоритма на примере поиска простых чисел от 2 до 31.
2 345§789Ф§11
42 13 ФФ 4# 46 17 *% 19 2§ £Ф
22 23 £4 26 Ш 27 2% 29 38 31
Здесь двумя черточками зачеркнуты числа, которые подверглись
вычеркиванию 2 раза (например, число 10 вычеркнуто как делящееся
на 2 и как делящееся на 5).
Каждый раз первое невычеркнутое число является числом, не
кратным ни одному из меньших его (но больших 1), т. е. оно не имеет
других натуральных делителей, кроме 1 и самого себя, следовательно,
является простым. С другой стороны, каждое простое число будет
найдено этим алгоритмом, поскольку не будет вычеркнуто.
§15. Простые числа. Основная теорема арифметики
>имер 17. Докажем, что каждое натуральное число п, большее 1,
шеет простой делитель.
Доказательство проведем индукцией по п.
база индукции. При п = 2 утверждение верно, ибо число 2
имеет простой делитель — само себя!
индукционный переход. Пусть каждое натуральное число,
меньшее k, имеет простой делитель. Докажем, что само число k
имеет простой делитель.
Если число k простое, то оно имеет в качестве простого делителя
само себя. Если же число k составное, то k • kl9 где 1<кг<к. Тогда
число kx согласно индукционному предположению имеет простой
делитель, который по свойству 1 делимости является делителем k. SO
Укажем очевидные свойства простых чисел, прямо следующие из
определения.
1. Пусть р — простое число. Тогда любое целое число либо
взаимно просто с р, либо делится на р.
2. Пусть ab \ р, где р — простое число. Тогда хотя бы одно из
чисел а или b кратно р.
□ доказательство. 1. Возьмем произвольное целое число а и
рассмотрим наибольший общий делитель числа р и числа а. Так как он
является делителем числа/?, то равен либо 1, либо р. В первом случае
(а; р) = 1, во втором а • р.
2. Если число а не кратно/?, то по предыдущему свойству а
взаимно просто с /?, а тогда, по свойству 1 взаимно простых чисел, b • р. Ш
2. Бесконечность множества простых чисел
Еще во времена Евклида была известна следующая
основополагающая теорема.
ТЕОРЕМА
I Простых чисел бесконечно много.
Доказательство этой теоремы, приведенное ниже, является, не-
I смотря на свою простоту, одной из жемчужин математической мысли.
□ доказательство. Пусть простых чисел конечное количество.
Запишем их все: р19 р2, ..., рп-
Рассмотрим число a = РхР2 ' ••• • Рп + 1-
Оно, с одной стороны, дает остаток 1 при делении на любое из
простых чисел, следовательно, оно не делится ни на какое из чисел
Ри Р2> •••> Рп- С другой стороны, по утверждению из примера 17, у чис-
1201 Глава II. Целые числа
л а а должен быть простой делитель (возможно, оно само).
Следовательно, этот простой делитель не перечислен среди чисел р19 р2, ..., рп
вопреки предположению. Ш
Приведем пример использования идеи этого доказательства.
Пример 18. Докажем, что простых чисел вида 4k- 1 бесконечно много.
□ Пусть простых чисел вида 4k - 1 конечное количество.
Обозначим их через pl9 р2, ..., рп* Рассмотрим число а = 4рх - р2 • ... • рп - 1.
Оно не делится ни на одно из чисел р19 р2, ..., рп. Значит, все его
простые делители имеют вид 4k + 1 (поскольку каждое простое число,
кроме 2, дает при делении на 4 либо остаток 1, либо остаток 3). Но,
перемножая сколь угодно много множителей вида 4k + 1, получаем
число такого же вида (дающее остаток 1 при делении на 4), в то время как
а = 3. Полученное противоречие доказывает утверждение. Ш
При попытке доказать аналогичным образом утверждения о
бесконечности множества простых чисел вида 4k + 1 возникает
проблема: число вида 4k + 1 вполне может получаться произведением чисел
вида 4k - 1. Дальнейшее развитие соответствующей теории требует
привлечения более тонких идей и методов и приводит к знаменитой
теореме Дирихле: в любой арифметической прогрессии натуральных
чисел, первый член и разность которой взаимно просты, имеется
бесконечно много простых чисел! I
3. Основная теорема арифметики
Следующее утверждение носит исторически сложившееся
название «основная теорема арифметики». Оно позволяет свести многие
вопросы делимости, взаимной простоты и некоторые другие к вопросам
о наличии или отсутствии простых делителей и их количестве.
ТЕОРЕМА (основная теорема арифметики) ш$.
1
Любое натуральное число п > 1 единственным образом (с
точностью до перестановки сомножителей) представимо в виде
произведения нескольких (возможно, одного) простых чисел (среди
которых могут быть и равные).
Например, 18 = 2 - 3 - 3, 1001 = 7 • 11 • 13. Естественно вместо
записи одинаковых сомножителей использовать запись в виде
степени, например 18 = 21 • З2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Запись натурального числа, большего 1, в виде
(где все р, — попарно различные простые числа, а каждое
а,- е N) называется канонической формой записи
натурального числа.
fflI §15. Простые числа. Основная теорема арифметики
Из основной теоремы арифметики следует, что у каждого
натурального числа, большего 1, имеется единственная каноническая
форма записи.
Теперь становится ясным, почему 1 неудобно считать простым
числом. Ведь если 1 — простое число, то основная теорема арифметики не
будет выполнена! В самом деле, 18 = 2-32 = 1-2-32 = I2009 • 2 • З2.
Таким образом, не будут совпадать ни наборы множителей, ни наборы
показателей степеней в такой канонической форме записи.
Еще раз подчеркнем: никто не мешает включить число 1 в
определение простого числа. Однако такое определение будет неудобным
в практических применениях понятия простого числа, в том числе
в главном таком применении — основной теореме арифметики.
0 Доказательство основной теоремы арифметики проведем по
индукции по числу п.
база индукции, п = 2 имеет, и притом единственное,
разложение на простые множители.
индукционный переход. Пусть все числа, меньшие k, имеют
единственное разложение на простые множители. Докажем, что k
также имеет единственное разложение на простые множители.
Действительно, если k — простое, то утверждение верно. Если же
k — составное, то оно раскладывается в произведение двух меньших
его сомножителей, каждый из которых раскладывается на простые
множители согласно предположению индукции. Таким образом,
существование разложения на простые множители числа k доказано.
Докажем единственность. Пусть k = р±р2 • ••• ' Ps = QiQz * ••• " Qt
и предположим, не умаляя общности, что среди чисел qt нет числа,
равного/?!. Тогда, согласно утверждению, все числа qt взаимно
просты срг (ведь qt — простые числа и они не могут делиться на/?!, не
будучи равны рг). Отсюда (qiq2 • ••• • qt\ Pi) = 1> что противоречит
исходному равенству, ведь (qiq2 ' ••• ' Qt) : Pi-
Итак, среди чисел qt есть число, равное рг. Не умаляя общности,
пусть, например, qx = рх. Сократив обе части равенства нар19 имеем
р2 • ... • ps = q2 • ••• • Qs- Но обе части равенства являются
разложениями числа, меньшего k, на простые множители! По
предположению индукции, такое разложение единственно, поэтому набор
оставшихся чисел pt (i = 2, ..., t) с точностью до перестановки
совпадает с набором оставшихся чисел qt (i = 2, ..., t). Тогда совпадают
и наборы простых множителей числа k (полученные добавлением
одного и того же числа рг к обоим одинаковым наборам). Щ
4. Приложения основной теоремы арифметики
Укажем несколько очевидных свойств, следующих из основной
теоремы арифметики:
1. Если натуральное число, большее 1, является k-й степенью
натурального числа, то в его канонической форме все показатели
степени кратны k.
1221 Глава II. Целые числа
2. Если два числа не имеют общих простых делителей, то они
взаимно просты.
3. Если произведение двух взаимно простых чисел, больших 1,
является fe-й степенью натурального числа, то каждое из них является
k-ik степенью некоторого натурального числа (следует из предыдущих
пунктов).
Попробуйте доказать свойство 3 самостоятельно и сравните это
доказательство с приведенным в конце § 11 доказательством этого
утверждения для k = 2.
Интересной является также интерпретация понятий наименьшего
общего кратного и наибольшего общего делителя в терминах
разложения на простые множители.
Итак, пусть а = р"1 • р%2 •... • p%k, Ъ = pf1 • р\2 -... • р\к
(приведенные формы записи чисел а и Ъ не являются каноническими, так
как показатели степеней могут быть и нулевыми)1. Тогда, очевидно,
а
Пример 19.
min (04; Pi)
~ Pi
(a; b) = p™
[a; b] = p™
Имеем
+ max (04; Pi)
n(<Xi;
ix (ai;
min I
Рг
Pi)
Pi)
[a
min (a2; P2)
' P2
max(a2; P2)
; b] • (a; b) =
p2)+ max(a2; P2)
• • ' Р™Ш a*
max(a^;
•• " Pk
min (c
* • • • * Pk
откуда, с учетом очевидного равенства min (a; P) + шах (a; P) = a + Р,
получим [a; b] - (a; b) = ab. Ш
Доказанное утверждение дает быстрый способ вычисления НОК
двух чисел без нахождения их разложений на простые множители.
Пример 20. Найдем количество натуральных делителей натурального
числа а, представленного в канонической форме (см. задачи 1.78, 1.97).
П Пусть а = р^1 - Р22 •... • Pkkу гДв я, > 0. Ясно, что натуральными
делителями числа а могут быть те и только те числа Ь, которые имеют
вид Ъ = р[1 • pi2 •... • plk, где 0 ^ Р^ ^ а^. Таким образом, натуральных
делителей числа а столько же, сколько возможно наборов показателей
степеней простых множителей в числе Ь. А число таких наборов легко
сосчитать: для первого показателя имеется ах + 1 возможных значений,
для второго имеется сс2 + 1 возможных значений, ..., для fe-ro будет
ak + 1 возможных значений. Пользуясь правилом умножения,
получаем: количество натуральных делителей натурального числа а,
представленного в канонической форме, равно (аг + 1) • (ос2 + 1) • ... • (ak + 1). В
1 За счет нулевых степеней наборы простых множителей у чисел а иЬ
сделаны одинаковыми. Например, 18 = 21 • З2, 28 = 22 • 71. Рассматривая
совместно эти числа, получаем 18 = 21 - З2 • 7°, 28 = 22 - 3° • 71.
§15. Простые числа. Основная теорема арифметики
Натуральные числа — один из первых математических объектов, кото-
исторический комментарий
рый стал изучать человек. Использования натуральных чисел требовала
практика повседневной жизни, и в частности, счета.
Таким образом, классическая теория чисел — одна из древнейших
областей математики.
Изложения первых результатов классической теории чисел дошли до нас
в копиях знаменитого труда Евклида «Начала». В книгах VII, VIII и IX
систематизированы основные предложения теории чисел. В частности, теорема о
бесконечности множества простых чисел — это предложение 20 книги IX «Начал».
Методы решения уравнений в целых числах (точнее, в рациональных
числах), были изложены в книгах Диофанта (III в. до н. э., Александрия). До
нас дошли 6 книг «Арифметики» Диофанта. В частности, он приводит без
доказательства тот факт, что всякое простое число вида Лк + 1 представимо
в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Эту теорему позднее
доказал П. Ферма.
В честь Диофанта уравнения в целых числах называются диофантовыми
(кстати, слово «арифметика» происходит от греческого «arythmos», которым
Диофант называл переменную в уравнениях). Известна задача, высеченная,
по преданию, на надгробии Диофанта, в которой ответом якобы является его
возраст: «Боги ниспослали ему быть мальчиком шестую часть жизни. Добавив
к сему двенадцатую часть, они покрыли его щеки пушком; после седьмой
части они зажгли ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак
даровали ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры
половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре
года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он завершил свою жизнь».
Наиболее известный широкой публике результат теории чисел — это
Великая, или Последняя, теорема Ферма (1601—1665) о том, что не
существует решения в натуральных числах уравнения х" + у"' = z" при п ^ 3.
Известна история появления этой теоремы на полях книги «Арифметика»
Диофанта в переводе Баше де Мезирака 1621 года издания, с которой Ферма
никогда не расставался. У этого издания были очень широкие поля, на
которых Ферма оставлял свои заметки. В частности, напротив задачи 8 он оставил
такое примечание: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы
двух кубов, или для биквадрата быть записанным в виде суммы двух
биквадратов, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух,
быть записанной в виде суммы двух таких же степеней. Я нашел поистине
удивительное доказательство этого факта, но поля здесь слишком узки, чтобы
вместить его». После смерти Ферма его сын опубликовал «Арифметику»
Диофанта с комментариями отца. Так математические достижения Ферма,
который никогда не публиковал своих результатов, стали достоянием гласности.
Однако, кроме этой теоремы (доказанной лишь в 1995 г. американским
математиком Э. Уайлсом, причем методами, явно недоступными Ферма),
Ферма принадлежат многие изящные и глубокие результаты теории чисел,
которые он не рассматривал всерьез, считая, что переоткрывает то, что
1241 Глава II. Целые числа
было известно античным математикам. Будучи работником, как мы бы
сейчас сказали, органов юстиции в Тулузе, Ферма вел замкнутый образ жизни,
посвящая все свое свободное время математике. Поскольку Ферма никому
не сообщал своих доказательств (а свои результаты либо не публиковал
вообще, либо посылал в виде задач известным европейским математикам того
времени), многие его результаты были заново доказаны известными
математиками, в том числе великим российским математиком, швейцарцем по
происхождению, Л. Эйлером. В частности, Л. Эйлеру принадлежит результат
задачи 11.129.
Леонард Эйлер (1707—1783) — один из величайших математиков всех
времен. Родился в Швейцарии, однако большую часть жизни провел в
Петербурге, куда приехал в 1726 г. В Петербурге Эйлер работал до 1741 г.,
когда, будучи уже всемирно известным ученым, принял приглашение короля
Пруссии Фридриха II и переехал в Берлин. В 1766 г. Эйлер вернулся в
Россию, где и проработал до самой смерти. При этом с 1765 г. Эйлер ослеп и
был вынужден все свои работы диктовать, а вычисления и преобразования
производить в уме. Причем более половины его трудов были созданы в
последнее десятилетие жизни.
Интересно отметить, что все время пребывания Эйлера в Пруссии за
ним сохранялась должность и жалованье члена Петербургской академии
наук. А во время Семилетней войны поместье Эйлера в Германии было взято
под охрану частями русской армии.
Невозможно указать ни одной области математики, в которой Эйлер не
оставил бы свой след. Это и математический анализ, и алгебра, и теория
вероятностей, и вариационное исчисление, и теория чисел, и топология и
теория графов, одним из основателей которых он был, и баллистика, и теория
навигации и судостроения, и оптика, и астрономия, и многие другие
разделы математики и физики. Всего за свою жизнь Эйлер опубликовал более
860 научных работ.
Парижская академия наук в 1775 г. в порядке исключения избрала
Эйлера девятым членом (разрешалось только 8). Портреты Эйлера неоднократно
размещались на банкнотах и монетах разных стран (в частности, Швейцарии).
Невозможно перечислить всех знаменитых ученых, как российских, так
и зарубежных, работавших и работающих в области теории чисел.
Интересно, что в теории чисел есть много проблем, формулировки
которых понятны любому старшекласснику, но которые не решены до сих пор.
Вот лишь некоторые из них:
1) Конечно или бесконечно число пар простых чисел-близнецов (т.е.
простых чисел, различающихся на 2, как, например, 11 и 13 или 239 и 241)?
2) Конечно или бесконечно множество простых чисел вида 2п - 1? Эти
числа называются простыми числами Мерсенна по имени священника
Марена Мерсенна, который приложил немалые усилия к распространению
математических знаний и проблем в Европе и был, как говорили, «первым
научным журналом Европы». То, что в простых числах Мерсенна п должно быть
простым, утверждает задача II. 121 а.
3) Конечно или бесконечно множество простых чисел вида 2Л+ 1? Эти
числа называются простыми числами Ферма. До сих пор известны лишь
125 Задачи и упражнения
5 чисел для п = 2°, 2\ 22, 23, 24 (то, что число п должно быть степенью
числа 2, составляет утверждение задачи 11.1216). Число Ферма для п = 25, как
показал Эйлер, делится на 641. К.Ф. Гаусс доказал, что циркулем и линейкой
можно построить лишь такие правильные многоугольники, вписанные в
данную окружность, число сторон которых имеет в своем каноническом
разложении только двойки и первые степени простых чисел Ферма?
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — один из величайших математиков
всех времен. В возрасте 23 лет подготовил фундаментальное сочинение
«Арифметические исследования», оказавшее значительное влияние на
последующее развитие математики и не утратившее актуальности до сих пор.
Фундаментален вклад Гаусса во все области математики. Еще при жизни
ученого была выпущена медаль с его портретом и надписью «Princeps mathe-
maticorum» — «Император математиков». Многие свои результаты Гаусс не
опубликовал. Они содержатся в записках, тетрадях, переписке с коллегами.
Вплоть до Второй мировой войны результаты Гаусса изучались и
публиковались Геттингенским университетом, в котором Гаусс проработал всю жизнь.
Интересно отметить, что Гаусс пришел к идее существования
неевклидовой геометрии, но, в отличие от Н. И. Лобачевского, не решился ее
опубликовать, опасаясь критики. Интересно также, что у Гаусса и Лобачевского
был общий наставник — И. Бартельс.
Портрет Гаусса как выдающегося представителя Германии был
изображен на купюре в 10 марок (до появления евро).
4) Всякое ли четное натуральное число представимо в виде суммы двух
простых (это знаменитая проблема Гольбаха, существенную лепту в
решение которой внес знаменитый отечественный математик И. М. Виноградов).
Иван Матвеевич Виноградов (1891—1983) — выдающийся математик
XX столетия. Его труды относятся в основном к аналитической теории чисел
и продолжают традиции Петербургской математической школы, заложенные
Эйлером. Виноградов написал более 140 работ, снискавших ему мировую
известность. Был академиком более чем 20 зарубежных академий.
Современные результаты теории чисел находят свое практическое
применение, например, в передаче и кодировании информации.
И Задачи и упражнения
Деление с остатком
Группа А
ИЛ. Произведите деление с остатком:
а) 13 452 на 23; б) -13 452 на 23; в) -13 452 на -23;
г) 13 452 на -23; д) 17 345 на -12; е) 17 345 на 12;
ж) -17 345 на -12; з) -17 345 на 12.
IL2. Вычислите сумму частного и остатка от деления года вашего
рождения на сумму числа вашего рождения и номера месяца вашего
рождения.
1261 Глава II. Целые числа
п.З. а) Делимое равно -538, неполное частное равно 26. Найдите все
возможные значения соответствующих делителя и остатка,
б) Делимое равно —2007, неполное частное равно -109. Найдите
все возможные значения соответствующих делителя и остатка.
И.4. При делении на целое число а все целые числа дают остаток 0.
Найдите все такие числа а и докажите, что других нет.
И.5. Найдите наибольшее целое число, которое при делении с
остатком на 18 дает частное 23.
и.6. Найдите все возможные натуральные значения а, если 341 при
делении на а дает остаток 18. Как изменится ответ, если искать
целые а?
II.7. Каким может быть число г, чтобы существовало единственное
число Ь, при делении на которое 253 давало бы остаток г?
п.8. В некотором месяце три вторника приходятся на четные числа.
Каким днем недели будет 10-е число этого месяца?
П.9. Числа 2006, 1607 и 2810 дают одинаковые остатки при делении
на число Ъ > 1. Найдите число Ь.
п. 10. Пусть а и Ъ — натуральные числа (а > Ь). Докажите, что остаток
от деления а на Ъ меньше -.
Делимость
Группа А
li.ll. Докажите, что если а \ Ь и Ь \ а, то \а\ = \b\.
п.12. Докажите, что: а) число, записанное 9 единицами, делится на 9;
б) число, записанное 81 единицей, делится на 81.
и.13. Докажите, что:
а) аЪаЪаЪ \ 21; б) ab + ba\ 11; в) ~аЬс - ~cba \ 99.
п.14. Докажите, что при натуральных п дробь несократима:
~л
а) 10п + 12' 14п + 3 "
^ „ „ 2т + 3
11.15. Найдите все натуральные т, такие, что целое число.
т - 1
П.16. На какие целые числа можно сократить дробь при некотором
значении п:
ч 2п + 1 АГ ^ч 2п + 1
а)б^Тп'пеЛГ; б) т^ГТГ п
п.17. Докажите, что если (а + Ъ) ■ 9, ab \ 9, то:
а) (а2 + Ь2) \ 9; б) (а3 + bs) \ 81; в) (а3 + б3) i 243.
п.18. Докажите, что сумма всех шестизначных чисел делится на 99,
если они составлены из цифр: а) от 1 до 8; б) от 2 до 7. Решите
аналогичную задачу для восьмизначных чисел.
п.19. Известно, что abcde -41. Докажите, что eabcd = 41.
ЯИ Задачи и
упражнения
11.20. Сумма двух натуральных чисел равна 239. Может ли
произведение этих чисел делиться на 239?
11.21. Докажите, что abcdef \ 37 тогда и только тогда, когда (abc + def) • 37.
11.22. Докажите, что остатки двух целых чисел при делении на
ненулевое целое число т совпадают тогда и только тогда, когда
(а - Ь) • т.
11.23. Известно, что (За + 7Ь) • 19. Докажите, что (41а + 83Ь) • 19.
11.24. Вася приобрел в магазине несколько плюшек по 14 р. за штуку,
некоторое количество пышек по 3 р. 50 к. и слойку за 28 р.
Продавец сказал, что с Васи 205 р. Прав ли продавец?
11.25. Докажите, что количество натуральных делителей натурального
числа п не превосходит — +1.
11.26. Каждое из натуральных чисел а, Ь, с, d делится на натуральное
число аЪ - cd. Докажите, что аЪ - cd = 1.
Сравнения. Перебор остатков
Группа А
П.27. Найдите наибольшее трехзначное число, удовлетворяющее
сравнению:
а) хее 13; б) х=17; в) х=6.
' 27 ' 35 ' 15
11.28. Найдите наименьшее трехзначное число, удовлетворяющее
сравнению:
а) 2х=8; б) Зх=15; в) 13х = 26.
' 14 ' 57 ' 182
11.29. Какие остатки могут давать квадраты и кубы целых чисел при
делении на: а) 4; б) 5; в) 8?
11.30. Какой остаток при делении на 3 дает число х, если
2х= 1 (mod 6)?
И.31. Какой остаток дает число х при делении на 7, если:
а) 8х=3; б) 6х=3; в) 4х=3?
11.32. На какую цифру оканчивается число:
а) б2006; б) 92007; в) 72006 + 92005; г) Зп9 - 9п3 ?
11.33. Найдите остаток от деления:
а) 72007 на 4; б) 7713 на 11; в) Зп9 на 7; г) 21913 на 5.
П.34. Докажите, что данное число не является квадратом никакого
натурального числа: а) 199 519 961 997; б) 19 951 996 199 734;
в) 1 234 199 663; г) 1 234 199 674.
11.35. Существует ли натуральное число п, такое, что:
а) (п2 + п + 1) ; 1996; б) (п2 + п + 1) ■ 1995?
П.36. Найдите все значения х, если 10Л = х (mod 11) при некоторых
натуральных п.
128, Глава II. Целые числа
п2 + 1
11.37. Докажите, что дробь — несократима ни при каком натураль-
Апг + 7
ном п.
11.38. Докажите, что равенство Xs + у3 + z3 = 12 345 672 007 не
выполнено ни при каких целых х, у, z.
П.39. Докажите, что аЬ • 9, если а2 + Ъ2 • 3.
П.40. Докажите, что сумма кубов трех последовательных целых чисел
кратна 9.
п.41. Докажите, что при всех целых а и Ь выполнено аЪ{а2 - Ь2) \ 3.
п.42. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных
натуральных чисел не есть точный квадрат.
11.43. Десятизначное число на 1 больше квадрата натурального числа.
Докажите, что в нем есть одинаковые цифры.
Группа В
11.44. Решите сравнения (описать все возможные целые х,
удовлетворяющие данным сравнениям):
а) Зх - 6 = -1 (mod 11); б) Ъх + 56 = 7 (mod 18);
в) 7х + 3 = 2х - 1 (mod 13); г) 13х - 6 = 6х + 13 (mod 18).
п.45. а) Решите сравнение 1) х2 - 2х - 3= 0; 2) х2 - 2х + 14= 0.
б) При каких с имеет решения сравнение 16" =17? Найдите все
возможные натуральные п для каждого из найденных с.
11.46. Докажите, что из любых пяти целых чисел можно выбрать два,
разность квадратов которых делится на 7.
11.47. Кусок бумаги порвали на 8 частей, затем некоторые из
образовавшихся кусков порвали еще на 8 частей и т. д. Могло ли после
нескольких таких процедур оказаться ровно 2008 кусков бумаги?
И.48. Докажите, что:
а) если аЬ + cd • а — с, то ad + be • а — с;
б) если ab + cd • а + с, то ad + be • а + с.
И.49. Натуральное число п таково, что (п + 1) ! 8. Докажите, что сумма
всех натуральных делителей числа п также делится на 8.
11.50. Докажите, что при натуральных а и п выполнено:
(а2п + 1 + (а- 1)п + 2)\(а2-а+ 1).
п.51. Докажите, что уравнение ху(х + у)=5...5 не имеет решений
в целых числах. 2оов
п.52. Докажите, что при различных тип числа 2т и 2п имеют
различные наборы цифр в десятичной записи.
и.53. Может ли при натуральных п:
а) (5" - 1) ! (4* - 1); б) (7п - 1) I (6* - 1)?
и.54. При каких натуральных п выражение 2п + 3" + 4п является
квадратом натурального числа?
Ш Задачи и упражнения
11.55. Число а равно утроенной сумме своих цифр. Докажите, что а • 27.
11.56. Решите уравнение в целых числах:
а) Зх2 + 1 = 5у; б) 2х + 3* + 4х = у2; в) 2х + 65 = у2;
г) 3* + 55 = i/2; д) п\ - 1 = /г2.
11.57. Докажите, что квадрат натурального числа не может
заканчиваться четырьмя одинаковыми ненулевыми цифрами.
11.58. Пусть а = п2 (п е N). Докажите, что среди двух последних цифр
числа а хотя бы одна четна.
П.59. Докажите, что натуральное число является квадратом
некоторого натурального числа тогда и только тогда, когда число его
делителей нечетно.
11.60. Выписаны подряд все натуральные числа от 1 до п.
а) п = 2008. Делится ли полученное число на 3?
б) Каким должно быть п, чтобы полученное число делилось на 3?
(Опишите п в терминах остатков от деления.)
Группа С
11.61. Докажите, что при любом натуральном п сумма цифр числа
1981" не меньше 19.
11.62. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (используя их все по одному
разу) составить шестизначное число, кратное 11?
11.63. Докажите, что если некоторый признак делимости не зависит от
порядка цифр десятичной записи числа, то это признак
делимости на 3, на 9 или на 1.
11.64. Пусть натуральные числа х, у, z удовлетворяют соотношению
х2 + у2 = z2. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел кратно:
а) 2; б) 3; в) 5; г) 4.
11.65. Докажите, что если сумма цифр числа т равна сумме цифр числа
2/тг, то т \ 9.
И.66. Докажите, что (п + I)2 и п(п - 1) имеют разные суммы цифр при
любом натуральном п.
11.67. Пусть 2п - 10а + b (0 < Ъ < 10). Докажите, что ab \ 6.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел
Группа А
П.68. Найдите:
а) (822; 1374); б) (4623; 3473); в) (4373; -826); г) (-3791; 3281).
11.69. Для наибольших общих делителей из задачи 11.68 найдите их
линейные представления.
П.70. Что можно сказать про целые числа а и Ь, если:
а) (а; Ъ) = а; б) [а; Ь] = а?
11.71. Известно, что (а; Ъ) = 1. Найдите (5а + ЗЬ; 8а + 5Ь).
;y)=15, Г[xi у] = 840,
; I б) {
130J Глава N. Целые числа
11.72. Решите систему уравнений в натуральных числах:
а) {(*; у) = 30;' б) \(х; у) = 24;' В) \(х; у) = 45; Г) \(х; у) = 4.
11.73. На какие числа можно сократить дробь при натуральных л?
ьп + 7
11.74. Найдите наибольшее трехзначное число п, для которого дробь
lln + 2 л
будет сократимой.
In + 3
In — 2
11.75. При каких натуральных п дробь — является сократимой?
2пг + п + 3
11.76. Решите систему уравнений в натуральных числах:
= 420; *" [(х; у) = 12; *" | ^Щ = 120; г) {(£ J= 4. '
11.77. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30 030,
то их произведение не делится на 30 030.
Группа В
п.78. Докажите, что (2т - 1; 2п - 1) = 2<т; Л> - 1.
п.79. Докажите, что 11...1; 11...1 = 11...1.
\ п ту (т; п)
11.80. Последовательность чисел Фибоначчи задана равенствами:
иг = и2 = 1, ип + 2 = ип + 1 + ип. Докажите, что при всех
натуральных п выполнено: а) (ип; ип + 1) = 1; б*) (ит; ип) = и(т. п).
п.81. а) Докажите, что прямая 4х + 6у — 5 = 0 не проходит через
точки, обе координаты которых — целые числа.
б) Докажите, что если прямая 4х + 6у — с = 0 при целом с
проходит хотя бы через одну точку, обе координаты которой целые
числа, то она проходит через бесконечно много таких точек.
в) При каких с прямая 4х + 6у - с = 0 проходит через точку, обе
координаты которой целые числа?
11.82. Пусть т и а > 1 — натуральные числа. Докажите, что
(ат - 1 Л t л ч
—; а - 1 = (а - 1; т).
{а-1 )
И.83. Докажите, что если аг< а2< ... < ап — натуральные числа, то их
наименьшее общее кратное не меньше пах.
п.84. Пусть а19 а2, ..., ап, ... — бесконечная последовательность
натуральных чисел. Пусть Ъп = [ап; ап+ -J. Докажите, что если
последовательность {Ьп} ограничена, то в последовательности {ап}
бесконечно много одинаковых членов. Верно ли обратное утверждение?
ЙИ-Задачи
и упражнения
Взаимно простые числа
Группа А
11.85. Верно ли, что если (а; Ъ) = 1 и (Ь; с) = 1, то (а; с) = 1?
П.86. а) Докажите, что частные от деления двух целых чисел на их
наибольший общий делитель взаимно просты.
б) Пусть aub — два целых ненулевых числа и аг и Ьг — их частные
от деления на (а; Ь). Верно ли, что ах и Ъх взаимно просты с (а; Ь)1
и.87. Докажите, что: а) если (а; с) = 1, то Ъ \ (ab; с); б) если (а; Ъ) = 1,
то (ас; Ъ) = (с; Ь); в) если (а; Ъ) = 1, то (а + b; ab) = 1.
11.88. Сумма неполного частного и остатка, полученных при делении
натурального числа на 100, равна сумме неполного частного и
остатка, полученных при делении того же числа на 2007. Чему
могут быть равны неполное частное и остаток?
11.89. Известно, что (п; 6) = 1. Докажите, что (п2 — 1) • 24.
11.90. Найдите такую цифру х, чтобы:
а) 573x2 ■ 6; б) 890x52 ! 72; в) 367x5 ■ 75.
11.91. Найдите такие цифры х и у, чтобы: а) 2х39у • 88; б) 2хЗу • 45;
в) 7x37у давало от деления на 4 остаток 3, а от деления на 11 —
остаток 7.
11.92. Натуральное число при делении на 2001 и на 2002 дает остаток
315. Каков остаток от деления этого числа на 58?
11.93. В арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел,
разность взаимно проста с натуральным k. Докажите, что
любые k последовательных членов этой прогрессии дают все
возможные остатки от деления на k7 причем по одному разу.
11.94. Докажите, что (а3 + bs + с3) • 6 тогда и только тогда, когда
(а + Ъ + с) \ 6.
11.95. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на
6 остаток 5, при делении на 7 — остаток 6, а при делении на
11 — остаток 10.
Группа В
11.96. Найдите все пары взаимно простых чисел aub, для которых вы-
а + Ь 3
полнено равенство — = —•
а2 + аЪ + Ъ2 13
Группа С
11.97. а) Пусть а — четное натуральное число, k — натуральное число.
Докажите, что (а + 1; а2к + 1) = 1.
б) Докажите, что при k ^ т выполнено (22* +1; 22т +1) = 1.
11.98. (Решение уравнения Пифагора в натуральных числах.) Пусть
х, у у z — натуральные числа, удовлетворяющие уравнению
х2 + у2 = z2 (*).
132] Глава II. Целые числа
а) Докажите, что (х; у) = (х; z) = (у; z).
б) Докажите, что если (х; у) = d и тройка чисел (х; у; z)
удовлетворяет уравнению (*), то тройка чисел —; —; — тоже удовле-
I u CL CL J
творяет уравнению (*).
Замечание. Тем самым достаточно найти все тройки чисел,
удовлетворяющих уравнению (*) и взаимно простых между
собой. Остальные тройки будут получаться домножением на одно
и то же число.
Итак, в дальнейшем (х; у) = (у; z) = (z; x) = 1.
в) Докажите, что среди чисел х, у, z ровно одно четное и это
число — х или у.
Замечание. Поскольку х и у равноправны (если тройка
(х; у; z) является решением уравнения (*), то и тройка (у; х; г)
является решением уравнения (*))> не умаляя общности, можно
считать, что четным является х.
г) Докажите, что существуют натуральные нечетные тип, та-
9 9 ^ п2 - т2 (п - т)(п + т)
кие, что z - х = т2 и z + х = п2. Тогда х = = — -.
Пусть —-— = и, —-— = v. Отсюда х = 2uv.
д) Докажите, что у = \и2 — v2\, z = u2 + v2.
е) Докажите, что числа и и v имеют разную четность и взаимно
простые.
Замечание. Таким образом, все взаимно простые решения
уравнения х2 + у2 = z2 при четном х описываются тройками (2uv; | и2 - v2\;
и2 + v2), где числа и и v — взаимно простые разной четности.
11.99. Числа м+1и2м+1 являются квадратами натуральных чисел.
Докажите, что п • 24.
И.ЮО. а) Докажите, что среди любых четырех последовательных
натуральных чисел можно выбрать одно, взаимно простое с каждым
из остальных.
б) Докажите, что среди любых пяти последовательных
натуральных чисел можно выбрать одно, взаимно простое с каждым
из остальных.
в) Докажите, что среди любых шести последовательных
натуральных чисел можно выбрать одно, взаимно простое с каждым
из остальных.
г*) Верно ли утверждение задачи для любого числа подряд
идущих натуральных чисел?
11.101. Докажите, что (а; Ь) • [а; Ь] = аЪ для натуральных чисел а и Ь,
не используя основной теоремы арифметики.
п.102. Пусть (а; т) = 1.
а) Докажите, что существует такое натуральное d, что ad = l.
т
б) Пусть натуральное п таково, что ап = 1. Пусть d —
наименьшее из таких чисел п. Докажите, что п \ d.
133 Задачи и упражнения
Простые числа
Группа А
И.ЮЗ. Докажите, что если у натурального числа р нет натуральных
делителей, не превосходящих Jp, то оно простое.
П.Ю4. Решите с применением основной теоремы арифметики
задачу 11.59.
Н.105. Найдите наименьшее натуральное п, такое, что п = 2а3 = ЗЬ5 =
= 5с7 для некоторых натуральных чисел а, Ь, с.
11.106. Пусть п = (16а + 17b)(17a + 16&) • 11. Докажите, что п \ 121.
П.Ю7. Найдите все тройки простых чисел х, у, z, такие, что 19х — yz =
= 1995.
11.108. Найдите все натуральные числа, меньшие 400, имеющие ровно
15 делителей.
И.Ю9. а) Докажите, что остатки от деления простых чисел на 30 не
являются составными числами.
б) Верно ли аналогичное утверждение для остатков от деления
на 60?
11.110. Натуральное число имеет 2006 различных натуральных
делителей. Может ли оно быть кратным 182?
И.ш. Шесть простых чисел являются последовательными членами
непостоянной арифметической прогрессии. Докажите, что
разность этой прогрессии не менее 30.
И.112. Решите в натуральных числах уравнение —I— = —, где р —
заданное простое число.
11.113. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел
вида 6k — 1 (k — некоторое натуральное число).
11.114. Приведите пример: а) двух; б) трех; в) пяти; г*) п подряд
идущих составных чисел (п — произвольное натуральное число).
п.115. Найдите все простые числа р, для которых являются простыми
числа:
а) р + 10 и р + 14; б) р3 - 6 и р3 + 6; в) р4 - 606;
г) 2р2 - 9 и 2р2 + 9; д) lip - 7; е) 2р2 + 13.
П.116. Докажите, что если сумма и произведение целых чисел кратны
простому числу р, то каждое из этих чисел кратно р. Верно ли
это утверждение для составных чисел р?
11.117. Натуральное число а четно и таково, что если а делится на
простое число р, то а делится и нар- 1. Найдите все такие а.
Группа В
11.118. а) Докажите, что если натуральное а не является квадратом
натурального числа, то уравнение х\ + а = у2 имеет лишь конечное
число решений в натуральных числах.
134] Глава II. Целые числа
б) Докажите, что уравнение х\ - а = у2 имеет конечное число
решений в натуральных числах при любом натуральном а.
в) Решите в натуральных числах уравнение х\ = у2.
Л тт (а; Ь) • (Ь; с) • (а; с) [а; Ь] • [6; с] • [а; с]
и.119. Докажите равенство ^-^—^ о = 9 ■
(а; Ь; с)2 [а; Ь; с]2
11.120. Пусть А — множество, состоящее хотя бы из восьми
натуральных чисел, каждые два из которых не взаимно просты.
Найдите множество А, если:
а) наименьшее общее кратное всех чисел из множества А
равно 210, произведение всех чисел из А делится на 1920 и не
является квадратом никакого натурального числа;
б) наименьшее общее кратное чисел из множества А равно
390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не
является четвертой степенью никакого целого числа;
в) наименьшее общее кратное всех чисел из множества А
равно 330, сумма всех чисел из А равна 755 и произведение всех
чисел из А не является четвертой степенью никакого
натурального числа.
п.121. Докажите, что: а) если 2k — 1 — простое число, то k —
простое; б) если 2k + 1 — простое число, то k = 2".
11.122. Докажите, что наименьшее натуральное число, взаимно
простое с каждым из чисел 2, 3, ..., п, — простое для любого
натурального п.
П.123. Вычислите сумму всех делителей числа р"1- р%2- ... • p%k.
п.124. Наибольший простой делитель числар±р2 • ...'Рп+ 1 РавенРп + 1»
рх = 2. Докажите, что в этой последовательности нет пятерок.
Группа С
и.125. Пусть ап — произведение первых п простых чисел.
а) Найдите а3.
б) Может ли сумма двух различных членов этой
последовательности быть простым числом?
в) Может ли равенство ат + ап = 32 842 выполняться при
некоторых натуральных тип?
г) ат- ап = 30 000. Найдите ат и ап.
д) Решите в целых числах уравнения с двумя неизвестными
ап + 1 = х2 и ап - 1 = у2.
11.126. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел,
непредставимых в виде х2+р, где xeN, a p — простое число.
п.127. Докажите, что при п > 12 простое число с номером п больше Зп.
11.128*. Докажите, что совершенное число (т. е. натуральное число,
равное сумме всех своих натуральных делителей, кроме себя
самого) не является квадратом никакого натурального числа.
П.129*. Докажите, что если а = х2 + у2 = z2 + t2, где х9 у, г, t —
попарно различные натуральные числа, то а — составное число.
Многочлены
Многочлены уже изучались ранее, в частности, квадратные
трехчлены, в основном с целью решения соответствующих уравнений
или облегчения тождественных преобразований. При изучении
данной главы мы систематизируем и расширяем круг известных
сведений о многочленах, а также раскрываем общность многих
свойств многочленов и целых чисел
. Понятие многочлена
1. Определение многочлена
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Выражение, являющееся записью произведения числа и
конечного количества переменных, называется одночленом
(мономом).
Обратите, пожалуйста, внимание на слова «записью
произведения». Пока переменным не приданы числовые значения, мы не можем
вычислить их произведение, а можем лишь записать его. В ходе
дальнейшего изложения (вплоть до теоремы о совпадении формального и
функционального равенства многочленов) мы будем изучать
некоторые свойства записей сумм и произведений переменных.
Пример 1. Выражения: -2ху; ljabbccc; —пх1х2х3хьхь являются
одночленами. Ш
Обычно произведения одинаковых сомножителей записывают в
виде степени. Полученную форму записи одночлена называют
стандартной, а числовой множитель именуют коэффициентом данного
одночлена.
Пример 2. Стандартными формами записи одночленов из примера 1
являются (соответственно) следующие: -2ху; l,7ab2cs; —пх1х2х3х2. Ш
Степенью одночлена называется сумма степеней переменных,
входящих в его запись. Для одночленов примера 2 степени равны соот-
136j Глава III. Многочлены
ветственно: 2; 6; 5 (впрочем, если считать, что в записи последнего
одночлена к является не числом, а обозначением переменной, то его
степень будет равна 6).
Любое ненулевое число будем считать одночленом степени 0. Таким
образом, множество одночленов включает в себя множество чисел.
Особо следует выделить нулевой одночлен, т. е. одночлен,
коэффициент которого равен 0. Этот одночлен можно считать одночленом от
любого набора переменных! В силу того, что одночлен есть запись
произведения, удобно и естественно считать, что нулевой одночлен — это
просто число 0.
Следует отметить, что, например, запись 2ах2 можно трактовать
несколькими способами: либо это одночлен третьей степени с
коэффициентом 2 (т. е. переменных в нем две), либо это одночлен второй
степени с коэффициентом 2а (т. е. переменная в нем одна). Обычно из
смысла решаемой задачи бывает ясно, какие буквы считаются
обозначениями переменных одночлена, а какие — обозначениями
произвольного числового коэффициента.
В зависимости от рассматриваемых вопросов, множество чисел,
из которых берутся коэффициенты одночлена, оговаривают
заранее. Например, можно ограничиться рассмотрением лишь
одночленов с целыми коэффициентами.
Зачастую в качестве коэффициентов одночлена рассматривают
не только числа, но и другие объекты, например, остатки от
деления на какое-либо число или даже другие одночлены. Однако
практически везде в нашем изложении мы будем придерживаться
данных выше определений. |
Одночлены складываются, умножаются и возводятся в степень по
правилам, известным из основной школы.
Одночлены, различающиеся лишь коэффициентами и порядком
сомножителей либо совпадающие, называются подобными. Например,
—2х2у, 5ух2, ах2у — подобные одночлены (разумеется, если в
последнем одночлене считать а записью произвольного числового
коэффициента). Заметим, что нулевой одночлен (т. е. число 0) подобен любому
одночлену. Если сложить подобные одночлены, то результатом будет
одночлен, подобный каждому из слагаемых.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сумма конечного числа одночленов называется
многочленом (полиномом).
Пример 3. 2а3 + Ь4 — многочлен с переменными а и Ь, 7Xs + Ъх + 3 —
многочлен с переменной х.
Обратите внимание, что первый многочлен является многочленом
от двух переменных, в то время как каждое слагаемое является
одночленом от одной переменной. Щ
|Д §16. Понятие многочлена
Естественно, что среди слагаемых в сумме одночленов могут
встретиться подобные. Сложив все подобные между собой одночлены, мы
получим запись многочлена как суммы одночленов, никакие два из
которых не подобны. Сами одночлены в такой записи называются членами
многочлена. Наибольшая из степеней одночленов в такой записи
называется степенью многочлена.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Наибольшая из степеней одночленов, входящих в запись
многочлена, не содержащую подобных слагаемых,
называется степенью многочлена.
Замечание. В данном выше определении можно усмотреть
некоторую неясность. Например, какова степень многочлена 2а3 + Ь4?
«Конечно, 4», — скажет Сторонник здравого смысла. А Формалист возразит ему:
«В этом многочлене есть одночлен 0 • fe8, поэтому степень его равна 8».
Эта неясность исчезает при более детальном рассмотрении
определения. Ведь нулевой одночлен подобен любому. Значит, если в записи
многочлена есть хотя бы один ненулевой одночлен, то нулевого
многочлена в этой записи нет! Иначе в этой записи были бы два подобных
одночлена. Таким образом, соответствие здравого смысла и
формальной теории восстановлено.
Если Р — многочлен, то его степень обозначается degP (от
французского degre — степень).
Замечание. Если степень многочлена равна 0, то он является
константой (т. е. не имеет в своей записи ни одной переменной). Удобно
считать, что степень многочлена, равного нулевой константе, равна -оо
(т. е. является не числом, а символом, который обладает свойствами:
1) -оо + п = —со, где п — неотрицательное целое число; 2) —со + (—со) =
= -со; 3) —со меньше любого неотрицательного числа). Причины этого
соглашения будут объяснены далее1.
Число 0, рассматриваемое как многочлен, будем обозначать 0
(греческая прописная буква «тета»). Разумно задать вопрос: зачем новое
обозначение для числа 0 и что значит «рассматриваемое как
многочлен»? Для ответа на этот вопрос посмотрим внимательно, например,
на запись f(x) Ф О, где f(x) — многочлен. Что она значит? Что ни при
каких х многочлен не равен 0? Или что этот многочлен не является
нулевой константой? Даже из этого рассмотрения видна польза от нового
обозначения. Другие мотивы его введения появятся ниже.
Итак, 0 — это единственный многочлен, у которого нет
ненулевых коэффициентов.
1 Многочлен — сумма конечного числа попарно не подобных одночленов
с ненулевыми коэффициентами. Нулевой многочлен — сумма нуля таких
одночленов. Значит, степень нулевого многочлена — это максимум пустого
множества. А на с. 51 объяснено, почему max 0 = -оо.
ij Глава III. Многочлены
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два многочлена называются равными, если их записи, не
содержащие подобных слагаемых, состоят из
соответственно равных одночленов.
Пример 4. Многочлены 2а2 + bs и bs + 2а2 равны, а многочлены
a2 + a2 + bs и а2 + bs не равны (хотя и состоят из одинаковых
одночленов). Ш
2. Действия с многочленами
Над любыми двумя многочленами, так же как и над целыми
числами, возможно осуществлять следующие действия: сложение,
умножение, деление с остатком, если делитель не является многочленом,
равным 0. Под словом «действие» подразумевается, что его
результатом будет также многочлен. В этом смысле деление двух многочленов
возможно не всегда, так как результат не всегда будет многочленом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Суммой двух многочленов называется многочлен,
полученный сложением всех членов многочленов-слагаемых.
Пример 5. (2х - Ъху + Зу - 7) + (Зу - Ъх - Зху + 1) =
= -Зх + &у - 8ху - 6. Ш '
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведением двух многочленов называется многочлен,
полученный суммированием произведений каждого
одночлена первого сомножителя на каждый одночлен второго
сомножителя.
Таким образом, если у первого сомножителя было т членов, а у
второго — п членов, то у произведения (до приведения подобных
слагаемых) будет тп членов.
Примере. (2х - Ъху + Зу - 7) - (Зу - Ъх - Зху + 1) = бху - 10х2 - 6х2у +
+ 2х - 1Ъху2 + 2Ъх2у + 1Ъх2у2 - Ъху + 9у2 - 15ху - 9ху2 + Зу - 21у + 35х +
+ 21ху -7= 15*V + 19х2у - 24ху2 + 7ху + 37* - 18у - 7. Ш '
Наряду с этими действиями применяется также подстановка
многочленов в многочлен. При этом переменные заменяются
соответствующими многочленами.
Пример 7. Подставим в многочлен а2 — 2Ъ многочлены х + у + z и
ху + yz + zx вместо а и b соответственно.
139| §17. Многочлены от одной переменной.
Метод неопределенных коэффициентов
□ Имеем (х + у + z)2 - 2(ху + yz + zx). После приведения подобных
слагаемых получаем х2 + у2 + г2.
Итак, если обозначить Р(а, Ь) = а2 - 2fe, g(x, у, z) = х + у + z,
h(x, у, z) = ху + yz + zx, то получим следующую запись:
P(g (х, у, г), h(x, у, z)) = х2 + у2 + г2. Ш
Многочлен, в который подставляют, будем называть внешним,
а многочлены, которые подставляют, — внутренними.
Получившийся в результате подстановки многочлен называют композицией
внешнего и внутренних многочленов.
®17, Многочлены от одной переменной.
Метод неопределенных коэффициентов
1. Многочлены от одной переменной
Дальнейшее изложение в основном будет посвящено многочленам
от одной переменной, которую мы чаще всего будем обозначать через
х. Для многочлена степени п от одной переменной принята
каноническая форма записи: апхп + ап_1хп~1 + ... + ахх + а0, где ап * 0 (иначе
степень многочлена была бы меньше п). Одночлен апхп называют
старшим членом данного многочлена.
Утверждение м ' ' ' ' ■
Степень произведения многочленов от одной переменной равна
сумме степеней сомножителей (или символически: 6eg(f-g) =
= degf+deggf).
D доказательство. Пусть степень первого многочлена п, а степень
второго многочлена т. При умножении старших членов этих
многочленов получается одночлен степени т + п (поскольку их коэффициенты
не равны нулю, то и коэффициент полученного многочлена тоже не равен
нулю). Все остальные одночлены будут меньшей степени, поэтому не
будут подобны полученному. Таким образом, после приведения подобных
слагаемых наибольшая степень одночлена останется равной т + п. В
Это предложение остается верным и для случая, когда один из
сомножителей — нулевой многочлен, благодаря соглашению о свойстве
символа —оо!
Замечание. Утверждение предложения верно и для случая
умножения многочленов от нескольких переменных, однако его
доказательство весьма громоздко, так как одночленов старшей степени
может быть несколько, и требуется обоснование того, почему при
перемножении двух многочленов одночлены получившейся
наибольшей степени не уничтожатся при приведении подобных слагаемых.
140 Глава III. Многочлены
Утверждение
При подстановке одного ненулевого многочлена от одной
переменной в другой ненулевой многочлен от одной переменной степень
полученного многочлена равна произведению степеней исходных,
т. е. степень композиции двух ненулевых многочленов от одной
переменной равна произведению степеней этих многочленов
□ доказательство. Пусть Р(х) = хт9 a f(x) — многочлен степени п.
Тогда P(f(x)) = f(x)-f(x)-f(x)-...- f(x). Согласно предыдущему пред-
т
ложению, при перемножении многочленов их степени складываются.
Поэтому deg P(f(x)) = тп.
Пусть теперь Q(x) = amxm (ат * 0). Тогда deg Q(f(x)) = тп, так
как этот многочлен получен из предыдущего умножением на
константу (т. е. многочлен степени 0), а при умножении многочленов
степени складываются.
Подстановка многочлена f(x) степени п в произвольный
многочлен степени т сводится к подстановке его в одночлены степеней т,
га-1,т-2, ...,1,0, а затем сложению полученных многочленов. Так
как результаты подстановки f(x) в одночлены степеней, меньших чем
т, будут многочленами степени, меньшей чем тп, то старший член
степени тп при приведении подобных слагаемых не уничтожится. Щ
Замечание. Доказанное утверждение верно и для случая, когда
внешний многочлен равен 0 (благодаря свойству 3 символа -оо).
Однако, если внутренний многочлен равен 0, результат может иметь
степень 0 (при подстановке в многочлен с ненулевым свободным членом).
Пример 8. Найдем Р(х - 1), если Р(х) = х2 - х.
□ Запишем композицию двух многочленов от одной переменной,
где внутренний многочлен линейный, равный х — 1:
Р(х - 1) = (х - I)2 - (х - 1) = х2 - Зх + 2. В
Пример 9. Найдем Р (х - 1), если Р (2х + 1) = Xs - 6х + 1.
t — 1 t -1
П способ 1. Пусть t = 2х + 1, тогда х— . Подставив х =
данное равенство, получим: P(t) = — 6 +1,
v 2 ) \ 2 )
откуда
1 3 21 7
P(t) = -ts 12 1 + 3 —. Теперь вместо t подставим х - 1 и получим
после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых
Замечание. Не должен смущать тот факт, что при первой
подстановке t = 2х + 1, а при второй подстановке t = х - 1. После первой
подстановки найден исходный многочлен Р(х), у которого раньше был
141 j §17. Многочлены от одной переменной.
Метод неопределенных коэффициентов
известен только результат его композиции с многочленом 2х + 1
(правда переменная в многочлене Р обозначена буквой не х, a t). Вторая
подстановка решает задачу нахождения многочлена Р(х - 1) при
известном многочлене Р, переменная в котором обозначена буквой t.
способ 2. Вместо переменной х подставим в данное равенство
такое выражение, чтобы вместо 2х + 1 получилось х - 1. Иначе говоря,
найдем такой многочлен Q(x), что 2Q(x) + 1 = х - 1. Нетрудно видеть,
что Q(x) = — - 1.
Итак, подставим вместо х в данное равенство 1. Получим
Р(х - 1) = — - 1 - 6 • — -1+1, откуда после раскрытия скобок
12 } К2 } 1 з з
и приведения подобных Р(х - 1) = - х3 х2 х + 6. В
8 4 2
2. Метод неопределенных коэффициентов
Напомним, что два многочлена равны, если после приведения
подобных слагаемых они состоят из одинаковых одночленов. Пользуясь
этим определением, можно находить условия, при которых один
многочлен является квадратом другого, делится на другой и т. д.
Для этого неизвестные коэффициенты искомого многочлена
обозначают буквами и, исходя из условий равенства многочленов,
приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях. Решая
полученную систему уравнений, находят неизвестные коэффициенты. Этот
метод носит название метода неопределенных коэффициентов.
Пример 10. Найдем а и Ь, если
2х3 - 8х2 + 9х - 9 = (х - 3)(2х2 + ах + Ь).
П Раскроем скобки в правой части равенства, получим 2х3 — 8х2 +
+ 9х - 9 = 2х3 + (а - 6)х2 + (Ъ - За)х - ЗЪ. Отсюда, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях переменной, получаем систему
уравнений
[а-6=-8, , _2
! Ь - За = 9, откуда < _ '
V
Отметим, что система получилась избыточной (две неизвестные
и три уравнения). Поэтому если, например, свободный член
многочлена равен 6, а не —9, то такое равенство не будет выполнено никогда,
что и покажет система.
Значит, можно решить и задачу, в которой параметров будет
больше, например: при каких а, Ь и с выполнено равенство
2х3 + сх2 + 9х - 9 = (х - 3)(2х2 + ах + Ь)?
142| Глава III. Многочлены
(а- 6= с, Га = -2,
Соответствующая система будет иметь вид < Ъ — За — 9, откуда < Ь = 3, Н
[-ЗЬ = -9, [с= -8.
Пример 11. Найдем многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству
Р(Р(х)) = х4 - 2х3 - 2х2 + Зх + 1.
□ Прежде всего заметим, что deg P(P(x)) = (degP(x))2 согласно
утверждению о степени композиции многочленов. Поэтому degP(x) = 2.
Пусть Р(х) = ах2 + Ьх + с, а * 0. Тогда Р(Р(х)) = а (ах2 + Ъх + с)2 +
+ &(ах2 + Ьх + с) + с. Конечно, теперь можно раскрыть скобки и
составить систему. Однако для уменьшения объема записей посчитаем
вначале старший коэффициент многочлена Р(Р(х)). Нетрудно видеть, что
он равен а3. Поэтому, приравнивая старшие коэффициенты, имеем
а = 1. Отсюда Р(Р(х)) = (х2 + Ьх + с)2 + Ь(х2 + 6х + с) + с.
Рассмотрим теперь коэффициент при х3. Одночлен третьей
степени получается только при раскрытии скобок в первом слагаемом и
равен 2Ь. Приравнивая его к коэффициенту данного в условии
многочлена, получаем Ъ = -1.
Перепишем теперь Р(Р(х)) = (х2 - х + с)2 - (х2 - х + с) + с.
Рассмотрим коэффициент при х. Он равен -2с + 1. Приравняем его к
коэффициенту данного в условии многочлена и получим —2с + 1 = 3,
откуда с = -1. Итак, искомый многочлен Р(х) = х2 - х - 1.
Закончить на этом решение было бы ошибкой. Представим себе, что
свободный член многочлена, данного в условии, равен не 1, а 2. Однако
мы вовсе не использовали свободный член в своих рассуждениях (равно
как и коэффициент при х2). Поэтому для завершения решения
необходимо произвести проверку, например, прямой подстановкой или
подсчитав при найденном значении с оставшиеся коэффициенты.
Окончательный ответ: Р(х) = х2 - х - 1. Ш
Замечание. Фактически в данном рассуждении все равно
решалась система, в которой имелись три неизвестные величины (а, бис)
и пять уравнений (по числу приравниваемых коэффициентов). Просто
для нахождения неизвестных использовались только три уравнения,
а далее следовало проверить, не противоречат ли найденные значения
двум оставшимся уравнениям. Например, если вместо равенства
коэффициентов при х в изложенном решении рассмотрели бы коэффициент
при х2, получили бы уравнение 2с = —2, а рассмотрев равенство
свободных членов, получаем уравнение с2 = 1, которое имеет два решения!
Метод неопределенных коэффициентов можно применять и для
решения задач, в которых фигурируют многочлены от нескольких
переменных.
Пример 12. При каком вещественном а многочлен Р(х, у) = х2 + у4 +
+ ау2 + 2у3 + 2ху2 + 2ху + 2у + 2х + 1 является квадратом некоторого
многочлена?
143 §18. Деление многочленов с остатком
□ Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как
степень многочлена Р(х, у) равна 4, то степень многочлена Q(x, у),
такого, что Р(х, у) = Q2(x, у), равна 2. Значит, многочлен Q(x, у) можно
представить в следующем виде: Q(x, у) = Ьх2 + су2 + dxy + ex + fy + g,
откуда
Q2(x, у) = b2x4 + с2у4 + (d2 + 2bc) x2y2 + 2bdxsy + 2cdxys + 2fcex3 + 2cfys +
2bf)x2y + (2d/ + 2ce)xi/2 + (2bg + e2)x2 + (2cg
+ (2dg + 2e/)xi/ + 2eg-x + 2fgy + g-2.
Приравнивая коэффициенты при одночленах одинаковых
степеней и считая коэффициенты отсутствующих одночленов равными О,
получаем последовательно: b = 0 (приравниваем одночлены,
содержащие х4)9 откуда d = 0 (приравниваем одночлены, содержащие х2у2).
Далее, с2 = 1 (приравниваем одночлены, содержащие i/4), откуда
с-±1. Но поскольку смена знака выражения, возводимого в
квадрат, не меняет значения квадрата, можно, не умаляя общности,
считать, что с = 1. Тогда / = 1 (приравниваем одночлены, содержащие
у3), а затем е = 1 (приравниваем одночлены, содержащие xi/2).
Наконец, приравняв одночлены, содержащие ху, получим g=l. Теперь
осталось приравнять коэффициенты при у2 и получить а = 3. Ш
Деление многочленов с остатком
1. Деление с остатком
Рассмотрим деление с остатком многочленов от одной переменной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -~-~~~~~~----———-^^
Пусть f (х) и д (х) — многочлены, причем д (х) * 0. Разделить
с остатком f(x) на д(х) — это значит найти такие
многочлены q(x) и г(х), для которых выполняются два условия:
1)f(x) = gr(x)-g(x) + r(x);
2) degr(x)<deggr(x).
Многочлен q(x) называется неполным частным от
деления f(x) на gr(x), а многочлен г(х) — остатком от деления
f(x) на (
Отметим, что это определение является «калькой» с
соответствующего определения для целых чисел, только в роли модуля целого
числа (как мерила его величины) выступает степень многочлена. Это
наблюдение позволяет строить теорию, связанную с делением
многочленов, «по следам» соответствующей теории целых чисел.
Замечание. Пусть g(x) = 1, т. е. это многочлен степени 0,
единственный ненулевой коэффициент которого равен 1. Разумно считать,
что при делении на g(x) в остатке получается нулевой многочлен.
X4
X4
+ 3х3
+ Xs Н
2хя
2х3
- X +
V X2
-х2-
+ 2х2
-Зх2
-Зх2
5
л:
+ 2х
-Зх +
-Зх-
5
3
JC2H
X2 Н
h л:+ 1
h2x-3
144| Глава III. Многочлены
Однако тогда степень нулевого многочлена должна быть меньше 0.
При этом ее нельзя брать равной какому-либо отрицательному числу
(скажем, —1), иначе нарушается истинность утверждения о степенях
результатов арифметических действий. Это соображение является еще
одним аргументом в пользу соглашения о том, что степень
тождественно нулевого многочлена равна -оо.
Пример 13. Разделим с остатком многочлен х4 + Зх3 - х + 5 на
многочлен х2 + х + 1.
П Деление произведем столбиком:
Запись слева напоминает
обычное деление
многозначных чисел.
Берем старший член
многочлена-делимого и смотрим,
на что нужно умножить
многочлен-делитель, чтобы старший
член получился такой же. Для
g этого достаточно рассмотреть
страший член многочлена х2 +
+ х + 1. В данном случае многочлен х2 + х + 1 нужно умножить на х2,
чтобы получился старший член х4. Это самое х2 записываем в ответ.
Полученное произведение записываем под исходным многочленом и
вычитаем его из исходного многочлена. Получаем 2х3 — х2 — х + 5. Однако не
записываем последнее слагаемое, так как оно еще не будет «принимать
участия» в следующем делении.
Далее вновь подыскиваем, на что надо умножить х2 + х + 1, чтобы
получился старший член 2х3. Полученное 2х записываем в ответ.
Умножаем делитель на х2. Вновь вычитаем получившееся произведение.
Разность равна -Зх2 - Зх + 5, а соответствующий множитель равен -3,
его и записываем в ответ. Получившаяся разность (в данном случае 8)
и есть остаток. Ш
Этот пример демонстрирует эффективный алгоритм деления с
остатком многочленов столбиком. Как и вся теория, связанная с
делением многочленов с остатком, такой алгоритм напоминает правило
деления столбиком целых чисел, только в роли цифр здесь выступают
одночлены (точнее, их коэффициенты).
Однако деление с остатком можно производить и непосредственно
методом неопределенных коэффициентов, как показано в следующем
примере.
Пример 14. Произведем деление с остатком многочлена х3 — 2х - 5 на
двучлен х2 - х методом неопределенных коэффициентов.
□ Пусть д(х) — частное от деления, а г(х) — остаток. Так как
degr(x) < deg(x2 — х), то г(х) — многочлен либо первой степени, либо
нулевой, либо степени -сю. Все многочлены, имеющие такие степени,
можно записать в виде сх + d, где cud — неизвестные числа
(например, если с = 0, a d * 0, то degr(x) = 0).
§ 18. Деление многочленов с остатком
Тогда получим х3 — 2х — 5 — сх — d = q (x) • (х2 — х). Поскольку в
левой части этого равенства стоит многочлен степени 3, то в правой части
должен также стоять многочлен степени 3. Так как, согласно
утверждению пункта 1 § 17, степень произведения равна сумме степеней
сомножителей, то degq(x) = 1, т. е. q(x) имеет вид q(x) = ах + Ь, где а ^ 0.
Запишем теперь деление с остатком:
х3 - 2х - 5 = (х2 - х)(ах + Ъ) + сх + d.
Наша задача — найти неизвестные коэффициенты а, Ь, с и d. Для
этого раскроем скобки в правой части и приведем подобные
слагаемые. Окончательно имеем
х3 - 2х - 5 = ах3 + (Ь - а)х2 + (с - Ъ)х + d.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
переменной. Получим
1 = а,
0= Ъ-
-2=с-
-5= d,
а,
, откуда -
- о,
а =
с -
d -
1,
1,
-1,
-5.
Итак, Xs - 2х - 5 = (х2 - х)(х + 1) - х - 5.
Замечание. Отметим, что равенство Ъ — а = 0 получено исходя из
того, что одночлена второй степени нет в левой части полученного
равенства, значит, не должно быть и в правой (т. е. применительно к
данному равенству выражение «приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях» не совсем уместно). Ш
Аналогично теории целых чисел, имеет место
ТЕОРЕМА (о делении с остатком) »
Пусть f(x) и д(х) — многочлены с вещественными
коэффициентами, причем gf(x)^0. Тогда существует единственное
представление многочлена f(x) в виде f(x) = д (х) • q (х) + г(х), где
q (х) и г (х) — некоторые многочлены, причем deg г (х) < deg д (х).
□ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
существование. Доказательство проведем аналогично
доказательству существования деления с остатком целых чисел.
Рассмотрим г(х) — многочлен наименьшей степени среди
многочленов вида f(x) — g(x) • q(x) для всевозможных многочленов q(x)
(если таких многочленов несколько, рассмотрим любой из них).
Поскольку степени многочленов являются либо неотрицательными
числами, либо символом -оо, то в множестве степеней многочленов
данного вида искомая минимальная степень есть!
Для доказательства существования достаточно показать, что
degr(x) < degg(x). Пусть это неверно, т. е. degr(x) > degg(x). Обозна-
146 Глава III. Многочлены
чим старший член многочлена g(x) за akxk, а старший член
многочлена г(х) за bLxl. При этом, по нашему предположению, I ^ k. Если
умножить g(x) на — xl~k, то у полученного многочлена старший член будет
равен b,xl. Следовательно, многочлен r(x) xl~kg(x) будет иметь
ak
менькгую, нежели I, степень. Учитывая то, что r(x) = f(x) — g(x) • q(x)
для некоторого многочлена q(x), имеем
= /(*)-*(*)■ \q(x) + -±xl-
( к Л
Итак, deg r(x) xl~kg(x) < deg г (х) и при этом многочлен
b
r(x) l-xl~kg(x) тоже имеет вид f(x) - g(x) • qi(x), что противоречит
ak
выбору г(х) как многочлена наименьшей степени такого вида.
Замечания. 1) Данное доказательство идейно идентично
доказательству теоремы существования деления с остатком целых чисел:
взяли наименьший (в некотором смысле) объект требуемого вида и,
если он не слишком мал, уменьшили его (в том же смысле).
2) Если не выбирать многочлен наименьшей степени, то можно,
последовательно умножая многочлен g(x) на соответствующие
одночлены и вычитая полученные выражения из многочлена fix), уменьшать
степень многочлена. Такие действия можно производить до тех пор,
пока степень получившегося многочлена не будет меньше степени
многочлена g(x). Это есть не что иное, как другая запись алгоритма деления
в столбик (т. е. конструктивное доказательство существования)!
единственность. Пусть существуют две записи
fix) = g(x) • qx(x) + гг(х) и f(x) = gix) • q2ix) + r2(x),
где degrj (x) < degg(x) и degr2(x) < degg(x). Приравняв правые части
выражений, получим: г1 (х) - r2(x) = gix) • iq2ix) - qiix)). В левой
части получившегося равенства стоит многочлен степени, не большей
максимума степеней гх(х) и г2(х), т. е. степени, меньшей degg*(x)
(это утверждение задачи ш.4). В правой части равенства стоит
многочлен степени deggix) + degiq2ix) - qxix)). Если q2ix)^ <?i(x), то
degiq2ix)-q1ix))*-oo, а тогда degg(x) + degiq2ix) - qxix)) > deg gix),
что и доказывает утверждение теоремы. Ш J
2. Делимость многочленов
Аналогично теории делимости целых чисел строится и теория
делимости многочленов, где в соответствующих ситуациях в роли
модуля числа выступает степень многочлена.
§ 18. Деление многочленов с остатком
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(x) ф 0, если
существует многочлен S(x), такой, что Р(х) = О(х) • S(x).
Иначе говоря, многочлен Р(х) делится на многочлен
если остаток от деления Р(х) на Q(x) равен 0.
Обозначения: Р(х) • Q(x) пли Q(x) \ Р{х).
Свойства делимости многочленов повторяют соответствующие
свойства делимости целых чисел.
ТЕОРЕМА (свойства делимости многочленов)
Пусть Р(х), Q (х), S (х) и И (х) — некоторые многочлены (О (х) ф 0;
Я(х) ф 0; S (х) ф 0). Имеют место следующие свойства:
1. Если Р(х)
2. Если Р(х)
3. Если Р(х)
4. Если Р(х)
5. Если Р(х)
О(х) и О(х) ; Я(х), то Р(х) ; Я(х).
О(х), тоЯ(х)Р(х) : О(х).
О(х) и Я(х) : О(х), то (Р(х) + Я(х)) ; О(х).
Я (х) и О (х) : S (х), то Р (х) Q(x)\R (x) S (х).
О (х) и Р (х) ф 0, то deg Р (х) ^ deg О (х).
6. Если Р(х) : О(х), то для любого числа эфО верно
Р(х) \aQ(x).
Все указанные свойства очевидным образом следуют из
определения делимости.
□ Докажем, например, свойство 3. Так как Р(х) I Q(x), то
существует многочлен S(x), такой, что Р(х) = Q(x) • S(x).
Аналогично, существует многочлен Т(х), такой, что R(x) = Т(х) • Q(x). Тогда
Р(х) + R(x) = (S(x) + T(x)) - Q(x), что по определению означает
(P(x) + R(x))\Q(x).
Так же доказываются свойства 1, 2 и 4. Свойство 5 следует из
равенства P(x) = Q(x) • S(x) и, следовательно, degP(x) = degQ(x) + degS(x).
Если Р(х)Ф®, то S(x)^0, а тогда degS(x)^O, откуда и следует
dd В
Повторяя доказательства и соответствующие определения из
теории целых чисел (с заменой целых чисел на многочлены и слов
«модуль числа» на слова «степень многочлена»), можно построить
теорию, связанную с понятиями наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного многочленов, доказать, что
алгоритм Евклида дает наибольший общий делитель двух многочленов,
доказать теорему о линейном представлении наибольшего общего
делителя многочленов. Дальнейшая разработка этой теории
приводит к нетривиальным результатам, например, теореме о том, что от
иррациональности в знаменателе любой дроби можно избавиться
умножением числителя и знаменателя этой дроби на некоторый
многочлен, который можно вычислить. Однако обсуждение этого
выходит за рамки нашего курса.
148 Глава III. Многочлены
3. Деление на линейный многочлен
Для деления многочлена на линейный многочлен вида х — с
применяют схему Горнера, являющуюся сокращенной записью метода
неопределенных коэффициентов.
Замечание. Многочлен вида х — с иногда называют биномом.
Пусть требуется разделить многочлен апхп + ап_ гхп ~г + ... +
+ ахх + а0 на многочлен х - с.
Остаток от деления многочлена на линейный двучлен является
многочленом степени 0 или —сю, т. е. числом. Неполное частное
должно быть многочленом степени п - 1. Запишем деление с остатком:
п
= (х - с)(Ьп_1х
п~1
Ьп_2х
п~2
0
Ъхх + Ьо) + г.
Наша задача — найти коэффициенты Ъп _ 19 Ъп _ 2, ..., Ь19 Ьо и число г.
Раскрыв скобки, приведя подобные и приравняв коэффициенты,
получим систему п линейных уравнений
ап =
п-1
п-2
ах = Ьо - сЬг,
ао= г- cb0.
Последовательно найдем неизвестные из линейных уравнений:
Ьп-1= ап>
Ъп_2 = an_1+cbn_1,
bn_s = ап_2 +cbn_2,
Ьо= ах + cbl9
г = ao+cbo.
Видно, что каждый следующий коэффициент находится через
предыдущий по одному и тому же правилу.
Чтобы избежать громоздких записей, деление на линейный
двучлен х - с можно оформить в виде таблицы, называемой схемой Горне-
ра, как показано в следующем примере.
Пример 15. Разделим многочлен 2х4 — Xs + 5х2 — 1 на двучлен х + 2.
□ Запишем в верхнюю строку таблицы коэффициенты
многочлена-делимого (не забыв написать 0 вместо коэффициента при х), а в
крайний левый столбец запишем число с (в данном случае —2).
Начинаем заполнять нижнюю строку таблицы.
149; §18. Деление многочленов с остатком
В первый столбец заносим значение из верхней строки (Ьп_ г = ап).
Во второй столбец заносим значение выражения (—1 + (—2) • 2),
т.е. -Ь{Ъп.2 = ап_1 + сЬп_1).
В третий столбец заносим значение выражения (5 + (—2) • (—5)),
т. е. 15, и т. д.
В результате в нижней строке таблицы оказались выписаны
коэффициенты неполного частного, а в последней клетке — остаток от
деления. Таким образом, получаем:
2
2
2
-1
-5
5
15
0
-30
-1
59
И, следовательно,
2х4 - х3 + 5х2 - 1 = (х + 2) (2х3 - 5х2 + 15х - 30) + 59. В
4. Разложение многочлена по степеням
линейного двучлена х - а
Иногда бывает полезным представить многочлен Р(х) как
композицию некоторого многочлена и линейного двучлена х - а. Такое
представление называется разложением многочлена по степеням х — а.
Делать это можно различными способами.
Пример 16. Разложим многочлен х3 + 2х2 — Зх — 2 по степеням х — 2.
□ Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Пусть
хг + 2х2 - Зх - 2 = Q(x - 2). Поскольку степень композиции равна
произведению степеней входящих в нее многочленов, degQ(x) = 3. Пусть
Q(x) = а3х3 + а2х2 + агх + а0. Тогда Q(x - 2) = а3(х - 2)3 + а2(х - 2)2 +
+ аг(х — 2) + а0. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Q(x - 2) = а3х3 + (а2 - 6а3)х2 + (ах - 4а2 + 12а3)х + а0 - 2ах + 4а2 - 8а3.
Имеем:
хг + 2х2 - Зх - 2 = а3х3 + (а2 - 6а3) х2 + (ах - 4а2 + 12а3) х + а0 - 2ах + 4а2 - 8а3,
откуда
а2-
ах-
а0-
6а3
4а2
2ах
= 2,
+ 12а3
+ 4а2 -
= -з,
-8а3 =
-2.
Эта система легко решается методом последовательного
исключения неизвестных. Получаем:
а3 = 1,
а2 = 8,
а0 = 8.
Итак, х3 + 2х2 - Зх - 2 = (х - 2)3 + 8(х - 2)2 + 17(х - 2) + 8. Ш
150! Глава III. Многочлены
Пример 17. Разложим многочлен х3 + 2х2 - Зх - 2 по степеням х-2,
□ Пусть Xs + 2х2 - Зх - 2 = Q(x - 2). Подставим в это равенство
х = t + 2. Получим (£ + 2)3 + 2(t + 2)2 - 3(£ + 2) - 2 = Q(t). Раскрыв
скобки и приведя подобные слагаемые, получим Q (t) = t3 + 8£2 +
+ 17t + 8. Осталось учесть, что t = х — 2. Ответ: х3 + 2х2 - Зх - 2 =
= (х - 2)3 + 8(х - 2)2 + 17(х - 2) + 8. И
Пример 18. Разложим многочлен Xs + 2х2 - Зх - 2 по степеням х-2.
□ Поделим Xs + 2х2 - Зх - 2 с остатком на х - 2, воспользовавшись
схемой Горнера.
2
1
1
2
4
-3
5
-2
8
Итак, х3 + 2х2-Зх-2 = (х- 2) (я2 + 4х + 5) + 8.
Теперь поделим получившееся неполное частное на ж - 2:
2
1
1
4
6
5
17
Имеем х2 + 4х + 5 = (х - 2) (х + 6) + 17. Подставив это выражение
в предыдущее, получим
х3 + 2х2 - Зх - 2 = (х - 2)((х - 2)(х + 6) + 17) + 8 =
= (х - 2)2(х + 6) + 17(х - 2) + 8.
Осталось поделить с остатком полученное неполное частное х + 6
на х - 2 и подставить полученное выражение х + 6 = (х-2)-1+8
в предыдущее равенство:
х3 + 2х2 - Зх - 2 = (х - 2)2((х - 2) • 1 + 8) + 17(х - 2) + 8 =
= (х - 2)3 + 8(х - 2)2 + 17(х - 2) + 8.
Можно оформить это решение совсем коротко, записав все
деления с остатком в одну таблицу:
2
1
1
1
1
1
2
4
6
8
-3
5
17
-2
8
В ячейках, соответствующих остаткам, получаются
коэффициенты искомого многочлена, упорядоченные по возрастанию степеней. Ш
Щ| §19. Теорема Безу и ее следствия
Совпадение формального и функционального равенства многочленов
019- Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального
равенства многочленов
1. Многочлен как функция. Теорема Безу
Если вместо буквы х в многочлен Р(х) подставить число а,
получится числовое выражение, значение которого можно вычислить.
Полученное число называется значением многочлена в точке а и
обозначается Р(а). Таким образом, многочлен можно рассматривать как
функцию, заданную на некотором числовом множестве]
Отметим, что это — другой взгляд на многочлены. По определению
многочлен — это запись некоторого вида. С такими записями можно
производить соответствующие операции: сложение, умножение,
подстановку и т. д.
Про значение многочлена в каких-то точках ранее ничего не
говорилось. Мы вообще могли вместо многочленов от одной переменной
рассматривать последовательность их коэффициентов и говорить об
операциях с этими последовательностями (например, в примере 15 произведено
деление с остатком последовательности (2, —1, 5, 0, —1) на
последовательность (1, 2)), обходясь тем самым без упоминания переменной!
Следующая теорема устанавливает связь между двумя взглядами
на многочлен: как на формальную запись (последовательность
коэффициентов) с одной стороны, и как на функцию — с другой.
ТЕОРЕМА БЕЗУ ————-——---—^
Остаток от деления многочлена Р(х) с вещественными
коэффициентами на двучлен (х- а) равен Р(а), где а е R.
П доказательство. Запишем деление с остатком многочлена Р(х)
на двучлен (х - а). Получим Р(х) = (х - a)Q(x) + г (поскольку деление
происходит на многочлен степени 1, то остаток является многочленом
степени 0 или —сю, т. е. числом, поэтому записывается как г
(константа), а не как г(х)).
Подставим в это равенство х = а*. Получим Р(а) = г, что и
требовалось доказать. В
Обращаем внимание на то, что в данной теореме нулевой
многочлен Э считается просто числом 0.
Данную теорему можно использовать в «обе стороны»: при
необходимости найти остаток от деления можно, просто подставив число
в многочлен вместо х, а найти значение многочлена можно, поделив
1 Здесь мы не доказываем, что значение многочлена не зависит от того,
в каком виде он записан.
152 Глава III. Многочлены
его с остатком (вычисления по схеме Горнера зачастую экономичнее
прямой подстановки). Таким образом, решение примера 15 можно
воспринимать еще и как нахождение значения многочлена в точке ^
2
Пример 19. Найдем остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен
х2 - 5х + 6, если Р(2) = 3 и Р(х) \ (х - 3).
П Так как Р(х) • (х - 3), то остаток от деления многочлена Р(х) на
двучлен х - 3 равен 0, т. е. по теореме Безу Р(3) = 0.
Остаток от деления многочлена Р(х) на квадратичный трехчлен
является многочленом меньшей степени, т. е. представим в виде
ах + Ь.
Запишем деление с остатком: Р(х) = (х2 - 5х + 6)Q(x) + ах + ft.
Подставим в это равенство х — 2 и х = 3. Имеем < _
[^ л (о) — За + о.
„ [3= 2а+ Ь,
Подставив данные задачи, получим систему: < решая кото-
0= За + Ь,
рую найдем
/а = -3,
: ^
[с? = У.
Итак, искомый остаток равен — Зх + 9. Н.
Из теоремы Безу следует простое, но важное утверждение.
Утверждение ■
Число а является корнем многочлена Р(х) (т.е. Р(а) = 0) тогда
и только тогда, когда Р(х) ; (х-а).
Пример 20. При каких значениях k многочлен Xs - ys + fex2y делится
на двучлен х + у?
П Будем рассматривать данный многочлен как многочлен от х,
считая переменную у параметром. Тогда согласно теореме Безу делимость
на двучлен х + у означает, что х = — у является корнем многочлена.
Подставив это в многочлен, получим —2ys + kys = 0. Это равенство
должно выполняться при всех у, поэтому k = 2. Ш
2. Количество корней многочлена
Пусть ах — корень многочлена Р(х)9 тогда согласно утверждению
предыдущего пункта Р(х) • (х - ах)9 откуда для некоторого многочлена
Q(x) выполнено
= (x-ai)Q(x). (*)
Тогда degQ(x) = degP(x) - 1.
Пусть теперь многочлен Р (х) имеет корень а2 ^ а1у т. е. Р(а2) = 0.
Подставив х = а2 в равенство (*), получим (а2 — ci1)Q(a2) = 0. Так как
1531 §19- Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального равенства многочленов
а2- ахф О, то Q(a2) = 0. Значит, Q(x) = (х - a2)R(x) для некоторого
многочлена R(x). При этом degi?(x) = degQ(x) - 1 = degP(x) - 2.
Пусть al9 а2, ..., ak — различные корни многочлена Р(х). Тогда
Р(х) = (х - а{) • (х - а2) • ... ■ (х - ak) • S(x), где degS(x) = degP(x) - k.
Если Р(х) * 0, то и S(x) ^ 0, а отсюда degP(x) > k.
Итак, нами доказана теорема.
ТЕОРЕМА щ
П Количество корней ненулевого многочлена не превосходит его
степени.
Следовательно, если степень некоторого многочлена не больше п,
а количество его корней больше п, то этот многочлен равен 0.
Пример 21. Докажем, что графики линейной функции и многочлена
третьей степени имеют не более трех общих точек.
D доказательство. Пусть f(x) — многочлен третьей степени, а
уравнение прямой у = kx + Ь. Для нахождения общих точек графиков этих
функций нужно составить уравнение f(x) = kx + b, равносильное
уравнению f(x) — kx — Ь = 0. В левой части последнего уравнения стоит
многочлен третьей степени, значит, у этого уравнения не более трех корней,
а каждому корню соответствует единственная точка пересечения
графиков. Ш
Пусть Xi — корень ненулевого многочлена Р(х). Тогда Р(х) =
= (х - Xi)Pi{x). Может оказаться, что хг является также корнем
многочлена Pi(x). В таком случае Р\(х) = (х - хг)Р2(х)9 а при подстановке
в исходное равенство Р(х) = (х — х{)2Р2(х). Продолжая далее выделять
множители (х — хх), приходим к выражению Р(х) = (х — xx)kPk{x)^
причем Pk(xx) ^ 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число а является корнем кратности к ненулевого
многочлена Р (х), если Р (х) = (х- а)к О (х), где О (а) ф 0.
Если корень учитывается столько раз, какова его кратность, то
говорят, что корни берутся с учетом кратности. В противном
случае — без учета кратности.
Пример 22. У многочлена Р(х) = (х - 1)2(х + 2)3х2(х - 5) имеется 8
корней с учетом кратности и 4 корня без учета кратности. Корень 1
имеет кратность 2, корень —2 имеет кратность 3, корень 0 имеет
кратность 2, и корень 5 имеет кратность 1. Ш
Ясно, что теперь утверждение теоремы можно уточнить.
ТЕОРЕМА
Количество корней ненулевого многочлена с учетом их кратно-
стей не превосходит степени многочлена.
■i
154 Глава III. Многочлены
3. Сколько значений нужно задать,
чтобы полностью определить многочлен?
ТЕОРЕМА
Пусть Р (х) и О (х) — два многочлена, степень каждого из
которых не выше п. Пусть различные числа х^ х2, ..., хл+1 таковы, что
. = Q(x,), Р(х2) = О(х2), ..., Р(хл + 1) = О(хл+,). Тогда Р(х) = О(х).
П доказательство. Рассмотрим многочлен /(х) = Р(х) - Q(x). Так
как степени многочленов Р(х) и Q(x) не превосходят п, то deg/(x) ^ п.
Однако в силу условия многочлен f(x) имеет п + 1 различных корней
х19 х2, ..., хп + 1. Следовательно, f(x) = 0, а тогда Р(х) = Q(x). S3
Итак, два многочлена степени не выше п, совпадающие в п +1
различных точках, равны между собой. Иначе говоря, многочлен
степени не выше п задается своими п + 1 значениями.
В частности, если многочлен степени не выше п принимает одно
и то же значение в п + 1 различных точках, то он является
константой!
Из доказанной теоремы следует замечательное утверждение о
совпадении формального и функционального равенства многочленов.
ТЕОРЕМА
1
Два многочлена с вещественными коэффициентами равны тогда
и только тогда, когда они равны как функции, заданные на
множестве вещественных чисел (т. е. в одинаковых точках
принимают одинаковые значения).
□ доказательство. Если два многочлена равны (т. е. состоят из
одинаковых одночленов), то они равны как функции, так как с
числовым значением переменной х в обоих многочленах производятся одни
и те же действия.
Если два многочлена равны как функции, то они принимают
одинаковые значения в бесконечном количестве точек, т. е. можно
выбрать количество точек большее, чем степень каждого из них, в
которых их значения совпадают. Тогда по доказанной выше теореме
многочлены равны. Ш
Пример 23. Упростим выражение:
(х - а)(х - Ъ) (х - Ъ)(х - с) (х - с)(х - а).
} (с - а)(с -Ъ) (а- Ь)(а -с) (Ь - с)(Ь - а) '
' (с-а)(с-6) (a-b)(a-c) (b - а)(Ь - с)
D а) Заметим, что данное выражение является многочленом от х
степени не выше второй. Подставим вместо х числа а, Ъ и с. Каждый
раз получается 1. Следовательно, многочлен степени не выше второй
19. Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального равенства многочленов
принимает значение 1 в трех различных точках, следовательно,
является константой, равной 1.
б) Заметим, что данное выражение есть не что иное, как
свободный член многочлена из пункта а. По доказанному выше он равен 1. SI
Напомним, что мы рассматриваем многочлены, заданные на чи-
| еловых множествах. В иных случаях теорема о совпадении
формального и функционального равенства может быть неверной.
Пример 24. Рассмотрим множество остатков от деления на 2, т. е. О
и 1. Действия с ними происходят по правилам нахождения остатков
суммы и произведения. Например, 1 + 1 = 0. Рассмотренный «над
этим множеством» (т. е. и коэффициенты, и значения переменной
берутся из множества {0; 1} и действия производятся как действия с
нахождением остатков сумм и произведений) многочлен х2 + х обладает
следующим свойством: х2 + х = 0, и при х = 0, и при х = 1. Таким
образом, как функция многочлен х2 + х равен многочлену 0, но как
многочлены они различны (ибо состоят из разных одночленов). Щ
Приведенный пример показывает, каким важным утверждением
является теорема о совпадении формального и функционального
равенства многочленов, заданных над числовыми множествами.
4. Интерполяционная формула Лагранжа
Коль скоро многочлен степени не выше п однозначно определяется
своими значениями в/i+l точках, возникает вопрос: как найти
многочлен степени не выше п, если известны его значения в п + 1 точках?
Можно, конечно, просто обозначить его коэффициенты буквами и
найти их, решив систему линейных уравнений, получающихся при
подстановке известных значений многочлена. Однако можно
предъявить явную формулу такого многочлена. Эта формула носит название
интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть f(x) — многочлен степени не выше п и f(x,) = y, при
/=1,2, ..., п + 1 и числа х, попарно различны. Тогда
f(x)
4- l/л
-h y2
(x-x
-У\-
(*-
(x2-
(X-X2)(X-
ХтМх-Хз)
Xi)(X2 ~ Хз)
•(X-Xfc.,)^
x3)-...-
•X3)-...'
(x- xn+i)
Xn+i)
~ xn+i)
)-...-(x
7+1
_L
- +
xn)
(хк- х^) •... • (хк- хк_л)(хк- хк+А) •... • (хк- хп)
(х-х1)(х-х2)---(х-хп)
+ У/7+1
•■•' (xп+^ ~ хп)
156, Глава III. Многочлены
П доказательство. Действительно, если в эту формулу подставить
х = х19 то все слагаемые, кроме первого, обратятся в 0, а первое
слагаемое равно уг. Аналогично произойдет с остальными значениями х{.
Стержнем конструкции являются дроби вида
(Х- ХХ)(Х- Х2)- ...(Х- Х| _!)(*- Xi+1)- ...(Х- Хп + 1)
(xt- xx)(xt- х2)- ...(^- х^хНх;- xi+1)- ...-(**- хп + 1У
Каждая такая дробь равна 1 в точке хь и равна 0 в остальных
точках.
Поскольку числитель каждой дроби — многочлен степени п,
а знаменатель — число, то каждая дробь является многочленом
степени п. После умножения на числа yt и сложения получается
многочлен степени не выше п. Так как он принимает одинаковые значения
с многочленом f(x) в п + 1 точках, то совпадает с ним. Щ
Восстановление многочлена по каким-либо известным данным
(например, по известным значениям в достаточном количестве
точек) называется задачей интерполяции.
. Многочлены с целыми коэффициентами
В этом параграфе рассматриваются свойства многочленов с
целыми коэффициентами, в том числе связанные со свойствами делимости
целых чисел.
1. Рациональные корни многочлена
с целыми коэффициентами
Пусть Р(х) = апхп + ап_1хп~1 + ... + агх + а0 — многочлен с
целыми коэффициентами (т.е. ап, ап_19 ..., al9 a0 e Z и ап Ф 0). Пусть
х0 = — — корень многочлена Р(х) (здесь р, q — взаимно простые
числа, причем q — натуральное число). Тогда выполнено равенство
Р - =0, после умножения обеих его частей на qn превращающееся
в следующее равенство:
а„рп + an_tfn-1q + an_^pn~2q2 + ... + a^pqn~l + aoqn = 0.
Поскольку все слагаемые в этом равенстве, кроме первого, делятся
на q, то а„рп ■ q. Так как р и q — взаимно простые числа, то (рп\ q)-\
(свойство 2 взаимно простых чисел). Так как а„рп • q и (рп; q) = 1, то
ап • q (свойство 1 взаимно простых чисел).
Аналогично доказывается, что а0 • р (разумеется, при р Ф 0).
\щ §20. Многочлены с целыми коэффициентами
Итак, нами получено утверждение.
Утверждение —-—------—--—----————
Числитель ненулевого рационального корня многочлена с целыми
коэффициентами является делителем свободного члена, а
знаменатель — делителем старшего коэффициента.
В частности, если многочлен с целыми коэффициентами имеет
старший коэффициент, равный 1, то знаменателем его рациональных
корней может служить лишь 1, т. е. все его рациональные корни —
целые числа, являющиеся делителями свободного члена!
Пример 25. Разложим на множители многочлен
Р(х) = 2х3-5х2-х + 1.
□ Попробуем найти рациональные корни этого многочлена
(каждому корню а будет соответствовать множитель х — а в разложении).
Согласно предложению рациональными корнями многочлена
могут быть лишь числа ±1; ±—. Подставляя их в многочлен, получаем:
-* = -i'p[-p= °-Значит> Р(х)
■И)
Произведем деление по схеме Горнера:
1
2
2
2
-5
-6
-1
2
1
0
Итак,
2х3 - 5х2 - х + 1 = (х + -)(2х2 - 6х + 2) = (2х + 1)(х2 - Зх + 1).
Можно найти разложение на линейные множители квадратного
трехчлена х2 - Зх + 1 и записать окончательное разложение:
з+ л/гГ
2х3 - 5х2 - х + 1 = (2х
х-
3-
х-
т
2 А" 2
Пример 26. Докажем, что число а = \2 + V3 иррационально.
П Коль скоро а = л/2 + л/3, то а - л/2 = л/3, откуда (а - yf2j= 3, т. е.
а2 - 2л/2а + 2=3, или 2д/2а = а2 - 1, что дает 8а2 = а4 - 2а2 + 1.
Окончательно а4 - 10а2 +1 = 0.
Итак, а является корнем многочлена х4 — 10х2 + 1. Это многочлен
с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Значит, его
рациональными корнями могут быть только целые числа — делители
свободного члена, т. е. числа ±1. Непосредственной подстановкой убеж-
158; Глава HI. Многочлены
даемся, что числа ±1 не являются корнями данного многочлена, т. е.
многочлен х4 - 10х2 + 1 не имеет рациональных корней. Значит, все
его корни (в том числе и а) являются иррациональными числами! Ш
О 21. Теорема Виета и симметрические многочлены
1. Теорема Виета
В курсе алгебры средней школы изучалась теорема Виета для
квадратного уравнения: числа хг, х2 являются корнями квадратного
■* = 4
уравнения ах2 + Ъх + с = 0 тогда и только тогда, когда
При этом в случае нулевого дискриминанта единственный корень
квадратного уравнения учитывался дважды и теорема Виета вновь
оказывалась верной.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть многочлен Р(х) степени
п имеет корни х19 х2, ..., хп (среди которых могут быть и кратные).
Тогда Р(х) = (х — хг)(х — х2) • ... • (х — хп) • Q (х). Поскольку степень
выражения (х - хг)(х - х2) • ... • (х - хп) равна п, то degQ(x) = 0, т. е.
Q(x) — число. Сравнивая старшие коэффициенты, убеждаемся, что
это число — старший коэффициент многочлена Р(х).
Итак, если х19 х2, ..., хп — все корни многочлена Р(х) = апхп +
+ ... + ахх + а0 с учетом их кратностей, то
апхп + ... + ахх + а0 = ап(х - хг)(х - х2) • ... • (х - хп).
Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства
после раскрытия скобок, получаем
а„_ t
... +х„ = -,
ххх2 + хгх3 + ... + хххп + х2х3 + ... + х2хп + ... + хп _ гхп =
, ,„
Полученное утверждение и называется теоремой Виета: сумма
всевозможных произведений корней многочлена, взятых по k с учетом
их кратностей, равна (-1)^, умноженной на отношение коэффициента
при переменной степени п - k к старшему коэффициенту.
Обратно, если числа х19 х2, ..., хп удовлетворяют системе (*), то
они являются всеми корнями многочлена Р(х) = апхп + ... + агх + а0.
159 §21. Теорема Виета и симметрические многочлены
Пример 27. Вычислим xf + xf + xf, где хх, х2, х3 — корни многочлена
2хг - Ъх - 3 = 0 (существование трех корней у этого многочлена
доказывать не обязательно).
\хх + х2 + х3 = О,
D По теореме Виета имеем < 3 Так как имеет место
I хгх2х3 = —.
формула а3 + Ь3 + с3 - ЗаЬс = (а + b + с)(а2 + Ь2 + с2 - ab - be - ас), то
в данном случае xf + xf + xl — Sx±x2xs = - . В
2. Симметрические многочлены
Решая задачи на нахождение значений выражений, зависящих от
корней многочлена, с применением теоремы Виета, можно обратить
внимание на то, что эти выражения не изменяются при перестановке
корней. Например, не находя корней х19 х2 квадратного уравнения
2х2 - Зх - 7 = 0, можно найти значение выражения xf x2 + x\xx
(сделайте это!). При этом если везде вместо хх в этом выражении написать
х2, а вместо х2 написать х19 то значение выражения не изменится!
Такие выражения называются симметрическими.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Многочлен Р(х1,х2, ..,хп) называется симметрическим,
если он не изменяется при любой перестановке переменных.
Пример 28. Симметрическим является следующий многочлен от
четырех переменных: Р(х19 х2, х3, х4) = xf + х| + х| + х\ + 8хх + 8х2 + 8х3 +
+ 8я4 + х1х2х3х4, в то время как многочлен Q(xl9 х2, х3, х4) = хг + х2 +
+ хг + х4 + xf + х| + xf + xf симметрическим не является, хотя при
перестановках, «не затрагивающих» х4, переходит в себя (например, при
перестановке, где хг заменяется на х2, х2 заменяется на х3, а х3
заменяется на Xj). SI
Заметим теперь, что выражения, упоминаемые в
формулировке теоремы Виета, суть симметрические многочлены, где
переменными служат обозначения корней многочлена. При этом
ol(x1, х2, ..., хп) = хг + х2 + ... + хп является многочленом первой
степени, с2(х19 х2, ..., хп) = х1х2 + х1х3 + ... + хххп + х2х3 + ... + х2х„ +
+ ... + хп_1хп является многочленом второй степени и т. д.
Традиционно многочлен k-й степени от п переменных, равный
сумме всевозможных произведений этих переменных, взятых по k
сомножителей, обозначают ok(xl9 x2, ..., хп).
160 Глава III. Многочлены
Таким образом, теорему Виета можно сформулировать так:
ТЕОРЕМА
-
Пусть xvx2, ..., хп — все корни многочлена Р(х)=апхп + ...
взятые с учетом кратности. Тогда
<п X )---^1
ш
о2(хь х2,..., хп) =
ок(хь х2,..., х„) = (-1
Ясно, что все выражения, получаемые из с19 о2, ..., сп и констант
с помощью действий сложения и умножения (т. е. все многочлены
относительно переменных с19 с2, ..., оп), будут симметрическими
многочленами относительно х19 х2, ..., хп при подстановке выражений
о19 о2, ..., оп через х19 х2, ..., хп (поскольку каждый многочлен из
о15 а2, ..., оп является симметрическим относительно х19 х2, ..., хп).
Гораздо интереснее, что и обратно: всякий симметрический
многочлен относительно х19 х2, ..., хп является результатом
подстановки выражений с19 с2, ..., оп через х19 х2, ..., хп в некоторый
многочлен P(cl9 g2, •••> сп) относительно с19 с2, ..., ап (это утверждение мы
оставим без доказательства).
Поэтому многочлены о15 о2, ..., оп от п переменных называются
основными симметрическими многочленами.
Таким образом, значение любого симметрического многочлена от
п переменных, где вместо переменных подставлены все корни данного
многочлена п-й степени, может быть выражено только через
коэффициенты данного многочлена.
И Задачи и упражнения
Определение многочлена. Действия с многочленами
Группа А
Ш.1. Запишите в стандартном виде одночлен:
2 ( aY
а) х3у • -(ху4) • 0,6х; б) — • babcd • (8d)° • 3;
в) ЗаЬх2 • 4ха2Ь • — (bxf.
ШШ Задачи и упражнения
Ш.2. Верно ли утверждение:
а) любой одночлен подобен сам себе;
б) если один одночлен подобен другому, то этот другой подобен
первому;
в) два одночлена, подобные третьему, подобны друг другу?
Сопоставьте эти утверждения со свойствами равенств и сравнений.
Ш.З. Найдите степень многочлена:
а) ЗаЬх2 - 7ах4;
б) (х2- 1)(х2 + 1)-х4;
в) ах4 - t3y5 + (7 - *3)(5 - у5);
г) (а2 + Ь2 + аЪ) - (а2 + Ь2 - аЪ) - (а2 + Ь2)2;
д) (2х + Зу)(4у - Зх) - 2(х + у)(4х - х2 - у);
(-Ъх2 5 ^ Л о (Ъх2 4 4 о^ 5 2 5
Ш.4. Докажите, что deg(P + Q) ^ max(degP; degQ), где Р и Q —
некоторые многочлены от нескольких переменных. Приведите
примеры, показывающие, что может быть как deg(P + Q) =
= max(degP; degQ), так и deg(P + Q) < max(degP; degQ).
Ш.5. Докажите, что P(x) = Q(x) тогда и только тогда, когда
P(x)-Q(x) = G.
Ш.6. Запип1ите в каноническом виде композиции P(Q(x)) и Q(P(x)),
если:
а) Р(х) = х2 - Зх + 2, Q(x) = х2 + Зх - 2;
б) Р(х) = 2х2 - 1, Q(x) = 4х3 - Зх;
в) Р(х) = 2х3 - 1, Q(x) = Зх + 1.
Метод неопределенных коэффициентов
Группа А
Ш.7. а) Приведите пример многочлена Р(х), для которого не
существует многочлена f(x), такого, что Р(х) = f(f(x)); б) верно ли, что
для данного многочлена Р(х) существует не более одного
многочлена f(x), такого, что f(f(x)) = Р(х)?
Ш.8. Найдите числа аибиз равенства
х4 + 2х3 - 16х2 - 2х + 15 = (х + 1)(х3 + ах2 - Пх + Ь).
Ш.9. При каких вещественных г и s выполнено равенство
х3 + гх2 + 2х - 1 = (х - s)(x2 - 2х - 1) + 3?
ШЛО. Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству:
а) Р3(х) + хР(х) = 8х3 - Юх2 + Ъх - 1;
б) Р(х + 1) + Р(х - 1) = 2х2 - 2х - 4;
в) (2х - 1) Р2(х) + хР(х) = 2хь - 5х4 + 13х3 - Ых2 + Ых - 4;
г) Р(Р(х)) = 8х4 - 8х3 - 24х2 + 13х + 18;
д) Р(Р(х)) = х4- 2х3 - 2х2 + Зх + 1.
162; Глава III. Многочлены
Ш.11. а) Пусть Р(х) — линейный двучлен, a Q(x) — квадратный
трехчлен. Найдите Р(х), если P(Q(x)) = Q(P(x)).
б) Пусть Р(х) и Q(x) — квадратные трехчлены, причем
P(Q(x)) = Q(P(x)). Докажите, что Р(х) = Q(x).
в) Пусть Р(х) — квадратный трехчлен, Q(x) = 4xs - Зх.
Найдите Р(х), если P(Q(x)) = Q(P(x)).
ш.12. Найдите многочлены Р(х) и Q(x), если P(Q(x)) = х4 - 5х2 + 7
и Q(x- l) = x2 - 2х- 1.
Группа В
Пусть р(х) — многочлен от одной переменной х, а у — другая
переменная. Докажите, что многочлен f(x, у) = р(х) + у
непредставим в виде произведения двух многочленов, каждый из
которых отличен от константы.
Деление многочленов с остатком
Группа А
ш.14. Разделите с остатком многочлен f(x) на многочлен gix), если:
а) fix) = х4 - 4х3 + 5х2 + Зх + 1 и g(x) = х2 - 2х - 3;
б) f(x) = 5х4 - х2 - 6х + 1 и g(x) = х2 + Зх + 2;
в) f(x) = х3 - 2х2 + 5х + 6 и g(x) = Зх2 + 2х + 1;
г) f(x) = х4 - 5х3 + 1 и g(x) = 2х2 + 5х + 6;
д) f(x) = х7 - х6 - Зх3 + х + 1 и £(х) = 2х2 + 4х + 6;
е) f(x) = х6 - Зх5 + х4 - 2х2 + 5 и £(х) = Зх2 + Зх - 3.
ш.15. Докажите, что:
а) если Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами, а и Ъ —
целые числа, то (Р(Ь) - Pia)) • (fe - a);
б) если Р(х) — произвольный многочлен, a Q(x) и i?(x) — два
различных многочлена, то iPiQix)) - P(i?(x))) ■ (Q(x) - Д(х)).
Ш.16. При делении Р(х) на S(x) получился остаток 2х2 — х + 1.
Найдите остаток от деления Р2(х) на S(x), если deg S(x) = 5.
ш.17. Чему равно неполное частное от деления fix) на £(х), если:
а) deg gix) > deg fix);
б) deg gix) = deg fix) и старший коэффициент gix) равен
удвоенному старшему коэффициенту fix);
в) deg gix) + 1 = deg fix), старшие коэффициенты
многочленов fix) и gix) равны, а коэффициенты на единицу меньшей
степени соответствующих многочленов fix) и gix) равны О?
ш. 18. Неполное частное и остаток от деления fix) на gix) равны q(x)
и г(х) соответственно. Чему равны неполное частное и остаток
от деления:
a) fix) на 2£(х); б) 2/(х) на gix); в) -3/(х) на
163 Задачи и упражнения
111.19. При делении с остатком двух многочленов:
а) сумма неполного частного и остатка равна удвоенному
делимому. Найдите делитель;
б) произведение делителя и остатка равно делимому. Найдите
делимое;
в) произведение неполного частного и остатка равно делимому.
Найдите делимое;
г) сумма делителя и остатка равна делимому. Найдите неполное
частное.
Ш.20. При делении Р(х) на S(x) получились неполное частное
Q(x) = х2 + 1 и остаток R(x) = xs + 5х. Каким будет остаток от
деления Р(х) на Q(x)?
Ш.21. Разложите по степеням х - 2 многочлен:
а) 2х3 - Ых2 + 2х - 1; б) Зх3 - 2х2 + х + 7.
Ш.22. Докажите, что Xs + 2х2 - Зх — 2 > 0 при х ^ 2.
Группа В
Ш.23. Неравные многочлены Р (х) и Q (х) таковы, что Р (Q (х)) = Q(P (х)).
Докажите, что (Р (Р (х)) -Q(Q (х))) \ (Р (х) - Q (х)).
Ш.24. Существует ли вещественное а, такое, что х6 + Xs + а делится на
х3 + х + а?
Многочлен как функция. Теорема Безу
Группа А
ш.25. Многочлен Р(х) при делении на х — 2 дает остаток 5, а при
делении на х + 1 — остаток 7. Найдите остаток от деления
многочлена Р(х) на х2 - х - 2.
Ш.26. Верно ли, что:
а) (ах3 + х2 - х - Ь) \ (х2 + 1) <=> аЬ = 1;
б) (х3 + ах2 - Ьх - 1) ; (х2 + 1) <=> аЬ = 1?
Если нет, то как поставить знак импликации, чтобы
утверждение стало верным?
Ш.27. При каких значениях параметров а и Ь многочлен
(х4 + ах2 + I)4 + (х4 - Ъх2 + I)4
делится на х2 + 1?
Ш.28. Многочлен Р (х) = 2х3 + ах2 + Ьх - 3 при делении на х — 2 дает
остаток 27, а при делении на х + 3 — остаток -3. Найдите
остаток от деления многочлена Р(х) на х + 2.
Ш.29. Найдите остаток от деления многочлена
(х2 - х - I)239 - а(х2 + х - I)2
на х - 1, если при делении на х - 2 он дает остаток 50.
164, Глава III. Многочлены
Ш.ЗО. Остаток от деления многочлена
Р(х) = а(3х2 - х - I)3 + b(2xs + х - I)2
на х2 - 1 равен 15х - 12. Найдите остаток от деления многочлена
Р(х) на х- 3.
Ш.31. Найдите многочлен третьей степени Р(х), если:
а) он кратен х - 1 и известно, что Р(х + 1) - Р(х) = 6х2 + 6х + 1;
б) он кратен х + 2 и известно, что Р(х - 1) + Р(х) - 2Р(х + 1) =
= -8х2 - 2х + 3.
ш.32. Может ли при делении некоторого многочлена Р(х) на
х2 - 5х + 4 получиться остаток 2х + 3, а при делении на
х2 - Зх + 2 — остаток Зх - 2?
ш.зз. Многочлен Р (х) при делении на х2 — Зх + 2 дает остаток 5х + 4,
а при делении на х2 — х — 6 дает остаток Зх — 2.
а) Найдите остаток от деления многочлена Р(х) на х2 — 4.
б) Найдите остаток от деления многочлена Р(х) на
(1(23)
(
в) Какой может быть наименьшая степень многочлена
ш.34. а) Найдите сумму коэффициентов многочлена (х2 — х + I)239.
б) Найдите сумму коэффициентов этого многочлена при четных
степенях и при нечетных степенях х.
Ш.35. Найдите кратность корня а у многочлена Р(х), если:
а) Р(х) = 2х4 - 7х3 + 9х2 - 5х + 1, а = 1;
б) Р(х) = 5х4 + 14х3 + 12х2 + 2х - 1, а = -1;
в) Р(х) = х5 - 5х4 + 40х2 - 80х + 48, а = 2;
г) Р(х) = х5 + 6х4 + Их3 + 2х2 - 12х - 8, а = -2.
Ш.36. При каких значениях а многочлен х3 — ах2 + 2ах — 8: а) делится
на х — а; б) дает при делении на х — а остаток 6; в) дает при
делении на х - а остаток 6а?
Ш.37. Существует ли многочлен, принимающий при х = 1, 2, 3, ..., 10
значения, соответственно равные 1, 2, 3, ..., 10: а) девятой;
б) десятой степени?
Группа В
Ш.38. При каких значениях а многочлен х3 + у3 + г3 + axyz делится на
X + у + 2?
Следствия из теоремы Безу. Формула Лагранжа
Группа А
Ш.39. а) Докажите, что многочлен степени п е N принимает каждое
свое значение не более чем п раз.
б) Приведите пример многочлена какой-либо степени п е N,
принимающего каждое свое значение менее п раз.
в) Существует ли многочлен, который каждое свое значение
принимает ровно столько раз, какова его степень?
Д|_3адачи и упражнения
Ш.40. Докажите, что многочлены степени п, равные в п различных
точках и имеющие равные старшие коэффициенты,
тождественно равны.
Ш.41. У двух многочленов п-й степени равны старшие коэффициенты
и свободные члены. Докажите, что если эти многочлены
принимают одинаковые значения в (п—1) точках, отличных от нуля,
то они тождественно равны.
Ш.42. Найдите все многочлены Р(х), для которых при всех х
выполнено равенство Р(х) = Р(х + 1).
Ш.43. Многочлен третьей степени при делении на каждый из
многочленов х — 1, х — 2, х — 3, дает остаток 5. Найдите остаток от
деления этого многочлена на х - 4, если его старший коэффициент
равен 2.
Группа В
Ш.44. Упростите выражение:
(х- а)(х - Ь) (х - Ь)(х -с) b(x- <0(* ~ в).
' (c-a)(c-b) (a-b)(a-c) (b - с)(Ь - а) '
б)^+ п
(с - а)(с -b) (a- b)(a -с) (b - c)(b - а)'
. (а + b)c (b + с)а (с + a)b
(с - а)(с -Ъ) (а - Ь)(а -с) (Ь - с)(Ь - а)'
г) ^ &з
(а - Ь)(а - с)(а - d) (b - a)(b - c)(b - d) (с - a)(c - b)(c - d)
d*
(d - a)(d - b)(d - с)
Ш.45. Пусть al9 а2, ..., ап — различные вещественные числа.
Докажите, что система уравнений
nn~^-i-ynn~^-i-ynn~^-i- А- у п А- у - h
гиг 1- л2и1 т л3иг 1- ... -t- лл_1"1 -t- лп — и19
я-1л-2,я-3 _ -ш
iU2 -т х2и2 -т х3а2 -г ... -г хп _ ^а2 -г хп — о2,
ххапп х + х2апп 2+хгапп 3 + ... +хп_1ап + хп = Ъп
имеет единственное рекгение, и выразите хг через числа а19 а2,
..., ап и bl9 b2, ..., Ьп.
Ш.46. Докажите, что если значения многочлена Р(х) степени п в
точках 0, 1, 2, ..., п целые, то они целые при всех целых значениях
переменной х.
166, Глава III. Многочлены
Многочлены с целыми коэффициентами и их рациональные корни
Группа А
Решите уравнение (ш.47, ш.48):
ш.47. а) Xs - 2х2 - 5х + 6 = 0; б) Xs - 6х2 + 15х - 14 = 0;
в) х4 - 6х3 + Юх2 - х - 6 = 0; г) х4 - 5х3 - х2 + 26х - 24 = 0;
д) х4 - Xs - 9х2 + 16х - 4 = 0; е) х4 + х3 - 7х2 - 8х + 4 = 0.
ш.48. а) 6х4 + х3 - 28х2 + 21х -4 = 0;
б) 6х4 + Их3 - 12х2 - 14х - 3 = 0;
в) Юх4 + 13х3 + 12х2 + 2х - 1 = 0;
г) Юх4 - 13х3 + 22х2 - 5х - 2 = 0;
д) 6х4 - Их3 - 7х2 + Их + 6 = 0;
е) 6х4 - 25х3 + 38х2 - 51х + 18 = 0.
ш.49. Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите,
что если а и Ъ — различные целые числа, то
Ш.50. Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите,
что у него нет целых корней, если уравнение Р(х) = 5 имеет 5
различных целых корней.
ш.51. Уравнение х5 - ах2 + Ь - 0 (а, Ь е Z) имеет число Ъ своим корнем.
Найдите возможные значения Ь.
Группа В
III.52. Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами, для
которого iPCxj)! = |Р(х2)| = 1 при некоторых различных целых хх
и х2. Докажите, что:
а) если |х1-х2|>2, то у многочлена Р(х) нет рациональных
корней;
б) если |xj — х2| < 2, то рациональным корнем может быть толь-
хх + х2
ко хо = —2—"
Ш.53. Пусть несократимая дробь — — рациональный корень
многочлена Р(х) с целыми коэффициентами. Докажите, что при всех
целых т ф — выполнено
f(m) ! (р - mq).
ш.54. Докажите, что уравнения не имеют рациональных корней
(возможно, полезным окажется использовать утверждение
предыдущей задачи):
а) 2х3 + 5х2 - Зх - 5 = 0; б) Зх4 - 7х3 + 2х2 + 2х + 1 = 0;
в) Зх4 + 5х3 + 7х2-2х-6 = 0; г) 5х4 + 3х3+ 17х2+ 12х-6 = 0.
Ш.55. Пусть Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами и deg P(x) <
^ р - 1. Пусть многочлен Р(х) при х = 0; 1; 2; ...; р — 1
принимает значения, кратные р.
НИ Задачи и
упражнения
а) Докажите, что если р — простое число, то все коэффициенты
многочлена кратны р.
б) Верно ли утверждение пункта «а» при составном р!
Ш.56. Верно ли, что если у многочлена все значения в целых точках
целые, то и коэффициенты целые?
Теорема Виета. Симметрические многочлены
Группа А
Ш.57. Пусть 8к(хг; х2; х3) = xf+ х£ + х£. Выразите sk через основные
симметрические многочлены при:
a) k = 2; б) k = 3; в) k = 4.
Ш.58. Выразите основные симметрические многочлены от трех
переменных через sk (см. предыдущую задачу) при k = 1, 2, 3.
Ш.59. Пусть хг; х2; ...; хп — корни многочлена
Р(х) = хп + ап_ххп~х + ... + ахх + а0.
Выразите через коэффициенты Р(х) коэффициенты многочлена,
имеющего старший коэффициент 1 и корни:
а) , , •••, '-> о) ~х^у ~х29 •••> ~*^я> я) х^, х2, -••, хп.
хх х2 хп
Ш.60. Найдите свободный член многочлена третьей степени, корнями
которого были бы числа —2,1— v3, I + V3, если его старший
коэффициент равен 1.
Ш.61. Пусть х19 х2, х3 — вещественные корни многочлена
2х3 + х2 + 7х - 12 = О
(доказывать существование корней не требуется). Найдите:
q I X-^XetXq l Хл
o)
y) x^ + x^ + x^
Ш.62. Числа —1 и 2 являются корнями многочлена х3 + ах2 + Ъх — 12.
Найдите а и Ъ.
= а,
Ш.63. Решите систему уравнений <{ х2 +у2 + z2 = а2, при любом значе-
[х3 + у3 + zs = а2
нии параметра а.
Многочлены
Ш.64. Решите систему уравнений:
х + у + z = 9,
а)
б)
jci/г = 27;
х2 + у2 + z2 = 15,
111.65.
111.66.
111.67.
111.68.
111.69.
111.70.
111.71.
111.72.
Решите уравнение хА + 4х3 — 2х2 + ах + b = 0, если оно имеет две
пары равных корней.
Рассмотрим всевозможные произведения нескольких (возможно,
одного) из первых п простых чисел (п ^ 5) (например, 2; 2-3;
3-5-11; 5-7-11-13 представляют некоторые такие
произведения для п = 6). Докажите, что сумма всех таких произведений
раскладывается не менее чем на: а) п простых сомножителей;
б) п + 1 простых сомножителей (простые сомножители могут
быть и одинаковыми).
Докажите, что если:
а) сумма и произведение двух рациональных чисел — целые
числа, то и сами эти числа целые;
б) сумма, сумма попарных произведений и произведение трех
рациональных чисел — целые числа, то и сами эти числа целые.
Докажите, что если:
а) сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами
эти числа положительны;
б) сумма, сумма попарных произведений и произведение трех
чисел положительны, то и сами эти числа положительны.
Составьте многочлен, для которого число —1 являлось бы
корнем второй кратности, числа 1, V5 и — V5 — корнями первой
кратности, а свободный член равнялся —10.
Корни многочлена Р (х) = Xs + 6х2 + 5х + а образуют
арифметическую прогрессию. Найдите эти корни и число а.
Уравнение х4 - (За + 6) х2 - 2 = 0 имеет 4 вещественных корня,
произведение которых равно 2. Найдите а.
Уравнение Xs + ах2 + Ьх + с = 0 имеет 3 вещественных корня,
причем а < 0, с > 0. Определите знаки корней.
Г>
Функция. Основные понятия
- Понятие функции
1. Определение функции
Одним из основных понятий математики является понятие
функции. Существует несколько определений этого понятия и множество
споров вокруг них. Исторически одно из первых определений звучало
так: если две переменные хну связаны между собой так, что с
изменением одной из них (х — независимой переменной) меняются значения
другой (переменной у), то говорят, что у есть зависимая переменная
или функция от переменной х.
Самым общим является в математике следующее определение
понятия функции:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть заданы некоторые множества X и Y произвольной
природы и закон f, который каждому элементу х
множества X ставит в соответствие ровно один элемент у
множества Y: w __ t ..
Ух е Х-> у е У
Тогда говорят, что на множестве X задана функция fco
значениями в множестве Y и пишут: X —► Y.
Множество X называется при этом областью определения
функции /. Иногда, в соответствии с французской традицией, множество У
называют областью прибытия функции /.
Важно подчеркнуть, что функция определяется не только законом
соответствия, но и множествами X и У. Если закон соответствия тот
же самый (например, каждому элементу числового множества
соответствует его квадрат), но сами множества X разные (например, в одном
случае — множество целых чисел, а в другом — множество
натуральных чисел), то функции будут тоже разные, и свойства их будут
разными (см. примеры 4 и 5)!
i
170 Глава IV. Функция. Основные понятия
Если х0 — произвольное значение х (произвольный элемент,
взятый из множества X), то элемент у0, поставленный законом / ему в
соответствие, называется значением функции при значении аргумента
х = х0 и обозначается у0 = f(x0).
Интересно также разобраться в том, что такое «закон
соответствия»? Если взять какой-либо элемент х е X, то можно написать
рядом с ним те значения у, которые ему поставлены в соответствие.
Таким образом, получаются пары элементов, где на первом месте стоит
значение аргумента, а на втором — соответствующее значение у е Y.
Итак, закон соответствия между множествами X и У — это
множество пар, где на первом месте стоит элемент из множества X,
а на втором — элемент из множества У. Для того, чтобы закон
соответствия задавал вместе с множествами X и У функцию, нужно
потребовать, чтобы в определяющем его множестве пар каждый
элемент множества X встречался ровно один раз. :&
Разумеется, вместо букв х, у, f можно использовать и другие
буквы. Например, запись s = cp(£) означает, что s есть функция
аргумента t, причем закон соответствия обозначается буквой ф. Если нужно
избежать наименования переменной в записи функции, т. е. не писать
/(х), то применяют запись /: X —► У. При этом закон соответствия
подразумевают известным.
Замечания. 1) Определение оставляет открытым вопрос о том,
какова должна быть природа закона /, который устанавливает
соответствие между множествами X и У: важно лишь, чтобы такой закон был
указан. Подробнее об этом будет сказано в § 23.
2) Важнейшими словами в определении функции были слова
о том, что любому элементу первого множества ставится в
соответствие ровно один элемент второго множества.
3) Как синоним введенного нами понятия функции употребляется
также слово «отображение»: отображение множества X в множество У.
Как правило, в математике слово «отображение» употребляется
для соответствий самой общей природы. Слово «функция» употребляется
обычно, если речь идет о соответствиях между числовыми множествами
или множествами природы, близкой к числовым множествам
(например, множества остатков от деления целых чисел по данному модулю).
4) Вообще-то нет никакой необходимости в том, чтобы множества
X и У имели числовую природу (хотя именно этими случаями мы и
будем заниматься в дальнейшем). Не является также необходимым,
чтобы область определения содержала бесконечное число элементов.
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Пусть X — множество всех треугольников на плоскости,
а У — множество всех окружностей этой же плоскости. Каждому
треугольнику ставим в соответствие окружность, вписанную в этот
треугольник. Это вполне определенный закон, который каждому
элементу множества X (треугольнику) ставит в соответствие ровно один
элемент множества У (окружность). Ш
\7]\ §22. Понятие функции
Пример 2. Сохраним в качестве X и Y множества из предыдущего
примера, но теперь каждому треугольнику поставим в соответствие
описанную около него окружность. Поскольку закон соответствия
поменялся, это уже другая функция. Ш
Примерз. Пусть X — множество всех отрезков на плоскости, аУ=й —
множество всех вещественных чисел. Выберем единицу измерения
и поставим в соответствие каждому отрезку число, равное его длине.
Это тоже функция. Ш
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
I Функция такого вида, т. е. отображение из произвольного
множества в числовое, называется функционалом.
Простейший пример функционала — выставление оценок за
проверочную работу в вашем классе: каждому ученику по специальному
правилу ставится в соответствие некоторое число — его оценка. Что
представляет здесь собой область определения и что — область прибытия?
Приведите еще несколько примеров функционалов из курса
геометрии.
Пример 4. Пусть X = N — множество всех натуральных чисел, a Y=R —
множество всех вещественных чисел. Пусть d e R и Ь € R —
фиксированные вещественные числа. Поставим каждому п е N в соответствие
число у = dn + b. Получим функцию с областью определения N. (Что
представляет собой последовательность значений этой функции?) В
Пример 5. Если в условиях предыдущего примера взять X = R, а все
остальные параметры оставить прежними, то каждому числу х е R
окажется поставленным в соответствие число у = dx + b. Это уже
другая функция! (Что это за функция?) Ш
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Две функции f и д называются равными или совпадающими,
если они имеют одну и ту же область определения X и для
каждого значения аргумента хеХ значения этих функций
совпадают: Vx0 е X f(x0) = g (x0).
Пример 6. Пусть заданы функции f:R^R и g: R —> R. При этом
каждая из функций сопоставляет числу его куб. Таким образом,
f(x) = xs и g(t) = ts. Разумеется, данные функции равны, несмотря на
то, что в их формульной записи мы использовали разные буквы для
обозначения аргумента. Ш
О Неважно, какой буквой обозначен аргумент, важно, какие
значения ему соответствуют!
Замечание. У представляет собой множество элементов, среди
которых обязательно содержатся все значения рассматриваемой
функции. Однако здесь могут быть и «лишние» элементы, не являющиеся
значениями функции. Остановимся на этом чуть подробнее.
172| Глава IV. Функция. Основные понятия
Пример 7. Рассмотрим f:R^R и g: R —► iJ, такие, что /(х) = х2 и
g"(0 = ts. Для функции / отрицательные значения у не соответствуют ни
одному значению аргумента х. В то же время для функции g каждое
вещественное значение у соответствует значению t, такому, что g(t) = y.
Поэтому для функции f в ее области прибытия «лишними» являются
все отрицательные числа, а для функции g «лишних» чисел нет. Ш
2. Образы и прообразы элементов и множеств.
Виды функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если при отображении f\ X -► Y элемент хоеХ переходит
в элемент у0 е У, то говорят, что у0 есть образ элемента х0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Образ множества ДсХ называется множеством образов
всех элементов хеА. Образ множества А
обозначается f(A):
f(A) = {у е Y\у = f(x), х е А}.
Нередко по заданному значению у0 е У приходится находить
соответствующее значение аргумента, т. е. решать относительно х
уравнение f(x) = у0.
Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даже
бесконечно много решений (а может и не иметь ни одного).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть у0 е Y. Множество всех элементов х е X, образом
каждого из которых является у0, называется прообразом
элемента у0 и обозначается f~1 (y0):
Замечание. Прообраз элемента может оказаться и пустым
множеством!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прообразом множества В с Y называется объединение
прообразов всех элементов у е В. Прообраз множества В
обозначается f-1 (6).
Можно сказать и проще: прообраз множества В — это множество
всех элементов х е X, для которых f(x) e В:
. Понятие функции
Пример 8. Рассмотрим функцию у = х2. Образом элемента х = 2 будет
у = 4. Прообраз элемента у = 4 состоит из двух чисел х = — 2 и х = 2,
т. е. /-1(4) = {-2; 2}. Образом отрезка [1; 2] является отрезок [1; 4],
т. е. /([1; 2]) = [1; 4], а прообразом отрезка [1; 4] будет объединение
отрезков [-2; -1] U [1; 2], т. е. /^([l; 4]) = [-2; -1] U [1; 2]. И
Рассмотрим теперь отображение, приведенное в примере 1.
Прообразом данной окружности будет множество всех треугольников,
описанных около нее.
В примере 2 имеем дело с отображением, при котором, например,
образом множества прямоугольных треугольников с фиксированной
гипотенузой будет множество, состоящее из одной окружности,
построенной на этой гипотенузе как на диаметре. Понятно, что при этом
прообразом такой окружности будет множество всех треугольников,
вписанных в данную окружность, а не только прямоугольных с
фиксированной гипотенузой.
Пример 9. Пусть f(x)= — . Найдем f'1 —; 2 II. Искомое множе-
х + J у\_2 \)
ство — это множество тех х, для которых f(x)e —; 2 . Для
нахождения этих х достаточно решить неравенство — ^ — ^ 2. Решив это
2 хг + 1
неравенство, получим х е [—1; 1]. Ответ: f~l —; 2 = [—1; 1]. SI
VL2 \)
Другой подход к отысканию прообразов множеств изложен в § 26.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ —------—-——---—————-----^^
Образ всей области определения функции fiX—*У, т.е.
образ самого множества X, называется множеством значений
функции и обозначается E(f)\
= E(f).
Для удобства записи область определения функции /
обозначается D(f). Таким образом, для /: X —* У имеем D(f) = X.
Множество значений функции всегда содержится в множестве У,
но не обязательно совпадает с ним. (Это несовпадение множества Y
и множества значений функции можно видеть в примере 7. Другие
примеры появятся несколько позже.)
Рассмотрим вопрос о нахождении множества значений
некоторых функций. С некоторыми частными случаями вы уже встречались в
курсе 9 класса, в частности с задачей о множестве значений
квадратичной функции. Все рассуждения и примеры были связаны почти
исключительно с графическими представлениями. О графическом образе
множества значений функции мы упомянем позже (см. рис. 4.23 в § 25).
Выясним, как найти E(f), если функция задана формулой.
Глава IV. Функция. Основные понятия
Пример 10. Найдем множество значений функции f(x) =
По
определению E(f) есть образ области определения функции D(f). В
нашем случае D(f)= R. Число а принадлежит £(/), если прообраз а не
пуст, т. е. если уравнение f(x)= а имеет хотя бы одно решение. Иначе
говоря, нужно выяснить, при каких значениях а разрешимо
уравнение ——- = а, или ах2 - х + а = 0. Если а = 0, то уравнение линейное,
и его решение х = 0. Если а * 0, то уравнение квадратное, и
разрешимо если его дискриминант неотрицателен, т. е. 1 — 4а2 ^ 0, откуда
а е —; 0 U 0; — . Объединяя эти два случая, получим а е —; - .
|_ 2 J у 2J L 2 2J
Ответ:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если множество Y все целиком состоит только из образов
элементов множества X, то говорят, что функция f
отображает множество X на множество V.
Иначе говоря, функция f отображает множество X на множество У,
если прообраз каждого элемента у0 е Y не пуст, т.е. для любого у0 из У
найдется по крайней мере один элемент х0 е X, такой, что f(x0) = у0;
короче это можно сказать так: У = f(X).
Разницу между отображениями X в У и X на Y иллюстрирует
рисунок 4.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Отображение f: X-* Yназывается
взаимно однозначным, если образы
различных элементов различны:
\/хьх2еХ хл *х2^> ffa) * f(x2).
отображение X в У
отображение X на У
Рис. 4.1
Иначе говоря, при взаимно
однозначном отображении различным значениям
аргумента обязательно соответствуют
различные значения функции!
В разговорной речи математики
употребляют выражение: взаимно однозначное
отображение «не склеивает точки».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -__——_____-_---__-..
Если fecib взаимно однозначное
отображение множествах на себя (Y=X),
то такое отображение называется
преобразованием множества X.
175 §23. Способы задания функции. График функции
Некоторые элементарные функции
Взаимосвязь между различными видами функций (отображений)
иллюстрирует следующая схема:
Функция (отображение) из X в У — соответствие
между множествами X и У, при котором каждому
элементу множествах соответствует ровно один элемент
множества У.
Отображение «на» —
отображение изХв V, при котором прообраз
любого элемента из /непуст или,
что то же самое, образ X есть У.
Взаимно однозначное
соответствие — отображение,
сопоставляющее различным значениям
аргумента различные значения
отображения.
±
Преобразование — взаимно однозначное
отображение множества на себя.
Замечание. С этого момента мы будем, как правило,
рассматривать функции (отображения), для которых как область
определения X, так и множество Y (тем самым и множество значений
функции) будут числовыми множествами. В таком случае мы говорим о
числовых функциях, которыми и будем заниматься в дальнейшем в этом
курсе. Итак, говоря «функция», мы по умолчанию будем иметь в виду
именно числовые функции.
О23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
1. Способы задания функции
Аналитический способ
В математике особое место занимают функции, для которых
правило соответствия носит «операционный» или «аналитический»
характер: оно указывает на математические действия (операции), которые
нужно в определенном порядке совершить над значением аргумента х,
чтобы получить соответствующее значение у.
В этом случае функцией, для простоты речи, называют
некоторое произвольное выражение (формулу), содержащее аргумент х,
знаки действий и числа. При этом принимаются следующие соглашения:
а) за область определения функции принимается множество всех
вещественных чисел, при подстановке которых в формулу все
математические операции выполнимы (в множестве R) (такая область
определения называется естественной);
176J Глава IV. Функция. Основные понятия
б) за множество У принимается множество всех вещественных
чисел (иначе говоря, результатом каждой операции, указанной в
формуле, является вещественное число);
в) если число а принадлежит области определения, то значение
функции при х = а есть число, получающееся, если подставить в
формулу значение х = а и выполнить указанные действия.
Примеры функций, заданных подобным образом:
о -. 9 -. I X + ll Г.
у = 2х + 1; у = х2 + х + 1; у = ]-—^—*•; у = VI - х.
Функция может быть задана различными формулами на разных
промежутках. Подробнее об этом будет сказано в пункте «Кусочное
задание функции».
Замечание. Имеет смысл среди аналитических способов особо
выделить неявный способ задания функции, когда функция задается
уравнением F(x, у) = 0 (неявной функцией), где каждое значение
аргумента х и соответствующее ему значение функции у являются
решением данного уравнения. Иногда из этого уравнения можно
выразить у через х, т. е. перейти к заданию функции формулой у = f(x), но
далеко не всегда! Вообще говоря, уравнению Р(х, у) — 0 может
удовлетворять не одна, а множество функций.
Пример 11. Уравнением у2 - 2ху + х2 = 0 неявно задается функция
у = х, а уравнением у2 - 2ху + х2 = 1, как минимум, две функции
у = х + 1 и у = х — 1 (укажите еще хотя бы одну функцию, заданную
этим соотношением). Ш
В общем виде вопрос о том, как по виду соотношения F(xy y) = 0
определить, задает ли оно одну функцию, несколько функций или
вообще ни одной, является весьма сложным и в нашем учебнике
исследован не будет.
Табличный способ
Если область определения представляет собой конечный набор
чисел (элементов), то функциональную зависимость можно описать,
например, с помощью таблицы.
Примером табличного способа задания функции является колонка
годовых оценок в классном журнале. Областью определения этой
функции является множество учеников класса, а областью прибытия —
множество {1; 2; 3; 4; 5}. При этом мы понимаем, что множеством
значений этой функции в хороших классах служит множество {3; 4; 5}.
Описательный способ
Функции, заданные описательным способом, приведены в
примерах 1 и 2 предыдущего параграфа.
Графический способ
На практике часто соответствие между значениями аргумента
и значениями функции задается с помощью рисунка. С этим способом
вы уже знакомы.
§23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Графиком функции y=f(x) называется множество всех
точек координатной плоскости, абсцисса каждой из
которых принадлежит области определения D(f), а ордината
есть значения функции, если ее аргумент равен абсциссе
(рис. 4.2), т. е.:
Г, = {(хо\ у0): х0 е D (f), Уо = f (х0)}.
Замечание. Не каждая
функция имеет график, который
«можно нарисовать»! Но с такими
случаями мы встретимся позже, а
пока будем работать с «обычными»
функциями.
График функции наглядно
иллюстрирует свойства функции, что
мы и продемонстрируем ниже,
после введения нескольких новых
определений. Например:
a
/
/
0
' V-H.X)
Уо \
'/////////.'
7
/////A/////A
' x0 I
7 *X
; y0): xoeD(f),
о)}> где D(/) = [a;
Рис. 4.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Корнями функции y=f(x) называются корни уравнения
( O
Рис. 4.3
Замечание. Иногда вместо
слова «корни» употребляется
термин «нули функции».
Иначе говоря, корни функции
у = f(x) — это такие значения х,
при которых f(x) = 0. Графически
это, естественно, абсциссы точек
пересечения графика функции /
с осью Ох (рис. 4.3).
Параметрический способ
Параметрический способ задания функции — это задание
значения у как функции от х с помощью системы уравнений такого вида:
[х = f(t), где f(t) и g(t) — некоторые функции,
[У — §{t), где t е М (М — некоторое числовое множество).
При этом переменная t называется параметром. Если удается
исключить параметр t из системы, можно получить аналитическое задание
функции.
178, Глава IV. Функция. Основные понятия
Пример 12. Система < 2 задает функцию, явный вид которой
можно получить, исключив параметр t из системы. Именно: из пер-
х- 3 _.
вого уравнения находим t = . Подставив наиденное выражение во
Сл
(х- ЗУ
второе уравнение, получаем у = - 1. Ш
\ 2 )
При параметрическом задании бывает сложно выяснить, задается
ли данной системой функция.
2. Некоторые элементарные функции
Элементарные функции — это небольшая группа функций,
отличающихся своей простотой и широкой областью применения.
Перечислим некоторые из таких элементарных функций,
известные из курса математики 7—9 классов, а в последующих главах
изучим новые элементарные функции.
1. Степенная функция у = хг, где г — фиксированное число.
Вы изучали степенную функцию у = хп с натуральным
показателем и целым показателем. В следующей главе будут рассмотрены
степени и с рациональным показателем у = xr, r e Q. Частными случаями
степенной функции являются функции вида у = Ц[х, у = у/хт , у = —==
и т. д. *хт
2. Целые рациональные функции, или многочлены, — функции
вида у = апхп + ап_1хп~1 + ... + ахх + а0, где а0, а19 ..., ап е R и п е N.
Среди этих функций особо выделим следующие:
а) константа у = а, где а е R;
б) линейная функция у = kx + b, где k, b e R;
в) квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с, где а * 0.
3. Дробно-рациональные функции — функции вида
У =
т. е. это функции, представляющие собой отношение двух
многочленов.
Из этих функций мы чаще всего имели дело с дробно-линейной
, „ ах + Ъ
функцией у = -.
сх + d
Все перечисленные функции относятся к классу элементарных
алгебраических функций.
§23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
3. Кусочное задание функции
Пусть функция / задана аналитически. Заметим, что она может
быть задана различными формулами на разных участках области
определения. В этом случае мы говорим о кусочном задании функции1.
[х + 1, если х < О,
Пример 13. Построим график функции f(x) =
D Чтобы построить график этой
функции, нужно построить:
часть прямой у-хл-1, соответствующую
отрицательным значениям х,
часть прямой у = 1-х, соответствующую
значениям х е [0; 1), и, наконец,
часть прямой, соответствующую
значениям х ^ 1 (рис. 4.4). Ш
1. Самая «знаменитая» из кусочно
заданных функций — это модуль числа х:
.. v . , [х, если х^ 0,
f(x)= х = 1
[-Х, если х < 0.
Замечание. Легко видеть, что та же
функция задается и в такой форме:
| х, если х ^ 0,
[ -х, если х < 0.
х =
График этой функции представлен
на рисунке 4.5.
2. Функция, задающая знак чис-
{1, если х > 0,
0, если х = 0,
-1, если х < 0.
График этой функции приведен на
рисунке 4.6 (здесь и далее стрелка на
графике означает, что ее острие не
принадлежит графику). Верны следующие
соотношения: х = \х\ • signx, |jc| = х • signx.
11 — х, если 0 ^ х < 1,
I 2х- 2, если х> 1.
\х\
0
х
Рис. 4.5
1
0
у = sign х
X
Л
...... J^
Рис. 4.6
Интересно, что такие функции стали рассматривать только в середине
XIX в., когда и было уточнено, что такое функция. До этого под функцией
подразумевали нечто, заданное формулой.
180J Глава IV. Функция. Основные понятия
-3 -2 -1
/.
/
/ %
я
9
1
|
X]
/
12 3 4^
-1
о
-3
Рис. <
/
-2 -1
1.7
/
. 0
/
7
»-
/
w
/
L 2 3 4 *
Рис. 4.8
3. Целая часть числа х:
f(x) = [х],
где [х] — наибольшее целое число, не
превосходящее х. Иногда эту функцию
называют «антье х» (см. график на
рисунке 4.7).
Обратите внимание, что [-1,3] = -2
(иногда ошибочно считают, что [-1,3]
равно -1).
4. Дробная часть числа х:
f{x) = {х}.
Эта функция определяется как
разность функций, определенных выше:
{х} = х - [х] (см. график на рисунке 4.8).
Все понимают, что {3,7} = 0,7. Однако
требует осмысления, что {-3,7} = 0,3 (по
определению, так как [-3,7] = -4).
О 24. Некоторые свойства функций
1. Ограниченность функций
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Функция f(x) называется ограниченной сверху, если
существует такое число ВеВ, что для всех х из области
определения функции выполняется неравенство f(x) < 6, т. е.
36 е Я: VxeD(f)
2. Функция f(x) называется ограниченной снизу, если су-
ществуе такое число А е /?, что для всех х из области
определения функции выполняется неравенство f(x)^A, т. е.
3AeR: VxeD(f)
3. Функция f(x) называется ограниченной, если она
одновременно ограничена сверху и снизу, т. е. существуют такие
числа А, В е R, что для всехх е D(f) выполняется двойное
неравенство А ^ f(x) < 6, т. е.
ЗА, В eR: \/xeD(f) A
Геометрически определение 1 означает, что весь график лежит
ниже прямой у = В, если функция ограничена сверху числом В.
§24. Некоторые свойства функций
Аналогично, если функция ограничена снизу числом А, то весь
график лежит выше прямой у = А.
Геометрически определение 3 означает, что график функции лежит
в полосе между прямыми у = Any = В,т. е. выше прямой у = А и ниже
прямой у = В.
Можно переформулировать введенные определения с помощью
определений § 6.
Функция называется ограниченной сверху, снизу или просто
ограниченной, если множество значений функции соответственно
ограничено сверху, снизу или просто ограничено.
Замечание. Очевидно, что определение ограниченности функции
равносильно следующему: функция fix) ограничена тогда и только
тогда, когда ЗС е R: \/x e D(f) \f(x)\ ^ С.
С этими определениями связаны еще два:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если существует такая точка хА е D(f), что для всех х е D(f)
выполняется неравенство f(x) ^f(x^) = M, то говорят, что
функция f(x) в точке х^ принимает наибольшее значение, а само
число М = f(x^) называется наибольшим значением функции.
Обозначение: М = max fix).
xeD(f)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -——•—•-———
Если существует такая точка х2е D(f), что для всех х е D(f)
выполняется неравенство f(x) ^f(x2) = m, то говорят, что
функция f(x) в точке х2 принимает наименьшее значение, а само
число /77 = f (х2) называется наименьшим значением функции.
Обозначение: т = min fix).
xeD(f)
Замечание. Очевидно, наибольшее и наименьшее значения
функции являются соответственно максимальным и минимальным
элементами ее множества значений.
Некоторые случаи, связанные с наличием наибольших и
наименьших значений, показаны на рисунках 4.9—4.11.
Dif) = [я; Ь]
М = max fix) — наибольшее значение
функции fix) на Dif)
т = min fix) — наименьшее значение
*€ [а; Ь] функции fix) на Dif)
= lm'> -&П ~ множество значений
функции fix)
Рис. 4.9
182! Глава IV. Функция. Основные понятия
т
[m;c)U[d;M]
Рис. 4.10
/
а /
| У 0,
С*
¥ у
\E(f)
Id
lEif)
= f(x)
I
b
X
Функция f(x) ограничена,
но наибольшее значение М
и наименьшее т не достигаются:
m<f{x)<M \fx<L[a;b]
E(f)=(m;c][Jld;M)
Рис. 4.11
Замечания. 1) Даже у
ограниченной функции может не быть
наибольшего и наименьшего значений
(рис. 4.11).
В то же время, если функция
f(x) ограничена, то множество
значений функции E(f) ограничено
сверху и снизу. Но тогда оно имеет
точные верхнюю и нижнюю границы,
которые обозначаются соответственно
sup f(x) и inf f(x). Возникает воп-
xeD(f) xeD(f)
рос о достижимости этих точных
границ. Если функция принимает свое
наибольшее значение в точке х0 е F(f),
то одновременно достигается и точная
верхняя граница:
sup f(x) = max f(x) = f(x0).
xeD(f) xeD(f)
Аналогичное рассуждение верно для
точной нижней границы.
2) Можно рассматривать функцию
не на всей области определения, а на
некотором подмножестве GaD (/).
(Иногда говорят о сужении функции
f(x) на множество G, имея в виду
функцию g(x), определенную
следующим образом: \/х е G g(x) = f(x).)
Все сказанное выше, включая все
определения и терминологию,
сохраняется для этого случая. То есть мы
говорим об ограниченности функции
на множестве G и о наибольшем и
наименьшем значениях функции на
множестве G, которые имеют
обозначения шах / (х) и min / (х) соответ-
хе G xsG
ственно, и т. д.
2. Монотонность и экстремумы функции
Представляется естественным назвать функцию возрастающей на
некотором множестве (целиком лежащем в области определения), если
при увеличении значения аргумента х на этом множестве
увеличивается значение функции. Точнее:
§24. Некоторые свойства функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Функция f называется строго возрастающей на множестве
AcD(f), если для любых значений аргумента х^ х2 е А,
таких, чтох2>х1 выполняется неравенство f(x2) > Цхл).
Обозначение: f{x)\ на А.
В символической записи это определение выглядит так: функция /
строго возрастает на A aD(f), если Vxl5 x2 e A (x2 >хг-> f(x2) > f{xx)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Функция f называется строго убывающей на множестве
/lcD(f), если для любых значений аргумента хъ х2 е А,
таких, что х2 >хл выполняется неравенство f(x2) < f(xA).
Обозначение: f(x)i на А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3
Функция f(x) называется нестрого возрастающей
(неубывающей) на множестве AcD(f), если для любых значений
аргумента xlf х2 е А, х2 >хл выполнено неравенство f(x2) ^f(x^).
Функция f(x) называется нестрого убывающей (невозрас-
тающей) на множестве A cz D(f), если для любых значений
аргумента хьх2е А, х2>хл выполнено неравенство f(x2) ^ f(xj.
Обозначение: f{x)/ на А для неубывающей функции и f(x)\ А для
невозрастающей функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4
Если функция удовлетворяет одному из предыдущих
определений на множестве А, то говорят, что она монотонна
(в случаях определений 1 и 2 строго монотонна) на
множестве А (рис. 4.12).
Ук
Промежутки монотонности:
/•(дгНна [m^rriz] и на [m3;b]
f(x)\n8L [a; raj и на [т2;т3]
184 Глава IV. Функция. Основные понятия
В случае, если множество А является промежутком, то мы
говорим о промежутке монотонности.
Замечания. 1) Обратите внимание на то, что на рисунке 4.12
точка т1 включена в оба промежутка монотонности, общей границей
которых она является.
2) В ходе дальнейшего изложения под словосочетанием
«возрастающая функция» мы будем подразумевать строго возрастающую функцию.
Функция может иметь множество промежутков монотонности
(а может не иметь и ни одного, даже если определена везде на К).
Пример 14. (Функция Дирихле.) Определим функцию D(x), заданную
на Л, следующим образом: если х — иррациональное число, то
D(x) = 0, если же х — рациональное число, то D(x) = 1.
Эта функция — один из важнейших примеров во всем курсе. Она
служит контрпримером ко многим утверждениям.
Очевидно, что на любом промежутке функция Дирихле
бесконечно много раз «скачет» от 0 к 1 и обратно. Поэтому у нее нет ни одного
промежутка монотонности. Ш
Заметим, что функция, возрастающая, например, на двух
различных промежутках, вообще говоря, не является монотонной на их
объединении. Классический пример — функция у = —, она строго
убывает на открытых лучах (—оо; 0) и (0; +оо), но вовсе не монотонна
на их объединении (если взять точки хг = — 1 и х2 = 1, то хг< х2, но
при этом у(хг) < у(х2)1) Эту функцию называют кусочно убывающей.
Пример кусочно возрастающей функции — функция у = {х}.
Как определять промежутки монотонности функций, показывает
следующий пример.
^л исторический комментарий ^
Дирихле Петер Густав Лежен (1805—1859) — немецкий математик. В
молодости был домашним учителем в Париже, где учился у Ж. Фурье. Затем
был профессором Берлинского и Геттингенского университетов. Доказал
ряд известных теорем, в частности о том, что в бесконечной
арифметической прогрессии натуральных чисел с взаимно простыми разностью и
первым членом встречается бесконечно много простых чисел. Также известен
огромным количеством результатов в анализе и математической физике.
Широко известен «принцип Дирихле», применяемый в большом числе
задач и в шутливой форме звучащий так: если в к клетках сидят пк + 1
кроликов, то хотя бы в одной клетке сидят хотя бы п + 1 кроликов.
Пример 15. Найдем промежутки монотонности функции f(x) = x + -.
П Рассмотрим два значения аргумента х и х + а, где а > 0. Наша
задача — определить такие промежутки на области определения функ-
185 §24. Некоторые свойства функций
ции, что если х и х + а одновременно принадлежат этим
промежуткам, то разность f(x + а) - f(x) имеет определенный знак. В
зависимости от того, каков этот знак, промежуток будет либо промежутком
возрастания, либо промежутком убывания функции f(x).
Рассмотрим разность
a =a(l- г \
+ а) у х(х + а))
х + а х х(х + а)
Множитель а, будучи положительным, не влияет на знак выражения.
Значит, нужно исследовать знак величины 1 .
х(х + а)
Так как область определения функции делится точкой х = 0 на две
части, разумно искать промежутки монотонности в каждой из этих
частей отдельно.
Пусть х > 0. Тогда знак выражения 1 определяется зна-
х(х + а)
ком выражения х(х + а) - 1. Если а достаточно мало, то выражение
х(х + а) - 1 мало отличается от выражения х2 - 1. При х ^ 1 это
выражение неотрицательно, а при 0 < х < 1 — неположительно. Таким
образом, разумно предположить, что на промежутке [1; +оо) функция
возрастает, а на промежутке (0; 1] убывает.
Действительно, пусть х и х + а одновременно, например, не
меньше 1 (отметим, что при этом х + а будет строго больше 1). Тогда
выражение х(х + а) — 1, очевидно, будет положительно.
Аналогично, если положительные х и х + а одновременно
меньше 1 (отметим, что при этом х будет строго меньше 1), то выражение
х(х + а) — 1 будет отрицательно.
Точно так же (проведите рассуждения самостоятельно) получим,
что на промежутке (—оо; —1] функция убывает, а на промежутке
[-1; 0) — возрастает. SI
Для монотонных функций имеет место следующая простая, но
полезная теорема:
Пусть f(x) — строго монотонная функция на множестве А. Тогда
I f(x) — взаимно однозначная функция на множестве А.
П доказательство. Пусть хг * х2. Требуется доказать, что
f(x1) Ф /(х2). Не умаляя общности, можно считать, что хг > х2. Если
f(x) — возрастающая функция, то f(xx) > f(x2), а если убывающая, то
f(*i) < f(x2)- В любом случае /(хх) Ф /(х2). Щ
Доказанная теорема позволяет, в частности, применять
монотонную функцию к обеим частям уравнения и получать уравнение,
равносильное исходному, поскольку равенство значений взаимно
однозначной функции равносильно равенству аргументов.
Особый интерес представляют точки области определения,
разделяющие промежутки возрастания и убывания, т. е. точки, в которых
186 Глава IV. Функция. Основные понятия
меняется характер монотонности функции. Такие точки естественно
включать одновременно как в промежутки возрастания, так и в
промежутки убывания. Так, мы будем говорить, что функция у = х2 убывает
на луче (—оо; 0] и возрастает на луче [0; +оо).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Точка xoeD(f) называется точкой (строгого) максимума
функции, если существует такой интервал (х0 - 8; х0 + 8) е D(f),
что для всехх из этого интервала, кроме самой точки х0,
выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Само значение f(x0) в этом случае называют значением максимума
функции (или просто максимумом).
Замечание (о терминологии). Интервал (х0 — 8; х0 + 8)
называется 8-окрестностью точки х0 и обозначается С/5(хо)- Можно
рассматривать этот интервал как аналог круга, тогда говорят об
окрестности точки х0 (с центром х0) радиуса 8.
Таким образом, функция достигает максимума в точке х0 е D(f),
если 38 > 0: 1) Ub(x0) = (х0 - 8; х0 + 8) с D(f) и 2) Vx e Ub(x0) x*x0
выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Можно еще для удобства ввести понятие проколотой 8-окрестно-
сти точки х0:
йь (х0) = {х\ \х - хо\ < 8, х * х0} или 176 (х0) = (х0 - 8; х0 + 8)\{х0}.
Тогда можно переписать определение следующим образом:
х0 е D (f) — точка максимума функции /, если найдется 8-окрест-
ность С/§(х0) точки х0, что: 1) Ub(x0) сВ(/)и 2) для всех х из проко-
лотой окрестности С/6 (х0) выполняется неравенство f(x) < f(x0).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Точка xoeD(f) называется точкой (строгого) минимума
функции, если существует такой интервал (хо-8;хо + 8)е D(f),
что для всехх из этого интервала, кроме самой точки х0,
выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Иначе говоря, в точке х0 е D(f) функция / достигает минимума,
если 38 > 0: 1) Ub(x0) сй(/)и 2) Vx е иъ (х0) f(x) > f(x0).
Точки минимума и максимума объединяются общим термином
«точки экстремума». Еще раз подчеркнем, что, когда мы говорим
«точки экстремума», речь идет о точках оси Ох, а не о точках
плоскости (рис. 4.13)!
ЭД7| §24. Некоторые свойства функций
т
2 9
Из определения видно, что
наличие экстремума функции в
точке х0 зависит исключительно от
поведения функции в некоторой
окрестности точки х0. Такие
свойства называют локальными, поэтому
иногда объекты, введенные выше,
именуют точками локального
экстремума. Данные понятия ни в коем
случае не следует смешивать с
понятиями наибольшего и
наименьшего значений функции на
промежутке или на всей области задания.
Это можно пояснить так: для
функции, график которой есть
кривая без разрывов, точки локальных экстремумов соответствуют
вершинам «холмиков» и «впадин» (это их абсциссы). При этом вовсе не
обязательно, чтобы вершины «холмиков» лежали выше, чем все остальные
точки графика!
В определениях существенно, чтобы точка х0 была внутренней
точкой того промежутка, где функция задана. Поэтому, например, для
функции, заданной на отрезке [а; Ь], ни точка х = а, ни точка х = Ъ не
являются точками экстремума, хотя значения функции в этих точках
могут быть больше (меньше) всех значений функции на [а; &]! (См.
рисунок 4.13, где представлен график функции, наибольшее значение
которой достигается в точке Ь, но х = Ъ
не является точкой максимума.)
— точки экстремума
пг2 — точка максимума
пг1 и т3 — точки минимума
Рис. 4.13
Но некоторая связь здесь
имеется: для отыскания наибольшего
значения непрерывной функции
на отрезке [а; Ь] сравнивают
значения во всех точках
максимума, попавших на интервал (а; Ь),
и значения / (а) и / (Ь) на концах
отрезка. Из этих чисел
выбирается наибольшее. Подробный
разговор об этом еще впереди.
На рисунке 4.13 видно, что
точки экстремума являются общей
границей промежутков
возрастания и убывания функции. Однако,
это не всегда так, что показывают
графики на рисунках 4.14—4.17.
х0 — точка максимума (хотя характер
монотонности здесь не меняется:
f(x) t слева от точки х0 и справа
от точки х0).
Заметим, что функция f(x) \ на [а; х0) и
на (х0; Ь], но не монотонна на [а;Ь].
Рис. 4.14
188 Глава IV. Функция. Основные понятия
ь х
/°
х0 — точка максимума, при этом
f(x)\ на [а ; х0) и f(x)\ на (х0 ;Ь) х0- точка максимума х0 - точка минимума
Рис. 4.15
Рис. 4.16
Рис. 4.17
3. Четные и нечетные функции
Рассмотрим некоторые свойства функций, связанные с симметрией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ —
Функция f(x) называется четной, если она обладает двумя
свойствами:
1) ее область определения D(f) симметрична
относительно нуля (т. е. вместе с любой точкой xoeD(f) точка -х0
тоже содержится в области определения: (-xo)eD(f))\
2) Vx0 е D(f) выполняется равенство f(-x0) = f(x0).
На самом деле второе требование влечет за собой первое. Ведь для
выполнения указанного равенства необходимо, чтобы функция была
определена в точках х0 и -х0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f(x) называется нечетной, если она обладает
двумя свойствами:
1) ее область определения D(f) симметрична
относительно нуля (VxoeD(f) (-Xo)eD(f));
2) Vxoe D(f) выполняется равенство f(-xo)=-f(xo).
Обратим внимание на то, что первым и общим условием в обоих
определениях выступает требование симметричности области
определения относительно нуля. Тем самым из рассмотрения на четность
можно сразу исключить функции, у которых область определения не
симметрична относительно нуля.
Есть функции, не удовлетворяющие ни одному из этих
определений. Такие функции (не являющиеся ни четными, ни нечетными) мы
назовем функциями общего вида.
Из определений непосредственно следует, что график четной
функции симметричен относительно оси Оу (поскольку вместе с любой
точкой (х0; у0) он содержит также точку (-х0; у0)). Аналогично график
Н|_§24. Некоторые свойства функций
V = ftx)
f(x) — четная функция
Рис. 4.18
f(x) - нечетная функция
нечетной функции симметричен относительно начала координат
(вместе с любой точкой (х0; у0) он содержит точку (-х0; -у0),
симметричную первой относительно начала координат) (рис. 4.18).
Примеры четных функций: у = \х\, у = х2, у = — , у = х4 - х2,
любой многочлен, все показатели степеней одночленов которого четны.
Примеры нечетных функций: у = х, у = —, у = Xs, у = 2х - Xs,
любой многочлен, все показатели степеней одночленов которого нечетны.
Отметим некоторые свойства четных и нечетных функций.
1. Для построения графика каждой такой функции достаточно
построить половину графика, например, для х ^ 0. Вторая половина
получается симметрией. Эти соображения и наглядные представления
можно использовать для получения свойств (исследования) функций
с такими особенностями.
2. Сумма, разность и произведение четных функций f(x) и g(x),
заданных на одном и том же множестве X, являются четными функ-
f(х)
циями. Если, кроме того, g(x) * 0 на X, то частное —— тоже четная
g(x)
функция.
3. Если f(x) и g(x) — нечетные функции, заданные на одном и
том же множестве X, то их сумма f(x) + g(x) и разность f(x) - g(x)
являются нечетными функциями, а произведение f(x) • g(x) и частное
f (х)
-^, g(x) Ф 0, — четными.
4. Любая функция с симметричной относительно нуля областью
определения может быть представлена в виде суммы четной и
нечетной функций следующим образом: f(x) = ср(х) + \|/(х), гдеср(х) =
f(x)+f(-x) , /ч f(x)-f(-x)
= -^-^———- — четная функция, а \|/(х) = —————- — нечетная.
Все эти утверждения требуют доказательства. Докажите все эти
утверждения самостоятельно.
1901 Глава IV. Функция. Основные понятия
Можно несколько расширить круг вопросов и обратить внимание
на некоторые другие виды симметрии графиков (относительно других
осей и центров). Соответствующие предложения имеются в
упражнениях к главе.
Пример 16. Исследуем на четность функцию:
a) f(x) = [x] + \x\; б) f(x)= jx2 +x + 1 + у/х2 - х + 1.
П а) Область определения данной функции симметрична
относительно нуля, поэтому приступим к сравнению функций f(x) и f(-x),
Рассмотрим х = -1,5. Имеем: /(1,5) = 2,5, /(-1,5) = -0,5. Таким
образом, числа /(-1,5) и /(1,5) не равны и не противоположны. Значит,
функция f(x) — функция общего вида.
б) Область определения симметрична относительно нуля. Приступим
к сравнению функций f(x) и f(-x). Заметим, что f(-x)= д/х2-х + 1 +
+ у/х2 +х + 1, что равно /(х) при всех х. Значит, функция f(x) четная.!•)
4. Периодические функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f(x) называется периодической, если существует
такое число Т> 0, что для любого хое D(f) выполнены
следующие условия:
1) числа хо-Т и хо+Т принадлежат области
определения D(f)\
2) значения функции в этих точках равны: f(xo-T) =
= f(xo+T) = f(xo).
При этом число Г называется периодом функции f(x).
Рис. 4.19
-2Т -Т 0
Рис. 4.20
z/l/Az
Т 2Т ЗТ...
Пример периодической функции —
у = {х} (рис. 4.19).
Изучение периодической функции
достаточно ограничить изучением ее на
любом промежутке длиной в период, так как
особенности в ее поведении будут
периодически повторяться. Поэтому и для
построения графика такой функции
достаточно построить его в пределах одного
периода (на любом отрезке вида [х0; х0 + Г),
а затем, сдвигая построенный кусок
вправо и влево на Г, 2Г, ... единиц, получить
график в любой области (рис. 4.20).
Введем теперь понятие основного
периода периодической функции.
Непосредственно из определения следует, что
1911 §24. Некоторые свойства функций
Ух е D(f) f(x + 2Г) = f((x + T) + Т) = f(x + Г) = /(*),
/(х + ЗГ) = f((x + 2Г) + Г) = /(х + 2Г) = /(х)
и т. д.
Таким образом, для любого п = ±1; ±2; ... выполняется равенство
/(дс + /IТ) = /(х). Значит, каждое из чисел пТ (п = 1, 2, 3, ...) также
является периодом функции /(х). Как мы видим, множество
периодов периодической функции бесконечно. Если в этом множестве есть
наименьший элемент (иногда говорят «наименьший
положительный период»), то его называют главным (основным) периодом этой
функции.
Замечание. Не всякая периодическая функция имеет главный
период! Например, функция у = 1, очевидно, периодическая, но не
имеет основного периода. Знаете ли вы еще какие-нибудь примеры
такого рода?
Утверждение
Если у функции есть главный период, то все ее периоды кратны
ему, т. е. имеют вид пТ, где п — некоторое натуральное число.
□ доказательство. Пусть Т — основной период периодической
функции f(x). Рассмотрим некоторый период Тг функции f(x). Если
он не кратен Г, то существует такое натуральное число п, что
пТ < Т1 < (п + 1)Г. (Подумайте, почему п не может быть нулем.)
Докажем, что число 7\ — пТ будет периодом функции f(x). В
самом деле, при всех х е D(f) выполнено f(x + 7\ — пТ) = f(x + 7\) = f(x)
(первый знак равенства из-за того, что пТ — период, а второй — из-за
того, что 7\ — период).
Осталось заметить, что 7\ - пТ < (п + 1)Т - пТ = Т, т. е. у
функции f(x) нашелся положительный период, меньший Г, что
противоречит определению Т как главного периода, т. е. наименьшего среди
положительных периодов. Ш
Замечание. Сумма и модуль разности периодов периодической
функции также являются периодами этой функции.
Утверждение
Пусть f(x) — периодическая функция, главный период которой
существует и равен Г. Пусть а — положительное вещественное
число. Тогда главным периодом функции f(ax) будет число —.
э
Т
П доказательство. Достаточно показать, что: 1) число период
функции f(ax); 2) любое меньшее число не является периодом
функции f(ax).
192 Глава IV. Функция. Основные понятия
1) Возьмем любой х из области определения функции g(x) = f(ax)
и рассмотрим цепочку равенств:
Т
Таким образом, по определению число — является периодом
функции g(x). a
Т
2) Пусть положительное число Р < — является периодом функции
g(x). Тогда для всех х е D(g) g(x + Р) = g(x). Напишем последнее
равенство подробнее:
g(x) = g(x + P) = f(a(x + P)) = f(ax + aP);
с другой стороны, f(ax) = g(x), поскольку мы так определили
функцию g(x).
Таким образом, при всех х из области определения функции g(x)
имеем f(ax + aP) = f(ax). (Заметим, что х принадлежит области
определения функции g(x) тогда и только тогда, когда ах принадлежит
области определения функции f(x). Поэтому (обозначив у = ах) имеем,
что при всех у из области определения функции f(x) выполнено:
f(y + aP) = f(y)). Тем самым число аР является периодом функции
f(x). Но из предположения следует, что аР < Т, что противоречит
тому, что Т — главный (т. е. наименьший положительный) период
функции f(x). Щ
Приведем пример двух периодических функций, сумма которых
не является периодической.
Пример 17. Пусть f(x) = {x}, a g(x) = {хд/2}. Обе эти функции
периодические. Докажем, что их сумма h(x)= {х} + {хл/2} непериодическая
функция.
П Для доказательства непериодичности рассмотрим h(0) = 0. Если
h(x) периодична с периодом Г, то h (T) = 0. Поскольку каждое из
слагаемых, составляющих h(x), неотрицательно, то их сумма также
неотрицательна, причем равна 0 тогда и только тогда, когда каждое
слагаемое равно 0.
Таким образом, {Т} = 0 и {Гл/2} = 0. Но дробная часть числа равнаО
тогда и только тогда, когда число целое! Поэтому целыми должны быть
числа Гл/2 и Г. Тогда л/2 будет равен отношению двух целых чисел 772
и Г, что невозможно, так как л/2 — иррациональное число.
Полученное противоречие доказывает, что функция h (x) непериодична. Ш
В общем случае доказать непериодичность функции бывает нелегко.
Например, попробуйте доказать непериодичность разности {xV2J - {4
7
Рис. 4.21
193! §25. Графическое решение уравнений и неравенств.
Количество корней уравнения f(x) = а
Q25- Графическое решение уравнений и неравенств.
Количество корней уравнения f(x) = а
Пусть даны две функции f(x) и g(x)
и построены их графики в одной
системе координат. Понятно, что в точках
пересечения графиков значения функций
равны при одном и том же значении
аргумента. Такая графическая
интерпретация может оказаться полезной при
решении уравнений, а именно: решениями
уравнения f(x) = g(x) в этих условиях
как раз и будут абсциссы точек
пересечения графиков Гг и Г^ (рис. 4.21).
В случае неравенств мы имеем
аналогичную ситуацию. Решениями
неравенства f(x) > g(x) будут все значения х, при
которых график функции у = f(x) лежит
выше графика функции у = g(x) (рис. 4.22).
Наконец, рассмотрим часто
встречающуюся задачу: определить число корней
уравнения f(x) = а, где число а —
параметр, а е R. Для этого достаточно
построить график функции у = f(x) и в этой же
системе координат рассмотреть
всевозможные прямые вида у = а, т. е. прямые,
параллельные оси Ох. Количество точек
пересечения такой прямой с графиком Г^
даст нам количество корней уравнения
f(x) = а при данном значении а, при этом
собственно решениями уравнения будут
абсциссы этих точек.
Пример 18. На рисунке 4.23 видно, что
уравнение f(x) = а имеет:
при а < -1 — одно решение,
при а = -1 — два решения,
при — 1 < а < 3 — три решения,
при а = 3 — два решения,
при а > 3 — одно решение. Ш
Таким образом, чтобы решить
графически задачу о числе корней уравнения
f(x) = а в зависимости от значений а,
можно построить график у = f(x) и
посчитать, сколько раз пересекает этот график
горизонтальная прямая у = а в
зависимости от расположения этой прямой.
Рис. 4.22
Рис. 4.23
194 Глава IV. Функция. Основные понятия
О 26. Композиция функций. Обратная функция
1. Композиция функций
Введем понятие композиции функций. Заметим только, что это не
принципиально новое понятие, а особенность задания функции
формулой. Речь идет о случае, когда под знаком функции / стоит не
независимая переменная (например, х), а какая-то другая функция,
например t = t(x), со значениями которой и нужно производить операции,
указанные в формуле.
Пример 19. у = \— ; здесь у = л/t, где t = — . Ш
\ X2 + X X2 + X
Такую подстановку можно описать следующим образом: пусть /
и g — две функции. Подставив под знак функции у = f(t) вместо
аргумента t функцию g(x), т. е. t = g(x), мы получим новую функцию
У = f{g{x))> которую назовем композицией функций fug или сложной
функцией, составленной из функций fug.
При этом / называют внешней функцией, a g — внутренней.
О Важное условие существования композиции: множество
значений внутренней функции E(g) должно содержаться в области
определения внешней функции D(f), т. е. E(g)czD(f) (что вполне естественно,
ибо в процессе нахождения значения сложной функции мы
подставляем в функцию / в качестве аргумента все значения функции g).
Таким образом, композиция функций — результат
последовательного применения этих функций в определенном порядке.
Часто встречающаяся и удобная в применении запись сложной
функции: ф(х) = f(g(x)) = f(t)\t = g(x).
Для примера 19 у = 4t\ г .
t= х2+х
X + 1
Пример 20. а) Дана функция f(x) = -. Найдем f(x2 + х).
х — 3
х + 1
б) Даны функции f(x) = и g(x) = х2 + х. Найдем композиции
х — 3
Ф(*) = f(g(x)) и i|/(x) = g(f(x)). , ,
в) Найдем функцию f(x), если известно, что Я х + = х2 + 2х
-. V х ~ 1 )
при хф\.
П а) Для удобства и понимания решения введем промежуточную
переменную t. Поскольку аналитическое задание функции диктует
набор действий только с переменной, то f(t) = (в самом деле, ка-
t — 3
1 § 26. Композиция функций. Обратная функция
кая разница, как называется переменная!). Значит, требуется просто
выполнить подстановку и найти f(t)\t =
Итак, f(x2+x) =
х t-S
X2 + X + 1
х2 + х - 3"
б) Поступим так же, как и в предыдущем примере. Сначала
запишем вспомогательные выражения f(t) = и g(t) = t2 + t. Теперь
t — о
t+ 1
■- g(x)
t- 3
X2 + X + 1
x2 + x - 3'
+ lV x+1 2x2-2
^„3 ^X-dy X - t5 (X - t5)
2x + 1
в) Пусть = t (при х Ф 1). Нас будет интересовать, какие
действия нужно произвести с этим t, чтобы получить правую часть
формулы. Для этого выразим х через t и подставим в правую часть
(схожим образом мы действовали, производя замену при решении
уравнений!):
2х + 1 = t (х - 1); х = ^Л t Ф 2.
Подставляем это выражение вместо х в исходную формулу и
получаем
3*2 - 3 . л
Остался чисто формальный шаг: переименование переменной:
Замечание. Формально ответом в задаче является бесконечное
множество функций, отличающихся лишь значением в точке х = 2.
Условие х Ф 2 является здесь существенным. Мы не можем ничего
сказать про поведение функции f(x) в точке х = 2. Мы лишь установили,
что при х Ф 2 функция f(x) совпадает с выражением в правой части.
Но изначально условия задачи не позволяют узнать, определена ли
функция f(x) в точке х = 2 вообще (и если определена, то чему равно
ее значение).
О Пример 20, б) показывает, что результат композиции
существенно зависит от того, в каком порядке берутся функции.
196| Глава IV. Функция. Основные понятия
2. Монотонность композиции
ТЕОРЕМА
Пусть функция f(x) определена и монотонна на множестве А;
множество ее значений есть множество В (т. е. f(A) = В), а
функция д(у) задана и монотонна на множестве Б. Пусть
<$>(x) = g(f(x)). Тогда:
1. Если функции f(x) на А и д(у) на Б имеют одинаковый
характер монотонности, то их композиция ф(х) возрастает на
множестве А.
2. Если функции f(x) на А и д (х) на Б имеют разный характер
монотонности (одна убывает, другая возрастает), то их
композиция ф(х) убывает на А.
□ доказательство. 1. Пусть, например, f(x)i на Ang(x)l наВ.
Докажем, что ф(х) = g(f(x))\ на А. Возьмем произвольные xl9 х2е А
такие, что х2 > хг. Обозначим f(xx) = yl9 f(x2) = у2- Тогда, поскольку f(x)l
на множестве А, то у2 < уг. Теперь, в силу убывания g(y) на
множестве В, имеем g(y2) > g(yx). Но g(y2) = g(f(x2)) = ф(х2) и g(y±) = g(f(x1)) =
= ф(Хх). Таким образом, ф(х2) > <p(Xi), а следовательно в силу
произвольности выбора xl9 x2 e А функция ф(х) возрастает на множестве А.
Доказательства утверждения для случая, когда обе функции
возрастают, а также утверждения пункта 2 полностью аналогичны
приведенному. Проведите рассуждения самостоятельно. Ш
Пример 21. Пусть f(x) = , a g(x) = х2 - 2х + 3. Определим
промежутки монотонности функции: а) ф(х) = f(g(x)); б) \|/(х) = g(f(x)).
П а) Функция g(x) убывает на луче (—оо; 1] и возрастает на луче
[1; +оо). Функция f(x) убывает на каждом из лучей (-оо; -1) и
(-1; +оо). Поскольку E(g) = [2; +со), то f(x) убывает на E(g). Тогда на
луче (—оо; 1] функция ф(х) является композицией убывающих
функций, и, тем самым, возрастает на этом луче. В то же время на луче
[1; +оо) функция ф(х) представляет собой композицию убывающей
и возрастающей функций, а потому убывает на этом луче.
б) Сложнее ситуация с функцией \|/(х) = g(f(x)). Эта функция
может являться композицией двух убывающих функций при тех
значениях х, для которых f(x) < 1 (т. е. значения функции f(x) лежат
в промежутке убывания функции g(x)). Решив неравенство < 1,
получаем х е (-оо; -1) U (-1; 0]. Таким образом, \|/(х) возрастает на
каждом из промежутков (—оо; —1) и (—1; 0] (но ни в коем случае не на их
объединении! См. с. 184). Аналогично, \|/(х) убывает на луче [0; +оо),
поскольку на этом луче значения f(x) попадают на промежуток
возрастания функции g и, тем самым, \|/(х) становится композицией
возрастающей и убывающей функций. Ш
197, § 26. Композиция функций. Обратная функция
3. Понятие об обратной функции
Пусть задана функция у = f(x). Тогда каждому числу х0 е D(f)
соответствует единственное число у0 = f(x0) e E(f). Если мы по данному
значению функции у0 захотим найти соответствующее значение
аргумента, нам придется решить уравнение f(x) = у0, у0 е E(f). Такое
уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечно много
решений. (Множество решений этого уравнения — прообраз
элемента у0.) Решениями такого уравнения будут абсциссы точек
пересечения прямой у = у0 с графиком функции f(x). Нас будут особо
интересовать условия, при которых такое уравнение будет иметь единственное
решение для каждого фиксированного значения у0. Тогда
отображение, которое ставит в соответствие каждому элементу у0 это решение
х0, будет функцией! (Ее-то мы и назовем обратной к данной функции.)
Ясно, что для этого необходимо, чтобы разным значениям аргумента
х соответствовали разные значения аргумента у9 т. е. Vxx, х2 е X: хг * х2
выполнялось f(xx) * f(x2). Именно тогда прообраз каждого элемента у0
будет состоять из единственного элемента х0. Дадим теперь определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть f— взаимно однозначная функция, заданная на
множестве X с множеством значений E(f).
Тогда на множестве E(f) можно задать функцию f~\
ставящую в соответствие каждому элементу у0 е E(f)
единственный элемент х0 е X, для которого f(x0) = у0. Эта функция
f"1 называется обратной для функции f: x = f~1 (у).
Функцию, у которой есть обратная, называют также обратимой
функцией.
Подведем итог: если / — взаимно однозначная функция, то она
обратима, и на ее множестве значений E(f) задана обратная функция.
Но мы привыкли обозначать аргумент функции буквой х, а
значения — буквой у. Переходя к таким обозначениям, получаем запись
обратной функции в виде у = /~1(х), х е D{f~l).
Очевидно, что если g — обратная для /, то / — обратная для g
функция. Поэтому говорят о взаимно обратных функциях.
Примеры взаимно обратных функций разобраны ниже (см. пример 22).
4, Свойства взаимно обратных функций
В рассуждениях данного пункта будем предполагать, что
функция / обратима.
Способ нахождения обратной функции
Чтобы найти функцию, обратную для функции f(x), достаточно
разрешить уравнение у = f(x) относительно х, т. е. выразить из этой
формулы х через у (получим х = g(y)) и при необходимости поменять
местами названия переменных (получим у = g(x)).
198[ Глава IV. Функция. Основные понятия
ТЕОРЕМА (свойства взаимно обратных функций) ■
\ Пусть f(x) и д(х) — взаимно обратные функции.
1. Если f(x) — строго монотонная функция, то обратная ей
функция д (х) тоже строго монотонна, причем если f(x)!, то и д (х)!,
а если f(x)i, то и д (х)1.
2. При переходе от функции к обратной ее область
определения и множество значений меняются местами: D(g) = E(f),
E{g) = D{f).
3. Графики взаимно обратных функций (если аргумент каждой
из них обозначен за х, а значения откладываются на оси Оу)
симметричны друг другу относительно прямой у = х.
4. Для любого х е D(f) справедливо равенство g(f{x)) = х;
для любого х е D(g) справедливо равенство f (g(x)) = х.
■
Таким образом, композиция взаимно обратных функций есть
тождественное отображение на области определения внутренней функции.
G доказательство. Докажем свойство 1. Пусть, например,
функция f(x) строго возрастает на D(f). Мы хотим доказать, что тогда
и функция g будет строго возрастать на D(g).
Возьмем произвольную пару чисел yl9 у2 e D(g), таких что у2 > У\.
Покажем, что g(y2) > g(yi)> т. е. х2 > хг.
Докажем от противного: предположим, что это не так, и х2 ^ xv
Тогда в силу строгого возрастания функции / имеем f(x2) < /(xj,
т. е. у2 ^ у19 что противоречит условию выбора пары у2> уг.
Полученное противоречие доказывает требуемое. А это и означает по
определению, что функция g строго возрастает на D(g).
Свойство 2 следует непосредственно из определения обратной
функции.
Свойство 3 тоже вполне очевидно. Вообще говоря, это следствие
переименования переменных. Ведь если бы мы сохранили формулу
x = g(y), графики прямой и обратной функций совпали бы! А такая
смена названий переменных определяет как раз симметрию всей
координатной плоскости относительно прямой у = х.
Действительно, точка, симметричная точке M(a; b) относительно
прямой у = х, есть Мг(Ь; а). Возьмем точку (х0; у0) на графике
функции Г^. Тогда у0 = f(x0) и х0 = g(y0). Но это означает, что функция g
в точке у0 принимает значение х0 и точка (у0; х0) лежит на графике
функции Г^. А точки (х0; у0) и (у0; х0) симметричны относительно
прямой у = х. Значит, и сами кривые Г^ и Г^ симметричны
относительно этой прямой (в силу произвольности выбора точки).
Свойство 4 также непосредственно следует из определения.
Поясним это. Возьмем х0 е D(f), уо = f(x0). Тогда х0 = g(y0). Подставим
в это последнее равенство вместо у0 его выражение f(x0). Получим
хо = ё(Уо) = g(f(x0)). Это верно для любого х0 е D(f). Аналогично до
казывается и второе тождество. IS
§ 26. Композиция функций. Обратная функция
Замечание. Из свойства 1 следует,
что если функция / строго возрастает,
следствием неравенства f(x2) > /(хх)
является неравенство х2 > хг т. е.:
f(x2)> f(xi)
Аналогично, если функция / строго
убывает, следствием неравенства f(x2) > f{x^)
является неравенство х2< хг т. е.:
f(x)l
f(X2)> f(xi) => *2 <Х1-
Приведем несколько иллюстраций
к сказанному.
-5
Рис. 4.24
Пример 22. Для функции у = Зх - 5 найдем обратную функцию.
11 -4- ^
Q Выражая х из уравнения, имеем х= ^—-—. Заменяем названия
3
х 4- 5
переменных: у = искомая обратная функция (рис. 4.24). На
3
этом примере несложно проследить выполнение всех четырех свойств.
Проделайте это самостоятельно! Ш
Утверждение
Строго монотонная функция обратима.
Это следует из теоремы § 24 о взаимной однозначности
монотонных функций.
Вспомним из курса 8—9 классов нахождение обратной функции
для функции у = х2. Очевидно, на всей области R эта функция не
является обратимой: при любом х справедливо (~х)2 = х2, т. е. не
выполнено требование взаимной однозначности. (Хватило бы и одной
такой пары точек, «портящей» обратимость, например хг = -2, х2 = 2,
(-2)2 = 22 = 4.) Однако мы договорились, что будем рассматривать
функцию у = х2 только на полуоси [0; +оо), где эта функция строго
возрастает. Получилась фактически новая функция: f(x) = х2 на области
D(f) = [0; +оо). Переопределенная таким образом функция оказалась
обратимой (она взаимно однозначно отображает луч [0; +оо) на луч
[0; +оо)), и мы ввели новую функцию g(x) = yfx.
Однако луч (-оо; 0] ничем не хуже, функция f(x) = х2, заданная на
этом луче, также является взаимно однозначным отображением этого
луча на луч [0; +оо). Найдем обратную функцию для ср(х) = х2, х е (—оо; 0].
Имеем: ZHcp"1) = £((р) = [0; +оо), Е^1) = D(y) = (-оо; 0].
Найдем формулу для обратной функции: решим уравнение у - х2
относительно х. Вообще, для положительных у уравнение имеет два
корня: х = ±<у]у. Но, учитывая условие х е (—оо; 0], мы берем в каче-
200! Глава IV. Функция. Основные понятия
б)
О
y=-Jx
Рте. 4.25
стве ответа только один корень х = —yjy. Переименовываем
переменные и получаем обратную функцию у = -л[х, или cp-^x) = -у[х.
На рисунке 4.25 изображены графики двух пар взаимно обратных
функций: на одном у = х2, при х > 0 и у = 4х, а на другом у = х2, при
х ^ 0 и у = -Joe.
Еще раз отметим, что строгая монотонность функции не
является необходимым условием ее обратимости. Существуют функции, не
являющиеся монотонными, и тем не менее они обратимые. Такова,
в частности, функция из следующего примера.
Пример 23. Найдем обратную функцию для функции у = .
X ~г л.
П Проверим, обратима ли эта функция. Ее область определения
D(y) = (—oo; —1) U (—1; +оо), но она не монотонна на множестве D(y). Она
кусочно возрастает, а именно строго возрастает на (—оо; -1) и на
(-1; +оо). Тем не менее функция взаимно однозначная, что проверяется
непосредственно (можно это
заметить и на графике: любая
горизонтальная прямая пересекает
график не более чем в одной точке).
Итак, решим уравнение
у(х + 1) = х относительно х. Да-
У
лее, х = -^— и после переименова-
х
1-У
ния переменных у =
-. Графи-
Рис. 4.26
1- х
ки обеих функций показаны на
рисунке 4.26. Ш
Замечание. Еще раз
подчеркнем, что задание функции не
зависит от того, какой буквой
обозначена переменная!
§27. Элементарные преобразования графиков функций
027, Элементарные преобразования графиков функций
1. Преобразования, сводящиеся к линейным
Иногда при построении графиков функций оказывается
возможным упростить задачу и воспользоваться ранее известными
графиками. Далее мы покажем, как, зная график функции у — fix), построить
графики простейших композиций этой функции с некоторыми
элементарными функциями.
Пусть дан график Г^ функции у — fix). Построим график Г^
функции у = g(x).
1. gjx) = fix) + а, где а е R.
В этом случае Г^ получается из графика Г^ сдвигом (параллельным
переносом) на а единиц вдоль оси Оу (при а > 0 вверх, при а < 0 вниз)
(рис. 4.27).
2. g(x) = f(x + а), где а е R.
График Гй получается из графика Г^ сдвигом на \а\ единиц вдоль
оси Ох (при а > 0 влево и при а < 0 вправо) (рис. 4.28).
Пояснение: например, если g(x) = f(x + 1), то Г^ получится из
графика Г^ сдвигом на 1 влево.
3. g(x) = а • fjx), где а > 0.
растяжением вдоль оси Оу
График Fg получается из графика
в а раз, если а > 1, и сжатием в — раза, если 0 < а < 1 (рис. 4.29).
Пояснение: абсцисса каждой точки сохраняется прежней,
а ордината умножается на число а. Точки, лежащие на оси Ох,
остаются неподвижными (у них ордината равна 0). Вопрос о
неподвижных точках является одним из важнейших при разговоре о
преобразованиях!
Рис. 4.27
Рис. 4.28
202 Глава IV. Функция. Основные понятия
неподвижные
точки
Рис. 4.29
неподвижная
точка \ ^
\ \\
г \ V
0 2\ \ ^
\ y=/w
Рис. 4.30
У где а > 0.
График Гя получается из графика Г^ сжатием вдоль оси Ох в а раз
при а > 1 и растяжением в — раза при 0 < а < 1 (рис. 4.30).
Заметим, что на этот раз неподвижны точки оси Ог/, а значит, на
графике будет лежать не более одной неподвижной точки!
5.
График Гё получается из графика Г^ симметрией относительно оси Ох
(рис. 4.31). Таким образом, Гй представляет собой зеркальное
отражение Гг. Какие точки графика при этом преобразовании остаются
неподвижными?
6.
График Гё получается из графика Г^ симметрией относительно оси Оу
(рис. 4.32). Какие точки графика при этом преобразовании остаются
неподвижными?
— Ах)
у-Пх)
неподвижные
точки
неподвижная
точка
Рис. 4.31
Рис. 4.32
§ 27. Элементарные преобразования графиков функций
у-К*)
Рис- 4.33
7. *(х) = |/(*>!•
Рис. 4.34
График Tg получается из графика Ff следующим образом: участки
графика Г^, лежащие выше оси Ох, остаются на месте и берутся в
ответ, а участки графика Г^, лежащие в нижней полуплоскости,
симметрично отражаются в верхнюю полуплоскость (рис. 4.33).
8. g(x) = /(lx|).
График Г^ получается из графика Г^ следующим образом: часть
графика в левой полуплоскости отбрасывается; часть графика в правой
полуплоскости (изображающая неравенство х > 0) берется в ответ,
кроме того, она отражается в левую полуплоскость (относительно оси Оу)
(рис. 4.34).
При таком преобразовании мы получаем четную функцию g (это
легко проверяется). График Fg оказывается, таким образом,
симметричным относительно оси Оу.
2. Преобразования, не сохраняющие линейность
9. g(x) =
fix)
Рекомендации по построению графика функции g(x).
1. Отметить точки пересечения Г^ с осью Ох. В этих точках
функция g(x) не определена. Провести вертикальные прямые через эти
точки (мы «вырезаем» эти прямые из плоскости: на них не лежит ни
одной точки графика Г^).
Эти прямые разбивают плоскость на полосы; далее мы будем
рассматривать все полосы по отдельности и строить части графика
функции g(x)9 попавшие внутрь такой полосы.
2. Отметить точки пересечения графика Г^ с прямыми у = 1 и
у = -1. Они останутся на графике функции g(x).
3. В каждой полосе, ограниченной прямыми, построить часть
графика функции g(x), попавшего внутрь этой полосы, двигаясь от не-
2041 Глава IV. Функция. Основные понятия
Рис. 4.35
= №
У-fix)
У fix)
О
-1
Рис. 4.36
подвижной точки (если она здесь
есть) к границам полосы. Образ
этого куска кривой будет заключен
внутри этой же полосы.
Соответствующие примеры
приведены на рисунках 4.35 и 4.36.
10.
Рис. 4.37
Все рекомендации по построению
графика Г^ из предыдущего пункта
сохраняются (с точностью до замены
вертикальных прямых на
горизонтальные и наоборот) (рис. 4.37).
3. План построения графика функции
с помощью элементарных преобразований
Именно порядок, в котором выполняются преобразования
разобранных типов (к которым относятся линейные функции, модуль и — ,
х)
т. е. правильная последовательность этих преобразований,
представляет собой наибольшую сложность. Лучше всего представить
требуемую функцию в виде композиции исходной функции / и набора
«стандартных» функций hk. Тогда порядок действий станет ясен, если
помнить о том, что мы не имеем права вставлять «промежуточные»
§27. Элементарные преобразования графиков функций
функции, например, из композиции h1(f(x)) мы уже не можем
получить h1(h2(f(x))). А вот h2(h1(f(x))) и h1(f(h2(x))) — допустимые в
нашем случае композиции.
Продемонстрируем сказанное на примерах.
Пример 24. Построим график функции у — ^2\х\ +1.
D Исходная элементарная функция, график которой мы знаем, —
это f(x)= 4x. Мы хотим получить под знаком радикала функцию
2\х\ + 1. Это можно сделать несколькими способами. Наиболее
удачным представляется следующий план:
О 3
fl(x)=f(x+l)
Jx + 1 > J2x + 1
f2(x)=fl(2x)^ g(x)=f2(\x\)
Вспомните, что означает здесь каждое преобразование! Результат
представлен на рисунке 4.38. Ш
Но этот план не единственный. Что можно изменить в порядке
выполнения преобразований? Предложите еще два плана преобразований!
Пример 25. Построим график функции у = y|2x + l|.
D Исходная функция та же, что и в примере 24: f(x) = 4x. Можно
попробовать, как и в предыдущем случае, «заработать» линейную
функцию под знаком радикала. Но этот путь приведет в тупик: мы не сможем
взять модуль от выражения 2х + 1! (Проверьте: это не является ни
преобразованием вида^(х) = |/(х)|, ни преобразованием вида^(х) =
Однако выход есть: можно сначала получить
том «превратить» х в выражение 2х + 1:
а по-
Искомый график представлен на рисунке 4.39. Ш
Здесь, начиная со второго шага, тоже возможны варианты.
Какие? Отметим, что преобразования в аргументе функции производятся
в обратном порядке при построении графика. Например, чтобы вычис-
Рис. 4.38
206 Глава IV. Функция. Основные понятия
а) ш б)
У
Рис. 4.40
лить значение выражения 12х - 11, нужно взять аргумент х, умножить
его на 2, вычесть 1, затем взять модуль.
А при построении графика у — f{\ 2х — 1|) из графика у — f(x)
сначала из графика /(х) получим график g(x) = /(|x|), затем из графика
g(x) получаем график g(x — 1) = h(x) и, наконец, из графика h(x)
получаем график h(2x), который является искомым.
Пример 26. Построим при помощи элементарных преобразований гра-
(х — I)2 х2
фики функций: а) у = —; б) у = —.
(х-1)2 I 1 I
Q а) Если преобразовать формулу у = -—-1— к виду у = 1 , то
* V XJ
(i V
сразу становится ясен план построения: х2 —> (х — I)2 —> — 1
(рис. 4.40, а). ^ ^
б) График второй функции можно получить из предыдущего
графика. Однако у этих функций разные области определения
(х-1)2
у функции fx(x) =
X2
х Ф 0, а функция /2 (х) =
- I)2
в точке
х = 0 определена, и ее значение равно нулю. Можно сделать так:
используем тот факт, что во всех точках, кроме х = 0, /2 (х) —
и построим график функции
-; при этом точка х = 0 окажется вы-
колотой. Далее, в точке х = 0 вычислим значение функции у = f2(x)
непосредственно по формуле и отметим эту точку на координатно!
плоскости. Построение закончено (рис. 4.40, б). В
207 §28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах
028. Поведение функции вблизи точек разрыва
и в бесконечности. Понятие об асимптотах
Теперь разговор пойдет о функциях, графики которых нельзя
получить при помощи элементарных преобразований из заранее известного
набора функций. Построение по точкам не дает точной картины. Но
есть соображения, которые могут дать представление о том, как ведет
себя какая-то функция и как может выглядеть эскиз ее графика.
Можно, например, задаться вопросом о том, как ведет себя
функция вблизи точек разрыва.
Чем, скажем, различается поведение функций
/» у ^ X X /-1 , -у X X х.
f(x) = —"—— и Six) =
х-2
х-2
в окрестности точки х = 2? Обе функции не определены в этой точке. Но
попробуйте изобразить участки графиков этих функций на интервале
(1; 3), взяв большое количество точек очень близко к точке х = 2. Мы
заметим, что значения функции f(x) очень мало отличаются от 3, если х
близко к 2. А вот значения функции g(x) по
мере приближения к точке х = 2
неограниченно увеличиваются (иначе говоря, бесконечно
возрастают) по модулю, причем справа от точки
х = 2 они положительны, а слева отрицательны
(рис. 4.41, 4.42).
Объяснение происходящему можно дать
следующим образом: выделим целые части
в обеих дробях, тогда
fM _х*-х-2 _(х+ Щх - 2) _
/ \Х) — ~ —^— — " —«— - — х -t-1, х ^ z,
х-2
х-2
_ v _ 1
3
1
/°
/
/
1 :
г
х2-
X'
х-2
-2
с+1,
*х
х2
х-2
Рис. 4.41
График функции f(x) представляет собой
прямую у — х + 1 с выколотой точкой.
График функции g(x) выглядит
совершенно иначе: в окрестности точки х = 2 главным
становится слагаемое , которое бесконеч-
х - 2
но увеличивается по модулю по мере
приближения х к числу 2.
Мы будем говорить, что при стремлении
аргумента х к числу 2 функция g стремится
к бесконечности, и записывать это следующим
образом: g(x) *oo. Более подробно: при стрем-
X*
лении х к числу 2 слева функция g(x) стремит- Рис. 4
8(х)-**9. 1
х-2
X
208 Глава IV. Функция. Основные понятия
ся к минус бесконечности {g(x) —^>_ -°°); при стремлении х к числу 2
справа функция g(x) стремится к плюс бесконечности (g(x)—г>+оо).
Точные определения этих понятий будут введены позже, в главе VIII,
пока же ограничимся интуитивными представлениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ——-——---—----——^
Если функция f бесконечно возрастает (по модулю) при
стремлении х к значению х0 справа или слева (f (х) —>оо
X—*■ XQ +
или f (х) —> оо ), то прямая х = х0 называется вертикальной
X—*- XQ
асимптотой графика функции f.
Далее, нас интересует поведение
функции «в обеих бесконечностях»
У~х+ х \ (если, конечно, данная функция там
определена). Иногда удается,
используя метод выделения главной части,
обнаружить «схожесть» ее графика с
графиком более простой функции.
-I Например, если f{x)-x + —, то при
^ х -> +оо (при неограниченно
возрастающем х) главным является первое
слагаемое, поскольку второе слагаемое
становится пренебрежимо малым с
ростом х. Значит, функция / ведет себя
почти как линейная функция у = х и
ее график очень близко
«прижимается» к этой прямой (рис. 4.43).
Рис. 4.43 Заметим, что в окрестности точки
х = 0 главным является, наоборот,
второе слагаемое, которое неограниченно возрастает (первое слагаемое
при этом ограничено)! Значит, в окрестности точки х = 0 график /
«схож» с графиком функции у = —.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -——--—-—-■--———~~^^
0 1
-2
Если функция 1 представима в виде f(x) = kx + to + а (х), где
/с, to e R и а(х)-^—^0 (иными словами, а (х) — бесконечно
малая), то прямая у = kx+ to называется асимптотой
графика функции f при х-»+оо.
Если функция f представима в виде f(x) = kx + to + а (х), где
/с, to e R и а (х) > 0, то прямая у = kx + to называется
X—* —оо
асимптотой графика функции f при х -> -оо.
Если /с* 0, то асимптота y=kx + b называется наклонной.
Если /с = 0, то асимптота у=Ь называется горизонтальной.
2p9j §28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах
Замечание. Случай
горизонтальной асимптоты можно было бы
рассмотреть и отдельно, использовав
следующую формулировку: прямая у - Ъ
является горизонтальной асимптотой
графика функции / при х —* +оо, если
f(x) > Ь (т. е. значения функции ста-
X—> +оо
новятся мало отличимыми от числа Ь
с ростом х). Аналогично и для случая
х-* -оо.
Это определение подчеркивает тот
факт, что график функции может
иметь разные асимптоты в
бесконечностях разного знака.
Пример 27.
1
-1
—-^^
0
\
\
]
-1
Рис. 4.44
а) Рассмотрим функцию у = —. Ось Оу является вертикальной
асимптотой, а ось Ох — горизонтальной асимптотой графика этой
функции (рис. 4.44).
б) Можно обобщить предыдущий пример на случай
дробно-линейной функции, т. е. функции вида у = , где а, Ь, с, d e R, ad Ф be,
сх + d
с*0. График по-прежнему представляет собой гиперболу, но асимпто-
& d
ты будут другими: вертикальная асимптота х = — доставляется
корнем знаменателя, а горизонтальной асимптотой будет прямая у = -, что
можно заметить, выделив из дроби целую часть (поделив с остатком
числитель на знаменатель). Проверьте это! Наличие асимптот
позволяет нам упростить построение эскиза этого графика: они являются
в некотором роде каркасом, на котором строится гипербола. Поскольку
мы представляем себе ее форму,
осталось уточнить ее положение по
четвертям и крутизну ветвей, взяв несколько
контрольных точек.
Для примера возьмем функцию
Зх + 2 / . _ч
У = 77Г—п (Рис- 4-45>-
х2
2х + 3
в) Дана функция у =
х-1
Представим функцию в виде
х-1 х-1
(для получения такого вида можно
просто поделить с остатком числитель на
знаменатель). Сразу видно, что х = 1 —
вертикальная асимптота
горизонтальная асимптота у
Рис. 4.45
210' Глава IV. Функция. Основные понятия
О
вертикальная асимптота: в окрестности
точки х = 1 главным является слагаемое
——г и
лг—1
Рис. 4.46
х —> ±оо главным станет слагаемое х + 1,
а слагаемое ► 0, поэтому прямая
X - 1 *-±оо
у — х Л- \ является наклонной
асимптотой графика данной функции. Полезно
заметить, что при х -> +оо график лежит
чуть выше прямой у = х + 1 (второе
слагаемое — положительная величина, так
как х > 1), а при х -> —оо график лежит
чуть ниже этой же прямой. Если еще
учесть корень функции и ее знаки, то
график этой функции должен выглядеть
примерно так, как на рисунке 4.46. Ш
Замечание. Из определения и приведенных примеров в принципе
видно важнейшее свойство асимптот, которое иногда даже принимается
за определение: расстояние от точек графика до асимптоты становится
сколь угодно малым (меньше любого наперед заданного
положительного числа) для всех точек графика, начиная с некоторого места, при
достаточном удалении точек вдоль кривой от начала координат. Отметим,
что речь идет не об отдельных точках (график может и пересекать
такую прямую, даже в бесконечном количестве точек, но это ни о чем не
говорит!), а именно о всем бесконечном «хвосте» графика, начиная с
некоторого места (рис. 4.47—4.49).
Наши возможности исследования функций на наличие асимптот
пока еще очень ограничены, но сейчас мы выделим класс функций,
для которого можно находить асимптоты графика.
х
а
Рис. 4.47
Вертикальные асимптоты
§28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах
У
f
/ ъ
' 0
"^—
у-ъ
X
У\
Ук
Рис. 4.48
/ о
Горизонтальные асимптоты
о
Рис. 4.49
Наклонные асимптоты
Это дробно-рациональные функции, представляющие собой
отношение двух многочленов / (х) =
Р(х)
Q(x)
, где Р(х) = апхп + an_1xn~1
а0
(ап Ф 0) и Q(x) = bkxk + bk_xxk-1 + ... + b0 (bk Ф 0) — многочлены
степеней пик соответственно.
Будем считать, что дробь уже сокращена, и многочлены не имеют
общих корней. Тогда вертикальные асимптоты доставляются корнями
многочлена Q(x). Рассмотрим вопрос о наличии горизонтальных и
наклонных асимптот. Это зависит от степеней числителя и знаменателя
дроби.
1. Если п < к, то график Г^ имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
2. Если п = к, то график Г^ имеет горизонтальную асимптоту у = -^.
3. Если п — к + 1, то график Г\ имеет наклонную асимптоту с угло-
ап '
вым коэффициентом .
Ъп-1
4. Если п > к + 1, то график Г^ не имеет наклонных и
горизонтальных асимптот.
(Несмотря на это, все же и в последнем случае можно попробовать
выделить главную часть: вдруг это окажется хороню известная нам
кривая, тогда можно будет говорить о «криволинейной асимптоте».
Почему бы и нет?)
2121 Глава IV. Функция. Основные понятия
Рис. 4.50 Рис. 4.51
У\ В заключение заметим, что при по-
\ строении графиков не стоит пренебре-
/^ хъ ^в^\ ^ гать и понятием кратных корней. Ока-
' * зывается, в зависимости от кратности
Рис. 4.52 корней, графики выглядят
по-разному в окрестностях точек пересечения
с осью Ох. Это мы сейчас никак обосновать не можем, но
проиллюстрируем.
Как выглядит часть графика в окрестностях корней х19 х2 первой
кратности показано на рисунке 4.50; в окрестностях корней х39 х4
четной кратности — на рисунке 4.51; в окрестностях корней х5, х6
нечетной кратности, начиная с третьей, — на рисунке 4.52.
И Задачи и упражнения
Кусочно-заданные функции
Группа А
IV. 1. Докажите по определению, что при всех вещественных х
выполнено:
а) [х] < х < [х] + 1; б) 0 < {х} < 1;
в) [х + 1] = [х] + 1; г) {х + 1} = {х}.
IV.2*. Решите неравенство 2 {х} ^ х. г 2 1
\х , х ^ 1,
IV.3. Постройте график функции f(x)= \ 1 — х9 0 < х < 1,
[х9 х < 0.
IV.4. Пользуясь тем, что |х| = тах{х; -х}9 получите запись max {a; b}
и min{a; Ъ) одной формулой, с использованием лишь знака
модуля и знаков арифметических действий.
Область определения функции
Группа А
Найдите естественную область определения функции (IV.5, IV.6).
IV.5. а)/(х) =
в) f(x) = 1 ; г) f(x) = д/^З - д/4^;
]2 4 3
213! Задачи и упражнения
д)/(*)= Jx^i-Jx + 1; e)f(x)= Ji + Jl-x2\
iv.6. a) f{x) - Jx2 - 6x + 6 -
^
д/-л:2+ 2х + З'
в) f(x)= J9x2-8-x4 -
- 10 - х4
px2 - 20 - *4
д/б - I jc I - *2 '
Д) /(x)= V3IXI +2-2x2 -
1
e) /(x) = . ;
л:3— | jc | - jc Н- 4| jc | — 4'
з) /(х) = ^/з-
и) f(x)= д/5- V4x2 - 20x + 25 - <y]\x\
Множество значений функции
Группа А
IV.7. а) Докажите, что если функция ограничена, то существует такое
положительное число С > 0, что для всех х е D(f) выполняется
неравенство |/(х)| < С.
б) Сформулируйте общее утверждение о функции, не
ограниченной сверху. На примере функции у = — докажите, что она не
X
ограничена сверху. Ограничена ли эта функция снизу?
Найдите множество значений функции (IV.8, IV.9).
IV.8. а) у = х2 + 2; б) у = х2 + 2х; в) у = х - х2;
1 _ х _ 1
+ л: + 1
214i Глава IV. Функция. Основные понятия
IV.9. а) у = jx2 + 1; б) у = Vl - х;
в) у = д/2х - х2 ; г) г/ = Vx +1 + 1;
д) у = д/4 + Зх - х2 ; е) г/ = 2 - д/lO - ^2х2 + 10л/2х + 25.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (iv.10, IV.1
ч х -ч х2 - х ч 2л:2 - Ах + 9
IV.10. а) г/ = — -; б) у = — -; в) у = —г— -.
х2 + х + 1 хг - л: + 2 я2-2л:+4
iv.ll. а) г/ = 2х - д/х2 - 4х + 4 - д/4х2 + 20х + 25;
б) г/ = д/х2 - 14х + 49 - у]х2 + 4х + 4 + х;
в) г/ = Зх - V(x2 + 4х + 4)(9х2 - 6х + 1).
IV. 12. Найдите наименьшее значение функции:
б) ^ =
а)Гх-1 + —,х>8; б) ^ = ____.
IV.13*. Найдите наибольшее значение функции двух переменных:
/(X, у) = Х4 + 1/4 + ^.
IV.14*. Найдите множество значений функции у = х4 + (1 - х)4.
Монотонность функции
Группа А
IV. 15. Является ли функция монотонной на своей области
определения:
б) у = х2; в) у = \х\;
д) у = х3 + х; е) г/ = х3 - х;
з) у = Vx-1; и) г/ = -;
л) У = М; м) г/ = {х};
н) у = [х] + {х}.
IV.16. Приведите пример (нарисовав график) определенной на R
функции, которая:
а) возрастает на промежутках (—оо; —1] и [0; 2] и убывает на
промежутках [— 1; 0] и [2; +оо);
б) имеет бесконечное число промежутков возрастания и
убывания;
в) возрастает на каждом промежутке вида [п; п + 1), п е JV,
и не является возрастающей ни на каком промежутке длины
больше 1;
Я8 Задачи и упражнения
г) возрастает на множестве целых значений аргумента х и
убывает на множестве всех остальных значений х.
д*) для каждого из условий а) — г) нарисуйте график функции,
если в каждом случае функция отрицательна на области
определения.
IV.17. Пусть функция f(x) возрастает на промежутках: а) [0; 2] и [1; 3];
б) [0; 2] и [2; 3]; в) [0; 2] и [2; 3]; г) [0; 2) и [2; 3]. В каких из
этих случаев можно утверждать, что функция возрастает на
отрезке [0; 3]? Приведите доказательства или контрпримеры.
IV.18. Приведите примеры строго возрастающих на множестве R
функций f(x) и g(x)j разность которых ф(х) = f(x) — g(x):
а) строго возрастает на множестве R;
б) строго убывает на множестве R;
в) убывает на промежутке (—оо; 0) и возрастает на промежутке
(0; +оо);
г) возрастает на промежутке (—оо; 0) и убывает на промежутке
(0; +оо).
IV.19. Приведите пример функции, определенной на отрезке [0; 1] и
имеющей на этом отрезке бесконечно много промежутков
убывания и возрастания (можно, например, нарисовать график).
IV.20. Приведите пример определенной на множестве R функции,
которая не имела бы ни одного промежутка возрастания и ни одного
промежутка убывания.
Экстремумы функции
Группа А
IV.21. Нарисуйте эскизы графиков функций, определенных на
множестве R и имеющих:
а) ровно пять точек экстремума;
б) бесконечное число точек экстремума;
в) бесконечное число точек экстремума на отрезке [0; 1].
IV.22. Объясните, почему перечисленные функции не имеют точек
экстремума:
а) у = Xs + х; б) у = -; в) у = -—; г) у = {х}.
IV.23. Нарисуйте эскиз графика функции, найдите множество
значений, укажите точки экстремума и значения функции в этих
точках:
а)"=*7Т; 6)y = ^7i; *)у = х+х-
IV.24. Нарисуйте график определенной на множестве R функции, у
которой было бы ровно две точки экстремума, причем обе — точки
максимума. Рассмотрите два случая: а) для разрывной функции;
б) для непрерывной функции.
216] Глава IV. Функция. Основные понятия
IV.25. Функция, определенная на множестве R, имеет ровно две точки
экстремума, причем одна из них — точка максимума, а
другая — точка минимума. Могут ли быть равными значения
функции в этих точках?
IV.26. а) Докажите, что если функция fix) строго возрастает на
некотором промежутке (а0 — х0; х0] (слева от точки х0) и строго
убывает на промежутке [х0; х0 + Ь) (справа от х0), то в точке х0
достигается максимум функции.
б) Останется ли верным это утверждение, если брать
промежутки вида: 1) (а0 - а; х0) и (х0; х0 + 6), где а, Ь > 0; 2) (а - х0; х0] и
(х0; х0 + 6), где а, Ъ > 0?
IV.27. Приведите пример функции /(х), которая имеет в точке х0
максимум, но одновременно такой, что:
а) функция f(x) не возрастает ни на каком промежутке
(а - х0; х0] слева от точки х0;
б) функция fix) строго убывает на интервале (х0 - а; х0) слева
от х0 и строго возрастает на интервале (х0; х0 + Ъ) справа от я0
(а и Ь — некоторые положительные числа).
IV.28. Функция fix) не имеет точек экстремума. Может ли функция
f2(x) иметь ровно п точек экстремума? Рассмотрите сначала
п = 1, 2, 3, а затем и произвольное п е N.
Четные и нечетные функции. Симметрия графиков
Группа А
IV.29. Объясните, почему функция не может быть ни четной, ни
нечетной, если она задана формулой:
a) f(x) = yfc; б) f{x) = -J—; в) fix) = х + 1; г) fix) = x2 + * + 1.
IV.30. Выясните, четной или нечетной функцией будет:
а) сумма, разность и произведение двух четных функций;
б) сумма, разность и произведение двух нечетных функций;
в) сумма, разность и произведение четной и нечетной функций.
IV.31. Исследуйте на четность функцию Дирихле.
IV.32. Пусть fix) — четная, a gix) — нечетная функции. Выясните,
четной или нечетной будет функция:
а) |/(х)|; б) |*(х)|; в) /(-*) +*(|х|); г) *(-х);
д) х/(х) + x2gix); e) fix • |х|).
IV.33. Найдите все четные и все нечетные функции среди:
а) линейных функций fix) = kx + b;
б) квадратичных функций fix) = ах2 + Ьх + с.
IV.34. Укажите все функции, являющиеся одновременно четными и
нечетными.
ИИ Задачи и
упражнения
IV.35. Существуют ли определенные на множестве R функции, которые
являются одновременно
а) четными и возрастающими на множестве R;
б) нечетными и убывающими на множестве R;
в) нечетными и положительными на множестве R?
IV.36. Чему равно значение нечетной функции в нуле (т. е. / (0)), если
она там определена?
IV.37. Может ли четная функция иметь: а) ровно одну; б) ровно две;
в) ровно три точки экстремума? Ответьте на тот же вопрос про
нечетную функцию.
IV.38. Функция f(x) задана на положительной полуоси формулой
f(x) = x2 — 4x, х>0. Задайте функцию на множестве R, если
известно, что: a) f(x) — четная функция; б) f(x) — нечетная
функция.
IV.39. Пусть функция f(x) определена везде на множестве R.
Докажите, что график функции f(x) симметричен относительно прямой
х = а тогда и только тогда, когда \/х е R f(a + х) = f(a — х).
IV.40. Пусть функция f(x) определена везде на множестве R. Докажите,
что график функции f(x) симметричен относительно точки Z(a; b)
тогда и только тогда, когда \/х е R f(a + х) + f(a - х) - 26.
IV.41. Найдите оси симметрии графика функции:
а) у = х2 - 4х + 5; б) у = (х - З)4 + 2 (х- З)2 + 5;
в) у = ах2 + Ьх + с, а Ф 0; г) у = у/а + х + V& - х, 0 < а < Ь;
X2
+
X2 1-Х2
IV.42. Найдите все центры симметрии графика:
a)i/ = x3-3x2; б) у = (х-2Г + 3(х-2)-6; в) у = J*^;
г) i/ = 3V^Ti + 3V^T3-2; Д) у = 1?*±11 + _Ц.-1.
IV.43. Докажите, что график любого многочлена третьей степени имеет
центр симметрии.
Периодические функции
Группа А
IV.44. Докажите, что число 1 является периодом функции:
а) у = {х} + {5х}; б) у = ^
IV.45. а) Пусть функция у = f(x) имеет период Т = 1 и на полуинтервале
[0; 1] задана формулой у — х2 — х. Найдите /(2), / — , Л -15— .
\2) \ 3J
2I8j Глава IV. Функция. Основные понятия
А
В
О 123456789*
Рис. 4.53
О
Рис. 4.54
б) Функция f(x) задана на полуинтервале [0; 9) своим
графиком, как показано на рисунке 4.53. Доопределите функцию f(x)
на множестве R так, чтобы получилась периодическая функция
с главным периодом: а) 4; б) 9; в) 1.
IV.46. Докажите, что функция /(х), определенная на множестве R,
будет периодической, если при некотором Т е R выполнено одно
из следующих условий:
a) f(x+T) =
б) f(x+T) =
в) f(x + T) =
г) f(x + T) =
f(x)9
f(x) + a
bf(x)-l
1
;
, где a, b e R, ab * 0, ab Ф -1;
Т>0.
Приведите примеры таких функций.
IV.47. Функция f(x) задана в двух точках: f(a) = A, f(b) = Б, причем
А Ф В (рис. 4.54). Доопределите функцию до периодической
(необязательно всюду определенной). Какие главные периоды
возможны у доопределенной таким образом функции?
IV.48. Докажите, что периодическая функция не может быть строго
монотонной на бесконечных промежутках.
IV.49. Докажите, что периодическая функция не может иметь на своей
области определения конечного ненулевого числа точек разрыва.
IV.50. Пусть / — периодическая функция, 7\ и Т2 — какие-то ее
периоды. Докажите, что любое число вида пгТ1 + пТ29 где m9 neN,
также является периодом функции /.
IV.51. Функции fug определены на множестве R и периодичны с
одинаковым главным периодом Т.
а) Докажите, что их сумма и произведение тоже периодичны
и число Т является одним из периодов суммы и произведения
этих функций.
■■Задачи и упражнения
б) Докажите, что число Т не обязательно является главным
периодом суммы функций fug: придумайте такие две функции,
период суммы которых был бы меньше числа Т (например, в 2 раза).
IV.52. Пусть fug — периодические функции и имеют соизмеримые
периоды. Докажите, что они имеют общий период.
IV.53. Пусть fug — периодические функции и имеют соизмеримые
периоды. Докажите, что функции: а) / + g; б) / • g; в) -^ также
периодические.
IV.54. а) Пусть g(x) — периодическая функция с главным периодом 7\
a f(x) — произвольная функция. Докажите, что функция
Ц>(х) = f(g(x)) также будет периодической с периодом Т.
б) Может ли главный период такой композиции оказаться
меньше Т?
IV.55. Пусть f(x) — периодическая функция с главным периодом Т.
Т Т
Может ли главный период функции f2(x) быть равным: а) —; б) —;
Т 2 р 2 3
в) —; г) —Г; д) — Г, где рид — натуральные числа?
5 3 Я
IV.56. Верно ли, что если главный период функции равен Т, то
Зх0: f(x) = f(x0) =* ^-^ е Z?
Ы
у = л— {, а Ф 0,
Ы
IV.57. Докажите, что функция у = л— {, а Ф 0, периодическая. Найдите
ее главный период.
IV.58. Найдите главный период функции:
а) у = 3{2х+1}; б) y=
в) у = 3{х} + {2х + 1}; г) y =
ж) у = {х}2; з) у = {х}2 + 4{х};
и)„=Л{*}"-2{|}+1.
IV.59. Докажите утверждение. Если f(x) периодическая функция,
определенная на множестве R, то уравнение f(x + Т) = f(x), где Т
рассматривается как неизвестное, ах — как параметр, имеет по
крайней мере одно положительное решение Т = То,
удовлетворяющее уравнению при всех значениях параметра х е R.
220 Глава IV. Функция. Основные понятия
IV.60. Докажите, что функция не является периодической:
*)у х2х; 6>^^ B)*;
г) у = {х2}; д) у = {л/^}; е) у = 2 {*} - х;
ж) у = {л/2х} + {2х}; з) у =
IV.61. При каком значении а е R функция у - ах - [х] будет
периодической? Найдите ее главный период.
IV.62. Может ли сумма (произведение) непериодических функций
оказаться периодической функцией? Приведите пример двух
непериодических функций f(x) и g(x), таких, что: а) их сумма
f(x) + g(x); б) их произведение f(x) • g(x); в) |/(х)| — есть
периодическая функция, имеющая главный период.
IV.63. Приведите пример периодической функции f(x) и
непериодической функции g(x), таких, что: а) их сумма f(x) + g(x); б) их
произведение f(x) • g(x) — есть периодическая функция,
имеющая главный период. Попытайтесь привести примеры, где
функция f(x) имеет главный период, а также примеры, где f(x) не
имеет главного периода.
IV.64. Докажите, что если периодическая функция с периодом Т
ограничена на каком-либо отрезке длиной Г, то она ограничена и на всей
области определения, т. е. если \/х е [х0; х0 + Т] \f(x)\ ^ M, то
VxeD(f) \f(x)\^M.
IV.65. Существуют ли функции: а) периодические и четные (нечетные);
б) периодические и неограниченные; в) периодические и
монотонные; г) периодические и обратимые? Ответ обоснуйте:
отрицательные утверждения докажите, для остальных приведите
примеры.
IV.66. Приведите пример четной периодической функции, такой, что ее
значения в каждой точке множества X совпадают со значениями
функции:
a)i, = 0f5-*,X = [0;l]; б) у = ^ х е [0; 0,5],
[х-0,5, хе {0,5; 1];
в) у = 2-\х-3\, Х = [2,5; 4,5].
Группа В
IV.67. Функция h(x) = f(x) + f(2x) периодическая. Верно ли, что
функция f(x) периодическая? Верно ли, что если функция f(x)
периодическая, то ее главный период такой же, как у функции h(x)l
IV.68. Докажите, что если график функции /, определенной на
множестве R, симметричен относительно двух прямых х-а и х-Ь
(а Ф 6), то / — периодическая функция.
ИИ Задачи и упражнения
IV.69. Докажите, что если график функции /, определенной на
множестве R, симметричен относительно прямой х — а и точки, не
лежащей на этой прямой, то / — периодическая функция.
IV.70. Приведите примеры (можно графически) функций, являющихся:
а) четными (нечетными), ограниченными (неограниченными) и
периодическими;
б) положительными (отрицательными), периодическими,
ограниченными и четными (нечетными).
IV.71. Сконструируйте (например, графически) функцию /,
удовлетворяющую всем условиям одновременно: / — периодическая
функция с периодом Т = 2, неограниченная, нечетная, /(1) = 1,
/) 2
IV.72. Докажите, что функция Дирихле D(x) периодическая. Найдите
множество всех ее периодов. Есть ли у нее главный период?
IV.73. Существует ли периодическая функция, для которой:
а) все рациональные числа являются периодами, а
иррациональные нет;
б) каждое иррациональное число является периодом, но не
существует рационального числа, являющегося ее периодом?
IV.74. Пусть \/х ЗТ > 0: f(x + Т) = f(x). Верно ли, что функция f(x)
периодическая?
IV.75. Пусть f(x) — периодическая функция.
а) Может ли быть периодической функция f(x2)?
б) Может ли быть непериодической функция f(x2)?
в) Верно ли, что если функция f(x) не является константой, то
функция f(x2) — непериодическая?
IV.76. Верно ли, что функция f(x) — периодическая функция, если:
a) f2(x); б) /3(х) — периодическая функция?
Композиция функций
Группа А
IV.77. Для функций f(x) и g(x) найдите композицию ф(х) = f(g(x))9
если:
a) f(x) = у[х, g(x) = —37; б) f{x) = , б w -
IV.78. Даны функции трех типов: f(x) = х + a, g(x) = kx, h(x) = \x\.
Запишите в виде композиции функций f(x)9 g(x) и h(x) функцию:
а) ф(х) = 2х + 3; б) ф(х) = 2\х + 11 - 1; в) 1|||
IV.79. а) Дана функция / (х) = . Найдите Я — .
X + 1 \Хг )
X2 I
б) Дана функция f(x) = Найдите f($Jx2 + 1).
222j Глава IV. Функция. Основные понятия
IV.80. Даны функции fix) = х2 - 2х + 3 и g(x) = 2х - 1. Найдите компо
зицию (можно без упрощения получившегося выражения):
а) ф(х) = /(*(*)); " б) Ф(х) = *(/(х));
в) <р(х) = *(*(*)); г) ф(х) = /(/(х));
д) ф(х) = /(*(2х - 1»; е) Ф(х) =
ж) ф(х) = /(*(/(х))); з) <p(x) = f(2f(x)-g(x)).
IV.81. Найдите f(f(x)), f(f(f(x))) и и-кратную композицию функции
f(x) с собой, если:
a) f(x) = х - 1; б) /(х) = 1 - х; в) /(х) = 2х;
г) /(х) = х2; д) /(х) = VlT^; e) f(x) = ^;
IV.82. Среди линейных функций f(x) = kx + Ъ найдите все такие, что:
а) Vx е R /(/(х)) = f(x); б) Vx e R f(f(x)) = х.
IV.83. Найдите область определения n-кратной композиции функции
f(x) с собой, если:
а) /(х) = JlVx'; б) /(х) = Vx^T; в) f(x) = i;
г) /(х) = -^—; д) /(х) =
1+ л:
IV.84. При каком условии на множества Dif), Dig), £(/), £>(#)
области определения функции fix) и композиции ф(х) = #(/(х))
совпадают?
IV.85. Пусть функция fix) строго возрастает и положительна на
множестве R.
а) Докажите, что: 1) функция /2(х) возрастает на множестве jR;
2) функция д//(х) возрастает на множестве R; 3) функция -—
убывает на множестве R.
б) Верны ли утверждения пунктов «1» и «2» для
неположительных функций?
в) Переформулируйте утверждения пунктов «1» и «2» для
возрастающих и отрицательных на множестве R функций.
IV.86. Пусть функция fix) строго возрастает на множестве R. Будет ли
монотонной функция:
а) /(2х); б) /(-х); в) /(|х|); г) /(2 - Зх)?
IV.87. Найдите промежутки монотонности функции:
а) ф(х) = (х2 + 2х)2 - 6(х2 + 2х) + 1;
б) ф(х) = (х2 + 2х)2 + 2(х2 + 2х) + 1;
в) ф(х) = х(х + 2)(х + 4)(х + 6).
223 Задачи и упражнения
IV.88. Пусть функция f(x) имеет экстремумы в точках хх - -1, х2 = О,
х3 = 2. В каких точках имеет экстремумы функция:
a) f(2x); б) f(-x); в) /(|х|); г) /(х2); д) /(3 - 2х)?
IV.89. Пусть функция /(х) возрастает на луче (-оо; 1] и убывает на
луче [1; +оо). Найдите промежутки монотонности функции
ф(х) = /Ч*2-1).
IV.90. Пусть gi(x) = 2х + 3, g2(x) = 2х2 - х, gs(x) = -5—| т. Найди-
те промежутки монотонности, точки экстремума и множества
значений композиций f(g1(x))9 f(g2(x)), f(gs(x)), f(f(x)) для
функции:
a) f(x) = х2- 2х; б) f{x) = 2х - х2 + 3; в) f(x) = ^-i.
IV.91. Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и
множества значений функции:
а) у = ^2х + х2; б) у = (Зх - х2 + З)2 + 2(3х - х2 + 3);
в) у = 2(х2 + 4х)2-(х2 + 4х)-1; г) у =
IV.92. Найдите множество значений функции:
а) I/ = (2х - I)4 - (2х - I)2 - 12; б) у = (х - I)4 - х2 + 2х - 7;
в) у = (х2-л:-3)2-2(х2-х) + 1; г) у = (х + I)2 (х2 + 2х);
ц) у = (х + 4)2(х + 10)(х - 2); е) у = х(х + 4)(х + 5)(л: + 9);
У У у X2
. 2x*+ хг- 11л:2 + x + 2
И) У = ~2 .
ГЗлг-1^ х+1
IV.93. а) Пусть / = при х Ф -2; 1. Найдите
^# + 2,/ х - 1
б) Пусть /1 + — =х2-1 при х Ф 0. Найдите /(х).
V У
IV.94. Найдите функции f(x) и g"(x), удовлетворяющие системе
уравнений (система выполнена при всех вещественных значениях х):
■1) + ^(х-1)=х, I . , . ,
1)-2^(х-1)=2х2; ; 1/ -JE_ +^«*_ =х;
/(2х + 2) + 2^(4х + 7) = х - 1, Г/(4х + 3) + х • g(6x + 4) = 2,
f(x- 1) + g(2x +1) = 2х; Г) 1/(2х +1) + £(3х + 1) = х + 1.
224| Глава IV. Функция. Основные понятия
IV.95. Найдите функцию, удовлетворяющую уравнению:
a) /(х) + 2/^) = х; б) (х- 1). f(x) + j
Обратная функция
Группа А
IV.96. Найдите функцию, обратную к заданной (обратите внимание на
заданную область определения), и постройте ее график:
\ X — 1 п >^ч оХ т 1 г .л л-,
а) у = —£-> х е R; б) у = —-—, х е [-1; 2];
в) г/ = 2х + 3, х е (-3; +оо); г) г/ = Vx, x e (0; 1);
д) г/ = л/х, х g [0; 4]; е) г/ = д/х^Т, х g [-1; +оо);
ж) г/ = Vl - х2 , х g [0; 1]; з) г/ = -(х + 2)2 + 3, х g (-2; +оо);
и) у = х2н-2х + 5, хе (-1; +оо); к) г/ = х2 signx, х g Л;
л) у = х\х\ + 2х, х g й; м) г/ = , х е (0; +оо);
х + 1 х + 2
н) г/ = -, х G (-оо; 2); о) у = , х G (1; +оо).
Будут ли все указанные функции обратимы, если рассматривать
их на их естественной области определения (не накладывая
других ограничений)? Ответ обоснуйте.
IV.97. Найдите функцию, обратную к заданной, и постройте ее график
(для построения воспользуйтесь элементарными
преобразованиями графиков или построением кривых по асимптотам):
1 2х
а) у = , х G (-оо; 0]; б) у = , х е (-оо; -1];
2х
в) у = j, х G [1; +оо); г) у =
2х I
д) у = ^-, х е R; е) у = х - д/х2 - 1, х g (-оо; -1].
Какие из этих функций окажутся обратимыми, если
рассматривать их на их естественной области определения (не накладывая
других ограничений)? Ответ обоснуйте.
IV.98. Найдите области определения и множества значений взаимно-
обратных функций у = и у =
х+1 * х-1
Задачи и упражнения
Элементарные преобразования графиков
Группа А
IV.99. Придумайте функцию, график которой получен из графика
данной функции при помощи указанных преобразований:
а) f(x) = х2; преобразования: сдвиг на 1 вправо -> растяжение
в 2 раза вдоль оси Оу -* сдвиг на 1 вниз;
б) f(x) = Xs; преобразования: растяжение в 2 раза вдоль оси
Оу —► сдвиг на 1 вниз —► сдвиг на 1 вправо;
в) f(x)=—; преобразования: сдвиг на 1 вправо-> сдвиг на 1
X
вниз —»• растяжение в 2 раза вдоль оси Оу;
IVЛ00. На рисунке 4.55 изображен график функции у = f(x). Постройте
график функции:
а) У
в) У
Д) У
ж) i
и) у
л) у
н) 1/
п) у
= fix) + 2;
- 2fix);
i = \fix)\;
2
= /(2*+1);
б)
г)
е)
з)
к)
; м)
о)
y = f(x + 2);
I/ = /(-*);
у = /(1*1);
у = |/(х-1)-1;
y = f(2\x\ + l);
3
-1
Рис.
/
/ <
4.55
\.
'■ \
IV.101. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований графика линейной функции:
а)у = 2|х|-3; б) у = \2х-3\; в) у = \2\x\ - 3|;
г) у = \2х-1\-2; д) у = \\2х-1\-2\; е) у =
ж) у = - - 3;
к) у =
- 1;
з) у = |
л) у =
2х -3'
и) у = |2-|1-
IV.102. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований:
а) у =
ж) у =
к) у =
х-Г
х + 2
2х- 1
*|- 1
х
2-
б) у =
р) у =
з) г/ =
л) у =
в) I/ =
и) у =
л:
2*-
\х
2
-
-1'
1
- 1
х+ 2
л:- 1
- 1
226| Глава IV. Функция. Основные понятия
IV. 103. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований графика квадратичной функции:
а) z/ = |x2-2x|; б) у = \х2 - 2\х\\; в) у = -\х2 + 2\х\;
1 12 ч 1 + х2
г) У =
л:2-2л:'
у = ——;
1 or i oY2
л:2
|; и) у =
к) з/ =
н) г/ =
х2 - 6х + 8'
1 г*
л) у = — + 8; м) j/ =
х2 л:
х2
л:2-6|х| + 8
-1
- 4х21 х | + х4 ; о) г/ =
+ 1
IV. 104. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований графика функции у = л[х:
а) у = 2VJC-1; б) у = л/2х - 1;
д) у = тРх;
з) у = л/1-х;
л) i/ =
в) у = л/х- 1;
е) г/ = 1 - V^x;
и) у = 1- ^1-
м) I/ =
п) у =
м) у = д/|2*-1|;
1
-1;
-2 -1
IV. 105. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований графика степенной функции:
а) у =
г) i/ =
6)y=-2i
в) у = (2л-
2
IV. 106. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований (когда это возможно), исходя из графиков известных
элементарных функций, и решите с помощью графика
соответствующее уравнение или неравенство:
а) с помощью графика функции у — — [х] решите уравнение
б) с помощью графика функции
-[*?]
решите уравнение
227J Задачи и упражнения
в) с помощью графика функции у = — - 1 + 1 решите неравен-
[-, L 2 J
2"1J>8;
г) с помощью графика функции у = — решите уравнение
J_ 41 М
[*] 3 3Х'
X
д) с помощью графика функции у = — решите неравенство
х . 4
е) с помощью графика функции у = — решите неравенство
I jc — 2 I
ж) с помощью графика функции г/ = < f решите неравен-
[ 3 J
7 - х
=;
ство |^| ^ ;
з) с помощью графика функции у = —— решите уравнение
-— = х +1 при х < 3;
{*} г 1
и*) с помощью графика функции у — \ г решите уравнения:
Нестроение графиков по асимптотам и кратным корням
Группа А
IV.107. Для каждого из следующих графиков сконструируйте формулу,
задающую график, обладающий теми же основными
особенностями (рис. 4.56)
IV.108. Для каждого из графиков А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3 на рисунке
(рис. 4.57) подберите в списке формул 1—24 ту, которой может
быть задан этот график:
1) у = (х - 2)(х + I)2; 2) у = х(х2 - 1)(х - 1);
3) у = (х - 2)Цх + 1); 4) у = (х + 1)2(2 - х);
5) у = х(х2 - 1)(х + 1); 6) у = (х - 2)Цх + I)2;
7) у = хНх2 - 1)(х + 1); 8) у = (х2 - I)3;
9) у = (х2 - I)2; 10) у = -JL-; 11) у = 2 + * ^ ;
2+л:2
;
2281 Глава IV. Функция. Основные понятия
а)
-1 О
б)
-1
в)
-1 О
Рис- 4.57
и упражнения
£ + X л лч __ __ & + X t гт\ __ л. — X
~ x(4-x*) '
23) г/ = -*5 + 2х3-х.
IV.109. Найдите асимптоты графика функции:
л:3
Ч Х
и) у = ;^—['
IV.110. Установите, как приближаются точки графика функции к
наклонной асимптоте при х —> +оо и при х —> —оо сверху или снизу:
_ л:3+ 1, g. _ (х+ I)3, _ л:2
IV.111. Найдите область определения функции, множество значений,
корни, асимптоты и постройте график функции; там, где это
возможно, используйте множество значений функции для
уточнения расположения точек экстремума:
х2 + 1 ^ Зх ч л:2 + 2х + 1
ч X -г ОХ — U v
г) у = ; д) у =
ч ж2 ч 2 - 4л:2 ч х - 1
|ж|-Г °'у"1-4х2' '"""ж8-2*'
(л: - З)2 ч л:2 + 2л: - 3 . 2л:2 - 6
= 1^гт; Л)^ = i ; м)у = ^-^;
4 ч 6л; + 9 - Зл:2 ч (л: - I)2
4л:2 + 9 ч 4л: ч х2 + х + 1
; C)y; T)y
2х2 + х - 1
У) У = ^1 7-
2л:2 - х - 1
230j Глава IV. Функция. Основные понятия
IV.112. Найдите асимптоты, корни, промежутки знакопостоянства;
постройте эскиз графика функции:
X2 — 1 X2 + 1
а> у = —^> б> у = ^гтт>
X
х^
х-1'
X3
г) У =
Ж) У= х2^'
ч х3 - 16х
д) у =
з) у =
I-*3 ;
16 -
Построение графиков. Разные методы
Группа А
IV. 113. Постройте график функции:
3) у = -х5 + 2xs - х;
7) ^ = Ух + 1 - д/И;
9) у = ylx2+l+ х;
I1) у = згтт;
13) у =
1- х2 .
X2 + X4 '
15) г/ = |х2-
в) г/ =
е) г/ =
и) у =
:2- 1
с-15
X3
4х3 - 9х.
16-х2 '
2) у = х3 - 2х2 + х;
4) у = ~тг^ ;
6) у = yfx~+l - у[х~;
8) у =
Ю) у =
12) у =
14) у =
16) у =
х3
21)
(х-1)3 |x3l.
^~ |х-1| + х '
22) г/ = ylx + 2jx-l + л/х^
х5- х3
24) у =
26) ^ =
1*1
* - 1; 23) г/ =
_ 4|х]
х2-х-2'
25) у = |х| sign (1-х2);
Корень, степень, логарифм
В этой главе мы расширим понятие степени и рассмотрим другие
понятия и операции, связанные с понятием степени. Кратко
напомним свойства степени с целым показателем, которые известны из
курса основной школы.
Итак, при всех целых шипи любых ненулевых числах а \л b
выполнены равенства:
4) ап : Ьп = [ -
2) (а • b)m = ат ■ bm;
5) (am)" = amn;
о/ ci .о. — a
6) a-m = —
am
(для натурального т это равенство является определением
степени с отрицательным целым показателем, а для неположительных
целых т — свойством).
Свойства, в которых нет действия деления и показатели степени
являются натуральными, распространяются и на число 0.
(f)29. Корень натуральной степени
1. Определение корня л-й степени
Решая уравнение х2 = 4, мы получаем два корня: х = 2 и х = -2.
Пытаясь найти корни уравнения х2 = 2 (например, для поиска
стороны квадрата площади 2), мы сталкиваемся с необходимостью
обозначить решение этого уравнения, так как среди рациональных чисел
корней этого уравнения нет. Однако, поскольку у этого уравнения
два корня, различающихся лишь знаком, достаточно обозначить лишь
один такой корень.
Таким образом, можно дать следующее определение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ■-——---——~-~-—-^---------------------------~
Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат
которого равен а.
Из самого определения следует, что квадратный корень можно
извлекать только из неотрицательных чисел (если рассматривать
действия в множестве вещественных чисел).
232J Глава V. Корень, степень, логарифм
Неотрицательное число, квадрат которого равен а, называют
арифметическим квадратным корнем.
Слово «арифметический» в приложении к квадратному корню мы
в дальнейшем не будем писать, но будем подразумевать. Символ va
всегда будет означать именно арифметический квадратный корень.
Таким образом, у[а = х*=> \ ^ _
[х>0.
Например, уравнение х2 = 2 имеет два корня: х = л/2 и х = -л/2.
У положительных чисел есть одно «преимущество» перед
отрицательными: произведение двух положительных чисел есть тоже
число положительное. Поэтому в качестве арифметического
значения корня берут именно неотрицательное значение, чтобы,
например, произведение двух арифметических корней также являлось I
арифметическим корнем. |
Если каждому неотрицательному числу х поставить в соответствие
число л/х, получим функцию, заданную на множестве
неотрицательных чисел R+ U {0} и принимающую неотрицательные значения. Эту
же функцию, как показано в § 26, можно определить как обратную
к функции f(x) = х2, заданной на луче [0; +оо).
Аналогично можно определить корень произвольной натуральной
степени двумя способами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть п — натуральное число, большее 1. Назовем корнем
п-й степени из числа а число х, при возведении в n-ю
степень дающее а.
Число п называют показателем корня, а число а —
подкоренным выражением.
Таким образом, корень n-й степени из числа a — это решение
уравнения хп = а.
Естественно, ситуация с определением корня п-й степени
различна в зависимости от четности п.
В самом деле, посмотрим на схематические графики функций
вида у = хп (рис. 5.1) при четном и нечетном п. По графику видно, что
при нечетном п для каждого числа а существует единственное число х,
п-я степень которого равна а, а при четном п для каждого
положительного числа а существуют два числа, отличающихся знаком, п-я
степень каждого из которых равна а.
При нечетном п существует единственный корень п-й степени из
любого вещественного числа, так как нечетные степени двух различ-
§29. Корень натуральной степени
ных чисел различны1, а значит, двух
чисел, дающих при возведении в п-ю степень
один и тот же результат, быть не может.
Ясно, что корни нечетной степени из
положительных чисел будут положительными,
а из отрицательных — отрицательными.
Ситуация будет другой при четном п.
В этом случае, если подкоренное
выражение положительно, существуют два числа,
отличающиеся знаком и дающие
одинаковый результат при возведении в n-ю степень.
Аналогично ситуации с квадратным
корнем в данном случае под символом Ц[а
понимается неотрицательное число,
дающее при возведении в n-ю степень число а,
называемое арифметическим корнем п-й
степени, т. е. при четном п имеем \/а — х
п
yk
y = x3
Рис. 5.1
(xn = a,
\x> 0.
0
У = '
Таким образом, символом Ща обозначается одно из решений
уравнения хп — а (единственное при нечетном п и одно из двух при
четном п и положительном а). Здесь мы без доказательства принимаем,
что такое решение существует.
Пример 1.^8 = 2, так как 23 = 8, a V-27 = -3, так как (-3)3 = -27.
В то же время Vl6 = 2, поскольку 24 = 16, и, хотя (-2)4 тоже равно 16,
но символ Vl6 обозначает неотрицательное число. Ш
Определим корень натуральной степени еще одним способом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ -___-----«__----~--_-_---_-_^^
Пусть п — натуральное число, большее 1. Корнем п-й
степени называется функция, обратная функции f(x)=xn,
заданной на всей вещественной оси при нечетных п, и
заданной на множестве R+ U {0} всех неотрицательных чисел при
четных п.
В первом определении говорится о корне степени п,
рассмотренном для каждого числа, а во втором определении — о корне как
о функции. Тогда корень из числа есть значение соответствующей
функции при аргументе, равном этому числу.
ХВ самом деле, пусть при нечетном п выполнено ап = bn. Тогда, взяв
модуль от обеих частей, имеем: \а\п = \Ъ\П (так как \хп\ = \х\п. Поскольку при
возведении в натуральную степень большему положительному числу
соответствует большая степень, получаем из этого равенства, что \а\ = |Ь|. Если у чисел а
и Ь разные знаки, то при нечетном п у чисел ап и Ъп также будут разные
знаки, поэтому из равенства ап = Ьп следует равенство а — Ь.
234i Глава V. Корень, степень, логарифм
Рис. 5.2
Мы опускаем доказательство эквивалентности этих определений.
Итак, корень п-й степени определен для всех значений
подкоренного выражения, если п нечетно, и для неотрицательных значений
подкоренного выражения, если п четно.
Графики корней п-й степени при различных п > 1 представлены
на рисунке 5.2.
Запись корня без упоминания степени означает арифметический
квадратный корень, т. е. корень второй степени.
Употребляя символ щ9 мы полагаем, что п — натуральное число.
Это соглашение не является общепринятым. Иногда в книгах
встречаются записи вида yfx9 хотя большинством авторов принята точка
зрения о том, что показателем корня является именно натуральное число,
большее 1.
2. Свойства корней, вытекающие из определения
ТЕОРЕМА
Пусть п > 1 — натуральное число, тогда:
1. При всех допустимых вещественных значениях х выполнено
равенство: (rfxf'= х.
2. При нечетных п выполнено равенство rfx^= x, а при четных
п — равенство \Гх^= \х\.
3. Пусть а> Ь, тогда л[а > у/Ъ. В частности, если а > 1, то yfa > 1.
4. При нечетных п выполнено: \/а е R \/^а = -у[а.
О доказательство. Докажем все указанные свойства, пользуясь
попеременно определениями корня из числа и корня как функции.
1. Свойство прямо следует из определения, так как корень п-й
степени — это такое число, которое при возведении в п-ю степень даст
подкоренное выражение.
. Корень натуральной степени
2. Что такое $хп ? Это такое число, которое при возведении в
п-ю степень даст подкоренное выражение, т. е. хп. Для случая
нечетного п на эту роль подойдет число х (то, что других «претендентов»
нет, доказано в сноске на стр. 233).
Для случая четного п имеется дополнительное требование:
значение корня должно быть неотрицательным. Имеются два числа: х и -х,
дающие при возведении в п-ю степень число хп. Неотрицательное из
них и есть |х|.
Другим доказательством свойства 1, а также свойства 2 для слу-
I чая нечетного п может служить применение свойства обратной
функции. Ведь фактически (yfxj и yjxn — это результат
композиции двух взаимно обратных функций, а эта композиция
является тождественным преобразованием.
В случае же четного п композиция Щхп , рассматриваемая на
множестве неотрицательных чисел, дает также х, а рассматриваемая на
множестве R9 не является композицией взаимно обратных
функций (поскольку функция хп, определенная на R, уже необратима).
3. Отметим, что при четных п числа а и Ъ должны быть
неотрицательными, а при нечетных п эти числа могут быть любыми.
Требуемое свойство легко вывести из того факта, что для
неотрицательных чисел из того, что а > 6, следует, что ап > Ъп. В самом деле,
например, в случае четного п докажем от противного, что если а > Ь,
то у[а > л/б. Предположим, что л/а < л/б, но тогда (л/а) ^ (\/б) ,
т. е. а < Ъ — противоречие. Аналогично доказывается это свойство и
для нечетных значений п.
Указанное свойство также следует из того, что функция л[х
является обратной к монотонно возрастающей функции хп, а
следовательно, по свойству 1 обратных функций также монотонно возрастает (еще
раз подчеркнем, что при четных п функция хп рассматривается
заданной на множестве неотрицательных чисел, а при нечетных п — на
множестве всех вещественных чисел).
4. Заметим, что при четных п аналога этому равенству быть не
может, так как при а Ф 0 только одно из чисел а или -а будет лежать
в области определения корня. Рассмотрим у[^а при нечетном п. По
определению это число, при возведении которого в п-ю степень
получится -а. Легко убедиться, что при возведении числа — Ц[а в п-ю
степень действительно получится -а, т. е. (—yfaj = (~1)п • \уа) = —а
(поскольку п — нечетное число). IS
Пример 2. При каких значениях х выполнено равенство:
a) il(x-l)4 =1-х; б) (Vx-l)4 = 1 - х?
U а) По свойству 2 из исходного равенства получаем | х — 11 = 1 — х.
Модуль числа равен противоположному числу тогда и только тогда,
2361 Глава V. Корень, степень, логарифм
когда число неположительно. Поэтому указанное равенство выполнено
прих<1.
б) По свойству 1 имеем [Ух — 1 j = х — 1, при этом, поскольку
показатель корня — четное число, подкоренное выражение должно
быть неотрицательным. Получаем: х — 1 = 1 — х при условии х ^ 1.
Равенство выполнено при х = 1. Ш
Пример 3. Найдем Г-л/127].
□ Заметим, что по свойству 3 выполняется л/32 < л/127 < л/243, т. е.
2 < Vl27 < 3. Тогда -3 < -л/127 < -2. Таким образом, наибольшее
целое число, не превосходящее -л/127, есть -3. Итак, [-л/127] = -3. 1
3. Свойства корней, связанные с арифметическими
действиями
ТЕОРЕМА
Пусть п ■— нечетное натуральное число, a, b — произвольные
вещественные числа, тогда:
2. л/а™~ = (л/а)т, где т — произвольное целое число.
/a v
3. При b ф О выполнено q\— = ^=.
\ь п4ь
□ доказательство. 1. Что такое л/а&^? Это число, при возведении
в п-ю степень дающее аЬ. Значит, для доказательства равенства
достаточно проверить, что правая часть при возведении в п-ю степень
Итак, имеем ууа • \bj = (vaj • yybj = аЪ по свойству степеней
и свойству 1 предыдущей теоремы.
Аналогично доказывается свойство 3.
2. Свойство 2 при натуральном т следует из определения степени
с натуральным показателем как многократного умножения числа на
само себя, а также предыдущего свойства:
т раз т раз
При целом отрицательном т запишем (используя определение
степени с натуральным показателем, свойство 3 и доказанное свойство 2
для натурального показателя -т):
«5/1 1
Для т = 0 утверждение очевидно (обе части равенства равны 1). !
. Корень натуральной степени
Не так просто обстоит дело в случае, когда показатель корня —
четное число. Это связано с тем, что из двух возможных корней
уравнения хп = а выбирается лишь неотрицательное, а также с
необходимостью следить за областью определения.
Поэтому формулировки свойств (по смыслу тех же) будут более
громоздкими, а их применение — затрудненным.
ТЕОРЕМА
П Пусть п — четное число. Тогда: ,— ,-
1. Если а > О, Ь > О, то rfab = rfa • tfb и при b ф О ?р. = l£.
\b Vb
2. Если а и Ь таковы, что ab > О, то yfab = tf[a\ • tf\b\ и при b ф О
3. При а>0 выполнено rfa™ = (yfaj , где т — произвольное
целое число.
□ доказательство. 1. Доказательство свойства 1 дословно сов-
■ падает с доказательством свойства 1 предыдущей теоремы с учетом
того, что д/а • л[ъ > 0 (ведь свойство такое же, просто в условие
теоремы добавлено а ^ О, Ъ ^ 0, что обеспечивает существование
корней как в левой, так и в правой части).
2. Чтобы доказать свойство 2, нужно показать, что правая часть
равенства является корнем п-й степени из аЬ (соответственно из -),
b
т. е. что это неотрицательное число и при возведении его в п-ю
степень получится аЪ (соответственно —). Неотрицательность правой
Ъ
части очевидна, а при ее возведении в п-ю степень получается
произведение (соответственно частное) модулей чисел а и 6. Поскольку
по условию аЪ > 0, то аЬ = \а\ • |б|, а также - = L-I при Ъ Ф 0.
3. Доказательство свойства 3 дословно совпадает с
доказательством соответствующего свойства из предыдущей теоремы. HI
Замечание. В случае четного п при а < 0 и четном т может
существовать л/ат, но при этом не существует л/а, а следовательно,
. Для этого случая можно доказать свойство Щаш — \М\о>\).
О Предостережение. Неверно, что при всех а и Ь tf
Это равенство не выполняется почти никогда (см. задачу V.26)!
2381 Глава V. Корень, степень, логарифм
ТЕОРЕМА ——-м
П Пусть а ^ 0, п > 1 и р — произвольные натуральные числа. Тогда
•п = пр4^. I
П доказательство. В силу неотрицательности обеих частей
равенства можно сказать, что пуар — это такое число, которое при
возведении в степень пр дает аР (подумайте, зачем здесь нужна ссылка на
неотрицательность частей равенства). Поэтому для доказательства
равенства достаточно показать, что при возведении левой части
равенства в степень пр получится аР.
Действительно, (4а)пр = ((4а) п У = о,р. Ш
Следствие. При а > 0, целом т и натуральных п > 1 и р
выполнено равенство у/ат = п^а тр .
Утверждение следствия получается применением предыдущей
теоремы к числу ат.
Замечание. К сожалению, для отрицательных а утверждение
теоремы может оказаться неверным. Например, при а = -1 имеем
л/-Т = -1, в то время как 3'^(-1)2 = 1. (Кстати, какое место в
доказательстве теоремы «не работает» при отрицательных а?)
Конечно, можно было бы разобраться в том, какие равенства
будут верны в случае отрицательных а, в каком месте надо поставить
модуль и т. п., но практического смысла все эти изыскания иметь не
будут.
ТЕОРЕМА ————ди
П Пусть т и п — натуральные числа больше 1, а > 0. Тогда
тШ=т<п. I
□ доказательство. В данном случае, в силу неотрицательности
обеих частей равенства, ту[а — это такое число, которое при
возведении в степень тп даст а. Поэтому достаточно проверить, что при
возведении 'д/л/а в степень тп получится а. Действительно,
Ясно, что утверждение теоремы остается верным и для отрица*
тельных а при условии существования всех входящих в него вы{
жений, т. е. при нечетных тип.
239 §29. Корень натуральной степени
4. Примеры использования свойств корней
Пример 4. Представим в виде корня выражение аЧЬ при: а) а>0; б) а<0.
D а) При а > 0 имеем а = у[а*9 откуда аУ& = л[а* • ifb = Ma4b.
б) Записать при а < 0 равенство aVb = л/а4& было бы ошибкой, так
как левая часть данного равенства отрицательная, а правая
положительная.
При a < 0 выполнено Ца4 = |а| = -а, откудаaVb = -л/a4 • V& = -ila4b. Ш
Представление произведения в виде одного корня называют
внесением множителя под знак радикала1.
Итак, результат внесения под знак радикала четной степени
зависит от знака вносимого множителя (в отличие от корней нечетной
2k + 1/7" 2k + V оГТТГ
степени, для которых верна формула a • v& = ыагк+1Ъ при всех а
и Ь). Верна следующая формула: a2tfb = sign a • 2tfa2kb.
Пример 5. Сократим дробь А = = .
D Решение Д2 + ^
является неверным!
Действительно, после знака равенства, отмеченного *, записаны
выражения, содержащие va и v&, существование которых возможно
лишь при a > 0 и 6 > 0 (при a ^ 6). В то же время исходное выражение
определено при db > 0 (и a ^ 6). Поэтому приведенные преобразования
осуществимы лишь для а ^ 0 и 6 ^ 0.
При а < 0 и 6 < 0 преобразования будут другими:
А а-6
Отдельно рассмотрим случаи: при a = 0 (поскольку при этом знак &
может быть любым) А = -1; при 6 = 0 (при этом знак а может быть
любым) А = 1.
Отметим, что эти значения А получаются и при подстановке a = 0
и b = 0 в результаты соответствующих преобразований. Поэтому
окончательный ответ можно записать так:
Va - vb V-a
(при условии, что а и 6 не обращаются в нуль одновременно). Ш
Радикалом (от лат. radix — корень) называется знак корня.
Глава V. Корень, степень, логарифм
Интересно, что приведенный ответ молено записать, не разбирая
J\a\ + signb • у[\Ь\
данные случаи: А = *==-. Этот ответ получится, если
подставить равенства а = sign а • (д/| а\) и Ь — sign Ь • \J\ b\j в
исходное выражение, воспользовавшись тем, что для ненулевых аиЬ
должно выполняться signb = signa. При таком решении случай,]
когда одно из чисел а и Ъ равно 0, следует проверить отдельно (так '
как равенство sign Ъ - sign a в этом случае не выполнено). М
Пример 6. Решим уравнение (х- 3)4/ у 2ilx2 — 8х + 15 = 1.
^У(хЗ)3
х- 5
П Заметим, что в первом слагаемом при внесении множителя х-Ъ
под корень получится такое же подкоренное выражение, что и во втором.
Как мы видели из примера 4, результат внесения множителя под
корень четной степени зависит от знака этого множителя. Поэтому
необходимо разобрать два случая:
/ х_ 5
1) х > 3. Тогда (х - 3)4/ = il(x- 5)(х- 3), а уравнение при-
\(х- З)3
обретает вид 3$](х- 5)(х- 3) = 1, откуда х2-8х + 15=—. Решая полу-
81
ченное квадратное уравнение, получим
9 '
Второй корень не
л/82
удовлетворяет условию х > 3. Поэтому в данном случае ответ: х = 4 + .
9
2) х< 3. Тогда (х- 3)4
х- 5
(х - 3)
= ~ij(x- 5)(х- 3), а потому
уравнение будет иметь вид ^{х - 5) (х - 3) = 1, откуда х2 - 8х + 15 = 1. Решая
"х = 4 + л/2, _
^ Первый из корней не удовлетво-
_х= 4-V2.
ряет условию х < 3, поэтому в данном случае ответ: х = 4— V2. Итак,
это уравнение, получим
ответ
исходного уравнения: < 4 — V2; 4 + >.
I 9 J
Обратим внимание на то, что в решении не проверялось, имеют
ли смысл выражения при найденных значениях х. Дело в том, что
выражение в левой части уравнения имеет смысл при условии
неотрицательности подкоренных выражений. Ясно, что каждое из них
неотрицательно при условии, что выражения х — 3 и х — 5 имеют
один и тот же знак либо х — 5 = 0. Это условие молено записать так:
. Корень натуральной степени
Ux-3)(x-5)> О, _
\ Однако в процессе решения получались уравнения
(х- 3)(х - 5) = — и (х — 3)(х — 5) = 1, корни которых, естественно,
81
обращают выражение (х — 3)(х — 5) в неотрицательное и не равны 3. Ш
Подробнее о решении иррациональных уравнений будет
рассказано в одиннадцатом классе.
Пример 7. Решим неравенство Цх — 3 ^ 2.
D Неравенство можно переписать в виде Цх — 3 ^ Щб. Это
неравенство выполняется тогда и только тогда, когда 0 ^ х — 3^16 (по
соответствующему свойству корня, поскольку функции f(x)=y[x и
g(x) = jc4 возрастают при х > 0). Ответ: [3; 19]. Ш
Пример 8. Решим уравнение: а) Xs = 2; б) х4 = 2.
Q а) По определению кубического корня получаем х = л/2. Тот же
самый результат можно было получить, извлекая кубический корень
из обеих частей уравнения.
б) Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения
(в силу монотонности функции / (х) = у[х полученное уравнение будет
равносильно исходному). Получаем |х|= л/2, откуда ' В
[х = -V2.
Приведенный пример еще раз (см. § 26, п. 1) показывает, что
уравнение x2k = а имеет два корня при а > 0:
х = ~2
Пример 9. Вычислим ^26- 15л/3 + ^
Q способ 1. Попытаемся извлечь корень. Для этого представим
подкоренное выражение в виде куба. Разумно считать, что это куб
выражения вида а — 6л/3, и попытаться подобрать соответствующие а и 6.
Возведем а - bS в куб: (а - 6л/3)3 = а3 + 9ab2 - Зл/З (а26 + б3).
Приравняв соответствующие слагаемые, получим систему уравнений
26, _ .
1 9t i q к Подбирая целые а и 6, получим, что 6 является поло-
[a2b + ft3 = 5.
жительным делителем 5, т. е. либо 1, либо 5. Подставив Ъ - 1,
получим а = 2. Итак, удалось подобрать: 26- 15д/3 = (2 - л/3)3, а тогда
26 + 15л/3 = (2 + л/3)3. Следовательно ^26-15л/3 + ^26 + 15л/з = 4
(подумайте, почему можно не проверять это равенство).
способ 2. Обозначим ^/26 - 15л/з + ^26 + 15л/з = х. Тогда
jr3 = 52 + 3^/2б-15л/3 • ^26 + 15л/з|^/26-15л/з + ^26 + 15л/з ]
242| Глава V. Корень, степень, логарифм
(здесь использована формула куба суммы в форме (а + б)3 = а3 + Ь3 +
+ ЗаЬ(а + &)), откуда Xs = 52 + Зх.
Итак, искомое число является одним из корней уравнения
Xs — Зх — 52 = 0. Подберем целый корень этого уравнения, который
следует искать (см. главу II) среди делителей свободного члена.
Перебирая делители, найдем х = 4.
Однако решение на этом не заканчивается. Вдруг у этого
уравнения есть еще корни? Тогда возникнет вопрос отбора среди этих корней
нужного нам.
Поделив многочлен Xs - Зх - 52 на х - 4, получим Xs - Зх - 52 =
= (х - 4)(х2 + 4х + 13). Уравнение х2 + 4х + 13 = 0 не имеет
вещественных корней, а потому у многочлена х3 — Зх — 52 нет вещественных
корней, кроме х = 4. Поэтому искомое выражение равно 4. й
С) 30. Обобщение понятия степени
В курсе основной школы было определено понятие степени с
целым показателем. В данном параграфе будет дано понятие о степени с
любым вещественным показателем.
1. Определение степени с рациональным показателем
Попытаемся записать \[а как некоторую степень числа а, т. е. ах.
Разумным является требование сохранения основных свойств
операции возведения в степень, в частности, чтобы при возведении степени
в степень показатели перемножались. Мы знаем, что (л/а j п = а\
откуда, если считать что л/а = ах9 получим (ах)п = а1. Условие сохранения
свойства возведения степени в степень влечет апх = а1, откуда пх = 1,
т.е.х=1.
Итак, добиваясь сохранения свойства возведения степени в сте-
i— J.
пень, необходимо принять условие Ща = а». А тогда, зная, что
/ I—\ т I I т
(уа) = Щат , получаем, что Щат должен быть равен а~* (если мы
хотим, чтобы свойство возведения степени в степень сохранялось),
и приходим к следующему определению:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1) Пусть а > О, т eZ, n e N, п > 1. Результатом возведения
числа а в степень — будем называть число л/ат, т. е.
HL I П
an = yjam .
2) Пусть t — положительное рациональное число. Тогда 0* = 0.
243 § 30. Обобщение понятия степени
т
Отметим, что при п = 1 выражение а п есть степень с целым
показателем, определенная в курсе основной школы.
Замечание. Рассуждение, предшествующее определению, ничего
не доказывает, а лишь объясняет естественность введения именно
такого определения.
Мы знаем, что разным записям вида — может соответствовать
п
12 3
одно и то же рациональное число (например, — = — = — и т. д.). Поэто-
2 4 6
му пока данное определение дает результат возведения числа а в
степень, зависящий от способа записи показателя (т. е. отдельный
результат для а2, отдельный — для аЛ и т. д.). Разумно проверить,
совпадут ли результаты возведения в степень для равных показателей.
Заметим, что каждое рациональное число единственным образом
представляется в виде —, где р е Z, q е N и (р; q) = 1. Любая другая
запись этого числа получается умножением числителя и знаменателя на
одно и то же ненулевое целое число. Поскольку всегда можно считать,
что знаменатель дроби положителен, то необходимо доказать, что при
умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же
натуральное число значение степени с дробным показателем не изменится.
ТЕОРЕМА (корректность определения степени с рациональным показателем)
Пт_ mk_ |g
Пусть a>0, meZ, neN,n>'\,keN, тогда an = аш<.
□ доказательство. По определению степени с рациональным пока-
тк i
зателем а~^ - пЦатк. Согласно следствию на с. 238 пЦатк - л!ат , что,
т
в свою очередь, равно а~" по определению степени с рациональным
показателем. Ш
В отдельном рассмотрении нуждается случай п = 1 (поскольку не
определен корень первой степени). Для этого случая утверждение
теоремы корректности выглядит так:
тк
Пусть а > 0, т е Z, к е N, тогда ат = а~*~.
Доказательство этого утверждения вытекает из теоремы на с. 238.
Обратим внимание на то, что степень с показателем, равным —,
з/- 3
определена нами для положительных а, несмотря на то что %Ja
определен и для отрицательных а. Это сделано не случайно.
г
Действительно, попытаемся определить (—I)3. Согласно
рассуждению, предпосланному определению степени, мы должны положить,
что (-1)з = у[—1 = —1. В то же время, если мы хотим пользоваться тем,
244 Глава V. Корень, степень, логарифм
12 Л 12
что — = —, то нужно, чтобы результаты возведения в степень - и -
3 6 2 3 6
были одинаковыми. Но по определению (—1)6 = ^/(-1)2 = 1. Таким
образом, ради того, чтобы иметь возможность возводить отрицательные
числа в степени с нечетными знаменателями, пришлось бы отказаться
от возможности сокращать дробь в показателе степени.
О Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную
степень, не являющуюся целым числом.
Напомним, что число 0 можно возводить в степень с
положительным показателем (по определению, что результатом будет 0) и нельзя
возводить в степень с отрицательным показателем.
2. Свойства степени с рациональным показателем
ТЕОРЕМА
Пусть a, b — произвольные положительные числа, rv г2 —
произвольные рациональные положительные числа. Тогда:
1. аг1 • ЬГ1 = (аЬ)Г1. 2. аГ1 : ЬГ1 = — . 3. ari • ar2 :
4 3 '"I " 3 ^2 = Я ^1 "~ f"2 5 ( д f*1 \ 2 — д r-\ • f?
П доказательство. Все указанные свойства следуют из теоремы
корректности и соответствующих свойств корней. Докажем свойство 1.
Пусть гг = £, где р е Z, q e iV. Тогда аг* • 6ri = л/а^~ • Ч^Ы = ^/а^^" =
^ £
= ЩпЬ)р = (аЪУ = (а6)Г1.
Аналогично доказывается свойство 2.
Докажем свойство 3. Пусть гх = —, г2— (можно считать, что
дроби гх, г2 уже приведены к общему знаменателю). Тогда
Аналогично доказывается свойство 4.
= ^. Тогда
Докажем свойство 5. Пусть гх — —, г2 = ^. Тогда
ТЕОРЕМА (о сравнении степеней)
1
Пусть а>Ь>1,0<с<с/<1 — вещественные числа, гл > г2 — два
рациональных числа, s^> s2 — два рациональных отрицательных
числа. Тогда:
1. аг1 > аг2 и asi > as2. 2. cri < сг2 и csi < cs2.
3. ari > ЬГ1 и asi < bsi. 4. dri > cri и dsi < csi.
2451 § 30. Обобщение понятия степени
доказательство. 1. Пусть гх = —, г2 = —. Тогда из условия
следует, что пг> р (так как г19 г2 положительны, то/пир
натуральные). Поскольку а > 1, то ат = аР • ат ~р > ар, откуда в силу
свойства 3 теоремы на с. 234 выполнено у/ат > у/аУ, что и требовалось
доказать.
Воспользовавшись доказанным утверждением для
положительных чисел — sx < —s2, получаем a~Sl < a~S2, откуда следует -—-> —г>
а 1 а 2
т. е. aSl > aS2.
Свойство 2 для оснований степени, меньших 1, следует из
свойства 1. В самом деле, рассмотрим число - > 1. По первому свойству
(iY1 '-^
с) [i)
3. Для этого умножим обе части верного неравенства - > 1 (это
yb )
а л
неравенство верно, так как число — > 1 сначала возводится в нату-
Ь
ральную степень и результат тоже больше 1, а затем из него
извлекается корень, после чего результат также больше 1) на 6Г] и получим
требуемое неравенство. Аналогично доказывается свойство 4). й
Замечание. Свойство 1 выполняется и для случая, когда один из
показателей равен 0, т. е. если а > 1 и г > 0, то аг > а0 = 1, а если q < О,
то а** < а0 = 1.
Пример 10. Сравним а и &, если а = 0,2~6Д и Ъ - 55'6.
Q Имеем a = — = 56Д. Тогда согласно свойству 1 получаем 56Д > 55'6. й
5
Пример 11. При каких значениях параметра а выполняется неравен-
5 6
ство ae > а^?
D Поскольку а возводится в нецелую положительную степень, то
^\ f\ — —
а^ 0. Поскольку — < —, и при этом а6 > а7 , то а < 1 (если бы а было
6 7
больше 1, знак неравенства между степенями был бы другим, а при
а=1 и а —0 имеет место равенство степеней). Значит, 0 < а < 1. й
Пример 12. Сравним числа — и К/З - 1)
/— 1
D Сравним вначале основания степени, т. е. числа V3 — 1 и —.
Поскольку л/3 > д/2,25 = 1,5, то л/3 - 1 > 0,5 > —. Так как показатель
степеней отрицательный, то по свойству 2 имеем \ — \ > (л/3 - l)1"^. й
2461 Глава V. Корень, степень, логарифм
Пример 13. Представим в виде степени выражение а^у/а -л/а2 .
□ Заметим, что а ^ 0, иначе выражение не определено.
Преобразуем исходное выражение:
1
И ( 11\2 11 41
— a- ai5 = ах-азо = a30.1
Пример 14. Вычислим 11 - 2з + л/1б 1 + 32* + 2з .
4 J. 5 ' ^ '
□ Преобразовав л/16 = 2з, 32з = 2з, получим во второй скобке
11 2 / 2\2 / 2
1 + 32з + 2з = 1 + 2 • 2з + 2з = И + 2з
Тогда исходное выражение оказывается равным
5
(предпоследний переход — применение формулы суммы кубов). II
При решении задач со степенью могут оказаться полезными
следующие советы:
1. Постараться в примерах, где есть число или переменная под
корнем, заменить радикалы на выражение со степенью (например, в
4
предыдущем примере вместо л/16 написали 2з и т. д.).
2. Можно попытаться выбрать такое число или переменную в
степени, что все остальные будут являться целыми степенями некоторого
выражения. Тогда это выражение можно принять за новую переменную.
3 Л / 4 J_ 3
Пример 15. Выполним действия: I a * + а4 а з - а12 + а2 I.
з
; ал =
1
а2
;
а
4
3 =
(
1
1
а2
-16
\ ; а
)
3 / 1
2 = ai2
V
□ Заметим, что все степени являются целыми степенями
выражения ai2. Имеем
2 /i\-8 ^ /i\9 л /i\ -16 «э / 1 \ 18
а"з =
Таким образом, если обозначить а12 = Ь, то необходимо упростить
выражение
(б-8 + б9) • (б"16 - Ъ + б18) = б"8 • (1 + &17) • б"16 • (1 - Ь17 + б34) =
= б"24 • (1 + (б17)3) = &"24 • (1 + б51).
Подставив теперь Ъ = а^, получим а~2 + аЛ. Ш
2471 § 30. Обобщение понятия степени
3. Понятие степени с вещественным показателем
Как мы поступаем на практике, когда приходится иметь дело,
например, с числом V2? Мы заменяем его приближением —
рациональным числом, отличающимся от V2 столь мало, что замена V2 на
это рациональное число не повлияет на решение нашей практической
задачи. Например, считаем, что л/2 — это примерно 1,4 или 1,5 (в
зависимости от того, по недостатку или по избытку требуется
приблизить V2) или что л/2 примерно равен 1,41 или 1,42 и т. д.
Аналогично будем возводить положительное число а в степень V2,
т. е. возводим а в степени рациональных приближений числа V2, все
более и более уточняя показатель.
Для практических применений этого описания возведения в
иррациональную степень вполне достаточно. Следует подчеркнуть, что
таким образом можно возводить положительное число в любую
вещественную степень, при этом свойства действий со степенями остаются
верными и для вещественных показателей.
Отметим, что мы не даем определения степени с вещественным
показателем, так как это потребовало бы определения вещественного
числа и довольно сложных выкладок. На данном этапе следует
понимать, как практически вычислить степень с вещественным
показателем, а также то, что свойства действий со степенями выполняются
и для вещественных показателей.
Пример 16. Рассмотрим число л/2 . По правилам действий со
степенями имеем (j2^Y= J2^'^= Л2 = 2. II
Пример 17. Решим уравнение х2 + л^ =4и сравним его корни с числом 2.
Q Возведем обе части уравнения в степень j= = 2 — V3. Полу-
л2 Л 2 + V3
чим х = 42"V3. 1 1 I
Так как 2 + л/3 > 2, то 2 - V3 = —Ц= < -, а потому 42"^ < 42 = 2
2+V3 2
(использовано свойство 1 на с. 244 о сравнении степеней, верное и для
степени с вещественным показателем). Ответ: х = 42~^, х < 2. Ш
Обратим внимание, что возводить в степень с произвольным
показателем можно только положительное число (или неотрицательное,
если показатель заведомо положителен).
возникает вопрос об области определения функции вида f(x)g(x).
Мы будем считать, что если g(x) не является целочисленной
константой, то это выражение определено лишь при f(x) > 0. Если g(x)
является натуральным числом, то f(x) может принимать любые
значения. Если g(x) целое неположительное число, то f(x) не может
принимать значение 0.
248i Глава V. Корень, степень, логарифм
Это соглашение, несмотря на его кажущуюся громоздкость,
весьма логично. В самом деле, например, что такое уравнение? Это
предикат вида f(x) = 0, где f(x) — некоторая функция. Но чтобы задать
функцию, нужно задать ее область определения. Таким образом,
прежде чем решать уравнение, мы должны понимать, среди каких чисел
будем искать решение. Ясно, что если левая часть представляет собой
выражение вида а(х)ь(х\ то «вылавливать» те значения х, при
которых а(х) отрицательно, но Ь(х) целое (чтобы можно было возвести
отрицательное число в степень), в общем случае тяжело и громоздко.
Проще считать, что данное выражение определено лишь при а(х)>0,
Пример 18. У уравнения х2 = 4 есть корни х = 2 и х = —2. В то же
время у уравнения jd*l = 4 есть корень х = 2, а корня х = — 2 нет, несмотря
на то что при его подстановке получится верное равенство, так как
изначально показатель степени мог быть произвольным вещественным
числом. Ш
Заметим, что сформулированное выше правило об области
определения функции вида f(x)g№ не является общепринятым. В
некоторых пособиях и на вступительных экзаменах в некоторые вузы
считается, что уравнение хх = х имеет в качестве корня х = -1, а в
других, что у уравнения хх — х корня х — — 1 нет. Из
сформулированного нами правила следует, что у такого уравнения корнями могут
быть только положительные числа. М
4. Степенная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция вида f(x)=xa при а^О называется степенной
функцией.
Естественная область определения степенной функции
определяется следующим образом:
1) если а — натуральное число, то D(f) = Я;
2) если а — отрицательное целое число, то D(f) = /?\{0};
3) если а — положительное число, не являющееся целым,
f [0
4) если а — отрицательное число, не являющееся целым,
то D(f) = (0;+oo).
Примеры схематических графиков степенной функции при
различных а представлены на рисунке 5.3.
Важным свойством степенной функции является ее монотонность
при положительных (неотрицательных) значениях аргумента. А именно:
если а > 0, то функция f(x) = ха возрастает на [0; +оо);
если а < 0, то функция f(x) = ха убывает на (0; +оо).
249 § 30. Обобщение понятия степени
а)
1.
х
X
Рис. 5.3
Тип монотонности степенных функций, определенных при
отрицательных х, зависит от четности числа а (напомним, что степенная
функция определена при отрицательных х лишь для целых а, поэтому
имеет смысл понятие четности числа а). Если а четное, то функция
f(x) = ха возрастает на (-оо; 0) при а < О и убывает при а > 0; если же а
нечетное, то функция f(x) = ха возрастает на (-оо; 0) при а < 0 при
отрицательных а и убывает на (-оо; 0) при а > 0.
Свойство монотонности степенной функции является свойствами 2
и 3 теоремы о сравнении степеней, распространенным и на
вещественные показатели степени.
5. Показательная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть а > 0, а ф 1. Функция f (х) = ах называется
показательной функцией с основанием а.
Областью определения показательной функции является все
множество R вещественных чисел.
Множеством значений показательной функции является
открытый луч (0; +оо).
Это утверждение на уровне наших знаний доказать строго нельзя,
но можно представить себе, что при a > 1 при больших по модулю
отрицательных х значение выражения ах будет практически нулевым
(например, при а = 10 и х = -100 при выборе масштабной единицы 1 см ни
один современный физический прибор не различит 10~100 и 0), а при
больших положительных х значения ах могут быть сделаны сколь
угодно большими.
Если а > 1, то показательная функция с основанием а будет
возрастать на всей вещественной оси.
250; Глава V. Корень, степень, логарифм
Рис. 5Л
Если 0 < а < 1, то
показательная функция с основанием а будет
убывать на всей вещественной оси.
Указанные свойства
монотонности показательной функции суть
следствия свойства 1 теоремы 3 для
степеней с вещественным
показателем.
Схематические графики
показательных функций при а > 1 и при
О < а < 1 представлены на
рисунке 5.4. График любой
показательной функции проходит через точку
(0; 1), поскольку при любом а>0,
а Ф 1 выполнено а0 = 1.
Ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика на (-оо)
при а > 1 и на (+оо) при 0 < а < 1.
+ х<4; б) (0,3)*-! < 0,09;
Пример 19. Решим неравенство: а) 2^ + х<
в) 2х > 0,4 • 5*.
D а) Неравенство 2*2 + *<4 можно записать в виде 2х2 + х<22. Так
как функция f(x) = 2х строго возрастает, то исходное неравенство
равносильно неравенству х2 + х < 2, решив которое, получим х е (-2; 1).
Кратко решение можно записать так:
2Х\
0 » х е (-2; 1).
б) Неравенство (0,3)* "г < 0,09 можно записать в виде (0,3)* "г < (О,3)2.
Функция g(x) = (0,3)* строго убывает, и исходное неравенство
выполнено тогда и только тогда, когда х-1>2, т. е. х > 3.
Краткая запись такова:
(0,3)*"! < 0,09 » х-1>2»х>3.
в) Приведем краткую запись решения:
2х > 0,4 -5*
5*>0
2Y 2^ л
5j>5 ~ *<Ь
Обратите внимание, что первый переход заключался в делении
обеих частей неравенства на выражение 5х, положительное при всех
вещественных х. Ш
Пример 20. Найдем множество значений функции:
a) f(x)=2x2~x;6) g(x)=-J^—.
§ 30. Обобщение понятия степени
Q а) Пусть t = х2 — х. Определим,
какие значения может принимать t
при вещественных х. Иначе говоря
(см. главу IV), выясним, при каких t
уравнение t — х2 - х относительно
переменной х будет иметь решение.
Квадратное уравнение х2 — х — t = О
имеет решение тогда и только тогда,
когда его дискриминант D = 1 + 4t
неотрицателен. Следовательно,
уравнение имеет решения, если и только
если 1 + 4t > 0, т. е. t > —. Таким
4
образом, при вещественных х
выражение t = х2 — х принимает зна-
_1 О
4
-2*
чения, составляющие луч | —; +оо |.
Рис. 5.5
Коль скоро t принимает значения на луче —; +оо , то выраже-
ние 2* принимает значения из промежутка
2 4; +оо . Это можно
увидеть из рисунка 5.5, на котором изображен эскиз графика функции
у = 2', а цветом выделена его часть, соответствующая значениям t из
луча —; +оо . Проекция этой части на ось у и будет искомым
множеством значений. Ответ: E(f) — 2 4; +оо |.
б) Пусть t (х) = 2х и h (x) =
-. Тогда g(x) = h(t(x)). Мы знаем,
х2-1'
что множеством значений функции t(x) является промежуток (0; +оо).
Поэтому вопрос задачи может быть переформулирован так: какие
значения принимает функция h (t) = — при положительных значениях
аргумента?
Множеством значений функции h (t) = — при положительных
значениях аргумента является множество таких чисел а, для которых
уравнение а = — , рассмотренное относительно t, имеет непустое
множество положительных корней.
Рассмотрим уравнение а = —
. Умножив обе его части на t2 - 1,
получим уравнение a(t2 — 1) = t. Это уравнение ни при каком а не име-
252, Глава V. Корень, степень, логарифм
ет корня t = 1 или t = — 1 (при подстановке указанных значений в
уравнение получаются неверные равенства). Поэтому полученное
уравнение будет равносильно исходному.
Уравнение a(t2 - 1) = t является квадратным при а Ф 0.
Рассмотрим сначала случай а = 0. При этом а уравнение имеет единственный
корень t = 0, который не является положительным числом. Значит,
а = 0 не входит в искомое множество значений.
Пусть теперь а^О. Тогда уравнение приобретает вид at2-t-a = O.
Требуется выяснить, при каких а это уравнение имеет хотя бы один
положительный корень. Заметим, что если это уравнение имеет
вещественные корни, то по теореме Виета произведение корней равно
-1, а потому корни будут иметь разные знаки, а значит, один из
корней будет положительным. Поэтому, если при каком-либо а это
уравнение имеет вещественные корни, то такое значение а будет элементом
искомого множества. Осталось заметить, что дискриминант данного
уравнения равен 1 + 4а2 и положителен при всех а, а потому данное
уравнение при всех а имеет два корня, один из которых положителен.
Итак, ответ: E(g) = (-оо; 0) U (0; +оо). II
. Логарифм
1. Мотивы и история появления логарифмов
Представим себе, что нам нужно умножить 28 на 25. Ясно, что это
будет 213. Задача перемножения чисел 256 и 32 уже не столь проста.
Однако, если мы знаем, что 256 = 28, а 32 = 25, то ответ получается
сразу! Однако было бы желательным получить ответ не только в виде
213, но и в виде числа...
Итак, при умножении степеней двойки помогут две таблицы:
п
2
1
4
2
8
3
16
4
32
5
64
6
128
7
256
8
512
9
1024
10
2048
11
4096
12
8192
13
16 384
14
п
2п
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
7
128
8
256
9
512
10
1024
11
2048
12
4096
13
8192
14
16 384
С помощью первой таблицы по числу мы находим показатель
степени, затем складываем эти показатели, а затем по второй таблице
находим, какое число соответствует полученному показателю.
В нашем примере, умножая 32 на 256, мы находим в первой
таблице показатели степени, в которые нужно возвести число 2, чтобы
получить эти числа. Складывая найденные показатели (5 и 8), мы на-
253 §31. Логарифм
ходим число, соответствующее их сумме (13), во второй таблице.
Получается: 32 • 256 = 8192.
Естественно, произвести сложение показателей гораздо легче, чем
умножение чисел. Вопрос только в том, что нужно располагать
таблицами степеней и показателей, аналогичными построенным. При этом,
если мы желаем перемножать не только натуральные степени двойки,
но и произвольные числа, понадобятся таблицы степеней и
показателей, где показатели будут необязательно целыми. Например, если у
нас стоит задача умножать все целые числа до 100, нужно в верхнем
ряду первой таблицы написать эти целые числа, а во втором ряду —
соответствующие показатели. Фрагмент такой таблицы приведен
ниже (соответствующие показатели приведены с точностью до
четвертого знака):
2х
X
2х
X
2
1
9
3,1699
3
1,585
10
3,3219
4
2
11
3,4594
5
2,3219
12
3,585
6
2,585
13
3,7004
7
2,8074
14
3,8074
8
3
15
3,9069
Экономии ради мы не помещаем здесь таблицу степеней для
соответствующих показателей.
Теперь, чтобы умножить 3 на 5, можно сложить показатели
(1,585 + 2,3219 = 3,9069) и найти соответствующее число (15).
Однако, чтобы перемножить, например, 12 на 14, нашей таблицы
не хватает. И если сомножители будут ограничены числом 1000, то
произведение — уже числом 1 000 000!
Здесь на помощь приходит следующее соображение: можно
вынести из сомножителей целую степень двойки и в таблицу занести
показатели степени, соответствующие числам от 1 до 2, через равные
маленькие промежутки. Тогда можно будет умножать числа от 1 до 2
и целые степени двойки отдельно. Вот пример части такой таблицы:
2х
X
2х
X
1,01
0,0144
1,08
0,111
1,02
0,029
1,09
0,1243
1,03
0,0426
1,1
0,1375
1,04
0,0566
1,11
0,1506
1,05
0,0704
1,12
0,1635
1,06
0,0841
1,13
0,1763
1,07
0,0976
1,14
0,189
Чтобы умножить, например, 2,08 на 4,2, нужно представить эти
числа в виде произведения целой степени двойки на число,
находящееся в промежутке от 1 до 2 (2,08 = 21 • 1,04, 4,2 = 22 • 1,05), затем
254J Глава V. Корень, степень, логарифм
сложить показатели у степеней двойки (1 + 2 = 3) и соответствующие
показатели из таблицы (0,0566 + 0,0704 = 0,1270). Таким образом,
полученное произведение равно 23 • а, где 1,09 < а < 1,1. Если бы шаг
таблицы в верхней строчке был меньше, чем 0,01, мы смогли бы
сосчитать это произведение с большей точностью (здесь мы выяснили,
что 8,72 < 2,08 • 4,2 < 8,8).
Ясно, что таким же образом можно с помощью таблиц упрощать
деление и возведение в степень!
Именно такие соображения лежали в основе составления первых
таблиц показателей и степеней. Ясно, что умножать гораздо труднее,
чем складывать. Поэтому за счет таких таблиц при небольшой потере
точности достигался выигрыш в скорости вычислений. Фактически
такие таблицы заменяли современные калькуляторы. При этом,
скажем, двадцатизначные таблицы обеспечивали большую точность
вычислений, чем современный десятиразрядный калькулятор.
Такие точные и быстрые вычисления были необходимы в
астрономии и, как следствие, в мореплавании, в механике и других областях
знаний.
Швейцарец Й. Бюрги1 (1552—1632) построил такие таблицы
с основанием не 2, а 1,0001. Они были изданы в 1620 г. В 1614 г.
Д. Непер (1550—1617) опубликовал похожие таблицы, беря в качестве
основания степени 0,9999999. Затем математик Г. Бриге (1561—1631)
в 1617 г. построил таблицы, в которых в качестве основания степени
брал число 10. Книга Г. Бригса «Логарифмическая арифметика»
появилась в 1624 г. Спустя 150 лет П. Лаплас2 писал: «...это открытие
сокращает время работы с месяцев до дней». В 1620 г. Э. Гунтер (1581—
1626) изобрел логарифмическую линейку — механическое
приспособление, позволяющее производить вычисления на основе действий с
показателями степени. До середины XX в. логарифмическая линейка
оставалась основным вычислительным инструментом инженеров и
конструкторов.
1 Интересно, что Й. Бюрги вместе с И. Кеплером ввели запятую в записи
десятичных дробей.
2П. Лаплас (1749—1827) — французский математик, физик и астроном.
Ему принадлежат многочисленные работы по теории вероятностей
(предельная теорема Муавра — Лапласа), математической физике (уравнение
Лапласа). Он является создателем небесной механики, а также одним из создателей
теории теплопроводности и горения, исследователем капиллярных эффектов
и других разделов математики и естествознания. Интересно, что Наполеон
назначил П. Лапласа министром внутренних дел, однако через два месяца
освободил его от должности, сказав: «Он во все привносит дух бесконечно малых»
(видимо, П. Лаплас добивался, чтобы отчеты о расходовании средств
сходились до сантима). Известен также ответ П. Лапласа на вопрос о том, где же
в его знаменитой «Небесной механике» место Богу: «Я не нуждаюсь в этой
гипотезе!»
255 § 31. Логарифм
Таким образом, мы видим, что изобретение метода вычислений
и построение соответствующих таблиц приходятся как раз на время
начала промышленной революции, потребности которой и
обслуживались новыми методами и инструментами вычислений.
Интересно также рассмотреть вопрос о выборе основания степени,
которое, как мы видим, у разных авторов таблиц было разным.
Пусть в качестве основания степени выбрано некоторое число
а > Ь. Тогда для создания таблицы нужно вычислить показатели
степени для чисел от 1 до а, идущих с некоторым шагом, а также,
наоборот, для показателей, идущих с некоторым шагом от 0 до 1,
восстановить соответствующие степени. Такая таблица с основанием
а будет больше, чем аналогичная с основанием Ъ (ведь при
одинаковом шаге от 1 до а нужно большее число шагов, чем от 1 до 6). В то
же время, при большой точности возведения в степень (например,
с шагом 10~8) результаты возведения числа Ъ в две соседние степени
будут различаться меньше, чем такие результаты для числа а.
Значит, для обеспечения необходимой точности вычислений нужно
будет произвести их больше. Поэтому слишком близкое к 1 число
брать так же плохо, как и слишком большое. Наиболее оптимальным
в этом смысле является число £, о котором подробно рассказывается
в главе VII.
2. Определение и простейшие свойства логарифма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть а > 0, а ф 1. Логарифмом положительного числа b по
основанию а называется такая степень, в которую нужно
возвести число а, чтобы получить число Ь.
В записи loga Ь число а называется основанием логарифма, а
число Ъ — аргументом логарифма.
Обозначение: loga6.
Символически определение логарифма молено записать так:
logab = х <=> ax = b.
Пример 21. Iog381 = 4, так как З4 = 81; Iog42= —, так как 42 = 2;
о з 2
Iog25125= -, так как 252 = 125. Ш
с*
О Из определения логарифма ясно, что его можно найти лишь
для положительных чисел, поскольку Ъ — ах > 0. Таким образом,
логарифм определен лишь для положительных чисел!
Аналогично определению корня можно сказать и так: loga6 — это
обозначение для решения уравнения ах — 6.
2561 Глава V. Корень, степень, логарифм
Почему в определении логарифма основание берется
положительным? Пусть, например, а = — 4. В какую степень нужно
возвести это а, чтобы получить, например, 2? Такой степени нет! Равно
как нет такого показателя для подавляющего большинства
вещественных чисел (всех, кроме целых степеней числа —4, ведь -4 ни в
какую степень, кроме целой, не возвести). Поэтому рассматривать
логарифмы с отрицательным основанием не имеет смысла.
Также не имеет смысла рассматривать логарифмы по
основанию 1. Ведь в какую бы степень ни возвести 1, будет получаться 1.
Значит, ни у какого числа, кроме 1, не будет логарифма по основа- ,.
нию 1. В то же время логарифмом по основанию 1 от 1 может
служить любое вещественное число. Поэтому символ log! бессмыслен 1
для всех чисел, кроме 1, а для 1 принимает какое угодно значение^
Такой символ никому не нужен! ш
О Отметим, что из определения следует, что логарифм 1 по
любому основанию равен О.
Пример 22. Решим уравнение: а) 2х = 3; б) log^.4 = 2.
□ а) По определению логарифма х = Iog23.
б) По определению логарифма log^. 4 — это такая степень, в
которую нужно возвести х, чтобы получить 4. Уравнение говорит нам, что
эта степень равна 2. Значит, х2 = 4. Кроме того, х > 0 и х Ф 1. Таким
образом, ответ: х = 2.
х2 - 4,
Это решение можно записать так: log^. 4=2»
х > О, <=> х = 2. Ш
Пример 23. Решим уравнение Iog3(x2 - 1) = 2.
□ По определению логарифма левая часть данного уравнения — это
степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить х2 — 1. Из уравнения
следует, что эта степень равна 2. Значит, х2—\ — З2, откуда
Ш
Обратим внимание на то, что в данном решении не проверялось,
что х2 — 1 > 0, поскольку мы искали те х, при которых х2 — 1 равно
степени положительного числа, т. е. положительно.
Пример 24. Решим уравнение log^x + 3) = 2.
□ По определению логарифма левая часть данного уравнения —
это степень, в которую нужно возвести х, чтобы получить х + 3. Из
уравнения следует, что эта степень равна 2. Тогда х2 = х + 3. При
этом, так как х находился в основании логарифма, нужно учесть х> О
их^1. Таким образом, получаем ответ: х = (второй корень от-
сеивается, так как является отрицательным).
j_§ 31. Логарифм
Более кратко данное решение можно записать так:
Vl3
х =
X — X + О,
2
О,
=
Обратим внимание, что и в данном примере мы не проверяли
условие х + 3 > 0, так как из решения следует, что оно равно квадрату
положительного выражения.
На основании определения логарифма получаем:
ТЕОРЕМА (основное логарифмическое тождество) ——————
Пусть а>0,а^1иЬ>0, тогда a]°Qa b= b.
О В самом деле, если возвести число а в ту степень, в которую его
надо возвести, чтобы получилось 6, то получится Ь. Ш
Пример 25. Вычислим 25logs7.
Q 25logs7 = (52)log5 7= 521ogs7= (5logs7)2 = 72 = 49. H
ТЕОРЕМА __---_-——__—^^
I Если логарифмы по одному и тому же основанию от чисел рав-
I ны, то сами числа равны.
□ доказательство. Пусть logaЪ = logac = t. Так как loga& = t, то по
определению а* = Ъ. А так как logac = t9 то по определению а* = с.
Следовательно Ь = с. Ш
Эта теорема, несмотря на свою очевидность, имеет важное
значение, особенно при решении уравнений, так как позволяет заменять
равенство чисел равенством логарифмов и наоборот.
Пример 26. Решим уравнение:
а) Iog3(* + 2) = Iog3(2x); б) Iog5(x - 1) = Iog5(2x).
D а) Вместо равенства логарифмов с одинаковыми основаниями
запишем равенство выражений: х + 2 = 2х, откуда х = 2. Проверка
показывает, что при данном х аргументы обоих логарифмов положительны,
т. е. логарифмы определены и х = 2 является решением уравнения.
б) Вместо равенства логарифмов с одинаковыми основаниями
запишем равенство выражений: х — 1 = 2х, откуда х = — 1. Однако при
х = -1 аргументом логарифма оказывается отрицательное число!
Поэтому у данного уравнения решений нет.
В отличие от уравнения пункта «а» здесь проверка области
определения привела к отсеиванию корней.
2581 Глава V. Корень, степень, логарифм
Краткая запись решения может быть такой:
Iog5(* - 1) = Iog5(2*) «
Опять обратим внимание на то, что мы не записываем в системе
условие х — 1 > 0, так как при решении находимы те х, при которых
х - 1 = 2х, а 2х > 0. И
В заключение отметим, что существует несколько чисел, которые
наиболее часто встречаются в качестве оснований логарифмов, поэтому
для логарифмов по таким основаниям введены специальные символы:
\gx — log10x — этот логарифм называется десятичным;
lnx = logex — этот логарифм называется натуральным (е~ 2,71828...,
подробнее об этом числе см. в главе VII).
В информатике часто употребляется также логарифм по
основанию 2, который иногда обозначают 1Ь, однако это обозначение еще не
стало общепринятым.
Пример 27. Докажем, что Iog23 — иррациональное число.
П Будем доказывать от противного. Пусть log2 3 = —, где ре Z, qeN.
£ ^
Это значит, что 2q = 3 по определению логарифма. Тогда 2р = 3?.
Очевидно, что р Ф 0. Если р < 0, то 2р < 1, а 3?>1, а значит, равенство
2р — 3q не может выполняться. Если же р — натуральное число, то мы
получим равенство двух натуральных чисел, одно из которых в своем
разложении на простые множители содержит только двойки, а
другое — только тройки, что противоречит основной теореме
арифметики. Полученные противоречия доказывают утверждение задачи. И
В предыдущих рассмотрениях осталось недоказанным то, что
существует логарифм каждого положительного числа по любому
положительному, не равному 1, основанию.
Этим утверждением мы активно пользуемся (иначе трудно
объяснить, почему существует, например, Iog23 из предыдущего
примера). Доказательство данного утверждения в курсе приведено не
будет. Во всяком случае, это утверждение того же ряда, что и
существование корня квадратного из любого положительного числа
(и доказывается примерно так же). Поэтому если в курсе основной
школы никто не усомнился в существовании корня квадратного,
нет оснований сомневаться и в существовании логарифма!
3. Свойства логарифмов,
связанные с арифметическими действиями
Поскольку логарифм есть не что иное, как показатель степени, то
свойства логарифмов повторяют свойства показателей степени.
Например, если степени перемножаются, то показатели складываются.
Поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
31- Логарифм
Объединим свойства логарифмов, связанные с арифметическими
действиями, в теорему:
ТЕОРЕМА (о свойствах действий с логарифмами)
1 Пусть
Тогда:
1. loga
3. loga
а >
(be)
ba =
0, a*
= loga
aloga
: 1, b
b.
>0,
За С
c>0, (
2.
4.
s
lOQaf
iogaa
Ь
С
ь
вещественные числа.
= loga b - loga с.
П доказательство. 1) В левой части равенства степень, в которую
нужно возвести число а, чтобы получить 6с, а в правой части — сумма
степеней, в которые нужно возвести число а, чтобы получить числа Ь
и с. По правилам действий со степенями при перемножении степеней
с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываются,
следовательно, можно записать:
alogafo+ logac_ alogab . a\ogac _ fc
Значит, правая часть доказываемого равенства — это показатель
степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить 6с, т. е.
loga(6c).
Аналогично доказываются свойства 2 и 3. (Докажите их
самостоятельно.)
Докажем свойство 4. Требуется убедиться, что показатель
степени, в которую надо возвести aa, чтобы получить число 6, равен — loga6.
Для проверки этого возведем aa в степень — loga6. Получим
(a«)^log«fe= a"-h°eab= alogab= Ъл ш
Замечание. К равенствам, упомянутым в теореме, в полной мере
относятся замечания о свойствах корней четной степени. Например,
loga(6c) определен при a > 0, а ^ 1, бс > 0, при этом числа бис могут
быть оба отрицательны. Поэтому, например, равенство 1 можно
записать так: loga(6c) = loga|6| + loga|c|. Однако такое равенство нельзя
«прочесть справа налево», ибо правая часть определена при 6^0,
с Ф 0, а левая часть — лишь при be > 0.
Аналогичное замечание имеет место относительно свойств 3 и 4.
Например, выражение log2x2 определено при х Ф 0, а 21og2x — при
х > 0. Поэтому верное равенство в данном случае выглядит так:
log2*2 = 21og2|x|.
По тем же причинам не верно равенство log 4 5 = —log 5, а верно
i х 4
равенство log 4 5 = -logi i5.
2601 Глава V. Корень, степень, логарифм
2
Пример 28. Вычислим Iog5- + log25 2,25.
3
П Рассмотрим второе слагаемое:
log25 2,25 = Iog52(l,5)2 = ±log5(l,5)2 = \. 21og5 1,5 = log5 1,5.
Тогда значение искомого выражения равно
2
log5 | + log5 1,5 = Iog5[| -1.5] = bg5 1 = 0. Ш
Пример 29. Избавимся от знака логарифма в записи числа 8log43~log167.
□ Поскольку основание степени и основания логарифмов
являются степенями числа 2, разумно представить их в виде этих степеней.
Имеем
glog43-log167 _
3
(2log23)2
74
Пример 30. Решим уравнение
Iog8((* - 3)(х - 2)) - log3((x - 2)(x - 5)) = -1.
П Преобразуем левую часть, приведя ее к виду логарифма частно-
у. О у. Я1
го. Получим log3 = -1, откуда = -, откуда х = 2. Однако
X — О X — О о
х = 2 не входит в область определения данного уравнения, ибо
обращает в нуль аргумент логарифма. Поэтому ответ: решений нет.
То же самое решение может быть записано так:
Iog8((x - 3)(* - 2)) - Iog3((x - 2)(х - 5)) = -1 <=>
(х-3)(х-2)>0,
(х-2)(х-5)>0, _ (х-2)(х-5)>0,
х-3 1
Пример 30 показывает, насколько внимательно нужно
относиться к преобразованиям логарифмических выражений. При решении
уравнений и неравенств нужно следить за сохранением области
определения.
2611 § 31. Логарифм
4. Формула перехода к другому основанию
Рассмотрим основное логарифмическое тождество и найдем
логарифм от обеих частей равенства по произвольному основанию с (с > 0;
с Ф 1). Это возможно, так как равенство логарифмов эквивалентно
равенству их аргументов.
Имеем logc(alog«b) = logc6. Воспользовавшись свойством 3 теоремы
о свойствах действий с логарифмами, получим следующее полезное
равенство:
logca • loga6 = logc6. (1)
Эта формула имеет также другой вид, называемый формулой
перехода к другому основанию:
\ogab = -——
logca
(данная формула верна при a > 0, а Ф 1, Ъ > 0, с > 0, с Ф 1).
В таком виде формула выражает логарифм по основанию а через
логарифмы по основанию с. В частности, она означает, что логарифмы
по двум разным основаниям различаются лишь коэффициентом
пропорциональности .
В некотором смысле логарифмы ведут себя как дроби. Сравните:
1 11.11- а Ь Ь
logca • loga& = logc6 и -•-=-•
Пример 31. Вычислим Iog23 • Iog34 • Iog45 • Iog58.
D Согласно формуле (1) получаем Iog23 • Iog35 * Iog58= Iog25 • Iog58 =
= log28 = 3. Ш
Пример 32. Докажем, что alog*c = clogba.
D Поскольку a = clog^a, получаем alog*c = clog^a' log*c = clog*a. Щ
Пример 33. Упростим a lga .
Q В показателе степени стоит отношение двух десятичных
логарифмов. По формуле перехода это отношение равно logalga. Тогда
исходное выражение равно alog«lga = lga. В
Пример 34. Пусть Ig2 = a, Ig3 = &. Выразим через а и & число
25
°g672'
25
D log6— = Iog625 - Iog672 = 21og65 - Iog62 - 2. Поскольку в уело-
i Zi
вии даны десятичные логарифмы, перейдем к основанию 10:
Ig5 Ig5
Ig6 Ig2 + Ig3
2621 Глава V. Корень, степень, логариф
м
Заметим, что 1 = lglO = Ig5 + Ig2, откуда Ig5 = 1 - Ig2 = 1 - а. Следо-
вательно, log6o = .
a + b , p
В то же время Iog62= -^— = . Таким образом, окончательно
25 5a+2fr-2 _ lg6 a + b
О Важным следствием формулы перехода является формула
замены аргумента на основание: log & = .
loga
Пример 35. Вычислим 81log73.
1
□ 81log73 = (34)1о^7 = (3log37)4 _ 74 _ 2401. В
Применяя формулу перехода и ее следствия в уравнениях и
неравенствах, важно следить за областью определения.
Пример 36. Решим уравнение log2x • log^Cx + 3) = 2.
□ Преобразуем левую часть уравнения log2x • к^(х + 3) = log2(^ + 3).
Тогда, решая уравнение, получаем Iog2(x + 3) = 2, откуда х = 1.
Однако х = 1 не может быть корнем уравнения, поскольку в основании
второго логарифма окажется 1. Таким образом, у данного уравнения нет
решений. Ш
5. Логарифмическая функция и ее монотонность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть а > 0, а ф 1. Функция f (x) = 1одах называется
логарифмической функцией.
Естественная область определения логарифмической функции —
(0; +оо).
Как следует из формулы перехода, любые две логарифмические
функции отличаются лишь коэффициентом пропорциональности.
Таким образом, молено изучить одну из них и получить сведения про все
функции.
Исследуем на монотонность функцию y = lgx. Пусть х1>л:2>0.
Рассмотрим lgXi - lgx2 = lg—. Поскольку — > 1, то lg— > 0, ибо по-
х2 х2 х2
казатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить
число, большее 1, должен быть положителен (см. замечание на с. 245).
Таким образом, функция у = Igx возрастает на всей области
определения. Значит, если х > 1, то Igx > 0, а если х < 1, то Igx < 0.
263J §31. Логарифм
Пусть а > 1. Тогда logax =
lg*
Iga '
Поскольку lga>0, функция logax
получается из возрастающей функции
умножением на положительный
коэффициент -—, т. е. возрастает.
Iga
При 0 < а < 1 функция loga x
получается из возрастающей функции
умножением на отрицательный
коэффициент -—, т. е. убывает.
Iga
Схематически графики функции
у = loga х при различных а
представлены на рисунке 5.6. Графики всех
логарифмических функций проходят через
точку (1; 0), поскольку при всех а > 0,
а Ф 1 выполнено loga 1 = 0.
Рис. 5.6
О Пусть у = ах, тогда х = logay. Таким образом, показательная и
логарифмическая функции с основанием а являются
взаимно-обратными.
Поэтому свойства монотонности логарифмической функции могли
быть получены из свойств монотонности показательной (что
фактически и было сделано, ведь монотонность показательной функции
являлась содержанием свойств 1 и 2 теоремы о сравнении степеней § 30).
Пример 37. Решим неравенство: а) Iog2(^: — 1) < 2; б) logl(x +1) > —1.
2
D а) Поскольку y = log2x — возрастающая функция, то
неравенство Iog2(^: — 1) < Iog24 равносильно 0 < х — 1 < 4 (левая часть
неравенства учитывает область определения логарифма), откуда ответ:
б) Поскольку у =
— убывающая функция, то нера-
венство log^x + 1) > log! 2 равносильно 0 < х + 1 < 2, откуда ответ:
2 2
*е(-1; 1). Ш
Пример 38. Сравним Iog23 и Iog34.
D способ 1. Вычтем 1 из обоих чисел. Получаем, что необходимо
3
3 1Og22 ., .. 8
Q Л Л
сравнить log2- и log3-. Имеем log3- <
ку Iog23 > 1. Значит, Iog23 > Iog34.
log2 3
о > посколь-
2
264 Глава V. Корень, степень, логарифм
способ 2. Рассмотрим частное
= Iog34 • Iog32. Требуется до-
Iog23
казать, что эта величина меньше 1. Используя неравенство о средних
геометрическом и арифметическом, получим:
Iog34+log32 Iog38 Iog39
<= 1
откуда и следует требуемое неравенство. Щ
И Задачи и упражнения
Определение корня л-й степени.
Свойства корней, вытекающие из определения
Группа А
V.I. Вычислите (устно):
a) V64 - tf^; б) ^32 + V81;
^/64
в)
г)
V.2. Вычислите:
а) з/0,027 + 5/0,00032; б) б/Гв - —1 • 0,00001;
в) ^/96-486-3/0,084.—; г) 5/1952-12 500; д) ^л/512-л/729.
V.3. Сравните числа:
a) V7 - 2 и ^/26 - 3; б) «/0,199 - ^/02 и «/1,199 - ^U2;
в) V80 + V80 и ^80 + V80.
V.4. Найдите естественную область определения функции:
а)
; б)
; в)
-3)^-*/!3^; г)
V.5. Решите уравнение:
а) х5 = 33; б) хб = 33; в) Зх4 - 5 = 0; г) 7х5 + 8 = 2.
V.6. Найдите: а) [^Зб]; б) [Vl23~]; в) [^/-317]; г) [-^15б].
V.7. Решите уравнение:
a) %J2x-1 = 3; б) fax + 1 = 2; в) 2^/3jc-1 + 6=5;
-8+2 = 1; д) 1х* + 5л:4 - 2 = 0; е) Зх6 - 5х3 - 2 = 0.
г)
265 Задачи и упражнения
Группа В
V.8. Выразите только с помощью символов корня и знаков
арифметических действий:
a) {V223}; б) {-^/228}; в) {^-317}; г) {^/-239}.
V.9. Решите уравнение:
а) ^/х5 + х - 1 = х; б) ^/х4 - х - 1 = х;
в) з/х3 - х2 + х = 2 - х; г) 4/х4 - 6х3 + 33 = х - 1.
V.10. Решите неравенство:
а) з/2х + 1 ^ 3; б) ^2x71 ^ 3;
в) 3-5/1-2х > 2; г) 5- ^/Зх- 8 ^ 4.
V.11. На рисунке 5.7 изображены графики функций г/ = л/х, г/ = л/^,
у = л/х, г/ = %[х — л/х. Установите соответствие между графиками и
формулами.
Рис- 5.7
V.12. Постройте график функции:
а) у = 2 + Vl. - х; б) г/ = 3- Ух+ 2;
г) у = |2-
Свойства корней, связанные с арифметическими действиями
Группа А
Вычислите (V.13—V.18).
V.l3.a) VI6.5K б) ^.4л/729; в) 0,75^9 : [0,25sSfl; г)
2661 Глава V. Корень, степень, логарифм
V.l4.a)
V.l5.a)
б)
64 ^/-54
в) (Vl62 : V3 : V2 + 2^9) : ^729; г) (V24 +
/2 + р;
л/2
: (4л/з + Зл/б).
V.16. а) л/9 - л/б5 •
V.17. а)
б)
; б)
2л/17.
4л/2 •
^ - V52 • ^/Vi0 - V52.
V.18. a) (l - л/2)
в)
б)
г)
4л/3;
V.19. Упростите выражение:
V.20. Решите уравнение:
} 3V^i 3V^i " ; }
2 •
Группа В
V.21. Упростите:
{3Vl7 } - {3Vl4}
a) -^ ^ 1 J.; 6)
; в)
{VlO2 } - {Vl2}
-.
V6-V2-VT7
Задачи и упражнения
V.22. Вычислите:
в)
г)
-3
^5-^/25^^5
^/40+1 '
2-9V2 42^4+51/2-3 9-ViJ"
V.23. Сократите дробь: а)
; б)
ifx^
ЦХ3У - 4]ху3
V.24. При каких а и Ъ выполнено равенство:
a) aifab = -%[аЯ>; б) Ъ%[а = 64аЬЧ
V.25. Внесите множитель под знак корня:
a) aifs, а > 0; б) Ъ%[2, Ъ < 0; в) Ь^2Ь; г) а
д) abijb3; e) ab§J—2b; ж)
V.26. Какому необходимому и достаточному условию должны
удовлетворять числа а и Ь, чтобы выполнялось равенство:
а) л/a + b = Va + V&; б) л/а + & = Ча+Щ; в) Va + & = Va + V&?
V.27. Вычислите
V.28. Упростите выражение
V.29. Докажите равенство:
-2л/б.
- 3
- 18*2 + 81
х2 - 2х - 3
^; б*)
- l)Jx2-9
1 _ я
Подумайте, из каких соображений можно придумать эти равенства.
V.30. Упростите выражение
V.31. Постройте график функции:
а) f(x) = ,2~ *2+ Х=; б) f(x) =
1$(х2 - 4х + 4)5
V.32. Реп1ите уравнение:
- 2х2 +1)8 -
268! Глава V. Корень, степень, логарифм
Группа С
V.33. Найдите число а такое, чтобы одновременно были целыми числа:
V.34. Докажите, что число з/ = + v3 является целым.
\9 + 5V3
V.35. При каких а естественная область определения функции
f{x) = ^-х2 +2х + а - л/х-4
состоит из одной точки? Чему равно значение функции при
каждом из найденных а?
V.36. Упростите выражение
i
х3 - Зх + (х2 - 1)^х2- 4 J*3 - Зх - (х2 - 1)^х2- 4
2
V.37. Регпите уравнение:
х 5
V.38. Решите уравнение:
б) (х + 1
V.39. а) Найдите многочлен Q (х) с целыми коэффициентами
наименьшей степени, корнем которого является число л/3 + л/2.
б) Найдите остальные корни многочлена Q(x).
в) Пусть Р(х) = х6-6х4- 6х3 + 12х2 - 77х +13. Вычислите
Определение степени с рациональным показателем
Группа А
V.40. Представьте в виде степени числа а: а) л/9, а = 3; б) Vl6, a = 2.
V.41. Вычислите:
4 __1 2
а> Г3#1 3; б) (0,25Р; в) S^-f-Ll % г)
V.42. Вычислите:
а)
; б) (V5 + V§) U* - 3^1 (V5
Задачи и упражнения
V.43. Пусть f{x) = fax - zyx + a.
а) Найдите Dif) при a = 0.
б) Найдите все значения a, при каждом из которых /(99— 70V2) < 1.
в) При каких а справедливо равенство Dif) — [1; +оо)?
Решите неравенство (V.44, v.45).
~~2 + 1 . Л _ 3
V.44. а)
V.45. а)
3-^+2
0; б)
0; б) (х- 1)%](х- 2)(х- 4) ^ 0.
V.46. Решите уравнение:
V.47. Дано неравенство ^2х - а - 1 < ^/2а - х - 3. Решите его при:
5
а) а = 1; б) а = 0; в) а = -.
3
Выясните, при каких значениях параметра а данное неравенство
не имеет решений.
V.48. Решите уравнение:
2-6х + 1 + з/Зх-1 = 8; б) 34/l6x2-8x + l + 4х = 5.
а)
V.49. Решите систему уравнений:
[фсу = 3 + х;
= 98.
Определение и свойства степени
с рациональным и вещественным показателем
Группа А
V.50. Вычислите:
а) (2V2) 5 -(0,25)4
; б)
б0'8-
-1
V.51. Представьте данное число в виде степени с основанием
а) 73 • 3/3, a = 3; б) 0,25 • V2 • V8, a = 2; в)
г) ЦТб^/б, a = 0,2; д) 2 - V2 • ^2, a =
а:
27о{ Глава V. Корень, степень, логарифм
ж) л/2 + л/3, а = л/3 - л/2; з) л/2 - л/3, а = 5 - 2л/б;
и) л/2-л/З, а = 5 + 2л/б.
V.52. Найдите естественную область определения функции:
2 4
i); б) У=
I _J_ I
Г) у= (б- |5х-1|)7 + (*2- 2л: + 1)"11; д) i/ = (9-х2)3 -
V.53. Сравните числа:
а) 4 Зи 2-°-75; g б) 250-3 и (0,2)"0-5;
в) (V5 - 2)06 и (V7 - 2,5)5; г) (^5 + 2)°'6 и (V7 + 2,5)».
V.54. Вычислите: 1
a) 9:
б) (0,
) 6V3-i. I .9-2.
г)
V.55. Докажите, что число иррационально: а) 23; б) 55.
i+Уб
V.56. Найдите целую часть числа: а) 2^; б) З^"^2; в) -8 2 .
V.57. Упростите выражение:
т + m3/!3" + m3n3
в) I а4 + б7 ] [а2 + б2 ] [а4 - Ь* I;
г)
1.
Р2_
1 2
уз — 2g3 I
-— + р4
Упростите выражение (V.58, V.59).
V.58. а)
х*
I з
- л:)3
+ 0,5(2 - ху • х 4 : (2х - х2)0'25 • х;
Va
3 3
- a
271 Задачи и упражнения
. 4а - 9a~l a - 4 + За"1
В) ' ~7 Л + а0'5 - а-0-5
,2л/а - За 2
,-1
1 \2 2
- X 3.
- а2
-I-
2а2-
a- b
В)
г)
6 -I
a9b 9 -
/ i
a3 -
< 2
а3-
-0,2
(а - б)2 а + 6
2 '
a - 46
a - 9b
62
V.60. Постройте график функции:
- -- i
а) г/ = х3 и г/ = %[х; б)у = х3пу = -=.
V.61. Постройте в одной системе координат графики у = х8, у — х
8
и у = х7.
V.62. Постройте график функции:
I _1
а) у = (х2-4х + 4)6; б) у = (х2+6х + 9) 6.
Решите уравнение (V.63—V.65).
2
V.63. а) (х2 -Зх + 10)з = 4; б)
2/2
V.64. а)
—
Г = —
х - 1 ) 81
1
g
+ 4 = 6; б) х3 - 2х2 - 2 *8 - 2 =
I I £
V.65. а) (х3 - х2 - 4х- З)3 = х; б) (х2 - 4х + 4)5 = (х2 + 2х- 8)5.
272.1 Глава V. Корень, степень, логарифм
Решите неравенство (V.66—V.68).
I £
V.66. а) %[х < х6 + 2; б) х3 > 4%[х - 5.
.1
V.67. а) (х - 2)3 - д/2х - х2 ^ (х2 - 2х)3;
б) (Зх - 2 - х2)7 - (х - 2)2 ^ л/1-х.
V.68. а) (х3 - 2)"4 < (х6 - 14)"4; б) \^—±- I > х0'3.
V.69. Решите систему уравнений < х + У ~
[х*/ = 8.
V.70. Решите неравенство:
а) Ух-1 + 4/Зх-2 ^ ^5 - 4х; б) Vl + х - V~2x - 1 ^
Показательная функция
Группа А
Постройте график функции (V.71—V.73).
V.71. а) у = 2W; б) у= 1-21*1; в) j/=l-2l*"1l; г) у
V.72. а) у = 0,7*"1-1; б) j/ = O,7W"1-l; в) у = |0,7W
V.74. Решите неравенство: а) 22х + 3> 1; б) 0,33*" х > 1; в) 0,5* < 4*.
V.75. При каких а график функции проходит через точку А:
а) /(х) = 32*-1* + Ч А(1;27); б) g(x) = \2Х-а\ + За-2, А(-1;9
V.76. Сравните числа: г- г
a)3V3H3VT4-V5; (2Д)^1и (2,1)^-1
(2,1)^+3 (2,1)^+3
в) (0,01)^-^ _ 2(0,1)^"^ и (0,01)^-^ -
/ I- /— \?/2-2 /г- ,— \2-V6
г) (V5 + V3 - 3) и (V5 + л/3 - 3)
V.77. Решите уравнение: _1
а) 3^-^ = 9; 6)42*-1=f-l *; в) 83*"2 = (0,25)^; г
Рен1ите неравенство (V.78, V.79).
X
V.78. а) З77* ^ зТЗ; б) (0,2)^+ 2х < 5.
V.79.a) (V2 + l)* + fa+3>(V2-l)X; б)
273 Задачи и упражнения
Группа В
V.80. а) Решите неравенство 10* > 5*.
110*- 5*1
б) Постройте график функции у = -.
|Ю*-5*|
в) Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение •— L — ас
V.81. а) Постройте график функции у = ^9Х — 2 • 6* + 4х + 2х.
б) Решите неравенство J9X - 2 - 6х + 4х + 2х > 1.
в) При каких а уравнение у]9х — 2 • 6х + 4* + 2х = а не имеет решений?
V.82. Исследуйте на монотонность и найдите супремум и инфимум
функции или докажите, что их не существует:
Зх+4
a) f(x)= 3-*2*2*-2; б) ^
в) /(х) = 3* + 31-*; г)
49* + 1
V.83. Решите уравнение:
а) 22* + 1 + 3 • 2* = 2; б) 9* + 3 • 3*- х = 12;
в) 8* + 3 • 4*=3 • 2х + 1; г) 32* + 3 + 1 = 4 • 3* + *.
V.84. Докажите неравенства для всех а, Ъ е R и определите, при каких
а и Ъ достигается равенство:
а)^тк<13-564ь2; ««f^H + i*2-
V.85. Пусть М = {(jc; у): 2* + 2*> = 1}.
а) Укажите координаты какой-либо точки А е М.
б) Докажите, что множество М лежит в третьей координатной
четверти.
в) Докажите, что М имеет ось симметрии.
г) Найдите координаты точек пересечения множества М с
прямой у — —х — 1.
д*) Найдите наибольшее значение, которое может принимать
х + у для точек (х; у) е М.
Определение логарифма. Логарифмическая функция
Группа А
Вычислите (V.86—V.89).
V.86. a) Iog327; 6)log3V3; e
V.87.a) logJ 2V23 I; 6) log5^^/5; в) lg(lO3 -
V.88. a) 31+log36; 6) 5-2"log57; в) 8 logs 3
V.89.a) 4log27+i; 6) 921og35+2; в) 3log^7"log949; r)
2741 Глава V. Корень, степень, логарифм
Постройте график функции (V.90, V.91).
V.90. а) у = 21о£2*; б) у = х10^2.
v.9i. а) у = г1;*2**;1*; б) у = з
в) у = xlog-22; г) у = (
V.92. Решите уравнение:
2
а) 3 » = 0,2; б) 4lo*2(*-D= 9;
в) 5log0'2 х=х + 2; г) 4log0'5 * = ^-
V.93. Сравните числа:
a) Iog27 и Iog480; б) logoa6 и log0>01(4K2 +1);
в) Iog25 и Iog35; г) log, 5 и log ,.5;
Постройте график функции (V.94, V.95).
V.94. а) у = Iog2(x - 2); б) у = log3(-х + 3);
в) i/ = logi(x +1); г) у = Iog0i3(-x - 1).
2
V.95. а) у = -|log0i5(-x)|; б) у = Э10^^-1) + 3lo««W; в) logi(2 - |л:|).
Решите уравнение (V.96, V.97).
V.96. а) Зд;-1 = 2; б) 52* + 3 = 7; в) 2*г-*+1=3; г) 5*2~3*+8 = 7.
v.97. a) Iog4(x2-1) = 2; б) Iog2(x2 - Зх) = 2.
Группа В
V.98. Найдите естественную область определения функции:
a) f(x) = log^* - 2); б) f(x) = log6_x(x2 - 4х + 4);
в) f{x) = log;c(4 - х2); г) /(х) = log2X(3* - 3);
д) fix) = log(05), j(3- - 4-); e) /(*) = Iog03,(0,2- - 0,16);
;(4* 2) l(2- 025
ж) /(х) = logx2_6x+gi4* - 2)-logx2_5x+6i2x - 0,25).
Решите уравнение (v.99—•V.105).
V.99. а) д/з^Гг = 2 • 3* - 2; 6) iJ2 • Ъ2х - 5* + 1 = yJ2 • Ъх - 2.
V.100. a) log^-Cx2 - 3x + 2) = 1; 6) log^(x2 - 4x + 2) = 2; в) log^ = -1;
r) logJC + 12 = 2; д)
V.101. a) log(x + 2) 2 = 2; 6) log;c _ t (5x) - 2.
V.102. a) Iog3(2 ■ 3* - 2) = л: - 1; 6) Iog2(5 • 2X - 6) = x + 2.
v.103. a) log9 (2 + 3*) = x; 6) log7 (49^ - 8) = x + 1; в) log4 (4* - 3) = 1 - x.
V.104. a) log2 x ■ (1 - log3 x) = 0; 6) Iog5(x - 2) • f log4x - | J = 0.
и упражнения
V.105. a) Iog2(log3* + 1) = 2; б) Iog3(log2* - 1) = -|.
V.106. Докажите, что число иррационально:
a) Iog53; б) Iog89; в) Iog2412; г) Iog250200.
Выведите критерий рациональности числа loga 6, где а и 6 —
натуральные числа, не равные 1.
V.107. Дана функция f(x) = loga + x(2ax - х2).
а) Имеет ли решение при а = 1 уравнение f(x) = 1?
б) Найдите все значения а, при которых функция f(x) не
определена.
в) Может ли область определения функции f(x) при некотором а
состоять из одной точки?
г*) При каких а имеет решения уравнение f(x) = 1?
V.108. Выразите формулой количество десятичных знаков
натурального числа п.
Свойства логарифма, связанные с арифметическими действиями
Группа А
Вычислите (V.109—V.111).
V.109. а) log2 10 - log2 5; б) log5 75 + log5 -.
V.UO. a) 3l^fio)4\g(Sj2)
0,04
6)3
V.1U. a) log2163V2; 6) log1255V5; в)
; г)
^f ;
д) .0,2^.
A; log4 45 + log4 0,2
Решите уравнение (V.112—v.116).
V.U2. a) Iog2(2x - 1) + Iog2(3 - x) = 1; 6) log2x + log4x2 = 8;
в) \og3x- logi(x + 2)= 1; r) I l l
V.U3. a) Iog2(x - 5) - Iog4(x2 - 4x + 4) = 2;
6) log^x2 + 6x + 1) + Iog3(x + 1) = -1.
9
Группа В
V.114. a) 21g3 + lg
X~9
x + 2
6) Iog2(log3x) + Iog2(log9x) = 1.
2761 Глава V. Корень, степень, логарифм
. a) log2 x2 + log4| *| = -; 6) log3 (x2 - 2x + 1) = log91 x - 11 + 3.
v.116. log о (x2 - 1) + log о 3 = -.
Формула перехода к другому основанию
Группа А
Вычислите (V.117—V.119).
V.117. a) Iog23 • Iog38; б) logT17 • Iog17343.
8. a) 3l°^3; 6) 7 ^7 .
v.119. а) З10^5"1: 5log23; 6) 41
V.120. Найдите Iog4515, если Iog35 = a.
V.121. Найдите Iog836, если Iog122 = b.
V.122. Найдите Iog2018, если Iog32 = a, Iog53 = b.
V.123. Найдите Iog1230, если Iog23 = a, Iog52 = b.
V.124. Найдите Iog53,38, если Ig2 = a, Igl3 = b.
V.125. Найдите logmj -^L , если \ogmn = 2.
\yln )
V.126. Найдите log 24r-(m$Jn), если lognm = V3.
f з/— Л
V.127. Найдите logaJ — , если logaa = -2.
V b ) ~ь
V.128. Найдите log^(a3Vb), если loga 2 = logb 3.
V.129. Найдите log^- ^-(ab2), если log3a = log5b.
V.130. а) Докажите, что при с > 2 из равенства logac = log^c следует
равенство а — Ь.
б) Будет ли из равенства loga с — logb с следовать равенство а = b
при произвольных положительных с?
Решите уравнение (v.131—V.133).
V.131. а) \ogsx + log^.3 = |; б) г^^б - log5x =-3.
V.132. а) log,. + j (л:3 - 9х + 8) • log* _ х (х + 1) = 3;
б) log, + 3(2х2 - 2х + 24) • logx2 _ ж(х + 3) = 2.
V.133. а) 3 + log^ + j9 = log^gCx: + 1); б) log^x2) • logfa: = 4.
277 Задачи и упражнения
Логарифмическая функция и ее монотонность
Группа А
Сравните числа (v.134—v.142).
V.134. a) Iog27 и Iog481; б) Iog0>16 и log001(47C2).
V.135. a) Iog25 и Iog35; б) log/^_33и log/* 723-
V.136. a) Iog823 и 1,5; б) log2 7 и -2,5.
з
V.137. а) 71о^з5 и (0,49)1оез(°>5>; б) (л/б+ 2)log°'57 и (л/б- 2)
V.138. a) 21og73 и Iog0>10,2; б) log^ 2 и log^ ^2 (л/б - 2).
V.139. a) log|5- 2logs5 и log|3- 21og43;
б) log2>56 + 2log056 и log2>55 + 2log0>55;
21ogi3- 1
Ц 21og490,2-l
в) l и ;
logx 3+1 Iog490,2 + 1
7
ч log2 7-2 log4 47-2
r) и .
log2 7-3 log4 47-3
V.140. a) Iog25-log27 и l-log25; 6) logge-log^ и Iog97 + log34;
3
в) log2 7 + 2 log2 3 и 1 - log0>5 35; r) 2 - —?— и logi 5 3.
log2 3
V.141. a) Iog2472 и Iog1218; 6) Iog15675 и Iog7584 375;
в) Iog36 и Iog1872; r) Iog672 и Iog318.
V.142. a) Iog98 и Iog87; 6) Ig9 и logn 10.
Решите неравенство (V.143—V. 148).
V.143. a) Iog3(3x - 1) > 2; 6) logi (4x + 3) > -2.
2
V.144. a) logi (x2 + 3x - 2) > -2; 6) Iog7(x2 + 3x - 39) < 2;
в) logi(x2- 5x)> 0.
V.145. a) 3loS2(^+D ^ 9; 6) Iog0>5(2^ - 1) > 0; в) (0,6)lo^(^2-2^-2) < 1.
V.146. a) Iog0>5^log3^j > 0; 6) logil - Iog0,5^^ijj < 1;
в) loggOogi*) > -1; r) Iog025(log2x + 3) > -2.
2781 Глава V. Корень, степень, логарифм
v.147. a) log2x + Iog2(x + 2) > 2; б) Iog3(x2 - 1) + logx(x + 3) < -1.
о
v.148. a) log!(x - 1) - 2 Iog2(x - 1) - 3 < 0;
б) -2log2!(х + 2) + logi(х + 2) + 6 ^ 0.
3 3
Группа В
V.149. Определите с точностью до десятков, сколько цифр в
десятичной записи числа: а) 2100; б) З100.
V.150. Пусть а(п) — количество цифр десятичной записи числа п.
а) Докажите, что либо а(п2) = 2а (п), либо а(п2) = 2а (п) - 1.
б) Сформулируйте и докажите аналогичную теорему для п3.
Найдите множество значений функции (V.151, V.152).
V.151. a) Iog2(x2 + 6х + 8); б)
~ 2
v.152. a) f{x) = logl (x2 + 1) - 2 log2 (x2 + 1);
V.153. Дана функция g(x) = Iog2(x2 + 4х + а).
а) При а = 1 решите неравенство g(x) < 2.
б) При а = 3 найдите E(g).
в) Может ли E(g) = Л?
г) Найдите все значения а, для каждого из которых
V.154. Решите уравнение:
а) х = 6 + log0>5 х; б) (х + I)2 = V9- х + Iog3(10 - х).
V.155*. а) Докажите, что функция log^x +1) убывает при х > 1.
б) Решите уравнение Iog6_ x(log2^r) = Iog7_jr(log2(2:c)).
V.156. Решите неравенство: a) Iogjr2>-1; б) log4 _^23<1.
V.157. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
неравенство выполнено при всех вещественных х:
a) loga(x2 - х + 2a) ^ 1; б) log2a+ х(х2 + 2х + 4а) > 1;
в) loge_2(2* + a+l)>l; г) Iog3_a(3* + а2 - 6) ^ 1.
Jp
Тригонометрия
Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «триго-
нон» — треугольник и «метрео» — измеряю. Его можно перевести
как «решение треугольников». Основные объекты изучения
тригонометрии — тригонометрические функции: синус, косинус,
тангенс, котангенс. Вы уже встречались с этими функциями в курсе
геометрии, где они помогали вам выразить одни элементы
треугольника через другие.
В данной главе мы подробнее познакомимся с этими
тригонометрическими функциями, которые являются «самыми
естественными» из периодических функций и часто встречаются в физике при
описании различных процессов.
®32. Обобщенный угол.
Измерение углов в радианах и градусах.
Единичная (тригонометрическая) окружность
1. Обобщенный угол
Рассмотрим пример.
Пример 1. При равномерном вращении колеса точка А на его ободе
проходит за одну секунду угол, равный 10°. Сколько полных оборотов
сделает точка А (рис. 6.1) и где она будет находиться относительно
начального положения через минуту?
□ Мы знаем, что в минуте
60 секунд. Значит, за минуту
точка А пройдет угол «600
градусов» — это один полный
оборот (360°) и еще 240°. Можно
изобразить положение точки А
через минуту (рис. 6.2). 11
В этой задаче у нас возник
угол 600°. Все величины углов,
которые до этого вы изучали
Рис. 6.1
280J Глава VI. Тригонометрия
в геометрии, принадлежали промежутку от 0° до 360° (напомним, что
углом в геометрии мы называли часть плоскости, ограниченную двумя
лучами с общей вершиной, и градусная мера такого угла как раз и
находилась в промежутке от 0 до 360°).
Однако часто (например, в приведенной выше задаче), бывает
удобно рассматривать углы как меру поворота. Несмотря на то, что
угол как мера поворота и угол в геометрии называются одним и тем
же словом «угол», это разные понятия.
Рассмотрим окружность с центром О и зафиксированной на ней
точкой А. Заставим теперь точку А «двигаться» по окружности в одном
направлении и рассмотрим ее положение А' в какой-либо момент.
Естественной характеристикой положения точки А является
пройденный ею путь. Ясно, что этот путь однозначно определяется углом, на
который повернулся радиус О А. Этот угол называют углом поворота или
обобщенным углом. Он считается положительным, если точка А
двигалась против часовой стрелки, и отрицательным, если движение точки А
происходило по часовой стрелке. к
Например, если точка А прошла против часовой стрелки - длины
окружности, то соответствующий угол поворота составит 300° (рис. 6.3),
а если точка А прошла по часовой стрелке две длины окружности, то
соответствующий угол поворота составит 720° (рис. 6.4).
Любой обобщенный угол можно представить как несколько
(возможно, ни одного) полных оборотов и часть полного оборота. Таким
образом, любой угол можно представить в виде а + 360° • й, где 0 < а < 360°
и k — целое число. Например, угол в 300° представим как 300° = 300° +
+ 360° • 0, а угол -270° представим как -270° = 90° + 360° • (-1).
Если величина обобщенного угла выражается
целым числом градусов, то такое представление
есть запись деления с остатком численного
значения градусной меры угла на 360.
Приведенный выше текст не является
определением обобщенного угла, а служит лишь его
описанием.
Обратим внимание, что при таком описании
углов у нас получается соответствие между
углами поворота и точками на рассматриваемой на
рисунке 6.4 окружности, причем нескольким углам
может соответствовать одна и та же точка
(например, точка А соответствует углу и 360°, и 720е,
а также всем углам вида 360°й, где k e Z).
Ясно, что верно следующее утверждение.
Утверждение ■
Рис. 6.3
Рис. 6.4
Различным углам соответствует одна и та же
точка окружности тогда и только тогда, когда
углы отличаются на целое число полных
оборотов, т. е. на 360°/с, где к е Z.
281 §32. Обобщенный угол. Измерение углов в радианах и градусах.
Единичная (тригонометрическая) окружность
2. Единицы измерения угла. Радианное измерение углов
В геометрии принято измерять углы в градусах: угол в 1
градус — это — часть прямого угла. Однако существуют и другие едини-
цы измерения угла. Некоторые из них активно используются, другие
совсем забыты, какие-то используются в отдельных областях
(например, град. Угол в один град — сотая часть прямого угла)1. При этом
самой удобной единицей измерения углов и дуг часто оказываются не
градусы, а так называемые радианы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Углом в 1 радиан называется центральный угол,
опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности (рис. 6.5).
Из курса геометрии известно, что длина
окружности радиуса г равна 2 л г. Следовательно, дуга
длины г составляет — часть окружности, а значит,
2л
центральный угол, опирающийся на эту дугу,
составляет — часть от угла 360°, т. е. градусная мера
2л
л 360° 180° ^ л
угла в 1 радиан равна = . Таким образом,
2 л л Рис. 6.5
определенная величина угла в 1 радиан не зависит
от радиуса окружности, т. е. введенное определение корректно.
Пример 2. Найдем, сколько градусов составляют углы в л радиан;
6 радиан.
п, тт л 180°
0 Поскольку угол в 1 радиан составляет , то угол в л радиан со-
л
180°
ставляет л = 180°. Аналогично, угол в 6 радиан составляет
п п
Легко вывести и общие формулы перевода градусной меры в ради-
анную и обратно:
о л 180 о
ос° = —— • а радиан, х радиан = х°.
180 л
Так как в математическом анализе в основном встречается
измерение углов в радианах, то единицу измерения радиан часто опускают,
таким образом равенство л радиан = 180° записывают в виде л = 180°.
Измерение углов в градах появилось во времена Французской
революции, когда революционными декретами вводилась десятичная система мер.
Эта единица активно использовалась в артиллерии и баллистике.
282J Глава VI. Тригонометрия
3. Изображение вещественных чисел
на единичной окружности
Рассмотрим окружность единичного радиуса, помещеную в
прямоугольную систему координат. Пусть центр окружности совпадает
с началом координат. Отметим на окружности точку Ро(1; 0).
Рассмотренную окружность с отмеченной на ней точкой Ро будем
называть тригонометрической (иногда просто единичной) окружностью
(рис. 6.6). В рассматриваемой системе координат эта окружность
задается уравнением х2 + у2 = 1. Поставим в соответствие каждому
действительному числу t точку Pt на окружности по следующему правилу:
Если число t положительно, то, двигаясь по
окружности из точки А, опишем против
часовой стрелки путь длиной t. Конец этого пути
и будет точкой Pt (говоря неформально, мы как
бы «наматываем» числовую ось на окружность).
Если число t отрицательно, то, двигаясь
по окружности из точки Ро, опишем по часовой
стрелке путь длиной t. Конечной точкой этого
пути будет точка Pt.
Числу 0 сопоставим точку Ро.
После того как мы описали это соответствие,
у нас получилась вторая геометрическая модель
цля множества действительных чисел. Ее
главное отличие от первой модели — числовой
прямой, — заключается в том, что каждой точке на прямой соответствует
ровно одно число, а здесь одной точке соответствует бесконечно много
чисел. Очевидно, что два числа соответствуют одной и той же точке
тогда и только тогда, когда они отличаются на 2лй, где k — целое число.
Эта модель будет удобна нам, в частности, для определения
тригонометрических функций произвольного числа.
Пример 3. Отметим на одной единичной окружности точки, соответст-
v 13л
вующие числам: а) :
Рис. 6.6
б) 3; в) 50.
П а) Числу
13л
соответствует та же точка,
что и числу — =
6
13л
6
- 2л (рис. 6.7).
50
б) Число 3 немного меньше л ~ 3,14 (а
именно л — 3 < — , поэтому соответствующая этому
16;
Рис. 6.7
числу точка находится во второй четверти,
находясь на оси абсцисс на расстоянии «по дуге
окружности» меньшем, чем одна шестнадцатая
часть полуокружности (рис. 6.7).
283 §33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
в) Поделив число 50 на я (например, на калькуляторе), получим
приблизительно 15,9. Легко проверить, что выполняются неравенства
15,9я < 50 < 16я. Таким образом, чтобы отметить точку,
соответствующую числу 50, мы должны сделать 7 полных оборотов (по 2я) и еще один
почти целиком (на число, большее чем 1,9я). Исходя из этого,
приближенно отмечаем точку С, соответствующую числу 50 (рис. 6.7). Ш
Пример 4. Отметим на одной единичной окружности точки,
соответствующие числам 2, 8, .
о
□ Вместо числа 8 будем рассматривать число
8 - 2я (им соответствует одна и та же точка),
14я 2я гг,
а вместо числа число —. Теперь все рас-
3 3
сматриваемые числа находятся в промежутке
-;я I (действительно, 1,72 = 8-2 • 3,14>8-2я>
V2 )
> 8 - 2 • 3,15 = 1,7 > —— > — | и выполняются
следующие неравенства: — < 8 - 2я <2< — < п.
Z 3
Соответственно можно отметить на окружности
точки (рис. 6.8). Ш
Пример 5. Определим координаты точки Р на
Зл
окружности, соответствующей числу —.
4
D Рассмотрим треугольник РОВ (рис. 6.9). Он
равнобедренный и прямоугольный, гипотенуза
равна 1. По теореме Пифагора можно вычислить
длину катета —. Учитывая знаки, получаем ко-
ординаты точки Р3п ; — .И
TV 2 2 )
Рис. 6.9
033. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
1. Синус и косинус числа. Вычисление значений
В курсе геометрии определялись синус и косинус для углов от 0
до 180°. Однако часто встречаются задачи, в которых нужно работать не
с углами, а с физическими величинами: временем, температурой,
скоростью и т. п. Поэтому сейчас мы определим синус и косинус для
произвольного числа.
284 Глава VI. Тригонометрия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть вещественному числу а соответствует точка Ра на
тригонометрической окружности.
Число, равное ординате точки Ро> называется синусом
числа а и обозначается sin a.
Число, равное абсциссе точки Ра, называется косинусом
числа а и обозначается cos а. (рис. 6.10).
Замечание. На самом деле мы фактически
определили не только синус и косинус числа, но
и синус и косинус произвольного обобщенного
угла.
Каждому вещественному числу t
соответствует обобщенный угол, на который нужно
повернуть радиус ОР0, чтобы получить радиус 0Pv
Можно считать, что синус и косинус числа t
суть синус и косинус соответствующего
обобщенного угла.
В дальнейшем изложении на протяжении
этой главы мы не будем делать различия
между вещественным числом и соответствующим
ему обобщенным углом, употребляя слова «число» и «угол» как
синонимы.
Очевидным является утверждение:
Утверждение ■-----—--■---—~--------------------------^
Рис. 6.10
Определение синуса (косинуса) для углов от 0 до 180° задает такое
же число, как и определение синуса (косинуса) углов, изучавшееся
в курсе геометрии.
Из геометрии мы уже знаем значения синуса и косинуса для
некоторых углов. Воспользуемся этими знаниями, чтобы составить
следующую таблицу:
Угол х
в градусах
в радианах
sinx
cosx
0
0
0
1
30°
к
6
1
2
л/3
2
45°
п
4
л/2
2
л/2
2
60°
к
3
л/3
2
1
2
90°
я
2
1
0
2В5 §33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
а
Рис. 6.11
х
Рис. 6.12
Рис. 6.13
Пример 6. Для каких углов а (180° < а < 270°) выполняется
неравенство sin a < sin 200°?
D Из рисунка 6.11 видно, что если угол находится в третьей
четверти, то чем больше угол, тем меньше его синус. Значит, неравенство
выполняется для углов, больших 200°, т. е. ответ: 200° < а < 270°. Ш
Пример 7. Сравним sin5 и sin6.
(Зл Л
Q Числа 5 и 6 попадают в промежуток —; 2я . В этом
промежутке значения sint увеличиваются с увеличением t9 следовательно,
sin6>sin5 (рис. 6.12). Ш
Пример 8. Решим неравенство cost > 0,5.
D cost — это абсцисса точки, изображающей число t на единичной
окружности. Поэтому решениями неравенства являются те и только те
числа, для которых абсциссы соответствующих им точек будут
больше 0,5. Отметим на единичной окружности точки с абсциссой
больше 0,5 (рис. 6.13). Для того чтобы решить неравенство, осталось
понять, какие числа соответствуют данным точкам. Ясно, что это числа,
( п пЛ
принадлежащие промежутку ; — , а также отличающиеся от них
V 3 3У
на 2nk9 k g Z. Ответ можно записать в виде объединения промежутков
U [ -—
; -
3
. Такая запись означает, что рассматриваются
всевозможные промежутки вида |
о
•)
; — + 2nk | при различных
3
целых k (например, ("^ § ] Для * = О, I -у-; -у-1 для k = 1,
т. д.) :
Другая запись ответа: -^
I ; I для k = — 1 и т. д.) и берется их объединение.
13 3 J
2nk; ^- + 2nk\, k eZ. Ш
3
286 Глава VI. Тригонометрия
2. Основное тригонометрическое тождество
Пусть числу t соответствует точка Pt на
тригонометрической окружности. Ее координаты (cosf;
sin t) (рис. 6.14). Так как уравнение
тригонометрической окружности х2 + у2 = 1, получаем, что
координаты точки Pt связаны соотношением:
(1)
-1
Полученное равенство называется основным
тригонометрическим тождеством.
Кстати, из основного тригонометрического
тождества следует ограниченность синуса и
косинуса: | sin f | ^ 1 и | cos * | ^ 1.
Пример 9. Может ли синус некоторого числа равняться —, а его коск-
Рис. 6.14
нус равняться
(-§>
D Нет, так как —
3
+ —
3
т. е. эти числа не удовлетворяют
основному тригонометрическому тождеству. Ш
У к Примерю. Синус угла а равен -. Вычислим ко-
1 синус а. 3
П Из основного тригонометрического тожде-
Q
ства получаем, что cos2 а = 1 - sin2 а = -. Значит,
cos а = ± . Из рисунка 6.15 видно, что возмож-
о
ны оба случая, т. е. однозначно косинус а мы
определить не можем — только с точностью до знака. Ill
Пример 11. Решим уравнение sin3х + cos3х = 1.
D Из того, что sinx ^ 1 и cosx^ 1, можно
сделать вывод, что sin3x ^ sin2x и cos3x ^ cos2*.
ТаРис. 6.15
ким образом, получаем sin3x + cos3x ^ sin2x + cos2x = 1. Тем самым,
для достижения требуемого равенства sin3 x + cos3 x = sin2 x + cos2 x
необходимо одновременное выполнение равенств sin3 x = sin2 x и cos3 x = cos2 я.
Запишем и решим систему:
sin х = О,
sinx = 1,
cos x = О,
cosx = 1.
[sin3x = sin2x,
|cos3x = cos2x
287 §33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
Если sinjc = 1, то cosx = 0, а если cosx = 1, то sinx = 0, поэтому
решениями системы будут числа вида 2лй, k e Z, или — + 2лй, k e Z. Ш
А
3. Простейшие свойства синуса и косинуса
Докажем некоторые простейшие свойства синуса и косинуса.
ТЕОРЕМА
Для любого числа t верны следующие свойства:
1. sin (t + 2кк) = sin t и cos (t + 2пк) = cos t для любого к eZ.
2. sin (-t) = -sin t. 3. cos (-0 = cos f.
4. sin (n + t) = -sin t. 5. cos (n + t) = -cos t.
6. cos --t\ = s\nt.
2
7. sinj--f| = cosf.
□ доказательство. Свойство 1 следует из того, что числа вида
t + 2nk, fee Z, изображаются одной точкой, координатами которой
являются косинус и синус данных чисел.
Доказательство свойств 2 и 3 основано на том, что точки,
соответствующие числам t и -t, симметричны относительно оси Ох (рис. 6.16).
Свойства 4 и 5 следуют из того, что точки, соответствующие числам
f и 71 + tj симметричны относительно начала координат (рис. 6.17).
Остановимся подробнее на свойстве 6. Это свойство хорошо вам
знакомо для углов прямоугольного треугольника. В самом деле, если
один из острых углов прямоугольного треугольника равен а, то другой
равен — - а, и синус одного из них равен косинусу другого. Свойство 6
является обобщением данного факта.
При доказательстве свойства 6 придется разбирать случаи
расположения чисел в разных четвертях. Например, для случая, когда t
принадлежит второй четверти, свойство 6 следует из равенства
треугольников АОВ и COD на рисунке 6.18. Ill
/mnt
f
—,_
/
/cos
t
\
\
I —
j
cos(-
n + t
x
Рис. 6.16
Рис. 6.17
Рис. 6.18
288, Глава VI. Тригонометрия
Рассмотренные свойства позволяют вычислить синус и косинус
других чисел (углов), когда мы знаем синус и косинус чисел (углов)
первой четверти.
Пример 12. Вычислим sin .
V 6 )
П По свойству 1 имеем sin
5л , -
= sin — (вычитая или прибавляя
6 ) 6
число, кратное 2л, мы всегда можем «загнать» число в промежуток от
-п до п). По свойствам 4 и 2
5л Г л^1 . f ji^I .л1
sin— = sin л = —sin = sin— = —.
6 ^ 6) V 6J 6 2
Значения синусов и косинусов некоторых углов удобно вычислять
по двум моделям:
модель 1: кратные — (рис. 6.19); модель 2: кратные — (рис. 6.20). 1
ш
4,
(
\
5л
4
л/2"
2
2 1
у
/
т
Рис. 6. 79
6
Рис.
2я
2 /
3
6.20
7С
2
л/
0
\
,—-*
Зя
2
-л/3
2
3
/—\ъ
1\ъ.
4. Решение простейших тригонометрических уравнений.
Арксинус и арккосинус
Иногда в задачах (например, по физике) встречается ответ: синус
искомого угла равен а. Можно ли при этом определить угол?
V2 1
Пример 13. Найдем х9 если: a) sinx= —; б) sinx= —.
2 о
П Оказывается, однозначно определить угол не удается, таких
углов бесконечно много.
а) Из рисунка 6.21 видно, что на окружности имеются ровно две
л/2
точки с ординатой —. По таблице значений синуса и косинуса (с. 284)
§33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
7
2"
^—
/ *
я-arcsin-g-
arcsin |г
Рис. 6.21
Рис. 6.22
находим, что точка, лежащая в первой четверти, соответствует числу
7 (а также всем числам вида — + 2ли, где k e Z).
4 Зл
Точка во второй четверти соответствует числу — (а также всем
числам вида — + 2ли, где k e Z). Таким образом, однозначно опреде-
4
лить угол по значению его синуса нельзя, задача имеет бесконечное
множество решений, которые задаются формулами — + 2 ли или
Зтг
— + 2яй, где k e Z.
4
б) Ситуация похожа на ситуацию в пункте «а». Очевидно, что
существует угол, принадлежащий промежутку 0; — , синус которого
1 1
равен - (рис. 6.22), однако в таблице синусов нет значения —, поэтому
3 3
соответствующий угол мы в явном виде записать не сможем.
Появляется необходимость в новом названии этого угла. Говорят, что этот
угол равен arcsin— (читается: арксинусу —). Обратим внимание, что из
3 3 1
множества углов первой четверти, синус которых равен - (и которые
о
отличаются друг от друга на целое число, кратное 2л), мы выбрали
(Л лЛ .1
угол, принадлежащий промежутку О; — , т. е. фактически arcsin
V 2J 3
это такой угол из промежутка О; — , синус которого равен —. Ясно,
\ 2 ) 3
что в этом промежутке такой угол существует, и единственный.
„ 1
Но на единичной окружности существуют две точки с ординатой —
о
(рис. 6.22). Из равенства отмеченных углов на рисунке 6.22 ясно,
что одно из чисел, соответствующих точке во второй четверти, есть
к -arcsin — . Все числа, соответствующие точке первой четверти, запи-
3 »
10-Пратусевич, 10 кл.
290] Глава VI. Тригонометрия
сываются в виде arcsin- + 2rcft, k е Z, а все числа, соответствующие
3
точке второй четверти, — в виде п — arcsin— + 2nk9 k e Z. Эти две се-
о
рии решений и есть ответ задачи. Ш
Дадим определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ————■■••■■—^^
Пусть —1 < а < 1 - Тогда арксинусом числа а называют такое
число f, что синус t равен а и t e
-^-; ^-
(рис. 6.23).
Иными словами, арксинус числа a — это решение уравнения
Г к к~\
sinx = а на отрезке —; — .
Обозначается арксинус следующим образом: arcsin а.
Определение корректно, поскольку любая горизонтальная прямая
у - а при -1 ^ a ^ 1 пересекает правую полуокружность
тригонометрической окружности в единственной точке, и тем самым решение
уравнения здесь единственное.
Пример 14. Решим уравнение sinx = 0,2.
□ х- arcsin 0,2 + 2nk, k e Z, или х = п - arcsin 0,2 + 2яй, k e Z. Ш
Аналогично можно ввести понятие арккосинуса.
л/2
Пример 15. Решим уравнение cosх = —.
2 J2
О Отметим на окружности точки с абсциссой — (рис. 6.24). Этим
точкам соответствуют числа вида —ь 2яй, k e Z, или ь 2яй, k e Z.
4 4
Эти две серии можно объединить в одну: х = ±— + 2яй, k e Z. Ш
4
2
т
\ a
п
2
Рис. 6.23
/arpsin о
V
V.
Рис. 6.24
2
п
4
] \
J
/
п
4
arccos a
Рис. 6.25
. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс
Опять в данном примере углы получились «хорошие», а в случае
решения уравнения cos x — а при других а нам понадобились бы новые
названия углов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть -1 < а < 1. Тогда арккосинусом числа а называют
такое число f, что косинус t равен а и t е [0; п] (рис. 6.25).
Обозначается арккосинус числа а следующим образом: arccosa.
Определение корректно, поскольку для любого числа от -1 до 1
такой угол в указанном промежутке будет существовать, и притом
только один.
Пример 16. Решим уравнение: а) cos* = л/2; б) cosx = .
I— i i
Q а) Решений нет, так как л/2 > 1, а |cosx| ^ 1.
( 1 Л
б) х = ±arccos + 2яй, k e Z. Ш
12 у
034. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс
1. Определение тангенса и котангенса.
Геометрическое изображение тангенса и котангенса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число, равное отношению синуса числа t к косинусу числа f,
называют тангенсом числа t и обозначают tgf, т. е.
Тангенс определен для всех чисел, косинус которых не равен 0,
т. е. для чисел, не равных — + яй, k e Z.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число, равное отношению косинуса числа t к синусу числа f,
называют котангенсом числа t и обозначают ctgf, т. е.
Котангенс определен для всех чисел, синус которых не равен 0,
т. е. для чисел, не равных nk9 k e Z.
Пользуясь таблицей значений синуса и косинуса углов первой
четверти, которая была приведена на с. 284, можно составить таблицу
значений тангенса и котангенса этих углов.
10*
292; Глава VI. Тригонометрия
Угол х
в градусах
в радианах
tgx
ctgx
0
0
0
Не
определен
30°
к
б"
1
7з
л/3
45°
к
~4
1
1
60°
к
3
л/3
1
V3
90°
71
Не
определен
0
Для геометрического изображения тангенса и котангенса часто
используются линия тангенсов и линия котангенсов.
Пусть задана единичная окружность. Линией тангенсов
называется прямая х - 1 (рис. 6.26).
Пусть точка Pt изображает число t на тригонометрической
окружности, которая соответствует ему на окружности. Пусть прямая,
соединяющая точку Pt и начало координат, пересекает линию тангенсов
в точке В. Тогда tg t равен ординате точки В (рис. 6.26).
Действительно, рассмотрим прямую OPt, проходящую через
начало координат и точку Pt. Эта прямая имеет уравнение вида у = kx.
Поскольку при подстановке координат точки Pt в уравнение прямой
имеем sint = ftcosf, получаем k = tgt. Итак, уравнение прямой OPt
таково: у = tgt • х. Точка пересечения прямой OPt с осью тангенсов
имеет абсциссу х — 1, а тогда ордината этой точки у = tgt.
Теперь наглядно очевидным является следующее свойство: если
-- < а < р < -, то tg а < tg p (рис. 6.27).
Аналогично
(рис. 6.28).
линией котангенсов называется прямая у -1
У
В
У=1
Рис. 6.26
Рис. 6.27
Рис. 6.28
293| § 34. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс
ТЕОРЕМА
Для тех значений х, при которых определены обе части равенств,
справедливы следующие свойства:
1. tg (х + пк) = tgx и ctg (х + пк) = ctgx для любого к е Z.
2. tg(-х) = -tgx и ctg (-x) = -ctgx.
3. tgf--xl = ctgx nctgf^--
4. tg x • ctg x = 1.
= tgx.
Доказательство этих свойств легко провести, пользуясь
определением тангенса и котангенса и аналогичными свойствами для синуса
и косинуса.
Q Докажем, например, свойство 3:
1*1 f-
sin х
2
sin*
= ctgx. Ш
2. Следствия из основного
тригонометрического тождества
Из основного тригонометрического тождества, поделив его
почленно на cos2x и на sin2x, получим:
Равенство (4) имеет место лишь при х Ф — + яй, k e Z, а
равенство (5) — при х Ф nk9 k g Z.
Из этих равенств можно получить, например, выражение тангенса
через косинус и наоборот.
Пример 17. Дано tgx = 2, п < х < 2я. Вычислим синус, косинус и
котангенс числа х.
Q Так как tgx • ctgx = 1, то ctgx = 0,5. Из равенства (5) получим
1 5 4
—— - ctg2x + 1 = -, т. е. sin2 х = -. Так как угол я < х < 2л, то его си-
siir х 4 5
2 1
нус отрицателен, значит, sinx = —j=. Далее cosx = ctgx • sinx= —j=. Ш
V5 л/5
2941 Глава VI. Тригонометрия
3. Арктангенс и арккотангенс
Аналогично тому, как мы определили арксинус и арккосинус,
можно определить арктангенс и арккотангенс.
Пример 18. Решим уравнение tgx= V3.
П Для того чтобы решить данное уравнение, отметим на оси
тангенсов число л/3 и проведем прямую через начало координат и точку,
изображающую это число. Получим две точки пересечения этой прямой
с окружностью (рис. 6.29). Числа, изображаемые этими точками, будут
корнями уравнения. Одна из этих точек соответствует числам вида
—+ 2яй, k е Z (мы знаем, что tg — = v3), другая — числам вида — + 2nk,
о о 3
k e Z. Эти две серии можно объединить в одну: —ь яй, k e Z. Это
и есть ответ задачи. Щ *
В данном примере мы знаем угол, тангенс которого равен V3.
В общем случае нельзя записать в явном виде угол, тангенс которого
равен заданному числу. Будет существовать единственное число х0 в
промежутке --^; ^г , тангенс которого равен а (рис. 6.30), а все осталь-
ные решения уравнения tgx = a будут представимы в виде xo + nk,
k g Z. Аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Пусть а — вещественное число. Тогда арктангенсом
числа а называют такое число f, что тангенс t равен а
п
2' 2
2. Пусть а — вещественное число. Тогда арккотангенсом
числа а называют такое число f, что котангенс t равен
а и f g (0; я) (рис. 6.31).
УН
Рис. 6.30
Рис- 6.31
§35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Арктангенс числа обозначается: arctga. Арккотангенс числа
обозначается: arcctga.
Пример 19. Решим уравнение tgx = -2.
D х = arctg(-2) + nk, k g Z. Щ
035- Тригонометрические формулы.
Метод вспомогательного аргумента
Докажем четыре основные формулы, которые носят название
формул сложения.
1. Синус и косинус суммы и разности
Рассмотрим следующее соображение: если
числа а, р, у, 8 таковы, что |ос — р| = |у—8|, то
дуги РаР$ (где Ра обозначает точку на
окружности, соответствующую числу а) и РуРб (и
соответственно стягивающие их отрезки) равны.
В самом деле, при отображении
(«наматывании») числовой прямой на окружность равные
отрезки переходят в равные дуги, а численное
равенство fa - Р | = | у - 81 и означает равенство
длин отрезков с концами в а, Р и у, 8.
Рассмотрим числа а, р, а - р, 0. По
сделанному замечанию длины отрезков, стягивающих
дуги РаР$ и Ра _ рР0, равны (рис. 6.32). Запишем
Рис. 6.32
это равенство, воспользовавшись формулой длины отрезка в
координатах. Координаты точек:
Pa(cosa, since), Ро(1; 0)» Pa_p(cos(a- P); sin(a - Р), Pp(cosp, sinP).
Квадрат длины отрезка РаР$ равен
|PaPp|2 = (cosp - cos а)2 + (sinP - sin a)2 = 2 - 2 (cos a cos P + sin a sin P).
Квадрат длины отрезка Ра_$Р0 равен
|Рос_рРо|2 = (cos(a - Р) - I)2 + sin2(a - Р) = 2 - 2cos(a - Р).
Приравнивая полученные выражения, получим формулу:
cos(a - Р) = cosacosp + sinaslnp. (6)
С помощью этой формулы можно доказать формулы
(п ) . . (к
cos х \= sin х и sin х | = cos х.
12 I ^
(7)
296 Глава VI. Тригонометрия
□ Подставив в формулу (6) а = ^ и Р = х, получим cos — -х \= sinx,
к
а подставив в последнюю формулу х — ——t, получим вторую формулу. Щ
С помощью свойств синуса и косинуса можно доказать
аналогичные формулы.
cos (ос + р) = cos а cos p - sin а sin p, (8)
sin (а - Р) = sin а cos p - sin p cos а, (9)
sin (а + Р) = sin а cos p + sin p cos а. (10)
Докажем, например, формулу (10).
= cos
sin (a + р) = cos (J- - (а + р) j = cos (Y| - а j - р 1 =
^ - а cos Р + sin I 77 - а| sin p = sin а cos p + sin p cos а. И
V2 ) V2 )
Пример 20. Вычислим sin 15°.
□ sin 15°= sin (45° - 30°) = sin45° cos 30° - sin 30° cos 45° =
= л/2 Уз 1 л/2 ^ Уб-л/2
2*22*2 4
Пример 21. Найдем cos а, если cos ^- - a = - и -^ < a < ^.
^6 J 5 3 6
П Используя основное тригонометрическое тождество, получим
(п \ 3 Л я п гп
sin a = —, так как из условия следует, что 0 < a < —. Тогда
^ 6 J 5 6 2
(п (к \\ к (п Л , . п (п }
cos a = cos a = cos — cos a + sm — sin a =
1б [в )) 6 1,6 j e 1,6 )
-. m
52 10
2. Формулы приведения
Если одно из чисел а или Р имеет вид — (й е Z), то результаты
применения формул 7, 8, 9 и 10, а также аналогичных формул для
тангенса и котангенса имеют особенно простой вид. Полученные
формулы называют формулами приведения, поскольку они позволяют
свести вычисление значений тригонометрических функций к
вычислению значений этих функций на промежутке 0; — I.
§35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Например:
sin — - а = cos а, cos £ - а = sin а.
V2 ) V2 )
Аналогичным образом можно вывести и другие формулы, например,
. (in Л . 7л . 7л
sin | — + ос = sin — cos a + sin а cos — = —cos а
или
cos (Зя + а) = cos Зя cos а — sin a sin Зя = —cos а.
При выводе формул приведения часто бывает удобно пользоваться
уже ранее выведенными формулами. Например:
sin
v 2
а = sin
)
V2
* Л • { *Л (к \
+ а-6л = sin а - — = -sin а = -cosa.
) 2 2
В самом деле, пользуясь формулами sin(£ + 2яй) = sinf и
cos(f + 2nk) = cost для любого k g Z, можно «привести» аргумент
синуса и косинуса в промежуток [—я, я], а затем, пользуясь формулами
sin(-f) = — sint и cos(—t) = cost, можно «привести» аргумент в
промежуток [0; я]. С помощью формул sin (я - t) = sint и cos (я - t) = -cost
аргумент «приводится» в промежуток 0; — . Наконец, с помощью
L 2 J
только что
выведенных формул cos t = sint и sin t\ = cost
V2 J V2 /
0; — .
аргумент «приводится» в промежуток
Пример 22. Приведем тригонометрическую функцию /(x)=cos
к тригонометрической функции угла а, такого что
a e 0; — .
Облегчить использование
X
sinx
cosx
tgx
ctgx
л + a
-sin a
-cosa
tga
ctga
л - a
sin a
-cosa
-tga
-ctga
формул приведения поможет
^ + a
2
cosa
-sin a
-ctga
-tga
!-
cosa
sin a
ctga
tga
2
-cosa
sin a
-ctga
-tga
таблица:
¥-«
-cosa
-sin a
ctga
tga
298! Глава VI. Тригонометрия
Чтобы запомнить эту таблицу, достаточно знать, что если к
аргументу функции прибавить — или —, то после применения формулы
приведения функция меняется на дополнительную (синус на косинус
и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот).
Знак, появляющийся перед функцией в результате применения
формулы приведения, совпадает со знаком исходной функции при
угле а, лежащем в первой четверти.
Например, cos — + а = -sinа, поскольку:
v2 )
1) функция должна смениться на дополнительную;
2) если а лежит в первой четверти, то — + а лежит во второй чет-
верти, а косинусы чисел второй четверти отрицательны. Поэтому в
формуле появляется знак «—».
Заметим, что полученная формула верна для произвольного угла а,
хотя для определения знака правой части формулы мы считали а углом
первой четверти.
3. Тангенс суммы и разности
Имеют место равенства:
1 - tg а tg p
to(g-P)=
1+tgcctgp
(11)
(12)
□ Докажем, например, формулу (11).
+ / а\ _
+ Р) _ sinoccosP + sinPcosoc _ tgoc + tgP
1-tgatgP'
cos(oc + P) cos a cos P - sin a sin P
Последнее равенство получилось после того, как мы разделили
числитель и знаменатель на cos a cos р.
Аналогично выводится формула (12). 91
О Формулы (11) и (12) нужно применять осторожно, так как
у правой и левой частей разные области определения (правая часть не
определена, если хотя бы одно из чисел а или Р имеет вид — + nk, k e Z).
Пример 23. Решим уравнение tg \х + — + 1 = 0.
П Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу (11):
- tgx
I- tgx
. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
2
Получим уравнение = 0, которое не имеет решений. В то
1 tg х
же время, подставив число — в исходное уравнение, можно убедиться,
что оно является корнем исходного уравнения.
Что же произошло? Мы воспользовались формулой (11) и
потеряли корень, поскольку область определения сузилась.
При применении формул (11) или (12) (например, решая
уравнения) нужно отдельно проверять случай, когда а или Р равны — + яй,
k e Z (при этом правая часть не определена, а левая может быть
определена). Ill
4. Формулы двойного угла
Из формул сложения сразу же получаются формулы синуса,
косинуса и тангенса двойного угла:
sin2oc = 2sinoccosoc. (13)
cos 2a = cos2 а - sin2 а. (14)
f-. (15)
tg2a
Эти формулы получаются из равенств (8), (10), (11), если
положить в них Р = а.
Формулу (14) иногда удобно использовать в другом виде,
получаемом с применением основного тригонометрического тождества:
cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a -1 = 1- 2 sin2 a. (16)
Рассмотрим пример, идея которого часто встречается в задачах на
тригонометрические преобразования.
Пример 24. Вычислим cos20° cos40° cos80°.
□ Умножим и поделим выражение на 2 sin 20°. Получим
2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
cos 20° cos 40° cos 80° =
2 sin 20°
В числителе получилась формула синуса двойного угла. Продолжив
преобразование, получим
2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° _ sin 40° cos 40° cos 80° __ sin 80° cos 80° _
2 sin 20° 2 sin 20° 4 sin 20°
_ sin 160° sin 20° j. щ
" 8sin20° ~ 8sin20° ~ 8*
300 Глава VI. Тригонометрия
5. Формулы половинного угла
Из формул двойного угла видно, что, зная sin а или cos а, можно
легко найти cos 2а. Сложнее получается с формулами половинного
угла. В самом деле, из формулы (16) можно получить равенство
9 а 1 + cos а
cos — = , т. е.
а
cos-
а
cos а
(17)
Определить же знак cos — невозможно: он может быть любым.
ос 3
Пример 25. Какие значения может принимать cos—, если cos a = -?
П По формуле (16) получаем
а
cos-
Покажем, что знак может быть любой. В самом деле, условию
3 3
cos а = — удовлетворяет как угол arccos — (он принадлежит промежутку
0; — , так и угол arccos — + 2я (он принадлежит промежутку 2я; — .
V 2)) ' 5 v 2 ))
В первом случае cos — > 0, а во втором cos — < 0. Значит, реализу-
ются
* a J 2 2 1
оба варианта, т. е. cos— e < —=; —— >.
2 [S л/б]
Ш
А , . 9 а 1 - cos а
Аналогично получаются формулы sirr — = и
а
sin-
- cos а
(18)
Отсюда молено получить также формулы
а
—
2
1 - cos а
1 + cosoc
и
а
tg2
- cos а
+ cos а
Весьма удобно также уметь выражать тангенс половинного
аргумента через sin а и cos а непосредственно, без использования знаков
модуля и радикала.
. а
sin —
ос 2
Действительно, tg— = . Если умножить числитель и знамена-
cos—
2 • ос о . а а
sin — 2 sin — cos —
-Оос , ос 2 22 sina
тель дроби на 2cos—, получим tg— = = = .
2 2 cos- о_2« 1 + cosa
2
§35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Таким образом, tg — = . Отметим, что левая и правая час-
2 1 + cosoc
ти формулы определены при одних и тех же значениях а.
Заметим, что если бы мы решили умножить числитель и
знаменатель дроби на выражение 2 sin —, то знаменатель дроби превратился бы
в sin a, a в числителе мы получили бы выражение 1 — cos а. В итоге мы
приходим к формуле tg — = — . Отметим, что при а = 2тсй (где
с* sin ос
k e Z) левая часть формулы равна нулю, а правая не определена. Про-
sin ос 1 - cos а 7 , _
верьте непосредственно, что = , при а Ф nk, k s Z.
1 + cos a sin ос
6. Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента
Иногда бывают полезны формулы, выражающие
тригонометрические формулы через тангенс половинного аргумента.
2to| 1-toaf 2tgf
since = —; (19) cosa = -; (20) tga = =-.(21)
1+tg*| 1+tQ2f 1"tQ22
D Докажем, например, формулу (19):
„ 2tgl
с/ с/ с/ ГУ £
sin а = 2 sin — cos — = 2 tg — • cos2 — = . Ш
2 2 b 2 21+tg2^
2
О Эти формулы, как и формулу тангенса суммы, нужно
применять с осторожностью: у левой и правой частей опять разные области
определения. Например, если в уравнении вы пользуетесь этими
формулами и заменили синус, косинус и тангенс числа на тангенс
половинного аргумента, то вы могли потерять корни вида тс + 2nk, k e Z —
их нужно проверять отдельно.
7. Метод вспомогательного аргумента
Пример 26. Какое наибольшее значение при а е R принимает
выражение 2 sin a + 5 cos a? Укажем хотя бы одно значение аргумента, при
котором оно достигается.
3021 Глава VI. Тригонометрия
П Преобразуем данное выражение
2sina + 5cosa
= л/29|-
: sin a +
cos a =
x
Рис. 6.33
{л/29 л/29
= л/29 (cos ф sin a + sin ф cos а).
Последнее равенство (в нем утверждается,
2
что существует угол ф, такой что совф = -= и
v V29
—== вытекает из того, что если а2 + Ъ2 = 1,
V29j
то найдется угол, синус которого равен а и
косинус которого равен Ъ. Для доказательства
этого факта достаточно рассмотреть точку на координатной плоскости
с координатами (Ь; а) (рис. 6.33). В данном случае этот угол равен
2
arccos-
29
Продолжим преобразования. У нас получилась формула синуса
суммы
л/29 (cos ф sin a + sin ф cos а) = л/29 sin (ос + ф).
Так как а принимает любые значения, а угол ф — константа,
(а + ф) также принимает любые значения, а потому sin (а + ф)
принимает все значения от —1 до 1. Таким образом, наибольшее значение
выражения равно л/29 и достигается, например, при а + ф = ^-, т. е.
п п
а = ф = arccos
2Y2
V29
б
Ill
Приведенный способ преобразования можно обобщить (здесь сразу
будет понятно, почему мы делили именно на л/29):
a sin а + Ъ cos а = Ja2 + Ъ2
Здесь ф такой угол, что
sin а +
г cos a =
sin (а +ф).
Ъ
:, а совф =
д/а2 + Ъ2 ^аг н
Ясно, что если рассмотреть угол V|/, такой, что
Ъ . Ъ
COSV|/ = / ^ ^ , SinV|/ =
то данное выражение преобразуется к виду д/a2 + Ъ2 cos (a - \|/). В
зависимости от задачи, в которой используется это преобразование, можно
прибегать к любой из этих записей.
Использованный метод преобразования называется методом
вспомогательного аргумента.
3031 §35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
8. Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
Формулы сложения позволят нам вывести еще несколько
полезных тригонометрических формул.
sin a sin р = - (cos (а - р) - cos (а + р)), (22)
cos а cosp = -(cos(oc- P) + cos(oc + Р), (23)
sin а cos р = - (sin (а + р) + sin (а - р)). (24)
Q Эти формулы легко доказываются с помощью формул сложения
для преобразования правой части. Например, докажем формулу (22):
1
-(cos (а - р) - cos (ос + р)) =
1
= — (cos а cos p + sin а sin p — cos а cos p + sin а sin p) = sin а sin p.
Если хорошо помнить формулы сложения, то эти формулы выводятся
«почти мгновенно» и устно. В самом деле, из формул
cos (а + р) = cos а cos р - sin а sin р и cos (а - р) = cos а cos р + sin а sin p
видно, что если сложить эти два равенства, то получится
формула (23). Если же из второго равенства вычесть первое, то получится
формула (22). Аналогично можно доказать формулу (24). Ш
Пример 27. Вычислим sin 13° cos 3° — sin 5° sin 85° — cos 8° cos 82°.
D Преобразуем произведения в суммы:
sin 13° cos 3° - sin 5° sin 85° - cos 8° cos 82° =
= -(sin 16° + sin 10° - cos80° + cos90° - cos90° - cos 74°).
Воспользовавшись тем, что согласно формулам приведения
sin 16° = cos 74° и sin 10° = cos 80°, получим
sin 13° cos 3° - sin 5° sin 85° - cos 8° cos 82° = 0. H
9. Сумма и разность синусов и косинусов
cos
coscc + cosp = 2cos
cosoc - cosp = 2sin^-^sin9L±$Lt
н 2 2
sin a- sinp = 2sina ~ ^ cosa + ^
2
since+ sinp = 2sin
a
2
a ~ "
+ ^ cos
2 2
(25)
(26)
(27)
(28)
304| Глава VI. Тригонометрия
Чтобы доказать эти формулы, достаточно применить к правым
частям равенств формулы (22) — (24).
Пример 28. Преобразуем в произведение 1 + sin a + cos а.
□ Для начала удобно воспользоваться формулами синуса и
косинуса двойного угла:
1 + sin а + cos а = 1 + 2 sin — cos —ь 2cos2 1 = 2cos — sin — + cos — .
Воспользуемся формулой sin а = cos — - а (обратите внимание на этот
V2 )
прием, который позволяет сложить sin а и cos p в общем случае, а не
только если а = р), а затем преобразуем сумму косинусов в произведение:
^sin + cosJ 2cos
= 2cos —• 2cos — cos
п аЛ о/т: а (п аЛ
— = 2V2cos —cos — - — .
Чтобы сложить sin— и cos—, можно было воспользоваться также
методом вспомогательного аргумента.
Часто преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму и обратно используются при решении
тригонометрических уравнений.
Пример 29. Решим уравнение sinx + sin2x + sin3x = 0.
□ Преобразуем левую часть уравнения:
sinx + sin2x + sin3x = sin2x + 2sin2xcosx = sin2x(l + 2cosjc).
Получаем
sin 2x = 0,
cosx = —
1 <=>
2' keZ. Ш
x = ±— + 2nk,
3
Пример 30. Докажем формулу
о л о cos ((л + l)cc)sin(mx) . Л
cos2а + cos4oc + ... + cos2mx = — —-, sma Ф 0.
sin a
□ Для доказательства домножим обе части равенства на sin a и
преобразуем левую часть, воспользовавшись формулами преобразования
произведения тригонометрических функций в сумму и обратно:
sin a (cos 2a + cos 4a + ... + cos2mx) = sin a cos 2a + sin a cos 4a + ... +
+ sinacos2mx =-(sin(-a) + sin 3a) + -(sin (-3a) + sin 5a) + ... +
. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
1 1
+ -(sin(-(2rc - l)oc) + sin((2rc + l)a)) = -(-sina + sin3a - sin3a +
I
+ sin5a- ... -sin((2rc- l)a) + sin((2n+ l)a)) = -(-sina + sin((2rc+ l)a)) =
= sin (no) cos ((n + 1) a),
что и требовалось доказать. Ш
В следующем, более сложном, примере можно использовать идею
решения примера 30, хотя непросто догадаться, на что же нужно до-
множить выражение.
Пример 31. Докажем, что cos н cos—=—.
-^ 5 5 2
□ Перенесем — в левую часть и домножим на 2. Получим, что
надо доказать равенство 1 + 2 cos — + 2 cos — = 0.
5 5
Домножим левую часть доказываемого равенства на sin — . Получим
о
• я (л о 4л о 2л ^ . л о . л 4л о . л 2л
sin— 1 + 2cos—- + 2cos-— = sin— + 2 sin — cos— + 2 sin — cos-— =
О \ 5 b J 5 55 55
. л . Зл .5л .л . Зл Л
= sin sin — + sin sm — + sin — = 0,
5 5 5 5 5
что и доказывает требуемое. SI
10. Формулы понижения степени
Из формул косинуса двойного угла выводятся следующие
полезные формулы.
о 1 + cos 2a /ork4
cos2 a = . (29)
2
.9 1 - cos 2a /orkX
sin2 a = . (30)
Пример 32. Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения
4 4
D Преобразуем данное выражение:
(l-cos2x)2
. 4
sin4
x =
cos2x)2
cos22jc
4 4 2
Теперь понятно, что наибольшее значение достигается при cos22x = 1,
а наименьшее — при cos22x = 0. Следовательно, наибольшее значение
равно 1, наименьшее равно -. Ш
306 Глава VI. Тригонометрия
Пример 33. Вычислим сумму cos2x + cos22x + ... + cos2nx.
D Разберем два случая: 1) sinx Ф 0. Тогда
cos2x + cos22x + ... + cos2nx =
l + cos2x l + cos4x l + cos2nx _ n + cos2x + cos4:x;+... + cos2/ix _
"" T~ "~2~ " + ---+" —f~ --' 2 "
n cos ((n + 1) x) sin (nx) . ~
= — + — —- для sin x ФО.
2 2 sin x
В последнем равенстве мы воспользовались формулой из примера 30.
2) sinx = 0. Тогда искомая сумма равна п> поскольку в этом случае
cos2x = cos2 2x = ... = cos2 nx = 1. IS
Многие полезные тригонометрические тождества связывают углы
треугольника.
Пример 34. Докажем, что если а + р + у = л, то
cos2 а + cos2p + cos2 у = 1 - 2 cos а cos p cos у.
□ Так как а + р + у = л, то cosy = cos (тс - а - р) = -cos (а + р).
Воспользуемся этим тождеством в следующих преобразованиях:
9 9 о о 1 +cos 2a l + cos2B 9
cos2 a + cos2 Р + cos2 у = + + cos2 у =
л cos2oc + cos2B 9-1 / п\ / п\ 9
= 1 + + cos2 у = 1 + cos (а + р) cos (а - Р) + cos2 у =
= 1 - cosycos(oc - р) + cos2 у = 1 - cosy(cos(oc - р) - cosy) =
= 1 - cos у (cos (а - р) + cos (ос + р)) =1 — 2 cos а cos p cos у. II
О 36. Тригонометрические функции и их свойства
1. Функция f (х) = sin х
Функция, ставящая в соответствие каждому вещественному числу
его синус, называется функцией синус. Обычно в речи и на письме слово
«функция» опускают и говорят просто синус. Из контекста бывает
понятно, идет ли речь о самой функции или о ее значении в какой-то
конкретной точке. Как уже было отмечено, при всех х е R имеет место
равенство sin (л: + 2л) = sinx. Тем самым число 2л является периодом
функции у = sinx (как мы отмечали в главе «Функции», тогда и все
числа вида 2пп, п е Z, будут периодом синуса). Покажем, что число 2я
является главным (основным) периодом, т. е. не существует
положительного числа Г, меньшего 2л, такого, что \/х е R sin(x + Т) = sinx.
П Для доказательства достаточно заметить, что на окружности есть
лишь одна точка с ординатой, равной 1. Поэтому числа, синусы
которых равны 1, различаются на целое число, кратное 2л, так как изобра-
. Тригонометрические функции и их свойства
sin
означает, что х = — является осью сим-
жаются одной точкой окружности. Поэтому периода, меньшего 2л, у
синуса нет. Ш
Таким образом, для того чтобы построить эскиз графика синуса,
нам достаточно построить его на промежутке длиной 2л, а затем,
сдвигая эту линию на число, кратное 2л, вправо и влево, получить график
синуса в любой области.
Будем строить график на промежутке [-л, л].
Как мы отмечали выше (с. 287), синус — нечетная функция,
т. е. sin(-x) = —sinx, а график нечетной функции симметричен
относительно начала координат. Таким образом, нам достаточно построить
график на промежутке [0; л], а на промежутке [-л; 0] график
получится симметрией относительно начала координат.
Мы можем еще больше сузить промежуток, на котором
достаточно построить график синуса, чтобы преобразованиями из него
потом получить график синуса на всей оси, если заметим, что
in х = sin —h x I. Это
метрии графика синуса (какие еще оси симметрии есть у графика
синуса?), и, значит, если мы построим график на промежутке 0; — ,
мы сможем симметрией относительно этой оси получить график
синуса на промежутке [0; л].
Для построения эскиза графика на промежутке 0; — (который
строго построить мы, конечно, не сумеем — см. аналогичные
замечания в главе «Функции») отметим, что синус на промежутке 0; — воз-
L 2 J
растает. Построим некоторые известные нам «табличные» точки
(при х= 0, х=^9х=^-,х=^-,х=—\ и соединим их плавной линией
(рис. 6.34). J
Окончательный схематический график синуса изображен на
рисунке 6.35.
У
fT
2 2
l
7
inn n x
) 4 3 2
\
у = sin х
X
Рис. 6.34
Рис. 6.35
ЗОв! Глава VI. Тригонометрия
Отдельно отметим свойство непрерывности синуса. Наглядно это
означает, что его график идет «сплошной линией», «без разрывов».
Конечно, все эти слова мы можем использовать только для того,
чтобы создать интуитивное представление о непрерывных функциях
и «убедить» себя в том, что синус непрерывен. Строгими
рассуждениями они не являются.
Подведем некоторые итоги.
1. Синус — периодическая функция с основным периодом 2л.
2. Синус — нечетная функция.
3. Корни функции у = sinx — это числа вида х = nk, k e Z.
4. sinx > 0 при х € (2nk; 2nk + тс); sinx < 0 при х е (-тс + 2nk; 2nk),
k € Z. Г я я 1
5. Синус возрастает на промежутке —; — (отсюда сразу же
L 2 2 J
в силу периодичности делаем вывод о его возрастании на промежутках
вида -- + 2nk; - + 2nk , k s Z).
6. Синус убывает на промежутке —; — (соответственно и на
Г 1
промежутках вида —ь 2nk; ь 2nk , k e Z).
[2 2 J
7. Синус — ограниченная функция:
max sinx = 1, х € R; min sinx = —1, х е R.
8. Синус — непрерывная функция.
В заключение отметим, что график синуса называется синусоидой.
Пример 35. Укажем промежутки возрастания и убывания функции
sin3x.
□ Как мы знаем, график функции у = sin Зх получается из
графика функции у = sinx «сжатием» вдоль оси Ох в 3 раза. Соответственно
«сожмутся» и промежутки возрастания и убывания.
m /- • о [ к 2nk
Таким образом, sin Зх возрастает на промежутках вида — + —;
L 6 3
+ L keZ и убывает на промежутках вида — +—^-; — +-^- , keZ. i
63J |_6323J
Разберем более сложный пример на возрастание и убывание
композиции функций.
Пример 36. Исследуем на возрастание и убывание функцию
f(x) = sin2x + sinx на промежутке [-тс; 0].
П Если х € [—тс; 0], то sinx € [-1; 0], причем при х е —тс; — синус
[-, L 2J
—; п синус возрастает от -1 до 0.
. Тригонометрические функции и их свойства
Функция же f(t) = t2 + t убывает на промежутке [-1; -0,5] и
возрастает на промежутке [-0,5; 0] (мы интересуемся поведением функции
f(t) - t2 + t на множестве значений синуса). Таким образом, нам
важно, какие значения принимает синус (больше или меньше -0,5).
Получаем, что на промежутке -п; синус убывает от 0 до -0,5, при
этом функция f(t) = t2 + t возрастает, а значит, функция f(x) = sin2x +
+ siruc убывает (см. теорему на с. 196).
Можно записать это рассуждение, воспользовавшись напрямую
определением убывающей функции.
Пусть -п < хг < х2 ^ . Тогда в силу убывания синуса на проме-
[*» 1 ^
-п; выполняется неравенство 0 ^ sin*! > sinx2 ^ —0,5.
Следовательно, в силу возрастания функции f(t) = t2 + t на
промежутке [-0,5; 0],
0 > sin2*! + sin*! > sin2x2 + sinx2 > -0,25,
! ! 2 2
т. е. функция f(x) = sin2x + sinx убывает на промежутке — n; —— .
Проведя аналогичное исследование на других промежутках,
получим, что функция f(x) = sin2 x + sin х убывает на промежутках — п;
L 6 J
и —; — , возрастает на промежутках ; — и —; 0 . Ш
L2 6J L6 2JL6J
Пример 37. Найдем наибольшее значение функции 4sinx + cos2x — 2
Г к я!
на промежутке —; — .
L 6 6J
□ Преобразуем функцию:
4sinx + cos2x - 2 = 4sinx + 1 - 2sin2x - 2 = -2sin2x + 4sinx - 1,
причем sinx € [-0,5; 0,5].
Таким образом, нам нужно найти наибольшее значение функции
-W- + 4t - 1 при t € [-0,5; 0,5]. Очевидно, наибольшее значение будет
достигаться при t, ближайшем к абсциссе вершины параболы у = -2t2 +
+ 4f — 1, т. е. при t = 0,5. Значит, наибольшее значение равно 0,5. SI
2. Функция f (х) = cos х
Функция, ставящая в соответствие каждому вещественному числу
его косинус, называется функцией косинус. Обычно в речи и на письме
слово «функция» опускают и говорят просто косинус. Из контекста
бывает понятно, идет ли речь о самой функции или о ее значении в
какой-то конкретной точке. Исследование функции у = cosx и построение
ее графика можно было бы провести аналогично функции у = sin xt но
3101 Глава VI. Тригонометрия
Ук
у = cosx
57С
2
о х^^ о 0
Рис. 6.36
Рис. 6.37
мы заметим, что cos x= sin —ь х , и, значит, график функции
V2 )
у = cos х можно получить из графика функции у = sin x сдвигом на -
влево (рис. 6.36).
Отметим основные свойства косинуса.
1. Косинус — периодическая функция с основным периодом 2я.
2. Косинус — четная функция (в отличие от синуса, который
является нечетной функцией. Соответственно, график косинуса
симметричен относительно оси Оу).
3. Корнями функции у = cosx являются числа вида х= —+ лй,
ksZ. 2
4. cosx > 0 при х € -—
}
cos х < 0 при х € \ ^- 4- 2nk; ^ + 2nk I, k e Z.
2nk; - + 2тс/г|;
5. Косинус возрастает на промежутке [л; 2л] (отсюда сразу же в
силу периодичности делаем вывод о его возрастании на промежутках
вида [л + 2nk; 2n + 2nk, k e Z).
6. Косинус убывает на промежутке [0; п] (соответственно и на
промежутках вида [2nk; п + 2nk], k € Z).
7. Косинус — ограниченная функция:
max cosx = 1, х е R; min cosx = -1, х е R.
8. Косинус — непрерывная функция.
Пример 38. Изобразим множество точек на плоскости, таких, что
\у\ = со&х.
П Для того чтобы точка с координатами (х; у) удовлетворяла
данному уравнению, необходимо, чтобы cosx^ 0, а тогда для выполнения
равенства \у\ = cosx необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
одно из двух равенств: у = cosx или у = -cosx. Символически это
можно записать следующим образом.
\у\= cosх
3111 § 36. Тригонометрические функции и их свойства
Таким образом, для изображения искомого множества точек
достаточно построить множества точек, таких, что у = cosx или у = -cosx, а
потом оставить те точки, для которых cosx ^ 0. Получим множество
точек, изображенное на рисунке 6.37. SI
3. Функция f (х) = tg х
Функция, ставящая в соответствие вещественному числу его
тангенс, называется функцией тангенс. Обычно в речи и на письме слово
«функция» опускают и говорят просто тангенс. Из контекста бывает
понятно, идет ли речь о самой функции или о ее значении в какой-то
конкретной точке. Сначала отметим основные свойства функции
у = tgx, которые потом позволят нам построить эскиз ее графика.
1. В область определения тангенса входят все вещественные
числа х, не представимые в виде х = —ь nk, k e Z.
£л
2. Тангенс — периодическая функция с главным периодом п.
3. Тангенс — нечетная функция (и, следовательно, его график
симметричен относительно начала координат).
4. Тангенс — неограниченная функция. Множеством значений
тангенса является R.
5. Тангенс возрастает на промежутке —; — (и, как следствие
v 2 2/
периодичности, на всех промежутках вида I —^ + nk; ^- + nk , k e Z).
V 2 2 )
6. Тангенс — непрерывная функция на своей области определения.
□ Докажем некоторые из этих свойств.
Поскольку tg(x + п) = tgx при всех вещественных значениях х, то
число п является периодом функции тангенс. С другой стороны, если
число Т Ф 0 — какой-либо период функции тангенс, то tg (0 + Т) = tg 0 = 0,
откуда Т = nk, k € Z. Тогда любой период функции тангенс будет не
меньше п. Таким образом, мы доказали, что число п — главный период
функции тангенс (свойство 2).
Свойство 3 следует из формулы tg(-x) = -tgx.
Убедимся в справедливости свойства 4. В самом деле, для того чтобы
найти точку, в которой значение тангенса равно некоторому числу у0,
достаточно отметить это число на линии тангенсов, соединить
полученную точку с началом координат и получить точку Ра на
единичной окружности, соответствующей числам, тангенс которых равен у0
(рис. 6.38).
Свойство 5 мы уже отмечали выше, обсуждая изображение
тангенса на линии тангенсов. Можно доказать его и по определению
возрастания функции.
312 Глава VI. Тригонометрия
Рис. 6.38
_3я
2
Рис. 6.39
О
Пусть < хг < х2 < —. Тогда
tgx2 -
sin х2 sin хх sin x2 cos xx — sin xx cos x2 sin (jc2 -
COS.
cos xx
cos x2 cos
COS X2 COS Xj
Полученное выражение больше 0, так как cosx^O, cosjc2>0
и sin(x2 - хг) > 0 (поскольку 0 < х2 - хг < л), что и требовалось
доказать. Ш
Как и в случае с построением графика синуса, при построении
графика тангенса сначала построим его часть на промежутке О; — , отме-
L 2/
тив известные нам «табличные» точки и соединив их плавной линией,
учитывая доказанные свойства. Потом симметрично отразим эту часть
относительно начала координат и, воспользовавшись периодичностью
тангенса, распространим на все действительные числа (рис. 6.39).
4. Функция f (х) = ctg x
Функция, ставящая в соответствие вещественному числу его
котангенс, называется функцией котангенс. Обычно в речи и на письме
слово «функция» опускают и говорят просто котангенс. Из контекста
бывает понятно, идет ли речь о самой функции или о ее значении в
какой-то конкретной точке. График котангенса можно построить из
графика тангенса элементарными преобразованиями, воспользовавшись
формулой
--*(!♦4
График котангенса называется котангенсоидой (рис. 6.40).
fj3i §36. Тригонометрические функции и их свойства
О
НА х
Рис. 6.40
Рис. 6.41
Отметим основные свойства котангенса.
1. £>(ctg х) = R\{nk: k € Z} (т. е. область определения
котангенса — все вещественные числа, кроме чисел, равных nk, k e Z).
2. Котангенс — периодическая функция с главным периодом п.
3. Котангенс — нечетная функция (и, следовательно, его график
симметричен относительно начала координат).
4. Котангенс — неограниченная функция. Множество значений
тангенса R.
5. Котангенс убывает на промежутке (0; п) (и, как следствие
периодичности, на всех промежутках вида (nk; к + nk), k e Z).
6. Котангенс — непрерывная функция на своей области
определения.
имеет уравнение:
Пример 39. Сколько корней на промежутке
a)sinx = x; б) tgx = xl , >
D Докажем сначала, что при а е О; — I выполняется двойное
нера_£; Е)
2'2J
венство sin ос < ос< tga. В самом деле, на рисунке 6.41 площадь
треугольника ОРаН, равная —sina, меньше площади сектора ОРаА,
равной —, которая, в свою очередь, меньше площади треугольника ОБА,
и
равной -ОА • АВ, т. е. -tga. Записав эти соотношения в виде нера-
венств, получим 0,5 sin a < 0,5a < 0,5 tga.
В силу нечетности функций у — sin х и у = tg x на их областях
определения для a € ; 0 имеем неравенство sin a > a > tga (рис. 6.42
314| Глава VI. Тригонометрия
п 1
~2
Рис. 6.42
х
Рис. 6.43
О
и 6.43). Таким образом, доказано неравенство |sinx| < |х| < |tg#| для
( п п
(, 2 2
Следовательно, у обоих уравнений на данном промежутке
единственный корень х = 0. Ш
О37. Обратные тригонометрические функции
В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства обратных
тригонометрических функций, а также построим их схематические
графики.
1. Функция f (х) = arcsin x
Функция, ставящая в соответствие каждому числу из отрезка
[-1; 1] арксинус этого числа, называется функцией арксинус.
Отметим, что функция арксинус является обратной для функции синус,
определенной на отрезке
_£. «1
2' 2_|-
Отметим некоторые ее свойства.
1. D (arcsin x) = [-1; 1].
п п / • \ К К \
2. £ (arcsin х) = ; — .
L ^ ^ J
3. f(x) = arcsin x — возрастающая функция на своей области
определения.
4. arcsin (sin x) = х для х е -—; — .
5. sin (arcsin x) = х для х е [-1; 1].
- Обратные тригонометрические функции
Легко построить и график функции
f(x) = arcsin x. Функции арксинус и синус на
Г_*. «1
L 2' 2\
промежутке -—; — являются
взаимно-обратными, и, следовательно, их графики
симметричны относительно прямой у = х.
График арксинуса изображен на
рисунке 6.44.
Пример 40. Докажем, что arcsin(-х) = -arcsinx
(т. е. арксинус — нечетная функция).
по • / • / чч « РИС- 6'44
U Заметим, что sin (arcsin (-x)) = — х по
свойству 5. С другой стороны, sin (-arcsin x) = -sin (arcsin x) = -х. Таким
образом, синусы выражений, стоящих в левой и правой частях
доказываемого равенства, равны. Поскольку при х е [-1; 1] выполнено
/ ч Г к п1 Г 7С я]
arcsin (-#) € ; — и — arcsin х € ; — , то равенство синусов этих
выражений означает равенство самих выражений, что и требовалось
доказать. SI
Пример 41. Решим уравнение arcsin(х3 - Зх) = arcsin(-2х).
□ Арксинус — монотонная функция, поэтому для равенства
значений функции необходимо и достаточно равенства аргументов, т. е.
х* - Зх = -2х, откуда получаем х е {-1; 0; 1}. Но не все полученные
решения принадлежит области определения уравнения (аргумент
арксинуса должен принадлежать промежутку от -1 до 1), таким образом,
идя корней уравнения должны выполняться неравенства —К Xs — Зх < 1
и-1 < -2х < 1. Из полученных значений этим неравенствам
удовлетворяет только х = 0. Обратим внимание, что можно было проверять
только условие -1 < -2х < 1 — ведь найденные решения удовлетворяют
уравнению Xs — Зх = -2х, а значит, если для них выполняется
неравенство -1 ^ -2х ^ 1, то выполняется и неравенство -1 ^ х3 - Зх < 1.
Ответ: х = 0. Ш
2. Функция f (х) = arccos x
Аналогично функции / (х) = arcsin x определяется и функция
f(x) = arccos х. Приведем некоторые ее свойства:
1. D(arccos х) = [-1; 1].
2. Е (arccos х) = [0; тс].
3. arccos х — убывающая функция на своей области определения.
4. arccos cos x = х для х е [0; п].
5. cos arccos x = х для х е [-1; 1].
316? Глава VI. Тригонометрия
График функции f(x) = arccosx
симметричен фрагменту графика функции f(x) = cosx
относительно прямой у = х. Схематический график
. >r „. арккосинуса показан на рисунке 6.45.
у — circcos х
Пример 42. Докажем: arccos (—х) = п - arccosx.
П Для доказательства этого тождества
достаточно доказать, что cos (тс - arccos x) = -х (1)
и 0 < тс — arccos х < тс (2). Равенство (1)
следует из цепочки равенств: cos (тс - arccos#) =
-10 Iх- -cos (arccos x) = -х, а неравенство (2) следует
п с лС из того, что 0^ arccosх^ тс. SI
Рис. о.4о
Пример 43. Вычислим: a) arcsin sin —— ; б) arccos cos .
V 6 ) \ V 3 ))
П а) Равенство arcsin (sin x) = х верно только для хе\ —; — ,
поэтому, чтобы воспользоваться данной формулой, сначала приведем аргу-
к Зл | ^
; — , вычитая или прибавляя целое число,
2 2 )
кратное 2тс:
. ( . 31п\ . ( (Sin А X) . ( . ЧпЛ
arcsin sin = arcsin sin 4тс = arcsin sin— ,
V6; Vv6 )) \ 6 )
а затем, воспользовавшись формулой sin (тс — x) = sinx, «загоним»
аргумент в нужный промежуток. Итак, получаем
arcsin
. ( . 7к) . ( . ( 7к\] . ( . ( п\] к
in sin — = arcsin sin тс = arcsin sin — = —,
v6; vv6y; vv 6)j 6
так как
б) Действуем аналогично, только сначала будем приводить
аргумент в промежуток [0; 7с]:
arccos
( ( 25п\) ( ( 25л Q У) f f nX\
cos —— = arccos cos —— + 8 тс = arccos cos -— =
( (nX\ n
rlfJH-
= arccos|
так как — € [0; тс]. Ш
3
Пример 44. Докажем, что arcsinх + arccosх = —.
_
П Перенесем arcsin х в правую часть. Получим arccos х= — arcsinx.
Найдем косинус обеих частей.
317} §37. Обратные тригонометрические функции
С одной стороны, cos arcsinx = sin (arcsin x) = x. В то же вре-
V 2 )
мя cos(arcosx) = x. Итак, косинусы обеих частей равенства равны.
Для доказательства формулы осталось заметить, что значения обоих
выражений принадлежат промежутку [0; тс], а значит, из равенства
косинусов следует равенство аргументов. Ш
3. Функции f (х) = arctg х и f (х) = arcctg x
Арктангенс является функцией, обратной к функции f(x) = tgx,
при х € —; — , арккотангенс — функцией, обратной к функции
I 2 2)
/(x) = ctgx, при х € [0; п]. Отметим их основные свойства:
1. Область определения арктангенса и арккотангенса — все
действительные числа.
2. Арктангенс является возрастающей функцией, а
арккотангенс — убывающей (каждая на своей области определения).
3. arctg(tgx) = х для х е -—; — , arcctg (ctgx) = х для х е (0; тс),
\ 2 2 у
tg (arctg x) = х и ctg (arcctg x) - х для любых х е R.
4. Графики арктангенса и арккотангенса имеют горизонтальные
асимптоты: для арктангенса это у = — при х -> +оо и у = — при
х -> -оо, для арккотангенса это у = 0 при х -> +оо и i/ = л при х -> -оо.
Их графики симметричны графикам тангенса и котангенса на
соответствующих промежутках относительно прямой у — х (рис. 6.46, 6.47).
Пример 45. Вычислим sin(2arctg3). а
2
D Воспользуемся формулой sin a =
-. Получим
Рис. 6.46
sin (2 arctg 3) =
2tg(arctg3)
«
tg2 (arctg 3) 1 + 9 5*
i/ = arcctgx
Рис. 6.47
3181 Глава VI. Тригонометрия
Прием, примененный в следующем примере, достаточно типичен
при преобразовании выражений, содержащих сумму арктангенсов.
Пример 46. Докажем, что arctg- + arctg- = —.
5 3 4
П Рассмотрим тангенс левой части и воспользуемся формулой
тангенса суммы: 2 12
tg arctg - + arctg - = = —- = 1.
I 5 3 J .. 1 2^12
v J 1 - tgarctg- • tgarctg- 1 - - • -
5 3 5 3
Таким образом, тангенс левой части равен 1, в то же время
1 2 , л и
arctg- < arctg- < arctg 1 = -,
5 о 4
и, значит, 0 < arctg — + arctg — < —.
о 3 2
В этом промежутке есть только одно число —, тангенс которого
равен 1. Значит, arctg — + arctg— = —, что и требовалось доказать. Щ
5 3 4
При решении уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции, используются различные методы и приемы, в том
числе переход к уравнению-следствию, проверка ООУ, нахождение
множеств значений функций, исследование функций на монотонность.
Г з ^
Пример 47. Решим уравнение arccos - - х \ = 2arcsinx.
□ В данном примере легко определить ООУ уравнения:
-1<!-*<-1-«-±<*<1.
-1 ^ х ^ 1 4
Чтобы избавиться от обратных тригонометрических функций,
найдем косинус выражений в левой и правой частях. Получим
уравнение-следствие (если аргументы равны, то, конечно, равны их
косинусы, но не наоборот), в котором могут появиться лишние корни.
cos arccos I х I = — x,
cos(2arcsinx) = 1 - 2 sin2 (arcsin x) = 1 - 2x2.
Из исходного уравнения следует х = 1 — 2х2, откуда получаем
^_ 1±л/з
Здесь можно совершить часто повторяющуюся ошибку: заметить,
что оба корня принадлежат ООУ и поэтому являются корнями
уравнения. Оказывается, что это не так.
Л|_§37. Обратные тригонометрические функции
В самом деле, вспомним, что, взяв косинус от правой и левой
частей, мы перешли к уравнению-следствию и, значит, нам необходимо
проверить, являются ли найденные числа решением исходного
уравнения. Для этого можно подставить их в исходное уравнение. Однако
как при этом проверить, верно ли полученное равенство?
Мы пойдем другим путем и заметим, что значение правой части
выражения принадлежит промежутку [-п; я], а значение левой —
промежутку [0; тс]. Значит, и правая часть выражения должна быть
неотрицательна, а это происходит тогда и только тогда, когда
неотрицателен х. При этом если х > 0, то левая и правая части принадлежат
промежутку [0; л], а тогда равенство косинусов равносильно равенству
аргументов. Таким образом, проведя анализ множества значений,
которые могут принимать левая и правая части уравнения, можно
сделать вывод, что отрицательные х не являются решениями уравнения,
а для положительных переход, который мы совершили, взяв косинус
у левой и правой частей, был переходом к равносильному уравнению.
Ответ: х = ±±^. Ш
4
Замечание. В общем случае вычислять ООУ уравнения не
обязательно — часто уравнение можно решить и без явного вычисления
ООУ (а иногда ООУ и вычислить невозможно — при попытке найти
ООУ возникают сложные «нерешаемые» неравенства), хотя мы всегда
рекомендуем в начале решения выписывать условия, накладываемые
на ООУ уравнения, и если получившиеся уравнения и неравенства
решаются легко, как в разобранном примере, то вычислять ООУ в явном
виде (конечно, и здесь бывают исключения).
пример 48. При каких значениях параметра а уравнение
arcsin (sin x) = ах имеет ровно три решения?
D Решим уравнение графически. Для этого построим график
функции у = arcsin (sin х). Заметим, что эта функция периодическая
(период 2л), и поэтому достаточно построить график на промежутке [-п; л].
Так как эта функция нечетная, то достаточно построить график на
промежутке [0; я], а потом воспользоваться симметричностью графика
относительно начала координат.
На отрезке 0; — верно равенство arcsin (sin x) = х, на отрезке
г 1 L 2J
-; л имеет место равенство arcsin (sin x) = arcsin (sin (я - х)) = я - х
(при этом мы воспользовались тем, что я - х е 0; ^ II.
Таким образом, получаем график функции arcsin (sin x) (рис. 6.48).
Теперь заметим, что 0 — решение данного уравнения, а также
если число t является решением данного уравнения, то его решением
является и число -t. Таким образом, чтобы у исходного уравнения
320 Глава VI. Тригонометрия
-к
0 f
У = arcsin sin x
2л *
Рис. 6.48
Рис. 6.49
было три решения, необходимо и достаточно, чтобы у него было ровно
одно положительное решение.
На рисунке 6.49 видно, что прямая у = ах пересекает график
функции f(x) = arcsin (sin x) ровно один раз при положительных х, если
а € -; 1 U \ —\. Это и есть ответ задачи. Ш
V5 ) I 3J
О38. Тригонометрические уравнения
В этом параграфе мы рассмотрим основные способы решения
тригонометрических уравнений. Более подробно мы вернемся к ним
в 11 классе.
1. Простейшие тригонометрические уравнения
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят уравнения
sinx = a, cosx = а, tgx = а, ctgx = а,
которые мы уже обсуждали, когда определяли обратные
тригонометрические функции. Напомним решения этих уравнений в общем виде.
1. sin я: = а. Рассмотрим различные случаи в зависимости от
значения а:
если \а\> 1, то корней у данного уравнения нет;
если а = 1, то корнями уравнения являются числа вида
х = ^- + 2nk, k € Z, если а = -1, то — числа вида х = -— + 2nk, k e Z;
ii
если \а\ < 1, то, как мы уже знаем, множество корней уравнения
sinx = а записывается в виде двух серий: х = ф + 2nk, k e Z или
х = п — ф + 2nk9 k e Z, где ф — какой-либо корень данного уравнения.
Обычно в качестве такого частного решения выбирают ф = arcsin а.
Тогда уравнение приобретает вид х = arcsin a + 2nk или х = п - arcsin a +
+ 2nk, k е Z (рис. 6.50). Иногда эти две серии объединяют в одну:
х = (—l)k arcsin x + nk, k e Z. Однако при решении тригонометриче-
|Щ_§ 38. Тригонометрические уравнения
ских уравнений с ограничениями
(например, с отбором корней, входящих в
заданную область) такой краткий вид записи
неудобен. Поэтому всюду в дальнейшем мы
будем записывать ответ в таком уравнении
в виде двух серий.
Замечания. 1) Если мы будем
пользоваться выведенными формулами при
решении, например, уравнения sinx=l,
получим верные ответы, но две серии
Я-ф
X
х = arcsin 1 + 2nk = — + 2nk, k s Z
Рис. 6.50
или
x = n - arcsin 1 + 2nk = к + 2nk, k s Z
будут просто совпадать.
2) Уже на примере решения простейших тригонометрических
уравнений видно, что ответ в тригонометрических уравнениях может
быть записан по-разному. Поэтому, если вы получили два разных
(по форме записи) ответа, решая тригонометрическое уравнение двумя
различными способами, это не означает, что вы обязательно ошиблись,
полученные ответы могут быть разными записями одного множества.
2. cosх - а. Если \а\ > 1, то решений у данного уравнения нет.
Если а = 1, то решение х = 2nk9 k e Z9 если а = — 1, то решение
X = 71 + 2nk, k € Z.
Если \а\ < 1, то множество корней уравнения cosx = а
записывается в виде двух серий: х = ф + 2тс&, k e Z или х = -ф + 2nk, k e Z, где
ф — какой-либо корень данного уравнения. Эти две серии иногда
объединяют в одну: х = ±ф + 2nk, k s Z. Обычно в качестве такого
частного решения выбирают ф = arccos a. Тогда ответ в уравнении
приобретает вид х = ±arccosa + 2nk, k e Z (рис. 6.51).
-Ф
Рис. 6.51
а
О
arctga
Рис. 6.52
Ц-Пратусевич, 10 кл.
322 Глава VI. Тригонометрия
3. tg x = a, ctg x = а. Корнями уравнения tg x = а являются все
числа х = arctga + nk, k e Z. Это хорошо видно на графике функции
у = tgx. Одно решение находится на интервале -—; — , а остальные
V 2 2У
отличаются от него на nk, k e Z (рис. 6.52). Корнями уравнения
ctgx = а являются числа вида х = arcctga + nk, k e Z.
Заметим, что в обоих уравнениях множество всех корней, вообще
говоря, имеет вид х = ф 4- nk, k e Z, где (р — какой-либо корень
данного уравнения. Как правило (но не обязательно) в качестве частных
решений берут ф = arctga или ф = arcctga соответственно.
2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим
В этом пункте мы рассмотрим тригонометрические уравнения,
которые сводятся к простейшим почти мгновенно, например, заменой
переменной или применением той или иной тригонометрической
формулы. Также в этом пункте мы рассмотрим условия равенства
одноименных тригонометрических функций.
(Зх — 2^ 2
Пример 49. Решим уравнение cos
5 ) 3
О у. О
П Сделаем замену переменной = t. Получим уравнение
cos t = —, решениями которого являются
3
2 3jc — 2 2
£ = ±arccos - + 2nk, k e Z, т. e. = ±arccos- + 2nk, k e Z,
3 5 3
,5 2 1Ол/г + 2 . _ _
откуда находим ответ: х = ±-arccos- + , k e Z. Ш
3 3 3
л/3
Пример 50. Решим уравнение sin a cos a = —.
14
П Умножим обе части уравнения на 2. В левой части уравнения
воспользуемся формулой синуса двойного угла:
л/3
2а = arcsin — + 2nk,
2а = п - arcsin — + 2nk,
1 . л/з
а = - arcsin -— + nk,
2 7 » « r=n
^^ /
а = - тс - arcsin— | + 7cft,
21 7
38. Тригонометрические уравнения
Пример 51. Решим уравнение sin2x = sin5x.
D Перенесем sin5x в левую часть и воспользуемся формулой
разности синусов. Получим
. о к о . ( ЗхЛ 7х о . Зл: 7х
sin2x- sin 5x = 2 sin cos— = —2 sm — cos —.
Тогда
sin 2x = sin 5x
. Sx Л
sm — = 0,
7x n
cos — = 0
X =
X =
2nk
3 '
n + 2nk
Sx u
keZ. Ш
k^Z <=>
Замечание. Аналогично можно решить любое уравнение вида
sin a = sinp или cos а = cos р.
Другой подход к решению уравнений вида sin a = sin р и cos а = cos p
состоит в следующем: из определения синуса следует, что синусы
чисел равны, если числа изображаются либо одной точкой, либо
точками, симметричными относительно оси ординат. Таким образом:
Q
sin а = sin р <=>
Аналогично, cos а = cosP
Га = р + 2л/г,
[а + р = п + :
Га = р +
[а = -р
2nk,
2nk,
ksZ.
kzZ.
Пример 52. Решим уравнение tg3x = tg4x.
D Тангенс — функция периодическая и монотонная на
промежутке ~; — , длина которого равна основному периоду. Отсюда следует,
V 2 2 У
что тангенсы двух чисел равны тогда и только тогда, когда числа
отличаются на nk, k € Z, т. е. можно перейти к уравнению Зх = 4х + ли,
k e Z, равносильному данному, откуда получаем ответ: х = —7cft, ft € Z
или, что то же самое, х = я&, ft € Z. В
Замечание. Уравнение вида sin a = cosp можно свести к
уравнению вида sin a = sin у, воспользовавшись формулой cos p = sin
V2
Иногда свести уравнение к простейшим помогает метод
вспомогательного аргумента (см. с. 302).
и*
3241 Глава VI. Тригонометрия
Пример 53. Решим уравнение 7sinx + 24cosx = 5.
□ Воспользуемся формулой, выведенной на с. 302.
( 7 24 ^ ( 1 Л
7sinx + 24cosx = 25 —sinx + —cosx = 25 sin x +arccos— ,
( 7 Л 1
т. е. данное уравнение равносильно уравнению sin х + arccos— = -,
у^ 25 j 5
откуда получаем ответ:
х = arcsin arccos — + 2nk,
5 1 25 ? keZ. Ш
х = п - arcsin - - arccos — + 2nk,
о 25
3. Основные методы решения тригонометрических уравнений
Два основных метода решения уравнений — это метод замены
переменной и метод разложения на множители. Рассмотрим эти методы
в приложении к тригонометрическим уравнениям.
Метод замены переменной
Замена переменной — один из основных методов решения
уравнений.
В примерах 54 и 55 тригонометрическое уравнение сводится
к квадратному с помощью замены переменной.
Пример 54. Решим уравнение 3sin2x + 4cos2x - 2sinx -5 = 0.
□ В этом примере после преобразований
3 sin2 х + 4 cos2 x - 2 sin x - 5 = 3 sin2 x + 4 (1 - sin2 x) - 2 sin x - 5 =
= -sin2 x - 2 sin x - 1
уравнение сводится к квадратному относительно sinx. После
замены переменной t = sinx получаем уравнение — t2 - 2t - 1 = 0, откуда
Qtt
t = -1, т. е. sinx = -1. Получаем ответ: х = — + 2nk, k s Z. Ш
Пример 55. Решим уравнение 5sin3x - cos6x + 3 = 0.
Q В этом примере уравнение сводится к квадратному после
применения формулы косинуса двойного угла:
5sin3x-cos6x + 3 = 5sin3x-(l-2sin23x) + 3 = 2sin23x + 5sin3x + 2.
После замены переменной t = sin Зх, получим
_§ 38. Тригонометрические уравнения
__ [~sin3x = -2,
Итак . о л г Первое уравнение решении не имеет, решая
Lsinox = —0,5.
второе уравнение, получаем
18 + 3 '
7я
* " 18 + 3
keZ.m
Отметим, что при решении тригонометрических уравнений
полезно видеть «на несколько ходов вперед» перед тем как начать
преобразования.
При решении следующего уравнения поможет знание формулы
синуса тройного угла или по крайней мере знание того факта, что
синус тройного угла можно выразить через синус угла (тогда становится
ясно, что все тригонометрические функции, входящие в это
уравнение, можно выразить через sinx).
Пример 56. Решим уравнение sin3x - 10cos2x - 5sinx + 6 = 0.
D Воспользуемся формулами sin3x = 3sinx - 4sin3x (см. задачу
VI.188 а)) и cos2x = 1 - sin2x. Получим
sin3x - 10 cos2 x - 5sinx + 6 = -4sin3x + 10 sin2 x - 2sinx - 4,
т. е. (сокращаем на -2)
2sin3x - 5sin2x + sinx + 2 = 0.
После замены переменной t = sin x получаем уравнение 2£3 - Ы2 +1 + 2 = 0,
решая которое, находим корни 2, -0,5 и 1, откуда получаем,
учитывая, что \t\< 1, либо sinx = 1, либо sinx = -0,5, т. е. ответ:
х = - + 2nk,
х = -— + 2nk, k e Z.m
6
х = Ц- + 2nk,
Рассмотрим еще одно уравнение, которое сводится к
дробно-рациональному после соответствующей замены переменной.
Пример 57. Решим уравнение tg2x + ctg2x + 3tgx + 3ctgx + 4 = 0.
□ Заметим, что ctgx= . После замены t = tgx получим уравнение
tgx
t2 + 4 + 3* + - + 4= 0.
Данное уравнение после замены переменной у = t + - сводится
к уравнению *
(у2 - 2) + Зу + 4 = 0,
326] Глава VI. Тригонометрия
откуда у = -1 или у = —2. Уравнение £ + - = — 1 решений не имеет, а
решая уравнение t + - = —2, получим £ = —1, т. е. tgx = -1, откуда
получаем ответ: х = -— + nk, k e Z. Ш
4
Рассмотрим пример еще одной подстановки, характерной для
тригонометрических уравнений.
Пример 58. Решим уравнение sinx + cosx = 1 + sinx cosx.
Q Введем новую переменную t = sinx + cosx. Тогда t2 = (sinx + cosx)2 =
t2-!
= 1 + 2sinx cosx, значит, sinx cosx= и исходное уравнение пре-
t2 -1 2
вращается в уравнение £=1 + , откуда t=l, т. е. sinx + cosx=l.
С помощью метода вспомогательного аргумента получаем sinx + cosx=
= л/2 sin х + — I (аналогично примеру 53), т. е. V2 sin х + — = 1, следо-
V 4) V 4)
к к к Зя
вательно, х н— = —ь 2nk9 k e Z, или х н— = — + 2nk, k e Z, откуда
4 4 4 4
получаем ответ:
sZ.
Пример 59. Решим уравнение llsinx+ llcosx- 5sin2x= 7.
П И здесь можно применить ту же замену переменной: t = sinx + cos*.
Заметив, что sin2x = 2sinx cosх, получим уравнение lit - 5 (t2 - 1) = 7,
решив которое, найдем t = 2 или t = —. Так как t — sinx + cosx =
5
= V2 sin x н— , то уравнение V2 sin x н— =2 решений не имеет,
V 4J V 4;
а уравнение V2 sin x н— = — имеет решения
У 4) 5
х = arcsin —-= —- + 2л&,
5f 34л fe s Z. Ш
x = arcsin —-= + — + 2л&,
5л/2 4
Универсальная тригонометрическая подстановка
Следующая замена переменной называется универсальной
тригонометрической подстановкой. Ее универсальность заключается в том,
что любое уравнение, зависящее только от sinx, cosx, tgx, она позво-
§ 38. Тригонометрические уравнения
ляет свести к дробно-рациональному уравнению относительно tg —
с помощью следующих формул: ^
sinx =
cosx =
1-tgsf
l-tg'f
Пример 60. Решим уравнение cos2x - sin2x = —2ctgx — 1.
D Для этого выразим sin2x, cos2x, ctgx через tgx. Получим
уравнение
l-tg2x 2tgx 2
1 + tg2 X 1 + tg2 X
tgx
- 1 <=» tgx = -1
X = -— + nk, k G Z.
4
Однако, непосредственной подстановкой можно убедиться, что все
х = —Ь nk, k € Z являются корнями исходного уравнения. Их потеря
произошла потому, что выражение синуса и косинуса через тангенс
половинного угла сужает область определения уравнения. Синус и косинус
были определены всюду, а тангенс определен не на всей оси! Поэтому
при использовании такой подстановки нужно обязательно проверять,
являются ли «выпадающие» значения переменной корнями уравнения.
Ответ:
х = ~ + тс/г,
*-!♦
keZ.
Замечание. Хотя при этой замене переменной очень многие
тригонометрические уравнения могут быть сведены к алгебраическим, на
практике универсальная тригонометрическая подстановка
используется не так часто, так как при ее использовании нередко возникают
алгебраические уравнения высоких степеней.
Метод разложения на множители
Пример 61- Решим уравнение sin л: tgx + 1 = sin л: + tgx.
D Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и разложим
полученное выражение на множители. Получим
sinxtgx+ I -sinx-tgx = sinx(tgx- 1)+ 1 - tgx = (tgx- l)(sinx- 1).
Тогда исходное уравнение равносильно
|
(tgx-l)(sinx-l)=
X = — + 7Cft,
x = I + 2тсЛ,
x ^ — + 7m, rteZ
sin х = 1
X = — + nk, k € Z.
4
3281 Глава VI. Тригонометрия
Условие х Ф — + пп появилось после того, как из записи уравнения
исчез tgx, «напоминающий» об этом условии.
Обратите внимание, что в данном примере целочисленные
параметры в записи корней уравнения и в записи условия обозначены
разными буквами. Дело в том, что запись х Ф —У пп, п е Z означает:
\/п € Z х Ф — + пп. Поскольку х = — + nk равен — + пп при п = 2k, то
все такие х не входят в ответ. Если бы обозначение целочисленного
параметра было одинаковым, то из ответа нужно было удалить лишь
точку х = — (так как — + 2nk = — + nk лишь при fe = 0). 91
с* £ £
Пример 62. Решим уравнение cosx + cos5x = cos3x + cos7x.
Q Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу
разности косинусов к выражениям cos x — cos 7x и cos 5x — cos Зх.
Получим выражение
2 sin Зх sin 4x — 2 sin x sin 4x = 2 sin 4x (sin Зх — sin x).
Применив формулу разности синусов к выражению в скобках,
получим уравнение 4sin4xsinxcos2x = 0, равносильное исходному.
4 sin 4x sin x cos 2x = 0 <=>
sinx=0, x=nk>
sin 4x = 0,
4
cos 2x = 0
Kk у гт
X = , k € Z.
Обратим внимание, что все числа первой и третьей серий входят
nk
во вторую, поэтому ответ можно упростить: х = —, k e Z. Ш
4
Пример 63. Решим уравнение cos2x 4- cos22x + cos23x =1,5.
□ Воспользуемся формулой понижения степени для квадратов
косинусов. Получим уравнение
1 + cos2jc I + cos 4x 1 + cos6x _ 3
~2~ ~Т~ 2 ~ 2'
которое равносильно уравнению cos2x + cos4x + cos6x = 0.
Воспользуемся формулой суммы косинусов (обратите внимание: частый прием)
для выражения cos 2x + cos 6x, получим cos 4x + 2 cos 4x cos 2x = О,
откуда либо cos4x = 0, либо cos2x = -0,5. Решая эти уравнения,
получаем ответ: х = — + —, k e Z или х = ±— + nk, k e Z. Щ
8 4 3
|~9х = 13х +
|_9х = -13х
cos9x = cos 13л: <=> I "~ "~ "I"Л k € Z
329 § 38. Тригонометрические уравнения
Пример 64. Решим уравнение cos4xcos5x = cos6xcos7x.
□ Перенесем все члены уравнения в левую часть и воспользуемся
формулой преобразования произведения косинусов в сумму. Получим
- (cos 9х + cos х) (cos х + cos 13x) = 0, что равносильно уравнению
cos9x - cos 13x = 0. Решим его:
nk
2 ' ksZ. Ш
nk
Обратим внимание, что при формальном решении первого
уравнения получим х = , k € Z. Однако, эта запись означает множество
nk у
всех чисел вида при целых k, а это множество совпадает с
множеством чисел вида — при целых k. Поэтому в ответе эта серия записана
nk
в виде х = —, k € Z.
4. Однородные тригонометрические уравнения
Однородными уравнениями относительно функций f и g
называются уравнения вида
п' п — 1' S ••• k' S • • • 0&
(если рассматривать это выражение как многочлен относительно
переменных / и g, то степень каждого одночлена будет равна п). При
делении обеих частей этого уравнения на gn (при этом отдельно нужно
рассмотреть случай g = 0) получится уравнение
,п-1
-(*)"♦••-(£) ♦••■♦<• Ш
+ ... +а0 = 0.
Пример 65. Решим уравнение
sin6 х + sin4 x cos2 x = sin3 x cos3 x + sin x cos5 x.
3 Данное уравнение однородное относительно функций sinx и cosx.
Рассмотрим два случая:
а) sinx = 0. Все числа, удовлетворяющие данному уравнению,
являются решениями исходного уравнения, т. е. х = nk9 k s Z, мы
можем записать в качестве ответа.
б) sinx^O. В этом случае можно поделить на sin6x. Получим
уравнение 1 + ctg2x = ctg3x + ctg5x, которое равносильно уравнению
ctg3x = 1, т. е. ctgx = 1, откуда получаем ответ: х = —ь nk, k e Z.
4
3301 Глава VI. Тригонометрия
Объединяя ответы в пунктах «а» и «б», получаем ответ:
х = nk,
п , fteZ.i
х = — + nk,
4
Заметим, что можно было бы сначала перенести все в левую часть,
вынести за скобки sinx, а потом поделить выражение в скобках
(однородное!) на sin5x, но это уже дело вкуса.
Пример 66. Решим уравнение sin3x = sinx + cosx.
□ Данное уравнение изначально не является однородным, но
может быть сделано таковым с помощью достаточно типичного для
тригонометрических уравнений приема: домножим правую часть на 1,
или, что то же самое, на sin2x + cos2x. Получим равносильное
уравнение sin3x = (sinx + cosx) (sin2 x + cos2x).
Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые и перенеся все
выражения в одну часть, получим уравнение
cos3 х + cos2 x sin x + cos x sin2 x = 0.
Вынесем cosx за скобки. Получим либо cosx = 0, т. е. х = — + nk,
/Li
k € Z, либо cos2x + cosx sinx + sin2x = 0. Второе уравнение
однородное, для решения поделим его на cos2x (случай cosx = 0 мы уже
рассмотрели). Получим уравнение 1 + tgx + tg2x = 0, которое решений не
имеет. Таким образом, ответ: х = — + nk, k e Z. Ш
В Задачи и упражнения
Измерение углов и дуг в радианах и градусах
Группа А
VI.1. Сколько радиан составляет: а) 40°; б) 135°; в) 450°; г) л°?
VI.2. Сколько градусов составляет:
а) ^; б) Ц-; в) Щ^; г) 3,14; д) -10?
VI.3. Выразите в градусной и радианной мерах углы правильного
шестиугольника.
VI.4. Сравните числа: а) — ил; б) 6 и ; в) 100 и 32л.
7 6
Изображение вещественных чисел на тригонометрической окружности
Группа А
VI.5. Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие чис-
л л л In 71л 7л
лам: 111л; —; ——; ——.
о 4 3
331 Задачи и упражнения
VI.6. Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие
числам: 4; 11; -6; 100.
VI.7. Отметьте на одной единичной окружности точки,
соответствующие числам: а) 5, 6, —; б) 1, 20, . Какая из этих точек име-
3 3
ет наибольшую абсциссу?
VI.8. Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие
числам 1, 2 и —5. Какая из этих точек имеет наибольшую ординату?
VI.9. Определите координаты точки на окружности, соответствующей
числу: а) -; б) 2л; в) —-; г) —.
Z 4 о
VI.10. Каким числам соответствует точка на единичной окружности
с координатами: а) (0; 1); б) (-1; 0); в) (^-; Щ; г) Г^; -Щ?
л/2
vi.ll. Найдите на единичной окружности точку с ординатой: а) 0; б) ;
л/з ^
в) 1; г) —. Напишите, какое число ей соответствует.
VI.12. Определите, какие пары точек на тригонометрической
окружности, соответствующие данным числам, будут симметричны
относительно начала координат, оси Ох или оси Оу: а) — и —;
3 3
*~\ с% <% \ 5я 20я ч я Зя ч п Л
б) 2 и 2 + п; в) —- и -—; г) - и —-; д) 2 и п - 2.
S3 4 4
VI.13. Найдите на единичной окружности точки с абсциссой: а) —;
л/з ^
б) -1; в) —. Напишите, какие числа им соответствуют.
л
VI.14. Отметьте на окружности множество точек, задаваемых
выражением:
а) - + тс/г, k e Z; 6) ±- + 2тсй, k e Z; в) - + —, k e Z;
2 3 6 4
г) (-1)*|- + я/г, k e Z; д) (-1)*| + ^, k e Z.
6 3 4
VI.15. Отметьте на окружности точки —, п е Z или —, п е Z, принад-
3 2
лежащие одной из двух серий, но не принадлежащие серии
VI.16. Запип1ите две серии точек с помощью одной формулы:
a) TZk9 k € Z И h nk9 k € Z\ 6) 7Cft, k € Z И , k € Z.
2 3
3321 Глава VI. Тригонометрия
VI. 17. На окружности выделены множества точек, изображающих
числа: а) от 0 до п; б) от — до —; в) от — до н п. Опишите все
числа, которые соответствуют точкам, принадлежащим
выделенным множествам.
VI.18. Принадлежит ли число А множеству М, если:
ч л 119л п/г (п о , 5л
а) А = ———, М = U — + 2nk; — +
24 kezy6 6
/-\ Л ПОЛ п уг I I f Л у 2Л у I
б) А = , М = U + nk; — + nk ;
7 fce Z у 6 3
в) А = 100, М = U (— + тс/г; ^ + т
keZ у 7 7
Синус и косинус числа. Вычисление значений
Группа А
VI.19. (Устно.) Может ли синус некоторого угла равняться: а) -; б) -;
3 3
в) —; г) —; д) его косинусу; е)пл— для некоторого натурального
числа п; ж) t2 + 6£ + 10 для некоторого числа t?
VI.20. (Устно.) В какой четверти лежит угол ос, если:
a) sin а > 0 и cos а < 0; б) sin а < 0 и cos а < 0?
VI.21. (Устно.) Для каких углов первой четверти выполняется равенство:
л/3
a) sinoc<sin38°; б) cosoc<cos38°; в) sinoc <—;
л/2
г) cosoc <—; д) cosoc = sinoc; e) cosoc< since?
VI.22. Известно, что — < а < тс. Для каких углов выполняется неравенство:
2 л/3
a) sin a < sin 138°; б) cos а < cos 111°; в) sin а < —;
V2 7
г) cosoc > ; д) cosoc<sinoc; e) |cosoc| < | sin а |?
VI.23. Вычислите значение выражения:
ч.л 7л .л^./'л^ ( п^\ к
a) sin— + cos sin —; б) sin —- +cos -— -cos— ;
3 6 4 у 4 J у 3 J 2
в) sin7C + cos cos7C - cos 2л + cosO;
ч . 11л 11л . 5л
г) sm-- + COS-— - sin--;
о 4 о
\ . о л о • о л 5л о . л о 5л о 5л
д) sin3 — + 3 sm2 — cos — + 3 sm — cos2 — + cos3—.
3 3 6 3 6 6
3331 Задачи и упражнения
VI.24. Сравните с нулем: a) sin 311°; б) cos 311° в) sin 529°; г) cos (-1261°);
д) sin——; е) sin 11; ж) cos9.
VL25. Сравните числа: a) sin 420° и sin 60°; б) sin 60° и cos 30°;
в) 2 sin 29° и 1; г) 2 cos 61° и 1; д) sin— и cos —; е) sin 2 и cos 2;
ж) sin4 и cos4.
^ ч . 13л . 13л 11л ^ч 15л 915л
VL26. Сравните числа: a) sin и sin cos ——; б) cos и cos2 ;
9 9 4 13 13
в) sin I cos 2 и sin 2 cos 1.
VI.27. Какое из чисел больше: a) sin 5 или sin 6; б) cos3 или cos 4;
в) sinl или sin 20; г) 0,5 или sin3?
VI.28. Существует ли угол а, для которого выполняется равенство:
/«пГ
a) sinoc = —; б) cosoc = 2sin25°;
3
в) sinoc = 2cos25°; г) sin2a + sina - 6 = 0?
VI.29. Для каких чисел синус равен косинусу?
VI.30. Решите уравнение |sina| = |cosa|. Ответ запишите в виде одной
серии.
VI.31. Отметьте на числовой окружности точки, для которых:
л/2 л/3
а) sinx = 1; б) cosx = -0,5; в) sinx = ——; г) cosx = —.
Решите соответствующее уравнение.
VI.32. Решите уравнение:
ч sin х л ^ч cos х л ч sin2jc — 0,5 ~
а) = 0; б) : = 0; в) j=- = 0.
1 + cos x 1 + sm x д/2
COS X
VI.33. Решите уравнение: а) cost • cos2t = 1; б) sintcost = 1.
Vl.34. Решите неравенство: г- г-
а) sinx^l; 6) sin£^ —; в) cosx<0; г) sinx< ;
д) cosx^l; e) cosx<—1; ж) sinx > 0,5; з) cosx^-0,5.
Ответы изобразите на окружности и запишите в виде
объединения промежутков.
Основное тригонометрическое тождество
Группа А
VI.35. Какие значения может принимать выражение:
а) 2sinx+l; б) sin2x + 2sinx + 2;
в) cos2x + 3cosx - 4; г) ?
cos2jc + 2
3341 Глава VI. Тригонометрия
VI.36. Упростите выражение:
а) 1 - sin2 а - cos2 а; б) —— ; в) sin4 а + cos4 а - cos6 а - sin6 а;
1 - sin а
г) cos2 а + sin2 а sin2 p + sin2 а cos2 p - 1;
д) sin2 а • sin2p + (1 - cos2 а) cos2 p + cos2 а;
е) cos4 а + sin2 а cos2 а - cos2 а - 1;
ж) sin6 а + cos6 а + 3 sin2 а cos2 а.
VI.37. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
выражение принимает одно и то же значение:
cos4(3 - sin2 a sin2 Р + sin2 P cos2 Р - sin2 а cos2 Р # ^ 1 - sin6 х - cos6 x
sin2 а sin2 Р - sin2 а cos2 а - cos4 а + cos2 а sin2 Р ' 1 - sin4 x - cos4 x'
VI.38. Упростите:
)Ах1а /l - sin а | п Зл
а) \лк — + «— -|cosa, если-<ос<—;
1
1
1
1
+
-
+
-
sina
sina
cosa
cos oc
1 ч1
'V
1
1
1
1
-
+
-
+
sina
sina
cosa
cosa
6) + sina, если — < a <
Vl.39. Вычислите cos a / — ь sin a I —, если a принадлежит
\ 1 - sin a \ 1 + cos a
третьей четверти и sina - cos a = -.
vi.40. Известно, что sin a cos a = 0,1, a a и p — углы первой четверти.
Какие значения может принимать выражение sina + cos a?
Ответьте на тот же вопрос, если аир — произвольные углы.
VI.41. Вычислите: a) sin4 a + cos4 a; 6) sin6 a + cos6 a, если sina + cos a = a.
VI.42. Известно, что sin4x + cos4x = a. Найдите значение выражения
sin2 л: — sin4 л:.
VI.43. Известно, что cos6x + sin6x = а. Найдите значение выражения
cos4x + sin4 л:.
VI.44. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
3sin2x + 5cos2x - 4.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые
принимает выражение a sin2 х + Ъ cos2 x в зависимости от значений
параметров а и Ъ.
VI.45. (Устно.) Существует ли такой угол а, что: a) sina = 0, cosa = 1;
б) sina = —, cosa = —; в) sina = -, cosa = -; г) sina = a + 1,
13 13 3 3
cosa = a - 1?
Vl.46. Какие значения может принимать cosa, если:
а) sina= 1; б) sina = ; в) sina = —?
2 3
и упражнения
VI.47. Найдите:
а) sin а, если cos а = — и а € —; п
б) sin а, если cos а = — и а € —; 2л ;
13 ^2 )
в) cos ос, если sin а = -- и а € —; 2л ;
5 \2 )
г) cos а, если sin а = а2 + 2а + 2 для некоторого числа а.
VI.48. а) Решите уравнение sin2 х + cos2 х = 1.
б) Докажите, что sin4x + cos4x < 1.
в) Докажите, что для углов первой четверти sinx + cosx > 1.
г) Решите неравенство sin5x + cos4x > 1.
д) Решите уравнение sin5x + cos7x = 2 — sin4x.
е) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
sin3x + cos3x.
vi.49. Докажите, что Vsinoc + л/cosa > 1 для углов первой четверти.
VI.50. Докажите неравенство:
а) |sinacosa| < 0,5; б) 0,5 < sin4x + cos4x < 1;
в) 0,25 < sin6x + cos6x ^ 1; г) 0,125 < sin8x + cos8x < 1.
vi.51. Докажите, что для углов первой четверти выполняется
неравенство:
а) sin a + cos a + + > 4;
sin a cos oc
б) tgx + ctgjc > sinx + cosx.
Vi.52. Докажите, что: а) cos (cos x) > 0; 6) 0,5 < cos (sin x) ^ 1.
VI.53. Какие целые значения принимает выражение 2 cos2 a + 3 sin a?
vi.54. Какие значения принимает выражение:
а) 2cos2x + 6sinx + 3; б) 2 sin2 a - 3 cos a;
в) 4cos4a - cos8a; r) 3 + 2yjsin2 a - 5 sin2 a.
Простейшие свойства синуса и косинуса
Группа А
VI.55. Вычислите: а) sin566jc; б) cos~; в) cosf- —); г) sinf—1;
2 v 6 ; v 3 )
. ( 263п} , . ( 135л "I . . (222570 . ( 221я "|
д) cos — ; е) sin —- ; ж) sin —-— ; з) cos —■ .
V 4 ) V6; V2; V3;
VI.56. Определите знак числа:
а) sin6; б) sin511° • cos(-192°); в) sin3 • cos4; г) sin3,15.
3361 Глава VI. Тригонометрия
VI.57. Выясните, какое из двух чисел больше:
a) cos 5 или cos 6; б) sin3 или sin3°; в) cos 2 или sin6.
VI.58. Упростите:
a) sin 11 + | sin 111; б) sin 20 - | sin 201; в) cos 12 - | cos 121.
VI.59. Сравните: a) cos 5 и cos 4,9; б) sin 40° и cos 40°; в) sin 20° и cos80°;
г) sin3,14 и sin3,15; д) зтО,8л и sin0,81л; е) sin(cosl) и cos(sinl).
VI.60. Расположите в порядке возрастания числа:
a) sinl, cosl, sin2, cos2; 6) sinl, cos6, sin2, sin6.
т. л 11л . 911л
Vl.61. Вычислите cos — cos sin2 .
12 12 12
vi.62. Вычислите:
a) cosl° • cos2° • ... • cos 179°; 6) cosl° + cos2° + ... + cos 179°.
Vl.63. Упростите:
a) sin (л - a); 6) cos (a - л); в) sin (11л + a);
r) sin \-£- - a ; д) cos — + a ; e) соз(7л-ос).
V 2 ) V 2 )
Vl.64. Упростите выражение:
a) sin — - a - cos a; 6) sin (л + 1) + cos ^ - 1 ;
в) cos \^- - a sin (л - a) - cos (л - a) cos (-a);
r) sin — - a sin (a - л)- cos — - a cos (л - a).
v2 ) V2 )
VI.65. (Устно.) Запишите число в виде синуса или косинуса
положительного угла, меньшего 45°: а) sin80°; б) sin 170°; в) cos80°;
г) cos 770°.
VI.66. Приведите к тригонометрическим функциям положительного
угла, меньшего —: а) cos 311°; б) sin 1,8л; в) sin 2; г) cos 6.
4
VI.67. Сравните: а) sin 2° и sin 178°; б) sin 5° и sin 175°. Обобщите
полученные результаты. Выведите аналогичную формулу для
косинуса.
VI.68. Решите систему неравенств:
2s бМ '1 в)
2~'
sin я
COS*
<
<
1
о '
1#
2
г)-
sinx >
cos л: ^
л/2
2
Я
2
Задачи и упражнения
arccos -
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Арксинус и арккосинус
Группа А
VI.69. Вычислите: a) arcsin —; б) arcsin — ; в) arcsin 0; г)
2 _ V 2У
In
д) arccos (-1); е) arccos —.
л/3
VI.70. Решите уравнение: a) sinx=l; б) sinx = 0; в) sinx =—;
ч 1Ч. 4Ч 12 ч. 1 ч rz
г) cosx = —; д) smx = —; e) cosx = —; ж) smx = —; з) cosx = -V2.
2 5 13 5
Vl.71. Решите
a)-
B)
совлг
sin л:
плп ■у
CUb X
систему
42
2 '
л/2
" 2 ;
1
6
2л/2
3 '
уравнений:
б)
г)
COSX =
sinx =
COS X —
1
2'
2
2
s
2
VI.72. (Устно.) Сравните с нулем: a) arcsin(—0,2); б) arcsin0;
в) arccos(-1); г) arccos 0; д) arccos0,5.
Вычислите (vi.73—VI.75).
Vl.73. a) arcsin sin —; б) arcsin (sin (-0,2));
3
г) arcsin sin 4; д) arcsin sin —- ;
Vi.74. a) arccos cos—; 6) arccos cos — ;
3 ^4,1
r) arccos cos 6; д) arccos cos — ;
V 2 )
в) arcsin sin
11л
ТУ
e) arcsin sin 7.
в) arccos cos
e) arccos cos 9.
Vl.75. a) sin arcsin 0; 6) sin arcsin 0,6; в) cos arccos —; r) sin arcsin —.
о /L
Vi.76. Пусть 0 < a < 1. Вычислите значение выражения arcsin a + arccos a
1 [9
при: a) a = —; 6) a = —; в) a — 1. Обобщите полученные равен-
ства. Важно ли условие 0 < а < 1?
VI.77. Докажите, что: a) cos arcsin х ^ 0; б) sin arccos x ^ 0.
338J Глава VI. Тригонометрия
Определение тангенса и котангенса
Группа А
VI.78. (Устно.) Что больше: синус или тангенс одного и того же угла
первой четверти?
VI.79. (Устно.) Для каких углов первой четверти выполняется условие:
a) tgx<tg25°; б) ctgx < ctg38°; в) tgoc < ^;
3
г) ctgoc>l; д) tgx = ctgx; e)
VI.80. (Устно.) В каких четвертях имеют одинаковые знаки:
a) sin а и ctgoc; б) cos а и tgoc?
VI.81. (Устно.) В какой четверти лежит угол а, если:
a) since > 0 и tgoc < 0; б) cosoc > 0 и tgoc < 0?
VI.82. Вычислите: а) (1 + sin30°)(2V3 - sin60°); б) tg45ocos60°ctg30°;
в) tg2 45° - 2 + ctg2 45°; г) tg 0 + ctg - +
VI.83. Вычислите:
a) tg —— ; 6) ctg —- ; в) tg — ; r)
Vl.84. Сравните с нулем: a) tg223° - tg211°; 6) ctg303° - ctg315°;
в) tg3-tg3,l;r) tg6 + tgl.
Vl.85. Сравните: a) tgll° и tgl9°; 6) ctgl5° и ctg79°; в) 1 и ctg50°;
v , Юя , 9л
D tg— Htg-.
Vl.86. Расположите в порядке возрастания
cosO°, cos65°, sin31°, tg46°, cos 111°, sinO°.
VI.87. Отметьте на осях тангенсов и котангенсов точки, соответствую-
ч и ^ч 5я ч 11я ч 5л
щие углам: а) -; б) —; в) ——; г) —.
Вычислите значения тангенсов и котангенсов для этих углов.
VI.88. Решите уравнение:
a) tgx = 0; б) ctgx=l; в) tgx= у[3; г) ctgx=—-=.
л/3
VI.89. Решите неравенство:
a) tgx<0; б) ctgx > 1; в) tgx<-V3; г) ctgx>-Fr.
л/3
VI.90. Реп1ите систему неравенств:
tex>-l; lctg*<l; [cos*>;
1 и упражнения
VI.91. Укажите такое число х, что sinx • cos2x • tg3x • ctg4x < 0.
VI.92. Известно, что числа а, р, у лежат в промежутке [0; 2л] и при
л/3 Q 1 л/3 ТЛ
этом sin ос = —, cosp = —, tg у = —. Какие наибольшее и
наименьшее значения может принимать сумма а + р + у?
VI.93. Известно, что tgoc + ctg а = 3. Найдите:
a) tg2 ос + ctg2 ос; б) tg3 ос + ctg3 ос; в) sin oc cos а; г) sinoc +cosoc.
Простейшие свойства тангенса и котангенса
Группа А
Упростите выражение (Vl.94-vi.98).
vi.94. а) — + - —; б) sin a cos а (tg а + ctg ос);
1 + tgf1 X 1 + Ctgz X
v sin а sin а ч sin6 oc cos6 ос
в\ • г) 1 a
1 + cos а 1 - cos а 1 - tg2 x 1 - ctg2 x
VI.95. sin ос + + cosoc + -(tg2x + ctg2x).
^ sinocj ^ cosocj
,ттЛЛ Itgx - sinx 1 ^
Vi.96. — , если О < а < л.
\ tg x + sin x sin x
vi.97. a) ctg (4л + а); б) tg(oc - Зл); в) tg I — - а ; г
vi.98. a) tgf^-alctg(-a);
6) sin — - a tg(3;c - a) + cos(5tc - a)ctg | ^ -
sin (n - a) sin ( —— a | tg [ — - oc
в)
( . \к
tg a - -^ sin -^ - a tg(Sn - a)
(Sn Л , (к
cos(n - a)cos a ctg oc
V2 ) V2
ctg a - £ cos I -^ - a ctg(3rc - a)
V * ) V ^ )
VI.99. Вычислите:
a) tglotg2°...tg89°; 6) ctglo + ctg2° + ... + ctg 179°.
340J Глава VI. Тригонометрия
VI.100. Сравните: a) tgl и sinl; б) ctgO,5 и cosO,l; в) tgl и sinl,5;
г) tgl и ctgO,5.
VI.101. Приведите к тригонометрическим функциям положительного
угла, меньшего ±: a) tgi|^; 6)ctgf-^l; в) ctg333°; г) tg2460°.
4 5 I 11 J
Связь тригонометрических функций одного угла
Группа А
VI. 102. Найдите оставшиеся три тригонометрические функции угла,
если известно, что:
a) sinx = - и — < х <п; б) cosx = — и л < х < 2л;
5 2 3
в) sinx = —— и —- < х < 2тс; г) tgx = 1— и —- < х < 2л;
13 2 8 2
v . 15 л ч 4 Зл о
д) smx = — и — < х < п; е) ctgx = - и —- < х < 2л;
8 2 5 2
ж) ctgx = 2 и л < х < 2л.
VI. 103. Найдите sin a, cos ос, если:
a) tga = |, а е [я; ^j; б) ctga = -у, a g ^; 4я j.
VI. 104. Могут ли одновременно выполняться равенства:
2 1
а) sina = - и tga = -; б) ctga = 1 и tga = -1;
3 3
в) sina = — и tga = -; г) sina = - и tga = =?
5 5 3 2V2
т, 2 sin a —cos a I TT „
Vl.105. Известно, что = —. Найдите ctga.
2sinoc + 5cosa 3
Vl.106. Известно, что tga = -2. Найдите:
ч sina + cosa ^ч sin2 a + cos ос sin a 4 2sin2a - sinoccosa + 4
3sinoc + 5cosoc' 3sinacosa + 5cos2a* cos2oc - 2sin2a
Vl.107. Известно, что tga = 2. Найдите sin2 a - 3 sin a cos a.
vi.108. Известно, что ctga = —2. Является ли целым число cosa + 2sinot?
VI.109. Известно, что tg2a + ctg2a = 2 + а2. Найдите cos2 a - cos4 a.
Арктангенс и арккотангенс
Группа А
VI. 110. Решите уравнение: г-
а) tgx= 1; б) tgx = 0; B)ctgx= ^-; r)ctgx= S; д) ctgx = -l;
12 г
е) tgx = —; ж) ctgx = V2; з) tgx + ctgx = 1.
lo
Задачи и упражнения
Vl.lll. Сравните с нулем: a) arctg5; б) arctg—; в) arcctgl; г) arcctgO;
д) arctg(~2); e) arcctg(-8).
VI.112. Вычислите: a) arctg-—; б) arctg (-л/3); в) arcctgl; г) arcctgO;
о
( л/3^
д) arctgO; e) arctg —— .
6 )
VI.113. Вычислите: a) arctg tg I -^- I ; б) tg arctg (-3); в) arctg tg I —^ I ;
r) arctg ctg-^- ; д) ctgarcctg8; e) tg arctg ^-; ж) arctg(tg6);
з) arcctg(ctgll).
VI.114. Реп1ите систему уравнений:
3
sinx =
а) Г 2' 6)
= 1;
л/3
ctgx= -—;
• _ _!
4
[ctgx=-2V2.
vi.115. Решите неравенство: a) tgarcsinx^O; 6) cosarccosx ^ 0;
в) sinarcctgx ^ 0; r) cosarcctgx < 0.
vi.116. Пусть 0 ^ a < 1. Вычислите значение выражения arctg a + arcctga
1 V2
при: а) a = -; 6) a = —-; в) a = 1. Обобщите полученные равен-
ства. Важно ли условие 0 ^ а ^ 1?
Синус, косинус и тангенс суммы и разности
Группа А
VI.117. Вычислите:
а) sin 23° cos 22° + sin 22° cos 23°;
б) sin a cos (a + p) - sin (a + p) cos a;
в) sin 25° sin 5°-cos 25° cos 5°;
tgll° + tg34°
r)
- tgll°.tg34°
1 [q [*} /9
Vi.118. Упростите: а) —sin a cos a; 6) —sin a H cos a.
VI.119. Упростите:
к 11л 13л . 11л
COS COS h Sin Sin
12 1212 12 6. cos 18° cos 28° + cos 108° sin 208°
. 13л 8л . 7л 28л* ' sin23ocos7° + cos 157°cos97° '
Sin COS h Sin COS
15 15 15 15
342J Глава VI. Тригонометрия
_7Г_ 47£
g15+ gl5 . tgll°-tg!31° .
!_<* -te —' 1-tgl01otg49°'
*15 15
tg2 35° - tg2 10° ctg40° - tg20°
Д' 1 - tg2 35° • tg2 10° ' G) l + ctg40otg20°"
Vl.120. Вычислите: a) sin 75°; 6) cos 105°; в) tgl5°; r) sin 105°.
Vl.121. Докажите неравенство:
а) sin (a + p) < cosa + cosp, если 0<a<—, 0<p<—;
б) tg(a + P) > tga + tgp, если 0 < a < —, 0 < p < —.
4 4
vi.122. а) Известно, что cosa = — и п < a < —. Найдите sin — - a .
о 2 у о j
б) Известно, что sin p = и — < р < 2л. Найдите cos — + р .
в) Известно, что tga = —. Найдите tg —ha .
г) Известно, что tga = —2итс<а< —. Вычислите cos — + а .
2 \^4 ;
д) Вычислите sin (а - р) и cos (а + р), если sin a = 0,6, sinp = 0,8
и а, р — углы второй четверти.
VI.123. а) Вычислите cosa, если sin ^- - a = и — < а<я.
^6 j 3 2 6
^ч тт « (п \ 1 п 5к
б) Найдите cosa, если cos a= — и — <a< —.
в) Вычислите cos (73° - а), если cos (13° - a) = -%= и -50° < a < 10°.
V7
г) Найдите tgp, если tga = 2 и tg(a + р) = -1.
VI.124. Какие значения может принимать выражение a + р, если
0 < a < —, tga = -, п < р < —, tgp = -?
VI.125. Докажите тождество:
а) sin (a + p)sin(a - р) = sin2 a - sin2p;
sin(a + p)+sin(a-p)_ ,_ „w.LxiUit*^
1+ tga
и упражнения
sin ос + 2 sin а л/2 cos ос - 2cos — + а
VI.126. Упростите: а) ^ ^—; б) ^ ^,
2cos а - V3cosa 2 sin — + а - л/2 since
V6 ) V4 У
vi.127. Докажите, что значение выражения
cos2x + cos2\х + ^ + cos2\х - ^-\
одно и то же при любом значении переменной.
VI.128. Докажите:
а) tga + tgp + tgy= tgatgptgy, если a + p + y = n;
^4 a-b b-c c-a (a- b){b - c)(c - a)
б) Т-.—r+ , , L +■
1 + ab 1 + be 1 + ас (1 + ab)(l + bc)(l + ac)
vi.129. Числа a, b9 c, d удовлетворяют условиям a2 + b2 = 1 и с2 + d2 = 1.
Докажите, что |ac — bd\ < 1.
Формулы приведения
Группа А
VI.130. Выведите формулу приведения:
а) sin —+ ос ; б) sin a — ; в) cos(37c + a); г) cos I — + a .
\ 2 J ' \ 2 J \2 )
Вычислите (VI.131—VI.133).
Vl.l3l.a) (д/l - cos2193° + д/ctg2167° - cos2167°) cos 77°;
б) (Vl - sin2153° + Vtg2207° - sin2 207°) cos 27°.
Vi.132. sin2 a + sin2 (a + 1°) + sin2 (a + 2°) + ... + sin2 (a + 179°).
Vi.133. a) cos I — - a , если cos a + — = -;
V12 ) V 12 / 5
6) sin -—- a , если cos —- + a = -—-.
I 5 J V 5 ) 14
Упростите выражение (vi.134—vi.137).
sin a cos (я + a)ctg(-a)
VI.134. —
[37C Л , чх [Я 1
sin — + a cos (n - a) tg — + a
344! Глава VI. Тригонометрия
tg а - cos (л - а)зт(3л + а)
VI 135 —
(cos (3,5л - а) + sin (1,5л + а))2 - 1
cos I — + а tga • tg I — + а | + sin [ ^- + а
VI. 136. —=— — +
Гсов(2,5к + сх) _ s.n tg(^
I ctg(37t + a) s 1 2
(H
tg
Формулы двойного и половинного угла
Группа А
VI.138. Вычислите sin2a, cos2a, sin— и tg —, если:
а) cosa = — и п < а < —; б) sina = - и — < a < л.
О Ск О ел
VI.139. а) Найдите sin2a, если sina + cosa = a.
^ч ~ ^ 1 + sin 2а
б) Сократите дробь .
sin a + cos a
в) Упростите д/l + sin 2a + д/l - sin 2a, если 0 < a < —.
VI. 140. Упростите:
а) у0,5 + 0,5д/0,5 + 0,5cos 2a , если 0 < a < —;
6) J2 + 72 + 2cos2a, если — < a < -.
4 L
4 <L
TX 2 sin a -cosa 1 TT „ . . o
VI.141. Известно, что = —. Найдите ctga; sin 2a.
2 sin a + 5cosa 3
л r> cos 4a + 3cos2a - 1 , 1
VI. 142. Вычислите , если ctga = —.
cos 2a + 2 s 3
TT sin 2a + sin 4a TT „ . o
VI.143. Известно, что = д. Найдите sm2a.
cos 2a - cos 4a
VI. 144. Вычислите:
a) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°; 6) cos —cos —;
5 5
в) sin-- sin-- sin—.
vi.145. Какие наибольшее и наименьшее значения принимает
выражение: а) sin2 х + cos 2x + 2; б) 2 + cos 2х + Jsin2x?
3451 Задачи и упражнения
Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента
Группа А
VI.146. Найдите: a) tgoc, если sin2oc = 0,3; б) tgoc, если tg2oc = —.
4
vi.147. Вычислите sin2a, cos2a, tg2a, если: а) tga = 2; б) ctga = -3.
VI.148. Вычислите:
2 5
а) , если tga = 0,3; б) , если tga = 0,2.
' 2sin2a-l б 6+7cos2cc
VI.149. Известно, что sina 4- cosa = 0,2. Вычислите tg —.
VI.150. Докажите, что значения cosx и sinx одновременно являются
рациональными числами тогда и только тогда, когда рационально
значение tg— (кроме пары значений (-1; 0)).
2
Метод вспомогательного аргумента
руппа sin20°-V3cos20° A ОЛО
VI.151. Упростите: а) . + 4cos20°;
fiv 2 sin 10° + sin 50° 1 Уз
B
2 sin 80°- V3cos40°' B sin 10° cos 10°'
vi.152. Найдите наибольп1ее и наименьп1ее значения выражения:
а) sinx + cosx; б) sina+ 3cosa; в) 4sina+5cosa;
г) л/2 sina + л/7 cosa; д) |sina-cosa|.
VL153. Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые
принимает выражение a sinx + bcosx.
VI.154. Докажите неравенство: а) 7 sin 2a + 8 cos 2а ^ 12;
б) |5sina + VTTcosa| < 7; в) V3|cosx| < 2 + sinx.
VI.155. Решите уравнение: а) sin x- V3cosx- 1=0;
б) л/2 sinx- л/7 cosx- 3 = 0; в) 3sinx + 3cosx = 6.
Группа В
VI.156.Докажите, что если функция /(х) = asinx + bcosx обращается
в нуль при двух значениях аргумента хх и х2, таких, что
хг — х2 ^ nk, k € Z, то функция f(x) тождественно равна 0.
VI.157. Сравните sin(cosl) и cos(sinl).
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
и обратно
Группа А
VI.158. Вычислите: а) sin 15° • cos 45°; б) sin — sin —;
в) cos 75° sin 105°; г) 2 cos 20° cos40° - cos 20°.
346 Глава VI. Тригонометрия
__ Л7 v sin 35°- sin 25° ^ cosoc-cosp
VI.159. Упростите: а) —-; б) £-.
sin 35°- sin 25° cosa+cosp
VI.160. Преобразуйте в произведение выражение:
а) cos 2a + cos 14a + cos 6a + cos 10a;
б) cos a + cos 2a + cos 3a;
в) sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a;
r) sin a + cos 2a + sin 3a + cos 4a.
Vl.161. Упростите:
v cos ос - cos 4a + cos 7a - cos 10a ш ^ sin 4a + sin 9a - sin a
sin a + sin 4a + sin 7a + sin 10a ' cos a + cos 4a + cos 9a #
VI. 162. Преобразуйте в произведение выражение: а) 1 + sina + cosa;
б) 1-sina + cosa; в) 1 - 2 sin a + cos 2a; г) 1 + cos a + cos 2a.
VI. 163. Вычислите:
a) cos47° + sin 77°-V3 cos 17°; 6) sin 56° + cos26° - V3 cos4°.
Vl.164. Вычислите:
а) sin 10° cos 11° + cos 35° cos 54° - sin 46° sin 65°;
б) sin 15° cos 7° -cos 11° cos 79° - sin 4° sin 86°.
-г, sin a + sin 3a + ... + sin(2n - l)a
VI. 165. Докажите тождество = tgmx.
cos a + cos 3a + ... + cos(2n - l)a
vi.166. Вычислите значение выражения cos 2a - cos 6a, если cos a = -.
5
Различные тригонометрические преобразования
Группа А
VI.167. Известно, что cosx + cosy = а и sinx + sin у = b. Найдите:
а) cos (х - у); б) cos(x + у).
VI. 168. Найдите при х = — значение выражения:
ч . ^ч sin х — cos x
а) sinx - cosx; б) .
sin x + cos x
VI.169. Вычислите sin — .
о
VI. 170. Упростите выражение cos2 (x + у) + cos2 у - 2 cos x cos у cos (x + у).
VI.171. Упростите 2 sin 70°.
2 sin 10°
VI.172. Вычислите tg20° + tg25° + tg20otg25°.
cos 140° • Jsin2 10° - cos3 80°
Vl.173. Вычислите .
sin 20°
Vl.174. Известно, что cos (30° + a) + cos (60° - a) = a. Какие значения
может принимать выражение cos (30° + a) - cos (60° - a)?
Vl.175. Известно, что sina + cosa=m. Какие значения может
принимать выражение cos — - a I - cos I ^- + a ?
347[ Задачи и упражнения
Группа В
1 - si
VI.176. Сократите дробь —
(1 + V3)cos х - (л/3 - 1) sin х
VI.177. Докажите, что tg3a - tg2a - tga = tg3a • tg2a • tga.
Доказательства тождества примера 30 и равенства примера 31 могут
подсказать идею вычисления сумм в задачах VI. 178—VI. 180 (нужно
догадаться, на какую функцию необходимо домножить выражение, чтобы
упростить его).
VI.178. Докажите тождество:
ч н г» г» г» л г» sin(2n + 1)ос
а) 1 + 2 cos 2a + 2 cos4а + ... + 2cos па =
6) sin2a + sin4a + ... + sin2mx =
since
sin ((n + l)a)sin(mx)
sin a
vi.179. Докажите, что cos ь cos ь cos — = —.
Vi.180. Вычислите сумму:
ч n . 2л . (2n-l)n
а) sin — + sm — + ... + sin- —;
' n n n
^4 . n .2л . (n - 1) n
б) sin — + sm — + ... + sm- —;
n n n
в) sin2x + sin22x + ... + sin2nx.
Vi.181. Докажите, что tg20° • tg40° • tg80° = V3.
Формулы понижения степени
Группа А
VI.182. Вычислите без применения калькулятора:
а) 2(sin42 + C9°s42); б) cos2 70° + sin2 25°+ V2cos 70° cos 65°.
1 + cos2 4
Vl.183. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
2 sin2 a + sin 2a + 4 cos2 a.
Vi.184. а) Найдите при х = — значение выражения cos4x + sin4x.
x ^
б) Вычислите sin4 — + sin4 — + sin4 — + sin4 —.
16 16 16 16
vi.185. Упростите д/4 - 4 sin2a - д/2- 2cos2a, если — < a < —.
vi.186. Докажите, что число иррационально: а) cos 15°; б) cos 10°;
в) cos 5°; г) sin 20°; д) tglO°.
VI.187. Докажите неравенство:
а) cos (cos a) > sin (sin a); 6) sin (cos a) < cos (sin a).
3481 Глава VI. Тригонометрия
Формула тройного угла
Группа А
VI. 188. а) Докажите формулы
sin За = 3 sin а - 4 sin3 ос и cos За = 4 cos3 а - 3 cos а.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
4cosx + cos3x.
в) Докажите, что число cos 10° иррационально.
г) Решите уравнение у/1-х2 = 4х3 - Зх.
д) Придумайте многочлен с целыми коэффициентами и одним
из корней, равным cos 20°.
Тригонометрические соотношения в треугольнике
Группа А
В задачах (VI. 189—VI. 198) а, р и у — углы треугольника.
VI. 189. Докажите, что для углов треугольника выполняются соотношения:
a) sin - = cos—; б) sin(oc + р) = siny;
2 2 а + В у
в) cos(oc + р) = -cosy; г) tg - = ctg —.
А А
VI. 190. Докажите, что cos2 a + cos2p + cos2 у = 1 - 2 cos а cos p cos у.
VI.191. Докажите, что треугольник является прямоугольным тогда
и только тогда, когда cos2 a + cos2p + cos2 у = 1.
VI. 192. Докажите, что треугольник является равнобедренным тогда
и только тогда, когда tg(oc - р) + tg(p - у) + tg(y - а) = 0.
VI. 193. Докажите равенство tg — tg — + tg — tg — + tg — tg — = 1.
A A A A A A
ГУ ft V
VI. 194. Докажите равенство sin a + sinp + siny = 4 cos — cos — cos—.
A A A
vi.195. Докажите равенство sin 2a + sin 2p + sin 2y = 4 sin a sin p siny.
vi.196. Что можно сказать о треугольнике, если sin (a - р) + sin(p - у) +
+ sin(y-a) = 0?
VI.197. Докажите, что cos a + cosp + cosy > 1.
VI.198. Докажите, что для углов треугольника выполняется
неравенство cos a + cosp + cosy < 1,5. Докажите, что равенство
достигается только для углов равностороннего треугольника.
Графики и свойства тригонометрических функций
Группа А
VI. 199. На каких промежутках синус и косинус одновременно убывают?
VI.200. Постройте график функции: а) у = sin \х-\— ; б) у = cos \х— ;
и упражнения
в) */ = |tgx+l|; г) у = sin\x - п\. Определите промежутки
возрастания и убывания данных функций.
VI.201. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет
уравнение f(x) = а, если f(x) = (|sinx| + |cosxf)2?
VI.202. Постройте график функции:
а) / (х) = max < cos £ | £ € х ; х П>;
б) f{x) = min< sin* \ t e х- —; х \>.
VI.203. Найдите наибольшее значение функции: а) у = 2 sinx - cos2x на
промежутке —; — ; б) у = sinx + cos 2х на промежутке [0; п].
|_4 4 J
VI.204. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
g (х) = 1 - <yjcos2x — 2 sin2 x.
VI.205. Найдите наименьшее положительное значение функции:
a) f(x) = tgx + ctgx; б) g(x) = |sinx| + |cosx|.
Vl.206. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 16х н h sin2x
на промежутке (0; +сю).
VI.207. При каких значениях х принимает наибольшее значение
функция: a) f(x) = sin (cos х); б) g(x) = tg(sinx)?
VI.208. Найдите множество значений функции:
a) f(x) = 3sin2x + 5cos2x + sinx; 6) f(x) = 3sin2x + sinx - 4;
в) f(x) = 3cos2x - cos2x + 1; r) f(x) = 2sinx + 3cosx;
д) f(x) = 15cosx - 8sinx + 7; e) f(x)=—— ;
чл/ч./.ч 2 COS X + 1
ж) f(x) = tg(ctgx).
VI.209. Исследуйте на четность и нечетность функцию:
а) у = sin(3x + х3); б) i/ = sin|x|; в) у = |sinx| + cosx;
г) у = sinx + sin(x + |х|) + sin(x - |х|).
VI.210. При каких значениях параметра а будет четной или нечетной
функция:
а) у = a sinx + cosx; б) у = а (3 sinx + 2)5 + (3sinx - 2)5.
VI.2H. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:
a) f(x) = sin — ; б) f(x) = cos(x + п);
в) /(x) = |tgx|; г) /(x)
VI.212. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:
а) у = sin2x; б) у = 2COS х; в) у = sin4x + cos4x; г) у = cos(x2 + x) на
отрезке [—1; 1]; д) у = sin2 x + sinx на отрезке [—п; 0]; е) у — cos (sinx)
Г я П1
—; 0 .
на промежутке
3501 Глава VI. Тригонометрия
VI.213. Решите графически уравнение: 2
a) sinx = -x;6) sinx = x;B) cosx = |x|;r) sinx = — \х- п\.
п
VI.214. Решите уравнение:
a) 4cos— = |х + 1| + |х - 1|; б) cosx = x-—.
3 2
Группа В
VI.215. При каких значениях параметра а неравенство sin2x - 2asin# +
+ 4a — 3 ^ 0 выполняется при любых значениях xl
VI.216. Изобразите множество точек на плоскости, удовлетворяющих
уравнению:
а) |i/| = |sinx|; б) sinx + cosy = 2; в) \у - sinx\ = у - sinx.
VI.217. Изобразите на плоскости множество точек, таких, что:
а) sinx = sini/; б) sin7c(|x| + \у\) = 0.
VI.218. Изобразите множество точек (а; Ъ) на плоскости, таких, что
неравенство sin (х + а) ^ sin x + Ъ выполняется при всех
действительных х.
VI.219. Изобразите на плоскости множество середин отрезков, концы
которых лежат на графике функции у = sinx.
VI.220. Изобразите множество точек на плоскости, для которых
выполняется неравенство:
а) cosx^0,5; б) cosx^cosi/; в) cos(x + у) > cos(x - у).
VI.221. Найдите все значения а, при которых имеет решение уравнение
12 sinx + 1| + 12 cos х- 1| = а.
VI.222. Найдите главный период функции:
а) i/ = sin4x; б) у = sinx — sin2х; в) у = sinx - cosx;
г) у = sin— sin —; д) у = cos4x + sin4x;
е) у = sin х sin I — - х sin — + х ; ж) у = cos x cos 2x cos Зх.
VI.223. Докажите, что функция не имеет периода: а) у = sin-JJc;
б) у = cos х + cos л/Зх; в) у = xcosx.
VI.224. Является ли периодической функция:
а) f(x) = Vcosx; б) f(x) = sinnx.
VI.225. а) Придумайте функцию с периодом —.
б) Придумайте функцию /(£)> для которой период функции
/(cosx) равен —.
в) Придумайте функцию f(t)> для которой период функции
/(cosx) равен —-.
о
3511 Задачи и упражнения
Обратные тригонометрические функции
Группа А
VI.226. Вычислите:
а) arcsin I + arccos I + arctg 1 + arcctg 1;
л/3 ( 4%Л
б) arcsin — + arccos + arcctg 0;
2 \ 2 )
V2
/o . -I
в) arcsin — + arccos 0 + arctg (-V3) + arcctg -=;
2 V3
r) arcsin -- + arccos -- + arctg 0 + arcctg (-V3).
V 2) V 2J
VI.227. Чему равен arcsin x, если: a) arctg x = —; 6) arccos x = —;
в) arctgx = 0; r) arcctgx = 0?
vi.228. Найдите область определения функции:
у — 1
а) у = arcsin (х2 + 2х + 1); б) у = arctg ;
в) у = arccos arctg х; г) у = arcsin (cos x + (п - х)2 + 2).
VI.229. Решите уравнение 2 arcsin х = — п - (х + I)2.
VI.230. Найдите множество значений функции: а) у = 2 arcsin х + 3;
б) у = ; в) у = arctg 2х; г) у = arcctg2 х - п arcctg x;
arccos х + 4
д) у = 2 arcsin х + 3 arccos x.
VI.231. Решите уравнение:
a) arcsin (х2 — 5х+ 1) =—; б) arcsin (4х3 - Зх2 — 1) = arcsin (x— 1);
6
в) 4 arctg (х2 - 4х + 4) = п; г) arcsin (х3 + Зх) = arcsin (4x);
д) arcsin (Зх3 - х2 + 1) = arcsin (2x + 1).
Решите неравенство (VI.232, VI.233).
Vl.232. a) arcsin х < —; б) arcctg х < 0; в) arccos х > —; г) arctg х < —.
6 3 4
VI.233. a) sin arcsin x > 0; б) sin arccos x > 0;
в) arcsin2 х - 5 arcsin х < -4; г) cos (arcsin (| х | - 3) ^ 0.
VI.234. Докажите, что arccos (—х) = п — arccos x. Выведите аналогичные
формулы для arctg х и arcctg х.
VI.235. Докажите, что arctg х + arcctg х = —.
Группа В
Вычислите (VI.236—VI.238).
Vl.236. a) arcsin sin — 11; б) arccos cos — ; в) sin (arcsin 0,3);
V V 2J) V V 2)j
352| Глава VI. Тригонометрия
. / / л к^ ч . ( . 25лЛ v ( ( 17лУ|
г) cos(arccos(-0,5)); д) arcsm sin ; е) arccos cos ;
v 3 ; 1, v 6 ))
ж) arctg tg ; з) arcsin(sin6); и) arccos cos 4.
V 4 )
( 8тс ^
vi.237. a) sin arccos— ; б) arcsin(cos92°);
ч ( 18п\ ч Л 11л ^
в) arctg ctg —— ; г) arctg tg —- .
V n ) V 6 )
Vl.238. a) cos (2 arcsin 0,2); б) sin (2 arccos 0,1); в) sin (2 arcctg 2);
г) cos 2arcctg- ; д) cos(0,5arctg2,4); e) sin 0,5arcsin— .
V 3J V 18y
Vl.239. Решите уравнение: a) arcsin sin x = x; 6) arcsin sin x = 4x - 3;
в) arccos (4x — 9) = x2 — 5x + 5.
Vl.240. Вычислите:
a) arctg— + arctg—; 6) 2arctg2 - arctg0,75; в) arcsin— + arcsin-.
о 4 3 7
VI.241. Докажите, что arctg + arctg = —.
n + 1 n + 2 4
VI.242. Решите уравнение arctg Зх + arctg 2x = —.
4
Vl.243. Решите уравнение:
а) arcsin (x2 - 2x + 2) = —; 6) arcsin x = 2 arccos jc;
К 2
в) 3 arcsin 2x + 2 arccos 2x = —; r) arcsin x • arccos x = —.
4 16
VI.244. Докажите неравенство arctg 3 - arctg 2^1.
Решите неравенство (vi.245, vi.246).
о _ о о
VI.245. a) arcsin — > —; 6) arcsin — + arccos -r > 1;
x 6 xs x3
У ТС
в) 18arctg2x — Зтсarctgx < тс2; г) 2arcsin— < —;
л л 2 3
ч 1- х . 1
д) arccos ^ arccos —.
1+ х 3
Vi.246. a) arcsin (у2 - у + 1) > arcsin (у + 1);
б) arcsin (у2 + у + 1) < arccos (у2 - # + 1).
VI.247. Решите уравнение:
a) arccos х \ = 2 arcsin х; б) arcsin 2х = arccos x;
в) 2arcsinх = arccos(1 — 2х2); г) arcsinх + arcsin— = —.
VI.248. Пусть х + arctg х = у + arctg у. Докажите, что arcsin х - arcsin j/.
3531 Задачи и упражнения
VI.249. Докажите, что arctg(V2 - 1) = —.
8
VI.250. Изобразите множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют уравнению:
a) arcsin(xi/) = arcsin(x + у); б) arccos (xy) = arccos(x + у);
в) arcctgx = arctg(x + у).
VI.251. Упростите выражение
arccosx + arccos у - arccos (xi/ - Vl - х2 yjl- у2),
если 0<х<1, 0<2/<1.
VI.252. Пусть а Ф О, \а\ < 1. При каких значениях параметра а найдется
такое значение х, при котором arcsin(x - a), arcsinx, arcsin(x + а)
являются тремя последовательными членами арифметической
прогрессии?
х 1
VI.253. Решите неравенство: a) arccos —^ 2arcsin —; б) arctg2x< 2 arccos х.
А X
VI.254. Постройте график функции:
a) f(x) = arccos cos х\ б) f(x) = cos arccos x\
в) f(x) = arctg(tgx); r) f(x) = tgarctgx.
Vi.255. Найдите функцию, обратную к функции f(x) = sinx, если:
в) D(f) = [^; Щ; г) D(f) = [л; 2я].
VI.256. При каких значениях параметра а уравнение arccos cos x = ах
имеет ровно 4 решения?
VI.257. Решите уравнение arcsinsinx = arccos cos x.
Простейшие тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним
Группа А
Решите уравнение (vi.258-Vl.275).
vi.258. a) sinx= ; б) sinx=—; в) sinx=—V2; г) sinx = 0,3;
;
д) cosx=—; е) cosx = -0,7; ж) cosx = 0,l; з) tgx=V2;
и) tgx = O; к)
Vl.259. a) cosl 3*- — I = -^=; б) sin(3f + 5) = 1; в) sin(2;c - 1) = 0;
г) tgl-x--j =-^=; fl)cos2(0,l*- 1)= 1; e) cosl —— I = -—;
ж) sin(3x + 4) = -; з) tg | ^^ | = 1; и) sin Лл/Jc = -1.
з U+1;
12—Пратусевич, 10 кл.
354| Глава VI. Тригонометрия
VI.260. a) sin3x = sin2x; б) cosx = cos 7х; в) sin(5x + 1) = sin(4jc - 1);
г) cos 2х - — = cos 5х + — ; д) sin Зх = cos — - 2х ;
е) sinx + sin3x = 0; ж) sinj 2х- — I + cosj 2x- — ) = —;
з) cos2x = sin5x; и) tg2x = tg5x; к) tg4x = ctg3x.
3 sin x + 1 5 * cos2 x — 1 2 cos x - 1 cos x — 1
vi.262. a) sinx cosx cos2x = 0,125;
б) 8 cos x sin x (sin x — cos x) (sin x + cos x) = V3.
Vl.263. a) cos 5x - cos 2x + 2 = 0; 6) sin 7x - cos 4x + 2 = 0;
в) sinxcos3x=l; r) sin2xsin3x = 1.
Метод вспомогательного аргумента
Группа А
VI.264. a) sinx + cosx = 1; б) sinx - cosx = -1;
в) sin2x + cos2x = ; г) sinx + V3cosx = 1.
А
Vl.265. a) 3cosx + 4sinx = 6; б) 3sinx + 4cosx = -=;
л/2
в) 3sinx + 5cosx = 6; г) 2sinx - 3cosx = 0,5;
д) 3 sin 4x + 5 cos 4x = 4; e) 2 sin (3x + 2) + 3 cos (3x + 2) = 3,25.
vi.266. a) 5 sin x + 12 cos x + 13 sin 3x = 0; 6) sin 5x + cos 5x = V2 cos 13#;
в) 3cosx + 4sinx = 5sin5x; r) sin(x + 2) + cos(x + 2) = sinx.
Метод замены переменной
Группа А
Vl.267. a) 2cos2x - 5cosx + 2 = 0; б) 2sin2x + sinx - 1 = 0;
в) sin2 4x - 3 sin 4x + 2 = 0; г) cos2 — + cos —-6=0.
VI.268. a) 10sin2x- V3cosx= 1; б) 2sin2- + 5cos- - 4 = 0;
3 3
в) cos 4t — 7 cos 2t + 4 = 0; r) 2 cos x — cos 2x - cos2 x = 0;
д) cos 2x + —- +4sm x + - = 2,5.
V 6 ) v 6)
Vl.269. a) sinx sin3x = 0,5; 6) cosx cos3x =—0,5.
Vl.270. a) 2ctg(x - 1) + 3tg(x - 1) = 5; 6) ctg3x + tg3x = 2,5;
в) tgx + —— = 3; r) . = ctgx + 3.
cos^ x sin"2 x
355, Задачи и упражнения
( хЛ
vi.271. a) cos4x + 1,5 = 4sin2x; б) 2 sin2 — + cos2x = 0.
VI272 1 , 1 =48 У2)
*l+sin2jc l + cos2x 35*
vi.273. a) tg2x - 2tgx + 6ctgx = 3; 6) 2sin2x + sinx + -^— + 2O = 6;
sin x sm^ x
в) tgx3 + tg2x + ctg2x + ctg3x = 4;
r) 4sin3x + cos2x + 3sinx = 2,75.
Различные замены переменной при решении тригонометрических уравнений
Группа А
Решите уравнение с помощью замены £= sin x +cosx (Vl.274, Vl.275):
Vl.274. а) 1 + sin2x = 2 sinx + cosx; 6) sin2x + 5 (sinx + cosx) = 0;
в) sin2x + 2 sinx + 2 cosx = 2; r) 4 (cosx - sinx) = 4 - sin2x;
д) 3sin2x + 2(sinx - cosx) = 2; e) sinx + cosx = 1 + sin x cos x.
Vl.275. a) sin3x + cos3x = 1; 6) sinx + cosx = 3(tgx + ctgx).
Решите уравнение, используя универсальную тригонометрическую
подстановку (vi.276-Vi.278):
vi.276. a) sin2x + tgx = 2; б) 10cos2x + 8 = tgx;
4x9 Г» Г» ^Л Ч 1 "" COS 2Х + tgX ^ . о
в) tg2 х + 2 cos 2x - 5 = 0; г) ^— = 1 + sin 2x.
1- tgx
VI.277. а) 2 sin 2х - cos 2х = -^— ; б) 1 - sin х = (sin х + cos x) cos x.
VI.278. (1 + cos x)Jtg — - 2 + sin х = 2 cos x.
V ^
Решите однородное уравнение (vi.279-~vi.284):
vi.279. a) sin2 x — 5 sin x cos x + 4 cos2 x = 0;
б) 2sin2x - sinxcosx - 3cos2x = 0;
в) 7 sin2 2 sin — cos 9cos2 — = 0;
2 2 2 2
r) cos2 x - 3 sin2 x = 0.
vi.280. a) cos3 x sin x + cos2 x sin2 x - 3 cos x sin2 x - 3 sin4 x = 0;
6) V3 sin2 x cosx - 4 sinx cos2 x + V3cos3x.
vi.281. a) 5 sin2 x - 1 = 3 sin x cos x;
б) 3cos2x + sin2x + sin2x = 1;
в) 4sin3x — sinx + cosx = 0;
r) 3 sin2 x - 5 sin x cos x + 8 cos2 x = 2;
д) 3 sin 2x + cos 2x - 4 cos2 x = 1;
е) 3 sin3 x + 4 sin2 x cos x - sin x cos2 x = 2 sin x + 3 cos x.
Vl.282. a) 2cos3x = 3sinx + cosx; 6) 4sin3x - sinx + cosx = 0.
vi.283. a) 4 cos 3x + 3cosx = 0; 6) 5 sin 3x - 6 sin x = 0.
vi.284.4sinx + д/б- 6tg2x = 0.
12*
3561 Глава VI. Тригонометрия
Группу В
VI.285. Сколько корней имеет уравнение sin2 х + 2 sin x = а на
промежутке [0; 2л] в зависимости от значений параметра а?
VI.286. При каких значениях параметра а уравнение cos 2х + cos я = а
имеет решения на отрезке 0; ^- ?
VI.287. При каких значениях параметра а имеет решения уравнение:
а) 2 cos 2x - cos 4х = а;
б) 5cos- - cos- = а;
в) a cosx + cos2x = 2?
Метод разложения на множители
Группа А
Решите уравнение (vi.288-vi.297):
VI.288. а) sin2x • tgx = sin2x; б) sinx tgx + 1 = sinx + tgx;
в) cos2 x — sin2 x = sin x + cos x;
r) 4 sin x cos x + 2 cos x + 2л/з sin x + V3 = 0.
Vl.289. a) tgx + 1 = sinx + cosx; 6) sin3x + cos3x = 1 - 0,5sin2x;
в) 3cos2x = 2sin2x; r) 2sinx |cosx| = cos2x.
ч sinx+sin2x л _ 5sinx-5tgx
Vl.290. a) = 1; 6) ^— = sinx + tgx.
sin3x sinx + tgx
Vl.291. a) cos3xcos6x = cos4xcos7x; 6) sin3xcos2x = sin5x + sinx.
Vl.292. a) cos t + cos 2t + cos 3* = 0;
б) sin 2x + cos 2x + sin 6x = 0;
в) sinx + sin3x + sin5x = 0;
r) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0;
д) sin 2x + sin 6x + cos 3x - cos 5x = 0;
е) tgx + tg2x = tg3x.
Vl.293. a) sin(3x + 5) - sin(x + 1) = 2sin(x + 2);
6) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0.
Vl.294. a) (cosx - sinx)2 - 0,5sin4x = sin4x - cos4x;
6) (1 + sinx)cosx = cos2xcos3x.
vi.295. a) sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 2;
б) sin2x + sin22x + sin23x = 1,5;
в) cos2x + cos22x + cos23x = 1,5;
r) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 1,75;
д) sin2 3x + sin2 4x = sin2 5x + sin2 6x.
VI.296. a) sin2 x + sin2 3x = 1 + cos 4x; 6) 8 cos4 x + cos 2x + 4 sin2 2x = 3.
^- jl = 0,25(1- sin2x).
В этой главе мы приступаем к изучению основ математического
анализа. Математический анализ является мощным инструментом
исследования поведения функций. Однако обращение с ним
требует очень большой осторожности. Именно поэтому теоремы,
утверждения которых кажутся очевидными, мы обычно доказываем,
приводя попутно примеры того, как другие, казалось бы, столь же
наглядно очевидные утверждения, оказываются неверны.
039- Понятие последовательности.
Свойства последовательностей
1. Определение и способы задания последовательности
Бесконечный занумерованный ряд вещественных чисел х19 х2, ...,
хп, ... называется числовой последовательностью. Число, стоящее на
n-м месте, называется п-м членом последовательности, само число п
называется номером этого члена. Пользуясь определением функции,
можно сформулировать определение последовательности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательностью называется функция, областью
определения которой является множество натуральных чисел,
т.е. D(f) = N.
При записи членов последовательности используется следующее
соглашение: вместо функциональной записи х(п) (значение функции
при аргументе, равном п) пишут хп. Саму последовательность при этом
обычно обозначают {хп} (чтобы отличить от л-го члена
последовательности).
Способы задания последовательности
Так как последовательность является функцией, то для ее задания
применяются все способы задания функции: аналитический
(формулой), графический, табличный, описательный и др.
358, Глава VII. Предел последовательности
Пример 1. а) Формулой хп = (-1)" задается последовательность -1, 1,
—1, 1, — 1, 1, ... (каждый четный член последовательности равен 1,
каждый нечетный равен —1).
л б) Формулой хп = — задается последовательность 1, -, —, -, ...,
_ g] п 2 3 4
п'
Пример 2. а) Описанием «хп — это п-е простое число» задается
последовательность простых чисел 2, 3, 5, ..., 17, 19, 23, ... .
б) Описанием «хп — это цифра, стоящая на п-м месте в десятичной
записи числа л», задается последовательность 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ....ф
Пример 3. «Кусочное задание последовательности»: Если п — нечет-
2
ное число, то хп = ; если п — четное число, то хп = 0. Тем самым
п + 1 j j
задана последовательность 1, 0,—, 0,—, 0, ....S
2 3
Отметим еще один, специфический для последовательностей способ
задания, так называемый рекуррентный (от латинского recurrens —
возвращающийся назад) способ. Он состоит в том, что задается один или
несколько первых членов последовательности и указывается закон, по
которому из предыдущих членов последовательности получаются
следующие.
Пример 4. а) Классическим примером последовательности, заданной
рекуррентно, является последовательность чисел Фибоначчи: хг = 1,
х2 = 1, хп + 2 = хп + 1 + Хп' Нетрудно выписать несколько первых
членов последовательности (каждый член последовательности, начиная
с третьего, равен сумме двух предыдущих): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
б) Другими известными примерами рекуррентно заданных
последовательностей являются арифметическая и геометрическая
прогрессии (аг = а, ап + 1 = ап + d; bx = b, bn+l = bnq). Ш
Пример 5. Вычислим сотый член последовательности, заданной рекур-
Xi + ... + Хп
рентно: хг = 1, хп + 1= .
П Для того чтобы вычислить х2, подставим в формулу, задающую
рекуррентное соотношение, п = 1. Получим х2 = — = 1. Аналогично
Хл ~\~ Хп Хл Л~ Хо "г Хо
х3 = = 1, х4 = = 1. По индукции можно доказать, что
2 3
таким хитрым способом задается последовательность, каждый член
которой равен 1, таким образом, х100 = 1. В
2. Общие свойства последовательностей
Так как последовательность является функцией (с областью
определения — множеством натуральных чисел), то определения и свойства
последовательностей (например, ограниченность и монотонность)
можно рассмотреть как частный случай соответствующих определений
и свойств функции.
§ 39. Понятие последовательности. Свойства последовательностей
Однако последовательности устроены проще, чем функции общего
вида, и поэтому мы дадим частные виды определений для
последовательностей (которые, конечно, будут эквивалентны данным ранее
общим определениям — мы это отметим), а также рассмотрим
специфические методы, применяя которые удобнее решать задачи.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ .-~—--—~—-~—--—-^^
1. Последовательность {хл} называется ограниченной снизу,
если ЗА € Я: Vn e N А< хп.
2. Последовательность {хл} называется ограниченной сверху,
если 36 € Я: Vn € N хп < В.
3. Последовательность {хл} называется ограниченной, если
она ограничена сверху и снизу, т. е. если ЗА, В е R: Уп е N
Обратим внимание, что определение 3 повторяет данное ранее
определение ограниченности функции. Часто удобнее использовать
эквивалентное определение ограниченности последовательности:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
3'. Последовательность {хл} называется ограниченной, если
ЗМ € Я: Vn € N I хп I < М.
В самом деле, если найти числа А и Б из третьего определения, то
можно взять М = тах{|А|, |В|}, а если существует число М из
определения 3', то можно взять А = \М\ и В = -\М\.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
3". Последовательность {хл} называется ограниченной, если
найдется такое число L > 0, что для всех членов
последовательности, начиная с некоторого номера /с,
выполняется неравенство | хл | < /_, т. е. Зк е N: Vn > к \ хп \ < L.
Определение 3" равносильно предыдущим.
Из определения 3' следует определение 3" (k = 1, L = М). Для
перехода от определения 3" к определению 3' достаточно выбрать
число М = maxdxj, |х2|, ..., \xk_ J, Ц. Тогда \/п е N \хп\^ М, как
это и требуется в определении 3'.
В дальнейшей теории часто будут встречаться выражения
«начиная с некоторого члена последовательности» или «начиная с
некоторого номера», «для достаточно больших номеров» и т. п. Эти
выражения записываются с кванторами так: 3k e N: \/п > k.
Например, формулировка утверждения о равносильности
определения 3' определению 3" может быть такой: «Последовательность
ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена, начиная
с некоторого члена последовательности».
3601 Глава VII. Предел последовательности
Пример 6. Известно, что последовательности {ап} и {Ьп} ограничены.
Докажем, что последовательность с общим членом хп = Зап - 5Ьп
ограничена.
П Так как последовательности ап и Ъп ограничены, то
ЭМ19 М2: VneN \ап\ < Мг и \bn\ < М2.
Тогда \хп\ = \Зап-5Ьп\ < 3\ап\ + 5|6Л| ^ ЗМг + 5М2, т. е.
последовательность {хп} ограничена по определению (в качестве числа М можно
взять число ЗМХ + 5М2). Ш
Пример 7. Дадим определение неограниченной последовательности, не
употребляя частицы «не».
П С частицей «не» определение звучит так:
«Последовательность является неограниченной, если не
существует такого числа М, что для любого п е N выполняется неравенство
\хп\ < М». Это означает, что, какое бы число М мы ни взяли,
найдется такое п е N, что неравенство \хп\ < М не выполняется, т. е. для
этого п выполняется неравенство | хп \ > М. Поэтому определение
можно сформулировать так: «Последовательность {хп} является
неограниченной, если для любого М е R существует номер п е ЛГ, такой, что
\хп\ > М. На языке кванторов это можно записать так: VM e R Зп е N:
\хп\> М».
Заметим, что это отрицание ограниченности можно получить
автоматически, если записать определение ограниченности на языке
кванторов ЗМ € R: \/п € N \хп\ < М и воспользоваться правилом отрицания
высказываний, сформулированным в главе I. Ш
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
4. Последовательность называется строго возрастающей,
если Vn € N хп +! > хп.
4'. Последовательность называется строго возрастающей,
если \/пьп2 е Nn2 > пл выполняется неравенство хп >хп^
Обозначение: {х„}Т.
Определение 4' является определением возрастания
последовательности, рассматриваемой как функция.
Эти определения равносильны. В самом деле, пусть выполнено
условие определения 4'. Взяв п2 = пх + 1, получим условие
определения 4.
Обратно, пусть выполнено условие определения 4. Возьмем
произвольные натуральные числа п19 п2, такие, что п2 > пг. Из условия
определения 4 имеем: хП2 > хП2_х> ... > х„1+1> xni, откуда хП2> *я „
Таким образом, выполнено условие определения 4'.
3611 § 39. Понятие последовательности. Свойства последовательностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
5. Последовательность называется нестрого
возрастающей, если \/п е N xn + i>xn.
Обозначение: {xn}s.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
6. Последовательность называется строго убывающей,
если Vn € N хл + 1 <хп.
Обозначение: {хп}1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
7. Последовательность называется нестрого убывающей,
если Vn € N хп +1 ^ хп.
Обозначение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность называется монотонной, если она
является возрастающей (строго или нестрого), либо
убывающей (строго или нестрого).
Замечание. Как и в определении возрастания и убывания
функций, для строго убывающей и строго возрастающей
последовательностей мы будем обычно опускать слово «строго», говоря о
просто возрастающих и убывающих последовательностях.
Пример 8. Докажем, что последовательность ап = — является
убывающей.
D Рассмотрим разность ап + 1- ап. Она равна
2(п + 1) + 3 2п + 3 _ -1 0
(п + 1) + 1 п + 1 (п + 2)(л + 1)
Таким образом, V/i € iV а„ + х - ап < 0, т. е. последовательность,
является убывающей по определению. SI
Пример 9. Докажем, что последовательность хп + г = — \хп Н , хг > 1,
^ - 2\хп)
является ограниченной и убывающей.
D По неравенству Коши (очевидно, \/п е N хп > 0)
/у I /у I I ^ /у . ^ 1 / V? 1
•^n + l о\ п х Г ЛI Л X ' V ^
^1 хп У V хп
I
3621 Глава VII. Предел последовательности
т. е. последовательность ограничена снизу числом 1. Заметим, что
равенство в рассуждении (*) не достигается (подумайте почему), поэтому
\/п € N хп > 1. Рассмотрим разность
1 Г1 - х2 Л
но — < 0, так как по доказанному хп > 1. Таким образом, по-
2 V Хп )
следовательность убывает. Для завершения доказательства осталось
заметить, что в силу убывания последовательность ограничена сверху
числом хХш Ш
Отметим, что утверждения про монотонность или ограниченность
рекуррентно заданных последовательностей обычно доказываются по
индукции, поскольку рекуррентное задание последовательности и
является заданием посредством метода математической индукции
(определены начальные члены — база индукции, а также правило
получения последующих членов — индукционный переход).
О40. Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
1. Определение предела последовательности
Рассмотрим последовательность хп = —. С увеличением п члены
этой последовательности становятся все ближе и ближе к 0. Если
нарисовать члены последовательности на вещественной оси, то наш
взгляд сможет различить лишь конечное их число, а все остальные
члены последовательности сольются с точкой 0. При увеличении
точности построения (взятии за единичный более длинного отрезка) мы
сможем различить большее число членов последовательности, но тоже
лишь конечное! Подобная ситуация встречается достаточно часто,
поэтому последовательности, все члены которых «сгущаются» (с ростом
номера п) около некоторого числа А, имеют специальное название
сходящихся (имеющих предел).
Дадим теперь строгое определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ————————-"-—-^^
Число А называется пределом последовательности {хл},
если для любого положительного числа е найдется номер /с,
начиная с которого все члены последовательности
отличаются от А менее чем на е.
При этом пишут lim xn = А или хп -> А.
363i §40. Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
В записи с использованием кванторов это определение выглядит
следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
lim хп = А <=» Ve > 0 3/с € N: Vn > к выполняется неравенство
Л-юо
|хл->А|<е.
Последовательность, у которой существует конечный предел,
называется сходящейся, т. е. {хп} сходится <=» ЗА € R: Ve > 0 3k e N: \/п > k
выполняется неравенство | хп — А \ < е. Если последовательность не
имеет конечного предела, то говорят, что последовательность расходится.
Пример 10. Приведем примеры (пока без доказательства) сходящихся
и расходящихся последовательностей.
□ а) Последовательность-, -, -, -, ..., -, ... сходится к числу 1.
2 3 5 6 п + 1
*ч тт ,1111 (-1)"
б) Последовательность -1, —, —, —, —, ..,, , ... сходится к
2 3 4 5 п
числу 0.
в) Последовательность -1, 1, -1, 1, ..., (-1)п, ... расходится.
г) Последовательность 1, 2, 3, ..., п9 ... расходится. Ш
Замечание. Ясно, что если неравенство \хп — А\ < е выполнено,
например, для е = 0,5, то выполнено и для всех е, больших 0,5.
Поэтому при проверке того, что число является пределом, достаточно
рассматривать лишь малые е. Иногда этот факт подчеркивают, включив
в определение предела слова «для любого сколь угодно малого
положительного числа е».
тт чт1л^чт 2л + 3 2
Пример 11. Докажем, что: a) lim — = 0; б) lim = —.
n->oo W п _> оо ОН — 4 3
D а) Для того, чтобы доказать, что lim — = 0 по определению, нам
нужно для любого е > 0 предъявить номер, начиная с которого
выполняется неравенство
П
= — < е. Последнее неравенство равносиль-
п
но неравенству п > —, которое выполняется при п ^ — +1, т. е.
в качестве искомого номера k можно взять k = — +1. В самом деле,
пусть п > k. Тогда
что и требовалось доказать.
364 Глава VII. Предел последовательности
б) Решение проводится аналогично. Нам нужно найти номер, на-
чиная с которого
2п + 3 2
Зп- 4 3
Зп- 4 3
17
< е. Преобразуем разность:
(Зп- 4)3
6
Зп- 4
6
2п + п - 4
2л
В этих преобразованиях первое неравенство верно, потому что
17
— < 6, а второе неравенство выполняется при п - 4 > О, т. е. при п > 5.
з Гз1
Ясно, что — < е при п ^ — + 1. Таким образом, в качестве номера k мы
можем взять большее из чисел 5 и — +1, т. е. k = max I — +1; 5k
Нетрудно проверить, что при п^ k (а тогда одновременно будут
выполняться неравенства м> — +1и/г>4) будет выполняться неравенство
< е, т. е. мы нашли искомый номер, и последовательность
Зп- 4
* 2л + 3 2 _
с общим членом хп = сходится к числу — по определению. В
Зп — 4 3
Замечание. Конечно, нам не обязательно находить наименьший
номер, начиная с которого выполняется неравенство \хп - А\ < е.
Например, в последнем примере в качестве номера k мы могли взять
/г=тах|Г-~|+100; 3001.
Пример 12. Построим отрицание утверждения А = lim xn.
Q Воспользовавшись правилом отрицания утверждений,
сформулированным в главе I, получим
А Ф lim хп <=» Зе > 0: \/k е N Зп > k: \ хп - А \ ^ е. Ш
Замечания. 1) Отметим, что \хп- А\< г <=» А - е < хп < А +
е=>хпе (А-е, А + е). Этой равносильностью мы будем постоянно
пользоваться в дальнейшем, записывая неравенство из определения
предела в удобной форме.
Напомним также (см. с. 186), что интервал (А - е; А + е)
называется е-окрестностью точки А и обозначается U£(A).
2) Теперь определение предела последовательности может быть
сформулировано следующим образом:
Число А есть предел последовательности {хп}, если для любого
е > 0, начиная с некоторого номера все члены последовательности
попадают внутрь е-окрестности точки А.
365i §40. Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
Или так:
Число А есть предел последовательности {хп}, если вне любой
е-окрестности точки А лежит конечное (возможно, нулевое) число
членов последовательности.
В самом деле, если известно, что неравенство \хп - А\ < е
выполняется, начиная с некоторого номера ft, то вне этой е-окрестности точки
А находится не более k — 1 (т. е. конечное число) членов
последовательности. Наоборот, если вне е-окрестности точки А лежит конечное
(возможно, нулевое) число членов последовательности, то из них
можно выбрать член последовательности {xk\ с наибольшим номером k.
Тогда все члены последовательности с номерами, большими k, будут
попадать внутрь е-окрестности точки А и неравенство | хп — А \ < е будет
выполняться, начиная с номера k + 1.
Последнее определение часто удобно применять при решении
задач, связанных с определением предела.
Пример 13. Докажем, что последовательность хп = (—1)п расходится.
D Заметим, что множество значений этой последовательности
состоит из двух чисел: 1 и (-1). А именно \/k е N x2k = 1, x2k- i = —1-
Рассмотрим произвольное чис-
"^2k — 1 "*2k
ло а € R и его е-окрестность при • ( •—) • ►
I ' -la— e а а + г 1
г = —. Хотя бы одно из чисел 1 или о _ ч
(-1) находится вне этой
окрестности (рис. 7.1), т. е. вне этой окрестности лежит бесконечное число
членов последовательности {хп}, т. е. число а не является ее пределом. Ш
Замечание. Обратите внимание, насколько труднее доказать, что
у последовательности нет предела, нежели доказать, что какое-либо
конкретное число является ее пределом. Это связано с тем, что,
доказывая расходимость последовательности, мы доказываем утверждение
фактически про все вещественные числа (о том, что каждое из них не
является пределом), а доказывая, что последовательность имеет
пределом конкретное число, мы имеем дело лишь с этим числом.
Пример 14. В любой окрестности числа а находится бесконечно много
членов последовательности {ап}. Верно ли, что: a) lim an = а; б) число,
п -»оо
отличное от а, пределом последовательности {ап} не является?
D а) Неверно. Контрпримером является все та же
последовательность ап = (-1)п. В любой окрестности точки 1 бесконечно много членов
последовательности (все члены последовательности с четными
номерами), но число 1 не является пределом последовательности {ап}.
б) А это утверждение справедливо. В самом деле, пусть
последовательность {ап} стремится к числу b Ф а. Предположим для
определенности, что Ъ > а. Рассмотрим окрестности точек Ъ и а радиуса .
3661 Глава VII. Предел последовательности
Они не пересекаются, но вне окрестности Ub_a(b) лежит лишь конеч-
2
ное число членов последовательности (Ь — предел
последовательности), а в окрестности Ub_a(a) бесконечное число членов последователь-
2
ности по условию. Получили противоречие, которое доказывает, что
число, отличное от а, пределом последовательности {ап} не является. В
Обратим внимание на то, что в неоднократно встречавшейся нам
последовательности ап = (-1)" бесконечно много членов
последовательности принимали одно и то же значение 1. Таким образом, следует
отличать члены последовательности (это число вместе с указанием его
номера) от значения члена последовательности (просто число).
2. Свойства предела последовательности
Докажем несколько важных теорем о свойствах предела
последовательности.
ТЕОРЕМА —
Числовая последовательность не может иметь более одного
предела.
-
□ доказательство. Предположим противное: пусть lim хп = А
и lim хп = В, где Аф В (рис. 7.2).
Пусть А < В. Возьмем е0 > 0 так, чтобы Ue (А) и Ue (В) не имели
общих точек, например, е0 = . Поскольку А = lim хп, для любого
А ^ £ > 0, в том числе для £0 = ,
А — £0 А+е0 В—Ео В + е0 найдется такой номер ft, начиная
Рис. 7.2 с которого все члены
последовательности лежат внутри [/е (А).
Значит, вне Ue (А) может оказаться только конечное число членов
последовательности хп. В частности, UEq(B) может содержать только
конечное число членов последовательности хп (поскольку не
пересекается с окрестностью [/ (А)). Это противоречит тому, что В = lim xn.
Доказательство можно провести по-другому, не обращаясь к
«языку окрестностей», используя первое определение (хотя суть остается
той же):
Возьмем е = (Б > А и £ > 0).
74 — А
§40. Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
или, что то же самое,
А - В~ А <г В- А Б+ А
х„ —> В => 3k9: Уп ^ kn
В+А
Возьмем k0 = max {feu k2}; тогда Vai ^ fe0 одновременно выполняют-
Б+ А Б+ A „
ся два неравенства хп < и xn> . Получили противоречие.
Значит, предположение о существовании двух различных пределов
было неверно. В
ТЕОРЕМА —■■
Сходящаяся последовательность ограничена.
D доказательство. Другими словами, требуется доказать, что если
последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Пусть
хп -> А. Если в определении предела взять, например, е= 1, то вся
последовательность, начиная с номера ft, будет заключена между
числами А-1иА+1. Тогда последовательность будет ограничена снизу числом
С = min{A- 1, х19 ..., xk}, а сверху числом D = max {А + 1, х19 ..., xk}. Ш
Обратное неверно. Найдите контрпример в тексте параграфа.
3. Свойства пределов, связанные с неравенствами
ЛЕММА
I Если Mm xn= A, Mm уп= В и А < Б, то, начиная с некоторого
Л Л оо
П -+ оо Л —► оо
номера, хп < уп.
П доказательство. Снова выберем е>0 так, чтобы окрестности
U£(A) и UZ(B) не пересекались, например е = . Тогда Зкг: \/п > кг
хп € UZ(A) и 3k2: Уп >k2 yne U£(B).
Возьмем ko = тах{к1; k2}. Очевидно, \/n>k0 выполняются
неравенства хп < А + г < В - г < уп. Ш
Следствие. Пусть lim хп = А, А < В. Тогда найдется такой но-
мер &0, что ^п ^ ^о хп < В-
Для доказательства достаточно \/п е N в лемме положить уп = В.
368 Глава VII. Предел последовательности
ТЕОРЕМА (о предельном переходе в неравенстве) """"THf
ПЕсли lim хп = A, lim уп = В и Vn е N хп < ут то А < В.
Л —»• оо П —*■ оо
Q доказательство. Предположим противное, пусть А > Б, тогда по
лемме 3ft € ЛГ: Vtz ^ k xn> уп, что противоречит условию. В
Из доказательства видно, что можно ослабить условие теоремы
и потребовать выполнения неравенства хп ^ уп не для всех номеров,
а только начиная с некоторого. Очевидно, теорема была бы верна и в
этом случае.
Более того, в условии теоремы можно потребовать выполнения
неравенства хп^уп даже не «начиная с некоторого номера», а «сколь
угодно далеко», т. е. Ук е N Зп > k: xn^ уп.
Замечание. Предельный переход сохраняет знак нестрогого
неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не
сохраняется. Иначе говоря, если Уп е N хп < уп, то отсюда следует лишь
неравенство lim xn ^ lim yn, но не lim xn < lim yn\
Пример 15. хп = 1 , уп = 1 Н—. Видно, что lim хп = lim уп = 1, но
И- И- п —> оо п -+оо '
при этом Уп € N хп < уп. Ш
Следующая теорема с легкой руки известного советского
математика Г. М. Фихтенгольца носит неформальное название «теорема
о двух милиционерах» (в роли «милиционеров» выступают
последовательности {хп} и {zn}).
торический комментарий
Григорий Михайлович Фихтенголыд (1888—1959) — российский и со-^
ветский математик, с 1918 г. и до смерти работал профессором
Петроградского (Ленинградского) университета. В 1947—1949 гг. издал знаменитый
учебник «Курс дифференциального и интегрального исчисления», который
до сих пор является самым популярным учебником по математическому
анализу.
ТЕОРЕМА (о сжатой последовательности) —
Пусть даны три последовательности {хп}, {уп} и {zn}, такие, что
lim хп = lim zn = А и Vn е N хп < уп < zn. Тогда
последовательна оо Л —* оо
ность {уп} тоже сходится, причем к тому же числу А, т. е.
lim yn= А.
3691 §40. Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
□ доказательство. Возьмем и зафиксируем произвольное е > 0.
lim хп = А, поэтому для выбранного е найдется такой номер kl9
п —> оо
что \/п > кх хп € UE(A). Условие хп е UE(A) можно записать в виде:
А - г < хп< А + е.
lim zn = А, поэтому для выбранного е найдется такой номер k2,
п -ч»оо
что V/i ^ k2 zn g U£(A). Условие гп е U£(A) можно записать в виде:
А- г< zn< А + г.
Возьмем теперь k0 = тах{к19 k2}. Тогда \/п ^ k0 выполняются
неравенства
А - е < хп < уп < zn < А + е,
что и означает по определению (в силу произвольности выбора е > 0),
что 3 lim yn= А. Ш
П —> оо
Обратим внимание на неверное «доказательство» теоремы о
сжатой последовательности.
По теореме о предельном переходе в неравенстве выполняются
неравенства lim xn^ lim yn< lim zn. Поскольку крайние пределы рав-
гс—*оо л—»оо гс—»оо
ны А, имеем lim уп = А.
п —> оо
Все дело в том, что в данном «доказательстве» предполагается
известным существование предела последовательности {уп}, чего нет
в условиях теоремы. В процессе доказательства теоремы мы как раз
и получаем, что предел существует и равен А.
Отметим также, что утверждение теоремы остается верным, если
выполнения неравенства хп ^ уп ^ zn требовать не для всех
натуральных п, а лишь начиная с некоторого номера. Самостоятельно
подумайте, как для этого случая изменится доказательство (изменение состоит
в дописывании в исходное доказательство одного символа).
Пример 16. Докажем, что при 0 < q < 1 lim qn = 0.
п —> оо
Q Пусть а = — 1 > 0. Тогда qn = -. По неравенству Бернул-
ли (1 + а)п > 1 + па и, следовательно, \/п е N выполняется неравенство
0 < qn < . Рассмотрим последовательности {ап}, все члены
которой равны нулю и {&„}, где Ьп - . Последовательности {ап} и {Ьп}
стремятся к нулю, откуда, по теореме о сжатой последовательности,
предел последовательности {qn} существует и равен 0. HI
370 Глава VII. Предел последовательности
Арифметические действия над сходящимися
последовательностями. Вычисление пределов
1. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность {осл} называется бесконечно малой,
если lim an = 0.
П —> оо
Непосредственно из определения предела следует, что число А
является пределом последовательности {хп} в том и только в том случае,
когда разность хп - А является бесконечно малой последовательностью.
Утверждение
хп -> А <=> хп - А = ат где {ссп} — бесконечно малая
последовательность.
Таким образом, верно следующее утверждение:
Утверждение ■
lim xn = А тогда и только тогда, когда последовательность {хп}
П —*■ оо
представима в виде суммы числа А и некоторой бесконечно
малой последовательности.
Не следует путать понятия «бесконечно малая» и «сколь угодно
малое число»: бесконечно малая последовательность является
переменной величиной, а не фиксированным, хотя и произвольно
выбранным, числом. Кроме того, бесконечно малая последовательность
может принимать не только малые значения (ее первый член может быть
равен и 1000): для нее единственным условием является то, что
значения {ап} стремятся к 0 с ростом п (при п —> оо).
Выражение «сколь угодно малое число» применяется в тех
случаях, когда некоторую константу можно выбрать произвольной, но нас
интересуют лишь ее малые значения.
ТЕОРЕМА (свойства бесконечно малых последовательностей) ——
1. Если {осп} и (Рп} — бесконечно малые последовательности, то
{осп ± рп} тоже бесконечно малая последовательность.
2. Если {осп} — бесконечно малая последовательность, а {ал} —
ограниченная последовательность, то {ал • ап} — тоже
бесконечно малая последовательность.
3. Если {ссл} и {(}п} — бесконечно малые последовательности, то
{осл • рл} тоже бесконечно малая последовательность.
л
§41. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Вычисление пределов
D доказательство. 1. Действительно, пусть {ап} и {р„} —
бесконечно малые последовательности. Возьмем е > 0. Тогда найдется номер kl9
такой, что Уп > kx | ап \ < —, и номер k2, такой, что \/п ^k2 | р J < —. Возь-
мем ft = max{ft1, k2}. Очевидно, \/n>k выполняются неравенства
| ап ± р„ | < | ап | +1 р„ | < — + — = е. Следовательно по определению {ап ± р„} —
бесконечно малая последовательность.
2. Действительно, пусть {ап} — бесконечно малая
последовательность, а {ап} — ограниченная последовательность. Возьмем е > 0.
Поскольку последовательность {ап} ограничена, то 3L > 0, такое,
что V/i € N \ап\< L.
Поскольку {ocj — бесконечно малая последовательность, то для
положительного числа — найдется номер ft, начиная с которого V/г ^ k
J
выполняется неравенство |ап|< —.
с
Тогда \/п ^ k выполняется неравенство | ап • aj < L • — = е, т. е. по-
±j
следовательность {ап • Р„} бесконечно малая по определению
(поскольку из выполнения данного неравенства при произвольном е > 0,
начиная с некоторого места, следует, что lim anan = 0).
П —> со
3. Это утверждение непосредственно следует из пункта 2, если
заметить, что бесконечно малая последовательность {р„} (как и любая
последовательность, имеющая предел) ограничена. SI
Замечание. С помощью метода математической индукции
утверждение распространяется на сумму любого конечного числа
бесконечно малых слагаемых.
Если количество слагаемых при увеличении п растет, а каждое
13 слагаемых стремится к 0, то общая сумма может вести себя как
угодно: и стремиться к 0, и стремиться к ненулевому числу, и вовсе
расходиться. Например, если ап = —I— + ...Н—, то lim an = 1.
П 71 И п ^оо
п слагаемых
Если же количество таких же слагаемых будет равно п2, то у
последовательности {ап} вообще не будет предела. SI
Следствие 1. Произведение бесконечно малой
последовательности на сходящуюся последовательность есть бесконечно малая
последовательность .
П Действительно, ранее было показано, что сходящаяся
последовательность ограничена. Применив свойство 2, получим требуемое
утверждение. Ш
Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
372; Глава VII. Предел последовательности
Замечание. В условии следствия 2 требование о конечности
числа бесконечно малых последовательностей существенно, как
показывает следующий пример.
Пример 17. Пусть имеется семейство последовательностей
[kk, если п = k
(верхний индекс обозначает номер последовательности в семействе,
а нижний — номер члена в последовательности. Например,
2 '4 5
Каждая из последовательностей {а^} является бесконечно малой, ибо
получена из бесконечно малой последовательности ап = — изменением
лишь одного члена. Пусть теперь Ъп = а^ • а^ •... • а^пп\ Нетрудно
видеть, что Ъп = п, т. е. не является бесконечно малой. Это произошло
из-за того, что количество сомножителей в этом произведении растет.
При достаточно большом п первые сомножители становятся малыми,
а вот вновь добавляющиеся множители могут вести себя как угодно!
Пример 18. Существуют ли бесконечно малые последовательности
{хп}, при всех п € N удовлетворяющие условию:
а) хп <1; б) хп > I; B)Xn>±-h
Q В пунктах а) и б) ответ: существуют. В пункте а) в качестве при-
мера можно взять хп = , в пункте б) можно взять хп = .
п + 1 п — 0,5
В пункте в) ответ: не существуют. В самом деле, если у
последовательности {хп} есть предел, то по теореме о предельном переходе в не-
г (1 О 1 л
равенстве он не меньше hm = —, т.е. не может быть ра-
л-оо^Ю П) 10
вен 0. В
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Последовательность {хп} называется бесконечно
большой, если VE > 0 найдется номер /с, начиная с которого
| хп | > Е (Е — прописная буква «эпсилон»).
2. Предел последовательности равен бесконечности
(обозначение: lim хп = оо), если последовательность {хп}
Л^-оо
бесконечно большая.
373 §41- Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Вычисление пределов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
3. Предел последовательности {хл} равен плюс
бесконечности (обозначение: lim xn = +оо), если VE>0 найдет-
Л—*оо
ся номер /с, начиная с которого хп > Е.
4. Предел последовательности {хп} равен минус
бесконечности (обозначение: lim хп = -оо), если VE > 0 най-
П —*• оо
дется номер /с, начиная с которого хп < -Е.
Пример 19. Приведем примеры бесконечно больших
последовательностей:
D а) хп = -4п (lim хп = -оо);
б) хп = -?— (lim xn = +оо);
И + Z п ^-оо
в) хп = (-1)" • 2п (lim хп = оо). В
п —> оо
Заметим, что если последовательность стремится к плюс или
минус бесконечности, то она является бесконечно большой (т. е.
lim хп = +оо => lim хп = оо), но не наоборот. Контрпримером служит
П —* оо п —*■ оо
последовательность хп = п - (-1)п.
Пример 20. Верно ли, что lim (xn +уп)= оо, если:
п —> оо
а) lim хл = +оо и lim i/n = +оо; б) lim хп = оо и lim #„ = оо?
/г —> оо п —> оо п -+оо п -* оо
П а) Если пределы последовательностей {хп} и {уп} равны плюс
бесконечности, то и предел суммы равен плюс бесконечности. В самом
деле, для любого положительного числа Е найдется номер kl9 начиная
Е Е
с которого хп > — и найдется номер k2, начиная с которого уп > —. То-
гда, начиная с номера k = maxf/^, k2}9 будет выполняться неравенство
Е Е
хп +Уп > — + "" - Е, т. е. по определению lim (xn +у„)= +оо.
2 2 п -»оо
б) Неверно. Контрпример: xn = n, yn = -n. Тогда lim(xn + yn) = 0. И
я ^ оо
Утверждение (о связи бесконечно больших и бесконечно малых)
ШШЩ {хп} — бесконечно большая последовательность тогда и только то-
КГ
гда, когда \ — > — бесконечно малая последовательность (если
последовательности {хп} и <{ — \ существуют).
X n
374 Глава VII. Предел последовательности
П доказательство. Пусть {хп} — бесконечно большая
последовательность. Возьмем е > 0, — > 0 тогда и для этого числа найдется
номер ft, начиная с которого для всех п выполняется неравенство
\х \ > —, или, что то же самое,
< е, что и означает, в силу
произвольности выбора е > 0, что < —\ — бесконечно малая.
В обратную сторону утверждение доказывается аналогично. В
Замечание. Предыдущее утверждение естественно и наглядно.
Никому не придет в голову усомниться, что если делить константу на
близкие к 0 числа, то получаются большие числа. Однако при
изучении математического анализа некоторые наглядно очевидные
утверждения на поверку оказываются неверными (см., например,
замечание на с. 371).
Пример 21. Существуют ли последовательности: а) неограниченные,
но не являющиеся бесконечно большими; б) бесконечно большие, но
при этом ограниченные?
Q а) Существуют. Например, последовательность 1, 1,2, 1, 3, 1, 4,
1, 5, 1, 6, ....
б) Нет. Любая бесконечно большая последовательность не
ограничена. В самом деле, предположим, что некоторая бесконечно большая
последовательность {хп} ограничена. Тогда 3L > 0: Уп е N \хп\ < L, но
(по определению бесконечно большой последовательности), для любого
е > 0 (возьмем в качестве е число L), начиная с некоторого номера,
должно выполняться неравенство \хп\ > L. Получили противоречие. !
Следующая теорема — основополагающая при вычислении
различных пределов.
ТЕОРЕМА (об арифметических действиях с пределами) ——
Если последовательности {хп} и {уп} имеют конечные пределы
\\гг\ хп= А, Итул=В, то их сумма, разность, произведение
П —»■ оо Л —* оо
и (при условии В ф 0) частное тоже имеют конечные пределы,
причем: , v
1. lim (xn±yn)=A±B. 2. Mm (хпУп)=А^В. 3. Mm p. = Д
П— оо Л-»оо Л-*оо1 у I &
П доказательство. Напомним, что предел последовательности {хп}
равен некоторому числу тогда и только тогда, когда она представима
в виде суммы этого числа и бесконечно малой. Этим мы и будем
пользоваться при доказательстве существования пределов. Итак, коль
скоро lim хп = А9 значит, хп = А + ап, где {ocj — бесконечно малая. Ана-
п —> оо
логично, если lim уп = Б, то уп = В + р„, где {р„} — бесконечно малая.
375| §41. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Вычисление пределов
1. Из равенства хп ± уп = (А ± В) + (ап ± р„) следует, что
3 lim (хп±уп) = A ± В в силу утверждения 1 на с. 370, поскольку по
п -»-оо
теореме о свойствах бесконечно малых {ап ± р„} — бесконечно малая.
2. В равенстве хпуп = АВ + А$п + Вап + ап$п слагаемые А$п, Вап
и оспр„ — бесконечно малые по теореме о свойствах бесконечно
малых, и их сумма — тоже. Это означает, что lim (xnyn)= А- В в силу
утверждения 1. п~*°°
3. Для доказательства этого утверждения докажем лемму.
ЛЕММА
Если предел lim уп=Вф0, то последовательность \ — \
ограничена.
1
П Действительно, возьмем г е J?, такое что \В\> г > 0 (например,
пусть г = ■—- I; по определению предела существует номер k0, начи-
ная с которого все члены последовательности {уп} попадают в окрест-
|^|
ность точки В радиуса г = -—-, т. е. \/п ^ k0 выполняется неравенство
\уп- В | < !fi, откуда -!|i < уп - В < !|1, а тогда В - !fi < уп < i|l + В.
I-BI IjB I 1-ВI
Модуль одного из чисел В — -—- или '—- + В равен '—-, а другого равен
3|Б| | | \В\ 12
——L, поэтому \уп \> -—L, или, что то же самое, :—г < j—г, откуда и
следует, что
\Уп\
\Уп\
— ограниченная последовательность. Щ
Вернемся к доказательству существования предела частного. Для
I У Л I
этого покажем, что последовательность {— \ — бесконечно ма-
[Уп в\
лая. В самом деле,
Уп
вУп
\Уп\'
и \ап
Поскольку {ап} и {рп} — бесконечно малые последовательности, то
бесконечно малая последовательность, \-—Л ограни-
[\Уп\\
чена по лемме, значит, их произведение (бесконечно малой на
ограниченную) — бесконечно малая последовательность, что и требовалось
доказать. SI
у {
J
376 Глава VII. Предел последовательности
Замечание. Обратных стрелок следования в теореме нет! Из
существования пределов суммы, разности, произведения и частного
последовательностей не следует существование пределов исходных
последовательностей!
Пример 22. а) Покажите, что из существования предела произведения
двух последовательностей Ит(хпуп) не следует существования хотя
п —> оо
бы одного из пределов lim хп или limyn.
п —> оо п —*■ оо '
б) Следует ли из одновременного существования пределов
lim (хпуп) и lim xn существование предела lim уп? А если lim хп* О?
п —> оо п —> оо п —> оо rt—►оо
П а) Ответ: нет. Приведем контрпримеры: 1) пусть хп = 09 уп-(-\)п.
В этом примере существует предел последовательности {хп}; 2) пусть
хп = уп = (-1)*, тогда хпуп = 1 при всех п, и, разумеется, lim xnyn = 1,
п —> оо
в то время как у последовательностей-сомножителей предела нет вообще,
б) Ответ: нет, в качестве контрпримера годится первый пример из
предыдущего пункта. А вот если lim хп Ф О, то можно написать сле-
lim (x и ) п^-оо
оо Х У
дующее равенство: п~"°° = lim п = lim и„. В данном случае мы
Ит Хп п-+оо Хп п-+оо П
П —*■ оо
смогли написать первое равенство в силу того, что lim xn Ф 0 (заметим
п оо
п
также, что переход законен, хотя при некоторых номерах выражение
х и
п п может быть не определено — знаменатель может равняться 0, но
Хп
по одному из свойств предела, начиная с некоторого номера, хп Ф 0). 1
2. Виды неопределенностей
Рассмотрим некоторые важные и достаточно часто встречающиеся
ситуации, не обсуждавшиеся в приведенных основных теоремах.
1. Частное двух последовательностей: s — к где \/п е N уп *0
{Уп}
а) Пусть lim хп = А, где А — конечное число, а {уп} — бесконечно
п -*оо
X X Л
большая последовательность. Тогда lim — = 0, так как — = — хп,
f Л п-*оо уп Уп Уп
где \—> — бесконечно малая, а {хп} — ограниченная последователь-
[Уп )
ности.
б) Пусть lim хп = А, где А Ф 0 — конечное число, а {уп} — беско-
п —> оо
нечно малая последовательность (\/п е N уп Ф 0). Тогда последователь-
\ §41. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Вычисление пределов
ность < — \ будет бесконечно большой, так как последовательность
\Уп\
{уп > бесконечно малая.
Хп )
в) Пусть {хп} — бесконечно больп1ая, а {уп} — бесконечно малая
\хп)
последовательности (\/п eN упФ 0). Тогда < —^ будет бесконечно боль-
[Уп )
шой последовательностью, так как последовательность < уп >,
будучи произведением бесконечно малых, сама является бесконечно малой
последовательностью.
г) Пусть {хп} — бесконечно большая последовательность, a lim yn = Б,
где В Ф 0. Тогда последовательность \—\ будет опять бесконечно
большой, так как из пункта «а» обратная ей величина есть бесконечно
малая.
д) Пусть {хп} и {уп} — бесконечно малые последовательности.
f хп 1
В этом случае о пределе последовательности < —^- > никакого общего за-
I Уп )
ключения сделать нельзя: в зависимости от вида {хп} и {уп} возможны
различные ответы. Так, например:
1 1 ,. хп л
если хп = -, уп = -, то hm — = 1;
П П п-+оо уп
1 1 г Хп
если хп = -, у = —, то hm — = +оо;
1 1 г Хп ._ п
если хп = —, у = -, то hm — = 0;
п2 п п^оо Уп
если хп = -——, уп = —9то —?- = (—1)п не имеет предела вовсе.
Уп
Таким образом, отношение двух бесконечно малых
последовательностей может быть величиной бесконечно малой, бесконечно большой,
может иметь конечный предел, отличный от 0, а может и вовсе не
иметь предела. В связи с этим говорят, что отношение двух бесконечно
малых последовательностей представляет собой неопределенность
вида — . Когда предел этого отношения найден (или выясняется, что
его нет), то говорят, что неопределенность раскрывается.
37в| Глава VII. Предел последовательности
е) Пусть {хп} и {уп} — бесконечно большие. В этом случае опять по-
Г Хп \
следовательность < —— \ может стремиться к бесконечности, к 0, к ко-
U» J
нечному числу, отличному от 0, или вовсе не иметь предела. Поэтому
говорят, что отношение двух бесконечно больших также представляет
собой неопределенность (в данном случае неопределенность вида — II.
У00))
Пример 23. Вычислим lim
П Числитель и знаменатель представляют собой бесконечно
большие последовательности, т. е. мы имеем дело с неопределенностью
вида — . Ясно, что «главное» слагаемое в числителе: 2п2, а «глав-
У°°)
ное» слагаемое в знаменателе: Зп2 (иногда говорят, что числитель и
знаменатель стремятся к бесконечности со скоростью п2). Типичный
прием, позволяющий избавиться от неопределенности, состоит в
делении числителя и знаменателя на «главное» слагаемое с точностью до
числового коэффициента (в данном случае п2):
2 + ^+А
v 2n2+3n + 5 r п п2
lim —-— = lim -л £-.
3246 4 6
4п+6 п-+оо о 4 , 6
a i —
п пг
Теперь числитель, очевидно, стремится к 2 (по теореме о пределе
суммы), знаменатель к 3 (опять предел суммы), а предел всего выражения
2 2
равен — (по теореме о пределе частного). Ответ: —. SI
3 3
Можно заметить, что в общем случае предел отношения
многочленов апхп + ... + агх + а0 и Ьтхт + ... + Ьгх + Ьо равен 0 в случае т> п,
ап
бесконечности в случае т < пи — в случае т = п (напоминаем, что по
Ът
определению многочлена числа ап и Ъп ненулевые).
2. Сумма двух последовательностей {хп + уп)
а) Пусть lim хп = оо, a lim yn = B, где В — конечное число. Тогда
п —*■ оо п —*■ оо
lim (xn +уп)= оо.
п
□ Действительно, {уп} — ограниченная последовательность, т. е.
\/neN 3M>0: \уп\<М.
Поскольку {хп} — бесконечно большая последовательность, VE > О
3k € N: \хп\> Е + М. Тогда \/п> k \хп + уп\ > \хп\-\уп\ > (Е +М)-М = Е,
иначе говоря, {х„ + у„} — бесконечно больп1ая последовательность. 1
379 §41. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Вычисление пределов
В частности, если lim хп = +оо (или -оо), то и lim (xn + уп)= +оо
. ч п —> оо п —> оо
(или -оо).
б) Пусть {хп} и {уп} — бесконечно большие последовательности
одного знака. Тогда, очевидно, {хп + уп} — бесконечно большая
последовательность того же знака.
в) Если {хп} и {уп} — бесконечно большие последовательности
разных знаков, предел суммы {хп + уп} может быть равен 0,
бесконечности, конечному ненулевому числу, а также может вовсе не
существовать. Поэтому сумма двух бесконечно больших последовательностей
разных знаков опять представляет собой неопределенность. В данном
случае неопределенность вида (оо - оо).
Пример 24. Вычислим lim (Jn2 + 2п — 3 - п).
п ^-оо ^ '
П Здесь мы видим неопределенность вида (оо — оо). Чтобы
избавиться от нее умножим и разделим на сопряженное выражение:
/ , ч (jn2 + 2п - 3 - п) (Jn2 + 2п - 3 + п)
lim (Jn2 + 2n - 3 - n) = lim -^ . yv '- =
"^°°4 у n^oo {n2+2nZ + n
= lim
2n - 3 + n
— .
Мы получили неопределенность вида — . Чтобы избавиться от
нее, поделим числитель и знаменатель на п («главное» слагаемое
числителя). Получим:
2n~S = lim , = 1. Ш
L
2n- 3
lim ,
+ n n~*°°L j2__3_
V n n2
3. Произведение двух последовательностей {хп • уп)
Произведение двух последовательностей сводится к рассмотрению
обратных величин и применению к ним свойств бесконечно малых
последовательностей и результатов, полученных в пункте 1 (частные
случаи отношения двух величин). Отметим только особый случай,
когда {хп} — бесконечно малая последовательность, а {уп} — бесконечно
большая последовательность. В этом случае возникает
неопределенность вида (0 • оо).
Кроме рассмотренных видов неопределенностей -
)
(оо - оо), (0 • оо), существуют еще и другие виды неопределенностей,
связанные с рассмотрением степеней. Их мы рассмотрим несколько
позже. Л
3801 Глава VII. Предел последовательности
Q42. Предел монотонной последовательности.
Число е. Комбинированные методы нахождения пределов
1. Теорема Вейерштрасса
Напомним (см. главу I), что число М является точной верхней
границей множества X с R тогда и только тогда, когда выполнены два
условия:
1) Ух е X х < М (т. е. число М есть одна из верхних границ
множества X);
2) Ve > 0 найдется такой элемент хг е X, что хг > М - е (т. е. ни одно
число, меньшее М, уже не является верхней границей множества X).
ТЕОРЕМА (теорема Вейерштрасса о монотонной ограниченной —
ввнв последовательности)
Любая монотонная ограниченная последовательность имеет ко-
I нечный предел.
Теорема может быть сформулирована иначе:
если последовательность {хп} возрастает (быть может нестрого) и
ограничена сверху, то существует limxn = sup{xn};
п —* оо
если последовательность {хп} убывает (быть может нестрого) и
ограничена снизу, то существует lim xn = inf {xn}.
П —*■ оо
П доказательство. Пусть {хп} возрастает (может быть, нестрого) и
ограничена сверху. По аксиоме о верхней границе существует
sup{xn} = А. Докажем, что число А и есть искомый предел.
Возьмем £ > 0. Так как А является верхней границей множества
значений {хп}, то \/п е N хп^ А < А + е. Также найдется такой
номер й, что xk > А - е (свойство 2 точной верхней границы). Но тогда
(в силу возрастания последовательности) и для всех номеров ai,
больших ft, будет выполняться неравенство хп > А — е.
Таким образом, \/п ^кА-г<хп<А + г. В силу произвольности
выбора £ > 0 это означает, что lim xn = А.
п —> оо
Аналогично доказывается утверждение теоремы про
ограниченную снизу убывающую последовательность. Ш
Замечание. Теорема верна, если последовательность возрастает
или убывает, начиная с некоторого номера. Тогда в доказательстве А
будет супремумом лишь «возрастающей части» последовательности.
Рассмотрим несколько примеров применения этой теоремы:
ап
Пример 25. а) Пустьх = —-, а > 0 — фиксированное число. Докажем,
( \
что lim хп = 0. б) Пусть хг > 0, хп + г = - \хп + — , где а > 0 — фикси-
рованное число. Докажем, что lim хп = 4а.
381. §42. Предел монотонной последовательности. Число е.
"~ Комбинированные методы нахождения пределов
Q а) Выразим хп + 1 через хп, получим: хп + 1 =
п + 1
няется хп + 1<: хп при п ^ [а].
Таким образом, последовательность {хп} убывает, начиная с
номера k = [а], кроме того, последовательность {хп} ограничена снизу 0.
Значит, по теореме Вейерштрасса, последовательность имеет
конечный предел В. Осталось перейти к пределу в равенстве хп + 1 = хп.
Поскольку с одной стороны lim xn + 1= В, а с другой стороны
( \
lim —^— xn = lim —— • lim xn = 0 • В = 0, то В = 0.
n-+ooyn+l J n-+oo7l+l n-+oo
б) Сначала заметим, что \/п eN xn > 0 (можно доказать по
индукции). Далее, используя неравенство Коши получим:
VneN xn + 1= -
Таким образом, последовательность {хп} ограничена снизу.
Докажем, что последовательность {хп} убывает. Рассмотрим
разность:
n+l n 2хп
Учитывая, что хп > 0 и х2п > а, получим, что \/п > 2 хп + 1- хп^0.
Теперь все условия теоремы Вейерштрасса выполнены, и остается
перейти к пределу в рекуррентной формуле, уже зная, что предел
существует. Найдя неотрицательный корень соответствующего
уравнения х2 = - \х + — (наша последовательность положительна, следова-
2 V х )
тельно, ее предел неотрицателен), получим В = 4а. Ш
2. Число е
Пусть некто пришел в банк и положил сумму а под 100%
годовых. Через год некто получит сумму 2а.
Однако некто не без основания может предполагать, что выгоднее
сначала положить сумму а на полгода, а затем взять ее из банка и
положить снова. Ведь вторые полгода проценты будут идти уже на
большую сумму! Через полгода некто снимает со счета сумму
(к исходной сумме прибавилась половина годовой ставки, т. е. 50%),
затем кладет эту сумму в банк снова и к концу года снимает сумму
(
еще на 50% большую, т. е. 1 +
— а.
Глава VII. Предел последовательности
А что мешает нашему герою снять положенную сумму через 4
месяца, положить ее снова, снять еще через 4 месяца и положить снова?
Ведь тогда после первых 4 месяцев он будет иметь сумму 1 + — а, че-
( iV
рез следующие 4 месяца — 1 + - а, и, наконец, к концу года —
1 + — а. При этом получившаяся сумма будет не меньше, чем в пре-
3у
дыдущем случае, ибо в каждый момент времени лежащая в банке
сумма не меньше, чем в предыдущем случае!
Понятно теперь, что можно раздробить год на п частей и, приходя
в банк по окончании каждой части (а при больших п — не уходя из
банка вообще), брать вклад и класть его с процентами снова. К концу
года сумма составит 1н— а. Ясно, что с ростом п сумма,
находящаяся в банке, в фиксированный момент времени (например, через
( iV
месяц) растет! Тем самым последовательность хп = 1 + — возрастает.
( iY
Итак, рассмотрим последовательность хп = 1 + — и докажем,
что она имеет конечный предел.
Q Для этого рассмотрим сначала последовательность
-ыг
и покажем, что она монотонно убывает. Для этого достаточно пока-
У
зать, что \/п ^ 2 —— ^ 1.
Уп
тт - I п + I I I п I
Действительно, уп = \ , уп_х = , следовательно,
/
Уп-\ = Пп-Пп + 1 _ | П2
уп ~ (п- 1)".(л+ 1)" + 1 ~ [п2- 1
,
л + I
П-
Но в силу неравенства Бернулли (Vm e N, \/h > -1 (1 + h)m
1 + mh, в данном случае при h = — , т = п + 1) выполняется
пг 1
Значит, —
|
1
1
1-\
п2
п
1
-
i)
п
п
-
+ 1
1
г/„ п -1
' п2 - 1 п - 1
= 1, т. е. Уп>2 yn<yn_t.
383 §42. Предел монотонной последовательности. Число е.
Комбинированные методы нахождения пределов
Ограниченность последовательности {уп} снизу очевидна: \/п е N
уп ^ 0. Значит, по теореме Вейерштрасса, последовательность {уп}
имеет конечный предел. Покажем, что и последовательность {хп}
стремится к тому же пределу:
Уп }L
хп = ——-, тогда lim хп = —^^ = lim yn. Ш
1 + - lim 1 + -
" п —оо\^ п)
Этот предел обозначается буквой е («эйлерово число е»). Это
иррациональное число, е = 2,718281828459045... .
Заметим, что мы не доказывали равенства е = lim 1 + — ; мы
п ->оо ^ П J
определили этим равенством число е: доказали, что этот предел
существует и назвали его числом е.
Замечание. Сама последовательность {хп}, как мы видели,
монотонно возрастает. Докажем это.
П Рассмотрим сумму из п слагаемых, каждое из которых равно
1н— , и единицы (всего п + 1 слагаемое, причем их сумма равна
■ — I + 1 = п + 2 . Согласно неравенству Коши о среднем
арифметическом и среднем геометрическом для п чисел
+ 1
НУНУ-Н)
п+\
1 + -
га+1 \у п
Возведя обе части неравенства в степень (п + 1), получим
Аналогично можно доказать и убывание последовательности {уп}
(взяв п + 1 раз число 1 и одну единицу и применив неравенство
п + 1
(7 чП + 1
Коши, имеем > п + 2л 1 , откуда и следует требуемое не-
п + 2 у\ п+1)
равенство. IS
Кроме того, очевидно, \/п е N хп< уп.
Отсюда сразу следуют некоторые оценки для числа е: если взять
п=19 получим 2 < е < 4; если же взять п = 5, то сразу 2,4 < е < 3.
384 Глава VII. Предел последовательности
3. Комбинированные методы нахождения пределов
Пример 26. Докажем, что:
a) lim — = 0; б) lim у/а = 1 при а > 1; в) lim —- = 0.
л —юо Ain л^-оо n ^-оо 711
Ъп ( bY 5
□ а) — = — . Так как > 0, то для достаточно больших п число
пп \п) п
5 5 1
— сколь угодно мало. Например, для всех п ^ 15 верно — ^ -, поэтому
(Лп (Y fY
(ъЛп (iY fiY
0 < — ^ — при всех п ^ 15. Поскольку lim — = 0 (см. при-
(ъУ
мер 16), по теореме о сжатой последовательности и lim — =0.
п — оо \п )
/
I—
б) Обозначим у/а — 1 = ап, тогда \/п е N а„>0 и а = (1
^ 1 + пап > пап (здесь мы применили неравенство Бернулли).
Следовательно, \/п € N выполняется 0 < ап < — и по теореме о сжатой
последовательности, так как lim — = 0, то lim ап = О, a lim yfa = lim (1 + ап) = 1.
п -+оо Л п —*■ оо п —> оо п-*оо
Замечание, lim л/а = 1 и при 0 < а ^ 1; это получится как прямое
П —*оо
следствие предыдущей задачи с использованием арифметических
действий с пределами: lim yfa = lim I— = = lim -j= = 1 (поскольку
n —* oo n —> оо Ш 1
V a
-Ни мы можем воспользоваться результатом пункта б).
в) Понятно, что при переходе от п к п + 1 числитель дроби
умножается на 2, а знаменатель — на п + 1. Поэтому при достаточно
больших п дробь умножается на маленькие числа. Например, при п ^ 4
2 1 2П 8 22 4(l^ 32(l^
— ^ - и 0< —= '^— ^ — - = — -.В силу теоремы о сжа-
л 2 п! 1-2-3 4.../г 3 1^2J 3 ^2J
32 ( 1 ^ w 2"
той последовательности, поскольку lim — — = 0, то и lim — = 0. И
л-»оо 3 121 /г -»оо /i!
Пример 27. Найдем lim хп9 если хп = ^2п-\- Зп .
W ^-ОО
Q При всех натуральных п имеет место неравенство Зп > 2",
усиливающееся при увеличении п. Таким образом, «главным» выражением
под корнем является Зп. Преобразуем последовательность и вынесем
«главный» множитель:
хп= п\Зп\1
385, § 43. Подпоследовательности. Теорема Болыдано — Вейерштрасса
Теперь ясно, что Уп е N 3 < хп < Зд/2. По теореме о сжатой
последовательности (Зд/2 —> 3 — см. пример 24) {х„} стремится к 3. SI
п —> оо
Замечание. При нахождении пределов отношений двух
многочленов использовался фактически тот же прием. Определялся
«главный» член суммы, который затем выносился за скобку в числителе
и знаменателе. Во многих задачах данного и следующего разделов
зачастую применяется этот же метод.
Пример 28. Пусть {хп} — последовательность положительных чисел,
такая, что существует lim n + 1 = В, причем В < 1. Докажем, что то-
п -*оо Хп
гда lim xn = 0.
D Если для всех номеров п выполнено n + 1 = Б, то последователь-
Хп
ность {хп} — геометрическая прогрессия. При В < 1 она, очевидно,
сходится к 0. Разумно предположить, что описанная в условии
последовательность {хп} «похожа» на геометрическую прогрессию.
Возьмем е > 0 так, чтобы выполнялось неравенство В + е < 1.
Тогда для этого е найдется номер ft, начиная с которого n + 1 < В + е < 1.
хп
Обозначим £ + £ = #, q < 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию
{Ъп} с первым членом Ъг = xk и знаменателем q:
Таким образом, Vm e N 0 < xk + m < xkqm, или, что то же самое,
Уп > k 0 < хп < xkqn ~ k, а так как xkqn ~ k ~^Г^ 0, то по теореме о сжатой
последовательности lim хп = 0. Ш
(^43. Подпоследовательности,
Теорема Больцано — Вейерштрасса
1. Теорема Кантора о вложенных отрезках
Назовем последовательность отрезков [ап; &„] стягивающейся,
если выполнены такие условия:
1) каждый следующий отрезок является подмножеством
предыдущего, т. е. Vrc е N [ап + 1; Ьп + 1] а [ап; Ьп];
2) последовательность длин отрезков стремится к 0, т. е. | Ьп - ап \ -^ 0.
13—Пратусевич, 10 кл.
3861 Глава VII. Предел последовательности
ТЕОРЕМА —
Для любой стягивающейся последовательности отрезков [ап; Ьп]
существует единственная точка, принадлежащая всем
отрезкам одновременно, т.е. 3!с g Я: \fneN се[ап,Ьп]. При этом
с = lim an= lim Ьл.
Q ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
существование. Последовательность [an; bn] устроена таким
образом, что аг< а2 < ... < ап < ... <Ьп< ... < Ъ2 < Ьг. Отсюда видно, что
последовательность {ап} монотонно возрастает и ограничена сверху
(например, числом 6Х), а последовательность Ьп монотонно убывает
и ограничена снизу (например, числом аг). Тогда по теореме Вейер-
штрасса обе последовательности имеют конечные пределы сг = lim an
и с2 = limbn. n^°°
П -* оо
Покажем, что сг = с2. Для этого заметим, что lim (Ьп - ап) =
= lim Ъп - lim ап = с2 - сг = 0. Таким образом, сг = с2 = с!
п -*оо п -*- оо
Наконец заметим, что, поскольку последовательность {ап}
возрастает и с = lim ап, то \/п е N ап < с.
П —> оо
Аналогично \/п е N Ьп^ с. Отсюда \/п е N ап ^ с ^ Ьп, что и
требовалось доказать.
единственность. Пусть, кроме уже найденной точки с,
существует отличная от нее точка с* Ф с, тоже принадлежащая всем отрезкам
последовательности одновременно: \/п е N с* е [ап; Ьп]. Тогда 0 < |с-с*| <
^ Ъп - ап. Поскольку Ъп — ап -> 0, то и \с — с*\ -> 0, а поскольку это
'п ■
числа постоянные, то с* = с, что противоречит изначальному
предположению. Значит, на самом деле такая точка единственна. Ш
2. Подпоследовательности
Пусть задана последовательность {хп}. Если выписывать не все
члены последовательности подряд, а с пропуском (например, каждый
второй или каждый пятый либо члены с простыми номерами и т. д.),
то получится новая последовательность, которая называется
частичной последовательностью или подпоследовательностью
последовательности {хп}.
Точнее, если рассмотреть возрастающую последовательность
натуральных чисел {nk}, nx < п2 <...<%<..., тогда последовательность
{yk}, где yk = хщ при всех натуральных k, называется подпоследова?
тельностью последовательности {хп} и обозначается {х }.
Таким образом, подпоследовательность {хПк} образована только из
членов последовательности {хп}, причем порядок следования членов
в подпоследовательности такой же, как и в исходной
последовательности.
3871 § 43. Подпоследовательности. Теорема Болыдано — Вейерштрасса
Например, последовательность всех нечетных чисел является
подпоследовательностью последовательности хп = п, а {3, 5, 1, 7, 9...} уже
нет! Менять местами члены исходной последовательности нельзя!
Числа nk сами образуют последовательность — функцию
натурального аргумента k. Поэтому можно сказать, что
подпоследовательность последовательности хп — композиция функций х(п) и n(k). Тем
самым подпоследовательность является функцией натурального
аргумента k, т. е. сама является «полноценной» последовательностью!
ТЕОРЕМА ■
Если последовательность {хп} имеет конечный предел, то любая
ее подпоследовательность имеет тот же предел:
lim xn= A => lim xn = А.
П —*■ оо к —* оо "
П доказательство. Поскольку lim xn = А, то Ve > 0 найдется та-
П —> оо
кой номер т е ЛГ, начиная с которого все члены последовательности
{хп} лежат в е-окрестности точки А: \/п > т xn e UE(A). За пределами
окрестности U£ (А) может лежать только конечное число членов
последовательности хп9 и уж тем более конечное число членов ее
подпоследовательности {хп }. Это и означает в силу произвольности выбора е,
что число А есть предел подпоследовательности {хщ}. Ш
Если последовательность {хп} не имеет предела, это еще не значит,
что подпоследовательность не имеет предела!
Зато оказывается верным следующее утверждение:
ТЕОРЕМА (Больцано — Вейерштрасса) —————»^
ПИз любой ограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
D доказательство. Пусть последовательность {хп} ограничена
сверху и снизу. Это значит, что все ее члены располагаются на некотором
конечном отрезке [а; Ь], т. е.
За,Ъ € R: \/п е N а ^ хп<Ь.
Разделим отрезок [а; Ь] пополам. Тогда по крайней мере один из от-
[a + fel Га+ 6 Л ^
а; или ——; Ь содержит бесконечно много членов
последовательности {хп}. Выберем этот отрезок, обозначим его [аг; Ьг].
Далее, делим отрезок [аг; Ьг] пополам и ту половину, которая содержит
бесконечно много членов последовательности {хп}, обозначаем [а2; Ь2]
и т. д. (Этот процесс бесконечный; на n-м шаге получится отрезок
[ап; Ьп]ш) В результате выделится бесконечная последовательность
вложенных отрезков. Она будет стягивающейся: \bn - ап\= > 0.
388 Глава VII. Предел последовательности
Тогда по теореме Кантора 31с: \/п е N се [ап; Ьп], причем
с = lim ап = lim Ъп.
п ^-оо п -ч»оо
Теперь строим нужную подпоследовательность.
На отрезке [аг; Ьг] имеется бесконечно много членов
последовательности {хп}. Возьмем один из них и обозначим хщ. Аналогично на
отрезке [а2; Ь2] выберем хП2 (так, чтобы выполнялось неравенство
^2 > ni) и т« Д« Такой выбор всегда возможен, поскольку на каждом
отрезке по нашему выбору имеется бесконечно много членов
последовательности {хп}. Выделенная таким образом последовательность
{хщ} сходится к числу с, так как \/k е N ak< хщ < bk. Ш
сторический комментарий
Возникновение математического анализа относится к середине XVII в.,
хотя начала методов перехода к бесконечным операциям заметны еще
у Архимеда и других представителей поздней греческой математики.
Честь основания анализа принадлежит двум выдающимся математикам:
Г. В. Лейбницу и И. Ньютону.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — немецкий математик,
физик, философ, юрист и дипломат. Организатор и первый президент
Берлинского общества наук (позднее Академии наук), стал основателем одного из
первых научных журналов «Acta Eruditorum». Лейбниц внес весомый вклад во
все отрасли знания того времени: в механике — это разработка формы
законов сохранения и понятия кинетической энергии, в геологии и биологии —
с разработкой идей эволюции, в психологии — изучение подсознания, в
философии — теория монад, т. е. бесконечно малых частей всего сущего.
Являлся также конструктором ветряного двигателя, насоса, а также
вычислительной машины (не только выполнявшей простейшие арифметические
действия, но и вычислявшей извлечение корней) и т. д.
Исаак Ньютон (1643—1727) — величайший ученый всех времен и народов,
физик, математик, богослов, философ. Уже в 1665 г. разработал метод, который
позднее назовут дифференциальным и интегральным исчислением и
благодаря которому произойдет переворот в математике и естествознании. С 1669 г.
становится профессором Кембриджского университета. В 1687 г. были
опубликованы знаменитые «Математические начала натуральной философии» —
книга, определившая развитие физики и математики на 200 лет вперед.
Теория же пределов в том виде, в каком она изучается сегодня,
создавалась трудами О. Л. Коши, К. В. Вейерштрасса, а также многих других
замечательных ученых.
Огюстен Луи Коши (1789—1857) — великий французский математик.
Окончил в 1807 г. Политехническую школу и будучи инженером — Школу
мостов и дорог, подвел под «здание» математического анализа надежный
фундамент. В «Курсе анализа» (1821), «Лекциях по приложениям анализа к
геометрии» (1826) ввел понятия непрерывности функции, а также интеграла, задачи
Коши для дифференциальных уравнений и т. д. Опубликовал более 800 работ
389, Задачи и упражнения
по различным отраслям математики. В геометрии существенно продвинул
теорию многогранников.
Интересно, что в 1838 г. Коши отказался приносить присягу новому
правительству и не принимал должностей до тех пор, пока ему не предложили
кафедру в Политехнической школе «без всяких условий».
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815—1897) — выдающийся
немецкий математик. Не имел специального образования. Увлекшись
математикой, оставил юридический факультет и всю жизнь занимался
самообразованием.
Вейерштрасс создал стройную теорию действительных чисел (в
частности, ввел понятия супремума и инфимума). Кроме того, являлся одним из
основателей теории аналитических функций и теории приближений, а также
дифференциальной геометрии. Известны и стали классическими результаты
Вейерштрасса в области теории дифференциальных уравнений и
вариационного исчисления, а также теории приближений функций. Являлся
основателем целой математической школы, к которой, в частности, принадлежала
С. В. Ковалевская — первая российская женщина-математик.
Как мы увидим в 11 классе, с возникновением математического анализа
многие задачи, требовавшие для своего решения величайших усилий разума
и ухищрений выдающихся математиков, стали несложными
вычислительными упражнениями. Это привело к бурному развитию физики и других
естественных наук и, как следствие, к развитию промышленности. Можно сказать,
что плоды этих открытий мы пожинаем до сих пор.
И Задачи и упражнения
Определение и способы задания последовательности
Группа А
VII. 1. Напишите первые пять членов последовательности:
2п+ 1. (-1)" л
в) ах = 0, а2 = 1, а„ + г = ап + а„ _ г при гс ^ 2;
г) аг = 19 ап + 1 = ап + 2п;
д) аг = 1, а2= 1, ап + 2 = an + i ' (ап + !)•
VII.2. Напип1ите первые пять членов последовательности и 100-й член
последовательности, для которой:
а) каждому натуральному числу поставлено в соответствие число
sin кп;
б) каждому натуральному числу поставлено в соответствие
количество всех натуральных чисел, меньших п и кратных 3;
в) если п четно, то хп = ; если п нечетно, то хп = .
2* 2 + *
390| Глава VII. Предел последовательности
VII.3. Напишите первые пять членов последовательности и формулу
общего члена последовательности: х
а) хг = 3, хп + 1 = хп + 2; б) xt = 9, хп + 1 = -^-;
1 1 3
В) Xl~ 2'Xn + 1~Xn + (п+Щп + 2)'
Группа В
VII.4. Найдите формулу общего члена для последовательности {ап},
заданной рекуррентно:
а) аг = 1, а2= -; пап - ап_г - (п - 1)а„_2 = ^ _ ц^ _ 2) (уг > 3);
б) аг = 1, а2 = -; ап = ап_2+ —f.
Общие свойства последовательностей
VH.5. Найдите множество значений последовательности аг = 1, а2 = 2,
VII.6. Определите, является ли последовательность ограниченной
сверху, ограниченной снизу, ограниченной:
а) хп = п2 - 2п - 1; б) хп = * +"1 ;
в) xn = sum; г) хп = -;
Л ~г ^
ч COS Л ч - 1 1
ч 1 + 3 + ... + (2п - 1) ч л ч 2п
VII.7. Выясните, является ли последовательность, заданная рекуррент-
но, ограниченной: • ч
i 1 I 4 i
aJ Хп + 1 = V^ + Xn' Х1 = 45 °) Хп + 1 = g \Хп +— > Х1 = °-
VII.8. Известно, что последовательность {хп} ограничена. Выясните,
является ли последовательность {уп} обязательно ограниченной,
может ли она быть ограниченной, или всегда является
неограниченной (если последовательность {уп} существует):
а) уп = \хп\; б) уп = —; в) уп = cosxn;
Хп
г) уп = tgxn; д) уп = хп • ть\ е) уп = logxn.
VH.9. Известно, что последовательности {хп} и {уп} являются
неограниченными. Выясните, является ли последовательность {гп}
обязательно ограниченной, может ли она быть неограниченной или
391; Задачи и упражнения
всегда является ограниченной (если последовательность {zn}
существует):
a) zn = хп + уп; б) zn = хп - уп; в) zn = хп • уп;
г) zn = sinxn + совуя; д) гя = ь^ ; е) гя = |хя| + \уп\;
Группа В
VII.10. Известно, что последовательности {хп} и {уп} являются
ограниченными. Какие из последовательностей {zn} обязательно
являются ограниченными, какие могут быть ограниченными,
а какие всегда являются ограниченными (если
последовательность {zn} существует):
a) zn = 2xn + yn\ б) zn = \nxn + yn; в) zn = \хп\ - \уп\;
: л\ у. = —— 4- -—— ?
VII. 11. Выясните, при каких значениях параметра а
последовательность {хп}, такая, что хг = а, хп + 1=х% + 5хп + 4, является
возрастающей и ограниченной.
VH.12. Выясните, при каких значениях параметра а
последовательность {хп} является ограниченной, если:
а) хг = а, хп + 1=х2п; б) хг = а, хп + 1=х2п - 1;
в) хг = а, хп + ! = х\ + Зхп + 2.
VII.13. Выясните, является ли последовательность {хп} монотонной;
монотонной, начиная с некоторого места:
а) хп = п2 - п + 1; б) хп = 2п2 - Зп - 2; в) хп = -п2 + Зп + 4;
ч 4л + 3 v 2п ч sin ях
ж) хп = ((2 + (-1)-) - п; з) хп = ^^?
Определение предела последовательности
Группа А
VII. 14. Решите неравенство в натуральных числах для е = — и е = ——:
111 Ю -"-^
а) п<£; б)^ТТ<е; в)^<£'
VII.15. Докажите, что Ve > 0 найдется номер ft, начиная с которого
(т. е. для всех п > к) выполнено неравенство:
а)^<£; б)^ТТ<£; в) Jr<£-
3921 Глава VII. Предел последовательности
Докажите, используя определение предела (vn.16, VII.17).
Vli.16. a) lim - = О; б) lim —— = 0; в) lim -\ = О.
п -+оо П п —»• оо Л + 1 п -+оо П6
VII.17. a) lim ^±1 = 3; б) lim —^— = -;
п-+со П п^оо 2п+ 1 2
ч т . 2-/1 л v т . П2 + 1 ^
в) lim = —1; г) lim —-— = 1.
п->оо 2+71 л -► оо /I2
VII. 18. Найдите (угадайте), к какому числу сходится
последовательность, и докажите, что это число действительно есть предел
последовательности по определению:
2 | v sin/i ч 1
J; в)^„ = ^г; г) ^п = ;
\ I. 1. i. I. I. i. J_. i.. . \ i. 2. <*. 2 3 4 3 4 5
ж) xn = sign (/г2 - 5/г - 7); з) хп = \^j5
Vli.19. Постройте отрицание утверждения: последовательность {хп}
сходится.
VII.20. Приведите пример последовательности {хп}9 удовлетворяющей
условию Ve > 0 3k e N: V/г > k xn< e и такой, что:
а) она не имеет предела; б) она имеет предел.
Может ли этот предел быть равным 1? Найдите множество
возможных пределов последовательности {хп}.
VII.21. Докажите, что если последовательность {хп} сходится к числу А
и последовательность {уп} получена перестановкой членов
последовательности {хп}, то и последовательность {уп} сходится
к числу А.
Группа В
VII.22*. Можно ли расположить рациональные числа отрезка [0; 1]
в сходящуюся последовательность?
Ол + Оо + ••• + О
VII.23*. Пусть lim ап = а. Докажите, что lim = а. Верно
п —> оо п —*■ оо Т1
ли обратное?
Свойства предела последовательности
Группа А
VII.24. Докажите, что число:
а) 2 не является пределом последовательности ап- '" ;
п + 1
п
393| Задачи и упражнения
^ч о , 2 — cos пп
б) 3 не является пределом последовательности Ь„ = ;
2 н- cos пп
в) — не является пределом последовательности сп = cos — .
2 V 3 У
VII.25. Докажите, что последовательность {хп} расходится:
ч / ■* \„ /-\ i л\п ч 2 — COS ЯЛ1
а) *„ = (-!)»; б)*я = цм>"; в) *я = ^;
г) *n=sin(MJ; д) хя = 2»+1; е) 1; |; 2; |; 3; ±; ...;
.12 13 14 ч , ч
Ж) 2' 3' 3' 4' 4' 5' '"' 3) Х" = slSn(COSAl)-
vn.26. Последовательность {хп} такова, что последовательность уп = sin xn
сходится. Обязательно ли сходится последовательность \хп}1
VH.27. Дана последовательность {хп}> такая, что последовательность
{|х|} сходится. Обязательно ли сходится последовательность
{хп\? Приведите соответствующие примеры.
VH.28. Приведите примеры последовательностей {хп} и {уп}, имеющих
одно и то же множество значений и таких, что:
а) {хп} и {уп} сходятся, но имеют разные пределы:
lim {xn} Ф lim {yn};
п -+оо п -+оо
б) {хп} сходится, а {уп} расходится.
Какое условие можно наложить на последовательности {хп}
и {уп} с одинаковыми множествами значений, чтобы они имели
равные пределы?
VII.29. Докажите, что если А = lim хп9 то | А\ = lim \xn\.
VII.30. Могут ли последовательности {хп} и {уп} сходиться к одному
и тому же числу, если Уп е N хп< уп и множества их значений
не пересекаются?
VII.31. Последовательность {хп} такая, что V/i € N хп < —. Выясните,
может ли последовательность {хп}:
а) не иметь предела;
б) иметь предел, отличный от 0;
в) иметь предел, равный 1.
VH.32. Докажите, что изменение (в частности, отбрасывание или
добавление) конечного числа членов сходящейся последовательности
оставляет ее сходящейся к тому же пределу. Точнее, пусть
lim xn = А, а последовательность {уп} такова, что существуют
п -*оо
такие р € N и k e N> что уп = хп + р (или уп = хп_р), начиная с
номера k (\/n ^ k). Докажите, что тогда {уп} сходится и lim у п = А.
394] Глава VII. Предел последовательности
VH.33. Докажите, что изменение (в частности, отбрасывание или
добавление) конечного числа членов расходящейся
последовательности оставляет ее расходящейся. Точнее, пусть
последовательность {хп} расходится, а последовательность {уп} такова, что
существуют такие р е N и k e N, что уп = хп + р (или уп = хп_р),
начиная с номера k (\/n ^ К). Докажите, что тогда
последовательность {уп} расходится.
VII.34. Пусть последовательность {ап} положительных чисел такова,
что последовательность {п2 • ап • ап + 1} сходится. Какие из
последовательностей обязательно сходятся (если необязательно
сходятся, приведите примеры, если обязательно сходятся,
приведите доказательство):
а) {п • ап}; б) {п2 • ап • ап + 2}; в) {п2 • ап - ап + 3}?
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Группа А
VH.35. Верно ли, что lim xn = +оо, если:
п —> оо
а) последовательность {хп} содержит все натуральные числа;
б) все члены последовательности {хп} — натуральные числа;
в) все члены последовательности {хп} — различные
натуральные числа?
VII.36. Запип1ите с помощью кванторов отрицание того, что:
a) lim хп = +оо; б) lim хп = -оо; в) lim хп = оо.
п^-оо л^-оо п^оо
VII.37. Докажите, что:
a) lim = +00; б) lim 2п = +оо; в) lim {^п2 + п - -Jn)= +00.
п —> оо П п —> оо п —> оо
VII.38. Докажите, что, для того чтобы последовательность {хп} была
бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность {\хп\} была бесконечно малой.
VH.39. Докажите, что, для того чтобы последовательность {хп} была
бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность {\хп\} была бесконечно большой, точнее:
lim хп = оо <=> lim \хп\ = +оо.
п —> оо п —> оо
VH.40. Приведите примеры таких бесконечно малых
последовательностей {хп} и бесконечно больших последовательностей {уп}, что:
а) lim(xn-yn)= 0;
п —> оо
б) lim (xn- уп)= В, где В — конечное число;
п —> оо
в) Пт(хп-уп)= +оо;
п —*оо
г) lim (xn- уп) не существует.
Задачи и упражнения
VH.41. Приведите примеры таких бесконечно больших
последовательностей {хп} и {уп}, что
a) lim^- = 0; б) lim — = 1;
п-*ооуп п^ооуп
X X
в) lim —-= +00; г) lim — — не существует.
п^соуп п^ооуп
VII.42. Приведите примеры таких бесконечно больших
последовательностей {хп} и {уп}, что:
а) lim(xn + yn)= 0;
б) lim (хп + уп)= Б, где В — конечное число.
п -ч»оо
VII.43. Приведите примеры таких бесконечно больших
последовательностей {хп} и {уп}9 что:
a) lim (хп + уп)= +оо; б) lim (xn + уп) не существует.
п —> оо п —> оо
VII.44. Докажите, что сумма двух бесконечно больших
последовательностей одного знака есть бесконечно большая
последовательность.
VH.45. Докажите, что произведение двух бесконечно больших
последовательностей есть бесконечно большая последовательность
(рассмотрите различные сочетания знаков бесконечностей).
VH.46. Пусть lim хп = А, А Ф 0, lim уп = оо (или +оо, -оо). Докажите,
П —> оо п —> оо
что lim хпуп = оо (соответственно +оо, —оо при А > 0 и —оо, +оо
л -»оо
при А < 0).
VII.47. Пусть lim хп = оо. Верно ли, что
Л —> оо
а) если {уп} — ограниченная последовательность, то lim xnyn= оо;
б) если Уп € N уп^ хп, то lim уп = оо;
п —> оо
в) если lim i/n = 00, то lim (xn + 1/„)= со?
п —*оо п ^-оо
VII.48. Докажите, что если монотонная последовательность {хп} не
ограничена, то lim —= 0.
П ^-оо Хп
VII.49. Существует ли бесконечно малая последовательность {хп},
удовлетворяющая условию: Уп е N 0 < хп < х2п?
VII.50. Приведите примеры таких бесконечно малых
последовательностей {хп} и {уп}, что:
a) lim— = 0; б) lim— = 1;
п -* оо Уп п -+ оо Уп
X X
в) lim —2-= +00; г) lim — — не существует.
п ^>ооУп п-+оо Уп
396j Глава VII. Предел последовательности
VII.51. Пусть lim хпуп = 0. Следует ли отсюда, что:
п —> оо
а) lim xn = lim уп = 0;
п -*оо п -*оо
б) хотя бы один из пределов lim xn или lim уп равен нулю?
Арифметические действия над пределами
Группа А
VII.52. Докажите, что:
а) из существования предела частного двух последовательно-
( х\
стей lim —- не следует существования хотя бы одного из пре-
делов lim хп или limyn;
п-+оо п-+оо /д. \
б) из существования пределов lim — и lim xn не следует
п —юо уУп J п ^>оо
существования \imyn. Какое условие нужно добавить, чтобы
п —*оо
существовал limyn?
П~*°° ( ХпЛ
в) из существования пределов lim — и lim yn следует суще-
ствование lim xn.
VII.53. Приведите примеры расходящихся последовательностей {хп}
и {уп}, для которых: а) сходится последовательность {хп + уп);
б) сходится последовательность {хпуп}; в) сходится
последовательность \ —- >; г) одновременно сходятся последовательности
[Уп J
пунктов «а», «б», «в».
VH.54. Покажите, что из существования предела суммы двух
последовательностей lim (xn + уп) не следует существования хотя бы
П -»оо
одного из пределов lim xn или lim yn (приведите соответствую-
щие примеры).
VH.55. Докажите, что из одновременного существования lim (xn + уп) и
lim xn следует существование предела limyn.
VII.56. Последовательность {хп} сходится, а последовательность {г/„}
расходится. Докажите, что при Ь Ф 0 последовательность {ахп + Ьуп)
расходится.
VII.57. Докажите, что последовательность {(—1)л} расходится, используя
теорему на с. 386.
VII.58. Пусть lim хп = а > 0. Докажите, что lim Jx^ = 4а (требуется
п -* оо п -* оо
доказать наличие предела и вычислить его).
Задачи и упражнения
VH.59. Пусть {хп} и {уп} — бесконечно большие последовательности
одного знака. Докажите, что тогда {хп + уп} — бесконечно
большая последовательность того же знака.
VII.60. Известно, что \/п е N хп * 1 и lim xn = 1. Найдите lim yn, если:
Oil/ — •
И2
#n =
ж.-2 '
б) уп = _| ;
п
г) У„ = —
2 - 1
Найдите limxw, если (vn.6l-vn.63).
П оо
9 +
VII.61. а) х„ =
в) х„ =
Д) *п =
п+ 1
Зп + 2'
ж) хп =
5)3-
VII.62. а) хп -
в) хв =
Д) хп =
ж*) дс„ =
(-
1
л2
(-
Ъп
п(
2л
л
1)'
+ 2
2"
-1)
-
п2"
/^
п2
>
+ зп
1
2^Т-
л/4л2-
Тз-
+1-
(3 + 1 — Л
.
-5n + 1
а
П)
- 1
J
Л
л
б) х„ =
3 + 0,5».
0,3" + 5 '
2 - л л • 2"л
л + 1 л + 2
л3+27
^" л4-15'
2л + 1
к) хп =
м) хп =
о) х„ =
б) хп =
г) хп =
е) хп =
100 • 2П + 2 • 5" '
1+2+... + л_/г
л + 2 2
л/л2 + 1 - Л
.+ 1-1
2+ 1-
л - л - 1
л + 2 + л/л + 1
3981 Глава VII. Предел последовательности
VH.63. а) хп = л 9 + -;
п+1
- 1 — лг— 1;
ж) хп = %]ns + 2п2 - п;
п 2
Группа В
VII.64. а) При каких значениях параметра а последовательность
хп = у/ап2 +Ъп + 2 - п, п € N, имеет конечный предел?
б) При каждом из найденных а найдите fc, при которых
lim xn = 1.
п ^-+со
VII.65. а) Докажите, что если lim ап= а, то lim sinan = sina и
lim cos an= cos a. n ""* °°
n -*co
Докажите, что не существует предела у последовательно-
в*) При каких значениях а существует предел
последовательности с общим членом Ъп = sinan?
VH.66*. Найдите lim sin2 (Лд/тг2 + п).
п ^-со
Вычисление пределов
Группа В
VII.67. а) Пусть lim ап= а, а > 0. Докажите, что lim ф^= 1.
71 —> СО Л —> СО
б) Приведите пример сходящейся неотрицательной
последовательности {ап}, для которой последовательность {фг^}
расходится.
в) Приведите пример сходящейся неотрицательной
последовательности {ап}, для которой последовательность {д/^Г} имеет
предел, меньший 1 и больший 0.
г) Пусть последовательность {ап} ограничена. Может ли
последовательность {^/а~} иметь предел, больший 1?
VH.68. Найдите:
a) lim
in, (ШХ:
l И \
б) lim — , где а — произвольное число;
в) lim
г) lim
п+ 10
2п- 1
Задачи и упражнения
VII.69. Найдите lim xn> воспользовавшись свойствами пределов, связанны-
П —> со
ми с неравенствами и арифметическими действиями с пределами.
у —
п
(п
п
2
• 3
10
п
"г".
2)!
п +
п +
(п
1
п\
+ 1)!
vn\)
л (0,3)»*!*
4* + п2 ■ 2" - 1
3) Х„ — . - Н" . — Н" •.. Н"
!+ л+ 1
и) хп = tf2n - п2.
VII.70. Установите сходимость к 0 последовательности:
—, а > 1, р € N;
4 • 7 • 10 • ... • (Зл + 1)
а) х_ = —, а > 1, р € ЛТ; б) дг_ = -—f1, a
ап ап\
в) х =
7 п 2-6-10-...-(4л+ 2)"
з
VII.71. Найдите lim п2 (л1п + 1 + у/п-1 -
VII.72. Постройте график функции:
a) /(x)=lim — —;
' V ' п^оо 2+ Хп+ Х2п
б) /(х)= lim ^2 + (х + 1)" +х2л (х>0).
VII.73. Пусть последовательность ап такова, что lim — = 0. Докажите,
что lim = 0.
п —> оо П
Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса
Группа А
VII.74. Докажите, что последовательность {хп} сходится:
10n Ai!
v q 811 811 Зд1 + 5 a
' 1 ' 2 -| rr'***' Л -| rr * * * /;_, er'
Замечание, п!! — произведение всех натуральных чисел,
непревосходящих /г, имеющих одинаковую с п четность.
400 Глава VII. Предел последовательности
Группа В
VII.75. Докажите, что {хп} сходится, и найдите lim xn:
а) хг = 13, хп + 1= д/12 + хп;
б) хг = у[а9 хп + 1= у/а + хп, где а > 0;
в) хх — V5, хп + 1= у/5хп, где ft € ЛГ;
г) хх = Уа, xn + j = у/ахп , где ft € ЛГ, а > 0;
v 4 2 1Ч 1 о. 1 Q. 7
тт 1 -у — -у -у& лл тттж 1 1 у — • У) V — • Ч| V —
гЛ/ И 4- 1 71 71 ' Счу«/Хх1 A J «V-I , Си у «V-J , 4J J «V-J •
о 6 2 6
VII-76. Выясните, сходится ли последовательность {хп} и найдите
предел сходящейся последовательности:
а) хг ^ 1, хп + 1 = -д/l- хп9 где п е N;
б) 0 ^ хг < 1, хп + ! = хп - х\, где п € ЛГ;
в) *i > 0, хл +! = - хл + — , где а > 0, д € ЛГ;
if а 1
г) хх > 0, хп + х = - 2хп + —- , где а > 0, п е N.
VH.77. Пусть последовательность задана в виде \/п е N хп + 1 = f(xn),
причем / — возрастающая функция. Докажите, что:
а) если хх < х2, то {хп} — возрастающая последовательность;
б) если хх > х2, то \хп\ — убывающая последовательность;
в) если / — ограниченная функция, то последовательность {хп}
сходится.
VH.78. Пусть последовательность задана в виде \/п е N хп + 1 = f(xn),
причем / — убывающая функция. Докажите, что:
а) последовательности {х2п _ г} и {х2п} монотонны, причем одна
из них возрастает, а другая убывает;
б) если число xY £ (х2; xs), то обе последовательности {х2п_1}
и {х2п} сходятся.
VII.79. Выясните, при каком значении хг сходится последовательность:
а) хп + 1=х2п + Зх„+ 1; б) хп + 1 = х\ +-хп.
VII.80. Выясните, сходится ли последовательность {хп}, и найдите
предел сходящейся последовательности:
<Х) Xi — ±, Хп + 1 — 1 > V) Х1 — , Хп + i — \± Хп) ,
1 + хп ^
В) *1= \> *п+1= 1"*S; Г) 0<Хг< -Аг^1' Хп+1= V1 ~ Хп •
401 Задачи и упражнения
Группа С
VII.81. Исследуйте на сходимость последовательность:
а) хг = -3, хп + х=\ + —; б) хх= -—, хп + 1 =
хп7 ' 1 13' n + l 2xn
. 8 J_ 3. . 6 .3
BJ Х1 — ЛП 9 ХП + 1 — „ О' Г) Х1 — П 9 ХП+1 — 4 ~~>
1 • хп z • хл
д) хх > 0, хп + 1= — + 6, где а > 0, & > 0, п е N;
Хп
е*) хг = а, хп + 1 =
VII.82. Пусть 0 < хх < 1, \/п е N хп + х = хп(2 - хп).
а) Докажите, что последовательность {хп} сходится и lim xn = 1.
П -»<Х)
б) Исследуйте последовательность {хп} на сходимость, если
хх £ (0; 1).
VII.83. Пусть 0 < хх < -, Vn g ЛГ хп + х = хп(2 - ах„), где а > 0. Докажите,
что последовательность {хп} сходится и lim хп = —.
VII.84. Пусть 0 < хх < a, Vn е ЛГ хп + х = хп(а - хп). Докажите, что:
a) lim хп = а - 1 при 1 < а ^ 2; б) lim х„ = 0 при 0 < а ^ 1.
VII.85. Последовательности {хп} и {г/„} удовлетворяют условиям:
хп ~*~ Уп
Докажите, что обе последовательности {хп} и {уп} сходятся и
lim xn = limyn. Попробуйте найти эти пределы (в пунктах «б»
п —* оо п —* оо
и «в») как функции от а и Ь.
Замечание. Предел из пункта «а» носит наименование арифме-
тико-геометрического среднего чисел а и & и не выражается
через а и & без использования знака интеграла!
VII.86. Докажите, что последовательность имеет предел, больший —
и меньший 1: ^
а) ап = ! + -i—+ ... +—; б) ап = —±— + ... +—.
VII.87. Пусть хх = а, 0 < а ^ 2, хп + х = у2 - д/4 - х\ , п е N.
а) Докажите, что последовательность {хп} сходится.
б) Докажите, что при а = 2 lim 2" • хп = п.
402[ Глава VII. Предел последовательности
VH.88. Пусть последовательность {ап} сходится, а последовательность
{Ьп} ограничена, причем при всех натуральных п выполнено
неравенство Ьп + 1 - Ьп> ап + 1 - ап. Докажите, что
последовательность {Ьп} сходится.
VII.89. Последовательность {хп} задана формулой хп = пхп_1 + 2, а хо = с.
а) Докажите, что если с > 2, то данная последовательность
монотонна.
б) Докажите, что если с < -4, то при всех натуральных п верно
х„
^ -с.
неравенство
п\
в) Докажите, что если последовательность {хп} сходящаяся, то
она стремится к 0.
г) Докажите, что если число с рационально, то эта
последовательность не имеет предела.
д*) При каких значениях параметра с последовательность
сходится?
VII.90. Пусть а, & и с — такие положительные числа, что при всех
натуральных п существует треугольник со сторонами а", Ъпу сп.
Докажите, что все такие треугольники являются
равнобедренными.
VH.91. Множество ненулевых чисел таково, что сумма п-х степеней
этих чисел равна 0 при всех нечетных натуральных п.
Докажите, что данное множество можно представить как объединение
пар противоположных чисел.
Число е
Группа А
VII.92. Найдите lim xn9 если:
а) хп =
п —>-оо
П
Л+ 1
б) хп = 1 + ±
2п
Группа В
VII.93. Докажите, что \/п е N:
б) 2 < 1 + - < 3;
в)
1+1
п
1-1
> е
VII.94. Докажите, что lim In 1 + — = 0.
я"°° ^ п) ( \Л 1
Указание. Используйте неравенство \/п е N In 1 + — < —,
доказав его. v п) п
Задачи и упражнения
Группа С
VII.96*. Докажите, что lim — у[п\ = -.
п _>.оо ft e
Указание. Можно воспользоваться результатом задачи VII.23.
VII.97. (Доказательство иррациональности числа е.)
( iV
а) Разложите выражение 1 + — , используя формулу бинома
Ньютона и написав формулу биномиальных коэффициентов.
б) Из разложения в пункте «а» получите неравенство:
<1 + 1 + ^ + + +^>1
в*) Взяв первые k членов разложения из пункта «а»,
зафиксируйте произвольное натуральное k и докажите неравенство
е^1 + 1 + — + ...+—, которое оказывается верным при произ-
вольных натуральных k.
г) Из пунктов «б» и «в» выведитее = lim 1 + 1ч 1 1-...Ч .
п-»оо ^ 2! 3! п\)
д) Докажите, что при всех натуральных п выполнено
неравенство: 1 ь ... н < (замените в каждом
(п + 1)! (п + 2)! (п + т)1 п\п
из знаменателей сомножители, большие п + 1, на п + 1, далее
воспользуйтесь формулой суммы геометрической прогрессии).
е) Докажите, что lim + + ... +
'^ {(п+ 1)! (п + 2)!
++ ... +^
{ 1)! (п + 2)! (п + т)1) п\п
(обратите внимание, по какой переменной берется предел!).
ж) Докажите, что е=1 + 1 + —- + — + ... + —- + —, где
2! 3! п\ п\
От противного докажите, что е — иррациональное число,
и*) Найдите lim sin(2rcen!).
п —>-оо
Группа А
VII.98. Подпоследовательности {x2k} и {x2k-i} последовательности {хп}
имеют один и тот же предел. Докажите, что и сама
последовательность {хп} сходится к тому же пределу.
VII.99. У последовательности {хп} lim x2k= A, lim x2k_x = В, АфВ.
п —*■ оо п —* оо
Докажите, что {хп} расходится.
404! Глава VII. Предел последовательности
VII. 100. Дана последовательность {ап}. Рассмотрим
последовательности хп = а2п, уп = а2п_г, zn = а2п + 4, ип = а3п.
а) Верно ли утверждение: если последовательность {хп}
сходится, то и последовательность {zn} сходится?
б) Верно ли утверждение: если последовательность {zn}
сходится, то и последовательность {хп} сходится?
в) Очевидно, что если последовательность {ап} сходится, то
сходятся и последовательности {хп} и {уп}. Верно ли
утверждение: если последовательности {хп} и {уп\ сходятся, то и
последовательность {ап} сходится?
г) Пусть lim xn = A, lim yn = В, lim un = С. Докажите, что
П —*■ оо п —*■ оо л —*• оо
А = В= С= li
Группа В
VII.101. Пусть последовательность {ап} такова, что для всех
натуральных т > 1 выполнено lim amk = 0. Верно ли, что lim an = 0?
k —>-оо п -»>оо
VII.102*. Докажите, что из ограниченной последовательности
можно извлечь либо возрастающую подпоследовательность, либо
убывающую подпоследовательность. Докажите с помощью
этого факта теорему Больцано — Коши о существовании
сходящейся подпоследовательности у ограниченной
последовательности.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома математической
индукции 30
— супремума 52
Алгоритм Евклида 108
Арккосинус 291
Арккотангенс 294
Арксинус 290
Арктангенс 294
Асимптота вертикальная 207
— горизонтальная 208
— наклонная 208
Бесконечно большая
последовательность 373
— малая последовательность 370
Бином Ньютона 45
Взаимно однозначное отображение
174
Высказывание 3
Главный период 191
Деление с остатком 99
Делимость целых чисел 102
Дизъюнкция 7
Дополнение множества 20
Импликация 8
Истинностное значение 3
Каноническая форма записи
натурального числа 120
Квантор 21
Композиция функций 194
Конъюнкция 6
Корень /г-й степени 232
— уравнения 57
Косинус 284
Котангенс 291
Кратность корня 153
Логарифм 255
Логарифмическая функция 262
Максимум функции 186
Метод интервалов 68
— неопределенных коэффициентов
141
Минимум функции 186
Многочлен 136
Множество 12
Наибольшее (наименьшее) значение
функции 181
— общее кратное целых чисел 114
Наибольший общий делитель целых
чисел 108
Неравенство Коши (о среднем
арифметическом и среднем
геометрическом) 37
Неубывающая (невозрастающая)
функция 184
Нечетная функция 188
Нулевой одночлен 120
Область определения неравенства 65
уравнения 58
функции 169
— прибытия 169
Образ множества 172
— элемента 172
Обратная функция 197
Объединение множеств 18
Ограниченная функция 180
Ограниченное множество 49
Одночлен 135
Основная теорема арифметики 120
Основное логарифмическое
тождество 257
— тригонометрическое тождество 286
Отрицание 5
Парадокс Рассела 15
Пересечение множеств 19
Периодическая функция 190
Подмножество 16
Подпоследовательность 386
Показательная функция 249
Последовательность 357
Правило сложения 40
— умножения 39
Предел последовательности 362
Предикат 4
Преобразование множества 174
Прообраз элемента 172
Простое число 118
Пустое множество 13
4061 Предметный указатель
Равномощные множества 53
Радиан 285
Разность множеств 20
Решето Эратосфена 118
Симметрические многочлены 159
Синус 284
Составное число 118
Сравнения 104
Степенная функция 233
Степень многочлена 137
— с рациональным показателем 242
Строго возрастающая (строго
убывающая) функция 183
Схема Горнера 148
Счетное множество 54
Таблица истинности 7
Тангенс 291
Теорема Безу 151
— Больцано-Вейерштрасса 387
— Вейерштрасса о монотонной
последовательности 379
— Виета 158
— о сжатой последовательности 368
Тождественный предикат 4
Точная верхняя граница (супремум) 50
Тригонометрическая окружность 282
Формула перехода к другому
основанию 261
Формулы приведения 296
Функционал 171
Функция 169
— Дирихле 184
Четная функция 188
Число е 381
— размещений 42
— сочетаний 44
Экстремум функции 186
ПОСЛЕСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Уважаемые коллеги!
Предлагаемый вашему вниманию учебник создан авторским
коллективом, участники которого работают в известнейших
физико-математических школах Санкт-Петербурга. Поэтому в этом учебнике
нашел отражение опыт углубленного преподавания математики,
накопленный в этих школах.
При написании учебника авторы исходили прежде всего из
приоритета решения задач как основного вида деятельности на уроке
математики. Поэтому каждое теоретическое положение, теорема или
формула имеет свое отражение и применение в задачах. Тем самым
неизбежно реализуется идея совмещения в одной книге учебника и
задачника. Получившийся набор задач в учебнике авторы считают
достаточным для работы в классах с самой различной подготовкой: от
весьма сильных классов, в которых обучаются увлеченные
математикой школьники, до профильных классов, ориентированных на
подготовку к поступлению в вузы естественно-математической
направленности.
Авторы полагают, что решение задач по алгебре и началам
анализа ни в коем случае не должно сводиться к изучению более или менее
полного сборника рецептов и стандартных идей. Поэтому при подборе
задач особое внимание уделялось тем из них, чье решение не
сводится к стандартному набору вычислений и манипуляций. Подбирая за-
дачный материал, авторы стремились наполнить его как задачами на
отработку простейших преобразований и вычислений, так и задачами,
где требуется понимание, применение какой-либо идеи, неожиданное
решение и т. д. Опыт преподавательской деятельности авторов
убеждает: проще и эффективнее (в том числе для сдачи экзаменов) научить
основному кругу весьма общих идей и определенной смелости и
настойчивости мышления.
На сегодняшний день основной проблемой многих школьников
является умственная пассивность при решении задач: если похожая
задача не разбиралась, то школьник не знает, как к ней подойти.
Более того, он не пытается вспомнить похожие задачи, не листает
тетрадь или учебник в поисках необходимых теоретических сведений,
а либо бездумно сидит долгое время над этой задачей, либо, в лучшем
случае, начинает производить бездумные преобразования. Именно
в преодолении такой пассивности, в обучении некоторым подходам
при решении задач и видят авторы одну из важнейших целей
изучения курса. И если удается достигнуть этой цели, то никакой экзамен
школьнику будет не страшен!
Вместе с тем авторы считают важным такое преподавание курса
алгебры и начал математического анализа, при котором содержание
курса будет восприниматься как математическая дисциплина со своим
аппаратом, кругом решаемых задач, культурой рассуждений. Поэтому
408[ Послесловие для учителя
в учебнике обращается внимание на утверждения, остающиеся без
доказательства (например, существование логарифмов положительных
чисел по произвольному положительному основанию, отличному от 1),
и поддерживается тот уровень строгости рассуждений, который
авторы считают разумным. Из учебника сознательно исключены такие
разделы (например, построение строгой теории действительных
чисел), изучение которых в большой мере служит потребностям
«наведения необходимой строгости» на курс математики, но не влечет
появления новых инструментов решения задач.
Известно, что верное строгое математическое доказательство
далеко не всегда способствует пониманию доказываемого утверждения.
В то же время глубокое понимание приводит не только к возможности
легко перевести доказательство на строгий математический язык, но
и к открытию новых фактов и взаимосвязей внутри теории.
Поэтому авторам хотелось передать не столько совокупность определений
и утверждений, сколько дух и собственное неформальное видение
школьной математики. Авторы осознают неразрешимость этой задачи,
но видят свой успех даже в небольшом приближении к ее
(недостижимому!) решению.
Отметим, что практически каждая тема «элементарной»,
школьной математики может служить началом большого и очень интересного
обсуждения вопросов, связанных с разделами современной, «высокой»
математики. Авторы старались по мере своих сил и возможностей
выделить и подчеркнуть такие места.
Важным элементом математической культуры является
знакомство учащихся с историей описания тех или иных математических
понятий, доказательства теорем. Математику творили живые люди со
своими взлетами и заблуждениями, открытиями и ошибками. И зачастую
просто интересно узнать, как то или иное математическое открытие
повлияло на развитие науки, культуры и техники. Поэтому в учебник
вставлены некоторые исторические комментарии, имеющие целью
лишь ознакомление учащихся с теми или иными фрагментами
истории математики, но не претендующие на роль сколько-нибудь
связного ее изложения.
Авторы придерживаются мнения, что решение задачи должно
представлять собой связный текст, изложенный грамотным русским
языком. Тем самым ни в записи решений примеров и задач,
приведенных в учебнике, ни в своей учительской деятельности авторы ни
в коей мере не стремятся свести запись решения к некоторой
последовательности математических значков и символов.
Читателю текста решения должна быть понятной его логика и
основные этапы. При этом по возможности логические переходы
(например, равносильные преобразования) не должны смешиваться с
тождественными преобразованиями и вычислениями. Поэтому запись
решения в приведенных примерах можно воспринимать как одну из
многих возможных записей.
409J Послесловие для учителя
То же самое касается и записи ответов. Например, ответы в
уравнениях: «х е 0», «корней нет» являются вполне допустимыми. Точно
так же ответы в неравенстве могут быть записаны и в виде
объединения множеств, и в виде совокупности равенств и элементарных
неравенств.
Таким же образом авторы подходят и к вопросу нахождения
области определения и обоснования равносильности преобразований.
Безусловно, жанр экзаменационной работы предполагает (в отличие,
например, от научной статьи) не сообщение миру нового открытия,
но доказательство того, что экзаменуемый усвоил учебный материал.
Авторы считают, что если, не найдя области определения или не
обосновав равносильность переходов, ученик получил верный ответ в
уравнении, то это проблема не его, а составителя задачи. Если
составитель желает проверить, знает ли ученик, что нужно проверять область
определения и равносильность преобразований, пусть составляет
задачи, где отсутствие необходимых действий приведет к неверному
ответу. Только тогда соответствующие рассуждения будут не ритуальными
заклинаниями, а осознанными элементами решения!
Распределяя материал, изучаемый в 10 и 11 классах, по годам
обучения, авторы придерживались следующего принципа: сначала
изучить необходимые классы элементарных функций (многочлены,
логарифмические, показательные и тригонометрические), а затем
разрабатывать аппарат исследования этих функций, в частности
методами математического анализа. Глава, посвященная решению
уравнений и неравенств, явно носящая характер подготовительной к разного
рода выпускным и вступительным экзаменам, помещена в силу этого
в материал 11 класса. Однако в главах, посвященных
соответствующим функциям, даны приемы и методы решения простейших
уравнений и неравенств, достаточные для применения методов анализа.
В структуре учебника важное место занимает глава I «Введение».
Эта глава посвящена изучению фактов и методов математики, в
определенной степени служащих основанием математической культуры
ученика. Изучение материала этой главы можно варьировать в
зависимости от того, что было изучено учащимися на этапе основного общего
образования. Вместе с тем, если материал этой главы является для
учащихся новым, его изучение будет способствовать более легкому
их вхождению в профильное математическое образование. Например,
изучение основ логики и теории множеств, комбинаторики и
индукции не требует существенных вычислительных навыков или навыков
тождественных преобразований. При изучении этого материала равны
учащиеся самого разного уровня подготовки, возможно, пришедшие
из различных школ и классов. Вместе с тем в процессе изучения
такого материала опытный учитель может заметить пробелы, мешающие
дальнейшему освоению материала, и принять меры к их устранению.
С другой стороны, при решении ряда задач главы I неизбежно
повторение свойств линейной и квадратичной функции, решения дробно-ра-
410J Послесловие для учителя
циональных уравнений и неравенств. Здесь же авторы сочли нужным
поместить повторение метода интервалов, а также задачи, связанные
с понятием модуля числа. Эти задачи играют пропедевтическую роль
для дальнейшего изучения свойств функций и начал математического
анализа.
Материал главы II «Целые числа» традиционен. Однако авторы
сочли возможным построение теории делимости чисел на основе
линейного представления наибольшего общего делителя в расчете на то,
что такое изучение материала даст возможность по-иному взглянуть
на известные многим свойства целых чисел (в частности, свойства
взаимно простых чисел и на основную теорему арифметики). Авторы
считают, что доказательство малой теоремы Ферма и теоремы Эйлера
является рубежом, за которым теория целых чисел явно выходит за
рамки обязательного школьного курса, поэтому теория дана до
доказательства указанных теорем. Вместе с тем усвоение материала главы II
закладывает прочную базу для дальнейшего изучения теории чисел
вне пределов школьного курса. В то же время изложенного материала
вполне достаточно для решения многих содержательных задач, часть
которых представлена в учебнике.
При изучении главы III «Многочлены» одной из целей авторов
являлось явное проведение параллели между изучением многочленов
как алгебраических объектов (с точки зрения действий над
многочленами) и теории чисел. В частности, подчеркивание того, что из
наличия деления с остатком следует аналог основной теоремы арифметики
и свойства взаимной простоты, может стать началом важного
разговора о евклидовых кольцах (например, гауссовых числах при изучении
комплексных чисел). Авторы считают нужным оставлять в изложении
такого рода «маячки», от которых начинается дорога к важным
понятиям и разделам современной математики.
С другой стороны, при изучении многочленов как функций
подчеркнута важная роль теоремы Везу как связующего звена между
двумя ветвями теории многочленов: изучением многочленов как
алгебраического объекта и как функции. Такая связь выражается теоремой
о совпадении формального и функционального равенства
многочленов, из которой следуют мощные методы решения задач (в частности,
интерполяционная формула Лагранжа).
В главе IV «Функция. Основные понятия» разобран круг
вопросов, которые можно задавать по поводу произвольной функции: какова
ее естественная область определения? Каково ее множество значений?
Есть ли определенные симметрии графика функции (исследование на
четность и периодичность)? Является ли функция монотонной? Тем
самым задается план изложения для последующих глав,
описывающих определенные классы функций. Кроме того, авторы полагают
полезным отделить рассмотрение упомянутых вопросов, общих для
широких классов функций, от рассмотрения конкретных классов
функций, т. е. пытаются выделить свойства функций «в чистом виде».
4111 Послесловие для учителя
Следует обратить внимание на подход, связанный с построением
графиков функций «из соображений здравого смысла», т. е.
качественного исследования поведения функций вблизи точек разрыва и на
бесконечностях. Такой подход при некоторой потере строгости (впрочем,
скоро компенсируемой) дает возможность развития математической
интуиции, что гораздо более ценно, нежели умение проводить
формальные вычисления. Поэтому в задачах к главе IV большое внимание
уделено именно построению графиков, а также исследованию
функций без применения методов анализа. Следует также обратить
внимание на классические примеры функций (целой части, Дирихле, Ри-
мана и др.)> встречающиеся в тексте этой главы. Изучение таких
примеров благотворно влияет на математическую культуру учеников:
они перестают придавать функциям, встречающимся в задаче, не
описанные в условии свойства (например, непрерывность или
монотонность на некотором промежутке), а приводимые учащимися
доказательства приобретают более строгий и законченный вид.
Материал главы V «Корень, степень, логарифм» традиционен для
школы. Несмотря на то что требования стандартов переносят изучение
степеней с рациональными показателями в старшую школу, основной
акцент в главе сделан на изучение показательной и логарифмической
функций. Вместе с тем авторы стремились при определении
логарифма следовать естественным путем его введения и старались
подчеркнуть естественность свойств действий с логарифмами. Важную роль во
всем изложении играет теорема о сравнении степеней, весьма сложная
для восприятия учащихся. По-видимому, при объяснении в классе
полезно сразу сформулировать эту теорему в терминах монотонности
показательной и степенной функций. Авторы же хотели показать, что
утверждения о монотонности степенной и показательной функций
суть утверждения одной природы.
Важным является единство подхода к определению корня и
логарифма в этой главе, а также определению обратных
тригонометрических функций в главе VI как решений простейших уравнений, т. е.
чисел, которые необходимо как-то «назвать». В случае корня это
неизвестное основание степени, в случае логарифма — неизвестный
показатель степени, а в случае, например, арксинуса — неизвестное число,
заданное своим синусом.
В этой же главе приведены примеры решения простейших
уравнений и неравенств со степенными, логарифмическими и
показательными функциями, а также показаны «подводные камни», возникающие
при решении уравнений и неравенств, приведены рассуждения,
позволяющие упростить решение соответствующих уравнений (в частности,
обходя отыскание области определения).
При изучении материала главы V важно добиться от учащихся
навыка свободного преобразования выражений, содержащих степени
и логарифмы. Авторы полагают ошибочным изложение каких-либо
разделов теории, связанных с аппаратом исследования соответствую-
412 Послесловие для учителя
щих функций, до того, как учащимися будет достигнута необходимая
свобода в преобразованиях и вычислениях выражений
соответствующих типов. Ни один компьютер не заменяет при решении задачи
подсознательного поиска путей решения, связанного с определенными
преобразованиями, поиском ассоциаций и «похожести» выражений по
виду и т. п.
В главе VI «Тригонометрия» сначала вводятся синус, косинус,
тангенс и котангенс числа, и лишь затем, после изучения всех формул
и решения необходимых упражнений, связанных с преобразованиями,
изучаются соответствующие тригонометрические функции.
Особенностью данной главы является также практически
одновременное введение прямых и обратных тригонометрических функций.
Еще раз отметим, что это соответствует общей идеологии появления
обозначений для чисел, заданных, например, своим косинусом.
Такой подход позволяет использовать элементарные тригонометрические
уравнения как инструмент закрепления навыков использования
тригонометрического круга.
В материале главы VI рассмотрены все основные типы
тригонометрических уравнений. Однако, по мнению авторов, такое изложение
является, скорее, данью традиции, нежели необходимостью. В своей
практической преподавательской работе авторы не классифицируют
тригонометрические уравнения, а подходят к ним как к задачам на
подбор необходимых тригонометрических преобразований,
позволяющих либо свести уравнение к алгебраическому, либо разложить на
множители левую часть, имея 0 в правой. Таким образом, учащиеся
при решении любого уравнения начинают искать соответствующие
преобразования, т. е. заниматься деятельностью, непосредственно
ведущей к цели, вместо зачастую мучительных попыток втиснуть
данное уравнение в прокрустово ложе заведомо узкой классификации.
В учебнике практически не используется запись решений
уравнения sin я: — а в виде х — (-l)narcsina + пп9 п е Z. По мнению авторов,
такой вид записи является искусственным. Более того, при любой
попытке что-либо сделать с корнями (например, осуществить их отбор)
неизбежно приходится выделять две серии решений. Именно поэтому
всюду в примерах решения уравнений вида sin x = а даны в виде
совокупности двух серий.
С изучения материала главы VII «Предел последовательности»
начинается знакомство учащихся с математическим анализом. Если
бы не требования стандартов профильной школы об обязательном
изучении предела последовательности, обучение математическому
анализу можно было бы начинать с понятия производной. Такое изложение
мотивировано как историей развития соответствующих понятий, так
и потребностями изучения физики, где понятие производной активно
применяется. В соответствующей главе учебника 11 класса намечен
такой полхол.
4T3l Послесловие для учителя
Тем не менее коль скоро знакомство с пределом
последовательности является обязательным, нельзя допустить, чтобы оно было
формальным. Необходимо приложить максимум усилий (прежде всего
решая большое количество задач, не связанных непосредственно с
вычислением предела), чтобы учащиеся могли свободно доказывать
существование предела, строить контрпримеры. Важно, что
утверждения и примеры возникают из интуитивного понимания того, что такое
предел, а затем это интуитивное понимание переводится на язык
строгого доказательства. Например, доказательство теоремы о пределе
суммы на «интуитивном» языке может выглядеть так: если одно
слагаемое близко к числу А, а другое — к числу В, то их сумма близка
к числу А + В. Приведенное в тексте доказательство является лишь
переводом этих соображений в строгое математическое
доказательство. Авторы считают важным, занимаясь переводом, не забывать о сути
того, что же мы переводим.
Все замечания и предложения по материалу учебника,
присланные в адрес редакции математики издательства «Просвещение», будут
с благодарностью приняты авторами и по возможности учтены.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Введение 3
§ 1. Высказывания и предикаты —
§ 2. Множества и операции над ними 12
§ 3. Кванторы. Структура теорем 21
§ 4. Метод математической индукции 28
§5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона 38
§ 6. Особенности множества вещественных чисел 48
§ 7. Мощность множеств 53
§ 8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование 57
§ 9. Неравенства с одной переменной 64
§ 10. Уравнения и неравенства с модулем 72
Задачи и упражнения 77
Глава II. Целые числа 99
§ 11. Деление с остатком целых чисел —
§ 12. Сравнения. Перебор остатков 104
§ 13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел 108
§ 14. Взаимно простые числа 115
§ 15. Простые числа. Основная теорема арифметики 118
Задачи и упражнения 125
Глава III. Многочлены 135
§ 16. Понятие многочлена —
§ 17. Многочлены от одной переменной. Метод неопределенных
коэффициентов 139
§ 18. Деление многочленов с остатком 143
§ 19. Теорема Безу и ее следствия. Совпадение формального
и функционального равенства многочленов 151
§ 20. Многочлены с целыми коэффициентами 156
§ 21. Теорема Виета и симметрические многочлены 158
Задачи и упражнения 160
Глава IV. Функция. Основные понятия 169
§ 22. Понятие функции —
§ 23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции 175
§ 24. Некоторые свойства функций 180
§ 25. Графическое решение уравнений и неравенств.
Количество корней уравнения f(x) = а 193
§ 26. Композиция функций. Обратная функция 194
Оглавление
§ 27. Элементарные преобразования графиков функций 201
§ 28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах 207
Задачи и упражнения 212
Глава V. Корень, степень, логарифм 231
§ 29. Корень произвольной натуральной степени —
§ 30. Обобщение понятия степени 242
§ 31. Логарифм 252
Задачи и упражнения 264
Глава VI. Тригонометрия 279
§ 32. Обобщенный угол. Измерение углов в радианах и градусах.
Единичная (тригонометрическая) окружность —
§ 33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус 283
§ 34. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс 291
§ 35. Тригонометрические формулы.
Метод вспомогательного аргумента 295
§ 36. Тригонометрические функции и их свойства 306
§ 37. Обратные тригонометрические функции 314
§ 38. Тригонометрические уравнения 320
Задачи и упражнения 330
Глава VII. Предел последовательности 357
§ 39. Понятие последовательности. Свойства последовательностей . —
§ 40. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся
последовательностей 362
§ 41. Арифметические действия над сходящимися
последовательностями. Вычисление пределов 370
§ 42. Предел монотонной последовательности. Число е.
Комбинированные методы нахождения пределов 380
§ 43. Подпоследовательности. Теорема Больцано — Вейерштрасса 385
Задачи и упражнения 389
Предметный указатель 405
Послесловие для учителя 407
Учебное издание
Пратусевич Максим Яковлевич
Столбов Константин Михайлович
Головин Алексей Николаевич
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений
Профильный уровень
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. Б. Грызлова, П. А. Бессарабова
Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, С. В.Дубова
Художник О. П. Богомолова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская
Корректор И. А. Смирнова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц.
Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 21.11.08. Формат 70х90716-
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 26,11+0,46 форз. Тираж 5000 экз.
Заказ № 21712 щ+гз).
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический
комбинат». 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
X. ГЮЙГЕНС
(1629 - 1695)
Л. ЭЙЛЕР
(1707- 1783)
И. НЬЮТОН
(1643-1727)
Я. БЕРНУЛЛИ
(1654 - 1705)
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
(1792 - 1856)
Э. ГАЛУА
(1811 - 1832)
Г. КАНТОР
(1845-1918)
А. ПУАНКАРЕ
(1854-1912)
1
И. М. ВИНОГРАДОВ
(1891 - 1983)
А. М. ЛЯПУНОВ
(1857- 1918)
ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ
Учебно-методический комплект
по алгебре и началам математического
анализа для 10 - 11 классов содержит:
УЧЕБНИКИ для 10 и 11 классов
(авторы М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов,
А Н. Головин)
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
для 10 и 11 классов (авторы В. Н. Соломин,
К. М. Столбов, М. Я. Пратусевич)
КНИГИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
для 10 и 11 классов (авторы М. Я. Пратусевич,
К. М. Столбов, А. Н. Головин)
ISBN 978-5-09-016552-5
785O9O
165525
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО