В.И. Гостев
НЕЧЕТКИЕ
РЕГУЛЯТОРЫ
В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Киев
Издательство “Радюа матор”
2008
ББК 32.965.6
Г 72
УДК 62-55:681.515
Рецензенты: Зайцев Г.Ф., доктор техн, наук, профессор,
Богаенко И.Н., доктор техн, наук, профессор
Гостев В.И. Нечеткие регуляторы в системах автоматического
управления. - К.: ’’Радюаматор”, 2008.-972 с.
ISBN 978-966-96178-2-0
Монография посвящена синтезу и расчету нечетких (работающих на базе нечет-
кой логики) цифровых регуляторов в системах автоматического управления. Изложен
новый метод проектирования нечетких регуляторов, основанный на полученных ана-
литических выражениях для управляющих воздействий на выходе нечеткого регуля-
тора при различных функциях принадлежности. Особое внимание уделено синтезу
нечетких цифровых регуляторов для нестационарных объектов управления, объектов
с чистым запаздыванием, объектов, имеющих различные нелинейности. Специальные
разделы посвящены синтезу и расчету оптимальных по быстродействию и нечетких
цифровых регуляторов в системах автоматического управления параметрами двухро-
торного двухконтурного газотурбинного двигателя, параметрами паровых котлов
большой мощности, температурой электрических и газовых печей, а также в различ-
ных радиотехнических системах. Дана сравнительная оценка показателей качества, в
том числе робастности, систем автоматического управления с цифровыми нечеткими,
оптимальными по быстродействию регуляторами и традиционными ПИД-регулято-
рами при различных воздействиях на системы управления.
Рассчитана на инженерно-технических и научных работников, занимающихся
разработкой и эксплуатацией систем автоматического управления, а также может
быть полезна студентам вузов соответствующих специальностей.
ББК 32.965.6
ISBN 978-966-96178-2-0
© Гостев В.И., 2008
Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ
Система управления состоит из управляющего объекта (регулято-
ра), предназначенного для осуществления управления, и объекта
управления, подвергаемого управляющим воздействиям. Данная рабо-
та посвящена синтезу нечетких регуляторов, которые осуществляют
процесс выработки управляющих воздействий на базе нечеткой логи-
ки. Понятие “нечеткая логика41 введено математиком Л.А. Заде
(1965г.), который предложил теорию "нечетких множеств11, на осно-
ве которой можно строить нечеткие аналоги всех математических по-
нятий и создать необходимый формальный аппарат для моделирова-
ния человеческих рассуждений и человеческого способа решения за-
дач [151,232-234]. Нечеткое множество - это совокупность элементов,
относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать
- принадлежит ли тот или иной элемент данной совокупности или нет.
Теория "нечетких множеств11 имеет дело с "человеческими зна-
ниями11, которые принято называть "экспертной информацией11. Ха-
рактерным для нечеткого управления является непосредственное при-
менение качественно формулируемых экспертных знаний для генери-
рования управляющих воздействий на объект управления. Знания о
взаимодействии нечеткого регулятора с объектом (процессом) управ-
ления представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуа-
ция), ТО (ответная реакция). Такие правила соответствуют простей-
шей форме человеческих взаимодействий.
В теории нечетких множеств центральную роль играют понятия
"лингвистическая переменная11 (переменная, которая принимает свои
значения из множества лингвистических термов), "лингвистический
терм (название) 11 (нечеткое подмножество с соответствующей функ-
цией принадлежности) и "функция принадлежности11 р(х) . Функция
//(х) определяет степень принадлежности элемента (лингвистической
переменной) х к нечеткому множеству (терму) X в форме числен-
ного значения в диапазоне [0, 1] (это численное значение называют
"степенью истинности11 лингвистической переменной). Нечеткое
множество полностью описывается его функцией принадлежности.
Например, представляя лингвистические термы (нечеткие подмноже-
ства) "отрицательная11, "положительная11, "большая11, "малая11 лин-
3
11редисловие
генетической переменной “ошибка" при помощи их функций принад-
лежности, очерчивают диапазоны изменения качественно описанной
физической величины - ошибки рассогласования системы автоматиче-
ского управления. Функции принадлежности лингвистических термов,
как правило, перекрывают друг друга, поэтому для одной и той же
лингвистической переменной эти функции могут сообщать различные
“степени истинности" лингвистических термов, отличающиеся от
нуля.
Введенное Заде понятие “fuzzy-logic" в переводе означает нечет-
кая логика, поэтому нечеткие регуляторы называют также фаззи-
ре гулят орами (фаззи-контроллерами), а системы управления с нечет-
кими регуляторами - фаззи-системами. Перевод текущих значений
входных переменных нечеткого регулятора в лингвистические вели-
чины истинности называют процедурой фаззификации.
В нечетком регуляторе на основе сформулированных правил (ба-
зы правил) типа ЕСЛИ-TO осуществляется формирование логическо-
го решения - получение нечеткого множества в форме результирую-
щей функции принадлежности. Определение для этой функции при-
надлежности количественного значения выходной лингвистической
переменной - управляющего воздействия на объект управления - на-
зывают дефаззификацией.
В данной монографии рассматриваются объекты управления, ко-
торые можно описать передаточной функцией с постоянными или пе-
ременными параметрами. В качестве входных лингвистических пере-
менных используются ошибка системы, скорость изменения (первая
производная) ошибки, ускорение (вторая производная) ошибки, кото-
рые качественно характеризуются непрерывными на универсальном
множестве и симметричными функциями принадлежности терм-
множеств. Используются простейшие правила вида ЕСЛИ-TO, кото-
рые являются нечеткими лингвистическими высказываниями в форме
лингвистических переменных с противоположными термами. Лин-
гвистическое правило управления нечеткого регулятора записывается
для каждого терма.
Синтез нечеткого регулятора, в общих чертах, заключается в вы-
боре функций принадлежности терм-множеств лингвистических пе-
ременных, алгоритма нечеткого вывода (логического вывода на осно-
ве нечеткой логики), оптимизации основных параметров регулятора
(диапазонов изменения лингвистических переменных, формы и пара-
4
Предисловие
метров функций принадлежности) путем минимизации выбранного
критерия качества в замкнутой системе автоматического управления.
В первом разделе кратко рассмотрены особенности управления на
базе нечеткой логики, описаны функциональная схема нечеткого ре-
гулятора и алгоритмы нечеткого вывода. Во втором разделе изложен
процесс принятия решений на базе нечеткой логики, который является
основой работы нечеткого регулятора. Материал этих разделов бази-
руется на работах [5-7, 9, 149, 169, 188, 189, 199].
В третьем разделе изложен новый метод проектирования нечетких
регуляторов [21], основанный на полученных аналитических выраже-
ниях для управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора
при различных функциях принадлежности и представлены общие
функциональная и структурная схемы нечетких регуляторов, на базе
которых возможна реализация нечетких регуляторов программным
или аппаратным способом. Представлены принципиальные схемы не-
четких регуляторов с различными функциями принадлежности. При
проектировании нечетких регуляторов предложенным методом нет
необходимости в использовании пакета нечеткой логики Fuzzy Logic
Toolbox интерактивной системы MATLAB и процедура проектирова-
ния нечетких регуляторов упрощается. Изложены вопросы оптимиза-
ции основных параметров регуляторов путем минимизации выбранно-
го критерия качества с целью получения оптимальных процессов в
системах автоматического управления.
Материалы третьего - одиннадцатого разделов, в которых пред-
ставлен синтез нечетких регуляторов в системах автоматического
управления с нестационарными объектами управления, с объектами,
имеющими звенья чистого запаздывания, нелинейными и многомер-
ными объектами, является оригинальным.
Значительное внимание уделено синтезу нечетких регуляторов
автономных систем теплоснабжения и различных радиотехнических
систем. Рассмотрен синтез оптимальных по быстродействию и нечет-
ких цифровых регуляторов локальных систем автоматического управ-
ления параметрами двухроторного двухконтурного газотурбинного
двигателя, систем управления параметрами паровых котлов большой
мощности, систем управления температурой электрических и газовых
печей.
Дана сравнительная оценка показателей качества, в том числе ро-
бастности, систем автоматического управления с цифровыми нечет-
5
Предисловие
кими и оптимальными по быстродействию ре^ляторами, а также тра-
диционными ПИД-регуляторами при различных воздействиях на сис-
темы управления.
Исследование систем автоматического управления проведено пу-
тем математического моделирования с использованием интерактивной
среды для научных и инженерных вычислений MATLAB и мощным
средством моделирования и исследования систем управления с обрат-
ной связью Simuiink.
Книга рассчитана на инженерно-технических работников, зани-
мающихся вопросами проектирования и эксплуатации систем автома-
тического управления, а также на студентов, аспирантов, научных ра-
ботников и широкий круг специалистов в области автоматики, техни-
ческой кибернетики и смежных областей науки и техники.
6
Предисловие
FOREWORD
A control system consists of a controller, intended for the realization of
control, and a control object, subjected to the control actions. The present
book is devoted to fuzzy controllers, which generate control actions on the
basis of fuzzy logic. The concept of "fuzzy logic" was introduced by Zadeh
(1965). He proposed the theory of "fuzzy sets," which can be used to con-
struct fuzzy analogs of all mathematical concepts and to create the neces-
sary formal techniques for simulation of human reasoning and the human
way of solving problems [151,232-234]. The fuzzy set is the collection of
units, concerning which it is impossible with a complete determinancy to
state - whether this or that unit to the given collection whether or not be-
longs.
The theory of "fuzzy sets" deals with "human knowledge,” which is
called "expert information" A fuzzy control is characterized by immediate
application of qualitatively formulated expert knowledge for the generation
of control actions on the controlled object. The knowledge about the inter-
action of a fuzzy controller with a controlled object (process) is represented
by the rules of the form: if (initial situation), then (response). Such rules
correspond to the elementary form of human interactions.
The concepts of "a linguistic variable" (variable, which accepts the
values from the set of linguistic terms), “a linguistic term (title)” (indistinct
subset with the appropriate membership function) and "membership func-
tion" p(x) play the central role in the theory of fuzzy sets. The function p(x)
determines the degree of membership of an element (linguistic variable) x
to a fuzzy set (to a term) X in the form of a numerical value within the
range [0, 1] (this numerical value is called "the degree of truth" of a lin-
guistic variable). A fuzzy set is described completely by its membership
function. For example, representing the linguistic terms (fuzzy subsets)
"negative," "positive," "large," and "small" by the linguistic variable "an
error" through their membership functions, the ranges of variation in the
qualitatively described physical quantity - mismatch errors of the auto-
matic-control system - are outlined. The membership functions of linguistic
terms, as a rule, overlap each other; therefore, these functions can inform of
different nonzero values of "degree of truth"
In Russian, the concept of "fuzzy-logic" introduced by Zadeh means
the illegible logic; therefore, illegible controllers are named also fuzzy-
controllers, and control systems with fuzzy-controllers the fuzzy-sy stems.
7
Предисловие
The conversion of current values of the input variables of a fuzzy-controller
into linguistic values of the degree of truth is called fuzzyficat ion.
In a fuzzy-controller on the basis of the formulated rules (base of rules)
such as IF-THEN rules, the creation of logical solution - obtaining of fuzzy
set is carried out as the resulting membership function. The definition for
this membership function of quantitative value of an output linguistic vari-
able - the control actions on the controlled object is named defuzzyfication.
In the given book the controlled objects are considered which can be
described by the transfer function with stationary values or variable pa-
rameters. As the linguistic input variables are used an error of the system,
speed of change (first derivative) error, acceleration (flexon) of an error,
which are qualitatively characterized by continuous on universal set and
symmetric membership functions of term-sets. The elementary rules of sort
IF-THEN are used which are the indistinct linguistic expressions as the lin-
guistic variables with opposite terms. The number of rules is equal to the
number of terms.
The synthesis of a fuzzy controller (in general) consists of in choice of
membership functions of term-sets of linguistic variables, algorithm of in-
ference (a logic conclusion on the basis of fuzzy logic), optimization of
main parameters of a fuzzy controller (ranges of variation linguistic vari-
ables, form and parameters of membership functions) by minimization of
selected criterion of quality in the closed-loop automatic-control system.
The features of control on the basis of fuzzy logic are briefly consid-
ered and the functional diagram of a fuzzy controller and algorithms of in-
ference are described in the first part of the book. The decision-making
process based on fuzzy logic, which is the basis of the operation of fuzzy
controllers, is described in the second part. The material of these parts is
based on the books [5-7, 9, 149, 169, 188, 189, 199].
In the third section the new method of designing of the fuzzy control-
lers is stated [21], based on the received analytical expressions for control-
ling actions on an output of an fuzzy controller at various membership
functions and the general functional and block diagrams of fuzzy control-
lers are submitted on the basis of which the realization of fuzzy controllers
by a program or hardware way is possible. The schematic diagrams of
fuzzy controllers with various membership functions are submitted. De-
signing fuzzy controllers by the offered method there is no necessity for
using the package of indistinct logic Fuzzy Logic Toolbox of interactive
system MATLAB and procedure of designing of fuzzy controllers be-
8
Предисловие
comes simpler. The questions of optimization of key parameters of fuzzy
controllers are stated by minimization of the chosen criterion of quality
with the purpose of reception of optimum processes in the systems of
automatic control.
The material of the third - the eleventh sections, where fuzzy control-
lers in automatic-control systems with nonstationary controlled objects,
objects having elements with time lags, nonlinear and multi-dimensional
controlled objects are synthesized, is original.
The significant attention is given to the synthesis of fuzzy controllers
of various radio engineering systems and self-contained systems of heat-
supply. The synthesis of the optimum on speed and of the fuzzy digital
controllers of local automatic-control systems by parameters of the twin-
shaft and double-loop gas-turbine engine, control systems by parameters of
the steam high-power boiler, control systems by temperature of electrical
and gas furnaces is considered.
The comparative estimation of metrics of quality, including robustness,
systems of automatic control with fuzzy controllers, optimum on speed
digital controllers and traditional PID-controllers is given at various dis-
turbing actions on control systems.
Research of systems of automatic control is carried out by mathemati-
cal modelling with use of the interactive environment for scientific and en-
gineering calculations MATLAB and powerful means of modelling and
research of the control systems with feedback Simulink.
The book is intended for engineers and technical workers, who are
concerned with design and operation of automatic-control systems, stu-
dents, post-graduate students, scientists, and a wide range of specialists in
automation, engineering cybernetics, and adjacent areas of science and en-
gineering.
9
Раздел 1
Раздел 1.
УПРАВЛЕНИЕ НА БАЗЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
1.1. Общие особенности управления на базе теории нечетких
множеств
Понятие “fuzzy-logic” (в переводе с английского - нечеткая, раз-
мытая логика) введено американским математиком Л.А. Заде
(L.A.Zadeh), который предложил теорию нечетких множеств [151], на
основе которой можно построить нечеткие аналоги всех математиче-
ских понятий и создать необходимый формальный аппарат для моде-
лирования человеческих рассуждений и человеческого способа реше-
ния задач. Нечеткое множество (fuzzy set) - совокупность элементов
произвольной природы, относительно которых нельзя с полной опре-
деленностью утверждать - принадлежит ли тот или иной элемент дан-
ной совокупности или нет.
Теория нечетких множеств имеет дело с “человеческими знания-
ми”, которые принято называть экспертной информацией. Характер-
ным для нечеткого управления является непосредственное примене-
ние качественно формулируемых экспертных знаний для генерирова-
ния управляющих воздействий на объект управления. Знания о взаи-
модействии нечеткого регулятора с объектом (процессом) управления
представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО
(ответная реакция). Такие правила соответствуют простейшей форме
человеческих взаимодействий. При этом анализируемые параметры
рассматриваются в качестве лингвистических переменных, которые
оцениваются качественными термами.
В теории нечетких множеств центральную роль играют понятия
лингвистическая переменная ЛП, лингвистическая величина и функ-
ция принадлежности ФП (х) . Математически нечеткое множество
определяется как множество упорядоченных пар вида (х,/Л(х)), где
х является элементом универсума X (хеХ), а функция /лг(х)
определяет степень принадлежности элемента х (лингвистической
переменной) к нечеткому множеству (терму) Т в форме численного
значения в диапазоне [0, 1]. Нечеткое множество полностью описыва-
ется его функцией принадлежности. Например, представляя лингвис-
тические величины (нечеткие множества) “отрицательная”, “положи-
10
Раздел 1
тельная”, “большая”, “малая” лингвистической переменной “ошибка”
при помощи их функций принадлежности, очерчивают диапазоны из-
менения качественно описанной физической величины - ошибки рас-
согласования системы автоматического управления. Функции принад-
лежности лингвистических величин, как правило, перекрывают друг
друга, поэтому для одной и той же лингвистической переменной эти
функции могут сообщать различные “степени истинности” лингвис-
тических величин, отличающиеся от нуля.
Перевод текущих значений входных переменных нечеткого регу-
лятора в лингвистические величины истинности называют процедурой
фаззификации. В нечетком регуляторе на основе сформулированных
правил (базы правил) типа ЕСЛИ-TO, осуществляется формирование
логического решения в виде нечеткого множества в форме результи-
рующей функции принадлежности. Получение для заданной резуль-
тирующей функции принадлежности выходной лингвистической пе-
ременной единственного количественного значения - управляющего
воздействия на выходе нечеткого регулятора и процедуру генерирова-
ния выходной величины (управляющего воздействия на объект управ-
ления) называют дефаззификацией.
В настоящее время наблюдается интенсивное развитие и практи-
ческое применение нечетких систем для целей управления и регули-
рования многих технических объектов.
Достоинства нечеткой логики, которые явно проявляются в не-
четком управлении, заключаются прежде всего в том, что нечеткая
логика позволяет удачно представить мышление человека, а именно
способы принятия решений человеком, и способы моделирования
сложных объектов средствами естественного языка.
Естественный язык формировался в течение сотен лет не только
как средство общения людей, но и как структура, отражающая объек-
тивный мир. Познание мира опирается на мышление, а мышление, в
свою очередь, невозможно без определенной знаковой системы. Наи-
более мощной системой такого рода и является естественный язык,
который представляет окончательную, наиболее мощную и главную
реализацию человеческого мышления. Он способен оперировать с
противоречивыми, сложными и многозначными понятиями. Логиче-
ская структура, в частности древнегреческой геометрии, была извле-
чена из естественного языка, во многом определив дальнейшее разви-
тие математики и естествознания.
И
Раздел 1
В ходе принятия решения человек легко овладевает ситуацией,
разделяя ее на события, находит решения в сложных ситуациях путем
применения для отдельных событий соответствующих правил приня-
тия решения, на основании прошлого опыта искусно наделяет объект
отличительными признаками и приходит к общему решению. Решение
принимается не на основе унифицированных стоимостных критериев,
а с использованием большого числа стоимостных критериев, нередко
противоречащих друг другу. В случае неполной информации возмож-
на помощь в принятии решения с использованием выводов. В нечет-
кое управление вводятся подобные методы принятия решений, свой-
ственные человеку, в форме распределенных по отдельным состояни-
ям и целям правил управления и нечетких выводов. Человек в повсе-
дневной деятельности никогда не пользуется формальным моделиро-
ванием на основе математических выражений; он не ищет одного язы-
ка, описывающего все. Язык, который использует человек - это не-
четкий естественный язык. Полученная модель не является унифици-
рованной: она либо описывает свойства фрагментов объекта, либо яв-
ляется набором нескольких локальных моделей, поставленных в опре-
деленные условия. Сами локальные модели не используют числовых
значений. Обладая некоторой общностью, они просты для понимания
на качественном уровне. При нечетком управлении по этому образцу
создают модель действий оператора с помощью высказываний типа
ЕСЛИ-TO, используя обычные слова и слова эти нечеткие. Вместо
того чтобы выстраивать цепочку числовых значений, человек прово-
дит нечеткие границы типа “малый”, “средний”, “большой” и т.п.
Благодаря применению нечетких слов можно легко представить слу-
чаи с неполными данными [174].
Применение теории нечетких множеств при проектировании ре-
гуляторов позволяет повышать их “интеллект”, компетентность, при-
близив к интеллекту человека. “Очеловечивание” нечетких регулято-
ров является одной из центральных проблем в современной теории и
технике автоматического управления [5,6].
Можно выявить три особенности нечеткого управления [174].
Первая заключается в том, что правила нечеткого управления,
будучи условными высказываниями типа ЕСЛИ-TO являются логиче-
скими. Использование правил осуществляется через механизм логиче-
ских выводов. Логическое управление означает, что логику управле-
ния эксперта легко представить, и разнообразным предпосылкам
12
Раздел 1
можно поставить в соответствие некоторое действие. Для реального
оборудования это не только использование при управлении полной
информации в отличие от классической теории управления, но и из-
менение режимов управления в зависимости от условий, например,
времени и значений параметров. Во многих видах реального оборудо-
вания необходимо уделять особое внимание различным режимам ра-
боты, например, процедуре запуска. В этом случае для автоматизации
удобно использовать нечеткое управление, поскольку можно описы-
вать правила в форме ЕСЛИ-TO одинаковым образом и для режима
запуска, и для режима нормальной работы.
Вторая особенность - параллельное управление. Сами нечеткие
методы управления существенно различаются. Традиционные методы
управления - это либо классические, либо современные методы, в ко-
торых обобщенное правило управления представляется с помощью
одной формулы, в то время как при нечетком управлении использует-
ся большое число частных правил. Каждое правило действует в опре-
деленной области информационного пространства, используемого при
управлении. Для каждой локальной области распределенного инфор-
мационного пространства целесообразно создавать отдельные правила
управления. Кроме того, если имеется много регулируемых величин,
для каждой из них можно создать отдельные правила управления.
Аналогично, если имеется много целей управления, для каждой цели
желательно создавать правила управления. Классическое управление
существенно ограничивало теоретически возможные разновидности
целей в связи с необходимостью представлять цель обобщенной
функцией. При нечетком управлении необходимость в целевых функ-
циях и в решении задач оптимального управления отпадает, поэтому
можно успешно справляться со всем многообразием целей и даже со
взаимно противоречащими целями.
Третья особенность нечеткого управления состоит в том, что по-
является возможность организовать управление в форме диалога с
оператором, поскольку правила управления записываются словами в
виде выражений ЕСЛИ-ТО.
Исходной предпосылкой к формированию системы управления на
базе теории нечетких множеств является то, что состояние сложной
системы и управляющие воздействия в САУ рассматриваются как
лингвистические переменные, оцениваемые качественными термами
(средствами естественного языка). Каждый терм рассматривается как
13
Раздел 1
нечеткое множество и формализуется с помощью соответствующей
функции принадлежности. Формирование управляющего воздействие
осуществляется на основании определенного набора правил (лингвис-
тические правила управления), устанавливающих средствами естест-
венного языка связь между состоянием динамической системы и
управляющим воздействием в САУ. Определение конкретного значе-
ния управляющего воздействия осуществляется путем реализации
процедуры перехода от результирующей функции принадлежности,
описывающей лингвистическую переменную управляющее воздейст-
вие, к конкретному числовому значению. В результате неточность
(нечеткость) описания динамического поведения объекта компенсиру-
ется более высоким по уровню алгоритмом управления благодаря уче-
ту, в том числе, и качественных признаков динамического поведения
объекта управления [5].
Очевидно, что для реализации управления на базе теории нечет-
ких множеств и нечеткой логики необходимо устройство, формирую-
щее управляющие воздействия на объект управления - нечеткий регу-
лятор (регулятор, работающий на базе нечеткой логики).
В некоторых источниках управление на базе теории нечетких
множеств и нечеткой логики рассматривают в контексте методологии
искусственного интеллекта. В работе [6] рассматривается структура
интеллектуальной системы управления с нечетким регулятором. От-
мечается, что основу проектирования интеллектуальных нечетких ре-
гуляторов составляет конструирование знаний с использованием ме-
тодов представления и поиска знаний. Поэтому предлагается создание
нечетких промышленных регуляторов осуществлять на принципах
теории искусственного интеллекта.
В работе [194] нечеткие регуляторы рассматриваются как одна из
базовых моделей регуляторов интеллектуальных систем управления
(наряду с нейронными регуляторами и генетическими алгоритмами).
При этом отмечается, что значительным ограничением практического
применения регуляторов интеллектуальных систем управления явля-
ется отсутствие формальных подходов, присущих теории автоматиче-
ского управления, для решения задач анализа и синтеза систем управ-
ления. Тем не менее отмечается, что нечеткие регуляторы обладают
наибольшими ’’способностями” к формализации процессов проекти-
рования.
14
Раздел 1
Существует подход, в рамках которого, управление на базе тео-
рии нечетких множеств и нечеткой логики не рассматривается в кон-
тексте методологии искусственного интеллекта. В работе [172] отме-
чено, что существует некоторая аналогия между правилами ЕСЛИ-ТО
искусственного интеллекта и нечеткой логикой. Но искусственный
интеллект, отмечается далее, есть процесс обработки символов, а не-
четкая логика - нет. В искусственном интеллекте нейронная сеть есть
совокупность данных и выводов в виде специальных структур. Каж-
дой входной величине назначается относительный, дискретный весо-
вой коэффициент. Взвешенные данные точно определенным способом
формируют сеть для принятия решений. В отличие от этого в нечет-
кой логике весовые функции непрерывно определены на множестве
значений принадлежности. Во многих случаях регулятор на базе не-
четкой логики способен вырабатывать решения быстрее, чем эксперт-
ная система на основе правил ЕСЛИ-ТО.
Между тем, все больший интерес представляет возможность раз-
работки так называемых гибридных интеллектуальных систем управ-
ления [169,170]. В этих системах, именуемых еще нейро-фаззи-
системами, объединены свойства искусственных нейронных сетей к
обучению и наглядность нечеткой логики (фаззи-логики). Характер-
ными особенностями этих систем являются: возможность комбиниро-
вания числовых данных и нечетких знаний, способность к обучению,
возможность интерпретации в качестве нечеткой модели, дополни-
тельная оптимизация описания, которая базируется на правилах с ис-
пользованием данных.
1.2. Функциональная и структурная схемы системы управле-
ния на базе нечеткой логики. Принцип работы нечеткого регуля-
тора. Алгоритмы нечеткого вывода.
Функциональная схема системы автоматического управления на
базе нечеткой логики (системы управления с нечетким регулятором
или системы фаззи-управления) приведена на рис. 1.1.
Схема состоит из устройства сравнения, нечеткого регулятора HP,
объекта управления ОУ и цепи обратной связи.
Нечеткий регулятор (фаззи-регулятор, fuzzy-controller) включает
три основных блока - блок фаззификации (fuzzyfication), блок форми-
рования логического решения (inference) и блок дефаззификации (de-
fuzzyfication).
15
Раздел 1
Рис.1.1
В блоке фаззификации входные лингвистические переменные
/ - 1, п, такие как ошибка системы в, скорость изменения (пер-
вая производная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки
О, качественно характеризуются терм-множествами (лингвистиче-
скими величинами) а', такими как отрицательная (О), отрицатель-
ная средняя (ОС), отрицательно малая (ОМ), нулевая (Н), положи-
тельномалая (ПМ), положительно средняя (ПС), положительная (П),
которые описываются на универсальном множестве U функциями
принадлежности ФП /л(и). ФП определяет степень принадлежности
каждого элемента и множеству U числом между 0 и 1, которое на-
зывают степенью истинности рассматриваемой лингвистической пе-
ременной данному терму. Диапазоны изменения входных перемен-
ных, например, [0min, 0max ], [^min > #max J > l^min^maxL и текущие
значения входных переменных пересчитываются (отображаются) на
единое универсальное множество Vi = [0,£z -1], где Lt - число, со-
ответствующее количеству термов каждой лингвистической перемен-
ной xt, i = \,п, либо на универсальное множество U = [0,1]. Как пра-
вило, количество термов j для каждой лингвистической переменной
выбирается одним и тем же. Таким образом, для каждого текущего
значения входной переменой определяется степень принадлежности
(величина истинности) к тем термам (нечетким подмножествам), ко-
торые характеризуют конкретную лингвистическую переменную. По-
скольку ФП обычно перекрывают друг друга, то для одной и той же
входной переменной несколько ФП могут сообщать различные вели-
чины истинности, отличающиеся от нуля.
16
Раздел 1
В блоке формирования логического решения на основе матрицы
знаний (базы правил) записываются лингвистические правила вида
ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция), которые вместе
обычно называют рабочим правилом. Взаимодействие между вход-
ными и выходными ФП типа ЕСЛИ-TO обозначается как импликация
(логическая связка). Импликация (активизация) - это этап нечеткого
вывода, представляющий собой процедуру нахождения степени ис-
тинности каждого из подзаключений логических правил вида ЕСЛИ-
ТО, которые являются нечеткими лингвистическими высказываниями
в форме лингвистических переменных. Часть ЕСЛИ (предпосылки
или условия) означает сопряжение логических операций, а часть ТО
(решение, вывод, заключение) обычно представляет собой простое
указание лингвистической величины для выходного воздействия
(управляющего воздействия на объект управления) нечеткого регуля-
тора. Соответствующей формулировкой правил достигается результат,
при котором для любой лингвистической величины управляющего
воздействия, как минимум, одно из правил оказывается приемлемым.
Наиболее часто используется “минимаксный” (Max-Min Inference)
метод логического решения, когда вначале ФП части ТО каждого из
правил объединяются с величиной истинности части ЕСЛИ (при этом
ФП части ТО ограничивается величиной истинности части ЕСЛИ -
это “мини”- операция), а затем из ограниченных ФП части ТО путем
взаимного наложения выбирается результирующая ФП с максималь-
ной величиной истинности (“макси”-операция). Эта результирующая
ФП определяет собой текущее воздействие базы правил. Процедура
обработки базы правил с формированием результирующей ФП пред-
ставляет собой логическое решение для расчета выходной величины
HP. Процесс принятия решений на базе нечеткой логики или логиче-
ский нечеткий вывод описан в разделе 2.
Нечеткий вывод занимает центральное место в нечеткой логике и
системах нечеткого управления. Процесс нечеткого вывода представ-
ляет собой некоторую процедуру или алгоритм получения нечетких
заключений на основе нечетких условий или предпосылок с использо-
ванием понятий нечеткой логики. Этот процесс соединяет в себе все
основные концепции теории нечетких множеств: функции принад-
лежности, лингвистические переменные, нечеткие логические опера-
ции, методы нечеткой импликации и нечеткой композиции.
Следует подчеркнуть, что как операцию импликации (логической
связки), так и операцию композиции (свертки) в алгебре нечетких
17
Раздел 1
множеств можно реализовать по разному (при этом итоговый резуль-
тат тоже будет разным), но в любом случае общий логический вывод
осуществляется за следующие четыре этапа [149].
{.Определение нечеткости (фаззификация). Задаются функции
принадлежности на едином универсальном пространстве для термов
входных лингвистических переменных и для конкретных значений
переменных определяются степени истинности каждой предпосылки
каждого правила.
2.	Логический вывод. Вычисленные значения истинности для
предпосылок каждого правила применяются к заключениям (выводам)
каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно ис-
пользуются только операции min (минимум) или prod (умножение). В
логическом выводе min функция принадлежности вывода “отсекает-
ся” по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности
предпосылки правила (нечеткая логика “И”). В логическом выводе
prod функции принадлежности вывода масштабируются вычисленны-
ми величинами произведений степеней истинности предпосылок каж-
дого правила.
3.	Композиция. Полученные нечеткие подмножества (“усеченные
по высоте” функции принадлежности) объединяются вместе для фор-
мирования одного нечеткого подмножества (результирующей функ-
ции принадлежности) для переменной вывода (решения). Для объеди-
нения обычно используются операции max (максимум) или sum (сум-
ма). При композиции max результирующее нечеткое подмножество
конструируется как поточечный максимум по всем полученным не-
четким подмножествам (нечеткая логика “ИЛИ”). При композиции
sum результирующее нечеткое подмножество конструируется как по-
точечная сумма по всем полученным нечетким подмножествам.
4.	Приведение к четкости (дефаззификация). Нечеткий вывод
преобразуется в четкое число.
В блоке дефаззификации полученная результирующая функция
принадлежности для управляющего воздействия на объект управления
преобразуется в числовую величину, как правило, методом определе-
ния “центра тяжести” (Centre of Gravity) плоскости S результирующей
фигуры, лежащей под графиком результирующей ФП. Общее правило
расчета абсциссы центра тяжести sc = S(ucучастка площади,
охватываемой результирующей функцией //c(w) в пределах измене-
18
Раздел 1
ния переменной и от и ~UX rq и - U2. определяется по формуле
[199]	U1 \upc(u)du ис=^2	•	(1-1) fac(u)du Ut
Центр тяжести площади называют центроидом площади. Поэтому
описанный выше метод приведения к четкости называется центроид-
ным (centroid of area). Переменная ис - результат дефаззификации.
Переходя к численному интегрированию по методу трапеций (с
шагом дискретизации w0), запишем формулу (1.1) в виде
(1.2)
где (U2 -Ц)/ М =uQ - шаг дискретизации, М - число дискрет на
интервале (72-Ц, /=1,2,3,..., Л/-1.
В частном случае, когда результирующая ФП является кусочно-
линейной, абсцисса “центра тяжести” определяется как [199]
—	+ (2л* +ак+\)Ьк]
ис =	,	(1.3)
3^ (ак+\ ~ ак X^t+l + ^к )
*=1
где N - число вершин, ак, Ьк -координаты вершин результирующей
фигуры. Полученное значение ис затем преобразуется в значение
управляющего воздействия на объект управления путем обратного
отображения величины ис с единого универсального множества на
диапазон изменения [wmin,wmax] лингвистической переменной управ-
ляющее воздействие на объект т.
19
Раздел 1
Отметим, что метод центра тяжести для одноточечных множеств
(Centre of Gravity for Singletons) рассчитывается по формуле
«с =—п----------•	(1-4)
/=1
где п- число одноточечных (одноэлементных) нечетких множеств,
каждое из которых характеризует единственное значение рассматри-
ваемой выходной лингвистической переменной.
В пакете нечеткой логики (Fuzzy Logic Toolbox) интерактивной
системы MATLAB [149] даны также другие методы приведения к чет-
кости при использовании результирующей функции принадлежности:
наименьший максимум (smallest of max, som), наибольший максимум
(largest of max, lorn), средний максимум (mean of max, mom), бисек-
торный (bisector of area), которые находят, однако, менее широкое
применение. Близкие к центроидному методу результаты дает бисек-
торный метод, в котором четкое значение ис выходной переменной
определяется из уравнения
"с	^2
J//c(w)47w= \juc(u)du	(1.5)
С7,	ис
(биссектриса площади равна абсциссе, которая делит площадь, огра-
ниченную результирующей функцией принадлежности, на две равные
части).
На практике используется несколько алгоритмов нечетого вывода.
Кратко рассмотрим алгоритм Мамдани (предложен в 1975 г. англий-
ским математиком Ebrahim Mamdani [228, 229]), который использует-
ся в интерактивной системе MATLAB, для простоты полагая, что базу
знаний организуют два нечетких правила (по числу термов) вида
Если (щ = Я] ) U (l/2 - ^2) ’ то (ис - ас)>
Если (wj - а\) и (м2 - ^2)» то (ис = асУ
где Uj - текущие значения входных переменных, пересчитанные на
единое универсальное множество, (/ = 1,2), а{ - лингвистические
20
Раздел 1
оценки (терм-множества, названия) входных переменных, например,
а/ е [отрицательная^] = \\положшпельная(] = 2)}. aJc - лин-
гвистическая оценка текущей выходной переменной ис на едином
универсальном множестве.
w* - четкое значение выходной переменной, которое надо опре-
делить на основе приведенной информации и известных четких зна-
чений входных переменных щ	(и) - заданные функции при-
надлежности для переменных (/ = 1,2).
Алгоритм Мамдани математически описывается следующим об-
разом.
1	.Нечеткость (процедура фаззификации - fuzzification)', находятся
степени истинности для предпосылок или условий (входных перемен-
ных) каждого правила:
/Л^Г), А2ОГ), рЧи^), р2(и*2),
где /?(W|), A2(wi) - функции принадлежности для переменной
р* (и2 )> А2 (w2) " Функции принадлежности для переменной •
2	.Нечеткий вывод: находятся уровни “отсечения” (степени ис-
тинности) для предпосылок или условий каждого из правил (процеду-
ра агрегирования - aggregation):
J = //'(«]*) Л/у1 («2 );1
5 = А2(«1‘)л
где через “ л ” обозначена операция логического минимума (min); за-
тем находятся усеченные функции принадлежности для переменной
вывода или заключения - выходной переменной ис (процедура акти-
визации - activation):
Э	Э	I	V 1 • /
/л^(и) = Влр2(ис),
где р\ис), р2(ис) - функции принадлежности для переменной ис.
3	.Композиция (процедура аккумуляции - accumulation): произво-
дится объединение найденных усеченных функций, в результате чего
21
Раздел 1
получаем итоговое нечеткое множество для переменной выхода с ре-
зультирующей функцией принадлежности
/Zc(i/) = ^(«)v/7c2(m),	(1.8)
где через “ v ” обозначена операция логического максимума (max).
4	. Приведение к четкости (процедура дефаззификации - defuzzifi-
cation)'. нахождение четкого значения выходной переменной ис , на-
пример, центроидным методом.
Алгоритм Мамдани, использующий формулы (1.6)-(1.8), называ-
ют “минимаксным ” методом нечеткого вывода. Этот алгоритм наибо-
лее широко используется на практике. Имеется много модификаций
этого алгоритма [47]. Так, в процедуре агрегирования вместо операции
логической конъюнкции (And method, min-операция), определяемой
формулой (1.6), может использоваться алгебраическое произведение
(prod-операция)
Я = /Л"1’)х А^г’)-/
В процедуре активизации кроме операции тт-ялтиывмзбп/ым, оп-
ределяемой формулой (1.7), может использоваться операция prod-
активизации
= (|10)
Мс (“) = В*М~(ис)
или average-активизации
^.(u) = 0.5x[A + ^(uc)],\	.. Jn
A2(W) = O.5x[B + //2(«c.)].J
В процедуре композиции кроме операции логической дизъюнкции
(Or method, max-операции), определяемой формулой (1.8), может
использоваться граничная сумма (sum-операция )
Ис(и) = min {//'(и) + //2(м),1}	(1.12)
или алгебраическая сумма (ргоЬог-операция)
Рс («) =	(«) + Ac (w) - А*- (и) х Ас («)•	(113)
22
Раздел 1
Рассмотрим другой алгоритм, для простоты полагая, что базу зна-
ний организуют два нечетких правила (по числу термов) вида
Если = а\) или (w2 = ^2) > то (ис = ас)»
Если (их = я2) или (и2 = ^2 )’ то (ис = ас)-
Алгоритм описывается следующим образом.
1.	Нечеткость - как в алгоритме Мамдани.
2.	Нечеткий вывод', находятся уровни “отсечения” (степени ис-
тинности) для предпосылок или условий каждого из правил (проце-
дура агрегирования}'.
= (114)
В = д2(», )v ц (и2),
где через “v” обозначена операция логического максимума (max);
затем находятся усеченные функции принадлежности для переменной
вывода или заключения - выходной переменной ис (процедура min-
активизации по формуле (1.7) как в алгоритме Мамдани или prod-
активизации по формуле (1.10)).
3.	Композиция', результирующая функция принадлежности опре-
деляется как в алгоритме Мамдани по формуле (1.8).
4.	Приведение к четкости', находятся границы z/cmaxl и wcmax2
наибольшего из максимумов тах[А,В] результирующей функции
принадлежности и определяется четкое значение выходной перемен-
ной ис методом среднего максимума (mean of max, mom):
M‘ = ^maxl + »<-max2	(1 J5)
Отметим, что в процедуре агрегирования вместо операции логи-
ческой дизъюнкции (Or method, max-операции), определяемой фор-
мулой (1.14), может использоваться алгебраическая сумма (probor-
операция):
Л = //(г/]*)+ а’(»2)-А1(^Г)х^1(«з)Л	(1 16)
5=A2(W]*)+ А2(^г)- А2 («Г )х^2(«2)-/
В алгоритме Сугено (Sugeno [231]) 0-го порядка в интерактивной
системе MATLAB используется набор правил в следующей форме
23
Раздел 1
Если (их = а{) и (и2 ~а\),то (ис — Cj);
Если	= а^) и (w2 = ^2 ) ’ то (ис ~ с2) ’
где Су и с2 - четкие значения индивидуальных выводов или заклю-
чений правил (некоторые действительные числа).
Алгоритм описывается следующим образом.
1.	Нечеткость - как в алгоритме Мамдани.
2.	Нечеткий вывод: находятся уровни “отсечения” (степени ис-
тинности) для предпосылок или условий каждого из правил:
А =а'(мГ)а /Ама)!	(1 17)
=^2(иГ)л А2(й2)/’
где через “ л ” обозначена операция логического минимума (min); но
далее определяются индивидуальные выводы правил:
"cl = ис2 = с2-
(1.18)
3.	Приведение к четкости: четкое значение переменной выхода
определяется по формуле
♦	^\ис\ + А2ис2
1Л р
я, + а2
2
/=1____
2
Ел
/=1
(М9)
где Cj - четкие значения индивидуальных выводов или заключений
правил (некоторые действительные числа), а - степени истинности
для предпосылок или условий каждого из правил, т.е. используется
модифицированный вариант в форме метода центра тяжести для од-
ноточечных множеств (1.4).
При дефаззификации в алгоритме нечеткого вывода Сугено кроме
метода взвешенного среднего wtaver (weighted average), определяемо-
го формулами (1.4) или (1.19), может использоваться метод взвешен-
ной суммы wtsum (weighted sum).
Отметим, что в процедуре агрегирования вместо операции логи-
ческой конъюнкции (And method, min-операция), определяемой фор-
мулой (1.17), может использоваться алгебраическое произведение
(prod-операция)
24
Раздел 1
(1.20)
А = а'(«‘)х ^’(«2);
Л2 =//2(«i*)x ц2(и*2).
В алгоритме Сугено (Sugeno) 1-го порядка используется набор
правил в следующей форме
Если (щ = а}) и (и2 = ^2)’ то (ис ~ а\и\ +Ь}и2 + q);
Если (wj = fl]2) и (и2 = ^2)’ то (ис “ Д2П1 +Ь2и2 + с2),
а индивидуальные выводы или заключения правил определяются как
ис\ = а\и*\ +Ь\“2 +СИ
1/^7 —	+ b'>U2 + С'у.
Здесь - некоторые весовые коэффициенты.
В алгоритме нечеткого вывода Мамдани основными этапами яв-
ляются формирование базы правил, фаззификация входных перемен-
ных, агрегирование подусловий в нечетких правилах, активизация
подзаключений и аккумуляция (композиция) заключений нечетких
правил. В алгоритме нечеткого вывода Сугено аккумуляция фактиче-
ски отсутствует, поскольку расчеты осуществляются с обычными дей-
ствительными числами.
К настоящему времени предложено несколько других алгоритмов
нечеткого вывода. Так, в работе [163] описаны алгоритмы нечеткого
вывода Цукамото (Tsukamoto) и Ларсена (Larsen). Однако в большин-
стве практических случаев вполне достаточно использовать только
алгоритмы нечеткого вывода Мамдани или Сугено [230].
Нечеткий регулятор HP практически реализуется на микроЭВМ
(или микропроцессоре) и работает в дискретном режиме, поэтому сис-
тема автоматического управления с нечетким регулятором содержит
устройства сопряжения микроЭВМ с объектом управления - аналого-
цифровой преобразователь АЦП и цифроаналоговый преобразователь
ЦАП (см. рис. 1.2, на котором представлена структурная схема систе-
мы управления с нечетким регулятором).
АЦП квантует непрерывную ошибку 0(t) = u(t) -x(f) с шагом
квантования h. В качестве первой и второй производных от ошибки
обычно вычисляют первую и вторую разность по формулам:
25
Раздел 1
0(к) = [0(к) - 0(к -1)]/h = [0(£) - 20(£ -1) + 0(к - 2)]/h1,
где 0(к) - квантованная ошибка на выходе АЦП. ЦАП представляет
собой, как правило, фиксатор нулевого порядка с передаточной функ-
цией //(s) = (1-e-/w)/s .
Фиксатор Объект
Рис.1.2
Отметим некоторые особенности нечеткого регулятора. HP рабо-
тает в дискретном режиме, поэтому на каждом шаге квантования h он
должен выполнить все необходимые вычисления. HP обрабатывает
все входные переменные, поэтому на него можно подавать дополни-
тельные переменные, характеризующие процессы в объекте управле-
ния, и тем самым обеспечивать более широкое воздействие на дина-
мику управления. Система с HP обычно устойчива в отношении изме-
нений параметров объекта управления, что связано с нечеткой приро-
дой правил функционирования. Традиционные методы описания ре-
гуляторов, например, при помощи передаточных функций, для HP не
подходят и не требуются. HP является нелинейным и его особенно-
стью является отсутствие динамики в самом HP. Отсутствие “памяти”
и процедура проектирования, а также словесное описание процесса
управления, характеризующееся лингвистическими правилами, явля-
ются главными особенностями HP.
Нечеткие регуляторы реализуются на практике, как правило, в
форме программного обеспечения высокого уровня, например
“Pascal”, что обеспечивает большую гибкость при их настройке. При
этом по результатам моделирования и испытаний системы управле-
ния, содержащей нечеткий регулятор в замкнутом контуре, можно из-
менять количественные диапазоны лингвистических переменных,
26
Раздел 1
функции принадлежности и модифицировать базу правил с целью по-
лучения требуемого качества управления.
Нечеткие регуляторы представляют интерес в первую очередь для
управления объектами, которые или не поддаются, или поддаются с
большими трудностями формализованному описанию, но даже при-
менительно к управлению объектами, для которых получены матема-
тические модели, эти регуляторы часто предпочтительнее других, так
как позволяют получить более высокое качество (меньшие ошибки в
переходных и установившихся режимах) систем автоматического
управления.
Поскольку алгоритмы управления на базе нечеткой логики могут
быть реализованы только с использованием ЭВМ, то система автома-
тического управления с нечетким регулятором является цифровой.
Важнейшей характеристикой цифровой системы управления является
шаг квантования мгновенного ключа h (интервал дискретизации ана-
логового сигнала). Значение h во многом определяет значения других
параметров цифровой системы автоматического управления, в частно-
сти, параметров традиционных цифровых регуляторов. Поэтому при
проектировании систем управления с нечеткими регуляторами необ-
ходимо уделять внимание выбору значения шага квантования h .
При формировании структурных схем систем управления с нечет-
кими регуляторами важным представляется выбор входных парамет-
ров нечеткого регулятора. Лингвистические правила управления сами
по себе не могут быть реализованы на современных ЭВМ. Необходи-
ма процедура их формализации. В связи с этим очень важной является
задача выбора метода формализации экспертных знаний. Поскольку
нечеткие множества формализуются посредством функций принад-
лежности важную роль играет выбор их вида и параметров. При реа-
лизации нечеткого управления в современных ЭВМ необходимо зада-
вать конкретные значения параметров функций принадлежности, в
первую очередь пределы их изменения. Поэтому важна методика па-
раметрической настройки нечеткого регулятора.
27
Раздел 2
Раздел 2.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
НА БАЗЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
2.1. Процесс принятия решения в системе с одним выходным
и п входными параметрами
Основным понятием нечеткой логики является нечеткое множест-
во. Пусть X = {х} - универсальное множество, т.е. полное множест-
во, охватывающее всю проблемную область. Нечеткое множество
А cz X , по определению, представляет собой набор пар {(х,//л(х))},
где хеХ и /лА : X [0,1] - функция принадлежности, которая
представляет собой некоторую субъективную меру соответствия эле-
мента х нечеткому множеству А [7, 188].
/лА(х) может принимать значения от нуля, который обозначает
абсолютную непринадлежность, до единицы, которая говорит об аб-
солютной принадлежности элемента х нечеткому множеству А.
Иногда удобно рассматривать значение как степень совмести-
мости элемента х с нечетким понятием, представленным нечетким
множеством А.
Часто нечеткое множество А cz X и его функцию принадлежно-
сти рассматривают как взаимозаменяемые понятия.
Если множество [0,1] заменить {0,1}, то функция принадлежности
представляет собой характеристическую функцию обыкновенного (не
нечеткого) множества.
Если нечеткое множество А определено на конечном универ-
сальном множестве X = {х1,х2,...,хл}, то его удобно обозначать сле-
дующим образом:
п
A = ^A(xl)/xl +jua(x2)/x2 +... + ^(xn)/xn='^ju',(xi)/xi,
/=1
где )ЛА(х/)/х/. - пара «функция принадлежности / элемент», называе-
мая «синглтоном» , а «+» обозначает совокупность пар.
28
Раздел 2
В случае непрерывного множества X используется следующее
обозначение:
А = ^А(х)/х.
X
Знак J обозначает здесь совокупность пар ц А{х)/х .
Отметим основные свойства нечетких множеств:
1.	Нечеткое множество А cz X пустое, т.е. А = 0, если
//(x) = 0,Vxg %.
2.	Нечеткие множества А и В X эквивалентны, т.е. А = В,
если /?(x) = //(x),Vxg
3.	Нечеткое множество A cz X является подмножеством нечетко-
го множества В <z X , т.е. А cz В , если /лА(х) < /Z(x), Vx g X.
Наиболее распространенные операции над нечеткими множества-
ми, которые будут использованы в дальнейшем, следующие.
1.	Дополнением нечеткого множества А называется нечеткое
множество —। А, функция принадлежности которого равна:
//^(x) = 1-//\x),Vxg X,
2.	Пересечением двух нечетких множеств А и В cz X называет-
ся нечеткое множество А п В , функция принадлежности которого
равна:
//^(x) = /(x)a/(x),Vxg/,
где Л - знак операции минимума.
3.	Объединением двух нечетких множеств А и В cz X называет-
ся нечеткое множество A U В , функция принадлежности которого
равна:
= //(х) v /Z(x), Vx G X ,
где v- знак операции максимума.
Рассмотрим процесс принятия решения в системе с одним выход-
ным параметром (решением, выводом или следствием) и п входными
параметрами (причинами или условиями). Введем основные форма-
лизмы для определения матрицы нечетких баз знаний (носителя экс-
пертной информации, на базе которой разрабатываются модели и ал-
горитмы для принятия решения). Идея, лежащая в основе формализа-
29
Раздел 2
ции причинно-следственных связей между параметрами (переменны-
ми входы - выход), состоит в описании этих связей на естественном
языке с применением теории нечетких множеств и лингвистических
переменных [188, 189].
Обозначим: d - выходной параметр, х],х1,...,хп - входные пара-
метры. Очевидно, что
d = fd(xi,x2,...,xn),	(2.1)
где fd - некоторая функция, устанавливающая связь между перемен-
ными xi и d , причем выходной и входные параметры (переменные)
могут быть как количественные, так и качественные.
Области изменения количественных параметров определим в виде
диапазонов:
Ц = DwJ, i = 1л ;	(2.2)
= НХЬ	(2.3)
где xHj (хв/) - нижнее (верхнее) значение входного параметра (пере-
менной) X', dH(de) - нижнее (верхнее) значение выходного параметра
(переменной) d .
Дискретные множества всех возможных значений качественных
параметров (переменных ) определим так:
(7, = {v,',v,2,...,v,(2.4)
W = {w',w2	,}	(2.5)
где v.(v/’)- бальная оценка, соответствующая наименьшему (наи-
большему) значению входного параметра х,; и’|(и'’")- бальная оцен-
ка, соответствующая наименьшему (наибольшему) значению выход-
ного параметра d; qt, i = \,п и qm- так называемые мощности мно-
жеств (2.4) и (2.5).
Допустим, что %* = х',Х1,...х„ - вектор конкретных (фиксиро-
ванных) входных параметров (переменных), где х* G Ц, i = \,п. За-
дача принятия решения состоит в том, чтобы на основе информации о
векторе X* = х^х^.-.х*, определить решение (вывод) d* eW. Необ-
30
Раздел 2
ходимым условием решения такой задачи является наличие зависимо-
сти (2.1). Допустим, что входные и выходной параметры представля-
ют собой лингвистические переменные, заданные на универсальных
множествах (2.2), (2.3) или (2.4), (2.5). Лингвистической переменной
(ЛП) называется переменная, значениями которой являются слова или
предложения естественного языка, т.е. качественные термы (терм - от
англ. Term - называть). Используя понятие функции принадлежности
(ФП), каждый из лингвистических термов можно формализовать в
виде нечеткого множества, заданного на соответствующем универса-
льном множестве.
Для оценки лингвистических переменных будем использовать ка-
чественные термы из следующих терм-множеств:
Д = {<7/1,б7/2,...,б7/А'} - терм-множество переменной xtJ = \,n;
D - {d^d2,...,dm} - терм-множество переменной d ,
где а? - р -ый лингвистический терм параметра x.t =	= !,/?;
dj -у-ый лингвистический терм параметра (переменной) d,
совпадающий с названием j -го решения; m - число различных реше-
ний. Мощности терм-множеств Д в общем случае различны. Назва-
ния отдельных термов	af1 могут также отличаться друг от
друга для различных лингвистических переменных. Например, лин-
гвистические переменные скорость характеризуется термами {низкая,
средняя, высокая, очень высокая}, частота характеризуется термами
{замедленная, нормальная, ускоренная}.
Лингвистические термы а? е А, и dj p = \,Ljy i = \,n,
j = \,m рассматриваем как нечеткие множества, заданные на уни-
версальных множествах, определяемых соотношениями (2.2)-(2.5).
В случае количественных параметров (переменных) xl9i = \9n и
d нечеткие множества а? е At и dj G D определим соотношения-
ми:
< =	(2-6)
31
Раздел 2
<4
J. = ]nJ’(dyd,	(2.7)
d„
гд$ p°' (x,) - функция принадлежности значения входного параметра
х, е[хн/,хв/] терму а? Ц, р = \,Lt, i = 1,и, a pJ(dy функ-
ция принадлежности значения выходного параметра d е \dH, de ] тер-
му-решению d. е D, j - 1,/w .
В случае качественных параметров xtJ -\,п и d нечеткие мно-
жества a? G Я, и dj g D определим соотношениями:
я,
(2-8>
*=!
dj = ^j/dd'{wr)lwr,	(2.9)
r = l
где ра‘(ук) - степень принадлежности элемента vkieUi терму
a?eAl9 p = \,Li9 i-\9n, к~\,ду //y(wr)-степень принадлеж-
ности элемента wr е W терму-решению dj g D, j = 1, т.
Отметим, что знаки интеграла и суммы в соотношениях (2.6)-(2.9)
обозначают не что иное, как объединение пар вида р(и)/и .
Этап, на котором определяются лингвистические оценки пере-
менных и их функции принадлежности называют фаззификацией
Рассмотрим N = кх + кэ +... + кт ситуаций (условий или экспери-
ментальных данных), где к} - число ситуаций (условий) с решением
dj eD, j = l,?w, m - число решений. Пронумеруем ситуации (ус-
ловия) следующим образом:
11, 12,..., l£j - номера ситуаций (комбинаций входных перемен-
ных) с решением dx;
21, 22,..., 2к2 - номера ситуаций с решением d2;
32
Раздел 2
jl, j‘2,..., jkj - номера ситуаций с решением dj\
ml, m2,..., ткт - номера ситуаций с решением dm .
Сформируем таблицу - матрицу знаний, используя следующие
правила:
1.	Размерность матрицы (и -I- 1)х N , где (п -1-1) - число столбцов,
N - число строк.
2.	Первые п -столбцов матрицы соответствуют входным парамет-
рам (переменным) xi,i-\,n, а (п +1)-ый столбец - решениям (зна-
чениям выходной переменной) dj , j - l,m.
3.	Первые к} строк соответствуют решению d{, вторые к2 строк
- решению d2, ...., последние кт строк - решению dm. Таким обра-
зом, каждая строка матрицы представляет некоторую комбинацию
значений входных переменных, отнесенную экспертом к одному из
возможных решений ( к одному из возможных значений выходной
переменной).
4.	Элемент aJP, стоящий на пересечении / -го столбца и jp -й
строки соответствует лингвистической оценке параметра х.,/ = \,п в
ситуации с номером jp , j = l,m, р = 1. При этом лингвистиче-
ские оценки а-р выбираются из терм-множества переменной xt, оп-
ределенного выше, т.е. ajp е	.
Полученная матрица знаний определяет систему логических
высказываний типа если-mo, иначе, связывающих значения входных
параметров (переменных) х{, i~ 1, п с одним из решений d. ,
J = l,m, а именно:
Если (Xj = aj1) и (х2 = а2’ )•••« (х„ = ^) «л"
(X] = а,2)«(х2 = а12)...и(хп = а'2)или...
(X] = а'*1) и (х2 = а2*' )... и (х„ = а*'), то d = d}, иначе
Если (х, = а,21) и (х2 =	1)..-U21 )йлй
33
Раздел 2
(х, = а22)и(х2 = а22)...и(хл = а22)или...
(х, = а2*2)«(х2 = а2*2)...«(хп - а2кг ),mod = d2, иначе
Если(х{ = а”')и(х, = а2')...и(хл = ал')или
(х, = а”2)и(х2 =а22)...и(х„ = ал2)или...
(х, = а”к” ) «(х2 = а2к" )...и(хп = алк" ),то d = d„.
С использованием символов операций U (или) и П (и) записанная
система высказываний может быть переписана в компактной форме:
kj п
j = \,m.	(2.10)
р=\	/=|
Таким образом, искомое соотношение (2.1) , устанавливающее
связь между входными (ситуациями, условиями) и выходным (реше-
нием) параметрами (переменными) формализовано в виде системы
нечетких логических высказываний (2.10), которая базируется на
матрице знаний. Систему нечетких логических высказываний (2.10)
называют нечеткой базой знаний.
Рассмотрим метод разработки алгоритма принятия решения, по-
зволяющий фиксированному вектору количественных входных пара-
метров (переменных)X* = JxI\x2,...x* , х* e[xw.,xeJ поставить в со-
ответствие решение d е D, когда считаются известными: а) множест-
во решений D - {d{,d2,...dm}; б) множество входных параметров (пе-
ременных) X = {х15х2,...хл} ; в) диапазоны количественного измене-
ния каждого параметра (переменной) [хнРхв/], / = 1,л; г) функции
принадлежностей, позволяющие представить параметры х/5/ = 1,и в
виде нечетких множеств (2.6); д) матрица знаний.
Лингвистические оценки aJP, j = 1, т, параметров (переменных)
X;,i-\,n , входящих в логические высказывания о решениях (2.10)
рассматриваем как нечеткие множества, определенные на универсаль-
ных множествах Ui = [хш,хв/], i = 1,и.
34
Раздел 2
Пусть /ла' (х.)	- функция принадлежности параметра
х. G [хш>хв/] нечеткому терму ajp, a (X) -зависящая от п пере-
менных функция принадлежности вектора входных параметров (пе-
ременных) X - Xj ,x2,...xw решению dpj = \ym. Связь между эти-
ми функциями определяется рассмотренной выше нечеткой базой
знаний и может быть представлена в виде нечетких логических урав-
нений:
S' (%) =	(X, ) Л	(х2 ) Л... Л р°" (хп) V
V //°1'2 (х,) Л S' (х2) Л... Л /Л (х„ ) V ...
... V //'' (х,) Л //' (х2) Л... Л р°"' (х„),
(%) =	' (X, ) Л //”' (х2 ) Л... Л /Л"’ (Х„ ) V
V /Г'”’ (х,) Л /S' (х2) л... л /S (х„ ) V ...
ткт
-V ц 1	(Х1)л/у 2 (х2)л...л// " (х„),
где л - логическое и, v - логическое или.
Эти уравнения получены из логических высказываний (нечеткой
базы знаний) путем замены лингвистических термов aJP и dj соот-
ветствующими функциями принадлежности, а операций П (и) и
U (или) на операции л и v. В общем виде систему нечетких логиче-
ских уравнений можно записать как
v[A^(xz)],; = i^.	(2.11)
р=\ /=1
Принятие конкретного решения d' е D можно осуществить* та-
ким образом. 1.При фиксированных значениях входных параметров
X* = 'х* ,х2,...х*п задать функции принадлежности нечетких термов и
определить значения этих функций. 2. Пользуясь логическими урав-
35
Раздел 2
нениями (2.11), вычислить значения многомерных функций принад-
лежности /л1 (X*) для всех решений d .,j = \,т. 3. Логические опе-
рации л и v над функциями принадлежностей заменить соответст-
венно на операции min и max согласно следующим выражениям:
/'(а) л p(b) = min[//(a), //(&)];
ц(а) v = max[//(a),//(^)]-
4. Определить решение d" е D, для которого
/''СГ)=тах[/'(*’)]•
j = l, т
Изложенный алгоритм принятия решения использует идентифи-
кацию лингвистического терма по максимуму функции принадлежно-
сти и реализуется на матрице значений функции принадлежности, по-
лученной из матрицы знаний, путем выполнения операций min и max.
Матричная реализация алгоритма принятия решения имеет следую-
щий вид:
//"(х,) //"(х2)
а'2(^) ^|2(*2)
//'(x„)}min
Al2(^)}min

Утах
/A(x„)}min
Утах
A1*1 (x„)}min
Утах.
/А*,) /А(х2)
^(х,) /Г2(х2)
^(х2)
. //w^(xn)|min
Рассмотрим метод разработки алгоритма принятия решения, по-
зволяющий фиксированному множеству качественных оценок вход-
ных параметров (я*,...,я*), а* G A.t = {а\,а^}, поставить в со-
ответствие решение d е D , когда считаются известными: а) множе-
ство решений D = {d^d2,...dm}; б) функции принадлежности, позво-
ляющие представить каждое решение d^j -\,т в виде нечеткого
36
Раздел 2
множества (2.9); в) множество входных параметров X - {Xj,х2,...хп};
г) множества лингвистических термов для качественной оценки пара-
метров х,, , т.е. At - {я,1	}, / = 1,л; д) функции принадлеж-
ности, позволяющие представить качественные термы параметров
х i = 1,п в виде нечетких множеств (2.8); е) матрица знаний.
Рассмотрим на матрице знаний строку с номером j\, которой со-
ответствует нечеткое логическое высказывание
Если (X] = а/1) и (х2 = а2 ).,.и (хп = а„ \то d -	, (2.12)
где а'х cU,, i - \,п, d j tW и W - универсальные множества,
определяемые соотношениями (2.4) (2.5)). Высказывание (2.12) можно
представить в виде системы и элементарных высказываний
Если (Xj - а{х), то d = d.
и
Если (х2 = а2 \ то d = d/	(2.13)
и....
Если (хп- а„ ), то d = d},
которой соответствует система нечетких отношений
cz х W,
Rx^=a2xdj9 Rx clU2xW,	(2.14)
R =a^dif Rx aUxfV,
n J 7 x n	n 7
где декартово произведение обычных множеств Ut п IV определяется
как
U,xlV = {(v*9wr), v* <=L/i9 wreiv},
к = l,q{, г - 1, qm, i - 1, n . (qt и qm - мощности множеств Ut и И7).
Декартово произведение нечетких множеств а/1 и d} определя-
ется как
37
Раздел 2
где степени принадлежностей определяются по формулам (2.8) и (2.9).
В соответствии с композиционным правилом вывода каждое от-
ношение из (2.14) позволяет оценивать нечеткое множество dj a W ,
интерпретируемое в терминах вывода (решения) d. G D, а именно:
dj=x\ °(ai'
dj =x2o(aJ2' xdj),
....................................... (2.15)
dj =x„o(aJ„}xdj\
где ° - операция нечеткой композиции.
Объединяя, согласно (2.13), все соотношения в (2.15) операцией
А (и), получим формулу для одной строки матрицы знаний с номером
/1:
dj=n[-v, °(а/' *dj)]-	(2.16)
/=1
Выпишем аналогичные формулы для строк с номерами
dj =	°(°/2 *dj )1 ’ • • dj = П(х’ °(а<к’ хdi >1 •	(2-17)
1=1	/=1
Поскольку в системе нечетких логических высказываний (2.10)
различные строки, соответствующие решению dе D, объединены
операцией Щяли), то соотношения (2.16), (2.17) также следует объе-
динить этой операцией и записать единое соотношение
di=UO ° (а‘р х dj )]> •	<2-18)
pH /~1
Это соотношение позволяет вычислять нечеткое множество
djtzW на основе информации, содержащейся в строках матрицы
знаний с номерами /1,/2,...,Ду.
Поскольку искомое нечетное множество - решение d представ-
ляет собой объединение операцией (J (или) различных решений
38
Раздел 2
d^j = ],т, т.е. d = d, U<^3	то с учетом выражения (2.18)
получим
m к j п
^ = U	•	(219)
J=\	р=\	/=1
Полученное соотношение (2.19) позволяет оценить нечеткое мно-
жество d, которое должно быть интерпретировано в терминах одного
из решений d., j - 1, т.
Пусть конкретные входные параметры оцениваются лингвистиче-
скими термами (нечеткими множествами) jq = а*,...,хп = а*, задан-
ными на универсумах	. Тогда, согласно (2.19), решением бу-
дет нечеткое множество d*, заданное на универсуме И7 и вычисляе-
мое по формуле
d' =0
;=1 ра /-1
Сформируем модифицированную матрицу знаний, в которой
а? - нечеткое множество, соответствующее лингвистической оценке
параметра xt в ситуации с номером р, a dp- нечеткое множество-
решение для р -ой ситуации (ар с: U , dp с W , / = 1,п, р = 1, N ).
Для этого перенумеруем строки матрицы знаний номерами 1,2,...N,
учитывая, что число ситуаций (условий) N = к} + к^ + ... + кт .
Тогда, в соответствии с (2.19), расчет нечеткого множества-
решения на основе модифицированной матрицы знаний можно произ-
вести по формуле:
</=йпх<о(а/'хб/р)ь <2-2°)
р=\ i=l
При этом модифицированная матрица знаний имеет следующий
вид:
39
Раздел 2
Номера ситуаций 1 2	Входные параметры			Решение d d' d2
	х, = а\ X, = af	...	х, = а'	... ...	xt - а2	...	ХП=“'п Хп = а2	
Р	х, = а[‘	... х, = ар ...	Х„ = ап	dp
N	х, = а?	.V ... х{=а{	Х„ = а'	d'
Соотношения (2.19)		и (2.20) позволяют	на основе информации,	
содержащейся в матрице знаний или в модифицированной матрице
знаний, выводить нечеткие множества - решения для текущих лин-
гвистических оценок входных параметров.
Нечеткое множество - решение сГ cz W , полученное в результате
логического вывода из матрицы знаний при фиксированных нечет-
ких оценках входных параметров х, -a* cUv....xn = a*naUn, не-
обходимо интерпретировать в терминах одного из решений dj е D,
j = l,?w .В соответствии с (2.9) каждое решение dj g D представля-
ет собой нечеткое множество dj =	)/	. Аналогично,
r = l
нечеткое множество d’ cz IV выражается как d’
= p(d* у’)/ wr.
г = 1
Для интерпретации нечеткого множества d* с W необходимо найти
нечеткое множество dj g D = {dx,d2,...dm}, являющееся ближайшим
к нечеткому множеству d* с: IV. Решить эту задачу можно следую-
щим образом. Вычислить расстояние Хемминга между d f nd*, ко-
торое определяется как
\(dj,d*) = ^p(d*,wr)-p(dj,wr) для
40
Раздел 2
всех / = 1,2,...,/и и выбрать такое d} D, для которого
Д(^ ,<7*) = min[A(t/ ,<7*)]. Найденному нечеткому множеству
J	j=\.m J
dj e D и будет соответствовать искомое решение.
В тех случаях, когда среди множества входных параметров,
влияющих на решение, имеются как количественные, так и качествен-
ные, можно указать два пути принятия решения: 1. Преобразовать все
количественные входные параметры в качественные и применить ал-
горитм нечеткого логического вывода (см. выражения (2.12)-(2.20)).
При этом качественные термы, соответствующие фиксированным
значениям качественных входных параметров, надо выбирать по
принципу максимума функций принадлежностей. 2. Преобразовать
все качественные входные параметры в количественные и применить
алгоритм нечетких логических уравнений (см. выражение (2.11)). При
этом количественное измерение качественных параметров обеспечи-
вается за счет введения искусственных шкал универсальных множеств
типа (2.4), (2.5). Алгоритм нечетких логических уравнений менее тру-
доемкий с вычислительной точки зрения (не надо выполнять операции
нечеткого декартова произведения и хранить в памяти компьютера
соответствующие матрицы) и не требует интерпретации результатов
нечеткого логического вывода, но для применения этого алгоритма
входные параметры должны быть количественные.
Заканчивая рассмотрение вопроса формализации процесса приня-
тия решений на базе нечеткой логики, отметим следующее. Представ-
ление входных параметров в виде лингвистических переменных с не-
четкими термами позволяет описать причинно-следственные связи
“входные параметры - решение” на естественном языке с помощью не-
четких логических высказываний. Введение матрицы знаний позволя-
ет формализовать ситуационную информацию в виде нечетких логиче-
ских высказываний, связывающих лингвистические временные реше-
ний и входных параметров. Переход от матрицы знаний к нечетким
логическим уравнениям позволяет связать функции принадлежностей
решений и входных параметров, а затем выбрать решение с наиболь-
шим значением функции принадлежности для конкретного набора ко-
личественных входных параметров. Переход от матрицы знаний к
41
Раздел 2
композиционному правилу вывода, обобщенному на случай многих
входных переменных, позволяет получить нечеткое множество-
решение для конкретного набора качественных входных параметров.
Для применения рассмотренных алгоритмов необходимо иметь
функции принадлежностей (ФП), позволяющие представлять входные
параметры в виде нечетких множеств. Рассмотрим задачу построения
ФП при наличии следующих исходных данных: 1. название входного
параметра х,,/ = 1,и; 2. диапазон [хн/.,хв/] изменения параметра х,.;
3. количество термов, используемых для лингвистической оценки па-
раметра х; ; 4. название каждого лингвистического терма. При по-
строении ФП надо учитывать вид входных параметров (количествен-
ные или качественные) и количество термов, используемое для лин-
гвистической оценки входных параметров (одинаковое или различ-
ное).
Рассмотрим построение ФП для количественных входных пара-
метров при одинаковом числе термов, с помощью которых оценива-
ются все лингвистические переменные х,,/ = 1,л. Отметим, что
функция принадлежности ФП /лт(и) характеризует субъективную
меру уверенности эксперта в том, что четкое значение и соответству-
ет нечеткому терму Т. Предположим, что число термов равно 5 и они
имеют названия: низкий (Н), ниже среднего (НС), средний (С), выше
среднего (ВС), высокий (В).
Отобразим диапазоны [хм/,хв/] изменения параметров xi9i = \^n
на единое универсальное множество U = [0,1] (см. рис.2.1).
При этом пересчет фиксированного значения параметра
х* e[xw-,xe/] в соответствующий элемент w* е [0,1] определяется
пропорцией
(Хв1~хН1)/(1-0) = (х*-xHi)/(u* -0),
из которой получаем
w — (Ху — xHj) /(xg/- — xf/j).	(2.21)
42
Раздел 2
Рис.2.1
Например, на множестве U = [0,1] зададим пять нечетких под-
множеств, ФП которых показаны на рис.2.2.
Для получения аналитических выражений предложенных ФП
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки с коор-
динатами (Wp/y,) и (и2,//2), которое имеет вид:
A(w) = [(^2 - А)“ + Ам2 - ^2М1 ](м2 - М1) •	(2.22)
В соответствии с рис.2.2 получим следующие ФП /Л (и),
и е U = [0,1], Т = Н, НС, С, ВС, В:
Л) =
1-2и, и е [0,1 /4];
“ 2(l-w)/3, и е [1/4,1];
43
Раздел 2
MHCW=
' l/2 + 2u, w с [0,1/4];
•3/2-2u, и е [1/4,1/2];//c(u) =
[	1-u, ue[l/2,l];
2w, we [0,1/2];
2(1-u), и e[1/2,1];
и, ие[0,1/2];
1лвс(и) = \2и-\12, we[l/2,3/4]; //B(u) =
5/2-2w, «€[3/4,1];
2w/3, «€[03/4];
' 2«-l, u& [3/4,1].
Переход от полученных ФП juT(u) к ФП /ДхД используемым в
нечетких логических уравнениях (см. формулу (2.11)), определяется
соотношением (2.21).
Для настройки введенных ФП на экспертные данные можно поль-
зоваться операцией возведения в степень: [/z(w)]c, где показатель
степени определяет изменение формы ФП (см. рис.2.3).
Применение операций сжатия и растяжения можно осуществлять
для каждого отрезка ФП на рис.2.2. Коэффициент с называют коэф-
фициентом относительной важности.
При различном числе термов ФП аппроксимируют обычно тре-
угольниками, которые можно строить по следующим правилам (см.
рис.2.4):
1.	Основанием треугольника является универсальное множество
(интервал) Ut = [0, Li -1], где Li - целое число, соответствующее
количеству термов лингвистической переменной , i = 1, л;
44
Раздел 2
2.	Термы нумеруются целыми числами от 1 до £;
3.	Вершина треугольника соответствует номеру лингвистического
терма (интерпретация номера терма может быть различной в зависи-
мости от специфики лингвистической переменной).
Диапазон [хм/,хв/] изменения параметра xi отображают на мно-
жество (/,. = [0, Д -1] , которое считают универсальным множеством
переменной xt. Пересчет фиксированного значения x*e[xHi,xJ в
соответствующий элемент и* е[0, Lt -1] определяется пропорцией
- xHi)/(£, -1) = (х* - xHi )/и',
из которой получаем
<=(L1-l)(x;-x,,)/(xeI.-xJ.	(2.23)
ФП jdJ (и) нечеткого терма с номером j (см. рис.2.4) определя-
ется прямыми линиями, которые проходят через точки с координата-
ми:
[0,1] и [£,.-1,0] при we[0, £,.-1] для у=1;
[0,0] и [у -1,1] при we[0, j-1] и
45
Раздел 2
A7(w) = -
[/ -1,1] и [Д -1,0] при и g [/ -1, Д -1] для J = 2, Д -1;
[0,0] и [Д -1,1] при и е [0, Д -1] для j = L,.
Используя уравнение прямой (2.22), проходящей через две точки
с известными координатами, получим:
1 -м/(Л,-1),м е [0, £, -1],; = 1;
w/(j-l),we[0, ]-1],/ = 2,Д-1;
(Д -1-м)/(Д - j),u е[/-1, Д-1],./ = 2,Д -Г;
w/(A,-l),we[0, Д-1],у = Д.
Например, при числе термов £,=7 по формулам (2.23), (2.24) по-
лучаем следующие аналитические выражения:
и' = 6(х/-х,„.)/(х„ -хшУ,
щ(и) = ] - и/6, we [0,6];
Х/2(м) = '
w, и е [0,1],
(6-w)/5, we [1,6];
и/2, we[0,2],
(6-w)/4, we [2,6];
А4(") =
и /3, we [0,3],
(6-w)/3, we[3,6];
//5(w) = <
w/4, we[0,4],
(6-w)/2, we [4,6];
//3(и) = -
^б(м) = Ъ	rc,, //7(w) = w/6, we[0,6].
[6-w, mg [5,6];
Получаемые из соотношения (2.24) аналитические выражения
функций принадлежностей закладываются в оболочку нечеткой экс-
пертной системы для выполнения задач принятия решения.
Наиболее часто используются две треугольные, симметричные
относительно абсциссы и - 0,5 на едином универсальном множестве
U = [0,1] функции принадлежности, математическое описание кото-
рых задается в виде:
^](w) = (1 - w), /72(w) = w> 0<м<1.	(2.25)
Кроме треугольных и трапециевидных ФП получили распростра-
нение также колоколообразные и гауссовы ФП. Простая и удобная для
46
Раздел 2
настройки аналитическая модель колоколообразной ФП имеет вид
(см. рис.2.5)
ZW= ь .	(2-26)
1+("Л
С
где Ъ - координата максимума функции (наиболее возможное значе-
ние переменной г/, при котором ордината функции равна 1), с - ко-
эффициент растяжения (концентрации) функции.
Простая и удобная для настройки аналитическая модель гауссо-
вой ФП имеет вид (см. рис.2.6)
где Ь - координата максимума функции (наиболее возможное значе-
ние переменной и, при котором ордината функции равна 1), с - ко-
эффициент концентрации функции.
47
Раздел 2
Еще одна форма функций принадлежности удобная для настройки
- экспоненциальная (см. рис.2.7). Математическое описание этой ФП
задается в виде
/лт (и) = е~с{Ь'и} при и <Ь\ /лт (и) = e~c(u~b} прпи>Ь. (2.28)
Характерной особенностью ФП, которые показаны на рис.2.5-2.7,
является то, что при параметре b равном нулю или единице указанные
ФП зависят только от одного параметра с.
Математическое описание на едином универсальном множестве
U = [0,1] симметричных относительно абсциссы и = 0,5 рассмотрен-
ных выше функций принадлежности задается в виде [74]:
возведенных в степень треугольных ФП (см. рис.2.8 )
А1(«) = (1 -	Z^2(") =	(2-29)
колоколообразных ФП (см. рис.2.9)
Л|М =-----'--- А2<“)=-----—;—;	(2 3O)
1 + (")2	1+<—1)2
С	с
48
гауссовых ФП (см рис.2.10)
1 («V	г (м-1)2,
Я(«) = ехр[-- - ],	/У2(м) = ехР[---5—];
2Ы	2с2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0	0.25	0.5	0.75	1
(2.31)
Рис.2.10
экспоненциальных ФП (см. рис.2.11)
Я (и) = exp(-cw), //2(w) = exp[-c(l-w). (2-32)
Приведем совместно используемые, зависящие от двух парамет-
ров, Z - образную и S - образную функции принадлежности (см.
49
Раздел 2
рис.2.12). Параметры а и b определяют диапазон значений аргумен-
та, где Z - функция убывает, a S - функция возрастает. Математиче-
ское описание на едином универсальном множестве U = [0,1] сим-
метричных относительно абсциссы и = 0,5 таких функций принад-
лежности задается в виде (при условии, что 0 < а < 1 и а < b <\):
1, если и <\-Ь\
2(u-l + Z>)2
(Ь-а)2
2(и-\ + а)2
(Ь-а)2
0,
Al(w) = ’
а + b
(2.33)
, а 4- Ь
если 1----< и < 1
2
если и>\-а,
0, если и < а;
2(г/-я)2	а + Ь
------—, если а <и <	;
(6-о)2	2
, 2(и-/>)2 а + Ь
1--------—,если -----<и <Ь\
(b-а)2	2
1, если и >Ь.
На рис.2.12 Z - образная и S - образная функции принадлежности
показаны при параметрах а - 0,3 и Ь = 0,9 .
А2(«) = ’
(2.34)
Рис.2.12(a)
При условии 1 —д = а <0,5 (1-а = Ь) совместно используемые
Z - образная ФП ир 5 - образная ФП задаются в виде:
50
Раздел 2

А2<“) =
1, если и < a;
1	если а < и < 0,5;
О-2а)2
2(w-I + a)2	..	,
----------—, если 0,5 < и < 1 - а\
(1-2а)2
0, если и>\-а,
О, если и <а;
——, если а <и < 0,5;
О-2а)2
2(и-1 + а)2
1---------—.если 0,5 < и < 1 -а\
(1-2а)2
1, если и>\- а.
(2.35)
(2.36)
При указанном условии совместно используемые Z - образная ФП
и S -образная ФП зависят от одного параметра а (0 < а < 0,5) и
//1(0,5) = //2(0,5) = 0,5 (см. рис.2.12(6))
Функции, изображенные на рис.2.12(б), назовем сжатыми (при
0 < а < 0,5) совместно используемыми, зависящими от одного пара-
метра Z - образной и S - образной функциями принадлежности.
Другими совместно используемыми, зависящими от двух пара-
метров функциями являются сигмоидальные ФП (см. рис.2.13)
51
Раздел 2
Р	r z ч, •
14- exp[-a(w - с)]
Математическое описание на едином универсальном множестве
U = [0,1] симметричных относительно абсциссы и = 0,5 таких функ-
ций принадлежности задается в виде (при условии, что а > 1 и
с >0,5):
я(м)=i------гт—;—т; («)= ------------л;—• (2-38)
14- exp[a(w -14- с)]	14- ехр[а(с - w)]
Рис.2.13
На рисунке 2.13 симметричные относительно абсциссы и = 0,5
сигмоидальные функции принадлежности показаны при параметре
с = 0,7 и параметре а, равным 5 и 15 . Параметр а определяет кру-
тизну кривых (чем больше а, тем больше крутизна кривых).
Отметим также, что совместно используемыми, зависящими от
двух параметров функциями являются колоколообразные ФП (см.
рис.2.14), которые определяют формулой
(и) =---------1,	(2.39)
1 + ABS(^-——)2a
С
где b - координата максимума функции (наиболее возможное значе-
ние переменной и , при котором ордината функции равна 1). На осно-
вании (2.36) можно записать:
52
Раздел 2
На рисунке 2.14 симметричные относительно абсциссы и = 0,5
данные колоколообразные функции принадлежности показаны при
параметре с = 0,3 и параметре а, равном 1 и 3. Параметр а опреде-
ляет крутизну кривых (чем больше а, тем больше крутизна кривых).
(При а = 1 формулы (2.40) совпадают с формулами (2.30)).
При качественных входных параметрах функции принадлежно-
стей, используемые в алгоритме нечеткого логического вывода (см.
формулы (2.12)-(2.20)), определяются на дискретных универсальных
множествах вида U = (0,1,2,..., L -1), где L -число термов. Нечеткое
множество - j-ый терм - представляют в виде: j-ый терм =
(//о ,///,//2, что является сокращением записи
j-ый терм = О07 /0, //' /1, ц’г /2,...,	/(£-!)),
принятой в теории нечетких множеств.
При одинаковом числе термов, с помощью которых оцениваются
входные параметры xz,/ = 1,и, например, при пяти термах с назва-
ниями низкий, ниже среднего, средний, выше среднего, высокий для
универсального множества U = (0,1,2,3,4) из рис.2.2 можно запи-
сать:
низкий	=(1, 0,5, 0,3, 0,15, 0);
нижесреднего =(0,5, 1, 0,5, 0,25,0);
53
Раздел 2
средний	=(0, 0,5, 1, 0,5, 0);
выше среднего	=(0, 0,25, 0,5, 1, 0,5);
высокий	=(0, 0,15, 0,3, 0,5, 1).
При различном числе термов получают дискретные аналоги
функций принадлежности треугольного вида по формуле (2.24), ис-
пользуя рис.2.4.
Обычно число термов берут от 2 до 9.
2.2.	Статические характеристики “ вход - выход95 цифровых
нечетких регуляторов [73]
Характеристики “ вход - выход” определяют главные свойства
цифровых нечетких регуляторов, а именно способность нечетких ре-
гуляторов изменять динамические свойства системы автоматического
управления. Эти характеристики можно получить на основании алго-
ритмов нечеткого вывода при заданных для используемых лингвисти-
ческих переменных функциях принадлежности.
Рассмотрим простейший случай, когда на вход нечеткого регуля-
тора поступает только ошибка системы и базу знаний организует не-
четкое правило вида
Если (Wj = а/ ), то (ис = а£),
где щ - входная лингвистическая переменная ошибка, пересчитанная
на единое универсальное множество, а^ - лингвистические оценки
(терм-множества, названия) входной переменной, например,
а/ G {отрицательная^] = \\положительная{] = 2)}. aJc - лин-
гвистические оценки выходной переменной для алгоритма Мамдани
или четкие индивидуальные выходы правил aJc - Cj на едином уни-
версальном множестве для алгоритма Сугено. w* - четкое значение
выходной переменной управляющее воздействие на объект управле-
ния на едином универсальном множестве.
Зададим треугольные функции принадлежности (и) для вход-
ной лингвистической переменной ошибка (см. рис.2.15) и рассмотрим
три варианта:
54
Раздел 2
а)	Ошибка оценивается двумя терм-множествами (у = 1,2), на-
пример, а( G {отрицательная^] = 1), положительная^] = 2)},
функции принадлежности для которых
р\(и)-\-и, м е [0,1]; Pz(u) = u, mg [0,1].
Аз(“) = ‘
б)	Ошибка оценивается тремя терм-множествами (j -1,3),
а/ G {отрицательная (1), положительная (2), нулевая (3)}, фун-
кции принадлежности для которых
//](м) = 1-м, ме[0,1]; /^(м) = м> «е[0,1].
' 2м, и g [0,1/2];
2(1-м), е[1/2,1].
в)	Ошибка оценивается семью терм-множествами (/ = 1,7),
а/ е {отрицательная (О), отрицательная средняя (ОС),
отрицательная малая (ОМ), нулевая (Н),
положительная малая (ПМ), положительная средняя (ПС),
положительная (П)}, функции принадлежности для которых
6м, м 6 [0,1/6],
6(1-м)/5, mg[1/6,1];
Зм, mg[0,1/3],	[ 2м, mg [0,1/2],
[3(1-м)/2, MG[1/3,1]; 4	[2(1 -и), mg [1/2,1];
//l(w) = l-M, mg [0,1]; //2(“) =
Аз(«) =
55
Раздел 2
>“6(M) =
' би/5, we[0,5/6],
6(1-w), we [5/6,1];
/*7 (“) = «>
we [0,1].
Для определения четкого значения выходной лингвистической
переменной управляющее воздействие на объект управления на еди-
ном универсальном множестве используем:
1	.алгоритм “минимаксного” нечеткого вывода Мамдани, реали-
зуемый по формулам (1.6)-(1.8), при условии, что выходная перемен-
ная описывается теми же функциями принадлежности, что и входная
переменная, а приведение к четкости осуществляется центроидным
методом по формуле (1.3);
2	. алгоритм нечеткого вывода Сугено 0-порядка, реализуемый по
формулам (1.18)-( 1.20), при условии, что четкие индивидуальные вы-
ходы правил равны: С\ = 0 и с2=1.
На рис.2.16 представлены статические характеристики “один вход
- один выход” цифровых нечетких регуляторов для рассмотренных
трех вариантов (слева - расчет по алгоритму Мамдани, справа - по
алгоритму Сугено).
Если для нечетких регуляторов, рассчитанных по алгоритму Мам-
дани, увеличение числа функций принадлежности линеаризует стати-
ческие характеристики, то для нечетких регуляторов, рассчитанных по
алгоритму Сугено, увеличение числа функций принадлежности при-
водит к увеличению нелинейности статических характеристик.
Поскольку нечеткий регулятор со статической характеристикой
“один вход - один выход” представляет собой в общем случае нели-
нейность (см. рис.2.16) и существенного положительного влияния на
динамические свойства системы автоматического управления не ока-
зывает, а даже может их ухудшать, то его использование в системах
автоматического управления нецелесообразно.
Положим теперь, что на вход нечеткого регулятора поступает
ошибка и производная от ошибки системы и базу знаний организуют
два нечетких правила (по числу термов) вида
Если (wj = а() и (м2 = я2 )9 то (ис =асУ (j = h2),
где W] - входная лингвистическая переменная ошибка и w2 - входная
56
Раздел 2
лингвистическая переменная производная от ошибки, пересчитанные
на единое.универсальное множество, а- - лингвистические оценки
(терм-множества, названия) входных переменных, например,
а/ е {отрицательная^ - 1), положительная^]' = 2)}.
в)
Рис.2.16
57
Раздел 2
aJc - лингвистические оценки выходной переменной для алгорит-
ма Мамдани или четкие индивидуальные выходы правил aJc = Cj на
едином универсальном множестве для алгоритма Сугено. ис - четкое
значение выходной переменной на едином универсальном множестве.
Зависимости выходной переменной от входных в этом случае
имеют вид поверхности отклика (Surface). Вид этих поверхностей за-
висит от алгоритма нечеткого вывода (Mamdani или Sygeno), от опе-
раций логического вывода и от вида и параметров функций принад-
лежности (membership functions).
На рис.2.17-2.21 в качестве примеров приведены поверхности от-
клика для треугольных (trimf)
/и\(и)-\~и, //2(W) = M’ we [0,1],
экспоненциальных (expmf)
- exp(-cw), /72(w) = ехр[-с(1 -w)], и е [0,1]
и колоколообразных (gbellmf)
(») =--------, А2 («) =----—1— - и е [0J]
l+(v 1+(^)2
с	с
функций принадлежности для указанных на рисунках алгоритмов не-
четкого вывода, операций логического вывода и параметров функций
принадлежности.
Приведенные на рисунках поверхности отклика определены при
помощи пакета прикладных программ нечеткой логики (Fuzzy Logic
Toolbox) в интерактивной системе MATLAB.
В процедуре агрегирования как в алгоритме нечеткого вывода
Мамдани, так и алгоритме нечеткого вывода Сугено использовались
две операции: или операция логической конъюнкции (And method,
min-операция), определяемая формулами (1.6), (1.17), или алгебраиче-
ское произведение (prod-операция), определяемое формулами (1.9) и
(1.20). Приведение к четкости осуществлялось центроидным методом
в алгоритме Мамдани и методом взвешенного среднего в алгоритме
Сугено.
58
Mamdani, trimf, AND method min
•nput2	u 0	input 1
Sugeno, trimf, AND method min
Рис. 2.17
Mamdani, trimf, AND method prod
Sugeno, trimf, AND method prod
nput2	J °
-Utputl	„Utpuf!
Mamdani, expmf, c=2, AND method min	Mamdani, expmf, c=2, AND method prod
Sugeno, expmf, c=2, AND method min	Sugeno, expmf, c=2, AND method prod
Рис. 2.18
Mamdani, expmf, с=20, AND method min	Mamdani, expmf, c=20, AND method prod
«ЧиП	и,',и|1
Sugeno, expmf, c=20, AND method min	Sugeno, expmf, c=20, AND method prod
Рис. 2.19
Mamdani, gbellmf, c=0,3, AND method min
Sugeno, gbellmf, c=0,3, AND method min
Pn
Mamdani, gbellmf, c=0,3, AND method prod
output 1
Sugeno, gbellmf, c=03, AND method prod
c. 2.20

Mamdani, gbellmf, c=O,l, AND method prod
Ijtputl	cutpull
Sugeno, gbellmf, c=0,1, AND method prod
c. 2.21
Раздел 3
Раздел 3.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ
ОБЪЕКТАМИ
3.1.	Синтез цифровых регуляторов систем управления на базе
нечеткой логики
Ниже изложен синтез цифровых регуляторов систем управления
нестационарными объектами на базе нечеткой логики [37,109,142,
143]. Представлены результаты математического моделирования сис-
тем с цифровыми нечеткими регуляторами, формирующими управ-
ляющие воздействия на нестационарный объект управления. Дана
сравнительная оценка управления на основе ПИД-регуляторов, адап-
тивного управления и управления на базе нечеткой логики рассмот-
ренных нестационарных объектов.
Система управления с цифровым нечетким регулятором HP при-
ведена на рис.3.1. Рассмотрим различные варианты синтеза нечетких
регуляторов в такой системе. Вначале используем только треугольные
функции принадлежности ФП.
Фиксатор объект
Рис.3.1
I.	Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора
будем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходной параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы 0, скорость изменения (первая
производная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки 0,
управляющее воздействие на объект т, минимально, т.е. равно 2.
Отобразим диапазоны [0min, 0max ], [<9min, 0max ], [0min, <?max ] и
64
Раздел 3
timin’wmax] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество. Пересчет фиксированного значения
х- е [хк/,хв-] каждой лингвистической переменной xz, i = 1,и, п = 4 ,
в соответствующий элемент w’e[0,1] определяется выражением
(2.21):
и’ =(х'-xHi)/(xei
на основании которого находим:
и2 “	“ ^min ) /(^max “ ^min )’ >
=(0* -^minWmax " ^min )i
(3.1)
uc ~	~ wmin V(wmax “ wmin )•	(3.2)
На множестве U = [0,1] зададим два нечетких подмножества,
функции принадлежностей (ФП) которых треугольной формы показа-
ны на рис.3.2.
Для получения аналитических выражений предложенных ФП
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки с коор-
динатами (Wp/zJ и (w2,/z2), которое имеет вид:
/4*0 = [(а2 “ A )w +	“ ^2ui ] /(w2 " u\) •	(3.3)
Тогда, в соответствие с рис.3.2, получим следующие ФП для каж-
дой лингвистической величины:
//1(w) = l-w, we [0,1]; /u2(w) = w, we [0,1].	(3.4)
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных #*, и 0* с шагом квантования h осуществляется
расчет величин w/, w2* и W3* по формулам (3.1) и ФП
/аj(u\ 7 = 1,2, по формулам (3.4).
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = а{) и (0* - ^2 ) и (#* -	, то (т* = ас), J =	’
(3.5)
65
Раздел 3
где а/, aJ2 и а/ - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,2 ; aJc - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных 0* , 0* , 0* и до* :
а- е {отрицательная (1), положительная (2)}.
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (7 = 1) или положительные (j = 2).
66
Раздел 3
Пусть	функция принадлежности параметра х. е[хЛ/,хЛ.]
нечеткому терму aJt , / = 1,3; J = 1,2 . Тогда (0,0,0) - зависящая
от трех переменных (Xj = 0\ х2 = 0'9 х3 =0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) , j = 1,2, определяется из системы нечетких
логических уравнений:
!лт) (xj, х2 ,х3) = р1 (л,)д р1 (х2)л PJ (*з) •	(3-6)
Таким образом, /лт' (хр х2,х3) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
(хр х2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функ-
ция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с
рабочим правилом HP записывается в виде
x/'”(xl,x2,x3) = //m,(x1,x,,x3) V х/'"2(х1,х2,х3)	(3.7)
В выражениях (3.6) и (3.7) а - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (3.6) функ-
ция принадлежности управляющего воздействия fi\c(u) нечеткому
множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
А= minf//) (и*), р, (и2), Ру (и3)],	(3.8)
а функция принадлежности управляющего воздействия	не"
четкому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (и*1), р2 (и2), р2 («з)].	(3.9)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (3.7) определяется как
Ас(«) = ^1с(») v Х^2с(м)’	(31°)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.3.2)
//с(м)=тах[//|с(м),//2с(и)].	(3.11)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется результирующая фигура , ограниченная ре-
зультирующей ФП.
67
Раздел 3
Производится поиск абсциссы “центра тяжести44 результирующей
фигуры по формуле [199]:
~акУ№ак+1 +ak)bk+\ +(^к +ait+l)^]
<=~--------------й--------------------------------> (312)
ЗТАак+1 ак )(^£+1 + )
к=1
где N - число вершин, ak, bk - координаты вершин результирующей
фигуры.
Полученное значение ис на основании формулы (3.2) преобразу-
ется в значение управляющего воздействия на объект управления
™ ~ wmin + (wmax “ wmin Уис	(3-13)
2.	Примем число термов, с помощью которых оцениваются лин-
гвистические переменные (входные и выходной параметры нечеткого
регулятора) ошибка системы в, скорость изменения (первая произ-
водная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки в , управ-
ляющее воздействие на объект т , равным 3.
Отобразим диапазоны [0min,0max], [0min>0max], [^„,^тах]и
[wmin,wmax] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество U = [0,1]. На множестве U = [0,1] зададим
три нечетких подмножества, функции принадлежностей (ФП) которых
треугольной формы показаны на рис.3.3.
Используя уравнение прямой, проходящей через точки с коорди-
натами (щ.щ) и (^2’^2)’ получим следующие аналитические вы-
ражения для каждой лингвистической величины:
= не[0,1]; //2(п) = п> we[0,1];
z 2w, we[0,1/2];
^(W) = kzi x Г1/Л	(3J4)
2(1-w), e[1/2,1].
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных в*, и и 0* с шагом квантования h осуществляется
68
Раздел 3
расчет величин и\ , и?* и W3* по формулам (3.1) и ФП
HJ (w), j = 1,3, по формулам (3.14).
mmin
ГЛ*	mmax щ
Рис.3.3
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = и (0* и (0* =	), то (т* = aJc) ,j = 1,3,
(3.15)
где , aJ2 и - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,3 ; aJc - лингвистические оценки управ-
69
Раздел 3
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных , и , и и т*:
а{ е. {отрицательная (1), положительная (2),
близкая к нулю - нулевая (3)}.
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (7 = 1), положительные (j = 2) или близ-
кие к нулю (7 = 3).
Пусть /7у(х,) функция принадлежности параметра xz е [хш-,хв/]
нечеткому терму а/, i = 1,3; j ~ 1,3. Тогда рт' {в,	- зависящая
от трех переменных (X] = #; х2 = #; х3 = 0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) т,j = 1,3 , определяется из системы нечетких
логических уравнений (3.6).
Таким образом, р™1 (Х|, х2,х3) - функция принадлежности
управляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”,
р™2(Х[, х2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”, //??3 (х}, х2,х3) - функ-
ция принадлежности управляющего воздействия нечеткому множест-
ву “близкий к нулю”. Результирующая функция принадлежности для
управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом HP
записывается в виде
/Z”(X1,X2,X3) = //'”'(X1,X2,X3) V /у"'2(Х|,Х2,Х3) V /Z7”3 (Х|, х2,х3).
(3.16)
В выражениях (3.6) и (3.16) л - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (3.6) функ-
ция принадлежности управляющего воздействия Р\с(и) нечеткому
множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
70
Раздел 3
А= mint//! («1* )> Р\ («2 X Ai («з)].	О. ] 7)
функция принадлежности управляющего воздействия //2с (w) нечет-
кому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (и*), //2 (м2), //2 (w3)].	(3.18)
функция принадлежности управляющего воздействия ^.(w) нечет-
кому множеству “близкий к нулю” ограничена сверху значением:
С= min[//3 (щ ), Аз(«2 )> Аз (мз)] •	(3.19)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (3.16) определяется как
At.(w) = Ak(«) v А2сОО v Азс(м)’	(3.20)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.3.3)
К- (и) =тах[ //lt. (w), //2г (и), //Зс (и) ].	(3.21)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется “ результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести” результирую-
щей фигуры по формуле (3.12).
Полученное значение ис по формуле (3.13) преобразуется в зна-
чение управляющего воздействия на объект управления.
3.	Примем, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходной параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы 0, скорость изменения (первая
производная) ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки в,
управляющее воздействие на объект т , равно 7.
Отобразим диапазоны [0min, 6»max ], [0roin,0mJ >
[w,nin,/»max] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество U =[0,1]. На множестве U = [0,1] зададим
семь нечетких подмножеств, функции принадлежностей (ФП) кото-
рых показаны на рис.3.4.
71
Раздел 3
Рис.3.4
Используя уравнение прямой, проходящей через точки с коорди-
натами (i/pX/j) и (^2’Л/2) ’ получим следующие аналитические вы-
ражения для каждой лингвистической величины:
/7] (а) = 1 - и, и е [0,1];
6м, ме [0,1/6],
4 6(1-м)/5, ме[1/6,1];
//2(«) =
Аз(«) =
Зм, мб [0,1/3],
\з(1-м)/2, мб[1/3,1];
2м, мб[0,1/2],
2(1-м), мб[1/2,1];
^4(«) =
As(«) =
' Зм/2, мб[0,2/3],
3(1-м), мб[2/3,1];
Аб(«) =
'6м/5, мб[0,5/6],
6(1-м), Мб[5/6,1];
//7(м) = м, мб[0,1].	(3.22)
72
Раздел 3
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*,0* и 0* с шагом квантования h осуществляется
расчет величин wj*, и?* и и^* по формулам (3.1) и ФП
Pj (w), j = 1,7, по формулам (3.22).
Сформируем лингвистическое правило управления нечеткого ре-
гулятора в виде:
Если (0* = а{) и (0* = а^)и (0* =	), то (т* = а{), ,j =	,
(3.23)
где aJx , а2 и а^- лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,7 ; а* - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных #*,#*, 0* и т :
а- е {отрицательная (О), отрицательная средняя (ОС),
отрицательная малая (ОМ), близкая к нулю - нулевая (77),
положительная малая (ПМ), положительная средняя (ПС),
положительная (77)}.
Пусть //7(х;) функция принадлежности параметра xt;е [xw.,xe/]
нечеткому терму а/, i = 1,3; j = 1,7. Тогда рт’ (0,0,0)- зависящая
от трех переменных (jq = 0\ х2 = 0\ х3 ^0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) т} ,j = 1,7, определяется из системы нечетких
логических уравнений (3.6).
Таким образом, /лт' - функция принадлежности управляющего
воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, р™1 ~ функция
принадлежности управляющего воздействия нечеткому множеству
“отрицательный средний”, рт^ - функция принадлежности управ-
73
Раздел 3
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный малый”,
/лтА - функция принадлежности управляющего воздействия нечетко-
му множеству “близкий к нулю - нулевой”, - функция принад-
лежности управляющего воздействия нечеткому множеству “положи-
тельный малый”, /лт(з - функция принадлежности управляющего воз-
действия нечеткому множеству “положительный средний”, /лт1 -
функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому мно-
жеству “положительный”,. Результирующая функция принадлежности
для управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом
HP записывается в виде
m т} т-> т-i тл т< гт т-,
/7 =//lV/72V/73V//4V//5V//6V/77.	(3.24)
В выражениях (3.6) и (3.24) л - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (3.6) ФП
управляющего воздействия Ц\с(и) нечеткому множеству “отрица-
тельный” ограничена сверху значением:
А= min[//( (и*), //, (и*2), (м3)],	(3.25)
ФП управляющего воздействия //2c(w) нечеткому множеству “отри-
цательный средний” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (М)*), /у2 (1/2), р2 (из)] •	(3-26)
ФП управляющего воздействия	нечеткому множеству “отри-
цательный малый” ограничена сверху значением:
С= min[//3 («!*), //3 (и2), //3 (н3)],	(3.27)
ФП управляющего воздействия //4£.(w) нечеткому множеству “близ-
кий к нулю - нулевой” ограничена сверху значением:
D= min[^4 (и*), //4 (w2), //4 (и3 )],	(3.28)
ФП управляющего воздействия	нечеткому множеству “поло-
жительный малый” ограничена сверху значением:
Е= min[//5(wt*),//5(w2),р5(и3)],	(3.29)
74
Раздел 3
ФП управляющего воздействия	нечеткому	множеству “поло-
жительный средний” ограничена сверху значением:
G= тт[//6(м1*),//6(М2),//6(мз)].	(3.30)
ФП управляющего воздействия	нечеткому	множеству “поло-
жительный” ограничена сверху значением:
F= ттЫ7(М|*),^7(г/2),^7(мз)]-	(3.31)
Результирующая функция принадлежности для управляющей,
воздействия на основании выражения (3.24) определяется как
Нс («) = Н\с V Hlc v Азе v Н4с V Hsc V Нбс v Hlc ’ (3-32)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.3.4)
Нс (и) =тах[ //|С, /л2с, р3с, цАс, ц5с, рвс, /л1с ].	(3.33)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется 44 результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести44 результирую-
щей фигуры по формуле (3.12).
Полученное значение w* по формуле (3.13) преобразуется в зна-
чение управляющего воздействия на объект управления.
Пример 3.1. Рассмотрим синтез цифровых ПИД-регулятора и не-
четкого регулятора для системы управления ракетой по углу атаки
[144]. Методом математического моделирования определим процессы
в системе и дадим сравнительную оценку качества системы при ис-
пользовании синтезированных регуляторов.
Приняв за выходную координату ракеты угол атаки x(t) =
а за входную координату угол поворота руля Wj (/) = 8(f), определим
передаточную функцию ракеты в виде [8]
=	=	2^-------
Р S(s) T2s2+2<;Ts + \
(3.34)
где К% - коэффициент преобразования ракеты, Т - постоянная вре-
мени, д- коэффициент демпфирования.
75
Раздел 3
При исследовании системы управления предположим, что зави-
симости параметров ракеты от времени полета определяются так
[138]:
T(t) = 0,9849 - 0,1188/ + 0,0063/2 - 0,00012/3;
^(/) = 0,2970-0,0535/+ 0.0043/2 - 0,000II/3;
K$(t) = 16,5475-4,4469/+ 0,4843/2 -0,02315/3 +0,0004/4.
(3.35)
Для упрощения расчетов рулевой механизм опишем передаточной
функцией интегрирующего звена: GpM{s} - КрМ I s -М s. В этом
случае вход системы п(/)=а1(/) - заданный угол атаки, выход сис-
темы x(Z) = a2(0 ” отработанный ракетой угол атаки, w(/)- управ-
ляющий сигнал на выходе регулятора, а объект управления описыва-
ется общей передаточной функцией:
. (3J6)
m(s) s(s +bs + a)
(В объект управления включены аналоговые рулевой механизм и
ракета). Параметры передаточной функции G(s) определяются:
Ь = 2$/Т;а = 1/Т2; а=КРМК$а = КРМК$±
При этом параметры передаточной функции G(s) также будут функ-
циями, зависящими от времени:
£>(/) = 0,6374 - 0,0987/ + 0,0134/2 - 0,0004/3;
а(/) = 1,3567-0,2257/+ 0,1137/2 +0.0002/3; >
a(t) = 16,981 - 0,8534/ - 0,0019/2 + 0,0071/3,
(3.37)
а математическая модель ракеты как объекта управления описывается
нестационарным колебательным звеном, дифференциальное уравне-
ние которого имеет вид:
2 2
-	+	+ °(0«2 (0 = а(/>| (/) •	(3.38)
dr	dt
76
Раздел 3
Зависимости параметров передаточной функции G(s) от времени
полета ракеты приведены на рис.3.5.
Составленные в интерактивной системе MATLAB структурные
схемы систем управления ракетой по углу атаки с цифровыми ПИД-
регулятором и нечетким регулятором представлены соответственно на
рис.3.6 и 3.7.
Ошибка рассогласования Егг, поступающая на вход ПИД-
регулятора (PID-controlIer) и нечеткого регулятора (Controller), пред-
ставляет собой разность между заданным напряжением требуемым
углом атаки a\(t) и преобразованным в напряжение отработанным
ракетой углом атаки а2(/): 0(t) = ах (Г) - а2 (t) = u(t) - x(t).
Закон изменения входного воздействия задан полиномом [138]:
"(О	=-1,3316х10-3 +0,1653269г-0,478500&2 +
0,1037928г3 -8,8016х 10“3Г4 + 3,404х1оЛ5 -5,О93х1оЛ6.(3.39)
Математическая модель ракеты в интерактивной системе
MATLAB составлена следующим образом. На вход модели поступает
сигнал с выхода блока Integator. Выходной сигнал объекта
управления а2(0 получаем на выходе блока Integator2. На выходе
блока Polinoms (см.рис.3.8) формируются сигналы «(/), a(t), b(t).
77
Раздел 3
которые в соответствующих блоках перемножения Dot Product ум-
ножаются на входной сигнал гщ (t), сигнал бг2 (/), первую и вторую
производные сигнала а2(/) согласно записанному выше дифферен-
циальному уравнению нестационарного колебательного звена.
Рис.3.6
В системе MATLAB передаточная функция цифрового ПИД-
регулятора (PID-controller на рис.3.6) может быть записана различны-
ми способами, поскольку интегрирование и дифференцирование в
цифровой форме может быть выполнено различными методами. Запи-
шем передаточную функцию ПИД-регулятора в виде
W(Z) = K + Ki^Z + \+^-— ,	(3.40)
2 z -1 й0 z
где Ло - шаг дискретизации (шаг квантования). Такая передаточная
функция получается из передаточной функции аналогового ПИД-
регулятора = К + J s + K^s путем аппроксимации производ-
ной первой разностью и интегрирования по методу трапеции.
78
Раздел 3
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на
рис.3.9 . При малых шагах моделирования цифровой ПИД-регулятор
эквивалентен аналоговому.
Unit Delay 1
Рис.3.7
Настройку регуляторов производим с целью получения минималь-
ной текущей ошибки рассогласования.
Отметим, что при настройке цифровых ПИД-регулятора и нечет-
кого регулятора в интерактивной системе MATLAB целесообразно
использовать блок NCD (Nonlinear Control Design), который реали-
зует метод динамической оптимизации для проектирования систем
управления. Этот инструмент, разработанный для использования с
Simulink, автоматически настраивает системные параметры (в систе-
мах на рис.3.6 и 3.7 настраиваются параметры регуляторов), основы-
ваясь на определенных ограничениях на временные характеристики
79
Раздел 3
(например, время регулирования и перерегулирование для реакции на
ступенчатое воздействие или пределы для текущей ошибки рассогла-
сования).
Sum
Рис.3.8	Рис.3.9
После настройки ПИД-регулятора при шаге дискретизации
- 0,001 с получены следующие оптимальные коэффициенты в пе-
редаточной функции (3.40):
/< = 1,587; /Q= 37,0798; ^=6,791.
Полная структурная схема нечеткого регулятора (см. рис. 3.10,а,) в
системе управления состоит из аналого-цифрового преобразователя
АЦП, представленного фиксатором Zero-Order Hold (работает с ша-
гом квантования Ло), блоков оценки первой и второй производных
ошибки системы, блоков нормировки входных (normin) и выходного
(normout) сигналов, центрального блока нечеткого регулятора Fuzzy
Logic Controller и выходного цифроаналогового преобразователя,
представленного фиксатором Zero-Order Hold 1 (работает с шагом
квантования Ао).
В центральном блоке нечеткого регулятора Fuzzy Logic Controller
(см. рис.3.10,а) выбираются функции принадлежности membership
functions и задается база правил rules.
Блоки оценки первой и второй производных от ошибки реализуют
уравнения
0{t)~{0(khQ)—0\(<k—\'}hQ\}ihQ,0(t}»{0(khQ)—0[(k—\)hQ\}ihQ.
80
Раздел 3
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) принимаем симметричными:
Тогда формулы (3.1) и (3.2) для нормировки (пересчета) прини-
мают вид
"1’ =-(« -«min) Win);
и2 ~	~ ^min )/(20mjn ), >	(3 41)
«з* = -W*
т* = wmin(l-2wc‘). ,
81
Раздел 3
На основании формул (3.41) построены структурные схемы бло-
ков нормировки (см. рис.З.ЮДбг/ Значения диапазонов
л _ п = _п . о _ п _ _/5	' С — Р	— — f)
L'max ^min > Dni ^тах ^min ’	итах ^min ’
~ ^max “ ~^min •
при настройке нечеткого регулятора подбираются либо вручную, либо
автоматически путем решения оптимизационной задачи.
Часто последовательное соединение блока нормировки входных
(normin) сигналов, центрального блока Fuzzy Logic Controller и блока
нормировки выходного (normout) сигнала рассматривают как нечет-
кий регулятор (Controller), как это изображено на рис.3.7.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором (см. рис.3.7) квантуется аналого-цифровым преобразователем
АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом поступления
данных в нечеткий регулятор) = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП
0(к), ее первая 0(к) = [(?(£) - 0(к -1)]//? и вторая
#(£) = [0W ~ 0(к - 1)]//? разности подаются на вход нечеткого регу-
лятора (Controller). Блок Controller содержит блоки нормировки
входных (normin) и выходного (normout) сигналов и центральный блок
Fuzzy Logic Controller (см. рис.3.10,и) Сигнал с выхода регулятора по-
ступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с пе-
редаточной функцией H(s) = (1 -e~hs)!s) и далее на вход объекта
управления.
Для моделирования нечетких (работающих на базе нечеткой ло-
гики) регуляторов интерактивная система MATLAB имеет специаль-
ный инструментарий.
Построение нечетких регуляторов с использованием пакета не-
четкой логики (Fuzzy Logic Toolbox) интерактивной системы
MATLAB и общей структурной схемы нечеткого регулятора, пред-
ставленной на рис.3.10, осуществляем следующим образом.
В командном окне MATLAB набираем слово fuzzy - открывается
окно FIS Editor:Untitled. На панели окна FIS Editor выбираем вклад-
ку Edit / Add Variable... I Input для добавления второй входной пе-
ременной и повторяем операцию для добавления третьей входной пе-
ременной.
82
Раздел 3
Двойным щелчком на желтом (input) или синем (output) прямо-
угольниках открываем Membership Function Editor. По умолчанию
fuzzy-регулятор имеет по три треугольные функции принадлежности
для каждой переменной на входе и выходе. Выделяем мышкой каж-
дую функцию или удаляем с помощью клавиши Delete. На панели ок-
на Membership Function Editor выбираем Add MFs... Открывается
окно Membership Function, в котором выбираем тип (MF type), коли-
чество (Number of MFs) функций принадлежности ФП и нажимаем
ОК. Таким образом задаем функции принадлежности на входе и вы-
ходе fuzzy-регулятора (соответственно в желтых прямоугольниках
input!, input2, input3 и синем прямоугольнике output!).
Типовые формы ФП в пакете нечеткой логике следующие: тре-
угольная trimf, трапецеидальная trapmf, гауссова gaussmf, двойная
гауссова gausslmf, колоколообразная gbellmf, сигмоидальная sigmf,
двойная сигмоидальная dsigmf и произведение двух сигмоидальных
функций psigmf, Z, S и Pi - функции.
Для нечетких регуляторов, используемых в системах автоматиче-
ского управления, целесообразно использовать две симметричные
друг относительно друга (одна - убывающая, другая - возрастающая)
и пересекающиеся при значении и = 0,5 на универсальной оси
U=[0,l ] треугольные, возведенные в степень треугольные, колоколо-
образные, гауссовы, экспоненциальные, сигмоидальные, объединен-
ные Z- и S-функции.
Для использования конкретных функций принадлежности созда-
ется М-File function пате с именем, например trim_fc3 - для выбора
треугольных функции принадлежности, expmf - для выбора экспо-
ненциальных функции принадлежности или ctrimf - для выбора тре-
угольных функции принадлежности с регулируемой крутизной. Вы-
бираем Edit / Add Custom MFs... и в окне Custom Membership Func-
tion заполняем ячейки MF name (mfl - для первой функции принад-
лежности и mf2 - для второй). В поле Parameter list данного окна
вводим необходимые числовые параметры, например, [20 0] - для
экспоненциальной mfl, [20 1] - для экспоненциальной mf2 при с=20.
Ввод подтверждаем нажатием кнопки ОК.
Задаем рабочие правила для fuzzy-регулятора. Для этого на пане-
ли окна FIS Editor: trim_fc3 (например, для треугольных функций
принадлежности) выбираем вкладку Edit / Rules.... Открывается окно
83
Раздел 3
Rule Editor: trim_fc3. Для задания правил выбираем в окнах input 1 is,
input2 is, input3 is, outputl is значение mfl (mf2) и нажимаем кнопку
Add rule. Если необходимо изменить рабочие правила для fuzzy-
регулятора, выделяем правило мышкой и меняем значения в окнах
inputl is, input! is, inputs is, outputl is и нажимаем кнопку Change
rule.
Для сохранения созданного нечеткого регулятора необходимо в
окне FIS Editor:Untitled нажать кнопку Close. На запрос сохранения
изменений Save changes to Untitled? надо выбрать Yes. Далее в окне
Save FIS задаем имя регулятора (File name), например trim_fc3, и на-
жимаем кнопку Save. Следует отметить, что по умолчанию MATLAB
сохраняет регулятор с этим именем в папку Matlab / Work.
Далее осуществляем загрузку fuzzy-регулятора в память. Для это-
го в командном окне MATLAB набираем слово fuzzy - открывается
окно FIS Editor: Untitled. На панели окна FIS Editor выбираем вклад-
ку File / Import I From disk.... В результате открывается окно в кото-
ром необходимо найти и выбрать желаемый fuzzy-регулятор, напри-
мер trim fc3.fis. В открывшемся окне FIS Editor: trim_fc3 выбираем
вкладку File / Export I То Workspace... и нажимаем ОК. Остается
лишь закрыть окна FIS Editor: trim_fc3 и FIS Editor: Untitled кноп-
кой Close (на запрос сохранения изменений Save changes to...? надо
нажать No).
Проверку работы fuzzy-регулятора можно осуществить следую-
щим образом. Например, для регулятора trim_fc3.fis на панели окна
FIS Editor: trim_fc3 выбираем вкладку View / Rules. Открывается ок-
но Rule Viewer: trim_fc3. Для получения точных значений с выхода
fuzzy-регулятора необходимо задать значения inputl, input!, input3.
Это можно сделать двумя способами: 1) поменять положение тонкой
красной вертикальной черты на каждом входе fuzzy-регулятора (зна-
чение изменяемого параметра показывается над каждым входом fuzzy-
регулятора); 2) задать точное значение каждого из входов inputl, in-
put!, input3 в нижнем левом окне Input в квадратных скобках разде-
ляя значения пробелами (по умолчанию имеем [0.5 0.5 0.5]).
На рис.3.11 представлены процессы в системах управления: слева
- в системе (см. рис.3.6) с настроенным цифровым ПИД-регулятором;
справа - в системе (см. рис.3.7) с настроенным нечетким регулятором,
имеющим две треугольных ФП (см. рис.3.2).
84
Раздел 3
Ирто53,
0мах = 0.0014
10
8
6
4
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Рис.3.11
Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1)-(3.13)
для двух треугольных функций принадлежности - 2 trimf (см. рис.3.2).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
(ЗптАах]. [4.пЛахЬ [^пипАахЬ ["'штатах] ПрСле НЭСТрОЙКИ не-
четкого регулятора в этом случае следующие:
[-0,015, 0,015], [-0,05, 0,05], [-0,9, 0,9], [-12, 12].
На рис.3.12 представлены процессы в системе управления (см.
рис.3.7): слева - с настроенным цифровым нечетким регулятором,
имеющим три треугольных ФП - 3 trimf (см. рис.3.3); справа - с
85
Раздел 3
нечетким регулятором, имеющим семь треугольных ФП - 7 trimf
(см. рис.3.4).
Синтез нечеткого регулятора для трех треугольных функций при-
надлежности - 3 trimf (см. рис.3.3) выполнен по формулам (3.1), (3.2),
(3.13)-(3.21).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпЛахГ [ЗтпЛаЛ [^n.nAJ >	WmaJ ПОСЛе НЭСТроЙКИ Не-
четкого регулятора в этом случае следующие:
[-0,01, 0,01], [-0,07, 0,07], [-1, 1], [-30, 30].
86
Раздел 3
Синтез нечеткого регулятора для семи треугольных функций при-
надлежности - 7 trimf (см. рис.3.4) выполнен по формулам (3.1), (3.2),
(3.13), (3.22)-(3.33).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
timin’ ^max ] ’ timin’ ^max ] ’ fumin’Wmax] после настройки не-
четкого регулятора в этом случае следующие:
[-0,008, 0,008], [-0,05, 0,05], [-1, 1], [-23, 23].
Анализируя процессы, приведенные на рис.3.11, можно заклю-
чить, что как ПИД-регулятор, так и нечеткий регулятор в системе
управления ракетой обеспечивают устойчивое слежение по заданному
углу атаки с достаточно малыми ошибками рассогласования. Но в
системе с нечетким (работающим на базе нечеткой логики) регулято-
ром ошибка рассогласования в 6 раз меньше, чем ошибка рассогласо-
вания в системе с ПИД-регулятором. Кроме того, что весьма важно
при практической реализации систем, сигнал управления, поступаю-
щий на рулевой механизм, в системе с нечетким регулятором являет-
ся достаточно плавно изменяющимся, а в системе управления с ПИД-
регулятором этот сигнал периодический, что может привести к резким
колебаниям руля ракеты.
Анализируя процессы, приведенные на рис.3.11 и 3.12 при исполь-
зовании в системе управления настроенных на минимум динамической
ошибки рассогласования нечетких регуляторов с двумя, тремя и семью
функциями принадлежности, можно заключить, что с увеличением
числа ФП величина максимальной динамической ошибки рассогласо-
вания (приведена на рисунках) уменьшается с 0,0014 при двух ФП до
0,00064 при трех ФП и до 0,0006 при семи ФП.
Если качество (характеризуемое минимальной величиной макси-
мальной динамической ошибки) системы, использующей нечеткий ре-
гулятор с двумя функциями принадлежности, удовлетворяет разработ-
чика, то можно рекомендовать применение такого нечеткого регулято-
ра как наиболее простого.
Если параметры нестационарного объекта управления изменяют-
ся в очень широких диапазонах, то нечеткий регулятор может не
обеспечивать достаточное качество системы управления. В этом слу-
чае можно использовать нечеткий регулятор с многоканальной на-
стройкой (многоканальный HP), у которого отдельный канал будет
87
Раздел 3
настроен на определенный участок диапазона изменения параметров
объекта.
Пример 3.2. Рассмотрим синтеза нечеткого регулятора с много-
канальной настройкой для системы стабилизации баллистической ра-
кеты по углу тангажа [119].
Баллистическая ракета, в которой используется большое число
локальных систем автоматического управления, является существенно
нестационарным объектом управления. Передаточные функции, кото-
рыми описывают баллистическую ракету как объект управления, от-
личаются от передаточных функций крылатых летательных аппаратов
тем, что имеют неустойчивые звенья, поэтому движение неуправляе-
мой ракеты по программной траектории было бы неустойчивым. Ни-
же рассматривается система стабилизации баллистической ракеты по
углу тангажа (по каналу продольного движения), которая описана в
работе [162]. Система состоит из следующих функционально необхо-
димых элементов: элемента сравнения (свободного гироскопа с по-
тенциометрическим датчиком, характеризуемым коэффициентом
К п), усилителя с коэффициентом усиления Ку , и гидравлического
рулевого механизма.
Приняв за выходную координату ракеты угол тангажа
-x(Z) = i92 (0/за входную координату угол поворота руля
определим передаточную функцию ракеты в виде [138,
162]
Gp{S) “ е/ ч “	7 Э	’
(T2s2 + 2^7s + 1)(г25 +1)
(3.42)
Q
где - коэффициент преобразования ракеты,	“ постоян-
ные времени соответственно колебательного и неминимально-
фазового (т2 - отрицательная величина) форсирующего звеньев, д-
коэффициент демпфирования. Зависимости указанных параметров
ракеты от времени ее полета приведены в работе [162].
Для упрощения расчетов рулевой механизм опишем передаточной
функцией интегрирующего звена: GpM(s) = Крм f s = \ f s . В этом
случае вход системы u(t} - заданный угол тангажа, выход сис-
88
Раздел 3
темы х(7) = <92(О - отработанный ракетой угол тангажа, -
управляющий сигнал на выходе регулятора, а объект управления опи-
сывается общей передаточной функцией:
=	=	+ В-----	(343)
w(s) s(s2 +bs + a)(s + с)
(В объект управления включены аналоговые рулевой механизм и
ракета). Параметры передаточной функции G(5) определяются:
Ь = 2д/Т-а = \/Т2; г = \/Т}; с = 1/г2;
а=КпКуКРМ K°aclr = Km К^.
Т~т2
При этом параметры передаточной функции G(s), также будут функ-
циями, зависящими от времени. Математически их можно определить
полиномами - см. формулы (3.44).
b(t) = 1,386-0,2375/ + 2,025-10’212 -6,869-Ю-4/3 +
+ 9,988-Ю-6/4 -5,245-Ю-8/5;
<?(/) =-29,58+ 11,274/-1,484/2 +8,8-Ю’2/3 -
-2,37• Ю-3/4 + 2,91 • Ю-5/5 -1,33• Ю-7/6;
а(/) = 1,132-0,45/+ 3,86-10-2/2 -2,45-10-3/3 +
> (3 44)
+ 7,7-Ю-5/4 -1,08-Ю-6/6 +5,47-Ю-9/6;
/(/) = 0,3688-3,8031-10 2/ + 2,1216- 10-3г2 -
-3,9037-10-5/3 +2,2437-Ю-7/4;
с(/) = -0,317 + 3,22 • 10-2 / -1,455 • 10"3 /2 +
+ 3,318• 10-5/3 -3,693-10-7/4 +1,592-10"9/5.
Зависимости параметров передаточной функции G(.v)ot времени
полета ракеты приведены на рис.3.13. Время полета ракеты составляет
примерно 60 с. Шестая секунда полета ракеты принята за начало от-
счета времени полета.
Математическая модель нестационарного колебательного звена
описывается дифференциальным уравнением
89
Раздел 3
2
d	+ a(t)x} (/) = a(t)nti (t).	(3.45)
dr at
Математическая модель нестационарного форсирующего звена
описывается дифференциальным уравнением
^ + с(/)х(/) = ^^ + г(/)х,(/).	(3.46)
dt	dt
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления ракетой по углу тангажа с цифровым не-
четким регулятором представлена на рис.3.14.
Ошибка рассогласования Err, поступающая на вход нечеткого ре-
гулятора (Controller), представляет собой разность между заданным
напряжением требуемым углом тангажа i9j(Z) и преобразованным в
напряжение отработанным ракетой углом тангажа (0:
0(г) = ^(/)-&(/) = М(/)-х(О.
Предположим, что закон изменения входного воздействия (про-
граммная траектория) следующий: u(t) = 1 + 0,5sin(flf /30).
90
Раздел 3
Unit Delay?
Рис.3.14
Математическая модель ракеты в интерактивной системе
MATLAB составлена таким образом. На вход модели поступает сиг-
нал m\(t) с выхода блока Integator. На вход блока Polinoms (см.
рис.3.15) поступает текущее врем.; t с выхода блока Ramp.На выходе
блока Polinoms формируются сигналы , а(/), b(t), с(/), r(/),
которые в блоках перемножения Dot Product умножаются на соот-
ветствующие сигналы согласно записанным выше дифференциальным
91
Раздел 3
уравнениям нестационарных колебательного и форсирующего зве-
ньев.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором (см. рис.3.14) квантуется аналого-цифровым преобразовате-
лем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом поступле-
ния данных в нечеткий регулятор) Л = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП
0(к), ее первая в(к) = [#(&)- в(к -1)]/h и вторая
0(&) - [#(£) “ @(к - 1)]/Л разности подаются на вход нечеткого регу-
лятора (Controller). Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП
(фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной функ-
цией H(s) - (1 - e~hs) / 5 ) и далее на вход объекта управления.
Функциональная схема нечеткого регулятора с многоканальной
настройкой приведена на рис.3.16. Блок настройки регулятора (ad-
justment of fuzzy-controller), блоки нормировки входных (normin) и
выходного (normout) сигналов приведены соответственно на рис.3.17,
3.18 и 3.19.
Блок настройки регулятора (adjustment of fuzzy-controller) имеет
фиксатор (Zero-older hold) с шагом квантования 0,01с, квантователь
по уровню (Quantizer) с шагом квантования 20с, усилитель (Gain) с
коэффициентом 0,05 и четыре переключателя каналов. При поступле-
нии текущего времени t с выхода блока Ramp на вход блока настрой-
ки регулятора до десятой секунды времени полета ракеты работает
первый канал, от десятой до тридцатой секунды работает второй ка-
нал, от тридцатой до пятидесятой секунды работает третий канал и
после пятидесятой секунды работает четвертый канал. Сигналы с вы-
ходов 1-4 блока настройки регулятора поступают на соответствующие
входы 4,5,6 блока нормировки входных (normin) и на вход 2 блока
нормировки выходного (normout) сигналов (см. рис.5-7). На 1-3 вхо-
ды блока нормировки входных сигналов поступают дискретные теку-
щие значения fl(k), 0(к), 0(к). С выхода 1 блока нормировки вы-
ходного сигнала (см. рис.3.19) поступают дискретные текущие значе-
ния сигнала управления т(к).
Синтез каждого канала нечеткого регулятора выполняем по фор-
мулам (3.1 )-(3.13) для треугольных функций принадлежности.
92
Раздел 3
Рис.3.16
Рис.3.17
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметр< з каждого канала
нечеткого регулятора) принимаем симметричными:
^max	^тах ~ “^min ’ ^тах “ —^min’ wmax — —wmin.
и производим нормировку (пересчет) по формулам (3.41).
Первый канал настраивается на параметры объекта, соответст-
вующие шестой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения вход-
93
Раздел 3
ных переменных [0min, 0max ], [<9min,0max ], [6»min, 0max ], после настрой-
ки этого канала следующие: [-0,2, 0,2], [-0,3, 0,3], [-0,5, 0,5].
Product
Рис.3.18
Рис.3.19
Второй канал настраивается на параметры объекта, соответст-
вующие двадцатой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения
входных переменных [0min, 6»max ], [0min, 0max ], [0min, 0max ], после на-
стройки этого канала следующие: [-0,15, 0,15], [-0,3, 0,3], [-1, 1].
Третий канал настраивается на параметры объекта, соответствую-
щие сороковой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения входных
переменных [0minAJ> [ЗтпЛачЬ	после настройки
этого канала следующие: [-0,07, 0,07], [-0,5, 0,5], [-1, 1].
Четвертый канал настраивается на параметры объекта, соответст-
вующие шестидесятой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения
входных переменных [0min,0max], [0min,0mJ, [0minAj« после на’
стройки этого канала следующие: [-0,05, 0,05], [-0,3, 0,3],
[-0,3, 0,3].
Диапазоны изменения выходного параметра [wmin,wmax] выбраны
для всех каналов равными [-70, 70].
94
Раздел 3
Настройка регуляторов произведена с целью получения мини-
мальной динамической ошибки рассогласования и апериодического
переходного процесса.
При настройке нечеткого регулятора в интерактивной системе
MATLAB используем блок NCD (Nonlinear Control Design), который
реализует метод динамической оптимизации для проектирования систем
управления.
На рис.3.20, слева, представлены процессы в системе управления
с настроенным цифровым многоканальным нечетким регулятором.
Процессы в системе управления с Процессы в системе управления с
мно1 оканальным hcmcikhm реплятором одноканальным нечетким регулято-
ром
в)
Рис.3.20
95
Раздел 3
Анализируя процессы в системе управления ракетой можно за-
ключить, что цифровой многоканальный нечеткий регулятор обеспе-
чивает быструю отработку ступенчатого воздействия без перерегули-
рования, с временем регулирования не более 5с и устойчивое слеже-
ние по заданному углу тангажа с достаточно малой ошибкой рассо-
гласования (0тах не более 3% от амплитуды входного воздействия).
Еще большего уменьшения ошибки рассогласования можно до-
биться путем увеличения числа каналов в нечетком регуляторе и пу-
тем выбора временных интервалов для подключения каждого канала.
При этом незначительно усложняется блок настройки регулятора (ad-
justment of fuzzy-controller) -см. рис.3.17.
При использовании только одного канала (обычного нечеткого
регулятора) в системе управления ракетой по углу тангажа в течении
всего полета ракеты не удается получить такого качества системы, как
при использовании многоканального регулятора. В качестве примера
на рис.3.20, справа, представлены процессы в системе управления с
настроенным цифровым одноканальным нечетким регулятором. Хотя
устойчивое слежение по заданному углу тангажа этот регулятор обес-
печивает (0тах составляет 4% от амплитуды входного воздействия),
но переходной процесс - колебательный, с перерегулированием более
50% , временем регулирования более 20с и медленным затуханием.
Таким образом, наличие многоканального нечеткого регулятора
позволяет проектировать систему управления таким существенно не-
стационарным объектом как баллистическая ракета с весьма высоким
качеством управления (характеризуемое апериодическим переходным
процессом с малым временем регулирования и малой ошибкой рассо-
гласования при отработке программной траектории полета ракеты).
Поэтому применение нечеткого регулятора для такого объекта управ-
ления является целесообразным и перспективным.
Принцип работы рассмотренных нечетких регуляторов основан на
использовании алгоритма “минимаксного” нечеткого вывода Мамда-
ни (Max-Min Inference). Кроме того, использованы одни и те же тре-
угольные функции принадлежности как для входных параметров, так
и для выходного параметра нечеткого регулятора.
Анализируя работу нечетких регуляторов на основе алгоритма
“минимаксного” нечеткого вывода Мамдани, отметим следующий
96
Раздел 3
факт. Входные параметры регулятора и, на едином универсальном
множестве U = [0,1] можно определить как активные, изменение ко-
торых влияет на результирующую функцию принадлежности, а зна-
♦
чит, и на выходной параметр ис, и как пассивные, изменение которых
не влияет на результирующую функцию принадлежности, а значит, и
*
на выходной параметр ис. Например, из рассмотрения рис.3.2 и 3.3
*
можно заключить, что изменение параметра при условии
♦ ♦ ♦
Из < z/| < не влияет на результирующую функцию принадлежно-
сти и поэтому этот параметр можно определить как пассивный для
данной ситуации.
При работе нечеткого регулятора в системе автоматического
управления очевидны переходы каждого параметра из активной фазы
в пассивную и наоборот.
4. Ниже изложен синтез нечетких регуляторов, в основу работы
которых заложен алгоритм нечеткого вывода Сугено 0-го порядка.
При решении задачи синтеза нечетких регуляторов будем полагать,
что число термов, с помощью которых оцениваются лингвистические
переменные (входные параметры нечеткого регулятора) ошибка сис-
темы 9, скорость изменения (первая производная) ошибки 9, уско-
рение (вторая производная) ошибки 9, равно: а) 2, б) 3, в) 7. Отобра-
зим диапазоны [6>min,6>max], [0min,0max], [0min,0max] изменения вход-
ных параметров на единое универсальное множество по формулам
(3.1).
На универсальном множестве U = [0,1] зададим нечеткие под-
множества, ФП которых треугольной формы показаны: а) на рис.3.2,
б) на рис.3.3, в) на рис.3.4.
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* =	) и (0* -а^) и (0* =	), то (т* = Cj). (ЗА7)
где , aJ2 и aJ3 - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
97
Раздел 3
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, (а - j = 1,2; б - j = 1,3 ; в - j = 1,7).
Лингвистические оценки выбираем из терм-множеств лингвисти-
ческих переменных /?*, О*, в*:
a)	а{ G {отрицательная (1), положительная (2)};
б)	a- е {отрицательная (1), положительная (2),
близкая к нулю - нулевая (3)}
в)	a- g {отрицательная (1), отрицательная средняя (2),
отрицательная малая (3), близкая к нулю - нулевая (4),
положительная малая (5), положительная средняя (6),
положительная (7)}.
Q - индивидуальные выходы правил на универсальном множест-
ве U = [0,1]:
a) Cj = 0,	= 1; б) с, = 0, с2 = 1, с3 = 0,5;
q=0, с2 =0,167, с3 = 0,333, с4 - 0,5,
в)
с5 = 0,667, с6 = 0,833, с7 =1.
При нечетком логическом выводе вместо уровней “отсечения”
(операция логического минимума (min) - см. формулу (1.4)) для пред-
посылок каждого из правил найдем масштабирующие коэффициенты
(операция умножения prod):
А= Al (wi*) х Al (м2)х Al (г/з )]i
В= р2 (и* ) X цг (и2) X //2 («з )];
С= Аз («Г)х Аз («2)х Аз (мз)];
D=A40'i*)xA4(w2)xA4(A3)];
е=а5(иГ)ха5(м2)хА5(мз)];
G=A6(w1‘)xA6(m2)xA6("3)];
F= А7 (Mj* ) X А7 («2 ) х А7 (г'з)]•
98
Раздел 3
Четкое значение переменной выхода определяется по формулам:
♦ ACj 4" Вс^ 4"	+ ^^7
A+B+C+D+E+G+F
(3.50)
Полученное значение zz* на основании формулы (3.2) преобразу-
ется в значение управляющего воздействия на объект управления по
формуле (3.13):
™ ~~ wmin + (wmax — wmin }ис
Пример 3.3. Изложим синтез цифрового нечеткого регулятора
системы управления частотой вращения ротора газотурбинного двига-
теля [109, 143].
Газотурбинные двигатели (ГТД) широко применяются в газовой и
авиационной промышленности, где они являются основой соответст-
венно газоперекачивающих агрегатов [3, 184] и авиационных силовых
установок [157,183,193,195,215,216], в приводах промышленных элек-
трогенераторов пиковых и передвижных электростанций, в судовых
энергетических установках и на других промышленных объектах, где
требуется развитие больших единичных мощностей (от 1 до 25 МВт) в
одном агрегате при его минимальной массе и габаритах.
Типовым ГТД, находящим применение в промышленности, явля-
ется турбовальный двигатель (ТВаД), схема которого представлена на
рис.3.21. Он представляет собой роторную машину, в которой в ком-
прессоре 1 происходит сжатие воздуха, в камере сгорания 2 осуществ-
ляется процесс горения топлива, подводимого к воздуху, в турбине
компрессора 3 часть энергии отбирается от горячих газов, расходуясь
на привод компрессора 1, в турбине 4 газы, расширяясь, создают
мощность, отбираемую от двигателя потребителем.
К газотурбинным двигателям предъявляется комплекс требова-
ний, связанных с их энергетической эффективностью, безопасностью
и экологичностью эксплуатации, надежностью. Наряду с этими требо-
99
Раздел 3
ваниями, актуальными являются требования к качеству переходных
процессов, связанных с запуском агрегата, резким изменением отби-
раемой нагрузки (мощности). Во многом решение задач удовлетворе-
ния всем этим требованиям возлагается на системы автоматического
управления (САУ) ГТД.
В подавляющем большинстве ГТД частота вращения ротора явля-
ется управляемой величиной. В качестве управляющего фактора в
САУ частотой вращения ротора п используется расход топлива GT в
камеру сгорания. На разных режимах работы и при различных внеш-
них условиях параметры двигателя существенно изменяются.
Рис.3.21. Схема типового промышленного ГТД:
1-компрессор; 2-камера сгорания; 3-турбина компрессора;
4-силовая турбина.
Рассмотрим газотурбинный двигатель (ГТД) как нестационарный
объект управления, для которого частота вращения ротора п - управ-
ляемая переменная, а расход топлива GT - управляющее воздействие.
Линеаризуя зависимости момента турбины Мт и момента компрес-
сора Мк от частоты вращения ротора и не учитывая влияние тепло-
вой и массовой емкостей двигателя, для конкретного режима работы
записывают передаточную функцию двигателя следующим образом
[18,146,215-217]:
Gra(s) = ^W
Д Gr(s) T^s + X
где коэффициент усиления и постоянная времени определяются как
(3.51)
100
Раздел 3
дМ^ дМ
_dGT dGr 0 ™	_ 2лУ
ГТД~ ,дМк дМГх	’ ,дМк дМ
“Л "о	~~
дп	дп	сп дп
(3.52)
причем, входной и выходной сигналы записываются в относительных
безразмерных отклонениях от установившегося режима
(/7 = Ал7//70; Gt-\GtIG1q. где и0, Gro - базовые значения пара-
метров, выбранные для определенного режима работы двигателя, на-
пример, номинального или максимального). На разных режимах рабо-
ты и при различных внешних условиях коэффициент усиления и по-
стоянная времени двигателя существенно изменяются, поэтому для
каждого режима необходимо определять свои значения коэффициен-
тов К ид и .
Заметим, что передаточная функция G/7J(s) для нестационарно-
го объекта управления, каким является газотурбинный двигатель, по-
лучена методом ‘‘замороженных” коэффициентов при условии доста-
точно медленного изменения параметров объекта [205].
Структурная схема аналоговой электромеханической системы ав-
томатического управления частотой вращения ротора двигателя при-
ведена на рис.3.22.
У Дв+Ред ДК ГТД
Рис.3.22
Частота вращения ротора двигателя задается напряжением
и измеряется импульсным датчиком ИД, частота выходного сигнала
которого определяется выражением f — kmn, где п ~ число оборотов
двигателя, гп - число зубьев индуктора, к - коэффициент передачи.
101
Раздел 3
Переменное напряжение, снимаемое с выхода ИД, с помощью элек-
тронного преобразователя частоты ЭПЧ преобразуется в сигнал u2(t),
величина которого пропорциональна числу оборотов двигателя п.
Напряжение w2(/) сравнивается с задающим напряжением и сигнал
ошибки после усилителя У поступает на двухфазный асинхронный
двигатель Дв, который через редуктор Ред регулирует дроссельный
кран ДК, изменяя расход топлива в газотурбинный двигатель. Им-
пульсный датчик вместе с электронным преобразователем частоты
можно описать пропорциональным звеном с передаточной функцией,
равной единице. При этом система (см. рис.3.22) имеет единичную
отрицательную обратную связь.
Рассматривая последовательное соединение усилителя, асинхрон-
ного двигателя, дроссельного крана, газотурбинного двигателя и час-
тотного датчика с электронным преобразователем частоты в качестве
общего объекта управления и применяя цифровой нечеткий регуля-
тор, можно преобразовать структурную схему на рис.3.22 в структур-
ную схему, которая изображена на рис.3.1. Использование цифрового
нечеткого регулятора требует дополнительного применения аналого-
цифровых (АЦП) и цифроаналогового (ЦЛП) преобразователей.
Передаточную функцию объекта управления в структурной схеме
на рис.3.1 можно записать в виде:
Со(^) = KyGдВ(8}КрщКдКСруд(s) - cr[s(5 + a)(s + 6)] ’, (3.53)
где а = аЬКуКдв К РЕД Кдк Ка = 1 / Тдв, 6 = 1/ Т^д,
Допустим, что зависимости параметров передаточной функции
Gq(s) от времени работы ГТД определяются следующим образом:
=	7}^ (/>0,9849-0,1188/+ 0,0063/2 -0,00012/3;
а(/) = 16,5475 -4,4469/ + 0,4843г - 0,02315/3 +0,0004/4;
TnR - 0,35 с.
При исследовании системы управления (см. рис.3.1) предполо-
жим, что заданная функция изменения частоты вращения ротора газо-
турбинного двигателя задается входным напряжением
102
Раздел 3
	2/2	п	*7 —	при 0<t<-^; ТГ
«(0 = ч	1 2t-rr (2t-Tr)2	г..	z„ _ - +				 при —<t<Tr\	(3.54) 2	2гг2	2 1	при t>Tr,
где тг - время разгона газотурбинного двигателя. За время разгона
двигателя параметры двигателя изменяются и после разгона остаются
постоянными. Зависимости параметров передаточной функции Со(5)
от времени работы газотурбинного двигателя представлены на
рис.3.23.
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления частотой вращения ротора двигателя с
цифровым нечетким регулятором представлена на рис.3.24.
Математическая модель нестационарного апериодического звена
описывается дифференциальным уравнением
+ b(t)x(f) = «(/)*, (Г).	(3.55)
at
Это звено собрано на двух умножителях Dot Product 1,2, интеграторе
Integrator 2 и сумматоре, jq (/) - сигнал на выходе блока Integrator!,
= u^t) - выход системы.
На вход блока Polinoms (см. рис.3.24 и 3.25) поступает текущее
время t с выхода блока Ramp. На выходе блока Polinoms формиру-
ются сигналы и b(t), которые в блоках перемножения Dot
Product умножаются на соответствующие сигналы согласно записан-
ному выше дифференциальному уравнению нестационарного аперио-
дического звена. Во время разгона газотурбинного двигателя сигналы
a(t) и b(t) формируются в блоках Fcn и Fcn\, а при достижении
шестой секунды при помощи переключателей Switch 1,2 устанавлива-
ются постоянные значения (см. рис.3.23).
103
Раздел 3
Входной сигнал и{1) = щ (Z) согласно записанному выражению
(3.49) для разгона двигателя формируется в блоке Polinomsl (см
рис.3.24 и 3.26). На вход блока Polinomsl поступает текущее время t
с выхода блока Rampl. Сигнал на интервале 0 < t < тг /2 формиру-
ется блоком Fcn , па интервале тг / 2 < t < тг - блоком FcnX, а при
достижении шестой секунды устанавливается постоянное значение,
равное 1. Соответствующие переключения осуществляются блоками
Switch и Switch 1 (см. рис.3.26).
Ошибка рассогласования ~	~	в систе-
ме управления с нечетким регулятором (см. рис.3.24) квантуется ана-
лого-цифровым преобразователем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом
квантования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
/7q=0,01 с. Ошибка на выходе АЦП @(к), ее первая
O(k) = [0(k)-0(k-\)]/h и вторая O(k) = [0(k)-0(k-l)]/h разно-
сти подаются на вход нечеткого регулятора (Controller). Блок Con-
troller содержит блоки нормировки входных (normin) и выходного
104
Раздел 3
(normout) сигналов и центральный блок Fuzzy Logic Controller (см.
рис.3.27) Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП (фиксатор
нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной функцией
H(s) = (1 s) и далее на вход объекта управления.
Рис.3.24
Рис.3.26
Рис.3.25
105
Раздел 3
В центральном блоке нечеткого регулятора Fuzzy Logic Controller
выбираются треугольные функции принадлежности (входные member-
ship functions - см. рис.3.2-3.4) для входных лингвистических пере-
менных ошибка системы 0, скорость изменения (первая производ-
ная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки 0 , устанав-
ливаются четкие значения Cj выходной переменной управляющее воз-
действие на универсальном множестве (выходные membership func-
tions) и база правил rules (ЗАТ). Настройка регулятора осуществляется
выбором диапазонов изменения входных и выходного параметров не-
четкого регулятора.
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного параметров нечеткого регулятора при-
нимаем симметричными:
^max — ~^min’ ^тах — — ^min’ ^тах — —^min ’ wmax ” —wmin ’
и производим нормировку (пересчет) по формулам (3.41).
Схема блоков нормировки входных и выходного параметров
normin приведена на рис.3.28.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпЛзхГ [ЗтпАахГ [ЗтпАах]. Итт^тах] ПРИ °ИенКе ЛИН’
гвистических переменных двумя термами после настройки регулято-
ра следующие:
[-0,0008, 0,0008], [-0,0035, 0,0035], [-0,2, 0,2],[-30, 30].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
KunAaxL KiinAaxb [ЗтпЛахГ I Wmin > Wmax ] ПРИ °UeHKe ЛИН'
гвистических переменных тремя термами после настройки регулятора
106
г сидел
следующие:
[-0,0005, 0,0005], [-0,002, 0,002], [-0,2, 0,2], [-30, 30].
Рис.3.28
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпАахЬ [0m,nAaJ’ [Зп.пЛаЛ’ [Wmin>Wmax] ПРИ О^НКе ЛИН-
генетических переменных семью термами после настройки регулято-
ра следующие:
[-0,0005, 0,0005], [-0,0007, 0,0007], [-0,2, 0,2], [-30, 30].
На рис.3.29-3.31 представлены результаты исследования точности
отработки системой автоматического управления заданного закона
изменения входного воздействия при использовании нечеткого регу-
лятора с оценкой входных параметров соответственно двумя, тремя и
семью термами: а - вход u(t) и выход x(j) системы; б - текущая
ошибка 0(1) = u(t) — x(f)*9 в - управляющее воздействие на объект
управления m(t). Значения максимальных текущих ошибок указаны
на рисунках. Эти значения весьма малы. Практически выход системы
повторяет входное воздействие.
При использовании алгоритма нечеткого вывода Сугено 0-го по-
рядка увеличение числа термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные, с двух до семи не дает никакого суще-
ственного уменьшения динамической ошибки (в отличие от алгоритма
нечеткого вывода Мамдани). Поэтому целесообразно использовать
только два терм-множества (две функции принадлежности
107
Раздел 3
108
Раздел 3
Рис.3.31
В работе [122] исследована система адаптивного управления часто-
той вращения ротора газотурбинного двигателя при рассмотренных вы-
ше параметрах объекта управления и таком же входном воздействии.
Сравнительная оценка качества работы (характеризуемого текущей
ошибкой) системы адаптивного управления и системы, рассчитанной на
базе нечеткой логики, дает возможность заключить, что применение не-
четкого регулятора для управления частотой вращения ротора газотур-
бинного двигателя является весьма целесообразным, поскольку динами-
ческая ошибка в системе с нечетким регулятором более чем на три по-
рядка меньше динамической ошибки в адаптивной системе.
Анализируя работу нечетких регуляторов на основе алгоритма
нечеткого вывода Сугено 0-го порядка, когда при логическом выводе
используется операция умножения prod, следует отметить тот факт,
*
что все входные параметры регулятора на едином универсальном
множестве U = [0,1] являются активными, поскольку изменение лю-
бого параметра влияет на выходной параметр ис.
109
Раздел 3
5. Рассмотрим синтез нечетких регуляторов с переключением на
два режима работы: режим отработки скачков входного воздействия и
режим слежения за медленно изменяющимся входным воздействием.
В первом режиме необходимо обеспечить максимальное быстродейст-
вие (минимальные время установления и время регулирования), во
втором режиме - максимальную точность отработки входного сигнала
(минимальную текущую ошибку).
Вначале проведем синтез нечеткого регулятора, обеспечивающего
максимальное быстродействие. Для простоты решения задачи синтеза
нечеткого регулятора будем полагать, что число термов, с помощью
которых оцениваются лингвистические переменные (входные и вы-
ходной параметры нечеткого регулятора) ошибка системы в, ско-
рость изменения (первая производная) ошибки 0, ускорение (вторая
производная) ошибки в , управляющее воздействие на объект т , ми-
нимально, т.е. равно 2. Отобразим диапазоны [0min,0max], tonin’^тахЬ
timin’^тах] и [Wmin’^тах] изменения входных и выходного парамет-
ров на единое универсальное множество по формулам (3.1).
На множестве U = [0,1] зададим два нечетких подмножества, ФП
которых треугольной формы показаны на рис.3.32.
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* =	) или (0*=а2) или (0*=а^), то (т* = aJc)
; =	(з.5б)
где а/, а{ и - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,2 ; aJc - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных 0* , и , 0* и т* :
а- е {отрицательная (1), положительная (2)}.
110
Раздел 3
Пусть //y(xJ функция принадлежности параметра х,. e[xw-,xe/]
нечеткому терму а/, i - 1,3; j = 1,2 . Тогда fl”1 (0, в^в) - зависящая
от трех переменных (х1 = 0\ х2 = 0\ х3 = 0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) ,j -1,2, определяется из системы нечетких
логических уравнений:
(X], х2, х3) = /? (х,) v ц1 (х2) v (х3).	(3.57)
Таким образом, /лт' (хр х2,х3) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
(хрх2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функ-
ция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с
111
Раздел 3
рабочим правилом HP записывается в виде
/(xl,.r;,x,)=/l(xl,x2,Xj)v/;(.rl,x,jj)	(3.58)
В выражениях (3.57) и (3.58) v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений функция
принадлежности управляющего воздействия нечеткому мно-
жеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
А= maxLu, (wf),(и2	(и3)],	(3.59)
а функция принадлежности управляющего воздействия /л^ (и) нечет-
кому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= тах[//2 («1), Аг (м2 )- Аг («з )] 	О-60)
Находим границы wcmaxl и wcmax2 наибольшего из максимумов
тах[А,В] и определяем четкое значение выходной переменной w*
методом среднего максимума (mean of max, mom):
+^cmax2	(3 61)
(на рис.3.30 wt.maxl = u2 и wctnax2 =1).
Синтез нечеткого регулятора, обеспечивающего максимальную
точность отработки входного сигнала (минимальную динамическую
ошибку) можно проводить, используя формулы (3.1 )-(3.13).
При синтезе рассматриваемых регуляторов (обеспечивающих
максимальное быстродействие или максимальную точность отработки
входного сигнала) использование вместо треугольных функций при-
надлежности экспоненциальных, гауссовых, Z- и S-функций часто да-
ет лучшие результаты.
Пример 3.4. Изложим синтез цифровых нечетких регуляторов с
переключением на два режима работы в системе управления темпера-
турой газа двухроторного газотурбинного двигателя. Линейную мо-
дель двухроторного ГТД, работающего на базовом режиме малого га-
за, вместе с исполнительным механизмом (Object MG) можно пред-
ставить структурной схемой, изображенной на рис.3.33 (параметры
ГТД в структурной схеме указаны на рисунке).
112
Раздел 3
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления температурой газа двухроторного газотур-
бинного двигателя с цифровыми нечеткими регуляторами представле-
на на рис.3.34. Предположим, что система, находившаяся в устойчи-
вом (нулевом) состоянии, подвергается возмущению, которое скачком
изменяет выходную величину объекта управления. Задача системы -
быстро компенсировать возмущение и привести систему в первона-
чальное устойчивое состояние.
Рис.3.33
При подаче ступенчатого возмущения от блока Step вначале ра-
ботает нечеткий регулятор FC1, который быстро уменьшает ошибку
рассогласования. При достижении ошибкой значения 0,009 по модулю
переключатель Switch подключает выход нечеткого регулятора FC2 и
этот регулятор работает в режиме слежения, обеспечивая малую те-
кущую ошибку рассогласования.
Структурные схемы нечетких регуляторов FC1 и FC2 представ-
лены соответственно на рис.3.35 и 3.36. В регуляторе FC1 использо-
ваны симметричные Z- и S-функции принадлежности, в регуляторе
FC2 - симметричные гауссовы функции принадлежности, приведен-
ные на рис.3.37. Параметры функций принадлежности, указанные на
рисунках, выбраны при настройке нечетких регуляторов.
Блоки оценки первой (1-st drv) и второй (2-nd drv) производных от
ошибки реализуют уравнения
« {0(к^) - 0((к - 1)Ао]} / Ao, 0(t) * {0(кко) - 0[(А -1)Ао]} / Ао •
ИЗ
Раздел 3
Рис.3.34
normin	normout
Рис.3.35
normin
Рис.3.36
114
Раздел 3
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных параметров нечеткого регулятора приняты симмет-
ричными: 0max=-0min; 0max	0max=-0min и нормировка
(пересчет) произведен по формулам (3.41).
FC 1	FC 2
Блоки нормировки входных (normin) и выходного (normout) па-
раметров в нечетких регуляторах FC1 и FC2 собраны по схемам,
приведенным на рис.3.10, но с другими значениями диапазонов.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
Ain - Ах ] > Ain > Ах ] > [Wm,n > '"max ] "ОСЛе НЭСТрОЙКИ НСЧеТКОГО реГу-
лятора FC1 следующие:
[-0,498, 0,498], [-2,359 2,359], [-1,02 1,02].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAaxL AinAaxL AinAaxL ['"minimax] П0СЛе НаСТрОЙКИ Не-
четкого регулятора FC2 следующие:
[-0,469, 0,469], [-2,227 2,227], [-32,913 32,913],
[-2,346 2,346].
При настройке цифровых нечетких регуляторов в интерактивной
системе MATLAB использован блок NCD (Nonlinear Control Design),
который реализует метод динамической оптимизации для проектиро-
вания систем управления.
На рис.3.38 представлены процессы в системе автоматического
управления температурой газа двухроторного газотурбинного двига-
теля с двумя нечеткими регуляторами FC1 и FC2 (см. рис.3.34) при
115
Раздел 3
отработке системой единичного ступенчатого возмущения на выходе:
а - возмущение u(t) и выход системы x(t); б - динамическая ошибка
0(t) = u(t) - х(7) и управляющее воздействие на объект управления
; в - сигнал на выходе исполнительного механизма G(t). Время
регулирования составляет примерно 0,9с. Перерегулирование около
нуля. Максимальная динамическая ошибка практически нулевая.
На рис.3.39 представлены процессы в системе автоматического
управления температурой газа двухроторного газотурбинного двига-
теля с одним нечетким регулятором FC2 при отработке системой еди-
ничного ступенчатого возмущения на выходе.
116
Раздел 3
При использовании в системе управления только одного нечетко-
го регулятора FC2 при условии его настройки можно получить пере-
ходный процесс с перерегулированием сг = 8,2% и временем регули-
рования 1,5с.
Таким образом, применение двух нечетких регуляторов является
целесообразным, поскольку позволяет получить более высокое каче-
ство системы управления.
В заключение сформулируем методику параметрического синтеза
цифровых нечетких регуляторов HP в замкнутых системах автомати-
ческого управления. Эта методика, использующая интерактивную
систему MATLAB, заключается в следующих шагах.
1.	В качестве входных переменных HP используем ошибку О,
первую производную в и вторую производную 0 ошибки. Выходная
переменная - управляющее воздействие на объект управления т.
2.	Производим выбор вида функций принадлежности ФП нечет-
ких термов, оценивающих входные и выходую переменные HP на
универсальном множестве [0,1]. Число термов для каждой перемен-
ной выбираем равным двум, например, ошибка - отрицательная, по-
ложительная. При этом ФП - непрерывные на универсальном мно-
жестве, симметричные (одна убывающая, другая возрастающая), пе-
ресекающиеся при значении абсциссы 0,5.
3.	Формируем два (по числу термов) лингвистических правила
управления и осуществляем формализацию лингвистических правил
управления системой логических уравнений.
4.	Задаем начальные значения оптимизируемых параметров HP -
диапазонов изменения входных и выходной переменных HP и пара-
метров ФП.
5.	Задаем шаг квантования h в системе, временной интервал на-
блюдения, выбираем критерий качества и метод параметрической оп-
тимизации.
6.	Рассчитываем с шагом моделирования Ао (< h) критерий
качества замкнутой системы при заданных задающем и помеховом
воздействиях для выбранного интервала наблюдения. При этом вы-
полняем следующие шаги: а) производим переход от значений вход-
ных переменных HP, выраженных в физических величинах, к соответ-
ствующим значениям универсального множества, на котором заданы
117
Раздел 3
ФП нечетких термов (по формулам (3.1) или (3.41) в блоке нормиров-
ки normin); б) осуществляем выбор метода дефаззификации и произ-
водим расчет выхода HP ис на универсальном множестве; в) произ-
водим переход от полученного значения выхода HP на универсальном
множестве к значению управляющего воздействия т (по формулам
(3.2) или (3.13) в блоке нормировки normout); г) осуществляем расчет
выхода объекта управления при данном т ; е) определяем значение
текущей ошибки в замкнутой системе автоматического управления
для каждого ; ж) для выбранного временного интервала наблюде-
ния рассчитываем значение критерия качества.
7.	Процедуру повторяем (с другими значениями диапазонов изме-
нения входных и выходной переменных и параметров ФП) до тех пор,
пока не будет получено либо минимальное значение критерия качест-
ва либо удовлетворяющее разработчика качество системы управления
с HP. Соответствующие этой ситуации значения параметров HP (диа-
пазонов изменения входных и выходной переменных и параметров
ФП) выбираем в качестве оптимальных.
Изложенная методика параметрического синтеза цифровых не-
четких регуляторов отличается от известных следующим. Синтез вы-
полняется путем оптимизации диапазонов изменения входных и вы-
ходной переменных регулятора и параметров функций принадлежно-
сти нечетких термов. В качестве входных переменных нечеткого ре-
гулятора используются ошибка, первая и вторая производные ошибки,
а выходной переменной регулятора является управляющее воздейст-
вие на объект управления. Для упрощения расчетов используются
только две лингвистические оценки (два терм-множества) для вход-
ных и выходной переменных регулятора: «отрицательная», «положи-
тельная». Причем функции принадлежности указанных терм-
множеств на универсальном множестве являются непрерывными,
симметричными и пересекающимися в центре универсального множе-
ства. Различные функции принадлежности и алгоритмы Мамдани и
Сугено нечеткого вывода (определения выхода HP ис на универсаль-
ном множестве) заложены в пакете нечеткой логики (Fuzzy Logic
Toolbox) интерактивной системы MATLAB.
118
Раздел 3
В теории управления на базе нечеткой логики рассматриваются
также вопросы о полноте и непротиворечивости совокупности правил
управления [88].
Для лингвистических правил управления (рабочих правил) нечет-
кого регулятора
Если (0* =<?/) и (0* =а^) и (0* =а^), то (т* = а{.) ,J = 1,2,
(3.62)
где а/, ^2 и aJ3- лингвистические оценки ошибки 0(7), скорости из-
менения (первой производной) ошибки 0(f) и второй производной
ошибки 0(f), рассматриваемые как нечеткие множества, определен-
ные на универсальном множестве, требование полноты правил управ-
ления сводится к выражению
3
U = (jSupp(a/),	(3.63)
!
где Supp(a- ) - носитель нечеткого множества а/. Содержательно
это означает, что для каждого текущего пересчитанного на универ-
сальное множество значения ошибки W](7), первой производной
ошибки u^(t) и второй производной ошибки u^(t), т.е. для каждого
текущего состояния процесса wz, i - 1,3, на универсальном множест-
ве существует ходя бы одно управляющее правило, посылка которого
имеет ненулевую степень принадлежности для wz, i = 1,3.
При использовании функций принадлежности ФП, приведенных
на рис.2.8 - 2.14, требование полноты правил управления удовлетво-
ряется для каждого текущего состояния процесса wz, i = 1,3.
Непротиворечивость совокупности правил управления чаще всего
трактуется как отсутствие управляющих правил, имеющих сходные
посылки и различные или взаимоисключающие следствия. Очевидно,
что при использовании ФП, приведенных на рис.2.8 - 2.14, требование
непротиворечивости совокупности правил управления также выпол-
няется для каждого текущего состояния процесса wz, i = 1,3.
119
Раздел 3
3.2. Аналитические выражения для управляющих воздейст-
вий на выходе нечеткого регулятора. Проектирование нечетких
регуляторов. Оптимизация параметров нечетких регуляторов
Ниже получены аналитические выражения для управляющих воз-
действий на выходе нечеткого регулятора, приведена основная функ-
циональная схема и изложен новый метод проектирования нечетких
регуляторов, рассмотрены вопросы оптимизации их основных пара-
метров путем минимизации выбранного критерия качества для полу-
чения оптимальных переходных и установившихся процессов в сис-
темах управления с нечеткими регуляторами [21,23,24,28,35,74-76,83].
Применение нечетких регуляторов (регуляторов, работающих на
базе нечеткой логики) для управления различными (в частности, не-
стационарными и нелинейными) объектами показывает их высокую
эффективность и в ряде случаев существенные преимущества перед
линейными цифровыми регуляторами [5-7,9,28,169,174]. Основными
параметрами цифровых нечетких регуляторов, при которых произво-
дится их синтез и расчет, являются, во-первых, количество и форма
функций принадлежности fAT(и) лингвистических терм-множеств и,
во-вторых, диапазоны изменения входных и выходной лингвистиче-
ских переменных ошибка, первая производная ошибки, вторая произ-
водная ошибки, управляющее воздействие на объект, т. е. [^min, 0тях ],
’ ^max ]. О™ 1 ’ t^min ’ ^max 3 *
Выбор функций принадлежности при синтезе нечетких регулято-
ров для систем автоматического управления имеет специфические
особенности. Эти особенности обусловлены тем, что на вход нечетко-
го регулятора, как правило, поступают три лингвистических перемен-
ных - ошибка системы 0, скорость изменения (первая производная)
ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки 0, которые каче-
ственно можно охарактеризовать (с целью упрощения расчетов) толь-
ко двумя терм-множествами (лингвистическими величинами), напри-
мер, отрицательная - 1, положительная - 2. Эти терм-множества
описываются на универсальном множестве U соответственно двумя
функциями принадлежности ФП: //](«) и	ФП определяет
степень принадлежности каждого элемента и множеству U числом
120
Раздел 3
между 0 и 1, которое называют степенью истинности рассматривае-
мой лингвистической переменной данному терму. Поэтому функции
и //2(п) Должны быть симметричными друг относительно
друга и пересекаться при значении и - 0,5. Кроме того, функция
(и) должна быть убывающей, a //2(w) " возрастающей.
Аналитические выражения часто используемых на практике
функций принадлежности заданы формулами: (2.25) - для треуголь-
ных ФП, (2.29) - для возведенных в степень треугольных ФП, (2.30) и
(2.40) - для колоколообразных ФП, (2.31) - для гауссовых ФП, (2.32) -
для экспоненциальных ФП, (2.33), (2.35) и (2.34), (2.36) - соответст-
венно для Z-функций и S-функций, (2.38) - для сигмоидальных ФП.
Симметричные друг относительно друга функции принадлежно-
сти, аналитически определяемые формулами (2.26)-(2.32), имеют
только один параметр - коэффициент с, которым можно варьировать
при настройке нечеткого регулятора, что удобно с практической точки
зрения. Функции принадлежности, аналитически определяемые фор-
мулами (2.33), (2.34), (2.38) и (2.40) кроме коэффициента с, который
определяет значение абсцисс функций при значении ординат равном
0,5, имеют второй параметр - коэффициент а, который определяет
крутизну кривых.
Для выходной лингвистической переменной - управляющего воз-
действия на объект управления т можно использовать такие же ФП,
как и для входных лингвистических переменных.
Диапазоны изменения входных переменных
timin’^maxL l^mm’^max] и текущие значения входных переменных
9,0,0 пересчитываются (отображаются) на единое универсальное
множество U = [0,1] по формулам (3.1). Полученное в результате ре-
шения значение выхода ис нечеткого регулятора на едином универ-
сальном множестве U = [0,1] пересчитывается в значение управляю-
щего воздействия на объект управления т по формуле (3.2).
При симметричных диапазонах входных и выходной переменных
пересчет осуществляют по формулам (3.41).
В качестве примера на рис.3.40 показаны экспоненциальные
функции принадлежности на универсальном множестве и диапазоны
121
Раздел 3
изменения переменных, а также результирующая ФП (жирная линия)
для конкретных переменных, при условии, что для каждой лингвисти-
ческой переменной функции принадлежности заданы одной и той же
формы с одним и тем же параметром настройки с.
। । ।
-----------------------------------л---->
mmin	m	mmax щ
Рис.3.40
Результирующую ФП получают обычно “минимаксным” мето-
дом, а расчет абсциссы центра тяжести sc = S(uc,juc) участка площа-
ди, охватываемой результирующей ФП //(и) в пределах изменения
переменной и от и - U} др и = U2, удобно выполнять, используя
численное интегрирование по методу трапеций (с шагом дискретиза-
ции uQ), по формуле (1.2).
При определении результирующей ФП необходимо определять
абсциссы точек пересечения ФП нечетких подмножеств (например,
термов положительная-1. отрицательная -2) с горизонтальными
прямыми на расстоянии А и В от оси абсцисс. Наиболее просто это
выполнить для треугольных ФП.
122
Раздел 3
Для возведенных в степень треугольных ФП (см. формулы (2.29))
абсциссы точек пересечения определяются как
w* = 1 - (А или 5)1/с и и* = (А или 5)1/с .	(3.64)
Для ФП колоколообразного вида (см. формулы (2.30)) абсциссы
точек пересечения определяются как
м* =	1 ы ’2 и «* = 1 - gC.1 -1)172 • (3.65)
(Л или В)	(А или В)
Для гауссовых ФП (см. формулы (2.31)) абсциссы точек пересече
ния определяются как
и* = с(-21п(Аили В))^2 и и* = 1 -с(-21п(Л или В))^2. (3.66)
Для экспоненциальных ФП (см. формулы (2.32)) абсциссы точек
пересечения определяются как
и* = 1п(Л или В) и w* = 1 + — 1п(Л или В).	(3.67)
с	с
Для Z-функции и S-функции (см. формулы (2.33) и (2.34)) абсцис-
сы точек пересечения определяются как
* < , /> х 1~(А или В) , ,
и -i-b + (b-a)J-------, если 1 -Ь < и < 1 -
♦	.	/14 /(Я или В)	а + b
и = \-а + (Ь-а)у---, если 1-----< и < 1
V 2	2
*	. (А или В)	а + Ь
и = а + (Ь-а).----, еслиа<и<----;
V 2	2
* ,	. 11-(А или В) а + Ь
и =b + (b-a).l------, если --<и<1
12	2
>(3.68)
Для сигмоидальных ФП (см.формулы (2.36)) абсциссы точек пе-
ресечения определяются как
* 11 * 1 1
и = 1 - с + — 1п[--1] и и =с — 1п[------1] .
а (А или В)	а (А или В)
(3.69)
Окончательный выбор функций принадлежности для нечеткого
регулятора в системе автоматического управления возможен только
при оптимизации основных параметров регулятора (диапазонов изме-
123
Раздел 3
нения лингвистических переменных, формы и параметров функций
принадлежности лингвистических величин) [106].
Можно получить аналитические выражения для управляющих
воздействий на выходе нечеткого регулятора, в блоке формирования
логического решения которого используются определенные функции
принадлежности.
1. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных возведенных в степень
треугольных функциях принадлежности [23].
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.41): //j(w) = (1-м)с, и е[0,1]; A2(w)”wC’ we [0,1].
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных	и v с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
U\ , и^ , и$* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.41). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для этого момента времени
* * *
значения переменных и\ , U2 , ^3 •
а)	б)
Рис.3.41
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
124
Раздел 3
менения входных сигналов (параметров нечеткого регулятора) при-
нимаем симметричными:
^max	^max	^max “ ~^min-
Тогда формулы для нормировки (пересчета) принимают вид (см. фор-
мулы (3.41)):
Щ* = -(**-0min)/(20min);
и2 “	>	(3.70)
w3 “	” ^min V(2^min )•
Лингвистическое правило управления нечеткого регулятора фор-
мулируется виде (см. формулу (3.5)):
Если (0* = а{) и (0* -а^} и (0* = aJ^ ), то (т = ,j = 1,2,
(3.71)
где а/, и а$- лингвистические оценки ошибки, первой производ-
ной ошибки и второй производной ошибки, рассматриваемые как не-
четкие терм-множества, определенные на универсальном множест-
ве, у = 1,2 ; aJc - лингвистические оценки управляющего воздействия
на объект, выбираемые из терм-множества переменной т . Лингвис-
тические оценки выбираются из терм-множеств лингвистических пе-
ременных 0* , и , 0* и т* :
а- е {отрицательная (1), положительная (2)}.
В соответствии с лингвистическими правилами управления функ-
ция принадлежности управляющего воздействия Ц\с(и) нечеткому
терм-множеству “отрицательная” ограничена сверху значением:
А=	(щ ),щ (и*2),(«з)],	(3.72)
функция принадлежности управляющего воздействия Р2с(и) нечет"
кому терм-множеству “положительная” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (W|*), /j2 (и2), V2 («з)] •	(3.73)
Результирующая функция принадлежности для управляющего во-
здействия определяется как
125
Раздел 3
At (w) = Alc(M) v ^2c(«)’	(3-74)
т.е. получается формированием максимума
цс(и) =max[//k.(и), ц2с(и) ].	(3.75)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т* формируется “результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП, и производится поиск абсциссы “центра тяжести
результирующей фигуры“ ис. Общая формула для определения абс-
циссы “центра тяжести результирующей фигуры “ записывается в ви-
де (см. формулу (1.1)):
1
ис = О-----------•	(3.76)
О
Отметим весьма существенный факт. Какие бы значения не при-
♦ * *
нимали переменные и\ , uz , на универсальном множестве
(7 = [0,1], в зависимости от соотношений величин А и В “результи-
рующая фигура” может принимать только две конфигурации: при
А < В первая конфигурация показана на рис.3.41,а; при А > В вто-
рая конфигурация показана на рис.3.41,6.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < В определяется по формуле
су/а cJb	1
A ^udu 4- j uc^du 4- В ^udu
ис - ——^~=----------------—— при А < В. (3.77)
с cJa cJb 1
A feu+ j ucdu + B ^du
0 cJa c4b
После несложных вычислений находим:
126
Раздел 3
ис = 2 2(с + 2) ------------- при А < В. (3.78)
с -+1 -+1
В +-----(Ас -Вс )
С + 1
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
1-V7	\--Jb	1
A fudu + j (l-u)cudu + B ^udu
ис =-----при А > В. (3.79)
с \-с/а \-с4в	1
A fdu + j ()-u)cdu + B fdu
o i-Va	i-Vs
После несложных вычислений находим:
1.1,	2 ,
А с	—И	—И	с*	—И
----— (Ас -Вс ) +—- (Ае
_ 2 с + 1	2(с + 2)
2+1
-Вс )
------- при А > В.
с -+1	-+i
А-------(Ас -Вс )
(3.80)
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления. При симметричных диа-
пазонах изменения выходных сигналов ()
v II Id А	111111 /
т* =wmin(1-2wc)-	(3-81)
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.77) и
(3.79) использованы следующие неопределенные интегралы:
Г с .	1	с+1 Гп .С.	(l-w)C+1
\и du =-----и ; 1(1—w) du = -~--------—
J C+l J	с+1
f(l - и) udu =--— [w(l - м)<?+| + ———-].
J	c+l	c+2
127
Раздел 3
Наиболее часто в нечетких регуляторах используются треуголь-
ные функции принадлежности, для которых с - 1 (см. рис.3.42).
Рис.3.42
Подставляя значение с = 1 в формулы (3.78) и (3.80), для управ-
ляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных
треугольных функциях принадлежности получаем следующие резуль-
таты.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при
А < В определяется по формуле
£/2 + (Л3-53)/6	, „	„
и С =------1----S---- ПРИ Л < В. (3.82)
В + (А2-В2)/2
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
(Я-Л2+Я2)/2 + (Л3-53)/6	, „
ис = ±при А > В. (3.83)
А-(А2-В2)/2
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,01, В=0,3, с=3 получаем ие = 0,7272.
При А=0,3, В=0,01, с=3 получаем ис = 0,2728.
128
Раздел 3
При А=0,2, В=0,4, с=1 получаем ис - 0,5608.
При А=0,4, В=0,2, с=1 получаем ис - 0,4392 .
2.Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных экспоненциальных
функциях принадлежности [24]
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, экспоненциальные функции принадлежности (ФП)
которых для каждой лингвистической величины определяются по
формулам (см. рис.3.43):
^{и) = е~си, we [0,1]; ^2(М) = е"с(|-и), we[0,1].
Отметим, что при синтезе нечетких регуляторов в системах авто-
матического управления наиболее часто используются треугольные и
экспоненциальные функции принадлежности для лингвистических
величин, причем при использовании экспоненциальных ФП часто
можно получать значительно меньшие ошибки рассогласования в
замкнутых системах автоматического управления [28]. При экспонен-
циальных ФП абсциссу “центра тяжести результирующей фигуры”
определяют обычно приближенным методом численного интегриро-
вания. Ниже получены аналитические выражения для управляющих
воздействий при экспоненциальных ФП.
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, и с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
и*, ^2* , w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет значе-
ний ФП для этих переменных (см. рис.3.43). Точками на универсаль-
ном множестве отмечены возможные для этого момента времени зна-
* * ♦
чения переменных и\ ,	.
Какие бы значения не принимали переменные «]*,	, W3* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.43,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.43,б.
129
Раздел 3
Рис.3.43
Абсцисса “центра тяжести результирующей
А < В определяется по формуле
1+-In А	1+-InB	1
A ^udu + j e~c^~“^udu + В ^udu
°	1+- In Я	1+-1пВ
С	с
ис=-------i-------j------------------------
1+-1пЯ 1+-In В	(
A ^du + j e~c^~u^du + B fdu
0	1+-1пЯ	l+-lnB
c	c
После несложных вычислений находим:
фигуры" при
при А< В.
(3.84)
ис =
- +	(А - В - А In А + В In В) + --[Л(1п А)2 - В(1п В)2 ]
2 с2 2с2
А--(А-А\пА-В +В\пВ)
с
при А < В.
(3.85)
130
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
~-1пЛ --InB
с	с	1
A judu + j e~cuudu + B ^udu
0	--In Л	--InB
uc =------j----------------------------- при A> В. (3.86)
--In J	--InB	]
A jdu + j e~cudu + В jdu
0	- - In A	--InB
c	c
После несложных вычислений находим:
В \	1	?	?
- + --(Л-5-Л1пЛ + 51пВ) + —— [Л(1пА)* 2 -В(1п5)2]
2 с2 2с2
В + -(А-А1пА-В + В1пВ)
С
при А > В.	(3.87)
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.84) и
(3.86) использованы следующие неопределенные интегралы:
2
\udu = —; \ecudu = —ecu', fuecudu =
J 2 J c	J	с с2
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,02, В=0,04, с=5 получаем ис = 0,5605 .
При А=0,04, В=0,02, с=5 получаем ис = 0,4395.
3. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных колоколообразных
функциях принадлежности.
Пусть на универсальном множестве U =[0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
131
Раздел 3
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.44):
«(“) =-----ке[0,1];//г(«) =----------1	 . ае[0,|].
1 + (“)2 | + (—)2
С	с
При поступлении на нечеткий регулятор значений входных пере-
менных 0*, 0* и 0* с шагом квантования h осуществляется пере-
счет входных переменных в переменные на универсальном множестве
U = [0,1] W|*,	, ^з* и расчет ФП (см. рис.3.44). Точками на уни-
версальном множестве отмечены возможные для какого-то момента
♦ * *
времени значения переменных и\ ,	, ^з .
Какие бы значения не принимали переменные и/,	на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.44,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.44,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры11 при А < В
определяется по формуле
132
Раздел 3
После несложных вычислений находим:
при А < В.
(3.88)
с2	с2 с2
А -с[у1а-А2 -у/в-В2 + arctgj— -
при А < В.
(3.89)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры'* при
А > В определяется по формуле
при А > В.
После несложных вычислений находим:
(3.90)
133
Раздел 3
В с1	с2	с2
2	2  В	А
.
В + с[^А-А2 -Jb-b2 + arctg J------1 - arctg J-1 ]
при Л > В.	(3.91)
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.88) и
(3.90) использованы следующие неопределенные интегралы:
г	с1 du	.	и-\
I------5--у = с * arctg---;
J(i/-I)2+c2	с
г c2udu с2 г 2 2м *	. м-1
------:---7 = — 1п[(м —1) +с )] + c*arctg----;
J(w--l)2+c2	2	с
г с2du	. иг c2udu с2 , . ? 2х
I—	- = с* arctg-; I— - = —ln(w +с ).
Ju +с	с Ju +с 2
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,6281.
При А=0,4, В=0,1, с=0,3 получаем ис = 0,3719.
4. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных гауссовых функциях
принадлежности.
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам:
2	2
А1(м) = ехр(——у); а2(«) = ехр[-^Ц ], и <= [0,1].
2с2	2с2
При поступлении на нечеткий регулятор значений входных пере-
менных 0*, 0* и 0* с шагом квантования h осуществляется пере-
134
Раздел 3
счет входных переменных в переменные на универсальном множестве
U = [0,1] iq* ,	, W3* и расчет ФП (см. рис.3.45). Точками на уни-
версальном множестве отмечены возможные для какого-то момента
♦ ♦ ♦
времени значения переменных и\. ,	, ^3 .
Рис.3.45
Какие бы значения не принимали переменные и*,	, и 3* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.45,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.4,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < В
определяется по формуле
l-eV-21n Л l-cV-2lnB (ц~02	1
A ^udu 4- J__________е 2с'2 udu + В	^udu
=------“-----------------------г------при А < в.
1-сл/-21п Л l-cV-2lnB (“"О	1
A ^du + j е 2<?2 du + В ^du
0	1-сл/-21пЛ	l-cV-2lnB
(3.92)
После вычислений находим:
135
Раздел 3
- -сА^-21пА + сВу/-2\пВ +
2
+ c^ferf (f- In Л) - erf (f- In В )] -
-с\В - A +A\nA-B\nB}	л п __
ис =----- - -----------.- - <------ при А < В. (3.93)
А -сАV-21n Л + cBf-2\nB +
+ c^[erf (V-ln/1) - erf (f- In В)]
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
c-J-2\nA cV-21nB	1
I judu + J e	2°2 udu	+ В	^udt
___0 сУ-21пЛ	cV-21nB
cV-21nJ c7-21nB	ц2
A jdu +	|	e	2c2 du + В
0	с7-21пЛ
А
при А>В.
"с
сл/-21пВ
(3-94)
при А > В. (3.95)
После вычислений находим:
- -с2 (В-А +Ain Л-Bln В)
Uc В + cAf-2\nA -сВу/-2\пВ +
+ c^[erf (V- In В) - erf (f- In Л)].
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,02, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,695 .
При А=0,4, В=0,02, с=0,3 получаем ис - 0,305 .
При вычислении интегралов в формулах (3.92) и (3.94) использо-
ваны следующие замены переменных:
136
Раздел 3
~^i= = t, du = -jlcdt. Тогда
cV2
cV-21nB ц2
Г	f
-InB
f e~' dt =
cV-21n Л	V-ln Л
= c^^[erf (V- In В - erf (f-ln/1)].
2.	= t, du = -J2cdt. Тогда
cy/2
l-cV-21nB <M~‘)2
J e 2e?2 du =
l-c\l-2\nA
= c^^[erf (J- In A - erf (7- In В)].
-InB
[ e~‘ dt -
V-lnB
j e4 tdt =
7-In A
-InB 9
= -c2(B-A)
-In A
2 -x
—c e
2
3.	-——r- = t2=x, u = ^2ct, du = 41cdt, dx = 2tdt .Тогда
2c2
c-J-2inB “2
J e 2c2 udu = 2c2
cV-2ln Л
-InB
= c2 je
-In J
4.	——= t2 =x, u = j2ct + \, du = ^2cdt, dx = 2tdt.
2c2
l-cV-2lnB	-V-lnB	2
Тогда J__________e 2°2 udu = J_________e~‘ (^2ct + \)y[2cdt
l-c-J-2\nA	-J-in A
137
Раздел 3
-V-ln£ 2	-V-ln£ 2
= 2с2 e~f idt + Jlc f e~l dt =
= -с2(В-А) + с
-1пЛ-ег/(>/-1п5)].
erf(z} = je r dt - интеграл вероятности.
о
Полученные формулы позволяют использовать точный метод вы-
числения абсциссы “центра тяжести результирующей фигуры” при
идентичных треугольных, возведенных в степень треугольных, экспо-
ненциальных, колоколообразных и гауссовых функциях принадлеж-
ности и дают возможность упростить алгоритм расчета управляющих
воздействий на выходе нечеткого регулятора.
При этом функциональную схему нечеткого регулятора можно
представить в виде, показанном на рис. 3.46.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором квантуется аналого-цифровым преобразователем АЦП (Zero-
Order Hold) с шагом квантования (шагом поступления данных в не-
четкий регулятор) h. Ошибка на выходе АЦП 0(к), ее первая
0(k) = [0(k)-0(k-\)]/h и вторая 0(k) = [0(k)-0(k-\)]/h разно-
сти подаются на вход блока нормировки входных переменных.
Вычисления в блоках нормировки входных и выходной перемен-
ных выполняются соответственно по формулам (3.70) и (3.81).
Сигналы с выхода блока нормировки входных переменных
uiyi = 1,2,3, поступают на элемент ограничения, который описывает
универсальное множество U = [0,1].
После задания функций принадлежности и параметра с величины
А и В вычисляются по формулам (3.72) и (3.73).
Если одна или две из переменных uhi = 1,2,3, больше единицы, а
две или одна из остальных расположены на универсальном множест-
ве, то А = 0. Если одна или две из переменных меньше нуля, а две
или одна из остальных расположены на универсальном множестве, то
В = 0.
138
Раздел 3
Если одна из переменных ui9i = 1,2,3, больше единицы, а другая
переменная меньше нуля, то А = В = 0 и на выходе нечеткого регу-
лятора сигнал равен нулю.
Рис. 3.46
В логическом блоке сравнения величин А и В осуществляется
расчет абсциссы “центра тяжести результирующей фигуры” ис по
соответствующим формулам для треугольных, возведенных в степень
треугольных, экспоненциальных, колоколообразных и гауссовых
функций принадлежности.
139
Раздел 3
Сигнал с блока нормировки выходной переменной поступает на
ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной
функцией Н(s) = (1 - e~hs) / s) и далее на вход объекта управления.
На основе представленной функциональной схемы нечеткого ре-
гулятора возможна реализация рассматриваемого класса нечетких ре-
гуляторов программным или аппаратным способом.
Изложенную методику можно также использовать для расчета
управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при функ-
циях принадлежности другого вида.
Поскольку треугольные функции принадлежности употребляются
наиболее часто приведем еще примеры использования треугольных
функций.
5.	Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с увеличенным наклоном
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.47):
= \ \-а ’
0, I - а < и < I
0, 0 < и < а
; V2(u) = \u~a
Г	< 1/ <
J-а ’
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
Wj*,	на универсальном множестве U = [ОД] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.47). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
♦ ♦ ♦
мени значения переменных и\ , ^2 > и3 •
Какие бы значения не принимали переменные	, и2 на
универсальном множестве U = [ОД], в зависимости от соотношений
140
Раздел 3
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.47,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.47,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < В
определяется по формуле
a+(l~a)A	а+(}-а)В	1
A judu +	| -——udu + B	judu
О	а+(1-а)Л1-а	a+(l-a)B	. . D ...
ис =----7,—г;----Hr---------------, -.. при А< В. (3.96)
с а+(\-а)А	В	1	г
A jdu +	|	-—-du + B	jdu
О а+(1-а)А 1 &	а+(\-а)В
После несложных вычислений находим:
В / 2 + а2 (А-В)! 2 + а(1-а)(А2-В2)/2 +
и	+ (1-а)2(Я3-В3)/6_____________ (3 97)
С В + а(А-В) + (1-а)(А2 -В2)/2
при А<В.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > В
определяется по формуле
141
Раздел 3

(1-а)(1-Л) (1-аХ1-в),_ _	1
A ^udu + J	—° - udu + В ^udu
О	(i-aXi-Л) 1~а_______________(1-д)(1-Д)
(1-О)(1-Л) (1-аХ1-В),	_	1
A fdu + j	—-° - -- Jh + В jdu
О	(1-а)(1-Л) 1-0	(1-aXl-S)
при A > В.
(3.98)
После несложных вычислений находим:
В 12 + (\-а)2 (А-В - А2 + В2)/2 +
ис =	. приАгв (3 99)
А-а(А-В)-(\-а)(А2 -В2)/2
При а = О формулы (3.97) и (3.99) совпадают соответственно с
формулами (3.82) и (3.83).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия: /и* = mmin (1 - 2wc).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,3, а=0,25 получаем ис = 0,6082.
При А=0,3, 13=0,1, а=0,25 получаем ис - 0,3918 .
При использовании рассмотренных выше функций принадлежно-
сти в нечетком регуляторе, функциональная схема которого приведена
на рис.3.46, следует иметь в виду следующее.
Если одна или две из переменных и,,/ = 1,2,3, больше 1-а, а
две или одна из остальных расположены на универсальном множестве
в диапазоне а < w < 1 - а, то А = 0. Если одна или две из перемен-
ных меньше а, а две или одна из остальных расположены на универ-
сальном множестве в диапазоне а < w < 1 - а, то В = 0.
Если одна из переменных Uj,i = 1,2,3, больше 1 - а, а другая пе-
ременная меньше а, то А = В = 0 и на выходе нечеткого регулятора
сигнал равен нулю. В этом случае нечеткий регулятор ведет себя как
нелинейное корректирующее устройство со случайным прерыванием
управляющего воздействия на объект управления.
142
Раздел 3
6.	Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с ограничением
Пусть на универсальном множестве U - [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам:
и
И\(и) = У~и
> ^2(«) = 11-а
\-а
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W]*,	, а3* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.48). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
а)	б)
Рис.3.48
Какие бы значения не принимали переменные , и?*, и$* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
143
Раздел 3
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.48,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.48,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < В
определяется по формуле
(1-а)Л	(1-а)В	1
A ^udu ч- j ------и du ч- В ^udu
0	(1-а)А^а	(1~а)В	л п
Uc ~	(\-а)А	Q-a)B	1	При Л _ 5. (3.100)
A ^du + J - - du + В jdu
0	(1-а)А^~а	(1-а)В
После несложных вычислений находим:
В/2 + (1-а)2(А3-В3)/6	„ п
ис =----------------------при А<В. (3.101)
В + (1-а)(А2-В2)/2
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при А > В
определяется по формуле
1-(1-а)И	1-(1-а)В _	1
A judu+ J —^~udu + В ^udu
0	1-(1-а)д1-а	1-(1-а)В	. п
Uc ~	1-(1-а)Л 1-(1-а)В	1 При А _ В. (3.102)
A jdu + j — U-du + B ^du
0	l-(l-a)А 1 ~ °	1-(1-а)В
После несложных вычислений находим:
_ Л/2-(1-а)(Л2 -В2)/2 + (1-а)2(Л3 -В3)/6
Uc~	...........7	"	(3.103)
А-(\-а)(А2-В2)/2
при А > В.
При а = 0 формулы (3.101) и (3.103) совпадают соответственно с
формулами (3.82) и (3.83).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления: т =	0 “ 2wc)
144
Раздел 3
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,3 , а=0,25 получаем ис = 0,5465 .
При А=0,3, В=0,1, а=0,25 получаем ис - 0,4535.
7.	Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных сжатых треугольных
функциях принадлежности [83]
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по
рис.3.49):
формулам (см.
И\(и) = '
1,
1 -а-и
, а < и < 1-а ’ Р2(и) ~
1-2а
0,	1 - а < и < 1
0,
и-а
1-2а’
1,
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*, #* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W] , и2*, ^з* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
145
Раздел 3
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.49). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
мени значения переменных и* , и 2 , и3 •
_ * * ♦
Какие бы значения не принимали переменные и\ , U2 , U3 на
А

(3.104)
универсальном множестве U — [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.49,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.49,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < В определяется по формуле
а+(\-2а)А	а+(\-2а)В	1
judu + j ——— udu + В judu
0	u+(l-2u)/l	' ~^а	a+(l-2u)B
а+(1-2а)А а+(\-2а)В
j Ci С и-а
A \du + I -------------du + B
0	а+(1-2а)А ’
при А < В.
После несложных вычислений находим:
В/2 +а2(А-В)/2 +а(\-2а)(А2-В2)/2 +
+ (1-2а)2(Л3-^3)/6______________
В + а(А-В) + (\-2а)(А2-В2)/2
и+(1-2я)Я
(3.105)
ис
при А < В.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
1-а-(1-2а)Л	1-а-(1-2а)В	1
A fi/du + j	———-udu + B ^udu
________0_______\-а-(\-2а)А	_________1-а-(1-2а)В
Мс “	1-а-(1 2а)А 1-а-(1-2а)В	1	(3,Ю6)
A jdu + J	-du + B jdu
0	1-а-(1-2а)А	1-а-(1-2а)5
при А > В.
146
Раздел 3
После несложных вычислений находим:
В12 + (\-а)2(А-В)12-(\-а)(\-2а)(А2-В2)!2 +
и =_____________+ (1-2а)2(Л3-В3)/6_________________
А - а(А - В)-(1-2а)(А2 - В2)/2
при А > В.
(3.107)
При а = 0 формулы (3.105) и (3.107) совпадают соответственно с
формулами (3.82) и (3.83).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления: м* - wmin (1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов
значений ис , которые сведем в таблицу.
а	А = 0,2; В = 0,4	А = 0,4; В = 0,2
0	0,5608	0,4392
0,2	0,5723	0,4277
о,з	0,5769	0,4231
0,4	0,5806	0,4194
При использовании рассмотренных выше функций принадлежно-
сти в нечетком регуляторе, функциональная схема которого приведена
на рис.3.46, следует иметь в виду следующее.
Если одна или две из переменных u-,i = 1,2,3, больше 1-я, а
две или одна из остальных расположены на универсальном множестве
в диапазоне я < w < 1 - а, то А = 0. Если одна или две из перемен-
ных меньше а, а две или одна из остальных расположены на универ-
сальном множестве в диапазоне а < и < 1 - а, то 5 = 0.
Если одна из переменных , i = 1,2,3, больше 1 - а, а другая пе-
ременная меньше я, то /1 = 5 = 0 и на выходе нечеткого регулятора
сигнал равен нулю. В этом случае нечеткий регулятор ведет себя как
нелинейное корректирующее устройство со случайным прерыванием
управляющего воздействия на объект управления.
147
Раздел 3
8.	Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с тремя термами [134]
Пусть универсальном множестве U = [0,1] заданы три нечетких
подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каждой
лингвистической величины определяются по формулам (см. рис.3.50):
= 1-w, не[0,1]; ^2(п)“п’ пе[0,1];
г 2н, ие [0,1/2];
4 2(1-и), е[1/2,1].
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*,/?* и с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
Н]*, w2*> и3 на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.50). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
♦ * ♦
мени значения переменных и\ , н2 ,	.
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) принимаем симметричными.
Лингвистическое правило управления нечеткого регулятора фор-
мулируется виде:
Если (0* =	) и (0* = ^2 ) и (#* =	)’ то ~ ас) d = U >
где а/, aJ2 и aj - лингвистические оценки ошибки, первой производ-
ной ошибки и второй производной ошибки, рассматриваемые как не-
четкие терм-множества, определенные на универсальном множест-
ве, j = 1,3 ; aJc - лингвистические оценки управляющего воздействия
на объект, выбираемые из терм-множества переменной т . Лингвис-
тические оценки выбираются из терм-множеств лингвистических пе-
ременных 0*, 0* , 0* и т* :
148
Раздел 3
а/ 6 {отрицательная (1), положительная (2),
близкая к нулю - нулевая (3).
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) характеризуются как отрицательные (j = 1), поло-
жительные (j = 2) или близкие к нулю (j = 3).
Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому
множеству “отрицательная” определяется из системы нечетких логи-
ческих уравнений:
149
Раздел 3
AicGO = Ai («1) A Ai(«2) Л Ai ("з) • О-l08)
Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому
множеству “положительная” определяется из системы нечетких логи-
ческих уравнений:
А2с (и) = А2 (М1) А Аг (м2 ) А Аг (мз) •	(3-109)
Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому
множеству “близкая к нулю” определяется из системы нечетких логи-
ческих уравнений:
Азе 00 = Аз (М1) А Из (м2) А Из (“з) •	(3.110)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия в соответствии с рабочим правилом нечеткого регулятора
записывается в виде
Нс (“) = Р1с 00 v И1с 00 v Азе 00	(3111)
В выражениях (3.108)-(3.111) а - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления функ-
ция принадлежности управляющего воздействия /У|с(н) нечеткому
множеству “отрицательная” ограничена сверху значением:
А= minf/zj («]*), //, («j), А1 («з*)],	(3.112)
функция принадлежности управляющего воздействия	нечет-
кому множеству “положительная” ограничена сверху значением:
В= min[/z2 (W|*), Иг («2 X Аг (мз)] •	(3*. 113)
функция принадлежности управляющего воздействия fac(u) нечет-
кому множеству “близкая к нулю” ограничена сверху значением:
С= min[/z3 (и*), Из (и 2), Из (из)]	(3.114)
Результирующая функция принадлежности для управляющего во-
здействия на основании выражения (3.111) получается путем форми-
рованием максимума
Ас (и) =тах[ //]с (и), и2с (и), Азс 00 ]•	(3.115)
Отметим весьма существенный факт. Какие бы значения не при-
♦ ♦ *
нимали переменные U\ ,	, W3 на универсальном множестве
U = [0,1] в зависимости от соотношений величин А, В и С “резуль-
тирующая фигура” может принимать только три конфигурации.
150
Раздел 3
При А < С < В первая конфигурация показана на рис.3.50,а; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А < С < В оп-
ределяется по формуле
А/2	C/2	С	В	1
A Judu + 2 Ju2 du + С Judu ± Ju2du + В Judu
_	0______А/2________C/2	С________В
Uc	Л/2	С/2	СВ	1	(3.1 J6)
A jdu + 2 judu + С jdu + judu + В jdu
О А/2	C/2 С	В
при А <С < В.
После несложных вычислений находим:
Я/2 + (Л3-4£?3 + ЗС3)/24	,	„
ис =------Ц----------------- при А < С < В. (3.117)
В + (А2-2В2 +С2)/4
При А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.50,б; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > С > В оп-
ределяется по формуле
\-А	l-C	l-C/2	1-5/2	I
A Judu + J(\-u)udu + C Judu+ 2 J(\-u)udu + B Judu
_	0_____]-A_____________l-C____l-C/2__________1-5/2
c 1-A l-C	l-C/2	1-5/2	1
A Jdu + J(l-u)du + C Jdu + 2 J(\-u)du + B Jdu
0 l-A	l-C l-C/2	1-5/2
при A >C>B.	(3.118)
После несложных вычислений находим:
_ А/2-(2А2-В2 -С2)/4 +(4А3 -В3 -ЗС3)/24
А-(2А2 -В2 -С2)/4	(З.Н9)
Третья конфигурация при <
показана на рис.3.50,в,г. В
этом случае абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 оп-
ределяется по формуле
151
Раздел 3
J/2	C/2	l-C/2	\-B/2	J
A ^udu + 2 ^u2du + C ^udu + 2 j (l-u)udu + B ^udu
=	0 Л/2 C/2	l-C/2 1-1/2
М2	C/2	\-C/2	\-B/2	1
A ^du + 2 fudu + C jdu+ j (l-u)du + B jdu
О	М2	C/2	\-C/2	]-B/2
(3.120)
После несложных вычислений находим:
С/2 + (В2-C2)/4 + (J3-В3)/24 [А<В<С
иг =---------------------------- при <
С + (А2 +В2-2С2)/4	|В<А<С
(3.121)
Отметим, что при фиксированных А и В величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
цх=\-и=А\ и*=1-А; //3 =С = 2(1-/) = 2Л.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений: /Л2=и*=В', //3 = С = 2w = 25.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,4, 00,2 получаем ис = 0,5726.
При А=0,4, В=0,1, 00,2 получаем ис = 0,4274.
При А=0,2, В=0,3, 00,4 получаем ис = 0,5155 .
При А=0,3, В=0,2, 00,4 получаем ис = 0,4845.
Полученные значения ис затем преобразуется в значения управ-
ляющего воздействия: т* = wmm (1 - 2ис).
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для
каждой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.51):
152
Раздел 3
Ц}(и) = \\-и
1, 0 < и < а
, а <и <\ ’
.1 - а
; //2(tt) = il-a
U , О < и < 1 - а .
1-а <и < 1

2и, не [0,1/2];
2(1-и), е[1/2,1].
153
Раздел 3
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
Н]*, н2* , ^з* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.51). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
* ♦ ♦
мени значения переменных и\ , U2 , W3 .
Какие бы значения не принимали переменные и/, и-^ , «з* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только
три конфигурации. При А < С < В первая конфигурация показана на
рис.3.51,а (точки пересечения результирующей ФП находятся на пря-
мых щ = 2и и Hi~u W ~ а) )> абсцисса “центра тяжести результи-
рующей фигуры“ при А < С < В определяется по формуле
А/2 СИ	(1-а)С	(1-а)В	1
A jwJi/ + 2 |и2(/м + С judu + J-------udu + B judu
0	А/2	С/2	(\-а)С^~а	' (\-а)В
Uc ~	А/2	С/2	(1-а)С	(1-а)В	1
A jdu А-2 judu + С jdu + J du + B jdu
0	А/2	С/2	(1-а)С1-а	(1-а)В
приА<С<В.	(3.122)
После несложных вычислений находим:
_ В/2 + (Л3-С3)/24-(1-а)2(В3-С3)/6
С В + (А2 -С2)/4-(1-а)(В2-С2)/2	(3.123)
при А < С < В.
Вторая конфигурация при А > С > В показана на рис.3.51,6 (точ-
ки пересечения результирующей ФП находятся на прямых
= (1 - и) /(1 - а) и /Лу = 2(1-и)); абсцисса “центра тяжести ре-
зультирующей фигуры“ при А > С > В определяется по формуле
154
Раздел 3
1-(1-а)Л	1-(1-^)C j _	l-C/2
A ^udu+ j ---------------udu + C ^udu +
0	1-(1-д)Л1- a	l-(l-o)C
1-5/2	1
1-5/2
=_____________l-C/2
1-(1-а)Л Hl-a)C	l-C/2
A jdu + j	—-du + C jdu +
0	l-(l-a)A 1 “a l-(l-a)C
1-5/2	1
l-C/2
1-5/2
(3.124)
После несложных вычислений находим:
Л/2 + (В2 -С2)/4-(1-а)(//2 ~С2)/2-
_ -(В3 ~C3)/24 + (l-g)2(/f3 -С3)/6
С А + (В2 - С2 )/4 - (1 - 67)(Л2 -С2)/2
(3.125)
Третья конфигурация при <
показана на рис.3.51,в
(точки пересечения результирующей ФП находятся на прямых
7^3 = 2и и //3 = 2(1 - и)). Абсцисса “центра тяжести результирующей
фигуры" в этом случае определяется по формуле
А/2	С/2	\-С/2	\-В/2	1
A ^udu + 2 ^u2du + C ^udu + 2 j (l-u)udu + B ^udu
u =	0 A/2 C/2	l-C/2	1-5/2
c	A/2	C/2	1-C/2	1-5/2
A ^du + 2 ^udu + C ^du -I- J
0	A/2	C/2	l-C/2
1-5/2
при*
(3.126)
После несложных вычислений находим:
155
Раздел 3
(3.127)
С/2 + (В2 -С2)/4 +(А3 -В3)/24
и с =--------г---5-----z------- при (
С + (А2+В2-2С2)/4
Полученные значения ис затем преобразуются в значения управ-
= 0,5804.
= 0,4196.
= 0,5169.
= 0,4831.

ис
ис
ис
ляющего воздействия на объект управления: т =	(1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,2, В=0,6, С=0,32, а=0,2 получаем
При А=0,6, В=0,2, С=0,32, а=0,2 получаем
При А=0,3, В=0,4, С=0,48, а=0,2 получаем
При А=0,4, В=0,3, С=0,48, а=0,2 получаем
При а = 0 формулы (3.123), (3.125) совпадают соответственно с
формулами (3.117), (3.119), а формула (3.127) с формулой (3.121).
Отметим, что при фиксированных А, В и а величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
//! =-—— = А; и = 1 -(1 -а)А;
1 -а
^3 = С = 2(1-w*) = 2(1-а)Л.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
и	♦	*
ношений: ц2 =-------= В; и =(\-а)В', /j2=C = 2u = 2(1-а)В.
1-а
Рассмотрим на универсальном множестве U — [0,1] три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для ка-
ждой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.52):
В\(”) =
1-а-и
1-а
; ^2(и) = ]и-а
Аз(м) = <
- 1	11-а’
' 2м, и 6 [0,1 /2];
2(1-м), е [1/2,1].
156
Раздел 3
Нз=2и ц3=2(1-и)
Рис. 3.52
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент време-
ни значений входных переменных 0*, 0* и 6?* с шагом квантования
h осуществляется пересчет входных переменных в переменные и/,
и2 » w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет значений
ФП для этих переменных (см. рис.3.52). Точками на универсальном
множестве отмечены возможные для какого-то момента времени зна-
♦ ♦ ♦
чения переменных и\ ,	.
При использовании рассмотренных выше функций принадлежности
следует иметь в виду следующее.
157
Раздел 3
Если одна или две из переменных и1У i = 1,2,3, больше 1 - а, а две
или одна из остальных расположены на универсальном множестве в диа-
пазоне б/ < w < 1 - а, то А = 0. Если одна или две из переменных мень-
ше а, а две или одна из остальных расположены на универсальном мно-
жестве в диапазоне я < w < 1 - я, то В = 0. Если одна из переменных
ui, i = 1,2,3, больше 1 - а, а другая переменная меньше а, то
А = В - 0. Кроме того, при А = 0 или В = 0 величина С < 2а.
Если все переменные расположены на универсальном множестве в
диапазоне а < и < 1 - а, то при фиксированных А , В и а величина С
имеет строго определенное значение. Если А < В, то величина С
определяется из следующих соотношений:
Ai =	~ ~и =(1-а)(1- А);
1-а
= С = 2(1-и*) = 2[а + (1-а)А].
Если А>В, то величина С определяется из соотношений:
♦
/ь =	- = В; и* =а + (\-а)В\	= 2и* = 2[а + П-а)В].
1 -а
Какие бы значения не принимали переменные и/, м2*, и3 на уни-
версальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений вели-
чин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только три
конфигурации: при А < С < В первая конфигурация показана на
рис.3.52,а (при А = 0); при А > С > В вторая конфигурация показана
на рис.3.52,б (при В = 0); при <
третья конфигурация пока-
зана на рис.3.52,в,г.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < С < В определяется по формуле
А/2	С/2	а+(1-л)С
*^udu+2 ju2du + C judu +
0________A/2__________С/2
А/2	С/2	а+(1-д)С а+(1-я)Я _	1
A ^du + 2 judu+C jdu + j	-—— du + B ^du
0	A/2	С/2	аЦ\-а)С^~а	a+(\-a)B
а+(\-а)В	1
j -—- udu + В j и du
а+(1~я)С 1	а+(\-а)В
и
при A < С < B.
(3.128)
158
Раздел 3
Отметим, что при малой величине а на участках универсального
множества 0 < и < С / 2 при А < С < В и \ - С / 2 < и <\ при
А > С > В конфигурации “результирующей фигуры” будут такими,
как приведены на рис.3.51,а.б.)
После несложных вычислений находим:
В/2-а2(В-С)/2-а(\-а)(В2 -С2)/2 +
и +(^3-С3)/24-(1-а)2(В3-С3)/6	(3129)
С В-а(В-С) + (А2 -С2)/4-(1-а)(В2 -С2)/2
при А < С < В.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А > С > В определяется по формуле
(l-oXl-Я)	(l-a)d-(') . _ _	1-С/2
A ^udu + j	—а~—- udu + С	jw du +
О	(l-oXl-Л)	(|-а)(1-С)
1-Я/2	1
+ 2 j(l-u)udu + B ^udu
и =_____________L_£/2_________________________
o-axi-^)	i-c/2	(3130)
A jdu + j--------------du + C ^du +
0 (i-aXI-Л)	П-аХК)
+ 2 j(l-w)Jw + 5 ^du
l-C/2	l-fi/2
при A > С > B.
После несложных вычислений находим:
C/2 + (1-а)2(Л - С -/I2 + С2)/2 + (В2 -С2)/4-
Uc _-(В3-С3)/24 + (1-а)2(Л3-С3)/6 (3131)
Л-а(А-С) + (В2-С2)/4-(1-а)(Л2-С2)/2
при А > С > В.
Формулы (3.129) и (3.131) при а = 0 совпадают соответственно с
формулами (3.117) и (3.119).
159
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А < В < С
В < А < С 0ПРеделяется по Ф°РмУлам (3.126) и (3.127).
Полученные значения ис затем преобразуются в значения управляю-
щего воздействия на объект управления: w* =	(1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0, В=0,4, С=0,2, а=0,2 получаем ис = 0,5963 .
При А=0,4, В=0, С=0,2 а=0,2 получаем ис - 0,4037.
При А=0,1, В=0,2, С=0,56, а=0,2 получаем ис = 0,5083 .
При А=0,2, В=0,1, С=0,56, а=0,2 получаем ис - 0,4917.
9. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с увеличенным наклоном и тремя термами
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.53):
1 -а-и
\-а
0 < и < 1 - а;
О, 0 < w < а;
0, 1-а<м<1;
а < и < 1 / 2;
1/2<«<1-а;
u 1 -а < и < 1.
160
Раздел 3
Нз=
2(u-a)
1-2а
_2(l-a-u)
Цз1^2а'
а)
б)
Нз=
2(и-а)
2(1-а-и)
1-2а
В)
Рис.3.53
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
г/j*, г/2*» w3* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.53). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
♦ ♦ ♦
мени значения переменных и\ ,	.
161
Раздел 3
Какие бы значения не принимали переменные и/, w2*, w3 на уни-
версальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений вели-
чин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только три
конфигурации: при А < С < В первая конфигурация показана на
рис.3.53,а; при А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.53,б;
[А<В<С
при | в < а < с тРетья К0НФигУРаЦия показана на рис.3.53,в.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < С < В определяется по формуле
а^-а)С _	аЦ[_а)С
A juJu + 2 j	——— udu А-С ^udu +
о	j 1 - 2л	।
а+(—а)А	а+(—а)С
2	2
а+(\-а)В	1
г и - а Л г ,
+ I ----------udu + B \udu
а+(\-а)С 1 °	а+(\-а)В	D
ис =-------j----------j-------------------------при А < С < В.
аЦ--а)А	а+(--а)С	а+{}_а}С
A ^du +2 j	——— du А-С	^du
0	а+(--а)Л	а+(--а)С
2	2
а+(\-а)В	1
f и~а	J	г»	f J
+ I ---------du + B	\du
а+(\~а)С \ ~а	а+(\-а)В
(3.132)
После несложных вычислений находим:
2	2	2
- + — (А-В) + (-~— )А2-(--—)В2 + -С2 +
2	2	4	2	2	2	4
+1[(| - а)2 А3 - (1 - а)2 В3 + - а)С3 ]
, _____6 2_______________4_______
В + а(/1-В) + (1-|М2+(|-^)В2+1с2
при А <С < В.
162
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А С > В определяется по формуле
(1-аХ1-^) (1-а)(1-С),
.	г	г	1-а-и
A	|waw + I	--------— udu +
0	(1-а)(1-Л) 1-ЙГ
1-о-(—-о)С 1-а-(--а)В
2f ,	~ 2f 1-а-и ,
+ С	I udu + 2 I ---------------udu + В
J	J 1 - 2а
(i-o)(i-c) i-a_(La)c	i-
, г , г 1 — a — и ,
1
(udu
2	2 i
+ C jdu +2 J	—-—- du + В	jdu
(1-aXl-C)	|_a_(l_a)5
при A > С > B.
(3.134)
После несложных вычислений находим:
Л	п	1 z, ,2,2	/1 За а2 ?
—+ (а---)(В- Л)- —(1-а) Л +(----+ —)BZ +
2	2	2	4 4	2
+1 (1 - а)С2 +1[(1 - а)2 А3 - (1 - а)2 В3 - (^ - а)С3 ]
Л + а(В-Л) + (1-|)В2+(|-|м2+1с2
при Л > С > В.	(3.135)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А<В<С
В< А <С
определяется по формуле
163
Раздел 3
а+(—-а)А	а+(-—а)С	1-о-(-—а)С
2	2	_	2
A judu+ 2 j ——— udu + C judu
о	1	1-2а	!
и	а+(--а)А	а+(--а)С
2	2
llc
1-а-(^-а)5	]
4- Г	1—-—- ис/и + 5 Iwcfw
1	1-2а	J
1-а-(—а)С	1-а-(—а)В
_____2_______________________2___________
а+(^-а)Л	а+(~-а)С	1-а-(^-а)С
A jdu +2 J	——-du + C	jdu
о	1	1—	1
а+(--а)Л	а+(--а)С
\-а-(~а)В	(
I*	-—-—- du + B {du
1-2а
1-а-(--а)С	1-а-(--а)В
А<В<С
при<
(3.136)
После несложных вычислений находим:
2	2	2
а А , а . Л	а а 2
— А + {а - — )В + (- - а)С + (- - —) А +
+	— + — }В2 -(---)С2 +-(--а)2(/43 -В3)
4 4	2	4 2	6 2
С + а(А + В-2С) + (^-|)(Л2 + В2 -2С2)
при
ГА<В<С
В< А <С
(3.137)
164
Раздел 3
Полученные значения ис затем преобразуются в значения управ-
ляющего воздействия на объект управления: т* = wmjn (1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов
(контрольные точки).
При А=0,1, В=0,4 , С=0,3, <з=0,25 получаем ис = 0,6158.
При А=0,4, В=0,1, С=0,3, <7=0,25 получаем ис = 0,3842.
При А=0,1, В=0,2 , С=0,3, а=0,25 получаем ис = 0,5491.
При А=0,2, В=0,1, С=0,3, а =0,25 получаем ис = 0,4509.
При а = 0 формулы (3.133), (3.135) и (3.137) совпадают соответ-
ственно с формулами (3.117), (3.119) и (3.121).
Отметим, что при фиксированных А, В и а величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
М\	 = А; и* = (1-а)(1-Я);
I - а
„ _г_2(1-а-и*)_2(1-а)А
Цт. — с —-----------—---------.
1-2<т	1-2а
Если А > В, то величина С определяется из следующих соотношений:
и*-а .	2(и*-а) 2(1 ~а)В
-----= В, и =а + (\-а)В-, Мз=С= \	'=	.
1 - а	1 ~ 2а 1 - 2а
10. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных сжатых треугольных
функциях принадлежности с тремя термами
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.54):
165
Раздел 3
	1,	0 < и < а",	0,	0 < и < а',
		и-а
Al (и) ='		, a<w<l-a; \-2а 0,	1 -а < и < 1;	, а < и < 1 67, 1-2а 1,	1 - а < и < 1;
Аз(") =
2(и - а)
<	1-2б7 ’
2(1-а-и)
. 1-2а ’
а < и < 1/2;
О, О < и < а
М2 <и <1-67;
1 -а < и < 1.
и
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, в* и и с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W|*, г/2*’ w3* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.54).
Какие бы значения не принимали переменные tq*, . и?,*
на универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотно-
шений величин А, В и С “результирующая фигура” может прини-
мать только три конфигурации. При А < С < В первая конфигура-
ция показана на рис.3.54,а. При А > С > В вторая конфигурация
[А < В < С
показана на рис.3.54,б. При	третья конфигурация пока-
зана на рис.3.54,в.
Отметим, что при фиксированных А, В и а величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
1 — 67 — U .	♦	,	х .
=---------= А; и =1- а-(1-2а)А;
1 -2а
2(1 — 67 — 17*)
и? = С = —----------= 2А.
5	\-2а
166
Раздел 3
а)
б)
_2(1-а-и)
----1=2Г"
_2(и-а)
1X3 - 1-2а
u1=i^-u
ж 1-2а
1
1-2а
С
В
О
а+(^-а)А
а+(|-а)С
1-а 1
1-а-(^-а)в
1-а-(|-а)С
и
в)
Рис.3.54
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений:
м -a D •	..	.	2(м -а)
=-------= В, и = а + (\-2а)В', /лъ-С~-------------- - 2В.
1 - 2а	\-2а
167
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей
А < С < В определяется по формуле
и -а
-----udu +
1 - 2а

а+(—-а)А а+(--а)С
A judu + 2	|
0	а+(±-а)/1
а+(1-2а)С	а+(1-2а)В
+ С [udu +	[	——— udu + В
,J ,.J	1-2а
а+(1_а)С ^d-2a)C
' judu
а+(1-2а)В
а+(--а)А	а+(--а)С
A [du +2 Г
и-а .
----du +
1-2а
О
а+(--а)А
а+(1-2а)С а+(1-2а)В
С [du + f	—— du + B
а+(1_а)С в+(1-2а)С
при А<С < В.
фигуры44 при
(3.138)
а+(}-2а)В
После несложных вычислений находим:
2	2
у + у(^-В) + (^-у)(^2-2В2+С2) +
м +(l-2a)2(J3-4В3 +ЗС3)/24
В + а(А-В) + (—~—)(А2 -2В2 + С2)
4 2
при Л <С<В.	(3.139)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при
А > С > В определяется по формуле
168
Раздел 3
l~a-(l-2a)A	l-a-(l-2a)C
A [udu +	[	—-—^-udu +
0	l-a-(l-2a)A
l-a-(i-a)C l-a-(~a)B	!
+ C fudu +2 J	-—-—— udu + В	fudu
l-a-{\-2a)C	, Л l-2fl	I
v 7	l-a-(—a)C	l-a-(—a)B
2	2
ц — --------------------------------------------±----
c	l-a-(l-2a)A l-a-(l-2a)C.
A fdu + f ^^-du +
0	l-a-(l-2a)A	2°
l-e-(l-e)C	l-a-(±-a)B	]
+ C fdu +2	j l-a-Udu + B	fdu
l-a-(l-2a)C	]_a_(l_a)c	l-o-(|-a)5
при A>C>B.	(3.140)
После несложных вычислений находим:
у - (а - у )(А - В) -	2-\2Я2 - В2 - С2) +
____________+(1-2а)2(4Я3-В3-ЗС3)/24_________________
А-а(А-В)-^-^)(2А2 -В2 -С2)
при А>С>В.	(3.141)
При а = 0 формулы (3.139), и (3.141) совпадают соответственно с
формулами (3.117) и (3.119).
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А<В<С
В < А < С 0ПРеделяется по Ф°РмУлам (3.136), (3.137).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления: т* = wmjn (1 - 2ис)
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
169
Раздел 3
При А=0,1, В=0,6 , 67=0,25, С=0,2 получаем ис = 0,651.
При А=0,6, В=0,1, а=0,25, С=0,2 получаем ис = 0,349 .
При А=0,2, В=0,3 , 67=0,25, С=0,4 получаем ис = 0,5357 .
При А=0,3, В=0,2, 67=0,25, С=0,4 получаем ие = 0,4643.
11. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных возведенных в степень
треугольных функциях принадлежности с тремя термами
Для настройки треугольных функций принадлежности ФП на экс-
пертные данные в нечеткой логике пользуются операцией сжатия и
растяжения путем возведения этих функций в степень: [//(м)]с, где
показатель степени определяет изменение формы ФП (см. рис.2.3).
Коэффициент с называют коэффициентом относительной важности.
Выше были получены аналитические выражения для управляющих
воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных возве-
денных в степень треугольных функциях принадлежности с двумя
термами. Ниже рассмотрены возведенные в степень треугольные
функции принадлежности с тремя термами.
Пусть на универсальном множестве U - [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.55): /71(н) = (1-м)с, ме[0,1];	=	ые[0,1];
' 2м, и е[0,1/2];
4 2(l-w), 6[1/2,1].
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
MJ*, и2 ’ w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.55). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для этого момента времени
* ♦ ♦
значения переменных W] , ^2 ’ w3 •
170
Раздел 3
Какие бы значения не принимали переменные и\*,	, ^з* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только
три конфигурации.
Рис.3.55
При А < С < В первая конфигурация показана на рис.3.55,а; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < С < В оп-
ределяется по формуле
171
Раздел 3
А/2	С/2	с4с	с4в	1
A judu+ 2 ju* 2du + C judu + juc+,du + B judu
О	A/2	C/2	sjc	cJb
ur =---------------------==-----==---------------
A/2	C/2	cdC	SIB	1	(3.142)
A jdu + 2 judu + C jdu + J ucdu + В jdu
0	A/2	C/2	Cjc	cJb
при A<C < B.
После несложных вычислений находим:
2	2
в 1	,	С -+1	-+*
- + (Л3-С3)/24---------—(Вс -Сс )
= 2	2(с + 2)
2	2 с ’+1	1+1	(3.143)
В + (Л2-С2)/4—— (Вс -Сс )
с + 1
при А < С < В.
При А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.55,б; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигурьГ при А > С > В оп-
ределяется по формуле
1-cJa	1-Vc	l-C/2
A judu+ | (\-й)сudu + C judu +
о	i-V7	i-Vc
1-5/2	i
+ 2 |(1 - u)udu + В judu
u =_______________l-C/2__________1-5/2
c \-SJa 1-Vc	l-C/2	(3.144)
A jdu+ j (l-u)cdu + C jdu +
0	1-^A	\-c4c
l-B/2	1
+ 2 J(l-w)JM + B jdu
\-C/2	l-B/2
при A > С > B.
После несложных вычислений находим:
172
Раздел 3
у+ (В2 -С2)/4-(В3 -С3)/24-
1.1.	2,2,
л	—hl	—hl	~	—hl	—hl
---(Ас -Сс ) +-----(Ас -Сс )
с + 1  2(с + 2) (3.145)
1 . 1 .
7	7	С + 1+1
А + (В2-С2)/4—— (Ас -Сс )
с + 1
при А > С > В.
Третья конфигурация при
А < В < С
В< А<С
показана на рис.3.55,в,г. В
этом случае абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры11 оп-
ределяется по формуле (3.121):
С/2 + (В2-С2)/4 + М3-В3)/24 [А<В<С
ис =----------------------------- ПРИ
С + (А2 +В2-2С2)/4	[В<А<С
Отметим, что при фиксированных А и В величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
Я=(1-М/=Я; и*=1-АУс;	= С = 2(1-и*) = 2А,/с.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений: р2-ис= В\ и* = ВХ,С\ Цу-С- 2и = 2В}/с.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,005, В=0,4, с=3, С=0,342 получаем ис = 0,5572.
При А=0,4, В=0,005,с=3, С=0,342 получаем ис = 0,4428
При А=0,01, В=0,3, с=3, С=0,4308 получаем ис = 0,528.
При А=0,3, В=0,01, с=3, С=0,4308 получаем ис = 0,472.
Полученные значения ис затем преобразуется в значения управ-
ляющего воздействия: т* = wmm (1 - 2ис).
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для ка-
173
Раздел 3
ждой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.56):
/Л\(и) = (1 -и)с. we [0,1]; /и2(и)-ис. ие [0,1];
Аз(м) =
(2w)c, we [0,1/2];
2c(l-w)c, е [1/2,1].
Рис.3.56
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
174
Раздел 3
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W1*, ^2* ’ w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.56). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для этого момента времени
* ♦ ♦
значения переменных iq , «2 » м3 •
♦ * *
Какие бы значения не принимали переменные М] , и% , Ч3 на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только
три конфигурации.
При А < С < В первая конфигурация показана на рис.3.56,а; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры'1 при А < С < В оп-
ределяется по формуле
V7/2	Vc/2	с4с	С-Гв	1
A judu + 2е juc+,du + C judu + j ue+ldu + В judu
о____________c/a/2__________Vc/2	Vc____________cJb
cJa/2	cJcu	c4c	cJb	1
A jdu + 22 jucdu + C jdu+ jucdu + B jdu
о	су[а/2	c4c/2	C4c	cJb
при A < С < B.
После несложных вычислений находим:
В с
- + —-—(Ас -4ВС +ЗСс )
= 2 8(с + 2)
Uc~ с 1+) 1+1 1+1
В + —-—(А' -2ВС +СС )
2(с + 1Г
(3.146)
(3.147)
при А < С < В.
При с = 1 формула (3.147) совпадает с формулой (3.117).
При А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.56,б; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > С > В оп-
ределяется по формуле
175
Раздел 3
i-VI	\-с4с	\-с4с/2
A ^udu + J (1 - и)с udu + С fudu +
о	i-tfi	i-Vc
\-с4ви	1
+ 2е J(1 - u)udu + В fudu
________________\-с4с/2___________\-с-Лт
\-с4а	\-с4с	l-Vc/2	(3.148)
A fdu + f (\-u)cdu + C fdu +
о	i-V7	i-Vc
1-Vb/2	1
+ 2C f(l-u)du + B fdu
\-c4c/2	\-cJbI2
при A>C> B.
После несложных вычислений находим:
1+1
-вс
------—(2АС
2 2(с + 1)
2
С	~4
+ —-—(4АС
8(с + 2)
Uc~ 1,1
С	—*!
А-----—(2АС -Вс
2(c + lf
при А > С > В.
При с = 1 формула (3.149) совпадает с формулой (3.119).
-+1
-вс
2
-зсс
(3.149)
Третья конфигурация при
1+1 1+1
А < В < С
В< А<С
показана на рис.3.56,в.
В этом случае абсцисса “центра тяжести результирующей фигу-
ры“ определяется по формуле
176
Раздел 3
cJa	с4с	\-с4си
A judu + | (1 - u)cudu + С	^udu +
о	cJa	с4с
\-с/ви	1
+ 2е J(1 - u)udu + В ^udu
______________\-с4С!2____________\-с4в!2
с4а	с4с	\-с4с/2
A jdu+ j(l-u)cdu + C fdu+ (3.150)
о	cJa	с4с
\-'4в/2	1
+ 2е |(1 - u)du + В jdu
\-с4С!2	I-SIb/2
После несложных вычислений находим:
2
(Ас -Вс
С С	—И	—С
- +—-—(5е -Сс ) + —-—
и _ 2 2(с + 1) ____ 8(с + 2)
с 1 ,	1 ,	1 ,
л» -4-1	—4-1	—4-1
С + —-—(Ас +ВС -2СС )
2(с + 1/
(3.151)
при <
При с = 1 формула (3.151) совпадает с формулой (3.121).
Отметим, что при фиксированных А и В величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
A, =(l-w)c = А; и=\-АУс; = С = 2С(1 -и*)с = 2еА.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений:	=ис = В; и =ВУс‘,	= С = (2и)с = 2е В.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
177
Раздел 3
При А=0,02, В=0,3, С=0,16, с=3 получаем ис - 0,6543 .
При А=0,3, В=0,02, С=0,16, с=3 получаем ис = 0,3457.
При А=0,1, В=0,75, С=0,8, с=3 получаем ис = 0,6439.
При А=0,75, В~0,1, С=0,8, с=3 получаем ис = 0,3561.
Полученные значения ис затем преобразуется в значения управ-
ляющего воздействия: = wmin (1 - 2ис).
12. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных сигмоидальных функ-
циях принадлежности
Рассмотрим определение аналитических выражений для управ-
ляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных
функциях принадлежности, которые зависят от двух параметров.
Примером таких функций являются совместно используемые Z-
образная и S- образная, (см.рис.2.12), сигмоидальные (см. рис.2.13),
колоколообразные (см. рис.2.14) функции принадлежности. Посколь-
ку при определенных параметрах эти функции описывают близкие
кривые, то рассмотрим только одни совместно используемые функции
- сигмоидальные.
Пусть на универсальном множестве U - [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам:
я (и) =------------------, /Лу (и) =---------------.
1 + exp[a(w - 1 + с)]	1 + ехр[я(с - w)]
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*,0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
wj* , иу , на универсальное множество U — [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.57).
Какие бы значения не принимали переменные и*, и2*, на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
178
Раздел 3
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.57,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.57,б.
Рис.3.57
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при
А < В определяется по формуле
udu
\ + еасе~аи
с-- ln(—-1) с-- 1п(—-1)
а А а В	>	1
A \du +	[----------------+ В \du
О	11	\ + еасе~аи ! J!
U c--ln(--l)	с—1п(--1)
а А	а В
при А < В,
(3.152)
После несложных вычислений находим:
179
Раздел 3
^ + £^(Л_В) + £[В1п(1-1)-Лп(-!--1)] +
2	2	а В	А
ис =
c--ln(--l)
1	1	1	а В
— {Д1п(- -1)]2 - 5[ln(- -1)]2} +	J
2а1 А	В	J ]
c--ln(--l)
а А
В + с(А-В) + -[\п(А)-(А-\)\п(--1)~
а	А
udu
1 + еасе~аи
при А<В.
-1п(В) + (В-1)1п(1-1)]
D
(3.153)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > В
определяется по формуле
1-С+- 1п(--1) 1-с+- 1п(- -1)
а А	а В
A judu + j
О	1	1 1 Z 1 IX
1-С + - 1п(—1)
а А
udu
\ + еа{с-ХКаи
1-с+- 1п(--1)
а В
1-С+- 1п(--1) 1-с+-1п(--1)
а А	а В
A jdu + j
О	1	. 1 1 /1 м
1-с+— 1п(—1)
а А
du
\ + еа(с~^еаи
1
+ В jdu
1-с+- 1п(--1)
при А > В.	(3.154)
После несложных вычислений находим:
с
180
Раздел 3
2
- + —(А - В) + — [А ln(- -1) - В 1п(— -1)] +
«с
1	1	?
— {Д1п(--1)]2
2а2	А
1-сД ln(--1)
а Г В udu
J 1 . а(с-\)^аи
I 1	1 + е v ’е
1-с+- 1п(—1)
а А
А + с(В - А) + -(1п(В) - (В -1) 1п(— -1) -
а	В
-1п(Л) + (Я-1)1п(^--1)]
А
при А > В.	(3.155)
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.152) и
(3.154) использован следующий табличный интеграл:
[ du	= и - - 1п(1 + кеаи).
*\ + кеаи а
Поскольку интегралы в формулах (3.153) и (3.155) не являются
табличными, то целесообразно вычислять эти интегралы численным
методом, например, с использованием формулы трапеций. При этом
нтегралы из формул (3.153) и (3.155) можно записать в виде
Величины и переменные при вычислении интеграла из формулы
(3.153) определяются выражнениями:
шаг квантования Д = — [1п(— -1) - 1п(— -1)] / Л/,
а А В
где М - число дискрет на интервале интегрирования;
^+jLwpL = [c_lln(l_1)]A+[c_lln( 1 _i)]£=
2	2	а А 2 а В 2
= С— -----— [A ln( — -1) + 51n( — -1)];
2	2а А	В
181
Раздел 3
1 1 J 14 А 	1
и,- =С-------1п(------1) + Д • Г, U: = ------------------
л А	г'	, ас -аи,
а л	1 + е е '
1 + (-^-1)е-аЛ'
При вычислении интеграла из формулы (3.155) величины и пере-
менные определяются выражнениями:
шаг квантования Л = — [ln(— -1) - ln(L -1)]/ М;
а В А
+	= -с+ -!п(--!)]- + [!-с+ -ln(L-1)]- =
2	2	а А 2	а В 2
= О - с)^- + ±[А ln(L -1) + В 1п(| -1)];
1	1 . /1	14 Л •	1	1
W. = 1 - с + — 1п(-1) + Д • z; //, =-— ----=-----:--------
о А	1+е^)е^	1 + (1_1)е«А7
А
Число дискрет на интервале интегрирования обычно выбирают
М = 100...200, что достаточно для практических расчетов. Вычис-
ленные значения ис затем преобразуются в значения управляющего
воздействия на объект управления: т = /wmin 0 ” ^ис) •
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,001, В=0,4, с=0,7, а=15 получаем ис =0,7864.
При А=0,4, В=0,001, с=0,7, а=15 получаем ис =0.2136.
Рассмотрим вопросы проектирования цифровых нечетких регуля-
торов, функциональная схема которых приведена на рис.3.46, на осно-
ве интерактивной системы MATLAB [147-149, 159, 163, 213].
Для нечетких регуляторов, функции принадлежности которых
представлены на рис.3.41-3.45, структурная схема последовательного
соединения всех блоков функциональной схемы до блока сравнения
величин А и В и расчета ис (см. рис.3.46) показана на рис.3.58.
Структурную схему, представленную на рис.3.58, назовем формиро-
вателем величин A(t) и B(t).
182
Раздел 3
Ошибка рассогласования квантуется аналого-цифровым преобра-
зователем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом посту-
пления данных в нечеткий регулятор) h. Ошибка 0(к) с выхода
АЦП, ее первая 0(к) = [#(&) - 0(к -1)] / h и вторая
0(к) - \О(к}-О(к - 1)]/Л разности подаются на вход блока норми-
ровки входных переменных (см. рис.3.10,6). Вычисления в блоках
нормировки входных переменных выполняются соответственно по
формулам (3.70).
На выходе блоков Product, Productl, Product! структурной схе-
мы формирователя величин A(t) и B(t) получаем переменные ui
(соответственно Wj, w2» из )• Элементами ограничения (Saturation)
моделируем универсальное множество U = [0,1], на которое посту-
пают переменные Uj,i = 1,2,3. В блоках Fen, Fcnl, Fcn2 записываем
аналитические выражения для функций принадлежности , а в
блоках Fcn3, Fcn4, Fcn5 - аналитические выражения для функций
принадлежности //2(w). На выходе блоков Fen, Fcnl, Fcn2 получаем
переменные /лх (wz) (соответственно //] (wj), //j(w2), //i(w3)), а на
183
Раздел 3
выходе блоков Fcn3, Fcn4, Fcn5 получаем переменные /^2	) (соот-
ветственно //2(wi)’ ^2(^2)» A2(w3))- Выражения (3.72) и (3.73) вы-
числяются в блоках MinMax и MinMaxl, на выходе которых получа-
ем значения переменных A(t) и B(t).
Значения диапазонов Ат = 0max = -0min; Вт = 0тах = -0min;
Ст ~ ^тах ~ “^min ПРИ настройке нечеткого регулятора подбираются
либо вручную, либо автоматически путем решения оптимизационной
задачи.
При использовании в нечетком регуляторе возведенных в степень
треугольных функций принадлежности, приведенных на рис.3.41,
формирователь величин A(t) и B(t) можно представить структурной
схемой, показанной на рис.3.59. Элементы ограничения (Saturation),
которые описывают универсальное множество имеют линейный уча-
сток в диапазоне 0... 1 (что показано для одного из этих элементов).
Рис.3.59
При использовании в нечетком регуляторе треугольных функций
принадлежности, приведенных на рис.3.42, формирователь величин
A(t) и B(t) можно представить структурной схемой, показанной на
рис.3.60.
184
Раздел 3
Рис.3.60
При использовании в нечетком регуляторе экспоненциальных
функций принадлежности, приведенных на рис.3.43, формирователь
величин A(t) и B(t) можно представить структурной схемой, пока-
занной на рис.3.61.
Рис.3.61
185
Раздел 3
При использовании в нечетком регуляторе колоколообразных и
гауссовых функций принадлежности, приведенных на рис.3.44, 3.45
формирователи величин A(t) и B(t) можно представить структур-
ными схемами, показанными соответственно на рис.3.62 и 3.63.
186
Раздел 3
При использовании в нечетком регуляторе сигмоидальных функ-
ций принадлежности, приведенных на рис.3.57, формирователь ве-
личий A(t) и B(t) можно представить структурной схемой, показан-
ной на рис.3.64.
Следует отметить, что при использовании в нечетком регуляторе
треугольных функций принадлежности, приведенных на рис.3.41-3.45,
переменные и	формируются из переменных на ос-
новании структурной схемы, приведенной на рис.3.65,а.
Формирование (вычисление) переменных //j(mz) и	для
нечетких регуляторов, использующих функции принадлежности, при-
веденные на рис.3.47, 3.48 и 3.49 осуществляется по структурным
схемам, приведенным соответственно на рис.3.65, б, в, г. При этом
формирователи величин A(t) и B(t) выполняются по подобным схе-
мам.
Формирование (вычисление) переменных и //2(wz) дая
нечетких регуляторов, использующих функции принадлежности с
тремя термами, приведенные на рис.3.50-3.54, осуществляется также
по структурным схемам, показанным соответственно на рис.3.65.
187
Раздел 3
Рис.3.65
На рис.3.66 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.47, в котором формирование переменных	и
осуществляется по схеме рис.3.65,6.
На рис.3.67 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.49, в котором формирование переменных //](«,) и
А2 (W/) осуществляется по схеме рис.3.65,г.
Поскольку величина C(t) связана определенными соотношениями
с величинами A(t) и B(t), то формирователи величин C(t) получают-
ся достаточно простыми.
На рис.3.68 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.50, в котором формирование (вычисление) переменных
) и //2 (ui) °существляется по схеме рис.3.61,а для треугольных
188
Раздел 3
функций принадлежности (см. рис.3.42), а формирование (вычисле-
ние) величины C(t) осуществляется таким образом: поскольку при
A(t) < B(t) величина C(t) = 2 A(t), а при A(t) > B(t) величина C(t) = 2
B(t), то достаточно определить меньшую величину и увеличить ее
значение в два раза.
Рис.3.66
Рис.3.67
189
Раздел 3
Рис.3.69
На рис.3.69 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.51, в котором формирование (вычисление) переменных
190
Раздел 3
//] (wz) и /z2 (w/) осуществляется по схеме рис.3.65,в для треугольных
функций принадлежности с ограничением (см. рис.3.48), а формиро-
вание (вычисление) величины C(t) осуществляется таким образом:
поскольку при A(t) < B(t) величина C(t) = 2(1-a) A(t), а при
A(t) > B(t) величина C(t) = 2(1-a) B(t), то достаточно определить
меньшую величину и увеличить ее значение в 2(1-а) раза.
Формирователи величин C(t) для нечетких регуляторов со сжа-
тыми функциями принадлежности и тремя термами (см. рис.3.53, 3.54)
получаются более сложными, так как функция состоит из двух
функций и на интервалах (О...а) и (1-а... 1) равна нулю.
На рис.3.70 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора со сжатыми функциями при-
надлежности и тремя термами, приведенными на рис.3.54.
191
Раздел 3
В этой схеме формирование (вычисление) переменных щ (Uj) и
/^2 (wz) осУЩествляется по схеме рис.3.65,г для сжатых треугольных
функций принадлежности (см. рис.3.49), а формирование (вычисле-
ние) величины C(t) осуществляется следующим образом.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
min(W|,w25w3) - а (К0ГДа на среднем контакте сигнал положитель-
ный и в блоке Switch параметр Threshold > а). Переключатель
Switch 1	замыкает верхний контакт при условии
max(zZ],^2,^3) > 1 ~я (когда на среднем контакте сигнал положи-
тельный и в блоке Switchl параметр Threshold >1-а).Когда на
средних контактах переключателей Switch и Switchl сигналы отрица-
тельные, переключатели замыкают нижние контакты. Таким образом,
при условии а < (^|,^2^з) < 1-а замкнут верхний контакт пере-
ключателя Switch и нижний контакт переключателя Switchl. Если это
условие не выполняется, то замкнут либо нижний контакт переключа-
теля Switch, либо верхний контакт переключателя Switchl и на выхо-
де переключателя Switchl сигнал равен нулю. Поскольку в диапазоне
а < («|, и2,1/3 ) < 1 - а при A(t) < B(t) величина C(t) = 2 A(t), а при
A(t) > B(t) величина C(t) = 2 B(t), то достаточно определить мень-
шую величину и увеличить ее значение в два раза.
На рис.3.71 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с идентичными треугольны-
ми функциями принадлежности с увеличенным наклоном и тремя
термами, приведенными на рис.3.53, в котором формирование (вы-
числение) переменных jtZ](u/) и /л2 (ui) осуществляется по схеме
рис.3.65,б для треугольных функций принадлежности с увеличенным
наклоном (см. рис.3.47), а формирование (вычисление) величины C(t)
осуществляется аналогично тому, как это выполнено в схеме на
рис.3.70.
Поскольку в диапазоне а < (u\yu2,Uy) < 1 ~а при A(t) < B(t)
величина C(t) = 2(1-a) A(t)/ (1 -2а), а при A(t) > B(t) величина
C(t) = 2(1-a) B(t) / (1-2а), 2 B(t), то достаточно определить меньшую
величину и увеличить ее значение в 2(1-а) / (1 -2а) раза.
192
Раздел 3
Во всех схемах формирователей величин A(t) и B(t) граничные
значения диапазонов
~ ^max ~^min ’ &т = ^тах ~ —^min »	“ ^тах “ —^min
являются параметрами, которые перестраиваются при настройке не-
четкого регулятора. Параметр а обычно задается постоянным.
Рис.3.71
На рис.3.72 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с идентичными возведенны-
ми в степень треугольными функциями принадлежности с тремя тер-
мами, приведенными на рис.3.55, в котором формирование (вычисле-
ние) переменных и	осуществляется по схеме рис.3.65,а
для возведенных в степень треугольных функций принадлежности
193
Раздел 3
(см. рис.3.41), а формирование (вычисление) величины C(t) осуществ-
ляется следующим образом.
Поскольку при A(t) < B(t) величина C(t) = 2$jA(t), а при
A(t) > B(t) величина C(t) = 2sjB(t), то достаточно определить
На рис.3.73 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с идентичными возведенны-
ми в степень треугольными функциями принадлежности с тремя тер-
мами, приведенными на рис.3.56, в котором формирование (вычисле-
ние) переменных щ ) и //2 (wz) осуществляется по схеме рис.3.65,а
для возведенных в степень треугольных функций принадлежности
(см. рис.3.41), а формирование (вычисление) величины C(t) осуществ-
ляется таким образом: поскольку при A(t) < B(t) величина C(t) =
2е A(t), а при A(t) > B(t) величина C(t) = 2е B(t), то достаточно оп-
ределить меньшую величину min[/4(f),B(Z)] и вычислить
2c*min[J(r),B(r)].
194
Раздел 3
Рис.3.73
Рассмотрим формирование блоков сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис, представленных в функциональной схеме на
рис.3.46, для нечетких регуляторов, функции принадлежности кото-
рых с двумя термами показаны на рис.3.41-3.45 и 3.47-3.49.
Для нечеткого регулятора с идентичными возведенными в сте-
пень треугольными функциями принадлежности (см. рис.3.41) блок
сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис показан на рис.3.74(a).
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.78) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.80) и на выходе делителя Productl формируется величина испри
А>В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
195
Раздел 3
Switch параметр Threshoki=0.000001). При условии А > В. когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Рис.3.74(а)
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности (см. рис.3.42) блок сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис показан на рис.3.74(б).
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.82) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.83) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
196
Раздел 3
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Рис3.74(б)
Моделирование блоков сравнения величин A(t) и B(t) и расче-
та ис в интерактивной системе MATLAB можно значительно упро-
стить, если в средстве моделирования и исследования систем управ-
ления с обратной связью Simulink использовать блок MATLAB Fen,
для которого записывать соответствующие программы расчета выхода
нечеткого регулятора ис при поступлении на вход этого блока пере-
менных величин A(t) и B(t). В этом случае блок сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис моделируется одним блоком MATLAB Fen
(см. рис.3.75,а) с записанной для этого блока программой расчета.
Программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета
ис нечеткого регулятора с идентичными возведенными в степень тре-
угольными функциями принадлежности (см. рис.3.41), при моделиро-
вании этого блока одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) при-
ведена ниже:
197
Раздел 3
Parameters MATLAB function: foo41(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
ifA<=B
у1=В/2+с/(2*(с+2))*(АЛ(2/с+1)-ВЛ(2/с+1));
у!=у1/(В+с/(с+1)*(Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)));
return;
end;
у!=А/2-с/(с+1)*(Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1))+с/(2*(с+2))*(Ал(2/с+1)-
BA(2/c+l));
у1=у!/(А-с/(с+1)*(Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)));
return;
a)	6)
Рис.3.75
Для нечеткого регулятора с идентичными экспоненциальными
функциями принадлежности (см. рис.3.43) блок сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис показан на рис.3.76.
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.85) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина мспри А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.87) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
198
Раздел 3
Рис.3.76
Программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета
ис нечеткого регулятора с идентичными экспоненциальными функ-
циями принадлежности (см. рис.3.43), при моделировании этого блока
одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) приведена ниже:
Parameters MATLAB function: foo43(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2+(l-c)/cA2*(A-B-
A*log(A)+B*log(B))+l/2/cA2*(A*(log(A))A2-B*(log(B))A2);
yl=yl/(A-l/c*(A-A*log(A)-B+B*log(B)));
return;
end;
yl=B/2+l/cA2*(A-B-*log(A)+B*log(B))+l/2/cA2*(A*(Iog(A))A2-
B*(log(B))A2);
yl=yl/(B+l/c*(A-A*log(A)-B+B*log(B)));
return;
199
Раздел 3
Для нечеткого регулятора с идентичными колоколообразными
функциями принадлежности (см. рис.3.44) блок сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис показан на рис.3.77.
Рис.3.77
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.89) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.91) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета
ис нечеткого регулятора с идентичными колоколообразйыми функ-
200
Раздел 3
циями принадлежности (см. рис.3.44), при моделировании этого блока
одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) приведена ниже:
Parameters MATLAB function: foo44(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)+atan((l/B-l)A(l/2))-
atan((l/A-l)A(l/2)))-cA2/2*(A-B-log(cA2/B)+log(cA2/A));
yl=yl/(A-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)+atan((l/B-l)A(l/2))-
atan((l/A-l)A(l/2))));
return;
end;
yl=B/2-cA2/2*(A-B-log(cA2/B)+log(cA2/A));
yl=yl/(B+c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)+atan((l/B-l)A(l/2))-
atan((l/A-l)A(l/2))));
return;
Для нечеткого регулятора с идентичными гауссовыми функциями
принадлежности (см. рис.3.45) блок сравнения величин A(t) и B(t) и
расчета ис показан на рис.3.78(a).
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.93) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.95) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Все блоки, в которых записаны математические выражения, пред-
ставленные на рис.3.74 - 3.78(a), моделируются при помощи функций
Fen из блока User-Defined Functions в средстве Simulink.
201
Раздел 3
8um1
Рис.3.78(а)
Sum1
Рис.3.78(б)
202
Раздел 3
В средстве моделирования и исследования систем управления с
обратной связью Simulink функция erf в блоке User-Defined Func-
tions моделируется не блоком Fen, а блоком MATLAB Fen, поэтому
блок сравнения величин А и В и расчета ис, показаный на
рис.3.78(a), будет представлен моделью, изображенной на рис.3.78(6).
В блоках MATLAB Fcnl - MATLAB Fcn8 записаны те же выраже-
ния, что и в соответствующих блоках в схеме на рис.3.78(a).
Для нечеткого регулятора с идентичными сигмоидальными функ-
циями принадлежности (см. рис.3.57) блок сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис показан на рис.3.79.
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.153) и на
выходе делителя Product формируется величина мепри А < В. Ана-
логичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числи-
тель, а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выраже-
ния (3.155) и на выходе делителя Productl формируется величина
ис при А > В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Интегралы, записанные в формулах (3.153) и (3.155), вычисля-
чются соответственно в блоках MATLAB Fcnl и MATLAB Fcn2 по
формуле трапеций. Для каждого интеграла предварительно определя-
ется верхний предел HL и нижний предел LL.
Программа для блока MATLAB Fcnl записывается в виде:
function yl=fool(HL,LL);
Var delta; Var x; Var y; Var I; 1=100; delta=(HL-LL)/I;
k=0;
while 1
k=k+l;
x(k)=LL+delta*(k-l); y(k)=x(k)/(l+exp(15*0.7)*exp(-15*x(k)));
if k>=I+l
break
end
203
Раздел 3
end;
у(1)=у(1)/2; y(I+l)=y(I+l)/2; yl=delta*sum(y);
return;
Sum1
Рис.3.79
Программа function y2=foo2(HL,LL) для блока MATLAB Fcn2
отличается от function yl=fool(HL,LL) только строчкой
x(k)=LL+delta*(k-l); y(k)=x(k)/(l+exp(15*(0.7-l))*exp(15*x(k)));
Программы составлены для параметров сигмоидальных функций
принадлежности (см. рис.2.13): с=0,7 и а=15.
Общая программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и
расчета ис нечеткого регулятора с идентичными сигмоидальными
функциями принадлежности (см. рис.3.57) при моделировании этого
блока одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) приведена ниже.
204
Раздел 3
function yl=foosigma(A,B);
var as; var cs; var HL; var LL; var nu; var po;
as=15; cs=0.7;
if A<=B
HL=cs-l/as*log(l/B-l); LL=cs-l/as*log(l/A-l);
nu=B/2+csA2*(A-B)/2+cs/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-l));
nu=nu+(l/(2*asA2))*(A*(log(l/A-l))A2-(B*(log(l/B-l))A2));
n u=n u+foot 1 (H L,LL,as,cs);
po=B+cs*(A-B)+(l/as)*(Iog(A)-(A-l)*log(l/A-l)-log(B)+(B-
l)*log(l/B-l)); yl=nu/po;
return;
end;
HL=l-cs+l/as*log(l/B-l); LL=l-cs+l/as*log(l/A-l);
nu=B/2+(l-cs)A2*(A-B)/2;
nu=nu+((l-cs)/as)*(A*log(l/A-l)-B*log(l/B-l));
nu=nu+(l/(2*asA2))*(A*(log(l/A-l))A2-(B*(log(l/B-l))A2));
nu=nu+foot2(HL,LL,as,cs);
po=A+cs*(B-A)+(l/as)*(log(B)-(B-l)*log(l/B-l)-log(A)+(A-
l)*log(l/A-l)); yl=nu/po;
return;
function y2=footl(HLl,LLl,asl,csl);
Var delta; Var x; Var y; Var I;
1=150; delta=(HLl-LLl)/I;
k=0;
while 1
k=k+l;
x(k)=LLl+delta*(k-l); y(k)=x(k)/(l+exp(-asl*x(k))*exp(asl*csl));
ifk>=I+l
break
end
end;
y(l)=y(l)/2; y(I+l)=y(I+l)/2; y2=delta*sum(y);
fu nction y3=foot2(HL 1 ,LL 1 ,as 1 ,cs 1);
Var delta; Var x; Var y; Var I;
1=150; delta=(HLl-LLl)/I;
k=0;
while 1
k=k+l;
205
Раздел 3
x(k)=LLl+delta*(k-l);
y(k)=x(k)/(l+exp(asl*x(k))*exp(asl*(csl-l)));
if k>=I+l
break
end
end;
y(l)=y(l)/2; y(I+l)=y(I+l)/2; y3=delta*sum(y);
Программы 1, 2 и 3 соответственно для блоков сравнения вели-
чин A(t) и B(t) и расчета ис нечетких регуляторов с идентичными
треугольными функциями принадлежности с увеличенным наклоном,
с ограничением и сжатыми треугольными функциями (см. рис.3.47,
3.48 и 3.49), при их моделировании одним блоком MATLAB Fen (см.
рис.3.75,а) приведены ниже.
1.	Parameters MATLAB function: foo47(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var as; as=;
if A<=B
yl=B/2+asA2*(A-B)/2+as*(l-as)*(AA2-BA2)/2+(l-as)A2*(AA3-
BA3)/6;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
end;
yl=B/2+(l-as)A2*(A-B-AA2+BA2)/2+(l-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
2.	Parameters MATLAB function: foo48(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var as; as=;
if A<=B
yl=B/2+(l-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(B+(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
end;
yl=A/2-(l-as)*(AA2-BA2)/2+(l-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(A-(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
206
Раздел 3
3.	Parameters MATLAB function: foo49(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var as; as=;
if A<=B
yl=B/2+asA2*(A-B)/2+as*(l-2*as)*(AA2-BA2)/2+(l-
2*as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l-2*as)*(AA2-BA2)/2);
return;
end;
yl=B/2+(l-as)A2*(A-B)/2-(l-as)*(l-2*as)*(AA2-BA2)/2+(l-
2*as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l-2*as)*(AA2-BA2)/2);
return;
Проектирование блоков сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и
расчета ис для нечетких регуляторов с различными функциями при-
надлежности с тремя термами незначительно усложняется по сравне-
нию с проектированием блоков сравнения величин A(t), B(t) и C(t)
и расчета ис для нечетких регуляторов с различными функциями
принадлежности с двумя термами.
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами (см. рис.3.50) блок сравне-
ния величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на рис.3.80.
На выходе делителя Product формируется величина ис на осно-
вании формулы (3.117) при А < С < В. На выходе делителя Productl
формируется величина ис на основании формулы (3.119) при
А > С > В. На выходе делителя Product2 формируется величина ис
на основании формулы (3.121) при
А < В < С
В< А <С
Переключатели Switch и Switch 1 замыкают верхние контакты
при условии А < С < В, когда на средних контактах этих переключа-
телей сигналы положительные (в блоках Switch и Switch 1 параметр
Threshold O.000001). При условии А > С > В, когда на средних кон-
207
Раздел 3
тактах переключателей Switch и Switchl сигналы отрицательные, пе-
реключатели замыкают нижние контакты.
Рис.3.80
208
Раздел 3
Переключатели Switch! и Switch3 замыкают верхние контакты
при условии *
[А<В<С
В< А<С
, когда на средних контактах этих переклю-
чателей сигналы положительные (в блоках Switch! и Switch3 пара-
метр Threshold=0.000001).
При условии А < С < В, когда на средним контакте переключа-
теля Switch! сигнал положительный, а на средним контакте переклю-
чателя Switch3 сигнал отрицательный, то в переключателе Switch!
замкнут верхний контакт, а в переключателе Switch3 замкнут нижний
контакт.
При условии А > С > В, когда на средним контакте переключа-
теля Switch3 сигнал положительный, а на средним контакте переклю-
чателя Switch! сигнал отрицательный, то в переключателе Switch3
замкнут верхний контакт, а в переключателе Switch! замкнут нижний
контакт.
Таким образом, при условии А < С < В сигнал на выход схемы
поступает с выхода делителя Product, при условии А > С > В сигнал
на выход схемы поступает с выхода делителя Productl и при условии
А < В < С
*	сигнал на выход схемы поступает с выхода делителя
В< А<С
Product!.
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами, где функции принадлежно-
сти Д1(н) и ^(и) имеют ограничения (см. рис.3.51), блок сравне-
ния величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на рис.3.81.
На выходе делителя Product формируется величина ис на осно-
вании формулы (3.123) при А < С < В. На выходе делителя Productl
формируется величина ис на основании формулы (3.125) при
А > С > В. На выходе делителя Product! формируется величина ис
на основании формулы (3.127) при
А < В < С
В< А<С
209
Раздел 3
Рис.3.81
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами, где функции принадлежно-
сти и имеют увеличенный наклон (см. рис.3.52), блок
сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на
рис.3.82.
210
Раздел 3
Рис.3.82
На выходе делителя Product в схеме (см. рис.3.82) формируется
величина ис на основании формулы (3.129) при А < С < В. На выхо-
де делителя Product! формируется величина ис на основании фор-
211
Раздел 3
мулы (3.131) при А > С > В. На выходе делителя Product! формиру-
ется величина ис на основании формулы (3.127) при
А<В<С
В< А<С
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами, где функции принадлежно-
сти /^(w) и //2(w) имеют коэффициент сжатия с (см. рис.3.55), блок
(сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на
рис.3.83.
Рис.3.83
212
Раздел 3
На выходе делителя Product в схеме (см. рис.3.79) формируется
величина ис на основании формулы (3.143) при А < С < В. На выхо-
де делителя Productl формируется величина ис на основании фор-
мулы (3.145) при А > С > В. На выходе делителя Product! формиру-
ется величина ис на основании формулы (3.121) при <
В< А<С
Для нечеткого регулятора с идентичными сжатыми с коэффици-
ентом с треугольными ФП с тремя термами (см. рис.3.56), блок срав-
нения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на рис.3.84.
Рис.3.84
213
Раздел 3
A<B<C
B< A<C
На выходе делителя Product в схеме (см. рис.3.79) формируется
величина ис на основании формулы (3.147) при А < С < В. На выхо-
де делителя Productl формируется величина ис на основании фор-
мулы (3.149) при А > С > В. На выходе делителя Product! формиру-
ется величина ис на основании формулы (3.151) при <
Переключатели Switch, Switch 1, Switch! и Switch3 в схемах
блоков сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис, приведен-
ных на рис.3.81-3.84 работают так же, как в схеме, приведенной на
рис.3.80.
Аналогичным образом формируются блоки сравнения величин
A(t), B(t) и C(t) и расчета ис для нечетких регуляторов с функциями
принадлежности, показанными на рис.3.53 и 3.54.
Программы 1-7 для блоков сравнения величин A(t) и B(t) и
расчета ис нечетких регуляторов 1- с идентичными треугольными
функциями принадлежности с тремя термами (см. рис.3.50), 2- с иден-
тичными треугольными функциями принадлежности с тремя термами,
где функции принадлежности и //2(w) имеют ограничения (см.
рис.3.51), 3- с идентичными треугольными функциями принадлежно-
сти с тремя термами, где функции принадлежности /Z](w) и
имеют увеличенный наклон (см. рис.3.52), 4- с идентичными тре-
угольными функциями принадлежности с тремя термами, где функ-
ции принадлежности /Z|(w), ^2(w) и Zb(M) имеют увеличенный на-
клон (см. рис.3.53), 5- с идентичными сжатыми треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами (см. рис.3.54), 6 и 7- с иден-
тичными возведенными в степень треугольными функциями принад-
лежности с тремя термами (см. рис.3.55 и 3.56) при моделировании
этих блоков одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,б) приведены
ниже.
1.	Parameters MATLAB function: foo50(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo50(A,B,C);
if (A<=C)&(C<=B)
у1=АЛ3/!4+В/!-ВЛ3/6+СЛ3/8;
214
I Раздел 3
у1=у!/(АЛ2/4+В-ВЛ2/2+СЛ2/4);
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-AA2/2+AA3/6+BA2/4-BA3/24+CA2/4-CA3/8;
yl=yl/(A-AA2/2+BA2/4+CA2/4);
return;
end;
yl=AA3/24+BA2/4-BA3/24+C/2-CA2/4;
yl=yl/(AA2/4+BA2/4+C-CA2/2);
return;
2.	Parameters MATLAB function: foo51(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo51(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=(AA3-CA3)/24+B/2-(l-as)A2*(BA3-CA3)/6;
yl=yl/((AA2-CA2)/4+B-(l-as)*(BA2-CA2)/2);
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-(l-as)*(AA2-CA2)/2+(BA2-CA2)/4-(BA3-CA3)/24+(l-
as)A2*(AA3-CA3)/6;
yl=yl/(A-(l-as)*(AA2-CA2)/2+(BA2-CA2)/4);
return;
end;
yl=(AA3-BA3)/24+(BA2-CA2)/4+C/2;
yl=yl/((AA2+BA2)/4+C-CA2/2);
return;
3.	Parameters MATLAB function: foo52(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo52(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2-asA2*(B-C)/2-as*(l-as)*(BA2-CA2)/2+(AA3-CA3)/24-(l-
as)A2*(BA3-CA3)/6;
yl=yl/(B-as*(B-C)+(AA2-CA2)/4-(l-as)*(BA2-CA2)/2);
return;
215
Раздел 3
end;
if (В<=С)&(С<=А)
yl=C/2+(l-as)A2*(A-C-AA2+CA2)/2+(BA2-CA2)/4-(BA3-
СлЗ)/24+( 1 -as) А2*(А лЗ-СлЗ)/6;
yl=yl/(A-as*(A-C)+(BA2-CA2)/4-(l-as)*(AA2-CA2)/2);
return;
end;
у1=(АлЗ-ВлЗ)/24+(Вл2-Сл2)/4+С/2;
у1=у1/((Ал2+Вл2)/4+С-Сл2/2);
return;
4.	Parameters MATLAB function: foo53(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo52(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+asA2/2*(A-B)+(as/4-asA2/2)*AA2-(as/2-
asA2/2)*BA2+as/4*CA2+((l/2-as)A2*AA3-(l-as)A2*BA3+(3/4-
as)*CA3)/6;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l/4-as/2)*AA2+l/4*CA2+(as/2-l/2)*BA2);
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-(as-asA2/2)*(A-B)-l/2*(l-as)A2*AA2+(l/4-
3*as/4+asA2/2)*BA2+l/4*(l-as)*CA2+((l-as)A2*AA3-(l/2-
as)A2*BA3-(3/4-as)*CA3)/6;
yl=yl/(A-as*(A-B)+(l/4-as/2)*BA2+l/4*CA2+(as/2-l/2)*AA2);
return;
end;
yl=asA2*A/2+(as-asA2/2)*B+(l/2-as)*C+(as/4-asA2/2)*AA2+(l/4-
3*as/4+asA2/2)*BA2-(l/4-as/2)*CA2+(l/2-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(C+as*(A+B-2*C)+(l/4-as/2)*(AA2+BA2-2*CA2));
return;
5.	Parameters MATLAB function: foo54(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo54(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+asA2/2*(A-B)+(as/4-asA2/2)*(AA2-2*BA2+CA2)+(l-
216
< Раздел 3
2*as)A2*(AA3-4*BA3+3*CA3)/24;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l/4-as/2)*(AA2-2*BA2+CA2));
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-(as-asA2/2)*(A-B)-l/4*(l-as)*(l-2*as)*(2*AA2-BA2-
CA2)+(l-2*as)A2*(4*AA3-2*BA3-3*CA3)/24;
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l/4-as/2)*(2*AA2-BA2-CA2));
return;
end;
yl=asA2*A/2+(as-asA2/2)*B+(l/2-as)*C+(as/4-asA2/2)*AA2+(l/4-
3*as/4+asA2/2)*BA2-(l/4-as/2)*CA2+(l/2-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(C+as*(A+B-2*C)+(l/4-as/2)*(AA2+BA2-2*CA2));
return;
6.	Parameters MATLAB function: foo55(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo55(A,B,C);
Var as; c=3;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+(AA3-CA3)/24-c/2/(c+2)*(BA(2/c+l)-CA(2/c+l));
yl=yl/(B+(AA2-CA2)/4-c/(c+l)*(BA(l/c+l)-CA(l/c+l)));
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2+(BA2-CA2)/4-(BA3-CA3)/24-c/(c+l)*(AA(l/c+l)-
CA(l/c+l))+c/2/(c+2)*(AA(2/c+l)-CA(2/c+l));
yl=yl/(A+(BA2-CA2)/4-c/(c+l)*(AA(l/c+l)-CA(l/c+l)));
return;
end;
yl=C/2+(BA2-CA2)/4+(AA3-BA3)/24;
yl=yl/(C+(AA2+BA2-2*CA2)/4);
return;
7.	Parameters MATLAB function: foo56(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo56(A,B,C);
Var c; c=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+c/8/(c+2)*(AA(2/c+l)-4*BA(2/c+l)+3*CA(2/c+l));
217
Раздел 3
у1=у1/(В+с/2/(с+1)*(АЛ(1/с+1)-2*ВЛ(1/с+1)+СЛ(1/с+1)));
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
у1=А/2-с/2/(с+1)*(2*Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)-
Сл(1/с+1))+с/8/(с+2)*(4*Ал(2/с+1)-Вл(2/с+1)-3*Сл(2/с+1));
у1=у1/(А-с/2/(с+1)*(2*Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)-Сл(1/с+1)));
return;
end;
у1=С/2+с/2/(с+1)*(Вл(1/с+1)-Сл(1/с+1))+с/8/(с+2)*(Ал(2/с+1)-
Вл(2/с+1));
у1=у1/(С+с/2/(с+1)*(Ал(1/с+1)+Вл(1/с+1)-2*Сл(1/с+1)));
return;
Блок нормировки выходной переменной с цифроаналоговым пре-
образователем ЦАП (Zero-Order Holdl - фиксатором нулевого поряд-
ка с передаточной функцией H(s) = (1 -e~hs}/s) показан на рис.3.85.
Граничное значение диапазона Dm = zwmax = -zwmin является па-
раметром, который перестраивается при настройке нечеткого регуля-
тора.
Holdl
Рис.3.85
Таким образом, нечеткий регулятор с функциями принадлежно-
сти, имеющими два терма (например, показанными на рис.3.41-3.45,
3.47-3.49), при моделировании в интерактивной системе MATLAB
можно представить в виде последовательного соединения трех блоков
(см. рис.3.86,а): формирователя величин A(t) и B(t) (блок 1), блока
сравнения величина А и В и расчета ис (блок 2) и блока нормиров-
ки выходной переменной (блок 3).
218
< Раздел 3
Для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, имею-
щими три терма (например, показанными на рис.3.50-3.56), блок-
а)
б)
Рис.3.86
Важно отметить, что в схемах нечетких регуляторов, показанных
на рис.3.86, в формирователях величин A(t) и B(t) для входных лин-
гвистических переменных можно использовать функции принадлеж-
ности одного типа, а в блоках сравнения величин A(t) и B(t) и рас-
чета ис для выходной лингвистической переменной использовать
функции принадлежности другого типа.
На основе схем нечетких регуляторов, показанных на рис.3.86,
можно конструировать и более сложные схемы, одна из которых при-
ведена на рис.3.87.
Эта схема содержит составной формирователь величин A(t) ,
B(t) и Al(t), Bl(t) (блок 1 на рис.3.87), состоящий из схем формиро-
вателя величин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с треугольными
Функциями принадлежности, приведенными на рис.3.42, и формиро-
вателя величин Al(t) и Bl(t) для нечеткого регулятора со сжатыми
219
Раздел 3
функциями принадлежности, приведенными на рис.3.49, в котором
формирование (вычисление) переменных	и осуществ-
ляется по схеме рис.3.65,г. Составной формирователь величин A(t),
B(t) и Al(t) , Bl(t) показан на рис.3.88.
Abs
Рис.3.87
MmMaxI
MinMax2
Рис.3.88
220
Раздел 3
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис (блок 2 на
рис.3.87) для нечеткого регулятора с идентичными треугольными
функциями принадлежности (см. рис.3.42) показан на рис.3.75. Блок
сравнения величин Al(t) и Bl(t) и расчета ис (блок 4 на рис.3.87)
для нечеткого регулятора с идентичными сжатыми треугольными
функциями принадлежности (см. рис.3.49) показан на рис.3.89.
»| aA2W+a*(l-2*a)V2/2+(l-2*a)*24iA3/6 |—
*1 u/2-aA2’u/2-a*( 1-2*a)*u*2Z2-(1-2*a) W3/6
Sumi
Product
u-a*u-(1-2*a)V2/2
Sum5
Sum2 г-.
Sum3
Switch
х
x

Product!
Sum4
Рис.3.89
Блоки нормировки выходных переменных иси ис}с цифроанало-
говым преобразователем (блоки 3 и 5 на рис.3.83) собраны по схеме,
показанной на рис.3.85.
Величина модуля ошибки со входа через сглаживающий фильтр
(апериодическое звено) подается на средний контакт переключателя
Switch. Когда на среднем контакте положительный сигнал более оп-
ределенной величины, установленной параметром Threshold, пере-
ключатель замыкает верхний контакт и в системе работает “верхний”
регулятор. Когда на среднем контакте положительный сигнал менее
определенной величины, установленной параметром Threshold, пере-
ключатель замыкает нижний контакт и в системе работает “нижний”
регулятор.
221
Раздел 3
Нечеткий регулятор по схеме рис.3.87 целесообразно использо-
вать, когда “верхний” регулятор обеспечивает удовлетворительные
переходные процессы в системе автоматического управления, а “ниж-
ний” - обеспечивает минимальную динамическую ошибку.
При проектировании нечетких регуляторов изложенным выше
методом, основанным на полученных аналитических выражениях для
управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при сим-
метричных треугольных, возведенных в степень треугольных, экспо-
ненциальных, колоколообразных и гауссовых функциях принадлеж-
ности и представленной функциональной схеме (см. рис.3.46), на базе
которой возможна реализация нечетких регуляторов программным
или аппаратным способом, нет необходимости в использовании паке-
та нечеткой логики системы MATLAB и процедура проектирования
нечетких регуляторов упрощается. Блочное построение регуляторов
(рис.3.86) позволяет выбирать и использовать различные блоки фор-
мирователей величин A(t) и B(t) и блоки сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис.
Можно значительно упростить проектирование блоков сравне-
ния величин A(t) и B(t) и расчета ис для нечетких регуляторов, ис-
пользующих функции принадлежности с двумя термами (см. рис.3-41-
3.45, 3.47-49), если вместо всей площади результирующей фигуры,
лежащей под “результирующей функцией принадлежности”, опреде-
лять площади прямоугольников под прямыми, обозначенными А и В,
которые ограничивают сверху функции принадлежности для входных
лингвистических переменных. При этом вычисления интегралов в
общей формуле (1.1) сводится к вычислению произведений
Ахх\у Вх(1-х2) и ухх]2, ух(1-х2),	(3.156)
где X] и х2 - абсциссы точек пересечения прямых А и В с соответст-
вующими функциями принадлежности.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными возведенными в степень треугольными
функциями принадлежности для каждой лингвистической величины
(см. рис.3.41 и 3.90).
На основании формул (3.156) и рис.3.90 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры44 при А < В определяется выражением
222
Раздел 3
£ 1 -+• -+1
+ (Лс _Вс )
ис = ——-—j--------j---- при А < В\ (3.157)
-+1 i+1
В+Ас -Вс
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > В опре-
деляется выражением
1 f	1 t 2 f	2 ,
A -4-1	-4-1 1	-4-1	-4-1
+ 5С +-(ЛС -ВС )
ис = —--------------т--—j------------- при А>В. (3.158)
-+1 -+1
А-Ас + ВС
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис , построенный
согласно формул (3.157) и (3.158) приведен на рис.3.91.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,01, В=0,3, с=3 получаем ис = 0,8193.
При А=0,3, В=0,01, с=3 получаем ис = 0,1807.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными экспоненциальными функциями при-
надлежности для каждой лингвистической величины (см. рис.3.43 и
3.92).
223
Раздел 3
Рис.3.91
Рис.3.92
На основании формул (3.156) и рис.3.92 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры“ при А < В определяется выражением
- + -(Л In А - В In В) + -1-[Л(1п Л)2 - В(1п В)2 ]
ис - ——-----------------—------------------- при Л < В;
Л + -(Л1пЛ-В1п5)
С
(3.159)
224
Раздел 3
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В опре-
деляется выражением
2?	1	О	О
- + —[Л(1пЛ)2-В(1пВ)2]
ис =------------------------ при А > В. (3.160)
В + -(51пВ-Л1пЛ)
С
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.159) и (3.160) приведен на рис.3.93.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,02, В=0,04, с=5 получаем ис = 0,5958.
При А=0,04, В=0,02, с=5 получаем ис = 0,4042.
Рис.3.93
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными колоколообразными функциями при-
надлежности для каждой лингвистической величины (см. рис.3.44 и
3.94).
225
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.94 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры" при А < В определяется выражением
2
- - с[у1а~А2 - л1в-В2] -—(А-В)
ис = —----------.	. —---------- при А < В\ (3.161)
а-ф1а-а2 -\Ib-b2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при А > В опре-
деляется выражением
— (А-В)
9	9
ис =-----!	--г - при А>В. (3.162)
В + с[уА-А2 -У1В-В2]
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.161) и (3.162) приведен на рис.3.95.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,7675 .
При А=0,4, В=0,1, с=0.3 получаем ис = 0,2325.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными гауссовыми функциями принадлежно-
сти для каждой лингвистической величины (см. рис.3.45 и 3.96).
226
Раздел 3
Рис.3.95
Рис.3.96
(u-l)2
1-с(-21пВ)2 с(-21пВ)2
227
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.96 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры“ при А < В определяется выражением
- - сА/-21пЯ + сВ>/-21пВ -
2
-с2(Л1пЛ-Я1пВ)	A'D
ие --------.— =-------. - при А < В; (3.163)
А - сА л/-21пЛ + сВл/-21пВ
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В опре-
деляется выражением
В э
— -с2(А\пА-В\пВ)
ис  -----—.	-----7-- при А>В. (3.164)
В + сА/-21пЛ - сВл/-21пВ
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.163) и (3.164) приведен на рис.3.97.
Рис.3.97
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
228
Раздел 3
При А=0,02, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,783.
При А=0,4, В=0,02, с=0.3 получаем ис - 0,217.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными сигмоидальными функциями принад-
лежности для каждой лингвистической величины (см. рис.3.57 и 3.98).
На основании формул (3.156) и рис.3.98 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры44 при А < В определяется выражением
2
f + £-(Л-В) + -[51п(1-1)-Л1п(1-1)] +
2	2	а В	А
1 1 ? 1 ?
+	(Л[1п(- -1)]2 - B[ln(- -1)]2)
2л2 А	В	(5.1 to)
Uc ~ 1 1 1
В + с(А - В)--[А ln(— -1) - В 1п(-1)]
а А	В
при А < В\
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры1* при А > В опре-
деляется выражением
229
Раздел 3
2
| + ^-(Л-5) + Ь£Н1п(1-1)_В1п(1-1)] +
2	2	а А	В
1	1 о	1	?
+ —И1п(--1)]2 -5[1п(--1)]2}	(ЗЛ66)
2а А	°
Uc ~ 11	1
А + с(В - А) + — [А ln(— -1) - 51п(- -1)]
а А	В
при А > В.
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.165) и (3.166) приведен на рис.3.99.
Рис3.99
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,001, В=0,4, с=0,7, а= 15 получаем ис = 0,8352 .
При А=0,4, В=0,001, с=0.7, а=15 получаем ис = 0,1648.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [ОД] два нечетких
подмножества с идентичными колоколообразными функциями при-
надлежности (bell-shaped-функциями, зависящими от двух парамет-
ров) для каждой лингвистической величины (см. рис.3.100).
230
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.100 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры“ при А < В определяется выражением абсцис-
са “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В определяется
выражением
1 1 2 1 1
^_с[Л(1-1)2а - В(1 — 1)2я ] + £-[Л(1-1)«
-	т т
при А < В;	(3.167)
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В опреде-
ляется выражением
2	1	1
- + — [Л(1-1)« -В(- -1)*]
ис =	—>L_-----------В_ при А > в (3168)
В + с[А(^-])2°
Отметим, что при а=1 формулы (3.167) и (3.168) совпадают с соответст-
вующими формулами (3.161) и (3.162).
При использовании в нечетком регуляторе колоколообразных функ-
ций принадлежности (bell-shaped-функций, зависящих от двух парамет-
ров), приведенных на рис.3.100, формирователь величин A(t) и B(t)
можно представить структурной схемой, показанной на рис.3.101.
231
Раздел 3
Рис.3.101
Рис.3.102
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.167) и (3.168) приведен на рис.3.102.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
232
Раздел 3
При А=0,005, В=0,4, с=0,3, а=3 получаем ис - 0,8321.
При А=0,4, В=0,005, с=0.3, а=3 получаем ис = 0,1679.
Используя рассмотренный способ проектирования блоков срав-
нения величин A(t) и B(t) и расчета ис, можно определить выход
ис нечеткого регулятора со сжатыми совместно используемыми,
зависящими от одного параметра Z - образной и S - образной функ-
циями принадлежности (см. рис.2.12(б)).
Для нечеткого регулятора с такими функциями принадлежности
какие бы значения не принимали переменные и/ ,	, ^з*(эти зна-
чения отмечены точками на универсальном множестве U = [0,1]), в
зависимости от значений величин А и В “результирующая фигура”
может принимать четыре конфигурации, показанные на рис.3.103.
Рис.3.103
233
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.103 абсцисса “центра тяже-
сти результирующей фигуры44 при А<В<0,5 определяется выражением
| + ^.(Л - В) + „(1 - 2О)[Л(^)''2 - B(j)1'2 ] +
+ fl^U2-B2)
»е =-----------------4--------------- -------.	(3169)
В + а(Л-В) + (1-2о)[Л(-),,2-В(-)1'2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при 0,5>А>В оп-
ределяется выражением
| + <!.ZAL(Л - В) - (1 - о)(| - 2О)[Л(^)' '2 - В(|)’'2] +
+ <Ь^(л2-в2)
ис =--------------------4-----------------------; (3.170)
А - а(А - В) - (1 - 2а)(А(^)1''2 - В(|)‘'2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А<0,5<В оп-
ределяется выражением
[В + а2А - (1 - а)2 В]/ 2 + (1 - 2а)[аА(^)У2 +
+ (1-а)В(Ц^)1/2]+(1~ 2а)2 М2 -В(1-В)]
ис =---------2----------4----------------.	(3.171)
а(Л + В) + (1-2а)[Л(у)1/2 +В(Ц^),/2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А>0,5>В оп-
ределяется выражением
[В + а2 А - (1 - а)2 В]/2 + (1 - 2а)[аА(~^-)'/2 +
+ О - а)В А1/2 ] +(1~2а)2[Я(1 -А)-В2]
Uc =--------------------*----------- --------.(3.172)
а(А + В) + (1 - 2а)[А(~-)|/2 + В(|)1/2]
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
234
Раздел 3
При А=0,05, В=0,2, а=0,3 получаем ис = 0,6406.
При А=0,2, В=0,05, а=0.3 получаем ис - 0,3594.
При А=0,1, В=0,7, а=0,3 получаем ис = 0,7096.
При А=0,7, В=0,1, а=0.3 получаем ис = 0,2904.
При использовании в нечетком регуляторе сжатых совместно
используемых Z - образной и 5 - образной функций принадлежности
(см. рис.2.12(б)) формирователь величин A(t) и B(t) можно предста-
вить структурной схемой, показанной на рис.3.104.
235
Раздел 3
Структурная схема формирователя величин A(t) и B(t), пока-
занная на рис.3.104, построена на основании зависимостей (2.35),
(2.36), представленных на рис.3.105.
(и) №(“)
--------------------------1
1-2(итД Д А 2(и-1 + а)2
(1-ад, у
А 2(и-1 + д)2
о-2й)2'/ Y о-2^2
а 0.5 Ьа 1
0.5
О
Рис.3.105
Переключатели Switch и Switch 1 замыкают нижние контакты при
условии A(t) < 0,5 и 5(/) < 0,5 на выходе блоков min (в блоках
Switch и Switchl параметр Threshold=0.5) и переменные A(t) и B(t)
поступают на соответствующие выходы. При условии A(t) > 0,5 на
выходе верхнего на рисунке блока min переключатель Switch замы-
кает верхний контакт, на выходе нижнего блока max формируется ве-
личина
B0(0 = max[>U2(Mi),^2(M2)>Z'2(M3)L	/ = 1,2,3,
и переменная A(t) определяется как A(t)=l-Bo(t). При условии
B(t) > 0,5 на выходе нижнего на рисунке блока min переключатель
Switchl замыкает верхний контакт, на выходе верхнего блока max
формируется величина
Л0(/) = тах[//1(м|),я(м2)>Х'1(мз)Ь	/ = 1,2,3,
и переменная B(t) определяется как B(t)=l-Ao(t).
При практическом использовании в нечетком регуляторе сжатых
совместных Z - образной и S - образной функций принадлежности
можно ограничить переменные A(t) и B(t) уровнем 0,5. В этом случае
схему блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис можно про-
ектировать только на основании формул (3.169), (3.170). Такая схема
приведена на рис.3.106.
236
Раздел 3
Рис.3.106
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.169) и на
выходе делителя Product формируется величина испри А < В. Ана-
логичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числи-
тель, а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выраже-
ния (3.170) и на выходе делителя Productl формируется величина
ис при А > В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold^.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
При моделировании блока сравнения величин A(t) и B(t) и рас-
чета ис одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) программа рас-
чета выполняется на основании формул (3.169)-(3.172) и представлена
ниже.
Программы 1-7 соответственно для блоков сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис нечетких регуляторов с идентичными возве-
денными в степень треугольными, экспоненциальными, колоколооб-
разными, гауссовыми, сигмоидальными, колоколообразными bell-
shaped-функциями принадлежности и сжатыми совместно исполь-
237
Раздел 3
зуемыми, зависящими от одного параметра Z - образной и S - образ-
ной функциями принадлежности (см. рис.3.90, 3.92, 3.94, 3.96, 3.98,
100 и 103), при их моделировании одним блоком MATLAB Fen (см.
рис.3.75,а) приведены ниже.
1.	Parameters MATLAB function: foo90(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=B/2+l/2*(AA(2/c+l)-BA(2/c+l));
yl=yl/(B+AA(l/c+l)-BA(l/c+l));
return;
end;
yl=A/2-AA(l/c+l)+BA(l/c+l)+l/2*(AA(2/c+l)-BA(2/c+l));
yl=yl/(A-AA(l/c+l)+BA(l/c+l));
return;
2.	Parameters MATLAB function: foo92(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2+l/c*(A*log(A)-B*log(B))+l/2/cA2*(A*(log(A))A2-
B*(log(B))A2);
yl=yl/(A+l/c*(A*log(A)-B*log(B)));
return;
end;
yl=B/2+l/2/cA2*(A*(log(A))A2-B*(log(B))A2);
yl=yl/(B+l/c*(B*log(B)-A*log(A)));
return;
3.	Parameters MATLAB function: foo94(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2))-cA2/2*(A-B);
yl=yl/(A-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)));
return;
end;
238
Раздел 3
yl=B/2-cA2/2*(A-B);
yl=yl/(B+c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)));
return;
4.	Parameters MATLAB function: foo96(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2-c*A*(-2*log(A))A(l/2)+c*B*(-2*log(B))A(l/2)-
cA2*(A*log(A)-B*log(B));
yl=yl/(A-c*A*(-2*log(A))A(l/2)+c*B*(-2*log(B))A(l/2));
return;
end;
yl=B/2-cA2*(A*log(A)-B*log(B));
yl=yl/(B+c*A*(-2*log(A))A(l/2)-c*B*(-2*log(B))A(l/2));
return;
5.	Parameters MATLAB function: foo98(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; Var as; c=; as=;
if A<=B
yl=B/2+cA2/2*(A-B)+c/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-
l))+l/2/asA2*(A*(log(l/A-l))A2-B*(log(l/B-l))A2);
yl=yl/(B+c*(A-B)+l/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-l)));
return;
end;
yl=B/2+(l-c)A2/2*(A-B)-(l-c)/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-
l))+l/2/asA2*(A*(log(l/A-l))A2-B*(log(l/B-l))A2);
yl=yl/(A-c*(A-B)-l/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-l)));
return;
6.	Parameters MATLAB function: fool00(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; Var as;
c -; as=;
if A<=B
yl=A/2-c*(A*(l/A-l)A(l/2/as)-B*(l/B-l)A(l/2/as))+cA2/2*(A*(l/A-
l)A(l/as)-B*(l/B-l)A(l/as));
yl=yl/(A-c*(A*(l/A-l)A(l/2/as)-B*(l/B-l)A(l/2/as)));
239
Раздел 3
return;
end;
yl=B/2+cA2/2*(A*(l/A-l)A(l/as)-B*(l/B-l)A(l/as));
yl=yl/(B+c*(A*(l/A-l)A(l/2/as)-B*(l/B-l)A(l/2/as)));
return;
7.	Parameters MATLAB function: foo!03(u(l), u(2))
function yl=foo!03(A,B);
Var as; as=0.3;
if (A<B)&(B<0.5)
yl=B/2+asA2/2*(A-B)+as*(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-
B*(B/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(AA2-BA2);
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-B*(B/2)A(l/2)));
return;
end;
if (B<A)&(A<0.5)
yl=B/2+(l-as)A2/2*(A-B)-(l-as)*(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-
B*(B/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(AA2-BA2);
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-B*(B/2)A(l/2)));
return;
end;
if (A<0.5)&(BX).5)
yl=(B+asA2*A-(l-as)A2*B)/2+(l-2*as)*(as*A*(A/2)A(l/2)+(l-
as)*B*((l-B)/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(AA2-B*(l-B));
yl=yl/(as*(A+B)+(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)+B*((l-B)/2)A(l/2)));
return;
end;
if (A>0.5)&(B<0.5)
yl=(B+asA2*A-(l-as)A2*B)/2+(l-2*as)*(as*A*((l-A)/2)A(l/2)+(l-
as)*B*(B/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(A*(l-A)-BA2);
yl=yl/(as*(A+B)+(l-2*as)*(A*((l-A)/2)A(l/2)+B*(B/2)A(l/2)));
return;
end;
return;
end;
При оптимизации параметров цифровых нечетких регуляторов
необходимо задавать критерий качества и функции воздействий
240
Раздел 3
(управляющее и/или возмущающие воздействия) на систему. Если
разработчика интересует в первую очередь быстродействие системы
автоматического управления, то за критерий качества можно принять
время регулирования, определяемое по кривой переходного процесса
(реакции системы на ступенчатое входное воздействие):
J ~t р^> min .	(3.173)
Кроме этого необходимо наложить определенные ограничения на
кривую реакции системы, например, на число переколебаний, величи-
ну перерегулирования при колебательном переходном процессе.
Если необходимо минимизировать текущую ошибку (обеспечить
точность слежения за входным воздействием), то наиболее часто ис-
пользуют один из квадратичных критериев качества, например,
1
J = —	=> min ,	(3.174)
L v=0
где ошибка системы ffv вычисляется с шагом моделирования Ао, а
число L определяет интервал наблюдения.
В интерактивной системе MATLAB блок DRMS вычисляет значе-
ние корня из среднеквадратичной ошибки (root mean squared value). В
этом случае критерий качества можно записать как
- £0v2=>min.	(3.175)
L v=o
Оптимальные параметры нечеткого регулятора соответствуют
минимальному значению критерия качества, а минимизация критерия
качества автоматически приводит к оптимизации переходных процес-
сов в системе управления. Можно использовать различные алгоритмы
условной и безусловной оптимизации.
Структурная схема системы автоматического управления с нечет-
ким регулятором приведена на рис.3.107. На этом рисунке из функ-
циональной схемы нечеткого регулятора (см. рис.3.46) отдельно пока-
заны блоки нормировки входных и выходной переменных с парамет-
рами, которые перестраиваются в процессе настройки регулятора.
Цифровой нечеткий регулятор включен между аналого-цифровым
преобразователем АЦП и цифроаналоговым преобразователем ЦАП
(последний представляет собой фиксатор нулевого порядка с переда-
241
Раздел 3
точной функцией H(s) = (1 -e~hs)/s, где h - шаг квантования).
Объект управления описывается передаточной функцией G(s).
При заданном входном воздействии u(t) ошибка системы 0(t), а
значит, и критерий качества J зависят от параметров нечеткого регу-
лятора. $max , $min ’ ^тах ’ ^min ’ ^тах ’ ^min > wmax ’ wmin ’с или а-
Оптимизатор
Рис.3.107
При симметричных диапазонах изменения входных и выходной
лингвистических переменных число варьируемых параметров значи-
тельно уменьшается. В этом случае для нечетких регуляторов с функ-
циями принадлежности, приведенными на рис.3.41, 3.43-3.45,
3.55,3.56, критерий качества определяется как
J ~ ^X^rnin ’ ^min ’ ^min > wmin ’c)-
242
Раздел 3
Для нечетких регуляторов с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.47-3.49, 3.51-3.54, критерий качества определяется как
J —	, ^min j ^min > wmin >
При проектировании систем автоматического управления разра-
ботчик имеет возможность использовать нечеткие регуляторы с раз-
личными рассмотренными идентичными для каждой лингвистической
переменной функциями принадлежности или синтезировать нечеткие
регуляторы с другими функциями принадлежности. Для каждой лин-
гвистической переменной можно использовать свои функции принад-
лежности с варьируемым параметром. Таким образом, существует
достаточно большое число вариантов задания функций принадлежно-
сти при оптимизации параметров нечеткого регулятора. Наиболее
простым вариантом является задание функций принадлежности одной
и той же формы с одним и тем же коэффициентом настройки с или а
для каждой лингвистической переменной. Другим вариантом является
задание функций принадлежности одной и той же формы, но с разны-
ми коэффициентами настройки для каждой лингвистической пере-
менной. Следующим вариантом являются задания функций принад-
лежности различной формы с различными коэффициентами настрой-
ки для каждой лингвистической переменной. При проектировании
регулятора необходимо выбрать вариант, который при оптимизации
параметров нечеткого регулятора дает наименьшее значение критерия
качества из рассчитанных для различных вариантов минимальных
критериев качества.
Часто удовлетворяющее разработчика качество системы управле-
ния можно получить, синтезируя нечеткий регулятор с различными
идентичными для каждой лингвистической переменной функциями
принадлежности и исследуя методом математического моделирова-
ния процессы в системе с нечетким регулятором путем сравнения раз-
личных вариантов и выбора одного из вариантов. Так, на рис.3.108
представлены процессы в системе автоматического управления с не-
четким регулятором, рассмотренной в примере 3.1, при отработке сис-
темой входного воздействия, заданного полиномом
н(/) = О] (г) = 1 -1,3316 X10’3 + 0,1653269/ - 0,4785008г2 +
+ 0,1037928/3 - 8,8016х 10-3/4 + 3,404х 1 О'4/5 - 5,093 х 10-6/6.
243
Раздел 3
8 0 2 4 6 8 1	1	1 1
0 2 4 6
0 2 4 6
Рис.3.108
Слева на рисунке представлены процессы в системе с настроен-
ным нечетким регулятором, имеющим треугольные ФП (см. рис.3.42).
Диапазоны изменения входных и выходного параметров нечеткого
регулятора (диапазоны изменения переменных	определя-
ются:
P™,.«ml=W5, 0.75]. [0mi„.<Ux) = [-0,7 0,7],
[«гаш,в„х1 = [-0,9 0,9] и [mmjn.mnMX] = [-70, 70].
Шаг квантования в цифровом регуляторе h =0,01с.
Время регулирования составляет 0,6с и максимальная текущая
ошибка (исключая начальный выброс при захвате сигнала) равна
0,016.
244
Раздел 3
Справа на рисунке представлены процессы в системе с настроен-
ным нечетким регулятором, имеющим экспоненциальные ФП (см.
рис.3.43) с параметром с = 50 . Диапазоны изменения входных и вы-
ходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изменения пе-
ременных в.в^в.т) определяются:
=	2,U.	=	4],
Йл.Ч.и,) = [-70 70J и [mmin,mmax) = [-40, 40].
Шаг квантования в цифровом регуляторе h =0,01с.
Время регулирования составляет 0,39с и максимальная текущая
ошибка 0,003.
Таким образом, переход при синтезе регулятора от треугольных
ФП к экспоненциальным ФП позволяет сократить время регулирова-
ния в 1,5 раза, а максимальную текущую ошибку уменьшить в 5 раз.
Ниже представлены программы расчета нечетких регуляторов с
треугольными и экспоненциальными функциями прнадлежности.
1 .Функции принадлежности - треугольные, результирующая ФП
определяется по формуле (1.3).
Процедура Res реализует расчет значения управляющего
воздействия нечеткого регулятора HP.
Обращение к процедуре: Res(Vx, M fuz);
Входной параметр процедуры: массив х - содержит текущие
значения входных параметров нечеткого регулятора; выходной
параметр: переменная у - значение управляющего воздействия
нечеткого регулятора.
Число термов, описывающих входные и выходную переменные
HP, выбрано равным двум.
В процедуре использованы следующие переменные и массивы:
Массив mju - содержит значения функций принадлежности;
массив и - содержит перенесенные на универсальное множество
значения входных параметров HP; массивы X_res,Y_res - содержат
координаты характерных точек результирующей фигуры.
Массив b и переменные i, j, suml, sum2 являются служебными.
Для работы процедуры в основной программе должны быть
заданы: N_vx - количество входов нечеткого регулятора; у_тах -
максимальное значение диапазона изменения управляющего
воздействия; y_min - минимальное значение диапазона изменения
управляющего воздействия; pred - массив, содержащий значения
245
Раздел 3
пределов диапазонов изменения входных параметров нечеткого
регулятора (сечение массива pred[l,*] содержит минимальные
значения пределов, а сечение pred[2,*] - максимальные).
В основной программе объявление глобальных переменных и
констант может быть реализовано, например, так
Const
N_vx =____;
Type
Nvektor = array [l..N_vx] of real;
Var
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
Vx: Nvektor;
Mfuz: real;
Массив pred может быть задан в тексте основной программы,
например для случая N_vx=3, таким образом:
pred[ !][!]:=_; pred[2][ !]:=_;
pred[l][2]:=_; pred[2][2]:=_;
pred[l][3]:=_; pred[2][3]:=_;
Настройка нечеткого регулятора для выбранного числа входных
параметров N_vx состоит в подборе значений элементов массива pred,
позволяющих получить удовлетворяющий разработчика переходный
процесс системы с нечетким регулятором.
Ниже приведен исходный текст процедуры.
Procedure Res(x : Nvektor ; var у : real);
Var
i, j: integer;
mju: array [1..2,l..N_vx] of real;
u: Nvektor;
b: array [1..2] of real;
X_res, Y_res: array [1..6] of real;
suml, sum2: real;
Begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
u[i]:=(x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[ 1 ][i]:=l-u[i]; mju[2][i]:=u[i];
end;
for i:=l to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
246
Раздел 3
end;
Y_res[l]:=0; Y_res[2]:=b[l]; Y_res[3]:=b[l]; Y_res[4]:=b[2];
Y_res[5]:=b[2]; Y_res[6]:=0;
X_res[l]:=O; X_res[2]:=0; X_res[5]:=l; X_res[6]:=l;
if b[l]>=b[2] then
begin
X_res[3]:=l-b[l];X_res[4]:=l-b[2];
end
else
begin
X_res[3]:=b[l];X_res[4]:=b[2];
end;
suml:=O; sum2:=0;
suml :=(X_res[l] - X_res[6]) * ((2*X_res[l] + X_res[6])*Y_res[l]
+(2*X_res[6] + X_res[l]) * Y_res[6]);
sum2 := (X_res[l]-X_res[6])*(Y_res[6]+Y_res[l]);
for i:=l to 5 do begin
sum 1 :=sum 1 +(X_res[i+1 ]-X_res[i])*((2*X_res[i+1 ]+ X_res[i])*
Y_res[i+1] + (2*X_res[i]+X_res[i+l]) * Y_res[i]);
sum2:= sum2 + (X_res[i+l]-X_res[i])*(Y_res[i]+Y_res[i+l]);
end;
y:=y_min+(suml/(3*sum2))*(y_max-y_min);
End; {Res}
2. Функции принадлежности - экспоненциальные, результирую-
щая ФП определяется по формуле (1.2).
Процедура Res реализует расчет значения управляющего
воздействия нечеткого регулятора HP.
Обращение к процедуре: Res(Vx, Mfuz);
Входной параметр процедуры: массив х - содержит текущие
значения входных параметров нечеткого регулятора; выходной
параметр: переменная у - значение управляющего воздействия
нечеткого регулятора.
Число термов, описывающих входные и выходную переменные
HP, выбрано равным двум.
В процедуре использованы следующие переменные и массивы:
Массив mju - содержит значения функций принадлежности;
массив и - содержит перенесенные на универсальное множество
значения входных параметров HP; массив X res - содержит абсциссы
характерных точек результирующей фигуры
247
Раздел 3
Массив b и переменные i, j, suml, sum2, u_c, u_t, u_0, mju_t
являются служебными.
Для работы процедуры в основной программе должны быть
заданы: N_vx - количество входов нечеткого регулятора; у_тах -
максимальное значение диапазона изменения управляющего
воздействия; y_min - минимальное значение диапазона изменения
управляющего воздействия; par e - коэффициент экспоненциальной
функции; М - число дискрет на интервале интегрирования резуль-
тирущей ФП; pred - массив, содержащий значения пределов
диапазонов изменения входных параметров нечеткого регулятора
(сечение массива pred[l,*] содержит минимальные значения пределов,
а сечение pred[2,*] - максимальные).
В основной программе объявление глобальных переменных и
констант может быть реализовано, например, так
Const
N_vx =____;
М =_____;
pare =____;
Type
Nvektor = array [l..N_vx] of real;
Var
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
Vx : Nvektor;
M_fuz : real;
Массив pred может быть задан в тексте основной программы,
например для случая N_vx=3, таким образом:
pred[l][l]:=_; pred[2][l]:=_;
pred[l][2]:=_; pred[2][2]:=_;
pred[l][3]:=_; pred[2][3]:=_;
Настройка нечеткого регулятора для выбранного числа
входных параметров N_vx состоит в подборе значений параметра
экспоненты раг_с и элементов массива pred, позволяющих получить
удовлетворяющий разработчика переходный процесс системы с
нечетким регулятором.
Ниже приведен исходный текст процедуры.
Procedure Res(x : Nvektor ; var у : real);
Var
i, j: integer;
mju: array [l,.2,l..N_vx] of real;
u: Nvektor;
248
Раздел 3
b: array [1..2] of real;
X_res: array[1..4] of real;
u_c,u_t,u_0,
mju_t, suml, sum2: real;
Begin {Res}
for i:= 1 to N_vx do
begin
u[i] := (x[i]-pred[ 1 ][i])/(pred[2][i]-pred[ 1 ][i]);
mju[l][H:=exP(“Par_c*u[i]);
mj u [2] [i] :=exp(-par_c*( 1 -u[i ]));
end;
for i:=l to 2 do
begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[l]>=b[2] then
begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c; X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end
else
begin
X_res[2]:= l+ln(b[l])/par_c ; X_res[3]:= l+ln(b[2])/par_c ;
end;
u_0:= (X_res[4]-X_res[l])/M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml:= u_t * mju_t;
sum2:= mju_t;
if b[l]>=b[2] then
begin
for i~ 1 to M-2 do begin u_t:=u_t+u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml :=suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mjut;
249
Раздел 3
end;
end
else
begin
for i:=l to M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end;
u_c:=(X_res[ 1 ]*b[ 1 ]/2+sum 1 +X_res[4]*b[2]/2)/(b[ 1 ]/2+sum2+b[2]/2);
У := y_min + u_c*(y_max-y_min);
End; {Res}
При оптимизации параметров нечеткого регулятора можно ис-
пользовать различные методы оптимизации.
Программа Opt_HD реализует алгоритм безусловной оптимизации
методом Хука-Дживса параметров нечеткого регулятора системы ав-
томатического управления нестационарного объекта (ФП - экспонен-
циальные, результирующая ФП определяется по формуле (1.2)).
В качестве входных параметров HP выбраны ошибка в системе, а
также ее первая и вторая разность. Число термов, описывающих вход-
ные и выходное значения HP, выбрано равным двум. Объект управле-
ния содержит колебательное и интегрирующее звенья с переменными
параметрами. На вход системы подается произвольное входное воз-
действие. В качестве параметров оптимизации выбраны пределы из-
менения первой и второй разностей ошибки в системе и коэффициент
с в экспоненциальных ФП.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod_Parametr_Prog - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Prisv_Natch - обнуление переменных состояния обьек-
та управления.
Процедуры Intgr, KolebZvn - моделирование интегрирующего и
колебательного звеньев с переменными параметрами.
250
Раздел 3
Процедура Parametr - моделирование законов изменения парамет-
ров обьекта управления.
Процедура Vxod - моделирование входного воздействия.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр процедуры - массив х - содер-
жит текущие значения входных параметров нечеткого регулятора; вы-
ходной параметр - переменная у - значение управляющего воздейст-
вия нечеткого регулятора).
Процедура Criterij - расчет значения критерия оптимизации.
В программе заданы константы: N_parametr - количество оптими-
зируемых параметров, N_vx - количество входных параметров нечет-
кого регулятора, y_max, у min - значения границ диапазона измене-
ния управляющих воздействий в системе, tt - время наблюдения, ЬО -
шаг моделирования, h - шаг квантования, М - число дискрет на ин-
тервале интегрирования результирующей ФП.
В программе используются следующие переменные и массивы: hn
- шаг изменения значений параметров оптимизации, JJ-значение кри-
терия оптимизации, X2nl, Xlnl, enterl, inputl, exitl, inputintgr, out-
putintgrl - переменные состояния динамических звеньев обьекта
управления, раг_с - коэффициент экспоненциальной функции, L -
интервал наблюдения, выраженный числом шагов моделирования, fi,
fb, г, i, ps, j - служебные переменные, opt_par - массив, содержащий
теукущие значения оптимизируемых параметров, pred - массив, со-
держащий значения пределов диапазонов изменения входных пара-
метров нечеткого регулятора, y_slug, z_slug, p_slug - служебные мас-
сивы.
{Программа безусловной оптимизации методом Хука-Дживса па-
раметров нечеткого регулятора системы управления нестационарного
объекта (ФП - экспоненциальные, результирующая ФП определяется
по формуле (1.2))}
Program Opt_HD2;
Uses Crt;
Const
N_parametr=3;
N_vx=3; y_max=l; y_min=-l; tt=l 5; h0=0.0005; h=0.01; M=1000;
Type
Nvektorl = array [l..N_vx] of real;
Var
i, ps, j	: integer;
251
Раздел 3
opt_par, у slug, zslug, p_slug : Nvektor 1;
J J, hn, fi, fb, r, pare, L,
X2nl, Xlnl, enterl, inputl,
exitl , inputintgr, outputintgrl :real;
pred	: array [1..2,l..N_vx] of real;
Procedure KolebZvn (ka 1,kb 1,enter: real; var exit: real);
VarX2n,Xln : real;
Begin {KolebZvn}
X2n:=(((4-2*kbl*h-kal*h*h)*X2nl)-4*kal*h*Xlnl +
2 * h * (enter+enter 1 ))/(4+2 * kb 1 * h+ka 1 * h * h);
X1 n:=X 1 n 1 +h*(X2n+X2n 1 )/2;
enterl :=enter; exit:=Xln; X2nl:=X2n; Xlnl:=Xln;
End; {KolebZvn}
Procedure Intgr ( Kycl,input: real; var output: real);
Begin {Intgr}
output:=outputintgrl+(input+inputintgr)*h*Kycl/2;
inputintgr:=input; outputintgr 1 :=output;
End; {Intgr}
Procedure Vxod (t:real; var Akreal);
Begin {Vxod}
Al:=- 0.0013316 4- 0.1653269*t - 0.4785008*sqr(t)
+ 0.1037928*t*sqr(t) - 0.0088016*sqr(sqr(t))
+ 0.0003404*t*sqr(sqr(t)) - 5.09342e-6*sqr(t)*sqr(sqr(t));
if t> 15 then А1.-0;
End; {Vxod}
Procedure Parametr (rr :real; Var Ту, Kdy, Ksiy :real);
Begin {Parametr}
Ty:=0.9849-0.1188*rr+0.0063*sqr(rr)-0.00012*rr*rr*rr;
Kdy:=16.5475-4.4469*rr+0.4843*sqr(rr)-
0.02315*rr*rr*rr+0.0004*sqr(sqr(rr));
Ksiy:=0.297-0.0535*rr+0.0043*sqr(rr)-0.00011 *rr*sqr(rr);
End; {Parametr}
Procedure Res(x : Nvektorl ; var у : real);
Var
i, j: integer;
mju: array [1..2,l..N_vx] of real;
u: Nvektorl;
b: array [1..2] of real;
X_res: array[1..4] of real;
u_c,u_t,u_0,
252
Раздел 3
mju_t, suml, sum2: real;
Begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
u[i]:=(x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mju[2][i] :=exp(-par_c*( 1 -u[i ]));
end;
for i:=l to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[l]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c; X_res[3]:= In(b[2])/-par_c;
end
else begin
X_res[2]:= l+ln(b[l])/par_c ; X_res[3]:= l+ln(b[2])/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t * mju_t;
sum2 := mju_t;
if b[l]>=b[2] then begin
for i:=l to M-2 do begin u_t:=u_t+u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end
else begin
for i:= 1 to M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
253
Раздел 3
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
: integer;
: real;
: Nvektorl;
: real;
J:=0; L:-0;
end;
u_c:=(X_res[ 1 ] *b[ 1 ]/2+sum 1 +X_res[4]*b[2]/2)/(b[ 1 ]/2+sum2+b[2]/2);
У := y_min + u_c*(y_max-y_min);
End; {Res}
Procedure Criterij (var J : real);
Var
N_n,N_m,i
t, Vixl, Vix2, Crit, Rasnost,
k, Vxod wos, Kw, Ksi,TTg,Ksg,
alfaG, ag, bg
Vx
us, sde, dt,d2t, Mfuz
Begin {Criterij}
k:=0; Crit:=0; t:=0; Rasnost:=0;
M_fuz:=0; Vixl:=0; Vix2:=0; dt:=O; us:=0; sde:=0;
N_m:=round(h/hO)+l; N_n:=N_m;
par e :=opt_par[l ];
pred[2][2] :=opt_par[2];
pred[l][2] :=-opt_par[2];
pred[2][3] :=opt_par[3];
pred[l][3] :=-optjpar[3];
repeat
Parametr (t+4.5,TTg,Kw,KSg);
ag:=l/Sqr(TTg); bg:=2*KSg/TTg; alfaG:=100*Kw*ag;
Vxod (t,Vxod_wos);
Vxod_wos:=Vxod_wos+1;
Rasnost:=Vxod_wos-Vix2;
if N n=N m then
begin
if t=0 then begin dt:=O; d2t:=O; end else
begin
dt:= (Rasnost-sde)/h;
d2t:=(dt-us)/h;
end;
if k=l then d2t:=0;
254
Раздел 3
Vx[l]:=Rasnost; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde—Rasnost; us—dt;
k—k+l;N_n—1;
end;
Intgr (alfaG,M_fuz,Vixl);
KolebZvn(ag,bg,Vixl,Vix2);
Crit:=Vxod wos-Vix2; J:=J+sqr(Crit); L:=L+1;
t—t+hO; N_n—N_n+1;
until t>tt;
J—J/L; writeln(J);
End; {Criterij}
Procedure Vvod Parametr Progr;
Begin	{VvodParametrProgr}
Clrscr;
\угке1п(’Введите начальный шаг изменения параметров регу-
лятора’);
write('hn-); readln(hn);
{Присвоение значений пределов диапазона изменения ошиб-
ки в системе}
pred[2][l] — 1.02; pred[ 1][ 1] :=-1.02 ;
{Присвоение начальных значений параметров оптимизации }
opt_par[l]—10; opt_par[2]—2.75; opt_par[3] —16.521;
End; {Vvod_Parametr_Progr}
Procedure Prisv_Natch;
Begin {Prisv Natch}
XIn 1 :=0; X2nl:=0; enterl—0; inputl—0; exit 1—0;
inputintgr—0; outputintgrl—0;
End;	{Prisv_N atch}
{Исполнительная часть}
Begin {Opt HD2}
VvodParametrProgr;
Prisv_Natch;
\угйе1п('метод Хука-Дживса’);
y_slug:=opt_par; p slug—opt_par; z_slug:=opt_par; Criterij(JJ);
\угке1п('нач. значение функции’,fi); ps—0; fb—fi;
repeat
writein ('исследующий поиск');
for i—1 to N_parametr do
begin
255
Раздел 3
opt_par[i] :=y_slug[i]+hn;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); r:=JJ;
if r<fi then begin
fi:=r; y_slug[i]:=opt_par[i];
end
else begin
opt_par[i] :=y_slug[i]-hn;
Prisv Natch; Criterij(JJ); r:=JJ;
if r<fi then begin
fi:=r; y_slug[i]:=opt_par[i];
end
else
opt_par[i] :=z_slug[i];
end;
end;
if fi< (fb-lE-3) then begin
for i:=l to N_parametr do
p_slug[i]:-2*y_slug[i]-z_slug[i];
z_slug:=y_slug; opt_par:=p_slug; y_slug:=opt__par;
fb:=fi;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); fi~JJ; ps:= 1;
writein (’поиск по образцу’);
end
else
if ps=l then begin
p_slug:=z_slug; y_slug:=z_slug; opt_par:=z_slug; ps:=0;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); fb:=fr,
writeln('3aMeHa базисной точки');
end
else begin
hn:=hn/10; writeln('yMeHbiiiHTb uiar',hn);
ifhn<lE-3 then begin
writelnfMHHHMyM найден');
for i :1 to N_parametr do
writeln(opt_par[i]);
readln;
exit;
end;
end;
until false;
End. {Opt_HD}
256
Раздел 3
Эффективность работы нечеткого регулятора (как и любого друго-
го) оценивается по тому, какие быстродействие и точность управления
в замкнутой системе автоматического управления он обеспечивает.
Наиболее часто нечеткое управление сравнивают с ПИД-управлением,
которое отличают легкость реализации и надежность и которое широ-
ко используется для управления технологическими процессами в про-
мышленности. В ряде публикаций отмечается, что нечеткое управле-
ние превосходит ПИД-управление в контурах управления нелиней-
ными и зашумленными процессами, при изменении уставок и нагруз-
ки, обеспечивает более высокую устойчивость, сводя к минимуму
перерегулирование. Однако сравнение нечеткого управления и ПИД-
управления необходимо производить для каждой конкретной системы
управления.
Структурные схемы и методики параметрического синтеза ци-
фрових ПИД-регуляторов
ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциаль-
ный регулятор) вырабатывает выходной сигнал, который состоит из
суммы трех составляющих: пропорционального регулирования, регу-
лирования по интегралу и регулирования по производной. В связи с
этим такие регуляторы еще называют трехканальными.
Уравнение классического ПИД-регулятора имеет вид:
п(Г) = Uq + К •
о
dt
где - поправочное значение или смещение, которое на-
страивает средний уровень выходного сигнала регулятора, К - общее
усиление регулятора, 7}- постоянная времени интегрирования, a
постоянная времени дифференцирования. - сигнал поступающий
на вход регулятора, обычно это ошибка отработки < истемой входного
сигнала, то есть разница между входным и выходным сигналами сис-
темы.
Передаточную функцию аналогового ПИД-регулятора обычно
записывают в виде:
W(s) = K + K'Js + Kds
257
Раздел 3
Как видно из уравнения ПИД-регулятора, первая составляющая
выходного сигнала регулятора пропорциональна входному сигналу.
Вторая составляющая пропорциональна интегралу по времени вход-
ной величины. А третья составляющая пропорциональна ее производ-
ной. Интегральная часть регулятора используется для ликвидации
стационарных ошибок, а дифференциальная - для введения опереже-
ния по фазе входных сигналов.
Структурная схема аналогового ПИД-регулятора изображена на
рис.3.109,а. ПИД-регуляторы часто используются в качестве регули-
рующих элементов многих промышленных систем управления про-
цессами в различных технологических объектах. Популярность ПИД-
регуляторов можно в какой-то степени объяснить их робастностью в
самых разных условиях работы и их функциональной простотой, об-
легчающей инженерам их эксплуатацию. Чтобы применить такой ре-
гулятор в системе управления конкретным объектом, надо просто на-
строить три параметра регулятора: K,Kh (коэффициент пропор-
циональности, коэффициент в канале интегрирования и коэффициент
в канале дифференцирования).
ПИД-регуляторы можно реализовать как в цифровом виде (про-
грамным способом), так и в аналоговом виде (аппаратним способом).
Передаточная функция цифрового ПИД-регулятора может быть
записана различными способами, поскольку интегрирование и диффе-
ренцирование в цифровой форме может быть выполнено различными
методами. Аппроксимируя производную первой разностью и исполь-
зуя интегрирование на основе трапецеидальной аппроксимации, запи-
сывают передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора в виде
[161]
W(z) = K + ^^— + -* Z— ,
2 z-1 Ао z
где Ло - шаг дискретизации, или в виде
W(z) = G]+G2^- + G3 — .
z-1 Z
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора изображена на
рис.3.109,6.
В теории дискретных систем управления используют другую
форму записи для передаточной функции цифрового ПИД-
регулятора:
258
Раздел 3
1-z’1
a)
6)
в)
Рис.3.109
Переписывая предыдущее выражение для передаточной функции
цифрового ПИД-регулятора в виде
259
Раздел 3
^(z) = G^G2^r + G3(l-z~l),
находим, что при значениях коэффициентов:
Ло = G] + G2 + G3; 6] = G2 - Gj - 2G3; b2 = G3 обе формы записи
для передаточной функции цифрового ПИД-регулятора совпадают. По
коэффициентам Ь, можно определить коэффициенты Gz: G3=b2;
G2 =(bQ+b} + b2)/2; G} =(bQ-b} -3b2)/2.
В аналоговой системе управления цифровой ПИД-регулятор вклю-
чают между аналого-цифровым АЦП и цифроаналоговым ЦАП преоб-
разователями (см. рис.3.110,а).
На рис.3.110,6 представлена структурная схема цифрового ПИД-
регулятора в системе MATLAB, где на вход Ini подается ошибка рас-
согласования, а на входы In2, In3, 1п4 соответственно значения коэф-
фициентов Gj -К, G2 -——G3 =——.
2	Ло
Оптимальные значения коэффициентов соответствуют минималь-
ному значению критерия качества (например, J ~ tр => min , когда
оценивается быстродействие системы по реакции на ступенчатое вход-
1 L~}
ное воздействие, или J = —	=> min, когда оценивается точность
v=0
системы по величине текущей ошибки при типовом, обычно синусои-
дальном входном воздействии с заданными частотой и амплитудой).
Таким образом, параметрический синтез цифрового ПИД-
регулятора в системе автоматического управления включает выбор
критерия качества для типового входного воздействия и вариацию
11	V	К [bty	Кd
коэффициентов регулятора G] = К, G2 =------, (j3 =---- с целью
2 h0
нахождения минимального значения критерия качества.
Цифровые ПИД-регуляторы используют для управления не толь-
ко объектами, для которых получены математические модели, но и
для управления объектами, которые не поддются, или поддются со
значительными трудностями формализованному описанию.
260
Раздел 3
Рис.3.110
Цифровые алгоритмы управления являются важнейшей составной
частью программного обеспечения микропроцессорных контроллеров
и управляючих вычислительных машин, которые осуществляют опрос
сигналов с датчиков, вычисляют значения управляющих сигналов на
основе заданного закона регулирования, а потом выдают их на испол-
нительные механизмы. Период опроса (квантования) изменяется в за-
висимости от динамических параметров процесса о г долей до неско-
льких десятков секунд. В настоящее время наблюдается тенденция
вытеснения аналоговых систем управления цифровыми. Это объясня-
ется широкими возможностями по реализации самых совершенных
алгоритмов регулирования, что, в свою очередь, гарантирует получе-
ние высоких точности и быстродействия в замкнутых системах циф-
рового управления. ПИД-алгоритмы цифрового управления при пра-
261
Раздел 3
вильной настройке обеспечивают достаточно високое качество управ-
ления для большинства объектов промышленной технологии.
Рассмотрим еще одну процедуру вывода алгоритма цифрового
ПИД-регулятора из соответствующего непрерывного закона, который
имеет вид
^(0
dt
де 0(f) - ошибка регулирования.
Запишем это уравнение в конечних разностях, путем замены
t -kh, где к=1,2,3... - номер периода квантования, h -период кван-
тования:
и(к) = К
Ti л=0	h
Отметим, что при достаточно малых периодах квантования циф-
ровой ПИД-закон управления обеспечивает почти такое же качество
процессов управления, как и аналоговый закон.
На практике вместо вычислений абсолютных значений управля-
ющего сигнала удобнее вычислять его приращение Aw(Zr) на каждом
такте. В этом случае становится возможным использование этого ал-
горитма для управления объектами, оснащенными как пропорциона-
льными так и интегрующими исполнительными механизмами. В ре-
зультате получим так называемый быстрый алгоритм управления:
Ьи(к) = и(к)-и(к-\) = К
0(k)-0(k-V) + —0(к) +
T'i
+ 1±[в{к)-6{к-\')-(0(к -1)-0(к - 2))] ,
h
или, приводя подобные члены, получим:
и(к) = и(к -1) + K(d^0(k) + dx0(к -1) + d20(k - 2))
где обозначено
dQ=l+ — + Id_- d X_2Id_-y d2=^-.
°	7} h 1 h 2 h
262
Раздел 3
[
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на
рис.3.109,в, где через Z’1 обоначены блоки задержки сигнала на один
период квантования.
Для того, чтобы эфект квантования по времени мало отражался на
динамике системы цифрового ПИД-регулирования, рекомендуется
вибирать период квантования из соотношения:
Г95/15 < Л < Г95/5,
где - время достижения выходным сигналом системы уровня
95% от установившегося значения при подаче на вход ступенчатого
сигнала.
Другой подход к выбору величины периода квантования основан
на рекомендациях Зиглера и Никольса, согласно с которыми
h = 0ЛТкр9 де 7\р - период критических колебаний объекта управле-
ния. В реальних условиях при управлении инерционными процессами
значение h берется от одной секунды до нескольких минут. При ре-
гулировании малоинерционных процессов величина h может состав-
лять десятые доли секунды. Нельзя выбирать большие периоды опро-
са, особенно для ответственных процессов, потому что в этом случае
аварийные ситуации будут ликвидироваться слишком долго. В то же
время, при слишком малом периоде опроса повышаются требования к
быстродействию электронной вычислительной машины и увеличивае-
тся влияние шумов.
С целью упрощения процедуры настройки цифрового ПИД-
регулятора рекомендуется (согласно Зиглеру и Никольсу) при
h - QAT\p выбирать следующие значения отношений:
6/7} = 0.2; Td/h = \.25.
В этом случае соответствующие коэффициенты (см. рис.3.79,в)
будут равны:
dQ =2.45; d} =-3.5; d2 =1.25.
При таком способе в алгоритме параметром, который необходимо
настроить, остается только один коэффициент усиления регулятора
, чем и поясняются простота и широкое распространение этого ме-
тода настройки.
263
Раздел 3
Структурные схемы и методика параметрического синтеза
цифровых оптимальных по быстродействию регуляторов
Оценку эффективности работы нечеткого регулятора также мож-
но производить путем сравнения показателей качества проектируемой
системы с нечетким и оптимальным по быстродействию цифровым
регулятором. Цифровий оптимальный по быстродействию регулятор
позволяет в ряде случает при нулевых начальных условиях получить
оптимальный переходный процесс без перерегулирования за мини-
мальное время, а также значительно увеличить точность отработки
системами автоматического управления произвольных входных воз-
действий. Это становится возможным благодаря использованию циф-
рового регулятора с передаточной функцией IV(z), которая обеспе-
чивает оптимальный переходный процесс. Наиболее просто получить
передаточную функцию оптимального по быстродействию регулятора
можно используя метод переменного коэффициента усиления [208].
Данный метод заключается в том, что регулятор рассматривается как
усилитель с переменным во времени коэффициентом усиления Kv,
причем коэффициент усиления изменяется мгновенно через проме-
жутки времени Л, которые называются шагом квантования. На про-
тяжении каждого шага квантования коэффициент усиления остается
неизменным
В общем случае передаточная функция цифрового оптимального
по быстродействию регулятора имеет вид:
/
v=0
где u(vh+) - входний сигнал регулятора на (v + 1)-m шаге квантова-
ния, u'(yh + ) - выходний сигнал регулятора на (у + 1)-м шаге кван-
тования, / - число шагов квантования.
В работе [32] для системы управления с единичной обратной свя-
зью, прямой тракт которой состоит из цифрового регулятора и линей-
ного стационарного объекта управления, для линейного сигнала вида
264
Раздел 3
u(t) ~U + (J-t на входе системы определены управляющие воздей-
ствия на объект управления, при которых переходный процесс в сис-
теме заканчивается за время t = Nh , где TV - порядок объекта (по-
рядок дифференциального уравнения, которым описывается объект), а
h - шаг квантования в цифровом регуляторе.
Рассматриваемые и синтезируемые в данной работе цифровые оп-
тимальные по быстродействию регуляторы представляют собой но-
вый тип регуляторов [22, 212], важное отличие которых от известных
“апериодических” регуляторов заключается в том, что они отрабаты-
вают не ступенчатые, а линейно изменяющиеся воздействия, которы-
ми аппроксимируют произвольные воздействия, поступающие на вход
системы управления. Поэтому эти регуляторы способны обеспечить
более высокое качество систем управления, характеризуемое текущи-
ми ошибками рассогласования в замкнутой системе.
Методика синтеза оптимального по быстродействию цифрового
регулятора включает следующие шаги [58]: 1.определяют передаточ-
ную функцию общего объекта управления, 2. на основании этой пере-
даточной функции определяют амплитуды управляющих импульсов
, количество которых равно порядку передаточной функции обще-
го объекта управления TV, а длительность каждого импульса равна
шагу квантования Л, 3. набирают структурную схему формирования
управляющих импульсов, 4. набирают структурную схему формиро-
вания скорости (первой разности) входного воздействия на интервале
регулирования nt p<t <(n + \)t р, tp = Nh , скорости (первой разности)
входного воздействия на интервале регулирования (п - \)tp<t<ntp и
приращения скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + l)tp
(Дсг = ст„-стл.1).
Достаточно полные таблицы для амплитуд управляющих импуль-
сов для различных передаточных функций объектов управления при-
ведены в работах [28, 135, 138]. Цифровой оптимальный по быстро-
действию регулятор рассчитывается для произвольных воздействий,
поступающих на вход системы, поскольку в таком регуляторе заложе-
на процедура аппроксимации произвольных входных воздействий ли-
нейно изменяющимися на каждом интервале регулирования воздейст-
виями.
265
Раздел 3
В данном разделе изложено структурное моделирование опти-
мальных по быстродействию цифровых регуляторов на основе инте-
рактивной системы MATLAB.
Для конкретности рассмотрим регулятор, работающий на объект
управления, математическая модель которого описывается передаточ-
ной функцией
G(s) = a[s(s + a)(s + b)Y'.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на такой объект управления при линейно изме-
няющемся сигнале на входе системы управления на п-м интервале
регулирования определяются (см. Приложение Б, п.З,):
= ^о(д и + 50Д<7) + Лсгп-1 >ntp<t< ntp + h;
= X'0[^l(At/ + S0Acr) + AAcr] + 7?cTn.l,
ntp +h<t < nt p + 2й;
m2 =	№ + So Act) + ЛАо-(1 + <?,)] + Rcr^,
ntp+2h<t <ntp+3h,	(3.176)
oZ>	^,a + b h(2 + qx)
где Ko =-------------- So = 3h +------------------
0 ab (1-Л)(1-Я)
/? = —; ^=-(Л + В);<72 = ЯВ; A = e-ah; B = e~bh.
a
MJ = 0n, где 0n - ошибка на входе регулятора в момент начала
h -го интервала регулирования длительностью t = Nh, т.е. ошибка
в момент nt р. h -шаг квантования. N =3 - порядок объекта управле-
ния. Асг = ап -сгпЧ - приращение скорости на интервале регулиро-
вания ntp<t<(n + l)tp, где ап - первая разность (средняя скорость)
входного воздействия на интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp,
сгл1 - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования (п - l)tp<t<nt .
Цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntр < t <( п +1) t можно описать передаточной функцией
266
Раздел 3
6(z) At/<liz -z|
или разностным уравнением
2	2
m=C^mkei-k	’
k=0	k=\
где в = MJ при индексе i-k>0 и 0-0, т = 0 при индексе i-k<
0.
Если обозначить ДЦ дискретные значения ошибки в соответст-
вующем контуре управления в моменты ih, i =0,1,2, на интервале
регулирования длительностью t (MJ -0п- MJQ- ошибка в момент
nt	ошибка в момент ntp + h, MJ2- ошибка в момент
nt + 2h), то цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
nt р < t <( п 4-1) t можно описать передаточной функцией
W)= mo + m,z'+m2z-2
0(z) MJ0 + bUtz-'+bU2z~2
или разностным уравнением
2	2
k-Q	k=}
Таким образом, если ошибка квантуется с шагом Nh, регулятор
описывается передаточной функцией (3.177); если ошибка квантуется
с шагом квантования Л, регулятор описывается передаточной функ-
цией (3.178).
В момент начала п -го интервала регулирования длительностью
tр = Nh, т.е. в момент ntp, первую разность (среднюю скорость)
входного воздействия на систему управления u(t) на интервале регу-
лирования ntp<t<(n + \)tp
ап ={«[(» + l)tp]-u(ntp)}/tp (3.179)
измерить невозможно (за исключением тех случаев, когда входное
воздействие заранее задано), поэтому будем измерять текущее значе-
ние скорости входного воздействия
267
Раздел 3
сг = {u(kh0)-u[(k-V)h0]}/ h0	(3.180)
где h0 -шаг моделирования, и использовать приближенное значение
первой разности
&n=a(ntp)	(3.181)
Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре-
дыдущем интервале регулирования (п - \)t p<t <nt р определяется как
о-п-1 =<т[(«-1Ур].	(3.182)
Тогда приращение скорости на интервале регулирования
ntp<t<(n + \)t определяется как
Act = {a(ntp) - cr[(w - l)/p ]} ltp.	(3.183)
Кроме того, поскольку для многих систем автоматического
управления измерить непосредственно входное воздействие u(t) за-
труднительно, то можно использовать ошибку системы 0(t) и выход
системы x(t) и находить входное воздействие как u(t) = x(t) + 0(t).
Составленная непосредственно по выражениям (3.176) и (3.179)-
(3.183) структурная схема оптимального по быстродействию цифро-
вого регулятора представлена на рис.3.111.
Фиксатор Zero-Order Hold3 (работает с шагом моделирования
Ао), блок задержки Unit Delay3 (работает с шагом моделирования Ло),
сумматор и усилитель Gainl (с коэффициентом передачи 1 / Ао) реали-
зуют выражение (3.180). Выходом усилителя Gainl является текущее
значение скорости входного воздействия ст.
Фиксатор Zero-Order Hold 2 (работает с шагом Nh, N - порядок
объекта управления, h -шаг квантования), блок задержки Unit Delay 1
(работает с шагом Nh) и сумматор реализуют выражения (3.181) -
(3.183). Выходом блока задержки Unit Delay 1 является первая раз-
ность (средняя скорость) входного воздействия на предыдущем ин-
тервале регулирования сгл_1, а выходом сумматора является прираще-
ние скорости на интервале регулирования Дет.
Фиксатор Zero-Order Holdl (работает с шагом Nh) квантует
ошибку системы управления.
268
Раздел 3
Импульсный генератор Pulse Generator генерирует импульсы
единичной амплитуды длительностью h с периодом следования Nh.
Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий задержек Unit
Delay4 и Unit Delay5 (каждая для сдвига импульсов на шаг квантова-
ния Л) поступают на соответствующие умножители Product и обра-
зуют стробирующие длительностью h импульсы, необходимые для
временного распределения импульсов оптимального управляющего
воздействия w0,w15w2 (см. формулы (3.176)). По выражениям (3.176)
составлена остальная часть структурной схемы цифрового регулятора.
Общая структурная схема (на шесть управляющих импульсов
Що, тх, т2, , т4, т5) оптимального по быстродействию цифрового
регулятора представлена на рис.3.112.
Кроме фиксатора Zero-Order Hold, который работает с шагом Nh
и квантует ошибку системы управления, схема регулятора включает
восемь блоков. Блок SubSystem 1 (см. рис.3.113,а) формирует сигналы
269
Раздел 3
Rcrn] и Дет из входного сигнала ;/(/), поступающего на систему.
Блок SubSystem2 (см. рис.3.113,6) формирует сигналы /и0 и
At/ + S0Aa (At/ = 0п) из поступающих на его три входа сигналов
AL/ = 0 , /?сг и Act.
и 7	п—I
SubSystem?
Рис.3.112
Блоки SubSystem3 - SubSystem? идентичны и отличаются только
коэффициентами усиления усилителей перед первым сумматором.
Эти коэффициенты находятся из выражений для оптимальных управ-
ляющих воздействий на объекты управления с соответствующими пе-
редаточными функциями (см. Приложение Б). Так, для блока Subsys-
tems эти коэффициенты равны и h (см. рис.3.113,в). На входы этих
блоков поступают сигналы At/ + S0Acr, /?сгп1 и Асг, а выходными
сигналами блоков являются соответственно сигналы
^0,?771,Щ2,?И3,Щ4,Щ5 .
Блок SubSystem (см. рис.3.114) включает импульсный генератор
Pulse Generator, который генерирует импульсы единичной амплиту-
ды длительностью h с периодом следования Nh .
270
Раздел 3
в)
Рис.3.113
Рис.3.114
271
Раздел 3
Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий задержек
Unit Delay4 - Unit Delay8 (каждая для сдвига импульсов на шаг кван-
тования h) поступают на соответствующие умножители Product' и
образуют стробирующие длительностью h импульсы.
Стробирующие импульсы необходимы для временного распреде-
ления импульсов mQ, тх. т2, т3, т4, т5 оптимального управляющего
воздействия . Последовательность импульсов оптимального
управляющего воздействия m(t) поступает на вход объекта управле-
ния на каждом интервале регулирования ntp < t <( п +1) tр, tр = Nh .
Важно отметить, что структурную схему оптимального по быст-
родействию цифрового регулятора, которая представлена на рис.3.111,
можно использовать также для объектов управления, математические
модели которых описываются передаточными функциями, приведен-
ными в п.п.4,5,6 Приложения Б, с учетом соответствующих парамет-
ров K0,S0,<7( .
Рассмотрим регулятор, работающий на объект управления, мате-
матическая модель которого описывается передаточной функцией
(7(5) = a(s + б/)[5(52 + bs + a)(s + с)]-1.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на такой объект управления при линейно изме-
няющемся сигнале на входе системы управления на п-м интервале
регулирования определяются (см. Приложение Б, п.12):
т0 = Ко(&U + 50Д<т) + Ran_}, ntp<t<ntp + A;
m\ = К	+ S $&.(?) +hk.a\ + R<?n_\,
ntp+h<t<ntp + 2h;
m2 = Ko [<702	+ So Act) + АД<т(1 + <?01)] + Лсгл-1»
ntp +2h<t < ntp + ЗА;
m3 = Ko[qO3(AU + SoAa) + hAa(l+qol +<702)] + R°n-\>
nt p+3h<t <ni P+Ah.	(3Jg4)
где Кй=--	ac .... 
aA(/(l - 2 . В cos ЛА + B)(l - C)
272
Раздел 3
R=ac . s =4h- 1 + a + b---	hQ+2&	.
ad' ° d ac (1 -2\В cosAA + 2?)(l-C) ’
<701 = -(2 Jb cos Ah + C); q02 = В + 2CJb cos Ah', qm =-BC;
A = \a-b2/4; B = e-kh', C = ech.
Составленная непосредственно по выражениям (3.184) и (3.180)-
(3.183) структурная схема оптимального по быстродействию цифро-
вого регулятора представлена на рис.3.115.
Структурную схему оптимального по быстродействию цифрового
регулятора, которая представлена на рис.3.115, можно использовать
также для объектов управления, математические модели которых опи-
сываются передаточными функциями, приведенными в п.п.9,10,11,12
Приложения Б, с учетом соответствующих параметров So, qi.
Для параметрического синтеза оптимального по быстродействию
Цифрового регулятора необходимо знать передаточную функцию объ-
екта управления и производить выбор шага квантования h. Уменьше-
273
Раздел 3
ние шага Л (что необходимо для увеличения быстродействия системы
управления) приводит к резкому возрастанию амплитуд управляющих
воздействий поэтому должно выполняться условие ml< S, где
S - уровень сигнала, при котором наступает насыщение в системе.
В цифровых системах автоматического управления шаг квантова-
ния выбирают из большого числа требований, часть из которых могут
быть противоречивыми [11,173,209]. Для получения малых значений
h используют эмпирическое правило: h = (0,15...0,5)/сос, где сос -
частота среза логарифмической амплитудной характеристики для пе-
редаточной функции объекта управления. В соответствии с теоремой
Котельникова выбирают h <7с1сот^, где - максимальная час-
тота отрабатываемых сигналов. Для неколебательных систем прини-
мают h = tr /(2..4), где tr - время разгона. Для колебательных систем
принимают Л = (0,1...0,2)/г/((Уд/1-£~ ), где со и £ -соответственно
собственная частота и коэффициент демпфирования замкнутой систе-
мы [135]. Кроме того, следует иметь в виду, что различные звенья или
участки замкнутой системы автоматического управления могут рабо-
тать с разными шагами квантования. Шаг квантования является одним
из параметров, который можно включить в процедуру оптимизации
системы управления по определенному критерию качества.
274
Раздел 4
Раздел 4.
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
С ЧИСТЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
4.1. Применение оптимальных по быстродействию цифровых
регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием
Многие промышленные объекты характеризуются существенным
запаздыванием, в частности, все тепловые объекты, многие аппараты
нефтеперерабатывающих, нефтехимических и химических установок.
Нагревательные печи являются типичными объектами управления с
запаздыванием [210]. Запаздывание, вносимое объектом управления,
значительно уменьшает быстродействие системы и динамическую то-
чность процесса управления. Наиболее эффективным методом борьбы
с запаздыванием для объекта с передаточной функцией e~sTG(s) яв-
ляется охват регулятора Р звеном обратной связи с передаточной фун-
кцией (1-е sT)G(s), которое называют предиктором (упредителем)
Смита. Структурные схемы систем автоматического управления с
предиктором Смита показаны на рис.4.1,а,б. Предиктор Смита может
быть включен также параллельно объекту управления, как показано
на рис.4.1,в,г [210]. Для всех структурных схем, представленных на
рис.4.1, передаточная функция замкнутой системы имеет следующий
вид:
^)ОД т
G3 (s) —---------е ,
3	1 + fV(s)G(s)
где IV (s)- передаточная функция регулятора. Таким образом, если
синтезировать регулятор Р для объекта без запаздывания G(s), то
при наличии запаздывания качество переходного процесса не изменя-
ется, а происходит лишь смещение выходной переменной системы на
время запаздывания Т.
Указанный метод компенсации запаздывания не позволяет ре-
шить задачу обеспечения требуемой динамической точности системы,
поэтому сам регулятор Р следует синтезировать, например, с целью
обеспечения минимальной интегральной оценки качества.
275
Раздел 4
—sT
Звено запаздывания с передаточной функцией е при модели-
ровании реализуют либо приближением Паде первого порядка
-ST
е ~---------
2 + 7$
либо приближением Паде второго порядка
_5Г ~ 12-67$ +Г2?
~ }2 + 6Ts + T2s2 '
276
Раздел 4
При проектировании системы управления с оптимальным по бы-
стродействию цифровым регулятором и объектом управления с чис-
тым запаздыванием так, чтобы система “аппроксимировала” произ-
вольное входное воздействие сигналом, который линейно изменяется
на интервалах регулирования, необходимо определять оптимальные
управляющие воздействия на объект управления. Эти воздействия для
объекта управления с передаточной функцией e~sTG(s) можно най-
ти, модифицируя полученные в работах [115, 135, 138] формулы для
оптимальных управляющих воздействий на объект управления с пере-
даточной функцией G(s) следующим образом [77, 79]:
1. Интервал регулирования определить как t = Nh + т, где N -
порядок передаточной функции объекта управления, h - шаг кванто-
вания в цифровом регуляторе, Т = т - время запаздывания;
2. Поскольку за время запаздывания ошибка изменяется на вели-
чину тАет, то вместо ошибки системы вп в момент начала n-го ин-
тервала регулирования (в момент ntp) в формулы нужно подставить
величину вп + гДст, где Дет = ап - ап_}, ап - первая разность входно-
го воздействия на и-м интервале регулирования л/р</<(и + 1)/^ ,
ап_} - первая разность входного воздействия на (и-1)-м интервале
регулирования (и-1) tp-f< р
Например, на вход объекта управления, математическая модель
которого описывается передаточной функцией
G(s) = «[5(5 + d)(s + &)]“’, на п -м интервале регулирования
ntp<t<(n+V)t необходимо подавать воздействия:
/и0 = Kq(AU + SQ^a) + Ran_^ntp <t <ntp+h;
mx - K$[qx(&U + 50Лсг) + ЛЛ(т] + /?
ntp + h<t < ntp + 2h;
m2 = KelqztAU + Sq&(t) + hha(\ + qx)] + Ran_x;
ntp + 2h<t < ntp + 3/z,
(4.1)
277
Раздел 4
ab • s =3h + a + b- h(2 + <^  R = —
ah(\-A)Q-B)’ ° ab (1-Л)(1-В)’ a
ql=-(A + B); q2=AB; A=e~ah-, B = e~bh.
AU ~6n, где 0n- ошибка системы в момент начала n-го интерва-
ла регулирования, т.е. ошибка системы в момент nt р. Интервал регу-
лирования tp = Nh=3h, где W=3 -порядок объекта; Л- шаг кванто-
вания; на (и-1)-м интервале регулирования (n-\)t p<t <nt р входное
воздействие характеризуется первой разностью ап_х, на п -м интер-
вале регулирования nt p<t<(n + \)t р - первой разностью сгл;
Аст = сг -сг ., м =0,1,2,...
Подчеркнем, что	~ прямоугольные “управляющие”
импульсы, каждый из которых имеет длительность h и соответст-
вующую амплитуду. Если число импульсов W, где N -порядок объ-
екта, то интервал регулирования t= Nh.
На вход объекта управления с передаточной функцией
G(s) -	+	+ необходимо, начиная с момента ntp,
подавать воздействия:
>и0 = Kq (AU + rAa + So А67) + ^ап-\ »nt р -z < nt р + »
т\ ~	[<71	+ Т&а + S0Acr) + hAa] + Rcrn_i;
ntp +h<t < nt p + 2h;
w2 = ^ot^2 (At/ + rA<7 + S0Act) + Mct(1 +<7i)]+ /?□„_];
ntp + 2h<t < ntp + ЗЛ,
(42)
а также
= Rcrn_\ при ntp+3h <t<ntp+3 h + r. tp = Nh + r. (4.3)
Сравнивая выражения (4.1) и (4.2), отметим, что для объекта
управления с запаздыванием можно использовать формулы (4.1) вме-
сто формул (4.2) для “управляющих” импульсов, но для этого надо в
формулах (4.1) величину So заменить новым значением So - $о + Т :
278
Раздел 4

= 3h +
a + b
ab
h(2 + qi)
(1-Л)(1-5)
+ т.
При расчетах удобно время запаздывания т (особенно при боль-
шом запаздывании) выражать через целое число шагов квантования:
г = Lh. Тогда интервал регулирования можно определить как
tp = (N + L)h . При этом, в каждом интервале регулирования после
N прямоугольных “управляющих” импульсов следует L прямо-
угольных импульсов “подставки” одинаковой амплитуды R<Tn^\.
Если т меньше h, то удобно шаг квантования h выражать через
целое число интервалов запаздывания г: h-Мт. Тогда интервал
регулирования можно определить как t р = Nh + т - (NM + 1)г .
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntр<t<ntр + Nh
(N - порядок объекта) интервала регулирования ntp<t<(n + \)tp
(t = Nh + г) можно описать передаточной функцией
= Щ2) = т0+тМ' +т^2
k 7 0(z)	AU(l + z-’+z-2)
или разностным уравнением
2
2
к=0	к=\
где в = при индексе i-k>$ и 0 = 0, т = 0 при индексе / - к <0.
Если обозначить ДЦ ошибку в соответствующем контуре управ-
ления моменты ih , i =0,1,2, на интервале регулирования t (AU0 -
ошибка в момент nt Ml - ошибка в момент nt + h , Д(7Э - ошибка в
момент ntp + 2h), то цифровой регулятор на каждом подинтервале
ntp<t<nt 4-Nh интервала регулирования ntр<t<(п 4-1)tp можно
описать передаточной функцией
A/(z) _ т0 4- WjZ-1 4- m2z~2
0(z) ~ bUQ+bUxz~' +bU2z'2
или разностным уравнением
279
Раздел 4
2	2
~XAUkmi-^/AUO-
k=0	k=l
Структурная схема системы управления астатическим объек-
том, имеющим звено запаздывания, изображена на рис.4.2,а. Аналого-
цифровой преобразователь АЦП в этой схеме имеет шаг квантования,
равный интервалу регулирования.
Пусть объект управления в системе (см. рис.4,а) имеет передаточ-
1	/ \	—is 10	-0,2j
ную функцию G0(s) =----------е =----------е и основной шаг
s(s + b) 5(5 + 1)
квантования в регуляторе h =2, - т =0,4. Тогда t = Nh + г =1.
На вход объекта необходимо, начиная с момента ntp, подавать
воздействия:
тп$ = X'oCAG + З^Асг) + Rcrn_\'i n<t<n+0,4;
тх =	+ 50Асг) + ЛАсг] + /?сгл_1; и+0,4</<и+0,8;
280
Раздел 4
т2 = Rcrn_} = —(jn_i при и+0,8 <г<и + 1,
а
где/Со = — Ь ; 50=2Л + —---------— + г, q,=~B- B = e~bh.
° аЫ\-В) 0 Ь \~В	1
Входное воздействие u(t) на каждом интервале регулирования
аппроксимируем линейно изменяющимся сигналом. Рассмотрим три
первых интервала регулирования [0,1,2], на которых входной сигнал
характеризуется первыми разностями: а0 = 1 (Дет = 1); о\ = 2
(Дет = 1) ; сг2 = 0 (Дет = -2) и Д[70 = 4. Отработка системой вход-
ного воздействия на трех первых интервалах регулирования показана
на рис.4.2,б.
Методика синтеза оптимального по быстродействию цифрового
регулятора для объектов с чистым запраздыванием включает следую-
щие шаги: 1.определяем передаточную функцию общего объекта
управления; 2. на основании этой передаточной функции определяем
амплитуды “управляющих” импульсов , количество которых равно
порядку передаточной функции общего объекта управления W, а
длительность каждого импульса равна шагу квантования h; 3. выби-
раем шаг квантования h (если шаг квантования h меньше времени
запаздывания т, выражаем время запаздывания целым числом шагов
квантования: T — Lh\ если временя запаздывания меньше шага кван-
тования, выражаем шаг квантования целым числом интервалов запаз-
дывания: h = Л/т ); 4. записываем длительность интервала регулиро-
вания в виде tp=Nh + Lh, если T — Lhy или в виде
= NA + г = (NA/+ 1)т , если h = Мт ; 5. набираем структурную
схему формирования “управляющих” импульсов и импульсов “под-
ставки”; 6. набираем структурную схему формирования скорости
(первой разности) входного воздействия ап на интервале регулирова-
ния nt p<t<(п + 1)/р, скорости (первой разности) входного воздейст-
вия сгп { на интервале регулирования (n-\)t p<t<nt р и приращения
скорости А а = сгп - сп[ на интервале регулирования nt р <t<(n + \)t р.
281
Раздел 4
Достаточно полные таблицы для амплитуд управляющих импуль-
сов для различных передаточных функций объектов управления при-
ведены в работе [135,138]. Цифровой оптимальный по быстродейст-
вию регулятор рассчитывается для произвольных воздействий, посту-
пающих на вход системы, поскольку в таком регуляторе заложена
процедура аппроксимации произвольных входных воздействий ли-
нейно изменяющимися на каждом интервале регулирования воздейст-
виями.
Для статических объектов управления блок оценки ст не нужен и
структурная схема системы управления упрощается. Например, на
вход статического объекта с передаточной функцией
G(s) = 6ze~n[(5 + a)(s + 6)]-1 необходимо подавать воздействия:
.. n ab n	,
mn = Kn0„+- 0„ nt <t<nt +h;
U	Un	Л—I ’ О	P 1
a
т^кле,+аЬе,
a
ab
m2 = vn-\ ПРИ
a
; ntp + h <t<ntp+2h\
nt +2h <t<nt+2h + r. t„ - Nh + т.
p	p	p
Ко = -
ab
;	= 1-A-B; A = e~ah; B = e'M
При отработке системой, имеющей статический объект управле-
ния, произвольного входного воздействия, которое аппроксимируем
линейно-изменяющимся, для повышения динамической точности сис-
темы на выходе регулятора можно ввести дополнительно интегри-
рующее звено (для придания системе астатизма первого порядка). При
синтезе оптимального по быстродействию цифрового регулятора это
звено можно отнести к передаточной функции объекта управления.
Рассмотрим пример использования методики синтеза оптималь-
ного по быстродействию цифрового регулятора для объектов с чис-
тым запаздыванием. Проведем синтез оптимальных по быстродейст-
вию цифровых регуляторов для объекта управления с передаточной
функцией
ОД = —
5(5 + Ь)
282
Раздел 4
Для объекта с такой передаточной функцией управляющие воз-
действия на каждом интервале регулирования длительностью tp
определяются в виде (см. Приложение Б, п 1):
/и0 -	+ SqAct) + R<Jn-\ ПРИ ntp -1 < ntp + ;
z»i =	(A U + S0A a) + ЛАсг] + Rtrn-\ ПРИ ntp + h<t < nt p + 2h;
m-> = Ran-\ = —crn_\ при ntp + 2h<t < nt„ + 2Л + r,
a	1
где t n	-2h + r; Kn =-------; Sn	= 2h + —------— +	r; ai	= -B;
p	° ah(l-B) ° b	(1-B)	1
B = e~bh.
Допустим, что г = 0,2 c, h - 0,4 с. Так как т меньше h, то шаг
квантования h выражаем целым числом интервалов запаздывания г:
h - 2т = 0,4. При этом на каждом интервале регулирования
tр =2h + r регулятор должен формировать два прямоугольных
"управляющих” импульса и тщ, каждый из которых имеет длите-
льность h = 2т, и один прямоугольный импульс “подставки” ампли-
тудой R<Jn_\ и длительностью т. Структурная схема этого цифрово-
го оптимального по быстродействию регулятора показана на рис.4.3,а.
Допустим, что т - 1,2 с, h = 0,4 с.Так как время чистого запазды-
вания г больше h, то удобно выразить интервал запаздывания т че-
рез целое число шагов квантования h: т = 3h = 1,2. При этом на каж-
дом интервале регулирования tp = 2h + т регулятор должен форми-
ровать два прямоугольных “управляющих” импульса и , каж-
дый из которых имеет длительность h = 0,4 с, и три прямоугольных
импульса “подставки”, каждый из которых имеет амплитуду Rcn^ и
длительность h. Структурная схема этого цифрового оптимального
по быстродействию регулятора показана на рис.4.3,б.
283
Раздел 4
б)
Рис.4.3
Рассмотрим систему управления водогрейным котлом с опти-
мальным по быстродействию цифровым регулятором [107].
Системы управления водогрейных котлов малой и средней мощ-
ности, в основном, построены на основе термостатов. Данные системы
отличаются простотой, дешевизной и надежностью, однако обладают
284
Раздел 4
недостатками релейных систем управления. Ниже изложен расчет оп-
тимального по быстродействию цифрового регулятора для объекта
управления “водогрейный котел + отапливаемое здание”.
Типовое уравнение теплопередачи между внутренним воздухом
здания и окружающей средой имеет вид:
Q = kA{6B-eA) + Mcd.{eB-0A\
at
где Q - тепло, передаваемое внутреннему воздуху за одну секунду,
Дж/с; к- общий коэффициент теплопередачи ограждающих конст-
рукций здания, нелинейно зависящий от соотношения температур,
Дж/м2 /с/°С; А - граничная поверхность, нормальная к потоку тепла
(площадь наружной поверхности здания), м2; М - масса внутреннего
воздуха, кг; с - удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха,
Дж/кгЛС; 0А - температура окружающей среды, °C; 0в - температура
внутреннего воздуха, °C . Отметим, что мощность котла в 1кВт соот-
ветствует теплу 0,2388 ккал/с или 1000 Дж/с. Величина, обратная про-
изведению кА, называется термодинамическим сопротивлением
(Zl4=1/R). Выражение кА^вц-Од) описывает тепловые потери зда-
ния в окружающую среду. Выражение Мс^- (0В-0А) описывает
dt
тепло, аккумулирующееся во внутреннем воздухе здания и обуслов-
ленное изменением его температуры. Уравнение теплопередачи спра-
ведливо для малых возмущений, когда можно считать, что зависящий
от температуры коэффициент к является постоянной величиной.
Кроме того, предполагается, что окружающая среда обладает беско-
нечно большой массой и потери тепла зданием не повышают темпера-
туру окружающей среды.
На основании уравнения теплопередачи термодинамическую мо-
дель здания можно представить в виде структурной схемы объекта
управления (см. рис.4.4,а).
Вход объекта - тепло, передаваемое внутреннему воздуху Q, вы-
ход объекта - температура внутреннего воздуха 0в, внешнее возму-
щающее воздействие - температура окружающей среды 0А. Возму-
щающее воздействие можно представить в виде 0А = 0^ + 0Х sin cot,
285
Раздел 4
где 0Q - средняя внешняя температура, вх - амплитуда суточных из-
менений внешней температуры, со = 2^/(24x3600) 1/с. 0^ - тре-
буемая внутренняя температура (уставка).
Цена
Интегратор топлива
1
а)
Объект управления ^здание)
i~ «<?)	;
ев(0-«Аю;
В о догре йный
котел
Задержка
Q(t)r-
---
7ст
Ф
Gt
lm(i)
L H(s)
ЦР
W(z)e
|$уст- #д(0
e
-1
ЦАП
АЦП
б)
Рис.4.4.
ш
W)
-Ь <г
286
Раздел 4
Отметим, что термодинамические свойства реальных зданий нели-
нейны и изменяются как со временем, так и с изменением погодных ус-
ловий, поэтому модель только приближенно описывает реальный объект.
При сгорании топлива GT (природного газа) количество выде-
ляемой теплоты описывается выражением QT - qmT, где
q = 4,4-107 Дж/кг - теплота сгорания природного газа, тт - масса
поступающего топлива. Если железный котел массой тк кг наполнен
водой массой твкг и вода (вместе с котлом) нагревается на 0р°С, то
Qt = Ятт = 0 + Q1 = сж ткдР + СвтвОр >
где сх. =460 Дж/кг/°С - удельная теплоемкость железа, сй=4187
Дж/кг/°C - удельная теплоемкость воды, Q Дж - количество теплоты,
полученное котлом, Q? Дж ~ количество теплоты, полученное водой.
Водогрейный котел описывают апериодическим звеном с переда-
точной функцией GBK(s) = Квк /(TBKs + Y), в которой коэффициент
передачи Квк равен максимальной мощности котла Ртах кВт. Подача
топлива GT регулируется автоматическим клапаном АК (см. рис.4.4).
Выходная мощность котла wPmax, где т - степень открытия клапана
(от 0 до 1). Транспортная задержка на г секунд описывается переда-
точной функцией е-г\
Для регулирования выходной мощностью котла применим опти-
мальный по быстродействию цифровой регулятор. В блок регулятора
входят АЦП, собственно регулятор, ЦАП (фиксатор нулевого порядка
с передаточной функцией ) и клапан АК с устройством его регу-
лировки.
Рассмотрим систему водяного отопления одноэтажного здания
площадью 300м2, работающую от водогрейного котла мощностью
30кВт с модулирующей горелкой. Модель водяного отопления здания
построена при следующих допущениях: 1. все получаемое водой теп-
ло передается воздуху здания и 2. температура “обратной” воды равна
температуре уставки.
Здание описывается необходимыми теплоизоляционными и гео-
метрическими параметрами: длиной, шириной и высотой здания, раз-
287
Раздел 4
риала:
мерами и количеством окон, формой крыши, теплопроводностью и
толщиной материала стен, окон, крыши. По этим параметрам вычис-
ляются требующиеся для термодинамической модели величины М и
R. Формулы для расчета следующие:
M = wl(tan	+ h3d)p, R = RcmHROK0H	,
С	с
о = ~тены~ Р — _ок"а. А — иЪ уо
стены q	д	’ окна О Л ’ окон ' г*окна Уокна ’
лтены стены	'^окна ^окна
^cnKH=2h3<)(l + w) + 2lw/cos(apad/2) + wtanapad- Аокон,
р - плотность воздуха на уровне моря (1,225кг/м3).
Расчет проведем для следующих конкретных данных. Здание име-
ет длину /=30м, ширину w = 10m и высоту /^д=4м. Размеры окон:
~^окна =1М- Количество окон и =6. Крышный угол а =40°,
40
180/ РаД коэффициент теплопроводности и толщина мате-
4теяы=0.038Дж/м/с/К и ^теям=0.2м, Локно=0.78Дж/м/с/К и
h
окна
<*ра6 =
^=0-01м, Лкрыши = Лстены и <5крыши = <5ст,,ы  По этим параметрам
получаем следующие требующиеся для термодинамической модели
объекта управления величины М и R (размерности указаны выше):
М=\778,4; /?=0,0015. Другие параметры модели заданы следующими:
С=1ОО5,4; Ртах=30; г =100; 0,=5; ^т=20; Твк =300.
Рассматривая в качестве выходной величины объекта управления
разность между внутренней и внешней температурами	и
принимая в качестве уставки температуру О	преобразуем
структурную схему рис.4.4,а в схему, приведенную на рис.4.4,б. Объ-
ект управления в этой схеме описывается апериодическим звеном с
передаточной функцией G(s) = a /(s + b), в которой
Me ’ McR
При указанных параметрах McR - 2682с = 44,7л/мн .
При моделировании опишем динамику апериодического звена
(здания), используя аппроксимацию по формуле трапеций [135]:
288
Раздел 4
b,h° W,,., -	(Q,+а.,).
2 + ил?0	2 + bflQ
Временной параметр v меняется через шаг моделирования
h0 = 0,02Л , где h - шаг квантования в АЦП и ЦАП.
Примем Л = Зг=ЗООс. Тогда Л0=6с.
Динамику водогрейного котла при моделировании также опишем,
используя формулу трапеций:
Qv = --	+ тв~ , К+/»,.,) •
2 + аЛ0 Твк 2 + ah0
Передаточную функцию общего объекта управления можно запи-
сать в виде
G0(s) = а° — е
(s + a)(s + b)
где0 = 1/7-„; О„=^««=-А;
ГДА. МсТвк
Коэффициент передачи общего объекта управления в установив-
шемся режиме
ab
Поэтому требуемая уставка в автоматическом клапане в относи-
тельных единицах определяется как
О	— Оп	0	— 6L
ni = ~~	=	’ {отн.ео,).
уст к 45
уст
Оптимальные управляющие воздействия на общий объект управ-
ления:
wo = ко0п +	^-1 + тусп,; ntр < t < ntр + h;
tz0
=Код,Оп + аЬ-0„.}+туст-, ntp+h <t<ntp+2h-.
289
Раздел 4
ab
m2=	-0n-'+m
“о
'уст ntp+2h <t<ntp+2h + r. tp=Nh + r.
Численные значения параметров: /1=0,36788;	5=0,89417;
<7, =-0,26205;
аЬ = 1 ; Кй =0,33218; t =700.
«о 45
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.4) путем математического моделирования представлены на
рис.4.5, 4.6 и 4.7.
Во всех случаях требуемая температура внутреннего воздуха зда-
ния О задавалась равной 20 °C, амплитуда суточных изменений
внешней температуры 0} задавалась равной 5°С, а средняя внешняя
температура принималась соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С.
Закон суточных изменений внешней температуры принимался сину-
соидальным: вА (г) = 0О + 5 sin [2лГ /(24 х 3600)].
Рис.4.5.
290
Раздел 4
Ошибка системы 0(f) = 0уст- вB(t) показывает отличие темпе-
ратуры внутреннего воздуха здания 0B(t) от требуемой 0уст=2О°С.
Во всех случаях максимальная ошибка не превышает 1 °C. Время на-
блюдения 90000 с.
291
Раздел 4
Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки
(см. рис.4.6) приведен на рис.4.8, где изображены также управляющее
воздействие m(f) и изменение внутренней температуры здания
при 0О=-5°С.
Значительного уменьшения текущей ошибки системы можно дос-
тичь, если требуемую уставку в автоматическом клапане определять
как
^(0 =
к
уст
0^0^
45
(ртн.ед.).
Но при этом нужен дополнительный разомкнутый контур регули-
ровки требуемой уставки, который осуществить несложно.
Рис.4.8
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.4) путем математического моделирования при изменяющей-
ся уставке представлены на рис.4.9, 4.10 и 4.11.
Требуемая температура внутреннего воздуха здания О задава-
лась равной 20°С, амплитуда суточных изменений внешней темпера-
туры 9} задавалась равной 5°С, а средняя внешняя температура 90
292
Раздел 4
принималась соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С. Закон суточных
изменений внешней температуры принимался синусоидальным:
вл (/) = 0О + 5 sin[2flT /(24 х 3600)].
Рис.4.10
293
Раздел 4
Во всех случаях текущая ошибка системы = 0уст - (за
исключением начального выброса) не превышает 0,22°С. Время на-
блюдения 90000 с. Таким образом, при изменяющейся уставке теку-
щая ошибка системы в 4,5 раза меньше, чем ошибка системы при по-
стоянной уставке.
Рис.4.12.
294
Раздел 4
Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки
(см. рис.4.11) приведен на рис.4.12, где изображены также управляю-
щее воздействие m(t) и изменение внутренней температуры здания
0Д(О при 6>0(/)=-5°С.
4.2. Применение цифровых нечетких регуляторов для объек-
тов управления с чистым запаздыванием
Рассмотрим применение цифрового нечеткого регулятора для об-
щего объекта управления “водогрейный котел + отапливаемое здание”
[84]. В этом случае замкнутую систему автоматического управления
“регулятор + объект управления” можно представить в виде, приве-
денном на рис.4.13 или рис.4.14.
Цена
Интегратор топлива
1/s
Стоимость
S —> потребленного топлива
<—Расход топлива
Водогрейный
котел
m m
<Us)He-ts
G
цдП
Задержка
шуст
ОценкаL
е Г г
)| |0(к)
у у
- HP
Объект управления (здание)
О(о+)
L H(s) С
Регулятор
0(k)
h
Рис.4.13
Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам (3.1 )-(3.13)
для треугольных функций принадлежности (см. рис.3.2) с шагом кван-
тования (с шагом поступления данных в нечеткий регулятор HP)
Л = 0,01с. Ошибка на выходе АЦП	ее первая
295
Раздел 4
0(&) = [#(£) - в(к -1)]/ h и вторая в(к) - [0(к) - 0(к - 1)]/Л разно-
сти подаются на вход HP. Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП
(фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией
H(s) = (\-e~hs)/s) и далее на непрерывную часть системы (общий
объект управления - водогрейный котел + отапливаемое здание).
"1
Водогрейный
котел
г» АК
gbk(s) е
Задержка
m+mycT
Оценка ,__
е ё Г~
Объект управления (здание)
Q(t)
О(о+)
-Ь <
GT 0(кЦ,
HP <
L H(s)
_____ ________ 0(k)
ЦАП Регулятор АЦП
-1
-0А(О

Рис.4.14
В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения
входных и выходной переменных [<9min, 0тт ], [0min, 0max ] >
[^min.^maxb ['«min>'«max]• Функций принадлежности имеют вид:
X7j(w) = 1-1/ и //2(п) ~ и» где и ~ параметр (элемент) единого уни-
версального множества U = [0,11. Для уменьшения числа параметров
настройки нечеткого регулятора диапазоны изменения переменных
приняты симметричными: (9min =-0max, 0min = -<?max ит.д.
Управляющее воздействие на общий объект управления т' (t) в
данной системе является степень открытия автоматического клапана
АК на входе водогрейного котла. Требуемую уставку в автоматиче-
ском клапане определим как

о,™
Ку",
-0A(t)
4— -	(отн.ед).
296
Раздел 4
Тогда при работе системы автоматического управления (см.
рис.4.13 или 4.14) степень открытия автоматического клапана опреде-
ляется как
w(/) = w'(r) + w>ra(r)
Шаг моделирования Ао —10с. Шаг квантования (интервал посту-
пления данных в нечеткий регулятор) h = 300с.
Диапазоны изменения входных и выходных параметров нечеткого
регулятора (выбираются при проектировании HP и уточняются путем
математического моделирования с целью получения приемлемых по-
казателей качества переходного процесса в замкнутой системе):
[0,.,AJ = H,O, 1,0], [«mi„,0т„] = [-2,8 IО-3, 2,8.10-’],
[«™,„,^ах) = (-1,ЗЗ.Ю-5, 1,53.10-’] и [т„„,тя,„) = [-0,3, 0,3].
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.13 и 4.14) путем математического моделирования представ-
лены на рис.4.15, 4.16 и 4.17. Во всех случаях требуемая температура
внутреннего воздуха здания 0 задавалась равной 20 °C, амплитуда
суточных изменений внешней температуры 0Х задавалась равной 5°С,
а средняя внешняя температура 0Q принималась соответственно рав-
ной +5°С, 0°С, -5°С. Закон суточных изменений внешней температуры
принимался синусоидальным: 0A(f) - 0^ + 5 sin[2/tf/(24x3600)].
297
Раздел 4
Текущая ошибка системы 0(t) = вуст - 0B(t) показывает отличие
температуры внутреннего воздуха здания 9B(t) от требуемой
#^=20 °C. Во всех случаях текущая ошибка (за исключением на-
чального выброса) не превышает 0,2°С. Время наблюдения 90000 с.
298
Раздел 4
Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки
(см. рис.4.17) приведен на рис.4.18, где изображены также управляю-
щее воздействие и изменение внутренней температуры здания
0B(t) при 0О=-5°С.
Ошибка поддержания температуры релейными системами управ-
ления водогрейных котлов малой и средней мощности на основе тер-
мостатов достигает 2...3°С и имеет колебательный характер. Система
управления с нечетким регулятором обеспечивает на порядок мень-
шую ошибку, которая имеет плавный характер. Таким образом, сис-
тема управления с нечетким регулятором имеет значительно более
высокую устойчивость к изменяющимся внешним условиям, обеспе-
чивает лучшую надежность и долговечность системы отопления и
создает более комфортные условия внутри здания.
Программа FuzZap реализует алгоритм управления объектом,
который содержит звено запаздывания, с использованием нечеткого
регулятора HP. В качестве входных параметров HP выбраны ошибка в
системе, ее первая и вторая разность. Число термов, описывающих
входные и выходное значения HP, выбрано равным двум. Объект
управления содержит два апериодических звена с постоянными пара-
метрами и звено задержки. Система предназначена для поддержания
299
Раздел 4
постоянной температуры внутри помещения при изменении внешней
температуры.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod Parametr Prog - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Zero - обнуление переменных состояния объекта
управления и некоторых других переменных.
Процедура Vxod - моделирование изменения внешней температу-
ры.
Процедура Ras_mju - расчет двух значений функций принадлеж-
ности. Входные параметры процедуры: х-значение входного парамет-
ра, x_max, xmin диапазон изменения значений входного сигнала. Вы-
ходной параметр: mju - массив, содержащий значения функций при-
надлежности.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора. Входные параметры: переменные х_1, х_2, х 3 -
значения входных параметров нечеткого регулятора. Выходной пара-
метр: переменная у - значение управляющего воздействия нечеткого
регулятора.
Процедура Ras vix - расчет значения абсциссы центра масс ре-
зультирующей фигуры и переход к реальному значению управляюще-
го воздействия. Входные параметры: переменные Ь_1, Ь_2 - значения
функций принадлежности. Выходной параметр - переменная vix.
Процедура Min - определение минимального значения элемента
массива. Входной параметр: А - массив из трех элементов. Выходной
параметр: bb - значение минимального элемента массива.
Для моделирования объекта управления программа использует
стандартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl. В
программе используются следующие переменные и массивы: nl -
служебный массив для обеспечения работы подпрограммы mdl; xl, у2,
yl, al, b, х2, a, d, с - массивы, содержащие значения переменных со-
стояния динамических звеньев объекта управления.
ЬО - шаг квантования в системе; h - шаг моделирования; Таи -
время транспортной задержки в системе; tt - время наблюдения; t -
значение момента времени; Vixl, Vix2 - значения выходов звеньев;
Ras, Rasnost - значение ошибки в системе; dt, d2t - значения первой и
второй разностей ошибки в системе; M fiiz - значение управляющего
воздействия нечеткого регулятора, выработанное для данного момен-
300
Раздел 4
та квантования; M reg - значение управляющего воздействия, дейст-
вующего на объект на данном моменте времени; M ust - значение ус-
тавки управляющего воздействия; Tet ust - заданная температура
внутри помещения (температура уставки); Tetvix - текущая внутрен-
няя температура в помещении; Tetulic - текущая внешняя температу-
ра; Tet_O - средняя внешняя температура; xlmax, xlmin,
х_2_тах, x_2_min, х_3_тах, x_3_min - диапазоны изменения значе-
ний входных параметров нечеткого регулятора; у min, углах - диапа-
зон изменения значений управляющего воздействия нечеткого регуля-
тора; N_n, N_m, k, nn, i, us, sde, - служебные переменные.
{Программа моделирования САУ с нечетким регулятором и объ-
ектом управления ’’водогрейный котел + отапливаемое здание”}
Program Fuz Zap;
Uses Crt,Graph;
Type
Nvektorl = array [1..3] of Real;
Nvektor2 = array [1..2] of Real;
Nvektor3 = array [1..10] of Real;
Var
nl	:array[1..10] of integer;
x 1 ,y2,y 1 ,al,b,x2,a,d,c	: Nvektor3;
N_n,N_m,nn, i	: integer;
hO ,tt, t, h, k,
Tau,Ras,Rasnost,M_reg,M_ust,
Vixl,Vix2,Tet_ust, Tet vix,
Tet ulic, Tet_0 : real;
us, sde, dt, d2t, M fuz,
xlmax, x l min,
x_2_max, x_2_min,
x_3_max, x_3_min,
углах, y min	: real;
{$1 grafika.pas}
{$1 zven.pas}
{Процедура ввода параметров работы программы}
Procedure Vvod Parametr Progr;
301
Раздел 4
Begin {VvodParametrProgr}
h:=10; h0:=300; tt:=90000; nn:=2; Tau:=100;
Tet_0:=5; Tet_ust:=20;
xlmax :=1;
x_l_min :=-l;
x_2_max :=2.18e-3;
x_2_min :=-2.18e-3;
x_3_max :=1.5e-5;
x_3_min :=-1.5e-5;
y max :=0.3;
yrnin :=-0.3;
mdl(O,Vix,Vix);
End; {VvodParametrProgr}
Procedure Vxod(r:real;var vix :real);
Begin {Vxod}
r:=r* 2 * 3.14/(24*3600);
vix :=T et_0+5 * sin(r);
End; {Vxod}
Procedure Ras_mju(x,x_max,x_min : real; var mju : Nvektor2);
var
u : real;
Begin {Ras mju}
u:= (x-x_min)/(x_max-x_min);
mju[l]:=l-u;
mju[2]:=u
End; {Ras_mju}
Procedure Ras_vix(b_l,b_2: real; var vix : real);
var
X res, Y res : array[ 1 ..6] of real;
suml,sum2 : real;
i : integer;
Begin {Ras vix}
Y_res[l]:=0; Y_res[2]:=b_l; Y_res[3]:=b_l; Y_res[4]:=b_2;
Y_res[5]:=b_2; Y_res[6]:=0;
X_res[l]:=-1; X_res[2]:=-l+bJ; X_res[5]:=2-b_2; X_res[6]:=2;
if b l>b_2 then begin
X_res[3] := 1 -b_ 1 ;X_res[4] := 1 -b_2;
end;
302
Раздел 4
if b_l<b_2 then begin
X_res[3]:=b_l;X _res[4]:=b_2;
end;
{расчет абсциссы центра тяжести результирующей фигуры 6
вершин}
suml:=0;sum2:=0;
suml := (X_res[l]-X_res[6])*((2*X_res[l]+X_res[6])*Y_res[l] +
(2*X_res[6]+X_res[l])*Y_res[6]);
sum2 := (X_res[l]-X_res[6])*(Y_res[6]+Y_res[l]);
for i:=l to 5 do begin
suml :=suml + (X_res[i+1] - X_res[i])*((2*X_res[i+l]+
X_res[i])*Y_res[i+l] + (2*X_res[i]+
X_res[i+l])*Y_res[i]);
sum2 := sum2 + (X_res[i+l]-X_res[i])*(Y_res[i]+Y_res[i+l]);
end;
vix :=y_min+(suml/(3*sum2))*(y_max-y_min);
End; {Ras_vix}
Procedure Min(A : Nvektorl; var bb :real);
var
i : integer;
Begin {Min}
bb:=A[l];
for i:=l to 3 do
if bb>=A[i] then bb:=A[i];
End; {Min}
Procedure Res(x_l,x_2,x_3 : real; var у : real);
var
i	: integer;
term_ 1 ,term_2 : Nvektor 1;
mju_l,mju_2,mju_3 : Nvektor2;
bb_l,bb_2 : real;
Begin {Res}
Ras mju(x_ 1 ,x_ 1 max,x 1 min, mju_ 1);
Ras_mju(x_2,x_2_max,x_2_min, mju_2);
Ras_mju(x_3,x_3_max,x_3_min, mju_3);
term_ 1 [ 1 ]:=mj u_ 1 [ 1 ];
term_l[2]:=mju_2[l];
term_l[3]:=mju_3[l];
303
Раздел 4
term_2[ 1 ]:=mju_l [2];
term_2[2]:=mju_2[2];
term_2[3]:=mju_3[2];
Min(term_l,bb_l);
M in( term_2 ,bb_2);
Ras_vix(bb_l,bb_2,y);
End; {Res}
Procedure Zero;
var
i : integer;
Begin {Zero}
for i:=l to 10 do begin
xl[i]:=0;y2[i]:=0;yl[i]:=0;
al[i]:=0;b[i]:=0;x2[i]:=0;a[i]:=0;d[i]:=0;c[i]:=0;
end;
t: 0; k:=0; k_l :=0; M_reg:=0; M_fuz:=0; sde:=0; dt:=O;
End; {Zero}
{ Исполнительная часть }
BEGIN {Fuz_Zap}
Zero;
VvodParametrProgr;
{Задание начальных условий}
{* Tetulic = +5, Tet_vix = +20 *}
x 1 [ 1 ] :-99.26704748;y 1 [ 1 ] :=0.3552998;
x 1 [2] —26706.067891 ;y 1 [2] :=9.926705;
mdl(l,M_reg,Vixl);
mdl(2,Vixl,Vix2);
N_m:=round(hO/h)+l; N_n:=N_m;
Dele:=l/50; Delu:=l/50; Delv:=l/50; osl:=50; os2:=150;
In Graph; Osi; Metki(20,h0,tt); Text(hO);
repeat
Vxod(t,Tet_ulic);
Ras:=Tet_ust-Tet_ulic-Vix2;
if t=0 then begin
dt:=0;d2t:=0;
end else begin
dt:= (Ras-sde)/h;
304
___________________________f Раздел 4____________________________________
d2t:=(dt-us)/h;
sde:=Ras; us:=dt;
end;
if N_n=N_m then begin
Rasnost:=Tet_ust-Tet_ulic-Vix2;
if k=l then d2t:=0;
Res(Rasnost,dt,d2t,M_fuz);
M_ust:=(Tet_ust-Tet_ulic)/45 ;
M_fuz:=M_fuz+M_ust;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
ifN_n=round(Tau/h)+l then
M_reg:=M_fuz;
mdl(l,M_reg,Vixl);
mdl(2,Vixl,Vix2);
Tet_vix:=Vix2+Tet_ulic;
Grafik(M_reg, 1 ,t,(Tet_ust-Tet_ulic)/20);
Grafik(Ras,Tet_ulic/20,t,Tet_vix/20);
t:=t+h; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
readln;
CloseGraph;
Рассмотрим автономную систему теплоснабжения, функциональ-
ная схема которой приведена на рис.4.19 [69].
Рис.4.19
Структурная схема автономной системы теплоснабжения с нечет-
ким регулятором представлена на рис.4.20.
305
Раздел 4
Цена
Интегратор топлива
1/s
<—Расход топлива	।
— nQW
|—>e-xis —kl
----- --- I
ЗсЦДСрЖКё1	।
Стоимость
S —> потребленного топлива
Объект управления (здание)
* G..«
уст
Gt
Водогрейный
котел
1 -1
। e“V
' ----- ।
। Задержка
Q„(t)
H(s)k
Оценка
О о
HP
_____ ________ 0(к)
ЦАП Регулятор АЦП
6>(0+)
< V*A
cBmp^
1
>1
-кА <
m

Рис.4.20.
Объект управления, например здание, опишем типовым уравне-
нием теплопередачи между внутренним воздухом здания и окружаю-
щей средой, которое имеет вид:
Q-Qo=kA(0B-0A)+Mcd-(0B-0A),
at
v^Q-Qq - тепло, передаваемое внутреннему воздуху за одну секун-
ду, Дж/с; к - общий коэффициент теплопередачи ограждающих кон-
струкций здания, нелинейно зависящий от соотношения температур,
Дж/м2 /с/°С; А - граничная поверхность, нормальная к потоку тепла
(площадь наружной поверхности здания), м2; М - масса внутреннего
воздуха, кг; с - удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха,
306
Раздел 4
Дж/кг/°С; вА - температура окружающей среды, °C; вв - температура
внутреннего воздуха, °C . Величина, обратная произведению кА, на-
зывается термодинамическим сопротивлением {кА =1/R). В уравнении
теплопередачи учитывается как тепло Q, поступающее из подающего
трубопровода, так и тепло Qq , поступающее в обратный трубопровод.
Рассматривая в качестве выходной величины объекта управления
разность между внутренней и внешней температурами	и
принимая в качестве уставки температуру 0ycm{t} - в A{t}, преобразу-
ем структурную схему рис.4.21 в схему, приведенную на рис.4.22.
Объект управления в этой схеме описывается апериодическим звеном
с передаточной функцией G{s) = б? /(s + 6), в которой
а = * ; Ь-^~ - ; (АЛ=1/Я).
Me Me McR
Интегратор
Цена
топлива
цдП Регулятор АЦП
Рис.4.21
307
Раздел 4
Водогрейный котел описывают апериодическим звеном с переда-
точной функцией GBK(s) = Квк l(TBKs +1), в которой коэффициент
передачи Квк равен максимальной мощности котла Ртах кВт. Подача
топлива GT регулируется автоматическим клапаном АК (см. рис.4.20,
рис.4.21). Выходная мощность котла тРтах, где т - степень откры-
тия клапана (от 0 до 1).
Структурные схемы автономной системы теплоснабжения с не-
четким регулятором, представленные на рис.4.20 и рис.4.21, отлича-
ются от соответствующих схем на рис.4.13 и рис.4.14 двумя сущест-
венными особенностями:
1. Внутренним контуром обратной связи с коэффициентом пере-
дачи = свтр, где св=4187 Дж/кг/°С- удельная теплоемкость теп-
лоносителя (воды), /77^=0,28 кг/с - массовый расход теплоносителя
(воды) в обратном трубопроводе;
2. Элементами задержки с передаточными функциями
Gj(5) = k}e~T's и G2(s) = k2e~T2S, которыми описываются подающий и
обратный трубопроводы.
Структурная схема разомкнутого канала (общего объекта управ-
ления “водогрейный котел + трубопроводы + отапливаемое здание”)
автономной системы теплоснабжения приведена на рис.4.22, а расчет-
ная структурная схема системы (составленная по схеме рис.4.21) по-
казана на рис.4.23.
Рис.4.22.
Передаточную функцию разомкнутого канала (общего объекта
управления “водогрейный котел + трубопроводы + отапливаемое зда-
ние”) на основании структурной схемы можно записать в виде
308
Раздел 4
_ _ _ _ _____________________
5 + bBK s + b + свтра\\ - кхк2е~{г' +Т2 }s ]
Водогрейный
котел
Объект управления
(здание)
Рис.4.23
Примем расчетные параметры водогрейного котла и отапливаемо-
го здания такими же, как для схем рис.4.13 и рис.4.14, а именно
Кйк = 3 • 104 Дж/с; Тяк = 300с; М = 1778,4 кг\
с = 1005,4 Дж / кг Г С; R = 0,0015 с°С / Дж\ а параметры трубо-
проводов следующими: кх = 0,95; к2 = 0,98, тх = 50с; т2 = 48с.
Коэффициент передачи разомкнутого канала в установившемся
режиме определяется как
ЪВК Ь + свтпра(\-к{к2)
„	L	1	1	1,
При параметрах = — = -	1 / с;
тВК зоо
а-ВК = Квк =3-104 Дж/с\
Ьвк
а= 1 = 5,5928-Ю'7 °С1Дж\Ь=- 1- = 3,7286 10’4 1/с;
Me	McR
309
Раздел 4
свтр = 4187• 0,28 = 1172,36 Дж/с!0 С\ к, = 0,95; к2 = 0,98,
коэффициент передачи разомкнутого канала в установившемся ре-
жиме
= 38,124 °С1отн,ед.
Поэтому требуемая уставка в автоматическом клапане в относи-
тельных единицах определяется как
yyi =—	-	— (отн. ед.).
уст	38,124
Значительного уменьшения текущей ошибки системы можно дос-
тичь, если требуемую уставку в автоматическом клапане определять как
0уст~6А^
(Г) =	-	= - -	- (отн.ед.).
У Куст 38,124
Но при этом нужен дополнительный разомкнутый контур регули-
ровки требуемой уставки, который осуществить несложно.
При работе системы автоматического управления (см. рис.4.20
или 4.21) степень открытия автоматического клапана определяется как
w(r) = w’(0 + wxm(r),
где т' = т* (t) - управляющее воздействие на общий объект управ-
ления, генерируемое нечетким регулятором.
Выберем шаг квантования (интервал поступления данных в не-
четкий регулятор) h = 300с = 5мин , а шаг моделирования Ло = 10с.
Постоянная времени отапливаемого здания
--	=-•	4 = 972,25с = 16,2мин.
Ь + свтпа 10,2854 10"4
Коэффициент передачи отапливаемого здания
Л = 5,4376-10’4 с°С!Дж.
Ь + свтра
Расчет и моделирование цифрового нечеткого регулятора произ-
водим по формулам (3.1 )-(3.13). Моделирование общего объекта
управления “водогрейный котел + трубопроводы + отапливаемое зда-
ние” выполняем по структурной схеме рис.4.22.
310
Раздел 4
Диапазоны изменения входных и выходных параметров нечеткого
регулятора (выбираются при проектировании HP и уточняются путем
математического моделирования с целью получения приемлемых по-
казателей качества переходного процесса в замкнутой системе):
i,oj,[emta,smax]=[-2,63 io-’, 2.63 Ю-3],
[0ПЛ.А.ХМ-1.53-1О-5, 1.5310-5] и [т.„,тт„] = [-0,3, 0,3].
311
Раздел 4
а)
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.23) путем математического моделирования представлены на
рис.4.24, 4.25 и 4.26, где изображены: а - управляющее воздействие
m(t) и текущая ошибка системы 0(f) у б - изменение внутренней
температуры здания 0B(f) на начальном интервале времени наблюде-
ния, равном 2500 с, в - изменение текущей ошибки системы 0(f) за
сутки (время наблюдения 90000 с). Во всех случаях требуемая темпе-
312
Раздел 4
ратура внутреннего воздуха здания 0угт задавалась равной 20°С, ам-
плитуда суточных изменений внешней температуры 0Х задавалась
равной 5°С, а средняя внешняя температура 0О принималась соответ-
ственно равной +5°С, 0°С, -5°С. Закон суточных изменений внешней
температуры принимался синусоидальным:
0А (0 = sin[2/tf /(24 х 3600)] (см. рис. 4.15-4.17).
Текущая ошибка системы 0(f) = в - 0В (/) показывает отличие
температуры внутреннего воздуха здания 0B(f) от требуемой 0уст=2О
°C. Во всех случаях текущая ошибка (за исключением начального вы-
броса) не превышает 0,23°С.
Таким образом, сравнивая структурные схемы рис.4.20 и рис.4.21
с соответствующими структурными схемами рис.4.13 и рис.4.14 и ре-
зультаты моделирования (см. рис.4.15-4.18 и рис.4.24-4.26), заключа-
ем, что нечеткий регулятор обеспечивает качественную работу замк-
нутой системы автоматического управления и при более строгой мо-
дели общего объекта управления (составленной с учетом внутреннего
контура обратной связи в объекте и характеристик прямого и обратно-
го трубопроводов).
В заключение раздела рассмотрим вопрос оптимизации парамет-
ров нечеткого регулятора при некоторых функциях принадлежности.
Как уже отмечалось, для оптимизации параметров нечеткого регуля-
тора осуществляется настройка (регулировка) параметров регулятора
с целью получения наилучшего качества работы системы управления
при заданных управляющих и возмущающих воздействиях на систе-
му. При этом весьма важным является вопрос о минимальном време-
ни, которое требуется для настройки, или быстроте сходимости и ус-
тойчивости критерия качества к установившемуся значению.
Рассмотрим систему управления (см. рис.4.14) с объектом управ-
ления “водогрейный котел + отапливаемое здание”. Передаточная
функция такого объекта управления определена в виде
G0(s) =	а°- е~а,
(s + a)(s + b)
где а = 1/7;к =1/300с'; 6 = 1/(Л/сЛ) = 1/2682с1; г = 100с;
313
Раздел 4
ao=^^nax=5.593xlO-5.
Рис.4.26.
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регу-
лятор) h = 300 с, шаг моделирования Ло = 10 с.
Входным воздействием для этой системы является разность уста-
навливаемой температуры в здании 0 и температуры окружающей
среды вА которая изменяется в течении суток, т.е.
314
Раздел 4
w(f) ~ ^уст (0- Выходом объекта является разность реальной
температуры в здании	и температуры окружающей среды
0A(t)9 которая изменяется в течении суток, т.е. х(/) = 0B(t)-OA(t).
Ошибку определяем как
Выходной величиной регулятора является степень открытия ав-
томатического клапана водогрейного котла:	= т* (/) + туст (/),
где ш*(0 - непосредственно выход регулятора, а /и (/) - дополни-
тельная уставка в автоматическом клапане, определяемая как
Положим, что средняя внешняя температура 0Q = 0°С, амплиту-
да суточных изменений температуры 0} = 5° С , т.е.
0A(t) = 5 sin[2^/( 24x3600)]
(см. рис.4.27), и начальная температура в здании равна требуемой
0B^) = 0ycm=2OQC.
Рассмотрим три варианта настройки (оптимизации по квадратич-
ному критерию качества) цифрового нечеткого регулятора в системе.
а)	Все функции принадлежности треугольные (формулы (2.29)
при с - 0), настраиваются диапазоны изменения входных и выходной
переменных [0min , ^max ] »	’ ^max L l^min ’ ^max J ’	’ ^max J *
б)	Все функции принадлежности экспоненциальные (формула
(2.32)), настраиваются диапазоны изменения входных и выходной пе-
315
Раздел 4
ременных [0min , 6>max ] , [0min , 0max ] , [0minAaxb КЛЛ ипа-
раметр с для всех функций принадлежности.
в)	Все функции принадлежности экспоненциальные (формула
(2.32)), настраиваются диапазоны изменения входных и выходной пе-
ременных [0min,0max], [0min, 0гаах ], [£min»<?max] >	и па’
раметры сх, с2, с3, с4 для каждой функции принадлежности.
При настройке минимальное значение диапазона каждой пере-
менной принимается равным максимальному значению, взятому с об-
ратным знаком, например, [0min =-0тах]. В результате настройки мо-
дели нечеткого регулятора в системе получаем следующие значения
параметров:
а)	оптимальные [6*max], [<9тах], [0тах], [wmax] равны соответст-
венно следующим значениям [1,81], [0,0197], [0,0265], [0,728] при
Л™ =0,0199;
б)	оптимальные [0max], [0тах], [0тах], [wmax], [с] равны сле-
дующим значениям [10,148], [1,0095], [0,1016], [0,4442], [23,4597] при
J =0,0196;
в)	оптимальные [0тах], [0тах], [0тах], [wmax], [с,], [с2], [с3],
[с4] равны следующим значениям [9,9283], [1,9124], [0,9249], [0,6435],
[10,8316], [10,8244], [0,9502], [17,0019], при Jonm =0,02.
На рис.4.28 показана обеспечиваемая системой автоматического
управления температура внутри здания 0B(t) в течении суток при
0	= 20° С для рассмотренных вариантов настройки регулятора, а
на рис.4.29 - управляющее воздействие на объект управления.
Хотя оптимальные параметры регулятора для трех вариантов на-
стройки значительно отличаются, температура внутри здания 0В (/) в
течение суток регулируется практически одинаково. Однако процессы
настройки параметров нечеткого регулятора протекают различным
образом.
На рис.4.30 представлена динамика расчета значений критерия
оптимальности за интервал наблюдения и установившееся значение
316
Раздел 4
критерия для каждого из вариантов. Начальные значения параметров
регулятора выбраны следующими:
а)	^тах=[10, 2, 1, 0.3];
б)	[0™, Отяк, 0тах, ™тах,с]= [10, 2, 1, 0.3, 10];
в)	[^тах ’ ^тах ’ ^тах’ Wmax ’ С1 ’ С2 »С3 ’ С4 ] ~ [^,2, 1, 0.3, 10, 10, 10, 10].
Из рисунка 4.30 видно, что предпочтительным для настройки яв-
ляется второй вариант, так как критерий качества достигает устано-
вившегося минимального значения в этом варианте за более короткий
[Промежуток времени. Выбор варианта настройки весьма важен при
проектировании самонастраивающихся нечетких регуляторов в адап-
тивных системах управления с нестационарными объектами управле-
ния, когда в реальном масштабе времени выполняется идентификация
параметров объекта управления и производится настройка (измене-
ние) параметров нечеткого регулятора с целью обеспечения мини-
мального значения выбранного критерия качества.
317
Раздел 4
Как показывают результаты исследования замкнутых систем ав-
томатического управления с нечеткими регуляторами методом мате-
матического моделирования, настройка параметров нечеткого регуля-
тора при ступенчатом входном воздействии на систему с целью полу-
чения близкого к оптимальному переходного процесса (или на мини-
мальное значение показателя качества) часто обеспечивает также хо-
рошее качество работы системы при произвольном входном воздейст-
вии, при условии, когда скорость изменения и ускорение этого воз-
действия ограничены определенными значениями.
Рис.4.30
Вопросы проектирования самонастраивающихся нечетких регуля-
торов в адаптивных системах управления с нестационарными объек-
тами управления требуют особого рассмотрения.
318
Раздел 5
Раздел 5.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
5.1. Синтез нечеткого регулятора системы управления
объектом с нелинейностью типа “люфт” 1108]
Ниже изложен синтез нечеткого регулятора системы управления
объектом с нелинейностью типа “люфт”. Наличие нелинейности типа
“люфт” оказывает большое влияние на точность работы систем авто-
матического управления [205, 206]. Такая нелинейность обычно воз-
никает из-за наличия мертвого хода в двигателях, различных зазоров и
упругой деформации валов и шестерен в редукторах. Нелинейность
типа “люфт” приводит к увеличению амплитудных и фазовых иска-
жений, к снижению запаса устойчивости, ухудшению показателей ка-
чества системы, существенному возрастанию времени переходного
процесса. При определенных значениях люфта в системе с заданным
коэффициентом усиления устанавливаются незатухающие колебания
с постоянной амплитудой, а время регулирования стремится к беско-
нечности [206]. Устранение подобного рода явлений может представ-
лять значительные технические трудности. Для большинства систем
автоматического управления по техническим условиям автоколеба-
тельные режимы являются недопустимыми. Поэтому часто выбирают
такие значения коэффициента усиления системы, при которых авто-
колебания в системе не устанавливаются. Но при этом качество сис-
темы может быть недостаточно высоким. Для устранения влияния не-
линейности типа “люфт” можно ввести цифровой регулятор, функ-
ционирующий на базе нечеткой логики.
Рассмотрим приборную следящую систему, в которой объектом
управления является усилитель и двигатель с редуктором. Линейная
математическая модель усилителя и двигателя описывается переда-
точной функцией <70($) = а[$($ + 6)]-1, где Ь~\!Т, а-ЬК , а ре-
дуктор описывается нелинейностью Н типа “люфт”.
Структурная схема рассматриваемой системы автоматического
управления с цифровым нечетким регулятором представлена на
рис.5.1.
319
Раздел 5
Рис.5 Л
Вид нелинейной характеристики типа “люфт” и ее аналитическая
запись представлены на рис.5.2. На рисунке к - коэффициент наклона,
с- абсцисса нуля функции.
х = к(и-с) при du/dt>0;
х=к(и+с) при du/dt<0;
dx/du=O при
Рис.5.2
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходные параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы в, скорость изменения (первая
производная) ошибки 0, управляющее воздействие на объект т , ми-
нимально, т.е. равно 2.Отобразим диапазоны [0min,#max], [#min >^max ]
и timin’^max] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество Ui = [О, А -1] = [0,1], где А=2 - число,
соответствующее количеству термов каждой лингвистической пере-
320
Раздел 5
менной х, i = \,n, п-3. При этом пересчет фиксированного значе-
ния параметра х* e[xwz,xez] в соответствующий элемент и* е [0,1]
определяется пропорцией
(х« - xHi) /С1 0) = {x*i - xHi) /(«‘ - 0) >
из которой получаем
W/ — (х;- — хн/-) /(хш- — XHj).	(5.1)
Таким образом, на основании выражения (5.1) находим:
и\ =	“ ^min )•	(5-2)
и2 ~ ^min ) ^C^max ” ^min X	(5-3)
w3 “ (w — wmin ) /(wmax “ wmin )•	(5-4)
На множестве U = [0,1] зададим два нечетких подмножества,
функции принадлежностей (ФП) которых треугольной формы (1 и 2)
показаны на рис.5.3.
321
Раздел 5
Для получения аналитических выражений предложенных ФП
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки с коор-
динатами (Wp/zJ и (и2,/72), которое имеет вид:
А<«) = [(^2 " Al)« + A1W2 - А2М1 ] /(«2 - и\) •	(5-5)
Тогда, в соответствие с рис.5.3, получим следующие ФП для каж-
дой лингвистической величины:
//|(w) = l-w, we [0,1]; Р2(и) = и> we [0,1].	(5.6)
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*, и с шагом квантования h осуществляется расчет
величин й|*и по формулам (5.2) - (5.3) и ФП /zy (w), j = 1,2 .
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = а{) и (0* = а£), то (т* =	Ь2,	(5.7)
где а( , а2 - лингвистические оценки ошибки и скорости изменения
(первой производной) ошибки, рассматриваемые как нечеткие множе-
ства, определенные на универсальном множестве, j = 1,2 ; aJ3 ~ лин-
гвистические оценки управляющего воздействия на объект, выбирае-
мые из терм-множества переменной т . Лингвистические оценки вы-
бираются из терм-множества лингвистических переменных 0* , 0* и
w* : а{ е {отрицательный (1), положительный (2)}.
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (7 = 1) или положительные (j = 2 ).
Пусть Pj(Xi) функция принадлежности параметра xf. е [хнРхв|.]
нечеткому терму а/, i - 1,2; j = 1,2 . Тогда /л"' {0.0) - зависящая от
двух переменных (X] = 0\ х2 = 0) функция принадлежности вектора
параметров решению (выбранному управляющему воздействию на
объект) m-,j = 1,2, определяется из системы нечетких логических
уравнений:
322
Раздел 5
jum,(xifx2) =	(х{)л(х2).	(5.8)
Таким образом, (х1?х2) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
рт:(х},х2) - функция принадлежности управляющего воздействия
нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функция
принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с ра-
бочим правилом HP записывается в виде
//"(x1,x2) = //m'(x1,x2) V ^(x^xj (5.9)
В выражениях (5.8) и (5.9) Л - логическое и, V - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (5.8) функ-
ция принадлежности управляющего воздействия щ (1/3) нечеткому
множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
A=min[//|(M*),//](w2)],	(5.10)
а функция принадлежности управляющего воздействия ^2(^3) не-
четкому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
B=minLu2(wi*),A2(M2)]-	(5-Н)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (5.9) определяется как
^(«з) = Я(ыз) v А2(мз)’	(512)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.5.3)
^(и3)=тах[х/1(м3),х/2(мз)].	(5.13)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется “ результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести“ результирующей
фигуры по формуле:
-	------ ,	(5.14)
3X(a*+i-^)(6*+I+6*)
А=1
323
Раздел 5
где N - число вершин, ak, bk - координаты вершин результирующей
фигуры.
Полученное значение на основании формулы (5.4) преобразу-
ется в значение управляющего воздействия на объект управления
™ ~ wmin + (wmax “ wmin )w3 •	(5.15)
Определим реакцию системы (см. рис.5.1) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления: 6 = 10 1/с; а = 1000 1/с2
(коэффициент передачи К = 100 1/с, постоянная времени Т = 0,1 с).
Нелинейность характеризуется коэффициентом наклона к и абсцис-
сой нуля функции с . Примем к = \ и рассмотрим два значения абс-
циссы нуля функции: с = 0,001 и с =0,023. Шаг квантования (интер-
вал поступления данных в нечеткий регулятор) А = 0,01 с.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций [135]. Для апериодического звена:
xv =	+ ^°- (w +w ).
' 2 + Ц> v4 2 + 6V
Для интегрирующего звена: xv = xv_.
An /	X
+ 2°(Wv+«v-|)’
В записанных формулах uv - входная, а
xv - выходная переменные
звена. Шаг моделирования Ад = 0,05А. Ао = 0,0005 с.
Диапазоны изменения входных и выходного параметров нечетко-
го регулятора HP (выбираются при проектировании HP и уточняются
путем математического моделирования с целью получения приемле-
мых показателей качества переходного процесса в замкнутой систе-
ме):
1].[«и.<и]=[-1и пл),"
Моделирование нелинейности Н типа “люфт” проведем в соот-
ветствии с алгоритмом, представленном на рис.5.4.
324
Раздел 5
Результаты моделирования представлены на рис.5.5 (при с-
=0,001) и рис.5.6 (при с= 0,023), где представлены реакции замкнутой
системы: а - без нечеткого регулятора (нескорректированная система);
б - с нечетким регулятором (скорректированная система).
Введение нечеткого регулятора в замкнутую систему автоматиче-
ского управления, содержащую нелинейность типа “люфт”, позволяет
значительно улучшить качество управления: исключить возникнове-
ние автоколебаний в системе и значительно сократить время регули-
рования.
Рис.5.5
Рис.5.4
325
Раздел 5
5.2.	Синтез нечеткого регулятора системы управления объек-
том с нелинейностью типа “зона нечувствительности + насыще-
ние” [140]
Рассмотрим структурную схему системы (см. рис.5.7), в которой
объектом управления является усилитель и двигатель. Математиче-
ская модель усилителя и двигателя описывается последовательным
соединением нелинейности Н типа “зона нечувствительности + на-
сыщение” и линейной частью с передаточной функцией
G0(s) = a[s(s+ />)]', где Ь = \!Т, а = ЬК.
Рис.5.7
326
Раздел 5
Вид нелинейной характеристики типа “зона нечувствительности +
насыщение” и ее аналитическая запись представлены на рис.5.8. На
рисунке к - коэффициент наклона, 5 - уровень насыщения, ct, с2 -
значения абсциссы точек перегиба.
х = 0 при |и|<с1;
;ign(u) при |и| >С2 ;
л =	-с, sign (и)]
при |ы|^с2 ;
*=tgv = S/(c2-Ci)
Используя математический аппарат раздела 5.1, определим реак-
цию системы (см. рис.5.7) на единичное ступенчатое воздействие ме-
тодом математического моделирования при следующих параметрах
объекта управления: b = 10 1/с; а = 1000 1/с2 (коэффициент передачи
К = 100 1/с, постоянная времени Т = 0,1 с). Нелинейность характе-
ризуется следующими параметрами: Л=1; Cj=0,l; с2=0,9; 5=0,8.
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регуля-
тор) h = 0,01 с. Шаг моделирования Ло = 0,0005 с.
Диапазоны изменения входных и выходного параметров нечетко-
го регулятора HP (выбираются при проектировании HP и уточняются
путем математического моделирования с целью получения приемле-
мых показателей качества переходного процесса в замкнутой систе-
ме):[^п,^пих] = [-1, ПЛ^пЛах]4-20,44, 20,44],и
['»min,mmax] = [-10, 10].
Моделирование нелинейности Н типа “зона нечувствительности
+ насыщение” проведем в соответствии с алгоритмом, представлен-
ном на рис.5.9.
327
Раздел 5
На рис.5.10 представлена реакция замкнутой системы: а - без не-
четкого регулятора (нескорректированная система); б - с нечетким
регулятором (скорректированная система).
Применение нечеткого регулятора дает возможность на только
значительно улучить переходный процесс системы, но и уменьшает
ошибку в установившемся режиме.
б)
Рис.5.10
328
Раздел 5
В разделах 5.1 и 5.2 описаны математические модели систем ав-
томатического управления с нечетким регулятором, в которых объек-
том управления является усилитель и электродвигатель с нагрузкой.
Ниже описана действующая система управления двигателем постоян-
ного тока от ЭВМ с цифровым интегратором, обеспечивающим аста-
тизм первого порядка [110]. В ЭВМ может быть заложена программа
работы как цифрового линейного регулятора ЛР, так и цифрового не-
четкого регулятора HP. Такая система может служить испытательным
стендом (см. рис.5.11,а) для натурного моделирования систем с реаль-
ными объектами, поскольку использует натурные агрегаты автомати-
ки, включая промышленный компьютер, преобразователи первичной
информации, устройства сопряжения с объектом управления.
а)
ЭВМ
Рис.5.11
Функциональная схема системы управления двигателем постоян-
ного тока от ЭВМ приведена на рис.5.11,6 . ЭВМ типа IBM PC АТ вы-
полняет следующие операции: 1.вычисление текущих значений часто-
ты вращения двигателя x(i); 2. сравнение заданного значения часто-
ты вращения двигателя u(i) с реальным x(z) и вычисление ошибки
329
Раздел 5
0(z), поступающей на цифровой регулятор с шагом квантования h ; 3.
программную реализацию алгоритма работы цифрового линейного
или нечеткого регулятора и расчет управляющих воздействий m(i); 4.
фиксацию на шаг квантования h и рекуррентное интегрирование воз-
действий m(i) с шагом интегрирования Ло. Управляющее воздейст-
вие от ЭВМ т(у) с шагом интегрирования Ло поступает на ЦАП.
Выход = цифрового регулятора - 16-ти разрядный код
(старший разряд определяет знак, остальные разряды - величину сиг-
нала), обновляющийся с шагом квантования h = 0,1 с и поступающий
на цифровой интегратор ЦИ с шагом интегрировния йо=О,О1Л.
Цифровой интегратор работает по рекуррентному алгоритму, состав-
ленному по методу трапеций:
Ло /	\
'Wv = Wv-1+ 2 + ’
Применение цифрового интегратора позволяет обеспечить систе-
ме астатизм первого порядка и устранить ошибку в установившемся
режиме (при постоянной скорости вращения двигателя).
Сигнал на выходе цифрового интегратора т(у) = mv представля-
ет собой 16-ти разрядный дополняющий двоичный код (старший раз-
ряд определяет знак, остальные разряды - величину сигнала), обнов-
ляющийся с шагом интегрирования hQ = 0,01А . Этот сигнал поступа-
ет на цифро-аналоговый преобразователь ЦАП (фиксатор) с переда-
точной функцией HQ(s) = (1 -e^y/s, который преобразует коды
m(v) = mv, считываемые с системной магистрали ISA ЭВМ в соот-
ветствующее напряжение постоянного тока в диапазоне ±10В (зна-
чению кода 1600 соответствует амплитуда выхода ЦАП 10 В). Цифро-
аналоговый преобразователь ЦАП (в составе модуля SDI-ADC16\32H)
выполняет функции устройства сопряжения ЭВМ с объектом управ-
ления.
Объект управления состоит из преобразователя напряжения для
линейного усиления выходного сигнала ЦАП (это - управляемый ста-
билизатор постоянного напряжения - пропорциональное звено с ко-
эффициентом усиления Кпн = 2,64) и двигателя постоянного тока
ДПТ типа Д-25-1 с передаточной функцией в режиме максимальной
330
Раздел 5
частоты вращения K^(s) = ^/(7^5 + 1), где 7^= 55,6 Гц/В,
Тд.= 3,14 с.
Таким образом, передаточная функция объекта управления
G(s) = K^K^s) =	/(T^s +1) . Выходная величина объекта
управления х(/) - частота вращения f ротора ДПТ - изменяется в
пределах от 0 до 100 Гц или от 0 до 6000 об/мин (п об/мин равно 60 f
Гц) при изменении питающего напряжения от 0 до 26,4 В.
Частота вращения ротора ДПТ измеряется механически связан-
ным с ротором двигателя датчиком частоты вращения ДЧВ-2500, ко-
торый преобразует частоту вращения ротора ДПТ в синусоидальное
напряжение (за один оборот ротора ДПТ датчик генерирует 16 перио-
дов синусоиды, амплитудой не менее 2 В, т.е. частоте вращения 100
Гц соответствует синусоида с частотой 1,6 кГц). Далее модуль гальва-
нической развязки МГР типа SDI-AUI преобразует каждый положи-
тельный полупериод синусоидального сигнала датчика в короткий
(10 мкс) прямоугольный импульс положительной полярности ТТЛ-
уровня. Импульсы от МГР поступают на программируемый таймер
ПТ типа КР580ВИ54 в составе модуля SDI-ADC16\32H. Этот таймер
является устройством сопряжения объекта управления с ЭВМ в цепи
обратной связи и с его помощью осуществляется преобразование чис-
ла импульсов в код и передача этого кода на системную шину ISA
ЭВМ.
Преобразование импульсной последовательности от МГР в код,
соответствующий значению частоты вращения ротора ДПТ, происхо-
дит следующим образом. Программируемый таймер ПТ модуля SDI-
ADC запускается одновременно с системным таймером СТ и фикси-
руется число импульсов Ns внутреннего генератора ЭВМ от СТ и
число имульсов Nx от ПТ за интервал измерения = 0,2Л. При
этом кодированное текущее значение частоты вращения ротора ДПТ
(см.рис.5.11,6) определяется в вычислителе частоты вращения ВЧВ по
формуле
х(0 = 1,19х10%/#,,
где 1,19x106 (Гц)-частота внутреннего кварцевого генератора ЭВМ.
331
Раздел 5
В блоке вычисления ошибки рассогласования БВО вычисляется
отклонение текущего значения частоты вращения ДПТ x(z) от задан-
ного значения u(z) .Заданное значение частоты вращения u(z) вво-
дится в систему управления с клавиатуры ЭВМ путем нажатия на кла-
виши Т и Ф , что соответствует увеличению или уменьшению часто-
ты вращения на 5 Гц (например, для установки частоты вращения от О
до 50 Гц надо нажать клавишу Т десять раз, а снизить частоту враще-
ния на 10 Гц - нажать клавишу Ф два раза). Информация о текущем
значении ошибки рассогласования считывается на вход цифрового
регулятора в блоке считывания ошибки БСО с дискретностью
h = 0,1 с.
Эквивалентную структурную схему системы, удобную для расче-
та цифровых нечетких регуляторов, можно представить в виде, изо-
браженном на рис.5.1 или 5.7. Нелинейности типа “люфт”, “зона не-
чувствительности + насыщение” и другие достаточно просто можно
реализовать, например, методом аналогового моделирования на опе-
рационных усилителях.
5.3.	Синтез нечетких регуляторов систем управления с нели-
нейностью типа “дискриминационная характеристика”
5.3.1.	Синтез регулятора радиотехнической системы [65, 221]
Ниже изложен синтез регулятора радиотехнической системы ав-
томатического управления на базе нечеткой логики. Представлены
результаты математического моделирования системы с нечетким ре-
гулятором при наличии помеховых воздействий и нелинейности типа
“дискриминационная характеристика”. Определены переходные про-
цессы в системе при ручной настройке регулятора и при параметрах
нечеткого регулятора, полученных в результате решения оптимизаци-
онной задачи.
Главной отличительной особенностью радиотехнических систем
является то, что физическая природа управляемой величины (частота
и фаза колебаний генератора, угол поворота антенны и т. д.) отлична
от физической природы сигнала, из которого извлекается информация
о значении управляемой величины [160]. Эта особенность приводит к
332
Раздел 5
тому, что радиотехнические системы имеют специфическое устройст-
во сравнения (измерительный элемент) - дискриминатор, преобра-
зующий входной сигнал в сигнал (напряжение) рассогласования. Ха-
рактеристика дискриминатора нелинейна, но имеет линейный участок
в начале координат. Кроме того, на радиотехнические системы, как
правило, воздействуют различного рода помехи не только во входном
сигнале, но и внутри замкнутого контура системы. Следует также ука-
зать, что переходные процессы в радиотехнических системах обычно
быстротечны в отличие, например, от систем автоматического управ-
ления производственными процессами.
Автоматизация радиотехнических устройств непрерывно расши-
ряется и одновременно возрастают требования к точности и быстро-
действию радиотехнических систем. Возникает необходимость разра-
ботки новых методов анализа и синтеза таких систем. В последние
годы стали интенсивно разрабатываться регуляторы и системы авто-
матического управления на базе нечеткой логики. Хотя регуляторы на
нечеткой логике (нечеткие регуляторы) представляют значительный
интерес в первую очередь для объектов управления, которые трудно
поддаются формализованному описанию, но даже применительно к
управлению объектами, для которых имеются математические моде-
ли, такие регуляторы во многих случаях обеспечивают более высокую
точность и быстродействие систем управления, более качественную
работу систем в условиях помеховых воздействий. Применение циф-
ровых нечетких регуляторов для синтеза, расчета и проектирования
радиотехнических систем представляет собой актуальную задачу.
Рассмотрим структурную схему радиотехнической системы авто-
матического управления, основными элементами которой являются
дискриминатор, усилитель и двигатель с редуктором. При использо-
вании цифрового нечеткого регулятора HP, обеспечивающего требуе-
мую динамику системы, применяют аналого-цифровой (АЦП) и циф-
ро-аналоговый (ЦАП) преобразователи. ЦАП обычно является фикса-
тором нулевого порядка. Структурную схему радиотехнической сис-
темы с нечетким регулятором HP можно представить в виде рис.5.12.
Дискриминатор служит для выработки сигнала рассогласования,
так как информация о задающем воздействии u(t) в радиотехниче-
ской системе обычно закодирована в каком либо параметре радиосиг-
нала.
333
Раздел 5
Рис.5.12
Выходное напряжение дискриминатора обычно можно предста-
вить в виде суммы математического ожидания и флюктуационной со-
ставляющей, которые зависят от ошибки рассогласования, спектраль-
ной плотности входного шума и в ряде случаев от амплитуды радио-
сигнала. При этом математическую модель дискриминатора можно
представить последовательным соединением устройства сравнения,
нелинейности К(е) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной
функцией Сгф($) = (Гф5 4-1)"1, где Тф - постоянная времени фильтра
на выходе дискриминатора. Кривую К(е) принято называть статиче-
ской дискриминационной характеристикой. Флюктуационная состав-
ляющая на выходе дискриминатора описывается спектральной плот-
ностью Sn и зависимость Sn(e) называют флюктуационной харак-
теристикой дискриминатора. При моделировании флюктуационную
составляющую можно учитывать как напряжение К(/)- случайное
возмущение, приложенное к выходу дискриминатора. Таким образом,
общее выходное напряжение дискриминатора y(t), поступающее на
АЦП, состоит из суммы выходного напряжения фильтра ФНЧ и на-
пряжения К(/). Математическую модель нелинейности К(ё) опишем
выражением
е2
К(е) = Кдехр{- д2},
где Кд - коэффициент преобразования дискриминатора, а А - полуши-
рина дискриминационной характеристики, определяющая разрешаю-
334
Раздел 5
щую способность дискриминатора. Графически нелинейность К(е)
представлена на рис.5.13. Следует подчеркнуть, что на выходе блока
нелинейности на структурной схеме ошибка рассогласования опреде-
ляется как /С[е(7)].
Усилитель и двигатель с редуктором представим как линейную
часть системы с передаточной функцией G0(s) = ^[5(5 4-6)]"1, где
Ь = 1/Т, ах=ЬК.
Для подавления случайной составляющей (шума) на входе циф-
рового нечеткого регулятора после АЦП необходимо включать циф-
ровой низкочастотный фильтр ФНР, являющийся дискретным анало-
гом непрерывного фильтра с передаточной функцией
6фнр($) - (T<pHps +1) 1 • Дискретная передаточная функция такого
фильтра может быть определена из таблицы z-преобразований:
G(z) = 60[l + alz-’]-1 ,
где bQ = 14- ах, ах = -ехр(-И/ТФНР), h - шаг кватования.
Моделирование фильтра ФНР можно выполнить 1. по разностно-
му уравнению: 0(k) = boy(k)-ax0(k -1); 2. по рекуррентной форму-
ле для расчета непрерывного фильтра:
= о - 0 + о М*) - X* -1)] •
2 +ап	2 +ап
335
Раздел 5
Отфильтрованная ошибка в(к) подается на вход нечеткого регу-
лятора HP.
В качестве первой и второй производных от ошибки используем
соответственно первую и вторую разность, а именно:
0(к) = [0{к)-0(к -1)]/Л;
6(к) = [0(£) - в(к -1)]/ h = [£(£) - 20(к -1) + 0(к - 2)]/h2.
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходной параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы в, скорость изменения (первая
производная) ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки 0,
управляющее воздействие на объект т, минимально, т.е. равно 2.
ОтобраЗИМ ДИапаЗОНЫ timin’^тах] ’ [^min ’ ^max ] ’ t^min»^max ] и
изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество Ut = [0,£z-1] = [0,1], где £z=2 - число,
соответствующее количеству термов каждой лингвистической пере-
менной , / = 1, и, п = 4. При этом пересчет фиксированного значе-
ния параметра х* е [хш-, хв/] в соответствующий элемент и* е [0,1]
при симметричных диапазонах изменения входных и выходного па-
раметров определяется формулами (3.41):
	(5.16)
«2’ = 40‘-0min)/(2^in);	(5.17)
«3* = -{в*-6>min)/(26>min);	(5.18)
™ =wmin(l-2w’).	(5.19)
На универсальном множестве U =[0,1] зададим два нечетких
подмножества, функции принадлежности (ФП) которых экспоненци-
альной формы (1 и 2) показаны на рис.5.14.
Аналитические выражения предложенных ФП имеют вид:
Я(и) = е-см; х/2(«) = е-с(,“и), и е [0,1],	(5.20)
336
Раздел 5
Рис.5.14
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантования h осуществляется
расчет величин м/, и^* и 1/3* по формулам (5.16) - (5.18) и ФП
7 = 1,2.
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* =	) и (0* = aJ2) и (0* = а?* ), то, j = 1,2,	(5.21)
где а/, а2 и а3 - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве,/ = 1,2; aJc - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных #*, 0* , 0* и /и*:
а/ е {отрицательный (1), положительный (2)}.
337
Раздел 5
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (j - 1) или положительные (j - 2).
Пусть	функция принадлежности параметра х;б[хм/,хв/]
нечеткому терму aJt , i - 1,3; j = 1,2 . Тогда (0, 0,0) - зависящая
от трех переменных (Xj = 0; х2 = 0; х3 = 0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) ,у = 1,2, определяется из системы нечетких
логических уравнений:
цт‘ (%!, х2,х3) =	(X)) л	(х,) л /у' (х3).	(5.22)
Таким образом, //Wl(Xj,хэ,х3) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
/2т;(хрх2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функ-
ция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с
рабочим правилом HP записывается в виде
//"(х1,х2,х3) = ху'"|(Х|,х2,х3) v /у"г(х,,х2,х3)	(5.23)
В выражениях (5.22) и (5.23) л - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (5.22)
функция принадлежности управляющего воздействия	нечет-
кому множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
А= min[/z, («f ), щ (и 2), А1 (и*3 )],	(5.24)
а функция принадлежности управляющего воздействия р2с(и) не"
четкому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= min[/22 (и*), /ь (и 2), А2 («3)] •	(5.25)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (5.23) определяется как
Ис О') = А1с О') v А2с 00 >	(5.26)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.5.13)
Ас 00 =тах[ цХс (м), //2с. (и) ].	(5.27)
338
Раздел 5
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия /и* формируется “результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП. Расчет абсциссы центра тяжести sc = S(uc9pc)
участка площади, охватываемой результирующей ФП /^(w) в преде-
лах изменения переменной и от и = Ul до и - U2, выполняем, ис-
пользуя численное интегрирование по методу трапеций (с шагом дис-
кретизации uQ), по формуле
и.^0	и^м
-'-п + Уи,и,+
2	2
2 tT 2
(5.28)
где (t/2 -Ц)/ М = и0 - шаг дискретизации, М - число дискрет на
интервале U2-U}, /=1,2,3,..., М-1.
При определении результирующей ФП необходимо определять
абсциссы точек пересечения ФП нечетких подмножеств (термов от-
рицательный положительный ~2) с горизонтальными прямыми.
Для ФП экспоненциального вида абсциссы точек пересечения
функций находятся из уравнений: А = ехр(-си ); В = ехр(-см );
А = ехр[-с(1 - и )]; В = ехр[-с(1 - и )] и определяются как
w* = --1п(Л или В) и w* = 1 +-ln(J или В).	(5.29)
с	с
Полученное значение л* на основании формулы (5.19) преобра-
зуется в значение управляющего воздействия на объект управления.
Управляющие воздействия /л* в виде кода т(к) с шагом кванто-
вания h поступают сначала на ЦАП - фиксатор нулевого порядка с
передаточной функцией //($) = (1 -e~^5)/s, а затем в виде непре-
рывного управляющего воздействия m(t) на объект управления.
Определим реакцию системы (см. рис.5.12) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления: b = 10 1/с; а} = 1000 1/с2
339
Раздел 5
(коэффициент передачи К = 100 1/с, постоянная времени Т = 0,1 с).
Нелинейность характеризуется следующими параметрами: К^=Ь9
Д=1. Фильтр низких частот на выходе дискриминатора имеет
Тф =0,01с. Фильтр низких частот на входе нечеткого регулятора име-
ет 7ф#р=1с. Шаг квантования (интервал поступления данных в не-
четкий регулятор) А = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегриро-
вания результирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций:
для апериодического звена
_2-М0 а1Л0 ( ч.
XV — о ,,	*V-1 "* I , (MV +“v-l).
2 + AAg 2 + AAg
для интегрирующего звена
xv ~ *v-l "* 2 (Uv +MV-1)-
В записанных формулах uv- входная, a xv- выходная перемен-
ные звена. Шаг моделирования Ад = 0,05А. Ад = 0,0005 с.
Стационарное случайное возмущение V(/), приложенное к выхо-
ду дискриминатора, опишем корреляционной функцией
R(r) = De alr'cosQr,	(530)
где D - дисперсия, а - коэффициент нерегулярности, Q - преобла-
дающая частота. Зададим численные значения: D =0,0625; а =24;
Q=40 1/с.
Моделирующий алгоритм для экспоненциально-колебательного
случайного процесса с корреляционной
R(r) = De а'г cosQr записывается в виде:
V, =	Mv-2 >
где а0 = JDЛ = ^D(am ± 7«oi -4а02)/2; а, = Л
«о = р(р2 -l)cos(QAb); а01 = 1 - р4;
b{ = 2pcos(QA0); b2 = р2; р - ехр(-аА^).
функцией
(531)
/5а0/Л;
340
Раздел 5
Реализации случайного процесса К(/) получаются путем преоб-
разования последовательности £(/) независимых нормально распре-
деленных случайных чисел с параметрами (0,1) (дискретный белый
шум) в последовательность vv = v(vA0), коррелированную по закону
Rv = R(vhQ) = М{vkvk+v} . Такая реализация случайного процесса
K(Z) представлена на рис.5.15. Время наблюдения 5с.
Синтез нечеткого регулятора выполняется по формулам (5.16)-
(5.29). Коэффициент с при настройке выбран равным 2, а выбранные
без оптимизации (настройка “вручную”) диапазоны изменения вход-
ных и выходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изме-
нения переменных 0,0,0, т) определяются:
foXH-IW. 100) и [«„„,^>[-0,3, 0,3].
Программа RTS реализует алгоритм моделирования системы ав-
томатического управления, содержащей нелинейный элемент типа
"дискриминационная характеристика". Предполагается, что с выхода
дискриминатора поступает смесь полезного сигнала и шума (экспо-
ненциально-колебательный случайный процесс). Формирование
управляющего воздействия осуществляется нечетким регулятором
HP. В качестве входных параметров HP выбраны отфильтрованное
значение выхода дискриминатора, а также его первая и вторая раз-
ность. Число термов, описывающих входные и выходную переменные
HP, выбрано равным двум. Функции принадлежности выбраны экспо-
ненциальными. Объект управления содержит интегрирующее и апе-
риодическое звенья с постоянными параметрами.
341
Раздел 5
В программе используются следующие процедуры.
Процедура VvodParametrProg - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Zero - обнуление переменных состояния объекта
управления и некоторых других переменных.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр процедуры - массив х - содер-
жит значения входных параметров нечеткого регулятора, выходной
параметр -переменная vix - содержит значение управляющего воздей-
ствия нечеткого регулятора).
Процедура Par - расчет необходимых параметров для моделиро-
вания экспоненциально-колебательного случайного процесса.
Процедура Ехр_Ко1 - формирование значения случайной величи-
ны из последовательности чисел, распределенных по экспоненциаль-
но-колебательному закону (входной параметр - переменная vx - со-
держит значение случайной величины из последовательности чисел,
распределенных по нормальному закону, выходной параметр - пере-
менная vix).
Процедура Par zif filtr - расчет значений параметров цифрового
фильтра.
Процедура Zif filtr - моделирование цифрового фильтра нечетко-
го регулятора (входной параметр процедуры vx - зашумленное значе-
ние выхода дискриминатора в моменты квантования, выходной пара-
метр vix- отфильтрованное значение).
Для моделирования объекта управления программа использует стан-
дартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl [135].
Функция Gauss - возвращает значение случайной величины из по-
следовательности чисел, распределенных по нормальному закону
(входные параметры функции - переменные то и sigma - содержат,
соответственно , значения математического ожидания и СКО).
В программе используются следующие константы: пп - количест-
во моделируемых динамических звеньев, N vx - количество входных
параметров нечеткого регулятора, h - шаг моделирования, tt - время
наблюдения, h_f - шаг квантования, T filtr NR - значение постоянной
времени цифрового фильтра, у max, y min - верхний и нижний пре-
делы диапазона изменения управляющего воздействия, big_M - число
шагов интегрирования результирующей фигуры, par e - параметр
функций принадлежности.
342
Раздел 5
В программе используются следующие переменные и массивы: nl
- служебный массив для обеспечения работы подпрограммы mdl, х 1,
у2, yl, al, b, х2, a, d, с - массивы, содержащие значения переменных
состояния динамических звеньев объекта управления, Vx - массив,
элементы которого содержат значения входных параметров нечеткого
регулятора, pred - массив, элементы которого содержат пределы диа-
пазонов изменения значений входных параметров нечеткого регуля-
тора, t - значение момента времени, Vx wos - значение входного воз-
действия системы, Ras - значение ошибки в системе, а_0, a l, b l,
b_2, vixl, vix_2, vx_l - переменные, используемые при моделирова-
нии экспоненциально-колебательного случайного процесса, par al,
par bO, vix f l - переменные, используемые при моделировании циф-
рового фильтра, shum - значение случайной величины из последова-
тельности чисел, распределенных по нормальному закону, exp shum -
значение случайной величины из последовательности чисел, распре-
деленных по экспоненциально-колебательному закону, delta , K diskr
- переменные, содержащие параметры нелинейности: половина ши-
рины дискриминационной характеристики и коэффициент передачи
дискриминатора, Vix nel - выходное значение нелинейного элемента
дискриминатора, Vix fil - выходное значение ФНЧ дискриминатора,
Vxl - выходное значение дискриминатора, содержащее шумовую со-
ставляющую, Vx_NR - отфильтрованное значение выхода дискрими-
натора, dt, d2t - значения первой и второй разностей параметра
Vx NR, M fuz - значение управляющего воздействия нечеткого регу-
лятора, Vixl, Vix2 - значения выходов звеньев объекта управления,
N_n, N_m, k, si, us, sde - служебные переменные.
{Программа моделирования САУ с нелинейным элементом типа
"дискриминационная характеристика". Случайный процесс - экспо-
ненциально-колебательный. Экспоненциальные ФП.}
Program RTS;
Uses Crt;
Const
nn = 3;
N_vx = 3;
h = 0.0005;
tt = 5;
h_f=0.01;
T_filtr_NR= 1;
y_max = 0.3;
343
Раздел 5
ymin = -0.3;
big_M = 500;
pare = 2;
Type
Nvektorl = array [L.nn] of Real;
Nvektor2 = array [ 1 ..N_vx] of real;
Var
n 1	: array[ 1.. 10] of integer;
xl,y2,yl,al,b,x2,a,d,c : Nvektorl;
Vx	: Nvektor2;
pred	: array [1..2,1..N_vx] of real;
N_n,N_m	: integer;
t, Vxl, Vx_NR, Vx wos,
Ras, Vixl, Vix2, shum,
expshum, delta, K diskr,
Vix nel, Vix fil,
a_0,a_l,b_l,b_2,
vix_l,vix_2,vx_l,
dt, d2t, M fUz,
k, si, us, sde,
parbO, par al, vixfl : real;
{$1 zven.pas}
Procedure VvodParametrProgr;
Begin {Vvod Parametr Progr}
pred[2][l] :=1;
pred[l][l] :=-l;
pred[2][2] :=I;
pred[l][2] :=-i;
pred[2][3] :=49;
pred[l][3] :=-49;
mdl(0,sl,sl);
End; {Vvod Parametr Progr}
Procedure Par;
Var
alfa,omega,big_D,
ro,aifa_l,alfa_0 : real;
Begin {Par}
alfa:=24; omega:=40; big_D:=0.0625;
ro:=exp(-alfa*h);
bl :=2*ro*cos(omega*h);
344
Раздел 5
b_2:=-sqr(ro);
alfa_0:=ro*(sqr(ro)-1 )*cos(omega*h);
alfal :=l-sqr(sqr(ro));
a_0:=sqrt(big_D*(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0)))/2);
al :=alfa_0*sqrt(big_D*2/(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0))));
End; {Par}
Procedure Exp Kol(vx : real; var vix : real);
Begin {Exp Kol}
vix:= a_0 * vx + a_l * vx 1 + b l * vixl + b_2 * vix_2;
vix_2:=vix_l; vix_l:=vix; vx_l:=vx;
End; {ExpKol}
Procedure Zero;
var i: integer;
Begin {Zero}
for i:=l to nn do begin
xl[i]~ 0;y2[i]:=0;yl[i]:=0;
al[i]:=0;b[i]:=0;x2[i]:=0;a[i]:=0;d[i]:=0;c[i]:=0;
end;
vix l :=0; vix_2:=0; vx_l :=0;vix_f_l :=0;
End; {Zero}
Function Gauss(mo, sigma : real): real;
Var
aa, bb, rr, sq : real;
Begin {Gauss}
repeat
aa:=2*Random-l;
bb:=2*Random-l;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb)
until (rr<l);
sq:=sqrt(-2 * ln(rr )/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq
End; {Gauss}
Procedure Par Zif filtr;
Begin {Par Zif filtr}
paral :=-exp(-h_f/T_filtr_NR);
par_bO:=l+par_al;
End; {Par Zif filtr}
Procedure Zif_filtr(vx:real; var vix : real);
Begin {Zif filtr}
vix:= par bO * vx - par al ♦ vixfl;
345
Раздел 5
vix_f_l:=vix;
End; {Ziffiltr}
Procedure Res(x : Nvektor2 ; var vix : real);
Var
i, j	:	integer;
mju	: array [1..2,l..N_vx] of real;
u	:	Nvektor2;
b	:	array [1..2]	of real;
X res : array [1..4] of real;
ut,uO,uc,mj u_t,
suml,sum2 : real;
Begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
u[i]:= (x[i]-pred[ 1 ][i])/(pred[2][i]-pred[ 1 ] [i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mju[2][i]:=exp(-par_c*(l-u[i]));
end;
for i:= 1 to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l toN vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[l]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c;
X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end else begin
X_res[2]:= ln(b[l]/exp(-par_c))/par_c;
X_res[3]:= ln(b[2]/exp(-par_c))/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/big_M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t ♦ mju t;
sum2 := mju_t;
if b[l ]>=b[2] then begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
346
Раздел 5
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml :=suml +u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mjut;
end;
end else begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml :=suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end;
u_c := (X_res[l]*b[l]/2 + suml + X_res[4]*b[2]/2) I
(b[l]/2 + sum2+ b[2]/2);
vix := y min + u_c*(y_max-ymin);
End; {Res}
{Исполнительная часть}
Begin {RTS}
Zero;
VvodParametrProgr;
Par;
t:=0; k:=0; Vix2:=0; dt:=O; us:=0; sde:=0;
M_fuz:=0;
delta:=l; K_diskr:=l; Vx_wos:=l;
N_m:=round(h_f/h)+l; N_n:=N_m;
repeat
{ элемент сравнения }
Ras := Vx wos - Vix2;
{дискриминационная характеристика }
Vix_nel:= Ras * K diskr * exp(-sqr(Ras)/sqr(delta));
{ ФНЧ }
mdl( 1 ,Vix_nel,Vix_fil);
{ шум }
shum:=Gauss(O,l);
Exp_Kol(shum,exp_shum);
347
Раздел 5
Vx 1 :=Vix_fil+exp_shum;
{нечеткий регулятор}
if N_n=N_m then begin
{фильтр нечеткого регулятора}
Zif_filtr(Vxl,Vx_NR);
dt:= (Vx_NR-sde)/h f;
d2t:=(dt-us)/h_f;
if t=0 then begin dt:=O; d2t:=0; end;
if k = 1 then d2t:=0;
Vx[l]:=Vx_NR; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde:=Vx NR; us:=dt;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
{ объект управления }
mdl(2,M_fuz,Vixl);
mdl(3,Vixl,Vix2);
t:=t+h; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
End. {RTS}
При оптимизации используем интегральный квадратичный крите-
рий качества
J = -^ev2 => min,	(5.32)
где ошибка системы ev на выходе элемента сравнения вычисляется с
шагом моделирования Ло, а число L определяет интервал наблюде-
ния, равный LhQ. Оптимальные параметры соответствуют минималь-
ному значению критерия качества, а минимизация критерия качества
автоматически приводит к оптимизации переходных процессов в сис-
теме управления.
Используя метод оптимизации Хука-Дживса и оптимизируя одно-
временно коэффициент с в функциях принадлежности и диапазоны
изменения входных и выходного параметров (диапазоны изменения
переменных 6,6,д,т), находим минимальное значение показателя
J. Проведенные расчеты методом оптимизации Хука-Дживса с ис-
348
Раздел 5
пользованием формул (5.16)-(5.32) дают следующие результаты. Ми-
нимальное значение показателя J получается при следующих пара-
метрах цифрового нечеткого регулятора: с =7,32;
1,44],
^min^max] = [-«2,29 82,29] и [rnmin,/wmJ = [-0,3 0,3].
Квадратичный критерий качества имеет показатель: J - 0,0462.
Без оптимизации (при настройке “вручную”) J = 0,0856.
Рис.5.16
349
Раздел 5
Результаты моделирования системы при настройке параметров
регулятора “вручную” представлены на рис.5.16, после оптимизации
параметров цифрового нечеткого регулятора - на рис.5.17. На рисун-
ках: а - входное воздействие u(t) и реакция системы x(t); б - управ-
ляющее воздействие на входе объекта управления m(t); в - ошибка
системы на выходе фильтра нижних частот, включенного на
входе нечеткого регулятора.
Рис.5.17
350
Раздел 5
Цифровой нечеткий регулятор обеспечивает достаточно быструю
отработку скачкообразных входных сигналов и устойчивую работу
системы даже при больших помеховых воздействиях (без регулятора
система неустойчива). При этом, как и следовало ожидать, при увели-
чении быстродействия текущая ошибка в установившемся режиме от
помехового воздействия возрастает, и наоборот, при уменьшении бы-
стродействия системы текущую ошибку в установившемся режиме
можно сделать весьма малой.
Поскольку рассмотренная структурная схема радиотехнической
системы (см. рис.5.12) является достаточно общей, то можно заклю-
чить, что применение цифровых нечетких регуляторов для радиотех-
нических систем целесообразно и перспективно.
Программа Opt HD реализует алгоритм безусловной оптимизации
методом Хука-Дживса параметров нечеткого регулятора системы ав-
томатического управления, содержащей нелинейный элемент типа
"дискриминационная характеристика". Предполагается, что с выхода
дискриминатора поступает смесь сигнала рассогласования и шума
(экспоненциально-колебательный случайный процесс). Формирование
управляющего воздействия осуществляется нечетким регулятором . В
качестве входных параметров HP выбраны отфильтрованное значение
ошибки с выхода дискриминатора , а также ее первая и вторая раз-
ность. Число термов, описывающих входные и выходное значения HP,
выбрано равным двум. Функции принадлежности выбраны экспонен-
циальными. Обьект управления содержит интегрирующее и аперио-
дическое звенья с постоянными параметрами. На вход системы пода-
ется единичное ступенчатое воздействие. В качестве параметров оп-
тимизации выбраны пределы изменения первой и второй разностей
отфильтрованного значения ошибки с выхода дискриминатора, а так-
же параметр экспоненциальных функций принадлежности.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod Parametr Prog - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Prisv Natch - обнуление переменных состояния дина-
мических звеньев и некоторых других переменных.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр - массив х - содержит значе-
ния входных параметров нечеткого регулятора; выходной параметр -
351
Раздел 5
переменная vix - содержит значение управляющего воздействия не-
четкого регулятора).
Процедура Par - расчет необходимых параметров для моделиро-
вания экспоненциально-колебательного случайного процесса.
Процедура Ехр Ко! - формирование значения случайной величи-
ны из последовательности чисел, распределенных по экспоненциаль-
но-колебательному закону (входной параметр - переменная vx - со-
держит значение случайной величины из последовательности чисел,
распределенных по нормальному закону; выходной параметр - пере-
менная vix).
Процедура Par zif filtr - расчет значений параметров цифрового
фильтра.
Процедура Zif filtr - моделирование цифрового фильтра нечетко-
го регулятора (входной параметр процедуры vx - зашумленное значе-
ние выхода дискриминатора в моменты квантования, выходной пара-
метр vix - отфильтрованное значение).
Для моделирования обьекта управления программа использует
стандартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl
[18].
Функция Gauss - возвращает значение случайной величины из по-
следовательности чисел, распределенных по нормальному закону
(входные параметры функции - переменные то и sigma - содержат,
соответственно , значения математического ожидания и СКО).
Процедура Criterij - расчет значения критерия оптимизации.
В процедуре использованы следующие переменные и массивы: t -
значение момента времени; Vx wos - значение входного воздействия
системы; Ras - значение ошибки в системе; shum - значение случай-
ной величины из последовательности чисел, распределенных по нор-
мальному закону; exp shum - значение случайной величины из после-
довательности чисел, распределенных по экспоненциально-
колебательному закону; delta, K diskr - переменные, содержащие па-
раметры нелинейности: половины ширины дискриминационной ха-
рактеристики и коэффициента передачи дискриминатора; Vix nel -
выходное значение нелинейного элемента дискриминатора; Vix fil -
выходное значение ФНЧ дискриминатора; Vxl - выходное значение
дискримиранора, содержащее шумовую составляющую; Vx_NR - от-
фильтрованное значение выхода дискриминатора; dt, d2t - значения
первой и второй разностей параметра Vx_NR; M fuz - значение
352
Раздел 5
управляющего воздействия нечеткого регулятора; Vixl,Vix2 - значе-
ния выходов звеньев объекта управления; N_n, N_m, k, us, sde - слу-
жебные переменные.
В программе заданы константы: N_parametr - количество оптими-
зируемых параметров; N_vx - количество входных параметров нечет-
кого регулятора; y_max, у min - значения границ диапазона измене-
ния управляющего воздействия в системе; tt - время наблюдения; h -
шаг моделирования; пп - количество моделируемых динамических
звеньев; h_f - шаг квантования; T filtrNR - значение постоянной вре-
мени цифрового фильтра; big_M - число шагов интегрирования ре-
зультирующей фигуры.
В программе используются следующие переменные и массивы:
par e - переменная, содержащая значение параметра экспоненциаль-
ных функций принадлежности; hn - шаг изменения значений парамет-
ров оптимизации; JJ - значение критерия оптимизации; а_0, а_1, Ь_1,
b_2, vix l, vix_2, vx_l - переменные, используемые при моделирова-
нии экспоненциально-колебательного случайного процесса; par al,
par bO, vix f l - переменные, используемые при моделировании циф-
рового фильтра; fi, fb, г, i, ps, j, s_v - служебные переменные; nl - слу-
жебный массив для обеспечения работы подпрограммы mdl; xl, у2,
у 1, al, b, х2, a, d, с - массивы, содержащие значения переменных со-
стояния динамических звеньев обьекта управления; opt_par - массив,
содержащий теукущие значения оптимизируемых параметров; pred -
массив, содержащий значения пределов диапазонов изменения вход-
ных параметров нечеткого регулятора; y_slug, z slug, p_slug - слу-
жебные массивы.
{Программа безусловной оптимизации методом Хука-Дживса па-
раметров нечеткого регулятора системы управления с нелинейным
элементом типа "дискриминационная характеристика". Экспоненци-
ально-колебательный случайный процесс на выходе дискриминатора.
Экспоненциальные ФП}
Program Opt HD;
Uses Crt;
Const
N_parametr=3;
N_vx = 3;
353
Раздел 5
nn = 3;
h=0.0005;
h_f=0.01;
tt=5;
T_filtr_NR= 1;
big_M = 500;
ymax = 0.3;
ymin = -0.3;
Type
Nvektorl = array [l..nn] of Real;
Nvektor2 = array [l..N_parametr] of Real;
Nvektor3 = array [l..N_vx] of real;
Var
I,psJ	:	integer;
opt-par, yslug,
zslug, p_slug :	Nvektor2;
pred	:	array [1..2,l..N_vx] of real;
nl	:	array[1.. 10] of integer;
xl,y2,yl,al,b,x2,a,d,c : Nvektorl;
par e, JJ,hn,fi,fb,r,s_v,
a_0,a_l,b_l,b_2,
vix_l,vix_2,vx_l,
par bO, par al, vix f l : real;
{$1 zven.pas}
Procedure Par;
Var
alfa,omega,big_D,
ro,alfa_l,alfa_0 : real;
Begin {Par}
alfa:=24; omega:=40; big_D:=0.0625;
ro:=exp(-alfa*h);
bl :=2*ro*cos(omega*h);
b_2:=-sqr(ro);
alfa_0:=ro*(sqr(ro)-l)*cos(omega*h);
alfal :=l-sqr(sqr(ro));
a_0:=sqrt(big_D*(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0)))/2);
al :=alfa_0*sqrt(big_D*2/(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0))));
354
Раздел 5
End; {Par}
Procedure Exp_Kol(vx : real; var vix : real);
Begin {Exp_Kol}
vix:= a_0 * vx + a_l * vx_l + b_l * vix_l + b_2 * vix_2;
vix_2:=vix_l; vix_l:=vix; vx_l:=vx;
End; {Exp_Kol}
Function Gauss(mo, sigma : real): real;
Var
aa, bb, rr, sq : real;
Begin {Gauss}
repeat
aa:=2*Random-l;
bb:=2* Random-1;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb)
until (rr<l);
sq :=sqrt(-2 ♦ ln(rr)/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq
End; {Gauss}
Procedure Par Zif filtr;
Begin {Par Zif filtr}
par al :=-exp(-h_f/T filtr NR);
par_bO:=l+par_al;
End; {ParZiffiltr}
Procedure Zif_filtr(vx:real; var vix : real);
Begin {Zif_filtr}
vix:= par bO * vx - par al * vix f l;
vix_f_l:=vix;
End; {Zif filtr}
Procedure Res(x : Nvektor2 ; var vix : real);
Var
i, j	:	integer;
mju : array [1..2,1..N_vx] of real;
u	:	Nvektor3;
b	:	array [1..2]	of real;
X_res	:	array [1..4]	of real;
u_t,u_O,u_c,mju t,
suml,sum2 : real;
355
Раздел 5
Begin {Res}
for i :=1 to N_vx do begin
u[i]:= (x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mju[2] [i] :=exp(-par_c*( 1 -u [ i]));
end;
for i:= 1 to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[ 1 ]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c;
X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end else begin
X_res[2]:= ln(b[l]/exp(-par_c))/par_c;
X_res[3]:= ln(b[2]/exp(-par_c))/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/big_M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t ♦ mjut;
sum2 := mju t;
if b[l]>=b[2] then begin
for i:= 1 to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2J;
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end else begin
for i:= 1 to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
356
Раздел 5
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju t;
end;
end;
u c := (X_res[ 1 ]*b[ 1 ]/2 + suml + X_res[4]*b[2]/2) /
(b[l]/2 + sum2+ b[2]/2);
vix := ymin + u_c*(y_max-y_min);
End; {Res}
Procedure Criterij(var J : real);
Var
N_n,N_m,i,ii	: integer;
t, Vixl, Vix2, Vxl,
Vx_NR, Crit, Ras, k,
Vx wos : real;
Vx	: Nvektor3;
shum, expshum, delta,
K diskr, Vix nel,
Vix fil : real;
us, sde, dt, d2t, M fuz : real;
Begin {Criterij}
t:=0; k:=0; Vix2:=0; dt:=O; us:=0; sde:=0;
M_fuz:=0; delta =l; K._diskr =l;
ii:=0; Crit:=O; J:=0;
N_m:=round(h_f/h)+l; N_n:=N_m;
par e := opt_par[l];
pred[2][2] :=opt_par[2];
pred[ 1 ] [2] :=-opt_par[2];
pred[2][3] :=opt_par[3];
pred[l][3] :=-opt_par[3];
Vx_wos:=l;
repeat
{ элемент сравнения }
357
Раздел 5
Ras := Vxwos - Vix2;
{ дискриминационная характеристика }
Vix_nel:= Ras * K_diskr * exp(-sqr(Ras)/sqr(delta));
{ ФНЧ }
mdl( 1,Vix nel,Vix_fil);
{ шум }
shum:=Gauss(O,l);
Exp_Kol(shum,exp_shum);
Vx 1 :=Vix_fil-i-exp_shum;
{нечеткий регулятор}
ifN_n=N_m then begin
{фильтр нечеткого регулятора}
Zif_filtr(Vxl,Vx_NR);
dt:= (Vx_NR-sde)/h_f;
d2t:=(dt-us)/h_f;
ift~0 then begin dt:=O; d2t:=0; end;
if k = 1 then d2t:=O;
Vx[l]:=Vx_NR; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde:=Vx NR; us:=dt;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
{ обьект управления }
mdl(2,M_fuz,Vixl);
mdl(3,Vixl,Vix2);
Crit:=Vx_wos-Vix2;
J :=J+sqr(Crit);
t:=t+h; ii:=ii-i-l; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
J:=J/ii; writeln(J);
End. {Criterij}
Procedure Vvod Parametr Progr;
Begin {Vvod Parametr Progr}
Clrscr;
\угйе1п('Ввод параметров работы программы');
\угЦе1п('Введите начальный шаг изменения оптимизируемых па-
раметров ');
358
Раздел 5
write('hn-); readln(hn);
pred[2][l] :=1;
pred[l][l] —-1;
pred[2][2] :=1;
pred[l][2] —-1;
pred[2][3] —49;
pred[ 1][3] —-49
par_c—2;
{Присвоение начальных значений коэффициентов ПФ регулятора}
opt_par[ 1 ] :=par_c; opt_par[2] — pred[2] [2]; opt_par[3] —pred[2] [3];
mdl(0,s_v,s_v);
End; {Vvod_Parametr_Progr}
Procedure PrisvNatch;
Var i : integer;
Begin {PrisvNatch}
for i—1 to nn do begin
xl[i]:=0; y2[i]-0; yl[i]-0; x2[i]-0; vix_f_l-0;
end;
vix l —0; vix_2—0; vx_l —0;
End; {Prisv_Natch}
{Исполнительная часть}
Begin {OptHD}
PrisvNatch;
VvodParametrProgr;
Par;
Par_Zif_filtr
\угйе1п('метод Хука-Дживса');
у slug—opt_par; p slug—opt_par; z slug—opt_par;
Criterij(JJ); fi— JJ;
writeln('Ha4. значение функции',fi);
ps—0; fb—fi;
repeat
writein ('исследующий поиск');
for i—1 to N_parametr do
begin
opt_par[i]— y_slug[i]+hn;
PrisvNatch; Criterij(JJ); r:=JJ;
359
Раздел 5
if r<fi then
begin
fi:=r; y_slug[i]:=optjpar[i];
end
else
begin
opt_par[i]:=y_slug[i]-hn;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); r:=JJ;
if r<fi then
begin
fi:=r; y_slug[i]:=opt_par[i];
end
else
opt_par[i]:=z_slug[i];
end;
end;
if fi< (fb-lE-3) then
begin
for i:=l to N_parametr do
p_slug[i]:=2*y_slug[i]-z_slug[i];
z_slug:=y_slug; opt_par:=p_slug; y_slug:=opt_par;
fb:=fi;
PrisvNatch; Criterij(JJ); fi:=JJ;
ps:=l;
writein (’поиск по образцу’);
end
else
if ps=l then
begin
p_slug:=z_slug; y_slug:=z_slug; opt_par:=z_slug;
ps:=0;
PrisvNatch; Criterij(JJ); fi:=JJ;
fb:=fi;
writeln(’3aMeHa базисной точки');
end
else
begin
360
Раздел 5
hn:=hn/10; \¥гйе1п('уменьшить uiar',hn);
if hn< 1Е-3 then
begin
writeln(’MHHMMyM найден');
for i:=l to N_parametr do
writeln(opt_par[i]);
readln;
exit;
end;
end;
until false;
End. {OptHD}
5.3.2. Синтез регулятора системы частотной автоподстройки
Рассмотрим параметрический синтез цифрового нечеткого регу-
лятора для широко используемой системы частотной автоподстройки,
функциональная схема которой приведена на рис.5.18 [220].
Разомкнутый контур системы состоит из последовательного со-
единения частотного дискриминатора ЧД, усилителя У, двигателя Дв
с редуктором Ред, управляемого элемента УЭ, подстраиваемого гене-
ратора ПГ, смесителя См и усилителя промежуточной частоты УПЧ.
Работа системы подробно описана в [89]. Частотный дискриминатор
можно представить последовательным соединением устройства срав-
нения, нелинейности К(а>) и фильтра нижних частот ФНЧ с переда-
точной функцией Сф(5) = (Гф.У + 1)’1, где Гф- постоянная времени
361
Раздел 5
фильтра на выходе дискриминатора. Объект управления включает
элементы после усилителя У и описывается передаточной функцией
GQ(s) = OffXs + tfXs + Z))]"1, где а-\1Тдв, Ь = \/Тг, /^-постоян-
ная времени двигателя, Тг- постоянная времени генератора,
а — K$ab , Ко = Кдв^' редКг«'см^упч •
При использовании цифрового нечеткого регулятора HP, обеспе-
чивающего требуемую динамику системы, применяют аналого-
цифровой (АЦП) и цифро-аналоговый (ЦАП) преобразователи. ЦАП
обычно является фиксатором нулевого порядка. Структурную схему
системы с нечетким регулятором HP можно представить в виде
рис.5.19.
Рис.5.19
Кривую К {со) называют статической дискриминационной харак-
теристикой. Флюктуационная составляющая на выходе дискримина-
тора описывается спектральной плотностью S* и зависимость
Sn{u) называют флюктуационной характеристикой дискриминато-
ра. При моделировании флюктуационную составляющую можно учи-
тывать как напряжение И(/) - случайное возмущение, приложенное к
выходу дискриминатора. Таким образом, общее выходное напряжение
дискриминатора у(/), поступающее на АЦП, состоит из суммы вы-
ходного напряжения фильтра ФНЧ и напряжения И(/). Математиче-
скую модель нелинейности К {со) опишем выражением
362
Раздел 5
ВД = ^ехр{-"2},
Д~
где Кд - коэффициент преобразования дискриминатора, а А - полу-
ширина дискриминационной характеристики, определяющая разре-
шающую способность дискриминатора, со = ксопр - расстройка отно-
сительно номинальной промежуточной частоты а). Графически не-
линейность К (со) представлена на рис.5.20. Следует подчеркнуть, что
на выходе блока нелинейности на структурной схеме ошибка рассо-
гласования определянтся как /С[бУ(/)].
Для подавления случайной составляющей (шума) на входе циф-
рового нечеткого регулятора после АЦП необходимо включать циф-
ровой низкочастотный фильтр ФНР, являющийся дискретным анало-
гом непрерывного фильтра с передаточной функцией
G<php(s) = (Тфнр5 + О 1 • Дискретная передаточная функция такого
фильтра может быть определена из таблицы z-преобразований:
ОД = М1 + а,Г,Г1 ,
где b0 = 14- а}, ах = -ехр(-Ь/ТФНГ), h -шаг квантования.
363
Раздел 5
Моделирование фильтра ФНР можно выполнить 1. по разностно-
му уравнению: 3(к) = bQy(k) - ахО(к -1) ; 2. по рекуррентной форму-
ле для расчета непрерывного фильтра:
Отфильтрованная ошибка в(к) подается на вход нечеткого регу-
лятора HP.
В качестве первой и второй производных от ошибки используем
соответственно первую и вторую разность, а именно:
<9(Аг) = (<9(/1)-^(Л-1)]/А;
0(к) = [0(к) -0(k-])]/h = [0(к) - 20(к -1) + 0(к - 2)]/h2.
Определим реакцию системы (см. рис.5.19) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления: а = 1 / Тдв = 1 /0,05 1/с;
b = 1 / Тг - 1 / 0,04 1/с; а - KQab = 5 х 105 с^/В (постоянная времени
двигателя Тдв =0,05 с, постоянная времени генератора Тг =0,04 с,
KQ = КДВКРЕДКГКСМКУПЧ =1000 (Всу’/с. Нелинейность характери-
зуется следующими параметрами: Кд=\ (Вс); Д = 1 (при моделирова-
нии вход и выход системы принимаем за безразмерные величины).
Фильтр низких частот на выходе дискриминатора имеет Тф=0,01с.
Фильтр низких частот на входе нечеткого регулятора имеет 7^=100.
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регуля-
тор) Л = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегрирования резуль-
тирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций.
Для апериодического звена (5 + 6) 1 •
х
2-bh.
2 + bh» '
А)
2 + 4
Аналогично для апериодического звена (s + a) 1:
364
Раздел 5

+ Л
2 + ah0 V"1 2 + ahg
(Wv+«v-l)
Для интегрирующего звена:
\=Xv-l+^(Mv+Mv-l)-
В записанных формулах uv - входная, a xv - выходная переменные
звена. Шаг моделирования Ло = 0,05Л. h0 = 0,0005 с.
Случайный процесс И(Г) - нормально распределенный дискрет-
ный белый шум с нулевым математическим ожиданием и СКО, рав-
ным 0,1. Реализация случайного процесса И(/) представлена на
рис.5.21. Время наблюдения 5с.
О 50
0 40
0
0
00
Рис.5.21
30
20
-О 20
О 30
0 40
*0 50
0
0
Синтез нечеткого регулятора выполняется по формулам (5.16)-
(5.29). Коэффициент с выбран при настройке равным 5, а выбранные
без оптимизации (настройка “вручную”) диапазоны изменения вход-
ных и выходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изме-
нения переменных	определяются:
l].[«mi„,en,„] = [-l, 1].
[0n,inA.J = [-SO, SO] и [mmm,rnmas] = [-0,3, 0,3).
Используя метод оптимизации Хука-Дживса и оптимизируя по
критерию (5.33) одновременно коэффициент с в функциях принад-
365
Раздел 5
лежности и диапазоны изменения входных и выходного параметров
(диапазоны изменения переменных	находим минимальное
значение показателя J, Проведенные расчеты методом оптимизации
Хука-Дживса с использованием формул (5.16)-(5.29), (5.32) дают сле-
дующие результаты. Минимальное значение показателя J получается
при следующих параметрах цифрового нечеткого регулятора:
с =9,941;
= ll.[W«]=[-0,699, 0,699].
[«™,Лах1 = Н5.929 15,929] и	= (-0,3 0,3].
Квадратичный критерий качества имеет показатель:
J = 2,0495 х 10’2. Без оптимизации (при настройке “вручную”)
7 = 3,0078x1 (Г2.
Результаты моделирования системы при настройке параметров
регулятора “вручную” представлены на рис.5.22, после оптимизации
параметров цифрового нечеткого регулятора - на рис.5.23. На рисун-
ках: а - входное воздействие - Вх (скачок промежуточной частоты,
например, за счет скачка сигнальной частоты) и реакция системы -
Вых (установление промежуточной частоты); б - управляющее воз-
действие на входе объекта управления m(t); в - ошибка системы
на выходе дискретного фильтра нижних частот, включенного на
входе нечеткого регулятора.
Цифровой нечеткий регулятор обеспечивает достаточно быструю
отработку скачкообразных входных сигналов и устойчивую работу
системы даже при больших помеховых воздействиях (без регулятора
система неустойчива). При этом, как и следовало ожидать, при увели-
чении быстродействия динамическая ошибка в установившемся ре-
жиме от помехового воздействия возростает, и наоборот, при умень-
шении быстродействия системы динамическую ошибку в установив-
шемся режиме можно сделать весьма малой.
366
Раздел 5
а)
б)
в)
Рис.5.22
367
Раздел 5
1 .40
1 .20
1 00
0.80
0.60
0 40
О 20
0.00
Вых
- д пых
Вх
t, с
О 00	1 00	2 00	3 00	4 00	5 00	6 00
а)
б)
в)
Рис.5.23
368
Раздел 5
5.3.3. Синтез регулятора системы автосопровождения по
направлению
Рассмотрим параметрический синтез цифрового нечеткого регу-
лятора для следящей' системы автосопровождения по направлению
[34, 53,57,219].
В современной технике важное значение имеет задача определе-
ния направления на различные подвижные и неподвижные объекты
(задача измерения угловых координат объектов) [8,14,160]. Для реше-
ния этой задачи служат системы автосопровождения по направлению,
которые определяют угловые координаты во взаимно-
перпендикулярных плоскостях. Следящие системы автосопровожде-
ния по азимуту и углу наклона обычно идентичны и могут рассматри-
ваться автономно. Входной величиной системы Yi(t) является угол
между направлением на цель и начальным (равносигнальным) на-
правлением, а выходной величиной y2(t) -угол поворота антенны (по
азимуту или углу наклона). /(/) =	” ошибка рассогласо-
вания. При /(/) = 0 за счет поворота антенны направление на цель
совпадает с равносигнальным направлением.
Функциональная схема следящей системы автосопровождения по
направлению включает пеленгационное устройство ПУ, которое со-
стоит из последовательного соединения антенной системы, усилителя
радиочастоты и фазового детектора (ПУ структурно можно предста-
вить последовательным соединением элемента сравнения, нелинейно-
сти К(у) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной функцией
Оф($)=Кпу/(Тф5+1)), и исполнительное устройство, которое состоит из
усилителя У и электродвигателя Дв. Двигатель через редуктор Ред
вращает антенную систему пеленгационного устройства. При исполь-
зовании двигателя постоянного тока обычно применяется электрома-
шинный усилитель ЭМУ, при использовании асинхронного двухфаз-
ного двигателя переменного тока обычно применяются электронные
и/или электромагнитные усилители. Передаточные функции усилите-
ля и двигателя можно записать в виде Gy(s)=Ky[(Tis+l)(T2s+l)]_1;
GAB(s)=KaB[s(TflBs+l)]’1. Структурная схема системы представлена на
рис.5.24.
369
Раздел 5
ПУ
Дв +Ред.
У2®
Xt)
К(у) - G,(s) - Gy(s) - GOT(s)Kpea
Рис.5.24
При использовании цифрового нечеткого регулятора необходимо
применить аналого-цифровой (АЦП) и цифроаналоговый (ЦАП) пре-
образователи. ЦАП обычно является фиксатором нулевого порядка.
Структурную схему системы с цифровым нечетким регулятором мож-
но представить в виде рис.5.25.
Рис.5.25
Передаточная функция объекта управления
Go(*) “ Gy рел ~
а~1
s(s 4- а)($ 4- 6)($ 4- с) ’
где а= 1 /Т1; b= 1 /Т2; с=1 /Тдв; ai=KyKABKpe4abc.
Кривую К (у) называют статической дискриминационной харак-
теристикой пеленгационного устройства ПУ. Флюктуационная со-
ставляющая на выходе ПУ (углового дискриминатора) описывается
спектральной плотностью Sn и зависимость 5Л(/) называют флюк-
туационной характеристикой ПУ. При моделировании флюктуацион-
ную составляющую можно учитывать как напряжение И(/)-
случайное возмущение, приложенное к выходу ПУ. Таким образом,
370
Раздел 5
общее выходное напряжение дискриминатора y(t) , поступающее на
АЦП, состоит из суммы выходного напряжения фильтра ФНЧ и на-
пряжения К(/). Математическую модель нелинейности К(у) опи-
шем выражением
К(у) = Каыр{-^2},
где Кд- коэффициент преобразования ПУ, а Д - полуширина дискри-
минационной характеристики, определяющая разрешающую способ-
ность ПУ, /- ошибка рассогласования. Графически нелинейность
К (у) представлена на рис.5.26. Следует подчеркнуть, что на выходе
блока нелинейности на структурной схеме ошибка рассогласования
определяется как А7[у(/)].
Для подавления случайной составляющей (шума) на входе циф-
рового нечеткого регулятора после АЦП необходимо включать циф-
ровой низкочастотный фильтр ФНР, являющийся дискретным анало-
гом непрерывного фильтра с передаточной функцией
^ф//р(я) = (7ф//рЯ + 1) Дискретная передаточная функция такого
фильтра: G(z) = Z?0[l 4-а^"1]"1, где bQ = l + at, = -ехр{-Ь/ТФНР),
h - шаг квантования.
Моделирование фильтра ФНР выполним по разностному уравне-
нию:	= Ь^у(к)-ахв(к-\У
371
Раздел 5
Отфильтрованная ошибка 0(к) подается на вход нечеткого регу-
лятора HP. В качестве первой и второй производных от ошибки ис-
пользуем соответственно первую и вторую разность:
ё(к) = [0(к} - 0(к -1)] / h = [0(к) - 20{к -1) + 0(к - 2)] / А2.
Определим реакцию системы (см. рис.5.25) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления:
а = 1/7] = 1/0,09 1/с; b = МТ2 = 1/0,105 1/с;
С = \!ТДВ =1/0,15 1/с; а = Я>6с = 4х105 град/(Вс4)
(KQ = 567 град/(Вс)). Коэффициент преобразования ПУ
Кд = 1 В/град, полуширина дискриминационной характеристики
Л=1 (при моделировании вход и выход системы принимаем за без-
размерные величины). Фильтр низких частот на выходе дискримина-
тора имеет постоянную времени Гф=0,01с. Цифровой фильтр низких
частот на входе нечеткого регулятора имеет постоянную времени
^^=2,4 с. Шаг квантования (интервал поступления данных в нечет-
кий регулятор) h = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегрирова-
ния результирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций.
Для апериодического звена с передаточной функцией 1 /(s + b):
2-bhQ hQ
\ = ад. +;vrr	+) •
2 + bh0	2 + bhQ
Для интегрирующего звена:
Ло / ч
*v=*v-i + 2^+и^'
В записанных формулах wv- входная, a xv- выходная переменные
звена. Шаг моделирования Ло = 0,05Л. Ло = 0,0005 с.
372
Раздел 5
Случайный процесс И(/) - нормально распределенный дискрет-
ный белый шум с нулевым математическим ожиданием и СКО, рав-
ной 0,1. Время наблюдения 5с. Реализация случайного процесса И(/)
приведена на рис.5.27.
о
50
0
40
о
о
Рис.5.27
30
20
0 00
-0 10
*0 20
-0 30
-0 40
*0 50
Синтез нечеткого регулятора выполняется по формулам (5.16)-
(5.29). Коэффициент с выбран при настройке равным 0,2, а выбран-
ные диапазоны изменения входных и выходного параметров нечетко-
го регулятора (диапазоны изменения переменных О^в.в^т) опреде-
ляются:
=	I), [«min,4».х1 =[-0,25, 0,25),
=	17]и[М.„,тш„)=[-0,3, 0,3).
Квадратичный критерий качества имеет показатель: J = 0,1037.
Результаты моделирования системы представлены на рис.5.28. На
рисунках: а - входное воздействие - /Ц/) и реакция системы - /2(/)»
б - управляющее воздействие на входе объекта управления m(t); в -
ошибка системы О(к} на выходе дискретного фильтра нижних частот,
включенного на входе нечеткого регулятора. Цифровой нечеткий ре-
гулятор обеспечивает достаточно быструю отработку скачкообразных
входных сигналов и устойчивую работу системы даже при больших
помеховых воздействиях (без регулятора система неустойчива).
373
Раздел 5
а)
б)
в)
Рис.5.28
374
Раздел 5
Программа AVS NAP Z реализует алгоритм моделирования сле-
дящей системы автосопровождения по направлению с нелинейным
элементом типа ’’дискриминационная характеристика”. Предполагает-
ся, что с выхода дискриминатора поступает смесь полезного сигнала и
шума (распределение случайной величины по нормальному закону). В
качестве входных параметров HP выбраны отфильтрованное значение
выхода дискриминатора, а также его первая и вторая разность. Число
термов, описывающих входные и выходное значения HP, выбрано
равным двум. Функции принадлежности выбраны экспоненциальны-
ми. Объект управления содержит интегрирующее и три апериодиче-
ских звена с постоянными параметрами. На вход системы подается
единичное ступенчатое воздействие.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod_ParametrProg - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Zero - обнуление переменных состояния динамиче-
ских звеньев и некоторых других переменных.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр - массив х - содержит значе-
ния входных параметров нечеткого регулятора; выходной параметр -
переменная vix - содержит значение управляющего воздействия не-
четкого регулятора).
Процедура Par zif filtr - расчет значений параметров цифрового
фильтра.
Процедура Zif filtr - моделирование цифрового фильтра нечетко-
го регулятора (входной параметр процедуры vx - зашумленное значе-
ние выхода дискриминатора в момент квантования; выходной пара-
метр vix -отфильтрованное значение).
Для моделирования объекта управления программа использует
стандартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl.
Функция Gauss - возвращает значение случайной величины из по-
следовательности чисел, распределенных по нормальному закону
(входные параметры функции - переменные то и sigma - содержат,
соответственно, значения математического ожидания и СКО).
В программе использованы следующие переменные и массивы: t -
значение момента времени, Vx wos - значение входного воздействия
системы, Ras - значение ошибки в системе, shum - значение случай-
ной величины из последовательности чисел , распределенных по нор-
375
Раздел 5
мальному закону, delta, K diskr - переменные, содержащие параметры
нелинейности (половина ширины дискриминационной характеристи-
ки и коэффициент передачи дискриминатора), Vixnel - выходное
значение нелинейного элемента дискриминатора, Vix fil - выходное
значение ФНЧ дискриминатора, Vxl - выходное значение дискрими-
натора, содержащее шумовую составляющую, Vx_NR - отфильтро-
ванное значение выхода дискриминатора, dt, d2t - значения первой и
второй разностей параметра Vx_NR, M fuz - значение управляющего
воздействия нечеткого регулятора, Vix 1, Vix2, Vix3, Vix4 - значения
выходов звеньев объекта управления, par e - переменная, содержащая
значение параметра экспоненциальных функций принадлежности;
par_al, par bO, vix_f_l - переменные, используемые при моделирова-
нии цифрового фильтра; nl - служебный массив для обеспечения ра-
боты подпрограммы mdl; xl, у2, yl, al, b, х2, a, d, с - массивы, содер-
жащие значения переменных состояния динамических звеньев объек-
та управления; pred - массив, содержащий значения пределов диапа-
зонов изменения входных параметров нечеткого регулятора; hO - пе-
ременная , определяющая шаг сетки на графике; N_n, N_m, k, us, sde -
служебные переменные.
В программе заданы константы: N vx - количество входных па-
раметров нечеткого регулятора, углах, у min - значения границ диа-
пазона изменения управляющего воздействия в системе, tt - время на-
блюдения, h - шаг моделирования, пл - количество моделируемых
динамических звеньев, h_f - шаг квантования, TfiltrNR - значение
постоянной времени цифрового фильтра.
Program AVSNAPZ;
Uses Crt,Graph;
Const
h_f=O.Ol;
h = 0.0005;
N_vx = 3;
tt = 5;
nn=5;
у max = 0.3;
ymin = -0.3;
TfiltrNR =2.4;
big_M=500;
376
Раздел 5
pare = 0.2;
Type
Nvektor3 = array [1..10] of Real;
Nvector_l = array [l..N_vx] of real;
Var
nl	: array [1.. 10]	of integer;
xl,y2,yl,al,b,x2,a,d,c : Nvektor3;
Vx	:Nvector_l;
pred	: array [1..2,l..N_vx]	of real;
N_n,N_m,i,big_N,ii	: integer;
Vxl, Vx_NR, Vxwos,
Rasnost,Ras, Vix,Vixl,
Vix2,Vix3,Vix4,JJ,hO,
tt,t,h,k,k_l,k_2,k_3,
T_per,shum, M_f,delta,
K_diskr,Vx_nel,Vix_nel,
Vix_fil,par_bO, par_al,
vix_f_l,us,sde,dt,d2t,M_fuz : real;
{$1 grafika.pas}
{$1 zven.pas}
Procedure Vvod Parametr Progr;
begin
h0:-0.5;
pred[2][l] :=1;
pred[l][l] :=-l;
pred[2][2] :=0.25;
pred[l][2] =-0.25;
pred[2][3] :=17;
pred[l][3] :=-17;
end;
Procedure Par_Zif_filtr;
Begin {Par Zif filtr}
par_a 1 :=-exp(-h_f7T_filtr_NR);
par_bO:=l+par_al;
End; {Par_Zif_filtr}
Procedure Zif_filtr(vx:real; var vix : real);
Begin {Zif filtr}
vix:= par_b0 * vx - par al * vix_f_l;
377
Раздел 5
vixfl :=vix;
End; {Zifjlltr}
Procedure Zero;
var i : integer;
Begin
for i:=l to 10 do begin
xl[i]:=0;y2[i]:=0;yl[i]:=0;
al[i]:=0;b[i]:=0;x2[i]:=0;a[i]:=0;d[i]:=0;c[i]:=0;
end;
vix_fl:^0;
End; {Zero}
Function Sign(x:real):integer;
begin
if x=0 then sign:=0 else if x>0 then sign:=l else sign:=-l;
end;
Function Gauss(mo, sigma : real): real;
var
aa, bb, rr, sq : real;
begin
repeat
aa:=2*Random-l;
bb:=2*Random-l;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb)
until (rr<l);
sq:=sqrt(-2*ln(rr)/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq
end;
Procedure Res(x : Nvector l ; var vix : real);
var
i, j	: integer;
mju	: array [1 ..2,1 ,.N_vx] of real;
u	: Nvector_ 1;
b	: array [1..2] of real;
X res	: arrayf 1 ..4] of real;
u_t,u_0,u_c,
mju_t,suml,sum2 : real;
begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
378
Раздел 5
u[i]:= (x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mj u [2] [ i] .-exp(-par_c*( 1 -u[i]));
end;
for i:= 1 to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for 1 to N vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[ 1 ]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c;
X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end
else begin
X_res[2]:= ln(b[l]/exp(-par_c))/par_c ;
X_res[3]:= ln(b[2]/exp(-par_c))/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/big_M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t * mjut;
sum2 := mju_t;
if b[ 1 ]>=b[2] then begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml :=suml +u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end
else begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
379
Раздел 5
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mjut;
end;
end;
uj := (X_res[l]*b[l]/2 + suml + X_res[4]*b[2]/2) I
(b[l]/2 + sum2+ b[2]/2);
vix := y min + u_c*(y_max-y_min);
end; {Res}
{Исполнительная часть}
Begin
Zero;
Vvod_Parametr_Progr;
ParZiffiltr;
mdl(O,Vix,Vix);
Dele:=l/50; Delu:=l/50; Delv:=l/50;
osl:=50; os2:=150;
N_m:=(h_f/h)+l; N_n:=N_m;
In Graph; Osi; Metki(20,h0,tt); Text(hO);
t:=0; k:=0; Vix4:=0; ii:=0;
dt:=O; us:=0; sde:=0; JJ:=O;
Rasnost:=0; M_fuz:=0; big_N:=0;
delta~l; K_diskr:=l;
Vx_wos:=l;
repeat
JJ:=JJ+sqr(Vx_wos-Vix4);
ii:=ii+l;
{ элемент сравнения }
Ras := Vxwos - Vix4;
{ дискриминационная характеристика }
Vx_nel:=Ras;
Vix_nel:= Vx nel * K diskr * exp(-sqr(Vx_nel)/sqr(delta));
{ ФНЧ }
mdl(l,Vix_nel,Vix_fil);
Vix_fil:=Vix_fil*K_py;
380
Раздел 5
{ шум }
shum:=Gauss(0,0.1);
Vx 1 :=Vix_fil+shum;
{нечеткий регулятор}
if N_n=N_m then
begin
{цифровой фильтр}
Zif_filtr(Vxl,Vx_NR);
dt:= (Vx_NR-sde)/h_f;
d2t:=(dt-us)/h_f;
if t=0 then begin dt:=O; d2t~0; end;
if k = 1 then d2t:=0;
Vx[l]:=Vx_NR; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde:=Vx_NR; us:=dt;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
{ объект управления }
mdl(2,M_fuz, Vix 1);
mdl(3,Vixl,Vix2);
mdl(4,Vix2,Vix3);
mdl(5,Vix3,Vix4);
Grafik(Vix_fil, 1 ,t,Vx_wos);
Grafik(Ras, 1 ,t, Vix4);
Grafik(Vx_NR,l,t,Vix4);
t:=t+h; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
writeln(JJ,' ',JJ/ii);
readin;
CloseGraph;
End.
Рассмотрим задающее воздействие на входе системы автосопро-
вождения по направлению вида Zi(O =	+	ГДе
У1с(/) = 0,7 4- 0,3sin(^t/8)- детерминированная составляющая, а
у1л(/) - случайная составляющая входного воздействия, которую ап-
381
Раздел 5
проксимируем экспоненциально-коррелированным случайным про-
цессом с корреляционной функцией Я(г) = De а т и соответствую-
щей спектральной плотностью Sh(a>) = 2aD/(a2 + бУ2). Положим
23 = 0,01; а = 10 1/с.
Среднеквадратичное отклонение случайного воздействия
СКО= D = 0,1.
Стационарное случайное воздействие со спектральной плотно-
стью Su (бу) можно представить как результат преобразования белого
шума £(/) с единичной спектральной плотностью - 1 форми-
рующим фильтром с частотной характеристикой	Для экс-
поненциально-коррелированного случайного процесса формирующий
фильтр описывается апериодическим звеном с передаточной функци-
ей Кф($) = к /(75 + 1), где коэффициент усиления к = v 2D/а , по-
стоянная времени Т = М а. Моделирование формирующего фильтра
можно выполнять по рекуррентной формуле
2Т - Ло khQ
r'v~ 2Т + h0 Zl'”' + 2T + h0 <’v +	’
где £v- входная, /lv- выходная переменные звена. Временной пара-
метр v меняется через шаг моделирования Ло.
Моделирующий алгоритм для экспоненциального случайного
процесса с корреляционной функцией R(r) = De аг можно записать
также в виде разностного уравнения:
/1, =
где а0 = :D(l-p2);	= р; р = ехр(-ой0).
- последовательность независимых нормально распределен-
ных случайных чисел с параметрами (0,1) (нормально распределенный
дискретный белый шум).
При настройке системы по минимуму интегрального критерия пе-
рестраиваются следующие параметры: постоянная времени цифрового
фильтра низких частот на входе нечеткого регулятора Тфнр, коэффи-
382
Раздел 5
циент с в экспоненциальных функциях принадлежности и диапазоны
изменения входных параметров [0min, 0max ] и [0min, 0max ] нечетко-
го регулятора.
Результаты моделирования системы представлены на рис.5.29-
5.31, где у//) - вход, /2(Z)- выход системы, /(0 =/] (0 ~/2 (0 “
ошибка, a -управляющее воздействие на входе объекта управле-
ния (выходой сигнал нечеткого регулятора после фиксатора).
Вначале полагалось, что приложенное к выходу ПУ случайное
возмущение V(t) = O. При подаче на вход системы только детерми-
нированной составляющей /1с(/) = 0,7+ 0,3sin(ztf/8) (см. рис.5.29)
близкий к оптимальному переходной процесс системы получается при
следующих параметрах: Гф//Р=3,6с, с =0,14,
[0minAJ = H, l],[^min^max] = [-0,14, 0,14],
[<?min^max] = [-3,l 3,1] и [mmin,rnmax ] = [-0,3, 0,3].
При этом интегральный показатель J = 1,56 -10 2.
При подаче на вход системы сигнала /,(/) =	+ (см.
рис.5.30) и при V(l) = 0 близкий к оптимальному переходной процесс
системы получается при указанных выше параметрах, но интеграль-
ный показатель J = 1,62 • 10"2.
При подаче на вход системы сигнала	и при-
ложенного к выходу ПУ случайного возмущения - нормально распре-
деленного дискретного белого шума И(/) с дисперсией
D = 0,0025 (см. рис.5.31) близкий к оптимальному переходной про-
цесс системы получается при следующих параметрах: ТФНР=2,3 с,
с =0,2,
11.	«».«) = [-0.23, 0,23).
[W.«1 = H5 9,5] и т„„] = [-0,3, 0,3].
При этом интегральный показатель J = 1,58-10'2.
383
Раздел 5
а)
Рис.5.29
384
Раздел 5
В)
□ 00 3
□ DO 2
□ 00 1
Г)
□ □□□
-О 1
-0 002
Рис.5.30
385
Раздел 5
□ 006
а 00 4
0 002
□ □□□
-О 002
-□ 0 0 4
-□ 006
Рис.5.31
386
Раздел 5
Отметим, что при поступлении на вход нечеткого регулятора лю-
бого дискретного случайного процесса с шагом квантования h (в том
числе и дискретного белого шума) выходным сигналом цифрового
нечеткого регулятора является также дискретный случайный процесс
(см. рис.5.31,г).
5.3.4. Синтез цифрового нечеткого регулятора астровизира [63]
Функциональная схема астровизира представлена на рис.5.32 [198].
Телескоп ТС, расположенный на гироплатформе, последователь-
но визирует две звезды и s2. Лучистый поток от звезды проходит
через модулирующее устройство М и попадает на катод фотоэлек-
тронного умножителя ФЭУ. Сигнал с ФЭУ, несущий информацию об
отклонении электрической оси телескопа от направления на звезду,
поступает на блок оптимальной обработки БОО, в который подается
опорный сигнал с выхода генератора опорного напряжения ГОН. Пе-
ревод телескопа с одной звезды на другую осуществляется схемой пе-
реброса СП. Сигналы с блока оптимальной обработки поступают в
блок распределения сигналов PC и далее на датчики моментов ДМ.
Корректирующие моменты от ДМ вызывают прецессию гироскопов Г,
которая регистрируется датчиками углов ДУ. Сигналы с ДУ усилива-
ются усилителями У и подаются на двигатели ДВ, которые поворачи-
вают гироплатформу. Так как звезды и s2 визируются последова-
тельно, то астровизир в первом цикле отрабатывает угловые ошибки
и £2, а во втором цикле, после переброса ТС на вторую звезду, уг-
387
Раздел 5
ловую ошибку 6*3. Длительность циклов (время наблюдения за каж-
дой звездой) составляет несколько десятков секунд.
Динамические свойства телескопа, модулирующего устройства и
фотоэлектронного умножителя можно упрощенно описать нелинейно-
стью типа “дискриминационная характеристика” (см. рис.5.13) и апе-
риодическим звеном с передаточной функцией 1 /(s 4- а), где
а = 1 / Тф, Тф - постоянная времени фотоэлектронного умножителя.
Динамические свойства двигателя и гироплатформы по одному
каналу можно упрощенно представить соответственно апериодиче-
ским звеном с передаточной функцией а1 /($ + Ь) и интегрирующим
звеном с передаточной функцией а0/ s, где b = 1 / Тдв, Тдв - посто-
янная времени двигателя, а 1 / а0 - кинетический момент гиростабили-
затора. При включении в замкнутый контур цифрового нечеткого ре-
гулятора HP структурную схему одного канала астровизира можно
представить в виде рис.5.33.
Рис.5.33
Нечеткий регулятор HP включен после аналого-цифрового преоб-
разователя АЦП, а цифроаналоговый преобразователь ЦАП на выходе
HP представлен фиксатором нулевого порядка с передаточной функ-
цией //(5) = (l-e-Aj)/ 5. Для подавления случайной составляющей
(шума) на входе цифрового нечеткого регулятора после АЦП включен
цифровой низкочастотный фильтр ФНР с передаточной функцией:
G(z) = b0[\ + aiZ-'Y' ,
388
Раздел 5
где bQ = 1 + а,, ах = - ехр(-А / ТФНР), h - шаг квантования.
В качестве первой и второй производных от ошибки используем
первую и вторую разность:
O{k) = [O(k}-O(k-\)\lh\
0(к) = [0(к) - 0(к -1)]/h = [ад - 20(к -1) + 0{к - 2)]/h2,
где квантованная ошибка на выходе фильтра ФНР.
Входным полезным сигналом астровизира является угол ^(/)
между направление на звезду плоскостью гироплатформы. Входную
помеху V}(t) можно представить белым шумом с ненулевым матема-
тическим ожиданием (эта помеха обусловлена флуктуациями лучи-
стого потока от звезды, флуктуациями рефракции за счет неоднород-
ности атмосферы и неоднородностей излучения фона, собственными
шумами фотоэлектронного умножителя, приведенными ко входу).
Случайная функция И2(/) представляет собой момент сил трения и
несбалансированности массы гироприбора и описывается стационар-
ным экспоненциально-коррелированным случайным процессом с ну-
левым математически ожиданием, корреляционной функцией
/?(т) = De а г и соответствующей спектральной плотностью
5м(ш) = 2cxDI(a2 + <у2). Случайное возмущение V}(t), которое дей-
ствует на входе объекта, при моделировании системы полагаем нор-
мально распределенным белым шумом с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратичным отклонением СКО = 0,1. Корре-
ляционную функцию экспоненциально-коррелированного случайного
возмущения И2(Г) запишем в виде R(t) = 0,0025е ,О г (при этом
СКО для этого возмущения равно 0,05). Реализации случайных воз-
мущений ИД/) и И2(/) представлены на рис.5.34.
Система (см. рис.5.33) имеет следующие параметры: ТФНР = 2,4 с;
а = 1/71 =1001/с; b = \!ТЛВ = 10 1/с; а, = Клв !ТЛВ = 150; ао=4О
(размерность произведения аоа1 с-2). Нелинейность (см. рис.5.13) ха-
рактеризуется следующими параметрами: Кд~\\ А=1.
389
Раздел 5
Рис.5.34
Синтез цифрового нечеткого регулятора осуществляем по форму-
лам (5.16)-(5.29) при экспоненциальных функциях принадлежности,
аналитические выражения которых имеют вид:
/л\(и) = е~си\/Л2(и) = е~с^~и\ и е[0,1].
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регу-
лятор) Л = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегрирования резуль-
тирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, исполь-
зуя аппроксимацию по формуле трапеций.
Для апериодического звена ах l(s + b):
2-bh(} a,h0 .	.
xv =	0 х . 4“ (uv + uv ।.
' 2 + bh0 " 2 + bh0 v "
Для интегрирующего звена aQ / s :
’о 2°	"*->)•
В записанных формулах uv- входная, a xv - выходная перемен-
ные звена. Шаг моделирования Ао = 0,05/? = 0,0005 с.
390
Раздел 5
Работа системы исследована при следующих воздействиях на сис-
тему: а) при единичном ступенчатом сигнале £](/) на входе; б) при
единичном ступенчатом сигнале и помехе типа белого шума ^(Х) на
входе; в) при единичном ступенчатом сигнале и помехе типа белого
шума Kj(/) на входе и возмущающем воздействии И>(/) в замкнутом
контуре системы (см. рис.5.33).
На рис.5.35 приведены реакции системы на указанные выше воз-
действия, а на рис.5.36 - управляющие воздействия с выхода нечетко-
го регулятора.
Вых
1 2
1 О
О В
а) о 6
О 4
О 2
О о
00	10	20	30	40	50 t, с
Вых
1 2 -
1 0 -
0 8 -
б) 0 6 -
0 4 -
0 2 -
0 0 -
00	10	20	30	40	50 t, с
Вых
1 2
1 0
0 8
в) 0 6
0 4
0 2
0 0
00	10	20	30	40	50 t, с
Рис.5.35
Настройка регулятора осуществлялась “вручную” выбором коэф-
фициента с в функциях принадлежности и диапазонов изменения
391
Раздел 5
входных и выходного параметров нечеткого регулятора. При этом для
всех режимов работы близкими к оптимальным являются следующие
параметры регулятора: коэффициент с =2, диапазоны изменения
входных и выходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны
изменения переменных 0,
=	1],	^max 1 = [-0,172, 0,172],
[0т1пЛах] = [-М8, 4,48] и [Wmin,WmJ = [-0,3, 0,3].
а)
392
 Раздел 5
5.3.5. Системы тактовой синхрогизации с цифровыми регулято-
рами [36, 136, 137]
Системы тактовой синхронизации СТС нашли широкое распро-
странение в различных областях техники, в частности в цифровых се-
тях и системах передачи информации ЦСПИ [12, 200]. Современное
развитие техники требует удовлетворения СТС новым повышенным
качественным показателям.
На рис.5.37 показана типовая функциональная схема СТС ЦСПИ.
Схема включает ведущий и ведомый тактовые генераторы - ВТГ и ТГ
соответственно; входное устройство регенератора - ВхРГ; выдели-
тель тактового синхросигнала - ВТС; решающее устройство - РУ;
фазовый детектор - ФД; фильтр нижних частот - ФНЧ; управитель -
У; линию связи -ЛС.
Рис.5.37
Тактовая синхронизация цифровых сигналов электросвязи ЦСЭ -
это процесс установления и поддержания требуемых фазовых соот-
ношений между значащими моментами цифрового сигнала электро-
связи ЦСЭ и тактовым синхросигналом. Таким образом, в решение
задачи тактовой синхронизации входят: 1) формирование тактового
синхросигнала, подаваемого на РУ приёмника или регенератора; 2)
«привязка» фазы указанного синхросигнала к фазе значащих момен-
тов ЦСЭ, принятого из линии связи; 3) контроль заданного фазового
соотношения между принятым из линии связи синхросигналом и син-
хросигналом, подаваемым на РУ приёмника; 4) выработка управляю-
щего воздействия при наличии ошибки при нарушении указанного
фазового соотношения; 5) отработка фазовой ошибки в соответствии с
выработанным управляющим воздействием.
393
Раздел 5
Решение поставленных задач возможно, прежде всего, созданием
системы автоматического регулирования фазы тактового синхросиг-
нала приёмника или регенератора ЦСПИ. Ясно, что синфазная работа
передатчика и приёмника ЦСПИ немыслима без наличия синхроин-
формации (задающего воздействия системы автоматического регули-
рования). Тактовые синхросигналы вырабатываются тактовыми гене-
раторами ТГ. Следовательно, необходимо осуществлять генерирова-
ние тактового синхросигнала на передаче и на приёме, что в свою
очередь вызывает необходимость наличия ТГ на передаче и на приё-
ме. Таким образом, первый этап решения задачи тактовой синхрони-
зации на практике реализуется наличием ТГ в регенераторе или при-
ёмной части оборудования ЦСПИ, а сама тактовая синхронизация
может быть сведена к синхронизации ТГ, т.е. процессу установления и
поддержания требуемых фазовых соотношений между тактовыми
синхросигналами двух или нескольких ТГ. При этом ТГ передатчика
является ведущим, он вырабатывает задающее воздействие; а ТГ при-
ёмника или регенератора - ведомым, фаза его синхросигналов являет-
ся регулируемой величиной системы автоматического регулирования
фазы. Ведущий ТГ, как правило, территориально разобщён от ведомо-
го. Это обстоятельство является важной особенностью системы син-
хронизации, которая становится телемеханической системой.
Задающее воздействие - фаза тактового синхросигнала ведущего
ТГ в общем случае за счёт случайных искажений при перемещении
синхросигнала от передатчика к приёмнику, нестабильности генери-
рования импульсов ведущим ТГ и др. является неизвестной функцией
времени, т.е. cp3r(t) = var. Это положение даёт основание классифи-
цировать системы тактовой синхронизации как следящие системы ав-
томатики, а при cp3r(t) - const - как системы стабилизации.
Основным элементом системы тактовой синхронизации является
система фазовой автоподстройки - система ФАП, которая пунктиром
выделена на рис.5.37.
В системах фазовой автоподстройки осуществляется согласова-
ние фаз двух колебаний - текущая фаза управляемых колебаний под-
страивается под текущую фазу задающих колебаний так, что в иде-
альном случае разность фаз этих колебаний сохраняет постоянное
значение. Так как постоянство разности фаз возможно только при ра+
венстве частот колебаний, то в системах фазовой автоподстройки час-
394
Раздел 5
тота управляемых колебаний в идеальном случае устанавливается
равной частоте задающих колебаний. Это свойство систем фазовой
автоподстройки определяет их двоякое назначение - как систем авто-
подстройки частоты и как систем автоподстройки фазы.
В первом случае непосредственной целью применения системы
является установление требуемого соответствия между частотами
двух колебаний, а во втором - установление требуемого соответствия
между фазами двух колебаний.
Системы фазовой автоподстройки, непосредственной целью ко-
торых является установление требуемого соответствия между часто-
тами двух колебаний, получили название систем фазовой автопод-
стройки частоты (ФАПЧ).
Если же непосредственной целью функционирования системы
является согласование фаз двух колебаний, то ее называют так же, как
и весь класс рассматриваемых систем - системой фазовой автопод-
стройки (ФАП).
Различие названий (ФАПЧ или ФАП) отражает только различие в
непосредственном предназначении и не означает различий в принци-
пах действий. Принципы действия систем ФАПЧ и ФАП одинаковы.
Именно система ФАП определяет точность и быстродействие всей
системы тактовой синхронизации. Объектом управления в системе
ФАП является тактовый генератор, который можно описать переда-
точной функцией
а
5(5 + а) ’
где а- К П, а-\/Т, К - коэффициент усиления, Т - постоянная
времени генератора.
Математическую модель дискриминатора можно представить по-
следовательным соединением устройства сравнения, нелинейности
К(е) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной функцией
Сф(х) = Кф/(Тфз + \) = к/(з + Ь),
где к = Кф /Тф, Ь = \/Тф, Кф - коэффициент усиления, Тф - посто-
янная времени фильтра дискриминатора.
Математическую модель нелинейности К(е) типа “дискримина-
ционная характеристика” обычно можно описать выражениями
395
Раздел 5
р
К(е) = Кд ехр{-—} (а) или К(е) = Кд sin(e) (б),
где Кд- коэффициент преобразования дискриминатора, а А- полу-
ширина дискриминационной характеристики, определяющая разре-
шающую способность дискриминатора. e(t) - ошибка рассогласова-
ния на входе дискриминатора. Кривую К(е) принято называть ста-
тической дискриминационной характеристикой.
Структурная схема (математическая модель) системы фазовой ав-
топодстройки, представленная в интерактивной системе MATLAB,
показана на рис.5.38.
Рис.5.38
Фазовый детектор ФД (см. рис.5.37) на рисунке 5.38 представлен
схемой сравнения на сумматоре и дискриминационной характеристи-
кой Discrim - К(е). Фильтр нижних частот ФНЧ описан звеном
Transfer Fcnl с передаточной функцией . Тактовый генератор
с передаточной функцией G(s) представлен звеньями Gain, Integra-
tor и Transfer Fcn2.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис.5.38) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
396
Раздел 5
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Ошибка рассогласования 0(f) с выхода фильтра нижних частот
ФНЧ поступает на аналогово-цифровой преобразователь АЦП (Zero-
Order Hold), включенный на входе нечеткого регулятора. Шаг кванто-
вания АЦП h =0,01с. На выходе нечеткого регулятора включен циф-
роаналоговый преобразователь ЦАП (Zero-Order Holdl).
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) принимаем симметричными:
^max — “^min» ^тах — ~^min» ^тах — -^min ’ wmax — —^min •
Тогда пересчет значений сигналов в значения элементов единого
универсального множества выпоняем по формулам (3.41).
Значения диапазонов (Ат = 6*тах = -0min; Вт = 0тах = -0min;
Ст = #тах = -#min ’ Dm = wmax = “wmin ) ПРИ настройке нечеткого
регулятора подбираются либо вручную, либо автоматически путем
решения оптимизационной задачи.
При исследовании системы (см. рис.5.38) методом математиче-
ского моделирования выбраны следующие параметры:
к = У, а = 10 с’1; Л = 12.5 с’1; с = 1;а = alfl = 1,5; J = l; Кд =1.
Система исследована при воздействии на входе эквивалентного
гармонического сигнала
w(/) = 1 + 0,5 sin 2nFt,
с несущей частотой F = 0,1 Fy .
Настройка нечеткого регулятора осуществлена по критерию ми-
нимума динамической ошибки. Получены следующие оптимальные
параметры нечеткого регулятора:
Ат = 0тах = 0,05; Вт = 0тах =0 4;
111<ХЛ	7	7	IllclA	7
Ст = 0тах = 10; Dm = /итах = 150.
Шал	7	II id А
Процессы в системе (см. рис.5.38) показаны на рис.5.39, где u(t)
~ входное воздействие, х(/) - выход системы (см. рис.5.39,a), e(f) -
ошибка рассогласования на входе дискриминатора (см. рис.5.39,б).
397
Раздел 5
Максимальная динамическая ошибка (за исключением начального
выброса в момент захвата сигнала) не превышает 0,7 % от амплитуды
синусоиды.
На рис.5.40 представлен переходной процесс системы - реакция
на единичное ступенчатое воздействие. Система отрабатывает вход-
ное воздействие за время, не превышающее 0,3 с, без перерегулирова-
ния.
Таким образом, цифровой нечеткий регулятор обеспечивает не
только большую точность отработки входного воздействия, но и вы-
сокое быстродействие системы при скачкообразном воздействии.
Следует отметить, что исследование системы без регулятора по-
казывает, что система не обладает устойчивостью.
398
Раздел 5
Представляет интерес рассмотреть процессы в системе при ис-
пользовании вместо нечеткого регулятора традиционного ПИД-
регулятора. Структурная схема (математическая модель) системы фа-
зовой автоподстройки с ПИД-регулятором, представленная в интерак-
тивной системе MATLAB, показана на рис.5.41.
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора (PID на рис.5.41)
приведена на рис.3.9. Передаточная функция регулятора
^(z) = G1+G2^- + G3 —,
z-l z
К i	d
где Gj = a, G2 ~> G3 "-------, "о “шагдискретизации.
2	hQ
Рис.5.41
В результате настройки регулятора при указанных выше пара-
метрах системы и входного эквивалентного гармонического сигнала
получены следующие оптимальные параметры ПИД-регулятора при
hQ =0.01 с:
G} =171,2; G2 = 0,48; G3 = 1800.
Процессы в системе (см. рис.5.41) показаны на рис.5.42, где u(t)
~ входное воздействие, x(f) - выход системы (см. рис.5.42,а),
е(/) = Err - ошибка рассогласования (см. рис.5.42,б).
Максимальная динамическая ошибка в системе ФАП с ПИД-
регулятором (за исключением начального выброса в момент захвата
сигнала) не превышает 2,4% от амплитуды синусоиды. Максимальная
динамическая ошибка в системе ФАП с ПИД-регулятором в 3,5 раза
399
Раздел 5
больше максимальной динамической ошибки в системе ФАП с нечет-
ким регулятором.
На рис.5.43 представлен переходной процесс системы с ПИД-
регулятором - реакция на единичное ступенчатое воздействие. Пере-
ходной процесс - колебательный, с перерегулированием более 20%.
Система отрабатывает входное воздействие за время, превышающее
0,4 с. Время регулирования в системе ФАП с ПИД-регулятором при-
мерно в 1,3 раза больше времени регулирования в системе ФАП с не-
четким регулятором.
Таким образом, нечеткий регулятор обеспечивает точность отра-
ботки входных воздействий и быстродействие системы ФАП значи-
тельно лучше, чем ПИД-регулятор.	1
400
Раздел 5
Рассмотрим систему фазовой автоподстройки частоты генератора
(ФАПЧ) с цифровым нечетким регулятором. Одним из основных эле-
ментов системы фазовой автоподстройки частоты генератора является
фазовый детектор, статическая дискриминационная характеристика
которого может быть записана в виде [14]
Уфд = Кфд cos (р,	(5.34)
где КФД - постоянный коэффициент, равный максимальному значе-
нию напряжения на выходе детектора, (р - разность фаз колебаний
одинаковой частоты, подаваемых на первый и второй входы детектора
(при равенстве частот двух колебаний разность фаз этих колебаний
постоянна). При изменении частот входных сигналов разность фаз
становится функцией времени:
$?(/) - <Рн + 2^ |Д/(t)dt,	(5.35)
где (рн - начальное значение разности фаз в момент t = 0, когда
¥ = /l-/2=0-
С учетом выражений (5.34) и (5.35) структурная схема фазового
детектора при изменяющихся частотах f\ и fa входных сигналов
будет иметь вид, изображенный на рис.5.44 [15].
fl
f2
Рис.5.44
На основании структурной схемы фазового детектора с учетом
инерционностей фильтра на выходе детектора и управляющего эле-
мента на входе генератора (фильтр на выходе детектора и управляю-
щий элемент обычно описывают апериодическими звеньями) можно
составить математическую модель системы фазовой автоподстройки
частоты генератора (ФАПЧ).
Математическая модель системы ФАПЧ с цифровым нечетким
регулятором, составленная с использованием интерактивной системы
MATLAB, представлена на рис.5.45.
401
Раздел 5
Рис.5.45
Фильтр на выходе детектора и управляющий элемент генератора
опишем передаточными функциями:
Gj(s) = kl{s + b) = 10/(5 +12,5),
G2 (5) = alf\ * a /(5 + d) = 0,15 * 20/(5 + 20).
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис.5.45) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.74, с идентичны-
ми возведенными в степень треугольными функциями принадлежно-
сти (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t) и
B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.66), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.57) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.73).
Шаг дискретизации (шаг поступления данных в нечеткий регуля-
тор) выбран 0,01с. Значения диапазонов (Am =	;
1 z	1	7	v	IllaA	II11I1 7
Вт — $max — — $rnin > Cm — $max — ~$rnin > Dm — ^max “ “^min )
при настройке нечеткого регулятора подбираются либо вручную, либо
автоматически путем решения оптимизационной задачи.
При исследовании системы примем, что разность частот двух ко-
лебаний изменяется по синусоидальному закону:
А/ = 0,2sin(fl75) либо А/ = 0,2sin(^/10)
(т.е. максимальное отклонение частоты генератора от заданной дости-
гает ± 20%). Система ФАПЧ должна компенсировать отклонение
частоты генератора, поэтому нечеткий регулятор необходимо на-
402
Раздел 5
страивать на минимальную текущую ошибку рассогласования в сис-
теме. В результате настройки получаем следующие оптимальные па-
раметры нечеткого регулятора:
Am=0,03; Вт=0.5; Ст=10; Dm=20; с=1.
Процессы в системе (см. рис.5.45) при входном воздействии
0,2sin(Tr/5) представлены на рис.5.46, при входном воздействии
0,2 sin(/T /10) - на рис.5.47. На рисунках e(t) - ошибка рассогласова-
ния по частоте на входе фазового детектора, 0(f) - ошибка на выходе
фазового детектора (на входе нечеткого регулятора), w(/) - управ-
ляющее напряжение на выходе нечеткого регулятора, u(t) и х(/) -
вход и выход системы соответственно.
Независимо от частоты входного сигнала переходной процесс в
системе заканчивается за 3 с. Максимальная динамическая ошибка
рассогласования по частоте на входе фазового детектора при входном
—3
воздействии 0,2sin(fl75) не превышает 2,8-10 , а при входном
403
Раздел 5
воздействии 0,2 sin(zr /10) равна примерно 1,4-10 3. Как показыва-
ют исследования системы (см. рис.5.47), нечеткий регулятор позволя-
ет увеличить точность системы ФАПЧ практически на два порядка по
сравнению с системой без регулятора.
Применение нечетких регуляторов в системах ФАПЧ целесооб-
разно. Поскольку нечеткий регулятор является цифровым корректи-
рующим устройством, то его можно с успехом применять в цифровых
ФАПЧ.
404
Раздел 6
Раздел 6.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
6.1. Синтез цифрового нечеткого регулятора системы управ-
ления объектом “рулевая машина + ракета” [227]
Ниже изложен синтез цифрового нечеткого регулятора системы
управления нестационарным объектом, содержащим нелинейности и
звено запаздывания. Примером такого объекта управления может
служить “рулевая машина + ракета”. Синтез цифрового нечеткого ре-
гулятора системы управления объектом “рулевая машина + ракета”
изложен в разделе 3.1 при допущении, что рулевая машина описыва-
ется интегрирующим звеном. Реальные электрические, пневматиче-
ские, гидравлические рулевые машины имеют значительно более
сложное математическое описание. В качестве примера рассмотрим
пневматическую рулевую машину, которая находит практическое
применение. Напряженность силы в пневматических и гидравличе-
ских двигателях достигает 200-300 кг/см2 (в электрических 4-6 кг/см2),
поэтому эти двигатели при тех же габаритах и весах обладают более
высоким быстродействием, чем электрические [198].
Принципиальная схема пневматической рулевой машины с жест-
кой отрицательной обратной связью по углу отклонения руля приве-
дена на рис.6.1. Пневмодвигатель имеет подвижный цилиндр 1 и не-
подвижные поршни 2. В цилиндре имеются отверстия, через которые
подается воздух (или другой газ) из струйной трубки 3, которая связа-
на с магнитоэлектрическим устройством, поворачивающимся в маг-
нитном поле постоянного магнита при подаче в обмотку управляюще-
го напряжения т = w(Z). Струйная трубка при отсутствии сигнала
т = удерживается в нейтральном положении пружиной 4 (при
этом давления р} и р2 в полостях цилиндра одинаковые). При пере-
мещении струйной трубки относительно отверстий цилиндра образу-
ется перепад давления р = р}- р2. При этом цилиндр перемещается в
сторону, противоположную повороту струйной трубки, и через тягу 5
поворачивает руль 6. В силу того, что поворот руля и перемещение
цилиндра связаны передаточным числом п, осуществляется отрица-
405
Раздел 6
тельная жесткая обратная связь по углу отклонения руля. Вращающий
момент в магнитоэлектрическом устройстве уравновешивается мо-
ментом пружин 4.
Движение струйной трубки можно описать уравнением идеально-
го звена запаздывания
J3(f) = kxm(t-r),	(6.1)
где 0(f) - угол поворота струйной трубки от нейтрального положения,
m(t) -сигнал управления, к} - постоянный коэффициент.
Рис.6.1
Движение цилиндра приближенно описывается следующим обра-
зом [198]:	y = k2[(p{€)-cxsign{y)]\ Е = /3-къу,	(6.2) У = п8,
406
Раздел 6
где к2- постоянный коэффициент, у(0 “ перемещение цилиндра,
8(f)- угол отклонения руля, к3- коэффициент перевода линейного
перемещения в угловое, ф(е) - нелинейность типа “ограничение”
(см.рис.6.2,а).
<1,	(6.3)
где N - сила сухого трения цилиндра о поршни, S - площадь поршня,
р0 - давление в струйной трубке, ц - коэффициент, учитывающий по-
тери давления.
Выражение в квадратных скобках в уравнениях (2) представляет
собой нелинейность типа “ограничение + зона нечувствительности”
(см. рис.6.2,б)
_ *=tgy = Z/c2;
^(f) = 0 при |£|<CjC2;
^1(^) = Z(l-c1)agnU)
е	при |£|>С,;
(P/f) = Z^/cyc^signte)
при с,с2^|£|^с2
б)
£(1-С])-------
L—г
”С2
-С2 -CjC2
£
Рис.6.2
Уравнения рулевой машины можно записать в окончательном ви-
де как
/?(Г) = k{m(t - г), 8 = (рх (£), s = ft - к3п8.	(6.4)
п
Соответствующая уравнениям (6.4) структурная схема пневмати-
ческой рулевой машины изображена на рис.6.3, где нелинейность Н1 -
Ф\ (^) ♦ kQ=k2! пу I = к3п, а нелинейность Н2 характеризует ограни-
чение отклонения руля.
407
Раздел 6
Рис.6.3
При моделировании зададим следующие параметры рулевой ма-
шины. Для струйной трубки: к} =100; т = 0,01 с. Для нелинейности
Н1 (см. рис.6.2,б): с1 = 0,1; с2 = L = 5 . Для нелинейности Н2
(см.рис.6.2,а, в котором е надо заменить на 8): с2 = L = 5. Коэффици-
ент передачи интегрирующего звена kQ = к2 !п - 100. Коэффициент
обратной связи / = къп =0,5.
Рулевая машина включена на входе нестационарного объекта
управления - бескрылой ракеты с аэродинамическим управлением.
Приняв за выходную координату ракеты угол атаки a2(t), а за вход-
ную координату угол поворота руля £(/), определим передаточную
функцию ракеты в виде [139]
G(s) = <X2(-)= -	К“- - ,
р ВД r2s2+2^7s + l
где — коэффициент преобразования ракеты, Т - постоянная вре-
мени, $ - коэффициент демпфирования.
При исследовании системы управления предположим, что зави-
симости параметров ракеты от времени полета определяются так
[138]:
T(t) = 0,9849 - 0,1188г + 0,0063/2 - 0,00012t3;
д(t) = 0,2970 - 0,0535/ + 0,0043/2 - 0,00011/3;
К“ (/) = 16,5475 - 4,4469/ + 0,4843/2 - 0,02315/3 + 0,0004/4.
Замкнутая система автоматического управления общим объектом
“рулевая машина + ракета” с нечетким регулятором HP приведена на
рис.6.4, где a^t) - заданный угол атаки, а - a2(t) - выход системы.
408
Раздел 6
цдП Регулятор АЦП
Рис.6.4
Цифровой нечеткий регулятор HP включен между аналого-
цифровым преобразователем АЦП и цифроаналоговым преобразова-
телем (фиксатором нулевого порядка с передаточной функцией H(s))
ЦАП. Ошибка системы 0(t) =	квантуется с шагом кван-
тования h.
Исследуем точность отработки системой автоматического управ-
ления с цифровым нечетким регулятором закона изменения входного
воздействия, заданного: а) единичной ступенчатой функцией и б) по-
линомом [138]
a, (t) = 1 -1,3316 х 1 О*3 + 0,1653269/ - 0,4785008/2 +
+ 0,1037928г3 - 8,8016 х 10‘3/4 + 3,404 х 10V - 5,093 х 10V.
При моделировании системы опишем динамику отдельных звень-
ев, используя аппроксимацию по формуле трапеций.
Для колебательного звена с переменными параметрами:
*lv = *lv-l + (x2v + *2v-l)’
= 4-2Z>v_1A0-aA2	_ 2(а± + а^)Л0
2v 4 + 2bvhQ+avh2 2v'} 4 + 2bvhQ+avh2
2hQ
+ 71 Sa'a 1 ‘ a'2
4 + 26Л+аД
2v-l
IT	^0
Для интегрирующего звена: xv = xv_, + -•£
409
Раздел 6
В записанных формулах uv- входная, a xlv- выходная перемен-
ные звена; x,v- промежуточная переменная. Шаг моделирования
й0 = 0,05/1. Шаг квантования (интервал поступления данных в нечет-
кий регулятор) h = 0,01 с.
Синтез цифрового нечеткого регулятора выполним по формулам
(5.16)-(5.30) при экспоненциальных функциях принадлежности.
В качестве первой и второй производных от ошибки при модели-
ровании используем соответственно первую и вторую разность, а
именно:
0(£) = [0(£)-0(£-l)]//i;
0(к) = [6(к) - 0(к -1)] / h = [0(к) - 20(к -1) + 0{к - 2)] / h2.
Для получения удовлетворительных переходных процессов на-
стройку цифрового нечеткого регулятора производим путем вариации
параметра с в экспоненциальных функциях принадлежности и диапа-
зонов изменения входных и выходного параметров [$min, 0max ]»
l min ’ max J ’ l min ’ max J
На рис.6.5 представлены результаты исследования отработки сис-
темой автоматического управления (см. рис.6.4) входного единичного
ступенчатого воздействия - угла атаки a^f). Время наблюдения 0,6с.
На рисунках изображены: а - вход ax(f) системы и ошибка рассогла-
сования 0(f) = a}(f)-a2(f) в системе; б - сигнал на выходе звена за-
паздывания (см.рис.6.3) и ограниченный сигнал на выходе нелинейно-
сти Н1 в рулевой машине; в - сигнал на входе нелинейности Н2 (после
интегратора) в рулевой машине; г - сигнал управления 0(f) на выхо-
де рулевой машины (угол отклонения руля).
На рис.6.6 представлены результаты исследования отработки сис-
темой заданного полиномом закона изменения входного воздействия -
угла атаки a^f). Время наблюдения 15с.
На рисунках изображены: а - вход a}(f) системы; б - ошибка рас-
согласования 0(f) = a}(f)-a2(f) в системе; в - сигнал на выходе зве-
на запаздывания в рулевой машине (см.рис.6.3); г - сигнал управления
3(f) на выходе рулевой машины (угол отклонения руля).
410
Раздел 6
На рис.6.7 приведена реакция системы a2(t) \ а) на единичное
ступенчатое воздействие и б) на полиномиальное воздействие.
411
Раздел 6
При настройке цифрового нечеткого регулятора близкими к оп-
тимальным (как для единичного ступенчатого воздействия, так и для
полиномиального воздействия на входе системы) являются следую-
щие параметры регулятора. Коэффициент в экспоненциальных функ-
циях принадлежности: с = 20. Диапазоны изменения входных и вы-
ходного параметров:
[^.^] = [-1Д 1.5].[^,^] = [-0Д 0,6],
И™Л„1 = Н.5, 1.5] и	=	1,0].
в)
Рис.6.7
Цифровой нечеткий регулятор обеспечивает высокое быстродейст-
вие системы и достаточно малую динамическую ошибку в установив-
шемся режиме работы. Следует отметить, что синтез линейного цифро-
вого регулятора для рассмотренного нестационарного объекта “рулевая
машина + ракета”, в котором рулевая машина имеет запаздывание, нели-
нейности и жесткую обратную связь (см. рис.6.3), является весьма слож-
ной задачей. Поэтому применение цифрового нечеткого регулятора целе-
сообразно, тем более, что алгоритм его работы является достаточно про-
стым для объектов управления любой сложности.
412
Раздел 6
6.2. Автономная система фаззи-управления теплоснабжением [70]
В разделе 4.2 рассмотрены достаточно простые системы автома-
тического управления объектами типа “водогрейный котел + отапли-
ваемое здание (помещение)”, работающие на базе нечеткой логики
(такие системы носят название систем фаззи-управления [9, 199]).
Ниже рассмотрена более сложная автономная система фаззи-
управления, объект управления в которой состоит из водогрейного
котла (источник тепла), который через коллектор обогревает здание,
имеющее два отапливаемых помещения (см. рис.6.8)^ Теплоноситель
(вода) циркулирует по подающим и обратным трубопроводам. Для
управления мощностью водогрейного котла с целью поддержания за-
данной температуры в помещениях при изменяющейся внешней тем-
пературе служит цифровой нечеткий регулятор.
Рис.6.8
Источник тепла - водогрейный котел описывают апериодическим
звеном с передаточной функцией GBK(s) = Квк l(TBKs + 1), в которой
Квк ~ коэффициент передачи (равен максимальной мощности котла
Ртах кВт), Твк - постоянная времени. Подача топлива GT регулирует-
ся автоматическим клапаном АК. Выходная мощность котла гиРтах,
413
Раздел 6
где т -степень открытия клапана (от 0 до 1). Отметим, что мощность
котла в 1 кВт соответствует теплу 0,2388 ккал/с или 1 000 Дж/с.
Подающие и обратные трубопроводы описывают звеньями запаз-
дывания с передаточными функциями вида , где ki - коэффи-
циент теплопотерь, a Ti - транспортная задержка тепла в трубопроводе.
Коллектор перераспределяет общий массовый расход теплоноси-
теля (воды) в системе теплоснабжения в отношении 1}/12 = mJ т2
(/, +12 - 1; Wj + т2 - т), где т} - 1}тр - массовый расход теплоно-
сителя (воды) в первом помещении, т2 = 12тр - массовый расход те-
плоносителя (воды) во втором помещении, тр - общий массовый рас-
ход теплоносителя (воды) в системе теплоснабжения, кг/с.
Уравнение теплового баланса помещения определяют по фор-
муле:
2, - Qo.=<4 (^, - )+MjC d (0Bl -оА),
at
где Q. - тепло, поступаемое в отапливаемое помещение за одну секун-
ду, Дж/с; Qoi - тепло, отводимое из отапливаемого помещения за одну
секунду, Дж/с; Q. -Qoi- тепло, передаваемое внутреннему воздуху за
одну секунду, Дж/с; ki -общий коэффициент теплопередачи ограж-
дающих конструкций здания, нелинейно зависящий от соотношения
температур, Дж/м2 /с/°С; At- граничная поверхность, нормальная к
потоку тепла (площадь наружной поверхности помещения), м2; М,-
масса внутреннего воздуха отапливаемого помещения, кг; с- удель-
ная массовая теплоемкость внутреннего воздуха отапливаемого по-
мещения, Дж/кг/°С; 0А- температура окружающей среды, °C; 0Bl-
температура внутреннего воздуха отапливаемого помещения, °C. Вы-
ражение к*А.(0В. -0А) описывает тепловые потери помещения в ок-
ружающую среду. Выражение Mtc (0Bj -0А) описывает тепло, ак-
dt
кумулирующееся во внутреннем воздухе помещения и обусловленное
414
Раздел 6
изменением его температуры. Уравнение теплового баланса справед-
ливо для малых возмущений, когда можно считать, что зависящий от
температуры коэффициент к( является постоянной величиной. Кроме
того, предполагается, что окружающая среда обладает бесконечно
большой массой и что потери тепла помещением не повышают темпе-
ратуру окружающей среды.
За счет тепла, отводимого из отапливаемого помещения, такое
помещение, рассматриваемое как объект регулирования, имеет контур
внутренней обратной связи с коэффициентом передачи К*.. = cBmt,
где св = 4187 Дж/кг/°С- удельная теплоемкость теплоносителя (воды),
mi кг/с - массовый расход теплоносителя (воды) в обратном трубо-
проводе. Поэтому структурная схема помещения как объекта регули-
рования может быть представлена в виде рис.6.9,а. Преобразованные
структурные схемы помещения приведены на рис.6.9,б,в, где парамет-
ры определяются следующим образом:
1 L kiAi	1	, .	, / о
а, =	; Ь = 11 =	• ; k,A,=\/R,
Mtc MjC M.cR,
Величина Rt, обратная произведению kt At, называется термоди-
намическим сопротивлением. Начальные условия при интегрировании
в схемах на рис.6.9,а,б: #(0+) -6в-вА - 0.
Уравнения тепловых балансов каждого из помещений, имеющих
общие разделяющие их конструкции, можно записать в виде:
(0п-ел)-к-мов.-ев2),
at
~ Q02 = к'2А2(0В2 -0л) + М2с d (0В2-0J-к-оАо(0В2 ~0В1),
at
где к*о - коэффициент теплопередачи общих разделяющих конструк-
ций двух помещений, нелинейно зависящий от соотношения темпера-
тур в двух помещениях, Дж/м2 /с/°С. Ао- граничная поверхность
(площадь наружной поверхности, нормальная к потоку тепла) общих
разделяющих конструкций двух помещений. Выражения
±к*оАо(дВ} -9В2) описывают переток тепла между помещениями.
415
Раздел 6
Объект управления
(помещение, здание)
Объект управления
(помещение, здание)
б)
ui Mic
Рис.6.9
kjAj
Mjc
Теперь можно составить структурную схему системы автоматиче-
ского управления, которая имеет общий объект управления - “водо-
грейный котел + коллектор с трубопроводами + здание с помещения-
ми” и цифровой нечеткий регулятор. Эта схема приведена на рис.6.10.
416
Раздел 6
Интегратор топлива
Рис.6.10
Помещения как объекты управления (объект 1 и объект 2) описы-
ваются апериодическими звеньями. Входы объектов 1 и 2 - тепло,
417
Раздел 6
передаваемое внутреннему воздуху Qx и Q2, выходы объектов - раз-
ность температур внутреннего воздуха и окружающей среды ввх - вА
и 0в2 - вА соответственно. Температура окружающей среды 0А явля-
ется внешним возмущающим воздействием. Возмущающее воздейст-
вие можно представить в виде 0А =	+ 0т sin cot, где - средняя
внешняя температура, 0т - амплитуда суточных изменений внешней
температуры, со = 2л7(24х 3600) 1/с. 0	- требуемая внутренняя
температура (уставка). Отметим, что термодинамические свойства
реальных зданий нелинейны и изменяются как со временем, так и с
изменением погодных условий, поэтому модель (см. рис.6.10) только
приближенно описывает реальный объект.
Рассмотрим систему водяного отопления одноэтажного здания
площадью 300м2, работающую от водогрейного котла мощностью
30кВт с модулирующей горелкой. Параметры передаточной функции
водогрейного котла: Твк = 300 с; Квк = Ртах =30 кВт=30000 Дж/с.
Здание описывается необходимыми теплоизоляционными и гео-
метрическими параметрами: длиной, шириной и высотой здания, раз-
мерами и количеством окон, формой крыши, теплопроводностью и
толщиной материала стен, окон, крыши.
Расчет проведем для следующих конкретных данных. Здание име-
ет длину /=30м, ширину и>=10м и высоту стен h стены=4м. Размеры
окон: А л =1м. Количество окон л =6. Крышный угол а =40°.
Коэффициент теплопроводности и толщина материала:
Лдаеты=0.038Дж/м/с/К и 5_ы=0.2м, Локна =0.78Дж/м/с/К и
£who=0.01m, Лк/,ышв = 4иены и Зкрыши = Зстены. Допустим, что
потери тепла через пол пренебрежимо малы, стены и крыша сделаны
из одинакового материала, а разделяющей конструкцией является сте-
на, делящая внутренний объем здания в отношении 2/1 (для первого
,	2,
помещения длина /л] = /ми количество окон п} =4, для второго -
длина Z
= I ми количество окон п2 =2). Коэффициент теплопро-
418
Раздел 6
водности и толщина материала общих разделяющих конструкций двух
помещений Ло = Ястеиы=0.038Дж/м/с/К; 8О = 8стеиы =0.2м.
Формулы для расчета следующие:
М = wl(hcmeH„ +	; Л/, = 2 М; М2 = ~ М;
4 = (2/n) + w)hcmeHbl + w/nl + W- tga; А окои1= n.h OKHaw
cos or 4
.	4, wK w1 .	,
4 = (2/„2 + w)hcmem + •	+ - tga-, A OKOM1= n2h OKI/aw „кт;
cosa 4
cmewl 4 окон!, A стен! A\ A окон! *
w1	8	8
Ao = hcmeHblw+ - tga- RcmeHb, = ;R0KHa = 0K"a;
'	' ^rmaUkl
А
D __ ^стен 1
4 - л ~
^стен 1
А
окон\ . п _
А ’	~
i ^okohI
J
^*стен2
А
^стен 2
к.
D
1Хстены\
Кокна 1
D
1'стены 2
, k2 =
4 R2
к.
D
1Х~стены
1
1
1
окон 2 .
A ’
। окон!
^окна 2
p - плотность воздуха на уровне моря (1,225кг/м3).
Удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха отапливае-
мого помещения С=1005.4, Дж/кгЛС.
Расчетные параметры объектов 1 и 2 следующие (см. рис.6.10):
ах = 1 = 6,658-10’7 °C /Дж;
Mtc
а2 =- 1 - =13,316-Ю’7 °С/Дж-,
М,с
к'А	к'А
Ь. =	= 2,682-10’4 1/с; Ь2 = 2 2 = 2,759-10’4 1/с.
1 М'С	М2с
Коэффициенты распределения в коллекторе приняты равными:
/, = 0,68; /2 = 0,32. Массовый расход теплоносителя (воды) в системе
419
Раздел 6
теплоснабжения первого помещения т} = 1}*тр =
= 0,68 х 0,28 = 0,1904, кг/с; массовый расход теплоносителя (воды) в
системе теплоснабжения второго помещения т2 = 12 х тр =
= 0,32 х 0,28 = 0,0896, кг/с (общий массовый расход теплоносителя в
системе теплоснабжения принят равным w^=0,28, кг/с). При этом
коэффициенты обратной связи для объектов 1 и 2 определяются:
Кж} = свт1 = 797,205 Дж/с/0 С;
Кж2 = свт2 = 375,155 Дж/с/° С.
Постоянные времени объектов 1 и 2 (с учетом обратной связи)
1-----= 1251,56с;	1-----= 1289,5с;
Ь, + с„т.а.	Ь2 + c„zn,«,
10	11	2 D 2	2
коэффициенты передачи объектов 1 и 2 (с учетом обратной связи)
——1------= 8,333-1 (Г4 с°С/Дж;
Ъх + свтуах
ai =17,171 -104 с°С/ Дж.
Ь2 + свт2а2
Коэффициент взаимосвязи между объектами 1 и 2:
к'оАо = 1 1,585 Дж!с/° С.
Коэффициенты теплопотерь и соответствующие транспортные за-
держки тепла в трубопроводах приняты следующими:
к} =0.95; Аг2=0.98; к3 =0.96; к* =0.965; к5 =0.97; £6 =0.973;
Tj=25c; т2=24с; г3=24с; т4=23с; г5=26с; г6=25с.
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходные параметры нечет-
кого регулятора) ошибка первого канала и ошибка второго канала
в2, скорость изменения (первая производная) ошибки первого канала
0х и ошибки второго канала д2, ускорение (вторая производная)
ошибки первого канала и ошибки второго канала д2 , управляющее
420
Раздел 6
воздействие на объект т , минимально, т.е. равно 2. Отобразим диа-
пазоны \^\ m(n, тах ]’ [^1 тт ’ ^1 max ] ’	min > max ] ’ [^2 min’^2 max ] ’
[^ттЛтахЬ ЙттДтах] И Km^maxl ИЗМСНеНИЯ ВХОДНЫХ И ВЫ-
ХОДНОГО параметров на единое универсальное множество
Ut - [0,Д -1] = [ОД], где Lt =2 - число, соответствующее количеству
термов каждой лингвистической переменной xt, / = 1,и, п = 1. При
этом пересчет фиксированного значения параметра х* е [хм/,хв/] в
соответствующий элемент w*e[0,l] определяется пропорцией
(xe/ - xHI)/(1 - 0) = (х/ - хш )/(«*- 0), на основании которой находим:
Щ = (^1 “ mm ) ^(^1 max “ mm )’	(6.5)
U2 ~ (^1 ~ mm ) /(^1 max “ mm	(6.6)
W3 ~ (^1 “ mm ) /(^1 max “ mm )’	(6-7)
U4 = (^2 “ ^2 mm ) ^2 max “ @2 mm )’	(6.8)
U5 ~ (^2 ”^2mm)^2max“^2mm)’	(6.9)
U6 “(^2 “^2mm)/(^2max “^2mm)»	(6.10)
w7* = (w*-/nmin)/(/wmjl¥ -wmin). /	\	mm / \ max	min /	(6.П)
На множестве U = [ОД] зададим два нечетких подмножества,
функции принадлежностей (ФП) которых треугольной формы (1 и 2)
приведены на рис.6.11.
Аналитические выражения предложенных ФП для каждой лин-
гвистической величины определяются простыми формулами:
=	wg[0,1]; //2(w) = w, wg[0,1].	(6.12)
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*,	, 0* и 02 , 02 , 02 с шаг>м квантования h
осуществляется расчет величин их , и2 , и3* и и4 , и5 , и6 по фор-
мулам (6.5) - (6.10) и функций принадлежности (w), j = 1,2 .
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
421
Раздел 6
Если (0}*=aJ}) и (0*=а2)и (0* = aJ3) и (02 = а4) и
(&2' =as) и (#2* = °б)> т° (т' =ау)> j = 1.2 .	(6.13)
aJx , а2 и aJ3- лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки пер-
вого канала, aJ4, aJ5 и aJh - лингвистические оценки ошибки, скорости
изменения (первой производной) ошибки и второй производной
ошибки второго канала, рассматриваемые как нечеткие подмножества,
определенные на универсальном множестве и выбираемые из терм-
множества лингвистических переменных х*, i = 1,6:
422
Раздел 6
aJt 6 {отрицательная (1), положительная (2)}.
а!; - лингвистические оценки управляющего воздействия на объ-
ект, выбираемые из терм-множества переменной т*:
aJ-j 6 {уменьшить (1), увеличить (2)} .
Пусть pJ(xt) функция принадлежности параметра х;б[хм;,хв/]
нечеткому терму а/, i = 1,6; j - 1,2 . Тогда рт> - зависящая от шести
переменных (х, = ^;х2 = 0Х\ х3 =^;х4 =02;х5 = #2; х6 = функ-
ция принадлежности вектора параметров решению (выбранному
управляющему воздействию на объект) т} ,j = 1,2 , определяется из
системы нечетких логических уравнений:
цт> = //7(х|)л/(х2)л^(х3)л//;(х4)лд;(х5)л//;(х6). (6.14)
Таким образом, р”1 - функция принадлежности управляющего
воздействия нечеткому множеству “отрицательная” , а р™2 - функция
принадлежности управляющего воздействия нечеткому множеству
“положительная”. Результирующая функция принадлежности для
управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом HP
записывается в виде
рт=рт' v рт2	(6.15)
В выражениях (6.14) и (6.15) л- логическое и, V- логическое
или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (6.14)
функция принадлежности управляющего воздействия рх (w7) нечет-
кому множеству “уменьшить” ограничена сверху значением:
А= minf//, ("i )> М (w2* X А («з')’	X Ai («5*X А ("I)]. (6-16)
а функция принадлежности управляющего воздействия р2(Ру) не-
четкому множеству “увеличить” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (и,*), //2 (г/2‘), //2 (и3*), //, (и'4), //2 (и'5), //2 (и')].	(6.17)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (6.15) определяется как
423
Раздел 6
a(«7)=Ai(«7) v a2(«7)>	<6-18)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.6.11)
/z(«7)=max[//l(w7),//2(w7)].	(6.19)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия пГ формируется “результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести“ результирующей
фигуры по формуле:
N
- °* )K2a*+i+ак +(2°*+°ui )ьк ]
«7* = ------_------------------------------,	(6.20)
з£к+)-а*Х&*+1+Ю
*=|
где N - число вершин, ак, Ьк -координаты вершин результирующей
фигуры.
Полученное значение щ на основании формулы (6.11) преобра-
зуется в значение управляющего воздействия (степень открытия авто-
матического клапана) на общий объект управления
тп -	+ (wm„v -wmin)w7* .	(6.21)
min v max	min / /	v 7
Требуемую уставку в автоматическом клапане определим как
туст^} =	(отн. ед.).	(6.22)
уст
При работе системы автоматического управления (см. рис.6.10)
степень открытия автоматического клапана определяется как
аи(О = т‘ (Г) +	(t),	(6.23)
где /и* = Tn(t)- управляющее воздействие на общий объект управле-
ния, генерируемое нечетким регулятором.
Выберем шаг квантования (интервал поступления данных в не-
четкий регулятор) h = 300с = 5мин, а шаг моделирования = 10с.
Расчет и моделирование цифрового нечеткого регулятора произ-
водим по формулам (6.5)-(6.21). Моделирование общего объекта
управления “водогрейный котел + коллектор с трубопроводами + зда-
ние с помещениями” выполняем по структурной схеме рис.6.10.
424
Раздел 6
При оптимизации параметров нечеткого регулятора HP (диапазо-
НОВ тщ, max ] > [^1 min ’ ^1 max ] » [^1 mm ’ max ] ’ 1^2 min ’ @2 max ] ’
№min^2max]} [^ттДтах]) и коэффициента Киспользуем квадра-
тичный критерий качества
1 1-1
<7 = -£#v2 =>min,	(6.24)
L v=o
где ошибка системы 0v вычисляется с шагом моделирования Ло, а
число L определяет интервал наблюдения. Оптимальные параметры
соответствуют минимальному значению критерия качества, а мини-
мизация критерия качества автоматически приводит к оптимизации
переходных процессов в системе управления.
При моделировании требуемая температура внутреннего воздуха
здания 0^ задавалась равной 20 °C, амплитуда суточных изменений
внешней температуры 0т задавалась равной 5°С, а средняя внешняя
температура 0^ принималась соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С.
Закон суточных изменений внешней температуры принимался сину-
соидальным (см. рис.6.12): вА (0 = 0Q + вт sin[2flZ /(24 х 3600)].
Рис.6.12
Начальные значения температуры в помещениях 1 и 2 принима-
лись равными начальной внешней температуре:
0ei(o+)=0fl2(O+W/o+) = 0o.
425
Раздел 6
При оптимизации получены следующие значения для диапазонов
изменения входных параметров нечеткого регулятора:
=	0,56];[92„.,«2т„] = [-0,55, 0,55],
=	1,6110-’];
№„,.А™)=(-1.4110-’, 1,41-10"];
-Г-3,2'>10 ", 3,29-10-];
Ift„.„,ft™.J = l-S,32-10^, 5,32 10").
Диапазон [wmin,wmax] = [-0,3, 0,3] выбирается из конструктив-
ных соображений.
Оптимальный коэффициент Куст в формуле (6.22) равен 36,08.
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.6.10) путем математического моделирования представлены на
рис.6.13 - 6.18, где изображены: а - изменение текущей ошибки сис-
темы за сутки (время наблюдения 90000с); б - изменение текущей
ошибки системы за первых 3 часа (время наблюдения 11000с); в -
изменение внутренней температуры помещений за первых 3 часа
(время наблюдения 11000с).
На рис.6.13, 6.15 и 6.17 представлены текущие ошибки первого
канала управления и изменение внутренней температуры перво-
го помещения (объекта 1) 0B}(t) при средней внешней температуре
соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С. На рис.6.14, 6.16 и 6.18
I
представлены текущие ошибки второго канала управления #2(/) и
изменение внутренней температуры второго помещения (объекта 2)
0B2(f) ПРИ сРеДней внешней температуре 0Q соответственно равной
+5°С, 0°С, -5°С.
Для удобства рассмотрения на всех рисунках нулевая ордината
для управляющего воздействия m(t) совмещена с ординатой, равной
5, для ошибки.
Текущие ошибки системы в](0 = &уст -&в\(0 и =
0B2(t) показывают отличие температуры внутреннего воздуха поме-
426
Раздел 6
щений 0B](t) и 0B2(t) от требуемой 0 =20°C. Во всех случаях те-
кущие ошибки (за исключением начального выброса) не превышают
0,3°С.
Результаты моделирования (см. рис.6.13-6.18) показывают, что
нечеткий регулятор обеспечивает качественную работу замкнутой
системы автоматического управления при достаточно сложной моде-
ли общего объекта управления (составленной с учетом внутренних
контуров обратной связи в объектах 1 и 2, взаимосвязи между объек-
тами, характеристик коллектора, прямых и обратных трубопроводов).
				А — ц- р 		
-U1W-			t/Q— Т J U	
				
				
1				
\				
				
Л—				
				
				п _ 1			
			C/q — + 5 С	
				
				
1				
\				
\				
V ...				
				
О 20000	40000	60000 BDOOO t, С q 20000	40000	60000	80000 t, С
427
Раздел 6
428
Раздел 6
6.3. Синтез нечетких регуляторов следящих координаторов [64]
Следящими координаторами при самонаведении ракеты на цель
называют устройства, измеряющие угловое положение цели относи-
тельно своей оси [198]. Координатор, как измеритель углового поло-
жения цели, является измерителем рассогласования Л*, определяемо-
го векторным равенством (см. рис.6.19)
D°-X°k=Ak,	(6.25)
где D° - единичный вектор дальности до цели, Хк -единичный век-
тор оси координатора. Okxkykzk - система координат, в которой из-
меряются углы рассогласования и в которой вектор А* можно пред-
429
Раздел 6
ставить проекциями: ДЛ1 и ДЛ2 • При малых рассогласованиях можно
считать, что модули векторов и Д*2 равны соответствующим уг-
лам ДЛ1 и Д42.
Рис.6.19
Движение антенной (оптической) системы, а следовательно, и оси
координатора определяется не только ее движением относительно ра-
кеты (относительное движение), но и движением самой ракеты отно-
сительно центра массы (переносное движение). Px]yiz} - связанная с
корпусом ракеты система координат, в которой ось Рх} направлена по
продольной оси ракеты.
Координаторы, у которых равносигнальная зона создается с по-
мощью нескольких неподвижных симметрично расположенных отно-
сительно оси координатора лепестков диаграммы направленности ан-
тенной системы, называют координаторами с мгновенной равносиг-
нальной зоной.
Динамические свойства координаторов с мгновенной равносиг-
нальной зоной (при условии идентичности каналов) приближенно
описываются линейными дифференциальными уравнениями
=М»>;
Ткй2+и2 - ккЛк2,	(6.26)
где кК - коэффициент усиления, Тк - постоянная времени координа-
тора, практически равная постоянной времени выходного фильтра
нижних частот.
430
Раздел 6
ТуЦ+Ц = куи};
Г Д + Д = ^> М2>
(6.27)
Выходные сигналы координатора их и и2 усиливаются по мощ-
ности, чаще всего магнитными усилителями, динамика которых опи-
сывается уравнениями [198
где /j и /2 - средние за полупериод рабочего напряжения значения
выходных токов в первом и втором каналах соответственно, Т - по-
стоянная времени усилителей, к - коэффициент усиления.
Для обеспечения пространственного слежения антенная (или оп-
тическая) система, установленная на ракете в карданном подвесе, ме-
ханически связывается с двумя двигателями, на которые поступают
сигналы с выходов магнитных усилителей и которые вращают антен-
ную (или оптическую) систему относительно двух взаимно перпенди-
кулярных осей карданного подвеса. Уравнения, описывающие работу
электродвигателей постоянного тока (совместно с редукторами), ис-
пользуемых в качестве приводов следящего координатора, при равном
нулю статическом моменте сопротивления и постоянном входном со-
противлении, приводятся к виду
7А+«2=Мр	(6-28)
где Тд и кд - постоянная времени и коэффициент преобразования
двигателя (с редуктором), вычисленные с учетом приведенных момен-
тов инерции приводимых в движение механических деталей антенной
(или оптической) системы.
Направление одной оси карданного подвеса совпадает с направ-
лением оси Ру, или оси Pz, связанной с ракетой системы координат.
При совпадении одной оси карданного подвеса, например, с осью
Ру., направление другой оси карданного подвеса должно совпадать с
осью Okzk. Для обеспечения слежения за целью на вход двигателя,
вращающего антенную (оптическую) систему относительно оси Okzk,
надо подавать сигнал о рассогласовании ДА], а на вход двигателя,
431
Раздел 6
вращающего антенную (оптическую) систему относительно оси 7^,,
сигнал о рассогласовании Ai2, т.е. на вход двигателя Д1 надо подавать
ток /2, а на вход двигателя Д2 - ток 7, (это учтено в уравнениях (6.28)).
Из векторного равенства = сок х , где сок - угловая скорость
-.0
вращения единичного вектора Хк, следует, что модули производной
единичного вектора и его угловой скорости вращения равны, а векто-
ры сок и взаимно перпендикулярны и располагаются в плоскости
Okykzk. Отсюда заключаем, что проекция вектора на ось ук равна
проекции вектора сок на ось zk, а проекция вектора %к на ось zk рав-
на проекции вектора сок на ось ук, взятой с обратным знаком:
.0	.0^0	„о
Ху ~ ХкУк “ ®к2к ~
.0	.0^0	-.0
Х: ~ Хк?к “ ^кУк ~ ~(Оку-
Если 6УН и со2} - угловые скорости движения антенной (оптиче-
ской) системы вокруг оси ук, вызванные переносным и относитель-
ным движениями соответственно, а й\2 и со22 - угловые скорости
движения антенной (оптической) системы вокруг оси zk, также вы-
званные переносным и относительным движениями, то
=^11+^21 •
Так как ось вращения двигателя Д2 совпадает с осью zk, то
6У22 = £^2- Ось вращения двигателя Д1 совпадает с осью ух и при не-
значительном отклонении связанной системы координат от системы
координат, в которой измеряются углы рассогласования, можно счи-
тать й)21 = Qj. Тогда
Ху ~ ^12 "* ^2 ’ Xz — ~(О\ j ~ Qj
и уравнения (6.28) можно записать в виде [63]
+ 7^6z>| । + сох j = кд12,
' Г	(6^29>
432
Раздел 6
Дополнительные составляющие в уравнениях (6.29)
Тд(Ь} । 4- 69] j = кд\12>
~Тд(Ь\2 ~6912 —
обусловлены ошибками измерения, вызванными движением ракеты
относительно центра масс. Для компенсации этих ошибок на входы
электродвигателей надо подавать сигналы
69Н/кд = Д/2,
-а)\21кд=М\.	(6.30)
которые формируются при помощи скоростных гироскопов, изме-
ряющих угловые скорости движения ракеты относительно центра
масс.
На основании уравнений (6.26), (6.27), (6.29) и (6.30) можно со-
ставить структурную схему каждого канала (каналы идентичны) сле-
дящего координатора с электрическим приводом (см. рис.6.20).
Рис.6.20
/1 (0 ~ Угол между направлением на цель и равносигнальным на-
правлением, y2(t) - угол поворота антенной (оптической) системы.
Передаточные функции координатора К и усилителя мощности У
определяются как
Gk (5) = кк (Tks + !)-'; G/s) = ky(Tys +1)-1.
Принимая проекции соответствующих векторов за выходные ве-
личины, передаточную функцию электродвигателя и редуктора можно
записать в виде
Gd(5) = ^[(^5 + 1)5]-'.
В структурной схеме после элемента сравнения изображена нели-
нейность (обусловленная пеленгационной характеристикой координа-
тора), которую обычно можно представить формулой:
433
Раздел 6
£(AJ = exp{-A2/А2},
а пеленгационную характеристику координатора представить в виде
F(AJ = ДЛ(Д*) - Д* ехр{-Д;/L2}.	(6.31)
При этом уравнения (6.26) записываются следующим образом:
у?,
[Тки2+и2=ккЛк2К(^2).
При использовании гидродвигателей, пренебрегая запаздыванием
и зоной нечувствительности, их динамику можно описать уравнения-
ми
*^1 “	$2 “
а угловые скорости вращения антенной (оптической) системы относи-
тельно осей ук и определить как
&?21	’ ^22	$2 ’
где и - скорости движения поршней двигателей, вращающих
антенную (оптическую) систему относительно осей у1 и zk. Тогда,
вместо системы уравнений (6.29), получаем более простую:
= kJ'
In	(6-33)
А +<у„ = кд12.
В этом случае в структурной схеме рис.6.20 передаточная функ-
ция двигателя (с редуктором) будет иметь вид
Gd(s) = kd/s.
С учетом насыщения, зоны нечувствительности и запаздывания в
гидравлических двигателях структурная схема каждого канала следя-
щего координатора с гидродвигателями может быть представлена в
виде, изображенном на рис.6.21.
Рис.6.21
434
Раздел 6
Графически пеленгационная характеристика координатора F(Ak)
и нелинейность Н в гидравлическом двигателе изображены на
рис.6.22.
_ 1у=0 при 111< Ср
= Ssign(7) при 111 >с2;
j !у = к{1
при с}111 с2;
*=tgy = S/(c2-Cj)
s б)
Рис.6.22
Следящие координаторы с гидравлическим приводом широко ис-
пользуются в системах самонаведения. Использование цифрового не-
четкого (работающего на базе нечеткой логики) регулятора требует
дополнительного включения в структурную схему следящего коорди-
натора аналого-цифрового (АЦП) и цифроаналогового (ЦАП) преоб-
разователей. Структурная схема следящего координатора с нечетким
регулятором и гидравлическим приводом (с учетом компенсации
ошибок измерения вызванных движением ракеты относительно цен-
тра масс) приобретает вид, показанный на рис.6.23.
Для сглаживания шумов после АЦП включен цифровой низкочас-
тотный фильтр с дискретной передаточной функцией
435
Раздел 6
G(z) = 60[l + a1z !] где b0 = ! + <?,, а, =-ехр(-Л/Гф//р), Л - шаг
квантования. Нечеткий регулятор HP включен после цифрового низ-
кочастотного фильтра ФНР, а ЦАП на выходе HP представлен фикса-
тором нулевого порядка с передаточной функцией
H(s) = (l-e"fe)/s, где h- шаг квантования в АЦП. 0(к) - кванто-
ванная ошибка на выходе координатора К (после фильтра ФНР).
Рис.6.23
Ошибка 0(к), ее первая ()(к) = [#(£) - 0(к -1)] / h и вторая
0{к) = [^(к)-О(к - I)]/h разности подаются на вход HP. Сигнал с
выхода HP в виде кода т(к) с шагом квантования h поступают сна-
чала на ЦАП, затем в виде непрерывного управляющего воздействия
m(t) на усилитель и гидравлический двигатель.
Синтез нечеткого регулятора HP выполняем по формулам (5.16)-
(5.30) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом кван-
тования (с шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0.01с.
Для получения оптимальных по критерию (5.33) переходных про-
цессов в системе в нечетком регуляторе настраиваются диапазоны из-
менения входных и выходной переменных [0min,#max], [0mjn,0m«L
[^min’^maxL [Wmin»Wmax ] и параметр с для всех экспоненциальных
функций принадлежности:	= exp(-cw), /z2(w) = ехр[-с(1 -«)],
где и - параметр (элемент) единого универсального множества
U = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки нечеткого
436
Раздел 6
регулятора диапазоны изменения переменных приняты симметрии-
ными: 0min = -0max, 0min = -0^ и т. д.
При исследовании системы управления методом математического
моделирования зададим воздействие на входе следящего координато-
ра в следующем виде: МО =/ic(O + /i„(O> где
/1с (0 =	+ 0,3 sin(^T /8) - детерминированная составляющая, а
/|„(0 ~ случайная составляющая входного воздействия, которую ап-
проксимируем экспоненциально-коррелированным случайным про-
цессом с корреляционной функцией /?(г) = De а т и соответствую-
щей спектральной плотностью Su (б?) = 2aDI(a1 4- со2). Положим
£> = 0,01; а = 10 1/с.
Среднеквадратичное отклонение случайного воздействия
СКО=<£> = 0,1.
Экспоненциальный случайный процесс с корреляционной функ-
цией R(t) = De~a r' = 0,01е~10,г можно получить как результат преоб-
разования нормально распределенного белого шума с единичной
спектральной плотностью формирующим фильтром с передаточной
,	„ r , х jlD/a
функцией Кф(5) =	 -—-
(\la)s +1
0,0447
0,17+1 ’
После настройки нечеткого регулятора при входном воздействии
на систему МО =/ic(0 + /i„(0 определяем реакцию системы МО
(см. рис.6.23) на задающее воздействие МО» ошибку
ДДО =* /1(0“/2 (О и управляющее воздействие на выходе нечеткого
регулятора m(t) методом математического моделирования.
Параметры системы следующие:
Тк = 0,01 с\ кк = \В/град; ТФНР = 4^Ту = 0,1 с;	ку = 500мА/В;
кд = 10 град / мА\ т = 0,045 с; параметр нелинейности координатора
(пеленгационного устройства) L = 1. Нелинейность Н характеризует-
ся следующими параметрами:с, = 0,01;с2 =0,21;S =0,2. Шаг кванто-
вания (интервал поступления данных в нечеткий регулятор)
437
Раздел 6
h = 0,01 с. Шаг моделирования Ло =0,0002 с. Число дискрет на ин-
тервале интегрирования результирующей ФП (см. формулу (5.28))
М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, исполь-
зуя аппроксимацию по формуле трапеций. Для апериодического звена
, z_, t .	27-/l кК z . „
k(Ts + \) имеем: xv =	” xv_, +	- (wv + uv_,). Для интег-
2T + hQ	2Т + Р1ц
рирующего звена: xv =	4- (uv 4-	). В записанных формулах
uv — входная, a xv - выходная переменные звена.
Результаты моделирования системы представлены на рис.6.24 -
6.26, где /,(/) - вход, /2(Z) - выход, /(0 = Zi (0 ”/2 (0 “ ошибка
системы, m(t) - управляющее воздействие на входе объекта управле-
ния (выходной сигнал нечеткого регулятора после фиксатора).
В результате настройки нечеткого регулятора в системе получаем
следующие значения оптимальных параметров регулятора: [#тах],
[#тах], [^maxL [wmax ], ПРИ с = 5,5 равны соответственно значениям
[14,0078], [6,1302],	[57,7323], [0,1857]; при этих параметрах
J = 0,0061.
опт 7
На рис.6.24,а,б показаны переходные процессы в системе (см.
рис.6.23) при подаче на вход системы только детерминированной со-
ставляющей /,(/) = /1с(Г) = 0,7 4- 0,3sin(^T/8) и управляющее воз-
действие на выходе ЦАП после нечеткого регулятора m(t)
(рис.6.24,в).
Как показывает моделирование, система с достаточной точностью
отслеживает входное воздействие. Максимальная текущая ошибка,
кроме начального выброса, не превышает 3% от начального значения.
Система работает устойчиво. Время регулирования t составляет
примерно 0.09 с, Перерегулирование сг% примерно равно 13,5%.
На рис.6.25, б,в показаны переходные процессы /2(Z) и /(0в
системе (см. рис.6.23) при подаче на вход системы детерминирован-
438
Раздел 6
ной составляющей /к(0 = 0,7 4- 0,3 sin(лГ /8) и случайной состав-
ляющей входного воздействия Yx(t}~Yx +yXn(t) (рис.6.25,а).
Как показывает моделирование, система и при таком входном
воздействии работает устойчиво. Текущая ошибка имеет шумовой ха-
рактер, ее максимальное значение, кроме начального выброса, также
не превышает 3% от начального значения. Время регулирования tp
составляет примерно 0.05 с, а перерегулирование а°/о практически
отсутствует. Указанные параметры являются более лучшими, чем по-
лученные при отсутствии случайной составляющей входного воздей-
ствия. Это объясняется тем, что настройка нечеткого регулятора осу-
ществлялась при входном воздействии на систему
/|(0 = /)с(0+/|Я(0-
Рис.6.24
439
Раздел 6
На рис.6.26,а,б отдельно показано управляющее воздействие на
выходе ЦАП после нечеткого регулятора m(t) и сигнал на выходе
нелинейности Н.
Рис.6.25
Исследование модели канала следящего координатора, имеющего
нелинейность дискриминационной характеристики, насыщение, зону
нечувствительности и запаздывание в гидравлическом двигателе, при
поступлении на вход координатора воздействия, имеющего детерми-
нированную и случайную составляющие, дает возможность заклю-
чить, что применение нечеткого регулятора (регулятора, работающего
на базе нечеткой логики) позволяет получить достаточно высокое ка-
чество рассмотренной замкнутой системы.
440
Раздел 6
Рис.6.26
Учитывая простоту реализации и настройки нечеткого регулятора
и высокую эффективность его работы в системе можно считать при-
менение такого регулятора весьма целесообразным.
6.4. Система регулирования температуры теплоносителя на
выходе смесителя с нечеткими регуляторами [30]
Системы регулирования температуры теплоносителя на выходе
смесителя, основанные на смешении двух исходных компонент, ши-
роко используются в химической и пищевой промышленности К та-
ким системам предъявляются достаточно высокие требования. На-
пример, отклонение регулируемой температуры теплоносителя от за-
данного значения в установившемся режиме должно быть не более
0,5°С, время регулирования не более 120с, перерегулирование не
более 3% [154]. Целью управления является обеспечение требуемого
расхода и температуры теплоносителя на выходе смесителя при изме-
нениях температуры и объема исходных смешиваемых носителей. В
441
Раздел 6
данном разделе методом математического моделирования в интерак-
тивной системе MATLAB исследована система регулирования темпе-
ратуры теплоносителя на выходе смесителя с нечеткими регуляторами
и получены показатели качества системы в переходном и установив-
шемся режимах.
Заданная температура теплоносителя Оу поддерживается за счет
смешения двух исходных теплоносителей (например, холодной и го-
рячей воды или пара). В процессе функционировании смесителя ре-
гулируются объемные расходы горячей Иг и холодной Их воды при
поддержании заданного расхода теплоносителя на выходе смесителя,
равного К - Vr 4- Их.
При смешении без отвода тепла двух жидкостей с разными тем-
ператур