А.Э.Церковный
УПРАВЛЕНИЕ
ПРОИЗВОДСТВОМ
при нечеткой
исходной
информации
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМ ИЗ ДАТ
1991

ББК 32.965
А 50
УДК 658.562.3:62-52
Рецензент А. Н. Мелихов
Редакторы В. Н. Вагин, В. И. Петухова
Алиев Р. А. и др.
50 Управление производством при нечеткой исходной
информации / Р. А. Алиев, А. Э. Церковный, Г. А. Маме-
дова.— М.: Энергоатомиздат, 1991.— 240 с: ил.
ISBN 5-283-01461-4
Рассмотрены методологические аспекты применения теории нечетких
множеств для управления производством. Основное внимание уделено
построению продукционных моделей и интеллектуализации процесса
координации функционирования коллективов роботов, а также
моделированию технологических процессов.
Для инженеров и исследователей, работающих в области создания
АСУ и ГАП, а также студентов вузов.
2402010000-006
А 051@1)-91
ISBN 5-283-01461-4 © Авторы, 1991

Предисловие
До начала 80-х годов интерес к исследованиям в области
разработки теории нечетких множеств (ТНМ) и, особенно,
в области ее применения для решения практических задач
был невелик. В 70-х годах у нас в стране была издана лишь
одна заметная работа о ТНМ — книга основоположника этой
теории, американского кибернетика Л. Заде (Понятие
лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений. М.: Мир, 1976.) В ней были даны
известные в тот момент сведения общего характера о самой
теории и о возможностях ее применения.
Начиная с 1978—79 гг. публикации, посвященные
исследованиям в области ТНМ, в основном, представлены в виде
статей в журналах и освещают отдельные аспекты этой теории
и ее практического приложения.
Из книг на эту тему, вышедших в 80-х годах, следует
выделить монографию С. А. Орловского (Принципы принятия
решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука,
1981), в которой излагаются несколько разделов теории
нечетких множеств, связанных с нечетким математическим
программированием и с нечеткими играми, а также некоторые
вопросы группового выбора в нечетких условиях. Ограничением
возможности использования материалов этой книги явилось
почти полное отсутствие примеров практической реализации
предлагаемых методов.
В книге В. Б. Кузьмина (Построение групповых решений
в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.:
Наука, 1982) дан интересный аксиоматический подход к
решению проблемы нечеткого группового выбора, но нет
практических примеров и рекомендаций.
В 1983 г. в издательстве «Финансы и статистика» вышел
первый том фундаментального труда французскою специалиста
Р. Коффмана «Введение в теорию нечетких множеств». К
сожалению, перевод остальных томов, в том числе и четвертого,
в который вошли вопросы практического применения теории
нечетких множеств, до сих пор не осуществлен.
3

Следует отметить книгу Д. И. Шапиро (Принятие решений
в системах организационного управления: использование
расплывчатых категорий. ML: Энергоатомиздат, 1983), в которой
наряду с исследованиями в области нечетких категорий, а также
способами формализации и описанием различных классов
процедур оценки и выбора приводятся примеры практического
приложения теории нечетких множеств к управлению в
системах, в основном организационного характера.
Значительный интерес у специалистов вызвала книга под
редакцией Д. А. Поспелова (Нечеткие множества в моделях
управления и искусственного интеллекта. М.: Наука, 1986),
носящая справочный характер, имеющая особую ценность
благодаря своей обширной библиографии и отличающаяся
широтой затрагиваемых вопросов и системностью изложения.
Однако в настоящее время отсутствуют книги, в которых
были бы даны методы и принципы управления производством
в условиях нечеткости, обобщен опыт их разработки и
внедрения в промышленности.
Основная цель настоящей книги — в определенной степени
восполнить этот пробел и дать инженерам и научным
работникам систематизированное изложение теории и прикладных
методов ТНМ для решения практических задач управления
производством.
В книге обобщен материал ряда исследований авторов
в области развития теории нечетких множеств и ее приложений
к управлению промышленными объектами в условиях
АСУ и ГАП.
Отзывы, замечания и предложения по совершенствованию
содержания книги просим направлять по адресу: 113114,
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10. Энергоатомиздат.
Авторы

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
1.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Прежде чем приступить к изложению материала, следует
дать основные определения операций, принятых в теории
нечетких множеств, представленные, главным образом, в [1 —
5], а также описание и определение операций, предложенных
в последнее время М. Мицумото [6—8].
В главу включены лишь те определения и операции над
нечеткими множествами, которые могут облегчить читателю
понимание содержания следующих глав.
Под понятием множество понимают совокупность
элементов, обладающих некоторым общим свойством. При этом
любой элемент заранее аксиоматически либо принадлежит
данному множеству, либо не принадлежит. Однако, как
показала практика прикладных исследований, подобный
«булев» принцип в подавляющем большинстве случаев не отвечает
процессам, протекающим в реальных сложных системах, т. е.
приводит к неоправданной идеализации математического
описания таких систем. Иными словами, язык обычных множеств
оказывается недостаточно гибким для формализации элементов
неопределенности, присущих реальным системам.
Понятие нечеткого множества основывается на
предположении о том, что любой элемент лишь в некоторой степени
принадлежит данному множеству, поэтому одним из основных
способов математического описания нечеткого множества
является определение степени такой принадлежности некоторым
числом, например из интервала [0, 1 ]. При этом границы
интервала, т\ е. 1 и 0, означают, соответственно, «принадлежит»
и «не принадлежит».
Определение 1.1. Пусть U—некоторое множество (в
обычном смысле) элементов. Нечетким множеством А ^ U
называют совокупность пар вида (и, \iA(u)), где ие U: \iA(u): U-+ [О,
1] (иногда iiA(u): U-+L,— структура типа решетки) — функция,
которую называют функцией принадлежности (ФП).
Обычные множества составляют подкласс класса нечетких
множеств, т. е. функцией принадлежности обычного множества
В a U является характеристическая функция

t, если we В;
), если иёВ.
Нечеткое множество называют пустым, если его функция
принадлежности равна нулю на всем множестве U, т. е.
Универсальное множество С/ можно описать функцией
принадлежности вида
Носителем нечеткого множества Л (supp^) с функцией
принадлежности \ьА{и) называют множество вида
Нечеткое множество А называют нормальным, если
выполняется равенство
sup)i^(w)=l, т.е. верхняя граница его функции принад-
ueU
лежности равна 1.
В противном случае нечеткое множество называют
субнормальным. Нечетким синглтоном называют нечеткое
множество, носителем которого является единственная точка из
множества U, т. е. любое нечеткое множество А можно
рассматривать как объединение составляюищх его одноточечных
множеств синглтонов, которое обозначается в общем случае
A = S\iA(u)/u9 VueU,
и
а при конечном числе элементов суммой
п
= \i1/u1 + \i2/u2+...+\xn/un=
Если функции принадлежности двух нечетких множеств
А и В из U равны, то А и В—равные нечеткие множества,
т.е. если \la(u) = \ib(u), VueU, то А —В.
Над нечеткими множествами выполняются те же операции,
что и над обычными, а также операции, введенные для
использования нечетких множеств в математическом аппарате
принятия решений. Операции над нечеткими множествами,
такие, например, как объединение и пересечение, можно
определить различными способами. Выбор конкретного из
них зависит от специфики решаемой задачи, т. е. от
конкретного смысла, вкладываемого в эти операции.
Объединением нечетких множеств А и В из U называют
нечеткое множество вида
6

и
где \лА(и) v цв(м) = тах(ц
Пересечением нечетких множеств Л и 5 в U называют
нечеткое множество вида
где цА(и)лцв(м) = шт(цА(м), цв(и)), ueU.
Дополнением или отрицанием нечеткого множества А
называют нечеткое множество вида
~\Л^1A-]^Л(и)Iщ ueU.
и
Концентрирование нечеткого множества А из U,
осуществляющее ограничение числа элементов множества,
определяют в виде
CON (Л) A J (iiA(u)J/u9 ueU.
и
Растяжение нечеткого множества А из U, осуществляющее
увеличение числа элементов множества, определяют в виде
О1Ь(Л)А|(цА(и)H.з/11э ueU.
и
Симметрической разностью называют нечеткое множество
вида AVB, имеющее функцию принадлежности
Множеством уровня а нечеткого множества A^U называют
множество в обычном смысле, составленное из элементов
ueU9 степени принадлежности которых нечеткому множеству
А не меньше числа а. Таким образом, если Аа — множество
уровня а нечеткого множества А, то
Можно определить и строгое а-сечение (множество уровня):
Vae[0,l], A~ = {u/ueU, [1А{и)>а}.
Тогда функцию принадлежности можно определить для
произвольного нечеткого множества А с помощью его
a-сечения в виде
Цл(и)= sup min(a, \iA*(u))9
«€[0,1]

где
1, если иеАа;
[О, если ифАл.
Нечеткое множество уровня нечеткого множества А
определяется следующим образом:
Преимуществом этого определения является то, что в
прикладных задачах целесообразно использовать не сами нечеткие
множества, а их множества уровня, что позволяет экономить
время вычисления и память вычислительной машины.
Пусть А и В—произвольные нечеткие множества из U.
Говорят, что А включает в себя В(В^А), если
Когда последнее неравенство строгое, тогда говорят, что
включение строгое. Очевидно, что А = В, если А^В и В^А.
Как будет видно из последующих глав, одним из наиболее
часто встречающихся математических понятий является понятие
нечеткого отношения. Важность этого понятия заключается
в том, что оно позволяет формулировать и анализировать
математические модели реальных задач принятия решений.
При этом нечеткое отношение выступает в качестве некоторой
«меры» или степени, с которой объекты окружающего мира
находятся в данном отношении друг с другом.
Одной из особенностей настоящей книги является
исследование и использование для решения различных
прикладных задач нечетких отношений, выражающих
причинно-следственные связи между объектами и явлениями. Исходя из
специфики рассматриваемых в последующих главах задач,
ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких
отношений, т. е. отношений, связывающих друг с другом два объекта,
элемента и т. п., поэтому бинарное отношение будем называть
просто отношением.
Определение L2. Нечетким отношением R на множестве
U называют нечеткое подмножество декартова произведения
С/ х 17, которое характеризуется функцией принадлежности
\iR: Ux U->[0,l](\xR: Ux U-+L). Значение \iR(u, и) этой функции
понимается как некоторая субъективная мера выполнения
отношения uRu (L—некоторая произвольная решетка).
Очевидно, что, как и в случае нечетких множеств, обычное
отношение можно рассматривать как частный случай нечеткого
отношения, функция принадлежности которого принимает
значения 0 или 1.
Дадим некоторые определения, характеризующие нечеткие
отношения.
8

Носителем нечеткого отношения R на множестве U
называют подмножество декартова произведения UxU вида
suppi? = {(a, v)/(u9v)eUxU9 \iR{u, v)>0}.
. Носитель нечеткого отношения следует понимать как
отношение на множестве U, связывающее все пары {и, v), для
которых степень выполнения данного нечеткого отношения
не равна нулю.
По аналогии с нечеткими множествами определяется и
множество уровня нечеткого отношения, т. е.
*. = {(«, v)/(u,v)eUxU, \ir(u,v)>ol}.
Перейдем к рассмотрению операций над нечеткими
отношениями, некоторые из которых являются аналогами
операций над нечеткими множествами, а некоторые присущи
только нечетким отношениям.
Пересечением нечетких отношений Р и Q на UxU называют
нечеткое отношение Pf]Q, определяемое функцией
принадлежности
\Lpoq(u9 v) = \ip(u, v) a\iq(u9 v) = mn{iiP(u9 v), \LQ(u, v)}9
Vn, veUxU.
Объединением нечетких отношений Р и Q на U x U называют
нечеткое бинарное отношение P(jQ, определяемое функцией
принадлежности
V-puq(u> v) = \ip(u, v) a\iq(u, t?) = max{|ip(M, v), \iQ(u, v)}9
Vi/, veUxU.
Дополнением нечеткого отношения R<=: UxU называют
отношение R с фуркцией принадлежности
\iR(u9v)=l-\xR(u9v)9 Vw, veUxU.
Обратным отношением к отношению R называют
отношение R ~l с функцией принадлежности
\xR-i(u9 v) = [iR(v9 и), V^9 veUxU.
Очевидно, что матрица R ~l является транспонированной
к матрице R.
Важное значение в прикладных задачах, рассматриваемых
в последующих главах, имеет произведение, или композиция,
нечетких отношений. В отличие от обычных отношений
произведение (композицию) можно определить различными
способами. Приведем некоторые из наиболее часто
употребляемых определений этой операции.
Максиминной композицией двух отношений Р и Q из UxU
называют отношение с функцией принадлежности вида
9

^P(w, i?), \lq(v, w)}.
UgU
Минимаксной композицией двух нечетких отношений Р и Q из
UxU называют отношение с функцией принадлежности вида
Vpoq{u-> w)=inf max{\iP(u, v), \iQ{v, w)}.
veU
Макси-мультипликативной композицией двух нечетких
отношений Р и Q из Ux U называют отношение с функцией
принадлежности вида
H*oe(w> w) = sup{|iP(w, v)x\iQ(v, w)}.
veU
Макси О композицией двух нечетких отношений Р и Q из
Ux V называют отношение с функцией принадлежности вида
\iPnQ(u, w) = sup{цР(и, 17)Оцс(^ w)}.
ret/
1.2. ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ И НЕЧЕТКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
Прикладные исследования последних лет показали, что
обычные методы анализа систем и моделирования на ЭВМ,
основанные на точной обработке численных данных, по
существу не способны охватить огромную сложность реальных
технологических процессов. Это обстоятельство приводит к
тому, что для получения существенных выводов о поведении
последних приходится отказаться от традиционных требований
к точности измерений, которые были необходимы при
математическом анализе четко определенных механистических систем.
Необходимость жертвовать точностью и
детерминированностью диктуется также появлением определенных классов
задач управления, связанных с принятием решений оператором
в контуре «человек — ЭВМ». Осуществление диалога в таком
контуре немыслимо без использования языков, близких к
естественному, способных описывать нечеткие категории,
приближенные к человеческим понятиям и представлениям. В этой
связи целесообразно использовать понятия лингвистической
переменной, введенной впервые Л. Заде [1 ]. Подобные
лингвистические переменные позволяют адекватно отразить
приблизительное словесное описание предметов и явлений в том
случае, когда точное детерминированное описание отсутствует.
При этом следует учесть, что многие нечеткие категории,
описанные лингвистически, зачастую не менее информативны,
чем точное описание.
В качестве примера конкретная фраза «Ивану 25 лет»
может быть изображена приблизительно фразой «Иван молод».
В этом смысле слово молодой можно рассматривать как
10

лингвистическое значение переменной возраст, имея в виду
при этом, что лингвистическое значение играет такую же
роль, как и численное значение 25. То же самое можно
сказать о лингвистических значениях чрезвычайно молодой,
чуть старше, чем молодой, почти среднего возраста и т. д.,
если их сопоставить с численными значениями 17, 24, 31.
Совокупность значения лингвистической переменной
составляет терм- множество этой переменной. Это множество может
иметь, вообще говоря, бесконечное число элементов, но на
практике, естественно, оно конечно. Например, терм-множество
лингвистической переменной возраст можно записать так:
Т {возраст) = чрезвычайно молодой + почти молодой +
молодой + ... + почти среднего возраста + среднего возрастав... +
старый + чуть старше, чем старый-{-чрезвычайно старый.
Знак « + » обозначает здесь объединение. Отметим, что
в случае лингвистической переменной возраст числовая
переменная возраст, например, принимающая значения 17, 24, 31,
38,..., 94, является так называемой базовой переменной
лингвистической переменной возраста. При этом такое, например,
лингвистическое значение, как старый, можно интерпретировать
как название некоторого нечеткого ограничения на значения
базовой переменной. Именно это ограничение считаем смыслом
лингвистического значения старый.
Нечеткое ограничение на значения базовой переменной
характеризуется функцией совместности, которая каждому
значению базовой переменной ставит в соответствие число
из интервала [0,1], символизирующее совместность этого
значения с нечетким ограничением. Отметим, что
математически и концептуально функция совместности идентична введенной
выше функции принадлежности.
Если X—название нечеткой переменной, то ограничение,
обусловленное этим названием, можно интерпретировать как
смысл нечеткой переменной X. Так, если ограничение,
обусловленное значением старый нечеткой переменной возраст,
представляет собой нечеткое подмножество множества
«7= [17,94] вида
94
R {старый) —
17
то это нечеткое множество можно считать смыслом переменной
старый.
Другой важный аспект понятия лингвистической переменной
состоит в том, что лингвистической переменной соответствуют
Два правила: синтаксическое, которое может быть задано
в форме грамматики, порождающей названия значений
и

переменной, и семантическое, которое определяет
алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.
Таким образом, эти правила составляют существенную часть
описания структуры лингвистической переменной.
Обсуждение понятия лингвистической переменной носило
предварительный характер, а поэтому и неформальный. Для
математической формализации этого понятия необходимо дать
некоторые определения и пояснения, связанные с понятиями
переменной и нечеткой переменной. В этой связи дадим:
Определение 1.3. Обычная (не нечеткая) переменная [5]
характеризуется тройкой (X, U, R(X; м)), где X—название
переменной; U—универсальное множество (конечное или
бесконечное); и— общее название (единое для всех элементов)
элементов множества U: R(X; и)— подмножество множества
(У, представляющее собой ограничение на значения элементов
t/, обусловленное названием X.
Кроме того, переменной соответствует уравнение назначения
х = и: R(X; и), или, что эквивалентно
х = м, ueR(X, и).
Это уравнение отражает тот факт, что переменной х
назначено значение и с учетом ограничения R(X9 и). Таким
образом, уравнение назначения удовлетворяется тогда и только
тогда, когда ueR(X; и).
Сказанное можно проиллюстрировать на примере той же
переменной возраст. Здесь в качестве U можно взять множество
целых чисел 0, 1, 2, 3,..., a R(X; и) может быть подмножеством
17, 24, 31,..., 94.
Определение 1.4, Нечеткая переменная [5] характеризуется
тройкой (X, С/, R(X, м)), где X—название переменной;
R(X; и) — нечеткое подмножество множества С/,
представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменных м,
обусловленное U. Неограниченная обычная (не нечеткая)
переменная и является для X базовой.
Уравнение назначения для X имеет вид
x=-u:R(X; и)
и отражает то, что элементу х назначается значение и с учетом
ограничения R(X; и).
Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство,
принято называть совместимостью значения и с R(X; и)
и обозначать ее через С (и). По определению
где \iR(x u)(u)—степень принадлежности и ограничению R(X; и).
Дав определение понятиям переменных обычной и нечеткой,
перейдем к формализованному определению лингвистической
12

переменной, являющейся переменной более высокого порядка.
В этой связи дадим приведенное ниже определение.
Определение 7.5. Лингвистическая переменная [5]
характеризуется набором (х, Т(х), U, G, М), где: х—название
переменной; Т(х) — обозначает терм-множество переменной х9
т. е. множество названий лингвистических значений переменной
х, причем каждое из таких значений является переменной
X со значениями из универсального множества U с базовой
переменной и; G — синтаксическое правило (имеющее обычно
форму грамматики), порождающее названия X значений
переменной х\ М—семантическое правило, которое ставит в
соответствие каждой нечеткой переменной X ее смысл М(Х), т. е.
нечеткое подмножество М(Х) универсального множества U.
Конкретное название X, порожденное синтаксическим
правилом G, называют термом. Терм, состоящий из одного
или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг
с другом, называют атомарным термом. Терм, состоящий
из одного или более атомарных термов, называют составным
термом. Конкатенация некоторых компонент составного
терма (т. е. результат приписывания друг к другу цепочек-
компонент составного терма) является подтермом. Здесь
Xх, Х2, • • • — термы в
Т=ХХ+Х2 + ...
Смысл М(Х) терма X определяется как ограничение
R{X\ и) на базовую переменную и, обусловленное нечеткой
переменной X:
M(X)bR(X\ и), A.1)
причем имеется в виду, что R(X; и) и, следовательно, М(Х)
можно рассматривать как нечеткое подмножество множества
?/, имеющее название X.
Уравнение назначения в случае лингвистической переменной
принимает вид
Х-терм в Г(х)-название, порожденное грамматикой G,
откуда следует, что смысл, назначенный терму X, выражается
равенством
М(^) = 7?(герм в Т(х)). A.2)
Другими словами, смысл терма X получается путем
применения семантического правила М к значению терма X,
назначенному согласно правой части уравнения A.2). Более
того, из A.1) следует, что М{Х) идентично ограничению,
обусловленному термом X.
Следует отметить, что число элементов в Т(х) может
быть бесконечным, и тогда как для порождения элементов
13

множества Т(х), так и для вычисления их смысла необходимо
применять алгоритм, а не просто процедуру просмотра
элементов терм-множества.
Будем говорить, что лингвистическая переменная х
структурирована, если ее терм-множество Т(х) и функцию М, которая ставит
в соответствие каждому элементу терм-множества его смысл,
можно задать алгоритмически. Из этих соображений
синтаксическое и семантическое правила, связанные со структурированной
лингвистической переменной, можно рассматривать как
алгоритмические процедуры для порождения элементов множества Т(х)
и вычисления смысла каждого терма в Т(х) соответственно.
Однако на практике чаще приходится сталкиваться с терм-
множествами, состоящими из небольшого числа термов, так
что целесообразно просто перечислить элементы
терм-множества Т(х) и установить прямое соответствие между каждым
элементом и его смыслом.
1.3. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
Согласно одному из самых распространенных определений,
логика есть анализ методов рассуждений. Изучая эти методы,
логика интересуется в первую очередь формой, а не
содержанием доводов в том или ином рассуждении. Истинность
или ложность отдельных посылок или заключений не
интересует логику. Ее интересует лишь, вытекает ли истинность
заключения из истинности посылок. Систематическая
формализация и каталогизация правильных способов рассуждений —
одна из основных задач логики.
В логике из простых высказываний путем соединения их
различными способами можно составить новые, более сложные
высказывания. В дальнейшем мы будем рассматривать одни
только истинностно-функциональные комбинации, в которых
истинность или ложность новых высказываний определяется
истинностью или ложностью составляющих высказываний.
Одной из простейших операций над высказываниями
является отрицание. Например, если А есть высказывание, то
отрицание А обозначается ~]А и читается «не А».
Другой истинностно-функциональной операцией над
высказываниями является конъюнкция И, которая обозначается
А&В. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда
истинны оба высказывания А.и В. Высказывания А и В
называют конъюнктивными членами конъюнкции А&В.
Операция дизъюнкции над высказываниями А и В
соответствует связке ИЛИ и обозначается A v В. В обычном языке
связка ИЛИ употребляется в двух различных смыслах:
разделительном и соединительном. В операции дизъюнкции связка
ИЛИ имеет соединительный смысл.
14

Следующей важной истинностно-функциональной операцией
является следование: ЕСЛИ А ТО В. Это высказывание ложно,
когда посылка А истинна, а заключение В ложно. Обозначение
высказывания ЕСЛИ А ТО В следующее: Azd В. Это выражение
называют импликацией.
Выражение «А тогда и только тогда, когда 5» обычно
обозначается через А==В. Такое выражение называют
эквивалентностью. Очевидно, А = В истинно тогда и только
тогда, когда А и В имеют одно и то же истинностное значение.
Ниже приведена таблица истинности для всех этих операций
над высказываниями:
А
И
Л
и
л
в
и
и
л
л
-1А
Л
и
л
и
А&В
И
Л
л
л
A v В
И
и
и
л
AzdB
и
и
л
и
А = В
и
л
л
и
Символы ~1, &, v, =э, = называют пропозициональными
связками. Всякое высказывание, построенное при помощи этих
связок, имеет некоторое истинностное значение, зависящее от
истинности значений составляющих высказываний.
Пропозициональной формой называют выражение, построенное из
пропозициональных букв А, В, С и т. д., с помощью
пропозициональных связок.
Всякая пропозициональная форма определяет некоторую
истинностную функцию, которая графически может быть
представлена истинностной таблицей для этой
пропозициональной формы. Истинностной функцией от п аргументов
называют всякую функцию от п аргументов, принимающую
истинностные значения И (истина) и Л (ложь), если аргументы
ее пробегают те же значения.
Пропозициональную форму, которая истинна независимо от
того, какие значения принимают встречающиеся в ней
пропозициональные буквы, называют тавтологией. Пропозициональная форма
является тавтологией тогда и только тогда, когда
соответствующая истинностная функция принимает только значение И.
Например, следующие предложения являются
пропозициональными тавтологиями:
1) ~](А&~]А) — закон отрицания противоречия;
2) ((A v В) ->(~\А -> В)) — выражение дизъюнкции через
отрицание и импликацию;
3) (((А-+В)&А)->В).
В свою очередь, пропозициональную форму, которая
ложна при всех возможных истинностных значениях ее
15

пропозициональных букв, называют противоречием, например
пропозициональная форма (А=~]А) или (А&(~]А)).
Следует отметить, что импликация имеет следующее важное
свойство, называемое правилом отделения {modus-ponens): ЕСЛИ
{А -»В) истинно и А истинно ТО В истинно. Иначе это правило
называют первой формой гипотетического силлогизма. Под
силлогизмом подразумевается дедуктивное умозаключение, в
котором одно суждение является необходимым следствием двух
других. Это свойство, как указывалось выше, играет важную
роль при моделировании сложных технологических процессов.
До сих пор рассматривали бинарную (булеву) логику.
Теперь перейдем к логике с многими значениями.
Пространством истинности в этой логике является действительный
интервал [0, 1]. Эта логика, называемая многозначной или
нечеткой, основывается на теории нечетких множеств.
Определим семантическую функцию истинности этой многозначной
логики. Пусть Р является высказыванием, a v(P)— его
значением истинности, при этом v(P)e [О, 1].
Значение отрицания для высказывания Р определяется так:
v(~lP)=l-v(P). Следовательно, v(i~]P) = v(P).
Связка-импликация -у всегда определяется следующим
образом:
а эквивалентность
Отметим, что разделительная дизъюнкция ех, дизъюнкция
отрицаний или связка Шеффера /, конъюнкция отрицаний
I и ~-> (не имеет общего названия) определяются как отрицание
эквивалентности <->, конъюнкции л, дизъюнкции v и
импликации -> соответственно. Тавтология и противоречие
соответственно будут:
v(P) = v(Pv IP); v(P) = v{Pa -IP).
Более обобщенно:
v(PQ) = v{{Pv -lP)v{Qv ne)); v(Pq) = v{(Pa iP)a(Qa -]Q)).
Определим основные связки нечеткой логики в двух
наиболее часто встречающихся^ теориях нечетких множеств.
Логика, основанная на ф{х\ (J, П> —)• В этом случае
дизъюнкцию и конъюнкцию определяют так:
i;(Pve) = max(i;(P), v(Q)); v{Pa Q) = min(v{P), v{Q)).
Ясно, что v и л —коммутативные, ассоциативные, идем-
потентные, дистрибутивные и не удовлетворяют закону
исключения третьего, т.е. v(Pv 1Р)^\ и v(Pa ~|-P)#0, но
удовлетворяют закону поглощения
16

(v((P)v(PaQ))) = v(P); (v,((P)a(PvQ)))
а также законам Де-Моргана:
Эквивалентность определяется как
Закон исключения дизъюнкции
Ниже приведены выражения для 16 связок:
PQ
РЯ
РЯ
РЯ
РЯ
PQ
РЯ
PQ
max (/?,
1 -Р, Я>
max A —/7,
Я)
P/Q
тахA—/7,
\-я)
-IP
1-/7
PvQ
тах(/?, q)
Q
я
pexQ
max (min A— p, q)
pQmm(p, \-q))
min(l—/7, q)
max(/>, 1—#)
min (maxA— p, q),
max(/>, 1-?))
ne
l-q
PIQ
min(l —/7, l—q)
P
P
PaQ
min(/7, q)
min(/?, l—q)
PQ
min (p, 1 —/7, #,
Здесь полагается, что v{P)=p и v(Q) = q.
Кванторы в высказываниях будут:
vCxP(x)) = sup(v{P{x))); vDxP(x)) = mf
X X
где х — элемент области рассуждения.
Многозначную логику, основанную на (^(х), (J, f], — ),
обычно называют К -стандартной последовательной логикой.
В этой логике связки удовлетворяют следующим свойствам:
импликация v [P^(Q^R)] = v [(PaQ)^R];
тавтология и противоречие
(PP) (P) (PP)
)
связки Шеффера и Пирса
v{iP) = v{P!P); v(P^Q) = v(P/{Q/Q)); v{P) = v{P/(P/P)).
В [11] показано, что многозначная логика является
размытием (в смысле нечеткости) стандартного исчисления
2 Заказ 2056 17

высказываний (в смысле принципа расширения). В этой
логике каждому высказыванию Р ставится в соответствие
нормализованное нечеткое множество в [0,1], т.е. пара
{Мт> @), \lp A)} интерпретируется как степень ложности
и степень истинности соответственно. Так как логические
связки стандартного исчисления высказываний являются
функционалами истинности, т. е. представляются в виде функций,
то их можно размыть. Следует отметить, что впервые
данная логика была предложена независимо Клиином и Дай-
несом.
Логика, основанная на (&(х), Q, П> —)• В этом случае
дизъюнкция и конъюнкция определяются так:
v{PvQ) = min(l, v(P) + v{Q)); v(РлQ) = max@, v(P) + v(Q)- 1).
Ясно, что v и л —коммутативные, ассоциативные, не
идемпотентные, недистрибутивные и удовлетворяют закону
закону Де-Моргана:
а также закону исключения третьего
v(PviP)=l, v(Pa~\P) = 0.
Ниже заданы оценки 16 связок:
PQ
РЧ
PQ
РЧ
PQ
РЧ
PQ
РЧ
PQ
1
min(l, \—p + q)
P\\Q
min(l, \-p+\-q)
~\P
\-p
PvQ
min(l, p + q)
Q
ч
PexQ
\P~4\
max(O, q—p)
min(l, p+\—q)
PoQ
\-\p-q\
ne
\-q
PUQ
max(O, l—p — q)
P
P
PaQ
max(O, p + q— 1)
max @, p — q)
PQ
0
Здесь v, ->, <->, л, /, ex, —>, | обозначаются соответственно
через v, =>, о, л, ||, ех, ^>, Ц. Тавтология и противоречие
удовлетворяют следующим свойствам:
В обозначениях Заде импликация => соответствует обычному
включению нечетких множеств, ех и «> соответствуют
симметрической А и ограниченной || разностям. Данная логика
была известна под названием логики Лукасевича )
18

Следует отметить, что две теории нечетких множеств
и построенные на их основе логики не являются единственными
известными на сегодняшний день. В этой связи целесообразно
дать семантический анализ основных известных многозначных
логик и начать его следует с изложения сведений из теории
нечетких «сильных» множеств, необходимых для формализации
некоторых операций над нечеткими множествами, которые
необходимы для проведения семантического анализа таких логик.
Пусть А и В являются нечеткими подмножествами четкого
универсума U; стало традиционным считать в теории нечетких
множеств, что А является подмножеством В тогда и только
тогда, когда \iA^\лв, т.е. VxeU, \iAх<цвх.
Определение 1.6. Если дан [12] нечеткий оператор
импликации -> и нечеткое множество В из универсума U, то
нечеткое «сильное» множество 0>В из В задается функцией
принадлежности \х,#в вида
= Л {\iax->\lbx).
Тогда степень, с которой А является подмножеством В, есть
Впервые это понятие введено А. Н. Мелиховым и JL С. Бер-
штейном в книге «Расплывчатая логика — основа построения
вычислительных структур для обработки расплывчатой
информации // Однородные цифровые вычислительные и
интегрирующие структуры (Таганрог: ТРТИ, 1978. Вып. IX).
Определение 1.7. Если дан [12] нечеткий оператор
импликации -> на замкнутом единичном интервале [0, 1], то
a<r- b = b -> а
а4г+Ь = (а -> Ь)л(а<г- Ь) = (а -*Ь)л(Ь ~+ а).
Определение 1.8. При условиях определения 1.6 степень,
с которой нечеткие множества А и В эквивалентны, или
степень их «эквивалентности», имеет вид
к(А =В)= A (i
xeU
В [12] было показано, что для практических целей,
в большинстве случаев, целесообразно работать с
многозначными логиками, в которых логические переменные принимают
значения из действительного интервала /= [0, 1 ], разбивая
его на 10 подынтервалов, т.е. используя множество Кп = [0,
0, 1, 0, 2, ...,1}.
Операции импликации в анализируемых логиках,
представленные в [13], имеют следующий вид:
19

a-+b =
1) S* -логика:
[1, если а^\ или 6=1;
[О в противном случае;
2) S -логика («стандартная последовательность»):
1, если а^Ь;
[О в противном случае;
3) G-логика («Геделинанская последовательность»):
fl, если
[о в противном случае;
4) ?43-логика:
аОАгЪ-+Ъ = тт(\, b/а) при я = 0, aG43-^*=l;
5) L-логика, или уже обсуждавшаяся логика Лукасевича:
tfL-»6 = min(l, I— a+b)\
6) XD-логика, показанная выше:
aKD->b = A — a)v b = max A — a, 6).
В свою очередь, Zx— Z3^oraKH, которые будут
использованы в дальнейших главах данной книги, характеризуются
следующими операциями импликации [14]:
7) Zx -логика:
Г1—а, если а<Ь;
ах->Ь=< 1, если а = Ъ\
1д ?если а>Ъ\
8) Z
>? =
если
— а)лЬ, если
9) Zs-логика:
а3^>Ь =
1, если
— 6I в противном случае.
Операции импликации удобно изображать в виде таблиц
импликативных переходов для одиннадцатизначных логик.
Такая таблица для 5* -логики имеет следующий вид (по
горизонтали над чертой откладываются значения выходной
логической посылки, по вертикали—значения истинности
входной):
20

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
¦
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Т
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
G
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
G43
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
1
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
1 1
1 1
1 1
: 1
) 0
) 0,1
1
) 1
) 0
) 0
) 0
) 0
) 0
) 0
) 0
) 0
) 0
) 0,1
1
) 1
) 0,
) 0,
) 0,
) о,
> о,
) 0,
> о,
) 0,
) 0,
1 0,1
1 1
1
0,5
0,33
0,25
0,2
0,17
0,14
0,13
0,11
0,1
0
0,2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0,2
1
1
1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
1
1
1
0,67
0,5
0,4
0,33
0,29
0,25
0,22
о,:
>
0
0,3
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0,3
1
1
1
1
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
1
1
1
1
0,75
0,6
0,5
0,43
0,38
0,33
о,:
j
1
0
0,4 С
0
0
0
0
0
0
0,4 0
0,4 1
0,4 0
0,4 0
0
0
0
,5 0,6 0,7 (
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
,5 0,6 0,7 С
,5 1
,5 0
,6 1
;
0,4 0,5 0,6 0,7 1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0 (
),8 0,9
1
1
0
0
1
1
1
1
0
),8 0,9
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1
0,4 0,5 0,6 0
0,4 0
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
0,8 1
0,67 0,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,7 0,8 0,9 1
,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
83 1
0,57 0,71 0,
0,5 0,63 0,
0,44 0,
0,4 0,
1
1
86 1
75 0,88 1
1
1
56 0,67 0,78 0,89 1
1
1
1
1
1
1
:
i
5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1
1
1
1
1
1
i
[
1
)
i
i
i
:
1
1
[
21

ON
о"
oo
о"
о"
о"
го
о"
о"
Os On On On on on On on on on
Onoooooooooooooooooo
ON 00 Г-VO 1Л Tt fO M --<
t<N

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
0,1
0,2
о,з -
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
1 1
1/11 1
1
1 1
1 1
1 1
1/12 2/11 1 1 1
1/13 1/6 3/11 1 1
1/14 2/13 1/4 4/11 1
1/15 1/7 3/13 1/3 5/11 1
1/16 2/15 3/14 4/13 5/12 6/11
1/17 1/8 1/5 2/7 5/13 1/2 7/11 1
1/18 2/17 3/16 4/15 5/14 6/13 7/12 8/11
1/19 1/9 3/17 1/4 1/3 3/7 7/13 2/3
1
9/11
Запишем аналитические выражения определения
операции двойной импликации для предложенных нечетких логик
fl—ка, если a<b\
а<г->Ь=1 i9 если a = b;
Ll— kb, если a>b;
Г1, если я = 6;
я <-> 6 = < min [(~| a a b\ (пбла)] в остальных случаях;
2 LO, если (ka=l)v(kb=l);
1, если a — b\
.fa b \
mm I ; I в остальных случаях;
О, если (# = 0) vF = 0),
где Ла = max (a, 1 — а) (см. определение 1.11).
Определение 1.9. Верхом нечеткого множества В называют
hB= v [1вхт-
и
Определение 1.10. Низом нечеткого множества В называют
рВ= a \iBx.
Определение 1.11. Четкостью некоторого aeV называют
выражение вида ka = a v A — а).
Четкость нечеткого множества В определяется как
kB= a k\iBx.
Дадим краткий семантический анализ предложенных
нечетких логик, пользуясь при этом терминологией, принятой
в теории сильных нечетких множеств. Для этой цели
сформулируем следующее.
23

Предложение 1.1 (степень возможности включения
множеств). Определим функции вида щ (А ^В) в нечетких логиках 1—3.
1. п1(А^В)=< 1,
2.
3.
если \iAx<\iBx\
если
если
1, если
, если
Отметим, что для нечеткой логики Zt четкое включение
возможно, если [хАх = 0, или А = 0. Далее рассмотрим вопрос
эквивалентности множеств.
Предложение 1.2 (степень возможности эквивалентности
множеств). Здесь множество Т= {х е U/\iАх ф рвх} и А = В
означает, что Ух \^ах — \^вх-, или> иными словами, Т=0.
1-[A-\Lax)vilax]9 если \iAx<\iBx\
1, если \iAx = \iBx\
l-[(l-\iBx)vyLBx], если \iAx>\iBx;
1, если А = В;
л{[A-|1лх)л|ивх], [A-цвл:)л^х]}, если АфВ;
О, если ЗхIII\iAx — Q, \ьвхФ§ (или наоборот),
а также Зх|||цх=1, \1вхФ\ (или наоборот);
1.
2.п2(А = В) =
3.
1, если А = В;
\1ВХ
в противном случае;
О, если ЗхШ\iAx = 0, но \1вхф0.
(или наоборот)
Символ III означает «такой как».
Из выражений п{ [А = В) следует, что для всех трех нечетких
логик возможность эквивалентности п1(А = В)=\ имеет место
только при действительной эквивалентности множеств, т. е.
А = В. Очевиден также и тот факт, что возможность
эквивалентности равна 0 в тех случаях, когда одно из
высказываний четко, т. е. либо истинно, либо ложно, а другое нечетко.
24

Предложение 1.3 (степень, с которой нечеткое множество
g пусто). В описании В = 0 означает, что \/x\iBx = 0 или
эквивалентно hB = 0.
[, если В=0;
[О в противном случае;
1, если hB<\ или В = 0;
) в противном случае;
1, если В=0;
) в противном случае.
Введем понятие несовместности (Disjointness) нечетких
множеств. Существует два вида «несовместности»: первый вид
определяется степенью, с которой одно множество А является
подмножеством дополнения второго Вс; второй вид—степень, с которой
пересечение множеств пусто, поэтому сформулируем следующее.
Предложение 1.4 (степень несовместности множеств
А и В есть степень, с которой А и В несовместны).
9 A.3)
A.4)
При T={x\\iAx>\— \iBx} рассмотрим несовместность первого
вида:
Г1, если 3x\\\[iAx=l—\iBx;
1. п1(А dis]xB) = < A — \iAx) л A — \iBx) в остальных случаях;
16 никогда;
, если |1лх<1— [iBx;
т К1"-^*)' A-Рвх)] в остальных случаях;
2 п (Adis В)-\
'О, если 3jcMI|x>4jc= 1, но
или [iBx= 1, но
1, если \iAx = [iBx или
Лг
т
в противном случае;
О никогда.
Отметим, что степень несовместности множеств равна
О только для нечеткой логики Z2, при этом обязательным
условием является нормальность одного из рассматриваемых
нечетких множеств при одновременной субнормальности другого.
25

Предложение 1.5 (степень, с которой множество является
подмножеством своего дополнения). Для рассматриваемых
систем пг(А^Ас) будет иметь следующий вид:
Г1, если /ь4=0;
1. пх{АЯ:А?)=< О, если hA = l;
ll — НА в остальных случаях;
Г1, если hA ^0,5;
2.п2(А^Ас)=<0, если /ь4 = 1;
L1 — hA в остальных случаях;
П, если /l4^0,5;
3. л3(ЛсЛс)=< 0, если /l4 = 1;
1A— hA)/BhAj в остальных случаях.
Очевидно, что для нечеткой логики Zx степень, с которой
множество является подмножеством своего дополнения, равна
степени, с которой это множество является пустым. Следует
также отметить, что семантический анализ, проведенный в [14],
а также анализ, проделанный выше, показывает большую
схожесть в свойствах нечетких логик Zx и KD. Однако, как
будет показано ниже, нечеткая логика Zx по сравнению
с KD'JIOtvlkou имеет ряд преимуществ, позволяющих успешно
ее использовать при формализации улучшенных правил
нечеткого условного вывода и для моделирования различных
технологических процессов.
Глава 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ
В НЕЧЕТКОЙ СРЕДЕ
2.1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ
Одной из важнейших проблем, от решения которой, в
конечном счете, зависит эффективность управления современными
технологическими объектами (ТО), является построение
эффективной математической модели. При этом основным при
конструировании такой модели является выяснение того,
насколько полученная модель адекватна реальности. Как
известно, отсутствие достаточного количества статистической
информации о функционировании ТО, необходимость учета
26

при построении модели огромного числа внутренних
взаимосвязей между элементами реальных технологических систем
приводит, зачастую, при применении детерминированной
математики к неоправданной идеализации ТО. Поэтому, как
правило, для полученных традиционным путем моделей ТО
характерна низкая эффективность управления ими.
В этой связи целью данной главы является ознакомление
с некоторыми методами построения нечетких моделей. Не
претендуя на широту охвата всего спектра существующих
подходов к решению данной проблемы, излагаем два из них.
Первый основывается на построении статических моделей
объектов с нечеткими коэффициентами методом регрессионного
анализа. Подобный подход был использован при
моделировании для управления рядом технологических установок
нефтеперерабатывающего предприятия и может быть рекомендован
для моделирования некоторых классов ТО.
Более эффективным, на наш взгляд, является использование
при моделировании сложных объектов правил нечеткого
условного вывода общей структуры вида: ЕСЛИ...ТО... ИНАЧЕ...
Преимуществом такого подхода является возможность его
использования при моделировании систем, для которых сбор
статистической информации затруднен или полностью
исключен. В этом случае полученная продукционная модель
является продуктом экспертного опроса технологов-операторов,
оперирующих, как правило, информацией, качественного
характера (своего рода концентрированный опыт), которая тем не
менее позволяет в полученной модели учесть всю гамму
сложных внутренних взаимосвязей ТО. Опыт использования
подобного подхода подтверждает достаточную эффективность
полученных продукционных моделей при управлении
различными ТО как непрерывного, так и дискретного характера,
что указывает на хорошую перспективу данного метода
моделирования.
Следует отметить, что в данной работе не ставилась цель
ознакомить читателя с вопросами методики проведения опроса
экспериментов и обработки полученной качественной
информации. Подробное изложение различных аспектов
формирования и формализации подобной качественной информации
приводится в [10].
2.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
Постановка задачи. Пусть х = (хи ..., хп) — входные
переменные; у—выходная переменная объекта управления. Зададим
Для *,•(/= 1, п) детерминированные значения, а для у— нечеткие,
27

и математическую зависимость между указанными
переменными опишем нечетким уравнением регрессии, параметры
которого не известны,
y=f{xu ..., х2), B.1)
где ~—оператор нечеткости.
Нечетким уравнением называют уравнение, чьи
коэффициенты или переменные являются нечеткими множествами на
/{-множестве действительных чисел.
Предположим, что в результате наблюдения объекта
получено N значений входных (выходных) переменных
(хи, x2i, ..., xnh у{\ которые приведены в табл. 2.1.
Таблица 2
№
1
2
N
1
*и
*12
X1N
х2
*21
х22
X2N
Хп
хп1
ХП2
XnN
У
9i
Уг
Уы
Задачи идентификации этого объекта:
1) выбрать функцию
л
У=/{*и ..., хп, а19 ..., ап)= ^
B.2)
аппроксимирующуюv функцию f(xu ..., хп\ заданную табл. 2.1;
2) определить оценки ее параметров.
Для подобной оценки можно воспользоваться критерием
минимизации отклонения нечетких значений выходного
параметра уь полученных по B.2), от его выборочных нечетких
значений, представленных в табл. 2.1,
J= U (j,|-|AJ-min. B.3)
Здесь | —|—ограниченная разница нечетких чисел,
определяемая по формуле
Метод идентификации. На начальном этапе идентификации
определяющее значение имеет качественный анализ процесса.
Что касается второго этапа, то здесь основным вопросом
является выбор способа оценивания, обеспечивающего
необходимые свойства получаемых объектов.
Рассмотрим математическую модель, представленную в виде
нечеткого уравнения множественной регрессии:
28

B.5)
Задача оценивания параметров уравнения B.5) заключается
в определении коэффициентов й,-(/=0, п), удовлетворяющих
условию B.4).
Выражение y—f(xu ..., jcn, 5Ь ..., ап) представляет собой
многомерную функцию с нечеткими переменными. Если учесть
это в B.4), то
•7= U_(#l4/(*b •••> **> йь .», 5„)J-ишп. B.6)
Иными словами, задача оценивания параметров уравнения
регрессии B.5) сводится к минимизации многомерной функции
B.6) с нечеткими переменными.
Предположим, что нечеткие коэффициенты #,(/ = 0, п)
являются нормальными нечеткими множествами на R:
dt= U ца|(а«)/а,.
Определим а-уровневые множества нечетких коэффициентов щ:
где ае [0, 1 ].
Тогда для каждого уровня
а:{ао = 0, аь ..., а,, ..., ар=1}
можно написать уравнение множественной регрессии B.5):
B7)
Уравнения B.7) являются обыкновенными уравнениями
множественной регрессии, представляющими собой
корреляционную связь между многими величинами на уровнях а,. Для
оценивания нечетких коэффициентов а0, аъ ..., ап достаточно
определить такие коэффициенты а%>, а\\ ..., a*j, j=\,p на
каждом уровне о^, которые удовлетворяют условию
4= I (j?^-^^2-^min, y= lTp, B.8)
где
^ = ^ + «?a1+ala2 + ... + a^w.
Наблюдаемые детерминированные значения у** получены
аппроксимацией в табл. 2.1 нечетких значений выходной
переменной у ос-уровневыми нечеткими множествами в соответствии
29

Таблица 2.2
№
1
2
N
1
2
N
1
2
*12
XlN
Хц
*12
X1N
xu
xl2
XIN
x2
*21
*22
X2N
X2l
X22
X2N
X21
x22
X2N
x»
Х„1
Xnl
XnN
Х„1
Х„2
xnN
xni
xn2
XnN
У
yV
yl°
у%°
yV
yV
yV
y\p
yV
с аппроксимацией нечетких коэффициентов й,-(/=0, п)
(табл. 2.2).
Таким образом, исходная задача оценивания нечетких
коэффициентов нечеткого уравнения регрессии B.5) сводится
к классическим задачам оценивания параметров множественной
регрессии B.7).
Пример 2.1. Рассмотрим задачу идентификации нечеткой модели установки
двухступенчатого каталитического крекинга (ДСКК).
Установка ДСКК включает в себя следующие технологические агрегаты:
печь для нагрева сырья; регенератор для восстановления активности
катализатора; реактор каталитического крекинга; ректификационную колонну для
разделения получаемых продуктов; газосепаратор, в котором определяются
продукты крекинга.
Цель каталитического крекинга — получение фракции бензина уи
являющейся компонентом товарных автомобильных бензинов, из более тяжелого
дистиллята — вакуумного отгона, вырабатываемого при вакуумной перегонке.
При каталитическом крекинге образуется значительное количество жидкого
газа у2, используемого в качестве сырья для производства алкилирования.
Оптимальное управление установки ДСКК зависит от оптимизации
режимов каждого агрегата, которые включают в себя управление более 50
режимными параметрами. Однако построить математическую модель
установки ДСКК, содержащую такое большое число переменных, нецелесообразно
из-за ее нереализуемости в реальных условиях (возможности современных
ЭВМ ограниченны). Поэтому для идентификации математической модели
процесса каталитического крекинга были выбраны реакторный и регенератор-
30

ный блоки установки ДСКК, от нормальной работы которых зависит
направление процесса термического крекинга.
Основными возмущающими параметрами, нарушающими нормальный
режим в блоках, являются расход хь плотность х2 и температура х3 сырья.
Основные факторы, влияющие на процесс, это температура в реакторах
I и И ступени jc4, -v5 и температура в середине регенератора х6.
Для получения математической зависимости выходных параметров уи
У2, характеризующих эффективность работы установки от входных параметров
х.(/=ТГб), был проведен пассивный эксперимент. Фрагмент эксперимента
показан в табл. 2.3. Значения температуры в I и II ступени реакторов
соответствуют показаниям температурных датчиков. Значения расхода сырья
и жидкого газа определены с помощью расходомеров. Однако имелись
большие трудности, связанные с отсутствием расходомера для измерения
бензина на выходе из реактора. Получаемый на установке компонент
автобензина смешивается с компонентом автобензина, получаемого на
установке ступенчато-противоточного каталитического крекинга (СПКК), и
подвергается вторичной переработке на установках компаундирования с целью
получения высокооктанового бензина. Автобензин из двух установок за
определенный интервал времени измеряется приборами измерения массы
в резервуарах, поэтому значения параметра ух были получены субъективно
путем опроса технолога-оператора установки при каждом наблюдении. Это
приводило к неопределенности, которая интерпретировалась как нечеткость
в значениях параметра ух. Ниже приведены нечеткие множества, описывающие
эти нечеткие значения выходного параметра ух типа около 104, около 94 и т. д.:
Таблица 2.3
№
п. п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16

Расход
сырья
*i
140
140
109
202
156
156
148
125
133
117
132
125
187
125
125
101

Плотность
сырья
х2
0,8882
0,8882
0,8837
0,8837
0,8837
0,8787
0,8787
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8740
0,8740
0,8740
0,8740

Температура
сырья
*з
273
273
270
270
270
260
260
243
243
243
243
243
252
252
252
252

Температура
в
реакторе
I
ступени
х4
490
490
480
480
480
480
475
485
480
480
485
490
480
485
480
485

Температура
в
реакторе
II
ступени
Xs
500
500
500
495
495
495
490
500 -
500
495
505
505
485
500
490
500

Температура
в

раторах
*6
545
545
650
545
545
555
550
550
560
560
570
545
550
555
550
545

Головка


билизации
У2
36
20
46
30
43
23
37
30
40
27
35
36
20
23
28
46
Бензин
У\
Около 96
Около 106
Около 98
Около 71
Около 100
Около 73
Около 73
Около 84
Около 83
Около 73
Около 104
Около 73
Около 60
Около 120
Около 114
Около 108
31

Продолжение табл. 2.3
№
п. п
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

Расход
сырья
*i
117
101
94
94
94
133
125
133
164
140
156
140
164
140
140
102
133
125
187
156
140
133
117
164

Плотность
сырья
0,8828
0,8828
0,8617
0,8617
0,8617
0,8645
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8693
0,8693
0,8797
0,8797
0,8797
0,8725
0,8725
0,8725

Температура
сырья
*з
280
280
290
290
290
231
232
232
232
232
232
276
276
276
276
276
286
286
190
190
190
162
162
162

Температура
в
реакторе
I
ступени
485
480
490
490
480
485
490
485
490
485
490
490
485
490
490
490
485
480
485
485
485
480
480
480

Температура
в
реакторе
II
ступени
490
485
500
500
485
500
500
495
500
495
500
500
495
500
500
500
495
485
500
495
500
495
495
495

Температура
в

раторах "
*б
570
545
525
530
530
535
540
540
530
520
525
525
525
525
525
550
540
535
545
545
540
555
550
550

Головка


билизации
Уг
34
36
22
23
37
39
30
34
22
46
32
27
24
28
32
29
22
27
24
20
20
21
24
30
Бензин
У\
Около 87
Около 100
Около 87
Около 100
Около 94
Около 81
Около 83
Около 62
Около 66
Около 74
Около 94
Около 108
Около 89
Около 65
Около 123
Около 77
Около 89
Около 79
Около 94
Около 104
Около 79
Около 83
Около 42
Около 73
около 96 = 0,5/92 + 0,8/93+1/96 + 0,8/100 + 0,5/106;
около 106 = 0,5/102 + 0,8/104+ 1/106+0,8/107 + 0,5/109;
около 98 = 0,5/95 + 0,8/97 +1 /98 + 0,8/99 + 0,5/101;
около 71 =0,5/67 + 0,8/70+ 1/71 +0,8/72 + 0,5/75;
около 100 = 0,5/94+0,8/99+1/100 + 0,8/101+0,5/103;
около 73 = 0,5/64 + 0,8/68+ 1/73 + 0,8/76 + 0,5/78;
около 73 = 0,5/64 + 0,8/68 + 1 /73 + 0,8/76 + 0,5/78;
около 84=0,5/82+0,8/83+1/84 + 0,8/85+0,5/86;
около 83 = 0,5/77+0,8/80 + 1 /83 + 0,8/86+0,5/89;
около 73=0,5/64+0,8/68+1/73 + 0,8/76+0,5/78;
около 104=0,5/109 + 0,8/106+1/104 + 0,8/106 + 0,5/109;
около 73 = 0,5/64 + 0,8/68+1/73 + 0,8/76 + 0,5/78;
около 60 = 0,5/57 + 0,8/59+ 1/60 + 0,8/61 +0,5/62;
около 120 = 0,5/115 + 0,8/119+1/120 + 0,8/123 + 0,5/127;
около 114 = 0,5/110 + 0,8/113+1/114 + 0,8/115+0,5/120;
около 108 = 0,5/106 + 0,8/107+1/108 + 0,8/109 + 0,5/110;
около 87 = 0,5/83 + 0,8/85 + 1 /87 + 0,8/89 + 0,5/91;
около 100 = 0,5/94 + 0,8/99+1/100 + 0,8/101+0,5/103;
около 87 = 0,5/83 + 0,8/85 +1 /87 + 0,8/89 + 0,5/91;
около 100 = 0,5/98 + 0,8/99+1/100 + 0,8/101+0,5/102;
около 94 = 0,5/89 + 0,8/90 + 1 /94 + 0,8/98 + 0,5/100;
около 81 =0,5/79+0,8/80+ 1/81 +0,8/82 + 0,5/83;
около 83 = 0,5/70 + 0,8/80+ 1/83 + 0,8/86 + 0,5/89;
32

около 62 = 0,5/60 + 0,8/61 +1/62 + 0,8/63 + 0,5/64;
около 66 = 0,5/64 + 0,8/65+1/66 + 0,8/67 + 0,5/68;
около 74 = 0,5/72 + 0,8/73+1/74 + 0,8/75 + 0,5/76;
около 94 = 0,5/89 + 0,8/90+ 1/94 + 0,8/98 + 0,5/100;
около 108 = 0,5/106 + 0,8/107+1/108+0,8/109 + 0,5/110;
около 89 = 0,5/80 + 0,8/87 +1 /89 + 0,8/90 + 0,5/95;
около 65 = 0,5/63 + 0,8/64+ 1/65 + 0,8/66 + 0,5/67;
около 123 = 0,5/119 + 0,8/120+1/123 + 0,8/125 + 0,5/129;
около 77 = 0,5/75 + 0,8/75 + 1 /77 + 0,8/79 + 0,5/79;
около 89 = 0,5/80 + 0,8/87 + 1 /89 + 0,8/90 + 0,5/95;
около 79 = 0,5/77 + 0,8/78+1/79 + 0,8/80 + 0,5/81;
около 94 = 0,5/89+0,8/90+1 /94+0,8/98 + 0,5/100;
около 104 = 0,5/109 + 0,8/106+1/104 + 0,8/106 + 0,5/109;
около 79 = 0,5/75+0,8/78+ 1/79 + 0,8/80+0,5/85;
около 83 = 0,5/77 + 0,8/80+ 1/83 + 0,8/86 + 0,5/89;
около 42 = 0,5/40+0,8/41+1/42 + 0,8/43 + 0,5/44;
около 73 = 0,5/64+0,8/68 + 1 /73 + 0,8/76 + 0,5/79.
Уравнения регрессии, описывающие процесс, выбраны в следующем виде:
у2 = Ьо + biXi + b2x2 + Ьъхъ + Ь4х4 + Ь5х5 + Ь6х6. B.10)
Для идентификации нечетких коэффициентов 5,-(/=0, 6) используемые
нечеткие множества были разбиты на следующие уровни: а=0,5; 0,8;
1. В соответствии с выбранным уровнем наблюдаемые значения входных
*,•(/= 1, 6) и выходного ух параметров на каждом уровне а;(у =1,3)
представлены в табл. 2.4. Каждая из этих таблиц представляет собой
детерминированную зависимость между входным и выходным параметрами
на уровне а,-. Для идентификации коэффициентов а^(/=0, 6; 7= 1,3) на
каждом уровне а у нечеткое уравнение регрессии B.9) в соответствии
с B.7) переписано в виде
Таблица 2.4
№
Расход
сырья
Плотность
сырья

Температура сырья

Температура в
реакторе
I ступени

Температура в
реакторе
II
ступени

Температура в

генераторе
Бензин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
140
140
109
202
156
156
148
125
133
117
132
125
0,882
0,8882
0,8837
0,8837
0,8837
0,8787
0,8787
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
а
273
273
270
270
270
260
260
243
243
243
243
243
= 0,5
490
490
480
480
480
480
476
485
480
. 480
485
490
500
500
500
495
495
495
490
500
500
495
505
505
545
545
650
545
545
555
550
550
560
560
570
545
(92; 106)
A02; 109)
(95;101)
F7;75)
(94; 103)
F4;78)
F4;78)
(82;86)
G7;89)
F4;78)
A09; 109)
F4;78)
3 Заказ 2056
33

Продолжение табл. 2А
Расход
сырья
Плотность
сырья

Температура сырья

Температура в
реакторе
I ступени

Температура в
реакторе
II
ступени

Температура в

генераторе
Бензин
х2
х4
У\
187
125
125
101
117
101
94
94
94
133
125
133
164
140
156
140
165
140
140
102
133
125
187
156
140
133
117
164
140
140
109
202
156
156
148
125
133
117
132
125
187
125
125
101
а = 0,5
0,8740
0,8740
0,8740
0,8740
0,8828
0,8828
0,8617
0,8617
0,8617
0,8645
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8693
0,8693
0,8797
0,8787
0,8797
0,8725
0,8725
0,8725
0,8882
0,8882
0,8837
0,8837
0,8837
0,8787
0,8787
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8740
0,8740
0,8740
0,8740
252
252
252
252
280
280
290
290
290
231
232
232
232
232
232
276
276
276
276
276
286
286
190
190
190
162
162
162
480
485
480
485
485
480
490
490
480
485
490
485
490
485
490
490
485
490
490
490
485
480
485
485
485
480
480
480
485
500
490
500
490
485
500
500
485
500
500
495
500
495
500
500
495
500
500
500
495
485
500*
495
500
495
495
495
550
555
550
545
570
545
525
530
530
535
540
540
530
520
525
525
525
525
525
550
540
535
545
545
540
555
550
550
а = 0,8
273
273
270
270
270
260
260
243
243
243
243
243
252
252
252
252
490
490
480
480
480
480
475
485
480
480
485
490
480
485
480
485
500
500
500
495
495
495
490
500
500
495
505
505
485
500
490
500
545
545
650
545
545
555
550
550
560
560
570
545
550
555
550
545
E7;62)
(;)
(83;91)
(94; 103)
(83;91)
(98; 102)
(89; 100)
G9;83)
G0;89)
F0;64)
F4;68)
G2;76)
(89; 100)
A06;110)
(80;95)
F3;67)
A19;129)
G5;79)
(80;95)
G7;81)
(89; 100)
A09;109)
G5;85)
G7;89)
D0;44)
F4;79)
96
106
98
71
100
73
73
84
83
73
104
73
60
120
114
108

Продолжение табл. 2.4
Расход
сырья
Плотность
сырья

Температура сырья

Температура в
реакторе
I ступени

Температура в
реакторе
II
ступени

Температура в

генераторе
Бензин
117
101
94
94
94
133
125
133
164
140
156
140
164
140
140
102
133
125
187
156
140
133
117
164
а = 0,8
0,8828
0,8828
0,8617
0,8617
0,8617
0,8645
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8693
0,8693
0,8797
0,8797
0,8797
0,8725
0,8725
0,8725
280
280
290
290
290
231
232
232
232
232
232
276
276
276
276
276
286
286
190
190
190
162
162
162
485
480
490
490
480
485
490
485
490
485
490
490
485
490
490
490
485
480
485
485
485
480
480
480
490
485
500
500
485
500
500
495
500
495
500
500
495
500
500
500
495
485
500
495
500
495
495
495
570
545
525
530
530
535
540
540
530
520
525
525
525
525
525
550
540
535
545
545
540
555
550
550
87
100
87
100
94
81
83
62
66
74
94
108
89
65
123
77
89
79
94
104
79
83
42
73
140
140
109
202
156
156
148
125
133
117
132
125
187
125
125
101
117
101
94
94
0,8882
0,8882
0,8837
0,8837
0,8837
0,8787
0,8787
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8720
0,8740
0,8740
0,8740
0,8740
0,8828
0,8828
0,8617
0,8617
273
273
270
270
270
260
260
243
243
243
243
243
252
252
252
252
280
280
290
290
490
490
480
480
480
480
475
485
480
480
485
490
480
485
480
485
485
480
490
490.
500
500
500
495
495
495
490
500
500
495
505
505
485
500
490
500
490
485
500
500
545
545
650
545
545
555
550
550
560
560
570
545
550
555
490
545
570
545
525
530
93;100)
A04:107)
(97;99)
G0;72)
(99;101)
F8;76)
F8;76)
(83;85)
(80;86)
F8;76)
A06;106)
F8;76)
E9;61)
(;)
A07; 109)
(85;89)
(99;101)
(85;89)
(99;101)
35

Продолжение табл. 2.4
№
Расход
сырья
Плотность
сырья

Температура сырья

Температура в
реакторе
I ступени

Температура в
реакторе
II
ступени

Температура в

генераторе
Бензин
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
v 94
v 133
125
133
164
140
156
140
164
140
140
102
133
125
187
156
140
133
117
164
0,8617
0,8645
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8703
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8801
0,8693
0,8693
0,8797
0,8797
0,8797
0,8725
0,8725
0,8725
0
290
231
232
232
232
232
232
276
276
276
276
276
286
286
190
190
190
162
162
162
i —i
480
485
490
485
490
485
490
490
485
490
490
490
485
480
485
485
485
480
480
480
485
500
500
495
500
495
500
500
495
500
500
500
495
485
500
495
500
495
495
495
530
535
540
540
530
520
525
525
525
525
525
550
540
535
545
545
540
555
550
550
(90;98)
(80;82)
(80;86)
F1;63)
F5;67)
G3;75)
(90;98)
A07; 109)
(87;90)
F4;66)
A20; 125)
G5;79)
(87;90)
G8;80)
(90;98)
A06; 106)
G8;80)
(80;86)
D1;43)
F8;76)
Так как B.11) представляет собой классическое уравнение множественной
регрессии, то для оценки его коэффициентов я";(/=0, 6; 7=1,3) можно
использовать стандартную программу множественной линейной регрессии,
входящую в математическое обеспечение ЭВМ. Результаты вычислений
коэффициентов аЬ уравнения B.11) на ЭВМ «СМ-1600» с помощью подпрограмм
множественной линейной регрессии следующие:
ag-5 = (-946,385; -870,639); ag'8 = (-886,112; -833,64); д? = -840,9;
л°-5 = (-0,165; -0,157); а?-8 = (-0,163; -0,16); «1 = —0,161;
я°-5 = F73,875; 727,18); д§-8 = F91,574; 671,808); ^ = 685,355;
а?'5=@,114; 0,122); я?'8 = @,125; 0,121); а^=0Л26;
а2'5 = @,292; -0,062); я2'8=@,116; -0,0026); а} = 0,0014;
0,751); я?'8 = @,637; 0,704); д? = 0,687;
( -0,049); я?'8 = (-0,029; -0,041); д? = -0,043.
Для получения нечетких коэффициентов а,-(/=(), 6) полученные значения
аЬ объединяются с использованием следующего соотношения:
<*i= U Я? или Щ(Я|)= SUP min(a» Р-а?(а*)}>
ae[0,l] ae[O,l]
где af = {ai\\ial(at)>Oi}.
Таким образом, уравнение, описывающее нечеткую зависимость выхода
бензина от параметров .*,•(/= 1,6), имеет вид
36

х2,
+ @,5/673,875 + 0,8/691,574+1/685,355 + 0,8/671,808 + 0,5/727,18) х2 + @,5/0,114 +
+0,8/0,125+1/0,126+0,8/0,121+0,5/0,122) хъ +@,5/0,292 + 0,8/0,116+1/0,0014 +
+ 0,8/-0,0026+ 0,5/-0,062) хА + @,5/0,602 + 0,8/0,637+1/0,687 + 0,8/0,704 + 0,5/
/0,751)х5+@,5/-0,0123 + 0,8/-0,029+1/-0,043 + 0,8/-0,041+0,5/-0,049) хь.
Математическая зависимость выхода газа у2 от параметров .*,(/= 1,6),
полученная методом множественной корреляции, имеет вид
у =/2(jd, jc2, ..., jc6)=100,182
001х
2.3. АНАЛИЗ ПРАВИЛ НЕЧЕТКОГО УСЛОВНОГО
ВЫВОДА ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ НЕЧЕТКИХ
МОДЕЛЕЙ
В последнее время в исследованиях нечетких множеств (F-
множеств) большое внимание уделяют разработке правил
нечеткого условного логического вывода (F-условный вывод),
называемого F-Conditional Rules Inference или сокращенно CR1
[8,12 — 17.70,71]. Это обстоятельство связано с тем, что
в семантике обычного языка присутствует определенное число
нечетких понятий (^-понятий), поэтому делаем логические
выводы, в которых предпосылки и следствие включают такие
F-понятия. Практика показывает, что формализация правил
для таких выводов может быть чрезвычайно разнообразна.
Однако подобные выводы не могут быть удовлетворительно
формализованы, базируясь на классической булевой логике,
т. е. для этой цели становится необходимым использование
многозначных логических систем. Разработка правил условного
логического вывода охватывает, в основном, три вида условных
предложений:
Рх = ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Р2 = ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
ИНАЧЕ С
Р3 = ЕСЛИ х1 есть А1 и х2 есть А2 и ...хп
есть Ап ТО у есть В.
Как отмечалось выше, концептуальной основой
формализации правил условного логического вывода является правило
отделения {modus =ponens), гласящее:
ЕСЛИ (а->Р) истинно и а истинно ТО р истинно.
В свою очередь, методологической основой такой фор
мализации является композиционное правило, предложенное
Л. Заде [1, 2]. Используя это правило, он сформулировал
некоторые правила вывода, в которых логические предпосылки
и следствия являются условными предложениями, включающими
37

/^концепцию. В дальнейшем Е. Мамдани [15] предложил свое
правило вывода, которое, как и правило Заде, было разработано
для логического предложения вида Рх. Иными словами,
рассматривается F-условный вывод следующей формы:
Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Предпосылка 2: х есть А' B.12)
Следствие: у есть В\
где А и А' — /^-концепции, представленные как /"-множества
в универсуме U; В—F-концепция или ^-множество в универсуме
V. Откуда В' является следствием, представленным как F-
множество в V.
Для получения логического следствия, с использованием
CRI, предпосылки 1 и 2 должны быть соответственно
приведены к бинарному F-отношению вида R(A1(x), А2\у))
и унарному ^-отношению вида R(A1(x)). Здесь ^цх) и А2(у)
определяются атрибутами х и у, которые принимают значения
из универсумов U и V соответственно. Тогда
Л(Аг(х)) = А'; B.13)
R(At{x)9 А2(у)) согласно правилам вывода Заде — Мамдани
определяются следующим образом.
Максиминное правило условного предложения
Rm(Ai(x), A2{y)) = (AxB){J(nAxV). B.14)
Арифметическое правило условного предложения
#0(^D A2(y)) = {-lAxV)®{UxB). B.15)
Мини-функциональное правило условного предложения
R^A^x), A2{y)) = AxB. B.16)
Здесь х, U и —декартово произведение, объединение
и инверсия соответственно; © — предельная сумма.
Таким образом, согласно [1, 2, 15] логическое следствие
R(A2(y)), которое является В' в B.12), может быть получено
следующим образом:
или
где о — операция максиминной композиции F-множеств.
На основе этих правил в [16] были предложены правила
для условного предложения вида Р2:
RA(Al(x), A2{y) = [(-]AxV)®(UxB)]0[(AxV)®(UxC)]; B.17)
38

){)][{)()]; B.18)
R6{A1{x), A2(y)) = [(AxB)[J{nAxC)l B.19)
Там же в [16] были предложены и правила для условного
предложения вида Р3:
), A2(y)) =
x), A2{y))J П (-\A,xV)
L i = TTn
R9(At(x)9 A2(y))J П At
l_i = T7w _
x B.
B.20)
B.21)
B.22)
Для анализа эффективности правил B.11)—B.22)
воспользуемся некоторыми критериями для /^условного логического
вывода, предложенными в [17]. Смысл данных критериев
заключается в том, что они дают возможность проверить,
насколько то или иное правило нечеткого условного вывода
удовлетворяет человеческой интуиции при приближенных
рассуждениях. Эти критерии имеют следующий вид:
Критерий I. Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Предпосылка 2: х есть А
Следствие: у есть В
Критерий II-1. Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Предпосылка 2: х есть очень А
Следствие: у есть очень В
Критерий Н-2. Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Предпосылка 2: х есть очень А
Критерий III.
Следствие: у есть 5
Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть ^ ТО j есть В
Предпосылка 2: х есть более или менее А
Следствие: у есть более или менее В
Критерий IV-1. Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть 5
Предпосылка 2: х есть не Л
Следствие: у — неизвестно
Критерий IV-2. Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО
Предпосылка 2: х есть не А
есть В
Следствие: у есть не В
39

В [17] было показано, что в правилах Заде — Мамдани
отношения Rm, Ro и Rc не всегда удовлетворяют этим
критериям. Так, для Rm были получены следующие
результаты. При
А' = А и
$[iA(u)\u° J (М«)л
U UxV
= J V [Ми)л((М«О)л
V ueU
л nB0>))v(l-M")))]/"
находим
Sm(iiA(u)) = \iA(u) л ((М«0 л \iB(v)) v A-цА(и))).
Так как для и е U функция принадлежности \iA (и) принимает
все значения из интервала [0; 1 ], то
откуда В'т = § V Sm(\iA(u))/v9 тогда вполне понятно, что
V ueU
В'тФВ, это показывает, что критерий I не удовлетворяется.
При А' = А2 (очень А) получаем
Sm(\iA(u)) = \l\(u) л \(\iA(u) л \iB(v)) v (l-i
откуда
V S'm([iA(u))
ueU
Таким образом,
Bm = l V S'm(iiA(u))/v + O4eHbB,
т. е. В'тФВ, значит, критерии II-1 и И-2 не удовлетворяются.
При А' — (более или менее А) критерий III не
удовлетворяется, а критерий IV-1 удовлетворяется.
Для арифметического правила Ra, когда
было получено:
а) при А' = А
V So(Ми), 0 =
ueU
40

или
ueU
V V
T. e. В'афВ, или критерий I не удовлетворяется;
б) при А' = А2 (очень А)
было показано, что
,= Г
к
1;) /
но
B = J ЦвООМ таким образом, В'аФВ2 (очень В), т. е.
критерий П-1 не удовлетворяется или'при ВаФВ В=$ [iB(v)/v,
v
т. е. критерий Н-2 не удовлетворяется;
в) при А' = А0'5 (более или менее А) имеет место
'а= [ -i+y/S+^Bi") 1ьф Lo,5{v)/v =
В'а= [ i+y/S+^Bi") 1ьф Lo,5{v)/v = FoA€e или шнее в)
V V
Таким образом, критерий III не удовлетворяется, при этом
критерий IV-1 удовлетворяется.
Для случая мини-операционного правила Rc было
установлено, что критерии I и И-2 удовлетворяются, а критерии II-1
и III не удовлетворяются.
ЕСЛИ Л' = не А ТО
JO,5/t;, M») 2*0,5;
у
$\iB(v)/v, Mt>K0,5,
v
это доказывает, что критерии IV-1 и IV-2 не удовлетворяются.
Иными словами, логические следствия для первых трех правил
не всегда удовлетворительным образом питают нашу
интуицию. Нетрудно заметить, что правила /?4 — R9 являются
лишь модификацией правил вывода Заде — Мамдани
применительно к предложениям Р2 и Ръ. Поэтому они, в свою
очередь, не удовлетворяют критериям I-IV.
В [17] было сделано важное обобщение, позволяющее,
в принципе, улучшить перечисленные выше правила F-условного
логического вывода, т. е. показано, что для определенного
Заде арифметического правила условного предложения вида
Р1 = ЕСЛИ х есть А ТО у есть В,
41

при переводе на .Р-отношения, имеет место следующее:
B)= J 1 лA
Ux V
В этом /"-отношении функция принадлежности будет
1 л A-М")+М«0)>
что, очевидно, отвечает операции импликации или
Ply-оператору для многозначной логики L (Лукасевича), т. е.
B.23)
где v(P->Q), v(P) и v (Q) — величины истины для логических
предложений P-+Q, Р и Q соответственно.
Иными словами, данные соотношения могут быть
изображены как адаптация материальной импликации в L-логичес-
кой системе к условному предложению. С учетом этого факта
было получено следующее выражение:
= (-\AxV)@(UxB) =
B.24)
= J 1 л A-цч(и) + цв(г))/(«, v)= J
UxV UeV
В [17] высказано мнение, что операция импликации
или Р/у-оператор в выражении B.24) может принадлежать
любой многозначной логической системе. Условием для
выбора логической системы при разработке правил .Р-условного
логического вывода являются следующие очевидные
соображения [17].
Пусть /'-множества А из U и В из V заданы в виде
А = \ \iA{u)ju, B=$ \LB{v)jv. Тогда, как уже было сказано выше,
V V
условное логическое предложение Р1 может быть переведено
к F-отношению R (A t (jc ), А 2 {у)) адаптацией Р/у-оператора
в многозначной логической системе, т. е.
R(At(x)9 A2(y)) = AxV->UxB=
= J (Ми)->М»))/(«,«>), B-25)
UxV
42

где значение \iA(и) -* [iB(v) определяется в зависимости от
выбранной логической системы.
Положив R (А х (х)) = А, можем получить логическое
следствие R(A2(y)), используя CRI для R(A1(x)) и R(Ax(x),
А2(у)), откуда
J (\lA(u)-+\lB(v))/(u, V) =
UxV
= f V [Ми) л (Ил (и ) - \ув (v))] • B.26)
V ueU
Для того чтобы критерий I удовлетворялся, необходимо
выполнение равенств
R(A2(y)) = B9
или V [\iA(u) л
ueU
или
Цл (и) л (цА (и) -> цв (»)) ^ цв (г), B.27)
последнее имеет место для произвольных ие U и veV или
в терминах величин истины:
B.28)
Сформулируем основные два условия, выполнение которых
необходимо для формализации правил F-условного логического
вывода:
1. Правила условного логического вывода CRI должны
отвечать очевидным критериям I — IV;
2. Правила F-условного логического вывода CRI должны
удовлетворять неравенству B.28).
Формализация правил нечеткого условного вывода для
условного предложения вида Рх. Как было показано в гл. 1,
логический вывод для условных предложений вида Рх имеет
следующий вид:
Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Предпосылка 2: х есть А'
Следствие: у есть В' B.29)
где А, В и А1 являются F-концепциями, представленными
как F-множества в С/, V и V соответственно, которые должны
удовлетворять критериям I, II-1, III и IV-1.
Для такого вывода ЕСЛИ предпосылка 2 переводится в
унарное F-отношение вида R{A1(x)) = Af и предпосылка 1
переводится в F-отношение R (А х (х), А 2 (у)), которое определим ниже
43

ТО следствие R (A t (у)) достигается с помощью
соответствующего правила /-условного логического вывода CRI, т. е.
) = R(Ax(x))oR(A1{x)9 А2{у)). B.30)
Здесь R(A2(y)) равнозначно В' в B.29).
Правило нечеткого условного вывода 1
Теорема 2.1. Если F-множества А из U и В из V заданы
в традиционном виде:
A = I\la(u)Iu; B=Iilb(v)/v9 B.31)
и v
и для многозначной логической системы 1 отношение
R1{A1(x),A2(y)) = AxV-+UxB= J vA(u)/{u9v)-+
UV
UxV
7 J М»)/(и, v)= J Mw)i*
UxV UxV
riiB(v)/(u,v), B.32)
где
то критерии I — IV удовлетворяются.
Доказательство, Прежде всего отметим, что имеют место
следующие очевидные условия:
B.33)
Предположим, R [A x (jc )) = А 2 (ос > 0), тогда B.30) будет
иметь вид
= R{Al{x))oRl(A1{x),A2{y)) =
u)/uo J \iA{u)->\iB(v)/{u, ») =
= J V ^(ы) л (V4(i0->|iB(«,)U>. B.34)
Здесь для каждого и из U выделим три подмножества Ut,
U2 и U3 из f/, которые удовлетворяют следующим условиям:
44

U,\JUj=U, иг()и} =
\/ueU2,
Vi*el/3,
Учитывая B.35) — B.38), получаем
v
l, 2, 3};
B.35)
B.36)
B.37)
B-38)
R(A2{y)) = l\ V li'A(u)A{\-ixA(u))\v
Г V цл(и) л l] v Г V ц'л(и) л |1,(оI/(и, v).
L«6(/2 J Lu<=u3 J'
B.39)
Но в силу условий B.33) получим
V цМ«))лA-Ц>))=( V
ueUi / ЧмеС/,
тогда выражение B.39) примет вид
v A л
v
Это доказывает, что критерии I, II-2 и III удовлетворяются.
Далее положим, что R(A1(x))= ~]A, тогда
= R{A1{x))oR1(Al(x), А2(у)) =
t/x
=|Г v A-ц»)пA-М«))М v A-
KLmgC/j J L«el/2
V (A-
Л
B-40)
45

но в силу условий B.33) Зие U/\iA(u) = 0, тогда R(A2(y)) =
= J \/v=V=неизвестно, т.е. доказано, что критерий IV-1
v
удовлетворяется. П
Правило нечеткого условного вывода 2
Теорема 2.2. Если F-множества А из U и В из V такие же,
как в B.31), и бинарное отношение R2(A1(x), A2(y)) для
логической многозначной системы 2 определяется следующим образом:
R2{Al{x), A
где
то критерии I — IV удовлетворяются.
Доказательство. Пусть R (А х (х)) = Аа, тогда
x))oR2{A1(x), A2{y))
7
U Ux V
= | V ^(и) л (цл(м)->цвA;))/г;. B.42)
Выделим для Vue V два подмножества t/t и U2 из С/,
которые отвечают условиям
Ul\)U2 = U; Ul(]U2 = 0; B.43)
; B.44)
Используя B.43) — B.45), выражение B.42) преобразуем к виду
VLueU1
v[ V №(u))a{{1-)ia(u))a\lb(v))
= |Г V ii"A(u)} v Г V (jii(M) л (l-iiA(u)))]jv, B.46)
46

Но lueU2/\iA(u)=l, при этом \i"A(u) л A-цА(и)) = 0,
V
V
Таким образом, доказано, что критерии I, II-1 и III для
метода CRI типа 2 удовлетворяются.
Пусть далее R(A1(x))= ~| А, тогда
x))oR2(A1{x), А2{у)) =
= J V A-М")) л (\la{uW\Ib(v)Vv B-47)
и с учетом B.43) — B.45) получим
!\ v (i-
V\-ueUl
[ V A-ц»
LueU2
= J V A-^(и))/17. B.48)
V ueU
Однако 3uev/\iA(u) = 0, тогда R(A2(y)) = $ l/v=V неизвестно,
v
т. е. доказано, что критерий IV-I удовлетворяется. ?
Правило нечеткого условного вывода 3
Теорема 2.3. Если /"-множества А из U и В из V такие
же, как в B.31), и бинарное отношение R3(A1(x), А2(у)) для
логической системы 3 будет иметь вид
R3(Ax{x)9 A
/М)> B-49)
UxV
где
то критерии I — IV удовлетворяются.
Доказательство. Пусть R(Al(x)) = Aa (а>0), тогда
v))l(u,v) = S V \1лл(и)лЫл(и)^11вШЫ. B.50)
VueU V 3 /'
47

Выделим для Vi?eF два подмножества Ux и U2 из С/,
удовлетворяющих условиям B.43) — B.45), тогда
)=(Т V
vl V
¦Я.
V й(ыI v Г V ( ,/'(*> ..Ж, B.51)
но Эие Г|цв(и) = 0, т.е.
в(о)))]/» = 0, откуда
(()=|Г V »*A{
yLueU,
Это доказывает, что критерии I, II-1 и III удовлетворяются.
Пусть R (А! (х)) = П Л, тогда
= f (l-H^(w))/wo J \iA(u)-+\iB(v)/(u,v) =
= f V A-М")) а (цл(и)^Цв(»))/». B-52)
Вьщелим подмножества U^ и U2 согласно B.43) — B.45), найдем
v Г V A-Цд(м)) л (ця(г)/|1^(м))+A->1В(»)Л/», B.53)
но так как Зиеи2\\1в(и):=0, то
= |Г V A-ц»IуГ V (
wef/2
= 1 V A-цл(и))/г. B.54а)
С/,
Однако 3ие С/х/цл(и) = 0, следовательно, R(A2(y)) = $ l/v=V
v
неизвестно, т. е. доказано, что критерий IV-1 удовлетворяется. ?
48

Наглядной иллюстрацией предложенных правил вывода
может служить следующий пример для логической многознач-
Ной системы 1.
Пример 2.2. Пусть ?/= К=0+1+2 + 3+4+5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, А=мало = \/0 +
+0,8/1 +0,6/2 + 0,4/3+0,2/4, В=средне=0,2/2+0,4/3+0,8/4+1/5+0,8/6+0,4/7+0,2/8.
Тогда ^-условное предложение
ЕСЛИ х есть мало ТО у есть средне
приводится к бинарному отношению вида
R(Al(x), А2(у)) = [мало]х V-+Ux[cpedne] =
8 9 10
о о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,2
0,2
0,2
0,2
0,4
0,4
0,8
1
1
0,2
0,4 0,4 0,4
1
0,6 0,6
0,8 0,8 0,8
0,8
1
0,4
0,6
0,8
0,4
0,4
0,4
1
0,8
0,2 0 0
0,2 0 0
0,2 0 0
0,2 0 0
0 .0
1
1
1
1
1
1
Пусть R (А! (х)) = мало, тогда R (А 2 (у)) = [мало ] ° R t (А г (х), А 2 (у)) =
= 0,2/2 + 0,4/3 + 0,8/4 + 1 /5 + 0,8/ 6 + 0,4/7 + 0,2/8 = средне.
Когда Rl(A1(x)) = очень мало, получим
R(A2(y)) = [очень мало]*R^A^x), A2(y)) =
= [мало]2оR^A.ix), Л2(>;)) = 0,04/2 + 0,16/3 + 0,64/4+1/5 +
+ 0,64/6 + 0,16/7 + 0,04/8 = [средне ] 2 = очень средне.
Если R (А 2 (у)) = не мало, то получим
Я(А2(у)) = [не мало]*R^A^x), Л2(.у)) = 0+1+2 + 3 +
+4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+ \Ъ = неизвестно = V.
На обычном языке полученный вывод можно проиллюстрировать
следующим образом:
ЕСЛИ х мало ТО у средне
у = средне
ЕСЛИ х мало ТО у средне
х = очень мало
у=очень средне
4 Заказ 2056
49

ЕСЛИ х мало ТО у средне
х — не мало
х = не известно
Некоторые свойства Rl9 R2 и R3. Опишем здесь некоторые
интересные свойства F-отношения Rl9 определенного в B.32),
R2, определенного в B.41) и R3, определенного в B.49).
Отметим, что в F-отношениях Rm и Ra, определенных Л. А.
Заде, эти соотношения не имеют места. Отметим, что для
Ra имеет место только соотношение 2.2, а для Р-отношения
Rc, определенного Е. Мамдани, имеет место только следующее.
Соотношение 2.1. Пусть /^-условное предложение
Рх задано в следующем виде:
Рц=ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Р12 = ЕСЛИ у есть В ТО z есть С
Р13 = ЕСЛИ х есть А ТО z есть С, B.546)
где А, В и С—.Г-концепции, заданные F-множествами вида
A = l\iA(u)/u; B=l\iB(v)lv; C= J |ic(w)/w.
и v w
Пусть ЯгШх), А2{у)); R2(A2{y), A3{z)) и R2{A,{x), Ab{z))
являются jF-отношениями, которые переводят предложения Pll9
Р12 и Р13, используя правило B.41) [отметим, что
вышесказанное в равной степени можно отнести к i?3, определенным
в B.32) и B.49)]. Тогда при соблюдении следующих условий:
(и) = 09 Зы'е]
(v) = 09 3v'eV/ixB{v')=U У B.55)
3weW/\ic(w) = 0, 3w
выполняется равенство
ЛгМх), i43(*)H*iMi(*), A2(y))oR2(A2(y)9A3{z)) B.56)
и /^-условные предложения
Рх ! = ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
Р12 = ЕСЛИ у есть В ТО z есть С
Pi 3 = ЕСЛИ х есть А ТО z есть С.
Доказательство. Из B.56) имеем:
50

(v> w)= f v \^
^u,w). B.57)
Пусть S{v)=(\iA(u)-*цв(v)) л (цв(v)-*\ic(w)J, тогда
l, n,i
S(v)=< (l-\lA(ll)) Л \iB(v)A(l-\lB(v))A \lc(w),
1
Из B.55) вытекает неравенство цДм)<цс(и>), это означает, что
3 v < V и неравенство \iA (и) < цв (v) < цс (w) удовлетворяется. Отсюда
j
(\-\iA(u)A \ic(w), v.A(u)>\ic{w);
B.57)= J V S(v)/(u,w)= J ц»-»
показывают справедливость равенства B.56). Совершенно
аналогично доказывается справедливость соотношения 2.1 для
логических систем 1 и 3. ?
Соотношение 2.2. Для F-условных предложений:
РП=ЕСЛИ х есть А ТО у есть В
и его противоположного предложения
Р12 = ЕСЛИ у есть не В ТО х есть не А.
Пусть R2(A1(x), A2(y)) и R2(A2(y), ^i(*))—/'-отношения,
которые переводят Р1г и Р12, используя B.41) соответственно.
Тогда выполняется следующее равенство:
где R2(A2(y), AiLx)) — обратное отношение к R2(A1(x), A2(y)).
Равенство B.58) может быть представлено в символическом
виде:
ЕСЛИ х есть А ТО у есть B-*R2(At(x)9 А2(у))
противоположное 11 обратное
предложение II отношение
ЕСЛИ у есть не В ТО х есть не А -+R2(A2{y\ A1(x)).
51

Следует отметить, что Соотношение 2.2 в логиках 1—3
не имеет места.
Доказательство. Отношение
R2(A1(x)9
= J \La(u)-+\Lb(v)I(u9 v),
UxV
в то же время
R2{A1{x), A2(y))= J \yA{u)-+
Vx U
= J (l-iiB(v))r(l-[iA(u
VxU
что и является доказательством справедливости равенства
B.58). ?
Далее представляется целесообразным рассмотреть
некоторые вопросы, связанные с формализацией правил F-условного
логического вывода для условного предложения вида Р2.
Формализация правил нечеткого условного вывода для
условного предложения вида Р2. Как было показано выше, одной
из распространенных форм условного предложения является
следующая:
ЕСЛИ х есть А ТО у есть В ИНАЧЕ у есть С.
Для такой формы условного предложения может иметь
место логическое правило вывода вида
R(Al(x),A2{y)) = [(AxV)^(UxB)](M(-lAxV)-*{U
Положим, что R(A1(x)) = A, тогда
x), A2(y)) =
= f V
V ueU
Для удовлетворения критерию I необходимо, чтобы R(A2(y))
= В, или должно иметь место следующее равенство:
52

v Ы")л [Ы»)^Ы»))л (О-
Иными словами, для VveV должно выполняться
неравенство
М") Л [(М
л ((i-M"))-
Совершенно очевидно, что
ЕСЛИ AczUTOBaVnCczV.
Особый интерес представляет логическая посылка С, которая
в общем случае либо не известна, либо должна быть равна
П В, т. е. удовлетворяет критерию IV.
Рассмотрим случай, когда С=1В=не В, т. е. имеет место
следующая форма ^-условного логического вывода:
Предпосылка 1: ЕСЛИ х есть А ТО у есть В ИНАЧЕ
у есть не . В
Предпосылка 2: х есть А'
Следствие: у есть В'
Исходя из этой формы .F-условного логического вывода,
покажем формализацию некоторых правил вывода для
предложения вида Р2.
Правило нечеткого условного вывода 4
Теорема 2.4. Если F-множество А из U и В из V
определяются так же, как в B.31), и бинарное отношение R1{A1(x)9
А2(у)) для 5-логической многозначной системы имеет вид
л [A-Цл(и))-^A-йв(»))]/(и, 4
где
i,
О,
то критерии I — IV удовлетворяются.
53
f

Доказательство. Пусть R[A1{x)) = Aa (oc = O), тогда
= R(A1(x))oRSi(A1(x),A2(y)) =
л
[A -цЛ(и
= f V
B.63)
Рассмотрим два множества Ui и С/2 •> ПРИ этом С/х < U,
U, а также t^ |J C/2 = С/, t/x (] U2 Ф 0. Тогда V и в Ui при
И; Vet/ при Цл(«)#Нв(^). Получим
Л О-
= V {»«Л(и)л 1)= V
ueUl ueUi
B.63) =f V
у ueU,
т. е. критерии I, II-1 и III удовлетворяются.
Пусть /?(^x(jc))=n^, тогда R(A2(y)) = J V A
у U?U
]л1/о = | V [1-
у ueUy у
Таким образом, критерий IV-2 также удовлетворяется. ?
Правило нечеткого условного вывода 5
Теорема 2.5. Если F-множества А из U и В из F
определяются так же, как в B.31), и бинарное отношение R11(A1(x)9
А2(у)) в логической многозначной системе 1 имеет вид
54

]^ ">' B64)
где
то критерии I — IV удовлетворяются.
Доказательство. Пусть R(A1(x)) = A* (a>0), тогда
) = R{Al(x))°R11(A1(x),A2(y)) =
(иIи° J
-*ц»(г))
v
л [A-
B.65)
Для VveV найдутся такие Ul9 U2 и U3. При этом
i, je{\, 2, 3}, 1Ф],
B.66)
VmgC/3, М"
Тогда
= J V цал(м)л[A-ц/1(м))лA-цвA;))] v
v { V ц«» л ll v { V ц}(и) л [Ц/4(м) л цв(с)]}/», B.67)
но так как 3wgG1/|j./1(w) = 0 и Зи'е U3/iiA(u')=l, то
55

{ }{ V ц«А(и)\
{ V цв(»)}/» = 1 V iii(«)
CmgC/3 J / p we?/2
v{ цв()}/ 1 ii
CmgC/3 J / p we?/2
V
Это доказывает, что при а=1, а = 2 и а = 0,5 критерии I,
И-2 и III удовлетворяются.
Пусть R (А! (л: ) = ~| А, тогда
у ueU
Л Ml —|
Учитывая условия B.66), преобразуем B.68) к виду
)= Г Г V 11-\1лЫ))лA-цА(и))л
A-jib(p))]v[ V A-^(и)) л llv
Г V A - цд (и)) л iiA {и) л цв(г)] /г, B.69)
\_U€U3 J/
но так как ^ueU1j\iA{u) = Q и Эме^з/Ц^и')^!» то
=j v (i-
yueUt у
Таким образом, доказано, что критерий IV-2
удовлетворяется.
Правило нечеткого условного вывода 6
Теорема 2.6. Если F-множества А из U и В из V
определяются так же, как в B.31), и бинарное отношение Rii(^i(x)9
А2(у)) в логической многозначной системе 2 имеет вид
56

)/«, о), B.70)
где
B-71)
л
то и критерии I — IV удовлетворяются.
Доказательство. Пусть R(A1(x)) = A" (a>0), тогда
y)) = R(A1(x))oR22{A1(x), A2{y)) =
= j\i"A{u)/u° J
= J V
л A-цЛи))-»A-Цв(»))||/р. B.72)
При условиях B.66) далее имеем
B.72) = j[^V Й(«)Л|1
V \1*л
usV2
v Г V \i*A(u) л A-^(и)) л \iB{v)\lv, B.73)
но 3ueU1/iiB(v)=l и 3we [/3/^л(")=1? отсюда
у US С/;
57

что удовлетворяет критериям I, II-1 и III.
Пусть R (А! (х)) = ~1 А, тогда
= \{\-\iA{u))luo J
2
С учетом B.66) получим
(
ueU
л [A-^(«))^A-цвA)))]^. B.74)
= l[ V A-
л
V
но BweC/il^i
[.
и)
R
¦-М*))]
= 0 и Зм
i
v| V A-
1 UG U ¦)
И) А A-й
е?/з1Ы«)
f V A-цл
M«))Al]v
»)лМ")} B-75)
= 1, следовательно,
И)л1/г =
= J V A-
yueU2 у
Доказано, что критерий IV-2 удовлетворяется. П
Правило нечеткого условного вывода 7
Теорема 2.7. Если F-множества А из U и В из F
определяются так же, как в B.31), и бинарное отношение R33(A1(x),
А2(у)) в логической многозначной системе 3 имеет вид
= J
г,»), B.76)
58

где
R33(Ai(x),
1-М»)
B.77)
то и критерии I — IV удовлетворяются.
Доказательство. Пусть R(A1(x)) = A* (a>0), тогда
R(A2(y))=R{Ai(x))oR33(Al{x),A2(y)) = iViA(u)/uo
j (м
)=$ V
ueU
B-78)
С учетом B.66) последнее выражение запишем так
R(A2(y))={\ V ]1А(и)л
V l " JLf l ;
Г 1 Г
v V \iA(u) л 1 v V \iA(u) л
но 3ие их |\iB(v) = 1 и Зие U3\\iB(v) = 09 откуда
R(A2(y)) = $ V \1лА{и)л l/v =
V 2
о, B-79)
это доказывает, что критерии I, II-1 и III удовлетворяются.
59

Положим R (А! (х)) = ~1 А, тогда
a [(l-
= J V A-
V A-цл(ы))л11уГ V A-
v, B.80)
но 3ueUl\\iB(v)=l и 3u'eU3\nB(v)=0, откуда
R(A2(y)) = S V A
v ueU2
= J V A-
V ueUz V
и критерий IV-2 удовлетворяется. П
Необходимо отметить, что при формализации правил
F-условного логического вывода для условного предложения
вида Р2 возможен вариант комбинирования логических систем,
т. е. бинарные отношения для таких правил могут иметь
следующий вид:
Теперь целесообразно выяснить, какова связь или
соотношение между двумя логическими посылками В и С.
Лемма 2.1. Когда имеет место логическое предложение:
ЕСЛИ х есть А ТО у есть В ИНАЧЕ у есть С, то для логических
следствий В и С из V имеет место следующее соотношение: С^В.
Доказательство. Пусть имеет место одно из представленных
выше бинарных отношений. Из теории сильных /^множеств
(power sets theory) известно, что С^В интерпретируется как
С-*В, но так как для рассматриваемых нечетчсих логик правила
вывода обладают свойством компотранзитивности, т. е. выпол-
60

няется соотношение 2.1 B.546), то из двух посылок ~1А-+С
й С-+В следует:
ЕСЛИ х есть ~}А ТО у есть С
ЕСЛИ у есть С ТО z есть 5
ЕСЛИ х есть ~1А ТО z есть 5.
На языке бинарных отношений это выражение имеет вид
R{At(x)9 А
Тогда R{A2(y)) = R(Al{x))oR(A1(x),A2{y)) =
Un^)->^] = Jji5(n)/iio J [M«)v(l-M
где
[M) (()) ()]
О,
Таким образом, правило F-условного логического вывода
имеет вид
(^))/(w, v),
т. е. приводится к стандартному виду и критерии I — IV
удовлетворяются. ?
Следствие. Выражение В с С, т.е. !?-> С, тогда приводится
к отношению вида
R(At{x)9 А
Иными словами, имеет место условное предложение:
ЕСЛИ х есть А ТО у есть С ИНАЧЕ у есть С,
т. е. выпадает логическое следствие В и смысл правила вывода
теряется.
Формализация правил нечеткого условного вывода для
условного предложения вида Р3. Рассмотрим следующую
распространенную форму условного предложения
ЕСЛИ хг есть Al9 x2 есть А2, ..., хп есть Ап ТО у есть В,
т. е. в данном случае бинарное отношение вида R(A1(x), ^(.у))
будет представлено в форме [)А(\х V->UxB.
61

Положим далее, что R(Al(x)) = f)Ai = A*, тогда
x), А2(у)) =
= Jh5*(k)/k° J Va*(u)-+\ib{v)/{u, v) =
U UxV
= J V [Va*(u) a (\ia*{u)->\ib(v))]/v.
у ueU
Для удовлетворения критерию I необходимо выполнение
следующего равенства:
V |>5,(и) л (\la.(u)^\lb(v))] = \lb(v)9 B.81)
ueU
которое должно удовлетворяться для произвольных veV.
В свою очередь такое равенство приводит к удовлетворению
следующего неравенства:
V*a* (и) л (цл* (и) -> Ц* (*)) < Цв (»), B.82)
или в развернутом виде
(M)jj
Л |xif(M)jj л ^ Л ^(«)]-^(^))^^(^)- B.83)
Для такой формы условного предложения имеет место
следующий вид ^-условного логического вывода:
Предпосылка 1: ЕСЛИ xt есть Al9 x2 есть А2, ..., хп есть
Ап ТО у есть Д
Предпосылка 2: хх есть у4'15 х2 есть А'2, ..-, хп есть ^4^
Следствие: у есть 5Г
Исследование свойств правил /'-условного логического вывода
для условных предложений вида Р3. Логическая посылка вида
f]At в условном предложении вида Р3 интересна с точки
зрения тех условий, при которых имеют место правила
F-условного логического вывода для такого предложения.
В этой связи дадим следующее.
Теорема 2.8. Если At^U—суть логические предпосылки,
и если имеет место следующее логическое предложение:
ЕСЛИ хх есть Аи х2 есть А2 и, ..., хп есть Ап ТО у есть В
и при этом f]Ai = 0 (пустое), V,==l, n ТО логическое следствие
В' не известно.
62

Доказательство. Из условия D = (]At = 0 следует, что
i
\xD(u)= л Цл,(«) = 0. Рассмотрим далее матрицу бинарного
отношения R(Ax(x), А2(у% отметив, что по определению
и v
Очевидно, что матрица К(Ах(х), А2(у)) имеет размерность
||тхА:||, где т — мощность универсума U9 a к—мощность
универсума V, но так как [iD(u) = 0, то для Vw= I, m справедливо
неравенство [Id{u)^^b{v)^ пРи этом значение /г/у-оператора
([iD(и)-*\1в(у)) в любой логической системе для Vи = 1, т
и Vi>=l,A: постоянно и равно единице, т.е. (ця(м)->Цв(и)) =
= const =1. Иными словами, все элементы матрицы бинарного
отношения R(A{x), A2(y)) равны между собой и единичны.
Тогда если вторая логическая предпосылка отлична от нуля,
т.е. D' — [\А\Ф0 или \iD-(u)= л ц^.(«)^0, то так как Vw^C/,
справедливо
[iD (и) л (\iD{u)-+\xB(v)) = \iD.(и), то
= maxnD (w) = Ц^ах = const(Vi?=l, к),
и v
Иными словами, логическое следствие В' не известно.
Следствие. Чтобы для логического предложения вида Р3
ЕСЛИ хх есть Al9 x2 есть А2, ..., хп есть Ап ТО ;; есть В
имело место логическое следствие В\ необходима связность
подмножеств At/At^U, т.е. [)А(ф0.
Практика применения правил F-условного вывода для
условного предложения вида Р3 показывает, что наиболее
эффективным является использование комбинированного
правила вывода вида
B.84)
63

Однако при этом необходимо иметь в виду некоторые
особенности построения матриц бинарного отношения, так
как при определенных условиях возможно нарушение
непрерывности функции принадлежности (ФП) логического следствия
В\ даже если ФП логических предпосылок непрерывны. В этой
связи дадим следующее.
Предложение 2.1. Если в условном предложении вида
ЕСЛИ хг есть Al9 х2 есть А2, ..., хп есть Ап ТО у есть
В ИНАЧЕ не В,
нечеткие множества At с и не равны между собой, т. е.
если A^Aj (i^j), ФП логического следствия (нечеткого
множества В) имеет точку разрыва.
Доказательство. Так как для \хА(и)= л \iA.(u) ~1\М,-|
справедливо \iAi(u) = \iA.(u) (МУ), то пЗ«'еС/|цАДм')=1, а так как
и в случае бинарного отношения
, 3v'eV\iiA(v')=\
(по определению нормальности), то л цЛ. (и) < цв (v) <-+ V w e U,
3v*eV\[iB(u, v*) = 0 — вектор-столбец матрицы К(Аг(х), А21у%
откуда, очевидно, в RlA2(y)) = Bt==R(A1(x))°R(A1(x)9 A2[y%
выраженном ФП \iB(v), dveV\\iB(v') = 09 т.е. имеет место
точка разрыва, так как VveV выполняется
d(v9 v') = (v-v'
Замечание. Матрица бинарного отношения представлена
следующем виде: R{A1(x), A2(y)) = {\iA(u;v1)9
M vi\ •••» Va{u> vm)}- Здесь \iB(v)9 [iB{vf) — оценка ФП в
дискретных точках v9 v'eV; m — мощность универсума V; г\ —
единица дискретизации универсального множества V.
Исследования, приведенные выше, показывают, как при условном
предложении вида РЗ бинарное отношение следует строить,
исходя из тех соображений, что с точки зрения
предварительного анализа конкретного технологического процесса
логические предпосылки (атрибуты) xt имеют различную «ценность»
или «вес», т. е. не в одинаковой степени должны быть
включены в условное предложение. Иными словами,
целесообразно перед построением матрицы бинарного отношения
«решить» задачу группового выбора, учитывая при этом
предпочтительность той или иной логической предпосылки
(атрибута). Что же касается трудности вычислений предложен-
64

Hbix методов нечеткого логического вывода, то она зависит
только от сложности конкретного объекта, описываемого
нечетко.
2.4. АНАЛИЗ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
За последние годы в научной литературе появилось
значительное число работ, отражающих разработку нечетких
моделей различных промышленных производств [27, 50, 68, 69].
Анализ функционирования различных систем управления
в промышленности, основанных на нечетких моделях, показал,
что их эффективность в значительной степени определяется
адекватностью нечетких моделей управляемым объектам.
Данный вопрос не нашел своего решения. Исключение составляет
работа [66], где рассматривается адекватность нечетких систем
в конструировании нечеткого отношения, обладающего
свойством хорошего отображения, и накладываются
труднореализуемые ограничения на функции принадлежности нечеткого
отношения. -В данной работе ставится цель исследования
адекватности нечетких моделей промышленных производств.
Постановка задачи. Пусть моделируемый технологический
процесс определяется совокупностью нечетких множеств
^(U) = {Xi9 ..., Хп] на U и совокупностью нечетких множеств
^(К) = {У1,..., Yn] на V; и при этом
где U и V—конечные входное' и выходное пространства
объекта моделирования.
Технологический процесс описывается нечетким уравнением
или
\iYi(y) = maxmm{\iXi(x), \iR(x, у)}, B.85)
где R—нечеткое бинарное отношение на UxV.
Нечеткое отношение i?, представленное в виде совокупности
управляющих правил со структурой
ЕСЛИ Хг ТО У, B.86)
определяется как
i—\,n i—\,n
или
\iR(x, y) =
5 Заказ 2056 65

Здесь Rt = Xt x Yt — индивидуальное нечеткое отношение,
соответствующее каждому правилу.
В уравнении B.85) R считается известным. Использование
подобного нечеткого отношения показывает, что оценка Кь
полученная по B.85), не совпадает с исходным нечетким
множеством Yi9 иными словами, R неточно отображает
заданные условные логические высказывания B.86).
Для оценки адекватности нечеткой модели B.85) исходным
нечетким данным предлагается применять критерий
характеризующий отклонение функций принадлежности
исходных нечетких множеств juy (j), используемых в формировании
нечеткого отношения /?, от функций принадлежности нечетких
множеств jiy (у), вычисленных по B.85).
Неадекватность нечеткой модели наблюдаемым данным
технологического процесса (исходным нечетким множеством),
в основном, связана с неточным выполнением композиционного
правила вывода в B.85).
В настоящей работе ставится задача получения условий,
при которых строго выполняется композиционное правило
вывода, обеспечивающее минимальное значение критерия
адекватности B.87).
Условия адекватности нечеткой модели. Задано R = (J Xtx Yt.
i = 1, и
Если для каждого Хг
Yi = XioR, B.88)
то композиционное правило вывода выполняется строго,
в противном случае приближенно.
Ниже сформулируем теоремы о строгом выполнении
композиционного правила вывода, определяющие условия
минимизации критерия адекватности B.87).
Теорема 2.9. Пусть матрица отношения R = Xx Y(n = l)
регулярная.
Если нечеткие множества X и Y нормальные, то
соотношения B.88) строго выполняются.
Доказательство. Предположим, что
Х={(х, VLxix))}; Y={(y, цу(;,))}; R = {(nR(x, у), (х, у))}.
Согласно теореме Тонга [66], когда нечеткие множества
X и Y нормальные и R регулярная, в матрице отношения
R имеется такой столбец х* и строка у*9 для которых
66

или
\ix(x) = ma.x\iR(x, у); \xY(y) = m<ix [iR(x, у). B.90)
Так как для элементов (х, у) матрицы отношения R
выполняются следующие соотношения:
Vr (**, у)>Рк(х, у); Ц* (*, y*)^\xR(x, у),
то
min {\xR (x*9 у), \iR(x9 y)} = \iR(x9 у);
min{jiR (x9 у*)9 \iR(x, y)} = VR{x, у). B.91)
Поскольку
lxY(y) = max min {\ix{x), \lr(x, у)}, B.92)
то, подставив B.89) в B.92), с учетом B.9U) и B.91) получим
iY(y) = maxmin{\Lx(x)9 \iR(x9 y)} =
X
= max min {[iR (x*, у), ця(х, >•)} =
к(х, y) = \ir(y). ?
Теорема 2.10. Пусть матрица отношения R нерегулярная,
т. е. i?= U Ri9 где Кг^Хгх?г — регулярная матрица отноше-
i = T~n
ния. Если нечеткие множества Xi9 Yt (i—l,n) нормальные
и удовлетворяют условиям П ^,- = 0» П Yt = 0, то
cootie Т7й i=T7n
ношение B.88) строго выполняется.
Доказательство. Предположим, что
Xt = {(nXt{x),x)}; Г, = {{»Г1{у),у)у,
min {\ix.{x), ця(дс, у)}. B.93)
Матрица отношения R= \J R{ нерегулярная, где
Я^ЪхГ,. B.94)
Согласно условиям теоремы
П_Х1 = 0, П_У, = 0. B.95)
/ = 1, п i = 1, п
67

Тогда из B.94) с учетом B.95) вытекает, что
= ||1д., если (х, у) е supp X{ x У.;
Ri (О, если (х9у)фsuppXt x У.,
поэтому
"\xRi9 если (х9 y)esuppX1 x Ух;
цЛ2, если (х, ^)esuppX2x Y2;
.jLiRn, если (х, j)esuppArnx Yn9
следовательно, тт(ц^, цк) = 0 для всех цк = цЛ G= 1, и), за
исключением \iR = jxR G = /).
Учитывая это в B.93), получаем
Так как Xt(i=l9 п) — нормальные нечеткие множества
и Rt(i=l,n) — регулярные матрицы отношения, согласно те-
ореме 1 соотношение B.88) строго выполняется. ?
Рассмотрели только бинарное отношение, когда объект
характеризуется одним входом и одним выходом. Полученные
результаты справедливы и для многомерного технологического
производства, если правила имеют вложенную структуру.
Результаты этих теорем используют при построении нечеткой
модели установки первичной переработки нефти, которая была
заложена в основу АСУ ТП, внедренной на Ново-Бакинском
нефтеперерабатывающем заводе им. Владимира Ильича.
Результаты практически реализуемы и нечеткая модель,
построенная с учетом требований этих теорем, дает адекватный
технологический режим.
2.5. ПРИМЕР НЕЧЕТКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ
В последние годы как у нас в стране, так и за рубежом
широкое признание и развитие получила робототехника как
эффективное и достаточно универсальное средство для
автоматизации процессов, в основном, дискретного производства.
Последнее обстоятельство связано, в первую очередь, с тем,
что дискретное производство характеризуется наличием
трудоемких, вредных и опасных для здоровья людей форм
ручного труда, поэтому автоматизация производства является
важной экономической и социальной задачей.
68

Замена человека средствами робототехники влечет за собой
проблему разработки соответствующих систем управления.
Особую важность данная проблема приобретает в связи
с созданием квазибезлюдных гибких автоматизированных
производств (ГАП), разработка которых накладывает
дополнительные требования к функционирующим в их составе
роботам и робототехническим участкам. С одной стороны,
эти требования сводятся к повышению уровня
«интеллектуальности» роботов, которые в определенной степени должны
моделировать поведение человека. В этой связи ключевое
место занимают вопросы построения модели мира робота,
а также планирования его поведения или принятия решений
роботом в различных ситуациях, возникающих в условиях
реального производства [46, 49].
С другой стороны, возникают проблемы координации
функционирования целых роботизированных участков или
коллективов роботов с целью согласования работы отдельных
роботов. Отметим, что вопросам координации
функционирования роботизированных участков посвящен отдельный параграф
в гл. 6 данной книги, поэтому на этой проблеме не будем
останавливаться.
Трудность решения перечисленных задач определяется
недетерминированностью условий функционирования реального
производства, при которых человек принимает лишь приближенные
решения, позволяющие ему с достаточной эффективностью
выполнять свои функциональные обязанности.
Следует пояснить, что предлагаемый подход к построению
модели мира и планированию поведения робота основывается
на попытке моделирования деятельности человека, замененного
на производстве роботом. Анализ же такого поведения в
условиях реального производства показал, что успешное выполнение
своих профессиональных обязанностей работником на
производстве базируется, в первую очередь, на его опыте и связанной
с ним интуиции, носящих ярковыраженный субъективный
характер. Последнее обстоятельство приводит к мысли, что
приобретаемый человеком опыт, основанный на
подсознательном механизме обучения (особенно при низкой квалификации
работников) и позволяющий ему избежать ошибок, связанных
с недетерминированностью производства, может быть описан
категориями «размытого» характера. Поэтому подобную
неопределенность производства при построении модели мира
робота и разработке метода планирования его поведения,
адекватно отражающих действия человека йа производстве,
на наш взгляд, можно интерпретировать как нечеткость по
Л. Заде.
Управление интеллектуальным роботом-«сортировщиком» для
отбраковки изделий на потоке, В качестве дискретного произ-
69

водства рассмотрим цех по выпуску теплообменников для
бытовых холодильников на Сумгаитском алюминиевом заводе.
Данное производство является крупносерийным, обеспечивающим
до 50% общесоюзных потребностей в теплообменниках для
бытовых холодильников. До внедрения средств робототехники
данное производство характеризовалось высокой степенью
использования ручного малоквалифицированного труда во
вредной, химически активной среде. Эти обстоятельства
приводили к неоправданному физическому переутомлению рабочего
персонала, низкой эффективности использования технологического
оборудования, высокому проценту брака выпускаемой продукции.
Данное производство осуществляется на четырех (основных)
участках, образующих непрерывный цикл: участок подготовки
заготовок теплообменников (карточек) к прокату; участок
холодной сварки теплообменников; участок образования
каналов теплообменников; участок окончательной доводки
теплообменников, приемки и упаковки.
К вспомогательным участкам относятся: участок
приготовления противосварочной пасты; фотошаблонная мастерская.
Транспортируются изделия с участка на участок ленточными
транспортерами.
В процессе изготовления теплообменников из алюминиевых
пластин большое значение приобретает качество их первичной
обработки, осуществляемой на участке подготовки заготовок
к прокату. Качество первичной обработки карточек определяется,
в основном, следующими составляющими: качеством шлифовки;
искривлением; температурой карточек после закаливания в печи.
Большие технологические потери на участке первичной
обработки до внедрения ГАП объяснялись высокой степенью
субъективизма визуальной оценки качества заготовок
человеком, т. е. практически полным отсутствием измерительных
и вычислительных средств. Это приводило к необоснованному
«грубому» бракованию карточек или, что еще хуже, к пропуску
некачественных заготовок на дальнейшую обработку.
В условиях внедряемого ГАП функции контроля качества
заготовок и соответствующей ему сортировки возлагаются на
интеллектуальный робот (ИР). За основу функционирования
такого робота (построения его модели мира) принимается метод
определения лингвистической оценки качества карточек,
основанный на использовании математического аппарата нечеткого
условного логического вывода, изложенного в § 2.4 [46, 48, 72,
73]. В соответствии с этой лингвистической оценкой находится
подобная оценка угла поворота манипулятора-«сортировщика»,
являющегося исполнительным органом ИРа. Полученная
лингвистическая оценка угла поворота позволяет легко реализовать
соответствующее управляющее воздействие на серводвигатель
манипулятора. Использование подобного ИР-«сортировщика»
70

обеспечивает: объективность бракования карточек; повторную
обработку части заготовок, которая ранее браковалась;
поступление высококачественных заготовок на дальнейшую обработку.
В качестве измеряемых входных переменных при
определении качественной оценки алюминиевых пластин принимаются
два параметра: Хх—кривизна пластины; Х2 — температура
пластины после обжига и охлаждения.
Из технологических соображений принимается, что значения
этих параметров
jmini
где Xlmin9 Iimax и X2min, ^2 max—минимальное и максимальное
значения кривизны и температуры алюминиевой пластины
соответственно.
Входные параметры Хх и Х2 рассматриваются как нечеткие
множества, формирующие лингвистические переменные,
описываемые тройками вида
где Т* (и)—расширенное терм-множество лингвистической
переменной ПАРАМЕТР j; Xj—нечеткое множество,
описываемое функцией принадлежности [ix : Ux^[0, 1];
Ux—универсумы вида UXj = {0, I, ..., 10}.
Значения лингвистической переменной ПАРАМЕТР j
задается в следующем виде:
Значение переменной и(еих., у=1,2:
несущественное !. 0
почти малое 1
малое 2
чуть более, чем малое 3
почти среднее 4
среднее 5
чуть б,олее, чем среднее 6
почти большое 7
большое 8
чуть более, чем большое 9
предельное 10
Предлагается в качестве отображения q: Xj-*UXj, 7=1,2
следующее соотношение:
i^ent |jcard Ux-1) (^.j^J^
y=l,2, | = <п0, B.96)
где cardC/x.—мощность универсума UXj={0, I, ..., 10},. т. е.
cardf/x — 1 = 10; Xj—текущее измеренное значение /то
параметра; а ^ 1 — коэффициент.
71

Нечеткие множества
При вычислении оценок функции принадлежности для
синглтонов из B.96) вида \iXm(ut)/ui9 / = 0, 10 предлагается
следующая процедура: J
ix(ut)=l-
1
card Uу.— 1
— ent i
и,—
(cardC/^-1)
Y-Y \a~|
V" max ^0 min / J
B.97)
Для card Ux,— 1 = 10, т. e. /=0, 10, a=l, получаем следующее
соотношение:
/' *у Yl
jmax ^jmin/_J
uteUXj, /=0,10. B.98)
Пусть выходной параметр также пр.. гставляется в виде
нечеткого множества качества алюминиевой пластины Г,
формирующего лингвистическую переменную, описываемую тройкой вида
t={<Yi9VY,?y}9 YteT*(v), i = I7l0,
где VY — универсум вида Fy = {0, I, ..., 10}; Y—нечеткое
множество, описываемое функцией принадлежности \х.у\ Кг-»[0, 1];
T*(v)—расширенное терм-множество лингвистической
переменной КАЧЕСТВО 1.
Значения лингвистической переменной КАЧЕСТВО 1
задаются в следующем виде:
Значение переменной vtGVY:
предельно низкое .: 0
почти низкое 1
низкое 2
чуть лучше, чем низкое 3
почти среднее 4
среднее 5
чуть лучше, чем среднее 6
почти высокое 7
высокое 8
чуть лучше, чем высокое 9
наивысшее 10
Нечеткое множество
?=f\i(v)lv.
B.99)
72

Для получения текущего значения качества алюминиевой
пластины, соответствующего входным параметрам, используется
одно из правил условного логического вывода, изложенных выше.
В качестве отношения R1(A1(x)9 А2(у)) используется правило вида
B.100)
х VY-*U
Xl х "I ?),
или на языке функций принадлежности
UX; xV,1
и
и
и
= ц
>]Х
V
V
V
B.101)
Так как входные переменные Х1 и Х2 с точки зрения
технологии неравнозначны, т. е. при определении качества изделий
большее значение приобретает кривизна пластины, чем ее
температура, то в этой связи в B.100) и B.101) предлагается
вместо функции принадлежности вида \l(u) = \i1(u) л \l2(u\
следуя изложенному ранее «принципу выделения» и ранжировке
по важности, использовать операцию «растяжения» нечетких
множеств, иными словами, входное нечеткое множество
X=X1(\DIL(X2), где DIL(-) — операция расширения.
В этом случае функция принадлежности
ц(и) = Ми)л[Ыи)]0'5. B.102а)
Для формирования бинарного отношения R1(Al(x), A2(y))9
исходя из технологических особенностей, предлагается
использовать следующее условное предложение:
Р1=ЕСЛИ Х1ч несущественно и Х2 более или менее
несущественное ТО Y наивысшее ИНАЧЕ ^предельно низкое.
Для построения нечеткого множества Х1 = несущественное
пользуются соотношением B.97) с тем очевидным
обстоятельством, что значению лингвистической переменной ПАРАМЕТР
1 = несущественное соответствует щ = 0, что позволяет
определить соответствующее фактическое значение параметра Х19 т. е.
ent
или
\(caidUx-l)(Xl Xlmi" YU,
L \Л 1 max ~~ л 1 min/ J
Xl~Xixin I=0'
1 max — л 1 min/ J
73

или X1=Xlmin9 откуда определяется нечеткое множество
несущественное:
X = несущественное = 1 /0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,7/3 + 0,6/4 + 0,5/5 +
0,4/6 + 0,3/7 + 0,2/8 + 0,1/9 + 0,1/10.
Для второго параметра из тех же соображений получаем:
Х2 = более или менее несущественное = A/0 + 0,9/1 +0,8/2 +
°
/ / / / / / / /) /
+ 0,95/1 + 0,89/2 + 0,84/3 + 0,78/4 + 0,7/5 + 0,64/6 + 0,55/7 + 0,45/8 +
+ 0,31/9 + 0,31/0.
Далее по формуле B.102а) входное нечеткое множество
представляется в виде
Х= 1/0 + 0,9/1 +0,8/2 + 0,7/3 + 0,6/4 + 0,5/5 + 0,4/6 + 0,3/7 +
0,2/8 + 0,1/9 + 0,1/10.
Затем определяем, что для значения лингвистической
переменной КАЧЕСТВО 1= наивысшее соответствует ^=10. По
аналогии с B.97) получается при этом, что
ent
но так как card VY—1 = 10, то
4^
max -* min
Ш
у. _ ymin
у _ у .
¦* max -* mm
_ 1 n V — V
— iu, т. e. /.— /max.
Аналогично вышепоказанному способу из B.99) определяем
нечеткое множество У=наивысшее = 0,1/0 + 0,1/1 +0,2/2 + 0,3/3 +
0,4/4 + 0,5/5 + 0,6/6 + 0,7/7 + 0,8/8 + 0,9/9 + 0,1/10.
Теперь согласно B.101) строем матрицу бинарных отношений:
R{Ax{x), А2(у)) =
0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,1
0,1
0,
1 0,
1 0,1
i о,;
[ 0,1
[ 0,1
[ 0,1
1 0,1
1 0,1
1 0,1
1
1 1
1 0,2
1 0,2
г 0,2
[ 0,2
0,2
1 0,2
0,2
0,2
1
0,8
0,8
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
1
0,7
0,7
0,7
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
1
0,6
0,6
0,6
0,6
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
1
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,7
0,7
0,7
1
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,8
0,8
1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,9 1
0,
0,
0,
0,
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
[ 0
1 0
1 0
[ 0
1 0
1 0
i 0
1 0
1 0
0
B.1026)
Далее в соответствии со значениями входных измеряемых
параметров Х1тек и Х2тек по B.97) определяется текущий вид
74

нечетких множеств Х1тек и Х2тск из B.102а). Воспользуемся
идеей композиционного вывода Заде для нахождения нечеткого
множества, характеризующего качество алюминиевой пластины,
= [X,тек П DILA2тек)] о R± (A± (х), А2 (у)),
где о — операция максиминной композиции Заде; Rl(A1(x),
А2(у)) — бинарное отношение в виде B.101).
В качестве входного параметра для определения угла
поворота манипулятора-«сортировщика» вводится нечеткое
множество, формирующее лингвистическую переменную
КАЧЕСТВО 2 и описываемое тройкой вида
Yx{<Ylh WYi9 ?!>}; YueT*(w)9 /=<п,
где WYi—универсум вида ^У1 = {0, 1, 2}; Yt—нечеткое
множество, описываемое функцией принадлежности Цу :
WYi~^[0, I]; T*(w)—расширенное терм-множество
лингвистической переменной КАЧЕСТВО 2.
Для описания отображения Мх: Vr-+WY воспользуемся
следующими соображениями: пусть VY= V1YU ViyU Уъ^-» при
этом У1УПУ2уГ)Узу, т.е. К1У = {0, 1, ...,4}, V2Y = {5, 6, 7},
F3y = {8, 9, 10}.
Следует отметить, что
3v*eVY | M(i>*) = sup [ifa), i = 0T2,
где iifoi) — оценка функции принадлежности для /-го синглтона.
Теперь осуществим переход (отображение Мх) с помощью
введения
{0, если vfe VlY;
1, если vfe V2Y\
2, если vte V3Y.
Иными словами, значения лингвистической переменной
КАЧЕСТВО 2 можно представить в следующем виде:
Значение переменной н^еИ^:
неустранимый дефект ! 0
возможна повторная обработка 1
на следующую операцию 2
Нечеткое множество
?i= J Hy>)/W- BЛ03)
75

Для вычисления оценок функции принадлежности в синглтонах
VLYl(wi)/wi> ' = 0,2, из соотношения B.91) получаем выражение
^'vi1^^4 /=5Д BЛ04)
или при card WYi — \=2 получаем
>iy1(wf)=l-i|wf-H>*U f=0T2. B.105)
В свою очередь угол поворота
манипулятора-сортировщика» выражаем в виде нечеткого множества Z, которое формирует
лингвистическую переменную УГОЛ, описываемую тройкой вида
Z0 = {{zt, Wz, Z»; zteT*{wx)9 /=оД
где Wz— универсум вида Wz = {0,1,2];
Z—нечеткое множество, описываемое функцией
принадлежности |if: Wz->[0, 1]; r*(wz)—расширенное
терм-множество лингвистической переменной УГОЛ.
Значения лингвистической переменной УГОЛ можно
представить в следующем виде:
Значение переменной WZ.E Wz\
малая .' 0
средняя 1
большая 2
Нечеткое множество
Z = JM»0/*V B-106)
Фактические значения углов поворота
манипулятора-сортировщика» ф;б[90, 270]°. Вполне понятно, что для вычисления
оценок функции принадлежности в синглтонах вида \iz(wz)/wXt
из соотношения B.106) можно воспользоваться следующим
выражением:
7 = 0Г2. B.107)
При card Wz = 3, фт1п = 90°, фтах=270° получим
76

Для построения бинарного отношения R2(A1(y1), A2(z)),
характеризующего логическую связь между качеством
алюминиевых пластин и углом поворота манипулятора-«сор-
тировщика», воспользуемся условным предложением
следующего вида:
Р2 = ЕСЛИ Yx неустранимый дефект ТО Z малый ИНАЧЕ
Z большой.
При использовании для определения функций прйнадлеж
ности выражений B.104) и B.107) получаем:
?! = неустранимый дефект = 1/0 + 0,5/1 +0,2,
Z=малый = 1/0 + 0,5/1 +0,2.
Для получения функции принадлежности, соответствующей
текущему значению угла поворота манипулятора-«сортировщи-
ка» как логического следствия, в качестве бинарного отношения
используем правило условного логического вывода вида
R2(A1{y1), A2(z))={Y1xWz^lVYixZ)f]
или на языке функций принадлежности
я2(АЫ,л2(г)Н J (иК)-иК))а
WYi х Wz
а (A-цК))-A-ЦК))/К, и;г) =
J1' *К\-№ B.108)
В соответствии с условным предложением Р2 и правилом
вывода B.108) строим матрицу бинарного отношения
1
0,5
0
1
1
0
0
0,5
0
1
0
0
0
0
1
B.109)
В соответствии с текущим значением нечеткого множества Y^ тек,
т. е. качества алюминиевой пластины, которое представляется
77

в виде B.103), для определения угла поворота или нечеткого
множества, соответствующего лингвистической переменной УГОЛ,
вновь используется идея композиционного вывода Заде, т. е.
Zm = R(Al(yl))oR2(A1(yl),A2(z)) =
= ?lmoR2(Ai{y1),A2(z)), B.110)
где о — операция максиминной композиции; R2(Ai(y1), A2(z)) —
бинарное отношение вида B.109).
В результате операции B.110) определяем текущее значение
нечеткого множества ZTeK, представленное в виде B.106). Далее
находим некоторое w*z. е Wz из тех соображений, что
= sup \iz(wZi)9 / = 0, 2,
wZieWz
где |iz(wz.) — оценка функции принадлежности для /-го сингл-
тона из B.106).
Подставляя н* в соотношение:
Wr =(
и учитывая card Wz = 3, Фтт = 90°, ц>тгкХ = 270°, получаем угол
поворота
B.111)
Например, если и>* = 0, то 9, = 90°, а если и>* = 1, то
ф;=180° И Т.Д. '
Управление манипулятором-«сортировщиком»
осуществляется в режиме непосредственного цифрового управления (НЦУ)
с микроЭВМ.
Пример 2.3. В качестве вектора входных параметров определен X={Xt, Х2],
где Х1 — кривизна пластин; Х2 — температура пластин после обжига и
охлаждения. Пусть ^^[З, 8] мм, ^2е[100, 185]°. При этом, как и ранее,
card UXi:~card VY = 11, a card WYl=ca.rdWz — 3; измеренное значение
контролируемых параметров 11тек = 5,5мм, Аг2тек=160°. Тогда из B.96) и B.98)
соответствующие нечеткие множества будут иметь следующий вид:
А\ тек = 0,5/0+ 0,6/1 +0,7/2 + 0,8/3 + 0,9/4+1/5 + 0,9/6 + 8/7 + 0,7/8 + 0,6/9 + 0,5/10,
а Х2 тек = 0,3/0 + 0,4/1 + 0,5/2 + 0,6/3 + 0,7/4 + 8/5 + 0,9/6 + 1 /7 + 0,9/8 + 0,8/9 + 0,7/10.
Учитывая одинаковую важность обоих физических параметров из B.100),
получаем значение нечеткого множества
Хтек = 0,3/0 + 0,4/1 + 0,5/2 + 0,6/3 + 0,7/4 + 0,8/5 + 0,9/6 + 0,8/7 + 0,7/8 + 0,6/9 +
+ 0,5/10. Композируя нечеткое множество Хтек с матрицей B.1026), получаем
78

Y«к = 0,6/0 + 0,6/1 + 0,7/2 + 0,8/3 + 0,9/4 + 0,8/5 + 0,7/6 + 0,6/7 + 0,5/8 + 0,4/9 + 0,3/10.
Таким образом, и>* = 0, a v* = 4, так как цD) = sup|i(i;,) = 0,9. Из B.105)
Uxt
с учетом B.103) следует, что ?1тек = неустранимый дефект = 1/0 + 0,5/1+0/2.
С помощью выражения B.110) композируем найденное нечеткое множество
flTeK с матрицей B.109), откуда 2тек=малый= 1/0 + 0,5/1+0/2. Значит, и>? = 0.
Подставляя w* в B.111), определяем, что угол поворота <р, = 90°.
Глава 3
ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОМЫШЛЕННЫМИ ОБЪЕКТАМИ
В НЕЧЕТКОЙ СРЕДЕ
3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача нечеткой оптимизации формулируется следующим
образом: найти такой вектор х = (хх, ..., хп), для которого
() C.1)
при условиях
ф,(*)еД, i = T7w; xeX. C.2)
Здесь/и ф,- (/=1, га)— нечеткие функции/ ф{: F(Rn)->F(R),
где F(R) и F(Rn) — совокупности нечетких множеств,
определенных на множестве действительных чисел Л и на «-мерном
пространстве Rп; max — нечеткий максимум; Д — нечеткие
числа.
В [11] различают следующие виды нечеткой функции:
нечетко ограниченная функция; нечеткое расширение четкой
функции; нечеткая функция от четких переменных; четкая
функция от нечетких переменных.
Если нечеткие функции/(jc) и ф,-(л:) (/=l,w) представляют
собой нечеткое расширение четкой функции, т. е. являются
обычными функциями, но с нечеткими коэффициентами или
переменными, тогда задача C.1) — C.2) представляет собой
задачу нечеткого математического программирования.
В [11] дается определение понятия нечеткого максимума
(минимума). В классических задачах оптимизации максимум
(минимум) функции f(x) в заданной области достигается
в определенной точке х*. Однако в задачах нечеткой
оптимизации требуется знать поведение функции не только
79

в точке х*, но и в ее окрестности. Для этой цели
используется понятие максимизирующего (минимизирующего)
множества.
Пусть/(х)—реальная функция, определенная на множестве
X. Предположим, что она ограничена сверху sup(/) и снизу
inf (/). Максимизирующее множество М функции f(x) является
нечетким множеством с функцией принадлежности:
^W-sup(/)_inf(/r "xeX. C.3)
Нечеткий максимум f(M) функции /(*), т. е. нечеткое
множество на У, является ооразом максимизирующего
множества при отображении / с функцией принадлежности
Vf(M){y)= sup fM(x).
хеГ1(у)
Здесь Y—область изменений функции f(x).
Минимизирующее множество функции f(x) определяется
как максимизирующее множество функции—f(x).
Введем понятие максимума четкой функции в нечеткой
области Z), которое понадобится нам в дальнейшем. Для
максимума четкой функции в нечеткой области возможны
следующие варианты: определение четкого максимума функции
f(x) в нечеткой области; определение нечеткого максимума
функции f(x) в нечеткой области D.
Под задачей максимизации функции f(x) в нечеткой области
понимается следующее: найти такой элемент х*еХ, который
с наибольшей степенью принадлежит как максимизирующему
множеству М функции /(х), так и нечеткой области D.
Степень принадлежности этого элемента
хеХ
Максимум функции \x(x) = min(\iM(x), \xD(x)) исследован
в [25]. Для этой цели нечеткая область D так разбивается
на а-сечения (а-уровни), что
|i(x*) = supmin[iiM(x), Mu(*)]= sup min[a, sup \iM(x)].
xeX ae[0, 1] jce/>a
Функция g (a) == sup \iM (x) — невозрастающая, поэтому если
она непрерывна, то максимум достигается в такой точке а*,
в которой а * = sup \хм (х) = \хм (х *). Следовательно, х * е Da*
xeDa
80

и Hd(**)^Ha#(**)- Таким образом, исходная задача четкой
максимизации четкой функции f(x) в нечеткой области D
сводится к эквивалентной задаче максимизации цм(*) в четкой
области Т={х, \Jld(x)^>\lm(x\) при условии непрерывности g(oc).
В свою очередь нечеткий максимум функции f(x) в нечеткой
области D определяется следующим образом: пусть М(ос) будет
множеством элементов, максимизирующих функцию/(х) на Da:
= \JM(a).
XSD, J
Нечеткое множество максимизирующих элементов
M=Df]Q, при этом для VxeQ справедливо следующее
утверждение:
()= sup a.
Тогда нечетким максимумом функции /(*) в нечеткой
области D называется нечеткое множество на Я, получаемое
из М с помощью /, т. е.
Mf(M){y)= sup \iM(x).
Следует отметить, что в зависимости от вида функций
f(x) и ф((х) (/=l,m) в C.1) — C.2) различают следующие
задачи: оптимизация с нечеткими отношениями [24];
оптимизация с нечеткими ограничениями [18—21]; оптимизация
с нечеткой целью [21]; оптимизация с нечеткой целью
и нечеткими ограничениями [21].
3.2. ОПТИМИЗАЦИЯ С НЕЧЕТКИМИ ОТНОШЕНИЯМИ
Требуется найти
j=/(x)-+max C.4)
при ограничениях
i=l,/и; хеХ. C.5)
Здесь <—нечеткое отношение.
Для решения задачи C.4) — C.5) может быть применен
подход, предложенный в [24]: пусть у0 — значение целевой
функции /(х), достижение которого считается достаточным
Для выполнения цели; d и Д пороговые уровни такие, что
неравенства f(x)^y0 — d и <pi(x)^Bi-\-li означают сильное
нарушение соответствующих* неравенств f(x)^y0 и <р(х)^В.
6 Заказ 2056 81

Введем нечеткие цели и ограничения:
{О, если f(x)^yo-d;
ц(х, d\ если yo-d<f(x)<yo;
I, если f{x)^y0;
{О, если y(x)^Bi + li\
ц (х, U), если Bt < ф? (х) < Bt + lt;
1, если (f>i)
где |i(x, d\ |i(x, /|) (i=l, m) — некоторые функции A^fO, 1],
описывающие степень выполнения соответствующих неравенств
с точки зрения лица, принимающего решение (ЛПР).
В частном случае можно использовать следующие кусочно-
линейные функции принадлежности:
{О, если f(x)^yo-d;
l~[f(x)-yo]/d, если yo-d<f(x)<yo;
1, если f{x)^y0
{О, если ф;
\-[цг{х)-Вг~\11ь если 0<ф,(х)</ь
1, если ф,()/
В результате исходная задача оказывается
сформулированной в форме задачи достижения нечетко определенной цели
при нечетких ограничениях, и для ее решения может быть
применен подход Беллмана—Заде. Функция принадлежности
нечеткого решения
а максимизирующее решение x* = argmax|iI)(x).
Предположим, что функции f(x) и (f>t(x)—линейные, т. е.
рассмотрим задачу нечеткого линейного программирования
с нечеткими отношениями:
, х2, ..., хп) =
+a
+ а22х2 + ... + а2пхп<Ь2;
1=1, П
82

или в векторном виде
где с = (си с2, ..., с„),
; Ax<B;
C.7)
— [Xx, Х2, ...,
Целевую функцию в C.7) можно написать в виде нечеткого
ограничения сх<у0, где у0— желаемое значение целевой
функции для ЛПР. Максимизирующее множество целевой функции
обозначим через Mf. Функции принадлежности нечетких
множеств Мф, описывающие нечеткие ограничения, имеют вид
Ц Ё
1, если Y,
—, если Ь($
n
О, если У
C.8)
i, i=0, m, bo=yo.
Здесь aOj = Cj, dt—субъективно выбранная константа,
определяющая допустимое нарушение /-го ограничения.
Решение уравнения C.8) определяем в виде
C.9)
Максимизация \iD{x) эквивалентна решению следующей
задачи линейного программирования:
xn+1->max C.10)
при ограничениях
i-( Z aijxj)> -i=09m9
\ J
C.11)
Постоянная yo + do определяется решением задачи C.10) —
C.11) без 1-го ограничения. Пусть х будет его решением,
тогда, введя его в C.7), получим
yo+do = cx9 C.12)
где у0 определяется как оптимальное значение целевой функции
в следующей задаче линейного программирования:
/=cx-nnax; Ax^Ji + d; x^O,
где d=(dt, ..., dm).
83

Рассмотрим задачу нечеткой оптимизации ректификационной колонны
установки ЭЛОУ-АВТ. Выходным продуктом колонны является нестабильный
бензин yv Увеличение выхода бензина достигается изменением температуры
верха хх и низа х2 колонны. Возмущающими воздействиями являются
расход сырья — нефти х3, температура сырья х4 и плотность нефти х5.
На качество бензина накладываются ограничения, которые формулируются
нечетко, т. е. «конец кипения бензина у2 должен быть не выше 180° С»
и «начало кипения бензина у3 должно быть не ниже 30° С».
Математические зависимости выхода бензина и его качества _у.(/=1, 3)
от управляющих переменных (х19 х2) и возмущающих воздействий хДу = 3, 5)
определены с использованием уравнений множественной регрессии:
yt = 111,468-0,045x^0,11x2-0,0493x3-0,015x4 + 42,03x5;
у 2 = 16,8 + 0,05х! - 0,084х2 + 0,0005х3 + 0,03х4 + 23,5х5;
^3 = 243,356-0,038х1-0,054х2-0,0019х1+0,0011х2-50,Зх5.
Задача оптимизации процесса управления колонной заключается в
определении таких значений управляющих переменных хх и х2, при заданных значениях
возмущающих воздействий хДу = 3, 5), чтобы
111,468-0,045х1+0,11х2-0,0493х3-0,015х4+42,03х5^тах C.13)
при ограничениях:
16,8 + 0,05х! - 0,084х2 + 0,0005х3 + 0,03х4+23,5х5 > 30;
243,356-0,038х1-0,054х2-0,0019х3+ 0,0011х4-50,Зх5< 180; C.14)
140^x^160; 250<х2<260. C.15)
Задача C.13) — C.15) представляет собой задачу нечеткого линейного
программирования с нечеткими отношениями типа < и >. Напишем эту
задачу в стандартной форме:
111,468-0,045х1+0,11х2-0,0493х3-0,015х4+42,03х5-тах;
243,356 - 0,038хх - 0,054х2 - 0,0019х3 +0,0011х4-50,Зх5< 180;
-16,8 - 0,05хх + 0,084х2 - 0,0005х3 - 0,03х4 - 23,5х5 < - 30;
140^x^160; 250^х2^260.
При решении задач оптимального управления технологическими
процессами всегда имеются плановые ограничения на выпуск продукции.
Следовательно, тах^ всегда ограничен сверху, поэтому
где ую—плановое ограничение на производство нестабильного бензина.
Учитывая, что в нашем подходе не делается различий между целевой
функцией и ограничениями, представим целевую функцию в виде ограничения:
У1=/ЛХ1> *2> *з> *4> -Хз^ю. C.16)
Таким образом, решение задачи C.13) — C.15) сводится к решению
следующей задачи:
-Fi=/i(*i> x29 х3, х4, х5)<у10;
^2 =/2(^1» ^2. ^з» ^4»

C.17)
где
^ = 111,468 - 0,045.*! + 0,11 *2 - 0,0493*3 - 0,015*4 + 42,03*5;
>>2 = 243,356-0,038*1 -0,054*2-0,0019*3 + 0,011*4-50,3*5;
^з = -16,8 - 0,05jcx + 0,084*2 - 0,0005*3 - 0,03*4 - 23,5*5;
^1О=126; ^20 = 180,5; >>зо = 30;
140^*! ^160; 250^*2^260.
Определим множество решений задачи C.17). С этой целью вычислим
значения функций ^.(/=1, 3) в заданной области C.15) при заданных значениях
возмущающих воздействий *3 = 800; *4 = 220; *5=0,85.
Результаты вычислений на ЭВМ СМ-4 с постоянным шагом hl=4, h2 — A
приведены в табл. 3.1.
Найдя множество допустимых решений задачи C.17), определим
допустимые пределы нарушения ограничений C.14) и C.16). Это можно
определить в диалоге ЛПР (технолога-оператора процесса). Пусть ^ = 1,0;
</2 = 0,5; </3 = 1,0.
Тогда функции принадлежности нечетких множеств y.(i=\, 3), опиеыва-
ющие нечеткие цели и ограничения C.17), будут иметь вид:
Таблица 3
140
140
140
140
140
140
144
144
144
144
144
144
148
148
148
148
148
148
152
152
152
152
152
152
156
156
156
156
.1
х2
250
252
254
256
258
260
250
252
254
256
258
260
250
252
254
256
258
260
250
252
254
256
258
260
250
252
254
256
Ух
125,653
125,873
126,093
126,313
126,533
126,753
125,473
125,693
125,913
126,133
126,353
126,573
125,293
125,513
125,733
125,953
126,173
126,393
125,113
125,333
125,553
125,773
125,993
126,213
124,933
125,153
125,373
125,593
Уг
180,503
180,395
180,287
180,179
180,071
179,963
180,351
180,243
180,135
180,027
179,919
179,811
180,199
180,091
179,983
179,875
179,767
179,659
180,047
179,939
179,831
179,723
179,615
179,507
179,895
179,787
179,679
179,571
Уъ
28,975
28,807
28,639
28,471
28,303
28,135
29,175
29,007
28,839
28,671
28,503
28,335
29,375
29,207
29,039
28,871
28,703
28,535
29,575
29,407
29,239
29,071
28,903
28,735
29,775
29,607
29,439
29,271
85

Продолжение табл. 3.]
156
156
160
160
160
160
160
160
Х2
258
260
250
252
254
256
258
260
У\
125,813
126,033
124,754
124,974
125,194
125,414
125,633
125,854
Уг
179,463
179,355
179,743
179,635
179,527
179,419
179,311
179,203
Уъ
29,103
28,935
29,975
29,807
29,639
29,471
29,303
29,135
\1Ул(х19 х2)=
Г 1, если/Л*!, ...,
i 1-[126-/1(х1, ..., *5)]/1, если 125,5 </i(jclf
[ 0, если/^Х!, ..., х5)^125,5;
1, если/г^!, ..., *5)<180;
1 -[180,5-/2(х19 ..., *5)]/0,5, если №<f2{xl9
0, если/2(*1. х2, ..., )
0,
., *5)<126;
.., х5)< 180,5;
1, если 29</3(х1, ...,
Исключим из множества решений все значения >>,-(/= 1,3), для которых
fx(xl9 ..., ^5)<125,5; f2(xu ..., х5)^180,5; /3(jclf ..., х5)^29.
В результате получим множество допустимых решений, которое
представлено в табл. 3.2.
Таблица 3
*i
140
140
144
144
144
144
144
148
148
148
148
148
148
152
152
152
152
152
152
156
156
156
156
156
.2
252
254
250
252
254
256
258
250
252
254
256
258
260
250
252
254
256
258
260
250
252
254
256
258
Yx
125,87
126,09
125,47
125,69
125,91
126,13
126,35
126,29
125,51
125,73
125,95
126,17
126,39
125,11
125,33
125,55
125,77
125,99
126,21
124,93
125,15
125,37
125,59
125,81
Y2
180,39
180,29
180,35
180,24
180,13
180,03
179,92
180,20
180,09
179,98
179,88
179,77
179,66
180,05
179,94
179,83
179,72
179,61
179,51
179,90
179,79
179,68
179,57
179,46
r3
28,81
28,64
29,18
29,01
28,84
28,67
28,50
29,38
29,21
29,04
28,87
28,70
28,54
29,58
29,41
29,24
29,07
28,90
28,74
29,78
29,61
29,44
29,27
29,10
86

Продолжение табл. 3.2
156
160
160
160
160
160
160
х2
260
250
252
254
256
258
260
Yi
126,03
124,75
124,97
125,19
125,41
125,63
125,85
Y2
179,36
179,74
179,63
179,53
179,42
179,31
179,20
28,94
29,98
29,81
29,64
29,47
29,30
29,14
Определим степень принадлежности элементов (xt, х2) множеству
допустимых решений /), для которых выполняется неравенство
по формулам:
Результаты вычислений приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
..., х5)];
.., *5)]/0,5;
..., х5)].
A40,252)
A40,254)
A44,250)
A44,252)
A44,254)
A44,256)
A44,258)
A48,250)
A48,252)
A48,254)
A48,256)
A48,258)
A48,260)
A52,250)
A52,252)
A52,254)
A52,256)
A52,258)
A52,260)
A56,250)
A56,252)
A56,254)
A56,256)
A56,258)
A56,260)
A60,250)
A60,252)
A60,254)
A60,256)
A60,258)
A60,260)
\iYl{xl9 х2)
0,873
1,000
0,000
0,693
0,913
1,000
1,000
0,000
0,513
0,733
0,953
1,000
1,000
0,000
0,000
0,553
0,773
0,993
1,000
0,000
0,000
0,000
0,593
0,813
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,633
0,854
Й1Г2(*1. Х2)
0,790
0,574
0,702
0,486
0,270
0,054
1,000
0,393
0,182
1,000
1,000
1,000
1,000
0,094
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
VY3(xit X2)
0,000
0,000
0,175
0,007
0,000
0,000
0,000
0,375
0,207
0,039
0,000
0,000
0,000
0,575
0,407
0,239
0,071
0,000
0,000
0,775
0,607
0,439
0,271
0,103
0,000
0,975
0,807
0,639
0,471
0,303
0,135
87

Множество решений D* задачи C.17) определяется пересечением нечетких
множеств У, (/=1,3), т.е.
или
fo, х2),
Это решение представлено в табл. 3.4. Его можно представить в виде
следующего нечеткого множества:
Я* = 0/A40,252) + 0/A40,254) + 0/A44,250) + 0,007/A44,252) +
+ 0/A44,254) + 0/A44,256) + 0/A44,258) + 0/A48,250) + 0,182/A48,252) +
+ 0,039/A48,254) + 0/A48,256) + 0/A48,258) + 0/A48,260) +
+ 0/A52,250) + 0/A52,252) + 0,239/A52,254) + 0,071/A52,256) +
+ 0/A52,258) + 0/A52,260) + 0/A56,250) + 0/A56,252) 4-0/A56,254) +-
+ 0,272/A56,256) + 0,103/A56,258) + 0/A56,260)+0/A60,250) + 0/A60,252) +
+ 0/A60,254) + 0/A60,156) + 0,303/A60,258) + 0,135/A60,260)
или
?>* = 0,007/A44,252) + 0,182/A48,252) + 0,039/A48,254) +
+ 0,239/A52,254) + 0,071/A52,256) + 0,271/A56,256) +
+ 0,103/A56,258)+0,303/A60,258) + 0,135/A60,260).
В качестве оптимального x* = (xf, xf) выбирают точку, принадлежащую
D* с максимальной степенью принадлежности:
Таблица 3.4
(*1. Х2)
A40,252)
A40,254)
A44,250)
A44,252)
A44,254)
A44,256)
A44,258)
A48,250)
A48,252)
A48,254)
A48,256)
A48,258)
A48,260)
A52,250)
A52,252)
A52,254)
Hd*(*i, х2)
0,000
0,000
0,000
0,007
0,000
0,000
0,000
0,000
0,182
0,039
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,239
(*1, Х2)
A52,256)
A52,258)
A52,260)
A56,250)
A56,252)
A56,254)
A56,256)
A56,258)
A56,260)
A60,250)
A60,252)
A60,254)
A60,256)
A60,258)
A60,260)
Ия«(*1, *2)
0,071
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,271
0,103
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,303
0,135
\iD*(x\,
(xu x2).
Следовательно, оптимальное решение задачи будет
*; = 160; jc*2 = 258.
При этом /¦ = 125,633.

3.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ НЕЧЕТКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
. Задача оптимизации при нечетких ограничениях
формулируется следующим образом: найти
max/(jc) C.18)
при ограничениях ф,-(х)^Д, /=1,т; хеХ, C.19)
где * = (*,, ..., хн), X^R\ f:Rn^R.
Для решения этой задачи используется метод, основанный
на замене нечетких множеств множествами ос-уровня. Тогда
для решения C.18)—C.19) достаточно решить задачу
j =/(.*)-> max C.20)
при ограничениях
() хеХ, C.21)
представляющую собой задачу классического математического
программирования на а-уровне. Таким образом, исходная
задача C.18)—C.19) сводится к решению бесконечного
множества классических задач оптимизации.
Пусть ха будет решением задачи C.20)—C.21). Тогда
решение задачи C.18)—C.19) выглядит так:
j C.22)
В частном случае предположим, что целевая функция C.18)
и ограничения C.19) линейны, т. е. рассмотрим задачу нечеткого
линейного программирования с четкой целью и нечеткими
ограничениями:
xt>0, i=T7n C.23)
или в векторном виде
f(x) = cjc-^max; C.24)
AxczB; x^O, C.25)
где А, В — нечеткие векторы.
В задаче C.24)—C.25) ограничения выражаются не в
стандартной форме, принятой в линейном программировании,
а являются конечной суммой выпуклых нечетких множеств,
которая должна удовлетворять зуловию включения в заданное
нечеткое выпуклое множество В,
89

Для работы с такими нечеткими ограничениями
аппроксимируем их нечеткие коэффициенты, представляющие собой
нормальные нечеткие множества,, множествами а-уровня. Для
определения множества а-уровня нечетких множеств а0-,
bj (/=1,и; j= 1, га) разобьем единичный интервал [0,1] на
уровни
и аппроксимируем нечеткие множества aij9 Ви следующими
ос-уровневыми множествами:
а
C.26)
или в векторном виде
щ}9 C.27)
где А = р
i
Очевидно, что
Тогда исходная задача C.24) — C.25) сводится к решению
следующей:
а/, 1=1, р;
Рассмотрим задачу нечеткой оптимизации управления
установкой термического крекинга.
На установке при термическом крекинге нефтяных остатков получают
компонент автомобильного бензина, крекинг-остаток, термогазойль и крекинг-газ.
Целевым продуктом установки является компонент автомобильного
бензина /х. Чем глубже протекают процессы крекинга, тем больше бензина.
Глубина протекания процесса зависит от температуры продукта на выходе
из экрана х1? из сокинг-секции х2 и от температуры продукта в тройнике
смещения хъ. Выход бензина зависит также от расхода сырья-смеси, флегмы
коксования, газойлей каталитического крекинга х4 и от плотности сырьевой
смеси х5, так как, чем тяжелее сырье, тем быстрее оно крекируется и тем
выше скорость крекинга.
В отличие от других нефтеперерабатывающих производств, установка
термического крекинга характеризуется большой устойчивостью к влияниям
возмущающих воздействий, а также стабильностью технологических режимов.
Технологический режим на установке меняется только по усмотрению
технолога-оператора при изменении расхода сырья и его плотности с целью
увеличения того или иного продукта.
С развитием автомобильной промышленности возникла необходимость
в выпуске высококачественных бензинов, что успешно осуществляется на
90

установках двухступенчатого и противоточного каталитического крекинга.
Потребность в бензине термического крекинга в настоящее время существенно
уменьшилась. Осуществить термический крекинг нефтяных остатков без
получения бензина невозможно, и, кроме того, выпадаемый на установке
крекинг-остаток имеет важное значение для коксовых установок, поэтому
максимальный выход автобензина следует получать при условии выполнения
ограничений на выход крекинг-остатка /2.
По этой причине при идентификации модели установки в каждом
наблюдении значений крекинг-остатка была использована оценка технолога-
оператора, учитывающая вышеуказанные требования.
Таким образом, целевая функция установки термического крекинга имеет вид
C.28)
Однако существуют
1) ограничение на выпуск крекинг-остатка:
+ @,5/0,037+ 1/0,03 + 0,5/0,051)*2 + @,5/0,097 +1/-0,063+0,5/-0,098) *3 +
+ @,5/-0,499 + 1/-0,472+ 0,5/-0,551) *4 +@,5/-1,743 +1/- 3,012 + 0,5/6,336) *5=>
2@,5/12+1/17 + 0,5/14); C.29)
2) технологические ограничения на управляющие параметры:
420^*^470; 420^*2<485; 430^х3^460. C.30)
Задача оптимизации управления установкой термического крекинга
заключается в определении таких значений управляющих параметров х19 *2,
х3 при постоянном значении возмущающих воздействий х4 и *5, которые
дают максимальное значение целевой функции C.28) при удовлетворении
условий C.29) и C.30).
С использованием а-уровневых (а = 0,5; 0,8; 1) множеств нечетких множеств,
описывающих нечеткие коэффициенты ограничений C.29), решение задачи
C.28)—C.30) сводится к решению следующих задач классического линейного
программирования:
на уровне а=0,5
/i = -165,7 + 0,067*i+0,072*2 + 0,22*3 + 0,192*4 + 0,87 \х5 ->max; C.31)
C5,705; 21,261) + @,077; 0,091)^ +@,037; 0,051)*2 + @,097; -0,098)*3 +
+ (-0,499; -0,551)*4 + (-1,743; 6,336)х5^A2; 14); C.32)
420^*^470; 420 ^х2^ 485; 430<*3^460; C.33)
на уровне а=1
/i = -165,7 + 0,067*! + 0,072х2 + 0,22jc3 + 0,1 92*4+0,871 jc5 ->max; C.34)
11,103 + 0,108*1+0,03*2-0,063*3-0,472*4-3,012*5^ 17; C.35)
420^*1^470; 420 ^*2^ 485; 30^*3<460. C.36)
Решая C.31)—C.33) и C.34) —C.36), получаем решение задачи C.28) —
C.30) на уровнях а = 0,5; 1 при *4 = 54 и *5 =0,9080:
91

х?'5 = D20;420); х}=450; ;с?'5=D70;460); jcJ = 440; x?'5
В соответствии с C.22) решением задачи C.30) — C.29) будет
х* = 0,5/420+1/450 + 0,5/420; х* = 0,5/470+1/440 + 0,5/460;
х* = 0,5/460+1/440 + 0,5/460.
При этом
/* = 0,5/8,6+1/4,0 + 0,5/7,9; /* = 0,5/12+ 1/17 + 0,5/14.
При любом отклонении от найденного оптимального решения, например при
х1 =0,5/420+ 1/450 + 0,5/430; х2 = 0,5/470+1/450 + 0,5/460;
*3 = 0,5/460 +1/440 + 0,5/460, C.37)
получаем
/х =0,5/8,63 +1/4,8 + 0,5/8,6; /2 =0,5/12,3 +1/17,3 + 0,5/15.
Несмотря на то что значения целевой функции больше ее оптимального
значения, решение C.37) не является оптимальным, так как ограничения на
выход крекинг-остатка не выполняются.
3.4. ОПТИМИЗАЦИЯ С НЕЧЕТКОЙ ЦЕЛЬЮ
Задача оптимизации с нечеткой целью формулируется
следующим образом:
C.38)
при ограничениях
ф(х) = 0; хеХ. C.39)
Известно, что целевая функция является элементом
множества
& (R") = {f(x)/f(x):Rn-*R}. C.40)
Нечеткая цель в задаче оптимизации представляет собой
обычную целевую функцию и является нечеткими множествами
на ^(Rn) с функцией принадлежности \if(f):^(Rn)^> [0,1].
Для решения задачи C.38) — C.39) используются а-уров-
невые множества нечеткой целевой функции. Тогда любая
нечеткая цель представляет собой нечеткое отношение
предпочтения между элементами допустимой области, и,
следовательно, решение задачи нечеткого математического
программирования с нечеткой целью сводится к решению задачи
многокритериального принятия решений (число критериев
равно количеству уровней а, ае[0,1]). Это означает, что для
решения задачи C.38) — C.39) достаточно решить
/(а)(х)->тах
при ограничениях
<р(*) = 0; хеХ,
где ае[0,1],
92

представляющих собой многокритериальную задачу
оптимизации.
В линейном случае известно, что ^(Rn) = Rn, и решение задачи
при ограничениях
сводится к определению нечеткого множества
где ocf(/=O, ?)е[0, 1], ц?^1—ос^, т.е. к решению задачи:
ао (х) = с а° х -> max;
() C.41)
при ограничениях
Ах<В; х^О. C.42)
Задача C.41) — C.42) является задачей с многокритериальной
оптимизацией и решается известными методами.
Пример 3.1. Рассмотрим задачу нечеткой оптимизации процесса
каталитического крекинга. Нечеткая модель этого процесса (см. § 2.2) имеет вид:
д>1=@,5/-946,385 + 0,8/-886,112+1/-840,9 + 0,8/-833,64 +
+0,5/-870,639) + @,5/-0,165 + 0,8/-0,163 + 1/-0,161+0,8/-0,16 + 0,5/
/ - 0,157) *! + @,5/673,875 + 0,8/691,574 +1 /685,355 + 0,8/671,808 +
+ 0,5/727, 18)jc2 +@,5/0,114 + 0,8/0,125+1/0,126 + 0,8/0,121 + 0,5/0,122) х3 +
+ @,5/0,292 + 0,8/0,116+ 1/0,0014+ 0,8/-0,0026+ 0,5/-0,062) *4 +@,5/0,602 +
+0,8/0,637+1/0,687+0,8/0,704+0,5/0,751)х5 + @,5/-0,0123 + 0,8/-0,029 +
+1/- 0,043 + 0,8/ -0,041 +0,5/- 0,049) х6;
у2 = 100,182-0,08хх +111,226х2 + 0,06 1jc3-1,023*4 + 0,663*5-0,0\х6, C.43)
где ух—выход автобензина; у2 — выход газа; xi—расход сырья; х2—плотность
сырья; jc3—температура сырья; х4 — температура в реакторе I ступени;
х5—температура в реакторе II ступени; х6—температура в середине регенератора.
Выход автобензина управляется изменением параметров xt (/=4, 6).
Имеются строгие технологические ограничения на пределы изменения
управляющих параметров:
475^х4^490; 485 ^х5^ 505; 520 ^х6^ 600. C.44)
Получаемый на установке жидкий газ используют в качестве сырья для
Других производственных процессов, поэтому его выпуск должен быть не
меньше заданного (планового) значения
93

C.45)
Задача оптимизации установки каталитического крекинга заключается
в определении таких значений управляющих параметров х, (/=4, 6) при
удовлетворении ограничений C.44) — C.45) и хг — const (/=1,3), чтобы выход
автобензина был максимальным.
Математически эта задача формулируется следующим образом: найти
max yx = max {с1х1-\-с2х2-\-съхъЛ-сАхА-\-с5х5-\-сьх6) C.46)
при ограничениях
а1х1+а2х2 + а3х3 + а4х4р + а5х5 + а6х6^Ь;
или
Ух = @,5/ - 946,385+0,8/ - 886,112+1/- 840,9 + 0,8/ - 833,64 + 0,5/ - 870,639) +
+ @,5/-0,165 + 0,8/-0,163+1/-0,161+0,8/-0,16 + 0,5/-0,157)х1 +
+ @,5/673,875 + 0,8/691,574 +1 /685,355 + 0,8/671,808 + 0,5/727,18) х2 +
+ @,5/0,114 + 0,8/0,125 +1/0,126 + 0,8/0,121 +0,5/0,122) *3 +
+ @,5/0,292 + 0,8/0,116+ 1/0,0014+0,8/-0,0026+ 0,5/-0,062) х4 +
+@,5/0,602 + 0,8/0,637 +1 /0,687 + 0,8/0,704 + 0,5/0,751) jc5 + @,5/ - 0,0123 +
+ 0,8/ - 0,029 +1/- 0,043 + 0,8/ -0,041 +0,5/- 0,049) х6 ->max C.47)
при ограничениях
485 ^х5^ 505; 520 ^х6^ 600, C.48)
где х{=const, /=1, 3.
Задача C.47) — C.48) представляет собой задачу нечеткого математического
программирования с нечеткой целевой функцией и четкими ограничениями.
Используя а-уровневые множества (а=0,5; 0,8; 1), напишем задачу C.47) — C.48)
в соответствии с C.41) — C.42) в виде
>;О,5==(_946>з85;-870,639)+(-0,165;-0,157)х1+F73,875;727,18)х2 +
+ @,114; 0,122)х3 + @,292;-0,062)л:4 + @,602;0,751)д:5 + (-0,0123; -0,049)х6->max;
>;О8 = (_886,112;-833,64) + (-0,163;-0,16)д:1+F91,574;671,808)х2 +
+ @,125; 0,121)jc3 + @,116; -0,0026)*4 + @,637;0,704)л:5 +
+ (-0,029; -0,041)jc6->max;
у\ = -840,9-0,161 л:!
при ограничениях
Для решения этой 5-критериальной задачи применим метод свертки
критериев с фиксированными приоритетами Xf (/=1,5).
94

В результате максимизации свертки критериев
•5
где ? Л.?= 1,
7=0,15 (-946,365-0,165^
+ 0,602х5-0,0123х6) + 0,2 (-886,112-0,163х1+691,574х2 + 0
6) + 0,3(-840,9-0,161х1+685,355х2
6) + 0,15(-870,639-0,157х1
+ 0,122х3 - 0,062лг4 + 0,751 х5 - 0,049 х6).
Методом перебора на ЭВМ «СМ 1200» при постоянном значении
возмущающих воздействий ^ = 133, х2=0,8828, х3 = 252 были получены следующие
решения задачи C.47) — C.48):
х3 = 490; х*4 = 494; х*5 = 540,
у\ =0,5/89,121 +0,8/90,088+ 1/91,314+0,8/93,006 + 0,5/95,332»
«около 91; У*(х1? х2, х3, х4, Х5, Хб) = 82,5.
Исследование поведения целевой функции в окрестностях оптимальной
точки (х4, Х5, xj) = D90, 494, 540) показывает, что минимальное отклонение
от этой точки не дает лучших результатов. Например, в точке E40, 494, 487)
у\ = 0,5/88,2 + 0,8/89,7 + 1/91,3 + 0,8/93,0 + 0,5/95,5 « около 91;
J(xl9 x2, х3, х4, х*5, Хб) = 82,3,
а в точке E40, 497, 490)
у\ =0,5/90,9+0,8/92,0+1/93,4 + 0,8/95,1 +0,5/97,6% около 93;
J(xl9 х2, х3, х4, x*Si xj) = 84,3,
т. е. хотя значения критерия в этих точках равны или больше найденного
оптимального, но их нельзя считать оптимальными, так как в первом случае
^2 = 27, а во-втором j>2 = 25,9, что означает нарушение ограничения C.45).
3.5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ НЕЧЕТКОЙ ЦЕЛИ И
НЕЧЕТКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Пусть \i^eF[^r(RH)] — нечеткая цель, a \i~eF(Rn) — нечеткие
ограничения, тогда задачей оптимизации с нечеткой целью
и нечеткими ограничениями является:
() C.49)
при ограничениях
ф(х)^Д хеХ. C.50)
Для решения C.49) — C.50) объединим два вышеупомянутых
случая—задачу оптимизации с нечеткой целью и четкими
95

ограничениями и задачу оптимизации с четкой целью и
нечеткими ограничениями, получим следующую модель:
/a'(;t)->max, i = Tjk; q> "'(*)< В ¦'; хеХ. C.51)
Здесь аге [0, 1], /= ? ^//а'> Ф= Z ^7чЛ Ц,-^1-а.
i = I i = 1
В частности, для нечеткого линейного программирования
с нечеткой целью и нечеткими отношениями, т. е. для задачи
у = сх->гшх; Ах<В; х^О,
решение будет
^а. = са<х->тах; Ax^b + d(\ — а); х^О.
Рассмотрим задачу нечеткой оптимизации управления
установки ступенчато-противоточного каталитического крекинга (СПКК).
Технологическая схема работы установки СПКК аналогична такой же
схеме установки ДСКК и включает в себя следующие технологические
агрегаты: печь для нагрева сырья, регенератор для восстановления активности
катализатора; реактор каталитического крекинга, ректификационную колонну
для разделения получаемых продуктов; газосепаратор и т. д.
Продуктами каталитического крекинга являются газ, компонент
автомобильного бензина, каталитический газойль и кокс. Цель каталитического
крекинга—получение компонента автобензина yv
Основными возмущающими воздействиями, влияющими на выход бензина,
являются расход сырья — вакуумного отгона хх и его плотность х2.
Управляющими параметрами являются температура паров в верхней части реактора
дг3, температура катализатора в десорбере реактора л:4 и температура в верхней
части регенератора х5.
Аналогично как и в установке ДСКК, для управления выходом бензина
были выбраны реакторный и регенераторный блоки. Дальнейшее исследование
этих двух установок показало, что поскольку получаемые на установках
ДСКК и СПКК фракции бензина являются исходным сырьем для производства
компаундирования, при управлении процессом каталитического крекинга
следует качественные показатели бензина — начало и конец кипения—строго
контролировать. В задачу управления реакторным и регенераторным блоками
были включены ограничения на качества бензина, которые согласно
технологическому регламенту сформулированы нечетко.
Задача оптимизации установки СПКК заключается в определении при
заданных значениях возмущающих воздействий хх и х2 таких значений
управляющих переменных лг3, х4, jc5, которые обеспечивают максимальный
выход целевого продукта у при соблюдении ограничений на его качества:
температура в конце кипения (ук к) бензина должна быть не выше 203° С,
в начале кипения (уак)— не ниже 45° С.
Математическая задача сформулируется следующим образом:
y=f(x1, x29 ..., -х5)->тах
при ограничениях
ун к = ф! (jCl5 ..., .
96

Для идентификации / был использован метод, описанный в § 2.2.
Зависимости ц>1(х1, ..., х5) и 92(xt, ..., х5) определены методом множественной
корреляции.
Таким образом, задачу нечеткой оптимизации процесса СПКК можно
сформулировать как задачу нечеткого линейного программирования с нечеткой
целью и нечеткими ограничениями:
у = @,5/332,374 + 0,8/272,756 + 1 /259,801 + 0,8/310,985 + 0,5/301,747) +
+ @,5/1,051 +0,8/0,962+1/0,968+ 0,8/1,273+ 0,5/1,317) хх +@,5/23,265 +
+ 0,8/71,823 +1 /50,356 + 0,8/70,199 + 0,5/37,667) х2 + @,5/0,258 + 0,8/0,314 +
+1 /0,452 + 0,8/0,396 + 0,5/0,283) х3 + @,5/ - 0,595 + 0,8/ - 0,554 +
+1/-0,691+0,8/-0,823+0,5/-0,975) х4+@,5/-0,391+0,8/-0,429 +
+ 1/ -0,376 + 0,8/ -0,369 + 0,5/ -0,097) х5-п?х; C.52)
J;hk = 70,617-0,135x1 + 51,976x2-0,095x3-0,378x4 + 0,104x5>45;
Л.к=188,984-0,193х1+83,737х2-0,1х3-0,151х4-0,089х5<203;
480<х3<510; 455<х4^460; 580 ^х5^ 600. C.53)
Для решения задачи C.52)—C.53) применим подходы, описанные в § 3.1
и 3.3. Сначала задачу C.52) — C.53) рассмотрим как задачу нечеткого
линейного программирования с нечеткой целью и в соответствии с подходом,
описанным в § 3.3, напишем ее в виде:
у0-5 = 332,374+1,051 х1+23,265х2 + 0,258х3-0,595х4-0,39х5 -max;
^o,8 = 272,756 + 0,962x1 + 71,823x2+0,314x3-0,554x4-0,429x5->max;
у1 = 259,801 + 0,968x1 + 50,356x2 + 0,452x3-0,691x4-0,376x5-max;
j>°'8 = 310,985+ 1,273х1 + 70,199х2+0,396х3-0,823х4-0,369х5 —max;
.у0'5 = 301,747+1,317х! + 37,667x2 +0,283x3-0,975x4-0,097x5-max C.54)
при ограничениях
70,617-0,135x1 + 51,976x2-0,095x3-0,378x4+0,104x5>45;
188,984-0,193x1 + 83,737x2-0,lx3-0,151x4-0,089x5<203;
Задача C.54) — C.55) является задачей многокритериальной оптимизации
с нечеткими ограничениями. Для ее решения сначала определим область
допустимых значений Д(/= 1,5) каждого критерия у**. Для этого определим
максимум каждой функции у1'(/=1,5) при ограничениях C.55). Это задача
линейного нечеткого программирования с нечеткими отношениями.
Применив подход, описанный в § 3.2, найдем область допустимых решений
каждой задачи. Ниже показаны функции принадлежности нечетких множеств
Yai, описывающие нечеткие цели и ограничения на каждом уровне а,(*=1,5):
1, если ^°'5^50;
-E0—^°'5)/7, если 40<j°'5<50;
.0, если д>0>5^40;
1, если у0'8 ^55;
1— E5— >>0'8)/9, если
0, если
1, если /^60;
\-F0-у1)/\0, если 50<у1<60;
.0, если у1 ^50;
7 Заказ 2056 97

,л=< 1-F3-^°'8)/12, если 53<j°'8<63;
если /
если ^°
Ч53;
= <j 1-F5-.у0'5)/14, если 40<.у°'5<45;
О,
если j;
если >>кк^205;
если 203<>>к к<205;
если ук
1-(у..-2ОЗ)/5,
О,
1,
О,
В табл. 3.5 приведены области допустимых решений каждого критерия
у*1, а в табл. 3.6 степени принадлежности \i каждого его элемента. Множество
оптимальных решений D\ каждого критерия, определяемое как пересечение
нечеткой цели у*> и нечетких ограничений ун.к и jvK на каждом, уровне а,,
показано в табл. 3.7.
если >>„.к^45;
если 40<>>н к <45;
если ^
Таблица 3
580
580
580
580
580
580
580
580
585
585
585
585
585
585
585
585
585
590
590
590
590
590
590
590
590
590
595
595
595
595
594
455
455
455
455
458
458
458
461
455
455
455
455
458
458
458
461
461
455
455
455
455
458
458
458
461
461
455
455
455
455
458
.5
480
485
490
495
490
495
500
500
485
490
495
500
490
495
500
500
505
485
490
495
500
495
500
505
505
510
490
495
500
505
495
,0.5
47,64
48,93
50,22
51,51
48,44
49,73
51,02
49,23
46,98
48,27
49,56
50,85
46,48
47,77
49,06
47,28
48,57
45,02
46,31
47,60
48,89
45,82
47,11
48,40
46,61
47,90
44,36
45,65
46,94
48,23
43,86
,0,8
48,77
50,34
51,91
53,48
50,24
51,81
53,38
51,72
48,19
49,76
51,33
52,90
48,10
49,67
51,24
49,58
51,15
46,05
47,62
49,19
50,76
47,52
49,09
50,66
49,00
50,57
45,47
47,04
48,61
50,18
45,38
У1
51,82
54,08
56,34
58,60
54,27
56,53
58,79
56,72
52,20
54,46
56,72
58,98
52,39
54,65
56,91
54,84
57,10
50,32
52,58
54,84
57,10
52,77
55,03
57,29
55,22
57,48
50,70
52,96
55,22
57,48
50,89
,0,8
57,54
59,52
61,50
63,48
59,03
61,01
62,99
60,52
57,67
59,65
61,63
63,61
57,18
59,16
61,14
58,67
60,65
55,83
57,81
59,79
61,77
57,32
59,30
61,28
58,81
60,79
55,96
57,94
59,92
61,90
55,47
,0.5
56,69
58,10
59,52
60,93
56,59
58,01
59,42
56,50
57,62
59,03
60,45
61,86
56,11
57,52
58,94
56,01
57,43
57,13
58,55
59,96
61,38
57,04
58,45
59,87
56,94
58,36
58,06
59,48
60,89
62,31
56,55
Ун. к
41,83
42,31
42,78
43,26
41,65
42,12
42,60
41,47
42,83
43,30
43,78
44,25
42,17
42,64
43,12
41,99
42,46
43,35
43,82
44,30
44,77
43,16
43,64
44,11
42,98
43,46
44,34
44,82
45,29
45,77
43,68
У,, ж
203,41
203,91
204,41
204,91
203,96
204,46
204,96
204,51
203,47
203,97
204,47
204,97
203,51
204,01
204,51
204,06
204,56
203,02
203,52
204,02
204,52
203,57
204,07
204,57
204,12
204,62
203,08
203,58
204,08
204,58
203,12
98

х5
595
595
595
595
595
600
600
600
600
600
600
458
458
458
461
461
455
455
455
458
458
461
500
505
510
505
510
500
505
510
505
510
510
у™
45,15
46,44
47,73*
44,66
45,95
44,98
46,27
47,56
44,49
45,78
43,99
46,95
48,52
50,09
46,86
48,43
46,47
48,04
49,61
46,37
47,94
46,28
У1
53,15
55,41
57,67
53,34
55,60
53,34
55,60.
57,86
53,53
55,79
53,72
57,45
59,43
61,41
56.96
58,94
58,08
60,06
62,04
57,59
59,57
57,10
Продолжение
уо,5
57,97
59,38
60,80
56,46
57,87
60,41
61,82
63,24
58,90
60,31
57,39
Ун к
44,16
44,63
45,11
43,50
43,98
45,81
46,29
46,76
45,15
45,63
44,50
табл. 3.5
У, к
203,62
204,12
204,62
203,67
204,17
203,63
204,13
204,63
203,68
204,18
203,73
Таблица 3.6
ЦГ0.5
0,76
0,89
1,00
1,00
0,84
0,97
1,00
0,92
0,70
0,83
0,96
1,00
0,65
0,78
0,91
0,73
0,86
0,50
0,63
0,76
0,89
0,58
0,71
0,84
0,66
0,79
0,44
0,56
0,69
0,82
0,39
0,52
0,64
0,77
0,47
0,59
0,50
ЦуО,8
0,43
0,58
0,72
0,86
0,57
0,71
0,85
0,70
0,38
0,52
0,67
0,81
0,37
0,52
0,66
0,51
0,65
0,19
0,33
0,47
0,61
0,32
0,46
0,61
0,45
0,60
0,13
0,28
0,42
0,56
0,13
0,27
0,41
0,55
0,26
0,40
0,22
0,32
0,51
0,70
0,88
0,52
0,71
0,90
0,73
0,35
0,54
0,73
0,92
0,37
0,55
0,74
0,57
0,76
0,19
0,38
0,57
0,76
0,40
0,59
0,77
0,60
0,79
0,23
0,41
0,60
0,79
0,24
0,43
0,62
0,81
0,44
0,63
0,45
|1уО8
0,58
0,73
0,88
1,00
0,69
0,85
1,00
0,81
0,59
0,74
0,89
1,00
0,55
0,70
0,86
0,67
0,82
0,45
0,60
0,75
0,91
0,56
0,72
0,87
0,68
0,83
0,46
0,61
0,76
0,92
0,42
0,57 •
0,73
0,88
0,54
0,69
0,62
0,41
0,51
0,61
0,71
0,40
0,50
0,60
0,39
0,47
0,57
0,67
0,78
0,36
0,47
0,57
0,36
0,46
0,44
0,54
0,64
0,74
0,43
0,53
0,63
0,42
0,53
0,50
0,61
0,71
0,81
0,40
0,50
0,60
0,70
0,39
0,49
0,67
0,37
0,46
0,56
0,65
0,33
0,42
0,52
0,29
0,57
0,66
0,76
0,85
0,43
0,53
0,62
0,40
0,49
0,67
0,76
0,86
0,95
0,63
0,73
0,82
0,60
0,69
0,87
0,96
1,00
1,00
0,74
0,83
0,93
1,00
0,70
0,80
1,00
0,92
0,82
0,72
0,62
0,81
0,71
0,61
0,70
0,91
0,81
0,71
0,61
0,90
0,80
0,70
0,79
0,69
1,00
0,90
0,80
0,70
0,89
0,79
0,69
0,78
0,68
0,98
0,88
0,78
0,68
0,98
0,88
0,78
0,68
0,87
0,77
0,87
99

Продолжение табл. 3.6
ЦуО.5
0,63
0,76
0,45
0,58
0,40
ЦуО.8
0,37
0,51
0,22
0,36
0,21
0,63
0,82
0,46
0,65
0,48
ЦуО,8
0,77
0,93
0,58
0,74
0,55
ИуО.5
0,77
0,87
0,56
0,67
0,46
1,00
1,00
1,00
1,00
0,90
0,77
0,67
0,86
0,76
0,85
Таблица 3.7
0,367
0,462
0,557
0,618
0,330
0,425
0,520
0,293
0,566
0,661
0,707
0,607
0,434
0,529
0,624
0,397
0,492
0,502
0,631
0,760
0,696
0,582
0,711
0,686
0,596
0,677
0,436
0,565
0,694
0,685
0,386
0,515
0,644
•0,675
0,466
0,595
0,498
0,627
0,674
0,449
0,578
0,399
D2
0,367
0,462
0,557
0,618
0,330
0,425
0,520
0,293
0,381
0,524
0,666
0,607
0,373
0,515
0,624
0,397
0,492
0,186
0,329
0,471
0,614
0,320
0,463
0,606
0,455
0,597
0,134
0,276
0,419
0,562
0,125
0,268
0,411
0,554
0,260
0,402
0,224
0,367
0,510
0,216
0,359
0,207
D3
0,318
0,462
0,557
0,618
0,330
0,425
0,520
0,293
0,350
0,538
0,707
0,607
0,366
0,529
0,624
0,397
0,492
0,193
0,382
0,570
0,696
0,397
0,586
0,686
0,596
0,677
0,225
0,413
0,602
0,685
0,241
0,429
0,617
0,675
0,445
0,633
0,445
0,633
0,674
0,461
0,649
0,476
D4
0,367
0,462
0,557
0,618
0,330
0,425
0,520
0,293
0,566
0,661
0,707
0,607
0,434
0,529
0,624
0,397
0,492
0,448
0,600
0,753
0,696
0,563
0,715
0,686
0,596
0,677
0,458
0,611
0,763
0,685
0,421
0,573
0,725
0,675
0,536
0,688
0,621
0,773
0,674
0,584
0,736
0,546
D5
0,367
0,462
0,557
0,618
0,330
0,425
0,520
0,293
0,473
0,574
0,675
0,607
0,365
0,466
0,567
0,358
0,459
0,438
0,539
0,640
0,696
0,431
0,532
0,633
0,424
0,526
0,504
0,606
0,707
0,685
0,397
0,498
0,599
0,675
0,390
0,491
0,672
0,773
0,674
0,564
0,665
0,456
100

Таблица 3.8
47,64
48,93
50,22
51,51
48,44
49,73
51,02
49,23
46,98
48,27
49,56
50,85
46,48
47,77
49,06
47,28
48,57
45,02
46,31
47,60
48,89
45,82
47,11
48,40
46,61
47,90
44,36
45,65
46,94
48,23
43,86
45,15
46,44
47,73
44,66
45,95
44,98
46,27
47,56
44,49
45,78
48,77
50,34
51,91
53,48
50,24
51,81
53,38
51,72
48,19
49,76
51,33
52,90
48,10
49,67
51,24
49,58
51,15
46,05
47,62
49,19
50,76
47,52
49,09
50,66
49,00
50,57
45,47
47,04
48,61
50,18
45,38
46,95
48,52
50,09
46,86
48,43
46,47
48,04
49,51
46,37
47,94
у1
51,82
54,08
56,34
58,60
54,27
56,53
58,79
56,72
52,20
54,46
56,72
58,98
52,39
54,65
56,91
54,84
57,10
50,32
52,58
54,84
57,10
52,77
55,03
57,29
55,22
57,48
50,70
52,96
55,22
57,48
50,89
53,15
55,41
57,67
53,34
55,60
53,34
55,60
57,86
53,53
55,79
,0,8
57,54
59,52
61,50
63,48
59,03
61,01
62,99
60,52
57,67
59,65
61,63
63,61
57,18
59,16
61,14
58,67
60,65
55,83
57,81
59,79
61,77
57,32
59,30
61,28
58,81
60,79
55,96
57,94
59,92
61,90
55,47
57,45
59,43
61,41
56,96
58,94
58,08
60,06
62,04
57,59
59,57
,0,5
56,69
58,10
59,52
60,93
56,59
58,01
59,42
56,50
57,62
59,03
60,45
61,86
56,11
57,52
58,94
56,01
57,43
57,13
58,55
59,96
61,38
57,04
58,45
59,87
56,94
58,36
58,06
59,48
60,89
62,31
56,55
57,97
59,38
60,80
56,46
57,87
60,41
61,82
63,24
58,90
60,31
J
52,42
54,31
56,19
58,08
54,06
55,95
57,83
55,71
52,51
54,40
56,28
58,17
52,27
54,15
56,04
53,91
55,80
50,72
52,60
54,49
56,37
52,36
54,25
56,13
54,00
55,89
50,81
52,69
54,58
56,46
50,57
52,45
54,34
56,22
52,21
54,09
52,78
54,67
56,55
52,54
54,43
У*
52,42
54,31
56,19
58,08
58,08
58,08
58,08
58,08
58,08
58,08
58,08
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
58,17
После этого решение задачи C.54) — C.55) определяется в области
D = {Di ..., D5}. В этой области задача максимизации критериев дЛ (/=1,5)
представляет собой обыкновенную задачу многокритериальной
оптимизации, для ее решения применим метод свертки критериев с
фиксированными приоритетами А,0'5 = 0,1; А,0'8 = 0,2; X1 =0,4. Значения критерия
свертки
/=0,1C32,374+ 1,051 xt + 23,265*2 + 0,258*3-0,595 *4-0,391*5) +
+ 0,2B72,756 + 0,962*!+ 71,823*2 + 0,314*3-0,554*4-0,429*5) +
+ 0,4B59,801 +0,968*! +50,536х2 + 0,452*3 -0,691 *4-0,376*5) +
+ 0,2C10,985+1,273*!+ 70,199х2+0,396х3-0,823*4-0,369 jc5) +
101

+ 0,1 C01,747+ 1,317л, +37,667х2 + 0,283х3-0,975jc4-0,097х5) в области D
показаны в табл. 3.8. Из таблицы видно, что максимальному значению свертки
критериев J* = 58,14 соответствует точка х = (х%, х%, х%\ где х$ = 500; jtj = 455:
*f = 585.
В этой точке значения целевых функций равны: у0'5 = 50,85; у0'8 = 52,9'
/ = 58,98; ^°'8 = 63,61; />«5 = 61,86.
Отклонение от этой точки ухудшает значения целевых функций, а также
свертки критериев J. Например, если взять х3 = 495; х4 = 455; Jt5 = 585, то
jM:=49,56; у°* = 51,33; yl = 56,72; j0-8 = 61,63; >>0'5 = 60,45, для которых ./=58,08.
Очевидно, что эти значения критериев существенно меньше оптимальных.
Глава 4
НЕЧЕТКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ
4.1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕЧЕТКИХ
РЕГУЛЯТОРОВ
На практике автоматическое управление технологическими
процессами во многих случаях проходит в условиях
неопределенности, связанной с отсутствием достаточной статистики о
поведении управляемых объектов. Проектировщикам систем
управления такими объектами приходится учитывать некоторые нефор-
мализуемые или трудноформализуемые факторы. Уровень
сложности подобных систем настолько высок, что использование
известных детерминированных и стохастических моделей для их
проектирования не обеспечивает желаемых характеристик. В этих
случаях адекватные математические модели управляемых систем
могут основываться на теории нечетких множеств, позволяющих
синтезировать интеллектуальные системы управления.
Основу проектирования интеллектуальных нечетких
регуляторов составляет конструирование «знаний» с применением
методов представления и поиска знаний. Поэтому создание
нечетких промышленных регуляторов базируется на принципах
широко развиваемой в последнее время проблемы
кибернетики — искусственного интеллекта.
Структура интеллектуальной системы управления с нечетким
регулятором представлена на рис. 4.1. Выходная переменная
объекта регулирования технологического процесса у
сравнивается с ее заданным значением g, и ошибка рассогласования
8 поступает как в масштабный элемент 1 с коэффициентом
&е, так и в дифференциатор 3, выход которого умножается
на kt в масштабном элементе 4. Элементы 2, 5 предназначены
для преобразования текущих значений рассогласования и
производной от рассогласования (скорости изменения
рассогласования) в их лингвистические значения. Нечеткие значения 8*,
102

I Нечеткий регулятор
Г
€
J
Я
"г
ч
if,-
6
База
знаний
Объект
(/правленая
Рис. 4.1. Структура интеллектуальной системы управления с нечетким
регулятором
s* поступают в главный элемент нечеткого регулятора 6—базу
знаний (БЗ). Как правило, БЗ нечетких регуляторов строится
на основе продукционной модели знаний, имеющей
конструкцию вида ЕСЛИ...ТО ... Каждая продукция, представляющая
собой множество пар ситуация—действие, позволяет ставить
в соответствие сложившейся ситуации действие регулятора
в виде значения регулирующего воздействия на объект.
Найденное лингвистическое значение управления после
умножения на масштабный коэффициент ки в элементе 7 и
преобразования в его четкое значение и поступает на исполнительный
элемент объекта управления.
При синтезе нечетких регуляторов основной центр тяжести
падает на конструирование их базы знаний. В БЗ опыт
и знание оператора-эксперта можно заполнять следующими
способами [58]:
оператор-эксперт управляет технологическим процессом, за
которым «наблюдает» регулятор. Последний запоминает все
действия эксперта и запоминает свою БЗ;
оператор-эксперт формулирует свое действие при каждой
наблюдаемой ситуации в виде продукций ЕСЛИ ... ТО ...,
множество которых составляет БЗ регулятора;
самоорганизующемуся нечеткому регулятору ставится цель
обеспечения желаемой переходной характеристики
проектируемой промышленной системы управления и сообщается
некоторая информация о технологическом процессе и объекте
управления. Регулятор методом проб и ошибок набирает
знания сам, без эксперта.
Естественно, в качестве оператора-эксперта выступает
квалифицированный специалист, т. е. опытный оператор или
знающий данную предметную область инженер.
В теории искусственного интеллекта представление знаний
в управляющих системах осуществляется логическими,
реляционными, фреймовыми и продукционными языками. Учитывая
такую важную специфику работы систем автоматического
103

ЮГПСГНГОГОГГЛГОГОГОГНГОГО
СССССССООООООО
ПНБ
ccccccggoooooo
и
ccccucoo
пне
cgcgcccoogoooo
ссссссоо°о
пнм
§
gcgcccoooooo0
OHM
о
онс
ОНБ
ccccccooooo
о
s
1=1
ю
Н
104

регулирования, как реальный режим работы (on-line) и удобство
формализации информации о процедурах и условиях их
применения, в дальнейшем будем останавливаться на
продукционной модели описания знаний в нечетких регуляторах.
Каждая продукция представляет собой фрагмент знаний —
ядро в инженерии знаний и имеет вид: условие-действие.
Левая часть каждой продукции рассматривается как
конъюнкция элементарных перцепционных условий, а правая часть
как множество элементарных действий. Для регулятора,
представленного на рис. 4.1, любое правило в БЗ может быть
представлено как,
ЕСЛИ (е есть el) и (г есть г^) ТО (и есть и\)9 где с,
8, и — переменные; е*ь е*ь и\—их лингвистические значения.
Выше представлена табл. 4.1 лингвистических правил,
являющаяся базой знаний нечеткого промышленного регулятора
для управления ректификационной колонной. При этом
использованы следующие обозначения: ОБ — отрицательно
большое; ОНБ — отрицательно ниже большого; ОС — отрицательно
среднее; ОНС — отрицательно ниже среднего;
ОМ—отрицательно маленькое; OHM — отрицательно ниже маленького; ОН —
отрицательно ноль; ПН — положительный ноль; ПНМ —
положительно ниже маленького; ПМ — положительно маленькое;
ПНС — положительно ниже среднего; ПС — положительно
среднее; ПНБ — положительно ниже большого; ПБ —
положительно большое.
Масштабные коэффициенты к?, кь ки являются параметрами
универсальных множеств Е, Е' и U, на которых исходя из
условий конкретного управляемого объекта определяются
нечеткие множества е, s и и. Например, если универсальным
множеством Е является (—10, —9, ...,+9, +10) и требуется,
чтобы рассогласование в системе находилось в диапазоне
(—1, +1), тогда кг берется равным 10,0, с тем чтобы нечеткий
регулятор мог использовать все универсальное множество, на
котором определяются нечеткие множества.
Применение теории нечетких множеств в проектировании
нечетких регуляторов позволяет повышать их «интеллект»,
компетентность, приближая к человеческому. «Очеловечение»
нечетких регуляторов является одной из центральных проблем
в современной теории и практике автоматического
регулирования.
4.2. ОБЗОР РАБОТ ПО НЕЧЕТКИМ РЕГУЛЯТОРАМ
Одной из первых работ, посвященных практическому
применению нечетких логических регуляторов (НЛР), является
работа, опубликованная в середине 70-х годов [49]. В ней
описан эксперимент с эвристическим синтезом регулятора для
105

управления паровой турбиной; приводится сравнительный
анализ результатов регулирования стандартными средствами
непосредственного цифрового управления (НЦУ) и нечетким
регулятором, показывающий преимущество последнего. Аналогичный
анализ функционирования ПИ-регулятора и НРЛ, используемых
в системе управления нагревом воды, приведен в [27, 69,
79—81]. Необходимо отметить ряд общих особенностей,
проявившихся при испытаниях НЛР различными авторами:
при исследовании и проектировании НЛР их авторы не
опирались на точную модель процесса. При этом интуиция
разработчика, его знания о процессе непосредственно
преобразовывались в алгоритм управления. Далее следовал
итерационный процесс, заключающийся в проверке функционирования
алгоритма, изучении его поведения и последующей
модификации соответствующих управляющих правил. Как правило,
эта процедура требует значительных затрат времени;
все нечеткие подмножества имели сложную лингвистику,
например ПБ (положительно большой) или ОМ (отрицательно
малый), что отражает общий подход в выборе определенных
интервалов квантованных величин;
как правило, во всех НЛР использовался основополагающий
принцип регулирования — принцип регулирования по
отклонению.
Наряду с общими моментами в подходе к проблеме
создания НЛР, существуют и различия, как в выборе структуры
регулятора, так и в его применении. Наиболее существенное
различие заключается в вопросе о выборе единственного
управляющего воздействия из выходного нечеткого
подмножества. Один из используемых методов, называемый методом
mean of maxima, состоит в выборе такого значения управления,
для которого функция принадлежности имеет наибольшее
значение (при наличии нескольких точек с максимальной
функцией принадлежности выбирается среднее значение для
этих точек). Другой метод, называемый методом центра
площади (center of area), это выбор такого значения управления,
которое является медианой фигуры, ограниченной кривой
функции принадлежности выходного нечеткого подмножества.
Существуют и другие возможные подходы. Так, в [67] авторы
показали, что при использовании метода mean of maxima
нечеткий алгоритм ведет себя как позиционное реле и для
анализа НЛР применимы методы классической теории
нелинейных САУ. В то же время при использовании метода центра
площади нечеткий алгоритм идентичен ПИ-регулятору, и
авторы [52] считают, что этот метод предпочтительнее. Однако
наиболее интересной является методика синтеза НЛР на основе
лингвистической модели объекта [52], но здесь авторы
ограничились примерами только для объектов 1-го порядка, не
106

указав способы и вообще возможность распространения этой
методики на объекты более высоких порядков, что существенно
ограничивает ее применение.
Различия имеются и в вопросе выбора входов для НЛР.
В качестве входов для НЛР рассматривались либо скорость
изменения ошибки, либо ошибка и суммарная ошибка. В [74]
автор рассматривал алгоритм, где входами были ошибка
и скорость изменения ошибки, а выход определялся двумя
способами: если ошибка велика, то алгоритм выдавал
абсолютное значение управления, если же ошибка мала, то
алгоритм выдавал приращение управляющего воздействия.
При этом ошибка мала — означает, что значение
рассогласования между выходной координатой объекта и заданием
находится в некоторой малой окрестности задания (значение
окрестности задается разработчиком системы). Соответственно
ошибка велика — означает, что значение рассогласования
находится вне данной окрестности. Такой подход применялся
с целью оптимизации времени отклика системы.
Во всех описанных случаях выдвигались требования
соответствия НЛР традиционным критериям: качеству переходного
процесса и декомпозиции каналов регулирования. Для
применения НЛР использовался широкий спектр ЭВМ и языков
программирования: ФОРТРАН, АПЛ, БЕЙСИК, АССЕМБЛЕР.
Необходимо отметить ряд работ, внесших вклад в развитие
теории нечетких САУ. Так, в [35] рассматривается концепция
«оператора наблюдения», с помощью которого можно точнее
определить ^состояние процесса. В частности, было показано,
что если G — нечеткое множество в пространстве состояний
X, то описание процесса включает в себя: отображение
в пространстве состояний f:XxU-+X9 оператор наблюдения
О : ХоO=Y и отображение для регулятора g: У-»U.
Значительные результаты были получены в [75], где авторы
на математическом фундаменте анализировали нечеткие
системы; определили отображения f: F(x)x F(U)->F(x) и g:F(x)-+
-+F(y)9 где F(x), F(U) и F(y) — множества всех нечетких
подмножеств пространства состояний X, входного U и
выходного Y пространств, и ввели понятия достижимости,
наблюдаемости и устойчивости, которые обобщают концепции четких
систем.
Отметим также работу [76], в которой автор определил
арифметические операции на нечетких множествах и на их
базе нашел нечеткий интеграл свертки и нечеткую передаточную
функцию. Однако в его методике возникали огромное
количество избыточной информации и трудности с практической
реализацией. В [77] рассмотрены вопросы теории нечетких
систем, вопросы устойчивости нечетких систем и для них же
установлены принципы инвариантности.
107

Результаты разработки нечеткой САУ для нелинейного
многомерного процесса представлены в [78]. Авторы
обсуждают вопросы декомпозиции объекта управления (паровой
турбины), с тем чтобы декомпозированные подсистемы
обладали асимптотической устойчивостью. В результате
моделирования было установлено, что замкнутые подсистемы
прослеживают желаемые параметры состояния при различных
условиях работы объекта управления. Показан анализ
устойчивости с использованием частотного критерия при
предположении, что декомпозированные системы линейны по своей
природе и декомпозиция проведена корректно. В заключение
приведены рассуждения о том, какой тип вариации установки
и структуры регулятора является допустимым.
Нечеткая логика для формализации обучающихся
регуляторов обсуждается в [15]. Здесь показывается, что для ряда
случаев необходимо перейти от чисто описательного подхода
к предписывающему или к самоорганизующейся системе.
Недостатком нечеткой логики является ее описывающая форма
представления знаний, что не позволяет применять
предписывающий подход для принятия решений. Отмечается, что
нечеткая логика, как и любая другая, может определять
следствие из предварительно установленных предпосылок.
Предписывающая система реализуема, если используется
иерархический подход к принятию решений; при этом стратегия
на нижнем уровне зависит от исхода верхнего уровня.
Самоорганизующийся регулятор .отмечается в [15], реализует эту
идею для управляющих правил из установленного желаемого
отклика системы и предшествующего изучения поведения
объекта управления.
Перспективным направлением в развитии НЛР является
создание адаптивных и самообучающихся нечетких систем
[82]. Этим можно объяснить появление ряда публикаций [59,
68, 83, 84], в которых обсуждаются вопросы проектирования
самоорганизующихся регуляторов (СОР). Такие регуляторы
представляют собой иерархическую структуру, где на нижнем
уровне находится нечеткий регулятор, на верхнем — монитор
(корректирующее устройство), осуществляющий при
необходимости модификацию правил регулятора нижнего уровня.
Монитор использует желаемый отклик замкнутой системы,
представленный в виде таблицы соответствий. Эта таблица
имеет входы, идентичные входам НЛР, т. е. ошибку и скорость
изменения ошибки. Элементы таблицы показывают, насколько
определенное состояние системы предположительно отличается
от желаемого. Указанная таблица соответствий отражает те
изменения, которые необходимо внести в структуру системы,
изучая ее поведение в пространстве состояний. Нулевые
элементы в таблице верхнего уровня образуют область в про-
108

странстве состояний, в которой характеристика НЛР является
удовлетворительной.
Для применения СОР авторы предполагают наличие
непрерывной зависимости выходов от входов. Если поведение
системы отлично от желаемого, то таблица верхнего уровня
воздействует на соответствующие элементы таблицы нижнего
уровня (поэтому элементы таблицы верхнего уровня
трактуются как усиления). Вводится также параметр Р, называемый
«задержкой в усилениях». Авторы - отмечают итеративный
характер действия СОР. Самоорганизующийся регулятор был
применен для управления паровым котлом в двух случаях
[15]: в первом использовались правила, сформулированные
человеком-оператором; во втором до начала эксперимента
СОР не содержал ни одного правила. Результаты обоих
вариантов после окончания итеративной процедуры
самообучения значительно отличались; это связано с тем, что желаемая
реакция системы не задается единственным образом, а лежит
в некоторой области, для которой возможно определить
множество удовлетворительных решений. Отмечается тот факт,
что СОР может функционировать с первоначальным набором
даже неадекватных правил.
В связи с проведенным обзором работ по НЛР и СОР
необходимо отметить следующее:
применение НЛР позволяет использовать для управления
информацию качественного характера, которую невозможно
формализовать при реализации традиционных законов
регулирования. При этом НЛР оказываются малочувствительными
к возмущениям в определенном диапазоне и демонстрируют
лучшие характеристики по сравнению с классическими
регуляторами;
для составления управляющих правил НЛР требовались
интуиция разработчика и хорошее знание объекта управления,
т. е. в литературе практически отсутствует какая-либо методика
для непосредственного синтеза НЛР;
изменение параметров объекта управления влечет за собой
модификацию управляющих правил НЛР с их последующей
итеративной корректировкой. Эта процедура требует больших
затрат времени;
как правило, СОР применялся для первоначального синтеза
таблицы нижнего уровня. В рассмотренных работах отсутствует
информация о возможности использования СОР в качестве
промышленной САУ. Исключение составляет [15], где СОР
был реализован для синтеза управляющих правил при
экспериментальном управлении паровым котлом;
недостаточно освещена возможность применения СОР для
многомерного процесса. Это связано с необходимостью
снабжения СОР дополнительным блоком, содержащим грубую
109

модель объекта управления. Как указывается в [59], эта
модель представляется в виде якобиана, что вызывает
дополнительные трудности для его расчета в процессе управления;
в отечественной и зарубежной литературе отсутствуют
методологические аспекты построения верхнего иерархического
уровня СОР в смысле задатчика желаемой характеристики
системы управления;
отсутствуют публикации о возможности и о путях
применения СОР для управления нестационарными многомерными
промышленными объектами.
4.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА НЕЧЕТКИХ
РЕГУЛЯТОРОВ
Ниже приводятся методы синтеза систем автоматического
управления по критерию абсолютной инвариантности выходной
переменной по отношению к внешним возмущениям. Сначала
рассмотрим нечеткую систему автоматического регулирования,
схема которой представлена на рис. 4.2.
Система функционирует следующим образом. Изменяемое
возмущение /, проходя по двум каналам через объект
регулирования 5, влияет на регулируемый параметр Y. Первый
канал, являясь естественным, учитывает изменение Y в
соответствии с передаточной функцией объекта по возмущающему
каналу Wf(P). По искусственно организованному второму
каналу системы возмущение / проходит следующим образом:
текущее значение и производная, определяемая элементом 5,
после умножения соответственно на коэффициенты
kf и kf (элементы 1 и 4) и последующего преобразования
в элементах 2 и 3 в их лингвистические значения, поступают
на вход нечеткого компенсатора 6. Выход последнего после
умножения на масштабный коэффициент ки (элемент 7)
поступает на вход объекта, изменяя Y в соответствии с передаточной
функцией WQ{P). Задачей синтеза рассматриваемой системы
Рис. 4.2. Схема эквивалентной нечеткой разомкнутой системы управления
ПО

по критерию инвариантности Y относительно / заключается
в конструировании такого закона регулирования м* = /?(/*,/*),
который обеспечивает независимость выходного параметра
системы Y при произвольных изменениях возмущения /, где
и*?/*?/* — лингвистические значения соответственно выходного
параметра регулятора (компенсатора) 6, возмущения и его
производной.
Идея описываемого метода синтеза подобных систем
заключается в аппроксимации нечетких отношений R функциями
в четкой области с дальнейшим использованием аналитических
методов их оптимального конструирования.
Из теории автоматического управления известно, что в
классических системах управления по возмущению закон
регулирования описывает обычное отображение:
Фо:^?/, D.1)
где F—пространство входов; U—пространство управляющих
воздействий.
Если регулятор реализован в классе нечетких отображений
типа
если /; и если /\ то м; и
ЕСЛИ f\ и ЕСЛИ f\ TO и\ и D.2)
если /; и если /; то «;
аналитически аппроксимируя их, можно сконструировать
отображение Фо.
Сформулированная ниже теорема утверждает, что всегда
можно сконструировать функцию отображения Фо,
заменяющую нечеткое отображение вида D.2).
Теорема 4.1. Пусть R — нечеткое отображение вида D.2).
Для V8 существует такая аналитическая аппроксимация вида
D.1), что р(Ф0,ДЦ5.
Доказательство. Аппроксимацию отображений можно
строить несколькими способами. Наиболее точной считается
аппроксимация, определенная как композиция
U=q>o{f)=f3o\f2o(fl(f))l D.3)
где f1:F1->A, т.е. ц=Л(/);
/2:А^В, т.е. р=/2(ц);
/3:B-+U, т.е. ?/=/3(р); D.4)
А, В, U—четкие множества.
Тогда
Фо (/) =/з о [/2 о (Л (/))]; Фо : F- С/. D.5)
Здесь /i(/), /г{^) и /з(Р) определяются как решения задачи
H=/i(/, al ai, ..., а1п);
111

Q1=« a\, ..., al)= X [^{ЛУи a\, ..., а^-^У
Р=/2(ц, a[, a\, ..., aj);
Q2 = (a2u a22,..., а„2)=1[/2(ц;, я2, a2, ..., a*)-Pi] 2-*min;
C/=/3(P, a?, al,...,a3n);
Q3 = (e?, ai, ..., «„3)= I [(/3, p,, a?, fli, ..., aD-UiY^mm,
D.6)
где Ql5 Q2, Q3 — векторы, соответствующие решениям задачи
D.6). .
Такая аппроксимация учитывает все параметры в нечетком
множестве.
Однако ввиду сложности формул даже для определения
промежуточного отображения, этот метод построения
аппроксимации мало приемлем для практической реализации, поэтому
рассмотрим другой метод определения аппроксимирующего
отображения. Сущность метода заключается в определении
множества точек (f\, u\\ ...,(/^, и*п) в пространстве FxU
с учетом степени принадлежности элементов нечетких множеств
А и В соответственно.
Пусть F=fx U/2 U — и/и и U—суть универсальные
множества, где символ U означает объединение одноточечных
множеств. На F и U задано т нечетких множеств Al9 A29—9
Ат и Bi9 B2, ..., Вт соответственно:
^ = Hn//iUlW/2U-"U!W/n? «=1, 2, ..., т;
^^pa/wiUP^/^U-UPii,/^ *=h 2, ..., m, D.7)
где jii7 и Ро — степени принадлежности /) и и} к множествам
Аг и Bt.
Предполагая функции принадлежности унимодальными,
можно заключить, что множество чисел
{Pib Р,-2, -., Pi»}, {|l,-i, \li2, .», Цй.}
для каждого / имеет единственный максимальный элемент.
Кроме того, основную роль в этих множествах играет
элемент, имеющий максимальную степень принадлежности.
Пусть Hi=max{(ill5 \ii2, ..., Ц1«}. Через ft обозначим
элемент множества Аг и, следовательно, элемент универсального
множества F со степенью принадлежности ii\. Этому элементу
сопоставим элемент нечеткого множества Bl9 а потому элемент
универсального множества U со степенью принадлежности
Pi=max{pn, p12, ..., р1и}.
112

Пусть jii2 = max {\i2U Ц22> •••> 1*2И}> эт°й степени принадлежности
к нечеткому^множеству А2 соответствует/2. Если/2 =f\, то этому
элементу /2 универсального множества F сопоставим элемент
и*2 из нечеткого множества В2, следовательно, из множества f/co
степенью принадлежности к нечеткому множеству В2:
Р2 = тах{р2Ь C22, ..., р2и}.
Если/i =/2, то, определяя Д2 = тах[{ц21, ц22, ..., \а2п) |ц2],
найдем /2. При этом нужно убедиться в том, что Ц*1>Ц2,
если это не так, то f\ нужно найти заново. Значение /2,
естественно, будет отличаться от f\. Тогда этому числу f2eF
будем сопоставлять u*2eU9 поэтому, не нарушая общности,
можем предположить, что и\, и*ъ ..., и*т различны.
Таким образом, задача математически сводится к
следующему: пусть на плоскости FOU построены точки (/ь wx),
(/2, и2)9 ...,(/„, ип\ требуется найти функцию
и = Фо(/ al9...,am), D.8)
зависящую от 5 и от параметров m, au a2, ...,am, график
которой как можно лучше приближался бы к указанным
точкам. Согласно методу наименьших квадратов, эти
параметры выбирают так, чтобы
т
<2(аъ аъ ..., ат)= ? [фо(Л аи аъ ..., ат)-щ~\ 2^min. D.9)
При соответствующих предположениях дифференцируемости
функции получаем необходимые условия для определения
параметров аи аъ...,ат
dQ/daj = O, 7=1, 2, ..., т. D.10)
В частности, если выбрать относительно / в качестве
функции ф0 степенной многочлен
т
Фо(/, Яь аъ...,ат)= X а{/Г\ D.11)
то, учитывая D.9) в уравнениях D.10), найдем
Z *si-l-«t)fi-l> J=*> 2>¦¦¦>>»>
/
а в качестве системы нормальных уравнений запишем
следующие системы т нормальных уравнений:
8 Заказ 2056 ИЗ

Здесь использованы символы Гаусса, т. е.
[/*]=? Л, *=1, 2, ...,2т-1;
D-13)
Система D.12) относительно аи а2,...?ат является линейно
неоднородной. Главный определитель системы D.12)
А =
D.14)
отличен от нуля, так как он является обобщением
определителей Вандермонда для различных чисел /ь /2,...,/т, поэтому
система D.12) относительно аи а2,...,ат имеет единственное
решение, определяемое по формуле Крамера
a^AJA, а2 = А2/А, ..., дт = Дт/Д. D.15)
Тогда, учитывая D.15) в D.13), имеем
и = Фо(/, а19 а2,...,ат)= ? ^Г'1^ ? А,/'. D.16)
i=i a Ai=i
Это и есть приближенная аппроксимация отображений D.2),
т. е. щ-.F-^U. ?
Построенное отображение Фо, т. е. аналитически
определенная функция вида D.1) нечеткого компенсатора (нечеткого
регулятора), позволяет исследовать (на устойчивость,
показатели качества, в том числе инвариантность) систему управления
(с нечетким регулятором) с использованием теории
автоматического управления.
Пусть нечеткий компенсатор определяется таблицей
лингвистических высказываний типа D.2):
ЕСЛИ значение возмущения ПБ ТО, если значение
скорости изменения возмущения ОМ
ТО значение управления ПС ИНАЧЕ
ЕСЛИ значение возмущения ОБ ТО, если значение скорости
изменения возмущения ПБ
ТО значение управления ПС D.17)
или
/?! = ЕСЛИ /; тогда, если /1 то и\. D.18)
Тогда нечеткое описание алгоритма компенсатора будет
иметь вид
и=Я{Г,Г). D.19)
114

Рис. 4.3. Схема нечеткого компенсатора
Используя приведенную выше методику аппроксимации,
нечеткий компенсатор, описанный уравнением D.19), можно
представить следующим аналитическим выражением:
u = <Po{fj). D.20)
Тогда эквивалентная (нечеткой) структура разомкнутой
системы примет вид, показанный на рис. 4.3.
Условия инвариантности согласно рис. 4.2 определяются как
Wf{p)f{p)=kuWo(p)u{Py, D.21)
u = R{f,J); D.22)
f=kff;f=kff, D.23)
где Wf(p), W0(p) — соответственно передаточные функции по
возмущающему и управляющему каналам объекта;
kf и ки — постоянные коэффициенты.
Получим условия инвариантности в нечеткой
комбинированной системе управления, структура которой представлена на
рис. 4.4. Для этого аппроксимируем нечеткие компенсатор
Y—Щ
RK(f*f*)
Нечеткий

компенсатор
Щ?)
Нечеткий
регулятор
Dj
kj
Рис. 4.4. Схема нечеткой комбинированной системы управления
115

i
ki
p
и
f.
[4
E
t
\
Wt(p)
Фв(е,ё)
Г
4Zh
1 ж [л
Рис. 4.5. Схема эквивалентной нечеткой комбинированной системы управления
(ТЛП-2) и регулятор (ТЛП-1), т. е. таблицы лингвистических
правил ТЛП-1 и ТЛП-2, показанными на рис. 4.5
аналитическими функциями вида
uf = 0ko(fj); ие = Ф§(е,г). D.24)
Согласно составленной эквивалентной структуре системы,
в нелинейной комбинированной системе нелинейный регулятор
не охвачен разомкнутым контуром, включающим нелинейный
компенсатор. Следовательно, наличие регулятора не влияет
на выполнение условия инвариантности в системе и регулятор
будет определяться не в соответствии с D.21), а в виде
u = uf + uz. D.25)
Приведенный подход может быть распространен и на более
сложные многомерные промышленные системы управления.
4.4. АНАЛИЗ КОМБИНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ НА БАЗЕ БЫСТРОГО АЛГОРИТМА
ВЫВОДА
Требуется построить систему, обеспечивающую заданные
показатели качества процесса управления объектом (в
частности, условия инвариантности до е) при действии
контролируемого возмущающего воздействия в нечетких условиях
функционирования,
г(/)->0, W<oo; |e(f)|<a при t>t' D.26)
как при отработке задающего воздействия gm(t) =g0 • 1, так и при
действующем на объект возмущающем воздействии/^) =F0 -1@*
Следовательно, нужно синтезировать нечеткий регулятор
и компенсатор возмущения, в целом обеспечивающие требуемое
качество процесса управления.
116

Рассматривается анализ таблиц правил нечеткого регулятора
и компенсатора, входными параметрами которых являются
Ft и скорости их изменения Ftj.
Определены нечеткие множества
^(/=1,^); Fij(j=l9n2); Ee(e=l,n3);
Ecq(q = Y^U); и?(г = Т^~5); ui(k = T~^6) D27)
соответственно для возмущения /(t) и скорости его изменения
/(/), компенсирующего воздействия uf{t\ ошибки е(/) и
скорости ее изменения z(t) и управляющего воздействия uu{t).
Вышеуказанные нечеткие множества определены с помощью
лингвистического языка:
; i=l, T,f(t)<=F, D.28)
где F—универсальное множество возмущений; /(/)—текущее
значение возмущающего воздействия; и,-(/(?))—функция
принадлежности к нечеткому множеству/(г), которая определяется
как функция от /(/). Значение /(/) определяется от некоторого
номинального уровня возмущения fcp. Следовательно,
f(t)=fi(t)-fep, D.29)
где fi(t) — нормированное значение возмущения.
Аналогичным образом на принятом языке определяются
нечеткие множества для скорости изменения (производной)
возмущения
FcjHL М/»Ш У=Ь 2' -> , «2 = 7, D.30)
ошибки и скорости ее изменения
Е.Ц*м, Це(?т(')))' *=!> 2' •••' "з, «з = 7; D.31)
?«,=(ет, \iq(*m(t))), q=h 2, ..., «4, «4 = 7, D.32)
управляющего воздействия (выхода) регулятора
С/^(^,цг(«т(г))),г=1,2, ...,и5,я5 = 7, D.33)
компенсирующего воздействия (выхода компенсатора)
UlHuL ]b(ui(t)% k=l, 2, ..., п6, «6 = 7. D.34)
117

В выражениях D.29), D.30) — D.34) масштабированные
величины
fm(t)=kff(t);fm(t)=kff(t); ufm(t)=kkuf(t);
em(t)=kes(t); ?m(t)=k,-s(t); u*m(t) =kuue(t),
где e(t)=g(t)-y(t),z(t)=fe(t).
Графики функции принадлежности це(е), \iq(i), цг(м), ц,-(/),
\ij(f) и \ik(uf) нечетких множеств, соответственно ошибки Ее\
EeczE; e=l,n3; пъ~1 и скорости ее изменения Ecq(q=l,n4),
управляющего воздействия ur(r=l, n5), uraU, возмущающего
воздействия Ft(i=l9 nx) и скорости его изменения Fcj(j=l, n2),
Fcj<=Fc, а также компенсирующего воздействия (выхода
компенсатора) ик(к=\9 п6), ика1/, которые определены исходя
из опыта и качественных рассуждений о процессе управления
конкретным объектом, построены по следующим выражениям
(для простоты т опущено):
7i
ё,|), в = 177;
ц, (ё (г))=ехр(-^в | ё @-1,|), q=Tj;
йг(и(О) = ехр(-9г|и(О-йг|), r=Tj, D.36)
где /;, fj, п{, ёе, sq, пг — соответственно средние значения /-го,
у-го, к-то, e-vo, q-ro, r-го множества возмущений и скорости
их изменения, выхода компенсатора, ошибки, дифференциала
ошибки и управляющего воздействия, у которых степени
принадлежности равны 1.0; qt, qp qk, qe, qz, qr (/, j, k, e, q,
r = 1,7) постоянные, определяемые из выполнения условий
точки перегиба, т. е.
щ(/) ^0,5 при f(t)eFt, /=Т77;
\ij\jf) ^0,5 при /(г)бfу, j=T7!j_
^(«^^0,5 при uf{t)eU{, Л =1,7;
це(е) ^0,5 при 8@6^, в = 177;
\iq(e) 3=0,5 при е@е?св, ^ = 177;
цг(и) ^0,5 при м@еС/г, r=Tj. D.37)
В табл. 42 приведены определенные значения qt, qp qk,
qz, qe, qr и /;, fp п{, ee, tz, ur (/, j, k, e, z, r=l,7).
118

На основе накопленной априорной информации, опыта
управления технологическими процессами и качественных
рассуждений, в основном инженером, проектирующим систему
управления конкретным объектом, были составлены (в виде
высказываний) следующие правила нечеткого алгоритма
компенсатора:
ЕСЛИ/(ООБ(^), ЕСЛИ/@ОБ(С^) ТО uf {t)Ub(u{) ИНАЧЕ
ЕСЛИ /(f)IIB(Fr), ЕСЛИ f(t)HO(CF4) TO uf(t)OM(u{) D.38)
или в виде таблицы лингвистических правил (ТЛП) (табл. 4.3).
Правила нечеткого регулятора составлены в виде следующих
высказываний:
ЕСЛИ г@ОБ(?), ЕСЛИ e(t)OE(Ecl) TO ифОБ^) ИНАЧЕ
ЕСЛИ е@ПБ(?Д ЕСЛИ г(г)ПБ(?сг) ТО н@ПБ(иГ) D.39)
или в виде ТЛП (табл. 4.4).
Таблица 4.2
Яг
q}
Як
Яе
Яг
Яг
ft
1
%
«г
ОБ
1,732875
1,73
1,73
0,173
1,73
1,73
-1
-1
— 1
-10
-1
-1
ОС
4,62
4,62
4,62
0,462
4,62
4,62
-0,45
-0,45
-0,45
-4,5
-0,45
-0,45
ОМ
5,78
5,78
5,78
0,578
5,78
5,78
-0,18
-0,18
-0,18
-1,8
-0,18
-0,18
НО
11,55
11,55
11,55
1,155
11,55
11,55
0
0
0
0
0
0
ПМ
5,78
5,78
5,78
0,578
5,78
5,78
0,18
0,18
0,18
1,8
0,18
0,18
ПС
4,62
4,62
4,62
0,462
4,62
4,62
0,45
0,45
0,45
4,5
0,45
0,45
ПБ
1,73
1,73
1,73
0,173
1,73
1,73
1
1
1
10
1
1
Таблица 4.3
fit)
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
fit)
ОБ
ПБ!
ПС8
I-
ос
ПБ,
пс9
пм,6
пм23
пм30
пм37
ПМ
ом
ПС3
ПС10
пм,7
пм24
НО31
пм38
но
но
пс4
ПМ,,
но,8
S&
ПМ
но,
но12
но19
ОМ26
ОБ
ПС
ом6
ОМ,3
ом20
ОМ27
ом34
ос4,
ОБ
ПБ
ос7
ом,4
™21
ос28
ос?
ОБ
ПБ
ПС
Компенсирующее воздействие
ПМ
НО
ом
ОС
ОБ
119

Таблица 4.4
6@
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
6@
ОБ
ОБХ
ос8
ОМ29
ГС36
ис43
ОС
ОБ,
ОС,
ом,6
ОМ23
ОМ30
ОМ37
ом44
ом
ОБ3
ОС10
ОМ,7
ОМ24
НО31
НО38
НО45
но
ОС4
ом,,
но18
но25
но32
пм39
пс46
ПМ
но5
пм,2
но,,
пм26
псм
11^40
пс47
ПС
пм6
ПМ13
пм20
пм27
ПБ48
ПБ
пс7
пс14
йс21
пс8
ПБ4,
ОБ
ОС
Управляющие
ом
воздействия
но
по отклонению
ПМ
ПС
ПБ
Отметим, что окончательные ТЛП компенсатора и
регулятора получены после некоторых итераций, т. е. исходные
правила вида D.38) и D.39) были подвергнуты многократному
изменению, пока не обеспечилось требуемое качество процессов
управления. Теперь, используя обозначения вида
2 D.40)
Rv = EeC\Ecjr\ur, v = T7M, j, е = пГА, г = пГ5, D.41)
правила D.40) и D.41) можно описать следующими матрицами
нечетких отношений:
м
г= 1Ь
m=l
D.42)
Ec, u").
N
R= [)R
v=l
В [50—54] в нечетких регуляторах управляющие воздействия
вырабатываются с помощью композиционного правила Заде.
Для многомерных случаев матрица R имеет очень большую
размерность, что при практической реализации снижает
эффективность из-за ограниченности памяти УВМ, а порой для
быстрых процессов может оказаться неприменимым.
При использовании известных нечетких алгоритмов
определения управлений значения их не всегда получаются
однозначными, т. е. функция принадлежности может иметь
несколько «вершин». Эти известные алгоритмы не позволяют
осуществить автоматический анализ значений управления, поэтому
120

в данной работе предложен более быстрый алгоритм нечеткого
вывода управлений из ТЛП, позволяющий существенно
уменьшить число вычислительных операций и объем требуемой
оперативной памяти, а также выбрать однозначное управление.
Пусть на базе ТЛП (например, табл. 4.3 или 4.4) вычислена
матрица нечеткого отношения MHO следующим образом:
R(El,...,Ek,...,En,u)=\JE1If]...f]Eklf]...
1=1
- C\EHlr\Ej = {\i(sl9..., гкз..., ен9и) (г1?...
...9ек,..., гн9и)еЕгх ... хЕкх ... хЕяхи}9 D.43)
где
ц(е1?..., гк9 ...,6II,ii) = maxmin{fi1/F1),..., \ikI(ek), •••
Ен = {(вк9 \1к1(гк))/гкеЕк};
щ = {(и9 ц7(!/))/«€?/}, * = Т^, I=hN; D.44)
%„), \it{u) — соответственно функции принадлежности
нечетких множеств Ек1 и иг
Пусть после композиции матрицы R(El9..., Ек9..., ?"„,«) с
нечеткими множествами {Ек = (гк, ц?(е*))} в соответствии с
F1o...^o...^o...JR(?1,...,^...,^w) = w' D.45)
получено нечеткое множество wr = (w, ц(м)).
Практическая связь между множествами {Ек1} и {^}
характеризуется следующими особенностями:
1) в ТЛП, на базе которой вычислена матрица R(El9...
..., Ек,..., ?"л, w), повторяется только часть термов (нечетких
множеств) в высказываниях:
Еи = Е'и; 1еРк1 с [1, 7V]; П^/ = /; D.46)
2) существует ek e ?fc, для которого min {[i{ (гк), \ikI (вк)} > а
только в тех случаях, когда IeP cz [I, N~\:
M'1" = argsupinf [\ikI. (гк) л \ikr. (гк) = a],
?// П tf? = t/r/", 3 ii/T = argsupinf [цг (и) цг, (и) = а].
Число элементов множества Р для л+1-мерной ТЛП не
может быть больше 2п\
3) для исходных нечетких множеств выполняются следующие
условия:
Eh- П Eh" = еГ"; ^/' К1") = ^/" (е1'И = ос;
Щ П t/? = U1'1"; цг (и^") = цг, (и"") = ос,
где
121

4'1' = argsupmin; Е\г = {ek\гкеЕк;
U E*u = Ek\ UU"=U.
/=1 1=1
В целях удобства дальнейшего анализа выражение D.45)
представим в развернутом виде:
min{jLii (^i), •> max
e
e2
..., max min {\i*n (еи), max min {\iu (ej, ..., \ikI (ek),...
..., \inI (8И), (х7 (и)}...} = max min {max min {\ix (ej,
Из второй особенности следует, что при
max min {\i*k (гк), \хк1 (sk)} > a D.47)
ч
и при Ie [l,N]\P имеем тахтт{ц[(?к), [ikI(ek)}^oi.
Поэтому с учетом D.47) при ц(м)>ос ее можно вычислить
по следующей формуле:
\i(u)= maxjif (и), D.48)
где
...; max min {ц^ (sfc), цк/ (гк)},..., max min {^п (еи), ^in/ (еп)}, ц7 (и)} =
= min(a1/9..., ак1,..., йп/, ц7(г/)) =
= min{fl7, ц7A/)}, /еЛ D.49)
а7 = тт {д17,..., «fe7,..., йи7}. D.50)
В выражении D.50) некоторые из функций |!7(w), IeP могут
быть одинаковыми. Сгруппируем одинаковые |!7(м), т. е.
затем максимизируем D.49) для каждой из полученных групп:
ц|(и)= maxjif (u)= max min {a7, |i7(w)} =
IePy IePj
= max min {a7, \x3 (u)} = min {max aIt \ij (u)} =
122

= min{bj,\ij(u)}9 D.51)
где hj= шаха,.
Тогда D.48) можно записать в виде
|i(w)= m2iX[iJ(u)= max maxjif (u)= maxjaj(w). D.52)
/eP JeP JeP J&
С учетом третьей особенности получим
|ij(w)>oc при ueUj. D.53)
В результате приведенных преобразований для нечеткого
вывода управления получим:
) ()}> а,
я7 = min {akI}, bY= maxa7;
ke[l,n) IeP
\i(u)= max jiJ(m). D.54)
Je0>
После подстановок выражение D.52) примет вид
И (и) = max min { max min max min {\i[ (ek),
IePj [keO,n] ek
H4/(sk)}, Ми)}. D-55)
Как видно из D.54), ак1{к—\,п, IeP) по существу являются
ординатами точек пересечения функций принадлежности
текущего нечеткого множества Е[ = (вк9 |х?(ек)) с исходным нечетким
множеством Ек1{гк, \ikI(Ek))-
Допустим, что г„ удовлетворяет условию гкт^Ек^гкA+1)
и функции принадлежности ц?(еЛ), jifc/(8fc), mI(I+l) вычисляются
по формулам вида D.36), т. е.
(?/|i/-ii/|). D.56)
Учитывая D.54) и D.56), покажем, что
ак1 = ^Лч\ D.57)
где
?*Ч?*4 + % А/)/(?* + &). D.58)
Теперь пронумеруем утверждения (отдельные высказывания)
в ТЛП компенсатора и регулятора, приведенные соответственно
в табл. 4.5 и 4.6. Затем на основе анализа ТЛП компенсатора
и ТЛП регулятора с учетом второй особенности множеств ({fkI}
и {Fk}, {EkI} и {Ек}) определяем множество индексов для
компенсатора /^т , гту-> ^т и регулятора i^m , гту, ^т ?
т=1,36, которые представлены соответственно в табл. 4.5 и 4.6.
123

Таблица 4.5
N
1
1
2
3
4
5
6
7
8 ,
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Р
2
1, 2, 8, 9
2, 3, 9, 10
3, 4, 10, 11
4, 5, 11, 12
5, 6, 12, 13
6, 7, 13, 14
8, 9, 15, 16
9, 10, 16, 17
10, 11, 17, 18
И, 12, 18, 19
12, 13, 19, 20
13, 14, 20, 21
15, 16, 22, 23
16, 17, 23, 24
17, 18, 24, 25
18, 19, 25, 26
19, 20, 26, 27
20, 21, 27, 28
22, 23, 29, 30
23, 24, 30, 31
24, 25, 31, 32
25, 26, 32, 33
26, 27, 33, 34
27, 28, 34, 35
29, 30, 36, 37
30, 31, 37, 38
31, 32, 38, 39
32, 33, 39, 40
33, 34, 40, 41
34, 35, 41, 42
36, 37, 43, 44
37, 38, 44, 45
38, 39, 45, 46
39, 40, 46, 47
40, 41, 47, 48
41, 42, 48, 49
Pj
3
1, 2, 8, 9
2, 3, 9, 10
3, 4, 10, 11
4, 5, 12, 11
5, 12, 6, 13
6, 13, 14, 7
8, 9, 15, 16
9, 10, 16, 17
10, 11, 17, 18
11, 12, 18, 19
12, 19, 13, 20
13, 14, 20, 21
15, 22, 16, 23
16, 17, 23, 24
17, 24, 18, 25
18, 25, 26, 19
19, 20, 26, 27
20, 21, 27, 28
22, 29, 23, 30
23, 24, 30, 31
24, 25, 31, 32
25, 32, 26, 33
26, 27, 33, 34
27, 34, 28, 35
29, 30, 36, 37
30, 37, 38, 31
31, 32, 38, 39
32, 33, 39, 40
33, 34, 40, 41
34, 35, 41, 42
36, 43, 37, 44
37, 38, 44, 45
38, 39, 45, 46
39, 40, 46, 47
40, 41, 47, 48
41, 42, 48, 49
с
1, 8
2
3, И
X
4, 5, 11
5, 6
6, 7
8, 16
9, 16
10, 11,
11, 12
12, 13
13
15, 16
16
17, 18
18, 19
19, 20
20, 28
22, 23
23, 31
24, 25
25, 26
26
27, 28
29, 36
30, 31
31, 38,
32, 33,
33, 40
34, 35
36, 37
37, 45
38, 39,
39, 40,
40, 48
41, 48
18
39
40
45, 46
47
Таблица 4.6
1
2
3
4
N
1
1,
2,
3,
4,
2,
го"
4,
5,
оо"
9,
10,
и,
Р
2
9
10
11
12
1,
2,
4,
2,
3,
4,
11
Pj
3
8, 9
9, 10
IP, И
, 5, 12
1,
2,
3,
4,
8
9
4,
5,
4
11
12
124

N
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
5,
6,
8,
9,
10,
П,
12,
13,
15,
16,
П,
18,
19,
20,
22,
23,
24,
25,
26,
27,
29,
30,
31,
32,
33,
34,
36,
37,
38,
39,
40,
41,
Р
2
6, 12, 13
7, 13, 14
9, 15, 16
10, 16, 17
11, 17, 18
12, 18, 19
13, 19, 20
14, 20, 21
16, 22, 23
17, 23, 24
18, 24, 25
19, 25, 26
20, 26, 27
21, 27, 28
23, 29, 30
24, 30, 31
25, 31, 32
26, 32, 33
27, 33, 34
28, 34, 35
30, 36, 37
31, 37, 38
32, 38, 39
33, 39, 40
34, 40, 41
35, 41, 42
37, 43, 44
38, 44, 45
39, 45, 46
40, 46, 47
41, 47, 48
42, 48, 49
Pj
3
5, 6, 12, 13
6, 13, 7, 14
8, 9, 15, 16
9, 10, 16,
10, И, 17,
И, 12, 18,
12, 13, 20,
13, 20, 14,
15, 22, 16,
16, 17, 23,
17, 24, 18,
18, 19, 25,
19, 20, 26,
20, 27, 21,
22, 23, 29,
23, 24, 30,
24, 25, 31,
25, 32, 26,
26, 27, 33,
27, 34, 28,
29, 30, 36,
30, 37, 31,
31, 32, 38,
32, 33, 39,
33, 34, 40,
34, 35, 41,
36, 37, 44,
37, 44, 38,
38, 45, 39,
39, 40, 45,
40, 41, 47,
41, 42, 48,
17
18
19
19
21
23
24
25
26
27
28
30
31
32
33
34
35
37
38
39
40
41
42
43
45
46
46
48
49
Продолжение
5, 6
6, 7
8, 16
9, 16
10, 11,
11, 12,
12, 19
13, 14
15, 16
16
17, 18
18, 26
19, 20
20, 21
22, 23
23, 31
24, 25
25, 26
26
27, 28
29
30, 31
31, 39
32, 33,
33, 40
34, 35
36, 43
37, 38
38, 39,
39, 40
40, 48
41, 48
табл. 4.6
4
18
18
40
46
При нечетком выводе управления (как по разомкнутому
контуру компенсации, так и по контуру управления по
«отклонению»), в зависимости от измеренных значений /', /'
и ег, t\ выбираем одно из множеств по табл. 4.5 и 4.6.
4.5. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ НЕЧЕТКИХ
РЕГУЛЯТОРОВ
На рис. 4.6 приведена блок-схем^ программной реализации
нечеткого компенсатора и регулятора, функционирующих по
предложенному алгоритму.
125

г
Рис. 4.6. Блок-схема программной
реализации нечеткого компенсатора и регулятора
-23-
Выдача
управляющих
воздействий
Корректировка
параметров
системы
Исходные данные #u, q^, q3I,
П /7КОМ /7реГ f f P Р TjJ 1JKOM
м?ег, G=1,7), необходимые для
вычисления функций принадлежности,
вводятся блоком 1.
Блок 2 опрашивает текущие
значения управляемых выходных
координат объекта и действующего
возмущения.
Ошибка управления г* и ее
производная ё' вычисляются в
блоке 3, а их функции принадлежности
определяются в блоке 4.
В блоке 5 анализируются
входы г\ гг с ТЛП
регулятора, т. е.
ЕСЛИ гЧ812 и s4e22 TO /и=1 ИНАЧЕ
ЕСЛИ еЧё12 и 84^23 ТО т = 2 ИНАЧЕ
ЕСЛИ 8^827 И 8^827 ТО т = 36
и выбираются соответствующие множества Р?ег, ^j, %
Блоки 6—11 вычисляют соответственно aj?r(fc=l,2; IeP\
*ъ bj(Je^), ^j(wper), \iTj{uver) и |ii(wper) no D.55)—D.57).
Анализ нечеткого множества uUv —(и,\i(uj) и выбор
нечеткого управляющего воздействия и*рег регулятора по
«отклонению» осуществляются блоком 12.
В блоках 13—22 выполняются функции, идентичные
выполняемым в блоках 3—12 для выбора компенсирующего
воздействия и[ом. В блоке 23 определяется результирующее
управляющее воздействие, которое подается на вход объекта
с помощью блока 24.
4.6. ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА
Практически оказывается трудно построить адекватную
модель сложного технологического процесса. В этом случае
разработку необходимо проводить как определение правил регулиро-
126

вания непосредственно на объекте, что сопряжено со
значительными затратами времени и технологическими осложнениями.
В то же время, можно получить качественную информацию
о технологическом процессе непосредственно у лица,
управляющего объектом, и выдать нечеткое описание объекта,
которым человек успешно пользуется при управлении
процессом, а потому целесообразно использовать нечеткое описание
объекта непосредственно для синтеза нечеткого регулятора.
Ниже приводится методика лингвистического синтеза
нечеткого регулятора с двумя входами и одним выходом для
объектов 1- и 2-го порядков при наличии их нечеткого описания.
Таблица 4
и*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
7
X*
ОБ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ОС
ом
но
ПМ
ПС
ом
ОС
ом
но
ПМ
но
ОБ
ОС
ом
но
ПМ
ПС
ПБ
ПМ
ом
но
ПМ
ПС
ПС
ОС
ом
но
ПМ
ПБ
ОБ
ОС
ом
но
X*
Лингвистический синтез регулятора для динамического
объекта первого порядка. Пусть динамика объекта управления
описывается некоторой таблицей лингвистических правил (табл. 4.7),
построенной на основе реакций объекта на скачкообразные
изменения управлениями представлена в виде нечетких продукций:
ЕСЛИ и* есть ОБ, ЕСЛИ х* есть НО ТО х* есть ОБ ИНАЧЕ
ЕСЛИ и* есть ОБ, ЕСЛИ х* есть ОМ ТО х* есть ОС ИНАЧЕ
ЕСЛИ и* есть ПБ, ЕСЛИ х* есть ПБ ТО х* есть НО и т. д.,
D.59)
где х* и jc* — базовые переменные соответственно нечетких
множеств выхода и скорости изменения выхода; и* — базовая
переменная нечеткого множества управления, при этом
127

ОБ ОС ОМ НО ПМ ПС ПБ х
Рис. 4.7. Функции принадлежности, соответствующие лингвистическим термам
соответствующая лингвистическая переменная, как и ранее, ил =
= {м*, Wu, U}; Wu—универсум; и*еТ*(и) — расширенное терм-
множество. Здесь ОБ, ОС, ОМ, НО, ПМ, ПС, ПБ —значения
(термы) лингвистических переменных, описываемых
соответствующими нечеткими подмножествами, заданными на
универсальных множествах (рис. 4.7). Отметим, что в табл.
4.6 установившиеся режимы объекта определяются теми
состояниями и*, х*, х*, для которых они равны НО.
Из ТЛП видно, что для каждого терма управляющего
воздействия существуют установившиеся состояния объекта.
Например, если начальное состояние объекта определено
128

t*
k
i*
1
1
1
L
i
p
X*
T
6*
I 1
-°H-7 ' ~Ъ
Рис. 4.8. Структура модели динамики объекта регулирования
следующими значениями переменных: хл = ПБ, хл = ОБ, мл = ОС,
то при неизменном управлении (т. е. при ил — ОС = const)
переходный процесс устанавливается: хл = ОС, хл = НО (см.
вторую строку ТЛП).
Для начального состояния хл = ОС, хл = ПБ, ыл = ПБ
установившимся состоянием объекта будет: хл = ПБ, хл = НО при
ия = ПБ (см. седьмую строку ТЛП).
По аналогии с аналитической формой представления
динамических объектов, лингвистическую модель динамики
объекта D.59) можно формально показать в следующем виде:
х*=/л(х*> и*); y* = G»{x*) = x\ D.60)
где/л—суть ТЛП с входами и* и х*; *—обозначение принято
для простоты и означает, что лингвистическая переменная
принимает значение соответствующего терма.
Уравнение D.60) схематично показано на рис. 4.8.
Пусть входом замкнутой системы является задающее
воздействие g, которое поступает на положительный вход
сравнивающего устройства, а на отрицательный вход
сравнивающего устройства подается выход объекта у = х, тогда
e=g-x, D.61)
где е — ошибка управления.
Лингвистическое описание сравнивающего устройства теперь
примет вид
е* = С»{х\ g% D.62)
причем базовые переменные
значения:
и хл принимают следующие
lTeT-(g)
ОБ
ОС
ом
9 Заказ 2056
но
ПМ
ПС
ПБ
ОБ
ОС
Х*1
ОМ
-;Г(Х)
НО
ПМ
ПС
ПБ
D.63)
129

Таблица 4.8
X*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
g*
ОБ
НО
ОМ
ОС
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОС
ПМ
но
ом
ОС
ОБ
ОБ
ОБ
ОМ
ПС
ПМ
но
ом
ОС
ОБ
ОБ
НО
ПБ
ПС
ПМ
но
ом
ОС
ОБ
ПМ
ПБ
ПБ
ПС
ПМ
НО
ОМ
ОС
ПС
ПБ
ПБ
ПБ
ПС
ПМ
НО
ОМ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПС
ПМ
НО
е*
Из D.61) следует, что термы ошибки е идентичны термам
выхода объекта х и задания g.
На основе D.61)—D.63) определяем лингвистическое
описание сравнивающего устройства, которое представляется в виде
табл. 4.8.
Пусть информация о скорости изменения ошибки
определяется выражением
ё= —dx/dt= —х при g = const, D.64)
а значение лингвистической переменной
ел = ОБ=>хл = ПБ, D.65)
т. е. термы ёл и хл противоположны по смыслу.
Предположим, что желаемый переходный процесс замкнутой
системы управления дан в виде таблицы лингвистических
правил, которая может быть получена из заданного графика
желаемой динамической характеристики, т. е.
x*=Wn(x\ g*) D.66)
может быть представлен в виде некоторой ТЛП (табл. 4.9).
Учитывая D.61)—D.65) и табл. 4.7, можно табл. 4.8
представить в координатах ошибки и скорости ее изменения,
иными словами, в виде ТЛП желаемой замкнутой системы
(табл. 4.10):
e* = F»(e\ g% D.67)
где для установившегося состояния е* = ё* =
130

Таблица 4.9
g*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
X*
ОБ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ом
ОС
ОС
но
ПМ
но
ОБ
ОС
ом
но
ПМ
ПС
ПБ
ПМ
ом
но
ПС
ПБ
ПС
ОС
ом
но
ПМ
ПБ
ОБ
ОС
ом
но
X*
Таблица 4.10
g*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
е*
ОБ
ПБ
ПБ
ОС
ПС
ПС
ПС
ПС
ом
ПМ
ПС
ПМ
ПМ
ПМ
ПМ
но
но
но
но
но
но
но
но
ПМ
ом
ом
ом
ом
ОС
ом
ПС
ОС
ОС
ОС
ОБ
ПБ
ОБ
ОБ
ё*
131

В таком случае на основании D.62), D.65) и табл. 4.6,
при ?Л = НО составляем ТЛП разомкнутой системы, т.е.
объекта со сравнивающим устройством (табл. 4.10):
е*=-х*; e*=-x*=>F»(e\ и*). D.68)
Теперь задачу синтеза можно сформулировать следующим
образом: требуется определить такую структуру ТЛП нечеткого
регулятора, которая переводит объект управления (табл. 4.7
или 4.11) из начального состояния
Xq9 Xq или во, ёо D.69)
в конечное
х*, х* или е*, ё*. D.70)
Таблица 4.11
м*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
е*
ОБ
ПБ
ПС
ПМ
НО
ОС
ПС
ПМ
но
ом
ом
ПМ
но
ом
ОС
но
ПБ
ПС
ПМ
но
ом
ОС
ОБ
ПМ
ПС
ПМ
но
ом
ПС
ПМ
но
ом
ОС
ПБ
но
ом
ОС
ОБ
Например, система из начального состояния Xq =
хл = НО; ?Л = ПС (ел = ПС; ё% = НО; #Л = НО) переводится в
конечное хл = ПС; хл = НО; ?Л = ПС (ел = НО; ёл = НО; ?Л = НО)
с желаемым качеством переходного процесса (табл. 4.9 или 4.10).
Лингвистический синтез нечеткого регулятора можно
осуществить по следующей логической схеме:
нечеткий объект х нечеткий регулятор -> желаемая замкнутая
система D.71)
или
нечеткий объект х нечеткое сравнивающее устройство х
желаемая нечеткая замкнутая система -> нечеткий регулятор. D.72)
132

Отметим, что схема D.72) более удобна для
лингвистического синтеза, а D.71)—для лингвистического анализа
замкнутой системы управления.
Теперь нетрудно вывести лингвистические правила
регулирования: объединив табл. 4.10 и 4.11, получим табл. 4.12,
а на основе D.68), D.72) и табл. 4.12 имеем
и* = Н»(е\ ё*),
D.73)
т. е. лингвистически синтезированную ТЛП нечеткого
регулятора (см. табл. 4.13).
Таблица 4.12
и*
ОБ
ОС
ОМ
НО
пм
ПС
ПБ
е*
ОБ
ПБ
ПБ
ПС
ПМ
НО
ОС
ПС
ПС
ПС
пм
но
ом
ом
пм
ПС
пм
пм
но
ом
ОС
но
ПБ
ПС
пм
но
ом
ОС
ОБ
пм
ПС
пм
но
ом
ом
ОС
ом
ПС
пм
но
ом
ОС
ОС
ОБ
ПБ
но
ом
ОС
ОБ
ОБ
ё*
Таким образом, на основе лингвистического синтеза
определена ТЛП (табл. 4.13) нечеткого регулятора, которая имеет
входы: ошибку е и скорость изменения ошибки ё, причем
незаполненную часть табл. 4.13 можно дополнить логически
с учетом обратной связи системы. Схематически нечеткий
регулятор показан на рис. 4.9.
На основе схемы лингвистического анализа D.71) покажем,
что ТЛП нечеткого регулятора (табл. 4.13) обеспечивает переход
системы из начального состояния D.69) в конечное D.70):
При ел = ПС и ?Л = ПС из табл. 4.8 определяем хл = НО,
и из D.12) следует, что в начальный момент хл также НО,
т. е. хл = НО.
133

Таблица 4
ё"
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
13
е"
ОБ
ПБ
ОБ
ОС
ОМ
НО
ОС
ПБ
ОБ
ОС
ОМ
НО
ОМ
ОБ
ОС
ОМ
НО
НО
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ПМ
но
ПМ
ПС
ПБ
ПС
но
ПМ
ПС
ПБ
ПБ
ПБ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ПБ
и*
Теперь, при ел = ПС и ел = НО из табл. 4.13 определяем
мл, которое есть ПС. Затем подставляем в табл. 4.7 мл = ПС
и определяем лингвистические термы хл и хл. Из табл. 4.7
следует, что возможны четыре состояния:
С учетом того, что движение системы будет в сторону
увеличения jc, скорость изменения х будет не отрицательной.
Следовательно, рассмотрим первые три варианта:
при хл = НО, хл = ПС, учитывая D.62) и D.65), определяем,
что ел = ПС и ёл = ОС. При новых значениях ел и ёл из табл.
4.13 определяем, что мл = НО. Это означает, что управление
остается неизменным, т. е. г/л = ПС;
при хл = ПМ, хл = ПМ получаем <?Л = ПМ, ел = ОМ. При
этих значениях ел и ёл из табл. 4.13 определяем, что ил = НО
ке
ч
кё
ГЛП
Рис. 4.9. Схема нечеткого регулятора3
134

при хл = ПС, хл = НО получаем ел = НО, ёл = НО. Из табл.
4.13 определяем, что мл = НО.
Таким образом, нечеткая система переводится из начального
состояния D.69) в конечное D.70), являющееся устойчивым
узлом.
Лингвистический синтез основного контура системы для
динамического объекта 2-го порядка. Необходимо отметить,
что с увеличением порядка объекта его лингвистическое
описание вида (табл. 4.7) существенно усложняется. Известно,
что объект я-го порядка необходимо представить п + 2-мерным
нечетким отношением в пространстве:
Х± X Х2 X ... X Хп+ i X С/,
где хи х29 ...,х„ + 1 и О—нечеткие множества соответственно
состояний объекта и управления.
В частности, лингвистическую модель динамического объекта
2-го порядка необходимо представить в виде ТЛП с тремя
входами, т. е. схематично в виде куба (рис. 4.10). Очевидно, что
составление полной лингвистической модели объекта 2-го
порядка даже с одним входом и выходом — весьма утомительная
процедура, а чаще всего либо вообще невозможно составить
полную 2 +2-мерную ТЛП, либо при ее составлении могут быть
допущены погрешности. Следовательно, синтез лингвистических
правил нечеткого регулятора также становится сложным, а при
погрешностях в ТЛП объекта может быть и неверным. Отметим,
что если же построить нечеткий регулятор с 2 +2-мерной ТЛП,
входами которой будут **, x\ х\ а выходом — и*, то реализация
на микро- и мини-ЭВМ также становится неоправданно сложной.
Для устранения вышеуказанных недостатков предлагается
способ составления и представления ТЛП динамических
объектов 2-го порядка, позволяющий лингвистически синтезировать
нечеткий регулятор.
Переходные процессы линейных и нелинейных устойчивых
динамических объектов 2-го (а также более высокого) порядка
характеризуются отрезками разгон, тормоз и установившееся
состояние, В связи с этим представляется целесообразным
следующий способ описания лингвистических моделей объектов
2-го порядка двувходовыми ТЛП. Для определения участка
движения (т. е. переходного процесса) объекта введем
следующие лингвистические переменные 5Л, Ул,
T* = R$(S\ /л), D.74)
которые определяются через фазовые координаты объекта,
где R$ — суть ТЛП.
Таким образом, лингвистическая переменная Тл принимает
из соответствующего терм-множества следующие значения:
T*(WT) = {разгон, тормоз, установившееся состояние} D.75)
135

и
У\
X
S
у
У
Рис. 4.10. Схема лингвистической модели
динамического объекта 2-го порядка
Рис. 4.11. Схемы представления нечеткой
модели динамического объекта 2-го порядка
в виде ТЛП с тремя (а) и двумя (б) входами
Объект
4%
?
\т=т2 \т=т}
I *
т
L
^ _
^r'1
, х | з
. I 7
L4
«2,3
rj
I I
I I
и идентифицирует участки переходного процесса объекта,
причем она вседа представима в виде ТЛП:
D.76)
136
/л
r{WT)

Из вышеизложенного и анализа D.74) — D.76) следует, что
вместо одного нечеткого многомерного отношения R(x, х, jc, и)
возможно и удобно использовать три матрицы отношения
7?разг(х, х, и), RropM(x, х, и) и RycT(x, x, и), размерность которых
меньше размерности R(x, х, х, и). Для определения состояния
объекта необходимо использовать значения лингвистических
переменных 77(/=1,3), которые определяются в зависимости
от значений лингвистических переменных $л и /л. Описанное
можно представить схемами, показанными на рис. 4.11 и 4.12.
На рис. 4.11, а приведена схема представления нечеткой модели
динамического объекта 2-го порядка в виде ТЛП с тремя
входами, на рис. 4.11,6—схема нечеткой модели объекта
в виде ТЛП с двумя входами. Если каждой переменной
используется т нечетких подмножеств, то для ТЛП с тремя
входами надо составить следующее число лингвистических
правил: N=mn+1, а для двувходовых ТЛП число правил
Рис. 4.12. Схема декомпозиции матриц отношений
137

определяется следующим неравенством: @,5тп + 2т) ^ TV' ^
^\2тп + т). Сравним трудоемкости составления и запоминания
ТЛП на примере:
для ТЛП с тремя входами:
при т = 7 термам число правил N=343,
при га=11 термам число правил N=1341;
для декомпозированной ТЛП с двумя входами:
при т = 7 термам число правил 39 ^ N' ^ 105,
при га=11 термам число правил 83 ^N'^253.
А теперь, используя лингвистические переменные S* и 7Л,
покажем, какими зависимостями от фазовых координат
х и х они могут быть представлены. Для объектов второго
порядка динамика движения определяется скоростью и
ускорением. В связи с этим
S» = {S\ W» S} = R»(x\ Г), S'*eF{Ws), D.77)
где S*= (signx*) a (sign jc*); R*—суть ТЛП; jc\ x* и
соответственно базовые переменные, принимающие значения из набора
термов: {положительный, отрицательный, нуль}.
Согласно D.77) лингвистическая переменная 5Л
будет принимать значения из соответствующего
терм-множества:
Т*(Ws) = {нуль, положительный, отрицательный}^. D.78)
При S *-положительный, переходной процесс находится
на участке разгон, а при S -отрицательный — на участке
тормоз. При S*-uyAb движение объекта может находиться
либо в установившемся состоянии, либо в точке
перегиба (от тормоза к разгону или наоборот). Из последнего
следует, что необходима дополнительная информация о
соотношении фазовых переменных, на основе которой
можно определить установившийся режим. В качестве
такой информации рассмотрим значения лингвистической
переменной:
J0 = {J=R»(x\ **), Г}, У}, /6г;; D.79)
/= | signal HI signal; D.80)
Т) = {нуль, не нуль], D.81)
где не нуль — переходный процесс находится в установившемся
состоянии; нуль—динамический режим объекта.
В таком случае, используя D.75) и D.77) — D.81),
можем предварительно описать участки переходного
процесса объекта, которые можно определить следующими
высказываниями:
ЕСЛИ S* есть положительно, и если /* есть нуль ТО Т*
(состояние объекта)—разгон ИНАЧЕ,
138

ЕСЛИ S* есть отрицательно, если /* есть нуль ТО Т*
(состояние объекта)—тормоз ИНАЧЕ,
ЕСЛИ S* есть нуль, и если /* есть не нуль ТО Т*
установившееся состояние. D.82)
Выражение D.82) можно представить в виде
некоторой таблицы лингвистических правил, входами которой
будут лингвистические
дом Гл:
переменные S* и J1
выхо-
S*
Отрицательно
Нуль
Положительно
Нуль
Тормоз
Динамический
режим
Разгон
Не нуль
Т*
D.83)
Отметим, что с помощью D.83) можно также определять
участки переходного процесса динамических объектов более
высоких порядков.
Пусть нечеткая модель объекта 2-го порядка, составленная
на основе качественных рассуждений, т. е. по переходным
процессам объекта на скачкообразные изменения входов, задана
в виде следующих высказываний:
ЕСЛИ и* есть ПБ, и если х* есть ПМ ТО х* есть ПС
и х есть ПС ИНАЧЕ
ЕСЛИ и* есть ПБ, и если х* есть ПС ТО х* есть ПБ
и х* есть ПБ
ЕСЛИ и* есть НО, и если х* есть НО ТО х* есть НО
и х* есть НО D.84)
Допустим также, что переходные процессы (при увеличении
выхода от номинала) объекта 2-го порядка описываются тремя
ТЛП, соответственно для участков разгон, тормоз и
установившееся состояние (табл. 4.14), а при уменьшении выхода объекта
от номинала — табл. 4.15. Объединив табл. 4.14 и 4.15, получим
обобщенную нечеткую модель соответственно для участков
разгон и тормоз (табл. 4.16). Установившееся состояние объекта
в любом случае определяется табл. 4.14 при TJl=T\,1=ycma-
новившееся состояние.
139

Таблица 4.14
и*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
Разгон jc*
ОБ
ОС
ОС
ОБ
ОС
ОМ
ОС
ом
ом
X*
но
но
но
но
но
но
но
но
ПМ
ПМ
ПМ
ПС
ПС
ПС
ПБ
ПБ
ПС
Тормоз х*
ОБ
ОМ
ОС
ом
ом
ом
но
но
ПМ
ПМ
ПС
ПМ
ПБ
ПМ
X*
Установившееся jc*
ОБ
НО
ОС
но
ом
но
но
но
ПМ
но
ПС
но
ПБ
но
X*

Таблица
и*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ОБ
НО
ПМ
ПМ
ПМ
4.15
ОС
НО
ПС
ПС
Разгон
ОМ
НО
ПБ
НО
НО
1С*
ПМ
ОБ
но
ПС
ОС
ОС
но
ПБ
ом
ом
ом
но
X*
Таблица
и*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ОБ
ОС
ПМ
ПМ
ПМ
4.16
ОС
ОБ
ОС
ПС
ПС
Разгон ,
ОМ
ОС
ом
ом
ПБ
но
но
но
но
но
но
но
но
к*
ПМ
ОБ
ПМ
ПМ
ПС
ПС
ОС
ОС
ПС
ПБ
ПБ
ом
ом
ом
ПС
X*
ОБ
но
но
ОС
но
ПС
Тормоз
ОМ
но
ПБ
НО
НО
X*
ПМ
ОБ
НО
ПС
ОС
НО
ПБ
НО
но
X*
ОБ
ОМ
но
ОС
ом
ПБ
Тормоз
ОМ
ом
ПБ
НО
НО
X*
ПМ
ОБ
ПМ
ПС
ОС
ПМ
ПБ
НО
ПМ
X*
Сформулируем задачу синтеза нечеткого регулятора для
объектов 2-го порядка (табл. 4.14 и 4.16) и с учетом D.83)
аналогично задаче для объектов 1-го порядка (формулировку
141

не приводим, так как по форме постановки идентичны).
Теперь определим структуру и ТЛП нечеткого регулятора
для объектов 2-го порядка. В соответствии с D.68), D.71),
D.72) и с учетом нечеткой модели объекта (табл. 4.14 и 4.16)
получим ТЛП для участков разгон и тормоз (табл. 4.17).
Таким образом, на основании D.68), D.72) и табл. 4.17
синтезируется ТЛП нечеткого регулятора, являющаяся
решением поставленной задачи (табл. 4.18).
В то же время для простоты реализации нечеткого
регулятора целесообразно объединить табл. 4.18 в единую ТЛП,
которая представлена табл. 4.19. Следует отметить, что
недостающие ситуации в последней таблице дополнялись по
смысловому содержанию ТЛП (причем, благодаря
использованию композиционного правила вывода такое дополнение
не является обязательным).
Однако при объединении ТЛП может возникнуть ситуация
с наложением резко противоречивых правил. Предпочтительнее
использовать регулятор с тремя ТЛП, который является более
«интеллектуальным», но и более сложным в реализации,
а лингвистические переменные для D.83) определяются
следующим образом:
t"p={t;=rt{s;9j;)9
*|, Г,, Jp}9 ГреТу9
г fp}9 т;етр. D.85)
Таблица
и*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
ОБ
ПМ
ПМ
ПС
ОС
4.17
ОС
ПС
ПС
ОС
ОБ
Разгон <
ОМ
ПБ
ОМ
ОМ
ОС
НО
НО
но
но
но
но
но
но
тм
ПС
ПМ
ПМ
ОБ
ПС
ПБ
ПС
ОС
ОС
ПБ
ПС
ом
ом
ом
ё*
ОБ
но
но
ОС
ПС
но
Тормоз
ОМ
ПБ
НО
НО
НО
е*
ПМ
но
ОБ
ПС
НО
ОС
ПБ
НО
НО
ё*
142

Таблица 4.18
ё*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
Разгон е *
ОБ
ПБ
ПС
ОС
ПБ
ПС
ПМ
ОМ
ПБ
ПС
НО
НО
НО
ПМ
но
ОС
ОБ
ПС
ом
ОС
ОБ
ПБ
ОС
ОБ
и*
Тормоз е*
ОБ
ПС
ОС
ПС
ПМ
ом
ПМ
но
но
но
ПМ
но
ом
ПС
ом
ОС
ПБ
ОС
и*
Установившееся состояние е*
ОБ
ПБ
ОС
ПС
ом
ПН
но
но
ПМ
ОБ
ПС
ОС
ПБ
ОБ
м*

Таблица 4
ё*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
.19
е*
ОБ
ПБ
ПБ
ПС
ПС
ПС
ПС
ПС
ОС
ПБ
ПС
ПС
ПС
ПМ
ПМ
ПМ
ом
ПС
ПБ
ПС
ПМ
ПМ
ПМ
но
но
ПМ
но
ом
но
ПМ
ПМ
ПМ
м*
ПМ
но
ом
ом
ом
ОС
ОБ
ОС
ПС
ом
ом
ом
ОС
ОС
ОБ
ОБ
ПБ
ОС
ОС
ОС
ОС
ОС
ОБ
ОБ
Таким образом, в соответствии с постановкой задачи D.69),
D.70) синтезируется ТЛП нечеткого регулятора при известном
нечетком описании объекта управления. Назначением
синтезированной ТЛП является выработка последовательности w},
(у = 0, &—1), которая с желаемым качеством переходного
процесса переводит объект управления из начального состояния
D.69) в конечное D.70), которое является устойчивым узлом.
Эту процедуру можно представить следующим образом:
и\->...^ D.86)
—>лг?—>Mj—>-..—>jcJ, / = 0, к, у'=0, к— 1,
где х* — выход объекта управления; и)—управляющее
воздействие
4.7. АДАПТИВНЫЙ НЕЧЕТКИЙ РЕГУЛЯТОР
Нечеткие регуляторы, рассмотренные в предыдущих
параграфах книги, обеспечивают желаемую переходную
характеристику системы управления технологическим процессом лишь
при стабильных значениях параметров его математической
модели.
Для сохранения заданного качества процессов управления
при изменении параметров объекта необходимо корректировать
параметры регулятора, и в первую очередь его базу знаний.
144

//уровень
Нечеткий регулятор
е
3
-
1
4
Рис. 4.13. Схема адаптивного нечеткого регулятора (пояснения к блокам
нечеткого регулятора см. рис. 4.1)
Регуляторы, обладающие указанным свойством
приспособления к изменяющейся ситуации с помощью самоорганизации
базы знаний, будем называть нечеткими адаптивными
(рис. 4.13).
Система управления с адаптивным регулятором
представляет собой двухуровневую систему с обычным нечетким
регулятором в цепи ее обратной связи и нечетким контуром
адаптации на высшем уровне. Принцип работы адаптивного
нечеткого регулятора заключается в том, что при изменении
параметров объекта управления сложившейся текущей
ситуации, определяемой е и е, база знаний выбирает действие,
уже не обеспечивающее необходимое качество регулирования.
Получая информацию об изменении параметров объекта,
содержащихся в ситуации (е, ё), верхний контур формирует
такую последовательность правил, которые приводят к
желаемой переходной характеристике системы.
Для решения поставленной задачи организуем контур
нечеткой адаптации. Зададим желаемое качество процесса
управления в виде подмножества проекций эталонных фазовых
траекторий, лежащих в области, именуемой допустимой.
Необходимо отметить, что трудно представить точную фазовую
траекторию желаемой реакции объекта управления, а иногда
просто нецелесообразно предъявлять к проектируемой системе
такие предельно идеализированные жесткие требования.
Разумно на фазовой плоскости выделить некоторую допустимую
область (рис. 4.14, а), внутри которой качество работы системы
управления воспринималось бы как удовлетворительное,
и лишь при нарушении границ упомянутой области
применялись бы некоторые адаптирующие воздействия.
Действительно, очень часто разработчик способен интуитивно выделить
допустимую область, основываясь на своем опыте, а также
10 Заказ 2056 145

е
\
а)
\
У'
Рис. 4.14. Допустимая область удовлетворительного качества работы системы
управления (а) и допустимая область и область, «ответственная» за время
регулирования (б)
из качественных рассуждений о желаемой реакции объекта
управления.
Представим эти рассуждения в виде лингвистических правил,
например:
ЕСЛИ ошибка е* ПБ, и скорость изменения ошибки ё*
ПБ
ТО переходной процесс системы удовлетворительный и
адаптация управления не нужна ИНАЧЕ,
ЕСЛИ ошибка е* ПМ, и скорость изменения ошибки
ё* ПБ
ТО переходной процесс системы неудовлетворительный
и необходимо отрицательно средняя адаптация управления
или
i = l, nu 7=1, п2, е=1,л3, к=1,п4, D.87)
где RI — нечеткое описание правила в пространстве ExExU%\
Ёь Ej, Ue—соответственно нечеткие подмножества ошибки,
скорости изменения ошибки и адаптации управления.
Полученные нечеткие описания правил формируют матрицу
нечетких отношений (MHO):
= R\ v R\ v ... v Rl v ... v R* fc=l, л4.
D.88)
Ниже представлена ТЛП контура нечеткой адаптации
(табл. 4.20), с помощью которой производится оценка качества
переходного процесса и коррекция правил. Нулевые элементы
ТЛП соответствуют состояниям, для которых не требуется
коррекция, т. е. переходный процесс удовлетворительный. Эти
146

состояния обеспечивают достаточно быструю установку
процесса и успешное затухание в некоторой окрестности задания.
Ненулевые элементы ТЛП соответствуют
неудовлетворительной реакции объекта управления и необходимости коррекции
правила.
Таблица 4
ё*
ОБ
ОС
ОМ
НО
ПМ
ПС
ПБ
20
е*
ОБ
НО
но
но
но
ПБ
ПБ
ПБ
ОС
но
но
ПМ
ПС
ПС
ПБ
ПБ
ОМ
ОС
но
но
ПМ
ПМ
ПС
ПБ
но
ОБ
ОС
но
но
но
ПС
ПБ
ПМ
ОБ
ОС
ОМ
ом
но
но
ПС
ПС
ОБ
ОБ
ОС
ОС
ом
но
но
ПБ
ОБ
ОБ
ОБ
НО
НО
но
но
иа*
Таким образом, идея разработчика о желаемой реакции
системы представляется единой матрицей Ra, получаемой на
основе ТЛП контура нечеткой адаптации. Назначением
матрицы Ra является выработка адаптирующего воздействия при
нарушении фазовой траекторией системы границы допустимой
области. Следует отметить, что предлагаемая ТЛП достаточно
универсальна, чтобы быть применимой к объектам различного
порядка. Однако для нахождения оптимальных (с точки зрения
разработчика) границ допустимой области А необходимо
уделить особое внимание границам двух областей на фазовой
плоскости (рис. 4.14, б), где В—область, «ответственная» за
время регулирования.
Варьируя при синтезе ТЛП границами областей А и В,
разработчик определяет качество переходного процесса, к
которому будет стремиться проектируемая САУ.
Как отмечалось выше, процедура адаптации управления
заключается в корректировке некоторого правила из ТЛП
основного контура нечеткого регулятора, приведшего к текущей
неудовлетворительной реакции объекта управления. Рассмотрим
эту процедуру подробнее. Допустим, что некоторое правило
из ТЛП основного контура нечеткого регулятора явилось
147

причиной текущего неудовлетворительного (с точки зрения
ТЛП контура нечеткой адаптации) выхода объекта управления.
Нечеткое описание этого правила составляет матрицу:
. Rn-k = EH-kxEn-kxUH-k9 D.89)
где En-k = F{en-k}; En-k = F{en-k}; Un-k = F{un-k}; « — индекс
текущего времени опроса объекта; к — определяется из
динамики объекта; F—оператор перехода от четкой переменной
к нечеткой.
Текущая неудовлетворительная реакция объекта управления
была установлена некоторым правилом из ТЛП контура
адаптации, нечеткое описание которого также составляет
матрицу:
R* = EnxEnxUl D.90)
Очевидно, что неудовлетворительное правило должно быть
заменено скорректированным:
R' = En-kxEn_kxU\ D.91)
где U» = F{un-k + ul).
Таким образом, в ТЛП основного контура будет занесено
новое правило, которое для текущих параметров объекта
управления предпочтительнее удаленного. А для решения
вопроса адаптации управления, соответствующего
неудовлетворительному правилу, представляется целесообразным
использовать четкое значение ?/* в соответствии со следующим
алгоритмом:
и° = ия + и*Я9 D.92)
где ип = D{Un}; ul — D{Ul}\ D — оператор перехода от нечеткой
переменной к четкой. На рис. 4.15 представлена схема нечеткого
регулятора с контуром нечеткой адаптации.
Необходимо отметить и возможность применения контура
нечеткой адаптации для первоначальной генерации
управляющих правил ТЛП основного контура при условии
стационарности параметров объекта управления [50]. В этом случае
используется программная имитация системы управления и до
начала эксперимента ТЛП основного контура не содержит
правил. Эксперимент заключается в том, что регулятору
устанавливается задание и на некотором интервале времени
подсчитывается число сгенерированных правил. Далее
эксперимент повторяется до полной выработки алгоритма и
прекращения коррекции правил. После окончания эксперимента
148

F
ke
E
—
F
E
-*>
ТЛПА
1
ТЛП
и
L
В
D
X
Рис. 4.15. Схема нечеткого регулятора с контуром нечеткой адаптации
ТЛП основного контура содержит необходимое число правил
для вывода объекта управления на установленное задание
с желаемым качеством переходного процесса.
Благодаря использованию алгоритма быстрого вывода
[51], суммарное время выполнения процедуры нечеткой
адаптации к выработке управляющего воздействия не превышает
время выработки управляющего воздействия в нечетком
регуляторе, использующем обычное композиционное правило
вывода.
4.8. СТРУКТУРА НЕЧЕТКОЙ АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ
РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННОЙ
Как уже отмечалось, процедура синтеза нечеткого
регулятора заключается в определении множества лингвистических
правил управления и значений коэффициентов
масштабирования ке, кё и /^обеспечивающих желаемое качество процесса
управления, а для нечеткого адаптивного регулятора
необходимо дополнительно определить множество лингвистических
правил адаптации управления. Так как ТЛП основного контура
и контура нечеткой адаптации имеют идентичные входы, то
в нечетком адаптивном регуляторе рассматриваются чедыре
универсальных множества, на которых соответственно
определены следующие нечеткие подмножества:
?(/=1,14); ?,(./=1,13); #,(/=1,13); C/2(fc=l,13),
где Ёь Ej9 Ui и Ul—соответственно нечеткие подмножества
ошибки, управления и адаптации управления. Указанные
149

нечеткие подмножества определены для соответствующих
лингвистических термов:
и\=ОБ = (и, Ми));
с/*6=онм 4 (и,
СГ7 = НО Д (ич
?/*=ПНМ Д («,
Д
A (u9\Ln(u));
Д );
), D.93)
где С/* v (е = 1,13) — лингвистический терм
соответствующей лингвистической переменной нечеткого подмножества
&е\ М*?) — функция принадлежности нечеткого
подмножества Ue.
Аналогичным образом на принятом языке определены
нечеткие подмножества для скорости изменения ошибки:
%й{ём,ъ(ём))9 у=1,13; D.94а)
адаптации управления:
02 = (и", Ми»)), к=113; D.946)
и ошибки управления:
Число лингвистических термов ошибки на единицу
больше количества других термов вследствие того, что
вместо терма НО (нуль) для ошибки используются два, терма
ПН и ОН.
В выражениях D.94а) и D.94в) масштабированные величины
ем и ём определены следующим образом:
ем = кее; ём = кёё. D.95)
На рис. 4.16 представлены пределы изменения
универсальных множеств и графики функций принадлежности \it(eM)9
\ij(eM)9 це(м) и jifc(w°), соответствующих ошибке Ё{ (/=1,14),
скорости ее изменения Ё} (j =1,13), управлению Ue (e=l,1
150

и адаптации управления U\ (A: = 1,13). Для всех функций
принадлежности выбрана единая экспоненциальная форма:
-q2J\eM-eMj\)9 ./=1,13;
"Ь "?j ""
Рис. 4.16. Пределы изменения универсальных множеств ошибки, скорости
изменения ошибки, управления, адаптации и их функции принадлежности
151

(?4,|^-^|), Л—1,13, D.96)
где ёш, eMj, пе и п\—соответственно средние точки /-го,
у-го, е-го и А>го подмножеств ошибки, скорости
изменения ошибки, управления и адаптации управления, степень
принадлежности которых равна единице; qli9 qlh q3e
и qu—константы, определяемые при выполнении следующих
условий:
, eMeEi9 /=1,14;
9 eMeEj9 7=1,13;
, ueUe, g=l,13;
, ц-etfj, *=1,13. D.97)
В табл. 4.21 приведены значения qu, q2j, #зе> ?4Л? а также
значения ёмь eMj, пе и пак.
Используя предложенные выше подходы, были
синтезированы ТЛП основного контура регулятора и
ТЛП контура нечеткой адаптации. Ниже приведены
ТЛП основного контура и контура нечеткой адаптации
(табл. 4.22).
Алгоритм программной реализации разработанного
нечёткого адаптивного регулятора для управления температурой
верха колонны К-2 приведен на рис. 4.17:
Блок 1. Регулятору устанавливается задание qt.
Блок 2. На основе вновь полученного задания
qt и предыдущего задания рассчитываются коэффициенты
масштабирования ке, кё и ки.
Блок 3. В результате опроса объекта управления, в ЭВМ
вводится значение температуры верха колонны К-2.
Блок 4. Вычисляются значения е и е, а в результате их
масштабирования—значения ем и ём.
Блок 5. Вычисляются функции принадлежности \ь{ем)
и ii (ём) соответствующих нечетких подмножеств ошибки
и скорости ее изменения.
Блок 6. Осуществляется нечеткая оценка качества
переходного процесса. В случае выявления удовлетворительного
качества переходного процесса переход на блок 8.
Блок 7. В случае выявления неудовлетворительного
качества переходного процесса корректируется
соответствующее правило и в ТЛП основного контура заносится новое
правило.
152

a"
к
'3*
i
1
-0,180
ГП
o"
1
-»
о
1
2933
07
0235
4952
о
0117
CN
cT
1
-0,25
I'll-
oo"
1
2933
r-
o
094
16
6705
о
?389
сч
CN
-0,135
-0,225
!
2933
r-
o
5875
100
о
СП
чО
1458
сч
СП
-0,105
*""!
о"
1
1
-5,25
2933
г-
о
752
128
3394
9L2Z
-0,075
-0,15
ON
СЧ^
1
ГП
1
2933
г-
о
2933
107
2380
6094
in
-0,045
-0,125
-0,85
-1,25
2933
07
752
128
1458
сч
1458
сч
о
о
о
in
1
2933
07
188
сч
ГП
094
ЧО
4376
ЧО
г-
0,045
0,125
0,85
«•«
2933
07
752
. 128
1458
сч
г-
СП
ЧО
00
г-
0,15
2.9
2933
г-
о
2933
107
2380
1458
сч
ON .
О
о"
5,35
СП
2933
г--
о
752
128
3994
6094
о
0,135
0,225
ЧО^
2933
о
5875
001
4630
2875
0,165
0,25
11,1
7,25
2933
07
094
ЧО
6705
о
1458
сч
сч
0,180
гп^
о"
ЧО^
ОО^
2933
07
0235
4952
о
6823
сч
СП
О
0117
сч
153

~7, Таблица 4.22
с*
ОБ
ОНБ
ОС
ОНС
ОМ
OHM
НО
ПНМ
пм
пне
ПС
ПНБ
ПБ
ОБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ОНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПБ
ПБ
ОС
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПС
ПС
ПС
пне
ПС
ПНБ
ПБ
ПБ
ОНС
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПС
пне
пне
пне
пне
ПС
ПНБ
ПБ
ПБ
ом
ПНБ
ПНБ
ПНБ
ПС
пне
ПМ
ПМ
ПС
пне
ПС
ПНБ
ПБ
ПБ
Основной контур
OHM
ПНБ
ПНБ
ПНБ
пне
ПМ
пне
ПМ
пне
пне
ПС
ПНБ
ПБ
ПБ
он
ПНБ
ПНБ
ПС
пне
ПНМ
ПМ
ПМ
ПНМ
пне
ПС
ПНБ
ПНБ
ПБ
е*
ПН
ОНБ
ОНБ
ОС
ПНМ
ПМ
но
но
но
ОНС
ОС
ОНБ
ОНБ
ОБ
ПНМ
ОНБ
ОНБ
ОС
ОНС
OHM
но
но
но
ОНС
ОС
ОНБ
ОБ
ОБ
ПМ
ОНБ
ОНБ
ОС
ОНС
ОМ
НО
ом
OHM
ОС
ОНБ
ОС
ОБ
ОБ
пне
ОБ
ОНБ
ОС
ОНС
ОНС
ОМ
ОНС
ОНС
ОНБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ПС
ОБ
ОНБ
ОНБ
ОС
ОС
ОНС
ОС
ОС
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ПНБ
ОБ
ОБ
ОНБ
ОНБ
ОНБ
ОС
ОНБ
ОНБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ПБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
и*

е*
ОБ
ОНБ
ОС
ОНС
ОМ
OHM
НО
ПНМ
пм
пне
ПС
ПНБ
ПБ
Продолжены
р табл. 4.22
Конгур нечеткой адаптации е*
ОБ
НО
НО
НО
НО
НО
НО
НО
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОНБ
НО
НО
НО
НО
ом
ОНС
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОС
НО
НО
НО
ОМ
ОС
ОНБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОБ
ОНС
НО
НО
НО
НО
ОМ
ОНС
ОС
ОС
ОС
ОС
ОНБ
ОНБ
ОБ
ОМ
ПНМ
но
но
но
но
но
ом
ом
ом
ОНС
ОС
ОНБ
ОБ
OHM
пм
но
но
но
но
но
OHM
OHM
OHM
он
ОНС
ОС
ОНБ
он
пне
ПНМ
ПНМ
ПНМ
но
но
но
но
но
OHM
ом
ОНС
ОС
«а
ПН
ПС
пне
пм
ПНМ
но
но
но
но
но
OHM
OHM
OHM
ОНС
ПНМ
ПНБ
ПС
пне
пм
ПНМ
ПНМ
ПНМ
но
но
но
но
но
ом
пм
ПБ
ПНБ
ПС
пне
пм
ПС
пм
но
но
но
но
но
OHM
пне
ПБ
ПНБ
ПНБ
ПС
ПС
ПС
ПС
пне
пм
но
но
но
но
ПС
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПНБ
ПС
пм
но
но
но
ПНБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
пне
ПМ
НО
НО
НО
НО
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
ПБ
НО
НО
НО
НО
НО
НО
НО

{\ UU ПОи
От$енэинен-
ная нешть
Нестабильный*
бензин
К-2
К-6
ФР. 150-180 °С
К-7
К-В
cPP.2W-290°C
УВМ СМ-1
. ' Контур нечеткой
| адаптации
j
Ввод
контролируемых
параметров
Вычисление
Определение
(*L)
±
Оценка
качества
переходного
процесса
Корректировка

неудовлетворительного
правила
Г8 1
Определение
срункиии

принадлежности /г {и)
Вы&ор
значения
управления
rW 1
Выдача
управляющего
воздействия
.J
Рис. 4.17. Алгоритм программной реализации нечеткого адаптивного
регулятора для управления температурой верхней части колонны К-2
156

Блок 8. С использованием быстрого алгоритма вывода
вычисляется функция принадлежности нечеткого подмножества
управления ji (и).
Блок 9о На основе полученной функции принадлежности
\i{u) выбирается значение управления и.
Блок 10. Управление и выдается на объект управления.
Приведенная выше процедура конструирования нечеткого
адаптивного регулятора D.93) — D.97) проведена для канала
регулирования расход острого орошения — температура верха
К-2. Аналогичная процедура конструирования была проведена
и для других каналов регулирования.
Однако наличие перекрестных связей в объекте управления
дополнительно требует выполнения условий автономности.
В связи с этим был проведен расчет компенсаторов
перекрестных связей, выбрана относительно простая структура, которая
определялась следующим образом [53, 352]:
i=l,4; ./=1,4,
D.98)
Конечно, из-за присущей объекту управления
нестационарности, такой тип компенсатора не в состоянии обеспечить
полную автономность. Однако простота структуры и
возможность практической реализации на мини-ЭВМ характеризует
этот компенсатор как наиболее предпочтительный, и, как
показал анализ функционирования системы управления,
компенсация взаимовлияния каналов регулирования вполне
приемлема. Таким образом, подставив в D.98) значения передаточных
функций (предварительно перейдя к дискретному виду),
определим передаточные функции компенсаторов, обеспечивающих
условие автономности.
хл | р ТЛПЛ^ —
Х1
Блок

компенсаторов
Рис. 4.18. Схема нечеткой адаптивной САУ атмосферным блоком установки
ЭЛОУ-АВТ
157

Схема нечеткой адаптивной САУ атмосферным блоком
установки ЭЛОУ-АВТ приведена на рис. 4.18. Учитывая
необходимость апробации разработанной САУ, а также сравнение
с существующими системами, было проведено всестороннее
исследование нечеткой адаптивной системы методами
программной имитации. Для моделирования использован
алгоритмический язык ФОРТРАН-IV, и все эксперименты осуществлены
на УВК «СМ-4» под управлением операционной системы
ФОБОС.
Ниже приведены наиболее показательные результаты
экспериментов с нечетким адаптивным регулятором, нечетким
регулятором и регуляторами, реализующими традиционные
законы регулирования. Следуя схеме синтеза нечеткой
адаптивной системы, первоначально были получены управляющие
правила основного контура регулятора. Так как в номинальном
режиме установки динамика каналов регулирования
приближенно аппроксимируется дифференциальным уравнением 2-го
порядка, используя подход, данный в D.52), были получены
три матрицы для участков нечеткого регулятора: тормоз
(Г-матрица), разгон (Р-матрица) и установившееся состояние
(У-матрица). Были определены универсальные множества
ошибки, скорости изменения ошибки и управления. Интервал
дискретности был определен как и для реального объекта
в соответствии с [54, 55] и равнялся 15 с.
В соответствии со значениями и знаком фазовых координат
использовалось управляющее правило, входящее в одну из
трех имеющихся матриц.
На рис. 4.19 приведен алгоритм реализации данного
регулятора:
Блок 1. Регулятору устанавливается задание qt.
Блок 2. На основе вновь полученного qt и предыдущего
задания рассчитываются коэффициенты масштабирования ке,
гСл И* *^и *
Блок 3. Вычисляются значения е, ё и ё\ а в результате
масштабирования — значение ем и ём.
Блок 4. Анализируются значения ё и ё.
Блок 5. Для управления активизируется Г-матрица.
Блок 6. Для управления активизируется Р-матрица.
Блок 7. Для управления активизируется У-матрица.
Блок 8. Вычисляются функции принадлежности
и ^(^м) соответствующих нечетких подмножеств ошибки и
скорости изменения ошибки.
Блок 9. Вычисляется функция принадлежности нечеткого
подмножества управления |i(w).
Блок 10. На основе \х(и) выбирается значение
управления и.
Блок 11. Значение и выдается на управление.
158

Эксперименты, проведенные с этим регулятором, выявили
хорошее качество переходного процесса (рис. 4.20, а).
Существенным недостатком такой структуры являются значительные
затраты оперативной памяти ЭВМ, что обусловлено
необходимостью хранения трех матриц.
В связи с этим проведена процедура объединения трех
ТЛП, причем в случае наложения правил выбирался
компромиссный вариант. Использование единой ТЛП практически
Активизация
I Г-матрицы
Активизация
Р-матрицы
{Активизация
У- матрицы
8 1
Определение
функции
принадлежности
l
Г Опред
шункци
u(
'еление
р
шункции
принадлежности fitU)
.10-—L
Вы&ор
управления
и'по//(а)
I
Г77-
I Вы да ча
управляющего
воздействия
С Конец j
Рис. 4.19. Блок-схема реализации нечеткого
регулятора*
159

0 IT Z
Рис. 4.20. Кривая переходного процесса (я) и сравнение переходных процессов,
полученных ПИ-регулягором и нечетким регулятором (б)
не ухудшило качество процесса управления, и нечеткий
регулятор демонстрировал малую чувствительность к изменению
параметров модели объекта в определенном диапазоне.
Например, сравнительный анализ между стандартными и
полученным нечетким регуляторами выявил преимущество последнего
при ±10% вариации коэффициента усиления объекта. На
рис. 4.20, б представлены кривые переходного процесса,
полученные ПИ-регулятором (кривые 1 и 2) и нечетким регулятором
(кривая 3). Блок-схема реализации нечеткого регулятора с
единой ТЛП представлена на рис. 4.21:
Блок 1. Регулятору устанавливается задание.
Блок 2. Рассчитываются коэффициенты ке9 кё и ки.
Блок 3. Вычисляются значения ем и ём.
Блок 4. Определяются функции принадлежности у>(ем)
и \1(ёи).
Блок 5. Вычисляется функция принадлежности \i{u).
Блок 6. На основе \i(u) выбирается значение
управления и.
Блок 7. Значение и выдается на управление.
Как было отмечено, некоторая вариация коэффициента
усиления объекта (ДО ±10%) незначительно влияла на
качество переходного процесса. Однако исследования
реального объекта позволяют предположить возможность более
значительной (ДО ±50%) вариации параметров
атмосферного блока. Этот факт обусловил необходимость
исследования характеристик разработанного нечеткого регулятора
в широком диапазоне изменения параметров модели объекта
управления.
160

Рис. 4.21. Блок-схема реализации нечеткого
регулятора с единой ТЛП
( Начало J
Как показали результаты
экспериментов, наличие существенных
параметрических возмущений
значительно ухудшило качество
процесса управления. На рис. 4.22, а
приведены кривые переходного
процесса, зафиксированные при &об = 30
(кривая 7) и ?об = 80 (кривая 2).
Таким образом, результаты ма-
Устанобка задания
регулятору
Расчет
коэффициентов кС) к$у ка
I
Вычисление значений
I
Определение функции
принадлежности
/ггем)у
Определение функции
принадлежности
jut и)
Вы fop управления и по
функции
принадлежности JJt (U)
шинного моделирования выявили
ограниченную применимость нечет- I
кого регулятора для данного
объекта. В связи с этим нечеткий
регулятор был дополнен контуром
нечеткой адаптации и проведен ряд
экспериментов при аналогичной
вариации параметров объектов
управления, отмечено
удовлетворительное качество переходного процесса
даже при предельных значениях
параметров объекта.
На рис. 4.22, б приведены
сравнительные характеристики
нечеткого регулятора (кривые 7) и
нечеткого адаптивного регулятора
(кривые 2) при значениях коэффициента
усиления объекта &об = 30 и &об = 80.
Контур нечеткой адаптации
можно использовать и для
первоначальной генерации
управляющих правил основного контура
регулятора. В этом случае суть
эксперимента состоит в том, что
проводился сравнительный анализ
качества процесса управления,
который обеспечивали для идентичной модели объекта два
нечетких регулятора. Таблица лингвистических правил одного
из них синтезирована эвристически, исходя из желаемой
реакции системы управления. ТЛП второго регулятора
синтезировалась автоматически, исходя из желаемой реакции
системы управления, которая задавалась контуром нечеткой
адаптации. На рис. 4.22, в приведены кривые переходного
процесса (кривая 7 для эвристически синтезированной
ТЛП и кривая 2 для автоматически синтезируемой ТЛП),
11 Заказ 2056 161
Выдача управляющего
воздействия
( Конец J

10 i
)
1 1
fir
ют
20Т
g)
Рис. 4.22. Кривые
переходного процесса (а) при
различных коэффициентах
усиления; сравнительные
характеристики (б) нечеткого
регулятора 1 и нечеткого
адаптивного регулятора 2;
кривые переходного
процесса для эвристически синтези-
рованной ТЛП и
автоматически синтезированной ТЛП
)
показывающее преимущество контура нечеткой адаптации.
Однако такой подход к синтезу ТЛП возможен лишь
при наличии адекватного аналитического описания объекта
управления и лишь методами программной имитации.
162

Глава 5
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
И КООРДИНАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОИЗВОДСТВОМ В НЕЧЕТКИХ УСЛОВИЯХ
5.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ
В НЕЧЕТКИХ УСЛОВИЯХ
Среди вопросов, решаемых при разработке
автоматизированных систем управления, проблема построения адекватной
модели планирования и выбора приемлемых алгоритмов
решения является одной из самых важных и сложных. Важность
этого вопроса происходит из того факта, что от правильного
построения модели и выбора эффективного алгоритма решения
задачи планирования зависит нормальное функционирование
производства.
Планирование производственной программы
промышленного предприятия осуществляется, как правило, в условиях
неточности исходной информации, когда некоторые системные
параметры определяются недостаточно точно, что порождает
неопределенность условий планирования. Часто эту
неопределенность нельзя рассматривать как стохастическое явление,
так как отсутствуют стохастические параметры и она может
характеризоваться скорее нечеткими категориями, зависящими
от количества и качества сырья, сроков его поставки;
функционирования технологических установок (в частности,
связанной с возможными изменениями коэффициентов вовлечения
и отбора); сроков начала и конца • ремонтных работ; потерь
продуктов, неточности датчиков и т. д.
В связи с вышеуказанным возникает интерес к теории
нечетких множеств для решения задач планирования. В
настоящее время накоплен определенный опыт [29—43], в котором
можно выделить два направления:
применение нечеткой логики [5, 10, 29, 30, 32, 34, 43];
применение нечеткого линейного программирования [9, 18,
31—33, 35—42].
Применение нечеткой логики основано на следующем.
Множество входов А и выходов В системы разбиваются на
подмножества Аи и Bij9 описываемые лингвистическими
термами малый, средний, большой и т. д. Между ними
устанавливаются бинарные нечеткие отношения Rij9 определяемые как:
ЕСЛИ Ап ТО Вп ИНАЧЕ
ЕСЛИ Ay ТО Ви ИНАЧЕ ( * '
163

На основе правила композиционного вывода можно, зная
вход системы, определить значение на выходе:
B^AtjoRij. E.2)
В [29] рассматривается задача планирования производства
с непрерывной технологией, в которой элементы вектора
ограничений на производственные ресурсы bt являются
нечеткими и заданы в виде интервалов [bimin9 bimax ]. На
универсальном множестве [bimin, bim&x] строят нечеткие подмножества,
описываемые первичными лингвистическими термами малый,
средний, большой и т. д. с соответствующими функциями
принадлежности. Затем, используя положения нечеткой логики
вида IFATHENB и правила композиционного вывода, ищут
решение поставленной задачи. Это решение представляется
ЛПР, и тот принимает его либо изменяет приоритет отдельных
ограничений и решает задачу заново.
В [32 ] рассмотрена Многокритериальная задача планирования
работы гидротермальной энергетической станции с
ограничениями на вводные ресурсы и тремя целевыми функциями:
минимизация затрат, полное использование выработанной
энергии, стабилизация уровня в резервуарах. На основании
лингвистической информации, полученной от ЛПР, множество
значений контролируемых параметров разбивается на
подмножества, описываемые лингвистически, и на основе нечеткой логики
определяют «факторы изменения весов», а затем решают задачу
скалярной оптимизации. В ходе диалога с ЛПР последовательно
изменяются эти веса и задачу решают заново до тех пор, пока
целевые функции не примут удовлетворяющие ЛПР значения.
В [43] решается задача управления запасами. На основании
имеющейся информации строят функции принадлежности
нечетких целей и ограничений и ведут поиск такого решения,
которое максимизирует функцию принадлежности пересечения
множества целей и множества ограничений.
Применение данного подхода весьма удобно и перспективно,
однако увеличение размерности системы ведет к усложнению
и трудности реализуемости данного алгоритма.
Остановимся на некоторых подходах к решению задач
планирования на основе нечеткого линейного
программирования (НЛП).
Нечеткая модель задачи планирования может быть
записана в виде
maxF = C?; АЙ^В; Й^О, E.3)
где F — целевая функция; С — вектор цен; X — вектор интен-
сивностей технологических способов производства; А — матрица
технологических коэффициентов; В — вектор-столбец
производственных ресурсов; ~—означает нечеткость.
164

В [35—36] рассматривается модель:
CX^Z0; AX^B\ А>0, E.4)
где Z0 — некоторое желаемое для ЛПР значение целевой
функции.
Далее строят линейные функции принадлежности \it (AX, CX),
отражающие степень выполнения /-го ограничения в виде
4 ()
KJ ^^ E.5)
и решают задачу нахождения
, CX% E.6)
что эквивалентно решению следующей задачи:
max А,
1Ь /=1, ..., п; АХ^В; E.7)
X,
Здесь di—величина, на которую может быть нарушено
ограничение.
В [36] предлагается модифицировать предложенный выше
метод, использовав вместо линейных функций
принадлежности — гиперболические:
j e(Zj(x)-(Z^Zj)/2)aj_e -(Z.(v)-(Z; + Z?)/2)a.
^'е(^(дг)-(г7+гу)/2)^+^-(^(дг)-(г7+гу)/2)а/
где Zj — значение у-й целевой функции в оптимальной для
нее точке Х°}, а
Zj(x% Zj(x% ..., Z^-i), Zj{xJ+1)9 ..., Z(x°nj];
dj = Z?-Z?. E.9)
Используя формулу гиперболического тангенса, и подставляя
JTII + I = th-1B^-1), E.10)
приходим к виду
maxX; aZ^-X^^^ZJ + Z'j), y=l, ..., к;
АХ^Ь; Х^О; Х = 0. E.11)
Несколько иначе рассматривается задача НЛП в [37].
Ограничение
165

АХ<В,
цель E.12)
сгх>к.
Нечеткими предлагаются параметры А, В, С, К, и они
определяются своим центром а и шириной с, т. е. функция
принадлежности нечеткого числа а записывается как
{1 — \х — а\/с, а — с<х<а + с\
1, х = а; E.13)
О в противном случае
Нечеткая функция имеет вид
f:X-+&(Y); Y=f(X,A), E.14)
где ^(Y) — есть множество всех нечетких подмножеств в Y.
Тогда, не делая различий между целями и ограничениями,
можно записать:
у о = Jjq-j- Aq^Xi -f- A02X2 ~h ••• -\~ А$пхп^\)\
0; E.15)
E.16)
fc@)<l-A, E.17)
и задача сводится к виду
max А; (аг-ксг)тх^0; 0<А<1, E.18)
где Ха—желаемое значение соответствующего ограничения;
h—параметр.
Для решения этой задачи нелинейного программирования
разработан специальный алгоритм.
В [18, 32, 38] для решения задач НЛП используется
понятие а-уровней. Здесь необходимо решить N задач
линейного программирования, где N—число а-уровней.
В [11] рассматриваются различные типы нечетких
ограничений, на основе /^.-представления нечетких чисел: нечеткое
число m может быть представлено тройкой параметров (т,
m, m), где га — среднее значение, га и га—соответственно
левое (нижнее) и правое (верхнее) отклонения.
Функция принадлежности
где L и R — симметричные колоколообразные функции, такие,
что L(O) = jR(O)=l; га называют числом iJL-типа (рис. 5.1).
1. Система толерантных ограничений. Задача нечеткого
линейного программирования (ЗНЛП) имеет вид:
166

Рис. 5.1. Число jRL-типа
т-ос
т
maxF=CX;
at(xu ..., xn)^bu i=l, ..., m;
(ahXj)eR29 x^O, j=l, ..., n.
Эта задача эквивалентна следующей четкой:
{
E.20)
; i=l± ..., m;
n.
E.21)
2. Система толерантных ограничений, включающих нечеткие
переменные. Ставится задача:
maxF=C?; at(xl9 ...,
Необходимо найти максимально допустимую размытость
Z при данных [аь bt) таких, что bt могло быть достигнуто
с помощью at и xt. Предполагается, что все нечеткие числа
положительные, Л?-типа. Эта система эквивалентна:
max F=CX;
r=l, ..., m;
Ъь Х^О. E.23)
3. Система приближенных равенств. Рассматривается задача
i=l, ..., т; E.24)
Четкая модель имеет вид
m
bi-ai(x)<bi + ai(x), i=l, ..., т;
E.25)
По данному классу задач планирования необходимо сделать
следующее замечание. Если в первоначальной задаче имеется
167

т ограничений, то в случаях 1 и 2 число ограничений будет
Зга, а в случае 3—2га. Включение в случаи 1 и 2 обязательного
равенства по средним значениям уменьшает гибкость модели.
Задача планирования производства в
деревообрабатывающей промышленности решена в [41]. Здесь речь идет
о многокритериальной задаче следующего вида:
max[C(x)] = max[C1(x), C2(x), ..., Сп(х)]; АХяВ; А>0.
E.26)
Функция принадлежности
1, {Ах)^Ьи
[{)ЫЦ ЬкЦх^Ь + бь E.27)
тогда задача
тахХ;
b8, + (.4jc),^ + 5,; *>0 E.28)
может быть решена стандартными приемами.
В [42] описана задача минимизации числа требуемых
для производства продукции машин. Предлагается следующая
модель:
min|x|+; Ax = b, jc = O. E.29)
Доказывается, что существует вектор a = (al9 ..., ап) такой,
что решение задачи
п
minSj(x9 а)— ? .х.-Да,-+ *,-), Ах = Ь, х^О, E.30)
есть в то же время решение поставленной задачи. Здесь
| х |+*— мощность множества X.
Приводится также модель приближенного распределения
ресурсов и многокритериальная невыпуклая модель
производственной программы. Для решения последней предложено
использовать алгоритм Falk — Soland, который при
использовании метода ветвей и границ позволяет получить
последовательность допустимых точек, являющихся решением ряда
подзадач.
Рассмотрим подход к решению задачи планирования в
нечеткой среде, основанный на /^-представлении нечетких
множеств, но отличающийся от описанных в литературе.
Введем следующие определения.
Определение 5.1. Нечеткое число т меньше нечеткого числа
п (рис. 5.2), если
E.31)
168

О п-п л m-m n+n rn m+m x
Рис. 5.2. Функция принадлежности нечеткого числа
Определение 5.2. Нечеткое число т больше нечеткого числа
п, если
т — п\ т — т = п — п; т + т^п + п. E.32)
Определение 5.3. Нечеткое число т равно нечеткому числу
й, если
т = п; т — т — п — п\ т + т = п + п. E.33)
На основании определений E.31) — E.33) перейдем к четкому
аналогу системы E.3):
=(СХ СХ, СХ);
А(Х+Х)^В+В; X, X, Х^О.
Агрегируя переменные
х' = х-х; х" = х+х,
декомпозируем E.34) на следующие системы:
max^=CZ; AX^B; А>0;
maxF=CX'; AX'<B-B;
maxF=CX";
E.34)
E.35)
E.36)
E.37)
E.38)
В системы E.37) и E.38) введены дополнительные
ограничения, отражающие тот факт, что должно выполняться неравенство:
где х* — оптимальное решение системы E.36).
Решив системы E.36) — E.38), определим значения х*9
Тогда нечеткое решение задачи E.3) в /.^-представлении
(рис. 5.3) запишем как
л LR — \X ^х X , X —X ). {J.<+V)
Если нижнее и верхнее отклонения вектора В пропорциональны
среднему значению, то справедлива следующая теорема.
169

хиг
1
/
L \
Рис. 5.З. Нечеткое решение задачи
оптимизации при /^-представлении
Теорема 5.1. Если для нечеткого числа BLR = (B, В, В)
выполняется условие:
В=К,В; В=К2В; 0<Ки К2^\ E.41)
и система E.36) имеет решение х*9 то E.37) и E.38) имеют
решения:
х'* = A-*!)**; х"*=A-К2)х*. E.42)
Доказательство. Пусть E.36) имеет решение х*. Разобьем
матрицу А на две подматрицы (при условии п^т): Б—
квадратную (тхт) и N—размерностью п-тхт:
А = [Б|М]. E.43)
Разобьем переменные и вектор цен соответственно:
X=\X0/XN\; C = \CB/CN\. E.44)
Тогда запишем:
E.45)
E.46)
E.47)
^^ E.48)
Учитывая, что в оптимальном решении небазисные
переменные равны нулю, условие E.48) примет вид
E.49)
откуда
Значение функционала
Как известно, условие допустимости имеет вид
Условие оптимальности запишем как
d=CEE-1N-CN^0, E.50)
Как видно из E.49), E.50), изменение правой части приведет
к изменению лишь условия допустимости E.48).
Запишем в аналогичном виде решение задачи E.36):
170

1)
E.51)
но Б~1В = ХБ*^0. Так как ХБ—допустимое решение E.36)
и АГХ ^ 1, то 1 — Ki ^ 0. Следовательно,
Рассуждая аналогично, получим
Х"Б = ХБ{1+К2), E.52)
что и требовалось доказать.
В этом случае для получения нечеткого решения системы
E.3) достаточно получить решение системы E.36), а решения
систем E.37) и E.38) можно рассчитать по E.40).
5.2. МЕТОД КООРДИНАЦИИ В МНОГОУРОВНЕВЫХ
НЕЧЕТКИХ СИСТЕМАХ ПЛАНИРОВАНИЯ
Рассмотрим двухуровневую систему. Вектор xh относящийся
к z'-му элементу, должен удовлетворять локальным
ограничениям:
xteSh i=l, ..., N, E.53)
где St<zEni — некоторое множество в игмерном эвклидовом
пространстве.
При передаче информации на верхний уровень происходит
ее агрегирование, т. е. от элементов к центру поступает не
вектор хь а некоторый векторный показатель работы
элементов, который зависит от xt:
f«W = (/wD ¦«, /«(*)). E.54)
Заметим, что число показателей, как правило, существенно
меньше, чем размерность вектора xh а точный вид множеств
St и функций fij(xi) центру может быть не известен.
В центре происходит дальнейшее агрегирование
информации, и на основе поступающих от элементов показателей
формируется векторный критерий центра Н:
H{F) = (H0{F), H±{F), ..., HM(F% E.55)
где F=(FU ..., FN).
Модель центра может быть задана различными способами,
но в любом случае будем предполагать, что существует
оптимальный вектор Н* и соответствующий ему вектор
F* = F(X*), причем выполняется следующее условие: ни для
одного / не существует такой точки XteSh что
Mxt)>MxT), J=U -, гпь E.56)
где хотя бы одно неравенство выполняется строго.
171

Смысл этого условия заключается в том, что элементы
не могут увеличить значение какого-либо показателя по
сравнению с оптимальным, с точки зрения центра, значением
без уменьшения значения хотя бы одного из прочих
показателей.
Пример 5.1. Рассмотрим систему оптимального
планирования предприятия, причем элементами нижнего уровня этой
системы являются технологические процессы с действующими
на них автоматизированными системами управления, а
центром— планирующий орган предприятия. В модели элементов,
которые могут иметь весьма сложную структуру и большую
размерность, входят технологические управляющие
воздействия, например температура, давление и т. д. Центр же
интересуют обобщенные показатели, в частности выпуск
продукции и технологические затраты. Ясно, что при любом разумном
критерии центра оптимальным режимом технологических
процессов может быть только такой режим, по сравнению
с которым нельзя одновременно увеличить выпуск продукции
и снизить затраты (в критерий затраты входят с обратным
знаком).
Из E.50) следует, что оптимальный вектор F? принадлежит
множеству Парето или множеству эффективных точек
следующей задачи векторной оптимизации:
Ff (*,)-> max, xteSi. E.57)
Известно, что любую точку из множества Парето, в том
числе и точку Ff, можно выделить, если осуществить свертку
векторного критерия элементов скалярным путем введения
вектора параметров соь который задает или относительную
важность показателей, или ограничение на их абсолютное
значение.
Таким образом, векторы щ можно использовать в качестве
координирующего сигнала, который центр посылает элементам,
и процедура координации будет состоять в поочередном
решении локальных задач оптимизации и координирующей
задачи.
При решении задач локальной оптимизации осуществляется
отображение
Д: coj-^П i=l, ..., N, E.58)
где ю- и F\ — соответственно координирующий сигнал центра,
поступающий к *-му элементу на t-м шаге итерационной
процедуры, и соответствующий этому сигналу вектор
показателей из множества Парето этого элемента.
При решении координирующей задачи осуществляется
отображение
D0:T'^cot + \ E.59)
172

где т* — множество эффективных векторов F, полученных
центром от элементов к /-му шагу.
Конструктивные алгоритмы решения задач E.58) и E.59)
при условии, что центр стремится максимизировать целевую
функцию Яо, а на критерии наложены ограничения типа
неравенства, приведены в [44]. Частным случаем при этом
оказывается известная задача распределения ресурсов:
E.60)
к; k=l, ..., М; E.61)
); XieSt}. E.62)
Рассмотрим алгоритм решения задачи центра E.55) в
ситуации, когда модель центра является нечеткой в смысле Заде
[1 ], а принятые решения осуществляются экспертом в ходе
человеко-машинной процедуры. При этом будем исходить из
задачи E.60) и E.62).
Сконкретизируем вид нечеткости. Будем считать, что
ограничения E.61) формируются экспертом словесно, например:
«Допустимо, чтобы #х было не меньше, чем Сх и желательно,
чтобы не меньше, чем С2».
Этой фразе можно поставить в соответствие нечеткое
множество. Наиболее простой способ задания функции
принадлежности этого множества определяется следующей
формулой [4]:
0, если
(tfi-CO/fCa-d), если С^^ь
1, если Нх^Сг.
В [45, 47] приведены более сложные формулы, учитывающие
нелинейность функции принадлежности на отрезке [Си С2].
Таким образом, А>му ограничению (к=\9 М) ставится
в соответствие функция принадлежности \хк(Нк). Сходным
образом можно построить нечеткое множество цо(Яо),
соответствующее целевой функции Яо.
Будем считать, что эксперт стремится максимизировать
свою функцию полезности, которая определяется через функции
принадлежности ц*(Я*) (А: = 0, М) и вектор весов (Ок(ы0, ...,
сом), где щ указывает степень важности к-ro критерия Нк или
соответствующей этому критерию функции \1к(Нк):
v(H, а>) = 1?(цо(Яо), ..., \iM{HM), ю0, ..., шм).
Из F.60) и F.61) видно, что в к-й критерий центра
Нк входят /r-е показатели элементов fkh поэтому ш задает
173

также относительную важность показателей элементов и
является как раз тем координирующим сигналом, который центр
посылает элементам.
Функции v могут иметь различный вид, в частности:
(о(о) \м{мТ
Весовые коэффициенты со* находят путем обработки ответов
эксперта на задаваемые ему вопросы. Успех такой человеко-
машинной процедуры во многом зависит от того, будут ли
эти вопросы достаточно естественными для эксперта. На наш
взгляд, этому условию удовлетворяет процедура, в которой
эксперту предъявляют для сравнения два возможных варианта
и просят их качественно сравнить, используя заданный набор
термов. Следуя [5], введем набор: «эквивалентно», «несколько
лучше (хуже)», «значительно лучше (хуже)», «строго лучше
(хуже)».
Эти слова являются лингвистическими метками нечетких
множеств, заданных на базовом множестве
R = {r\r = v[ii(H% со]-ф(#2), со]],
где Я1, Я2—допустимые.
Так как 0^i?<l, то i?^[-l, 1].
Например, функции принадлежности терма «эквивалентно»
и «несколько лучше» можно, задать формулами соответственно
fl-25r2, если |r|<0,2;
[О, если |г|
-25(г-0,3J, если О
), если г^ОД и
Пусть при сравнении вариантов Я1 и Я2 эксперт
выбрал лингвистическую метку Ъе [функция принадлежности
соответствующего нечеткого множества гсе(г)]. Тем самым
задается нечеткое множество, которому должен принадлежать
вектор со.
Функция принадлежности этого множества
где r = v{ii{Hl), ю)-!;ЫЯ2), ©).
Если производится L сравнений, то получим L функций
принадлежности. Результирующая функция принадлежности
определяется как пересечение этих функций:
174

Вектор, имеющий максимальное значение функции
принадлежности,
со* = max я (ш).
со
Этот вектор и является координирующим сигналом,
который центр посылает элементам.
5.3. КООРДИНАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ
ПРИ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Рассмотрим задачу координации решений в двухуровневой
системе управления, состоящую из элементов нижнего уровня
и центра, описываемых нечеткими моделями, на базе которых
решаются локальные задачи векторной оптимизации.
Пусть вектор координирующих сигналов ю„ посланных
/-му элементу нижнего уровня, удовлетворяет лингвистическим
ограничениям
ю,еЙ, E.63)
где Q—множество нечетких координирующих сигналов.
Нечеткие координирующие сигналы поступают к элементам
нижнего уровня, позволяющие векторные критерии элементов
преобразовать в скалярную величину:
т.
где mt—число критериев.
При передаче информации на верхний уровень решение каждой
локальной системы представляется в виде нечеткого числа ftj.
Целесообразность такого представления диктуется желанием
передавать в центр формализованную информацию в виде,
наиболее приближенном к принятому в реальных условиях
производства.
Получая обобщенные показатели в виде нечетких чисел,
центр стремится максимизировать некоторую глобальную
функцию, отражающую результаты деятельности всего
предприятия в целом. При этом он вырабатывает нечеткие
координирующие сигналы, обеспечивающие такие соотношения
показателей элементов нижнего уровня, которые
максимизируют выбранную целевую функцию:
ФоG> <*))-> max E.64)
при ограничениях
Фк[/,&)>Вк9 E.65)
где /—нечеткие обобщенные показатели; ш — нечеткие
координирующие сигналы; Вк—глобальные ограничения центра.
175

Преимущества нечетких ограничений типа E.65) очевидны
и позволяют путем их выполнения в рамках заданного
нечеткого множества достигать переменных для практики
режимов.
Поставленная задача нечеткой координации E.63) — E.65)
расширяет возможности ЛПР, поскольку он в своей
деятельности руководствуется не только жесткими альтернативами,
но и конкретной ситуацией на производстве, прибегая при
этом к помощи своей интуиции и опыта.
Как было отмечено выше, в двухуровневой системе
управления для каждого из N элементов нижнего уровня решаются
локальные задачи оптимизации. Цель локальных систем, как
правило, трудно выразить одним критерием, ввиду чего она
представляется вектором частных критериев:
{fn{x)> ..., /•"!*(*))->max, хеХ,
где X—множество допустимых решений, в которых содержится
оптимальная точка.
Существующие методы позволяют решать задачи
оптимизации только со скалярным критерием, поэтому при наличии
многокритериальности векторные критерии преобразуются
в скалярные:
X ^ijfn(x)-^max\ xeX. E.66)
Специфика решения задачи координации характеризуется
тем, что в центр передаются обобщенные показатели, связанные
с оптимальными технологическими параметрами нижнего
уровня в следующем виде:
fij (Х) = X аЛХЬ J=l>m- E-67)
Согласно сформулированной задаче нечеткой координации
этот обобщенный показатель представляется в виде нечеткого
числа.
Для получения нечетких /у(х) в E.67) ajt принимаем
нечеткими. Эти коэффициенты характеризуются функциями
принадлежности
ц(в,):Л->[0, 1]. E.68)
Здесь компоненты А могут принимать значения из интервала
Jtfmin, ятах]. Интервал возможных значений А разбивается на
подынтервалов:
[tfmim «l], [tfb Я2]> -, Xal~U ^max], E-69)
где / определяется в зависимости от значения т в выражении
E.67).
176

Как показано в [3], такое квантование позволяет найти
допустимую область с помощью составляющих ее подмножеств
в виде ос-уровней;
aa = {v/\io(v)>OL}. E.70)
При этом задача нечеткой оптимизации заменяется
бесконечным рядом приближенных задач линейного программирования.
В двухуровневой системе управления задача верхнего уровня
заключается в нахождении значения координирующих сигналов
(dip обеспечивающих экстремальное значение глобальной
целевой функции Фо.
Надо отметить, что в отличие от элементов нижнего уровня,
где локальные задачи решаются в пространстве переменных
X (т. е. режимных параметров технологических процессов),
задача верхнего уровня решается в пространстве показателей
Q (т. е. координирующих сигналов, обеспечивающих
необходимое соотношение показателей элементов нижнего уровня), что
существенно снижает размерность задачи координации.
Ввиду этого целевая функция центра выражается в
коэффициентах пространства координирующих сигналов.
В соответствии с поставленной задачей координации в
двухуровневой системе на основе нечетких математических моделей
нижнего и верхнего уровней рассмотрим алгоритм решения
задачи координации, который состоит из двух этапов.
Учитывая, что координирующие сигналы являются
нечеткими числами, на первом (предварительном) этапе определяем
нечеткие множества координирующих сигналов верхнего уровня
{C^.}, функции принадлежности которых
Но (a)f) = exp(-е|о),-5|). E.71)
Параметры функции принадлежности, т. е. Q и S вычислим
для каждой конкретной нечеткой переменной следующим
образом. Пусть ще [ю-", со?1"]. Множество {бу} построено
таким образом, что граничащие точки выделенных
подмножеств являются точками перехода, т. е.
^(ш51п) = ц(юГ) = °>5-
Тогда
-S|) = 0,5, E.72)
где ?=(ю^ 5)/
Если обозначить
k = (ou-S, то 0 = (l/fc)ln(O,5). E.73)
Подставив E.73) в E.71), получим
ц(<о,) = ехр((-0,69/А:)|а)|-5|).
Аналогичным образом определяем нечеткое множество {/^}.
12 Заказ 2056 177

Второй этап — этап получения решения задачи координации
состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Формирование начальных значений
координирующих сигналов со°-.
Ш а г 2. Решение локальных задач оптимизации и
определение показателей ftj.
ШагЗ. Решение задачи центра и определение
координирующих сигналов <йу.
Ш а г 4. Представление результатов решения задачи ЛПР.
Если ЛПР удовлетворен решением, то процедура координации
заканчивается. В противном случае вносятся изменения со
стороны ЛПР в координирующие сигналы соо и осуществляется
переход к шагу 2.
Остановимся подробней на шагах этого алгоритма. После
формирования на шаге 1 координирующих сигналов на шаге
2 решаются локальные задачи оптимизации E.66). Эти задачи
являются задачами нечеткого математического
программирования. Их решение начинают с арифметических операций над
нечеткими числами. Сначала нечеткое число ш^. умножают на
каждое нечеткое число я?, затем полученные числа суммируют.
Реализация алгоритма выполнения арифметических
операций над нечеткими числами осуществляется в приведенной
ниже последовательности.
Ш а г 2.1. Определяют множество SF—носитель нечеткого
множества F.
Шаг 2.2. Дискретизируют SF, исходя из требуемой точности
табличного представления графика функции [iF.
Шаг 2.3. Для каждого из полученных FeSF решают задачу
F=(Q®a; сое[со1? со2]; ае[а19 а2]. E.74)
Решением задачи E.74) для заданного FeSF является
множество S^eS^, такое, что
E.75)
Шаг 2.4. Дискретизируют множество 5юо. Результатом
дискретизации является конечный ряд значений
Шаг 2.5. Определяют aeSa, такое, что
Шаг 2.6. Для СО; и а определяют ц^. и \ха.
Шаг 2.7. Вычисляют
где © — операция max — min.
178

Шаг 2.8. Для /=1 (первый элемент дискретизированного
множества 5шо) принимаем равным единице |а'о (ц'о = 1).
Если после дискретизации | Sm<> \ = n, то \iF = \in. Дискретизация
осуществляется исходя из требуемой точности и допустимого
времени вычисления \xF из выбранного FeSF.
Шаг 2.9. Конец алгоритма. В полученных точках
вычисляются компромиссные значения показателей ftj по E.68).
Таким образом, центру направляются обобщенные
показатели в виде нечеткого числа.
На шаге 3 решается задача центра, которая представляет собой
задачу линейного программирования с нечеткой целевой функцией
и нечеткими ограничениями относительно координирующих
сигналов — весовых коэффициентов локальной оптимизации.
Согласно [44], задача центра преобразуется в задачу
с ограничениями вида неравенств.
В результате решения полученной задачи находятся
оптимальные значения координирующих сигналов. Последние
представляются лицу, принимающему решения (шаг 4). Если
ЛПР удовлетворен, то решаются задачи векторной
оптимизации для каждого элемента нижнего уровня путем подстановки
полученных нечетких координирующих сигналов.
В противном случае, как уже отмечалось, вносятся
изменения со стороны ЛПР в координирующие сигналы &tj и
осуществляется переход к шагу 2. Здесь при решении задачи
используется информация от ЛПР о желаемых значениях
критериев, за счет введения интервалов, определяющих допустимые
вариации критериев. Такая человеко-машинная процедура
удобна для использования, так как ЛПР легко подстраивает свои
потребности к информации, переданной им на нижний уровень.
Покажем пример решения задачи координации для
технологической схемы, состоящей из установок термического
и каталитического крекинга и являющейся фрагментом
технологической схемы конкретного НПЗ.
Векторами показателей элементов этой системы являются:
для установки термического крекинга—выход бензина,
керосина, газа, вакуумного отгона и гудрона; для установки
каталитического крекинга — выход бензина и головки стабилизации.
В качестве целевой функции верхнего уровня примем
прибыль от реализации, т. е. разность между стоимостью
товарных и нефтепродуктов, поступающих со стороны.
Для решения задачи центра определим выходные параметры
элементов нижнего уровня, необходимые для управления этой
системой, и обозначим их следующими лингвистическими
переменными:
1. J, х — выход бензина с установки термического крекинга;
2. 1л2 — выход керосина;
3. j13— выход газа;
179

4. j?4 — выход вакуумного отгона;
5./15— выход гудрона;
6./21 — выход бензина с установки каталитического
крекинга;
7. f22 — выход головки стабилизации.
Для этих лингвистических переменных примем следующие
терм-множества:
1. /11: = {мало, норма, много},
7. /22: = {мало, норма, много}.
Нечеткие модели установок в обозначениях лингвистических
переменных для установки термического крекинга будут
иметь вид:
?, z> ->max;
3, z>->max;
4> ^>->max;
5> z>->max;
где
^ x = 0,5/0,9 + 0,8/0,92 +1/0,93 + 0,8/0,95 + 0,5/0,98;
b12 = 0,5/0,925 + 0,8/0,928+1/0,93 + 0,8/0,933+0,5/0,937;
^16 = 0,5/0,875 + 0,8/0,882+1/0,901+0,8/0,906 + 0,5/0,91.
Локальную задачу оптимизации для этой установки
представим в виде
5
Z coo. ftj(x) -> max; xeX. E.76)
7=1
Нечеткая модель установки каталитического крекинга
имеет вид:
^24 25 21 22 2з) 21 1» Z
/22 = <522>
где д21 =0,5/0,008 + 0,8/0,01 + 1/0,011 +0,8/0,012 + 0,5/0,14;
*2з = 0,5/0,994 + 0,8/0,998+1/1,007 + 0,8/1,011+0,5/1,019;
с23 = 0,5/76,3 + 8,8/78 + 1 /79 + 0,8/80 + 0,5/81,5.
Локальная задача оптимизации имеет вид
2
Z <82i//2i(A:)->max; xeX2. E.77)
180

В соответствии с выбранной целевой функцией центра
в качестве критерия его оптимальности примем
E.78)
где ц119 ц12, ..., ц15, ц22, ци ц2 — стоимостные коэффициенты
центра; Gl9 G2 — соответственно количество мазута и
вакуумного отгона.
Ограничениями в задаче центра являются плановые
ограничения на сырье и уравнения баланса:
f A-f >h • f >h • f >h ' f >h ' f >h • (Ъ 79^
Jll 'J21 &°W> J12^°12'> /l3^°13' У15^°15' ./22^^22' \J-'y)
G^bi, i=T/2; E.80)
5 2
/ f J1 j 1 ? ^^ »/ 2j 2 ^^/.vjiy
Задачу E.78) — E.81) преобразуем к следующей
эквивалентной задаче в пространстве нечетких координирующих сигналов:
определить
тахХЛА+ЕЛА E-82)
при ограничениях
fijZ6i*ij, 7=0; f2j^2(o2J, j=~hi; E.83)
?@^1; Zco2^l; E.84)
*bi}\ 4^f22>b21; /=2,5, y=l,4. . E.85)
Данную задачу координации решим в приведенной ниже
последовательности.
Составим нечеткую переходную таблицу, предварительно
приняв для показателей нижнего уровня терм-множества:
1. Выход бензина:
малый 9—10
средний 10—11
большой 11 —12
7. Выход головки стабилизации:
малый 27—28
средний 28—29
большой 29—30
Теперь решим локальные задачи оптимизации. После
определения обобщенных показателей элементов нижнего уровня
решим координирующую задачу, на ее основе центр формирует
181

координирующие сигналы с помощью лингвистических
высказываний увеличить, уменьшить, оставить.
Функций принадлежности для различных лингвистических
значений координирующих сигналов (ji/co;) = ехр (— Q | со? — S" |)
представлены в табл. 5.1.
Таблица 5

Лингвистическая
переменная
1.юп
7. ш22
.1

Терм-множества
Мало
Норма
Много
'Мало
Норма
Много
Область
изменения
0,12—0,13
0,13—0,14
0,14—0,15
0,30—0,33
0,33—0,36
0,36—0,39
Q
0,693
0,693
0,693
0,674
0,674
0,674
S
0,125
0,135
0,145
0,315
0,345
0,375
Выберем следующие значения координирующих сигналов:
22
= средний;
= средний
= малый.
&12: = большой;
ю15 : = малый;
&13: = средний;
со21: —большой;
Приведем численное решение данной задачи координации.
Задано
*/13 = 25 руб/т;
G2 = 125 тонн/ч;
= 25 руб/т;
= 25 руб/т;
цХ1=61 руб/т; t/12 = 48 руб/т;
ц22 = 18 руб/т; i/2 = 25 руб/т;
Gx = 60 тонн/ч.
При нулевом приближении для координирующего сигнала
в результате решения локальных задач векторной оптимизации
получены следующие значения для выходов элементов нижнего
уровня:
/п =0,5/47,1+0,8/485+1/492 + 0,8/506 + 0,5/51,4;
/22 = 0,5/49,1 + 0,8/49,4 +1 /49,8 + 0,8/49,9 + 0,5/50,4.
Значение целевой функции Фо = 775,9 руб/ч.
После этого решается задача верхнего уровня E.78) — E.81).
В результате решения задачи центра получены
координирующие сигналы:
= около 0,15; со12 : = около 0,(fe; Й13: = около 0,09;
= около 0,51; ю15 : = около 0,14; ю21 : = около 0,45;
ю22: = около 0,55, которые выдаются ЛПР. В его распоряжении
для каждого координирующего сигнала имеются следующие
альтернативные лингвистические команды:
182

&lt {оставить, уменьшить, увеличить};
ю22 {оставить, уменьшить, увеличить}.
Лицо, принимающее решение, выбирает команды,
устраивающие его, и направляет их вновь на элементы нижнего
уровня (технологические установки каталитического и
термического крекинга КК и ТК). Воспринимая эти команды,
элементы решают заново свои задачи локальной оптимизации
и получают решения в виде обобщенных показателей:
/п :=около 10,5: = средний;
/22 : = около 31,0: = малый.
Оптимальное значение целевой функции Фо = 835,2 руб/ч.
В результате решения задачи координации прибыль
увеличилась на 59,3 руб/ч.
Решив задачу координации в системе оперативного
управления в детерминированной постановке и с использованием
теории нечетких множеств, перейдем к обсуждению полученных
результатов. Последняя постановка предполагает в процессе
решения задачи активный диалог между ЛПР и ЭВМ,
в результате которого итеративно достигается компромиссное
решение. Понятно, что в отличие от детерминированной
задачи это решение более реализуемо.
При нечеткой координации изменение во внешней среде
(неформализуемая информация) вводится в модель за счет
корректировки весовых коэффициентов а. Например, ЛПР
знает, что один тип нефти имеет потенциальную возможность
извлечения из нее от 40 до 65% светлых продуктов, тогда как
для другого типа нефти эта цифра колеблется от 28 до 50%,
поэтому осуществляется корректировка а, и эта информация
оперативно учитывается в решении. Возможность такой
корректировки отсутствует при детерминированной координации.
Другое существенное преимущество нечеткой координации
заключается в том, что оптимальный режим, предписываемый
оператору-технологу, поступает в виде нечетких чисел.
Например, температура на отборной тарелке должна быть около
220° С. Это позволяет оператору, руководствуясь этой цифрой,
все же варьировать ею в зависимости от конкретной ситуации.
При детерминированной координации оптимальное решение
получается в виде обычных («четких») чисел, поддержание
такого решения не всегда представляется возможным. При
этом отклонение от данного режима может привести к
непредвиденным последствиям.
Нечеткая координация дает возможность при получении
результатов, не удовлетворяющих ЛПР по точности,
183

переходить к более мелкому разбиению терм-множества
входных параметров, которые уже заложены в памяти
ЭВМ. Эта процедура выполняется без останова решения
задачи координации.
Проведенное обсуждение позволяет заключить, что нечеткая
координация в системах оперативного управления имеет в
сравнении с детерминированной существенное преимущество.
Глава 6
ОПЫТ РАЗРАБОТКИ И ВНЕДРЕНИЯ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ ПРИ
НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
6.1. КООРДИНАЦИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
РОБОТИЗИРОВАННЫХ УЧАСТКОВ В ПРОИЗВОДСТВЕ
АЛЮМИНИЕВЫХ ИСПАРИТЕЛЕЙ
Как отмечалось в § 2.5, одной из основных проблем,
возникающих в процессе функционирования роботизированных
участков, является согласование работы отдельных роботов
и манипуляторов. В этой связи рассматриваются алгоритмы
«координации» функционирования двух роботизированных
участков, в которых в качестве модели мира интеллектуальных
роботов используются наборы логических правил условного
нечеткого вывода вида: ЕСЛИ ... ТО ... ИНАЧЕ, являющихся
некоторой базой знаний, которыми обладали работники цеха
до внедрения элементов робототехники.
Таким образом, «поведение» роботов внутри
роботизированных участков в определенной степени имитирует действия
рабочего персонала. При этом следует отметить важную
особенность поведения последнего, связанную с тем, что
в большинстве случаев принятие решений персоналом
осуществлялось в условиях неопределенности, т. е. зачастую работник
в повседневном труде измерял многие ключевые
технологические показатели процесса подсознательно, «на глаз», в
соответствии со своим опытом и интуицией. Поэтому применение
математического аппарата теории нечетких множеств для
моделирования поведения роботов является вполне
оправданным, так как позволяет формализовать опыт и интуицию
человека. Последнее обстоятельство важно еще и потому, что
такой подход «смягчает» требования к метрологическим
характеристикам измерительных устройств, позволяя, в частности,
184

использовать устройства технического зрения для определения
расстояний между изделиями на ленточных транспортерах.
Построение технологических шкал для роботизированного
участка холодной сварки теплообменников. Роботизированный
участок холодной сварки теплообменников представляет собой
совокупность транспортеров различного назначения {Kh},
/*=1,2 и манипуляторов {Mj}, 7=1,3 (рис. 6.1, а).
Транспортер К1 двигается с некоторой скоростью соь
транспортер К2—со скоростью оо2> обусловленными
технологическими ограничениями на данный тип оборудования.
Для построения технологических шкал необходимо задаться
некоторой производительностью манипуляторов, от которой,
в конечном счете, зависит общая производительность
всего роботизированного > частка. Эта производительность
1т i Щ iП21 К2 \Щ\ \кп
i i HP 1 1 it 1
hi I
Зона конфликта
Рис. 6.1. Роботизированный участок холодной сварки теплообменников (а)
и шкала расстояний между карточками внутри каждой пары (б)
185

определяется временем срабатывания манипуляторов-(временем
выполнения манипулятором^ своего функционального
назначения) {x7 = const}, 7=1,3- Так как манипулятор МЗ
является завершающим элементом рассматриваемой
технологической цепи, то, задавшись его временем срабатывания
х3, можно определить минимально допустимое расстояние
между карточками на транспортере К2 из следующего
неравенства:
F.1)
Время между приходами карточек И к манипулятору МЗ
F.2)
где /12—расстояние между карточками на транспортере К2\
со 2 — скорость транспортера К2.
Минимальное допустимое расстояние между карточками
на транспортере К2 определяется как
/l2min = G>2?3> F.3)
максимальное расстояние /i2max принимается равным /раб2.
Таким образом, /i2e[/i2min> ^i2maxj> т-е- расстояние между
карточками на К2 шкалируется. Следует отметить, что для
вычисления расстояний между карточками на транспортере
К1, т. е. /х и /2, либо используются датчики Д9 фиксирующие
прохождение карточек И, либо применяется устройство
технического зрения (типа телекамеры). При этом расстояние
ljk (/г =1,2) между у- и у+1-й карточками определяется из
соотношения
/^со^1-^, *=1,2, F.4)
где j—номер карточки; tJk, tjk+1—время прихода у- и уН- 1-й
карточки.
Шкалы расстояний между карточками для 1\ и lj2 (где
номер j будет определять как номер карточки, так и номер
соответствующей пары карточек, двигающихся параллельно
на К1) строятся из тех очевидных соображений, что 4max = /pa6i
(k =1,2), т.е. равно рабочей длине транспортера К1. В то
же самое время минимальное допустимое расстояние между
карточками на К1 определяется временем срабатывания
манипуляторов Ml и М29 т. е. согласно соотношению
/*min = <OiTb *=1А F.5)
где ©!—скорость транспортера К1.
Следует также отметить, что для определения расстояния
между карточками /12 на К2 необходимо вычислить расстояние
/0 на транспортере К1, характеризующее рассогласование
186

синхронности поступления каждой у-й пары на
транспортер KL При этом /0 можно определить из следующего
соотношения
где у—номер пары карточек на транспортере К1; /{, tj2—время
поступления карточек на KL
Если карточки в каждой у-й паре поступают на К1
одновременно, т.е. t{ = tj2, то /? = 0. Если t\<tjv то карточка
поступает раньше на обслуживание манипулятором М2, чем
ее партнерша по паре — на ML В этом случае никаких
осложнений быть не может. Определенная конфликтная
ситуация возникает в случае, когда /{> tj2, т. е. карточка попадает
раньше на обслуживание манипулятором Ml, чем ее партнерша
по паре — на манипулятор М2. Таким образом, может
возникнуть ситуация, когда карточка, обслуженная манипулятором
ML двигаясь по транспортеру К2, попадет на рабочую
позицию П2 (рис. 6.1, а) в тот момент, когда манипулятор
М2 выполняет операцию по перенесению соответствующей
парной карточки с транспортера К1 на транспортер К29
что технологически недопустимо. В этой связи задается
соотношение между минимальным допустимым расстоянием
между карточками на транспортере К2 (т. е. /i2min) и
«критическим» расстоянием рассогласования — /окРит в
следующем виде:
/окрит = /12ттСО1//Ш2. F.7)
Далее определяется расстояние рассогласования, могущее
привести к «конфликтной ситуации», поэтому рассчитывают
расстояние, на которое перемещается транспортер К1 за время,
необходимое карточке для передвижения на транспортере К2
с позиции П1 на позцию П2, т. е.
ф F.8)
где /?2 — расстояние между рабочими позициями Ш и П2.
В случае «конфликта» необходимо пропустить карточку на
транспортере К2 на расстояние, удаленное от 172 на величину
^i2min- Соответственно максимально и минимально допустимые
рассогласования между карточками в каждой у-й паре,
двигающейся по К1,
F.9)
F.10а)
Таким образом, построена технологическая шкала
расстояний рассогласования для пар карточек (рис. 6.1, б),
движущихся по К1, т.е. /Oe[/Omin, /0 max]. Из рис. 6.1, а следует, что
187

конфликтная ситуация возникает только тогда, когда ljoe [/Omin>
/omaxL следовательно, имеет место задача принятия решений
по «разрешению» конфликта, в противном случае — задача
принятия решений по «адаптации» темпа работы
манипуляторов к интенсивности поступления карточек с предыдущей
технологической операции.
Задача принятия решений заключается в определении време-
ни задержки срабатывания манипуляторов хзацР У =1,3 в
зависимости от величины рассогласования синхронности
поступления карточек на транспортер К1 внутри каждой у-й пары.
Время задержки следует выбрать таким образом, чтобы
карточка, попавшая в зону «конфликта», вышла из нее за
некоторое время тзад, и только после этого манипулятор М2
должен выполнить обслуживание «своей» карточки. В случае
отсутствия «конфликта» время задержки должно зависеть от
расстояния между карточками 1Ъ к =1,2. TajcHM образом,
истинное время срабатывания т(й. = Ту+тзад., 7=1,3. При этом
TWi e [0, тэдии], где
задтах
2/12max|co2,
Принятие решений по «координации» функционирования
роботизированного участка холодной сварки теплообменников.
Параметры входной информации, в качестве которых
принимаются расстояния между карточками /ь А;=0,2, /12,
интерпретируются как нечеткие множества, формирующие
лингвистические переменные, описываемые тройками вида [45,
48, 72] _
L°k{<L[, WL, Lfc>}, L[eTl{wL) (L3 соответствует /12, fc = 0,3,
j=0,10), где WL—универсум вида WL = {0, 1, 2,..., 10};
Lk—нормальные нечеткие множества с функцией
принадлежности \iL: WL-+ [0,1 ]; Т*к (wL)—расширенное терм-множество
лингвистической переменной РАССТОЯНИЕ К.
Значения лингвистических переменных РАССТОЯНИЕ
К приведены ниже:
Значение переменной wL.e WL:
вплотную .' 0
почти близко 1
близко 2
чуть дальше, чем близко 3
почти средне 4
средне 5
чуть дальше, чем средне 6
почти далеко 7
далеко 8
почти предельно 9
предельно 10
188

В качестве отображения
следующее выражение:
= 0,3 используется
WL
-l)xЛ*-"^" VI y = OJO, * = <U, F.
\4max —4min/ J
11)
где card WL— мощность универсума WL; /Лтек — текущее
значение расстояния между карточками; а^1—коэффициент.
Нечеткие множества
Д= j VlM/wl, * = <U F.12)
Для вычисления оценок функции принадлежности в
синглтонах \iL (wL ) | vvL. из F.12) предлагается следующая
процедура: J J
wL— entx
'fcmax *fcmin
При card WL—1 = 10, a=l получаем
1
10
V/=l,10 ; iiL{wL)=l-
F.13)
F.14)
В свою очередь, выходной параметр — время задержки —
также представляется в виде соответствующего нечеткого
множества, формирующего лингвистическую переменную,
описываемую тройкой вида
V/=l,10;
*max~'limin
Г}(»'т), 7=1,3, т = 0,10,
где т?д;—нормальное нечеткое множество, описываемое
функцией принадлежности \хх: Wx~»[0,1 ]; WT—универсум вида
#^ = {0,10}; T*j(wT) — расширенное терм-множество
лингвистической переменной ЗАДЕРЖКА j:
Значение переменной wT.eWT:
несущественная i 0
почти малая 1
малая 2
чуть больше, чем малая 3
почти средняя 4
средняя 5
чуть больше, чем средняя 6
почти большая 7
большая 8
почти предельная 9
предельная 10
189

Нечеткие множества
j Цх(^т)/нч, 7=1,3. F.15)
wx
Для вычисления оценок и функции принадлежности в син-
глтонах m(wTjk)/xft, A: = 0,10, из F.15) предлагается процедура
вида F.14).
Для реализации процесса принятия решений по координации
функционирования роботизированного участка холодной сварки
теплообменников используется набор правил нечеткого
условного вида, выраженный бинарными отношениями R^A^lA
Л2(т3ад;)) вида ^(^D), Л 2(тзад ,)) = (?*>< Wx-^WLx
WT-+WLx тзад</), d=l,4, которые на языке функций
принадлежности принимают следующий вид:
WkxWT
А [A-Ы)A
F.16)
Для построения бинарного отношения в случае «конфликта»
используется следующее условное предложение:
Р01 = ЕСЛИ Lo вплотную ТО тзаД2 наибольшая ИНАЧЕ тзаД2
несущественная.
Лингвистическому терму вплотную соответствует wLj = Q.
Тогда из F.11), учитывая, что card WL—1 = 10 и <х=1,
получим
ent
ГюDтек /*min)]=o,
L \4max~4min/J
откуда 4TeK = 4min- Используя полученное 1кт в F.14), строим
нечеткое множество согласно F.12).
Тогда Lo = вплотную = 1 /0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,7/3 + 0,6/4 +
+ 0,5/5 + 0,4/6 + 0,3/7 + 0,2/8 + 0,1/9 + 0/10.
Аналогично строим нечеткое множество:
тзад =наибольшая = 0/0 + 0,1/1 +0,2/2 + 0,3/3 + 0,4/4 + 0,5/5 +
+ (У,26/6 +0,7/7+ 0,8/8+ 0,9/9+1/10.
Далее в соответствии с F.16) находим матрицу бинарных
отношений
190

1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
0
0 0,
0 0,
0 0,
0 0,
о о,
о о,
о о,
о о,
о
1 0
000000
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1
0,2 0,3 0,3 0,3 0,3 1
00 1
0,1 1 0
1 0,1 0
, , , , , 0,2 0,1 0
0,2 0,3 0,4 0,4 1 0,3 0,2 0,1 0
0,2 0,3 0,4 1 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0,2 0,3 1 0,4 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0,2 1 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,1 0
1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 0
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0
000000000
F.17)
Для построения матриц бинарных отношений в случае
отсутствия «конфликта» воспользуемся сформулированным
экспертным путем условным предложением:
Р02 = ЕСЛИ ?к вплотную^ ТО тзад,- несущественная ИНАЧЕ
хшп: наибольшая, k=j=l,3.
В соответствии с приведенными выше соображениями
строим нечеткие множества Lk=вплотную = т3 •=
несущественная = 1/0 + 0,9/1 +0,8/2 + 0,7/3 + 0,6/4+0,5/5 + 0,4/6+0,3/7+0,2/8 +
+ 0,1/9 + 0/10.
Таким образом, матрицы бинарных отношений согласно
F.16) примут вид
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
1 000000000
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,
1 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,
0,3 1 0,4 0,4 0,3 0,2 0,
0.3 0,4 1 0,4 0,3 0,2 0,
0,3 0,4 0,4 1 0,3 0,2 0,
0,3 0,3 0,3 0,3 1 0,2 0,
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1 0,
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
0 0 0 0 0 0
0
0 0,
о о,
о о,
о о,
о о,
о о,
о о,
о о,
0,1
1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
0 0 0
0
0
0
0
О
О
О
О
О
о
о
1
F.18)
В обоих случаях, т. е. при наличии «конфликта» или в его
отсутствие, значение времени задержки, а точнее значение
нечеткого множества, соответствующего этой величине, т. е.
^заД;тек9 определяется при композировании нечеткого множества
LkTeK с матрицами F.17) и F.18). Иными словами, используется
следующая процедура:
191

= LkTeKoRd(Al(lk), A2(T3ajlj)), ^/=1,4, ? = 0, 3, y = 0, 3. F.19)
Пример реализации процесса принятия решения по «координации»
роботизированного участка холодной сварки теплообменников. Роботизированный участок холодной
сварки теплообменников характеризуется следующими параметрами (рис. 6.1):
/раб1 = Юм, 1рлб2:=^ м> Ti=t2 = 4c, т3 = 3 с, ^=0,3 м/с, w2 = 0,4m/c, /}2 = 2m.
Построение шкал осуществим так. Определяем минимально допустимое
расстояние между карточками на транспортер К2 согласно F.3), получим
/i2min = 1>2 м. В свою очередь, минимально и максимально допустимые
расстояния рассогласования между карточками внутри каждой пары,
движущейся по К1, найдем по F.9) и F.10), тогда /Omin = 0,6 м, /Отах = 2,4м. Таким
образом, значения /ое[0,6; 2,4] м.
Определим далее минимально допустимое расстояние между карточками
на К1 по F.5), откуда /imin = /2min = 1>2 м. Соответственно шкалы с учетом
того, что /*max =/р^, Л =1,2, имеют вид /je[l,2; 10] м, а /2е[1,2; 8] м.
Максимально допустимое время задержки срабатывания манипуляторов найдем
согласно выражению F.106), т. е.
бя | соЛ = 33 с («конфликта» нет), h - 1,2;
L2minlC02 = 6c («КОНфЛИКТ» eCTb).
Таким образом, шкалы задержек времени срабатывания имеют вид:
«конфликта» нет тзад ,е[0, 33] с, у =1,2;
«конфликт» есть т,аД2 е [0, 6] с.
Процесс принятия решения начинается с определения согласно F.6)
расстояния рассогласования синхронности поступления карточек на транспортер
KL Пусть /Ош = 2м. Ясно, что так как /Отеке[0,6; 2,4] м, то имеет место
«конфликт». В этой связи согласно соотношению F.11) wL.=S. Тогда
в соответствии с F.13) и F.12) строим нечеткое множество
/*оТек=<Ья?гс>=0,2/0+0,3/1 +0,4/2+0,5/3+0,6/4+0,7/5+0,8/6+0,9/7+1/8 + 0,9/9+0,8/10.
Композируя нечеткое множество F.12) с матрицей бинарных отношений
вида F.17), получаем нечеткое множество
ТзаДотек = малая = 0,8/0 + 0,9/1 +1 /2 + 0,9/3 + 0,8/4 + 0,7/5 + 0,6/6 + 0,5/7 +
+ 0,4/8 + 0,3/9 + 0,2/10.
Таким образом, и\4 = 2, т. е. время задержки
Тзад2хек = ^Тзалтах/10=1,2 С. F.20)
Именно такая задержка времени срабатывания манипулятора М2 даст
возможность карточке выйти из зоны «конфликта».
Пусть /отек = 0,3 м, тогда 1Отеке[0,6; 2,4] м, т. е. «конфликта» нет. Примем
/1тек = 3,5 м; /2тек = 6,5 м; /i2TeK = 4,6 м, тогда из F.11) определяем, что wLi . = 3,
wL2=6, wLij = 5. Строим соответствующие нечеткие множества, используя F.12)
и F.13). Таким образом,
192

дальше, чем близко = 0,7/0 + 0,8/1+0,9/2+ 1/3 + 0,9/4 +
+ 0,8/5 + 0,7/6 + 0,6/7 + 0,5/8 + 0,4/9 + 0,3/10;
дальше, чем среднее = 0,4/0 + 0,5/1 +0,6/2 + 0,7/3 + 0,8/4 + 0,9/5 +
+ 1/6 + 0,9/7 + 0,7/9 + 0,6/10,
?з тек = среднее = 0,5/0 + 0,6/1 + 0,7/2 + 0,8/3 + 0,9/4 + 1 /5 + 0,9/6 +
+ 0,8/7 + 0,7/8 + 0,6/9 + 0,5/10.
Композируя полученные нечеткие множества с матрицей бинарных
отношений F.18), получаем нечеткие множества, характеризующие
соответствующие задержки времени срабатывания манипуляторов, т. е.
больше, чем малая = 0,7/0 + 0,8/1 + 0,9/2 + 1/3 + 0,9/4 +
+ 0,8/5 + 0,7/6+0.6/7 + 0,5/8 + 0,4/9 + 0,3/10;
* зад 2 тек = чуть больше, чем средняя = 0,4/0 + 0,5/1 + 0,6/2 + 0,7/3 + 0,8/4 + 0,9/5 +
+ 1 /6 + 0,9/7 + 0,8/8 + 0,7/9 + 0,6/10;
тзад з тек = средняя = 0,5/0 + 0,6/1 + 0,7/2 + 0,8/3 + 0,9/4 + 1/5 + 0,9/6 + 0,8/7 +
+ 0,7/8 + 0,6/9 + 0.5/10.
Фактическое время задержки, как и в случае «конфликта», вычисляется
согласно F.20), т.е. тзар1~9,9с; ттад2 = 19,8 с; тзадз=16,5с (с учетом того,
что тзад7е[0,33] с, 7=1, 3). Полученные значения времени задержки
срабатывания манипуляторов позволяют адаптировать их работу к изменениям
интенсивности поступления карточек на роботизированный участок, что повышает
ритмичность всего производства.
Принятие решения по «координации» функционирования
роботизированного участка образования каналов теплообменников.
Роботизированный участок образования каналов
теплообменников состоит из набора манипуляторов различного назначения
M={Mi} с постоянным временем срабатывания т,- = const, /=0,6
и транспортеров K={Kj}9 движущихся со скоростью со = {(*),•},
7=1,2. Манипулятор МО укладывает изделия И (рис. 6.2) —
сдвоенные алюминиевые карточки — на транспортер К1,
которые в дальнейшем захватываются манипуляторами Ml— М5
в момент поступления их на соответствующие рабочие позиции
(заштрихованные на рисунке) и далее подаются на продувочные
прессы П1 — 175. После продувки каналов теплообменников
готовые изделия с помощью тех же манипуляторов Ml — М5
укладываются на ленточный транспортер К2 и далее с
помощью манипулятора Мб подаются на следующую операцию.
Основная особенность функционирования данного
роботизированного участка заключается в возможности возникновения
определенных конфликтных ситуаций, связанных со следующим:
13 Заказ 2056 193

Рис. 6.2. Роботизированный участок образования каналов теплообменников
изделие, обработанное, например прессом Пь и обслуженное
манипулятором Мг (/=1,4), двигаясь на транспортере К29
может попасть на рабочую позицию любого из набора
последующих манипуляторов {Mi+l} в тот момент, когда те
обслуживают «свои» изделия, что может привести к
технологически недопустимому «нахлесту» и соответственно
сделает невозможным срабатывание манипулятора Мб;
интенсивность поступления изделий на обслуживание
манипулятором Мб (что определяется расстоянием между
изделиями на транспортере К2 и скоростью транспортера) может
превысить его производительность;
не исключена возможность возникновения конфликтных
ситуаций сразу на нескольких или даже на всех рабочих
позициях.
Возможность возникновения подобных ситуаций вызвана
недетерминированностью интенсивности поступления
сдвоенных алюминиевых карточек на данный роботизированный
участок. Для разрешения таких ситуаций предлагается снабдить
манипуляторы М2—М5 элементами «интеллекта»,
позволяющими в случае «конфликтной» ситуации принять
соответствующее решение, предотвращающее «нахлест».
Из следующих очевидных соображений строим
технологические шкалы. Если т6 — время срабатывания манипулятора
Мб, то на транспортере К2 минимально допустимое расстояние
между изделиями /2min = «>2T6? T- е- величина «конфликтной
зоны» вблизи рабочей позиции манипуляторов Mh /=2,5,
будет /КОнф = 2/2,тп- Вполне понятно, что расстояние между
изделием и границей «конфликтной зоны» (по ходу
транспортера К2) может быть шкалировано в виде /'2ie[0; /КОНф]> /=2,5,
т. е. при попадании изделия в «конфликтную зону» /-го
194

манипулятора последний должен принять решение — пропустить
карточку через нее, т. е. фактически задержать выполнение
операции по переносу «своего» изделия с пресса на транспортер
К2. Время задержки срабатывания тзад. при этом должно
определяться расстоянием, которое нужно пройти изделию до
конца «конфликтной зоны», т. е. Г2г Естественно, что чем больше
/'2|., тем более длительным должно быть время тзаД1. (/=2,5).
Следует выделить ситуацию, когда «конфликт» произошел
одновременно сразу на нескольких рабочих позициях, например
на М2 и МЗ. В этом случае после разрешения конфликта
манипулятором М2 расстояние между изделиями, движущимися
к рабочей позиции манипулятора МЗ, /2 = /2mm, т. е. для того,
чтобы обслужить «свое» изделие, манипулятор МЗ должен
пропустить оба изделия, так как расстояние между ними
минимально. Иными словами, вклиниться между ними
невозможно, т. е. Мб будет не в состоянии обслуживать оба
изделия. Таким образом, каждый последующий (по ходу
транспортера К2) манипулятор должен в случае возникновения
«конфликта» на своей рабочей позиции учесть еще и все
«конфликты», происшедшие на рабочих позициях предыдущих
манипуляторов. Иными словами, общее время задержки
* = 2,5, ? = 0,3, F.21)
где к — число предыдущих «конфликтов».
Время задержки срабатывания манипуляторов для
разрешения «конфликтов» также шкалируется, т.е. тзад.б[0; 2хв].
Следует отметить, что сенсорная система, установленная
на участке, состоит из телекамер, которые определяют
нахождение изделия в ни «конфликтной зоне» в момент срабатывания
соответствующего манипулятора, а также расстояние между
изделием и границей «конфликтной зоны». Из-за низких
метрологических характеристик подобной измерительной
системы поступающая на обработку информация рассматривается
как нечеткая. Таким образом, расстояние l2i (/=2,5)
представляется в виде нечеткого множества, формирующего
лингвистическую переменную «Удаленность от конца зоны /»,
описываемую тройками вида
}, Lj2ieT!{u), /=2,5, 7 = 0,10,
где ULt— универсумы вида f/L={0,10}; L2i— нормальные
нечеткие множества, описываемые функциями принадлежности
Hl2 : ?//., ~*[0, 1]; Т*(и) — расширенное терм-множество
лингвистических переменных.
Значения лингвистических переменных «Удаленность от
конца зоны /» приведены ниже:
Значение переменной ueUL\
195

совсем близко О
близко 1
чуть дальше, чем близко 2
почти средне 3
средне 4
чуть дальше, чем средне 5
почти далеко 6
далеко 7
чуть дальше, чем далеко 8
почти на границе зоны 9
на границе зоны 10
Нечеткие множества
L2i= J \кМ1и9 1 = 23. F.22)
Выходной показатель, характеризующий время задержки
срабатывания манипуляторов тзад., также представляем в виде
нечетких множеств
*
,= J |l»/Wf ' = 23. F-23)
и
формирующих лингвистические переменные ЗАДЕРЖКА /,
описываемые тройками
^•Ч^зад,, W^ Тзад,.», Т^еТ,», 1 = 23, j = Ш
Для принятия решений манипуляторами, рассматриваемыми
как интеллектуальные роботы (ИР), используется одно из
правил (см. выше) нечеткого условного вывода: отношение
xf(/ _^[/ х~|т ), / = 2,5, F.24)
или на языке функций принадлежности
1 — (I ^ (ш) ~~М 1 — Ц
l-(lt|(W)__
»; F.25)
:ч /=23.
В качестве отображения ?,i'lf2i-*ULi, /=2,5, предлагается
следующее соотношение:
196

Mj = ent[(card C/t(-
[
2imin
, y = 0,10, /=2,5, F.26)
где card UL.—мощность универсумов ?/L. = {0,10};
Г2нек—текущее значение расстояния до границы «конфликтной зоны /»;
ос^ 1 —коэффициент.
Для вычисления оценок функции принадлежности синглто-
нов из F.22) вида [xL2(uj)/uj предлагается следующая процедура:
V,-=0,10, V, = 2,5,
1
card?/L-l
Us —
F.27)
Задержка времени срабатывания манипуляторов тзад., так
же как и прежде, представляется в виде нечеткого множества
вида F.15), а для вычисления оценок соответствующих функций
принадлежности используем соотношения вида F.14).
Для построения матрицы бинарных отношений используем
сформулированное экспертным путем условное предложение,
которое в данном случае принимает вид:
ЕСЛИ L2i совсем близко ТО тзад. несущественная ИНАЧЕ
w зад;
предельная.
Согласно методике, изложенной выше, строим
соответствующие этому предложению нечеткие множества, которые
примут вид:
L2i = совсем близко = тзад. = несущественная = 0/0 + 0,1/1 +
+0,2/2 + 0,3/3 + 0,4/4 + 0,5/5 + 0,6/6 + 0,7/7 + 0,8/8 + 0,9/9 +1/10.
В соответствии с F.25) строим матрицу бинарных отношений:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0,82
1
0,09
0,08
0,08
0,07
0,07
0,06
0,06
0,06
0,05
0,2
0,67
0,73
1
0,18
0,17
0,15
0,14
0,13
0,13
0,12
0,11
R{Ai
0,3.
0,54
0,58
0,64
1
0,27
0,25
0,23
0,21
0,20
0,19
0,18
{I'li)-
0,4
0,43
0,46
0,50
0,55
1
0,36
0,33
0,31
0,29
0,27
0,25
A2
0,5
0,34
0,36
0,38
0,42
0,45
1
0,45
0,42
0,38
0,36
0,33
(Тзадг)) =
0,6
0,25
0,27
0,29
0,31
0,33
0,36
1
0,55
0,50
0,46
0,43
0,7
0,18
0,19
0,20
0,21
0,23
0,25
0,27
1
0,64
0,58
0,54
0,8
0,11
0,12
0,13
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18
1
0,73
0,67
0,9
0,05
0,06
0,06
0,06
0,07
0,07
0,08
0,08
0,09
1
0,82
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
F.28)
197

Пример реализации процесса принятия решения по «координации»
роботизированного участка образования каналов теплообменников. Пусть время
срабатывания манипулятора Мб, являющегося завершающим элементом данного
роботизированного участка, т6 = 5с, скорость транспортера К2—со2 = 0,2 м/с,
расстояние между рабочими позициями манипуляторов М2—М5 — /? = 3,5 м, длина
рабочей части транспортера К2—/раб2 = 22 м. Минимальное допустимое
расстояние между изделиями на транспортере К2 вычисляем как /2min==ttJT6 = 1 M>
длина «конфликтной зоны 2» — /ЮЖф:=:2/2|тп = 2,0 м. Соответствующая шкала
расстояний до конца «конфликтной зоны» имеет вид /'2<е[0; 2,0] м.
Пусть /22тек=Ь5 м и /24reic = 0,5 м, т. е. зафиксирован «конфликт» на рабочей
позиции манипуляторов М2 и М4. При этом шкала времени задержки,
очевидно, строится из тех соображений, что максимальное время задержки
тзадтах должно быть равно времени, которое необходимо затратить изделию,
движущемуся на К2, для того чтобы выйти из «конфликтной зоны», т. е. шкала
имеет вид тзад. е [0,20] с. Согласно F.22) и F.27) строим нечеткие множества,
соответствующие расстояниям до конца «конфликтной зоны», т. е.
?1г™ = чутъ дальше, чем далеко = 0,2/0 + 0,3/1 +0,4/2 + 0,5/3 + 0,6/4 + 0,7/5 +
+ 0,8/6+0,9/7+1/8 + 0,9/9 + 0,8/10;
?24тек = ^не = 0,6/0+ 0,7/1 +0,8/2 + 0,9/3+ 1/4 + 0,9/5 + 0,8/6 + 0,7/7 + 0,6/8 +
+ 0,5/9 + 0,4/10.
Композируя полученные нечеткие множества с матрицей бинарных
отношений F.28), получаем нечеткие множества, соответствующие задержкам
времени срабатывания манипуляторов:
Тзад 2 = большая = 0,2/0 + 0,3/1 + 0,4/2 + 0,5/3 + 0,6/4 + 0,7/5 + 0,8/6 + 0,9/7 +
+0,1/8+0,9/9 + 0,8/10;
тзад 4 = почти средняя = 0,6/0 + 0,7/1 + 0,8/2 + 0,9/3 +1 /4 + 0,9/5 + 0,8/6 + 0,7/7 +
+ 0,6/8 + 0,5/9 + 0,4/10.
Для получения времени задержки срабатывания манипуляторов с учетом
того, что и>2 = 8, а н>4 = 4, используем F.20), т.е. тзад2 = 16с, хад4 = 8с.
С учетом F.21) общее время задержки срабатывания манипулятора М4
^задобщ4 == 8 + 5 = 13 С.
Данная длительность задержек времени срабатывания манипуляторов
позволяет разрешить существующие «конфликтные ситуации» на
роботизированном участке, а также обеспечивает ритмичное поступление карточек
(изделий) на манипулятор Мб.
6.2. ТЕКУЩЕЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ
ПРОГРАММЫ НЕФТЕПЕРЕРАБАТЫВАЮЩЕГО
ПРЕДПРИЯТИЯ ПРИ НЕЧЕТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
На рис. 6.3 представлена технологическая схема нечеткой
модели текущего планирования промышленного предприятия,
иллюстрируемая примером расчета годовой производственной
программы нефтеперерабатывающего завода.
198

Нефть
Дизельное топлибдА"\
КГФ
Компонент
автойензина
КК
-1~\
ЭЛОУ-АВТ\ \ AT
Гудрон
ЖГ L
KK-Z
НМБ
С А \*—
0»-7
Бензин
НК-62
ГФУ-1
ББФ
ПАФ
Изоонтан
I Компонент авто5ензина
Керосин авиационный у дистиллят
Компонент
авто&ензина
04-2
Бензин hu3-v
кооктанодый
ИР
НАБ
ППФ
Компаундирована е
авиабензинов
Вакуумный отгон
Мазут .
Вакуумный]
отгон
ТН
НК-85
Стабильный
платформат
Соя яр _
KK-J
Стадилизщил
Гудрон
ЗИ
Кокс]

Компонент
aSmodeH-
шна
КК-Ч-
[ППФ
ПАФ
УВ
[Флегма 1/
Керосин
вьщела ченный
Ста&ильнь/й высокооита-
новый компонент
Широка я
ч J фракция
БФК полимерная
фракция
Компаундиробание (лвто&ензина
\Б-35/130 \ Б-100/130 \ А-72
\J-76
АИ-93
Рис. 6.3. Технологическая схема нефтеперерабатывающего предприятия

Рассматриваемое производство является заводом топливного
направления и включает в себя свыше двадцати установок:
современные крупнотоннажные установки каталитического
крекинга КК, первичной переработки нефти ЭЛОУ-АВТ, AT,
замедленного коксования ЗК, каталитического риформинга КР,
сернокислотного алкилирования С А, газофракционирующие ГФУ,
термического крекинга ТК, полимеризации Я, выщелачивания У В и т. д.
В качестве сырья используются нефть различных месторождений,
а также ряд полупродуктов с предприятий смежников.
Продукцией завода являются авто- и авиабензины,
керосины, дизельные топлива, коксы.
Первичная переработка нефти осуществляется на установках
ЭЛОУ-АВТ и AT, в состав которых входят блоки: электрообес-
соливания, атмосферной перегонки, стабилизации и вторичной
перегонки широкой фракции, вакуумный. Продуктами
переработки нефти на данных установках являются бензиновые,
керосиновые и дизельные фракции, керосин-газойлевая фракция
и вакуумный отгон для крекирования, гудрон для коксования.
Выработанный на установках ЭЛОУ-АВТ и AT керосин
поступает на установку выщелачивания.
Керосин-газойлевая фракция КГФ является сырьем для
каталитического крекинга по производству базового
компонента авиабензинов. Процесс каталитического крекинга
осуществляется на установках типа 43-102 (КК-1) и установке типа
1-Б (КК-2) в два этапа. На первом этапе получаем
нестабильный мотобензин (НМБ), на втором — нестабильный авиабензин
(НАБ) и жирный газ (ЖГ), которые затем подвергаются
обработке в блоке стабилизации газофракционирующей
установки ГФУЛ. Полученный на ГФУЛ стабильный авиабензин
является основным компонентом авиабензина Б-95/130.
Для производства высокооктанового компонента автобензина
используются установки каталитического крекинга типа 1A/IM
(КК-3, КК-4). Сырьем для них является вакуумный отгон,
выработанный на установках О4-1, ОЧ-2, установке ТК, а также
соляр, получаемый со стороны. На установках кроме
высокооктанового компонента автобензина вырабатываются каталитическая
флегма, топливный газ для нужд завода и головка стабилизации.
Последняя поступает на установку ГФУ-2, где разделяется на
пропан-пропиленовую и бутан-бутиленовую фракции.
Установка СА предназначена для производства изооктана
технического компонента для выработки авиабензина. Сырьем
установки служит ББФ, подаваемая с установок термического
и каталитического крекинга, а также бутан-изобутановая фракция.
Установка КР перерабатывает низкооктановый прямогон-
ный бензин (после предварительной очистки на установках
О4Л и O4-2) для получения высокооктанового бензина «плат-
формат», идущего на производство автобензина, а также
200

жидкой газовой головки и товарных продуктов: водородсодер-
жащего газа и сероочищенного бензина.
Установка ЗК предназначена для производства нефтяного
и электродного кокса. Также на ней производятся флегма,
компонент автобензина и жирный газ. В блоке
компаундирования происходит приготовление авиационных Б-95/130, Б-100/130
и автобензинов А-72, А-76, АИ-93.
Приведем общую нечеткую модель производства.
Введем следующие обозначения:
/={/, /=1, ..., п) — номер установки; J={j\ 7=1, ..., т)—код
продукта; Tj9 Qi — количество у-го продукта и сырья;
zjir и yjir — количество >го сырья и у-го продукта,
соответственно перерабатываемого и получаемого на /-й установке
в г-м варианте работы; 6с$п, а™х и Р$п, Р™х— минимальный
и максимальный коэффициенты отбора и вовлечения /то
продукта на i-й установке в г-м режиме работы соответственно;
uir—нагрузка i-й установки в г-м режиме работы; Vt — число
дней работы i-й установки; С), Cf—цена 1 т товарной
продукции и сырья; y?in, у?ах—минимальный и максимальный
коэффициенты отбора группы продуктов на i'-й установке
в г-м режиме работы; Pir—суточная производительность i-й
установки в г-м режиме работы; ф^>, (p"jr—фактические
и плановые показатели качества у-го товарного продукта на
i-й установке в г-м режиме работы; С"—удельные затраты
на переработку 1 т сырья на i-й установке.
Ограничения модели разобьем на следующие группы:
1. Ограничения на ресурсы сырья
i r
2. Ограничения на балансы по промежуточным продуктам
11 афпь + XI Yjir = 11 Zjir + Tj.
r i r i z i
3. Ограничения на нагрузку установок
«IT = ?*/<Г.
j
4. Ограничения на вовлечение продуктов на установки
Pmin - <г т < R max л
ijr Uir^Zjir^pijr Uir.
5. Ограничения на отбор продуктов с установок
6. Ограничения на сумму отборов продуктов с установок
Yir "ir^L Jjir^lir uir-
201

7. Ограничения на качество товарной продукции
8. Ограничения на ресурс времени работы установок
9. Ограничения на выпуск товарной продукции
10. Целевая функция (максимизация прибыли)
j j i r
На рис. 6.4 приведен фрагмент общей модели, описывающей
участок производства (в скобках указаны условные обозначения
материальных потоков, принятые в модели):
1. Ограничение на ресурсы сырья
а) нефть
6iooi —
^2800000;
б) толуол
ВозОратныи бензин
жидкость
109000;
Z.
%1533Э21
Дистиллят
А/керосин
1 Нефть
(Qwo)
' 115*021
Вакуумный отгон
(У0951П1) ^0952711^ f
Стабильный
Ьысокоокта,-
нобый компонент
Jfi27
(U 2711)
Z 114*021
21534021
2ОЗЭ3321
Головка стабилизации.
435
Я'ЧО
А-76
А-72
hs2
Рис. 6.4. Технологическая схема участка производства
202

в) этиловая жидкость
6ii5i==^ii5402i^ 300;
г) возвратный бензин
8l531 = ^1533921 +^1534021 ^205000.
2. Ограничения на балансы по промежуточным продуктам
а) вакуумный отгон
1 0951111 —^0952711?
б) компонент автобензина
^0991111 =^0993921 +^0994021?
в) стабильный высокооктановый компонент
0,32С/2711 =^1343921 + ^1344021 '•>
г) гудрон
V —У
^1181111 ^"^118411?
д) флегма
0,515t/27i 1=2111411?
е) дистиллят авиакеросина
^1031111 = ^1031?
ж) дистиллят дизельного топлива «Л»
^1041111= ^1041?
з) головка стабилизации
и) А = 76
?^3921 = ^1491?
к)А = 72
^4021 — ^1521?
л) топливо нефтяное
и -т
^4411 — 1 1571-
3. Ограничения на нагрузку установок
№ 11 ^iiii=ZiOoini?
№ 27 f/2711=^095271b
№ 39 ^3921 =^0993921 +^1143921 +^1343921+^1533921?
№ 40 C/402I ==Zo994O21 +Zi 144021 +^1154021 +^1344021 +
+ ^1534021
4. Ограничение на вовлечение продуктов на установки:
этиловая жидкость, Zj, 2 54021= 0,01 С/4021
5. Ограничения на отбор продуктов с установки
203

а) компонент автобензина
0,12Йр1111<?
б) дистиллят авиакеросина
0,084С/1
в) вакуумный отгон
6. Ограничения на сумму отборов продуктов с установок
а) ^0991111 + 5^1031111 + ^1041111 + ^0951111 +
0,99С/1111;
7. Ограничения на качество товарной продукции
а)А = 76
100,Z1143921 H0ZO993921 + 84Zi343921 +70Z15339
1002^143921 +62Zq993921 + 82Z1343921 +84Z1533921
IOOZH43921 + IOZ0993921 +3OZ1343921 + IOZ1533921
6)A = 72
ji 44021 + 70Zq994O21 +84Z^34402i + 70Z^5 34021 J
4021?
IOOZ1144021 + 19Z0994021 + 30Zi 344021 + MZ1534021 ^55 ?/4021»
8. Ограничения на ресурс времени работы установок
№ 11 f/nn/8200^ 342;
№ 27 C727i i/2000 < 346.
9. Ограничения на выпуск товарной продукции
а) дистиллят авиакеросина
f, оз i> 265000;
б)А = 72 ^
^1521^300000;
в)А = 76
^1491^490000.
10. Целевая функция
,1111,2711
Размерность полной модели задачи текущего
планирования составляет 208 строк х 212 столбцов, число элементов —
204

902 шт. Значения ограничений модели приведены в -табл. 6.1.
Вид выходных документов представлен в табл. 6.2.
Технологическая информация в формате «Генератор» представлена
в табл. 6.3.
Таблица 6.1
Наименование
нефтепродуктов
Нечеткие значения ограничений модели
Среднее
отклонение
Нижнее
отклонение (В)
Верхнее
отклонение (В)
Нефть
Толуол
Этиловая жидкость
Бензин возвратный
Дистиллят
авиакеросина
А76
А72
Ресурс времени
установки:
№ 11
№ 27
2800000
109000
300
205000
26500
490000
300000
342
346
112000
4360
12
8200
10600
19600
12000
14
14
140000
5450
15
10250
13250
24500
15000
17
17
Для реализации процесса планирования разработана
диалоговая система «Текущее планирование в нечеткой среде».
Диалоговая система функционирует в режиме «заполнения
бланка». Выбор данного режима обусловлен следующими
соображениями: простота организации и удобство пользования;
возможность обработки того круга запросов, которые могут
возникнуть в процессе решения задачи текущего планирования
(анализ показал, что число таких запросов невелико и может
быть полностью определено заранее); стремление к
минимизации требуемого объема оперативной памяти.
При работе системы на экран дисплея выдается кадр-бланк,
в котором пользователь заполняет выделенные позиции
необходимой информацией. По своему назначению кадры делят
на управляющие и информационные. Управляющие кадры
служат для организации работы системы и выбора
необходимых режимов. Информационные кадры служат для ввода
технологической информации, а также для отображения
результатов расчетов. В управляющих кадрах, наряду с позициями,
подлежащими заполнению, находятся краткая информация
о конкретном режиме и формат ввода сообщений. При
необходимости пользователь может получить более подробную
информацию о режимах функционирования системы.
Диалоговая система обеспечивает следующие возможности:
ввод с экрана технологической информации, необходимой для
построения модели; вывод результатов решения в виде
стандартных документов на печатающее устройство и на экран;
205

Таблица 6.2
Наименование
нефтепродуктов
Взять
Нефть
Толуол
Возвратный бензин
Этиловую жидкость
Итого
Получить
А76
А72
Керосин авиационный,
дистиллят
Топливо:
дизельное,
дистиллят
нефтяное
Потери
Итого
Цена,
тыс. руб.
30
150
47
1740
51
54
48
25
План производства предприятие
Среднее
отклонение
Количество, т
-
2768000
76267
159833
300
3 004400
490000
300000
265000
565400
1 242 140
141 860
2862540
Сумма,
тыс. руб.
83040
11440
7512
522
29 890
16200
27139
31054
1 на 1986 год
Нижнее
отклонение
Количество, т
2657280
73216
153440
288
2884224
470400
288000
254400
542784
1 192454
136186
2 748038
Сумма,
тыс. руб.
79718
10982
7212
501
28 694
15 552
26054
29 811
Верхнее
отклонение
Количество, т
2906400
80080
167825
315
3154620
514500
315000
278250
593 670
1304247
148953
3005 667
Сумма,
тыс. руб.
87192
12012
7888
548
31385
17010
28496
32606

Таблица 6.3
Производственные показатели
Среднесуточное
производство
Число дней работы
Взять
Нефть
Итого
Получить
Компонент автобензина
установки № 16
Топливо дизельное «Л»,
дистиллят
Сумму светлых
Вакуумный отгон
установки № 16
Гудрон
Всего продуктов
Потери
^ Итого
о
План производства нефтепродуктов на 1986 год
Среднее
отклонение
Количество, т
8093,5
342
2 768000
2768000
332 160
565400
897 560
692000
885760
2475 320
292679
2768000
%
99,99
100
12
20,42
32,42
25
32
89,42
10,57
100
Нижнее
отклонение
Количество, т
Установ
8093,5
328,3
2657280
2657280
318873
542784
861657
664320
850329
2 376307
280972
2657280
%
ка № 16
99,99
100
12
20,42
32,42
25
32
89,42
10,57
100,00
Верхнее
отклонение
Количество, т
8093,5
359
2906400
2906400
348768
593670
942438
726600
930048
2 599086
307313
2906400
%
99,99
100
12
20,42
32,42
25
32
89,42
10,57
100

Продолжение табл. 6.3
Производственные показатели
Среднесуточное
производство
Число дней работы
Взять
Вакуумный отгон
установки № 16
Итого
Получить
Стабильный
высокооктановый компонент
Головку стабилизации
Флегму установок
№ 31—32
Всего продуктов
Потери
Итого
План производства нефтепродуктов на 1986 год
Среднее
отклонение
Количество, т
2000
346
692000
692000
223 440
62280
356380
640 100
51900
692000
%
99,99
100
31,99
8,99
51,49
92,49
7,50
100
Нижнее
отклонение
Количество, т
Установ
2000
332,1
664320
664320
212582
59788
342124
614496
49 824
664320
%
ка № 31
99,99
100
31,99
8,99
51,49
92,49
7,50
100
Верхнее
отклонение
Количество, т
2000
363,2
726600
726600
232512
65 394
374199
672 105
54495
726600
% .
99,99
100
31,99
8,99
51,49
92,49
7,50
100

обработку запросов о функционировании установок и о
материальных потоках, связывающих их.
Основными режимами функционирования системы
являются:
Ввод. В этом режиме вводится информация, необходимая
для построения нечеткой модели (коэффициенты вовлечения
и отбора, вектор правых частей в виде лингвистических
выражений, либо 7??-чисел, качественные ограничения и т. д.).
Корректировка. В этом режиме корректируется введенная
ранее в информационную базу (ИБ) технологическая
информация справочников НСИ, а также непосредственно
сформированная модель.
Вывод. В этом режиме формируются и выводятся на экран
дисплея и печатающее устройство выходные документы. При
этом предусмотрена возможность как просмотра всего
документа в режиме перелистывания (вперед и назад), так
и информации по отдельным установкам и процессам.
Справка. В этом режиме пользователь мoжef получить
информацию о возможностях диалоговой системы, а также
информацию о сформированной ранее модели. Для получения
информации по модели на экран выдается перечень
задействованных установок и процессов, а пользователь отмечает на
экране интересующие его объекты. После этого затребованная
информация об установке (входы и выходы установки,
коэффициенты отборов и вовлечения, нагрузка, ресурс времени
и т. д.) или процессе высвечивается на экране.
В случае ввода ошибочного запроса (команды)
пользователем на экран выдается сообщение об ошибке, после чего
запрос (команду) следует ввести заново.
Программное обеспечение диалоговой системы представляет
собой пакет программных модулей, спряженный с пакетом
прикладных программ «Линейное программирование в АСУ»
(ППП «ЛП АСУ»).
Пакет прикладных программ «ЛП АСУ» предназначен для
решения и анализа задач линейного, нелинейного и
целочисленного программирования большой размерности
(максимальное число строк 16383 при практически неограниченном числе
столбцов). В состав пакета входят, процедуры ввода,
корректировки, оптимизации и анализа решений. Основным методом
решения задач линейного программирования является
модифицированный симплекс-метод с мультипликативным
представлением обратной матрицы и двусторонними ограничениями
для строк (ограничений) и столбцов (переменные).
Для решения конкретной задачи создается управляющая
программа, в которой с помощью операторов управляющего
языка указывается последовательность выполнения
функциональных процедур. Данными для решения задачи линейного
14 Заказ 2056 209

Г7Н
, \ \ЛхЧВ+В\
Рис. 6.5. Алгоритм работы пакета
программирования является матрица, записанная в виде
следующих секций:
строк, включающая имена строк и типы ограничений;
столбцов, включающая имена столбцов (переменные), строк,
в которые они входят, и значения коэффициентов;
правых частей;
интервалов для строк с двусторонними ограничениями;
ограничений на столбцы (переменные).
Результаты решения в виде отчетов выводятся на устройство
печати. Разработанный пакет программных модулей включает
в себя: модуль генерации нечеткой модели; модуль
интерпретации результата решения (формирование выходного документа
и выдача на экран дисплея и на устройство печати); модуль
корректировки модели; модуль связи с устройством
отображения информации ЕС/7920; модуль связи с ППП «ЛП АСУ».
Алгоритм работы пакета состоит из следующих шагов
(рис. 6.5):
1) технологическая информация А, С для формирования
модели (входы и выходы установок, коэффициенты отбора
и вовлечения, ограничения на качество, цены и т. д.) поступает
в формализованном виде в информационную базу ИБ;
2) с экрана дисплея и ИБ вводятся в лингвистическом
виде либо в виде /??-чисел значения элементов вектора правых
частей ограничений В, а также, при необходимости, другая
технологическая информация;
210

3) из ИБ информация поступает в модуль «Генератор»,
осуществляющий построение модели задачи линейного
программирования в соответствии с требованиями к формату
входных данных, принятыми в ППП «ЛП АСУ». При этом
формируются три модели: модель с ограничениями по средним
и крайним (нижним и верхним) значениям элементов вектора
правых частей;
4) сформированные модели поступают на вход ППП
«ЛП АСУ»;
5) результат оптимизации выводится в ИБ;
6) на основании полученного решения и
нормативно-справочной информации, хранящейся в ИБ, модуль
«Интерпретатор» формирует выходной документ;
7) результат решения в виде стандартного документа
выводится на устройство печати и на экран дисплея.
Программы пакета написаны на алгоритмических языках
ПЛ/1 и АССЕМБЛЕР и работают под управлением
операционной системы ОС ЕС. Для функционирования пакета
необходим объем оперативной памяти ЭВМ не менее 300 Кбайт.
Время формирования модели составляет около 6 минут.
6.3. НЕЧЕТКАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ УСТАНОВКИ ПЕРВИЧНОЙ
ПЕРЕРАБОТКИ НЕФТИ
Упрощенная технологическая схема установки первичной
переработки нефти показана на рис. 6.6. Сырая нефть, пройдя
через теплообменники, поступает в электродегидраторы 1-
и 2-й ступени, а затем, вновь пройдя теплообменники, поступает
в колонну отбензинивания нефти К1. Отбензиненная нефть,
нагреваясь в печах 777/2 и 777/J, передается в атмосферную
колонну К2. Для отбора узких фр. 120—180, 180—240 и 240—
290° С предусмотрены перетоки их в отпарные колонны Кб,
К7, К9 соответственно, из которых после охлаждения эти
фракции выводятся с установки. Мазут из колонны К2
поступает в вакуумную колонну К10, предварительно
нагреваясь в печи 775. Газ после охлаждения в колонне К8 поступает
в сепаратор Е29 с последнего выводится газовая головка.
Четкая ректификация бензина осуществляется в колоннах К4,
КЗ, в которых получают фр. 62—85 и 85—120° С
соответственно.
Как следует из технологического описания, одним из
основных технологических блоков установки ЭЛОУ-АВТ6
является атмосферный блок (колонны Kl, K2), поскольку из
него непосредственно в товарный парк отгружаются фракции
светлых нефтепродуктов: фр. 120—180; 180—240; 240—290° С,
211

а нестабильный бензин этих колонн является сырьем для
колонны стабилизации К8 и ректификационной колонны
вторичной перегонки КЗ [60].
Продукты колонн Kl, K2 должны отвечать требованиям
ГОСТ для поддержания нормального и эффективного
функционирования установки в целом. Так, качество и количество бензина
с установки обеспечивается наилучшим выбором и точным
поддержанием температуры паров в верхней части колонн
(увеличение температуры приводит, с одной стороны, к
увеличению количества бензина, а с другой—к ухудшению его качества).
Исследования атмосферного блока установки первичной
переработки нефти как объекта управления позволили
сформулировать следующие технические требования: к
управлению— необходимо поддерживать оптимальный режим (со
статической точностью) по температурам верхней части колонн
К1 и К2±\° С, нижней части колонн—до ±1,5° С, перетоков
Cmadu мьныи бензин^
Рис. 6.6. Упрощенная технологическая
схема установки ЭЛОУ—АВТ
Рис. 6.7. Графическое представление
требуемого качества управления
212

в отпарные колонны—до ±1,5° С; динамической
точности (достаточно высокой) на фоне воздействия вектора
возмущений — как по нагрузке, так и по качеству сырья
(например, ввиду частой смены резервуаров, вызванной
большой производительностью установки). В этих условиях
разрабатываемая система должна обеспечивать динамическую
точность по температурам: верхней части колонн К1 и К2
до ±2° С, нижней части колонн ±3° С, перетоков в отпарные
колонны ±3° С. Время регулирования всех, вышеуказанных
температур не должно превышать 2,5 мин.
На рис. 6.7 показано требуемое качество управления на
примере температуры верхней части колонны К1.
Отклонения от имеющихся технических условий могут
привести к получению некондиционных нефтепродуктов в
количестве, значительно меньшем, чем потенциально возможное.
Анализ эксплуатации установки первичной переработки
нефти показал, что существующие локальные системы
автоматического регулирования, построенные на базе традиционных
регуляторов, не позволяют получить требуемое качество
управления режимными координатами процесса.
Одним из эффективных способов решения задачи синтеза
систем управления является аналитическое конструирование
регуляторов [50]. Принимая во внимание вышеуказанное,
задачу аналитического конструирования регулятора для
управления температурой верхней части колонны К1 сформулируем
следующим образом: требуется найти закон управления
и(г) = ф(х, х, х), F.29а)
переводящий систему D.8) из начального состояния
хо = х{0)=10° С; хо = х@) = 0; jc = jc(O) = O F.296)
в конечное
х(Т) = х(Т) = х(Т)='х (Г) = 0 F.30)
при Г->оо,
обеспечивающий минимум интегрального критерия качества
Y(x9 и, 0)= ](x2(t) + Qu2(t))dt^min F.31)
о
при ограничении на управление
\u{t)\^Um^ F.32)
где 0 — постоянный коэффициент; t/max= 1,2 м3/мин.
Для простоты индексации хх и и1 обозначим просто х и и.
Поставленную задачу синтеза оптимального управления
F.29)—F.32) можно решить аналитически с помощью принципа
213

максимума [55—57] при фиксированных значениях 0 в F.31).
Прежде чем решить задачу синтеза оптимального управления,
нужно привести уравнения F.29а) к нормальному виду системы
дифференциальных уравнений
п = 3
хг(/) = ^(х1? х2, *з, и)= % drjXj(t) + Cru(t), г = ТДF.33)
Постоянные drj и Сг(г, у =1,3) определяются таким образом,
чтобы переходные процессы F.29а) и F.33) были одинаковыми
и в новых фазовых координатах xr(f)(r = T73), а количество
фиктивных переменных было бы минимальным. Выбрав
^ii=^i3=^3i=09 ^12 = ^21 = Ь определим в F.33) значения
остальных коэффициентов:
d22= -24,84; </23=-</з2 = 21,706; d32 = 18,39;
С1=0; С2 = 35,28; С3 = 38,515. F.34)
В новых координатах xr[t) начальное и конечное состояния
системы (*) будут иметь следующие значения:
х1@) = х@)=10; х2@) = х@) = 0;
х3@)=-0,46; х3@)=-8,47; jc1@ = ... = jc3G) = i1(^ = ... = jc3G) = 0
при Г->оо. F.35)
Составив систему вспомогательных дифференциальных
уравнений
= 0; Ш—'Ъ Ч*)ЩХ1'?'**'U)> ^=ТД F.36)
и определив гамильтониан-функцию при \|/0= —1[61]
Й(х0; хи ..., х3, и, r)=-
;=i
найдем линейную часть закона управления.
Из необходимого условия максимума функции Н(х0, xl9
х29 и), т. е. дН/ди = 0, получим следующий закон управления:
г=2
Из F.32), .F.37) и F.38) следует, что закон управления
u{t\ обеспечивающий максимум значения гамильтониана, будет
линейной функцией с насыщением. Для определения линейной
части закона управления в зависимости от фазовых координат
системы xr(/)(r=l, 3) необходимо установить зависимость
v|/r=gr(x1, x2, х3). Поэтому, присоединив к сопряженной
214

системе дифференциальных уравнений F.36) уравнение объекта
F.29а) с учетом F.38), решаем систему 2п = 6
дифференциальных уравнений
J=2
r=l,3, при
B6) -1
или в раскрытом виде:
j=2
F.39)
+ 679,4046 фз(г));
0+18,39*з@+в"
+ 741,7026фз @);
(). F.40)
Характеристическое уравнение системы F.39) примет вид
а6-14,9168а4+A244,6789-1-59,2)а2-35046,60-1 = 0.
F.41)
Очевидно, что при фиксированных значениях 9 из
некоторого диапазона 0<0min<9max корни уравнения F.41) а?,
а?, а® расположены в левой полуплоскости, а корни а!(, а|,
а I — в правой. В дальнейших рассмотрениях корнями,
расположенными в правой полуплоскости, пренебрегаем, так как
замкнутая система должна быть устойчивой.
Решая систему F.41) согласно [55—57], можно найти
общее решение x2(t) и \|/r(r)(r=l, 2, 3). Затем, определяя
i|/r(f) как функции от xr{t\ т. е. vfr(t)=gr\Xi, x2, х3) и подставляя
их в F.38), найдем линейную часть закона управления
где Pj—постоянные; x3(t)—фиктивная фазовая переменная
системы управления.
Процедура вычислений по вышеуказанному способу сложна,
и для реализаций такого закона управления нужно формировать
хъ{г) в зависимости от xr(t), xr(t)(r=l9 2), т.е. в реальных
фазовых координатах системы, что порой может оказаться
нереализуемым.
215

Для определения линейной части закона управления в
зависимости от реальных фазовых координат объекта
составляется характеристическое уравнение замкнутой оптимальной
системы с использованием соответствующих корней ос?(/=1,3):
"П (а-а?) = 0 или а3-("?3.а?У+"l а? "^ а?)а-
i=l \i=l / j=l i=j+l /
- П а? = 0 при 9 = 6,. F.42)
Подставляя в F.29а) линейный оптимальный закон
управления
()Z»(t)9 F.43)
составляем характеристическое уравнение замкнутой системы
-bok\) = 0. F.44)
Здесь к* — постоянные; х(~1—реальные фазовые координаты
объекта.
Сравнивая выражения F.42) и F.44), определяем из
следующей системы алгебраических уравнений:
"X aj У afW-*! + "? aj "jf a?;
G = 6,, ^ = T7^. F.45)
Таким образом, при фиксированных значениях 6 = 0^
получим множество решений к** (/=1,3; q—\,m\ т.е. поле
экстремалей J\ из которых выбираем желаемую оптимальную
траекторию xonT(t). Окончательный оптимальный закон
управления имеет вид
216

«(')=
при
+ 1,2
-1,2
i = 1
при ? Л?-х('-1)(/)>1,2;
при X A:f—JcCl"-1>(/)< — 1,2. F.46)
i = 1
Ниже приведены расчетные значения коэффициентов /с?
(/=1, 3) из F.46), обеспечивающие экстремумы с учетом 9 = 0^,
#=1,2,3,4,5,6:
N 1
0 0,1
к, -33,65
к2 -4,491
къ -0,281
J 51,7
2
0,25
-6,15
-0,95
0,052
48,4
1тимал1
3
0,5
-8,33
-1,062
-0,145
72
4
4
1,555
-0,45
-0,068
108,1
эных значений 9™
5
10
-0,868
-0,24
-0,049
168,6
6
20
-0,049
-0,007
-0,001
495
т и соответст-
венно
опт(/=1, 3), обеспечивающих минимальное значение
интегрального критерия качества J системы управления, а также
для проверки достоверности аналитических расчетов по
конструированию регулятора было проведено машинное
моделирование системы на ЭВМ.
Анализируя результаты машинного расчета и
моделирований (см. табл. 6.2 и рис. 6.8), определяем оптимальные значения
0ОПТ = О,25; ^ = -6,15; ?2=-0,96; к3= -0,052 F.47)
и тем самым оптимальную траекторию системы управления
•Хопт(')-
Как видно из рисунка, переходный процесс управления
температурной верхней части колонны (кривая 2) протекает
без перерегулирования со статической погрешностью, меньшей
чем ГС. Отклонение параметров ?,•(/= 1, 3) от оптимальных
значений приводит к ухудшению интегрального критерия
качества (кривые 1, 3—6).
Результаты математического и машинного моделирования
показали, что сконструированная оптимальная
комбинированная система может обеспечить требуемое качество процесса
управления температурой.
Однако результаты опытных испытаний при внедрении
системы, реализованной на базе микроЭВМ «Электроника-60»,
показали, что система не обеспечивает требуемого качества
процесса управления. Это можно объяснить тем, что в F.46)
участвуют производные 1-го и 2-го порядка, вследствие чего
информация сильно «загрязняется»; с другой стороны, в
описании объекта не учтены действующие неконтролируемые
возмущения — шумы.
217

В данной главе осуществлен синтез алгоритмов управления
процессом первичной переработки нефти с учетом его зашумленности.
Изучение и исследование объекта позволили отнести
расходы сырья к основным, а остальные — к второстепенным
возмущениям. Каналы воздействия на температуру верхней
части колонны К1 представлены на рис. 6.9, где их—давление
над исполнительным механизмом на линии расхода острого
орошения, х — температура верхней части Kl\ f—расход сырья;
е — вектор второстепенных возмущений.
Целесообразно использовать текущее значение расхода
сырья для комбинированного стохастического управления
температурой [62]. Все второстепенные возмущения объединяются
под одним возмущением—шумом объекта. С учетом
сказанного, каналы воздействия на температуру верхней части К1
е(пТ)
0,2 0,? 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 7,6 1}8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 2,8 t} мин
Рис. 6.8. Результаты машинного рас-
UfnT) чета и моделирования системы на
ЭВМ
ffnT)
218
Рис. 6.9. Каналы воздействия на
температуру верхней части колонны К1
по управляющим, возмущающим
входам и каналу шума

по управляющим, возмущающим входам и каналу шума
можно представить, как на рис. 6.9, где х' — отклик объекта
на и; U—обобщенней шум объекта; х2— отклик объекта на/.
Если предположить, что шум гауссовский, то его можно
представить в виде дробно-рационального выражения
где е(пТ) — последовательность некоррелированных случайных
величин с нулевым математическим ожиданием и единичной
дисперсией [63].
Детерминированную часть можно представить моделью
При допущении линейности объекта имеем:
Ше{пП
F.48)
где A1(z)= ()
1 + ...+a'n2z-">; R1{z) =
3 x() 0 1 ... + r'n3z-n> — полиномы;
A.—весовой коэффициент; к, г\—число тактов задержки,
характеризующих запаздывание объекта соответственно по каналам
управления и возмущения (ц^ к); Т—интервал дискретности.
С помощью выражений A = A1D1P1, B=B1D1P1, C=C1A1P1,
R — RiAiDi уравнение F.48) перепишем в виде
Полиномы А, В, С, R имеют одинаковый порядок m = ni
Задача идентификации заключается в определении
коэффициентов полиномов А, В, С, R и значений А,, к, ц.
К объекту подключена микроЭВМ, которая переведена
в режим разомкнутого регулирования, т. ё. на объект
поступают те воздействия, которые вводит экспериментатор с пульта
управления. За ходом процесса наблюдаем с помощью дисплея.
До начала эксперимента определяем допустимые пределы
изменения регулирующих и регулируемых параметров.
Экспериментатор, наблюдая за ходом протекания процесса,
вводит регулирующие воздействия таким образом, чтобы
параметры изменялись в допустимых пределах, но не выходили
за них. При этом на печатающем устройстве регистрируются
регулирующие, возмущающие и регулируемые величины на
219

140
Ъ. 900
850
и1; кг/см2
---AAa-A/WW1
11го 12S01
Рис. 6.10. Результаты эксперимента для температуры верхней части колонны К1
каждом такте. Интервал дискретности выбран таким, с которым
система будет работать после внедрения. Продолжительность
эксперимента составляет 1,5 ч. Результаты эксперимента для
температуры верхней части колонны К1 показаны на рис. 6.10.
Параметры модели оценивают с помощью алгоритма
идентификации рекурсивной фильтрации, модифицированного
для многомерного случая.
Полученная вышеописанным способом динамическая модель
для канала «расход острого орошения—температура верхней
части колонны К1, расход сырья—температура верхней части
колонны К1» и по каналу шума следующая:
х(^Г) = 8?51+4>282+2?2б2ц(^Г-2Г) +
i~i29z-4033z-2g^r)>
F.49а)
Синтез алгоритма управления в данном случае состоит из
определения стратегии управления, минимизирующей дисперсию
регулируемой координаты. Для синтеза стохастического
управления объектом использована методика, изложенная в [63].
Выражение F.49а) напишем для момента (пТ+2Т) (в
дальнейшем для простоты опускаем 7):
8,51+4,28z-1+2,26z
-2
l-l,2
40,3
-2
"
l-l,29z0,33z
F.496)
220

Третий член правой части уравнение F.496) с учетом
C(z) = A(z)F(z) + z-2G(z) F.50)
можно представить в виде
ИЛИ
^ ^)z^e(n). F.51)
Здесь ^(z)=l-l,29z-1+0,33z; 5(z) = 8,51+4,28z-1 + 2,26z;
(N1 2 (I (I
полиномы; Х. = 0,12.
Полиномы ^(z) и G(z) определяются из F.50)
приравниванием членов правой и левой частей при одинаковых степенях z.
С помощью уравнения F.51) стохастический сигнал
разбиваем на две части: до момента времени п и для
моментов (л+1) и («4-2). Учитывая F.51) в F.496), имеем:
По результатам измерений выходной координаты xi9
их и /i в моменты (п) и (я — 1) можно определить е(и) из
F.49а)? т. е.
A(z) , v 5(z) , v /?(z) , v
Подставим F.53) в F.52):
щщ^-2^р^п+2^щ
B(z) C(z)-G(zy ,„),*(*), ln 2) XG{z)R{z)
тогда с учетом F.50) получим
221

Дисперсия выхода в ^момент (п + 2) определяется как
Поскольку xl(n),ul(n) H/i(«) некоррелированы со случайной
величиной е{п\ дисперсия их произведений равна нулю.
Для того чтобы дисперсия управления не превышала
дисперсию E[XF(z)e(n + 2)]2, обусловленную ошибкой
упреждения, должно удовлетворяться равенство
Sg(z) /x R(z)F(z) 2г/, Biz)F(z) t Л2 л
или же
Отсюда минимизирующая дисперсию выхода стратегия
управления
Таким образом, первый член правой части F.54)
осуществляет упреждение управляемого параметра на 2 такта и
вырабатывает регулирующие воздействия по замкнутому циклу,
а второй член компенсирует влияние возмущения — расхода
сырья на температуру.
Приравняв члены при одинаковых степенях z в выражении
получим систему линейных уравнении
Л-1,29=-0,89; -l,29/1+go+0,33 = 0,16; 0,33л+^ = 0,
решив которую, найдем
F(:)=l+0,4z'1 и G(z) = 0,346-0,132z-1.
Стохастический регулятор имеет вид
0,04-0,0155z-1 , ч
_2
Z УЛП)'
Анализ показывает, что F.54) обеспечивает абсолютную
инвариантность хх относительно возмущения /х. При ис-
222

Рис. 6.11. Структурная
схема САР со
статическим регулятором
е(п)
следовании системы автоматического регулирования (САР) со
стохастическим регулятором разберем структурную схему,
представленную на рис. 6.11. Выход системы определяется
моделью [65 ]
F.55)
l-W<z)WOB(z)
Учитывая, что
иг / ч G(Z)
уравнение F.55) перепишем в виде
G(z)z~2
хх(п) =
или
[ -l)]. F.56)
Как видно из F.56), первый член правой части представляет
србой детерминированную, а второй—стохастическую части
переходного процесса. На рис. 6.12 кривая 1 показывает
переходный процесс САР с оптимальным регулятором без
учета шума; кривая 2 — переходный процесс САР со
стохастическим регулятором с учетом шума.
При установившемся состоянии коэффициент усиления системы
0,346z-2-0,132
z
= 0,94.
2=1
Таким образом, САР со стохастическим регулятором
является статической. Следовательно, ошибка регулирования
в установившемся состоянии
8ус = A _ 0,94) • 100% = 6%.
В абсолютных значениях ошибка регулирования
223

попппппллгш.
Рис. 6.12. Переходные процессы в системе
где Ag—абсолютная величина изменения задания. Так как
в рассматриваемом объекте Ag может оказаться равной 10° С,
то ошибка регулирования при этом будет равняться 0,6° С.
С учетом шума ошибка регулирования
= АГ±@,128-0,048) = АГ±0,168,
т. е. при изменении задания на 10° расчетная максимальная
ошибка регулирования
Сравнение результатов машинного моделирования двух
систем при одинаковом шуме показало, что дисперсия
выходной переменной системы с оптимальным детерминированным
регулятором превышает дисперсию системы со стохастическим
регулятором на 30—40%. Статическая ошибка управления не
превышает требуемой точности для рассматриваемого канала
при изменении задания на 10° С.
Однако практика подтверждает, что и стохастический
алгоритм в промышленных условиях не всегда обеспечивает
требуемое качество процессов управления из-за недостаточности
информации. В этой связи рассмотрено построение системы
регулирования в классе нечеткой комбинированной САУ.
Синтез САУ осуществлен по методу, рассмотренному в § 4.3.
224

Рис. 6.13. Кривые переходного процесса нечеткой комбинированной системы:
а — гре1 = 1,6мин; g= 10-1 [/ ], f=Fmax-1 [t ]; / — нечеткая комбинированная система; 2 —
обычная САУ без компенсации; 6—g=Q; /=Fmax, 7 —нечеткая САУ; 2—обычная
комбинированная САУ
Структурная схема нечеткой комбинированной САУ
температурой верхней части ректификационной колонны отбен-
зинивания нефти включает регулятор, представленный на
рис. 4.1.
Работоспособность системы с нечетким алгоритмом и
значения постоянных масштабных коэффициентов нечеткого
регулятора определены машинным моделированием на базе СМ.
Результаты машинного моделирования системы с нечетким
алгоритмом показали, что комбинированная нечеткая система
при значениях масштабных коэффициентов kf равных 1,1
и 1,7; кг=1; к{ = 3,2; ки=\ удовлетворяет требуемым
показателям качества.
На рис. 6.13 представлены кривые переходного процесса
нечеткой комбинированной САУ в промышленных условиях
при изменении возмущения (расхода сырья) от номинального
значения.
Результаты анализа переходных процессов нечеткой
комбинированной САУ основными режимными параметрами
верхней части колонн установки ЭЛОУ — АВТ6 показали, что
синтезированная нечеткая система обеспечивает требуемое
качество процесса управления.
6.4. «РАЗУМНАЯ» ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ СИСТЕМА
ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ УСТАНОВКОЙ
КАТАЛИТИЧЕСКОГО КРЕКИНГА
В данном параграфе рассматриваются вопросы реализации
системы управления установкой каталитического крекинга
нефтеперерабатывающего завода, основанной на нечеткой
продукционной модели. Технологическая схема установки
каталитического крекинга представлена на рис. 6.14.
15 Заказ 2056 225

PI
K21
T20
J L
Zi
Y
d
0=
1 1
v
^>
Y
Бензин
Легкий,
газойль
Тяжелый
газойль
\Сырье
Рис. 6.14. Технологическая схема установки каталитического крекинга
Установка каталитического крекинга, предназначенная для
переработки вакуумного отгона, включает в себя следующие
технологические агрегаты: печь Т20 для нагрева сырья;
регенератор Р2 для восстановления активности катализатора;
реактор Р1 каталитического крекинга; ректификационную
колонну К21 для разделения получаемых продуктов;
газосепаратор Е31, в котором отделяются целевые продукты — бензин
и газ, и другие аппараты.
Цель каталитического крекинга—получение
высокооктанового автобензина из более тяжелых дистиллятов,
вырабатываемых при атмосферной и вакуумной перегонке.
Структура системы управления. Схема данной структуры
управления показана на рис. 6.15. Блок диалогового процессора
обеспечивает оператору интерактивный режим работы, в ходе
которого при необходимости реализуются: вывод на дисплей
технологической информации о состоянии объектов управления;
вывод на дисплей значений управляющих параметров;
корректировка с клавиатуры дисплея нечетких продукций в базе
знаний; ручное управление объектом с клавиатуры дисплея;
занесение различного рода информации в информационный
банк (шкалы технологических параметров, значения уставок
и т. д.).
Блок вывода реализует процедуры синтеза нечетких
множеств на основе информации, получаемой из блока
регулирования и измерения, информационного банка и базы знаний,
а также производит логический (композиционный) вывод.
226

Блок вывода
1
'L
Диалоговый
процессор
t
1
» 1

Информационный банк
база знаний
1
Блок
регулирования
а измерения
,« 1
О---6---О
Объекты управления
Рис. 6.15. Структура системы управления
В свою очередь, блок регулирования и измерения осуществляет
опрос датчиков технологических параметров, аналого-цифровое
и цифро-аналоговое преобразование сигналов, первичную их
обработку, реализацию различных законов регулирования,
выдачу управляющих воздействий на объект. База знаний
состоит из набора нечетких продукций и служит для решения
задачи нахождения оптимального режима введения
технологического процесса. На вопросе конструирования подобной
базы знаний остановимся подробнее.
База знаний системы. Как показали исследования, процесс
каталитического крекинга осуществляется в условиях часто
изменяющихся возмущений со стороны качественных
характеристик сырья, а также практически неконтролируемой
активности катализатора. Имеющаяся же информация о составе
используемого сырья в виде отдельных точек фракционного
состава несет в себе весьма поверхностную информацию
о химическом составе сырья.
В этих условиях результаты решения задачи оптимизации,
полученные на базе стохастических и прочих моделей,
оказываются не всегда приемлемыми с точки зрения их практической
реализации, поэтому широкие возможности в реальных
условиях открывает предлагаемый метод управления, основанный
на применении нечеткой модели. Описание объекта или база
227

знаний системы в этом случае задается в виде набора нечетких
продукций вида:
ЕСЛИ х есть А ТО у есть В,
где А я U, В ? V являются нечеткими множествами входных
и выходных параметров установки соответственно. Каждое
такое правило определяет одно или несколько эквивалентных
состояний объекта, зафиксированных технологами-экспертами,
в которых управление с учетом реальных условий будет
достаточно близким к оптимальному.
При разработке нечеткой продукционной модели установки
каталитического крекинга были найдены наиболее
информативные параметры, характеризующие качество ведения процесса,
а также параметры, с помощью изменения которых
осуществляется управление. Необходимые управляющие воздействия
при такой постановке задачи определяют как по входным
возмущающим параметрам X (качественные характеристики
сырья), так и по выходным параметрам объекта Y—в данном
случае по степени превращения сырья закоксованности
катализатора. В свою очередь, степень превращения сырья
характеризуется глубинами отбора бензина и газа.
В качестве входных параметров модели приняты: Х1—
отношение расхода газа к бензину; Х2—суммарная глубина
отбора бензина и газа, % к сырью; Хъ — температура начала
кипения сырья, % отгона до 350° С; ХА — закоксованность
катализатора, %. В качестве выходных параметров модели
приняты: Yt—температура середины реактора, °С;
Y2—температура середины регенератора, °С; Y3 — расход
циркулирующего катализатора, т/ч; YA — расход сырья, т/ч.
При конструировании самой нечеткой продукционной
модели перечисленные технологические параметры
интерпретируются как лингвистические переменные вида
UXt, Xt)}, XjeTUul i=M;
Yt = {(Yl VYl9 ?,>}, rferWO, /=M,
где UXt9 VYx — универсумы;
Xt= f \lXi(u)/u9 i=M; ?f= f vlYi(v)/v9 l=TA F.57)
— нечеткие множества, описываемые функциями принадлежности
\lXi(u); UXl^[09 1]; М!>):КУ|->[0, 1]; Г;(и), П(») —рас-
ширенные терм-множества одноименных по названиям
параметров лингвистических переменных, соответственно для входа
и выхода установки; у, к — индексы соответствующих номеров
лингвистических термов, задаваемых в табл. 6.4.
2Й

Таблица 6.4
*l

Норма
Выше

нормы
—
—
—
х2
Ниже

нормы

Норма
—
—
—
Ниже

нормы

Норма
Выше

нормы
—
—

Норма
Выше

нормы
—
—
—
Лингвистическая
tt
Значительно
ниже нормы
Ниже нормы
Норма
Выше нормы
Значительно
выше нормы
переменная
Y2

Норма
Выше

нормы
—
—
—

Значительно ниже
нормы
Ниже
нормы
Норма
Выше
нормы

Значительно выше
нормы

Значительно ниже
нормы
Ниже
нормы
Норма
Выше
нормы

Значительно выше
нормы
)Л
0
1
2
3
5
Для входных параметров и параметров, определяющих
необходимость изменения режима, выбраны значения,
приведенные в табл. 6.5.
Таблица 6.5
Параметр
Х2, %
х3, °с
хА, %
Лингвистический терм
Ниже нормы
<45
<0,16
Норма
<0,16
^45
>-6, <+6
^0,16
Выше нормы
^0,16
^+6
Для управляющих параметров экспериментальным путем
были определены эквивалентные в некотором смысле значения
Д., /=1,4, т.е. относительно равнозначные приращения,
обеспечивающие попадание в оптимальную область или на
оптимальную траекторию управления (табл. 6.6).
Здесь YiH0M — нормальные (номинальные) значения
управляющих операторов. В табл. 6.7 приводится фрагмент
продукционной модели. Используемая в таблице лингвистическая
переменная «Степень превращения сырья» Х129 в свою очередь,
определяется набором нечетких продукций вида:
Р7 = ЕСЛИ Хг в норме И Х2 ниже нормы ТО Х12 низкая,
Р2 = ЕСЯИ Хх выше нормы И Х2 в норме ТО Х12 высокая.
229

Таблица 6.6
Параметр
•* 1 > ^
у ож-ч
Уз'.' т/ч
У4, т/ч
Лингвистический терм
Значительно
ниже нормы
Г4„1м-12
Ниже нормы
у3шш~б°
Норма
у
л 1 ном
2 ном
у3ном
4 ном
Выше нормы
у 4-30
3 ном '
Значительно
выше нормы
Таблица 6.7
Параметры, характеризующие
(входные)
*.*

Оптимальная
Высокая
Низкая

Оптимальная
Высокая
Низкая
*>
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
ситуацию
Норма
»
»
»
»
»
»
»
»
Выше
нормы
»
»
»
»
»
»
»
»
Необходимые )
Норма
Выше
нормы
Ниже
нормы
»
Норма

Значительно ниже
нормы
Выше
нормы

Значительно выше
нормы
Норма
Норма
Выше
нормы
Ниже
нормы
»
Норма

Значительно ниже
нормы
Выше
нормы

Значительно выше
нормы
Норма
воздействш
Норма
»
»
»
»
»
»
»
»
Выше
нормы
»
»
»
»
»
»
»
Норма
управляющие
i (выходные)
?,
Норма
»
»
»
»
»
»
»
»
Ниже
нормы
»
»
»
»
»
»
»
»
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
»
Норма

Значительно выше
нормы
Ниже
нормы

Значительно ниже
нормы
Норма
Норма
Ниже
нормы
Выше
нормы
»
Норма
Выше
нормы
Ниже
нормы

Значительно ниже
нормы
Норма
230

Лингвистическая переменная «Степень превращения сырья»
характеризуется набором лингвистических термов вида: {низкая,
оптимальная, высокая]. С учетом того, что нечеткое множество
Xl2= J \iXl2{u)/u, ueUXi2, F.58)
uxl2
правило нечеткого условного вывода для определения значения
нечеткого множества Х12 примет следующий вид:
i=lT2, F.59)
где о — операция максиминной композиции; R() =
= R1(-)C\R2(-)9 R1(-)o{P1}, R2(•)<>{Р2} —нечеткое бинарное
отношение; Ux —универсум, соответствующий нечеткому
множеству Х12; -*—операция импликации (см. § 2.3).
Нечеткая продукционная модель («база знаний») системы
управления установкой каталитического крекинга, состоящая
из 118 продукций (в соответствии с табл. 6.7), записывается как:
ЕСЛИ Х12 оптимальная И Х3 в норме И ХА в норме ТО
Y1 в норме
ИЛИ Y2 в норме ИЛИ Y3 в норме ИЛИ У4 в норме
И
и
ЕСЛИ Х12 высокая И Хъ выше нормы И Z4 в норме ТО
Yl значительно ниже нормы ИЛИ Y2 в норме ИЛИ Y3
в норме ИЛИ У4 значительно выше нормы
И
и
ЕСЛИ Х12 низкая И Z3 выше нормы И А*4 выше нормы
ТО f! в норме ИЛИ У2 в «o/?>ie ИЛИ ?3 e «cpAie ИЛИ
Y4 в норме.
Подобная продукционная модель на языке нечетких
бинарных отношений имеет вид
231

y=l, 118, /0 = ТД
F.60)
где AiOj^UXio, B^ VYi — нечеткие множества вида F.57) hj[6.58),
соответствующие значениям нечетких множеств Xt и Yt;
f 1 при /=1,2;
индекс /0 = "\ 2 при /=3;
(З при i = 4.
Значения функций принадлежности в F.57) — F.58) для
нечетких множеств входных параметров приведены в табл.
6.8 (по такому же принципу строятся функции принадлежности
входных параметров).
Таблица 6.8
Наименование
лингвистических
переменных
Температура в
реакторе Yx
Температура в
регенераторе
Y2
Расход
циркулирующего
катализатора Y3
Область
изменения
параметров
486—512°
700—714°
430 т/ч
Упонни
квантования
Ниже нормы
D86—492°)
Ниже нормы
D92—498°)
Норма
D98—500°)
Выше нормы
E00—506°)
Значительно
выше нормы
E06—512°)
Норма
G00—702°)
Выше нормы
G02—714°)
Чрезвычайно
ниже нормы
C40—370 т/ч)
Значительно
ниже нормы
C70—385 т/ч)
Ниже нормы
C85—400 т/ч)
Норма
D00 т/ч)
Выше нормы
D00—415 т/ч)
Значительно
выше нормы
D15—430 т/ч)
Функции принадлежности
цу i (v) = exp(- 0,331^-489|)
цу (у) = ехр(—0,33 | у1 — 4951)
^r(ti) = exp(-l lji-4991)
|iy (r) = exp(—0,33 |^! — 5031)
1
цУ1(и) = ехр(-0,331^-509|)
\iY2(v) = exp(— 1 | у2 — 7011)
jiy (у) = ехр (—0,171 j^2 — 7081)
2
\iY3 (v) = ехр (- 0,671 ,у3 - 3551)
Цу (у) = ехр( — 0,13 |^з — 377,51)
|ху (у) = ехр(—0,13 |^з — 392,51)
цу (f) = exp(— 1001j/3 — 4001)
цУз(и) = ехр( — 0,13 \у3 — 422,51)
232

Продолжение табл. 6.8
Наименование
лингвистических
переменных
Область
изменения
параметров
Уровни
квантования
Функции принадлежности
380—
430 т/ч
Расход сырья
на установку
94—118 т/ч
94—106 т/ч
Значительно
ниже нормы
C80—390 т/ч)
Ниже нормы
C90—400 т/ч)
Норма
D00 т/ч)
Выше нормы
D00—410 т/ч)
Значительно
выше нормы
D10—420 т/ч)
Ниже нормы
(94—100 т/ч)
Норма
A00 т/ч)
Выше нормы
A00—106 т/ч)
Значительно
выше нормы
A06—112 т/ч)
Чрезвычайно
выше нормы
A12—118 т/ч)
Значительно
ниже нормы
(94—97 т/ч)
Ниже нормы
(97—100 т/ч)
Норма
A00 т/ч)
Выше нормы
A00—103 т/ч)
ехр(-0,33|>-4-97|)
ехр(-100 \уА-100|)
ехр(-0,33|>ч-103|)
ехр(-0,ЗЗЬ4-109|)
ехр(-0,33|.у4-115|)
ехр(-0,67|>-4-98,5|)
ехр(-100|>>4-100|)
ехр(-0,67|>>4-111,5|)
Таким образом, композируя нечеткие множества входных
параметров {А^оТек}, /0 = 1, 3, соответствующие текущим измеряемым
значениям входных физических параметров, определяем нечеткие
множества текущих управляющих воздействий {У^тек}? /=1, 4, т. е.
Л|И1D Л2(у)), /=174.
Для перехода к числовым значениям управляющих
параметров используется следующее соотношение:
^тек = Arg max \iY(v), /=1,4.
t;eFy/
С учетом инерционности характеристик переходных
процессов по каналам управления (время переходных процессов
в зависимости от технологического режима колеблется от 80
233

до 120 мин) интервал между очередным решением задачи
поиска оптимального режима был принят равным 2 ч. Система
реализована на ЭВМ «СМ-4». Экономический эффект от ее
внедрения на Ново-Бакинском нефтеперерабатывающем заводе
им. Владимира Ильича составил 444 тыс. руб/год.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ZadehL. A. Fuzzy sets // Inf. Contr. 1965. N8. P. 338—353.
2. ZadehL. A. Fuzzy orderings // Inf. Sci. 1971. N3. P. 117—200.
3. Zadeh L. A. Shadows of fuzzy sets // Prob. in Trans, of Informat. 1966.
N 2. P. 37—44.
4. Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и
процессов принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание. 1974. С. 5—49.
5. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение
к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.
6. Mizumoto M., Tanaka К. Fuzzy sets and their operations // Inform, and
Control. 1981. N48. P. 30—48.
7. Mizumoto M. Fuzzy sets and their operations (part 2) // Inform, and
Control. 1981. N50. P. 160—174.
8. Mizumoto M. Fuzzy Conditional Inference under Max-Composition //
Inform. Sci. 1982. N 27. P. 183—209.
9. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной
информации. М.: Наука, 1981.
10. Шапиро Д. И. Принятие решений в системах организационного
управления: использование расплывчатых категорий. М.: Энергоатомиздат, 1983.
11. Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems: theory and applications.—
N.Y.: Acadl Press, 1980.
12. Bandler W., Kohout L. Fuzzy power sets and fuzzy implications operators
// Fuzzy sets and systems. 1980. N 1. P. 13—30.
13. Rescher Many-Valued Logic, Me. Graw-Hill. New York. 1969.
14. Церковный А. Э. Развитие некоторых аспектов нечеткого условного
вывода в многозначных логиках // Деп. в АзНИИТИ, № 275—Д84. 1984.
15. Mamdani E. H. Applications of fuzzy logic to approximate reasoning using
linguistic systems // IEEE Trans. Comput. C-26. 1977. P. 1182—1191.
16. Baldwin J. F., Piisworth B. W. A model of fuzzy reasoning through
multivalued logic and set theory // Int. J. Man —Machine Studies. 1979. N 11. P. 351—380.
17. Fukami S., Mizumoto M., Tanaka K. Some considerations of fuzzy
conditional inference // Fuzzy sets and Systems. 1980. N 4. P. 243—273.
18. Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления. М:
Мир, 1981.
19. Негойце К., Сулария М., Флондор П. Проблема оптимизации в
размытых условиях // Автоматика и телемеханика. 1978. № 3. С. 121 —130.
20. Шер А. П. Решение задачи математического программирования с
линейной целевой функцией в размытых ограничениях // Автоматика и телемеханика.
1980. №7. С. 137—143.
21. Verdegay J. L. Fuzzy mathematical programming. In: Fuzzy information
and decision processes / Ed. by Madan M. Gupta and Elie Sanchez. North-Holland
Publ. Сотр., 1982.
22. Kabbara Chasson. New utilization of fuzzy optimization method. In: Fuzzy
information and decision processes / Ed. by Madan M. Gupta and Elie Sanchez.
North-Holland Publ. Сотр., 1982.
234

23. Bellman R., Zadeh L. A. Decision making in a fuzzy environment // Man.
Sci. 1970. Vol. 17 В D). P. 141 — 164.
24. Zimmerman H. J. Fuzzy programming and linear programming with several
objective functions // Fuzzy sets and Systems. 1977. 1. P. 15—55.
25. Tanaka H., Okuda Т., Asai K. On fuzzy mathematical programming //
J. Cybern. 1973. Vol. 3. N 4. P. 37—46.
26. Dubois D., Prade H. Systems of linear fuzzy constraints // Fuzzy Sets
and Systems. 1980. Vol. 3. P. 37—48.
27. Kickert W. J. Van Naute Lemke. The Application of fuzzy set theory to
control a warm water plant // Automatica. 1976. 12. P. 301—308.
28. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной //
А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, О. А. Крумберг и др. Рига: Зинатне, 1982.
29. Алиев Р. А. Теоретические аспекты построения размытых систем
управления // Изв. вузов СССР. Нефть и газ, 1981. №9. С. 83—87.
30. Шахназаров М. М. Разработка и исследование моделей и алгоритмов
оперативно-календарного планирования нефтеперерабатывающего предприятия
в условиях неопределенности // Автореф. канд. дис, Баку: АзИНЕФТЕХИМ
им. М. Азизбекова, 1983.
31. Капустин В. Ф. Прямое и обратное размытие оптимизационных
линейных моделей // Применение математики в экономике. 1982. С. 205—211.
32. Мельцер М. И. Диалоговое управление производством. М.: Финансы
и статистика, 1983.
33. Алиев Р. А., Мамедова Г. А. Нечеткая оптимизация управления
процессом ступенчато-противоточного каталитического крекинга // Изв. вузов СССР.
Нефть и газ, 1990. №3. С. 71—75.
34. Baptistella L. F. В., Olerra A. Fuzzy methodologies for interactive
multicriteria optimization // IEEE Trans, on Syst., Man and Cybern. 1980. Vol.
SMC-10. N 7. P. 355—365.
35. Chang S. S. L., Zadeh L. A. On fuzzy mapping and control // IEEE Trans.
Syst. Man and Cybern. SMC-2, 1. P. 30—34, 1972.
36. Leberling H. On finding compromise solutions in multicriteria problems
using the fuzzy min-operator // Fuzzy Sets and Systems. 1981. N6. P. 105—118.
37. Tanaka H., Asai K. Fuzzy linear programming based on fuzzy functions
// Bulletin of Univ. of Osaka pref. 1980. A29. N2. P. 113—125.
38. Язенин А. В. Нечеткое математическое программирование. Калинин:
КГУ, 1986.
39. Sakawa M. Interactive computer programs for fuzzy linear programming
with multiple objectives // Int. J. Man-Machine Studies. 1983. N 18. P. 483—503.
40. Luhandjula M. K. Compensatory operators in fuzzy linear programming
with multiple objectives // Int. J. Man-Machine Studies. 1982. N 10. P. 245—252.
41. Carlsson C. Tackling MCDM-problem with the help of some results from
fuzzy set theory // Eur. J. Oper. Research. 1982. N10. P. 270—281.
42. Dumitru V., Luban F. Membership functions, some mathematical
programming models and production schelduling // Fuzzy Sets and Systems.
1982. N 8. P. 19—33.
43. Kacprzyk J., Staniewski P. Long-term inventory policymacking through
fuzzy decision-making models // Fuzzy Sets and Systems. 1982. N8. P. 117—132.
44. Алиев Р. А., Кривошеее В. П., Либерзон М. И. Алгоритмы согласования
решений в системе моделей оптимального управления (в интегрированной
АСУ производством) // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. математические и техн.
науки. 1979. №6. С. 137—143.
45. Алиев Р. А., Церковный А. Э. Координация функционирования
роботизированного участка в нечеткой среде // Механизация и автоматизация
производства. 1985. № 5. С. 15—17. '
46. Алиев Р. А., Церковный А. Э. Интеллектуальный робот для оценки
качества и подачи на обработку по назначению отшлифованных листов
в производстве теплообменников // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. математ.
и техн. науки. 1985. №5. С. 132—139.
235

47. Алиев Р. А., Мамедова Г. А. Оптимизация управления процессом
первичной переработки нефти с использованием нечетких множеств // Изв. АН
Азерб. ССР. Сер. математ. и техн. науки. 1981. №4. С. 95—103.
48. Алиев Р. А., Уланов Г. М., Церковный А. Э. Некоторые аспекты
принятия решений в интеллектуальных роботах ,// Управление при наличии
расплывчатых категорий: Тез. докл. VII научно-техн. семин. Пермь: НИИУМС, 1985.
49. Mamdani E. H., Assiliani S. An Experiments in Linguistic Synthesis with
a Fuzzy Logic Controller//Int. J. Man-Mach. Studies. 1975. N7. P. 3—13.
50. Procyk T. J. A self-organising controller for dynamic processes. Ph. D. thesis,
Queen Mary College, London. 1977.
51. Assiliani S. Artifical Intelligence in the Control of Real Dynamic Systems,
Ph. D. Thesis, Queen Mai у College, London. 1974.
52. Braae M., Rutherford D. A. Theoretical and Linguistic Aspects of the Fuzzy
Logic Controller // Automation, Pergamon Press. 1979. Vol. 12. P. 553—557
53. Rao G. P., Rutherford D. A. Aspects Approximate Reconstruction of
Mapping Function from Linguistic Descriptions in Problems of Fuzzy Logic Applied
to Systems Control, Cybern. and Systems. An Int. Journ. 1981. N 12. P. 225—236.
54. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем.
М.: Наука, 1969.
55. Олейников В. А., Зотов Н. С, Пришвин А. Н. Основы оптимального и
экстремального управления. М.: Высшая школа, 1969.
56. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин,
В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, М.: Наука, 1976.
57. Куржанский А. Ю. Управление и наблюдение в условиях
неопределенности. М.: Наука 1977.
58. Mamdani E. H. A fuzzy rule-based method of controlling dynamic processes.
Queen Mary College, London, 1981.
59. Procyk T. J., Mamdani E. H. A Linguistic Self-Organizing Process Controller
// Automatica. 1979. Vol. 15. P. 15—30.
60. Иванова Л. В., Корнева М. И., Юзбашев В. Н. Технология переработки
нефти и газа. М.: Химия, 1966.
61. Понтрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования // Успехи
математических наук. 1959. Т. 14. Вып. 1 (85). С. 2—20.
62. Алекперов Ф. А. Задачи построения систем оптимального управления
нефтеперерабатывающими объектами, функционирующими в режиме
непосредственного цифрового управления на примере установки первичной
переработки нефти // Автореф. канд. диссертации, Баку: АзИНЕФТЕХИМ
им. М. Азизбекова, 1982.
63. Острем К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.:
Мир, 1973.
64. Алиев Р. А., Муратов И. X., Алекперов Ф. А. Стохастическое управление
процессом первичной переработки нефти // Тезисы докладов V Всесоюзного
совещания по статистическим методам в процессах управления. Алма-Ата — М.:
ИПУ, 1981 < 356—358.
65. Зайцен*1 . Ф. Анализ линейных импульсных систем автоматического
регулирования и управления. Киев: Наукова думка, 1967.
66. Tong R. M. Analysis of fuzzy control algorithms using the relation >
matrix // Int. J. Man-Machine Stud. 1976. № 8. P. 679—686.
67. Kickert W. J., Mamdani E. H. Analysis of fuzzy logic controllers // Fuzzy
Sets and Systems. 1978. N 1. P. 29—44.
68. King P. J., Mamdani E. H. The application of fuzzy control systems to
industrial process//Automatica. 1977. N13. P. 235—242.
69. Ostergaard J. J. Fuzzy logic control at a heat exchanger process. Publ.
N7601, Elec. //Power Enging. Dept. Techn. University of Denmark, DK 2800,
Lengby, June. 1976.
70. Ежкова И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких
основаниях. 1. Универсальная шкала // Изв. АН СССР Техн. Кибернетика. 1977.
№5. С. 11 — 19.
236

71. Ежкова И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких
основаниях. И. Схема вывода // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1978. № 2. С. 22—30.
72. Алиев Р. А., Уланов Г. М., Церковный А. Э. Принятие решений в
интеллектуальных роботах // Доклады АН СССР. 1986. Т. 290. № 5. С. 1048—
1052.
73. Алиев Р. А., Церковный А. Э. Интеллектуальный робот для оценки
качества и сортировки изделий на потоке // Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика. 1986. № 1. С. 100—106.
74. Tong R. M. Analysis and Control of Fuzzy Systems Using Finite Discrete
Relations. Int. J. Control, 1978.
75. Negoita C, Ralescu D. A. Application of Fuzzy Sets to Systems
Analysis. 1975.
76. Jain R. Outline of New Approach for the Analysis of Fuzzy Systems // Int.
J. Control, 1976. N 23, P. 622—640.
77. De Glas M. A Mathematical Theory of Fuzzy Systems. In: Fuzzy
Inform, and Decision Proa, M. M. Gupta and E. Sanches (eds), North-Holland
Publ. Сотр. 1982.
78. Ray K. S., Majumber D. Fuzzy Logic Controller of Nonlinear Maltivariable
Steam Generating Unit Using Decoupling Theory // IEEE Trans, on. Syst., Man
and Cybern. 1985. N 4. P. 539—558.
79. Carter L. A., Rutherford D. A. A Heuristic Adaptive Controller for a Sinter
Plant. IFAC Syp. on Automation in Mining, Johannesburg. 1976.
80. Jensen J. H. Application of Fuzzy Logic Controller, N1. Publ. N7607,
Elec. Power Eng. Dept. Techn. Univ. of Denmark, DK, 2800, Lengby, June, 1976.
81. Carter L. A., Hagne M. J. Fuzzy Control of Raw Mix Permeability of
Sinter Plant. Proc. Fuzzy Workshop, QMC, London. 1976.
82. Tong R. M. Synthesis of Fuzzy Models for Industrial Processes-Some Recent
Results, Int. J. Gen., Syst. 1978.
83. Mamdani E. H. Advances in the Linguistic Synthesis of Fuzzy
Controllers // Int. J. Man-Mach. Stud. 1976. Vol. 8. P. 669—678.
84. Mamdani E. H. Rule-based Fuzzy Approach to the Control of Dynamic
Processes//IEEE Trans, on Comput. 1981. N12. P. 432—440.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Основные понятия и элементы теории нечетких множеств и
нечеткой логики 5
1.1. Элементы теории нечетких множеств 5
1.2. Лингвистическая и нечеткая переменные 10
1.3. Элементы нечеткой логики 14
Глава 2. Моделирование объектов в нечеткой среде 26
2.1. Методы построения нечетких моделей 26
2.2. Идентификация статических моделей с нечеткими
параметрами 27
2.3. Анализ правил нечеткого условного вывода при
конструировании нечетких моделей 37
2.4. Анализ нечетких моделей технологических процессов 65
2.5. Пример нечеткой модели управления 68
Глава 3. Оптимизация управления промышленными объектами в
нечеткой среде 79
3.1. Постановка задачи 79
3.2. Оптимизация с нечеткими отношениями 81
3.3. Оптимизация при нечетких ограничениях 89
3.4. Оптимизация с нечеткой целью 92
3.5. Оптимизация при нечеткой цели и нечетких ограничениях 95
Глава 4. Нечеткие регуляторы 102
4.1. Принципы построения нечетких регуляторов 102
4.2. Обзор работ по нечетким регуляторам 105
4.3. Аналитические методы синтеза нечетких регуляторов ПО
4.4. Анализ комбинированной системы управления на базе быстрого
алгоритма вывода 116
4.5. Программная реализация нечетких регуляторов 125
4.6. Лингвистический синтез регулятора 126
4.7. Адаптивный нечеткий регулятор 144
4.8. Структура нечеткой адаптивной системы управления
ректификационной колонной 149
Глава 5. Оптимальное планирование и координация управления
производством в нечетких условиях 163
5.1. Методы решения задач планирования в нечетких условиях 163
5.2. Метод координации в многоуровневых нечетких системах
планирования 171
5.3. Координация управления производством при нечеткой исходной
информации 175
238

Глава 6. Опыт разработки и внедрения систем управления производством
при нечеткой исходной информации 184
6.1. Координация функционирования роботизированных участков
в производстве алюминиевых испарителей 184
6.2. Текущее планирование производственной программы
нефтеперерабатывающего предприятия при нечетких исходных данных 198
6.3. Нечеткая система автоматического регулирования установки
первичной переработки нефти 211
6.4. «Разумная» производственная система для управления
установкой каталитического крекинга 225
Список литературы 234

Производственно-практическое издание
АЛИЕВ Рафик Азиз-оглы
ЦЕРКОВНЫЙ Александр Этгартович
МАМЕДОВА Гульяз Алмамед-кызы
Управление производством при нечеткой исходной информации
Заведующий редакцией Я. А. Медведева
Редактор В. Н. Вагин
Редактор издательства В. И. Петухова
Художественные редакторы Т. А. Дворецкова, А. А. Белоус
Технический редактор Н. В. Чиранова
Корректор Н. И. Курдюкова
ИБ № 2580
Сдано в набор 31.01.91. Подписано в печать 28.05.91. Формат 60x88Vi6-
Бумага офсетная № 2. Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л.
14,70. Усл. кр.-отт. 14,94. Уч-изд. л. 15,46. Тираж 3000 экз. Заказ 2056.
Цена 3 р 50 к
Энергоатомиздат. 113114 Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография» Государственного комитета
по печати СССР. 113054 Москва, М-54, Валовая, 28.